Matematiskformelsamling forøkonomer
KnutSydsæterArneStrømPeterBerck
Matematiskformelsamling forøkonomer
c Gyldendal Norsk Forlag AS 2006
1 utgave 1992
2 utgave 1995
3 utgave 1998
4. utgave 2006
ISBN-13: 978-82-05-36621-3
ISBN-10: 82-05-36621-7
Sats: Arne Strøm
Illustrasjoner: Matematisk Sats
Omslag ved forlaget
Trykk: Dimograf, Polen 2006
Alle henvendelser om b oken kan rettes til:
Gyldendal Akademisk
Postb oks 6730 St Olavs plass 0130 Oslo
www.gyldendal.no/akademisk akademisk@gyldendal.no
Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorganisasjon for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.
Forordtilfjerdeutgave
Denneformelsamlingenerutarbeidetmedtankep˚adetbehovetøkonomerogbedriftsøkonomerharforengreioppslagsbokn˚ardetgjeldermatematiske,statistiske ogøkonomiskeformlerogsetninger.
SlikeformelsamlingerforøkonomerharlangetradisjoneriNorge.DenførstesamlingenblelagetavB.Thalbergalleredei1954ogdenbleførtviderevedK.Sydsæter ogB.Thalberg(isamarbeidmedO.J.Mørkved): MatematiskFormelsamling ,2.utg., I.S.Undervisningslitteratur(1985).
Førsteutgaveavdennebokautkomi1991medgodhjelpavHalvorMehlum,hvis ˚arv˚akenhetførtetilflereforbedringer.
Formelsamlingenharetterhvertblittenstandardreferanseforøkonomersom brukermatematiskeogstatistiskemetoderisittarbeid.Bokaforeliggern˚aogs˚ a p˚aengelsk,italiensk,spansk,portugisisk,japansk,russiskogkinesisk.
Idennefjerdeutgavenerdetkommettilmerenn70nyeformlerogresultaterfra matematikk,statistikkogøkonomi.Blantannetharvitattmedetlitekapittelmed noensentralebegreperogresultaterfrahandelsteori.
Viharunderarbeidetmedalleutgavenehattstornytteavreaksjonerfraenlang rekkelesereiinnogutland.Vivilspesielttakkefølgendepersonerforp˚apekingav feiloguklarheterogfornyttigeforslagtilforbedringerogutvidelser:G.Asheim, T.Akram,E.Biørn,OlavBjerkholt,V.Christiansen,T.Ellingsen,P.Frenger, I.Frihagen,H.Goldstein,F.Greulich,P.Hammond,J.Heldal,Aa.Hylland, G.Judge,L.Karp,D.Lund,M.Machina,J.-H.Madsen,K.Moene,G.Nord´en, A.Rødseth,T.Schweder,A.Seierstad,L.Simon,T.TadanobuogB.Øksendal.
Vih˚aperatleseresomfinnerfeiloguklarhetervilgjøreossoppmerksommep˚ a demslikatdekanfjernesfraseinereutgaver.
Tilallesomharhjulpettil,retterviv˚arbestetakk.
OsloogBerkeleyijuni2006, KnutSydsæter,ArneStrømogPeterBerck knut.sydsater@econ.uio.no arne.strom@econ.uio.no
Innhold
1.Mengdelære.Relasjoner.Funksjoner .............................1
Logiskeoperatorer.Sannhetsverditabeller.Hovedbegreperimengdelæren.Kartesiskeprodukter.Relasjoner.Forskjelligetyperavordninger.Zornslemma. Funksjoner.Inversefunksjoner.Endeligeogtellbaremengder.Matematisk induksjon.
2.Likninger.Funksjonerav´envariabel.Kompleksetall ............7
Røttenetilannen-ogtredjegradslikninger.Cardanosformler.Polynomer.Descartes’fortegnsregel.Klassifiseringavkjeglesnitt.Grafertilkjeglesnitt.Egenskapervedfunksjoner.Asymptoter.Newtonsmetode.Tangenterognormaler. Potenser,eksponentialeroglogaritmer.Trigonometriskeoghyperbolskefunksjoner.Kompleksetall.DeMoivresformel.Eulersformler.Komplekse n-terøtter.
3.Grenser.Kontinuitet.Derivasjon(´envariabel) ..................21
Grenser.Kontinuitet.Uniformkontinuitet.Skjæringssetningen.Deriverbare funksjoner.Generelleogspesiellederivasjonsregler.Middelverdisetninger. L’Hˆopitalsregel.Differensialer.
