Nou Biaix, 52

Revista de la FEEMCAT i de la SCM

bia x uno i

no ba uiix

número 52

sumari

Consell de redacció:

Noemí Ruiz / Carlos Giménez (coords.)

Montserrat Alsina

Joan Carles Ferrer

Joan Miralles

Manuel Udina

© dels articles, els seus autors

Coediten:

Federació dEntitats per a ’’lEnsenyament de les Matemàtiques (FEEMC AT ) Campus de Montilivi, edifici P- IV 17071 Girona feemcat.org

Societat Catalana de Matemàtiques (SCM ) filial de l’Institut d’Estudis Catalans Carme, 47 08001 Barcelona scm.iec.cat

noubiaix@gmail.com

Periodicitat: semestral Nombre d’exemplars: 1.700

Fotografia de la cober ta: El salt de Fibonacci…

Romy Chemla

INS El Joncar

ISSN: 2014-2021

Dipòsit legal: B-22.314-2012

Impressió: Gráficas Rey

Edicions de la Universitat de Barcelona

Adolf Florensa, s/n 08028 Barcelona

Tel.: 934 035 430 comercial.edicions@ub.edu www.edicions.ub.edu

,

Editorial

Claudi Alsina i Català, in memoriam 1 4 98 6 8 18 29 49 63

articles

Recordant Jan de Lange

Claudi Alsina Català

El manifest per a l’alfabetització estadística

Pepus Daunis i Estadella

Mar tí Casals Toquero

Jordi Cortés Mar tínez

Les mates al billar II. Situacions per explorar la geometria del billar

Guillem Bonet Carb ó

Transparències matemàtiques i fenòmens didàctics

Marianna Bosch i Casabò

«El motlle de l’obrador»: una situació d’aprenentatge per treballar la modelització a secundària i batxillerat

Marcos Marí Bofill

Berta Barquero Farràs

Marianna Bosch i Casabò

Les construccions geomètriques euclidianes. La papiroflèxia i les matemàtiques cartesianes

Josep Pla Carrera

Crònica del CEM Lleida 2025 2

Jordi Deulofeu

Joan Jareño

Enaquestnúmero52 del NouBiaix trobareucomaprimertextunesparaulesdeClaudiAlsina enmemòriadeJandeLange.PeralsquevantenirlasortdeconèixerenJan,seranunafont dedolçosrecords,iperalsqueno,descobriranunpersonatgemoltrellevanteneducació matemàticadel’èpocacontemporània.JandeLangeensvadeixarelpassat 13demarç. Descansienpau.

Larevistacontinuaambsisarticlesplensdereflexionsqueconjuguenmiradesdelpassati delfuturpertransmetreideesquedebensegur nodeixaranindiferentelsnostreslectors ilectores.

Elprimerarticle,queportapertítol«LesmatesalbillarII:situacionsperexplorarlageometria delbillar»iésdeGuillemBonet,ésunacontinuaciódelpublicatenelnúmero49.Enaquesta ocasióGuillemBonetplantejacomtransformar algunesposicionsteòriquesdelesbolesde billarenproblemesricspertreballaral’aulaconceptescomlatrigonometriailessimetries, utilitzantindistintamenttantelGeoGebracommaterialmanipulablequeajudielsalumnes acomprovarlessevesconjecturesrespectedelessituacionsplantejades.Sensdubte,ésuna propostaengrescadoraiquefàcilmentpodràincorporaralasevaactivitatqualsevoldocent prouengrescat.

Elsegonarticle,titulat«Elmanifestperal’alfabetitzacióestadística»,l’hanescritPepusDaunis,MartíCasalsiJordiCortés,referentsenaquestadisciplinaimembresactiusdelaSocietat Catalanad’Estadística.Totssomconscientsquevivimenl’èpocadelainformació,peròquinesimplicacionstéaixòenelnostrediaadia?ComdeiaNateSilveren Laseñalyelruido (2012),«Losnúmerosnopuedenhablarporsímismos.Nosotroshablamosporellos.Les conferimossignificado».Elsautorsmostrencomconceptestanestesoscomlamitjanaola desviaciótípicapodenportaradonarinformacióerròniaopocrealdelesdadessis’apliquen sensecertesgarantiesoesvisualitzendeformaimprecisa.Pertant,calvetllarpeldesenvolupamentd’unpensamentcríticestadísticenlasocietat.Aquesttextensobrelaportaa entendrequèésl’alfabetitzacióestadísticadelsciutadansienquinsentitésunproblema queensinterpel•laisobreelqualcaladoptaruncompromíscomúques’haplasmatenun

decàlegperal’alfabetitzacióenprimerainstància,peròtambéenlaJornadad’Estadística iEducació(primeraedicióel 10 dejuliolde 2024,onelsautorsvanacceptarelreptedela presentcontribució)comapuntdetrobadadelsdiferentsagentscatalansperreflexionar, establiriferavançarunsobjectiuscomuns.

Eltercerarticle,titulat«Transparènciesmatemàtiquesifenòmensdidàctics»,deMarianna Bosch,ésunalecturacarregadadeprofundesreflexionstantperalsdocentscomperales personesqueesdediquenalainvestigacióen educació.Alslectorsileslectoresqueno estiguinfamiliaritzatsamblesanomenadesteoriesfranceses(teoriadesituacionsiteoria antropològicadeldidàctic)éspossiblequeelscalguirellegir-nealgunsparàgrafs,peròels exemplesquecompletenlesexplicacionslesfaranperfectamentcomprensibles,obrintla miradadelespràctiquesescolarsambunpunt històricdesconegutseguramentperalsmés joves.

Laindagacióentorndelasegregacióescolarqueplantejas’alineaalaperfeccióambles ideesexposadesenl’articleprecedentsobrela necessitatdedesenvoluparenelsestudiants ifutursciutadansunesperitcríticbasatenlesciències(matemàticaiestadística).Lesideesi curiositatsenrelacióambcomesmesuralasegregacióescolarjasónunaspecteinteressant ensimateix,quenodeixaindiferenti,probablement,usincitaràaferlavostrapròpiarecerca deltema.

Elquartarticle,titulat«Elmotlledel’obrador»,exposaunasituaciód’aprenentatgepertreballarlamodelitzacióasecundàriaibatxillerat.EscritperMarcosMarí,BertaBarqueroiMariannaBosch,s’emmarcaenlainvestigaciódoctoralqueestàduentatermeelprimerautor. Fruitdel’atzarilacasualitat,aquestarticlecomplementaperfectamentl’anterioraportant unaexperiènciad’indagacióasecundàriaquemostraelsprincipismencionatsenaquest.La potencialitatdelapropostaés,perunabanda,l’articulaciónaturaldediferentssentitsmatemàticsqueelcurrículumindicacomarellevants(numèric,algebraic,funcionaliestocàstic)i, perl’altra,laconcepciósobrequèvoldirestudiarmatemàtiquesperunacomunitatd’estudi portadaalapràctica(noenelnivellteòric,comesmental’articledelaMarianna).Espodria ferelsímilambpossiblesformesderecórrerunbosc:ésclarquepotexistiruncamímoltben identificat,peròavegadeshiharutesmenystransitadesqueetfaranconèixerlesmateixes espèciesd’arbresperòdeformadiferent,obéenveuràsdenoves,itambépotpassarqueen perdisalgunesdelesquehauriesconegutpelcamíprincipal.Arabé,éssegurquelesganes d’exploraraltresboscos,ideconèixernovesespècies,quedaranpotenciadesperaquesta «aventura»foradelpreestablerticonnectadaamblarealitat,cosaquenosemprepassaquan comencem,seguimiacabemelcamídelamateixamanera.Algunsestudiants(idocents) podenviurel’experiènciacomaavorridaomancadadesentitjaquenoarribenadescobrir elbosc,sinóquesimplementhitransitenseguintelssenyalsdelcamí,oneltrajecteseguit, elques’hifaoperquinllocdelbosccalsortirsóndecisionssobrelesquepodenopinar.Dir aixòésmoltfàcil,peròportar-hoalapràcticaquèvoldir?Doncsatravésdeltextdescobrireu unaexperiènciaambaquestesperit.

Elcinquèarticleésunacontinuaciód’unarticledelnúmero51 deJosepPlaambeltítol«Les construccionsgeomètriqueseuclidianes:lapapiroflèxiailesmatemàtiquescartesianes»,en elqualesfaunaexhibicióderigoriprecisióalgebraicatractadaambforçaclaredat,acompanyadadevaluosesreferèncieshistòriques,iconstitueixensimateixuncompendiexcel•lent

comaguiaperafutursautors.Quedaforçaclarqueespotconstruiruntextclarientenedor quenorenunciaaserrigorósiprofundamentfonamentat,superantambbrillantoraquesta suposadadicotomiaentreclaredatiprecisió.

Finalment,l’últimarticle,titulat«CrònicadelC2 EMLleida 2025»iescritperJoanJareñoi JordiDeulofeu,volcompartirelsfonamentsdelesjornadesielsobjectiusqueesvanmarcar prèviamenti aposteriori,fruitdetresdiesdecompartiridebatreexperiènciesmoltdiverses. Sensdubte,elC2 EM 2025vaserunèxit vanparticipar-hiquatre-centespersones que posademanifestlesaptitudsiactitudsdelacomunitatcatalanad’educadorsieducadores enmatemàtiquesenverslamilloradelaprofessióilespràctiquesd’aula,iserveixdepontper alaproperaediciód’aquestaconvocatòriarecuperadaiquejapodemconsiderarclarament consolidada.

Aprofitemaquestesdarrereslíniesperagrairatotselsautorsiautoresl’esforçiladedicació quehihadarreredecadaaportació.Escriureillegirarticlesdequalitatenlatevallengua maternaésunluxeenaqueststempsonprevalpotenciarlacarreraprofessionalambpublicacionsenrevistesquesiguinconsideradesdegranimpacteinternacional(restriccions delsnivellsaltsdecodeterminaciódidàctica,comdirialaMarianna),oneltempsésescàs perfercosesimproductivesoambunrendimentdubtósacurttermini.Lapublicacióés unreflexdelasalutd’unacomunitatpreocupadaperl’educaciómatemàtica(iestadística, commostraelManifestperal’alfabetització),ambunamiradainclusivadetoteslesetapes educatives,totelcontingut(geometria,àlgebra,modelització)itotaladiversitatdelnostre territori.Usanimemacompartirlesvostresexperiències,elstreballsderecercad’estudiantsi lesreflexionsd’interèsperatotalacomunitatcatalanaaprofitantl’embranzidaquelatrobadadelC2 EMvadonaranímicamentalacomunitatcreantunambientdeganesdefercosesi renovar-se.Comemvadirunaamigaquevaparticiparenlesjornades,«l’assistènciahauria deserobligatòriaperatotelprofessorat,desd’infantilfinsalauniversitat!Ésincreïblela diversitatdecontingut,material,idees...Estranyseriaquenohitrobessisalgunacosaque t’enganxi».

Desitgemquegaudiudetotselsarticlesiesperemqueusfacinaprendreore-aprendreaspectesrelacionatsambaquestamplimóndelesmatemàtiquesil’estadística.

ClaudiAlsinaiCatalà (Barcelona1952 ´ 2025), inmemoriam

Estimatsamicsiamigues,

Enelmomentdetancaraquestnúmero52 del NouBiaix ensha colpitlanotíciadelamortd’enClaudi,mestredemestres,plede bonhomiaid’unagutsentitdel’humor.

Reproduïmacontinuacióelseuescritdecomiat,quedefineixa laperfeccióquieraell.

Eltrobaremafaltar,peròensquedaràpersemprealcorelrecord delasevasaviesaidelseubonhumor.Descansienpau.

Veientproperelmeufinalhevolgutdeixarescritesaquestesbreusparaulesdecomiatpera totselsquehemcompartitdurantanyselnostreinterèsperunabonaeducaciómatemàtica aCatalunyaialmón.

Consideroquelamevavidahaestatfeliçiforçaprofitosa,im’hacomplagutmoltanarveient comnaixieniesdesenvolupavengrupsiassociacionsdeprofessorat.Moltsheuestatelsque heutiratendavantiniciativesinnovadoresiusanimoaseguirperaquestcamí.Gràciesper fer-hopossible.Icomsempre:

ADEU- SIAUIAREVEURE

ClaudiAlsinaiCatalà

articles articles

RecordantJandeLange

ClaudiAlsinaCatalà

UniversitatPolitècnicadeCatalunya alsinacatala@gmail.com

DavantlamortrecentdeJandeLange,voldriacompartiramb elslectorsdel NouBiaix algunsrecordsd’aquestil¨lustreeducadormatemàtic.

ElJanvanéixeraLeiden(PaïsosBaixos)el 1943.Esvagraduar enMatemàtiquesperlaUniversitatdeLeidenel 1972 iesva doctorarenEducacióMatemàticaperlaUniversitatd’Utrecht el 1987,ialeshoresesvaespecialitzarendissenyscurriculari avaluació.

ElJanvaserprofessordesecundàriadurantanys,finsqueel 1976elgranmatemàticHans FreudenthaliMartinKindtelpromoguerenacol¨laborarambellsalpetitinstitutdelaFacultatdeMatemàtiquesdelaUniversitatd’Utrecht,elqueseriaposteriormentel 1991 el prestigiósInstitutFreudenthal,delqualelJanpassàaserdurantmoltsanysl’ànimaieldirector.

Sotaellideratged’enJan,l’InstitutFreudenthalvaarribaraacollirvuitantainvestigadors entorndelainnovaciómatemàticaeducativa,connectantsemprerecercaipràctica.EltemaqueapassionàelJanfoueldelesmatemàtiquesilarealitat,seguintl’idearideFreudenthal.Ambelll’Institutesdevinguéunareferènciamundialivaservisitatpergentd’arreu. Ferencol¨laboracionsambelsEstatsUnits,Bolívia,Sud-Àfrica,Malàisia,Indonesia...,itinguerenpresènciaactivaalComitéInteramericano deEducaciónMatemática(CIAEM),Psychology ofMathematicsEducation(PME),TrendsinInternationalMathematicsandScienceStudy (TIMSS),NationalAssessmentofEducationalProgress(NAEP),ProgrammeforInternational StudentAssessment(PISA),AmericanEducationalResearchAssociation(AERA),InternationalCongressonMathematicalEducation(ICME),etc.Reconegutidesitjatconferenciant, viatjàiparticipàdurantanysenelsesdevenimentseducatiusmésgrand’arreudelmón,però mainodeixàdebandalamilloradel’educacióholandesa,queliderà.

ElsviatgesdelJanforenmítics.Podiaanara doscontinentsendosdiesoanaritornarde NovaYorkaAmsterdamelmateixdiaperassistiraunareunió.Curiosament,elscaps desetmanaliagradavapracticarlessevesaficions:volar,córreroanarenbicicleta.Ijugar ambelsseusdosfills.

Personalment,vaigseramicdelJanidesdel 1992 enstrobàvemuncopal’anyalareunió del’IstronGrup,ungrupdevuitpersoneslideratperSolGarfunkelondiscutíemsobreles tendènciesinternacionalseneducaciómatemàtica.ElJanvaacceptarveniraBarcelonaa impartirunaconferènciaperalmàsterquedirigiaCarmeBurgués,vaserconferenciantplenarialCongrésInternacionald’EducacióMatemàticadeSevilla(ICME6)ivaferxerradesen diversesjornadesd’arreud’Espanya.Enduesocasionsemvaconvidaraferlaconferènciade clausuradelseucongrésanualalsPaïsosBaixos,elsNationalMathematicsDays,unaoriginal trobadaperaprofessorsambgranspresentacionsdeprofessionalsqueexplicavenelsseus usosdelesmatemàtiquesenelsrespectiusoficis.

AmbelsanyselJans’interessàessencialmentperlaformaciómatemàticadelnensdetres asetanys.Creiaqueaixòeraclauperalfuturdel’educació.ElJanesvajubilarel 2007de laUniversitatd’Utrecht,peròseguíendavant ambelseuprojecte«Mentscurioses»alaseva AcadèmiadeParesJoves,peraparesdenens3-7.

Ensquedenelseuextensllegatescrit,audiovisualsiungranrecordalsquetinguéremla sortdeconèixer-lood’assistiralessevesformidablespresentacions.Quivulguiconèixer lasevaobrapotconsultarunreculldelessevesaportacionsaM.VandenHeuvel-Panhuizen (2019),«DidacticsofmathematicsintheNetherlands»,aW.Blum,M.Artigue,M.Mariotti,R. SträßeriM.vandenHeuvel-Panhuizen(eds.),Europeantraditionsindidacticsofmathematics,Springer,Cham(ICME-13Monographs),disponibleahttps://doi.org/10.1007/978-3-03005514-1_3.

Iquiprefereixiescoltar-ho,potrecuperarduesentrevistes:

Elmanifestpera l’alfabetitzacióestadística

PepusDaunisiEstadella

SocietatCatalanad’Estadística GrupdeRecercaenEstadísticaiAnàlisi deDadesComposicionalsDepartamentd’Informàtica, MatemàticaAplicadaiEstadística UniversitatdeGirona pepus@imae.udg.edu

MartíCasalsToquero

SocietatCatalanad’Estadística InstitutNacionald’EducacióFísicadeCatalunya UniversitatdeBarcelona marticasals@gmail.com

JordiCortésMartínez

SocietatCatalanad’Estadística GrupdeRecercaenBioestadísticaiBioinformàtica Departamentd’EstadísticaiInvestigacióOperativa UniversitatPolitècnicadeCatalunya jordi.cortes-martinez@upc.edu

Resum Abstract

L’alfabetitzacióestadísticaésessencialper alaformaciódeciutadanscapaçosde comprendreiutilitzarinformació estadísticademaneraeficaç.Aquestarticle presentaunmanifestperal’alfabetització estadística,destacalaimportància d’aquestaenlasocietatactualiproposa mesurespermillorarl’educacióestadística atotselsnivells.Esdiscuteixenalguns errorsestadísticscomunsenelsmitjansde comunicació,enelsusosd’estadístics resumienlaselecciódemostres.Amés,es presentaundecàlegperpromoure l’alfabetitzacióestadísticaentre elsciutadans.

Statisticalliteracyisessentialtoeducating citizenstobeabletoeffectivelyunderstand andusestatisticalinformation.Thisarticle presentsamanifestoforstatisticalliteracy, highlightingitsimportanceintoday’ssociety andproposingmeasurestoimprove educationinstatisticsatalllevels.It discussessomestatisticalerrorscommonin themedia,regardingtheusesofsummary statisticsandsampleselection.Additionally, tenprinciplesarepresentedtopromote statisticalliteracyforeverybody.

1.Introducció

Lasocietatactualestàimmersaenunmard’informacióonlesdadesielsgràficsestadísticstenenunpaperfonamental(Cairo, 2017;Tarran, 2024).Peraquestmotiu,l’alfabetització estadísticaésimprescindiblepergarantirqueelsciutadanspuguinprendredecisionsinformadesenàmbitscomlapolítica,l’economia,lasalutimoltsaltres.Iiguald’importantés quemitjançantl’assolimentd’aquestaalfabetitzacióestadísticabàsicapuguindetectarquan algunainformacióquese’lsproporcionaésunainformaciófalsaomalintencionada(Engel, 2017, 2019;Wolff etal., 2016).

Iaixòfaquequanlamajoriadepersonessentenlaparaula estadística,sovintlaprimera associacióéspensaren«trampes»o«enganys»,potserinfluenciadespeltítoldelconegut llibre Howtoliewithstatistics (1954),unclàssicqueencaraavuicirculaentreestudiantsi periodistes(Huff, 1991).Undetallquerevelalapocapresènciaicomprensiósocialdelaprofessiód’estadístic ésquesovint,endeterminatsentorns,encaraesconfonamblad’estadista (personadedicadaalapolíticaialgovern).

Tanmateix,larealitatésquel’estadísticaéslaciènciaqueenspermetaprendredelesdades iprendredecisionssotaincertesa(Davidian,Louis, 2012).Cadadiaenprenem,algunesde transcendentalsid’altresméstrivials:desdetriarunacompanyiaelèctricafinsaavaluarun exerciciacadèmic.Perònosomnoméslespersoneslesqueprenemdecisionsdavantde situacionsd’incertesa,sinótambélesempreses,elsgovernsilesinstitucions,quehofanen contextosquepodenafectardemanerapositivaonegativalesnostresvides.

Caltenirpresentquetotesaquestesdecisionsesprenenenunmarcd’incertesa:disposem dedadesparcials,obtingudesdemostreslimitadesd’unapoblació,basadesenelqueja hapassat,perònoenelques’esdevindrà(Forte, 2022).Peraixòésimprescindiblenonomésaprendredelesdadesperprendredecisionsbenfonamentades,sinótambécomunicar adequadamentaquestaincertesa.Lamaneracomestransmetaquestainformacióhadedependredelpúblicreceptor:elmateixmissatgenecessitadiferentsnivellsd’explicaciópera polítics,professionalssanitarisociutadansengeneral(Spiegelhalter, 2019, 2024).

2.Quèésl’alfabetitzacióestadísticaiperquèésimportant?

El pensamentestadístic orientalespersonesenl’anàlisiilacomprensiód’unmóncomplex, sintetitzatatravésdelesdades,elsmodelsisempresotalaincertesaassociadaaunconeixementparcial,mentrequeel raonamentestadístic implicainterpretardadesdemanera lògica,comprendrerelacions,analitzarelspatronsenlesdadesicombinarlaidead’atzaramb l’evidènciaobservada(Ben-Zvi,Garfield, 2004;Gal, 2004;Sharma, 2017).L’alfabetitzacióestadística éselconjuntd’habilitatsiconeixementsquepermetendesenvoluparunpensamentiunraonamentestadísticperllegir,comprendreiferúsdelainformacióestadísticade maneraefectivaamblaideadeprobabilitatcomamesuradelaincertesa.

Enaquestsentit,marcspedagògicscomelmodelPPDAC(Problema,Planificació,Dades,AnàlisiiConclusions)ofereixenunaestructuraintegralperentendrelapràcticaestadísticacom unprocésderesoluciódeproblemes(Wild,Pfannkuch, 1999).Aquestenfocamenthaestat àmpliamentadoptataescalainternacionalperguiarestratègiesdocentsbasadesendades

reals,raonamentcríticicomunicacióefectivadelsresultats.Enlamateixalínia,les Guidelines forassessmentandinstructioninstatisticseducation(GAISE) (Carver etal., 2016;Franklin et al., 2007)constitueixenunreferentclauperpromourel’aprenentatgeactiuicentratenla comprensióconceptual.

Lesnecessitatsd’unaalfabetitzacióestadísticacorrectaespodensintetitzarenelspuntssegüents(Casals etal., 2025):

1. Lapresadedecisions:elconeixementestadísticielsentitestocàstic,entèscomla comprensiódel’aleatorietatalaqualestansubjectescertsfenòmens,permetalaciutadaniaprendredecisionsinformadesendiferentsàmbitsdelavida,comaralasalut, l’educació,elcanviclimàtic,l’economiao lapolítica.Elraonamentestadísticpermet quantificarelsbeneficisielsriscosd’unadecisió,aixícomvalorar-nelaincertesa.

2. Elcreixementdelainformacióbasadaendades:enlasocietatactual,lainformació basadaendadesésomnipresent,jasiguienlesnotícies,enelsbalançosempresarials, enelsinformesmèdicsoenlesxarxessocials.Aixòfaquesiguiimprescindibletenir competènciesestadístiquesperpoderdissenyar,analitzariinterpretarcorrectament aquestesdadesiutilitzar-lesadequadamentperextreure’ninformació.Lescompetènciesestadístiquesfomentenelpensamentcríticiprotegeixenlespersonesdenotícies falsesienganys.

3. Eldesenvolupamentdenovestecnologiesambpensamentiraonamentestadístic:lesnovestecnologieshanpermèsquelainformacióilesdadessiguinmésaccessiblesimanejablesquemai,totshemsentitaparlardel bigdata.Aixòfaquesigui imprescindibletenirunapreparacióestadísticaperpoderaprofitaralmàximlesoportunitatsemergents.Amés,durantelspropersanysensenfrontaremaunadelesmajors revolucionstecnològiquesdelanostrahistòria,laintel¨ligènciaartificial,querequereix unamoltbonaalfabetitzacióestadística percomprendreelseuabast(Friedrich etal., 2022).

L’alfabetitzacióestadísticacomportatambéuna dimensióètica.Elsciutadansnecessiten conèixerelsprincipisbàsicsdel’úsresponsabledelesdades,queinclouenlaprivacitat,els biaixosilesconseqüènciessocialsdelesdecisionspresesapartird’anàlisisestadístiques (Utts, 2021).Conceptescomlareproductibilitatdelsresultatsoel p-hacking quedenforade l’abastd’aquesttext,peròformenpartd’aquestadimensióètica.

3.Malsusosdel’estadística:comprevenir-los

Enelsmitjansdecomunicaciósovinttrobemmalsusosestadísticsquepodeninduirlapoblacióaconclusionserrònies.Aquestserrorspodeninclourelamancadecontext,l’úsincorrecte degràficsolapresentaciódedadesenescalesinadequades,entred’altres.Acontinuacióus presentemunsquantsexemplesdemalúsdel’estadísticai mésimportant laformade corregir-los.

3.1.Gràfics enganyosos

Fixem-nosenaquestsdosgràficsextretsdemitjansdecomunicació.

Figura1.Gràficsdepercentatgedevot(esquerra)itaxadecriminalitat(dreta).Fonts:RTVE (https://blog.rtve.es/internacional/2013/04/maduro-gana-la-estad%C3%ADstica-pierde.html)iAntena3 (www.antena3.com/noticias/sociedad/tasa-criminalidad-baja-2013-niveles2001_201401295723494f4beb28d446ffbe74.html).

Totsdossóngràficsdebarres(unenformatverticalil’altreenformathoritzontal)quefan comparacions:unpelquefaalsresultatsdedoscandidatsenuneseleccionspresidencialsi l’altresobretaxesdecriminalitatalaUnióEuropea.Enelsdosgràficshihadesinformació.

Enelprimergràfic,eldeleseleccionspresidencials,notenimlareferènciadel’origendeles barresdepercentatgesdevot.Unesbarresquesortissindelzero(figura 2)enspermetrien veurequeladiferènciaésmoltpetita:menysdedospuntspercentuals.Amés,ésconvenient evitarelsgràficsen3D,jaquelaterceradimensiópotgenerarfalsesperspectives.

Enelsegongràficdelafigura 1 tenimunaltreproblemadedesinformaciódiferent.Siens fixemenelsvalors,podemveurequelesdiferènciesnosegueixencapreglaconsistent.La distànciadelesbarresentreEspanyaiItàlia(43,4vers46,1)ésgairebélamateixaqueladeles barresentrelaUnióEuropea(UE)iBèlgica(62,8i 96,9).Unesbarressobreuneixetiquetatens permetrientenirunconeixementcorrecteperavaluaraquestestaxesdecriminalitat(figura3).Peraltrabanda,sivolemressaltaralgunadada,procuremnofer-hoambunamidade lletradiferent;podemutilitzarcolors,perexemple.

Figura3.TaxadecriminalitatdelaUE.Elaboraciópròpia.

Seguramentarapodremapreciaralgunadiferènciaenrelacióamblesdadesmostradesenel gràficoriginal.I,enaquestcas,lesdadesestanexpressadescomataxa unvalorrelatiu : elnombred’infraccionspenalspercadamilhabitants.Enspodriendonarinformaciómalintencionadasiensdonessinlacriminalitatenvalorsabsoluts,jaquelesmidesdelespoblacionsdelspaïsossónmoltdiferents.

3.2. Ús de la mitjana i la desviació estàndard () per mesurar el centre i la variabilitat de les dades s

Quanvolemdescriureunesdades,totsovintfemunúsmajoritaridelamitjanaideladesviacióestàndard(s):lamitjanaperdescriurelatendènciacentraldelesdadesiladesviació perdescriure’nlavariabilitat.Enspodempreguntarsiaquestaéssemprelamillormanerade descriure-les.

Vegem-hoambunexemple:suposemquetenimelssousmensualsenmilersd’eurosdels veïnsd’unblocdequatrepisos,quetédospisosperreplàiunàticambdúplex.Elsvalorssón: 2,2; 2,5; 2,1; 1,8;3,0; 2,9; 1,8; 2,7; 22,5

Sisensefixar-nosenlesnostredadescalculemmecànicamentlamitjanaperdescriure-les, tindremquelamitjanaés4,6.?‘Éscorrecteaquestvalorperdescriureelsourepresentatiu delsveïnsdelbloc?Veiemquecomasouésmoltmésgranquelamajoriadesous.Què succeeix?

Efectivament,elsoudelsveïnsdel’àticdistorsionaelcàlculdelcentre.Tenimunadadamolt diferentdelesaltres atípica ienaquestscasoslamitjananoésunbondescriptordel centre.Hihaunaaltramesuradecentremésadequada:lamediana.Quèéslamediana?El valorcentraldelconjuntdedadesordenat:

1,8; 1,8; 2,1; 2,2; 2,5; 2,7; 2,9;3,0; 22,5

Podemveurequelamedianaés 2,5,queenscaracteritzamoltmillorelcentredelssousdels veïns.

L’úsdelamedianaestàaconsellatquantenimdadesatípiquesonotenimsimetriaenla nostradistribuciódedades,jaquelamancadesimetriaprovocaràunaalteraciódelamitjana comamesuradecentralitat(figura4).

Figura4.DosindicadorssocioeconòmicsdeCatalunyapercomarques,any2024.Elaboraciópròpia.

Font:IDESCAT.

Enlaimatgedel’esquerradelafigura4,donadaladistribucióforçasimètricadelpercentatge dellarsambordinador,mitjanaimedianasónindicadorsvàlidsdecentralitat.L’asimetria delgràficdeladretadelamateixafigurafamésadientl’úsdelamedianacomamesura representativa.

Isobrelamesuradelavariabilitatdelesnostredades,quèenpodemdirdeladesviació(s) comabonamesura?Japodeuimaginarquesihihaproblemesambl’úsdelamitjana,si tenimdadesatípiquesofaltadesimetria,tambétindremproblemesambla s,jaqueaquesta noésresmésquecalcularlamitjanadediferènciesquadràtiquesamblamitjana.Iquina alternativatenim?Doncsusarelsquartilsperveurecomvarienlesnostresdades,ésadir, elsvalorsquelimitenlaprimeraquartapartdelesdadesordenades elprimerquartil, Q1 ilaterceraquartapartdelesdadesordenades eltercerquartil, Q3 .Aquestsdosvalors, Q1 “ 2,1 i Q3 “ 2,9,serienmésadequatsperdescriurelavariabilitat,jaquecomprenenel 50 % delesdadescentrals,queladesviaciódelesnostresdades s “ 6,7,claramentinfluïda perladadaatípicaiunamitjanasobredimensionada.

