VÝZVA ALGEBRY SPOČÍVÁ V TOM VYSVĚTLIT JI ZÁBAVNĚ, ALE ZÁROVEŇ SE DRŽET REALITY – PROBLÉM JE TEN, ŽE REALITA NEBÝVÁ VŽDY ZÁBAVNÁ. AUTOR JE ZAVÁZÁN ANDREWU GRIMSTADOVI, DAVIDU MUMFORDOVI, HEATHER DALLASOVÉ A MARCU OWENOVI ZA JEJICH NEOCENITELNÉ PŘIPOMÍNKY A ROZHOVORY NA TOTO TÉMA. ZVLÁŠTNÍ PODĚKOVÁNÍ SI ZASLUHUJE MARC ZA SVŮJ NÁPAD ZNÁZORNIT METODU DOPLNĚNÍ NA ČTVEREC „BABYLONSKOU GRAFIKOU“.
Násobilka 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
99
108
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
11
22
33
44
55
66
77
88
99
110
121
132
12
24
36
48
60
72
84
96
108 120 132
144
VI
Komiksova-algebra.indd VI
13.05.16 10:12 Výtažková černá
Kapitola 0
Co je vlastně algebra? NEŽ SE PUSTÍME DO OPRAVDICKÝCH ALGEBRAICKÝCH LAHŮDEK, JE TŘEBA UMĚT ČÍSLA MEZI SEBOU SČÍTAT, ODČÍTAT, NÁSOBIT A DĚLIT PODLE PRAVIDEL ARITMETIKY. CHCETE-LI ČÍST TUTO KNIHU, MUSÍTE UMĚT ARITMETIKU!
TO JE HRAČKA...
1
Komiksova-algebra.indd 1
13.05.16 10:12 Výtažková černá
ARITMETIKA JE KOMBINOVÁNÍ ČÍSEL. CO JE POTOM ALGEBRA? ABYCHOM DOKÁZALI NA TUTO OTÁZKU ODPOVĚDĚT, ZAČNEME S BĚŽNÝMI ARITMETICKÝMI ÚLOHAMI...
a TYTO ÚLOHY PŘEPÍŠEME DO VODOROVNÉ PODOBY, DO ŘÁDKŮ:
V TOMTO TVARU PŘEDSTAVUJE ARITMETICKÁ ÚLOHA ROVNICI – VÝROK, ŽE JEDNO MNOŽSTVÍ SE ROVNÁ JINÉMU – AVŠAK S JEDNÍM ROZDÍLEM: JEDNA STRANA ROVNICE, ODPOVĚĎ, je NEZNÁMÁ, ALESPOŇ DOKUD NEPROVEDEME VÝPOČET.
ROVNICE - ZNÁME OBĚ STRANY
ARITMETICKá úloha: ROVNICE S JEDNOU NEZNÁMOU STRANOU
2
Komiksova-algebra.indd 2
13.05.16 10:12 Výtažková černá
V ALGEBŘE TAKÉ MÁME ROVNICE, AVŠAK S MALÝM ROZDÍLEM: HLEDANÁ ODPOVĚĎ – TO „KOLIK?“ – MŮŽE BÝT KDEKOLI. TATO NEZNÁMÁ SE MŮŽE TEDY VYSKYTNOUT NEJEN OSAMOCENA NA JEDNÉ STRANĚ ROVNICE, ALE TŘEBA UPROSTŘED ROVNICE, A ČASTO NA VÍCE NEŽ JEDNOM MÍSTĚ. ZDE JE ALGEBRAICKá úloha: VYJÁDŘENO SLOVY: KDYŽ NĚJAKÉ ČÍSLO VYNÁSOBÍTE DVĚMA A ODEČTETE OD NĚJ 3, DOSTANETE 11. JAKÉ JE TO ČÍSLO?
V ALGEBŘE ZACHÁZÍME S POJMEM „KOLIK?“ STEJNĚ JAKO JAKÝMKOLI JINÝM ČÍSLEM, PODOBNĚ, JAKO BYCHOM NAKLÁDALI S 1 nebo 2 nebo 6. (MÍSTO „KOLIK?“ PÍŠEME OBVYKLE x nebo y nebo NĚJAKÉ JINÉ PÍSMENO.)
KOLIK JE TO, S ČÍM ŽONGLUJETE?
PŘESNĚ TAK!
UKÁŽEME SI, JAK VYTVÁŘET A VYUŽÍVAT RŮZNÉ KOMBINACE PÍSMEN A ČÍSEL, KOMBINACE, KTERÝM ŘÍKÁME ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. PODOBNĚ JAKO VÝRAZY LIDSKÉHO OBLIČEJE MOHOU BÝT I ALGEBRAICKÉ VÝRAZY JEDNODUCHÉ NEBO NESMÍRNĚ SLOŽITÉ.
JEDNODUCHÝ VÝRAZ
SLOŽITĚJŠÍ VÝRAZ
3
Komiksova-algebra.indd 3
13.05.16 10:12 Výtažková černá
V ALGEBŘE MÁME NA ZAČÁTKU ROVNICI. ROVNICE ŘÍKÁ, ŽE JEDEN VÝRAZ SE ROVNÁ DRUHÉMU. PAK SI S VÝRAZY TROCHU POHRAJEME…
…AŽ DOKUD PŮVODNÍ VÝRAZY ZCELA NEZMIZÍ A NAŠE NEZNÁMÉ „KOLIK?“ NEBOLI x SE OBJEVÍ SAMO NA JEDNÉ STRANĚ ROVNICE. TÍM SE OCITNEME PŘED OBYČEJNOU ARITMETICKOU ÚLOHOU. TO JE ALGEBRA!
ABYCHOM ALGEBRU ZVLÁDLI, MUSÍME SE NAUČIT „MANIPULOVAT“ NEBOLI ZACHÁZET S VÝRAZY. STEJNĚ JAKO U ARITMETIKY PLATÍ I V ALGEBŘE JISTÁ PRAVIDLA. ROZHODNĚ NE VŠECHNO JE POVOLENO!
