Issuu

M tra

ue s ta

ta ui at gr tra ue s

COMPETENCIA MATEMÁTICA-N2

ta ui at gr

tra

COMPETENCIA MATEMÁTICA-N2

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

ue s

Depósito legal: VG 73-2015

Autora: Jéssica Contreras Martínez Formato: 21 x 29,7 cm

Páginas: 140

Impreso en España Ideaspropias Editorial ha incorporado en la elaboración de este material didáctico citas y referencias de obras divulgadas y ha cumplido todos los requisitos establecidos por la Ley de Propiedad Intelectual. Por los posibles errores y omisiones, se excusa previamente y está dispuesta a introducir las correcciones pertinentes en próximas ediciones y reimpresiones.

M tra

ue s ta

Índice

1.7. Porcentajes_______________________________ 035 1.7.1. Cálculo mental y escrito con porcentajes habituales___________ 035 1.7.2. Aumentos y disminuciones porcentuales________________________ 035 1.7.3. Identificación y utilización en situaciones de la vida cotidiana de magnitudes directamente proporcionales______________________ 036 1.7.4. Aplicación a la resolución de problemas en los que intervenga la proporcionalidad directa. Repartos directamente proporcionales______________________ 036 1.8. Utilización de la calculadora________________ 038 1.8.1. Instrucciones de manejo de la calculadora estándar___________ 038 1.8.2 Empleo de la calculadora como instrumento para resolver operaciones________________________ 038 RESUMEN_____________________________________ 039 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO__________ 040 SOLUCIONES__________________________________ 042

Utilización de los números para la resolución de problemas.__________________________________ 006 1.1. Introducción______________________________ 008 1.2. Sistema posicional de numeración decimal__ 008 1.2.1. Unidades, decenas y centenas________ 008 1.3 Números naturales________________________ 009 1.3.1. Representación y comparación de números naturales________________ 009 1.3.2 Operaciones básicas con números naturales___________________________ 009 1.4. Divisibilidad de números naturales__________ 014 1.4.1 Múltiplos y divisores de un número. Uso de los criterios de divisibilidad___ 014 1.4.2. Números primos. Números compuestos. Descomposición de números en factores primos_______ 016 1.4.3. Cálculo de múltiplos y divisores comunes a varios números___________ 017 1.4.4. Máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.): procedimientos de cálculo___________ 018 1.4.5. Aplicaciones de la divisibilidad y uso del m.c.d. y del m.c.m. en la resolución de problemas asociados a situaciones cotidianas____ 019 1.5. Números enteros__________________________ 021 1.5.1 Representación y comparación de números enteros__________________ 021 1.5.2. Aplicación de la regla de los signos en la multiplicación__________________ 022 1.5.3 Operaciones básicas con números enteros_____________________________ 022 1.5.4. Necesidad de los números negativos para expresar estados y cambios. Reconocimiento y conceptualización en contextos reales_________________ 023 1.5.5. Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones y de las reglas de uso de los paréntesis en cálculos sencillos____ 023 1.5.6. Utilización de la calculadora para operar con números enteros_____ 024 1.6. Fracciones y decimales en entornos cotidianos_______________________ 025 1.6.1. Decimales en entornos cotidianos. Operaciones con números decimales__________________________ 025 1.6.2 Significados y usos de las fracciones en la vida real_______________________ 029 1.6.3. Fracciones equivalentes. Simplificación y amplificación de fracciones; identificación y obtención de fracciones equivalentes________________________ 029 1.6.4. Reducción de fracciones a común denominador. Comparación de fracciones_______________________ 030 1.6.5. Operaciones con fracciones: suma, resta, producto y cociente______ 031 1.6.6. Relaciones entre fracciones y decimales_________________________ 032

Utilización de las medidas para la resolución de problemas.__________________________________ 044 2.1. Introducción______________________________ 046 2.2. Unidades monetarias______________________ 046 2.2.1. Identificación y comparación del euro y el dólar___________________ 046 2.2.2. Conversión de moneda______________ 047 2.3. El sistema métrico decimal_________________ 049 2.3.1. Medidas de longitud. El metro, múltiplos y submúltiplos_____________ 049 2.3.2. Medidas de superficie. El metro cuadrado___________________________ 050 2.3.3. Medidas de volumen. El metro cúbico______________________________ 051 RESUMEN_____________________________________ 055 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO__________ 056 SOLUCIONES__________________________________ 058

ue s

tra

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas.__________________________________ 060 3.1. Introducción______________________________ 062 3.2. Elementos básicos de la geometría del plano_________________________________ 062 3.2.1. Líneas, segmentos y ángulos__________ 062 3.2.2. Medida y operaciones con ángulos____ 065 3.3. Coordenadas cartesianas__________________ 071 3.3.1. Representación en ejes de coordenadas: abscisas y ordenadas________________________ 071 3.4. Polígonos_________________________________ 073 3.4.1. Propiedades y relaciones_____________ 073 3.4.2. Significado y cálculo de perímetros y áreas _____________________________ 077 3.5. La circunferencia y el círculo_______________ 079 3.5.1. Significado del número pi. Relación entre el diámetro y la longitud de la circunferencia______ 080

ue s

Aplicación del álgebra en la resolución de problemas 4.1. Introducción______________________________ 094 4.2. Lenguaje algebraico para representar y comunicar situaciones de la vida cotidiana: situaciones de cambio____________ 094 4.2.1. Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico___ 094 4.2.2. Empleo de letras para simbolizar cantidades o números desconocidos ___ 095 4.2.3. Utilización de los símbolos para representar relaciones numéricas_____ 096 4.2.4. Representación gráfica_______________ 096 4.2.5. Operaciones con expresiones algebraicas sencillas_________________ 098 4.3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita_________________________ 100 4.3.1. Significado de las ecuaciones_________ 100 4.3.2. Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado. Despejar la incógnita ________________ 101 RESUMEN_____________________________________ 105 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO__________ 106 SOLUCIONES__________________________________ 108

tra

5.5. Representación gráfica de los datos. Formas de representar la información: tipos de gráficos estadísticos (diagrama de barras, pictogramas, polígono de frecuencias y diagrama de sectores) _____ 119 5.6. Obtención y utilización de información para la realización de gráficos y tablas de datos relativos a objetos, fenómenos y situaciones del entorno__________________ 122 5.7. Medidas de centralización: media aritmética, moda, mediana y rango____ 124 5.8. Valoración de la importancia de analizar críticamente las informaciones que se presentan a través de gráficos estadísticos___ 129 5.9. Carácter aleatorio de algunas experiencias__ 129 5.10. Presencia del azar en la vida cotidiana. Estimación del grado de probabilidad de un suceso______________________________ 130 5.11. Formulación y comprobación a nivel intuitivo de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos _______________________ 131 RESUMEN_____________________________________ 133 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO__________ 134 SOLUCIONES__________________________________ 136

3.5.2. Cálculo de la longitud de la circunferencia__________________ 080 3.5.3. Cálculo del área del círculo__________ 080 3.6. Cuerpos geométricos: prismas y pirámides_______________________________ 082 3.6.1. Cálculo del área y volumen del prisma__________________________ 084 3.6.2. Cálculo del área y volumen de la pirámide______________________ 085 3.6.3. Comparación del volumen del prisma con la pirámide de igual base y altura________________ 085 3.7. Resolución de problemas geométricos que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes______ 086 3.8. Empleo de herramientas informáticas para construir y simular relaciones entre elementos geométricos_______________ 086 RESUMEN_____________________________________ 087 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO__________ 088 SOLUCIONES__________________________________ 090

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas.__________________________________ 110 5.1. Introducción______________________________ 112 5.2. Recogida de datos provenientes de diferentes fuentes de información en tablas de valores_______________________ 112 5.3. Técnicas elementales de recogida de datos (encuesta, observación y medición)_______________________________ 114 5.4. Tablas de doble entrada y tablas de frecuencia _____________________________ 115 5.4.1. Frecuencias absolutas y relativas de los datos ________________________ 117

ue s

tra

Utilización de los números para la resolución de problemas

1. Utilización de los números para la resolución de problemas 1.1. Introducción 1.2. Sistema posicional de numeración decimal 1.3. Números naturales 1.4. Divisibilidad de números naturales 1.5. Números enteros 1.6. Fracciones y decimales en entornos cotidianos 1.7. Porcentajes 1.8. Utilización de la calculadora

Contenidos

Resolver problemas de la vida cotidiana, realizando las 4 operaciones básicas con números enteros, naturales, decimales y fraccionarios, utilizando la forma de cálculo más apropiada (cálculo mental, cálculo aproximado, calculadora) y comprobando la coherencia y precisión de los resultados obtenidos.

Solucionar situaciones cotidianas relacionadas con el cálculo de porcentajes, aplicando las reglas básicas de proporcionalidad numérica, identificando la equivalencia entre porcentajes y fracciones y verificando el ajuste de la solución a la situación planteada.

Utilizar espontáneamente los elementos y razonamientos matemáticos para interpretar y producir información, para resolver problemas y para tomar decisiones sobre situaciones y hechos de la vida diaria.

Realizar cálculos en los que intervengan distintos tipos de números naturales y enteros, así como fraccionarios y decimales sencillos, utilizando las propiedades más importantes y aplicando con seguridad a una amplia variedad de contextos de la vida cotidiana el modo de cálculo más adecuado.

ue s

tra

Objetivos

Reflexión inicial Entender las bases de las matemáticas consiste en conocer los conjuntos de números existentes, la simbología utilizada y la interpretación de las reglas para operar con ellos. En esta unidad didáctica se explican estos conceptos al tiempo que se acompañan de ejemplos que ayuden a interiorizar el contenido.

Competencia matemática-N2

Introducción

1.1.

Los números surgen de la necesidad de contar y se utilizan diariamente para expresar una infinidad de situaciones, por ejemplo, la hora, la distancia entre 2 ciudades, el precio de un producto y muchas más que se estudiarán en esta unidad didáctica.

Además de servir para contar, los números también se utilizan para identificar, es el caso del DNI (Documento Nacional de Identidad), del número de una libreta bancaria o del pin de una tarjeta de crédito. También se pueden usar para ordenar, para lo que se recurre a los números ordinales: 1°, 2°, 3°, 4°, 20°, 21°, etc.

Así pues, aunque no se perciba, se vive rodeado de números. Por ello, en esta unidad didáctica se estudiarán sus propiedades y las operaciones básicas que sirven de ayuda en la resolución de problemas.

Sistema posicional de numeración decimal El sistema de numeración que se usa actualmente es decimal y posicional.

El número 246 está formado por 2 centenas, 4 decenas y 6 unidades. El 6, al ser el primer dígito por la derecha, corresponde a las unidades. Así, 246 = = 2 C + 4 D + 6 U = 200 U + 40 U + 6 U.

Es decimal porque se utilizan 10 dígitos o símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Cualquier número se obtiene como combinación de estos dígitos. Y es también posicional, porque el valor de los dígitos cambia según la posición en la que se encuentren. Así, el número 321 no tiene el mismo valor que el 123.

Unidades, decenas y centenas

Unidades

40 U

Se considera el 1 como la unidad. Por ejemplo, el 9 equivale a 9 unidades. Un número se puede descomponer en unidades, decenas y centenas. La primera cifra empezando por la derecha corresponde siempre a las unidades, la segunda a las decenas y la tercera a las centenas.

ue s

Decenas

tra

Dependiendo de la posición en la que se encuentre un dígito, se habla de unidades, decenas o centenas.

Centenas

200 U

Cuando se tienen 10 unidades, se agrupan formando 1 decena. Se puede expresar de la siguiente forma: 10 U = 1 D. Y cuando hay 10 decenas, se forma 1 centena, que a su vez equivale a 100 unidades. Por lo tanto, 100 U = 10 D = 1 C.

También se puede obtener un número a partir de su descomposición: 5 C + 6 D + + 3 U = 563. Otro ejemplo sería: 300 U + 50 U + 9 U = 359. Como el sistema de numeración decimal es posicional, el valor de cada cifra depende de su posición en el número. Así, en el número 404, el 4 de la izquierda se refiere a 4 centenas, es decir, 400 unidades; mientras que el 4 de la derecha significa 4 unidades. Al igual que con las decenas y las centenas, también se pueden formar unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar, unidades de millón, etc. Un millón de millones forman un billón.

008

1.2.

Ejemplo

Centenas de millar

Decenas de millar

Unidades de millar

Centenas

10 DM

10 UM

10 C

10 D

1 000 000 U

10 000 U

1000 U

100 U

Decenas

Unidades

10 U

1.2.1.

Utilización de los números para la resolución de problemas

1.3.

Números naturales Los números naturales son el conjunto formado por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8… Se usan para ordenar y contar.

En los siguientes apartados, se estudiará cómo realizar operaciones matemáticas con ellos.

Conjunto: grupo de objetos o cosas que pueden ser, por ejemplo, números, colores o personas.

Representación y comparación de números naturales

1.3.1.

El conjunto de los números naturales se indica con el símbolo N:

N = {1, 2, 3, 4, 5,…, 60, 61, 62,…, 2341, 2342,…}

Vocabulario

Los números naturales se pueden representar en una recta de la siguiente forma: 1

¿Sabías que...?

Los números naturales permiten clasificar los puestos en un podio.

Dados 2 números naturales, es mayor el que está situado más a la derecha en la recta y menor el que está situado más a la izquierda. Para comparar 2 números se usa el símbolo >, que significa mayor que. El número que está a su izquierda es mayor que el que está a la derecha. Por ejemplo, 2174 > 374.

tra

También se usa el símbolo <, que significa menor que, siendo el número que está a su izquierda menor que el que está a la derecha. Por ejemplo, 599 < 4673. Conviene fijarse en que la punta de la flecha señala siempre el número menor. Mayor > menor

ue s

Menor < mayor

Cuando los números tienen el mismo número de cifras, la comparación se hace de izquierda a derecha. Así, será mayor el que tenga la cifra más elevada empezando por la izquierda. Si dichas cifras son iguales, se pasará a comparar la segunda cifra por la izquierda y así sucesivamente. Por ejemplo, 428 < 436 o 8160 > 8101.

1.3.2. Operaciones básicas con números naturales Las operaciones básicas con números naturales son 4: la suma, la resta, la multiplicación y la división. En este apartado, se explicará cómo se realiza cada una de ellas.

Ejemplo Para calcular 234 + 562 los números deben colocarse de la siguiente forma:

La suma consiste en agrupar 2 o más números en uno y se considera la primera de las operaciones aritméticas elementales. Se expresa con el símbolo +, que se lee más. +

Para realizarla, se deben colocar los números uno debajo del otro, de manera que coincidan las unidades con las unidades, las decenas con las decenas, las centenas con centenas, etc.; y luego se suman de derecha a izquierda.

Sumando

Suma o total

009

Competencia matemática-N2

4 +

2 3 3

1 9 8 7 5

5 2 6 3

4 +

2 3 3

1 9 8 7 5

5 2 6 3

1 9 8 7 5

5 2 6 3

Ejemplo +

La suma de las centenas es 2 + 3 + 3 = 8, así que no se lleva nada

El resultado de la suma es 4853

tra

La resta o sustracción consiste en quitar una cantidad a otra, es decir, es la operación inversa a la suma. Se expresa con el símbolo –, que se lee menos. Para realizar la resta de 2 números, se deben colocar los dígitos uno debajo del otro, de manera que tanto las unidades como las decenas, centenas y demás dígitos coincidan en la misma columna, e ir restando de derecha a izquierda. Por ejemplo, para restar 879 – 123, los números se colocarán del siguiente modo:

ue s

1x8+1=9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12 345 x 8 + 5 = 98 765 123 456 x 8 + 6 = 987 654 1 234 567 x 8 + 7 = 9 876 543 12 345 678 x 8 + 8 = 98 765 432 123 456 789 x 8 + 9 = 987 654 321

2 3 3

La suma de las cifras de las decenas es 1 + 9 + 8 + + 7 = 25, con lo que se pone el 5 y se llevan 2

La combinación de ciertos números especiales y las operaciones de suma y multiplicación dan lugar a contrucciones matemáticas muy curiosas, las pirámides de números.

La suma de las unidades es 5 + 2 + 6 = 13. Es decir, 1 decena y 3 unidades. Por tanto, se escribe el 3 y se pasa el 1 a la columna de las decenas. Normalmente, se afirma que se pone el 3 y se lleva una

5 2 6 3

Algunos certámenes de olimpiadas matemáticas hacen referencia en su logo a las 4 operaciones básicas que se pueden realizar con números naturales.

1 9 8 7

3 3

¿Sabías que...?

Hay que tener especial cuidado cuando la suma de una de las columnas es 10 o superior, pues se deberá pasar la cifra de las decenas a la columna que está inmediatamente a la izquierda de esta. Un ejemplo sería la suma de 4395 + 382 + 76.

–

Minuendo

Sustraendo

Resta o diferencia

En ocasiones, puede ocurrir que el minuendo sea más pequeño que el sustraendo y que la resta no se pueda realizar. El procedimiento que se debe seguir en estos casos se comprende mejor con un ejemplo:

Vocabulario

–

8 2

4 6

9 3 6

–

8 2

14 6

9 3

14 6 8

9 3 6

Minuendo: número al que se resta una determinada cantidad inferior. Diferencia: resultado que se obtiene al realizar una resta.

8 – 2+1 5

Se empieza por restar las unidades: 9 − 3 = 6. Normalmente, se explica que 3 hasta 9 son 6 Al restar las decenas, se percibe que no se puede calcular 4 – 6. Por tanto, se ha de pasar una centena a las decenas y calcular 14 – 6 = 8 La centena que se ha quitado se añade al sustraendo y se restan 8 – 3 = 5. El resultado es 586

Para comprobar si una resta está bien calculada, se usa la siguiente propiedad: Minuendo = Sustraendo + Diferencia.

010

Utilización de los números para la resolución de problemas

Como ejemplo, se puede comprobar si la resta anterior está bien hecha: 2 5 8

6 8 4

3 6 9

¿Sabías que...?

Sustraendo Diferencia Resta o diferencia

4 2 8

Factor Factor Producto

Y significa que 234 ∙ 2 = 234 + 234 = 468.

1 4

2 8

1 4 6

2 8 1

x 2 × +

2 2

4 1 4

4 2 4 8

4 1 4

4 2 4 8 2

4 1 4 4

4 2 4

Se empieza por multiplicar 1244 ∙ 1 = 1244

Después se multiplica 1244 ∙ 2 = 2488 y el resultado se coloca un lugar más a la izquierda respecto al resultado anterior

ue s 2

6 4

× 1

1 2

2 5 3 5 7 2

× +

1 7 9

5 7 3

9 6 4

Factor: cada uno de los números que intervienen en una multiplicación.

Se suman las 2 multiplicaciones y el resultado final es 26 124

En la multiplicación, también se da el caso de tener que llevar la cifra de las decenas cuando el resultado es igual a 10 o superior. Por ejemplo, al multiplicar 259 ∙ 36.

Vocabulario

tra

1 x

El ábaco permite, mediante el desplazamiento de sus cuentas, efectuar operaciones aritméticas sencillas (sumas, restas y multiplicaciones).

El procedimiento que se debe seguir para calcular la multiplicación de un número por 2 cifras se explicará con el siguiente ejemplo: 1244 ∙ 21.

La multiplicación o producto se define como la suma del mismo número repetidas veces. Se expresa con el símbolo x o con ∙, que se leen por. Una multiplicación sencilla sería:

Se empieza por multiplicar 259 ∙ 6. Como 6 ∙ 9 es igual a 54, se ponen 4 y se llevan 5. Después, se multiplican 6 ∙ 5 y al resultado se le suma el 5 que se había llevado antes. Así, 6 ∙ 5 = 30 y 30 + 5 = 35. Por tanto, se ponen 5 y se llevan 3. Para terminar, se calcula 6 ∙ 2 = 12 + 3 = 15

Ejemplo Si un refresco cuesta 2 euros, el coste de 5 refrescos se calculará así: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 ∙ 5 = 10.

Después se multiplican 259 ∙ 3 = 777 y el resultado se coloca un lugar más a la izquierda que el resultado anterior. Como 3 ∙ 9 = 27, se pone el 7 y se llevan 2. Se multiplican 3 ∙ 5 y al resultado se le suma el 2 que se llevó antes. Así, 3 ∙ 5 = 15 y 15 + 2 = 17. Por tanto, se ponen 7 y se lleva 1. Después se calcula 3 ∙ 2 + 1 = 7

Se suma el resultado de las 2 multiplicaciones y el producto es 9324

011

Competencia matemática-N2

El número 101 es un factor especial en ciertas multiplicaciones ya que da estos curiosos resultados. 101 x 11 = 1111 101 x 22 = 2222 101 x 33 = 3333 101 x 44 = 4444 101 x 55 = 5555 101 x 66 = 6666 101 x 77 = 7777 101 x 88 = 8888 101 x 99 = 9999

Cuando se multiplican 2 números que terminan en 0, se hace sin tener en cuenta los ceros y después se añaden al producto tantos como tengan los 2 factores. Por ejemplo, 25 ∙ 20 = 500 o 300 ∙ 40 = 12 000. ¿Y qué ocurre cuando uno de los factores tiene un dígito cero que no está situado en el extremo derecho? Se explicará con un ejemplo: 3423 ∙ 305.

x 1

Se empieza por multiplicar 3423 ∙ 5 = 17 115

Ejemplo

tra

1 3

¿Sabías que...? Las potencias de 2 están bastante presentes en nuestro alrededor:

0 0

Se suma el resultado de las multiplicaciones y el producto final es 1 044 015

Cuando los factores son iguales se da un caso especial de multiplicación: las potencias. Por ejemplo, si se quiere calcular 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16, se puede expresar de la siguiente forma:

ue s

- Los miembros de nuestra familia crecen de acuerdo con este tipo de potencias.

La siguiente multiplicación sería 3423 ∙ 0 = 0. Por tanto, se pasa a la multiplicación de 3423 ∙ 3 = 10 269 y se saltan 2 lugares a la hora de poner el resultado

- La reproducción celular también se realiza de acuerdo a esta ley.

- El número de cortes que damos a un papel y el número de trozos que obtenemos.

Ejemplo

Existen también pirámides con potencias como esta que se incluye a continuación. 12 = 1 112 = 121 1112 = 12 321 11 112 = 1 234 321 111 112 = 123 454 321 1 111 112 = 12 345 654 321 11 111 112 = 1 234 567 654 321 111 111 112 = 123 456 787 654 321 1 111 111 112 = 12 345 678 987 654 321

012

Exponente

24 = 16

Potencia

Base

Los elementos de una potencia son los siguientes: BaseExponente = Potencia. La base es el factor que se quiere multiplicar (en el ejemplo la base es 2) y el exponente es el número de veces que se repite el factor, en este caso 4. La potencia es el resultado de la multiplicación (16). Este ejemplo se lee 2 elevado a la cuarta. A continuación se detallarán otros ejemplos: ● 32 = 3 ∙ 3 = 9. Se lee 3 elevado al cuadrado. Coloquialmente, se lee 3 al cuadrado. ● 53 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125. Se lee 5 elevado al cubo o 5 al cubo. ● 26 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 64. Se lee 2 elevado a la sexta o 2 a la sexta.

Utilización de los números para la resolución de problemas

La división surge de la necesidad de poder hacer repartos. Se expresa con el símbolo :, que se lee dividido por o dividido entre. Esta división se escribe de la siguiente forma: Dividendo (D) Resto (r)

12 3 0 4

Ejemplo

Divisor (d) Cociente (c)

16 3 1 5

Se considera que esta división es exacta porque el resto es 0, mientras que si el resto fuese distinto de 0, se afirmaría que la división es entera. Por ejemplo:

Si se tienen 12 euros y se reparten entre 3 personas, habría que dividir 12 : 3 = 4 para calcular cuánto dinero le correspondería a cada persona. Por tanto, a cada persona le corresponderán 4 euros. Para saber que el resultado de la división es 4 se debe buscar el mayor número posible, de manera que al multiplicarlo por 3 se obtenga un número menor o igual a 12, pero nunca mayor.

3 ∙ 5 = 15 En este caso, para obtener el resto de la división se calcula 16 – 15 = 1

También existe un algoritmo para realizar divisiones, como se explicará con el siguiente ejemplo: 856 4

Se divide la primera cifra del dividendo entre 4 (8 : 4 = 2) y se resta 8 – 8 = 0, dígito que corresponde al resto

856 4

Se baja la siguiente cifra y se pone al lado del resto, es decir, del 0

856 4 05 1

Se divide 5 : 4 = 1 y se calcula el resto multiplicando 4 ∙ 1 = 4. De 4 hasta 5 va 1

Se baja la última cifra, que es el 6, y se pone al lado del 1

856 4 05 16

856 4

Se divide 16 : 4 = 4 y, como esta división es exacta, el resto es 0. El resultado final es 214 y la división es exacta

ue s

05 214 16 0

tra

Otro ejemplo servirá para explicar cómo se hace una división con un divisor de 2 cifras:

14 356 23 5 6

Se empezará por dividir las 2 primeras cifras del dividendo entre las 2 cifras que tiene el divisor (14 : 23). Esta división no se puede hacer, así que se seleccionarán 3 cifras y se calculará 143 : 23 = 6 y el resto (23 ∙ 6 = 138 = 143 − 138 = 5)

14 356 23 55 6

Se baja la cifra siguiente y se pone al lado del resto

14 356 23 55 62 9

Se divide 55 : 23 = 2 y se calcula el resto multiplicando 23 ∙ 2 = 46. De 46 hasta 55 van 9

14 356 23 55 62 96

Se baja la última cifra, que es el 6, y se pone al lado del 9

14 356 23 55 624 96 4

Se divide 96 : 23 = 4 y se calcula el resto: 23 ∙ 4 = 92. De 92 a 96 van 4. El resultado es 624 y es una división entera porque el resto final es 4

Vocabulario Algoritmo: pasos o instrucciones que se han de seguir para la realización de una determinada operación o actividad.

013

Competencia matemática-N2

6 ×

Busca más información sobre este artificio matemático y realiza alguna prueba de las propuestas en la siguiente página web: http://bit.ly/1AXVqmp.

3 2

Consulta Además de la prueba de la división, existe otro cálculo sencillo llamado la prueba del nueve que sirve para verificar si una operación tiene un resultado correcto. El resultado de esta prueba tiene un margen de error del 10 % por lo que no es algo en lo que se pueda confiar ciegamente.

En una división siempre se cumple la siguiente propiedad: D = d ∙ c + r. Se llama prueba de la división y se utiliza para comprobar que la operación se ha realizado correctamente. Así, con ella se puede saber si la división anterior está bien realizada:

Se empezará por dividir las dos primeras cifras del dividendo entre las dos cifras que tiene el divisor, 32 : 18 = 1; y se calculará el resto: 18 ∙ 1 = 18 y 32 − 18 = 14

32 524 18

Como 14 352 + 4 es igual a 14 356, se comprueba que la división está bien hecha. Se explicará con un ejemplo qué ocurre si el dividendo es menor que el divisor:

Se baja la siguiente cifra y se pone al lado del resto

32 524 18 14 5 1

Se divide 145 : 18 = 8 y se calcula el resto: 18 ∙ 8 = 144 y 145 − 144 = 1

32 524 18 14 5 18 12

32 524 18 14 5 1

Se baja el 2 y se pone al lado del 1

Como no se puede dividir 12 entre 18, se expresa cero al cociente y se baja la cifra siguiente

32 524 18 14 5 1806 1 24 16

Se divide 124 : 18 = 6 y se calcula el resto de la siguiente forma: 18 ∙ 6 = 108 y 124 – 108 = 16. Por tanto, el resultado de la división es 1806, con resto igual a 16

ue s

tra

32 524 18 14 5 18 12

¿Sabías que...? Si quieres comprobar tus cuentas puedes entrar en el siguiente enlace, donde encontrarás un calculadora online de divisiones: http://bit.ly/1r6qIaM.

Divisibilidad de números naturales

Una vez estudiadas las operaciones con números naturales, y concretamente la división, se puede explicar la divisibilidad de los números naturales.

Múltiplos y divisores de un número. Uso de los criterios de divisibilidad Se considera que un número (d) es divisible por otro (a) cuando al realizar la división (d : a), esta es exacta, o lo que es lo mismo, tiene resto 0. En este caso, se considera que d es un múltiplo de a y que a es un divisor de d. Es decir, un número es múltiplo de otro si el primero resulta de multiplicar el segundo por cualquier otro número natural distinto de 0; y un número es divisor de otro si, al dividir el segundo número entre el primero, la división es exacta. Por ejemplo, 6 es divisible por 2, ya que 6 entre 2 es igual 3. Sin embargo, 6 no es divisible por 4, ya que la división de 6 entre 4 no es exacta. En el ejemplo, 6 es

014

1.4.

1.4.1.

Utilización de los números para la resolución de problemas

un múltiplo de 2 y 2 es un divisor de 6. A continuación se explicarán algunos ejemplos más:

A continuación, se calcularán los divisores de 8:

Para comprobar si 38 múltiplo de 5, se hará esta división: 38

Ejemplo

Para comprobar si 9 es divisor de 297 también se hará la división correspondiente: 9

8 0

2 4

8 2

3 2

8 0

4 2

8 3

5 1

297

1 8

Como el resto de la división es 3 y no 0, se puede asegurar que 38 no es múltiplo de 5.

8 0

8 1

6 1

8 0

8 1

Así, los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8 y dicho conjunto se escribe div(8) = {1, 2, 4, 8}.

Como la división es exacta, se puede afirmar que 9 es divisor de 297. Así pues, 297 es divisible por 9.

7 1

8 2

Para calcular los divisores de un número (a), hay que dividir dicho número entre todos aquellos menores que él, incluido él mismo. Se elegirán como divisores todos aquellos números cuya división haya sido exacta y se expresará como div(a).

tra

Para calcular un múltiplo de un número (d), basta con multiplicar d por cualquier número natural. Así, se puede comprobar que el conjunto de múltiplos de un número no es finito, mientras que el conjunto de los divisores sí lo es. El conjunto de los múltiplos del número natural d se expresará: d . Existen unos criterios de divisibilidad que pueden simplificar los cálculos en muchas situaciones:

ue s

● Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 si la cifra que corresponde a las unidades es 0 o múltiplo de 2. Por ejemplo, 4332 es divisible por 2, pero 567 no lo es.

Ejemplo Los múltiplos de 5 se expresan de la siguiente forma: 5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75…}.

● Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es múltiplo de 3. Por ejemplo, 5205 es divisible por 3, ya que 5 + 2 + 0 + 5 = 12 y 12 es múltiplo de 3.

● Divisibilidad por 4: un número es divisible por 4 si el número formado por las decenas y las unidades (las 2 últimas cifras) es divisible por 4. Por ejemplo, 1316 es divisible por 4 al serlo 16; sin embargo, 805 no es divisible por 4, ya que 5 no lo es. ● Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 si la cifra de las unidades es 0 o 5. Por ejemplo, 4570 o 655 son divisibles por 5. ● Divisibilidad por 9: un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es múltiplo de 9. Por ejemplo, 53 415 es divisible por 3 ya que 5 + 3 + 4 + 1 + 5 = 18 y 18 es múltiplo de 9. ● Divisibilidad por 10: un número es divisible por 10 si su última cifra es 0. Por ejemplo, 220 o 1450 son divisibles por 10.

Importante Todos los números tienen como mínimo 2 divisores, el 1 y él mismo. Por ejemplo, el número 2 o el 3, entre otros. Los números que cumplen esto se llaman primos.

● Divisibilidad por 11: un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan un lugar par y la suma de las cifras que ocupan un lugar impar es 0 o múltiplo de 11. Por ejemplo, 9372 es divisible por 11 ya que (9 + 7) – (3 + 2) = 11.

015

Competencia matemática-N2

Números primos. Números compuestos. Descomposición de números en factores primos

Importante No todos los números primos son impares. Existe uno que no lo es, el 2.

Se considera que un número natural mayor que 1 es primo si sus únicos divisores son 1 y él mismo. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19, entre otros, son números primos.

101 5 01 20 1

101 7

101 11 02 9

101 3 11 33 2

31 14 3

101 2 01 50 1

Para comprobar si un número natural es primo, se dividirá dicho número por la serie de números primos (2, 3, 5, 7, 11…), hasta que se llegue a una división en la que el cociente sea menor o igual que el divisor. Si todas esas divisiones son inexactas, el número dado es primo. Por ejemplo, para averiguar si 101 es un número primo se harán las siguientes divisiones:

Al realizar la división de 101 por 11 se obtiene como cociente 9 y resto 2. Al ser el cociente menor que el divisor, ya no es necesario continuar con las divisiones y se puede concluir que 101 es un número primo.

Los números que no son primos se denominan compuestos. Estos últimos se pueden expresar de forma única como producto de números primos. Es lo que se conoce como descomposición de un número en factores primos.

Consulta

1.° Se probará a dividir 12 entre 2, que es el número primo más pequeño. Si la división es exacta, se continuará con el proceso, y si no es exacta, se probará con el siguiente número primo, que es el 3. Como 12 : 2 = 6, se seguirá con el proceso. Se expresa así:

ue s

Existen proyectos a día de hoy que se dedican a seguir buscando números primos. El uso de estos números tiene una gran importancia en ámbitos como el de la criptografía. En el siguiente enlace puede ampliar información sobre este tema: http://bit.ly/1vD6zEL.

tra

El procedimiento que se debe seguir para descomponer un número en factores primos, tomando como ejemplo 12, es el siguiente:

12 2 6

2.° Se probará a dividir 6 entre 2. Si la división es exacta, se continuará con el proceso, y si no es exacta, se probará con el siguiente número primo, que es el 3. Como 6 : 2 = 3, se seguirá con el proceso. Se expresa así: 12 2 6 2 3 3.° Como 3 no es múltiplo de 2, se probará a hacer la división entre 3. Como el resultado de la división (3 : 3) es 1, el proceso termina aquí y quedaría: 12 2 6 2 3 3 1 Así, se puede afirmar que la descomposición factorial de 12 es 12 = 22 ∙ 3.

016

1.4.2.

Utilización de los números para la resolución de problemas

Una manera de ahorrar cálculos en una descomposición factorial es hacer las divisiones en cadena. Como ejemplo, a continuación se explica el cálculo de la descomposición en factores primos de 36: 36 2

36 2

16 18 2

18 2

0 9

3 0

Eratóstenes, un matemático griego, desarrolló un algoritmo para hallar todos los números primos menores a un número natural dado. Este proceso se denomina la criba de Eratóstenes.

9 3 3 3

3 1

Por tanto, 36 = 22 ∙ 32.

También se pueden calcular los divisores de un número mediante su descomposición factorial, al combinar todos los factores que aparecen en la descomposición. A continuación, se explicará cómo calcular los divisores de 12 con los 2 métodos existentes:

¿Sabías que...?

En primer lugar, se pueden hacer las divisiones correspondientes:

12 2

12 3

12 4

0 6

0 4

0 3

12 5 2 2

12 6

12 7

0 2

5 1

12 9 3 1

12 10

12 11

12 12

2 1

1 1

0 1

tra

12 1 0 12

12 8 4 1

Así, los divisores de 12 son: div(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

ue s

En segundo lugar, se puede considerar su descomposición factorial:

Consulta Puedes comprobar las descomposiciones en factores primos que hagas en el siguiente enlace: http:// bit.ly/1rcjvWO.

12 2 6 2 3 3 1

Sus divisores son 1, 2, 3. 2 ∙ 2 = 4, 2 ∙ 3 = 6 y 22 ∙ 3 = 12.

1.4.3.

Cálculo de múltiplos y divisores comunes a varios números Existen números que tienen múltiplos y divisores comunes. Se puede comprobar calculando los múltiplos y divisores de 4 y 6, por ejemplo: En el caso de los múltiplos, 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48…} y

6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72…}. Por lo tanto, sus múltiplos

comunes son 12, 24, 36 y 48, entre otros. En el caso de los divisores, div(4) = {1, 2, 4} y div(6) = {1, 2, 3, 6}. Por lo tanto, sus divisores comunes son 1 y 2.

017

Competencia matemática-N2

Máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.): procedimientos de cálculo Una vez estudiados los múltiplos y divisores de un número, el concepto de número primo y el procedimiento de descomposición de números en factores primos, es el momento de introducir 2 nuevos términos: el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Estos conjuntos de operaciones permiten resolver numerosos problemas matemáticos y facilitan el trabajo al operar, por ejemplo, con fracciones. Tanto el primero como el segundo, se pueden calcular por dos caminos distintos, de manera que se puede comprobar que el resultado obtenido mediante una de las dos formas es correcto.

