MiRA Matemàtiques ESO Illes Balears

ESO Matemàtiques

Problemes?

Solucions! Mapa de components del projecte

Què és ?

Llibre de l'alumnat

Descobreix-ne més!

ILLES BALEARS

Vos hem

Em falta temps!

Vos

hem consultat escoltat

Vull al meu alumnat en l’aprenentatge de cada dia

Com podem millorar

Com gestiono la diversitat?

Solucions

Problemes? 1

en l’aprenentatge

Connectam amb la seva REALITAT, motivam i implicam l’alumnat en el seu APRENENTATGE.

4

Atendre la DI VERSITAT del teu alumnat sembla missió impossible?

Aportam diferents solucions per a diferents necessitats. Les millors eines per gestionar la INCLUSIÓ a la teva aula.

5

T’agradaria

l’AVALUACIÓ?

6

El teu alumnat té dèficit de COMPRENSIÓ?

Posam en valor les coses senzilles; hem fet ACCESSIBLE i COMPRENSIBLE el coneixement.

Necessites TEMPS?

Troba’n a les nostres propostes generades per simplificar les teves tasques administratives i donar-te suport en la teva tasca docent de manera integral.

Tecnologies

Software Conjunt de instruccionsprogrames, i regles informàtiques per executar certes tasques en un ordinador.

Internet Xarxa informàtica mundial que connecta multitud d’ordinadors utilitzant un protocol especial de comunicació, com l’HTTP, l’FTP, el POP...

Ordinadors o computadores

Apps

Abreviatura per la qual es coneixen les aplicacions per a dispositius mòbils, el software especial per a aquest tipus de dispositius.

Bluetooth Tecnologia basada en les senyals de ràdio que permet la comunicació entre dispositius (telèfons mòbils, auriculars, tauletes, rellotges d’activitat, etc.) a curt abast; és a dir, quan estan a prop encara que hi hagi obstacles pel mig.

TAC

Acrònim pel qual es coneixen les Tecnologies de la Informació la Comunicació per a l’Aprenentatge.

Wifi

Tecnologia basada en senyals de ràdio que, igual que el bluetooth, permet la connexió sense fils entre dispositius electrònics a curt abast sense que hi hagi «enllaç directe». Pot transmetre molta informació, per la qual cosa s’utilitza per connectar dispositius electrònics a internet, formant una xarxa.

Fons de fitxes d’atenció a la diversitat i proves d’avaluació. També generadors assistits per IA per preparar-les de forma personalitzada. Programació.

Programes, plans i kits d’assistència a la pràctica educativa:

- Desenvolupament del talent, del pensament crític i de la comprensió lectora.

- Pla TIC TAC per al benestar digital.

- Inclusió i comunicació amb les famílies.

- Tècniques d’estudi i metodologies actives.

Avaluació inicial Avaluació final Avaluació per continguts Quin tipus d’avaluació crearàs?

Generador de proves d’avaluació Avaluació per unitats

I tot

un clic a l’ entorn digital.

Entrena’t resolent problemes

2

El CANVI d’etapa et preocupa?

No és fàcil, per això cuidam especialment les transicions entre etapes i cursos.

Fes una bona planificació

que amortitza la despesa?

Observa El conjunt Z no té ni principi ni fi. Sempre es poden trobar més positius a la dreta més negatius a l’esquerra.

Així s’escriu Valor absolut:

• De 5 → |5| 5 • De –5 → |–5| 5 Oposat: • De 5 → –5 De –5 → 5 anayaeducacion.esOrdena de major a menor.

El conjunt dels nombres enters

El conjunt Z Si al conjunt Ndels nombres naturals li afegim el zero els corresponents nombres negatius, obtenim un nou conjunt que es coneix en matemàtiques com a conjunt dels nombres enters es designa amb la lletra Z

El conjunt Z dels nombres enters està format per:

• Els naturals, que són els positius → 1, 2, 3, 4, ... • El zero ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 0 • Els corresponents negatius

⎯→ –1, –2, –3, – 4, … Z

Els nombres enters es representen, ordenats, a la recta numèrica:

0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A la recta pots veure que qualsevol nombre és major que un altre que estigui a la seva esquerra menor que un altre que estigui a la seva dreta. Per tant:

Qualsevol nombre positiu és major que el zero, i aquest és major que qualsevol nombre negatiu.

Els nombres negatius s’ordenen a l’inrevés que els positius. És a dir, com més gran sigui la xifra, sense considerar el signe, menor és el nombre. –1 > –2 –2 > –7 –7 > –15

Valor absolut d’un nombre enter

El valor absolut d’un nombre enter és el nombre natural que resulta en llevar-li el signe. S’expressa escrivint-lo entre barres: a → valor absolut de a

El valor absolut d’un nombre enter es pot interpretar com la longitud del segment que el separa del zero a la recta numèrica.

0 –7 4 |–7| = 7

|4| = 4 El valor absolut de –7 és 7. El valor absolut de 4 és 4. Oposat d’un enter

L’oposat d’un enter és un altre enter del mateix valor absolut, però de signe contrari.

L’oposat d’un nombre enter és el seu simètric respecte del zero a la recta. És a dir, el que està a la mateixa distància del zero, però del costat contrari.

–5 5 0 Els nombres 5 –5 són oposats l’un de l’altre.

Representa les dades esquemàticament

En Sam compra un tub de monedes de xocolata El primer dia se’n menja la meitat. El segon dia es menja un terç del que quedava. El tercer dia es menja un quart de la resta. El quart dia es menja les 3 xocolates que faltaven al tub.

1 En una garrafa hi ha doble quantitat d’aigua que en una altra. Si traiem 5 L de cadascuna, la primera quedaria amb el triple d’aigua que la segona. Quants litres hi ha a cada garrafa?

2 Na Camil·la té una caixa de caramels. El primer dia se’n menja un quart. El segon dia menja un terç del que li quedava. El tercer dia menja la meitat de la resta. El quart dia menja quatre caramels se li acaba la caixa. Quants caramels hi havia a la caixa?

Per fixar idees

3 Dels 150 estudiants d’un col·legi, 120 estudien anglès; 100, informàtica, només 20 no estudien ni una cosa ni l’altra. Quants estudien ambdues matèries?

• Representa les dades en un diagrama com aquest: informàtica anglès

1 Classifica aquests nombres en un gràfic com aquest: –9 1 –1 45 7 0 13 –2 3 –12 –11 150 negatius enters naturals

2 Observa el que diuen contesta.

Tenc 8 € Dec 20 € Dec 8 € Tenc 15 € Ni tenc, ni dec.

8 –20 0 15 –8

Ajuda 1 Tingues en compte que el zero no estarà ni en el sector verd ni en el sector rosa.

El zero no és un nombre positiu ni negatiu.

Seqüenciació progressiva i ajustada al currículum: del més senzill al més complex. Graduació del nivell de les activitats.

Tipografies més llegibles, clares i accessibles.

Recursos per treballar la transició entre etapes i cursos (a l’entorn digital).

2 Fes-te primer aquestes preguntes:

• En quin d’aquests casos preferiries estar tu?

• Què és millor, no tenir res, o deure alguna cosa?

a) Qui té una situació més favorable?

b) Ordena les quantitats de menor a major.

3 Copia al teu quadern col·loca els signes < o > segons correspongui.

a) 3 5 b) 3 –5 c) –3 5 d) –3 –5

ACTIVITATS

1 Representa a la recta ordena de menor a major.

–7, 4, –1, 7, 6, – 4, –5, 3, –11

2 Copia al teu quadern col·loca els signes < o > com correspongui.

a) 8 3 b) –8 3 c) 8 –3 d) –2 –5 e) 2 –5 f ) –2 5 3 Ordena de menor a major.

a) 5, –3, –7, 0, 1, 6, –12, –5

b) –6, –3, –9, 0, –1, –5, –12, – 4

4 Escriu el valor absolut l’oposat de cada nombre.

a) 8 b) –7 c) 11 d) –13

5 Calcula.

a) |–6| b) |6| c) |–2| d) |9| e) |–11| ) |10|

6 Quin nombre enter és oposat de si mateix?

3 En representar dos nombres a la recta numèrica, el de l’esquerra és el menor.

–3 –1 0 2 –3 < –1 –1 < 2

7 Dos nombres enters oposats s’allunyen de la recta 12 unitats. Quins nombres són?

8 Copia completa la taula al teu quadern.

a a –a |–a 8 –7 11 –13

9 Vertader o fals? Justifica la teva resposta. a) Tots els nombres enters són també naturals. b) Tots els nombres naturals són també enters. c) Un nombre positiu és sempre major que el seu oposat.

d) Entre dos nombres enters, és major el que té major valor absolut.

e) El valor absolut de zero és zero.

Vols un alumnat

IMPLICAT?

T’ajudam! És essencial millorar la participació de l’alumnat per crear un entorn d’aprenentatge enriquidor i efectiu. T’explicam com ho feim:

Aprendre en context per donar sentit al que s’aprèn.

Situacions d’aprenentatge properes a l’alumnat.

DIVISIBILITAT

NOMBRES NATURALS I ENTERS

Nombres sistemes de numeració

Totes les civilitzacions han fet servir un sistema de numeració per representar quantitats. Des de la prehistòria fins als nostres dies, els pobles egipci, babiloni, grec, romà, xinès, indi, àrab, maia… manejaren sistemes de numeració molt diversos, que passaren d’uns pobles a altres evolucionaren al llarg del temps. Inicialment, els nombres s’utilitzaven per comptar quantitats naturals (ramats, fruits, monedes…), els sistemes de numeració eren molt rudimentaris: es feien osques en un gaiato, es dibuixaven dits mans... No obstant això, el progrés de les civilitzacions va conduir la introducció de símbols normes que els feren més complexos pràctics.

Els sistemes de numeració són útils per escriure nombres així, recordar-los transmetre’ls. Però han de servir, també, per operar-hi. Pensa en el sistema de numeració romana (que ja coneixes) imagina com ho farien per efectuar sumes. Per exemple: MCCCXLVI + DCCCXXXIV Complicat? Doncs imagina si devia de ser difícil multiplicar.

Els antics matemàtics hindús, en el segle vi donaren una gran passa endavant amb la invenció del sistema de numeració decimal posicional. Des de l’Índia es propagà cap a la Mediterrània a través del poble àrab, arribà a Europa en els segles ix x Els avantatges d’aquest sistema van permetre el desenvolupament de noves estratègies de càlcul, precursores de les que utilitzam actualment. Amb els nombres les seves operacions, calculam obtenim dades noves útils per fer-les servir en situacions quotidianes. Per això, és necessari interpretar resoldre la seva expressió escrita.

Els nombres negatius

Encara que avui utilitzam els nombres negatius amb naturalitat, va haver de passar molt de temps perquè aquests nombres fossin acceptats en el món de les matemàtiques. Curiosament, ja en el segle iii aC, a la Xina es treballava amb quantitats negatives. Per això, utilitzaven dos conjunts de varetes, unes vermelles per a les positives altres negres per a les negatives. Amb elles efectuaven càlculs amb extraordinària destresa. Hagueren de passar encara uns mil anys fins que, en el segle vii a l’Índia, es generalitza l’ús dels nombres negatius associant-los a la categoria de deute. De l’Índia, gràcies als àrabs, aquests conceptes arribaren a Europa cap al segle  No obstant això, fins al segle xv no aparegueren els signes + –; primer, per designar quantitats positives negatives, després, per a les operacions de suma resta. El signe = es va inventar el 1557.

Pitàgores els pitagòrics

Des de l’Antiguitat, les matemàtiques sempre foren una eina per resoldre problemes quotidians. Quant mesura aquest terreny? Com hem de repartir-nos la collita? Com interpretar les estrelles per orientar-nos? Fins al segle vi aC no apareixen els primers matemàtics teòrics, estudiosos interessats per la investigació el desenvolupament de la ciència, independentment de la seva utilitat pràctica. Amb aquest esperit, Pitàgores, gran matemàtic de l’Antiguitat, va fundar, a Crotona, una secta místico-científica que retia culte a l’astronomia que fou un dels primers centres del saber en acceptar dones entre els seus membres. La més coneguda fou Teano.

