Issuu

Preludium

V jedné scéně z amerického politického seriálu Západní křídlo zírají dva vysoce postavení vládní poradci nevěřícně na slide v prezentaci. Skupina kartografů se jim snaží vysvětlit, že mapa světa, ta mapa, kterou celý život znají a jíž věří, je jen jednou z mnoha verzí. A ob sahuje chyby. „Chcete říct, že ta mapa je špatně?“ ptá se poradkyně nedůvěřivě. Žádná mapa naší planety není přesná: není to prostě matematicky možné. Povrch koule se do dvojrozměrné kresby bez zkreslení pře nést nedá. Jenže, jak vysvětlují kartografové, mapa, na kterou se právě dívají, propaguje eurocentrický pohled na svět. Evropa se na ní zdá být větší než Jižní Amerika, která je přitom dvojnásobná. Německo je ve středu mapy, i když se ve skutečnosti nachází v nejsevernější čtvrti ně zeměkoule. Naše představa světa je permanentně zkreslená. Mapu nakreslil vlámský kartograf Gerhard Mercator v 16. století. Původně byla určena námořníkům plujícím přes oceány, ne exper tům zabývajícím se geopolitikou. Předávala se z generace na generaci, upevňovala si pozici dominantní mapy a vštípila lidem na celé planetě iluzi, že svět vypadá právě takto, i když se jedná pouze o jednu z per spektiv. Obdobně se to má s dějinami matematiky. Navzdory své pověs ti studia základních pravd, tvrdých výpočtů a nezpochybnitelných důkazů matematika neunikla vlivným jedincům a strukturám, kte ré utvářely moc a vědění. Ani zdaleka ne: za svou tisíciletou historii nasbírala celou řadu předpojatých hledisek – od oslavování určitých matematik a matematiků po narativy o svém vzniku. Je načase tento vzorec přezkoumat a převyprávět. 7

TAJNÉ ŽIVOTY ČÍSEL

The Secret Lives of Numbers

Mercatorovo The Mercatorzobrazení. projection.

The Secret Lives of Numbers

Když jsme se my dva, Kate a Timothy, poprvé setkali, abychom Fig_00.01in Charing Cross, London, we talked about our shared love bookshop prodiskutovali společný knižní projekt, nečekali jsme tento výsledek. of mathematics and agreed that we should write an approachable hisV knihkupectví v londýnském Charing Crossu jsme upíjeli čaj, pro tory of the subject. Drawing on Kate’s expertise as a mathematical bírali svou společnou lásku k matematice a shodli se, že bychom měli historian and Timothy’s mathematical and journalistic credentials, we sepsat její srozumitelné dějiny. Vzhledem k odbornosti Kate coby thought it would be straightforward. historičky matematiky a Timothyho renomé matematika a novináře We were wrong. The more we delved into the history of mathjsme měli za to, že to půjde hladce. ematics, the more we uncovered about the way it has been distorted. Mýlili jsme se. Čím hlouběji jsme se do dějin matematiky nořili, And the more we felt compelled to do something about it. tím jasnější nám bylo, jak byla a je zkreslována. A tím více nás lákalo The origins of mathematics are beautifully varied. Rather than něco s tím udělat. ideas springing up in one location, variations have often appeared Kořeny matematiky jsou úžasně rozmanité. Myšlenky se nevy throughout history, demonstrating just how powerful the human líhly všechny jednom místě, spíšeignore se mnohdy jedná o variace ob propensity to na reason really is. Ideas national borders, so often jevující se napříč dějinami, cožone ukazuje, jakanother mocné je lidské tíhnutí mathematics has spread from place to alongside trade and cultural exchange. However, the progress of mathematics is not 8

Preludium

k rozumu. Myšlenky často ignorují státní hranice, a tak se matematika šířila z místa na místo společně s obchodem a kulturní výměnou. Vý voj matematiky však není lineární. Postupoval kupředu a zase zpátky, hopkal sem a tam po celé zeměkouli, občas odbočil na jinou kolej, vy dal se za dobrodružstvím a někdy také skončil ve slepé uličce. A o to vše je bohatší. Věda, která se údajně vyznačuje logickými postupy, je ve skutečnosti mnohem chaotičtější. Toto však není konvenční příběh matematiky. Vavříny tvůrců moderní matematiky si většinou odnášejí staří Řekové, přitom však spousta součástí globálního vědění pochází z jiných míst, včetně staro věké Číny, Indie a Arabského poloostrova. Názor, že evropské rovná se nadřazené, nepochází z matematiky, nýbrž ze staletí západního im perialismu – přesto matematiku infiltroval. Matematika mimo staré Řecko je často odsouvána na okraj coby „etnomatematika“, jako kdy by se jednalo o zcela oddělené téma, vedlejší zápletku opravdových dějin. Naše prokousávání tisíciletími matematiky tak či onak zpochyb nilo téměř všechno, co jsme znali. Některé slavné příběhy se ukázaly být klamné a jiné zcela vymyšlené a mnoho matematiků a matematik historie neprávem opominula. Na následujících stránkách poodhalí me, jak byly dějiny matematiky překrouceny. Přitom je matematika příběhem skutečně globálního úsilí. Zabývá se teoriemi a zjišťováním, jak tyto teorie promýšlet až do důsledku. Diverzita myšlení je v mate matice více než důležitá, je naprosto zásadní. Podívejte se třeba na kalkulus. Tato matematická teorie sloužící popisu a výpočtu proměny v čase je jedním z nejdůležitějších a nej užitečnějších výdobytků v lidských dějinách. Je zásadní pro technické obory – nemohli bychom bez něj správně postavit mosty či rakety – a k lepšímu porozumění světu jej využívá téměř každý vědecký obor. Je nepostradatelný pro nespočet zásadních aspektů našeho současného života. Kdo si tedy za kalkulus připisuje zásluhy? Obvykle se traduje, že anglický matematik Isaac Newton a německý matematik Gottfried Wilhelm Leibniz v 17. století zhruba ve stejnou dobu nezávisle na 9