El máximo común divisor (m.c.d.) de 2 o más números naturales se define como el mayor de todos los divisores comunes a dichos números.

La mejor manera de asimilar el proceso de cálculo del m.c.d. y el m.c.m. es mediante la realización de ejercicios. Puedes encontrar unos cuantos en la siguiente página web: http://bit. ly/13WV0mh.

Consulta

El máximo común divisor se puede obtener mediante 2 métodos diferentes. Por un lado, se pueden calcular los divisores de los números en cuestión y, de todos los divisores comunes, escoger el de mayor valor. Como ejemplo, a continuación se calculará el m.c.d. de 12 y 18:

1.° Los divisores de 12 y de 18 son div(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} y div(18) = {1, 2, 3, 6, 9,18}. 2.° Los divisores comunes a ambos son 2, 3 y 6.

tra

3.° Como se debe escoger el máximo, se dirá que el m.c.d. es 6 y se escribe m.c.d. (12, 18) = 6. Por otro lado, se pueden descomponer los números dados en factores primos. Una vez hecha la descomposición, se elegirán los factores primos comunes a todos los números, elevados a su menor exponente. Como ejemplo, se calculará el m.c.d. de 20 y 8:

ue s

1.° Se descomponen los números 20 y 8 en factores primos: 20 2 10 2 5 5 1

8 4 2 1

2 2 2

2.° Como 20 = 22 ∙ 5 y 8 = 23, se puede afirmar que el m.c.d. es 4, es decir, m.c.d. (20, 8) = 4.

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 2 o más números naturales se define como el menor de todos los múltiplos comunes a dichos números. El mínimo común múltiplo también se puede obtener mediante 2 métodos diferentes. Por un lado, se pueden calcular los múltiplos de los números en cuestión hasta que se encuentre el primer múltiplo común a dichos números. Como ejemplo, a continuación se calculará el m.c.m. de 5 y 12: 1.° Se calculan los múltiplos de 5 y de 12. 5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75…} y 12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72…}. 2.° Como el primer múltiplo en común es 60, se puede considerar que este es el m.c.m. y se escribirá del siguiente modo: m.c.m. (5, 12) = 60.

018

1.4.4.

Utilización de los números para la resolución de problemas

Por otro lado, se pueden descomponer los números dados en factores primos y, una vez hecha la descomposición, escoger los factores primos comunes y no comunes elevados a su mayor exponente. Se puede entender mejor con el cálculo del m.c.m. de 6 y 9: 1.° Se descomponen los números 6 y 9 en factores primos: 9 3 3 3 1

2.° Como 6 = 2 ∙ 3 y 9 = 32, se puede considerar que el m.c.m. de 6 y 9 es igual a 2 ∙32 = 18. Se escribirá: m.c.m. (6, 9) = 2 ∙ 32 = 18.

4 2 2 2 1

Importante

El m.c.d. y el m.c.m. no parece que tengan demasiado valor en sí mismos pero son la llave para solucionar determinados ejercicios y facilitan enormemente el trabajo con fracciones.

Cuando el máximo común divisor de 2 números es 1, se considera que dichos números son primos entre sí. Por ejemplo, 4 y 5 son primos entre sí, ya que, si se realiza la descomposición factorial de ambos números, se comprueba que no tienen ningún factor primo en común:

6 2 3 3 1

5 5 1

Así, 4 = 22 y 5 = 5. Por tanto, el m.c.d. de 4 y 5 es 1: m.c.d. (4, 5) = 1. Además, también se cumple que el mínimo común múltiplo de estos 2 números es el producto de ambos: m.c.m. (4, 5) = 22 ∙ 5 = 4 ∙ 5 = 20.

12 2 6 2 3 3 1

ue s

6 2 3 3 1

tra

Hay un caso particular en el cálculo del m.c.d. y del m.c.m., que se da cuando uno de los números es múltiplo del otro. Si esto ocurre, el cálculo se simplifica de una manera considerable, puesto que el máximo común divisor coincide con el menor de los números y el mínimo común múltiplo coincide con el mayor. Se puede comprobar si se calcula, por ejemplo, el m.c.d. y el m.c.m. de 6 y 12.

Así, 6 = 2 ∙ 3 y 12 = 22 ∙ 3. Por tanto, el m.c.d. (6, 12) = 2 ∙ 3 = 6 y el m.c.m. (6, 12) = 22 ∙ 3 = 12.

Aplicaciones de la divisibilidad y uso del m.c.d. y del m.c.m. en la resolución de problemas asociados a situaciones cotidianas

1.4.5.

Numerosos problemas de la vida cotidiana se resuelven mediante aplicaciones de la divisibilidad y el cálculo del m.c.d. y del m.c.m. Por ejemplo, Eva ha preparado 66 bocadillos para su fiesta de cumpleaños, a la que acuden 11 personas. Si todos los invitados comen el mismo número de bocadillos, ¿cuántos bocadillos comerá cada uno? ¿Sobrará alguno? Primero se comprueba si 66 es divisible por 11. Según el criterio de divisibilidad por 11, se ha de restar 6 − 6 = 0. Como el resultado es 0, se puede considerar que 66 es divisible por 11. Después, se divide 66 : 11. 66 11 00 6

019

Competencia matemática-N2

Por tanto, cada invitado comerá 6 bocadillos y no sobrará ninguno. Rafael reparte sus ahorros entre sus tres hijos. Si la cantidad a repartir es de 3046 euros, ¿se puede repartir este dinero sin que sobre nada?

3 1015

3046 004 16 1

Para resolver este problema, se ha de saber si el número 3046 es divisible por 3. Para ello se pueden usar dos métodos. En primer lugar, se pueden aplicar los criterios de divisibilidad: para saber si 3046 es divisible por 3, se suman las cifras de este número, 3 + 0 + 4 + 6 = 13. Como 13 no es múltiplo de 3, se concluye que no se puede repartir el dinero sin que sobre nada. Y, en segundo lugar, se puede dividir 3046 : 3.

Como la división no es exacta, no se puede repartir el dinero sin que sobre nada. Según el resultado obtenido, cada hijo recibirá 1015 € y sobrará 1 €.

Sergio tiene una bolsa con 60 canicas verdes y otra con 75 canicas azules. Quiere hacer paquetes con canicas del mismo color, de forma que en todos los paquetes haya el mismo número de canicas. ¿Cuántos paquetes habrá de cada color si quiere que entren el mayor número posible de canicas en cada uno?

tra

Para resolver este problema, se ha de calcular el máximo común divisor de 60 y 75. 60 2 30 2 15 3 5 5 1

75 3 25 5 5 5 1

ue s

Como 75 = 3 ∙ 52 y 60 = 22 ∙ 3 ∙ 5, el m.c.d. será 3 ∙ 5 = 15. Así, cada paquete tendrá 15 canicas. Para saber cuántos paquetes habrá de cada color se han de hacer 2 divisiones: 60 : 15 = 4 y 75 : 15 = 5. Por tanto, habrá 4 paquetes de canicas verdes y 5 paquetes de canicas azules.

Hugo e Iker viajan en tren a Madrid. Hugo lo hace cada 20 días e Iker lo hace cada 30. ¿Cada cuántos días coincidirán en el tren? Si la última vez que coincidieron fue el 22 de septiembre, ¿cuándo volverán a coincidir? Para resolver este problema, se ha de calcular el mínimo común múltiplo de 20 y 30. 20 2 10 2 5 5 1

30 2 15 3 5 5 1

Como 20 = 22 ∙ 5 y 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5, el m.c.m. será 22 ∙ 3 ∙ 5 = 60. Por tanto, coinciden en el tren cada 60 días. Ahora bien, si la última vez que coincidieron fue el 22 de septiembre, basta con contar 60 días para saber cuándo volverán a coincidir. Así pues, coincidirán el 21 de noviembre (8 días de septiembre, 31 de octubre y 21 de noviembre). Es decir, 8 + 31 + 21 = 60.

020

Utilización de los números para la resolución de problemas

1.5.

Números enteros Una vez estudiados los números naturales, se debe introducir el concepto de número entero. En algunas ocasiones, se ve en la calle un termómetro que marca –4 °C o un ascensor con las teclas –1 y –2. Cuando un número lleva un signo menos delante, su significado cambia y se afirma que es negativo.

Consulta Los cuadrados mágicos son tablas que contienen números enteros. Su principal característica es que la suma de los números por filas, columnas y diagonales da siempre el mismo resultado.

Al igual que se hizo con los números naturales, ahora se explicarán los números enteros y sus operaciones..

Representación y comparación de números enteros

Infórmate sobre ellos y sus variantes en Internet.

1.5.1.

De este modo, el conjunto de los números enteros está formado por los números negativos, el 0 y los números positivos o naturales, que se han estudiado ya en el apartado 1.3. Números naturales: …, –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5…

El conjunto de los números enteros se expresa con una Z. El uso de esta letra se debe a que la palabra número en alemán se escribe zahlen. Por tanto, el conjunto de los números enteros se escribe: Z = {… –3, –2, –1, +0, +1, +2, +3…}

Dentro de este conjunto se pueden distinguir 3 subconjuntos: el de los números enteros negativos, que son los que llevan el signo – delante (Z– = {… – 5, –4, –3, –2, –1}), el número 0 y el subconjunto de los números enteros positivos o naturales, que se pueden escribir con el signo + delante o directamente sin ningún signo: Z+ = {+1, +2,+ 3, +4, +5…} = {1, 2, 3, 4, 5…}.

Vocabulario Subconjunto: conjunto que está incluido en otro mayor que este.

–2

–1

tra

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden representarse en una recta de la siguiente forma:

ue s

Los números enteros negativos se encuentran a la izquierda del 0 y los enteros positivos a la derecha. Es decir, el 0 separa los números negativos de los positivos. Un concepto que aparece al introducir los números negativos es el de valor absoluto. El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de eliminar el signo de dicho número y se representa con 2 barras. Por ejemplo –3 =3y +6 =6 .

El criterio de comparación de números enteros es el mismo que se explicó para los números naturales. Así, dados 2 números enteros, el mayor será el que esté situado más hacia la derecha en la recta de los números enteros, y viceversa, el menor será el que esté situado más hacia la izquierda. Por ejemplo, 4 > –2, –9 < 6, –5 < –2 y 0 > –3.

Importante No es imprescindible poner el signo + en los números enteros positivos, ya que cuando un número no lleva ningún signo se sobreentiende que es positivo. Por ejemplo, +4 = 4.

Se define el opuesto de un número como aquel que tiene el mismo valor absoluto que este, pero distinto signo. Se expresa con Op(a), siendo a un número entero dado. Por ejemplo: Op(–7) = 7

Op(6) = –6

Estos números cumplen la propiedad de que se encuentran a la misma distancia del 0. Por ejemplo:

021

Competencia matemática-N2

Aplicación de la regla de los signos en la multiplicación Importante

1.5.2.

Para realizar la multiplicación de 2 números enteros, se debe tener en cuenta la regla de los signos en la multiplicación:

Las operaciones básicas con números enteros son de gran utilidad en el día a día de las personas y representan la base sobre la que desarrollar ideas matemáticas más complejas.

+∙+=+

–∙+=–

+∙–=–

–∙–=+

En el siguiente apartado se estudiará cómo aplicar esta regla.

Operaciones básicas con números enteros

Para realizar las operaciones básicas con números enteros hay que tener especial cuidado con el signo negativo que tienen. De este modo, para sumar 2 números enteros, primero se debe comprobar si ambos tienen el mismo signo. Cuando es así, se suman dichos números y el resultado tendrá el mismo signo que los sumandos: 5 + 7 = 12

(–4) + (–6) = –10

(+3) + (+5) = +8

Se puede observar que si se suman 2 números positivos el resultado es positivo y, si se suman 2 números negativos, el resultado es negativo.

tra

En cambio, si los signos son distintos, se restarán los 2 números (el de mayor valor absoluto menos el de menor valor absoluto) y el signo del resultado será el que tenga el número de mayor valor absoluto. (–13) + (+5) = –8

(+15) + (–6) = +9

ue s

Por definición, la resta se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. Por ejemplo: (+3) – (+5) = (+3) + (–5) = –2

(–4) – (+6) = (–4) + (–6) = –10

(+4) – (–2) = (+4) + (+2) = 6

(–5) – (–8) = (–5) + (+8) = 3

(–3) – (+6) = (–3) + (–6) = –9

(+12) – (–5) = (+12) + (+5) = 17

La resta se puede simplificar si, en lugar de sumar al minuendo el opuesto del sustraendo, se eliminan los paréntesis utilizando la regla de los signos para la multiplicación. Es decir: + (+a) = +a

– (+a) = –a

– (–a) = +a

+ (–a) = –a

En la siguiente tabla, se explicará cómo realizar el ejemplo anterior siguiendo esta regla: (+3) – (+5) = 3 – 5 = –2

(–4) – (+6) = –4 – 6 = –10

(+4) – (–2) = 4 + 2 = 6

(–5) – (–8) = –5 + 8 = 3

(–3) – (+6) = –3 – 6 = –9

(+12) – (–5) = 12 + 5 = 17

Se pueden restar y sumar varios números a la vez. Por ejemplo, –4 + 5 – 7 + 2 + + 4 – 10. En este caso, la forma más sencilla de operar es agrupar por un lado los números positivos y por otro lado los negativos, es decir, –4 + 5 – 7 + 2 + 4 – 10 = = 11 – 21 = –10.

022

1.5.3.

Utilización de los números para la resolución de problemas

Como se estudió en el apartado 1.5.2. Aplicación de la regla de los signos en la multiplicación, para realizar una multiplicación, se ha de tener en cuenta también esta regla. Primero, se realiza la multiplicación de los números y, sucesivamente, se aplica la regla de los signos. 3 ∙ 5 = 15 4 ∙ (–2) = –8 (–3) ∙ 6= –18

(–4) ∙ 6 = –24 (–5) ∙ (–8) = 40 12 ∙ (–5) = –60

5 ∙ (–4) ∙ 2 = –40 (–6) ∙ 3 ∙ (–3) = 54 (–2) ∙ (–5) ∙ (–9) = –90

–:+=– –:–=+

+:+=+ +:–=–

Para hacer una de división de 2 números enteros, también se sigue la regla de los signos en la división.

30 : 5 = 6 (–18) : 6 = –3

(–40) : 2 = –20 (–45) : (–9) = 5

Necesidad de los números negativos para expresar estados y cambios. Reconocimiento y conceptualización en contextos reales

1.5.4.

(–24) : 6 = –4 (–12) : (–2) = 6

Así, para realizar la división, primero se dividen los 2 números y después se aplica la regla de los signos.

tra

Si se asegura que la temperatura es de 3 °C bajo cero, que se está en la planta 2 del sótano, que un submarino está a 200 metros por debajo del nivel del mar o que Arquímedes nació en el año 287 a. de C., ¿cómo se expresarían estas afirmaciones en lenguaje matemático? La respuesta sería –3 °C, planta –2, –200 m y año –287.

Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones y de las reglas de uso de los paréntesis en cálculos sencillos

Esta mañana la temperatura era de –2 °C y ahora es de 10 °C. ¿Cuántos grados centígrados ha aumentado la temperatura? También hay que restar, 10 – (–2) = 10 + 2 = 12. La solución es que la temperatura ha aumentado 12 °C.

ue s

Si Marta se encuentra en la planta –3 de un centro comercial y ha subido en ascensor hasta la planta 2, ¿Cuántas plantas ha subido? Para resolver este problema, se ha de restar 2 – (–3) = 2 + 3 = 5. Por lo tanto, ha subido 5 plantas.

1.5.5.

Ejemplo

Así pues, los números enteros surgen de la necesidad de expresar cantidades negativas, ya que para escribir todas estas expresiones no son suficientes los números naturales. Así, por ejemplo, en el caso de estar en la planta 2 del sótano, se tomará como referencia la planta baja o planta 0. Las plantas que estén encima de esta se denotarán con números positivos y las que estén debajo con números negativos.

Algunas de las operaciones básicas que se llevan a cabo con números naturales y números enteros cumplen una serie de propiedades. Así, la suma cumple varias. En primer lugar está la propiedad conmutativa, que indica que para cualquier par de números enteros (a y b), se cumple que a + + b = b + a. Es decir, –2 + 5 = 5 + (–2) = 3. Y en segundo lugar está la propiedad asociativa, que indica que, dados 3 números enteros (a, b y c), se cumple que (a + b) + c = a + (b + c). Esto significa que se pueden sumar 2 de los números y al resultado sumarle el tercero. Por ejemplo, (–4 + 7) + 9 = –4 + (7 + 9) = 12. Además, existe un elemento neutro para la suma de números enteros. Se trata del número que se debe sumar a otro para que el resultado sea el mismo. En este caso se trata del 0, ya que a + 0 = a. Por ejemplo, –2 + 0 = –2. También existe el elemento opuesto de un número entero (a), que ya se explicó que es –a, y que verifica que a + (–a) = 0. Por ejemplo, 3 + (–3) = 0.

023

Competencia matemática-N2

Por su parte, la multiplicación verifica otra serie de propiedades. Entre ellas está la propiedad conmutativa, que responde al dicho de que el orden de los factores no altera el producto. Es decir, dados 2 números naturales (a y b), se cumple que a ∙ b = b ∙ a. Con lo que 4 ∙ 6 = 6 ∙ 4 = 24.

En ocasiones, es necesario resolver a la vez varias operaciones con números enteros. A este tipo de operaciones se las denomina operaciones combinadas. Para realizarlas, se usa la jerarquía de las operaciones, que indica la prioridad con la que se deben hacer.

Asimismo, existe el elemento neutro para la multiplicación, denominado también elemento unidad, que es el número que se debe multiplicar por otro para que el resultado sea el mismo. En este caso es el 1, ya que a ∙ 1 = a. Por ejemplo, 35 ∙ 1 = 35. El orden de los pasos a seguir es el siguiente: en primer lugar los paréntesis y corchetes, en segundo lugar las multiplicaciones y divisiones y en tercer lugar las sumas y restas.

Importante

También se cumple la propiedad asociativa, que indica que, dados 3 números naturales (a, b y c), se cumple que (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c). Por ejemplo, (–5 ∙ 6) ∙ 4 = = –5 ∙ (6 ∙ 4) = –30 ∙ 4 = –5 ∙ 24 = 120. También se aplica la denominada propiedad distributiva del producto con respecto a la suma o la resta, que indica que, si se consideran 3 números naturales (a, b y c), se verifica que a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c y que a ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ c. Un ejemplo puede ser 7 ∙ (22 + 9) = 7 ∙ 22 + 7 ∙ 9 = = 7 ∙ 31 = 154 + 63 = 217.

A continuación se detallan varios ejemplos. Los subrayados indican las operaciones que se han de realizar primero en cada paso, teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones. 12 – 4 ∙ 5 = 12 – 20 = –8

tra

(9 – 3) – (2 + 4) = 6 – 6 = 0

24 : 6 – 5 ∙ 4 + 12 = 4 – 20 + 12 = 16 – 20 = –4 –2 ∙ (4 – 1) + (3 ∙ 5 – 6) : 3 = – 2 ∙ 3 + (15 – 6) : 3 = = –6 + 9 : 3 = –6 + 3 = –3

Utilización de la calculadora para operar con números enteros

ue s

Lo primero que se debe saber a la hora de usar una calculadora es cómo encenderla y apagarla. La tecla correspondiente al encendido de la calculadora es AC y la que se usa para apagarla es OFF.

Para realizar las 4 operaciones básicas con números enteros se usan las siguientes teclas: +, –, × y ÷, que corresponden, respectivamente, a la suma, la resta, la multiplicación y la división. Si se quiere introducir en la calculadora un número entero negativo, se debe usar la tecla +/–. Otros modelos de calculadora pueden tener la tecla de cambio de signo (–). Una tecla imprescindible en la calculadora es la que corresponde al igual. Cuando se pulsa, se ordena a la calculadora que muestre el resultado de la operación. Esta tecla es =. Como ejemplo, a continuación se verá cómo calcular –34 + 48: 1.° Se pulsa la tecla +/– y después se teclea el número 34. 2.° Se pulsa la tecla +, que corresponde a la suma, y a continuación se teclea el número 48. 3.° Se pulsa la tecla del igual e inmediatamente aparecerá el resultado. 4.° El resultado de la operación es 14. Es importante resaltar que, dependiendo de la calculadora, la tecla +/– puede tener que pulsarse después de haber tecleado el número.

024

1.5.6.

Utilización de los números para la resolución de problemas

1.6.

Fracciones y decimales en entornos cotidianos

También se usan muchas expresiones del tipo 3 cuartos de hora, un cuarto de kilo, medio bocadillo o un tercio de un pastel. En ellas, se están usando fracciones: 3/4 de hora, 1/4 de kilo, 1/2 bocadillo o 1/3 de un pastel.

Decimales en entornos cotidianos. Operaciones con números decimales

1.6.1.

En los siguientes apartados se estudiarán los números decimales y las fracciones, así como las operaciones que se pueden realizar con dichos números.

El uso de números decimales en entornos cotidianos es muy habitual. Por ejemplo, los precios de los productos que se compran en el supermercado o el precio de la gasolina se expresan con decimales. Así, el precio de un kilo de naranjas puede ser de 0,65 € y un billete de autobús puede costar 1,15 €. El euro se puede expresar como máximo con 2 cifras decimales, ya que un euro corresponde a 100 céntimos. Sin embargo, el precio de la gasolina se expresa con 3 decimales y puede ser, por ejemplo, 1,378 €.

Los decimales son números que están formados por 2 partes diferenciadas: la parte entera y la decimal. Ambas están separadas por el decimal, que se suele expresar con una coma, bien en la parte inferior, bien en la superior.

tra

Por ejemplo, en el número 25,367, la parte entera es 25 y la parte decimal es 367. Asimismo, en 0,45, la parte entera es 0 y la decimal es 45.

ue s

Al igual que se vio en el apartado de los números naturales, la parte entera se puede descomponer en unidades, decenas y centenas, que se empiezan a nombrar de derecha a izquierda. Además, la parte decimal se puede descomponer en décimas, centésimas y milésimas. En este caso, se nombran de izquierda a derecha. Las décimas corresponden a la décima parte de la unidad, es decir: 1 décima = 1/10 U = 0,1 U. Las centésimas corresponden a la centésima parte de la unidad, es decir: 1 centésima = 1/100 U = 0,01 U. Y las milésimas corresponden a la milésima parte de la unidad, es decir: 1 milésima = 1/1000 U = 0,001 U.

Centenas

Decenas

Unidades

100 U

10 U

Decimal ,

Parte decimal Décimas

Centésimas

Milésimas

0,1 U

0,01 U

0,001 U

Por ejemplo, la descomposición de 25,367 sería: 2 D + 5 U + 3 décimas + 6 centésimas + 7 milésimas. O lo que es lo mismo: 20 U + 5 U + 0,3 U + 0,06 U + 0,007 U. Asimismo, la descomposición de 0,45 sería 0,45 = 0 U + 4 décimas + 5 centésimas. Es decir, 0,4 U + 0,05 U.

Parte entera

Para comparar 2 números decimales, se empieza por las partes enteras de dichos números. Pueden darse 2 casos. Por un lado, será mayor el número cuya parte entera sea mayor. Por ejemplo, 32,5 > 30,42. Y, por otro lado, si las partes enteras son iguales, se compararán las partes decimales y se empezará por las décimas. Por ejemplo, 4,5 > 4,02. Si las décimas también coincidieran, se mirarían las centésimas y así sucesivamente. Por ejemplo, 16,27 > 16,22. A veces puede resultar más fácil la comparación de 2 números decimales si se añaden ceros a la derecha de la parte decimal. Por ejemplo, para comparar 4,15 y 4,1, se afirma que 4,15 > 4,10 y, si se quiere comparar 3,21 y 3, se afirma que 3,21 > 3,00. Las operaciones con decimales se realizan como las operaciones con números naturales, pero hay que tener en cuenta el decimal. Estas operaciones también cumplen las propiedades que se explicaron en el apartado 1.5.5. Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones y de las reglas de uso de los paréntesis en cálculos sencillos.

025

Competencia matemática-N2

Para sumar 2 números decimales, se colocarán uno debajo del otro, de manera que coincidan las comas del decimal unas debajo de las otras y así hacer coincidir las unidades, decenas y centenas, así como las décimas, centésimas y milésimas. Por ejemplo: 3 0 6 , 2 7

2 3 , 4 +

+ 1 5 2 , 3

6 , 2 2 9 , 6

425 m

5 ,

7 ,

0 ,

3 ,

–

Torre Eiffel

8 ,

1 ,

7 ,

1 – 1

6 ,

3 ,

4 4

También se pueden hacer restas de números enteros y números decimales, para lo que se añadirán ceros en la parte decimal. A continuación se detallan 2 ejemplos: 56,94 – 23 y 80 – 12,7.

tra

Torres Petronas

La resta se realiza igual que con números naturales pero, como en la suma, hay que tener en cuenta que las comas han de coincidir unas encima de las otras.

324 m

La altura de las torres Petronas es aproximadamente 1,4 veces la de la torre Eiffel. Se podría expresar la proporción entre estas dos construcciones con más exactitud, si se emplease un número con más decimales.

En el caso de que en la suma aparezca algún número entero, se le añadirá la coma y se completarán con ceros tantos decimales como sean necesarios. Se puede ver en la siguiente suma: 4375 + 27,9 + 0,21.

¿Sabías que...?

4 5 8 , 5 7

ue s

–

, 9

, 0

, 9

–

0 ,

2 ,

7 ,

En la multiplicación de números decimales, se distinguen 2 casos. Cuando se multiplica un número decimal por un número entero, se realiza la multiplicación como si se tratase de 2 números naturales.

El resultado obtenido tendrá tantos decimales como tiene el número decimal implicado en la operación. Se entenderá mejor al operar 23,56 ∙ 3. 2

2 3,

7 0,

6 3 Se multiplican 2356 ∙ 3

8 6

Como el factor 23,56 tiene 2 decimales, el resultado de la 3 multiplicación tendrá 2 decimales también, así que el resul8 tado de multiplicar 23,56 por 3 es 70,68

En cambio, si los 2 factores de la multiplicación son números decimales, el resultado tendrá tantos decimales como la suma de los decimales de los 2 factores. Se puede comprobar al calcular 4,38 ∙ 2,1.

026

Utilización de los números para la resolución de problemas

8 Se multiplica 438 ∙ 21

4, × x +

De entre los infinitos números decimales que existen, algunos son especialmente conocidos por alguna utilidad concreta como el número pi, el número e y el número áureo.

2, 4

1 Como el factor 4,38 tiene 2 decimales y el factor 2,1 tiene 1, 8 la multiplicación tendrá 3 decimales, así que el resultado de multiplicar 4,38 por 2,1 es 9,198

Busca información sobre estos tres números y sus características.

En la división de números decimales se distinguen 3 casos. Si el dividendo y el divisor son enteros y la división no es exacta, se pueden añadir ceros al dividendo para obtener decimales en el cociente. Se puede comprobar, por ejemplo, en la división de 137 : 4.

× x +

Consulta

137 4 Se hace la división 137 : 4

17 34 1 1370 4 34,

1 1370 4 17 34,2 10 2

Se baja el 0 y se sigue dividiendo

Como ahora el resto es 2, se añade otro 0 en el dividendo y se sigue operando. Al haber obtenido el resto 0, la división se ha terminado y, por tanto, es igual a 34,25

ue s

13 700 4 17 34,25 10 20 0

Como el resto es 1, se añade un 0 en el dividendo. Al añadir el 0, se pone el decimal (,) en el cociente

tra

Si el dividendo es un número decimal y el divisor es un número entero, se realiza la división como si se tratase de 2 números naturales y, cuando se baje la cifra siguiente al decimal, este se pondrá en el cociente. Para comprobarlo, se puede calcular 25,8 : 5.

90,3 4,2

Antes de comenzar con la división, se debe quitar el decimal del divisor. Como 4,2 tiene una cifra decimal, se multiplican el dividendo y el divisor por 10. Así, 90,3 ∙ 10 = 903 y 4,2 ∙ 10 = 42

903 42 63

Después, se divide 903 : 42

21 9030 63 210 00

42 21,5

Como el resto es 21, se añade un 0 en el dividendo y el decimal en el cociente. El resultado obtenido es 21,5

027

Competencia matemática-N2

Consulta Además de facilitar las operaciones de multiplicación y división el cero es un número que tiene una gran utilidad en el ámbito matemático. Puedes consultar una serie de curiosidades acerca de este número en el siguiente enlace: http://bit. ly/16M1CVZ

Unas operaciones que se harán en muchas ocasiones en la siguiente unidad didáctica son la multiplicación y división por una unidad seguida de ceros. En el caso de la multiplicación, se distinguen 2 casos. Si el primer factor es un número entero, se añaden tantos ceros como tenga el otro factor. Por ejemplo: 12 ∙ 10 = 120

350 ∙ 1000 = 350 000

Pero si el primer factor es un número decimal, se moverá la coma del decimal hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el otro factor. Por ejemplo: 3,42 ∙ 100 = 342

0,67 ∙ 1000 = 670

Para la división también se distinguen 2 casos. Si el dividendo tiene tantos ceros o más que el divisor, se tacharán tanto ceros del dividendo como ceros tiene la unidad. Por ejemplo: 120 : 10 = 12

450 000 : 1000 = 450

Y si el dividendo no tiene ceros o no tiene tantos como el divisor, se moverá la coma del decimal hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga el otro factor. Por ejemplo: 560 : 100 = 5,60 2,6 : 100 = 0,026

128 : 100 = 1,28 320,73 : 10 = 32,073

Algunos ejemplos del uso de decimales en entornos cotidianos pueden ser los siguientes: Carlos pesa 54,3 kilos y Elena pesa 53,8. ¿Quién pesa más? ¿Qué diferencia hay entre los pesos? Como 54,3 > 53,8, Carlos es el que más pesa. Para calcular la diferencia entre los pesos se ha de restar: 4 ,

3 ,

0 ,

tra

–

Por tanto, la diferencia de pesos es de 0,5 kilos.

ue s

Víctor camina todos los días dando la vuelta a un parque cuya longitud es de 1,25 kilómetros. Si da 3 vueltas, ¿cuántos kilómetros camina cada día? ¿Y a la semana? Para saber los kilómetros que camina cada día, se multiplica 1,25 ∙ 3: 1 ,

3 ,

3 5

Para calcular los kilómetros que camina a la semana se multiplica 3,75 ∙ 7: 3 ,

5 7

6 ,

Es decir, cada día camina 3,75 kilómetros y cada semana 26,25. Sergio ha pagado 2,6 € por la compra de 4 bolígrafos. ¿Cuánto cuesta cada bolígrafo? Para saber el precio de cada bolígrafo, se ha de dividir 2,6 : 4: 2,6

20 0,65 0 Por tanto, cada bolígrafo cuesta 0,65 €.

028

Utilización de los números para la resolución de problemas

1.6.2.

Significados y usos de las fracciones en la vida real

¿Sabías que...?

Una fracción se forma al dividir una unidad en un número determinado de partes y tomar una cierta cantidad de dichas partes.

El hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci utiliza fracciones para expresar las proporciones anatómicas. El rostro, por ejemplo, mide una décima parte de la altura del cuerpo.

Por ejemplo, 3 cuartos significa que una unidad se divide en 4 partes y se toman 3 de ellas. Esto se suele representar gráficamente de la siguiente forma:

Esta fracción se escribe 3/4 El número 3 se llama numerador y el 4 denominador

También se puede escribir 3/4

Se considera que 3/4 es una fracción propia, porque es menor que la unidad, mientras que una fracción del tipo 9/8 es impropia, porque es mayor que la unidad.

Si Pablo se ha comido las 2 sextas partes de una tarta y quiere expresar en fracción la parte de tarta que se ha comido, ¿qué fracción de tarta le ha sobrado? Si se dibuja la fracción que ha comido, inmediatamente se verá la fracción de tarta que ha sobrado:

tra

Se ha comido 2/6 de la tarta y le han sobrado 4/6

Otro ejemplo podría ser el de cinco amigos que se reúnen en una pizzería y deciden pedir dos pizzas para cenar. Si vienen divididas en ocho porciones, ¿cuántas porciones le corresponderán a cada uno? ¿Sobra alguna porción? ¿Qué fracción representa sobre el total?

ue s

A cada amigo le corresponden 3 porciones, es decir, comerá 3/16 del total

Vocabulario Numerador: parte superior de una fracción. Denominador: parte inferior de una fracción.

Y sobra una porción, que representa 1/16 del total

Las fracciones también pueden ser negativas, por ejemplo 4/–3 o –1/5.

Fracciones equivalentes. Simplificación y amplificación de fracciones; identificación y obtención de fracciones equivalentes

1.6.3.

Se puede decir que 2 fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte de la unidad. Por ejemplo:

Ejemplo

La primera fracción es 1/2 y la segunda es 2/4. Se puede observar que la parte coloreada en ambos cuadrados es la misma. Esta representación gráfica demuestra la equivalencia entre las dos fracciones.

Si se quiere encontrar una fracción equivalente a 2/3 por amplificación, se multiplicarán el numerador y el denominador por 2 y quedará 4/6.

029

Competencia matemática-N2

Esta es la forma gráfica de representar un par de fracciones equivalentes, pero es necesario saber los procedimientos para poder comprobarlo mediante operaciones matemáticas.

Para encontrar una fracción equivalente a 2/4 por simplificación, la única división que se puede hacer es con el 2, quedando otra fracción, 1/2, equivalente a la dada, ya que los divisores comunes de 2 y 4 son 1 y 2.

Se puede comprobar si 2 fracciones son equivalentes sin necesidad de dibujarlas de 2 formas diferentes. En primer lugar, al dividir el numerador entre el denominador de ambas fracciones. Si el resultado de las 2 divisiones es el mismo, las fracciones son equivalentes. En el ejemplo anterior se cumple, porque 1 : 2 = 0,5 y 2 : 4 = 0,5. Y en segundo lugar, al usar una propiedad fundamental que indica que, cuando 2 fracciones son equivalentes, el producto de los medios es igual al producto resultante de los extremos.

Ejemplo

1 2

Medio

2 4

2 ∙ 2 = 4 y 1 ∙ 4 = 4, con lo que las fracciones son equivalentes, como ya se pudo comprobar antes

Extremo

Medio

Cuando dos fracciones son equivalentes se escribe 1/2 = 2/4. Se pueden obtener fracciones equivalentes a una dada por amplificación o por simplificación. Para obtener una fracción equivalente a otra por ampliﬁcación, se multiplican el numerador y el denominador por cualquier número entero distinto de 0 y de 1, usando el mismo número en ambas multiplicaciones.

tra

Se pueden obtener tantas fracciones equivalentes por amplificación como se desee, ya que se pueden multiplicar por el número entero que se quiera.

ue s

Para obtener una fracción equivalente a otra por simpliﬁcación, se dividen el numerador y el denominador por el mismo número entero, siendo dicho número un divisor común a ambos distinto de 1. Con la simplificación no se pueden obtener todas las fracciones que se quiera, ya que solo se pueden dividir entre los divisores comunes al numerador y el denominador.

Ejemplo

La fracción irreductible de 48/120 es la siguiente:

48 24 12 6 = = = = 60 120 30 15 :2

2 5

Un concepto importante cuando se trabaja con fracciones es el de fracción irreducible. Una fracción irreducible es aquella cuyos numerador y denominador son primos entre sí. Se obtiene mediante la simplificación sucesiva de una fracción, hasta que se llega a una que ya no se puede simplificar más.

Reducción de fracciones a común denominador. Comparación de fracciones Para comparar 2 o más fracciones se usan 3 criterios. En primer lugar, si las fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que mayor numerador tenga. Por ejemplo: 8 10

5 10

1 10

En segundo lugar, si las fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que menor denominador tenga. Por ejemplo: 7 2

030

7 4

7 9

1.6.4.

Utilización de los números para la resolución de problemas

Y en tercer lugar, si las fracciones no tienen ni el mismo numerador ni el mismo denominador, se han de reducir a un común denominador. A continuación, se explicará con un ejemplo cuál es el procedimiento. ¿Qué fracción es mayor, 3/4 o 1/3? Para poder comparar estas 2 fracciones, se reducirán a un común denominador. Para ello, se seguirán los siguientes pasos: 1.° Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir, m.c.m. (4, 3) = 12.

