Issuu

Í5)È-A-MAM-FG01ÃÎ Í5)È-E-MAM-FG01,Î

A E

WISKUNDE MATHEMATICS FASILITEERDERSGIDS FACILITATOR’S GUIDE Graad 9 Grade

Wiskunde

2109-A-MAM-FG01

Fasiliteerdersgids Graad 9

Aangepas vir KABV

DM Oost

Í5)È-A-MAM-FG01ÃÎ

1. Algemeen

INHOUDSOPGAWE

1.1 Maak seker dat jy die volgende ontvang het: y ’n Handleiding met die betrokke jaar se leermateriaal. y ’n Fasiliteerdersgids met die volgende: ȇ Hierdie inligtingsbrief. ȇ Die graad 8-jaarprogram. ȇ Die handleidng-memorandum waarin al die vrae se antwoorde verduidelik word. y ’n Portefeuljeboek met die volgende: ȇ Die puntestaat met die sperdatums waarop die punte ingelees moet word. ȇ Alle assesserings vir die jaar. y ’n DVD met video’s waarna die handleiding verwys. Let wel: die video’s speel slegs op ’n rekenaar en nie met ’n DVD-speler nie.

Riglyne vir die fasiliteerder 1. Algemeen............................................................................................................................................... 3 2. Handleiding.......................................................................................................................................... 4 3. Portefeuljeboek................................................................................................................................... 4 4. Moeilikheidsvlakke........................................................................................................................... 4 5. Jaarplan.................................................................................................................................................. 5 6. Gereedheidseksamen: Memorandum........................................................................................ 9

Handleiding-memorandum Tema 1: Getallestelsels........................................................................................................................ 30 Tema 2: Eksponente.............................................................................................................................. 49 Tema 3: Algebra...................................................................................................................................... 68 Tema 4: Getalpatrone en verwantskappe................................................................................. 115 Tema 5.1: Meetkunde: meting, ruimte en vorm..................................................................... 150 Tema 5.2: Meetkunde: euklidiese meetkunde........................................................................ 182 Tema 5.3: Meetkunde: oppervlakte, omtrek en volume..................................................... 215 Tema 6: Transformasiemeetkunde............................................................................................. 233 Tema 7: Verhouding, eweredigheid en koers.......................................................................... 248 Tema 8: Finansies............................................................................................................................... 268 Tema 9: Statistiek................................................................................................................................ 288 Tema 10: Waarskynlikheid............................................................................................................. 329

©Optimi

1.2 Gereedheidseksamen Indien ’n leerder nie die vorige jaar graad 8 suksesvol by Impaq afgelê het nie, of vir die eerste keer in graad 9 by Impaq ingeskryf is, moet die leerder die gereedheidseksamen skryf wat in in hierdie gids verskyn. Jy moet dit nasien en die leerder moet enige agterstande so gou as moontlik inhaal. Let wel: hierdie vraestel is bloot om te bepaal of die leerder gereed is vir graad 9. Leerders kan slegs sukses in graad 9 behaal indien die graad 8-werk bemeester is en met gemak hanteer kan word. Elke jaar se wiskundeinhoud bou op leerders se voorkennis, begrip en vermoë om werk te identifiseer en akkuraat te kan doen.

G09 – Wiskunde

G09 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids

2. Handleiding

4. Moeilikheidsvlakke

Jy sal verduidelikings en aktiwiteite in die handleiding vind wat konsepte, begrip, vaardighede en kennis van wiskunde sal help bevorder.

Die sterre by elke som dui die moeilikheidsvlak aan. Hierdie vlakke is op alle toetse en eksamens van toepassing, en word ook in die handleiding aangedui.

’n CASIO fx-82ES (Plus)-sakrekenaar word vir leerders aanbeveel, maar enige goeie wetenskaplike sakrekenaar sal voldoende wees.

Vlak 1

Hoe om die handleiding te gebruik: y Bestudeer die teorie en voorbeelde met al die verduidelikings. y Doen ’n paar somme en merk die somme volgens die memorandum. y Kyk na die video’s by die aktiwiteite indien enige werk onduidelik is.

Vlak 2

Enige ander goeie bronne kan van hulp wees, solank dit aan die KABVvereistes voldoen.

Vlak 3

3. Portefeuljeboek

Verwys na die portefeuljeboek vir alle assesseringstake vir die jaar.

Vlak 4 Vlak 5

* **

***

**** *****

Basiese teoretiese kennis en prosedures word vereis om berekeninge te kan doen. Dit kan aangeleer word. Hierdie afdeling maak 25% deel van die vraestel uit. Roetine werk. Eenvoudige stellings wat as maklik beskou word en met oefening aangeleer kan word. Vrae word direk gevra. Hierdie afdeling maak 30% deel van die vraestel uit.

Komplekse berekeninge gebaseer op vorige kennis. Vrae word indirek gevra met die klem op begrip. Hierdie somme is nie voor die hand liggend nie en berekeninge moet eers gedoen word om duidelikheid te kry. Hierdie afdeling maak 30% van die vraestel uit. Toets die leerder se insig, redenasievermoë en toepassing van kennis. Dit is die moeilikste gedeelte van die vraestel en kom nie in boeke of handleidings voor nie. Hierdie afdeling maak 15% van die vraestel uit. Verryking. Word nie in toetse en eksamens ingesluit nie.

