20 ÚVOD Na sumerských hliněných tabulkách jsou zapisována různá množství, předznamenávající číselnou soustavu.
ASI 3500 PŘ. N. L.
STAROVĚK A KLASICKÉ OBDOBÍ 21 Starověcí Egypťané popisují metody výpočtu obsahů a objemů a zaznamenávají je na tzv. Rhindově papyru.
ASI
1600 PŘ. N. L.
ASI 3000 PŘ. N. L.
Sumerové zavedli číselnou soustavu se základem 60, v níž malý kužel označoval 1 a velký kužel vyjadřoval 60.
J
iž před 40 000 lety sloužily lidem k počítání značky, které vyřezávali do dřeva a kostí. Nepochybně měli elementární ponětí o číslech a aritmetice, avšak historii matematiky zahájil až objev a rozvoj číselných soustav ranými civilizacemi. První z nich se objevila ve 4. tisíciletí př. n. l. v Mezopotámii v západní Asii, v zemi prvních zemědělců a prvních měst na světě. Sumerové zde vypracovali složitý systém značek, v němž různými symboly zapisovali rozdílná množství, který Babyloňané později rozvinuli v komplikovanou číselnou soustavu zapisovanou klínovými znaky. Asi od roku 1800 př. n. l. využívali Babyloňané k řešení praktických problémů ve stavitelství, ke konstrukci strojů
Hippasos z Metapontu objevuje iracionální čísla, která nelze vyjádřit pomocí zlomků.
Jednou z nejvlivnějších učebnic, jaké kdy byly napsány, jsou Eukleidovy Základy, které popisují matematické postupy, včetně důkazu o nekonečném počtu prvočísel.
Apollónios z Pergy činí významné pokroky v geometrii ve svém díle Kónika.
Starověcí Číňané vypracovali systém, v němž záporná a kladná čísla reprezentovaly černé a červené bambusové tyčinky.
ASI 430 PŘ. N. L.
ASI 300 PŘ. N. L.
ASI 200 PŘ. N. L.
ASI 150 PŘ. N. L.
Liou Chuej vypracoval důležitý výklad díla Devět kapitol matematického umění, které sestavili čínští učenci již v 10. století př. n. l.
263
ASI 530 PŘ. N. L.
ASI 387 PŘ. N. L.
ASI 250 PŘ. N. L.
ASI 150 PŘ. N. L.
ASI 250 N. L.
Pýthagorás zakládá školu, v níž přednáší o svých metafyzických názorech a matematických objevech včetně Pýthagorovy věty.
Platón zakládá athénskou Akadémii – nápis nad vchodem hlásá: „Bez znalosti geometrie sem nikdo nevstupuj.“
Archimédés odhaduje pomocí mnohoúhelníků hodnotu čísla pí.
Hipparchos z Níkaie sestavuje první trigonometrické tabulky.
Diofantos vynalézá nové symboly nahrazující neznámé mocniny v rovnicích a publikuje je ve své Aritmetice.
a dělení pozemků základní geometrii a v obchodování a vyměřování daní algebru a aritmetické dovednosti. Podobný příběh nacházíme v o něco mladší civilizaci starověkých Egypťanů. Jejich obchodování a daně vyžadovaly propracovanou číselnou soustavu a jejich stavitelská a inženýrská díla se spoléhala na prostředky měření a základní znalosti geometrie a algebry. Egypťané dokázali také využívat své matematické dovednosti v souvislosti s pozorováním oblohy a předpovědět astronomické i sezonní cykly, a také vytvořit kalendáře pro náboženský a zemědělský rok. Se studiem principů aritmetiky a geometrie započali již kolem roku 2000 př. n. l.
Řecká důslednost
Od 6. století př. n. l. došlo po celém východním Středomoří k prudkému vzestupu vlivu starověkého Řecka. Řečtí učenci si rychle osvojili matematické myšlení Babyloňanů a Egypťanů. Řekové využívali číselnou soustavu se základem 10 (s deseti znaky) přebranou od Egypťanů. Obzvláště geometrie souzněla s celou řeckou kulturou, která zbožňovala krásu tvaru a symetrie. Matematika se stala základním kamenem myšlení v antickém Řecku, což se odráželo též v jeho umění, architektuře, a dokonce i ve filozofii. Takřka mystická povaha geometrie a čísel inspirovala Pýthagora a jeho stoupence k založení kultu podobné komunity, která se věnovala studiu matema-
tických principů, jež podle pýthagorejců tvořily základ vesmíru a všeho v něm. Staletí před Pýthagorem používali Egypťané trojúhelník se stranami dlouhými 3, 4, a 5 jednotek jako měřicí nástroj k zajištění pravých úhlů. K této myšlence, kterou pak učinili pravidlem, je dovedla zkušenost, zatímco pýthagorejci se pustili do pečlivého studia tohoto principu a dokázali, že platí pro všechny pravoúhlé trojúhelníky. Právě tento přístup skrze důkaz o platnosti tvrzení představuje nejvýznamnější příspěvek Řeků matematice. Platónova Akadémie v Athénách se zaměřovala na studium filozofie a matematiky a samotný Platón popsal pět platónských těles (čtyřstěn,
krychli, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn). Další filozofové, zejména Zénón z Eleje, včlenili do základů matematiky logiku, přičemž narazili na problémy s nekonečnem a změnou. Probádali dokonce tak zvláštní úkaz, jakým je existence iracionálních čísel. Platónův žák Aristotelés svou metodickou analýzou logických forem rozpoznal rozdíl mezi logickou indukcí (jako je vyvození pravidla z pozorování) a dedukcí (k závěru se ze zavedených předpokladů neboli axiomů dospívá pomocí logických kroků). Na tomto základě sestavil Eukleidés principy matematického důkazu z axiomatických pravd ve svých Základech, které se staly pilířem matematiky
N. L.
470
N. L.
Cu Čchung-č’ zpřesňuje pí na sedm desetinných míst, hodnotu, která nebyla překonána dalších tisíc let.
na následující dvě tisíciletí. S podobnou důsledností zavedl Diofantos ve svých rovnicích používání symbolů reprezentujících neznámá čísla, což byl první krok k symbolickému zápisu v algebře.
Nový úsvit na Východě
Řecká převaha byla nakonec zastíněna vzestupem Římské říše. Římané považovali matematiku spíše za praktický nástroj než za předmět studia. Ve stejné době starověké civilizace v dnešní Indii a Číně vyvinuly nezávisle na sobě vlastní číselné soustavy. Obzvlášť čínská matematika vzkvétala mezi 2. a 5. stoletím n. l., hlavně díky dílu Liou Chueje, jenž zrevidoval a rozšířil klasické texty čínských matematiků. ■
20 ÚVOD Na sumerských hliněných tabulkách jsou zapisována různá množství, předznamenávající číselnou soustavu.
ASI 3500 PŘ. N. L.
STAROVĚK A KLASICKÉ OBDOBÍ 21 Starověcí Egypťané popisují metody výpočtu obsahů a objemů a zaznamenávají je na tzv. Rhindově papyru.
ASI
1600 PŘ. N. L.
ASI 3000 PŘ. N. L.
Sumerové zavedli číselnou soustavu se základem 60, v níž malý kužel označoval 1 a velký kužel vyjadřoval 60.
J
iž před 40 000 lety sloužily lidem k počítání značky, které vyřezávali do dřeva a kostí. Nepochybně měli elementární ponětí o číslech a aritmetice, avšak historii matematiky zahájil až objev a rozvoj číselných soustav ranými civilizacemi. První z nich se objevila ve 4. tisíciletí př. n. l. v Mezopotámii v západní Asii, v zemi prvních zemědělců a prvních měst na světě. Sumerové zde vypracovali složitý systém značek, v němž různými symboly zapisovali rozdílná množství, který Babyloňané později rozvinuli v komplikovanou číselnou soustavu zapisovanou klínovými znaky. Asi od roku 1800 př. n. l. využívali Babyloňané k řešení praktických problémů ve stavitelství, ke konstrukci strojů
Hippasos z Metapontu objevuje iracionální čísla, která nelze vyjádřit pomocí zlomků.
Jednou z nejvlivnějších učebnic, jaké kdy byly napsány, jsou Eukleidovy Základy, které popisují matematické postupy, včetně důkazu o nekonečném počtu prvočísel.
Apollónios z Pergy činí významné pokroky v geometrii ve svém díle Kónika.
Starověcí Číňané vypracovali systém, v němž záporná a kladná čísla reprezentovaly černé a červené bambusové tyčinky.
ASI 430 PŘ. N. L.
ASI 300 PŘ. N. L.
ASI 200 PŘ. N. L.
ASI 150 PŘ. N. L.
Liou Chuej vypracoval důležitý výklad díla Devět kapitol matematického umění, které sestavili čínští učenci již v 10. století př. n. l.
263
ASI 530 PŘ. N. L.
ASI 387 PŘ. N. L.
ASI 250 PŘ. N. L.
ASI 150 PŘ. N. L.
ASI 250 N. L.
Pýthagorás zakládá školu, v níž přednáší o svých metafyzických názorech a matematických objevech včetně Pýthagorovy věty.
Platón zakládá athénskou Akadémii – nápis nad vchodem hlásá: „Bez znalosti geometrie sem nikdo nevstupuj.“
Archimédés odhaduje pomocí mnohoúhelníků hodnotu čísla pí.
Hipparchos z Níkaie sestavuje první trigonometrické tabulky.
Diofantos vynalézá nové symboly nahrazující neznámé mocniny v rovnicích a publikuje je ve své Aritmetice.
a dělení pozemků základní geometrii a v obchodování a vyměřování daní algebru a aritmetické dovednosti. Podobný příběh nacházíme v o něco mladší civilizaci starověkých Egypťanů. Jejich obchodování a daně vyžadovaly propracovanou číselnou soustavu a jejich stavitelská a inženýrská díla se spoléhala na prostředky měření a základní znalosti geometrie a algebry. Egypťané dokázali také využívat své matematické dovednosti v souvislosti s pozorováním oblohy a předpovědět astronomické i sezonní cykly, a také vytvořit kalendáře pro náboženský a zemědělský rok. Se studiem principů aritmetiky a geometrie započali již kolem roku 2000 př. n. l.
Řecká důslednost
Od 6. století př. n. l. došlo po celém východním Středomoří k prudkému vzestupu vlivu starověkého Řecka. Řečtí učenci si rychle osvojili matematické myšlení Babyloňanů a Egypťanů. Řekové využívali číselnou soustavu se základem 10 (s deseti znaky) přebranou od Egypťanů. Obzvláště geometrie souzněla s celou řeckou kulturou, která zbožňovala krásu tvaru a symetrie. Matematika se stala základním kamenem myšlení v antickém Řecku, což se odráželo též v jeho umění, architektuře, a dokonce i ve filozofii. Takřka mystická povaha geometrie a čísel inspirovala Pýthagora a jeho stoupence k založení kultu podobné komunity, která se věnovala studiu matema-
tických principů, jež podle pýthagorejců tvořily základ vesmíru a všeho v něm. Staletí před Pýthagorem používali Egypťané trojúhelník se stranami dlouhými 3, 4, a 5 jednotek jako měřicí nástroj k zajištění pravých úhlů. K této myšlence, kterou pak učinili pravidlem, je dovedla zkušenost, zatímco pýthagorejci se pustili do pečlivého studia tohoto principu a dokázali, že platí pro všechny pravoúhlé trojúhelníky. Právě tento přístup skrze důkaz o platnosti tvrzení představuje nejvýznamnější příspěvek Řeků matematice. Platónova Akadémie v Athénách se zaměřovala na studium filozofie a matematiky a samotný Platón popsal pět platónských těles (čtyřstěn,
krychli, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn). Další filozofové, zejména Zénón z Eleje, včlenili do základů matematiky logiku, přičemž narazili na problémy s nekonečnem a změnou. Probádali dokonce tak zvláštní úkaz, jakým je existence iracionálních čísel. Platónův žák Aristotelés svou metodickou analýzou logických forem rozpoznal rozdíl mezi logickou indukcí (jako je vyvození pravidla z pozorování) a dedukcí (k závěru se ze zavedených předpokladů neboli axiomů dospívá pomocí logických kroků). Na tomto základě sestavil Eukleidés principy matematického důkazu z axiomatických pravd ve svých Základech, které se staly pilířem matematiky
N. L.
470
N. L.
Cu Čchung-č’ zpřesňuje pí na sedm desetinných míst, hodnotu, která nebyla překonána dalších tisíc let.
na následující dvě tisíciletí. S podobnou důsledností zavedl Diofantos ve svých rovnicích používání symbolů reprezentujících neznámá čísla, což byl první krok k symbolickému zápisu v algebře.