3 4

9 12

1 3

4 12

Los egipcios resolvían problemas de la vida diaria mediante operaciones con fracciones. Entre ellos, la distribución de alimentos, el sistema de construcción de pirámides y las medidas utilizadas para estudiar la tierra. Esto se puede consultar en numerosas inscripciones antiguas como el Papiro de Ahmes.

3.° Se escriben las nuevas fracciones. En el denominador se pondrá 12 y en los numeradores se pondrá 9 y 4:

¿Sabías que...?

2.° El mínimo común múltiplo obtenido se divide por el denominador de cada una de las fracciones y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente: 12 : 4 = 3; 3 ∙ 3 = 9 y 12 : 3 = 4; 4 ∙ 1 = 4.

Operaciones con fracciones: suma, resta, producto y cociente

1.6.5.

4.° Ahora ya se pueden comparar. Como 9/12 > 4/12, entonces se puede afirmar que 3/4 > 1/3.

tra

En este apartado, se explicará cómo se realizan las operaciones básicas con fracciones. Antes de comenzar, es necesario remarcar que las operaciones con fracciones también verifican las propiedades estudiadas en el apartado 1.5.5. (utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones y de las reglas de uso de los paréntesis en cálculos sencillos). Tanto para hacer una suma como una resta de 2 fracciones, se han de tener en cuenta 2 posibles casos: que los denominadores sean iguales o que no sean iguales.

ue s

Para sumar o restar 2 fracciones cuyo denominador es el mismo, basta con sumar o restar los numeradores. Por ejemplo: 2 7

4 7

6 7

3 4

;

–

5 4

–2 4

–

2 4

Si las fracciones tienen distinto denominador, antes de sumar o restar se deben reducir las fracciones a un común denominador y proceder como en el caso anterior, sumando o restando los numeradores. Se puede calcular como ejemplo 4/6 − 2/5. Primero, se han de reducir a común denominador. Por tanto, se calcula el m.c.m. (6,5) = 30: 4 6

–

2 5

12 20 – 30 30

8 30

4 15

Para multiplicar 2 fracciones, se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador, lo que de forma coloquial se conoce como multiplicar en línea. Por ejemplo: 2 5

4 3

2·4 5·3

8 15

2 7

5 4

1 6

2·5·1 7·4·6

10 168

5 84

En el caso de querer calcular la fracción de un número, se multiplicará el número entero por el numerador de la fracción y el resultado se dividirá por el denominador. Por ejemplo, para calcular los 2/3 de 81, se multiplicará 2 ∙ 81 = 162 y se dividirá 162 : 3 = 54. Así, 2/3 de 81 es igual a 2/3 ∙ 81 = 54.

Importante Para operar mediante multiplicación o división de fracciones no es necesario reducir a común denominador. Para multiplicar 2 fracciones se multiplican en línea y para dividirlas se multiplican en cruz, pero en ninguno de los 2 casos se han de reducir.

031

Competencia matemática-N2

Para dividir 2 fracciones entre sí, se multiplica el dividendo por el opuesto del divisor. Por ejemplo: 3 5

4 6

3 5

6 4

3·6 5·4

18 20

9 10

Existe otro método más rápido para calcular la división de 2 fracciones, que consiste en multiplicarlas en cruz. Se puede comprobar con el mismo ejemplo de antes: 3 5

4 6

3·6 5·4

18 20

9 10

4 2

–

3 4

15 4 40 + – = 20 20 20

40 + 4 – 15 20

44 – 15 29 = 20 20

1 5

También se pueden realizar operaciones combinadas con fracciones. Por ejemplo:

m.c.m (5, 2, 4) = 5 · 22 = 20

Asimismo, pueden plantearse operaciones que combinen números enteros y fracciones. Por ejemplo: 3 4

¿Sabías que...? La capacidad matemática y el cálculo mental no tienen porque ir de la mano. Algunos de los matemáticos más ilustres han tenido dificultades al operar, y al mismo tiempo muchos calculistas profesionales eran torpes en todas las demás capacidades mentales. Sin embargo, algunos grandes matemáticos han sido también diestros calculistas mentales. Carl Friedrich Gauss, por ejemplo, podía llevar a cabo prodigiosas hazañas matemáticas con la mente. De hecho, le gustaba hacer alarde de que aprendió antes a calcular que a hablar.

+ 1 =

3 4

4 4

7 4

Relaciones entre fracciones y decimales

tra

Si en una fracción se divide el numerador entre el denominador, puede obtenerse un número entero, por ejemplo −24/3 = −8, o un número decimal, por ejemplo 3/2 = 1,5. Este último es un número decimal exacto, porque tiene un número finito de cifras decimales. Hay casos en los que se obtiene un número decimal con un número infinito de cifras decimales que se repiten. Por ejemplo, 1/3 = 0,33333… A este tipo de números se los denomina decimales periódicos puros.

ue s

Existen también los denominados números decimales periódicos mixtos, que son aquellos que tienen algunas cifras que no se repiten y otras que sí lo hacen. Por ejemplo, 5/6 = 0,833333… o 25/60 = 0,41666666…

Ser capaz de utilizar de forma espontánea los elementos y razonamientos matemáticos resulta muy útil para interpretar y producir información, resolver problemas y tomar decisiones sobre situaciones y hechos de la vida diaria.

Importante

Toda fracción puede expresarse como un número entero o como un número decimal.

Algunas situaciones son tan simples como calcular el cambio en una tienda, dividir el tiempo disponible de una tarde entre varias tareas o determinar cuanto debe pagar cada amigo al comprar un regalo compartido. En este punto, entra en juego el cálculo mental y aproximado con números naturales, enteros, decimales y fraccionarios. Y es que, por ejemplo, las propiedades de las operaciones pueden facilitar algunos cálculos cuando no se dispone de una calculadora. Un ejemplo de cálculo mental muy común es el siguiente: para sumar o restar a un número natural, entero o decimal la unidad seguida de ceros o un número que no sea la unidad seguida de ceros, se suman o se restan los dígitos correspondientes a la unidad o al número distinto de cero y los demás dígitos quedan iguales: 725 + 100 = 825 57 + 30 = 87

032

– 25 + 10 = – 15 – 236 – 500 = – 736

2,35 + 10 = 12,35 37,56 – 20 = 17,46

1.6.6.

Utilización de los números para la resolución de problemas

Otro ejemplo son las sumas y restas de números próximos a la unidad seguida de ceros:

26 + 9 = 26 + 10 – 1 = 36 – 1 = 35

34,52 + 99 = 34,52 + 100 – 1 = 134,52 – 1 = 133,52

423 – 99 = 423 – 100 + 1 = 323 + 1 = 324

178,7 – 9 = 178,7 – 10 + 1 = 168,7 + 1 = 169,7

53 + 98 = 53 + 100 – 2 = 153 – 2 = 151

65,92 – 8 = 65,92 – 10 + 2 = 55,92 + 2 = 57,92

300 ∙ 40 = 12 000

Estas operaciones también se pueden realizar con números enteros, por ejemplo, −200 ∙ 30 = −6000; y con números decimales, como se estudió en el apartado 1.6.1. Decimales en entornos cotidianos. Operaciones con números decimales. En este caso, hay que tener en cuenta el decimal y mover la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el otro factor. Por ejemplo: 0,67 ∙ 1000 = 670

3,42 ∙ 100 = 342

En ese mismo apartado, se estudió cómo facilitar la división de números acabados en 0. 200 : 1000 = 2 : 10 = 0,2 30 000 : 500 = 300 : 5 = 60

tra

1300 : 100 = 13 : 1 = 13 1200 : 300 = 12 : 3 = 4

Una manera de ejercitar el cálculo mental es probando la operación de Kaprekar. Este proceso matemático consiste en elegir un número de 4 dígitos distintos, ordenarlo de manera que se obtenga la cantidad más alta, restarle la combinación de esos números que ofrezca la cantidad más baja y repetir el proceso con el resultado obtenido. Por ejemplo, para 8719 sería la siguiente iteración.

25 ∙ 20 = 500

¿Sabías que...?

En el apartado 1.3.2. Operaciones básicas con números naturales, se explicó también que cuando se multiplican dos números que terminan en cero, se puede hacer sin tener en cuenta los ceros y, después, añadir al producto tantos como tengan los dos factores. Por ejemplo:

9871 – 1789 = 8082 8820 – 0288 = 8532 8532 – 2358 = 6174 7641 – 1467 = 6174 7641 – 1467 = 6174

Como puede verse, una vez alcanzado el número 6174, la operación se repite devolviendo el mismo resultado una y otra vez. Este número se conoce como la constante de Kaprekar.

ue s

El cálculo mental con números fraccionarios resulta algo complicado si estos son demasiado grandes. De todos modos, se puede calcular la fracción de un número, por ejemplo, 4/5 de 10, multiplicando 4 ∙ 10 = 40 y dividiendo el resultado por 5, con lo que 40 : 5 = 8. Por tanto, 4/5 de 10 = 8. Asimismo, si se quiere saber cuántos huevos son la mitad de media docena, hay que recordar que media docena son 6 huevos, así que la mitad es 6/2 = 3. Por tanto, la mitad de media docena son 3 huevos. Si se quiere sumar o restar una unidad a una fracción se procederá de la siguiente forma: 2 3

+ 1 =

2+3 3

5 3

7 5

7–5 5

– 1 =

2 5

Como se puede observar, en este caso no es necesario reducir las fracciones a un común denominador, ya que se sabe que 1 = 3/3 para el primer ejemplo y que 1 = 5/5 para el segundo ejemplo. También es sencillo sumar o restar cualquier número entero a una fracción: 1 8 9 4

+ 2 =

– 3 =

1 + 16 8

9 – 12 4

17 8

–3 = – 4

3 4

Para saber el número que hay que restar, basta con multiplicar 8 ∙ 2 = 16 en el primer ejemplo y 4 ∙ 3 = 12 en el segundo.

033

Competencia matemática-N2

La forma de proceder en el cálculo aproximado es redondear los números implicados en la operación, para poder calcular mentalmente, de manera aproximada, el resultado de dicha operación. Para ello, los números de 1 cifra se redondearán a la unidad o a 10, los números de 2 cifras se redondearán a las decenas más cercanas, los de 3 cifras a las centenas más cercanas y así sucesivamente.

Hay que distinguir dos casos en la aproximación por redondeo. Uno es la aproximación por defecto, que se aplica si la última cifra del número que se quiere redondear es menor que 5.

Así, por ejemplo, la aproximación por redondeo de 4 es 1, la de 13 es 10 y la 128 es 100. Y el otro es la aproximación por exceso, que se puede utilizar si la última cifra del número que se quiere redondear es mayor o igual que 5. Por ejemplo, la aproximación por redondeo de 9 es 10, la de 27 es 30 y la de 468 es 500. En el caso de los números decimales, se redondean a la unidad más cercana: 7,84 – 3,35 = 8 – 3 = 5

1,25 + 4,98 = 1 + 5 = 6 9,6 · 3,2 = 10 · 3 = 30

119,8 : 5,76 = 120 : 6 = 20

Algunos ejemplos sobre situaciones de la vida diaria que se resuelven usando el cálculo mental, el aproximado o la calculadora, según se considere más adecuado, son:

tra

¿Cuántos paquetes de 500 folios tendrá que comprar Paula si necesita 6000 al mes en su oficina? Se ha de dividir 6000 : 500. Este cálculo es sencillo y se puede resolver mediante cálculo mental tachando ceros: 6000 : 500 = 60 : 5 = 12. Por tanto, Paula tendrá que comprar 12 paquetes de folios al mes.

ue s

Paula necesita 4800 folios al mes en su oficina, ¿cuántos paquetes de 500 folios necesitará? En este caso, el problema se resolvería mediante un cálculo aproximado. Así, se calcula, 5000 : 500 = 10. La solución es que necesitará aproximadamente 10 paquetes de 500 folios.

Y si se quiere saber cuántos paquetes necesitará al cabo de un año, se multiplicará 12 · 10, que se opera fácilmente mediante cálculo mental y es igual a 120. Por tanto, se puede afirmar que necesitará al año aproximadamente 120 paquetes de 500 folios. En cambio, cuando intervienen muchos números y en consecuencia muchas operaciones, el uso de la calculadora facilita el cálculo. Por ejemplo, Alicia se va de vacaciones a un campamento y ha hecho la siguiente compra: 3 cajas de 6 tetrabriks de leche a 0,65 € cada tetrabrik, 4 paquetes de 3 tetrabriks de zumo a 0,97 € cada paquete y 2 cajas de galletas con 4 paquetes cada caja a 2,45 € la caja. ¿Cuál es el precio total de la compra? Primero se calculará el precio de cada artículo: la leche, 3 · 6 · 0,65 = 11,7, los zumos 4 · 0,97 = 3,88 y las galletas 2 · 2,45 = 4,9. Y después se suman los tres resultados: 11,7 + 3,88 + 4,9 = 20,48. El precio total de la compra es de 20,48 €. Como se puede ver en los anteriores ejemplos, el cálculo mental es una herramienta muy poderosa en la resolución de pequeños problemas que pueden surgir en el día a día.

034

Utilización de los números para la resolución de problemas

1.7.

Porcentajes En la vida diaria, y sobre todo en el ámbito comercial, se usan con mucha frecuencia los porcentajes. ¿Quién no ha visto en un escaparate un cartel de rebajas en el que ponga 20 % de descuento? También se realizan habitualmente compras en las que se cobra el IVA (Impuesto sobre el Valor Añadido).

Cálculo mental y escrito con porcentajes habituales Para calcular el porcentaje de un determinado número, se multiplicará el porcentaje por el número y seguidamente se dividirá entre 100. Es decir, para calcular el 20 % de 15 se hará lo siguiente: 20 · 15 100

300 100

= 3

20 de 15 = 100

1.7.1.

¿Sabías que...?

Los principales gases que componen la atmósfera se pueden cuantificar en porcentajes, que corresponden aproximadamente a los siguientes.

Hay ocasiones en las que los porcentajes se pueden calcular mentalmente. Por ejemplo, si se quiere calcular el 10 % de 200, hay que multiplicar 10 ∙ 200 y dividir el resultado por 100, o lo que es lo mismo, multiplicar 10 ∙ 2 = 20, lo que facilita el cálculo.

50 · 20 100

1000 = 10 100

21 %

Aumentos y disminuciones porcentuales

tra

1.7.2.

Si se quiere obtener el 50 % de una determinada cantidad, basta con calcular la mitad de dicha cantidad. Por ejemplo, el 50 % de 20 es 10:

Cuando se aplica el IVA en la compra de un artículo o en una factura, se está realizando un incremento en el precio del artículo, por lo que se considera un aumento porcentual.

ue s

Por ejemplo, si alguien compra un coche que cuesta 13 000 €, ¿cuál es el precio total que debe pagar si se le ha aplicado un IVA del 21 %? Se puede resolver este problema de 2 maneras: En primer lugar, puede calcularse el 21 % de 13 000 y el resultado se suma a 13 000. 21 % de 13 000 =

21 · 13 000 100

78 %

Oxígeno Nitrógeno Gases nobles CO2 (0.03 %)

= 2730

13 000 + 2730 = 15 730

Por tanto, el precio final del coche es de 15 730 €. Y en segundo lugar, como 21 % = 21/100 = 0,21, basta con calcular (1 + 0,21) ∙ 13 000 = 1,21 ∙ 13 000 = 15 730, que es el mismo resultado que se obtuvo con el otro método. Cuando en rebajas se aplica un descuento, se paga un valor inferior al precio que tiene el artículo, por lo que se considera una disminución porcentual. Por ejemplo, si la etiqueta de unos pantalones marca 35 €, pero al ir a pagar se aplica un descuento del 15 %, ¿cuánto se ha pagado por los pantalones? ¿Cuánto dinero se ha ahorrado?

Importante Quitarle el IVA a un producto no consiste en restarle el 21 % al precio de venta al público. En realidad, el porcentaje es más parecido al 17 %. Una manera sencilla de obtener el importe sin IVA es dividiendo entre 1,21.

1.° Se calcula el 15 % de 35 y el resultado se le resta a 35: 15 % de 35 =

15 · 35 100

= 5,25

35 - 5,25 = 29,75

035

Competencia matemática-N2

Con lo cual, la respuesta a las 2 preguntas es que se han pagado 29,75 € por los pantalones y el ahorro es de 5,25. 2.° Como 15% = 15/100 = 0,15, basta con calcular (1 − 0,15) ∙ 35 = 0,85 ∙ 35 = = 29,75, que es el mismo resultado que se obtuvo con el otro método.

1.7.3.

Identificación y utilización en situaciones de la vida cotidiana de magnitudes directamente proporcionales

Se considera magnitud a todo aquello que se pueda cuantificar, como el número de kilos de unas naranjas, el precio que se paga por 5 bolígrafos o el número de albañiles que trabajan en una obra.

Por ejemplo, si una caja con 2 kilos de cerezas cuesta 4 €, ¿cuánto cuestan 3 kilos? ¿Y 5 kilos? Este problema se resuelve mentalmente de la siguiente forma: Un kilo de cerezas costará 4 : 2 = 2 €. Por tanto, 3 kilos costarán 3 ∙ 2 = 6 € y 5 kilos costarán 5 ∙ 2 = 10 €.

Este problema se puede resolver sin calcular el precio de 1 kilo de cerezas. Así, se puede escribir la siguiente tabla a partir del precio de un kilo de cerezas: Kilos de cerezas

Precio

ue s

tra

Si se observa bien la tabla, 4 es el doble de 2, 8 es el doble de 4, 3 es la mitad de 6 y 6 es la mitad de 12. Es decir, por el doble de kilos de cerezas, se pagará el doble del importe y, por la mitad de kilos, se pagará la mitad del importe. En estos casos, se afirma que las 2 magnitudes son directamente proporcionales y se pueden escribir así: 1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

6 12

Si se dividen las 6 fracciones, se ve que se obtiene el mismo resultado en todas ellas. Cuando el cociente entre los valores correspondientes a cada magnitud es el mismo (es constante), se afirma que las 2 magnitudes son directamente proporcionales. A dicho cociente se le llama constante de proporcionalidad.

Consulta

Puedes encontrar más explicaciones y ejercicios sobre contantes de proporcionalidad en el siguiente enlace: http://bit.ly/1Hu9BSL

Por tanto, si se quisiese resolver el ejemplo anterior usando proporciones, se escribirá 2/4 = 3/x y se calculará la x usando la propiedad fundamental de la equivalencia de fracciones: 2 ∙ x = 3 ∙ 4 = x = 12/2 = 6, con lo que 3 kilos de cerezas cuestan 6 €. Y 2/4 = 5/x, así que 2 ∙ x = 5 ∙ 4 = x = 20/2 = 10, con lo que 5 kilos de cerezas cuestan 10 €.

Aplicación a la resolución de problemas en los que intervenga la proporcionalidad directa. Repartos directamente proporcionales Los problemas en los que interviene la proporcionalidad directa se resuelven siguiendo un método conocido como regla de tres simple. Por ejemplo, si para hacer 8 barras de pan un panadero necesita 200 gramos de harina, ¿cuántos gramos necesitará para hacer 10 barras?

036

1.7.4.

Utilización de los números para la resolución de problemas

La información se organiza de la siguiente forma: 8 barras

200 g

10 barras

En determinados problemas en los que intervienen porcentajes, se usa también la regla de tres simple. Por ejemplo, si se quiere calcular el tanto por ciento que se ha descontado en el precio de una camisa que valía 20 € y por la que se ha pagado 18 €, se restará 20 – 18 = 2, con lo que se sabrá que se han descontado 2 €. Después, se organiza la información de la siguiente forma: 100 %

2€

20 €

Se forma la proporción 8/10 = 200/x. Con lo cual, 8 ∙ x = 10 ∙ 200 y x = 2000/8 = = 250. Así, necesitará 250 gramos de harina para hacer 10 barras de pan.

Así, se forma la proporción 20/2 = 100/x y se opera 20 ∙ x = 2 ∙ 100, con lo que x = 200/20 = 10. La solución del problema es que se ha descontado un 10 %.

Se escribe la regla de tres de la siguiente forma: 240 € ×

tra

21 % 100 %

Otro ejemplo en el que analizar la proporcionalidad directa puede ser el siguiente: un carpintero ha emitido una factura por la realización y montaje de un armario en la que ha aplicado un 21 % de IVA. Si el precio que se ha pagado por el IVA es de 240 €, ¿cuál es el precio del armario? ¿Cuánto se ha pagado una vez aplicado el IVA?

ue s

Así, 21/100 = 240/x, 21 ∙ x = 240 ∙ 100 y x = 24 000/21 = 1142,86 €. El precio del armario es de 1142,86 € y con el incremento del IVA se pagó 1142,86 + 240 = = 1382,86 €. En cuanto a los repartos directamente proporcionales, un ejemplo podría ser el siguiente. Diego, Marta y Rafa trabajan repartiendo revistas a domicilio y les han pagado por todo el trabajo 1800 €. ¿Cuánto dinero recibirá cada uno si Diego ha repartido 250 revistas, Marta 200 y Rafa 150?

Si se lee bien el problema, se entiende que cada uno ha de recibir una cantidad de dinero diferente, ya que no han repartido el mismo número de revistas. Diego es el que más dinero cobrará y Rafa el que menos. Por tanto, se repartirá la paga de manera proporcional al número de revistas que ha entregado cada uno. Así, se deberá calcular el número total de revistas repartidas: 250 + 200 + 150 = = 600. Si se divide 1800 entre 600, se obtiene el precio por repartir una revista. 1800 : 600 = 3. Por tanto, para calcular el dinero que ha cobrado cada uno, basta con multiplicar el número de revistas que ha repartido cada uno por 3. 1.° 250 ∙ 3 = 750 = Diego ha cobrado 750 €. 2.° 200 ∙ 3 = 600 = Marta ha cobrado 600 €. 3.° 150 ∙ 3 = 450 = Rafa ha cobrado 450 €. Una forma de comprobar si se ha hecho bien el reparto es sumar las 3 cantidades obtenidas. El resultado debe ser la cantidad que había que repartir: 750 + + 600 + 450 = 1800.

037

Competencia matemática-N2

Utilización de la calculadora

1.8.

En el apartado de esta unidad didáctica 1.5.6. Utilización de la calculadora para operar con números enteros, ya se abordó la utilización de esta herramienta, pero en los siguientes apartados se explicarán algunos usos más.

Instrucciones de manejo de la calculadora estándar

¿Sabías que...?

Para introducir un número decimal en una calculadora estándar se debe usar la tecla que tiene un punto (.). Así, si se quiere introducir en la calculadora el número decimal 345,26 se escribirá 345.26. Para calcular porcentajes se usa la tecla con el símbolo %.

Algunas calculadoras sustituyen el botón MRC por dos botones con funciones independientes: MR para recuperar y MC para borrar.

1.8.1.

La tecla C sirve para borrar el número escrito cuando se hace por error. Es decir, si se escribe 3 + 5 pero realmente se quería poner 3 + 3, se pulsará la tecla C y se pondrá el 3 que había que escribir.

La tecla M corresponde a la memoria de la calculadora y hay tres teclas de este tipo. La tecla M+ se utiliza para guardar en la memoria un número positivo. Por ejemplo, para guardar en la memoria el número 4, se pulsa 4 M+. La tecla M� se utiliza para guardar en la memoria un número negativo. Por ejemplo, para guardar en la memoria el número −4, simplemente hay que pulsar 4 M�. Y la tecla MRC corresponde a la tecla de la memoria recuperadora y también sirve para borrar un número de la memoria.

tra

Si se pulsa la tecla MRC aparece en la pantalla el número guardado. Puede aparecer de 2 formas: si aparece 4M, indica que el número guardado en la memoria es 4 y si aparece 4M, significa que el número guardado en la memoria es −4. Si se quiere borrar el número que hay guardado en la memoria se ha de pulsar la tecla MRC 2 veces.

Empleo de la calculadora como instrumento para resolver operaciones

ue s

El empleo de la calculadora se puede entender mejor resolviendo una operación, por ejemplo, 34,5 : 4,2. Para ello, se debe seguir el siguiente esquema de teclas: 3 4 . 5 ÷ 4 . 2 = 8,214285714285742.

Para obtener el número decimal al que corresponde una determinada fracción se ha de dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo, 2/5 se calcularía con las siguientes teclas: 2 ÷ 5 = 0 . 4. Por tanto, 2/5 = 0,4.

Importante Las teclas de la memoria de la calculadora también se pueden usar para multiplicaciones y divisiones en cadena.

Con la calculadora se pueden resolver porcentajes de una forma muy rápida, por ejemplo, si se quiere calcular el 15 % de 120 se hará de la siguiente forma: se introducirá el tanto por cien, se pulsará la tecla de la multiplicación, se introducirá el número al que se quiere aplicar el porcentaje y, seguidamente, se pulsará la tecla del porcentaje. Es decir, se pulsarán las teclas 1 5 × 1 2 0 % y el resultado aparecerá directamente en la pantalla de la calculadora. En este caso es 18. Las teclas de la memoria se suelen usar cuando se quiere realizar alguna operación en la que aparezca varias veces el mismo número. Por ejemplo, para realizar: 353 + 19 + 19 + 19, se escribe en la calculadora 19 y se pulsa la tecla M+, es decir, se escribe 19 M+. Para comprobar que se ha guardado bien en la memoria, se pulsa la tecla MRC. Después, se deja la calculadora a 0 pulsando la tecla AC y se comienza con la suma: 353 + MRC + MRC + MRC = 410.

Si se quiere realizar 450 – 16 – 16, se puede hacer también de dos formas. Por un lado, se puede guardar el número 16 en la memoria como un número positivo pulsando la tecla M+. Es decir, se escribe 16 M+ y luego 450 � MRC � MRC = = 418. Y por otro lado, se puede guardar el número 16 en la memoria como un número negativo pulsando la tecla M�. Así, se escribe 16 M� y luego 450 + MRC + + MRC = 418. 038

1.8.2.

Utilización de los números para la resolución de problemas

Resumen En esta unidad didáctica se ha aprendido que: - Un número se puede descomponer en unidades, decenas y centenas. - Para comparar 2 números se usan los símbolos >, que significa mayor que, y <, que significa menor que.

- Los números naturales se usan para ordenar y contar, y con ellos se pueden hacer 4 operaciones básicas: la suma, la resta, la multiplicación y la división.

- Para calcular los divisores de un número hay que dividir dicho número entre todos aquellos que sean menores, incluido él mismo.

- Un número natural mayor que 1 es primo si sus únicos divisores son 1 y él mismo. Los números que no son primos se denominan compuestos. - El máximo común divisor de 2 o más números naturales es el mayor de todos los divisores comunes a dichos números y el mínimo común es el menor de todos los múltiplos comunes.

- Los números enteros surgen de la necesidad de expresar cantidades negativas.

- Las operaciones con números enteros se realizan de la misma manera que con números naturales, pero hay que tener cuidado con el signo negativo.

tra

- Las operaciones con decimales se hacen como las operaciones con números naturales, pero teniendo en cuenta el decimal. - Una fracción se forma al dividir una unidad en un número determinado de partes y tomar una cierta cantidad de ellas.

ue s

- Para calcular el porcentaje de un número, se multiplica este por el porcentaje y se divide entre 100.

- Los problemas en los que interviene la proporcionalidad directa se resuelven siguiendo un método conocido como regla de tres simple.

Reflexión final Una vez asimilados los conceptos básicos explicados a lo largo de esta unidad didáctica, se puede pasar a la siguiente con una base matemática sólida. De esta forma, se podrán realizar operaciones indirectas con fracciones o porcentajes.

039

Competencia matemática-N2

Comprueba lo que has aprendido 1. A las 7 horas de esta mañana el termómetro marcaba 5° bajo cero y a las 2 del mediodía marcaba 11 °C. ¿Cuántos grados ha subido la temperatura?

2. Completa los siguientes párrafos con los términos adecuados. unidad

divisible

exacta

cifra

a. 15 °C. b. 16 °C. c. 17 °C. d. 18 °C.

Se considera que un número (d) es por otro (a) cuando al realizar la división (d : a), esta es exacta, o lo que es lo mismo, tiene resto 0. En este caso, se considera que d es un múltiplo de a y que a es un divisor de d. Es decir, un número es múltiplo de otro si el primero resulta de multiplicar el segundo por cualquier otro número natural distinto de 0; y un número es divisor de otro si, al dividir el segundo número entre el primero, la división es . . Por ejemplo, el 9 equivale a 9 unidades. Un número se puede descomponer Se considera el 1 como la en unidades, decenas y centenas. La primera empezando por la derecha corresponde siempre a las unidades, la segunda a las decenas y la tercera a las centenas.

3. Eva lee una revista de 15 en 15 páginas y Víctor la lee de 20 en 20. ¿Cuál es el menor número de páginas que

a. 50 páginas. b. 60 páginas. c. 45 páginas. d. 120 páginas.

tra

puede tener la revista?

4. Se quieren poner baldosas cuadradas en una habitación rectangular de 500 centímetros de largo y 350 centímetros

ue s

de ancho, de manera que todas tengan el mismo tamaño. ¿Cuántos centímetros debe medir el lado de cada baldosa si se quiere usar el menor número posible de baldosas?

040

Utilización de los números para la resolución de problemas

5. Señala si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. V

Dependiendo de la posición en la que se encuentre un dígito, se habla de unidades, decenas o centenas

Las operaciones básicas con números naturales son 3: la suma, la resta, la multiplicación Como el sistema de numeración decimal es posicional, el valor de cada cifra depende de su posición en el número

Para calcular un múltiplo de un número (d), basta con multiplicar d por cualquier número natural

Se considera magnitud a todo aquello que se pueda cuantificar

El máximo común divisor (m.c.d.) de 2 o más números naturales se define como el menor de todos los divisores comunes a dichos números

6. En el proceso de recogida de cerezas se estropearon el 9 %. Si se recogieron 13 200 kilos, ¿cuántos kilos de

a. Quedaron 12 012 kilos de cerezas. b. Quedaron 12 957 kilos de cerezas. c. Quedaron 11 967 kilos de cerezas. d. Quedaron 11 977 kilos de cerezas.

cerezas quedaron?

el videojuego?

ue s

a. 100 €. b. 110 €. c. 120 €. d. 140 €.

tra

7. Hugo se ha gastado en la compra de un videojuego 6/7 del dinero que tenía. Si tenía 140 €, ¿cuánto le ha costado

8. Con los jerséis que tiene María se pueden formar lotes de 4, 6 y 10 sin que falte ni sobre ninguno. ¿Qué condición cumple el número de jerséis que tiene? ¿Cuál es el mínimo número de jerséis que puede tener?

041

Competencia matemática-N2

Soluciones 1. A las 7 horas de esta mañana el termómetro marcaba 5° bajo cero y a las 2 del mediodía marcaba 11 °C. ¿Cuántos grados ha subido la temperatura? a. 15 °C. b. 16 °C. c. 17 °C. d. 18 °C.

unidad

divisible

exacta

cifra

2. Completa los siguientes párrafos con los términos adecuados.

Se considera que un número (d) es divisible por otro (a) cuando al realizar la división (d : a), esta es exacta, o lo que es lo mismo, tiene resto 0. En este caso, se considera que d es un múltiplo de a y que a es un divisor de d. Es decir, un número es múltiplo de otro si el primero resulta de multiplicar el segundo por cualquier otro número natural distinto de 0; y un número es divisor de otro si, al dividir el segundo número entre el primero, la división es exacta.

3. Eva lee una revista de 15 en 15 páginas y Víctor la lee de 20 en 20. ¿Cuál es el menor número de páginas que

a. 50 páginas. b. 60 páginas. c. 45 páginas. d. 120 páginas.

tra

puede tener la revista?

4. Se quieren poner baldosas cuadradas en una habitación rectangular de 500 centímetros de largo y 350 centímetros

ue s

de ancho, de manera que todas tengan el mismo tamaño. ¿Cuántos centímetros debe medir el lado de cada baldosa si se quiere usar el menor número posible de baldosas?

Si se desea utilizar el menor número de baldosas habrá que buscar el mayor número entero que divida las dimensiones de la habitación sin dejar resto. Este cálculo coincide con el m.c.d.

500

350

250

175

125

Como 500 = 22 ∙ 53 ∙ 7 y 350 = 2 ∙ 52 ∙ 7, el m.c.d. es 2 ∙ 52 = 50. La respuesta es que las baldosas han de medir 50 centímetros.

042

Utilización de los números para la resolución de problemas

5. Señala si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. V Dependiendo de la posición en la que se encuentre un dígito, se habla de unidades, decenas o centenas

X X

Para calcular un múltiplo de un número (d), basta con multiplicar d por cualquier número natural

El máximo común divisor (m.c.d.) de 2 o más números naturales se define como el menor de todos los divisores comunes a dichos números

Se considera magnitud a todo aquello que se pueda cuantificar

6. En el proceso de recogida de cerezas se estropearon el 9 %. Si se recogieron 13 200 kilos, ¿cuántos kilos de

cerezas quedaron? a. Quedaron 12 012 kilos de cerezas. b. Quedaron 12 957 kilos de cerezas. c. Quedaron 11 967 kilos de cerezas. d. Quedaron 11 977 kilos de cerezas.

el videojuego?

ue s

a. 100 €. b. 110 €. c. 120 €. d. 140 €.

tra

7. Hugo se ha gastado en la compra de un videojuego 6/7 del dinero que tenía. Si tenía 140 €, ¿cuánto le ha costado

La condición que se cumple es que el número de jerséis tiene que ser, a la vez, múltiplo de 4, 6 y 10. Para averiguar el mínimo de jerséis, se ha de calcular el m.c.m. de 4, 6 y 10.

Como 4 = 22, 6 = 2 ∙ 3 y 10 = 2 ∙ 5, el m.c.m. es 22 ∙ 3 ∙ 5 = 60. La respuesta es que tiene como mínimo 60 jerséis.

043

ue s

tra

Utilización de las medidas para la resolución de problemas

2. Utilización de las medidas para la resolución de problemas 2.1. Introducción 2.2. Unidades monetarias 2.3. El sistema métrico decimal

Contenidos

Objetivos Manejar con precisión unidades monetarias para realizar cambios, pagos y devoluciones, realizando correctamente las equivalencias entre diversas unidades monetarias y haciendo con fluidez conversiones sencillas de unidades.

Utilizar unidades de medida del sistema métrico decimal (longitud, superficie y volumen) para estimar y efectuar medidas, tanto directas como indirectas, en actividades relacionadas con la vida cotidiana, seleccionando el tipo apropiado de unidad para medir la longitud, la superficie y el volumen y valorando su precisión.

ue s

tra

Reflexión inicial Una vez asimiladas las bases matemáticas de la anterior unidad didáctica es posible avanzar hacia problemas que se presentan en el día a día. La destreza en el manejo del dinero y la capacidad de operar con diferentes unidades abre la puerta a un nuevo conjunto de situaciones matemáticas.

Competencia matemática-N2

Introducción

2.1.

En esta unidad didáctica se estudiarán las unidades monetarias y el sistema métrico decimal. El uso de monedas como medio de cambio es muy habitual. Así, cuando se realiza una compra, se paga con billetes y monedas, lo que coloquialmente se conoce como dinero, y si se realiza un trabajo, el tiempo y esfuerzo empleado se recompensan también con dinero.

El sistema métrico decimal se utiliza para medir longitudes, áreas y volúmenes, entre otras magnitudes. Por ejemplo, se usa para medir la distancia entre dos ciudades, la superficie que tiene un campo de fútbol o la capacidad de agua que tiene una piscina.

Unidades monetarias

2.2.

Se denomina unidad monetaria a la moneda que usa cada país. Es decir, la moneda de curso legal en un determinado estado.

En los siguientes apartados, se estudiarán las dos unidades monetarias más conocidas en España, que son el euro y el dólar, así como la conversión de una moneda a otra.

tra

Identificación y comparación del euro y el dólar En España se usa como unidad monetaria el euro, que se expresa con el símbolo €, al igual que en otros países de la Unión Europea. Sin embargo, en Estados Unidos y en otros países americanos, la unidad monetaria que se utiliza es el dólar, que se expresa con el símbolo $.

ue s

El euro se fracciona en céntimos, que se expresan como cent., de manera que 1 € = 100 cent., y cuenta con billetes de 50 €, 200 €, 100 €, 50 €, 20 €, 10 € y 5 € y con monedas de 2 €, 1 €, 50 cent., 20 cent., 10 cent., 5 cent., 2 cent. y 1 cent. Por ejemplo, 13 euros y 67 céntimos se puede escribir como 13,67 €. A continuación, se verán algunos casos sobre el uso del euro en el día a día.

