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DEMO

INCLUYE

LI C

PROYECTO DIGITAL CIA 12 MES

BAC H I L L E RAT O

FÍSICA Y QUÍMICA J. M. Vílchez González, R. Casas del Castillo, L. Garrido Martínez, A. M.a Morales Cas

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Índice Los saberes básicos del curso

............................................................8 • Detectives de la química • Mi cuerpo es un laboratorio de química • Utilizo la física cuando hago deporte

Unidad inicial

La investigación científica

................................

Relaciones entre ciencia, tecnología y sociedad 1. El método científico 2. Magnitudes físicas. Sistema Internacional de Unidades 3. Análisis dimensional 4. Medida de magnitudes 5. Errores en la medida 6. Significado de las ecuaciones en física y química TIC. Las hojas de cálculo para la resolución de problemas Estrategias de resolución de problemas Trabaja con lo aprendido

1 L a materia: propiedades y transformaciones

2 E stados de agregación de la materia

.. .......................................................................... 70

Fuentes de energía y desarrollo sostenible 1. Estados de agregación de la materia 2. La ecuación de estado de los gases ideales 3. La teoría cinético-molecular: gases ideales y gases reales 4. Disoluciones 5. Concentración y solubilidad 6. Preparación de disoluciones 7. Propiedades coligativas TIC. Ampliación de hojas de cálculo Estrategias de resolución de problemas Trabaja con lo aprendido.

3 E structura de la materia

. . ............................ 98

Sales fundidas para almacenar energía 1. El sistema periódico de los elementos químicos 2. Interacción con la radiación electromagnética 3. Modelo atómico de Bohr 4. Orbitales atómicos y configuraciones electrónicas 5. Estabilidad de átomos e iones 6. Enlace químico y fuerzas intermoleculares 7. Propiedades de las sustancias TIC. Simulaciones: modelos moleculares Estrategias de resolución de problemas Trabaja con lo aprendido.

. . .................................................. 38

Semiconductores y energía solar fotovoltaica 1. La materia 2. La teoría atómica de Dalton 3. Leyes ponderales 4. Leyes volumétricas. Hipótesis de Avogadro 5. Masa atómica, masa molecular y masa fórmula 6. Cantidad de sustancia 7. Fórmulas químicas. Composición centesimal 8. Espectrometría y espectroscopia aplicadas al análisis químico TIC. Representación de moléculas Estrategias de resolución de problemas Trabaja con lo aprendido

4 Reacciones químicas

. . ............................................ 124

Casi todo es química 1. Reacciones y ecuaciones químicas 2. Cálculos estequiométricos 3. Cálculos estequiométricos en masa 4. Reactivos y productos en estado gaseoso 5. Reactivos y productos en disolución 6. Reactivo limitante y rendimiento de una reacción 7. Procesos químicos en un alto horno TIC. Cálculos estequiométricos Estrategias de resolución de problemas Trabaja con lo aprendido

5 Termodinámica

................................................................... 148

Motores, contaminación y cambio climático 1. Ley cero de la termodinámica. Equilibrio térmico 2. Transferencia de energía 3. Energía interna. Primera ley de la termodinámica 4. Máquinas térmicas y refrigeradores 5. Segunda ley de la termodinámica. Entropía TIC. Representación del ciclo de Carnot con Geogebra Estrategias de resolución de problemas Trabaja con lo aprendido

6 L a química del carbono

................................... 176

¿Debemos prescindir de los plásticos? 1. Compuestos de carbono 2. Fórmula de los compuestos de carbono 3. Hidrocarburos 4. Compuestos de carbono oxigenados 5. Compuestos de carbono nitrogenados 6. Prioridad de los distintos grupos funcionales 7. Formas alotrópicas del carbono 8. Isomería 9. El petróleo y el gas natural TIC. Formulación orgánica en el móvil Estrategias de resolución de problemas Trabaja con lo aprendido.

7 C inemática. Movimientos

rectilíneos y su composición

. . ........... 206

Desplazamientos seguros 1. Relatividad del movimiento 2. Posición y desplazamiento 3. Trayectoria y espacio recorrido 4. Cambios de posición: velocidad 5. Cambios de velocidad: aceleración 6. Movimientos rectilíneos 7. Composición de movimientos rectilíneos 8. Contribuciones de Galileo al estudio del movimiento TIC. Plantillas de ecuaciones Estrategias de resolución de problemas Trabaja con lo aprendido

8 C inemática. Movimientos circulares y oscilatorios

.. ....................... 228

El mar y el movimiento 1. Magnitudes cinemáticas angulares 2. Movimiento circular uniforme, MCU 3. Movimiento circular uniformemente acelerado, MCUA 4. Movimiento armónico simple TIC. Mapas conceptuales Estrategias de resolución de problemas Trabaja con lo aprendido

9 D inámica y estática.

Las fuerzas y sus efectos

. . .................. 248

Terremotos en el futuro 1. Las fuerzas como medida de las interacciones 2. Principios de la dinámica 3. Cantidad de movimiento o momento lineal 4. Dinámica de algunos movimientos 5. Estudio dinámico de situaciones cotidianas 6. Estática TIC. Laboratorios virtuales: física Estrategias de resolución de problemas Trabaja con lo aprendido

10 Trabajo y energía

................................................