Els pitagòrics estudiaren les propietats dels nombres les relacionaren amb la geometria. A ells els devem les paraules «quadrat» «cub» que es refereixen als nombres.

Alexandria, fundada en el segle iv aC per Alexandre el Gran, al qual deu el seu nom, va passar a ser, en el segle iii aC, el centre cultural (científic artístic) més influent prestigiós del món hel·lenístic. Euclides, savi grec del segle iii aC, va viure a Alexandria. Allà va fundar l’escola més important de l’Antiga Grècia, on va exercir com a professor científic amb extraordinari prestigi. Va compilar sistematitzar tot el coneixement matemàtic de la seva època. Però no es va limitar això: va ser, a més, un gran matemàtic que va aportar importants descobriments. Euclides va mostrar la seva obra en una col·lecció de tretze llibres que s’anomenaren Elements. La major part d’aquests llibres estaven dedicats a la geometria només quatre d’ells, a l’aritmètica. En aquests va desenvolupar, entre altres coses, la teoria de la divisibilitat: nombres primers compostos, divisors, múltiples… Els elements d’Euclides han estat estudiats admirats en totes les èpoques.

Activitats competencials per aplicar i comprendre la utilitat del que s’aprèn.

Pàgines per llegir i conèixer fites històriques importants relacionades amb els continguts que es tractaran.

Atendre la DIVERSITAT del teu alumnat és missió impossible?

És molt complicat...Per això t’oferim un ampli ventall d’alternatives accessibles i de recursos dissenyats d’acord amb les pautes DUA (vídeos, àudios, infografies, fitxes imprimibles amb activitats multinivell…), aprofitant les possibilitats tecnopedagògiques de l’entorn digital.

Per compilar transmetre informació relacionada amb els objectes, hem d’estar atents a les seves qualitats propietats característiques.

ACTIVITATS

1 Vertader o fals? a) El quilòmetre és una magnitud.

b) El pam és una unitat de longitud.

Algunes d’aquestes qualitats es poden mesurar quantificar de forma numèrica. Parlam de ... les magnituds. Exemples de magnituds: massa, longitud, superfície, temperatura, voltatge, intensitat del so, potència d’un motor…

Què és mesurar una magnitud Mesurar una quantitat d’una magnitud és comparar-la amb una altra quantitat fixa predeterminada anomenada unitat de mesura.

quantitat a mesurar unitat de mesura la gerra té una capacitat de 4 tassons escaig

Una magnitud es pot mesurar en diferents unitats. Perquè la informació que aporta una mesura sigui significativa, la unitat utilitzada ha de ser coneguda acceptada per tota la comunitat. És a dir, ha de ser convencional estandarditzada.

c) La capacitat de memòria d’un ordinador és una magnitud.

d) La cinta mètrica és una unitat de mesura.

e) La balança és un instrument de mesura.

f) El decibel és una unitat que s’utilitza per mesurar la intensitat del so.

2 El color la forma són qualitats, però no magnituds. Per què?

3 Expressa el pes de la capsa pren com a unitat: a) Un cubet verd. b) Un cubet vermell.

4 Quines magnituds es mesuren amb aquestes unitats? a) Segon. b) Bit. c)

ACTIVITATS

1

b) Descriu algun dels inconvenients que ocasionaven aquestes diferències.

2 Anomena.

a) Els múltiples del metre.

b) Els múltiples del gram.

c) Els submúltiples del litre.

d) Els submúltiples del gram.

3 Si tenim en compte que un quadrant del meridià terrestre és la quarta part d’aquest.

a) Quants metres mesura un quadrant de meridià?

b) Quants metres mesura el meridià complet?

Aprenentatge visual.

Activitats multinivell graduades per dificultat.

Autoavaluació per comprovar l’adquisició de continguts.

Repàs lúdic de continguts en finalitzar cada bloc.

Generador de fitxes

assistit per IA que permet generar propostes de fitxes multinivell per a cadascun dels conceptes fonamentals del curs, i atendre la diversitat de l’aula.

T’agradaria tenir un pla per millorar l’AVALUACIÓ?

El tenim! T’ajudarà a fer que l’alumnat sigui conscient del progrés en el seu aprenentatge, a diagnosticar-lo, mesurar-lo i a fer feedback.

A l’entorn digital l’alumnat disposarà de recursos perquè reflexioni sobre el que ha après, identifiqui àrees de millora i apliqui un pla d’acció.

12 Apilam capses de 15 cm d’altura i, al costat, capses de 25 cm d’altura.

a) Quantes capses s’han de posar a cada munt perquè les torres siguin igual d’altes? b) Quin concepte de divisibilitat correspon a aquesta altura?

13 Suposa que tenim dues gerres, una de 120 centilitres de capacitat una altra de 140 centilitres, que cada una omple un nombre exacte de tassons, tots iguals. Quina és la capacitat d’aquests tassons, si sabem que no són petits?

14 Quin és el costat del quadrat més petit que es pot formar quan unim rajoles rectangulars de 15 cm de llarg per 6 cm d’amplada?

15 Un grup de 48 adolescents acompanyats de 36 adults acudeixen a un campament de muntanya. Per dormir, es posen d’acord a ocupar cada cabanya amb el mateix nombre de persones. A més, com menys cabanyes ocupin, menys paguen. D’altra banda, ni els adults volen dormir amb adolescents, ni aquests amb adults. Quants n’hi cabran a cada cabanya? Quantes cabanyes ocuparan?

Calcula.

Generador de proves d’avaluació assistit per IA. Practica!

Posa’t a prova. Taula de seguiment de l’aprenentatge.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

ÀLGEBRA 10

El teu alumnat

té dificultats de COMPRENSIÓ?

Aquestes dificultats han augmentat de manera preocupant, per això hem redoblat el nostre esforç per aconseguir que els continguts siguin accessibles i comprensibles a tot l’alumnat.

avançar en el seu propi desenvolupament en el de totes les altres ciències. Una d’aquestes eines és l’àlgebra, llenguatge matemàtic en el qual ara faràs les primeres passes. Inicialment et resultarà estrany, pot ser que et resulti complex, com tot allò nou. Però no et preocupis, ho aniràs incorporant poc a poc, ho perfeccionaràs l’utilitzaràs cada vegada més en els propers cursos comprovaràs que és imprescindible per després anar construint una bona base amb els teus coneixements matemàtics. D’altra banda, t’adonaràs que, encara que sense saber-ho, ja l’has manejat en algunes ocasions.

Per fer-te una idea, resol les activitats que s’inclouen més avall. Però abans t’anunciam una tasca a desenvolupar amb el que aprenguis a la unitat.

Et proposam que investiguis en una tasca similar a la de l’exemple que tens a continuació amb les mateixes torres o altres de disseny diferent i, expressis els resultats tot utilitzant eines algebraiques. Al final de la unitat trobaràs una mostra del treball que t’encarregam, que pots resoldre, o tenir com a guia.

Posa en situació amb el que ja saps

Suposa que volem construir, amb escuradents boletes de plastilina, torres de diferents pisos, com les que veus a la dreta. ens demanam pel material necessari (nombre de boles bastonets), per a cada construcció.

1 Quantes boletes quants bastonets es necessiten per posar la base d’una torre? per aixecar un pis sobre ella?

2 Compta els elements necessaris per aixecar torres d’1, 2, 3… pisos.

3 Anota els teus resultats a la taula. Nre. de pisos 1 2 3 4 5 15 Nre. de bolles 8 12 ? ? Nre. de bastonets ? ?

4 Has tengut dificultats per completar la darrera columna? Què has descobert?

Atenció especial a la transició a secundària.

Apartats específics per activar coneixements previs.

Lletra accessible.

Contrastos de color accessibles.

Activitats graduades per nivell.

Exercicis per completar i consolidar la teoria i nombroses activitats resoltes per practicar els procediments.

Per sumar o restar nombres decimals: S’han de col·locar en columna s’han de correspondre les comes. • S’han de sumar (o restar) unitats amb unitats, dècimes amb dècimes…

Per multiplicar nombres decimals:

Es multipliquen com si fossin enters. Es col·loca la coma en el producte, separant tantes xifres decimals com les que reuneixin entre tots els factors.

fotocòpies

D’1 a 10 ..................... 0,04 €/unitat

D’11 a 100 0,025 €/unitat Més de 100 0,019 €/unitat

Suma, resta i multiplicació de nombres decimals

Ja coneixes la suma, la resta la multiplicació de decimals. Per això, ens limitarem a repassar-les incorporarem el maneig dels nombres negatius. Suma resta

Problema resolt

En una cursa de relleus de 4 × 100 els quatre corredors de l’equip guanyador van fer els següents temps: 10,41 s; 9,03 s; 9,42 9,05 s. Si l’equip que va quedar en segon lloc va fer un temps de 38,07 s, en quant de temps va superar el primer al segon?

temps guanyadors diferència

10,41 38,07 9,03 – 37,91 9,42 0,16 + 9,05 37,91

38,07 – (10,43 + 9,03 + 9,42 + 9,05) = 38,07 – 37,91 = 0,16 Solució: L’equip guanyador va superar en 0,16 s al segon.

Multiplicació

Problema resolt

La tarifa d’un taxi és d’1,35 € per cada quilòmetre recorregut. El GPS de na Sara li indica que és a 2,5 km de casa. Quant pagarà na Sara al taxista si avui no cobren la baixada de bandera?

1, 3 5 ← 2 xifres decimals × 2, 5 ← 1 xifra decimal 6 7 5 2 7 0  3, 3 7 5 ← 2 + 1 = 3 xifres decimals ↓

Solució: 3,375 € arrodoniment ⎯⎯⎯⎯→  3,38 € pagarà al taxista.

Multiplicació per 10, 100, 1 000…

Recorda que per multiplicar un nombre decimal per 10, per 100, per 1 000…, només cal moure la coma cap a la dreta un, dos, tres… llocs. exemple

Tenint en compte els preus que anuncia el cartell de l’esquerra, calculam:

• Cost de 10 fotocòpies → 0,04 10 = 0,40 € Cost de 100 fotocòpies → 0,025 100 2,50 € • Cost de 1 000 fotocòpies → 0,019 1 000 = 19,00 €

Per fixar idees

1 Calcula mentalment.

a) 0,8 + 0,4 b) 1,2 + 1,8 c) 3,25 + 1,75

Matemàtiques

Materials

Alumnat

Un llibre per a cada curs.

Professorat

Entorn digital

Llibre digital enriquit i espai personal amb requeriments d’accessibilitat: recursos motivadors, atenció a la diversitat, pràctica i avaluació.

Llibre digital i espai personal amb: proposta didàctica, generadors de fitxes d’atenció a la diversitat, proves d’avaluació assistides per IA i molt més.

Presenta un llibre per curs i un gran projecte digital.

Llibre de l’alumnat

Està concebut com a eina per acompanyar l’aprenentatge.

Presenten un disseny visual i accessible i una seqüència de continguts ajustada al currículum.

BLOC I

ARITMÈTICA

El càlcul, les calculadores els ordinadors

El càlcul ha estat una tasca que t’ha ocupat moltes hores, molts dies, molts cursos en la teva activitat matemàtica. Amb el pas dels anys, has transitat des de les sumes restes senzilles a complicades operacions amb decimals, fraccions, potències, parèntesis...

La calculadora, gran invent!, t’ha alleugerit la tasca, de manera que, en alliberarse la teva ment de càlculs feixucs, pots dedicar-se plenament a reflexionar sobre el significat del que planifiques, del que desenvolupes, del que aconsegueixes.

