Aprendizagem em Geometria na educação básica - A fotografia e a escrita na sala de aula by Grupo Autentica

COLEÇÃO TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

APRENDIZAGEM EM GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO BÁSICA A FOTOGRAFIA E A ESCRITA NA SALA DE AULA

Cleane Aparecida dos Santos Adair Mendes Nacarato

2ª edição

Copyright © 2014 Cleane Aparecida dos Santos e Adair Mendes Nacarato Todos os direitos reservados pela Autêntica Editora Ltda. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida, seja por meios mecânicos, eletrônicos, seja via cópia xerográfica, sem a autorização prévia da Editora. coordenador da coleção tendências em educação matemática

Marcelo de Carvalho Borba (Pós-Graduação em Educação Matemática/Unesp, Brasil) gpimem@rc.unesp.br

editoras responsáveis

Rejane Dias Cecília Martins revisão

Roberta Martins

conselho editorial

Airton Carrião (COLTEC/UFMG, Brasil), Hélia Jacinto (Instituto de Educação/Universidade de Lisboa, Portugal), Jhony Alexander VillaOchoa (Faculdade de Educação/Universidade de Antioquia, Colômbia), Maria da Conceição Fonseca (Faculdade de Educação/UFMG, Brasil), Ricardo Scucuglia da Silva (Pós-Graduação em Educação Matemática/Unesp, Brasil)

capa

Diogo Droschi diagramação

Guilherme Fagundes

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Santos, Cleane Aparecida dos Aprendizagem em geometria na educação básica : a fotografia e a escrita na sala de aula / Cleane Aparecida dos Santos, Adair Mendes Nacarato. -- 2. ed. -- Belo Horizonte : Autêntica, 2021. -- (Coleção Tendências em Educação Matemática.) Bibliografia ISBN 978-85-513-0742-7 1. Ensino fundamental 2. Fotografia na educação 3. Geometria Estudo e ensino 4. Matemática - Estudo e ensino 5. Matemática - Formação de professores I. Nacarato, Adair Mendes. II. Borba, Marcelo de Carvalho. III. Título IV. Série. 19-31554 CDD-510.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Educação matemática para ensino fundamental 510.7 Maria Alice Ferreira - Bibliotecária - CRB-8/7964

Belo Horizonte Rua Carlos Turner, 420 Silveira . 31140-520 Belo Horizonte . MG Tel.: (55 31) 3465 4500

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Nota do coordenador

A produção em Educação Matemática cresceu consideravelmente nas últimas duas décadas. Foram teses, dissertações, artigos e livros publicados. Esta coleção surgiu em 2001 com a proposta de apresentar, em cada livro, uma síntese de partes desse imenso trabalho feito por pesquisadores e professores. Ao apresentar uma tendência, pensa-se em um conjunto de reflexões sobre um dado problema. Tendência não é moda, e sim resposta a um dado problema. Esta coleção está em constante desenvolvimento, da mesma forma que a sociedade em geral, e a escola em particular, também está. São dezenas de títulos voltados para o estudante de graduação, especialização, mestrado e doutorado acadêmico e profissional, que podem ser encontrados em diversas bibliotecas. A coleção Tendências em Educação Matemática é voltada para futuros professores e para profissionais da área que buscam, de diversas formas, refletir sobre essa modalidade denominada Educação Matemática, a qual está embasada no princípio de que todos podem produzir Matemática nas suas diferentes expressões. A coleção busca também apresentar tópicos em Matemática que tiveram desenvolvimentos substanciais nas últimas décadas e que podem se transformar em novas tendências curriculares dos ensinos fundamental, médio e superior. Esta coleção é escrita por pesquisadores em Educação Matemática e em outras áreas da Matemática, com larga experiência docente, que pretendem estreitar as interações entre a Universidade – que produz pesquisa – e os diversos cenários em que se realiza essa educação. Em alguns livros, professores da educação básica se

tornaram também autores. Cada livro indica uma extensa bibliografia na qual o leitor poderá buscar um aprofundamento em certas tendências em Educação Matemática. Neste livro, o leitor encontra situações de sala de aula em que uma professora do 5º ano de escola pública inova sua metodologia para ensinar Geometria. Utilizando-se de uma máquina fotográfica, os alunos registraram diferentes espaços dentro e fora da escola para explorar os conceitos de espaço e forma. As situações aqui narradas evidenciam como fotografar e escrever são ações que possibilitam que os alunos produzam sentidos para alguns conceitos geométricos do currículo escolar. Cleane Aparecida dos Santos e Adair Mendes Nacarato, enquanto pesquisadoras, refletem sobre a prática de ensinar Geometria e o movimento de elaboração conceitual dos alunos. Este livro, portanto, apresenta esta reflexão. Marcelo de Carvalho Borba*

