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Títulos da Coleção Tendências em

ISBN 978-85-7526-217-7

9 7 8 8 5 7 5 2 6 2 1 7 7

fundamental – Tecendo fios do ensinar e do aprender Adair Mendes Nacarato, Brenda Leme da Silva Mengali, Cármen Lúcia Brancaglion Passos

• Análise de erros - O que podemos aprender com as respostas dos alunos Helena Noronha Cury

• Educação a Distância online Marcelo de Carvalho Borba, Ana Paula dos Santos Malheiros, Rúbia Barcelos Amaral Zulatto

• Formação matemática do professor – Licenciatura e prática docente escolar Plínio Cavalcante Moreira, Maria Manuela M. S. David

• Interdisciplinaridade e aprendizagem da Matemática em sala de aula Vanessa Sena Tomaz, Maria Manuela M. S. David

• Investigações matemáticas na sala de aula João Pedro da Ponte, Joana Brocardo, Hélia Oliveira

• Lógica e linguagem cotidiana – Verdade, coerência, comunicação, argumentação

Neste livro, os educadores matemáticos dinamarqueses Helle Alrø e Ole Skovsmose relacionam a qualidade do diálogo em sala de aula com a aprendizagem. Apoiados em ideias de Paulo Freire, Carl Rogers e da Educação Matemática Crítica, esses autores trazem exemplos da sala de aula para substanciar os modelos que propõem acerca das diferentes formas de comunicação na sala de aula. Este livro é mais um passo em direção à internacionalização desta coleção. Este é o terceiro título da coleção no qual autores de destaque do exterior juntam-se aos autores nacionais para debaterem as diversas tendências em Educação Matemática. Skovsmose participa ativamente da comunidade brasileira, ministrando disciplinas, participando de conferências e interagindo com estudantes e docentes do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP, Rio Claro.

Marisa Ortegoza da Cunha, Nílson José Machado (Orgs.)

• Pesquisa qualitativa em educação matemática

Coordenador da coleção “Tendências em Educação Matemática”: Marcelo de Carvalho Borba. E-mail: mborba@ms.rc.unesp.br

Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática –

• A matemática nos anos iniciais do ensino

Helle AlrØ e Ole Skovsmose

educação matemática

Helle AlrØ Ole Skovsmose

Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática

Jussara de Loiola Araújo, Marcelo de Carvalho Borba (Orgs.)

• Tendências internacionais em formação de professores de matemática Marcelo de Carvalho Borba (Org.)

Capa Dialogo160310.indd 1

www.autenticaeditora.com.br 0800 2831322

COLEÇÃO Tendências em Educação Matemática

Ole Skovsmose é um pesquisador XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX interessado especialmente em EducaXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ção Matemática Crítica. Em publicaXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ções recentes, ele tem mostrado suas XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX investigações a respeito da MatemáXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX tica em ação, globalização, guetos e XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX foreground. Ele é professor titular do XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Departamento de Educação, AprendiXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX zagem e Filosofia da Universidade de XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Aalborg, na Dinamarca, e é membro XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX do comitê editorial das séries interXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX nacionais Mathematics Education LiXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX brary (Springer) e Critical Essays in XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Education (Sense Publisher). SkovsXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX mose também participa de conferênXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX cias e ministra palestra sobre EducaXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ção Matemática em diversos países. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Helle Alro é professora titular XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX do Departamento de Comunicação XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX da Universidade de Aalborg. A linha XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX de pesquisa à qual tem se dedicado XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX com especial interesse trata dos proXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX cessos dialógicos de aprendizagem, XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX seja em Educação, seja em contexXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX tos corporativos. Recentemente, tem XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX se voltado para a questão do confliXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX to e do gerenciamento de conflitos XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX como forma de aprendizagem. Suas XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX publicações incluem livros e artigos XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX sobre comunicação interpessoal em XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX relações de apoio e sobre comunicaXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ção no ensino de Matemática (neste XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX tópico, quase sempre em colaboração XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX em Ole Skovsmose). XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

16/3/2010 15:54:11

COLEÇÃO TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática HELLE ALRØ OLE SKOVSMOSE Tradução ORLANDO DE A. FIGUEIREDO

2ª edição

Dialogue and Learning in Mathematics Education: intention, reflection, critique. COORDENADOR DA COLEÇÃO TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Marcelo de Carvalho Borba – gpimem@rc.unesp.br CONSELHO EDITORIAL