4.Partiellederiverte ...............................................27
Partiellederiverte.Youngssetning. C k -funksjoner.Kjerneregler.Differensialer. Stigningstalltilniv˚akurver.Setningenomimplisittefunksjoner.Homogene funksjoner.Eulerssetning.Homotetiskefunksjoner.Gradienterogretningsderiverte.Tangent(hyper)plan.Supergradienterogsubgradienter.Derivasjon ogkjernereglerfortransformasjoner.
5.Elastisiteter.Substitusjonselastisiteter ..........................35
Definisjon.Marshallsregel.Generelleogspesielleregler.Retningselastisiteter. Passuslikningen.Marginalsubstitusjonsbrøk.Substitusjonselastisiteter.
6.Systemeravlikninger ...........................................39
Generellelikningssystemer.Jacobi-matriser.Setningenomimplisittefunksjoner (generellversjon).Frihetsgrader.“Telleregelen”.Funksjonellavhengighet. Jacobi-determinanten.Setningenominversefunksjoner.Eksistensavlokale
ogglobaleinverser.Gale–Nikaido-setninger.Fikspunkterforkontraksjonsavbildninger.BrouwersogKakutanisfikspunktsetninger.Dellatticerav Rn . Tarskisfikspunktsetning.Generelleresultateromlineærelikningssystemer.
7.Ulikheter ........................................................47
Trekantulikheter.Ulikheterforaritmetiske,geometriskeogharmoniskegjennomsnitt.Bernoullilsulikhet.H¨olders,Cauchy–Schwarz’,Tsjebysjevs,MinkowskisogJensensulikheter.
8.Rekker.Taylorsformel ..........................................49
Aritmetiskeoggeometriskerekker.Konvergensavuendeligerekker.Konvergenskriterier.Absoluttogbetingetkonvergens.Tilvekstformelen.Lineærog kvadratiskapproksimasjon.MaclaurinsogTaylorsformler.Rekkeutviklinger. Binomialkoeffisienter.Newtonsbinomialformel.Multinomialformelen.Summasjonsformler.Eulerskonstant.
9.Integrasjon ......................................................55
Ubestemteintegraler.Generelleogspesielleregler.Bestemteintegraler.Konvergens.Sammenlikningskriteriet.Leibniz’formel.Gammafunksjonen.Stirlingsformel.Betafunksjonen.Trapesformelen.Simpsonsformel.Multipleintegraler.
10.Differenslikninger
Løsningeravlineærelikningeravførste,andreoghøyereorden.“Bakover”-og “forover”-løsninger.Stabilitetforlineæresystemer.Schurssetning.Matriseformuleringer.Stabilitetavikke-lineærelikningeravførsteorden.
11.Differensiallikninger
Separable,homogeneoglogistiskelikninger.Lineærelikningeravførsteorden. BernoullisogRiccatislikninger.Eksaktelikninger.Integrerendefaktorer. Lokaleogglobaleeksistens-ogentydighetssetninger.Autonomelikningerav førsteorden.Stabilitet.Generellelineærelikninger.Variasjonavparametrene.Lineærelikningeravannenordenmedkonstantekoeffisienter.Eulerske differensiallikninger.Generellelineærelikningermedkonstantekoeffisienter. Stabilitetforlineærelikninger.Routh–Hurwitz’stabilitetsbetingelser.Normalesystemer.Lineæresystemer.Matriseformulering.Resolventer.Lokale ogglobaleeksistens-ogentydighetssetninger.Autonomesystemer.Likevektstilstander.Integralkurver.Lokalogglobal(asymptotisk)stabilitet.Periodiske løsninger.Poincar´e–Bendixsonssetning.Liapunov-setninger.Hyperbolskelikevektspunkter.Olechssetning.Liapunov-funksjoner.Lotka–Volterra-modeller. Eksistensavlokaltsadelpunkt.Partielledifferensiallikningeravførsteorden. Kvasilineærelikninger.Frobenius’setning.
12.Topologiieuklidskerom ........................................83
Grunnleggendebegreper.Konvergensavfølger.Cauchy-følger.Kompakte mengder.Kontinuerligefunksjoner.Relativtopologi.Uniformkontinuitet. Punktvisoguniformkonvergensavfølgeravfunksjoner.Korrespondanser. Nedreogøvrehemikontinuitet.Infimumogsupremum.Liminfoglimsup.
13.Konveksitet .....................................................89
Konveksemengder.Konveksinnhylling.Carath´eodoryssetning.Ekstrempunkter.Krein–Milmanssetning.Separasjonssetninger.Konkaveogkonvekse funksjoner.Hesse-matriser.Kvasikonkaveogkvasikonveksefunksjoner.Bordede Hesse-determinanter.Pseudokonkaveogpseudokonveksefunksjoner.
