Martin G. Gulbrandsen
Johannes Kleppe
Tore A. Kro
Jon Eivind Vatne
MATEMATIKK FOR INGENIØRFAG OPPGAVER
OG FASIT
Martin G. Gulbrandsen
Johannes Kleppe
Tore A. Kro
Jon Eivind Vatne
MATEMATIKK FOR INGENIØRFAG OPPGAVER
OG FASIT
© Gyldendal Norsk Forlag AS 2015 1. utgave, 8 opplag 2025
ISBN 978-82-05-47796-4
Omslagsdesign: Gyldendal Akademisk Figurer: Vegard Brekke
Sats: Type-it AS, Trondheim Papir: 90 g Multi Offset UPM Trykk: Balto print, Litauen 2025
Alle henvendelser om boken kan rettes til Gyldendal Akademisk Postboks 6860, Pilestredet Park 0176 Oslo
www.gyldendal.no/akademisk akademisk@gyldendal.no
Materialet i denne utgivelsen er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor (www.kopinor.no). Bruk av hele eller deler av utgivelsen som input eller som treningskorpus i generative modeller som kan skape tekst, bilder eller annet innhold, er ikke tillatt uten særskilt avtale.
Gyldendal vektlegger bærekraft når vi velger trykketjenester og papir. Ta godt vare på boken, og om du ikke lenger skal ha den, gjenvinn den på riktig måte. Se www.gyldendal.no
Forord
Detteheftetinneholderoppgavertillæreboka Matematikkforingeniørfag.Desammeoppgavenefinnes ogsåidendigitalearbeidsboka(selærebokafornettadresseogtilgangskode).
Noengangerfinnesikkeetmeningsfyltfasitsvar,foreksempelderoppgaveneråbeviseenpåstand.Medunntakavslikeoppgavererdetfasittilalleoppgavenebakerstidetteheftet.Idendigitale arbeidsbokenfinnesdetogså,itilleggtilfasit,fullstendigeløsningsforslagtiletutvalgavoppgavene.
Somilærebokaerenkelteavsnittmerketmedenstjerne(*).Detteerkapitlersomkanutelatesutenat detskaperproblemerforforståelsenavpåfølgendekapitler.
Mars,2015
JonEivindVatne,MartinG.Gulbrandsen, JohannesKleppeogToreA.Kro
Innhold
1Grunnleggendemateriale 9
1.1Regningmedtall 9
1.2Polynomerograsjonalefunksjoner 9
1.3Funksjoner 10
1.4Trigonometriskefunksjoner 11
1.5Eksponentialfunksjonerog logaritmefunksjoner 12
1.6Absoluttverdierogulikheter 13
1.7Vektorregning 14
1.8 ∗ Krefterogmomenter 15
2Kompleksetall 16
2.1Rotenav 1 16
2.2Geometrisktolkningavkomplekse tall 18
2.3Røtteravkompleksetall 23
3Mengderogresonnementer 27
3.1Mengdenotasjon 27
3.2Mengder 27
3.3Grunnleggendelogikk 29
3.4Resonnementer 32
3.5Algoritmer 32
4Kontinuitet 35
4.1Kontinuerligeogdiskontinuerlige fenomener 35
4.2Grenseverdierforfunksjoner 35
4.3Kontinuerligefunksjoner 37
4.4Skjæringssetningen 39
4.5Maksimaogminima 41
4.6 ∗ Tillegg:Utelatteresonnementer 42
5Derivasjon 43
5.1Endringsrate 43
5.2Definisjonenavdenderiverte 43
5.3Tangenteroglineærtilnærming 44
5.4Newtonsmetode 46
5.5Regnereglerforderivasjonav sammensatteuttrykk 48
5.6Implisittderivasjonogkoblede hastigheter 50
5.7Ubestemteuttrykkogl’Hôpitals regel 55
5.8Ekstremalpunkterog funksjonsdrøfting 59
