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ESO
A S A C I T Á MATEM veira G., M.ª José Oli lera C., ., J ra le o C José ón Co telu A., Ram Ignacio Gaz a Aicardo B. An
O peración ANDALUCÍA
mundo
¿Qué vamos a aprender? Entrénate resolviendo problemas
Números naturales,
1 enteros y fraccionarios BLOQUE I Aritmética
BLOQUE II Álgebra
2 Números decimales
PÁGINA
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE • ODS
• Haz un esquema, un gráfico o una tabla que te ayude a organizar los datos
10
34
50
SABERES BÁSICOS
Números carismáticos Educación de calidad
La espectacular propulsión de las velas solares Industria. Innovación
• Números naturales • Números enteros
• Tipos de números decimales • Paso de decimal a fracción
e infraestructura
3 Números reales
64
4 Polinomios
82
5
Ecuaciones
98
6
Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
7
Más números carismáticos Educación de calidad
Patrones que simplifican Educación de calidad
Un mundo sostenible Producción y consumo
• Números reales: la recta real
• Operaciones con polinomios • División de un polinomio por (x − a)
• Ecuaciones de primer grado
responsables
Funciones. Características
114
Comercio socialmente responsable Producción y consumo
• Sistemas de ecuaciones lineales • Resolución de sistemas de ecuaciones
responsables
138
De función cuadrática a función lineal Industria. Innovación
• Conceptos básicos • Cómo se presentan las funciones
e infraestructura
BLOQUE III Funciones y geometría
BLOQUE IV Estadística y probabilidad
La gravedad del asunto
8
Funciones elementales
150
9
Aplicaciones de la semejanza
166
10
Estadística
188
11
Estadística bidimensional. Correlación
Industria. Innovación e infraestructura
Los museos, focos de cultura y de inspiración Vida de ecosistemas terrestres
Los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) Alianzas para lograr los objetivos
12 Probabilidad
208
La estadística, bien hecha, no miente Salud y bienestar
222
¿Cambio o me planto? Educación de calidad
• Funciones lineales • Funciones cuadráticas
• Semejanza • Homotecia
• Conceptos básicos • Tablas de frecuencias
• Distribuciones bidimensionales • El valor de la correlación • Obtención de probabilidades: ¿experimentación o cálculo matemático? • Sucesos aleatorios
PORFOLIO • En los problemas geométricos, haz un dibujo
• Experimenta, tantea, pon ejemplos… conjetura y comprueba... • Investiga
• Fracciones • Operaciones con fracciones
• Problemas con fracciones • Potencias
• Cantidades aproximadas. Errores
• La notación científica
Haz cuentas y compara datos para que sean más comprensibles
• Tramos de la recta real: intervalos y semirrectas
• Raíces y radicales
Sucesiones que se aproximan a números carismáticos
Muco
MÁS QUE MATES
• Raíces de un polinomio • Factorización de polinomios
• Preparación para ecuaciones
• Ecuaciones de segundo grado
• Otros tipos de ecuaciones
• Sistemas de ecuaciones lineales más complejos • Resolución de problemas mediante sistemas • Sistemas no lineales • Inecuaciones con una incógnita
Muco
Las similitudes entre los números enteros y los polinomios
Cómo resolver ecuaciones diofánticas
Cómo resolver sistemas de ecuaciones diofánticas
MÁS QUE MATES
• Funciones continuas. Discontinuidades • Variaciones de una función
• Tendencia y periodicidad
• Funciones radicales • Funciones de proporcionalidad inversa
• Funciones exponenciales
• Rectángulos de dimensiones interesantes • Semejanza de triángulos
• La semejanza en los triángulos rectángulos
Muco
Curiosas familias de números naturales
De parábolas a rectas, frenando la caída
Cómo varía la gravedad al variar la altura o al cambiar de planeta
¿Por qué la enorme vela del dimetrodón? ¿Qué otras curiosidades nos depara la semejanza en la naturaleza?
MÁS QUE MATES
• Parámetros estadísticos: x y σ • Parámetros de posición
• Diagramas de caja • Estadística inferencial
Hagamos una encuesta sostenible
• La recta de regresión para hacer estimaciones • Reflexionemos: ¿La correlación significa causa-efecto?
• Distribuciones bidimensionales con calculadora
La correlación para interpretar nuestro mundo
• Probabilidad de un suceso • Obtención de la probabilidad de un suceso
• Experiencias compuestas. Probabilidad • Tablas de contingencia
Puertas y llaves
Muco
MÁS QUE MATES
1
Números naturales, enteros y fraccionarios 4. Educación de calidad
34
Situación de aprendizaje
Números carismáticos
Para los pitagóricos (siglo v a. C.) los números regían el universo, desde las órbitas de los planetas hasta la música. Pero ¡atención!, para ellos los números eran los números naturales, consideraban las fracciones como relaciones entre números. En todas las épocas se han usado los números para medir el tiempo, el espacio, la cantidad y la forma de las cosas y han inspirado a artistas para crear obras de arte y a científicos para elaborar ingeniosas teorías. Por ejemplo, la muy conocida sucesión de Fibonacci aparece en muchos fenómenos naturales, como las espirales de las conchas marinas o las semillas de los girasoles. Esta sucesión está íntimamente relacionada con el número áureo, considerado como proporción estética, canon de belleza, que ha inspirado infinidad de obras de arte, desde el Partenón de Atenas hasta el David de Miguel Ángel.
A..
PROP
UEST
Te propondremos que recuerdes algunas familias de números naturales que ya conoces: primos, cuadrados perfectos, cubos... y que te adentres en otras curiosísimas familias numéricas para conocerlas, comprenderlas y, acaso, detectar nuevas propiedades. También te pediremos que indagues por tu cuenta (por internet u otras vías) para profundizar en las familias de números que aquí encontrarás o en otras que lo merezcan.
....
Ponte en situación con lo que ya sabes
1 Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...
a) Añade los cinco siguientes. b) ¿Sabrías averiguar si un cierto número es primo o no lo es? Prueba con los siguientes: 101, 391, 401 2 Seguro que sabes hacer una lista con los primeros cuadrados perfectos y otra con los primeros cubos
perfectos. No hace falta que las hagas, pero hay algunos números que están en las dos listas ¿Cuál es el menor de ellos, sin contar el 0 ni el 1?
3 El 3, el 6 y el 10 son números triangulares, como se justifica por su representación.
3
6
10
Sin necesidad de dibujarlos, añade los cinco siguientes. 4 Recuerda la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...
Añade cinco términos más.
35
1
Números naturales Los números naturales son 0, 1, 2, 3, …, 14, 15, 16, …, 109, 110, … Hay infinitos. El conjunto de todos ellos se denomina N.
¿El 0 es natural?
Aquí lo hemos incluido como número natural, pero hay libros cuyos autores no lo consideran elemento de N. Recuerda
Los cardinales sirven para contar y los ordinales, para ordenar. Por ejemplo, en la afirmación: «De los 8 finalistas de la carrera, Mario ha llegado tercero», el 8 es cardinal y el 3 es ordinal.
Como están ordenados se pueden representar sobre una recta: 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Como sabes, los números naturales sirven para contar. Se cuentan los alumnos de una clase o los azulejos que hemos comprado para alicatar una pared. Pero, también se cuentan los ladrillos que hay en una gran pila ortogonal o las distintas posibilidades que hay de formar un equipo de 5 jugadores de baloncesto con los 12 que hay en el banquillo. Los números naturales también sirven para ordenar (primero, segundo, tercero…).
Distintas formas de contar • El pastor cuenta sus ovejas del mismo modo que tú cuentas tus canicas o los cromos que hay en un montón: 1, 2, 3, 4… • Cuando calculamos cuántos sacos hay en una pila, multiplicando el número de ellos que hay a lo largo, a lo ancho y a lo alto, también estamos contando. • Averiguar el número de posibilidades que tenemos para seleccionar 3 libros de un total de 5 requiere ciertas estrategias nada sencillas. Pero también esto es contar.
10 8
5
5 · 8 · 10 = 400 sacos
Veamos algunos problemas en los que habremos de contar no siempre de forma sencilla. |problema 1 ¿Cuántos ladrillos hay en total?
Hay 3 bloques y 6 ladrillos sueltos. Entonces: (4 · 7 · 8) + (6 · 6 · 13) + (5 · 10 · 11) + 6 = 224 + 468 + 550 + 6 = 1 248 En total hay 1 248 ladrillos. |problema 2 ¿De cuántas formas distintas podemos elegir tres libros de un conjunto de 5? Llamamos A, B, C, D, E a los cinco libros: ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE 4 10 formas distintas CDE 36
1
|problema 3 Con 8 equipos de fútbol se organiza una liga. Cada dos equipos se enfrentan una vez. ¿Cuántos partidos hay que jugar en total? Hay un total de 7 jornadas (los partidos que juega cada equipo) y se juegan 8 : 2 = 4 partidos por jornada. Por tanto, un total de 4 · 7 = 28 partidos. |problema 4 Un partido de fútbol ha terminado 4 - 2 a favor del equipo local. a) ¿De cuántas formas se ha podido llegar a ese resultado? b) ¿Y si supiéramos que se empató a 1? 0-0 0-0 a) b) 0-1
1- 0 2-0 1
3-0 1
4-0 No
1
No
3-1 4
4-1 5
4-2
1
2-1 3
3-2 10
1-1 2
2-2 6
1
1-2 3
1
0-2 1
No
3-1
No
4-1 2
No
b)
2
2
1-2 2
2-2
3-2
4
6
4-2 8
De 15 formas distintas.
a)
2
1
1-1
2-1
No
15
1 Cuenta cuántos bloques conforman estas figuras:
0-1
1- 0
De 8 formas distintas.
6 Las líneas roja y azul son dos de los múltiples caminos que
se pueden tomar para de ir A a B (nunca se puede ir hacia la izquierda ni hacia arriba). Busca todos los posibles. A
2 En una academia se dan clases de recuperación de mate-
máticas, física y química. Hay 29 estudiantes en matemáticas, 22 en física y 24 en química. Además, hay 6 que van a clases de matemáticas y física; 5 que van a física y a química y 4 que van a matemáticas y química. Sabiendo que solo hay una alumna que asiste a las tres clases, ¿cuántos estudiantes tiene la academia?
B
7 Encuentra todos los posibles caminos que van del punto
A al punto B pasando por C. A C
3 Indica cuántas formas distintas hay de seleccionar a 6
personas de un conjunto de 8. (ayuda: será más fácil si cuentas a las 2 no seleccionadas).
4 ¿Cuántos partidos se juegan en una liga de fútbol en la
que hay 20 equipos y los partidos son a doble vuelta?
B
8 ¿Cuántas formas hay de elegir a 4 personas para jugar al
mus en un grupo de 6 amigos?
5 Un partido de fútbol ha acabado 4 - 3 a favor del equipo
local. ¿De cuántas formas se ha podido llegar a ese resultado? ¿Y si se sabe que ha habido empate a 1 y empate a 2?
37
2
Números enteros A veces, es necesario utilizar cantidades negativas. Veamos unos ejemplos: • Estar a –5 °C quiere decir que hace 5 °C bajo cero. • Un saldo en el banco de –108 € significa que se deben 108 €… Ya sabes que los enteros negativos junto con los naturales forman el conjunto de los números enteros, que se expresa como Z. Con ellos podemos sumar y multiplicar obteniendo un número entero. Además, al contrario de lo que pasa con los naturales, también al restar dos números enteros, obtenemos otro entero. Los números enteros se representan en la recta de esta forma: … –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
Esta representación en la recta supone el siguiente criterio de ordenación: • Los naturales (el cero y los enteros positivos) ya estaban ordenados. • Todos los números naturales son mayores que los enteros negativos. • Si a y b son números naturales y a < b entonces, –a > –b.
Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número es la magnitud del mismo si prescindimos de su signo. Se escribe así: | x |, y se define del siguiente modo: • El valor absoluto de un número natural es el mismo: | 5 | = 5, | 0 | = 0 • El valor absoluto de un número negativo es su opuesto: | –27 | = 27 • Gráficamente, el valor absoluto de un número es su distancia al 0: |–4| = 4
|3| = 3
144424443144444424444443 –4
0
3
Reglas para operar con números enteros • Para sumar números positivos y negativos, agrupamos unos y otros, restamos los resultados y ponemos el signo del que tenga mayor valor absoluto. • Si un paréntesis va precedido del signo menos, se puede suprimir cambiando el signo de todos los sumandos que haya dentro. • Para multiplicar números enteros, recordemos la «regla de los signos»: +∙+=+
1 Ordena de menor a mayor: –4, 19, 7, 0, –6 2 Calcula.
a) | | –3 | |
b) | | 5 + (3 – 11) | |
c) | 5 + | 3 – 11 | |
d) | 30 – (–20 – 9) |
38
+∙–=–
–∙+=–
–∙–=+
3 Calcula.
a) (1 – 4) – (5 – 3) – (–6) b) –3(4 – 2) – 4(3 – 8) c) (–2)3 + (–3)4 – 52 d) 15 – 4(3 – 6) – 2[4 – 5(2 – 3)]
1
3
Fracciones Números fraccionarios para expresar medidas Para medir, suele ser necesario fraccionar la unidad. De aquí surge la idea de número fraccionario: la mitad, la quinta parte, la milésima parte… de la unidad. Las fracciones son las expresiones numéricas de los números fraccionarios. Son números fraccionarios: 1 , 1 , 3 , 4 , 1 , 145 2 5 5 7 100 1000 En todas estas fracciones, el numerador es menor que el denominador y, por tanto, son partes de la unidad. Se llaman fracciones propias. También son fraccionarios números como 3 , – 7 y 19 , que se pueden expresar 2 3 4 como la suma de un entero y una fracción propia (números mixtos): 19 = 4 + 3 3 =1+ 1 – 7 = –c2 + 1 m 2 2 3 3 4 4 Los números fraccionarios se pueden representar en la recta junto a los enteros:
Recuerda
Los enteros se pueden expresar en forma de fracción: 4 = 4 = 8 = 12 = … 1 2 3
3 1 —=1+— 2 2
1 7 – — = –2 – — 3 3
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
19 3 —=4+— 4 4
2
3
4
5
Los números fraccionarios, junto con los enteros, forman el conjunto de los números racionales, que se designa con la letra Q.
Los elementos de Q se caracterizan porque se pueden poner en forma de fracción.
Cálculo mental
1. Simplifica las fracciones: a) 10 b) 6 8 15 d) 14 e) 12 21 18 33 g) h) 34 17 44
Simplificación de fracciones. Fracciones equivalentes c) 4 2 f ) 75 100 i) 52 26
2. Las nueve fracciones anteriores son equivalentes tres a tres. Clasifícalas. 3. Escribe seis fracciones equivalentes a 300 . 500 ¿Cuál es la correspondiente fracción irreducible?
Recuerda que simplificar una fracción es dividir su numerador y su denominador por un mismo número entero. 5 000 = 2 15 = 5 = – 5 Por ejemplo: 28 = 7 2 7 500 3 – 6 –2 24 6 Una fracción que no se puede simplificar diremos que es irreducible. Dos fracciones son equivalentes si al simplificarlas dan lugar a la misma fracción irreducible. Por ejemplo, –10 y 8 son equivalentes: –28 35 –10 = –2 = – 2 8 = 2 =–2 7 7 7 –28 –7 35 anayaeducacion.es Practica el cálculo de la fracción irreducible.
1 Expresa como suma de un entero y una fracción.
a) 40 9
b) 86 5
c) 127 10
d) 127 12
e) – 43 8
2 Obtén la fracción irreducible.
a) 18 b) 14 21 35
c) 42 36
d) 14 56
e) 75 200
3 Copia la recta en tu cuaderno y representa, aproximada-
mente, las fracciones. –2
–1
0
1
2
3
13 , 18 , – 7 , 11, 11 , 7 , – 17 5 9 5 4 20 10 10 39
4
Operaciones con fracciones Suma de fracciones Sumar fracciones con el mismo denominador es tarea sumamente fácil: se suman sus numeradores y se mantiene el denominador. Para sumar (y restar) fracciones con distinto denominador, tendremos que transformarlas en otras equivalentes con el mismo denominador. Por ejemplo: 3 + 4 – 5 = 3 + 4 – 5 = 15 + 16 – 100 = 15 + 16 – 100 = –69 20 20 4 5 4 5 1 20 20 20
Producto de fracciones La tercera parte de la cuarta parte de algo es su doceava parte: 1 · 1 = 1 3 4 12 Rozando de forma análoga, podemos ver que: 2 · 5 = 2 · 5 = 10 = 5 3 4 3 · 4 12 6 El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo denominador es el producto de sus denominadores y cuyo numerador es el producto de sus numeradores: a · c = a · c b d b·d La fracción de una cantidad es un caso particular del producto de fracciones, ya que, como ya sabes, un número entero se puede expresar como una fracción con denominador la unidad y cuyo numerador es dicho número. Por ejemplo: Álvaro ha gastado 2 de los 1 260 € que tenía ahorrados para pagar 3 el viaje de fin de curso. Por tanto, el viaje ha costado: 2 · 1260 = 2 · 1260 = 2520 = 840 € 3 3 1 3
Fracción inversa de otra. Cociente de fracciones El inverso del número 4 es 1 . Y viceversa, el inverso de 1 es 4. 4 4
Cálculo mental
a) 2 + 1 3 6 c) 2 · 3 3 4 e) 1 : 1 3 g) 1 de 600 3 i) 2 de 3 3 4 k) 1 de 1 2 5 40
b) 2 – 1 3 6 d) 3 · 4 9 f) 3 : 4 7 h) 2 de 600 3 j) 2 · 3 de 600 3 4 l) 1 de 3 de 800 2 5
La inversa de la fracción 3 es 5 . Y viceversa. 5 3 Toda fracción, a , salvo el 0, tiene una inversa, b , tal que a · b = 1. a b b a El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda: a : c = a · d = a·d b d b c b·c Por ejemplo:
10 : 2 = 10 · 7 = 70 = 5 21 7 21 · 2 42 3
1
Ejercicio resuelto
Calcular.
a) 3 – = 3 – c 2 – 1 mG = 3 – ; 3 – 2 + 1 E = 3 – 3 + 2 – 1 = 3 2 5 10 5 10 3 2 5 10 3 2 + = 18 – 9 + 20 – 15 = 18 – 9 20 – 15 = 14 = 7 30 30 30 30 30 30 15
a) 3 – = 3 – c 2 – 1 mG 3 2 5 10 b) 5 de 270 9
b) 5 · 270 = 5 · 270 = 150 9 1 9
c) 2 de 15 8 5
c) 2 · 15 = 2 · 15 = 30 = 3 5 8 5 · 8 40 4
d) c 9 : 6 m · 2 7 3
d) c 9 : 6 m · 2 = c 9 : 6 m · 2 = 9 · 2 = 3 · 2 = 2 = 1 7 3 7 1 3 42 3 14 3 14 7
e) = 2 · c 1 + 1 mG : ;(–2) · 1 E 9 5 4 10
e) = 2 · c 1 + 1 mG : ;(–2) · 1 E = ; 2 · 9 E : –2 = 2 : –2 = – 1 9 20 10 20 10 2 10 9 5 4
1 Calcula.
5 Halla la fracción resultante.
a) 1 de 1 2 3
a) 4 – 11 + 7 3 3
b) 3 – 7 + 46 8 4
c) 7 – c 2 + 5 m 3 6 9
d) 1 + 1 + 1 2 4 8
e) 1 – c 1 + 1 m 2 3
f ) 5 – =1 – c 2 + 1 mG 3 4 2
b) 2 de 1 3 4
6 Calcula.
2 Calcula.
a) 1 + 10 · c 1 + 1 m 9 5 4 b) 1 – c 1 + 1 – 1 m : 3 2 3 4 2
a) 3 + 2 – 13 10 4
c) 5 · ; 1 – (–2) · 1 E 12 7 10
b) 1 – c 1 + 1 m 3 6
d) c 1 – 2 m + (–2) · = 5 – c 2 – 5 mG 7 3 9 6
c) 1 – = 3 + c 4 – 1m – 1 G 20 3 4 5
e) c 4 – 2 – 1 m : c1 – 7 m 5 3 10 15
d) 5 · c 2 + 1 m – =2 · c1 – 1 m – 1 G 13 5 4 8 4
f ) = 1 · c 3 – 1mG : =5 · c 1 – 2 mG 2 5 4 7
3 Reduce a una única fracción.
a) c 12 : 3m : 16 11 33
b) c 5 · 13 m · 21 3 14 26
c) 11 : c 3 · 22 m 39 13 9
d) c 7 : 9 m · 3 10 5 7
4 Calcula.
a) 1 de 275 5
b) 3 de 581 7
c) 5 de 3 9 5
c) 11 de 580 20
7 Calcula.
a) 2 · –3 · 5 3 5 –2
1 – 3 –1 2 c4 m b) 3 +1 4
(–3) c 3 – 1 m 5 3 c) (–2) c 4 – 6 m 3 5
4–2· 1 d) 5 3 10 1– 7 15 41
5 anayaeducacion.es Practica la resolución de problemas con fracciones.
Problemas con fracciones |problema 1 Una ciudad tenía 120 000 habitantes en el año 2000. En un decenio aumentó 4/15. En el siguiente decenio aumentó 9/16. ¿Cuántos habitantes tenía en 2020? Aumento en el primer decenio: 4 de 120 000 = (120 000 : 15) · 4 = 32 000 15 En 2010 había 120 000 + 32 000 = 152 000 habitantes.
Ten en cuenta
Para calcular el total, conocidas la fracción y la parte, se divide la parte entre el numerador y se multiplica por el denominador. 3 de T = 48 5 T = (48 : 3) · 5 = 80
150
600 Vendidas Por vender
?
Aumento en el segundo decenio: 9 de 152 000 = (152 000 : 16) · 9 = 85 500 16 En 2020 había 152 000 + 85 500 = 237 500 habitantes. |problema 2 Una ONG organiza una carrera solidaria y, para recaudar fondos, pone a la venta un lote de camisetas conmemorativas del evento. Al cabo de una semana lleva vendidas 600 unidades, lo que supone los 4/7 del total. ¿Cuántas camisetas componían el lote? Llamando T al total de camisetas del lote: 4 de T = 600 → 1 de T = 600 : 4 = 150 → 7 de T = 150 · 7 = 1 050 7 7 7 En resumen: T = (600 : 4) · 7 = 1 050 El lote contenía 1 050 camisetas. |problema 3
Ten en cuenta
La suma de las fracciones que representan las partes de un todo es igual a la unidad (el todo). a + c + e =1 1– b a + c l= e b d f b d f
Chicos Chicas
Una ejecutiva tiene la tercera parte de su capital en un fondo de pensiones, tres quintas partes, invertidas en acciones, y los 3 836 euros restantes, en la cuenta corriente. ¿A cuánto asciende su capital? Fracción de capital invertida: Fracción en la cuenta corriente: 1 + 3 = 5 + 9 = 14 → 1 – 14 = 15 – 14 = 1 3 5 15 15 15 15 15 15 Cuantía del capital: 3 836 · 15 = 57 540 € |problema 4 En una clase de 36 estudiantes, 2/3 son chicos. Las 3/4 partes de las chicas dan música. ¿Qué fracción del total son las chicas de música? ¿Cuántas son? 2 son chicos → 1 son chicas 3 3 Fracción de chicas que dan música: 3 de 1 = 3 · 1 = 3 = 1 del total de la clase 3 4 3 12 4 4 Chicas que dan clase de música: 1 de 36 = 36 : 4 = 9 4
42
1 Ten en cuenta
|problema 5
La fracción de una cantidad equivale al producto de la fracción por la cantidad. a de c = a · c b d b d
Tres amigos se reparten un premio, de modo que el primero se lleva 2/5 del total; el segundo, 5/9 de lo que queda, y el tercero, 92 €. ¿A cuánto ascendía el premio? El primero se lleva 2 del premio; quedan 3 . 5 5 El segundo se lleva 5 de 3 = 5 · 3 = 3 = 1 del premio. 9 5 9 5 9 3 Entre el primero y el segundo se llevan 2 + 1 = 6 + 5 = 11 del premio. 5 3 15 15 El tercero se lleva 15 – 11 = 4 del premio. 15 15 15 4 del premio son 92 €; 1 son 92 : 4 = 23 €; 15 son 23 · 15 = 345 € 15 15 15
1.°
2.°
3.°
Por tanto, el premio ascendía a (92 : 4) · 15 = 345 €.
