Gr 11-Wiskunde-Handleiding 1/2 by Impaq

Graad 11 • Handleiding 1/2

Wiskunde

Besit en gepubliseer deur Optimi, deel van Optimi Central Services (Edms) Bpk. Impalalaan 7, Doringkloof, Centurion, 0157 info@optimi.co.za www.optimi.co.za

Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder die Wet op Outeursreg, mag geen gedeelte van hierdie boek in enige vorm of op enige manier elektronies of meganies, insluitend fotokopiëring, bandopname, of enige inligtingstoring-en-herwinningstelsel, gereproduseer of versend word sonder die uitgewer se skriftelike toestemming nie.

Die uitgewer dra geen verantwoordelikheid vir die voortbestaan of akkuraatheid van URL’e van eksterne webwerwe of webwerwe van derde partye waarna daar in hierdie publikasie verwys word nie, en waarborg nie dat enige inhoud op sulke webwerwe akkuraat of toepaslik is, of sal bly nie.

Daar is gevalle waar ons nie die kopiereghouer kon kontak of opspoor nie. Die uitgewer is bereid om enige foute of weglatings so gou as moontlik reg te stel indien die saak onder ons aandag gebring word.

Reg.nr.: 2011/011959/07

Wiskunde

Handleiding 1/2 – Graad 11

2411-A-MAM-SG01

Aangepas vir KABV

Prof. C Vermeulen, Hoofouteur P de Swardt H Otto

M Sherman E van Heerden

INHOUDSOPGAWE

1.1

Oefening 5.2.2: Eienskappe van die hiperboliese funksie ........................ 129

5.2.3 Teken sketsgrafieke van hiperbole............................................................ 129

Oefening 5.2.3: Teken sketsgrafieke van hiperbole .................................. 130

5.2.4 Bepaal die vergelyking van ’n hiperbool .................................................. 130

Oefening 5.2.4: Bepaal die vergelyking van ’n hiperbool ........................ 131

5.2.5 Gemiddelde gradiënt van ’n kromme ....................................................... 132

Selfevaluering ................................................................................................... 132

5.3 Eksponensiële

5.3.1

5.3.2 Eienskappe van die eksponensiële funksie

6.2.2 Die effek van die parameter k op die grafieke van die funksies gedefinieer deur: y = sin kx, y

6.2.3 Die effek van die parameter p op die grafieke van: y

6.4 Bepaal die vergelykings

5.3.3

5.3.4

6.5.3 Vereenvoudig trigonometriese uitdrukkings met behulp van hierdie identiteite

Oefening 6.5.1: Vereenvoudig trigonometriese uitdrukkings met behulp van hierdie identiteite

Oefening 6.5.2: Bewys identiteite en bepaal die waardes van die veranderlike waarvoor die identiteit nie gedefinieer is nie ....................... 184

6.6 Reduksieformules .................................................................................. 184

6.6.1 Skryf die trigonometriese verhouding van enige hoek as ’n trigonometriese verhouding van ’n skerphoek ..................................... 185

Oefening 6.6.1: Gebruik reduksieformules om uitdrukkings te vereenvoudig ............................................................................................. 191

6.6.2 Pas reduksieformules toe om met spesiale hoeke te werk sonder om ’n sakrekenaar te gebruik .......................................................................... 192

Oefening 6.6.2: Gebruik reduksieformules om die waardes van trigonometriese verhoudings van spesiale hoeke te bepaal sonder om ’n sakrekenaar te gebruik .............................................................................. 193

Selfevaluering ................................................................................................... 194

6.7 Trigonometriese vergelykings ............................................................... 194

6.7.1 Vergelykings van die soort waar ’n trigonometriese verhouding van ’n hoek gelyk is aan ’n getal .................................................................................. 196

Oefening 6.7.1: Los trigonometriese vergelykings op van die soort waar ’n trigonometriese verhouding van ’n hoek gelyk is aan ’n getal ............. 199

6.7.2 Vergelykings van die soort waar die sin- en cos-verhouding van ’n hoek verander word na die tan-verhouding van die hoek ..................... 199

Oefening 6.7.2: Los trigonometriese vergelykings op waar die sin- en cos-verhouding van ’n hoek verander word na die tan-verhouding van die hoek..................................................................................................... 201

