Issuu

Kapitola 12 Integrace všeho druhu přinese nám ducha vzpruhu Ještě jste integrování z druhé kapitoly v prvním dílu nezapomněli? To je dobře. Integrovat totiž potřebujeme skoro pořád nejen v matematice a fyzice, ale také v ostatních disciplínách — přírodovědných, technických, v ekonomii, a nějaký ten integrál se vyskytne i v lékařství (třeba výpočet dávky záření při vyšetření počítačovým tomografem). Základ praktického integrování s minimem teorie poskytla právě druhá kapitola. Naučili jsme se počítat neurčité integrály (primitivní funkce) a určité Riemannovy integrály ze spojitých funkcí jedné proměnné. V Dodatku K prvního dílu jsme dokonce nahlédli do kuchyně integrování „mírně“ nespojitých funkcí. Dokážeme počítat obsahy, hmotnosti, těžiště či momenty setrvačnosti nehomogenních rovinných útvarů. Jenže v praxi se takové „placaté“ útvary příliš nevyskytují. Potřebujeme umět určit obsahy, objemy, hmotnosti, těžiště, momenty setrvačnosti a další charakteristiky obecnějších a vícerozměrných útvarů, například tenzor momentu setrvačnosti prostorového tělesa, obsah plochy, která není rovinná, těžiště, momenty setrvačnosti obecného plošného útvaru, či tok intenzity třeba elektrického pole takovou plochou. Vzpomeňte, že jsme o tocích sice hovořili v druhém dílu v kapitole 9, ale nedali jsme žádný návod, jak je počítat. Možná si také vybavíte, že zmínka o dvojnásobných a trojnásobných integrálech, včetně jednoduchých ukázek, byla také v kapitole 5. Tato „okénka“ avizující budoucí problematiku však nebyla podložena solidním teoretickým základem. Jeho čas přišel nyní. I když existují různé typy integrálů, lišící se definicí a tím samozřejmě i kritérii integrability funkcí, bude základem pro náš výklad stále Riemannův integrál. Zpočátku půjde zase jen o integrál z funkcí. První zobecnění bude spočívat v tom, že to budou funkce n proměnných a jako integrační obory poslouží vhodné podmnožiny n-rozměrného euklidovského prostoru — řadu vlastností podmnožin prostoru Rn jsme probrali v odstavci 9.1 (druhý díl, strany 436 až 455), pro n = 1 již v Dodatku F (první díl, strany 289 až 294). V takových případech mluvíme o vícenásobném Riemannově integrálu. Dalším, zásadním a velmi užitečným zobecněním bude „nová“ definice Riemannova integrálu na obecnějších k-rozměrných útvarech v Rn pro 1 ≤ k ≤ n, v níž budou integrovanými objekty antisymetrická tenzorová pole, zvaná diferenciální formy. Tato definice zahrne i standardní typy křivkového integrálu, které jsme zavedli v prvních dvou dílech, a nově také plošný integrál prvního a druhého druhu, jehož integračními obory jsou plochy v R3 .

12.1. VÍCEROZMĚRNÉ INTEGROVÁNÍ 61

Obrázek 12.1 Výpočet objemu pomocí kvádříků. tělesa pod grafem funkce dvou proměnných. Označme D1 = {a = x0 , x1 , . . . , xm−1 , xm = b},

D2 = {c = y0 , y1 , . . . , yn−1 , yn = d}

dělení intervalů [a, b] a [c, d]. Označme Sij = [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1 ], kde i ∈ {0, 1, . . . , m − 1} a j ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Obdélník [a, b] × [c, d] je přesně „poskládaný“ z obdélníčků Sij — nic nechybí ani nepřebývá (obrázek 12.2). Vzniká tak dělení kvádru K, které definujeme jako dvojici D = (D1 , D2 ), Každý obdélník Sij je kompaktní množinou. Z věty 9.3 (druhý díl,

Obrázek 12.2 Dělení obdélníka. strana 473), víme že na něm spojitá funkce nabývá své nejmenší i největší hodnoty. Označme je mij (f ) a Mij (f ). Podobně jako jsme obrazci pod grafem funkce jedné proměnné v odstavci 2.3.1 vepisovali a opisovali obdélníky, vepíšeme a opíšeme nyní tělesu V kvádry s podstavami Sij o obsazích