Potències

A quasi totes les antigues cultures que havien avançat suficient, es va posar atenció als nombres grans a la forma d’expressar-los.

Especialment significatiu és el cas de l’Índia, on sentiren passió pels nombres enormes. En el seu famós llibre mitològic Mahabharata (segle iii aC., aproximadament) conta que Buda va tenir ni més ni menys que 6 · 1011 fills i filles en un altre lloc es parla de «les 24 · 1015 divinitats».

Unitat inicial

En matemàtiques s’inclou una unitat inicial per entrenar l’alumnat en la resolució de problemes.

Unitat inicial

En matemàtiques s’inclou una unitat inicial per entrenar l’alumnat en la resolució de problemes.

Fes un esquema que fonamenti les dades

Un esquema en el qual apareguin les dades les seves relacions sempre ajuda a comprendre l’enunciat ens orienta sobre com resoldre’l. Fins tot hi ha alguns problemes per als quals un bon esquema permet, pràcticament, veure la solució. Observem alguns d’aquests:

1 Una llebre porta 12 dels seus bots d’avantatge al llebrer que la persegueix. Dos bots de llebrer equivalen, en longitud, a tres bots de llebre. El llebrer tarda a fer tres bots el mateix que la llebre a fer-ne quatre. Quants bots farà la llebre abans de ser atrapada?

2 He gastat en un vinil del meu grup favorit les tres quartes parts dels diners que duia. Després, he anat al cinema m’he gastat dos terços del que em quedava. Si encara tenc 2 € quant duia al principi?

De la mateixa manera, la humanitat ha evolucionat al llarg de segles, de mil·lennis, amb l’esforç per domesticar les fraccions (fraccions unitàries a Egipte, fraccions sexagesimals a Babilònia… fins a arribar a les fraccions ordinàries que tu maneges) ha fet molts intents per fer comprensibles i operatius els nombres decimals que culminen amb les aportacions de Stevin Descartes. Finalment s’aconsegueixen grans consecucions en càlcul superior, als quals tu arribaràs d’aquí a uns anys. Tot això triomfa en la seva màxima expressió en els darrers decennis amb l’apoteosi dels ordinadors.

A Grècia, els pitagòrics (segle vi a. C.), que relacionaren els nombres amb la geometria, aplicaren els termes «quadrat» «cub» per fer referència a les potències de nombres.

Arquimedes, gran matemàtic, enginyer i inventor grec (segle iii a. C.), amb la finalitat de demostrar que el nombre de grans d’arena «no era infinit», es va proposar escriure un nombre major que el nombre d’aquests que cabrien a l’univers. Per això, va escriure un llibre, L’arenari, en el qual va inventar una nova forma d’escriure nombres extraordinàriament grans basat en les potències de base 10. Per això, Arquimedes és considerat el pare de la notació científica.

En

geomètrics,

3 Per instal·lar un rocòdrom, és necessari aplicar una imprimació sobre el mur. Durant el matí, ha Leo cobreix dues cinquenes parts. A la tarda només li dona temps a fer un terç del que li quedava encara li falten 15 m2 per acabar. Quina superfície té el rocòdrom?

4 Un hisendat contracta un servent per un sou anual d’1 capa 25 monedes d’or. Als cinc mesos acomiada el servent, rep com a pagament la capa quatre monedes. En quantes monedes d’or està valorant la capa?

Nombres per comptar, nombres per mesurar

Euclides (segle iii aC.) fou el fundador de l’escola matemàtica d’Alexandria, on va escriure la seva monumental obra Elements. Aquesta obra es compon de 13 llibres, quatre dels quals els va dedicar a l’aritmètica. Al novè llibre va tractar les progressions geomètriques, encara que amb una nomenclatura molt diferent a la que fem servir avui en dia.

En el segle  Nicòmac recopilà el que llavors se sabia d’aritmètica, gairebé tot conegut des d’Euclides. Es dedicà, entre altres coses, a l’estudi de les progressions aritmètiques, que no havia tractat Euclides quatre-cents anys abans. Cal esperar fins al segle xiii perquè aparegui la successió més coneguda de la història, la de Fibonacci:

Observa que cada terme és la suma dels dos anteriors. El seu autor, Leonardo de Pisa (Fibonacci: fill de Bonaccio), la va descriure en el seu Liber Abaci s’inspirà en el context de descendència dels conills. En l’actualitat, a aquest tipus de successions, en les quals cada terme s’obté a partir dels anteriors, les anomenam successions amb termes recurrents Progressions

Proporcionalitat

1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

El raonament matemàtic relacionat amb la proporcionalitat apareix, des dels inicis de la civilització, en la resolució de problemes pràctics: intercanvis, compres, repartiments, collites, etc. Trobam problemes d’aquests tipus en textos egipcis, babilonis, xinesos, hindús…, tots ells són anteriors a la nostra era. Euclides va treballar, a més, en la construcció d’una base teòrica per a la proporcionalitat, independentment dels problemes pràctics. Així, en la seva gran obra, Elements, es comencen a definir ja conceptes com el de raó el de proporció.

En els segles viii ix en els tractats dels matemàtics àrabs, els qui importaren el saber d’Orient, apareixen ja procediments com la regla de tres. Més tard a Europa, a partir dels segles xiv xv quan es va desenvolupar el comerç amb el Renaixement, s’amplien les demandes en el terreny del càlcul la comptabilitat. Aquestes necessitats impulsen el desenvolupament de l’aritmètica comercial: percentatges, descomptes, deutes, interessos, terminis… Destacam l’italià Luca Pacioli (final del segle xv), que tractà matemàticament problemes comercials establí les bases de la matemàtica financera.

Encara que el símbol % prové del segle xv, quan els percentatges s’utilitzaven habitualment per al càlcul d’imposts interessos, la idea estava en ús des de feia molt de temps: ja, fa 2 000 anys, a l’Imperi romà s’imposava un impost d’1/100 dels béns venuts en subhastes i, per facilitar els càlculs, s’utilitzaven fraccions amb denominador 100, és a dir, percentatges.

Obertura de bloc

Les unitats es distribueixen en blocs que comencen amb un repàs de fites històriques importants relacionades amb els continguts que es tractaran.

Situacions d’aprenentatge

Per motivar l’inici de la unitat i orientar l’aprenentatge. Proposen un petit repte per resoldre en acabar-la.

PROGRESSIONS

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

Estratègia fractal de la natura

Els fractals són unes formacions geomètriques en les quals hi ha un patró que es repeteix indefinidament segons reduïm l’escala. Observa a la dreta el floc de Koch (o flor de jonc ): en ampliar la imatge, es van obtenint estructures semblants. A la fotografia principal es veu que el bròquil romanesco està format per cons que, al seu torn, estan formats per cons que, al seu torn, estan formats per cons… A la natura existeixen molts exemples d’estructures similars a fractals, com les branques dels arbres, les fulles de les falgueres, les ramificacions a les venes, etc. Encara que, en aquests casos, el patró no es repeteix indefinidament, sinó que ho fa un nombre finit de vegades.

Però per què la natura utilitza aquesta estratègia? Les parets de l’intestí prim, d’estructura fractal, ens suggereixen una resposta: tenen vellositats i microvellositats que, juntament amb els plecs circulars,

aconsegueixen que la superfície de les parets sigui 8 vegades la d’un cilindre similar. Això és molt avantatjós, ja que l’intestí prim serveix per absorbir nutrients i com més superfície té, més capacitat d’absorció mostra. Els fractals tenen peculiaritats sorprenents quant a les seves superfícies, àrees o volums. A més, solen formar figures molt boniques.

Descobrirem alguns fractals n’inventarem d’altres. Cercarem com es van comportant els seus perímetres o àrees mentre els construïm passa a passa. Finalment, els dibuixarem per exhibir-los en una exposició.

Posa’t en situació amb el que ja saps

El primer pas de la construcció d’un floc de Koch és, simplement, un triangle equilàter. A cada pas, cada costat es divideix en tres parts iguals i a la part del centre es construeix un altre triangle equilàter, al qual se li esborra la base. Posem que el costat del triangle original té una mida de 3 cm.

1 El segon pas, quants segments té quina mida fa cadascun? Quant amida el seu perímetre?

2 I, en el tercer pas? Quina mida fan els segments que el formen? Quant amida el seu perímetre?

3 Construeix una taula com aquesta al teu quadern i omple-la fins a la quarta fila (o terme).

El perímetre creix, es manté igual o disminueix?

3 cm

Longitud costat (cm) Nombre de costats Perímetre (cm) Dibuix 1 3 3 9 2

Sabers

Es desenvolupen amb textos clars i ben organitzats, acompanyats d’il·lustracions, fotografies, esquemes, gràfics... Tot per facilitar la comprensió

Expressions amb operacions combinades

Ordre en què s’han de fer les operacions

En resoldre expressions amb operacions combinades, has de tenir en compte les normes del llenguatge matemàtic. Aquestes normes garanteixen que cada expressió tengui un significat i una solució únics.

Observa l’ordre d’actuació en les següents expressions. Els resultats són diferents malgrat estar formades pels mateixos nombres operacions.

48 : 3 + 5 – 2 · 3

16 + 5 – 6

21 – 6

48 : (3 + 5) – 2 · 3

48 : 8 – 6

En les expressions amb operacions combinades, hem de fixar-nos:

• Primer, als parèntesis.

• Després, a les multiplicacions i a les divisions.

• Per últim, a les sumes a les restes.

Per fixar idees

1 Completa al teu quadern cada casella comprova que obtens el resultat que s’indica. 4 · 10 – 8 · 3 + 2

Aprèn a usar la calculadora

Introdueix a la calculadora aquesta seqüència: 2 + 3 * 4 = Encara que et sembli estrany, segons la màquina que utilitzis pots obtenir a la pantalla dues solucions diferents, 20 o 14.

{∫“≠} → La calculadora fa les operacions en l’ordre en què hi van entrant.

(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20 {∫’¢} → La calculadora fa primer el producte. És a dir, respecta la prioritat de les operacions.

2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14

Com veus, no totes les calculadores tenen la mateixa lògica interna. Esbrina de quin dels dos tipus és la teva i tingues-ho en compte quan la utilitzis.

Exercicis d’aplicació directa de la teoria que s’acaba d’explicar. Activitats especialment dissenyades per al desenvolupament de les teves competències.

Per fixar idees

2 Copia i completa al teu quadern. Després, comprova els resultats amb una calculadora de quatre operacions, seguint la seqüència de tecles que s’indica a cada cas.

40 – 12 : 4 + 2 · 3

1 Opera com als exemples.

• 12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4

• (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4

a) 8 + 5 · 2 b) 15 – 10 : 5 c) 4 · 6 – 13

d) (15 – 3) : 4 e) (8 + 2) · 3 f) 18 : (10 – 4)

2 Resol mentalment i compara els resultats.

a) 2 + 3 · 4 (2 + 3) · 4

b) 6 – 2 · 3 (6 – 2) · 3

c) 18 – 10 : 2 (18 – 10) : 2

d) 24 : 6 + 2 24 : (6 + 2)

3 Observa l’exemple i calcula.

• 4 · (7 – 5) – 3 = 4 · 2 – 3 = 8 – 3 = 5

a) 2 · (7 – 3) – 5    b) 3 · (10 – 7) + 4

c) 4 + (7 – 5) · 3 d) 18 – 4 · (5 – 2)

e) 8 – (9 + 6) : 3  f) 22 : (7 + 4) + 3

4 Resol, indicant els passos seguits, comprova la solució que es dona a la dreta.

Si no coincideix, repassa l’exercici.

a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7) → 14

b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5 → 2

c) 21 : (3 + 4) + 6 → 9

d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6 → 7

e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3 → 1

f) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) → 11

g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2) → 0

h) 3 · [13 – 3 · (5 – 2)] → 12

(40 – 12) : 4 + 2 · 3

Ajudes ≤ → Suma la pantalla a la memòria

µ → Resta la pantalla a la memòria

Ñ → Recupera el que hi ha a la memòria

Per fixar idees, exercicis per completar i consolidar la teoria.