5.9Derivasjonavomvendtefunksjoner 63
5.10 ∗ Tillegg:Utelatteresonnementer 65
6Integrasjon 67
6.1Arealfunksjonen 67
6.2Denantideriverte 67
6.3Integrasjonsteknikker 68
6.4Delbrøkoppspaltingogintegrasjonav rasjonalefunksjoner 72
7Anvendelseravintegrasjon 76
7.1Riemann-summer 76
7.2Analysensfundamentalteorem 78
7.3Lengde,arealogvolum 78
7.4Tyngdepunktoggjennomsnitt 80
7.5Arbeid 81
7.6Uegentligeintegraler 82
7.7Numeriskintegrasjonmed feilestimering 83
8Rekker 86
8.1Følger 86
8.2Differensligninger 87
8.3Definisjonavrekke 90
8.4Konvergenstestingogsummeringav rekker 91
8.5Potensrekker 93
8.6Taylor-rekker 96
8.7 ∗ Andrekonvergenstester 99
8.8 ∗ Tillegg:Forklaringpå konvergenstestene 100
8.9Blandedeoppgaver 100
9Lineæralgebra1 102
9.1Lineæreligningssystemer 102
9.2Matriser 105
9.3Determinanter 108
9.4Ligningssystemerpåvektorform 112
9.5Lineæretransformasjoner 114
9.6Minstekvadratersmetode 116
9.7Blandedeoppgaver 118
10Lineæralgebra2 120
10.1Egenverdierogegenrom 120
10.2Markov-kjederogandredynamiske systemer 121
10.3Diagonalisering 123
10.4Underromav Rn 125
10.5Skifteavbasis 126
10.6Blandedeoppgaver 127
11Funksjoneravflerevariabler 130
11.1Graferoggrenser 130
11.2Partieltderiverte 131
11.3Ekstremalverdier 133
11.4Dobbeltintegral 134
11.5 ∗ Tillegg:Utelatteresonnementer 135
11.6Blandedeoppgaver 135
12Differensialligninger 136
12.1Hvaerendifferensialligning? 136
12.2Numeriskløsningavførsteordens differensialligninger 137
12.3Separabledifferensialligninger 139
12.4Lineæredifferensialligningermed konstantekoeffisienter 140
12.5Integrerendefaktor 141
12.6Startverdiproblemerog randverdiproblemer 142
12.7 ∗ Systemeravdifferensialligninger 146
12.8Blandedeoppgaver 147
13Fourier-rekker 149
13.1 ∗ Varmeligningen 149
13.2Trigonometriskerekker 150
13.3Periodiskefunksjoner 151
13.4KonvergensforFourier-rekker 152
13.5 ∗ Periodiskeytrekrefterog resonans 157
14Laplace-transformasjonen 158
14.1Eksponentiellvekstog
Laplace-transformasjonen 158
14.2Linearitet,eksistensogentydighet 159
14.3Basisformlerfor Laplace-transformasjonen 160
14.4Heavisidesenhetssteg,Diracs impulsfunksjonog gammafunksjonen 163
14.5Derivasjon,integrasjon,skiftsetningerog konvolusjon 165
14.6Laplace-transformasjonenog initialverdiproblemer 170
14.7 ∗ Tillegg:Utledningav Laplace-transformasjonensformler 170
Fasit 173
Fasitforgrunnleggendemateriale 173
Fasitforkompleksetall 178
Fasitformengderogresonnementer 191
Fasitforkontinuitet 198
Fasitforderivasjon 203
Fasitforintegrasjon 221
Fasitforanvendelseravintegrasjon 226
Fasitforrekker 231
Fasitforlineæralgebra1 240
Fasitforlineæralgebra2 254
Fasitforfunksjoneravflerevariabler 262
Fasitfordifferensialligninger 267
FasitforFourier-rekker 274
FasitforLaplace-transformasjonen 279