66 KAPITOLA 12. INTEGRACE VŠEHO DRUHU PŘINESE NÁM DUCHA VZPRUHU Důkaz pro funkci H(y) je zcela analogický. Dokázali jsme tedy následující větu: Věta 12.1 (Fubiniova věta pro uzavřené dvojrozměrné kvádry a spojité funkce dvou proměnných): Nechť K = [a, b]×[c, d] je dvojrozměrný uzavřený kvádr v R2 a f (x, y) funkce spojitá na K. Pak platí

    b d d b f (x, y) dx dy =  f (x, y) dy dx =  f (x, y) dxdy . a

(12.5)

Postup, jakým jsme (matematicky korektně) dospěli k Fubiniově větě pro spojité funkce dvou proměnných na uzavřeném obdélníku, lze v podstatě „opsat“ i pro funkce obecně n proměnných x1 , . . . , xn spojité na množině K = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] (v dalším odstavci ji budeme nazývat uzavřeným n-rozměrným kvádrem v Rn ). Teď jste si nepochybně všimli, že na rozdíl od kapitoly 9 v druhém dílu jsme nyní očíslovali proměnné horními indexy. Má to svůj dobrý smysl, který ozřejmíme v odstavcích 12.2 a 12.3. Zatím se „logikou“ změny nezabývejme, jednoduše ji přijměme. Věta 12.2 (Fubiniova věta pro uzavřené n-rozměrné kvádry a spojité funkce n proměnných): Nechť K = [a1 , b1 ]×· · ·×[an , bn ] je n-rozměrný uzavřený kvádr v Rn a f (x1 , . . . , xn ) funkce spojitá na K. Pak platí

f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn =

bi1

ai1



 bn   . . .  f (x1 , . . . , xn ) dxn  . . . dx1 = an

 i   b n    i 1 n i  . . .  f (x , . . . , x ) dx n  . . .dx 1 ,

(12.6)

ain

kde (i1 , . . . , in ) je libovolná permutace indexů 1 až n. Příklad 12.2: Jedna užitečná samozřejmost

Funkce dvou či více proměnných bývá často zadána jako součin několika funkcí závislých pouze na jedné proměnné. Výpočet jejího integrálu na uzavřeném kvádru, kdy se každá z proměnných pohybuje v konstantních mezích, je pak zvlášť jednoduchý. Vyzkoušejme to na spojité funkci dvou proměnných f (x, y) = f1 (x)f2 (y) na obdélníku K = [a, b] × [c, d]. Počítejme podle Fubiniovy věty:

12.1. VÍCEROZMĚRNÉ INTEGROVÁNÍ 69 k2 = 0, . . . , N2 − 1. Zjemněním tohoto dělení je dělení D = (D1 , D2 ), přičemž D1 = {a1 = 1 1 2 2 2 2 2 = y01 , . . . , yl11 , yl11 +1 . . . , yN = b }, l1 = 0, . . . , N1 − 1, a D2 = {a = y0 , . . . , yl , yl +1 . . . , yN = 2 2 1 2 = b2 }, l2 = 0, . . . , N2 − 1. Platí N1 ≤ N1 , N2 ≤ N2 (dělení D1 , resp.D2 má více, nebo stejně bodů jako dělení D1 , resp. D2 ). Podstatné je, že každý bod dělení D1 , resp. D2 je současně prvkem množiny bodů určujících dělení D1 , resp. D2 . V našem obrázku tak splývají například body x1k1 a yl11 pro jistou hodnotu k1 a jistou hodnotu l1 . Příklad 12.3: Zjemňování dělení Na obrázku 12.3 vidíme konkrétní dělení D = (D1 , D2 ) dvojrozměrného kvádru K = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] a jeho zjemnění D = (D1 , D2 ), kde D1 = {a1 = x10 , x11 , x12 , x13 , x14 , x15 = b1 }, tj. k1 = 0, 1, 2, 3, 4, a D2 = {a2 = = x20 , x21 , x22 , x23 , x24 = b2 }, tj. k2 = 0, 1, 2, 3. Zjemnění dělení D, které jsme označili D = (D1 , D2 ), je v obrázku dáno takto: D1 = {a1 = y01 , y12 , y21 , . . . , y91 = b1 }, tj. l1 = 0, 1, 2, . . . 9, a D2 = {a2 = y02 , y12 , y22 , . . . , y72 = b2 }, tj. l2 = 0, 1, 2, . . . , 7. Platí přitom a1 = x10 = y01 , x11 = y11 , x12 = y31 , x13 = y61 , x14 = y81 , x15 = y91 = b1 , a2 = x20 = y02 , x21 = y22 , x22 = y42 , x23 = y52 , x24 = y72 = b2 . Kvádr S21 = [x12 , x13 ] × [x21 , x22 ] původního dělení D je složen ze šesti kvádrů zjemnění D . Tyto dílčí kvádry jsou v obrázku jen očíslovány, až na pátý, který je „identifikován“ přesně, S43 .

