Kde se vzaly symboly Stručná historie matematického zápisu od starověku k dnešku
Joseph Mazur
KNIŽNÍ KL UB
Kde_se_vzaly_symboly.indd 3
24.08.17 15:56 Výtažková černá
Joseph Mazur KDE SE VZALY SYMBOLY Copyright © 2014 by Joseph Mazur All rights reserved Translation © 2017 by Marek Čtrnáct ISBN 978-80-242-5820-1
Z anglického originálu Enlightening Symbols, vydaného nakladatelstvím Princeton University Press v Princetonu v roce 2014, přeložil Marek Čtrnáct Redigoval Luboš Pick Odpovědná redaktorka Petra Diestlerová Technický redaktor David Dvořák Počet stran 336 Vydala Euromedia Group, a. s. – Knižní klub v edici Universum, Nádražní 30, Praha 5, 150 00, v roce 2017 jako svou 9151. publikaci Tisk TBB, a. s., Banská Bystrica Sazbu zhotovil TypoText, s. r. o., Praha Vydání první www.universum.cz Naše knihy na trh dodává Euromedia – knižní distribuce, Nádražní 30, 150 00 Praha 5 Zelená linka: 800 103 203 Tel.: 296 536 111 Fax: 296 536 246 objednavky-vo@euromedia.cz
Kde_se_vzaly_symboly.indd 4
24.08.17 15:56 Výtažková černá
Mému staršímu bratrovi Barrymu, který mě učil od „0“
Kde_se_vzaly_symboly.indd 5
24.08.17 15:56 Výtažková černá
Obsah Úvod 9 Definice 21
Část I Číslice
25
1. Podivné začátky 27 2. Některé starověké číselné systémy 34 3. Hedvábná stezka a královská cesta 51 4. Indický dar 61 5. Příchod do Evropy 77 6. Arabský dar 87 7. Liber abbaci 91 8. Vyvracení počátků 101
Část II Algebra
111
9. Bez symbolů 115 10. Diofantova Arithmetica 123 11. Velké umění 140 12. Počátky symbolů 148 13. Bázlivý symbol 160 14. Hierarchie důstojnosti 166
Kde_se_vzaly_symboly.indd 7
24.08.17 15:56 Výtažková černá
15. Samohlásky a souhlásky 174 16. Exploze 184 17. Katalog symbolů 195 18. Mistr symbolů 200 19. Poslední z kouzelníků 204
Část III Síla symbolů
211
20. Setkání v mysli 213 21. Dobrý symbol 225 22. Neviditelné gorily 228 23. Mentální obrázky 248 24. Závěr 255
Dodatek A Leibnizova notace 261 Dodatek B Newtonův fluxion xn 264 Dodatek C Experiment 265 Dodatek D Vizualizace komplexních čísel 269 Dodatek E Kvaterniony 271 Poděkování 273 Poznámky 277 Rejstřík 319
Kde_se_vzaly_symboly.indd 8
24.08.17 15:56 Výtažková černá
Úvod To takhle jednou přijde do baru matematik, hudebník a psycholog… Před několika lety, dřív než mě vůbec napadlo napsat knihu o historii symbolů, jsem se bavil s několika kolegy v Cava Turacciolo, malé vinárně ve vesnici Bellagio u jezera Como. Psycholog prohlásil, že symboly existovaly už dávno předtím, než měli lidé mluvený jazyk, a že stojí u kořenů těch nejzákladnějších a nejprimitivnějších myšlenek. Hudebník zmínil, že moderní notový zápis se převážně připisuje jednomu benediktinskému mnichovi, Guidovi z Arezza, který žil na přelomu prvního tisíciletí, ale že primitivnější forma symbolického zápisu sahá téměř až k fénickým textům. Já, jako matematik, jsem své přátele ohromil, když jsem jim prozradil, že všechny matematické symboly s výjimkou číslic – i algebraické rovnice – vznikly relativně nedávno a že až do konce patnáctého století byly téměř všechny matematické výrazy rétorické. „Cože?!“ vyštěkl psycholog. „A co násobení? To nám chceš říct, že neexistoval žádný symbol pro ‚krát‘?“ „Ne, teprve v šestnáctém… možná dokonce sedmnáctém století.“ „A rovnost? Co rovnítko?“ zeptal se hudebník. „Teprve v… hm… šestnáctém století.“ „Ale Eukleidés přece musel mít symbol pro sčítání,“ řekl psycholog. „Co Pythagorova věta, ta věc se součtem čtverců nad stranami pravoúhlého trojúhelníku?“
9
Úvod
Kde_se_vzaly_symboly.indd 9
24.08.17 15:56 Výtažková černá
„Ne… první symbol pro ‚plus‘ se objevil až ve dvanáctém století!“ Nastalo zamyšlené ticho, zatímco jsme upíjeli drahé Barolo a vychutnávali si jeho vůni. Jak se ukázalo, neměl jsem pravdu. Egypťané měli hieroglyfy označující sčítání a odčítání už v osmnáctém století př. n. l. – byly to znaky mužů utíkajících k, respektive od, množství, které mělo být přičteno, respektive odečteno. A autoři matematických textů čas od času do symbolického zápisu zabrousili. Byly tedy případy, kdy experimentovali s grafickými znaménky, která označovala slova nebo i celé fráze. Bachšálíský rukopis ve druhém století př. n. l. zapisuje záporná čísla pomocí symbolu, který připomíná naše znaménko plus. Diofantos z Alexandrie používal ve třetím století řecké písmeno k označení neznámé a cosi jako nahoru směřující šipku k označení odčítání. V sedmém století použil indický matematik Brahmagupta malou černou tečku, kterou zavedl nové číslo, jemuž dnes říkáme „nula“. A ve druhé polovině patnáctého století už symboly začaly opatrně nacházet svou cestu do matematiky. A, samozřejmě, symboly, kterými označujeme kladná celá čísla, existují už celé věky. Té noci v enotece jsem nevěděl, že můj odhad toho, kdy byly symboly přijaty, ještě o několik staletí předběhl skutečnost. Jistě, Diofantos ve třetím století měl svých několik označení; jenomže až do dvanáctého století se symboly nepoužívaly k operační manipulaci na úrovni symbolů – tedy k čistě symbolickým operacím na rovnicích. Možná jsem měl ohromit ještě víc a tvrdit – zcela správně – že většina matematických výrazů byla rétorická ještě v šestnáctém století. Od té doby jsem si uvědomil, že většina lidí žasne, když se dozví, že matematický zápis začal být v podstatě symbolický až v šestnáctém století. A jistě si také říkáme: Co jsme získali tím, že algebra převzala symbolickou podobu? A co jsme ztratili?
10
Úvod
Kde_se_vzaly_symboly.indd 10
24.08.17 15:56 Výtažková černá
Když symboly vysledujeme až k jejich kořenům, zjistíme, že to jsou prostředky, jak vnímat, rozpoznat a vytvářet význam ze vzorů a konfigurací, které vycházejí z hmotného vzhledu nebo komunikace. Slovo „symbol“ pochází z řeckého slova pro „doklad“ nebo „doklad totožnosti“, což je kombinace dvou kořenů, sum („spolu“) a slovesa ballo („házet“). Volnější interpretací by bylo „dávat k sobě“. Etymologie tohoto slova vychází ze starého způsobu, jak lidé prokazovali svou totožnost nebo svůj vztah k jiné osobě. Vzal se klacek či kost, rozlomil na dva kusy a každá osoba dostala jeden. K ověření jejich vztahu pak do sebe jejich kusy musely dokonale zapadnout. Na hlubší úrovni slovo „symbol“ naznačuje, že když se dá známé k neznámému, vznikne cosi nového. Nebo, abych to řekl ještě jinak, když nevědomá myšlenka zapadne do vědomé, objeví se nový význam. Právě to je symbol: smysl odvozený ze spojení vědomých a nevědomých myšlenek. Dokážou tohle matematické symboly? Jsou k tomu určené? Možná bychom měli rozlišovat mezi symboly a notací. Notace vzniká ze zkratek, ze zkracování termínů. Pokud jsou symboly notace, které nám dávají podvědomé myšlenky, zvažte „+“. + samo o sobě je notace, která vznikla zkrácením latinského slova et. Ano, jeho původem je ono „t“ v et. + poprvé nalezneme v roce 1489, kdy Johannes Widmann napsal Behende und hübsche Rechnung auff allen Kauffmanschafften (Obratné a úhledné výpočty ve všech řemeslech). Tam mělo označovat nejen matematickou operaci, ale také slovo „a“. Znaménko „+“ nám v aritmetickém výrazu jako 2 + 3 = 5 říká pouze tolik, že 2 a 3 dávají 5. Ale v kontextu algebraického výrazu jako x2 + 2xy + y2 obvykle znamená víc než jen „ x2 a 2xy a y2 “. Matematik tu v těch „+“ vidí lepidlo, které tvoří dokonalý čtverec (x + y)2. Jistě – tentýž matematik by jistě stejně dobře viděl jako lepidlo i „a“. Možná by mu rozpoznání dokonalého čtverce trvalo o několik sekund déle, ale známé symboly nám často poskytnou užitečné asociace, když se díváme na jeden objekt a přitom víme, že má i další užitečnou podobu.
