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ESO
b S A C I T Á MATEM G., osé Oliveira C., J .ª M ., J ra José Cole ón Colera telu A., Ram icardo B. z a G io c a n Ig ía P., Ana A Rosario Garc
O peración ANDALUCÍA
mundo
¿Qué vamos a aprender?
PÁGINA
Entrénate resolviendo problemas
BLOQUE I Aritmética y álgebra
BLOQUE II Geometría
Números reales
34
2
Polinomios y fracciones algebraicas
60
3
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
82
4
Semejanza. Aplicaciones
112
5
Trigonometría
134
BLOQUE III Funciones
BLOQUE IV Estadística y probabilidad
La espectacular propulsión de las velas solares Industria. Innovación e infraestructura
Patrones que simplifican Educación de calidad
Un mundo sostenible Producción y consumo responsables
Los museos, focos de cultura y de inspiración Vida de ecosistemas terrestres
Exposiciones universales Ciudades y comunidades sostenibles
Viajar para aprender
Geometría analítica
158
7
Funciones I
188
8
Funciones II
214
9
Estadística
240
10
Estadística bidimensional. Correlación
268
11
Combinatoria
286
12
Cálculo de probabilidades
Ciudades y comunidades sostenibles
De función cuadrática a función lineal Industria. Innovación e infraestructura
La gravedad del asunto Industria. Innovación e infraestructura
Los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) Alianzas para lograr los objetivos
La estadística, bien hecha, no miente Salud y bienestar
Los problemas NP, cuando se pasa a la práctica Educación de calidad
308
SABERES BÁSICOS • Haz un esquema, un gráfico o una tabla que te ayude a organizar los datos • En los problemas geométricos, ¡haz un dibujo!
10
1
6
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE • ODS
¿Cambio o me planto? Educación de calidad
• Números irracionales • Números reales: la recta real • Tramos de la recta real: intervalos y semirrectas • Polinomios. Operaciones • Regla de Ruffini • Ecuaciones • Sistemas de ecuaciones
• Semejanza • Homotecia • Rectángulos de dimensiones interesantes • Razones trigonométricas de un ángulo agudo • Relaciones trigonométricas fundamentales • La calculadora en trigonometría • Vectores en el plano • Operaciones con vectores • Vectores que representan puntos • Punto medio de un segmento
• Conceptos básicos • Cómo se presentan las funciones • Dominio de definición • Funciones definidas a trozos • Funciones radicales
• La estadística y sus métodos • Tablas de frecuencias • Parámetros estadísticos: x y σ • Distribuciones bidimensionales • El valor de la correlación • Estrategias basadas en el producto • Variaciones y permutaciones (importa el orden) • Sucesos aleatorios • Probabilidades de los sucesos. Propiedades • Probabilidades en experiencias simples
PORFOLIO • Experimenta, tantea, pon ejemplos... conjetura y comprueba... • Investiga • Raíces y radicales • Números aproximados. Errores
• Números en notación científica. Control del error • Logaritmos
Haz cuentas y compara datos para que sean más comprensibles
• Raíz de un polinomio. Búsqueda de raíces • Factorización de polinomios
• Divisibilidad de polinomios • Fracciones algebraicas
Las similitudes entre los números enteros y los polinomios
• Inecuaciones con una incógnita • Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Cómo resolver ecuaciones diofánticas
Muco
MÁS QUE MATES
• Semejanza de triángulos • La semejanza en los triángulos rectángulos
• Semejanza de triángulos rectángulos en cuerpos geométricos
¿Por qué la enorme vela del dimetrodón? ¿Qué otras curiosidades nos depara la semejanza en la naturaleza?
• Razones trigonométricas de 0° a 360° • Ángulos de medidas cualesquiera. Razones trigonométricas
• Resolución de triángulos rectángulos • Resolución de triángulos no rectángulos • Unos teoremas muy interesantes
Mide alturas y distancias entre puntos inaccesibles
• Puntos alineados • Ecuaciones de la recta • Rectas. Paralelismo y perpendicularidad • Rectas paralelas a los ejes coordenados
• Posiciones relativas de dos rectas • Distancia entre dos puntos • Ecuación de una circunferencia • Estudio de algunos movimientos
Utiliza la geometría analítica para localizar y describir lugares carismáticos de la ciudad de Roma
Muco
MÁS QUE MATES
• Cortes con los ejes. Signo de una función • Funciones continuas. Discontinuidades • Variaciones de una función
• Tendencia y periodicidad • Funciones lineales • Funciones cuadráticas
De parábolas a rectas, frenando la caída
• Funciones de proporcionalidad inversa • Funciones exponenciales
• Funciones logarítmicas • Funciones trigonométricas. El radián
Cómo varía la gravedad al variar la altura o al cambiar de planeta
Muco
MÁS QUE MATES
• Parámetros de posición para datos aislados • Parámetros de posición para datos agrupados • Diagramas de caja
• Estadística inferencial • Estadística en los medios de comunicación
Hagamos una encuesta sostenible
• La recta de regresión para hacer estimaciones • Reflexionemos: ¿la correlación significa causa-efecto?
• Distribuciones bidimensionales con calculadora
La correlación para interpretar nuestro mundo
• Cuando no influye el orden. Combinaciones • Un interesante triángulo numérico
• Fórmula de Newton
Problemas aparentemente sencillos que pueden ser tremendos
• Probabilidades en experiencias compuestas • Composición de experiencias independientes
• Composición de experiencias dependientes • Tablas de contingencia
Puertas y llaves
Muco
MÁS QUE MATES
1
Números reales 9. Industria, innovación e infraestructuras
34
Situación de aprendizaje
La espectacular propulsión de las velas solares
La divulgación científica permite acercar el conocimiento y el método científico a la sociedad. Informando, educando y despertando el interés por la ciencia, fomentando, así, el pensamiento crítico y la participación ciudadana. Contribuye a crear una cultura que favorece el desarrollo social, económico y ambiental. Además, puede inspirar a las nuevas generaciones a seguir carreras científicas y a involucrarse en la investigación y la innovación. Por todo ello, fomentar la divulgación científica es una responsabilidad compartida entre los científicos, los medios de comunicación y las instituciones educativas y culturales. Un método muy original de propulsión de naves en el espacio es el de las velas solares de fotones. Estas estructuras son superficies enormes y muy finas, de materiales resistentes y reflectantes donde los fotones «chocan», o son reflejados, empujándolas. Como el espacio está vacío, no ofrece resistencia y, aunque este empuje es mínimo, se va sumando hasta llegar a alcanzar velocidades incluso mayores de las que se consiguen a base de motores de propulsión alimentados por combustible. Al no depender de combustible, las naves son autónomas y permiten expediciones tan largas como la que pretende realizar el proyecto Breakthrough Startshot para explorar Alfa Centauri, el sistema estelar más cercano al Sol, a 4,37 años luz de distancia, con un viaje de solo 20 años.
A..
PROP
UEST
Los principios físicos en los que se basan las velas solares son complicados; las distancias que se pretende recorrer, inconcebibles; las velocidades que se alcanzan, enormes y el grosor de las velas, ínfimo. Te propondremos trabajar sobre estos datos y compararlos con otros más cercanos para hacer más comprensibles las dimensiones y lo espectaculares que resultan. Y te animaremos a que los utilices para escribir un artículo de divulgación sobre velas solares.
....
Ponte en situación con lo que ya sabes
1 El sistema estelar Alfa Centauri se encuentra a
4,37 años luz. Sabiendo que la velocidad de la luz es de 300 000 km/s, ¿a cuántos kilómetros está Alfa Centauri del Sol? (Utiliza notación científica para facilitar las operaciones y da la solución con 3 cifras significativas).
2 El Blackbird es uno de los aviones más rápidos
del mundo y alcanza los 3 540 km/h. ¿Cuánto tiempo se tardaría en llegar a Alfa Centauri en este avión?
35
1
Números irracionales Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es exacta o periódica. Números irracionales son los no racionales, es decir, los que no pueden obtenerse como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es infinita no periódica. Por ejemplo, π = 3,14159265359… Hay infinitos números irracionales, algunos de los cuales son especialmente interesantes. Veamos algunos.
La diagonal del cuadrado: el número 2 2
1
1
El teorema de Pitágoras nos da el valor de la diagonal de un cuadrado de lado 1: d = 12 + 12 = 2 Vamos a demostrar que 2 es irracional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros. Lo haremos por reducción al absurdo (suponer que sí y ver que se llega a un absurdo). — Suponemos que 2 es racional.
Ten en cuenta
En la descomposición en factores primos de un cuadrado perfecto, cada número primo está un número par de veces. Por ejemplo: N = 22 · 3 · 53 N 2 = (22 · 3 · 53)2 = 24 · 32 · 56 Todos los exponentes son pares.
— En tal caso, se podría poner como cociente de dos números enteros: 2 = a b 2 a 2 2 — Elevamos al cuadrado los dos miembros: 2 = 2 → a = 2b b 2 Como b es un cuadrado perfecto, contiene el factor 2 un número par de veces. Por tanto, 2b2 tiene el factor 2 un número impar de veces, lo cual es imposible por ser 2b2 = a2 otro cuadrado perfecto. De este modo, completamos el siguiente razonamiento: «Si suponemos que 2 es racional, llegamos a un absurdo». Y así hemos demostrado, por reducción al absurdo, que 2 no es racional.
Otros irracionales expresados mediante radicales Por lo mismo que 2, si p no es cuadrado perfecto,
p es irracional.
Si p no es una potencia n-ésima exacta, n p es un número irracional. Por ejemplo, 8, 3 9 y 5 10 son irracionales. El resultado de operar un número racional con uno irracional es irracional (salvo la multiplicación por cero). Por ejemplo, son irracionales 2 + 3, 4 – 5 10 , 3 9 : 7. Probemos que 4 – 5 10 es irracional basándonos en que 5 10 lo es. — Llamamos N = 4 – 5 10 → 5 10 = 4 – N. — Si N fuese racional, 4 – N también lo sería. Es decir, 5 10 lo sería, lo cual es falso. 1 Demuestra que los números siguientes son irracionales: 36
a) 3
b) 4 3
c) 5 + 4 3
1
El número de oro: Φ =
Estrella pitagórica
l
Esta figura, formada con las cinco diagonales de un pentágono regular, era el símbolo de los pitagóricos.
La diagonal de un pentágono de lado unidad es el número ( 5 + 1) : 2 que, evidentemente, es irracional. Además, es, históricamente, el primer número del que se tuvo conciencia de que lo era.
d=Φ
d
√5 + 1 2
Los artistas griegos consideraron que las proporciones basadas en el número Φ resultaban especialmente armoniosas. Por eso, al número Φ lo llamaron número áureo. El nombre, Φ (fi, letra «F» en griego), es la inicial de Fidias, escultor griego del siglo v a. C. que utilizó reiteradamente esta razón.
El número π
anayaeducacion.es
Como sabes, π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Este número lo conoces y lo utilizas desde hace muchos años.
L
Curiosidades sobre el número π y otros irracionales.
2r
Ten en cuenta
A diferencia de 2, 5, Φ y otros números irracionales, los números π y e no se pueden representar de forma exacta sobre la recta real.
L =π 2r
Se trata de un número irracional y, por tanto, tiene infinitas cifras decimales no periódicas. π es la letra griega correspondiente a la «p». ¿Por qué este nombre? La palabra griega perifereia significa «circunferencia» (la periferia del círculo).
El número e Otro número irracional muy importante en matemáticas es el número e, llamado así en honor a Leonhard Euler, uno de los matemáticos más carismáticos de la historia. Su valor aproximado es 2,7182… y lo vamos a encontrar, a partir de ahora, en muchas situaciones:
Catenaria
— Para describir el proceso de crecimiento en una población animal o vegetal, se utiliza una función exponencial en la que aparece el número e. y=
— También, para describir el remanente de radiactividad, con el paso del tiempo, en una sustancia radiactiva.
e x + e –x 2
— Y si colgamos una cadena, un cable, una cuerda… con sus extremos a la misma altura, la curva que forma (catenaria) se describe, también, con el número e.
2 Justifica que estas construcciones dan un segmento de
medida igual a Φ = 5 + 1 = 5 + 1 . 2
2
Φ
4
2
— √5 — 2
1/2 1
Φ
3 Demuestra que el número áureo, Φ, es irracional.
1 — 2
1
1
x
Este rectángulo tiene la peculiaridad de que si le suprimimos un cuadrado, el rectángulo que queda es semejante al inicial. Demuestra que su lado mayor es x = Φ.
1 — 2
37
2 Ten en cuenta
Existen otros conjuntos de números que tal vez estudies en otros cursos; pero Á llena la recta numérica y no deja huecos, como veremos a continuación.
Números reales: la recta real El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales y se designa por Á. Es decir, tanto los racionales como los irracionales son números reales. Y estos son todos. Con el conjunto Á podemos completar la tabla de conjuntos numéricos: naturales → 0, 4, 24 , 121 N 6 racionales Z enteros → –11, – 27 , 3 –8 Q negativos reales 3 Á # fraccionarios → 5,84; 1 ; 5,83 ; – 3 2 10 irracionales → 2, 3, Φ, π, – 5 + 2, 2 + 3 5 enteros
Notación
Cuando un número cualquiera, x, es natural, se expresa así: x ∈ N; si es entero, x ∈ Z; si es racional, x ∈ Q; y si es real, x ∈ Á.
Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que se hacen con los racionales: suma, resta, multiplicación y división (salvo por el cero) y se mantienen las mismas propiedades. Observa
La suma de dos números fraccionarios no tiene por qué ser una fracción. Por ejemplo:
1 + 5 = 6 =2 3 3 3
Y el resultado de multiplicar dos enteros negativos no es un entero negativo. Por ejemplo: (–2) · (–3) = 6
También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no ocurría con los números racionales. Observemos que los conjuntos N, Z, Q y, ahora también, Á son cerrados para las operaciones suma y producto; es decir, tanto la suma como el producto de dos elementos de uno de los conjuntos es también un elemento de ese conjunto. Y eso no ocurre ni con los enteros negativos, ni con los fraccionarios ni con los irracionales: la suma de dos irracionales puede ser racional (por ejemplo: (1 + 2) + (3 – 2) = 4) y también el producto de dos irracionales puede ser racional (por ejemplo: 2 · 8 = 4).
La recta real Los números racionales, como sabemos, se sitúan en la recta de forma densa, es decir, de modo que en cada tramo, por pequeño que sea, hay infinitos. Sin embargo, y aunque parezca raro, hay infinitos huecos entre ellos. Estos huecos son ocupados por los números irracionales. Entre todos llenan la recta. No lo olvides
La recta real es completa, es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real, un punto de la recta.
0
1
Si en una recta situamos un origen (el cero, 0) y marcamos la longitud unidad, a cada punto le corresponde un número racional o un número irracional. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Por eso, a la recta numérica la llamamos recta real. Una vez situados todos los números reales, podemos asegurar que entre cada dos de ellos, por próximos que se encuentren, hay infinitos números racionales e infinitos números irracionales.
38
1
Representación de números sobre la recta real Ejemplo
Representación de 5 :
6
1
2
3
5
4
6
|representación de números fraccionarios mediante el teorema de tales 14 Observa cómo situamos sobre la recta real el número utilizando el teorema 5 de Tales:
0
0
5 1 — 6
1
2
14 =2+ 4 5 5
43 2+— 5
|representación de radicales mediante el teorema de pitágoras El siguiente procedimiento permite representar
n para cualquier n ∈ N: Por ejemplo: 3 = ` 2j + 1 2 2
1 0
1
2 3 2
5
3 10
10 = 3 2 + 1 2
Sin embargo, la mayor parte de los números reales no pueden ser representados de forma exacta por este tipo de procedimientos. Por ejemplo, ¿cómo representaríamos 5 842 ? Lo usual es recurrir a una representación aproximada. |representación aproximada de números reales La representación de un número real dado mediante su expresión decimal puede hacerse con tanta aproximación como se desee. Por ejemplo, 5 842 = 3,8464…: 3,8 3,9
0
1
2
Observa que cada ampliación significa partir el subintervalo anterior en diez partes y quedarnos con una de ellas. En definitiva, nos aproximamos al número buscado tanto como queramos.
