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Resolución de problemas y técnicas de conteo

Grafos, coloración y camino mínimo

y, además,

Distribuciones de probabilidad con herramientas tecnológicas

Tareas pa

d de las matemátic

rimentar la utilida ra investigar y expe

Índice EQUIPO DE AUTORÍA 1, 8 y 9 R. Roca

2 y 11 V. Montero

3, 4 Y 5 L. Sanz

6Y7 S. Requena

10, 12 Y 13 Guiomar M. Estravis

14 y 15

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

EDUCACIÓN FINANCIERA

1 ¿Qué es

1 Razones

2 Estrategias

2 Porcentajes y tasas 3 Números índices 4 Aumentos

y proporciones

un problema? de resolución de problemas

y disminuciones porcentuales

A FI A N Z A APLICA

CONÉCTATE

M. J. Clavijo

16, 17 Y 18 A. Ortega

TÉCNICAS DE CONTEO. CONJUNTOS

1 Técnicas básicas de conteo

2 Combinatoria

A FI A N Z A APLICA CONÉCTATE

EDUCACIÓN FINANCIERA. APLICACIONES

1 Intereses bancarios 2 Tasa anual equivalente (T.A.E.)

3 Anualidades

de capitalización

4 Anualidades

de amortización

A FI A N Z A APLICA CONÉCTATE

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

1 Ecuaciones polinómicas 2 Ecuaciones logarítmicas 3 Ecuaciones exponenciales

4 Sistemas de ecuaciones

A FI A N Z A

PROGRAMACIÓN LINEAL

1 Problema general

de programación lineal

2 Problema del transporte

A FI A N Z A APLICA

CONÉCTATE

INECUACIONES

1 Inecuaciones de primer

grado con una incógnita

2 Inecuaciones de segundo grado con una incógnita

3 Inecuaciones lineales con dos incógnitas

A FI A N Z A APLICA CONÉCTATE

1 Grafos eulerianos 2 Grafos hamiltonianos 3 Coloración de grafos 4 Camino mínimo

A FI A N Z A APLICA

CONÉCTATE

APLICA

GRAFOS II

GRAFOS I

1 Primeros conceptos 2 Tipos de grafos 3 Árboles. Fórmula de Euler

A FI A N Z A APLICA CONÉCTATE

FUNCIONES. CONCEPTOS BÁSICOS

1 Concepto de función 2 Dominio y recorrido de una función

3 Crecimiento

y decrecimiento

4 Continuidad 5 Periodicidad

A FI A N Z A APLICA CONÉCTATE

Índice DERIVADAS

FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y A TROZOS

1 Funciones exponenciales 2 Funiones logarítmicas 3 Funciones definidas a trozos

1 Variación

de una magnitud. Derivadas

2 Aplicación

de las derivadas

1 Distribución marginal y condicionada

2 Nubes de puntos.

Dispersión y covarianza

3 Correlación lineal 4 Regresión lineal

A FI A N Z A APLICA

ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL

con medios digitales

CONÉCTATE

A FI A N Z A APLICA CONÉCTATE

FUNCIONES LINEALES, CUADRÁTICAS Y RACIONALES

ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

1 Funciones lineales 2 Funciones cuadráticas 3 Funciones de

1 Diseño de un estudio

4 Funciones racionales

3 Interpretación de estudios

proporcionalidad inversa

A FI A N Z A APLICA CONÉCTATE

estadístico

2 Recogida de datos para una muestra. Muestras representativas

estadísticos con medios digitales

PROBABILIDAD

1 Experimentos aleatorios 2 Probabilidad.

Probabilidad condicionada

3 Experiencias compuestas. Diagramas en árbol

4 Tablas de contingencia 5 Teorema

de la probabilidad total

A FI A N Z A APLICA CONÉCTATE

6 Teorema de Bayes

A FI A N Z A APLICA CONÉCTATE

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1 Distribuciones

de probabilidad

2 Distribución binomial

A FI A N Z A APLICA CONÉCTATE

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

1 Distribuciones

de probabilidad continuas

2 Cálculo de probabilidades 3 Probabilidad con herramientas tecnológicas

A FI A N Z A APLICA CONÉCTATE

Así es tu libro 12

PARA EMPEZAR

DESCUBRE…

LES, FUNCIONES LINEA CIONALES CUADRÁTICAS Y RA

Funciones lineales

Funciones cuadráticas

PEQUEÑA RESEÑA BIOGRÁFICA

Funciones de proporcionalidad inversa

Cada unidad comienza con una pequeña reseña biográfica de un personaje relevante en el desarrollo de las Matemáticas, vinculado, además, con lo que trabajarás en la unidad.

Funciones racionales

AFI AN ZA

ÍNDICE VISUAL

A PLI CA

@ Johannes Kepler Nació en 1571 en Weil der Stadt, Alemania. Fue un astrónomo y matemático que logró explicar los movimientos orbitales de los planetas mediante relaciones funcionales.

En el Índice visual, tendrás acceso de forma rápida y concisa a los epígrafes de la unidad.

CO NÉC TATE

Y además, en anayaeducacion.es, encontrarás más recursos para completar tu aprendizaje.

ANTES DE EMPEZAR… • MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES • MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES • POTENCIAS • RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

142

143

LISTADO DE LOS CONTENIDOS PREVIOS Un listado de los contenidos previos que debes manejar para enfrentarte al estudio de los saberes básicos y a la adquisición de las competencias.

ENTRA EN MATERIA SABERES BÁSICOS Y ADQUISICÓN DE COMPETENCIAS CLAVE

3 CRECIMIENTO

Y DECRECIMIENTO MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

Como hemos visto, la función que relaciona el número de kilómetros de los desplazamientos en taxi con el importe de dichos desplazamientos tiene como expresión algebraica y = 2,50 + 1,15x . ¿Podrías determinar si aumenta el importe de los desplazamientos al aumentar el número de kilómetros o si, por el contrario, disminuye?

Como tú y tus amigos sois aficionados al senderismo, decides organizar una ruta por la región. Buscas un itinerario en Internet, seleccionas el que se muestra a la derecha y les describes la ruta, indicándoles en qué tramos es creciente y en cuáles decreciente.

€

Observas la gráfica de la función, a la derecha, y te das cuenta de que, al aumentar el valor de x, aumenta también el valor de y. Es decir, a mayor número de kilómetros, mayor el importe que pagarás por el desplazamiento.

• Una función es creciente en un intervalo abierto (a, b), si dados x1, x2 ∈ (a, b), con x1 < x2, se tiene que f (x1) < f (x2).

y = f (x)

f (x1)

f (x2) x1

1 1

Explica a un compañero o compañera cómo construir la tabla de valores de una función a partir de su expresión algebraica. Escucha y responde a sus preguntas, si las tuviera, y reflexiona sobre los aspectos de tu explicación que podrías mejorar.

Es evidente que el coste diario por persona será el coste medio total, 33,20 €, dividido entre el número de pasajeros. 33, 20 Así, la función que relaciona ambas variables es f (x ) = y = x . Para representarla, construimos primero la tabla de valores. 1

33,20 16,60 11,07

Se dice que f (x ) tiene un máximo relativo o local en x = x0 si para todo x en un entorno de x0, f (x ) ≤ f (x0). Es decir, si la función es mayor en ese punto que en los puntos del entorno. Análogamente, se dice que f (x ) tiene un mínimo relativo o local en x = x0, si para todo x en un entorno de x0, f (x ) ≥ f (x0). Es decir, si la función es menor en ese punto que en los puntos del entorno.

20 15

En el punto x = 8 km, la gráfica no presenta ni un máximo ni un mínimo relativo, ya que pasa de ser decreciente a ser constante.

5 1234

n.º de pasajeros

Se llama entorno de centro x0 y radio r a todo intervalo centrado en x0 y de radio r, es decir, E (x0, r ) = (x0 – r, x0 + r ).

Además, la ruta alcanza su máximo absoluto en x = 6 km y su mínimo absoluto en x = 0 km.

En este libro trabajarás los contenidos matemáticos desde una perspectiva diferente. En los distintos epígrafes y subepígrafes en los que se divide la unidad, partirás de una situación cotidiana y, a través de su análisis, interpretación y resolución, iras adquiriendo y afianzando los saberes básicos y las competencias necesarias, que te ayudarán a aprender por ti mismo.

PÍLDORAS TEÓRICAS

Mínimo relativo

En el caso del ejemplo, diremos que la ruta presenta dos máximos relativos, uno en x = 3 km y otro en x = 6 km, y presenta un mínimo relativo en x = 4,3 km.

TEN EN CUENTA

Máximo absoluto

Si f (x0) > f (x ) para todo x ∈ Dom f (x ), la función presenta su máximo absoluto en x0. En el caso de que f (x0) < f (x ) para todo x ∈ Dom f (x ), la función presentará en x0 su mínimo absoluto.

Como puedes observar en la gráfica de la derecha, la función es decreciente.

Máximo relativo

Mínimo absoluto € Y 30

8,30

En este caso, una vez representados los puntos en los ejes de coordenadas, no tiene sentido unirlos, ya que x, número de pasajeros, solo puede tomar valores naturales.

122

¿Qué sucede en los puntos x = 3 km, x = 4,3 km, x = 6 km y x = 8 km?

f (x2)

En el caso del ejemplo, diremos, por tanto, que la función es creciente en cualquier intervalo (a, b) perteneciente al dominio [0, 9].

De nuevo, a partir del punto x = 4,3 km, y hasta el kilómetro 6, la ruta vuelve a ascender, por lo que la función es creciente en el intervalo (4,3; 6). Vuelve a descender (la función es decreciente) en el intervalo (6, 8) y, a partir del kilómetro 8 y hasta el 11, la ruta tiene un tramo llamo, es decir, la función es constante en el intervalo (8, 11).

Ya tienes todo organizado para el tour e, incluso, has calculado el coste medio diario que invertiréis en desplazamientos en taxi, 33,20 €. Expresa analítica y gráficamente el coste diario por persona en función del número de pasajeros.

y (€)

A continuación, hay un tramo descendente de 1,3 km de longitud, con lo que la función es decreciente en el intervalo (3; 4,3).

y = f (x)

f (x1)

100 desplazamiento

Constante

y = f (x) f (x2)

200

La ruta tiene un primer tramo ascendente entre los kilómetros 0 y 3. La función que relaciona el desplazamiento, x, y la altura, y, es creciente en el intervalo (0, 3).

(3, f (3))

• Una función es constante en el intervalo abierto (a, b), si dados x1, x2 ∈ (a, b), con x1 < x2, se tiene que f (x1) = f (x2).

f (x1)

300

(5, f (5))

• Una función es decreciente en el intervalo abierto (a, b), si dados x1, x2 ∈ (a, b), con x1 < x2, se tiene que f (x1) > f (x2). Decreciente

altura

400

(7, f (7)) 9

Creciente

500

RECUERDA La función y = f (x ) tiene un máximo relativo o local en x = x0 si, hasta ese punto, la función es creciente, y decreciente a partir de él. Análogamente, presenta un mínimo relativo o local en x = x0 si, hasta ese punto, la función es decreciente, y creciente a partir de él.

123

Pequeñas píldoras teóricas que te ayudarán a afianzar y formalizar los saberes básicos.

ACTIVIDAD SOCIO-EMOCIONAL A partir de la situación planteada en el epígrafe, se proponen actividades para trabajar los saberes básicos del sentido sociafectivo y la educación emocional.

RECURSOS

RELACIONADOS CON

PARA FINALIZAR

LAS CLAVES DEL PROYECTO

AFIANZA Al finalizar cada unidad, encontrarás actividades para que las resuelvas poniendo en práctica, de forma directa, los saberes básicos trabajados a lo largo del tema.

COMPROMISO ODS

APLICA Una serie de tareas guiadas e integradas para que apliques, a situaciones cotidianas, los contenidos matemáticos de la unidad. Podrás realizarlas de forma individual o en grupo y desarrollar así tus competencias. Los iconos que aparecen en las tareas sugieren cómo aplicar las claves del proyecto.

PLAN LINGÜÍSTICO

@ CONÉCTATE

Te proponemos un taller guiado en el que aprenderás a manejar herramientas digitales y a usarlas en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos.

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO

AFI AN ZA 8 Indica si las siguientes funciones son periódicas e indica el periodo en caso afirmativo.

0 3

f) La relación entre el lado de un cuadrado y su área.

d) ¿Es constante en algún intervalo? ¿Dónde? 6 Representa gráficamente funciones que cumplan los siguientes requisitos.

A 7 PLI CA

• Indica el dominio de la función. • Indica el recorrido de la función.

TAREA 1

–1

–2

–1

d) Es creciente hasta x = 0, constante desde x = 0 hasta x = 3 y decreciente desde x = 3.

20 15

TAREA 2 PREPARAR UNA FIESTA DE CUMPLEAÑOS Tu tío te ha pedido que le ayudes a organizar la fiesta de cumpleaños de uno de tus primos pequeños. A ella asistirán muchos de sus amigos. Actividad 1: Encuentra un lugar donde celebrarla. puede ser un local, una sala recreativa, un parque de bolas… e infórmate de si su coste depende del número de personas que asistirán. Actividad 2: Elige la comida que va a servirse durante la fiesta. Detalla el precio de cada artículo y la cantidad que piensas poner por persona. Actividad 3: Decides que en la fiesta se utilicen utensilios reciclables: vasos, platos, cubiertos, servilletas, etc. Indica cuántas unidades de cada uno necesitarás, dependiendo del número de asistentes, y expresa, para cada utensilio, la relación entre el coste y el número de unidades. ¿Son funciones estas relaciones? Represéntalas. Actividad 4: Elabora un presupuesto completo con, al menos, dos opciones de menú y entretenimiento en el que figuren el coste total y el coste individual en función del número de asistentes.

f) El importe a pagar por x bolígrafos iguales, sabiendo que la unidad cuesta 1,15 €. 11 Representa gráficamente las funciones de la actividad anterior y analiza los siguientes aspectos de cada una. a) ¿Se pueden unir los puntos de la gráfica? c) ¿Cuál es su domino?

d) ¿Cuál es su recorrido? e) ¿Tiene algún máximo o mínimo? ¿Dónde?

