BSCM, 32-1

BUTLLETÍ

DE LA SOCIETAT CATALANA DE MATEMÀTIQUES

Institut d’Estudis Catalans

Volum 32 ● Número 1 ● Juny 2017

BARCELONA

©delsautorsdelsarticles

EditatperlaSocietatCatalanadeMatemàtiques filialdel’Institutd’EstudisCatalans CarrerdelCarme,47 08001Barcelona

Textrevisatlingüísticament perlaUnitatdeCorrecciódelServeiEditorialdel’IEC.

ImprèsaLimpergraf,SL

ISSN:0214-316-X DipòsitLegal:B 19272-1987

Sónrigorosamentprohibides,sensel’autoritzacióescritadelstitularsdel copyright,lareproducciótotaloparciald’aquestaobraperqualsevolprocedimentisuport,incloent-hilareprografia ieltractamentinformàtic,ladistribuciód’exemplarsmitjançantllogueroprésteccomercial,la inclusiótotaloparcialenbasesdedadesilaconsultaatravésdexarxatelemàticaod’Internet. Lesinfraccionsd’aquestsdretsestansotmesesalessancionsestablertesperleslleis.

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.32,núm.1,2017

Índex

JuditAbardia-Evéquoz

Elcosdiferènciaielcosdeprojeccióengeometriaconvexa.......................5

ArmengolGasulliMireiaLlorens

Càlculd’integralsusantsistemesdinàmicsdiscrets...............................45

JordiMassó

LesaportacionsdeJohnF.Nashal’economia:equilibriinegociació.............73

Englishsummaries......................................................................95

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.32,núm.1,2017.Pàg.5–44. DOI:10.2436/20.2002.01.72

Elcosdiferènciaielcosdeprojecció engeometriaconvexa

JuditAbardia-Evéquoz

Resum: Enaquestarticlepresentemnocionsiresultatsclàssicsdegeometriaconvexaquesónobjectederecercaactual,sovintperquèhantrobataplicacionsales novestecnologies.Enscentrementresfamíliesdeconvexos:lesel.lipses,elscossos centralmentsimètricsielszonoides,iendonemalgunesdelessevesaplicacionsen diferentsàreesdelageometria.Perexemple,demostremelprimerteoremafonamental deMinkowskidelageometriadenúmeros,l’existènciad’unel.lipsoideambvolum màximcontingutadinsd’unconvex—l’anomenatel.lipsoidedeJohn—iestudiem elproblemadeShephard,queplantejasihihaparellesdeconvexostalsquel’unté volumméspetitquel’altre,iàreadelesprojeccionsmésgran.Elsconvexoscentralmentsimètricsielszonoides,tambéelsdescriuremcomaimatgedecertsoperadors fonamentalsengeometriaconvexa:l’operadordiferènciail’operadorprojecció.Ala primerapartdel’article,presentemelsconceptesbàsicsquefaremservirifemuna petitaescapadaalageometriacombinatòria,presentantelteoremadeHellyialgunes delessevesconseqüències.

Paraulesclau: teoremadeHelly,cosdiferència,cosdeprojecció,convexcentralment simètric,el.lipsoide,zonoide,desigualtatdeRogers-Shephard,desigualtatdePetty. ClassificacióMSC2010: 52A20.

1Introducció

Unconjunt K del’espaieuclidiàdiemqueés convex sidonatsdospunts p i q de K,elsegmentqueelsuneixestàcontinguta K.Figuresgeomètriqueselementalsbenconegudes,comeldisc,elspolígonsregulars,elsparal.lelograms...,o elsseusanàlegsal’espai,sónexemplesdeconvexos.Percontra,unaestrella olavorad’undiscnosónconjuntsconvexos.

Moltesfamíliesdeconvexos,comlesesferes,lesel.lipses,elstriangles, etc.,hanestatestudiadesdesdel’antiguitat.Espotdirquel’estudisistemàtic delscossosconvexosvacomençar,però,alsegle xix ambelstreballsde Cauchy,Steiner,BrunniMinkowski,ivasercontinuatperBlaschke,Hadwigeri Aleksandrov,comanomsprincipalsimésreconegutsendiversesàreesdeles

matemàtiques.LacitaciósegüentdeKlee[9]ensserveixpersituarlageometria convexadinsdelesmatemàtiques:

L’estudidelsconjuntsconvexosésunabrancadelageometria,l’anàlisiil’àlgebralinealqueténombrosesconnexionsambaltresàreesdelesmatemàtiquesi ajudaaunificarmoltsfenòmensmatemàticsaparentmentdiferents.Tambéés rellevantadiversesàreescientífiquesitecnològiques.

Algunesdelesàreesonelscossosconvexosapareixendemaneranatural són:geometriadenúmeros,anàlisifuncional,equacionsenderivadesparcialsi programaciólineal,entred’altres.

L’objectiud’aquestarticleéspresentaralgunesdelesnocionsfonamentals engeometriaconvexaquepermetinallectorfer-seunapetitaimatgedelsseus temesd’estudiaixícomdelessevesaplicacionsitècniques,algunesvegades elementals.Enlaseleccióquehemfetenshemvolgutcentrarenresultatsi nocionsintuïtivesperòquetenenunpaperimportanteneldesenvolupament delageometriaconvexa.Perdescomptat,aquestaseleccióestàinfluïdaperles preferènciesdel’autorailallargadadel’articlequeteniuentremans.

Elsresultatsquepresentemsecentrenentresfamíliesdeconvexos—les el.lipses,elsconvexoscentralmentsimètricsielszonoides—ienduesmaneres deconstruirnousconvexos—l’operadordiferènciail’operadorprojecció.

Cadaundelsconjuntsdeconvexosanteriorsformauna«família»enel sentitquesisumem(respectedelasumadeMinkowski,vegeuladefinició5) doscossosdelconjunt,n’obtenimundelmateixconjuntisifemellímit (respectedel’anomenadadistànciadeHausdorff,vegeuladefinició7)d’una successiódecossosdelconjunt,ellímittambéésdelconjunt,ésadir,els conjuntsdeconvexosanteriorssóntancatsperpasallímitiperlasumade Minkowski.

Lesfamíliesanteriorsproporcionenexemplessenzillsperònotrivialsde convexos,quesónimportants,perexemple,perverificarconjecturesoper reduirproblemesgeneralsad’altresdeméssenzills.Unproblemaparticularmentimportantengeometriaconvexaconsisteixenlapossibilitatd’aproximar uncertconvexperconvexosd’unadeterminadafamília(vegeul’exempledela p.10).

D’altrabanda,elcosdiferènciaideprojecciórepresentenduesconstruccionsclàssiquesengeometriaconvexaquehandonat(iestandonant)lloca resultatsimportantsquehantrobatdiversesaplicacions.Aquestesconstruccionssatisfanpropietatsgeomètriquesnaturals;perexemple,sóninvariants respectedetranslacions,ésadir,laimatged’unconvexiundesplaçatésla mateixa.Unapartdelageometriaconvexaestudiaquinessónlespropietats mínimesques’handedemanarperobtenirunoperador,ésadir,estudia problemesdecaracterització.

Elsteoremesdeclassificacióocaracteritzaciótenenunpaperimportanten diferentsàreesdelesmatemàtiquesiengeometriaconvexahandespertatun interèscreixentenlesdarreresdècades.Presentaremalgunsdelsteoremesde caracteritzacióperalcosdiferènciaielscosdeprojecció.

L’articles’organitzaentresseccions.Alasecciósegüentintroduïmlesdefinicionsbàsiquesquefaremserviralllargdel’articleipresentemelsteoremes mútuamentequivalentsdeHelly,CarathéodoryiRadon,basedelageometria combinatòria.Despréstractemelcosdiferència,elsconvexossimètricsrespectedel’origenilesel lipses.Al’últimasecciópresentemelcosdeprojecció.El cosdeprojecciód’unconvex K defineixunnoucosconvexapartirdel’àreade laprojeccióde K acadaundelshiperplansdel’espai.Elcosdeprojeccióés undelsobjectesprincipalsen«tomografiageomètrica»,l’àreadelesmatemàtiquesqueestudiacomobtenirinformaciódecossosgeomètricsconeixent-ne informaciódelesprojeccionsoseccions(vegeuelmonogràfic[4]).Undels problemesclàssics,ambsolucióprousorprenent,ésl’anomenatproblemade Shephard,queseràtractatalfinald’aquestarticle,iqueplantejalaqüestió següent:sil’àreadelaprojecciód’unconvexal’espaienunplaésméspetita quel’àreadelaprojecciód’unaltreconvexenelmateixpla,peratotpla,és certqueelprimerconvextévolumméspetitqueelsegon?

2Algunesnocionsiteoremesbàsicsdeconvexitat

Enaquestaseccióintroduïmlesnocionsdeconvexitatquefaremserviralllarg detotl’article.Aprofitemtambéperpresentarteoremesclàssicsdegeometria convexa,ques’emmarquenenlageometriacombinatòria.

Definició 1. Siguin n ≥ 2i K ⊂ Rn , K ≠ ∅.Diemque K ésunconjunt convex siperatotaparelladepunts x,y ∈ K escompleix λx + (1 λ)y ∈ K pera tot λ ∈ [0, 1].Ésadir,peratotaparelladepunts x,y ∈ K,elsegmentqueels uneixestàcontinguta K. Denotaremper Kn l’espaidelsconjuntsde Rn quesónconvexosicompactes.

Donats p,q ∈ Rn,denotemper [p,q] elsegmentqueuneix p i q

Figura 1: Dosconjuntsconvexosidosdenoconvexos.

Definició 2. Diemque K ⊂ Rn té dimensió m si K ⊂ E on E éselsubespaiafí méspetitqueconté K i E ésdedimensió m. Perexemple,unpunttédimensió0,unsegmenttédimensió1,undiscté dimensió2iunabolaa Rn tédimensió n.

Definició 3. Sigui A ⊂ Rn.El diàmetrede A, diam(A),estàdonatpelsuprem deladistànciaentredospuntsdelconjunt,ésadir,

diam(A) := sup{d(x,y) : x,y ∈ A}. Comadistància,consideremladistànciaeuclidianausual.

Unadelesprimerespreguntesqueenspodemferéscompodemobtenir nousconvexosapartirdeconvexosdonats.Perexemple,la intersecció de conjuntsconvexosésunconjuntconvex.Lademostraciód’aquestaafirmació sesegueixdirectamentdeladefiniciódeconvexideixemallectorreflexionar-hi unmoment.

D’altrabanda,launiódeconvexosnosempreésunconvex. Lesoperacionsdedilatació,reflexióal’origenitransformacióafíenspermetendefinirnousconvexos(encaraquemoltrelacionatsambl’original):

Definició 4 Sigui K ∈Kn i α ≥ 0.La dilatacióde K per α,quedenotem per αK,estàdefinidacom

αK ={x ∈ Rn : x = αy amb y ∈ K}

La reflexióde K,quedenotemper K,esdefineixcom

K ={x ∈ Rn : x ∈ K}.

Denotemper GL(n) ={g ∈ Mn×n : det g ≠ 0} elgrupdematriusinvertibles n × n iper GL(n) Rn elgrupdedesplaçaments,ésadir,elgrupde transformacionslinealsseguidesd’unatranslació.La transformacióafí de K per g ∈ GL(n) i p ∈ Rn esdefineixcoma

gK + p ={x + p ∈ Rn : x ∈ K}

Figura 2: Dilatacióireflexiódeltriangle T

Acontinuaciópresentemunadelesoperacionsbàsiquesquedefineixun nouconvexapartirdedosdedonats:lasumadeMinkowski.

Definició 5. Siguin K,L ∈Kn.La sumadeMinkowski de K i L,quedenotem per K + L,estàdefinidaapartirdelasumavectorialdelspuntsde K ide L: K + L :={x + y ∈ Rn : x ∈ K,y ∈ L}.

ObservemquelasumadeMinkowskinoésinvariantpertranslacions,és adir,elresultatdepènd’onestàsituatelconvex:si t ∈ Rn iconsideremel convex {t},queconsisteixenunúnicpunt,llavorslasumadeMinkowski K = K +{t} éselconvex K desplaçatper {t} i K + L = K +{t}+ L = (K + L) +{t}.

Figura 3: SumadeMinkowskid’unrectangleiundisccentratal’origen, onhemdibuixateldiscdiversesvegadesperveurecomesvaconstruint lasuma.

Unadelespartsmésrellevantsengeometriaconvexaestudialarelacióentre lasumadeMinkowskiielvolum.Aquí,però,gairebénotractaremd’aquesta partdelageometriaconvexa,conegudacoma teoriadeBrunn-Minkowski. Unagranpartd’aquestateoriaestudiadesigualtatsentrediferentsmesures geomètriquescomelvolum.Probablement,ladesigualtatmésconeguda,iuna delesmésimportants,querelacionalasumadeMinkowskiielvolum, Vn,és la desigualtatdeBrunn-Minkowski:

n(K + L)1/n ≥ Vn(K)1/n + Vn(L)1/n , ∀ K,L ∈Kn (1)

EllectorpottrobarinformaciódetalladasobreladesigualtatdeBrunnMinkowskiilessevesaplicacionsal’articled’OriolSerra[15],aparegutenel ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques

Talcomhemcomentat,lareuniódeconvexosnoésconvexa,peròsi K ∪ L ∈ Kn amb K,L ∈Kn,llavorsescompleixlasegüentigualtat:

Proposició 6. Siguin K,L ∈Kn talsque K ∪ L ∈Kn.Llavors, K ∪ L + K ∩ L = K + L. (2)

Podemprovarlaigualtatanteriorcomaigualtatentreconjuntsdemanera directa.Deixem,però,lademostracióperamésendavantcomaexemple d’aplicaciódelafunciósuport,nocióinevitableengeometriaconvexa.

Sovintnecessitaremunatopologiaal’espaideconvexos,perexemple,per parlard’aplicacionscontínuesdefinidesenaquestespai,operdonarsentit al’aproximaciódeconjuntsconvexos.Acontinuació,definimladistànciade Hausdorff,quedefineixlatopologiausuala Kn .

Definició 7. Siguin K,L ∈Kn.La distànciadeHausdorff entre K i L està donadaper dH (K,L) = min{λ ≥ 0: K ⊂ L + λBn,L ⊂ K + λBn}=

Notemque K + λBn denotaelconjuntobtingutsumanta K unabolade radi λ iqueaixòcorresponaferelconjuntparal lela K adistància λ (vegeula figura3).

Pertant, (3) ensdiuqueladistànciadeHausdorffentreelsconvexos K i L l’obtenimconsiderantelparal.lelméspetitde K queconté L,elparal.lelmés petitde L queconté K id’aquestsdosvalorstriemladistànciamésgran.

Exemple. LadistànciadeHausdorfftambés’utilitzaperaestudiarsiunconvex espotaproximarperunacertafamíliadeconvexos.Unexempleconsisteix apreguntar-seperlapossibilitatd’aproximarunquadratfixatperhexàgons oviceversa—aproximarunhexàgonfixatperquadrats.Unapetitareflexió ipotseralgundibuixensportaadirquesíqueéspossibleaproximarun quadratperhexàgons(femcostatscadavegadaméscurts),perònoéspossible aproximarunhexàgonperquadrats,jaque«nopodemferaparèixercostats»de maneracontínua,respectedeladistànciadeHausdorff.Aquestesafirmacions esdemostrenrigorosamentfentservirlafunciósuportqueintroduiremmés endavant.

Sovintésinteressantpoderdefinirunconjuntconvexapartird’unconjunt qualsevol.Perfer-ho,s’utilitzal’embolcallconvex.

Definició 8. Sigui A ⊂ Rn unconjuntqualsevol. L’embolcallconvexde A, conv(A),éslaintersecciódetotselsconvexosde Rn quecontenen A

Observació. L’embolcallconvexd’unconjunt A ⊂ Rn és,efectivament,un conjuntconvex.Aquestfetsesegueixdeladefinició,jaquelainterseccióde convexosésunconvex.Amésamés, conv(A) éselconjuntconvexméspetit queconté A.Pertant,si A ∈Kn,llavorsconv(A) = A.

ElteoremadeCarathéodorydonaunamaneradesabersiunpuntestà contingutal’embolcallconvexd’unconjunt,o,equivalentment,unamaneraper construirl’embolcallconvex.Abansd’enunciar-lorecordemalgunesdefinicions.

Definició 9. Diemque k punts x1,...,xk a Rn són afinmentindependents sino existeixennúmeros λ1,...,λk nototsigualsazerotalsque λ1x1 +···+ λkxk = 0.

Siguin x1,...,xk de Rn.Qualsevolpuntdelaforma x = λ1x1 +···+ λkxk amb λ1,...,λk ≥ 0i λ1 +···+ λk = 1s’anomena combinacióconvexa dels punts x1,...,xk.

El símplexestàndard a Rn ésl’embolcallconvexdel’origenielspunts ei = (0,..., 0, 1, 0,..., 0).A R2 éseltriangleambvèrtexs (0, 0), (1, 0) i (0, 1).

Un símplex éslaimatgeperaunatransformacióafídelsímplexestàndard.

Elscossosdiferènciaideprojeccióengeometriaconvexa 11

Teorema 10 (teoremadeCarathéodory(1914)). Sigui A ⊂ Rn , A ≠ ∅.Llavors, conv(A) éselconjuntdetoteslescombinacionsconvexesdepuntsde A afinmentindependents.Ditd’unaaltramanera, conv(A) s’obtéapartirdela reuniódetotselssímplexsambvèrtexsa A.

Unainterpretaciómecànicadel’embolcallconvexde m punts {x1,...,xm}⊂ Rn espotdonar,doncs,dientqueunpunt x ésdel’embolcallconvexde {x1,...,xm} si x éselcentredegravetatdelspunts {x1,...,xm} ambmasses (nonegatives) λ1,...,λm.Jael1816,Gaussvadonarunainterpretaciósimilar del’embolcallconvexde m puntsde Rn

NotemqueelteoremadeCarathéodoryesdevéespecialmentefectiuperdeterminarsiunpuntésdel’embolcallconvexd’unconjunt A,si A nomésconté unnombrefinitdepuntsi,peraixò,hatrobatnombrosesaplicacions.Enaquest articlevolemaprofitarperdonarl’enunciatialgunesaplicacionsd’unaformulacióequivalentdelteoremadeCarathéodory,elteoremadeHelly.Probablement undelsteoremesmésconegutsenconvexitat.

AbansdepassaralapresentaciódelteoremadeHellyenunciemelteorema deRadon,tambéequivalentalsteoremesdeCarathéodoryiHelly.

Teorema 11 (teoremadeRadon(1921)). Sigui A ≠ ∅ unsubconjuntde Rn quecontéalmenys n + 2 punts.Llavors,hihasubconjunts B, C de A talsque A = B ∪ C, B ∩ C =∅ però conv(B) ∩ conv(C) ≠ ∅.

2.1Geometriacombinatòria:elteoremadeHelly

Lageometriacombinatòriaestudiaelsaspectespuramentcombinatorisde lageometriaconvexa.Així,engeometriacombinatòrianoesconsiderenles propietatsmètriquesdelsconvexos.Elterme«geometriacombinatòria»sembla quevaserutilitzatperprimeravegadaperHopf(1894–1971).

Enaquestapartatdonemnomésundelsteoremesmésconegutsengeometriacombinatòriaiduesdelessevesaplicacions,comapetitamostradels resultatsd’aquestaàrea,sovintsenzillsd’enunciar.Peramésinformaciósobre geometriacombinatòriaiaplicacionsdelteoremadeHelly,recomanemallector l’articledeDanzer,GrünbaumiKlee[3].

Teorema 12 (teoremadeHelly(1913)). Sigui F unafamíliadeconvexoscompactesde Rn.Siperacadasubfamíliade n + 1 elementsde F hihaunpunt contingutatotselselementsd’aquestasubfamília,llavorshihaunpuntcontingutatotselselementsde F

Alpla R2,elteoremaanteriorafirmaquesitenimunafamíliadeconvexos talsquelaintersecciódecada3d’ellsnoésbuida,llavorsestallentots.La figura4enmostraunexempleiposademanifestqueelteoremanoéscertsi tenimintersecciónoméscada n convexosencomptesde n + 1osielsconjunts nosónconvexos.

Figura 4: UnexempleonpodemaplicarelteoremadeHellyidoscasos onnoelpodemaplicar.

Elteorema12vaserdescobertperHellyel1913,encaraquenovapublicarnelademostraciófinsal1923a[7].L’article,deduespàginesipublicatal butlletídelaSocietatAlemanyadelsMatemàtics,començaaixí:

ElsenyorRadonvapublicarel1921a Mathem.Annalen lademostraciód’un teoremaquejohaviautilitzatsensedemostracióenunapresentacióalaSocietat MatemàticaVienesaabansdelaguerra.Comquecrecquelamevademostracióoriginal,desprésdeladeRadon,segueixsentd’interès,vullesbossar-la breumentenelquesegueix.

Tambécalcomentarquejustl’any1922,KönighaviapublicatunademostraciósemblantaladeHelly,quiescriucomanotaalpeudepàgina:

Nomésdesprésd’haverredactataquestanotavaigserinformatpelsenyor BieberbachdelademostraciódelteoremaqueelsenyorKönigdonaa Math. Zeitschr.,vol.14,p.208,laqual,enelcasqueestractid’unaquantitatfinita deconjunts,ésessencialmentidènticaalaquedonemaquí.

LademostraciódeHelly(iKönigperalaprimerapart)segueixsentuna delesmésintuïtivesigeomètriquesqueesconeixendelteorema12,per béquedesd’aleshoresdiversosautorsn’handonatdenoves.Acontinuació reproduïmlademostraciópublicadaperHelly,adaptantalgundelsarguments ilaterminologia.Introduïm,però,primerlanociódeseparabilitatdedos conjunts.

Definició 13. Siguin A,B ⊂ Rn.Diemque A i B són separables (perunhiperplà)siexisteixunhiperplà H ambvectornormal u talque A ⊂ H+ , B ⊂ H i A ∩ H = B ∩ H =∅ on H± ={x ∈ Rn : x, ±u ≥ 0}, H = H+ ∩ H .

Observemquesi K,L ∈Kn sóndosconvexostalsque K ∩ L =∅,llavors K i L sónseparables(vegeulafigura5). K u H L

Figura 5: Elsconvexos K i L separatsperlarecta H perpendiculara u

Elscossosdiferènciaideprojeccióengeometriaconvexa 13

DemostraciódonadaperHellydelteorema 12. Si n = 1,llavorsl’enunciatéssenzilldedemostrar,jaqueelsúnicsconjuntsconvexosde R sónels segments.

Suposemprimerqueelnombred’elementsde F ésfinitidenotem-loper p. Lademostraciópera n ≥ 2esfaperdobleinduccióen n i p.Suposemque l’enunciatéscertperatot p ∈ N finsadimensió n 1.Volemprovar-lo peradimensió n itot p.Primerobservemquesi p ≤ n + 1,l’enunciatdel teoremaéstrivial.Suposem,doncs,quel’enunciatéscertpera p>n + 1i provem-lopera p + 1.Sigui F={K1,...,Kp,K} unafamíliaamb p + 1elements quecompleixlahipòtesidelteoremaisuposemquetéinterseccióbuidaper arribaracontradicció.Denotemper L elconvex K1 ∩ K2 ∩···∩ Kp.Perhipòtesi sabemque L contéalmenysunpunt.Tambétenimqueésunconvex,perser intersecciódeconvexos,iqueéstancat,jaquecada Ki,1 ≤ i ≤ p,éstancat.A mésamés,comque K ∩ L =∅,existeixunhiperplà H quesepara K de L

Perarribaracontradicció,provemque L ∩ H ≠ ∅.Considerem Li,1 ≤ i ≤ p,elconvexinterseccióde K1,...,Ki 1,Ki+1,...,Kp.Clarament L ⊂ Li Perhipòtesid’induccióen p tenim K ∩ Li ≠ ∅.Així, Li contépuntsde K i de L.Pertant,elsconvexos ki := Ki ∩ H sónnobuits.Perhipòtesid’inducció en n,podemaplicarelteoremaalacol lecció {k1,...,kp}⊂ H,d’ondeduïm k1 ∩···∩ kn ≠ ∅.Finalment, L =∩iLi implicaque L ∩ H =∩iki,contradient elfetque H separa K i L

Aixíhemprovatquel’enunciatéscertsilafamíliacontéunnombrefinit d’elements.Lavalidesadelteoremaperaunafamílianumerablesesegueix apartird’afegirconvexosdemanerasuccessiva,tenintencomptequecada convexéstancat.

Demostremelresultatperafamílies F nonumerables(queseranlesque consideraremenlesaplicacionsdonadesacontinuació).Sigui N⊂F una famílianumerable.Peraaquestasabemqueelteoremaescompleix.Denotem per L elconvexcomúatotselselementsde N iper r ladimensióde L (vegeuladefinició2).Denotemper v elvolumdedimensió r de L.Definim r0 := min{r : r = dim(L)} on L éselconvexcomúaunafamílianumerable de F .Notemqueaquestmínimexisteix,jaqueladimensiód’unconvexnomés prenunnombrefinitdevalors(elsentersde0a n = dim Rn).Apartird’ara consideremnoméslessubfamíliesnumerablesde F talsqueladimensiódel convexcomúassociat L és r0 idenotemper v0 l’ínfimdelsvolumsdels L. Perdefiniciód’ínfim,existeixunasuccessiódefamílies {Ni}i∈N talquela successiódelsvolumsdelsconvexosassociatstendeixa v0.D’altrabanda, lasubfamíliaquecontétotselselementsdecada Ni, i ∈ N,iquedenotem per N0,ésnumerablei,pertant,existeixunconvex A contingutacadaundels elements.Afirmemque A estàcontingutatotselselementsde F .Enefecte, sinofosaixí,tindríemunconvex K talquenoconté A.Aleshores,lafamília numerableformadapelselementsde N0 i K téintersecciónobuidaiaquesta téobédimensióméspetitaque r0,obévolumméspetitque v0.Enelsdos casosobtenimunacontradicció,ambladefinicióde r0 o v0.Així,elteorema quedaprovatperatotafamíliadeconjuntsconvexoscompactes. ✷

2.1.1ElteoremadeKrasnosel’skiˇ ı Abansd’enunciarelteoremaenscal introduirlanocióintuïtivade«puntsvisiblesdesd’unaltre».

Definició 14 Sigui A ⊂ Rn compacte.Siguin p,q ∈ A.Diemque p veu q a travésde A obéque q ésvisibledesde p a A sielsegment [p,q] (elsegment ambextremselspunts p i q)estàcontinguta A

Observemquesi A ésunconjuntconvex,llavorstotselspuntsde A veuen atravésde A totselspuntsde A.Els conjuntsestrellats sónunageneralització delsconjuntsconvexosiespodendefinir,apartirdelanocióanterior,com aquellsconjunts A ⊂ Rn peralsqualsexisteixunpunt p ∈ A queveuatravés de A totselsaltrespuntsde A (vegeulafigura6).