6.7.3 Vergelykings van die soort waar faktorisering nodig is............................ 201

Oefening 6.7.3: Los trigonometriese vergelykings op waar faktorisering nodig is ..................................................................................................... 202

6.7.4 Vergelykings van die soort waar die trigonometriese verhouding van ’n hoek gelyk is aan dieselfde trigonometriese verhouding van ’n ander hoek ............................................................................................ 202

6.7.5 Gebruik van die ko-verhouding wanneer die trigonometriese verhoudings ko-verhoudings is ................................................................. 203

Oefening 6.7.4: Los trigonometriese vergelykings op waar die trigonometriese verhouding van ’n hoek gelyk is aan dieselfde trigonometriese verhouding van ’n ander hoek, of ’n ko-verhouding ...... 204

Selfevaluering ................................................................................................... 204

Sample

Opsomming van tema ...................................................................................... 205

Oefening om die tema af te sluit ............................................................... 207

VOORWOORD

1 (11 weke)

2 (11 weke)

3 1. Eksponente en wortelvorme Ondersoek of projek

3 2. Vergelykings en ongelykhede

2 3. Getalpatrone

3 4. Analitiese meetkunde Toets

4 5. Funksies

4 6. Trigonometrie: Funksies, vergelykings en identiteite

3 Eksamen

Oefenvraestelle verskyn in die handleiding.

Werkopdrag of toets

Junie-eksamen

1 7. Meting Toets

3 8. Euklidiese meetkunde

3 (10 weke)

4 (9 weke)

2 9. Trigonometrie: Probleme in twee dimensies

2 10. Waarskynlikheid Toets

2 11. Finansies, groei en verval

3 12. Statistiek

3 Hersiening

3 Eksamen

Oefenvraestelle verskyn in die handleiding. Eindjaareksamen

Sample

* Jy sal die nuutste en volledigste inligting oor assessering in die portefeuljeboek en assesseringsplan vind.

Optimi se graad 11-wiskundeproduk bestaan uit twee handleidings en twee fasiliteerdersgidse wat op die konsepte van Optimi se GuidED Learning™leermodel gebaseer is om jou te help om suksesvol te wees in jou studie van wiskunde. Dit dek al die werk vir graad 11-wiskunde en is in ooreenstemming met die KABV-riglyne soos opgestel deur die Departement van Basiese Onderwys vereis word.

Die handleidings word aanlyn deur aanvullende lesstrukture op die Optimi Learning Platform (OLP) ondersteun. Dit bied deurlopende begeleiding om jou leerproses te ondersteun en te verryk. Hierdie begeleiding is gebaseer op die jongste insigte in opvoedkunde, kognitiewe sielkunde en neurowetenskap. Let daarop dat die handleidings wel onafhanklik van die OLP gebruik kan word.

Hier onder verduidelik ons hoe die handleiding en fasiliteerdersgids saamgestel is en hoe jy dit kan gebruik om sukses in wiskunde te behaal. Die handleidings en fasiliteerdersgidse is in 12 temas verdeel.

Die temas stem inhoudelik en tydsgewys ooreen met die KABV-riglyne en verteenwoordig die jaarplan. Handleiding 1/2 en fasiliteerdergids 1/2 dek tema 1 tot 6 (kwartaal 1 en 2) en handleiding 2/2 en fasiliteerdergids 2/2 dek tema 7 tot 12 (kwartaal 3 en 4).

Tydsindeling

Volgens die KABV-voorskrifte behoort daar minstens 4,5 uur per week aan wiskundeonderrig bestee te word. Daar sal byvoorbeeld 13,5 uur (drie weke × 4,5 uur per week) aan die onderrig van Tema 1 (algebraïese uitdrukkings) bestee word. Temas word nie onderverdeel in lesse nie; dit staan jou en jou fasiliteerder vry om soveel inhoud per sessie en per week af te handel as wat jou vordering toelaat. As jy stadiger werk, moet die nodige aanpassings gedoen word sodat jy nog steeds al die werk betyds kan bemeester.

Wenk: Gebruik die voorgestelde tydsindeling saam met jou vordering om jou lesse te beplan.