Kwartaal 1 53 lesse word vir kwartaal 1 ingeruim

5. Jaarplan Kwartaal 1 1 1 2 2 2 2

Onderwerp Getallestelsels

Getalpatrone en verwantskappe

Eksponente Algebra

Meting, ruimte en vorm Euklidiese meetkunde

Oppervlakte, omtrek en volume

Junie-eksamen Vraestel 1: Tema 1, 2, 3 en 4 Vraestel 2: Tema 5 3

3 3 3 4

Novembereksamen Vraestel 1: Tema 1, 2, 3, 4, 7 en 8 Vraestel 2: Tema 5, 6, 9 en 10

5.3

Waarskynlikheid

5.2

Statistiek

Finansies

Onderwerp (hierdie aktiwiteite kan as leseenhede beskou word)

Tyd in dae of lesse

Tema 1: Getallestelsels

5.1

Verhouding, eweredigheid en koers

Aktiwiteit

Transformasiemeetkunde

Hersiening

©Optimi

Tema

7 8

Eendimensionele grafieke

Rasionale en irrasionale getalle

Reële en niereële getalle

Verskillende soorte breuke

Plaas getalle tussen ander

Oefeninge

Tema 2: Eksponente

Vereenvoudiging met priemfaktore as grondtalle

Opsomming van vorige werk

Vereenvoudiging met saamgestelde faktore as grondtalle

Wetenskaplike notasie

Eenvoudige vergelykings

Oefeninge

G09 – Wiskunde

G09 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids

Onderwerp (hierdie aktiwiteite kan as leseenhede beskou word)

Aktiwiteit

Kwartaal 2 43 lesse word vir kwartaal 2 ingeruim

Tyd in dae of lesse

Tema 3: Algebra 1

Algebra (basiese graad 8-hersiening)

Produkte van veelterme

Funksionele notasie en substitusie

Ongeldigheid by breuke

Ongeldigheid by wortels

Faktorisering: gemeenskaplike faktore

Faktorisering: verskil van vierkante

Faktorisering: groepering

Faktorisering: die drieterm

Faktorisering: gemengde faktorisering

Vereenvoudiging van breuke deur faktorisering

Vergelykings

Formules

Oefeninge

Aktiwiteit 2

Onderwerp (hierdie aktiwiteite kan as leseenhede beskou word)

Tyd in dae of lesse

Tema 4: Getalpatrone en verwantskappe

3 3

Getalpatrone en formules

Verwantskappe tussen x en y Liniêre verwantskappe

Die gradiënt of helling van ’n reguit lyn

Nieliniêre grafieke

Grafieke met beperkinge

Oefeninge

Tema 5: Meetkunde

2 2

Tema 5.1: Meetkunde: meting, ruimte en vorm

Die toets handel oor die bogenoemde werk. Let op dat die dae wat toegeken word slegs as riglyn dien. Moet egter nie tyd mors nie – die sillabus vereis ook baie werk in kwartaal 2.

Meetieenhede

Verband tussen sylengtes, oppervlaktes en volumes, en foutanalise

Poliëders (veelvlakke)

Driedimensionele aansigte

Konstruksies en kompasrigtings

Hoogtehoeke en dieptehoeke

Oefeninge

Onderwerp (hierdie aktiwiteite kan as leseenhede beskou word)

Aktiwiteit

Kwartaal 3 57 lesse word vir kwartaal 3 ingeruim

Tyd in dae of lesse

Tema 5.2: Meetkunde: euklidiese meetkunde 1

5 1

Gelykvormigheid

Kongruente driehoeke

Kongruente driehoeke en vierhoeke

Parallelogramme

Aktiwiteit 3

Oppervlakte en omtrek (graad 8-hersiening)

Volume

Buite-oppervlakte van vaste liggame

Oefeninge

Leerders behoort nou gereed te wees om die Junie-eksamen af te lê. Let op dat die eksamen oor kwartaal 1 en 2 se werk handel.

Formules vir refleksiebeelde

Formules vir translasies

Formules vir eenvoudige rotasies

Vergrotings en verkleinings

Oefeninge

Ekwivalente breuke

Tema 7: Verhouding, eweredigheid en koers

Verdeling van waardes

Vermindering en vermeerdering

Direkte en omgekeerde eweredigheid

Interpretasie van grafieke

Oefeninge

Finansiële sake (graad 8-hersiening)

5 7

Simmetrie

6 2

Junie-eksamen: Vraestel 1: Tema 1, 2, 3 en 4 Vraestel 2: Tema 5

©Optimi

Tyd in dae of lesse

Tema 6: Transformasiemeetkunde

Oefeninge

Tema 5.3: Meetkunde: oppervlakte, omtrek en volume

Onderwerp (hierdie aktiwiteite kan as leseenhede beskou word)

Rente

Huurkoop

Tema 8: Finansies

Tydlynprobleme

Oefeninge

1 3

G09 – Wiskunde

G09 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids Aktiwiteit

Onderwerp (hierdie aktiwiteite kan as leseenhede beskou word)

Kwartaal 4 12 lesse word vir kwartaal 4 ingeruim

Tyd in dae of lesse

Tema 9: Statistiek 1

Identifiseer die probleem

Versamel die data

Besluit op die bron

Aanteken en organisering van data

Die frekwensietabel

Verwerk data statisties

Voorstelling van data

Interpreteer uitkomste

Gevolgtrekking en besluitneming

Toepassing van oplossings en vooruitskatting

Algemene statistiek

Betroubaarheid van statistiek

Korrelasie tussen tweeveranderlike data

Oefeninge

Aktiwiteit 1

Onderwerp (hierdie aktiwiteite kan as leseenhede beskou word)

Tyd in dae of lesse

Tema 10: Waarskynlikheid

Waarskynlikheid (graad 8-hersiening)

Waarskynlikhede van eenvoudige en saamgestelde gebeurtenisse

Onderling uitsluitend en komplementêre gebeurtenisse

Die produk van waarskynlikhede

Oefeninge

Enige werk wat gedurende die jaar gedoen is, moet hersien word.