5 Problema resolt

Una tècnica de so ha treballat aquest mes en un festival de música 12 jornades de 7 hores, 5 jornades de 6 hores i unes altres 5 jornades nocturnes, que només sumen 3 hores. Quantes hores ha treballat en total durant el mes? Ho podem resoldre amb dues expressions:

normal nocturna

12 · 7 + 5 · 6 + 5 · 3 = 84 + 30 + 15 = 129

12 jornades 5 jornades

12 · 7 + 5 · (6 + 3) = 84 + 5 · 9 = 84 + 45 = 129

Solució: Ha treballat, en total, 129 hores.

6 Escriu una expressió que resolgui cada enunciat i calcula la solució.

a) En una festa d’aniversari, compren 4 capses de pizzes, 6 d’empanades 3 de pastissets dolços. Les capses de pizzes pesen 3 kg, i les altres, 2 kg cada una. Quants quilos de menjar han comprat en total?

b) Per a un berenar amb amics, en Marc compra 5 packs de batuts de xocolata, 3 de maduixa i 2 de vainilla. Cada pack conté 6 botelletes. Quantes botelletes hi ha en total?

c) En una cafeteria hi ha 15 taules, 55 cadires i 12 tamborets. Quantes potes hi ha en total? nota els tamborets són de 3 potes.

d) En un obrador preparen 60 magdalenes i les reparteixen en safates de 12. També preparen 24 magdalenes sense gluten, que col·loquen en safates de 6. Quantes safates han fet servir en total?

Exemples i exercicis resolts per practicar els procediments més importants.

Llibre de l’alumnat

Exercicis i problemes. Amb bona cosa d’activitats competencials d’exercitació i de reflexió en contextos quotidians, contemplen el desenvolupament de tots els sabers bàsics de la unitat. Estan classificats per dificultat, de l’u al tres.

Exercicis i problemes

Domines el que és bàsic?

Múltiples i divisors

1 Escriu.

a) Els múltiples de 20 compresos entre 150 210.

b) Un múltiple de 13 comprès entre 190 i 200.

c) Tots els parells de nombres el producte dels quals és 80.

2 Cerca tots els divisors de:

a) 10 b) 18 c) 20 d) 24 e) 28

f) 30 g) 39 h) 45 i) 50 j) 80

3 Cerca totes les formes possibles de fer munts iguals amb 60 terrossos de sucre.

Criteris de divisibilitat

4 Escriu.

a) Un nombre de tres xifres que sigui divisible per 3.

b) Un nombre de quatre xifres que sigui divisible per 5.

c) Un nombre de cinc xifres que sigui divisible per 9.

5 Substitueix cada lletra per una xifra, perquè el nombre resultant sigui divisible per 3.

A51 2B8 32C 52D 1E8 Nombres primers compostos

6 Separa els nombres primers dels compostos. 14 17 28 29 47 53

57 63 71 79 91 99

7 Expressa el nombre 899 com a producte de dos factors diferents d’ell mateix de la unitat.

8 Descompon en factors primers aquests nombres:

a) 54 b) 140 c) 200 d) 380 Mínim comú múltiple i màxim comú divisor

9 Obtén mentalment tres múltiples comuns de:

a) 4 5 b) 10 12 c) 15 i 25

d) 20 i 40 e) 100 i 150 f) 20, 25 i 30

10 El mínim comú múltiple de dos nombres és 15. Quins poden ser aquests nombres?

11 Calcula el mínim comú múltiple el màxim comú divisor de:

a) 25 75 b) 42 76 c) 81 99

d) 132 176 e) 12, 18 i 24 f) 30, 45 75

Entrena’t i practica

12 De quantes formes diferents es poden agrupar 72 cartes en munts iguals sense que en sobri cap?

13 Cerca, en cada cas, tots els valors possibles de a perquè el nombre resultant sigui, a la vegada, múltiple de 2 i de 3. 4 a 3 2 a 2 4 a

14 Investiga i descriu.

a) Les condicions que ha de complir un nombre per ser múltiple de 6.

b) El criteri de divisibilitat per 100.

15 Un any és bixest si és múltiple de quatre, però no de 100. Quins són els tres propers anys bixests? el proper no bixest múltiple de 4?

16 Cerca el primer nombre, major que 160, que no es pugui expressar com el producte de dos factors diferents d’ell mateix de la unitat.

17 Esbrina si el nombre 203 és primer o compost. Justifica la teva resposta.

18 Calcula.

a) mín. c. m. (2, 4, 8) b) màx. c. d. (2, 4, 8)

c) mín. c. m. (10, 15, 20) d) màx. c. d. (10, 15, 20)

e) mín. c. m. (20, 30, 40) f) màx. c. d. (20, 30, 40)

Resol problemes senzills

19 Avui és 15 de març és dilluns. Quin dia de la setmana serà 15 de maig?

20 El producte de dos nombres diferents de la unitat és 77. Quina és la seva diferència?

21 El producte de tres nombres diferents de la unitat és 75. Quina és la seva suma?

22 Cerca el nombre més petit de manera que en dividir-lo entre 10 entre 12 deixi un residu de 5.

23 Una empresa embotelladora comercialitza aigua mineral amb gas sense gas, en packs amb el mateix nombre de botelles. Quantes botelles porta cada pack si un client ha retirat una comanda amb 15 botelles d’aigua sense gas 12 d’aigua amb gas?

24 A la pastisseria han tret dues safates, una amb 18 dònuts de sucre l’altra amb 24 dònuts de xocolata. Han envasat uns altres en caixes amb el mateix nombre d’unitats, però sense mesclar ambdós en la mateixa caixa. Quantes creus que n’han omplert?

25 A l’estació de metro de Legazpi, a Madrid, han aturat a les 15 h 45 min dos trens, un a cada andana. A causa d’una incidència, la freqüència del servei ha estat afectada s’aturen cada 18 min a l’andana en direcció a Villaverde Alto cada 24 min en direcció a Moncloa. A quina hora tornaran a coincidir?

26 Problema resolt

Estudia els casos possibles comprova quins compleixen les condicions del problema La caixa d’un supermercat, per poder disposar de canvi, obre amb uns quants cartutxos de deu monedes d’1 € El caixer fa el compte i observa que es podrien empaquetar, també, en cartutxos de quinze. Quantes monedes hi ha si són més de 100 però menys de 150?

El nombre de monedes és un múltiple comú de 10 i de 15 i, per tant, del seu mínim comú múltiple: mín. c. m. (10, 15) = 30

Els múltiples comuns de 10 i 15 són:

30 - 60 - 90 - 120 - 150 - … L’únic que està entre 100 150 és 120. Solució: A la caixa hi ha 120 monedes d’1 €

27 Julio té una bossa de cromos de Harry Potter. S'adona que pot agrupar-los en paquets de 6 cromos de 10 cromos. Quants cromos té si són més de 200 i menys de 230? Quants paquets li sortirien de 6? I de 10?

Pensa una mica més

28 En una classe de 1r d’ESO, es poden fer equips mixtos de 8 al·lotes i al·lots, sense que en sobri ni en falti cap. D’altra banda, el nombre d’al·lots és una mica menor que el d’al·lotes, encara que ambdós sexes estan equilibrats, i ni ells ni elles es poden dividir en grups de menor mida. Què pots dir si tens en compte que, en total, són menys de trenta?

29 Les dimensions del pati d’un institut són 60 m x 96 m. A la festa de fi de curs es realitzarà una performance, per això, s’ha de dividir en quadrats iguals amb un màxim de 25 m de costat. Quant pot mesurar el costat de cada quadrat?

30 Una botiga de còmics renova el seu merchandising. Ha gastat 300 € en tasses amb dissenys anime, i altres 300 € en tassons de superherois. Cada tassa costa 1 € més que un tassó, i han comprat 15 tassons més que tasses. Quantes tasses quants tassons han adquirit?

31 En un lloc de la platja, es venen polseres a 24 € la unitat, en un altre, camises a 45 € De cara al futur, els venedors es plantegen diversificar l’oferta un dia decideixen intercanviar el gènere. Com haurien de fer el canvi perquè sigui just?

32 En una escola de bàsquet hi havia 20 equips. A causa d’una retallada de pressupost, s’han suprimit quatre equips i han distribuït els seus membres entre els altres. Així, cada equip ha augmentat en dos elements. Quants jugadors i jugadores hi ha en total?

33 Na Vera, que té una col·lecció de gairebé 100 figures manga, pensa: Si les agrup en dotzenes, me’n sobren tres, però si en tengués una més, podria agrupar-les exactament de 10 en 10.

• Quantes figures té?

Autoavaluació. Podràs comprovar, mentre resols les activitats que se’t proposen, si el teu aprenentatge és el desitjat.

Autoavaluació

Què has après?

1 Explica les circumstàncies que feren necessari el sistema mètric decimal.

2 Indica la unitat adequada, en cada cas, per mesurar aquestes magnituds:

a) L’amplada d’un camp de futbol.

b) El gruix d’un full.

c) La capacitat d’un flascó de perfum.

d) El pes de la càrrega d’un camió.

3 Copia i completa al teu quadern.

a) 5,2 km = … hm

b) 18 hm = … m

c) 0,07 m = … cm

d) 345 mm = … cm

4 Expressa en forma complexa.

a) 2 537 m

b) 35,42 daL

c) 0,856 kg

d) 2 348 mm

5 Quanta aigua hi ha al bidó del platet dret de la balança?

46 cL 2 L 5 dL ? L 25 g

6 Expressa en forma incomplexa.

a) 3 hm 8 dam 4 m 5 dm

b) 5 L 6 dL 7 cL

c) 5 kg 7 dag 8 g

7 Copia i completa al teu quadern.

a) 5 hm2 = … ha

b) 3,5 hm2 = … m2

c) 3 450 mm2 = … cm2

8 Passa a forma incomplexa.

a) 2 km2 15 hm2 23 dam2 = … m2

b) 35 m2 12 dm2 9 cm2 = … dm2

9 Quant pesarà la cassola amb tapa?

0,09 kg 250 g

10 Calcula.

a) (3 hm 5 dam 6 m) + (2 dam 5 m 8 dm)

b) (3 L 4 dL 5 cL ) – (8 dL 5 cL 3 mL )

11 Opera.

a) (3 km 8 hm 5 m) · 4

b) (5 m2 14 dm2 25 cm2) · 8

12 Quants grams pesa un decilitre d’aigua?

1 dL ¿g?

13 Un contenidor transporta 8 palets. Cada palet porta 60 caixes cada caixa, 75 paquets, cadascun amb una pastilla de 250 grams. Quantes tones pesen totes les pastilles?

14 Una garrafa que conté 5 L té un petit forat pel qual perd una gota d’aigua per segon. Si estimam que el volum d’una gota és de 0,05 mL, s’haurà buidat al cap d’un dia?

15 S’ha embalat amb roba de sac un fardell amb forma de cub de mig metre d’aresta.

Quanta roba o tela s’ha necessitat, tenint en compte que les solapes i els sobrecosits se’n duen un 50 % més del que queda a la vista?

Resol

Reunir informació sobre les unitats de mesura anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

Recorda la proposta que et fèiem en iniciar la unitat. Com a opció, pots resoldre el següent, o prendre-ho com a exemple per al teu treball.

Mesures de longitud tradicionals del sistema anglosaxó SMD

A Anglaterra, entre altres coses, s’utilitzaven les següents unitats per mesurar longituds. Algunes encara s’utilitzen, com les milles, les iardes les polzades, altres en la literatura els contes, com les set llegües de «Polzet».

Moltes d’aquestes, com a gairebé totes les cultures, sorgeixen arran de les mesures corporals, inicialment un tant inexactes i, després, fixades com a invariants.