11
Úvod
Kde_se_vzaly_symboly.indd 11
24.08.17 15:56 Výtažková černá
Puristický přistup by byl rozlišovat mezi symbolickou reprezentací a prostou notací. Já mám volnější pravidla; pokládám číslice a všechny nepísmenné operační zápisy za věci odlišné, nicméně stále za symboly, protože reprezentují věci, kterým se nepodobají. Přečtěte si ještě jednou výrok 2 + 3 = 5. V matematice je to kompletní věta, která obsahuje podmět a přísudek. Než jste ji přečetli a přešli dál, trvalo vám to zhruba jednu sekundu. Neuvědomujete si své vnitřní procesy, které kontrolují fakta: tomuto výroku věříte z mnoha důvodů, počínaje tím, co vám říkali, když jste byli malí, a konče horou podpůrných důkazů, které jste nashromáždili během mnoha let zkušeností. Nemuseli jste vědomě prohledávat svou mentální knihovnu pravdivých faktů, abyste věděli, že to je pravda. Ale mezi spisovatelským a matematickým uměním je přesto výrazný rozdíl. Zatímco spisovatel má svobodu používat symboly způsobem, který odporuje zkušenostem, aby vzbudil emoce nebo vytvořil stavy mysli s hlubokými významy pramenícími z osobní životní cesty, matematik nemůže sestavovat nic, co by si odporovalo, leda snad s výjimkou standardního důkazu sporem. Matematické symboly začínají se specifickým účelem: úhledně balit komplexní informace, aby tak usnadnily jejich pochopení. Spisovatelé mají větší svobodu než matematikové. Literární symboly mohou vězet v okovech mýtů a kultury, ale přesto se používají mnoha různými způsoby. Emily Dickinsonová ve své básni „Úzký chlapík v trávě“ nikdy nepoužije slovo „had“, a tak se vyhne přímému spojení s představou zla, záludnosti a nebezpečí, které však i přesto naznačuje. Joseph Conrad naopak veškeré konotace plazícího se, záludného zla evokuje, když v Srdci temnoty popisuje řeku Kongo jako „obrovského rozvinutého hada s hlavou v moři“. Spisovatel může také slovo „had“ použít zcela nevinně a vůbec tím nemyslet něco netušeného, lstivého nebo nebezpečného. Může to být prostě jen popis, například když řekneme „řeka se klikatila mezi svými břehy jako had“. Autor
12
Úvod
Kde_se_vzaly_symboly.indd 12
24.08.17 15:56 Výtažková černá
může mít v úmyslu evokovat obraz oddělený od jeho kulturní zátěže. To je obtížné – možná nemožné –, pokud se jedná o slova či fráze, které se tak často používají obrazně. Matematikové používají lemma (malou větu, která funguje jako odrazný můstek pro důkaz velké věty) zvané „hadí lemma“, ve kterém se objevuje obrázek zvaný „hadí diagram“ – to ale neznamená, že je tam něco zlověstného, lstivého nebo nebezpečného; obrázek prostě jen vypadá jako had – opět se jedná jen o grafický popis. Matematické symboly, které vytvořili lidé, se liší od kulturně flexibilních, emocionálních symbolů, které najdete v hudbě, nebo od metaforických symbolů, které najdete v básních. Některé však také mají tendenci evokovat podprahové, ostře soustředěné vjemy a konexe. Mohou také přenášet metaforické myšlenky schopné předávat význam skrze podobnost, podobu a analogii, a proto jsou schopné stejných přenosů jako slova na stránce. Při čtení algebraického výrazu mysl zkušeného matematika zaregistruje obrovské množství spojení během relativně krátkých zpoždění neurotransmiterů. Vezměte si například číslo π, symbol, o kterém slyšel každý školák. Jakožto symbol je to smyslové vyjádření myšlenky, které v nás budí náznaky skrze asociace. Číslo π je definováno jako jistý poměr: obvod kružnice dělený jejím průměrem. Jakožto číslo se přibližně rovná 3,14159. Maskuje se v mnoha podobách. Objevuje se například jako nekonečná řada
π=
4 4 4 4 4… – + – + 1 3 5 7 9
nebo nekonečný součin
π=2.
2 . 2 . 4 . 4 . 6 . 6 . 8 . 8… 1 3 3 5 5 7 7 9
13
Úvod
Kde_se_vzaly_symboly.indd 13
24.08.17 15:56 Výtažková černá
nebo řetězový zlomek
4
π=
.
12
1+
22
3+ 5+
32 7+…
Často se objevuje ve výpočtech jak analytických, tak číselně teoretických. Když důvtipný čtenář spatří v rovnici π, automaticky ví, že se tam skrývá něco, co souvisí s kruhem. Symbol (samozřejmě relativně moderní) tedy matematika neoklame – ten je obeznámený s jeho mnoha maskami, které se neúmyslně táhnou myslí a vybuzují představivost ještě dlouho po přečtení symbolu. Zde je další maska čísla π: představte si řeku, která teče ve stejnoměrně erodovatelném písku po mírném svahu. Teorie předpovídá, že poměr skutečné délky řeky a vzdálenosti vzdušnou čarou mezi jejím počátkem a koncem bude časem směřovat k číslu π. Pokud hádáte, že je to vinou kruhu, budete mít pravdu. Fyzik Eugene Wigner vypráví ve své proslulé eseji „Nerozumná efektivita matematiky v přírodních vědách“ trefný příběh.1 V tomto příběhu se statistik pokouší vysvětlit svému příteli význam symbolů v přetisku článku o populačních trendech, ve kterém je použito Gaussovo rozdělení. „A co je tenhleten symbol?“ zeptal se přítel. „Aha,“ řekl statistik. „To je pí.“ „A to je co?“ „Poměr obvodu a průměru kružnice.“ „Ale no tak – populace přece určitě nemá co dělat s obvodem kružnice!“ Wigner nám tímto příběhem chtěl ukázat, že matematické koncepty se objevují v překvapivě nečekaných situacích, jako jsou délky řek a populační
14
Úvod
Kde_se_vzaly_symboly.indd 14
24.08.17 15:56 Výtažková černá
trendy. Samozřejmě, on se spíše snažil pochopit důvody těchto nečekaných spojení mezi matematikou a fyzikálním světem, ale jeho příběh také poukazuje na otázku, proč se tyto koncepty nečekaně objevují i v samotné čisté matematice.2 V Eukleidových Základech neměl symbol π žádný význam (kromě toho, že byl šestnáctým písmenem řecké abecedy), a to i přesto, že Základy obsahovaly důkaz obtížně dokazatelného faktu, že obsahy jakýchkoli dvou kruhů se k sobě mají stejně jako druhé mocniny jejich průměrů.3 Výjimečnost matematického myšlení Řeků spočívá v tom, že si uvědomili existenci univerzálních pravd, které je možné dokázat: že každý průměr každého kruhu ho dělí na dvě stejné poloviny, že součet úhlů v trojúhelníku je vždy stejná konstanta, že existuje pouze pět pravidelných trojrozměrných těles. V knize II, tvrzení 4 nám Eukleidés ukázal, jak dokázat něco, co bychom dnes mohli brát jako jednoduché algebraické identity jako (a +
b)2 = a2 + b2 + 2ab, v jeho tvrzení ani v jeho důkazu však nenajdete žádné algebraické symboly indikující mocniny (ta malá čísla nahoře, která nám říkají, kolikrát máme nějaké číslo vynásobit samo sebou) nebo sčítání. To proto, že jeho výroky a důkazy byly na jedné straně geometrické a na straně druhé čistě narativní. Diofantos z Alexandrie se narodil více než pět set let po Eukleidovi. Jeho velké dílo, Arithmetica, nám dalo cosi bližšího algebraickým řešením speciálních lineárních rovnic o dvou neznámých, jako je x + y = 100, x – y = 40. Nepoužíval přitom plnou sílu symbolů, ale spíše synkopický zápis – tím myslím praktiku, která byla v té době relativně rozšířená, totiž vypouštění písmen z prostředku slov. Jeho dílo tedy nikdy plně neuniklo slovní expozici.4 Byl to první krok od vyjadřování matematiky běžným jazykem. Veškerá matematika se dá dělat bez symbolů. Vždyť například zákoníky také žádné symboly neobsahují, kromě právnických termínů jako „přináležitost“, „ujednání“, „způsobilost“ – slov, kterých by jen málokoho napadlo použít
15
Úvod
Kde_se_vzaly_symboly.indd 15
24.08.17 15:56 Výtažková černá
jinde než v právním dokumentu. V důsledku tradice, a rozhodně i úmyslu, se právo nevydalo na symbolickou cestu k přesnosti. Slova v přirozeném jazyce, jako je čeština nebo latina, mohou mít sice pevně dané významy, ale skoro nikdy nemají tak dokonalou přesnost, jaké dosahuje symbolická algebra. Oproti tomu psané právo silně spočívá na úmyslu a očekává, že chytří lidé v něm najdou skulinky, které budou moci využít. Představte si, jak by vypadala matematika, kdyby byla stále ještě plně rétorická a neobsahovala tolik chytře navržených symbolů. Vezměte si třeba tuto pasáž z al-Chorezmího Algebry (cca 820 n. l.), v níž jsou slovy vyjádřená dokonce i čísla: Pokud vám někdo položí otázku jako: „Rozdělil jsem deset na dva díly, a když jsem jeden vynásobil druhým, byl výsledek dvacet jedna“; pak víte, že jedna z částí je věc a druhá je deset mínus věc.5 My bychom to napsali prostě jako x (10 – x) = 21. Jazyk řešení, jak ho psal al-Chorezmí, byl specifický pro otázku. Možná že se za textem skrýval nějaký rutinní proces, nějaký algoritmus, ale vynést ho na světlo by si vyžádalo dost práce; al-Chorezmího Algebra totiž není zrovna typickým zástupcem matematiky té doby. V soukromí to možná bylo jiné. Myšlení a předběžná práce pravděpodobně stejně jako dnes vedly k pracovním verzím. Nemůžu to vědět jistě, ale mám podezření, že řešení bylo zpočátku vyzkoušeno na nějakém druhu prachové destičky v nějaké osobní notaci a později bylo rétoricky zkomponováno do textové prezentace. Plodný indický matematik a astronom ze šestého století Árjabhata používal písmena k reprezentaci neznámých. A další indický matematik a astronom ze sedmého století Brahmagupta – mimochodem první autor, který použil nulu jako číslo – používal zkratky pro druhé mocniny a odmocniny a pro každou z několika neznámých, které se vyskytovaly ve speciálních
16
Úvod
Kde_se_vzaly_symboly.indd 16
24.08.17 15:56 Výtažková černá
úlohách. Jak Árjabhata, tak Brahmagupta psali ve verších, takže symbolismus, který používali, musel pasovat do jejich rytmické struktury. Když tedy čtenář uviděl tečku, musel přečíst slovo pro tečku. To používání symbolů omezovalo.6 Záporná čísla se označovala tečkou a zlomky se psaly stejně, jako je píšeme my, pouze bez čáry mezi čitatelem a jmenovatelem. Ještě počátkem šestnáctého století byly matematické texty v Evropě stále v podstatě rétorické, i když v některých zemích se jistá často používaná slova už celá staletí zkracovala. Pak se začaly zkracovat i tyto zkratky a o sto let později, díky dílům Françoise Vièteho, Roberta Recorda, Simona Stevina a nakonec Descarta už byly tyto zkratky tak kompaktní, že se kdysi zjevné spojení s jejich původem navěky ztratilo. V matematice je symbolická forma rétorického tvrzení víc než jen příhodná zkratka. Tak za prvé, není specifická pro žádný konkrétní jazyk; skoro všechny jazyky světa používají stejnou notaci, i když přesná forma zápisu se možná může lišit. Za druhé, a to je možná nejdůležitější, pomáhá to naší mysli překonat nejednoznačnosti a mylné interpretace, které s sebou přinášejí psaná slova v přirozeném jazyce. Dovoluje to mysli pozvednout konkrétní výroky na jejich obecnou formu. Tak například rétorický výraz odečti dvojnásobek neznámé od čtverce neznámé a přičti jedna se dá zapsat jako
x2 – 2x + 1. Symbolický výraz vám může naznačit kolektivnější představu tohoto výrazu, protože individualita nás možná může mentálně táhnout k obecnému kvadratickému výrazu ax2 + bx + c. Výraz x2 – 2x + 1 pak chápeme pouze jako jednoho zástupce svého druhu. V Descartově době, na přelomu sedmnáctého století, se rétorické výroky jako Čtverec součtu neznámé veličiny a čísla se rovná součtu čtverců neznámé a čísla zvětšeného o dvojnásobek součinu neznámé a čísla.