* Marcelo de Carvalho Borba é licenciado em Matemática pela UFRJ, mestre em Educação Matemática pela Unesp (Rio Claro, SP) doutor, nessa mesma área pela Cornell University (Estados Unidos) e livre-docente pela Unesp. Atualmente, é professor do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Unesp (PPGEM), coordenador do Grupo de Pesquisa em Informática, Outras Mídias e Educação Matemática (GPIMEM) e desenvolve pesquisas em Educação Matemática, metodologia de pesquisa qualitativa e tecnologias de informação e comunicação. Já ministrou palestras em 15 países, tendo publicado diversos artigos e participado da comissão editorial de vários periódicos no Brasil e no exterior. É editor associado do ZDM (Berlim, Alemanha) e pesquisador 1A do CNPq, além de coordenador da Área de Ensino da CAPES (2018-2022).

Sumário

Introdução................................................................................ 9 Capítulo I Uma breve trajetória sobre o ensino da Geometria e o pensamento geométrico.................................... 13 O desenvolvimento do pensamento geométrico...................................... 16 Capítulo II A primeira fotografia: tecendo imagens com os atores da escola pautados num ambiente que rompe com o paradigma do exercício..................................... 27 Os alunos.................................................................................... 28 Situando o trabalho em sala de aula................................................... 29 O trabalho em grupo...................................................................... 31 A criação de um ambiente para o ensino de Geometria............................. 32 O ambiente que rompe com o paradigma do exercício............................... 34 O processo de mediação da professora-pesquisadora................................ 37 Propostas de tarefas significativas...................................................... 39 E a escrita, o que tem a ver com esse ambiente?.................................... 41 Capítulo III Com uma câmera nas mãos, e agora? As percepções dos alunos sobre a escola...................................... 45 Brincando de ser fotógrafo............................................................... 48

Capítulo IV Fotografia além da fotografia: evidenciando o processo de elaboração conceitual dos alunos............................ 51 As primeiras tarefas com os sólidos geométricos..................................... 52 Fotografia além da fotografia............................................................ 56 A escrita possibilitando ressignificar registros fotográficos........................ 63 Capítulo V Registros: o escrito, o pictórico e a fotografia na constituição da percepção espacial pelos alunos...................... 69 Texto coletivo e sua ilustração.......................................................... 70 Leo e a máquina fotográfica............................................................. 75 Produção de um texto individual a partir do mapa construído..................... 80 Capítulo VI A leitura e a escrita: produzindo relatos, narrativas e cartas......................................... 83 Escritas sobre a mesma temática em diferentes momentos......................... 84 As aventuras do Prismolíndio e do Piramilíndio: A escuta atenta da professora-pesquisadora e a importância do diário de campo em sala de aula.................................. 91 A escrita de cartas possibilitando a comunicação de ideias........................ 96 Escrevendo a um colega sobre as aulas................................................ 97

Capítulo VII Zoom: potencialidades reveladas pelo uso da máquina fotográfica e da escrita em sala de aula... o que ficou?................. 103 Referências.............................................................................. 109

Introdução

Quais as razões que nos mobilizaram para a escrita deste livro? Podemos dizer que são várias. Vamos destacar algumas: o fato de narrarmos sobre uma experiência vivida no chão da escola com uma turma de 5º ano do ensino fundamental e buscar por uma prática diferenciada para o ensino de Geometria; a familiaridade de uma das autoras com o uso de fotografias; e a experiência da outra com pesquisas no campo da Geometria. Durante dois anos pudemos discutir o ensino dessa disciplina e buscar por tarefas que fossem instigantes para os alunos, de forma a mobilizá-los para a aprendizagem de suas noções básicas. Nossas reflexões foram além do tempo acadêmico, principalmente em função da retomada do material para a produção do presente livro. Nos nossos estudos identificamos muitas lacunas em termos de materiais de apoio para o professor que deseja ensinar Geometria em sala de aula. Nos processos formativos, conforme anunciado por Fonseca et al. (2001), os professores relatam sobre as dificuldades com o trabalho em Geometria. Uma busca em bancos de dissertações e teses nos permite constatar o quanto esse campo de investigação vem crescendo no Brasil. A pesquisa de Andrade (2004) já evidenciava esse crescimento; além disso, com a ampliação dos programas de pós-graduação em Educação e em Ensino de Ciências e Matemática, muitas pesquisas foram produzidas nos últimos nove anos. No entanto, essas pesquisas têm gerado poucos materiais para o professor da escola básica. Diferentes trabalhos já apontaram o quanto o professor que atua nos anos iniciais traz lacunas conceituais em Matemática e, em 9