Nový úsvit na Východě
Řecká převaha byla nakonec zastíněna vzestupem Římské říše. Římané považovali matematiku spíše za praktický nástroj než za předmět studia. Ve stejné době starověké civilizace v dnešní Indii a Číně vyvinuly nezávisle na sobě vlastní číselné soustavy. Obzvlášť čínská matematika vzkvétala mezi 2. a 5. stoletím n. l., hlavně díky dílu Liou Chueje, jenž zrevidoval a rozšířil klasické texty čínských matematiků. ■
ČÍSLO JE PŘÍČINOU BOHŮ
A DÉMONŮ
PÝTHAGORÁS
ČÍSLO JE PŘÍČINOU BOHŮ
A DÉMONŮ
PÝTHAGORÁS
STAROVĚK A KLASICKÉ OBDOBÍ 77
76 SOUVISLOSTI
ČÍSLA MOHOU BÝT MENŠÍ NEŽ NIC ZÁPORNÁ ČÍSLA
HLAVNÍ CIVILIZACE Starověká Čína (asi 1700 př. n. l. až asi 600 n. l.) ODVĚTVÍ Číselná soustava POČÁTKY asi 1000 př. n. l. V Číně byly bambusové tyčinky prvním nástrojem k zápisu čísel, včetně čísel záporných POTÉ 628 n. l. Indický matematik Brahmagupta sepisuje pra vidla počítání se zápornými čísly. 1631 Britský matematik Thomas Harriot ve svém díle Practice of the Art of Analysis, vydaném 10 let po jeho smrti, akceptuje záporná čísla v algebraických výrazech.
Z
atímco praktické povědomí o záporných množstvích měli lidé již od starověku, obzvláště v Číně, záporná čísla byla včleněna do matematiky mnohem později. Starověcí řečtí myslitelé a řada pozdějších evropských matematiků pokládali záporná čísla – a vůbec představu o něčem, co je menší než nic – za nesmysl. Záporná čísla začali evropští matematikové plně přijímat až v 17. století.
Čínský tyčinkový systém
Zdá se, že první představy o záporných množstvích se objevily v obchodním účetnictví: prodávající obdržel peníze za to, co prodal (kladné množství), a kupující utratil stejně velkou částku
Viz také: Poziční číselné soustavy 22–27 ■ Diofantické rovnice 80–81 Nula 88–91 ■ Algebra 92–99 ■ Imaginární a komplexní čísla 128–131
Matematika ve starověké Číně
■
V čínském tyčinkovém číselném systému znamenají červené tyčinky kladná čísla, zatímco černé tyčinky označují záporná čísla. Pro co nejsrozu mitelnější zápis se vodorovné a svislé znaky používají střídavě – například k zápisu čísla 752 se použije svislá číslice 7, poté vodorovná číslice 5 a nakonec svislá číslice 2. Prázdná místa zastupují nulu. Kladná
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Svislé
Vodorovné
Záporná Svislé
Vodorovné
(výdaj, záporné množství). Ve své obchodní aritmetice používali starověcí Číňané bambusové tyčinky, které kladli na velké desky. Kladná a záporná množství představovaly tyčinky odlišných barev, které bylo možné sčítat. Čínský vojenský stratég Sun-c’, jenž žil kolem roku 500 př. n. l., používal takové tyčinky pro vý počty před bitvami. Do roku 150 př. n. l. se tyčinkový zápis vyvinul ve střídání seskupení nejvíce pěti vodorovných a svislých tyčinek. Později, v době říše Suej (581–618 n. l.), zavedli Číňané také trojboké tyčinky pro kladná množství a čtyřboké tyčinky pro záporná čísla. Tento systém se používal v obchodování a pro výpočet daní, přijaté částky se vyjadřovaly červenými tyčinkami a dlužné částky černými tyčinkami. Když se pak
sčítaly tyčinky odlišných barev, příslušné částky se vzájemně vyrušily – stejně jako příjem, který vymaže dluh. Polarizovaná povaha kladných čísel (červené tyčinky) a záporných čísel (černé tyčinky) ladila také s čínskou představou, že protichůdné, ale vzájemně se doplňující síly jin a jang vládnou celému vesmíru.
Dílo Ťiou-čang suan-šu neboli Devět kapitol matematického umění odhaluje matematické postupy používané ve starověké Číně. Představuje sbírku 246 praktických úloh a jejich řešení. Prvních pět kapitol se zabývá převážně geometrií (obsahy, délkami a objemy) a aritmetikou (poměry a druhými a třetími odmocninami). Šestá kapitola pokrývá daně a zahrnuje pojmy jako přímá, nepřímá a složená úměrnost, z nichž většina se objevila v Evropě až kolem 16. století. Sedmá a osmá kapitola pojednávají o řešení lineárních rovnic včetně metody „dvojího chybného odhadu“ (regula falsi), kdy jsou při řešení lineární rovnice použity postupně dvě testovací (neboli „chybné“) hodnoty, z nichž pak vyplyne správné řešení. Závěrečná kapitola vysvětluje používání „Gougu“ (ekvivalent Pýthagorovy věty) a řešení kvadratických rovnic.
Proměnlivé jmění
V průběhu několika staletí počínaje zhruba rokem 200 př. n. l. vydali starověcí Číňané sebraný spis s názvem Devět kapitol matematického umění (viz rámeček). Tato kniha, shrnující jejich podstatné matematické znalosti, zahrnovala algoritmy, které počítaly s možnými zápornými množstvími, kupříkladu pro řešení problémů týkajících se zisků a ztrát. ❯❯
Teploměr s Celsiovou stupnicí ukazuje záporné hodnoty, když je něco, třeba ledový krystal, chlad nější než 0 C – bod, kdy zamrzá voda.
78 ZÁPORNÁ ČÍSLA
STAROVĚK A KLASICKÉ OBDOBÍ 79
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
16
12
8
4
0
-4
-8
-12
-16
-3
12
9
6
3
0
-3
-6
-9
-12
-2
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-1
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
3
-12
-9
-6
-3
0
3
6
9
12
jmění a dluhů představovalo snahu pochopit, co vlastně záporná čísla představují. Perský matematik a básník Al-Chorezmí (asi 780 – asi 850), jehož teorie, zejména ty, které se týkaly algebry, ovlivnily pozdější evropské matematiky, znal Brahmaguptova pravidla a chápal používání záporných čísel pro zacházení s dluhy – nicméně nedokázal akceptovat používání záporných čísel v algebře, protože mu nedávala smysl. Namísto toho k řešení lineárních nebo kvadratických rovnic využíval geometrické postupy.
4
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
Přijetí záporných čísel
Součinem dvou záporných čísel je číslo kladné. Z tohoto důvodu mají všechna kladná čísla dvě hodnoty druhé odmocniny (kladnou a zápornou) a záporná čísla nemají reálné druhé odmocniny – protože kladné číslo umocněné na druhou je kladné a druhá mocnina záporného čísla je také kladná.
Naproti tomu matematika starověkého Řecka vycházela z geometrie a geometrických hodnot nebo jejich poměrů. Jelikož tato množství – skutečné délky, obsahy a objemy – mohou být pouze kladná, pojem záporného čísla nedával řeckým matematikům smysl. Do Diofantových časů, tj. do doby kolem roku 250 n. l., se problémy řešily pomocí lineárních a kvadratických rovnic, avšak jakékoli neznámé množství se stále vyjadřovalo geometricky, jako délka. Takže představa záporných čísel jako řešení těchto rovnic byla považována za absurdní. K významnému pokroku v používání záporných čísel v aritmetice došlo asi o 400 let později v Indii v díle matematika Brahmagupty (asi 598–668), jenž
Kladné číslo Záporné číslo
vypracoval aritmetická pravidla pro záporné hodnoty, a dokonce označoval záporná čísla osobitým symbolem. Podobně jako starověcí Číňané pohlížel i Brahmagupta na čísla z finančního hlediska, jako na „jmění“ (kladná) a „dluhy“ (záporná), a pro násobení kladnými a zápornými hodnotami stanovil následující pravidla. Součinem dvou jmění je jmění. Součinem dvou dluhů je jmění. Součin dluhu a jmění se rovná dluhu. Součin jmění a dluhu je roven dluhu. Nedává smysl hledat součin dvou kup mincí, jelikož násobit lze jenom příslušná množství, ne samotné peníze (stejně jako nemůžete násobit jablka jablky). Brahmagupta tak prováděl aritmetiku s kladnými a zápornými množstvími, zatímco používání
V průběhu středověku se evropští matematikové stavěli nejistě k zá porným množstvím jako k číslům. Tak tomu bylo také v roce 1545, kdy italský polyhistor Gerolamo Cardano vydal svůj spis Ars Magna (Velké dílo), v němž vysvětluje, jak řešit lineární, kvadratické a kubické rovnice. Nemohl vyloučit záporná řešení svých rovnic, a záporná čísla dokonce označoval znakem „m“, nedokázal nicméně přijmout význam záporných čísel, která nazýval „smyšlenými“. René Descartes (1596–1650) také akceptoval záporná čísla jako řešení rovnic, avšak zmiňoval se o nich
Záporná čísla jsou důkazem rozporuplnosti nebo absurdnosti. Augustus De Morgan britský matematik
spíše jako o „chybných kořenech“ než o skutečných číslech. Anglický matematik John Wallis (1616–1703) dal záporným číslům smysl tím, že číselnou osu prodloužil doleva od nuly. Tento způsob nahlížení na čísla jako na body na přímce vedl nakonec k tomu, že záporná čísla byla akceptována stejně jako kladná čísla a na konci 19. století byla formálně definována matematicky. Dnes se záporná čísla využívají v nepřeberném množství oblastí, počínaje bankovnictvím přes teplotní stupnice až po náboj subatomárních částic. Jakékoli pochybnosti o jejich postavení v matematice jsou dávno pryč. ■ Investoři se v roce 1857 hrnuli do Seamen’s Savings Bank v New Yorku, aby si vybrali své peníze. Paniku vyvolaly americké banky, které půjčovaly miliony dolarů (záporné částky) bez náležitých krycích rezerv (kladné částky).
V 15. století se v Evropě pro plus a minus používala písmena p a m.
Symboly + a byly zavedeny v 16. století.
Avšak záporná čísla byla pokládána za absurdní a pohlíželo se na ně s odporem a podezřením.
Záporná čísla byla v Evropě přijata až v 17. století, kdy se poprvé ocitla na číselné ose.
STAROVĚK A KLASICKÉ OBDOBÍ 77
76 SOUVISLOSTI
ČÍSLA MOHOU BÝT MENŠÍ NEŽ NIC ZÁPORNÁ ČÍSLA
HLAVNÍ CIVILIZACE Starověká Čína (asi 1700 př. n. l. až asi 600 n. l.) ODVĚTVÍ Číselná soustava POČÁTKY asi 1000 př. n. l. V Číně byly bambusové tyčinky prvním nástrojem k zápisu čísel, včetně čísel záporných POTÉ 628 n. l. Indický matematik Brahmagupta sepisuje pra vidla počítání se zápornými čísly. 1631 Britský matematik Thomas Harriot ve svém díle Practice of the Art of Analysis, vydaném 10 let po jeho smrti, akceptuje záporná čísla v algebraických výrazech.