Novembereksamen Vraestel 1: Tema 1, 2, 3, 4, 7 en 8 Vraestel 2: Tema 5, 6, 9 en 10

Wiskunde Graad 9

Vraag 1

Identifiseer die volgende getalle deur aan te dui of dit elemente van een (of meer) van die volgende soorte getalle is: y Reële getalle y Rasionale getalle y Irrasionale getalle y Heelgetalle y Telgetalle y Natuurlike getalle y Niereële getalle

Gereedheidseksamen Memorandum TYD: 3 uur

Totaal: 160

Instruksies Hierdie vraestel bestaan uit sewentien vrae. 1. Lees deur die vraestel voordat jy dit beantwoord. 2. Beantwoord al die vrae. 3. Nommer elke vraag soos aangedui. 4. Skryf netjies en leesbaar. 5. Trek ’n lyn ná elke vraag. 6. Gebruik slegs ’n blou bolpuntpen. 7. Trek werk duidelik dood wat nie gemerk moet word nie. 8. Rond alle antwoorde, waar nodig, af tot twee desimale syfers, tensy anders vermeld. 9. Sakrekenaars mag nie gebruik word nie, tensy anders vermeld. 10. Toon alle stappe.

Reële getalle

Rasionale getalle

Irrasionale getalle

Heelgetalle Negatiewe heelgetalle

Die doel van hierdie toelatingseksamen is om moontlike probleme rondom temas wat in graad 8 behandel is, te identifiseer. Indien leerders minder as 80% vir ’n vraag kry, is hulle nie gereed om graad 9 aan te pak nie. In daardie geval moet die graad 8-werk oor die spesifieke tema(s) eers hersien word.

1.1

Die vraestel se moeilikheidsgraad word nie aangedui nie aangesien die vrae slegs die basiese kennis toets wat vir graad 9-werk vereis word.

©Optimi

Tema 1: Getallestelsels: soorte getalle

Nul

Positiewe heelgetalle

2 Antwoord: ’n Reële, rasionale, heel-, tel- en natuurlike getal. 

(1)

Antwoord: ’n Reële en irrasionale getal. 

(1)

Antwoord: ’n Niereële getal. 

(1)

1.2

√    2 

1.3

√ –2  

G09 – Wiskunde

G09 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1.4

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

√    2 –2 = √¼ = ½ Antwoord: ’n Reële en rasionale getal. 

,2 ̇ = _ 0  29  Antwoord: ’n Reële en rasionale getal.  _  02 

Antwoord: ’n Reële, rasionale, heel- en telgetal.  2  _   = ongedefinieerd 0 Antwoord: ’n Niereële getal. 

00 = ongedefinieerd Antwoord: ’n Niereële getal. 

02 Antwoord: ’n Reële, rasionale, heel- en telgetal. 

2 =1 Antwoord: ’n Reële, rasionale, heel-, tel- en natuurlike getal.  0

Vraag 2 (1)

2.1

(1) (1)

2.2

(1) (1)

2.3

(1)

2.4

(1)

[10]

Tema 1: Getallestelsels: berekeninge, 𝑥 ∈ Z Vereenvoudig die volgende sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.

12 – 5 – 8 – 1 + 6 – 3 Antwoord: 12 – 5 – 8 – 1 + 6 – 3 =7–8–1+6–3 = –1 – 1 + 6 – 3 = –2 + 6 – 3 =4–3 =1 (–4)(–2)(–1)(10) Antwoord: (–4)(–2)(–1)(10) = (8)(–1)(10) = (–8)(10) = –80 

–3(–2 – 2 – 2 – 2 – 2) Antwoord: –3(–2 – 2 – 2 – 2 – 2) = – 3(–10) = 30 

6(–10 – 4) – 3(–1 – 7) Antwoord: 6(–10 – 4) – 3(–1 – 7) = 6(–14) – 3(–8) = –84 + 24 = –60 

(1)

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

(–5 + 4) – 1 Antwoord: (–5 + 4) – 1 = (–1) – 1 = –2 

Trek –10 van –5 af Antwoord: –5 – (–10) = –5 + 10 =5 –8  ____     –42 Antwoord:

Hakies eerste

–8 = –16  _     =_  12  

–8  ____      (–4) 2 Antwoord:

_     ( –8 –4 ) Antwoord: 2

_     ( –8 –4 )

= ( 2) 2 =4

(1) Vraag 3 (1)

3.1

(1)

[10]

Tema 1: Getallestelsels: berekeninge, 𝑥 ∈ Q Vereenvoudig die volgende sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.

1   3_  23 – 1 _ 6

Antwoord: 1 3_  23 – 1 _   6

7 =_  11   –  _   3 6

(1)

=_  22 – 7       6 =_  15    6 =_  52 

–8  ____     –42

3.2

(1)

= 2_  12 

3_  23 ÷ 1_  16 

(2)

Antwoord: 3_  23 ÷ 1_  16 

6 =_  11   ×  _   7 3

–8  ____      ( )2

–4   _   =  –8 16 –1 _ =   2    ©Optimi

2.10

3 + 2 (–4)(–5) Antwoord: 3 + 2 (–4)(–5) = 3 + 2(20) = 3 + 40 = 43 

=_  22    7

= 3_  17  

(1) 11

(2) G09 – Wiskunde

G09 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 3.3

3.4

2 + 2.2 – 2.2 ÷ 2 Antwoord: 2 + 2.2 – 2.2 ÷ 2  =2+4–4÷2 =2+4–2 =4  9 5 + 3_  19 – 1_  16 .  _     14

Vraag 4

4.1

(2)

Antwoord:

9 5 + 3_  19 – 1_  16 .  _     14

7 _ =_  51 + _  28   –  _  .   9    9 6 14

4.2

3 =_  51 + _  28   –  _   9 4

= ___________  180 + 112 – 27        36 =_  265    36 3.5

= 7_  13    36

2+_  38 van 48

(2)

4.3

Antwoord:

2+_  38 van 48 =2+_  38 × 48 

= 2 + 18 = 20 

Tema 1: Getallestelsels: berekeninge, 𝑥 ∈ Q' Vereenvoudig die volgende sonder om ’n sakrekenaar te gebruik. Laat antwoorde in hul eenvoudigste wortelvorm.