• 1 polzada (in) = 2,54 cm

• 1 peu (ft) = … in = 30,48 cm

• 1 iarda (yd) = 3 ft = … m

• 1 milla (mi) = … yd = 1,609 km

• 1 llegua = 3 mi ≈ … km

La braça, per mesurar la profunditat de la mar. Segurament ho hauràs vist a pel·lícules de pirates: quan el vaixell navega per aigües poc profundes, un mariner llança una corda amb nusos fermada a una pedra. I avisa del nombre de nusos que s’enfonsen. La distància entre dos nusos és una braça.

1 braça = … peus = 1,83 m

Altres unitats que també ens sonen

Per mesurar líquids. Segurament has sentit parlar en pel·lícules angleses dels galons de benzina que caben al dipòsit d’un cotxe, als telenotícies del preu del barril de petroli.

1 pinta (pt) = 0,57 L 1 galó (gal) = 8 pt ≈ .............. L

1 barril = 35 gal ≈ ................... L

Avança sol o en equip

Per mesurar superfícies. També recordaràs alguna pel·lícula de l’oest en què, per indicar la mida d’un camp o d’un ranxo, es parla d’«acres».

1 acre (ac) = 4 047 m² → 1 hectàrea (ha) ≈ .................. ac

Per mesurar pesos. En temps dels teus avis, per comprar una rajola de xocolata, que tenia un pes fix, es demanava «mitja lliura» que venia dividida en vuit pastilles (unces).

I per berenar els donaven una unça. Les lliures i les unces encara apareixen en alguns contes infantils.

1 lliura (lb) = 16 oz = 453,6 g

1 unça (oz) ≈ ................................ g

• Reunir informació sobre la forma en què s’anuncia la mida de televisors, ordinadors portàtils, monitors…, expressar-les, també en el SMD.

• Triar dos o tres models, prendre, amb una cinta mètrica, les seves mesures en centímetres, al llarg, a l’ample en diagonal. calcular la seva superfície.

• Relacionar els dos punts anteriors.

Les unitats es tanquen amb el plantejament de la situació d’aprenentatge, que pot ampliar-se amb els suggeriments de l’apartat Avança sol o en equip.

Molt més que mates

Al final de cada bloc trobaràs la secció Molt més que mates, amb lectures, consells, informacions i curiositats sorprenents.

MOLT MÉSQUEMATS MOLT MÉSQUEMATS

EL REPARTIMENT EGIPCI

La solució del problema en El papir de Rhind (veure pàgina 105), per repartir quatre pans entre set persones, suposa que el repartiment es feia de la següent forma, en la qual només s’utilitzaven fraccions unitàries.

• Es repartien els pans per la meitat, cadascun n’agafava mig 2 1 bl sobrava mig pa.

• El mig sobrant es dividia en set parts (catorzens) cadascun n’agafava una 14 1 bl

És a dir, cadascun rebia 2 1 14 1 + de pa. Com repartiríes, pel mateix sistema, dos pans entre tres persones? Què li tocaria a cadascuna?

MESURES I CONTES

• En alguns contes llegendes apareixen les botes de set llegües. Eren màgiques i amb elles es podien recórrer grans distàncies. Tenint en compte la informació relativa a les mesures tradicionals, en la Situació d’aprenentatge plantejada al final de la unitat 6, quants quilòmetres eren set llegües?

• Coneixes el llibre de Jules Verne Vint mil llegües de viatge submarí? Quina era la longitud d’aquest

MESURES I DITES POPULARS

• Hauràs sentit alguna vegada l’expressió «ficar-se en camisa d’onze vares».

– Quants metres són onze vares?

– Quin és el significat d’aquesta expressió?

• Una altra expressió deia «més val unça de talent que lliura de ciència». Informa’t explica el seu significat.

FRACCIONS

I PROBABILITATS

La possibilitat que ocorri un succés que depèn de l’atzar es pot expressar amb una fracció. Per exemple, en llançar una moneda, la probabilitat que surti cara és de 2 1

No obstant això, no sempre és tan senzill. Suposa ara que es tiren dues monedes i observa com raonen en Manel i na Cristina.

així raona en manel

Hi ha tres casos possibles.

• Surten dues cares → guanya

• na cristina

Probabilitats: En Manel → 3 1 na Cristina → 3 1 Els dos tenim les mateixes possibilitats!

Jo guanyo si surten dues cares.

així raona na cristina

Hi ha quatre casos possibles.

1ª moneda 2a moneda

Guany si surt una cara una creu.

C C C + + C + + → guanya en manel → guanya na cristina

→ guanya na cristina

→ no guanya ningú

Probabilitats: en Manel → 4 1 na Cristina → 4 2 = 2 1

Jo tenc el doble de possibilitats que en Manel!

Quin dels dos creus que té raó? Per comprovar-ho, llança dues monedes vint vegades, anota els resultats comprova si donen la raó a en Manel o a na Cristina.

CALCULAR DISTÀNCIES MESURANT EL TEMPS

• Si comptes els segons que està en arribar un tro des que veus el llampec, pots saber la distància a la qual ha caigut el llamp.

Com la llum és rapidíssima (300 000 km/s), es pot considerar que el llampec arriba en el mateix moment en què es produeix. No obstant això, el tro és més lent, ja que viatja a la velocitat del so (331 m/s), és a dir, aproximadament 1 km cada 3 segons.

Així, per exemple, si el tro tarda 15 s, vol dir que ha recorregut una distància de 15 3 = 5 km. És a dir, la tempesta és a uns 5 km.

• Utilitzant un mètode similar però més sofisticat, el sonar permet als submarins bandejar els accidents del fons del mar o localitzar naus.

El sonar llança ultrasons que es propaguen per l’aigua, xoquen amb un obstacle, reboten tornen.

Tenint en compte el temps que es torben a tornar, el dispositiu calcula la distància reflecteix les dades en una pantalla.

Descobreix-ne més!

ESO Matemàtiques

Entorn digital

Què és?

Com és?

Què aporta?

Recursos destacats de l’entorn digital

Què és?

1

És una eina pedagògica que utilitza el llibre imprès com a referent. Proporciona igualtat d’oportunitats als estudiants en complir amb els requisits d’accessibilitat i de les pautes DUA. Es fonamenta en tres objectius bàsics:

Oferir el llibre de l’alumnat amb alternatives d’accessibilitat.

2

Generar un projecte veritablement inclusiu.

MULTIDISPOSITIU

Visualitza-ho a qualsevol dispositiu, mida i resolució.

3

l’alumnat en cada necessitat i cada ocasió.

TRAÇABLE I ACCESSIBLE

Amb recursos i activitats accessibles i traçables en EVA o LMS.

INTUÏTIU

Fàcil navegació i personalització del contingut.

COMPATIBLE

Amb tots els sistemes operatius, entorns virtuals d’aprenentatge i la majoria de plataformes educatives.

Com és?

L’entorn digital de l’alumnat

1

Reprodueix el llibre imprès i permet marcar, dibuixar… És una a eina

Està enriquit amb recursos contextualitzats al contingut o l’activitat als quals donen suport, concebuts per diversitat i amb accessibilitat.

En aquestes altres, les quantitats són, clarament, aproximades.

a entendre si es tracta d’una cosa o de l’altra.

Per què s’utilitzen quantitats aproximades?

Utilitzam nombres aproximats amb molta més freqüència de la que som conscients. Ho feim per un d’aquests motius: Desconeixem la quantitat exacta. Per exemple: Quina distància he recorregut avui en el meu entrenament? No conec la quantitat exacta però podria dir: «més de 12 km», o bé «entre 12 13 km», o bé «12 400 m». En aquest darrer cas, encara que no ho diguem, s’entén que poden ser 100 m més o menys.

• Encara que coneixem la quantitat exacta, no consideram necessari o convenient donar-la amb tota precisió. Per exemple: Si algú guanya 30 458,24 € a l’any, probablement quan comenti el seu sou dirà, simplement, que és de 30 000 euros. El nombre de visitants a un museu en el darrer any ha estat 38 148 persones (es coneix amb exactitud per les entrades venudes). No obstant això, en donar la notícia a la premsa, seria raonable dir que han estat «quasi quaranta mil» o bé «trenta-vuit mil».

Nombre de xifres significatives

Les estimacions que fem en la vida corrent, sense ànim que siguin molt precises, tenen una o, com a molt, dues xifres significatives: «aquestes cases costen quatre-cents vint mil euros»

Una quantitat donada amb tres xifres «afina» molt. Només en la ciència es necessiten precisions de quatre o més xifres.

Xifres significatives

L’altura a la qual vola un avió es pot expressar de diverses formes (ens fixam en el nombre de xifres que utilitzam en cada cas):

9 km → només una xifra

9,2 km → dues xifres

9 200 m → quatre xifres (o, potser, només dues?)

9 246 m → quatre xifres

Està clar que com més xifres s’utilitzen, amb més precisió s’està donant la mesura. Però, a vegades, no és convenient donar-ne massa: és raonable que l’altura d’un avió es doni afinant fins als metres?

Fixem-nos ara en la mesura 9 200 m. Es vol afinar fins als «metres» o només fins als «centenars de metres»? Molt probablement sigui això darrer i, en aquest cas, els dos zeros finals no són xifres significatives

S’anomenen xifres significatives a aquelles amb les quals s’expressa un nombre aproximat. Només s’han d’utilitzar aquelles l’exactitud de les quals ens consti.

Els zeros del final d’un nombre no són xifres significatives si només s’han utilitzat per poder expressar la quantitat en la unitat desitjada (9 200 m en lloc de 92 centenars de metres).

Si el nombre està donat en notació científica, les xifres significatives són les que apareixen en el nombre decimal que multiplica la potència de base 10.

3,4 · 105 —⟶ 2 xifres significatives. Només controlam fins al 4.

3,40 · 105 —⟶ 3 xifres significatives. Asseguram que la xifra posterior a 4 és un 0.

Control de l’error comès

Incorpora un accés directe a l’àrea privada de l’alumnat, que inclou continguts transversals.

Potencia l’aprenentatge més enllà del llibre imprès. Inclou un espai que amplia les capacitats del llibre i ofereix eines assistides per IA per reforçar i avaluar l’adquisició dels sabers essencials:

És clar que quan donam una mesura aproximada estam cometent un error, que consisteix en la diferència, en valor absolut, entre el valor exacte (o real) i el valor aproximat. S’anomena error absolut

Error absolut = |Valor real – Valor aproximat|

En general, l’error absolut és desconegut (perquè no coneixem el valor real), però pot controlar-se.

Per exemple, en donar l’altura de l’avió, 9,2 km, podem saber que l’error comès és menor que 0,05 km = 50 m, ja que si es dona 9,2 és perquè està més a prop d’aquesta mesura que de 9,1 i que de 9,3.

No és el mateix cometre un error de 50 m en mesurar l’altura d’un avió, que en mesurar l’altura d’un edifici o l’altura d’un satèl·lit. Per això es defineix l’error relatiu com el quocient entre l’error absolut i la mesura exacta.

Error relatiu =  Valorrea Errorabsolut

Igual que l’error absolut, l’error relatiu també és, quasi sempre, desconegut. Per controlar-lo, s’hauria de donar una cota del mateix. No obstant això, en aquest curs no ho farem, ens conformarem amb saber que com mésxifres significatives s’utilitzin per donar la mesura aproximada, menor és l’error relatiu comès

Practica!: Més de 500 activitats interactives que consoliden l’aprenentatge dels sabers fonamentals i permeten practicar de forma progressiva.

Posa’t a prova: un entorn d’autoavaluació que mesura el progrés de l’alumnat i proporciona al professorat dades precises sobre l’acompliment individual.

Desafiaments adaptatius: propostes diferenciades segons el nivell d’avanç, juntament amb tècniques d’estudi per superar dificultats detectades.

L’entorn digital del professorat

Aporta una solució integrada:

Continguts i aplicacions amb totes les eines i recursos contextualitzats.