MÁME NĚJAKÁ PRAVIDLA! OK! NEROZČILUJ SE!
ZAČNEME S TĚMI ÚPLNĚ NEJJEDNODUŠŠÍMI VÝRAZY: S ČÍSLY. NĚKTERÉ Z TĚCHTO VĚCÍ MOŽNÁ BUDETE ZNÁT, JINÉ PRO VÁS BUDOU ASI NOVÉ…
4
Komiksova-algebra.indd 4
13.05.16 10:12 Výtažková černá
Kapitola 1
Číselná osa Č
ÍSLA MAJÍ ŠIROKÉ VYUŽITÍ, A TO HLAVNĚ V POČÍTÁNÍ a mĚŘENÍ. POČÍTÁNÍ JE NAPROSTO PŘIROZENÁ VĚC: ČÍSLY 1, 2, 3, 4… LZE POČÍTAT COKOLI, NAPŘÍKLAD JABLKA, POMERANČE, ZRNKA PÍSKU NA PLÁŽI…
ZRNKA PÍSKU?
ŘEKL JSEM „PŘIROZENÁ“, NE „LEHKÁ“.
hm... 2 014 532 578, 2 014 532 579 ...
TO JE DŮVOD, PROČ MATEMATIKOVÉ NAZÝVAJÍ ČÍSLA 1, 2, 3 ATD. PŘIROZENÁ ČÍSLA, JAKO KDYBY JINÉ VĚCI PŘIROZENÉ NEBYLY, ŽE?
A JEJEJ!
5
Komiksova-algebra.indd 5
13.05.16 10:12 Výtažková černá
AVŠAK PŘIROZENÁ ČÍSLA UŽ NEJSOU TAK UŽITEČNÁ, POKUD CHCETE NĚCO MĚŘIT, NE JEN POČÍTAT… ZMĚŘTE NĚKOMU TŘEBA NAPŘÍKLAD DÉLKU CHODIDLA. TY BRĎO! DÁVAJÍ K TĚMHLE LODÍM I VESLA?
KDYŽ POLOŽÍTE CHODIDLO NA PRAVÍTKO SE STUPNICÍ V NĚJAKÝCH JEDNOTKÁCH (CENTIMETRECH, PALCÍCH, TO JE JEDNO), ŠPIČKA VAŠEHO PALCE NEMUSÍ LEŽET PŘESNĚ NA NĚKTERÉ ZE ZVÝRAZNĚNÝCH ZNAČEK.
MÁTE NA VÝBĚR: BUĎ KOUSEK PALCE UŘÍZNOUT, NEBO SE SMÍŘIT SE SKUTEČNOSTÍ, ŽE MEZI CELÝMI ČÍSLY SE NACHÁZEJÍ DALŠÍ ČÍSLA. MOHOU TO BÝT TŘEBA ZLOMKY JAKO NAPŘÍKLAD 1/2 nebo 35/8. NAŠE PŘEDSTAVY O ČÍSLECH PROTO RADĚJI RYCHLE ROZŠIŘME O ZLOMKY!
JSEM SI ZCELA JIST, ŽE AMPUTACE BOLÍ DALEKO VÍC NEŽ ZLOMKY!
6
Komiksova-algebra.indd 6
13.05.16 10:12 Výtažková černá
NEJPRVE SE PODÍVEJME NA ZLOMKY JAKO NA „ČÁSTI“ CELÝCH VĚCÍ. KDYŽ CELOU PIZZU ROZKRÁJÍTE NA TŘI STEJNÉ ČÁSTI; JEDNA ČÁST JE 1/3 pizzy. 2/3 PAK PŘEDSTAVUJÍ 2 TYTO ČÁSTI, ATD.
TO NÁM ALE NEODPOVÍDÁ NA OTÁZKU, CO VLASTNĚ TEN ZLOMEK JE. JE TO DĚLENÍ? KUS ČÍSLA?
A KOLIK KOLEČEK SALÁMU JE NA JEDNOM KUSE PIZZY?
PRO ÚČELY MĚŘENÍ JE ZLOMEK POUHÝM DALŠÍM BODEM NA PRAVÍTKU. NAPŘÍKLAD 1/3 LEŽÍ V 1/3 CESTY OD 0 SMĚREM K 1. SVOU DANOU POLOHU NA PRAVÍTKU MAJÍ TAKÉ ZLOMKY 2/3, 3/3, 4/3, 5/3 ATD. A MÁTE PRAVDU 3/3 = 1, 6/3 = 2, ATD.!
1 Ø3
2 Ø3
3 Ø3
4 Ø3
5 Ø3
6 Ø3
1
7 Ø3
8 Ø3
9 Ø3
11 Ø3
3
2
JINÝMI SLOVY, ZLOMEK JE V PODSTATĚ JEN DALŠÍM DRUHEM ČÍSLA A DÉLKA NĚCO, CO VE ZLOMCÍCH MĚŘÍME. KAŽDIČKÝ ZLOMEK, KAŽDÁ MOŽNÁ KOMBINACE ČITATELE A JMENOVATELE MAJÍ SVÉ PEVNÉ MÍSTO NA MĚŘIDLE. KDYŽ NEMŮŽETE VYJÁDŘIT DÉLKU SVÉHO CHODIdLA VE ZLOMCÍCH, DOSTANETE SE ASPOŇ VELMI BLÍZKO! KDE TO MÁ KONEC?