3
4 3,84
3,85
3,8
3,9 3,846 3,847
3,84
3,85
Los números reales pueden ser representados en la recta real, según los casos, de forma exacta, o bien con tanta aproximación como queramos.
1 a) Justifica que el punto representado es 21.
2
¿Qué número es el que hemos señalado con una flecha? 0
0
1
1
2
— √21
b) Representa 27 (27 = 36 – 9) y 40 (40 = 36 + 4).
Representa, del mismo modo, el 2,716. 39
3
Tramos de la recta real: intervalos y semirrectas En el mundo científico, con frecuencia es necesario precisar el ámbito de validez de una cierta variable. Por ejemplo, «el periodo de tiempo comprendido entre 3 s y 11 s». Para ello, hemos de aprender a designar algunos tramos de la recta real con una nomenclatura adecuada.
Intervalo abierto Intervalo abierto
(a, b) = {x ∈ Á / a < x < b} a
b
La expresión anterior se lee así: conjunto de { x ∈Á / a < x < b }
Por ejemplo, el intervalo (–2, 1) está formado por los números reales comprendidos entre –2 y 1, sin incluir ni –2 ni 1: { x ∈ Á / –2 < x < 1}. Otro ejemplo: para construir una caja con una cartulina de 15 cm × 10 cm, hemos de cortar de sus esquinas cuatro cuadrados iguales y, después, plegar. El lado de los cuadrados debe ser, pues, menor que 5 cm → (0, 5). 10 cm
números tales son mayo- y menoreales x que res que a res que b
El intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, sin incluir ni a ni b : { x ∈ Á / a < x < b }. Se representa así: a b
15 cm
Intervalo cerrado Intervalo cerrado
[a, b] = {x ∈ Á / a ≤ x ≤ b} a
b
El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, ambos incluidos: { x ∈ Á / a ≤ x ≤ b }. Se representa así: a b Por ejemplo, el intervalo [–2, 1] está formado por los números reales comprendidos entre –2 y 1, incluyendo el –2 y el 1: {x ∈ Á / –2 ≤ x ≤ 1}. Otro ejemplo: solo admitimos paquetes que pesen 2 kg o más, pero que no superen los 5 kg → [2, 5].
Intervalo semiabierto
(a, b] = {x ∈ Á / a < x ≤ b} a
b
[a, b) = {x ∈ Á / a ≤ x < b} a
b
Reflexiona
• ¿Qué números corresponden al intervalo {x ∈ Z / –2 < x ≤ 4}? • ¿Qué desigualdad expresaría los números enteros comprendidos en el intervalo [–2, 0)? 40
Intervalo semiabierto • El intervalo (a, b] es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, incluyendo b pero no a : {x ∈ Á / a < x ≤ b }. Se representa así: a b • El intervalo [a, b) es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, incluyendo a pero no b : {x ∈ Á / a ≤ x < b }. Se representa así: a b Por ejemplo, el intervalo (3, 4] está formado por los números reales comprendidos entre 3 y 4, incluyendo el 4 pero no el 3: {x ∈ Á / 3 < x ≤ 4}. Otro ejemplo: en esta guardería se admiten niños que hayan cumplido 1 año pero que aún no tengan 4 años → [1, 4).
1
Semirrectas y recta real Semirrectas
(–∞, a) = {x ∈ Á / x < a} (–∞, a] = {x ∈ Á / x ≤ a} (a, +∞) = {x ∈ Á / x > a} [a, +∞) = {x ∈ Á / x ≥ a}
a a a a
(– ∞, a) son los números menores que a: { x ∈ Á / x < a}.
(–∞, a] son los números menores que a y el propio a: { x ∈ Á / x ≤ a}.
(a, +∞) son los números mayores que a: { x ∈ Á / x > a}.
[a, +∞) son los números mayores que a y el propio a: { x ∈ Á / x ≥ a}.
• (– ∞, 2) es el conjunto { x ∈ Á / x < 2} →
2
• [2, +∞) es el conjunto { x ∈ Á / x ≥ 2} →
2 • Para votar, hay que tener 18 años cumplidos → [18, +∞). Naturalmente, el +∞, en este contexto real, hay que relativizarlo.
Observa
La unión de dos intervalos o semirrectas se representa por ∪: (–∞, 2) ∪ (0, 5] = (–∞, 5] La intersección de dos intervalos o semirrectas se representa por ∩: (–∞, 2) ∩ (0, 5] = (0, 2)
La propia recta real se representa en forma de intervalo así: Á = (– ∞, +∞). Cuando no hay ningún número que cumple una condición concreta, se representa mediante el conjunto vacío, cuyo símbolo es ∅. Por ejemplo, los números x tales que x 2 < 0 corresponden al conjunto vacío: {x ∈ Á / x 2 < 0} = ∅.
Ejercicios resueltos
1 Escribir en forma de intervalo y
representar: a) 2 < x ≤ 3
b) x ≤ 1 c) x > 0
2 Escribir en forma de desigual-
dad y representar:
a) [–2, 0] b) [–1, +∞) c) (0, 1)
3 ¿Para qué valores de x es válida
la siguiente expresión?
(x + 2) (x – 3)
a) Intervalo semiabierto (2, 3]
2
b) Semirrecta (–∞, 1]
3
1
c) Semirrecta (0, +∞)
0
a) { x ∈ Á / –2 ≤ x ≤ 0}
–2
b) { x ∈ Á / x ≥ –1}
0 –1
c) { x ∈ Á / 0 < x < 1}
0
1
La raíz cuadrada puede efectuarse cuando el radicando es cero o positivo. Y esto ocurre cuando uno de los factores es cero, ambos son negativos o ambos son positivos. Es decir, si x ≤ –2 o si x ≥ 3. (–∞, –2] ∪ [3, +∞)
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
anayaeducacion.es Intervalos en la recta real.
1 Escribe los conjuntos siguientes en forma de intervalo
y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso: a) Comprendidos entre 5 y 6, ambos incluidos. b) Mayores que 7. c) Menores o iguales que –5.
2 Escribe en forma de intervalo y representa.
a) { x ∈ Á / 3 ≤ x < 5}
b) { x ∈ Á / x ≥ 0}
c) { x ∈ Á / –3 < x < 1}
d) { x ∈ Á / x < 8}
3 Escribe en forma de desigualdad y representa.
a) (–1, 4]
b) [0, 6]
c) (–∞, – 4)
d) [9, +∞) 41
4
Raíces y radicales
Cálculo mental
Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe n a , a un número b que cumple la siguiente condición:
1 Di el valor de k en cada caso:
a) 3 k = 2
b) k –243 = –3
c) 4 k = 2 3
d) k 1 024 = 2
n a = b si bn = a na
2 Calcula las raíces siguientes:
a) 3 – 8
b) 5 32
c) 5 –32
d) 8 0
e) 4 81
f ) 3 125
se llama radical; a, radicando, y n, índice de la raíz.
Cuando manejes expresiones como esta, habrá ocasiones en las que debas calcular el valor numérico. Para ello, deberás tener en cuenta la definición, como en las que se proponen en este margen, o bien recurrir a la calculadora. Pero en otros casos deberás mantener el radical, simplificarlo, operar con otros radicales, etcétera.
Algunas peculiaridades de las raíces • Si a ≥ 0, n a existe cualquiera que sea n. • Si a < 0, solo existen sus raíces de índice impar. • Aunque 4 tiene dos raíces cuadradas, cuando escribimos 4 nos referimos a la positiva: 4 = 2. En general, un número positivo, a, tiene dos raíces cuadradas:
a y – a.
Forma exponencial de los radicales Atención
Los radicales se pueden expresar como potencias:
1 n a =an
1 1 n n a = a n , pues (a n )n = a n = a1 = a
m n m a =an
n
1
m
1 m· n
a m = a n , pues n a m = (am) n = a
m
=an
Por ejemplo:
`6 27j = `6 3 3j = (33/6)2 = 36/6 = 3 2
anayaeducacion.es Actividades para recordar las propiedades de las potencias.
3
64 = 3 2 6 = 26/3 = 22 = 4
1 Expresa en forma exponencial cada una de las siguientes
raíces: a) 5 x
b) `3 x 2j
c) 15 a 6
d)
x3 e) 6 2 x 42
5
f)
a 13 a6
>e 5
2
2 Calcula.
a) 41/2
b) 1251/3
c) 6251/4
d) 82/3
e) 645/6
f ) 363/2
3 Expresa en forma radical. 4
x4 o H x 2
a) x 7/9
b) (m 5 · n 5)1/3
c) a 1/2 · b 1/3
d) [(x 2)1/3]1/5
e) [(x 1/2)5]1/3
f ) (y 3 · z 2)2/3
1
Operaciones con radicales Los radicales tienen una serie de propiedades que debemos conocer y utilizar con soltura. Las enumeramos en el margen de esta página y en el de la siguiente. Todas ellas son consecuencias inmediatas de las propiedades de las potencias. Y prestaremos especial atención a las operaciones que con ellas se propician. |simplificación de radicales Propiedad 1 np
a p = n a , pues:
np
a p = a p/np = a 1/n = n a
Expresando los radicales en forma de potencia, vemos que, a veces, se pueden simplificar. Por ejemplo: 4 9 = 4 3 2 = 3 2/4 = 3 1/2 =
3
Hemos aplicado la propiedad 1 (ver margen). |reducción de radicales a índice común Cuando queremos comparar dos radicales de distinto índice, no siempre resulta fácil. Si los expresamos con el mismo índice, es mucho más sencillo. En realidad, se trata simplemente de reducir a común denominador. Por ejemplo, para comparar 3 586 con 70, 3
586 = 586 1/3 = 586 2/6 = 6 586 2 = 6 343 396 4 → 3 586 > 70 70 = 70 1/2 = 70 3/6 = 6 70 3 = 6 343 000
Hemos vuelto a aplicar la propiedad 1 (ver margen). |extracción de factores fuera de una raíz Propiedad 2 n a · b = n a · n b , pues: n a · b = (a · b) 1/n =
= a 1/n · b 1/n = =n a·n b
Para simplificar algunos radicales, y para sumarlos y restarlos, a veces será necesario sacar factores fuera de una raíz. Veamos algunos ejemplos: 18 = 3 2 · 2 = 3 2 · 2 = 3 2 720 = 2 4 · 3 2 · 5 = 2 4 · 3 2 · 5 = 2 2 · 3 · 5 = 12 5 Hemos aplicado la propiedad 2 (ver margen). |producto y cociente de radicales del mismo índice
Propiedad 3 n
n
Por ejemplo: 15 · 20 = 15 · 20 = 300 (propiedad 2, ver margen)
a = n a , pues: b nb a = a 1/n = a 1/n = n a b l b b b 1/n n b
15 = 20
15 = 20
3 (propiedad 3, ver margen) 4
|producto y cociente de radicales de distinto índice Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, los reducimos a índice común: Por ejemplo:
3 · 3 2 = 6 3 3 · 6 2 2 = 6 3 3 · 2 2 = 6 108
16 6 16 2 6 (2 4) 2 6 2 8 6 3 = 6 = = = 2 = 2 6 32 25 25 32 3
Hemos aplicado las propiedades 1, 2 y 3 (ver margen). 43
4
Raíces y radicales
|potencia de un radical Por ejemplo:
Propiedad 4
`n aj = n a p , pues: p
` 2 3j = 2 12 = 212/2 = 26 = 64 4
`n aj = (a 1/n) p = a p/n = n a p p
`5 2j = 5 2 3 = 5 8 3
Hemos aplicado la propiedad 4 (ver margen). |raíz de un radical Propiedad 5
Por ejemplo:
mn
a = m · n a , pues:
3
2=62
mn
a = (a 1/n) 1/m = a 1/m · n = m · n a
43
5 = 12 5
Hemos aplicado la propiedad 5 (ver margen). |suma y resta de radicales Recuerda
Solo se pueden sumar los radicales idénticos.
Dos radicales distintos no pueden sumarse si no es obteniendo sus expresiones decimales aproximadas. Únicamente pueden sumarse radicales idénticos. Por ejemplo: 3+ 2 4 Solo pueden realizarse de forma aproximada, 7 – 3 7 o bien hay que dejarlas indicadas. Sí puede simplificarse la expresión siguiente: 7 5 + 11 5 – 5 = 17 5 Hay casos en los que la posibilidad de simplificar una suma de radicales queda oculta. Previamente, deberemos sacar los factores que podamos fuera de las raíces, o simplificarlas. Por ejemplo: 32 + 5 18 – 50 = 2 5 + 5 3 2 · 2 – 5 2 · 2 = = 4 2 + 15 2 – 5 2 = 14 2 8 + 4 4 = 23 + 4 22 = 2 2 + 2 = 3 2
4 Simplifica.
a)
12 9 x
d) 6 8
7 Saca del radical los factores que sea posible.
b) 12 x 8
c)
e) 9 64
f ) 8 81
5
y 10
5 ¿Cuál de los dos es mayor en cada caso?
44
9 Efectúa. 5
2· 2
b) 6
6 Reduce.
a)
9 3
d) `3 a 2j
b) 3 51 y 9 132 650 b)
3
6·63
c)
10
a4 b6
b) 3 81a 3b 5 c
c) 5 64
8 Simplifica.
a) 3
a) 4 31 y 3 13
3
a) 3 32x 4
5
16 2
c)
e) ` xj · `3 xj
a) 18 + 50 – 2 – 8
3
b)
4
f) a
a 3b 5 c ab 3 c 3 2k
8
75 + 2 27 – 48
1
Racionalización del denominador Antiguamente, cuando no existían instrumentos de cálculo como los de ahora, había que esmerarse en conseguir métodos para aliviar las operaciones. Por ejemplo, para calcular a mano 1 , se puede hacer directamente (calcular unas 2 cuantas cifras de 2 y luego dividir 1 entre el resultado). Pero los cálculos se simplifican extraordinariamente si se tiene en cuenta que:
Observa
2 = 1,4142… Es más difícil hacer: 1,00000000 0100600 016060 01918
1,4142 0,7071…
1 = 1· 2 = 2 2 2 2· 2
que hacer: 1,4142… 014 02 0
Si haces la operación de las dos formas, verás que es mucho más ventajoso suprimir el radical del denominador (ver margen).
2 0,7071…
Aunque actualmente, con las sencillas y potentes herramientas de cálculo que poseemos, es innecesario, aún se tiende a dar los resultados finales de los problemas mediante expresiones numéricas que no tengan radicales en el denominador.
y obtenemos el mismo resultado.
Al proceso por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador se le llama racionalización del denominador. En cada caso, nos haremos esta pregunta: ¿por qué expresión he de multiplicar el denominador para que el producto no tenga radicales? Una vez encontrada la expresión, también multiplicaremos por ella el numerador para que el resultado final no varíe. 2· 3 2 3 = 1.er caso: raíces cuadradas. Por ejemplo: 2 = 3 3 3· 3
Recuerda
Racionalizar es hacer racional algo que no lo era.