Aplicacions i propostes per a un suport integral a la tasca docent.

Xifres significatives

En aquestes altres, les quantitats

altres el context ens ajuda a entendre si es tracta d’una cosa o de l’altra. Per què s’utilitzen quantitats aproximades?

Utilitzam nombres aproximats amb molta més freqüència de la que som conscients. Ho feim per un d’aquests motius:

• Desconeixem la quantitat exacta. Per exemple: Quina distància he recorregut avui en el meu entrenament? No conec la quantitat exacta però podria dir: «més de 12 km», o bé «entre 12 13 km», o bé «12 400 m». En aquest darrer cas, encara que no ho diguem, s’entén que poden ser 100 m més o menys.

• Encara que coneixem la quantitat exacta, no consideram necessari o convenient donar-la amb tota precisió. Per exemple:

Si algú guanya 30 458,24 € a l’any, probablement quan comenti el seu sou dirà, simplement, que és de 30 000 euros.

El nombre de visitants a un museu en el darrer any ha estat 38 148 persones (es coneix amb exactitud per les entrades venudes). No obstant això, en donar la notícia a la premsa, seria raonable dir que han estat «quasi quaranta mil» o bé «trenta-vuit mil».

Nombre de xifres significatives

Les estimacions que fem en la vida corrent, sense ànim que siguin molt precises, tenen una o, com a molt, dues xifres significatives: aquestes cases costen quatre-cents vint mil euros»

Una quantitat donada amb tres xifres «afina molt. Només en la ciència es necessiten precisions de quatre o més xifres.

Error absolut de la mesura 9,2 km: 0,05 km

L’error relatiu no té magnitud, és només un nombre que reflecteix una relació. 0,05 0,05 9,1 9,15 9,2 9,25 9,3

Error relatiu = 0,05/9,2 = 0,0054

És a dir: 0,54 %

L’altura a la qual vola un avió es pot expressar de diverses formes (ens fixam en el nombre de xifres que utilitzam en cada cas):

9 km → només una xifra

9,2 km → dues xifres

9 200 m → quatre xifres (o, potser, només dues?)

9 246 m → quatre xifres

Està clar que com més xifres s’utilitzen, amb més precisió s’està donant la mesura. Però, a vegades, no és convenient donar-ne massa: és raonable que l’altura d’un avió es doni afinant fins als metres?

Fixem-nos ara en la mesura 9 200 m. Es vol afinar fins als «metres» o només fins als «centenars de metres»? Molt probablement sigui això darrer i, en aquest cas, els dos zeros finals no són xifres significatives

S’anomenen xifres significatives a aquelles amb les quals s’expressa un nombre aproximat. Només s’han d’utilitzar aquelles l’exactitud de les quals ens consti.

Els zeros del final d’un nombre no són xifres significatives si només s’han utilitzat per poder expressar la quantitat en la unitat desitjada (9 200 m en lloc de 92 centenars de metres).

Si el nombre està donat en notació científica, les xifres significatives són les que apareixen en el nombre decimal que multiplica la potència de base 10.

3,4 · 105 —⟶ 2 xifres significatives. Només controlam fins al 4.

3,40 · 105 —⟶ 3 xifres significatives. Asseguram que la xifra posterior a 4 és un 0.

Control de l’error comès

És clar que quan donam una mesura aproximada estam cometent un error, que consisteix en la diferència, en valor absolut, entre el valor exacte (o real) el valor aproximat. S’anomena error absolut Error absolut = |Valor real – Valor aproximat|

En general, l’error absolut és desconegut (perquè no coneixem el valor real), però pot controlar-se.

Per exemple, en donar l’altura de l’avió, 9,2 km, podem saber que l’error comès és menor que 0,05 km = 50 m, ja que si es dona 9,2 és perquè està més a prop d’aquesta mesura que de 9,1 que de 9,3. No és el mateix cometre un error de 50 m en mesurar l’altura d’un avió, que en mesurar l’altura d’un edifici o l’altura d’un satèl·lit. Per això es defineix l’error relatiu com el quocient entre l’error absolut la mesura exacta.

Error relatiu =  Valorrea Errorabsolut

Igual que l’error absolut, l’error relatiu també és, quasi sempre, desconegut. Per controlar-lo, s’hauria de donar una cota del mateix. No obstant això, en aquest curs no ho farem, ens conformarem amb saber que com mésxifres significatives s’utilitzin per donar la mesura aproximada, menor és l’error relatiu comès

Un únic registre dona accés al llibre digital i a totes les eines i recursos inclosos a l’àrea privada del professorat.

Llibre digital per al professorat amb:

La versió del llibre digital de l’alumnat.

Recursos propis del docent.

Proposta didàctica integrada.

Accés directe als principals recursos i eines de l’àrea privada.

c) |–4 + (–3) · 2 + 5| – 2 · |3 – |4 – 5||

Proposta didàctica

PROPOSTES METODOLÒGIQUES

L’epígraf comença presentant alguns exemples que pretenen mostrar la necessitat de simplificar l’expressió d’algunes quantitats molt grans:

— El primer pas cap aquesta simplificació és l’arrodoniment a un ordre d’unitats adequat.

— Un pas més en aquesta direcció serà adoptar la notació científica, amb ajuda de les potències de base 10.

L’objectiu ara serà que els estudiants siguin capaços d’interpretar i escriure nombres expressats en notació científica. El docent pot proposar activitats en les quals s’observi l’ús de lanotació científica en contextos reals (per exemple, les distàncies dels planetes al Sol, en metres i en quilòmetres, variant l’exponent de base 10). Es contrastarà la notació científica d’aquestes quantitats amb la seva expressió amb totes les xifres, ressaltant els avantatges

Àrea privada

Generadors de fitxes d’atenció a la diversitat i de proves d’avaluació assistits per IA. Programació.

Plans transversals i d’inclusió.

Programes per al desenvolupament del talent, la comprensió lectora i el pensament crític.

Projectes interdisciplinaris.

Kits de metodologies actives i d’instruments d’avaluació.

Taula de seguiment: representació gràfica del progrés de l’alumnat. Facilita el diagnòstic i genera informes de progrés.

Què aporta?

ACCESSIBILITAT

El nostre entorn digital incorpora àmplies alternatives d’accessibilitat que permeten a tot l’alumnat l’accés al desenvolupament de la sessió amb igualtat d’oportunitats.

A aTIPOGRAFIA LLEGIBLE

Tipografies i cossos de lletra accessibles.

MODE DE LECTURA

pàgina o de dues.

ESTRUCTURA DE LA PÀGINA

Per facilitar la lectura.

NAVEGACIÓ INTEL·LIGENT

Facilita la comprensió, navegació i percepció de l’entorn digital.

Permet l’ampliació que requereixi

COLOR I CONTRAST

Colors i contrastos accessibles.

NAVEGACIÓ PER TECLAT

Adaptat per a una navegació per teclat. A-Z

LECTOR DE PANTALLA

Preparat per a lectors de pantalla.

FINESTRES DESCRIPTIVES

Textos alternatius a les imatges.

La versió digital del llibre de l’alumnat amplia les possibilitats d’atenció a la diversitat que proporciona la versió impresa, posant l’accent en els principis de les pautes DUA (disseny universal d’aprenentatge) i oferint recursos i activitats que adeqüen el projecte als diferents perfils dels estudiants i els proporcionen ajuda durant el procés d’aprenentatge.

iP

INCLUSIÓ

Què aporta?

Recursos i solucions per a cada situació, per a cada necessitat

MESURAR EL PROGRÉS, AVALUAR

Més de 20 proves d’avaluació per curs

Generador de proves d’avaluació.

Posa’t a prova

Una taula de seguiment.

Kit d’instruments d’avaluació.

GUIAR

assistit per IA

Més de 150 fitxes d’atenció a la diversitat per curs.

Generador d’activitats imprimibles

assistit per IA

Per a cada saber essencial, més de 10 suggeriments de tècniques d’estudi i tasques.

Programa per al desenvolupament del talent, amb 3 projectes per cicle.

Programa per al desenvolupament de la comprensió lectora.

Programa per al desenvolupament del pensament crític i un pla per Aprendre a aprendre amb tècniques d’estudi.

Kit de materials per a la inclusió.

ENTRENAR I REPASSAR

Practica!, que prioritza l’aprenentatge dels sabers fonamentals.

07

Mesurar el progrés, avaluar

Guiar l’alumnat en el seu aprenentatge

Planificar, gestionar i acompanyar

Preparar la sessió de classe

RECURSOS

I SOLUCIONS

PER A CADA SITUACIÓ, PER A CADA NECESSITAT

01 02 03 04 05

Entrenar, repassar

Conèixer, comprendre

Desenvolupar la sessió de classe

PLANIFICAR, GESTIONAR I ATENDRE EL BENESTAR

Programació didàctica i d’aula.

Taula de seguiment.

Un entorn digital integrat, senzill i amb registre únic.

Kit de comunicació amb les famílies.

Pla TIC TAC de benestar digital.

PREPARAR

LA SESSIÓ DE CLASSE

Proposta didàctica digital.

Possibilitat de vincular enllaços a l’entorn digital per personalitzar el contingut.

Més de 90 tècniques de pensament i d’aprenentatge cooperatiu, amb vídeos per planificar la implementació de metodologies actives.

DESENVOLUPAR LA SESSIÓ DE CLASSE

Àmplies solucions d’accessibilitat.

Multitud i diversitat de recursos per activar, motivar, exposar i aplicar metodologies actives.

CONÈIXER I COMPRENDRE

Més de 150 recursos per curs basats en la metodologia amb microaprenentatges (vídeos, àudios, infografies i textos) de cada saber fonamental, per curs i matèria a Com vols que t’ho conti.

Vídeos, àudios, presentacions per aprendre a observar la natura, aprendre a cuidar-se, aprendre amb la il·lustració, galeries d’imatges, etc.

Projectes interdisciplinaris.

Recursos destacats de l’entorn digital

Recursos imprimibles

Atenció a la diversitat

Per a cada matèria i curs:

Més de 150 fitxes d’atenció a la diversitat, amb propostes:

• d’adaptació al currículum,

• de reforç,

• d’aprofundiment.

3 Projectes del Programa per al desenvolupament del talent.

Generador d’activitats imprimibles assistit per IA.

Recursos per treballar la transició entre etapes i cursos.

Per a cada un dels 30 a 50 sabers essencials del curs, més de 10 suggeriments de tècniques d’estudi i tasques que afavoreixin el seu aprenentatge significatiu.

GENERADOR D’ACTIVITATS

IMPRIMIBLES

ASSISTIT PER IA

Avaluació

Per a cada matèria i curs:

Més de 20 proves d’avaluació per matèria i curs.

• 2 avaluacions multinivell per unitat.

• Més de 6 proves d’avaluació competencial per curs.

Un generador de proves d’avaluació assistit per IA.

Més de 50 instruments d’avaluació per fomentar l’avaluació formativa i la reflexió sobre el procés d’ensenyament i aprenentatge.

Programació

Una proposta de programació didàctica i d’aula.

Assistència a la pràctica educativa

Pla d’inclusió i atenció a la diversitat:

Plans transversals:

de la informació la comunicació (TIC) són eines que ens ajuden a realitzar diverses tasques. Inclouen màquines tecnologies. Com són les TIC?

- Materials per a la inclusió.

- Comunicació amb les famílies.

- Pla TIC TAC per al benestar digital.

- Pla lingüístic.

Dispositius mòbils Altres

Apps Abreviatura per la qual es coneixen les aplicacions per a dispositius mòbils, el software especial per aquest tipus de dispositius.

Internet Xarxa informàtica mundial que connecta multitud d’ordinadors utilitzant un protocol especial de comunicació, com l’HTTP, l’FTP, el POP... TAC Acrònim pel qual es coneixen les Tecnologies de la Informació la Comunicació per a l’Aprenentatge.