Let op dat die onderrigtyd waarna ons hier bo verwys, nie die tyd insluit waartydens jy die kennis en begrippe wat jy geleer het, moet toepas en inoefen nie. Vir hierdie doel is daar verskeie oefeninge deur elke tema versprei. Hierdie oefeninge behels verskillende maniere om nuwe kennis toe te pas en in te oefen en dek verskillende moeilikheidsgrade. Jy moet probeer om al hierdie oefeninge te doen. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgids gegee.

Die leeraktiwiteite wat as deel van die OLP se lesstrukture beskikbaar is, behels verskillende formate en vlakke van interaksie. Die hulpbronne ondersteun nie net die leerproses nie, maar bied jou ook die geleentheid om nuwe kennis in te oefen.

Wenk: Hoe meer oefeninge jy doen, hoe groter is die kans dat jy sukses gaan behaal in wiskunde.

Struktuur van temas

Leer is ’n ingewikkelde proses. Miljoene breinselle en senuweebane in ons brein werk saam om nuwe inligting in die langtermyngeheue te stoor sodat ons dit later kan onthou. Langtermyngeheue is nie ons enigste soort geheue nie en wanneer ons leer, is ons werkgeheue net so belangrik. Werkgeheue is anders as langtermyngeheue en het ’n beperkte kapasiteit. Dit beteken dat ’n mens se werkgeheue net ’n klein bietjie nuwe inligting op ’n slag kan hanteer.

Wanneer ’n mens wiskunde leer, is daar baie nuwe inligting wat jou brein moet verwerk en daarom kan dit maklik jou werkgeheue uitput. Hierdie handleidings is só geskryf en saamgestel dat dit nie die werkgeheue ooreis nie en dus die leer van wiskunde vergemaklik.

Elke tema het dieselfde struktuur om dit vir jou makliker te maak om daardeur te werk. Die struktuur is soos volg:

Inleiding

Dit sê kortliks vir jou waaroor die tema gaan sonder om detail te gee of “moeilike” of onbekende begrippe te gebruik. ’n Volledige lys van die leeruitkomste wat jy in ’n bepaalde tema moet bemeester, word as opsomming aan die einde van die tema gegee.

Voorafkennis

Hierdie afdeling sê vir jou watter bestaande kennis jy nodig het om die betrokke tema te bemeester.

Hersiening

Dit kan een van die volgende behels:

1. hersiening van die begrippe, definisies en prosedures wat as voorafkennis vereis word,

2. ’n oefening of aktiwiteit met oplossings sodat jy self jou voorafkennis kan toets, of

3. ’n kombinasie hiervan.

Moenie hierdie hersiening afskeep nie. Dit is belangrik om deeglik daardeur te werk. Wiskundige konsepte volg dikwels op mekaar en as basiese kennis ontbreek of nie goed genoeg bemeester word nie, sal dit die vorming van nuwe kennis bemoeilik.

Ná die inleidende deel van die tema word nuwe kennis in subtemas behandel.

Elke subtema het die volgende struktuur:

1.1 SUBTEMA

Inleiding

Nuwe begrippe en prosedures word verduidelik. Relevante voorafkennis word ook hier behandel indien nodig.

Uitgewerkte voorbeelde

Uitgewerkte voorbeelde wys jou hoe die nuwe begrippe en prosedures toegepas word en help jou om die begrippe en prosedures wat behandel is, beter te verstaan en toe te pas.

Oefeninge

Die oefeninge gee jou die geleentheid om die begrippe en prosedures wat behandel is, in te oefen. Dit is belangrik dat jy al die oefeninge probeer voltooi. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse verskaf.

Vrae vorder gewoonlik van maklik (om basiese begrippe en prosedures te bemeester en in te oefen) na moeilik (ingewikkelder bewerkings).

Gemengde oefeninge kan ook voorkom, waar jy die geleentheid kry om verskillende begrippe en prosedures in te oefen en met vorige temas te integreer.

Opsomming van tema

Hier sien jy ’n opsomming van wat jy in die tema moes bemeester het. Dit word in meer formele wiskundige taal uitgedruk om by die KABV (die kurrikulumverklaring) aan te sluit.

