MATEMATIKA POŘADÍ MATEMATICKÝCH OPERACÍ Násobení a dělení má přednost před sčítáním a odčítáním: 7 + 8 ∙ 9 – 14 : 7 = 7 + 72 – 2 = 77 Závorky mají přednost před operacemi: (7 + 8) ∙ 9 – 14 : 7 = 15 ∙ 9 – 2 = 135 – 2 = 133 Vnitřní závorky mají přednost před vnějšími: [5 + (8 – 6) ∙ 7] + 9 = (5 + 2 ∙ 7) + 9 = (5 + 14) + 9 = 19 + 9 = 28
Platí zákon komutativní a+b=b+a a∙b=b∙a
2+5=5+2 2∙5=5∙2
Platí zákon asociativní (a + b) + c = a + (b + c) (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
(2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) (2 ∙ 5) ∙ 7 = 2 ∙ (5 ∙ 7)
Platí zákon distributivní a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
2 ∙ (5 + 7) = 2 ∙ 5 + 2 ∙ 7
PŘIROZENÁ ČÍSLA N
Společný dělitel dvou nebo více čísel – číslo, které dělí každé z těchto čísel Největší společný dělitel: D(60, 15) = 15, protože: D(60) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60), D(15) = (1, 3, 5, 15) Nejmenší společný násobek: n(18, 12) = 36, protože: n(18) = (18, 36, 54, …) n(12) = (12, 24, 36, …) Soudělná čísla – čísla, která mají alespoň jednoho společného dělitele většího než 1 (společné dělitele čísel 12 a 16: 2, 4) Nesoudělná čísla – čísla, jejichž společným dělitelem je pouze číslo 1
Znaky dělitelnosti 2 – na místě jednotek je některá z číslic 0, 2, 4, 6, 8 (128 , 1 296 …) 3 – ciferný součet je dělitelný 3 (129 … 1 + 2 + 9 = 12 – je dělitelné 3) 4 – poslední dvojčíslí je dělitelné 4 (924 ) 5 – na místě jednotek jsou číslice 0 a 5 (485, 74 890) 6 – je sudé a dělitelné 3 8 – poslední trojčíslí je dělitelné 8 (2 832) 9 – ciferný součet je dělitelný 9 (819 … 8 + 1 + 9 = 18 – je dělitelné 9) 10 – na místě jednotek 0 (2 560)
N = {1, 2, 3, …} (0 není přirozené číslo)
Zaokrouhlování číslice 0, 1, 2, 3, 4 – dolů (22 0 20) číslice 5, 6, 7, 8, 9 – nahoru (26 0 30)
Dělitelnost
CELÁ ČÍSLA Z Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} záporná kladná Kladná čísla – větší než 0 –25 0 25 Záporná čísla – menší než 0 opačná Čísla navzájem opačná – např. –25 a +25
Porovnávání
Pokud je podíl a : b celé číslo, pak: a je dělitelné b a je násobek b b je dělitel a
30 : 2 = 15
30 je dělitelné 2 30 je násobek čísla 2 2 je dělitel 30
Každé číslo větší než 1 má dva samozřejmé dělitele: číslo 1 a samo sebe (číslo 8: 1 a 8; číslo 11: 1 a 11) Všichni dělitelé čísla: D(20) = (1, 2, 4, 5, 10, 20) Prvočíslo – má pouze dva dělitele: číslo 1 a samo sebe (2, 3, 5, …) Složené číslo – má alespoň 3 různé dělitele (číslo 12 … 1, 12, 3, 4, 6) Číslo 1 není ani prvočíslo ani číslo složené. Rozklad na prvočinitele – rozložení složeného čísla na součin prvočísel: 30 = 6 ∙ 5 = 2 ∙ 3 ∙ 5
kladné číslo > záporné číslo ze dvou záporných čísel je větší to, které je blíže 0
Sčítání +15 + (–20) = + 15 – 20 = –5
(+3 > –64) (–12 < –5)
Odčítání
Součin sudého počtu záporných čísel = kladné číslo: (–5) ∙ (+2) ∙ (–2) ∙ (–1) ∙ (–10) = +200 Součin lichého počtu záporných čísel = záporné číslo: (–5) ∙ (+2) ∙ (–2) ∙ (–10) = –200
RACIONÁLNÍ ČÍSLA Q Desetinná čísla D
53,8254 desetiny setiny tisíciny desetitisíciny Porovnání desetinných čísel 0,5674 < 0,5682 2 562,89 > 2 562,8 (protože 2 562,89 > 2 562,80) Sčítání a odčítání – sčítáme a odčítáme čísla stejného řádu: 356,8 – 26,39 = 356,80 – 26,39 330,41 Násobení – ve výsledku je počet desetinných míst roven součtu desetinných míst obou činitelů: 12,124 (3) ∙ 3,72 (2) 45,101 28 (5) Dělení – upravit na dělení desetinného čísla číslem celým: 25,84 : 0,2 = / ∙ 10 258,4 : 2 = 129,2 Dělení s přesností na daný počet desetinných míst: např. na 2 desetinná místa: vydělit na 3 desetinná místa a zaokrouhlit na 2 desetinná místa: 48,5 : 2,35 = 20,638 0 20,64
+15 – (–20) = +15 + 20 = +35
Znaménko 6 před závorkou mění všechna znaménka v závorce na opačná: 5 – (–5 + 6 – 9 – 8 + 3) = 5 + 5 – 6 + 9 + 8 – 3 = 18
Zaokrouhlování na daný počet desetinných míst: na 3 místa: 0,546 27 0 0,546 na desetinná místa: na setiny: 0,546 27 0 0,55
Násobení 5∙5=5 6∙6=5 6∙5=6 5∙6=6
Násobení a dělení 10, 100, 1 000, … 22,86 ∙ 10 = 228,6 22,86 ∙ 100 = 2 286 22,86 : 10 = 2,286 22,86 : 100 = 0,228 6
Dělení 5:5=5 6:6=5 6:5=6 5:6=6