Dag Einar Sommervoll
MATEMATIKK FOR ØKONOMIFAG
3. utgave
Matematikk forøkonomifag
Matematikk forøkonomifag
© Gyldendal Norsk Forlag AS, 2016
1.utgave 2011
2.utgave 2012
3.utgave, 3. opplag 2023
ISBN: 978-82-05-48733-8
Omslagsdesign: Dag Einar Sommervoll
Sats og layout: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke)
Foto: # Espen Bratlie / Samfoto
Figurer: Ved forfatter, Gamma grafisk AS (Vegard Brekke), David Keeping og Matematisk sats
Papir: 90 g Amber Graphic
Trykk: Mediehuset Andvord AS, Norge 2023
Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.
Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til:
Gyldendal Akademisk
Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo
E-post: akademisk@gyldendal.no
Forord
Økonomieretmatematikkbrukendefag.Matematikkforenkleroggjørøkonomiske argumenterklarere.A ˚ formulereetøkonomiskresonnementiformavmodell medlikningerogvariablerkommermedenpris.Matematiskspra ˚ kkrever matematiskforsta ˚ elseogmanipulasjonsferdigheter.Økonomistudenterharsvært varierendematematikkunnskaper.Detgirsærskilteutfordringerknyttettilmatematikkundervisningforøkonomistudenter.
Dennelærebokensøkera ˚ tadenneutfordringenpa ˚ alvor.Detoverordnedema ˚ let forenhverlærebokimatematikkera ˚ gistudentenedennødvendigematematiske ballast.Utfordringeneratlæringavregneteknikkerogpuggingavoppskriftergir sværtbegrensedeogliterobusteferdigheter.Deerogsa ˚ snartglemt.Sliksett minnerdennelæringsformenmerompuggingavpassordennomlæringsom setterstudentenistandtila ˚ brukematematikkpa ˚ økonomiskeproblemstillinger senere.Pa ˚ denandresidenermatematikkforsta ˚ elsemerkrevende.A ˚ utlede pq-formelenkrevermermatematiskinnsiktenna ˚ brukeden.Matematikkhar togrunnpilarer:forsta ˚ elseogteknikk.Dethjelperlitemedforsta ˚ elsehvisduikke anerhvordanduskalregne.Ogomvendt;kanduregne,hjelperdetlitehvisdu ikkeevnera ˚ omsetteetmatematiskproblemtiletregneproblem.Kapitleneer derforskrevetetterenmal:Førstfokuserervipa ˚ forsta ˚ else.Spørsma ˚ leterda: Hvorfor?Hvaerlogikken?Etterdennemotivasjonenspørvi:Hvordanregnervi ipraksis?Hvilkemetoderbringerosstilsvaret?Viillustrererregneteknikkermed eksempleravstigendevanskelighetsgrad.Vanskeligereoppgaverogavsnitter stjernemerket.
Isluttenavhvertavsnitterdetetsettmedoppgaversomliggertettopptilde gitteeksemplene.Løsningsforslagtilalledisseavsnittsoppgavenefinnesbakerst iboken.Flereoppgaverergittisluttenavhvertkapittel.Disseerdeltiprinsipielle ogblandedeoppgaver.Deprinsipielleoppgavenefordreringenregneferdigheter ogsøkerbarea ˚ testeforsta ˚ else.Løsningavdeblandedeoppgavenemedføreren blandingavmatematikkforsta ˚ elseogregneferdigheter.
Detreførstekapitlenedekkerelementærematematikkferdigheterogkan brukestilforkursimatematikk.Herblirsentralebegreperforklartidetalj, ogdissetrekapitleneegnerseggodtforselvstudium.Dissetrekapitlenetjener ogsa ˚ somenhurtigreferanseforgrunnleggenderegneferdighetersomvidrar vekslerpa ˚ irestenavboken.Kapittel4og5omhandlerrekkerogfinansmatematikk,kapittel6–9dekkerfunksjonsanalyse,ogsistekapittel,10,omhandler lineæralgebra.