17
Úvod
Kde_se_vzaly_symboly.indd 17
24.08.17 15:56 Výtažková černá
psaly skoro úplně v moderní symbolické formě, se symbolem
označujícím
rovnost:
(x + a)2
x2 + a2 + 2ax .
Konečně se objevil symbol, aby osvobodil algebru od neformálnosti slova. Tak jako u téměř každého pokroku se něco ztratilo. Moderní matematiku vyjadřujeme převážně pomocí symbolických balíčků, kufříků (a někdy pořádných kufrů) informací označených symboly. A tyto kufříky se často podobají ruským matrjoškám, jsou to soubory do sebe vložených kufříků a každý závisí na symbolech další menší matrjošky. Existuje starý vtip o vypravěčích vtipů: chlapík přijde do baru a vidí tam starousedlíky, jak sedí a vyprávějí si vtipy. Jeden z nich zavolá „Padesát sedm!“ a ostatní řvou smíchy. Další vykřikne „Osmdesát dva!“ a všichni se znovu rozesmějí. Chlapík se tedy zeptá barmana: „Co se to tady děje?“ Barman odpoví: „No, ti už se tady tak dlouho flákají a vyprávějí si vtipy, že si je všechny očíslovali. Když chtějí říct vtip, stačí zavolat jeho číslo. Šetří to čas.“ Nový chlapík povídá: „To je chytré! To zkusím taky!“ Chlapík se tedy otočí ke starousedlíkům a vykřikne: „Dvacet dva!“ Všichni na něj jenom tak koukají. Nikdo se nesměje. Chlapík se zahanbeně posadí a zeptá se barmana: „Proč se nikdo nesmál?“ Barman povídá: „Víte, hochu, když vy to neumíte tak podat…“ Matematikové často komunikují pomocí sekvenčně symbolických zpráv, jakéhosi kódu, nesrozumitelného pro nezasvěcence, kteří postrádají klíče potřebné k odemčení oněch kufříků plných významu. Veřejnost se ztrácí v bažině značek, znamének a symbolů, které se učí hůře než jakýkoli přirozený jazyk, který kdy lidé vytvořili. V mluvené řeči ovšem matematikové poměrně často, z důvodů srozumitelnosti, ze svých hermeticky těsných argumentů poněkud sleví, i když
18
Úvod
Kde_se_vzaly_symboly.indd 18
24.08.17 15:56 Výtažková černá
důkazy pak už nejsou tak úplně absolutní. Spoléhají na to, co bychom mohli nazvat „štědrostí verbální sémantiky“, vzájemnému chápání skrze sdílenou esenci profesionální expertizy a na kultuře nezávislých zkušenostech. Jenomže i se štědrostí verbální sémantiky se něco ztrácí – a není to jen absolutní důkaz. Matematiku (i aplikovanou), fyziku i chemii můžete dělat bez odkazů na jakékoli fyzikálně představitelné objekty kromě grafických symbolů. Rozdíl mezi fyzikovou a matematikovou rétorickou expozicí je tedy rozdílem konceptualizačním. Proto je možná pro fyziky komunikace s obecnou veřejností jednodušší; mohou nám vyprávět o „věcech“ v tomto světě. Těmito věcmi mohou být galaxie, kulečníkové koule, atomy, elementární částice hmoty a struny, ale i tyto nevnímatelné struny, menší než 10–35 metru a existující v desetirozměrném prostoru, vnímáme jako „věci“. Když fyzik píše knihu pro širokou veřejnost, má už od začátku výhodu v tom, že ví, že každý z jeho čtenářů bude mít zkušenosti s některými objekty jejího jazyka – i ty nejmenší objekty jsou totiž stále ještě představitelné „věci“. Matematikovy elementy jsou o něco méně hmatatelné. Symbol, který představuje určité číslo N, je víc než jen notační konvence, která má odkazovat na neurčité číslo. V dnešní době reprezentuje objekt v mysli, který příliš neodkazuje na nic ve světě – jinými slovy, N je „bytím“ v mysli bez určitého „bytí“ ve světě. Ontologie tohoto nefyzikálního objektu tedy vychází z myšlení. Mysl zpracovává moderní chápání čísla – řekněme „tři“ – stejně tak jako u každé abstrakce: tím, že vyleze o pár příček po žebříku stoupající obecnosti. Začne u určitého počtu věcí z lidské zkušenosti: tři ovce na louce, tři ovce, tři živé věci, tři věci… až k „trojkovitosti“. Představa fyzikálních objektů klesá, zatímco obecnost stoupá. Matematický symbol je tedy vizuální kotvou, která mysli pomáhá projít procesem pochopení obecného skrze konkrétní.
19
Úvod
Kde_se_vzaly_symboly.indd 19
24.08.17 15:56 Výtažková černá
L Tato kniha sleduje počátek a vývoj symbolů, které jsou dnes v matematice zavedené; začneme přirozenými čísly a skončíme primárními operátory moderní matematiky. Je to především historie matematických symbolů; je to však také zkoumání toho, jak symboly ovlivňují matematické myšlení a jak evokují široký rozsah přetrvávajících podvědomých inspirací. Kniha je rozdělena do tří částí, aby se vývoj číslic oddělil od vývoje algebry. Bylo to těžké rozhodnutí a bylo učiněno proto, aby se do širšího rámce notace zahrnujícího jak číslice, tak algebru vešla přijatelná definice symbolů. Chronologie všech částí jsou nezávislé. Části 1 a 2 jsou kvazinezávislé, čtenář by však měl mít na paměti, že v raném stadiu vývoje postupovaly jak číslice, tak algebraické symboly po drahách, které byly chronologicky provázané.