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especial, em Geometria. Pesquisas como as de Curi (2005) e Gatti e Barreto (2009) retratam o perfil dos cursos de Pedagogia no Brasil, os quais formam os professores para atuarem na educação infantil e nos anos iniciais do ensino fundamental, e revelam a pouca atenção que é dada à formação específica no campo da Matemática. Sabemos que apenas um curso de Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática – que existe na maioria dos cursos de Pedagogia – não é suficiente para um trabalho mais conceitual com os futuros professores, pois, geralmente, essa disciplina acaba centrando-se nos conteúdos do sistema de numeração decimal e nas quatro operações. Além disso, muitos desses cursos nem trazem conteúdos de Geometria nas suas ementas. As lacunas conceituais nesse campo também já foram discutidas por Nacarato (2000), Passos (2000) e Nacarato e Passos (2003), que apontaram a importância de que a formação continuada supra as necessidades dos professores no que diz respeito à produção de materiais de apoio; a sugestões de tarefas para a sala de aula; e, principalmente, ao acompanhamento dos docentes em suas primeiras experiências no ensino de Geometria. Não acreditamos, porém, que esta esteja totalmente ausente das salas de aula, visto que muitos de seus conteúdos têm sido cobrados nas avaliações externas (no âmbito federal, estadual ou municipal). No entanto, não sabemos como tais conteúdos têm sido abordados e o quanto eles têm contribuído para o desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos. De todo modo, é certa a necessidade de que essas deficiências sejam eliminadas, e algumas ações despontam: vislumbramos algumas alternativas de formação continuada para que esse campo do conhecimento seja mais acessível aos professores – também conhecidos como polivalentes – que ensinam Matemática nos anos iniciais. Uma delas é sinalizada pela própria realização desta pesquisa: o professor da escola básica busca um mestrado para investigar questões importantes para o exercício de sua profissão. Ao realizar a pesquisa, esse professor não adquire, simplesmente, um saber do conteúdo: o movimento que vivencia entre a escola e a academia, nas trocas com os alunos e com os pares acadêmicos, vai lhe possibilitando a 10

Introdução

apropriação de um repertório de saberes para campos específicos do conhecimento matemático. Uma pesquisa de mestrado ou doutorado que toma a própria prática como objeto de investigação constitui um espaço interessante de formação continuada. Outra circunstância também promissora é o pertencimento a grupos de estudos e pesquisas nos quais se realiza um trabalho de natureza colaborativa, partindo das necessidades dos professores. O fato de pertencermos ao Grucomat (Grupo Colaborativo em Matemática), da Universidade São Francisco – Itatiba/SP, nos dá essa certeza. Um dos trabalhos desenvolvidos pelo grupo (Nacarato; Gomes; Grando, 2008) traz indícios das aprendizagens coletivas no campo da Geometria. Uma terceira particularidade refere-se à formação continuada centrada na própria escola, na qual os professores tomam um campo específico da Matemática como objeto de estudo. As pesquisas de Nacarato (2000) e Marquesin (2007) apontam as potencialidades desses grupos no interior da escola, quando o foco de estudos se centra na Geometria. O acesso a esses trabalhos nos deu a certeza de que ainda há muito por fazer no que diz respeito ao ensino nos anos iniciais. Em todos eles há evidências do envolvimento dos alunos para a aprendizagem da Geometria. Assim, ao iniciarmos a pesquisa, já trazíamos a convicção de que o trabalho que desenvolveríamos em sala de aula seria mobilizador para os alunos, em virtude do encantamento provocado pela máquina fotográfica – já experienciado por uma de nós no próprio percurso acadêmico –, pela inovação no contexto da sala de aula e pelo próprio movimento crescente da tecnologia. Destacamos que todo o processo vivido tanto na escola como na academia foram impulsionados por motivação e curiosidade sustentadas pela busca incessante por conhecimento e pelas reflexões. Ao término da pesquisa, ao identificarmos o quanto as tarefas em sala de aula tinham sido ricas para os alunos, decidimos que elas precisariam ser compartilhadas com outros professores. Assim nasceu o desejo de produção deste livro. Nele, tivemos o cuidado de selecionar aquelas atividades que, ao utilizarem a fotografia e a escrita como ferramentas, revelaram-se 11

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potencializadoras do movimento de elaboração conceitual em sala de aula. Apresentadas de forma contextualizada, as tarefas revelam as interações entre os alunos, entre eles e a professora-pesquisadora, e as ações mediadas por esta ao longo do trabalho. Como defendemos que o saber profissional precisa se apoiar em fundamentos teóricos, epistemológicos e metodológicos do saber escolar, trazemos não apenas o contexto da pesquisa, mas também os princípios que nos nortearam tanto na elaboração das propostas quanto na sua análise. Buscamos, na organização dos capítulos, apresentar elementos que possam contribuir tanto para o campo da pesquisa quanto para as práticas pedagógicas dos professores que ensinam Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental. Considerando que a pesquisa toma a fotografia como seu principal recurso; que seu foco e objeto é o espaço escolar; e que o olho que move a lente é o do aluno, iniciamos apresentando um breve histórico sobre o ensino de Geometria no Brasil e o desenvolvimento do pensamento geométrico.