Airton Carrião/Coltec-UFMG; Arthur Powell/Rutgers University; Marcelo Borb/ NESP; Ubiratan D’Ambrosio/PUC-SP/USP/UNESP; Maria da Conceição Fonseca/UFMG. PROJETO GRÁFICO DA CAPA

Diogo Droschi EDITORAÇÃO ELETRÔNICA

Conrado Esteves REVISÃO TÉCNICA

Miriam Godoy Penteado REVISÃO

Vera Lúcia De Simoni Castro Todos os direitos reservados pela Autêntica Editora. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida, seja por meios mecânicos, eletrônicos, seja via cópia xerográfica, sem a autorização prévia da Editora.

AUTÊNTICA EDITORA LTDA. Rua Aimorés, 981, 8º andar. Funcionários 30140-071 . Belo Horizonte . MG Tel.: (55 31) 3222 6819 TELEVENDAS: 0800 283 13 22 www.autenticaeditora.com.br

A459d

Alrø, Helle Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática/Helle Alrø e Ole Skovsmose ; tradução de Orlando Figueiredo . — 2. ed. — Belo Horizonte : Autêntica Editora , 2010. 160 p. —(Tendências em Educação Matemática) ISBN: 978-85-7526-217-7 Título original: Dialogue and Learning in Mathematics Education: intention, reflection, critique 1.Matemática. I.Skovsmose,Ole. II.Figueiredo, Orlando de A. III.Título. IV.Título: Dialogue and Learning in Mathematics Education. V.Série.

CDU 51

Nota do coordenador

mbora a produção na área de Educação Matemática tenha crescido substancialmente nos últimos anos, ainda é presente a sensação de que há falta de textos voltados para professores e pesquisadores. Esta coleção surge em 2001, buscando preencher esse vácuo sentido por diversos matemáticos e educadores matemáticos. Bibliotecas de cursos de licenciatura, que muitas vezes têm títulos em Matemática, não tinham publicações em Educação Matemática nem textos de Matemática voltados para o professor. Em cursos de especialização, mestrado e doutorado com ênfase em Educação Matemática, ainda há falta de material que apresente de forma sucinta as diversas tendências que se consolidam nesse campo de pesquisa. A coleção Tendências em Educação Matemática é voltada para futuros professores e para profissionais da área que buscam de diversas formas refletir sobre esse movimento denominado Educação Matemática, o qual está embasado no princípio de que todos podem produzir Matemática, nas suas diferentes expressões. A coleção busca também apresentar tópicos em Matemática que tenham tido desenvolvimentos substanciais nas últimas décadas e que possam se transformar-se em novas tendências na grade curricular do ensino fundamental, do médio e do universitário. Esta coleção é escrita por pesquisadores em Educação Matemática ou em uma dada área da Matemática, com larga experiência docente, que pretendem estreitar as interações entre a Universidade que produz pesquisa e os diversos cenários em que se realiza a Educação. Cada livro indica uma extensa bibliografia na qual o leitor poderá buscar aprofundamento em determinada tendência em Educação Matemática.

Neste livro, os educadores matemáticos dinamarqueses Helle Alrø e Ole Skovsmose relacionam a qualidade do diálogo em sala de aula com a aprendizagem. Apoiado em ideias de Paulo Freire, Carl Rogers e da Educação Matemática crítica, estes autores trazem exemplos da sala de aula para substanciar os modelos que propõem acerca das diferentes formas de comunicação na sala de aula. Este livro é mais um passo na direção da internacionalização desta coleção. Este é o terceiro título da coleção no qual autores de destaque do exterior se juntam aos autores nacionais que tem debatido as diversas tendências – para debaterem as tendências em Educação Matemática. Neste caso, o segundo autor deste livro já participa ativamente da comunidade brasileira, ministrando disciplinas, participando de conferências e interagindo com estudantes e docentes do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP, Rio Claro. Marcelo de Carvalho Borba*

* Coordenador da Coleção “Tendências em Educação Matemática”, é licenciado em Matemática pela UFRJ, mestre em Educação Matemática pela UNESP, Rio Claro/SP, e doutor nessa mesma área pela Cornell University, Estados Unidos. Atualmente, é professor do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP, Rio Claro/SP. Por curtos intervalos de tempo, já fez estágios de pós-doutoramento ou foi professor visitante nos Estados Unidos, na Dinamarca, no Canadá e na Nova Zelândia. Em 2005 se tornou livre docente em Educação Matemática. É também autor de diversos artigos e livros no Brasil e no exterior e participa de diversas comissões em nível nacional e internacional.

