tvar M
atematici rádi komplikují zdánlivě jednoduché věci. Vlastně to máme v popisu práce. Vezmeme si něco, čemu každý jakžtakž rozumí, třeba symetrii nebo rovnost, a začneme to rozebírat na prvočástky a hledat v tom hlubší smysl. Tak třeba tvar. Všichni víceméně víme, co termín „tvar“ znamená. Například se podíváte na nějaký objekt a snadno poznáte, jestli je to kružnice, obdélník, nebo cokoli jiného. Oproti tomu matematik si bude pokládat otázky jako: Co to vůbec tvar je? Co způsobuje, že věci mají ten či onen tvar? Když se rozhodneme odlišovat předměty podle tvaru, přehlížíme tím jejich velikost, jejich barvu, jejich účel, jejich stáří, jejich hmotnost nebo třeba to, kdo je sem přinesl a kdo je má zase při odchodu odnést. Ale co nepřehlížíme? Co sdělujeme, když řekneme, že má nějaká věc tvar kružnice? Všechny tyto otázky jsou pochopitelně bezúčelné. Z hlediska praktického využití vám intuitivní chápání tvaru bohatě postačí – žádné významné rozhodnutí vašeho života nestojí a nepadá na přesné definici slova „tvar“. Jen je to zkrátka
13
Matematika.indd 13
20.03.2023 12:41:25
Topologie
zajímavá problematika, nad kterou se můžete zamyslet, když zrovna máte času nazbyt a chce se vám věnovat ho úvahám o tvarech. Dejme tomu, že přesně to je i váš případ. To si pak můžete položit třeba tuhle otázku:
Otázka je to jednoduchá, ale odpověď se na ni nehledá snadno. Přesnější a omezenější verze téhle otázky, které se říká Poincarého věta, koluje v matematických kruzích už víc než sto let, a pořád nevíme o nikom, komu by se ji podařilo vyřešit. Pokoušela se o to už spousta lidí a jeden profesionální matematik nedávno vyhrál milion dolarů za rozluštění výrazné části problému. Pořád však zbývá spousta nespočítaných kategorií tvarů a naše celosvětová komunita dodnes tak docela neví, kolik tvarů existuje. Pojďme se přesto pokusit najít odpověď. Kolik tvarů existuje? Jelikož nic lepšího nás nenapadá, zkusíme prostě jenom tak začít kreslit tvary. Uvidíme, k čemu se dobereme.
14
Matematika.indd 14
20.03.2023 12:41:25
tvar
Zdá se, že odpověď na naši otázku bude záviset na tom, jak přesně se rozhodneme dělit věci do různých tvarových kategorií. Je velký kruh stejným tvarem jako malý kruh? Počítáme „klikyháky“ jako jednu velkou kategorii, nebo je musíme rozdělit podle toho, jak přesně se klikatí? K rozsouzení podobných otázek budeme potřebovat nějaké všeobecné pravidlo, aby otázka „Kolik tvarů existuje?“ nenarazila na to, že ji budeme posuzovat intuitivně případ od případu. Na výběr máme hned z několika pravidel, která nám rozhodování o tom, jaké tvary jsou stejné a jaké odlišné, můžou usnadnit. Třeba truhláři nebo inženýři mají ve zvyku používat velice striktní a přesné pravidlo, podle něhož jsou dva tvary
15
Matematika.indd 15
20.03.2023 12:41:26
Topologie
stejné, jen pokud se všechny jejich rozměry a úhly dokonale shodují. Takové pravidlo nás zavede k oboru matematiky zvanému geometrie, ve kterém jsou tvary pevné a exaktní a v němž se zaobíráme takovými věcmi, jako je rýsování kolmých přímek nebo výpočet plochy.
My potřebujeme něco trochu volnějšího. Snažíme se najít všechny možné tvary a nemáme čas probírat se tisíci různorodými variantami klikyháků. Sháníme pravidlo, které při rozhodování o podobnosti tvarů dokáže lehce přimhouřit oči, pravidlo, které rozdělí svět tvarů do použitelného počtu obecných kategorií.