Figura 6: Unconjuntestrellatdesdelpunt P

Teorema 15 (Krasnosel’skiˇi(1946)). Sigui A ⊂ Rn compacte.Sicada n + 1 puntsde A veuenunmateixpuntde A atravésde A,llavors A ésestrellat.

UnamaneradereformularelteoremadeKrasnosel’skiˇıenunagaleriad’art éslasegüent:Suposemquesomenunagaleriad’artiqueenspodemmoure demaneraque,estantdrets,trobemunpuntdesdelqualveiemtresdels quadresexposats,iquemovent-nospodemarribaraveurecadagrupde tresquadres.Llavors,sabemquepodemtrobarunllocdesdelqualpodrem veuretotselsquadres,sensemoure’ns(nomésgirantsobrenosaltresmateixos).

ElteoremadeKrasnosel’skiˇıespotobtenircomacorol laridelteoremade Helly.Enefecte,peracadapunt p ∈ A definimelconjunt Sp formatpertots elspuntsqueveu p atravésde A.PerlahipòtesidelteoremadeKrasnosel’skiˇ ı sabemquecadaconjunt Sp éscompacteiquelainterseccióde n+1conjunts Sp ésnobuida.Llavors,pelteoremadeHellypodemafirmarquehihaunpunt q quepertanyalaintersecciódetotselsconjunts conv(Sp).Faltaveureque q ∈ Sp.L’argumentpercontradiccióqueprovaaquestfet,nol’incloemen aquestarticle(vegeu[3]).

2.1.2ElteoremadeSantaló Elsdosresultatssegüentss’emmarquenen l’estudidelestransversalscomunesaunafamíliadeconvexos.

Definició 16. Sigui F unafamíliadeconvexosde Rn.Anomenem k-transversal de F un k-pla(i.e.,subespaiafídedimensió k)quetallacadaelementde F

Teorema 17 (Santaló(1942)). Sigui S unafamíliadesegmentsparal.lelsa R2 demaneraquecadatressegmentsadmetenunatransversalcomuna.Llavors, hihaunatransversalcomunaatotselselementsde S.

Figura 7: Unatransversalcomunaasegmentsparal.lels.

PodemdemostrarelteoremaanteriorcomaplicaciódelteoremadeHelly. Deixem,allectorinteressat,pensarlademostració.L’articleoriginaldeSantaló estàreproduïtalaSelecta[13]ilasolució,aplicantelteoremadeHelly,espot trobara[3].

Santalóvaobtenirelresultatcomacasparticulardelteoremasegüent,a Rn iperaparal.lelepípedes.Perademostrar-lo,Santalós’inspiraenlademostració originaldeRadondelteoremadeHelly.

Teorema 18 (Santaló(1940)). Sigui P unafamíliadeparallelepípedesa Rn i u1,...,un ∈ Rn , n direccionsfixades.Suposemquecadacostatdelsparallelepípedesésparal.lelaunadeles n direccionsfixades.Suposemqueperacada subconjuntde 2n 1(n + 1) (respectivamentde 2n 1(2n 1))parallelepípedes existeixunhiperplà(respectivamentunarecta)quetallacadaundelsparallelepípedesdelsubconjunt.Llavors,existeixunhiperplà(respectivamentuna recta)quetallatotselsparal.lelepípedesde P.

ElteoremadeHellymateixespotinterpretarcomunresultatqueestudia les0-transversals,jaquedonal’existènciad’unpuntcontingutacadaundels elementsdelafamíliaconsiderada.

L’any1935,Vicensinivacomençaraestudiarl’existènciade k-transversals perafamíliesdeconvexos.Recentment,lateoriadetransversalscomunesha tornatadespertarinterèsgràciesal’apariciódelageometriacomputacional.

Unproblema,queencaraavuisemblaobertijaplantejatperSantalóel1940, demanasiéspossibleestablirunanàlegdelteorema18pera k-plans,2 ≤ k ≤ n 2.

2.2Funciósuport

Enaquestapartatdefinimunamaneraanalíticaderepresentar,unívocament, unconjuntconvex:lafunciósuport.Aquestafunciópermettreballarambels conjuntsconvexosidefinir-nedenousdeformasenzilla.

Definició 19. Sigui K ∈Kn.La funciósuport de K, hK : Rn → R,estàdefinida coma

hK (u) := max{ u,x : x ∈ K},u ∈ Rn , ondenotemper u,x elproducteescalarentredosvectorsde Rn.Sovint escriurem h(K,u) encomptesde hK (u).Notemqueelmàximquedefineixla funciósuportexisteixperatot K ∈Kn i u ∈ Rn jaque K éscompacte. L’hiperplàdesuport enladirecció u estàdefinitper

H(K,u) ={x ∈ Rn : x,u = hK (u)},u ∈ Sn 1 .

Si u ∈ Rn \{0},llavorslafunciósuportendirecció u ∈ Sn 1 mesura ladistànciaambsignedesdel’origenalafronterade K,talcommostrala figura8.Ladistànciaésnegativasiinoméssielvector u normalal’hiperplà desuportapuntacapalsemiespaiquecontél’origen.

H(K,u) hK (u)K u 0 hK ( u)

H(K, u)

Figura 8: Rectesdesuportifunciósuporta K enladirecció u i u

Exemples. (i) Lafunciósuportdelconvex {p} on p ∈ Rn éslafunciólineal h{p}(u) = p,u

(ii) Si K = Bn éslaboladedimensió n a Rn centradaal’origenideradi1, llavors hBn (u) = u, u u = u

(iii) Suposemque K ∈Kn estàcontingutenunhiperplà H ambvectornormal u0 ∈ Sn 1.Llavors, hK (λu0) = 0peratot λ ∈ R.

(iv) Si K = [ v,v] ésunsegmentqueuneix v i v,llavors h[ v,v](u) = | u,v |.

Donat K ∈Kn iunsubespaiafí E denotemper K|E elcosconvexcontingut a E iobtingutapartirdelaprojeccióortogonalde K a E.

Proposició 20 (propietatsdelafunciósuport). Sigui K ∈Kn.Lafunció suportde K és

(i)1-homogènia, i.e., hK (αu) = αhK (u) peratot α> 0;

Elscossosdiferènciaideprojeccióengeometriaconvexa 17

(ii) convexa, i.e., hK (u + v) ≤ hK (u) + hK (v) peratot u,v ∈ Rn; (iii) additivarespectedelasumadeMinkowski, i.e., hK+L(u) = hK (u)+hL(u); (iv) monòtona, i.e.,si K ⊆ L, llavors hK (u) ≤ hL(u) peratot u ∈ Rn .

(v) Amésamés,si E ⊂ Rn ésunsubespaivectorial,llavors h(K|E,u) = h(K,u) peratot u ∈ E.

Prova. Lespropietatsanteriorssesegueixendirectamentdeladefiniciódela funciósuportidelespropietatsdelproducteescalar.

Demostremnomés(v)comaexemple.Recordemquesi E ésunsubespai vectorialde Rn,llavorspodemexpressartotselspunts x ∈ Rn com x = v + w on v ∈ E, w ∈ E⊥.Llavors, u,x = u,v + w = u,v ,que,juntamentamb ladefiniciódefunciósuport,ensdonenlapropietat(v). ✷

Elresultatsegüentésfonamentalengeometriaconvexa,jaquepermet definirconvexosdemaneraanalítica.Lasevademostraciónoésdirectaino ladonaremaquí.Se’npodentrobar3demostracionsdiferentsalllibrede Schneider[14],unmonogràficdegeometriaconvexa,quetractaespecialment sobrelateoriadeBrunn-Minkowski,iques’haconvertitenindispensablepera tothomquitreballaoutilitzalageometriaconvexa.

Teorema 21 (caracteritzaciódelafunciósuport). Unafunció f : Rn → R és 1-homogèniaiconvexa,ésadir,

f(αu) = αf(u),f(u + v) ≤ f(u) + f(v), peratots u,v ∈ Rn,α> 0, siinoméssiexisteix K ∈Kn talque f éslafunciósuportde K, i.e., f = hK

Apartirdelapropietat(iii)delaproposició20podemcalculardemanera moltméssenzillalafunciósuportd’unconvexsielsabemescriurecoma sumadeMinkowskidedosconvexosdelsqualsconeixemlafunciósuport.Per exemple,elquadrat Q ambvèrtexs (±1, 1), (1, ±1),espotescriurecomasuma delssegments [ (1, 0),(1, 0)] i [ (0, 1),(0, 1)].Aixídoncs, hQ(u) =| u,(0, 1) |+| u,(1, 0) |

Apartirdelafunciósuportesdefineixl’ampladad’unconvexenuna direcció.

Definició 22. Sigui K ∈Kn i u ∈ Sn 1.L’amplada de K enladirecció u es defineixcom

w(K,u) = h(K,u) + h(K, u).

Diemque K ∈Kn ésd’ampladaconstant si w(K,u) ésindependentde u

Observemqueapartirdeladefiniciódefunciósuporttenimquel’amplada d’unconvexcoincideixamblanocióintuïtivaqueentenim(vegeulafigura8). Elsconvexosd’ampladaconstantformenunaaltrafamíliadeconvexosamb moltespropietatsinteressantsielshipodríembendedicarunarticle.Aquí,

però,noméscomentaremquesi K ésunconvexd’ampladaconstant,aleshores lasumade K amblasevareflexióal’origen, K,ésunabola.Enefecte,si utilitzemlafunciósuporttenim,pera u ∈ Sn 1 ,

h(K + ( K),u) = h(K,u) + h( K,u) = = h(K,u) + h(K, u) = w(K,u) = constant.

Comquelafunciósuportd’unconvexeldeterminademaneraúnicaitenim quelesbolestenenfunciósuportconstant,tenimque K + ( K) ésunabola.

Apartirdelafunciósuportpodemdonarunadescripcióequivalentdela distànciadeHausdorffcom dH (K,L) = sup{|h(K,u) h(L,u)| : u ∈ Sn 1} (4)

Acabemaquestapartatambunademostraciódelaproposició6. Demostraciódelaproposició 6. Siguin K,L ∈Kn talsque K ∪ L ∈Kn.A partirdelaproposició20,apartat(iii),tenimquel’equació(2)ésequivalenta hK∪L(u) + hK∩L(u) = hK (u) + hL(u), peratot u ∈ Rn .

Aixídoncs,estudiem hK∪L(u) i hK∩L(u) entermesde hK (u) i hL(u).Dela definiciódefunciósuportilespropietatsbàsiquesdelmàximd’unconjunt tenim hK∪L(u) = max{ x,u : x ∈ K ∪ L}= max{ x,u : x ∈ K obé x ∈ L}= = max{max{ x,u : x ∈ K}, max{ x,u : x ∈ L}}= = max{hK (u),hL(u)}, i,anàlogament, hK∩L(u) = min{hK (u),hL(u)}.Pertant, hK∪L(u)+hK∩L(u) = max{hK (u),hL(u)}+min{hK (u),hL(u)}= hK (u)+hL(u), talcomvolíemveure. ✷

2.3Mesurad’àreaiteoremadeMinkowski

Sigui K ∈Kn.Enaquestapartatdefinimunamesuraal’esfera Sn 1 talquesi integremrespected’ellalafuncióconstantiguala1,obteniml’àreadelavora de K.

Definició 23. Sigui K ∈Kn i p ∈ ∂K.Diemque v ∈ Sn 1 ésun vectornormal exterior a K en p sil’hiperplàortogonala v quepassaper p suporta K i v,p ≥ 0.Si E ésunboreliàde Sn 1,definim

S(K,E) = Vn 1({p ∈ ∂K : ∃ v ∈ E vectornormalexteriora K en p}),

on Vn 1(A) denotaelvolum (n 1)-dimensionald’unconjuntdedimensió n 1.

Elscossosdiferènciaideprojeccióengeometriaconvexa 19

Espotprovarque S(K, ·) defineixunamesuraa Sn 1 peracadaconvex K ∈Kn.Aquestamesuras’anomena mesurad’àrea icompleix S(K, Sn 1) = Vn 1(∂K).Notemquelamesurad’àread’unconvextalque ∂K ésdiferenciable espotdefinirapartirdelainversadel’aplicaciódeGauss.

Exemples. (i) Si K ∈Kn éslabolaunitat,llavors S(K, ·) coincideixambla mesuradeLebesgue (n 1)-dimensional. (ii) Si K ∈K2 ésunpolígonambvectorsnormals u1,...,ur , r ≥ 3,(vegeu lafigura9)ilalongituddelcostatambvectornormal ui és li,1 ≤ i ≤ r , llavors

S(K, ·) = r i=1 liδui , (5)

δui denotaladeltadeDiracen ui

Figura 9: Normalsaunpolígon.

Sabentqueperacadaconvex K ∈Kn,lamesurad’àreadefineixunamesura a Sn 1,unapreguntanaturalqueapareixés:quèenpodemdirdelrecíproc? Ésadir,sitenimunamesura µ a Sn 1,quanpodemafirmarqueaquestaésla mesurad’àread’algunconvex?

Larespostaesconeixcomateoremad’existènciadeMinkowski,vegeu[14].

Teorema 24 (Minkowski(1911)). UnamesurafinitadeBorel µ al’esfera Sn 1 éslamesurad’àrea S(K, ) d’unconvex K ∈Kn ambinteriornobuitsiinomés si µ noestàconcentradaacapequadorde Sn 1 i

udµ(u) = 0

Sn 1

Aquestteoremas’utilitzasovintperdemostrarresultatsengeometriaconvexa.Enaquestarticle,l’utilitzaremperademostrarelteorema54.

2.4Volumsmixtos

ElsvolumsmixtosespodenconsiderargeneralitzacionsdelvolumperadiversosconvexosisóndegranimportànciaenlateoriadeBrunn-Minkowski, querelacionaelvolumilasumadeMinkowski.Acontinuacióelsdescrivimde manerabreu.Denotemper Vj elvolumd’uncosa Rj , j ∈ N

Teorema 25. Siguin m ∈ N, K1,...,Km ∈Kn i t1,...,tm > 0.Aleshores,el volum

Vn(t1K1 +···+ tmKm)

ésunpolinomidegrau n enlesvariables t1,...,tm.

Els volumsmixtos esdefineixencomelscoeficientssimètrics V(Ki1 ,...,Kin ), 1 ≤ i1,...,in ≤ m,talsque

Vn(t1K1 +···+ tmKm) = m j1=1 ··· m jn=1 tj1 ··· tjn V(Kj1 ,...,Kjn ).

Observemquesi m = n i K1 =···= Kn = K,llavors V(K,...,K) = Vn(K).

Exemple. Si K, L sónconvexosa R2 i t> 0,llavors,perlasimetriadelsvolums mixtosil’observacióanterior,escompleix

V2(K + tL) = V(K,K) + t(V(K,L) + V(L,K)) + t2V(L,L) = = V2(K) + 2tV(K,L) + V2(L).

Aixídoncs,a R2,podemcalcularelvolummixt V(K,L) com

V(K,L) = 1 2 (V2(K + L) V2(K) V2(L)).

Malauradament,peradimensionssuperiors,nopodemdonarunaformatan senzilla,peròsíqueunadesemblant,utilitzantelprincipid’inclusióiexclusió. Enelcas V(K,L,...,L) esconeixunarepresentacióintegraldelsvolumsmixtos, apartirdelamesurad’àreade L

V(K,L,...,L) = 1 n Sn 1 h(K,v)dS(L,v). (6)

Teorema 26. L’aplicació V : Kn ×···×Kn →Kn,quedefineixelsvolums mixtos,és,encadacomponent,lineal,monòtona,invariantpertranslacionsi contínua.Amésamés,ésinvariantperrotacions,siapliquemlamateixarotació atoteslescomponentsalavegada.

Elsvolumsmixtossónsemprepositius,iestrictamentpositiussihihasegments Si ⊂ Ki, i = 1,...,n,ambdireccionslinealmentindependents.

Finalment,donemlestresdesigualtatsmésimportantsquerelacionen volumsmixtos.

Teorema 27. Siguin K,L,K3,...,Kn ∈Kn .

(i) Desigualtatd’Aleksandrov-Fenchel(1937):

V(K,L,K3,...,Kn)2 ≥ V(K,K,K3,...,Kn)V(L,L,K3,...,Kn).

(ii) PrimeradesigualtatdeMinkowski(1903):

V(K,L,...,L)n ≥ Vn(K)Vn(L)n 1

Laigualtatvalsiinoméssi K i L sónhomotètics, i.e., K = gL + t amb g unarotaciói t ∈ Rn unatranslació.

(iii) SegonadesigualtatdeMinkowski(1903):

V(K,L,...,L)2 ≥ V(K,K,L,...,L)Vn(L).

Ladesigualtatd’Aleksandrov-Fenchelésunadelesmésgeneralsise’n dedueixenlesduesdesigualtatsdeMinkowskianteriors,aixícomladesigualtat isoperimètrica,entremoltesaltresdelesdesigualtatsessencialsengeometria convexa.

Perexemple,perdeduirladesigualtatisoperimètricanomésenscalutilitzar elfet(quenoprovarem)quelasuperfícied’àread’unconvex K a Rn coincideix amb nV(K,...,K,B).Pera n = 2i L = B2,ladesigualtatd’Aleksandrov-Fenchel ensdiudirectament V(K,B2)2 ≥ V(K,K)V(B2,B2),ésadir, perímetre(K)2 ≥ 4π àrea(K).Pera n = 3hemd’aplicar2vegadesladesigualtatd’Aleksandrov-Fenchelperobtenir:

V(K,K,B3)4 ≥ V(K,K,K)2V(K,B3,B3)2 ≥ V3(K)2V(K,K,B3)V(B3,B3,B3).

Simplificant V(K,K,B3) acadacostat,obtenimladesigualtatisoperimètrica a R3

3Elcosdiferència

Definició 28. Donatunconvex K ∈Kn,el cosdiferència DK de K esdefineix com

DK := K + ( K).

L’aplicació K DK s’anomena operadordiferència.

Exemples. (i) Si K ésundisccentratal’origen,llavors K éselmateixdisc itenim K + ( K) = 2K,ésadir,elcosdiferènciad’undiscderadi r és undiscderadi2r

(ii) Elcosdiferènciad’untrianglequalsevolésunhexàgon.Unamanerade veure-hoéslasegüent:si K ésuntriangleambvectorsnormalsexteriors n1, n2, n3,llavors K ésuntriangleambvectorsnormalsexteriors n1, n2, n3 amblapropietatque ni ≠ nj ,1 ≤ i,j ≤ 3. Aixídoncs, K + ( K) tévectorsnormals ±n1, ±n2, ±n3.

T + ( T)

Figura 10: Cosdiferènciadeltrianglerectangle T ,onhemdibuixat eltriangle T diversesvegadesperveurecoms’haconstruït DT = T + ( T)

Aquestamaneradedefinirunnouconjuntconvexpotsemblarmoltsenzilla, però,noobstantaixò,tépropietatsiaplicacionsimportantsengeometria convexa.

Acontinuacióestudiempropietatsgeomètriquesdelcosil’operadordiferència.Peraunestudimésdetallatdelcosdiferènciarecomanem[14,secció10.1].

Proposició 29. L’operadordiferènciaés:

(i) unasimetrització, i.e., DK =−DK peratot K ∈Kn;

(ii) parell, i.e., DK = D( K) peratot K ∈Kn;

(iii) homogenidegrau 1, i.e., D(λK) = λDK peratot K ∈Kn;

(iv) invariantpertranslacions, i.e., D(K + t) = DK peratots K ∈Kn i t ∈ Rn;

(v)GL(n)-covariant, i.e., D(gK) = gDK peratot K ∈Kn itot g ∈ GL(n); (vi) additiu, i.e., D(K + L) = DK + DL peratot K,L ∈Kn;

(vii) unavaloració(deMinkowski), i.e., DK + DL = D(K ∪ L) + D(K ∩ L) pera tot K,L ∈Kn talsque K ∪ L ∈Kn;

(viii) monòton, i.e.,si K ⊂ L,llavors DK ⊂ DL; (ix) continurespectedeladistànciadeHausdorff.

Amésamés, D preservadimensions, i.e.,si K ∈Kn tédimensió k, k ∈ {0,...,n},llavors dim(DK) = k.

Prova. Lespropietats(i)i(ii)esdedueixendirectamentde K+( K) =−K+(K). Lespropietats(iii)i(v)s’obtenendelacommutativitatdelestransformacionsafinsilasumadeMinkowski, i.e., D(gK) = gK +( gK) = g(K +( K)) = gDK. Enparticular, λK + ( λK) = λ(K + ( K)) peratot λ> 0.

Elpunt(vi)ésclar,jaquelasumadeMinkowskiésdistributivarespectedel producteperescalarsicommutativa.Lapropietat(iv)ésuncasparticular,ja que D({p}) ={0}

Perprovarquel’operadordiferènciaésunavaloraciódeMinkowski,elmés directeésutilitzarl’additivitatqueacabemdeveureilarelació (2) queafirmen

D(K ∪ L) + D(K ∩ L) = D(K ∪ L + K ∩ L) = D(K + L) = DK + DL.

Lamonotoniadelcosdiferènciaésdirectaapartirdelasevadefinició,ja quesi K ⊂ L,aleshorestambé K ⊂−L

Encaraquenoésdifícil,noprovaremlacontinuïtatdel’operadordiferència.

Elfetque D preservidimensionssesegueixdirectamentdeladefinicióde lasumadeMinkowski.Enefecte,si K estàcontingutenunespaiafí A,podem aplicarunatranslacióisuposar0 ∈ A.Llavors, K tambéestàcontinguten A traslladatilasumadeMinkowski K +( K) noméspotcontenirpuntsde A. ✷

Cotesperalvolumdelcosdiferènciaentermesdelvolumdelcosinicial L’últimapropietatgeomètricadelcosdiferènciaquepresentemdonacotesper alvolumdelcosdiferència DK entermesdelvolumde K

Teorema 30 ([12]). Sigui K ∈Kn.Llavors,

nVn(K) ≤ Vn(DK) ≤ 2n n Vn(K). (7)

Lesigualtatsesdonentrivialmentsi dim K<n.Pera K ∈Kn talsque dim K = n,laigualtatenlacotainferioresdonasiinoméssi K =−K ienlacotasuperior siinoméssi K ésunsímplex.

Ladesigualtatinferiors’obtédirectamentdeladesigualtatdeBrunnMinkowski (1).Enefecte,considerant L =−K a (1),tenim Vn(K + ( K))1/n ≥ 2Vn(K)1/n,lacotainferiorpera Vn(DK). Lacotasuperior,anomenada desigualtatdeRogers-Shephard,éslapart novadelresultat.Encaraquelademostraciónoésdifícil,ésforçallargaino ladonaremaquí.Laideabàsica,però,consisteixautilitzarlarepresentació següentdelcosdiferència:

={x ∈ Rn

3.1Caracteritzacionsdelcosdiferència

Talcomhemcomentat,unadelesàreesmésactivesdelageometriaconvexa esdedicaalacaracteritzaciódelsoperadorsidelesoperacionsques’han utilitzatclàssicament(comlasumadeMinkowskiolafunciósuport).Aquest estudipermetobtenirnousoperadorsambpropietatsgeomètriquesnaturals (onecessàriesperalproblemaqueesvoltractar),obéconfirmarqueunacerta operaciónoespotdefinird’unaaltramanera.

Elprimerresultatdeclassificacióengeometriaconvexa,ambconseqüències profundesengeometriaintegral,iundelsmésconeguts,vaserdonatper Hadwiger,quevaclassificarelsvolumsintrínsecs.Si K ∈Kn,el j-volum intrínsec de K estàdefinitcoma Vj (K) = cn,j V(K[j],Bn[n j]),on,alvolum mixt, K hiapareix j vegadesilabolaunitat Bn , n j vegades,i cn,j denota unaconstant.Elsvolumsintrínsecsinclouenelvolum,l’àreadelasuperfíciei lacaracterísticad’Euler.

Teorema 31. Unfuncionalcontinu µ : Kn → R ésinvariantperrotacionsi translacionsisatisfàlapropietatdevaloració, i.e., µ(K) + µ(L) = µ(K ∪ L) + µ(K ∩L) peratot K,L ∈Kn talsque K ∪L ∈Kn,siinoméssiésunacombinació linealdevolumsintrínsecs.

Elsprimersresultatsdecaracteritzaciódefuncionals ϕ : Kn →Kn,on tantl’espaidesortidacomd’arribadasónelsconjuntsconvexos,esremuntenalsanyssetanta,quanSchneidervacomençarunestudidelsoperadors additiusquesóncovariantsperrotacions(comelcosdiferència)iinvariants pertranslacionsivadonardiferentscaracteritzacionsdel’operadordiferència. Unestudisistemàticnovaser,però,començatfinsaprincipisd’aquestsegle. El2005,Ludwig[11]vaobtenirelresultatsegüent,quecaracteritzal’operador diferència.

Teorema 32. Unoperador ϕ : Kn →Kn éscontinu,invariantpertranslacions, ésunavaloracióiés SL(n)-covariantsiinoméssiexisteix λ ≥ 0 talque ϕK = λDK. Desprésd’aquestresultat,esvacomençarunestudidelesvaloracions de Kn a Kn.Enaquestsresultatsesrelaxaalgunadeleshipòtesisoescanvia lacovariànciaperlacontravariància(vegeulaproposició47(v)).Recomanem [14,secció10.6]pertenir-neunrecull.Mésrecentment,el2013,Gardner,Hugi Weil[5]vancomençarunestudisistemàticdelesoperacionsentreconvexos, i.e.,delesaplicacions Kn ×Kn →Kn (perexemple,lasumadeMinkowski). Enaquesttreball,elsautorstambéobtenenunteoremadeclassificaciódelcos diferència,onnoesdemanalapropietatdevaloració.

Teorema 33 Unoperador ϕ : Kn →Kn éscontinu,invariantpertranslacions i GL(n)-covariantsiinoméssiexisteix λ ≥ 0 talque ϕK = λDK.

Recentment,juntamentambColesantiiSaorínGómez,hemestudiatelpaper deladesigualtat (7) comapropietatpercaracteritzarelcosdiferència.Aquesta propietat,encaraqueenprincipiésmésfeblequelespropietatsd’invariància, permetdonarlescaracteritzacionssegüents.

Teorema 34. Unoperador ϕ : Kn →Kn ésinvariantpertranslacions,ésuna valoració,satisfà (7) iésmonòtonsiinoméssiexisteix g ∈ GL(n) talque ϕK = gDK

Pera n ≥ 3,unoperador ϕ : Kn →Kn éscontinu,invariantpertranslacions, ésunavaloració,satisfà (7) iés SO(n)-covariant( i.e., ϕ(gK) = gϕ(K) pera tot g ∈ SO(n))siinoméssiexisteix λ> 0 talque ϕK = λDK.