20
Úvod
Kde_se_vzaly_symboly.indd 20
24.08.17 15:56 Výtažková černá
Rejstřík abakista, 79 abakus, 26, 71, 73–76, 79, 93, 286p19, 287p6 abakisté, 79 Arabové, 88 čínský hůlkový systém, 58 evropští obchodníci a účetní, 96–97 Fibonacci, 77, 80–81, 93 gerbertovský, 74–76, 92 původ západního systému, 66 Pythagoras jako vynálezce, 83 Řekové, 45 Římané, 72–73 značky z kamínků, 71–72 abakusová algebra, 150 abakusové školy, 79, 150 abbaco, tradice, 81 abeceda/písmena aritmetické operace, 151 bráhmíské číslice, 61 Descartes, 114, 184, 190, 196 dvojitá pro přímky, 116 fixní známé veličiny, 114 Harriot, 184 malá písmena, 128 nabodnutá, 114 Newton, 206–207 neznámé, 16, 111, 114 psaní polynomů, 178 reprezentace čísel jako obecných objektů, 113 řecký číselný systém, 43 samohlásky, 178–179 souhlásky, 178–179, 192 Viète, 113, 178–183, 192 význam, 30–31
viz též řecká abeceda; Hebrejci/ hebrejský číselný systém; fénická abeceda abelovská varieta, 251 Abrahám, 37 Abu’l-Hasan Ahmad ibn Ibrahim al-Uklidisi, Kitáb al-fusul fi’l-hisáb al-hindí, 99 Ahmesův papyrus viz Rhindův (Ahmesův) papyrus Akkadové, 34 Albelda de Iregua, 92, 99 Alexandr Veliký, 118, 141 Alexandre de Villedieu, Carmen de algorismo, 26, 95 Alexandrie, 65, 105, 118–119 algebra, 102, 176, 202 abakus, 150 al-Chorezmí, 87 al-Qalasádí, 151 analytické umění, 148 Anthologia Palatina, 126–127 Arabové, 140 brahmíni, 140 cossické umění, 160 Dardi z Pisy, 112 definice, 21, 148 Diofantos, 119, 129–130 Eukleidés, 124 forma, 183 formy, 172–173 geometrie, 15, 124, 145, 163, 164–165, 170, 175–177, 184–190, 194 Hindové, 140 italské nářečí, 162 italský vývoj, 152 jazyk geometrie, 124
319
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 319
24.08.17 15:57 Výtažková černá
moderní matematika, 125 ošidná aritmetika, 148 Ramée, 141 Regula rei e census, 148 rétorická, 112, 120–121, 132–133, 140– 141, 142, 149–150, 152, 154, 157, 164, 224, 232–233, 239, 277p4 Rhindův (Ahmesův) papyrus, 33 Řekové, 140 Stifel, 160 symbolická, 146, 175, 180 umění chápání vztahů, 150 umění manipulace se symboly, 148–149 univerzální aritmetika, 148 výuka, 79 zisk ze symbolické podoby, 10 algebraické důkazy, 121–122 algebraické hádanky, 126–127 algebraické identity, 15 algebraické výrazy, 11, 13, 188 algorismy, 76, 85, 92 al-Chorezmí, Abú Dža’far Muhammad ibn Músá, 87, 178 al-džabr wa-l-muqábala, 98 Algebra, 16, 25, 26, 96, 112, 120–121, 141–145 Algebra et almucabala, 87 Algorism, 65, 78 Al-Kitáb al-mukhtasar fi hisáb al-džabr wa-l-muqábala, 141 Aritmetika, 98 Bajt al-hikma, 88 Brahmagupta, 88, 89, 140–141, 146 doplnění na čtverec, 142, 145 doplňování a vyrovnávání, 144 geometrické důkazy, 121 indoarabské číslice, 98 jazyk, 16 Kniha o obnově a vyrovnáni, 87 počítání čísel, 89 O počítání s hindskými číslicemi, 88, 89 O výpočtech Indů, 92, 105 Robert z Chesteru, 26 shromažďování členů, 144 Sun-c’ suan-ťing, 58 Zīj al-Sindhind, 140 Aljabra, 141
320
Allison, Truett, 241 Almucabala, 141 al-Qalasádí, Al-Tabsira fi‘lm al-hisab (Objasněni nauky o počtech), 151 Americká akciová burza, 66 analytická teorie čísel, 125 analýza a moderní matematika, 125 Anatolius, biskup z Laodikeie, 125 Ang, Tian Se, Fleeting Footsteps (Prchavé krůčky), 55, 59 Anthologia Palatina, 126–127 apices, 63, 65, 74–75, 92, 286p22 Apollónius z Pergy, 86, 127, 156, 185 Arabové, 65 algebra, 140 algebraické důkazy, 121–122 aritmetika, 88–89 decimální systém, 104 dobytí Egypta, 128 Gerbert, 74, 75–76 indická písmena, 98 indické číslice, 88, 89–90, 105, 289– 290p3 Karel Veliký, 79–80 medicína, 86 myšlenka pozičního systému, 64 předání řeckolatinské moudrosti na Západ, 104 překlady, 127 věda, 86 výroba papíru, 128 arabská astronomie, 85, 90 arabská notace, 103 arabské číslice, 65–66, 89–90 Boëthius, 102 Codex Vigilanus, 26 Fibonacci, 77–78, 81, 82 Gerbert, 75–76 klášter sv. Martina v Albeldě, 99 zakázané, 83 viz též indoarabské číslice; indické číslice arabština, 89 abeceda pro aritmetické operace, 151 kopie Diofantovy Arithmeticy, 133 překlad do, 86, 88, 127, 135, 136 aramejština, 135, 136 Arethas z Patry, 116
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 320
24.08.17 15:57 Výtažková černá
Archimédés, 86, 127, 156, 175 Počítání písku, 45 Ariadna, 201 Aristoteles, 86, 127 aritmetické výrazy, 11 aritmetika, 79 čínská matematika, 53, 57–58 Fibonacci, 93 Libri, 102 Stifel, 160 tržiště, 106 Arnold, Bill, Who Were the Babylonians? (Kdo byli Babylóňané?), 36 Arrighi, Gino, 93 Árjabhata, 16–17, 85, 104, 111 astrologie, 88, 140 astronomie, 85, 105–106 arabská, 85 Babylóňané, 34 Brahmagupta, 85 čínská matematika, 53 tabulky, 99, 140 védy, 61–62 Aubrey, John, 195 Austrálie, domorodé kmeny, 32 axiomy, 118, 142–143, 187 aztécké jazyky, 68 Babylónie, 34–37 Babylóňané, 32, 43, 45, 49, 117, 132, 149, 164 al-Chorezmí, 89 čínská matematika, 56 číselný systém, 38–40 geometrie, 121 neznalost nuly, 91 počitadla, 72 poziční systém, 92 sexagesimální (šedesátkový) systém, 34, 64, 89 systém s jedním základem, 48 Bach, J. S., 210 Bachet, Claude Gaspard, 114, 132, 133, 134, 136, 137 Bagdád, 35, 127 Bachšálíský rukopis, 10, 25, 103, 104 Bajt al-hikma (Dům moudrosti), 25, 88, 89, 82
Ball, W. W. Rouse, 86, 304p2 Short Account of the History of Mathematics (Krátká zpráva o historii matematiky), 82 Banks, Edgar James, 37 Beda, De computo vel loquela digitorum, 69–70 Beethoven, Ludwig van, 210 Bejaia, 92, 93 Bell, Eric Temple, The Development of Mathematics (Vývoj matematiky), 149 Belmondo z Padovy, 152 Berkeley, George, The Analyst (Analytik), 208 Bernard z Chartres, 204 Bernoulli, Jacob, Ars conjectandi, 199 Bernoulli, Johann, 194 Bibhutibhusan Datta, 104 Birch, Samuel, 132 Boëthius, 65, 83, 84 Aritmetika, 102 Bombelli, Rafael, 113, 178, 179 Descartes, 190 L’Algebra, 166, 167–170, 172 Leibniz, 200 polynomická notace, 192 bottegy, 79 Brahma, 85 Brahmagupta, 10, 16–17, 85, 104, 147 Brāhmasphut.asiddhānta (Správně stanovená doktrína Brahmova), 25, 85, 87, 88, 89, 111, 140, 146 brahmíni, 140 bráhmíský číselný systém, 61, 63, 64, 65–66 Braillovo písmo, 71 Breasted, James Henry, 280p15 bronocický hrnec, 29 Burnett, Charles, 94 Butterworth, Brian, What Counts (Co se počítá), 70 byzance, 127 Cajori, Florian, 45, 104, 193 Campbell, Joseph, 27 Cantor, Moritz, 65
321
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 321
24.08.17 15:57 Výtažková černá
Cardano, Gerolamo, Ars magna, 113, 154–157, 160, 166, 182 CEA (Commissariat a l’énergie atomique et aux énergies alternatives), 239 cechy, 80 církev, 80 církevní kalendář, 69, 82 Codex Vigilanus, 26, 78, 79, 107 Computus, rukopis, Thorneyské opatství, 74 Conrad, Joseph, Srdce temnoty, 12 cosa, 160, 172 Čang Čchang, 55 Čchin Š’-chuang-ti, 54–55 Číňané, 52–59 decimální poziční systém, 64 desítkový poziční číselný systém, 53 Hedvábná stezka, 51–52 Indie, 59 indoarabský systém, 58–59 mezera jako zástupný symbol, 56 nula, 64 numerický zápis, 33 počítací hůlky, 53–59 počítání oblázků, 71 Pythagorova věta, 118 výroba papíru, 128 záporná čísla, 147 znalost decimálního systému, 104 čínské hanzi, 28 čísla, 221–222, 225 abstrakce, 68, 186 akrofonní, 44, 45, 47 arabština, 89 Babylóňané, 34, 38–40 Bachšálíský rukopis, 103 celá, 116 čínská matematika, 53 deset, 105 egyptské hieroglyfy, 40–41 horní indexy, 114 Kaye, 103 klínopis, 38–40 koncept, 182–183 korespondence, 32