TAJNÉ ŽIVOTY ČÍSEL

sobě vyvinuli své vlastní verze kalkulu. To je sice pravda, mít pouze tuto informaci je však podobné jako dívat se na Mercatorovu mapu – jedná se o zkreslený pohled. Myšlenku kalkulu si mohl už o mnoho dříve nárokovat někdo jiný. Škola v indické Kérale byla ve 14. století tavicím kotlíkem ma tematiků. Její zakladatel Madhava ze Sangamagramy byl brilantní středověký matematik a mezi jeho úspěchy patří právě i popis teorie kalkulu. Zkoumal klíčové myšlenky, ze kterých kalkulus vyplývá, a ty posléze vybrousili další matematici kéralské školy. Jeho teo rie nebyla ucelená ani bezchybná, tak to ale s novotami bývá vždy. Mnoho prvních žárovek se vypálilo příliš brzy a sklo černalo kvůli chybě designu, přesto Thomase Edisona stále právem pokládáme za autora tohoto vynálezu 19. století. Je načase přiznat zásluhy i Mad havovi. Pro jakékoli dějiny matematiky jsou stěžejní myšlenky; nemůže me je však oddělit od jejich autorů. Abychom opravdu ukázali původ matematiky, musíme se podívat i na původ matematiků. Někteří věd ci figurující v této knize nebyli pouze obdivuhodnými matematiky, ale podíleli se také na boření hranic, aby z matematiky udělali inklu zivnější a globálnější obor. V této knize dáváme těmto zapomenutým matematikům prostor, vysvětlujeme, jak zapadají do většinového na rativu, a zároveň korigujeme nepřesnosti a nepravdy. Významní lidé, kteří neodpovídali přijímané představě matematika, byli utlačováni nejen za svého života, ale dosud čelí neustálým útokům historiků a komentátorů. Tak například Sofie Kovalevská*, která se narodila v Moskvě v roce 1850 těsně před vypuknutím krymské války. Celý život ji okolí od razovalo a zakazovalo jí zabývat se matematikou. Otec jí odepřel pří stup k řádnému vzdělání v přesvědčení, že mít učenou dceru by pro něj byla ostuda. Byl to v té době rozšířený názor. Navzdory tomu se matematice věnovala a svým výzkumem si s přehledem vysloužila *

Její jméno má mnoho různých transkripcí, v ČR se užívá také Sofia, Sofja, ale dokonce i Soňa Kovalevská (pozn. překl.).

Preludium

doktorát. Kvůli jejímu pohlaví ji však mnoho univerzit nenechalo při stoupit k doktorské zkoušce. Díky neskutečné odhodlanosti nakonec získala místo na Stock holmské univerzitě a stala se první profesorkou matematiky na světě. I tehdy však její profesura zůstala neplacená – aby měla na živobytí, musela osobně vybírat peníze od studentů. Některé současníky pobu řovalo, že takové pozice vůbec dosáhla. Oslavovaný dramatik August Strindberg popsal existenci ženy-profesorky jako „zhoubný a nepří jemný jev“.1 Po smrti Kovalevské její odkaz překroutili životopisci, kteří se při líčení jejího příběhu častěji soustředili na genderové stereotypy než na fakta z jejího života. Byla výjimečnou matematičkou, přesto ji zobrazovali spíše jako jakousi femme fatale, která se spoléhala na svůj vzhled a kouzlo, aby se vydrala výš, i když tomu nic nenasvědčuje. Je čas učinit přítrž špinění Kovalevské i dalších. Jsme přesvědčeni, že je důležité převyprávět příběh matematiky, doufáme ale i v jiný výsledek. Matematika je už tisíce let plná fasci nujících postav. Je to obor hledající pravdu, jehož způsoby uvažo vání otevírají oči, a matematické věty nám umí vyrazit dech. Je to tvůrčí činnost, která rozhodně nepostrádá vášeň. Jak jednou prohlá sila Kovalevská: „Je to věda, která vyžaduje velkou představivost.“2 Dějiny matematiky jsou ságou nejvyššího kalibru, kterou si nechce te nechat ujít. Žádná kniha nemůže sama o sobě napravit všechna příkoří nebo odvyprávět skutečně kompletní dějiny, ale stejně jako může nová mapa změnit náš pohled na svět, může nově pojatá historie dokázat to též. V naší knize vyprávíme historii skutečné matematiky – nádherně chaotické a kooperativní. Matematika současnosti je obdivuhodnou fúzí konceptů ze všech koutů světa, jejichž průkopníky byla skupina matematických bořičů hranic, kteří nedbali na omezení, jež jim spo lečnost kladla kvůli jejich rase, genderu nebo národnosti. Matematika je obor s bohatou a různorodou historií. Je načase ji vyprávět.