Agradecimentos

Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática é uma versão ligeiramente revisada dos quatro primeiros capítulos de Dialogue and Learning in Mathematics Education – Intention, Reflection, Critique, que foi publicado em 2002 pela Kluwer (atual Springer). Estamos muito satisfeitos com a cooperação entre as editoras Springer Verlag e Autêntica, que tornou possível essa edição. Gostaríamos de agradecer aos estudantes e aos professores anônimos, cujas falas aparecem neste texto, por terem nos permitido estudar detalhes de sua vivência em sala de aula. Somos gratos aos professores Bjarne Würtz Andersen, Ane Marie Krogshede Nielsen e Ib Trankjær, que nos cederam material para o capítulo 1. Temos uma gratidão especial para com Henning Bødtkjer e Mikael Skånstrøm, com quem mantivemos uma cooperação muito próxima durante todo o trabalho. Muitas pessoas fizeram comentários e sugestões sobre o texto original em inglês. Queremos agradecer a Alan Bishop, Marcelo Borba, Paul Cobb, Marit Johnsen Høines, Marianne Kristiansen, John Mason e Miriam Godoy Penteado pela leitura cuidadosa, pelos diálogos instigantes e pelos comentários proveitosos sobre versões anteriores do texto. Somos gratos também a H.C. Hansen, Aage Nielsen e Paola Valero pelos comentários a respeito de tópicos especiais. Além disso, gostaríamos de agradecer a vários alunos de pós-graduação da UNESP de

Rio Claro: Chateaubriand Nunes Amancio, Jussara de Loiola Araújo, Jonei Cerqueira Barbosa, Telma Souza Gracias, Frederico José Lopes por importantes comentários em diversos capítulos. Tivemos a oportunidade de discutir várias versões do texto original no contexto de um grupo de pesquisadores do Centre for Research in Learning Mathematics. Nossos agradecimentos a Morten Blomhøj, Iben Maj Christiansen, Elin Emborg, Lena Lindenskov e Tine Wedege pelos comentários valiosos e pelo apoio. Adicionalmente, queremos agradecer a Nikolaj Hyldig, Marianne Harder Mandøe e Dana Sandstrøm Poulsen pela realização das transcrições, e a Erik Nød Sørensen pelo auxílio em informática e pela confecção das figuras. Queremos agradecer a Orlando Figueiredo pela criteriosa tradução do texto para o português, e a Miriam Godoy Penteado que fez a revisou. Aalborg, maio de 2006. Helle Alrø e Ole Skovsmose

Sumário

Int rodução Introdução rodução.................................................................. 11 Capítulo I Comunicação na sala de aula de Matemática................ 21 Absolutismo burocrático............................................. 22 Perspectiva................................................................ 28 “Quanto se consegue preencher com jornal?”................... 30 Aprendizagem como ação............................................ 45

Capítulo II Cooperação investigativa........................................... 51 De exercícios a cenários para investigação..................... 53 “O que parece a bandeira da Dinamarca?”........................ 60 Modelo de cooperação investigativa............................ 69 Obstáculos à cooperação investigativa (deixando um cenário para investigação)...................................................... 72

COLEÇÃO “TENDÊNCIAS

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA”

Capítulo III Desdobramento do modelo de cooperação investigativa................................................................ 77 “Raquetes & Cia.”........................................................ 77 O Modelo-CI reconsiderado.......................................... 105

Capítulo IV Diálogo e aprendizagem............................................... 119 Qualidades de diálogo.................................................. 120 Atos dialógicos – o Modelo-CI reconsiderado.................. 133 Ensino e aprendizagem dialógicos – e sua fragilidade....... 137 Ensino e aprendizagem dialógicos – e sua importância....... 139

Referências Referências.................................................................. 145