322
morfografie moderních číslic, 62, 63–64 nejstarší zápisy, 32–33 obrázky objektů, 40–41 poziční, 53 psaná slovy, 89, 106 Řekové, 43, 46–47 římský systém, 47–48 symboly pro první tři čísla, 59 védy, 62 velká, 34, 43, 45, 46, 47, 48, 53, 62, 106, 198, 301p32 význam, 33 značky, 59 čtyři morfografie, 107–108 symboly, 59 daidži, 63 daně, 32 Dantzig, Tobias, 122, 180, 205 Dardi z Pisy (Jacopo), Aliabraa arbibra, 112, 162 Dariova váza, 72 decimální (desítkový) systém, 52, 64, 82, 89, 104 Deinokratés, 118 dělení, 178, 218 čínská matematika, 53 čínské počítací hůlky, 55, 57–58 D, 112, 196 Descartes, 186–187 Diofantos, 138 dvojtečka [:], 113, 198 geometrie, 186–187 Leibnizova znaménka, 198 Stifel, 112 symbol [÷], 198 dělitelé nuly, 223 derivace, 114, 206–207 Descartes, René, 17, 122, 166, 200 číselné horní indexy, 173 křivky, 193–194, 202 La Géométrie, lat. vydání Geometria, 114, 173, 184, 186, 190–191, 192, 193, 198 moderní symbolická forma, 17–18
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 322
24.08.17 15:57 Výtažková černá
násobení postavením činitelů vedle sebe, 198 notace, 184, 190, 193 pevné známé hodnoty, 184, 190 písmena, 114, 184, 190, 196 polynomy, 114, 191 rovnice, 122, 191, 202 devět číslic, 77 Číňané, 52–53, 64 Fibonacci, 77, 81, 90, 92, 93, 95, 105 formy, 105 Mas’údí, 26 morfografické formy, 106–108 Severus Sebocht, 97–98 Dickinsonová, Emily, „Úzký chlapík v trávě,“ 12 Diderot, Denis, 210 diferenciální rovnice, 125 dignità, 168–169, 170 viz též exponenty Diofantos z Alexandrie, 10, 86, 119, 149–150, 179 algebra, 119, 129 al-Chorezmí, 143 Arithmetica (Marcianus 308), 136 Arithmetica (Matritensis 48), 134, 136 Arithmetica (Parsinius 2379), 133, 137 Arithmetica (Vat. gr. 191), 135 Arithmetica, 15, 111, 113, 125–126, 129–133, 143 dělení, 138 druhé mocniny, 129, 136, 138 kopie Arithmeticy, 133–139 mocniny, 119, 129, 136 neznámé, 10, 15, 111, 119–120, 129–130, 136–137 notace, 15, 129–131, 136–139 odčítání, 10, 133, 139 Pappos, 185 rovná se, 138 rovnice, 15, 129, 133 sčítání, 133, 139 shromažďování podobných hodnot, 133 třetí mocniny, 129, 136, 138 Vatikánská knihovna, 134 Xylander, 113
zkratky, 136, 137 znaménko minus, 111, 120, 132–133, 137, 197 znaménko plus, 132 Dirichlet, Gustave-Peter Lejeune, 114, 194, 202 distributivní zákon, 157 dluh, 85, 89, 124, 146 doba bronzová, 29 Dostojevskij, Fjodor, Zločin a trest, 255 druhé mocniny (čtverce), 129, 148, 229–230 al-Chorezmí, 143 Bombelli, 113 Brahmagupta, 16, 112 Dardi z Pisy, 162 Diofantos, 129, 136, 138 druhých mocnin, 162 Eukleidés, 164 geometrie, 164 zkratky, 16 druhé odmocniny, 112, 186–187, 252–253 al-Chorezmí, 145 Brahmagupta, 16, 85, 112, 140 čínský hůlkový systém, 58 geometrie, 165 Chuquet, 112, 162 nekonečný součet vnořených odmocnin, 175 notace, 160 odmocňování, 58 Rudolffův symbol, 161, 162 symbol, 190, 192, 193 vnořené, 161, 193 záporná čísla, 114, 154, 155, 182, 272 zkratky, 16 viz též radix Dubinsky, E., 239 Dudicius, Andreas, 135 duha, 216 důkazy algebra, 155–157 al-Chorezmí, 121 čínská matematika, 54 Descartes, 190 Eukleidés, 54, 117, 118 geometrické, 118, 121, 190
323
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 323
24.08.17 15:57 Výtažková černá
Hobbes, 199 krása, 260 matematika, 19, 117 myšlení, 238–239, 250–251 Řekové, 43–44 v geometrii, 15 základní věta algebry, 173 Dům moudrosti viz Bajt al-hikma (Dům moudrosti) dvě, morfografie, 106 dvojčleny, 161 Egypťané, 10, 117 číslice, 64 hieratické písmo, 132 hieroglyfy, 30, 31, 33, 41–42, 44, 132 kalendář, 280p15 počítání oblázků, 71 Pythagorova věta, 118 údolí Nilu, 36 výpočty hvězdných map, 32 Echternachský rukopis, 74 Einstein, Albert, 205 elipsy, 185 Epos o Gilgamešovi, 33 Eukleidés, 9, 156, 164 axiomatická logika, 54 Descartes, 187–188 Hérón Alexandrijský, 176 indické číslice, 92 pí, 15 překlad do arabštiny, 86 Viète, 176–178 Xylander, 113 Základy (MS D’Orville 301), 115–117, 124 Základy, 15, 92, 113, 118, 157 eukleidovský prostor, 44 Eudemus z Rhodosu, 117 Eudoxos, 118 Euler, Leonard, 162, 172, 194, 209, 272 Recueil des pieces qui ont remporte les pris de l’academie royale des sciences, 114 Základy algebry, 172 Eufrat, řeka, 34
324
Evropa/Západ al-Chorezmí, 105 aritmetika, 93 indické číslice, 90, 91–100, 105–106 indoarabský systém číslic, 98 myšlenka pozičního systému, 64 neznalost nuly, 91–92 římské číslice, 105 exponenty, 165 Bombelli, 169–171 číselné horní indexy, 173 Descartes, 114 Chuquet, 165 indexový plán, 113, 192 kladné celočíselné, 114 racionální, 149 sčítání, 149 Stevin, 113 Wallis, 114 záporné, 114, 149 viz též mocniny Faulkner, William, „Medvěd“, 242–243 fénická abeceda, 9, 30, 44 Fermat, Pierre de, 187, 188, 202, 209 Ferrari, Lodovico, 154 del Ferro, Scipio (Scipione de Floriano de Geri del Ferro), 152–155, 171 Fibonacci, Leonardo, 150, 152 arabské číslice, 78, 81, 82 devět indických cifer, 81 indické číslice, 92–93, 94–95, 97 indoarabské číslice, 26, 78, 80–82 Liber abbaci, 26, 77–79, 80–82, 87, 90, 92–93, 94–95, 102, 105, 301p32 Liber minoris guise (Kniha v menším smyslu), 94 obchodníci, 92, 95 Practica geometria, 93 res, 180 záporný kořen, 146 Filón, 127 fixace, efekt, 235–236 Florencie Statuto dell’Arte di cambio, 83 fluenty, 206–207 fluxiony, 206–207, 264
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 324
24.08.17 15:57 Výtažková černá
Franciová, Raffaella, 93, 94 funkce Descartes, 202 Dirichlet, 114, 202 Leibniz, 194, 201–202 fyzika, 19, 205, 223
Gutenberg, Johannes, 141, 150 gwaliorské číslice, 63, 64
Galén, 86 Galilei, Galileo, 150 Galton, Francis, 249 Gardthausen, Viktor Emil, 131 Gauss, Carl Friedrich, 172, 272 Gaussovo rozdělení, 14 Geary, David, 239 geometrická analýza, 125 geometrické demonstrace, 150 geometrické důkazy, 121, 156 geometrické věty, 118 geometrický čtverec, 163 geometrie, 80, 121 abstraktní, 118 algebra, 15, 125, 145, 163, 164, 170, 176–178, 184–190, 194 al-Chorezmí, 121–122, 145 analytická, 190 Cardano, 154, 155 doplnění na čtverec, 142 důkazy, 15, 118 historie, 117 kvadratické rovnice, 145 moderní matematika, 125 polynomy vyššího než třetího stupně, 157 původ, 186 Viète, 174–175 Gerbert z Aurillacu (Silvestr II.), 26, 74–76 gerbertovský abakus, 26, 92, 97, 286p22 Gibbon, Edward, Úpadek a pád římské říše, 210 gobar viz západoarabské číslice (gobar) Gow, James, 131–132, 301p31 Grosholzová, Emily, Reprezentace a produktivní nejednoznačnost v matematice a přírodních vědách, 233 Guido z Arezza, 9
Hadamard, Jacques, 239, 249–252 hadí diagram, 13 hadí lemma, 13 Hall, Calvin, 230 Hamilton, William Rowand, 114, 271 Harriot, Thomas, 113, 172, 173, 184, 198 Hárún ar-Rašíd, 25, 86, 88 Heath, Thomas, 117, 120, 130–132, 101, 136 Diofantos z Alexandrie, 301p31 Hebrejci/hebrejský číselný systém, 42–43, 44, 59, 97 Hedvábná stezka, 51 Hérigone, Pierre, 200 Cursus mathematicus, 113, 197, 198 Hérón Alexandrijský, 125, 127, 176, 185 Metrica, 133 Hindové, 85, 104, 140 hmongská látka s příběhem, 29 Hobbes, Thomas, 199 Hollar, Václav, 195 Homér Ilias, 33 Odyssea, 29 horní indexy, 114, 130, 136–137, 162, 173, 190, 203 Hosaïn, 99 Høyrup, Jens, 80, 81, 94–95, 122 hvězdy, 32 Hydruntius, Ioannes, 134 Hypatia, 111, 125, 136 hyperboly, 185 Hypsikles z Alexandrie, 125 Chabris, Christopher, 237 Chammurapi, 35 Chan, dynastie, 54 Chasles, Michel, 100, 101–102 chrámy, 31 Chuquet, Nicolas, 175, 180 odmocniny, 179 polynomická notace, 192 Triparty en la science des nombres, 112, 162–163, 165