Z
atímco praktické povědomí o záporných množstvích měli lidé již od starověku, obzvláště v Číně, záporná čísla byla včleněna do matematiky mnohem později. Starověcí řečtí myslitelé a řada pozdějších evropských matematiků pokládali záporná čísla – a vůbec představu o něčem, co je menší než nic – za nesmysl. Záporná čísla začali evropští matematikové plně přijímat až v 17. století.
Čínský tyčinkový systém
Zdá se, že první představy o záporných množstvích se objevily v obchodním účetnictví: prodávající obdržel peníze za to, co prodal (kladné množství), a kupující utratil stejně velkou částku
Viz také: Poziční číselné soustavy 22–27 ■ Diofantické rovnice 80–81 Nula 88–91 ■ Algebra 92–99 ■ Imaginární a komplexní čísla 128–131
Matematika ve starověké Číně
■
V čínském tyčinkovém číselném systému znamenají červené tyčinky kladná čísla, zatímco černé tyčinky označují záporná čísla. Pro co nejsrozu mitelnější zápis se vodorovné a svislé znaky používají střídavě – například k zápisu čísla 752 se použije svislá číslice 7, poté vodorovná číslice 5 a nakonec svislá číslice 2. Prázdná místa zastupují nulu. Kladná
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Svislé
Vodorovné
Záporná Svislé
Vodorovné
(výdaj, záporné množství). Ve své obchodní aritmetice používali starověcí Číňané bambusové tyčinky, které kladli na velké desky. Kladná a záporná množství představovaly tyčinky odlišných barev, které bylo možné sčítat. Čínský vojenský stratég Sun-c’, jenž žil kolem roku 500 př. n. l., používal takové tyčinky pro vý počty před bitvami. Do roku 150 př. n. l. se tyčinkový zápis vyvinul ve střídání seskupení nejvíce pěti vodorovných a svislých tyčinek. Později, v době říše Suej (581–618 n. l.), zavedli Číňané také trojboké tyčinky pro kladná množství a čtyřboké tyčinky pro záporná čísla. Tento systém se používal v obchodování a pro výpočet daní, přijaté částky se vyjadřovaly červenými tyčinkami a dlužné částky černými tyčinkami. Když se pak
sčítaly tyčinky odlišných barev, příslušné částky se vzájemně vyrušily – stejně jako příjem, který vymaže dluh. Polarizovaná povaha kladných čísel (červené tyčinky) a záporných čísel (černé tyčinky) ladila také s čínskou představou, že protichůdné, ale vzájemně se doplňující síly jin a jang vládnou celému vesmíru.
Dílo Ťiou-čang suan-šu neboli Devět kapitol matematického umění odhaluje matematické postupy používané ve starověké Číně. Představuje sbírku 246 praktických úloh a jejich řešení. Prvních pět kapitol se zabývá převážně geometrií (obsahy, délkami a objemy) a aritmetikou (poměry a druhými a třetími odmocninami). Šestá kapitola pokrývá daně a zahrnuje pojmy jako přímá, nepřímá a složená úměrnost, z nichž většina se objevila v Evropě až kolem 16. století. Sedmá a osmá kapitola pojednávají o řešení lineárních rovnic včetně metody „dvojího chybného odhadu“ (regula falsi), kdy jsou při řešení lineární rovnice použity postupně dvě testovací (neboli „chybné“) hodnoty, z nichž pak vyplyne správné řešení. Závěrečná kapitola vysvětluje používání „Gougu“ (ekvivalent Pýthagorovy věty) a řešení kvadratických rovnic.
Proměnlivé jmění
V průběhu několika staletí počínaje zhruba rokem 200 př. n. l. vydali starověcí Číňané sebraný spis s názvem Devět kapitol matematického umění (viz rámeček). Tato kniha, shrnující jejich podstatné matematické znalosti, zahrnovala algoritmy, které počítaly s možnými zápornými množstvími, kupříkladu pro řešení problémů týkajících se zisků a ztrát. ❯❯
Teploměr s Celsiovou stupnicí ukazuje záporné hodnoty, když je něco, třeba ledový krystal, chlad nější než 0 C – bod, kdy zamrzá voda.
RENESANCE 127
126
DVOJICE ÚSEČEK STEJNÉ DÉLKY ROVNÍTKO A DALŠÍ SYMBOLIKA
SOUVISLOSTI HLAVNÍ POSTAVA Robert Recorde (asi 1510–1558) ODVĚTVÍ Číselné soustavy POČÁTKY 250 n. l. Řecký matematik Diofantos využívá ve své Aritmetice pro zápis proměnných (neznámých množství) symboly. 1478 Kupecká aritmetika z Trevisa vysvětluje jednodu chou řečí, jak provádět sčítání, odčítání, násobení a dělení. POTÉ 1665 V Anglii Isaac Newton rozvíjí infinitezimální počet – kalkulus – a představuje nové pojmy jako limity, funkce a derivace. Tyto postupy vyžadují pro kratší zápis nové symboly. 1801 Carl Friedrich Gauss zavádí symbol pro shodnost – stejnou velikost a stejný tvar.
V
16. století, kdy velš ský lékař a matematik Robert Recorde zahájil svoji práci, neexistovala téměř žádná shoda týkající se zápisu používaného v aritmetice. Hindsko -arabské číslice včetně nuly se sice už běžně používaly, avšak zápis výpočtů byl značně nejednotný. V roce 1543 zavedl Recorde ve své knize The Grounde of Artes (Základy umění) do anglické mate matiky symboly pro sčítání (+) a odčítání (–). Tyto symboly se v tisku poprvé oblevily v knize
Mercantile Arithmetic (Kupecká aritmetika, 1489) od matema tika Johannese Widmana, avšak němečtí kupci je používali prav děpodobně ještě před vydáním Widmanovy knihy. Symbolika postupně nahradila písmena „p“ pro plus a „m“ pro minus. Nejprve ji při jali učenci v Itálii a poté v Anglii. V roce 1557 Recorde přišel s novým symbolem. Ve spisu The Whetstone of Witte (Brus důvtipu) použil pro zápis rovnosti dvojici stejných rovnoběžných úseček (=), k čemuž dodal, že „žádné dvě věci si nemohou být rovnější“ než právě tyto. Recorde tvrdil, že díky těmto symbolům nebudou muset mate matikové zapisovat své výpočty slovy. Symbol rovnítka se téměř všude rychle ujal a v 17. století byla vytvořena řada dalších, dnes dávno zavedených symbolů, jako jsou značky pro násobení (×) a dělení (:).
Zápis algebraických výrazů Zatímco první algebraické tech niky se datují do doby Babyloňanů, Robert Recorde testuje ve svých kalkulacích rovnítko (=), jak to vidíme v jednom z jeho sešitů. Recordeho symbol byl znatelně delší než jeho moderní podoba.
Viz také: Poziční číselné soustavy 22–27 ■ Záporná čísla 76–79 ■ Algebra 92–99 ■ Desetinná čísla 132–137 ■ Logaritmy 138–141 ■ Kalkulus 168–175
Vznik symbolů Symbol
Význam
Vynálezce
Datum
odčítání
Johannes Widman
1489
+
sčítání
Johannes Widman
1489
=
rovnost
Robert Recorde
1557
násobení
William Oughtred
1631
<
menší než
Thomas Harriot
1631
Robert Recorde
>
větší než
Thomas Harriot
1631
dělení
Johann Rahn
1659
Narodil se kolem roku 1510 v Tenby ve Walesu. Roku 1525 začal studovat medicínu v Oxfordu, 1545 získal v Cam bridge doktorát z medicíny. Poté přednášel na obou univerzitách matematiku a v roce 1543 napsal první anglicky psanou knihu o algeb ře. Roku 1549, poté co praco val jako lékař v Londýně, byl jmenován vedoucím mincovny v Bristolu. Když ale odmítl poskytnout finanční prostřed ky armádě Williama Herberta, byla mincovna zavřena. V roce 1661 byl Recorde jmenován do funkce ředi tele mincovny v Dublinu, která vlastnila stříbrné doly v Německu. Když se mu nepo dařilo dosáhnout zisku, byly uzavřeny také ony. Recorde se později pokusil obvinit Herber ta ze špatného hospodaření, avšak on sám byl obžalován za pomluvu. Jelikož nedokázal zaplatit pokutu, v roce 1557 byl uvězněn v Londýně, kde rok nato zemřel.
tedy více než dvě tisíciletí do minulosti, většina výpočtů před 16. stoletím se zapisovala slovy – někdy sice zkráceně, avšak ne jednotným způsobem. Anglický matematik Thomas Harriot a fran couzský matematik François Viète, z nichž každý má svůj podíl na vývoji algebry, využili k vypra cování konzistentního symbo lického zápisu písmena. V jejich systému byl nejvíce patrný rozdíl z hlediska současné notace zápisu mocnin pomocí opakování pís mena. Například a3 se zapisovalo aaa a x4 jako xxxx.
letí, kdy zápis x2 upřednostňoval německý matematik Carl Gauss. Také Descartes přispěl k vylepšení notace, když neznámé v rovnicích zapisoval písmeny x, y a z a známé hodnoty psal a, b a c. Trvalo sice dlouho, než se zápis algebraických výrazů uchytil, avšak když symbol dával smysl a pomáhal matematikům při řešení problémů, stal se rychle normou. K pohoto vějšímu přijímání takového zápisu vedl také lepší kontakt mezi mate matiky v různých částech světa v 17. století. ■
Moderní systém
Francouzský matematik Nicholas Chuquet použil v roce 1484 pro vyjádření exponentů (mocnitelů) horní index, avšak nezapisoval je tak, kupříkladu 6x2 psal jako 6.2. Trvalo více než 150 let, než se horní index začal běžně používat. René Descartes poskytl zřetel nou ukázku v roce 1637, když psal 3x + 5x3, avšak x2 pak zapi soval i nadále jako xx. K širšímu používání notace pomocí horního indexu došlo až na počátku 19. sto
Abych se vyhnul únavnému opakování slov „rovná se“, zavedu to, co často využívám ve své práci, totiž dvojici rovnoběžek. Robert Recorde
Hlavní díla 1543 Arithmetic: Or the Grounde of Artes 1551 The Pathway to Knowledge 1557 The Whetstone of Witte
RENESANCE 127
126
DVOJICE ÚSEČEK STEJNÉ DÉLKY ROVNÍTKO A DALŠÍ SYMBOLIKA
SOUVISLOSTI HLAVNÍ POSTAVA Robert Recorde (asi 1510–1558) ODVĚTVÍ Číselné soustavy POČÁTKY 250 n. l. Řecký matematik Diofantos využívá ve své Aritmetice pro zápis proměnných (neznámých množství) symboly. 1478 Kupecká aritmetika z Trevisa vysvětluje jednodu chou řečí, jak provádět sčítání, odčítání, násobení a dělení. POTÉ 1665 V Anglii Isaac Newton rozvíjí infinitezimální počet – kalkulus – a představuje nové pojmy jako limity, funkce a derivace. Tyto postupy vyžadují pro kratší zápis nové symboly. 1801 Carl Friedrich Gauss zavádí symbol pro shodnost – stejnou velikost a stejný tvar.