Capítulo I

Uma breve trajetória sobre o ensino da Geometria e o pensamento geométrico

Acreditamos que tomar como ponto de referência o espaço euclidiano em nossa pesquisa significa estarmos sustentadas em um estudo que foi consolidado há séculos e que tem sido tomado como referência nos currículos escolares. Estabelecendo uma analogia com uma edificação, o espaço euclidiano é o alicerce do nosso trabalho, ou seja, um elemento propulsor para as nossas reflexões. Vamos, inicialmente, situar a origem do nome euclidiano. Ele derivou de Euclides, estudioso da Academia de Platão, que produziu uma extensa obra, tendo como sustentação os axiomas e o método dedutivo. Sua obra maior, Os elementos, representou a primeira axiomatização da história da Matemática. Em 2009, essa obra ganhou uma tradução de Irineu Bicudo. No prefácio do livro, o autor assim dialoga com o leitor: Previno, por fim, a quem possa interessar, que é preciso fôlego para acompanhar muitíssimas das demonstrações que aqui se encontram, e determinação. Garanto, no entanto, que, vencida a inércia, ultrapassado o obstáculo, alcançado o objetivo com a compreensão do resultado, cabe a recompensa de ter mergulhado no próprio processo do que denominamos “pensar” e de haver podido apreendê-lo em toda a sua abrangência. Mais: brotará disso a convicção de que, se com Homero a língua grega alcançou a perfeição, atinge com Euclides a precisão. E o método formular,

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que consiste em usar um conjunto de frases fixas que cobrem muitas ideias e situações comuns, poderoso auxílio à memória em um tempo de cultura e de ensino eminentemente orais, serve para aproximar o geômetra do poeta e então mostrar que perfeição e precisão podem ser faces da mesma medalha (Euclides, p. 13, grifos do autor).

Apesar da abstração, o modelo euclidiano tornou-se uma referência tanto no campo da ciência como no do ensino. Para Ponte et al. (1997), a geometria euclidiana tinha como sustentação uma verdade, ou seja, não era passível de questionamento. Tal credibilidade se deve à consistência do seu método dedutivo, com os axiomas, os postulados e os teoremas. Ela tornou-se referência como um modelo teórico e, consequentemente, um paradigma tanto para a Matemática quanto para outras ciências. Nas escolas, o modelo euclidiano também foi muito utilizado. Aliás, grande parte dos conhecimentos que temos está pautada nele. O ensino de Geometria no Brasil passou por várias fases. Sabemos que, até 1960, ele se baseava nos estudos de Euclides. Entre 1970 e 1980, recebeu a influência do Movimento da Matemática Moderna, em que o ensino tinha ênfase principalmente na linguagem, dificultando a compreensão dos conceitos. Os docentes também encontravam dificuldades para ensinar os conteúdos e, associados a toda essa complexidade, os livros didáticos existentes naquela época traziam os conteúdos geométricos nos capítulos finais. Isso, de certa forma, contribuiu para que o ensino desse conteúdo se tornasse bastante insatisfatório, provocando o seu abandono pela escola. Outro fator importante é que esse ensino foi considerado – embora não de forma unânime nos meios acadêmicos, principalmente entre os educadores matemáticos – irrelevante para a formação intelectual do aluno, o que contribuiu para uma lacuna em seus conhecimentos matemáticos. Mesmo antes do Movimento da Matemática Moderna já havia certo abandono da Geometria, principalmente no trabalho docente com as camadas populares. Pavanello (1993) destaca que foram inúmeros os fatores que colaboraram para que esse ensino se tornasse bastante deficitário. Certamente, não poderíamos deixar de mencionar que o Brasil, por ser essencialmente agrícola no início do século XX, 14

Uma breve trajetória sobre o ensino da Geometria e o pensamento geométrico

e ainda ter grande parte da população analfabeta, proporcionou para essa camada da população um ensino de Matemática basicamente utilitarista: prevalecia o estudo de técnicas operatórias em Aritmética, e o ensino de Geometria praticamente não existia – limitava-se ao estudo da geometria métrica, cálculo de áreas e volumes. Outra questão importante refere-se à didática utilizada nessas aulas, muitas vezes centrada num ensino reducionista, em que predominava o ensino das figuras1 planas – principalmente a nomeação dessas figuras –, que eram explicitadas pelos alunos e se tornavam jargões geométricos na sala de aula (Pavanello, 2004). Para essa autora, os livros didáticos, e consequentemente os professores que os utilizavam, acabavam enfatizando a classificação de figuras, não dando aos alunos a possibilidade de explorar semelhanças e diferenças entre elas. Muitos professores, por também não terem tido maior contato com a Geometria, desconhecem a importância da construção do pensamento geométrico para o próprio conhecimento matemático das pessoas. Veloso (1999, p. 20) destaca: Assim, o que é corrente encontrar, nos manuais e na prática dos professores, é a geometria como “ilustração” ou a geometria como “pretexto”, mas raramente questões matemáticas onde existam verdadeiras conexões entre a geometria e outras áreas da matemática, que permitam iluminar essas questões a partir de diferentes perspectivas.