325
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 325
24.08.17 15:57 Výtažková černá
Iamblichus, 123 ibn al-Banná, 151 ibn al-Jasamin, 99, 151 ibn al-Kiftí Ta’rikh al-hukama (Chronologie učenců), 84 ibn Ezra, Abraham Sefer ha-Ekhand (Kniha o jednotce), 26, 82 Sefer ha-Mispar (Kniha o čísle), 26, 82 ibn Išak, Hunajn, 127 ideogramy, 28 imaginární čísla, 182, 205 Bombelli, 172 Euler, 114 symbol i, 172 imaginární kořeny, 165 imaginární řešení Cardano, 113, 157 indexový plán pro exponenty, 113, 192 Indie, 85 al-Chorezmí, 89 Čína, 59 Hedvábná stezka, 51 knihovny, 86 indická písmena, 132 indické číslice, 63, 74, 89–90 al-Chorezmí, 87–90, 105 Alexandre de Villedieu, 26 Arabové, 88 arabské texty, 289–290p3 deset, 105 devět, 81, 90, 92, 93, 97 Eukleidovy Základy, 92 Evropané, 89, 94, 96–97, 103 Fibonacci, 81, 92–93, 94–95, 97 jako standard, 106 jako zakázané, 83 na Západě, 91–100 nula, 92 přenos Araby, 98 příchod do Alexandrie skrze Sýrii, 105 Severus Sebocht, 98 viz též arabské číslice; indoarabské číslice
326
indoarabské číslice, 62, 82, 90 abakisté, 79 Abraham ibn Ezra, 26 al-Chorezmí, 25, 87, 98 čínská matematika, 54, 55, 58 čínské počítací hůlky, 54 decimální systém, 55 evoluce, 75 Fibonacci, 26, 78, 80–82 gerbertovské počitadlo, 74 Ibérie a Provence, 80, 81 Johannes de Sacrobosco, 26 Mas’údí, 98 morfografie moderních číslic, 63 poziční číslice, 54 Západ, 98 viz též arabské číslice; indické číslice Indové, 23, 46, 61–66 myšlenka poziční notace, 64 poziční decimální notace, 102–103 poziční notace, 82 Pythagorova věta, 118 záporná čísla, 147 Indus, kultura, 64 infinitezimální (nekonečně malé) hodnoty, 205, 208–209 integrály, 259 inverzní operace, 218 iracionální čísla, 182 Írán, 34, 63 Isidor ze Sevilly, Etymologiae, 99 Itálie, 78–79, 80, 82, 134, 152 Italové, 81, 160 italské nářečí, 112 Jansen, Anthony, 244–245 japonské kandži, 28 japonský systém, 63 jazyky jižního Tichomoří, 68 jeskyně El Castillo, Španělsko, 28 jeskynní umění, 28, 33 jižní Mezopotámie, 35 Johannes Hispalensis (Jan Hispanus), 96 Arithmeticae practicae in libro algorithms (Kniha algoritmů z praktické aritmetiky), 26, 82
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 326
24.08.17 15:57 Výtažková černá
Johannes de Sacrobosco, Algorismus, 26, 96 Johnson, Samuel, Slovník anglického jazyka, 148 Jones, William, 114, 306–307p2 Joseph, George Gheverghese, Paví korunka, 64 Jung, Carl, 231 Kahneman, Daniel, 235 kalifové, 86 kandži, znaky, 28 Kanka, 89 Kaplan, Robert, Nic, které je, 64 Karel Veliký, 79–80 Karpinski, Louis Charles, 81, 104 Indoarabské číslice, 97 kartézský souřadnicový systém, 184, 187–189, 193–194 katedrální školy, 79–80 Kaye, George Rusby, 103–104 Kazachstán, 128 Kellerová, Agathe, 104 Keng Šou-čchang, 55 King, Martin Luther, Jr., 150 kladná čísla, 10, 124, 146 Bombelli, 171 Brahmagupta, 85, 112, 140 Cardano, 156–157 kvadratické rovnice, 152 klášterní rukopisy, 96 klášterní školy, 79–80 klínopisné tabulky, 37–40 knihovny, 134–135 knihy o výpočtech, 82 Knorr, Wilbur, 125 koeficienty, 55, 153, 156, 169 kolmost, symbol, 113, 197 kolo, 29–30 komplexní čísla, 114, 154, 173, 181, 269–270, 271, 272 komplexní řešení, 113, 157 komutativní zákon, 157, 271 kong, 56 Konstantinopole, 86, 135 konstanty, 186 kontinuum, 205
Koperník, Mikuláš, De revolutionibus, 106 kořeny polynomů, 162, 163, 172–173 Stevin, 172 záporné, 146, 155, 165 viz též imaginární kořeny kružnice a kruhy, 13–15, 18, 189, 313p1 krychle, zdvojení, 185 křesťané, 151 křivky, 114, 184–185, 194, 202, 206 kubické polynomy (třetího stupně), 161 kubické rovnice, 171–172, 188, 312p7 kuželosečky, 185 kvaterniony, 106, 223–224, 271–272 Lakoff, George, 239 Lam, Lay Yong, 64 Prchavé krůčky, 55, 59 Langerová, Suzanne, Esej o lidském cítění, 232–233 Laplace, Pierre Simon, 65 Larsa, 37 latinský kříž, 197 latinská gramatika, 80 Leibniz, Gottfried Wilhelm, 114, 150, 190, 191, 200–203, 208, 261–263, 311p10 funkce, 194, 202 integrály, 262 Newton, 202, 206 znaménka pro násobení a dělení, 198 Lemay, Richard, 98 lemma, 13 Leonardo da Vinci, 150 Lettvin, Jerry, 229 Libri Carucci dalla Sommaja, Guglielmo, Histoire des sciences en Italie, 102 Libro di nuovi conti (Kniha nových výpočtů), 99 limity, moderní koncept, 311p10 Liou Chuej, 55 Lipstropius, Daniel, 184 literatura matematické texty předcházející literatuře, 33 Livero de l’abbecho (Kniha abakusu), 93–94 Lucensis, Simon Simonius, 136
327
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 327
24.08.17 15:57 Výtažková černá
Mach, Ernst, 158–159, 226–227 maestri d’abbaco, 78, 79, 150 maghrebští matematikové, 151 al-Ma’mún, 86 Mandela, Nelson, 150 Mansúr, Abú Dža’far (al-Mansúr), kalif, 85 Maroko, 65 Marriott, Kim, 244–245 Mas’údí (Abú al-Hasan‚ Alí), Rýžoviště zlata a doly drahokamů, 26, 99–100, 140 matematická analýza, 114, 190, 194, 201, 202–203, 205, 206, 207–209 Matematika v devíti kapitolách (Ťiou-čang suan-šu), 54, 55, 147 maticový systém, 57–58 Maxwell, James Clerk, 258 mayský systém, 49–50 Mazur, Barry, 200 Imaginace čísel, 138 McCarthy, Gregory, 241 Menaechmos, 185 metafora, 13, 29, 31, 47, 232 Metrodorus, 126 mezera, 39–40, 56 Mezopotámie, 35–37 Mikuláš V., 135 minus, symbol, 166 Bombelli, 168 Brahmagupta, 146 Cardano, 155 Diofantos, 111, 120, 132–133, 138, 197 Eukleidés, 117 Hérigone, 198 m, 161, 197 standardizace, 198 Stifel, 160, 197 šipka směřující nahoru či dolů, 10, 120, 132–133, 138, 197 Viète, 175 vodorovná čára, 160, 161, 175, 197, 198 viz též odčítání minuskula, 128–129 mocniny, 218 Bombelli, 166 Dardi z Pisy, zkratka pro čtvrtou mocninu, 162
328
Descartes, 114 Diofantos, 119, 129, 136 Chuquet, 112 jako geometrické slovo pro Eukleida, 164 Pacioli, 163–164 rukopis Computus z Thorneyského opatství, 74 řazení mocnin v číselném pořádku, 114 součiny, 149 symboly, 117 Viète, 179 viz též exponenty monády, 130, 148 Morgan, Augustus de, 77, 181–182, 199 Mozart, Wolfgang Amadeus, 210 mozek, 70–71 Müller, Johannes (Regiomontanus), 134 Müller, Max, 247 myšlenky abstrakce, 153, 232 algebraické symboly, 250 automatický mód a soustředěný mód, 236–237 bez verbálního jazyka, 249–250 důkazy, 239, 251–252 Leibniz, 201 Mach o myšlenkách, 158–159 obrazy, 248–249 ontologie nefyzikálních objektů skrze myšlenky, 19 proces a mentální obrázky, 250–254 smyslové vyjádření, 231–232 spisovatelé versus matematikové, 12–13 symboly jako usnadnění myšlenek, 149, 151 symboly, 11, 12, 13, 158–159, 265–268 Systém 1 a Systém 2, 236–237 účinek symbolů, 258–260 vědomé a nevědomé, 231, 233, 255–256 volitelné módy, 188 Napier, John, 227 násobení, 178, 218
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 328
24.08.17 15:57 Výtažková černá