Nové pravidlo Dva tvary jsou stejné, když jeden dokážeme proměnit v druhý pouhým napínáním nebo stlačováním – bez trhání a lepení.
Tohle pravidlo je středobodem oboru zvaného topologie, což je takový rozvolněnější, volnomyšlenkářský bratříček geometrie. V topologii jsou tvary tvořené tenkým pružným materiálem, který se dá donekonečna napínat, kroutit a hníst jako žvýkačka nebo těsto. Na velikosti tvaru v topologii nezáleží.
16
Matematika.indd 16
20.03.2023 12:41:26
tvar
Jo a čtverec je totéž co obdélník a kružnice je totéž co ovál.
A teď to teprve začne být divné. Když pravidlo „napínání a stlačování“ domyslíte do důsledků, zjistíte, že kružnici i čtverec musíme považovat za stejný tvar!
Ještě než začnete obvolávat všechny své blízké a vykládat jim, že jste si přečetli knihu o matematice a dozvěděli jste se z ní, že čtverec je totéž co kružnice, nezapomínejte na jedno: důležitý je kontext. Čtverec je totéž co kružnice v topologii. Čtverec rozhodně není totéž co kružnice v umění, architektuře,
17
Matematika.indd 17
20.03.2023 12:41:26
Topologie
každodenní konverzaci, dokonce ani v geometrii, a jestli se pokusíte odjet na kole se čtvercovými galuskami, moc daleko se asi nedostanete. Nicméně právě teď se zabýváme topologií, a když se člověk zabývá topologií, nezajímají ho malicherné drobnosti jako zašpičatělé rohy, které se dají zahladit. Odhlédneme tedy od povrchních odlišností, jako jsou délky a úhly, případně rozdíly mezi rovnými, zaoblenými a klikatými hranami, a zaměříme se jen na úplně základní tvar pod tím vším: na nejobecnější rysy, jimiž se jeden tvar odlišuje od jiného. Když se topologové dívají na kružnici nebo čtverec, vidí prostě uzavřenou smyčku. Všechno ostatní je jen důsledek toho, jak smyčku zrovna kroutíte a napínáte. Je to jako položit si otázku: „Jaký tvar má náhrdelník?“ Při jednom způsobu držení může mít tvar čtverce, při jiném je to kružnice. Ale ať už náhrdelník uchopíte jakkoli, pořád má nějaký neodmyslitelný tvar, cosi základního, co zůstává neměnné bez ohledu na to, jestli zrovna jde o čtverec, kružnici, osmiúhelník, srdíčko, půlměsíc, kaňku, nebo heptahektahexadekagon.
18
Matematika.indd 18
20.03.2023 12:41:27
tvar
Jelikož tento tvar může nabývat spousty různých podob, není tak docela správné říkat mu kružnice nebo čtverec. Sice ho někdy kružnicí stejně nazýváme, ale oficiální termín pro tento tvar v topologii zní „S jedna“. S jedna je tvar náhrdelníku, náramku, gumičky, závodní trati nebo okruhu, všech vodních příkopů i státních hranic (kdyby státy neměly nespojitá území, jako je Aljaška), je to tvar písmene O i velkého D, tvar všech uzavřených smyček bez ohledu na to, jak jsou zrovna zakroucené. Stejně jako je čtverec zvláštním případem obdélníku a kružnice je zvláštním případem oválu, jsou i všechny tyto tvary zvláštními případy S jedna. Existují i nějaké další tvary? Byla by škoda, kdyby se pravidlo napínání a stlačování ukázalo být tak volným, že bychom tím veškerou rozmanitost tvarů nechtěně zredukovali na jednu jedinou širokou kategorii. Dobrá zpráva: to nehrozí. Pořád existují i tvary, které nejsou totéž co kružnice. Tak třeba čára:
Čára se dá ohnout skoro až do kružnice, ale aby se kružnicí stala doopravdy, museli bychom jeden její konec přilepit k druhému – a to nesmíme. Ať budete čárou kroutit sebevíc, vždycky bude mít na obou koncích zvláštní body, ve kterých tvar prostě končí. A koncových bodů se nezbavíte. Můžete je všelijak přesouvat a roztahovat je dál od sebe, nicméně dva koncové body jsou neměnnou vlastností tohoto tvaru. Z podobného důvodu je jiným tvarem i číslice osm. Nemá sice žádné koncové body, zato má jiný zvláštní bod uprostřed, ve kterém se čáry kříží a z něhož vybíhají čtyři linky namísto obvyklých dvou, jak je tomu u všech jiných bodů. Osmičku můžete napínat a stlačovat, jak je libo, ale bodu křížení se zkrátka nezbavíte.