V
16. století, kdy velš ský lékař a matematik Robert Recorde zahájil svoji práci, neexistovala téměř žádná shoda týkající se zápisu používaného v aritmetice. Hindsko -arabské číslice včetně nuly se sice už běžně používaly, avšak zápis výpočtů byl značně nejednotný. V roce 1543 zavedl Recorde ve své knize The Grounde of Artes (Základy umění) do anglické mate matiky symboly pro sčítání (+) a odčítání (–). Tyto symboly se v tisku poprvé oblevily v knize
Mercantile Arithmetic (Kupecká aritmetika, 1489) od matema tika Johannese Widmana, avšak němečtí kupci je používali prav děpodobně ještě před vydáním Widmanovy knihy. Symbolika postupně nahradila písmena „p“ pro plus a „m“ pro minus. Nejprve ji při jali učenci v Itálii a poté v Anglii. V roce 1557 Recorde přišel s novým symbolem. Ve spisu The Whetstone of Witte (Brus důvtipu) použil pro zápis rovnosti dvojici stejných rovnoběžných úseček (=), k čemuž dodal, že „žádné dvě věci si nemohou být rovnější“ než právě tyto. Recorde tvrdil, že díky těmto symbolům nebudou muset mate matikové zapisovat své výpočty slovy. Symbol rovnítka se téměř všude rychle ujal a v 17. století byla vytvořena řada dalších, dnes dávno zavedených symbolů, jako jsou značky pro násobení (×) a dělení (:).
Zápis algebraických výrazů Zatímco první algebraické tech niky se datují do doby Babyloňanů, Robert Recorde testuje ve svých kalkulacích rovnítko (=), jak to vidíme v jednom z jeho sešitů. Recordeho symbol byl znatelně delší než jeho moderní podoba.
Viz také: Poziční číselné soustavy 22–27 ■ Záporná čísla 76–79 ■ Algebra 92–99 ■ Desetinná čísla 132–137 ■ Logaritmy 138–141 ■ Kalkulus 168–175
Vznik symbolů Symbol
Význam
Vynálezce
Datum
odčítání
Johannes Widman
1489
+
sčítání
Johannes Widman
1489
=
rovnost
Robert Recorde
1557
násobení
William Oughtred
1631
<
menší než
Thomas Harriot
1631
Robert Recorde
>
větší než
Thomas Harriot
1631
dělení
Johann Rahn
1659
Narodil se kolem roku 1510 v Tenby ve Walesu. Roku 1525 začal studovat medicínu v Oxfordu, 1545 získal v Cam bridge doktorát z medicíny. Poté přednášel na obou univerzitách matematiku a v roce 1543 napsal první anglicky psanou knihu o algeb ře. Roku 1549, poté co praco val jako lékař v Londýně, byl jmenován vedoucím mincovny v Bristolu. Když ale odmítl poskytnout finanční prostřed ky armádě Williama Herberta, byla mincovna zavřena. V roce 1661 byl Recorde jmenován do funkce ředi tele mincovny v Dublinu, která vlastnila stříbrné doly v Německu. Když se mu nepo dařilo dosáhnout zisku, byly uzavřeny také ony. Recorde se později pokusil obvinit Herber ta ze špatného hospodaření, avšak on sám byl obžalován za pomluvu. Jelikož nedokázal zaplatit pokutu, v roce 1557 byl uvězněn v Londýně, kde rok nato zemřel.
tedy více než dvě tisíciletí do minulosti, většina výpočtů před 16. stoletím se zapisovala slovy – někdy sice zkráceně, avšak ne jednotným způsobem. Anglický matematik Thomas Harriot a fran couzský matematik François Viète, z nichž každý má svůj podíl na vývoji algebry, využili k vypra cování konzistentního symbo lického zápisu písmena. V jejich systému byl nejvíce patrný rozdíl z hlediska současné notace zápisu mocnin pomocí opakování pís mena. Například a3 se zapisovalo aaa a x4 jako xxxx.
letí, kdy zápis x2 upřednostňoval německý matematik Carl Gauss. Také Descartes přispěl k vylepšení notace, když neznámé v rovnicích zapisoval písmeny x, y a z a známé hodnoty psal a, b a c. Trvalo sice dlouho, než se zápis algebraických výrazů uchytil, avšak když symbol dával smysl a pomáhal matematikům při řešení problémů, stal se rychle normou. K pohoto vějšímu přijímání takového zápisu vedl také lepší kontakt mezi mate matiky v různých částech světa v 17. století. ■
Moderní systém
Francouzský matematik Nicholas Chuquet použil v roce 1484 pro vyjádření exponentů (mocnitelů) horní index, avšak nezapisoval je tak, kupříkladu 6x2 psal jako 6.2. Trvalo více než 150 let, než se horní index začal běžně používat. René Descartes poskytl zřetel nou ukázku v roce 1637, když psal 3x + 5x3, avšak x2 pak zapi soval i nadále jako xx. K širšímu používání notace pomocí horního indexu došlo až na počátku 19. sto
Abych se vyhnul únavnému opakování slov „rovná se“, zavedu to, co často využívám ve své práci, totiž dvojici rovnoběžek. Robert Recorde
Hlavní díla 1543 Arithmetic: Or the Grounde of Artes 1551 The Pathway to Knowledge 1557 The Whetstone of Witte
RENESANCE 167
166
POHYB KYVADLA
SOUČET VZDÁLENOSTÍ SE ROVNÁ VÝŠCE VIVIANIHO VĚTA
HUYGENSOVA IZOCHRONNÍ KŘIVKA
SOUVISLOSTI
POČÁTKY asi 300 př. n. l. Eukleidés definuje trojúhelník ve své knize Základy a dokazuje řadu vět týkajících se trojúhelníků. asi 50 n. l. Hérón Alexand rijský vynalézá vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníka z velikostí jeho stran. POTÉ 1822 Německý geometr Karl Wilhelm Feuerbach uveřejňuje důkaz, že devítibodová kružnice prochází středy všech stran trojúhelníku. 1826 Švýcarský geometr Jakob Steiner popisuje bod v trojúhelníku, pro který je součet vzdáleností od všech vrcholů trojúhelníku minimální.
Důkaz této věty
Začneme rovnostranným troj úhelníkem se základnou (stra nou) a a výškou h (viz vpravo nahoře) a uvnitř tohoto trojúhel níku vyznačíme bod. Z tohoto bodu narýsujeme kolmice (p, q a r ) na všechny tři strany troj úhelníka. Propojíme-li tento bod úsečkami s každým z vrcholů trojúhelníka, rozdělíme hlavní trojúhelník na tři menší trojúhel
p p
q
q
r
r
h
ODVĚTVÍ Geometrie
I
SOUVISLOSTI Výška
HLAVNÍ POSTAVA Vincenzo Viviani (1622–1703)
talský matematik Vincenzo Viviani studoval u Galilea ve Florencii. Po Galileově smrti v roce 1642 shromáždil mis trovy práce a připravil první sou borné vydání jeho díla v letech 1655–1656. Viviani se ve svém výzkumu zabýval také rychlostí zvuku, kterou změřil s odchylkou 25 m za sekundu od skutečné hodnoty. Nejvíce však proslul svojí větou o trojúhelníku, která říká, že součet vzdáleností libovolného bodu v rov nostranném trojúhelníku od stran tohoto trojúhelníku se rovná výšce příslušného trojúhelníku.
Základna
a
Výška rovnostranného trojúhelníka se vždy rovná součtu délek úseček spuštěných kolmo na každou ze stran trojúhelníku z libovolného bodu uvnitř trojúhelníku.
níky. Obsah trojúhelníka se rovná 1/2 × základna × výška, takže když mají tyto kolmice délky p, q a r, součet obsahů těchto tří trojúhel níků se rovná 1/2 (p + q + r)a. To je ale také obsah velkého trojúhel níka, jenž činí 1/2 ha, a tak nám vychází, že h = p + q + r. Kdybyste rozlomili špejli o délce h na tři kousky, najdete v daném trojúhel níku vždy bod, z něhož budou tyto kousky tvořit kolmice p, q a r. ■
Viz také: Pýthagorás 36–43 ■ Eukleidovy Základy 52–57 ■ Trigonometrie 70–75 Projektivní geometrie 154–155 ■ Neeukleidovské geometrie 228–229
HLAVNÍ POSTAVA Christiaan Huygens (1629–1695) ODVĚTVÍ Geometrie POČÁTKY 1503 Francouzský matematik Charles de Bovelles jako první popisuje cykloidu. 1602 Galileo objevuje, že čas potřebný na úplný kmit kyvadla nezávisí na šířce kmitu. POTÉ 1690 Švýcarský matematik Jacob Bernoulli vychází z Huygensova nedokonalého řešení problému izochronnosti a přichází s řešením problému brachistochrony – křivky s nejkratším spádem.
■
Počátek 17. století Britský hodinář John Harrison a další řeší problém zeměpisné délky a namísto kyvadel navrhují použít pružiny.
V
roce 1656 nizozem ský fyzik a matematik Christiaan Huygens zkonstruoval hodiny s kmitajícím závažím (kyvadlem) s konstantní hnací silou. Chtěl vyřešit navi gační problém spjatý s určováním zeměpisné délky polohy lodi, bez přesného výpočtu času to ale nešlo, takže bylo třeba vyvinout přesné hodiny, které by neovlivňo val pohyb mořských vln. Houpání zapříčiňovalo odchylky v pohybu kyvadla, jež vedly k nepřesnosti měření času.
cykloidálních destiček. Teoreticky by tak byla doba každého kmitu stejná bez ohledu na výchozí bod. Bohužel tření zapříčiňovalo větší chybu, než byla ta, kterou se Huygens snažil odstranit. Vyřešit tento problém dokázal až v šedesátých letech 18. století Ital Joseph-Louis Lagrange. Jeho řešení vyžadovalo, aby výška křivky byla úměrná druhé mocnině délky oblouku opisovaného kyvadlem. ■
Hledání správné křivky
Klíčovým úkolem bylo nalezení zakřivené dráhy – izochronní (rovnodobé) křivky, po níž by se kyvadlo pohybovalo. Po takové křivce se kyvadlo vrací do svého nejnižšího bodu bez ohledu na to, jaký je nejvyšší bod jeho dráhy. Huygens zvolil cykloidu, křivku, která je u vrcholu strmá a vespod mělká. Zakřivenou dráhu kyvadla bylo proto třeba upravit tak, aby odpovídala cykloidě. Huygense napadlo omezit kyvadlo přidáním
Byl jsem (…) ohromen pozoruhodným zjištěním, že v geometrii všechna tělesa putující podél cykloidy klesnou z libovolného bodu za stejný čas. Herman Melville Moby Dick (1851)
Viz také: Obsah plochy ohraničené cykloidou 152–153 trojúhelník 156–161 ■ Zákon velkých čísel 184–185
■
Pascalův
RENESANCE 167
166
POHYB KYVADLA
SOUČET VZDÁLENOSTÍ SE ROVNÁ VÝŠCE VIVIANIHO VĚTA
HUYGENSOVA IZOCHRONNÍ KŘIVKA
SOUVISLOSTI
POČÁTKY asi 300 př. n. l. Eukleidés definuje trojúhelník ve své knize Základy a dokazuje řadu vět týkajících se trojúhelníků. asi 50 n. l. Hérón Alexand rijský vynalézá vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníka z velikostí jeho stran. POTÉ 1822 Německý geometr Karl Wilhelm Feuerbach uveřejňuje důkaz, že devítibodová kružnice prochází středy všech stran trojúhelníku. 1826 Švýcarský geometr Jakob Steiner popisuje bod v trojúhelníku, pro který je součet vzdáleností od všech vrcholů trojúhelníku minimální.
Důkaz této věty
Začneme rovnostranným troj úhelníkem se základnou (stra nou) a a výškou h (viz vpravo nahoře) a uvnitř tohoto trojúhel níku vyznačíme bod. Z tohoto bodu narýsujeme kolmice (p, q a r ) na všechny tři strany troj úhelníka. Propojíme-li tento bod úsečkami s každým z vrcholů trojúhelníka, rozdělíme hlavní trojúhelník na tři menší trojúhel
p p
q
q
r
r
h
ODVĚTVÍ Geometrie
I
SOUVISLOSTI Výška
HLAVNÍ POSTAVA Vincenzo Viviani (1622–1703)
talský matematik Vincenzo Viviani studoval u Galilea ve Florencii. Po Galileově smrti v roce 1642 shromáždil mis trovy práce a připravil první sou borné vydání jeho díla v letech 1655–1656. Viviani se ve svém výzkumu zabýval také rychlostí zvuku, kterou změřil s odchylkou 25 m za sekundu od skutečné hodnoty. Nejvíce však proslul svojí větou o trojúhelníku, která říká, že součet vzdáleností libovolného bodu v rov nostranném trojúhelníku od stran tohoto trojúhelníku se rovná výšce příslušného trojúhelníku.