Babylóňané, 34 Boëthius, 102 Bombelli, 168–169 čínská matematika, 53 čínský hůlkový systém, 55, 58 Descartes, 186–187 geometrie, 176, 186–187 Harriot, 198 Leibnizovy značky, 198 M, 112, 196 počítání na prstech, 69–70 původ symbolu, 70 schémata značení, 68 stavění členů vedle sebe, 196, 198 Stifel, 112 svatoondřejský kříž jako symbol, 113, 196, 198 symboly, 116 tečka, 198 znaménko, 193 znaménková pravidla, 155 nekonečno, 198, 205 nepozorná slepota, 237–238 Nesselman, G. H. F., 277p4 Neugebauer, Otto, 37 neviditelná gorila, experiment, 237–238 Newton, Isaac, 114, 116, 148, 150, 190, 200, 202, 204–210, 264, 311p10 Newyorská obchodní burza, 66 nezávislá proměnná, 207 neznámé, 15, 152, 163, 165 al-Chorezmí, 143 Árjábhata, 16, 111 Bombelli, 113, 166 Brahmagupta, 16 Descartes, 184, 190 Diofantos, 10, 15, 111, 119–120, 129–130, 136, 137, 138 horní indexy pro numerické mocniny, 190 indexování mocnin, 190 mocniny, 149 Newton, 114, 206 notace pro neznámé versus známé, 178–179 písmena, 16, 111, 114 písmena z druhé poloviny abecedy, 190
polynomy, 192 rétorické versus symbolické vyjádření, 157–158 samohlásky, 178–179 součiny mocnin, 149 soustavy rovnic, 123–124 Viète, 178–179, 186 x, 173 zkratka Dardiho z Pisy, 162 zkratky, 16 Nippurská tabulka, 38–39 Nordby, Vernon, 230 notace al-Qalasádí, 151 Archimédés, 45 Descartes, 184, 190 Descartova standardizace, 193 Diofantos, 15, 129–130, 136–139 Hérigone, 197 Chuquet, 165 Pacioli, 162 Rudolff, 161–162 Stifel, 197 symboly, 11–12 synkopická, 15 synkoptická, 133 Nová Guinea, 68 nula Abraham ibn Ezra, 26, 82 Alexandre de Villedieu, 26 babylónský systém, 40, 56 Brahmagupta, 10, 16, 25, 85, 89, 111, 146 Cardano, 155 čínská matematika, 53, 64 dnešní, 40 Fibonacci, 81 indické číslice, 92, 105 indoarabský decimální systém, 56 jako černá tečka, 25, 85, 89, 111 jako číslo, 16, 25, 62, 85, 111, 146 jako nepřítomnost hodnoty, 91–92 jako zástupný symbol, 25, 40, 49, 53, 56, 85, 91–92 neznalost, 91–92 počitadla, 72 podezření, 91, 152
329
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 329
24.08.17 15:57 Výtažková černá
pro prázdnou pozici, 105 původ, 66 římské číslice, 96 sanskrtské číslovky, 62 Scipio del Ferro, 152 velká čísla, 106 obdélníky, 229–230 obchod, 44, 51–52, 53, 65, 78, 81, 106 viz též obchodníci obchodníci, 26 Abraham ibn Ezra, 82 al-Chorezmí, 105 Fibonacci, 77–78, 81, 82, 92, 95 indické číslice, 96–97, 105, 106–107 jižní Mezopotámie, 36 maestri d’abbaco, 79 ohýbání prstů, 66–67 počítací hůlky, 58 viz též obchod obrázkové písmo, 30–31 obrázkové symboly, 48 obrazy, 230–232, 248–249 odčítání, 178, 218 Brahmagupta, 85 čínské počítací hůlky, 55 Diofantos, 10, 132–133, 139 geometrie, 176, 186 hieroglyfy, 10 ohýbání prstů, 69–70 římský systém, 47 znak podobný šipce, 10 viz též minus, symbol odmocněnec, 160 odmocniny čtvrté, 112 Descartes, 186–187 Chuquet, 162–163, 179 neznámá, 160 odmocňování, 178, 186–187, 218, 230 Pacioli, 163–164 Rudolff, 112, 161 symbol, 154 viz též třetí odmocniny; druhé odmocniny odpočítávání, 59 ohýbání prstů, 66–67, 69–70 operace, 152, 158, 162
330
Oresme, Nicole, 186, 188 Osmanská říše, 37 Ota III., 74 Oughtred, William, 195–196, 198, 200 Clavis mathematicae, 113, 196, 313p1 označování oblázky, 71–72 Pacioli, Luca Bartolomeo de, 162, 192 Alghebra e almucabala, 112, 141 L’Arte magiore, 141 Summa, 163–164 Padovská univerzita, 134 Pákistán, 63 Panares, 68 Paňdžáb, 61 Paolo de l’Abacco, 152 Pappos, 185 paraboly, 185, 216 Peirce, Benjamin, 313p3 Penfield, Wilder, 70 Perron, Cardinal, 134 Persie, 51, 88, 98 pět morfografie, 108 skupiny, 59 piktogramy, 28, 29, 37, 149 písaři, 130, 133 pískové tabulky, 83 Platina, Bartolomeo, 135 Platón, 60, 127, 185 Akademie, 118, 185 Menón, 257 Plimpton, George Arthur, 37 plus Bombelli, 168 Eukleidés, 117 p, 197 Viète, 175 znaménka, 161 plus, znaménko, 11, 45, 166 Bachšálíský rukopis, 10 Diofantos, 132 Stifel, 160, 197 Viète, 175 Widmann, 112 viz též sčítání Plútarchos, 117
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 330
24.08.17 15:57 Výtažková černá
počitadla, 72, 76, 83 Gerbertova, 74–76 gerbertovský abakus jako počitadlo, 26 obchodníci a účetní středověké Evropy, 96–97 rukopis Computus, 74–75 Římané, 74–75, 96 počítací hůlky, 53–59 počítání na prstech, 68–70 Arabové, 88 design a evoluce číslic, 64 původ západního systému, 66 počítání v písku, 71 poezie, 256, 258 Poincaré, Jules Henri, 238 Pólya, George, 239 polynomy, 161, 166, 308p14 Bombelli, 170, 192 Descartes, 114, 191 Harriot, 113, 172 Chuquet, 192 kořeny, 162, 163, 172–173 kvadratické, 178 Leibniz, 200 neznámé, 192 položeny rovny nule, 113, 172–173 psané písmeny, 178 rovnice prvního a druhého stupně, 187 rozklad, 173 Stevin, 172, 192 Viète, 175 vyššího než třetího stupně, 157 základní věta algebry, 173 poměry, 185 povrchy a objemy, 185 pozdní doba kamenná, 29 poziční notace/systém, 25, 43, 65, 91–93 Abraham ibn Ezra, 26, 82 babylónská, 92 Bachšálíský rukopis, 103 bráhmíský systém, 65–66 Číňané, 55, 64 evropští obchodníci a účetní, 96–97 gerbertovský abakus, 26 Johannes Hispalensis, 26
Kaye, 103 počitadla, 72 římské číslice, 96 sanskrtské číslovky, 62 prachové destičky, 16, 66, 72, 121 pravdy, samozřejmé, 256 pravoúhlé trojúhelníky, 38 Proklos, Komentář k první knize Eukleidových Základů, 109 prsty motorická kůra, 70–71 symboly pro první tři čísla, 59 proměnné Descartes, 184, 202 křivky jako vztahy mezi proměnnými, 193–194 Newton, 114 písmena z druhé poloviny abecedy, 114 závislé, 114 prvočísla, 250–252 překlad, 117 al-Chorezmí, 65, 78, 87, 88, 92, 98, 105, 141 Arabové, 127 Bachet, 114, 132, 137 Brahmagupty, 85, 87 Diofanta, 113, 119, 125, 132, 133–134, 135–136, 138 do arabštiny, 86, 88, 127, 135, 136 Hárún ar-Rašíd, 25, 86 Jan Hispanus, 26, 82, 96 Konstantinopole, 135 Ptolemaia do arabštiny, 86 Robert z Chesteru, 26, 141 Xylander, 113 Zlatý věk islámu, 88 převrácené hodnoty, 138 příběhy o kalifech, 84 psaní, 28–31, 106–107, 128 cena papíru, 83 fonetické, 31 inkoust, 107–108 pergamen, 128 psychologický vývoj, 256–257 Ptolemaios, 86 Ptolemaios I., 118
331
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 331
24.08.17 15:57 Výtažková černá
Pythagoras, 83, 84, 286p22 pythagorejci, 123, 156, 182 pythagorejské trojice, 37 Pythagorova věta, 9, 37–38, 54, 118, 185, 189, 257, 259 quadrivium, 80 racionální čísla, 116, 124, 221 radix, 154, 160, 161, 162, 163 viz též druhé odmocniny Ramus, Petrus (Pierre de la Ramée), 148 Arithmétique, 141 Sedmadvacet knih geometrie, 176 raná dynastie Chan, 52 reálná čísla, 154, 173, 194, 219, 220–221, 223, 225 Recorde, Robert, 17, 178, 199, 201 Whetstone of Witte (Brus vtipu), 113, 151, 166–167 Reisch, Gregor, Mararita philosophica, 84 res, Fibonacci, 180 res(x), 161 rétorika viz slova Rhindův (Ahmesův) papyrus, 33, 132, 149 Robert z Chesteru, 26, 87, 96 Almucabala, 141 Robsonová, Eleanor, 37 Roche, Estienne de la, 163 Rolle, Michel, Traite d’Algebre, 191 Rousseau, Jean-Jacques, O společenské smlouvě, 210 rovnice, 9, 186 al-Chorezmí, 87 Anthologia Palatina, 127 Cardano, 155 Descartes, 122, 191 Diofantos, 15, 129, 133 homogenní, 176 kuželosečky, 185 neznámý kořen, 160 prvního a druhého stupně, 129 Rhindův (Ahmesův) papyrus, 33 soustavy, 123–124, 126
332
symbolické operace, 10 vyrušení společných faktorů, 178 rovnice, složené kubické, 152 rovnice, kubické Bombelli, 113 Cardano, 113, 154 rovnice, kvadratické, 85, 124, 152, 266–268, 303p7 al-Chorezmí, 87, 144–146 Brahmagupta, 140 doplnění na čtverec, 142 geometrie, 145–146 záporná čísla, 149 rovnice, kvartické, 154 Bombelli, 113 Cardano, 113 rovnice, lineární, 15 al-Chorezmí, 143 Brahmagupta, 140 rovnítko, 160, 198 Leibniz, 201 Recordeho vodorovné čáry, 113, 151, 166–167, 199, 201 rovnost, 151, 166, 167 Descartes, 191 symboly, 17–18, 116, 138, 191, 198 Rudolff, Christoff, 175, 180, 192 Die Coss, 112, 161–162, 165 Russell, Bertrand, 60 řecká abeceda, 89 beta, 47 delta, 47, 66, 130, 136, 138, 313p1 Diofantos, 10, 129–132, 137 gama, 47 kappa, 130, 136 mí, 130, 136 pí, 13–14, 114, 174–175, 277p3, 306–307p2, 313p1, 313p3 psí, 132–133 sekvenční číselný systém, 43, 44–46, 116 sigma, 119, 129, 131–132, 136–137 řečtí geometři, 193 řečtí zeměpisci, 186 řečtina překlad, 134, 136