Nesse sentido, o pouco contato dos professores com o conteúdo geométrico propiciou que a sua prática também se tornasse deficitária, e isso vem, de certa forma, se arrastando até os dias atuais. Mesmo com mudanças no livro didático, o professor ainda se sente inseguro para ensinar Geometria, o que evidencia que os dois termos do binômio aprender-ensinar estão intimamente interligados, ou seja, só temos condições de ensinar aquilo que conhecemos. As constatações sobre essas questões relacionadas ao ensino dessa área de conhecimento mobilizaram-nos para esta pesquisa e,

Neste texto, sempre que nos referirmos a figuras, entenda-se “figuras geométricas”.

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depois da sua conclusão, o desejo de compartilharmos com os professores o processo vivido com os alunos.

O desenvolvimento do pensamento geométrico Iniciamos nossas reflexões com as ideias de Van de Walle (2009, p. 439): “Nem todas as pessoas pensam sobre as ideias geométricas da mesma maneira. Certamente, nós não somos todos iguais, mas somos todos capazes de crescer e desenvolver nossa habilidade de pensar e raciocinar em contextos geométricos”. O nosso foco neste trabalho está nas duas dimensões do pensamento geométrico: as noções espaciais (incluindo as topológicas) e as noções de forma (incluindo a geometria plana e a espacial). Isso, de certa forma, rompe com o modelo euclidiano, em que se partia dos conceitos simples para os complexos, ou seja, trabalhavam-se as figuras planas e, posteriormente, as figuras espaciais. As novas tendências no ensino de Geometria, conforme Andrade (2004), apontam para um trabalho simultâneo entre a geometria plana e a espacial, pois essa abordagem possibilita para os alunos, principalmente em início de escolarização, maior enriquecimento na elaboração dos conceitos geométricos. Concordamos com Fonseca et al. (2001) que o objetivo principal do ensino de Geometria nas séries iniciais é compreender a importância da percepção, que está diretamente relacionada com a tridimensionalidade do espaço que nos cerca. Muitos alunos chegam ao final do ensino fundamental I sem ter essa noção do espaço tridimensional, como evidenciado no desenho do aluno Kauan,2 da turma em que realizamos a pesquisa. Em seu desenho ele busca colocar pontos de referência de um trajeto, mas sem noção de profundidade, sem aproximações com os objetos reais.

Os nomes dos alunos são fictícios. Informamos também que optamos por em manter na íntegra os escritos originais dos alunos, portanto, não realizamos a correção ortográfica e gramatical. Esse desenho será reapresentado em outro momento, para ilustrar outro aspecto do pensamento geométrico.

Uma breve trajetória sobre o ensino da Geometria e o pensamento geométrico

Figura 1 – Desenho do aluno Kauan (Santos, 2011)

No cenário brasileiro, principalmente nas décadas de 1980 e 1990, as discussões sobre a aquisição das noções espaciais pela criança centraram-se nos estudos piagetianos. Mesmo conhecedoras da importância desse referencial para as pesquisas em Geometria e o quanto ele influenciou o cenário brasileiro, essa não foi a nossa opção teórica. Defendemos que uma instrução adequada, pautada na problematização/indagação, mediada pedagogicamente, com o uso apropriado da linguagem e de materiais didáticos, possibilitará que a aprendizagem promova o desenvolvimento tal como postulado pela teoria vigotskiana. Nessa abordagem teórica a aprendizagem antecede o desenvolvimento. Isso nos mostra a importância de práticas pedagógicas que possibilitem aprendizagens dos alunos. Uma instrução apropriada para o desenvolvimento do pensamento geométrico não pode prescindir do uso de recursos didáticos. Nesse sentido, o que propicia aumentar o nível de conhecimento sobre um sólido geométrico e as figuras planas que o compõem e estabelecer algumas propriedades está diretamente relacionado com a diversidade de materiais que o professor pode disponibilizar em sala de aula para o aluno manipular, desenhar e visualizar e, sobretudo, formar uma imagem mental sobre o objeto a ser estudado. Pais (2000, p. 2-3) destaca que os materiais devem exercer o papel de ferramentas, ou seja, de elementos de mediação para a elaboração conceitual: 17

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Os recursos didáticos envolvem uma diversidade de elementos utilizados como suporte experimental na organização do processo de ensino e de aprendizagem. Sua finalidade é servir de interface mediadora para facilitar na relação entre professor, alunos e o conhecimento em um momento preciso da elaboração do saber.