1. KAPITOLA

Na počátku

Náš druh Homo sapiens existuje už 300 000 let, ale matematika je podle všeho relativně nedávným vynálezem. Mnoho artefaktů se ztratilo nebo jednoduše nedochovalo, takže nemáme úplnou představu. Prv ní stopy matematické činnosti u lidí se začínají objevovat před zhruba 20 000 lety ve formě vroubků vyškrábaných do zvířecích kostí. Jednou z nejstarších a nejznámějších vrubovek je kost z Ishanga, která byla nalezena na hranici dnešní Ugandy a Demokratické repub liky Kongo a pochází z let 20 000–18 000 př. n. l. Jedná se pravděpo dobně o stehenní kost paviána, i když může pocházet také z vlka nebo podobně velkého zvířete. Na jejím horním konci je připevněn kousek křemene, který nejspíš sloužil jako rycí nástroj. Po délce kosti jsou ve třech sloupcích vyryté vroubky. Ty mohly sloužit pro lepší úchop, mohou však znamenat i něco víc. Značky v prvním sloupci dávají dohromady součet 48, ve druhém a třetím sloupci pak 60. V každém ze sloupců se značky objevují v sé riích, přičemž třetí je z nich nejzajímavější. Šedesát zářezů je zde rozdě leno na skupiny po 11, 13, 17 a 19. To jsou prvočísla – tedy čísla dělitel ná pouze jedničkou a sebou samými. Prvočísla jsou bezpochyby jedněmi z nejdůležitějších čísel. Jak objeví pozdější matematici, právě z nich se stávají všechna ostatní čísla. Vidět je zde, vyřezaná před více než dvace ti tisíciletími, je jako přijmout vzkaz od mimozemšťana. Je to radostné a překvapivé – pochopit význam tohoto vzkazu však není jednoduché. Tyto matematické vzorce mohly vzniknout pouhou náhodou, zároveň však možná ukazují na číselnou důmyslnost našich dávných 13

its length are three columns populated with tally marks. The scratches may be there simply for gripping the tool, but there may also be more TAJNÉ ČÍSEL to themŽIVOTY than that.

Ishango bones (front and back). Kosti z Ishanga (zepředu a zezadu).

předků. Čísla 48 a 60 se rovnají 4 × 12 a 5 × 12, což naznačuje, že řezbáři měli svůj číselný systém postavený na čísle 12 (nikoli na čísle 10 jako dnes my). Jedna z nejstarších známých číselných soustav má jako základ číslo 60, takže tato teorie nepostrádá věrohodnost. Další hypotéza navrhuje, že kost byla šestiměsíčním lunárním kalendářem, kde vroubky představovaly fáze Měsíce. Ve dvacátém století přišla matematička Claudia Zaslavsky s myšlenkou, že kost mohla užívat žena ke sledování menstruačního cyklu. Další rozumné hypotézy jsou určování vhodné doby k setí semen či říčních záplav. Podobné kosti byly nalezeny jak v dalších částech Afriky, tak na jiných světadílech. Po desítky tisíc let už je tak počítání zřejmě nedílnou součástí lidské existence. Úplně nejranější dochované známky matematiky se kosti z Ishan ga velice podobají. Tyto památky patrně ukazují ohromný skok v koncepčním myšlení našeho druhu, okamžik, kdy jsme začali uva žovat v matematické abstrakci – anebo to jsou prostě jen rýhy. Frag menty starověkých monumentů či keramiky mají často propracované 14

Na počátku

geometrické vzory; znamená to, že jejich tvůrci chápali potřebné po čty, nebo se jim ty vzory prostě líbily? První počítání, které náš druh vyvinul, se pravděpodobně nedocho valo v zápisu a nezbyla po něm žádná hmatatelná stopa. O mnoho sou časnější důkazy ukazují, že hluboké porozumění matematice se může rozvinout i výlučně pomocí řeči. Západoafrická etnická skupina Akanů měla třeba propracovaný soubor matematických nástrojů pro počítá ní měr a vah, který se předával ústně. Orální povaha jejich početního systému byla ideální pro obchodování s arabskými a evropskými ob chodníky od 15. do konce 19. století. Také to ovšem znamenalo, že bě hem staletí zaoceánského obchodu s otroky tento systém zanikl. Když se vědci v roce 2019 s pomocí několika málo artefaktů dochovaných v muzeích pokusili jej zrekonstruovat, jeho velkolepost na ně udělala takový dojem, že pro něj navrhli status světového dědictví UNESCO. V tomto případě byl daný systém používán až do relativně nedávné doby a některé artefakty se dochovaly, existovalo ale pravděpodobně o mnoho více orálních matematických systémů, které už pohřbil čas. Počítání se svými důsledky bylo pravděpodobně integrální součástí mnoha společenství a civilizací, které nikdy nepocítily potřebu si co koli matematické povahy zapisovat. Anebo ji měly, ale všechny stopy jsou již ztraceny. První chvíle matematiky jsou velmi mlhavé a zůsta ne to tak už navždy. S příchodem psaného jazyka a zrozením největ ších civilizací světa se nám obraz začíná vyjasňovat.

U řek babylonských Mezi řekami Eufrat a Tigris leží pás úrodné půdy, domov mnoha vel kých starověkých civilizací. Řeky pramení odděleně v dnešním Tu recku a meandrují novodobým Irákem, Sýrií a Íránem, načež se vléva jí do Perského zálivu. Společně tvoří přirozenou hranici oblasti kdysi známé jako Mezopotámie. V roce 3000 př. n. l. zde už prosperovala sumerská civilizace. Su merové postavili spletitá města s rozvinutými zavlažovacími systémy. 15

TAJNÉ ŽIVOTY ČÍSEL

Měli také jeden z prvních právních systémů, který znal soudní dvory, věznice a vládní záznamy. Vyvinuli nejstarší známý systém zápisu, klínové písmo – potřebné právě pro ony záznamy –, a navrch ještě početní systém. Zřídili dokonce i poštovní službu. V následujícím tisíciletí se dominantní silou v této oblasti stali Akkadové. Přinesli své vlastní technologie včetně abaku – nástroje, který vynalezli. (Fungoval trochu odlišně od pozdějších verzí, napří klad čínského počítadla.) Jejich říše se postupně rozpadla a zbyly po ní dvě rozdílné akkadsky hovořící skupiny: Asyřané na severu a Babylo ňané na jihu. Oba národy vystavěly vlastní ohromnou civilizaci, právě na jihu ale matematika skutečně výrazně pokročila.