Por ejemplo, si se tuvieran que pagar 35 € y 29 cent., se usarían un billete de 20 €, un billete de 10 €, otro de 5 €, una moneda de 20 cent., otra de 5 cent. y 2 monedas de 2 cent. Y si se tuvieran que pagar 121,61 €, se utilizarían un billete de 100 € y otro de 20 €, una moneda de 1 €, una de 50 cent., una de 10 cent. y otra de 1 cent. Otros ejemplos pueden ser: Pilar se ha comprado unos pantalones de 29,90 € y una camisa de 15,99 €. ¿Cuánto habrá pagado en total por las dos prendas? Si ha pagado con un billete de 50 €, ¿cuánto dinero le han devuelto? Primero, se sumará 29,90 + 15,99 = 45,89. Después, se resta 50 – 45,89 = 4,11. Por tanto, Pilar ha pagado 45,89 € y le han devuelto 4,11 €. María trabaja como comercial en la venta de viviendas. Cobra mensualmente una cantidad fija de 970 € y un plus del 0,1 % en las ventas que realice. Si el mes pasado vendió dos pisos por valor de 245 000 €, ¿cuánto cobró al finalizar el mes? En primer lugar, se calcula el 0,1% de 245 000: 0,1 % de 245 000 =

046

0,1 · 245 000 100

= 245

2.2.1.

Utilización de las medidas para la resolución de problemas

Y en segundo lugar, se suma 970 + 245 = 1215. Por tanto, María ganó el mes pasado 1215 €. Como ya se explicó, en Estados Unidos la moneda oficial es el dólar, que también circula en forma de monedas y billetes. A diferencia del euro, el símbolo del dólar se escribe siempre delante de la cantidad a la que hace referencia.

Moneda

Valor

La fracción del dólar se llama centavo y su correspondencia es $ 1 = 100 centavos. El dólar estadounidense dispone de las monedas que aparecen en la siguiente tabla, en la que se muestra el valor de cada una de ellas y sus nombres coloquiales.

Nombre coloquial

$ 0.01

Penny

5 centavos

$ 0.05

Nickel

10 centavos

$ 0.10

Dime

25 centavos

$ 0.25

Quarter

50 centavos

$ 0.50

Half dollar (aunque este nombre no es muy usado)

1 dólar = 100 centavos

One dollar

1 centavo

Ejemplo

¿Cuántos centavos equivalen $ 6, 3 dimes y 8 pennies?

tra

Además, el dólar dispone de los siguientes billetes, $ 1.00, $ 5.00, $ 10.00, $ 20.00, $ 50.00 y $ 100.

Pues $ 6 corresponderían a 600 centavos, 3 dimes corresponderían a 3 ∙ 10 = 30 centavos y 8 pennies a 8 centavos. Si se suma todo, 600 + 30 + 8 = 638, se puede asegurar que 6 dólares, 3 dimes y 8 pennies corresponden a 638 centavos, o lo que es lo mismo, $ 6.38.

ue s

A continuación, se explicarán unos ejemplos del uso del dólar en actividades asociadas a la compra, venta o intercambio de productos: Javier se ha ido de vacaciones a Nueva York y le ha comprado a su madre un regalo por valor de $ 45.78. ¿Qué billetes y monedas usará para efectuar el pago? Utilizará dos billetes de $ 20.0 y uno de $ 5, una moneda de 50 centavos, otra de 25 centavos y 3 monedas de 1 centavo.

Si Javier decide pagar con un billete de $ 50.00, ¿cuánto dinero le devolverán? Para calcularlo, se ha de restar 50 – 45.78 = 4.22. Por tanto, le devolverán $ 4.22. ¿Y qué monedas y billetes usará el dueño de la tienda para efectuar la devolución de $ 4.22 a Javier? Utilizará 4 monedas de $ 1 o bien 4 billetes de $ 1, 2 monedas de 10 centavos y dos monedas de 1 centavo.

2.2.2. Conversión de moneda La moneda de cada país tiene un valor diferente. Por eso, para saber el valor de una moneda con respecto a otra se usa la conversión. Así, sabiendo que en la actualidad un dólar corresponde a 0,733 euros, ¿cuántos euros serán 80 dólares? Se puede hacer esta conversión de moneda de dos maneras diferentes. En primer lugar, con la regla de tres simple, que se estudió en la unidad didáctica anterior, y en la que la información se organiza de la siguiente forma:

0,733 €

$ 80

047

Competencia matemática-N2

Después, se forma la proporción:

1 80

Consulta

0,733 ×

Y se opera 1 ∙ x = 80 ∙ 0,733 , con lo que x = 58,64. 80 dólares corresponden a 58,64 euros, o lo que es lo mismo, 58 € y 64 cent. En segundo lugar, se puede hacer simplemente multiplicando 80 por el valor del dólar en euros. Es decir, 80 ∙ 0,733 = 58,64.

El euro y el dólar son unidades monetarias estables, y utilizadas como referencia en muchos mercados internacionales. Sin embargo, existen en el mundo monedas muy devaluadas que cuentan con una tasa de cambio fuera de lo común. Puedes ver algunas en el siguiente enlace: http://bit.ly/1cIbRKo.

Si en el problema anterior se explicó que $ 1 corresponde a 0,733 €, ¿cuántos dólares son un euro? En este caso se escribe: 0,733 €

1€

Por tanto, la proporción sería:

1 0,733 = 1 ×

1·1 = 1,364 0,733

× =

Con este cálculo se ha obtenido que un euro equivale a 1,364 dólares. En este caso, hubiera bastado con hacer la división 1 : 0,733 = 1,364.

tra

Con los datos que se tiene de los dos problemas anteriores, se puede calcular también, por ejemplo, cuántos dólares son 50 € de dos formas distintas. Por un lado, en el primer problema se decía que 1 dólar corresponde a 0,733 euros. Por tanto:

ue s

1 0,733 = × 50

×=

1 · 50 = 68,2 0,733

Por otro lado, en el segundo problema se obtuvo que 1 euro equivale a 1,364 dólares, así que:

$ 1,364

1€

50 €

1,364 1 = 50 ×

× =

1,364 · 50 1

= 68,2

De esta manera, se obtuvo el mismo resultado de dos maneras distintas: 50 € equivalen a $ 68,2. Las operaciones de conversión de divisas son fundamentales, no solo en el comercio internacional, sino también en los viajes al extranjero. Las reglas de tres explicadas en los ejercicios anteriores son una manera sencilla de calcular cuantos dolares se podran obtener en una oficina de cambio en Estados Unidos. Además, existen otros métodos como los factores de conversión, fracciones en las que el numerador y el denominador expresan la misma cantidad en diferentes unidades de medida.

048

Utilización de las medidas para la resolución de problemas

2.3.

El sistema métrico decimal El sistema métrico decimal se usa para estimar y efectuar medidas de determinadas magnitudes. El SI (Sistema Internacional) de unidades de medida es el que se utiliza en la mayoría de los países.

Vocabulario Magnitud: cualidad que se puede medir. La alegría, por ejemplo, no es una magnitud, ya que no se puede medir.

2.3.1. Medidas de longitud. El metro, múltiplos y submúltiplos ¿Sabías que...?

El SI establece que la unidad de medida de la longitud sea el metro (m), que tiene múltiplos y submúltiplos. Los múltiplos son el kilómetro (km), el hectómetro (hm) y el decámetro (dam), cuya equivalencia es:

A lo largo de la historia se ha definido el metro de múltiples maneras, buscando cada vez la mayor precisión posible. Algunas de estas definiciones consistían en dividir un meridiano, en asociar la medida a un metro patrón fabricado en platino o compararlo con una longitud de onda.

● 1 dam = 10 m.

● 1 hm = 10 dam = 100 m.

● 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m.

Los submúltiplos son el decímetro (dm), el centímetro (cm) y el milímetro (mm), cuya equivalencia es:

● 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm. ● 1 dm = 10 cm = 100 mm. ● 1 cm = 10 mm.

tra

En ocasiones, el metro es una unidad que puede resultar demasiado grande o demasiado pequeña a la hora de realizar determinadas mediciones. Por tanto, cuando se tenga que realizar una medición, primero se ha de pensar en qué unidad conviene expresarla.

ue s

Gráficamente, se puede observar que si se pasa de un múltiplo a un submúltiplo se ha de multiplicar la cantidad por 10 tantas veces como lugares haya entre ellos.

Ejemplo Para medir la longitud de un bebé se usan los centímetros, pero cuando se habla de la distancia entre Madrid y Barcelona se utiliza el kilómetro.

Por el contrario, si se quiere pasar de un submúltiplo a un múltiplo, se ha de dividir entre 10 tantas veces como lugares los separen.

· 10

dam

: 10

· 10

: 10

· 10

: 10

· 10

: 10

· 10

: 10

Se entenderá mejor con algunos ejemplos. Así, se puede comprobar a cuántos milímetros equivalen diferentes longitudes.

2 cm = 20 mm

7 km = 7 000 000 mm

8 dam = 80 000 mm

50 cm = 500 mm

4 hm = 400 000 mm

14 m = 14 000 mm

3 m = 3000 mm

5dm = 500 mm

23 dm = 2300 mm

049

Competencia matemática-N2

También se puede comprobar cuántos kilómetros son diferentes longitudes expresadas con otras unidades:

¿Sabías que...? El sistema métrico decimal es relativamente moderno ya que no fue hasta la Revolución Francesa de 1789 que las medidas que utilizaban como base 10 se empezaron a consolidar. Tanto es así que este sistema no fue confirmado hasta la primera Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en París en 1889.

300 000 cm = 3 km

14 000 dm = 1,4 km

70 hm = 7 km

90 000 cm = 0,9 km

600 000 mm = 0,6 km

48 m = 0,048 km

80 m = 0,08 km

20 000 dam = 200 km

360 dm = 0,036 km

O expresar las siguientes medidas en m:

6 dm, 5 cm y 3 mm = 0,653 m

4 km, 5 hm y 3 m = 4503 m

4 cm y 7 mm = 0,047 m

7 hm y 4 dam = 740 m

8 dm y 2 mm = 0,802 m

6 km, 8 hm y 4 dam = 6840 m

Se pueden realizar las cuatro operaciones básicas con medidas, pero se ha de tener especial cuidado con la suma y la resta, ya que las medidas deben estar en la misma unidad. Por ejemplo, para realizar las siguientes operaciones, expresando el resultado en la menor unidad que aparezca en cada caso, se hará:

● 7,5 m + 2 cm = 750 cm + 2 cm = 752 cm.

● 3,45 km + 650 dm = 34 500 dm + 650 dm = 35 150 dm. ● 6,35 dam – 780 mm = 63 500 mm – 780 mm = 62 720 mm.

tra

● 7,33 hm – 65 m = 733 m – 65 m = 668 m.

Medidas de superficie. El metro cuadrado

ue s

El metro cuadrado (m2) es una medida derivada del metro y equivale al área de un cuadrado de lado igual a un metro.

· 102

km2

· 102

dam2

hm2

: 102

· 102

: 102

· 102

dm2

: 102

· 102

cm2

: 102

mm2

: 102

Si se quiere pasar de un múltiplo a un submúltiplo, se ha de multiplicar por 100 tantas veces como lugares haya entre ellos. Por el contrario, si se desea pasar de un submúltiplo a un múltiplo, se ha de dividir entre 100 tantas veces como lugares los separen. Por ejemplo, para expresar las siguientes medidas en m2 se hará:

050

700 000 cm2 = 70 m2

52 dam2 = 5200 m2

9 km2 = 9 000 000 m2

60 000 dm2 = 600 m2

300 000 mm2 = 0,3 m2

800 cm2 = 0,08 m2

40 dm2 = 0,4 m2

2 hm2 = 20 000 m2

3,60 km2 = 3 600 000 m2

2.3.2.

Utilización de las medidas para la resolución de problemas

Y para expresar las siguientes medidas en cm2: ● 7 hm2 + 3 m2 + 6 dm2 = 700 000 000 cm2 + 30 000 cm2 + 600 cm2 = 700 030 600 cm2.

Ejemplo Una plantación de 1 hectárea podría ser un cuadrado de 100 metros de lado.

● 4 m2 + 9 dm2 + 50 cm2 = 40 000 cm2 + 900 cm2 + 50 cm2 = 40 950 cm2. 1 Área = 100 m2

Asimismo, para comparar dos cifras también habrá que tenerlas en la misma unidad. Por ejemplo, para saber qué superficie es menor, 0,65 m2 o 4 dm2, se pasará 0,65 m2 a dm2: 0,65 m2 = 65 dm2. Por lo tanto, 4 dm2 < 0,65 m2.

10 m

Existen otras medidas de superﬁcie que son muy utilizadas en agricultura: el área (a) y la hectárea (ha). La equivalencia con las unidades anteriores es 1 a = 1 dam2 y 1 ha = 1 hm2.

1 Hectárea = 100 áreas = 10.000 m2

Por ejemplo, si Eugenio tiene 4 ha de tierra y Rafa tiene 350 dam2, ¿cuál de los dos tiene mayor superficie de tierra? Primero se pasará 4 ha a dam2. Así, 4 ha = = 4 hm2 = 400 dam2. Como 4 ha > 350 dam2, Eugenio es el que tiene mayor superficie.

100 m

2.3.3. Medidas de volumen. El metro cúbico

· 103

dam3

hm3

: 103

ue s

: 103

· 103

tra

km3

· 103

El metro cúbico (m3) corresponde al volumen que ocupa un cubo regular de arista un metro.

· 103

dm3

· 103

cm3

: 103

mm3

: 103

Si se pasa de un múltiplo a un submúltiplo, se ha de multiplicar por 1000 tantas veces como lugares haya entre ellos. Por el contrario, si se quiere pasar de un submúltiplo a un múltiplo, se ha de dividir entre 1000 tantas veces como lugares los separen. A continuación se verán algunos casos.

Por ejemplo, para expresar diferentes cantidades en dm3 se hará lo siguiente:

4000 cm3 = 4 dm3

15 dam3 = 15 000 000 dm3

3 km3 = 3 000 000 000 000 dm3

8 m3 = 8000 dm3

700 000 mm3 = 0,7 dm3

800 cm3 = 0,8 dm3

50 m3 = 50 000 dm3

9 hm3 = 9 000 000 000 dm3

0,05 km3 = 50 000 000 000 dm3

Existe otra medida de capacidad que se usa de forma más frecuente que el m3: el litro (l) y sus múltiplos (kl, hl y dal) y submúltiplos (dl, cl y ml). La relación que existe entre ambas medidas de capacidad es la siguiente: 1 l = 1 dm3, 1kl = 1 m3 y 1 ml = 1 cm3.

kl m3

dal

l dm3

ml cm3

051

Competencia matemática-N2

En cuanto al cambio de unidades en el litro, ocurre lo mismo que en el caso del metro. Así, para pasar de un múltiplo a un submúltiplo, se multiplica por 10 tantas veces como lugares haya entre ellos y, si se pasa de un submúltiplo a un múltiplo, se divide por 10. Por ejemplo, si Víctor está llenando una piscina de 2 000 000 l de capacidad y ya ha echado 890 000 l, ¿cuántos l quedan para que se llene la piscina? El resultado se puede expresar en l y en m3.

Para ello, se realizará el siguiente cálculo: 2 000 000 – 890 000 = 1 110 000 l = = 1110 kl = 1110 m3. La solución al problema es que le quedan por echar 1 110 000 l de agua, que corresponden a 1110 m3.

dag

: 10

· 10

: 10

· 10

Otras unidades de medida del SI que se usan a diario son el kilo (kg), con el que se miden masas, y el segundo (s), con el que se mide el tiempo.

: 10

· 10

: 10

¿Sabías que...?

Por ejemplo, si un bebé pesó al nacer 2 kg y 920 g y al cabo de seis meses su peso es de 7 kg y medio, ¿cuántos g ha engordado en este tiempo? ¿Cuántos kg son? Para calcularlo, se pasarán ambas cantidades a gramos: 2 kg y 920 g = 2920 g y 7 kg y medio = 7500 g. Y después se restará 7500 – 2920 = 4580. Por tanto, ha engordado 4580 g, que corresponden a 4,580 kg.

ue s

El quintal era una antigua unidad de masa española y en algunos países de Iberoamérica es común su uso en los mercados de materias primas y alimentos.

tra

El submúltiplo más importante del kilo es el gramo (g). La correspondencia entre ellos es 1 kg = 1000 g. Comúnmente, se usan las siguientes expresiones: un cuarto de kilo, que corresponde a 250 g (1/4 de 1000 g); medio kilo, que son 500 g; y tres cuartos de kilo, que son 750 g (3/4 de 1000 g).

El kilo tiene dos múltiplos que se usan muy a menudo: el quintal (q) y la tonelada (T). Su equivalencia es 1 q = 100 kg y 1 T = 1000 kg. Por ejemplo, algunas equivalencias son: 3,45 q = 345 kg

3600 kg = 36 q

75 T = 75 000 kg

35 000 kg = 35 T

Según el SI, la unidad de medida de tiempo es el segundo, sin embargo para expresar el tiempo también se usan horas (h) y minutos (min). La correspondencia entre las tres unidades es la siguiente: 1 min = 60 s y 1 h = 60 min = 3600 s. Por ejemplo, para expresar las siguientes medidas de tiempo en segundos se hará: ● 3 h, 5 min y 4 s = 3 ∙ 3600 + 5 ∙ 60 + 4 = 10 800 + 300 + 4 = 11 104 s. ● 40 min y 25 s = 40 ∙ 60 + 25 = 2400 + 25 = 2425 s. ● 55 min y 50 s = 55 ∙ 60 + 50 = 3300 + 50 = 3350 s. ● 5 h y 32 s = 5 ∙ 3600 + 32 = 18 000 + 32 = 18 032 s.

052

Utilización de las medidas para la resolución de problemas

Asimismo, para expresar 420 min en horas, primero se pasarán los minutos a horas, para lo que habrá que dividir 420 : 60.

420 60 00 7

Por tanto, 420 min = 7 h

740

140

Para expresar 740 min en horas se dividirá 740 : 60.

Como la división no es exacta, el resto corresponde a los minutos que sobran y que no llegan a ser una hora completa. Por tanto, 740 min = 12 h y 20 min.

60 410

24 640 s = 410 min y 40 s

Después, se divide 410 : 60.

410 60

Por tanto, se puede decir que 24 640 s = 6 h 50 min y 40 s. Otras unidades de tiempo muy usadas también son:

Unidades de tiempo

Importante La expresión 24 640 s se considera una forma incompleja y la expresión 6 h 50 min y 40 s una forma compleja.

410 min = 6 h y 50 min

ue s

50 6

tra

24 640 0 64 40

Para expresar 24 640 s en horas, primero se pasarán los segundos a minutos, dividiendo 24 640 : 60. El resultado obtenido serán minutos que, si se dividen por 60, pasan a ser horas:

Correspondencia con otras unidades

1 día

24 horas

1 semana

7 días

1 mes

28, 29, 30 o 31 días, según corresponda

1 año

12 meses = 365 o 366 días, si es año bisiesto

1 lustro

5 años

1 década

10 años

1 siglo

100 años

¿Sabías que...? La definición de segundo utilizada a partir de 1967 toma como base el tiempo atómico, un estándar de alta precisión relacionado con el átomo de Cesio. Al ser este método tan estable, es necesario realizar ajustes periódicos para mantener la concordancia con el tiempo solar.

Una magnitud es cualquier característica que se puede medir, por ejemplo, la longitud, la masa, la temperatura, la energía, etc. Las magnitudes físicas se pueden clasificar, según la forma en que se miden, en dos categorías distintas.

053

Competencia matemática-N2

Sin embargo, existen variables que no se pueden medir por comparación directa, bien porque el valor a medir es demasiado grande o pequeño, bien porque no existen patrones con los que realizar dicha medición. En este caso, se habla de medición indirecta, que se define como aquella que no se puede calcular mediante ningún aparato, por lo que se ha de recurrir a la medida de otras magnitudes. Así, las medidas indirectas se calculan mediante una fórmula o expresión matemática, a partir de la medida directa de las magnitudes que intervienen en la fórmula. Es el caso de la densidad, que se obtendrá a partir de la medida de la masa y el volumen.

Existe una conocida anécdota que relaciona a Arquímedes con la densidad. Según cuenta la historía, Hierón II, tirano de Siracusa, le pidió al matemático griego que comprobara si su corona era enteramente de oro o tenía algún otro agregado. El problema residía en determinar la densidad de la pieza sin destruirla y convertirla en un cuerpo regular. Arquímedes observó mientras se bañaba que el nivel del agua subía cuando entraba en la tina. Este efecto fue el que utilizó para calcular el volumen de la corona y posteriormente su densidad.

¿Sabías que...?

De este modo, se considera que una medida es directa si se puede calcular usando un instrumento destinado a medir alguna magnitud. Es decir, una herramienta que compare la variable a medir con un patrón. Por ejemplo, para medir una longitud se usa una cinta métrica o una regla. Otros ejemplos de mediciones directas son la masa (kg), el volumen (m3) o el tiempo (s).

Por ejemplo, si se pregunta qué pesa más, 1 kilo de plomo o 1 kilo de paja, está claro que ambas sustancias tienen la misma masa, pero la paja ocupará mucho más espacio. Eso se debe a que su densidad es menor.

La densidad se representa con la letra d y es el cociente entre la masa (m) de un objeto y su volumen (V): d = m/V. Así, su unidad en el SI es el kg/m3. A continuación, se incluye una tabla de las densidades de distintas sustancias.

Sustancia

Temperatura °C

kg/m3

ue s

tra

Sólidos

Consulta

Los radares de tramo, utilizados para el control de tráfico en las carreteras, son un ejemplo de obtención de una medida indirecta, ya que utilizan el tiempo que le lleva a un coche transcurrir entre dos cámaras, cuya distancia es conocida de antemano. Puedes obtener más información sobre su funcionamiento en el siguiente enlace: http://bit.ly/1yB0hNj.

Aluminio

2700

Cobre

8500

Vidrio

2600

Granito

2700

Hierro

7700

Plomo

11 300

Acero

7700

Agua (hielo)

917

Líquidos Sangre

1050

Etanol (alcohol etílico)

791

Glicerina

1260

Mercurio

13 600

Otro ejemplo de medida indirecta es la velocidad (v) con la que se mueve un objeto móvil. Si se considera el espacio (e) como la distancia en metros que recorre el móvil y t como el tiempo que este tarda en recorrer dicho espacio medido en segundos, la velocidad se obtiene realizando el siguiente cociente: v = e/t. La unidad de medida de la velocidad en el SI es el m/s. Así, por ejemplo, si un coche tarda 2 segundos en recorrer 72 metros, la velocidad a la que se desplaza es v = 72/2 = 36 m/s. 054

Utilización de las medidas para la resolución de problemas

Resumen En esta unidad didáctica se ha aprendido que: - En España se usa como unidad monetaria el euro, que se expresa con el símbolo € y se fracciona en céntimos.

- En la actualidad, un dólar corresponde a 0,733 euros. - La mayoría de países usan el SI de unidades de medida.

- Los múltiplos del metro son el kilómetro (km), el hectómetro (hm) y el decámetro (dam) y los submúltiplos el decímetro (dm), el centímetro (cm) y el milímetro (mm).

ue s

tra

- Un metro cuadrado (m2) equivale al área de un cuadrado de lado igual a un metro y un metro cúbico (m3), al volumen que ocupa un cubo de lado un metro.

Reflexión final El euro y el dólar son las monedas de Europa y Estados Unidos respectivamente, y entre ellas existe una conversión que varía con el tiempo. Por otro lado, el SI proporciona las unidades estándar de longitud, superficie y volumen.

055

Competencia matemática-N2

Comprueba lo que has aprendido 1. En una bañera con capacidad para 1000 dm3 hay 625 dm3, 30 cm3 y 21 mm3. ¿Cuánto falta para que se llene? a. 374 969 900 mm3. b. 374 969 979 mm3. c. 374 969 809 mm3. d. 374 970 979 mm3.

b. 4,25 km =

dm.

c. 80 dm2 =

mm2.

d. 7400 cm2 =

m2.

e. 90 cm2 =

dm2.

f. 5100 dm2 =

m2.

dam.

a. 653 cm =

2. Efectúa las siguientes transformaciones.

3. Se tienen que poner azulejos en la pared de un cuarto de baño y las baldosas tienen una superficie de 576 cm2.

¿Cuántos azulejos se necesitarán para cubrir una superficie de 28,8 m2?

tra

a. 450. b. 455. c. 500. d. 525.

4. Un coche tiene que recorrer los 25 km que separan dos ciudades y lleva recorridos 8 km, 40 hm y 20 dam. ¿Qué

ue s

distancia queda por recorrer?

5. Sergio salió la semana pasada tres días con la bicicleta. El primer día recorrió 2 km, el segundo 1 km y 5 hm y el último día recorrió 6 hm y 5 dam. ¿Cuántos metros recorrió en total? a. 3900 m. b. 4150 m. c. 4000 m. d. 4100 m.

056

Utilización de las medidas para la resolución de problemas

6. Lidia va a viajar a Estados Unidos. Para ello tiene que cambiar 500 euros a dólares. Si 1 € son $ 1,364, ¿cuántos dólares recibirá? a. 670 $. b. 675 $. c. 680 $. d. 682 $.

7. Señala si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

Una magnitud es cualquier característica que se puede medir, por ejemplo, la longitud, la masa, la temperatura, la energía, etc.

La hectárea es una medida de volumen muy utilizada en agricultura

La expresión 24 640 s se considera una forma incompleja y la expresión 6 h 50 min y 40 s una forma compleja

El submúltiplo más importante del kilo es el gramo (g)

El SI se utiliza en una minoría de países

El dólar se fracciona en centavos y no en céntimos, a diferencia del euro

tra

8. Completa los siguientes párrafos con los términos adecuados. unidad monetaria

Se denomina

cuadrado

euro

indirectas

longitud

a la moneda que usa cada país. Es decir, la moneda de curso legal en un determinado estado.

ue s

se fracciona en céntimos, que se expresan como cent., de manera que 1 € = 100 cent., y cuenta con El billetes de 500 €, 200 €, 100 €, 50 €, 20 €, 10 € y 5 € y con monedas de 2 €, 1 €, 50 cent., 20 cent., 10 cent., 5 cent., 2 cent. y 1 cent. sea el metro (m), que tiene múltiplos y submúltiplos. Los El SI establece que la unidad de medida de la múltiplos son el kilómetro (km), el hectómetro (hm) y el decámetro (dam) y los submúltiplos son el decímetro (dm), el centímetro (cm) y el milímetro (mm). (m2) es una medida derivada del metro y equivale al área de un cuadrado de lado igual a un metro.

El metro

se calculan mediante una fórmula o expresión matemática, a partir de la medida directa de Las medidas las magnitudes que intervienen en la fórmula. Es el caso de la densidad, que se obtendrá a partir de la medida de la masa y el volumen.

9. Un camión transporta 24 T de naranjas. Al llegar a su destino, se han estropeado 1200 kg. ¿Cuántos kilos de naranjas quedan? a. 22 T. b. 20 000 kg. c. 23 T. d. 22 800 kg.

057

Competencia matemática-N2

Soluciones 1. En una bañera con capacidad para 1 000 dm3 hay 625 dm3, 30 cm3 y 21 mm3. ¿Cuánto falta para que se llene? a. 374 969 900 mm3. b. 374 969 979 mm3. c. 374 969 809 mm3. d. 374 970 979 mm3.

2. Efectúa las siguientes transformaciones. a. 653 cm = 0,653 dam. b. 4,25 km = 42 500 dm.

c. 80 dm2 = 800 000 mm2. d. 7400 cm2 = 0,74 m2.

e. 90 cm2 = 0,9 dm2. f. 5100 dm2 = 51 m2.

3. Se tienen que poner azulejos en la pared de un cuarto de baño y las baldosas tienen una superficie de 576 cm2.

¿Cuántos azulejos se necesitarán para cubrir una superficie de 28,8 m2?

tra

a. 450. b. 455. c. 500. d. 525.

4. Un coche tiene que recorrer los 25 km que separan dos ciudades y lleva recorridos 8 km, 40 hm y 20 dam. ¿Qué distancia queda por recorrer?

ue s

En primer lugar, hay que pasar la distancia recorrida a una unidad común, por ejemplo a metros. De este modo, 8 km serían 8000 m, 40 hm serían 4000 m y 20 dam serían 200 m. La suma de estas tres distancias resulta 12 200 m. 8 km = 8000 m 40 hm = 4000 m 20 dam = 200 m

8000 m + 4000 m + 200 m = 12 200 m

El segundo y último paso es restar esta distancia a la que separa las dos ciudades, 25 km, que por supuesto tendremos que pasar a metros también. Esta operación da como resultado 12 800 m. 25 000 m - 12 200 m = 12 800 m

058

Utilización de las medidas para la resolución de problemas

6. Lidia va a viajar a Estados Unidos. Para ello tiene que cambiar 500 euros a dólares. Si 1 € son $ 1,364, ¿cuántos dólares recibirá? a. 670 $. b. 675 $. c. 680 $. d. 682 $.

7. Señala si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

Una magnitud es cualquier característica que se puede medir, por ejemplo, la longitud, la masa, la temperatura, la energía, etc.

La expresión 24 640 s se considera una forma incompleja y la expresión 6 h 50 min y 40 s una forma compleja

El submúltiplo más importante del kilo es el gramo (g)

El SI se utiliza en una minoría de países

La hectárea es una medida de volumen muy utilizada en agricultura

El dólar se fracciona en centavos y no en céntimos, a diferencia del euro

X X X X

tra

8. Completa los siguientes párrafos con los términos adecuados. unidad monetaria

cuadrado

euro

indirectas

longitud

Se denomina unidad monetaria a la moneda que usa cada país. Es decir, la moneda de curso legal en un determinado estado.

ue s

El euro se fracciona en céntimos, que se expresan como cent., de manera que 1 € = 100 cent., y cuenta con billetes de 500 €, 200 €, 100 €, 50 €, 20 €, 10 € y 5 € y con monedas de 2 €, 1 €, 50 cent., 20 cent., 10 cent., 5 cent., 2 cent. y 1 cent. El SI establece que la unidad de medida de la longitud sea el metro (m), que tiene múltiplos y submúltiplos. Los múltiplos son el kilómetro (km), el hectómetro (hm) y el decámetro (dam) y los submúltiplos son el decímetro (dm), el centímetro (cm) y el milímetro (mm).

El metro cuadrado (m2) es una medida derivada del metro y equivale al área de un cuadrado de lado igual a un metro. Las medidas indirectas se calculan mediante una fórmula o expresión matemática, a partir de la medida directa de las magnitudes que intervienen en la fórmula. Es el caso de la densidad, que se obtendrá a partir de la medida de la masa y el volumen.

9. Un camión transporta 24 T de naranjas. Al llegar a su destino, se han estropeado 1200 kg. ¿Cuántos kilos de naranjas quedan? a. 22 T. b. 20 000 kg. c. 23 T. d. 22 800 kg.

059

ue s

tra

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

Contenidos

3. Aplicación de la geometría en la resolución de problemas 3.1. Introducción 3.2. Elementos básicos de la geometría del plano 3.3. Coordenadas cartesianas 3.4. Polígonos 3.5. La circunferencia y el círculo 3.6. Cuerpos geométricos: prismas y pirámides 3.7. Resolución de problemas geométricos que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes 3.8. Empleo de herramientas informáticas para construir y simular relaciones entre elementos geométricos

Objetivos ● Aplicar el conocimiento de las formas y relaciones geométricas y de los sistemas de representación espacial (croquis, callejeros, planos sencillos, maquetas…) para elaborar y comunicar informaciones relativas al espacio físico y para interpretar, describir y resolver situaciones cotidianas de orientación y representación espacial y sobre movimientos (seguir un recorrido dado, indicar una dirección, etc.), utilizando, en su caso, herramientas tecnológicas que faciliten la visualización espacial.

- Áreas de superficies regulares (cuadrado, rectángulo, triángulo, rombo, trapecio y círculo) e irregulares limitadas por segmentos y arcos de circunferencia.

● Estimar la medida de figuras y cuerpos geométricos con una precisión acorde con la regularidad de sus formas y con su tamaño, calculando correctamente:

● Resolver problemas sencillos que conlleven la obtención de medidas de segmentos y el cálculo de perímetros y ángulos de figuras planas o espaciales, con una precisión acorde a la situación planteada y expresando el resultado en la unidad de medida más adecuada.

ue s

tra

- Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, desarrollando estrategias personales.

Reflexión inicial La geometría constituye una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Su influencia en el mundo que nos rodea es tal que es imprescindible conocer con precisión sus conceptos principales y elementos más básicos si se desea profundizar en el estudio matemático.

Competencia matemática-N2

3.1. Introducción

En esta unidad didáctica se estudiará cómo reconocer estas formas geométricas para resolver problemas, principalmente calculando perímetros, áreas y volúmenes.

3.2. Elementos básicos de la geometría del plano

3.2.

Euclides, un importante matemático y geómetra griego, es considerado el padre de la geometría por sentar las bases de esta ciencia. La geometría euclidiana, que se desarrolla en su obra Los elementos, es un instrumento de razonamiento deductivo que ha permitido avanzar en muchas ramas científicas, por ejemplo, la astronomía, la física o la ingeniería.

Existen numerosas representaciones geométricas tanto en la naturaleza como en el medio urbano. Ejemplos de ello son las representaciones artísticas en catedrales, la forma cilíndrica de la cisterna de un camión, la forma de las señales de tráfico o la forma en espiral de la concha de determinados animales, entre otros.

¿Sabías que...?

3.1.

Un plano es una superficie en 2 dimensiones, en la que hay un conjunto infinito de puntos en 2 dimensiones.

Plano (P)

tra

Los elementos básicos de la geometría del plano son los puntos, las rectas, las semirrectas y los segmentos, que se estudiarán en el siguiente apartado.

3.2.1. Líneas, segmentos y ángulos

ue s

El elemento más básico en geometría es el punto, que se utiliza para indicar una posición. Se denota con letras mayúsculas: A, B, C, etc. Por ejemplo:

Importante

En la geometría euclidiana, por un punto pasan infinitas rectas, mientras que dos puntos determinan solamente una. Esto es así porque el punto es una figura geométrica adimensional que solamente describe una posición en el espacio.

En la imagen anterior se ejemplifican varios puntos posicionales en un plano cartesiano, que se explica más adelante en esta misma unidad didáctica. En este caso, tres de los puntos se encuentran en el primer cuadrante, mientras que uno de ellos se corresponde con una función que incluye un número positivo y otro negativo.

062

3.2.1.

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

Una línea es una sucesión ininterrumpida de puntos. No tiene principio ni fin y puede ser recta o curva.

Línea curva

Rectas paralelas

Rectas secantes

Las rectas se suelen denotar con letras minúsculas: r, s, etc. Según la posición relativa de 2 rectas, estas pueden ser paralelas, si no se tocan porque tienen la misma inclinación; secantes, si se cortan en un punto; o coincidentes, si las 2 rectas son la misma y una está encima de la otra.

Línea recta

Rectas coincidentes

Segmento

tra

Un segmento es una línea recta con principio y fin. El punto A que se indica en la siguiente imagen se denomina origen del segmento, y el B, final del segmento.

Los segmentos se miden con una regla graduada. Dependiendo del tamaño del segmento o del objeto que se quiera medir, se puede usar una regla graduada en centímetros o en milímetros, entre otras graduaciones.

ue s

La precisión del instrumento corresponde a la menor unidad con la que este nos permite llevar a cabo la medición. Es muy complicado realizar mediciones exactas, por lo que se ha de elegir la unidad de medida adecuada al tamaño del objeto que se quiere medir, para que la precisión sea la mayor posible.

Ejemplo Si se quiere medir la longitud de un lápiz, se usará una regla graduada en milímetros. Sin embargo, si se quiere medir la longitud de una pared, se usará una regla o una cinta métrica graduada en centímetros.

También se pueden realizar mediciones por estimación, que consisten en dar la medida que parezca más adecuada. Así, para realizar estimaciones de medidas, primero se ha de escoger la unidad de referencia y, después, compararla con lo que se ha de medir. Una semirrecta es una línea recta que tiene principio pero no tiene fin. Es decir, en este caso el origen sigue siendo A, pero no hay fin. Es lo que ocurre, por ejemplo, en la siguiente representación:

Ejemplo Si se estima que la longitud de un lápiz es de aproximadamente unos 15 cm, no tiene sentido dar dicha medida en metros. En cambio, en el caso de que se quiera estimar la anchura de la fachada de un edificio, lo más correcto sería decir que dicha medida está entre 10 y 12 m.