Introdução

“Hoje foi pra valer! Hoje aprendemos alguma coisa!”, exclamou Maria, depois de ter passado, juntamente com André, quase duas horas concentrada na preparação de uma planilha. Algo significativo parece ter acontecido a Maria, algo que merece ser considerado quando se pretende teorizar sobre a aprendizagem de Matemática. Neste estudo, vamos nos encontrar com Maria e André e muitos outros estudantes nas aulas de Matemática. O propósito principal desse encontro é obter dados empíricos, a fim de chegar a um melhor entendimento do papel da comunicação na aprendizagem de Matemática. A ideia inicial que orienta nossas investigações pode ser sintetizada na seguinte hipótese: As qualidades da comunicação na sala de aula influenciam as qualidades da aprendizagem de Matemática. Essa afirmação é certamente muito geral e não muito original. Para entender o seu sentido, as expressões “qualidades de comunicação” e “qualidades da aprendizagem de Matemática” precisam ser bem esclarecidas. Nesta introdução, bem como durante o restante do livro, vamos insistir na tarefa de esclarecer em que sentido comunicação e aprendizagem podem estar conectadas. 11

COLEÇÃO “TENDÊNCIAS

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA”

Nos mais diversos contextos sociais, dentro e fora da escola, a questão da comunicação tem merecido atenção especial. Ela é tema de workshops e cursos organizados por empresas que querem tornar-se mais competitivas. Espera-se que a melhoria da comunicação não influencie apenas o ambiente de trabalho, mas que também tenha impacto positivo sobre o desempenho financeiro da empresa. As qualidades de comunicação podem ser expressas em termos de relações interpessoais. Muito mais do que uma simples transferência de informação de uma parte a outra, o ato de comunicação em si mesmo tem papel de destaque no processo de aprendizagem. A comunicação tem um sentido mais profundo do que se percebe à primeira vista. Em Freedom to learn1, publicado primeiramente em 1969, Rogers (1994) considera as relações interpessoais como fator crucial para a facilitação da aprendizagem. Aprender é uma experiência pessoal, mas ela ocorre em contextos sociais repletos de relações interpessoais. E, por conseguinte, a aprendizagem depende da qualidade do contato nas relações interpessoais que se manifesta durante a comunicação entre os participantes. Em outras palavras, o contexto em que se dá a comunicação afeta a aprendizagem dos envolvidos no processo. Isso nos remete à noção de que algumas “qualidades de comunicação” podem ser explicadas em termos de diálogo. A palavra “diálogo” tem muitos significados usuais, mas há algo em comum entre todos eles, que é o envolvimento de duas partes no processo. Por exemplo, pode-se falar sobre o diálogo entre Oriente e Ocidente ou sobre o diálogo turbulento entre Palestina e Israel. Não é esse o sentido de “diálogo” que nos interessa. Em Filosofia, a noção de diálogo está presente em muitos momentos. Platão apresentou suas ideias na forma de diálogos; e Lakatos (1976) apresentou sua investigação sobre a lógica da descoberta matemática na forma de um diálogo que acontecia numa sala de aula fictícia. Nessas circunstâncias, o termo “diálogo” refere-se a certo tipo de discurso analítico, ou apresentação de argumentos e questionamentos, ou ainda a um processo de obtenção do conhecimento. No 1

NT: Liberdade para aprender.

Introdução

momento em que adentramos o campo desse processo, o diálogo se torna tema de interesse da epistemologia. Contudo, embora nossa concepção de diálogo esteja alinhada com uma concepção epistemológica, ela difere do emprego filosófico tradicional do termo ao estar relacionada a diálogos “reais”. Diálogo, para nós, é uma conversação com certas qualidades. Encontrar uma definição mais específica para a palavra “diálogo” é uma das tarefas que pretendemos realizar como parte deste estudo. Falando em qualidades de conversação, queremos esclarecer dois sentidos que temos em vista para a palavra qualidade. Por um lado, qualidade pode se referir a propriedades de certa entidade. Assim, podemos falar (em termos quase aristotélicos) sobre a qualidade de uma taça que é diferente da qualidade de um copo. Nesse sentido, qualidade refere-se a aspectos descritivos de uma entidade. Contudo, qualidade pode possuir também um elemento normativo. Assim, podemos dizer que um copo é de melhor qualidade do que outro copo. Distinguir entre os sentidos descritivo e normativo de qualidade não é fácil. Por exemplo, podemos preferir a qualidade de um copo à qualidade de uma taça para beber vinho. Similarmente, podemos preferir um diálogo quando pensamos em certas formas de aprendizagem, tendo em mente que diálogo refere-se a certas propriedades de uma interação. Freire (1972) destaca a importância das relações interpessoais para o diálogo. Segundo ele, um diálogo não é uma conversação como outra qualquer. Dialogar é um elemento fundamental para a liberdade de aprender. A noção de diálogo é inerente a conceitos como “empowerment”2 e “emancipação”, e, a partir dessa perspectiva, Freire traça uma conexão entre a qualidade das relações interpessoais e o potencial de engajamento das pessoas em ações políticas. Ele define o diálogo como o encontro entre pessoas, a fim de “dar nome ao mundo”, o que 2

NT: Manteremos a palavra empowerment no original e em itálico em virtude da dificuldade de encontrar uma palavra em português que corresponda ao seu significado. Empowerment significa dar poder a; dinamizar a potencialidade do sujeito, investir-se de poder para agir.