–1

1 0

12 El siguiente gráfico muestra el consumo de combustible, en litros por 100 km, de un vehículo en función de la velocidad. Cada curva representa la circulación del vehículo en una marcha distinta.

–1

UESTO DE UN10VIAJE

–3

c) Tiene una discontinuidad en x = 3.

b) ¿Es una función creciente o decreciente?

b) Es decreciente hasta x = –2 y creciente a partir de ese punto.

PRESUP ELABORAR EL • Determina en qué tramos la función representada es a una ciudad europea. viaje con unos amigos es creciente, decreciente y constante. Imagina que tienes que preparar un 5 os alojaréis y qué actividad lugares visitaréis, dónde Además de pensar qué 0 para 5 105 persona 15 20 s. 25 30 35 4 Representa las siguientes funciones elaborando previa- elaborar un presupuesto haréis, decides te privado para transpor de mente una tabla de valores. Puedes tomar valores de opción mejor número de artículos que debe a) es el la mínimo en Internet ra ¿Cuál or o sin conductor… Actividad 1: Encuent fabricar y vender conduct –3 a 3 para la variable independiente. con alquiler la empresa para no tener pérdidas de coche avelos desplazamientos: taxi,(beneficio negativo)? a) y = 2x – 1 b) y = x 2 lugares que quieres visitar, un planing diario con los mientos haréis Actividad 2: Elaborab) ¿Cuál es elitinerario s desplaza c) y = –4x + 3 d) y = x 2 – 1 artículos que debe fabricar y e los números.de¿Cuánto miento? rigua las distancias y establec cada desplaza debeneficio os el venderde para obtener máximo? kilómetr e) y = 4 – x 2 f ) y = (x – 2)2 número el cada día? ¿Cuál será el seleccionado, averigua hayas ¿Cuálde estranspor dicho beneficio máximo? que te • Indica el dominio y el recorrido de cada una de ellas. Para la c) en opción expresar dicho coste Actividad 3: puede . ¿Se mientos d) ¿Se pueden unir los puntos de la gráfica? desplaza • Determina en qué intervalos son crecientes, diario decre-de vuestros del número de desplacoste día? ¿Y eno función s al continua recorrido cientes o constantes. e)os¿Es la función discontinua? función de los kilómetr o variable? dicho coste constante en zamientos diarios? ¿Es los desplazamientos diarios e el coste individual de rías de Actividad 4: Establec 126 realizar las visitas. ¿Cambia personas que vayáis a función del número de ¿Y si hubiera una más? hubiera una persona menos? medio de transporte si

128

–2

a) Es creciente en todos los números reales.

La función de beneficio de una empresa por la fabricación y venta de x unidades de cierto artículo viene dada por la expresión y = –x 2 + 50x – 600, donde x representa el número de artículos e y el beneficio obtenido, en cientos de euros. Observa su gráfica.

e) El importe del alquiler de un coche, sabiendo que te cobran un fijo de 5 € más 0,50 €/km, en función de los kilómetros del viaje.

e) ¿Dónde no es continua?

3 Lee el siguiente enunciado y representa gráficamente la función que relaciona el tiempo transcurrido y la distancia a casa.

Representa el tiempo en el eje X y la distancia a casa en el eje Y.

c) ¿Dónde es creciente? ¿Y decreciente?

APRENDIZAJE COOPERATIVO

d) El coste de llenar un depósito de gasolina si su precio es de 1,81 €/L. (Llama x a los litros de gasolina que vas a repostar).

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

a) ¿Cuál es el dominio? b) ¿Cuál es la imagen?

Por último, volvéis a casa, lo que os lleva 7 minutos.

CO NÉC TATE

16 14 12 10 8 6 4 2 0

EDUCACIÓN EMOCIONAL

segunda tercera cuarta quinta sexta

de gráficas con GeoGebra 9 Observa la gráfica de la siguiente Representación función y determina: km/h Ahora, vas a aprender a representar digitalmente algunas de las funciones que han 2 aparecido a lo largo de la unidad a partir de su expresión algebraica. En Internet hay Responde, para cada marcha, a que estasutilices cuestiones. muchas herramientas para hacerlo, pero nosotros proponemos GeoGebra. 1 a) ¿En qué tramo el consumo es creciente? Basta con que teclees en la barra de búsqueda de tu buscador habitual la palabra b) ¿En qué tramo el consumo es decreciente? GeoGebra, y pinches en la primera página disponible. También puedes ir directa0 –1 1 2 3 4 mente 5 a la 6 siguiente 7 c) ¿Cuál es la velocidad a la que debes circular en dirección: cada una de las marchas para obtener un consumo –1 https://www.geogebra.org/calculator mínimo? a representar como ejemplo la función que relacionaba el coste de los desplaa) Los intervalos de crecimiento y Vamos decrecimiento. d) ¿En qué marcha y en qué velocidad se consume zamientos en taxi con el número de kilómetros: y = 2,50 + 1,15x menos? b) Los máximos y mínimos relativos. Para escribirla, introducirás en el cuadro de entrada la expresión y = 2.5 + 1.15x y, en e) ¿En qué marcha deberías conducir para una velocic) Sabiendo que la función es periódica de periodo los ejes coordenados de la derecha, aparecerá la gráfica de la función. dad de 70 km/h para que el consumo sea lo menor T = 4, completa en tu cuaderno la gráfica con dos posible? ¿Y para 90 km/h? ¿Y para 120 km/h? periodos a cada lado. 90

L/100 km

e) La relación entre la cantidad de bolígrafos iguales que compras y el importe que pagas.

Después, en el camino de vuelta a casa, paráis en un centro comercial que está a 2 km del supermercado y permanecéis allí 30 minutos. Llegar hasta allí os ha llevado 5 minutos.

c) El área de un rectángulo cuya base es el doble de su altura. (Llama x a la altura del rectángulo).

100

d) La relación entre la cantidad de pienso y el tiempo que dura para alimentar a 20 vacas.

A las 9:30 de la mañana sales con tu madre para ir al supermercado, que está a 5 km de vuestra casa. Llegáis al supermercado 10 minutos más tarde. Tardáis 40 min en hacer la compra.

b) El área de un cuadrado de lado x cm.

200

–2 –1

Encuentra en cada caso la expresión algebraica de la función que relaciona las magnitudes. a) El importe a pagar por x kg de manzanas, sabiendo que 1 kg cuesta 2,25 €.

300

c) La relación entre la edad de un niño de 0 a 2 años y su estatura.

2 Idea tres situaciones de la vida cotidiana en las que se puedan relacionar dos magnitudes mediante una función. (Diferentes de las de la actividad 1).

a) 400

b) La relación entre el tamaño del depósito de combustible de un coche y el coste de llenarlo a un determinado precio por litro.

10 0 11 120 130 140 150 0 16 170 0 18 190 0 20 0

5 Observa la representación gráfica de la siguiente función y responde.

a) La relación entre el número de habitaciones de una vivienda y su precio.

30 40 50 60 70 80

1 Determina si las siguientes relaciones entre magnitudes representan o no una función.

TIC

127

TAREA 3 ORGANIZAR UN VIAJE EN GLOBO Tu madre siempre ha querido montar en globo, así que decides organizar una excursión para que tú y toda tu familia la ayudéis a cumplir su sueño.

Actividad 1: Busca una empresa que organice viajes en globo e infórmate de sus diferentes servicios. Actividad 2: Averigua las tarifas de la empresa que vas a contratar y expresa el precio del viaje en función del número de personas que vais a participar. Actividad 3: Decides preparar un pequeño folleto informativo con algunas curiosidades sobre los viajes en globo para dárselo a tu madre justo antes de la excursión. Investiga los siguientes apartados e incluye tus resultados en el folleto: • La relación que existe, a medida que el globo se eleva, entre la altitud y la temperatura . • La relación existente entre la altitud y la presión. Actividad 4: Pregunta al encargado de llevaros en globo qué trayecto vais a seguir y qué altura alcanzaréis. Haz una representación aproximada de dicho trayecto en unos ejes de coordenada s. Puedes incluir esta información en el folleto.

GeoGebra también nos permite representar una función de variable discreta como la que relacionaba el coste individual de los desplazamientos en función del número de pasajeros del taxi. Para hacerlo, sigue estos pasos: • Representa la función y = 33,20/x, introduciendo el código: y = 33,20/x.

• En el menú de herramientas de la izquierda, selecciona la opción mostrar/ocultar objeto y pincha sobre la línea de la gráfica. Obtendrás la gráfica esperada:

CULTURA EMPRENDEDORA

• Pincha en los tres puntos que hay a la derecha de la expresión de f (x) y selecciona la opción de tabla de valores. Elige de qué valor a qué valor representarla (de x = 1 a x = 4) y la longitud del paso (1.0, ya que y toma valores en los números naturales).

• Ahora, practica representando la función: y = 4x + 5 129

Así es tu

Proyecto digital

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CÓMO ACCEDER AL PROYECTO DIGITAL El código que hay impreso junto a estas líneas te da acceso al proyecto digital. Tienes dos maneras de utilizarlo:

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Resolu

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Tareas

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Recuerda que este código es personal. Solo es válido para un usuario y tiene vigencia de un año desde el día de su activación. 1 AÑO

Te recomendamos activarlo justo al inicio del curso.

¿CÓMO ES? Una respuesta global para un entorno educativo diverso.

1 CONCEPTO

DE FUNCIÓN

FORMAS DE

DEFINI

R UNA FUNC • Mediante IÓN un enunciado , como hemo • Mediante s visto en el una tabla de ejemplo. valores: x (km) 0 1 2 3 4 y (€) 5 2,5 … 3,65 4,80 5,95 7,1 • Mediante 8,25 una expresió … n alg eb rai ca. En el ejemp • Mediante una gráfica: lo: y = 2,50 + 1,15x. € Y

12 10

y = 2,50 + 1,1

8 6 4 2 2

120

8 10 12 14 X km

–1

No es funció

ORRIDO DE UNA FUINTUITIVO NCIÓN Fácil de usar para ti.

Mientras org anizas el tou r por Madrid, verán vuestro decides averi s desplazam guar entre qu ientos. Cons que cualquie é importes se ultas primero r desplazam m el mapa de la iento que qu ciudad y obse eráis hacer se rva rá, como má ximo, de 9 km Por tanto, te . das cuenta de que la variab desplazamien le «número de to», x, solo po kilómetros rec drá tomar val estos valores orridos por ores menores no podrán ser o iguales a 9 negativos, así Lo que acab km. Además, que x tomará as de determi valores del int nar es el domi ervalo [0, 9]. nio de la fun ción y = 2,50 + 1,15x. Se llama domi nio de la fun ción y = f (x ), junto de tod y se denota os los valores por Dom f (x que puede tom modo que ex ), al conar la variable ista un valor independiente de la variable dependiente x, de y tal que y = f (x ). Una vez cono cido el domi nio de la fun ción, te dispo nes € valores tomará a averiguar qué posibles Y el importe de los desplaza- 13 mientos, es de cir, y. 12 Para hacerlo 11 , representas gráficamente 10 la función y y = 2,50 + 1,1 = 2,50 + 1,1 9 5x 5x en los va del dominio lores 8 y observas, en el eje de ord nadas, que y 7 p etoma valores 6 en 12,85 €. Es de tre 2,50 € y d 5 cir, y tomará 4 valores del intervalo [2,50 q ; 12,85]. 3 di Lo que acab 2 as de determi 1 nad nar es el recorr do de la fun Dom f (x) ición.

MULTIDISPOSITIVO

Se adapta y visualiza en cualquier tipo de dispositivo (ordenador, tableta, smartphone...) a cualquier tamaño y resolución de pantalla.

123456 7 8 9 10

DESCARGABLE

X km

Se llama imag en, rango o recorrido de Im f (x ), al co una función, njunto de tod f (x os los valores diente y, a me que puede tom ), y se denota por dida que x rec ar la variable orre el domi depennio.

12,85

Para represen tar una funció n a partir de expresión alg su ebraica, prime ro construim una tabla, da os ndo valores a la variable pendiente, su ind estituyéndolos en la expresió y obteniendo n sus correspon dientes valor de la variable es dependiente. Después, rep resentamos los puntos en ejes de coord los enadas y, si tiene sentido los unimos. ,

2 DOMINIO Y REC

Im f (x)

Decides org anizar un tou r por Madrid aglomeracio con tres de tus nes, amigos. Como y averiguas qu optas por realizar los de quieres evita splazamientos e el coste po r en taxi. Cons r inicio de se recorrido. Sa rvi ultas las tarifa biendo que cio es de 2,5 s tod 0 € y de 1,15 € os podéis ir el importe de por kilómetro en un solo tax un desplazam i, determina iento y los kiló la relación en metros recorr tre idos en él. Es fácil darse cuenta de qu e, si llamamo plazamiento s x a los kilóme e y al importe tros recorrido a pagar por según la expre s en él, las variable sión: y = 2,50 s quedarán rel un des+ 1,15x. OBSERVA De este modo acionadas , si, por ejemp miento de 2 lo, quieres av km, solo ten eriguar cuán • A cada valor drá to s que sustitui el importe a costará un de de x le cor x = 2 km en pagar por él: splazarresponde un la expresión y = 2,50 + 1,1 único valor Además, a ca y obtendrás 5 · 2 = 2,50 + de da posible va y: 2,30 = 4,80 €. lor qu e tome x, le co A una relación rresponderá con las carac 1 un único impo terísticas anter rte. iores se la lla Una función ma función. es una relación entre dos va riables que ve rifica que: • Una de las variables es la variable ind 1 tará por x). ependiente (normalmen te se deno• La otra varia ble es la varia Sí es función. ble por y). dependiente (normalmen • Existen val te se denotar ores de x a • La función los á que les co asigna a cada rresponden valor de la va valor de la va varios valore riable indep riable depend s de y, por en diente, x, un iente, y. ejemplo, a x ún ico = 0,5: Se dice que y es función de x y se rep resenta como y = f (x).

TEN EN CU

ENTA

En el caso de los despl azamientos en taxi, decimos que se pued e establecer el importe del desplazamien to en funció n de los kiló metros recorrido s.

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DOM

Te permite trabajar sin conexión a Internet y descargarlo en más de un dispositivo.