   48   √

Antwoord: _

   48    √   ___________ =√    ___________ 2 . 2 . 2 . 2 . 3         _ =√    2 . 2 . 2 . 2    .√    3     _ = 4√   3  

2√   2  + √    2  ∙ √    2  – √    16  – √    2  – √    2   Antwoord:   _   _   _   _   _   _ 2√   2  _ + √    2  _ ∙ √    2  – √    16 _ – √    2 _  – √    2       = 2√   2     2.2  – 4 – _ √ 2  – √ 2   _ + √ = 2√ 2  + 2 – 4 – 2√ 2    = –2  _

(2)

–5√_  3    _______      2√ 12 

Antwoord: _

–5√_  3    _______      2√ 12   _ –5  3   = ________   _√ _    2√ 3 √    4   –5 _ =  2 . 2    

(2)

[10]

=_  –5    4

= –1_  14   12

(2)

4.4

Leertjiemetode

4.5

Vraag 5

Skryf 1 000 as die produk van priemfaktore. Antwoord: 2 1 000 1 000 = 2 . 2 . 2 . 5 . 5 . 5 2 500 3 3 = 2 5  2 250 5 5

125 25 5 1

Watter getal is groter? __  13    of __  1 𝑥  indien 3  𝑥  𝑥 = 100? Gebruik ’n sakrekenaar indien nodig. Antwoord: __  13    𝑥  = __   1  3   100  1 _ =  1000000     

(2) 5.2

__  1 𝑥  3  = __  31 100     1 = _______________          5,15377...×10  47

Die grootste getal het dus die kleinste noemer, en dit is: 1  __    as 𝑥 = 100  3 𝑥 

5.1

Tema 2: Eksponente Vereenvoudig die volgende sonder om ’n sakrekenaar te gebruik. Verwerk alle grondtalle na priemgetalle met positiewe eksponente. Toon aan hoe jy eksponentwette gebruik. (2k3m 2)(–3k5m) Antwoord: (2k3m 2)(–3k5m) = –6k3+5 m2+1 = –6k8m3  5

______

√   a 100 b 50      Antwoord:

√   a 100 b 50     

= a 100 ÷ 5b 50 ÷ 5 5.3

(2)

[10]

= a 20b 10 

17a44. a22 172

Onthou: die antwoorde moet as Antwoord: eksponente geskryf word. 17a44. a22 172 = 171 + 2 a44 + 22 =173a66 

©Optimi

(1)

G09 – Wiskunde

G09 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 5.4

2 4 6 _______     a–1  b –3c    a  b  c 7

5.9

Antwoord:

2 4 6 _______  a  b  c      a –1b –3c 7

= a2 – –1 b4 – –3 c6 – 7 = a 2 + 1 b 4 + 3 c6 – 7 = a3 b7 c –1

5.5

5.6

5.7

5.8

3 7 = ___  a   b     

Skryf –2

–200

Antwoord: –2–200 1 = –  __       2 200

2 . 23 Antwoord: 2 . 23 = 2.1 23 = 21 + 3 = 24 

2𝑥 . 4 Antwoord: 2𝑥 . 4 = 2𝑥 . 2.2 = 2𝑥+2 

4𝑥+1 Antwoord: 4𝑥+1 = (22)𝑥 + 1 = 22𝑥 + 2 

–(22 33 55)– 2 Antwoord: –(22 33 55)– 2 = –2–4 3–6 5–10 = – ______   4 16  10   2  3  5 

met positiewe eksponente.

5.10

(1)

__________________________________

√    2.3.5.3.5.2.3.2.5.3.2.3.2.5.6.9   Antwoord:

√    2.3.5.3.5.2.3.2.5.3.2.3.2.5.6.9

_______

=√    2  53  55  46.9 

(1) Onthou: 2 = 21 x = x1

_______

=√    2  53  55  42.3.3.3   

_______

=√    2 63 85 4   = 233452 

(1)

[10]

1ste trekking

2de trekking

2 _     5

3 _     5

2 _     5

Sak met 5 balle in

2 _     5

©Optimi

3 _     5

2 _     5

3 _     5

2 _     5

RRR

RRB

TEMA 1: GETALLESTELSELS.................................................................................. 30 Aktiwiteit 1: Opsomming van vorige werk................................................... 30 Aktiwiteit 2: Eendimensionele grafieke......................................................... 31 Aktiwiteit 3: Rasionale en irrasionale getalle............................................. 35 Aktiwiteit 4: Reële en niereële getalle............................................................ 40 Aktiwiteit 5: Verskillende soorte breuke....................................................... 41 Aktiwiteit 6: Plaas getalle tussen ander......................................................... 45 Aktiwiteit 7: Oefeninge......................................................................................... 46 Bibliografie................................................................................................................. 48

3 _     5

INHOUDSOPGAWE

3de trekking

3 _     5

RBR

RBB

BRR

Dus is die waarskynlikheid om BBB te trek: 27

3 3 _ 3 _  5 . _  5 .  5 

=_      × 100 125 = 21,6%



BRB

BBB

BBR

y y

Natuurlike getalle Telgetalle

y y

Heelgetalle Rasionale getalle

y y

Irrasionale getalle Reële getalle

Niereële getalle

G09 – Wiskunde

G09 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids

1.2*

Tema 1: Getallestelsels Aktiwiteit 1: Opsomming van vorige werk

R' = niereële getalle = {getalle wat nie bestaan nie}

√ 9 

√   –8   _

√ –8   π

0,3 ̇ _  –1    5

4,713 _

√ 17 

Bepaal die getalle in die onderstaande tabel. Z



 



