Martin G. Gulbrandsen
Johannes Kleppe
Tore A. Kro
Jon Eivind Vatne
MATEMATIKK FOR INGENIØRFAG
– med numeriske beregninger
Matematikkfor ingeniørfag
MartinG.GulbrandsenJohannesKleppe ToreA.KroJonEivindVatne
MATEMATIKK FORINGENIØRFAG
© GyldendalNorskForlagAS2013 1.utgave,5.opplag2020
ISBN978-82-05-43233-8
Omslagsdesign:GyldendalAkademisk Layoutogsats:GammagrafiskAS(VegardBrekke) Figurer:GammagrafiskAS(VegardBrekke),AITOslo(ArnvidMoholt) Brødtekst:TimesRoman10,7pt/13dd Papir:80gMySollMatt Trykk:Dimograf,Polen2020
Allehenvendelserombokenkanrettestil GyldendalAkademisk Postboks6730St.Olavsplass 0130Oslo
www.gyldendal.no/akademisk akademisk@gyldendal.no
Detmåikkekopieresfradennebokenistridmedåndsverkloven elleravtaleromkopieringinngåttmedKOPINOR,interesseorgan forrettighetshaveretilåndsverk.Kopieringistridmedloveller avtalekanmedføreerstatningsansvaroginndragning,ogkan straffesmedbøterellerfengsel.
AlleGyldendalsbøkererprodusertimiljøsertifisertetrykkerier. Se www.gyldendal.no/miljo
Forord
Tilleseren
I1960publisertefysikerenEugeneWignerenartikkelmeddensla ˚ endetittelen «TheUnreasonableEffectivenessofMathematicsintheNaturalSciences»1 EtavWignerspoengereratmatematikkensspra ˚ kharvistsega ˚ væreutrolignyttig iva ˚ reforsøkpa ˚ a ˚ beskriveogforsta ˚ virkelighetenrundtoss,entendethandlerom transistorer,dampkjelerellersatellitter.DennesuksessenerifølgeWignerhelt urimeligoguforsta ˚ elig,mendeneretfantastiskfaktum.
Vedsidenavdette«helturimelige»nytteaspektetermatematikkogsa ˚ etfag medsinegentradisjonogsineegnesæregenheter,medenblandingavstrenglogikk ogvilleideer.Forfatterneha ˚ peratdusomfremtidigingeniørvilhastornytteav innholdetidenneboka.Viha ˚ peratviklarera ˚ videreformidlenoeavva ˚ regen entusiasmeforfaget,ogatduunderveisfa ˚ røyepa ˚ elementeravklarhet,dybde, estetikkogkreativitet–oghargledeavdet.
Matematikkstudierkreverstoregeninnsats.Forelesningerogandreundervisningstilbudertilgodhjelp,mentilslutterdetbareduselvsomkanlæredeg matematikk.Duskalikke«lese»denneboka,duskalstudereden.Finnfrempenn ogpapirfraførstestund,fyllinnmellomregningerogutelattedetaljer,spørdegselv hvorfornoeergjortsa ˚ nnogikkeslikieksemplene,oggjørtonnevismedoppgaver–brukmassetid.Viloverdegatdenervelanvendt.Deterdypttilfredsstillende a ˚ forsta ˚ etbegrep,enteknikkelleretresonnementsomtidligerevaruklart–itillegg erdetaltsa ˚ urimelignyttig.
Bokasoppbygning
Enikkeheltuttømmendegjennomgangavbokaersomfølger:Ethovedtemaer analyse avfunksjonerave ´ nvariabel,detvilsistudietavkontinuitet(kapittel4), derivasjon(5),integrasjon(6–7)ogdifferensialligninger(12).Dettetemaetbygges videreutitouavhengigeretninger:tilfunksjoneravflerevariabler(kapittel11) ogtiltretyperrepresentasjonerave ´ nvariabelfunksjoner–Taylor-rekker(8), Fourier-rekker(13)ogLaplace-transformasjonen(14).Uavhengigavanalysedelen behandles lineæralgebra ikapittel9og10.
1 CommunicationinPureandAppliedMathematics,vol.13,No.I(1960)
Bokahartrekapitlerinnledningsvis:Kapittel1errepetisjonavendelgrunnleggendebegreperogteknikkersomrestenavbokabyggerpa ˚ .Sa ˚ harviplassert kompleksetallalleredeikapittel2,sometforslagoma ˚ begynnetidligmedet interessanttemasomvilværenyttigfordefleste,ogsomikkestillerstorekrav tilforkunnskaper.Kapittel3omhandlermengder,resonnementeroglogikk–ogiavsnitt3.5introduseresalgoritmebegrepetogpseudokodensombrukes iberegningseksempleneiboka(senedenfor).