3.3. Mostres esbiaixades

Sovintpertenirdadesd’unapoblacióinabastablebusqueminformaciód’unsquantsdels individusdelapoblació,elqueendiemuna mostra,ipretenemdescriurelanostra població inferint aixíesdiutècnicament elsresultatsdelanostramostra.

Lamaneracomseleccionemlamostraésclauperala validesainterna delsresultats:sila mostraésinadequada,esbiaixadaopocrepresentativa,toteslesinferènciesestadístiques quefemdespréspodenperdrevalidesa,permoltsofisticadesquesiguinlestècniquesd’anàlisi.

Hihamoltespreguntesqueenshemdeferal’horaderecollirunamostra:?‘toteslesinformacionsqueprovenendelesmostressónbonespertenirunainformacióacuradadela població?Quinsrequisitshadetenirlamostra?Quinamidahadetenirlamostra?Hihaperill detenirmalesinformacionssilesmostresnosónbones,sitenimmostresesbiaixades?

Hemd’evitarel biaixmostral,ésadir,quanunestudid’investigaciónoutilitzaunamostra representativadelanostrapoblaciódiana(ésadir,lapoblacióconcretasobrelaqualvolem extreureconclusions).Enaltresparaules,quanesrecullendadesd’un grupenelqualalguns membresdelapoblaciótenenunaprobabilitatdemostreigsuperioromenorquealtres. Unfamósexempledebiaixdemostreigesvaproduirenleseleccionspresidencialsdels EstatsUnitsdel 1948.Durantlacampanyaesvaferunaenquestatelefònicaielsresultats vanimplicarunavictòriaaclaparadoradeThomasE.DeweysobreHarryS.Truman(Mosteller, 2010).Elsinvestigadorsnovantenirencomptequeeltelèfoneraunanovatecnologiaique elsqueespodienpermetreelstelèfonserenlesclassesmésriques;ésadir,novantenir encompteelsciutadansdelesclassesmitjanesobaixes,queerenméspropensosavotar Truman.

Comveiem,unamostradesequilibradapotafectarlavalidesadelesdadesielsresultatsde larecerca,itambépotlimitarfinsaquinpuntlesconclusionsespodengeneralitzardesdela mostraalapoblaciómésgran.

Peraixò,abansdecalcularmitjanes,proporcionsoaplicarmodelscomplexos,calassegurarsequelamostratinguiunescaracterístiquesmínimesde qualitatirepresentativitat.No n’hihaprouamb«tenirdades»:caltenir-neunesquerealmentpermetindescriurelapoblació ievitarerrorssistemàticsquepodencondicionarlesconclusions.

Hihaduescausescomunesdebiaixdegutalmostreig:

Metodologiademostreiginsuficient :elmètodedemostreigméscomúéselmostreigaleatori simple,quepermetseleccionarungrannombred’enquestatsquesónescollitscompletamental’atzar.Quans’estableixenaltresparàmetresenelprocésd’elecciódelsenquestats, elsinvestigadorss’arrisqueninvoluntàriamentaintroduirelseupropibiaixdeselecció.Per exemple,l’autoexclusiódelsparticipantsol’úsdemostresd’amicsifamiliarspodengenerar biaixosimportants.

Malapraxi:aixòpassaquanl’investigadorhaestablertunametodologiaprecisa,peròelsque laimplementennolasegueixen.Sovintespreocupennomésperaconseguirunamidade mostragraninofanunseguimentadequatdelsenquestatsquenoresponen.

Unamostramésgrannosempreésmillor;elrellevantésl’aleatorietatilarepresentativitat. Mostresmassagranspodenserinnecessàriesoarriscades,imostresmassapetitespoden proporcionarresultatsinestablesiambmésincertesa.

Aquestesqüestionssónel puntdepartida perassegurarquelesconclusionsqueextraiem sónvàlides(validesaexterna)itenensentitenelcontextrealquevolemestudiar.Eldebat sobrelaqualitatdelamostra,doncs,noésnoméstècnic,sinóquetéimplicacionsdirectessobrelaconfiançaenelsresultatsilasevautilitatpràctica,irequereixnovamenthabilitats d’alfabetitzacióestadística.

Enresum,perevitarelbiaixdemostreigcalmirarambatenciólametodologiademostreig ieldissenydel’enquestaodel’estudiqueestemduentaterme.Caldefinirclaramentels objectiusilapoblacióobjectiu.Calassegurarqueelprocésdemostreigpermetunaigualtat d’oportunitatsperquècadamembredelapoblacióobjectiuformipartdelgrupmostral. Ipertranquil¨litzarelsparticipants(ievitarautoexclusions)calinclouresempreal’inicide l’enquestaodel’estudiunadeclaracióqueassegurialsparticipantsl’anonimatilaprivacitat delessevesdades,quenoméss’utilitzaranperalspropòsitsdel’estudi.

4.Eldecàlegdel’alfabetitzacióestadística

Prenentcomabaseaquestaurgènciaexpressadade necessitatd’alfabetitzacióestadística, convidemelmóneducatiu,lesadministracionsielpoderlegislatiuaabordarlesdeficiències enleshabilitatsestadístiquesiaimplementarmesuresqueevitinl’apariciódenousgrups vulnerablesentermesd’analfabetismeestadístic.Peraixò,proposemelsegüent decàleg:

1. Promoureiintroduirl’alfabetitzacióestadísticaielsentitestocàstic comapart delesassignaturesd’educacióprimària,secundàriaiuniversitària,adaptantiestenentlesGuidelinesforassessmentandinstructioninstatisticseducation(GAISE),desenvolupadaperl’AmericanStatisticalAssociation.Promouretambépostgraus,màstersi doctoratsenalfabetitzacióestadística.

2. Impulsarl’alfabetitzacióestadísticaielsentitestocàstic delasocietatposantalseu abast materialdivulgatiu accessiblepertothom,independentmentdelnivelleducatiuodelespròpiescapacitats.Lespersones quedisposend’aquestacompetènciaestan millorpreparadesperadaptar-sealscanvisiperinnovarenelseuàmbitd’actuació.

3.Fer campanyesdesensibilitzaciósobrealfabetitzacióestadística peralaciutadaniaals mitjansdecomunicaciópúblics.

4. Incentivarlacol laboracióentreinstitucionsiprofessionalsdel’estadística per garantirlafiabilitatdelesdadesielseuúscorrecte.

5. Incorporarl’estadísticacontrastadaalapresadedecisions polítiques,socialsiempresarialsdeformaimparcial.

6. Fomentarl’úsèticdel’estadística perpromourela transparènciailaresponsabilitat enl’úsdelesdades.

7. Millorarlacomunicaciódelesdadesestadístiquespúbliques perfer-lesméscomprensiblesiaccessibles,ievitar-neaixílapossiblemanipulació.

8. Facilitarl’accésabasesdedadespúbliques ambfinalitatsinvestigadoresquerepercuteixinenelbeneficidelasocietatifomentarlareproductibilitatcomasuportdel mètodecientífic.

9 Donaraccésobertalainformacióestadística

10. Promourelacreaciód’unacomunitatdeprofessionalsdel’alfabetitzacióestadística queofereixinassessoramentalesdiferentsinstitucions.

Aquestdecàlegpromouràelcanvinecessaripermillorarl’alfabetitzacióestadística enla nostrasocietatcomapartdelacampanyadelacomunitatinternacionalpereducarestadísticamentelmón.Aquestdecàlegnoexcloualtresaccionsqueesposinenmarxadesde diferentsinstitucions:escoles,instituts,claustresiseminarisdeprofessors.

Espottrobarelmanifestcompletaleswebsdela SocietatCatalanad’Estadística(encatalà)

https://soce.iec.cat/manifest-a-favor-de-lalfabetitzacio-estadistica/

idelaSociedaddeEstadísticaeInvestigaciónOperativa(SEIO)(encastellà):

www.seio.es/manifiesto-alfabetizacion-estadistica/.

Igualment,espottrobarmésinformaciósobrelanecessitatdelmanifestaCasals etal.(2025).

ParafrasejantelquedeiaHerbertGeorgeWells,elvisionariautorde Laguerradelsmons o La màquinadeltemps,elgranestadísticSamuelS.Wilksvadireneldiscursdepresadepossessió presidencialdel’AssociacióAmericanad’Estadística:«Elpensamentestadísticseràalgun diatannecessariperaunaciutadaniaeficientcomlacapacitatdellegiroescriure». Iaquestdiajahaarribat!

5.Referències

Ben-Zvi,D.;Garfield,J.(2004).«Statisticalliteracy,reasoning,andthinking:Goals,definitions, andchallenges».A:D.Ben-ZviiJ.Garfield(eds.). Thechallengeofdevelopingstatisticalliteracy, reasoningandthinking.Dordrecht:SpringerNetherlands,p.3-15.

Cairo,A.(2017).«Visualizacióndedatos:unaimagen puedevalermásquemilnúmeros,pero nosiempremásquemilpalabras». ElProfesionaldeLaInformación, 26(6), 1025.https://doi.org/ 10.3145/epi.2017.nov.02.

Carver,R.;Everson,M.;Gabrosek,J.;Horton,N.;Lock,R.;Mocko,M.;Rossman,A.;Wood,B. etal. (2016). Guidelinesforassessmentandinstructioninstatisticseducation(GAISE).CollegeReport 2016.www.amstat.org/education/guidelines-for-assessment-and-instruction-in-statisticseducation-(gaise)-reports.

Casals,M.;Daunis-i-Estadella,P.;Galé,C.;Goicoa,T.;Patino,C.(2025).«Lanecesidaddeun manifiestoafavordelaalfabetizaciónestadística». BoletíndeEstadísticaeInvestigaciónOperativa,41(1).http://dx.doi.org/10.63552/beio.2025.41 1 01

Davidian,M.;Louis,T.A.(2012).«Whystatistics?». Science,336(6077), 12-12. https://doi.org/10. 1126/science.1218685.

Engel,J.(2017).«Statisticalliteracyforactivecitizenship:acallfordatascienceeducation». StatisticsEducationResearchJournal, 16(1),44-49.https://doi.org/10.52041/serj.v16i1.213.

Engel,J.(2019).«Culturaestadísticaysociedad:?‘Qué eslaestadísticacívica?».A:J.M.Contreras,M.M.Gea,M.M.López-MartíniE.Molina-Portillo(eds.), ActasdelTercerCongresoInternacionalVirtualdeEducaciónEstadística.www.ugr.es/~fqm126/civeest/ponencias/engel_esp. pdf.

ForteDeltell,A.(2022) ?‘Cómosobreviviralaincertidumbre? Pamplona:NextDoorPublishers SL.

Franklin,C.;Kader,G.;Mewborn,D.;Moreno,J.;Peck,R.;Perry,M.;Scheaffer,R.(2007). Guidelinesforassessmentandinstructioninstatistics education(GAISE)report:Apre-K-12curriculum framework.AmericanStatisticalAssociation.www.amstat.org/asa/files/pdfs/gaise/gaiseprek12_full.pdf.

Friedrich,S.;Antes,G.;Behr,S.;Binder,H.;Brannath,W.;Dumpert,F.;Friede,T. etal.(2022). «Istherearoleforstatisticsinartificialintelligence?». AdvancesinDataAnalysisandClassification, 16(4),823-846.https://doi.org/10.1007/s11634-021-00455-6.

Gal,I.(2004).«Statisticalliteracy».A:D.Ben-ZviiJ.Garfield(eds.). Thechallengeofdeveloping statisticalliteracy,reasoningandthinking.Dordrecht:SpringerNetherlands,p.47-78.

Huff,D.(1991). Howtoliewithstatistics.Londres:Penguin.www.penguin.co.uk/books/13565 /how-to-lie-with-statistics-by-darrell-huff-with-pictures-by-mel-calman/9780140136296.

Mosteller,F.(2010).«Whydiddeweybeattrumaninthepre-electionpollsof 1948?». A: The pleasuresofstatistics.NovaYork:Springer,p.5-17.https://doi.org/10.1007/978-0-387-779560 1.

Sharma,S.(2017).«Definitionsandmodelsofstatisticalliteracy:aliteraturereview». OpenReviewofEducationalResearch,4(1), 118-133.https://doi.org/10.1

Spiegelhalter,D.(2019). Theartofstatistics:learningfromdata.Londres:Penguin.

13-

Spiegelhalter,D.(2024). Theartofuncertainty:Howtonavigatechance,ignorance,riskandluck. Londres:Penguin.

Tarran,B.(2024).«Greatgraphicsandthegreatmindsbehindthem». Significance, 21(1),3639.https://doi.org/10.1093/jrssig/qmae012.

Utts, J.(2021).«Enhancingdatascienceethicsthroughstatisticaleducationandpractice». InternationalStatisticalReview,89(1), 1-17.https://doi.org/10.1111/insr.12446.

Wild,C.J.;Pfannkuch,M.(1999).«Statisticalthinkinginempiricalenquiry». InternationalStatisticalReview/RevueInternationaledeStatistique,67(3), 223.https://doi.org/10.2307/1403699.

Wolff,A.;Gooch,D.;CaveroMontaner,J.J.;Rashid,U.;Kortuem,G.(2016).«Creatinganunderstandingofdataliteracyforadata-drivensociety». TheJournalofCommunityInformatics, 12(3).https://doi.org/10 15353/joci.v12i3.3275.

LesmatesalbillarII. Situacionsperexplorar lageometriadelbillar

GuillemBonetCarbó InstitutdeSantaColomadeFarners @willhek

Resum Abstract

Elmóndelbillaréscomplex,finsitotels millorsmestresespodenperdreenla infinituddecàlculsidepossibles caramboles.Elsmatemàtics,encanvi,ens miremelbillardeformamésrelaxada, observemlabellesahipnòticadeles carambolesienssorprenemambla geometriaquehihaaldarreredel movimentdelabola.Enelpresentarticle estreballendiferentsaspectesgeomètrics delbillarquepodenportar-sefàcilmenta l’aulacomasituacionsd’investigació,que captaranl’atenciódel’alumnattantperla sevasenzillesacomperlasorprenent bellesadelespropietatsque elbillaramaga.

Introducció

1

Theworldofbilliardsiscomplex,andeven thetopplayerscanlosethemselvesinthe infinitecalculationsandpossiblecannons. Mathematicians,ontheotherhand,lookat billiardsinamorerelaxedway,asthey observethehypnoticbeautyofcannons, marvelledbythegeometrybehindthe movementoftheball.Thisarticleanalyses variousgeometricaspectsofbilliards,easily introducedintotheclassroomasresearch situationswhichwillsurelycapturestudents’ attentionduetothesimplicityandsurprising beautyofthehiddenpropertiesofbilliards.

NosésimaiheuseguitalgundelstornejosdebillarqueesfanperNadal.Enconcret,jo segueixoambpassióelprograma Billaratresbandes alcanalEsport3.Enaquesttrofeu,els quatrecandidatsqueesdisputenelpremiintentenferelmàximnombredecaramboles consecutivesielprimerquearribaaquarantaéselguanyador.

Ditaixò,potarribarasemblarquesiguiunacèrrimseguidordelbillar,perònoésbenbéaixí. Encaraquem’impressionaveurelesdiferentscarambolesqueelsparticipantsvanencadenant,cadascunamésmàgicaimésdifícilquel’anterior,elquem’atraudelbillarésanalitzar cadajugadafetapelmestrebillarista,sobretotaquellesqueunéscapaçd’aconseguirdur atermenomésambl’habilitatilagenialitatd’ungranmestre.M’agradarepensaraquestes carambolesdelamateixamaneraqueunespectadorintentaendevinareltrucquehausatel magquanfaaparèixeruncolomdelno-res.Quanm’hoplantejo,laprimerapreguntaés«com s’hohafet?»illavorsintentoconstruirunacarambolasemblantusantalgunespropietatsde lamatemàtica,iésquelesmatemàtiquessónatotarreui,enparticular,elmóndelbillarestà escritprenentcomabaselamatemàtica.

Ésperaquestmotiuquevaigcomençaraescriureunprimerarticle(«LesmatesalbillarI»)on s’investigasobrelespropietatsnumèriquesdelrecorregutd’unaboladebillarllançadades delforatinferioresquerradeltaulellambunanglede45˝ .Enaquestsegonarticlepretencfer unaampliaciódelprimertotressaltantaralespropietatsmésgeomètriquesdelrecorregut d’unaboladebillar.Enconcret,elqueplantejaréenaquestsegonarticleésquinhadeser l’angledellançamentdelabolaperincidirenunasegonabolasituadaenunpuntconcretdel taulell.Anirétreballanticomplicantlaideaalllargdel’article,metodologiaqueensoferirà petitespreguntesquepodemarribaraportaral’auladesecundària.

Elbillaral’auladematemàtiques

Elbillarnosemblaeljocmésindicatperportaral’auladematemàtiques,inohosembla pertresmotiusbàsics:nos’esmentaalcurrículumdelamatèria,caurelativamentllunydela realitatmésproperadel’alumneialcentrenodisposemd’unbillarperpodervisualitzarles diferentsjugades.Totiaixò,pensoqueésunerrorexclourequalsevolsituaciócentradaen elmóndelbillarnomésambaqueststresarguments.Sibééscertqueelbillarensimateix noapareixalcurrículumdematemàtiques,tambééscertqueelmateixcurrículumrecomanal’assimilaciódelscontingutsdelamatèriademaneracompetencial,cosaqueespotfer especialmentbétreballantlaresoluciódeproblemes.

Eltreballdelssabersatravésdelaresoluciódeproblemesnonoméspotafavorirl’adquisició delescompetènciesd’aquestadimensió,sinóquetambépotintegrareltreballdelesaltres dimensions:raonamentiprova,connexions,icomunicacióirepresentació.

Eltreballal’auladesituacionsambientadesenelmóndelbillarensobriràlesportesatreballartantqüestionsnumèriques,jatreballadesalprimerarticled’aquestatrilogia,comqüestionsdecairemésgeomètric,enlesqualsaraenscentrarem.

Enconcret,alvoltantdelbillarpodemtrobarmoltsproblemesinteressantsperproposara l’alumnat.Recentment,enlaprimerafasedelconcursFemMatemàtiquesdelcurs 2022-2023 undelsproblemesanavasobrelapartmésnumèricadelbillar:proposavadiferentstaulells rectangularsicaliallançarsemprelaboladesdel’angleinferioresquerraiambunanglede 45˝ ,id’aquísortiendiferentspropietatsnumèriques.

TambéenlaprimerafasedelconcursFemMatemàtiques,peròenl’ediciódel’any 2006,es plantejavaaalumnatdesegond’educaciósecundàriaobligatòria(ESO)unproblemasobre billarprouinteresant.N’exposaréuneslíniesacontinuació.

Jugantalbillarenunataulade 2 mdellargadaper 1 md’ampladacomlaqueesmostraa continuació,ladistànciaentrelesmarquesqueesveuenalesquatrebandesésde 25cm.

Imatge1.Taulelldelproblema«Billar»proposatalconcursFemMatemàtiques2006.

Enaquestasituacióenquèlabolainicialmentestrobasituadaa 25cmdelabanda B4 ia50 cmdelesbandes B1 i B3,silaimpulsemsenseefectecontraelpunt P3,elproblemademana preveurequinaseràlasegonabandaquetocaràienquinamarca.

Tambédemanarecórrerelcamíinversipredironhauràderebotarlabolasobrelabanda B1 sihad’impactardespréssobreelpunt P14

Elproblemaesvacomplicantgradualmentivaoferintal’alumnatdiferentsreptes.Finalment,demanafertantunestudidediferentscasoscomunaanàlisicomparativaentreles diferentsopcions,peresbrinarquinsserienelscaminsméscurtimésllarg.

Aquestproblemaqueacabemdedescriureésmoltinteressantperportaral’aula.Enconcret, exigeixal’alumnatunacertainvestigaciósobrelapartmésgeomètricaques’amagadarrere elmóndelbillar.Seguramentaquestaéslamillorpropostasobreelmóndelbillarperser plantejadacomasituaciód’aprenentatgeal’aula.

ElsdosexemplesmencionatsdelbancderecursosdelFemMatemàtiquesensdonenunapistasobrecomacostumenaserelsproblemessobrebillarquepodemtrobararreu.Enaquest articleenscentraremmésenideessorgidesdelarealitzaciód’aquestproblemadel 2006, peròabansdeixeuquedestaquiunaterceraproposta,aquestadeJamesTanton,plantejada deformamésgenèricaquelesduesanteriors.

«Unaboladebillarestrobasobreuntaulellquenoméstéunforat.Tantlabolacomelforat estanenalgunllocal’interiordelataula.Siguinonsiguinlabolaielforat,?‘semprepodremllançarlabolademaneraqueaquestatoquiunnombre k devegadeslesbandesabans d’entraralforat?Potser k qualsevolnombre?»

Imatge2.Solucióamb1i2rebotsalproblemaproposatperJamesTanton(@jamestanton) aTwitterendata1defebrerde2022.

Aquesttercerasituacióespresentadeforma moltmésobertaquelesanteriors:notenim ladimensiódeltaulell,nimarquesalesbandes,niesconcretaonestàsituadalabolainicialment,itampocnosabemonestrobaelforat.Unproblemabenobertqueusconvidoa analitzar.

Aprofitoperreiterarquel’objectiud’aquest articlenoéssolucionaraquestproblemaenconcret,sinó,comheditanteriorment,feralgunespreguntescapciosesioferiralgunesclaus sobreelbillarqueenspodenferavançarcapaunasoluciódelproblema.

Abansdecomençar,agafeuaire

Totasituaciódesconegudaperl’alumnerequereixunprocésdefamiliaritzacióamblanova situacióiunainvestigacióposteriorperconèixer-nelespropietatsprincipalsqueensserviran deguiapertraçaruncamíqueensportialasoluciódelproblemaqueintentemresoldre.En aquestcas,elsalumnesd’ESOengeneralnoestanfamiliaritzatsambelmóndelbillari,per tant,caldonar-lospautesieinesamblaideaqueellsacabinconstruintlasevamanerade resoldreelproblema.

L’einaqueensésimprescindibleperaaquestexercicijaesvamencionarenl’articleanterior «LesmatesalbillarI»:l’anomenada propietatfonamentaldelbillar.Aquestapropietatdiiuel següent:

Sitiremlabolasensecapefectecontraunabanda,comfaremapartird’araentotselsexercicisd’aquestarticle,l’anglederebotamblabandatélamateixaamplitudquel’angled’incidència.

Perpendicular a la banda

Angle d’incidència Angle d’incidència = Angle de rebot

Angle de rebot

Imatge3.L’anglederebotaunabandasenseefecte.

Enelprocésdecomprensiód’aquestapropietatobservemalgunesideesinteressants:

‚ L’angled’incisió(iderebot)enlesbandesoposadesdeltaulellsempreseràelmateix.

‚ L’angled’incisióaunabandaieldelaperpendicularsóncomplementaris.

Imatge4.Elsanglesenunatiradadinseltaulell.

Totdepèndel’angledellançament

Enl’article«LesmatesalbillarI»esvaanalitzarquinseriaelcamíqueseguiriaunabolallançadadesdelvèrtexinferioresquerradeltaulellambunanglede45˝ ,seguintlabisectriude lacantonada.Iesvaconclourequelesdiferentsformesdecaminsdepenenexclusivament delesdimensionsdeltaulell.

Imatge5.Camídelabolaambunllançamentde45

alstaulells3

Araensplantegemsi,donatuntaulell qualsevoldedimensiódesconeguda n ˆ m,podem reproduirqualsevoldelscaminsques’havienaconseguitalprimerarticle.Iencasquesigui possible,quinhadeserl’angledellançamentdesdelvèrtexinferioresquerre.

Hihamésd’unamaneraderesoldreaquestpetitproblemaiesticconvençutquesihipenseu unamicatrobareusolucionsmésbrillants quelaqueusproposoacontinuació,peròcrec quepercomençarestàbéexplicarlescosesdelamaneraméssenzillapossible.

Intentemreproduir,perexemple,elcamíqueenshaproporcionatelsegontaulelldelaimatge5,eltaulell4 ˆ 3, alnostretaulellblanc n ˆ m.Llancemlaboladesdelvèrtexinferior esquerre O,peròambquinanglehohauremdefer?

Intentemreproduireltaulell4 ˆ 3alnoutaulell n ˆ m copiant-nelaquadrícula.Ésadir, dividimeltaulellen 12 rectanguletsiguals:elcostatdemida n en4partsigualsieldemida m en3.

Imatge6.Camídelabolasimilaraldelllançamentde45˝

3.

Unadelescomprovacionsquehauríemdefer araseriaveurequerealmentaquestaésuna tiradadebillar,ésadir,queelsanglesesmantenen.Enaquestcas,veientqueelrecorregut esfaatravésdediagonalsdels 12 rectanglesiguals,elsanglesenduesbandesparal¨leles handeserelsmateixosihandeserelscomplementarisenlesbandes.

Delqueacabemdeferesdedueixquesivolemcopiar,enuntaulelldedimensió nˆ,elcamí quefalabolaambunanglede45˝ enuntaulelldedimensions a ˆ b l’angledellançament hauràdeser α “ tan 1 ` a m b¨n ˘.

Lamillorformadevisualitzarelquehemfet,deveurequeambunnoutaulellsemprehihaurà algunanglequeenspermetràteniruncamísimilaralde45˝ ,éspensarqueelrecorregutdel camíensverepresentatperunagomaelàsticaqueestàancoradaalspuntsonlabolatoca acadabanda.Siaracomprimimoexpandimlesbandesdeltaulellperobtenirlesmidesde taulellquevolem,elsanglesdelatrajectòriaamblabandavariaran,peròesmantindràla igualtatdelscamins.

Ladistànciaméscurtaenunrebot

Repte: sitenimduesbolesivolemanardel’unaal’altratocantunasolabanda,enquinpunt C delabandahauràdexocarlabolablanca A peracabartocantlabolavermella B?

Noésimprescindible,peròajudamoltal’alumnatengeneralsienelprimerrepted’aquesta menaquelidemanem,lesbolesestrobenalamateixadistànciadelabanda.

Consell:siesvolportaraquestaactivitatal’aula,ésrecomanabledemanaral’alumnatque construeixiunaaplicaciódeGeoGebraquevisualitziaquestasituació.

Amblaprimerasituació,aquellaenquèlesduesbolesestrobenalamateixadistànciadela banda,podemsuposardeformaintuïtivaqueelpuntdecontacteentrelatrajectòriade labolablancailabandahadeserelpuntmitjàdelesprojeccionsortogonalsdelesdues bolessobrelabanda.

Laintuïcióenaquestcaséscorrecta,araveuremperquè:

Imatge7.Carambolaonlesduesbolesestrobenalamateixadistànciadelabanda.

Comqueelsanglesd’entradaidesortidahandeserelmateix,ihemsuposatqueladistància d’ambduesbolesalabandatambécoincideix, ensapareixal’esquemaqueelsdostriangles queformalatrajectòriaamblabandasóndostrianglesrectanglesiguals.Pertant,elsdos catetsquetoquenlabandatambémesurenelmateix.

Enelsegoncas,quanladistànciaentreunabolailabandanocoincideix,podemraonarque elpuntmitjàentrelesprojeccionsortogonalsalabandadelesduesbolesnoensserviràcom apuntdecol lisiódelatrajectòriaamblabanda.

Imatge8.Carambolesusantlalleidelbillarsobrelaigualtatd’anglesenelrebot.

Tambéensadonemqueelstrianglesqueformalatrajectòriaamblabandajanosóniguals, peròsísemblants.Pertant,podemaplicarelteoremadeTalesperesbrinarlaproporcióentre elscostats.

Enlaquadrículadelasituacióproposada,ladistànciadelesbolesalabandaés3i4,respectivament;pertant,laproporcióentreelscatetsquetoquenlabandatambéhadeserde¾. Així,sidividimelsegmententrelesprojeccionsortogonalsdelesbolesalabandaen7parts iguals,lamarcaqueendeixaria,tressetensdelsegmentaunabandaiquatresetensal’altra, seriaelpuntqueenscaldriaperaconseguirlacarambola.

Nosempre,peròavuisí,podemanarmésenllà.Alsalumnesjahabituatsal’úsdelprograma GeoGebraelsresultaràsenzillconstruirunaaplicaciócomlasegüent,queenspermetràdescobrirqueelcamíméscurtperanardelabola A alabola B passantperlabandaescollida éssempreelcamíquesegueixlaregladelbillar.Ésadir,siperanarde A finsa B labolaha depassarpelpunt C delabandaseguintlesreglesdelbillar(l’angled’incidènciaésiguala l’anglederebot),qualsevolaltrecamíqueescollimperanarde A a B passantperunaltre punt D alamateixabanda,seràmésllarg.

Recorreguttotal = 6.32 + 5.83 = 12.16

Recorregutmínim = 7.6 + 3.8 = 11.4

Imatge9.Aplicació«Billaridistànciamínima»deGuillemBonet,www.geogebra.org/m/jzabmh9y.

AixòhohemtrobatusantunaaplicaciódeGeoGebraqueensmesuraelcamí ADB ambun punt D queesvamoventperlabanda.Sihofem,veuremqueelpunt D enquès’assoleixla longitudmínimadelcamíésenelpunt C .

Hohemvist,peròhopodemjustificard’algunamanera?Podemgarantirqueaquestapropietatqueacabemdedescobrirpassaràperqualsevolsituacióambunrebot,ohemtingut sortenladisposicióinicialdelesboles?

Enferaquestapreguntacomadocents,pretenemqueescreïcertdebatal’aula,esperem quel’alumnatbusquiargumentsqueratifiquinodesmenteixinlapremissainicial.

Durantladiscussióalgunalumneproposaràfer unsquantsintentsusantl’aplicacióenquèla posicióinicialdelesbolessiguidiferent(arribaratravésdelamanipulacióaunconvenciment perunabandaoperl’altra).

Totanovainformacióitotnouexemplesónpositiusperalainvestigació,jaqueensaporten novesdades.Tambéhoésunnoucanvidemiradadelasituació.Tornem-nos-hoamirar, aquestcopfixant-nosenlessimetries,queensproporcionaranmésdadespertornardesprés alademostracióquehemdeixatamigfer.

Observembélatrajectòriadelabolaenelseurebotamblabanda.Tenintencomptequeels anglesd’entradaidesortidahandeserelmateix,aixòenspotdonarlaideaquelatrajectòria rebotaalabandademanerasimètricasiensfixemenl’eixperpendicularalabandapelpunt decol lisió.

Araestudiaremunasituaciónovaiveuremqueensserveixperresoldrel’actual.Dibuixemel puntsimètric B1 delabola B respectealabanda.Siensimaginemquelabandanoexisteix ivolemtocarlabola B1 directament,latrajectòriadelabolablancadibuixaràunsegment.