Oefening om die tema af te sluit

Sample

Dit is ’n gemengde oefening oor alle begrippe en prosedures wat in die tema behandel word, waar hierdie werk ook met vorige werk geïntegreer kan word. Die moeilikheidsgraad van hierdie oefening wissel. Dit is belangrik dat jy probeer om al die oefeninge te voltooi. Volledige oplossings verskyn in die fasiliteerdersgidse.

Gemengde oefeninge soos dié in hierdie handleiding is ’n baie belangrike komponent daarvan om wiskunde te bemeester. Daar is ’n groot verskil tussen die vermoë om jou werk te herken en om dit te herroep. Wanneer jy jou werk kan herken, sê jy dikwels “O, ja!” maar jy sukkel om dit te onthou wanneer jy eksamen skryf. Wanneer jy jou werk kan herroep, beteken dit dat jy daardie kennis in jou langtermyngeheue vasgelê het en dit kan onthou en gebruik. Gemengde oefeninge stel jou in staat om nie net die werk te herken nie, maar om dit ook uit jou langtermyngeheue te herroep.

Wanneer jy dieselfde soort som of probleem oor en oor oefen, raak jy dikwels lui en dink jy nie meer na oor die oefening nie. Jy is oortuig daarvan dat jy presies weet watter soort som of probleem jy moet oplos. Maar in ’n toets of eksamen is al hierdie somme deurmekaar, en dan is dit soms moeilik om te weet wat om te doen. Wanneer gemengde oefeninge deel vorm van jou leerproses, leer jy om ’n som of probleem reg te identifiseer én reg te voltooi. Dit beteken dat jy werklik voorbereid is vir toetse of eksamens, want jy kan die werk herroep en nie net herken nie.

Selfevaluering

In elke tema, en gewoonlik ná elke subtema, is daar ’n aktiwiteit waar jy krities moet nadink oor die mate waarin jy sekere begrippe en prosedures bemeester het.

Hierdie aktiwiteit verskyn in die volgende formaat:

Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die tabel wat volg, is:

1. Alarm! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie, ek het hulp nodig.

2. Help! Ek is nie gemaklik nie, maar ek het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.

3. OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.

4. Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp.

5. Partytjietyd! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs meer ingewikkelde vrae hieroor beantwoord.

Voltooi nou die volgende tabel.

Onderwerp 1 2 3 4 5

Die twee vraestelle aan die einde van die jaar word soos volg saamgestel:

Vraestel 1

Eksponente en wortelvorme, vergelykings en ongelykhede (Tema 1 en 2)

(Tema 3)

Finansies, groei en verval (Tema 11)

Vraestel 2

Wenk: Voltooi elke selfevaluering so eerlik as moontlik. As daar aspekte is wat jy nie onder die knie het nie, gaan kyk weer daarna en maak seker dat jy dit wel bemeester. Vra die fasiliteerder vir hulp. Dit is belangrik om nie na ’n volgende tema of subtema aan te beweeg voordat jy die betrokke onderwerp bemeester het nie, selfs al beteken dit dat jy meer tyd aan ’n sekere tema bestee as wat die KABV aanbeveel.

Assesseringsvereistes

Besoek Impaq se aanlyn platform vir die assesseringsplan en volledige inligting oor die samestelling en puntetelling van toetse, take en eksamens. Die hoeveelheid take, puntetelling en relatiewe gewig is onderhewig aan verandering.

Sample

Wenk: Maak seker dat jy weet watter temas in watter vraestel gedek word. Die samestelling van die eksamens is onderhewig aan verandering. Verwys altyd na die portefeuljeboek en assessseringsplan vir die nuutste inligting oor diesamestelling van die eksamens.

Funksies en grafieke (Tema 5) 45 ± 3

Waarskynlikheid (Tema 10) 20 ± 3

Let op:

(Temas 6 en 9)

en euklidiese meetkunde (Temas 7 en 8)

• Geen grafiese of programmeerbare sakrekenaars word toegelaat nie (om byvoorbeeld te faktoriseer of die wortels van vergelykings te bepaal). Sakrekenaars moet net gebruik word om standaard- numeriese berekeninge te doen en om berekeninge wat met die hand gedoen is, te kontroleer.

• Formuleblaaie word nie in graad 11 tydens toetse en finale eksamens voorsien nie.