5 3 5 3 1 · 5 73 7 7 2.° caso: otras raíces. Por ejemplo: 5 1 = 5 = = 5 5 7 72 72 · 73 75 3.er caso: sumas y restas de raíces. Por ejemplo:
1 · ( 5 + 3) 5+ 3 5+ 3 1 = = = 2 5 – 3 ( 5 – 3) · ( 5 + 3) ( 5) 2 – ( 3) 2 2 · ( 3 – 2) 6–2 2 6–2 2 6–2 2 2 = = 2 = = 2 9–2 7 3 + 2 (3 + 2) · (3 – 2) 3 – ( 2) Ten en cuenta
Algunas operaciones resultan más sencillas si racionalizamos previamente. Por ejemplo:
• (a + b ) · (a – b ) = a 2 – b 2 • A la expresión a – b se la llama conjugado de a + b .
2 3+2 2 2 2 3 2 + 1 – 2 = + – = 1 2 3 3– 2 2 3
Y al contrario, a + b es el conjugado de a – b .
=
12 3 + 12 2 3 2 4 3 8 3 + 15 2 – + = 6 6 6 6
10 Racionaliza los denominadores.
a) 5 2
b)
5 7
c)
1 2
3
d) 5 2 32
e)
4 3+ 2
f)
3 2– 3 45
5
Números aproximados. Errores Aproximación y errores
Observa
a) 34 m tiene 2 cifras significativas. b) 0,0863 hm3 tiene 3 cifras significativas. c) 53 000 L es posible que solo tenga 2 cifras significativas si los ceros del final solo han servido para designar el número. En tal caso, lo mejor sería poner 53 miles de litros. Observa
a) *
Medición: 34 m Error absoluto < 0, 5 m
Z ]] Medición: 0, 0863 hm 3 b) [ Error abs. < 0, 00005 hm 3 ] Es decir, error abs. < 50 m 3 \ Medición: 53 miles de L c) * Error absoluto < 500 L Observa
Los errores relativos de las mediciones anteriores son: a) E.r. < 0, 5 < 0,015 = 1,5 % 34 b) E.r. < 0, 00005 < 0,0006 = 0,06 % 0, 0863 c) E.r. < 500 < 0,0095 < 0,01 = 1 % 53 000
En las aplicaciones prácticas se suelen manejar números aproximados. Recordemos algunos conceptos y procedimientos con los que se controla su uso. Se llaman cifras significativas las que se usan para expresar un número aproximado. Solo se deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste y de modo que sean relevantes para lo que se desea transmitir. Por ejemplo, si al medir la capacidad de una piscina se obtiene 718 900 L, sería más razonable decir que tiene 719 m3, utilizando solo 3 cifras significativas. Pero si la medición no fue muy fina o no queremos afinar tanto, lo propio sería decir 720 m3 o, mejor, 72 decenas de m3. Error absoluto de una medida aproximada es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado. Error absoluto = |Valor real – Valor aproximado| El valor real, generalmente, es desconocido. Por tanto, también se desconoce el error absoluto. Lo importante es poder acotarlo: el error absoluto es menor que… Una cota del error absoluto se obtiene a partir de la última cifra significativa utilizada. En el ejemplo anterior (capacidad de la piscina: 719 m3), la última cifra significativa (el 9) designa unidades de m3. El error absoluto es menor que medio metro cúbico (error < 0,5 m3). Error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real. Es tanto menor cuantas más cifras significativas se usan. El error relativo también se suele expresar en tantos por ciento (%). En el ejemplo, el error relativo es menor que 0, 5 < 0,0007 = 0,07 %. 719
Ejercicios resueltos
1 Expresar con un número razo-
nable de cifras significativas las siguientes cantidades: a) Visitantes en un año a una pinacoteca: 183 594. b) Asistentes a una manifestación: 234 590. c) Número de bacterias en 1 dm3 de cierto preparado: 302 593 847.
46
a) Puede ser razonable que esta cantidad se dé con tanta precisión, pues los asistentes a un museo pagan una entrada que, lógicamente, se contabiliza. Suponemos que ese número, 183 594, es el de entradas vendidas. No obstante, para cierto tipo de comunicaciones podría simplificarse la cifra: «casi doscientos mil», «más de ciento ochenta mil» son valoraciones adecuadas. b) Es imposible que nadie haya contado los manifestantes con tanta precisión. Aunque la cifra no esté «hinchada» o «achicada» por razones sectarias, no se puede afinar tanto en estas valoraciones. Razonable sería decir, por ejemplo, «más de doscientos mil», o bien «entre 200 000 y 250 000». c) Una o, como mucho, dos cifras significativas es lo que este tipo de cantidades permite afinar: 3 cientos de millones de bacterias o 30 decenas de millones.
1
2 Dar una cota del error absoluto
y una cota del error relativo cometido en cada una de las valoraciones que se han dado en las cantidades del ejercicio anterior.
a) Si decimos que el número de visitantes es 180 mil (o mejor, 18 decenas de miles), cometemos un error absoluto de 183 594 – 180 000 = 3 594 personas. Lo sabemos con precisión porque conocemos la cantidad exacta. Sin embargo, quien reciba la información (18 decenas de miles) deberá entender que puede haber un error de hasta 5 unidades de la primera cifra no utilizada: 5 000 personas. Resumiendo: Valoración: 180 mil Error absoluto < 5 000 Error relativo <
5 000 < 0,028 < 0,03 → E.r. < 0,03 = 3 % 180 000
b) Valoración: 200 000 Error absoluto < 50 000 Error relativo < 50 000 = 0,25 = 25 % 200 000 c) Valoración: 3 cientos de millones = 300 millones Error absoluto < 0,5 decenas de millones = 5 millones Error relativo < 5 < 0,017 < 0,02 → E.r. < 0,02 = 2 % 300
1
¿Verdadero o falso? Justifica tus respuestas. a) Decir que en una cierta piscina caben 147 253 892 miles de gotas de agua es correcto si las mediciones se han hecho con mucha precisión. b) Decir que en una cierta piscina caben 147 253 892 miles de gotas de agua no es nada razonable, pues es imposible conseguir tantísima precisión en las mediciones. Sería mucho más sensato afirmar que caben 15 decenas de miles de millones de gotas. c) Si estimamos correctamente que el número de gotas de agua que caben en una piscina es 15 decenas de miles de millones, estamos cometiendo un error absoluto menor que media decena de miles de millones de gotas; es decir, E. abs. < 5 000 000 000 gotas. d) Si el error relativo cometido en una cierta medición es menor que 0,019, podemos decir que es menor que el 19 %. e) Si el error relativo cometido en una cierta medición es menor que 0,019, podemos afirmar que es menor que el 2 %. f ) La calculadora nos dice que π = 3,14159265. Si tomamos π = 3,14, podemos afirmar que cometemos un error absoluto menor que 0,00159266, pero es más razonable decir que E. abs. < 0,0016 o, incluso, E. abs. < 0,002.
2 Explica por qué no es razonable decir que en un saco hay 11 892 583 granos de arroz.
Exprésalo de forma adecuada y acota el error absoluto y el error relativo que se cometen con esa expresión. 3 Da una cota del error absoluto y otra del error relativo que cometes cuando pones π = 3,1416. 47
6
Números en notación científica. Control del error
Ejercítate
Los números 3,845 · 1015 y 9,8 · 10–11 están en notación científica porque:
Expresa en notación científica los siguientes números:
• Están descritos mediante dos factores: un número decimal y una potencia de 10.
a) 340 000
b) 0,00000319
c) 25 · 106
d) 0,04 · 109
e) 480 · 10– 8
f ) 0,05 · 10– 8
• El número decimal es mayor o igual que 1 y menor que 10. • La potencia de 10 es de exponente entero. El primero, 3,845 · 1015 = 3845 000 000 000 000, es un número «grande». El segundo, 9,8 · 10–11 = 0,000000000098, es un número «pequeño». ventajas de esta notación
Como su nombre indica, esta notación está pensada para ser utilizada en contextos en los que se requiera precisión, nunca en el lenguaje corriente. ¿Te imaginas conversaciones de este tipo? — ¿Cuántos hijos tienes? → 5 · 100 — ¿Cuántos estudiantes hay en tu centro escolar? → 6,74 · 102 — ¿Tienen alfileres con un grosor de 2,5 · 10–4 m? Evidentemente no, claro. Ciertamente, esta notación no está pensada para comunicarnos en la vida cotidiana. Pero, esta forma de expresión resulta muy cómoda para tratar con cantidades aproximadas muy grandes o muy pequeñas, pues: • De un solo golpe de vista se aprecia el «tamaño» del número, lo cual se advierte en el segundo factor y lo da el exponente del 10. • Se constata la precisión con la que se da la cantidad. Cuantas más cifras significativas tenga el primer factor, con más precisión se da el número. Por ejemplo, apreciamos que 7,6 · 108 y 7,603 · 108 son aproximadamente iguales («tamaños muy parecidos») pero la segunda está dada con más precisión, pues se expresa con cuatro cifras significativas mientras que la primera solo tiene dos. Curiosidad
Es posible que veas alguna vez una explicación como esta: Si un número entero termina en un cero o más, para determinar el número de cifras significativas que tiene es conveniente expresarlo en notación científica. Sin embargo, otra forma de indicar que dichos ceros cuentan como cifras significativas es colocar una coma al final del número. Así: 3 200 tendría 2 cifras significativas 3 200, tendría 4 cifras significativas No es una regla aprobada por la comunidad científica (y en este libro no la usaremos), pero si el docente cree que ayuda a aclarar este tema, ¿por qué no usarla? 48
Operaciones con números en notación científica Con la calculadora, claro, se opera fácilmente en notación científica. Recuerda que para escribir un número en notación científica se usa la tecla �. Por ejemplo, 7,6 · 108 → 7,6 � 8; 2,5 · 10–4 → 2,5 �f 4. Pero si queremos hacerlo «a mano», debemos tener ciertas precauciones. |producto y cociente Se operan, por separado, los componentes decimales, por una parte, y las potencias de 10 por otra. Luego se reajusta el resultado para que adopte el formato de la notación científica. Por ejemplo: (3,25 · 105) · (4,6 · 1011) = (3,25 · 4,6) · (105 · 1011) = 14,95 · 1016 = 1,495 · 1017 (3,25 · 105) : (4,6 · 1011) = (3,25 : 4,6) · (105 : 1011) = 0,7065 · 10–6 = 7,065 · 10–7 Observa que en el cociente 3,25 : 4,6 nos hemos conformado con tomar cuatro cifras significativas. Si el contexto del problema no nos orienta en esta decisión, habremos de tomarla de manera subjetiva.
1
|suma y diferencia Hemos de preparar los sumandos de modo que tengan la misma potencia de base 10 para ponerla como factor común. Luego, una vez efectuada la suma, se reajusta el resultado. Por ejemplo: 3,7 · 1011 + 5,83 · 108 – 4 · 109 = 3 700 · 108 + 5,83 · 108 – 40 · 108 = = 3 665,83 · 108 = 3,66583 · 1011 O bien: 3,7 · 1011 + 5,83 · 108 – 4 · 109 = 3,7 · 1011 + 0,00583 · 1011 – 0,04 · 1011 = = 3,66583 · 1011
Control del error en un número en notación científica
Atención
Si nos dicen que «en este almacén hay 2 500 sacos de harina», es posible que sea una cantidad aproximada y solo sepamos que son, aproximadamente 25 centenas de sacos, con un error menor de media centena (50 sacos). O, acaso, 250 decenas, con un error menor de media decena (5 sacos).
La información que damos con los siguientes números es diferente: 2,5 · 102; 2,50 · 102; 2,500 · 102 Los ceros añadidos al final del número decimal sirven para indicar el número de cifras que se están controlando.
Si utilizamos la notación científica, la expresión es inequívoca: 2,5 · 102 significa que solo hay dos cifras significativas. Y, si son tres, pondremos 2,50 · 102.
Ejercicio resuelto
Nos dicen que la población de China es 1 400 millones de habitantes. a) Expresar la cantidad en notación científica. b) ¿Es una cantidad exacta o aproximada?
a) 1 400 millones = 1,4 · 109 habitantes b) Se trata, obviamente, de un número aproximado, pues es imposible calcular con toda precisión una cantidad tan enorme, tan dispersa y tan cambiante. c) y d) Cuando nos dicen 1 400 millones, se supone que las dos primeras cifras están controladas. Pero es posible que alguno de los ceros que vienen a continuación también estén controlados. — Si en la medición solo se controlan las dos primeras cifras:
c) Dar una cota del error absoluto teniendo en cuenta cómo se da el dato. d) Dar una cota del error relativo.
Medición: 14 cientos de millones de personas. Error absoluto < 0,5 cientos de millones = 50 000 000 Error relativo < 0,5/14 < 0,036 = 3,6 % — Si en la medición se controla el primer cero de la cantidad: Medición: 140 decenas de millones de personas. En este caso, se puede poner en notación científica así: 1,40 · 109. Observa que la presencia del 0 detrás de la coma decimal significa que esa cifra está controlada. Error absoluto < 0,5 decenas de millones = 5 000 000 Error relativo < 0,5/140 < 0,0036 = 0,36 %
1 Efectúa. Después, repasa con la calculadora.
2 La distancia de la Tierra al Sol es 149 000 000 km.
a) (6,4 · 105) · (5,2 · 10– 6)
a) Exprésala en notación científica.
b) (2,52 · 104) : (4 · 10– 6)
b) Exprésala en cm con dos cifras significativas.
c) 7,92 · 106 + 3,58 · 107 d) 6,43 · 1010 + 8,113 · 1012 – 8 · 1011
c) Exprésala en cm con cuatro cifras significativas. d) Acota los errores absoluto y relativo en los tres casos anteriores. 49
7
Logaritmos La igualdad 23 = 8 se puede poner también así: log2 8 = 3. log2 8 se lee «logaritmo en base 2 de 8». Análogamente podemos decir: log5 125 = 3 porque 53 = 125 log5 5 = 1 porque 51/2 = 5 2 6 log10 1 000 000 = 6 porque 10 = 1 000 000 log10 0,0001 = – 4 porque 10– 4 = 1/104 = 0,0001 Se llama logaritmo en base a de un número P > 0, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P (a > 0 y a ≠ 1). log a P = x ⇔ a x = P
Los logaritmos se utilizan para medir la intensidad de los terremotos.
Propiedades de los logaritmos 1. Dos logaritmos sencillos log a a = 1
log a 1 = 0
El logaritmo de la base es 1. El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base. 2. Producto y cociente log a (P · Q ) = log a P + log a Q
log a P = log a P – log a Q Q
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor. Comprobación
8 3 4 2 3 · 2 2/3 = = 2 3 + 2/3 – 1/2 = 2 19/6 2 2 1/2 _ log 2 8 = log 2 2 3 = 3 b bb log 2 3 4 = log 2 2 2/3 = 2 ` → 3 b log 2 2 = log 2 2 1/2 = 1 b 2 a → 3 + 2 – 1 = 19 3 2 6
Por ejemplo: log2 3. Potencia y raíz
83 4 = log 2 8 + log 2 3 4 – log 2 2 2
log a P k = k log a P
log a n P = 1 log a P n
El logaritmo de una potencia (P k o bien n P = P 1/n ) es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia. Por ejemplo: log5 125 = log 5 (125) 1/2 = 1 log 5 125 = 1 log 5 5 3 = 1 · 3 = 3 2 2 2 2 4. Cambio de base log a P log b P = log a b Si sabemos calcular logaritmos en base a, podremos calcular, gracias a esta fórmula, logaritmos en cualquier base, b.
50
1
Logaritmos decimales Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales. Durante mucho tiempo fueron los más utilizados. Por eso, se les denomina, simplemente, log, sin poner la base. Por ejemplo, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1 000 = 3, log 0,0001 = – 4. Y también, log 587 = 2,… pues 587 es mayor que 100 pero menor que 1 000. En las calculadoras hay una tecla expresamente para estos logaritmos. Pero en las modernas calculadoras, para acceder a esta función, hay que pulsar previamente la tecla SHIFT (inversa): log 200 → s
200 = 2,301029996
Ten en cuenta
Logaritmos neperianos
En este nivel: log significa logaritmo decimal (base 10) y ln significa logaritmo neperiano (base e).