Engeneral,perdemostrarelsteoremesanteriorsesfanservir,d’unabanda, tècniquesgeomètriquesdedescomposiciódepolitops(siesté,perexemple, lacondicióde SL(n)-covariància)i,d’altrabanda,resultatsdemostratsels últimsanys,engranpartperAlesker,del’àreadelageometriaintegral.Més enconcret,calunestudiaprofunditdel’espaidevaloracions µ : Kn → R. Unavegadaconegutsaquestsresultats,s’hand’adaptaralcasdevaloracions

ϕ : Kn →Kn apartirdelafunciósuport,jaque,fixadaunadirecció u ∈ Sn 1 , lafunció K hϕK (u) ésunavaloració(perlalinealitatdelafunciósuport) queprenvalorsreals.

3.2Covariogram

Elcovariogramde K esdefineixapartirdel’expressió(8)delcosdiferència.

Definició 35. Sigui K ∈Kn ambinteriornobuit.El covariogramde K ésla funció gK : Rn → R donadaper

gK (x) := Vn(K ∩ (K + x)).

Notemquesuposarque K téinteriornobuitensevitaconsiderarlafunció constantigualazero.Notemtambéque gK (0) = Vn(K ∩ K) = Vn(K).També escompleix gK ( x) = gK (x).

Considerantladefiniciódelafunciósuport,delcosdiferènciaidel’amplada (vegeuladefinició22),tenimque h(DK,u) coincideixambl’ampladade K en ladirecció u ∈ Sn 1.D’altrabanda,espotveurequeelcovariogramd’un convex K endeterminal’amplada,encadadirecció.Pertant,elcovariogram determinalafunciósuportde DK.Lapreguntanatural,plantejadaperprimera vegadaperMatheronel1986,demanasiunconvex K quedadeterminat,mòdul translacions,pelcovariogram.Ésadir,existeixenconvexos K, L talsque K ≠ L + t peratot t ∈ Rn,amb gK = gL?Si K éssimètricrespectedel’origen, llavorssíqueelcovariogramdetermina K,mòdultranslacions.Enelsaltres casos,actualmentespotrespondrelapreguntadelamanerasegüent:

Teorema 36 (Bianchi,Averkov-Bianchi(2005, 2009)). Totconvexdedimensió 2 quedadeterminatpelseucovariogram.

Totpolitopdedimensió 3 quedadeterminatpelseucovariogram.

A Rn , n ≥ 4,existeixenconvexosquenoestandeterminatspelseucovariogram.

Unaideabàsicaenlaprovadelresultatanteriorconsisteixaescriurela funció gK comaconvoluciódelesfuncionsindicatriusde K i K illavors aplicarmètodesdel’anàlisideFourier.

Elcovariogramtédiversesaplicacionsimportants,perexemple,al’òptica, alamecànicaquàntica(relacionatamblaunicitatdelesmatriusdePauli),a l’astronomia,alamicroscòpia,etc.Enaquestesaplicacionselcovariogram apareixrelacionatambelproblemaderecuperaciódefaseque,engeneral,és fortamentindeterminat,inomésimposantcondicionsodonantinformació a priori espotreconstruirlafuncióquedefineixlafase.Destaquemfinalment que,desd’aquestpuntdevista,elcovariogramésimportantencristal lografia deraigsX,unatècnicaquepermetdeterminarl’estructuradelsàtomsenun cristall,iqueaplicacionsd’aquestatècnica,especialmentalaquímicaorgànica ialabiologia,hanestatobjectedelstreballsdediversospremisNobel,desde l’any1962finsal2009.

3.3Convexoscentralmentsimètrics

Elscossosdiferènciasónsempresimètricsrespectedel’origen.Enaquest apartatestudiemelsconvexoscentralmentsimètrics,senseconsiderar-los imatgedelcosdiferència.

Definició 37. Unconvex K és o-simètric si K =−K; i.e.,siéssimètricrespecte del’origen.Denotemper Kn s elconjuntdecossos o-simètrics.Diemqueun cos K és centralmentsimètric siexisteix t ∈ Rn talque K + t és o-simètric.

Perexemple,elsdiscs,elsquadrats,elspolígonsregularsambunnombre parelldecostatsolesel.lipsessóncentralmentsimètrics.

Laclassedelscossos o-simètricssatisfàsovintpropietatsmésbonesi algunesdesigualtatsoteoremesespodenmillorarsiensrestringimaconsiderar convexos o-simètrics(vegeu,p.ex.,elteorema43).

Elresultatsegüentensdonauncriteripercomprovarsiunconvexés o-simètric:n’hihaprouambcomprovarsicadaprojeccióaunsubespaivectorial dedimensió2ésunconvex o-simètric.

Teorema 38 (Blaschke-Hessenberg(1917)). K ∈Kn éscentralmentsimètric siinoméssiperacada E ⊂ Rn,subespaivectorialdedimensió 2,elconvex K|E éscentralmentsimètric.

Prova. Vegemprimerquesi K ∈Kn éscentralmentsimètric,llavors K|E ∈ Kn éscentralmentsimètricperacada E ⊂ Rn subespaivectorialdedimensió2. Consideremunatranslacióde K talque K ∈Kn s .L’afirmaciósesatisfàsi

h(K|E,u) = h(K|E, u), peratot u ∈ E.

Perlaproposició20(v)tenim,però,quelaigualtatanteriorésequivalenta h(K,u) = h(K, u),peratot u ∈ E,queescompleixjaque K ∈Kn s . Passemalapartnotrivialdel’enunciat.Considerem p,q ∈ K talsque diam(K) = d(p,q), i.e., p i q sónadistànciamàxima(notemqueexisteixenja que K éscompacte).Sigui m elpuntmitjàdelsegment [p,q].Desplacemel convex K demaneraque m coincideixiambl’origendecoordenadesidenotem per p i q elspuntsdesplaçatsde p i q.Sigui v ∈ Sn 1 unadirecciólinealment independentambladirecció u := → pq.Llavors, u, v generenunpla E0 de dimensió2.Laprojeccióde K a E0,quedenotemper K ,és,perhipòtesi,un convexsimètricicontéelspunts m = 0, ˜ p i ˜ q.Enaquestasituaciótenim que K éssimètricrespectede m = 0,jaque,sino,hihauriaunsegment continguta K amblongitudmésgranque d(p,q) i d(p,q) nocoincidiriaamb eldiàmetrede K (vegeuladefinició3).Comque K éssimètricrespectede l’origen,escompleix h(K ,v) = h( K ,v) = h(K , v) itenintencomptela proposició20(v),deduïm h(K,v) = h(K, v),amb v ∈ Sn 1 \{±u} arbitrari. Comquetambé h(K,u) = h(K, u),concloemque h(K, ·) ésparell,comvolíem veure. ✷

Peracabaraquestapartat,donemunacaracteritzacióimportantdelscossos centralmentsimètrics.

Teorema 39 (Blaschke(1917)). Sigui K ∈Kn.Llavors, K ∈Kn s siinoméssi totselshiperplansquepassenperl’origentallenelconvexenduespartsambel mateixvolum.

3.3.1Unresultatperaconvexos o-simètricsdelageometriadenúmeros Lageometriadenúmeros,quevanéixercomunabrancadelateoriadenúmeros ivaserbatejadaperMinkowski,ésactualmentunaàread’estudiimportanti independent,ambnombrosesaplicacions.RecomanemelllibredeGruber[6] peraunaexposiciódetalladadelageometriadelsnúmeros(aixícomuna introduccióalageometriaconvexa,enlaqualensheminspiratenpartper alasecció2d’aquestarticle).Undelsproblemesd’estudidelageometriade númerosconsisteixaentendreelnombredepunts(diferentdel’origen)amb coordenadesenteresquehipothaverdinsd’unconvexambvolumdonat. Aquestproblemaésequivalentalproblemaaritmèticdetrobarunasolució u = (u1,...,un) ∈ Zn , u ≠ 0,deladesigualtat f(x1,...,xn) ≤ 1, f : Rn → R convexa.Minkowskivaestudiarlaversiógeomètricadelproblemaivaprovar elresultatsegüent,conegutcoma primerteoremafonamentaldeMinkowski.

Teorema 40 (Minkowski(1893)). Sigui K ∈Kn s convex o-simètrictalque Vn(K) ≥ 2n.Llavors, K contéalmenysunpuntdiferentdel’origenambtoteslescoordenadesenteres.

Prova. Suposemprimerque Vn(K)> 2n.Observemqueperser K ∈Kn s si x ∈ K,llavors x ∈ K.Aquestfet,juntamentamblaconvexitatde K, implicaquesi x,y ∈ K,llavors x y 2 ∈ K.Provaremquepodemtrobarpunts x0,y0 ∈ 1 2 K talsque x0 y0 ésunenter.Comque x0 y0 = 2x0 2y0 2 pertany a K,elresultatquedaràprovat.

A Rn consideremtotselsplansparal lelsaundelsplanscoordenatsique passenperpuntsambcoordenadesenteres.Aixíobtenimunadescomposició del’espai Rn encubsdevolum1,anomenadareticle.

Consideremelconvex K = 1 2 K.Suposemque m éselnombredecubs (enelsqualshemdescompost Rn)diferentsquecontenenalgunpuntde K ianomenem Ci,1 ≤ i ≤ m,aquestscubs.Definimelsconvexos Ki = K ∩ Ci, i = 1,...,m.Trasllademcadacub Ci (juntamentamb Ki),2 ≤ i ≤ m demanera que Ci coincideixiambelcub C1.Anomenem ˜ Ki laimatgede Ki peraaquesta translació(vegeulafigura11).

Peraltrabanda,observemque Vn(K ) = 2 nVn(K)> 1.Així, Vn(K1) + ···+ Vn(Km)> 1itenimquealmenysdosdelsconvexostraslladats, Kj i Kk, tenenintersecciónobuida(sicapparellatéintersecció,llavors Vn(K1) +···+ Vn(Km) ≤ 1).Siguin x ∈ Kj ∩ Kk i x0 ∈ Kj , y0 ∈ Kk elspuntscorresponents perlatranslació(comalafigura11).Escompleixque x0 y0 técoordenades enteres,jaque x0 i y0 difereixennomésenlatranslacióquepassadelcub Cj alcub Ck i,perladefiniciódelscubs,aquestestranslacionsestandonadesper vectorsambcoordenadesenteres.Aixídoncs,l’enunciatquedademostratsi Vn(K)> 2n .

Figura 11: Representaciódeladescomposicióenquadrats,enunhexàgon.

Perprovar-loenelcas Vn(K) = 2n,consideremelsconvexos (1 + )K, > 0. Cadaund’aqueststévolumestrictamentmésgranque2n isabemqueconté unpuntambcoordenadesenteres.Passantallímit,seguimtenintunpuntde coordenadesenteres,jaque K éstancat. ✷

Éssenzilltrobarconvexosambvolumarbitrariisensecappuntdecoordenadesenteres.

3.4Esferesiel.lipsoides

Uncasparticulardeconvexoscentralmentsimètricssónlesesferesielsellipsoides.Lanociód’el.lipseésbenconegudadesdel’antiguitatquanesvan estudiarlesseccionscòniques.Unaaltramaneradedefinirlesel.lipses,iels el lipsoides,iqueéslaqueutilitzaremacontinuació,éslasegüent:

Definició 41 Un ellipsoide E ⊂ Rn ésunconvexobtingutcomatransformació afídelabolaeuclidiana,ésadir, E ⊂ Rn ésunel.lipsoidesiexisteix g ∈ GL(n) :={A ∈ Mn×n :det A ≠ 0} talque

E = gBn , on Bn ={x ∈ Rn : x 2 = x2 1 + x2 2 +···+ x2 n = 1} éslabolaeuclidianaamb centrel’origeniradi1.

Aquestamanerad’interpretarelsel.lipsoidesténombrososavantatgesi porta,perexemple,capal’estudidelageometriaafí.

Tambéenspermetcalcularelvolumdelsel.lipsoides,siconeixemlatransformació g.Enefecte,si E = gBn,amb g ∈ GL(n),llavors

Vn(E) = Vn(gBn) =|det g|Vn(Bn).

Hihadiversosresultats—lamajoriadeprincipisdelsegle xx—quedonen propietatsgeomètriquesquecaracteritzenlesel lipsesilesesferes.Aquí,però, nomésendonaremun,relacionantelsel.lipsoidesambelsbillars.

3.4.1Taulesdebillar,càustiquesiel.lipses Totstenimlaimatged’una tauladebillar,deformarectangular.Resimpedeix,però,considerarunataula debillard’unaaltraforma,perexemple,undisc,unael.lipse,untriangle...,en definitiva,unconvex.Llavors,comaljoctradicional,consideremunpunt p (labola)queesmoupersobreelconvex(lataula).Suposemquenohiha friccióiqueelpuntesmouindefinidament,inomésesparasitocaundels vèrtexsdelconvex(delataula).Sicomaconvextenim,perexemple,undisc, nohihacapvèrtex,ilaboladebillarnoespararàmai.Suposemquelabola esdesplaçaenlíniarectaaunavelocitatconstantisegueixlalleidereflexió clàssicaquantocalavora,ésadir,l’angled’incidènciaésigualal’anglede reflexió.Anomenarem trajectòria lacorbadescritapelpuntqueesmouadins delconvex.Elsbillarsapareixenendiversesbranquesdelesmatemàtiques, comalssistemesdinàmics,lageometriadeFinsler,lageometriasimplèctica, obédelafísica,comal’òpticaoalamecànicaclàssicadepartículeselàstiques. Peramésinformaciósobrebillars,recomanemelllibredeTabachnikov[16].

Enaquestapartatdonemnomésunresultatsobrebillarsquecaracteritza elsel.lipsoides.

Anomenarem càustic totconvex L ⊂ K talquesiunatrajectòriaéstangent unavegadaalavorade L,llavorshiéstangentcadavegadadesprésdetopar amblavorade K icontinuar-hireflectida.Esconeixquequalsevoltaulade billara R2 sensevèrtexsiamblavoraprouregularté«molts»càustics.La figura12endonadosexemples.

Figura 12: Càusticsenunael lipse:unaaltrael lipseiunhexàgon.

Tambépodempensar,però,entaulesdebillardedimensió n ≥ 3,ésadir, consideremunconvexa Rn iunpuntqueesmouadins,seguintlesmateixes regles.Podemimaginar-nosquetenimunpuntqueesmoudinsd’unaesfera, dinsd’uncub...A Rn , n ≥ 3,elcomportamentdelscàusticséscompletament diferent.L’existènciad’uncàusticenunbillartridimensionalensdiuquela tauladebillarésunel.lipsoide:

Teorema 42 (Gruber(1995)). Sigui K ∈Kn , n ≥ 3,unatauladebillar.Si K té alguncàustic,llavors K ésunel.lipsoide.

3.4.2El.lipsoidedeJohnideLöwner Enaquestasecciódonemduesmaneresd’associarunel lipsoideaunconvex.Lamésconegudaconsisteixaprendre l’el.lipsoideambvolummésgrancontingutadinsd’unconvex,l’anomenat ellipsoidedeJohn.Anàlogament,podemconsiderarl’el lipsoideméspetitque contéunconvex: l’el.lipsoidedeLöwner.

Enaquestapartatproveml’existènciadel’el.lipsoidedeJohn EJ peraun convex K.Amésamés,veuremque K estàcontingutaundilatatde EJ iquehi haunfactordedilatacióvàlidperatotselsconvexosde Rn .

Elresultatsegüentténombrosesaplicacions,sobretotperdemostrardesigualtatsgeomètriques,jaqueenspermetacotarunconvexperunael.lipse.

Teorema 43. Sigui K ∈Kn.Llavors,existeixunúnicel.lipsoide EJ ,anomenat el.lipsoidedeJohn,talque

EJ ⊂ K ⊂ n(EJ c) + c,

on c éselcentredel’ellipsoide EJ

Si K ∈Kn éscentralmentsimètric,llavors EJ ⊂ K ⊂ √nEJ

Elresultatanteriorésòptimenelsentitqueelsfactors n i √n noespoden millorar:siconsideremuncub Cn,amblongituddecadacostatiguala2i centratal’origen,enscalexactamentelfactor √n pertalquel’el.lipsoidede Johnassociatalcubcompleixi Cn ⊂ √nEJ .Enaquestcas, EJ coincideixambla bolaeuclidianaderadi1,centradaal’origen.Siconsideremunsímplex,llavors necessitemelfactor n.

Figura 13: El lipsoidedeJohnd’unquadratid’unsímplex.

ElteoremaanteriorvaserobtingutperJohnel1948comaaplicaciód’una generalitzaciódelaregladelsmultiplicadorsdeLagrangea(possiblement unaquantitatinfinitade)condicionsdonadesperdesigualtats(encomptes d’igualtats),queJohndemostraenelmateixarticle[8].

Provadelteorema 43 L’existènciadel’el lipsoidedeJohns’obtéperunargumentdecompacitat:denotemper E elconjuntdetotselsel.lipsoidescontinguts a K ambvolumdiferentdezero.Definim a := sup{Vn(E) : E ∈E}. Perdefinicióde E tenim a> 0.Volemprovarquehihaunel lipsoideambvolum exactament a.Aquestseràl’el.lipsoidedeJohn, EJ . Consideremunasuccessió {Ei}i∈N d’el.lipsoidesde E talque limi→∞ Vn(Ei) = a.Aquestasuccessióexisteixperladefiniciódesuprem.Deladefiniciód’ellipsoidetenimqueperacada i ∈ N,existeix gi ∈ GL(n) talque Ei = giBn.Per altrabanda, Vn(Ei) =|det gi|Vn(Bn).Així, lim i→∞ |det gi|= a Vn(Bn) .

Elscossosdiferènciaideprojeccióengeometriaconvexa

Comquelasuccessió {gi}i∈N ∈ GL(n) ésacotada,tenimquetéunaparcial queconvergeixa g ∈ GL(n) i |det g|= a Vn(Bn) .Pertant,l’el.lipsoide EJ := gBn compleix EJ ⊂ K,jaquel’hemobtingutcomalímitd’el.lipsoidescontingutsa K (i K éstancat)i Vn(EJ ) = a.

Perprovar-nelaunicitat,suposemquehihadosel lipsoidesdiferents E1, E2 talsque Vn(E1) = Vn(E2) iaquestvolumésmàxim.Deladefiniciód’el.lipsoide tenimqueexisteixen g1, g2 ∈ GL(n) talsque |det g1|=|det g2| i E1 = g1Bn , E2 = g2Bn.Recordemquetotamatriu M ∈ GL(n) espotdescompondre en M = M1M2 amb M1 simètricaidefinidapositivai M2 unarotació.Llavors, perserlabolaeuclidiana Bn invariantperrotacionspodemsuposarque g1 i g2 sónmatriusdefinidespositivesi,pertant,podemtreureelvalorabsolut a |det g1|=|det g2| isuposar det g1 = det g2.Volemveure g1 = g2.Suposem que g1 ≠ g2 idefinim g = 1 2 (g1 + g2).Escompleix gBn ⊂ K jaque K ésconvexi gBn = 1 2

Així, gBn ésunel lipsoidecontinguta K.Siprovem Vn(gBn)>Vn(E1) tenim unacontradiccióiquedalaunicitatdemostrada.Peracotarelvolumdel’ellipsoide gBn necessitemladesigualtatsegüent:

Siguin A,B ∈ GL(n) matriusdefinidespositives.Llavors, det(A + B) 1 n ≥ det(A) 1 n + det(B) 1 n .

Laigualtatescompleixsiinoméssi B = cA, c> 0.

Ladesigualtatanterior,conegudacoma desigualtatdeMinkowskipera determinants,espotprovarapartirdeladiagonalitzaciósimultàniadeles formesbilineals A i B idesprésaplicar-hiladesigualtataritmeticogeomètrica.

Aixídoncs,utilitzantladesigualtatdematriusiquedet g1 = det g2,tenim Vn(gB

). (9)

Comqueperhipòtesi g1 ≠ g2 i det g1 = det g2 nopodemtenir g1 = cg2 per acap c> 0iladesigualtat (9) ésestricta.Aixíobtenimlacontradiccióque buscàvem. ✷

Demanerasemblantal’el.lipsoidedeJohnsesapqueexisteixunúnic el.lipsoidedeLöwnerassociataunconvex K.SegonsBusemann[2],aquest el lipsoidevaserestudiatperLöwner,quevademostrar-nelaunicitatencara quenoenvapublicarmaielresultat.

Acontinuaciódonemdosresultatscomamostradelsqueespodenobtenir utilitzantl’el.lipsoidedeJohnideLöwner.

3.4.3Desigualtatisoperimètricainvertida Ésbenconegut(desigualtatisoperimètrica)quelesbolessónelsconvexosambàreaméspetitaentretotsels quetenenelmateixvolum.Enspodempreguntarpelsconvexosambàreamés gran,fixatelvolum.Desprésd’unpetitmomentdereflexió,ensconvencerem quepodemtrobarunconvexambàreatangrancomvulguemivolumfixat. Unexempleeldonenelsconvexosenforma«d’agulla»(vegeulafigura14).En efecte,sipensemenelplaamblabasecanònica {e1,e2} ifixemelvolumigual a4,llavorselsconvexos KN , N ∈ N, KN = N[ e1,e1] + 1 N [ e2,e2], compleixen

àrea(KN ) = 2N · 2 N = 4iperímetre(KN ) = 4N + 4 N

Ésclarqueperaqualsevol C> 0podemtrobaruna N ∈ N talque4N + 4 N >C.

Figura 14: Convexosamblamateixaàreaperòperímetrediferent.

Pertant,sivolemestudiarunaversiódeladesigualtatisoperimètricainvertidanecessitemimposaralgunacondicióenelsconvexosqueconsiderem. Unapossibilitatperevitarelproblemaquehemcomentatésconsiderarque totselsconvexos KN són«elmateix»i,així,elmateixque K1.Aixòhopodem formalitzardientqueconsideremclassesdeconvexos,onlesclassesestan donadesperl’acciódelgrupdedesplaçaments.D’aquestamaneratenimque totsels KN pertanyenalamateixaclassequeel K1.Tambétenimquetotesles el.lipsespertanyenalamateixaclassequeelcercle.Ambaquestaconvenció, Ball[1]vaprovarquelaclassedelsímplexmaximitzal’àrea,fixatelvolum:

Teorema 44 Denotemper GL(n) Rn elgrupdetransformacionslinealsseguidesd’undesplaçament.Llavors,

on Sn denotaelsímplexregulardedimensió n.

3.4.4Algoritmesdepreprocessament Elsel.lipsoidesdeJohniLöwnerhan trobatdiversesaplicacionsenproblemesd’optimitzacióigeometriacomputacional.Elprimerobjectiuenmoltsd’aquestsproblemesésassegurarqueel

Elscossosdiferènciaideprojeccióengeometriaconvexa

dominid’estudino«ésdegenerat»,perexemple,esvolevitartreballaramb dominisenformad’agullacomelsdelafigura14.Unasolucióperevitar aquestsdominisésprimerdeterminarl’el.lipsoidedeJohnodeLöwnerillavors moureeldominiperlatransformacióafíqueportal’el.lipsoideaunabola.En elcontextd’aplicacionsenproblemesd’optimitzaciónoestrobaràexactament l’el.lipsoide,sinóunaaproximació,proubona.Actualmentesconeixenalgoritmespolinomialspertrobaraproximacionsdelsel lipsoidesdeJohn-Löwner. Unavegadafetaquestprimerpas,espodensimplificarelsproblemesd’optimització.L’exemplemésconegutd’aquestaaplicacióesdeuaLenstra[10],que vadonarunalgoritmequeresolproblemesdeprogramacióenteraentemps polinomial,siladimensiódel’espaiestàfixada.

4Elcosdeprojecció

Elcosdeprojeccióassociaacadaconvexunaltreconvexobtingutapartirde lesprojeccionsdelprimeracadahiperplà.Peramésinformaciósobreelcos deprojecciórecomanem[14,secció10.9]i[4,capítol4].

Definició 45. Donatunconvex K ∈Kn,el cosdeprojecció ΠK de K esdefineix apartirdelasevafunciósuportcom

h(ΠK,u) = Vn 1(K|u⊥),u ∈ Sn 1 ,

on u⊥ denotal’hiperplàortogonala u.L’aplicació K ΠK l’anomenem operadorprojecció

Abansderes,hauríemdeveurequeelcosdeprojeccióestàbendefinit.En principi,lafunció u Vn 1(K|u⊥) nomésestàdefinidaal’esfera.Perdefinir-la atot Rn enconsidereml’extensió1-homogènia,ésadir,definim

h(ΠK,u) = u Vn 1 K u u ⊥ ,u ∈ Rn \{0}, i h(ΠK, 0) = 0.Llavors,pelteorema21,elcosdeprojeccióestàbendefinitsi aquestaextensióésconvexa.Perprovar-houtilitzeml’expressiósegüentdela funciósuportdelcosdeprojecció.

Lema 46. Sigui K ∈Kn i u ∈ Sn 1.Llavors, Vn 1(K|u⊥) = 1 2 Sn 1 | u,v | dS(K,v).

Prova. Perdemostrarellemaesfaservirunadelesideesrecurrentsen geometriaconvexa:expressemunaquantitatgeomètricaqueestàrelacionada amblaquevolemestudiardeduesmaneresdiferents.Igualant-lesobtenim lainformacióquevolem.Perobtenirlarepresentacióintegralde Vn 1(K|u⊥)

calculem Vn(K + λ[ u,u]), λ> 0,deduesmaneres.Laprimerautilitzael principideCavalieriielteoremadeFubiniperobtenir

Vn(K + λ[ u,u]) = Vn(K) + 2λVn 1(K|u⊥).

Peralasegonautilitzemelsvolumsmixtosilarepresentacióintegral (6) Recordemquedel’últimaafirmaciódelteorema26tenim V([ u,u],[ u,u], K3,...,Kn) = 0peratot K3,...,Kn ∈Kn jaqueelsegment [ u,u] només contéunsegmentlinealmentindependent.Llavors,

Vn(K + λ[ u,u]) = n i=0 n i λiV( i K,...,K, n i [ u,u],...,[ u,u]) = = Vn(K) + nλV(K,...,K,[ u,u]) = = Vn(K) + λ Sn 1 h[ u,u](v)dS(K,v).

Siaracomparemelscoeficientsdelspolinomisen λ irecordeml’expressióde lafunciósuportd’unintervalcentrat,obtenimelresultat. ✷

Del’expressiódellema46tenimqueelcosdeprojeccióestàbendefinit,ja que u | u,v | ésconvexa,pera v ∈ Rn fixat. Passemaestudiarelcosdeprojeccióenalgunsexemples.

Exemples. (i) Si K ∈Kn ésunconvexdedimensió k ≤ n 2,llavors ΠK = {0}.