1 Un terreno se divide en tres partes. Dos de ellas son 2/5
y 1/3 del total. ¿Cuál es la más grande?
2 En el problema anterior, si el terreno mide 240 m2, ¿qué
superficie ocupa cada una de las partes?
3 Los 2/5 de los chicos de una clase llevan gafas. En la lista
de esa clase hay 36 personas, de las que 7/12 son chicas. ¿Cuántos chicos llevan gafas?
8 El presupuesto anual de una oficina es 297 000 €. Los
gastos fijos suponen la quinta parte y los 2/11 del resto se invierten en equipamiento. ¿Cuánto queda para otros gastos?
9 Un club dispone de 1 200 entradas para un partido.
Asigna 3/5 partes a su hinchada y 5/8 del resto a la visitante. ¿Cuántas entradas quedan para venta libre?
10 Un dentista dedica 1 h y 3/4 a su consulta. Si recibe
a 15 pacientes, ¿qué fracción de hora puede dedicar a cada uno? ¿Cuántos minutos son?
11 Reparto entre cuatro: A y B se llevan, respectivamente,
4 Jorge se ha gastado 2/7 de la paga en música y 1/5 en
libros. ¿Qué fracción de la paga se ha gastado? ¿Qué fracción le queda?
5 En una frutería se venden, por la mañana, 3/5 de la fruta
que había y, por la tarde, la mitad de lo que quedaba. a) ¿Qué fracción queda por vender? b) Si al empezar el día había 750 kg, ¿cuántos kilos se vendieron?
2/7 y 13/21 del total. C recibe 7/10 del resto. Y, finalmente, D recibe 390 €. ¿Cuánto dinero se repartió?
12 Una ciclista abandona la carrera cuando lleva cubiertos
los 2/3 del recorrido. Si hubiera aguantado 10 kilómetros más, habría cubierto las tres cuartas partes. ¿Cuántos kilómetros hicieron las que llegaron a la meta?
6 De un sueldo de 1 500 €, se gasta en comida la sexta
parte, y en el pago de la hipoteca, 350 € más que en comida. ¿Qué fracción del sueldo queda para otros gastos?
7 Al cerrar su puesto del mercadillo, el melonero piensa:
«Hoy he vendido bastantes melones. Solo me han quedado once, que son la décima parte de los vendidos». ¿Cuántos melones tenía cuando abrió el puesto?
13 Seis amigos compran solidariamente un regalo para el
séptimo miembro de la pandilla. A la hora de pagar, uno no tiene dinero y, así, cada uno de los demás debe poner 1,50 euros más. ¿Cuánto costaba el regalo?
43
6
Base entera y exponente entero positivo
Aún más sencillo
Calcula mentalmente. 22
b) (–2)2
c)
d) (–2)3
e) 52
f ) (–10)3
g) 17
h) (–1)7
i) 104
j) (–10)4
k) (–5)4
l) (–3)3
a)
Potencias
23
Recuerda: an = a · a · a · … · a > n veces Por ejemplo:
a es la base; n, el exponente.
24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
(–2)4 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16
25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
(–2)5 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = –32
• Si a es positivo, an es positivo cualquiera que sea n. par → an positivo. Por ejemplo, (–2)4 = 16. impar → an negativo. Por ejemplo, (–2)5 = –32.
n • Si a es negativo: & n
|propiedades de las potencias 1. a m · a n = a m + n
Por ejemplo: (–2)3 · (–2)5 = (–2)3 + 5 = (–2)8
2. (a · b)m = a m · b m
Por ejemplo: 64 = (2 · 3)4 = 24 · 34 (–2)5 = (–1 · 2)5 = (–1)5 · 25 = –25
3. (a m)n = a m · n
Por ejemplo: (53)4 = 53 · 4 = 512
m
Por ejemplo: 10 = 107 – 4 = 103 10 4
4. Si m > n, a n = am – n a
7
Ejercicios resueltos
1 Calcular estas potencias:
32 = 9
–32 = –9
(–3)2 = 9
–(–3)2 = –9
a) 3 2, –3 2, (–3) 2, –(–3) 2
23 = 8
–23 = –8
(–2)3 = –8
–(–2)3 = –(–8) = 8
b) 2 3, –2 3, (–2) 3, –(–2) 3
128 = 1
–128 = –1
(–1)105 = –1
–(–1)105 = –(–1) = 1
c) 1 28, –1 28, (–1) 105, –(–1) 105 a) 35 · 23 · 22 = 35 · (23 · 22) = 35 · 25 = (3 · 2)5 = 65
2 Simplificar.
a) 3 5 · 2 3 · 2 2 8 b) (5 2) 3 · 22 2
8
b) (52)3 · 22 = 52 · 3 · 28 – 2 = 56 · 26 = (5 · 2)6 = 106 2 (–3 + 1)3 + (5 – 8)4 · (–1)9 – (–5)2 · (–1)4 = (–2)3 + (–3)4 · (–1) – 52 · 1 =
3 Realizar.
(–3 + 1) 3 + (5 – 8) 4 · (–1) 9 –
= –8 – 81 – 25 = 114
– (–5) 2 · (–1) 4
1 Calcula las siguientes potencias:
3 Efectúa las siguientes operaciones:
a) –105
b) (–10)5
c) (–10)6
d) –(–10)5
e) (–1)100
f ) –106
g) –16
h) –(–1)101
2 Simplifica:
(–3)5 · (–3)8 · 5 4 [(–3)3]3
44
a) [(1 – 7) – (8 – 3) – (–2)5] · [15 + (–11)]2 b) (7 – 3) · [4 – (–3)] + (5 – 1)2 · [6 – (–3)4] c) (–3)2 – (–33) + 52 · (–5)2 – [2 – (–3)4 · (–2)] d) 17 – (–4)(–3 + 6) – 2[4 – 5(2 – 3)7]2
1
Base racional y exponente entero Observa
En la página anterior hemos repasado las potencias de exponente entero positivo. Veamos ahora cómo son las potencias cuando el exponente es cero o un número entero negativo.
an
= an – n = a 0 an an = 1 an Por tanto, debe ser a 0 = 1.
a 0 = 1, cualquiera que sea a ≠ 0. a –n = 1n . Por tanto, a –1 = 1 a a
1 = a 0 = a 0 – n = a –n an an
a –n b n b n b l =cam = n b a
a –1 b b l =a b
2 –2 2 Por ejemplo: 10–1 = 1 = 0,1; c 2 m = c 5 m = 5 2 = 25 = 6,25 10 2 5 4 2
Ejercicios resueltos
1 Calcular el valor de las potencias siguientes: 3 –3 a) c 2 m = c 5 m = 125 = 15,625 8 2 5
c) c
Recuerda
1. a m · a n = a m + n
–5
b) c 1 m = 105 = 100 000 10 2 –2 2–2 0 = c3m =1 d) c 3 m · c 3 m = c 3 m 5 5 5 5
1 2 = 82 = 64 m 0,125
2 Reducir a una única potencia en cada caso.
2. (a · b)m = a m · b m 3. (a m)n = a m · n m 4. a n = am – n a m m 5. b a l = am b b
a) (3–5) · (34) = 3–5 + 4 = 3–1
b) 3–2 · 5–2 = (3 · 5)–2 = 15–2
c) (105)–3 = 105 · (–3) = 10–15
d) 123 · 4–3 = 123 · 13 = c 12 m = 33 4 4
–2 e) 12 : 1–2 = 2 2 = 2 –2 – 2 = 2 – 4 2 2 2
3
–4 –4 –4 f ) 2 –3 = 22 –3 = 2 – 6 = 2 – 4 – (– 6) = 2 2 (2 ) 4 2
4 Ordena de menor a mayor.
7 Expresa como potencias de base 2.
2–3, 2–1, 20, 2–2, 2– 4, (–2)–3, (–2)–1 5 Calcula el valor de estas potencias:
a) 5–1
b) 2–3 –2
d) c 1 m 2
–1
g) c 1 m 10
c) (– 6)0 –1
e) c 2 m 3
f ) 1–2 4 –1
h) >c 5 m H 2 2
i) 0,2– 4
6 Expresa como una potencia de base 3.
1 –1 · 1 2 · 1 –3 · (3 –2)5 · 37 c3m c3m c3m
a) 4–2
–2
b) c 1 m 8
8 Reduce y expresa como una potencia.
a)
(–7)4 7 –2
–2 2 d) d 13 n · d 1–3 n 2 2 –4
f ) 3 –3 9
b)
–1 –1 c) 4 –·38–3 (2 ) –2
4
c) 6 2 · 2 –1 2 ·3
1 2 5 : 54
2 e) d 13 n · (53)–2 5 2
g) 5 · 10 22
–2
2
–5
h) 12 2 · 5 –1 15 · 8
–7 2 –7 –2 i) c 3 m · d 9 n · 3 –·3 2–3 5 (5 ) 10 4
45
Ejercicios y problemas ¿Dominas lo básico?
Potencias
Números enteros
8
1
2
Quita paréntesis y calcula. a) 5 + (–3) – (–2) + (4 – 6) – [3 – (6 – 4)] b) (3 + 6 – 11) · (4 – 2 – 9) · (–1) c) 5 · [8 – (2 + 3)] – (–4) · [6 – (2 + 7)] d) (–7) · [4 · (3 – 8) – 5 · (8 – 5)] Calcula. a) 16 – 3 · [8 – 2 · (5 – 6)] b) 2 + 8 : [14 – 5 · (6 – 4)] c) 30 : [12 · (4 – 6) – 6 · (4 – 7)] d) 4 · [5 – (2 – 6)] – 3 · [8 – (4 – 7)] e) 3 · (6 – 9) – 7 · [10 + 3 · 5 – 3 · (5 + 4)] f ) 2 · (5 – 9 · [7 + 3 · (5 – 7)]) + 6
Fracciones. Operaciones
3
4
5
6
7
Elimina paréntesis y simplifica. [(–5)3]2 92 b) a) (–5)6 (–3)4 c) [(–3) 5 : (–3) 3]2
9
d) [2 4 · (–2) 2] : (– 4) 3
Reduce como en el ejemplo. 2 3 (26)2 · (2)3 · 2 212 · 26 · 2 = = • 64 · 4 · 22 = 16 · (–8) 2 4 · [(–2)3]2 2 4 · 26 19 = 210 = 29 2 a)
(–2)3 · 4 2 32
b)
125 25 · (–5)2 2
2
Entrénate y practica 10
Calcula.
Expresa como la suma de un entero y una fracción. b) 8 c) 17 d) 24 e) – 37 f ) – 43 a) 5 3 3 12 10 5 6
a) |(2 – 3) – (1 – 7) – 5| · [–(11 + (–4))]
Obtén la fracción irreducible en cada caso. e) – 40 f ) – 7 a) 12 b) 4 c) –2 d) 18 27 30 30 6 56 14
d) 5 – |(–2) · |– 4 + 5|| – 2[4 – |–2| · |2 – 3|]
Calcula mentalmente. a) La mitad de 7 . 8 b) La tercera parte de 9 . 5 c) La mitad de la quinta parte de –4. d) El triple de la mitad de 2 . 3 Expresa en forma de fracción de hora. a) 15 minutos b) 20 minutos c) 10 minutos d) 1 minuto e) 120 segundos f ) 1 segundo Halla mentalmente el total en cada caso. a) 2 de mis ahorros son 200 €. 5 b) 3 de mi jardín ocupan 600 m2. 7 c) 5 de la aldea son 150 personas. 11
46
4
c) 3 ·5 92 (3 )
b) (1 – 4) · 3 + (7 – 5) · |5 + 2 · (–3)| c) (–2) + 3 · (–2) + |4 · (–6) – [1 – 3 · (–2)]| e) |–2 – |(–2) · (–4)| · (–5 + 4)| – |–1 + 3| · (–2) 11
Calcula. a) 1/3 de los 2/5 de los 30 estudiantes. b) 4/7 de la mitad de los 42 vehículos. c) 7/13 de un cuarto de las semanas de un año.
