P y t hago r o va věta Carmen Sessa, moje kamarádka a vynikající poradkyně v jakékoli matematické oblasti, mi před lety přinesla obálku s několika důkazy Pythagorovy věty. Už si nevzpomínám, kde je vzala, ale úplně ji nadchlo, když viděla, kolika různými způsoby se dá dokázat tentýž jev. A já jsem se potom ke všemu dozvěděl, že existuje kniha (The Pythagorean Proposition), která obsahuje na 367 důkazů této věty a jež byla znovu vydaná v roce 1968. Když se však vrátím k důkazům od Carmen, byl mezi nimi jeden, který mě svou jednoduchostí přímo fascinoval. Dokonce ho od té doby (od konce osmdesátých let) neustále opakuji. A ještě pořád mě to baví. Tady je: Je dán pravoúhlý trojúhelník T se stranami a, b a h. (Pravoúhlý trojúhelník má jeden úhel o velikosti 90 stupňů – nazývá se také pravý úhel.)
h
a
b
Představme si, že trojúhelník T je sestaven tak, že k sobě „spojíme“ tři provázky. Předpokládejme, že strana h se může „odstřihnout“ a že strany a a b se dají „natáhnout“. S touto novou „stranou“ o délce a + b vytvoříme dva stejné čtverce. Každá strana čtverce měří a + b. V každém čtverci označíme strany a a b tak, abychom mohli zakreslit takovéto obrazce:
98 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS174994
a
b a
b h h
h h
a
b a
b
Nyní se podívejme, kolikrát se v každém čtverci objevuje trojúhelník T (kvůli tomu je třeba si v jednom obrazci zakreslit všechny čtyři trojúhelníky T v každém čtverci). Jelikož čtverce jsou shodné, jakmile v každém z nich nalezneme čtyři trojúhelníky, „prázdný“ povrch ve čtvercích musí být stejný. a
b h
a
b
a
b
h a
b
V prvním čtverci se nacházejí dva „čtverečky“, jeden o povrchu a2 a druhý o povrchu b2. Ve druhém čtverci je zakreslený „nový“ čtverec o povrchu h2. Závěr: „musí“ nám vycházet: a2 + b2 = h2
99 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS174994
Což je přesně to, co jsme chtěli dokázat: „V každém pravoúhlém trojúhelníku platí, že druhá mocnina přepony se rovná součtu druhých mocnin odvěsen.“ V tomto případě jsou odvěsny a a b, zatímco přepona je h. No není to krásný důkaz? Je výsledkem skvělého nápadu, který nevyžaduje žádné složité pomůcky.* Jen zdravý rozum.**
P ř í b ě h Ca r l a F ri ed ri ch a Gau sse Mladým lidem často říkáváme, že co si myslí, je nesprávné, jen proto, že o dané věci uvažují jinak než my. Takto jim předáváme vskutku výtečný odkaz, stejně jako když je v prvních dvanácti měsících života učíme mluvit a chodit a pak je v podstatě požádáme, aby po příštích dvanáct let mlčeli. Jádro následujícího příběhu se týká někoho, kdo uvažoval jinak. A proto se mu podařilo vyřešit problém do té doby neznámým způsobem (pro dotyčného vyučujícího). Příběh se stal kolem roku 1784 v německém Brunšviku. Učitelka druhého ročníku obecné školy (jmenovala se Buttnerová, ačkoli údaje tvrdí, že spolu s ní byl přítomen také asistent Martin Bartels) už byla vyčerpaná z „rámusících“ žáků, a aby je na chvíli zklidnila, dala jim vyřešit tento příklad: „Vypočítejte součet prvních * Tato věta byla nalezena v jednom spisu v Babylonii, mezi lety 1900 a 1600 př. n. l. Pythagoras žil v letech 560–480 př. n. l., a přestože se řešení tohoto problému přisuzuje jemu, není jisté, zda jeho autorem byl právě on nebo některý z jeho žáků. Dokonce ani tato možnost není zcela jistá. ** Věta platí obousměrně v tom smyslu, že pokud pro nějaký trojúhelník se stranami a, b a h platí rovnice: a2 + b2 = h2 pak trojúhelník musí být pravoúhlý. To je přeci velmi zajímavý závěr. Mohlo by se totiž stát, že by Pythagorova věta platila i pro jiné než pravoúhlé trojúhelníky. Ovšem vlastnost, kdy druhá mocnina přepony se rovná součtu druhých mocnin odvěsen, trojúhelník „charakterizuje“: činí ho pravoúhlým.
100 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS174994