Bluetooth Tecnologia basada en les senyals de ràdio que permet la comunicació entre dispositius (telèfons mòbils, auriculars, tauletes, rellotges d’activitat, etc.) a curt abast; és dir, quan estan prop encara que hi hagi obstacles pel mig. Ordinadors o computadores

Wifi Tecnologia basada en senyals de ràdio que, igual que el bluetooth, permet la connexió sense fils entre dispositius electrònics a curt abast sense que hi hagi «enllaç directe». Pot transmetre molta informació, per la qual cosa s’utilitza per connectar dispositius electrònics a internet, formant una xarxa.

Kit d’instruments d’avaluació.

Kit de metodologies actives:

- Kit de tècniques d’aprenentatge cooperatiu.

- Kit de tècniques de desenvolupament del pensament.

- Pla de tècniques d’estudi.

- Projectes interdisciplinaris.

Àrea de suport a la tasca docent:

- Programa per al desenvolupament del talent.

- Programa per al desenvolupament de la comprensió lectora i pla lector.

- Programa per al desenvolupament del pensament crític.

Recursos destacats de l’entorn digital

Recursos digitals

Per a cada matèria i curs:

Com vols que t’ho conti

RECURSOS

Més de 150 recursos multiformat anomenats Com vols que t’ho conti, compostos per un vídeo, una infografia, un àudio i un resum d’idees clau i dissenyats per facilitar l’aprenentatge dels sabers essencials mitjançant la metodologia coneguda com microlearning.

Activitats interactives

Més de 500 activitats, especialment dissenyades per prioritzar l’aprenentatge dels conceptes essencials del curs.

Recursos dinamitzadors, d’ampliació…

• Entre 6 i 9 àudios detonants motivadors, un per unitat.

• Entre 6 i 9 presentacions per activar coneixements previs.

• Més de 50 presentacions de les il·lustracions del mètode. presentacions amb imatges o vídeos d’ampliació.

Una empresa fabrica 2 062 auriculars al dia. Aquests es distribueixen en safates de 12 estoigs s’empaqueten en caixes de 3 safates. Si les despeses setmanals de l’empresa són de 13 840 € quins guanys va tenir en una setmana si va vendre a 432 €

Quants estoigs quedaren sense empaquetar?

En una cavalcada, una companyia de dansa calcula que si organitzés els seus integrants en files de 8, de 10

Auriculars fabricats en una setmana → 2 062 · 7 = 14 434 Estoigs en una caixa → 12 · 3 = 36 Nombre de caixes completades → 14 434 : 36 = 400 (completes) (I queda un resta de 14 434 – 36 · 400 = 34 estoigs). En una divisió entera es compleix D = d · C + R és a dir, 14 434 = 36 · 400 + 34. Ingressos per la venda de les caixes → 400 · 432 = 172 800 €

Guany = ingressos – despeses → 172 800  –  13 840 = 158 960 € a) L’empresa va tenir uns guanys de 158 960 € b) Sobraren 34 estoigs.

recaptació s’obté a caixa, si tenim en compte que durant el procés de manipulació es van fer malbé 13 peces?

Cada recurs Com vols que t’ho conti aborda un concepte essencial de 4 formes diferents. Proporciona alternatives per a la comprensió (d’acord amb les pautes DUA) fixant idees principals i les relacions entre elles.

RECURSOS MULTIFORMAT

Recursos destacats de l’entorn digital

Recursos digitals

Altres recursos propis de la matèria

Infografies

VÍDEOS

Àudios i vídeos

Texts, resums

Recursos que complementen i permeten treballar continguts de diverses maneres com a complement i suport del que s’ha après.

Activitats interactives

Recursos destacats de l’entorn

digital

Proposta didàctica digital

Integrada en el llibre digital.

Per a cada apartat o epígraf del llibre de l’alumnat, incorpora cinc grans seccions que inclouen referències als recursos associats

a cadascuna en el projecte digital:

• Què aprendrem?

• Propostes metodològiques

• Solucions de les activitats

• Atenció a la diversitat

• Avaluació

Els continguts estan organitzats en blocs desplegables (com pestanyes que s’obren i es tanquen), perquè es pugui localitzar la informació fàcilment sense haver de recórrer tot el document.

Dissenyada per a una impressió flexible dels continguts.

Permet imprimir:

• Seccions seleccionades de l’epígraf d’una unitat.

• Els continguts d’una mateixa secció de tots els epígrafs de la unitat

• Els continguts d’una mateixa secció de tots els epígrafs del llibre.

• La totalitat del contingut de totes les seccions.

Notació científica

manejam nombres molt grans, ens trobam amb dos inconvenients importants: Per fer-nos una idea clara de com són de grans, hem de comptar les seves xifres. Operar amb ells és molt feixuc.

La notació científica soluciona ambdós inconvenients. Anem a veure en què consisteix que útil per expressar, interpretar operar quantitats molt grans.

Per exemple: El volum de la Terra és 1 080 trilions de m 1,08 1021 m3

La distància de la Terra a l’estrella Alfa Centauri A és 40 680 000 milions de quilòmetres 4,068 1013 km.

Els nombres 1,08 · 1021 4,068 · 1013 estan escrits en notació científica.

Un nombre en notació científica consta de:

• Una part entera formada per una sola xifra diferent de zero.

• La resta de les xifres, si n’hi ha, posades com a part decimal.

• Una potència de base 10 que dona l’ordre de magnitud del nombre.

N = a b c d … 10n

part entera només una xifra diferent de zero part decimal potència entera de base 10 ordre de magnitud

L’exponent, n ens indica com de gran o petit és el nombre.

Notació científica per a nombres molt petits

També hi ha càlculs mesuraments que donen quantitats molt petites

(en el món científic, en medicina, en biologia microscòpica, etc.).

Exemples

a) Diàmetre de cert bacteri → 0,00062 mm

b) Quantitat de metalls pesants en una mostra d’aigua → 0,000000834 g

Per expressar les quantitats anteriors en notació científica, recorrem

a les potències negatives de base 10, com es mostra a continuació:

a) 0,00062 → 6,2 · 0,0001 → 6,2 · 10– 4

b) 0,000000834

Proposta didàctica

Operacions amb nombres en notació científica

PROPOSTES METODOLÒGIQUES

• Per sumar o restar nombres en notació científica, és necessari preparar els sumands de manera que tenguin tots la mateixa potència de base 10 i, així, poder treure factor comú.

|Exemple 4,73 · 107 – 7,5 · 10 = 47,3 · 106 – 7,5 · 10  = (47,3 – 7,5) · 106 = = 39,8 · 106 = 3,98 · 107 Per multiplicar o dividir nombres en notació científica, actuarem de forma natural, tenint en compte que cada nombre està format per dos factors: la part decimal la potència de base 10.

L’epígraf comença presentant alguns exemples que pretenen mostrar la necessitat de simplificar l’expressió d’algunes quantitats molt grans:

|Exemples a) (4,73 · 10 ) · (7,5 · 105) = (4,73 · 7,5) · 107 + 5 = 35,475 · 1012 = 3,5475 · 1013 b) 75 10 473107 – = (4,73 : 7,5) · 107 – (–5) = 0,631 · 1012 = 6,31 · 1011

— El primer pas cap aquesta simplificació és l’arrodoniment a un ordre d’unitats adequat.

Exercicis resolts

1 Has d'expressar

4 782 930 663 200 en notació científica arrodonir als milers de milió.

4 782 930 663 200 → Arrodoniment: 4 783 000 000 000 4 783 000 000 000 = 4,783 · 1 000 000 000 000 Expressió en notació científica → 4,783 · 1012

— Un pas més en aquesta direcció serà adoptar la notació científica, amb ajuda de les potències de base 10.

2 S'hRealitzar aquestes operacions expressar el resultat en notació científica:

a) 23,5 · 10 4 + 123,7 · 10  b) 6 284 · 10 –5 – 329 · 10 –4 c) 0,012 · 10 3 + 172 · 10 –1

ACTIVITATS

arrodoneix a les desenes de milió.

6 Opera posa el resultat en notació científica. a) 7,25 · 104 – 5,83 · 104 b) 7,25 · 109 + 5,83 · 109 c) 7,25 · 109 + 2,1 · 108 d) 4,73 · 107 – 7,5 · 106 e) 1,8 · 109 + 2,25 · 108 f) (2,5 · 10–7) · (8 · 10–3) g) (3,4 · 109) : (5 · 10 )

7 Realitza les següents operacions expressa el resultat en notació científica: a) 234 · 103 + 5 231 · 102 b) 42,81 · 10–5 – 3 450 · 10–7 c) 1,592 · 104 + 2 561 d) 0,127 · 10 – 248 · 10–3 8 En 18 grams d’aigua (H2O) hi ha 6,022 · 1023 molècules elementals (nombre d’Avogadro).

a) Quantes molècules elementals hi ha en un gram d’aigua?

L’objectiu ara serà que els estudiants siguin capaços d’interpretar i escriure nombres expressats en notació científica. El docent pot proposar activitats en les quals s’observi l’ús de lanotació científica en contextos reals (per exemple, les distàncies dels planetes al Sol, en metres i en quilòmetres, variant l’exponent de base 10). Es contrastarà la notació científica d’aquestes quantitats amb la seva expressió amb totes les xifres, ressaltant els avantatges

b) Quina és la massa d’una molècula elemental d’aigua?

51 50

ESO

Descobreix-ne més!

Matemàtiques

Annex de mostres

Fitxes d’atenció a la diversitat

Proves d’avaluació

Programació

ILLES BALEARS

Les pàgines següents ofereixen una petita mostra dels recursos imprimibles i els que es poden crear amb els generadors del projecte.

Fitxes d’atenció a la diversitat

El projecte ofereix fins a 400 fitxes d’atenció a la diversitat. Per a cadascun dels fins a 50 sabers essencials que es treballen en la matèria durant un curs.

• 2 o 3 fitxes d’exercitació mitjançant diferents estratègies (treball manipulatiu, repàs lúdic…).

• Una fitxa d’aprofundiment competencial.

• Una fitxa per adaptar el currículum.

I la possibilitat d’elaborar propostes d’activitats adaptades a les necessitats de l’aula mitjançant el generador de fitxes assistit per IA.

Proves d’avaluació

Programació

El projecte presenta fins a 20 proves d’avaluació per curs:

• 2 avaluacions multinivell per a cada unitat o situació d’aprenentatge.

• Avaluacions inicials.

• Avaluacions finals.

I la possibilitat d’elaborar propostes d’avaluació adaptades a les necessitats de l’aula mitjançant el generador de proves assistit per IA.

Amb les Programacions d’aula i la Programació didàctica de cadascuna de les àrees.

Fitxes per Adaptar el currículum

Dissenyades per donar resposta a l’alumnat amb necessitats específiques de suport educatiu (ACNEAE).

Per a la seva elaboració, s’han realitzat adaptacions metodològiques que fan accessibles els elements del currículum sense renunciar a cap contingut, evitant així una adaptació curricular significativa:

• Explicacions teòriques que motiven la tasca i recursos visuals que afavoreixen l’aprenentatge.

• S’empren enunciats curts.

• Es ressalten els verbs d’acció en els enunciats.

• Es ressalten algunes paraules que puguin ajudar a millorar la comprensió de la pregunta (poden ser conceptes o paraules clau).

• S’utilitza un vocabulari senzill.

• S’estructuren els espais fer més clar allò que s’exposa.

NOM: DATA: CURS:

LA RELACIÓ DE DIVISIBILITAT

La relació de divisibili tat Si la divisió a : b és exacta deim que: a és un múltiple de b b és un divisor de a Vegem-ne un exemple, com que 24 = 6 4 + 0: 24 és un múltiple de 6 4 és un divisor de 24 6 és un divisor de 24

1. Comprova si són certes les afirmacions seg üents:

a. 7, 14 y 21 són múltiples de 7.

b. Els divisors de 12 són 1, 2, 3, 4, 6 i 12.

c. 6, 9 i 12 són múltiples de 3.

d. Els divisors de 13 són 1 i 13.