Z příkladu vidíme, že indexování dělení obecně n-rozměrného kvádru, či dokonce indexování zjemnění dělení, je docela složitá věc. Proto si situaci v dalším zjednodušíme. Dosud jsme o dělení kvádru uvažovali jako o n-tici dělení jednotlivých intervalů, jejichž kartézským součinem je daný kvádr. Když jsme si však ujasnili, že dělením se uzavřený kvádr „rozporcuje“ na menší, rovněž uzavřené kvádry, které jej celý vyplní (přičemž sousední kvádry mají společné stěny), a každý kvádr zjemnění D daného dělení D se zase přesně rozporcuje na ještě menší kvádříky, můžeme místo dělení D uvažovat o množině všech uzavřených kvádrů, vzniklých způsobem podrobně popsaným výše, jejichž sjednocením je kvádr K. Skutečnost, že kvádr S je prvkem takovéto množiny, zapíšeme jako S ∈ D, resp. S ∈ D . Tento zápis samozřejmě není úplně správný s ohledem na to, jak jsme definovali dělení D, je však zcela pochopitelný. Nebudeme proto vymýšlet žádné další značení pro tuto novou interpretaci dělení. A ještě jednu charakteristiku kvádru potřebujeme — jeho objem. Jistě lze považovat za přirozené, že „objemem“ uzavřeného intervalu bude jeho délka, „objemem“ uzavřeného obdélníka jeho obsah (součin délek stran), a „objemem“ uzavřeného kvádru v trojrozměrném euklidovském prostoru, jak ho známe z elementární geometrie, jeho obvyklý objem (součin délek hran). Jistě je všem hned jasné, jak bude definován objem uzavřeného n-rozměrného kvádru. (Pro pozdější potřebu definujeme zároveň i objem otevřeného n-rozměrného kvádru.) Objemem n-rozměrného uzavřeného kvádru K = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] v Rn rozumíme v(K) = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) · · · (bn − an ) . (12.9)

70 KAPITOLA 12. INTEGRACE VŠEHO DRUHU PŘINESE NÁM DUCHA VZPRUHU Stejným výrazem je definován objem n-rozměrného otevřeného kvádru v Rn .

K = (a1 , b1 ) × · · · × (an , bn )

Divíte se, že je objem uzavřeného kvádru definován stejně jako objem kvádru otevřeného? Možná ani ne, protože intuitivně něco takového čekáte. Uvažujme třeba o intervalech [a, b] a (a, b). Liší se pouze krajními body. Objem (délka) intervalu [a, b] je b − a. Délka otevřeného intervalu, pokud má smysl ji definovat, určitě nebude větší. Mohla by tedy být stejná, nebo menší. Pokud bychom ji ale definovali jako menší, vyvstává otázka, o kolik. Uvědomme si, že uzavřený interval má oproti jen dva otevřenému „navíc“ body. Zvolme číslo ε > 0 libovolně. ε ε ε ε Pak jistě a ∈ a − 8 , a + 8 , a podobně b ∈ b − 8 , b + 8 . Body a a b jsme tak „obalili“, neboli pokryli (o pokrývání množin jsme mluvili v prvním dílu v Dodatku F) uzavřenými intervaly celkové délky 2ε , tj. menší než ε. Číslo ε ovšem můžeme libovolně zmenšovat. Vidíme, že délku otevřeného intervalu buď nebude možné definovat, nebo ji bude třeba definovat stejně jako délku intervalu uzavřeného. V dalším odstavci pochopíme, proč má smysl druhá alternativa. Obdobná situace je i v prostorech vyšších dimenzí. Uzavřenému obdélníku „přebývají“ oproti otevřenému jeho strany, které lze pokrýt úzkými uzavřenými obdélníky libovolně malého obsahu, uzavřený kvádr v R3 má oproti otevřenému navíc stěny, které zase lze pokrýt placatými kvádříky libovolně malého objemu, atd.