Základna
a
Výška rovnostranného trojúhelníka se vždy rovná součtu délek úseček spuštěných kolmo na každou ze stran trojúhelníku z libovolného bodu uvnitř trojúhelníku.
níky. Obsah trojúhelníka se rovná 1/2 × základna × výška, takže když mají tyto kolmice délky p, q a r, součet obsahů těchto tří trojúhel níků se rovná 1/2 (p + q + r)a. To je ale také obsah velkého trojúhel níka, jenž činí 1/2 ha, a tak nám vychází, že h = p + q + r. Kdybyste rozlomili špejli o délce h na tři kousky, najdete v daném trojúhel níku vždy bod, z něhož budou tyto kousky tvořit kolmice p, q a r. ■
Viz také: Pýthagorás 36–43 ■ Eukleidovy Základy 52–57 ■ Trigonometrie 70–75 Projektivní geometrie 154–155 ■ Neeukleidovské geometrie 228–229
HLAVNÍ POSTAVA Christiaan Huygens (1629–1695) ODVĚTVÍ Geometrie POČÁTKY 1503 Francouzský matematik Charles de Bovelles jako první popisuje cykloidu. 1602 Galileo objevuje, že čas potřebný na úplný kmit kyvadla nezávisí na šířce kmitu. POTÉ 1690 Švýcarský matematik Jacob Bernoulli vychází z Huygensova nedokonalého řešení problému izochronnosti a přichází s řešením problému brachistochrony – křivky s nejkratším spádem.
■
Počátek 17. století Britský hodinář John Harrison a další řeší problém zeměpisné délky a namísto kyvadel navrhují použít pružiny.
V
roce 1656 nizozem ský fyzik a matematik Christiaan Huygens zkonstruoval hodiny s kmitajícím závažím (kyvadlem) s konstantní hnací silou. Chtěl vyřešit navi gační problém spjatý s určováním zeměpisné délky polohy lodi, bez přesného výpočtu času to ale nešlo, takže bylo třeba vyvinout přesné hodiny, které by neovlivňo val pohyb mořských vln. Houpání zapříčiňovalo odchylky v pohybu kyvadla, jež vedly k nepřesnosti měření času.
cykloidálních destiček. Teoreticky by tak byla doba každého kmitu stejná bez ohledu na výchozí bod. Bohužel tření zapříčiňovalo větší chybu, než byla ta, kterou se Huygens snažil odstranit. Vyřešit tento problém dokázal až v šedesátých letech 18. století Ital Joseph-Louis Lagrange. Jeho řešení vyžadovalo, aby výška křivky byla úměrná druhé mocnině délky oblouku opisovaného kyvadlem. ■
Hledání správné křivky
Klíčovým úkolem bylo nalezení zakřivené dráhy – izochronní (rovnodobé) křivky, po níž by se kyvadlo pohybovalo. Po takové křivce se kyvadlo vrací do svého nejnižšího bodu bez ohledu na to, jaký je nejvyšší bod jeho dráhy. Huygens zvolil cykloidu, křivku, která je u vrcholu strmá a vespod mělká. Zakřivenou dráhu kyvadla bylo proto třeba upravit tak, aby odpovídala cykloidě. Huygense napadlo omezit kyvadlo přidáním
Byl jsem (…) ohromen pozoruhodným zjištěním, že v geometrii všechna tělesa putující podél cykloidy klesnou z libovolného bodu za stejný čas. Herman Melville Moby Dick (1851)
Viz také: Obsah plochy ohraničené cykloidou 152–153 trojúhelník 156–161 ■ Zákon velkých čísel 184–185
■
Pascalův
19. STOLETÍ 235
234
PŘESNĚ JAKO KAPESNÍ MAPA
Viz také: Imaginární a komplexní čísla 128–131 ■ Soustava souřadnic 144–151 Newtonovy pohybové zákony 182–183 ■ Komplexní rovina 214–215
Po vyčerpávajícím pochopení komplexních čísel čelili matematikové další výzvě: bylo třeba vytvořit číslo, které by fungovalo stejně, ale v trojrozměrném prostoru. Logickou odpovědí bylo přidání další číselné osy j, která by jak s reálnou, tak s imaginární osou svírala úhel 90°, nikdo však nenacházel způsob, jak takováto čísla sčítat, násobit a tak dále.
KVATERNIONY
SOUVISLOSTI HLAVNÍ POSTAVA William Rowan Hamilton (1805–1865) ODVĚTVÍ Číselné soustavy POČÁTKY 1572 Ital Rafael Bombelli vyvíjí komplexní čísla kombinací reálných čísel vycházejících z jednotky 1 s imaginárními čísly založenými na jednotce i. 1806 Jean-Robert Argand navrhuje geometrické znázornění komplexních čísel v podobě souřadnic v komplexní rovině. POTÉ 1888 Charles Hinton vynalézá teserakt, který představuje rozšíření krychle do čtyř prostorových dimenzí. Teserakt tvoří čtyři krychle, šest čtverců a čtyři hrany sbíhající se v každém z vrcholů.
K
vaterniony, jež jsou rozšířením oboru komplexních čísel, se využívají k modelování, řízení a popisu pohybu ve třech rozměrech s uplatněním například v tvorbě grafiky videoher, plánování trajektorií vesmírných sond či výpo-
čtu směru, kterým míří chytrý telefon. Kvaterniony jsou duchovním dítětem Williama Rowana Hamiltona, irského matematika, kterého zajímalo, jak by bylo možné matematicky modelovat pohyb v trojrozměrném prostoru. V roce 1843 si v návalu inspirace
Jelikož kvaterniony dokážou modelovat a řídit pohyb objektů ve třech dimenzích, nacházejí uplatnění zejména v hrách s virtuální realitou.
uvědomil, že „problém se třemi rozměry“ nelze vyřešit trojrozměrným číslem, ale že k tomu bude potřebovat čtyřrozměrné číslo: kvaternion.
Pohyby a rotace Komplexní čísla (ve tvaru součtů reálných a imaginárních čísel) mají dva rozměry a popisují pohyb pomocí dvou dimenzí.
Pro popis pohybu ve třech dimenzích potřebujeme rozšířenou podobu komplexních čísel.
S trojrozměrným číslem však při popisu pohybu ve třech dimenzích nevystačíme.
Plný popis pohybu v trojrozměrném prostoru vyžaduje čtyřrozměrné číslo neboli kvaternion.
■
Komplexní čísla jsou dvojrozměrná: skládají se z reálné a imaginární části, například 1 + 2i. V důsledku toho mohou tyto dvě části kteréhokoliv komplexního čísla fungovat jako souřadnice a číslo tak lze znázornit v rovině. Dvojrozměrná komplexní rovina rozšiřuje jednorozměrnou číselnou osu a propojuje reálná čísla s imaginárními jednotkami. Zobrazování komplexních čísel tak umožňuje výpočet pohybu a rotace ve dvou dimenzích (rozměrech). Jakýkoliv pohyb po přímce z bodu A do bodu B lze vyjádřit v podobě součtu dvou komplexních čísel. Přičítáním dalších čísel vzniká sekvence pohybů v rovině. K popisu rotace je třeba komplexní čísla mezi sebou násobit. Každé vynásobení imaginární jednotkou i znamená otočení o 90° a otočení o jiné úhly lze dosáhnout násobením zlomkovými hodnotami i.
Čtyři rozměry
Hamiltonovo řešení spočívalo v přidání čtvrté ne-reálné jednotky k. Vznikl tím kvaternion v základním tvaru a + bi + cj + dk, kde a, b, c a d zastupují reálná čísla. Dvě další kvaternionové jednotky, j a k, mají podobné vlastnosti jako i a jsou také imaginární. Kvaternion může definovat vektor nebo přímku v trojrozměrném prostoru a může popsat úhel a směr rotace kolem tohoto vektoru. Podobně jako komplexní rovina i jednoduchá kvaternionová matematika propojená se základní trigonometrií nabízí metody popisu všech možných druhů pohybů v trojrozměrném prostoru. ■
Proud myšlenek zahltil mou mysl a poskytl mi nakonec výsledek (…) Zdá se, že se elektrický obvod uzavřel a zableskla se jiskra, poselkyně mnoha dlouhých let. William Rowan Hamilton
William Rowan Hamilton Narodil se v irském Dublinu roku 1805. O matematiku projevil zájem již ve věku 8 let, poté co se setkal se Zerahem Colburnem, americkým zázračným matematickým dítětem. Ve věku 22 let, kdy ještě studoval na koleji svaté Trojice v Dublinu, byl jmenován univerzitním profesorem astronomie a také královským astronomem Irska. Znalosti Newtonovy mechaniky umožnily Hamiltonovi počítat trajektorie nebeských těles. Později rozšířil Newtonovu mechaniku do odvětví, které umožnilo další pokrok v elektromagnetismu a kvantové mechanice. V roce 1856 se snažil zpeněžit své dovednosti a vymyslel hru Icosian Game, v níž hráči hledají cestu propojující vrcholy dvanáctistěnu, přičemž se nesmějí dvakrát vrátit do stejného vrcholu. Práva na hru prodal za 25 liber. Zemřel roku 1865 po silném záchvatu dny. Hlavní díla 1853 Přednášky o kvaternionech 1866 Prvky kvaternionů
19. STOLETÍ 235
234
PŘESNĚ JAKO KAPESNÍ MAPA
Viz také: Imaginární a komplexní čísla 128–131 ■ Soustava souřadnic 144–151 Newtonovy pohybové zákony 182–183 ■ Komplexní rovina 214–215
Po vyčerpávajícím pochopení komplexních čísel čelili matematikové další výzvě: bylo třeba vytvořit číslo, které by fungovalo stejně, ale v trojrozměrném prostoru. Logickou odpovědí bylo přidání další číselné osy j, která by jak s reálnou, tak s imaginární osou svírala úhel 90°, nikdo však nenacházel způsob, jak takováto čísla sčítat, násobit a tak dále.
KVATERNIONY
SOUVISLOSTI HLAVNÍ POSTAVA William Rowan Hamilton (1805–1865) ODVĚTVÍ Číselné soustavy POČÁTKY 1572 Ital Rafael Bombelli vyvíjí komplexní čísla kombinací reálných čísel vycházejících z jednotky 1 s imaginárními čísly založenými na jednotce i. 1806 Jean-Robert Argand navrhuje geometrické znázornění komplexních čísel v podobě souřadnic v komplexní rovině. POTÉ 1888 Charles Hinton vynalézá teserakt, který představuje rozšíření krychle do čtyř prostorových dimenzí. Teserakt tvoří čtyři krychle, šest čtverců a čtyři hrany sbíhající se v každém z vrcholů.
K
vaterniony, jež jsou rozšířením oboru komplexních čísel, se využívají k modelování, řízení a popisu pohybu ve třech rozměrech s uplatněním například v tvorbě grafiky videoher, plánování trajektorií vesmírných sond či výpo-
čtu směru, kterým míří chytrý telefon. Kvaterniony jsou duchovním dítětem Williama Rowana Hamiltona, irského matematika, kterého zajímalo, jak by bylo možné matematicky modelovat pohyb v trojrozměrném prostoru. V roce 1843 si v návalu inspirace
Jelikož kvaterniony dokážou modelovat a řídit pohyb objektů ve třech dimenzích, nacházejí uplatnění zejména v hrách s virtuální realitou.
uvědomil, že „problém se třemi rozměry“ nelze vyřešit trojrozměrným číslem, ale že k tomu bude potřebovat čtyřrozměrné číslo: kvaternion.