NOM: DATA: CURS:

NOMBRES PRIMERS I COMPOSTOS

Nombres primers i compostos

Un nombre primer només té dos divisors: ell mateix i la unitat

És a dir, quan descomponem un nombre primer en factors (factoritz am), obtenim una descomposició amb només dos factors: ell mateix i la unitat

Un nombre compost té més de dos divisors És a duir, quan descomponen un nombre compost en factors (factoritzam), obtenim una desomposició amb més de dos factors

1. Subratlla en la taula seg üent els nombre primers :

2. Esbrina si el nombre 151 és primer o compost. Justifica la resposta

© Grupo ANAYA, S.A. Material imprimible autoritzat

Solucionari. Nombres

NOMBRES PRIMERS I COMPOSTOS

1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89

2. És primer perquè només té dos divisors: ell mateix i la unitat.

• van quedar sense foradar els llocs que corresponien als nombres primers. D'aquí el nom de garbell.

• Garbellar:

1. Separar les parts menudes de les gruixudes d'una matèria: «A l'era estaven garbellant el blat».

2. Seleccionar o escollir el que interessa: garbellar una informació.

© Grupo ANAYA, S.A. Material imprimible autoritzat

Posen en pràctica els aprenentatges de la unitat. Estan dissenyades per exercitar i reforçar continguts amb estudiants sense necessitats específiques de suport educatiu mitjançant diferents estratègies (treball manipulatiu, repàs lúdic...).

NOM: DATA: CURS:

LA RELACIÓ DE DIVBISIBILI TAT

1. Observa les operacions següents completa:

a. 35 = 7 5

35 és divisible per ……………………………………

35 és múltiple de ……………………………………

7 és divisor de ………………………………………..

b. 45 = 9 5

45 és divisible per ……………………………………

45 és múltiple de ……………………………………

9 és divisor de ………………………………………..

2. Si en una classe hi ha 34 folis i en total són 12 alumnes els que faran un examen, tots els alumnes tindran 2 folis? Quants de folis sobraran?

Solucionari. Nombres

LA RELACIÓ DE DIVIS BILITAT

1. a) 35 és divisible per 7. 35 és múltiple de 7.

7 és divisor de 35. b) 45 és divisible per 9.

45 és múltiple de 9. 9 és divisor de 45.

2. Sí, tots els alumnes tindran 2 fulls. Sobraran 10 fulls.

3. 24, 120, 36, 108, 144

4. 5, 10, 2, 25

5. Perquè la divisió: 405 i 27 és exacta.

3. Cerca entre aquests nombres tots els que siguin múltiples de 12 24 120 36 108 144 65 52 25 13 102

4. Cerca entre aquests nombres tots els que siguin divisors de 50

5 3 8 10 2 25 40 30 15 9

5. Explica amb claredat: Per què 405 és múltiple de 27?

PERSONALITZABLES MITJANÇANT EL GENERADOR DE FITXES

© Grupo ANAYA, S.A. Material imprimible autoritzat

© Grupo ANAYA, S.A. Material imprimible autori zat

Fitxes d’Aprofundiment competencials

Desenvolupen activitats i metodologies per aplicar i aprofundir en l’adquisició de les competències bàsiques. Estan dissenyades per a l’alumnat que ha assolit els aprenentatges requerits i per al que presenta necessitats de suport educatiu amb altes capacitats.

NOM: DATA: CURS:

LA RELACIÓ DE DIVISIBILITAT

Mots encreuats

H o ri tzo n ta s

1. Si en dividir un nombre a entre un altre b la divisió és exacta, ambdós tenen una relació de

2. Si un nombre natural a té més de dos divisors, es diu que és

V e r tic a s

1. Si a és divisible per b, aleshore s b é s ..................................................... de a

2. Si un nombre a no té més divisores que l’1 i ell mateix, és ..................................................

3. Si a és divisible per b, aleshores és .......................................................... de b

© Grupo ANAYA, S.A. Material imprimible autoritzat

Solucionari. Nombres

LA RELACIÓ DE DIVISIBILITAT

1. Horitzontals: 1. Divisibilitat. 2. Compost Verticals: 1. Divisor. 2. Primer. 3. Múltiple

© Grupo ANAYA, S.A. Material imprimible autorizado

Proves d’Avaluació inicials i finals

Models de proves que permetran al professorat realitzar un diagnòstic del punt en què es troba l’alumnat tant al començament del curs com al final

NOM: DATA: CURS:

AVALUACIÓ INICIAL

1. Llegeix i contesta.

a. A quin nombre correspon aquesta descomposició?

1 CMM + 5 UMM + 3 CM + 6 DM + 4 D = ……………………………………………………………..

b. Escriu amb lletres el nombre anterior.

c. Escriu amb xifres aquest nombre.

Quaranta-tres milions setanta-dos mil cent sis = ………………………………….

d. Quin valor té la xifra 3 en el nombre anterior? ………………………………………….

2. Resol mentalment i ordena els resultats de menor a major.

64 530 1 000 67 842 300 : 100 6 480 000 100 675 830 000 : 1 000

3. Col·loca i calcula.

a. 228 614 + 1 236 347 + 2 653 = b. 8 119 703 – 635 681 = ……………..

4. Resol.

a. 328 601 45 = b. 94,12 : 26 = ………………………

5. Troba el mínim comú múltiple i el màxim comú divisor de 12 i 28.

Solucionari. Avaluació inicial.

1. a. 105 360 040

b. Cent cinc milions tres-cents seixanta mil quaranta.

c. 43 072 106

d. 3 000 000 unitats

(0,25 p cada apartat)

2. 675 830 < 6 784 230 < 64 530 000 < 648 000 000

(0,20 p. cada operació i 0,20 p. l'ordre)

3. a. 1 467 614

b. 7 484 022

(0,5 p cada apartat)

4. a. 14 787 045

b. 3,62

(0,5 p cada apartat)

5. Múltiples de 12 → 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84…

Múltiples de 28 → 28, 56, 84…

mín. c. m. (12, 28) = 84

Divisors de 12 → 1, 2, 3, 4, 6, 12

Divisors de 28 → 1, 2, 4, 7, 14, 28

màx. c. d. (12, 28) = 4

(0,5 p pe m n c m 0,5 p pe màx c d )

6. a. 5 5 5 = 125

b. 4 4 4 4 = 256

c. 7

d. 9

PERSONALITZABLES

© Grupo ANAYA, S.A. Material imprimible autoritzat

(0,25 p cada apartat)

© Grupo ANAYA, S.A. Material imprimible autoritzat

Proves d’Avaluació

per a cada unitat o situació d’aprenentatge

Models de proves que permetran al professorat realitzar una avaluació dels criteris i sabers bàsics que l’alumnat ha adquirit durant la realització de la situació d’aprenentatge.

Nivell 2

NOM: DATA: CURS:

DIVISIBILITAT

1. Escriu.

a. Divisors de 12.

b. Tres múltiples de 12:

2. De quantes maneres diferents es poden ordenar 24 llibres en capses amb la mateixa quantitat d'exemplars sense que en sobri cap?

3. Descompon en factors primers.

a. 84 = ……………………………………………….

b. 192 = ……………………………………………...

c. 1 260 = …………………………………………….

4. Necessito tallar dues cordes en trossos de la mateixa mida, tan llargs com sigui possible.

Una corda fa 120 metres i l'altra, 135 metres.

a. Cada tros de corda pot fer 4 metres de longitud ? Justifica la teva resposta.

b. Quant mesurarà cada tros?

© Grupo ANAYA, S.A. Material imprimible autoritzat

NOM: DATA: CURS:

DIVISIBILITAT

1. Escriu.

a. Divisors de 12.

b. Tres múltiples de 12:

2. De quantes maneres diferents es poden ordenar 24 llibres en capses amb la mateixa quantitat d'exemplars sense que en sobri cap? Quantes capses hi haurà en cada cas?

Ajuda't completant aquesta taula.

Capses 1 2 4 6 8 24 Llibres 24 8 2 1

3. Completa els nombres que falten escriu la descomposició factorial en factors primers.

a. 84 = ……………………………………………….

b. 192 = ……………………………………………...

c. 1 260 = …………………………………………….

4. Necessito tallar dues cordes en trossos de la mateixa mida, tan llargs com sigui possible.

Una corda fa 120 metres i l'altra, 135 metres.

a. Cada tros de corda pot fer 4 metres de longitud ? Justifica la teva resposta.

PERSONALITZABLES

© Grupo ANAYA, S.A. Material imprimible autoritzat

Proves d’Avaluació competencial

Aquestes proves han estat dissenyades per a l’ avaluació de les competències específiques de la matèria.

NOM: DATA: CURS:

AVALUACIÓ COMPETENCIAL

1. COTXES I MATRÍCULES

L’any 2001 es va adoptar una normativa de la UE i des d’aleshores totes les matrícules s’ordenen segons un codi compost per un nombre de quatre xifres, que comença amb el 0001 acaba amb el 0000 (equivalent al 10 000), seguit de tres lletres (tret de les vocals, la Ç i la Ñ del castellà). La família Barceló acaba de comprar un cotxe nou que té aquesta matrícula.

a. Quants de cotxes s’han matriculat fins ara que porten en la matrícula les mateixes lletres?

b. Quants de cotxes més es matricularan abans que canvi una lletra?

c. Quants de cotxes s’han matriculat, incloent el dels Barceló, des que en va comprar el seu la familia Abrines, que té la matrícula 8704 MFC?

d. Quants de cotxes es matricularan fins que apareg ui el que porti el codi 6000 MFF?

2. PER L’HIPERESPAI

La nau espacial Intrèpida VII, pilotada per la gloriosa tripulació del capità Meslluny, es troba de servei al planeta Alfa d’una estrela. Rep un avís demanant auxili des del planeta Beta, situat a 18 × 108 quilòmetres.

La Intrèpida VII emprén immediatament el viatge saltant a l’hiperespai, de manera que es mou a la velocitat de la llum (300 000 quilòmetres per segon).

a. Escriu amb totes les xifres la distància entre els planetes Alfa Beta.

b. Escriu amb lletres aquesta distància

© Grupo ANAYA, S.A. Material imprimible autoritzat

1 COTXES I MATRÍCULES

a. La numeració comença amb el 0001.

Per tant, 8 704.

b) L'últim, amb les mateixes lletres, és el 0000, que correspon a 10 000.

Per tant, 10 000 – 8 704 = 1 296.

c) 10 000

d) 1 296 + 6 000 = 7 296

2 PER L'H PERESPA

a. La distància és 1 800 000 000 km.

b. Mil vuit-cents milions de quilòmetres.

c. La nau trigarà:

1 800 000 000 : 300 000 = 6 000 s

6 000 s = (6 000 : 60) min = 100 min

És a dir, trigarà entre una i dues hores (resposta II)

3 CUBS I CUBS

a. Podem construir el cub gran capa a capa.

Una capa conté 5 5 = 25 cubets.

Cinc capes superposades fan el cub complet.

Per tant, es necessiten:

25  5 = 53 = 125 cubets

b. En retirar la capa exterior, el cub que resta conté:

3 3 3 = 33 = 27 cubets

El nombre de cubets pintats de vermell és la diferència:

125 – 27 = 98

PERSONALITZABLES MITJANÇANT EL GENERADOR DE PROVES D’AVALUACIÓ

Hi ha 98 cubets tacats de vermell.

© Grupo ANAYA, S.A. Material imprimible autoritzat

Programació

MODEL MODEL

Programació

MODEL MODEL

MODEL MODEL

Programació

MODEL MODEL

MODEL MODEL

Programació

MODEL MODEL

MODEL MODEL

Programació

MODEL MODEL