(ii) Si K ∈Kn ésunconvexdedimensió (n 1) contingutenunhiperplà v ⊥ , v ∈ Sn 1 fixat,llavors ΠK = Vn 1(K)[ v,v], i.e., ΠK éshomotètical segment [ v,v].

(iii) Si K = B ésunaboladeradi1de Rn,llavors ΠB = ωn 1B, on ωn 1 denotaelvolumd’unaboladedimensió (n 1)

(iv)Si K ésunquadrat,llavors ΠK tambéésunquadrat. Perveure-hopodemutilitzardirectamentladefinicióiestudiarlalongitud delesprojeccions,obépodemferservirl’expressiódelafunciósuport dellema46.Enaquestcas,enscalconèixerlamesurad’àread’unquadrat. Suposemqueelquadrat Q ésdelaforma [ e1,e1] + [ e2,e2].Aleshores, Q tévectorsnormals ±e1, ±e2 ilalongituddelcostatassociatés2.A partirdel’expressió (5) tenimquelamesurad’àreaestàdonadaper µ = 2(δ±e1 + δ±e2 ) ifentuncàlculobtenim

h(ΠQ,u) = 1 2 S1 | u,v | dµ(v) = 2(| u,e1 |+| u,e2 |),

quecorresponalquadrat2Q

(v) Mésengeneral,si K ésunpolitopespotveureambunargumentanàleg al’anteriorque ΠK ésunpolitop.

T ΠT

Figura 15: Elcosdeprojecciód’untetraedreregular T ésundodecaedre ròmbic.

Acontinuació,enumeremalgunesdelespropietatsdelcosdeprojecció.No endonaremlesdemostracions,queespodenobtenirapartirdeladefiniciódel cosdeprojecció,ellema46,ilespropietatsdelamesurad’àreaidelsvolums mixtos.

Proposició 47 L’operador Π : Kn →Kn télespropietatssegüents:

(i) ΠK és o-simètricperacada K ∈Kn;

(ii) Π ésparell( i.e., Π( K) = Π(K));

(iii) Π éshomogenidegrau n 1, i.e., Π(λK) = λn 1Π(K) pera K ∈Kn i λ> 0;

(iv) Π ésinvariantpertranslacions;

(v) Π és GL(n)-contravariant, i.e.,si g ∈ GL(n),llavors

Π(gK) =|det g| g T ΠK,

on g T denotalamatriuinversadelatransposadade g; (vi) Π ésunavaloració;

(vii) Π ésmonòton;

(viii) Π éscontinu;

(ix) si K,L ∈Kn,llavors V(K,...,K, ΠL) = V(L,...,L, ΠK).

Recordemqueladefiniciódelespropietatsanteriorsespottrobarala proposició29.Al’apartat3hemdonatcotesperalvolumdelcosdiferència d’unconvex K entermesdelvolumde K.Enelcasdelcosdeprojecció,es coneixlacotainferioròptimaperalquocient

Vn(ΠK)

Vn(K)n 1

encaraquelaigualtatnoestàcaracteritzada.Petty,el1971,vaconjecturarque elmínims’assoleixnomésperael.lipsoides.Avuisesapqueenelsel.lipsoidesel quocientassoleixelvalormínimperòhipodriahaveraltresconvexosquetambé minimitzessinelquocient.Lacotasuperiornoesconeix.

Hiha,però,unadesigualtatquerelacionaelvolumde K ambelvolum de Π(K∗) on K∗ denotaelcospolarde K:

Definició 48. Sigui K ∈Kn talquecontél’origenalseuinterior.Llavors,el cospolar K∗ de K és

Figura 16: Cospolardelquadrat K.

Elcospolard’undiscderadi r centratal’origenésunaltredisccentrat al’origenperòderadi1/r .Elcospolarapareixendiversessituacionsen geometriaconvexa,jaqueproporcionaunanociódedualitat.Engeneral,es compleix K∗∗ = K peratot K ∈Kn quecontél’origenal’interior.

Acontinuació,enunciemladesigualtatperalvolumdelcosdeprojecció delpolar.

Teorema 49 Sigui K ∈Kn ambinteriornobuit.Llavors,

on κn = Vn(Bn) denotaelvolumdelabolaunitateuclidiana Bn.Laigualtates téperalacotasuperiorsiinoméssi K ésunel.lipsoideiperalacotainferior,si inoméssi K ésunsímplex.

LacotasuperiorvaserdonadaperPettyel1971iactualmentesconeix coma desigualtatdeprojecciódePetty.Lacotainferiornovaserprovadafins el1991,perZhang,iésconegudacoma desigualtatdeprojecciódeZhang Igualqueperalcosdiferència,recentmentLudwighaobtingutresultats quecaracteritzenelcosdeprojecció.

Teorema 50. Unoperador ϕ : Kn →Kn éscontinu,invariantpertranslacions, ésunavaloracióiés SL(n)-contravariantsiinoméssiexisteix λ ≥ 0 talque

ϕK = λΠK.

Unanàlegdelteorema33(idelteorema34)encaranoesconeix.Notemque lacaracteritzaciódelcosdeprojeccióésmésdifícil,jaqueesperdlapropietat d’additivitatipassemd’unavaloracióhomogèniadegrau1(perl’operador diferència)aunavaloracióhomogèniadegrau n 1(perl’operadorprojecció). Enaquestasituació,moltsdelsresultatsutilitzatsdeixendeservàlids.

4.1Zonoides

Enaquestapartatdefinimiestudiemelszonoides,queveuremquesónels convexosdelaimatgedel’operadorprojecció.

LasumadeMinkowskid’unaquantitatfinitadesegmentsdonallocal queanomenem zonotop.Perexemple,elsparal.lelograms,elshexàgonsiels polígonsregularsambunnombreparelldecostatssónzonotops.Elstriangles, percontra,nosónzonotops,jaquenoespodenescriurecomasumade Minkowskidesegments.

Figura 17: Hexàgonconstruïtapartirdelasumadetressegments.

Observemprimerdetotqueelszonotopssóncentralmentsimètrics.En efecte,cadasegmenta Rn éseltraslladatd’unsegmentcentratal’origen.Així, podemescriurequalsevolzonotopcomatranslaciód’unasumadesegments centratsal’origen.Consideraremapartird’araqueelszonotopsestancentrats al’origeniquecadaundelssegmentsestàcentrattambéal’origen.

Lafunciósuportd’unzonotopespottrobardemanerasenzillaapartirde lafunciósuportd’unsegmentilalinealitatdelafunciósuport(propietat(iii) delaproposició20):Suposemque K = S1 +···+ Sm on Si ésunsegmentde longitud αi idirecció ui, i = 1,...,m.Llavors,

Peraltrabanda,elrecíproctambééscert:totafunciódelaformaanteriorésla funciósuportd’unzonoide.

Elresultatsegüent,quenodemostrarem,ensdonauncriteripersaberquan unpolitopésunzonotop,demaneraanàlogaalteorema38peraconvexos o-simètrics.

Teorema 51 Unpolitopésunzonotopsiinoméssicadacara 2-dimensionalés centralmentsimètrica.

Siaraconsideremelconjuntdetotselszonotops,tenimqueésunconjunt tancatrespectedelasumadeMinkowski,ésadir,siconsideremlasumade doszonotops Z1, Z2,obtenimunzonotop(queseràsumadelssegmentsque generen Z1 ielssegmentsquegeneren Z2).Lesdilatacionsdezonotopssón, evidentment,zonotops.

Arabé,tambépodemconsiderarlímitsdezonotopsrespectedeladistància deHausdorffiaquestlímit,engeneral,noseràunzonotop.Comencemperun exemple.Sigui D undisca R2.Podemaproximar D perzonotops.Laideaés moltintuïtiva:aproximemeldiscperpolígonsambméscostatscadavegada.Per exemple,podemconsiderarlasuccessiódepolígonsregularsambunnombre parelldecostatsiinscritsalcercleunitat.Aquestasuccessióconvergeixaldisc unitari.Peròeldiscnoésunzonotop,jaquenoespotescriurecomasuma finitadesegments,obéperquètotzonotopésunpolitop.

Definimels zonoides comelsconvexosqueespodenaproximarenladistànciadeHausdorffperzonotopso,equivalentment,elsconvexostalsquela sevafunciósuportespotaproximaruniformementa Sn 1 perfuncionsde laforma(10).Aixídoncs,eldiscésunzonoide,quenoészonotop.

Elszonoidesformenunaclassedeconvexosmoltinteressantjaque,com veuremacontinuació,tenenunarepresentaciódelafunciósuportmoltsenzilla.

Teorema 52. Unconvex K ∈Kn ésunzonoidesiinoméssilasevafunció suportvedonadaper

h(K,x) = Sn 1 | x,v | dρ(v),x ∈ Rn , (11)

amb ρ unamesuraparella Sn 1,ésadir,quecompleix ρ(ω) = ρ( ω) pera totborelià ω ⊂ Sn 1 .

Prova. Demostremnomésunaimplicació.Peral’altracalenresultatsd’aproximaciód’anàlisifuncional.

Suposemque K ∈Kn téfunciósuportdelaforma (11).Volemveureque K ésunzonoide.Peraixò,construiremunasuccessió {Zj }j∈N dezonotops talque limj→∞ Zj = K enladistànciadeHausdorff.Perl’equivalènciaentre laconvergènciadeconvexosenlatopologiadeHausdorffilaconvergència uniformedelesfuncionssuport(vegeul’equació (4)),lasuccessió {Zj }j∈N convergeixa K si lim j→∞ dH (K,Zj ) = lim j→∞ sup u∈Sn 1 |h(K,u) h(Zj ,u)|= 0, i.e.,n’hihaprouambveurequeperatot u ∈ Sn 1 itot > 0esté |h(K,u) h(Zj ,u)| < ,si j ésprougran.

Sigui > 0fixat, δ = /ρ(Sn 1) i {E1,...,Ej } unaparticióde Sn 1 talque elsseuselementssónboreliansnobuits,disjuntsitenendiàmetre(vegeu ladefinició3)méspetitoigualque δ.Peracada1 ≤ i ≤ j escollimun element vi ∈ Ei.

Definim Zj elzonotopambfunciósuport h(Zj ,u) = j i=1 ρ(Ei)| u,vi |,u ∈ Sn 1

ApartirdeladesigualtatdeCauchy-Schwarzirecordantque u ∈ Sn 1 i quecada Ei tédiàmetrecomamàxim δ,tenimlaconvergènciadelesfuncions suport:

|h(K,u) h(Zj ,u)|= Sn 1 | u,v | dρ(v) j i=1 | u,vi |ρ(Ei) =

i=1 Ei dρ(v) = . ✷

A R2 espotprovarquetotselscossos o-simètricssónzonoides.Aixònoés certa Rn , n ≥ 3.Shephardvaprovarqueelpolitopambvèrtexs {±e1,..., ±en} pera n ≥ 3noéscapzonotop,nicapzonoide.Amésamés,elszonoidesno sónnidensosal’espaideconvexossimètrics,ésadir,nopodemaproximarun convex o-simètricqualsevolperzonoides.Aquestfethaportataladefinició delszonoidesgeneralitzats,delsqualsnotractaremaquí.

4.1.1Zonotopsitessel.lacionsdel’espai Unatessel.laciódelpla(odel’espai)ésunadescomposiciód’aquestplaenpartsquenosesolapennideixencap espaibuit.Lestessel.lacionsambunsolconvexdescomponenl’espaiambuna solafigurageomètricaqueesvadesplaçantpertotl’espai.Elconcepteprové delestessel.lacionsquefeienelsromans,ambrajolesmoltpetitesdeforma quadrada,peraobtenirdiferentsrepresentacionsidecorarterresiparets.A lanaturatambétrobemexemplesdetessel.lacions:elsruscsdelesabelles,la closcad’unatortugaolapelldelsmamífersestantessel.latsperhexàgons.

Latessel lacióméssenzilladelplal’obtenimconsiderantquadrats,ila del’espai,considerantcubs.Defet,jahemutilitzataquestestessel.lacions perdemostrarelteoremadeMinkowski(teorema40).Enelpla,però,també podemobtenirtessel.lacionsdesplaçantunsolconvexsiconsideremtriangles

equilàtersihexàgons,aixícomparal.lelogramsencomptesdequadrats.A mésamés,sitenimunatessel.laciódelplaambunsolpolígon,llavorsha deserfetaapartirdepolígonsamb3,4o6costats.Perdescomptathiha tessel.lacionsqueutilitzenmésd’unafigurageomètrica.Laliteraturasobre aquestestessel lacionsésgraninolesconsideraremaquí,jaquelamotivació perintroduirtessel.lacionséscomentarelpaperquehitenenelszonotops.

Figura 18: Tessel.lacionsdelplaambhexàgonsiparal.lelograms.

Al’espai R3,sivolemobtenirunatessel.lacióregular,podemconsiderar paral lelepípedes,peròtenimmoltesaltrespossibilitats.Elresultatsegüentens donainformaciósobreelspolitopsquepermetentessel.lacionsregularsde R3 .

Teorema 53. Sigui P unpolitopquetessel.lal’espai.Llavors P ésunzonotoptal quecadacaraconté 4 o 6 arestes.

4.2Relacióentreelszonoidesil’operadorprojecció

Acontinuacióprovaremqueelscossosdeprojecció, i.e.,elsconvexosdela forma ΠK,amb K ∈Kn,sónzonoides.

Teorema 54. Elcosdeprojeccióde K ∈Kn ésunzonoide o-simètric. Recíprocament,si Z ésunzonoide o-simètricambinteriornobuit,llavors existeix K ∈Kn ambinteriornobuittalque ΠK = Z.

Prova. Sigui ΠK elcosdeprojeccióde K.Llavors,pellema46escompleix

h(ΠK,u) = 1 2 Sn 1 | u,v | dS(K,v) = = 1 4 Sn 1 | u,v | dS(K,v) + Sn 1 | u,v | dS( K,v) = = Sn 1 | u,v | dρ(v)

amb ρ = 1 4 (S(K, )+S( K, )).Comque ρ ésparell, ΠK ésunzonoide o-simètric. Perprovarelrecíproc,considerem Z unzonoide o-simètricambinteriorno buit.Pelteorema52,existeixunamesuraparell ρ talque

h(Z,u) = Sn 1 | u,v | dρ(v).

Pelteoremad’existènciadeMinkowski,teorema24,sabemquehihaunconvex ambinteriornobuit K talque S(K, ·) = ρ.Observemquepodemaplicarel

teoremad’existènciadeMinkowskijaque,perser K ambinteriornobuit,tenim que ρ noestàconcentradaacapequadori,perserparell, Sn 1 vdρ(v) = 0. Així,pellema46, Z éselcosdeprojeccióde2K. ✷

4.3ElproblemadeShephard

ElproblemadeShephardésunbonexempledeltipusdeqüestionsquees plantejala tomografiageomètrica.Aquestadisciplinaestudiacomreconstruir objectes(reals)apartird’informaciósobrelessevesseccionsoprojeccions (vegeuelmonogràfic[4]ambelsfonamentsiresultatsactualsdetomografia geomètricadesdelpuntdevistadelageometriaconvexa).

Unadelesaplicacionsmésconegudesdelatomografiageomètricaestroba enmedicina,enelTAC,quereconstrueixlaformad’unòrganapartird’imatges deseccionsobtingudesambraigsX.Malauradament,alapràctica,noméses podenobtenirunnombrefinitdeseccions,cosaqueimplicaquelasolució matemàticadelareconstrucciónoésúnicai,pertant,noméspodemobtenir unresultataproximatdelarealitat.

Peròenlapartteòricadelatomografiageomètrica,sesuposaqueesté informacióentoteslesdireccionsinonomésenunaquantitatfinita.Això permetdonar,avegades,resultatsd’unicitat.Unaaltrapartimportantdela geometriatomogràficalaconstitueixenelsresultatsd’estabilitat,quetambé sónfonamentalsperalesaplicacions:sisabemquecertainformaciósobre seccionsoprojeccionsdedoscossosés«semblant»,comde«semblants»són elscossos?

Segurament,elprimerexemplequepodemincloureenlahistòriadela tomografiageomètricaeltrobemenAristòtil.Semblaserquevaconcloureque laTerraésesfèricaobservantqueenuneclipsilunarlaprojecciódelaTerra sobrelaLlunaéscircular,fetque,intuïtivamentésclarquenoméspotpassarsi laTerratéunaformamésaviatrodona.Formulatdiferentment,essencialment Aristòtilvautilitzarquel’esferaa R3 ésl’úniccosconvextalquetoteslesseves projeccionssóndiscs.

Passemal’enunciatdelproblemadeShephard.

Problema 55 (problemadeShephard). Siguin K i L doscossosconvexosde Rn,simètricsrespectedel’origen.Suposemqueescompleix Vn 1(K|u⊥) ≤ Vn 1(L|u⊥) peratot u ∈ Sn 1.Éscertque Vn(K) ≤ Vn(L)?

Sicomencemestudiantaquestproblemaalpla,ensconvenceremaviatque lasevarespostaésafirmativaenaquestcas.Acontinuacióendonemuna demostració.

Teorema 56 Siguin K,L ∈K2 s simètricsrespectedel’origen.Si V1(K|u⊥) ≤ V1(L|u⊥),aleshores V2(K) ≤ V2(L).

Prova. Peratot M ∈K2 i v ∈ S1 escompleix V1(M|v) = h(M,v) + h(M, v), jaque V1(M|v) mesuralalongituddelaprojeccióde M a v,quecoincideix ambl’ampladade M enladirecció v (vegeuladefinició22).

Sigui u ∈ S1 i v larotacióde π/2ensentitantihoraride u.Comque K és o-simètric,tenim V1(K|u⊥) = V1(K|v) = 2h(K,v), iapartirdelacondició V1(K|u⊥) ≤ V1(L|u⊥) obtenimque h(K, ·) ≤ h(L, ·),ésadir,perlaproposició20(iv)ielteorema21, K ⊆ L.Aixídoncs, V2(K) ≤ V2(L). ✷

Alademostracióanteriorhemutilitzatfortamentque K i L sónconvexos de R2 jaquenomésendimensió n = 2apartirdelsvolums Vn 1(K|u⊥) = V1(K|u⊥), u ∈ S1,podemrecuperarlafunciósuportd’unconvex o-simètric.

AcontinuacióestudiemelproblemadeShepharda Rn.Primerveiemquela condicióque K i L siguin o-simètricsésnecessàriaperatot n ≥ 2.

Comencemambl’exemplesegüent:consideremundiscderadi r< 1iun convex K2 d’ampladaconstantiguala2(vegeuladefinició22)diferentdeldisc. Sesapquetotselsconvexosd’ampladaconstantiguala2tenenperímetre2π . Aleshoresl’àreade K2 hadeserméspetitaque π .Aquestaúltimaafirmacióla podemprovarapartirdeladesigualtatisoperimètricaa R2:

4π àrea(K) ≤ perímetre(K)2

Enefecte,utilitzantqueelperímetrede K2 és2π iquelaigualtatnoméses donasi K ésundisc,tenimquel’àreade K2 ésestrictamentméspetitaque π , posemigualque aπ amb a< 1.Sigui r> 0talque r 2 <a< 1iconsiderem eldiscderadi r .Aquesttéàrea πr 2 ≤ aπ ,ésadir,àreaméspetitaqueel convexd’ampladaconstant K2.Vegemqueaquestaparelladeconvexosrespon negativamentalproblemadeShephard.Hemdeveurequelalongituddela projecció,encadadirecció,de K2 ésmésgranquelacorresponentdeldisc. Comquehemtriatunconvexd’ampladaconstant,lalongituddecadaprojecció coincideixambl’ampladade K2,ésadir,és2.Peraltrabanda,l’ampladadel discencadadireccióés2r< 2.

ElproblemadeShephardvaserresolta Rn , n ≥ 3,independentment,per PettyiSchneider.AquíseguimbàsicamentlaresoluciódeSchneider.Elresultat següentafirmaquepodemgeneralitzarelfetanteriorperaqualsevolconvex L quenosiguisimètric.Lademostració,quenodonem,utilitzaelsvolumsmixtos ilaprimeradesigualtatdeMinkowski.

Proposició 57. Peracadaconvexnosimètric L ∈Kn ambinteriornobuit, existeixunconvexsimètric K ∈Kn amb Vn 1(K|u⊥) ≤ Vn 1(L|u⊥), ∀ u ∈ Sn 1 , però Vn(K)>Vn(L).

Acontinuaciódemostremquesi L (elcosambprojeccionsmésgrans)ésun zonoide,llavorslarespostaalproblemadeShephardésafirmativa.

Proposició 58. Siguin K,L ∈Kn ambinteriornobuit.Si L ésunzonoide, llavors

ΠK ⊆ ΠL ⇒ Vn(K) ≤ Vn(L), i Vn(K) = Vn(L) siinoméssi K s’obtéde L pertranslació.

Prova. Sigui M ∈Kn ambinteriornobuittalque ΠM = L.Notemque M existeixpelteorema54.Apartirdelaproposició47(ix)idelamonotoniadels volumsmixtos,tenim

V(K,...,K,L) = V(M,...,M, ΠK) ≤ V(M,...,M, ΠL) = V(L,...,L, ΠM) = Vn(L).

JuntamentambladesigualtatdeMinkowski V(K,...,K,L)n ≥ Vn(K)n 1Vn(L), teorema27(ii),obtenim Vn(L)n ≥ V(K,...,K,L)n ≥ Vn(K)n 1Vn(L). (12)

Llavors,escompleix Vn(K) ≤ Vn(L).

Elscasosd’igualtats’obtenendirectamentdeladesigualtatdeMinkowski, quetéigualtatsiinoméssi K i L sónhomotètics, i.e., K = λL + v pera λ> 0, v ∈ Rn.Apartirde (12) esté Vn(L)n = λn 1Vn(L)n.Llavors, λ = 1i K ésuna translacióde L. ✷

Sideixemdesuposarque L ésunzonoide,aleshoreslarespostaalproblema deShephardésnegativa.

Proposició 59 Sigui L ∈Kn unconvexsimètricquenoészonoide.Llavors, existeixunconvexsimètric K ∈Kn amb Vn 1(K|u⊥) ≤ Vn(L|u⊥) però Vn(K)> Vn(L).

Lademostraciódelaproposicióanteriorutilitzaesfèricsharmònicsiel teoremadeFunk-Heckeinolapresentemaquí.

Aixídoncs,sivolemqueelproblemadeShephardtinguirespostaafirmativa peratotaparelladeconvexos K, L simètricsrespectedel’origen,calquetots elscossos o-simètricssiguinzonoides.Talcomhemcomentatabans,això noméspassaa R2

Enresum,elproblemadeShephardal’espaideconvexossimètricsnomés térespostaafirmativasi n = 2.

Siensrestringimalaclassedelszonoides,encomptesdelsconvexos simètrics,llavorselproblemadeShephardtérespostaafirmativaperatota dimensió n ∈ N

Agraïments

Vulldonarlesgràciesal’AgustíReventósperhaver-meanimataescriureaquest articleiencoratjatmentrel’escrivia.

Referències

[1] Ball,K. «Volumeratiosandareverseisoperimetricinequality». J.London Math.Soc.(2),44(2)(1991),351–359.

[2] Busemann,H. «ThefoundationsofMinkowskiangeometry». Comment. Math.Helv.,24(1950),156–187.

[3] Danzer,L.;Grünbaum,B.;Klee,V. «Helly’stheoremanditsrelatives».A: Proc.Sympos.PureMath.,Vol.VII.Providence,R.I.:Amer.Math.Soc.,1963, 101–180.

[4] Gardner,R.J. GeometricTomography.2aed.NovaYork:Cambridge UniversityPress,2006.(EncyclopediaofMathematicsanditsApplications; 58)

[5] Gardner,R.J.;Hug,D.;Weil,W. «Operationsbetweensetsingeometry». J.Eur.Math.Soc.(JEMS),15(6)(2013),2297–2352.

[6] Gruber,P.M. ConvexandDiscreteGeometry.Berlín:Springer,2007. (GrundlehrenderMathematischenWissenschaften;336)

[7] Helly,Ed. «ÜberMengenkonvexerKörpermitgemeinschaftlichenPunkten». Jahresber.Deutsch.Math.-Verein.,32(1923),175–176.

[8] John,F. «Extremumproblemswithinequalitiesassubsidiaryconditions».A: StudiesandEssaysPresentedtoR.Courantonhis60thBirthday, January8,1948.NovaYork:IntersciencePublishers,Inc.,1948,187–204.

[9] Klee,V. «Whatisaconvexset?». Amer.Math.Monthly,78(1971),616–631.

[10] Lenstra,H.W.,Jr. «Integerprogrammingwithafixednumberofvariables». Math.Oper.Res.,8(4)(1983),538–548.

[11] Ludwig,M. «Minkowskivaluations». Trans.Amer.Math.Soc.,357(10) (2005),4191–4213.

[12] Rogers,C.A.;Shephard,G.C. «Thedifferencebodyofaconvexbody». Arch.Math.(Basel),8(1957),220–233.

[13] Santaló,L.A. LuisAntonioSantalóSelectedWorks.Edicióacurad’A.M.NaveiraiA.Reventósencol.laboracióambG.S.BirmaniX.Gual.Berlín: Springer-Verlag,2009.[AmbunprefacideS.K.Donaldson]

[14] Schneider,R. ConvexBodies:TheBrunn-MinkowskiTheory.2a.ed.ampliada.Cambridge:CambridgeUniversityPress,2014.(Encyclopediaof MathematicsanditsApplications;151)

[15] Serra,O. «LadesigualtatdeBrunn-Minkowski». ButlletídelaSocietat CatalanadeMatemàtiques,26(2)(2011),185–220.

[16] Tabachnikov,S. GeometryandBilliards.Providence,R.I.:AmericanMathematicalSociety;UniversityPark,Pa:MathematicsAdvancedStudySemesters,2005.(StudentMathematicalLibrary;30)

InstitutfürMathematik

Goethe-UniversitätFrankfurt

Robert-Mayer-Str. 10

D-60629 FrankfurtamMain abardia@math.uni-frankfurt.de

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.32,núm.1,2017.Pàg.45–71. DOI:10.2436/20.2002.01.73

Càlculd’integralsusantsistemesdinàmicsdiscrets

ArmengolGasulliMireiaLlorens

Resum: Siperaunafamíliad’integralsdefinides,dependentdeparàmetres,elvalor delaintegralnovariaquanescanviend’unacertamaneraelsvalorsdelsparàmetreses diuqueaquestcanvideparàmetresésunatransformaciódeLanden.Equivalentment, enelllenguatgedelssistemesdinàmics,laintegraldefinidaésunaintegralprimera delsistemadinàmicassociatalatransformaciódeLanden.Aquestestransformacions existeixen,perexemple,peradeterminadesfamíliesd’integralsel.líptiquesopera famíliesd’integralsracionals.Enaquesttreballpresentaremdiversosexemplesde transformacionsdeLandenilesaplicaremalcàlculd’integralsdefinides.També recordareml’algoritmedeBrent-Salaminperacalcular π ,jaqueestàbasatenaquest tipusdetransformacions.Comveurem,ladinàmicaglobald’algunestransformacions deLandenencaraestàllunydesertotalmententesa.