NIKDE…
MÁM PŘESNĚ TUTO VELIKOST 5 651 048
, Ø 431 915 PLUS MINUS…
7
Komiksova-algebra.indd 7
13.05.16 10:12 Výtažková černá
KDYŽ ZAČNEME MĚŘIT I NĚCO JINÉho, NEŽ ČÁSTI TĚLA, BUDEME POTŘEBOVAT TAKÉ
KAŽDÁ TEPLOTA NIŽŠÍ NEŽ NULA JE POKLÁDÁNA ZA ZÁPORNOU. JÁ VĚDĚLa, ŽE KLAĎASOVÉ TO MAJÍ LEHČÍ!
MŮJ TY BOŽE… VŽDYCKY JSEM SE SNAŽILa BÝT KLAĎASEM! NAPŘÍKLAD…
POKUD ROZVINEME HODINOVÝ ČÍSELNÍK, MŮŽEME MĚŘIT ČAS NA PŘÍMCE.
MINULOST (–) 0 NYNÍ
OKAMŽIK PŘÍTOMNOSTI (NEBO JINÝ ČAS, TŘEBA ZAČÁTEK ROKU NEBO ZAČÁTEK POUŽÍVÁNÍ KALENDÁŘE) MŮŽEME POKLÁDAT ZA NULU. HODNOTY ČASU PŘED NÍ JSOU PAK ZÁPORNÉ A HODNOTY PO NÍ KLADNÉ.
ZÁPORNÉ MOHOU BÝT DOKONCE I PENÍZE! ÚČETNÍ POKLÁDÁ DLUH ZA ZÁPORNOU ČÁSTKU. KDYŽ NĚKOMU DLUŽÍTE $5, tAK MÁTE PĚT ZÁPORNÝCH DOLARŮ NEBOLI $–5.
BUDOUCNOST (+)
JÁ SE NARODIL V ROCE –320, A DOTEĎ Z TOHO MÁM V HLAVĚ ZMATEK.
NO CO, MÁM ASPOŇ NĚCO…
8
Komiksova-algebra.indd 8
13.05.16 10:12 Výtažková černá
PRAVÍTKO V NAŠÍ HLAVĚ MUSÍ OBSAHOVAT I ZÁPORNÁ ČÍSLA. PATŘÍ NA OPAČNOU STRANU OD NULY, TEDY NALEVO OD NÍ. PRÁVĚ NULA ODDĚLUJE ZÁPORNÁ ČÍSLA OD KLADNÝCH. PŘEDSTAVTE SI NEKONEČNOU ČÍSELNOU OSU SMĚřUJÍCÍ NA OBĚ STRANY (NEKONEČNOU PROTO, ŽE NEEXISTUJE ŽÁDNÉ NEJVĚTŠÍ ČÍSLO). ANI BAMBILION?
ZA NÍM JE BAMBILION JEDNA…
ZÁPORNÁ ČÁST OSY VYPADÁ STEJNĚ JAKO KLADNÁ ČÁST, ALE MÍŘÍ OPAČNÝM SMĚREM. ZÁPORNÁ ČÍSLA JSOU
ZÁPORNÁ HODNOTA ČÍSLA JE JEHO
VČETNĚ ZLOMKŮ!
ZRCADLOVÝ OBRAZ NA OPAČNÉ STRANĚ od NULY. KDYBYSTE CELOU OSU OTOČILI OKOLO NULY, PŘISTÁLO BY KAŽDÉ ČÍSLO NA SVÉ ZÁPORNÉ HODNOTĚ.
ZRCADLOVÝM OBRAZEM KLADNÝCH.
–4 –
–3 11
–2
0
–1 –
Ø3
1
1
1
Ø2
Ø2
2
–2
tOTO PŘEVRÁCENÍ VLASTNĚ PŘEMÍSTÍ KAŽDÉ ZÁPORNÉ ČÍSLO NA KLADNOU STRANU. PROTO ŘÍKÁME: ZÁPOR ZÁPORNÉHO ČÍSLA JE KLADNÝ.
–2
1 –1 –
Ø 2
0
1
Ø 2
1
–1
–
1
Ø 2
NAPŘÍKLAD ZÁPORNÁ HODNOTA ČÍSLA −2 JE 2. TUTO SKUTEČNOST LZE VYJÁDŘIT ROVNICÍ:
0
1
Ø 2
1
2
MINUS A MINUS DÁ PLUS.
2
9
Komiksova-algebra.indd 9
13.05.16 10:12 Výtažková černá
ČÍSELNÁ OSA OBSAHUJE VŠECHNA KLADNÁ I ZÁPORNÁ CELÁ ČÍSLA A TAKÉ ZLOMKY. POTŘEBUJEME K MĚŘENÍ VŮBEC JEŠTĚ NĚJAKÁ JINÁ ČÍSLA? VLASTNĚ JO…
A ZDE JE DŮVOD:
KDYŽ DĚLÍME JEDNO CELÉ ČÍSLO JINÝM, NASTANE JEDNA Z TĚCHTO DVOU MOŽNOSTÍ. BUĎ DOSTANEME ČÍSLO s KONEČNÝM DESETINNÝM ROZVOJEM, JAKO TŘEBA 5/8 = 0,625 NEBO S PERIODICKY SE OPAKUJÍCÍ DESETINNOU ČÁSTÍ, NAPŘ. 2/3 = 0,666666666.....
1/7 = 0,142857 142857 142857.... JISTĚ VÍTE, ŽE KAŽDÝ ZLOMEK LZE PŘEVÉST NA DESETINNÉ ČÍSLO POMOCÍ DĚLENÍ. ZDE JSOU ČÍSLA 2/3, 5/8 A 1/7:
2,0000... : 3 = 0,6666... 18 Ø 20 5,000 = 0,625 18 48 Ø 20 Ø 20 18 16 Ø 20 Ø 40 40 A TAK DÁLE… Ø 0 1,0000000 : 7 = 0,1428 57 1 428... 7 Ø 30 28 Ø 20 14 Ø 60 56 Ø 40 35 Ø 50 49 Ø 10 7 Ø 30 A TAK DÁLE…
PROČ? PODÍVEJME SE NA DĚLENÍ VLEVO. VŽDY, KDYŽ NÁM VYJDE ZBYTEK 0, JE DESETINNÉ ČÍSLO KONEČNÉ. POKUD TOMU TAK NENÍ… VÍME, ŽE KAŽDÝ ZBYTEK MUSÍ BYT NUTNĚ MENŠÍ NEŽ DĚLENEC, TAKŽE MÁME JEN OMEZENÝ POČET MOŽNÝCH ZBYTKŮ. KDYŽ POKRAČUJEME V DĚLENÍ, ZÁKONITĚ MUSÍME NA NĚJAKÝ NARAZIT PODRUHÉ, A TÍM SE CELÝ ŘETĚZEC (PERIODA) BUDE OPAKOVAT. KAM AŽ OKO DOHLÉDNE A JEŠTĚ DÁL!