Para esse autor, no desen volvimento do pensamento geo métrico, quatro elementos interrelacionam-se: o objeto, o conceito, o desenho e a imagem mental. Pais (1996) aborda a importância de disponibilizar o objeto, pois este apresenta um enfoque concreto, ou seja, os modelos estarão disponíveis aos alunos, e o conFoto 1 – Alunos manipulando ceito será construído mediante a objetos geométricos (Santos, 2011) manipulação. O autor destaca que não se trata de uma mera manipulação vista como lúdica, mas pautada em interrogações e análises do objeto. Daí o papel da ação mediada do professor. O desenho é um recurso didático importante; no entanto, no ensino de geometria espacial, o desafio é maior, pois muitos alunos possuem dificuldade para desenhar em perspectiva. Daí a importância de um trabalho simultâneo com a manipulação de objetos tridimensionais e a sua representação por desenhos, no plano bidimensional. Pesquisas têm revelado que os alunos, mesmo quando são desafiados a desenhar as figuras planas, em um primeiro momento apresentam-nas em apenas uma posição, definida pelos pesquisadores como figura prototípica. Esse tipo de representação dos Foto 2 – Desenho de poliedros alunos sugere que eles possuem (Santos, 2011) uma imagem mental reducionista 18

Uma breve trajetória sobre o ensino da Geometria e o pensamento geométrico

dos objetos geométricos. Em relação à figura prototípica, Nacarato e Passos (2003, p. 108) comentam: “O objeto protótipo ou figura prototípica ou estereotipada, sem dúvida, tem sido considerado como um dos grandes obstáculos – tanto didático como epistemológico – para o ensino e a aprendizagem da Geometria”. Finalmente, Pais (1996) faz referências à imagem mental que pode ser consolidada, à medida que os alunos conseguem descrever as propriedades de uma determinada figura, na ausência dela. Ilustramos as ideias apresentadas com algumas imagens. Nas primeiras, é possível perceber as tentativas dos alunos de romper com as formas prototípicas: há triângulos e paralelogramos (retângulos e quadrados) na posição não estereotipada.

Figura 2 – Desenho de polígonos (Santos, 2011)

Figura 3 – Desenho de polígonos (Santos, 2011)

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Em nossas práticas temos buscado colocar os alunos em contextos nos quais eles possam manipular alguns materiais didáticos – como o tangram, o geoplano, o uso de malhas, quebra-cabeças, construção de mosaicos, dentre outros – que contribuem para a ruptura com o modelo prototípico. Por exemplo, quando um aluno, dispondo das seguintes peças em EVA,

Figura 4 – Modelos de peças em EVA

constrói a figura a seguir, ele já está rompendo com a posição prototípica dessas formas e, possivelmente, ampliando seu repertório de imagens mentais.

Figura 5 – Figura construída com peças de EVA

Os quatro elementos – objeto, desenho, imagem mental e conceito – estão intimamente relacionados aos três processos analisados por Gonseth (1945 apud Pais, 1996): o intuitivo, o experimental e o teórico. A intuição é uma característica inerente às pessoas, ou 20

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seja, um conhecimento tido como inicial; no entanto, não menos importante. O experimental precisa ser compreendido não sob uma perspectiva empirista, mas sim de modo que a manipulação de objetos geométricos possibilite o estabelecimento de relações, a compreensão das propriedades, os contextos de investigação, a percepção de semelhanças e diferenças, entre outros aspectos. Daí o papel fundamental da instrução e do professor nas intervenções. O aspecto teórico está diretamente relacionado com o conhecimento que o aluno tem sobre determinado objeto. Nesse sentido, os três processos explicitados possibilitam que o aluno desenvolva o pensamento geométrico. Bishop (1993 apud Nacarato, 2002) considera a Geometria como a “Matemática do espaço”. Isso, de certa forma, implica que os professores podem, por meio de ações pedagógicas em sala de aula, oportunizar aos seus alunos a interpretação do espaço. São essas ações mediadas que vão possibilitar o movimento de elaboração conceitual, que é permeado pelos processos de significação. Nos processos de significação, há que se considerar a distinção feita por Vygotsky e analisada por Góes e Cruz (2006, p. 36 e 38) entre significado e sentido. Segundo elas, o significado pode ser: [...] caracterizado como “unidade de análise” da relação entre o pensamento e a linguagem. O significado pertence às esferas tanto do pensamento quanto da linguagem, pois se o pensamento se vincula à palavra e nela se encarna, a palavra só existe sustentada pelo pensamento. O autor [Vygotsky] define o significado da palavra como uma generalização, que reflete a realidade num processo diferente daquele que envolve o sensorial e o perceptual, que prenderiam o homem às condições situacionais imediatas. Por isso, a generalização é concebida como fundamento e a essência da palavra.