Paraulesclau: integraldefinida,transformaciódeLanden,integralel.líptica,sistema dinàmicdiscret,algoritmedeBrent-Salamin.

ClassificacióMSC2010: 26B99,33C75,37E99.

Desdelsegle xvii,enquèLeibniziNewtonvanintroduirelcàlculdiferencial iintegral,aquestaeinahaestatunadelasbasesdelaciènciailatecnologia.Ara bé,aixícomelcàlculdederivadesésunatascarutinària,elcàlculd’integrals,ja siguindefinidesoindefinides,ésun«art».Totsrecordemelsenginyososcanvis devariableperacalcularcertesprimitives,oelplaerqueproporcionaelfet queelmètoded’integracióperpartsquadridesprésd’aplicar-lounesquantes vegades.Apartd’aquestestècniquesbenestablertes,iqueserveixentantpera calcularprimitivescomperacalcularintegralsdefinides,n’hihad’altresque serveixennomésperaresoldreaquestasegonaqüestió.

Senseànimdeserexhaustius,enaquestsegonblocpodemconsiderarel mètodedederivaciód’integralsrespectedeparàmetres,quecanviaelproblema pelderesoldredeterminadesequacionsdiferencials,ol’úsdelteoremade Cauchyperafuncionsmeromorfes,queredueixenelcàlculaunasumade residus,vegeu[10].L’exempleparadigmàticd’integraldefinidaavaluablepera

laqualelcàlculdeprimitivesnofunciona1 éslarelacionadaambl’àreasotala campanadeGauss

e x2 dx = √π.

Podeuconsultar[12]peradiversesdemostracions,totesmaquíssimes,d’aquest fet.

L’objectiud’aquesttreballésdonaraconèixerunmètodenotanpopularque serveixperalmateixobjectiu.Concretament,mostraremdiferentsexemples d’aplicaciódelesanomenades transformacionsdeLanden alcàlculd’algunes integralsdefinides.Comveurem,aquestestransformacionsassocienaunacerta famíliad’integralsquedepenendeparàmetresunsistemadinàmicdiscret(SDD), demaneraquelesintegralsbuscadessón integralsprimeresoinvariants del’SDD.Usantaquestapropietat,sovintlesintegralsespodencalcularo aproximarestudiantelscomportamentslímitdel’SDD.

Enllocdedonartoteslesdefinicionsengeneral,preferimfer-hoenl’exemple paradigmàticdelmètode,que,comveurem,éselquelihadonatnom.

Considerem,per a> 0, b> 0,laintegralel líptica

Comveuremalasecció1,escompleixque

Enaltresparaules,siconsidereml’aplicació F(a,b) = a + b 2 , ab , (3) aleshorestenimque I(a,b) = I(F(a,b)).Aquestaésprecisamentladefinició que I ésuna integralprimera,oun invariant,del’SDDgeneratperl’aplicació F . 2 Aixòensdiuquetotselspuntsd’unaòrbitade F , O(a0,b0) :={F n(a0,b0) : n ∈ N ∪{0}} sóndinsdelamateixacorbadenivellde I, I(a,b) = I(a0,b0), itambéhisónelsseuspuntsd’acumulació.Aquestspuntsformenelque s’anomenaconjunt ω-límitdel’òrbita.Aquí F n = (F n 1 ,F n 2 ) denotalacomposició de F = (F1,F2) ambsimateixa n cops,on F 0 = Id.

Gaussvaprovarl’any1799laigualtat (2),peròunresultatmésgeneralque aquestjahaviaestatdemostratperLanden,l’any1775,vegeu[2, 13, 16, 19]. JohnLanden(1719–1790)vaserunmatemàticanglèsaficionatquevatreballar

1 LateoriadiferencialdeGaloisdemostraquecapprimitivadelafuncióe x2 ésexpressable ambunnombrefinitd’operacionsbàsiquesambfuncionselementals.

2 Sila F noésinvertible,hauríemdeparlarméspròpiamentdesemisistemesdinàmicsdiscrets, però,comesfasovint,ometremelprefix semi

comatopògraficomaagentimmobiliari;vegeumésdetallsdelasevaobra a[2,28].

Defet,lesrelacionsentrefuncionsel.líptiquestrobadesperLandensón conegudescoma transformacionsdeLanden.Senseentrarencapformalisme iparlantengeneral,avuiendiaunatransformaciódeLandenésunarelació entreduesintegralsdefinidesdefuncionsdel«mateixtipus»iquedepenen deparàmetres.Enlesintegrals,tantelsparàmetres,comelslímitsd’integració,nohandesernecessàriamentelsmateixos,peròaquestsvalorssatisfan relacionsfuncionalsentreells(vegeudenou[2, 28]peramésdetalls).Enel casestudiatperGauss,elslímitsd’integraciósónelsmateixos,elsparàmetres venenrelacionatsvia F ,lesintegralssónclaramentdelmateixtipusilarelació entreellesésquesónexactamentiguals.Enaquesttreballveuremdiversos exemplesdetransformacionsdeLanden.

Vegemcomespotusar (2) peracalcular(aproximar) I(a,b).Comveurem, noésdifícildemostrarque

lim n→∞ F n(a,b) = MAG(a,b), MAG(a,b) , on MAG(a,b) ésunnúmeroentre a i b.Defet,aquestnúmeros’anomena mitjanaaritmeticogeomètricade a i b.Sovinttambéesdenotaaquestvalor comAGM(a,b) degutalseunomenanglès.Acontinuacióprovemque

(4)

Enefecte,comque I(a,b) ésinvariant,enaplicar F ,obtenimperatot n ∈ N,

Pertant,elcàlculde I(a,b) espotferapartirdelcàlculde MAG(a,b).Tot iquelafórmulaexplícitaperaaquestamitjanaéslaintegral,queéselque volíemcalcular,elresultatobtingutproporcionaunprocésiteratiufàcilment programable,queconsisteixacalcularlasuccessió F n(a,b),quepermetaproximarquadràticament I(a,b).Recordemqueesdiuquelaconvergènciaés quadràtica,sil’errorabsolutdel’iterat n + 1és,aproximadament,unaconstant

multiplicadapelquadratdel’errorabsolutdel’iterat n.Defet,ésambelprocés descritcomescalculenelsvalorsaproximatsdelesintegralsel.líptiques.És més,lamitjanaaritmeticogeomètricapotserusadaperacalcularambprecisió elsvalorsdemoltesfuncionselementalscomaralog(x),ex ,... ,vegeu[5,7].

Comveuremmésendavant,perad’altresintegralsdefinideslestransformacionsdeLandenassociadessíquepermetencalcularexactamentelsseus valors.

Seguint[5, 13]icomaaplicaciódelresultatanterior,espotrelacionarla longitud L delalemniscataqueencoordenadespolarss’escriucom r 2 = cos(2θ),amblaintegraldefinida

iambunamitjanaaritmeticogeomètrica.Defet,aquestaintegraljaapareix l’any1691endocumentsdeJacobBernoulliieraforçaconegudaalsegle xviii VaserGaussquilavadenotarper .Comveuremalasubsecció1.2,fentdos canvisdevariablediferentsperacalcular L arribema L= 2 = 4I(√2, 1). Comquejahemvistque2I(√2, 1) = π/ MAG(√2, 1),obtenimque

Gaussvaconjecturaraquestarelacióabansdeprovar-la,basant-seencàlculs numèrics,talcomvaafirmarenlanota98(30demaigde1799)enelseu diari[17],onvaescriure:

Hedemostratfinsal’onzenaxifradecimal,queellímitdelamitjanaaritmeticogeomètricaentreelsnúmeros √2 i 1 ésiguala π/ ;aquestademostració obriràseguramentunaàreatotalmentnovaenl’anàlisi.

Comnopodiaserd’altramanera,Gausslavaencertar.Esreferiaalateoriade lesfuncionsel líptiques.

Comasegonaaplicaciódistingidad’aquestatransformaciódeLanden, deduiremalasubsecció1.4l’algoritmedeBrent-Salamin(vegeu[3, 5, 14]),que serveixperacalcular π .Aquestalgoritmeesbasaenlaconstrucciód’una successió {zn}n queconvergeixquadràticamentcapa π ,definidacoma

on aj i bj venendefinitsperlatransformació (3),ésadir, (aj+1,bj+1) = F(aj ,bj ) = (aj + bj )/2, aj bj ,amb a0 = 1i b0 = 1/√2.Vegemelsprimers iteratsdel’algoritme

2 0.84722490292349415261... 0.84720126674689146040...

3 0.84721308483519280650... 0.84721308475276536670... 4 0.84721308479397908660... 0.84721308479397908660... itambé,

1 3.1405792505221682483113312689758233117734402375122... 2×10 3

3.1415926462135422821493444319826957743144372233448...

3 3.1415926535897932382795127748018639743812255048349... 2×10 19 4 3.1415926535897932384626433832795028841971146782804...

Enaquestadarrerataulaespotapreciarclaramentlaconvergènciaquadràtica delmètode.

Peracabaraquestaprimerapartcentradaenintegralsel.líptiques,consideraremaltresintegralsquedonenllocafuncionsespecialsidedicaremla subsecció2.2alesrelacionsentrealtresSDDdelpladonatsperaplicacions deLandensimilarsa F ilessevesrespectivesintegralsprimeres.Enparticular veuremcomespotcalcularlamitjanaharmonicogeomètrica.

Canviantunamicaeltipusdefuncionsquevolemintegrar,alasecció3, seguint[4, 11, 21, 24],estudiaremdiversestransformacionsdeLandenqueens permetrancalcularcertesintegralsdefinidesimpròpiesdonadesperquocients depolinomis.Comaexemplesenzill,iquetambépotsercalculatsensegaire dificultatusantelsmètodestradicionals,enaquestaintroducciódonemen primerllocelresultatquepermetcalcularperaquestprocedimentlaintegral

Pertant,

I(a,b,c) = I(F(a,b,c)) =

Observemqueenaquestcasnohacalgutanarallímitperaferelcàlcul,jaque totselspunts (a,b,c) sónpre-fixos(lasevaimatgeésunpuntfix)perl’SDD generatper F .Unaltreexempleracionalsenzills’estudiaa[23].

Quanconsideremlaintegralméscomplicada

I(a,b,c,d,e) = ∞

tambéespotconstruirunatransformaciódeLandenassociada;vegeulasubsecció3.2.Sipreneml’aplicacióambestructuratriangular, F(a,b,c,d,e) = (G(a,b),H(a,b,c,d,e)),on

G(a,b) = 5a + 5b + ab + 9 3 (a + b + 2)4

H(a,b,c,d,e) =

(6)

, c + e 3 √a + b + 2 , (7)

aleshores I(a,b,c,d,e) = I(F(a,b,c,d,e)). Comesdemostraa[11, 20]peralsvalors (a,b) ∈ R2 talsque I(a,b,c,d,e) ésfinita,escompleixque limn→∞ Gn(a,b) = (3, 3).Peracabaraquesttreball,a lasecció4mostraremlacomplexitatdelatransformació G quanselaconsidera definidaatotelplareal.Aquestfetésconegutijaesdescriua[20]ialllibre[22, capítol15].

1TransformacionsdeLandenperaintegralsel.líptiques

1.1DuesprovesdelaigualtatdeGauss

Començaremaquestaseccióambduesdemostracionsdelaigualtat (2).La primeraéslaquevaferGaussilasegona,degudaaNewman,éslaméscurta coneguda.

ProvadeGauss. L’any1816,Gaussvaprovarlaigualtatqueensocupausant únicamentelcanvidevariablessegüent(vegeutambé[27])

sin θ = 2a sin ϕ a + b + (a b) sin2 ϕ ,

on θ ∈ (0,π/2),pertant,0 < sin θ< 1i,també, ϕ ∈ (0,π/2).Notemque aquestésunboncanvi,jaquelafunció f(x) = 2ax (a+b)+(a b)x2 éscreixenta [0, 1],

f(0) = 0i f(1) = 1.Ambaquestcanviobtenim

cos θ dθ dϕ = 2a(a + b (a b) sin2 ϕ) cos ϕ (a + b + (a b) sin2 ϕ)2 .

Peraltrabanda, a2 cos2 θ + b2 sin2 θ = a(a + b (a b) sin2 ϕ) a + b + (a b) sin2 ϕ .

Pertant,

I(a,b) = π/2 0 a + b + (a b) sin2 ϕ a(a+b (a b) sin2 ϕ) 2a(a + b (a b) sin2 ϕ) cos ϕ (a + b + (a b) sin2 ϕ)2 cos θ dϕ = = 2

Observemtambéque cos θ = (a + b + (a b) sin2 ϕ)2 4a2 sin2 ϕ a + b + (a b) sin2 ϕ .

Aixídoncs, I(a,b) = 2 π/2 0 cos ϕ dϕ (a + b + (a b) sin2 ϕ)2 4a2 sin2 ϕ = = 2 π/2 0 cos ϕ dϕ cos2 ϕ((b a)2 cos2 ϕ + 4ab) = = 2 π/2 0 dϕ (b a)2 cos2 ϕ + 4ab

Arabé,usantque (b a)2 = (a + b)2 4ab tenimque (b a)2 cos2 ϕ + 4ab = 4 a + b 2 2 cos2 ϕ + ( ab)2 sin2 ϕ , isubstituintaquestaigualtataldenominadordel’expressióanteriorobtenim I(a,b) = π/2 0 dϕ a+b 2 2 cos2 ϕ + (√ab)2 sin2 ϕ = I a + b 2 , ab ✷

ProvadeNewman([26]). Usantelcanvidevariables u = tan(θ) obtenim

I(a,b) = ∞ 0 du (a2 + u2)(b2 + u2)

Acontinuació,apliquemelsegoncanvidevariables, v = u 2 ab 2u .Ésfàcil comprovarqueésbijectiuiquetransformalaintegralanterioren

I(a,b) =

Finalmentfemeltercercanvi v = √ab tan θ,ambelqualarribemdenoua

=

LaprovadeNewmanensmostraquel’úsdelscanvisdevariableéstotun art.

1.2Lalongituddelalemniscata

Enaquestasecciódemostrarem,seguint[13]iaplicantlaigualtat (2),quesi L éslalongituddelalemniscata,ambequaciópolar r 2 = cos(2θ) iequació cartesiana (x2 + y 2)2 + y 2 x2 = 0,escompleixque L= 2 = 4I(√2, 1) = 2π

Provade (8). Ésbenconegutquelalongitudd’unacorba ρ = R(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2,encoordenadespolarsvedonadaper

Enelnostrecas,degutaladoblesimetriadelalemniscata,tenim

(2θ) . Ambelcanvidevariable cos(2θ) = cos2 φ,laintegralanteriorestransforma en

Observemqueeneldarrerpass’hafetservirlaigualtat(4).

Peraprovarladarreraigualtatde (8) queensfaltaaplicaremelcanvide variable z = cos φ enlapenúltimaexpressióintegralde L,

4

talcomvolíemveure.

1.3Mitjanaaritmeticogeomètricaiunexempledecàlcul

Comjahemcomentat,lamitjanaaritmeticogeomètricade a> 0i b> 0, MAG(a,b),ésellímitcomúdelessuccessions {an}n i {bn}n determinades perl’algoritmesegüent

prenent a0 = a i b0 = b.SemblaserqueaquestalgoritmevaaparèixerprimerenundocumentdeLagrange(1784–1785),peròvaserGaussquielva estudiarambmésprofunditat.Defet,Gaussvaredescobrirlamitjanaaritmeticogeomètrical’any1771,quanteniacatorzeanys.Desprésambvint-i-doso vint-i-tresanys(1799–1800)vaescriureunllargtreball[16]enquèexplicavaels seusdescobriments,peròquenovaserpublicatfinsbastantméstard;vegeu[2, secció2].

Vegem,enprimerlloc,queambdóslímitsexisteixenisóniguals,degutalfet quelesduessuccessionssónmonòtonesifitades.Noésrestrictiusuposarque a ≥ b,iaixíhofaremd’araenendavant.Ladesigualtatsegüententreambdues mitjanesésdetotsprouconeguda (a + b)/2 ≥ √ab,iimplicaque an ≥ bn per atot n ≥ 0.Així,

Disposem,doncs,d’unasuccessió {an}n decreixentifitadainferiormentper b i,d’unasuccessió {bn}n creixentifitadasuperiormentper a,

Pertant,ambduestenenlímit.Siguin A = limn→∞ an i B = limn→∞ bn.Prenent límits,perexemple,a an+1 = (an + bn)/2,tenimque A = (A + B)/2i,pertant, A = B := MAG(a,b),talcomvolíemveure.

Estudiaremaralavelocitatdeconvergènciadelesduessuccessions.Per fer-ho,observemenprimerllocque

Pertant,siintroduïmlasuccessióauxiliar n = (an bn)/2,obtenim 2

Pertant, n+1 ≤ 2 n/(4b).Aquestadesigualtatensdiuquelalongituddels l’intervals [an,bn],quecontenenellímitMAG(a,b),decreixquadràticament. Notemacontinuacióalgunesdelespropietatsquecompleixaquestamitjana iquesónbenfàcilsdedemostrar:

• MAG(a,b) = MAG(a1,b1) = MAG(a2,b2) =···= MAG(an,bn) =··· ,

• MAG(ca,cb) = c MAG(a,b) peratot c ∈ R, c> 0,

• MAG(a,a) = a iMAG(a,b) = MAG(b,a),

• si b<a, llavors b< MAG(a,b)<a.

Defet,quanunoperador M : R+ × R+ → R+ compleixlestresúltimespropietatsesdiuqueésuna«mitjana».Veuremexemplesd’altresmitjanesales subseccions2.1i2.2.

Comail.lustraciódelasevaconvergènciaquadràticaiperobteniraproximacionsdelalongituddelalemniscatadelaseccióanteriorid’unaintegral el.líptica,calcularemlesprimeresxifressignificativesde MAG(√2, 1).Obtenim: n an bn

0 1.414213562373095048802 1

1 1.207106781186547524401 1.189207115002721066718

2 1.198156948094634295560 1.198123521493120122607

3 1.198140234793877209084 1.198140234677307205799

4 1.198140234735592207442 1.198140234735592207440

5 1.198140234735592207441 1.198140234735592207441

Pertant,MAG(√2, 1) ≈ 1 1981402347.Apartird’aquestresultattenim I(√2, 1) = π 2 1 MAG(√2, 1) ≈ 1.31102878i L= 2π MAG(√2, 1) ≈ 5.2441151.

1.4L’algoritmedeBrent-Salamin

El1973idemaneraindependent,EugèneSalaminiRichardBrentvantrobarun mètodeperaaproximar π ambgranvelocitat(vegeu[3, 14]).Lademostració delaconvergènciaestàbasadaenlateoriadelesintegralsel.líptiques.Pera entendred’onsurtaquestmètodenecessitarem,doncs,unsquantsresultats previssobreaquesttema.

1.4.1Algunespropietatsdelesfuncionsel.líptiques Començaremfent unaintroduccióbreudeltema,recordantlesnotacionsipropietatsquenecessitaremperadeduirl’algoritmedeBrent-Salamin.Podeutrobartotaaquesta informacióimoltmésa[1,5,8,25].

Engeneral,s’anomena integralel.líptica unaintegraldelaforma R(x, P(x)) dx,on R(x,y) ésunafuncióracionalen x ien y,i P(x) és unpolinomidegrau3o4sensearrelsmúltiples.Enelcasparticularquehi hagilímitsd’integració,aleshoresparlaremd’una integralel.lípticacompleta. TotiqueprimeramentvarenserconsideradesperFragnano,Euler,Lagrange iLanden,aquestesintegralsvansertractadessistemàticamentperLegendre, elqualvademostrarquequalsevolintegralel.lípticapotrelacionar-seamb tresintegralsfonamentals.Aquestestresintegralss’anomenen integralsellíptiquescanòniquesdeLegendre deprimera,segonaiterceraespècie.Les formesnormalsdeLegendrenosónlesúniquespossibles,peròs’hanmostrat moltútilsisónlesutilitzadesméscomunament.

Nosaltresusaremnoméslesintegralsel.líptiquescompletesdeprimerai segonaespècie K(k) i E(k),respectivament.Aquestessón

on0 <k< 1.Perexemple,lasegonaintegralapareixenelcàlculdela longitud L d’unael.lipseambsemieixos a i b.Defet,

4

id’aquíelnomd’aquestesintegrals.Tambéapareixenenl’expressiódelperíode d’unpèndolenfunciódel’energia;vegeuaquestexempleid’altresa[25].

Les integralscomplementàries3 E i K sónlesintegrals E i K avaluades enlavariablecomplementària k = √1 k2.Defet, k s’anomena mòdul i k s’anomena mòdulcomplementari.Ésadir,

K (k) = K( 1 k2) = K(k) i E (k) = E( 1 k2) = E(k) (9) iescompleixlabonica relaciódeLegendre;4 vegeu,perexemple,[5,p.24],

E(k)K (k) + E (k)K(k) K(k)K (k) = π/2 (10)

3Nos’handeconfondreamblesderivadesrespectea k de E i K 4 Comveurem,l’aparicióde π enlaigualtatdeLegendreéselfetclauquepermetràconstruir l’algoritme.

Lesfuncions E i K estantambémoltlligadesamblaintegralqueapareix a (2) unamodificaciódelaqualtindràtambéunpaperimportantenelque segueix.Noésdifícilveurequepera a>b> 0,

I(a,b) = π/

J(a,b) := π/2

Abansdecontinuarprovaremdoslemestècnics.Enunaprimeralecturadel treball,potserésaconsellablenoentrarenelsdetallsdelessevesdemostracions.Elprimerdelslemesesténlaigualtat (2) alafunció J(a,b).Recordem que (an+1,bn+1) = F(an,bn) sónlessuccessionsquedefineixenla MAG(a,b).

Lema 1 ([5,p.13]). Lesintegrals I(a,b) i J(a,b) compleixen

(i) I(an,bn) = I(an+1,bn+1), (ii)2J(an+1,bn+1) J(an,bn) = anbnI(an,bn)

Prova. (i)Laprimerapartésequivalenta(2).

(ii)Considerem kn

b2 n.Aleshores kn =

= bn/an.Pertant,fentúsdelesrelacionsobtingudesa(9),(11)i(12),obtenim

2J(an+1,bn+1) = 2an+

Pertant,laigualtatquevolemdemostrarésequivalenta

Usantlaigualtat[5,teorema1.2(d)]

i,tenintencompteque

kn+1 = cn+1 an+1 = a2 n+1 b2 n+1 an + bn 2 = an + bn 2 2 anbn 2 an + bn 2 = an bn an + bn = 1 kn 1 + kn , obtenim

E(kn+1) = E(kn) + knK(kn) 1 + kn = anE(kn) + bnK(kn) an + bn = anE(kn) + bnK(kn) 2an+1 , queésprecisament(15). ✷

Lema 2 ([5,p.15]). Considerem a0 = 1, b0 = k ∈ (0, 1], {(an,bn)}n,lasuccessiógeneradaperacalcularla MAG(1,k) i cn = a2 n b2 n.Aleshores

(i) K(k) = π 2MAG(1,k) , (ii) E(k) = (1 ∞ n=0 2n 1cn 2)K(k).

Prova. (i)Usant(4)i(11)tenim

2

Prenent b = k = √1 k2 i a = 1obtenimelresultatdesitjat.

(ii)Siintroduïmlanotació Jn+1 = J(an+1,bn+1), In = I(an,bn),sabempel lema1que 2Jn+

Comque4a2 n+1 2a2 n 2anbn = b2 n

,l’expressióanteriorespot escriure

Simultipliqueml’expressióobtingudaper2n 1,trobem2n+1Jn+1 2nJn = 2n+1a2 n+1I

,oequivalentment,

Considerantaralasuccessióauxiliar wn = 2n(Jn a2 nI0),l’expressióobtinguda espotescriurecom wn+1 wn = 2n 1c2 nI0,isumantaambdóscostats,

Enaquestpunt,afirmemque limn→+∞ wn = 0.Veiemquesuposantqueaquesta afirmacióéscerta,jahemacabatlaprova.Efectivament,jaquealeshores ∞ n=0 2

i,pertant,

d’onobtenimlaigualtatquevolíemprovar,jaqueusant (13), (14) ique a0 = 1, i k0 = k,sabemque J0 = E(k) i I0 = K(k) Provarem,doncs,l’afirmacióanterior.Tenim wn = 2n

Aixídoncs,

D’onobtenim

Arabé,comque 4

veiemfinalmentquepera

Peraaixòéssuficientdemostrar,quepera n prougran, cn 1/(2an) ≤ 1, oequivalentment,usantdenouque cn 1 = (an 1 bn 1)/2,que an 1 bn 1 ≤ 4an.Arabé,aquestadesigualtatésclaramentcerta,jaque limn→∞ an = limn→∞ bn = MAG(a0,b0) ≠ 0.Pertant,per(17)i(18)arribema

0 ≤|wn|≤ 2nc2 nI0 ≤ c2 0 I0 2n ,

iaixí limn→∞ wn = 0,talcomvolíemdemostrar.Observemque (18) donauna novaprovadelaconvergènciaquadràticadelcàlculdelamitjanaaritmeticogeomètrica. ✷

Teorema 3 (algoritmedeBrent-Salamin([5,p.48])). Consideremlasuccessió {(an,bn)}n definidaperacalcular MAG(a

Aleshores

Amés,sidefinimlasuccessió

escompleix5 que limn→∞ zn = π

Prova. Observemquequan

.Aleshores

), E (1/

2) = E(1/√2) ilaigualtatdeLegendre(10)ensdiuque

Altrament,perl’apartat(ii)dellema2,irecordantque c2 j = a2 j b2 j ,tenim

Pertant,substituintaquestresultatal’expressió(19):

Usantl’apartat(i)dellema2,tenim

i,pertant,

Operant,icomque a2

π desitjada.

, 1/√2)

5Comjahemcomentat,espotveurequelaconvergènciaésquadràtica.

Pertald’acabarlaprova,observemenprimerllocquecomque MAG(1, 1/√2) = limn→∞ an = limn→∞ bn,lasuccessió

técomalímit π .Arabé,comquealpasenèsimjaconeixem an i bn,i an+1 és mésapropdellímitque an,ésbennaturalconsiderarlasuccessió

), quetambéconvergeixa π iésladonadaperl’algoritme.