Kaspické moře

TURECKO

Střed ozem ní m oře

Teherán

SÝRIE

ÍRÁN

Damašek

Bagdád

IRÁK

JORDÁNSKO

100 100

200

250 mil

SAÚDSKÁ ARÁBIE

KUVAJT

Pe rsk

300 km

Mezopotámie se rozprostírala na území dnešního Iráku a části Sýrie. Babylonie byla akkadsky hovořící zemí ve středojižní části Mezopotámie, jejím hlavním městem byl Babylon.

v áli ýz

Na počátku

Hlavním městem Babylonie byl Babylon, který ležel asi 100 km na jih od dnešního Bagdádu. Pod vládou krále Chammurapiho, který vládl přibližně v letech 1792–1750 př. n. l., se Babylonie stala silou, se kterou bylo nutno počítat. Král ovládl několik městských států v re gionu, což učinilo z Babylonie nesmírně bohatou a mocnou říši. To poskytlo stabilitu a zdroje potřebné k tomu, aby se matematická ko munita rozvíjela a prosperovala. Dodnes se dochovala rozsáhlá sbírka hliněných tabulek se zázna my mnoha detailů o tehdejší Babylonii. Písaři vyryli to, co chtěli za znamenat, špičatým dřívkem do vlhké hlíny a pak ji nechali vysušit na slunci. Tyto tabulky byly pro Babyloňany tím, čím jsou pro nás papíry a excelové tabulky – zásadními nástroji pro vedení záznamů. Takto byl zaznamenán i Chammurapiho právní systém známý jako Chammurapiho zákoník, který sestával z 282 psaných zákonů a ob sahoval jeden z nejstarších příkladů presumpce neviny – i když vaše vina závisela na tom, zda jste byli majetnou osobou, svobodným člověkem, nebo otrokem. Tabulky obsahují též záznamy transakcí či různá vyprávění, včetně mýtů o stvoření, a sloužily i pro předá vání zpráv. Jedna z dochovaných tabulek je vlastně nepříznivou recenzí. Po chází z doby okolo roku 1750 př. n. l. a jejím autorem je nespokojený zákazník jménem Nanni, který se domluvil s obchodníkem Ea-nasi rem, že si od něj koupí měděné ingoty. Když ingoty dorazily, Nanni mu se nezdály. Ve své stížnosti napsal, že není s mědí spokojen a ob chodník byl navíc při uzavírání obchodu hrubý na jeho služebníka. Vyrýt a vypálit takové hodnocení do formy, která přetrvá tisíce let, je nejlepší ukázkou spotřebitelské síly.* Babyloňané používali matematiku k mnoha praktickým účelům, včetně dělení pozemků a výpočtu daní. Někteří písaři zaznamenávali výnosy a rozpočty, čímž se obeznámili s čísly. Naneštěstí nebylo zvy kem se podepisovat, takže o jednotlivých matematicích z této doby *

Nemusíme dodávat, že pokud budete chtít využít svou spotřebitelskou sílu k tomu, abyste vypálili pochvalnou recenzi na tuto knihu, my i budoucí archeo logové vám budeme velice vděčni.

system. Below are the cuneiform symbols they used to represent the numbers 1 to 59:

TAJNÉ ŽIVOTY ČÍSEL 1

1221

The 24 Secret 25 Lives of 26 Numbers 27

system. Below are the cuneiform symbols they used38 to represent the 31 32 33 34 35 36 37 39 40 numbers 1 to 59: 41 1

42 2

43 3

51 11

52 12

21 31

44 4

48 8

49 9

50 10

58 19

59 20

klínovým27písmem.28 23 Babylonské 24 číslice 25zapsané26

45 5 54

46 6 55

47 7 56

Babylonian cuneiform numerals. 34

téměř nevíme. Někteří zcelawas jistěastudovali Secret Lives of Numbers Thenic Babylonian numberale system positionalmatematiku system like syste ours, Fig_01.03 maticky, zabývali se tématy, jako je algebra, a odkryli i slavnou větu 41 42that the 43 order 44 the numbers 45 46are written 47 48 tells 49 50 meaning in you someothing trojúhelnících, jež obvykle nese jméno Pythagora (který žil až mno about the amounts they represent. For example, when we write hem později). Dokázali druhou odmocninu dvou 51 number 52 271, 54 55 56 57 that 58 59 the it53is withtaké the vypočítat implicit understanding the ze number sfurthest přesností na šest desetinných míst. to the right represents one unit, then, moving towards the Tehdejší početní systém od Sumerů byl šedesátkový – left, there are seven tens andpocházel two hundreds. Or, ina numbers v jeho základu bylo číslo 60. Naše preference dělit kruh na 360 stupňů Babylonian cuneiform numerals. 2 1 a hodinu na 60 minut dědictvím systému. ×10 ) + 271 = (je2× 10 ) + (7tohoto (1×100 Výše ) vidíte sym boly, které v klínovém písmu představovaly čísla od 1 do 59.like ours, Secret Lives of Numbers The Babylonian number system was a positional system Fig_01.03 Babylonská číselná byla,positions stejně jako tainnaše, což Similarly, Babylonians used to represent powers of meaning thatthe the ordersoustava the numbers are written tellspoziční, you someznamená, pořadí napovídá představují. Když 60, soabout 271že could be čísel expressed as hodnotu, thing the amounts they represent. For kterou example, when we write kupříkladu číslothe 271, implicitně chápeme,that že číslo nejvíce the number zapíšeme 271, it is with implicit understanding the number 1 0 napravo představuje 1 jednotku, nalevo od něj následuje 7 desítek 60 )moving towards = (4×60 (31×then, furthest to the right 271 represents one)× unit, the aleft, 2 stovky. Číselně vyjádřeno there are seven tens and two hundreds. Or, in numbers Or, in cuneiform 271 = (2×102 ) + (7×101 ) + (1×100 ) Similarly, the Babylonians used positions to represent powers of 60, so 271 could be expressed as Secret Lives of Numbers 271 = (4×601 )×(31×600 )