12.1.3 Pokrývání množin a zanedbatelné množiny Problémem pokrývání množin, konkrétně podmnožin reálné osy R, jsme se tak trochu zabývali v Dodatku F prvního dílu a nyní tyto úvahy zpřesníme. Co to však znamená, že nějakou množinu lze „zanedbat“? Z praxe víme, že zanedbávat lze něco „malého“ vzhledem k něčemu „podstatně většímu“. K tomu, abychom rozhodli, co je malé a co velké, potřebujeme to nějak změřit. Jak ale měřit množiny — v našem konkrétním případě podmnožiny v Rn ? Něco málo už víme z předchozího odstavce o „měření“ velikosti n-rozměrných kvádrů v Rn pomocí jejich objemů. Hned vznikají otázky: první z nich je, kdy lze objem menšího kvádru „zanedbat“ proti objemu kvádru většího? Stačí k zanedbání, aby třeba menší objem byl tisícinou, milióntinou, atd. většího objemu? Tato možnost vypadá prakticky, ale v matematice takováto porovnání nejsou rozumná. Rozhodně rozumněji vypadá, když při stanovení délky intervalu (jednorozměrného kvádru) zanedbáme skutečnost, že se otevřený a uzavřený kvádr liší jen o krajní body (které jsou 0-rozměrné), otevřený a uzavřený obdélník, který je dvojrozměrným útvarem, se liší jen stranami (tj. jednorozměrnými útvary), otevřený a uzavřený kvádr v R3 zase (dvojrozměrnými) stěnami, atd. Korektní definice zanedbatelné množiny bude právě na podobné úvaze postavena. Další otázkou je, zda a jak lze „změřit“ objem množiny, která není kvádrem — takových množin je přece většina. První, co nás napadne, je „vycpat“ nějaký nepravidelný útvar co nejpřesněji malými kvádříky, jejichž objem pak bude vystihovat objem útvaru tím lépe, čím budou menší

12.2. A ZASE ALGEBRA, TENTOKRÁT TENZOROVÁ 165 šli jsme bázi prostoru L(Vn , Wm ) indukovanou bázemi zvolenými v prostorech Vn a Wm a zjistili jsme, že dimenze prostoru L(Vn , Wm ) je n · m. Speciálním případem takové situace byl prostor L(Vn , R), kde Vn je vektorový prostor nad R. Těmto zobrazením jsme říkali lineární formy a prostoru Vn∗ = L(Vn , R) duální prostor prostoru Vn . Jeho dimenze je n a báze (e1 , . . . , en ) indukovaná bází (e1 , . . . , en ) prostoru Vn se nazývala duální bází. Právě prostory Vn a Vn∗ jsou základem další tenzorové konstrukce. Jde o důležité pojmy, proto si je oživte na stranách 71 a 72 druhého dílu v příkladech 4.47 a 4.48. Pro každý případ nyní definice zopakujeme a ještě něco přidáme. Nechť Vn je vektorový prostor nad polem R. Duálním prostorem Vn∗ rozumíme množinu všech lineárních zobrazení ϕ : Vn a → ϕ(a) ∈ R se standardně zavedenou strukturou vektorového prostoru. Báze duálního prostoru (e1 , . . . , en ) indukovaná bází (e1 , . . . , en ) vztahy (4.35), ei (ej ) = δji , se nazývá duální báze. Značíme také Vn = T01 (Vn ), resp. Vn∗ = T10 (Vn ). Hovoříme o tenzorových prostorech prvního řádu na vektorovém prostoru Vn , v prvním případě kontravariatních, v druhém kovariantních. Důvody alternativního značení v definici a pojem kontravariatnosti a kovariantnosti se vyjasní za chvíli. Z příkladu 4.48 si nyní připomeneme podstatu duality. Provedeme ve Vn přechod od báze (e1 , . . . , en ) k bázi (e1 , . . . , en ) s maticí přechodu T = (Tij ), (S = T −1 = (Sij )), 1 ≤ i, j ≤ n. (Nepochybně jste si všimli, že jsme se odchýlili od symboliky čtvrté kapitoly v tom, že prvky matic přechodu budeme nyní značit Tij a Sij namísto dřívějšího značení řeckými písmeny τij a σij . To proto, že symbol τ budeme za chvíli hojně používat pro tenzory, a mohlo by docházet ke kolizi značení.) Při použití Einsteinovy symboliky píšeme transformační vztahy pro báze ve tvaru ei = Tij ej ,