12
Reduce a una sola fracción. a) c 3 – 1 + 2 m – c 3 – 2 + 1m 5 4 4 5 b) c1 + 1 m – c 3 + 1 m + c 1 – 1 m 3 3 4 4 2 c) c 3 + 1 m – =1 – c 3 – 1 m + 2 – 3 G 5 3 4 2 3 20
13
Calcula. a) c – 3 m · 8 · 5 4 9 –6
b) c1 + 1 – 1 m : c 3 + 1 m 7 2 8
3 – 1+1 c2 8m 4 c) 1– 3 2 14
3· –5 c m 2 3 d) 5:7 3 6
1
14
22
¿Cuántos triángulos rectángulos ves en cada una de estas figuras? a) b)
23
La temperatura de un congelador baja 2 °C cada 3 minutos hasta llegar a –18 °C. ¿Cuánto tardará en llegar a –12 °C si cuando lo encendemos está a 16 °C?
24
Aristóteles murió en el año 322 a. C. y vivió 62 años. ¿En qué año nació?
25
Con una barrica que contiene 510 litros de vino, ¿cuántas botellas de 3/4 de litro se pueden llenar? ¿Cuántas de litro y medio?
26
Con una garrafa de 5/2 de litro se llenan 25 vasos. ¿Qué fracción de litro entra en un vaso?
27
De una botella de 3/4 de litro se ha consumido la quinta parte. ¿Qué fracción de litro queda?
3 2 d) c 3 – 7 m : c 9 – 5 m 2 4 8 4
28
–1 f ) c 1 – 7 m + c 5 – 5 m · c 1 – 4m 4 12 4 2 4
a) Si Rafa se gasta 2/3 del dinero en ropa y 1/4 del total en comida, ¿cuál es la fracción gastada? b) ¿Qué fracción le queda por gastar? c) Si salió con 180 €, ¿qué cantidad no se ha gastado?
29
En una parcela se cultivan 4/5 partes de trigo y el resto, 100 m2, de maíz. ¿Cuál es la superficie de la parcela?
30
Una pelota cae al suelo y se eleva cada vez a los 2/3 de la altura anterior. Tras botar tres veces, se ha elevado a 2 m. ¿Desde qué altura cayó?
31
Una operaria riega en un día 2/5 partes del jardín. ¿Cuántos días tardará en regar todo el jardín? ¿Cuánto ganará si cobra 50 € por día?
32
En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un día corresponden a frutas. De lo recaudado por fruta, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a 89 €, ¿qué caja ha hecho el establecimiento?
33
De una clase, 3/7 del total de los estudiantes han ido al museo de ciencias y 2/5 a un concierto. a) ¿Adónde han ido más estudiantes? b) Si 6 estudiantes no han ido a ninguna actividad, ¿cuántos estudiantes hay en la clase?
Reduce. 2 a) –3 3 (–3) 3
15
16
2
4
b) c 2 m · c –3 m 3 2 2
2
3
c) c 1 m : c 1 m 2 4
d) c 2 m : c 2 m 5 5
23 · (–3)2 · 4 2 e) 63 · 9 2
–3 f ) >c 1 m H 2
Calcula. (–6 2)3 a) (–63)2 (6 4)3 d) 10 6 2 2 · (3 )
2
(–1)4 · 9 2 34 (–2)5 · (–3)5 e) 64 b)
153 32 · 54 (–1)5 · 10 4 f) 5 4 · 23
c)
Calcula. a) –3 · (4 – 2)–2 + 10 · (5)–1 –2 –1 b) 2 · c 1 m + c 3 m · (2 – 5) 2 5 5 –2 –3 –1 c) c – 3 m · c 5 m · c 2 m 2 3 5
–1 –2 e) c 3 – 3 m · c 1 – 7 m + 4 2 4 3 9
17
Reduce. 2 4 a) 2 · 3 9 · 12 · 6
b) 4 · 45 · 24 33 · 2 4 · 5
–1 c) 8 · 27 12 –1
Resuelve problemas sencillos 18
Si lanzas tres monedas distintas y un dado, ¿cuántos resultados distintos puedes obtener?
19
En un partido de fútbol el resultado fue 2 - 2 . ¿De cuántas formas se pudo llegar a ese resultado? ¿Y si el resultado fuera 3 - 2?
20
Ana tiene 5 pantalones, 4 sudaderas y 6 camisetas. ¿De cuántas formas se puede vestir con una prenda de cada clase?
21
En un concurso literario hay cuatro finalistas A, B, C y D. ¿De cuántas formas se pueden adjudicar el primer y el segundo premio? Escríbelas todas.
47
Ejercicios y problemas Para pensar un poco más
También puedes hacer esto
34
De un solar se venden los 2/3 de su superficie y después los 2/3 de lo que quedaba. El ayuntamiento expropia los 3 200 m2 restantes para un parque público. ¿Cuál era la superficie del solar?
38
Una gallina puso durante ocho semanas una media de 3 huevos cada 4 días y, durante las siguientes doce semanas, 5 huevos cada 6 días. ¿Cuál fue la puesta media diaria al final de este periodo?
35
Una obrera ha tardado 1 hora y tres cuartos en acuchillar 3/5 partes de un piso. Si empezó a las 10 a. m., ¿a qué hora acabará de acuchillar el piso entero?
39
36
Un tren tarda 2 horas y 30 minutos en recorrer los 5/9 de la distancia entre Cádiz y Almería que son 432 km. a) Calcula el tiempo que tarda en realizar el trayecto si sigue a la misma velocidad. b) ¿Cuál ha sido su velocidad media?
Un frutero vende a su primer cliente la mitad de las naranjas que tiene más media. Al segundo la mitad de las que le quedaban más media. Con el tercero y el cuarto hace lo mismo y ya no le queda ninguna. ¿Cuántas naranjas tenía al principio si en ningún momento parte ninguna?
40
En situación a) Un número natural n se dice que es curioso si n 2 termina en la misma cifra que n. Por ejemplo, 16. Halla los 10 primeros números curiosos. ¿Observas alguna regularidad?
37
Una tela para tapizar encoge, al lavarla, 3/20 a lo largo y 7/25 a lo ancho. ¿Cuántos metros se han de comprar de una pieza de 125 cm de ancho para cubrir una superficie de 39,9 m2?
b) Se llama número de Fermat a todo natural de la n forma 22 + 1, desde n = 0. Si es primo, se dice que es primo de Fermat. Halla los cinco primeros números de Fermat y comprueba si alguno es primo.
Autoevaluación ¿Qué has aprendido? 1 Resuelve.
a) |4 – |–7||
b) 1 – |3 + |–4||
5 Halla el total en cada caso.
c) 8 – |–11|
2 Realiza estas operaciones:
a) 20 – 4 · (6 – 2 · 2 – 5) b) 12 + (–3) · [16 – 4 · 9 – 6 · 5] c) 2 · [–1 + (1 – 3)] – 2 · [5 – (2 – 5)] 3 =1+ 1 2 2 d) – 48 5 h) – 2 437 621
3 Separa la parte entera como en este ejemplo:
a) 7 4 e) 93 10 4 Calcula.
b) – 7 3 f ) 310 11
c) 45 5 g) 405 44
b) 7 – c 1 + 2 m 10 2 5 7· 1–2 8 c5 3m 3 3 1 5 c) – · 1 – · c 2 – mG d) 3 5 10 = 2 (– 4) · c 3 – 2 m 4 5
a) 17 + 2 – 1 + 7 20 5 4 10
48
anayaeducacion.es Resolución de estos ejercicios.
a) 3/5 del presupuesto son 351 €. b) 6/7 del centro son 492 estudiantes. c) 5/8 del palacio ocupan 2 850 m2. 6 Halla el valor de cada expresión.
a)
(2 4)3 · 3 2 410 · (63)2
b)
(–1)3 · (10)4 5 4 · (–2)5
c)
(–2)5 · 6 2 33 · 2 2
7 Una pelota pierde en cada bote 2/5 de la altura a la que
llegó en el bote anterior. ¿Qué fracción de la altura inicial, desde la que cayó, alcanzará cuatro botes después?
8 De las personas que asisten a un congreso, 1/6 son de Eu-
ropa; 1/3, de Asia; 2/5, de América, y el resto, de África. Sabiendo que hay 60 de Europa, ¿cuántas hay de África?
9 Un vehículo cubre 3/8 de su recorrido por la mañana y
2/3 del resto por la tarde. Sabiendo que le faltan 130 km: a) ¿Cuántos kilómetros mide el recorrido? b) ¿Cuánto tiempo (horas y minutos) tardará en recorrerlo a la vuelta a 120 km/h?
Situación de aprendizaje
1
....
RESU
ELVO Curiosas familias de números naturales
....
Números felices
Mira: 109 → 12 + 02 + 92 = 82 → 82 + 22 = 68 → 62 + 82 = 100 → 12 + 02 + 02 = 1 → 12 = 1 Decimos que el número 109 es feliz porque este proceso se estabiliza en el 1. Otro: 42 = 16 → 12 + 62 = 37 → 32 + 72 = 58 → 52 + 82 = 89 → 82 + 92 = 145 → → 12 + 42 + 52 = 42 → 42 + 22 = 20 → 22 = 4
¡Y vuelta a empezar!
Nunca llegaremos al 1; por tanto, el 4 no es un número feliz. ¿Está claro cuál es la condición que debe cumplir un número para ser feliz? • Comprueba si son felices los números 310, 311, 912, 913, 914.
Observa Hemos sumado los cuadrados de las cifras de 109. Con el número resultante hacemos lo mismo. Y así sucesivamente hasta que se ha llegado al 1.
Números perfectos
Los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6. Los tres primeros son divisores propios. Observa que la suma de los divisores propios del 6 coincide con él mismo: 1 + 2 + 3 = 6. Diremos que 6 es un número perfecto porque es igual a la suma de sus divisores propios. • Comprueba que 28 y 496 son números perfectos. • A los números les resulta muy difícil ser perfectos. Prueba con el 100 (con la importancia que se da y verás que, de perfecto, nada). Números amigos
Dos números se llaman amigos si cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro. • Comprueba que 220 y 284 son amigos. Y también 1 184 y 1 210. Números narcisistas
Un número de n cifras es narcisista si coincide con la suma de las enésimas potencias de sus cifras. Todos los números de una cifra son narcisistas, claro, pero no hay ninguno de dos cifras. En total hay solo 88 números narcisistas y el mayor tiene 39 cifras. • Comprueba si alguno de estos números es narcisista: 241
370
371
1 215
1 634
Avanza solo o en equipo
• Relacionados con los números perfectos están los números deficientes, abundantes, casi perfectos y raros. Infórmate, pon ejemplos y comparte. • Busca otras familias de números, selecciona alguna que te pueda parecer interesante y preséntala con ejemplos.
Los números amigos ya eran conocidos por los pitagóricos, y algunos de los grandes matemáticos se esforzaron en encontrar pares de ellos. Por ejemplo, Fermat, Descartes, Euler, que encontraron parejas de números muy grandes. Pero, curiosamente, todos ellos se saltaron el par 1 184 y 1 210. Lo descubrió un chaval de 16 años llamado Nicoló Paganini en el año 1866. Actualmente, con los ordenadores, se han obtenido más de un millón de parejas.