19
Matematika.indd 19
20.03.2023 12:41:27
Topologie
Když to domyslíme do důsledků, máme už dost informací na to, abychom na původní otázku „Kolik tvarů existuje?“ dokázali odpovědět. Odpověď zní: nekonečno. Počkejte, dokážu vám to.
Důkaz Podívejte se na tuhle rodinu tvarů. Nový tvar v řadě vytvoříte vždy tím, že k předchozímu tvaru přikreslíte jednu příčnou čáru navíc.
Každý nový tvar má víc bodů křížení i koncových bodů než ten předchozí. Každý proto musí být jiným, samostatným tvarem. Kdybyste takhle pokračovali donekonečna, získali byste nekonečnou řadu různých tvarů. Tvarů je tedy nekonečno.
Q. E. D.
20
Matematika.indd 20
20.03.2023 12:41:27
tvar
Přesvědčilo vás to? K důkazu stačí najít libovolnou nekonečnou řadu různých tvarů, u které je na první pohled vidět, jak můžeme donekonečna vytvářet další a další odlišné tvary. Stejně tak dobře by fungovala i tahle:
Nebo tahle:
Pěkná je i tahle:
Ať už se to rozhodnete dokázat jakkoli, základ argumentu je vždy stejný. Snažíte se ukázat, že od některé věci existuje nekonečné množství variant, a proto popíšete systematický
21
Matematika.indd 21
20.03.2023 12:41:28
Topologie
proces, který chrlí jednu novou variantu za druhou. Říká se tomu argument „nekonečnou řadou“ a v matematice se tento nástroj běžně používá, když chceme ukázat, že něčeho existuje nekonečné množství. Já ho považuji za přesvědčivý – vlastně nevím, co by se proti němu dalo namítat. Pokud od něčeho můžete donekonečna vytvářet nové verze, musí jich být nekonečno. A nejde jenom o mě: celá matematická obec považuje argumenty „nekonečnou řadou“ za platný matematický důkaz. Existuje i několik dalších podobných technik dokazování, kdy můžete vzít ustálený argument a jeho použitím v jiném kontextu dokázat něco jiného. Lidé, kteří se matematice věnují intenzivněji, si tak časem začnou všímat, že některé vzory se mezi argumenty opakují pořád dokola. Všichni se (povětšinou) shodujeme na tom, které metody dokazování jsou legitimní. Když tento důkaz přijmeme, získáme odpověď na původní otázku „Kolik tvarů existuje?“ Odpověď zní: nekonečno. Není to kdovíjak zajímavá odpověď, ale odpovědi si holt člověk nevybírá. Jakmile jednou máme zadanou otázku a určená pravidla dalšího postupu, je o odpovědi rozhodnuto. Pak už ji stačí jen najít. První otázka, která vám přijde na mysl, nemusí vždy vést k nejzajímavější nebo nejpodnětnější odpovědi. Když na tento problém narazíte, můžete to vzdát a jít radši přemýšlet o něčem jiném… no anebo můžete položit lepší otázku.
22
Matematika.indd 22
20.03.2023 12:41:28