Fig_01.06 Or, in cuneiform

left, left, there there are are seven seven tens tens and and two two hundreds. hundreds. Or, Or, in in numbers numbers 2 1 0 271 = (22× ×10 + (77× ×10 + (11× ×10 271 = 102 ) + 101 ) + 100 )

Na počátku

Similarly, the Babylonians used positions to powers of Similarly, Babylonians usedpozice positions to represent represent powers of Podobněthe i Babyloňané užívali k vyjádření mocnin 60, takže 60, so 271 could be expressed as 60, so 271 could be expressed as 271 mohlo být vyjádřeno jako 271 = 6011 )× 31× 6000 ) 271 = (44× ×60 ×(31 ×60 Or, in Případně v klínovém zápisu Or, in cuneiform cuneiform In the Beginning In Beginning the In Beginning the Beginning In the

13 13 13 13

In the Beginning 13isours Babylonská číselná soustava sesystem odsystem té system naší lišídiffers nejvíce tím, žeours neob Where the Babylonian number system differs most from Where the Babylonian number differs most from Where the Babylonian number most from is is Where the Babylonian number differs most from ours isours sahuje nulu pravá seazero ažwould mnohem později. To zname it–no had zero –objevila azero true zero would not arise until much later. that itthat had zero –true a–true would not arise until much later. itnohad no zero true zero not arise until much later. that it that had zero –no anula would not arise until much later. Secret of Numbers WhereLives the Babylonian number system differs most from ours is Secret Lives of Numbers This meant that Babylonians would often to zwork out the ná, že Babyloňané museli hodnotu čísla často odhadnout kontextu. This meant that Babylonians would often have tohave work out the size This meant that Babylonians would often have to out work out the sizesize This meant that Babylonians would often have to work the size that it had no zero – a true zero would not arise until much later. Fig_01.06 Fig_01.06 of a number from context. If they saw the cuneiform symbol for Pokud by například uviděli klínový symbol pro číslo 42, museli by aofnumber from context. If they saw the cuneiform symbol 42,42,42, a number from context. Ifsaw they the cuneiform symbol of aofnumber from context. If they thesaw cuneiform symbol for for 42,for This meant that Babylonians would often have1 to work out the size 2 for instance, they would have to infer whether that meant instance, would have to infer 42,42,42, odvodit, zda máwould vyjadřovat 42, nebo 42 ×whether 60whether , nebo 42 ×meant 60meant , nebo for instance, they would have to infer that forsifor instance, theythey have to infer whether thatthat meant 42, of a number from context. If they saw the cuneiform symbol for 42, 42 42 42 42 42 1 2 2 42 1 2 42 1 2 42 or 42 ×1× 60 ,× or60 42 60 , ,or ,,or name just a few ofmnoha the options. or× 42 × nebo nebo ,name atoto jen několik ,60 or 42 ,× or ,name to2 ,name just a few of the options. ,or12,,or or 42 × or 42 60 ,they or60 42 × 60 ,,or to just a few of zthe options. ,60 or 42 , would or ,nebo just aje few of the options. ,or for instance, have to 1to 2 whether that meant 42, 2 infer 60 601 601 60 60 60 60 60 42lead 1 this 2 sometimes Though this did lead toname mistakes, astak unreasonable Though sometimes to42 mistakes, it’s not as not unreasonable Though did sometimes to, to mistakes, it’s not as Though this did sometimes lead tolead mistakes, it’sknot asa it’s unreasonable as as as as or 42 × 60this ,Ačkoli ordid 42 × 60 , orpostup just few of unreasonable the options. možností. tento občas vedl chybám, není nero 1 ,,or 2 60 60 itfirst may first seem. Ifheard you heard someone that a někdo house costs ‘300’ it may seem. If you someone say that a house costs ‘300’ of itfirst may first seem. If you heard someone that a costs house costs of of it may seem. If you heard someone say thatsay a say house ‘300’ of‘300’ zumný, může na první pohled zdát. Pokud řekne, Thoughjak thissedid sometimes lead to mistakes, it’s notvám as unreasonable as a stojí particular currency, depending on in the world you are a particular currency, depending where in the world you are you a particular currency, depending where in the world you are youyou a particular currency, depending on on where in where the world you are you že dům „300“ v určité v on závislosti tom, ve které části it may first seem. If you heardměně, someone say thatna a house costs ‘300’ of could probably work out if it meant 300; 300,000; 3 million; or could work out ifmeant itifmeant 300,000; 3 million; or more. could probably work out it meant 300; 300,000; 3 million; or more. could probably work out if itbyste 300;300; 300,000; 3 million; orjedná-li more. světa seprobably právě nacházíte, se pravděpodobně se more. a particular currency, depending on where in thedovtípili, world you are you Base60 may initially seem complicated compared to10, baseBase60 may seem complicated compared to basebut it but Base60initially may initially seem complicated compared to10, base10, but it it 60 may seem complicated compared to basebut it 10, oBase300, 300 000, 3initially miliony, víc. could probably work out if nebo it meant 300; 300,000; 3 million; or more. gave the a mathematical edge. The number a superthe Babylonians a mathematical edge. The number a60 gave the Babylonians a mathematical edge. The number 60 issuperaissupergavegave the Babylonians mathematical edge. The number 60 is60a is superZáklad seBabylonians ve asrovnání základem 10compared může zdát Base6060 may initially seemsecomplicated to složitý, base-10,ale butdal it ior highly composite number, meaning that it has many factors ior highly composite number, meaning itje has many factors ior highly composite number, meaning it has many factors iorBabyloňanům highly composite number, meaning thatthat it60that has many factors – it– it– it– it matematický náskok. Číslo vyšší vysoce gave the Babylonians a mathematical edge. The number 60 is asložené supercan bebydivided 1, 2, 3, 4,10, 5, 6, and 60. This makes can becož divided by2,1, 3,2, 6,5, 12, 15, 20, 3020, and 60. This makes beznamená, divided by3,2,by 1,4, 6, 10, 12, 15, 20, 30 and 60. This makes cančíslo, be can divided 1, 5,4,3, 6,5,4, 10, 12, 15,10, 20,–12, 3015, and 60.30 This makes má mnoho dělitelů jej dělit čísly ior highly compositeženumber, meaning thatmůžeme it has many factors – 1, it it to with, work with, particularly when writing fractions. it easy to work particularly when writing ittoeasy towith, work with, particularly when writing fractions. it easy work particularly when writing 2, 5,easy 6, 10, 60. Proto sefractions. s fractions. ním can3,be4,divided by12, 1, 2,15, 3, 20, 4, 5,306,a10, 12, 15, 20, 30 andsnadno 60. Thispracuje, makes Recall that just as positions left apoint decimal point Recall that just aszlomků. positions going left from afrom decimal point rep-rep-repRecall that just as positions going left a decimal point Recall that just as positions going leftgoing from afrom decimal repobzvláště při zápisu it easy to work with, particularly when writing fractions. resent units, tens, hundreds, and so on, when going right after resent units, tens, hundreds, and so on, when going right after the resent units, tens, hundreds, and so on, when going right after thethe resent units, tens, hundreds, and so on, when going right after the Uvědomte si, žeas stejně jakogoing pozice desetinné Recall that just positions leftnalevo from aod decimal pointčárky repdecimal point they represent tenths, hundredths, thousandths, decimal point they represent tenths, hundredths, thousandths, soand decimal point they represent tenths, hundredths, thousandths, so so decimal point they represent tenths, hundredths, andand so and představují desítky, stovky a tak dále,thousandths, napravo od desetinné resent units,jednotky, tens, hundreds, and so on, when going right after the on. The number is really shorthand for on. The number 0.347, say, is say, really shorthand on. The number 0.347, say, is shorthand really shorthand forNapříklad on.čárky The number 0.347, say,0.347, is really for for představují a tak dále. číslo decimal point theydesetiny, representsetiny, tenths,tisíciny hundredths, thousandths, and so 0,347 je zkrácený zápis tohoto on. The number 0.347, say, is really shorthand for 0 0 30 03 43 34 74 47 7 7 0,347 = +10 +01 +21 +12 + + +23 +3 3 0,347 = 0,347 = +0 = 0,347 10 10 103210 10 10 10 10010 10 10 0 3 4 7 10 0,347 = 0 + 1 + 2 + 3 10 10 1 1101 110 In this decimal, isaswritten Now take the fraction In. decimal, this is this written as as as Now take the fraction In. decimal, this is written Now take the fraction . In. decimal, is written Now take the fraction 3 3 3 3 1 Now take the fraction 0 . 0In decimal, 3 3is written 33 3 3 as 30 03 3 this 3 … 0,333 0,333 … = +++ ++ + 0,333 … = ++ 0,333 … = += 0