14.Klassiskoptimering .............................................97
Grunnleggendedefinisjoner.Ekstremverdisetningen.Stasjonærepunkter. Førsteordensbetingelser.Sadelpunkter. ´ Envariabelresultater.Vendepunkter. Annenordensbetingelser.Optimeringunderbibetingelseriformavlikheter. Lagrangesmetode.Verdifunksjonerogsensitivitet.EgenskapervedLagrangemultiplikatorene.Omhyllingssetninger.
15.Lineærogikke-lineærprogrammering ..........................105
Grunnleggendedefinisjonerogresultater.Dualitet.Skyggepriser.Komplementærslakkhet.Farkas’lemma.Kuhn–Tucker-setninger.Sadelpunktresultater.Kvasikonkavprogrammering.Egenskapervedverdifunksjonen.Enomhyllingssetning.Ikke-negativitetskrav.
16.Variasjonsregningogoptimalkontrollteori ......................111
Detenklestevariasjonsproblemet.Euler-likningen.Legendre-betingelsen. Tilstrekkeligebetingelser.Transversalitetsbetingelser.Skrapverdifunksjoner. Mergenerellevariasjonsproblemer.Kontrollproblemer.Maksimumsprinsippet. MangasariansogArrowstilstrekkeligebetingelser.Egenskapervedverdifunksjonen.Problemermedfritid.Mergenerelleendebetingelser.Skrapverdifunksjoner.“Løpendeverdi”-formuleringer.Lineært-kvadratiskeproblemer.Uendelighorisont.Blandederestriksjoner.Renetilstandsrestriksjoner.Blandedeog renetilstandsrestriksjoner.
17.Optimeringoverdiskrettid ....................................123 Dynamiskprogrammering.Verdifunksjonen.Fundamentallikningene.En“kontrollparameterfri”formulering.Eulersdifferenslikning.Uendelighorisont.Diskretoptimalkontrollteori.
18.Vektoreri Rn .Abstrakterom ..................................127
Lineæravhengighetoguavhengighet.Underrom.Basis.Skalarprodukt.Norm avvektorer.Vinkelenmellomtovektorer.Vektorrom.Metriskerom.Normertevektorrom.Banach-rom.Ascolissetning.Schaudersfikspunktsetning.
Fikspunkterforkontraksjonsavbildninger.Blackwellstilstrekkeligebetingelser forenkontraksjon.Indreproduktrom.Hilbert-rom.Cauchy–Schwarz’ogBessels ulikheter.Parsevalsformel.
19.Matriser ........................................................133
Spesiellematriser.Matriseoperasjoner.Inversematriserogderesegenskaper. Trase.Rang.Matrisenormer.Eksponentialmatriser.Lineæretransformasjoner. Generaliserteinverser.Moore–Penrose-inverser.Partisjonering.Matrisermed komplekseelementer.
20.Determinanter .................................................141
2 × 2-og3 × 3-determinanter.Generelledeterminanterogderesegenskaper. Kofaktorer.Vandermonde-determinanterogandrespesielledeterminanter. Underdeterminanter.Cramersformler.
21.Egenverdier.Kvadratiskeformer ...............................145
Egenverdierogegenvektorer.Diagonalisering.Spektralteori.Jordansdekomposisjonssetning.Schurslemma.Cayley–Hamiltonssetning.Definitthetav kvadratiskeformerogmatriser.Singulærverdi-dekomposisjon.Simultandiagonalisering.Definitthetavkvadratiskeformerunderlineærebibetingelser.
22.Spesiellematriser.Leontief-systemer ...........................151 Egenskapervedidempotenteogortogonalematriser.Permutasjonsmatriser. Ikke-negativematriser.Frobeniusrøtter.Dekomponerbarematriser.Matriser meddominerendediagonal.Leontief-systemer.Hawkins–Simon-betingelsene.
23.Kronecker-produkterogvec-operatoren.Derivasjonavvektorerog matriser ........................................................155
DefinisjonavogegenskapervedKronecker-produktet.Vec-operatorenogdens egenskaper.Derivasjonavvektorerogmatrisermedhensynp˚aelementer,vektorerogmatriser.
24.Komparativstatikk .............................................159 Likevektsbetingelser.Resiprositetsrelasjoner.Monotonkomparativstatikk. Dellatticeri Rn .Supermodularitet.Voksendedifferenser.
25.Egenskapervedkostnads-ogprofittfunksjoner ..................163 Kostnadsfunksjoner.Betingedefaktoretterspørselsfunksjoner.Shephards lemma.Profittfunksjoner.Faktoretterspørselsfunksjoner.Tilbudsfunksjoner. Hotellingslemma.Puuslikning.Substitusjonselastisiteter.Allen–Uzawasog Morishimassubstitusjonselastisitet.Cobb–Douglas-ogCES-funksjoner.Minimumslov(lineærlimitasjonslov).Diewerts(generaliserteLeontief)kostnadsfunksjon.Translog-kostnadsfunksjoner.