ei = Sij ej ,

ei = Sji ej ,

ei = Tji ej .

(12.52)

Pro složky vektoru a ∈ Vn , a = αi ei = αi ei , resp. lineární formy ω ∈ Vn∗ , ω = ωi ei = ω i ei , platí αi = αj Sji ,

αi = αj Tji ,

ω i = Tij ωj ,

ωi = Sij ω j ,

nebo v maticovém zápisu při označení (α) = (α1 . . . αn ), α = (α1 vektory) a (ω) = (ω1 . . . ωn )T , resp. (ω) = (ω 1 . . . ω n )T , (α) = (α)T −1 ,

(α) = (α)T,

(ω) = T (ω),

(ω) = T −1 (ω) .

(12.53) ...

αn ) (řádkové (12.54)

Všechny tyto vztahy jsme poctivě odvodili v odstavci 4.1.4 (strana 32, vztah (4.13), strana 72, vztah (4.36) a příklad 4.48), proto je již pouze bez důkazu rekapitulujeme. Název „kontrava-

12.2. A ZASE ALGEBRA, TENTOKRÁT TENZOROVÁ 177 Divíte se, že transformační vztahy pro τ 11 a τ11 (indexy jsou dole) jsou shodné se vztahy pro τ 11 a τ 11 (indexy nahoře) a se vztahy pro τ 11 a τ11 ? (A když budete pilní a propočítáte i vztahy pro ostatní složky, také zjistíte, že se pro danou dvojici indexů shodují nezávisle na typu tenzoru, tj. na umístění indexů). Bude tomu tak vždy? Bude tomu tak jen za určitých podmínek? Nebo je to dokonce úplná náhoda? Odpovědi jsou „ne“, „ano“, „ne“. Shoda se objevila proto, že v případě ortonormálních výchozích bází prostoru Vn jsou matice T a S ortogonální, a proto navzájem transponované. Složky kontravariantních, kovariantních a smíšených tenzorů se transformují stejně. Není to tedy nějaká náhoda, na druhé straně to neplatí obecně.

Prozkoumáme-li strukturu transformačních vztahů z příkladu 12.50, mohli bychom rovnou zapsat odpovídající vztahy pro tenzory libovolného typu (p, q). Zkuste si to a porovnejte pak svůj „odhad“ s výsledkem následujícího odvození. Lineární kombinaci q φi11...ipq = αi11...ipqb11...bqp φba11...b ...ap

j ...j

j ...j a ...a

vyčíslíme na argumentech (ek1 . . . , ekp , el1 , . . . , elq ) a na pravé straně výrazu využijeme definičq ních vztahů (12.64) pro zobrazení φba11...b ...ap . Dostaneme

k1 kp q φi11...ipq ek1 , . . . , ekp ; el1 , . . . , elq = αi11...ipqb11...bqp φab11...b ...ap e , . . . , e ; el1 , . . . , elq = j ...j

j ...j a ...a

= αi11...ipqb11...bqp δak11 . . . δakpp δlb11 . . . δlqq = αi11...ipql11...lq p . j ...j a ...a

j ...j k ...k

Na levé straně zapíšeme vektory z báze (e1 , . . . , en ) jako lineární kombinace báze (e1 , . . . , en ) a kovektory z báze (e1 , . . . , en ) jako lineární kombinace báze (e1 , . . . , en ) pomocí vztahů (12.52) j ...j a opět použijeme definiční vztahy pro prvky báze tenzorového prostoru, tentokrát φi11...ipq :