Itilleggtilhovedtekstenharvitattmedflereavsnittmedutfyllendestoff, merketmedenstjerne(*).Disseavsnittenekanutelatesutenatdetvilskape problemerforforsta ˚ elsenavpa ˚ følgendeavsnitt.Viharbruktstjerneba ˚ detila ˚ markeretekstsomkanskjeeravmermatematiskenningeniørfagliginteresse, ogtila ˚ markerenoenemnersomkanutelatesutenproblemerna ˚ rdetma ˚ prioriteres. Determangemulighetertilvariasjonavrekkefølgeogomfangietkurssom brukerboka.Herereteksempelpa ˚ topa ˚ følgendekurs:
Førstekurs:kapitlene2,3,4–7,12(hovedsakeliganalyseie ´ nvariabel)og9–10, tilogmed10.3(lineæralgebra).Avsnittmerketmedstjerneutelates.Delen ilineæralgebrakangodtlesesparalleltmedellerinnimellomanalysedelen.
Andrekurs:kapittel8(følger,rekkerogpotensrekker),11tilogmed11.3 (flerevariabler),13(Fourier-rekker)og14(Laplace-transformasjonen). Avsnittmerketmedstjerneutelates.Flervariabel-deleneruavhengigav Fourier-ogLaplace-delen,ogdissekangodtbytteplass.
Numeriskeberegninger
Idennebokabehandlesteori,analytiskemetoderognumeriskeberegningersamtidig. Detleggesopptilatstudenteneharfa ˚ tt litt bakgrunniprogrammering,gjerne paralleltmedmatematikkemnene;for-løkker,while-løkkerogif-testererdet viktigstestudentenetrengerennvissfortrolighetmed.Deterførstogfremst temaenegrenseverdier,integrasjon,differensialligningersamtfølgerogrekkersom erbehandletutfraetberegningsorientertperspektiv.Bokaga ˚ rikkeinnpa ˚ programmeringavdemangealgoritmeneilineæralgebrapa ˚ datamaskin,sidendetteer tekniskmerkrevendeogvilforutsettenoemerprogrammeringsbakgrunn.
Ethvilketsomhelstprogrammeringsspra ˚ kkanbrukes.Python,Octave,MATLAB ellerJavaernoenmuligheter.(ForOctave,MATLABogandrematematiskorienterte verktøyerdetetpoenga ˚ ventemeda ˚ taibrukferdigehøyniva ˚ rutinerogheller programmereselv.)Kodesnutteneibokaerskrevetienpseudokode,detvilsien ikkeheltformeltdefinertmellomtingmellometstrengtprogrammeringsspra ˚ kog enmermenneskeligtekst,somgjennomga ˚ siavsnitt3.5.Brukenavpseudokode gjørtekstenuavhengigavprogrammeringsspra ˚ k(ogunderstrekeratvalgtspra ˚ k ikkeerveldigvesentlig),menstudentenekantrengelittekstraveiledningia ˚ oversettekodeeksempleneibokatildetvalgteprogrammeringsspra ˚ ket.
Dendigitalearbeidsbokaogforelesersside
Dennebokakommersammenmedendigitalarbeidsbok.Derfinnerduoppgaver ogannetlærestofftilhvertkapittelavboka,ogsomstudentkandufølgedinegen progresjonpa ˚ enenkelma ˚ te.Detforeliggerogsa ˚ enoppgavesamlingmedfasitpa ˚ papir.
Somforeleserhardumulighettila ˚ tilpassebrukenavdendigitalearbeidsboka tilegetundervisningsopplegghvisduønskerdet.Dukangenerereegneoppgavesett, somdueventueltkandeledinestudenterogmedandreforeleseresombrukerboka ognettstedet.Dukanogsa ˚ velgea ˚ brukearbeidsbokasliksomdenerlagtopp, utena ˚ gjøretilpasninger.
Sebokomslagetsinnsideforinformasjonomhvordanduaktivererogbruker arbeidsboka.
Takk
VivilspesielttakkeGroTrudeGjestrudforspra ˚ kligbearbeidingavteksten. Va ˚ rredaktørChristianHaugsnesharpa ˚ enutmerketma ˚ teha ˚ ndtertfremdriften idettebokprosjektet.Vivilogsa ˚ takkeVegardBrekkeforenflottoglesbarlayout.
Skrivingenavdennebokablegjortisamspillmedenrekkekollegerogstudenter. KnutMørkenharværteninspirasjonskildeforberegningsorientertmatematikk. EnstortakktilHansBirgerDrange,HansFlornes,Ha ˚ vardFrøysa,TordisFuskeland, ØysteinGrøndahl,AmirHashemi,ØysteinHolje,HelgaJonsdottir,GisleKleppe, EinarKolstad,AasmundKvamme,KristianMoi,KariBirkelandNilsen, DanielOlderkjær,LeifErikOttera ˚ ,TalalRahman,ConstanzaRiera,KentRyne, PetterSeip,ArvidSiqveland,MasoudRafiiTaghanaki,MariusThaule,EliseØby ogJan-MagnusØklandforkommentarer,innspillogsynspunkter.Vivilogsa ˚ takke allestudentenesomharværtmedpa ˚ a ˚ prøveuttidligeversjoneravforskjellige kapitler.