Semirrecta

063

Competencia matemática-N2

El espacio que queda entre 2 semirrectas cuando estas se cortan se denomina ángulo.

Vocabulario Sistema sexagesimal: aquel usado para medir los ángulos y las horas. Las unidades para los ángulos son los grados, minutos y segundos; y para las horas, las horas, minutos y segundos.

El origen de ambas semirrectas, marcado como A en la anterior imagen, se denomina vértice del ángulo y, cada semirrecta, lado del ángulo. Dicho ángulo se denota como Â. Si dos rectas secantes se cortan en un punto, originan cuatro regiones angulares.

Los ángulos son una parte fundamental de la topografía ya que permiten obtener distancias mediante triangulación.

Cuando dos rectas secantes se cortan de forma que las 4 regiones angulares que originan son iguales, se afirma que las dos rectas son perpendiculares. En este caso, se forman cuatro ángulos rectos.

tra

¿Sabías que...?

Se puede considerar un ángulo como el barrido que hace una semirrecta cuando gira manteniendo su origen fijo. Según esto, se distinguen los siguientes ángulos:

ue s

● Ángulo nulo: no se ha barrido ninguna zona.

● Ángulo recto: la semirrecta ha barrido un cuarto de vuelta.

● Ángulo llano: la semirrecta ha barrido media vuelta. A

064

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

● Ángulo completo: la semirrecta ha barrido todo el plano.

¿Sabías que...? La piedra de los doce ángulos es un símbolo de la ciudad de Cuzco en Perú. Consiste en un bloque de piedra de la cultura inca que refleja el nivel de los acabados en las construcciones de la época.

El ángulo nulo mide 0°

El ángulo recto mide 90°

El ángulo llano mide 180°

El ángulo completo mide 360°

La unidad de medida que se usa para los ángulos es el grado, que se denota con el símbolo ° y se obtiene de la división del ángulo recto en 90 partes iguales.

3.2.2. Medida y operaciones con ángulos 3.2.2.

Ángulo recto

Ángulo agudo

El resto de ángulos se pueden clasificar de dos formas. Así, respecto al ángulo recto, pueden ser agudos, si miden menos de 90°, y obtusos, si su medida está comprendida entre 90 y 180°.

Ángulo obtuso

ue s

tra

Y, respecto al ángulo llano, pueden ser convexos, si miden 180° o menos, o cóncavos, si miden más de 180°.

Ángulo convexo

Ángulo llano

Ejemplo

Ángulo cóncavo

Los conceptos de ángulos cóncavos y convexos se aplican en elementos de la vida real. Por ejemplo, los espejos convexos son de gran utilidad puesto que aumentan el campo visual respecto a su equivalente plano.

Se considera que dos ángulos son consecutivos si tienen en común el vértice y uno de sus lados.

A Si al dibujar 2 ángulos consecutivos estos forman un ángulo de 90°, se afirma que son complementarios. Por ejemplo, al dibujar un ángulo de 45° seguido de otro igual, también de 45°, se obtendrían dos ángulos complementarios porque estos suman los grados de un ángulo recto. Lo mismo ocurre con la suma de un ángulo de 30° y otro de 60°. Existen múltiples combinaciones para obtener ángulos complementarios.

065

Competencia matemática-N2

Ejemplo

En cambio, 2 ángulos son suplementarios si, al dibujarlos consecutivos, forman un ángulo de 180°.

Un campo donde cobran especial importancia los ángulos es la balística. Conceptos como el ángulo de penetración o el ángulo de alcance máximo están asociados a fórmulas matemáticas para maximizar los resultados obtenidos.

Gracias al grado, se pueden comparar ángulos. Por ejemplo, 38° < 46° y 123° > 102°. Para poder medir ángulos, compararlos e incluso para dibujarlos, si se sabe su medida, se utiliza el transportador de ángulos o semicírculo graduado.

90º 120º

180º

150º

60º

30º

0º

El grado no sigue las reglas del sistema decimal, sino que usa un sistema denominado sexagesimal. Por ello, también se conoce como grado sexagesimal a esta unidad de medida.

El transportador está graduado en grados. Así, la precisión con la que se mide un ángulo puede variar aproximadamente medio grado.

tra

¿Sabías que...?

El grado tiene 2 submúltiplos: el minuto (’) y el segundo (”). Para pasar de una unidad a otra, se multiplicará o dividirá por 60, dependiendo de si es inferior o superior a la unidad dada.

ue s

Es decir, la correspondencia entre grados, minutos y segundos es la siguiente: 1’ = 60” y 1° = 60’ = 3.600”, que se expresa gráficamente en la siguiente imagen. · 60

Grado

· 60

Minuto

: 60

Segundo

: 60

Para el cálculo de las equivalencias de estas medidas se tendrán que realizar, por lo tanto, dos operaciones básicas: la multiplicación y la división. Por ejemplo, para expresar diferentes medidas en minutos se harán las siguientes operaciones: 42°

2400”

Se multiplica 42 ∙ 60 = 2520

Se divide 2400 : 60 = 40

Por tanto, 42° = 2520’

Por tanto, 2400” = 40’

Asimismo, para pasar 31’ a segundos, se deberá multiplicar 31 ∙ 60 = 1860. Así, 31’ = 1860”.

066

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

Por ejemplo, para pasar 2° a segundos, se calculará (2 ∙ 60) ∙ 60 = 120 ∙ 60 = 7200 o 2 ∙ 3600 = 7200. Con lo que, 2° = 7200”. Para transformar 2100’ en grados sexagesimales se dividirá 2100 : 60 = 35. Por tanto, 2100’ = 35°. En el caso de querer transformar 46 800” en grados, se podrá hacer también de 2 formas: dividiendo 46 800 dos veces por 60 o dividiendo una vez por 3600. Es decir, (46 800 : 60) : 60 = 780: 60 = 13 o 46 800 : 3600 = 13. Con lo cual, 46 800” = 13°.

En navegación, ya sea en embarcaciones o aeronaves, se utilizan con frecuencia los rumbos para indicar una dirección. Se expresan mediante ángulos comprendidos entre 0 y 360° y siempre se dan tres dígitos, añadiendo ceros a la izquierda si fuera necesario.

La medida de un ángulo se puede escribir de dos maneras diferentes: de forma incompleja o de forma compleja. El primer caso se da cuando se expresa la medida del ángulo usando una sola unidad. Por ejemplo, 62°, 742’ o 29 504”. Y el segundo, cuando se usan varias unidades para expresar la medida de un ángulo. Por ejemplo, 73° 56’ 34”, 50° 9” o 45’ 32”.

Sabías que...?

La conversión de grados a segundos se puede hacer de 2 formas: multiplicando veces por 60 o multiplicando una sola vez por 3600.

Para pasar una medida de un ángulo de forma compleja a forma incompleja, se deben convertir todas las unidades a la más pequeña y sumarlas. Por ejemplo, para pasar a minutos 36° 58’, se convertirán los grados a minutos, 36 ∙ 60 = 2160, y se sumará 2160 + 58 = 2218. Por tanto, 36° 58’ = 2218’.

Asimismo, para expresar en su forma incompleja 81° 35’ 42”, se convertirán los grados y minutos en segundos: 81 ∙ 3600 = 291 600 y 35 ∙ 60 = 2100. Después, se sumará 291 600 + 2100 + 42 = 293 742. Por tanto, 81° 35’ 42” = 293 742”.

tra

Para pasar una medida de un ángulo de forma incompleja en forma compleja, se ha de convertir la unidad dada a la unidad inmediatamente superior, dividiéndola por 60.

ue s

El cociente de la división será la cantidad que corresponde a la unidad superior a la dada y el resto corresponderá a la unidad de partida. Esta operación se hará una o dos veces, dependiendo de si la unidad del cociente puede pasarse a otra unidad superior o no. Por ejemplo, para expresar en forma compleja 782’, se dividirá 782 : 60 y se obtiene que 782’ = 13° 2’.

182

Grados

Minutos

782

Para expresar en forma compleja 1570” se dividirá 1570 : 60. Como en el cociente que se obtiene 26 < 60, ya no se pueden pasar estos minutos a grados. Por tanto, 1570” = 26’ 10”.

Segundos

1570

370

Consulta Puedes encontrar ejercicios y problemas resueltos sobre operaciones con ángulos en el siguiente enlace: http://bit. ly/1Ci56v0.

Minutos

Con las medidas de los ángulos, se pueden realizar las cuatro operaciones básicas: la suma, la resta, la multiplicación y la división.

067

Competencia matemática-N2

Para sumar dos ángulos, se suman segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados. Si el resultado de la suma de los segundos o de los minutos es igual o superior a 60, se pasará dicha unidad a la unidad inmediatamente superior. A continuación, se explicará como ejemplo cómo calcular la siguiente suma: 120° 13’ 21” + 43° 34’ 35”:

13’

21”

43°

34’

35”

163°

47’

56”

Se suman los segundos con los segundos, los minutos con los minutos y los grados con los grados El resultado de la suma es: 163° 47’ 56”

24”

12°

16’

55”

35°

47’

79”

23°

31’

12°

16’

35°

47’

47’+1’ = 48’

tra

35°

Se suma unidad por unidad

31’

Como en la suma de los segundos se obtiene que 79” > 60”, estos se pasarán a minutos y se restará 79 – 60 = 19

24”

55” 79”

23°

Asimismo, para sumar 23° 31’ 24” + 12° 16’ 55”:

120°

79”– 60” = 19”

Por tanto, quedarán 19” y se tendrá que sumar 1’ a los 47’ que se tienen Resultado: 23° 31’ 24” + 12° 16’ 55” = = 35° 48’ 19”

Para calcular 78° 39’ 56” + 91° 48’ 12”:

39’

56”

91°

48’

12”

169°

87’

68”

78°

39’

56”

91°

48’

12”

Se resta 68 – 60 = 8. Por tanto, quedan 8”

169°

87’

68”

Se suma 1’ + 87’ = 88’

ue s

78°

Se suma unidad por unidad

Como en la suma de los segundos se obtiene que 68” > 60”, se pasan a minutos

Como 88’ > 60’, se pasan a grados Se resta 88 – 60 = 28 169°

87’+1’ = 88’

68”– 60” = 8” Por lo que quedan 28’ y se suma 1° a 169° De este modo, el resultado será:

169° + 1° = 170°

068

88’ – 60’ = 28’

78° 39’ 56” + 91° 48’ 12” = 170° 28’ 8”

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

Para restar dos ángulos, se restan segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados. A continuación, se explicarán algunos ejemplos: Para calcular 136° 58’ 39” – 88° 21’ 14”: 58’

39”

88°

21’

14”

48°

37’

25”

Se restan los segundos con los segundos, los minutos con los minutos y los grados con los grados El resultado es: 136° 58’ 39” – 88° 21’ 14” = 48° 37’ 25”

Para restar 98° 36’ 54” – 46° 45’ 36”:

36’

54”

46°

45’

36”

Se resta unidad a unidad, pero al llegar a los minutos, se comprueba que no se puede realizar la resta 36’ – 45’

98° – 1° = 97°

36’ + 60’ = 96’

Se ha de quitar un grado a los 98° del minuendo y pasarlo a minutos, de forma que 36’ + 60’ = 96’. Y así se puede restar 96’ – 45’

–

54”

46°

45’

36”

97°

96’

54”

46°

45’

36”

36’

–

98°

Se resta 97° 96’ 54” – 46° 45’ 36” Y se obtiene como resultado 51° 51’ 18”

tra

–

98°

–

136°

51’

18”

ue s

Para realizar 81° 23’ 12” – 40° 50’ 32”:

–

81°

23’

12”

40°

50’

32”

23’ – 1’ = 22’

12” + 60” = 72”

81°

23’

12”

40°

50’

32”

Al comenzar la operación, se comprueba que no se puede realizar la resta 12” – 32”

18”

Por lo tanto, se ha de pasar un minuto de los 23’ del minuendo a segundos. Y así, se obtendrá que 12” + 60” = = 72”

18” 81°

22’

72”

40°

50’

32”

Ahora el problema está en que no se pueden restar 22’ – 50’

40”

–

81° – 1° = 80°

22’ + 60’ = 82’

81°

22’

72”

40°

50’

32”

80°

82’

72”

40°

50’

32”

40°

32’

40”

Se vuelve a hacer como en el ejemplo anterior, quitando un grado a los 98° del minuendo para pasarlos a minutos. Así, 22’ + 60’ = 82’ y ya se puede restar

40”

–

Ahora ya se puede hacer la resta. El resultado es: 81° 23’ 12” – 40° 50’ 32” = 40° 32’ 40”

069

Competencia matemática-N2

¿Sabías que...? Los escasos cimientos llevaron a la célebre torre de Pisa a desplazarse de la posición vertical para la que fue proyectada. Actualmente, el ángulo que tiene es de 3,99° aunque antes de su última reforma la inclinación era de 5,5°.

Para multiplicar la medida de un ángulo por un número, se multiplica dicho número por cada una de las unidades. Se comprenderá mejor con algunos ejemplos: Así, para calcular 36° 18’ 12’ ∙ 3 se hará:

36°

18’

12” 3

x 54’

36”

108°

Por tanto, el resultado de la multiplicación es 108° 54’ 36”.

8’

40’

45°

8’

30” 5

225°

40’

150”

30”

42’

30”

tra

40’ + 2’ = 42’

225°

Se multiplica el número por cada una de las unidades

150”

225°

ue s

30”

45°

Y para calcular 45° 8’ 30” ∙ 5 se procederá del siguiente modo:

Como en la multiplicación 5 ∙ 30” se obtiene 150”, se han de pasar los segundos que se puedan a minutos. Para ello se hace la siguiente división: 150

150” = 2’ 30” y 45° 8’ 30” ∙ 5 = 225° 42’ 30”

Para dividir una medida de un ángulo por un número, se divide dicho número por cada una de las unidades, empezando en este caso por los grados, ya que si la división no fuera exacta, el resto se habría de pasar a la unidad inmediatamente inferior.

46°

14’

36”

60’ 74’ 14 2

120” 156 06 0

070

3 15° 24’ 52”

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

3.3.

Coordenadas cartesianas 3.3. Las coordenadas cartesianas se usan para la representación gráfica de puntos en un plano. Así, con ellas se puede ubicar cualquier punto en un plano.

3.3.1.

Representación en ejes de coordenadas: abscisas y ordenadas 3.3.1.

Para representar puntos en el plano se utilizan como sistema de referencia los ejes de coordenadas. Para ello, se consideran dos rectas numéricas, una vertical y otra horizontal, que se cortan en un punto, denominado origen de coordenadas. Las coordenadas cartesianas de este punto son O(0,0).

¿Sabías que...? Las coordenadas cartesianas deben su nombre a René Descartes, filósofo, matemático y físico francés. Existe una anécdota que afirma que la idea de las coordenadas se le ocurrió mientras observaba una mosca. Reflexionando sobre cómo determinar la posición del insecto respecto a dos superficies perpendiculares, llegó a la conclusión de que cualquier punto podía quedar determinado por su distancia a los ejes.

Los puntos de las coordenadas cartesianas, A(x,y), se denominan pares ordenados. A la x se la conoce como abscisa y a la y como ordenada. Por ejemplo, A(1, 4), B(5, –2), C(–5, 0), D(–1, –7), etc.

A la recta horizontal se la denomina eje de abscisas o de las x, y a la recta vertical, eje de ordenadas o de las y. Estas dos rectas dividen el plano en cuatro regiones iguales, que se denominan cuadrantes y que se numeran en el sentido contrario a las agujas del reloj.

tra

Eje Y

1.er cuadrante

ue s

2.o cuadrante

O(0,0)

4.o cuadrante

3.er cuadrante

Eje X

El signo de las abscisas y de las ordenadas de un punto dependerá del cuadrante en el que se encuentre dicho punto.

Cuadrante

Abscisas (x)

Ordenadas (y)

1.er cuadrante

2.° cuadrante

–

3.er cuadrante

–

4.° cuadrante

–

071

Competencia matemática-N2

Por ejemplo, los puntos A(4, 4), B(–3, 2), C(–2, –2) y D(6, –2) se representarán en el eje de coordenadas del siguiente modo:

Otro tipo de representaciones son las que se realizan mediante croquis, callejeros, planos o maquetas. De forma habitual, con ellas se llevan a cabo multitud de actividades y tareas cotidianas, como indicar recorridos, orientarse, interpretar callejeros, planos o mapas de carreteras, resolver problemas en viajes, etc. Estos textos geométricos forman parte de la cultura cotidiana y conviene familiarizarse con su dominio. Las representaciones espaciales más comunes y utilizadas son:

tra

● Croquis de un lugar: dibujo a mano alzada que plasma de forma simplificada una imagen o idea. Por ejemplo, se puede hacer un croquis para indicar una dirección.

ue s

● Callejero: guía o mapa en el que se pueden visualizar las calles y carreteras de una ciudad o pueblo. Puede estar impreso o en formato digital. Este último es el más usado en la actualidad.

● Plano: representación que indica o marca ubicaciones. También puede ser la representación a escala de una construcción, por ejemplo, el plano de una casa. Otro ejemplo de plano es el de las líneas de metro o autobuses.

Ejemplo

A día de hoy, muchas personas disponen de GPS, que es un navegador que indica el recorrido que se debe hacer para llegar a una dirección concreta, que se ha introducido previamente en el sistema. También se usa mucho Google Maps™, que ofrece mapas de determinadas localizaciones. Ambas herramientas tecnológicas facilitan la visualización espacial.

072

● Maqueta: representación de algo real en 3 dimensiones y a escala (en tamaño reducido). También puede darse el caso contrario, es decir, modelos en tamaño grande de algún objeto pequeño, incluso microscópico. Se pueden encontrar maquetas tanto a nivel profesional (presentaciones de proyectos de edificios, realización de objetos y escenarios para películas, etc.), como a nivel recreativo (modelismo de coches, aviones, trenes, barcos, figuras militares, etc.) o divulgativo y comercial, como maquetas de edificios famosos.

3.4.

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

3.4.

Polígonos Cuando se unen varias líneas rectas por alguno de sus extremos, se obtiene una línea poligonal. Hay dos tipos de líneas poligonales:

Consulta

Poligonal abierta

Poligonal cerrada

A medida que vas avanzando por las explicaciones sobre los polígonos puedes comprobar tus conocimientos con los siguientes ejercicios interactivos: http://bit.ly/1zwq6i7.

Un polígono se define como el espacio que queda limitado por una poligonal cerrada.

Propiedades y relaciones 3.4.1.

Los polígonos se pueden clasificar con arreglo a dos criterios. Según sus ángulos interiores, pueden ser convexos, si todos son menores de 180°; o cóncavos, si alguno es mayor de 180°.

3.4.1.

ue s

tra

Los elementos más comunes en un polígono son los lados, que son los segmentos que forman el polígono; los vértices, que son los puntos donde se unen dos lados; los ángulos interiores, que son aquellos que forman dos lados consecutivos; y las diagonales, que son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos de un polígono.

Polígono convexo

Importante En un polígono cóncavo al menos una de sus diagonales es exterior al polígono. Además, hay al menos dos vértices que están unidos por un segmento que corta uno o más lados.

Polígono cóncavo

073

Competencia matemática-N2

Y según su número de lados, los más comunes son:

Nombre del polígono

Número de lados

Octágono

Cuadrilátero

Eneágono

Pentágono

Decágono

Hexágono

Dodecágono

Heptágono

Icoságono

Triángulo

A continuación, se estudiarán los polígonos más usados. Entre ellos está el triángulo, que es el polígono con el menor número de lados posible: 3.

¿Sabías que...?

Número de lados

Los triángulos son polígonos usados con frecuencia en ingeniería ya que son muy resistentes estructuralmente. Un ejemplo de esto es el uso de celosías, unas estructuras reticulares conectadas en nodos que se subdividen en triángulos planos o pirámides tridimensionales. Es fácil verlas en puentes por los que pasen ferrocarriles o en torres de alta tensión.

tra

Los puntos señalados en la ilustración como A, B y C son los vértices del triángulo, mientras que a, b y c son los lados. Cada lado se denota con una letra minúscula y se sitúa opuesto al vértice, que se denota con la misma letra, pero en mayúscula. Es decir, el lado a es el opuesto al vértice A, mientras que el lado b es el opuesto a B y el lado c es el opuesto a C. Se cumple que la suma de los 3 ángulos interiores de un triángulo es siempre 180°.

ue s

Los triángulos se pueden clasificar de dos formas. Según sus ángulos interiores, pueden ser acutángulos, si los tres ángulos son agudos; rectángulos, si uno es recto (90°); y obtusángulos, si uno es obtuso.

Triángulo acutángulo

Triángulo obtusángulo

Y, según sus lados, pueden ser equiláteros, si tienen todos sus lados y ángulos iguales; isósceles, si dos de los tres lados son iguales y dos de sus ángulos también; y escalenos, si todos sus lados son desiguales.

Triángulo equilátero

074

Triángulo rectángulo

Triángulo isósceles

Triángulo escaleno

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

El cuadrilátero es el polígono de cuatro lados y puede ser de varios tipos. Los paralelogramos son aquellos que tienen los lados paralelos 2 a 2, por ejemplo, los cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.

Rectángulo

Rombo

Romboide

Trapecio rectángulo

Los trapecios son aquellos que tienen un par de lados paralelos. Es el caso del trapecio rectángulo, que tiene un ángulo recto; del trapecio isósceles, en el que los dos lados oblicuos miden lo mismo; y del trapecio escaleno, en el que ningún lado es igual.

Cuadrado

Trapecio isósceles

Trapecio escaleno

tra

También está el trapezoide, en el que ningún par de lados son paralelos.

ue s

El pentágono es el polígono de cinco lados y el hexágono es el de seis lados.

Pentágono

Hexágono

Se afirma que un polígono es regular si todos sus lados son iguales. Los polígonos regulares más comunes son el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular y el hexágono regular. Si en los polígonos que se acaban de estudiar se dibujan todas las diagonales posibles desde un solo vértice, se puede obtener la relación entre el número de lados del polígono y la suma de sus ángulos interiores. Para ello, se tendrá en cuenta que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°:

Número de lados

Suma de los ángulos interiores

180°

360°

540°

075

Competencia matemática-N2

A continuación se explicará el razonamiento de estos cálculos, ya que todos parten del hecho de que los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180°, y se realizan mediante la introducción de las diagonales en el interior del polígono.

Los polígonos tienen gran importancia en el modelado 3D puesto que a mayor número de estos elementos, mayor será el nivel de detalle que se puede conseguir. Por ejemplo, la siguiente malla poligonal, que representa la figura de un delfín, tiene un nivel de detalle bajo.

En el caso del pentágono, se pueden dibujar dos diagonales, con lo que queda dividido en tres triángulos. Por tanto, si se multiplica 180 ∙ 3 = 540, se puede afirmar que la suma de los cinco ángulos interiores de un pentágono es de 540°.

¿Sabías que...?

Así, si en un cuadrilátero se dibuja una diagonal, este queda dividido en dos triángulos. Por tanto, si se multiplica 180 ∙ 2 = 360, se puede afirmar que la suma de los cuatro ángulos interiores en un cuadrilátero es de 360°.

tra

Como conclusión, se extrae que la fórmula para la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180 ∙ (n – 2). Si un polígono de n lados es regular, la medida de uno de sus ángulos se calcula mediante la siguiente fórmula: Ángulo interior =

180 · (n – 2) n

ue s

Si se considera, por ejemplo, el pentágono regular anterior, la medida de su ángulo interior será 540/5 = 108°.

Un caso especial es el del rectángulo, que no es un polígono regular pero, al ser un paralelogramo en el que sus lados son paralelos 2 a 2, sus cuatro ángulos centrales son de 90°. Si se quiere saber la medida de los ángulos interiores de un polígono irregular, se ha de utilizar el transportador de ángulos, que como se mencionó anteriormente, tiene un margen de error de aproximadamente medio grado. Otro ángulo que se puede calcular en un polígono es el ángulo exterior, que se obtiene si se prolonga uno de sus lados en un mismo sentido.

Ángulo exterior

El ángulo exterior en un polígono regular es el ángulo suplementario al ángulo interior y se calcula con la fórmula: Ángulo exterior = 180° − Ángulo interior. Por tanto, si se ha calculado el ángulo interior de un pentágono regular y se sabe que mide 108°, su ángulo exterior medirá 180 – 108 = 72°.

076

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

En los polígonos regulares se puede calcular también el ángulo central. Si se considera el centro del polígono y se dibujan dos segmentos desde dicho centro hasta dos vértices consecutivos del polígono, se forma un ángulo que se denomina ángulo central. Si, por ejemplo, se considera un pentágono regular, se podrían dibujar cinco ángulos centrales. Estos ángulos son iguales por ser el polígono regular y, como un ángulo completo mide 360°, si se divide 360 : 5 = 72, se obtiene que el ángulo central en un pentágono regular mide 72°.

Para obtener la medida del ángulo central en un polígono regular de n lados se usa la siguiente fórmula: Ángulo central = 360/n. Así, por ejemplo, la medida del ángulo central de un hexágono sería 360/6 = 60°. En el caso de polígonos irregulares, la única forma de calcular la medida de los ángulos centrales es utilizar el transportador.

3.4.2. Significado y cálculo de perímetros y áreas 3.4.2.

tra

El perímetro de un polígono corresponde a la suma de la longitud de todos sus lados y se denota como P.

Si el polígono es regular y tiene un número de lados (n), se calcula de la siguiente forma: P = n ∙ l, siendo l la longitud del lado del polígono. Por ejemplo, para calcular el perímetro del siguiente polígono, se hará P = 4 + 5 + 7 + 9 = 25 cm. Por tanto, el perímetro es de 25 cm.

ue s

5 cm

7 cm

4 cm

9 cm

Y para calcular el perímetro del siguiente pentágono, al ser regular, se debera realiz P = 6 ∙ 5 = 30 cm. D

Consulta Puedes encontrar ejercicios resueltos sobre perímetros en el siguiente enlace: http://bit.ly/1BJoa6D.

6 cm

B 077

Competencia matemática-N2

Consulta Puedes encontrar ejercicios sobre áreas de polígonos con sus respectivas soluciones en el siguiente enlace: http://bit.ly/1E1E9Om.

Si en el cálculo del perímetro de un polígono no se conoce la longitud de sus lados, primero habrá que medir dichos lados con una regla o mediante estimación, de la forma más exacta posible, y después sumar dichas medidas. Si se sabe que el polígono es regular, pero se desconoce la longitud de los lados, con medir uno de ellos será suficiente.

El área de un polígono se define como la medida de la región o superficie que queda encerrada entre los lados de dicho polígono.

A continuación, se estudiarán las fórmulas para calcular las áreas de los polígonos más usados.

Área

Polígono

b·h 2

A =

Triángulo

b es la base del triángulo y h es la altura A = l ∙ l = l2

Rectángulo Rombo

Cuadrado

A=b∙h b es la base del rectángulo y h es la altura

tra

ue s

Romboide

D es la diagonal mayor del rombo y d es la diagonal menor

A=b∙h b es la base y h es la altura

A =

Trapecio

D·d 2

A =

(B + b) · h 2

B es la base mayor, b la base menor y h la altura

Polígono regular de n lados

A =

P·a 2

n·l·a 2

a denota la apotema, que es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cualquiera de sus lados

Las fórmulas aportadas en la tabla anterior nos permiten calcular el área de muchos de los polígonos habituales en problemas matemáticos. Algunos de los problemas más comunes en los que resultará útil la aplicación de estas fórmulas son aquellos en los que se piden los metros cuadrados de un terreno a partir de las medidas de sus lados, o viceversa.

078

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

3.5.

La circunferencia y el círculo 3.5. La circunferencia se define como una línea curva, plana y cerrada, en la que se cumple que la distancia entre todos sus puntos y un punto interior, denominado centro (C) de la circunferencia, es la misma. Es decir, los puntos de la circunferencia equidistan del centro (C). Para dibujar una circunferencia se usa el compás.

¿Sabías que...?

La cuadratura del círculo es un problema de geometría que carece de solución y que interesó a matemáticos desde la Grecia clásica. Consiste en hallar mediante regla y compás un cuadrado que tenga una superficie igual a la de un círculo dado. Este problema ha pasado al lenguaje corriente como sinónimo de una situación muy difícil de resolver.

tra

Además del centro, otro de los elementos más importantes de la circunferencia es el radio, que se define como la línea recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

ue s

El diámetro es la línea recta que une dos puntos cualquiera de la circunferencia y que contiene al centro. Divide la circunferencia en dos partes iguales, que se denominan semicircunferencias.

La cuerda es la línea recta que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro. Cuando se dibuja una cuerda en una circunferencia, esta queda dividida en dos arcos.

079

Competencia matemática-N2

Ejemplo

El círculo se define como la superficie plana que queda limitada por la circunferencia.

Algunos de los aceleradores de partículas utilizados por los físicos en sus estudios están ubicados en túneles circulares. El más grande del mundo está cerca de Ginebra y tiene 27 km de circunferencia. ¿Cuál será su diámetro? Habrá que dividir la longitud entre π. 27 km / π = 27 km / 3,14 = 8,59 km

3.5.1. Significado del número pi. Relación entre el diámetro y la longitud de la circunferencia

3.5.1.

El número pi (π) es la relación que se cumple entre la longitud (L) de la circunferencia y su diámetro. L d

= π

tra

Este número tiene infinitas cifras decimales y, por ello, se aproxima a las centésimas: π = 3,14.

3.5.2. Cálculo de la longitud de la circunferencia

3.5.2.

ue s

La longitud de la circunferencia se calcula mediante la fórmula L = π ∙ d o bien, como d = 2 ∙ r, con la fórmula L = 2 ∙ π ∙ r.

Por ejemplo, para averiguar la longitud de una circunferencia con un diámetro de 6 cm, se calculará que L = π ∙ 6 = 3,14 ∙ 6 = 18,84 cm.

3.5.3. Cálculo del área del círculo

El área del círculo se calcula mediante la fórmula A = π ∙ r2. Por ejemplo, para averiguar el área de un círculo con un radio de 3 cm, se calculará A = π ∙ 32= = 3,14 ∙ 9 = 28,26 cm2. En determinadas situaciones, se ha de calcular el área de figuras que no tienen ninguna de las formas estudiadas hasta el momento. En ese caso, el procedimiento que se debe seguir es dividir la figura en otras cuya área se sepa calcular, como triángulos, cuadrados, rectángulos o círculos. Es muy importante analizar la figura de la que se ha de calcular el área pero que no conforma ninguno de los polígonos tratados hasta ahora. La descomposición en otras formas de las que sí conocemos las fórmulas de cálculo del área nos ayudará en la resolución de estos problemas matemáticos geométricos más complejos.

080

3.5.3.

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

Como ejemplo, se puede calcular el área de la siguiente figura:

3 cm

5 cm

4 cm

6 cm

3 cm

5 cm

4 cm

Si se traza un segmento, se divide la figura en un triángulo y en un rectángulo:

Por los datos que aparecen en la ilustración, se sabe que la longitud del lado marcado en rojo (que corresponde a la base del triángulo) es de 2 cm y que la altura del triángulo también es de 2 cm.

AT =

tra

Así, A = AT + AR, donde AT denota el área del triángulo y AR el área del rectángulo. b·h 2

2·2 2

4 2

= 2 cm2

ue s

AR = b ∙ h = 6 ∙ 3 = 18 cm2. Por tanto, el área de la figura es: A = 2 + 18 = 20 cm2. Si se quiere averiguar el área de la siguiente figura, limitada por un arco de circunferencia y compuesta de un cuadrado de lado 4 cm y un semicírculo de diámetro igual al lado del cuadrado, se calculará A = AC + ASC, donde AC hace referencia al área del cuadrado y ASC al área de la semicircunferencia. AC = l2 = 42 = 16 cm2.

Como el diámetro de la circunferencia mide 4 cm, entonces el radio corresponde a la mitad, es decir, 2 cm. ASC = π ∙ r2 = 3,14 ∙ 22 = 3,14 ∙ 4 = 12,56 cm2. Por lo tanto, A = 16 + 12,56 = 28,56 cm2.

Importante El cálculo del área de figuras geométricas tiene innumerables aplicaciones en otras áreas científicas. En ingeniería, por ejemplo, permite hallar el centro de gravedad de una pieza irregular.

Mediante este procedimiento se podrán calcular las áreas de diferentes figuras compuestas de polígonos

081

Competencia matemática-N2

3.6. Cuerpos geométricos: prismas y pirámides Un cuerpo geométrico es todo elemento formado por figuras geométricas y que ocupa un volumen en el espacio, es decir, que se desarrolla en tres dimensiones (ancho, largo y alto).

Cuando las figuras que forman un cuerpo geométrico son polígonos, este se denomina poliedro. Los poliedros más usados son los prismas y las pirámides.

El prisma tiene rectángulos como caras laterales y dos bases, que pueden corresponder a cualquier otro polígono. Los elementos del prisma se señalan en la siguiente ilustración:

Base

Cara lateral

Vértice

Arista

tra

Base

ue s

Las aristas son los lados de los polígonos que forman el prisma, y los vértices, los puntos donde concurren dos aristas. Un prisma se clasifica según el polígono que forme su base. Por ejemplo, el prisma pentagonal es aquel que tiene como bases dos pentágonos.

Consulta

Puedes encontrar desarrollos planos de diferentes prismas, presentados de un modo interactivo, en el siguiente enlace: http://bit.ly/1bIwZRr.

082

Prisma triangular

Prisma cuadrangular

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

La representación de un prisma en el plano se denomina desarrollo plano del prisma.

3.6.

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

La pirámide tiene triángulos como caras laterales y una sola base, que puede ser cualquier polígono. El vértice o cúspide de la pirámide es el punto donde concurren todas las caras laterales y, la altura, la distancia entre el vértice y el centro de la base. Vértice o cúspide

Caras laterales

Altura

Base

Pirámide triangular

tra

Las pirámides también se clasifican según el polígono que forme su base. Así, por ejemplo, la pirámide cuadrangular corresponde a aquella cuya base es un cuadrilátero.

Pirámide cuadrangular

Pirámide pentagonal

Pirámide hexagonal

ue s

Se llama ángulo diedro al espacio que queda limitado por las caras de un poliedro (cuerpo geométrico cuyas caras son planas) que tienen en común el vértice. A su vez, se llama ángulo poliedro o poliédrico al que forman tres o más planos o caras del poliedro que convergen en el vértice. Un ángulo poliedro siempre mide menos de 360°.

¿Sabías que...? La pirámide también se puede representar mediante su desarrollo plano.

Cara

Diagonal

Ángulo poliédrico

Ángulo diedro

Arista

Vértice

083

Competencia matemática-N2

Un poliedro regular es aquel que tiene todos sus ángulos diedros y poliedros iguales y cuyas caras son polígonos regulares iguales. Debido a que con solo dos caras sería imposible dibujar un poliedro, y con más de cinco caras tampoco, ya que la suma de los ángulos interiores de los polígonos que concurren en un vértice sería superior a 360°, solo se pueden formar cinco poliedros regulares, que son los siguientes: 6 cuadrados iguales

8 triángulos equiláteros iguales

12 pentágonos regulares iguales

Tetraedro regular

Hexaedro regular (cubo)

Octaedro regular

Dodecaedro regular

20 triángulos equiláteros iguales

4 triángulos equiláteros iguales

Icosaedro regular

● Tetraedro: poliedro formado por 4 caras que corresponden a triángulos equiláteros iguales. Como los ángulos interiores de un triángulo equilátero miden 60°, tres triángulos equiláteros en un mismo vértice suman 3 ∙ 60° = 180° < 360°. Por tanto, el ángulo poliedro de un tetraedro mide 180°.

● Cubo o hexaedro: poliedro formado por seis caras cuadradas iguales. Como en el cuadrado los ángulos interiores miden 90° y en el cubo concurren tres caras en un mismo vértice, 3 ∙ 90° = 270° < 360°. Por tanto, el ángulo poliedro de un cubo mide 270°.

tra

● Octaedro: poliedro formado por 8 caras que corresponden a triángulos equiláteros iguales. Convergen 4 caras en el mismo vértice y, como son triángulos equiláteros, 4 ∙ 60° = 240° < 360°, con lo que el ángulo poliedro de un octaedro mide 240°.

ue s

● Dodecaedro: poliedro formado por doce pentágonos regulares. En cada vértice concurren tres caras y, como dichas caras son pentágonos regulares, su ángulo interior mide 108°. Con lo que 3 ∙108° = 324° < 360°. Así, se puede afirmar que el ángulo poliedro del dodecaedro mide 324°.