49
4 Polinomios 4. Educación de calidad
82
Situación de aprendizaje
Patrones que simplifican
La matemática está conformando, desde hace siglos y a un ritmo creciente, la civilización. Nuestro mundo está influido cada vez más intensamente por la matemática: física, astronomía, química nuclear e, incluso, las ciencias de la vida (biología, psicología, sociología, la lingüística, el diseño arquitectónico, la economía ...) y la medicina van siendo empapadas por el espíritu matemático. Nuestra propia estructura mental está fuertemente influenciada por el estilo matemático: organización, generalización, definiciones claras, procesos perfectamente perfilados... ¿Cuál es la razón profunda de esta invasión creciente de la matemática en nuestro mundo? El progreso de la cultura pasa a través del dominio de lo que, en todos los campos, representan la forma, la organización, la estructura, el modelo, la implicación lógica. El pensamiento matemático es, precisamente, el instrumento ideal de exploración de esos aspectos formales que son los que, en el fondo, rigen el universo. La matemática va desvelando orden donde antes solo se veía caos.
A..
PROP
UEST
Te vamos a proponer que seas matemático por un día: que estudies el paralelismo que existe entre la estructura de los números enteros (operaciones, relaciones de divisibilidad, fracciones, simplificación...) y los polinomios. También te propondremos que adviertas, con asombro, la extraordinaria similitud que existe entre ambas estructuras.
....
Ponte en situación con lo que ya sabes
1 Haz paso a paso la multiplicación numérica 316 · 12 y el pro-
ducto de polinomios (2x + 3) (x – 2). Observa la similitud de los dos procesos.
2 Comprueba que los siguientes polinomios se pueden descompo-
ner en producto de factores como se muestra a continuación. Para ello realiza los productos y verifica que se cumple la igualdad. 2
a) x – 4 = (x + 2) (x – 2)
b) x
2+
3x = x (x + 3)
2
c) x – 5x + 4 = (x – 1) (x – 4)
Números enteros, ℤ 30 = 2 · 3 · 5 2, 3 y 5 son números primos. Polinomios x 3 – 4x = x · (x – 2) · (x + 2) x, (x – 2) y (x + 2) son polinomios irreducibles, «primos».
3 Halla las raíces de los polinomios anteriores. Observa la descom-
posición y las raíces de cada uno. ¿Qué relación tienen con los monomios en los que están descompuestos?
4 Los polinomios x 2 + 4 y x 2 + x + 1 no se pueden descompo-
ner. Compruébalo resolviendo que las ecuaciones x 2 + 4 = 0 y x 2 + x + 1 = 0 y comprobando que no tienen solución.
5 El número 12 es compuesto, pues 12 = 22 · 3. Es decir, se puede
expresar como producto de números primos. A la vista de los resultados anteriores, ¿podríamos decir que los polinomios del ejercicio anterior son «primos» mientras que los del ejercicio 2 son «compuestos»?
Recuerda
Identidades notables (a + b )2 = a 2 + b 2 + 2ab (a – b )2 = a 2 + b 2 – 2ab (a + b ) (a – b ) = a 2 – b 2
83
1
Operaciones con poliomios Suma y resta de polinomios
Recuerda
Recuerda cómo se suman y se restan los polinomios.
• Para sumar dos polinomios, se reducen los términos semejantes.
Por ejemplo, si A = x 4 – 7x 3 + 4x + 5 y B = 2x 3 – 8x 2 + 6x + 1:
• Para restar dos polinomios, se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo.
A → x 4 – 7x 3 + 0x 2 + 4x + 5 2x 3 – 8x 2 + 6x + 1 +B→ A + B → x 4 – 5x 3 – 8x 2 + 10x + 6
A → x 4 – 7x 3 + 0x 2 + 4x + 5 – 2x 3 + 8x 2 – 6x – 1 –B→ A – B → x 4 – 9x 3 + 8x 2 – 2x + 4
También podemos operar directamente, quitando paréntesis y agrupando los términos semejantes: (x 4 – 7x 3 + 4x + 5) + (2x 3 – 8x 2 + 6x + 1) = x 4 – 7x 3 + 4x + 5 + 2x 3 – 8x 2 + 6x + 1 = = x 4 – 7x 3 + 2x 3 – 8x 2 + 4x + 6x + 5 + 1 = x 4 – 5x 3 – 8x 2 + 10x + 6 (x 4 – 7x 3 + 4x + 5) – (2x 3 – 8x 2 + 6x + 1) = x 4 – 7x 3 + 4x + 5 – 2x 3 + 8x 2 – 6x – 1 = = x 4 – 7x 3 – 2x 3 + 8x 2 + 4x – 6x + 5 – 1 = x 4 – 9x 3 + 8x 2 – 2x + 4
Producto de un polinomio por un monomio Multiplicamos el polinomio M = 2x 3 – 5x 2 + 4x – 3 por 3 y por N = 4x 3:
Recuerda
Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
M → 2x 3 – 5x 2 + 4x – 3 ×3 ×3→ 3M → 6x 3 – 15x 2 + 12x – 9
2x 3 – 5x 2 + 4x – 3 M→ × 4x 3 ×N→ M · N → 8x 6 – 20x 5 + 16x 4 – 12x 3
También podemos multiplicar directamente: 3 · (2x 3 – 5x 2 + 4x – 3) = 3 · 2x 3 – 3 · 5x 2 + 3 · 4x – 3 · 3 = 6x 3 – 15x 2 + 12x – 9 4x 3 · (2x 3 – 5x 2 + 4x – 3) = 4x 3 · 2x 3 – 4x 3 · 5x 2 + 4x 3 · 4x – 4x 3 · 3 = = 8x 6 – 20x 5 + 16x 4 – 12x 3
1 Quita paréntesis y reduce.
4 Halla los productos siguientes:
a) (x 4 + 2x 3 + 5x 2 – 3x) + (4x 3 – 9x 2 + 7x – 1) b) (5x 4 – 5x 2 – 3x) – (x 3 + 3x 2 + 6x – 11) c) (7x 2 – 9x + 1) – (x 3 – 5x 2 – 4) + (x 3 – 4x 2) 2 Efectúa.
a) 2 · (3x 2 – 4x) c) x · (–2x + 3)
b) –5 · (x 3 – 3x) d) x 2 · (x 2 – x + 1)
3 Sean P = x 5 – 3x 4 + 5x + 9, Q = 5x 2 + 3x – 11.
Halla: a) P + Q 84
b) P – Q
c) 2P – 3Q
a) 3x · (2x + y + 1) c) ab 2 · (a – b ) e) x 2y · (2x – y + 2)
b) 3a · (a 2 + 2a 4) d) –5x 3 · (3x 2 + 7x + 11) f ) 7x 2y · (3x + y)
g) 5x 3y 3 · (x 2 + x – 1)
h) 3a 2 b 3 · (3a – b + 1)
5 Calcula el polinomio P en cada caso:
a) 2 · P = 6x 3 – 4x 2 – 8x + 2 b) x · P = x 3 – 3x 2 – 5x c) 4x 2 · P = –12x 5 + 4x 3 – 8x 2 d) 2xy 2 · P = 2x 2y 2 + 4xy 3 + 6x 2y 3
4
Producto de polinomios Recuerda
Vamos a multiplicar los polinomios P = x 3 – 4x – 5 y Q = 2x 2 + x – 3.
Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno de los factores por todos y cada uno de los monomios del otro, y se suman los monomios semejantes obtenidos.
Recuerda que cuando falta algún término, se deja el hueco correspondiente.
Otra forma de multiplicar x 3 + 0x 2 – 4x – 5
2x 2 + x – 3
2
1
2 1 –3
–11
1
0
– 4 –5
2
0
– 8 –10
1
0
– 4 –5
–3
0
12
–14
7
15
x3 × – 3x 3
–
4x – 5 x – 3 + 12x + 15 4 2 – 4x – 5x x – 8x 3 – 10x 2 2x 5 2x 5 + x 4 – 11x 3 – 14x 2 + 7x + 15 2x 2 +
←P ←Q ← Producto de P por –3 ← Producto de P por x ← Producto de P por 2x 2 ←P·Q
Cuando se multiplican polinomios de pocos términos, se suele operar directamente:
15
(5x 2 – 2) · (2x – 3) = 10x 3 – 15x 2 – 4x + 6
2x 5 + x 4 – 11x 3 – 14x 2 + 7x + 15
División de polinomios La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales. Veamos cómo se procede en la práctica dividiendo dos polinomios concretos: P (x) = 2x 3 – 7x 2 – 11x + 13
Q (x) = 2x + 3
2x 3 – 7x 2 – 11x + 13 – 2x 3 – 3x 2 – 10x 2 – 11x + 13 10x 2 + 15x 4x + 13 – 4x – 6 7
| 2x + 3 x 2 – 5x + 2
Recuerda
Si al dividir dos polinomios P (x) : Q (x) el resto es 0, decimos que la división es exacta y que:
P (x) : Q (x)
(2x 3) : (2x) = x 2 (–10x 2) : (2x) = –5x (4x) : (2x) = 2
• P (x) es divisible por Q (x).
dividendo = divisor · cociente + resto
• P (x) es múltiplo de Q (x).
Por tanto: 2x 3 – 7x 2 – 11x + 13 = (2x + 3) · (x 2 – 5x + 2) + 7
6 Dados los polinomios P = 5x 2 – 3, Q = x 2 – 4x + 1,
R = –5x + 2, calcula. a) P · R
b) Q · R
c) P · Q
8 Efectúa P(x) : Q(x) en cada caso y expresa el resultado
de esta forma:
P(x) = Q (x) · cociente + resto a) P(x) = 3x 2 – 11x + 5
Q (x) = x + 6
a) 3x 2 (2x 3 – 1) + 6 (4x 2 – 3)
b) P(x) = 6x 3 + 2x 2 + 18x + 3
Q (x) = 3x + 1
b) (x – 3)(x 2 + 1) – x 2 (2x 3 + 5x 2)
c) P(x) = 6x 3 + 2x 2 + 18x + 3
Q (x) = x
c) (x – 3)(2x + 5) – 4 (x 3 + 7x)
d) P(x) = 5x 2 + 11x – 4
Q (x) = 5x – 2
7 Opera y simplifica.
85
2
División de un polinomio por (x – a) Vamos a repasar una técnica, vista en el curso anterior, para dividir un polinomio por un binomio del tipo (x – a). Veámoslo con un ejemplo: (2x 4 – 7x 3 + 11x – 2) : (x – 3) La división que conoces sería así: 2x 4 – 7x 3
+ 11x – 2
x–3
–2x 4 + 6x 3 – x3 + x 3 – 3x 2 – 3x 2 + 11x + 3x 2 – 9x + 2x – 2 – 2x + 6 4
2x 3 – x 2 – 3x + 2
Esa misma división se puede realizar, sintéticamente, del siguiente modo: (2x 4 – 7x 3 + 11x – 2) : (x – 3) 2 2 2
–7
0
11
–2
6
–3
–9
6
–1
–3
2
4
2
–7
0
+3
6 2.º
2
resto cociente: 2x 3 – x 2 – 3x + 2
3·
–3 –7 + 6
2 4.º
–1
9
–9 0–3
1)
(– 3·
–2 7.º
5.º
3.º
1.º
11
–3
6 11 – 9
3)
(– 3·
6.º
2
8.º
–2 + 6
2 3·
4 RESTO
cociente: 2 –1 –3 2 → significa: 2x 3 – x 2 – 3x + 2 resto: 4 Este método, en el que solo intervienen los coeficientes y solo se realizan las operaciones que realmente importan, se llama regla de Ruffini en honor al matemático italiano que lo divulgó. Ejercicio resuelto
Obtener el cociente y el resto en estas divisiones de polinomios:
a)
a) (4x 3 – 9x 2 + 6x + 5) : (x – 2) b) (5x 4 – 2x 2 – 5) : (x + 1)
1 Calcula el cociente y el resto en cada caso:
a) (x 3 – 7x 2 + 9x – 3) : (x – 5) b) (2x 3 + 7x 2 + 2x + 4) : (x + 3) 86
2
4 –9 8 4 –1
6 –2 4
5 8 13
5
b) –1
0 –2 –5 5 5 –5 3
0 –3 –3
C (x) = 4x 2 – x + 4
C (x) = 5x 3 – 5x 2 + 3x – 3
R = 13
R = –2
c) (x 4 – 2x 3 – 5x 2 + 3x – 6) : (x + 2) d) (4x 4 – 3x 3 – x 2 + 5x – 1) : (x – 1) e) (x 5 – 32) : (x – 2)
–5 3 –2
4
Valor de un polinomio, P (x), para x = a Volviendo al polinomio que aparece como dividendo en el ejemplo de la página anterior, P (x) = 2x 4 – 7x 3 + 11x – 2, observa que el valor que toma para x = 3 coincide con el resto de su división entre (x – 3): P (3) = 2 · 34 – 7 · 33 + 11 · 3 – 2 = 162 – 189 + 33 – 2 = 4 Resto de la división P (x) : (x – 3) → 4
x–a C (x)
La coincidencia de esos valores no es casual, y su justificación es sencilla. Atendiendo a las relaciones entre los términos de la división, D = d · C + R, vemos que: P (x) = (x – 3) · C (x) + 4 resto 0 P (3) = (3 – 3) · C (3) + 4 = 4
P (x) = (x – a) · C (x) + R
Y lo dicho para el ejemplo se puede generalizar para cualquier división de un polinomio entre (x – a), como puedes ver a la izquierda.