STANE SE, ŽE NĚKTERÁ ČÍSLA MAJÍ ROZVOJ, KTERÝ NEMÁ DONEKONEČNA (PERIODICKY) SE OPAKUJÍCÍ SKUPINU ČÍSEL. NAPŘÍKLAD √Ø 2 , DRUHÁ ODMOCNINA ZE 2. (JE TO ČÍSLO, JEHOŽ SOUČIN SE SEBOU SAMÝM dává 2. VÍCE O TOM DÁLE!)
√Ø2 = 1,41421 35623 73095 04880.... DALŠÍM TAKOVÝM ČÍSLEM JE π, pÍ, OBVOD KRUHU O PRŮMĚRU = 1.
π 1
π = 3,14159 26535 89793 23846...
10
Komiksova-algebra.indd 10
13.05.16 10:12 Výtažková černá
NEKONEČNÁ NEPERIODICKÁ ČÍSLA NAZÝVÁME IRACIONÁLNÍ. I TA MAJÍ SVÉ MÍSTO NA ČÍSELNÉ OSE.
IRACIONÁLNÍ V TOMTO PŘÍPADĚ ZNAMENÁ, ŽE TATO ČÍSLA NELZE NIJAK ZAPSAT JAKO PODÍL DVOU CELÝCH ČÍSEL – JINÝMI SLOVY JAKO ZLOMEK. (DESETINNÝ ROZVOJ ZLOMKU JE KONEČNÝ NEBO PERIODICKÝ.)
ZAČÍNÁ TU BÝT NĚJAK TĚSNO…
1,4142135623730950488016887242096 9807856967187537694807317667973799 073247846210703885038753432764157 073247846210703885 8503 85 50 87 753 534327 5343 43 4 327 2764 415 15 SKORO, ALE 27350138462309122970249248360558 27350138462309 9112 2297024 492 9 48 4836 3605 0558 NENÍ TO 5073721264412149709993583141322266 5073721264412149 49 970 7099 7099 993 35 58 831 31141 4132 41 132 32226 PŘESNÉ! 59275055927557999505011527820605 592750559275579995 50 05 501 501 01152782 82 20605 714701095599716059702745345968620 714701095599716059 97 70 027 27453459 274 5 68 59 68620 147285174186408891986095523292304 147285174186408891 9119860 9860 98 6095 6095 9 52 5232 3292304 843087143214508397626036279952514 8430871432145083 397 976 6260 6036 3627 799 9952 5 514 07989687253396546331808829640620 0798968725339654 46 63 33 3118088 8088 80 8829 29 29 96 6406 6406 64 0620 61525835239505474575028775996173.
KAŽDÉ ČÍSLO, KTERÉ MŮŽEME POUŽÍT K MĚŘENÍ, PATŘÍ DO JEDNÉ Z TĚCHTO SKUPIN:
Celé KLADNÉ NEBO ZÁPORNÉ
Racionální
MIMOCHODEM, „IRACIONÁLNÍ“ ZDE NEZNAMENÁ POTRHLÁ NEBO NEVYPOČITATELNÁ. I KDYŽ NĚKDY TAK MOHOU VYPADAT.
ČÍSLO, KTERÉ lze ZAPSAT VE TVARU ZLOMKU
Iracionální JAKÉKOLI JINÉ ČÍSLO
ZVYKNEŠ SI NA MĚ… VE VÝSLEDKU JE ČÍSELNÁ OSA NAPLNĚNA ČÍSLY, KTERÁ NAZÝVÁME „REÁLNÁ“. ZDA JSOU ALE STEJNĚ REÁLNÁ JAKO TŘEBA KÁMEN NEBO KUS SÝRA, TO UŽ NECHÁM NA VÁS…
BOLÍ MĚ Z NICH HLAVA, TAKŽE MUSEJÍ BÝT REÁLNÁ!
11
Komiksova-algebra.indd 11
13.05.16 10:12 Výtažková černá
Úlohy 1. ZDE VÁS ČEKÁ NĚKOLIK ZAHŘÍVACÍCH ARITMETICKÝCH ÚLOH. NAPIŠTE VÝSLEDKY DĚLENÍ JAKO DESETINNÁ ČÍSLA. NEPOUŽÍVEJTE KALKULAČKU!! CHCEME SI TADY TOTIŽ PROTÁHNOUT SVÉ „MATEMATICKÉ ZÁVITY“!
a. 24
+ 7 Ø b. 58 +35 Ø c. 1,56 3 + 0,0002 Ø
g.
d. 19 ˘3 Ø e. 5,7 ˘ 2 Ø f. 5,7 ˘ 0,06 Ø
h.
j.
a. 1
e. 5
i.
b. 6
f. 4
j. 22
c. 47
g. 3
k. 5
d. Ø3
h.
Ø5
1,4142 ˘1,4142 Ø 50 : 2
i.
2. POMOCÍ DĚLENÍ VYPOČÍTEJTE DESETINNÝ ROZVOJ TĚCHTO ZLOMKŮ. Ø9
Ø11
Ø5
50 : 0,2
8
110 : 21
Ø 3 2
Ø17
Ø12
47 Ø100
Ø16
3 Ø100
4 Ø 5 2
l.