φi11...ipq ek1 , . . . , ekp ; el1 , . . . , elq = φi11...ipq Tak11 ea1 , . . . , Takpp eap ; Slb11 eb1 , . . . , Slqq ebq = j ...j

j ...j

= Tak11 . . . Takpp Slb11 . . . Slqq δia11 . . . δipp δbj11 . . . δbqq = Tik11 . . . Tipp Slj11 . . . Slqq . b

Porovnáním dostaneme hodnoty koeficientů lineárních kombinací αi11...ipql11...lq p = Tik11 . . . Tipp Slj11 . . . Slqq j ...j k ...k

a převodní vztahy pro prvky báze φi11...ipq → φi11...ipq , 1 ≤ i1 , . . . , ip , j1 , . . . , jq ≤ n,

j ...j

φi11...ipq = Tik11 . . . Tipp j ...j

j ...j

l ...l

Slj11 . . . Slqq φk11 ...kqp

a naopak pro φi11...ipq → φi11...ipq , 1 ≤ i1 , . . . , ip , j1 , . . . , jq ≤ n, j ...j

j ...j

φi11...ipq = Sik11 . . . Sipp j ...j

l ...l q 1

Tlj11 . . . Tlqq φk1 ...kp .

799

Kapitola 15 Kdy pomůže počítač aneb některé základní numerické metody Numerické metody umožňují řešit různé typy matematických úloh, třeba algebraických či analytických, aritmetickými postupy, tj. v podstatě manipulací s čísly. V kombinaci s výpočetní technikou představují zcela samostatnou oblast matematiky. S obrovským rozvojem možností výpočetní mohutnosti osobních počítačů pronikají i tam, kde by bylo vhodnější hledat řešení přesná, resp. analytická. Jsou totiž pohodlnější. Zdá se tedy, že danou úlohu stačí pouze naprogramovat, což provede informatik, a svěřit její řešení počítači. Že by zde již matematika neměla místo? Vždyť přece existuje řada hotových programů pro řešení různých typů úloh, a ty často představují běžné softwarové vybavení dnešních počítačů. Takový názor by ovšem byl velkým omylem! „Tvůrčím prvkem“ a úlohou pro matematika zůstává volba vhodné numerické metody, která je pro řešení mnoha problémů zcela zásadní. A uživatel programů by se neměl spokojit s tím, že „hodí data do stroje a vypadnou výsledky“. Měl by podstatě výpočtů alespoň na základní úrovni porozumět, aby vůbec dokázal správný program zvolit, a aby si také dokázal s výsledky poradit, tj. správně je interpretovat. Zkusme si uvědomit, čím se hlavně liší řešení úlohy „tužkou na papíře“ a pomocí počítače a v čem spočívají výhody či nevýhody obou přístupů. • Tužkou na papíře můžeme provádět symbolické manipulace, zatímco počítač pracuje s čísly. I když počítačové aplikace pro symbolické manipulace existují (například MAPLE), není to vždy úplně „to pravé“. Stává se, že program neupraví výsledný výraz do nejvhodnější podoby. • Zatímco při „ručním“ řešení úlohy často můžeme uplatnit zkušenost, nebo některé kroky přímo „vidíme“, počítači je třeba krok za krokem pomocí programu sdělit, co má dělat. Máme-li například řešit rovnici x2 − 3x + 2 = 0, zkušenost nám umožní okamžitě uvidět v její levé straně kvadratický trojčlen s rozkladem (x − 1)(x − 2). Počítači musíme naprogramovat celý postup řešení kvadratické rovnice: zadání koeficientů rovnice, výpočet diskriminantu (tři násobení, jedno sčítání), rozhodnutí, zda diskriminant je kladný, záporný či nulový, odmocnění diskriminantu, další sčítání a dvě dělení (různé kořeny), atd.