Enrekkepersonerharbidrattaktivttilutformingenavdenneboken. Jegønskerspesielta ˚ takkeNilsIngarArvidsen,somlestegjennomførsteversjon avbokenogkommedmangekonstruktiveinnspill.Videreviljegtakke KnutReidarWangen,EivindEriksen,ArvidSiqveland,ErlingRøedLarsen, ErlingSteigum,AskSommervoll,A ˚ valdSommervoll,PetterNordhaug, EirikNymo,JonasMeyer,FredrikGjørvenogChristofferEphithiteformange innspillogrettingavfeil.TomWennemoharbidrattstorttila ˚ gjørebokenstre førstekapitleregnettilselvstudium.Jegvilogsa ˚ takkeTronFossogPa ˚ lLauritzen formangeinteressantediskusjonerknyttettilmatematikkogmatematikkforsta ˚ else. FinnHolmefortjenerogsa ˚ entakkfordihanengangforlengesidenvistemeg atmatematikkerspennendeogutfordrerfantasien.Videreenstortakktil PerOskarAndersen,VegardBrekke,ArveMichaelsenogDavidKeepingfor storartetarbeidmedredigering,ombrekkingogfigurarbeid.Sist,menikkeminst, entakktilminkoneA ˚ slaugHelland.Hennesstøtte,ogikkeminsthjelp,underveisharværtuvurderlig.
Oslo,april2011
DagEinarSommervoll
Forordtil3.utgave
Tredjeutgavensøkera ˚ rendyrkeforskjelligeoppgavetypermyntetpa ˚ ulikefaser imatematikklæringen.Denførsteerrenedrilloppgaver,hvornyteoriogregneteknikktrenesisolert.Denandreerprinsipielleoppgaver.Detteeroppgaveruten regning,ogtesterkunspørsma ˚ lavprinsipiellart.Dentredjeerblandedeoppgaver somkombinererflereelementerfrateoriogregneteknikk.Denfjerdeerflervalgsoppgaverhvorstudentenskalfinneriktigsvaralternativ.Ma ˚ letmeddisseer a ˚ testespesifikkeregnetekniskeferdigheter.Denfemteoppgavetypenereksamensoppgaversomtesterkunnskaperienlittbrederesetting.Nyteknologihargittoss nyeløsningsstrategier.Vieristørregradennfør,vanttila ˚ prøveogfeile,forsa ˚ a ˚ prøveigjen.Enslikstrategieravhengigav«instantfeedback»,noeviikkefa ˚ r na ˚ rviregnermatematikkoppgaver.Derforerdetviktigtila ˚ trenefeilsøkinguten «feilmeldinger».Idenneutgavenharviderforinkludert«Finneventuellefeil»oppgaver.Detrenerkritisksans,ogsetterfingerenpa ˚ logiskeogregnetekniske overgangerhvorfeilharenleievnetila ˚ snikeseginn.
Denneutgavenharløsningerogfasitsvarpa ˚ alleoppgaverbakiboka.
Oslo,mars2016
DagEinarSommervoll
Innhold
1Tall,likningerognyttigeløsningsverktøy 11
1.1Heltall 11
1.2Brøkogdesimaltall 15
1.3Skrivemåterforstoreogsmåtall 18
1.4Enkelprosentregning 21
1.5Parenteser,likningsløsning,regneteknikkerogtips 24
1.6Ulikheter 29
1.7Tolikningermedtoukjente 33
1.8Trelikningermedtreukjente 34
1.9Røtterogregningmedrøtter 36
1.10Løsningavlikningermedrøtter 38
Oppsummering 40
Tipsogvanligefeil 42
Prinsipielleoppgaver 42
Blandedeoppgaver 45
Flervalgsoppgaver 49
Finneventuellefeil 52
2Mengder,logikkogfunksjoner 54
2.1Mengdelære 54
2.2Elementærlogikk 61
2.3Funksjonerdypestsett 67
Oppsummering 74
Prinsipielleoppgaver 76
Blandedeoppgaver 77
Flervalgsoppgaver 78
3Funksjoneroggrafer 79
3.1Lineærefunksjoner 79
3.2Andregradspolynomer 88
3.3Andregradspolynomerogfaktorisering 94
3.4Polynomeravhøyeregradogpolynomdivisjon 98
3.5Asymptoter:styrelinjermotuendeligheten 103
3.6Omvendtefunksjoner 111
3.7Eksponentialfunksjoner 119
3.8Tonyttigefunksjoner: ex ogln x120
Oppsummering 125
Tipsogvanligefeil 128
Prinsipielleoppgaver 129
Blandedeoppgaver 134
Flervalgsoppgaver 141
Finneventuellefeil 143
4Følgerogrekker 146
4.1Prosentregningogbankinnskudd 147
4.2Summerogsummetegn 151
4.3Regnereglerforsummer 154
4.4Aritmetiskerekker 156
4.5Geometriskerekker 163
4.6Uendeligerekker 166
4.7Rekkermedbådepositiveognegativeledd 173