2AltrestransformacionsdeLandendonadespermitjanes generalitzades

EnaquestasecciórecolliremaltrestransformacionsdeLandenqueensserviran peracalculardiferentsfuncionstranscendents.Enparticular,estudiaremcom espotcalcularlamitjanageometricaharmònicaielsresultatsdeCarlson[9], queestudienunificadamentdiversoscasos.

2.1Lamitjanaharmonicogeomètrica

Ésfàcilveurequesi I ésunaintegralprimeradel’SDDdonatper F ,ésadir, si I ◦ F = I,aleshoresdonadaqualsevolaplicacióbijectiva ϕ escompleixque L = I ◦ ϕ ésunaintegralprimeradel’SDDdonatper G = ϕ 1 ◦ F ◦ ϕ.Enefecte, L ◦ G = I ◦ ϕ ◦ ϕ 1 ◦

Enllenguatgedesistemesdinàmicsdiríemquesi F donallocaunSDDintegrable,elmateixpassaperaqualsevolSDDconjugatde F Siprenem I i F coma(1)i(3),i ϕ(a,b) = (1/a, 1/b),obtenimque

L(a,b) = π/2 0 ab dθ b2 cos2 θ + a2 sin2 θ = abI(b,a) = abI(a,b) (21) ésunaintegralprimerade

G(a,b) = 2ab a + b, ab .

Observemquelaprimeracomponentde G ésprecisamentlamitjanaharmònica de a i b.Ellímit ( , ) delaiteració (an+1,bn+1) = Gn(an,bn) éselque s’anomena mitjanaharmonicogeomètrica delsdosnúmeros, = MHG(a,b). Argumentantcomalaprovade (4),obtenimque L(a,b) = MHG(a,b) π 2 .Per tant,usant(4)i(21)obtenim

MAG(a,b) · MHG(a,b) = ab.

2.2ElsresultatsdeCarlson

Eneltreball[9],Carlsonesténlaigualtat (2) aaltrestipusdemitjanes.Donats a i b positius,consideremperacadaparell (i,j) on i,j ∈{1, 2, 3, 4},les successionssegüents:

a0 := a,b0 := b, an+1 := fi(an,bn),bn+1 := fj (an,bn),n ≥ 0, on f1(a,b) := a + b 2 ,f2(a,b) := ab, f3(a,b) := a a + b 2 ,f4(a,b) := a + b 2 b.

Demaneraanàlogaalquehemvistquanhemestudiatlamitjanaaritmeticogeomètrica,espotdemostrarque,uncopfixats i i j,lessuccessions {an}n i {bn}n definidesanteriormentconvergeixenihofancapalmateixlímit,el qualdenotaremcomsegueix: i,j (a0,b0) := lim

RecordemtambéquelafuncióBetaesdefineixcoma

B(m,n) = ∞ 0 tm 1(1 + t) (m+n) dt,

pera m i n positius.IncloemacontinuacióelresultatdeCarlsonilaseva prova.

Teorema 4 ([9]). Consideremlafunció

R(r ; s,s ; a2,b2) := 1 B(r,r ) ∞ 0 tr 1(t + a2) s (t + b2) s dt, (22)

on r = s + s r .Siprenemelsrespectiusparàmetres (r,s,s ) d’acordambla taula:

s’obtéque R(r ; s,s ; a2,b2) ésunaintegralprimeradelafunció Fi,j (a,b) := (fi(a,b),fj (a,b)), j>i.Ésadir,perals (r,s,s ) corresponentsals i<j considerats,

R(r ; s,s ; a2,b2) = R(r ; s,s ; f 2 i (a,b),f 2 j (a,b)). (23)

Amés,escompleixque i,j (a,b) = R(r ; s,s ; a2,b2) 1 2r . (24)

Prova. Fixats a i b,consideremelcanvidevariable t = (s(s + f 2 2 ))/(s + f 2 1 ), on,persimplicitat,denotem fk(a,b) per fk.Aleshores, dt ds = (s + f 2 3 )(s + f 2 4 ) (s + f 2 1 )2 ,t + a2 = (s + f 2 3 )2 s + f 2 1 ,t + b2 = (s + f 2 4 )2 s + f 2 1

Substituintlestresigualtatsal’expressió(22)tenim

R(r ; s,s ; a2,b2) = = 1 B(r,r ) ∞ 0 sr 1(s + f 2 1 )r 1(s + f 2 2 )r 1(s + f 2 3 )1 2s (s + f 2 4 )1 2s ds. (25)

Donatquelanostraintencióésprovarque (22) ésintegralprimerade Fi,j , s’hauràdecomplirquecoincideixinelsintegrandsde (22) i (25).Perexemple, consideremelcas i = 1i j = 2,quecorresponalcasdelamitjanaaritmeticogeomètricaanteriormentestudiat.Aleshoreslesexpressionsquecontenen f3 i f4 nohauriend’aparèixera(25),i,pertant: 1 2s = 0, 1 2s = 0,r 1 =−s,r 1 =−s .

Aixídoncs,obtenimque s = s = r = r = 1/2,quesónprecisamentelvalors queapareixenalataula.Delamateixamanera,provaríemlarestadecasos.

Peracalcular i,j (a,b),denotemper RS (a2,b2) lafunciócorresponent R(r ; s,s ; a2,b2) obtinguda,uncopfixatselsvalorsde (r ; s,s ).Comqueacabemdeveurequeindependentmentdelvalorde n ∈ N escompleixque:

RS (a2,b2) = RS f n i (a,b) 2 , f n j (a,b) 2 ,

prenentlímitsaambdóscostatsobtenim

RS (a2,b2) = RS 2 i,j (a,b), 2 i,j (a,b) = = 1 B(r,r ) ∞ 0 tr 1(t + 2 i,j ) s (t + 2 i,j ) s dt =

+ 1) s (u +

)

)

= = 2r i,j (a,b)B(r ,r) B(r,r ) = 2r i,j (a,b), on,eneldarrerpas,hemusatque B(r,r ) = B(r ,r);vegeu,perexemple,[1].

Pertant,escompleix(24). ✷

Quan (i,j) = (1, 2),laintegralprimera R 1 2 ; 1 2 , 1 2 ; a2,b2 =

coincideix,mòdulunaconstant,ambladonadaperlaigualtat (2),jaqueespot veurequesi a2 >b2 > 0,

Altresexemplessimilarsalsdelteorema4estandesenvolupatsa[6].

3TransformadesdeLandenperaintegralsracionals

EnaquestaseccióbuscaremtransformadesdeLandenperacertesintegrals definidesdetipusracional.Recolliremalgunsdelsresultatsde[21,23,24].

Intuïtivament,podríemdirqueelprocésdeconstrucciódetransformacions deLandenconsisteixaferunasèriedecanvistrigonomètricsqueacontinuació esdesfan,peròelprocéscompletnoéstautològic,degutalfetqueenun puntintermedialgunssumandsdelaintegraldesapareixenperdeterminades simetries.Peraquestaraócomençaremaquestaseccióambl’observaciósegüent, queensmostraalgunesintegralsquevalenzero.

Lema 5. Donat k ∈ N senari P unpolinomiparellquenos’anul.laal’interval [ 1, 1],escompleix

0 cosk t P(cos t) dt = 0

Prova. Aplicantelcanvidevariables t = π s,tenim

i,pertant,laintegrals’anul.la,talcomvolíemdemostrar.

3.1Funcionsracionalssimètriquesambdenominadordegrau4

Dedicaremaquestaseccióaprovar(5).Pera a> 2,si

I(a,b,c) = ∞ 0 bx2 + c x4 + ax2 + 1 dx,

elquevolemveureésque I(F(a,b,c)) = I(a,b,c),on F(a,b,c) =

Sianomenem P(x) = bx2 + c i Q(x) = x4 + ax2 + 1,tenim I(a,b,c) =

0 P(x) Q(x) dx =

0 P(x)x4Q(1/x) Q(x)x4Q(1/x) dx.

Sifemaraprimerelcanvidevariables x = tan θ iacontinuació t = 2θ, arribema

I(a,b,c) = 2 π/2 0 A cos3(2θ) + B cos2(2θ) + C cos(2θ) + D E cos4(2θ) + F cos2(2θ) + H dθ = = π 0 A cos3 t + B cos2 t + C cos t + D E cos4 t + F cos2 t + H dt = = π 0 B cos2 t + D E cos4 t + F cos2 t + H dt, onal’últimaigualtathemusatellema5.Elsvalorsdelsparàmetressón A = (2 a)(c b), B = (2 a)(c + b), C = (2 + a)(c b), D = (2 + a)(c + b), E = (a 2)2 , F = 8 2a2 i H = (a + 2)2 . Atèsquecos2 t = (1 + cos(2t))/2ifentelnoucanvi s = 2t,resulta

I(a,b,c) = 2(b + c) π 0 (2 a) cos s + a + 6 (2 a)2 cos2(s) + 2(2 a)(a + 6) cos s + (a + 6)2 ds. Introduintacontinuació y,talque y = tan(s/2),obtenimjaelresultatbuscat

I(a,b,c) = (b + c) ∞ 0 2(a + 2)y 2 + 8 (a + 2)2y 4 + 8(a + 2)y 2 + 16 dy = I(F(a,b,c)),

onaladarreraigualtathemfetelreescalat z = √a + 2 y/2.

3.2Funcionsracionalssimètriquesambdenominadordegrau6

Seguintpassossimilarsalsdelaseccióanterior,demostraremqueagafant F(a,b,c,d,e) = G(a,b),H(a,b,c,d,e) ,amb G i H coma (6) i (7),esverifica que

I(a,b,c,d,e) = ∞ 0 cx4 + dx2 + e x6 + ax4 + bx2 + 1 dx ésunaintegralprimerade F

Sidefinim P(x) = cx4 + dx2 + e i Q(x) = x6 + ax4 + bx2 + 1,aleshores I = I(a,b,c,d,e) = ∞ 0 P(x) Q(x) dx = ∞ 0 P(x)x6Q(1/x) Q(x)x6Q(1/x) dx.

Observemqueelnoudenominadorésunpolinomirecíproc.6 Siconsiderem primerelcanvidevariables x = tan θ,idesprésfem t = 2θ obtenim

I = 2

π/2 0 A cos5(2θ)+B cos4(2θ)+C cos3(2θ)+D cos2(2θ)+E cos(2θ)+F G cos6(2θ) + H cos4(2θ) + J cos2(2θ) + K dθ = = π/2 0 A cos5 t + B cos4 t + C cos3 t + D cos2 t + E cos t + F G cos6 t + H cos4 t + J cos2 t + K dt = =

π/2 0 B cos4 t + D cos2 t + F

G cos6 t + H cos4 t + J cos2 t + K dt, on,al’últimaigualtat,hemusatdenouellema5,ionelsparàmetresvenen donatsper

A =−(c + e d)(a b),

B =−3(ea + cb) + db + eb + da + ca + 6( d + c + e),

C = 12(e c) + 2( ea eb da + db + ca + cb),

D = 8(c + e) + 4d + 2( ca db eb + ea da + cb),

E = 4(e c) ca + da db + eb + 3( cb + ea),

F = (c + d + e)(a + 2 + b),

G =−(a b)2 ,

H =−12(a + b) 2ba + 36 + 3(b2 + a2),

J =−3(a2 + b2) 2ba + 24 + 8(b + a),

K = (a + 2 + b)2 .

Expressantaral’integrandenfuncióde cos(2t) iconsiderant s = 2t,arribema

I = 2 π 0 A2 cos2 s + B2 cos s + C2

D2 cos3(s) + E2 cos2 s + F2 cos s + G2 ds,

6Unpolinomi R,degrau n,esdiurecíprocsi R(x) = xnR(1/x)

A2 = 6(c + e d) 3(ea + cb) + ca + db + da + eb,

B2 = 28(c + e) 4d 2(e + c + d)(a + b),

C2 = 5(2d + 6c + 6e + cb + ea) + db + ca + eb + da,

D2 =−(a b)2 ,

E2 =−24(a + b 3) + 3(a2 + b2) + 2ba, F2 =−16(a + b) 3(a2 + b2) 10(ba 24),

G2 = 40(a + b + 5) + a2 + b2 + 6ba.

Siaraprenem y = tan(s/2),obtenimjaunaintegralsimilaralainicial,concretament,

I(a,b,c,d,e) = ∞ 0 A3y 4 + B3y 2 + C3 D3y 6 + E3y 4 + F3y 2 + G3 dy, amb

A3 = 2(c + d + e)(a + b + 2),B3 = 8((b+3)c +(a+3)e+2d),C3 = 32(c +e), D3 = (a+b+2)2,E3 = 4(5a + 5b + ab + 9),F3 = 16(a + b + 6) i G3 = 64

Peraacabardeveureque I(a,b,c,d,e) = I(F(a,b,c,d,e)),l’únicquecalfer éselreescalat z = r 6 D3/G3 = 3 √a + b + 2 y/2.

3.2.1Unexempled’aplicació Aproximaremaralaintegral

fentservirlatransformaciódeLandendonadaalaseccióanterior.Usantles iteracionscorresponentsperalafunció F definidaper(6)i(7)obtenim

2 3.001485673 3.001486131 7.321863016 13.91289768 6.588966668

3 3.000000046 3.000000045 6.954209737 13.90876371 6.954553797

4 2.999999999 3.000000000 6.954381760 13.90876349 6.954381739

5 3.000000000 3.000000000 6.954381748 13.90876350 6.954381750

6 3.000000000 3.000000000 6.954381750 13.90876350 6.954381750

7 3.000000000 3.000000000 6.954381750 13.90876350 6.954381750

Comque a6 ≈ b6 ≈ 3, c6 ≈ e6 ≈ 6.954381750i d6 ≈ 2c6,ambaquests iteratsjaentenimprouperaferuncàlculaproximatdelaintegral.Pertant,

Nota 6. A[4]esdemostraunaextensiódelscasosconsideratsenaquesta seccióperadenominadorsparellsdegrausarbitraris.

4Unsistemadinàmicbencomplicat

Peracabaraquesttreball,iseguint[11, 20, 22],mostraremenaquestasecció comdecomplicatésl’SDDgeneratperl’aplicació G,introduïdaa(6), G(a,b) =

Recordemque G vedonadaperlesduesprimerescomponentsdelatransformaciódeLandenassociadaa

(26)

Ésfàcilveureque G tétrespuntsfixosa R2.D’aquestspunts,unésel (3, 3) i elsaltresdoselsdenotaremper p ≈ ( 4.2056, 3.9577) i q ≈ ( 5.3091, 0.8312). Fentunestudilocald’aquestspuntsnoésdifícilveurequeel (3, 3) ésunpunt atractor(defet,superatractor,jaqueelsdosvalorspropisdeladiferencial de G alpuntsón0);elpunt p ésunpuntdetipussellai q ésunpuntrepulsor. Consulteu,perexemple,[15]perveurelesdefinicionsd’aquestsconceptes.

Elspunts (a,b) ∈ R2 talsque lim n→∞ Gn(a,b) = (3, 3)

formenelques’anomena concad’atracció delpuntfix (3, 3).Unprimerresultat, difíciliinteressant,és

Teorema 7 ([11,21,20]). Laconcad’atracciódelpuntfix (3, 3) perl’SDDgeneratper G coincideixamblaregió W delpla (a,b) onlaintegral (26) convergeix.

Pertant,desdelpuntdevistadinàmic,si (a,b) ∈W ladinàmicaéstrivial, jaquelestrajectòriesdel’SDDtendeixena (3, 3).Desdelnostrepuntde

vista,aixòvoldirquelatransformaciódeLandenéssempreútilperacalcular qualsevolintegral,jaqueésfinita.Comaexemple,jahemvistelcàlculdela subsecció3.2.1.

Vegemaracomespotalgebritzarlacondicióquelaintegral (26) convergeix. Analíticament,ésmoltsenzill:hemd’imposarqueelpolinomi Q(x) = x6 + ax4 + bx2 + 1notinguiarrelspositives.Calculanteldiscriminantde Q(x), vegeuperexemple[18],obtenimqueDis(Q(x),x) =−64R2(a,b),on

R(a,b) :=−27 + 18ab 4a3 4b3 + a2b2 . (27)

Recordemqueaquestpolinomis’anul.lasiinoméssi Q téalgunaarrelmúltiple. Definim L :={(a,b) ∈ R2 : R(a,b) = 0}.Alafigura1veiemque L tédues componentsconnexes.Anomenarem L1 laquenotocaelprimerquadrant. Noésdifícilveureque W ésprecisamentlaregióquehihasobrede L1.Així, comacorol laridelteoremaanterior,tenimque L1 éslafronteradelaconca d’atracciódelpunt (3, 3).

Figura 1: Corba L={R(a,b) = 0}.Lacomponentconnexadesota és L1

Unaigualtatbensenzilla,peròmoltútil,quejaesdonaa[11],és

R(G(a,b)) = (a b)2R(a,b) (a + b + 2)4

Observemqueaquestaigualtatimplicaquelesregions R(a,b) = 0, R(a,b)> 0 i R(a,b)< 0sóninvariantsper G.Enparticular,comqueespotveureque p ∈L1,noésdifícilcomprovarque L1 estàinclosaalavarietatatractoradel puntdetipussella.

Arabé,quèpassaquanprenemunpunt (a,b) queestàpersotade L1?Per tenir-neunaprimeraideapodemagafarunpuntal’atzariveurequèsucceeix. Siprenemcomacondicióinicial ( 7, 1),desprésde20000iterats,obtenimla figura2.Aquestafiguramostraelcomportamentimpredictibledel’SDD.Ésun problemad’interèsactualtrobarexplicacionssatisfactòriesdelques’observa; vegeu[20, 22].Genèricament,l’aspectedelspuntsdequalsevolòrbitasembla seressencialmentelmateix.Defet,unafigurasemblantaladelafigura2ja

vaserlaportadadel NoticesoftheAmericanMathematicalSociety elmarç del2002.

Figura 2: 20000puntsd’unasolaòrbitaambcondicióinicialsotade L1

Agraïments

ElprimerautortéelsuportdelprojecteMINECOMTM2013-40998-Pidel projecte2014SGR568delaGeneralitatdeCatalunya.Elsegonautortéelsuport delprojecteMINECO/FEDERDPI2016-77407-P(AEI/FEDER,UE).

Referències

[1] Abramowitz,M.;Stegun,I.A. HandbookofMathematicalFunctionswith Formulas,Graphs,andMathematicalTables.Washington,D.C.:Forsaleby theSuperintendentofDocuments,U.S.GovernmentPrintingOffice,1964. (NationalBureauofStandardsAppliedMathematicsSeries;55)

[2] Almkvist,G.;Berndt,B. «Gauss,Landen,Ramanujan,thearithmeticgeometricmean,ellipses, π ,andtheLadiesdiary». Amer.Math.Monthly, 95(7)(1988),585–608.

[3] Arndt,J.;Haenel,C. ÀlaPoursuitede π .París:Vuibert,2006.

[4] Boros,G.;Moll,V.H. «Landentransformationsandtheintegrationof rationalfunctions». Math.Comp.,71(238)(2002),649–668.

[5] Borwein,J.M.;Borwein,P.B. PiandtheAGM.AStudyinAnalyticNumber TheoryandComputationalComplexity.NovaYork:JohnWiley&Sons,Inc., 1987.(CanadianMathematicalSocietySeriesofMonographsandAdvanced Texts;4)

[6] Borwein,J.M.;Borwein,P.B. «AcubiccounterpartofJacobi’sidentity andtheAGM». Trans.Amer.Math.Soc.,323(2)(1991),691–701.

[7] Brent,R.P. «Fastmultiple-precisionevaluationofelementaryfunctions». J.Assoc.Comput.Mach.,23(2)(1976),242–251.

[8] Byrd,P.F.;Friedman,M.D. HandbookofEllipticIntegralsforEngineers andPhysicists.Berlín-Göttingen-Heidelberg:Springer-Verlag,1954.(Die GrundlehrendermathematischenWissenschafteninEinzeldarstellungen mitbesondererBerücksichtigungderAnwendungsgebiete; lxvii)

[9] Carlson,B.C. «Algorithmsinvolvingarithmeticandgeometricmeans». Amer.Math.Monthly,78(1971),496–505.

[10] Cartan,H. Teoríaelementaldelasfuncionesanalíticasdeunaovarias variablescomplejas.Madrid:Seleccionescientíficas,1968.

[11] Chamberland,M.;Moll,V.H. «DynamicsofthedegreesixLandentransformation». DiscreteContin.Dyn.Syst.,15(3)(2006),905–919.

[12] Conrad,K. «TheGaussianintegral». http://www.math.uconn.edu/ ∼kconrad/blurbs/analysis/gaussianintegral.pdf.

[13] Cox,D.A. «Thearithmetic-geometricmeanofGauss». Enseign.Math.(2), 30(3–4)(1984),275–330.

[14] Eymard,P.;Lafon,J.-P. TheNumber π .Providence,R.I.:AmericanMathematicalSociety,2004.[Traduïtdel’originalenfrancèsdel’any1999per StephenS.Wilson]

[15] FernándezPérez,C.;VázquezHernández,F.J.;VegasMontaner, J.M. Ecuacionesdiferencialesyendiferencias:sistemasdinámicos.Madrid: ThomsonEdicionesSpain,Paraninfo,S.A.,2003.

[16] Gauss,C.F. «ArithmetischgeometrischesMittel». Werke,Bd.3Königlichen Gesell.Wiss.,Göttingen(1876),361–403.

[17] Gauss,C.F. «LejournalmathématiquedeGauss». Revued’histoiredes sciencesetdeleursapplications,9(1)(1956),21–51.[Traduccióanotadade P.EymardiJ.P.Lafon]

[18] Kurosch,A.G. Cursodeálgebrasuperior.5aed.Moscou:Mir,1987. [Traducciódelrusiambunaintroducciód’EmilianoAparicioBernardo]

[19] Landen,J. «Aninvestigationofageneraltheoremforfindingthelength ofanyarcofanyconichyperbola,bymeansoftwoellipticarcs,withsome othernewandusefultheoremsdeducedtherefrom». Philos.Trans.Roy. Soc.London,65(1775),283–289.

[20] Moll,V.H. «Theevaluationofintegrals:apersonalstory». NoticesAmer. Math.Soc.,49(3)(2002),311–317.

[21] Moll,V.H. «Integralesdefinidas:Análisis,NúmerosyExperimentos». RevistaCientificaTumbaga,2(2008),138–174.[Notesenespanyold’un cursdonatala«SetmanadelaMatemàtica»aValparaiso,Xile]

[22] Moll,V.H. NumbersandFunctions.Fromaclassical-experimentalmathematician’spointofview.Providence,R.I.:AmericanMathematicalSociety, 2012.(StudentMathematicalLibrary;65)

[23] Manna,D.;Moll,V.H. «AsimpleexampleofanewclassofLanden transformations». Amer.Math.Monthly,114(3)(2007),232–241.

[24] Manna,D.V.;Moll,V.H. «Landensurvey».A: Probability,Geometryand IntegrableSystems.Cambridge:CambridgeUniv.Press,2008,287–319. (Math.Sci.Res.Inst.Publ.;55)

[25] McKean,H.;Moll,V. EllipticCurves.FunctionTheory,Geometry,Arithmetic.Cambridge:CambridgeUniversityPress,1997.

[26] Newman,D.J. «AsimplifiedversionofthefastalgorithmsofBrentand Salamin». Math.Comp.,44(169)(1985),207–210.

[27] PlaiCarrera,J. «Unahistòriabreudelamatemàtica». Butlletídela SocietatCatalanadeMatemàtiques,18(1)(2003),47–129.

[28] RubioSegovia,B.;RubioSegovia,J. «Mediasysurelaciónconintegrales elípticas». Gac.R.Soc.Mat.Esp.,4(1)(2001),76–93.

DepartamentdeMatemàtiques

UniversitatAutònomadeBarcelona gasull@mat.uab.cat,mllore34@xtec.cat

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.32,núm.1,2017.Pàg.73–94. DOI:10.2436/20.2002.01.74

LesaportacionsdeJohnF.Nashal’economia: equilibriinegociació

JordiMassó

Resum: JohnF.NashvarebreelPremiNobeld’Economial’any1994,juntamentamb JohnC.HarsanyiiReinhardSelten,«perlessevesanàlisisdel’equilibrienlateoriadels jocsnocooperatius»,ielPremiAbeldeMatemàtiquesl’any2015,juntamentambLouis Nirenberg,«perlessevescontribucionsnotablesifonamentalsalateoriad’equacions enderivadesparcialsnolinealsilessevesaplicacionsal’anàlisigeomètrica».Aquest articlepresentalesduescontribucionsmésimportantsdeNashal’economia:l’equilibri deNashd’unjocnocooperatiuilasoluciódeNashalproblemadelanegociació.

Paraulesclau: jocnocooperatiu,equilibrideNash,problemadelanegociació,solució deNashalproblemadelanegociació.

ClassificacióMSC2010: 9102,91A05,91A06,91A10,91A12.

1JohnF.Nash(1928–2015)

JohnF.NashneixaBluefield,Virgíniadel’Oest,el13dejunyde1928.Eljuny de1945iniciaestudisd’enginyeriaquímicaalCarnegieTechdePittsburgh, Pennsilvània,iesgradua,ambun BachelorofArts iun MasterofArts en matemàtiques,l’any1948.Elsetembrede1948iniciaelsestudisdedoctorata laPrincetonUniversityielmaigde1950defensalatesidoctoral(de28pàgines) titulada«Non-cooperativegames».Durantelperíode1951–1959ésprofessor dematemàtiquesalMITdeCambridge,Massachusetts.Apartirdel’any1959 començaunllargtractamentdelasevamalaltiamental,ipassadiversos períodesenhospitalspsiquiàtrics,inoésfinsalameitatdelsanys1980que reprènparcialmentl’activitatcientífica.1

Aquestarticleesbasaenlaconferència,impartidaperl’autor,enunasessióconjuntadeles societatscatalanesd’EconomiaideMatemàtiquesorganitzadaarrandelamortdeJohnF.Nash, perdifondre’nl’obra.

1 Elllibre ABeautifulMind,deSylviaNasar[9],contéunabiografiaexcel lent(noautoritzada) deNash.

Nashrepel1994elPremidelBancdeSuèciaenCiènciesEconòmiquesen Memòriad’AlfredNobel,popularmentconegutcomaPremiNobeld’Economia, juntamentambJohnC.HarsanyiiReinhardSelten,«perlessevesanàlisisde l’equilibrienlateoriadelsjocsnocooperatius»,iel2015rep,juntamentamb LouisNirenberg,elPremiAbeldeMatemàtiquesqueatorgaanualmentdes de2003l’AcadèmiaNoruegadeCiènciesiLletres«perlessevescontribucions notablesifonamentalsalateoriad’equacionsenderivadesparcialsnolinealsi lessevesaplicacionsal’anàlisigeomètrica».El23demaigde2015,Nashmor enunaccidentdetrànsittornantdel’aeroportdesprésderecollirelPremiAbel aOslo.