 



–7 _ _  15  ;  –15     ; _  15   ; _   7    7 15 7 –49 _ 225 _ =  _   ;  –225  ;  _   ;   49    150 105 105 105 –7 _ =_  –15    ;  _  ;   7   ; _  15   7 15 15 7

Reële getalle Q Z N0 N

Rasionale getalle

Irrasionale getalle

a _      b

Noemer

Voorbeeld: alle heelgetalle tussen –5 en 2. 1. Gewone notasie = –5 < 𝑥 < 2 2. Tabelnotasie = {–4; –3; –2; -1; 0; 1} 3. Keurdernotasie = {𝑥 / –5 < 𝑥 < 2, 𝑥 ∈ Z} 4. Intervalnotasie = slegs vir reële getalle 5. Grafieknotasie =

R = reële getalle = {rasionale getalle + irrasionale getalle}

Alternatief:

Verskillende skryfwyses

word nie}

–7 _ _  15  ;  –15     ; _  15   ; _   7    7 15 7 –7 7 =  _  ; –2_  17 ; 2_  17 ; _  15     15

Teller

heelgetal Q = rasionale getalle = {alle getalle wat as ___________  nienul heelgetal     geskryf   kan word} heelgetal Q' = irrasionale getalle {alle getalle wat nie as ___________  nienul heelgetal     geskryf   kan

Antwoord:

Rangskik die volgende van klein na groot.

Antwoord –7 _ _  –15    ;  _  ;   7   ; _  15   7 15 15 7

N = natuurlike getalle = {1; 2; 3; 4; 5; ...} N0 = telgetalle = {0; 1; 2; 3; 4; ...} Z = heelgetalle = {... -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}

1.1**

Tema 1: Getallestelsels

–5 < 𝑥 < 2

Onthou: –5 en 2 moenie ingesluit wees nie.

Let wel: ’n Ronde hakie = uitgesluit ’n Vierkantige hakie = ingesluit In dié voorbeeld noteer elke skryfwyse dieselfde heelgetalle.

1.3**

Afrikaans

Reële getalle 1.3.1 vanaf –4 tot 10

1.3.2

Aktiwiteit 2: Eendimensionele grafieke

Voltooi die volgende tabel vir die verskillende skryfwyses van groepe getalle.

Rasionale getalle tussen 0 en 4

Gewone notasie

–4 ≤ 𝑥 ≤ 10

𝑥∈R

0<𝑥<4𝑥

∈Q

Heelgetalle –6 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑥 1.3.3 vanaf –6 tot ∈Z en met 1

Reële getalle 1.3.4 kleiner as 4 en groter en gelyk aan 8 Natuurlike 1.3.5 getalle kleiner as 8

4<𝑥≤8𝑥

∈R

1≤𝑥<8𝑥

∈N

Tabelnotasie

Onmoontlik Onmoontlik {–6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1}

Onmoontlik {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

Keurdernotasie

{𝑥 / –4 ≤ 𝑥

≤ 10 𝑥 ∈ R} {𝑥 / 0 < 𝑥 < 4 𝑥 ∈ Q}

{𝑥 / –6 ≤ 𝑥

≤ 1 𝑥 ∈ Z}

{𝑥 / 4 < 𝑥 ≤ 8 𝑥 ∈ R}

{𝑥 / 1 ≤ 𝑥 < 8 𝑥 ∈ N}

Stel die volgende op ’n grafiek voor. Gee die antwoord in intervalnotasie (gebruik die voorbeeld as riglyn).

Intervalnotasie

2.1**

𝑥 ∈ [−4; 10]

–3 ≤ 𝑥 < 4, 𝑥 ∈ R Antwoord:

n.v.t. 2.2**

n.v.t.

3 < 𝑥 ≤ 8, 𝑥 ∈ R Antwoord:

𝑥 ∈ (4; 8] n.v.t.

2.3**

–1 < 𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ Z Antwoord:

Getallelyn R

–3 ≤ 𝑥 < 4 , 𝑥 ∈ R Getallelyn R

3 < 𝑥 ≤ 8, 𝑥 ∈ R Getallelyn R

–1 < 𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ Z

©Optimi

G09 – Wiskunde

Tema 1: Getallestelsels

G09 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2.4**

𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ N0 Antwoord:

Voorbeeld 2 Stel die volgende op ’n grafiek voor. Gee die antwoord in intervalnotasie. –2 < 𝑥 ≤ 1 en 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑥 ∈ R

Getallelyn R

–2 < 𝑥 ≤ 1

𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ N0

0≤𝑥≤4

Voorbeeld 1 Stel die volgende op ’n grafiek voor. Gee die antwoord in intervalnotasie. –2 < 𝑥 ≤ 1 of 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑥 ∈ R

Antwoord: 𝑥 ∈ [0; 1]

“en” beteken “snyding”.

Getallelyn R

–2 < 𝑥 ≤ 1

Let op die verskil tussen “of” en “en” in die twee voorbeelde.

0≤𝑥≤4

Antwoord: 𝑥 ∈ (–2 ; 4], 𝑥 ∈ R “of” beteken “vereniging”.