4.8Følger 176
Oppsummering 177
Tipsogvanligefeil 178
Prinsipielleoppgaver 179
Blandedeoppgaver 180
Eksamensoppgaver 184
Finneventuellefeil 185
5Finansmatematikk 188
5.1Renterognåverdi 188
5.2Nåverdiogdiskonteringsrate 189
5.3Renterogkontinuerligforrenting 193
5.4Effektivrente 197
5.5Nåverdioggeometriskerekker 199
5.6Månedsrenterogårsrenter.Omregninger 204
5.7Ulikelåneformer:serie-ogannuitetslån 204
5.8Ordbruk:annuitet,amortisering 207
Oppsummering 207
Tipsogvanligefeil 209
Prinsipielleoppgaver 209
Blandedeoppgaver 210
Eksamensoppgaver 213
Finneventuellefeil 215
6Funksjonsanalyse.Denderiverte 217
6.1Kontinuitetoggrenser 219
6.2Denderivertetilenfunksjon 228
6.3Ulikeskrivemåterfordenderiverte 232
6.4Basaleregnereglerforderivasjon 233
6.5Noenflerederivasjonsregler 236
6.6Anvendelseavdenderiverte:
L’Ho ˆ pitalsregelforgrenser 242
6.7Denderiverteogtangenter 246
6.8Enkelfunksjonsanalyse 249
6.9Etoverblikkoverviktigedefinisjoner 253
6.10Elastisiteter 256
6.11Profittmaksimering 259
Oppsummering 263
Tipsogvanligefeil 266
Prinsipielleoppgaver 266
Blandedeoppgaver 267
Eksamensoppgaver 269
Flervalgsoppgaver 270
Finneventuellefeil 276
7Deriverteavhøyereorden 279
7.1Dobbeltderiverte 280
7.2Vendepunkterogvendetangenter 285
7.3Funksjonsdrøftingmedderiverteogdobbeltderiverte 289
7.4Tilnærmingtilfunksjoner.Etførsteeksempel 296
7.5Tilnærmingavfunksjoner.Taylor-polynomerogrestledd 300
7.6NoenordomTaylor-rekker 306
7.7Geometriskerekker,konvergensradierogTaylor-rekker 307
Oppsummering 310
Tipsogvanligefeil 311
Prinsipielleoppgaver 311
Blandedeoppgaver 312
Eksamensoppgaver 314
Flervalgsoppgaver 315
Finneventuellefeil 316
8Funksjoneravflerevariabler 322
8.1Tredimensjonertegnetito 324
8.2Nivåkurver 327
8.3Partiellderiverte 329
8.4Topp-ogbunnpunkter 332
8.5Høyereordensderiverte 335
8.6Hvordansergrafenetilfunksjoneravtovariablerut? 338
8.7Topperogbunnerog...sadler 341
8.8Flatermedrand.Globaletopperogbunner 346
8.9Derivasjonogimplisittefunksjoner 352
8.10Totalderiverte 357
8.11Maksimeringunderbibetingelser 362
8.12Funksjoneriflereenntovariabler 370
Oppsummering 371
Tipsogvanligefeil 373
Prinsipielleoppgaver 373
Blandedeoppgaver 375
Eksamensoppgaver 377
Flervalgsoppgaver 381
Finneventuellefeil 386
9Integrasjon 388
9.1Integrasjonsomdetmotsatteavderivasjon 391
9.2Antideriverteogubestemteintegraler 396
9.3Antiderivasjon:baklengsregningmedkjentefunksjoner 398
9.4Enkelregningmedarealfunksjonerogbestemteintegraler 401
9.5Intothewild:integrasjonutenforpolynomenestryggeverden 405
9.6DelvisintegrasjonI 410
9.7DelvisintegrasjonII.Noennyttigeeksempler 413
9.8Integrasjonvedsubstitusjon 415
9.9Integrasjonavrasjonalefunksjoner 419
Oppsummering 423
Tipsogvanligefeil 424
Prinsipielleoppgaver 425
Blandedeoppgaver 426
Eksamensoppgaver 429
Finneventuellefeil 432
10Lineæralgebra 435
10.1Gauss–Jordan-eliminasjon 438
10.2Matrisemultiplikasjon 444
10.3Matriser 447
10.4Ordbrukiforbindelsemedmatriser 451
10.5Matrisemultiplikasjon,vektorerogavbildninger 454
10.6Matrisersomlineæreavbildninger 457
10.7Determinanter 461
10.8Anvendelseavdeterminanter:Cramersregel 466
10.9Brukavdeterminanter:lineæravhengighet 470
10.10Anvendelseavdeterminanter:inversematriser 474
10.11Gauss–Jordan-eliminasjonoginversematriser 479
Oppsummering 482
Tipsogvanligefeil 487
Prinsipielleoppgaver 487
Blandedeoppgaver 488
Eksamensoppgaver 490
Finneventuellefeil 494
Oppgaveløsninger 495
Stikkord 709