INIOS En ocasiones , necesitarás determinar el expresión alg dominio de ebraica. Para una función calcularlo, ten tidas en los nú real a partir en cuenta qu me de su é operacione independiente ros reales, como dividir en s no están pe tre cero, ya qu que den lug rmiar a alguna de e los valores excluidos de de la variable l dominio de estas operacio la función. nes no perm itidas estarán Por ejemplo, el dominio de la función y = 1 será reales que no el conjunto x –2 anulen el de de los núme nominador, ya Dom f (x ) = {x ros qu ∈ Á/x ≠ 2} = e no es posib Á – {2}. le dividir entre En el caso de 0. Por tanto: la función y = negativos, po x , la variable r tanto: Dom independiente f (x ) = [0, +∞ x no puede tom ). ar valores

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UNIVERSAL Compatible con todos los sistemas operativos, los entornos virtuales de aprendizaje (EVA) y las plataformas educativas (LMS) más utilizadas en los centros escolares.

TEN EN CU

Como la fun plo, y = 2,5 0 blece la relac magnitudes c sido restringid [0, 9]. Sin em ba viéramos en cue texto, el do min función sería Á.

S E N O I C INECUA

Marjorie Lee Browne (1914-1979) Su trabajo se centró en el álgebra y fue pionera en el uso de la informática. Pidió una subvención de 60 000 dólares a IBM para crear un centro de computación en la universidad en la que enseñaba e investigaba, Nort Carolina Central University, convirtiéndola en un referente y en la primera universidad para estudiantes negros con este tipo de equipamiento.

DESCUBRE…

Inecuaciones de primer grado con una incógnita

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita

Inecuaciones lineales con dos incógnitas

AFI AN ZA

A PLI CA

@ ANTES DE EMPEZAR… • RESOLVER ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADOS 1, 2 Y 3

CO NÉC TATE

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• RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES • QUÉ ES UNA RECTA Y CÓMO SE REPRESENTA • SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Y OTROS SISTEMAS DE MEDIDA 71

1 INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

La coordinadora de un proyecto editorial, tiene que organizar de urgencia una reunión con el equipo de autoría de un libro de texto, en la que se reunirán cuatro editores y editoras y ella misma. La duración estimada de la reunión será de dos horas y se exige, como mínimo, asistir a una hora de reunión y que estén presentes al menos 10 de las personas convocadas. La coordinadora establece la fecha de la reunión para el próximo miércoles laborable entre las 9 y las 19 horas y crea un grupo de mensajería para que cada una de las personas asistentes diga su disponibilidad horaria para intentar fijar la hora de inicio. Recibe las siguientes respuestas: RECUERDA

coordinadora

Chat room

El lenguaje algebraico nos permite traducir situaciones y relaciones para poder operar y manipular las expresiones resultantes.

Coordinadora: Buenos días. Necesito saber qué horarios tenéis disponibles para la reunión. Dejadlos escritos en este grupo, por favor. Autora 1: A partir de las 17 horas. Autor 2: A cualquier hora entre las 10 y las 18 horas. Autora 3: Yo estoy disponible a partir de las 13 horas. Autora 4: Por la mañana, entre las 9 y las 11 horas. Por la tarde, a partir de las 15. Autora 5:

A cualquier hora del día.

Autor 6: Entre las 9 horas y las 14:30 horas. También, a partir de las 17 horas. Entre las 11 y las 12 horas y, luego, a partir de las 14 horas.

Autora 7:

Editora 1: De 9 a 14 horas por la mañana. Por la tarde, estoy disponible entre las 15 y las 18 horas. Editor 2: A partir de las 12 horas. Editora 3: Entre las 9 y las 17 horas. Editor 4: De 9 a 14 horas y, por la tarde, a partir de las 16 horas. Coordinadora:

Olvidé decir que yo estoy disponible a cualquier hora.

Coordinadora:

Muchas gracias por la información. Send

Organiza un encuentro fuera del centro de enseñanza para participar en una acción solidaria (recogida de residuos...). Luego, explicad en clase cómo se han sentido el organizador, alguien que haya asistido y alguien que no haya podido asistir.

A la vista de las respuestas, ¿la coordinadora podrá fijar una hora de inicio de la reunión? En caso de que sí pueda indica a qué hora empezaría. En primer lugar, traducimos la información a expresiones algebraicas. Para ello, vamos a fijar como variable x la hora de inicio de la reunión teniendo claro que x está entre 9 y 7. Obtenemos las siguientes desigualdades: • Autora 1: x > 17

• Autora 7: 11 < x < 12 y 14 < x < 19

• Autor 2: 10 < x < 18

• Editora 1: 9 < x < 14 y 15 < x < 18

• Autora 3: x >13

• Editor 2: 12 < x < 19

• Autora 4: 9 < x < 11 y x > 15

• Editora 3: 9 < x <17

• Autora 5: 9 < x < 19

• Editor 4: 9 < x < 14 y 16 < x < 19

• Autor 6: 9 < x < 14:30

• Coordinadora: 9 < x < 19

Para resolver el problema, debemos conocer los intervalos y las inecuaciones.

RECUERDA Una desigualdad se expresa con <, >, ≤ o ≥, y sirve para comparar y ordenar.

Un intervalo es un conjunto numérico entre dos números reales. • • • •

[a, b] = {números reales de manera que a ≤ número ≤ b} [a, b) = {números reales de manera que a ≤ número < b} (a, b] = {números reales de manera que a < número ≤ b} (a, b) = {números reales de manera que a < número < b} Una semirrecta es un conjunto numérico a partir de un número.

• • • •

[a,+∞) = {números reales de manera que a ≥ número} (a,+∞) = {números reales de manera que a > número} (–∞, b] = {números reales de manera que b ≤ número} (–∞, b) = {números reales de manera que b < número}

a a

b b

a a

b b

a a

b b

a a

b b

(a, (a, b] b] (a, (a, b) b)

(a, (a, +∞) +∞) b b b b

Una inecuación es una expresión algebraica que indica desigualdad. Inecuación de primer grado con una incógnita es una inecuación reducible a una de la forma ax ≤ b (<, > o ≥) por técnicas algebraicas.

Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita es un conjunto de inecuaciones que se cumplen simultáneamente.

[a, [a, b) b)

[a, [a, +∞) +∞)

a a a a

Para resolver una inecuación, una vez reducida a la forma ax ≤ b aislamos x obteniendo las posibilidades x ≤ b/a, si a > 0, y x ≥ b/a, si a < 0, a continuación, expresamos la condición (solución) por medio de intervalos y semirrectas.

[a, [a, b] b]

b/a b/a b/a b/a

(–∞, (–∞, b] b] (–∞, (–∞, b) b)

x≥ b/a x<b/a x ≥b/a x>b/a

Encontrar la solución de un sistema consiste en determinar la intersección de todos los intervalos o semirrectas solución de cada inecuación. Representamos las desigualdades, que en realidad, plantean un sistema de inecuaciones: Autora 1 Autor 2 Autora 3 Autora 4 Autora 5 Autor 6 Autora 7 Editora 1 Editor 2 Editora 3 Editor 4 Coordinadora

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

La coordinadora tiene dos horas posibles de inicio de la reunión que cumplen con las exigencias de asistencia y duración. Quedará en su mano la decisión final, pero entendiendo que si se persigue la máxima asistencia posible deberá iniciar la reunión a las 16 horas pudiendo asistir 11 de los convocados. Podemos expresar la solución como el intervalo [16, 18] que corresponde con la intersección de todos los intervalos horarios posibles de los convocados.

2 INECUACIONES DE SEGUNDO

GRADO CON UNA INCÓGNITA

Un estudiante universitario de primer curso de grado está buscando empleo por las tardes y fines de semana para poder pagar el alquiler de su piso compartido (350 euros) y poder ahorrar algo para sus vacaciones. Encuentra la oferta de empleo de la derecha. Estudia si te interesa la oferta contestando a las siguientes preguntas, ¿Cuánto puedo ganar en incentivos si la empresa sigue las recomendaciones de los riders? ¿Cuántos pedidos hay que repartir para ganar 18 euros o más al día? ¿Cuánto es lo máximo que puedo ganar al día? ¿Y al mes? (*) Un estudio de mercado realizado por repartidores expertos (riders) aconseja que el incentivo por pedido sea de 4 euros menos el 25 % de los pedidos repartidos, sin sobrepasar los 4 pedidos en una hora. En primer lugar, vamos a expresar por medio de un polinomio los ingresos por incentivos. Si llamamos p al número de pedidos que se pueden realizar durante las dos horas de jornada laboral, entonces los ingresos por incentivos, i, vienen dados por el polinomio: i (p) = p (4 – 0,25p) = –0,25p2 + 4p, p ∈ [0, 8]

ya que para respetar las recomendaciones de los riders no debemos repartir más de 8 pedidos en las 2 horas. Por otro lado, los ingresos diarios por pedido (idp) se pueden expresar por medio del polinomio siguiente: idp (p) = –0,25p2 + 4p + 5 Para responder a la pregunta de cuántos pedidos hay que repartir para ganar 18 € o más al día, resolvemos de forma algebraica o con ayuda de una calculadora en línea la inecuación, que en esta ocasión viene dada por un polinomio de segundo grado: –0,25p2 + 4p + 5 ≥ 18 Inecuación de segundo grado con una incógnita es cualquier expresión algebraica reducible a la forma: ax 2 + bx + c ≤ 0 (o bien ≥ 0, <0, >0) Lo primero que vamos a hacer es la ecuación de segundo grado: –0,25p2 + 4p + 5 – 18 = 0 p=

–4 ± 42 – 4 (–0, 25)(–13) –4 ± 3 = 8 p1 = 4, 54; p2 = 11, 46 –0 , 5 2 (–0, 25)

A continuación, representamos sobre la recta real los dos valores: 4,54

11,46 8

número máximo según recomendaciones

BUSCAMOS RIDER PARA EL BARRIO DE RUZAFA ormarías parte de un gran equipo. F Alta en la Seguridad Social. Bicicleta propia. Mantenimiento a cargo de la empresa. Disponibilidad de 20:00 a 22:00 de lunes domingo. Buenas habilidades comunicativas. 5 euros al día, más incentivos. (*) CONTACTA Envía tu CV a: hello@justfoodneighboring.com

Para obtener las soluciones, resolvemos ax 2 + bx + c = 0 por medio de la fórmula: –b ± b2 – 4ac 2a y nos fijamos en el discriminante para determinar el número de soluciones: • b2 – 4ac > 0 → 2 soluciones, x1 y x2, con x1 < x2 • b2 – 4ac = 0 → 1 solución doble, x1 • b2 – 4ac < 0 → no tiene solución x=

A continuación, representamos las soluciones de la ecuación sobre la recta real y evaluamos en puntos aleatorios a la izquierda y a la derecha. Por ejemplo, si la desigualdad es ≤ o bien ≥, se dan estos casos: • Dos soluciones, x1 y x2: (– ∞, x1)

(x1, x2)

(x2, +∞)

solución de la inecuación

Sí

(– ∞, x1] ∪ [x2, +∞) [x1, x2]

• Una solución, x1: (– ∞, x1)

(x1, +∞)

solución de la inecuación

Sí

(– ∞, +∞)

Investiga qué ocurre cuando no hay ninguna solución e investiga qué ocurre cuando la desigualdad es del tipo < o bien >. La solución de la inecuación son todos los valores del intervalo [4,54; 11,46] (para comprobarlo, calcula idp (p) para cualquier valor de p de este intervalo). Como el número de pedidos es un número entero entre 0 y 8 solo pueden ser valores naturales del intervalo [4,54; 8]. Por tanto, para ganar 18 € o más al día tiene que repartir 5, 6, 7 o 8 pedidos. Para responder a la pregunta «¿Cuánto es lo máximo que puede ganar al día?», evaluamos numéricamente el polinomio de ingresos diarios para los pedidos que puede repartir en un día siguiendo las recomendaciones del grupo de expertos: pedidos idp

(euros)

8,75

14,75

18,75

20,75

Podemos evaluar el polinomio de ingresos diarios por pedido para 9 pedidos obteniendo 20,75 € y de esta forma darnos cuenta de que no por más pedidos repartidos en las dos horas de trabajo se va a cobrar más. Por tanto, los ingresos máximos en un día serán 21 € si respetamos las recomendaciones del grupo de expertos (y dedicamos un máximo de 15 minutos por reparto). Como trabaja de lunes a domingo los ingresos máximos mensuales no superarán los 21 · 30 = 630 € o los 21 · 31= 651 €. En conclusión, como pretende pagar el alquiler y ahorrar, la oferta le interesa.

Busca información sobre las condiciones laborales de los riders de cualquier ciudad. Redacta en asamblea un decálogo de condiciones mínimas en las cuales aceptarías un trabajo de esas características. A continuación, explica por qué crees que se trabaja en esas condiciones y cómo crees que se sienten estos trabajadores y trabajadoras.