Haugesund,Oslo,FredrikstadogBergen,juni2013.
MartinG.Gulbrandsen,JohannesKleppe,ToreA.KroogJonEivindVatne
Innhold
1Grunnleggendemateriale 11
1.1Regningmedtall 11
1.2Polynomerograsjonalefunksjoner 16
1.3Funksjoner 25
1.4Trigonometriskefunksjoner 32
1.5Eksponentialfunksjoner oglogaritmefunksjoner 45
1.6Absoluttverdierogulikheter 51
1.7Vektorregning 56
1.8*Krefterogmomenter 69
2Kompleksetall 73
2.1Rotenav–1 73
2.2Geometrisktolkningavkompleksetall 81
2.3Røtteravkompleksetall 93
2.4*Tillegg:Utelatteresonnementer 99
3Mengderogresonnementer 101
3.1Mengdenotasjon 101
3.2Mengder 104
3.3Grunnleggendelogikk 114
3.4Resonnementer 128
3.5Algoritmer 137
4Kontinuitet 145
4.1Kontinuerligeogdiskontinuerlige fenomener 145
4.2Grenseverdierforfunksjoner 149
4.3Kontinuerligefunksjoner 159
4.4Skjæringssetningen 164
4.5Maksimaogminima 169
4.6*Tillegg:Utelatteresonnementer 172
5Derivasjon 179
5.1Endringsrate 179
5.2Definisjonenavdenderiverte 182
5.3Tangenteroglineærtilnærming 184
5.4Newtonsmetode 189
5.5Regnereglerforderivasjonav sammensatteuttrykk 191
5.6Implisittderivasjonog kobledehastigheter 195
5.7Ubestemteuttrykkogl’Ho ˆ pitalsregel 198
5.8Ekstremalpunkterogfunksjonsdrøfting 205
5.9Derivasjonavomvendtefunksjoner 215
5.10*Tillegg:Utelatteresonnementer 218
6Integrasjon 223
6.1Arealfunksjonen 223
6.2Denantideriverte 224
6.3Integrasjonsteknikker 227
6.4Delbrøkoppspaltingogintegrasjon avrasjonalefunksjoner 237
7Anvendelseravintegrasjon 255
7.1Riemann-summer 255
7.2Analysensfundamentalteorem 263
7.3Lengde,arealogvolum 269
7.4Tyngdepunktoggjennomsnitt 280
7.5Arbeid 283
7.6Uegentligeintegraler 286
7.7Numeriskintegrasjonmed feilestimering 292
8Rekker 305
8.1Følger 305
8.2Differensligninger 316
8.3Definisjonavrekke 329
8.4Konvergenstesting ogsummeringavrekker 335
8.5Potensrekker 347
8.6Taylor-rekker 363
8.7*Andrekonvergenstester 376
8.8*Tillegg:Forklaringpå konvergenstestene 381
9Lineæralgebra1 395
9.1Lineæreligningssystemer 395
9.2Matriser 427
9.3Determinanter 441
9.4Ligningssystemerpåvektorform 465
9.5Lineæretransformasjoner 476
9.6Minstekvadratersmetode 494
10Lineæralgebra2 503
10.1Egenverdierogegenrom 503
10.2Markov-kjederog andredynamiskesystemer 513
10.3Diagonalisering 522
10.4Underromav Rn 531
10.5Skifteavbasis 546
11Funksjoneravflerevariabler 557
11.1Graferoggrenser 557
11.2Partieltderiverte 564
11.3Ekstremalverdier 578
11.4Dobbeltintegral 587
11.5*Tillegg:Utelatteresonnementer 594
12Differensialligninger 597
12.1Hvaerendifferensialligning? 597
12.2Numeriskløsningavførsteordens differensialligninger 599
12.3Separabledifferensialligninger 607
12.4Lineæredifferensialligningermedkonstante koeffisienter 611
12.5Integrerendefaktor 625
12.6Startverdiproblemerog randverdiproblemer 629
12.7*Systemeravdifferensialligninger 634
13Fourier-rekker 647
13.1*Varmeligningen 647
13.2Trigonometriskerekker 649
13.3Periodiskefunksjoner 654
13.4KonvergensforFourier-rekker 668
13.5*Periodiskeytrekrefterogresonans 676
14Laplace-transformasjonen 679
14.1Eksponentiellvekstog Laplace-transformasjonen 679
14.2Linearitet,eksistensogentydighet 683
14.3Basisformlerfor Laplace-transformasjonen 686
14.4Heavisidesenhetssteg, Diracsimpulsfunksjonog gammafunksjonen 690
14.5Derivasjon,integrasjon,skiftsetninger ogkonvolusjon 694
14.6Laplace-transformasjonen oginitialverdiproblemer 702
14.7*Tillegg:Utledningav Laplacetransformasjonensformler 710
Stikkord 717