Aanvullende boeke

Enige ander boeke kan aanvullend tot hierdie handleidings gebruik word vir bykomende oefeninge en verduidelikings, insluitend:

• Maths 4 Africa, beskikbaar by www.maths4africa.co.za

• Die Siyavula-handboek, gratis aanlyn beskikbaar by www.siyavula.com

• Pythagoras, beskikbaar by www.fisichem.co.za.

Sakrekenaar

Die CASIO fx-82ES (Plus) of CASIO fx-82ZA word aanbeveel. Enige wetenskaplike, nie-programmeerbare en nie-grafiese sakrekenaar is egter geskik.

TEMA 1

EKSPONENTE EN WORTELVORME

Inleiding

In hierdie tema gaan jy meer leer oor:

1. die vereenvoudiging van eksponensiële uitdrukkings met eksponente waarin breuke voorkom

2. die oplos van vergelykings met eksponente waarin breuke voorkom

3. optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling van eenvoudige wortelvorme

4. hoe om die noemer van ’n breuk wat ’n wortelvorm bevat, te rasionaliseer.

Voorafkennis

Om hierdie tema te bemeester, behoort jy reeds:

• die eksponentwette en definisies te ken en toe te pas wanneer gekombineerde en saamgestelde grondtalle gegee is, waar x, y > 0 en m, n ∈ Z:

Die eksponentwette:

Die eksponentdefinisies:

• eenvoudige eksponensiële uitdrukkings te vereenvoudig deur eksponentwette te gebruik vir eksponente waarin breuke voorkom

• eksponensiële uitdrukkings te vereenvoudig deur middel van faktorisering

• vergelykings op te los met:

◦ onbekende in die grondtal (eenvoudige vergelykings met breuk-eksponente en faktorisering)

◦ onbekende in die eksponent (eksponensiële vergelykings).

Hersiening

Die definisie van ’n mag is soos volg: an Mag

Basis of grondtal

Eksponent

Hersiening: Uitgewerkte voorbeelde

Vereenvoudig die volgende uitdrukkings en skryf die antwoorde met positiewe eksponente. Jy mag nie ’n sakrekenaar gebruik nie.

Wys elke keer watter eksponentwet jy gebruik. Dit is jou bewys dat jy nie ’n sakrekenaar gebruik nie.

Aanvaar dat die waardes van alle veranderlikes groter as nul is.

ONTHOU 2 . 3 4 ≠ 6 4 ..... Let op dat die eksponent van 2 ’n 1 is. (2 . 3) 4 = 6 4 ..... Hier is die eksponent van 2 ook ’n 4. 1. 2 3 . 2 4

1. Vereenvoudig die volgende uitdrukkings en skryf die antwoorde met positiewe eksponente. Jy mag nie ’n sakrekenaar gebruik nie. Aanvaar dat die waardes van alle veranderlikes groter as nul is. Sample

2. Los die volgende vergelykings op:

Oplossings

Al die eksponente word bymekaargetel, want grondtalle is dieselfde

Hersieningsoefening

Onthou die dubbele aftrek word ’n plus

1.1 VEREENVOUDIGING VAN EKSPONENSIËLE

UITDRUKKINGS MET RASIONALE EKSPONENTE

Inleiding

In hierdie afdeling gaan ons aandag gee aan die vereenvoudiging van eksponensiële uitdrukkings met rasionale eksponente, en spesifiek ook magte met breukeksponente, bv. x 2 3 en 3

Let op die volgende definisie:

Uitgewerkte voorbeeld 1

Vereenvoudig sonder

Oplossing

• Hersieningsoefeninge om voorafkennis te toets.

• Deeglike verduidelikings van begrippe en tegnieke.

• Uitgewerkte voorbeelde help leerders om nuwe begrippe beter te verstaan.

• Gemengde oefeninge om teorie vas te lê en wiskundige vaardighede te oefen.

• Oefenvraestelle en memorandums vir eksamenvoorbereiding.

• Formuleblaaie en aanvaarde meetkundige redes vir vinnige verwysing.

• Indeks van wiskundige terme.

• Die fasiliteerdersgids bevat stap-vir-stap-bewerkings en antwoorde

• Gebruik in die klaskamer of tuis.

home classroom college workplace