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 332
24.08.17 15:57 Výtažková černá
Řekové, 43–47, 59 akrofonní systém, 44, 47 algebra, 140 doplnění na čtverec, 142 hebrejský číselný systém, 43 kalifové, 86 Kaplan, 64 medicína, 86 neznalost nuly, 91 počitadla, 72 počítání oblázků, 71–72 poziční systém, 46 uchování literatury, 128, 129 univerzální pravdy, 15 Římané abakus, 73, 74, 286p19 moderní symbol pro nekonečno, 198–199 počitadla, 73, 74, 96 římská písmena psaná v číselném pořádku, 74 římské číslice, 47–48, 83, 105 Arabové, 88–89 Evropané, 105 Fibonacci, 78, 81 gerbertovský abakus, 26 neznalost nuly, 91 poziční systém, 96 Sachs, Abraham, 37 Salemské opatství, Německo, 96 samohlásko-souhlásková notace, 178–183 sanskrt, 85 písmo dévanágarí, 61, 63 Sarton, George, 104 sazba, 202–203 sčítání, 178, 218 Bombelli, 168 čínská matematika, 53 čínské počítací hůlky, 53 Diofantos, 133, 139 geometrie, 176, 186 hieroglyfy, 10 ohýbání prstů, 69–70 řecké písmeno fí, 197 římský systém, 47–48 schémata značení, 68
soupeřící znaménka, 197–198 symboly, 116 Widmann, 197 viz též plus Senkere, 37 Severus Sebocht, 25, 97–98 sexagesimální (šedesátkový) systém, 34, 64, 89 Shakespeare, William, 169 Shelley, Percy Bysshe, Odpoutaný Prométeus, 228 Schubert, Gotthilf Heinrich von, 230 Siao-tchun, 52 sifr, 56 Simons, Daniel, 237 Sindhind (Otáčející se věky), 140 Sindhové, 140 Sixtus IV., 135 slova, 10, 213, 231–232, 258 abeceda, 30 Archimédés, 45 čísla psaná slovy, 89, 106 číslovky, 89 rétorická matematika, 9, 10, 16, 17–18, 117, 133, 196 skryté významy, 215–216 vágní významy, 215 slovní úlohy, 150 Smith, David Eugene, 69, 81, 104 Indoarabské číslice, 97 sny, 230–231 spojitost, 208–209 Stanovich, Keith, 236 Stevin, Simon, 17, 172, 175, 190, 192, 196 L’Arithmetique, 113 Stewart, Ian, 123 Stifel, Michael (Stefleius), 196 Arithmetica integra, 160, 197 vydání Rudolffova Die Coss, 112, 161–162, 165 Stirling, James, 225 Suan šu šu (Kniha o číslech a výpočtech), 57 Sun-c’ suan-ťing (Matematická klasika mistra Suna), 55, 58 sunya, 56 sútry, 61
333
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 333
24.08.17 15:57 Výtažková černá
sv. Martin v Albeldě (benediktinský klášter), 92, 99 svobodná umění, 80 symboly, 9, 234 algebra jako umění manipulace se symboly, 148 algebraické, 117 al-Chorezmí, 120–121 al-Qalasádí, 151 archetypální, 258, 259 Bombelli, 170 definice, 21, 218 Descartes, 122, 190 Diofantos, 119–120, 129–133 etymologie, 11 Eukleidés, 116, 117 expertiza, 214 fixace a ukotvení, 235 freudovské spojení, 235 Hérigone, 197 hra vědomé a nevědomé aktivity symbolů, 255–256 jako balíčky komplexních informací, které usnadňují pochopení, 12 jako osvobození myšlenky od slov, 149 jako pomůcka pro překonání nejednoznačností a mylných interpretací, 17, 122 jako prázdné pozadí, 229–230 jako usnadnění myšlení, 151–152 jako zkratky, 16–17, 122 jižní Mezopotámie, 37 Langerová o symbolech, 232 Leibniz, 114, 200–203 limity a spekulativní síla, 114 literární, 12–13 myšlení, 11, 13, 157, 265–268 nefyzikální objekty, 19 notace, 11–12 obecná forma konkrétních výroků, 17, 122 operační manipulace, 10 Oughtred, 196 pochopení obecného skrze konkrétní, 19 rétorika, 16–18
334
skryté významy, 214, 215 složitosti sdělitelných myšlenek, 233 sny, 230–231 sugestivní myšlenky probuzené symboly, 233 užitečnost, 214–215, 224 v matematice versus ze zážitkových smyslů, 232 Viète, 179 všudypřítomnost, 257 význam, 11 zděděné, 257 zisk ze symbolů, 10 symetrie, 216–217 synkopace, 277p4 Sýrie, 105 Syřané, 44, 86 Šang, dynastie, 52 Španělsko, 74, 87, 151 Štěpán písař, 116 Talas, bitva, 128 Tall, David, 215, 239 Tannery, Paul, 136, 137 Tartaglia, Niccolo Fontana, 154–155, 197 teorie čísel, 125 Thalés z Milétu, 117 Theaitétos, 118 Theofrastos, 127 Theon z Alexandrie, 125 Theon ze Smyrny, 137 Théseus, 201 Thompson, D’Arcy Wentworth, 131 O růstu a formě, 216 Thymaridas z Paru, 123 Tigris, řeka, 34–35 tichomořské ostrovy, 32 Toledská škola překladatelů, 82, 92, 96 trigonometrická znaménka, 140 trivium, 80 trojrozměrný číselný systém, 223 třetí mocniny, 129, 148 Bombelli, 113 Diofantos, 129, 136, 138 geometrie, 164
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 334
24.08.17 15:57 Výtažková černá
třetí odmocniny, 112, 160, 161, 190, 304p2 výpočet, 58 tři, morfografie, 107 Turnbull, Herbert, 204 Tversky, Amos, 235 údolí Eufratu a Tigridu, 34, 35 údolí Nilu, 36 úhly, 185 Hérigoneho symbol, 113, 197 trisekce, 188 trojice písmen, 116 ukotvení, efekt, 235–236 Uliviová, Elisabetta, 93 unciálové znaky, 128–129 univerzity, 79, 80, 134, 135 úrodný půlměsíc, 34 Ur, 35, 37 urbanizace, 35 Uruk, 33, 35 van Egmond, Warren, 82, 93 van Schooten, Francisci, 193 Varignon, Pierre, 191 Vatikánská knihovna (Biblioteca Apostolica Vaticana), 134, 135 věda, 44, 85, 140 védy, 62–63 Venezuela, 68 Viète, François, 17, 102, 113, 148, 172, 173, 196, 307p3 algebra a geometrie, 186 Descartes, 184 Geometria, 176 Isagoge, 174–183 konstanty a neznámé, 186 Leibniz, 200 Opera mathematica, 193 písmena, 192 vnořené odmocniny, 193 vinculum (vodorovná čára), 190–191, 192, 193, 203, 307p3 Vinner, Schlomo, 215 Vjása, Vjása-Bhášja, 104 vnořené výrazy, 242, 243, 245 Vrain-Lucas, Denis, 101, 102 východoarabské číslice, 63, 65
Wallis, John, 148 Arithmetica Infinitorum, 114, 199 Mathesis Universalis, 114, 165 Watt, James, 210 West, Richard, 236 Whitehead, Alfred North, 197, 213, 214, 217, 222, 224 Whiteside, Derek Thomas, 205 Widmann, Johannes, Behende und hübsche Rechnung auff allen Kauffmanschafften, 11, 112, 197 Wigner, Eugene, „Nerozumná efektivita matematiky v přírodních vědách“, 14 Wittgenstein, Ludwig, 248 Xylander, Guilielmus (Wilhelm Holtzman), 113, 135, 136, 199 Yelland, Greg, 244 Yupno, 68–69 Z (zensus), 165 Zagros, pohoří, 51 základní věta algebry, 173, 182 západoarabské číslice (gobar), 63, 65, 284p6 záporná čísla, 124, 149, 222 al-Chorezmí, 89, 145 Bachšálíský rukopis, 10 Brahmagupta, 85, 89, 112, 140, 146, 147 Cardano, 155, 157 Čína, 147 Chuquet, 165 Indové, 147 odmocniny ze záporných čísel, 114, 155, 183, 272 označená tečkou, 17 Scipio del Ferro, 152 záporné členy, 139 záporné kořeny, 145, 155, 165 zástupný symbol, 40, 46, 49, 65 nula, 25, 49, 53, 56, 85, 91–92 závislé proměnné, 206 záznamy, 31, 33, 37 zemědělství, 32–33, 34, 35, 36
335
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 335
24.08.17 15:57 Výtažková černá
zeměměřičství, 32, 53 zeměpisná šířka a délka, 186 zkratky, 16–17, 150, 161, 196 al-Qalasádí, 151 Brahmagupta, 111–112 Dardi z Pisy, 162 Diofantos, 136, 137–138 maghrebští matematikové, 151 notace, 11
336
potřeba, 151–152 Theon ze Smyrny, 137 zlomky, 17, 124, 130, 196, 198 známé veličiny, 114, 148, 178, 179, 183, 184, 190, 192 zvířata, 279p6 železný kříž, 198 Židé, 86
Rejstřík
Kde_se_vzaly_symboly.indd 336
24.08.17 15:57 Výtažková černá