Tambéveuremquelaprojecciódelabola B1 coincideixsobrelabandaamblaprojecciódela bola B,iqueeltriangleformatcoincideix;defet,éselsimètric!

Pertant,sicoincideix,podemafirmarquedetotselscaminspossiblesquepodriaferalgúper anardelpuntdelabolablancaalavermellatocantunabanda,elqueesculllaboladebillar éselmínimpossible.Enmatemàtiquesaquestresultatesconeixcomadesigualtattriangular.

Imatge11.Demostracióqueelcamímínimpossibleambunabandaéselquesegueixlaboladebillar.

Undarrerapuntmésabansdetancaraquestapartat.Encaraquelapropostainiciald’aquest article,pelquefaal’úsdelesaplicacionsdeGeoGebra,eraméspensatperalamanipulació quenopasperalacreaciódedocumentsambgeometriadinàmica,uncopelsalumneshan aprèslamecànicadeltirilessevespropietats,se’lspotdemanarqueconstrueixinunaaplicaciódeGeoGebraquerepresentilatrajectòriadelabolablancafinsacol lidiramblavermella. Aixòelspermetràtreballaraltrecopelsconceptesquehananatsorgintenlainvestigació, comarasimetria,igualtatd’angles...

Manipularperdescobrir

Lapropostaques’haanalitzatenelpuntanteriorpotarribarasemblarunpocforçada,ja quenototl’alumnatseràcapaçd’endevinarquecalusarelsimètricdelpunt B pertrobarel recorregutdelabola,operjustificarqueelcamítraçatéselméscurtpossible.I,apartd’això, comresoldremsituacionsméscomplicadesenquèestoquilabolaenuntercerrebotala banda?

Imatge12.Aplicació«Billar»d’IgnacioLarrosaCañestro,www.geogebra.org/m/gzF2CrHS.

Proposounaactivitatalternativaperal’alumnatquepotsernotéresaveureambelbillar: dobleguemunfulldepapervegetalperlameitat(enverticaloenhoritzontal)unesquantes vegades.Uncopdoblegat,enunadelescareshidibuixemdospunts, A i B.Perforemelpunt B demaneraqueelforattravessitotselsplecs.

Uncopfet,despleguemelpapervegetaliobservemqueelpunt B s’hamultiplicat.Hiha moltsforats.Tracemunparellderectesdesdelpunt A finsadosnouspunts B (preferiblement ambretolador).

Uncoptraçades,tornemadoblegarelpapervegetali,acontrallum,veiemelrecorregutde lesduesrectesquesurtendelpunt A ivanaparara B ambdosrecorregutsdiferents.

Aquestsdosrecorregutssónelsrecorregutsquepodriaferunaboladebillar?Quinéselmés curtpossiblesivolemanarde A a B tocantunnombreconcretdebandes?Quèrepresenten lesbandesenlasituació?Espotfersempre,això?

Peracabar,undarrerproblema

Nosem’acutmillormaneradecloureaquestarticlequeoferint-vosunaltreproblemade billar,aquestapropostadeMattHenderson.

Unabolarebotasobreuncamítancatenuntaulellrectangular.

Imatge14.CamítancatenelproblemadeMattHenderson(@matthen) aTwitterdeldia10desetembrede2022.

Demostreuquesilabolanotocacapcantonada,elnombretotaldecopsquetocalabanda dretaoesquerraésparell.Passaelmateixsiensfixemenelsrebotsdelesbandessuperiori inferior.

Referències

Bonet,G.(2022).«Lesmatesalbillar:unasituaciód’exploraciópertreballaral’auladematemàtiques». NouBiaix,49.

Bosch,C.(2009). Elbillarnoesdevagos.Ciencia,juegoydiversión.FondodeCulturaeconómica.México.

FemMatemàtiques(2006).https://drive.google.com/file/d/19BFmRIDz-A0TVlVIP2j8eWWUpj W7E8FD/view.

FemMatemàtiques(2023).https://fm.feemcat.org/wp-content/uploads/2022/11/DEF-1r-ESO -fase-1-FM23.pdf.

TwittdeMattHenderson,

https://twitter.com/matthen2/status/1568592810416144386?t=Ij_faDVMLu9AR4yapXgSrg& s=03.

Transparències matemàtiquesi fenòmensdidàctics

MariannaBoschiCasabò

Departamentd’EducacióLingüística,CientíficaiMatemàtica UniversitatdeBarcelona marianna.bosch@ub.edu

Resum Abstract

Perabordarelsfenòmensqueafecten l’ensenyamentiaprenentatgedeles matemàtiques,ladidàcticaqüestionael tipusdematemàtiquesques’ensenyen,i nonoméslaformad’ensenyar-les.Peròla fronteraentreelques’had’estudiar(allò matemàtic)ilaformad’estudiar-ho(allò didàctic)noéssempretanclaracom podriasemblar.Utilitzemunexemple d’indagaciósobrelasegregacióescolarper il lustraralgunsaspectesdeles matemàtiquesescolarsquesolemdonar perfetsiqueensapareixencoma transparents,aixícomelsfenòmens didàcticsquerevelen.

Whenconsideringthevariousphenomena thataffecttheteachingandlearningof mathematics,wemustlookatnotonlythe typeofmathematicsbutalsohowbestit shouldbetaught.Nevertheless,theline betweenthematerialtobestudied(the mathematical)andhowtostudyit(the didactic--teachingandlearning)isnot alwaysasclearasitmightbe.Wepresentan exampleofalearningsituationrelatedto schoolsegregationtoillustratesomeaspects ofschoolmathematicsthataretypically takenforgranted,andapparently transparent,aswellasthedidactic phenomenatheyreveal.

1.Ladidàcticaielqüestionamentdelesmatemàtiques

Ladidàcticadelesmatemàtiquesdelaqualusparlarétéelsorígensenelstreballsdel’investigadorfrancèsGuyBrousseau(1932-2024),quevainiciar,alsanys 1980,lateoriadeles situacionsdidàctiques(Brousseau, 2007).El 2003laComissióInternacionalsobrelaInstruccióMatemàtica(ICMI)livaatorgarlaprimeramedallaFelixKlein,destinadaapremiar«els excel¨lentsinvestigadorsquehanconfiguratelcampdel’educaciómatemàticaalllargde lasevavida».1 EnelcasdeBrousseau,ladistincióvaserperlaseva«contribucióessencial aldesenvolupamentdel’educaciómatemàticacomacampderecercacientífica,através

1.www.mathunion.org/icmi/awards/felix-klein-award.

delseutreballteòriciexperimentalalllargdequatredècades,ial’esforçsostingutqueva feralllargdelasevavidaprofessionalperaplicarelsfruitsdelasevarecercaal’educació matemàticatantdelsalumnescomdelsprofessors».2

Amblateoriadelessituacionsdidàctiques,Brousseausitual’anàlisidel’activitatmatemàtica alcordelainvestigaciódidàctica,inaugurantelques’haanomenatposteriorment«l’enfocamentepistemològic»endidàctica(Gascón, 1998),perdistingir-lod’altrespropostesqueprioritzenl’estudidelsfenòmenscognitiusrelacionatsambl’aprenentatge.Enefecte,Brousseau (1986)vadefinirladidàcticacomlaciènciaqueestudiaelsfenòmensd’ensenyamentiaprenentatge enallòquetenend’específicdelesmatemàtiques.Aquestaexpressióvoliamarcarla importànciaquetéperaladidàcticalamaneradeconceptualitzarlesmatemàtiquesque s’ensenyenis’aprenen.Esqüestionaaixíqueespuguiparlardedificultatsd’aprenentatge d’unàmbitmatemàtic,comaraelsnombresnegatius,l’àlgebraelementalolesderivades, comsihihaguésunaúnicamaneradeconcebreelsnombresnegatius,l’àlgebraelemental olanociódederivada,icomsilesdificultatsdelseuaprenentatgepoguessinseruniversals iindependentsdelamanerad’ensenyar-losiestudiar-los.Siagafemelcasdelsnombres negatius,moltestudiatsenlarecercaendidàctica,lesdificultatssónradicalmentdiferentssi aquestss’introdueixenpermesurarquantitats«direccionals» onsovintnocaldriautilitzar noustipusdenombres osis’introdueixenenl’àmbitdeltreballambexpressionsalgebraiques queinclouendiferènciesdeltipus b a (vegeu,enparticular,Cid, 2015).

Elsfenòmensdidàcticssónlesregularitatsqueapareixendurantelsprocessosd’ensenyamenti aprenentatge,queestanrelacionadesambeltipusdecontingutques’ensenya,s’aprèno s’estudia,iquenoespodenexplicarnomésperlescaracterístiquesdelespersonesqueintervenenenaquestsprocessos(estudiantsiprofessoratenparticular).Estanmoltrelacionats ambcoms’entenen,esdescriueniesconcretenaquestscontinguts,tantal’escolaatravés delcurrículumielsrecursoseducatius,com enlesmateixesmatemàtiquescomadisciplina.Tambélamaneradedescriureoconcebreaquestscontingutsinflueixeneltipusdefenòmensqueelsinvestigadorsendidàcticaconsiderenienlaformad’analitzar-los.Sovint ésinteressantdistingirelsfenòmensdidàcticsdelsfenòmenspedagògics,queafectenla maneragenerald’organitzarl’ensenyamentil’aprenentatge.Perexemple,latendènciadels estudiantsaestudiarnomésallòquese’lspreguntaal’examen(queelsanglesosanomenen cramming ielsfrancesos bachotage)ésunfenomengeneralque,malgratquepugui prendreformesespecífiques,afectal’ensenyamentdequalsevolmatèria.Encanvi,elfetque l’avaluacióenmatemàtiquestendeixiareduir-sealaresoluciód’exercicisiproblemesen tempslimitatsésunfenomenespecífici,pertant,didàctic.Moltesindicacionspedagògiques,comaraquanesparlad’avaluarpercompetènciesodemotivarl’alumnat,donenper descomptadalasevaespecificaciódidàctica,comsifosevident(otrivial)lasevaconcreció enactivitatsd’aulavinculadesalscontingutsiobjectiusdel’ensenyament.

Lafronteraqueseparaallòespecíficd’allòmésgenèricnoéssempreclara.Brousseaudonava comaexempleelcasd’unaclassequeestàa 10 ˝ Cperquès’haespatllatlacalefacció.Els alumnestenenmoltesdificultatsperaprendrematemàtiquesenaquestescondicions,però aquestesdificultatsnoresponenaunfenomendidàcticperquènosónespecífiquesdelsaber queestàenjoc.Tambéésdifícilensenyariaprendrequalsevolaltramatèria,enaquestes

2.www.mathunion.org/icmi/awards/past-receipients/2003-felix-klein-award.Latraduccióésnostra.

condicions.Elmateixsucceeixacasanostra,isenseques’hagid’espatllarres,afinalsdela primaveraoalsetembrequanlesclassesestana35 ˝ C.Arabé,malgratquelasituacióno siguiespecíficadelconeixement,síquediumoltdelaformaenquèlanostrasocietatvalora latransmissiódeconeixements incloent-hielmatemàtic enrelacióambaltressectors moltmésbencondicionats,comelcomerç,l’oci,eltransport,eltreballolasanitat.Iaquesta valoració odesconsideració del’escolasíquepotafectarlesactivitatsconcretesquees podenduratermeal’aulai,pertant,elsfenòmensdidàcticsassociats.

Aquestavisiómésgeneraléslaqueproposalateoriaantropològicadeldidàctic(TAD)creada perYvesChevallardamitjansdelsanysnoranta(Chevallard, 1992, 2013a, 2013b),queneix comundesenvolupamentdelateoriadelessituacionsdidàctiquesiperlaqualChevallard tambévarebreunamedalladel’ICMI,laHansFreudenthal,el 2009. 3 EnlaTADs’utilitzala nociód’escaladecodeterminaciódidàctica perampliarl’objected’estudideladidàcticaales condicionsqueafectenl’ensenyamentil’aprenentatgedelesmatemàtiquesiquesesituen adiferentsnivellsd’especificitat(figura 1).

Humanitat Civilització Societat Escola Pedagogia Sistema didàctic

Figura1.Escaladecodeterminaciódidàctica(Chevallard,2002,2019).

Quenohihagiairecondicionatésunacondiciódelnivellescolarimposadaperlasocietat. Tambéhoésqueal’educaciósecundàrialesclassesdurin50 minuts,condiciómoltrelacionadaambuntipusdepedagogiaquedivideixelconeixementen«matèries»o«assignatures» iestructural’ensenyamentdecadaassignaturaen«lliçons»relativamenthomogènies.Que calguiavaluarl’alumnatdeformaindividualésunacondicióescolarquedonaràllocadiferentsestratègiesd’avaluaciógenèriquesalnivellpedagogiiespecífiquesalnivelldidàctic. Elnivelldelapedagogiaidelsistemadidàcticnosónsemprefàcilsdediferenciarperquè lescondicionsestanmoltentrelligades.Perexemple,quehihagialdarullenunaclassepot respondreaunacondiciópedagògicamalgestionada,peròtambépotindicareldesenvolupamentd’unaactivitatquetépocsentitper alsalumnesienlaqualnohansabutonohan pogutentrar(nivelldidàctic).Al’altreextrem,elmateixaldarulltambééselreflexdecondicionsmalgestionadesalnivelldelesnostressocietats,quejanotenenclareslesfinalitatsde l’escolaidelques’hiensenya.

Ladidàcticaestudialescondicionsquefacilitenilesrestriccionsquelimitenelsprocessos d’ensenyamentiaprenentatgedecerts«continguts»concrets(desprésveuremquèpoden seraquests«continguts»).Com queaquestescondicionspodenserespecífiques,peròtambé moltgenèriques,nopotlimitar-seaconsiderarúnicamentelquepassaalesaulesnielque passaquanesfanmatemàtiques.Araveuremunexempled’activitatmatemàticaqueens permetràil¨lustraralgunsfenòmensdidàcticsvinculatsadiferentsnivellsdel’escala.Aquests fenòmensmostraranl’interèsquetéperaladidàcticaqüestionard’arrelelqueentenem permatemàtiquesielsdiferentssabersquelescomponen elpostulatbàsicdelateoria desituacionsdidàctiques i,peraltrabanda,comcaldevegadesampliaraquestqüestionamentmésenllàdel’activitatmatemàticaescolar,finsalsnivellsmésgenèricsdel’escalade codeterminaciódidàctica.

3.www.mathunion.org/icmi/2009-hans-freudenthal-award.

2.Unaindagaciósobrelasegregacióescolar

Consideraremuncasd’activitatmatemàticaqueespotdescriurecomunprocésd’indagació o,enlaTAD,elqueanomenemun recorregutd’estudiiinvestigació (REI)(Bosch, 2018;Chevallard, 2013a;García etal., 2019)iquetambéespotconsiderarcomunasituaciód’aprenentatge talcomesdefineixenelcurrículumactual.Ésunaactivitatques’hadutatermeenlaformació inicialdelprofessoratd’educacióprimàriaisecundària.Usenpresentaréaquíalgunselementsquedesenvoluparémésendavant,basatsenl’experiènciaambungrupd’estudiants delgraudeMestreenEducacióPrimàriadelaUniversitatdeBarcelonadelcurs 2022-2023, aquiagraeixolescontribucions.Tambéusconvidoaferlaindagaciópelvostrecompte, aprofitantqueavuidiatenimaccésaeinescomelChatGPToaltresdesimilars,cosaqueno passavaabans.

Elpuntdepartidaéselproblemadelasegregacióescolar.Se’nsentaparlardesdefauns anys,alsdiarisialesnotícies.Perexemple,aleseleccionscatalanesdelfebrerde 2021,el Col lectiud’EscolescontralaSegregació4 vallançarlacampanya«Votesaquí?Matriculaels teusfillsifillesaquí!»ilarepeteixencadajornadaelectoral.Justabansdecomençarelsegon semestredelcurs 2022-2023,vaigrebreunainformaciódelaFundacióBofillambelmapade lasegregacióescolarmunicipiamunicipi5 i,navegantunamicaperInternet,deseguidaes descobreixqueeltemaésprouimportantperquè lasíndicadeGreugeshidediquiunapartat delseuweb.6

Imaginem-nos un municipi amb un 20% d’alumnat vulnerable

SEGREGACIÓ ESCOLAR

DISTRIBUCIÓ EQUILIBRADA DE L’ALUMNAT

Figura2.Exemplededoscasosambisensesegregacióescolar.Font: https://fundaciobofill.cat/blog/que-es-segregacio-escolar.

Sorgeixaixílaqüestióquevaigpresentaralsestudiants:quèéslasegregacióescolar?Comes mesuraoescalcula?Quèvoldirqueunmunicipitéunasegregacióescolarde 0,45o 0,32? D’onsurtenaquestsnombres?NocostatrobarinformacióaInternetsobreaixò.Perexemple, alwebdelamateixaFundacióBofill7 esconsideraunmunicipiambun 20 % d’alumnatvulnerableitresescoles(figura 2).Espresentendoscasos:unambunadistribucióequilibrada del’alumnatiel 20 % d’alumnatvulnerableacadaescola;unaltreambsegregacióescolari unadistribuciódel’alumnatmoltdesigual,ambun 20 % enunaescola,un 1% enunaaltra iun50 % alatercera.Comencenaaparèixeraixíalgunselementsimportantsdelasegregació

4.https://escolaisegregacio.home.blog/. 5.https://fundaciobofill.cat/blog/mapa-interactiu-evolucio-segregacio-escolar-municipis-catalunya. 6.www.sindic.cat/ca/page.asp?id=498. 7.https://fundaciobofill.cat/blog/que-es-segregacio-escolar.

(lanociód’alumnatvulnerable,elspercentatgesal’escolaialmunicipi),peròensfaltaencara obtenirunaúnicamesurasobreladiferènciaentreelspercentatgesdeladistribució.

Elprocésd’indagacióquevamviureaclassevacomportardiferentsrecorreguts:alguns equipsd’estudiantsvandecidirconstruirpossiblesmesures;altresvanbuscarinformació. Vamacabaraquestesprimeresexploracionsambdosresultatsimportants.Elsqueconstruïen mesuresvanplantejarlaqüestiódesaberquinspercentatgesconvéutilitzar:sielnombre d’alumnatvulnerablesobreeltotald’alumnatdel’escolaosobreeltotald’alumnatvulnerabledelmunicipi(figura3).Tambévanconsiderarqueenlafórmulahihaviad’aparèixeruna restaperquèl’índexpoguésprendreelvalor 0 quannohihasegregació.Perònovananar massamésenllà.

Percentatgesdevulnerabilitat

Ve Vm Te Tm

Ve noVe Vm noVm

Ve és el nombre d’infants vulnerables a l’escola Vm és el nombre d’infants vulnerables al municipi

noVe és el nombre d’infants no vulnerables a l’escola noVm és el nombre d’infants no vulnerables al municipi

Te és el nombre total d’infants a l’escola Tm és el nombre total d’infants al municipi

Figura3.Possiblespercentatgesdevulnerabilitatconsiderats.

ElsaltresequipsvantrobaraInternetunafórmulaconeguda,l’índexdedissimilituddeDuncan,indicatambl’expressiósegüent:8

D “ ½ ÿ escvalorabs(estr(escola){estr(municipi) esp(escola){esp(municipi)).

Lafórmulaveniaacompanyadadelcomentarisegüent:

L’indicadorprenvalorsdel 0 al’1 (odel 0 % al 100 %).Comméss’apropaa 1 (oa 100 %),méssegregacióescolarhiha.Espotllegircomelpercentatged’alumnat vulnerablequecaldriaredistribuirpergarantirqueestàdistribuïtdemaneraequilibradaentotalaxarxa.

Apartird’aquí,lanostraindagacióvaprosseguirambl’estudidelafórmulailasevarelació ambelspercentatgesquehavíemcomençataconsiderar.Primervaigproposarutilitzarla fórmuladel’indicadorambunaexpressiómésestàndard(almenysperami!):

on Vi éselnombred’alumnesvulnerablesal’escola, nVi elnombred’alumnesnovulnerables, i V i nV elnombretotald’alumnesvulnerablesinovulnerablesdelmunicipi,respectivament.

8.https://fundaciobofill.cat/blog/que-es-segregacio-escolar.

Idesprésvaigproposaralsequipsd’estudiantsqueconsideressinunmunicipiambtresescoles(similaraldel’exempleanterior)is’inventessindiferentscasoscomelsdelafigura 2,algunsambmoltasegregacióid’altresambpoca.Tambéquebusquessincasosextrems demunicipisambsegregació 0 imunicipisamblamàximasegregació.Vamaconseguiraixí unconjuntgrandecasos(figura4)queensvanajudaraentendrecoms’hadecalculari interpretarl’índex D

Figura4.Casosdemunicipisiescolesfictíciespercalcularelsíndexsdesegregació(TM:totald’alumnesal municipi;VM:totald’alumnesvulnerablesalmunicipi;TEi:totald’alumnesal’escolaEi;VEi:totald’alumnes vulnerablesal’escolaEi).

Aquesttreballdesimulacióiexploraciódecasosvaferaparèixernovesqüestions,algunes sobrelanociód’alumnatvulnerable,lasevadefinicióilasevacomptabilitzacióalesescolesi municipis:quiesfacàrrecdelrecompte?Sónaccessibleslesdades?Sónfiables?Altresqüestionsesreferienal’índex D:perquèhihaunfactor½?Perquès’utilitzenelspercentatges sobreelssubtotalsdelmunicipiisobreelstotalsdelesescoles?Finalment,enbuscarcasos amb D “ 1,vamveurequeaquestcasnomésesdona quantotselsalumnesvulnerables,i nomésells,estanalamateixaescola.Aquestresultatensvaferdubtardelainterpretacióde l’índexcomelpercentatged’alumnatquecalredistribuirpertald’obtenir D “ 0,jaque,enel cas D “ 1,unapartdel’alumnatvulnerablesempreesquedaràal’escolad’origeni,pertant, notindriasentitdirques’haderedistribuirel 100 %.Enintentarcomprovar-hoperalsaltres casos,vamdescobrirqueaquestainterpretaciónoconcordavaambelsnostrescàlculs,tot iquenosen’allunyavagaire(figura5).Al’exempletenimun 25,35 % d’alumnatvulnerable almunicipii,sinohihasegregació,hauríemderetrobaraquestmateixpercentatgeacada escola.Simantenimelstotalsdelesescoles,caldriaredistribuir 14alumnesvulnerablesde l’escola3alesescoles 1 i 2.Encanvi,elvalordel’índexés 10 %,quecorrespondriaa 18 alumnes.

Exemple

EXEMPLETotalVnV

Escola 1250 50 200

Escola 2160 40 120

Escola 3300 90 210

Cas sense segregació Cas amb segregació màxima

Escola 1250 63 187

Escola 2160 41 119

Escola 3300 76 224

Municipi710180530 D=0TotalVnV

Escola 1250 20 230

Escola 2160 160 0

Escola 3300 0 300

Municipi710180530

Municipi710180530 DmaxTotalVnV

Figura5.Exemplesdemunicipisambdiferentnivelldesegregació.

Aclasse,elnostreREInovaanarmésenllà.Sidesenvolupemunamicaméslaindagació,descobriremaltresmesuresdelasegregacióescolar,algunesbasadesenlauniformitatid’altres enl’exposiciódel’alumnat.Lesprimeres,coml’índexdeDuncanoeldeGorard,consideren diferentsdistànciesadiferentsdistribucionsuniformesocasosnosegregació;lessegones, coml’índexd’aïllamentol’índexdecontacte,esbasenenlaprobabilitatquel’alumnatvulnerableesrelacioniambl’alumnatnovulnerable(MurilloiMartínez-Garrido, 2018).Elmisteride lainterpretaciódelpercentatged’alumnatvulnerablequecalredistribuirestàrelacionatamb siesmantéonoconstantelnombred’alumnesacadaescolaenferlaredistribució.Enelcas quevamconsiderarnosaltres,onsíqueesmanteniaconstant,lainterpretaciócorrespona l’indicadordeGorard,quecalculaladiferènciadepercentatgesd’alumnesvulnerablessobre eltotaldel’escola Ti idelmunicipi

L’indicadordeGorardnoésuníndex(unamesuraentre 0 i 1)i,pertant,dificultalacomparaciódemunicipisambdiferentpercentatged’alumnatvulnerable.Encanvi,tél’avantatge quenoesveuafectatperevolucionsenelnombred’alumnatvulnerablealmunicipi(sies mantenenlesproporcionsalesescoles,ésclar).9 Defet,elsdosindicadorsestanrelacionats:

Ésmoltinteressantestudiarlespropietatsdelesdiferentsmesuresdesegregació,aquèsón sensiblesiaquèno.Enelseumoment,elmateixDuncanvaferuncomentarirespecteaaixò queenspotresultarsorprenentperquèésmassaobvi:

Inourjudgment,ithasbeeninsufficientlyemphasizedthattheempiricalresults obtainedwithanindexmaybestronglyaffectedbyitsmathematicalproperties.

(Duncan, 1955,p. 215)

Potser,mésquenopasunaobvietat,aquestcomentariil lustraunfetmésgeneralitzatrelacionatambelpaperquetenen ielque no tenen lesmatemàtiquesenlasocietatienles altreciències,talcomveuremenlasecciósegüent.

3.Transparènciesmatemàtiques

Lapetitaindagaciósobrelasegregacióescolarpermetil¨lustraralgunsfenòmensdidàctics quepodemsituaradiferentsnivellsdel’escaladecodeterminaciódidàcticaiqueestandirectamentrelacionatsamblaconcepciódelesmatemàtiquesqueprevalal’escola,enlasocietat ofinsitotenlacivilització.

3.1.La visió occidental del formalisme matemàtic

Començaréperunfenomendidàcticquepodemsituarjustamentenelnivelldelacivilització,elsegonnivellmésgeneraldel’escala.Elfenomenestàrelacionatamblafórmulade l’indicador D quehemconsideratmésamuntiquehemcopiatdelswebsqueparlendesegregacióescolar:

D “ ÿ escvalorabs(estr(escola){estr(municipi) esp(escola){esp(municipi)), ambaquestexplicacióaddicionalenunanotaalpeu:

D “ Dissimilitud;Σesc “ sumatoriescoles;valorabs “ valorabsolut; estr(escola) “ estrangersal’escola;esp(escola) “ espanyolsal’escola

Éspossiblequeaquestredactathagisorprèslamajoriadelectors,especialmentsitenen formaciómatemàtica,totiquenovaintrigargaireelsmeusestudiants.Comésqueelsautors delsinformeslautilitzen,encomptesdeferservirunaopciómésortodoxacomara(*)?

Éscuriósqueelsautorsdelwebhagindeciditrecórreraunaescripturaméspròpiadel’àlgebrasincopadadelrenaixentistes,encomptesd’utilitzarelformalismematemàtichabitual. Opotsernoéstancuriósirealmentcreuenqueésmésfàcild’entendrelaprimeraexpressió quelasegona...Hihaunaaltrainterpretació:consideraraquestadecisiócomlamanifestaciód’unfenomensocialgeneralderebuigdelformalismematemàtic,quejavamposarde manifesteninvestigacionsanteriors(Bosch, 1994, 2001;Bosch,Chevallard, 1999).Téaveure amblanostramanerad’entendreelllenguatgeoralil’escrit.Estudiososdelaliteraturai lafilosofiaclàssiqueshanmostratelsdiferentsrolsquetenenl’oralitatil’escripturaenla culturaoccidental(Havelock, 1963;Ong, 1982):elpensamentésoraliprimari;l’escriptura éssecundària,éslatranscripcióescritadelllenguatgeoral.Primerpensem/parlem,després escrivim.Elcasdelcatalà,amblaproximitatentreelsvocables raonar i enraonar,ésmolt significatiu.ElfilòsoffrancèsJacquesDerrida(1962)vaencunyarelterme logocentrisme per referir-seaaquestaprioritatdeldiscursoralcomaexpressiódirectadelpensament.

Arabé,enmatemàtiques,larelacióentreoralitatiescripturas’inverteixmoltsovint:eltreball matemàticesfaambunsimbolismequeprimerésescritiques’oralitzaposteriorment(Ong, 1962),comquandiem«bequadratmenysquatreace»perverbalitzarl’expressió b2 4ac. Apareixaixíunaincomprensió,sinounrebuigcultural,delsimbolismeprimàriamentescrit ques’utilitzaenmatemàtiques.D’aquíprovélapropensióaevitar-loisubstituir-lopeldiscurs verbal.

Trobemunaprovadel’aprensióculturalalesfórmulesmatemàtiquesenunacolladellibres dedivulgacióqueesvanaglorien,precisament,delfetdenoinclourecapfórmulamalgrat tractardelarelativitatespecial(Gómez-Esteban, 2007),lesmatemàtiquesdelsmercatsfinancers(Bueno, 2022)o...lesmateixesmatemàtiques(PujnachoviPopov, 2008)!Alaportada d’aquestúltimllibretrobemaquestpapersecundaridel’escripturadelqualparlàvemabans:

Lasfórmulassólosonunlenguajecómodoparaexpresarlasideasylosmétodos delasmatemáticas.Estasmismasideassepuedenexpresarutilizandolosobjetos eideashabitualesdelmundoquenosrodea.

Nonomésnoenscalenlesfórmules,sinó quequedaclarquenoformenpartdelmónque ensenvolta...Algunsautorsambestratègiessemblantsnitansolsparlendefórmules,sinó d’equacions(Turhkeimer, 2016;Vilalba, 2019),confonentoreduintlesprimeresalessegones.

Aquestaaprensióculturalalesfórmules,lesequacionsielsimbolismematemàtictéconseqüènciesenl’ensenyament.Perexemple,tendiremabuscarelraonamenteneldiscursverbal iaconsiderarqueeltreballambsimbolismesésfeinamecànica:«Hosapfer,perònoho sapexplicar(ésadir,verbalitzar)».Dinslesmatemàtiqueselementals,l’àlgebraésunadeles principalsvíctimesperquèsel’associaamblapossibilitatderaonarambelcàlculperòsense utilitzarparaules;unregalenverinatdeldimoni,quedeial’eminentmatemàticSirMichael Atiyahnofatantdetemps:

ElÁlgebraeslaofertaqueeldiablohacealosmatemáticos.Eldiablodice:«te daréestapoderosamáquinaqueresponderáacualquierpreguntaquedesees. Todoloquenecesitashaceresdarmetualma,olvídatedelaGeometríayte daréestamaravillosamáquina».[...]Noobstante,eldañoanuestraalmaestáahí, porquecuandoentrasencálculosalgebraicos,esencialmenteparasdepensar geométricamente,parasdepensarenelsignificado.[...]Secogealgoquetiene unsignificado,seconvierteenunafórmulayseobtieneunarespuesta.(Atiyah, 2002,p.43)

L’escolanoés,òbviament,alienaalapocaacceptacióculturalquerepelformalismematemàtic.Se’nressentenl’ensenyamentil’aprenentatgedel’àlgebraelemental,quejahanvist desaparèixereltreballambfórmulesiparàmetresenbeneficidelesequacions(Ruiz-Munzón etal., 2011)i,comjahemcomentatabans,hanvistdesaparèixerlaintroducciódelsnombres negatiuscomanecessitatsdelcàlculalgebraic(Cid, 2015).Elpotencialdel’anomenat llenguatgealgèbric quedallavorslimitatiéspocefectiuperduratermeactivitatsdemodelització.Encanvi,tendimaconsiderarlageometriacommoltmésafíalraonament,especialment quannomésincloueltreballambfiguresidiscursosverbals.Calserconscientsd’aquests prejudicisculturalsque,subreptíciament,afectenlanostraformadepensarid’abordarles matemàtiquesencaraquenosempreensn’adonem.

