98
Matematika pro studenty ekonomie
me pak o jednostranných limitách. Symbol x → x0+ čteme „pro x jdoucí k x0 zprava“, symbol x → x0− „pro x jdoucí k x0 zleva“.
Obr. 2.34
Věta 2.10 Funkce f má v bodě x0 limitu L, právě když lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L . x → x0
x → x0
Funkce na obr. 2.35 nemá v bodě x0 limitu, protože lim− f ( x ) = L , lim+ f ( x ) = K , K ≠ L . x → x0
x → x0
Obr. 2.35
Věta 2.11 Funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu.
Aby existovala limita funkce f v bodě x0, nemusí být funkce v tomto bodě definovaná. Musí však být definovaná v nějakém ryzím okolí tohoto bodu (v případě jednostranných limit v jeho pravém nebo v levém ryzím okolí). Takže např. výrazy lim 1 − 2 x nebo x →1
lim ln x nemají smysl.
x →0 −
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS186070
2. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
99
2.2.2 Nevlastní limita Rozšířená množina reálných čísel R* je množina reálných čísel R doplněná prvky – ∞,+∞ . Tedy R* = R ∪ {– ∞,+∞}. Namísto +∞ budeme psát někdy jen ∞. Pro libovolné číslo k∈R a pro prvky ±∞ platí: ∞ < k < ∞, k + ∞ = ∞, k – ∞ = – ∞, ∞ + ∞ = ∞, ∞ – ∞ = – ∞, k k = =0. ⏐± ∞⏐= ∞, ∞ ⋅ ∞ = – ∞ (– ∞) = ∞, ∞ ⋅ (– ∞) = – ∞, ∞ −∞ Pro 0< k < ∞ a pro prvky ± ∞ platí: k ∞ = ∞ , k ( −∞) = −∞ . Pro – ∞< k < 0 a pro prvky ± ∞ platí: k ∞ = −∞ , k ( −∞) = +∞ . Prvky – ∞, +∞ nazýváme nevlastní body množiny R*, ostatní prvky se nazývají vlastní.
Definice 2.23 a) V případě, že v okolí bodu x0 roste funkce f nade všechny meze (tj. když ke každému M > 0 existuje ryzí okolí bodu x0 tak, že pro každé x z tohoto okolí je f (x ) > M), (obr. 2.36), říkáme, že funkce f má v bodě x0 nevlastní limitu +∞. Píšeme lim f ( x ) = + ∞ . x → x0
b) V případě, že v okolí bodu x0 klesá funkce f pode všechny meze (tj. když ke každému N < 0 existuje ryzí okolí bodu x0 tak, že pro každé x z tohoto okolí je f (x ) < N ), říkáme, že funkce f má v bodě x0 nevlastní limitu –∞. Píšeme lim f ( x ) = − ∞ . x → x0
Obr. 2.36
Podobně definujeme nevlastní limity zprava a zleva, tj. lim+ f ( x ) = −∞ , lim+ f ( x ) = +∞ , lim− f ( x ) = −∞ a lim− f ( x ) = +∞ . x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
O geometrickém významu nevlastní limity se zmíníme později v kap. 2.5.4. Věty 2.10 a 2.11 platí i pro nevlastní limitu.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS186070
100
Matematika pro studenty ekonomie
2.2.3 Výpočet limity Při výpočtu limit využíváme následující věty.
Věta 2.12 Je-li f(x) = k, kde k je libovolné reálné číslo, je
lim k = k .
x → x0
Věta 2.13 Je-li lim f ( x ) = A a lim g ( x ) = B , kde A, B ∈ R platí: x → x0
x → x0
1. lim (f ( x ) + g ( x )) = lim f ( x ) + lim g ( x ) = A + B x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
2. lim (f ( x ) − g ( x )) = lim f ( x ) − lim g ( x ) = A − B 3. lim (f ( x )g ( x )) = lim f ( x ) lim g ( x ) = AB x → x0
x → x0
x → x0
lim f ( x )
4. lim
x → x0
f ( x ) x → x0 A = = , pokud lim g ( x ) ≠ 0 . x → x0 g ( x ) lim g ( x ) B x → x0
Věta 2.14 Je-li k∈ R libovolná konstanta, platí lim kf ( x ) = k lim f ( x ) . x → x0
x → x0
U elementárních funkcí a u funkcí, které vzniknou jejich sčítáním , odčítáním, násobením, dělením a skládáním, je ve vlastních bodech, které patří do definičního oboru, limita stejná jako funkční hodnota.
Příklad 2.18 lim
x →4
2 x − 3 2x 5 x 2 − 12
=
lim (2 x − 3 2 x )
x →4
lim 5 x 2 − 12
x →4
=
lim 2 x − lim 3 2 x
x →4
x →4
5 lim x 2 − 12 x →4
=
24 − 3 8 5 16 − 12
=
16 − 2 14 7 = = . 5⋅2 10 5
Výpočet zpravidla nezapisujeme tak podrobně.
π
Příklad 2.19
π
π
cos 0 x cos x 2 = 2 = 0 =0. lim = 2 π π 1+ 1 2 x → 1 + sin x 1 + sin 2 2
Uvedené věty i postup výpočtu platí i pro jednostranné limity.
Příklad 2.20
(
)
lim 2e x + e − x − 4 x = 2e 0 + e 0 − 4 ⋅ 0 = 3 .
x →0 +
Jednu z možností výpočtu limity funkce v bodě, který nepatří do jejího definičního oboru, nabízí následující věta.
Věta 2.15 Jestliže pro všechna x z ryzího okolí bodu x0 je f ( x ) = g(x) , je také lim f ( x ) = lim g ( x ) . x → x0
x → x0
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS186070