Stel die volgende op ’n grafiek voor. Gee die antwoord in intervalnotasie. 2.5**

–3 ≤ 𝑥 < 4 of 4 ≤ 𝑥 < 6, 𝑥 ∈ R Antwoord:

2.7**

–1 < 𝑥 < 5 en 4 ≤ 𝑥 ≤ 7, 𝑥 ∈ R Antwoord:

Getallelyn R

−1 < 𝑥 < 5

−4 < 𝑥 < 7

–3 ≤ 𝑥 < 4

4≤𝑥<6

∴ 𝑥 ∈ [–3; 6) 𝑥 ∈ R 2.6**

–1 < 𝑥 < 5 of 4 ≤ 𝑥 ≤ 7, 𝑥 ∈ R Antwoord:

∴ 𝑥 ∈ [4; 5) 𝑥 ∈ R 2.8**

Albei saam.

Getallelyn R

0<𝑥≤3

4≤𝑥≤7

©Optimi

In albei.

𝑥 ≥ –2 en 0 < 𝑥 ≤ 3, 𝑥 ∈ R Antwoord:

–1 < 𝑥 < 5

∴ 𝑥 ∈ (–1; 7], 𝑥 ∈ R

Getallelyn R

∴ 𝑥 ∈ (0; 3] 𝑥 ∈ R

𝑥 ≥ –2

In albei.

Albei saam.

G09 – Wiskunde

G09 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2.9**

𝑥 ≥ –2 of 0 < 𝑥 ≤ 3, 𝑥∈ R Antwoord:

Getallelyn R

0<𝑥≤3 ∴ 𝑥 ∈ [–2; + ∞) 𝑥 ∈ R

Getallelyn R

3≤𝑥<5

∴ 𝑥 = 4, 𝑥 ∈ N 2.12***

Getallelyn R

−1≤ 𝑥 < 5

3 ≤ 𝑥 < 5 en 4 ≤ 𝑥 ≤ 8, 𝑥 ∈ N Antwoord:

𝑥 ≥ −2

Albei saam.

2.10*** –1 ≤ 𝑥 < 5 of 4 ≤ 𝑥 ≤ 6, 𝑥 ∈ Z Antwoord:

∴ 𝑥 ∈ [–1; 6] 𝑥 ∈ Z

2.11***

Tema 1: Getallestelsels

4≤𝑥≤8 In albei.

Kan die versameling irrasionale getalle op ’n grafiek voorgestel word? Onthou: nie-eindigende, nierepeterende breuke is irrasionale getalle.

Antwoord: Die versameling irrasionale getalle lyk presies soos die versameling rasionale getalle. Daar is geweldig baie van hierdie getalle en daarom kan ons ook ’n soliede lyn daarvoor trek.

4≤𝑥≤6

Getallelyn R

Albei saam.

∴ 𝑥 ∈ = (–∞; +∞) 𝑥 ∈ Q' 34

Aktiwiteit 3: Rasionale en irrasionale getalle

Onthou: Die punt (∙) tussen getalle beteken “vermenigvuldig”. Vermenigvuldiging (×) en deling (÷) word altyd voor optelling (+) en aftrekking (–) gedoen in die volgorde van bewerkings. Om breuke te verdeel, word die breuk ná die deelteken (÷) omgekeer en die deelteken word ’n vermenigvuldigingsteken (×).

Die optel, aftrek, vermenigvuldiging en deling van rasionale getalle kan mét of sonder ’n sakrekenaar bereken word. Leerders moet die vrae versigtig deurlees en bepaal of ’n sakrekenaar gebruik mag word of nie. Indien ’n sakrekenaar nie gebruik mag word nie, moet leerders die stappe toon wat hulle geneem het om die antwoord te bepaal. Met ’n sakrekenaar: alle punte vir die antwoord.

Breuke

Bereken die volgende sonder ’n sakrekenaar. 3.1**

Sonder ’n sakrekenaar: alle punte vir die stappe.

3.2**

2_  14 − 1_  12 . _  13 ÷ 4_    3 =_  94 − _  38  =_  18 – 3       8 =_  15    8 =1_  78 

3 .  _   4

1 _ =  _  –  3  4 8 –1 =  _    8

_  14 ÷ _  38 

Antwoord: _  14 ÷ _  38  1 _ =  _  ×  8  4 3

3.3**

Voorbeeld 2 Bereken met ’n sakrekenaar.

2 =  _   3

8  38 –  _  ) 3 (_ 3 Antwoord: 8  38 –  _  ) 3 (_ 3 8 =_  98 –  _   1

Antwoord: 2 – 3 =  _      8

Voorbeeld 1 Bereken sonder ’n sakrekenaar. =_  94 −

3 _  14 –  _   8

Keer die tweede breuk om.

Die 3 word distributief vermenigvuldig.

=_  9 – 64       8 =_  –55     8

= –6_  78 

G09 – Wiskunde

G09 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 3.4**

3.5**

3 _ 3_  13 +  _  –  1  8 2 Antwoord:

3.7*

1 3_  13 + _  38 –  _   2

38 _ 27 =  _   .  13 ∙  _   9 18 13

3 _ =_  10   +  _  –  1  3 8 2 = ___________  80 + 9 – 12       24 77 =_  24  5 = 3_  24    

19 =  _    3

1 = 6  _   3

Sonder ’n sakrekenaar: 5 1 4_  29 ÷ 1_  13    ∙ 2_  13    

7 _ 1  _  .  3 –  _    + 3 9 8 12

27 =_  38   . _  13 ∙  _   9 18 13

Antwoord:

3 _ _  79 .  _  –   1   + 3 8 12 21 _ =  _  –   1   + 3 72 12 = ___________  21 – 6 + 216       72 231 =  _    72 15 _ = 3  72  5 = 3  _     24

=_  19    3 3.8***

Bereken die volgende met ’n sakrekenaar. (Moenie die som na desimale getalle verander nie. Gebruik die _  𝑥  y  -knoppie op jou wetenskaplike sakrekenaar.) 3.6*

2_  37 – 5_  23  Antwoord:

=2_  37 – 5_  23  17 _ =  _   –  17    7 3 –68    =  _ 21 5 _ = –3 21    

5 1 4_  29 ÷ 1_  13    ∙ 2_  13     Antwoord: 5 1 4_  29 ÷ 1_  13    ∙ 2_  13    

=6_  13 

1 (23 _  – 100_  13 ) . _  78  4 Antwoord: 1 (23 _  – 100_  13 ) . _  78  4 301 7 =( _  93   –  _     ∙  _   4 3 ) 8

7 =_  –925    ∙  _   12 8

=_  –6475       96 43 = –67 _   96

Eers ’n onegte breuk en dan een breuk.