26.Konsumentteori ................................................169
Preferanserelasjoner.Nyttefunksjoner.Nyttemaksimering.Indirektenyttefunksjoner.Konsum-etterspørselsfunksjoner.Roysidentitet.Utgiftsfunksjoner. Kompenserteetterspørselsfunksjoner.Cournot-,Engel-ogSlutsky-elastisiteter. Slutsky-likningen.Ekvivalentogkompensertvariasjon.LES(Stone–Geary), AIDSogtranslogindirektenyttefunksjoner.Laspeyres’ogPaaschesprisindekser. Fishersideelleindeks.
27.Emnerfrahandelsteori .........................................175 2 × 2-faktormodellen.“Nofactorintensityreversal”.Stolper–Samuelsonssetning.Rybczynskissetning.Heckscher–Ohlin–Samuelsonsmodell.Heckscher–Ohlinssetning.
28.Emnerfrafinans-ogvekstteori .................................177 Forrentning.Effektivrentesats.N˚averdiberegninger.Internrente.Norstrøms regel.Kontinuerligforrentning.Solowsvekstmodell.Ramseysvekstmodell.
29.Risikoogrisikoaversjon .........................................181
Absoluttogrelativrisikoaversjon.Arrow–Prattrisikopremie.Stokastiskdominansavførsteogannenorden.Hadar–Russellssetning.Rothschild–Stiglitz’ setning.
30.Finansteoriogstokastiskanalyse ...............................183
Kapitalverdimodellen.Konsum-β -versjonen.Black–Scholes-modellenforprissettingavopsjoner.Sensitivitetsresultater.EngeneralisertBlack–Scholesmodell.Put-call-paritet.Sammenhengenmellomamerikanskekjøps-ogsalgsopsjoner.Evigvarendeamerikanskesalgsopsjoner.Stokastiskintegral.Itˆos formel.Etstokastiskkontrollproblem.Hamilton–Jacobi–Bellmanslikning.
31.Ikke-kooperativspillteori .......................................187
Et n-person-spillp˚astrategiskform.Nash-likevekt.Blandedestrategier.Strengt dominertestrategier.To-person-spill.Null-sum-spill.Symmetriskespill.SadelpunktegenskapenvedenNash-likevekt.Denklassiskeminimaks-setningenfortopersonnull-sum-spill.Rektangulær-ellerutskiftings-egenskapen.Evolusjonær spillteori.Spillmedufullstendiginformasjon.DominerendestrategierogBayesianskNash-likevekt.BayesianskNash-likevektirenestrategier.
32.Kombinatorikk .................................................191 Kombinatoriskeresultater.Inklusjons-eksklusjons-prinsippet.Dirichletsskuffeprinsipp.
33.Sannsynlighetsregningogstatistikk .............................193 Aksiomerogregnereglerforsannsynlighet.Betingetsannsynlighet.Stokastiskuahengighet.Bayes’regel.Stokastiskevariabler(endimensjonale).Sannsynlighetstetthetsfunksjoner.Kumulativefordelingsfunksjoner.Forventning.
Middelverdi.Varians.Standardavvik.Sentralmoment.Skjevhetskoeffisient. Kurtose.Tsjebysjevsulikhet.Jensensulikhet.Momentgenererendeogkarakteristiskefunksjoner.Stokastiskevariabler(todimensjonale).Kovarians.Cauchy–Schwarz’ulikhet.Korrelasjonskoeffisienten.Marginaleogbetingedetetthetsfunksjoner.Stokastiskuavhengighet.Betingetforventningogvarians.Itererte forventninger.Transformasjoneravstokastiskevariabler.Estimatorer.Skjevhet.Forventetkvadratfeil.Sannsynlighetsgrenser.Konvergensikvadratisk middel.Grensefordeling.Konsistens.Hypotesetesting.Teststyrke.TypeI-og typeII-feil.Signifikansniv˚a.Signifikanssannsynligheten(P -verdien).Densvake ogdensterkestoretallslov.Sentralgrensesetningen.
34.Sannsynlighetsfordelinger ......................................201
Beta-,binomial-,binormal-,eksponential-,ekstremverdi-(Gumbel-), F -,flerdimensjonalnormal-,gamma-,geometrisk,hypergeometrisk-,kji-kvadrat-, Laplace-,logistisk-,lognormal-,multinomial-,negativbinomial,normal-, Pareto-,Poisson-,Students t-,uniform,Weibull-fordeling.
35.Minstekvadratersmetode ......................................207 Minstekvadratersmetode.Lineærregresjon.Multippelregresjon.
Litteratur ......................................................211
Saksregister ....................................................215