3.2.La desaparició de les magnituds

Elsegonfenomendidàcticqueil lustralaindagaciósobrelasegregacióescolarésdenaturalesamatemàtica.Estàrelacionatamblamesurademagnitudsielseupaperenlamatemàtica escolar.Laqüestióquedonaorigenalaindagacióestàrelacionadaamblamesuradela

segregacióescolar:quèvoldirunasegregacióde 0,45o 0,32?Quèvoldirmesurarenaquest context?L’índexdedissimilitudésuninstrumentdemesurad’unamagnitudparticular,lasegregacióescolaro,mésconcretament,«ladistribuciódesigualdelsestudiantsenelscentres educatiussegonslessevescaracterístiquespersonals,socialsodelasevacondició»(Murillo, Martínez-Garrido, 2018,p.70).Dequintipusdemagnitudes tracta?Éselmateixquequan parlemdelalongitud,eltempsoelvolum?

Elproblemadelamesurademagnitudsésalcordel’activitatmatemàticadesdelsseus orígensiestàcadacopméspresentenelmóngeneradordedadesenquèvivim.Malgrat això,lasevapresènciaenlamatemàticaescolarésmoltminsa.Lesqüestionsqueacabem deformularnoformenpartdelscontingutsques’estudienal’escola.Síquehihaactivitats relacionadesamblamesuradesdel’inicidel’escolarització,peròestractasovintd’activitatsmoltintroductòriesiorientadesalaquantificacióielcàlculambnombres.Noesproblematitzalarelaciódemesuraquepermetobteniraquestsnombres,niesconsideraelmarge d’errorinherentaaquestarelació.Tampocnoestreballaambmagnitudsoquantitats,sinó ambelsnombresques’obtenendelasevamesura.Apareixunfenomendereducciódeles magnitudsidel’activitatdemesuraalcàlculambnombres,associatambladesapariciódela matematitzaciódelesmagnitudsalamatemàticaescolar.

Podemsituarl’origend’aquestfenomenenlareformadelamatemàticamodernaqueesva iniciaralsanysseixantaalspaïsosdelquellavorsesconsideravaelblococcidentalique vaarribaraEspanyaalsanyssetanta(González-Astudillo, 2008;Kilpatrick, 2012).Lanecessitat d’actualitzarelscontingutsmatemàticsescolarsvasuposaruntrencamentambunaaritmèticatradicionalbasadaenlesmagnitudsirelacionsentremagnituds,onlaproporcionalitat teniaunpaperessencial.Enlanovaorganitzaciómatemàticaqueesproposa,l’universnumèricesconstrueixapartirdelateoriadeconjunts,començantpelsnombresnaturalsifent ampliacionssuccessivespertaldegarantirelcaràcterinterndelesoperacionsaritmètiques: delarestaambelsenters,deladivisióambelsracionals,etc.Janoesparladequantitats imagnituds,sinódeconjuntsnumèricsid’aplicacionsofuncionsentreconjunts.Malgrat eltempslimitatquevadurarlareforma,algunscanvishanperduratfinsara.I,enelcamí, eltreballambmagnitudsiambquantitatsdemagnituds’hareduïtaltreballambnombres iconjuntsnumèrics.Finsitotlesactivitatsdemesuraacabenlimitant-sesovintalscanvis d’unitats,quenodeixendeserproblemesdecàlcularitmètic.

Elfenomendel’aritmetitzacióo«numerització»delamesurahaestatforçaestudiatenla recercaendidàcticadelesmatemàtiques;perexemple,enlestesisdoctoralsd’AdwandterCuellar(2013),Chambris(2008),Chamorro(1997)iPlanchon(2022),entrealtres.Aquests treballsposenenevidènciaelsefectesdidàcticsdecertsdèficitsmatemàticsrelacionats,per exemple,ambl’absènciad’unanociórelativad’unitat ilesdificultatsqueimplicaeneltreball ambelsistemadenumeraciódecimal;ladesapariciódeladistincióentre nombresconcrets i nombresabstractes;ladefiniciód’integral basadaenunanociód’àrea quenoesqüestiona iqueesmesuraapartirdelesintegralsquecontribueixadefinir;ol’estatutincertdelssímbolsd’unitat(idelesmateixesunitats)encàlculsnumèricstanhabitualsenfísicacomels següents:

Sóncorrectesaquestesescriptures?Estanbendefinides?Podeminclourelesunitatsenels càlculsmatemàticsoestractad’unallicència delsfísics?Enquintipusdeconjuntestarien definitselsvalorsdelsparàmetresilesvariablesdelesfórmulesanteriors?Apareixaquíun terrenyd’ambigüitatsmatemàtiquesqueHansFreudenthaldefiniacomun«noman’sland» iqueatribuïaaunafaltad’infraestructuresmatemàtiquesidòniesperaltreballambmagnituds:

Tocountpeopleandeggstherearenaturalunits.Tomeasurequantities,one needsgauges;theresultofthemeasuringprocedureisanumber,whichmeasuresthequantity.Thereisavarietyofgauges,becausethereisavarietyofmagnitudes;length,area,volume,height,mass,work,currentintensity,airpressure, andmonetaryvaluearenotionsthatbecomemagnitudesbymeasuringprocedures.Sometimesitisnotclearwhysomemagnitudesneeddifferentgauges. [...]Afewofthesegaugesarelearnedinarithmeticinstruction,andasfarashe needsit,thephysicistdevelopsarationalmeasuresystem.Inbetweenalarge domainisnoman’sland.Thisisthefaultofthemathematician.(Freudenthal, 1973,p. 197-198)

Seguramentaquestafaltadematematitzaciódelesmagnitudsiladificultatconsegüentper integrar-lesenlesactivitatsmatemàtiquesescolars(comaraelscàlculselementals)també compliqueneltreballambpercentatgesperquènoquedaclaraladiferènciaentreunaraó adimensionalilaquantitatqueesconsiderao esmesura:totssónnombresdecimalsoreals, peròaquestsnombresnosónmodelsdelmateix tipusd’entitat.Aquestesdificultatsesvan manifestarenlaindagaciósobresegregacióescolar,enparticularquanvolíemdistingirels tipusdepercentatgesoquanvolíemrestarpercentatgescalculatssobretotalsdiferents.Curiosament,unpetitllibrefrancèsdelacol lecció«QueSais-je?»abordaprecisamenteltemadelspercentatgesambuncomentarialacontraportadamolteloqüent,enreferènciaen aquestcasal’ensenyamentuniversitari:

Lescièncieshumanesisocials lasociologiailapsicologiaenparticular ,la demografiail’economia,lesciènciesbiomèdiques,utilitzenelspercentatgesàmpliament.Encanvi,noexisteixcaptractatsobreelspercentatgesotractatsobre lesproporcions![...]Aquestaobrapreténferunbalançdelsconeixementsiles pràctiquessovintconsideratsmassaelementalsperserensenyats.(Novi, 1998;la traduccióésnostra)

L’autord’aquestllibretatribueixlacarènciamatemàticaquehadetectat,aunproblemade continguts«massaelementalsperserensenyats».Peranosaltres,ésnoméslapuntad’un icebergmésgran,relacionatambelpaperdelesmagnituds,quantitats,unitatsimesuresen lamatemàticaelementalilanecessitatdereconstruirununiversderecursosmatemàticsque lamatemàticamodernavadeixarmalmès.

Elsfenòmensquehemvistfinsaquí,sibéestanoriginatsendiferentsnivellsdel’escalade codeterminaciódidàctica,afectenprincipalmentlaqualitatdeleseinesmatemàtiquesque

esposenadisposiciódel’alumnati,pertant,lesactivitatsquepodenduratermeambméso menysfacilitato,mésbendit,ambmillorsopitjorsmitjans.Sóntambéaquesteseineslesque configurenlarelacióamblesmatemàtiquesque tindranelsciutadansifutursprofessionals quansurtindel’escolaihagindedecidirsilesmesuresdesituacionsdedesigualtatcomarala segregacióescolarespodenabordaronoambeinesmatemàtiques.D’aquíqueelcomentari aquelldeDuncanquehemconsideratmés amuntnosiguitanobvicomsemblava.

Arabé,amésdelsfenòmensrelacionatsambelsrecursosmatemàticsqueesproporcionena l’alumnat,tambéhihafenòmensquetenenaveureambeltipusd’activitatsd’estudiquees proposenal’escolaiquesesituenenelsnivellsintermedisdel’escala.

4.Elparadigmadelqüestionamentdelmón

L’activitatquehempresentatalprincipisobrel’índexdesegregacióescolarcorresponaun procésd’indagacióque,desdelaTAD,descrivimenelstermessegüents.Laindagacióesgeneraquanungrupd’estudiants X ambl’ajudad’ungrupdeprofessors Y decideixenabordar unaqüestió Q0 ,creantaixíunsistemadidàctic SpX , Y , Q0 q.Enelcasconcretconsiderat,elgrup deprofessorseraunapersonaúnica y iladecisiód’abordar Q0 vaserapeticiód’ella(igràcies alescondicionspedagògiquesiescolarsqueofereix,enaquestcas,laformaciódemestres deprimàriaalauniversitat,amblesrestriccionsquetambéimposa,ésclar).Latriade Q0 va estarmotivadapelfetdetractar-sed’unproblemaderellevànciasocial(ladesigualtat)que, amés,estàrelacionatambl’educació,l’àmbitprofessionaldelGrauenMestred’Educació Primària.Itambéperquèlagestiód’aquestproblemainvolucralesmatemàtiquesatravés d’unprocésparticulardemesuraque,comhemditabans,noestàsuficientmenttractatenla matemàticaescolar.

Aquestaqüestió«generatriu» Q0 deseguidavaferaparèixermoltesaltresqüestionsderivades(Qi q:

1.Comesconstrueixunamesuradelasegregacióescolar?

‚ Quèvoldir mesura enaquestcas?Quinespropietatshadetenir?

‚ Quinspercentatgescalconsiderar?Quinesdiferènciesapareixeransiconsideremels percentatges«perfiles»(sobreeltotaldecadaescola)o«percolumnes»(sobreel totaldelmunicipi)?

‚ Comespotobtenirunafórmulaapartirdelspercentatges?

2.Quinesmesuresdelasegregacióescolarexisteixen?Quinespropietatstenen?Quines esfanserviriperquè?Quinessimilitudsidiferèncieshihaentrelesdiferentsmesures?

3.Comesdefineixla vulnerabilitat del’alumnat?Quihofa?Comesdetermina?

4.Coms’obtenenlesdadesdelsdiferentscentresescolarsdecadamunicipipercalcular l’índexdesegregació?Quilesgestiona?Comdefiablessón?

Perabordaraquestesqüestionsderivadeshihadiferentsestratègies.Unaésbuscarinformacióenelsmitjansdecomunicacióo media accessibles(lesfontsd’informació),particularment aInternet,jasiguialwebdelaFundacióBofilloaldelSíndicdeGreugescomaarticles mésespecialitzatsderecercaensociologiadel’educació.Avuidiaseguramenthohauríem preguntatalChatGPT,aCopilotoaunaaplicacióequivalent,ihauríemobtingutrespostes

similars,ambunacertaconfusióentrel’índexdeDuncanieldeGorardperalChatGPT,toti que,afortunadament,laintel ligènciaartificial(IA)notéelproblemadel’escripturasimbòlica ilesfórmulesquehemcomentatmésamunt.Peròaquínomésconsideraréelselementsque vanaparèixerdurantlaindagacióquevamfer,enunmomentenquènohihaviaunaccés generalitzataaquesteseines.

Lamajoriad’equipsd’estudiantsvanbuscarinformacióaInternet,peròunspocsvandecidir explotarel medi dequèdisposaven,ésadir,elconjuntderecursosaccessiblesenaquellmoment,perintentarrespondrealesqüestions.Malgratquetenienconeixementsmoltlimitats eneltemadelacreaciód’índexsdemesuraienlamateixaactivitatdemesura,leseines aritmètiquesbàsiqueselsvanpermetrecalculardiferentstipusdepercentatgesiproposar mesuresperal’índexdevulnerabilitatd’unaescolaid’unmunicipi.Quedavapendent,però, organitzar-hototenunaúnicamesuradeladesigualtatglobal.

Tantl’explotaciódel medi disponiblecomladels media accessiblesvanpermetreobtenir respostesprovisionalsalesqüestionsanteriorsigenerar-nedenoves:

5.Coms’had’interpretarlafórmuladel’índexdeDuncan?Perquèhihaunfactor½?A quècorresponenelscasos D “ 0 i D “ 1?

I,enelcasqueapareguessindiferentsíndexs:

6.Hihadiferentsfórmulesperalasegregació?D’onprovenen?Quilesvaconstruir?S’utilitzennoméseneducacióotambéenaltresàmbits?S’utilitzendeformasimilar?

7.Quinsavantatgesiinconvenientstécadaíndex?Quinespropietatsdelasegregació reculliquinesaltresnegligeix?

Ladinàmicaentrelageneraciódeqüestions,lacercaderespostesilageneraciódenoves qüestionscorresponalqueanomenemladialècticadelesqüestionsirespostes,quepot donarllocaunarepresentaciódelprocésd’indagacióenformademapadeqüestionsirespostes(figura6):

Enelnostrecas,vanaparèixerlesqüestionsfinsalpunt5i,comjahecomentatabans,vaser llavorsquanvaigproposarintroduirenel medi delaclassecasosimaginarisquepermetessin simularlafórmulaientendre-lamillor.D’aquestamanera,vamferuntreballcol¨lectiude simulaciódelafórmulaambcasosconcretsiunestudiempíricdelessevespropietats.Durant aquestestudivanaparèixernovesqüestionssobreelscàlculsdepercentatges,elsproblemes d’arrodonimentdelsnombresdecimalsi,amblasimulaciódelcas D “ 1,lacomprovacióque lainterpretacióqueapareixiaalwebnosemblavacoincidirambelquedeienlesdades.

Perdescriureelsdiferentstipusd’elementsqueapareixenenelsprocessosd’indagació,utilitzeml’anomenatesquemaherbartià,queenlasevaversióreduïdaés:

Ienlasevaversióestesaés:

SpX ; Y ; Q0 qÑtQi ,R♦ j ,Ok ,Dm usÑ R♥

M éselmedidel’equipd’indagadors[X , Y ]iestàformatpertotselsrecursosdisponiblesper duratermelaindagació. R♥ éslarespostaqueacabenaportant[X , Y ]a Q0 .Ésunaresposta pròpiai,pertant,provisional,totiquesesuposaques’hauràvalidatambelsmitjansdisponibles.Aquestsmitjans,queevolucionendurantelprocésd’indagació,inclouenpreguntes derivades(Qi q,dadesempíriques(Dm q irespostesetiquetades(R♦ j q elaboradesperaltresique sovintespresentenenformadesabers,potsernoperrespondredirectamenta Q0 ,sinóa qüestionssimilarsorelacionades.Finalment,elmedicontéaltrestipusderecursosoobjectes materialsiimmaterials(Ok q,comaraordinadors,programaris,mobles,edificis,biblioteques, etc.

L’esquemaherbartiàésútilperdescriureianalitzarelsprocessosd’indagacióiperferpreguntessobrelasevagestió.Perexemple,sobrel’origendelaindagació:d’onasortit Q0 ?, quininterèsté?,quil’haplantejada?,peraquiiperaquè?Tambésobreelresultatesperat: comhadeser R♥ ?,aquivadirigida?,comesrebrà,valoraràivalidarà?,quèse’nfaràdesprés? Finalment,peralagestiódelaindagació,convépreguntar-secomesgestionaranlesqüestionsderivadesqueapareguin,comesposaran encomú,comesdiscutiranperdecidirquines descartariquinesabordarambmésaprofundiment;siaquestadecisiólaprendrànomés Y o tambéhiintervindrà X i,enaquestcas,comesnegociarà.Larecercaderespostesetiquetades (R♦ j q ésmoltimportantperferavançarlaindagació:onlesaniremabuscaricomhofarem?, quinacredibilitattenen?,iquinautilitat?,comhofaremperentendre-lesivalidar-les,així comperexplotar-lesperelaborarlesnostresrespostesalesqüestionsderivadesi,finalment, perelaborarlarespostafinal?

Ladinàmicadebuscarrespostesivalidar-lesperpoder-lesintegrarenelmedi M itreure’n profitéselques’anomenala dialècticamedia-medi.Sovint,enl’ensenyamentactual,és Y qui s’encarregad’aportarlesrespostesetiquetades R♦ j alaclasse,assumint-lescomarespostes vàlidesquenocalqüestionar. Elresultatésunadialèctica media-medireduïdaiunprocés d’indagaciólimitat,comsilaindagaciónomésdepenguésdelanostracapacitatd’explotar elsrecursosdelmediinodetrobarinformacionsexternesinspiradoresiproductives.També éshabitualquesigui Y quiintrodueixielscasosd’estudienelmedidelaclasse,perexemple

enformadellistesdeproblemesod’exemplesperestudiaruna R♦ .Éspochabitual,enel contractedidàctic10 vigent,queesdemanialsalumnes(X q queplanteginelsexercicisocasosd’estudiperestudiar R♦ ,perexempleperpracticaralgunatècnicaoexplorarlavalidesa d’algunahipòtesioafirmació.Enparticular,enelcasdel’estudidefórmulesalgebraiques, elgestdeprovardiferentsvalorsnumèricsdemaneramésomenyssistemàticaésunatècnicamolthabitualenmatemàtiquesperòque,perdesgràcia,témoltpocapresènciaales aules.Noésestranyllavorsqueapareguintantesdificultatsperferviureal’aulaactivitats demodelitzaciómatemàtica,queinclouensovintlessimulacionscomaestratègiaassociada (Barquero, 2023).

Quanconsideremelsprocessesd’indagacióambtoteslessevesconseqüències,enssituem enelques’anomenael paradigmadelqüestionamentdelmón (Chevallard, 2013a).Aquíestudiarvoldirplantejar-seqüestionsiabordar-lesperpoderelaborarrespostesútilsivàlides. Dinsaquestprocésespassapermomentsd’investigacióonesbusquenrespostesexternes queesvaliden,esqüestionen,esdescomponeniesrecomponenperelaborarlaresposta pròpia.Sovintaquestesrespostesportenal’estudidenoussabersialanecessitatdedominar novestècniques.ÉsperaixòqueparlemdeREIper descriureisistematitzaraquestsprocessos d’indagació.Malgratqueesparliderecorreguts,elsREIsónprocessosobertsquenoestan predeterminats.Adiferènciad’algunespropostesd’aprenentatgebasatenlaindagacióo enprojectes,l’objectiufinaldelREIésrespondrealaqüestióqueesplanteja,inoestudiar lesobresorespostesqueapareixeranpelcamí,malgratqueaquestestudisiguiunapart avegadescrucialdelaindagació:senseestudi,noéspossibleobtenirunabonaresposta. Perexemple,enelREIsobrelasegregacióescolar,l’objectiudelaindagacióeraentendre quèéslasegregacióescolaricomesmesura.Aquestaqüestiótéuninterèspersimateixa, especialmentperalsprofessionalsdel’educació.Tambéésuncasparticulardemagnitud queapareix o,millordit,esconstrueix apartirdelesdadesquegeneremiqueajuden aprendredecisionspolítiquesimportants.El fetquedurantelprocéshaguéssimd’estudiar oretreballarelspercentatges,lesfórmulesalgebraiques,elsímboldelsumatori,lanocióde distànciaidevalorabsolut,elsarrodoniments,etc.,vageneraraprenentatgesderivatsdela indagació,perònoenvaserl’objectiuprincipal.

Tornemaraal’escaladelsnivellsdecodeterminaciódidàcticaipreguntem-nosquinescondicionsiquinesrestriccionstrobaríemsidecidíssimimplementarunprocésd’indagaciócom eldelasegregacióescolarambungrupd’estudiantsdesecundària.

Lanovapropostacurriculardelessituacionsd’aprenentatgeespotconsiderarcomunacondiciófavorable,enelsàmbitsescolarisocial,peraaquesttipusdeproposta.Esparteixd’un contextiesplantejaunreptequepodemassimilaralaqüestiógeneratriu Q0 .S’entén,malgratqueaquestelementnoapareguiexplícitament,quel’objectiuésaportarunaresposta R♥ alrepteplantejat.I,ésclar,enl’elaboraciód’aquestarespostacalmobilitzarsabers(antics inous)idesenvoluparcompetències,tantindividualscomgrupals.

10.LanociódecontractedidàcticvaserintroduïdaperBrousseau(1986)perreferir-sealconjuntdenormes implícitesqueregeixenlesresponsabilitatsrecíproquesd’alumnatiprofessoratenelsistemadidàcticienrelació ambelcontingutdel’estudi.Aquestesnormesevolucionenis’esperauntraspàsderesponsabilitatsprogressiuque marcaràl’avençdel’aprenentatge.

Arabé,lapropostadelessituacionsd’aprenentatgenoacabadedesprendre’sdelparadigma dominantactualmentenl’ensenyament:elparadigmadelavisitadelesobres(Chevallard, 2013b).Enaquestparadigma,l’objectiudelsprocessosd’estudinoestàdefinitperlesqüestionsquecalabordar,sinópelconjuntdesabersoobresquecalconèixero,entotcas,haver «visitat».Defet,enladescripciódelessituacionsd’aprenentatgequeproposaelcurrículum actualcaldeixarclar,enelmomentdeprogramar-les,quinssónelssabersilescompetències (específiquesitransversals)queespretenentreballar.Apareixaixíunarestricciód’àmbitescolarperquèelnostresistemaeducatiunoconsideraquelafinalitatdel’estudisiguiabordar unconjuntdeterminatdeqüestionsquelasocietatconsiderasocialmentrellevantspera l’alumnatdel’etapaconsiderada.Malgratlaimportànciaqueelcurrículumdonaalaresoluciódeproblemes,elques’explicitasónun conjuntdesabersocontingutsquel’alumnat hadeconèixerisaberutilitzardeformalimitada perquètotelquesabemhosabemde formamoltlimitada ,sensedonarlamateixaimportànciaalperquèdelseuconeixement iutilització.Enlamateixadescripciódelessituacionsd’aprenentatgequedamoltexplícit aquestpapersecundariquelessupeditaal’adquisiciódesabersicompetències:

Elfetquel’aprenentatgeesfonamentienlaresoluciód’unrepteod’unaproblemàticarealprovocaquel’aprenenthagideduratermeambeficàciaunaacció ounseguitd’accionsqueimpliquenunaoméscapacitatsperalesqualssón imprescindibleselssabersd’unoméscampsdeconeixement;peraixòdiemque lessituacionsd’aprenentatges’orientenal’assolimentdecompetències.11

Així,elreptenoésl’objectiurealdelprocésd’estudiquegeneraunasituaciód’aprenentatge, sinól’aprenentatgeques’obtindràenelseuabordatge.Aquestarestricciófadifícilquel’alumnatdoniimportànciaalaqüestióqueseliproposaestudiar,perquèsapqueelqueesvalora noéslaqüestióilanecessitatd’aportar-liunaresposta,sinóqueaquestaésunameraexcusa peraconseguirquelcomdiferent.Esperdaixíunaoportunitatdevaloritzaciódel’escola:la depresentar-lacomunlloconescreenlescondicionsapropiades entempsimitjans per qüestionarelmóniabordar-neelsaspectesqueensapareixencomaproblemàticsi,alhora, importants.

La«disciplinarietat»del’estudiescolarésunasegonarestricciórelacionadaambl’anterior. Quanabordemunaqüestió,nosempresabemambantelacióquineseinesiquinsconeixementsnecessitaremperabordar-la.Enelcasdelasegregacióescolar,ésclarquehihauna fórmulapercalcularlasegregaciói,pertant,sabemqueenalgunmomentoaltretoparem ambalgunaqüestiómatemàtica.Aixòpassaambmoltesaltresindagacionsijustifica,ara comara,quelesmatemàtiquessiguinunamatèriad’estudiobligatorienlesnostressocietats. Tambéhauriadejustificarquel’estudidelesfórmulessiguipartd’aquestesmatemàtiques obligatòries,peròjahemvistmésamuntquelasituacióésméscomplexadelquesembla. Finalment,lanecessitatd’unoaltresaberquans’estudiaunaqüestióésmoltrelativa.Perquèhihamoltesestratègiesd’evitació (aquí,delesmatemàtiques)eneltractamentdeles qüestionsderellevànciasocial.Enelcasdelasegregacióescolar,hauríempogutconsiderar lesdadesdelasevamesuracomatransparentsinoqüestionables,percentrar-nosenaltres qüestionsderivadesquenoinvolucrencapestudisobrelaquantificaciód’aquestamagnitud. Lagestiódelqueesqüestionaidelqueesdonaperdescomptatésfonamentalenlagestió

11.https://projectes.xtec.cat/nou-curriculum/educacio-basica/situacions-aprenentatge/.

delsprocessosd’indagacióicorresponalques’anomenala dialècticadelescapsesnegresiles capsesclares (Chevallard, 2019).

Acabaremambunatercerarestricció,queesfasentirmoltclaramentquanalgunprofessor decideiximplementarunprocésd’indagacióal’aula:l’absènciad’unainfraestructurapedagògicaiescolaradequadaperdur-laaterme.Perexemple,lessessionsde50 minutssón adequadesperferclassesmagistralsseguidesd’unamicadepràcticaassociada,peròdeseguidaquedencurtesquans’iniciaunprocésd’indagacióoncalfer«plugesdepreguntes», consultarfonts,buscaritrobarrespostesnosempreapropiades,valorarivalidaraquestesrespostes,presentar-lesidiscutir-lesambelsaltresgrupsdelaclasse,buscaralgun(a)expert(a) queensfaciunaclassemagistralsobrealgunaqüestióconcreta,etc.Tambéésimportant tenirbonsespaispertreballarenequipspetitsidespréspodertornaral’aulaperdiscutir engrangrup.I,comadocent,ésigualmentinteressantsabergestionaraquestsmoments detreballautònomicol¨lectiu,cedintresponsabilitatsal’alumnat,senseaportarrespostes directesalesqüestionsqueesplantegen,nivalidarlesrespostesproposadesolesdecisions avançades.Undispositiupedagògicqueresultaeficaçéseldelsdiarisdebitàcola,jaque permetenanotarl’avençdelaindagacióifacilitenlainteraccióentreequips,aixícomlaredacciód’informesparcialsifinalsamblesrespostesinovesqüestionsquevanapareixent.

Sónmoltselsrecursos,lesrutinesielsdispositiuspedagògicsnousquecaldesenvolupari posaradisposiciód’alumnatiprofessorat,sobretotperevitarseguirpensantiassumintels recursos,lesrutinesielsdispositiusdelparadigmapedagògicvigent.

Amés,iaquestaésunarestricciótanfonamentalcomtransparent,tambécalennousdesenvolupamentsepistemològics(ésadir,relatiusalssabers,jasiguinmatemàticscomd’altres àmbitsodisciplines)perfacilitarlaimplementaciódeprocessosd’indagació.Calenparaules perpoderidentificar,comentarivalorarelsdiferentselementsimomentsdelaindagació. Senseunaterminologiaadequada,esfadifícilferavançareltempsdidàctic,veurequinprogrésestemfentiquèensfaltaperarribaralfinal.Encomptesdedir«fatresclassesque treballemelproblemadelasegregacióescolar»,hemdepoderdir«jahemfetl’estudibasat enlasimulaciódecasos»o«estemexplorant«el misteri»delainterpretaciódelafórmula».

Latransiciócapaformesd’estudimésproperesalparadigmadelqüestionamentdelmón requereixques’identifiquinlescondicions,elsrecursosilesinfraestructuresnecessàriesper duratermeactivitatsmoltdiferentsdelesqueestemacostumatsaferelsquehemviscutimmersosenelparadigmadelavisitadelesobres.Itambédemanaestudiarmillorles restriccionsqueapareixenalsdiferentsnivellsdel’escaladecodeterminaciódidàcticaique limiteno,finsitot,impedeixenquepuguemavançarcapacertesdireccions.Calperaaixò moltainnovacióempírica,peròtambémoltarecercateòricaipràcticaperevitarfrustracions iidentificarlescausesdelsfenòmensabansd’estudiarcoms’hipotintervenirienquinnivell. AquestaéslalíniaqueestemdesenvolupantenelgrupderecercaTAD(www.atd-tad.org) atravésdeprojectescomLABINQUIRY(www.ub.edu/labinquiry/)ideformacol¨laborativa, compaginantlarecercaendidàcticaambladocènciailaformaciódelprofessorat.

Referències

Adwanter-Cuellar,N.(2012). Placeetrôledesgrandeursdanslaconstructiondesdomainesmathématiquesnumérique,fonctionneletgéométrique etdeleursinterrelationsdansl’enseignement aucollègeenFrance.Tesidoctoral.UniversitédeMontpellier.

Atiyah,M.(2002).«LasmatemáticasenelsigloXX». Números:RevistadeDidácticadelasMatemáticas,50,35-55.

Barquero,B.(2023).«Mathematicalmodellingasaresearchfield:Transpositionchallenges andfuturedirections».a:P.Drijvers,C.Csapodi,H.Palmér,K.GosztonyiiE.Kónya(eds.). Proceedingsofthe13thCongressoftheEuropeanSocietyforResearchinMathematicsEducation AlfrédRényiInstituteofMathematics/ERME,p.6-30.https://hal.science/hal-04427884/document.

Bosch,M.(1994). Ladimensiónostensivaenlaactividadmatemática,elcasodelaproporcionalidad.Tesidoctoral.UniversitatAutònomadeBarcelona.

(2018).«Studyandresearchpaths:Amodelforinquiry».A: ProceedingsoftheInternational CongressofMathematicians(ICM2018),p.4015-4035.https://doi.org/1

/

0210.