COLEÇÃO “TENDÊNCIAS

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA”

significa conversar sobre os acontecimentos e a possibilidade de alterar o seu curso. Nesse sentido, dialogar é visto como algo existencial. Dialogar não pode existir sem amor (respeito) pelo mundo e pelas pessoas, e ele não pode existir em relações de dominação (FREIRE, 1972, p. 77). Além disso, participar de um diálogo pressupõe certo tipo de humildade. Não se pode manter uma relação de diálogo numa atitude de autossuficiência. Os participantes devem acreditar uns nos outros e estar abertos para os outros, a fim de criar uma relação equânime e de fidelidade. Uma vez que o diálogo é motivado por uma expectativa de mudança, ele não pode existir sem o engajamento das partes com respeito ao pensamento crítico (FREIRE, 1972, p. 80). Para esse autor, a cooperação das partes é um parâmetro central da comunicação dialógica. Ao cooperarem, eles lançam luzes sobre o mundo que os cerca e sobre os problemas que os unem e os desafiam. Freire aponta para a importância da associação entre ação e reflexão (FREIRE, 1972, p. 75). Mão e cabeça têm que andar juntas. Agir sem refletir resume-se a puro ativismo, e reflexão sem ação resume-se a verbalismo. Contudo, num diálogo, reflexão e ação podem enriquecer uma à outra. Para Freire, o diálogo na escola deve colocar o universo das pessoas em pauta e fazer dele seu universo temático; dessa forma pode-se ter uma educação que leva à emancipação. Para o autor, dialogar é indiscutivelmente uma forma de interação que é rica em nuances e qualidades. Na Filosofia clássica, o diálogo refere-se, antes de tudo, a uma exposição (e confrontação) de dois ou mais pontos de vistas diferentes (e contraditórios), com o objetivo de encontrar uma conclusão que seja consensual. Freire e Rogers, contudo, também viram o diálogo como algo que abrange as relações interpessoais, nas quais ouvir e aceitar o outro é fundamental. Dialogar não é apenas uma forma de análise, mas também um modo de interação. Nas explicações sobre a noção de diálogo que seguem, não perderemos de vista esses dois aspectos (epistemológico e interpessoal) do diálogo. Há pontos em comum entre as concepções de Rogers e Freire, muito embora eles trabalhem valendo-se de perspectivas históricas diferentes. Rogers denomina a sua abordagem sobre a aprendizagem de “centrada em pessoas” em oposição ao “modo 14

Introdução

tradicional” e descreve as duas abordagens como extremidades opostas de um contínuo (ROGERS, 1994, p. 209). Ele argumenta que o modo centrado em pessoas prepara o aluno para a democracia, ao passo que o modo tradicional orienta os alunos para a obediência a estruturas de poder e controle. No modo tradicional, ele argumenta, “o professor é o detentor do conhecimento e do poder” e “regras ditadas por uma autoridade são a política aceita para a sala de aula”. Espera-se que os alunos sejam captadores do conhecimento, e as avaliações sejam usadas para medir o grau de retenção que eles conseguem atingir. Rogers ressalta que “a confiança é mínima” e “valores democráticos são ignorados e desprezados na prática”. No modo centrado em pessoas, argumenta Rogers, o ambiente é de confiança mútua, e a responsabilidade pelos processos de aprendizagem é de todos. “O facilitador providencia recursos de aprendizagem”, e “os alunos desenvolvem seus programas de aprendizagem por si mesmos e em cooperação com os demais alunos”. O princípio fundamental é aprender a aprender, e autodisciplina e autoavaliação viabilizam um processo ininterrupto de aprendizagem. Esse clima que promove o crescimento não somente facilita os processos de aprendizagem, mas também estimula a responsabilidade dos alunos e outras competências para o exercício da cidadania e da democracia: Aos poucos eu percebi que é no seu aspecto político que a abordagem baseada em pessoas se torna mais ameaçadora. O professor ou administrador que pensa em usar uma abordagem como essa tem que superar as angústias geradas por compartilhar do poder e do controle totais. Quem pode saber se alunos ou professores são de confiança; e se os procedimentos são de confiança? Há riscos inerentes que se precisa correr e é isso que assusta.” (ROGERS, 1994, p. 214)