Pohyby a rotace Komplexní čísla (ve tvaru součtů reálných a imaginárních čísel) mají dva rozměry a popisují pohyb pomocí dvou dimenzí.
Pro popis pohybu ve třech dimenzích potřebujeme rozšířenou podobu komplexních čísel.
S trojrozměrným číslem však při popisu pohybu ve třech dimenzích nevystačíme.
Plný popis pohybu v trojrozměrném prostoru vyžaduje čtyřrozměrné číslo neboli kvaternion.
■
Komplexní čísla jsou dvojrozměrná: skládají se z reálné a imaginární části, například 1 + 2i. V důsledku toho mohou tyto dvě části kteréhokoliv komplexního čísla fungovat jako souřadnice a číslo tak lze znázornit v rovině. Dvojrozměrná komplexní rovina rozšiřuje jednorozměrnou číselnou osu a propojuje reálná čísla s imaginárními jednotkami. Zobrazování komplexních čísel tak umožňuje výpočet pohybu a rotace ve dvou dimenzích (rozměrech). Jakýkoliv pohyb po přímce z bodu A do bodu B lze vyjádřit v podobě součtu dvou komplexních čísel. Přičítáním dalších čísel vzniká sekvence pohybů v rovině. K popisu rotace je třeba komplexní čísla mezi sebou násobit. Každé vynásobení imaginární jednotkou i znamená otočení o 90° a otočení o jiné úhly lze dosáhnout násobením zlomkovými hodnotami i.
Čtyři rozměry
Hamiltonovo řešení spočívalo v přidání čtvrté ne-reálné jednotky k. Vznikl tím kvaternion v základním tvaru a + bi + cj + dk, kde a, b, c a d zastupují reálná čísla. Dvě další kvaternionové jednotky, j a k, mají podobné vlastnosti jako i a jsou také imaginární. Kvaternion může definovat vektor nebo přímku v trojrozměrném prostoru a může popsat úhel a směr rotace kolem tohoto vektoru. Podobně jako komplexní rovina i jednoduchá kvaternionová matematika propojená se základní trigonometrií nabízí metody popisu všech možných druhů pohybů v trojrozměrném prostoru. ■
Proud myšlenek zahltil mou mysl a poskytl mi nakonec výsledek (…) Zdá se, že se elektrický obvod uzavřel a zableskla se jiskra, poselkyně mnoha dlouhých let. William Rowan Hamilton
William Rowan Hamilton Narodil se v irském Dublinu roku 1805. O matematiku projevil zájem již ve věku 8 let, poté co se setkal se Zerahem Colburnem, americkým zázračným matematickým dítětem. Ve věku 22 let, kdy ještě studoval na koleji svaté Trojice v Dublinu, byl jmenován univerzitním profesorem astronomie a také královským astronomem Irska. Znalosti Newtonovy mechaniky umožnily Hamiltonovi počítat trajektorie nebeských těles. Později rozšířil Newtonovu mechaniku do odvětví, které umožnilo další pokrok v elektromagnetismu a kvantové mechanice. V roce 1856 se snažil zpeněžit své dovednosti a vymyslel hru Icosian Game, v níž hráči hledají cestu propojující vrcholy dvanáctistěnu, přičemž se nesmějí dvakrát vrátit do stejného vrcholu. Práva na hru prodal za 25 liber. Zemřel roku 1865 po silném záchvatu dny. Hlavní díla 1853 Přednášky o kvaternionech 1866 Prvky kvaternionů
MODERNÍ MATEMATIKA 269
268 SOUVISLOSTI
STATISTIKA PŘEDSTAVUJE GRAMATIKU VĚDY ZROD MODERNÍ STATISTIKY
HLAVNÍ POSTAVA Francis Galton (1822–1911) ODVĚTVÍ Teorie čísel POČÁTKY 1774 Pierre-Simon Laplace znázorňuje očekávaný vzor rozdělení kolem střední hodnoty. 1809 Carl Friedrich Gauss vyvíjí metodu nejmenších čtverců pro nalezení nejvhodnější přímky pro proložení rozptýlenými daty. 1835 Adolphe Quetelet podporuje použití zvonové křivky pro modelování sociálních údajů. POTÉ 1900 Karl Pearson navrhuje chí-kvadrát test pro určování významu odchylek mezi oče kávanými a pozorovanými četnostmi.
S
tatistika je odvětví matematiky, které se zabývá analýzou a interpretací velkých objemů dat. Její základy byly položeny v pozdním 19. století. Hlavní podíl na tom mají britští polyhistorikové Francis Galton a Karl Pearson. Statistika zkoumá, zda je vzor zaznamenaných dat důležitý, nebo náhodný. Její původ vychází ze snah matematiků 18. století, jakým byl Pierre-Simon Laplace, o identifikaci chyb vznikajících při pozorování v astronomii. V libovolném souboru vědeckých dat bývá většina chyb obvykle velmi malá a pouze několik málo dosahuje velmi velkých hodnot. Takže
Viz také: Záporná čísla 76–79 ■ Pravděpodobnost 162–165 Laplaceův démon 218–219 ■ Poissonovo rozdělení 220–221
když data z pozorování zobrazíme v grafu, získáme křivku ve tvaru zvonu, jejíž vrchol tvoří nejpravděpodobnější výsledek neboli „střed“. V roce 1835 belgický matematik Adolphe Quetelet prohlásil, že vlastnosti jako tělesná hmotnost v lidské populaci sledují tvar zvonové křivky, u níž mají hodnoty kolem střední hodnoty nejvyšší četnost (frekvenci). Vyšší nebo nižší hmotnosti mají menší četnost. Ke stanovení tělesné hmotnosti navrhl Queteletův index (dnešní BMI – Body Mass Index). Když zaneseme do grafu dvě proměnné, třeba výšku a věk, dostaneme obvykle data v podobě rozptýlených bodů, které nelze propojit hezkou linkou. Nicméně v roce 1809 objevil německý matematik Carl Friedrich Gauss rovnici pro nalezení nejlépe „pasující“ linky, která by znázorňovala vztah mezi dvěma proměnnými. Použil tzv. metodu nejmenších čtverců, využívající součtů druhých mocnin dat, která dodnes nachází uplatnění ve statistice. Ve čtyřicátých letech 19. století hledali matematikové jako Auguste Bravais přípustnou velikost chyby u takové přímky a pokoušeli se stanovit význam střední hodnoty neboli „mediánu“ souboru dat.
■
Normální rozdělení 192–193
■
Základní věta algebry 204–209
Galtonova deska
Pravděpodobnost, že kulička padne na jednu, nebo druhou stranu kolíku, je ½.
Pravděpodobnost, že kulička padne na některou stranu středního kolíku ve třetí řadě, je nyní třikrát vyšší, než že padne na odvrácenou stranu vnějších kolíků.
1/16
1/1
1/4
4 /16
3/8
6/16
Pravděpodobnost, že kulička padne na vnější stranu každého kolíku, se s každou řadou snižuje na polovinu.
1/4
2/4
3/8
1/8
Každá kulička je upuštěna přímo na první kolík.
1/2
1/2
1/8
4 /16
1/16
Pravděpodobnost, že kulička padne do střední 1 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32 /32 přihrádky, je nejvyšší, takže zde skončí největší 1/64 6/64 15/64 20/64 15/64 6/64 1/64 podíl kuliček.
Korelace a regrese
Byl to nejprve Galton a po něm Pearson, kteří tato vlákna začali splétat. Galtona inspirovala práce jeho bratrance Charlese o evoluci a jeho cílem bylo ukázat, s jakou pravděpodobností se vlastnosti, jako jsou výška, fyziognomie, a dokonce i inteligence a sklony k páchání zločinů mohou přenášet z jedné generace na další. Galto novy a Pearsonovy myšlenky ❯❯
■
Francis Galton vynalezl svou Galtonovu desku (někdy také zvanou quincunx) k modelování zvonové křivky – křivky normálního rozdělení.
Rozdělení (rozložení) kuliček vytváří zvonovou křivku normálního rozdělení.
MODERNÍ MATEMATIKA 269
268 SOUVISLOSTI
STATISTIKA PŘEDSTAVUJE GRAMATIKU VĚDY ZROD MODERNÍ STATISTIKY
HLAVNÍ POSTAVA Francis Galton (1822–1911) ODVĚTVÍ Teorie čísel POČÁTKY 1774 Pierre-Simon Laplace znázorňuje očekávaný vzor rozdělení kolem střední hodnoty. 1809 Carl Friedrich Gauss vyvíjí metodu nejmenších čtverců pro nalezení nejvhodnější přímky pro proložení rozptýlenými daty. 1835 Adolphe Quetelet podporuje použití zvonové křivky pro modelování sociálních údajů. POTÉ 1900 Karl Pearson navrhuje chí-kvadrát test pro určování významu odchylek mezi oče kávanými a pozorovanými četnostmi.
S
tatistika je odvětví matematiky, které se zabývá analýzou a interpretací velkých objemů dat. Její základy byly položeny v pozdním 19. století. Hlavní podíl na tom mají britští polyhistorikové Francis Galton a Karl Pearson. Statistika zkoumá, zda je vzor zaznamenaných dat důležitý, nebo náhodný. Její původ vychází ze snah matematiků 18. století, jakým byl Pierre-Simon Laplace, o identifikaci chyb vznikajících při pozorování v astronomii. V libovolném souboru vědeckých dat bývá většina chyb obvykle velmi malá a pouze několik málo dosahuje velmi velkých hodnot. Takže
Viz také: Záporná čísla 76–79 ■ Pravděpodobnost 162–165 Laplaceův démon 218–219 ■ Poissonovo rozdělení 220–221
když data z pozorování zobrazíme v grafu, získáme křivku ve tvaru zvonu, jejíž vrchol tvoří nejpravděpodobnější výsledek neboli „střed“. V roce 1835 belgický matematik Adolphe Quetelet prohlásil, že vlastnosti jako tělesná hmotnost v lidské populaci sledují tvar zvonové křivky, u níž mají hodnoty kolem střední hodnoty nejvyšší četnost (frekvenci). Vyšší nebo nižší hmotnosti mají menší četnost. Ke stanovení tělesné hmotnosti navrhl Queteletův index (dnešní BMI – Body Mass Index). Když zaneseme do grafu dvě proměnné, třeba výšku a věk, dostaneme obvykle data v podobě rozptýlených bodů, které nelze propojit hezkou linkou. Nicméně v roce 1809 objevil německý matematik Carl Friedrich Gauss rovnici pro nalezení nejlépe „pasující“ linky, která by znázorňovala vztah mezi dvěma proměnnými. Použil tzv. metodu nejmenších čtverců, využívající součtů druhých mocnin dat, která dodnes nachází uplatnění ve statistice. Ve čtyřicátých letech 19. století hledali matematikové jako Auguste Bravais přípustnou velikost chyby u takové přímky a pokoušeli se stanovit význam střední hodnoty neboli „mediánu“ souboru dat.
■
Normální rozdělení 192–193
■
Základní věta algebry 204–209
Galtonova deska
Pravděpodobnost, že kulička padne na jednu, nebo druhou stranu kolíku, je ½.
Pravděpodobnost, že kulička padne na některou stranu středního kolíku ve třetí řadě, je nyní třikrát vyšší, než že padne na odvrácenou stranu vnějších kolíků.
1/16
1/1
1/4
4 /16
3/8
6/16
Pravděpodobnost, že kulička padne na vnější stranu každého kolíku, se s každou řadou snižuje na polovinu.
1/4
2/4
3/8
1/8
Každá kulička je upuštěna přímo na první kolík.
1/2
1/2
1/8
4 /16
1/16
Pravděpodobnost, že kulička padne do střední 1 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32 /32 přihrádky, je nejvyšší, takže zde skončí největší 1/64 6/64 15/64 20/64 15/64 6/64 1/64 podíl kuliček.