No que diz respeito ao sentido, as autoras apontam: O sentido é tematizado por Vygotsky principalmente para estabelecer distinções e relações entre a linguagem interna e externa, as características funcionais e estruturais da fala para o outro e para si. 21

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Nessa discussão salienta a significação da palavra no contexto de seu uso e nas condições de interação dos falantes. As palavras não podem ser consideradas fora de seu acontecimento concreto, pois a variação dos contextos de ocorrência faz com que os sentidos sejam ilimitados e, de certa forma, mostrem-se sempre inacabados.

Dada a indissociabilidade entre significado e sentido, optaremos pelo uso de significações, entendendo-as nessa relação com a linguagem e o pensamento. O movimento de elaboração conceitual pelos alunos pode se dar a partir de tarefas propostas pelo professor, considerando o tempo de aprendizado de cada um. Os significados e os sentidos circulam pelas diferentes esferas de comunicação na sala de aula. As tarefas e as intervenções adequadas no processo de instrução possibilitam que os alunos avancem, portanto, são potencializadoras dos processos de significação. Nesse sentido, o objetivo do ensino de Geometria é possibilitar que os alunos elaborem conceitos nesse campo do saber. Como destacado por Pais (1996), o conceito tem dimensões abstratas e é constituído no movimento da experimentação e da intuição. Para chegar a essa abstração, a ação pedagógica é fundamental. No processo de elaboração conceitual, não há como desconsiderar a interdependência entre os conceitos espontâneos e os conceitos científicos, tal como considera a teoria vigotskiana. Os conceitos espontâneos estão relacionados aos que as crianças adquirem no seu cotidiano por meio de suas experiências, já os conceitos científicos são elaborados no âmbito escolar e ambos estão interligados, ou seja: Embora os conceitos científicos e espontâneos se desenvolvam em direções opostas, os dois processos estão intimamente relacionados. É preciso que o desenvolvimento de um conceito espontâneo tenha alcançado um certo nível para que a criança possa observar um conceito científico correlato (Oliveira, 1992, p. 32).

A escola tem como meta o ensino e a aprendizagem dos conceitos científicos. Para isso, os alunos precisam ser mobilizados a realizar as tarefas elaboradas, num ambiente de interações e mediações do professor. 22

Uma breve trajetória sobre o ensino da Geometria e o pensamento geométrico

Ao analisarmos esse movimento de elaboração conceitual, destacamos a importância do trabalho do professor em sala de aula. Ele precisa ser o mediador nesse processo. Assim, ele passa a desempenhar papel fundamental na aprendizagem de seus alunos. Os conceitos científicos podem ser apropriados por meio de uma relação estabelecida entre o professor e o aluno e os alunos entre si, de modo que significações vão sendo produzidas e, com o avanço da escolaridade, os conceitos vão adquirindo níveis mais elevados de generalidade. Ao discutirmos a apropriação dos conceitos científicos, não podemos deixar de mencionar a importância de atuar na zona de desenvolvimento proximal3 dos alunos, pois não é possível a eles percorrer esse caminho sozinhos, sem a intervenção de um adulto mais experiente, no caso, o professor. Para Góes e Cruz (2006, p. 33): No início do desenvolvimento da elaboração conceitual, a palavra da criança possui apenas uma função nominativa, designativa, que implica a referência objetiva. Semanticamente, o significado possibilita a remissão a objetos, independentemente de um funcionamento categorial, em que os significados têm alto nível de generalidade. Esta independência é fundamental para a imersão da criança nas interações verbais, já que o acordo entre criança e adulto sobre o referente da palavra garante a possibilidade de compreensão mútua, apesar das diferenças de formas de significação dos sujeitos.

Tal perspectiva teórica sinaliza para a importância de um trabalho com o vocabulário geométrico adequado desde o início da escolarização. Por exemplo, o professor e os alunos podem se comunicar sobre o objeto paralelepípedo, mesmo estando em níveis de generalidade diferentes do conceito de prisma. À medida que a escolarização avança, a criança vai atingindo níveis mais generalizados desse conceito, conseguindo pensar abstratamente sobre ele, com todas as suas propriedades e características, sem precisar ter o objeto na sua presença. Conceito elaborado por Lev Vygotsky, que define a distância entre o nível de desenvolvimento real, determinado pela capacidade de resolver um problema sem ajuda, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através de resolução de um problema sob a mediação de um adulto ou em colaboração com outro companheiro.