Ten en cuenta
La notación P (a) significa: valor del polinomio P para x = a. P (x) … R
P (a) = (a – a) · C (a) + R =
El valor de un polinomio para x = a coincide con el resto que se obtiene al dividirlo entre (x – a).
= 0 · C (a) + R = R
Según estos resultados, podemos calcular el valor de un polinomio para x = a con ayuda de la regla de Ruffini: lo dividimos entre (x – a) y tomamos el resto de la división. Ejercicio resuelto
Calcular el valor del polinomio Q (x) = x 4 + 7x 3 + 6x 2 – 6x + 2 para los valores siguientes: a) x = 2
a) Dividimos Q (x) : (x – 2) y tomamos el resto: 1 2
b) x = –5
1
7 6 2 18 9 24
Q (2) = 86
2 Sea el polinomio M (x) = x 4 – 8x 3 + 15x 2 + 7x + 8.
a) Calcula M (4) = 44 – 8 · 43 +15 · 42 + 7 · 4 + 8. b) Divide, con la regla de Ruffini, M (x) : (x – 4). c) Comprueba que el resultado del apartado a) coincide con el resto de la división que has realizado en b). 3 Del polinomio H (x) sabemos:
H(5) = 18 H(–5) = 13 a) ¿Cuál es el resto de la división H(x) : (x – 5)? b) ¿Y el de la división H(x) : (x + 5)? 4 Considera los polinomios siguientes:
P (x) = 3x 3 – 5x 2 – 9x + 3
Q(x) = x 4 – 12x 2 – 11x + 9
–6 48 42
b) Dividimos Q (x) : (x + 5) y tomamos el resto: 2 84 86
1
–5
7 6 –5 –10 1 2 –4
–6 2 20 –70 14 – 68
Q (–5) = – 68
Calcula, utilizando la regla de Ruffini: a) P (3) b) P (–1) c) Q(3) d) Q(–1) 5 Calcula, con ayuda de la regla de Ruffini, el valor del
polinomio 2x 3 – 7x 2 – 17x +10 para: a) x = –2 b) x = –3 c) x = 5
6 De un polinomio P (x), sabemos que se anula para el
valor x = 8, es decir, P (8) = 0. ¿Qué puedes decir de la división P (x) : (x – 8)?
7 El valor de un polinomio, A(x), para x = 7 es 54. ¿Qué
puedes decir de la división A(x) : (x – 7)?
87
3
Vamos a pensar ahora en las divisiones exactas del tipo P (x) : (x – a).
División exacta
x–a C (x)
P (x) … 0
Raíces de un polinomio Por ser exactas, el resto es cero y, según el apartado anterior, también será cero el valor que toma el polinomio P (x) para x = a: P (x) = (x – a) · C (x) + 0 → P (a) = (a – a) · C (a) + 0 = 0
P (x) = (x – a) · C (x)
|Ejemplo Dividimos el polinomio P (x) = x 3 + 3x 2 – 6x – 8 entre (x – 2): 1
P (2) = (2 – 2) · C (2) = 0 P (2) = R = 0
2 1
3 2 5
–6 –8 P (2) = 23 + 3 · 22 – 6 · 2 – 8 = 10 8 = 8 + 12 – 12 – 8 = 0 4 0 → R
C (x) = x 2 + 5x + 4
resto de la división → 0
Decimos entonces que el valor x = 2 es una raíz del polinomio. Ten en cuenta
Una raíz, a, de un polinomio, permite descomponerlo en dos factores: P (x) = (x – a) · C (x)
Si la división P (x) : (x – a) es exacta, entonces el polinomio P (x) se anula para x = a. Decimos que a es una raíz del polinomio P (x) si P (a) = 0.
Búsqueda de las raíces enteras de un polinomio P (x) 1
3
8
Observa que en la división exacta anterior, el último producto, 2 · 4, cambiado de signo, es igual al último coeficiente del polinomio, – 8. Así, la raíz, 2, es divisor de 8. En caso contrario, el resto no habría podido ser cero.
0 → R
Confirmémoslo con otro ejemplo:
–6 –8
2 ×
4
La división (x 3 – 4x 2 – 11x + 30) : (x – 5) es exacta y, por tanto, el valor x = 5 es una raíz del polinomio x 3 – 4x 2 – 11x + 30. 5
1
– 4 –11
5
30 –30
×
–6
0
Observa
1 – 4 –11 3
3 1
30
–3 – 42
–1 –14 –12
3 es divisor de 30, pero no es raíz del polinomio dividendo. 88
1 – 4 –11 30 5 5 –30 0 1 1 –6
Al aplicar la regla de Ruffini, el último producto es 5 · (– 6) = –30, opuesto del último coeficiente del polinomio. Vemos que x = a no puede ser raíz entera del polinomio del ejemplo si a no es divisor de 30. Una raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros es, necesariamente, un divisor del término independiente, el que no lleva x. Un divisor del término independiente del polinomio puede ser raíz del polinomio o no serlo. Así, cuando queramos buscar las raíces enteras de un polinomio, lo haremos entre los divisores del término independiente.
4
Ejercicios resueltos
1 Averiguar si x = 5 es raíz de al-
guno de estos polinomios:
M (x) = x 4 – 9x 3 + 17x + 18 N (x) = 2x 4 – 11x 3 + 18x + 20 K(x) = x 4 – 23x 2 – 7x – 15
• La división M (x) : (x – 5) no puede tener resto cero, porque 5 no es divisor del término independiente del polinomio, 18. Por tanto, el valor x = 5 no es raíz del polinomio M (x). • La división N (x) : (x – 5) no es exacta, pues 2 –11 0 18 20 R = N (5) = –15. 5 10 –5 –25 –35 El valor x = 5 no es raíz del polinomio N (x). 2 –1 –5 –7 –15 • La división K (x) : (x – 5) es exacta, pues R = K (5) = 0. El valor x = 5 sí es raíz del polinomio K (x).
2 Considerar el polinomio
Q (x) = 2x 3 + 7x 2 + 6x + 9. a) Encontrar una raíz entera de Q (x). b) Descomponer Q (x) en dos factores.
1
0 –23 5 25 5 2
5 1
–7 –15 10 15 0 3
El término independiente del polinomio es 9. Buscaremos la raíz entre los divisores de 9, que son ±1, ±3 y ±9. Iremos probando divisiones Q(x) : (x – a), siendo a cada uno de esos divisores. Los primeros intentos entre (x – 1), (x + 1) y (x – 3) son fallidos. Observa: 2 1 2
7 2 9
6 9 15
9 15 24
2 –1
7 –2 2 5
6 –5 1
9 –1 8
Sin embargo, al dividir entre (x + 3), obtenemos de resto 0. Es decir, x = –3 es raíz de Q (x).
3
–3
2
7 6 2 13
6 9 39 135 45 144
2
6 –3 3
7 –6 2 1
9 –9 0
a) x = –3 es raíz del polinomio Q (x), porque Q (–3) = 0. b) Q (x) = 2x 3 + 7x 2 + 6x + 9 = (x + 3) · (2x 2 + x + 3) 3 Escribir un polinomio de tercer
grado cuyas raíces sean 0, 1 y 2.
P (x) = x (x – 1)(x – 2) cumple esta condición. Observa que: P (0) = 0 · (0 – 1) · (0 – 2) = 0
P (1) = 1 · (1 – 1) · (1 – 2) = 0
P (2) = 2 · (2 – 1) · (2 – 2) = 0 Solución: P (x) = x (x – 1)(x – 2) = x 3 – 3x 2 + 2x
1 Averigua si alguno de los valores 1, –3, 5, –7 es raíz del
polinomio x 4 – 4x 3 + 2x 2 + 5x – 4.
2 ¿Cuáles son las raíces de P (x) = (x – 2)(x + 5)(x – 6)? 3 Escribe un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean
2, –2 y 3.
4 Calcula mentalmente alguna raíz de cada uno de estos
polinomios: a) x 2 – x
b) x 3 – 1
c) x 4 + x
5 Busca una raíz entera de cada uno de estos polinomios.
Si no la hay, justifica por qué. A(x) = 4x 3 + 2x 2 + 5x + 7
B(x) = x 3 + 2x 2 + 3x + 1 C(x) = x 4 – 2x 3 – x 2 – 7x + 3 D(x) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 6 El polinomio x 3 + 2x 2 – 8x tiene tres raíces enteras.
Calcúlalas por tanteo. 89
4
Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible. Para factorizar polinomios, dispones de algunos recursos que se exponen, mediante ejemplos, a continuación.
Sacar factor común Observa
Si recorres el camino contrario, multiplicando 3x por el paréntesis, obtienes el polinomio original. Factoriza polinomios. Desarrolla un polinomio factorizado.
Recuerda
Identidades notables: (a + b )2 = a 2 + b 2 + 2ab (a – b )2 = a 2 + b 2 – 2ab (a + b ) (a – b ) = a 2 – b 2
anayaeducacion.es Repasa la utilización de las identidades notables.
|Ejemplo 1 P (x) = 6x 4 – 9x 3 + 12x 2 – 3x → El factor común es 3x. P (x) = 6x 4 – 9x 3 + 12x 2 – 3x = 3x (2x 3 – 3x 2 + 4x – 1) |Ejemplo 2 Q (x) = 45x 5 + 120x 3 + 80x 2 → El factor común es 5x 2. Q (x) = 45x 5 + 120x 3 + 80x 2 = 5x 2 (9x 3 + 24x + 16)
Utilizar las identidades notables |Ejemplo 3 A (x) = 4x 2 + 4x + 1 → Se puede expresar como cuadrado de una suma. A (x) = 4x 2 + 4x + 1 = (2x)2 + 2 · (2x) · (1) + (1)2 = (2x + 1)2 |Ejemplo 4 B (x) = 9x 2 – 12x + 4 → Se puede expresar como cuadrado de una diferencia. B (x) = 9x 2 – 12x + 4 = (3x)2 – 2 · (3x) · (2) + (2)2 = (3x – 2)2 |Ejemplo 5 C (x) = 4x 2 – 25 → Se puede expresar como producto de suma por diferencia. C (x) = 4x 2 – 25 = (2x)2 – (5)2 = (2x + 5)(2x – 5)
Ejercicios resueltos
1 Descomponer en factores:
Q (x) = 2x 4 – 12x 3 + 18x 2
Empezamos sacando factor común 2x 2: Q (x) = 2x 4 – 12x 3 + 18x 2 = 2x 2 (x 2 – 6x + 9) Observando el segundo factor, vemos que se puede expresar como el cuadrado de una diferencia: Q (x) = 2x 4 – 12x 3 + 18x 2 = 2x 2(x 2 – 2 · x · 3 + 32) = 2x 2(x – 3)2
2 Simplificar esta fracción:
2x 3 – 18x 2x 4 – 12x 3 + 18x 2
Descomponemos el numerador sacando factor común y, después, transformando una diferencia de cuadrados en suma por diferencia: 2x 3 – 18x = 2x (x 2 – 9) = 2x (x + 3)(x – 3) El denominador coincide con el polinomio descompuesto en el ejercicio anterior: 2x (x + 3) (x – 3) 2x 3 – 18x = = x +3 2 ( x – 3) 2 4 3 2 x ( x – 3) 2 x 2x – 12x + 18x
90
4
Factorizar con ayuda de la regla de Ruffini anayaeducacion.es Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini.