0 1 10 21 10 10 2 3210 310310 10 10010 0 1019 3 10 3 10 10 3 0,333… = 0 + 1 + 2 + 3 10 10 10 10

on. The number 0.347, say, is really shorthand for 0 3 4 7 0 30,347 3 = 4 0+ 7 1+ 2+ 3 0 4 7 + + + 10 0,347 TAJNÉ ŽIVOTY ČÍSEL 10 10 == 0 + ++ 3 10 0,347 0 3 1 1 2 2 1010 1010 1010 1010 1

Now take 1 the fraction . In decimal, this is written as 3this . In decimal, written as Now take fraction Nyní si vezměte zlomek1 . In Vdecimal, desetinné soustavě hoas zapisujeme this is is written Now take thethe fraction 3 3 0 3 3 3 0 0,333 3… = 3 0+ 3 1+ 2+ 3 0 3 3 3 0,333 + + + 10 10 10 …… == 0 + ++ 3 10 0,333 0 3 1 1 2 2 1010 1010 1010 1010

We’re used to soustavě writing azapisovat third liketřetinu this in takto, decimal that its recu Jsme natolik zvyklí v so desítkové We’resosoused usedtotowriting writinga third a thirdlike likethis thisinindecimal decimalthat thatitsitsrecurrecurWe’re ring natureseseems normal, but it issea ale quirk of our number system. že její opakující se povaha zdá normální, jedná o zvláštnost ringnature natureseems seemsnormal, normal,but butit itis isa quirk a quirk ofour our numbersystem. system.It It ring comes from the that 10of cannot be divided 3. However, 60 ca naší číselné soustavy. Vychází ze fact skutečnosti, že 10number nelze dělit by třemi. comes from the fact that 10 cannot be divided by 3. However, 60 can. comes from the fact that 10 cannot be divided by 3. However, 60 can. 20 60 ovšem ano. Třetina je to samé jako , což znamená, že v šedesátmeaning that, in sexagesimal, it could sim A third20is 20the same as 60inin , meaning that, sexagesimal, could simthird same , Secret meaning that, sexagesimal, it it could simAA third is is thethe same as asThe60 14 Lives of Numbers 60 kové se dala prostě nebo jinak jako 14 soustavě by ply Secretzapsat Lives Numbers beThe written as .20ofjako or, in,20 other numbers: ply written other numbers: ply bebe written as as .20.20 or,or, inin other numbers: 1 0 20 1 = 00 + 201 = + 3 60 0 601 3 60 60 Protože je 60 vyšší vysoce složené se základem můžeme As 60 is a superior highly compositečíslo, number, there are60 more fracAs 60 is a superior highly composite number, there are more fracelegantněji vyjádřit více zlomků se základem tions that can be expressed nicelynež in base60 than 10. in base-10. tions that can be expressed nicely in base-60 than in base-10.