¿Recuerdas el número e? Su valor es 2,71828… y, al principio de esta unidad, lo relacionábamos con los procesos de crecimiento de poblaciones vegetales o animales, con la desintegración radiactiva y con la catenaria.
Sin embargo, en los libros de matemáticas superiores se les llama log a los logaritmos neperianos, pues en esos niveles son los que se utilizan casi en exclusiva.
Pues bien, los logaritmos en base e se llaman logaritmos neperianos y se designan así ln (es decir, loge x = ln x). En las calculadoras hay una tecla,
, a la que se accede directamente.
Ejercicios resueltos
1 Decir el valor de estos logarit-
mos poniendo los números en forma de potencias: a) log6 1 296
b) log2 0,125
2 Hallar, con la calculadora, log 5,
log 50, log 500 y log 5 000.
Todos ellos tienen la misma parte decimal. ¿Por qué?
a) 1 296 = 64. Por tanto, log6 1 296 = 4. b) 0,125 = 125 = 1 = 13 = 2–3 1000 8 2 Por tanto, log2 0,125 = –3. log 5 = 0,69897…
log 50 = 1,69897…
log 500 = 2,69897…
log 5 000 = 3,69897…
Tienen la misma parte decimal porque todos ellos son del tipo: log10 (5 · 10n) = log10 5 + n log10 10 = n + log10 5 log10 5 es la parte decimal de todos ellos. Y, en cada caso, se le suma un número entero, n.
1 Halla estos logaritmos basándote en la definición:
a) log5 125
b) log5 0,04
c) log2 128
d) log2 0,0625
e) log a 1
f ) log10 0,0001
g) log2 `1/ 2j
h) log3 (1/3)
5
i) log3 9
2 Averigua la base de los siguientes logaritmos:
a) log a 10 000 = 2
b) log b 216 = 3
c) log c 125 = 3
d) log d 3 = 1 2
3 Halla con la calculadora log 7 y log 70 y explica por
qué ambos tienen la misma parte decimal.
51
7
Logaritmos
Un poco de historia Importancia de los logaritmos decimales
Observa estos dos números: A = 6 748
B = 67,48 = A/100
log B = log (A/100) = log A – log 100 = = log A – 2 Esto significa que ambos logaritmos tienen la misma parte decimal. En las tablas de logaritmos se buscaba la parte decimal del logaritmo de 6 748 y, después, se le añadía la parte entera según se tratase de 6 748; 67,48 o 67 480 000.
Varios siglos antes de la irrupción de las calculadoras, los logaritmos se inventaron para aliviar las enormes operaciones que había que realizar a mano. ¿Cómo? Convirtiendo los productos y cocientes en sumas y restas (es claro que son mucho más cómodas estas operaciones que aquellas). Para ello, había que recurrir a unas enormes tablas (dadas en libros muy gordos) en donde se podían encontrar los logaritmos decimales de los factores de forma exacta o muy aproximada. Y los logaritmos neperianos, ¿qué papel desempeñaron? Veamos: en el laboriosísimo proceso que llevó a obtener a mano los logaritmos decimales de muchísimos números, surgió de forma natural el número e y, por tanto, los logaritmos neperianos. Es decir, los logaritmos neperianos fueron el vehículo que, de forma natural, permitió obtener los valores de los logaritmos decimales, que eran los que había que utilizar en la práctica. A los neperianos se les llamó logaritmos naturales y, a los decimales, logaritmos vulgares. Y ahora que tenemos calculadoras, ¿por qué los logaritmos? Pues un poco por cuestión cultural pero, también, porque nos encontraremos con ellos en simplificaciones algebraicas (por ejemplo, para resolver algunos tipos de ecuaciones) y en expresiones funcionales extraídas del mundo de la ciencia o de la técnica.
Logaritmos con calculadora Como ya sabes, las calculadoras que utilizamos actualmente tienen tres teclas para calcular logaritmos: , j y . Las dos primeras son fáciles de encontrar. La tercera (logaritmo decimal), por el contrario, está más escondida y aparece como segunda función; para usarla hay que pulsar s . Para hallar el logaritmo en una base que no sea ni 10 ni e, las nuevas calculadoras han incorporado la tecla j. Sin embargo, a veces puede ser preferible recurrir a la propiedad 4 (ver página 50) de cambio de base que utilizar dicha tecla. Para ello, es mejor usar el ln ya que es una tecla directa. Veamos, con un ejemplo, las dos formas de hacerlo: • log 2 5 → jí 2 ”” 5 = 4,64385619 • log 2 5 = ln 5 → l 5 ) /lí 2 = 4,64385619 ln 2 Ejercicio resuelto
Hallar, con la calculadora, los siguientes logaritmos, de ambas formas: usando la tecla j y mediante el cambio de base. a) log2 1024
a) log2 1 024 → j 2 ”1 024 = 10 log2 1 024 = ln 1024 → l 1 024 )/l 2 = 10 ln 2 b) log5 300 → j 5 ”300 = 3,543959311 log5 300 = ln 300 → l 300 )/l 5 = 3,543959311 ln 5
b) log5 300
4 Utiliza las teclas j y
para calcular los siguientes logaritmos de las dos formas que hemos visto en el ejercicio resuelto anterior: a) log2 740
52
b) log3 100
c) log5 0,533
d) log8 0,004
e) log 3 350
Ejercicios y problemas resueltos
1
1 Intervalos
Expresar como intervalo los números que verifican cada una de las siguientes desigualdades: b) x + 2 < 4
a) x ≤ 5
c) ¿Cómo se expresará la desigualdad contraria del apartado a)? Hazlo tú Expresa con intervalos. a) x – 3 ≤ 1
b) x + 2 > 3
a) Si x = 5 → x = 5 o bien x = –5 Entonces: x ≤ 5 → –5 ≤ x ≤ 5 → x ! [–5, 5] b) Si x + 2 = 4 → x + 2 = 4 o bien x + 2 = – 4 → x = 2 o bien x = –6 Por tanto: x + 2 < 4 → –6 < x < 2 → x ! (–6, 2) c) La desigualdad contraria de a) es x > 5. Se expresa mediante la unión de intervalos. x < –5 → (−∞, −5) → x ∈ (−∞, −5) ∪ (5, +∞) x >5 → ) x > 5 → (5, +∞)
2 Radicales
Demostrar que el número 12 + 2 11 – 12 – 2 11 es entero. Hazlo tú Simplifica. 3 6+2 2 2+3 3
Llamamos A = 12 + 2 11 – 12 – 2 11 y elevamos al cuadrado los dos miembros. A 2 = ` 12 + 2 11 – 12 – 2 11 j = ` 12 + 2 11 j + ` 12 – 2 11 j – 2
2
2
– 2 12 + 2 11 · 12 – 2 11 = 12 + 2 11 + 12 – 2 11 – 2 ` 12 2 – 4 · 11 j =
= 24 – 2 100 = 24 – 20 = 4 → Por tanto, si A2 = 4, entonces A = ±2 Como
12 + 2 11 > 12 – 2 11 , descartamos la solución negativa → A = 2
3 Logaritmos
Hallar x en cada caso:
Aplicamos la definición de logaritmo en cada caso:
a) 3 = 5 + log x
a) 3 – 5 = log x → x = 10–2
b) logx 36 = 2
b) x 2 = 36 → x = 6 (x = – 6 no vale)
c) log x + 2log 5 = 2
c) Aplicamos las propiedades de los logaritmos: log x + log 52 = 2 → log (x · 52) = 2 → 25x = 102 → x = 4 Hazlo tú Calcula x en cada caso: a) log3 x = 1 2
b) 2log x – log 4 = –2
4 Intereses, errores y logaritmos
Un inversor coloca 2 · 106 al 3,6 % anual. Al retirarlo le dan 2,43 · 106 € aproximadamente. a) Dar una cota de los errores relativo y absoluto de esta aproximación. b) ¿Cuántos años estuvo en el banco?
a) E.abs. < 0, 005 · 10 6 = 5 · 10 3 € E.r. < 5 · 10 3 : 2, 43 · 10 6 = 0, 0021 = 0, 21% n
n b) Sabemos que C FINAL = C b1 + r l → 2, 43 · 10 6 = 2 · 10 6 d1 + 3,6 n → 100 100 (*)
→ 2, 43 = 2(1,036) n → 1,215 = 1,036 n → (*)
→ ln 1,215 = n ln 1,036 → n = ln 1,215 : ln 1,036 = 5,5 Estuvo en el banco 5 años y medio. (*) Tomamos logaritmos en los dos miembros para despejar n. Hazlo tú Si deposito 5 000 € en un banco al 3,53 % anual, ¿cuántos años han de pasar para que se dupliquen?
53
Ejercicios y problemas ¿Dominas lo básico?
Potencias, raíces y radicales
Conjuntos numéricos
9
1
a) 25 5/2
Dados los números: ! –17; 2/3; 1, 8 3; 2, 6; – 16; 18; 56/7 a) ¿Cuáles son enteros? b) ¿Hay alguno que sea natural? c) ¿Hay alguno irracional?
2
10
12
3
Halla un número entero, un racional no entero y un irracional comprendido entre – 29 y – 8 .
4
Indica todos los conjuntos numéricos (N, Z, Q o Á) a los que puedan pertenecer estos números:
Escribe los siguientes conjuntos de números en forma de intervalo o semirrecta: a) Mayores que 2 y menores que 7. b) Comprendidos entre –1 y 3, ambos incluidos. c) Mayores o iguales que 5. d) Menores que 10.
7
Representa gráficamente y expresa como intervalo o semirrecta estas desigualdades: a) –3 ≤ x ≤ 2 b) 5 < x c) x ≥ –2 d) –2 ≤ x < 3/2 e) 4 < x < 4,1 f ) –3 ≤ x
8
Expresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de estos conjuntos de números: b) a)
54
–2
3
0
f) 4 a
1
d)
5
0
4
c) 3 10 6
d) 6 8 8 d) 4 20 2
g) `5 x –2j
3
Pon en forma de raíz.
h) 15 a 5 1/3
a) 51/2
b) (–3)2/3
c) c 4 m 3
d) (a 3)1/4
e) (a 1/2)1/3
f ) (a –1)3/5
Expresa como potencia de base 2 cada uno de los siguientes números y efectúa después su producto: –3
1 c) e o 2
b) 6 4
Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: 3 2 x
x
c) 1 4 3 a
a) 4 3 2
b) 12 a 8
c) 5 a 15
d) 8 a 2 b 4
e) 3 4 a 8
f ) 3 a6 b9
14
Representa en la recta real cada uno de los siguientes intervalos y semirrectas: A = [–2, 4] B = (1, 6) C = [–7, –3) D = (0, 5] E = (– ∞, 1] F = (–1, +∞)
c)
e) 5 (–3) 3
a) 5 a 2 · a
Intervalos y semirrectas
–1 0
b) 2
–3/2
! 1+ 3 – 4; 13 ; 5; 2, 7; 152; π; 2 6
6
a) 5 x 2
a) `3 16j 13
c) 81 –0, 25
b) (–343)4/3
Expresa en forma exponencial.
11
a) Clasifica en racionales o irracionales. ! 3 ; 0,87; – 4; – 7 ; 1 ; 2π; e 2 3 3 2 b) Ordénalos de menor a mayor. c) ¿Cuáles son números reales?
5
Calcula el valor de estas expresiones:
b)
Simplifica.
Números aproximados. Notación científica
15
Halla los errores absoluto y relativo en estas aproximaciones: a) 41 con dos cifras decimales 3 b) 72 con una cifra decimal c)
123 a las centésimas 17
16
Da una cota del error absoluto y una cota del error relativo de estas aproximaciones sobre el número de votos de unas elecciones: a) 348 mil votos b) 5 632 000 c) 890 000 d) 78945 e) 9 millones f ) 134 miles
17
Calcula mentalmente. a) (1,5 · 107) · (2 · 105)
b) (3 · 106) : (2 · 1011)
c) (4 · 10–7) : (2 · 10–12)
d) 4 · 10 8
1
18
Efectúa a mano utilizando la notación científica y da una cota del error absoluto cometido. b) (5 · 10–8) · (2,5 · 105) a) (3,5 · 107) · (4 · 108) c) (1,2 · 107) : (5 · 10–6) d) (6 · 10–7)2
Logaritmos
19
20
21
Aplica la definición de logaritmo y calcula. a) log2 64 b) log2 16 c) log2 1 4 d) log2 2
e) log3 243
g) log3 3 9
h) log 0,001
f ) log3 1 27 i) log5 0,2
Calcula la base de los siguientes logaritmos: a) logb 64 = 3 b) logb 100 = 2 c) logb 243 = 5 d) logb 625 = 4 Halla con la calculadora. a) log4 23,4 b) log3 543
c) log5 0,06
d) log6 20,8
f ) log2 0,872
e) log5 123
Sitúa los números en un diagrama como el adjunto: # 1; 7, 23 ; 1 – 2; 3,5; 11 ; 1 ; 9 4 6; π ; –104 4
23
c)
a) 5 a 15
29
d)
43
a8
c) a –1 3 a –3 6 a 5
Extrae del radical los factores que sea posible. a)
3
16a 3
d) 3 244 a
b) 4 81a 5 b 3
c) 8a 5
162 75
f) 5 9 32
e)
Reduce a índice común y expresa los resultados con un solo radical. a) 3 4 · 2
31
c) ` 2 · 3 3j : `3 2 3j
b) 6 20 : 4 10
Introduce en la raíz y simplifica el radicando. 3 5
b) 2
3 7
c) 2
4
4
5 12
c)
3
3 81 3 72 + 375 – 3 2 3
d)
Efectúa.
a) ` 5 – 2 3j` 5 + 2 3j
34
2 3 81 4 18
b)
7 + 64
7+ 4
4 7
b) `2 5 – 3j
2
2
Simplifica. a)
35
23 9 3 4
b) 5 96 + 5 3/32
c) ` 3 2 – 4 – 3 2 + 4 j
b) Representa 8 y 11.
d)
Efectúa. a) 3 28 – 7 – 63
3
a) Indica cuáles de los números siguientes están incluidos en A = [–3, 7) o en B = (5, +∞): ! –3; 10; 0,5; 7; – 4; 5; 6,3 ; π; 27 ; 48; 1 – 2 5 b) ¿Cuál de estos intervalos representa a los números incluidos en A y en B ? (–3, 5) [2, 7) [5, 7] (5, 7) c) Expresa A ∪ B y A ∩ B como intervalo y como desigualdad.
c) 6 a 4 b 2
b) a 3 a 4 4 a
a) 2 3 6
33
24
b) 9 a 3
Expresa como potencia y calcula x en cada caso igualando los exponentes de los dos miembros: ( 3)–x 2x 2 b) c) 3 a) 3 x + 1 = 1 =2 =1 81 27 4 28 Multiplica y simplifica.
1
B 2 C D
–1 0
27
32
A
d)
6
3
Simplifica.
a) 5
1
0
0
3
26
a) ¿Qué números irracionales representan los puntos A, B, C y D ?