3 INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

09:42

Trabajas en un comercio de productos electrónicos y quieres asesorar a unos clientes que dudan entre dos móviles por culpa de la tarjeta de memoria del dispositivo y sus necesidades: • Cliente 1: 40 000 fotos de calidad buena y 10 000 fotos de calidad HDR • Cliente 2: 4 000 fotos de calidad buena y 22 000 fotos de calidad HDR • Cliente 3: 32 000 fotos de calidad buena y 14 000 fotos de calidad HDR • Cliente 4: 58 000 fotos de calidad buena y 4 000 fotos de calidad HDR Sabes que las fotos de calidad buena con una cámara de más de 20 megapíxeles pesan 3,2 MB y en calidad HDR, 12 MB. Mientras que con una cámara de hasta 13 megapíxeles pesan 2 MB y 5 MB, respectivamente. Analiza ambos móviles para saber si cumplen las necesidades de tus clientes.

cámar a de 12 MP 128 GB

cámara de 50 MP 256 GB

Para resolver este problema, necesitamos plantear un sistema de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es cualquier expresión algebraica reducible a una de la forma ax + by + c ≤ 0 con a ≠ 0 y b ≠ 0.

ax + by + c = 0 ax + by + c ≥ 0

Para resolver e interpretar la solución de una inecuación de este tipo proponemos el método gráfico:

• Representamos la recta ax + by + c = 0 sobre el plano, que queda dividido en dos semiplanos. • Evaluamos la inecuación asociada a la recta en un punto cualquiera del plano y comprobamos si la verifica o no. • En caso afirmativo, la solución es el semiplano que contiene al punto. En caso contrario, la solución será el otro semiplano. Un sistema de inecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas es un conjunto de inecuaciones de la forma: ax + by + c ≤ 0 dx + ey + f ≤ 0 …

Y ax + by + c ≥ 0

que se han de cumplir simultáneamente. Para resolver e interpretar la solución de un sistema de este tipo: • Representamos cada recta sobre el plano cartesiano quedando dividido en dos semiplanos para cada inecuación. • Evaluamos una a una cada inecuación asociada a cada recta en un punto cualquiera del plano y comprobamos si la verifica o no. • En caso afirmativo, pintamos la región donde se encuentre el punto que hemos evaluado. En caso contrario, pintamos el semiplano opuesto a donde se encuentra nuestro punto. • La solución del sistema será la región del plano que coincida con la intersección de todos los semiplanos que hemos pintado.

ax + by + c = 0 X

dx + ey + f = 0 dx + ey + f ≥ 0

Analizamos las posibilidades de almacenamiento del móvil de 50 MP y, para ello, planteamos la siguiente inecuación lineal con dos incógnitas, 3,2x + 12y < 262 144, donde x representa el número de fotos de calidad buena que quiero realizar e y representa el número de fotos de calidad HDR que quiero realizar. La información está expresada en Mb. Representamos la recta 3,2x + 12y = 262 144. Elegimos (0, 0) y comprobamos que 3,2 · 0 + 12 · 0 ≤ 2 621 444: Y

RECUERDA 1 Gb = 1 024 Mb Por tanto:

Cliente 2

128 Gb = 131 072 Mb Cliente 3

256 Gb = 262 144 Mb

Cliente 1

5 000

Cliente 4

10 000

A la vista de la región de soluciones, podemos asegurar que los clientes 1 y 4 cubrirían sus necesidades con la oferta del primer móvil. En segundo lugar, analizamos el almacenamiento del móvil de 12 MP. Para ello, planteamos la siguiente inecuación lineal 2x + 5y < 131 072. Representamos la recta 2x + 5y = 131 072. Elegimos (0, 0) y comprobamos que 2 · 0 + 5 · 0 ≤ 131 072:

TEN EN CUENTA Ni x ni y pueden ser negativos, así que no pintamos la parte del plano que corresponde a valores negativos de las variables.

Y Cliente 2 Cliente 3 Cliente 1

5 000

TEN EN CUENTA Cliente 4

10 000

Para representar las soluciones de las inecuaciones, puedes utilizar aplicaciones como GeoGebra.

Los clientes 1 y 2 cubrirían sus necesidades con el segundo móvil. Si analizamos los dos móviles conjuntamente, obtenemos que solo el cliente 1 puede elegir el dispositivo que más le guste sin preocuparse por el almacenamiento. También que las necesidades del cliente 3 no se ajustan a las características de ninguno de los dos móviles. Y Cliente 2 Cliente 3 Cliente 1

5 000

Cliente 4

10 000

Intenta explicar la capacidad de almacenamiento de un móvil a alguna persona mayor. Luego, explica en clase cómo te has sentido y cómo crees que se ha sentido esa persona.

AFI AN ZA 1 Expresa en lenguaje algebraico y por medio de desigualdades las siguientes expresiones: a) Sergio es mayor que Beatriz. b) Ferran llegó antes que Martín. c) No compres más de 5 botellas de leche. d) Participarán en la reunión al menos 11 personas. e) El precio de un kilo de tomates está entre 1,5 € y 2,20 € 2 Representa sobre una recta los siguientes intervalos y semirrectas: a) [1, 7]

b) [2, +∞)

c) (5, 9]

d) [0, +∞)

e) [3, 8)

f ) (–∞, 6)

g) (0, 10)

h) (–∞, 1)

3 Obtén el intervalo intersección entre los siguientes intervalos: a) [1, 7] y [–5, 2]

b) [2, 10] y [3, 8]

c) (–7, 7) y [7,10)

d) [1, 5], (3, 9) y [2, 11)

4 Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado con una incógnita y expresa la solución en forma de intervalo y de forma gráfica:

6 Una librería se está planteando acudir a la feria del libro de Valencia. Para ello necesita asegurar unos ingresos mínimos de 1 880 € por la venta directa de libros. De la experiencia de otros años sabe que tendrá que hacer un descuento del 10 % sobre el precio de cada libro vendido al 20 % de los compradores y un 5 % al resto. Además, el precio medio estimado por libro se sitúa este año en 20 €. ¿Cuántos libros debe vender para superar sus ingresos mínimos? 7 Cuatro amigos que compran en el mismo supermercado los mismos días de la semana (martes y jueves) tienen la sensación de que siempre coinciden. Cada uno de ellos dedica siempre 45 minutos a realizar la compra. Para salir de dudas ponen en común sus horarios: Inma va los martes a las 16 h y los jueves a las 12 h. Luis va los martes a las 16 h 30 min y los jueves a las 11 h 15 min. Salva va los martes a las 15 h 15 min y los jueves a las 12 h 30 min. Paloma va los martes a las 15 h y los jueves a las 11 h 45 min. Resuelve sus dudas e indica quién y cuándo coincide realmente.

a) 9 + 9x – 11 ≥ x + 21 b) 7x – 5 + 11 – 3x < 1 – 5x c) 7x + 1 ≤ 3x – 5(x + 2) d) 2(2x – 3) + 5 > 7(x – 3) – 11 e) 2x – 1 – 5x + 4 ≤ x – 1 + x + 2 6 4 3 2 f) x – 1 + x + 1 – 3x + 5 ≥ 2x – 7 + x 7 6 3 2 2 g) x(x – 1) + 3 ≤ x + 5 h) x(2x + 1) – x(x – 5) – x(x + 6) > 7 5 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita de forma gráfica y expresa como intersección de intervalos las soluciones: a) '

x + 5 ≥ 1– x 2x + 3 ≤ 0

b) '

3x + 7 < x – 4 –5x + x ≤ 3x + 1

c) '

x + 1 < 3x + 5 2x – 4 ≥ 7 – x

d) )

5 (x + 1) – 3 (x + 2) ≥ 0 3 (x – 6) < 0

f) )

4 (x – 1) ≤ (3x – 5) + 2x 6 (x – 1) < 3 – 2 (x + 5)

Z] x – 1 x – 3 ]] ]] 2 – 3 ≥ x e) ][ ]] 2x – 1 ≥x ]] \ 5 78

8 Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado con una incógnita y expresa la solución en forma gráfica y de intervalo: a) x 2 – 5x + 6 ≥ 0

b) x2 + 2x + 1 ≥ 0

c) –x2 – 7x – 10 < 0

d) x2 + 2x + 1 ≤ 0

e) x2 + 2x + 3 ≥ 0

f ) –x2 – 6x + 7 > 0

g) x2 – 2x + 3 ≤ 0

h) x2 – 3x + 2 ≤ 0

9 Reduce y resuelve la inecuación resultante expresando la solución en forma gráfica y de intervalo. a) x(x – 2) + x(x – 1) ≥ x2 – x – 8 b) x2(x – 1) + x(x – 2) ≤ x3 – x(x + 5) c) –x2 + 4 ≤ 3(x2 + 2x) – 5x(x + 2) d) 1 + 7x(x + 2) ≥ 2x + 6(x2 + 2x)

10 Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas y expresa la solución en forma gráfica y de intervalo: a) (x – 1) (x + 3) ≥ 0

15 Un coche con motor bifuel de gas licuado de petróleo (GLP) y de gasolina sin plomo presenta los siguientes consumos de combustible cada 100 km.

b) (2x – 1) (x – 5) ≤ 0

km en autovía km en urbano

c) (3x – 1) (7x – 14) < 0

consumo gpl

d) (6x – 1) (6x + 1) > 0

consumo gasolina

11 Una granja familiar se dedica a la producción y venta de leche embotellada a particulares en su comarca. Un cliente de la comunidad autónoma vecina quiere comercializar la leche en una cadena de supermercados ecológicos. La familia tiene dudas de si este nuevo cliente le reportará beneficios porque el coste de un camión para transportar la leche es de 500 euros y no puede transportar más de 2 000 botellas. Además, los ingresos obtenidos por botella vienen dados por la expresión I (x ) = x (3 – 0,001x ), donde x son las botellas vendidas. ¿Cuál sería el número mínimo y máximo de botellas que deberían vender para asegurarse un beneficio mínimo de 1 500 € por cada camión vendido? 12 El pasado verano una consultora energética estimó que en los seis primeros meses del año siguiente el precio del litro de carburante diésel aumentaría en el tiempo siguiendo la relación p (t ) = 0,02t 2 + 1,38; con t en meses. Según esta consultora, ¿en qué momento el precio del diésel superará los 1,70 € por litro? ¿Y los 2 € por litro? 13 Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado con dos incógnitas de forma gráfica: a) 3x + 2y ≤ 5 b) x – y + 1 ≥ 0 c) –5x + 4y ≤ 20 d) –3x – 6y – 18 ≥ 0 14 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas de forma gráfica: x+y ≤ 5 –3x + y – 1 ≤ 0 a) * b) * –x – y + 2 ≤ 0 x–y>2 c) *

–2x + y ≤ 1 8x – 4y ≤ –4

Z] x – y ≤ 0 ]] ] e) [] x ≥ 2 ]] ]y ≥ 3 \

d) *

5x + 7y ≥ 70 x + 1, 4y ≥ 5

]]Z x + y ≤ 10 ]] f ) ][ x – y ≥ 0 ]] ] x – 2y ≤ 0 \

(L) (L)

El coche cuenta con dos depósitos separados para cada combustible y una capacidad de 50 L cada uno. Varias familias están analizando si para sus necesidades en cuanto a kilómetros recorridos, en tramos urbanos y de autovía a la semana, les puede interesar este coche. Para las familias es imprescindible poder cubrir la semana con un depósito de combustible indistintamente del combustible que utilicen. Las necesidades de las familias son: • Familia 1: 750 km en autovía y 100 km en urbano • Familia 2: 100 km en autovía y 450 km en urbano • Familia 3: 300 km en autovía y 300 km en urbano • Familia 4: 500 km en autovía y 300 km en urbano Estudia con qué tipo de combustible podrá cubrir sus necesidades cada familia. 16 Para el cumpleaños de mi hijo he invitado a la familia y unos amigos. Voy a preparar dos dulces que les gustan a todos. Cada dulce necesita 300 gramos y 225 gramos de harina más 3 y 4 huevos, respectivamente. En mi despensa solo me quedan 2 kg de harina y 2 docenas de huevos. Estudia el número de dulces de cada tipo que podré preparar sin ir a comprar. 17 En el supermercado de al lado de casa, en la sección de droguería y limpieza, han lanzado esta semana una oferta en celulosas que consiste en llevarse como mínimo cinco packs con un 10 % de descuento en cada uno. En casa necesitamos como mínimo 2 packs de rollos de papel higiénico y como mínimo 1 pack de rollos de papel de cocina mensualmente. Hemos pensado en aprovechar la oferta y adquirir ambos productos fijándonos un tope de 25 € para ello. Estudia las posibles combinaciones de tipos de papel que podemos adquirir sabiendo que el precio original del pack del papel higiénico es 3,59 € y el del papel de cocina es 1,8 €. 79

A PLI CA TA R EA 1

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A DE REPARTO DE COMI CREAR LA WEB DE UNA EMPRES

e enl sector para posicionart de as es pr em ras ot e br ormación so y de comercio justo. Actividad 1: Busca inf nto de vista ecológico pu un e sd de te iar nc ción de tus conocitre ellas y a la vez difere que vas a utilizar en fun nio mi do de o tip el e Actividad 2: Decid de ingresos y mientos previos. cual recojas tu previsión el en o nic téc r sie do un sto y las exActividad 3: Elabora s con los límites de ga ale ion rac y s ica óm lin es po s para el gastos. Utiliza expresion s. Ajusta tus previsione pe to mo co s ca lez tab que te es pectativas de ingresos negocio. ever la viabilidad de tu pr í as y o añ un de do perio en bici y las condiciojo para dos repartidores ba tra de rta ofe un ra icas y racionales Actividad 4: Elabo iliza expresiones polinóm Ut s. erá ec ofr les e qu es o para repartir nes laborales y salarial do el servicio y el tiemp an ibr uil eq r ga pa es pued para ajustar lo que les mpla con cada pedido. as en tu empresa que cu tic ác pr as en bu de o decálog Actividad 5: Elabora un ODS 7, 9 y 11. los de b, para al menos una meta a, donde utilices tu we es pr em tu de ión tac una presen Actividad 6: Prepara ayuntamiento. a de tu localidad o a tu es pr em a un alg a a arl mostr

TAREA 2 EL PRECIO DE LOS ALIMENTOS Y LAS DESIGUALDADES Actividad 1: Busca información sobre alimentos de primera necesidad. Elige cinco de ellos y busca información sobre los precios en el último año. Busca información sobre el gasto medio por familia en alimentación y sobre el concepto de pobreza alimentaria. Actividad 2: Durante un trimestre y de forma semanal acércate al supermercado más cercano para anotar el precio de estos alimentos y de otros. En una hoja de cálculo recoge la información y determina el rango de precios en los que se ha movido cada alimento. Actividad 3: Para diferentes tipos de familias elabora cestas de la compra y determina el gasto medio semanal de un niño de menos de 12 años y de un adulto a partir de esa edad. Tomando como referencia el salario mínimo interprofesional, y el gasto medio en comida por familia, plantea situaciones de riesgo de pobreza alimentaria para estos tipos de familias. (Ten en cuenta otros gastos como calefacción y vivienda). Actividad 4: Si puedes, colabora con una ONG o un banco de alimentos. En cualquier caso, organiza en tu IES charlas para sensibilizar a los alumnos y alumnas de los primeros cursos sobre la pobreza alimentaria. ¿Qué es? ¿Cómo se puede medir? Ayúdate con las gráficas y los datos que has recopilado en las actividades 2 y 3. Actividad 5: Diseña una campaña de concienciación sobre la pobreza alimentaria para tu barrio o tu pueblo que proponga alguna solución (inventada, imaginada o soñada) para la pobreza alimentaria alineada con alguna meta del ODS 2. En anayaeducacion.es encontrarás información para realizar esta tarea con mayor eficacia.