870 KAPITOLA 15. NĚKTERÉ ZÁKLADNÍ NUMERICKÉ METODY

15.3.1 Aproximace funkcí

Předpokládejme, že máme k dispozici dvojice (xj , yj ) = xj , f (xj ) , xj ∈ [a, b], 1 ≤ j ≤ ≤ n, a hledáme hladkou funkci f˜(x), například polynom, která funkci f (x) na intervalu [a, b] aproximuje. Konstrukce funkce f˜(x) je založena na dvojím možném principu: • shoda hodnot funkce f (x) a její aproximace f˜(x) ve všech bodech xj , tj. yj = = f˜(xj ), 1 ≤ j ≤ n, • přibližná shoda yj = ˙ f˜(xj ), 1 ≤ j ≤ n, tak, aby odchylka funkce f˜(x) v bodech x1 , . . . , xn jako celku, stanovená na základě vhodných kritérií (například jako minimum určitým způsobem definované normy funkcí) od naměřených hodnot f (x1 ), . . . , f (xn ) byla co nejmenší. V prvém z obou případů se jedná o interpolaci, v druhém o vyhlazovací aproximaci. Bodům x1 , . . ., xn v případě interpolace říkáme uzly. Rozdílnost obou způsobů aproximace ukazuje schematický obrázek 15.18.

Obrázek 15.18 Interpolace versus vyhlazovací aproximace. V případě interpolace může opět jít o situace dvojího typu:

• interpoluje se v tabulce naměřených hodnot, tj. hodnoty xj , f (xj ) jsou získány měřením, a proto jsou zatíženy určitou chybou, • pomocí funkce f˜(x), jejíž funkční hodnoty se dobře počítají (například polynom), se interpoluje v tabulce funkčních hodnot funkce f (x) napevno vypočtených v určitých bodech x1 , . . . , xn , uložené v počítači (například již zmíněná exponenciální funkce, popřípadě funkce goniometrické, apod.).

961

Kapitola 16 Lineární algebra počtvrté — hrátky s operátory a maticemi Možná si leckterý čtenář řekne, že lineární algebry už bylo dost. Jenže lineární algebry není nikdy dost, zejména pro praktické aplikace. Z předchozích algebraických kapitol, první v prvém dílu, čtvrté a šesté v druhém dílu, víme ledacos o maticích, víme ledacos o lineárních operátorech ve vektorových prostorech, ale také o jejich souvislosti. Víme, že lineární operátor je v pevně zvolené bázi vektorového prostoru Vn nad polem reálných nebo komplexních čísel, resp. v bázi vektorového prostoru se skalárním součinem (unitárního Un nad polem komplexních čísel či euklidovského En nad polem reálných čísel) reprezentován čtvercovou maticí n-tého řádu osazenou komplexními, resp. reálnými čísly. Zatímco však operátor je objektem invariantním (říkáme také geometrickým), je reprezentující matice závislá na volbě báze. Matice A a A reprezentující týž lineární operátor v různých bázích (e1 , . . . , en ) a (e1 , . . . , en ) vektorového prostoru mají mezi sebou úzký vztah. Jsou vázány podobnostní transformací A = T AT −1 , kde T je (regulární) matice přechodu od báze (e1 , . . . , en ) k bázi (e1 , . . . , en ). (Přesvědčili jsme se o tom v odstavci 4.2.2 v druhém dílu.) V kapitolách 4 a 6 jsme se pak zabývali otázkou, za jakých podmínek lze daný lineární operátor reprezentovat nejjednodušším možným způsobem — diagonální maticí. Zjistili jsme, že tato reprezentace odpovídá bázi tvořené vlastními vektory operátoru. Také jsme zjistili, že taková báze vždy existuje pro speciální typy operátorů v unitárních, resp. euklidovských prostorech, konkrétně pro operátory unitární a samoadjungované (v Un ), resp. ortogonální (mají-li pouze reálné vlastní hodnoty) a symetrické (v En ). Obecně však není vždy možné sestavit z vlastních vektorů bázi — někdy je prostě nezávislých vlastních vektorů málo. V této kapitole se budeme zabývat problémem reprezentace lineárního operátoru z obecnějšího hlediska než doposud. Dokonce připustíme, že vektorový prostor Vn , v němž naše operátory působí, není obecně vybaven skalárním součinem.

16.1 Co dělat, když operátor nemá diagonální reprezentaci Pokud nelze z vlastních vektorů lineárního operátoru sestavit ve vektorovém prostoru bázi, nelze operátor reprezentovat diagonální maticí (s takovými příklady jsme se v odstavci 4.3,