0
Expresa como unión de intervalos, utilizando el símbolo ∪, los conjuntos numéricos representados: b) a) –4
30
Entrénate y practica 22
25
8a 3 4a 2 (4 2a 5)2
d) `3 2 + 5 8j c)
2
2a 3 2a 2 4 4a 3
Racionaliza, y simplifica si es posible. 2 3 2+ 2 a) 3 b) c) 3 3 2 10 e) 33 f) 5 2 d) 32 2 5 81 2 6 55
Ejercicios y problemas 36
Racionaliza, y simplifica si es posible. a 1+ 2 a) 3 b) c) a +1 1+ 3 1– 2 d)
37
5– 3 5+ 3
f)
Resultados 3,16 5,87 1,9 0,68
Valores de referencia (3,5-11) (4,3-5,9) (1,50-4,50) (0,7-1,3)
40
44
Expresa M, en cada caso, sin logaritmos. (Ten en cuenta que si log M = log k, entonces M = k). a) log M = log (x – 3) + 2 log x b) log M = log (x + 1) – log y + log 3
Unidades × 103 µL × 106 µL × 105 µL × 105 mg/dL
c) ln M = 2 ln x + ln y – ln (2x + 3) 45
Las dimensiones en centímetros de un ortoedro son 8 # 18 # 27 . Calcula: a) El área total. Da su valor exacto con radicales. b) La longitud de su diagonal. Expresa esta medida con radicales y aproximando a una cifra decimal. c) Calcula los errores absoluto y relativo de la aproximación del apartado anterior.
46
En un triángulo isósceles el lado desigual mide 5 3 cm y la altura correspondiente a ese lado mide la cuarta parte del mismo. Calcula el perímetro del triángulo. Exprésalo con radicales.
Calcula aplicando la definición de logaritmo. log4 163 + log4 2 + log 0,0001 + log
39
Expresa cada uno de los siguientes intervalos como un entorno del tipo E(M, r): a) (–3, 3) b) (2, 4) c) (0, 6) d) (–1, 4) e) (–3, 2) f ) (0; 7,5) g) (–5; –2,2) h) (1,2; 4,7)
Indica cuáles de los resultados de este análisis se salen del rango de los valores de referencia: Leucocitos Hematíes Plaquetas Creatinina
38
e) 4 4a 2a 3 b 2
11 2 2+3
43
3
10 100
Si log x = 1,3 y log y = 0,8, calcula: y c) log 2 a) log (x · y) b) log (x y ) x
d) log
x y
x 4 y –2 , transfórmala to3 z mando logaritmos y aplicando sus propiedades como en el ejemplo resuelto: Dada la expresión A =
x 4 y –2 x 4 y –2 → ln A ln = ln x 4 + ln y –2 – ln 3 z = = 3 3 z z = 4 ln x – 2 ln y – 1 ln z 3 Haz lo mismo con las expresiones siguientes:
• A=
a) M = 10 3 xy 2
b) N =
z
x2 y3
c) P =
3
Para pensar un poco más 47
x y2
Resuelve problemas sencillos 41
42
56
Averigua para qué valores de x se pueden calcular las siguientes raíces: a) x – 7 b) 5 – x c) –x d) x 2 + 1 Se llama entorno de centro M y radio r, y se designa por E(M, r), al intervalo abierto cuyo centro es M y cuyos extremos son M – r y M + r. Por ejemplo: E(0, 2) = (–2, 2) y E(2, 3) = (–1, 5) Expresa los siguientes entornos como intervalos: a) E(0, 1) b) E(0, 3) c) E(3, 5) d) E(–2; 1,5) e) E(–3; 0,3) f ) E(2,1; 3) g) E(–0,2; 5,3)
48
En situación El diámetro de la Vía Láctea es de
105 700 años luz, y un año luz es 9,461 · 1012 km. a) ¿Cuántos kilómetros de diámetro tiene nuestra galaxia? b) ¿Cuántos milenios tardaría una nave espacial en atravesarla si alcanzara una velocidad de 2 000 km/s? c) Sabiendo que el diámetro de un electrón es de 4 · 10–15 m, ¿cuántos electrones deberían ponerse en fila para rodear la Vía Láctea? (Supón que es una circunferencia). Calcula la altura de un tetraedro regular de 8 cm de arista. Expresa el resultado con radicales.
h h/3
49
Halla el volumen de un octaedro regular cuya arista mide 6 cm. Expresa el resultado con radicales.
6
2h/3
h
6 2 2
1
50
51
57
Demuestra que la relación entre las áreas de estos dos hexágonos es 4/3. (Ten en cuenta que cada hexágono se puede dividir en 6 triángulos equiláteros). Expresa como intervalo los números que verifican cada una de las siguientes desigualdades: a) | x | < 3
b) | x – 1| ≤ 5
58
c) | x + 3| < 4
¿Cómo expresarías los números que verifican las desigualdades contrarias a las anteriores? Es decir: |x | ≥ 3 52
| x – 1| > 5
| x + 3| ≥ 4
Calcula en forma de fracción. 1+
1
1
E
El número áureo cumple la ecuación: Φ2 – Φ – 1 = 0 A partir de ella, comprueba las siguientes igualdades: a) Φ2 = Φ + 1
b) Φ – 1 = 1 U
c) Φ3 = 2Φ + 1
d) Φ4 = 3Φ + 2
c) ¿A qué valor se aproximan los cocientes obtenidos?
60
a) Expresa como potencia los términos de la siguiente sucesión:
Si log 3 a – log 3 b ≥ 2 , ¿qué relación tiene que haber entre a y b?
61
Observa esta forma de representar real. Razónalo.
b) Comprueba que los exponentes son la suma de los términos de una progresión geométrica de razón 1/2.
Si deposito en un banco una cierta cantidad de dinero al 3 % anual, ¿cuántos años han de pasar para que se triplique?
Tambien puedes hacer esto Comprueba que no es posible utilizar la calculadora para obtener 5129 · 463 porque es un número demasiado grande. Utiliza las propiedades de las potencias para expresarlo en notación científica. Calcula el valor de x en estas expresiones: a) log 2 x = 3 + log 2 7
b) 7 = 5 + 6 · 3 x
m en la recta
m m
c) ¿A qué valor se aproxima esta sucesión?
56
D
¿Verdadero o falso? Explica y pon ejemplos. a) Algunos números irracionales no son reales. b) Entre dos números racionales hay infinitos irracionales. c) El inverso de un número decimal periódico puede ser un decimal exacto. d) El número 0,83 · 109 no está en notación científica.
1 1+ 2
a 1 = 13; a 2 = 13 13 = ; a 3 = 13 13 13…
55
F
59
1+
b) Comprueba que los numeradores y denominadores de los resultados son términos de la sucesión de Fibonacci.
54
C
¿Lo has entendido? Reflexiona
a) Sustituye el 2 por 1 + 1/2 y opera de nuevo. Repite este proceso otra vez.
53
B A partir de un cuadrado de lado 2 cm, hemos cons2 cm truido el rectángulo ABFE. ¿Es un rectángulo áureo? A Comprueba que el cociente entre sus lados es el número de oro Φ.
0
1
m
62
Si x es un número del intervalo [–1, 3) e y es un número del intervalo (0, 4], explica en qué intervalo puede estar x + y. ¿Y x – y ?
63
Explica si son verdaderas o falsas estas igualdades: a) log (a · b) = log a · log b b) log b a l = log a – log b b c) log 3 a = 1 log a 3 d) log (a 2 · b ) = 2(log a + log b ) 57
Autoevaluación ¿Qué has aprendido?
anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.
1 a) Clasifica los siguientes números como naturales, en-
teros, racionales y reales: 6
3 – 4 ; 2π;
2,03333…;
7 Opera y simplifica.
# log 2 0,5 ; 3, 47 ;
81; 3 4 ;
a)
5 /3; – 13/9; – 8
2 c) 5 – 2 50
b) Indica cuáles son irracionales. c) Ordénalos de menor a mayor. 2 Indica qué números representan A, B, C y D.
(3 2 + 3 ) 2 3
a) log3 3 1 9
b) log2 c4 1 2m 32
9 Halla el valor de x en cada caso: 0
1
2 ABC 3 D
Países
Población
PIB anual
España
47 432 805
1 206 842 M
Estonia
1 331 796
31 445 M
Finlandia
5 548 241
251 367 M
Francia
67 842 582
2 500 870 M
11
a) Exprésalos en la notación científica y calcula el PIB per cápita de cada país. Halla una cota de error absoluto y relativo en cada caso. b) ¿Qué porcentaje representa el PIB de Estonia con respecto al de España, Finlandia y Francia? tos numéricos y represéntalos gráficamente: ii) x > –1
iii) | x | < 4
b) Escribe como desigualdad estos intervalos: B = (–∞, 3)
c) Expresa A ∪ B y A ∩ B como intervalos y como desigualdades. 5 Expresa en forma exponencial:
b) 4 7 2
c) 6
d) 4 a –1
e) 5 (–3) 3
6 Extrae del radical todos los factores posibles. 3
81a 2b 5 16z 4
En un cuadrado de 10 cm de lado, recortamos en cada esquina un triángulo rectángulo isósceles de forma que obtenemos un octógono regular.
x x
l l
a) Halla la medida exacta del lado del octógono. b) Calcula su área.
4 a) Escribe en forma de intervalo los siguientes conjun-
A = [–3, 4)
c) log 5 + log x = 1
lar comprendida entre las circunferencias inscrita y circunscrita en un cuadrado de 6 m2 de área. Da su valor exacto.
llones de euros de algunos países de la UE.
i) –2 ≤ x < 7
b) log x 20 = 2
10 Halla el área de la corona circu-
3 Esta tabla muestra la población y el PIB anual en mi-
58
10 2 3– 2
la calculadora.
a) 7 – log 2 x = 3
a) 3 5 6
d)
8 Calcula aplicando la definición de logaritmo o con
2 1
b) 54 – 2 6 + 150
12
c) Halla su radio.
En situación LightSail2 es un satélite con una pequeña vela solar. Se puso en órbita en 2019 y ha demostrado con éxito su misión de navegar solo con luz solar. En un mes de navegación alcanzó la velocidad de 549 km/h.
a) ¿Cuántos kilómetros recorrería en un año a esa velocidad? b) ¿Cuántos años tardaría en recorrer un año luz? c) Se piensa que en el futuro, se podría aumentar esa velocidad hasta los 6 ∙ 104 km/s. ¿Cuánto se tardaría entonces en recorrer un año luz? Expresa los resultados en notación científica.
Situación de aprendizaje
...
....
RESU
ELVO
1
Haz cuentas y compara datos para que sean más comprensibles
Para escribir un artículo de divulgación científica, es necesario informarse, recopilar datos, comprobar que estos son correctos, buscar referencias conocidas con las que compararlas para ponerlos en valor y hacer las cuentas para ello. Busca algunos datos y haz cuentas: • Decimos que Alfa Centauri está a 4,37 años luz del Sol. Da una cota del error absoluto, en kilómetros, de esta medida y otra cota del error relativo. • La distancia de la Tierra al Sol es de 1,5 · 108 km. ¿Hay alguna diferencia entre la distancia de Alfa Centauri al Sol o a la Tierra teniendo en cuenta la cota de error que estamos admitiendo? • Con las velas solares se han conseguido aceleraciones de 1 mm/s2. Con esta aceleración, ¿cuánto aumenta la velocidad (en km/h) a lo largo de un día? Escribe la solución con una cifra significativa. • La sonda más rápida, propulsada por motores, alcanzó los 22,88 km/s. ¿Cuántos días necesita la vela solar antes descrita para alcanzar esa velocidad? • Una de las velas solares utilizada con éxito tenía 7,5 micras de espesor. Un cabello humano medio tiene un espesor de 0,07 mm. Compara los espesores. (1 micra = 0,001 mm) • La ecuación espacio-tiempo para un movimiento uniformemente acelerado si la velocidad inicial es 0, es la siguiente: s(t) = a . t2 2 ¿Cuántos años tardará la nave en recorrer la distancia hasta Alfa Centauri si tuviese una aceleración constante de 1 mm/s2? ¿Es suficiente esta aceleración para llegar en 20 años? Recuerda que la distancia hasta allí es de 4,37 años luz. • ¿Qué aceleración constante tendría que conseguir para llegar a Alfa Centauri en 20 años? • ¿Qué error estamos cometiendo cuando decimos que la velocidad de la luz es de 300 000 km/s si en realidad es de 299 792 458 m/s? Avanza solo o en equipo
• Investiga qué proyectos con velas solares se han llevado a cabo hasta ahora; cuáles tuvieron éxito y cuáles no. ¿Se espera poner en práctica alguno nuevo en un futuro? • Busca información sobre el uso de la papiroflexia en el plegado y desplegado de las velas solares. ¡Es muy interesante! • Con todos estos datos y otros que descubras en tu investigación, escribe un artículo de divulgación en el que enfatices lo impactante y singular de los resultados que has ido obteniendo.
59
4 Semejanza. Aplicaciones 15. Vida de ecosistemas terrestres
112
Situación de aprendizaje
Los museos, focos de cultura y de inspiración
Los museos son lugares donde podemos aprender sobre el pasado, el presente y el futuro de nuestro mundo. En ellos encontramos objetos, documentos, obras de arte y testimo nios que nos sitúan en la historia de la humanidad y de la naturaleza. Los museos son, fundamentalmente, espacios para la investigación, la educación y la diversión. En los museos de ciencias naturales podemos encontrar, entre otras muchísimas cosas, réplicas del modelo atómico, del sistema solar, fósiles de animales prehistóricos, tecnología antigua… es decir, construcciones que nos ayudan a entender los fundamentos de lo que conocemos, a actualizarlo y a ampliarlo. En un museo de ciencias naturales encontramos una exposición de dinosaurios y otros grandes animales ya extinguidos. Llama la atención, especialmente, el dimetrodón con su aleta dorsal. Allí se explica que esta enorme vela jugaba el papel de termorregulador: como «placa solar» para captar energía del Sol cuando necesitaban calentarse, o bien para refres carse en momentos en los que hacía mucho calor. Pero cabe preguntarse por qué este ex traño y artificioso radiador solo lo tenían estos animalotes enormes y no los más pequeños.
A..
PROP
UEST
Te enfrentarás al dilema de la aleta del dimetrodón y resolverás curiosas situaciones de proporcionalidad relacionadas con el tamaño de los animales, con las dimensiones del átomo o del sistema solar, e, incluso, con Los viajes de Gulliver (la famosa novela escrita por el escritor irlandés Jonathan Swift en 1726).
....
Ponte en situación con lo que ya sabes
1 Completa, en tu cuaderno, el siguiente cuadro: Longitud de la arista Cubo pequeño
10 cm
Cubo grande
0,5 m
Relación
Volumen
Peso, lleno de agua
Superficie
10 cm/0,5 m = 1/5
2 Veamos las medidas de un ratón y las de un perro (la densidad de los mamíferos es aproximadamente 1,
es decir, como la del agua).
Longitud Ratón Perro
10 cm 0,5 m
Peso
Volumen
Superficie
Comida diaria
30 g
30 cm3
80 cm2
3g
20 L
0,80 m2
0,4 kg
20 kg
a) Si metemos a cada animal en el cubo co rrespondiente, ¿qué porcentaje del mismo ocupa? ¿Podríamos decir que este ratón es «más flaco» que este perro? b) Compara la comida diaria de cada animal: I) con su peso en g. II) con su superficie en cm2. Intenta extraer conclusiones.
113
1
Semejanza Dos figuras semejantes tienen la misma forma. ¿Cómo se manifiesta matemática mente esta apariencia? Del siguiente modo. Si dos figuras son semejantes: • Los ángulos correspondientes son iguales. • Las longitudes de los segmentos correspondientes son proporcionales. La razón de proporcionalidad se llama razón de semejanza.
Figuras semejantes en la vida corriente Seguramente, nunca has visto este cua dro. Sin embargo, lo conoces perfecta mente por medio de sus reproducciones.
Estamos rodeados de reproducciones: — Fotografías, vídeos, películas en pantallas de distintos tamaños… — Maquetas de monumentos o de urbanizaciones, copias de cuadros famosos, reproducciones de coches… — Planos de edificios o de ciudades, mapas… Las primeras pretenden, exclusivamente, transmitir unas características que se conservan con la semejanza: la imagen, la forma, el color, la belleza del original.