L’objectiud’aquestarticleéspresentarlesduescontribucionsmésimportantsdeNashal’economia:l’equilibrideNashd’unjocnocooperatiu(secció2) ilasoluciódeNashalproblemadelanegociació(secció3).

2EquilibrideNash

Lateoriadelsjocsésunconjuntdemodelsmatemàticsquepermetenestudiar situacionsenlesqualsdosomésagentshandeprendredecisionsinterrelacionades.Moltsovint,elresultatdeladecisiód’unagentnonomésdepèn delapròpiadecisió,sinótambédelesdecisionspresespelsaltresagents. Lalicitacióenunasubhastaoladeterminaciódelpreuidelaquantitatvenudad’unbéenunmercatsónexemplesdejocsnocooperatius.Lamajoria delsproblemeseconòmicsnopodenserentesossensetenirencompteels aspectesestratègicsenlesinteraccionsdelsagentseconòmics(licitadorsen unasubhastaoempresesenunmercat).Unjocnocooperatiuésunmodel abstractequedescriuaquestessituacionsd’interaccióestratègicaentredos omésagents.L’equilibrideNashéslapredicciósobreelcomportamentdels agents(racionals)participantsenunjocnocooperatiu;peraixò,Nash(ila sevanociód’equilibri)téunpaperdestacatenl’anàlisieconòmicamoderna.

Perintroduirl’equilibrideNashhemdedefinirprimerunjocnocooperatiuen formanormal(oestratègica),constituïtpelselementssegüents.

Elconjunt N ={1,...,n} dels n agentsquehandeprendredecisions,ique anomenem jugadors.

Cadajugador i ∈ N hadetriaruna estratègia si enelseuconjuntd’estratègies Si.Un perfild’estratègies s = (s1,...,sn) ∈ S = S1 ×···× Sn

descriul’estratègiatriadapercadascundelsjugadors.Silainteraccióestratègicaésdinàmica,ladescripciód’unaestratègiahauràd’incorporarlaseqüencialitatdelesdecisionsilainformació,totaloparcial,querebenelsjugadorssobre aquestes.Enunasubhasta,elconjunt N dejugadorssónelslicitadorsquehi estaninscritsi,peratot i ∈ N, Si éselconjuntdelsnúmerosenterspositius (suposantqueelslicitadorsnoméspodenoferirquantitatsenteresd’euros).

Sigui Z elconjuntderesultatspossiblesdeljocisigui g : S → Z lafunció queindica,peracadaperfild’estratègies s ∈ S,elresultatdeljoc g(s) ∈ Z.En unasubhasta g had’especificar,peracadavectord’ofertes(perfild’estratègies), quirepl’objectesubhastatiquinpreuenpaga.Suposaremqueelsjugadors nomésestaninteressatsenelresultatdeljoc,inoencomesprodueix.Elsjugadorspodentenirpreferències(potencialmentdiferents)sobreelsresultatsdel joci,pertant,atravésdelafunció g,sobreelconjuntdeperfilsd’estratègies. Suposaremquelespreferènciesdeljugador i venenrepresentadesperuna funciód’utilitat ui : Z → R,entenentqueperatotparell z,z ∈ Z, ui(z)>ui(z ) siinoméssi i prefereixestrictamentelresultat z al z .La funciódepagaments hi : S → R deljugador i,queordenaelconjuntdeperfilsd’estratègiesd’acord amblafunciód’utilitat ui : Z → R,assigna,peracada s ∈ S,lautilitatdel resultatgeneratpera s;ésadir, hi(s) = ui(g(s)).Finalment,la funcióde pagaments h : S → Rn ensindica,peracadaperfild’estratègies s ∈ S,elvector depagaments (h1(s),...,hn(s)) queobtenenelsjugadorssicadaund’ellstria elcomponentcorresponentdelperfild’estratègies s = (s1,...,sn) ∈ S.

Pertant,unjocnocooperatiuenforma normal (o estratègica)ésuntriplet

G = (N,S,h), on N éselconjuntdejugadors, S éselconjuntdeperfilsd’estratègiesi h ésla funciódepagaments.

Elsexemplessegüentsil.lustrenladefiniciódejocnocooperatiuenforma normal.Mésendavantserviranperil.lustrarladefiniciód’equilibrideNash,així comalgunesdelessevespropietats.

Exemple 1 (matchingpennies). Dosjugadors, N ={1, 2},handetriarsimultàniamentundelsdoscostatsd’unamonedad’uneuro, S1 = S2 ={C, +},on C i + representen,respectivament,lacarailacreudelamoneda.Sielsdosjugadors trienelmateixcostatdelamoneda,eljugador2hadedonarlasevamoneda aljugador1isitriencostatsdiferents,eljugador1hadedonarlasevamonedaaljugador2;ésadir, h1(C,C) = h1(+, +) = h2(C, +) = h2(+,C) = 1i

h1(C, +) = h1(+,C) = h2(C,C) = h2(+, +) =−1.Lamatriusegüentrepresentaeljocde matchingpennies enformanormal.

1\2 C + C 1, 1 1, 1 + 1, 1 1, 1

Exemple 2 (labatalladelssexes). Dosmembresd’unaparella(N ={h,d}, h perahomei d peradona)hanacordattrobar-sealvespre,perònorecorden siésperanaralfutbol(F )oalballet(B),inoespodencomunicar;ésadir, Sh = Sd ={F,B}.L’homeprefereixanaralfutboliladonaalballet,peròtotsdos prefereixenanarjuntsalmateixllocqueanarallocsdiferents;enparticular, lesfuncionsdepagamentsdelsdosjugadorssón hh(F,F) = hd(B,B) = 3, hh(B,B) = hd(F,F) = 1i hh(F,B) = hd(F,B) = hh(B,F) = hd(B,F) = 0.Lamatriu següentrepresentaeljocdelabatalladelssexesenformanormal.

h/dFB

F 3, 1 0, 0

B 0, 0 1, 3

Enelllibre TheoryofGamesandEconomicBehavior devonNeumanni Morgenstern[15],consideratelnaixementdelateoriadelsjocs,elsautorses preguntencomespotdeterminarl’estratègiaòptimad’unjugadorenunjocen formanormalidonenunarespostaperatotselsjocsdedosjugadorsisuma zero(elqueguanyaunjugadorhoperdl’altre);ésadir,peratotjocenforma normal G = (N,S,h),on n = 2i,peratot s ∈ S, h1(s) + h2(s) = 0.2 Observem, però,queengenerallanociód’optimalitatésambigua,jaquedonatqualsevol jocenformanormal G = (N,S,h) potnoexistirl’estratègiaòptima s∗ i peral jugador i ∈ N eneljoc G,atèsqueaquestapotdependredelperfild’estratègies delsaltresjugadors(quedenotemper s i = (sj )j∈N\{i});ésadir,lasoluciódel problema max si∈Si hi(si,s i)

depènde s i.Perexemple,eneljocde matchingpennies l’estratègia C és òptimacontra +,però + ésòptimacontra C,oeneljocdelabatalladelssexes, F ésòptimacontra F ,però B ésòptimacontra B

LacontribuciófonamentaldeNashalateoriadelsjocsésladeformular lasoluciód’unjocnocooperatiuenformanormalcomunequilibri.Unperfil d’estratègies s∗ ésunequilibrideNashsipercadajugador i,l’estratègia s∗ i és lamillor,atèsqueelsaltresjugadorstrienl’estratègia s∗ i.Formalment:

2Elteoremadelminimax,quepresentaremmésendavant,contéaquestaresposta.

LesaportacionsdeJohnF.Nashal’economia:equilibriinegociació 77

Definició 3. Sigui G = (N,S,h) unjocenformanormal.Unperfild’estratègies s∗ ∈ S ésun equilibrideNash de G siperatot i ∈ N, hi(s∗ i ,s∗ i) ≥ hi(si,s∗ i) peratot si ∈ Si.

UnequilibrideNash s∗ ésunacordprevi estable entreelsjugadors.Per veure-ho,suposemque ˆ s noésunequilibrideNashde G;aixòés,existeixen i ∈ N i si ∈ Si talsque hi(si , ˆ s i)>hi(ˆ si, ˆ s i).Pertant,obé i esperava ˆ s i però noésracional(notrialamillorestratègia,donat ˆ s i),obé i esperavaqueels altresjugadorstriessinunesaltresestratègies;ésadir,existeix se i ≠ ˆ s i talque hi(ˆ si,se i) ≥ hi(si,se i) peratot si ∈ Si.Pertant,sieljocilaracionalitatdels jugadorssóncomunamentconegutsielsjugadorsfanprediccionsconsistents handejugarunequilibrideNash.3

Sigui S ∗ elconjuntd’equilibrisdeNashde G.Elsdosexemplesanteriors sónsuficientsperil lustrarduesdificultatsdelanociód’equilibrideNash: existènciaimultiplicitat.Primer,eljocde matchingpennies notécapequilibri deNash; (C,C) nohoésjaqueeljugador2voldriatriar +, (C, +) nohoés jaqueeljugador1voldriatriar +, (+, +) nohoésjaqueeljugador2voldria triar C ifinalment (+,C) nohoésjaqueeljugador1voldriatriar C.Segon,el jocdelabatalladelssexestédosequilibrisdeNash, (F,F) i (B,B)

L’estudidelproblemadelamultiplicitatdelsequilibrisdeNashhadonatlloc aunaliteraturaextensa,anomenada delsrefinamentsdelconjuntd’equilibrisde Nash.Totiquedurantmoltsanyshaestatunadelesàreesmésactivesenla teoriadelsjocs,Nashnohihafetcontribucionsfonamentalsi,pertant,nola presentaremenaquestarticle.

Perresoldreelproblemadel’existènciadel’equilibri,Nashconsiderala possibilitatqueelsjugadorsencomptesdetriarunaestratègiatriïnuna distribuciódeprobabilitatsobreelsseusrespectiusconjuntsd’estratègies;per exemple,eneljocde matchingpennies,seriajugar C ambprobabilitat1/2i jugar + ambprobabilitat1/2(ésadir,tirarlamonedaal’aire,itriarl’estratègia delacaramostradaperlamonedadesprésdecaure).

Sigui G = (N,S,h) unjocfinitenformanormal.4 L’extensiómixta de G és untriplet

G∗ = (N, Σ,H), onperacada i, Σi éselconjuntdetoteslesdistribucionsdeprobabilitat sobre Si (anomenadesestratègiesmixtes);ésadir,

on σi(si) éslaprobabilitatamblaqual i jugarà si sitrial’estratègiamixta σi.

3 Elconeixementcomúd’unfetrequereixqueelsjugadorselsàpiguen,quecadascund’ells sàpigaqueelsaltreselsaben,quesàpiguenqueelsaltressabenqueelsaltreselsaben,etc.

4Unjocenformanormalésfinitsi N i S sónconjuntsfinits.

Observemqueelconjunt Σi espotescriurecom

elsímplexdel’espaieuclidià#Si-dimensional,on#Si denotalacardinalitat delconjunt Si.Definim Σ = Σ1 ×···× Σn idenotemunperfild’estratègies mixtesper σ = (σ1,...,σn) ∈ Σ,unapercadajugador.Finalment,peracada i, definim Hi : Σ → R comlafunciódepagamentsesperatsdeljugador i;ésadir, peratot σ ∈ Σ,

Observemprimerqueenladefinicióde Hi(σ) estemsuposantque i avalualadistribuciódeprobabilitat σ sobre S segonselpagamentesperatde l’estratègia σ ,queéslasumadelspagamentsdecadaundelsperfilsd’estratègies,ponderatsperlaprobabilitatque σ elsassigna.Segon,lesestratègies delsjugadorssónindependents:laprobabilitatqueelsjugadorstriïnelperfil d’estratègiespures s = (s1,...,sn) ésiguala j∈N σj (sj ),elproductedeles probabilitatsdecadascundelscomponentsde s 5

Donatunjocenformanormal G = (N,S,h),enconstruïml’extensiómixta G∗ = (N, Σ,H).Observemque G∗ éstambéunjocenformanormal,alqual podemaplicarelconcepted’equilibrideNash.Ésadir,elconjuntd’equilibris deNashdel’extensiómixta G∗ d’unjocfinitenformanormal G éselconjunt

Σ∗ ={σ ∗ ∈ Σ | peratot i ∈ N,Hi(σ ∗ i ,σ ∗ i) ≥ Hi(σi,σ ∗ i) peratot σi ∈ Σi}. Nashdemostraquequalsevoljocfinitenformanormaltéunequilibride Nashenestratègiesmixtes.

Teorema 4 ([10, 12]). Sigui G unjocfinitenformanormal.Llavors, Σ∗ ≠ .

Prova. Sigui G = (N,S,h) unjocfinitenformanormal.Comque G ésfinit, Σ ésunsubconjuntnobuit,compacteiconvexd’unespaieuclidiàmultidimensional(finit),jaqueéselproductecartesiàde n símplexs.Peracada i ∈ N, definimla correspondènciadelamillorrespostade i, Bi : Σ Σi,assignanta cada σ ∈ Σ elconjuntd’estratègiesmixtesdeljugador i quemaximitzenelseu pagament,donat σ i;ésadir,

Bi(σ) ={σi ∈ Σi | Hi(σi ,σ i) ≥ Hi(σi,σ i) peratot σi ∈ Σi},

5 Aumann[1]defineix(iestudia)l’equilibricorrelacionatdelsjocsenformanormalcom l’extensiódel’equilibrideNashquanelsjugadorspodentriarlessevesestratègiesdeforma correlacionada.RobertJ.AumannrepelPremiNobeld’Economial’any2006,juntamentamb ThomasC.Schelling,«perhavermilloratlanostracomprensiódelconflicteilacooperació mitjançantl’anàlisidelateoriadelsjocs».

LesaportacionsdeJohnF.Nashal’economia:equilibriinegociació 79

idefinimla correspondènciadelamillorresposta B : Σ Σ establintque,pera cada σ ∈ Σ, B(σ) = (B1(σ),...,Bn(σ)).

Peratot σ ∈ Σ, B(σ) ésunconjuntnobuit,jaqueperacada i ∈ N, Bi(σ) és nobuitpelteoremadeWeierstrass,atèsquelafunció Hi éscontínuaenel dominicompacte Σ.Ésfàcilcomprovarqueperacada σ ∈ Σ, B(σ) ésconvex (lacombinacióconvexadeduesmillorsresposteséstambéunamillorresposta).

Elgràficde B : Σ Σ éselconjunt

Graf(B) ={(σ,σ ) ∈ Σ × Σ | σ ∈ B(σ)}, queenaquestcasésuntancat.Ésimmediatadonar-sequeelconjuntd’equilibrisdeNashde G∗ éselconjuntdepuntsfixosde B;ésadir,

siinoméssi

B(σ ∗).

PelteoremadeKakutani[7],6 lacorrespondènciadelamillorresposta B de l’extensiómixta G∗ de G téunconjuntnobuitdepuntsfixos,i,pertant, Σ∗ ≠ . ✷

L’observaciósegüentensdiuquesiunjugador i triaenequilibriuna estratègiamixta σ ∗ i nodegenerada(#{si ∈ Si | σ ∗ i (si)> 0}≥ 2)ésperquè toteslesestratègiespuresdelseusuport({si ∈ Si | σ ∗ i (si)> 0})lidonen elmateixpagamenti,pertant,qualsevoldistribuciódeprobabilitatambel mateixsuporttambélidonaelmateixpagament.Enequilibri,unjugador racionalnomésdeixaal’atzarl’elecciódelasevadecisióquanésindiferent entreelsubconjuntd’estratègiespuresenelsuportdelasevaestratègiamixta d’equilibri.

Observació 5 Suposemque σ ∗ ∈ Σ∗.Siguin i ∈ N i si, ˆ si ∈ Si talsque σ ∗ i (si),σ ∗ i (ˆ si)> 0.Llavors, Hi(s

), on,abusantdelanotació, si i ˆ si denotentambélesestratègiesmixtesdegenerades σi(si) = 1i σi (ˆ si) = 1,respectivament.

Aquestfetésimportant;enequilibrieljugador i assignaprobabilitatpositivanomésaestratègiespuresquemaximitzenelseupagamentesperat(donades lesestratègiesmixtesd’equilibridelsaltresjugadors)i,pertant, i ésindiferent entretoteselles.Aixòfaqueeljugadorestiguidisposatquelanaturatriïper ell.L’observació5enspotajudaracalcularequilibrisdeNashenestratègies mixtesd’unjocfinitenformanormal.Tornemal’exempledelabatalladels sexes,ibusquem-neelconjuntd’equilibrisdeNash Σ∗ .

6 Teorema (Kakutani,1941). Sigui K ⊆ Rm unsubconjuntnobuit,compacteiconvexisigui f : K K unacorrespondènciatalque Graf(f) éstancati,peratot x ∈ K,elconjunt f(x) ésno buiticonvex.Llavors, f téalmenysunpuntfix;ésadir,existeix x∗ ∈ K talque x∗ ∈ f(x∗)

Exemple 6 (labatalladelssexes:continuació). Donatunperfild’estratègiesmixtes σ = (σh,σd) ∈ Σ,definimelparell (p,q) ∈ [0, 1]2 com p = σh(F) i q = σd(F).Lataulasegüentensajudaarepresentarlaformanormaldeljoc ambestratègiesmixtes, q 1 q h\dFB pF 3, 1 0, 0 1 pB 0, 0 1, 3

il’observació5atrobarelconjuntdetotselsequilibrisdeNashdeljoc.Primer, ésimmediatcomprovarque (F,F) i (B,B) sónelsdosequilibrisdeNash enestratègiespures.Pertant, (1, 1),(0, 0) ∈ Σ∗.Suposemque (p,q) ∈ Σ∗ . Abusantunaaltravegadadelanotacióendenotarper F i B lesestratègies mixtes σh(F) = 1i σh(B) = 1,respectivament,obtenimque Hh(F,q) = 3q i Hh(B,q) = 1 q.Perl’observació5,si p ∈ (0, 1),llavors3q = 1 q.Per tant, q∗ = 1 4 .Laindiferènciadel’homeentre F i B determinal’estratègia mixtad’equilibrideladona!Similarment, Hd(p,F) = p i Hd(p,B) = 3(1 p). Perl’observació5,si q ∈ (0, 1),llavors p = 3(1 p).Pertant, p∗ = 3 4 .La indiferènciadeladonaentre F i B determinal’estratègiamixtad’equilibride l’home!Lafigura1representageomètricamentaquestsdosfets.

1

Apartirdelafigura1ésfàcilconstruirlescorrespondènciesdelamillor resposta.Peratot (p,q) ∈ Σ,

Bd(p,q) =

{0} si0 ≤ p< 0.75, [0, 1] si p = 0.75, {1} si0 75 <p ≤ 1

Comquelescorrespondències Bh(p,q) i Bd(p,q) sónrespectivamentconstants en p i q,lespodemdenotarper Bh(q) i Bd(p).Lafigura2representa,a travésdelspuntsfixosdelacorrespondènciadelamillorresposta,elconjunt d’equilibrisdeNash Σ∗ ={(0, 0),(1, 1),(0.75, 0.25)} deljoc.

2

Lanociód’equilibrideNashtémoltsantecedents.SeguramentCournot[3] éselprimeraaplicar-lo(mésdecentanysabansdeladefiniciógeneraldeNash) perestudiarlacompetènciaentreduesempresesenunmercatd’unbéquan aquestestriensimultàniamentlesquantitatsavendre,ielpreuesdeterminaa partirdelafuncióinversadedemandadelbé.Bertrand[2]modificaelmodel deCournotenconsiderarquelesempresestriensimultàniamentelpreudel bé,ilaquantitattotalvenudaesdeterminaatravésdelafuncióagregadade demanda.Zermelo[20]demostraqueeneljocdelsescacsobéeljugador ambblanquestéunaestratègiaguanyadora,obéeljugadorambnegresté unaestratègiaguanyadora,obéambdósjugadorstenenunaestratègiaque elsassegural’empat(elsescacssónunjocfinit,jaquequanunamateixa posicióesrepeteixquatrevegadeseljocacabaentaules).Hotelling[6]l’utilitza enestudiarlacompetènciaentredosvenedorsdegelatsenunaplatjaquan aqueststriensimultàniamentlasevalocalitzacióenlaplatja,elsbanyistes estanuniformementdistribuïtsalaplatja,ielspreusdelsgelatsestanfixats exògenament.Finalment,vonStackelberg[19]modificaelmodeldeCournoten suposarqueunadelesduesempreseséslalíderenelmercat,triaprimerla quantitatavendrei,coneixentaquestaquantitat,l’altraempresa,laseguidora, trialasevaquantitat;vonStackelberganticipa,així,lanociódeperfeccióenels subjocsdeSelten[18].

Comjahemdit,vonNeumanniMorgenstern[15]estrobenambdificultats perdefinirlasoluciód’unjoc(elllibremostraelsdiferentsintentsperasuperarles)peròladonen(enelteoremadelminimax)peralsjocsnocooperatiusen formanormalfinitsambdosjugadorsisumazero;ésadir,quan G = (N,S,h) télapropietatque n = 2,#S< ∞ iperatot s ∈ S, h1(s) + h2(s) = 0(elque guanyaunjugadorhoperdl’altre).

Teoremadelminimax(vonNeumanniMorgenstern[15]). Sigui G = (N,S,h) unjocfinitenformanormalambdosjugadorsisumazero.Llavors, existeixen v ∈ R (elvalorde G),

(estratègiesòptimes)talsque peratot

(i) H1(σ ∗ 1 ,σ2) ≥ v.

(ii) H2(σ1,σ ∗ 2 ) ≥−v ( H1(σ1,σ ∗ 2 ) ≤ v).

(iii) min

) = v

Lacondició(i)diuqueambl’estratègiaòptima σ ∗ 1 eljugador1s’asseguraun pagamentesperatd’almenys v,independentmentdel’estratègiadeljugador2. Lacondició(ii)diuqueambl’estratègiaòptima σ ∗ 2 eljugador2s’assegura unpagamentesperatd’almenys v (ésadir,noperdremésde v entermes esperats),independentmentdel’estratègiadeljugador1.Lacondició(iii)diu trescosessimultàniament.Primer,elpuntdevistaoptimistadeljugador1, quanpensaquepotpredircorrectamentl’estratègiadeljugador2,donaun pagamentesperat( min

1(σ1,σ2))mésgranoigualqueelpuntdevista pessimista,quan1pensaque2potpredircorrectamentlasevaestratègia ( max

1 min

2 H1(σ1,σ2));aquestadesigualtat,ilasimètricaperaljugador2,són certesperaqualsevoljocenformanormalambdosjugadors.Segon,(iii)diu quesieljocésdesumazero,llavorselpuntdevistapessimistadonaun pagamentesperatmésgranoigualqueelpuntdevistaoptimista,ique,per tant,elspagamentsesperatsdelsdospuntsdevistasóniguals.Tercer,aquests pagamentsesperatssón v peraljugador1, v peraljugador2,i H1(σ ∗ 1 ,σ ∗ 2 ) = v =−H2(σ ∗ 1 ,σ ∗ 2 ).LademostraciódelteoremadelminimaxdevonNeumanni MorgensternesbasaenunresultatanteriordevonNeumann[14].Fentservir elresultatd’existènciadeNash(teorema4),ésrelativamentsenzillaiellector lapottrobaral’apèndixalfinald’aquestarticle.7

ApartirdelsarticlesdeNash[10, 12]lateoriadelsjocsnocooperatius s’hadesenvolupatincorporantenelsseusmodelselsaspectesdinàmicsdeles interaccionsestratègiquesilesasimetriessobrelainformacióqueelsjugadors tenenenelmomentdeprendrelessevesdecisionssobreaspectesrellevants deljoc,entred’altres.Entotsaquestsdesenvolupamentslanociód’equilibri deNashhacontinuatsentlapeçacentrald’aquestesteories,permetent-ne l’aplicacióal’economia,lapolíticailabiologia.8

7 Ésfàcilcomprovarqueeneljocde matchingpennies v = 0i σ ∗ 1 = σ ∗ 2 = 0 5,peròeneldels escacsnosabemelvalorde v (quiguanya)nilesestratègiesòptimes σ ∗ 1 i σ ∗ 2

8 EllectorinteressatpottrobarenelllibredeMachler,SolaniZamir[8]unapresentació

3Elproblemadelanegociació,ilasevasolució

Nashpresentaelproblemadelanegociació,ilasevasolució,al’articleNash[11]. SegonselmateixNash,laidealavatenirquanseguiauncursd’economiainternacionalalCarnegieTechdePittsburgh,abansdegraduar-seenmatemàtiques.

Unproblemadenegociacióésunasituacióonunconjuntd’agents(els negociadors)podencooperar(possiblement,demoltesmaneres)perallur beneficimutu.Peròperafer-ho,hand’arribaraunacord unànime.Sinohi arriben,esmantél’statuquo (opuntdedesacord).

Hihamoltsexemplesd’aquestasituació.Unvenedoriuncompradord’un objectehandeposar-sed’acordsobreelpreudel’objecte;unaempresai unsindicathand’acordarl’incrementsalarialilescondicionsdetreball;una parellahad’acordarlaresoluciódelseudivorci;diferentspaïsosiinstitucions supranacionalstenenconversesdepauperarribaraunacordperresoldreun conflicte;etc.

Elproblemadelanegociaciófouàmpliamentestudiateneconomia,però finsaNash[11]esconsideravaquelasevasolucióeraindeterminadaique depeniadelacapacitatihabilitatnegociadoradelsimplicats.9

Unproblemadenegociacióconstadedoselementsbàsics:elconjunt N = {1,...,n} d’agents (jugadorsonegociadors),on n ≥ 2,ielconjunt Z de possiblesacords(quetantpotserunconjuntfinitcominfinit).Cadaagent i ∈ N téunespreferències i sobreelconjunt Z.Pera z,z ∈ Z escrivim z i z perindicarquel’acord z ésalmenystanpreferitpera i coml’acord z , iescrivim z i z si z ésestrictamentpreferitpera i al’acord z .Diemqueuna funciód’utilitat ui : Z → R representalespreferències i siperatot z,z ∈ Z, z i z siinoméssi ui(z) ≥ ui(z ). 10

Permetemquecomasoluciódelproblemadelanegociacióelsagentsacordintriarunadistribuciódeprobabilitatsobre Z.Peraixò,suposaremquecada i ∈ N tépreferències i sobreelconjuntdeprobabilitatssobre Z,representadesperlafunció hi : L(Z) → R,on L(Z) éselconjuntdedistribucionsde probabilitatsobre Z ique hi satisfàlapropietatdelautilitatesperada;és adir,peratotparell p,p ∈L(Z):(i) p ip siinoméssi hi(p) ≥ hi(p ),i (ii) hi(p) = z∈Z p(z)ui(z)dz 11

Sigui S ⊂ Rn elconjuntde resultatspossibles delanegociacióentermes d’utilitatsesperades: x ∈ S siinoméssiexisteix p ∈L(Z) talquepera tot i ∈ N, hi(p) = xi.