30 30

51 1 24 1 24 51

42 42

25 25

10 10 35 35

approximation Babylonský výpočet √2. VBabylonian šedesátkové soustavě vychází nafor 1 242. 2.51 10. V desítkové soustavě approximation for Secret Lives ofBabylonian Numbers 1 24 51 10. In sexagesimal, In decimal, approximately 1.414213. přibližně 1,414 213. Secret Lives of1Numbers 24 51 10. In decimal, approximately 1.414213. In sexagesimal,

Fig_01.10 Fig_01.10 The ancient Egyptians made similar advances around this time. The ancient Egyptians made similar advances around this time. From around 3000 bce, the people there had specific symbols to repFrom around 3000 bce, the people there had specific symbols to represent different numbers as part 20 of a base-10 system. A single line resent different numbers as part of a base-10 system. A single line represented the number 1, two lines the number 2, and so on, up to represented the number 1, two lines the number 2, and so on, up to

Na počátku

Staří Egypťané v této době učinili podobné pokroky. Zhruba od roku 3000 př. n. l. měli specifické symboly, které vyjadřovaly různá čísla desítkové soustavy. Jedna čárka představovala číslo 1, dvě čárky číslo 2 a tak dále, až do čísla 9. Čísla jako 10, 100, 1 000 a tak dále měla své zvláštní hieroglyfy a existovaly i symboly pro zlomky. K zápisu daného čísla staří Egypťané jednoduše zaznamenali správnou kombi naci hieroglyfů. Mnoho takových čísel obsahuje Rhindův papyrus*, rukopis, který zaznamenal písař jménem Ahmose. Tato nejstarší známá dochovaná učebnice matematiky obsahuje výjimečně působivý úvod: „Přesné počítání. Brána k poznání všech existujících věcí a všech ukrytých tajemství.“1 Ahmose rukopis sepsal okolo roku 1550 př. n. l. a tvr dí v něm, že při jeho sestavování používal texty vzniklé okolo roku 2000 př. n. l. Je obtížné si plně uvědomit, že matematika obsažená v tomto papyru je nejspíš nejméně čtyři tisíce let stará, zvláště když vezmeme v úvahu, že mnoho z obsahu textu připomíná matematiku, jak ji známe dnes. Učebnice obsahuje 84 matematických problémů a jejich řešení. Šest úloh se týká výpočtu sklonu pyramidy pomocí její výšky a šířky, přičemž řešení využívá úvahy příbuzné trigonometrii. Matematiku formují lidé, kteří ji tvoří, není tedy překvapením, že egyptští mate matici se zajímali o počty s pyramidami, když byli faraoni tak posedlí jejich výstavbou. Matematické myšlenky jsou však zároveň univer zální. Mnoho jiných kultur od starověké Číny po renesanční Evropu trigonometrii objevilo nezávisle, jen s rozdílnou motivací. Papyrus také obsahuje tabulky násobení a dělení, stejně jako návody, jak vy počítat objem a plochu. V nějaké formě se zde objevuje mnoho z na šich moderních konceptů a hypotéz týkajících se aritmetiky, algebry a geometrie. Myšlenky v Rhindově papyru se do jisté míry překrývají s těmi, které nacházíme na babylonských tabulkách. Tyto dvě civilizace měly *

Je pojmenován po britském archeologovi Alexanderu Henrym Rhindovi, který papyrus zakoupil kolem roku 1858. Z větší části je dnes uložen v Britském muzeu v Londýně.

TAJNÉ ŽIVOTY ČÍSEL

In the Beginning

100

1 000

10 000 100 000

15 106

276

Egyptské hieroglyfy číslic.

1 5

1 4

1 3

1 2

2 3

Hieroglyfy některých zlomků.

odlišné číselné soustavy, víru a kulturu, přesto ale objevily podobné written by a scribe called Ahmes. It is the oldest surviving mathematmatematické pravdy. Obecně se má za to, že to nebylo zapříčiněno ics textbook we know of and has this extraordinary opening: ‘Accurate přímou výměnou znalostí, ale prostě tím, že jejich učenci zkoumali Secret Lives The of Numbers reckoning. entrance into the knowledge of all existing things and základní matematické principy. 1 all obscure secrets.’ Ahmes wrote the manuscript in around 1550 bce Fig_01.11 and says that he used texts from around 2000 bce to put it together. That the mathematics it contains could be at least four thousand years Svitek pod paží old is hard to fully appreciate, especially considering that so much of what it contains resembles mathematics as we know it today. Na druhé straně Atlantiku se přibližně ve stejné době vyvíjela jiná The textbook contains eighty-four mathematical problems and civilizace; ta měla na matematiku rozdílný pohled, zrozený z astrono ways to solve them. Six of the problems are about calculating the mie. civilizace vznikla okolo 2600 př. ideas n. l. Nejednalo se slopeMayská of a pyramid from its height androku width using akin to trigoonometry. jednu říši,Mathematics ale spíše o soubor nezávislých vládců řídících městské stá is shaped by the people who develop it, so it ty sahajícím od dnešního Mexika po Honduras, které sdílely is na noúzemí surprise that Egyptian mathematicians were interested in the společnou kulturu, mytologii a kalendář. Měli chrámy přizpůsobené mathematics of pyramids when the pharaohs were so obsessed with pohybům Slunce, Měsíce a planet aideas stavěli městskéMany aglomera building them. But mathematical arerozlehlé also universal. other ce. Město Tikal v dnešní severní Guatemale mělo podle všeho okolo cultures independently uncovered the mathematics of trigonometry, padesáti tisíc obyvatel tři tisíce samostatných budov, paláců motia sva from ancient China toa Renaissance Europe, just with od different tyní po domy, obchodní a vodníand nádrže. Bylo to centrum vations. The papyrus alsokomplexy includes division multiplication tables, ekonomiky i náboženství, kde se ve velkém obchodovalo se vzácným as well as explanations of how to calculate volume and area. Many of zbožím, jako day je nefrit, peříand kvesalů kakao.arithmetic, Podobně jako jinéand ci our modernconcepts ideasčiaround algebra vilizace budovali proorsvé plodiny sofistikované zavlažovací geometry appear iinMayové one form another. There is some overlap between the ideas in the Rhind papyrus and 22