Tema 1: Getallestelsels

3.9***

64 _ 23 13 _  69  ÷  12 ∙  _   + 1_  18 +  _   8 24

Irrasionale getalle is soos onbekendes, byvoorbeeld:

Antwoord:

23 _  64  ÷ _  1 ∙  _   + 1_  18 + _  13   69 2 8 24 64 23 9 13 2 =_  69 ∙  _  ∙  _  +  _  + _     1 8 8 24 168 =_   24 

_ _

√ 2 

Vereenvoudig die volgende irrasionale getalle. 3.11*

 3  + 6√ 3  – 8√ 3   √ Antwoord: √ 3  + 6√ 3  – 8√ 3   _

= 7√ 3  – 8√ 3   _

3.12*

©Optimi

3√_ 2   3√  2  ÷ √ 2  =  _____   = 3

64 _ 23 _  69  ÷  12 ∙  _   + 1_  18 + _  13   8 24 9 _ 2 _ =_  64  ∙  _  ∙  23  +  _  +  13  69 1 8 8 24 8 × 8 _ =_  3 × 23     ∙  2 × 23      + _  98 + _  13   8 24 9 _ =_  8 × 2     +  _  +  13  3 8 24 =___________  128 + 27 + 13       24 =_  168    24

3 _ 3 _  43 + 4(_  34 .  _  ÷  3 –  _   4 4 4) 4 _ =  _34 + 4(_  34 .  _  34 ∙  _  –  3  3 4) 3 =  _34 + 4(_  34 –  _   4) =  _34 + 4(0) =  _34 

3√  2  ∙ √ 2  = 3,2=_ 6

Sonder ’n sakrekenaar

Antwoord:

3√  2  – √ 2  = 2√  2 

3 _ 3 3.10*** _  43 + 4(_  34 .  _  ÷  3 –  _   4 4 4)

3√  2  + √ 2  = 4√  2 

= – √ 3   _

2√ 2  . √ 2   1 Antwoord:

=𝑥

= 12 . 2

3.13**

= 24

=√    𝑥  2 

= 12(√ 4  )

Die hakies kry voorkeur. Die volgorde van bewerkings moet binne die hakies toegepas word.

Onthou:

√ 𝑥 √ 𝑥 

12√ 2  . √ 2   _

√ 2  2  ∙ √ 2  ∙ √ 2  ∙ √ 2   Antwoord:

√ 2  2  __∙____∙___ ∙ √ 2  ∙ √ 2  ∙ √ 2    . 2∙2 . 2  = 2√ 2   _   = 2√  16   =2∙4 =8

G09 – Wiskunde

Tema 1: Getallestelsels

G09 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 3.14**

Antwoord:

12  5   2√ _ 3   √ 2   _____   √_  . _____     .  _____     6√ 3   8√ 5   2 _

2  3   _____ √_ 5   _____ _____ =  6 × 2    .   √  _   .  √ 2      6√ 3   4 × 2√ 5   2 _

3.15**

3.16**

Bestudeer die voorbeeld en gebruik die tegniek om die somme wat volg te beantwoord.

 2   √ =  _____     4

_ 3.18*** √ _ 18  + 4√ 2    Antwoord: _

= √ 3 × 3 × 2   + 4√ 2   _ _

= 7√  2 

__________   _4√_ 2   _   ÷ _______   _2  _    3  √ 2  √ 2   √ 2  √ 3   √

3.17**

_ _

= 3√ 3  + 6√ 3   _

= 9√ 3 

3.20*** √ 48  – √ 75   Antwoord:

= √ 9 × 3   + 6√ 3 

= 7 ∙ √ 7  + 5∙ √ 7   = 12√ 7 

√ 27  + √ 36,3 

√ 7  ∙ √ 49  + √ 25  ∙ √ 7   =√  7  . 7 + 5∙ √ 7 

3.19*** √ 27  + √ 36,3   Antwoord:

√ 7  √ 49  + √ 25  √ 7   Antwoord:

= 3√ 2  + 4√ 2 

Antwoord: _

= √ 3 × 3   √  2  + 4√ 2 

__________   _4√_ 2   _   ÷ _______   _2  _    3  √ 2  √ 2   √ 2  √ 3   √

√ 18  + 4√ 2 

Kanselleer uit.

= √ 48  – √ 75   _ _

= √ 16 √    3  – √ 25  √ 3 

√ 4  + 3√ 8  √ 8   Antwoord: _ _ _ √ 4  + 3√ _ 8  √ 8   = 2 + 3√ 64   =2+3×8 = 26

= 4√ 3  – 5√ 3   _

= –√ 3 

Voorbeeld: Onthou die volgende: _

√ 𝑥 . y  = √ 𝑥 ∙ √ y   _

∴ √ 12  = √ 4  ∙ √ 3   _ = 2√ 3 

Kies vierkantsgetalle sodat die wortel gevind kan word.

