9. Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice
4.
0,3 − 1 10 6 6 c) Rostoucı´ funkce: > 5 5 −√2 √2 4 4 d) Rostoucı´ funkce: < 3 3 a) x + 4 = 1 − x 3 x=− 2
b) 22x · 22 = 2−1 22x+2 = 2−1 2x + 2 = −1 3 x=− 2 c) 4−3 = 4x−2 −3 = x − 2 x = −1
d)
5.
2
3x −5x+6 = 30 2 x − 5x + 6 = 0 x1 = 2, x2 = 3
a) Jedna´ se o klesajı´cı´ funkci, vy´rok nenı´ pravdivy´. b) Nasta´va´ rovnost, vy´rok nenı´ pravdivy´. c) Jedna´ se o klesajı´cı´ funkci, vy´rok je pravdivy´. d) Jedna´ se o klesajı´cı´ funkci, vy´rok nenı´ pravdivy´.
6. Spra´vneˇ je d). Chcesˇ-li urcˇ it pru˚ secˇ´ık, hleda´ sˇ takovou hodnotu sourˇadnice x, pro nizˇ se hodnoty obou −x 1 funkcı´ rovnajı´: 2x+1 = 2 Postupneˇ uprav: 2x+1 = 2x ⇔ x + 1 = x ⇔ 1 = 0 Neexistuje rˇesˇenı´. Grafy funkcı´ se neprotı´najı´. 2 7. Spra´vneˇ je b). Viz prˇedchozı´ prˇ´ıklad: 10x +2x+4 = 10003x−2 x2 + 2x + 4 = 9x − 6 x2 − 7x + 10 = 0 (x − 5)(x − 2) = 0 x1 = 5, x = 2 8. Spra´vneˇ je a). Funkce naby´va´ neza´porny´ch hodnot, je tedy zdola omezena´. Graf funkce je soumeˇ rny´ podle osy y, funkce je tedy suda´. 9.
1 a) 4 · 3 · 3x − 300 = 3x · + 15 3 1 3x (12 − ) = 315 3 3 3x = · 315 35 3x = 27 x=3 1 b) 42x · − 42x · 4 + 42x · 16 = 49 4 1 42x ( − 4 + 16) = 49 4 4 · 49 42x = 49 2x = 1 1 x= 2
98 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS179693
9. Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice
c) 625x − 3 · 52x = 10 252x − 3 · 25x = 10. Zavedesˇ substituci: 25x = y y 2 − 3y − 10 = 0 (y − 5)(y + 2) = 0 y1 = 5, y2 = −2
1 Hodnotu 5 dosadı´sˇ zpa´tky do substitucˇnı´ho vy´razu a dostanesˇ 25 x = 5 , odkud x = . 2 Hodnota -2 nevede k rˇesˇenı´, nebot’exponencia´ lnı´ funkce naby´va´ pouze kladny´ch hodnot. d)
9 · 3x = 810 − 9 · 9x Zavedesˇ substituci: 3x = y 9y 2 + 9y − 810 = 0 y 2 + y − 90 = 0 (y + 10)(y − 9) = 0 y1 = −10, y2 = 9
Hodnotu 9 dosadı´sˇ zpa´tky do substitucˇnı´ho vy´razu a dostanesˇ 3 x = 9, odkud je x = 2. Hodnota −10 nevede k rˇesˇenı´, nebot’exponencia´ lnı´ funkce naby´va´ pouze kladny´ch hodnot. 1 = 4 · 42x 10. a) 23x · 7x · 49 2x · 7x = 4 · 49 14x = 196 x=2 1 1 1 b) 4x − 3x · 3− 2 = 3x · 3 2 − 4x · 2 √ 1 1 x x 4 (1 + ) = 3 ( 3 + √ ) 2 3 4 x 3 x 4 · =3 ·√ 3 2x 4 8 = √ 3 3 3 x 3 4 4 2 = 3 3 3 x= 2 11.