Vamos ahora a aplicar lo aprendido en el epígrafe 4 sobre la búsqueda de las raíces de un polinomio. |Ejemplo 6 A (x) = x 4 – 2x 3– 2x 2– 2x – 3 → Aplicamos la regla de Ruffini, probando con los divisores de 3 (que son 1, –1, 3 y –3).
1 –1 1 3 1
–2
–2
–2
–3
–1
3
–1
3
–3
1
–3
0
3
0
3
0
1
0
Vemos que la división del polinomio A (x) entre (x + 1) es exacta, lo que nos permite una primera descomposición: A (x) = x 4 – 2x 3– 2x 2– 2x – 3 = (x + 1) · (x 3 – 3x 2 + x – 3) Seguimos el mismo proceso con el polinomio C (x) = x 3 – 3x 2 + x – 3, y vemos que la división entre (x – 3) es exacta: C (x) = x 3 – 3x 2 + x – 3 = (x – 3) · (x 2 + 1) A (x) = (x + 1) · (x 3 – 3x 2 + x – 3) = (x + 1) · (x – 3) · (x 2 + 1) El último factor, (x 2 + 1), no se puede descomponer, pues no hay ningún valor de x que lo anule. Es decir, no tiene raíces.
Ejercicios resueltos
1 Factorizar el siguiente polino-
mio:
Empezamos buscando raíces del polinomio entre los divisores del término independiente: +1, –1, +2, –2.
H (x) = 4x 3 – 8x 2 – x + 2
Y encontramos que la división entre (x – 2) es exacta: 2
2 Simplificar esta fracción:
4 –8 8 4 0
–1 0 –1
H (x) = 4x 3 – 8x 2 – x + 2 = (x – 2) · (4x 2 – 1)
2 –2 0
El segundo factor es una diferencia de cuadrados, que se descompone en suma por diferencia: H (x) = (x – 2) · (2x + 1) · (2x – 1)
Sacamos factor común en el numerador. El denominador coincide con el polinomio del ejercicio anterior.
12x 2 – 3 4x 3 – 8x 2 – x + 2
3 (4x 2 – 1) 12x 2 – 3 = = 3 3 2 2 4x – 8x – x + 2 (x – 2) (4x – 1) x – 2
1 Descompón en factores sacando factor común y utili-
zando los productos notables. a) x 3 + 6x 2 + 9x
b) 2x 3 – 4x 2 + 2x
c) 3x 4 – 12x 2
d) 8x 5 – 24x 4 + 18x 3
2 Factoriza con ayuda de la regla de Ruffini.
a) x 3 – 6x 2 + 11x – 6
b) 2x 3 + 6x 2 – x – 30
c) x 3 + 7x 2 + 14x + 8
d) 3x 5 + x 2 – 24x + 36
3
Descompón en el máximo número de factores que sea posible. b) 5x 3 + 10x 4 + 25x 2 a) 2x 4 – 12x 3 + 10x 2 c) x 3 – x 2 – x – 2 d) x 4 – 2x 3 – 8x 2 + 18x – 9 e) x 3 + 3x 2 + 3x + 1 f ) x 3 – 6x 2 + 12x – 8
4 Simplifica.
a)
5x 3 + 20x 2 3x 3 – 24x 2 + 48x
b)
x2 + 7 x 3 – 3x 2 + 7x – 21 91
5
Preparación para ecuaciones Expresiones de primer grado Con el fin de prepararte para la resolución de ecuaciones y sistemas de primer grado, te conviene adquirir agilidad en la operatoria y simplificación de expresiones de primer grado.
Ejercicios resueltos
1 Simplificar esta expresión:
3(5x – 7) + 2(x – 1) – 5x + 3 = 15x – 21 + 2x – 2 – 5x + 3 =
3(5x – 7) + 2(x – 1) – 5x + 3 2 Multiplicar por 36 y simplificar
esta expresión: 3 (x + 5) 2 (11 – x) +6 – – 9 12
3 En la expresión 4x + 3y – 3, sus-
tituir x por (7 – 4y) y simplificar.
4 Multiplicar por 6 y simplificar
esta expresión: 2 (x – y + 4) 2x – y 5 – – 3 2 6
= 12x – 20 36 · ;–
3(x + 5) 2(11 – x) + 36 · 6 = –9(x + 5) – 8(11 – x) + 216 = E – 36 · 12 9 = –9x – 45 – 88 + 8x + 216 = = –x + 83
4x + 3y – 3 4(7 – 4y) + 3y – 3 = 28 – 16y + 3y – 3 = –13y + 25 6·<
2x – y 2 (x – y + 4) F – 6·d n – 6 · 5 = 2 · 2(x – y + 4) – 3(2x – y) – 5 = 2 3 6 = 4x – 4y + 16 – 6x + 3y – 5 =
1 Simplifica las siguientes expresiones:
a) 3(x – 1) + 5(x – 2) – 7x b) 2(2x – 3) + 1 – (x – 5) c) 5x + 3(1 – x) – 12 – 2(x – 5) d) 10(x – 1) + 2(x + 9) – 4(2 + 3x) e) 3x – 1 – (2x + 1) – 1 + (x + 2) + 3 2 Multiplica por el número indicado y simplifica.
3 (x + 2) x – 1 2 (x + 1) 37 + a) – – por 10 2 5 5 10 b) 2x – 3 – x + 3 + 4 + x – 1 por 4 2 2 4 c) x + 2x – 3 + x – 1 – 12x + 4 por 9 3 9 9 3 y – 2(x + y ) + 3 por 6 d) 2x – 3 2 y 2 (x + 1) e) – – 1 por 6 3 2 92
= –2x – y + 11
3
Expresa algebraicamente y simplifica. a) La suma de un número más su tercera parte. b) La suma de las edades de Ana y Raquel, sabiendo que Ana tiene 8 años más que Raquel. c) Invertí una cantidad, x, y ha aumentado un 12 %. ¿Qué cantidad tengo ahora? d) Invertí una cantidad, x, y he perdido el 5 %. ¿Qué cantidad tengo ahora? e) La suma de tres números consecutivos. f ) El triple de un número menos su cuarta parte. g) La suma de las edades de Alberto y su padre, sabiendo que este tiene 28 años más que aquel. h) Un ciclista va a una velocidad v. Otro ciclista viene 10 km/h más rápido. ¿A qué velocidad se acerca el uno al otro?
4
Expresiones de segundo grado Con vistas a la resolución de ecuaciones de segundo grado y sistemas de ecuaciones no lineales, te conviene adquirir agilidad en el manejo de este tipo de expresiones. Los siguientes ejercicios resueltos te ayudarán en esta tarea.
Ejercicios resueltos
1 Simplificar esta expresión:
(x + 5)2 – 2(x + 1)(x – 3)
(x + 5)2 – 2(x + 1)(x – 3) =
(efectuamos las multiplicaciones)
= x 2 + 10x + 25 – 2(x 2 – 2x – 3) =
(suprimimos paréntesis)
= x 2 + 10x + 25 – 2x 2 + 4x + 6 = –x 2 + 14x + 31 2 Multiplicar por 4 y simplificar
esta expresión:
(x – 1)2 (x + 2) (x – 2) 3 – – 2 4 4 3 Sustituir y por x – 2 en la ex-
presión car.
x2 + y2 – 9
y simplifi-
4 Expresar
algebraicamente el producto de dos números pares consecutivos.
5 Expresar
algebraicamente el área total de un cilindro de 15 cm de altura y radio de la base desconocido.
(x – 1) 2 (x + 2) (x – 2) – 4· – 4· 3 = 2 4 4 = 2(x – 1)2 – (x + 2)(x – 2) – 3 = 2(x 2 – 2x + 1) – (x 2 – 4) – 3 = 4·
= 2x 2 – 4x + 2 – x 2 + 4 – 3 = x 2 – 4x + 3 x 2 + y2 – 9 x 2 + (x – 2)2 – 9 = x 2 + x 2 – 4x + 4 – 9 = 2x 2 – 4x – 5 Un número par cualquiera: 2x; el siguiente: 2x + 2; el producto: 2x · (2x + 2) Simplificamos: 4x 2 + 4x Atotal = 2 Abase + Alateral = 2 · πr 2 + 2π r h h = 15 → Atotal = 2πr 2 + 30πr
Es una expresión de 2.° grado con variable r.
4 Simplifica las siguientes expresiones:
a) (x – 1)(x + 1) + (x – 2)2 – 3 b) (x + 2)(x – 3) + x – 3 c) (x + 1)2 – 2x (x + 2) + 14 d) (x + 1)2 – (x – 1)2 + 2 – x 2 – 6 5 Multiplica por el número indicado y simplifica.
a) x (2x + 1) – b)
(x – 1) 2 2
– 3 por 2
x (x + 3) (x + 1) 2 1 por 6 – + 2 3 3
r 15 cm
6 Expresa algebraicamente y simplifica.
a) El producto de dos números naturales consecutivos. b) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden x y x + 5. c) El área de un rectángulo cuyas dimensiones (largo y ancho) suman 11 dm. d) El área de un rectángulo de 200 m de perímetro. 7 La diferencia de dos números es 20. Si al menor lo lla-
mamos x : a) ¿Cómo se designa al mayor? b) ¿Cómo se designa su producto? c) ¿Cómo se designa la suma de sus cuadrados?
93
Ejercicios y problemas ¿Dominas lo básico?
9
Monomios y polinonios
1
Opera y simplifica todo lo posible. a) –2x 3 + x 3 – 3x 3 b) –3x 2 – 2 x 2 + 5x 2 5 c) 1 xy – 3 xy + xy d) 2 x 2 – 1 x 2 + x 2 10 2 5 4 e) 2x · (–3x 2) · (–x) f ) 3 x 3 · (–2x 2) · 2x 4 6 3 h) – 7x2 · x g) – 15x2 · x 3x 2x
2
a) En cada uno de los resultados del ejercicio anterior, indica el grado y el coeficiente. b) ¿Cuáles de los monomios que obtienes son semejantes?