CO NÉC TATE

Inecuaciones con GeoGebra Utilizaremos la calculadora gráfica en línea GeoGebra como herramienta para solucionar inecuaciones polinómicas de cualquier grado.

Haz click aquí para ocultar la gráfica

• Introducimos un polinomio de cualquier grado, por ejemplo de grado tres en Entrada. A continuación, imponemos la condición (inecuación) ≤ 0, ≥ 0, < 0 o > 0: Ajustamos en Propiedades del objeto a Estilo-Mostrar sobre eje x. Obtendremos los intervalos solución de nuestra inecuación. Para obtener este resultado, tendrás que ocultar el eje Y. Ahora vamos un poco más lejos y construimos una herramienta para solucionar inecuaciones definidas por cocientes de polinomios de grado menor o igual que tres (estudiarás estas funciones, llamadas «racionales», en la unidad 12). • Introducimos un polinomio, f (x ), y duplicamos la entrada, g(x). Ocultamos sus gráficas. Con el comando Raíz(), obtenemos las raíces de los polinomios, que en este caso, serán iguales. En el ejemplo de la derecha, obtendremos los puntos (–1, 0), (1, 0) y (4, 0), que corresponden a las raíces x = –1, x = 1, x = 4. Modificamos el color y el estilo de los puntos: los ponemos como puntos no rellenos y hacemos que las etiquetas no sean visibles. Estos serán los puntos que influirán en el signo del cociente de polinomios. Utilizamos la herramienta Casilla de entrada con rótulo «N=» y objeto asociado «f » y otra vez con rótulo «D=» y objeto objeto asociado «g ». De esta forma, podremos introducir los polinomios que queramos. Introducimos un punto genérico P (a, 0 ), de forma que se generará automáticamente un deslizador, que ajustaremos a valores de a entre –10 y 10. f (P ) obteniendo un valor b. Este será el valor que evaluará si el cocieng (P ) te de polinomios es positivo o negativo. Evaluamos

Volvemos sobre el punto P y activamos Mostrar rastro. A continuación, en Propiedades → Avanzado ponemos Rojo: 0; Verde: b < 0; Azul: b > 0. Es decir, el rastro de P, que se pondrá en movimiento sobre la recta cuando activemos el deslizador a, cambiará de color en función del signo de b: será verde cuando b sea negativo y será azul cuando b sea positivo. Por ejemplo, si introducimos N = x (x + 3) (x – 1) y D = 2 – x, obtenemos:

a) ¿Para qué valores de x se anula el cociente de polinomios en este caso? ¿En qué intervalos o semirrectas es negativo? ¿En cuáles es positivo? b) ¿Cuál será la solución de la inecuación N / D > 0? ¿Y para las otras tres desigualdades? 81

FUNCIONES. S O C I S Á B S CONCEPTO

Gottfried Leibniz Nació en 1646 en Leipzig, Alemania. Fue un filósofo, teólogo y matemático que acuñó el término de función tal y como lo entendemos hoy en día, y contribuyó al desarrollo del cálculo diferencial.

118

DESCUBRE…

Concepto de función

Continuidad

Dominio y recorrido de una función

Crecimiento y decrecimiento

AFI AN ZA

Periodicidad A PLI CA

@ ANTES DE EMPEZAR… • RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS

CO NÉC TATE

Y además, en anayaeducacion.es, encontrarás más recursos para completar tu aprendizaje.

• REPRESENTACIÓN DE PUNTOS DEL PLANO EN LOS EJES DE COORDENADAS • INTERVALOS DE LA RECTA REAL

119

1 CONCEPTO

DE FUNCIÓN

Decides organizar un tour por Madrid con tres de tus amigos. Como quieres evitar aglomeraciones, optas por realizar los desplazamientos en taxi. Consultas las tarifas y averiguas que el coste por inicio de servicio es de 2,50 € y de 1,15 € por kilómetro recorrido. Sabiendo que todos podéis ir en un solo taxi, determina la relación entre el importe de un desplazamiento y los kilómetros recorridos en él. Es fácil darse cuenta de que, si llamamos x a los kilómetros recorridos en un desplazamiento e y al importe a pagar por él, las variables quedarán relacionadas según la expresión: y = 2,50 + 1,15x. De este modo, si, por ejemplo, quieres averiguar cuánto costará un desplazamiento de 2 km, solo tendrás que sustituir x = 2 km en la expresión y obtendrás el importe a pagar por él: y = 2,50 + 1,15 · 2 = 2,50 + 2,30 = 4,80 €.

OBSERVA • A cada valor de x le corresponde un único valor de y: 1

Además, a cada posible valor que tome x, le corresponderá un único importe. A una relación con las características anteriores se la llama función. 1

Una función es una relación entre dos variables que verifica que: • Una de las variables es la variable independiente (normalmente se denotará por x). • La otra variable es la variable dependiente (normalmente se denotará por y). • La función asigna a cada valor de la variable independiente, x, un único valor de la variable dependiente, y.

Sí es función. • Existen valores de x a los que les corresponden varios valores de y, por ejemplo, a x = 0,5:

Se dice que y es función de x y se representa como y = f (x). –1

FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCIÓN

No es función.

• Mediante un enunciado, como hemos visto en el ejemplo. • Mediante una tabla de valores: x (km)

…

y (€)

2,5

3,65

4,80

5,95

7,1

8,25

…

12,85

• Mediante una expresión algebraica. En el ejemplo: y = 2,50 + 1,15x. • Mediante una gráfica: € Y 12 y = 2,50 + 1,15x

10 8 6

Después, representamos los puntos en los ejes de coordenadas y, si tiene sentido, los unimos.

4 2 2

120

Para representar una función a partir de su expresión algebraica, primero construimos una tabla, dando valores a la variable independiente, sustituyéndolos en la expresión y obteniendo sus correspondientes valores de la variable dependiente.

10 12 14 X km

TEN EN CUENTA En el caso de los desplazamientos en taxi, decimos que se puede establecer el importe del desplazamiento en función de los kilómetros recorridos.

2 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN

Mientras organizas el tour por Madrid, decides averiguar entre qué importes se moverán vuestros desplazamientos. Consultas primero el mapa de la ciudad y observas que cualquier desplazamiento que queráis hacer será, como máximo, de 9 km. Por tanto, te das cuenta de que la variable «número de kilómetros recorridos por desplazamiento», x, solo podrá tomar valores menores o iguales a 9 km. Además, estos valores no podrán ser negativos, así que x tomará valores del intervalo [0, 9]. Lo que acabas de determinar es el dominio de la función y = 2,50 + 1,15x.

Se llama dominio de la función y = f (x ), y se denota por Dom f (x ), al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente x, de modo que exista un valor de la variable dependiente y tal que y = f (x ).

Para hacerlo, representas gráficamente la función y = 2,50 + 1,15x en los valores del dominio y observas, en el eje de ordenadas, que y toma valores entre 2,50 € y 12,85 €. Es decir, y tomará valores del intervalo [2,50; 12,85]. Lo que acabas de determinar es el recorrido de la función.

€ Y 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Para determinar el dominio de una función a partir de su gráfica, observamos en el eje de abscisas, X, los valores que toma la variable independiente x. Y para determinar su recorrido, observamos los valores que toma la variable dependiente y en el eje de ordenadas, Y.

y = 2,50 + 1,15x

Dom f (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Una función real de variable real, f, es una función en la que, tanto la variable independiente, x, como la variable dependiente, y, toman como valores números reales. La función del ejemplo es una función real de variable real.

RECUERDA

Im f (x)

Una vez conocido el dominio de la función, te dispones a averiguar qué posibles valores tomará el importe de los desplazamientos, es decir, y.

TEN EN CUENTA

Se llama imagen, rango o recorrido de una función, f (x ), y se denota por Im f (x ), al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente y, a medida que x recorre el dominio.

CÁLCULO DE DOMINIOS En ocasiones, necesitarás determinar el dominio de una función real a partir de su expresión algebraica. Para calcularlo, ten en cuenta qué operaciones no están permitidas en los números reales, como dividir entre cero, ya que los valores de la variable independiente que den lugar a alguna de estas operaciones no permitidas estarán excluidos del dominio de la función. 1 será el conjunto de los números x –2 reales que no anulen el denominador, ya que no es posible dividir entre 0. Por tanto: Dom f (x ) = {x ∈ Á/x ≠ 2} = Á – {2}. Por ejemplo, el dominio de la función y =

En el caso de la función y = x , la variable independiente x no puede tomar valores negativos, por tanto: Dom f (x ) = [0, +∞).

TEN EN CUENTA Como la función del ejemplo, y = 2,50 + 1,15x, establece la relación entre dos magnitudes cotidianas, ha sido restringida al domino [0, 9]. Sin embargo, si no tuviéramos en cuenta el contexto, el dominio de esta función sería Á.

121

3 CRECIMIENTO

Y DECRECIMIENTO

Y (7, f (7)) 9

• Una función es creciente en un intervalo abierto (a, b), si dados x1, x2 ∈ (a, b), con x1 < x2, se tiene que f (x1) < f (x2).

3 1

• Una función es constante en el intervalo abierto (a, b), si dados x1, x2 ∈ (a, b), con x1 < x2, se tiene que f (x1) = f (x2). Decreciente

y = f (x) f (x2)

f (x1)

f (x2) x1

y = f (x)

f (x1)

Constante

y = f (x)

f (x1)

(3, f (3))

• Una función es decreciente en el intervalo abierto (a, b), si dados x1, x2 ∈ (a, b), con x1 < x2, se tiene que f (x1) > f (x2). Creciente

(5, f (5))

f (x2)

En el caso del ejemplo, diremos, por tanto, que la función es creciente en cualquier intervalo (a, b) perteneciente al dominio [0, 9]. Ya tienes todo organizado para el tour e, incluso, has calculado el coste medio diario que invertiréis en desplazamientos en taxi, 33,20 €. Expresa analítica y gráficamente el coste diario por persona en función del número de pasajeros. Es evidente que el coste diario por persona será el coste medio total, 33,20 €, dividido entre el número de pasajeros. 33, 20 Así, la función que relaciona ambas variables es f (x ) = y = x . Para representarla, construimos primero la tabla de valores. x y (€)

33,20 16,60 11,07

30 25

8,30

En este caso, una vez representados los puntos en los ejes de coordenadas, no tiene sentido unirlos, ya que x, número de pasajeros, solo puede tomar valores naturales. Como puedes observar en la gráfica de la derecha, la función es decreciente.

122

€ Y

10 5 1234

n.º de pasajeros

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN Como tú y tus amigos sois aficionados al senderismo, decides organizar una ruta por la región. Buscas un itinerario en Internet, seleccionas el que se muestra a la derecha y les describes la ruta, indicándoles en qué tramos es creciente y en cuáles decreciente.

500

altura

400 300 200 100 desplazamiento

La ruta tiene un primer tramo ascendente entre los kilómetros 0 y 3. La función que relaciona el desplazamiento, x, y la altura, y, es creciente en el intervalo (0, 3). A continuación, hay un tramo descendente de 1,3 km de longitud, con lo que la función es decreciente en el intervalo (3; 4,3). De nuevo, a partir del punto x = 4,3 km, y hasta el kilómetro 6, la ruta vuelve a ascender, por lo que la función es creciente en el intervalo (4,3; 6). Vuelve a descender (la función es decreciente) en el intervalo (6, 8) y, a partir del kilómetro 8 y hasta el 11, la ruta tiene un tramo llamo, es decir, la función es constante en el intervalo (8, 11). ¿Qué sucede en los puntos x = 3 km, x = 4,3 km, x = 6 km y x = 8 km? Se dice que f (x ) tiene un máximo relativo o local en x = x0 si para todo x en un entorno de x0, f (x ) ≤ f (x0). Es decir, si la función es mayor en ese punto que en los puntos del entorno. Análogamente, se dice que f (x ) tiene un mínimo relativo o local en x = x0, si para todo x en un entorno de x0, f (x ) ≥ f (x0). Es decir, si la función es menor en ese punto que en los puntos del entorno.

TEN EN CUENTA Se llama entorno de centro x0 y radio r a todo intervalo centrado en x0 y de radio r, es decir, E (x0, r ) = (x0 – r, x0 + r ).

Máximo absoluto Máximo relativo

Mínimo absoluto

Mínimo relativo

Si f (x0) > f (x ) para todo x ∈ Dom f (x ), la función presenta su máximo absoluto en x0. En el caso de que f (x0) < f (x ) para todo x ∈ Dom f (x ), la función presentará en x0 su mínimo absoluto. En el caso del ejemplo, diremos que la ruta presenta dos máximos relativos, uno en x = 3 km y otro en x = 6 km, y presenta un mínimo relativo en x = 4,3 km. En el punto x = 8 km, la gráfica no presenta ni un máximo ni un mínimo relativo, ya que pasa de ser decreciente a ser constante. Además, la ruta alcanza su máximo absoluto en x = 6 km y su mínimo absoluto en x = 0 km.

123

4 CONTINUIDAD En la página 14 representamos gráficamente el coste diario por persona de los desplazamientos en taxi en función del número de pasajeros. Es decir, 33, 20 y = x . ¿Recuerdas por qué no tenía sentido unir los puntos? La variable independiente x, número de pasajeros, solo puede tomar como valores números naturales a partir de x = 1, ya que estamos hablando de personas. Como la variable x no toma ningún otro valor entre 0 y 1 ni entre 1 y 2 ni entre 2 y 3…, los puntos no se pueden unir. Por tanto, podemos decir que la función no puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

TEN EN CUENTA Si se considera y = 33,20/x sin tener en cuenta el contexto al que pertenece, se podrían unir los puntos de la misma, dando lugar a una función continua.

Una función se dice que es continua en el intervalo abierto (a, b), si se puede dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. En caso contrario, se dice que la función es discontinua. Los puntos en los que una función no es continua se llaman puntos de discontinuidad de la función.

Función continua en todo su dominio.

Cuando una función es continua en cualquier intervalo (a, b) del dominio, se dice que es continua en todo su dominio de definición. La función del ejemplo es una función discontinua. a Función discontinua en a.