(2001).«Unpuntodevistaantropológico:laevolucióndelos«instrumentosderepresentación»enlaactividadmatemática».A:L.C.Contreras,J.Carrillo,N.ClimentiM.Sierra(eds.). CuartoSimposiodelaSociedadEspañoladeInvestigaciónenEducaciónMatemática.Huelva: ServiciodePublicacionesUniversidaddeHuelva,p. 15-28.

Bosch,M.;Chevallard,Y.(1999).«Lasensibilitédel’activitémathématiqueauxostensifs». RecherchesenDidactiquedesMathématiques, 19(1),77-124.

Brousseau,G.(1986). Théorisationdesphénomènesd’enseignementdesmathématiques.Tesi doctoral.UniversitéVictorSegalen BordeauxII.https://theses.hal.science/file/index/docid/4 71995/filename/These_GB.pdf.

(2007). Iniciaciónelestudiodelateoríadelassituaciones.BuenosAires:LibrosdelZorzal.

BuenoGuerrero,A.(2022). Lasmatemáticasdelosmercadosfinacierosalalcancedetodos:Una introducciónsinfórmulaseneltextoprincipal. Publicatdeformaindependent.

Chambris,C.(2008). Relationsentrelesgrandeursetlesnombresdanslesmathématiquesde l’écoleprimaire:Évolutiondel’enseignementaucoursdu20esiècle:connaissancesdesélèves actuels.Tesidoctoral.UniversitéParis7.

Chamorro,C.(1997). Estudiodelassituacionesdeenseñanzadelamedidaenlaescuelaelemental.Tesidoctoral.UniversidadNacionaldeEducaciónaDistancia.

Chevallard,Y.(1992).«Fundamentalconceptsindidactics:Perspectivesprovidedbyananthropologicalapproach». RecherchesenDidactiquedesMathematiques, 131-168.

(2002).«Organiserl’étude.3.Écologie&régulation».A:J.-L.Dorier,M.Artaud,M.Artigue, R.BerthelotiR.Floris(coords.). ActesdelaXIeÉcoled’ÉtédeDidactiquedesMathématiques.La PenséeSauvage,p.41-56.https://revue-rdm.com/ouvrage/actes-de-la-xieme-ecole-d-ete-dedidactique-des-mathematiques/.

(2013a).«Enseñarmatemáticasenlasociedaddemañana:alegatoafavordeuncontraparadigmaemergente». JournalofResearchinMathematicsEducation, 2(2), 161-182.

(2013b). Lamatemáticaenlaescuela:Porunarevoluciónepistemológicaydidáctica.Buenos Aires:LibrosdelZorzal.

(2019).«Introducingtheanthropologicaltheoryofthedidactic:Anattemptataprincipled approach». HiroshimaJournalofMathematicsEducation, 12,71-114.

Cid,E.(2015). Obstáculosepistemológicosenlaenseñanzadelosnúmerosnegativos.Tesidoctoral.UniversidaddeZaragoza.www.atdtad.org/documentos/obstaculos-epistemologicosen-la-ensenanza-de-los-numerosnegativos-tesis-doctoral/.

Derrida,J.(1967). Delagrammatologie. París:Minuit.

Freudenthal,H.(1973). Mathematicsasaneducationaltask.Reidel.

García,F.J.;Barquero,B.,;Florensa,I.;Bosch,M.(2019).«Diseñodetareasenelmarcodela TeoríaAntropológicadeloDidáctico». AvancesdeInvestigaciónenEducaciónMatemática, 15, 75-94.https://doi.org/10.35763/aiem.v0i15.267.

GascónJ.(1998).«Evolucióndeladidácticadelasmatemáticascomodisciplinacientífica». RecherchesenDidactiquedesMathématiques, 18(1),7-34.

Gómez-EstebanGonzález,P.(2007). Relatividadespecialsinfórmulas. Publicacióelectrònica.

González-Astudillo,M.T.(2008).«LatransiciónhacialamatemáticamodernaenEspaña:la revista VidaEscolar ». RevistaDiálogoEducacional,8(25),615-631.

Havelock,E.A.(1963). PrefacetoPlato. Harvard:HarvardUniversityPress.[Traducció:Havelock,E.(1994). PrefacioaPlatón. Madrid:Visor.]

Kilpatrick,J.(2012).«Thenewmathasaninternationalphenomenon». ZDMMathematicsEducation,44,563-571.https://doi.org/10.1007/s11858-012-0393-2.

Murillo,F.J.;Martínez-Garrido,C.(2018).«Incidenciadelacrisiseconómicaenlasegregación escolarenEspaña». RevistadeEducación,381,67-94.

Novi,M.(1998). Pourcentagesettableauxstatistiques.París:PUF(QueSais-je?).

Ong,W.J.(1982). Oralityandliteracy:Thetechnologizingoftheword. [Traducció:Ong,W.J. (2016). Oralidadyescritura:Tecnologíasdelapalabra. 2aed.FondodeCulturaEconómica.]

Planchon,G.(2022). Relationsentreconnaissancesuniversitairesetconnaissancesenseignées danslesecondaire:lasecondediscontinuitédeKleindanslecasdel’intégrale.Tesidoctoral. UniversitédeMontpellier.

Pujnachov,I.V.;Popov,I.P.(2008). Matemáticassinfórmulas:Libro1.Madrid:URSS.

Segurola,M.(2020). Informesobrel’estatievoluciódelasegregacióescolaraCatalunya .Barcelona:FundacióBofill.https://fundaciobofill.cat/uploads/docs/m/o/2/58s-informe_segregacio 290620.pdf.

Turkheimer,F.E.(2016). Statisticswithoutequations.CreateSpaceIndependentPublishing Platform.

Vilalba,J.(2019). Sinecuaciones,porfavor.Publicacióelectrònicaindependent.

«Elmotlledel’obrador»:una

situaciód’aprenentatgeper

treballarlamodelitzacióa

secundàriaibatxillerat

MarcosMaríBofill EuropeanInternationalSchoolofBarcelona mmari@eisbarcelona.com

BertaBarqueroFarràs

Departamentd’EducacióLingüística,CientíficaiMatemàtica UniversitatdeBarcelona bbarquero@ub.edu

MariannaBoschiCasabò

Departamentd’EducacióLingüística,CientíficaiMatemàtica UniversitatdeBarcelona marianna.bosch@ub.edu

Resum Abstract

Espresentaeldissenyilaimplementació delasituaciód’aprenentatgeanomenada «Elmotlledel’obrador»,queproposa determinarlesdimensionsdelmillor motlleperutilitzarenl’elaboraciódels pastissets sobaospasiegos.Ésunaproposta peral’ensenyamentdelamodelització basadaenelsrecorregutsd’estudii investigació.Permitjàdelaseva implementacióatercerd’ESOiprimerde batxilleratinternacionalmostraremcomla recercaderespostesoriginaunprocésde modelitzacióatravésdemodelsde mesura,geomètrics,algebraics,funcionals iestadístics,queofereixenflexibilitaten l’argumentaciódelesrespostessegonsel nivelldeconeixementsdelsdiferents nivellseducatius.

Thisarticlepresentsthedesignand implementationofthelearningsituation called«TheBakeryMould»,whichproposes determiningthebestdimensionsofamould forthepreparationofthemuffin-likesobaos pasiegos.Thisisaproposalforteaching modellingbasedonStudyandResearch Paths(SRP).Throughexperienceswith3rd yearESOstudentsand1styearInternational Baccalaureatestudents,weshowhowthe needforresearchgivesrisetoamodelling process incorporatingmeasurement, geometric,algebraic,functional,and statisticalmodels thatoffersflexibilityin thejustificationofanswersaccordingto establishedknowledgelevelsatdifferent educationalstages.

1.Ladidàcticaielqüestionamentdelesmatemàtiques

Alscurrículumsactualsdematemàtiquesesdestacalamodelitzaciócomaelementessencial ques’had’ensenyaral’alumnat.Enparticular,eldesenvolupamentcurriculardelesmatemàtiquesal’educaciósecundàriaobligatòria(ESO)aCatalunya,establertalDecret 175/2022, fixal’atencióenl’assolimentdelescompetènciesmitjançantlaimplementaciódesituacions d’aprenentatgeiestableixquelaprimeracompetènciaespecíficadelesmatemàtiquesés«interpretar,modelitzariresoldresituacionsdelavidaquotidiana,pròpiesdelesmatemàtiques id’altresàmbitsdelconeixementaplicantdiferentsestratègiesiformesderaonamentperexplorarprocedimentsiobtenirsolucions».Amés,decretaquecaldonarsentital’aprenentatge del’alumnatconsiderantel«sentitgeomètric»ambla«visualitzacióimodelitzaciógeomètrica»mitjançant«l’úsdemodelsgeomètricsperrepresentariexplicarrelacionsnumèriquesi algebraiquesensituacionsdiverses»iambel«reconeixementdeconnexionsentreelsentit espacialambelsaltressentits(numèric,algebraic,etc.)iambaltresdisciplines(art,ciència, vidadiària)»,iel«sentitalgebraic»mitjançantla«modelitzacióiresoluciódeproblemescontextualitzats,tambédelavidaquotidiana,secundant-seenrepresentacionsmatemàtiquesi enelllenguatgealgebraic»,iafegeixque,aquartd’ESO,«fentúsdediferentstipusdefuncions».

Elmarcdelateoriaantropològicadeldidàctic(TAD)ofereixunentornidoniperdesenvoluparsituacionsd’aprenentatgeiprocessosdemodelització.Aportaelementsconceptualsi metodològicsperexplorarlatransicióentreelparadigmadel’aprenentatgetradicionalcaracteritzatcomlavisitadelesobres(Chevallard, 2013),encaradominantenmoltsnivells escolars,centratenexercicisaïllatsidesconnectatsentresifabricatsperquèl’alumnatpugui utilitzarelsconceptesileseines(monumentsiobres)ques’esperaqueaprenguin,capaun paradigmadelqüestionamentdelmónenquèelsestudiantssecentrenenl’estudideproblemesrealsihand’aportariconstruirrespostesapartird’unprocéscol lectiud’indagació utilitzanteinesiconeixementsdisciplinarisconegutsonous.Ambaquestobjectiu,laTAD proposaels recorregutsd’estudiiinvestigació (REI)(Serrano etal., 2013)comaeinesperimplementaral’aula.ElsREIparteixend’unaqüestióprincipalgeneradorad’unprocésd’indagació col lectiuambmomentsd’exploració,estudi,experimentacióiconsensperarribarfinalment aunarespostaoconclusiópròpia.Representenunaeinaidòniaperimplementaral’aulaen formadesituacionsd’aprenentatgei,alhora,comafacilitadorsdeprocessosdemodelització matemàtica(Barquero, 2023).

Elcas«Elmotlledel’obrador»neixd’untreballderecercadesenvolupatdinsdelaTAD.Aquest REIgeneraunprocésd’indagacióquetranscorreentremodelsdemesura,geomètrics,algebraics,funcionalsiestadístics.Mitjançantl’explicaciódelesimplementacionsdesenvolupadesambestudiantsdetercerd’ESOiprimerdebatxilleratinternacional,il lustraremcomofereixl’oportunitatd’afrontarlesnecessitatscurricularsdetreballarsituacionsd’aprenentatgei processosdemodelitzaciói,amés,lasevaversatilitatenelnivelleducatiuondesenvoluparseenfunciódelnivellderecursosiconeixementsdequèdisposal’alumnat.

2.Lapreguntadelasituaciód’aprenentatge

Laqüestióinicialdelasituaciód’aprenentatgetél’origenenelcasde«lacaixadelapastissera»proposatperChappaziMichon(2003),enelqualesparteixdelaconstrucciód’una

caixautilitzantpapiroflèxiais’estudienlespossibilitatsqueofereixaquestmodelsegonsles dimensionsdelsfullsidelescaixesresultantsperadaptar-seadiferentsformesimidesde pastissos.Peradequaraquestcasal’alumnatdesecundària,apareixladificultatdepresentar elproblemacomuncasrealirellevant,tenintencomptelagranquantitatdetipusdecaixes depastissosdediferentsmidesiformesqueexisteixenenelmercatiqueresolenlaqüestió inicialdeformadirecta.Peraixò,hemadoptatunavariaciódelaqüestióinicialconsiderant lacaixaques’utilitzahabitualmentcomamotlleperfabricarels sobaospasiegos (pastisset tradicionaldelnordd’Espanya;figura 1),queésdefàcilconstrucció,ambuna«pestanya»que permetdesprendreràpidamentelmotlledelpastísiquesuposarementotmomentqueno potsobrepassarenllargadal’alturadelbescuitaunòptimempaquetat.Laqüestióquees plantejaésladetrobarlamidamésadequadaperals sobaos.

Lamassadelpastíss’introdueixenaquestmotlleperfornejar-lodirectament.Alssupermercatsespotcomprovarqueelsmotllesutilitzat sperelaboraraquesttipusdebescuittenen múltiplesidiferentsdimensionssegonslesdiferentsmarquescomercialsqueelsfabriquen, fenomenquereflecteixl’actualitatdelcas.Alesxarxestambéhihamoltainformacióqueexplicaelmètoded’elaboraciód’aquesttipusdepastissos,incloent-hilaconstrucciód’aquest motllecaracterístic,manualmentopermitjansmecànics.Lesmúltiplesdimensionsenquè apareixenels sobaos generendubtessobrelesdimensionsquepot,deuoconvéquetinguiel motlle,iapareixunapreguntarepresentativa queutilitzemcomageneradoradelasituació d’aprenentatgeiqueanomenarem Q0 :quinéselmillormotlleperals sobaospasiegos?

Apartird’un sobaopasiego ilapregunta Q0 ,unarespostainicialespontàniaipocprecisa seràproposarlesdimensionsdemotllesqueesconsiderenidonisenrelacióamblabellesa,laimatgeotretsméspràcticscomaralarendibilitatol’ecologia.Volerconcretarlesdimensionsrequereixconèixersielsmotllesespodenfer,dequantesformesiquinaésla millor.Aquestsistemainicialdelprocésdem odelitzacióportaaferunestudimésprofund perpoderrespondremilloralapreguntaprincipal, Q0 ,ipercomençarcaldràconèixerla metodologiad’elaboraciódelmotlle,qüestióquedonallocalapregunta«comesconstrueix elmotlle?»(Q1 q.Sianalitzemelmotlleassociataun sobaopasiego iobservemlaseqüenciació delsdoblecsperconstruir-lo,apareixunmodeldiferentalmotlleinicialenformad’esquema (figura 2).

Utilitzantaltresexemplesdefullsielaborantmotllesassociatsaaquestsfulls,aquestesquemaesconsolidaenunmodeldepapiroflèxiageneralitzableatots.Amblafinalitatdefacilitar laindagació(reduintelnombredevariableslliures),lacomunitatd’estudiacordaconsiderar apartird’aquíúnicamentelcasparticularde ferelsdoblecsenmeitatsiquartsdelfullen ambduesdimensions,comesrepresentaenlafigura3.

3.Implementacionsal’aula

3.1.Condicions de les implementacions del REI

Lasituaciód’aprenentatges’hadesenvolupatenunaescoladel’àreametropolitanadeBarcelonaonestreballenlesmatemàtiquesambunametodologiatradicional:treballindividual, presentacionsalapissarraseguidesd’exercicis,etc.S’haimplementatcomaactivitatd’aula entresocasions:el3rtrimestrealmaigde 2024ambcincgrupsde3rd’ESOd’uns 25alumnescadascunambelcastellàcomallenguavehicular;el3rtrimestrealmarçde 2025amb quatregrupsde3rd’ESOd’uns 25alumnescadascunambl’anglèscomallenguavehicular; iel3rtrimestrealmaigde 2025enunformatreduïtdetempscomapropostad’exemple d’exploracióambungrupde 9 alumnesde 1rdebatxilleratinternacionalambelcastellàcom allenguavehicular.

Enelscasosde3rd’ESO,esvandestinar 20 minutsd’unasessióanterioralcomençament del’activitat,aexplicardelanovadinàmicadetreball(nousrolsalumne-professoricriteris d’avaluaciódel’activitat)iladistribuciódegrups(homogenis,dequatrealumnesi,enalgunscasos,tres).L’activitatesvadesenvolupardurantsetsessions,el 2024d’uns75minuts cadascunaengeneraliel 2025d’uns65minuts.Lescincprimeressessionsesvandedicar

alprocésd’indagació.Elformatd’unasessiód’indagacióestàndardvaconsistiren: 10-15 minutsinicialsenquèelprofessorfeiaunrepàsdeltreballfetfinsaleshoresiacontinuació totl’alumnatfeiaunaposadaencomúdelesqüestionsquecaliaresoldredurantlasessió;40 minutsdetreballd’indagacióengrup; 10-15minutsenquècadagrupexposavalaindagació realitzadadurantlasessióiesfeiaunaposadaencomúdenovesqüestionsquecaliaresoldre; i,finalment,5minutspercompletareldiariquecadagruphaviad’entregaralfinalitzarla sessió(cadadial’haviadelliurarunestudiantdiferentdelgrup).Enlasisenasessióesva destinareltempsarecolliriorganitzarlainformaciódelsdiariselaboratsdurantlessessions anteriorsperredactarelsinformesfinalsquecadaalumnedecadagruphaviad’entregaramb uncaràcterdiferent:uninforme acadèmic,ambl’explicaciódelaindagaciórealitzada;un vídeo acadèmic,enelmateixsentit;uninforme professional peral’obrador,comaresposta alasevasol¨licitud;iuna presentació peral’obrador(sielgruperadetresalumnes,aquesta s’eliminava).Lasetenasessióesvadestinaraferunaprovad’avaluació,unarúbricadela dinàmicadetreballengrupiunformularidevaloraciódel’activitat.

Enelcasde 1rdebatxilleratinternacional,esvandestinaral’activitattressessionsd’uns65 minutscadascunaambelmateixformatd’indagacióanterior,peròeldiaris’haviadecompletarforadel’aula,comatascaposterioralasessió,inoesvadestinarcapsessióapreparar uninformefinalniafercapprovad’avaluacióaclasse.

3.2.Anàlisi de les implementacions

Elprocésd’indagacióesvaferdeformacol lectivaacadagrupclasse,incloent-hitreballindividualid’equip,ambmomentsdeposadaencomúperestablirconsensosentretotl’alumnat.Si béelsrecorregutsdecadaimplementacióerendiferentsentreelsgrupsclasse,esvanobservarinterferènciesialcomençamentdelessessionsapareixienenunaclasseraonaments sobtatsd’unaaltraclasse,fruitseguramentde conversesforadel’aula.Aixòfaquepresentem l’anàlisidel’evoluciódelesindagacionsfentreferènciaaldesenvolupamentdelprocésde modelitzacióengeneralperacadaimplementació,queespotinterpretarcomelrecorregutmésevolucionatencadacas,senseentrarendetallsenlesevolucionsconcretesdels alumnes,grupsoclasses.Totiqueelsrecorregutsgeneralsdelestresimplementacionssón diferents,esvandesenvoluparutilitzantelsmateixosmodelsdurantelprocésdemodelització.Presenteml’evolucióutilitzantfragmentsdelsdiarisiinformesdel’alumnat.

Lapresentaciódel’activitats’exposaalscursosde3rd’ESOcomunasol licitudd’unobrador rebudaalcentreenformadecorreuelectrònic:

Benvolguts,

Estemfentunaauditoriageneralal’empresapermillorarlanostrarendibilitat. Comsabeu,produïmelsfamosos sobaospasiegos.Usn’enviemalgunsatallde mostraperquèelsconegueu.

Ambl’auditoriavolemtrobarquinéselmillormotlleperals sobaos.L’empresa volmantenirelmodeld’elaboraciódelmotlleieltipusdepaperrectangularque utilitza,jaquesónelstradicionals.Peròespreguntaquinamidadefullsiquina midademotllesseriamillorutilitzar.Podemvariarlamidadelpaper,jaquela màquinaqueelstallaésajustable.Tambélesmidesdelmotlle,jaquedesd’un

puntdevistaculinaritoteslesmidestenenlamateixafacilitatdeproducció.Això sí,volemqueels sobaos continuïnsentelquesón:unbescuitrectangular(o quadrat)iindividual.

Talcomvamparlarenlanostratrobadadelfebrerpassat,usagrairíemqueens féssiuunestudisobrelamidademotlleilamidadepaperqueseriamillorutilitzar.Honecessitemabansdel30 dejuny,queésquantenimlareuniófinalde l’auditoria.1

Enelcasde 1rdebatxilleratesproposaunformatmésdirectepercompensarlareduccióde sessions:

Els sobaospasiegos sónunsbescuitstradicionalsdeCantàbriaqueesfabriquen dinsd’unmotlledepaperdefàcilconstruccióquetéunapestanyaquepermet desprendreràpidamentelbescuitdelmotlle.Alssupermercatsespotcomprovar lesmúltiplesidiferentsdimensionsquetenenelsmotllesutilitzatsperelaborar aquesttipusdebescuitsegonslesdiferentsmarquescomercialsqueelsfabriquen.

Enspreguntemquinessónlesmillorsdimensionsdelmotlleperals sobaos.Podemconsiderarqualsevolmidadepaperitambéqualsevolmidademotlle.Això sí,volemqueels sobaos continuïnsentelquesón:unbescuitindividualielaborat ambaquestmodeldemotlle,queéseltradicional.2

Entotsdoscasosl’alumnatestableixràpidamentquelapreguntaques’haderesoldreés «quinéselmillormotlle?»,davantlaqualproposadiferentscaracterístiquesquecalconsiderar:quinés«elquemésesven»,«eldemenyscost»,«elmésrendible»o«elmésecològic», entred’altres.

Evolució1.Eslliurendos sobaospasiegos pergrupperquèpuguininvestigar.Laprimera intenciódel’alumnatésoferirlesdimensionsquelisemblen«lesmillors»,encaraquesense capcriterifonamentatifinsitotaportantdimensionsquenosónpossibles.Apareixllavors lanecessitatdesaber comesconstrueixelmotlle. Enaquestmoment,elprofessoratmostrael procésderealitzaciód’unmotlle(únicamentelprocésdedoblecs)ambunfoliDINA4iamb lescaracterístiquesdelafigura 2 perlimitarlacomplexitatdelcas.Esrecomanallavorsde construirdiversosmotllesambdiferentsmidesdefullsperpracticar(modeld’origami).

Evolució2. Enelsgrupsde3rd’ESO,d’entreladiversitatdemidesquepractiquen,proven deferelmotlleambunfullquadratidescobreixenquenoéspossible:«hemprovatdeferun sobao ambelfullquadratielmotllenosurtperquècomqueésquadratnotenimpestanyes, icomquenotépestanyesnoespotaguantar».Aixídescobreixenlautilitatdelespestanyesdelmotlle.Enaquestmomentcomencenaaparèixerpreguntessobrequinsmotlleses podenfericomsónelsmotllesapartirdelamidadelfull.Aixòportaavolerconèixermillor lesrelacionsentreelfullielmotllepersaberquinsmotllesespodenobtenir,ésadir,portaa abordarlaqüestió«quinessónlesrelacionsentreelfullielmotlle?».

1.Texttraduïtdelcastellàperl’autor.

2 Ibidem

A 1rdebatxilleratnoindaguenquèpassaambunfullquadrati,pertant,nosorgeixlapreguntasobrelautilitatdelapestanya.Directaments’adrecenal’estudidelarelaciófull-motlle.

Evolució3. Entotselscasosutilitzentaulesambdiferentsmidesdefullsidiferentsmides delsmotllesresultants(modeldemesura),alhoraqueestudienlespropietatsgeomètriques queprodueixenelsdoblecs(modelgeomètric) (figura4).Aqueststipusdemodelsconviuen durantelprocésd’indagació,ésadir,algunsequipstreballenmésambelsmodelsdemesura id’altresdediquenmajorsesforçosavolercomprendrelageometriaquehihadarreredela construcciódelmotlle.

Mitjançantaquestaanàlisis’aconsegueixdonarrespostaalapreguntasobrelesrelacions full-motlle:«Vampodercomprovarquetoteramoltmésfàcildecomhohavíemplantejatinicialmentique,simplementobservantelmotlledurantlasevacreació,lallargadail’amplada delmotlleerensemprelameitatdelallargadail’ampladadelfullabansdedoblegar-lo. Tambévamveurequel’alçadadelmotlleeraunquartdel’ampladadelfull».

Figura4.Exemplesdeltreballferperl’alumnatambelsmodelsd’origami,demesuraigeomètric.

Enelcasde3rd’ESO,laimportànciadelapestanyafaquetambélaconsiderinenlesseves relacionsentremesures:«Lapestanyaeraunquartdelallargadadelfullmenyselquartde l’ampladadelfull(elquesobrava)».Ielgrupde 1rdebatxilleratnohifareferènciaperquèno haaparegutlanecessitatdelasevaconsideració.

Evolució4. Arajaúnicamentesplantegenunstipusdemotlles(elsquecompleixenlesrelacionstrobades),amblaqualcosaespodenrespondrelespreguntes«donatunfull,quin motlles’aconsegueix?»i«donatun motlle,ambquinfullpucaconseguir-ho?»,peròcontinua eldubtedequinespropietatssónlesques’handevalorarpertriarelmillord’entretotsels motllespossibles.Aquíreapareixenlesideesqueesvanplantejarenlafase 1,quehanestat presentsalllargdeldesenvolupamentiqueesconcretenprincipalmentasabersil’empresa volabaixarcostos,vendremésosermésecològica.Aixòpermetdetectarquehihadueslínies diferenciadesenelprocésd’indagació:n’hihaquedestinenelsseusesforçosabuscar quin éselmotllequemésesven,indagantaixíenquinesdimensionssónmésportables,permeten elconsumdel sobao ambmésfacilitatosónmésatractivesperalconsumidor,utilitzant modelsestadístics perestablirunaresposta;d’altresbusquen quinéselmotlleambmenorcost, analitzantl’àreadelfullilasevarelacióambelvolumdelbescuitperintentar«gastarmenys full»oferintlamateixaquantitatdepastís.Elstresrecorregutsqueexposemesvanorientar, deformaconsensuadaperlaclasse,capaaquestasegonaviad’indagació,quegenerala necessitatd’estudiariexpressarelvolumapartirdelesdimensionsdelfulliplantejar-se quinessónlesdimensionsdelfullperconstruirunmotlled’unvolumdeterminat. Totaquest recorregutesdesenvolupatreballantambelsmodelsdemesuraigeomètric.Arabé,unapart

del’alumnatrecorreala«generalització»delesrelacionsaconseguidesutilitzantun model algebraic (figura5).

L - original paper’s length

W - original paper’s width

X - length of mould

Y - width of mould

Z - height of mould

A - width of each wing of mould

V - volume of the mould

Functions:

Figura5.Exempledetreballambelmodelalgebraicenelgrup1delaclasse2de3rd’ESO(2025).

Aquestageneralitzaciódelesrelacionspermetcomençaradesenvoluparlarelacióentreles variablesd’unaformamésglobal,passantd’unnivellderelacióqueespodriaentendrecom a«puntual»(elementsd’un fulli elseu motlle),aunnivell«general»(variaciódelesrelacions entreelsmotllesenconjunt).

Evolució5. Senseperdrel’objectiud’indagaciósobrel’optimitzaciódelscostos,enaquest momentesdistingeixenelsrecorregutsdelestresimplementacionssegonslesestratègies ques’utilitzenperaconseguirl’objectiu:

Evolució5.1. Enelcasde3rd’ESOdel 2024,l’alumnatesplantejapreguntes sobrecomvarienl’alçadaoelvolumenfunciódecomvarienlesdimensionsdel fulliarribenadescobrirqueelvolumvariaencaraquel’àreadelfullesmantingui (tambéambdiferentsdimensions).Enaquestmomentespregunten comvaria elvolumvariantlesdimensionsdelfullperòmantenintlasevaàrea i quinaésla menoràreadefullqueespotutilitzarsiesvolaconseguirunvolumdeterminat. Arrand’això,fanunestudidecasosd’unaunoncalculenelvolumdelsmotlles construïtsambdiferentsfullsamblamateixaàreaperòambdiferentsdimensions(figura6),iestableixenunacorrespondènciafuncionalqueenssituaenun modelfuncional primari.Ambaquestestudidescobreixenque«hihaunaforma d’incrementarelvolumdelmotlle,siladiferènciaentreelcostatllargielcurtdel motlleésmenor.Amés,siladiferènciaentreelcostatllargielcurtdelmotlleés menor,finsitotl’alçadaésmésgran,ésadir,hicabràmésquantitatdelproducte, totiusarsemprelamateixaquantitatdefull»,idedueixenque«laformadereduir lamidadelapestanyaiaixíabaratircostosésreduiralmàximladiferènciaentre

lallargadail’ampladadelfullsemprequelespestanyestinguinunamidajusta». Iarribenaconcloureque«elvolummàximquepotobtenirunmotlleésquan elvalordel’ampladadelfullieldelallargadasónelméssemblantspossibles, aixíelmotlleésméseficient»,sempreque«lespestanyestinguinunamidajusta perquèelmotlleespuguiagafarfàcilment».

pestanya:2cm volum:112,5 full:180

3

pestanya:0,75cm volum:135cm(2) full:180cm(3)

Figura6.Exempledelgrup2delaclasse3d’estudidecasosdefullsamblamateixaàrea peròdiferentsdimensions.

Evolució5.2. Enelcasde3rd’ESOdel 2025,l’alumnatvafixarelseucentred’atenció enlapestanyaperoptimitzarelvolum:«Enprimerlloc,hihaunaclararelació entrelaformaionacabaelpaperextra,alesalesoafegintalvolum.Commésa propsónelsvalorsdellargadaiamplada,menysmaterialvaalesalesdelpaper i,pertant,s’inverteixenelvolumtotal.Aixíque,teòricament,sielvolumésla nostraprioritat,unfulldepaperquadratseriaidealperquèéselméseficient. Peròelvolumnoésl’únicavariablequehemdetenirencompte.Sinohihaales, el sobao nosuportaelpesdelpastís.Tambétenimunallargadamínimadeles alesperquèpuguinserobertesperlamàhumanamitjana.Perobtenirl’alamés petita,unamàhumanamitjanapotpessigar 1 cm,tenintencomptequeel sobao faquel’alasiguirelliscosa».Lamesuradelapestanyaapareixprenentcomabase lacomoditatal’horademenjarel sobao (figura7).

Wings’ value. Wings need to be at least 1 cm width.

If we take less than that, it will be uncomfortable for customers to take wings with their fingertips; and if we take less than that, we waste more paper.

The wings’ width is 1 cm.

Figura7.Explicaciódelgrup1delaclasse2sobreelvalord’1cmestablertperalapestanya.