● Icosaedro: poliedro formado por 20 caras que corresponden a triángulos equiláteros iguales. En un vértice del icosaedro convergen 5 caras, por lo que 5 ∙ 60°= 300 < 360°, y el ángulo poliedro de un icosaedro mide 300°.

Importante

Todos los poliedros que se han estudiado cumplen la fórmula o teorema de Euler, que indica lo siguiente: Número de caras + Número de vértices = Número de aristas + 2.

3.6.1. Cálculo del área y volumen del prisma 3.6.1.

Para obtener el área total del prisma (AT), se parte de su desarrollo plano. Así, el área del prisma se corresponde con la suma de las áreas de todas sus caras laterales, que se denomina área lateral o AL, más la suma de las áreas de cada base (AB). Por tanto, AT = AL + 2 ∙ AB. Como el área lateral se puede calcular como AL = PB ∙ h, siendo PB el perímetro de la base y h la altura del prisma, se obtiene que AT = PB ∙ h + 2 ∙ AB. El volumen del prisma se obtiene mediante la fórmula V = AB ∙ h. Por ejemplo, para calcular el área y el volumen de un prisma hexagonal en el que el lado del hexágono mide 8 cm, la apotema del hexágono 6,9 cm y la altura del prisma 12, lo primero que habrá que hacer es calcular el área lateral. AL = PB ∙ h, con lo que AL = (6 ∙ 8) ∙ 12 = 48 ∙ 12 = 576 cm2. Después, se calculará el área de la base y, como es un hexágono, se usará la siguiente fórmula: AB =

084

P·a 2

48 · 6’9 2

= 165,6 cm ²

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

Por tanto, como AT = AL + 2 ∙ AB, AT = 576 + 2 ∙ 165,6 = 576 + 331,2 = 907,2 cm2. De este modo, el área total del prisma es de 907,2 cm2. Como ya se conoce el área de la base, el cálculo del volumen se reduce a calcular V = AB ∙ h, con lo que V = 165,6 ∙ 12 = 1987,2 cm3.

Para obtener el área total de la pirámide (AT), también se parte de su desarrollo plano. Así, el área de la pirámide será la suma de las áreas de sus caras laterales (AL), más la suma del área de su base (AB). Por tanto, AT = AL + AB. El volumen de la pirámide se obtiene con la fórmula V = 1/3 ∙ AB ∙ h, siendo h la altura de la pirámide.

AB =

= 6 · 49,12 = 294,72 cm ²

P·a

48 · 6,9

8 · 12,28

AL = 6 ·

Por ejemplo, para averiguar el área y el volumen de una pirámide hexagonal en la que el lado del hexágono mide 8 cm, la apotema del hexágono 6,9 cm, la altura del prisma 12 y la altura de los triángulos que forman las caras laterales 12,28; primero habrá que calcular el área lateral. Para ello, se multiplicará el número de triángulos que forman las caras laterales por el área de uno de esos triángulos:

3.6.2. Cálculo del área y volumen de la pirámide 3.6.2.

= 165,6 cm ²

tra

Por tanto, como AT = AL + AB, AT = 294,72 + 165,6 = 460,32 cm2. Así, el área total de la pirámide es de 460,32 cm2. Y para averiguar el volumen habrá que hacer el siguiente cálculo: 1 3

AB · h

· 165,6 · 12 = 662,4 cm³

ue s

Para el desarrollo del cálculo del volumen se han utilizado dos de los datos que se conocían previamente: el área de la base de la pirámide, AB (165,6 cm2), y la altura, h (12 cm) que se aportaba en el planteamiento del problema. Con estos datos, se ha aplicado la fórmula V = 1/3 ∙ AB ∙ h, y como resultado se han obtenido 662,4 cm3 de volumen.

3.6.3. Comparación del volumen del prisma con la pirámide

de igual base y altura 3.6.3.

A la hora de comparar el volumen de un prisma y una pirámide de igual base y altura, se cumple que el volumen de la pirámide es 1/3 del volumen del prisma.

Sabías que...? Los prismas en óptica tienen la función de refractar, reflejar y descomponer la luz en los colores del arco iris. Suelen tratarse con frecuencia de prismas triangulares.

Así, por ejemplo, si se dividen los volúmenes obtenidos en los dos últimos ejemplos se obtiene que:

1987,2 662,4

Esto quiere decir que el volumen del prisma es tres veces el volumen de la pirámide.

085

Competencia matemática-N2

3.7. Resolución de problemas geométricos que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes

3.7.

Existen numerosos problemas en la vida diaria en los que la geometría está presente y que se tienen que resolver mediante la estimación o el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes. Para ello, conviene desarrollar estrategias personales:

1.° Identificar la figura plana o cuerpo geométrico implicado en el problema. 2.° Realizar un dibujo para facilitar la comprensión del problema y los cálculos.

3.° Buscar la forma o fórmula más adecuada para el cálculo del área, volumen o lo que requiera el problema. Siempre habrá que asegurarse de que todas las medidas implicadas en las operaciones estén expresadas en la misma unidad.

Para averiguar la dimensión de un terreno con forma rectangular, cuya base mide 250 m y su altura 120 m, será necesario calcular el área del rectángulo. Como A = B ∙ h, A = 250 ∙ 120 = 30 000, con lo que se obtiene que la dimensión del terreno es de 30 000 m2.

ue s

¿Qué volumen ocupará una piscina con forma de prisma hexagonal si se sabe que el área de la base es de 600 m2 y la altura es de 1,5 m? El volumen del prisma se calcula al efectuar la fórmula V = AB ∙h. Por tanto, V = 600 ∙ 1,5 = 900, con lo que se obtiene que la piscina ocupará un volumen de 900 m3.

A continuación, se verán algunos casos prácticos. Por ejemplo, si se quiere vallar una finca con forma cuadrangular, cuyos lados miden 60 m, 100 m, 45 m y 37 m, respectivamente, ¿cuántos metros de valla se necesitarán? Para averiguarlo, habrá que calcular el perímetro del polígono cuadrangular, sumando la medida de sus lados: P = 60 + 100 + 45 + 37 = 242. Así, se necesitarán 242 m de valla.

tra

Ejemplo

4.° Comprobar e interpretar la solución obtenida.

3.8. Empleo de herramientas informáticas para construir y simular relaciones entre elementos geométricos

Algunos de los programas matemáticos más usados para construir y simular relaciones entre elementos geométricos son: ● Geogebra: programa gratuito con el que se pueden dibujar rectas, ángulos, polígonos, circunferencias, semicircunferencias, etc. ● Cabri® II: programa comercial que permite estudiar propiedades geométricas en el plano.

● DrGeo: herramienta libre para hacer geometría. Su funcionamiento es similar al de Cabri. ● WinGeo: programa geométrico libre. ● Rotate: programa libre que se usa para visualizar poliedros a partir de archivos .root que se encuentran en la red o que se pueden diseñar. ● Poly: se utiliza para visualizar poliedros, imprimir sus desarrollos, etc. ● GnuWin: listado de multitud de programas para Windows, no solo matemáticos, distribuidos bajo licencia GNU (libres).

086

3.8.

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

Resumen En esta unidad didáctica se ha aprendido que: - El elemento más básico en geometría es el punto, que se utiliza para indicar una posición.

- Una línea es una sucesión ininterrumpida de puntos, que no tiene principio ni fin y puede ser recta o curva. - La unidad de medida que se usa para los ángulos es el grado, que se denota con el símbolo °.

- El grado no sigue las reglas del sistema decimal, sino que usa un sistema denominado sexagesimal. - Los ejes de coordenadas se utilizan para representar puntos en el plano.

- Los polígonos se pueden clasificar según sus ángulos o según su número de lados.

- El número pi (π) es la relación que se cumple entre la longitud (L) de la circunferencia y su diámetro.

- Un cuerpo geométrico es todo elemento que está formado por figuras geométricas y que ocupa un volumen en el espacio.

ue s

tra

- Para obtener el área total de una pirámide o de un prisma se parte de su desarrollo plano.

Reflexión final Los conceptos geométricos introducidos por Euclides hace cientos de años siguen muy vigentes hoy en día, permitiendo resolver situaciones relacionadas con áreas, longitudes y ángulos.

087

Competencia matemática-N2

Comprueba lo que has aprendido 1. En un triángulo isósceles se sabe que el ángulo desigual mide 30°. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos? a. 75°. b. 80°. c. 60°. d. 65°.

2. Se ha comprado alambrera para vallar una parcela cuadrada. Si cada lado mide 20 m y el alambre cuesta 5 € el metro,

¿cuánto costará vallar la parcela?

3. El tablero de una mesa tiene forma rectangular. Si el lado más largo mide 1,5 m y el más corto mide 0,7 m, ¿cuál es

a. 1,50 m2. b. 1,05 m2. c. 2,15 m2. d. 2,05 m2.

tra

la superficie de la mesa?

4. Una piscina tiene forma circular. Si el diámetro es de 5 m, ¿qué superficie ocupa? Y si se dispone de una superficie

ue s

inicial de 30 m2 para ponerla, ¿habrá suficiente superficie? ¿Cuánta superficie queda libre?

088

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

5. Un depósito de agua tiene forma de prisma rectangular. Si se sabe que la base del rectángulo mide 2 m, la altura del rectángulo es de 1,5 m y la altura del prisma es de 3 m, ¿qué volumen de agua cabe en el depósito? a. 10 m2. b. 8 m2. c. 9 m2. d. 9,5 m2.

6. Identifica las siguientes ilustraciones con los tipos de triángulos según sus ángulos interiores.

7. Señala si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

tra

V Un ángulo convexo puede ser agudo, recto u obtuso Se puede restar 23° 36’ 40” – 36° 57’ 3”

Un polígono puede tener alguna línea curva

ue s

La diferencia entre un cuadrado y un rombo es que ambos tienen los cuatro lados iguales, pero el cuadrado tiene también los cuatro ángulos iguales, de 90° cada uno, y el rombo tiene los ángulos iguales dos a dos Una semirrecta es una línea recta que tiene principio pero no tiene fin El espacio que queda entre dos semirrectas cuando estas se cortan se denomina ángulo diedro

8. Completa los siguientes párrafos con los términos adecuados. plano

grado

cuerpo

La unidad de medida que se usa para los ángulos es el la división del ángulo recto en 90 partes iguales. La

superficie

precisión

, que se denota con el símbolo ° y se obtiene de

del instrumento corresponde a la menor unidad con la que este nos permite llevar a cabo la medición.

geométrico es todo elemento formado por figuras geométricas y que ocupa un volumen en el espacio, Un es decir, que se desarrolla en tres dimensiones (ancho, largo y alto). Existen unas medidas de Un

que son muy utilizadas en agricultura: el área (a) y la hectárea (ha).

es una superficie en dos dimensiones, en la que hay un conjunto infinito de puntos en dos dimensiones.

089

Competencia matemática-N2

Soluciones 1. En un triángulo isósceles se sabe que el ángulo desigual mide 30°. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos? a. 75°. b. 80°. c. 60°. d. 65°.

2. Se ha comprado alambrera para vallar una parcela cuadrada. Si cada lado mide 20 m y el alambre cuesta 5 € el

metro, ¿cuánto costará vallar la parcela?

20 m ∙ 4 = 80 m

Si un lado mide 20 m y la parcela tiene cuatro lados, el perímetro se conseguirá multiplicando esos datos de la siguiente manera:

Una vez que se conoce el número de metros del perímetro se puede multiplicar por el precio del alambre, ya que están referido también en metros. 80 m ∙ 5 €/m = 400 €

Por lo tanto, vallar la parcela tiene un coste de 400 €.

3. El tablero de una mesa tiene forma rectangular. Si el lado más largo mide 1,5 m y el más corto mide 0,7 m, ¿cuál es

a. 1,50 m2. b. 1,05 m2. c. 2,15 m2. d. 2,05 m2.

tra

la superficie de la mesa?

4. Una piscina tiene forma circular. Si el diámetro es de 5 m, ¿qué superficie ocupa? Y si se dispone de una superficie

ue s

inicial de 30 m2 para ponerla, ¿habrá suficiente superficie? ¿Cuánta superficie queda libre? Como se ha visto en la unidad, el área de un círculo se calcula mediante la fórmula A = π ∙ r2. En vez de dar el radio directamente, el enunciado indica cual es el diámetro de la piscina. Tan solo es necesario dividirlo entre dos para obtener el valor del radio. 5 m / 2 = 2,5 m

Una vez que tenemos todos los datos se pueden sustituir en la fórmula del área. Hay que recordar que se tomará el valor de π como 3,14. A = π ∙ 2,52 = 3,14 ∙ 6,25 = 19,63 m2

La piscina ocupa una superficie de 19,63 m2. Por lo tanto, si habrá suficiente espacio para ponerla si existen 30 m2 de espacio disponible. La superficie restante se puede calcular realizando la siguiente operación. 30 m2 - 19,63 m2 = 10,37 m2 Una vez hecha la resta se puede comprobar que la superficie libre será de 10,37 m2.

090

Aplicación de la geometría en la resolución de problemas

Triángulo isósceles

Triángulo escaleno

Triángulo equilátero

6. Identifica las siguientes ilustraciones con los tipos de triángulos según sus ángulos interiores:

7. Señala si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

tra

Un ángulo convexo puede ser agudo, recto u obtuso Se puede restar 23° 36’ 40” – 36° 57’ 3”

Un polígono puede tener alguna línea curva

Una semirrecta es una línea recta que tiene principio pero no tiene fin

ue s

El espacio que queda entre dos semirrectas cuando estas se cortan se denomina ángulo diedro

8. Completa los siguientes párrafos con los términos adecuados. plano

grado

cuerpo

superficie

precisión

La unidad de medida que se usa para los ángulos es el grado, que se denota con el símbolo ° y se obtiene de la división del ángulo recto en 90 partes iguales. La precisión del instrumento corresponde a la menor unidad con la que este nos permite llevar a cabo la medición.

Un cuerpo geométrico es todo elemento formado por figuras geométricas y que ocupa un volumen en el espacio, es decir, que se desarrolla en tres dimensiones (ancho, largo y alto). Existen unas medidas de superficie que son muy utilizadas en agricultura: el área (a) y la hectárea (ha). Un plano es una superficie en dos dimensiones, en la que hay un conjunto infinito de puntos en dos dimensiones.

091

ue s

tra

Aplicación del álgebra en la resolución de problemas

Contenidos

4. Aplicación del álgebra en la resolución de problemas 4.1. Introducción 4.2. Lenguaje algebraico para representar y comunicar situaciones de la vida cotidiana: situaciones de cambio 4.3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Objetivos - Utilizar expresiones algebraicas sencillas para simbolizar propiedades, pautas y relaciones, operando con ellas adecuadamente para obtener su valor numérico y verificando la corrección del resultado obtenido.

ue s

tra

- Plantear ecuaciones de primer grado para solucionar problemas cotidianos por métodos algebraicos, calculando su valor numérico y comprobando la coherencia de los resultados.

Reflexión inicial El álgebra es, más que una herramienta, un lenguaje matemático al que se pueden traducir las situaciones de la vida cotidiana. Una vez expresadas correctamente en el formato algebraico, despejar incógnitas se convierte en una tarea mucho más sencilla.

Competencia matemática-N2

4.1. Introducción

4.1.

En algunas ocasiones se plantean preguntas del tipo: ¿Cuál es el número que hay que restar a 78 para obtener 29? ¿Cuál es el número que al dividirlo por 4 da 24?

Diofanto de Alejandría, un matemático griego, es considerado por algunos como el padre del álgebra. Además de por su obra Arithmetica, se le conoce por el epitafio de su tumba, que consiste en un acertijo matemático. Si se resuelve este mediante el uso del álgebra, se pueden obtener los años que vivió Diofanto.

Estas cuestiones se responden con ayuda del álgebra, una de las partes más importantes de las matemáticas, en la que se usan letras para representar los números. En las unidades didácticas anteriores, se ha trabajado principalmente con lenguaje numérico, es decir, con expresiones en las que solamente aparecen números, pero en esta unidad didáctica se estudiará otro lenguaje matemático: el algebraico.

¿Sabías que...?

4.2.

4.2. Lenguaje algebraico para representar y comunicar situaciones de la vida cotidiana: situaciones de cambio

El lenguaje algebraico es aquel que combina números y letras. Por ejemplo, a + + 2; b – 4; x – y. A este tipo de expresiones se las denomina algebraicas.

Consulta

Así, por ejemplo, el lenguaje algebraico se utiliza para representar situaciones de cambio como las siguientes: Sergio ha gastado 20 € del dinero del que disponía. ¿Cuánto le queda ahora? Como el dinero del que disponía Sergio es un valor desconocido, se le asignará una letra, por ejemplo x. Por tanto, el dinero que le queda es x – 20.

ue s

La aplicación de los principios del álgebra no siempre tiene que ir encaminada a profundas investigaciones sino que puede tener como objetivo pequeñas utilidades cotidianas. Un ejemplo de esto puede ser la fórmula para calcular los adornos navideños de un árbol de navidad que han desarrollado unos estudiantes de matemáticas de la Universidad de Sheffield: http://bit.ly/1K6j59L

tra

En este epígrafe, se estudiará cómo usar este nuevo idioma, con el que se expresarán numerosas situaciones cotidianas, y se resolverán multitud de problemas mediante ecuaciones algebraicas.

Diego ha ido de cena con tres amigos a un restaurante. Cuando piden la cuenta, reparten el precio de la cena en partes iguales. ¿Cuánto pagará cada uno? Si se le asigna la letra b al precio de la cena, como se tiene que repartir entre 4 personas, cada uno pagará b/4 €.

4.2.1. Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico

En las anteriores unidades didácticas, ya se tradujeron algunas expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico, por ejemplo, para expresar las fórmulas de las áreas y volúmenes. Y es que dichas áreas y volúmenes se calcularon sustituyendo los datos que se proporcionaban en el problema por las letras que aparecen en la fórmula. Por ejemplo, dado un rectángulo de base b y altura h, el perímetro se expresaría P = 2 ∙ b + 2 ∙ h y el área sería A = b ∙ h. Si se sabe que b = 4 cm y h = 3 cm, P = = 2 ∙ 4 + 2 ∙ 3 = 8 + 6 = 14 cm y A = 4 ∙ 3 = 12 cm2.

094

4.2.1.

Aplicación del álgebra en la resolución de problemas

El valor obtenido para el perímetro y el área se denomina valor numérico de la expresión algebraica y se obtiene sustituyendo las letras que aparecen en la expresión por el valor que se indique en cada caso. Por ejemplo, dado un prisma de base cuadrada, el lado de la base sería l y la altura del prisma h.

El área total de un prisma se obtiene de la siguiente forma: AT = 2 ∙ AB + AL. En este caso, como la base es un cuadrado, AB = l2; y como las 4 caras laterales son rectángulos, AL = 4 ∙ l ∙ h. Por tanto, AT = 2 ∙ l2 + 4 ∙ l ∙ h. Para calcular el volumen de cualquier prisma, se usa la fórmula V = AB ∙ h, y para un prisma de base cuadrada, habrá que tener en cuenta que V = l2 ∙ h.

Importante

Otro ejemplo de traducción del lenguaje cotidiano al algebraico son las propiedades de las operaciones, que se estudiaron en la unidad didáctica 1. Utilización de los números para la resolución de problemas.

Si se supone que l = 3 dm y h = 8 dm. El valor numérico para el área y el volumen de este prisma sería: AT = 2 ∙ 32 + 4 ∙ 3 ∙ 8 = 2 ∙ 9 + 12 ∙ 8 = 18 + 96 = 114 dm2, con lo que V = 32 ∙ 8 = 9 ∙ 8 = 72 dm3.

4.2.2. Empleo de letras para simbolizar cantidades o números desconocidos4.2.2.

tra

En una expresión algebraica, se utilizan números, letras y signos de operaciones para relacionar magnitudes y realizar cálculos con cantidades o números desconocidos, según los valores que tomen dichas magnitudes. En las multiplicaciones entre números y letras, o entre letras, no se acostumbra a poner el signo de la multiplicación, es decir, a ∙ b – 4 se escribirá en adelante ab – 4.

ue s

En el empleo del lenguaje algebraico se seguirán 2 pautas. En primer lugar, habrá que identificar los valores desconocidos para asignarles una letra. Se ha de tener en cuenta que, si solo hay un valor desconocido, se usará una letra, pero si hay más de uno, se utilizarán tantas letras como valores desconocidos haya. En segundo lugar, habrá que traducir el enunciado al lenguaje algebraico mediante las letras asignadas y los números y operaciones que sean necesarios.

Por ejemplo, para expresar mediante lenguaje algebraico el triple de un número menos 12, lo primero que se ha de hacer es denotar este número desconocido con una letra cualquiera, como n. El triple de un número se escribe 3n, ya que el símbolo de la multiplicación no suele ponerse. Por tanto, el triple de un número menos 12 se expresará como 3n – 12. Y si se quiere expresar mediante lenguaje algebraico el producto de dos números, lo primero que se hará es simbolizar estos números con dos letras, por ejemplo, x e y. Así, el producto de estos dos números se expresará como xy.

Ejemplo En lenguaje algebraico las siguientes expresiones serían así: El cuadrado de un número: x2. El doble de un número más el triple de otro: 2x + 3y La mitad de un número: x/2 El cuádruple de la suma de dos números: 4 (x + y) La suma de los cuadrados de dos números: x2 + y2. El cuadrado de la suma de dos números: (x + y)2.

El empleo de letras para simbolizar cantidades o números desconocidos se puede aplicar también a situaciones cotidianas. Por ejemplo, en lenguaje algebraico, la edad de Laura más la de Raquel se puede expresar como x + y; el precio de dos bolígrafos, como 2b; la edad de Marta dentro de 10 años, como m + 10; la edad de Diego hace 13 años, como x – 13; y la mitad del dinero que tiene Rosa, como d/2. También se puede realizar la traducción o cambio en el sentido inverso. Es decir, a partir de una expresión algebraica, escribir un enunciado que permita identificar dicha expresión. Así, por ejemplo, la expresión 2x – 4 se puede identificar como el doble de la edad de Luis menos 4 y, la expresión x2 + y2, como la suma de los cuadrados de dos números.

095

Competencia matemática-N2

4.2.3. Utilización de los símbolos para representar relaciones numéricas

4.2.3.

Para comparar o relacionar dos expresiones algebraicas o numéricas, se usa el signo matemático =. Gracias a él, se forma una relación denominada igualdad, que puede ser numérica o algebraica. Por ejemplo, 3 + 5 = 5 + 3, x + 2y = y – x, x + z = 9.

Las igualdades numéricas son aquellas en las que solo intervienen números. Por ejemplo, 5 + 3 = 3 + 5, 4 ∙ 8 = 8 ∙ 4 o 2 ∙ (4 + 1) = 12 – 2. Y las igualdades algebraicas son aquellas en las que intervienen números y letras. Por ejemplo, a (3 + 5) = 8a, 3 ∙ (b + 6) – 5 = 3b + 13, x2 – 1 = 0 o 6 – y = 4.

En las igualdades algebraicas pueden darse dos casos. Si la igualdad se cumple para todos los valores de las letras que intervienen, se denomina identidad; en cambio, si solo se cumple para algunos valores de las letras que intervienen, se denomina ecuación.

Para comprobar si una igualdad algebraica es identidad o ecuación, hay que sustituir las letras que intervienen en la igualdad por valores. Si la igualdad se cumple para todos los valores, se considera que es una identidad; y si no se cumple para todos, se entiende que es una ecuación.

Por ejemplo, para averiguar si a ∙ (3 + 5) = 8a es una ecuación o una identidad, se calculará: a=1

a = –1

–1 ∙ (3 + 5) = 8 ∙ (–1)

2 (3 + 5) = 2 ∙ 8

1∙8=8

–1 ∙ 8 = –8

2 ∙ 8 = 16

–8 = –8

16 = 16

tra

1 ∙ (3 + 5) = 1 ∙ 8 8=8

¿Sabías que...?

Por lo tanto, se puede concluir que es una identidad. Y para comprobar si la igualdad x2 – 1 = 0 es también una identidad, se calculará:

ue s

Aunque no existe Premio Nobel de Matemáticas, existe un reconocimiento equivalente, la Medalla Fields. La Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en Matemáticas se concede desde la Segunda Guerra Mundial a aquellos matemáticos destacados menores de cuarenta años.

a=2

x = –1

x=0

x=1

x=2

(–1) – 1 = 0

0 –1=0

1 –1=0

22 – 1 = 0

1–1=0

0–1=0

1–1=0

4–1=0

0=0

–1 ≠ 0

0=0

3≠0

La igualdad x2 – 1 = 0 sólo se cumple cuando x vale 1 o –1, por lo que se puede concluir que no es una identidad, sino una ecuación.

4.2.4. Representación gráfica Para comprender la representación gráfica del lenguaje algebraico, es mejor explicarla mediante un caso práctico. Así, por ejemplo, si se considera la expresión algebraica 2x, que corresponde al doble de un número, y se dan valores a x:

096

–1

2 ∙ (–1) = –2

2∙0=0

2∙1=2

2∙2=4

4.2.4.

Aplicación del álgebra en la resolución de problemas

Se obtienen los siguientes pares de valores, A(–1,–2), B(0,0), C(1,2) y D(2,4), que se pueden representar en un eje de coordenadas.

tra

Si se unen los puntos dibujados mediante una línea recta, el resultado es la siguiente gráfica:

ue s

¿Sabías que...? Los símbolos matemáticos han evolucionado mucho a lo largo de la historia. El que representa a la raíz cuadrada (√) fue usado por primera vez en 1525 por el matemático Christoff Rudolff.

Esta gráfica representa una función, cuya fórmula es y = 2x.

Una función es una relación entre dos variables, x e y. A x se la denomina variable independiente, ya que puede tomar cualquier valor; y a y variable dependiente, porque depende de los valores que tome x. Así, se puede afirmar que el ejemplo, y = 2x, es una función lineal, cuya representación gráfica es una línea recta que pasa por el punto (0,0). Otro ejemplo puede ser la expresión algebraica 3 – x.

097

Competencia matemática-N2

En este caso, la fórmula de la función se escribe y = 3 – x. Si se dan valores a x:

¿Sabías que...? x

y=3–x

–1

3 – (–1) = 4

3–0=3

3−1=2

3–2=1

Además de las representaciones gráficas de funciones lineales que se muestran en esta unidad didáctica, existen otras un poco más complejas, como las cuadráticas, que resultan en curvas llamadas parábolas y tienen formas como las que se muestran a continuación.

Se obtienen los siguientes pares de valores: A(–1,4), B(0,3), C(1,2) y D(2,1), que también se pueden representar en un eje de coordenadas.

A B

3x es una expresión algebraica formada por un solo término (un monomio). En cambio, 5xy + 2 tiene dos términos o monomios y 2 – 7x + z está constituida por tres términos o monomios.

tra

Ejemplo

ue s

La recta no pasa por el punto (0,0), por lo que y = 3 – x toma un nombre distinto a la función del ejemplo anterior: función afín. Y es que sus gráficas también son líneas rectas, pero no pasan por el origen de las coordenadas. El punto donde la recta corta con el eje Y se denomina ordenada en el origen. En el ejemplo anterior, la ordenada en el origen es el punto (0,3).

Ejemplo

3x tiene como coeficiente 3 y como parte literal x. En cambio, en 5xy, el coeficiente es 5 y, la parte literal, xy; mientras que –7x tiene como coeficiente –7 y como parte literal x. Sin embargo, z tiene como coeficiente 1 y como parte literal z, ya que como 1 es el elemento neutro de la multiplicación, se cumple que 1 ∙ z = z.

Ejemplo 2x tiene grado 1 (x = x1), 8ab tiene grado 2 (1 + 1 = 2), x2y tiene grado 3 (2 + 1 = 3) y –6m3n2 tiene grado 5 (3 + 2 = 5).

098

4.2.5. Operaciones con expresiones algebraicas sencillas

Antes de abordar las operaciones con expresiones algebraicas, se han de identificar los elementos de los que se pueden componer. Uno de los más importantes es el término de una expresión algebraica o monomio, que corresponde a cada uno de los sumandos que intervienen en ella. En el caso de que el término en cuestión esté formado por un número y una letra, se denominará coeficiente al número y parte literal a la letra. Hay que tener en cuenta que siempre se escribe en primer lugar el coeficiente y, a continuación, la parte literal. El grado de un término o monomio se define como la suma de los exponentes a los que están elevados las letras que forman la parte literal del monomio. Para una expresión algebraica, se dice que su grado es el mayor de los grados de los términos o monomios que lo forman. Así, x3 – 4x2 + 1 tiene grado tres.

4.2.5.

Aplicación del álgebra en la resolución de problemas

En resumen, si se desea escribir el coeficiente, la parte literal y el grado de los monomios 8, –3m, –7x2, 5abc3, x2y4, se haría lo siguiente:

Coeficiente

Parte literal

Grado

No tiene

–3m

–3

–7x2

–7

5abc3

abc3

1+1+3=5

x2y4

2+4=6

Monomio

Se afirma que dos términos son semejantes si tienen la misma parte literal. Por ejemplo, 2x y –8x o 7ab y ab son semejantes, pero 3x2 y 2x o –4x y –4z no lo son.

Una vez estudiados estos conceptos, ya se pueden explicar las operaciones con expresiones algebraicas: la suma, la resta, el producto o multiplicación y la división o cociente, que se explican a continuación.

Para sumar o restar expresiones algebraicas, se suman o restan los términos que sean semejantes. Para ello, se suman o restan los coeficientes. Cuando el coeficiente de un término es 0, no es necesario escribirlo.

Consulta

Puedes encontrar ejercicios relacionados con expresiones algebraicas sencillas en el siguiente enlace: http://bit.ly/1yY0Vne.

Por ejemplo, 2a + 5a = (2 + 5) a = 7a. En cambio, 8x + 7y no se puede sumar, puesto que los términos que componen la expresión algebraica no son semejantes.

tra

En el caso de una expresión del tipo 7x – 8y + 5y –3x, se agruparán por un lado los dos términos semejantes con parte literal x, y por otro lado, los términos semejantes con parte literal y.

ue s

De este modo, 7x − 8y + 5y −3x = (7 − 3) x + (−8 + 5)y, con lo que el resultado es 4x + (−3)y = 4x – 3y. Este tipo de operación se conoce como reducción de términos semejantes. Para calcular el producto de dos expresiones algebraicas con un solo término cada una, hay que multiplicar por un lado los coeficientes de ambas expresiones y, por otro, las partes literales.

En la multiplicación, no es necesario que los dos términos sean semejantes y, cuando coincida alguna de las letras de las partes literales, se reducirán sumando los exponentes que lleve cada letra. Por ejemplo, 4 ∙ 3x = (4 ∙3) x = 12x o también −2xy ∙ 10y = (−2 ∙ 10) ∙ (xy ∙ y) = −20xy2.

Para multiplicar dos expresiones algebraicas cuando alguna de ellas tiene más de un término, hay que aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. Por ejemplo, 3 ∙ (x + y) = 3x + 3y. Como de ahora en adelante no se escribirá el signo de la multiplicación, si se encuentra una expresión del tipo 5(x – 3), se entenderá que entre el 5 y el paréntesis hay un signo de multiplicación. De este modo, 5(x – 3) = 5x – 15. Para dividir dos expresiones algebraicas con un solo término cada una, primero se dividirán los coeficientes y, a continuación, las partes literales. En la división tampoco es necesario que los dos términos sean semejantes y, cuando coincida alguna de las letras de las partes literales, se restarán los exponentes que lleve cada una de ellas para reducirlas. Por ejemplo, 15c : 3 = (15 : 3)c = 5c.

099

Competencia matemática-N2

4.3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita

4.3.

Una ecuación es una igualdad algebraica que solo se cumple para uno o varios valores.

● Miembros: expresiones algebraicas que se encuentran a ambos lados del signo igual. La de la izquierda se denomina primer miembro y, la de la derecha, segundo miembro. Para formar una ecuación, al menos uno de los dos miembros ha de ser una expresión algebraica, pero el otro no tiene por qué serlo. ● Términos: cada uno de los sumandos de las expresiones algebraicas que aparecen en la ecuación.

Mohammeid ibn-Musa Al-Jwarizmi fue un matemático árabe que trabajó en la biblioteca del califa Al-Mahmun en Bagdad. Es el autor del trabajo Al-jabr wa´l muqäbala, del cual procede la palabra álgebra. Además, introdujo en Occidente el sistema hindú de numeración decimal, que explicó con todo detalle en su obra Aritmética.

En el apartado 4.2.3. Utilización de los símbolos para representar relaciones numéricas, ya se introdujo el concepto de ecuación y en este epígrafe se explicarán cuáles son sus principales elementos. Estos son:

¿Sabías que...?

Términos

× – 2 (× + 8) = 5× – 7v Primer miembro

Segundo miembro

tra

● Incógnitas: letras que aparecen en la ecuación, cuyo valor se ha de calcular. ● Grado de la ecuación: se trata del mayor grado de todos los términos que forman la ecuación.

ue s

Por ejemplo, x + 7 = 3 es una ecuación de grado 1, ya que x tiene grado 1 y 7 y 3 tienen grado 0. A estas ecuaciones se las suele denominar ecuaciones de primer grado. En cambio, y – x2 = 5 es una ecuación de grado 2, conocida coloquialmente como ecuación de segundo grado o cuadrática.

Las ecuaciones se distinguen por el grado y el número de incógnitas que tienen. Así, el primer ejemplo corresponde a una ecuación de primer grado con una incógnita y el segundo a una ecuación de segundo grado con dos incógnitas. En esta unidad didáctica, se estudiará cómo resolver ecuaciones de primer grado con una sola incógnita

4.3.1. Significado de las ecuaciones Como se estudió en el apartado 4.2.3. Utilización de los símbolos para representar relaciones numéricas, una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple para uno o varios valores. Resolver una ecuación significa encontrar el valor o valores numéricos que verifican la igualdad. Estos valores se denominan solución o soluciones de la ecuación. Por ejemplo, para averiguar cuánto ha de valer x para que se verifique la ecuación x2 = 4, hay que tener en cuenta que existen dos números que, al elevarse al cuadrado, arrojan 4 como resultado: 2 y –2. Por tanto, las soluciones de esta ecuación son x = 2 y x = –2.

100

4.3.1.

Aplicación del álgebra en la resolución de problemas

Ahora bien, para calcular qué valores de x verifican la ecuación x + 5 = 14, habrá que contemplar que el valor de x que hace que se cumpla esta igualdad es 9. Así, la solución es que x = 9. No hay ningún otro valor de x que verifique la ecuación, ya que 9 + 5 = 14, con lo que no existe ningún otro número que lo cumpla. Por lo tanto, esta ecuación solamente tiene una solución.

4.3.2. Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado.

Despejar la incógnita4.3.2.

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita siempre tienen una única solución. En el siguiente apartado, se explicará cómo calcularla, ya que no siempre es tan sencillo como en el ejemplo anterior.

Antes de resolver problemas con ecuaciones de primer grado, es necesario explicar cómo resolver una ecuación, es decir, cómo despejar una incógnita, que consiste en dejarla totalmente aislada y con signo positivo. Para ello, se han de seguir una serie de pasos.

1.° Eliminación de denominadores: si aparecen denominadores en la ecuación, se han de eliminar reduciendo todos los términos de la ecuación a un común denominador. Una vez todos los términos tengan el mismo denominador, este se puede eliminar.

tra

2.° Eliminación de paréntesis: si en la ecuación aparecen paréntesis, se multiplicarán para eliminarlos. Para ello, habrá que tener en cuenta la regla de los signos para la multiplicación, que ya se estudió en la unidad didáctica 1. Utilización de los números para la resolución de problemas.

ue s

3.° Transposición de términos: habitualmente, se adopta el criterio de dejar en un miembro todos los términos con incógnita y, en el otro, todos aquellos sin incógnita, también llamados términos independientes. Para ello, se siguen las siguientes reglas: cuando un término suma en un miembro, pasa al otro miembro restando, y viceversa; y cuando un término multiplica en un miembro, pasa al otro dividiendo, y viceversa. 4.° Reducción de términos semejantes: se suman o restan los términos de cada uno de los dos miembros. 5.° El último paso siempre es despejar la incógnita.

