Is (un ) een rij, dan hangt de convergentie of divergentie enkel af van de termen un waarvan het rangnummer groot genoeg is. Bij een convergente rij (un ) wordt de waarde van de limiet dus niet beı̈nvloed door een eindig aantal termen van die rij te schrappen, en de nummering te laten beginnen vanaf de eerste niet geschrapte term. Dit gebeurt doorgaans stilzwijgend.2 3 Modelvoorbeeld 2. Vermeld bij elke rij of ze convergeert, divergeert naar ±∞ of divergeert. Geef ook telkens de limiet van de rij (indien ze bestaat). Maak gebruik van je grafische rekenmachine. (a) (an ) = 2, 2, 2, . . . (d) dn = (−n)n (b) (bn ) = 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . (e) en = 17 + (c) cn = 1 − 5n2 (f) (fn ) = −1032 , 1016 , −108 , 104 , −102 , . . . 1 n−3 Oplossing. In de vorige modelvoorbeelden kwamen rijen aan bod die een bijzondere eigenschap vertonen. Hieronder benoemen we enkele van die veelvoorkomende kenmerken. 3 Definities (bijzondere rijen). (1) Een constante rij is een rij (un ) waarbij elke term gelijk aan de volgende term is: u1 = u2 = u3 = . . . (2) Een (monotoon) stijgende rij (resp. (monotoon) dalende rij) is een rij (un ) waarbij elke term kleiner dan of gelijk aan (resp. groter dan of gelijk aan) de volgende term is: u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ . . . resp. u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ . . . (3) Een strikt stijgende rij (resp. strikt dalende rij) is een rij (un ) waarbij elke term kleiner dan (resp. groter dan) de volgende term is: u1 < u2 < u3 < . . . resp. u1 > u2 > u3 > . . . (4) Een wisselrij is een een rij (un ) waarbij de termen afwisselend positief en negatief zijn: u1 ≥ 0, u2 ≤ 0, u3 ≥ 0, . . . u1 ≤ 0, of u2 ≥ 0, u3 ≤ 0, . . . (5) Een naar onder begrensde rij is een rij (un ) waarvoor er een A ∈ R bestaat die kleiner dan elke term is: A < u1 en A < u2 en A < u3 en . . . (6) Een naar boven begrensde rij is een rij (un ) waarvoor er een B ∈ R bestaat die groter dan elke term is: u1 < B en u2 < B en u3 < B en . . . (7) Een begrensde rij is een rij (un ) die zowel naar boven als naar onder begrensd is, dus waarvoor er A, B ∈ R bestaan zodat elke term groter dan A en kleiner dan B is: A < u1 < B en A < u2 < B en A < u3 < B en . . . 1 heeft de rij met algemene term en = 17 + n−3 geen term die met n = 3 overeenkomt: de opeenvolgende termen hebben dus niet de rangnummers 1, 2, 3, . . . maar 4, 5, 6, . . .. Wil men toch het eerste rangnummer kenbaar maken, dan doet men dat met de notatie (en )n≥4 . 2 Zo VI-23