Na počátku

USA

MEXIKO

Tenochtitlán (Mexico City)

BELIZE GUATEMALA

HONDURAS

SALVADOR NIKARAGUA

Aztécká říše Mayská civilizace

0 100 200 300 400 500 mil 0

250

500

KOSTARIKA

750 km

Mayská civilizace. Oblast pokrývá jihovýchod dnešního Mexika, celou Guatemalu, Belize a západ Hondurasu a Salvadoru.

systémy. Vyvinuli také systém čištění vody na pitnou s využitím zeo litových minerálů, který se používá dodnes. Matematici byli natolik slavní a významní, že se objevovali na ná stěnných malbách, vyobrazeni se svitky pod paží. Přály jim některé rysy mayské kultury. Zaprvé, i když Mayové mluvili mnoha různými místními jazyky, měli pouze jedno písmo, složené z hieroglyfů pro slabiky a profilů božstev pro čísla (viz obrázek dále). Většina lidí ne byla gramotná, ale písaři mohli komunikovat bez ohledu na jazyk, kterým mluvili, pomocí hieroglyfických knih psaných na papír z lýka fíkovníků. Mayové měli i jinou početní soustavu, méně dekorativní a praktič tější. Užívala dva symboly: tečku a čárku. Tečka představovala číslo 1, čárka číslo 5. Mayská číselná soustava nebyla založena na čísle 10 či 60 23

TAJNÉ ŽIVOTY ČÍSEL

jako soustava desítková a šedesátková; byla dvacítková, tedy vystavěna na čísle 20. Jak přesně tento systém fungoval, musíme bohužel tak trochu há dat. Když španělští dobyvatelé v 16. století vtrhli do Mezoameriky, existovalo ještě mnoho mayských knih z lýka fíkovníku, ale katoličtí kněží mnohé z nich spálili ve víře, že obsahují „ďáblovy lži“. Navzdory tomu víme, že Mayové své číselné soustavy využívali velmi dobře. Pro mayské matematiky byla ústřední jejich role astro nomů. Měli za úkol plánovat posvátné rituály, aby se odehrávaly záro veň s událostmi na nebi. Mayové stavěli jednoduché, nicméně funkční observatoře, aby mohli předvídat změny ročních období a nejlepší čas pro setí plodin. I když budova sama vznikla až později, řada oken ob servatoře Caracol v Chichén Itzá v dnešním Mexiku poskytovala do konalý výhled na důležité astronomické děje, jako třeba západ Slunce při jarní rovnodennosti. Pozůstatky pracovny mayských písařů, známé jako Dům kalen dářů, nám ukazují, jak astronomové zaznamenávali data. Pracovna pochází z počátku 9. století n. l. a její zeď a strop jsou vyzdobeny pes trobarevnými malbami včetně několika lidských postav, čísly a glyfy. Zeď pravděpodobně sloužila jako tabule. Barevně ozdobené hierogly fy byly využívány pro kalendářní a astronomické výpočty. Pozůstat ky dvou početních tabulek ukazují pohyby Měsíce a možná i Marsu a Venuše. Mayští matematici-astronomové pocházeli z kasty kněžích a byli velmi vážení. Uměli přesně předpovídat zatmění Slunce, a dokonce se jim povedlo předpovědět zvláštní nebeský pohyb Venuše, který se opakuje vždy po osmi letech, zčásti kvůli tomu, že nám pohled na ni blokuje Slunce. Venuši vnímali jako společnici Slunce a dali jí jméno Chak Ek’ neboli Velká hvězda. Mayové neuvěřitelně přesně měřili pohyby Měsíce a hvězd; vypo čítali například, že 149 lunárních měsíců trvá 4 400 dní. V našem zá pisu by to znamenalo délku lunárního měsíce 29,5302 dne, v dnešní době jej počítáme jako 29,5306 dne. Obdobně délka roku jim vyšla na 365,242 dne; my ji dnes určujeme jako 365,242198 dne. 24

Na počátku 1

Hlavičkové varianty číslicových glyfů. 446

Secret Lives2 of Numbers 20

Fig_01.13

Mayské číslice a příklad sčítání (6 + 8 = 14).

TAJNÉ ŽIVOTY ČÍSEL

Maye poháněla touha lépe pochopit noční oblohu a její dopad na Zemi, což je motivovalo rozvíjet matematiku. Věřili, že ovládnutí astronomie povede k úspěchům v zemědělství. Podobný mechanis mus hnal kupředu matematický vývoj i v jiných částech světa, což začalo nejpozději rozvojem matematiky v Babylonii a pokračovalo v dalších tisíciletích. V Číně ovšem v matematice nešlo jen o deště a úrodu, ale také o pověření vládnout a o vůli nebes.