Hay que tener especial cuidado cuando hay un signo – delante de una fracción, porque afecta a todos los términos que haya en el numerador de la misma.

A continuación, se explicarán algunos ejemplos de resolución de ecuaciones, que irán de menor a mayor grado de dificultad.

Importante

Para resolver la ecuación 4x = 20, como 4 multiplica a x, pasa al otro miembro de la ecuación dividiendo: 20 =5 4

×=

Por lo tanto, la solución de esta ecuación es x = 5. Para resolver la siguiente ecuación: x 3

= 19

Como el 3 divide, pasa al otro lado multiplicando. De este modo, x = 19 ∙ 3 = 57 y la solución de la ecuación es x = 57. 101

Competencia matemática-N2

El matemático François Viète fue el primero en utilizar letras para representar las incógnitas algebraicas en el siglo XVI. Mantuvo una estrecha relación con los reyes franceses Enrique III y Enrique IV. Se le considera uno de los principales precursores del álgebra.

Para resolver la ecuación 3x + 8 = x – 6, en primer lugar habrá que dejar los términos con x en el primer miembro y los términos independientes en el segundo: 3x – x = – 6 – 8. En segundo lugar, habrá que reducir los términos: 2x = = –14. Y en tercer lugar, se despejará la x. Como 2 multiplica a x, pasa al otro miembro dividiendo: ×=

–14 = –7 2

De este modo, la solución de la ecuación es x = –7.

¿Sabías que...?

Para hallar la solución de la ecuación x + 6 = 9, se dejará el término con x en el primer miembro y los términos independientes (números) en el segundo miembro: x = 9 – 6. A continuación, se reducirán los términos: x = 3. La solución es x = 3.

Para hallar la solución de la ecuación 2(x – 2) + 3 = 4x –5, primero habrá que eliminar el paréntesis, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma y teniendo cuidado con los signos: 2x – 4 + 3 = 4x –5.

En segundo lugar, se transpondrán los términos, para lo que se dejarán los términos con x en el primer miembro y los términos independientes quedarán en el segundo miembro: 2x – 4x = –5 + 4 – 3.

En tercer lugar, se reducirán los términos: −2x = –4. En cuarto lugar, se despejará la x. Como −2 multiplica a la x, pasa al otro miembro dividiendo: –4 =2 –2

×=

tra

De esta forma, la solución de la ecuación es x = 2. Para resolver la ecuación 4 – 3(x – 5) = 6(2x + 1) – 2, primero se eliminarán los paréntesis. Habrá que tener cuidado con el signo – que tiene el 3 que multiplica al primer paréntesis: 4 – 3x + 15 = 12x + 6 – 2.

ue s

En segundo lugar, se traspondrán los términos, dejando aquellos con x en el primer miembro y los términos independientes en el segundo: −3x – 12x = 6 – 2 – 4 – 15.

En tercer lugar, se reducirán los términos: −15x = −15. Y, en cuarto lugar, se despejará la x. Como −15 está multiplicando a la x, pasa al otro miembro dividiendo. ×=

– 15 =1 – 15

Así, la solución de la ecuación es x = 1. Para hallar la solución de la siguiente ecuación: × 5

× 3

= 16

Se eliminarán los denominadores, reduciendo a un común denominador los tres términos. Para ello, se calcula m.c.m.(5,3) = 15. Se divide 15 entre el denominador y el resultado se multiplica por el numerador de cada uno de los términos: 3× 5× + = 15 15

102

16 · 15 15

Aplicación del álgebra en la resolución de problemas

Así, queda la ecuación 3x + 5x = 240 y será el momento de reducir términos, puesto que ya no se necesita hacer la transposición: 8x = 240. A continuación, se despeja la x y se pasa el 8 que multiplica a x al otro lado dividiendo:

Consulta

240 = 30 8

×=

Puedes encontrar algunos ejercicios de ecuaciones de primer grado resueltos en el siguiente enlace: http://bit.ly/1DcS5S6.

De este modo, la solución de esta ecuación es x = 30.

× 2

×–1 4

=×–2

2× + 4

×–1 4

4× – 4

4·2 4

Se eliminan los denominadores, reduciendo a común denominador. Como m.c.m. (2,4) = 4:

Para resolver la siguiente ecuación:

La solución de esta ecuación es x = 7.

Así, queda la siguiente ecuación: 2x + (x − 1) = 4x – 8. En este momento, habrá que eliminar el paréntesis, 2x + x – 1 = 4x – 8; trasponer los términos, 2x + x – 4x = –8 +1; y reducirlos, –x = –7. Por último, se despejará la incógnita:

En esta última ecuación, se han puesto en práctica todos los pasos que se han estudiado para resolver ecuaciones.

tra

A continuación, se explicará cómo resolver problemas con ecuaciones de primer grado con una incógnita. Para ello, se seguirán los siguientes pasos: 1.° Asignar una letra al dato que pide el problema.

ue s

2.° Extraer todos los datos del problema.

3.° Traducir el enunciado del problema a una ecuación. 4.° Resolver la ecuación obtenida.

5.° Comprobar que la solución verifica el enunciado del problema.

Ejemplo Alicia tiene 4 € más que Pablo. Si Alicia le da 8 € a Pablo, este tendría el doble de dinero que ella. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? Se asigna una x al dinero que tiene Pablo, con lo que Alicia tiene x + 4. Si Alicia le da 8 a Pablo, tendrá x + 4 – 8 = x – 4 y Pablo tendrá x + 8. Como en este caso Pablo tendría el doble de dinero que Alicia, se plantea la ecuación de la siguiente forma: x + 8 = = 2(x − 4) y se resuelve: x + 8 = 2(x − 4), x + 8 = 2x – 8, x – 2x = −8 – 8, −x = −16, x = 16. A continuación, se comprueba que la solución cumple el enunciado del problema: x = 16, con lo que x + 4 = 20, 20 – 8 = 12 y 16 + 8 = 24. Como 24 es el doble de 12, el problema está bien resuelto y la solución es que Alicia tiene 20 € y Pablo 16 €.

6.° Escribir la solución del problema.

Por ejemplo, si a un número se le añade su doble, el resultado que se obtiene es 42. ¿Qué número es? En primer lugar, se asigna una x al número que se pide. El problema explica que un número más su doble es 42. El doble de x es 2x, con lo que la ecuación que se obtiene es x + 2x = 42, que se resuelve del siguiente modo: × + 2× = 42 3× = 42 ×=

42 = 14 3

A continuación, se comprueba la solución. Como el doble de 14 es 28, se suman 14 + 28 = 42, con lo que el resultado es correcto. Así, el número pedido es 14.

103

Competencia matemática-N2

Por último, existen problemas que no pueden resolverse despejando la incógnita de una ecuación de primer grado aunque parecen apropiados para utilizar variables algebraicas. Un ejemplo de este tipo de problemas irresolubles podría ser el siguiente ejercicio, el cual hay quien atribuye al mismo Albert Einstein.

Dos amigos se encuentran después de mucho tiempo y empiezan a contarse sus vidas. Después de un rato charlando, uno de ellos comenta que tiene tres hijas que cumplen años ese día. El amigo intrigado le pregunta las edades de las chicas. En vez de decirlo de manera simple, utiliza un acertijo: El producto de sus edades es 36, la suma de ellas es 13 y la mayor toca el piano.

Como se puede ver, se plantean tres incógnitas, es decir, las edades de las tres hijas. Sin embargo, este enunciado solo ofrece dos ecuaciones y un dato que a priori parece inútil. Por lo tanto, habría que utilizar algún otro método para resolverlo.

Este ejercicio, aunque aparentemente complejo, se puede resolver mediante técnicas matemáticas utilizadas en unidades anteriores. El primer paso es descomponer en factores primos el producto de las edades, es decir, 36 y obtener 2x2x3x3.

ue s

tra

El siguiente paso sería combinar los factores para comprobar cuáles son aquellos factores que suman 13. en la siguiente tabla se han recogido las posibles combinaciones de productos y sumas.

36=1x1x36

1+1+36=38

36=1x2x18

1+2+18=21

36=1x3x12

1+3+12=16

36=1x4x9

1+4+9=14

36=1x6x6

1+6+6=13

36=2x2x9

2+2+9=13

36=2x3x6

2+3+6=11

36=3x3x4

3+3+4=10

Se aprecia que existen dos combinaciones que suman 13 por lo que es necesario aplicar el tercer dato aportado en el enunciado, y que a priori parecía poco decisivo. Si la mayor toca el piano, se descarta la combinación de edades 1+6+6 puesto que habría dos hijas mayores. La solución es que una de las hijas tiene 9 años y las otras dos hermanas tienen ambas 2 años. Por lo tanto, el álgebra puede ayudarnos a resolver múltiples problemas, aunque en este caso se haya necesitado recurrir a otras técnicas. La combinación de todas las disciplinas abarcadas a lo largo de estas unidades didácticas es fundamental para lograr alcanzar un conocimiento matemático práctico y útil en la vida diaria.

104

Aplicación del álgebra en la resolución de problemas

Resumen En esta unidad didáctica se ha aprendido que: - El lenguaje algebraico es aquel que combina números y letras.

- En una expresión algebraica, se utilizan números, letras y signos de operaciones para relacionar magnitudes y realizar cálculos con cantidades desconocidas. - Para comparar dos expresiones, se usa el signo matemático =, con el que se forma una relación denominada igualdad, que puede ser numérica o algebraica.

- Si una igualdad algebraica se cumple para todos los valores de las letras que intervienen, se denomina identidad, pero si solo se cumple para algunos, se denomina ecuación.

- Una función es una relación entre dos variables, x e y.

- Para comprobar si una igualdad algebraica es una identidad o una ecuación, hay que sustituir las letras por valores.

- En un monomio, siempre se escribe en primer lugar el coeficiente y después la parte literal. - Las ecuaciones se distinguen por el grado y el número de incógnitas que tienen. - Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o valores numéricos que verifican la igualdad.

ue s

tra

- Las ecuaciones de primer grado con una incógnita siempre tienen una única solución.

Reflexión final Los contenidos explicados sobre álgebra constituyen una gran ayuda en multitud de situaciones prácticas, al tiempo que sirven como un ejercicio de abstracción para futuros problemas más complejos.

105

Competencia matemática-N2

Comprueba lo que has aprendido 1. Expresa en lenguaje algebraico. a. El cuadrado de un número más su doble. b. La diferencia de dos números es 20. c. La mitad de un número menos 3. d. 5 veces un número más 8 es 63.

2. Realiza las siguientes operaciones.

a. x3 + 2x3 – x + 5x3 – 7x + 5x –3x3. b. 4x2 ∙ (–3x). c. 7a ∙ (a – 2b). d. 16x4 : 2x.

3. Resuelve la siguiente ecuación: 2x – 6 = 4 (x + 2).

a. 60°. b. 70°. c. 80°. d. 80°.

tra

4. Si el ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 40°, ¿cuánto miden los dos ángulos iguales?

ue s

5. Indica cuáles de los siguientes monomios son semejantes: 2/3x, –2x2, 3x3, 5x3, 1/4x4, –8x3, 6x4 y 4x2.

. .

6. Señala si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

En una expresión algebraica, se utilizan números, letras y signos de operaciones para relacionar magnitudes y realizar cálculos con cantidades o números desconocidos, según los valores que tomen dichas magnitudes Una ecuación es una igualdad algebraica que solo se cumple para uno o varios valores El lenguaje algebraico es aquel que se vale únicamente de letras para representar las expresiones matemáticas El empleo de letras para simbolizar cantidades o números desconocidos se puede aplicar también a situaciones cotidianas

106

Aplicación del álgebra en la resolución de problemas

7. Alba tiene 20 años y su hermano pequeño Sergio 7. ¿Cuántos años han de pasar para que Alba tenga el doble de años que Sergio? a. 9 años. b. 6 años. c. 12 años. d. 5 años.

8. Si la edad de Diego es el triple de la de Hugo y dentro de 10 años será el doble, ¿cuántos años tiene cada uno de ellos ahora?

tra

9. Si la cuarta parte de un número es 18, ¿qué número es?

ue s

a. 72. b. 84. c. 4,5. d. 54.

10. Calcula las siguientes multiplicaciones. a. a ∙ (b + c – 3). b. 5 ∙ (2x – 3) + 6 (4 – x). c. (m – 2) ∙ (m + 7).

11. Calcula las siguientes divisiones. a. 7x : x. b. 24y2 : 4y. c. 8xy2 : 2y. c. 25ab : 5b.

12. Reduzca los términos semejantes de las siguientes expresiones algebraicas. a. 2x + 6 – 4x + 8x – 3. b. 3m + m – 7. c. y + 7z − 4z + 5y – 5.

107

Competencia matemática-N2

Soluciones 1. Expresa en lenguaje algebraico. a. x2 + 2x. b. x – y = 20. c. x/2 – 3. d. 5x + 8 = 63.

2. Realiza las siguientes operaciones.

a. 5x3 – 3x. b. –12x3. c. 7a2 – 14ab. d. 8x3.

3. Resuelve la siguiente ecuación: 2x – 6 = 4 (x + 2).

El primer paso es resolver la multiplicación del lado derecho de la ecuación y obtener 4x + 8. El siguiente paso es sumar los monomios semejantes de modo que quede –2x = 14.

Por último, se pasa el coeficiente –2 para el lado derecho de la ecuación, dividiendo a 14. Esta operación quedaría de la manera que se indica a continuación . ×=

–2

=–7

a. 60°. b. 70°. c. 80°. d. 80°.

tra

4. Si el ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 40°, ¿cuánto miden los dos ángulos iguales?

ue s

5. Indica cuáles de los siguientes monomios son semejantes: 2/3x, –2x2, 3x3, 5x3, 1/4x4, –8x3, 6x4 y 4x2. Para determinar cuáles de los anteriores monomios son semejantes hay que comparar unicamente la parte literal y no el coeficiente que puedan tener. De este modo, son monomios semejantes de grado 2 –2x2 y 4x2; de grado 3 3x3, 5x3, y –8x3; y de grado 4 1/4x4, y 6x4.

6. Señala si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. V

Una ecuación es una igualdad algebraica que solo se cumple para uno o varios valores

El lenguaje algebraico es aquel que se vale únicamente de letras para representar las expresiones matemáticas El empleo de letras para simbolizar cantidades o números desconocidos se puede aplicar también a situaciones cotidianas

108

Aplicación del álgebra en la resolución de problemas

7. Alba tiene 20 años y su hermano pequeño Sergio 7. ¿Cuántos años han de pasar para que Alba tenga el doble de años que Sergio? a. 9 años. b. 6 años. c. 12 años. d. 5 años.

8. Si la edad de Diego es el triple de la de Hugo y dentro de 10 años será el doble, ¿cuántos años tiene cada uno de ellos ahora?

La edad de Diego se representa mediante 3x y la de Hugo mediante x. Dentro de 10 años sus edades serán: 3x + 10 y x + 10. Pero como indica el enunciado, la edad será el doble así que:

2x + 20 = 3x + 10 20 – 10 = 3x – 2x

x = 10

2 (x + 10) = 3x + 10

A continuación, se sustituye el valor de x hallado en las expresiones algebraicas que representan las edades de Diego y Hugo. Diego tendría 30 años y Hugo 10. Dentro de 10 años la edad de Diego será de 40 y la de Hugo de 20. Por lo tanto, se cumple que la edad de Diego será el doble.

tra

9. Si la cuarta parte de un número es 18, ¿qué número es?

ue s

a. 72. b. 84. c. 4,5. d. 54.

10. Calcula las siguientes multiplicaciones. a. ab + ac – 3a. b. 10x – 15 + 24 – 6x = 4x + 9. c. m2 + 7m – 2m – 14 = m2 + 5m – 14.

11. Calcula las siguientes divisiones. a. 7. b. 6y. c. 4xy. d. 5a.

12. Reduzca los términos semejantes de las siguientes expresiones algebraicas. a. (2 – 4 + 8) x + (6 – 3) = 6x + 3. b. (3 + 1) m + (–7) = 4m – 7. c. (1 + 5) y + (7 – 4) z + (–5) = 6y + 3z – 5.

109

ue s

tra

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

Contenidos

5. Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas 5.1. Introducción 5.2. Recogida de datos provenientes de diferentes fuentes de información en tablas de valores 5.3. Técnicas elementales de recogida de datos (encuesta, observación y medición) 5.4. Tablas de doble entrada y tablas de frecuencia 5.5. Representación gráfica de los datos. Formas de representar la información: tipos de gráficos estadísticos (diagrama de barras, pictogramas, polígono de frecuencias y diagrama de sectores) 5.6. Obtención y utilización de información para la realización de gráficos y tablas de datos relativos a objetos, fenómenos y situaciones del entorno 5.7. Medidas de centralización: media aritmética, moda, mediana y rango 5.8. Valoración de la importancia de analizar críticamente las informaciones que se presentan a través de gráficos estadísticos 5.9. Carácter aleatorio de algunas experiencias 5.10. Presencia del azar en la vida cotidiana. Estimación del grado de probabilidad de un suceso 5.11. Formulación y comprobación a nivel intuitivo de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos

Objetivos - Recoger datos sobre hechos y objetos de la vida cotidiana proporcionados desde distintos medios (prensa, libros, informáticos), utilizando técnicas sencillas de recuento, ordenando estos datos mediante un criterio de clasificación y expresando el resultado en forma de tabla o gráfica (diagrama de barras, pictogramas, polígono de frecuencias, diagrama de sectores).

ue s

tra

- Realizar predicciones razonables respecto al valor de probabilidad de un suceso aleatorio (posible, imposible, seguro, más o menos probable) obtenido en experimentos o situaciones sencillas en las que intervenga el azar, realizando correctamente el recuento de casos posibles en dicho suceso, calculando las frecuencias en los mismos y comprobando el resultado estimado.

- Calcular adecuadamente las medidas de centralización (media, mediana y moda) de una distribución de datos obtenidos en observaciones, encuestas y experimentos, interpretando con precisión su significado, representándolos en tablas y gráficas estadísticas y obteniendo conclusiones razonables a partir de los mismos.

- Resolver problemas a partir de la realización de interpretaciones sencillas de datos presentados en forma de cuadros de doble entrada y gráficas y de la interpretación adecuada de información estadística calculada a partir de estos datos o proveniente de los medios de comunicación.

Reflexión inicial En esta última unidad didáctica, se abordará la recogida de datos, su representación y la importancia de su interpretación.

Competencia matemática-N2

5.1. Introducción

5.1.

En muchas ocasiones los medios de comunicación presentan información en forma de porcentajes o gráficas, en especial la prensa escrita y los telediarios. Estos métodos se suelen utilizar para hablar de la cantidad de personas afectadas por algo, de cuestiones económicas y, sobre todo, en época de elecciones, cuando se quiere saber cuántas personas votarán a un determinado candidato.

En estos casos, se recurre a la estadística, la rama de las matemáticas en la que se centrará esta unidad didáctica. De este modo, se estudiará cómo entender y transmitir grandes cantidades de información numérica, cómo recoger los datos, la organización de dichos datos en tablas de frecuencias y su representación gráfica, así como la obtención de valores medios.

También se estudiará la presencia del azar en la vida diaria y el cálculo de probabilidades de fenómenos aleatorios sencillos.

5.2. Recogida de datos provenientes de diferentes fuentes de información en tablas de valores

tra

La estadística es la rama de las matemáticas que permite recoger, ordenar y organizar una gran cantidad de datos para representarlos y extraer conclusiones. Para algunos sectores profesionales, como los medios de comunicación, resulta muy útil transmitir la información que recogen de sus fuentes mediante tablas de valores, gráficos y porcentajes, puesto que el resultado es más visual y resulta más fácil de entender para el espectador. De esta forma, se pueden recoger datos sobre hechos y objetos de la vida cotidiana a través de la prensa, de los libros y de los medios informáticos, especialmente en Internet, a través de páginas webs, blogs o revistas y periódicos digitales.

ue s

Una tabla de valores se define como la agrupación de unos determinados datos que relacionan dos magnitudes o características.

En la página web del INE (Instituto Nacional de Estadística) se pueden encontrar algunos ejemplos de datos estadísticos obtenidos desde medios informáticos. Y es que en este portal se recogen conclusiones de numerosos estudios en tablas de valores como la siguiente, que aborda la evolución de los hábitos de compra por Internet de los españoles entre los años 2004 y 2012:

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

Sí

2,7

3,5

4,3

5,4

4,7

7,8

8,5

9,5

10,4

97,3

96,5

95,7

94,6

95,3

92,2

91,5

90,5

89,6

En esta tabla se observa que el porcentaje de aquellos que sí compran por Internet va en aumento, aunque disminuyó en 2008. Así, en el 2004 un 2,7 % de los españoles compraba por Internet y en 2012 ya lo hacía un 10,4 %. A continuación, se desarrollará otro ejemplo, también extraído de la página web del INE, sobre el porcentaje de viajeros de 16 o más años que usan diferentes medios de transporte para desplazarse.

112

5.2.

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

El 21,7 % de los ciudadanos de estas características utiliza transporte público (autobús, metro, tranvía, tren, etc.), mientras que el 45,3 % opta por el privado (coche o moto). El resto va a pie (30,3 %), en bicicleta (1,3 %) o no se desplaza (1,4 %). Según estos porcentajes, se puede afirmar que, por cada 100 personas, 21,7 utilizan transporte público; pero como no se puede dar un número decimal de personas, se considerará que, de cada 1000, 217 se desplazan mediante esta opción. Así pues, se puede elaborar la siguiente tabla a modo de resumen:

Transporte público

217

Transporte privado

453

Desplazamiento a pie

303

Desplazamiento en bicicleta

No se desplaza

Número de personas

Medio de transporte

Total = 1000

En la revista Transporte Mundial del mes de febrero de 2014 se puede encontrar la siguiente tabla de valores, con datos acerca del transporte realizado por camiones españoles desde 1994 hasta 2012:

Año

Internacional (miles de toneladas)

Recorrido medio (km)

19 320

1070

1996

22 837

1135

2000

37 655

2002

50 952

2004

60 533

2006 2008 2010 2012

566 915

1190

690 800

1109

907 800

1080

1 709 582

1087

1 952 192

ue s

28 530

Nacional (miles de toneladas)

595 000

tra

1994

1998

Transporte realizado por camiones españoles (1994-2012)

60 786

1105

2 326 739

67 101

1010

2 053 392

64 330

993

1 502 376

65 154

1010

1 173 986

¿Sabías que...? En España, el INE es el organismo que se encarga de coordinar todos aquellos datos que pueden afectar al gobierno y a la administración del Estado. Entre otros estudios, realiza la encuesta sobre población activa.

Transporte realizado por camiones españoles (1994-2012)

Año

Importaciones (miles de toneladas)

Exportaciones (miles de toneladas)

2000

17 365

18 831

2002

22 956

24 620

2004

27 105

28 592

2006

27 601

29 300

2008

27 923

34 070

2010

26 450

30 179

2012

24 663

31 967 Fuente: astic.net (http://.bit.ly/1zRWxbq) [Adaptado].

113

Competencia matemática-N2

¿Sabías que...? Gracias a la obra del historiador Herodoto se tiene constancia de que en torno al año 3050 a. de C. ya se realizó un primer censo en Egipto para calcular la riqueza de la que se podría disponer para la construcción de las pirámides. Es uno de los primeros actos matemáticos estadísticos.

En el artículo referente a esta tabla se puede leer que: «Desde el 2000 las toneladas transportadas en importación y exportación por los camiones con pabellón español crecieron un 78 por ciento, porcentaje muy superior al 29,3 por ciento de incremento que registró el transporte nacional».

5.3. Técnicas elementales de recogida de datos (encuesta, observación y medición)

Los valores que forman parte de un estudio estadístico se denominan variables estadísticas y pueden ser de dos tipos. En primer lugar, están las variables cualitativas, que no se pueden expresar con números. Sería el caso, por ejemplo, de los valores de un estudio que se base en el color de pelo de un grupo de personas (rubio, moreno, castaño o pelirrojo) o en la práctica de algún deporte. Y, en segundo lugar, están las variables cuantitativas, que sí se expresan con números. Por ejemplo, si el estudio se basa en el peso de 20 niños o en las veces que estos se cepillan los dientes.

El conjunto de datos está formado por todos los valores que toma la variable estadística. Para recogerlos, hay posibilidad de usar tres técnicas: la encuesta, la observación y la medición.

La encuesta es una técnica sencilla que permite recoger la información aportada por los sujetos objeto de un estudio estadístico. Puede ser un cuestionario de respuesta escrita o una entrevista de respuesta oral.

tra

Para la realización de un cuestionario, primero se han de plantear las preguntas que formarán parte del mismo y que se pueden clasificar en: ● Abiertas: con este tipo de preguntas la persona entrevistada puede dar tantas respuestas como le apetezca.

ue s

● Abiertas pero limitadas: la persona entrevistada puede dar una, dos o cualquier otro número de respuestas libres determinadas de forma previa. ● Cerradas: cada persona entrevistada elige una o varias opciones sobre un listado prefijado de posibles respuestas.

Por ejemplo, una pregunta del tipo «Lugar que prefieres para tomar un baño: Piscina- Playa» es cerrada, porque solo tiene dos opciones de respuesta. En cambio, «Indica qué color o colores te gustan más» es abierta, porque no limita el número de respuestas. Las preguntas cerradas son las más cómodas para el entrevistado, pero pueden deformar el resultado del estudio, porque el listado de posibles respuestas dependerá del encuestador. Para evitar esta manipulación, resulta recomendable incluir una opción del tipo «Otra respuesta diferente a las anteriores». En el proceso de elaboración de la encuesta, también se ha de seleccionar a quién va dirigida. Se entiende por población el conjunto de todos los objetos o individuos que forman parte del estudio estadístico. Cuando el estudio afecta a una cantidad elevada de individuos, resulta imposible preguntar su opinión a toda la población y se debe seleccionar un subconjunto de la misma, que se denomina muestra. Al trabajar con una muestra, el número de datos se reduce considerablemente, pero debe seleccionarse bien, puesto que de lo contrario, los resultados no serán reales.

114

5.3.

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

Hay otros casos en los que no hace falta realizar una encuesta, sino que con otros métodos más sencillos, como la observación o medición, será suficiente.

La observación es un procedimiento de recogida de información mediante el cual el investigador hace anotaciones sobre fenómenos o situaciones que están ocurriendo en un determinado momento y que él mismo está presenciando.

Un ejemplo de recogida de datos mediante observación sería anotar en una tabla de valores el número de especies animales observadas en un parque natural.

Tablas de doble entrada y tablas de frecuencia5.4.

5.4.

Hay un tercer método de recogida de datos: la medición. Por ejemplo, si se desea conocer el tamaño en milímetros de una determinada especie de hormigas, habría que elegir un sistema o aparato de medida adecuado para llevar a cabo las mediciones pertinentes individuo a individuo.

Una tabla de doble entrada es aquella que permite registrar y organizar la información obtenida a partir de un estudio estadístico. En una de sus filas o columnas suele aparecer el número de veces que se repiten los datos registrados. Así, no es necesario hacer el recuento de los datos.

tra

Por ejemplo, se ha preguntado a 75 personas de una determinada localidad el número de veces que van al cine al mes y se han obtenido los siguientes datos: Número de veces que van al cine

Personas

ue s

La fila con el número de veces que una persona va al cine corresponde a los valores del estudio estadístico y, la fila de las personas, al número de veces que se repite dicho valor. Es decir, 9 personas van 0 veces al cine al mes, 7 personas van 1 vez, 11 personas van 2 veces y así sucesivamente.

Una tabla de frecuencias es una herramienta estadística mediante la que se ordenan los datos en columnas, para representar los distintos valores recogidos en un estudio estadístico o muestra y la frecuencia con la que ocurren, o lo que es lo mismo, el número de veces que se repite cada dato.

Para organizar en una tabla de frecuencias los valores obtenidos en un estudio estadístico, lo primero que se debe hacer es el recuento de los datos recogidos. Resulta conveniente organizar estos datos en forma de tabla, ya que los hace más comprensibles y facilita los cálculos. Por ejemplo, si se ha llamado por teléfono a 40 familias de una determinada localidad para preguntarles si tienen Internet en casa, pueden irse anotando las respuestas en una tabla como la siguiente: Sí

Sí

115

Competencia matemática-N2

En esta encuesta hay dos posibles respuestas, sí y no, que se corresponden con los valores. El recuento se puede simplificar por bloques, cada uno de los cuales estará formado por cinco palos, cuatro de ellos verticales y un quinto que los cruza. De un total de 40 datos, el valor sí se repite 26 veces y, el valor no, 14. El número de veces que se repite un valor se denomina frecuencia absoluta. Así pues, la frecuencia del valor sí es 26 y, la del valor no, 14.

Valores

Recuento

Frecuencia absoluta

Consulta Sí

Poseer grandes conocimientos para el cálculo rápido y para la estadística es una de las características más apreciadas entre los jugadores profesionales de póquer. Puedes leer un interesante artículo en el siguiente enlace: http://bit.ly/1Lebt6N.

En un centro de salud se ha anotado el número de urgencias atendidas cada día durante un mes en una tabla:

tra

Y se ha simplificado el recuento de estos datos por bloques:

Valores

ue s

Recuento

Frecuencia absoluta

Gracias a este recuento, se puede saber que durante tres días no se atendió ninguna urgencia; durante cinco días, se atendió solo una; en siete días se atendieron dos y, en cinco días, se atendieron tres, cuatro y cinco urgencias. Este es un claro ejemplo de que el recuento a través de tablas puede facilitar el análisis de datos. En los siguientes apartados se aportarán nuevos casos para diversas situaciones. 116

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

5.4.1.

Frecuencias absolutas y relativas de los datos5.4.1. En el epígrafe 5.4. Tablas de doble entrada y tablas de frecuencia, se explicó ya que la frecuencia absoluta de un valor es el número de veces que se repite dicho valor. En cambio, la frecuencia relativa de un valor es el cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de datos.

Número de hijos

Recuento

Frecuencia absoluta

Para analizar esta información, se empezará por el recuento de los datos:

La palabra «estadística» proviene del término latino status, y se traduciría como «ciencia del Estado», porque en origen eran los gobiernos los que necesitaban recabar datos acerca de diferentes aspectos de su población.

A continuación, se detallará un caso práctico en el que se utilizan ambas frecuencias: se ha realizado una encuesta en una empresa con 30 trabajadores y se les ha preguntado el número de hijos que tienen. Las respuestas han sido:

¿Sabías que...?

tra

ue s

Si se suman todas las frecuencias absolutas (6 + 15 + 6 + 3) se obtiene como resultado 30, que es el número total de trabajadores a los que se ha hecho la encuesta. Por tanto, si se suma la columna de frecuencias absolutas, siempre se obtendrá el número total de datos. Así, se puede añadir a la anterior tabla de frecuencias una columna más, en la que se calculará la frecuencia relativa que corresponde a cada valor.

Número de hijos

Recuento

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

6/30 = 0,2

15/30 = 0,5

6/30 = 0,2

3/30 = 0,1

Suma = 30

Suma = 1

117

Competencia matemática-N2

En las fracciones escritas en el cálculo de las frecuencias relativas se puede observar que el numerador siempre es menor que el denominador, con lo que la frecuencia relativa de cada valor siempre es menor o igual a 1. La suma de todos los valores de la columna de la frecuencia relativa (0,2 + 0,5 + 0,2 + 0,1) es siempre 1.

¿Sabías que...? En la actualidad, múltiples programas informáticos permiten la elaboración de tablas de doble entrada y de tablas de frecuencia, así como de la representación gráfica de los datos en ellas contenidos. Uno de los programas más usados es Microsoft® Excel®.

Si se multiplican las frecuencias relativas por 100 se obtienen las frecuencias porcentuales y se puede añadir una columna más a la tabla.

Frecuencia relativa

6/30 = 0,2

Frecuencia porcentual

Frecuencia absoluta

0,2 ∙ 100 = 20

15/30 = 0,5

0,5 ∙ 100 = 50

6/30 = 0,2

0,2 ∙ 100 = 20

3/30 = 0,1

0,1 ∙ 100 = 10

Suma = 1

Suma = 100 %

Recuento

Número de hijos

Suma = 30

Si se suma la columna de las frecuencias porcentuales, se obtiene el 100 %. Así, se puede afirmar, por ejemplo, que el 50 % de los trabajadores tiene un hijo.

tra

En resumen, para construir una tabla de frecuencias, se pondrán en la primera columna los valores relativos al estudio estadístico que se está realizando, ordenados siempre de menor a mayor. A continuación, se situará la columna del recuento y, después, las columnas de las frecuencias absoluta, relativa y porcentual, respectivamente.

ue s

Si los datos del estudio estadístico se aportan mediante una tabla de doble entrada, se eliminará la columna del recuento, pues ya no será necesario hacerlo. Por ejemplo, si se ha preguntado a 75 personas el número de veces que van al cine al mes y se han obtenido los siguientes datos:

Número de veces que van al cine

Personas

La tabla de frecuencias quedaría de la siguiente manera:

Número de veces que van al cine

118

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia porcentual

9/75 = 0,12

0,12 ∙ 100 = 12

7/75 = 0,1

0,1 ∙ 100 = 10

11/75 = 0,15

0,15 ∙ 100 = 15

22/75 = 0,29

0,29 ∙ 100 = 29

9/75 = 0,12

0,12 ∙ 100 = 12

13/75 = 0,17

0,17 ∙ 100 = 17

4/75 = 0,05

0,05 ∙ 100 = 5

Suma = 75

Suma = 1

Suma = 100 %

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

Representación gráfica de los datos. Formas de representar la información: tipos de gráficos estadísticos (diagrama de barras, pictogramas, polígono de frecuencias y diagrama de sectores)5.5. Los datos sujetos a estudio estadístico pueden representarse de forma gráfica para facilitar su comprensión y comprobar rápidamente qué opción es la preferida por los encuestados. En este epígrafe, se estudiaran los gráficos estadísticos más utilizados mediante varios casos prácticos.

Fútbol

Tenis

Baloncesto

Otros

Frecuencia absoluta

Deporte

En el siguiente enlace puedes leer un reportaje sobre el club de fútbol de la liga inglesa Brentford, que ha sorprendido a los periodistas por su rápido ascenso tras más de 125 años pasando desapercibido en el fútbol inglés. El motivo de este éxito son las matemáticas: http://bit.ly/1Cc7KUy.

Se ha preguntado a 50 alumnos de un colegio qué deporte practican con más frecuencia y se han obtenido los siguientes resultados:

Consulta

5.5.

Para representar estos datos mediante un diagrama de barras, se seguirán los siguientes pasos:

tra

1.° Se dibujan los ejes de coordenadas (en este caso solo el primer cuadrante, ya que los datos son positivos). 2.° Se colocan los valores en el eje horizontal y, en el vertical, las frecuencias absolutas de cada valor.

25 20 15

ue s

3.° Se dibujan los rectángulos sobre cada valor, cuya altura debe ser igual a la frecuencia absoluta de dicho valor.

5 0

Fútbol

Tenis

Baloncesto

Otros

La línea que une el centro superior de una barra con el centro superior de la siguiente se denomina polígono de frecuencias. Otra forma de presentar los datos es el diagrama de sectores, que consiste en repartir el área total de un círculo en partes proporcionales a la frecuencia absoluta de cada valor. Los grados que corresponden a cada sector se calcularán mediante proporciones, considerando que toda la circunferencia son 360° y corresponde al total de los datos.

119

Competencia matemática-N2

En el caso anterior, el total de datos era 50, por tanto, las proporciones quedarían:

¿Sabías que...? Hoy en día, todos los periódicos deportivos incluyen una sección sobre estadística, en la que recogen diferentes datos que pueden ayudar a analizar, por ejemplo, la evolución de un equipo de fútbol. Algunos de estos datos hacen referencia al número de goles (si es mayor en la primera o en la segunda parte del encuentro), a la incidencia de las tarjetas, a la efectividad en los pases, etc.

360 × = 22 50

Tenis: 360 = 50

× 9

× =

360 · 22 50

= 158,4°

× =

360 · 9 50

= 64,8°

Baloncesto: 360 = × 13 50

× 6

× =

360 · 6 50

360 · 13 50

= 93,6°

= 43,2°

Otros: 360 = 50

× =

Fútbol:

tra

Para representarlas en una circunferencia, esta se dividirá con un transportador de ángulos en cuatro sectores, cuyos ángulos se acaban de obtener:

ue s

Cada sector deberá tener un color distinto, al que se asignará el nombre del valor que representa:

Fútbol Tenis Baloncesto Otros

El pictograma es otro método para representar los datos, semejante al diagrama de barras, pero con dibujos alusivos a los valores objeto de estudio. Por ejemplo, el siguiente pictograma representa el número de coches que hay en un garaje según su color.