Freire compara sua abordagem dialógica com a “educação bancária”, na qual o professor faz um investimento, e os alunos são vistos como caixas, que devem preservar o patrimônio que foi aplicado. Tanto para Rogers como para Freire, o diálogo representa certas formas de interação fundamentais para os processos de aprendizagem, que, nos termos de Freire, 15

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EDUCAÇÃO MATEMÁTICA”

podem garantir o empowerment, e que, nos termos de Rogers, podem garantir a aprendizagem centrada em pessoas e a atitude responsável por parte dos alunos. Nesse sentido, eles concluem que as qualidades da comunicação podem se desdobrar em qualidades de aprendizagem, referindo-se tanto a elementos descritivos quanto normativos. Nós também temos em mente tanto os elementos descritivos quanto os normativos quando falamos em qualidades de comunicação e qualidades de aprendizagem. Queremos pontuar certos aspectos da comunicação que podem apoiar certos aspectos da aprendizagem e, ao mesmo tempo, enfatizar a importância destes aspectos. Muitos estudos sobre comunicação debruçam-se sobre aulas de Matemática tradicionais. Entendemos por tradicional o ambiente escolar em que os livros-texto ocupam papel central, onde o professor atua trazendo novos conteúdos, onde aos alunos cabe resolver exercícios e onde o ato de corrigir e encontrar erros caracteriza a estrutura geral da aula. Tivemos a oportunidade de observar aulas tradicionais nas quais há uma atmosfera amigável entre alunos e professores. Portanto, quando nos referimos a aulas tradicionais de Matemática, não queremos nos restringir aos aspectos negativos e estereotipados desse tipo de aula, no qual um professor sisudo tiraniza os alunos. Mesmo assim, é possível identificar, nas aulas tradicionais, padrões de comunicação característicos que têm certas qualidades (mas que nem de longe se aproximam daquilo que entendemos como diálogo). A comunicação depende do contexto; assim como outros pesquisadores, consideramos que as aulas tradicionais de matemática influenciam a comunicação entre alunos e professores de um jeito próprio. No primeiro capítulo deste estudo, reunimos algumas de nossas observações e análises sobre esse fenômeno, enquanto nos capítulos 2 e 3 nossas investigações mudam o foco para outro tipo de ambiente. Estamos interessados em situações em que os alunos envolvem-se em processos de investigação mais complexos e imprevisíveis. Isso abre um novo espaço para a comunicação, no qual novas qualidades podem surgir. 16

Introdução

Em muitas escolas, mudanças radicais têm acontecido nas aulas de Matemática. A metodologia tradicional tem sido ameaçada por abordagens temáticas e por trabalhos com projetos. E a tal ponto que já não se consegue tão facilmente distinguir uma aula de Matemática de uma aula de outra disciplina. No capítulo 3, descrevemos um projeto do qual pudemos participar do planejamento juntamente com o professor. A etapa posterior, que é a aplicação do planejamento em sala de aula, foi realizada somente pelo professor. Dividimos o trabalho dessa maneira pelo simples motivo de que o professor tinha muito mais experiência em sala de aula do que nós. Discutimos as interpretações das observações juntamente com o professor e decidimos acatar suas sugestões para possíveis interpretações. Também entrevistamos os alunos a respeito de suas vivências e interpretações. Nossa preocupação é interpretar o que se passa em sala de aula assim como identificar novas possibilidades para a Educação Matemática. Em outras palavras, estamos interessados em esclarecer “o que acontece”, a fim de descobrir “o que poderia acontecer” e, dessa forma, esclarecer que possibilidades poderiam ser essas.3 Ao explorar tais possibilidades, queremos considerar a complexidade das interações em sala de aula. Por essa razão, preferimos documentar os episódios que foram objeto de estudo em longas transcrições. Incluímos uma variedade de passagens que chamaram nossa atenção, seja na fala do professor, seja na fala dos alunos. Contudo, não nos detivemos em escolas marcadas por conflitos culturais como fez, por exemplo, Renuka Vithal (2003) no seu estudo sobre a pedagogia do diálogo e do conflito ou Jill Adler (2001a, 2001b) em seu estudo sobre turmas multilíngues. Tampouco estudamos a aprendizagem em escolas carentes de recursos. Assim, em nossos exemplos, os alunos têm fácil acesso a computadores. Similarmente, não estudamos a aprendizagem 3