3. NĚKDY OZNAČUJEME OPAKUJÍCÍ SE DESETINNOU ČÁST VODOROVNOU ČÁROU NAD PŘÍSLUŠNÝMI ČÍSLICEMI. NAPŘÍKLAD NAMÍSTO ZÁPISU 0,0101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010....., NAPÍŠEME 0,Ø0 1 . MNOHEM KRATŠÍ, ŽE? POUŽIJTE TENTO ZPŮSOB ZÁPISU U VŠECH VÝSLEDKŮ S PERIODICKÝM DESETINNÝM ROZVOJEM V ÚLOZE 2.
4. PŘEVEĎTE KAŽDÝ NEPRAVÝ ZLOMEK na SMÍŠENÝ. (NEPRAVÝ ZLOMEK JE ZLOMEK, JEHOŽ ČITATEL JE VĚTŠÍ NEŽ JMENOVATEL; SMÍŠENÝ ZLOMEK SE SKLÁDÁ Z CELÉHO ČÍSLA A ZLOMKU, JAKO JE 2·. NAPŘÍKLAD 5/4 = 1›.)
6. VYZNAČTE NA ČÍSELNÉ OSE POLOHU NÁSLEDUJÍCÍCH ČÍSEL: –11
–10
–9
–8
–7
MÁME-LI DÁNA DVĚ ČÍSLA, VĚTŠÍ JE TO, KTERÉ LEŽÍ NA ČÍSELNÉ OSE VPRAVO.
VĚTŠÍ ČÍSLO
4,51,
–6
–5
a. 6
Ø5
3,514 VE TVARU ZLOMKU.
Ø4
b. 47 d. 22 Ø15
22 , –10⁄, Ø7 –4
5. VYJÁDŘETE
c. 19
–3
–2
Ø17
11 , Ø2
–3,6
–1
0
1
7. KTERÉ ČÍSLO JE VĚTŠÍ? a. 2 nebo 3
e. –350 nebo 2
b. 2 nebo –3
f. › nebo ⁄
c. –2 nebo –3 g. 3,808 nebo 3,81 d. –2 nebo 3
2
3
4
5
6
8. KOLIK JE –(–(–2))?
KOLIK JE –(–(–(–2)))? CO KDYŽ SE PŘED ČÍSLEM 2 OBJEVÍ 20 ZNAMÉNEK MINUS? A CO KDYŽ TAM BUDE 35 ZNAMÉNEK MINUS?
22 nebo –3,25 h. – Ø 7
12
Komiksova-algebra.indd 12
13.05.16 10:12 Výtažková černá
Kapitola 2
Sčítání a odčítání (se závorkami)
N
A PRVNÍCH HODINÁCH MATEMATIKY JSME SE DOZVĚDĚLI, ŽE SEČÍST DVĚ ČÍSLA ZNAMENÁ PŘIPOČÍsT PO JEDNÉ JEDNO ČÍSLO K DRUHÉMU, ZATÍMCO ODEČÍST ZNAMENÁ ODEBRAT NĚCO PRYČ…
…V PŘÍPADĚ PŘIROZENÝCH ČÍSEL JE TO V POŘÁDKU, JINDY TO TAK ALE BÝT NEMUSÍ. CHCETE-LI ZVLÁDNOUT ALGEBRU, MUSÍTE BEZ JAKÝCHKOLI PROBLÉMŮ SČÍTAT A ODČÍTAT ZÁPORNÁ ČÍSLA.
MÁM O –3 JABLKA MÉNĚ NEŽ TY!
TO SE VYTAHUJEŠ, NEBO SI STĚŽUJEŠ?
13
Komiksova-algebra.indd 13
13.05.16 10:12 Výtažková černá
DŘÍVE, NEŽ SE DO TOHO ALE PUSTÍME, MUSÍME SI POVĚDĚT NĚKOLIK SLOV O ZÁVORKÁCH (BEZ NICH TO TOTIŽ NEJDE!). V PSANÉM TEXTU VYJADŘUJÍ ZÁVORKY DOPLNĚNÍ, NĚCO NAVÍC… ALE NE V MATEMATICE!
V MATEMATICE SE POUŽÍVAJÍ K SESKUPOVÁNÍ SYMBOLŮ A NUTÍ NÁS O VŠEM UVNITŘ ZÁVOREK UVAŽOVAT JAKO O JEDNÉ VĚCI, JEDNOM MNOŽSTVÍ ČI ČLENU.
NEDÍVEJ SE NA MĚ… JÁ JSEM JE SEM NEDAL!
2 ˘(3+ 4)
TAKŽE ZNAMENÁ „2 KRÁT MNOŽSTVÍ 3 + 4,“ tedy 2 ˘ 7 = 14
ZÁVORKY NÁM UMOŽŇUJÍ VYHNOUT SE DIVNÝM, MATOUCÍM A NECHUTNÝM ZÁPISŮM JAKO JE
MÍSTO TOHO ČLENY SESKUPÍME, ČÍMŽ UJASNÍME JEJICH VÝZNAM A UČINÍME JE STRAVITELNĚJŠÍMI! „5 plus ZÁPORNÉ 3“
plus-minus?
LEPŠÍ.
CHÁPU TO!
fuj. UŽ JE MI DOBŘE!
BLE…
14
Komiksova-algebra.indd 14
13.05.16 10:12 Výtažková černá
NEJPRVE SEČTĚTE
SESKUPOVÁNÍM ROZUMÍME TOTO: KDYŽ VIDÍTE ZÁVORKY, NEJPRVE PROVEĎTE VŠECHNY ARITMETICKÉ ÚKONY UVNITŘ ZÁVOREK A AŽ POTÉ ÚKONY VNĚ ZÁVOREK. UVIDÍTE, ŽE NA TOM ZÁLEŽÍ!