120

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

Rojo

Verde

Azul

Blanco

Consulta

Si cada dibujo representa 3 coches, se puede calcular que hay un total de 30 coches, 6 de ellos rojos, 12 verdes, 9 azules y 3 blancos.

Otro ejemplo es el siguiente pictograma, que muestra el número de habitantes que hay censados en cuatro poblaciones:

Puedes observar diversas tablas de datos y su representación gráfica en la página oficial del INE: http://www.ine.es/.

10000

8000 6000

2000 0 1

tra

4000

ue s

Cada número que aparece en horizontal hace referencia a la población. Por tanto, en la primera población hay 5800 habitantes censados, en la segunda hay 8900, en la tercera 6500 y, en la última, 5000. Todos los tipos de gráficos estudiados en este epígrafe son herramientas muy útiles para presentar diferentes tipos de datos de manera ilustrada.

Pueden ayudar a mejorar la interpretación de las tablas, especialmente cuando se pretende informar acerca de estadísticas, por ejemplo, en un discurso público.

Importante Existen muchos tipos de gráficos en los que se pueden representar datos estadísticos. Además de los que se tratan en la unidad didáctica, otra de las representaciones comunes es la pirámide, muy usada, por ejemplo, para recoger los grupos de edad de la población de una región o país. En la imagen se aprecia la pirámide poblacional de Toledo.

Los diagramas de barras están especialmente indicados, por ejemplo, para representar de manera gráfica la evolución de un determinado dato a lo largo del tiempo. Es el tipo de gráfico habitual escogido para valorar el número de afiliados a la Seguridad Social, por ejemplo, porque mediante la comparación del tamaño de las barras se puede concluir su ascenso o descenso, al igual que con el polígono de frecuencias. Los diagramas de sectores, por ejemplo, se prefieren para ilustrar las opciones escogidas en encuestas sobre una determinada cuestión. En el ejemplo que se ha analizado se mostraban las preferencias de 50 alumnos a la hora de practicar uno u otro deporte. Los pictogramas son muy habituales en prensa, especialmente en infografías, puesto que colaboran en la transmisión de información de una manera dinámica y atractiva.

121

Competencia matemática-N2

5.6. Obtención y utilización de información para la realización de gráficos y tablas de datos relativos a objetos, fenómenos y situaciones del entorno

Consulta

La estadística se basa principalmente en obtener y utilizar información acerca de objetos, fenómenos y situaciones del entorno cotidiano, que son de especial interés para el investigador. Esta información se puede agrupar en tablas de datos (tablas de frecuencias) y se representa mediante gráficos, estudiados en el epígrafe anterior, para simplificar su estudio y la extracción de conclusiones.

La película Moneyball, dirigida por Bennett Miller en el año 2011 trata sobre la aplicación de las matemáticas en el deporte, en concreto en el béisbol. Basada en hechos reales, narra la experiencia de un entrenador que utiliza las estadísticas para contratar a jugadores que a priori no interesan a otros equipos, pero que a nivel estadístico pueden crear un gran equipo. Puedes ver el tráiler de esta película en el siguiente enlace: http://bit.ly/1D37ML7.

La obtención y utilización de información para la realización de gráficos y tablas se puede entender mejor con la ayuda de ejemplos como los que se desarrollarán a continuación.

Aves Peces

Número de veces observados

Especie

El número de especies animales que se observaron en un parque natural se recogieron en la siguiente tabla:

8 1 7

tra

Mamíferos

Anfibios

Invertebrados

ue s

Reptiles

Con estos valores, se elaboraron una tabla de frecuencias y su correspondiente diagrama de barras:

122

Frecuencia absoluta

Especie

Frecuencia relativa

Frecuencia porcentual

Aves

8/30 = 0,27

0,27 ∙ 100 = 27

Peces

1/30 = 0,03

0,03 ∙ 100 = 3

Mamíferos

7/30 = 0,23

0,23 ∙ 100 = 23

Reptiles

3/30 = 0,1

0,1 ∙ 100 = 10

Anfibios

2/30 = 0,07

0,07 ∙ 100 = 7

Invertebrados

9/30 = 0,3

0,3 ∙ 100 = 30

Suma = 30

Suma = 1

Suma = 100 %

5.6.

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

¿Sabías que...?

La falacia del jugador es una consecuencia de la condición humana. Aunque seamos perfectamente conscientes de los sucesos que se pueden dar, por ejemplo, cuando jugamos a la lotería, existen factores externos que influyen en nuestras decisiones. Es lo que ocurre con la preferencia por determinados números y la aversión por otros.

7 6 5

4 3

1 0

Peces

Mamíferos

Reptiles

Anfibios

Invertebrados

Aves

Con este gráfico, se puede concluir de forma rápida que el mayor número de especies visualizadas fueron invertebrados y, el menor número, peces.

Opciones de respuesta

Se ha realizado una encuesta a 100 personas, a las que se preguntó si separan o no los residuos para reciclarlos. Los resultados se recogieron en esta tabla:

Número de respuestas

Siempre, pero solo papel y vidrio Casi siempre el papel Casi siempre el vidrio Normalmente no

ue s

Nunca

tra

Siempre, clasificando en las categorías orgánica, vidrio, envases y papel

Otras opciones

10 15 23 18 16 10 8

Y después se realizó un diagrama de sectores. Para ello, se hicieron las proporciones correspondientes y se calculó el ángulo de cada sector:

- Siempre, clasificando en las categorías orgánica, vidrio, envases y papel: 360 × = 10 100

× =

360 · 10 100

= 36°

× =

360 · 15 100

= 54°

× =

360 · 23 100

= 82,8°

× =

360 · 18 100

= 64,8°

- Siempre, pero solo papel y vidrio: 360 × = 15 100

- Casi siempre el papel: 360 × = 23 100

- Casi siempre el vidrio: 360 × = 18 100

123

Competencia matemática-N2

- Normalmente no: 360 × = 16 100

× =

360 · 16 100

= 57,6°

360 × = 10 100

× =

360 · 10 100

= 36°

360 = 100

× =

360 · 8 100

= 28,8°

- Nunca:

× 8

- Otras opciones:

Siempre, clasificando en categorías Siempre, pero solo papel y vidrio

Casi siempre el papel Casi siempre el vidrio

Normalmente no Nunca Otras opciones

tra

En determinadas ocasiones, puede ocurrir que al sumar la columna de las frecuencias relativas no se obtenga como resultado un 1, como es habitual. Esto sucede porque los resultados de las divisiones no son números decimales exactos, por lo que se tiene que recurrir al redondeo.

ue s

Lo mismo ocurre con la suma de la columna de las frecuencias porcentuales, que en estos casos suma un 99 %.

Consulta

En el mundo, 15 de cada 100 personas son zurdas. En España, el porcentaje se reduce al 12 %. Puedes leer un interesante artículo sobre los condicionantes que determinan la dominancia del uso de la izquierda o de la derecha en el siguiente enlace: http://bit.ly/15GPVP7.

5.7. Medidas de centralización: media aritmética, moda, mediana y rango

En un estudio estadístico se suele manejar una gran cantidad de información numérica y, gracias a los parámetros estadísticos o medidas de centralización, se puede resumir toda esta información en un único valor numérico. Los parámetros de centralización sirven para hacerse una idea de cuáles son los valores de los datos obtenidos sin necesidad de conocerlos. El más conocido de estos parámetros es la media aritmética, cuyo uso más habitual es el cálculo de la nota media. En el siguiente ejemplo se aplicará la media aritmética con esta utilidad tan común.

La media aritmética es el valor obtenido tras sumar todos los datos estadísticos y dividir dicha suma por el número total de datos.

124

5.7.

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

Por ejemplo, a lo largo del curso Hugo ha hecho 10 exámenes de matemáticas. Las notas obtenidas son 6, 7, 7, 9, 10, 9, 7, 6, 8 y 10. 6 + 7 + 7 + 9 + 10 + 9 + 7 + 6 + 8 + 10 10

79 = 7,9 10

¿Sabías que...?

La nota final que obtendrá Hugo al final del curso es un 7,9.

Frecuencia absoluta

Suma = 10

Notas

Pese a que tradicionalmente las matemáticas se han asociado con el género masculino, también han existido mujeres muy destacadas en este ámbito. Entre las estadísticas más famosas se encuentra la enfermera británica Florence Nightingale, quien aplicó novedosas fórmulas de presentar los datos para demostrar la necesidad de una reforma sanitaria con motivo de la guerra de Crimea. En la imagen se puede apreciar uno de los diagramas elaborados por Nightingale sobre las causas de la mortalidad de los miembros del ejército. Este tipo de representación se conoce actualmente como diagrama de la rosa de Nightingale.

Cuando la cantidad de datos del estudio estadístico es un número elevado, conviene calcular la media de otra forma más rápida y que suponga menos trabajo que ir sumando los datos uno a uno. Para ello, se organizarán los datos en una tabla con las frecuencias absolutas. En la misma tabla, se ordenarán las notas de menor a mayor.

Notas

Frecuencia absoluta 2

Notas · Frecuencia absoluta

6 ∙2 = 12

7 ∙ 3 = 21

ue s

tra

Después, se añadirá una columna en la que se calculará el producto de cada valor por su frecuencia absoluta y la suma de dichos productos.

8∙1=8

9 ∙ 2 = 18

10 ∙ 2 = 20

Suma = 10

Suma = 79

Para calcular la media aritmética, se divide la suma de los productos realizados entre la suma de las frecuencias absolutas: Media aritmética =

79 = 7,9 10

La moda es el valor que más se repite entre todos los datos, es decir, el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

En el ejemplo anterior, la moda es 7, porque es la nota que más se repite (concretamente 3 veces), y se escribe Mo = 7.

125

Competencia matemática-N2

En cambio, si las notas de Hugo fuesen las siguientes:

Frecuencia absoluta

1 Suma = 10

La mediana es el valor que ocupa el lugar central cuando los datos están ordenados de menor a mayor.

Se calcula de diferente forma en función de si el número total de datos es par o impar. En primer lugar, se verá un ejemplo en el que el número total de datos es impar. Las notas obtenidas por 9 alumnos de 1.° de bachillerato en el último examen de matemáticas han sido 7, 8, 5, 4, 7, 9, 5, 10 y 6. Estos datos deben ordenarse de menor a mayor: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9 y 10. El dato que ocupa el lugar central es el 7 que está subrayado, ya que deja 4 valores a su izquierda y otros 4 a su derecha. Por tanto, la mediana es 7 y se escribe Me = 7.

Si una pareja se plantea tener cuatro descendientes, existen más probabilidades de que tengan tres de un mismo sexo y uno del sexo contrario. Aunque la mente nos empuja a creer que existe el mismo número de posibilidades, la estadística demuestra lo contrario. Puedes comprobarlo en el siguiente enlace: http://bit.ly/1z5tBcu.

Hay 2 notas que se repiten 3 veces, ya que Hugo obtuvo la calificación de 7 en 3 ocasiones y la calificación de 9 otras tantas veces. Por tanto, existen dos modas, Mo = 7 y 9, y se considerará que la variable estadística es bimodal.

Consulta

Notas

ue s

tra

En segundo lugar, si el número total de datos es par, habrá dos datos centrales. En este caso, para calcular la mediana habrá que hallar la media aritmética de estos dos valores centrales, es decir, se sumarán y el resultado se dividirá por 2. Así, si las notas obtenidas por Hugo eran 6, 7, 7, 9, 10, 9, 7, 6, 8 y10; se ordenarán estos datos de menor a mayor: 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 10 y 10. Los valores centrales son 7 y 8, que dejan 4 datos a la izquierda y otros tantos a la derecha, con lo que la mediana de las notas obtenidas por Hugo será: Me =

7+8 2

15 = 7,5 2

El rango es la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño de todos los datos.

En el ejemplo anterior, la nota más baja que obtuvo Hugo es un 6 y la más alta un 10, por tanto, el rango es 10 – 6 = 4. Lo que indica este valor es que entre la nota más baja de Hugo y la más alta hay una diferencia de 4 puntos. Los parámetros de centralización, a excepción de la moda, solo se pueden calcular para variables estadísticas cuantitativas. Como ejemplo, se proporciona una tabla donde se recogen los resultados obtenidos por 203 personas que se matricularon para realizar una prueba de acceso: Caliﬁcación

126

Frecuencia absoluta

Apto

135

No apto

No presentado

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

Para este conjunto de datos, la moda es Mo = Apto. Sin embargo, no se puede calcular la media aritmética, puesto que no se pueden multiplicar los valores de la variable estadística por sus respectivas frecuencias absolutas. La mediana y el rango tampoco se pueden calcular, ya que para ello habría que ordenar los valores de menor a mayor y no hay un criterio para ordenar valores como Apto, No apto y No presentado.

Por ejemplo, tras un experimento consistente en lanzar 20 veces un dado numerado del 1 al 6, se han anotado los siguientes resultados:

Frecuencia absoluta

Resultado

Además de los datos obtenidos en encuestas o mediante observación, también se pueden interpretar aquellos obtenidos mediante la repetición de un experimento un determinado número de veces.

A partir de estos datos, se pueden calcular las medidas de centralización (media, moda, mediana y rango), así como realizar una tabla de frecuencias y los gráficos estadísticos correspondientes. De este modo, para calcular la media aritmética se realiza la siguiente tabla:

Frecuencia absoluta 2

5 6

1∙2=2

2∙4=8

3∙1=3

4 ∙ 4 = 16

ue s

Resultado · Frecuencia absoluta

tra

Resultado

¿Sabías que...?

Del estudio de las experiencias o experimentos aleatorios se encarga la probabilidad.

5 ∙ 4 = 20

6 ∙ 5 = 30

Suma = 20

Suma = 79

Media =

79 = 3,95 20

Por lo tanto, el resultado medio obtenido en el experimento es 3,95, o lo que es lo mismo, aproximadamente 4. Se sabe que la moda es el valor que más se repite, por tanto, Mo = 6. Para el cálculo de la mediana se han de escribir los datos obtenidos ordenados de menor a mayor: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6 y 6. Los datos centrales son los que están subrayados, con lo que: 4+4 2

8 = 4 2

Así, el valor central es 4 y el rango es igual a 6 – 1 = 5.

127

Competencia matemática-N2

La tabla de frecuencias y el diagrama de barras quedarían de la siguiente forma:

Frecuencia absoluta

Resultado

Frecuencia relativa

Frecuencia porcentual

2/20 = 0,1

0,1 ∙ 100 = 10

4/20 = 0,2

0,2 ∙ 100 = 20

1/20 = 0,05

0,05 ∙ 100 = 5

4/20 = 0,2

5/20 = 0,25

0,2 ∙ 100 = 20 0,2 ∙ 100 = 20

0,25 ∙ 100 = 25

Suma = 1

Suma = 100 %

Suma = 20

tra

0 2

Para realizar el diagrama de sectores se han de realizar las proporciones correspondientes:

360 = 20

× 2

× =

360 · 2 20

= 36°

360 = 20

× 4

× =

360 · 4 20

= 72°

360 = 20

× 1

× =

360 · 1 20

= 18°

360 = 20

× 4

× =

360 · 4 20

= 72°

360 = 20

× 4

× =

360 · 4 20

= 72°

360 = 20

× 5

× =

360 · 5 20

= 90°

ue s 1

1 2 3 4 5 6

128

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

5.8.

Valoración de la importancia de analizar críticamente las informaciones que se presentan a través de gráficos estadísticos5.8.

Además, la estadística sirve para llevar a cabo todo tipo de investigaciones científicas, ya que permite, por ejemplo, establecer pautas sobre la evolución de enfermedades, el grado de eficacia de un medicamento, etc.

¿Sabías que...?

Nicolas Bourbaki es el nombre bajo el que se conoce a un grupo de matemáticos fundado en Francia bajo el lema «todos deben interesarse en todo». Influyeron decisivamente en la manera de redactar de modo riguroso y bajo el método axiomático los textos matemáticos. Desde que apareció la teoría de categorías (frente a la de conjuntos que ellos defendían) renunciaron a su propósito inicial de revisar los fundamentos matemáticos.

Gracias a los gráficos estadísticos se puede analizar de forma rápida y concisa una gran cantidad de información sobre la sociedad actual. Por ejemplo, la tasa de desempleo o de mortalidad de un país.

La práctica de la estadística es mucho más común que la de otras ramas de las matemáticas, puesto que se usa con mucha frecuencia en cuestiones de tipo social y está involucrada en cualquier actividad humana.

Así, estas herramientas matemáticas nos permiten ofrecer una descripción y organización más exacta de los datos, visualizar las relaciones entre los mismos, facilitar el cálculo de las medidas de centralización, resumir los resultados de manera eficiente, significativa y cómoda y deducir conclusiones generales.

Pero hay que tener cuidado a la hora de interpretar un gráfico estadístico. Para poder comprender una gráfica, hay que saber en primer lugar cuál es el tema de estudio, y también se ha de ser crítico, exigiendo calidad en los datos y que la muestra tomada sea la adecuada.

5.9.

tra

Es decir, se debe comprobar si la información ofrecida es objetiva o si se pretende exagerar o disimular algunos aspectos según interese.

Carácter aleatorio de algunas experiencias5.9.

ue s

En muchas ocasiones, se lanza una moneda al aire para sortear el campo donde va a jugar cada equipo al comienzo de un partido de fútbol. Esta práctica es parecida a lanzar un dado al aire y anotar el número que se obtiene, extraer una carta de una baraja de naipes o sacar una bola de una urna con 6 bolas verdes, 4 azules y 5 rojas.

La peculiaridad que comparten estas experiencias es que no es posible predecir su resultado de manera exacta. En estos dos ejemplos y en otros del mismo tipo, por lo tanto, se habla de experiencias aleatorias.

Una experiencia es aleatoria cuando no es posible prever su resultado. En este caso, se afirma que la experiencia depende del azar.

En cambio, si se conoce el resultado de la experiencia antes de que se realice, se considera que es determinista. Por ejemplo, si se lanza un objeto por el balcón de una terraza, se sabe que caerá al suelo. En relación con el caráter aleatorio de muchas de las experiencias cotidianas, los siguientes epígrafes profundizarán en la aplicación de la probabilidad a estos actos de la vida diaria.

129

Competencia matemática-N2

5.10. Presencia del azar en la vida cotidiana. Estimación del grado de probabilidad de un suceso En la vida cotidiana se hace un uso continuo de la probabilidad y del azar, al hacer afirmaciones como «es muy difícil que toque la lotería» o «mañana llueve seguro».

Como ya se estudió en el epígrafe 5.4. Tablas de doble entrada y tablas de frecuencia, se denomina frecuencia al número de veces que se repite un hecho o suceso determinado. Intuitivamente, la probabilidad consiste en calcular o estimar la frecuencia con la que puede ocurrir un suceso. Uno de los conceptos más importantes para la estimación del grado de probabilidad es el espacio muestral (E) de un experimento aleatorio. Este concepto se corresponde con el conjunto de todos los posibles resultados que se pueden obtener en dicho experimento.

Se lanza una moneda 10 veces y se obtienen los siguientes resultados: cara, cara, cruz, cara, cruz, cruz, cruz, cara, cruz y cruz. La frecuencia con la que ha salido cara es 4 y la frecuencia con la que ha salido cruz es 6. En cambio, si se lanza la moneda 100 veces y se obtienen como resultado 56 caras y 44 cruces, la probabilidad de que salga cara es del 56 % y, de que salga cruz, del 44 %. Asimismo, se puede decir que la probabilidad de obtener un as de oros al extraer una carta de una baraja con 40 naipes es de 1/40.

Lo que realmente se quiere decir es que la probabilidad de que toque la lotería es muy baja o que la probabilidad de que llueva es muy alta, más aún cuando se sabe que, a pesar de todo, la lotería puede tocar y que es posible que mañana no llueva y luzca el sol.

Ejemplo

Por ejemplo, si se considera la experiencia aleatoria del lanzamiento de un dado, su espacio muestral sería E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

tra

Dada una experiencia aleatoria, se denomina suceso elemental a cada uno de los posibles resultados que se pueden obtener.

ue s

Por ejemplo, en el caso del lanzamiento del dado, la experiencia aleatoria está formada por seis sucesos elementales: S1 = {1}, S2 = {2}, S3 = {3}, S4 = {4}, S5 = {5} y S6 = {6}. También se pueden considerar sucesos con más de un posible resultado, más conocidos como sucesos compuestos.

Por ejemplo, obtener un resultado par en el lanzamiento del dado: S = {2, 4, 6}. Otros sucesos a tener en cuenta son: ● Suceso contrario a un suceso dado S: es aquel formado por los posibles resultados del espacio muestral que no están en S. Se expresa con S . Por ejemplo, el suceso contrario a obtener un resultado par en el lanzamiento del dado es S = {1, 3, 7}, que corresponde a los resultados impares.

● Suceso imposible: es aquel que contiene un resultado que nunca puede ocurrir. En el lanzamiento del dado, un suceso imposible sería S7 = {7}. Obtener como resultado un 7 no puede ocurrir, porque solo hay 6 posibles resultados. ● Suceso seguro: es aquel que ocurre siempre y que coincide con el espacio muestral. Si se considera que E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, es seguro que ocurra, porque este suceso contiene todos los posibles sucesos. En el siguiente epígrafe, se explicará cómo se puede calcular la probabilidad de que ocurran estos sucesos.

130

5.10.

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

5.11. Formulación y comprobación a nivel intuitivo de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos5.11.

¿Sabías que...?

La probabilidad se basa en el desarrollo de la intuición probabilística, que permite apreciar el estudio de fenómenos aleatorios sencillos de la vida cotidiana. Tres métodos que resultan muy útiles para el desarrollo de la intuición probabilística, y así facilitar el análisis del azar, son los juegos, la simulación y el enfoque frecuencial de la probabilidad.

En este epígrafe se explicará con detalle la formulación y comprobación a nivel intuitivo de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos mediante varios casos prácticos.

La probabilidad de que en una clase de treinta alumnos coincida la fecha de cumpleaños de dos personas es de un 70,64 %.

Si se lanza un dado de seis caras numeradas del 1 al 6, ¿cuál es la probabilidad de sacar un 1? ¿Y de sacar un 6? Las probabilidades se designarán a partir de ahora como P(). Así, P(1) = 1/6, ya que hay una posibilidad de entre los 6 resultados que se pueden obtener al lanzar un dado. Del mismo modo, P(6) = 1/6.

En este experimento aleatorio, todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad, con lo que se afirmará que estos sucesos son equiprobables y se expresará como P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6. Asimismo, como del 1 al 6 hay tres números pares (2, 4 y 6), la probabilidad de obtener un número par es P(par) = 3/6.

tra

Ahora bien, la probabilidad de sacar un 7 al lanzar el dado es P(7) = 0, ya que es imposible obtener un 7 al lanzar un dado con seis caras numeradas del 1 al 6. Y la probabilidad de sacar un número del 1 al 6, ambos inclusive, será P(1, 2, 3, 4, 5 o 6) = 1, ya que se están considerando todos los posibles resultados.

ue s

Si se considera una urna con 6 bolas verdes, 4 azules y 5 rojas. La probabilidad de sacar una bola verde es P(verde) = 6/15, ya que en la urna hay 6 bolas verdes de un total de 15; la probabilidad de sacar una azul es P(azul) = 4/15, porque de 15 bolas que hay en la urna 4 son azules; y la probabilidad de sacar una bola roja es P(roja) = 5/15. A diferencia del anterior experimento aleatorio, los sucesos elementales no son equiprobables, ya que la probabilidad de que ocurra uno de ellos es distinta a la de que ocurra uno de los otros dos.

Una vez vistos estos sencillos ejemplos de cálculo de probabilidades, se puede enunciar la regla de Laplace, que define la probabilidad de que ocurra un suceso S como el número de casos favorables a un suceso, dividido entre el número de casos posibles. Se denota por P(S): P(S) =

número de casos favorables número de casos posibles

Si se considera un suceso que es imposible, la probabilidad obtenida es 0 y, si se consideran todos los sucesos posibles, la probabilidad es 1. A partir de este razonamiento, se obtiene una propiedad muy importante que se aplica en el cálculo de probabilidades: el valor de la probabilidad siempre ha de estar entre 0 y 1, con lo que no puede ser negativo ni mayor que 1, es decir 0 ≤ P(S) ≤ 1.

Consulta En el azar juega un papel muy importante el ámbito estadístico de la matemática, pero existe otro factor fundamental: la intuición. Puedes ver un interesante documental sobre este fenómeno en el siguiente enlace: http://bit.ly/1DcVal0.

Otra propiedad que se usará en muchas ocasiones es que la suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales debe ser igual a 1.

131

Competencia matemática-N2

Importante Para comprobar el resultado se debe confirmar que el recuento de casos favorables es correcto y que la suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales es 1.

Para calcular la probabilidad de un suceso aleatorio se seguirán los siguientes cuatro pasos: 1.° Realizar el recuento de casos posibles del experimento aleatorio. 2.° Realizar el recuento de casos favorables al suceso en cuestión. 3.° Calcular el valor de la probabilidad de que ocurra dicho suceso aleatorio. 4.° Comprobar el resultado estimado.

Por ejemplo, en el caso anterior de la urna que contenía 6 bolas verdes, 4 azules y 5 rojas, se obtuvo que la probabilidad de sacar una bola verde era P(verde) = 6/15, ya que en la urna había 6 bolas verdes (número de casos favorables) de un total de 15 (número de casos posibles). La probabilidad de sacar una azul era P(azul) = = 4/15, porque de 15 bolas (número de casos posibles) que había en la urna 4 eran azules (número de casos favorables); y la probabilidad de sacar una bola roja era P(roja) = 5/15. Si se suman las tres probabilidades:

En la baraja de naipes española las cartas pueden ser de 4 palos distintos: copas, oros, espadas y bastos. La baraja consta de 40 cartas y cada palo tiene 10 cartas, de entre las que 7 están numeradas del 1 a 7 y 3 son figuras, conocidas como sota, caballo y rey.

Consulta

Así, la probabilidad de sacar una carta numerada es P(número) = 28/40. El número de casos favorables se obtiene de multiplicar las 7 cartas numeradas por los 4 palos de la baraja, 7 ∙ 4 = 28. El número de casos posibles es 40, que es la cifra total de cartas de la baraja y la probabilidad de sacar una figura es P(figura) = 12/40. La cifra de 12 casos posibles se obtiene de multiplicar 3 figuras por los 4 palos de la baraja, 4 ∙ 3 = 12. Si se suman ambas probabilidades, se obtiene que 28/40 + + 12/40 = 40/40 = 1.

tra

Se elaboran estadísticas sobre múltiples cuestiones, incluso sobre la posibilidad de morir por el impacto de un meteorito. Puedes leer un interesante artículo sobre esto en el siguiente enlace: http://bit.ly/1yL8f5c.

6 4 5 15 + + = = 1 15 15 15 15

ue s

Asimismo, como en la baraja hay 10 cartas de oros, la probabilidad de sacar una de ellas es P(oros) = 10/40; como hay cuatro reyes, uno por palo, la probabilidad de sacar uno es P(rey) = 4/40; y la probabilidad de sacar un 10, dado que no hay ninguna carta de este tipo, es P(10) = 0.

Si se quiere calcular la probabilidad de sacar copas o caballo, habrá que tener en cuenta que hay 10 cartas de copas y cuatro caballos, uno por cada palo. Como el caballo de copas se estaría contando dos veces, los casos favorables serían 10 + 4 – 1 = 13, con lo que P(copas o caballo) = 13/40. Si, en cambio, se desea calcular la probabilidad de sacar copas y caballo, como la carta obtenida ha de cumplir las dos condiciones impuestas, solo hay un caso favorable, que es el caballo de copas, por lo tanto, el resultado será P(copas y caballo) = 1/40. Asimismo, para hallar la probabilidad de no sacar un rey, como hay cuatro en la baraja, hay 36 casos favorables y P(no rey) = 36/40. En este caso, lo que se está calculando es la probabilidad del suceso contrario al suceso del segundo ejemplo, en el que se obtuvo la probabilidad de sacar un rey. Es decir: P(no rey) = 1 –

4 40

40 – 10 = 40

36 40

Por tanto, siempre se cumple que la probabilidad del suceso contrario a uno dado S es P( S ) = 1 – P(S).

132

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

Resumen En esta unidad didáctica se ha aprendido que: - La estadística es la rama de las matemáticas que permite recoger, ordenar y organizar una gran cantidad de datos para representarlos y extraer conclusiones.

- Los valores que forman parte de un estudio estadístico se denominan variables estadísticas y pueden ser cuantitativas y cualitativas. - Las tres técnicas elementales de recogida de datos son la encuesta, la observación y la medición.

- La frecuencia absoluta de un valor es el número de veces que este se repite y la frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de dicho valor y el número total de datos.

- Los datos sujetos a estudio estadístico pueden representarse de forma gráfica para facilitar su comprensión. - Los principales tipos de gráficos estadísticos son el diagrama de barras, los pictogramas, el polígono de frecuencias y el diagrama de sectores.

- La media aritmética, la moda, la mediana y el rango son las principales medidas de centralización. - Una experiencia es aleatoria cuando no es posible prever su resultado y depende del azar.

ue s

tra

- La regla de Laplace define la probabilidad de que ocurra un suceso como el número de casos favorables a un suceso, dividido entre el número de casos posibles.

Reflexión final La estadística y la probabilidad son dos elementos muy presentes en todos los ámbitos de la vida cotidiana.

133

Competencia matemática-N2

Comprueba lo que has aprendido 1. Un estudio hecho a 30 personas para saber cuál es su estilo de música favorito proporcionó los datos representados en el siguiente diagrama de barras. 14 12 10

8 6

4 2

Pop

0 Rock

Copla

Otros

Número de personas

ue s

tra

Valores

Traslada estos datos a una tabla de valores y calcula cuál es el tipo de música que más gusta.

2. Se ha realizado una encuesta acerca del número de visitas al dentista al año de un grupo de personas y se han obtenido los siguientes datos.

Número de visitas

Indica el número medio de visitas al año por persona. a. 1,36. b. 1,8. c. 1,42. d. 2.

134

Número de personas

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

3. Calcula la probabilidad de que al extraer de la baraja española una carta al azar el resultado sea uno de los siguientes. a. Espadas o sota. b. Espadas y sota. c. No sea un rey. d. Bastos, pero no figura. e. De copas o de oros.

a poner en la urna. Si se repite este proceso 10 veces y se anotan los resultados obtenidos.

Verde

Blanca

Verde

Azul

Frecuencia absoluta

Recuento

Frecuencia relativa

Frecuencia porcentual

Valores

Azul

Organiza estos datos en una tabla de frecuencias.

Azul

Roja

4. En una urna hay 4 bolas de diferentes colores: verdes, azules, rojas y blancas. Se saca una bola sin mirar y se vuelve

Verde Azul

tra

Roja

Blanca

Suma =

ue s

5. En un restaurante el camarero observa a las personas que están sentadas a la mesa y obtiene los siguientes datos. Personas morenas

Personas rubias

Personas con ojos claros

Personas con ojos oscuros

Total

Completa la tabla para calcular el número de personas que hay en el restaurante. ¿Qué probabilidad hay de que si se escoge una persona al azar esta sea rubia? a. 9/24. b. 6/39. c. 3/39. d. 9/39.

135

Competencia matemática-N2

Soluciones 1. Un estudio hecho a 30 personas para saber cuál es su estilo de música favorito proporcionó los datos representados en el siguiente diagrama de barras. 14 12 10

8 6

4 2

Pop

0 Rock

Copla

Otros

Valores Pop

Traslada estos datos a una tabla de valores y calcula cuál es el tipo de música que más gusta.

Número de personas

tra

Rock Copla Otros

8 6 4

ue s

El tipo de música que más gusta es el pop, así que la moda de esta variable estadística es Mo = Pop.

2. Se ha realizado una encuesta acerca del número de visitas al dentista al año de un grupo de personas y se han obtenido los siguientes datos.

Número de visitas

Indica el número medio de visitas al año por persona. a. 1,36. b. 1,8. c. 1,42. d. 2.

136

Número de personas

Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas

3. Calcula la probabilidad de que al extraer de la baraja española una carta al azar el resultado sea uno de los siguientes. a. P (espadas o sota) = 13/40.

b. P (espadas y sota) = 1/40. c. P (no rey) = 36/40. d. P (bastos, pero no figura) = 7/40. e. P (copas u oros) = 20/40.

4. En una urna hay 4 bolas de diferentes colores: verdes, azules, rojas y blancas. Se saca una bola sin mirar y se vuelve a poner en la urna. Si se repite este proceso 10 veces y se anotan los resultados obtenidos.

Verde

Blanca

Verde

Azul

Organiza estos datos en una tabla de frecuencias.

Frecuencia absoluta

Recuento

Azul

Roja

Frecuencia porcentual

0,3 ∙ 100 = 30

4/10 = 0,4

0,4 ∙ 100 = 40

1/10 = 0,1

0,1 ∙ 100 = 10

2/10 = 0,2

0,2 ∙ 100 = 20

Suma = 10

Suma = 1

Suma = 100 %

ue s

Blanca

Azul

3/10 = 0,3

tra

Verde

Frecuencia relativa

Valores

Azul

Verde

Roja

5. En un restaurante el camarero observa a las personas que están sentadas a la mesa y obtiene los siguientes datos. Personas morenas

Personas con ojos oscuros

Personas rubias

Total

Personas con ojos claros

Total

Completa la tabla para calcular el número de personas que hay en el restaurante. ¿Qué probabilidad hay de que si se escoge una persona al azar esta sea rubia? a. 9/24. b. 6/39. c. 3/39. d. 9/39.

137

Créditos fotográficos Unidad didáctica 1 Las fotografías de commons.wikimedia.org son de los siguientes usuarios: Svilen.milev (p. 009), Fanghong (p. 017b), Tamorlan (p. 019b), Haragayato (p. 020a), Yrithinnd (p. 020b), Micov (p. 025), Alexander.stohr (p. 026), Espanish AlB (p. 028b), Ángel Luis Alfaro (p. 037c) y Coyau (p. 038). Las fotografías de www.flickr.com son de los siguientes usuarios: Pedro Gómez (p. 011b). Unidad didáctica 2

Las fotografías de www.flickr.com son de los siguientes usuarios: epSos .de (p. 048).

Unidad didáctica 3

Las fotografías de commons.wikimedia.org son de los siguientes usuarios: LivingShadow (p. 044), Terabass (p. 047b), Sergio Andres Segovia (p. 051) Ingfbruno (p. 053a) y Tau’olunga (p. 053b).

Las fotografías de commons.wikimedia.org son de los siguientes usuarios: Sitacuisses (p. 060), Unukorno (p. 065a), Zaqarbal (p. 067), John Aplessed (p. 072a), Martina Miroli (p. 072b), GelpgimLa22 (p. 074), Korrigan (p. 077), Arnaud333 (p. 079b), Cnb (p. 080) y Sceptre (p. 085b).

Las fotografías de www.flickr.com son de los siguientes usuarios: Saku Takakusaki (p. 006b), ╚ DD╔ (p. 070), José Manuel Ríos Valiente (p. 076b), tanakawho (p. 078), Cristian Roberti (p. 076), Ben Snooks (p. 083) y Fernando Jiménez (p. 085a). Unidad didáctica 4

Las fotografías de commons.wikimedia.org son de los siguientes usuarios: KSmrq (p. 098).

Unidad didáctica 5

tra

Las fotografías de www.flickr.com son de los siguientes usuarios: Jorge Franganillo (p. 096a), William Warby (p. 097a) y Pete (p. 104a).

Las fotografías de commons.wikimedia.org son de los siguientes usuarios: Zaqarbal (p. 113), Marsyas (p. 114), Angel Matilla (p. 121d), RogDel (p. 122a) y Kuebi (p. 124a).

ue s

Las fotografías de www.flickr.com son de los siguientes usuarios: John Morgan (p. 112), Ministerio de Cultura de la Nación Argentina (p. 115) y Alex Alishevskikh (p. 132).

El resto de fotografías incluidas en la obra son de www.sxc.hu, www.pixabay.com, morguefile.com y del banco de imágenes de Adquiero.

M tra

ue s ta

M tra

ue s ta