TIPOS DE DISCONTINUIDAD • Discontinuidad evitable: se da cuando afecta a un solo punto dentro de un intervalo. Puede deberse a que falta la imagen de un punto o que aparece un punto desplazado.

• Discontinuidad inevitable o de salto: se da cuando se produce un salto en la imagen o recorrido de la función. Puede ser de salto finito o infinito. RECUERDA Dada una función y = f (x ), se llama imagen por f de x = x0, y se denota como f (x0), al valor de la variable dependiente, y0, que verifica que f (x0) = y0.

124

5 PERIODICIDAD Estás de vacaciones y tienes bastante tiempo libre, así que acompañas a un familiar a su revisión médica anual. Estando con él en la consulta, el médico le hace un electrocardiograma e imprime una imagen como la que se muestra a continuación.

Observas que el dibujo se repite indefinidamente y te preguntas si es habitual. El electrocardiograma registra la actividad eléctrica del corazón en función del tiempo. En un corazón sano, es habitual que las líneas que registran la actividad eléctrica se repitan a intervalos regulares de tiempo. Las funciones como la anterior, cuyo comportamiento se repite a intervalos regulares de la variable independiente x, se llaman funciones periódicas.

TEN EN CUENTA Cuando una función es periódica, sus valores se repiten a intervalos regulares. El periodo T es el menor número que verifica que f (x) = f (x + T ).

Una función f (x) se dice que es periódica de periodo T si la imagen de la misma se repite a intervalos de longitud T; es decir, si para cualquier valor de la variable independiente x se verifica que f (x) = f (x + T ).

Durante unas vacaciones en la playa decides entrenar nadando una hora cada tarde. Tu entrenamiento consiste en nadar en línea recta de la orilla hasta una boya, regresar otra vez a la orilla y repetir el mismo recorrido durante 60 minutos, nadando siempre a la misma velocidad. En la gráfica de la derecha se representa la distancia a la que te encuentras de la boya en función del tiempo. ¿Es una función periódica? ¿Cuál sería el periodo de la función?

20 10 0

min

10 20 30 40 50 60

Observando la gráfica, vemos que la función se repite a intervalos de longitud 20 s, por lo que podemos afirmar que es periódica de periodo T = 20 s. Así, vemos que f (5) = f (5 + 20) = f (5 + 20 + 20) = 10. Es fácil darse cuenta de que esto se cumpliría si continuásemos sumando el periodo, por lo que podemos afirmar que: f (x) = f (x + 20) = f (x + 20 + 20) = f (x + 20 + 20 + 20) = … = f (x + n20) Si f (x) es una función periódica de periodo T, se cumple que: f (x) = f (x + nT ), donde n es un número natural.

En pequeños grupos, buscad una situación cotidiana que pueda expresarse a través de una función periódica. Representad gráficamente la función y, durante el proceso, ayudaos unos a otros a solventar las dudas que os hayan podido surgir sobre este tipo de funciones.

125

AFI AN ZA 1 Determina si las siguientes relaciones entre magnitudes representan o no una función.

5 Observa la representación gráfica de la siguiente función y responde.

a) La relación entre el número de habitaciones de una vivienda y su precio.

b) La relación entre el tamaño del depósito de combustible de un coche y el coste de llenarlo a un determinado precio por litro. c) La relación entre la edad de un niño de 0 a 2 años y su estatura. d) La relación entre la cantidad de pienso y el tiempo que dura para alimentar a 20 vacas.

–2 –1

b) ¿Cuál es la imagen?

f) La relación entre el lado de un cuadrado y su área.

d) ¿Es constante en algún intervalo? ¿Dónde?

3 Lee el siguiente enunciado y representa gráficamente la función que relaciona el tiempo transcurrido y la distancia a casa. A las 9:30 de la mañana sales con tu madre para ir al supermercado, que está a 5 km de vuestra casa. Llegáis al supermercado 10 minutos más tarde. Tardáis 40 min en hacer la compra. Después, en el camino de vuelta a casa, paráis en un centro comercial que está a 2 km del supermercado y permanecéis allí 30 minutos. Llegar hasta allí os ha llevado 5 minutos. Por último, volvéis a casa, lo que os lleva 7 minutos. Representa el tiempo en el eje X y la distancia a casa en el eje Y. • Indica el dominio de la función. • Indica el recorrido de la función. • Determina en qué tramos la función representada es creciente, decreciente y constante. 4 Representa las siguientes funciones elaborando previamente una tabla de valores. Puedes tomar valores de –3 a 3 para la variable independiente. a) y = 2x – 1

b) y = x 2

c) y = –4x + 3

d) y = x 2 – 1

y = 4 – x2

y = (x – 2)2

a) ¿Cuál es el dominio?

e) La relación entre la cantidad de bolígrafos iguales que compras y el importe que pagas. 2 Idea tres situaciones de la vida cotidiana en las que se puedan relacionar dos magnitudes mediante una función. (Diferentes de las de la actividad 1).

126

c) ¿Dónde es creciente? ¿Y decreciente? e) ¿Dónde no es continua? 6 Representa gráficamente funciones que cumplan los siguientes requisitos. a) Es creciente en todos los números reales. b) Es decreciente hasta x = –2 y creciente a partir de ese punto. c) Tiene una discontinuidad en x = 3. d) Es creciente hasta x = 0, constante desde x = 0 hasta x = 3 y decreciente desde x = 3. 7 La función de beneficio de una empresa por la fabricación y venta de x unidades de cierto artículo viene dada por la expresión y = –x 2 + 50x – 600, donde x representa el número de artículos e y el beneficio obtenido, en cientos de euros. Observa su gráfica. 25 20 15 10 5 0

10 15 20 25 30 35

a) ¿Cuál es el mínimo número de artículos que debe fabricar y vender la empresa para no tener pérdidas (beneficio negativo)? b) ¿Cuál es el número de artículos que debe fabricar y vender para obtener el beneficio máximo?

• Indica el dominio y el recorrido de cada una de ellas.

c) ¿Cuál es dicho beneficio máximo?

• Determina en qué intervalos son crecientes, decrecientes o constantes.

d) ¿Se pueden unir los puntos de la gráfica? e) ¿Es la función continua o discontinua?

8 Indica si las siguientes funciones son periódicas e indica el periodo en caso afirmativo. a) 400

Encuentra en cada caso la expresión algebraica de la función que relaciona las magnitudes. a) El importe a pagar por x kg de manzanas, sabiendo que 1 kg cuesta 2,25 €.

300

b) El área de un cuadrado de lado x cm.

200

c) El área de un rectángulo cuya base es el doble de su altura. (Llama x a la altura del rectángulo).

100 0

d) El coste de llenar un depósito de gasolina si su precio es de 1,81 €/L. (Llama x a los litros de gasolina que vas a repostar).

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

e) El importe del alquiler de un coche, sabiendo que te cobran un fijo de 5 € más 0,50 €/km, en función de los kilómetros del viaje.

–2

–1

f) El importe a pagar por x bolígrafos iguales, sabiendo que la unidad cuesta 1,15 €.

11 Representa gráficamente las funciones de la actividad anterior y analiza los siguientes aspectos de cada una. a) ¿Se pueden unir los puntos de la gráfica?

b) ¿Es una función creciente o decreciente? –3

–2

–1

d) ¿Cuál es su recorrido? e) ¿Tiene algún máximo o mínimo? ¿Dónde?

–1

c) ¿Cuál es su domino?

2 1 1

7 L/100 km

0 –1

segunda tercera cuarta quinta sexta

km/h

30 40 50 60 70 80 90 10 0 11 120 130 140 150 0 16 170 0 18 190 0 20 0

9 Observa la gráfica de la siguiente función y determina:

16 14 12 10 8 6 4 2 0

Responde, para cada marcha, a estas cuestiones. 1

a) ¿En qué tramo el consumo es creciente? b) ¿En qué tramo el consumo es decreciente?

–1

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) ¿Cuál es la velocidad a la que debes circular en cada una de las marchas para obtener un consumo mínimo?

b) Los máximos y mínimos relativos.

d) ¿En qué marcha y en qué velocidad se consume menos?

c) Sabiendo que la función es periódica de periodo T = 4, completa en tu cuaderno la gráfica con dos periodos a cada lado.

e) ¿En qué marcha deberías conducir para una velocidad de 70 km/h para que el consumo sea lo menor posible? ¿Y para 90 km/h? ¿Y para 120 km/h? 127

A PLI CA TA R EA 1 ELABORAR EL PRESUPUESTO DE

UN VIAJE

dad europea. n unos amigos a una ciu co je via un rar pa pre e tividades Imagina que tienes qu e os alojaréis y qué ac nd dó s, réi ita vis s are é lug Además de pensar qu personas. un presupuesto para 5 rar bo ela es haréis, decid privado para jor opción de transporte me la et ern Int en tra en conductor… Actividad 1: Encu er con conductor o sin uil alq de e ch co i, tax los desplazamientos: itar, avelugares que quieres vis los n co rio dia g nin un pla splazamientos haréis Actividad 2: Elabora itinerarios. ¿Cuántos de los e lec tab es y s cia iento? rigua las distan etros de cada desplazam óm kil de ro me nú el rá cada día? ¿Cuál se averigua el e hayas seleccionado, qu rte po ns tra de n ció en expresar dicho coste Actividad 3: Para la op amientos. ¿Se puede laz sp de s lasp tro es de vu de de ro núme coste diario día? ¿Y en función del al os rid or rec os etr óm función de los kil o variable? dicho coste constante s ¿E s? rio dia s to en mi rios en za los desplazamientos dia de al du ivi ind ste co el e visitas. ¿Cambiarías de Actividad 4: Establec que vayáis a realizar las s na rso pe de ro me nú ra una más? función del rsona menos? ¿Y si hubie pe a un ra bie hu si rte medio de transpo

128

TA RE A 3 ORGANIZAR UN VIAJE EN GLOBO Tu madre siempre ha querido mo ntar en globo, así que decides organizar una excursi ón para que tú y toda tu familia la ayudéis a cumplir su sueño. Actividad 1: Busca una empresa que organice viajes en globo e infórmate de sus dife rentes servicios. Actividad 2: Averigua las tarifas de la empresa que vas a contratar y expresa el precio del viaje en función del número de personas que vais a participar. Actividad 3: Decides preparar un pequeño folleto informativo con algunas curiosi dades sobre los viajes en globo para dárselo a tu mad re justo antes de la excursión. Investiga los sigu ientes apartados e incluye tus resultados en el folle to: • La relación que existe, a medid a que el globo se eleva, entre la altitud y la temperatu ra. • La relación existente entre la altit ud y la presión. Actividad 4: Pregunta al encargado de llevaros en globo qué trayecto vais a seguir y qué altura alcanzaréis. Haz una representación apr oximada de dicho trayecto en unos ejes de coorde nadas. Puedes incluir esta información en el folle to.

CO NÉC TATE

Representación de gráficas con GeoGebra Ahora, vas a aprender a representar digitalmente algunas de las funciones que han aparecido a lo largo de la unidad a partir de su expresión algebraica. En Internet hay muchas herramientas para hacerlo, pero nosotros proponemos que utilices GeoGebra. Basta con que teclees en la barra de búsqueda de tu buscador habitual la palabra GeoGebra, y pinches en la primera página disponible. También puedes ir directamente a la siguiente dirección: https://www.geogebra.org/calculator Vamos a representar como ejemplo la función que relacionaba el coste de los desplazamientos en taxi con el número de kilómetros: y = 2,50 + 1,15x Para escribirla, introducirás en el cuadro de entrada la expresión y = 2.5 + 1.15x y, en los ejes coordenados de la derecha, aparecerá la gráfica de la función.

• En el menú de herramientas de la izquierda, selecciona la opción mostrar/ocultar objeto y pincha sobre la línea de la gráfica. Obtendrás la gráfica esperada:

• Ahora, practica representando la función: y = 4x + 5 129

, S E L A I C N E N O P X E S E N O FUNCI S O Z O R T A Y S A C I M T Í R A LOG

Julia Robinson Nació en Misuri en 1919. Hizo sus estudios de matemáticas en la Universidad de California y obtuvo el título de doctorado en 1948. Fue la primera mujer en ser nombrada miembro de la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos y la primera presidenta de la Sociedad Americana de Matemáticas (AMS). En 1983, recibió el Premio McArthur, prestigiosa beca que se concede para respaldar el trabajo de científicas y científicos del más alto nivel. 154

DESCUBRE…

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Funciones definidas a trozos

AFI AN ZA

A PLI CA

@ ANTES DE EMPEZAR… • PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS • CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE FUNCIONES

CO NÉC TATE

Y además, en anayaeducacion.es, encontrarás más recursos para completar tu aprendizaje.

• REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS • INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 155

1 FUNCIONES

EXPONENCIALES

A una de tus amigas le encantan los yogures, pero tiene intolerancia a la lactosa, así que le recomiendas que coma kéfir. Le explicas que el kéfir es una mezcla de microorganismos que transforman la leche en una especie de yogur, consumiendo la lactosa en el proceso de fermentación. Sabiendo que las bacterias del kéfir se reproducen por bipartición cada minuto, elabora una tabla de valores que proporcione el número de bacterias presentes en una muestra de kéfir, en función del tiempo, que cuenta inicialmente con 1 000 bacterias. ¿Podrías encontrar la expresión algebraica que determina el número de bacterias en función del tiempo transcurrido? Antes de construir la tabla de valores, definimos las variables de la relación: llamamos t al tiempo transcurrido (en min) y N al número de bacterias de kéfir. Como las bacterias se reproducen por bipartición cada minuto, es decir, se multiplican por dos, y partimos de una muestra inicial de 1 000 bacterias, la tabla de valores sería la siguiente: t (min)

1 000

2 000

4 000

8 000

16 000

Observa cómo pueden expresarse los datos de la tabla anterior: t (min) N

0 1 000 ·

1 20

1 000 ·

2 21

1 000 ·

3 22

1 000 ·

4 23

1 000 · 24

Por tanto, la expresión algebraica que determina el número de bacterias, N, en función del tiempo, t, es: f (t ) = N = 1 000 · 2t

Uno de tus compañeros no entiende cómo se ha construido la segunda tabla de esta página y se siente frustrado. ¿Qué contenidos previos le recomendarías repasar? ¿Cómo podrías ayudarle a sentirse mejor?