3 + 4, POTÉ NÁSOBTE VÝSLEDEK ČÍSLEM 2.
A JEŠTĚ JEDNA VĚC: OD TOHOTO OKAMŽIKU BUDEME JEN ZŘÍDKA POUŽÍVAT SYMBOL ˘ VE SMYSLU „KRÁT“, TEDY NÁSOBENÍ. ZNAK x, SE TOTIŽ VELMI PODOBÁ PÍSMENU x, KTERÉ JE V ALGEBŘE OBLÍBENÉ. TEĎ PADEJ!
MÍSTO TOHO BUDEME NÁSOBENÍ NAZNAČOVAT TEČKOU, ≈ , NEBO, POKUD BUDEME MÍT ZÁCHVAT MINIMALISMU, POUHÝM UMÍSTĚNÍM DVOU ČLENŮ VEDLE SEBE - KDYBY TO BYLO MATOUCÍ, TAK POUŽITÍM ZÁVOREK, TŘEBA JAKO:
JE UŽ ˘ PRYČ? JSI PŘIPRAVEN NA MĚ?
TÉMĚŘ… ALE NEJDŘÍV…
NEJDŘÍV SE BUDEME ZABÝVAT SČÍTÁNÍM…
15
Komiksova-algebra.indd 15
13.05.16 10:12 Výtažková černá
ZAČNEME TÍM, ŽE SE NA ZNÁMOU VĚC PODÍVÁME NOVÝMA OČIMA: SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ KLADNÝCH ČÍSEL. DVĚ ČÍSLA SI MŮŽEME PŘEDSTAVIT JAKO TYČKY URČITÉ DÉLKY (V TOMTO PŘÍPADĚ 2 A 3) LEŽÍCÍ NAD ČÍSELNOU OSOU.
1
0
2
3
CHCETE-LI TATO ČÍSLA SČÍTAT, PONECHTE JEDNU TYČKU NA MÍSTĚ (JE JEDNO KTEROU) A DRUHOU PŘEMÍSTĚTE…
0
4
1
2
3
… A PŘIPEVNĚTE JI TAM (SMĚREM VEN, SAMOZŘEJMĚ). CELKOVÁ DÉLKA TYČKY JE SOUČET.
NA KONEC TÉ PRVNÍ…
NIC NOVÉHO!
3 +2 = 5 0
1
2
3
4
5
CHCETE-LI ODEČÍST MENŠÍ ČÍSLO OD VĚTŠÍHO, SPOJTE OPĚT OBA KONCE TYČEK, TA MENŠÍ VŠAK MUSÍ NYNÍ LEŽET UVNITŘ VĚTŠÍ.
0
1
2
3
4
5
ROZDÍL PŘEDSTAVUJE TA ČÁST VĚTŠÍHO ČÍSLA, KTERÁ NENÍ PŘEKRYTA. JE TO ČÁST, KTERÁ ZBYDE, KDYŽ ODDĚLÍTE MENŠÍ DÉLKU OD VĚTŠÍ.
3 –2 =1 0
1
2
3
0
4
1
2
3
16
Komiksova-algebra.indd 16
13.05.16 10:12 Výtažková černá
ABYCHOM TAKOVÝM ZPŮSOBEM MOHLI ZNÁZORNIT VŠECHNA REÁLNÁ ČÍSLA, KLADNÁ I ZÁPORNÁ, MUSÍME NA KAŽDÉ ČÍSLO POHLÍŽET NE JEN JAKO NA TYČKU S DÉLKOU, ALE JAKO NA ŠIPKU S PŘÍSLUŠNOU DÉLKOU a SMĚREM. NA ČÍSELNÉ OSE MÍŘÍ TATO ŠIPKA OD NULY K DANÉMU ČÍSLU, TAKŽE
ŠIPKY ZÁPORNÝCH ČÍSEL SMĚRUJÍ DOLEVA, ZATÍMCO ŠIPKY KLADNÝCH ČÍSEL DOPRAVA. BACHA!
6
–5 3,1416 –2,63
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
PŘI SČÍTÁNÍ KLADNÉHO A ZÁPORNÉHO ČÍSLA UMÍSTÍME OPĚT ZAČÁTEK JEDNÉ ŠIPKY NA KONEC DRUHÉ. SOUČET MŮŽE BÝT KLADNÝ
–3
–2
–1
2
3
4
1
2
4
5
6
(–3)+(–2)=–5
–5
5
3+(–2)=1
0
3
ZAČÁTEK DRUHÉ ŠIPKY PŘEMÍSTÍME NA ZAČÁTEK PRVNÍ ŠIPKY A PODÍVÁME SE, KDE KONČÍ – TO JE VÝSLEDEK. VYPADÁ TO ASI TAKTO:
3 + 2 =5
0
2
ZÁPORNÁ ČÍSLA SČÍTÁME STEJNÝM ZPŮSOBEM: PRVNÍ ŠIPKU NECHÁME NA MÍSTĚ,
SČÍTEJME OPĚT DVĚ KLADNÁ ČÍSLA: ZAČÁTEK JEDNÉ ŠIPKY UMÍSTÍME DO NULY A ZAČÁTEK DRUHÉ ŠIPKY NA KONEC PRVNÍ ŠIPKY. SOUČET TAK PŘEDSTAVUJE KONEC DRUHÉ ŠIPKY.
–1
1
–4
–3
–2
–1
–3
–2
–1
0
1
NEBO ZÁPORNÝ, TO ZÁVISÍ NA ČÍSLECH, KTERá SČÍTÁME.
(–3)+2 =–1
3
0
1
2
3
17
Komiksova-algebra.indd 17
13.05.16 10:12 Výtažková černá
PODÍVEJME SE POŘÁDNĚ NA OBRÁZEK NA STR. 17, SOUČET 3 +(–2). JE TO VLASTNĚ ÚPLNĚ STEJNÝ OBRÁZEK JAKO NA STR. 16, ROZDÍL 3 – 2 . NA OBOU SE ODEČÍTÁ 2.