3
Simplifica los siguientes cocientes y di en qué casos obtienes un monomio: b) (12x y2) : (8x 2y) a) (3x 2y) : (2x2) c) c 2 x3 m : b – x l 3 2
4
5
6
7
3 d) d x n : (3x 4) 4
Dados los polinomios P (x) = 2x 4 – 5x 3 + 3x – 1 y Q (x) = 6x 3 + 2x 2 – 7, calcula: a) P + Q b) P – Q c) P · Q Opera y simplifica todo lo posible en cada uno de los casos siguientes: a) 4(1 – x) + 6x – 10 – 3(x – 5) b) 2x – 3 + 3(x – 1) – 2(3 – x) + 5 c) 2(x + 3) – (x + 1) – 1 + 3(5x – 4) Efectúa, reduce y di cuál es el grado del polinomio resultante en cada caso: a) x (x 2 – 5) – 3x 2(x + 2) – 7(x 2 + 1) b) 5x 2(–3x + 1) – x (2x – 3x 2) – 2 · 3x Opera y simplifica. a) (5x – 2) (3 – 2x) c) (x 2 – 5x)(x 3 + 2x)
8
b) x(x – 3)(2x – 1) d) (3x 3 + 1)(2x 2 – 3x + 5)
Realiza las operaciones con estos polinomios: A(x) = x 3 – 5x 2 – 3
B(x) = –2x 2 + x – 1,5
C (x) = –x 3 + 0,5x 2 a) A (x) + C (x) b) A (x) – B (x) 94
c) A (x) · C (x)
Opera y simplifica. a) (x + 1)(x – 3) + (x – 2)(x – 3) – (x 2 – 3x – 1) b) 2x (x + 3) – 2(3x + 5) + x c) (x + 1)2 – 3x – 3 d) (2x + 1)2 – 1 – (x – 1)(x + 1)
Factor común e identidades notables
10
Saca factor común en cada uno de los siguientes polinomios: b) 2x 3 – 6x 2 + 4x a) 9x 2 + 6x – 3 d) x 4 – x 3 + x 2 – x c) 10x 3 – 5x 2 e) 410x 5 – 620x 3 + 130x
11
Completa las expresiones siguientes en tu cuaderno: a) (2x + 1) 2 = 4x 2 + x + 1 b) (x + ) 2 = x 2 + x + 16 c) (3x –
12
)2 =
x2 –
e) 25 – 9x 2
Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio (hazlo en tu cuaderno): a) 49 + 14x + x 2 = ( + ) 2 b) 4x 2 – 20x + 25 = ( – 5) 2 c) 1 + 4x + 4x 2 = (
14
x+4
Expresa en cada caso como producto de dos binomios (hazlo en tu cuaderno): a) x 2 – 16 = (x + ) (x – ) c) 9 – x 2 b) x 2 – 1 d) 4x 2 – 1
13
f ) 72x 4 – 64x 3
+
)2
Saca factor común y reconoce las igualdades notables en los polinomios siguientes: b) 4x 4 – 81x 2 a) x 3 – 6x 2 + 9x c) x 3 – x
d) 3x 2 + 30x + 75
Entrénate y practica 15
Multiplica por el número indicado y simplifica. (x – 2)2 a) (3x + 1)(3x – 1) + – 1 + 2x por 2 2 2 – x 2 + 1 – x + 15 por 12 3 12 4 (2x – 1) (2x + 1) 3x – 2 x 2 c) por 6 – – 3 3 6
b) x
2+
4
16
17
Multiplica por el mínimo común múltiplo de los denominadores y simplifica. ( x + 1) ( x – 3) +x – x a) 2 4 2 ( x – 2) + b) x + 3x 1 – – x2+2 2 3 x (x – 1) x (x + 1) 3x + 4 c) – – 3 12 4 2 2 (2x – 5) (x + 1) d) – 9 6 Multiplica por la expresión indicada y simplifica. 2 a) – 1 – 3x por 2x x 2x 2 3 1 b) 2 – 2 – – 2x por 3x 2 x 3x
18
Divide aplicando la regla de Ruffini. a) (x 2 – 5x + 1) : (x – 2) b) (x 3 – 3x 2 + 5x + 2) : (x + 1) c) (2x 3 – 15x – 7) : (x – 3) d) (3x 4 + 5x 3 – 2x 2 + x – 1) : (x + 2) Indica cuál es el cociente y el resto en cada caso.
19
Efectúa estas divisiones exactas y expresa el dividendo como producto de dos factores como en el ejemplo: • (x 5 + 2x 4 + x + 2) : (x + 2) → (x + 2) (x 4 + 1) Dividendo = divisor · cociente: a) (3x 3 + 7x 2 + 7x + 4) : (3x + 4) b) (x 3 – x 2 + 9x – 9) : (x – 1) c) (2x 3 – 3x 2 + 10x – 15) : (2x – 3)
20
Aplica la regla de Ruffini para hallar el valor numérico de cada polinomio para el valor de x indicado. a) x 4 – 2x 3 – 3x 2 + 9 para x = 2 b) 3x 3 – 4x 2 – 16x + 15 para x = –2 c) x 4 – x 3 – 17x 2 – 11x para x = 4
21
En situación Comprueba que el siguiente poli-
22
nomio, P(x), es divisible por x – 1 y por x + 3: P(x) = x3 – 3x2 – 13x + 15 ¿Cuáles son sus raíces?
Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios: b) x 3 – 4x a) x 4 – 8x 3 + 16x 2 d) 4x 3 + 2x 2 + x c) 9x 3 + 6x 2 + x f ) 49x – 14x 2 + x3 e) 4x 3 + 4x 2 + x
23
Encuentra las raíces de estos polinomios y factorízalos: b) x 3 – 19x 2 + 34x a) x 3 + 2x 2 – x – 2 d) x 3 + 2x 2 – 9x – 18 c) x 3 – x 2 – 5x – 3 f ) x4 – 2x 3 – 3x2 e) x 3 – 3x 2 + 2x g) x 3 + 2x 2 – 4x – 8 h) x3 – 4x 2 – 11x + 30
24
En situación Halla el máximo común divisor y
el mínimo común múltiplo de los polinomios: a) P(x) = x 4 – 4x 2 y Q(x) = x 2 – 2x b) P(x) = x 2 – 10x + 25 y Q(x) = x 2 – 5x c) P(x) = x 3 + x 2 – 12x y Q(x) = x – 3
Resuelve problemas sencillos 25
Expresa algebraicamente y simplifica cada expresión obtenida. a) Compro un artículo por x euros y este pierde el 15 % de su valor. ¿Cuánto costaría ahora? b) El perímetro de un triángulo rectángulo en el que uno de los catetos mide los 3/5 de la hipotenusa y el otro cateto, 5 cm menos que esta. c) Los lados de un triángulo rectángulo isósceles de 24 cm de perímetro. d) La diferencia de las áreas de dos cuadrados cuyos lados se diferencian en 3 cm. e) La superficie de un jardín rectangular de base x y perímetro 60 m. f ) Tengo dos tipos de aceite. Uno de 3,5 €/L y otro de 5,5 €/L. Si mezclo distintas cantidades de uno y otro, ¿cuál será el precio de la mezcla?
26
Si Jorge tiene 12 años y su madre, 38, ¿cuántos años, x, tienen que pasar para que la edad de su madre sea el doble de la de Jorge? Indica la igualdad que representa esta situación: • 2(x + 38) = x + 12 • 38 = 2(x + 12) • 38 + x = 2(12 + x) • 2x + 12 = x + 38
27
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo para María y les toca a 12 € cada uno. Si fueran tres amigos más, les tocaría a 4 € menos cada uno. ¿Cuál de estas igualdades representa este enunciado? • 12x = 8(x + 3) • 12(x – 4) = 8(x + 3) • 12x = 4(x + 3) • 12x = 9(x + 4
28
Factoriza los polinomios siguientes: a) 75y 4 + 30y 3 + 3y 2 b) x 4y 2 + 2x 3y 3 + x 2y 4 95
Ejercicios y problemas Para pensar un poco más 29
Expresa algebraicamente el perímetro y el área de este trapecio rectángulo:
33
En una parcela de lados x e y se construye una casa, en la zona coloreada que se indica en el dibujo.
x 5
31
Un grupo de x estudiantes alquilan un piso por 700 € al mes. Se apuntan 2 más para compartirlo. Expresa algebraicamente cuánto tiene que pagar cada uno en cada caso (si son x y si son dos más). La expresión 10a + b representa un número de dos cifras. Escribe en forma algebraica: a) Un número de tres cifras. b) El siguiente y el anterior al que has escrito en a). c) El número que obtienes al invertir sus cifras.
32
En un rectángulo de lados x e y inscribimos un rombo. Escribe su perímetro en función de los lados del rectángulo.
y 30 m x
Expresa, en función de x e y, el área no edificada.
x+3
30
50 m
34
Expresa en función de v el tiempo que tardarán en encontrarse. 35
x
Piensa un número cualquiera, multiplícalo por 2, réstale 10, réstale el número pensado, súmale 3 y dime el resultado. Razona cómo puedo saber el número que has pensado.
36 y
Andujar y Bailén distan 48 km. De Andújar sale un coche hacia Bailén con velocidad v. Al mismo tiempo sale otro de Bailén hacia Andújar con velocidad v + 3.
Piensa en tres números consecutivos. Resta al cuadrado del mayor el cuadrado del menor. Divide el resultado por el del medio. ¡Obtienes siempre 4! Justifícalo utilizando el lenguaje algebraico.
Autoevaluación ¿Qué has aprendido? 1 Realiza las siguientes operaciones:
a) (x2 + x + 1) · 3x – (x2 + 2) (3x – 1) b) x (3x – 2)2 – (x – 3)(2x – 1)x c) 4;(x – 2)2 – 3 x 2 – 4E 4 4 3 d) (6x – 5x – 5x2 + 1) : (3x2 + 2x – 1) e) (2x3 + 10x2 + 16x + 8) : (2x + 4) 2 Multiplica por el mín. c. m. de los denominadores y
simplifica.
5 (x – 1) 7x – 2 x (x – 1) + – 9 12 2
3 Halla el cociente y el resto (aplica la regla de Ruffini).
a) (2x 3 – 3x 2 – 11x + 2) : (x – 3) b) (x4 – 5x 2 + x – 2) : (x – 2) 4 Calcula las raíces enteras y descompón en factores el po-
linomio siguiente:
2x3 – 3x2 – 2x + 3 96
anayaeducacion.es Resolución de estos ejercicios.
5 Saca factor común y factoriza usando identidades notables:
a) x3 – 2x2 + x
b) 3x3 + 12x2 + 12x
c) x4 – 9x2
6 Expresa algebraicamente.
a) El cuadrado de la diferencia de dos números. b) Si me das dos discos, tendré la mitad que tú. 7 Se mezclan x kg de pintura de 5 €/kg con y kg de
otra de 3 €/kg. ¿Cuál será el precio de 1 kg de la mezcla?
8 Observa esta figura y expresa algebraicamente: 2 x+
x
a) El área del triángulo. b) El radio de la semicircunferencia. c) El área de la zona coloreada.
9 Expresa algebraicamente el área de
esta corona circular:
x x+2
Situación de aprendizaje
4
....
RESU
ELVO Las similitudes entre los números enteros y los polinomios
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Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse e incluso, puedes dividirlos, aunque no siempre obtendrás otro número entero; es decir, no siempre la división será exacta. • Efectúa la división numérica 25 813 : 12 y la división de polinomios: (6x 3 – x 2 – 3x + 2) : (2x – 1) Encuentra las similitudes entre los dos procesos. • Cuando una división entre dos números enteros es exacta, el resto de la división es cero, por ejemplo: 12 : 6 = 2 es una división exacta → 6 · 2 = 12, decimos que 6 y 2 son divisores de 12. Explica el resultado equivalente con polinomios, por ejemplo, con 6x 3 – x 2 – 5x + 2 dividido entre 2x – 1. • Para buscar números que sirvan como ejemplo de división exacta, los creamos multiplicando. Por ejemplo: 122 · 45 = 5 490 → 5 490 : 122 es una división exacta y 5 490 : 45, también. Inventa una división entre polinomios que tenga resto cero, es decir, que sea una división exacta. Después, realiza la división y comprueba que se cumple. • ¿Te parece razonable designar los polinomios x, x – 3, x + 5 como polinomios irreducibles (primos)? ¿Y a estos: x 2 + 1, x 2 + 5, x 2 – 3x + 3? ¿Por qué no son irreducibles (primos) estos otros polinomios: x 2 + x – 12 o x 2 – 11x? • Podemos expresar un número entero como producto de factores primos: 60 = 22 · 3 · 5 → Para encontrar la descomposición factorial de un entero, vamos buscando divisores primos teniendo en cuenta los criterios de divisibilidad. Para efectuar la descomposición factorial de un polinomio, vamos buscando divisores irreducibles. Con la regla de Ruffini es fácil encontrar las raíces enteras, que, si existen, serán divisores del término independiente. Descompón factorialmente los siguientes polinomios: b) x 3 – 25x c) x 3 – 2x 2 – 4x + 8 a) x 4 – 2x 3 – 5x 2 + 6x • Calcula el máximo común divisor de 12 y 18 descomponiéndolos previamente en factores primos. Haz lo mismo con los polinomios x 3 – x y x3 + x 2. Descomponlos en polinomios irreducibles y calcula su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo. Observa la similitud entre los dos procesos. • Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de: b) x 2 – 1 y x 2 – x. a) x 2 + 3x y x3 – 2x ¡Ahora hazlo tú!
• ¿Y si hacéis una competición? Escribe un polinomio factorizado, que tenga raíces enteras..., desarróllalo y pásaselo a un compañero o compañera para que encuentre la factorización. • También puedes jugar a encontrar el máximo común divisor de dos polinomios fabricándolos de esta misma forma. 97
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