Korelace a regrese
Byl to nejprve Galton a po něm Pearson, kteří tato vlákna začali splétat. Galtona inspirovala práce jeho bratrance Charlese o evoluci a jeho cílem bylo ukázat, s jakou pravděpodobností se vlastnosti, jako jsou výška, fyziognomie, a dokonce i inteligence a sklony k páchání zločinů mohou přenášet z jedné generace na další. Galto novy a Pearsonovy myšlenky ❯❯
■
Francis Galton vynalezl svou Galtonovu desku (někdy také zvanou quincunx) k modelování zvonové křivky – křivky normálního rozdělení.
Rozdělení (rozložení) kuliček vytváří zvonovou křivku normálního rozdělení.
MODERNÍ MATEMATIKA 293
292 Viz také: Logaritmy 138–141 ■ Teorie grafů 194–195 ■ Topologie 256–259 Turingův stroj 284–289 ■ Sociální matematika 304 ■ Kryptografie 314–317
■
Zrod moderní statistiky 268–271
VŠECHNY NÁS OD SEBE DĚLÍ POUHÝCH ŠEST KROKŮ ŠEST STUPŇŮ ODLOUČENÍ
SOUVISLOSTI
ODVĚTVÍ Teorie čísel
Na tato propojení navazují další propojení s dalšími skupinami a sítěmi lidí.
POČÁTKY 1929 Maďarský spisovatel Frigyes Karinthy poprvé použil frázi „šest stupňů odloučení“.
Další pojítka s jednotlivci, kteří jsou vzdáleni jen tři kroky (kupříkladu kamarád kamarádova kamaráda), odhalují široké rozpětí vzájemné propojenosti lidí.
POTÉ 1967 Americký sociolog Stanley Milgram navrhuje „malý světový experiment“ zkoumající stupeň odloučení a propojenosti lidských bytostí.
1998 V USA sociolog Duncan J. Watts a matematik Steven Strogatz navrhují tzv. model malého světa pro měření propojenosti.
1
2
3
4
5
6
B
Většina jednotlivců je propojena s řadou lidí z různých období svého života.
HLAVNÍ POSTAVA Michael Gurevitch (1930–2008)
1979 Manfred Kochen z IBM a Ithiel de Sola Pool z MIT uveřejňují matematickou analýzu sociálních sítí.
A
Studie naznačují, že jsme-li propojeni přes sociální sítě, všechny nás od sebe dělí v průměru šest kroků.
S
ítě se využívají k modelo vání vztahů mezi objekty a lidmi v mnoha odvětvích včetně počítačové vědy, fyziky částic, ekonomie, kryptografie, biologie, sociologie a klimatologie. Jedním typem sítí je diagram so ciální sítě „šest stupňů odloučení“,
který udává druh propojenosti mezi jednotlivci. Americký postgraduální stu dent Michael Gurevitch uveřejnil v roce 1961 průlomovou studii o cha rakteru sociálních sítí. V roce 1967 se Stanley Milgram snažil zjistit, kolik kontaktů mezi známými je
Teorie šesti stupňů odloučení ukazuje, jak lze dva zdánlivě nepropojené lidi propojit přes jejich kamarády a známé, a to nejvíce šesti kroky. S rozvojem sociálních médií může toto číslo ještě klesnout.
třeba k tomu, aby člověk navázal kontakt s neznámou osobou v USA. Požádal vybrané lidi v Nebrasce, aby poslali dopis náhodně vybra nému adresátu v Massachusetts. Každý z nich poslal tento dopis dál známé osobě, o níž se domníval, že zná adresáta nebo někoho, kdo mu dopis doručí. Milgram zjišťoval, přes kolik lidí putoval každý z dopisů, než dorazil k danému adresátovi. Dospěl k závěru, že k doručení dopisů sta čilo v průměru šest mezistupňů. „Teorie malého světa“ se zrodila ještě před Milgramem. V roce 1929 naznačil Frigyes Karinthy v povídce Články řetězu, že průměrný stupeň propojenosti napříč světem, pokud by bylo propojujícím faktorem přá telství, by se rovnal šesti. Karinthy, jenž byl spisovatelem, a ne mate matikem, tím zavedl pojem „šest
stupňů odloučení“. Od té doby se matematikové pokoušejí modelo vat průměrný stupeň odloučení. Duncan Watts a Steven Strogatz prokázali, že pokud máte náhod nou síť s N uzly, z nichž každý je propojen s K dalšími uzly, pak se průměrná vzdálenost mezi dvěma uzly rovná ln N vydělenému ln K (kde ln značí přirozený loga ritmus). Máme-li 10 uzlů, z nichž každý je propojen s dalšími 4 uzly, průměrná vzdálenost mezi dvěma náhodně zvolenými uzly bude ln 10/ln 1,66. 10
Další sociální sítě
V osmdesátých letech 20. sto letí zavedli přátelé maďarského matematika Paula Erdőse, který je znám tím, že velmi rád spolupra cuje s ostatními, pojem „Erdősovo
■
číslo“, jež vyjadřovalo jeho stupeň odloučení od jiných publikujících matematiků. Erdősovi spoluautoři dostali Erdősovo číslo 1, ti, kdo spolupracovali s jeho spoluautory, dostali Erdősovo číslo 2 atd. Tento koncept zaujal veřejnost poté, co sledovali interview s americkým hercem Kevinem Baconem, v němž řekl, že pracoval s každým hercem v Hollywoodu nebo s někým, kdo s nimi pracoval. Dnes používaný pojem „Baconovo číslo“ vyjadřuje stupeň odloučení určitého herce od Bacona. V rockové hudbě zase indikuje „Sabbath číslo“ propojení s členy heavymetalové kapely Black Sabbath. Chceme-li vyčlenit pouze dobře propojené subjekty, můžeme použít Erdősovo-Baconovo-Sabbath číslo, jež je součtem Erdősova, Baconova a Sabbath čísla příslušné osoby. Jednomístným EBS číslem se může chlubit jen několik málo jedinců. V roce 2008 uskutečnila firma Microsoft výzkum, aby dokázala, že každý na Zemi je od každé jiné osoby odloučen v průměru jen o 6,6 člověka. Jelikož nás sociální sítě stále více sbližují, může se toto číslo ještě snížit. ■
Pevně doufám, že [charitativní projekt] Six Degrees (…) vnese do sociálních sítí sociální svědomí. Kevin Bacon
MODERNÍ MATEMATIKA 293
292 Viz také: Logaritmy 138–141 ■ Teorie grafů 194–195 ■ Topologie 256–259 Turingův stroj 284–289 ■ Sociální matematika 304 ■ Kryptografie 314–317
■
Zrod moderní statistiky 268–271
VŠECHNY NÁS OD SEBE DĚLÍ POUHÝCH ŠEST KROKŮ ŠEST STUPŇŮ ODLOUČENÍ
SOUVISLOSTI
ODVĚTVÍ Teorie čísel
Na tato propojení navazují další propojení s dalšími skupinami a sítěmi lidí.
POČÁTKY 1929 Maďarský spisovatel Frigyes Karinthy poprvé použil frázi „šest stupňů odloučení“.
Další pojítka s jednotlivci, kteří jsou vzdáleni jen tři kroky (kupříkladu kamarád kamarádova kamaráda), odhalují široké rozpětí vzájemné propojenosti lidí.
POTÉ 1967 Americký sociolog Stanley Milgram navrhuje „malý světový experiment“ zkoumající stupeň odloučení a propojenosti lidských bytostí.
1998 V USA sociolog Duncan J. Watts a matematik Steven Strogatz navrhují tzv. model malého světa pro měření propojenosti.
1
2
3
4
5
6
B
Většina jednotlivců je propojena s řadou lidí z různých období svého života.
HLAVNÍ POSTAVA Michael Gurevitch (1930–2008)
1979 Manfred Kochen z IBM a Ithiel de Sola Pool z MIT uveřejňují matematickou analýzu sociálních sítí.
A
Studie naznačují, že jsme-li propojeni přes sociální sítě, všechny nás od sebe dělí v průměru šest kroků.
S
ítě se využívají k modelo vání vztahů mezi objekty a lidmi v mnoha odvětvích včetně počítačové vědy, fyziky částic, ekonomie, kryptografie, biologie, sociologie a klimatologie. Jedním typem sítí je diagram so ciální sítě „šest stupňů odloučení“,
který udává druh propojenosti mezi jednotlivci. Americký postgraduální stu dent Michael Gurevitch uveřejnil v roce 1961 průlomovou studii o cha rakteru sociálních sítí. V roce 1967 se Stanley Milgram snažil zjistit, kolik kontaktů mezi známými je
Teorie šesti stupňů odloučení ukazuje, jak lze dva zdánlivě nepropojené lidi propojit přes jejich kamarády a známé, a to nejvíce šesti kroky. S rozvojem sociálních médií může toto číslo ještě klesnout.
třeba k tomu, aby člověk navázal kontakt s neznámou osobou v USA. Požádal vybrané lidi v Nebrasce, aby poslali dopis náhodně vybra nému adresátu v Massachusetts. Každý z nich poslal tento dopis dál známé osobě, o níž se domníval, že zná adresáta nebo někoho, kdo mu dopis doručí. Milgram zjišťoval, přes kolik lidí putoval každý z dopisů, než dorazil k danému adresátovi. Dospěl k závěru, že k doručení dopisů sta čilo v průměru šest mezistupňů. „Teorie malého světa“ se zrodila ještě před Milgramem. V roce 1929 naznačil Frigyes Karinthy v povídce Články řetězu, že průměrný stupeň propojenosti napříč světem, pokud by bylo propojujícím faktorem přá telství, by se rovnal šesti. Karinthy, jenž byl spisovatelem, a ne mate matikem, tím zavedl pojem „šest
stupňů odloučení“. Od té doby se matematikové pokoušejí modelo vat průměrný stupeň odloučení. Duncan Watts a Steven Strogatz prokázali, že pokud máte náhod nou síť s N uzly, z nichž každý je propojen s K dalšími uzly, pak se průměrná vzdálenost mezi dvěma uzly rovná ln N vydělenému ln K (kde ln značí přirozený loga ritmus). Máme-li 10 uzlů, z nichž každý je propojen s dalšími 4 uzly, průměrná vzdálenost mezi dvěma náhodně zvolenými uzly bude ln 10/ln 1,66. 10
Další sociální sítě
V osmdesátých letech 20. sto letí zavedli přátelé maďarského matematika Paula Erdőse, který je znám tím, že velmi rád spolupra cuje s ostatními, pojem „Erdősovo
■
číslo“, jež vyjadřovalo jeho stupeň odloučení od jiných publikujících matematiků. Erdősovi spoluautoři dostali Erdősovo číslo 1, ti, kdo spolupracovali s jeho spoluautory, dostali Erdősovo číslo 2 atd. Tento koncept zaujal veřejnost poté, co sledovali interview s americkým hercem Kevinem Baconem, v němž řekl, že pracoval s každým hercem v Hollywoodu nebo s někým, kdo s nimi pracoval. Dnes používaný pojem „Baconovo číslo“ vyjadřuje stupeň odloučení určitého herce od Bacona. V rockové hudbě zase indikuje „Sabbath číslo“ propojení s členy heavymetalové kapely Black Sabbath. Chceme-li vyčlenit pouze dobře propojené subjekty, můžeme použít Erdősovo-Baconovo-Sabbath číslo, jež je součtem Erdősova, Baconova a Sabbath čísla příslušné osoby. Jednomístným EBS číslem se může chlubit jen několik málo jedinců. V roce 2008 uskutečnila firma Microsoft výzkum, aby dokázala, že každý na Zemi je od každé jiné osoby odloučen v průměru jen o 6,6 člověka. Jelikož nás sociální sítě stále více sbližují, může se toto číslo ještě snížit. ■
Pevně doufám, že [charitativní projekt] Six Degrees (…) vnese do sociálních sítí sociální svědomí. Kevin Bacon
MODERNÍ MATEMATIKA 313
312
ČTYŘI BARVY MUSÍ STAČIT
Viz také: Eulerovo číslo 186–191 věty 320–323
■
Teorie grafů 194–195
HLAVNÍ POSTAVA Kenneth Appel (1932–2013) Wolfgang Haken (1928–)
Kolik barev potřebujete na vybarvení mapy, tak aby žádné dva sousedící státy nebyly vybarveny stejnou barvou?