3.21*** ( √  19)   2 √ 2  – √ 50   Antwoord: _ _ _ (√  19)   2 √ 2  – √ 50   _

= 19√ 2  – 5√ 2   _

= 14√ 2   _

= 3 ∙ 6 + 13

= –8√ 2   _

= 31

Rangskik die volgende rasionale getalle van klein na groot. (Wys die stappe wat jy volg om die antwoord te kry, net ’n antwoord self is nie genoeg nie.)

3.26*

∴ _1    = _  20  en _1    = _  30  en _1    = _  15  en _1    = _  12 

= √ 36 × 3  – 11√ 3   _

= 6√ 3  – 11√ 3   _

= –5√ 3 

3.27**

3.24*** √  25 – 16   ∙ √ 4  ∙ √ 9   Antwoord: √  25 – 16   ∙ √ 4  ∙ √ 9   _

=√  9  ∙ √ 4  ∙ √ 9   =3∙2∙3

3 60 2 60 4 60 5 60 15 _ 20 _ 30 12 _ _ =    ;    ;    ;     (van klein na groot) 60 60 60 60 1 _1 _1 _1 _ =   ;     ;     ;        5 4 3 2

1 _ {–  _  ;  1 ; – _  1 ; _  1 } 3 2 4 5 Antwoord: Vind die kleinste gemene veelvoud.

KGV = 60

–1 _ –1 _ ∴_     =   –20   en _1    = _  30  en _     =   –15   en _1    = _  12  3 2 60 4 60  60 5 60 –20 –15 30 12 _ _ _ _ =     ;    ;    ;     (van klein na groot) 60 60 60 60 –1 _ _ =    ;    –1    ;    _1  ;   _1     3 4 5 2

= 18 ©Optimi

1 _ { _  ;  1 ; _  1 ; _  1 } 3 2 4 5 Antwoord: Vind die kleinste gemene veelvoud.

KGV = 60

3.23*** √  108  – √ 121  √ 3   Antwoord: _ _ _  108  – √ 121  √ 3   √ _

= 18 + 13

= 2,2√ 2  – 3,4√ 2   _

____________

= 3 ∙ √ 36  + √  169 

= 4√ 2  – 12√ 2 

____________

3√  100 – 64   +√  114 + 25  

3.22*** 2√ 8  – 3√ 32   Antwoord: _ _ 2√ 8  _ – 3√ 32   _ = 2√ 4 , 2   – 3√ 16 , 2   _

____________

Antwoord:

= 19√ 2  – √ 25  √ 2   _

____________

3.25*** 3√  100 – 64   +√  114 + 25  

G09 – Wiskunde

Tema 1: Getallestelsels

G09 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 3.28**

1 _ { _  ; –  1 ; – _  1 ; _  1 } 3 2 4 5 Antwoord: Vind die kleinste gemene veelvoud.

KGV = 60

4.2**

–1 _ –1 _ ∴ _1    = _  20  en _     =   –30   en _     =   –15   en _1    = _  12  3

=_  –30  ; _  –15  ; _  12 ; _  20 (van klein na groot)  60

3.29**

60 60 60

–1 _ =_    ;    –1    ;    _1  ;   _1 

2 4 5 3

 16   ; – _  17   ; _  18  ; 4} {–4; – _ 5 5 4 Antwoord: Vind die kleinste gemene veelvoud.

4.3**

KGV = 5

–20 _ 20 –17_ ∴_     ;    –16    ; _     ;   18     ;   _    5

5 5 5 5 –20_ –16 _ 20 –17_ _ =     ;       ;        ; 18     ;   _   (van klein na groot) 5 5 5 5 5 18 –16 –17 = –4; _     ;   _      ; _     ;  4 5 5 5

4.4**

Aktiwiteit 4: Reële en niereële getalle y y y

Reële getalle bestaan uit alle rasionale en irrasionale getalle saam. Niereële getalle is getalle_ wat nie bestaan nie.   _   _   ’n Voorbeeld hiervan is √    – getal , bv. √    –2  ; √    –6  

4.1**

Watter versameling getalle bestaan uit al die telgetalle en al die heelgetalle tesame? d.w.s. {telgetalle} ⋃ {heelgetalle} Antwoord: Die versameling heelgetalle = Z

Watter versameling getalle is die grootste: telgetalle of rasionale getalle? Antwoord: Daar is nie ’n regte of verkeerde antwoord vir hierdie vraag nie. Die doel is om die leerder se kennis van getalle en hulle vermoë om te redeneer en debatteer te toets.

Telgetalle bestaan slegs uit alle positiewe heelgetalle van nul tot oneindigheid. Rasionele getalle bestaan uit alle positiewe én negatiewe heelgetalle, breuke, repeterende desimale en eindige desimale. Daarom kan 'n mens sê dat daar meer rasionele getalle as heelgetalle is. Watter versameling word verkry indien rasionale getalle en irrasionale getalle saamgevoeg word? m.a.w. {rasionale getalle} ⋃ {irrasionale getalle} Antwoord: Die versameling reële getalle. Die reële getalversameling is al die getalle wat bestaan. Watter van die volgende is niereële getalle? _ _ 3 _ 3 _ 4 _ 4 _  4 ;  √  –8  ; √   8 ;  √   –8  ; √   1 ;  √   –1   √ Antwoord: Die wat nié antwoorde het nie, is niereël. Kyk uit vir irrasionale getalle wat ’n geskatte waarde het. Toets elkeen met jou sakrekenaar – indien jy ’n error kry, is die getal niereël. _

√ 4 ;  √  –8  ; √   8 ;  √   –8  ; √   1 ;  √   –1   _

= 2; √  –8  ; 2; –2; 1; √   –1  _  4 _ ∴ niereële getalle: {√ –8  ; √   –1  } 40