0
50
100
150 m
Con un plano podemos orientarnos en una ciudad. La escala nos permite, ade más, conocer las distancias.
Con los planos y los mapas pretendemos más: queremos que, además de apre ciar la forma, se puedan obtener con precisión medidas, distancias. Por ello, van acompañados de una escala con la que se pueden obtener magnitudes de la rea lidad midiendo sobre su reproducción (plano o mapa). Escala es el cociente entre cada longitud de la reproducción (mapa, plano, maqueta) y la correspondiente longitud en la realidad. Es, por tanto, la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad. Una escala 1:200 significa, como ya sabes, que 1 cm del plano corresponde a 200 cm = 2 m de la realidad. Una escala 100:1 significa que 1 cm en la realidad corresponde a 100 cm = 1 m en el plano o maqueta. Este tipo de escalas sirven para representar objetos muy pequeños.
Relación entre las áreas y entre los volúmenes Si la razón de semejanza entre dos figuras es k, la razón entre sus áreas es k 2 y la razón entre sus volúmenes es k 3. La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. La representación de un diente de 1,2 cm de longitud mediante una maqueta de 6 cm tiene una escala de: 6 : 1 → 5:1 1,2 114
La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza. Si una maqueta está a escala 1:200, la razón entre la superficie de una parcela y la de su representación es 2002 = 40 000. Y la razón entre el volumen de un edificio y el de su representación en la maqueta es 2003 = 8 000 000.
4
Ejercicio resuelto
El dibujo adjunto representa la maqueta de una urbanización a escala 1:500. Sobre la maqueta se han tomado las siguientes medidas: Largo = 30 cm polideportivo * Ancho = 18 cm depósito cilíndrico
*
Diámetro = 6 cm Altura = 10 cm
carpa: Diámetro = 16 cm
Para construir la carpa de la maqueta, se han necesitado 402 cm2 de tela.
Dimensiones en la realidad: Largo = 30 cm × 500 = 15 000 cm = 150 m polideportivo * Ancho = 18 cm × 500 = 9 000 cm = 90 m
En el depósito de la maqueta caben 283 cm3 de arena.
Radio = 3 cm × 500 = 1500 cm = 15 m depósito * Altura = 10 cm × 500 = 5 000 cm = 50 m
Hallar:
carpa: Radio = 8 cm × 500 = 4 000 cm = 40 m
a) La superficie total del polideportivo.
a) Superficie del polideportivo = 150 m × 90 m = 13 500 m2 b) Volumen del depósito = πr 2h = π · 152 · 50 = 35 342,9 m3
b) El volumen del depósito.
También se puede calcular a partir del volumen del depósito en la maqueta:
c) La superficie y el volumen de la carpa, en la realidad.
Vdepósito real = Vdepósito maqueta · 5003 = 283 cm3 · 5003 = = 35 375 000 000 cm3 = 35 375 m3 c) Superficie de la carpa = 1 4πr 2 = 2π · 402 = 10 053,1 m2 2 También se puede calcular a partir de la superficie en la maqueta: Scarpa real = Scarpa maqueta · 5002 = 402 cm2 · 5002 = = 100 500 000 cm2 = 10 050 m2 Volumen de la carpa = 1 · 4 πr 3 = 2 π403 = 134 041,3 m3 3 2 3
1 a) Un edificio de la maqueta anterior tiene forma de or
toedro. Sus dimensiones son 9 cm × 6,4 cm de planta y 4 cm de altura. Halla las dimensiones, el área de la fachada y el volumen en la realidad.
b) La superficie de un campo de fútbol sala en la maque ta es 32 cm2. ¿Cuál es la superficie en realidad? c) Una caseta de la maqueta está hecha con 0,3 cm3 de poliespán. ¿Cuál es su verdadero volumen? d) La altura de un edificio en la realidad es 65 m. ¿Cuál es su altura en la maqueta?
2
En la estación de Atocha de Madrid hay una obra del famoso pintor y escultor Antonio López: se trata de una cabeza de recién nacido con un perímetro craneal de 7 m. Sabiendo que el perímetro craneal de un bebé al nacer mide unos 35 cm, calcula: a) La escala a la que el escultor construyó la cabeza. b) Si la escultura tiene un volumen de 5,8 m3, ¿cuál será el volumen de la cabeza de un bebé? 115
2
Homotecia A' A B
O
B' D
D'
En la transformación de la izquierda, cada punto de la figura azul (por ejemplo, el A) se ha transformado en un punto de la roja (A' ) cumpliendo estas condiciones: • O, A y A' están alineados
C
• OA' = 2 · OA
C'
Se trata de una homotecia de centro O y razón 2. La homotecia es una transformación que produce figuras semejantes. La razón de semejanza es igual a la razón de homotecia. Además, si dos figuras son homoté ticas, sus segmentos correspondientes son paralelos. Observa
• Si k > 0, entonces P y P' están en la misma semirrecta de extremo O. • Si k < 0, los puntos P y P' están en semirrectas opuestas.
Una homotecia de centro O y razón k es una transformación que hace corresponder a cada punto, P, otro punto, P' , tal que: • O, P y P' están alineados. si k > 0
OP l = k • OP
si k < 0
O P
O
P
P' P'
Dos figuras homotéticas son semejantes de razón k . Además, tienen paralelos sus lados correspondientes.
Aplicaciones de la homotecia |rectángulos semejantes Observa cómo se comprueba que dos rectángulos son semejantes y cómo se cons truye un rectángulo para que sea semejante a otro:
T
T'
comprobación de que los rectángulos t y t' son semejantes
construcción de un rectángulo semejante a un dni
|reducciones y ampliaciones de una figura Tomemos como ejemplo el pentágono negro. La reducción a la mitad es el pen tágono rojo y la ampliación al doble, el azul. 2l l/2
l
Centro de homotecia en uno de los vértices. 116
Centro de homotecia en un punto in terior.
4
La homotecia en el espacio La proyección de una diapo sitiva sobre la pantalla es una homotecia. • El centro es, obviamente, el foco luminoso. • La razón será tanto mayor cuanto más alejada se sitúe la pantalla.
La definición de homotecia dada en la página anterior es válida para una homo tecia en el espacio. Este caso se produce cuando la figura proyectada no es plana o bien cuando, como ocurre con la proyección de la diapositiva, la figura inicial es plana pero el centro de homotecia está fuera del plano. En el espacio, dos figuras homotéticas son semejantes. Además, sus aristas y sus caras correspondientes son paralelas. Y viceversa, si dos figuras son semejantes y sus elementos correspondientes (caras, aristas…) son paralelos, entonces hay una homotecia que transforma la una en la otra. • Los personajes de la figura del margen están situando la moneda y el disco de la Luna homotéticamente, siendo el centro de homotecia el ojo de Zineb, y la razón de homotecia, el cociente entre los diámetros de las dos circunfe rencias. Se trata de una homotecia en el espacio, pues los dos discos están en planos distintos (aunque paralelos) y el centro de homotecia está fuera de ambos planos. • La Luna y el Sol son semejantes, claro, ¡ambos son esferas! ¿Cuál es su centro de homotecia? Como están en movi miento, dicho centro es variable. Sin embargo, es interesante pensar en dón de está ese centro cuando se produce un eclipse de Sol. (Encontrarás una explicación en la página 132).
1 La distancia de la Tierra a la Luna es 384 000 km.
El diámetro de la moneda que sujeta Hamadi es de 23 mm y, en el punto en el que «tapa» a la Luna, está situada a 253 cm del ojo de Zineb.
sol luna
2 ¿A qué distancia de Zineb debe situarse Hamadi con una
pelota de baloncesto de 24 cm de diámetro para «tapar» la Luna?
3 ¿Dónde está situado el centro de homotecia del Sol y la
Luna en el momento del eclipse total de Sol?
23 mm
384 000 km
253 cm
Calcula el volumen de la Luna. 117
3
Rectángulos de dimensiones interesantes El rectángulo es la figura geométrica más común en el mundo urbanizado: me sas, libros, paredes, ventanas, pantallas de todo tipo… Y, en concreto, hay dos rectángulos que usas continuamente y cuyas dimensiones tienen mucho que ver con la semejanza. Son las hojas de papel A4 y el documento de identidad. Para aplicar la semejanza a estos rectángulos, tendremos en cuenta la siguiente propiedad: Dos rectángulos son semejantes si sus dimensiones (largo y ancho) son proporcionales.
Una hoja de papel A4 Las hojas de papel que se utilizan habitualmente (A4) tienen una curiosa propie dad: si las partimos por la mitad, cada uno de los trozos es semejante a la hoja inicial. Basándonos en esta propiedad, hallamos la proporción entre sus lados. La cadena A0, 1, 2, 3, 4, 5…
La hoja de papel doble de la A4 se llama A3. A4
A4
l
Tomamos como unidad el lado menor. La semejanza de los dos rectángulos nos lleva a la siguiente proporción:
l /2
1
1
l = 1 → l2 =1 → l2 = 2 → l = 2 2 1 l /2
A3
estos dos rectángulos son semejantes A su vez, el doble de la A3 es la A2, el doble de la A2 es la A1 y el doble de la A1 es la A0.
Llegamos a la conclusión de que para que un rectángulo sea semejante a su mi tad, es necesario que la proporción entre sus lados sea 2.
La mitad de la A4 es la A5.
|comprobación mediante plegados de papel
A5
A4
Es fácil comprobar mediante dos pliegues si una hoja de dimensiones a × b es A4 o semejante:
A5
b
La mitad de la A5 es la A6. …
a a
b b
2
a
a 2
2
Todas ellas son semejantes. a
1 Teniendo en cuenta que las dimensiones de una hoja
A4 son 210 mm × 297 mm, calcula las de una hoja A0, una A5 y una A8.
2 a) Halla la sucesión de las superficies que ocupan las ho
jas A1, A2, A3…
b) Halla la suma de los infinitos términos y comprueba que, según la figura de la derecha, dicha suma debe ser el doble del primer término, es decir, A0. 118
A2 A1 A3
A4 A5
A6
4
Rectángulo áureo El rectángulo del margen tiene la siguiente peculiaridad: si se le suprime un cua drado, el rectángulo que queda es semejante al inicial. Veamos cuál es la relación entre sus dimensiones: l
l–1
1
1
Tomamos como unidad el lado menor. La semejanza de los rec tángulos nos lleva a la siguiente proporción: l = 1 1 l –1
l = 1 → l (l – 1) = 1 → l 2 – l – 1 = 0 → l = 1 ± 1 + 4 → l = 1 + 5 2 2 1 l –1 1+ 5 . ¿Recuerdas? Es el número 2 áureo, Φ, que veíamos en la unidad 1. Por eso, este rectángulo y todos los seme jantes a él se llaman rectángulos áureos.
La relación entre los lados es el número l =
El DNI y las tarjetas de crédito, por ejemplo, son rectángulos áureos. En arqui tectura también se utilizan con mucha frecuencia rectángulos áureos. Comprobamos con regla y compás que el rectángulo es áureo con un método basado en la construcción del número Φ. P
1 Llevamos el lado menor, 1, sobre el mayor:
OA = 1.
1
4 2
1
3
2 Levantamos
drado.
AP = 1, formando un cua
3 Q es el punto medio de AO. Y PQ = B
A
Q
O
5 . 2
4 Llevamos PQ sobre el lado mayor del rectángulo. BO mide:
5 1 5 +1 =Φ + = 2 2 2 3
Si a una hoja A4 se le corta una tira de 2,5 cm de ancho a lo largo del lado mayor, obtendrás un rectángulo áureo. Constrúyete dos. A uno de ellos, córtale un cuadrado. Comprueba que el rectángulo remanente es semejante al rectángulo inicial.
4 Si a una hoja A4 le añadimos un cuadrado, el rectángu
lo resultante tiene la siguiente propiedad: si le quitamos dos cuadrados, el rectángulo remanente es semejante al inicial. (En la página 132 te volve rás a encontrar con este rec tángulo, al que llamamos rectángulo de plata). a) Compruébalo con una hoja A4. b) Demuéstralo teniendo en cuenta que las dimensiones de este rectángulo son 2 + 1 y 1, y las del rectángulo sobrante son 1 y 2 – 1. 119
4
Semejanza de triángulos En el epígrafe 1 hemos tratado con pares de figuras que sabíamos de antemano que eran semejantes y, basándonos en esa semejanza, al estudiar una de ellas obteníamos consecuencias para la otra. Así, estudiando un plano sabemos cómo es la planta del edificio o la ciudad. Probar la semejanza de rectángulos (epígrafe 3) ha sido muy fácil, porque los ángulos están controlados y solo ha habido que manejar la proporción entre sus dos dimensiones. Sin embargo, lo que ahora nos proponemos es más difícil: cómo averiguar si dos figuras son semejantes. Para ello, hemos de profundizar en la semejanza de triángulos, pues cualquier figura se puede descomponer en triángulos. (Si la figura tiene lados curvos, la descomposición será solo aproximada). Para el estudio de la semejanza de triángulos, es fundamental el teorema de Tales.
Teorema de Tales b B
a A O
c C
r
Si las rectas a, b y c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, en tonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales. AB = A'B' BC B'C'
A'
B'
C'
anayaeducacion.es Ampliación teórica sobre el teorema de Tales.
Como consecuencia, se verifica:
AB = BC = OA A'B' B'C' OA'
s
También ocurre lo recíproco: si los segmentos AB y BC son proporcionales a A'B' y B'C' y las rectas a y b son paralelas, entonces la recta c es paralela a ellas. El teorema de Tales sirve para estudiar la semejanza de triángulos.
Triángulos semejantes B'
c'
B
Dos triángulos semejantes tienen:
A'
c
a
• Sus lados proporcionales: a = b = c = razón de semejanza a' b' c' • Sus ángulos, respectivamente iguales:
a' b'
A b
C
^
^
^
^
^
^
A = A', B = B', C = C'
C'
Triángulos en posición de Tales ^
Los triángulos ABC y AB'C' del margen tienen un ángulo común, el A . Es decir, el triángulo pequeño está encajado en el grande.
B B'
^
a
a' A
120
Además, los lados opuestos a A son paralelos.
C'
Decimos que esos dos triángulos están en posición de Tales. C
Dos triángulos en posición de Tales son semejantes.
4
Criterios de semejanza de triángulos Para saber si dos triángulos son semejantes, no es necesario comprobar en ellos todas las condiciones dadas en la página anterior. Será suficiente ver que se cum plen algunas de ellas. Se llama criterio de semejanza de dos triángulos a un conjunto de condi ciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes. |primer criterio son semejantes 30°
40°
40°
Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales. B
B'
& & ABC es semejante a A'B'C' si:
30°
^
^
^
^
A = A' y B. = B'
C A
A' C'
|segundo criterio son semejantes 7
5
7,5
4
Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales. 6
10,5
10, 5 = 6 = 7, 5 = 1, 5 7 5 4
& & ABC es semejante a A'B'C' si:
a
c
a' = b' = c' a c b
c'
a'
b
b'
|tercer criterio son semejantes 7
6
44° 4
44°
10,5
10, 5 6 = = 1, 5 7 4
Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. & & ABC es semejante a A'B'C' si: ^ ^ A = A' y b' = c' c b
c
A
c' b
A'
1 Estamos en A. Queremos calcular la distancia a un lugar lejano e inaccesible, C . Para
eso, señalamos otro punto próximo, B , y medimos: AB = 53 m. Medimos también los ^ ^ ángulos A = 46° y B = 118°.
b'
A B
Ahora dibujamos en nuestro cuaderno un triángulo A'B'C' con las siguientes medidas: ^ ^ A'B' = 53 mm, A' = 46°, B' = 118°. &. a) Construye el triángulo A'B'C' en tu cuaderno. b) Explica por qué A& 'B'C' es semejante a ABC c) Mide A'C' con la regla.
d) Deduce cuánto mide la distancia buscada, AC .