Evolució5.3. Enelcasde 1rdebatxillerat,l’alumnatdecideixfixarunvolumdel motllede80 cm3 (obtingutperarrodonimentapartirdels sobaospasiegos estudiatsenlaprimerasessió)iestudiadirectamentlesdimensionspossiblesdelfull

utilitzantelmodelalgebraicisenseentraravalorarlallargadadelapestanya:«La relacióaclaridaanteriormentenshapermèsprovarmotllesde sobaospasiegos ambdiferentsmidesdecostatsis’hapogutobservarunacorrelacióentrelamida delcostatpetitdelmotlleilasuperfíciedelpaper».Iconclouenque«hapermès trobarlamidaidealdelcostatpetitambelquallasuperfíciedepaperusatseria lamínima.S’hadeterminatqueamblamidamàximaperalcostatpetitsenseque arribiaserigualalcostatgranserial’adequadaperdonarrespostaalaqüestió».

Propostesfinals. Apartirdelaindagaciófeta,cadagrupproposaunarespostaala Q0 .

Propostafinal1. Pelquefaalaimplementacióde3rd’ESOdel 2024,atalld’exemple compartimunadelesrespostesqueesvaplasmaral’informefinaldeclasse:«Així que,teninttotaixòencompte,arribemaunaconclusiódurantlasessió5:concloemqueladimensióidealdelfullésde 18cmdellargadai 14cmd’amplada,ja queaquestamesurafaràmotllesidealsperquèelscostatssónmoltsimilars,però noidèntics.Aquestdissenypermetmaximitzarelvolumdel sobao (abaratintels costostotals)iasseguralapresènciadepestanyesperal’estabilitatdelmotlle». Iconstrueixenelmotlleassociat(figura8).

Figura8.Motlledelgrup2delaclasse3com asoluciófinaldelgrupde3rd’ESOdel2024.

Lesmidesfinalss’estableixenprenentcomabasel’elaboracióielcàlculdemúltiplesmotllesiseleccionantelmésapropiatdeformasubjectiva,ambunamida depestanyaqueconsiderenapropiada.

Propostafinal2. Laimplementacióde3rd’ESOde 2025adoptalallargadade lapestanyad’1 cm,apartirdelaqualcalculenunesmidesdelfullutilitzantel modelalgebraic(figura 9).

Dimensio ns of paper sheet. The difference between the width and the length of the original paper sheet needs to be 4 cm.

It is equal to wings’ value multiplied by 4.

The value has a direct proportion with the wings’ width; see the explanation above.

In the final paper sheet: 16 – 12 = 4.

Figura9.Explicaciódelgrup1delaclasse2sobrelesimplicacions defixarunallargadad’1cmdepestanya.

Lesdimensionsfinalsdelmotllelesconclouenfixantunesllargadesdefullque permetincrearunmotllequeconsiderenadequatperalconsumidorprenent comabaseunestudidelesmidesdelaboca(figura 10).

Width and height limits of the final mould.

a) The width of the final mould needs to be approximat ely 5 cm; b) the height needs to be approximat ely 3 cm. Because the sobao of the form of mould needs to fit perfectly in customer’s mouth.

In the final paper sheet:

Width - 5 cm

Height3cm.

Figura10.Explicaciódelgrup1delaclasse2sobrel’alçadail’ampladaòptimesperalmotlle.

Finalment,ofereixenelmotllesolució:«Atravésdelanostrainvestigacióvamconcloureque lamidaòptimaperaunmotllede sobao esbasaenunfulldepaperde 16cmdellargadai 12 cmd’amplada.Quanesplega,elmotllemesura8cmdellargada,6cmd’ampladai3cm d’alçada.L’ampladadecadaalaésd’1 cmielvolumtotaldelmotlleésde 144cm2 .Aquest motlleesvatriarperquèésproucompacteperserconsideratunrefrigeriportàtiliprougran peromplir-lo.Lesalesd’1 cmtenenunamidaquepermetunfàcilmaneigambunúsmínim depaper»(figura 10).

The final solution

Mould dimensions: original paper’s length 16 original paper’s width 12 area of the initial paper 192 length of mould 8 width of mould 6 length of mould 3 width of each wing of mould 1 volume of mould 144

Figura11.Exempledelgrup1delaclasse2delesdimensionsdelmotllesolució.

Propostafinal3. Laimplementacióde 1rdebatxilleratproposalasoluciósegüent:«Arribem alaconclusióque,pera80 “ l 2 ¨ L{2, l l’had’estarentre5i6,ilamillormesuraquetrobemés l “ 5,4cm.Pera L,lamidaseria L “ 5,5cm,amblaqualcosa,isabentque h “ 1{2l ,l’àrea és A “ 118,8cm2 ».

Lalimitaciódeltempsatressessionsenaquestaimplementacióal’aulanovapermetrefer l’estudipràcticdelapestanyaniaprofundirenlajustificaciódel’optimitzaciódel’àrea.Tot iaixí,l’ampliaciódelarespostaqueofereixunalumne(figura 11)enellliuramentdelseu informefinalampliatoptatiumostralautilitzaciódel modelfuncional comajustificacióde l’optimitzaciódel’àreasenseproblematitzarlagrandàriadelapestanya,laqualcosaelporta aproposarunasoluciónopermesa,jaqueprodueixunmotllesensepestanyes:

Figura12.Respostad’unalumnede1rbatxilleratinternacionalde2025utilitzantelmodelfuncional.

4.Conclusions

Elprocésd’indagacióviscutalesdiferents classesambaquestREIhapermèsal’alumnat recórrerdiferentsetapesd’unprocésdemodelitzaciómatemàticaenfunciódelesqüestions plantejadesidelsrecursosdisponiblesencadamoment(vegeu-nemésdetallsaMarí etal., 2024).S’hapartitd’unsistemareal,els sobaospasiegos,ielseumotlletradicional,is’han abordatlesqüestionssobrelescaracterístiquesdelmotlleapartirdemodelsdemesurai geomètrics.D’aquesttreballhansorgitnovesqüestions,com,perexemple,determinarles propietatsdelsmotllesqueespodenvariarilesquedepenend’altresvariables.Tambésorgeixlanecessitatdeconsiderarmotlles«genèrics»,ambdiferentsmesuresirelacionsentre lespartsdelmotlle.Enaquestscasos,elsmodelsalgebraicsigeomètricsestornenmoltútils perquèpermetenexplorardiferentscasosenfunciódelsparàmetresquedefineixenaquests models.Elprocésfinalitzaambunahipòtesisobrequinésel millormotlle peralbescuit, quecadagrupd’estudiantsjustificaambdiferentsarguments(nonomésmatemàtics)iés coherentambelcaràcterobertdelasoluciódelcas.

El modelestadístic apareixcomunaviapossibled’ampliaciódelrecorregutendiversosmomentsdelprocésd’evolució,jaquecomportahaverdeseleccionarunvalordelvolumdel motlle,unallargadadelapestanyaolesdimensionsdelesllargadesdelscostatsdelabase delmotlle,sensesobrepassarelnombredevariableslliurespermeses.Aquestesseleccions espodenfermitjançantunestudiestadísticdemotllescomercialitzatsoapartirdecriteris estètics,ergonòmicsod’embalatge,perexemple.

Ésimportantdestacarl’apariciónaturaldelscomponentsfonamentalsdelprocésdemodelització(preguntes,sistemes,models,einesperalavalidaciódemodels,etc.),aixícomla seqüènciademodelsgenerats(modelsd’origami,geomètric,demesura,algebraic,funcional oestadístic).Aquestsmodelsapareixencoma respostaalanecessitatderespondreales

qüestionsqueapareixendurantelprocésd’indagació,inoperquèelsproposielprofessorat coma«monumentspervisitariutilitzar».Laformadegestionaraquestsprocessosdemodelitzacióal’aulaportaareflexionarsobrelanecessitatd’anomenar-losiinstitucionalitzar-los apartird’unaterminologiaacordadapròpiadelcas(comanomenarelscostats,aquèfem referènciaquanparlemdepestanya,etc.)iunaaltradegenèricaiprecisa(sistemes,models, etc.)perpoderreferir-s’hiduranteldesenvolupamentdelaindagació,jaquenosempre formenpartdelaculturamatemàticaescolar.

Aquestasituaciód’aprenentatgepermetlasevaimplementacióendiversosnivellseducatius, tantdeprimàriacomdesecundària.Elsmodelsconviueninohihacapmésobjectiupreestablertquerespondrealapreguntaprincipaldequinaésla millor formapossibleencadanivell prenentcomabaselaprofunditatdeconeixementdelsdiferentsmodelsqueapareixenen elprocésd’indagació(elmodeld’origami,demesura,geomètric,algebraic,funcionaloestadístic),aixícomelsdiferentsenfocamentsquepodensertreballats(aritmètics,funcionalso estadístics).Aquestsenfocamentspodenrepresentardiferentspartsd’unamateixaresposta finalsegonsquinasiguilamiradadelautilitatilafinalitatdelaindagació,iportenatreballar elsdiferentssentits(numèric,demesura,algebraic,geomètric,espacialiestocàstic)deforma interconnectada.

6.Referències

Barquero,B.(2023).«Mathematicalmodellingasaresearchfield:Transpositionchallenges andfuturedirections».AP.Drijvers,C.Csapodi,H.Palmér,K.GosztonyiiE.Kónya(eds.). Proceedingsofthe13thCongressoftheEuropeanSocietyforResearchinMathematicsEducation.AlfrédRényiInstituteofMathematics(Praga)/ERME,p.6-30.https://hal.science/hal-04427884/ document.

Barquero,B.;Bosch,M.;Florensa,I.;Ruiz-Munzón,N.(2021).«Studyandresearchpathsinthe frontierbetweenparadigms». InternationalJournalofMathematicalEducationinScienceand Technology.https://doi.org/10.1080/0020739X.2021.1988166.

Chappaz,J.;Michon,F.(2003).«Ilétaitunefois...Laboitedupâtissier». GrandN,72, 19-32

Chevallard,Y.(2013).«Enseñarmatemáticasenlasociedaddemañana:Alegatoafavordeun contraparadigmaemergente». REDIMATJournalofResearchinMathematicsEducation, 2(2), 161-182.

Decret 175/2022,de 27desetembre,pelquals’aprovaelReglamentdedesplegamentde laLlei 12/2009,del 10 dejuliol,d’educació. DiariOficialdelaGeneralitatdeCatalunya,núm. 8775, 29 desetembrede 2022. https://portaljuridic.gencat.cat/ca/document-del-pjur/?docu mentId=938401.

Marí,M.;Barquero,B.;Bosch,M.(2024).«Recursividadyreversibilidadenlamodelización matemática:elcasodelosmoldesdelapastelera».A:N.Adamuz-Povedano,E.FernándezAhumada,N.ClimentiC.Jiménez-Gestal(eds.). InvestigaciónenEducaciónMatemáticaXXVII. UniversidaddeCórdobaiSEIEM,p.337-344.

Serrano,L.;Bosch,M.;Gascón,J.(2013).«Recorridosdeestudioeinvestigaciónenlaenseñanzauniversitariadecienciaseconómicasyempresariales». UNO:RevistadeDidácticadelas Matemáticas,62,39-48.

Wozniak,F.(2023).«Modelizarparafabricarunlibroofabricarunlibroparamodelizar». UNO RevistadeDidácticadelasMatemáticas, 99,39-43.

Lesconstruccions geomètriqueseuclidianes Lapapiroflèxiailes matemàtiquescartesianes

JosepPlaCarrera Matemàticihistoriador

Resum Abstract

Enaquestarticle,queéslasegonapartdel publicatenaquestamateixarevista ([Pla:2024]),fixeml’atencióenles possibilitatsquelapapiroflèxiapresentaa l’horadeferconstruccionsgeomètriques enelpla,iresponalapreguntaqueemva ferelmeurenebotXandre.

Inthispaper secondpartofthe articlepublishedinthismagazine ([Pla:2024]) ,welet’sfocusonthe possibilitiesthatorigamipresentswhen makinggeometricconstructionsonthe plane,andanswerthequestionthatmy nephew-grandsonXandreaskedme.

1.Preàmbul:Algebraitzaciódelageometriadelpla

EnlaSecció3del’esmentatarticle,«IapareixenDescartesilaseva Geometrie»,veiemque, usantexclusivamentelregleielcompàs,podíemsumar,restar,multiplicar,dividirdossegments,itambéextreurearrelsquadradesdesegmentsnumeritzats.Aquestesoperacionsles sintetitzemenlafiguraadjunta.

Perpodermanejarambnaturalitataquestaalgebraitzaciódelageometria,elgeòmetrafrancèsintrodueixel sistemadecoordenades delpla.

Laqüestióés,doncs,comtractarelspuntsdeformanumèricai,perfer-ho,elgeòmetrafrancèsintrodueixel sistemadecoordenades delpla.

Calenduesrectesperpendicularspelpunt O,l’eixdelesabscisses,horitzontal,il’eixdelesordenades,vertical.I,apartirde O,portemelsegmentunitatsuccessivamentenlesduesdireccionsielspuntsquequedendeterminatselsmarquemielshiassignemelsvalors 1,2,3,...,n,... , aladretaicapadalt,i 1, 2, 3,..., n,... ,al’esquerraicapavall,amb n P N.

Aixícadapunt P delplaelquedadeterminatpelsvalors x i y ,quedeterminenlesdistàncies entre O ielspeusdelesperpendicularsalseixos,ésadir, P :“px,y q.Laparella px,y q sónles coordenades del puntgenèricP.

Enlafigura 2,n’hemmarcatquatre,ambcoordenadespositivesinegativesenteresiracionals.Iunatambéambcoordenadesirracionals, l’abscissadelaqualquedadeterminadaper ladistància OD quelacircumferènciadecentre O iradi OD portadamuntl’eixdelesabscisses.

Iaixíarribemalmomentdeplantejar-secompodemalgebraitzarlesrectesilescircumferències,perquèlesconstruccionsambregleicompàsnomésdepenend’aquestesduesfigures geomètriques.

1.1.Algebraització del regle o de les rectes

Problema DonatdospuntsAiB,volemdeterminenalgebraicamentlarectaquepassaperells.

Anàlisi Volemdeterminarellligamalgebraicquelescoordenades x,y dels«puntsgenèrics» P :“px,y q delarecta rA,B; P quepassaper«dospuntsdonats» A i B decoordenades a1 ,b1 ,i a2 ,b2 ,ésadir, A :“pa1 ,b1 q i B :“pa2 ,b2 q.

Figura2.Sistemadecoordenadesambpuntsconcretsiundegenèric.

Ara,«senseferdistincióentreunescoordenadesiunesaltres»hemdeveurequinessónles «relacionsmésnaturalsquehihaentreelles»pertald’aconseguir«unaequació».

Siensfixemenlafigura3,ensadonemque,quanlarecta rA,B; P tallaleslíniesparal lelesal’eix delesabscisses,hofasempreambunmateixangleˆα.

Compodemusar-hoperlligarlesabscissesilesordenadesdelspuntsconeguts A i B,ambles delspuntsgenèrics P?

Larespostaés:Podemrecorrealatanˆα,bendeterminadaperquèenconèixerlescoordenadesdelspunts A i B,podemdeterminarleslongitudsdelssegments LA :“ a2 a1 i BL :“ b2 b1 , 1 itanˆα “ BL LA :“

Ialhoralapodemdeterminarusantelspunts B i P (obé A i P).Osigui,tanˆα “ BN NP “ b2 y a2 x .

Ara,comdeiaDescartes,«obtenimduesexpressionsigualsi,igualant-les,una equació»: b2 b1 a2 a1 “ b2 y a2 x , 1.Podríempensarquehavíemd’haverposat b2 ` b1 ,però,defet,atèsque b1 ésnegatiu,perpoder-lo sumara b2 lihemdecanviarelsigne;ésadir,hemd’agafar b1 .Osiguique BL :“ b2 b1 “ b2 `|b1 | 2.Recordemquemaiespotdividirperzeroiquantreballemambexpressionsalgebraiques,queusen lletres,semprecalremarcar-ho.Vegeul’ítem b del’execici 1 il’exercici 2 (pàgina66).

quepodemreescriureenlaforma:

pb1 b2 qx `pa2 a1 qy a1 b2 b1 a2 “ 0,

enquèelsnombres a :“ b1 b2 ,b :“ a2 a1 i c :“ a1 b2 b1 a2 sónconeguts.

Endefinitiva,unarectas’expressapermitjàd’una equaciólinealambduesincògnites ovariables x i yitresconstantsa,b i c.Ésadir,l’equacióésdelaforma ax ` by ` c “ 0, amb a,b i c coneguts.

Exercici1. a)Sietdonenunarectapermitjàdelasevaequació ax ` by ` c “ 0,podem determinarsempredospuntpelsqualspassa?Com?

b)Si a1 “ a2 ,quinaésl’equaciódelarectaquepassaper A i B.

Exercici2. Una fal làcia ésadir,raonamenterroni.

Consideremdosnombresdonats a i b,amb b ą a.Tenimque c “ b a ą 0.Femelcàlcul següent: pb aq2 “pb aqˆpb aq“pb aqˆ c.Obtenim: b2 ab ab ` a2 “ bc ac i,deretop, b2 ab bc “ ab a2 ac.Osigui, bpb a cq“ apb a cq.Simplificantel factor a b c,obtenim a “ b.Impossible,perquèhemsuposatque b ą a.Onhemcomès l’error?

1.2.Algebraització del compàs o de les circumferències

Problema DonatdospuntsOiA,volemdeterminaralgebraicamentlacircumferènciadecentre OquepassaperA.

Anàlisi Volemdeterminarellligamdelescoordenades delspuntsgenèrics P :“px,y q que estrobenenellaamblesdelspuntsdonats O :“pa1 ,b1 q i A :“pa2 ,b2 q.

Elquecaracteritzaelspunts P d’unacircumferènciadecentre O ésqueladistància d pO,Pq és constantiigualalradi.

Ésadir,hemd’aconseguir:

1)Determinarquinéselvalorde r .

2)Imposarque d pO,Pq“ r .

Pas1.Ladeterminacióde r Atèsqueconeixemunpunt delacircumferència elpunt A i elcentre elpunt O ,tenimque d pO,Aq és r

Arabé, d pO,Aq éslalongituddelsegment OA queéslahipotenusadeltrianglerectangle AMO delqualconeixemelscatets AM :“ b2 b1 i OM :“ a2 a1 .

Figura4.Algebraitzemlacircumferència.

I,pelteoremadePitàgores,3

,queésunvalor conegut.Pertant, r “ a

Pas2.Hemd’igualarelsradis r Qualsevolaltrepunt P delacircumferènciaproporcionael corresponenttrianglerectangle OMP, ON 1 P,etcètera,totsellsd’hipotenusaelradi r .I, novamentpelteoremadePitàgores,tenimque r :“ OP2 “ PN

Enconseqüència,«obtenimduesexpressionsigualsi,igualant-les,una equació»:

Endefinitiva,tenimquelacircumferènciaquedacaracteritzadaperl’equació:

Engeneral,doncs,unacircumferènciaquedacaracteritzadaperuna equacióquadràtica dela forma:

obédelaforma

sent c “ a2 ` b2 r 2 .

3.Pitàgores(Πυθαγ΄ορασ)(Samos,Grècia,586aC - Metapont,Itàlia,569 aC),filòsofimatemàticgrec.

Exercici3. Enelcasquel’equacióqueconeguemdelacircumferènciasiguiladelaforma p˚q,compodemdeterminarlescoordenadesdelcentreielradi?

1.3.Tallem algebricament dues rectes,una recta i una circumferència o dues circumferències

Coms’hapresentatabastamentenlaprimerapartd’aquesttreball,quanusemsolament reglaicompàspertald’obtenirelspuntsnecessarisquedeterminennoussegmentsinoves circumferències,nomésfemtresmenesd’operacionsgeomètriques:

1)Laintersecciódeduesrectes.

2)D’unarectaiunacircumferència.

3)Deduescircumferències.

Arahemdeveurecoms’interpretaaixòalgebraicament.

1.3.1.Tallem dues rectes

Quantallemduesrectes,obtenimelpuntcomúocap.

Algebraicament,tenimduesequacions " ax `

icerquemelpuntcomú.Ésadir,elpunt P :“px,y q lescoordenades x i y delqualsatisfanles duesequacionsalhora.4

Endefinitiva,hemderesoldreelsistemad’equacions.I,enfer-ho,obtenim:

Exercici4. Quèpassaquan a1 b ab1 “ 0?[Indicació.Ambaquestllenguatgealgebraic,com podemsabersidosrectessónparal leles?]

Les úniquesoperacions quefemsónsumes,restes,multiplicacionsidivisions.Pertant,els segmentsqueelscorresponensón construïblesambregleicompàs

Endefinitiva,resoldresistemescoml’anteriorportaadeterminarpuntsconstruïblesamb regleicompàs,apartird’unsegmentunitatdonatidesegmentsjaconstruïts.

4.Enelcasalgebraic,se’nsplantegenproblemesquenotenimgeomètricament:

‚ Lesduesequacions,encaraquesiguindiferents,podencorrespondrealamateixarecta.

‚ Quesiguinequacionsderectesparal leles.Vegeul’exercici4.

1.3.2.Tallem una recta i una circumferència

Quantallemunarectaiunacircumferència,obtenimdospuntscomuns,unocap.

Algebraicament,tenimduesequacions

icerquemelspuntscomuns.Ésadir,elspunts P :“px,y q lescoordenades x i y delsquals satisfanlesduesequacionsalhora.

Endefinitiva,hemderesoldreelsistemad’equacions.

Aïllem x o y delaprimeraequació[y “´ a b c b ,si b “ 0]isubstituïm y peraquestvalorenla segonaequació.Obtenim:

queésuna equaciódesegongrau en x :

Totsaquestsnombress’obtenensumant,restant,multiplicantidividintnombresdonats.

Arabé,laresoluciódel’equaciódesegongraués:

Endefinitiva,necessiteml’arrelquadradaquetambéés,comhemvistalafigura 1 (pàgina 63),unaqüestióresolubleambregleicompàs.

Pertant,resoldresistemescoml’anteriorportaadeterminarpuntsconstruïblesambreglei compàs,apartird’unsegmentunitatdonatidesegmentsjaconstruïts.

Exercici5. Compodemsaberalgebraicamentsiestallenendos,unocappunt?

1.3.3.Tallem dues circumferències

Quantallemduescircumferències,obtenimdospuntscomuns,unocap.

Algebraicament,tenimduesequacions

Figura5.Tallemduescircumferències.

icerquemelspuntscomuns.Ésadir,elspunts P :“px,y q lescoordenades x i y delsquals satisfanlesduesequacionsalhora.

Ensfixaremenlescircumferències C i C 1 delafigura5,queestallenendospunts.5

Hauríemderesoldreelsistemadelesduesequacionsdelescircumferències C i C 1 ,totesdues desegongrau,iaixòésfeixuc.

Peròpodemferelsegüentraonament:

Estallenperdospunts P quesatsifanlesduesequacionsi,pertant,satisfanlasevadiferència

, queésl’equaciód’unarecta, L,quecontéelsdospunts P.

Noméscalquetallem C i L,quelcomquehemfetalparàgraf§ 1.3.2 (pàgina69).6

Exercici6. Analitzeuelsaltresdoscassos.

5.La C 1 éstangentala C ila C 2 notallala C .

6.Nolicaliafer-ho,però,perunaqüestiódeclaredatmetodològica,Descartesmostracompodemresoldre ambregleicompàsunaequaciódesegongrausemprequetinguisolució.[Descartes:1637],ediciócatalana[Plai Viader:1999],p. 20-22

1.4.Nota històrica i conclusions

Hemestablertquetotallòqueespotferambregleicompàsgenerapuntslescoordenades delesqualss’haobtingutusantlesquatreoperacionsaritmètiqueselementalsil’úsdeles arrelsquadrades.

Irecíprocament,totnombrequeespotaconseguirapartirdelaunitatfentservirlesquatre operacionselementalsilesarrelsquadrades,ésacceptablecomalongitudd’unsegment construïbleambregleicompàs.

Araenspodemplantejarduespreguntesbendiferents:

1.Ambl’úsd’unreglesolpodemferarrelsquadrades?

2.Donadaunaequaciópolinòmica,podemgarantirquelesarrelscorrespo- nenanombresquesónlongitudsdesegmentsconstruïblesaquestsginys?

Larespostaa 1)ésnegativailavadonarSteiner7 tancantnegativamentlapreguntafetaa § 1.5de[Pla:2024],p.87-88.

Lade 2)lavadonarunjovematemàticfrancèsl’any 1837,dos-centsanysdesprésdelapublicaciódela Géométrie deDescartes.Efectivament,Wantzel,8 al’edatde 23anys,vapublicar unarticledesetpàgines,quevapassardespercebutforçaanys,enquèestabliaelresultat següent:

Elsnombresrealsconstruïblesambregleicompàssónsolucionsd’unpolinomiirreductibleenunavariable x iambelscoeficientsracionalselgraudelqualésunapotènciade 2 ([Wantzel:1837],§III,p.368).

1.5.Tornem a la duplicació del cub i a la trisecció de l’angle

Arapodementendreperquèelsgrecsnovansercapaçosderesoldreelsproblemesdedoblar elcubitrisecarl’angle. Nohovanferperquènoespotfer.

Perveure-ho,elstractaremalgebraicamentinopasgeomètricament.

1.5.1.Doblem el cub algebraicament

Problema Volemdoblarelcub.

Tenimuncubdecostatdonat a ienvolemundecostat x demaneraque x 3 “ 2a3 .Ésadir,el costatquebusqueméslasolucióde l’equaciócúbicairreductible x 3 2a3 “ 0.

I,segonselteoremadeWantzel,noésconstruïbleambregleicompàs.

7.JakobSteiner(Utzenstorf,Suïssa, 18demarçde 1796 - Berna,Suïssa, 1 d’abrilde 1863).

8.Wantzel,Pierre-Laurent(París,França,5dejuliolde 1814 - París,França, 21 demaigde 1848).

1.5.2.Trisequem l’angle

Problema Volemtrisecarunangle.

Teniml’angle ˆ θ “ 3ˆα ivolemdeterminarˆα. = 3 cos 3 cos 3

Figura6.Trisequeml’angle.

Ésclarque,siteniml’angle θ ,tambétenimcos θ i,sivolemdeterminarˆα,n’hihaproua determinarelseucosinus, x :“ cosˆα.

Compodemlligar-los?Hopodem,doncs,ferusantlesidentitatstrigonomètriquesadequades:

Suposemara,perexemple,que ˆ θ “ 60˝ ique,pertant,cerquemˆα “ 20˝

Sabemquecos60˝ “ 1 2 .Sihosubstituïmen(1),tenimque

2 “ 4x 3 3x, queportaal’equaciócúbica8x 3 6x 1 “ 0, i,sifem z “ 2x ,obtenimfinalment z 3 3z 1 “ 0,queésirreductibleambcoeficients racionals.

SegonselteoremadeWantzelnototselsanglesespodentrisecarambregleicompàs.

Haviendepassarmoltsseglesdesqueelsgeòmetresgrecsesvanplantejaraquestsproblemesfinsque,gràciesal’aportaciódel’àlgebraorientalfetapelsmatemàticsàrabs,els occidentalsaconseguissin demostrar-nelaimpossibilitat.Noerainexpertesa! 9.Recordemlesfórmulestrigonomètriques:sin

1.6.Tanquem aquesta disgressió

Alpàràgraf 1.2.2b ([Pla:2024],p.71),10 hemparlatdeGauss11 idelasevaaportacióaunproblemageomètric:

Quinspolígonsregularsespodenferambregleicompàs?

[TeremadeGaussdelpolígonsregulars] Espodenferambregleicompàselspolígonsregularsquetenen 2k `2 o 2k p22n1 ` 1q¨¨¨p22nℓ ` 1q costats,essentk ě 0 i 22ni ` 1,ambi “ 1,...,ℓ, nombresprimersdiferents,inomésaquests.

D’unabanda,tenimelspolígonsregularsde4 “ 22 , 8 “ 23 ,..., 2m ,... .

Pensemaraquinssónelsnombresdelaforma Fn “ 22n ` 1,quan n “ 0, 1, 2, 3,... .

Totsaquestsnombressónprimers.Pertant,segonselteoremadeGausssónconstruïblesels de3, 5, 6, 10, 12, 15 “ 3 ˆ 5, 24, 30, etc.Totsellsconegutspelsgeòmetresgrecs.

PeròGaussincorporaelsde 17,257i65.537ielsques’obtenendoblantidoblantimultiplicant-los per3,5ientreells.

Quèpassa,però,ambelnombre

Elquepassaésque no ésprimerjaque

1.6.1.

Una mica més d’història

L’any 1640 PierredeFermat12 vaintroduirelsnombresdelaforma Fn :“ 22n ` 1,avuianomenats nombresdeFermat,ivaconjecturarquetotsells,quesóninfinits,sónprimers.Defet, probablementvaaconseguirveureque F0 ,F1 ,F2 ,F3 i F4 hoeren.13

Tanmateix,centanysméstard,l’any 1738([Euler:1738]),Euler14 vadescompondreel F5 tal comhemindicatabans.

Finsaranos’hatrobatcapaltrenombredeFermatquesiguiprimer.

10.Hihaunerroralalíniados,qunadiu«‘‘quetots’’elspolígonsregularssónconstruïblesambregle icompàs».Hauriadedirque«‘‘quetots’’elspolígonsregularsambelnombredecostatsdescritsalanota 12 sónconstruïblesambregleicompàs».VolemagrairaBerenguerSabadellNogeuraqueensfesobservarl’error (08/04/2025).

11.JohannCarlFriedrichGauss(Braunschweig,RegnedeBraunschweig-Wolfenbüttel,30 d’abrildel 1777 - Göttingen,RegneeHannover, 23defebrerdel 1855).

12.PierredeFermat(BèumontdeLomanha,França,entreel31 d’octubrede1607iel6dedesembrede 1607 - Castres,França, 12 degenerde 1665),jutgeimatemàtic.

13.[Pla,ParadísiViader: 2009],p.399

14.LeonhardEuler(Basilea,Suïssa, 15d’abrilde 1707 - SantPetersburg,Rússia, 18desetembredel 1783).

1.6.2.Wantzel i Gauss

Ésclarque,enelcampdels nombrescomplexos,l’equació z n “ 1,amb n primer,proporciona elspuntsdelcercleunitatquecorresponenalsvèrtexsdelpolígonregularde n costats.

Sisuprimiml’arreltrivial z “ 1,ésadir,sicalculem z n 1 z 1 “ z n 1 ` z n 2 `¨¨¨` z ` 1,tenim, comdiuWantzelenelseuarticle:

Enaquestcas, n primer,elpolinomidegrau n 1 ésirreductible,segonsesta- bleixGauss alesseves DisquistionesAritmeticæ,sec.VII.Ilaconstrucciógeomètricanomésespotfer quan n 1 “ 22k .[... ]Així, ladivisiódelacircumferènciaennpartsnoespotferambreglei compàsamenysqueelsfactorsprimersden,diferentsde2,siguindelaforma 22k ` 1. 15

1.6.3.