0
1
2
3
0
1
2
OK… CO BUDE PAK 3 + (−4)?
HM…. 3 – 4? JAK ODEČTEŠ 4 OD 3? ČTI DÁL…
3
PŘIČÍST ZÁPORNÉ ČÍSLO JE TOTÉŽ, JAKO ODEČÍST JEHO „KLADNOU VERZI“.
TUTO „KLADNOU VERZI“ ZÁPORNÉHO ČÍSLA NAZÝVÁME JEHO ABSOLUTNÍ HODNOTOU, KTEROU ZNAČÍME DVĚMA SVISLÝMI ČÁRAMI, ||, NAPŘÍKLAD |–2| = 2. ABSOLUTNÍ HODNOTA ČÍSLA PŘEDSTAVUJE (KLADNOU) VELIKOST ČÍSLA, DÉLKU PŘÍSLUŠNÉ ŠIPKY, VZDÁLENOST DANÉHO ČÍSLA OD NULY. ABSOLUTNÍ HODNOTA KLADNÉHO ČÍSLA JE ČÍSLO SAMOTNÉ A |0| = 0. |0| = 0 |–4| = 4 |3| = 3
–4
–3
–2
–1
0
PODÍVEJME SE NYNÍ OPĚT NA (–3) + 2 . JE TO ZÁPORNÝ NEBOLI ZRCADLOVÝ OBRAZ HODNOTY 3 + (–2) TEDY 3 – 2.
1
2
3
4
SOUČET DOSTANEME TAK, ŽE NEJPRVE VYPOČÍTÁME ROZDÍL 3 – 2 A POTÉ PŘIDÁME K VÝSLEDKU ZNAMÉNKO MINUS.
(–3) + 2 = –(3 – 2) = –1
3 –2
(–3) + 2
NEJPRVE ODEČTI, PAK PŘIDEJ MINUS!
–3
–2
–1
0
1
2
3
18
Komiksova-algebra.indd 18
13.05.16 10:12 Výtažková černá
CO SE TÝČE ABSOLUTNÍ HODNOTY, ZDE JSOU PRAVIDLA PRO SČÍTÁNÍ LIBOVOLNÝCH DVOU ČÍSEL, AŤ UŽ KLADNÝCH NEBO ZÁPORNÝCH:
KLADNÉ + KLADNÉ
ZÁPORNÉ + ZÁPORNÉ
SČÍTEJTE JAKO OBVYKLE
SČÍTEJTE ABSOLUTNÍ HODNOTY, POTÉ PŘIDEJTE ZNAMÉNKO MINUS
KLADNÉ + ZÁPORNÉ ODEČTĚTE MENŠÍ ABSOLUTNÍ HODNOTU OD VĚTŠÍ ABSOLUTNÍ HODNOTY. PAK PŘIDEJTE ZNAMÉNKO ČÍSLA S VĚTŠÍ ABSOLUTNÍ HODNOTOU.
Příklad 1. VYPOČÍTEJTE 4 + (–6).
Příklad 2. VYPOČÍTEJTE (–2) + 9.
4 JE KLADNÉ ČÍSLO A –6 ZÁPORNÉ,
I NYNÍ MÁME JEDNO KLADNÉ A JEDNO ZÁPORNÉ ČÍSLO, TAKŽE VYPOČÍTÁME ROZDÍL.
TAKŽE ODEČTEME ABSOLUTNÍ HODNOTY. 6–4 =2
9 –2 = 7
VIDÍME, ŽE VĚTŠÍ ABSOLUTNÍ HODNOTU MÁ ZÁPORNÉ ČÍSLO –6, PROTO K VÝSLEDKU PŘIDÁME ZNAMÉNKO MINUS.
V TOMTO PŘÍPADĚ MÁ VĚTŠÍ ABSOLUTNÍ HODNOTU ČÍSLO 9, KLADNÉ ČÍSLO. ODPOVĚĎ PROTO NECHÁME KLADNOU.
4 + (–6) = –2
(–2) + 9 = 7
SOUBOJ O ZNAMÉNKO VÝSLEDKU VYHRÁVÁ DELŠÍ KOPÍ!
19
Komiksova-algebra.indd 19
13.05.16 10:12 Výtažková černá
SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ ZÁPORNÝCH ČÍSEL SI MŮŽEME VYSVĚTLIT I NA PENĚZÍCH. TAKTO SE NA PROBLÉM DÍVAL INDICKÝ MATEMATIK bháskara, JENŽ ASI PŘED 1500 LETY VÍCEMÉNĚ VYMYSLEL ZÁPORNÁ ČÍSLA.
JÁ TO MÁM NA SVĚDOMÍ!
MAJETEK NEBOLI PENÍZE, KTERÉ MÁME V RUCE (HOTOVOST), PLUS PENÍZE, KTERÉ VÁM NĚKDO DLUŽÍ, PŘEDSTAVUJÍ KLADNÉ HODNOTY. dluhy, TEDY PENÍZE, KTERÉ DLUŽÍTE JINÝM, SE POČÍTAJÍ ZA ZÁPORNÉ. DLUŽÍTE-LI $2 FREDOVI A $3 FRÍDĚ, DLUŽÍTE CELKEM $5.
TAKŽE… SEČTĚTE DVĚ ČÁSTKY A DOSTANETE VĚTŠÍ MAJETEK.
$(–2) + $(–3) = $(–5)
$2 + $3 = $5 MÁTE-LI MAJETEK V HODNOTĚ $3 A DLUŽÍTE $2, JSTE STÁLE V KLADNÝCH ČÍSLECH: SPLAŤTE SVŮJ DLUH A ZŮSTANE VÁM POŘÁD $1.