C 121
5
La semejanza en los triángulos rectángulos Los triángulos rectángulos son particularmente importantes, tanto desde el pun to de vista teórico como práctico. Por eso les vamos a dedicar una atención espe cial. Empecemos por estudiar un criterio de semejanza muy fácil de aplicar.
Criterio de semejanza de triángulos rectángulos Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual uno de sus ángu los agudos.
a
35°
b
Esto es así, pues con ese ángulo y el ángulo recto ya son dos los ángulos iguales y, por tanto, también será igual el tercero. Por ejemplo, los dos triángulos del margen son rectángulos y tienen un ángulo agudo igual. Podemos asegurar que son semejantes, ya que los otros ángulos, α y β, también son iguales. Lo comprobamos: 90° + 35° + α = 180° 4 → α = β = 55° 90° + 35° + β = 180°
35°
Consecuencias del criterio de semejanza anterior Del criterio anterior obtenemos dos consecuencias importantes: Todos los triángulos obtenidos al trazar perpendiculares a alguno de los lados de un ángulo son semejantes. A'
B''
A
O
a B
B'
A''
Todos esos triángulos (ABO, A’B’O, A’’B’’O) son semejantes por tener el án gulo α común. Por tanto, sabemos, sin más comproba ción (por el criterio anterior), que sus lados son proporcionales.
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa determina dos triángulos semejantes al original. Observa
En esta figura encontramos tres triángulos rectángulos: ABC, AMB y AMC. A
Esta segunda propiedad de los triángulos rectángulos también es consecuencia de la primera. ABC y AMB son semejantes porque son dos triángulos formados sobre el án gulo B al trazar dos perpendiculares a sus lados, AM y CA. Lo mismo ocurre con ABC y AMC. 122
C
M
B ^
— ABC y AMB son semejantes por compartir el ángulo B . ^ — ABC y AMC son semejantes por compartir el ángulo C .
4
Teorema del cateto Según acabamos de ver, cada uno de los dos triángulos formados al trazar la altu ra sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es semejante a dicho triángulo. C
C
A b
h m
C
a
M
c n
a
b
A
b
m
c
h
B A
c
B
M
h
A
M
B
n
• Como los triángulos ABC y MAC son semejantes: a = b → b 2 = a · m b m • Por la semejanza de ABC y MBA se obtiene: a = c → c 2 = a · n c n Teorema del cateto El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyec ción de dicho cateto sobre la hipotenusa. Es decir: b 2 = a · m y c 2 = a · n
Teorema de la altura C A
b
m
Como los triángulos MAC y MBA son semejantes: m = h → h2 = m · n h n
M
A
h
M
Teorema de la altura
c
h n
El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que dicha altura divide a la hipotenusa. Es decir: h2 = m · n
B
Ejercicio resuelto
La proyección del cateto y sobre la hipotenusa es 28 – 7 = 21 m.
Calcular h, x e y en el siguiente triángulo rectángulo: x
Aplicando el teorema del cateto, obtenemos los valores de x e y : x 2 = 28 · 7 = 196 → x = 196 = 14 m
y
h
y 2 = 28 · 21 = 588 → y = 588 m Aplicando el teorema de la altura, obtenemos el valor de h:
7m 28 m
1 En este triángulo rectán
gulo, calcula las longitu des h, m y n.
h2 = 7 · 21 = 147 → h = 147 m
20 cm m
2 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los ca 15 cm
h n
tetos sobre la hipotenusa miden 20 cm y 22,05 cm, res pectivamente. Calcula las medidas de los catetos y de la altura sobre la hipotenusa. 123
6
Semejanza de triángulos rectángulos en cuerpos geométricos La semejanza de triángulos, y en concreto la de los triángulos rectángulos, se utiliza con frecuencia en las figuras espaciales. Veamos dos interesantes ejercicios resueltos: • Uno sobre el cálculo del volumen de un tronco de cono, conociendo los radios de las bases y la altura. • Y otro sobre el cálculo de la superficie de la Tierra que se ve desde una nave, sabiendo la altura a la que está.
Ejercicios resueltos
1 Hallar el volumen de un tron-
x
co de cono de 9 cm de altura sabiendo que los radios de sus bases miden 20 cm y 8 cm.
9
8 20
Ampliamos el tronco hasta completar un cono. Llamamos x al incremento de la altura. Tenemos en cuenta la semejanza de los dos triángulos: el pequeño, de catetos 8 y x ; y el grande, de catetos 20 y x + 9: x = x + 9 → 20x = 8x + 72 → 12x = 72 → x = 6 cm 8 20 El volumen del tronco de cono es la diferencia de volúmenes de dos conos: Vtronco = 1 π · 202 · (9 + 6) – 1 π · 82 · 6 = 1 π (6 000 – 384) = 5 881,06 cm3 3 3 3 generalización
r1
Vamos a resolver este problema de forma general (ver figura a la izquierda): x + h = x → xr + hr = xr → x (r – r ) = hr → x = hr1 1 1 2 2 1 1 r2 r1 r2 – r1
x r1 h
h r2
r2
hr1 hr1 Vtronco = 1 rr 22 (x + h) – 1 rr 21 x = 1 r >r 22 f + h p – r 21 H= 3 3 3 r2 – r1 r2 – r1 R V S hr + hr – hr W 3 3 2 1 p – r 21 hr1 W = 1 r f hr 2 – hr 1 p = = 1 r Sr 22 f 1 3 S r2 – r1 r2 – r1 W 3 r2 – r1 r2 – r1 T X fórmula para el cálculo r 3 – r 31 1 = 1 rh 2 = rh (r 22 + r1r2 + r 21) del volumen 3 r2 – r1 3 del tronco de cono
1 Calcula el volumen de un tronco de cono cuya altura es
9 cm y cuyas bases tienen radios de 20 cm y 35 cm.
2 Calcula el volumen de un tronco de pirámide cuadran
gular regular cuyas bases son cuadrados.
a) Hazlo paso a paso, razonadamente.
Lados de los cuadrados: 40 cm y 16 cm
b) Compruébalo aplicando la fórmula anterior.
Altura: 9 cm
124
4
2 ¿Cuál es la superficie de la Tie-
rra que se ve desde 1 000 km de altura? Recordemos que el radio de la Tierra mide 6 371 km.
La superficie de tierra que se ve al mirar nuestro planeta (o cualquier otra esfe ra grande) a una cierta distancia es un casquete esférico. (La línea del horizonte es la circunferencia en la que el cono formado por las visuales es tangente a la esfera). Llamamos d = 1 000 km a la distancia desde el punto de mira a la esfera. R = 6 371 km, al radio de la esfera, y h, a la altura del casquete esférico cuya área queremos calcular. Recordemos que Acasquete = 2πR h.
h R–h
R+d
d
El triángulo naranja cuyos lados son la visual tangente a la esfera, R y R + d es rectángulo.
R
Para calcular h, aplicamos el teorema del cateto: R 2 = (R – h) · (R + d ) → → 6 3712 = (6 371 – h) · (7 371) → h = 864,33 km Acasquete = 2π · 6 371 · 864,33 = 34 599 280 km2
generalización
Vamos a resolver este problema de forma general: R 2 = (R – h) · (R + d ) → R 2 = R 2 + Rd – (R + d )h → → (R + d )h = Rd → h = Rd R+d Esta es la altura del casquete esférico en función del radio, R, de la esfera y de la distancia, d, desde la cual la miramos. 2 La superficie del casquete visto es: Acasquete = 2πR · Rd = 2rR d R+d R +d
3 Un globo sube 643 m sobre la superficie de la Tierra.
Averigua qué superficie terrestre se verá desde arriba. Hazlo de dos formas:
4
Un cohete se aproxima a la Luna, cuyo diámetro, según sabemos, es de 3 500 km.
b) Aplicando la fórmula anterior, para comprobar que la solución es correcta.
a) Averigua qué superficie de Luna se ve desde el cohete cuando se encuentra a 1 000 km de distancia. Hazlo razonadamente y comprueba el resultado apli cando la fórmula.
c) ¿A qué altura hemos de ascender para ver exactamen te el 5 % de la superficie de la Tierra? (Aplica la fór mula).
b) ¿A qué distancia debe estar el cohete para poder ase gurar que sus ocupantes pueden ver el 10 % de la su perficie de la Luna? (Aplica la fórmula).
a) Razonadamente, utilizando el teorema del cateto.
125
Ejercicios y problemas resueltos
4
1 Escalas
Una habitación tiene 12 m2. a) ¿A qué escala está el plano descrito a continuación? Observa las medidas. 10 cm
a) Calculamos la superficie del plano y la comparamos con la realidad. A PLANO = 10 · 7, 5 = 75 cm 2 A REALIDAD
= 12 m 2 = 120000 cm 2
→
A REALIDAD 120 000 = = 1 600 75 A PLANO
Como la semejanza entre áreas es el cuadrado de la razón de semejanza, obtene mos la razón de semejanza (escala) con la raíz cuadrada:
7,5 cm
Razón de semejanza: 1600 = 40 → Escala: 1:40 b) De una escala 1:40 a una de 1:200, habría que reducir 200 : 40 = 5 Por tanto, habría que reducir sus dimensiones a 1/5, es decir, al 20 %.
b) ¿Qué ampliación o reducción debemos hacer al plano para tener una escala de 1:200?
Hazlo tú Resuelve de nuevo el apartado b) hallando primero las dimensiones reales de la habitación, calculando después las dimensiones de una representación a escala 1:200 y comparándolas con las dimensiones de la habitación a escala 1:40. Comprueba que obtienes lo mismo.
2 Semejanza de triángulos. Razón de semejanza
La Luna está a 384 000 km de nosotros y su diámetro es 3 500 km. El Sol está a 150 000 000 km. El tamaño aparente del Sol es igual al de la Luna. a) Calcular la superficie y el volumen de la Luna. b) Hallar el diámetro, la superficie y el volumen del Sol a partir de las correspondientes magnitudes de la Luna. luna
sol
a) Suponemos que la Luna es una esfera perfecta. S = 4π r 2 = 4π · 1 7502 = 38 484 510 km2 ≈ 3,85 · 107 km2 V = 4 πr 3 = 4 π · 1 7503 = 22 449 297 500 km3 ≈ 2,24 · 1010 km3 3 3 b) Como el Sol y la Luna tienen el mismo tamaño aparente, la razón entre sus dis tancias a la Tierra (d ) es la misma que la razón entre sus diámetros (D ): k=
D SOL d SOL = 150 000 000 = 390, 625 → = 390, 625, por tanto: D 384 000 d LUNA LUNA
Diámetro: Dsol = k · Dluna = 390,625 · 3 500 = 1,37 · 106 km
Superficie: Ssol = k 2 · Sluna = (390,625)2 · 3,85 · 107 = 5,87 · 1012 km2
Volumen: Vsol = k 3 · Vluna = (390,625)3 · 2,24 · 1010 = 1,34 · 1018 km3
Hazlo tú ¿A qué distancia de nuestros ojos debemos poner una bola de 3 cm de diámetro para que al mirar a la Luna la tape completamente?
3 Teorema de la altura y semejanza de triángulos
Hallar la longitud de la rampa AD y la altura de la pared BD. D C h
cm
A
cm
O
B
Hallar la longitud h teniendo en cuenta que: AO = 3 OB
126
572 = 76x → x = 42,75 cm. La longitud de la rampa es 76 + 42,75 = 118,75 cm Por Pitágoras, hallamos la altura de la pared: y = 57 2 + 42, 75 2 = 71,25 cm Aplicando de nuevo Pitágoras: AB = 76 2 + 57 2 = 95 cm
57
76
Calculamos el trozo de rampa que queda, x, por el teorema de la altura.
AB = AO + OB = 3OB + OB = 4OB → OB = AB : 4 = 23,75 cm 76 h Por semejanza de triángulos: 57 = 23, 75 → h = 31,67 cm Hazlo tú Calcula la altura de otra rampa similar a la anterior con estos otros datos: AC = 84 cm y CB = 35 cm. En este caso, AO = 2 OB .
Ejercicios y problemas
4
¿Dominas lo básico?
Semejanza de triángulos
Razón de semejanza. Escalas
7
a) ¿Cuáles de estas figuras son semejantes?
F1
F2
a) 9m
F3
A
D
b)
C E
x
B
A
Observa las siguientes piezas del tangram:
E C
4 D m C
d)
x
8
x 15 m
16 m
9m
7m
B
15 m 2m
10,
F
3m
B
E
A
c) D
b) ¿Cuál es la razón de semejanza? 2
4m
13 m
1
Identifica triángulos en posición de Tales en cada figura y calcula, en cada caso, DE :
6m
E x
B
C D
O
A
En la figura, el segmento DE es paralelo a AB. Justifica que los triángulos ABC y CDE son semejan tes y calcula DE y EC. cm
B
4
5
a) ¿Son semejantes los triángu los interior y exterior? b) ¿Cuántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejan te al menor cuya razón de seme janza sea 2,5? En un mapa cuya escala es 1:1 500 000, la distancia entre dos ciudades es 2,5 cm. a) ¿Cuál es la distancia real entre ellas? b) ¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia real es 360 km?
C
12 cm
¿Por qué son semejan tes los triángulos ABC y AED?
B cm
9
6 cm D
E
Halla el área y el perímetro del trapecio EBCD.
6 cm
C
A 10 cm D
10
En un triángulo rectángulo, la relación entre los catetos es 3/4. Halla el perímetro de otro triángulo se mejante en el que el cateto menor mide 54 cm.
11
La razón de semejanza entre dos triángulos es 2/5. Si el área del mayor es 150 cm2, ¿cuál es el área del me nor?
12
Observa esta figura, en la que el segmento AB es paralelo a CD. m
10,6 cm
A
cm
Indica, en cada caso, cuál es la escala del plano: a) 1 mm del plano representa 10 m reales. b) 50 km reales se representan por 1 dm en el plano. c) 0,001 mm reales se representan por 1 cm en el plano. d) 1 cm real se representa con 180 cm en la maqueta.
A
7,2
6
Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de 2,5 cm de ancho. ¿Son se mejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Responde razonadamente.
m E
17
3
4,8 c
8,4
a) ¿Son sus triángulos semejantes? b) En caso afirmativo, halla la razón de semejanza entre el naranja y el rosa.
B
8,
m 5c
6c
O
y
C x D
a) Di por qué son semejantes los triángulos AOB y ODC. b) Calcula x e y. 127
Ejercicios y problemas
14
15 16
17
a) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo grande y el mediano en el tangram del ejercicio 2? b) Indica la razón de semejanza entre la pieza cuadrada y el cuadrado formado por todas las piezas.
6,4 cm
E 80°
En cada uno de los siguientes triángulos rectángu los se ha trazado la altura BH sobre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos x e y. B B a) b) x A
2,1 m
H
7,8 m
3,2
m
y C
A
x
C b
A
d) B
H
n
m
6m
n
A
B
B
5m
H
C
b
22
Dibuja, en cada caso, un triángulo rectángulo y traza su altura sobre la hipotenusa. a) Calcula la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa si esta mide 50 cm, y el cateto mayor, 40 cm. b) La hipotenusa mide 25 cm, y la proyección del cate to menor sobre la hipotenusa, 9 cm. Halla el cateto mayor. c) La altura relativa a la hipotenusa mide 6 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa, 4,5 cm. Halla la hipotenusa.
23
Halla el valor de x en cada uno de los siguientes casos: a) b) 17,32 cm
x x
30 cm
c)
35 cm
d)
5 cm
x
x 12 cm
24
28 cm
12 cm
23 cm
5 cm
Halla el perímetro del triángulo ABC del que co nocemos CH = 9 m y BH = 12 m. B 12 m
C
m
c
c
y H 4,8 m
n
53 m
H
Dos triángulos ABC y PQR son semejantes. Los lados del primero miden 24 m, 28 m y 34 m. Calcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 129 m.