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O texto a seguir evidencia o quanto o aluno pode se apropriar do vocabulário geométrico com significação. O aluno descreve o quadrado e seus elementos e avalia o quanto suas percepções se modificaram após a instrução. Considerando a qualidade da imagem, optamos por transcrever o texto do aluno.

Figura 6 – Carta de Patrick à professora Cleane (Santos, 2011)

Professora Cleane li sua carta e vou contar um pouco sobre as propriedades do quadrado. O quadrado possui 4 lados, 4 ângulos, 4 eixos de simetria, 1 face e também 4 vértices. Agora vou contar o que eu colocava quando não sabia o que era figura plana e não-plana. Apenas quando via ela, de frontal dizia que era retangular, vou contar como eu falava do armário da sala. O armário é uma figura não plana mas eu chamava de uma figura retangular, porque de frente que se fala frontal. Mas ele se chama prisma com base retangular. Espero que goste, um abraço do seu aluno Patrick.

Uma breve trajetória sobre o ensino da Geometria e o pensamento geométrico

Os conceitos geométricos são de natureza figural, na perspectiva defendida por Fischbein (1993 apud Nacarato; Passos, 2003). Ou seja, o conceito geométrico é dado tanto pela sua definição quanto pela sua imagem. Para Nacarato e Passos (2003, p. 64): “O conceito figural é também um significado com uma particularidade, o que quer dizer que se trata de um tipo de significado que inclui figura como uma propriedade intrínseca”. Há, ainda, que considerar que todo conceito tem uma origem histórica e social, ou seja: O conceito tem uma origem social e sua formação envolve antes a relação com os outros, passando posteriormente a ser de domínio da própria criança. Primeiro, a criança é guiada pela palavra do outro e, depois, ela própria utiliza as palavras para orientar o seu pensamento (Góes; Cruz, 2006, p. 33).

No caso do aluno, a escolarização precisa levar em consideração os conhecimentos que ele traz de suas práticas sociais, ou seja, o processo de elaboração conceitual requer que os estudos partam dos conceitos espontâneos que os alunos já trazem consigo. A ampliação ou a ressignificação desses conceitos possibilitará a formação do pensamento geométrico. Dessa forma, uma prática pedagógica voltada aos processos de significação matemática não pode prescindir da compreensão de como o aluno desenvolve o pensamento matemático e, no caso deste trabalho, o pensamento geométrico. Isso requer que o professor, além de conhecer os aspectos conceituais e epistemológicos presentes nesse pensamento, crie em sala de aula um ambiente propício à circulação de significações. Os processos de comunicação de ideias na sala de aula são fundamentais, uma vez que os discursos que circulam é que possibilitarão a apropriação da linguagem geométrica. Essa linguagem, associada às atividades experimentais, é que possibilitará a formação do pensamento geométrico. Cabe ao professor a criação desse ambiente propício à aprendizagem. Ali, o aluno precisa ser inserido em tarefas significativas pautadas na experimentação, nos questionamentos/diálogos, nas reflexões e nas escritas, que possibilitam que os elementos centrais do pensamento 25

C oleção T endências

E ducação M atemática

geométrico – experimentação, intuição e teoria – sejam trabalhados indissociavelmente, favorecendo, assim, a aquisição dos conceitos figurais, e atingindo níveis de generalidade cada vez maiores. Além desses aspectos, a forma como o trabalho deve ser estimulado em sala de aula – preferencialmente em grupos e com ações mediadas pelo professor – é que possibilita ao aluno sair do desenvolvimento real em que se encontra para alcançar o desenvolvimento próximo; ou seja, é preciso que as práticas de sala de aula atuem na zona de desenvolvimento proximal (ZDP) dos alunos. A aprendizagem precisa potencializar o desenvolvimento deles. Na dinâmica interativa, as narrativas orais ou escritas são centrais para que o professor acompanhe o movimento de elaboração conceitual de seus alunos. Acreditamos ser indissociável a relação que precisa ser estabelecida entre o professor e o aluno no processo de elaboração conceitual. Reiteramos que essa relação deve ser pautada num ambiente de aprendizagem baseado no diálogo, nas interações e nas ações mediadas. Nesse ambiente, a experimentação – não como uma mera manipulação de objetos – ocupa papel central. É na exploração de objetos reais, mediada pela problematização, que os alunos vão se apropriando dos conceitos geométricos, do vocabulário, das propriedades dos objetos, das semelhanças, das diferenças entre eles e das diferentes inclusões de classes. Enfim, vão se apropriando dos significados dos conceitos geométricos. Assim, potencializar o desenvolvimento do pensamento geométrico nos alunos implica, necessariamente, que o professor tenha uma fundamentação conceitual e epistemológica da Geometria, associada a uma prática reflexiva e problematizadora.

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