ElmodeldeNashtéunsupòsitimplícitiquatreexplícits(formulatsdirectamentsobreelconjunt S).L’implícitésqueperdeterminarlasolucióal excel lentidetalladadel’estatactualdelateoriadelsjocs.

9 Lacorbadecontracted’unaeconomiad’intercanvid’Edgeworth[5]ésunexponentclar d’aquestasituació.

10 Sotacondicionsmoltgenerals(vegeu[4])lespreferènciespodenserrepresentadesperuna funciód’utilitat(integrable),queésúnicaexcepteperatransformacionsmonòtonespositives.

11 Enaquestcas,lafunció hi ésúnicaexcepteperatransformacionsafinspositives;ésadir, si hi representalespreferènciessobre i,llavorsperatot b ∈ R itot a> 0, b + a · hi també representa i

problemadelanegociaciónoméssónrellevantslesutilitatsdelsagents,i noelsacordsquelesgeneren.Elsexplícitssónque S ésunconjuntconvex (conseqüènciad’admetreacordsprobabilístics),compacte(perexemple,si Z és finit),existeixun puntdedesacord (statuquo) d ∈ S,iexisteixunacordque totselsagentsprefereixenestrictamentalpuntdedesacord,ésadir,existeix x ∈ S talque xi >di peratot i ∈ N.

Sigui B elconjuntdeparells (S,d) amblespropietatsanteriors;aixòés,

B={(S,d) | S ⊂ Rn ésconvexicompacte, d ∈ S i ∃ x ∈ S talque ∀ i ∈ N,xi >di}

éselconjuntdetotselsproblemesdenegociació.Lafigura3representaun problemadenegociacióquan n = 2.

Figura 3

Unasolucióalproblemadelanegociacióésunareglaqueassignaacada problemadenegociacióunvectorfactibled’utilitats.

Definició 7 Una solució alproblemadelanegociacióésunafunció f : B→ Rn talqueperatot (S,d) ∈B, f(S,d) ∈ S.

Unasoluciópotserinterpretadacomunarbitratgequeresponaunconjunt determinatdeprincipis(oaxiomes)sobrecoms’haderesoldreelproblemade lanegociació.12 Nashconsideraqueunasolucióalproblemadelanegociació hauriadesatisferquatreaxiomes.

12 Roth[16]reculllesprimerescontribucionsaxiomàtiquesalproblemadelanegociació generadesperNash[11].

Axioma1:Invariànciad’escala

Peratot (S,d) ∈B,tot b = (b1,...,bn) ∈ Rn itot a = (a1,...,an) ∈ Rn tal que ai > 0peratot i ∈ N,definimunnouproblemadenegociació (S ,d ) ∈B on,peratot i ∈ N, di = bi + aidi i

S = y ∈ Rn | existeix x ∈ S talqueperatot i ∈ N,yi = bi + aixi , idiemque (S ,d ) ésunatransformacióafípositiva (b,a) de (S,d).

Definició 8. Unasolució f : B→ Rn satisfàla invariànciad’escala sipera tot (S,d) ∈B,tota (S ,d ) ∈B transformacióafípositiva (b,a) de (S,d) itot i ∈ N, fi(S ,d ) = bi + aifi(S,d).

Lainvariànciad’escalarequereixquelasoluciónodepenguidelarepresentaciónumèricadelespreferènciesdelsagentssobrelesdistribucionsde probabilitatsobreelspossiblesresultatsdelanegociació.Elsproblemes (S,d) i (S ,d ) sónequivalentsentermesdelespreferènciesdelsagentssobreles distribucionsdeprobabilitatsobreelspossiblesacords,pertant,lasolució proposautilitatsequivalents.

Axioma2:Simetria

Unproblemadenegociació (S,d) ∈B és simètric si d1 =···= dn i,peratota permutació π : N → N,si x = (x1,...,xn) ∈ S,llavors y = (y1,...,yn) ∈ S, on yi = xπ(i) peratot i ∈ N.Aixòés,elspapersdelsjugadorsenladescripció delproblema (S,d) sónintercanviables.

Definició 9 Unasolució f : B→ Rn satisfàl’axiomade simetria siperatot problemadenegociaciósimètric (S,d) ∈B, f1(S,d) =···= fn(S,d).

Si (S,d) éssimètricnohihacapdiferènciaentreelsagents.Pertant,la soluciónohauriadedistingir-los.

Axioma3:Independènciad’alternativesirrellevants

Definició 10 Unasolució f : B→ Rn satisfàla independènciad’alternatives irrellevants siperatotparell (S,d),(T,d) ∈B talsque S ⊂ T i f(T,d) ∈ S, llavors f(S,d) = f(T,d)

Silasolucióalproblema (T,d) és f(T,d),i f(T,d) éstambéunacordpossibleenelproblemareduït (S,d),laindependènciad’alternativesirrellevants exigeixquelasolucióenelproblemareduït f(S,d) hadecoincidiramb f(T,d). Ésadir,lesalternativesenelconjunt T \S quenoforenescollidesquanerenfactiblessónirrellevantsperdeterminarlasolucióen (S,d).Lafigura4representa aquestaxiomagràficamentquan n = 2.

4

f(T,d) = f(S,d)

Axioma4:Eficiència

Definició 11. Unasolució f : B→ Rn satisfàl’axiomad’eficiència siperatot (S,d) ∈B itotparell x,y ∈ S talsque xi >yi peratot i ∈ N, f(S,d) ≠ y Unasolucióeficientexhaureixtotselspossiblesguanysdelanegociació. Nash[11]proposaicaracteritzaaxiomàticamentunaúnicasolucióalproblemadelanegociació.Aquestasoluciós’anomenalasoluciódeNash.

Definició 12. Lasolucióde Nashdelproblemadelanegociació éslafunció F : B→ Rn talque,peratot (S,d) ∈B,compleix F(S,d) = x on x ∈ S és talque x ≥ d i n i=1 (xi di)> n i=1 (yi di) peratot y ∈ S\{x} talque y ≥ d

L’expressió n i=1 (xi di) esconeixcomelproductedeNash.Lafigura5il lustra geomètricamentlasoluciódeNashalproblemadelanegociacióquan n = 2.

h2 h1 d S F(S,d)

Figura 5

hipèrbolaequilàter amb d comaorigen

Teorema 13 (Nash,[11]). Unasolució f : B→ Rn satisfàelsaxiomesd’invariànciad’escala,desimetria,d’independènciad’alternativesirrellevantsid’eficiència siinoméssiéslasoluciódeNashdelproblemadelanegociació;ésadir, f = F

Prova. ÉsfàcildemostrarquelasoluciódeNash F alproblemadelanegociació satisfàelsquatreaxiomes.

Lademostracióquequalsevolsolucióalproblemadelanegociació f : B→ Rn quesatisfàelsquatreaxiomesés,defet,lasoluciódeNash F segueixtres passos.Primer,lainvariànciad’escalapermettractarqualsevolproblemade negociaciócomasimètric.Segon,persimetriaieficiència f i F handecoincidir enqualsevolproblemadenegociaciósimètric,jaquenoméshihaunacord eficientambtoteslescoordenadesiguals.Tercer,perindependènciad’alternativesirrellevants, f i F coincideixenenelproblemaoriginal.Acontinuació presentemelsdetallsd’aqueststrespassos.

Sigui f unasolucióquesatisfàelsquatreaxiomes.Consideremqualsevol problemadenegociació (S,d) ∈B idenotemper x elvectord’utilitatsesperadesseleccionatperalasoluciódeNash F enelproblema (S,d);ésadir, F(S,d) = x.Perhipòtesiieficiènciade F , xi >di peratot i ∈ N.Definimun nouproblemadenegociació (S ,d ) ∈B apartirdelatransformaciósegüent afípositiva (b,a) de (S,d):peratot i ∈ N itot y ∈ S, λi(yi) = d

Ésadir,

Observemque λi(xi) = 1i λi(di) = 0.Perinvariànciad’escalade F , F(S ,d ) = (1,..., 1).Lafigura6il.lustraaquestfetquan n = 2.

,d ) = (1,..., 1)

Figura 6

Elvector (1,..., 1) éselmaximitzadordelproductedeNashenelconjunt S Pertant, x = (1,..., 1) ésl’únic vectorenlainterseccióde S ielconjunt

convex

Comquelafronteradelconjunt H, {y ∈ Rn | n i=1 yi = 1} ésdiferenciable, l’hiperplà

ésl’únichiperplàqueéstangenta H ipassaper x = (1,..., 1).Lafigura7 il.lustrageomètricamentaquestsargumentsquan n = 2.

F(S ,d ) = (1,..., 1)

Figura 7

Comque H i S sónconjuntsconvexos,pelteoremadel’hiperplàseparador,

Pertant,icomque S éscompacte,existeixunconjuntsimètric,convexi compacte R talque S ⊆ R i Ef(R) ⊆ T ,on Ef(R) éselconjuntd’acords eficientsde R;ésadir,

Ef(R) = y ∈ R | x ∈ R talque xi >yi peratot i ∈ N

Lafigura8il.lustraaquestsfetsquan n = 2.

Figura 8

Pertant,persimetriaieficiència, f(R,d ) = (1,..., 1).Perindependència d’alternativesirrellevants, f(S ,d ) = (1,..., 1).Ifinalment,perinvariància d’escala, f(S,d) = x = F(S,d).Comque (S,d) ∈B eraunproblemade negociacióarbitrari, f éslasoluciódeNashdelproblemadelanegociació. ✷

ElmateixNash(al’article[13])argumentasobrelaconveniènciadejustificar lasolucióaxiomàticaobtenint-lacomlesutilitatsd’unequilibrideNashd’un jocnocooperatiu,onlesestratègiesdelsjugadorscorresponenalesseves decisionspresesenunprocésdenegociació.Aquestarecercaesconeixcom elprogramadeNash.Rubinstein[17]despertanovament,desprésdemésde trentaanys,l’interèsdelseconomistespelprogramadeNashgenerantuna literaturaextensasobrel’anàlisiestratègicadelanegociació.

AApèndix.Demostraciódelteoremadelminimaxfentservir elteorema4

Sigui G = ({1, 2},S,h) unjocfinitenformanormalambdosjugadorsisuma zero.Observemprimerquelasevaextensiómixta G∗

, 2},

,H) tambéés desumazero,jaqueperatot

Pelteorema4, Σ∗ ≠ .Sigui (σ ∗ 1 ,σ ∗ 2 ) ∈ Σ∗ arbitrari.Definim v = H1(σ ∗ 1 ,σ ∗ 2 ). Comque (σ ∗ 1 ,σ ∗ 2 ) ésunequilibrideNashde G∗ ,

peratot σ1 ∈ Σ1.Peròaquestaéslacondició(ii)delteoremadelminimax.Al mateixtemps,icomque v = H1(σ ∗ 1 ,σ ∗ 2 ) ésequivalenta v =−H1(σ ∗ 1 ,σ ∗ 2 ) = H2(σ ∗ 1 ,σ ∗ 2 ), v

peratot σ2 ∈ Σ2.Pertant, v

peratot σ2 ∈ Σ2.Peròaquestaéslacondició(i)delteoremadelminimax. Obtindremlacondició(iii)delteorema,

demostrantque

ique

Primer,siguemabsolutamentextremsenlesexpectativesdeljugador1 sobrel’estratègiadeljugador2isuposemqueeljugador1ésabsolutament pessimista:pensaqueeljugador2encertaràcorrectamentlasevaestratègia (oequivalentment,queeljugador1triaprimerlasevaestratègiai,coneixentla,eljugador2triaràlasevamillorestratègia).Llavors,fentservirunargumentd’inducciócapendarrereitenintencompteque,donada

(σ1,σ2) ésequivalenta

1 ∈ Σ1,

), elpagamentpessimista(mésgran)deljugador1és

Similarment,suposemqueeljugador2ésabsolutament pessimista:pensaque eljugador1encertaràcorrectamentlasevaestratègia(oequivalentment,queel jugador2triaprimerlasevaestratègiai,coneixent-la,eljugador1triaràlaseva millorestratègia).Llavors,fentservirunargumentd’inducciócapendarrere, itenintencompteque,donada σ2 ∈ Σ2,

1(σ1,σ2) ésequivalenta minσ1 ∈Σ1 H2(σ1,σ2),elpagamentpessimista(mésgran)deljugador2és

Noobstantaixò,eljugador1podriaserabsolutament optimista:pensa queellpotencertarcorrectamentl’estratègiadeljugador2(oequivalentment, queeljugador2triaprimerlasevaestratègiai,coneixent-la,eljugador1 triaràlasevamillorestratègia).Llavors,fentservirunargumentd’inducció capendarrere,donada σ2 ∈ Σ2, eljugador1segueixl’estratègia σ1 queli proporcionaelpagament

1(σ1,σ2),

illavors,eljugador2espreocuparàpelseupropiinterès(recordemque min H1 ≡ max H2);pertant,elpagamentoptimista(méspetit)deljugador1és

Similarment,suposemqueeljugador2ésabsolutament optimista:pensaqueell potencertarcorrectamentl’estratègiadeljugador1(oequivalentment,queel jugador1triaprimerlasevaestratègiai,coneixent-la,eljugador2triaràlaseva millorestratègia).Llavors,fentservirunargumentd’inducciócapendarrere, donada σ1 ∈ Σ1, eljugador2segueixl’estratègia σ2 queliproporcionael pagament

illavors,eljugador1éspreocuparàpelseupropiinterès(recordemque max H1 ≡ min H2);pertant,elpagamentoptimista(méspetit)deljugador2és

Fet(certperaqualsevol G ambdosjugadors). Elpagamentdesdelpunt devistaoptimistaésmésgranoigualqueelpagamentdesdelpuntdevista pessimista;ésadir,

(O.1)min

Demostraciódelfet. Demostraremque

(P.2).

Ladesigualtatdesdelsdospuntsdevistadeljugador2éssimilar.Sigui σ2 ∈ Σ2 arbitrària.Llavors,peratot σ1 ∈ Σ1,

1(σ1, σ2) funcióde σ1 ≥

2 ∈Σ2

1(σ1,σ2) funcióde σ1 .

Pertant,

unnúmero

Peròaquestadesigualtatéscertaperatot

Pelfetanterior,jasabemque

(O.1)min

Arahemdedemostrarqueladesigualtat (O.1)min

tambééscerta,ique,pertant,lacondició(iii)delteoremadelminimax

éscerta.

Desdelpuntdevistapessimista,ifentservirlacondició(i)delteoremadel minimax,

Desdelpuntdevistaoptimista,ifentservirlacondició(ii)delteoremadel minimax,

Pertant,

ipelfet,

Agraïments

L’autoragraeixelssuggerimentsfetsperunrevisorielsuportdelaGeneralitat deCatalunya,atravésdelprojecteSGR2014-515,idelMinisterid’Economia, IndústriaiCompetitivitat,atravésdelprogramaSeveroOchoa(SEV-2015-0563) ielprojecteECO2014-53051-P.

Referències

[1] Aumann,R.J. «Subjectivityandcorrelationinrandomizedstrategies». J.Math.Econom.,1(1)(1974),67–96.

[2] Bertrand,J. «Théoriemathématiquedelarichessesociale». Journaldes Savants,67(1883),499–508.

[3] Cournot,A. RecherchessurlesPrincipesMathématiquesdelaThéoriedes Richesses.París:L.Hachette,1838.

[4] Debreu,G. TheoryofValue:AnAxiomaticAnalysisofEconomicEquilibrium. NovaYork:JohnWiley&Sons,Inc.;Londres:Chapman&Hall,Ltd.,1959. (CowlesFoundationforResearchinEconomicsatYaleUniversity;17)

[5] Edgeworth,F.Y. PapersRelatingtoPoliticalEconomy.Londres:Royal EconomicSociety,1925.3volums.

[6] Hotelling,H. «Stabilityincompetition». TheEconomicJournal,39(153) (1929),41–57.

[7] Kakutani,S. «AgeneralizationofBrouwer’sfixedpointtheorem». Duke Math.J.,8(1941),457–459.

[8] Maschler,M.;Solan,E.;Zamir,S. GameTheory.Cambridge:Cambridge UniversityPress,2013.[Traduïtdel’hebreuperZivHellmanieditatper MikeBorns]

[9] Nasar,S. ABeautifulMind.NovaYork:Simon&Schuster,1998.

[10] Nash,J.F.,Jr. «Equilibriumpointsin n-persongames». Proc.Nat.Acad. Sci.U.S.A.,36(1950),48–49.

[11] Nash,J.F.,Jr. «Thebargainingproblem». Econometrica,18(1950), 155–162.

[12] Nash,J.F. «Non-cooperativegames». Ann.ofMath.(2),54(1951),286–295.

[13] Nash,J.F. «Two-personcooperativegames». Econometrica,21(1953), 128–140.

[14] vonNeumann,J. «ZurTheoriederGesellschaftsspiele». Math.Ann.,100 (1)(1928),295–320.

[15] vonNeumann,J.;Morgenstern,O. TheoryofGamesandEconomic Behavior.Princeton,NovaJersey:PrincetonUniversityPress,1944.

[16] Roth,A. AxiomaticModelsofBargaining.Berlín:Springer-Verlag,1979.

[17] Rubinstein,A. «Perfectequilibriuminabargainingmodel». Econometrica, 50(1)(1982),97–109.

[18] Selten,R. «SpieltheoretischeBehandlungEinesOligopolmodellsMitNachfrageträgheit:TeilI:BestimmungDesDynamischenPreisgleichgewichts». ZeitschriftfürdiegesamteStaatswissenschaft,121(2)(1965),301–324.

[19] vonStackelberg,H. MarktformundGleichgewicht.Viena:J.Springer, 1934.

[20] Zermelo,E. «ÜbereineAnwendungderMengenlehreaufdieTheorie derSchachspiels».A: ProceedingsoftheFifthInternationalCongressof Mathematicians.Cambridge:CambridgeUniversityPress,1913,501–504.

Departamentd’Economiaid’HistòriaEconòmica Facultatd’EconomiaiEmpresa UniversitatAutònomadeBarcelona 08193 Bellaterra(CerdanyoladelVallès) jordi.masso@uab.es

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.32,núm.1,2017.Pàg.95–96

Englishsummaries

JuditAbardia-Evéquoz

Differenceandprojectionbodiesinconvexgeometry

Inthispaperwepresentsomenotionsandclassicalresultsfromconvexgeometrywhichhavefoundnumerousapplications.Weconcentrateonthree familiesofconvexbodies:ellipsoids,centrallysymmetricconvexbodiesand zonoids,anddescribesomeoftheirapplicationsingeometry.Forinstance,we proveMinkowski’sfirsttheoremonthegeometryofnumbers,theexistence ofanellipsoidofmaximalvolumeinsideaconvexbody—theso-calledJohn ellipsoid—andstudyShephard’sproblem,whichasksiftherearepairsof bodiesonewithasmallervolumethantheother,butwithlargerprojections. Thecentrallysymmetricbodiesandthezonoidsarealsodescribedastherange ofcertainoperators:thedifferenceandprojectionoperators.Atthebeginning ofthispaperwepresentthebasicnotionsofconvexgeometrythatwillbeused throughoutandtakeabrieflookatthecombinatorialgeometry,presenting Helly’stheoremandsomeofitsconsequences.

Keywords: Helly’stheorem,differencebody,projectionbody,centrallysymmetricconvexbody,ellipsoid,zonoid,Rogers-Shephardinequality,Pettyprojection inequality.

MSC2010SubjectClassification: 52A20. ArmengolGasullandMireiaLlorens

Computingintegralsthroughdiscretedynamicalsystems

Ifforafamilyofdefinedintegrals,dependingonparameters,thevalueofthe integralremainsunchangedwhenthevaluesoftheparametersvaryinsome

specialway,itissaidthatthischangeofparametersisaLandentransformation. Analogously,usingdynamicalsystemsterminology,thisdefinedintegralis afirstintegralofthediscretedynamicalsystemassociatedwiththeLanden transformation.Thesetransformationsexist,forinstance,forsomefamiliesof ellipticintegralsorforcertainrationalintegrals.Inthispaperwepresentseveral examplesofLandentransformationsandweapplythemtothecomputation ofdefinedintegrals.WealsorecalltheBrent-Salaminalgorithmforcomputing π ,becauseitisbasedonthesetypesoftransformations.Aswewillsee,the globaldynamicsofcertainLandentransformationsarefarfrombeingfully understood.

Keywords: definedintegral,Landentranformation,ellipticintegral,discrete dynamicalsystem,Brent-Salaminalgorithm.

MSC2010SubjectClassification: 26B99,33C75,37E99.

JordiMassó

JohnF.Nash’scontributionstoEconomics:equilibriumandbargaining

JohnF.NashreceivedtheNobelPrizeinEconomicsin1994,togetherwithJohn C.HarsanyiandReinhardSelten,“fortheirpioneeringanalysisofequilibria inthetheoryofnon-cooperativegames”,andtheAbelPrizeinMathematics in2015,togetherwithLouisNirenberg,“fortheirstrikingandseminalcontributionstothetheoryofnonlinearpartialdifferentialequationsandits applicationstogeometricanalysis”.ThispaperpresentsNash’stwomostimportantcontributionstoEconomics:theNashequilibriumofanon-cooperative gameandtheNashbargainingsolution.

Keywords: non-cooperativegame,Nashequilibrium,bargainingproblem,Nash’s bargainingsolution.

MSC2010SubjectClassification: 9102,91A05,91A06,91A10,91A12.

Instruccionsperalsautors

Elsarticlessotmesosapublicaciós’hand’enviaralseditorsoaqualsevol membredelcomitèeditorial,percorreuelectrònic,preferentmentenformat PDF.Elsoriginalshandecontenirlaversióanglesadeltítol,unresumbreuen catalàienanglès,paraulesclauencatalàienanglèsielscodisdelaclassificació permatèriesMSC2010.

Lesversionsdefinitivesdelsarticlesacceptatss’handepresentarencodiTEX, preferentmentenl’estilLATEXpropidel Butlletí.Aquestestilespotobtenira lespàgineswebdelaSocietatCatalanadeMatemàtiques(SCM).Femnotarque enaquestapublicaciós’utilitzapreferentmentelpuntperaseparardecimals, enllocdelacomarecomanadaperl’IEC,perpoderfacilitarlacomprensióde lesexpressionsmatemàtiques.Pertald’accelerarelprocésdeproducció,es pregaalsautorsquesegueixinlesindicacionscontingudeseneldocument d’exemple.

Laversióenpaperdel Butlletí s’imprimeixenblancinegre.Quanun articlecontinguifiguresencoloriesconsidericonvenient,l’autorproporcionarà unaversiódelsgràficssubstituintelcolorpertonsdegrisosilíniesdegruix variable.Aixímateixmodificaràelscomentarisquefacinreferènciaalcolorde lesfigures.Enqualsevolcasel Butlletí publicaràl’originalencolorenelseu formatelectrònic.

Elsautorsdelsarticlespublicatsal Butlletí enreteneneldretdecòpia (copyright)iautoritzenl’IECadifondre’ls,tantatravésdelapublicacióimpresa commitjançantelsportalsdigitalspropisod’altresambquès’estableixinels convenisoportunsaaquestefecte.Ésresponsabilitatdelsautorsassegurar queesdisposadelsdretsdereproducciódelsgràficsidelesfiguresquehi apareguin.CadaautorrebràunacòpiaenPDFd’altaqualitatdelaversiódigital delseuarticleiunexemplarimprèsdelnúmerodel Butlletí enelquales publiqui.

Lacorrespondènciaadministrativarelacionadaambel Butlletí s’had’adreçaralaSCM.

JuliàCufí(editorencap)

Comitèeditorial

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona jcufi@mat.uab.cat

BartomeuColl

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdelesIllesBalears tomeu.coll@uib.cat

NúriaFagella

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona fagella@maia.ub.es

ArmengolGasull

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona gasull@mat.uab.cat

AntoniGuillamon

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya antoni.guillamon@upc.edu

GáborLugosi

ICREAiDepartamentd’Economia UniversitatPompeuFabra gabor.lugosi@upf.edu

RosaCamps(editoraadjunta)

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona rcamps@mat.uab.cat

MarcNoy

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya marc.noy@upc.edu

FrancescPlanas

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya francesc.planas@upc.edu

AgustíReventós

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona agusti@mat.uab.cat

JoanSaldaña

Dep.d’Informàtica,Mat.AplicadaiEstadística UniversitatdeGirona joan.saldana@udg.edu

MartaSanz-Solé

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona marta.sanz@ub.edu

SocietatCatalanadeMatemàtiques

La SocietatCatalanadeMatemàtiques(SCM) ésunasocietatfilialdel’Institutd’EstudisCatalans,quecontinualesactivitatsdelaSecciódeMatemàtiques delaSocietatCatalanadeCiències,quefoufundadaperl’Institutl’any1931. Lesfinalitatsdela SCM són:elconreudelesciènciesmatemàtiques,l’extensió delseuconeixementenlasocietatcatalana,elfomentdelseuensenyament idelasevainvestigacióteòricaiaplicada,aixícomlapublicaciódetotamena detreballsques’adeqüinaaquestsobjectius.La SCM desenvolupalesseves activitatsenlesterresdellenguaiculturacatalanes.Elcatalàés,doncs,la llenguapròpiadela SCM ilaqueésusadanormalmententotselsseusactesi publicacions.

La SCM editalespublicacionsperiòdiques SCM/Notícies i Butlletídela SocietatCatalanadeMatemàtiques.Elssocisdela SCM reben,gratuïtament, aquestesduespublicacions.

La SCM téconvenisdereciprocitatambdiversessocietatsmatemàtiques d’arreudelmón,mitjançantelsqualselssocisdela SCM obtenenunareduccióenlaquotadesocid’aquestessocietats.Aixímateix,elssocisdela SCM podenfer-sesocisdelaSocietatMatemàticaEuropeapagantunaquota complementària.

LaJuntaDirectivadela SCM estàconstituïdaperlespersonessegüents:

President:XavierJarqueiRibera

Vicepresident: EnricVenturaiCapell

Adjuntadelavicepresidència:IolandaGuevaraiCasanova

Secretari:AlbertRuiziCirera

Tresorera:NatàliaCastellanaiVila

Vocals:NúriaFagellaiRabionet,JosepGranéiManlleu,Agustí ReventósiTarrida,CarlesRomeroiChesa,OriolSerraiAlbó,Esther Silberstein,ManelUdinaiAbelló

Delegatdel’IEC:JoanGirbauiBadó

L’adreçadela SCM éscarrerdelCarme,47,08001Barcelona.Telèfon: 933248583.Fax:932701180.Correuelectrònic: scm@iec.cat.Adreçaweb: http://scm.iec.cat.