Obsah Diferenciální a integrální počet 1. Diferenciální počet Elementární funkce, spojitost funkce
6
Limita funkce
12
Derivace funkce
19
Vlastnosti průběhu funkcí
24
Průběh funkce
33
Užití diferenciálního počtu
51
2. Integrální počet Primitivní funkce
56
Integrační metody
62
Určitý integrál
67
Obsah plochy pod grafem
72
Objem rotačních těles
77
5
kapitola
1
Elementární funkce, spojitost funkce
část
1
Diferenciální a integrální počet
Diferenciální počet
Výpisky Graf spojité funkce vypadá jako jedna „nepřerušená čára“ na daném intervalu. Okolím bodu a se rozumí symetrické (úplné) okolí tohoto bodu, které se značí jako U(a). Jde o interval (a − δ; a + δ), kde δ je libovolné kladné reálné číslo, které představuje poloměr tohoto okolí. Spojitou funkci můžeš popsat tak, že pokud zvolíš libovolné okolí bodu f(a), existuje takové okolí bodu a, že pro všechna x z okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a). Spojitost v bodě může být i jednostranná. 1) Pro spojitost zprava se uvažuje pouze pravé okolí bodu a, tedy interval 〈a; a + δ). 2) Pro spojitost zleva se uvažuje pouze levé okolí bodu, tedy interval (a − δ; a〉. Funkce je spojitá na uzavřeném intervalu 〈a; b〉, pokud je spojitá ve všech bodech intervalu (a; b), spojitá zprava v bodě a a zleva v bodě b. Základní elementární funkce představuje souhrnný název pro funkce konstantní, mocninné, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické (inverzní ke goniometrickým na intervalech, kde jsou ryze monotónní, např. arcsin x). Elementární funkce se nazývá každá funkce, která patří buď mezi základní elementární funkce, nebo vznikla jejich konečným počtem algebraických operací, tj. součtem, součinem, rozdílem, podílem nebo vytvořením složených funkcí. Elementární funkce je spojitá v každém vnitřním bodě svého definičního oboru.
Příklad 1
Postup, jak na to, najdeš v učebnici na straně 17
Urči, zda jsou funkce na zobrazeném intervalu spojité: a) HHH y 9
f
8 7 6 5 4 3 2 1 x
0 –5 –4 –3 –2
–1 –1 0 –2
6
1
2
3
4
5
Poznámky
b) HHH
10
Poznámky
y
g
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –2
–1 –1 0
x 1
2
–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10
c) HHH
y
h
7 6 5 4 3 2 1 0
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–1
x 0
1
2
3
4
5
–2 –3 –4 –5 –6 –7
d) HHH 3
y
2
i
1 x
0 –5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
Příklad 2 HHH
Nevíš? Postup najdeš v učebnici na straně 17
Urči všechny body nespojitosti funkce na zobrazeném intervalu. 5
y
4
3
2
f
1 0
–6
–5
–4
–3
Příklad 3
–2
–1
x 0
1
2
3
4
5
Nevíš jak? Mrkni do učebnice na stranu 19
Urči, zda je funkce elementární. Pokud ano, urči, z jakých základních funkcí se skládá: 8 a) f(x) = cos x + sin HHH x
b) g(x) = 22 + x + x HHH
c) h(x) = sin(sgn x) HHH
³ d) i(x) = 9 x + 9x HHH
8
Poznámky
Poznámky
e) j(x) = sgn(sin x) HHH
x
f) k(x) = √4x ⋅ x HHH
g) l(x) = √9x + 4x ⋅
log(x + 5) sin x
HHH
Příklad 4
Máš problém? Mrkni do učebnice na stranu 20
Urči definiční obor následujících funkcí: a) f(x) = √x + 6 HHH
b) g(x) =
96 √x2 + 9
HHH
c) h(x) = sin(x + 1) −
d) i(x) = √x + 6 +
1 x2 + 2x − 15
log(x) ⋅ x 9−x
HHH
HHH
e) j(x) = 3ln x + √x − 6 HHH
9
Státní maturita? Tam ne, ale co školní nebo vejška? Příklad 5
2 min.
x + x2 Vyber, ze kterých základních funkcí a operací se skládá funkce f(x) = x4 + . x − sin 90° a) exponenciální, goniometrická; sčítání, odčítání, násobení b) exponenciální, konstantní; sčítání, odčítání, skládání c) mocninná, goniometrická; sčítání, odčítání, násobení d) mocninná, konstantní; sčítání, odčítání, skládání
Příklad 6
0,5 min.
Z voltampérové charakteristiky diody vyplívá závislost proudu na napětí v propustném a nepropustném směru. Urči, zda se jedná o spojitou funkci.
I
průrazné napětí
10
f
prahové napětí
U
Poznámky
Poznámky
Výsledky 1
a) je spojitá c) není spojitá
b) je spojitá d) je spojitá
2
nespojitá v x = −5, x = −2 a x = 1, v bodě x = −6 nespojitá pouze zleva, v bodě x = 4 nespojitá pouze zprava
3
a) goniometrická, konstantní, mocninná b) exponenciální, konstantní, mocninná c) funkce není elementární d) exponenciální, konstantní, mocninná e) funkce není elementární f) exponenciální, konstantní, mocninná g) mocninná, konstantní, logaritmická, goniometrická
4
a) D(f ) = ⟨−6; ∞) c) D(h) = (−∞; −5) ∪ (−5; 3) ∪ (3; ∞) e) D(j) = ⟨6; ∞)
5
d)
6
Jedná se o spojitou funkci.
b) D(g) = ℝ d) D(i) = (0; 9) ∪ (9; ∞)
11