Cloenda

Hemreduïtelstresproblemes duplicaciódelcub,trisecciódel’angleideterminaciódels polígonsregularsconstruïblesambregleicompàs al’anàlisidelesarrelsdecertspolinomis irreductibles.

Lateoriamatemàticaqueunificaaquestesqüestionsintegrant-lesenl’estudiaprofunditde lanaturalesadelesarrelsdelspolinomisésdeuaunaltrejovefrancès,Galois,16 mortenduel quanencaranoteniavint-i-unanys.17 Estractadela teoriadeGalois,moltpotent,peròaixò ésunaaltrahistòria.18

2.Lapapiroflèxiailamatemàtica

Elmeunebot-netXandreemvademanarquèlipodiadirdelamatemàticavinculadaala papiroflèxia,ijo,endutperlanecessitatdecontextualitzar,heescrittotesaquestespàgines pertalquequediunamicaclaroncalsituarlaqüestiódelapapiroflèxiaquanlavolemlligar amblamatemàticasubjacentoambunplantejamentmatemàticcorrecte.

D’entrada,calindicarquehiha dues papiroflèxies:Lapaoiroflèxia finita ila infinita

2.1.La papiroflèxia finita

L’àmbitenelqualrealitzemlesconstruccionsusantels plecsdelpaper ésunfulldepaperDIN A4,perexemple.Enaquestcas,d’entrada,disposemde quatrepunts i quatresegments rectilinisquejaestandonatsique,pertant,noelshemdeconstruir.19

15.[Gauss:1801],traducciócatalana,p.574-644].

16.EvaristeGalois(Bourg-la-Reine,França, 25d’octubrede 1811- París,França, 1 demaigdel 1832).

17.Peraunabiografianovel lada[Pla:1998].

18.[Pla:2016].

19.Perdesenvoluparalgunsdelsexemplesquedonemtotseguit,ensheminspiraten[BoursiniLarose:1997],p.3-25.

2.1.1. Preàmbul

Defet,quanhemtreballatambregleicompàshemacceptat,sibénohohemexplicitat,que elreglenoteniacapmarca.

Pregunta Quèhauriapassatsi,perexemple,elreglehaguéstingutduesmarques? Laresposta,enlaqualnoentrarem,és:

Resposta Podríemconstruirlessolucionsdelesequacionscúbiquesirreductibles.20

Ésadir,d’acordambelteoremalimitatiudeWantzel,permetunapotènciamoltsuperiorque elreglesensemarquesielcompàs.

2.1.2. Algunes construccions possibles de la papiroflèxia finita

Disposemd’unrectangle ABCD i,deretop,delspunts A,B,C i D,idelssegments AB,BC,CD i DA.Ésadir,podemusarelsquatrepuntsitotselsdelsquatresegmentsal’horadegenerar nouspuntspapiroflèxics.

Figura7.Unfulldepaper.

Definiciódepuntpapiroflèxicideplec

Un puntpapiroflèxic ésunpuntques’obtéquanestallendos plecs,realizatdeformacorrecta.

Un segmentpapiroflèxic o plec éselquetécomaextremsdospuntspapiroflèxics.

Naturalment,elspunts A,B,C i D sónpapiroflèxicsi,enconseqüència,elssegmentsquedeterminen i,deretop,aquellsdelsseuspuntsques’obtenenquanestallenperunplec són papiroflèxics.

Procedimentpapiroflèxic

Regla1.Dospuntspapiroflèxicsdeterminenunplec.

Regla2.Dosplecs,entallar-se,determinenunpuntpapiroflèxic.

Regla3.Lasuperposiciódedospuntspapiroflèxicsprodueixunplec.

Regla4.Quanesportaunpuntpapiroflèxicdamuntd’unplecs’obtéunplec.

20.[Martin:1998],capítol 9,p. 123-144.

2.1.2a. Les diagonals i el punt mitjà del rectangle

Construcció. ElpuntmitjàMdelrectangle ABCDésunpuntpapiroflèxicilesdiagonalsACi BDsónplecs.21

Figura8.Diagonalsipuntmitjà.

Pas1. Consideremelsplecs AC i BD.[R 1]

Sónlesdiagonals.

Estallenpelpunt M. M ésunpuntpapiroflèxic.[R 2]

2.1.2b. Les medianes dels costats del rectangle

Construcció. Elssegmentsquepassenpelspunts mitjansdelscostatssónplecs.

Pas1. Portem,perexemple,elpunt A damuntelpunt D quepertanyalplec CD.[R3]Així, obtenimlamitjana RS. ♣

2.1.2c. El quadrat de costat AD

Portemelpunt A damuntd’unpuntdelsegment CD diferentdel D.[R4] ♣

Exercici7. a)Feueldibuixiconstateuqueelplecqueesgeneraésunadelesdiagonalsdel quadrat.

b)Proveuquepodemferunanglede45˝ .

c)Ensabríeuferunde 22˝ 301 ?

2.1.2d. El triangle equilàter o l’angle de 60º

Construcció. Femuntriangleequilàter.

Pas1.Portemelpunt A al F delamitjana RS.Escreaelpunt E .Obtenimelplec DE .[R4] Horepresentemenlaprimeraisegonafigures.

21.D’araendavant,nomésdiremunpuntiunplec.

Pas2.Consideremelplecquepassapels E i A,mogut[R 1].Esgeneraunnoupunt F . Eltriangle DEF ésequilàter.

Figura9.Eltriangleequilàter.

Exercici8. Veiemlamatemàticad’aquestaconstrucciópapiroflèxica

a)Responlespreguntes:

a1 )Quinéselvalordelsangles y ADE, y DEA i y ADE ?

a2 )Potsafirmarque AE “ DR “ RA?

b)Provaque:

b1 )Eltriangle DEF deladarrerafiguraésequilàter.

b2 )Elsegment AG ésigualal DA.

2.1.2e. L’hexàgon regular

Sisabemfereltriangleequilàter,sabemferl’hexàgonregular.

2.1.2e1 Primeraconstrucciódel’hexàgonregular

Calferdostrianglesequilàterscomelquehemfetalparàgraf 2.1.2d,peròcapicuats,talcom mostralafiguraadjunta.

Ésadir,tenimel DEF enelfulldepaper ABCD.

AEKB

M DLFC GHIN

Figura10.L’hexàgonregular,primeraconstrucció.

Femelspassossegüents:

Pas1.Doblem,demanerasimètricaaladelparàgrafanterior,elcostat AL finsqueelvèrtex

D caudamuntelsegment MN queuneixelspuntsmitjans M i N .

Éselplecquepassapelspunts G pelqualestallenelsplecs MN i DE ielpuntmitjà L dela basedeltriangleequilàterinicial.

Determinaelpunt H que,defet,éselpuntdetalldelsegment MN ielplec EF deltriangle equilàterinicial.

Així,obtenimeltrianglecap-i-cuat ALH

I,deretop,lameitat EGLFHE ,queéslameitatdel’hexàgonregular.

Pas2.Pleguemeltriangleequilàterinicialperlameitat.Obtenimelplec EL.Arafem,ambel trianglerectangle ELF elquehemfetambeltrianglerectangle ADL,enelpas 1.Ésadir, portemelvèrtex L alsegment MN .Obtenimelpunt I,queéseldarrervèrtexdel’hexàgon quebusquem.Elsplecspelspunts F i I,i I i K sónelscostatsquefalten.

2.1.2e2 Segonaconstrucciódel’hexàgonregular

Uncopdisposemdeltriangleequilàter DEF ,femelspassossegüents:

Pas1. Elpleguemperlameitatportantelpunt E al F .

Pas2. Despleguemiportemelpunt E al D

Aquestsdosplecs, CD i FG,estallenperunpunt O.

Figura11.L’hexàgonregular,segonaconstrucció.

Pas3. Portemelstresvèrtexsdeltriangleaaquestpunt.

Pas4. Sidesfemelsplecs,tindremtresplecsque,ambtressegmentsdelscostatsfanun hexàgonregular.

Pas5. Sinoelsdesfemigiremlafigura,tindremunhexàgonregular.

Podemferelscàlculsmatemàticsperveurequeelsangles,tantenelcasdeltriangleequilàter comeneldel’hexàgon,sónelsadequats.

Exercici9. Proveuque:

a)Elsanglesdeltriangleequilàtersóntotstresigualsa60˝ .[Indicació.Elsanglesdepaper ABCD sónrectes,ésadir,de 90˝ .]

b)Elsanglesdel’hexàgonsóntotsiguals.Quantvalcadaun?

2.1.2f. L’octògon regular

Araveuremduesmaneresdeferunoctògonregular.Laprimeranecessitaunfulldepaper dinA4.Lasegonaésgenèrica.

2.1.2f1 Unaprimeraconstrucciódel’octògon

D’entrada,necessitemconstruirunfullendinA4.

2.1.2f1,1 ElfullésDINA4

Figura12.Laprimeraconstrucciódel’octògonregular.

Consideremunquadrat,quesabemferambunfullqualsevolsegons 2.1.2c.

Pas1. Eldividimperlameitatduesvegadesfentdosplecsquepassenpelspuntsmitjans delscostatsdequadrat(figura 12,ítem a).

Estallenperunpunt,queéselcentredelquadrat.

Obtenimquatrequadratselscostatsdelsqualssónlameitatdel’original.

Pas2. Femlesdiagonalsdelsquatrequadrats,plegantelquadratoriginaldemaneraqueels quatrevèrtexsvaginapararalcentre. Uncopfetaixò,despleguemelsplecs.

Pas3. Arafemunplecpelpunt B queportilameitatdelcostatdelquadratgranaladiagonal delquadratpetitinferioresquerra.

Obtenimelpunt C

I,sihofemambelvèrtexsuperiordret,obtenimelpunt D,

Pas4. Elsplecs AB,BC,CD i DA determinenunrectangle ABCD,queésDINA4.

2.1.2f1,2 Determinemelcostatdel’octògon

Pas1. FemunquadratambelfulldinA4(figura 12,ítem b).

Obtenimelrectangle EBCF .

Elcostat EB éselcostatdel’octògonenelsentitsegüent.

2.1.2f1,3 Portem-losalcostatEFdelquadrat

Pas1. Pleguem EB sobre EF .Obtenimelplec OEP (figura 13,ítem c).

Pas2. Pleguem EB damunt OEP.Obtenim EP i OP.

Pas3. Portem P i O sobre E .Obtenimdosplecs NW i MV.

Determinenelspunts Q i W ,i R i V .

Pas4. Elsplecs RQ i VW sóndoscostatsd’unoctògonregular.

Exercici10. Acabeulaconstrucciódel’octògonanterior.Ésadir,plegantadequadament, aconseguiudeterminarelspunts pSq, pT q, pX q i pY q demaneraqueelssegments RpT q, pT qpSq, pSqV , VW , W pY q, pY qpX q i pX qQ siguintotsvuitigualsal QR.Elpolígon QRpSqpT qVW pY qpX q és l’octògonbuscat(figura 13,ítem d ).

Nomésuncàlculmatemàticenspermetconstatarqueefectivamenthemfetunoctògon regular.Veieul’exercici 10

Exercici11. Persimplificarelscàlculs,suposemqueelcostatdelquadratinicialval 2.Aleshoreselsdelsquatrequadratsvalen 1,iladiagonal AB val ?2 [pelteoremadePitàgores].

a)ConstateuqueElsegment EB :“ ?2 1

b)Arahemdeveureque l’octògondecostat QR tétotselscostatsd’aquestalongitud.Constateuque:

b1 )Òbviamentelsegment QR téaquestalongitudiel RV val 1

b2 )Eltrianglerectangle RAV ésisòsceles.Pertant, AR :“ ?2 2 [pelteoremadePitàgores].

b3 ) RE “ ApSq“ ApT q“ VD “ DW “pY qF “ F pX q :“ 1 ?2 2

b4 )Detotaixò,enresultaque RpSq“pSqpT q“pT qV “ W pY q“pX qQ :“ ?2 1.[Indicació.Noméshemdecalcular 1 2` 2 ?2 2 ˘,oi?‰

2.1.2f2 Unasegonaconstrucciódel’octògon

a)Aranoméscaldisposard’unquadratarbitraricomeldelafigura a adjunta.

Pas a1 .Doblemperlameitat,ésadir,portemelcostat AD damuntdel BC ,idesdoblem.

Pas a2 .Doblemperlameitat,ésadir,portemelcostat AB damuntdel DC ,idesdoblem.

Estallenenelcentredelquadrat.

Pas a3 .Portemelsquatrevèrtex A,B,C i D aaquestcentre,idesprésdesfemelsdoblecs.

b)Araensfixemenlafigura b,queéseltrianglerectangle EAH delafigura 14a.

Pas1 b.Portemelvèrtexs A damuntelsegment EH itenimelplec HM i AM escol¨locaenla situaciódelsegment MN .Ihodeixemdoblegat.

c)Araensfixemenlafigura c,queéseltriangle EAH delafigura 14b.

Pas c1 .Portemelvèrtex M damuntelsegment EH itenimelplec HM i AM escol locaenla situaciódelsegment QO.Ihodeixemdoblegat.

Peròaixòhohemfetambeltrianglerectangle EAH delafigura a.Pertant,lafiguraqueda comnlapartsuperioresquerradelafigura 14d .

Sihorepetimambelsaltresvèrtexsdelquadratdelafigura 14a,obteniml’octògon EQHPGRFT , queelquevolíemconstruir.22

Exercici12. Perveurequeésunoctògonregularusantlesmatemàtiques,enllocdemirar queelscostatssóniguals,miremelsanglesdevèrtex E,Q,H,P,G,R,F i T .

a)Eltrianglerectangle EAH ésisòsceles,ielsangles y AHE i y AEH valen45˝ .

b)Quanvalenelsangles z MHE, y QEH i y HQE (figura c)?[Indicació.Lasumadelstresangles d’untrianglevaldosanglesrectes,ésdir, 180˝ .]

2.1.2g. El pentàgon regular

Pertancarlaconstrucciódelspolígonsregularsambpapiroflèxia,veuremcomcalactuaren elcasdelpentàgonregular.

2.1.2g1 Algunespropietatsdelpolígonregular ABCDE

Usaremel mètodedel’anàlisigrega.Suposaremqueelpentàgons’haconstruït,encaraque nosapiguemcom,il’estudiaremunamica.

1.Elsanglesinscrits,comara y EAB iqueabracentresarcsigualsdelcerclecircumscrit valen 3 5 π “ 108˝ .Ielsinscrits,comara y DAB, y DAC i y CAB,

2.Totselstrianglesinternssónisòscelesperquètenendosanglesiguals.

3.Elstriangles ADB i GDB tenenelsanglescorresponentsiguals. 22.Simiremacaraoposadaaladelsplecs,veiemunoctògonperfecte.

D’aixòenresultaqueelspuntspelsqualsestallenduesdiagonalslesdivideixenendossegments,anomenats mitjana i extremaraó.

Ésadir, AD AE “ CB CJ “ AE CJ “ AE DG .

Osigui,que AD ˆ DG “ AE 2 .

Ielrectangle pAD,DGq s’anomena rectangleauri

Femelscostatsdelpentàgonigualsa 1 i AD “ DG “ Φ.Aleshores, DH “ 1 i HA “ Φ 1.

I,pelquehemvistsuaramateix,tenimque 1 “ Φ ˆp1 Φq queportaal’equaciódesegongran Φ2 Φ 1 “ 0.Endefinitiva,lalongitudd’unpentàgonregulardecostat 1,val Φ “ 1 2 p?5 1q. 23

Exercici13. Donatunsegmentiguala 1,lesduesconstruccionssónequivalents:ferelsegmentaurioelpentàgonregulardecostataquestsegment.

Exercici14. Construcciódelpentàgonregularinscritenuncercledediàmetre AB ambregle icompàs.

Hemdeferelspassossegüents:

1.Donatunsegment AB eldimidiempelpunt O

2.Dimidiemelradi AO pelpunt M.

3.Per M,tiremelcerclederadi MA.

4.Pelcentre O,tiremlaperpendicular CD a AB.

5.Tiremlacircumferènciadecentre M iradi CM.Aquestacircumferènciatallaladecentre

O perunpunt P.

6.Elsegment PC ésuncostatdelpentàgon.

23.Aquestnombreirracional,queòbviamentespotconstruirambregleicompàsapartitd’unsegmentde longitud 1,esconeixambelnomde raóàuria.Estàlligatambla successiódeFibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ,an , , enquè a0 “ 1,a1 “ 1 i,si n ě 0, an`2 “ an`1 ` an .Aixòésdeguntalfelquel´ımnÑ8 an`1 an “ Φ.

Feulafigura,observeuquetotselspassosespodenferambregleicompàsique,efectivament,podemconstruirelpentàgonregularinscrit.

Exercici15. Imagineuqueusdonenelcostatdelpentàgon.Comt’hohasdeferperconstruirlo?

1.Pelpunt B,tireuunaperpendiculara AB

2.Traslladeu AB sobrelaperpendiculariobtindràsunpunt C .

3.Construïuelpunt M delsegment AB.

4.Tireulacircumferènciadecentre M iradi MC .

5.Prolongueuelsegment AB finsquetallilacircumferènciaqueacabemdefer.Isigui D aquestpunt.

6.Elsegment AD proporcionalalongituddelesdiagonalsdelpentàgonquevoleuconstruir.

7.Ambcentreenelpunt A iradi AB tiremunacircumferènciaderadi AB,iambcentreen B iradi AD,unaaltra.Estallenperunpuntquedeterminaunsegoncostatdelpentàgon regular.

2.1.2g2 Elpentàgonregularusantelsplecs

Araveiemcompodemconstruirunpentàgonregularambl’úsdelapapiroflèxia.Idesprés, exposemunacuriositatforçasorprenent.24

Lesfiguresqueadjuntem(figura 16)sónelspassosquecalfer.

Pas1.Femunquadratielpleguemperlameitatportantl’arestadretadamuntl’esquerra.I despréshodespleguem.

Pas2.Femladiagonaldelrectangledeladreta.

Pas3.Pleguemlameitatdretadelesduespartsobtingudesenelpas 2,seguintelplecdel pas 2.

Pas4.Pleguempelvèrtexinferiordretseguintelcostatinferiordeldarrerpleciportantel costatinferiordelquadratdamuntelplecdeladiagonaldelpas 2.

Pas4bis.Portemelvèrtexinferiordretal’indretonestrobaelvèrtexinferioresquerradel quadrat.

Pas5.Despleguemelquadrat.Veiemque,delvèrtexinferiordret,ixendosplecs.Elmés inferiortallal’arestaesquerradelquadratperunpunt,ielplecdiagonaldelrectanglemeitat delquadratdretelplecoblic quevadel’arestaesquerraaladretaperunpunt.Femelplec queportaelprimerpuntdamuntdelsegon(que éslabisectriudel’angleambvèrtexen elpuntmitjàdel’arestasuperioricostatsl’ementadadiagonalielsegmentqueuneixel ditpuntmitjàielprimerpuntesmentat).

24.Veieu,enlínia,<https://premisrecerca.uvic.cat/treball/594>.

Figura16.Construcciódelpentàgonregularusantpapiroflèxia.

Pas6.Pleguemelquadratpelplecgeneratenelpas5.I,pleguemelvèrtexsuperioresquerra queestrobadinselrectangledret seguintladiagonald’aquestrectangleo,ditaltrament, lasisenafiguraplegadalapleguemseguintladiagonaldelrectangledeladreta.

Figura17.Propietatsdelpentàgonregular.

Afirmoqueelplecquequedadeterminatenlapartdelquadratsuperiordelquadrat queva delpuntmitjàdelcostatsuperiordelquadratalcostatesquerra éslecostatdelpentàgon quebusquem.

Pas7.Hodespleguemtot,ielquadratperlameitat,comhemfetenelpas 1.

Pas8.I,seguidamentlesduescapessegonselplecquehemdeterminatalpas6,ésadir, segonselcostatsdelpentàgon.

Així,femelcostatdelpentàgonsimètricrespectedelamijtadadelquadrat.

Elspassosquefemarasónmésdelicatsd’entendre.

Pas9.Enlasituacióanterior,portemelsextremsquecorresponenalscostatsdelspentàgons l’undamuntdel’altre.Defet,tiremlesperpendicularsalscostatsdelpentàgonpelsseus puntsmitjansqueestallenenelcentredelpentàgon.

Pas10.Pleguemperlabasedeltriangledelafigurapentagonal.

Pas11.Determinemlabisectriudel’angleformatpelcostatesquerradelafiguraielcostat esquerradeltrainglequehemplegatalpas 10.

Pas12.Plequemperlalíniabasecomunadelsdosdarrerstrianglesplegats.

Pas13.Pleguemeltrianglepetitódeladreta.

Pas14.Despleguem.

Exercici16. Hemvistque,sielcostatdelpentàgonval 1,aleshoresladiagonalval Φ “ 1 2 p?5 1q. Ditaltrament,laraóquehihaentreladiagonalielcostatd’unpentàgonregular arbitrariés Φ

Suposeuqueteniuunquadratdecostat 2.Proveuque:

a)Lesdiagonalsdelrectanglemeitatdelquadrat(figura 2)idelpentàgonregularcorresponent(figura 14)valen ?5i ?5 1,respectivament.

b)Ladiagonaldelrectangledeladretaquedadivididaenduesparts,lainferiorval 1 (vegeulesfigures3,4i5),ilasuperior, ?5 1.

c)Pertant,sielportemaunsegmentd’extremselpuntmitjàdelcostatdelquadratinicial iunpuntdelcostatesquerra,tenimelquehemfetenelpas6.

Analitzeuquèaportenelspassosquevandel 10 al 13.Feuelsplecsunauniseguidament desplegueuperaidentificar-lo.Totseguit,torneualpuntdepartida.

2.1.2g3 Unacuriositat

Siambunabandaestretasisvegadesmésllargaqueamplefemunnus,aquestnusésun pentàgonregular.

Calveure-hoihoproposemcomaexercici.

Exercici17. Volemveurequeelnusdelafiguraanterior,obtingutplegantadequadament latira,ésunpolígonregular.

Feml’anàlisisegüent:

a)Perlespropietatsdelsanglesques’obtenenquanestallendossegmentsparal¨lelsper unnoparal lel,resultaqueenunplec,comeldelafiguradeladreta,elsanglesincident α ireflectant α1 sóniguals.[Indicació.Observemque

.] I,deretruc,eltriangle UTV ésisòsceles.

Figura19.Anàlisidelnuspentagonal.

b)Observemque(figura 19):

b1 )Lacintaentrapelcostat AE isurtpel ED,produintelplec BC

Pertant,elsangles y ABC i y BCD sóniguals,ielscostats BE i CE ,tambéatèsqueeltriangle BCE ésisòsceles.

b2 )Lacintaentrapelcostat BC surtpelcostat BA ambpleca ED

Pertant,elsangles y CDE i y DEA sóniguals.

Amés,elscostats BE i BD sónigualsperquèeltriangle BDE ésisòsceles.

b3 )Finalment,latiradepaperentrapelcostat ED isurtpel CD ambpleca AB.

Pertant,elsangles y EAB i y ABC sóniguals.

Amés,elscostats AD i BD sónigualsperquèeltriangle ABD ésisòsceles.

Aixídoncs,elsanglesinteriorsdelpentàgonsónigualsiqueelssegments BE,CE,AD,BD i AC .

c)Arafaltajustificarlaigualtatdelscostatsdelpentàgon.

Dividimelpentàgonentresparal lelograms: ABZE, ABCY i BCDY .

Elsparal¨lelogramstenenquatrecostatsentreelsqualselsoposatssónigualsperquè latiradepapertéelscostatsparal lels.

Permirarsielscostatscontigussóniguals,podemaplicarlafórmuladel’àreadelparal lelogramdelamanerasegüent:

Àrea ABZE “ h AB o “ h AE .

Àrea ABCY “ h AB o “ h BC .

Àrea BCDY “ h ¨ BC o “ h ¨ CD.

D’aquestamanera,obtenim AB “ AE,AB “ BC i BC “ CD.

d)AranomésfaltajustificarquetambéésigualelcostatED.

d1 )Podemdividirelpentàgonenelstrapezis ABDE i ABCE pertaldejustificar queelcostat ED queensfaltavaésigualquetotselsaltres:

d1,1 )Sabemqueelscostats AE,AB,BC i CD sóniguals.

d1,2 )Sabem,perl’apartat a,queelscostats BD i CE sóniguals.

Aixídoncs,sabemqueeltrapezi ABCE tétrescostatsiguals(EA, AB i BC q iunde diferent(CE ).

Aleshores,coneixentqueeltrapezi ABDE téelscostats AB i EA igualsalscorresponentsdeltrapezi ABDE i,deretop,elcostat BD i CE sóniguals.

D’aixòse’nsegueixqueelscostats ED i EA sónigualsi,endefinitiva,elcostat D ésigual alsaltrescostatsdelpentàgon.

2.1.2h. La papiroflèxia permet doblar el quadrat i dimidiar l'angle 25

2.1.2h1 Laduplicaciódelquadrat

Desitgemferunquadratl’àreadelqualsiguieldobledelad’undedonat.

Defet,noméscalferelplecquepassaperdosvèrtexsoposats(regla 1,pàgina75).

Ladiagonaléselcostatdelquadratquedobleeldonat.

2.1.2h2 Ladimidaciód’unangle

Donatunangle y BAC ,desitgemdimidiar-lo.

Figura20.Dimimidiemunangle.

Defet,ésunaconseqüènciaimmediatadelaregla4,pàgina75),comrepresentalafigura.

Enelcostat AB,consideremunpunt D ielportemdamuntde AC .

Elplec AE dimidial’angle y BAC .

2.2. La papiroflèxia permet la duplicació del cub i la trisecció de l’angle

Iaixíarribemalfinaldelquevoliaexplicar-te,estimatXandre,ambl’esperançaqueetsigui útilintel¨lectualment.

2.2a. La duplicació del cub

Donatunelcostat AB d’uncub,volemdeterminarunsegment CD demaneraqueelvolum delcubqueeltécomacostatsiguiigualatresvegadeseldeldecostatdonat.

25.Vegeu[Pla:2024]§ 2 1a i b,p.88-89

2.2a1 Deprimer,calveurequepodemdividirunsegmentdonatentrespartsiguals

Volemtrobarelpunt P quedeterminaunatercerapartdelsegment AB.

Figura21.Unterçd’unsegment.

Veiemquinssónelspassosquecalfer:

Pas1.Determinemelpuntmitjà M delsegmentdonat AB.

Pas2.Femelquadrat ˝ABCD decostat AB.

Pas3.Femelsplecsquepassenpelspunts C i M,ipels D i B.Estallenperunpunt Q.

Pas4.Femelplecparal¨lela CB pelpunt Q.

Aquestsegmenttallael AB pelpunt P i BP equivalalatercerapartde AB.

Exercici18. Veiemqueefectivamentelpunt P éselpuntbuscat.

Suposemque AB :“ 3,queelpunt C ésl’origendecoordenadesdelsistemad’eixos CB i CD.

a.Determineml’equaciódelarectaquepassapelspunts C i M,iladelaquepassapels punts D i B.

b.L’ordenadadelpunt Q ésiguala 1.

Elplecquepassaper Q iésparal¨lela CB talla AB pelpunt p3, 1q.

2.2a2 Laduplicaciódelcubambpapiroflèxia

Volemtrobarelsegment CB queéselcostatd’uncubquecubicaeldoblequeelcubde costatdonat BD.

Consideremunsegment AB,eldividimentrespartsiguals,construïmelquadratdecostat AB,iporteml’extremdretdelsegmentbased’extremesquerra B damuntelsegment AB

Persimplificar,fem BC “ 1,sent C elpuntquedeterminaelvalor x “ CA “ 3 ?2.

Tenimque:

Araveuremqueelstriangles CFE i GCB sónsemblantsihofaremanalitzantselsangles

Ésclarqueˆ

Osigui,ˆα “ ˆ γ.I,deretruc, ˆ β “ ˆ δ .

Endefinitivaelsdostriangles CFE i GCB tenenelstresanglesigualsperquèsónrectangles.Pertant, CG BC “ CF EF .

Isubstituintcadasegmentpelvalorapropiat,obtenim

jaque d 2 ` 1 “

Osiguique

ique

Calresoldre,doncs,

Portaa x 3 “ 2, i,deretop,a x “ 3 ?2,talcomvolíem.

Exercici19. Observeuqueaquestmètodeserveistambéperadeterminar 3 ?a,amb a P R.

2.2b. La trisecció de l’angle amb papiroflèxia

Donatunangle y BAC ,volemdividir-loentrespartsigualsfentplecstalcomindicalaprimera figura 24.

Veiemelspassosquecalfer:

Pas1.Amblabase AB femunplecqueportielspunts A i B alscostatsesquerraidretdelrectanglequecontél’angletalcomindicalafiguradel’esquerradelafilainferiordelafigura 24.

Pas2.Iambplecobtingutfemunplecigualiparal leltalcomindicalafiguradelmig.

Pas3.Hodespleguemiretornemalaposicióinicialambdosplecsbendeterminatstalcom indicalafiguradeladreta.

Pas4.Femelplecqueportaelvèrtex A alprimerplec,d’extrem P,ialhoraelpunt Q damunt CA 26

Figura24.Dosplecsparal lelsaunsegmentdonat.

Afirmoqueelplecs AA1 i PP1 divideixenl’angle y BAC entrespartsiguals.

Figura25.Latrisecciódel’angle.

26.Aquestaoperaciónoespotferambreglaicompàs.Vegeul’aclarimentalanota 2.3b (pàgina 94).

[Demostració]Consideremelspunts S i R pelsqualselplec Δ tallaelscostatsdelfulldepaper.

a)Elssegments A1 P1 i AP sónsimètricsrespectede Δ.I,deretop,hosón A1 P i AP1 .

b)Aleshores,comque PA1 ésperpendiculara OQ, AP1 hoésa A1 Q1 .

c)Pertant, AP1 ésalhoraalturaimediantdeltriangle A1 AQ1 .D’onenresultaqueels angles A1 AP1 i P1 AQ1 sóniguals.

d)Elquadrilàter ARA1 T ésunparal¨lelogram,perquè A1 R i A1 S sónperpendiculars(atèsque AR i AS hosón).

e)Lessevesdiagonals AA1 i TR sónperpendiculars,perquè Δ i AA1 hosón.

f)Aixòfaqueladiagonal AA1 siguiunabisectriudel’angle y TAR.Ésadir,elsangles z RAA1 i { A1 AO1 sóniguals.

2.3. Una nota històrica i una d’aclaratòria

Vallapenaqueensfixemenaquetsdosfetsforçanotablesiinteressants.