POKUD MÁTE MAJETEK $2 A DLUŽÍTE $3, CHYBÍ VÁM K SPLACENÍ DLUHU $1. „MÁTE“ JEDEN ZÁPORNÝ DOLAR.
$ 3 + $(–2) = $ 1 $2 + $(–3) = $(–1)
TO VŠE VEDE KE STEJNÝM PRAVIDLŮM SČÍTÁNÍ JAKO NA PŘEDCHOZÍCH STRANÁCH.
JAK BY TO MOHLO VÉST NĚKAM JINAM?
20
Komiksova-algebra.indd 20
13.05.16 10:12 Výtažková černá
Odčítání DOPOSUD JSME SE ZABÝVALI POUZE ODČÍTÁNÍM KLADNÝCH ČÍSEL A PAK JEN ODČÍTÁNÍM MENŠÍCH ČÍSEL OD VĚTŠÍCH. DOKÁŽEME-LI VŠAK SČÍTAT LIBOVOLNÁ DVĚ ČÍSLA, MĚLI BYCHOM BÝT SCHOPNI ODČÍTAT JAKÉKOLI ČÍSLO OD JINÉHO. ZDE JE NÁVOD:
ODČÍTÁNÍ JE SČÍTÁNÍ?
Odečíst číslo znamená přičíst jeho zápornou hodnotu. TO PLATILO PRO ODČÍTÁNÍ KLADNÉHO ČÍSLA OD VĚTŠÍHO KLADNÉHO ČÍSLA: 5 – 3 = 5 + (−3). TEĎ SI JEDNODUŠE NADEFINUJEME ODČÍTÁNÍ TAK, ABYCHOM MOHLI ODČÍTAT STEJNÝM ZPŮSOBEM I DALŠÍ ČÍSLA. NAPŘÍKLAD:
NEZAPOMEŇTE: ODČÍTAT ZÁPORNÉ ČÍSLO ZNAMENÁ PŘIPOČÍTAT jeho ZÁPORNOU HODNOTU, COŽ JE KLADNÉ ČÍslo.
ODČÍTÁNÍ DLUHU VÁS ČINÍ BOHATŠÍM!
PAMATUJTE, – (–3) = 3!
A S TÍMTO BYSTE MĚLI BÝT SCHOPNI VYŘEŠIT RŮZNÉ PŘÍKLADY BEZ CIZÍ POMOCI! 21
Komiksova-algebra.indd 21
13.05.16 10:12 Výtažková černá
Úlohy 1. VYPOČÍTEJTE.
2. ODEČTĚTE.
a. (–4) + 8
a. 10 –(–9)
e. 4 – 8
b. (–3) + (–5)
b. 9 – (–10)
f. |–4| – 6
c. 9 +(–3)
c. (–9 ) – 10
d. |–14,5| + (–15,6)
VŠIMNĚTE SI, ŽE V ÚLOZE 2c JSME MOHLI ZÁVORKY VYNECHAT A PROSTĚ NAPSAT –9 –10.
5 + (–2) Ø2 1 1 f. – + Ø2 Ø3 e.
(
)
g.
9 7 – Ø16 Ø12
h. 6 – |2| i. |2 – 100 |
d. –4 – 8
3. KOLIK JE –5 + 3 – 6 + 4 + (–2) ? 4. JSOU SOUČTY NÁSLEDUJÍCÍCH DVOJIC ŠIPEK KLADNÉ NEBO ZÁPORNÉ? b.
a.
c.
d.
5. PŘEDSTAVTE SI, ŽE SE PROCHÁZÍTE PO ČÍSELNÉ OSE. POKUD VYJDETE Z ČÍSLA 3, PŮJDETE 6 JEDNOTEK V ZÁPORNÉM SMĚRU, OBRÁTÍTE SE A UJDETE DVĚ JEDNOTKY VE SMĚRU KLADNÉM, KDE SKONČÍTE? KDE BY SKONČILA VAŠE PROCHÁZKA, KDYBYSTE MÍSTO Z ČÍSLA 3 VYŠLI Z ČÍSLA −200?
–4
–3
–2
6. VOJTA MÁ V KAPSE $5. OD SVÉ
KAMARÁDKY FRANTIŠKY SI PŮJČÍ $10. PAK V HLOUPÉ SÁZCE O VÝSLEDEK ŠKOLNÍCH VOLEB PROHRAJE OHRAJE $8. JAKÁ JE PO TOM M VŠEM VOJTOVA FINANČNÍ SITUACE?
–1
0
1
2
3
4
7. ELIŠKA DLUŽÍ $5 ALENĚ A $2 BÁŘE. ELIŠKA MÁ V KAPSE $20. a. JAKÉ JE ELIŠČINO ČISTÉ JMĚNÍ? (SOUČET VŠEHO, DLUHY PŘEDSTAVUJÍ ZÁPORNÉ ČÁSTKY). b. ALENA NYNÍ „ODPUSTÍ“ $3 Z ELIŠČINA DLUHU, TJ. ELIŠKA MÁ VRÁTIT O $3 MÉNĚ. ZAPIŠTE TO JAKO ODČÍTÁNÍ ZÁPORNÉHO ČÍSLA. c. JAKÁ JE ELIŠČINA FINANČNÍ SITUACE NA KONCI?
22
Komiksova-algebra.indd 22
13.05.16 10:12 Výtažková černá
Kapitola 3
Násobení a dělení
v aRITMETICE NÁS UČÍ, ŽE NÁSOBENÍ JE OPAKOVANÉ SČÍTÁNÍ.
4 ˘3 = 3+3+3+3 POKUD JE TO PRAVDA, CO POTOM ZNAMENÁ NÁSOBENÍ
ZÁPORNÝM ČÍSLEM? OPAKOVANÉ ODČÍTÁNÍ?
ODČÍTÁNÍ OD ČEHO?
23
Komiksova-algebra.indd 23
13.05.16 10:12 Výtažková černá