x
2
3 2 · 3x −1 x 2 3 2 +x −1 x + x2 − 1 2 x2 + x − 2 (x + 2)(x − 1) x1
x−2
= 3− 2 x−2 = 3− 2 x = − +1 2 =0 =0 = −2, x2 = 1
99 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS179693
10. Logaritmické funkce, rovnice a nerovnice
10
Logaritmické funkce, rovnice a nerovnice
Vezmi si pı´sˇt’alu a zapı´skej to´n h2 . Pak pozˇ a´dej 7 prˇa´ tel, aby se k tobeˇ prˇidali. O kolik decibelu˚ se zvy´sˇ´ı hlasitost zvuku, ma´-li kazˇ da´ pı´sˇt’alka hlasitost 20 dB? Rˇ esˇenı´: Pokud bychom prˇedpokla´ dali, zˇ e se prˇi dvojna´sobne´m pocˇtu hra´ cˇu˚ zvy´sˇ´ı hlasitost (subjektivneˇ vnı´mana´ sı´la zvuku) dvojna´sobneˇ , prˇi cˇtyrˇna´ sobne´m pocˇtu hra´ cˇu˚ cˇtyrˇna´ sobneˇ , v osmi by se dle tohoto prˇedpokladu potrhaly usˇnı´ bubı´nky va´m i vsˇem kolemjdoucı´m. Asi tomu tak nebude. Sluch totizˇ vnı´ma´ sı´lu zvuku podle logaritmu fyzika´lnı´ velicˇiny. Zveˇ tsˇuje-li se fyzika´lnı´ intenzita zvuku rˇadou geometrickou (vzˇ dy v te´mzˇ e pomeˇ ru), roste hlasitost zvuku, tedy subjektivnı´ sı´la zvuku, rˇadou aritmetickou (vzˇ dy o ty´zˇ rozdı´l). Je-li tedy N 0 fyzika´lnı´ N intenzita tve´ pı´sˇt’aly a N fyzika´lnı´ intenzita to´nu hrane´ ho osmicˇlennou skupinou, pak x = log je rozdı´l N0 N je rozdı´l hlasitostı´ vyja´drˇeny´ v decibelech. Tedy pro 8 pı´sˇt’al hlasitostı´ vyja´drˇeny´ v belech a H = 10 · log N0 . je H = 10 · log 8 = 9. Bude-li hra´ t mı´sto jednoho hra´ cˇe 8 muzikantu˚ , zvy´sˇ´ı se hlasitost necˇekaneˇ pouze asi o 9 dB!
10.1
Logaritmus
Logaritmicka´ funkce je inverznı´ funkcı´ k funkci exponencia´ lnı´. Prˇedpis exponencia´ lnı´ funkce je f : y = ax , kde a ∈ R+ \{1} a x ∈ R, y ∈ R+ . U inverznı´ funkce stacˇ´ı zameˇ nit sourˇadnice f −1 : x = ay , kde x ∈ R+ , y ∈ R. V takove´m prˇedpisu je hodnota y funkce v exponentu. Pro explicitnı´ vyja´drˇenı´ funkce je zaveden novy´ pojem logaritmus“, ktery´ v prˇedpisu x = ay oznacˇuje exponent. Vy´sledek mocneˇnı´ x se zapı´sˇe jako argument ” logaritmu, za´klad zu˚ sta´va´. Platı´: y = log a x ⇔ x = ay Logaritmus je cˇ´ıslo (exponent y), ktery´m umocnı´me za´klad (a), abychom dostali dane´ cˇ´ıslo (argument x).
´ loha 1 U Urcˇete hodnoty logaritmu˚ , uved’te podmı´nky rˇesˇitelnosti: a) log2 32 d) loga a5 b) log4 32 c) log√8 4 a h) log b b i) log10 0,001 g) log10 0,1
e)log10 10k
f) log10 1
a
Rˇ esˇenı´ Nezna´mou hodnotu logaritnu oznacˇ´ısˇ promeˇ nnou y, tedy loga x = y. Ve shodeˇ s definicı´ logaritmu pak rˇesˇ´ısˇ exponencia´ lnı´ rovnici x = ay s nezna´mou y ∈ R viz tabulka: logaritmus
rˇesˇenı´ exponencia´ lnı´ rovnice loga x = y ⇔ x = a
loga x = y a) log2 32 = y b) log4 32 = y c)
log√8 4 = y
y
k
i) log10 0,001 = y
y
10 = 10 ⇔ k = y
f) log10 1 = y a =y b
podmı´nky
y=
y
a5 = ay ⇔ 5 = y
e) log10 10 = y
a
Za´veˇ r
y=5
32 = 4y ⇔ 25 = 22y ⇔ 5 = 2y √ 3y 3y 4 = ( 8)y ⇔ 22 = 2 2 ⇔ 2 = 2
k
h) log b
dalsˇ´ı
32 = 2 ⇔ 2 = 2 ⇔ 5 = y
d) loga a5 = y
g) log10 0,1 = y
5
y
y
y = 2,5 y= a ∈ R+ \{1}
1 = 10y ⇔ 100 = 10y ⇔ 0 = y y
−1
0,001 = 10y ⇔ 10−3 = 10y ⇔ −3 = y
y=5 y=k y=0
y
0, 1 = 10 ⇔ 10 = 10 ⇔ −1 = y −1 y y b b b a ⇔ = ⇔ −1 = y = b a a a
4 3
a·b>0 a = b
y = −1 y = −1 y−3
100 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS179693