ODVĚTVÍ Topologie POČÁTKY 1852 Jihoafrický student práv Francis Guthrie tvrdí, že k tomu, aby sousedící oblasti na mapě nebyly vybarveny stej nou barvou, stačí čtyři barvy. 1890 Britský matematik Percy Heawood dokazuje, že k vybarvení libovolné mapy postačí pět barev. POTÉ 1997 V USA Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Robin Thomas a Paul Seymour předkládají jednoduchý důkaz věty o čtyřech barvách. 2005 Vývojář Microsoftu Georges Gonthier dokazuje větu o čtyřech barvách pomocí softwaru na automatické dokazování vět.
Nelze to udělat pouze se dvěma nebo třemi barvami.
V roce 1890 bylo dokázáno, že libovolnou mapu jde vybarvit pěti barvami.
V roce 1976 bylo pomocí počítače dokázáno, že pro vybarvení stačí čtyři barvy.
K vybarvení mapy potřebujeme pouze čtyři barvy.
K
artografové věděli již dlouho, že libovolnou, jak koliv komplikovanou mapu lze vybarvit pouhými čtyřmi bar vami, tak aby žádné dvě země nebo regiony se společnou hranicí nebyly vybarveny stejnou barvou. I když se zdá, že je k tomu třeba pět barev, vždy se najde cesta, jak přebarvit
mapu s použitím pouze čtyř barev. Matematikové se snažili nalézt důkaz této zdánlivě jednoduché věty déle než 120 let, čímž se stala nejdéle nevyřešenou větou v mate matice. Jako první údajně formulo val větu čtyř barev student práv z Jihoafrické republiky Francis
Komplexní rovina 214–215
Libovolnou kombinaci útvarů v rovině bez ohledu na jejich složitost lze vybarvit čtyřmi barvami, tak aby žádné k sobě přiléhající útvary nebyly vyplněny stejnou barvou.
VĚTA O ČTYŘECH BARVÁCH
SOUVISLOSTI
■
Guthrie. Vybarvil mapu anglic kých hrabství pouhými čtyřmi barvami a byl přesvědčen, že to tak lze udělat s každou mapou bez ohledu na její složitost. V roce 1852 se zeptal svého bratra Fredericka, jenž studo val pod vedením matematika Augusta De Morgana v Londýně, zda by bylo možné jeho teorii dokázat. De Morgan doznal, že větu dokázat neumí, a sdělil to irskému matematikovi Williamu Hamiltonovi. Hamilton se o důkaz sám snažil, avšak ani on neuspěl.
Špatný začátek
V roce 1879 britský matematik Alfred Kempe uveřejnil důkaz věty o čtyřech barvách ve vědeckém časopisu Nature. Kempe za svou práci sklidil ovace a o dva roky později byl na základě neotře sitelnosti svého důkazu jmenován členem Královské společnosti. V roce 1890 nicméně jeho kolega matematik Percy Heawood obje vil v Kempeho důkazech slabinu a sám Kempe přiznal, že udělal chybu, kterou neumí spravit.
Heawood pak předložil přesvěd čivý důkaz, že na vybarvení jaké koliv mapy není potřeba více než pět barev. Matematikové ale s tímto problémem nepřestávali zápasit a časem pokročili. V roce 1922 Philip Franklin dokázal, že libo volnou mapu s 25 nebo méně regiony lze vybarvit čtyřmi bar vami. Hodnota 25 postupně narůs tala, norský matematik Øystein Ore a americký matematik Joel Stemple společně v roce 1970 dospěli k číslu 39 a Francouz Jean Mayer zvedl o šest let později tuto hodnotu na 95.
Nová naděje
Nástup superpočítačů, schopných pracovat s obrovskými objemy dat, oživil v sedmdesátých letech také zájem o vyřešení věty o čty řech barvách. Německý matema tik Heinrich Heesch sice navrhl vhodnou metodu, avšak neměl přístup k superpočítači, na němž by si ji ověřil. Bývalý Heeschův student Wolfgang Haken projevil zájem o tento problém a začal dělat pokroky, když potkal počítačového programátora Kennetha Appela z Illinoiské univerzity v USA. Tato dvojice nakonec problém v roce 1977 rozlouskla. Spolehli se pouze na výkon počítače a prověřili 2000 případů zahrnujících kolem miliardy výpočtů, k čemuž potře bovali 1200 hodin výpočetního času. Problém čtyř barev se stal prvním problémem v historii mate matiky vyřešeným touto cestou. ■
■
Důkaz Velké Fermatovy
Počítačové důkazy Když Appel a Hakem zveřejnil v roce 1977 důkaz věty o čtyřech barvách, bylo to poprvé, kdy byl k důkazu matematické věty použit počítač. To vyvolalo spory s mnoha matematiky, zvyklými na to, že se problémy řešily cestou logiky, kterou mohli prověřit jejich kolegové. Appel a Haken využili počítač k vypracování důkazu metodou vyčerpání – všechny možnosti byly jedna za druhou pečlivě zkontrolovány, což by bylo ručně zcela nemyslitelné. Nabízela se otázka, zda by dlouhý výpočet, který nemohl být ověřen lidmi, po němž následoval jednoduchý verdikt „ano, věta byla dokázána“, měl být akceptován. Mnozí matematikové se proti tomu staví. Důkaz pomocí počítačů zůstává předmětem sporů, avšak pokroky v technologiích zvyšují důvěru v jejich spolehlivost.
Počítač IBM systém/370 přibližně z roku 1970 byl prvním počítačem využívajícím virtuální paměť – paměťový systém, který umožňuje pracovat s velkými objemy dat.
MODERNÍ MATEMATIKA 313
312
ČTYŘI BARVY MUSÍ STAČIT
Viz také: Eulerovo číslo 186–191 věty 320–323
■
Teorie grafů 194–195
HLAVNÍ POSTAVA Kenneth Appel (1932–2013) Wolfgang Haken (1928–)
Kolik barev potřebujete na vybarvení mapy, tak aby žádné dva sousedící státy nebyly vybarveny stejnou barvou?
ODVĚTVÍ Topologie POČÁTKY 1852 Jihoafrický student práv Francis Guthrie tvrdí, že k tomu, aby sousedící oblasti na mapě nebyly vybarveny stej nou barvou, stačí čtyři barvy. 1890 Britský matematik Percy Heawood dokazuje, že k vybarvení libovolné mapy postačí pět barev. POTÉ 1997 V USA Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Robin Thomas a Paul Seymour předkládají jednoduchý důkaz věty o čtyřech barvách. 2005 Vývojář Microsoftu Georges Gonthier dokazuje větu o čtyřech barvách pomocí softwaru na automatické dokazování vět.
Nelze to udělat pouze se dvěma nebo třemi barvami.
V roce 1890 bylo dokázáno, že libovolnou mapu jde vybarvit pěti barvami.
V roce 1976 bylo pomocí počítače dokázáno, že pro vybarvení stačí čtyři barvy.
K vybarvení mapy potřebujeme pouze čtyři barvy.
K
artografové věděli již dlouho, že libovolnou, jak koliv komplikovanou mapu lze vybarvit pouhými čtyřmi bar vami, tak aby žádné dvě země nebo regiony se společnou hranicí nebyly vybarveny stejnou barvou. I když se zdá, že je k tomu třeba pět barev, vždy se najde cesta, jak přebarvit
mapu s použitím pouze čtyř barev. Matematikové se snažili nalézt důkaz této zdánlivě jednoduché věty déle než 120 let, čímž se stala nejdéle nevyřešenou větou v mate matice. Jako první údajně formulo val větu čtyř barev student práv z Jihoafrické republiky Francis
Komplexní rovina 214–215
Libovolnou kombinaci útvarů v rovině bez ohledu na jejich složitost lze vybarvit čtyřmi barvami, tak aby žádné k sobě přiléhající útvary nebyly vyplněny stejnou barvou.
VĚTA O ČTYŘECH BARVÁCH
SOUVISLOSTI
■
Guthrie. Vybarvil mapu anglic kých hrabství pouhými čtyřmi barvami a byl přesvědčen, že to tak lze udělat s každou mapou bez ohledu na její složitost. V roce 1852 se zeptal svého bratra Fredericka, jenž studo val pod vedením matematika Augusta De Morgana v Londýně, zda by bylo možné jeho teorii dokázat. De Morgan doznal, že větu dokázat neumí, a sdělil to irskému matematikovi Williamu Hamiltonovi. Hamilton se o důkaz sám snažil, avšak ani on neuspěl.
Špatný začátek
V roce 1879 britský matematik Alfred Kempe uveřejnil důkaz věty o čtyřech barvách ve vědeckém časopisu Nature. Kempe za svou práci sklidil ovace a o dva roky později byl na základě neotře sitelnosti svého důkazu jmenován členem Královské společnosti. V roce 1890 nicméně jeho kolega matematik Percy Heawood obje vil v Kempeho důkazech slabinu a sám Kempe přiznal, že udělal chybu, kterou neumí spravit.
Heawood pak předložil přesvěd čivý důkaz, že na vybarvení jaké koliv mapy není potřeba více než pět barev. Matematikové ale s tímto problémem nepřestávali zápasit a časem pokročili. V roce 1922 Philip Franklin dokázal, že libo volnou mapu s 25 nebo méně regiony lze vybarvit čtyřmi bar vami. Hodnota 25 postupně narůs tala, norský matematik Øystein Ore a americký matematik Joel Stemple společně v roce 1970 dospěli k číslu 39 a Francouz Jean Mayer zvedl o šest let později tuto hodnotu na 95.
Nová naděje
Nástup superpočítačů, schopných pracovat s obrovskými objemy dat, oživil v sedmdesátých letech také zájem o vyřešení věty o čty řech barvách. Německý matema tik Heinrich Heesch sice navrhl vhodnou metodu, avšak neměl přístup k superpočítači, na němž by si ji ověřil. Bývalý Heeschův student Wolfgang Haken projevil zájem o tento problém a začal dělat pokroky, když potkal počítačového programátora Kennetha Appela z Illinoiské univerzity v USA. Tato dvojice nakonec problém v roce 1977 rozlouskla. Spolehli se pouze na výkon počítače a prověřili 2000 případů zahrnujících kolem miliardy výpočtů, k čemuž potře bovali 1200 hodin výpočetního času. Problém čtyř barev se stal prvním problémem v historii mate matiky vyřešeným touto cestou. ■
■
Důkaz Velké Fermatovy
Počítačové důkazy Když Appel a Hakem zveřejnil v roce 1977 důkaz věty o čtyřech barvách, bylo to poprvé, kdy byl k důkazu matematické věty použit počítač. To vyvolalo spory s mnoha matematiky, zvyklými na to, že se problémy řešily cestou logiky, kterou mohli prověřit jejich kolegové. Appel a Haken využili počítač k vypracování důkazu metodou vyčerpání – všechny možnosti byly jedna za druhou pečlivě zkontrolovány, což by bylo ručně zcela nemyslitelné. Nabízela se otázka, zda by dlouhý výpočet, který nemohl být ověřen lidmi, po němž následoval jednoduchý verdikt „ano, věta byla dokázána“, měl být akceptován. Mnozí matematikové se proti tomu staví. Důkaz pomocí počítačů zůstává předmětem sporů, avšak pokroky v technologiích zvyšují důvěru v jejich spolehlivost.
Počítač IBM systém/370 přibližně z roku 1970 byl prvním počítačem využívajícím virtuální paměť – paměťový systém, který umožňuje pracovat s velkými objemy dat.