Esta relación es una función exponencial. TEN EN CUENTA

Las funciones exponenciales tienen las siguientes características: •

Su expresión algebraica es de la forma f (x) = y = k ∙ ax, donde a > 0.

• Su dominio es, en general, Á (aunque suele restringirse en ejemplos prácticos). • Su imagen es (0, +∞), ya que un número positivo elevado a cualquier número real será siempre un número positivo. • Su representación gráfica es la siguiente: Y

a>1

0<a<1

En el ejemplo, las bacterias se duplican en un instante concreto, por lo que el tiempo, t, siempre tomará valores enteros mayores o iguales a 0. De este modo, si representamos la función en unos ejes de coordenadas, no tiene sentido unir los puntos. n.º de bacterias

20 000 16 000 12 000 X

8 000 4 000

• Es creciente en todo su dominio para a > 1 y decreciente para 0 < a < 1.

156

tiempo

Una de tus primas ha recibido una herencia de 10 000 €, pero no puede disponer de ella hasta la fecha de su decimoctavo cumpleaños, para lo cual faltan 4 años. Su padre le recomienda poner su dinero en un depósito bancario y el banco les ha ofrecido un interés compuesto del 0,95 % anual. ¿Cuánto dinero tendrá tu prima en el depósito al cumplir los 18 años? ¿Y al cumplir los 20? ¿Y al cumplir los 38? Lo que tratamos de averiguar es la relación entre el paso del tiempo y la cantidad de dinero que acumulará tu prima en el depósito, teniendo en cuenta, claro, el tipo de interés que le ofrece este banco. Si denotamos t al tiempo (en años) y Ct al capital acumulado con el paso de los años, podemos establecer la relación entre ambas variables como: r m = 10 000 · c 1 + 0, 95 m = 10 000 · (1,0095)t f (t ) = Ct = Ci ∙ c 1 + 100 100 Dicha relación es una función exponencial a la que denotaremos como f (t ). La variable independiente en este caso es t y la variable dependiente, Ct, por lo que la función que relaciona el tiempo transcurrido con el capital acumulado es:

RECUERDA Para calcular el capital acumulado en t años, Ct, para un interés compuesto del r % anual, aplicamos la siguiente expresión: r t l Ct = Ci $ b 100 donde Ci es la cantidad inicial que se ha ingresado en el depósito bancario.

f (t ) = Ct = 10 000 · (1,0095)t Vamos a representar ahora dicha función, para lo que construiremos primero una tabla de valores. Recuerda que, para hacerlo, daremos valores a la variable independiente t y calcularemos sus imágenes a partir de la función f (t ). t (años)

Ct (€)

10 000

10 095

10 190,90

10 287,70

10 385,45

A continuación, para hacer la representación gráfica de la función, representamos los puntos de la tabla de valores en unos ejes de coordenadas. Como los intereses se recalculan cada año y, por tanto, también el capital acumulado, no podemos unir los puntos de la gráfica. Además, como el tiempo es una magnitud que solo puede tomar valores mayores o iguales a 0, nuestra función quedará representada en el primer cuadrante.

capital final

(€)

TEN EN CUENTA

15 000

Si no tuviéramos en cuenta el contexto real de nuestro ejemplo, el dominio de la función

10 000

f (t ) = 10 000 · (1,0095)t sería Á y su representación gráfica:

5 000

3 tiempo

4 (años)

Como podemos observar, a los 18 años, es decir, transcurridos 4 años desde que hizo el ingreso, tu prima tendrá un capital acumulado de 10 385,45 €. Si retirase el dinero al cumplir los 20 años, lo haría transcurridos 6 años desde que lo ingresó; si lo retirase al cumplir los 22, 8 años, y si lo retirase al cumplir los 38, 14 años. Por tanto, lo que queremos calcular es f (6), f (8) y f (14):

20 000 15 000 10 000 5 000 0

100

200

X 300

C6 = 10 000 ∙ (1,0095)6 = 10 583,70 € C8 = 10 000 ∙ (1,0095)8 = 10 785,76 €

C14 = 10 000 ∙ (1,0095)14 = 11 415,33 € Cuantos más años deje el dinero en el depósito, más capital tendrá cuando lo retire, y esto sucede porque la función es creciente en todo su dominio.

157

2 FUNCIONES

LOGARÍTMICAS

¿Recuerdas la función que determinaba el número de bacterias de una muestra de kéfir en función del tiempo transcurrido? Esta función exponencial, f (t ) = N = 1 000 · 2t, nos permitía averiguar la cantidad de bacterias (N, variable dependiente) para distintos tiempos (t, variable independiente), partiendo de una muestra inicial de 1 000 bacterias. Imagina que quieres determinar el tiempo transcurrido, t, en función del número de bacterias, N. Encuentra la expresión algebraica de dicha función. Vamos a considerar ahora una muestra inicial de 1 bacteria. Como, en este caso, la función exponencial de la que partimos es N = 2t, podemos aplicar la definición de logaritmo y concluir que el tiempo, t, es el número al que hay que elevar 2 para obtener N (número de bacterias), es decir, el logaritmo en base 2 de N: t = log2 N Esta es la función que buscamos, para la que ahora N es la variable independiente, y t, la variable dependiente. A este tipo de funciones se las llama funciones logarítmicas. Las funciones logarítmicas tienen las siguientes características:

RECUERDA Se llama logaritmo en base a de b, y se escribe logab, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener b. Debe cumplirse que a > 0, a ≠ 1, y b ≠ 0. A b lo llamaremos argumento del logaritmo. loga b = c ⇔ ac = b

• Su expresión algebraica es f (x) = y = loga x, donde a > 0 y a ≠ 1.

• Su dominio es, en general, Á+ = (0, ∞), aunque en la práctica suele restringirse. • Su imagen es Á.

• Su representación gráfica es la siguiente: Y

a>1

0<a<1

X X

• Es creciente en todo su dominio para a > 1 y decreciente para 0 < a < 1. Como la función t = log2 N la hemos obtenido a partir de la función N = 2t, aplicando la definición de logaritmo, es fácil comprobar que si un punto, por ejemplo (1, 2), pertenece a la gráfica de la función exponencial N = 2t, el punto (2, 1) pertenecerá a la gráfica de la función logarímica t = log2 N.

OBSERVA En la gráfica puedes ver que si un punto (a, b) pertenece a la representación de f (x), el punto (b, a) pertenece a la representación de g (x). Las funciones f (x) y g (x) son funciones inversas y sus gráficas son simétricas con respecto a la recta y = x.

2 1

2 0

(1, 2) 1

f (x) = 2x (2, 1) 1

–2 –1 3

Las funciones que cumplen esta propiedad se dice que son funciones inversas.

158

–1 –2

1 2 3 X g (x) = log2 x

En el laboratorio de ciencias vais a realizar un experimento con una disolución de ácido clorhídrico (HCl). El experimento consiste en medir el pH de la disolución en diferentes momentos para ver cómo varía al añadirle pequeñas cantidades de hidróxido de sodio (NaOH). Antes de comenzar, vuestro profesor os explica que el pH es una medida de la acidez o basicidad de una disolución acuosa (no tiene unidades), que el NaOH neutralizará la acidez de la disolución y que la expresión del pH en función de la concentración de NaOH viene dada por f (x) = y = log x + 14. Elabora una tabla de valores para la función f (x) y represéntala gráficamente.

RECUERDA Llamamos logaritmo decimal a todo aquel cuya base es 10. log10 b = c ⇔ 10c = a

En la notación del logaritmo decimal suele omitirse la base. Es decir, suele escribirse como log a.

Para elaborar la tabla con la que representar f (x), damos valores a x y calculamos sus correspondientes valores de y. En este caso, tomaremos como valores de x potencias negativas de 10, ya que las cantidades de NaOH que añadiremos a la disolución serán muy pequeñas. Por ejemplo, para x = 10–7, f (10–7) = log 10–7 + 14 = –7 + 14 = 7. Tomando distintos valores de x, construimos la siguiente tabla de valores: concentración de

NaOH (mol/L) pH

10–7

10–6

10–5

10–4

10–3

10–2

10–1

10–0 = 1

Para representar gráficamente la función, dibujamos los puntos de la tabla en unos ejes de coordenadas y los unimos (ya que en este caso tiene sentido). Como puedes apreciar en la gráfica de la derecha, grandes variaciones en la variable independiente suponen pequeñas variaciones en la variable dependiente. En cada medición, la concentración de NaOH es 10 veces la de la anterior medición, mientras que el pH aumenta tan solo en una unidad.

pH 14

RECUERDA Cuando en una función y = f (x) se cambia la variable independiente x por x – a, es decir, tenemos f (x – a), la gráfica de la función se traslada a unidades a la derecha si a > 0 y a la izquierda si a < 0.

12 10 8 6 4 2 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 concentración (mol/L)

La función es creciente en todo su dominio, ya que, a mayores valores de NaOH, mayor pH de la disolución. Esto tiene sentido, ya que la función f (x) es una traslación de la función y = log x y su gráfica quedará desplazada 14 unidades hacia arriba en el eje Y.

Análogamente, la gráfica de y = f (x) + b se obtiene trasladando la de y = f (x) b unidades hacia arriba si b > 0, y hacia abajo si b < 0. Al combinar ambas, se produce una traslación oblicua.

Como hemos visto en unidades anteriores, puedes usar GeoGebra para representar funciones. Observa, a la derecha, las gráficas de las funciones f (x) y g (x) representadas con la aplicación. Para introducir logaritmos en GeoGebra, utilizamos el código log(b,x) (en el que «b» es la base del logaritmo, en nuestro caso 10, y «x» el argumento, en nuestro caso x).

En parejas, haced una pequeña investigación para averiguar en qué situaciones reales suelen utilizarse funciones logarítmicas. ¿Creéis que su uso es importante? ¿Cuáles pensáis que serían los inconvenientes de no poder utilizarlas?

159

3 FUNCIONES

DEFINIDAS A TROZOS

Tu hermana ha conseguido un trabajo como comercial de calzado y os explica que su sueldo tiene una parte fija y una comisión por ventas, que varía en función de la cantidad de dinero facturada. Dicha comisión es del 3 % para ventas inferiores a 5 000 € mensuales, del 5 % para el tramo de ventas entre 5 000 € y 10 000 € mensuales, sin incluir los 10 000 €, del 7 % para el tramo de ventas entre 10 000 € y 20 000 € mensuales, ambas cantidades incluidas, y del 10 % para ventas superiores a los 20 000 €. Determina la expresión algebraica de la función que relaciona la cantidad facturada y la comisión que obtendrá por ella. Después, representa gráficamente dicha función. En primer lugar, denotaremos como x a la cantidad de dinero facturada por tu hermana y como y a la comisión que recibirá por ella.

RECUERDA

Para obtener la expresión algebraica de la función que relaciona ambas variables, debes tener en cuenta que la comisión recibida, y, será diferente para distintos tramos de facturación, es decir, para diversos intervalos de x, ya que los porcentajes de comisión son distintos. Por tanto, dicha expresión algebraica será: ]]Z 0,003x si 0 ≤ x < 5 000 ]] ]] 0,005x si 5 000 ≤ x < 10 000 y = f (x) = [] ]] 0,007x si 10 000 ≤ x ≤ 20 000 ]] comisión (€) ] 0,10x si x > 20 000 \ 3 000 Este tipo de funciones, en las que cambia la definición de la vay = 0,03x y = 0,05x 2 600 riable dependiente para distintos valores de la variable independiente, reciben el nombre de funciones definidas a trozos. 2 200 Para representar la función de nuestro ejemplo, tendremos en cuenta que en todos los tramos de definición contamos con la expresión algebraica de una función lineal, y su representación gráfica en cada tramo será una recta. Además, pondremos especial atención en los puntos donde la función cambia de definición. Como puedes observar en la gráfica, x = 5 000 está definido en el segundo tramo, x = 10 000, en el tercero, y x = 20 000, en el tercero.

Para calcular el porcentaje, a %, de una cantidad C, aplicamos la siguiente expresión: a a % de C = ·C 100

y = 0,07x

y = 0,1x

1 800 1 400 1 000 600 200 0

5 000

10 000

15 000

20 000 facturación

Para estudiar las características de las funciones definidas a trozos, debemos estudiar cada tramo de forma independiente y, además, analizar lo que ocurre en los puntos en los que cambia la definición de la función. En el caso del ejemplo, la función tiene las siguientes características: • Dom f (x) = [0, ∞), ya que no tiene sentido un volumen de ventas negativo, y los diferentes tramos cubren toda la recta real a partir de x = 0. • Para calcular la imagen de la función, observa en la gráfica que y no toma todos los valores del intervalo [0, +∞). Por tanto: Im f (x) = [0, 150) ∪ [250, 500) ∪ [700, 1 400] ∪ (2 000, +∞)

• Es discontinua con discontinuidad de salto finito en x = 5 000, x = 10 000 y x = 20 000. • Es creciente en todo su dominio.

160

(€)

TEN EN CUENTA Para determinar el dominio de una función definida a trozos, debes fijarte en los intervalos en los que está definida y analizar el dominio de cada expresión algebraica en el intervalo correspondiente. Para determinar la imagen, observa en la gráfica los valores que toma la variable dependiente.

VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN Es tu cumpleaños y has organizado una merienda en casa para invitar a los vecinos de tu edificio. Al hacer las invitaciones, se te ocurre incluir en ellas el número de plantas que tendrán que subir o bajar tus invitados para llegar a tu casa, que está en la 2.ª planta. En tu edificio hay dos sótanos con apartamentos, una planta 0 y seis plantas más sobre esta última. Construye una tabla de valores para representar la función que relaciona cada planta de tu edificio con el número de plantas que tendrán que subir o bajar los que viven ella para llegar a la tuya. ¿Podrías obtener, a partir de dicha función, la distancia (en número de plantas) que hay desde tu apartamento al resto de las plantas de tu edificio? En primer lugar, denotaremos como x al «número de planta» y como y al «número de plantas que se tendrán que subir o bajar desde x para llegar a la 2.ª». Como quieres diferenciar si de una planta se sube o se baja para llegar hasta la tuya, utilizas valores positivos para indicar subida y valores negativos para indicar bajada. De este modo, obtienes la siguiente tabla de valores: x y

–2

–1

–2

–3

–4

A partir de la tabla, es fácil comprobar que la expresión algebraica de dicha función es y = f (x) = 2 – x. Como ya hemos visto, la función f (x) relaciona el «número de planta» con el «número de plantas que subir o bajar desde una dada para llegar a tu apartamento», pero si lo que quieres es representar la distancia (en plantas) que hay desde cualquier planta, x, hasta la 2.ª planta, lo que necesitas es el valor absoluto de y, es decir, el valor absoluto de la función f (x). El valor absoluto de f (x), |f (x)| se define como una función a trozos del siguiente modo: –f (x) si f (x) < 0 |f (x)| = ) f (x) si f (x) ≥ 0 Por tanto, la expresión que buscamos es: |f (x)| = |2 – x| = )

– (2 – x) si 2 – x < 0 x – 2 si x > 2 2 – x si x ≤ 2 =' =' 2–x x ≤ 2 x –2 x > 2 (2 – x) si 2 – x ≥ 0

Si representas f (x) y |f (x)| en los mismos ejes de coordenadas (en el gráfico de la derecha), puedes observar que la gráfica de la función |f (x)| es similar a la de f (x), pero la parte del gráfico que tomaba valores negativos en f (x), toma el valor absoluto de dichos valores en |f (x)|, es decir, valores positivos. Observa que, mientras que f (x) es decreciente en todo su dominio, |f (x)| es decreciente para los valores de x entre –2 y 2, y creciente para los valores a partir de x = 2.

RECUERDA El valor absoluto de un número real x se define como la distancia de dicho número a 0 en la recta real y se representa como |x|. –x si x < 0 |x| = ( x si x ≥ 0

Y 6 4 2 –6 –4 –2 0 –2

X 8

–4 –6 Gráfica de f (x) = 2 – x. No tiene sentido unir los puntos, ya que x toma solo valores enteros entre –2 y 6.

TEN EN CUENTA Para calcular los intervalos de definición de |f (x)|, tendrás que resolver las inecuaciones f (x) < 0 y f (x) ≥ 0. En el caso del ejemplo: 2–x<0↔x>2 2–x≥0↔x≤2 6 Y 4 2 –6 – 4 –2 0 –2

X 8

–4 –6

161

AFI AN ZA 1 Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales: a) y = 2x b) y = –3x 1 x c) y = b l d) y = 4 · 3x 2 • ¿Cuál es el dominio? • ¿Y la imagen? • ¿Son crecientes o decrecientes? 2 A partir de las gráficas de las funciones de la actividad anterior, representa las siguientes funciones: a) y = 2x – 1

b) y = –3x + 1

c) y = 2x – 2

d) y = –3x + 2

y = 2x – 2 + 1

1 x g) y = b l + 1 2

f ) y = 4 · 3x – 2 h) y = 4 · 3x + 1

ayuda:

obtenemos la gráfica de f (x – a) trasladando la de f (x) a unidades a la derecha si a > 0 y a la izquierda si a < 0. Análogamente, obtenemos la gráfica de f (x) + b trasladando b unidades hacia arriba la de f (x) si b > 0, y hacia abajo si b < 0. 3

Representa, utilizando GeoGebra, las funciones f (x) = 3x y f (x) = 3–x. ¿Qué observas? nota:

Para representar con GeoGebra funciones exponenciales como f (x) = k · ax, introduce en la barra de entrada el código k · a ^ x.

5 Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos: Z] x + 1 si x ≤ –1 ]] a) y = ][] 2x + 3 si –1 < x < 1 ]] 2 x + 4 si x ≥ 1 \ –x si x < 0 b) y = ' x si x ≥ 0 Z] 1 ]] ]] x + 1 si x < –1 [ c) y = ]]] x + 1 si –1 < x < 1 ]] 2 – x si x ≥ 1 Z\] 2 ]] x – 4 si x ≤ –1 ] 2 si –1 < x < 2 d) y = ][ 2x – x ]] ] x2 + 4x + 4 si x ≥ 2 \Z ]] x – 4 si x ≤ 2 ]] ]1 e) y = [] x si 2 < x < 4 ]] ]] x 2 – 10 si x ≥ 4 \ • En cada uno de los casos anteriores, indica si las funciones son continuas o tienen algún punto de discontinuidad. • Determina también su dominio y su imagen. 6 Observa el ejemplo y expresa las siguientes funciones de valor absoluto como funciones definidas a trozos. Después, represéntalas gráficamente.

a) y = log2x

Expresa la función y = |x2 – 4| como una función definida a trozos: –x2 + 4 si x2 – 4 < 0 2 ) |x – 4| = f (x) = 2 x – 4 si x2 – 4 ≥ 0

b) y = log3 1 x c) y = log3 x

Para calcular los tramos de definición, estudiamos el signo de x2 – 4. Para ello, tendremos en cuenta que las soluciones de la ecuación x2 – 4 = 0 son 2 y –2.

4 Representa gráficamente las siguientes funciones logarítmicas.

d) y = log2 (–x)

x2 − 4 > 0 (x < –2)

e) y = –log2 x f) y = log5 x

–6

g) y = log1/2 x

h) y = log5 x–1

–4

Por tanto:

nota:

Para representarlas, puedes usar una calculadora científica o GeoGebra. Si quieres hacerlo sin herramientas tecnológicas, basta con que tomes como valores de x potencias de la base. • Para cada una de las funciones anteriores, indica el dominio y la imagen. • Indica si son crecientes o decrecientes. 162

x2 − 4 < 0 (–2 < x < 2) –2

x2 − 4 > 0 (x > 2) 2

Z 2 ]]] x – 4 si x ≤ –2 ] |x 2 – 4| = [] –x2 + 4 si –2 < x < 2 ]]] 2 x – 4 si x ≥ 2 \

a) y = |x + 3|

b) y = |x2 – 9|

c) y = |x – 5|

d) y = |2x – 1|

y = |x2

f ) y = |4x – 5|

– 1|

7 Tu madre recibe una herencia de 20 000 € y te pide ayuda para invertir el dinero de la mejor forma posible. Buscando en Internet, encuentras dos entidades bancarias que ofrecen los siguientes productos:

10 Indica, en cada caso, cómo obtener la gráfica de la función II a partir de la gráfica de función I. a) I: y = log2 x

II: y = log2 (x – 2)

b) I: y = –log2 x

II: y = –log2 x + 2

c) I: y = log3 x

II: y = log3 x + 2

Entidad B: Depósito a 5 años a un interés compuesto de 0,95 % anual.

d) I: y = log3 x

II: y = log3 (x + 2)

a) Encuentra, en cada caso, la expresión algebraica de la función que expresa la cantidad acumulada en el depósito en función del tiempo.

e) I: y = log5 x

II: y =log5 (x – 1) + 3

f ) I: y = log1/2 x

II: y = log1/2 x + 1

Entidad A: Depósito a 3 años a un interés compuesto del 1,35 % anual.

b) Representa gráficamente ambas funciones. Puedes utilizar herramientas digitales. c) Determina cuál será el capital final para cada una de las dos opciones. d) ¿Qué producto financiero le interesa más a tu madre? 8 En una determinada región, la población al cabo de 10 años es 1,5 veces la población que había inicialmente. a) Encuentra la función que relaciona la población con los periodos de 10 años transcurridos. ¿De qué tipo es dicha función? b) Si la población inicial era de un millón de habitantes, ¿cuál será la población al cabo de 50 años? c) ¿Y al cabo de 100 años? d) ¿Y al cabo de 75 años? e) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir, de manera aproximada, para que la población se quintuplique? 9 Observa la siguiente gráfica de la posible evolución de una población y responde a las cuestiones: 4 500

Representa las funciones anteriores con GeoGebra. nota: Recuerda que para escribir logaritmos en GeoGebra debes introducir en la barra de entrada el código log (b,x), donde «b» es la base del logaritmo, y «x», el argumento. 11 Tu primo Juan y unos amigos han elaborado un cómic y quieren imprimirlo para venderlo a sus familiares y recaudar fondos para un viaje a Japón. La editorial que han elegido les da el siguiente presupuesto: Coste de edición y maquetación: 18 €. Coste de impresión de cada ejemplar: 5 € si se imprimen 50 ejemplares o menos; 3 € si se imprimen más de 50 ejemplares. a) Obtén la expresión de la función que da el coste total y, en función del número de ejemplares impresos, x. b) ¿De qué tipo es dicha función? c) Represéntala gráficamente.

3 500

d) Indica su dominio y su imagen.

2 500

e) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. f) ¿Es una función continua?

1 500

g) ¿Cuánto deberán pagar si deciden imprimir 40 ejemplares? ¿Y si imprimen 60? ¿Qué sale más barato?

500 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070

a) ¿Cuál era la población en el año 2010? b) ¿Cuál es la población estimada en el año 2030? c) ¿Y para el año 2060? d) ¿Qué tipo de función es la que relaciona los años con la población?

h) Si cada uno de los tres creadores dispone de 150 € para invertir en el cómic, ¿cuántos ejemplares, como máximo, pueden imprimir? i) Suponiendo que consiguen vender el máximo de libros impresos, ¿cuál debe ser el precio de venta parar obtener un beneficio de 330 € cada uno (990 € en total).

163

A PLI CA TA R EA 1 HOY ERES TÚ EL PROFESOR

s compuescómo funciona el interé se cla la a tod a r ca pli ex Imagina que tienes que y simulaciones. sentación con gráficos pre a un r ce to. Decides ha la que calcules o una hoja de cálculo en nd liza uti la tab a un ra ntes rédiActividad 1: Elabo ertir 25 000 € para difere inv al , os rad ne ge s se el capital final y los intere a lo largo de 10 años. tos compuestos anuales n del capital final con que muestre la evolució co áfi gr un za ali Re escogido en la Actividad 2: de los réditos que has s do s, no me al ra, pa el paso del tiempo, actividad anterior. de los intereses, con el e muestre la evolución qu co áfi gr un za ali Re Actividad 3: en la actividad 1. los mismos réditos que paso del tiempo, para pital final con raica que relaciona el ca eb alg ión es pr ex la tra Actividad 4: Encuen s escogidos. el tiempo para los rédito mación obtenida y extación con toda la infor en es pr a un za ali Re ses compuestos. Actividad 5: que sabes sobre intere lo s era añ mp co y s ero plica a tus compañ

TAREA 2 EXPERTO EN ESCALAS LOGARÍTMICAS

TA RE A 3

Actividad 1: Investiga en Internet sobre lo que es una escala logarítmica y para qué se utiliza.

PORCENTAJE DE IRPF

Actividad 2: Encuentra, al menos, dos ejemplos de magnitudes en las que suela usarse la escala logarítmica y haz un pequeño resumen de sus principales características.

Las funciones definidas a trozos están más presentes en la vida cotidiana de lo que imaginas. Un ejemplo es el pago de impuestos.

Actividad 3: Utilizando una hoja de cálculo, haz una simulación para los ejemplos que has encontrado en la actividad anterior, tomando los valores reales de las magnitudes y calculando sus respectivos valores en escala logarítmica. Actividad 4: Realiza un gráfico con los datos obtenidos en la actividad anterior. Para ello, puedes usar en la hoja de cálculo la herramienta insertar, gráfico, dispersión y selecciona la primera opción. Obtendrás una nube de puntos. Actividad 5: Con los mismos datos, inserta un gráfico de dispersión del segundo tipo. Obtendrás un gráfico en el que los puntos estarán unidos por una línea. ¿Sabrías decir qué tipo de función representa esa línea?

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Actividad 1: En pequeños grupos , investigad la cuantía de IRPF que pagan los españoles en función de sus ingresos. Actividad 2: Escribid la función que determina el porcentaje de IRPF que pagan los contribuyentes en función de sus ingresos. Actividad 3: Elaborad una tabla de valores para dicha función. Actividad 4: Realizad la represe ntación gráfica de función utilizando alguna herram ienta digital. Actividad 5: Realizad una infografía con la información obtenida y presentadla en clase.

CO NÉC TATE

Como ya estás familiarizado con la representación de funciones con GeoGebra, en esta unidad vamos a aprender a representar funciones dadas por una tabla de valores y funciones definidas a trozos.

Funciones dadas por una tabla de valores Una vez has entrado en la aplicación, pincha en el botón «Tabla», en el menú de opciones que se encuentra a la izquierda, e introduce los puntos de la siguiente tabla. x

–2

–1

Obtendrás la representación de los puntos en los ejes de coordenadas de la aplicación y puedes comprobar que la tabla de valores anterior se corresponde con la función f (x) = |2 – x |. Puedes comprobarlo introduciendo en el menú de álgebra el código y = abs(x) y pulsando Enter. Como puedes observar en la imagen, la gráfica de la función se ajusta perfectamente a los puntos que habías representado con anterioridad.

Funciones definidas a trozos Para representar funciones definidas a trozos con GeoGebra, utilizaremos el comando SI(Condición,Entonces). En dicho comando, podrás introducir el intervalo de definición (Condición) y la expresión algebraica que corresponda en cada caso (Entonces). Por ejemplo, si queremos representar la función definida a trozos: ]Z] 0, 03x si 0 ≤ x < 5 000 ]] ]] 0, 05x si 5 000 ≤ x < 10 000 f (x) = [] ]] 0, 07x si 10 000 ≤ x < 20 000 ]] ] 0, 10x si x > 20 000 \ Introduciremos en «Entrada» el siguiente código: f(x) = SI(x<5000,0.03x,5000≤x<10000,0.05x,10000 ≤x≤20000,0.07x,x>20000,0.1x) Después, pulsaremos Enter, y GeoGebra nos devolverá la gráfica de la derecha. • Ahora, construye una tabla de valores para las siguientes funciones y represéntalas en GeoGebra. Después, puedes introducir la expresión de la función y comprobar que su imagen se ajusta al conjunto de puntos. a) y = 2x – 1

b) y = –(3x + 1)

c) y = 2x – 2

d) y = –(3x) + 2

e) y = log2 x

f ) y = |x 2 – 9|

]Z] x2 si x ≤ 0 ]] g) y = [] log x si 0 < x < 10 ]] ]x si x ≥ 1 \

]Z] 5x – 1 si x < 4 ]] h) y = [] log2 x si 4 ≤ x < 12 ]] ]x si x ≥ 12 \ 165