Uma discussão mais cuidadosa sobre o que pode significar pesquisar possibilidades e não simplesmente fornecer explanações sobre o que está acontecendo pode ser encontrada em Skovsmose e Borba (2004) e Vithal (2003).

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EDUCAÇÃO MATEMÁTICA”

em situações nas quais há um clima de ameaça política no entorno da escola, como no caso das crianças palestinas. O ambiente escolar a que nos referimos é confortável. Isso não quer dizer que o arcabouço conceitual que apresentamos não possa ser relevante em outras situações, incluindo aquelas que não se enquadram na Educação Matemática. Estamos em busca de novas possibilidades pedagógicas, reconhecendo a complexidade das salas de aula reais, e dos padrões de comunicação que se manifestam nessa complexidade. Nossos dados não foram “higienizados”.4 A abordagem pedagógica de Freire ilustra a ideia de que há uma conexão entre as qualidades de comunicação e as qualidades de aprendizagem. Freire quis desenvolver certas qualidades de aprendizagem. Os alunos não deveriam somente aprender a ler e a escrever, mas a interpretar criticamente a situação social e política. Isso nos remete à ideia de Educação Matemática crítica. Trata-se de uma abordagem em que se valorizam certas qualidades de aprendizagem de Matemática. Atividades desenvolvidas no âmbito da Educação Matemática crítica abrangem vasta gama de possibilidades e não se resumem a uma única abordagem homogênea. Isso não quer dizer, contudo, que não se possa identificar algumas ideias gerais que caracterizam a Educação Matemática crítica, uma das quais vem a ser a noção de que fazer Educação Matemática é mais do que dar aos alunos um entendimento da arquitetura lógica da Matemática. A Educação Matemática crítica preocupa-se com a maneira como a Matemática em geral influencia nosso ambiente cultural, tecnológico e político e com as finalidades para as quais a competência matemática deve servir. Por essa razão, ela não visa somente a identificar como os alunos, de forma mais eficiente, vêm a saber e a entender os conceitos de, digamos, fração, função e crescimento exponencial. A Educação Matemática crítica está também preocupada com questões como “de que forma a aprendizagem de Matemática pode 4

O conceito de “dados higienizados” (sanitised data) é discutido em Vithal (1998a) e Valero e Vithal (1999).

Introdução

apoiar o desenvolvimento da cidadania” e “como o indivíduo pode ser empowered através da Matemática”. Para que uma sociedade seja uma democracia plena é importante que todos saibam ler e escrever. Como Freire mostrou, literacia pode significar muito mais do que a simples competência para ler e escrever. Literacia pode se referir também à competência para interpretar uma situação como algo que pode ser alterado ou à identificação de mecanismos de repressão. Sendo parte integrante do arcabouço da Educação Matemática crítica, a noção de matemacia tem um papel que corresponde à noção de literacia na formulação de Freire.5 Assim, as qualidades de aprendizagem de Matemática que particularmente nos interessam são representadas pela matemacia. A matemacia é de grande relevância para a democracia e para o desenvolvimento da cidadania da mesma forma que a literacia. Podemos agora reformular a ideia que orienta nossos estudos: Certas qualidades de comunicação, que tentamos expressar em termos de diálogo, favorecem certas qualidades de aprendizagem de Matemática, a que nós nos refererimos como aprendizagem crítica da matemática manifestada na competência da materacia. Esperamos encontrar sinais de algum tipo de pensamento crítico nas relações marcadas pelo diálogo. (Nós não postulamos que o diálogo seja a única fonte de aprendizagem crítica, mas queremos explorar a natureza desse instrumento em particular.) Através da investigação de relações baseadas em diálogo, pretendemos localizar elementos de uma aprendizagem de Matemática crítica.

Veja Skovsmose (1994, 2005). O termo matemacia é usado aqui com o mesmo significado do termo materacia usado por D’Ambrósio em vários de seus trabalhos sobre etnomatemática.

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