20
c
h
C
H
8m
D m 11 c
Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 13,6 cm, respectivamente. Si el área del menor es 26 cm2, ¿cuál es el área del mayor?
n
c) C
37° B
28 m
m
h
15 m
A
15 cm
En la siguiente figura BD es paralelo a AE: a) Calcula CD . ^ % % b) Halla E , CBD y BDC .
19
128
A
¿Qué área ocupará un rombo de diagonales 275 cm y 150 cm en un plano a escala 1:25?
C
18
26 m
En el plano de un piso cuya escala es 1:200, el sa lón ocupa una superficie de 7 cm2. ¿Cuál es la superfi cie real del salón?
Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcula: a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro. b) El área de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm2. c) El volumen de una piscina que en la maqueta con tiene 20 cm3 de agua. d) El volumen, expresado en cm3, de la piscina de la maqueta si en la realidad tiene una capacidad de 312 500 litros.
Calcula los valores que faltan en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos en A: A B a) b)
m
13
21
6
Entrénate y practica
A
H 9m
C
4
Resuelve problemas sencillos 25
27
Meta 6.1. ¿Cuál es la profundidad de un po zo, si su anchura es 1,2 m y alejándote 0,8 m del bor de, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?
33
Entre dos pueblos A y B hay una colina. Para medir la distancia AB , fijamos un punto P des de el que se ven los dos pueblos y tomamos las medi das AP = 15 km, PM = 7,2 km y MN = 12 km. (MN es paralela a AB ). Halla la distancia AB .
Sabiendo que estos dos depósitos son semejantes, ¿cuánto mide el radio del mayor?
1,5 m
26
32
100 m3
250 m3
Queremos construir un ortoedro de volumen 36 015 cm3 que sea semejante a otro de dimensiones 25 × 15 × 35 cm. ¿Cuánto medirán sus aristas? El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m, y el lado desigual mide 14 m. Calcula el área de un triángulo semejante cuyo períme tro es 96 m.
28
29
A
15 cm
Calcula el perímetro del triángulo cuya base coincide con la base mayor de este trape cio rectángulo y que se obtiene al prolongar los lados no parale los hasta que se corten.
13 cm M P
34
cm
cm
32 cm
17
N
20 cm
a) ¿Son semejantes las figuras naranja y amarilla? 34
B
3,5 m
45 cm
b) Calcula el perímetro y área de cada una. 30
20 cm
A
31
25 m
La bola blanca golpea a la negra después de rebotar en un punto, C, de la banda inferior. Calcula AC .
30 cm 70 cm
B
1,5 m
Para medir la altura de la casa, Álvaro, de 165 cm de altura, se situó a 1,5 m de la verja y tomó las medidas indicadas. ¿Cuánto mide la casa? 35
Para calcular la altura de un árbol, Marco ve la co pa reflejada en un charco y toma las medidas que indi ca el dibujo. ¿Cuál es la altura del árbol?
Dibuja un triángulo y, desde cada vértice, traza una recta paralela al lado opuesto. Así obtendrás un nuevo triángulo más grande. a) Justifica por qué es semejante al inicial. b) ¿Cuál es la razón entre las áreas? c) ¿Cuál es la razón de semejanza entre estos trián gulos?
1,6 m
1,2 m
4m
129
Ejercicios y problemas Para pensar un poco más 3 cm
43
Sobre una esfera de 20 cm de radio se encaja un cono de 30 cm de altura (las generatrices son tangentes a la esfera). Halla el área del casquete esférico que determina el cono.
44
El récord de altura alcanzada por un globo aeros tático lo estableció Félix Baumgartner en 2012 cuando subió a un poco más de 39 km de altura.
2 cm
5 cm
Halla el volumen de un tronco de cono de 10 cm de altura semejante a otro con estas dimensiones: 24 cm
30 cm
60 cm
En un cono de 10 cm de ra dio hemos inscrito un cilindro de radio 4 cm y altura 14,4 cm. Ha lla la altura del cono.
4 cm
14,4 cm
38
a) Halla la distancia a la que se encontraba del punto más alejado que podía ver en el horizonte terrestre. b) ¿Qué proporción de la Tierra se veía desde dicha al tura?
10 cm
39
40
Calcula el volumen de un tronco de pirámide cua drangular regular de 15 cm de altura en el que los la dos de las bases miden 8 cm y 14 cm. Halla el radio de una circunferencia en la que hemos inscrito un triángulo isósceles de lados AB = AC = 16 m y BC = 10 m.
45
b) ¿A qué altura debe subir para que la vista abarque una superficie de 1 986 000 km2?
También puedes hacer esto 46
Ejercicio resuelto
47
14 cm
130
C
6m M
B
7
Los lados de un triángulo ABC miden: AC = AB = 36 cm,
CB = 42 cm
Desde un punto M de AB se traza una paralela a AC, que corta al lado BC en un punto N. ¿Cuánto deben medir los lados del triángulo MBN para que su área sea 1/9 de la del triángulo ABC?
C
AC = 2 · 11 = 22 cm → x = 22 – 14 = 8 cm Por el teorema de la altura, en el triángulo ABC: R2 = 14 · 8 = 112 → R ≈ 10,58 cm
Calcular el área de la zona coloreada, teniendo en cuenta que M es el punto medio entre A A y B.
m
Hallar el radio de la base de un cono de 14 cm de altura inscrito en una esfera de radio 11 cm. A El triángulo ABC es rectángulo en B. El radio del cono, R, es la altu ra sobre la hipotenusa AC. Llamamos x a la proyección de R B BC sobre la hipotenusa AC, que x es el diámetro de la esfera.
a) ¿A qué altura (en m) debe volar un globo para ver el horizonte a 200 km? ¿Y a 1 000 km?
57
41
30 cm
37
De un cono de radio 5 cm hemos cortado otro cono de ra dio 2 cm y altura 3 cm. Calcula el volumen del cono grande.
En una esfera de 15 cm de radio, como la de la fi gura, hemos inscrito un cono de altura 12 cm. Calcula su área lateral. 12 cm
36
42
48
Las áreas de dos triángulos isósceles semejantes son 48 m2 y 108 m2. Si el lado desigual del primer trián gulo mide 12 m, ¿cuál es el perímetro del segundo?
4
49
En situación A una empresa de dados le cuesta
53
2 céntimos fabricar cada dado de parchís: 1 céntimo por la madera y 1 céntimo por la pintura.
a) ¿Cuánto gasta en la fabricación de un dado con el triple de arista que el de parchís? ¿Y uno con la aris ta 10 veces mayor que el de parchís? b) ¿Cómo será la arista de un nuevo dado en compa ración con la de un dado de parchís si vale 36 € fabricarlo?
En el cuadrado de la figu ra, E es el punto medio del la do AB, y F, el punto medio de BC.
54
¿Lo has entendido? Reflexiona 55
4 b) La original, mayor que la figurita. 3 56
Una esfera apoyada en el suelo proyecta una som bra que llega hasta 10 m del punto donde la esfera toca el suelo. En ese momento, un poste vertical de 1 m de alto produce una sombra de 1 m. Calcula el radio de la esfera. C D O
A
52
10 m
B
1m 1m
Una de las diagonales de un rombo mide 24 cm y el radio del círculo inscrito en dicho rombo es 8 cm. Calcula el perímetro y el área del rombo.
C
En la figura se observan dos circunferencias tan gentes interiores, de radios 35 cm y 50 cm, y un cua drado, uno de cuyos lados es tangente a la circunferen cia pequeña y cuyos vértices opuestos a ese lado están sobre la circunferencia mayor.
Justifica en qué casos podemos asegurar que los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes: a)
AB = BC , C^ = C^' B'C' A'B'
^ ^ b) AC = AB , A = A' A'C' A'B'
c)
AB ≠ BC , B^ = B^' A'B' B'C'
d) A = A', B = B'
a) Las dos torres iguales.
51
F
Calcula el lado del cuadrado.
Halla la distancia a la que se encuentra Marta de la Gi ralda, sabiendo que en la foto salen:
La altura real de la Giralda es de 104 m.
P
Si el lado del cuadrado mide 2 cm, ¿cuál es el área del cuadrilátero EPFB?
Es posible que tengas que resolver algunas preguntas tanteando. En situación En su viaje a Sevilla, Marta ha comprado una figura de la torre de la Giralda de 10 cm. La deja en una barandilla y se aleja 2 m para hacer una foto de su figura junto con la torre original.
E
D
B
c) Repite el apartado a) suponiendo que el coste de fa bricación del dado de parchís es de 3 céntimos: 1 por la madera y 2 por la pintura. Con este coste, ¿cómo sería la arista de un nuevo dado comparada con el del parchís si cuesta 12 € hacerlo?
50
A
^
^
^
^
¿Verdadero o falso? Justifícalo. a) Un triángulo equilátero, un cuadrado y cualquier otro polígono regular están determinados única mente por su lado. Por eso, todos los polígonos de n lados son semejantes, cualquiera que sea n. b) Como los rectángulos necesitan dos dimensiones para definirlos, no todos son semejantes. c) Todos los triángulos rectángulos son semejantes. d) Existen triángulos isósceles no semejantes. e) Como los rombos tienen sus cuatro lados iguales, todos los rombos son semejantes. f ) Al girar dos triángulos rectángulos semejantes por sus catetos menores, se generan dos conos semejan tes. g) Al girar un triángulo rectángulo por su hipotenusa, se generan dos conos semejantes enfrentados por su base. h) Dos cilindros con el mismo radio son semejantes. 131
Autoevaluación ¿Qué has aprendido?
anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.
1 Queremos hacer una maqueta de un jardín rectangular
a escala 1:400. Su perímetro es de 850 m, y su área, de 37500 m2. ¿Cuáles serán estas medidas en la maqueta?
8 Dos localidades, A y B, que distan 26 km entre sí,
se encuentran al mismo lado de una autopista recta, de la cual distan 20 km y 10 km, respectivamente. A
2 Una maqueta de una célula eucariota mide 1 m de
20 km
diámetro. Si está a una escala de 10 000:1: a) Halla el diámetro de la célula real.
26 km B 10 km
b) Calcula el volumen de la célula real y su maqueta. Se desea construir una carretera lo más corta posible, que una ambas localidades en un punto de la auto pista. ¿Qué longitud tendrá?
3 Halla el centro y la razón de homotecia que transfor
ma el rectángulo ABCD en A'B'C'D'.
A'
D
C
A
B
C'
9 En una esfera de diámetro 18 cm, se inscribe un cono
cuya altura es 6 cm. ¿Cuánto medirá el radio de la base del cono?
B'
6 cm
D'
4 En un triángulo rectángulo, se inscribe un rectángulo
de lados paralelos a los catetos en el que la base mide el doble que la altura. Si los catetos miden 12 cm y 18 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
r
18 cm
Atención: puede haber dos soluciones. 5 Un barco B que navega hacia puerto se sitúa en un
punto tal que su posición forma un ángulo recto con los faros F1 y F2. Desde ese punto, la línea que lo une al puerto P es perpendicular a la costa. B
F1
13 km
10 Tenemos un vaso con forma de tronco de cono en el
que los diámetros de las bases miden 10 cm y 6 cm y su altura es de 12 cm. Si lo llenamos, ¿cabe más de medio litro de agua, o menos?
11 26 km
F2
P
Sabemos que PF 1 = 13 km y que PF 2 = 26 km.
Un cohete, que está a 190 km de altura, acaba de empezar su viaje hacia Saturno. a) ¿Qué superficie de la Tierra puede ver? b) Si viaja a 40 000 km/h, ¿qué superficie de la Tierra verá a los 5 min? ¿Y al cuarto de hora?
Calcula la distancia del barco al puerto y a cada uno de los faros. 6 De un trapecio rectángulo sabemos que la diagonal es
perpendicular al lado oblicuo, la altura mide 10 cm y la diferencia entre la longitud de las bases es de 5 cm. Calcula el área y el perímetro.
132
C
6,75 km D y
m
tuado entre dos vías paralelas r y s. Se quiere unir, mediante carreteras, con las poblaciones A, B, C y D. Con los datos de la figura, calcula x e y.
6k
7 Un centro comercial P está si
m 0k
P
1
A
9 km
x B
s
r
12 Un cono tiene una altura de 20 cm. Calcula a qué
distancia de la base hay que cortarlo con un plano paralelo a esta para que el cono resultante tenga un volumen ocho veces más pequeño que el volumen del cono inicial.
Situación de aprendizaje
...
....
RESU
ELVO
4
¿Por qué la enorme vela del dimetrodón? ¿Qué otras curiosidades nos depara la semejanza en la naturaleza?
En los animales, la irradiación del calor se realiza a través de la piel y es, por tanto, proporcional a su superficie, es decir, al cuadrado de su longitud. Sin embargo, el calor se genera en todo el volumen del cuerpo y es, pues, propor cional al cubo de su longitud. Cuando el animal es muy grande, su superficie no basta para atender a tanto volumen y necesita aumentar en forma de aleta dorsal (aumento de superficie sin incrementar casi el volumen). Es lo que le ocurre al dimetrodón. Un mecanismo similar son las orejas por medio de las cuales se refrescan los elefantes. Veamos algunas preguntas para enfatizar en la influencia que tiene la relación superficie-volumen en la anatomía y la fisiología de los animales: • ¿Por qué los mamíferos pequeños comen más (en proporción con su peso) que los grandes? • El Sol irradia más calor que una persona, ¡claro! De hecho, el Sol emite en cada segundo 9,46 · 1022 cal, y una persona 3 · 10–2 cal. a) Compara la cantidad de calor que emiten por unidad de superficie (1 dm2), en cada segundo, el Sol y una persona. (Datos: radio del Sol: 696 340 km, superficie de una persona: 2 m2, aproximadamente).
El dimetrodón era un animal grande y de sangre fría; por tanto, para empezar a «funcionar» necesitaba un tiempo expuesto al Sol. Acelerar ese tiempo gracias a su aleta dorsal le daba una ventaja sobre sus competidores.
b) Y ahora compara la cantidad de calor que emiten, por unidad de volumen, el Sol y una persona con un volumen de 80 l. Asómbrate con el resultado. • En Los viajes de Gulliver los liliputienses medían unos 15 cm y Gulliver, 180 cm. a) Si el rey de Liliput se comiera una manzana, ¿cuántas tendría que ofrecer a Gulliver para que comiera la misma cantidad en proporción a su tamaño? b) Imagina, ahora, que el rey llevara una capa que costó 1 doblón de oro y quisiera obsequiar a Gulliver con otra proporcional a su tamaño. ¿Cuánto costaría? (Suponemos que el grosor sería el mismo que la del rey). • Averigua (busca en Internet) cuál es la altura de la torre Eiffel y cuál es su peso. Imagina que hiciéramos una maqueta perfecta, con los mismos materiales, que pesara 1 kg. ¿Cuál sería su altura? • Compara el tamaño de un átomo de hidrógeno con el del sistema solar si este se achicara de modo que el Sol se hiciera del tamaño de un protón. ¿A qué distancia del Sol estaría Neptuno si el Sol fuese una bola de 1 dm3? (Observa los datos del margen). Avanza solo o en equipo
• Investiga sobre los límites del tamaño de los grandes animales. • Razona, también, por qué los animales de mayor tamaño habitan en el mar.
Medida de los diámetros
Átomo de hidrógeno: 5 · 10–11 m Protón: 1,2 · 10–15 m Sistema solar: 9 · 1012 m (to mando a Saturno como últi mo planeta) Sol: 1,4 · 109 m
• Observa las patas de los grandes animales terrestres. ¿Son proporcionales a las de los medianos? ¿Cuál es la razón?
133
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