2.3a. Nota històrica

L’Artismagnæ,sivederegulisalebraicis (1545),conegutcoml’ArsMagna,deCardano,27 exposa,perprimeravegadaperescrit,lamaneraderesoldreunacúbicaambradicals,solucióque lihaviacomunicatTartaglia(„1535),28 totiqueelprimerquehoaconseguífouScipionedel Ferro.29

Enconcret,elpassosaseguirsón:Totacúbica X 3 ` aX 2 ` bX ` c “ 0 espotreduiraunaaltra delaforma Y 3 ` pY ` q “ 0 ilesd’aquestaformaadmetencomasolucions

Amés,enl’esmentadaobraesposademanifestunfetsorprenent.El discriminant Δ potser negatiu(casusirreductibilis).Enaquestcas,l’expressióanteriornoproporcionacaparrel.Curiosament,aixòpassaquanlestresarrelsde Y 3 ` pY ` q “ 0 sónreals.Encanvi,quannomés entéunadereal, Δ ą 0. 31

L’any 1150,Bombelli32 vaintroduirels nombrescomplexos pertaldepoderresoldreaquesta situació.

27.GirolamoCardano(Pavia, 24desetembrede 1501- Roma, 21 desetembrede 1576),famósmatemàtic, metge,astròleg,jugadordejocsd’atzarifilòsofdelRenaixement.

28.NiccolòFontana,anomenat‘Tartaglia(’ElQuec’)(Brescia,?, 1499 - Venècia, 13dedesembrede 1557), matemàtic.

29.ScipionedelFerro(Bolonya,6defebrerde 1465 - 5novembre 1526),professordelaUniversitatde Bolonya.

30.[Travesa:2019-2020],p.5-8.

31.AixòhovaestablirambtotrigorFrançoisViète(Fonteney-le-Compte[França],?, 1540 - París, 13de desembrede 1603)a Supplementumgeometricæ,onvaobservarquelesequacions Y 3 ` pY ` q “ 0,amb Δ ă 0, corresponenatriseccionsd’anglesirecíprocament.Encanvi,perapoderresoldre-laquan Δ ą 0 noméscalpoder resoldre Z 3 “ d,ésadirpoderdoblarelcub.

32.RafaelBombelli(BorgoPanigale(Itàlia), 1526 - Roma, 1572),matemàticienginyeritalià,conegutper haverestatelprimeraintroduirla unitatimaginària iels nombrescomplexos pertaldepoderresoldreunaequació cúbicausantelmètodedeCardano-Tartaglia,amb«discriminantnegatiu»ihopublicàal’Algebra (1550).

Endefinitiva,ambl’artdelapapiroflèxia,éspossible resoldretoteslesequacionscúbiques amb coeficientsreals.

2.3b. Nota aclaratòria final

L’operaciógeomètricaque,donatsdospuntsiduesrectes,portaunpuntacadarectanoes potferambregleicompàs.

Noméshofaremenelcasparticularqueensocupa,ésadir,eldelafigura 25.

a.D’entrada,fem S :“p0,nq,A :“p0, 0q,P :“p0, 1q,Q :“p0, 2q,Q1 :“px0 , αx0 q,A1 :“pβ , 1q i R :“p´ n m , 0q

b.Larecta r queuneix S i R técomaequació Y “ mX ` n,amb m ă 0 ielcostatoblicde l’angledonat Y “ αX ,amb α ą 0,donat.

c.Siguin:

r1 : Y “ m1 X ` n1 larectaquepassapelspunts Q i Q1 .Aleshores, 2 “ m1 ¨ 0 ` n1 i αx0 “ m1 ¨ x0 ` n1 .

Osigui, n1 “´2 i m1 “ 2 ` αx0 x0

r2 : Y “ m2 X ` n2 larectaquepassapelspunts A i A1 .Aleshores, n2 “ 0 i 1 “ m2 β .

Osigui, m2 “ 1 β .Ésadir, r1 : Y “ 2 ` αx0 x0 X 2 i r2 : Y “ 1 β .

d.Volemque r K r1 i r K r2 .Osiguique αx0 x0 “´ 1 m , 1 β “´ 1 m , d’onresultaque m “´β .

e.Elspuntsmitjansdelssegments AA1 i QQ1 són:

, 1

ipertanyenalarecta r ,enelbenentèsque r éselplecquebusquem.Osiguiquetenim: αx0 ` 2 2 “ m x0 2 ` n i 1 2 “ m β 2 ` n,

osigui αx0 ` 2 “ mx0 ` 2n i 1 “ m β ` 2n i,substituint m per β ,aconseguim: αx0 ` 2 “´β x0 ` 2n i 2n “ β 2 ` 1.Pertant,

f.Substituïmaraelvalorde 2n delasegonaenlaprimera. Enresultaque

0 “

. (2)

g.Sigui r3 : Y “ m3 X ` n3 larectaquepassapelspunts A1 i Q1 ,queésallàonvaaparar

QA quanfemelplec r .Hadepassartambépelpunt S

Osigui, n “ m

,queportenalsvalors n3 “ n i m3 “ αx0 n x

h.Enaquestesexpressionspodemsubstituir,pasapas, n i x0 pelsseusvalors(1)i(2)que nomésdepenende β perquè α estàdonatdesdelprincipi. Obtenim,simplificant,

i.Analitzemaralanaturalesaalgebraicad’aquestaequació.

Osigui,

que,uncophemreduïttermes,dona:

j.Endefinitiva,calresoldreunacúbicai,pertant,noespotresoldreambregleicompàs comhemindicatalanota 26(pàgina 92).

Femara γ “

,icalculem:

Sumem:

I Δ “ ´ 1 α3 ` 1 α ¯2 ´ 1 α ` 1¯3 ă 0.L’equaciótétresarrelsreals γ1 ,γ2 i γ3 .

Exercici20. a.Donadaunacúbicacompleta aX 3 ` bX 2 ` cX ` d “ 0,transformeu-laamb unaequaciódelaforma Y 3 ` pY ` q “ 0.[Indicació.Dividiutotal’equacióper a.Feu Y “ X ` b 3a ivegeuelspassosdel’ítem j .

b. VeiemelmètodedeCardano-Tratagliaderesoldrel’equació Y 3 ` pY ` q “ 0.

b1 .Fem Y “ u ` v .Obtenim: pu ` v q3 ` ppu ` v q` q “ 0,quepodemreescriure u

b2 .Fem3uv ` p “ 0,osigui u3 v 3 “´ p3

“´q.

b3 .Coniexemelvalordelasumaielproductede u3 i v 3 .Pertrobar-los,calresoldrel’equació desegongrau Z 2 ` qZ p3 27 “ 0.

b4 .Osigui,

b5 . Y “ u ` v “ 3 d q 2 ` c

b6 X “ Y b 3a

Emsemblaqueambaixòquedamoltclaraladiferènciaentrelageometriadelregleiel compàsilageometriadelsplecs.33

Bibliografia

[Descartes:1637]RenéDescartes(1986). LaGéométrie.Leiden:IanMaire.[Reed.,886,París:A.Hermann.Enlíniaa<https://archive.org/details/lagomtrie00descuoft/page/n7/mode/1up>.Traducciócatalana[Plai Viader:1999].]

[BoursiniLarose:1997]DidierBoursiniValérieLarose(1997). Pliages&Mathématiques.París:ACL-Éditions. [Euler:1738]LeonhardEuler(1738).«ObservationesdetheorematequodamFermatianoaliisqueadnumerosprimosspectantibus». CommentariiacademiæscientiarumPetropolitanæ,6(1738),p. 103–107.

33.Peraunaexposiciómésacuradatècnicament,podeuconsultar[Martin:1998]i[Pla:2006].

[Pesentaral’AcadèmiadeSt.Petersburgel 26desetembrede 1732.Enlíniaa<https://scholarlycommons. pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1025&context=euler-works>]

[Gauss:1801]CarlFriedrichGauss(1801). Disquisitionesarithmeticæ.Leipzig:Gerh.Fliescher.[Traducció ipròlegdeG.PascualiXufré, Disquisicionsaritmètiques Barcelona,SocietatCatalanadeMatemàtiques (1996)]

[Martin:1998]GergeE.Martin Geometricconstructions.NovaYork:Springer-Verlag.

[MT MacTutor:1994-2023]Al’adreça<https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/>s’indexenalfabèticamentlesbiografiesdelsmatemàticsaplegadesa«MacTutorHistoryofMathematics»delaUniversitatdeSaintAndrews,creatl’any 1994imantingutaldiaperEdmundRobertsoniJohnO’Connor dela SchoolofMathematicsandStatisticsattheUniversityofStAndrews,igestionatperlaUniversitat.I, normalment,elprimerítemdeles References decadapersonatgepermetenllaçaramblabiografiacorresponentdel DictionaryofScientificBiography (NewYork 1970-1990),editatperCharlesC.Gillispie.En aquestcas,lesbiografiessónobrad’especialistesdiversos.

[Pla:1998].JosepPlaCarrera. Damuntlesespatllesdelsgegants.Barcelona:Edicionsdelamagrana.Redditatl’any 2007,perlaFacultatdematemàtiquesiestadísticadelaUniversitatPolitècnicadeCatalunya,ambduesaddendes,«peralscurisos»i«peralsestudiants».Barcelona:Barcelonadigital.Enlíniaa <https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2117/26017/deg_reimpressio_2012.pdf?sequence=1 &isAllowed=y>

[Pla:2016].JosepPlaCarrera.«La Mémoire d’ÉvaristeGalois,anotadaicomentada». MATerialsMATemàtics,vol. 2016,treballnúm.4,75pp.[Enlíniaa<https://mat.uab.cat/matmat_antiga/PDFv2016/v2016n04. pdf>]

[Pla:2006].JosepPlaCarrera.«L’àlgebradelapapiroflèxia». ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques,vol. 21,nº 1 (2006),p.81-156.

[Pla:2024]«Lesconstruccionsgeomètriqueseuclidianes.Lapapiroflèxiailesmatemàtiquescartesianes». NouBiaix,51 (2024), p.66-93.

[PlaiViader:1999]JosepPlaCarreraiPelegríViaderCanals(1999). RenéDescartes.Lageometria.Barcelona:Institutd’EstudisCatalans.

[Pla,ParadísiViader:2009]JosepPlaCarrera,JaumeParadísiBalauxiPelegríViaderCanals(2009). Fermat,OperaVaria.Barcelona:Institutd’EstudisCatalans.

[Travesa:2019-2020]ArturTravesa(2019-2020). Equationsalgebraiques.Barcelona:Institutd’EstudisCatalans.

[Wantzel:1837]Pierre-LaurentWantzel«RecherchessurlesmoyensdereconnaîtresiunProblèmede Géométriepeutserésoudreaveclarègleetlecompas». JournaldeMathématiquesPuresetAppliquées, 1 (2), 1837,pp.366–372.[Enlíniaa<http:/visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-16381&Deb =374&Fin=380&E=PDF>]

Acabatd’escriureaTamariu(Girona),eljunydel 2024.

CrònicadelC2 EM Lleida2025

JordiDeulofeu ProfessorhonoraridelaUAB

jordi.deulofeu@uab.cat

JoanJareño

jjareno@xtec.cat CREAMAT

Resum Abstract

Enaquestarticleesfaunresumdelqueha estatelC2 EM 2025,celebrataLleidaels primersdiesdejuliol.Amésdereflectirels objectius,elsfilstemàticsescollitsila narracióbreudelseudesenvolupament,es presentenlespropostesdefutur elaboradesapartirdelsdebatsques’hivan fer.

1.C2 EMLleida2025

ThisarticleoffersanoverviewoftheC2 EM 2025,heldinLleidainearlyJuly.Beyond outliningitsobjectivesandtheselected thematicstrands,itprovidesaconcise accountofthecongress’sdevelopmentand presentstheforward-lookingproposalsthat emergedfromthedebates.

Durantelsdies7,8i 9 dejuliolesvacelebrarentresespais(CentredeCulturesiCooperacióTransfronterera,EscolaPolitècnicaSuperiordelaUniversitatdeLleidaiAuditoriEnric Granados)elquartCongrésd’EducacióMatemàticadeCatalunya(C2 EM).Elsanteriorsesvan feraTarragona-Reus(2020,enformattelemàticperfer-seentempspostpandèmia),Mataró (2000)iBarcelona(2016).

ElsobjectiusdelCongréseren:

‚ Promoureeldesenvolupamentprofessionaldocentiafavorirlatransicióentrelesetapes educatives.

‚ Compartirinquietuds,experiències,pràctiquesicerquesdeclasse.

‚ Millorarl’educaciómatemàticadesdediferentsperspectives.

‚ Aprofundirlesrelacionsdinsdelesmatemàtiques,ambaltresdisciplinesiambl’entorn.

‚ Contribuiralamilloradelaimatgesocialde lesmatemàtiquesidonaraconèixerelsobjectiuseducatiusactuals.

‚ Dinamitzarlacreaciódevinclesentredocentsperalaconsolidacióilageneraciódegrups ixarxes.

‚ Gaudirdelesmatemàtiquescompartintmirades,accionsipensaments.

‚ DonarlíniesdecontinuïtataltreballfetalC2 EM 2016ialC2 EM 2020

Ellemaescollitvaser:«Impulseml’educaciómatemàtica.Fer,mirar,pensar».

HivahaverunagranparticipacióalCongrés:pràcticament400 inscripcions,unes75comunicacionsi45tallers,amésdetaulesrodonesialtresformatsdedebat.

2.OberturadelCongrés

L’acted’oberturaesvaferal’AuditoriEnricGranados.Delaconferènciainicial,titulada«Caminandosocioafectivamenteentreloestocásticoylocomputacional»,se’nvaencarregar LuisJoséRodríguezMuñiz,delaUniversitatd’Oviedo.Totseguitesvaferunactedereconeixement,perpartdelaFederaciód’Entitatsperal’EnsenyamentdelesMatemàtiquesa Catalunya(FEEMCAT),aClaudiAlsina,querecentmenthaviarebutlaCreudeSantJordi,el reconeixementmésimportantdelaGeneralitatdeCatalunya.

AquestreconeixementvaserseguitpellliuramentdelprimerPremiAlsina-Aubanell-Burgués. Elpremis’atorga,segonslaconvocatòria,a«personesogrupsquehaginrealitzat,encatalà, untreballoriginalsobreunmaterialdidàcticenmatemàtiquesohagindissenyatunnou materialounnouúsdematerialjaexistentounaactivitatd’experimentació,il’haginduta termeenunespaid’aprenentatgeipuguicontribuiraenriquirl’educaciómatemàticaescolar»,ivaserconceditaManelMartínezPascualpeltreball«Cartesdefactorització:unsuport manipulatiuperalainvestigacióalvoltantdeladivisibilitat».1

Lasessiómatinalesvatancar,brillantment,ambunaactivitatparticipativadebenvinguda organitzadaperSET,GrupdeJocsd’ABEAM,2 onesvanbarrejardosconegutsjocs:Seti Time-line.

3.Tallers,comunicacionsitaulesd’experiències

ElgruixdelCongrés,dosmatinsiduestardes,esvadestinaralapresentaciódecomunicacionsitallers.Tambéesvanreservardosespais,d’unahoraimitjacadascunicoincidint ambelcafèdemigmatí,perpresentarunatrentenallargade taulesd’experiències,unformatconegutenmoltesdelesjornadesorganitzadesaCatalunyaiencongressosanteriors. S’hipresentenexperiènciescurtesomaterialsconcretsdemaneraràpidaipropera,fetque permetdialogarambelsautors.

1.PremiAAB:https://feemcat.org/presentacio-del-treball-guanyador-del-premi-alsina%C2%B7aubanell% C2%B7burgues/.

2.WebdelgrupSET:https://abeam.feemcat.org/web/category/grupsdidactic/set/.

Elstallersilescomunicacionsesvanorganitzaralvoltantdenou filstemàtics relacionatsamb elsobjectiusdelCongrés.Els fils estavenorganitzatsencincblocs:

‚ Unitatdel’educaciómatemàtica

Fil 1:L’educaciómatemàticaalesprimeresedats(0-8).

Fil 2:Latransicióentreetapeseducatives:continuïtat,temàtiquestransversals,coordinació...

‚ Dinsl’aula

Fil3:Matemàtiquesperatothom:planificació,gestióiavaluació.

Fil4:Relacionsentrecompetències,processosisabersmatemàtics.

Fil5:Matemàtiquesicontextos:al’auladematemàtiques,al’aprenentatgebasaten projectesialesSTEAM(de science, technology, engineering, arts i mathematics).

‚ Novetatscurriculars

Fil6:Lesemocionsenl’aprenentatgedelesmatemàtiques:sentitocompetència?

Fil7:Pensamentcomputacionalimatemàtiques: relacions,interseccions,diferències...

‚ Creixementprofessional

Fil8:Formaciódocent:formacióinicialiformaciócontínuadelprofessoratdematemàtiques,eltreballenxarxacomaeinademillora irelacióamblainvestigacióeducativa.

‚ Foradel’aula

Fil 9:Matemàtiquesmésenllàdel’aula(alumnes,famíliesisocietat).

Elterme fils noéspascasual.Al’inicidelCongrésesvaconvidarelsassistentsatriarunfil temàticiintentarseguir-lo,durantlestresjornades,desdelprincipifinsalfinal.Cadafilesva presentarambtrespreguntesinicialsquehauriend’orientarl’elaboraciódelespropostesfinalsdelCongrés.3 Acadafranjahorària,dedicadesmajoritàriamentobéacomunicacionso béatallers,existia,comamínim,unaactivitatdecadafiltemàtic.D’alguns,pertenirmés oferta,n’hivahavermésd’una,demaneraqueesvanarribaraferfinsatretzeactivitats simultànies.Aquestaorganitzaciófacilitavaelseguimentexclusiud’und’aquestsfils.Elmatí delajornadafinalesvainiciarambnoudebats,unperfil,d’onvansortirlesconclusions finalsdelCongrés,lesqualsesvanredactarenformadepropostesdefuturpertreballarentre aquestielproperC2 EM,del 2029.

4.Altresactivitats

L’inicidelasegonajornadaesvacentrarentresponències:

‚ «Aprendreaensenyar:padrinesipadrinsmatemàticsainfantil»,acàrrecdeMequèEdo (UAB).

‚ «Unexemplededesplegamentcurriculardematemàtiquesperal’ESO»,acàrrecd’Anton Aubanell(MMACAiUB),JordiDeulofeu(UAB)i ArnauSánchez(InstitutCaterinaAlbert).

3.Filstemàticsipreguntesinicials:https://c2em.feemcat.org/c%c2%b2em2025/fils-tematics-i-etapes-educa tives/.

‚ «Contextos,projectes,STEM...imatemàtiques»,unataularodonamoderadaperAbraham delaFuenteiXaviRoca,amblaparticipaciódeDignaCouso(UAB),SergidelMoral(Institut EscolaLesVinyes)iElenaFerro(CentredeRecursosPedagògicsSantMartí).

Algunsdelsfilstemàticstambévanorganitzar,enalgunadelesfrangeshoràries,altrestaules rodones.Caldestacar,perlasevasingularitat,ladedicadaal’etapa 0-8anys:«Desquenaixem, aprenem:oportunitatsperdesenvoluparles matemàtiquesnecessàriesfinsals8anys».És unaapostadelC2 EM,desdel 2016,dedicaruntempsespecialaaquestaetapainicialbàsica, incloent-hitambélesescolesinfantils.

Altresactivitatsparal lelesvanserunapetitaexposiciódelMuseudeMatemàtiquesdeCatalunya(MMACA)oladelGrupdeFotografiaMatemàticadel’AssociaciódeBarcelonaper al’Estudiil’AprenentatgedelesMatemàtiques(ABEAM),amésdelesactivitatsextracongressualsorganitzadespelcomitèlocalorganitzadordelconcrésperdonar-nosaconèixer laciutat.Entreaquestesactivitatscaldestacar,perlasevaoriginalitat,laqueesvatitular «Tapesiteoremes:nitderiallesmatemàtiques»,enquèalgunsparticipantsesvananimara fermonòlegsmatemàticshumorístics,animatsperundivertitmonòleginicialdeXaviRoca.

5.SessiódecloendadelCongrés

L’últimasessióesvainiciaramblaconferènciaplenària«Posemfilal’agulla:fer,mirar,pensar...iemocionar»,acàrrecdeCarlesGranell(Col legiSantLluísdeBarcelona)iNúriaSerra (InstitutDertosadeTortosa).Encaranosabemsivamassistiraunaconferència,aunaobrade teatreo,mésaviat,aunabarrejadetotesdues.Elfetésque,apartirdelaideadels filstemàtics,vantrenarunmagníficcomiatdelCongrés,aconseguintferhonoraltítoliemocionanta totselsassistents.

L’actesegüentvaserlapresentaciódelesnovesincorporacionsalaLíniadelTemps,unespai que«buscapreservarlamemòriaireconèixerlescontribucionsdepersonesclaual’àmbitde l’ensenyamentdelesmatemàtiquesaCatalunya».4

ElCongrésesvatancaramblalecturadelesconclusionssorgidesdelsdebatsmatinals.Les presentemacontinuació:

Propostesperteixirelfuturdel’educaciómatemàtica

Comaresultatdelstreballspresentatsidelsdebatsfetsencadascundelsfilstemàtics delCongrésCatalàd’EducacióMatemàtica - Lleida 2025,s’hanelaboratdivuitpropostesquecreiemquepodencontribuiramillorarlanostraeducaciómatemàtica.Elllistat elaboratnopotserúnicnivolserexhaustiu,isegurquese’npodenformulard’altres, peròaquestéselresultatd’unprocésdereflexióiconsens.Lasevaimplementació requereixl’esforçconjuntdetotselsagentsimplicats,individualsicol¨lectius,en l’educaciómatemàtica.

4.Líniadeltemps:https://sites.google.com/site/matematiquesacatalunya/.

Sobrelaunitatdel’educaciómatemàtica

1.Vetllarperquèelprofessoratdetoteslesetapes,ilasocietatengeneral,prenguin plenaconsciènciaquealafranja 0-8esdesenvolupenelsconeixementsmatemàticsemergentsimprescindiblesperal’aprenentatgematemàticposterior.

2.Garantirunaformacióinicialipermanent,fonamentadairigorosa,alsiles professionalsdelafranja 0-8,focalitzadaenquinsconeixementsmatemàtics ensenyar(contingutsiprocessos),comiperquès’ensenyen.

3.Avançar,acadacentre,enl’iniciielmantenimentd’unalíniadetreballen l’educaciómatemàticaperassegurarunaprenentatgecoherent,profundide qualitatalllargdetotal’escolaritat.

4.Utilitzarelsrecursospropisperassegurarunabonatransicióentreetapes(codocència,espaisdereflexióitrobada,realitzaciód’activitatscomunesendiferents etapes...)ivetllarperquèlesinstànciespertinentsfacinpossibleaquestabona transició(majorestabilitatdelsequipsdocents,oportunitatsdeformacióiajuts alainvestigació).

Sobrel’activitatmatemàticaal’aula

1.Incentivaraccionsenunmateixcentreoencentrespropersquefacilitin l’observaciódidàcticaentreigualsil’anàlisiconjuntad’activitatsperpromoure unamilloradelapràcticadocent.

2.Impulsargrupsdetreballperalacreaciócompartidadeseqüènciesd’activitats, amborientacionssobrelagestióquepermetinatendretotl’alumnat.

3.Generaridifondreactivitatsquemodelitzinlaconnexióentresabersiprocessos matemàticsperfercréixerlacompetènciamatemàticaiqueorientinlesiels docentsenelsprocessosquedesenvoluparàl’alumnatentreballar-les.

4.Treballarl’avaluaciócompetencialenlesjornadesdelesassociacionsque formenlaFEEMCATambpropostesquemostrincomutilitzareinesdiversesd’avaluacióformativaquesiguincoherentsamblamanerad’ensenyari aprendre.

5.Implementarprojectesquecompleixinlescaracterístiquesque,segonslarecerca,facilitenl’aprenentatgematemàticprofund:proporcionantgaudi,tenir potencialtransformadorisertransferibleaaltrescontextos.

6.Teixirvinclesambaltresàmbits,dissenyarprojectesambcontextosdiversosi compartir-losambtotalacomunitatdocentcomaformadedesenvolupament professional.

Sobreelsnousaspectesdelcurrículum

1.Aconseguirlacoherènciaenlaculturadelscentrespelquefaal’avaluaciódels processossocioafectius,aixícomalsignificatd’aprendre id’èxit.

2.Conscienciarqueunatascaricanomésespotgestionarricamentincorporant lamiradasocioafectivaglobal.

3.Duratermeaccionspervisibilitzarelpensamentcomputacionalcomapartdel treballmatemàtichabitual,ajudantelprofessorataserconscientquejaaplica habilitatscomladescomposició,elspatrons,l’algorítmia,l’abstracció,lalògica il’extracciódedades.

4.Treballarperquès’evitiassociarelpensamentcomputacionalúnicamentala programacióol’úsdetecnologia,integrant-lodeformatransversalperenriquir lespropostesd’aulaambestratègiesdiversesieficientsenlaresolucióde problemes.

Sobreelcreixementprofessional

1.Promourequelaformaciódelespersonesquehand’impartirdocènciamatemàticaenlesdiferentsetapeseducatives(infantil,primàriaisecundària)consti decontingutsmatemàticsperal’ensenyamentidecontingutsdedidàcticade lesmatemàtiquespertinentsperalesdiferentsetapes,enelmarcdelsresultats delainvestigacióeducativa.

2.Impulsarquelaformacióserveixiperdesenvoluparlacarreradocenti,alhora, perquèl’alumnatdeCatalunyamillorilasevacompetènciamatemàtica.

Sobrel’educaciómatemàticamésenllàdel’aula

1.Buscar,reforçarocrearcanalsiformatsque,amboriginalitaticreativitat, contribueixinamillorarlaimatgesocialdelesmatemàtiques,del’educació matemàticaidel’oficidemestredematemàtiques,proposantlaformació d’unacomissiódecomunicaciódelaFEEMCAT.

2.Potenciarlacomunicacióentreescolesifamíliesalvoltantdel’educació matemàticaambactivitatsqueincloguinlaparticipaciódel’alumnat:fires, exposicionsdetreballsfetsperalumnes,museusiexposicions,matemàtiques alcarrer,activitatsdelleureeducatiu,butlletins...

6.Consideracionsfinals

Nopodemtancarlacrònicasensedestacariagrairlafeinafetapelsdiferentscomitèsquehan preparatigestionatelC2 EMLleida 2025:l’Organitzador,ambunagraïmentespecialalsseus doscapsmésvisibles,MònicaCardonaiCarmeVicens,elLocal,encapçalatperAlbaCarrasco iFerranMontardit,fentextensivaaquestafelicitacióalarestademembresdelstrescomitès esmentatsielCientífic(méselgrupassessordelcientífic).Femextensivaaquestafelicitació alawebdelCongrés.5

QuedeuconvocatsperalproperC2 EM,quesecelebraràaGironael 2029.

5.Membresdelstrescomitès:https://c2em.feemcat.org/organitzacio/.

Normes per a la presentació de contribucions

1. La revista NouBiaix acceptaper alasevapublicació contribucionsoriginalsrelacionadesamb experiències didàctiques, activitats d’ensenyamen ti aprenentatge,escritsd’opinió,dedivulgaci ói d’investigació enel camp dela matemàtica ielseuensenyamentenqualsevol nivell educatiu

2. Les contribucionsrebudesseran avaluadesprèviamentper dosespecialistesreconeguts. La decisiópresa pelConsell deredacciósobrel’acceptació dela publicació serànotificadadirectamentals autors ambuna indicaci ódeladataaproximadadepublicaci ói el possiblerequeriment d’introduir modificacionseneltext.

3. Pera lapresentaci ódetreballsoriginals, elsautorstrametran al’adreçanoubiaix@gmail.com un arxiu, en Word oenLaTeX.Els gràfics, elsdiagrames iles figureshaurandeser originals(no fotocopiats). Els arxius gràficsespresentaran en format epso tif.

4. La contribució hauràd’incorpora reltítol,elnom de l’autoro autors,lasevaadreçapostalprofessional completai la sevaadreça electròn ica.S’adjuntaràunresum només llarg de 300 paraules en català ianglès. Al finaldel document s’inclouràobligatòriamen tlabibliografiaper ordrealfabètic de cognoms,d’acordamb la normativaAPA, com enelsexemplessegüents:

Articles

Albertí, M. (2002).Les matemàtiquesdesd’unaperspectivacultural:Etnomatemàtiques Biaix, 20,6-25.

Llibres

Godino,J., Font,V.(2003) Razonamiento algebraicoparamaestros.Granada :Universidad de Granada. Capítols dellibres

Edo,M.,Revelles, S. (2004).Situacionesmatemática spotencialmentesignificativas. Dins M. Antóni B. Moll (ed.), Educación Infantil.Orientacionesy Recursos (0-6 años) (p.410/103-410/179).Barcelona:Praxis.

Actesdecongressos

Morales, M.,Font, V.,Planas, N. (2004).Estudiomicroetnográfico en tornoa un conocimiento matemático situado. Dins A.Franzé ialtres(ed.), ActasdelaI ReuniónCientíficaInternacional sobreEtnografía y Educación (CD-ROM).València: Germanía,Polis Paideia.

Pàginesweb

Geogebra pera Infantil iPrimària. https://www.geogebra.org/m/tkdC27m f

5. Els contingutsde NouBiaix estansubjectes llevatque s’indiquiel contrarieneltext, en lesfotografies oenaltresil.lustracions— auna llicència de Reconeixement-No comercial-Sense obra derivada 3.0deCreativeCommons,eltext completdela qual es pot consultar ahttp://creativecommons.org/ licenses/by-nc-nd/3.0/es/deed.ca. Així,doncs,s’autoritza el públic en generala reproduir,distribuir i comunicarl’obra,sempreque es reconegui l’autoriai l’entita tquela publica, inose’nfaciunús comercial ni se’n difongui capobraderivada.

6. Elsarticlesespublicara nen llenguacatalana.Només es traduiranalcatalàles contribucions acceptadesd’autorsnoresidents alsPaïsosCatalans.

7. Elsautorsesresponsabilitzarandel complimen tdeles normes establertesper al’autoritzaciódela reproducciódematerialprocedent d’altres fontsbibliogràfiques

8. Elsarticlestindran unaextensiómàximade 8000 paraules,inclosesles notesa peudepàgina,però s’acceptenarticles méscurts,d’entre 2000 i 4000 paraules

9. Femnotar queenaquesta publicació s’utilitza preferentmen telpuntper separardecimals, en lloc dela comarecomanadaper l’IEC, pertal defacilitarla comprensi ódeles expressionsmatemàtiques.