280

Fuentes de energía y desarrollo sostenible 1. Trabajo 2. Energía 3. Energía cinética 4. Energía potencial 5. Energía mecánica. Conservación de la energía 6. Potencia TIC. Manejo de funciones y resolución de ecuaciones con Geogebra Estrategias de resolución de problemas Trabaja con lo aprendido

Prácticas de laboratorio

........................................ 314

Formulación y nomenclatura química

. . .................................................................................................... 326

5 Termodinámica MOTORES, CONTAMINACIÓN Y CAMBIO CLIMÁTICO No cabe duda de que el avance del transporte ha desarrollado espectacularmente nuestras sociedades. Sin embargo, esto ha tenido un precio: el aumento de la contaminación y la aceleración del efecto invernadero antropogénico, que suponen una amenaza para la humanidad. En los últimos años, ha surgido un debate sobre la conveniencia de permitir el funcionamiento de los motores diésel debido a que son más contaminantes que los de gasolina. Además, están proliferando los vehículos que utilizan la electricidad como fuente de energía y aquellos denominados híbridos. Sin embargo, y a pesar de que numerosas compañías hablan de «vehículos limpios» y no contaminantes, no es cierto todo lo que se dice. A esto hay que añadir el incremento en los precios de estos vehículos y la poca infraestructura que existe en nuestro país como para abastecerlos de energía. Podemos afirmar que ha nacido una nueva vía de investigación científica y tecnológica que ya se está desarrollando y que lo seguirá haciendo en el futuro.

148

COMPROMISO ODS

Buscad información sobre el límite de emisiones de CO2 que ha fijado la Unión Europea para coches y camiones. Por otro lado, indagad sobre las emisiones que presentan las principales marcas en el último año. A partir de estos datos, explicad si será posible alcanzar las metas 3.9 y 13.a. Redactad un informe razonado justificando vuestras opiniones.

2 Los vehículos eléctricos están en pleno auge. Existen de dos tipos, principalmente: los híbridos y los híbridos enchufables. Estos últimos han de recargarse conectándolos a la red eléctrica y la mayor parte de las fuentes de energía de nuestro país son no renovables. ¿Pensáis que cambiar todos los vehículos de gasolina y diésel por híbridos enchufables, sin tomar ninguna otra medida, ayudaría a alcanzar las metas 3.4 y 13.5? ¿Qué proponéis? Recoged todas las posibles ideas y compartidlas en el aula.

¿Qué vas a descubrir? En esta unidad • Motores, contaminación y cambio climático

1. Ley cero de la termodinámica. Equilibrio térmico 2. Transferencia de energía 3. Energía interna. Primera ley de la termodinámica 4. Máquinas térmicas y refrigeradores 5. Segunda ley de la termodinámica • TIC. Representación del ciclo

de Carnot con Geogebra • Estrategias de resolución de problemas

En anayaeducación.es Para motivarte: • Vídeo:

«Antes de empezar». • Documento:

«¿Quieres dedicarte a la microbiología?» Para detección previa de ideas: • Presentación:

«Qué necesitas saber». Para estudiar: • Documento:

«Ciclo de Diesel». MI CUERPO ES UN LABORATORIO DE QUÍMICA Los contenidos y las actividades de esta unidad pueden resultar de utilidad para la realización del proyecto «Mi cuerpo es un laboratorio de química» que se plantea en el anexo situado en las páginas iniciales del libro.

• Presentación:

«Para estudiar». Para autoevaluarte: • Autoevaluación final. • Soluciones de las actividades numéricas.

Y, además, toda la documentación necesaria para aplicar las claves del proyecto. 149

Ley cero de la termodinámica. Equilibrio térmico Comencemos definiendo algunos conceptos que serán necesarios para lo que sigue y que se deben comprender de forma adecuada.

1.1. Sistemas termodinámicos En general, conviene separar, real o mentalmente, una cierta porción del universo y considerarlo como una unidad para, así, estudiarlo más fácilmente. La parte del mundo físico que queremos estudiar se denomina sistema termodinámico. El resto del universo, que no forma parte del sistema, se denomina entorno o ambiente. Algunos ejemplos de sistemas termodinámicos son: una sopa cocinándose en una olla, un motor o el cuerpo humano. Existen tres tipos de sistemas termodinámicos (figura inferior): • Abiertos: pueden intercambiar materia y energía con

su entorno. • Cerrados: pueden intercambiar energía con su entor-

1.2. Variables de estado, equilibrio y procesos Las variables termodinámicas son las magnitudes físicas y químicas que caracterizan a un sistema termodinámico. Un estado termodinámico del sistema viene determinado por los valores que toman dichas variables. Por ejemplo, la cantidad de sustancia, el volumen y la presión de un gas ideal son tres variables termodinámicas, porque estableciendo sus valores podemos conocer completamente el estado de dicho gas. Se dice que un sistema está en equilibrio termodinámico si no cambia de estado. Es decir, un sistema está en equilibrio si no se modifican los valores de sus variables de estado. Cuando sí cambian, se dice que el sistema experimenta un proceso. Un proceso cíclico es aquel en el que el estado inicial es el mismo que el final. En un proceso cíclico, las variables termodinámicas toman el mismo valor en los estados inicial y final.

no, pero no materia. • Aislados: no pueden intercambiar ni materia ni energía

con el ambiente. Cuando dos o más sistemas establecen algún tipo de interacción (intercambio de materia y/o energía), se dice que están en contacto, aunque ese término no debe hacernos pensar que se estén tocando necesariamente.

1.3. Calor y contacto térmico La energía de un cuerpo se manifiesta de formas diferentes pudiendo transferirse entre sistemas distintos. Los intercambios de energía pueden tener lugar de varias formas. Quizás la que mejor conozcas sea la transferencia en forma de trabajo. Por ahora, baste decir que, en general, entre dos cuerpos (o entre un sistema y su en-

Tipos de sistemas termodinámicos Abiertos

Aislados

Cerrados

Una hoguera necesita combustible para originarse, y cede CO2 y agua en forma de gas y energía térmica.

150

Una bombilla necesita energía eléctrica para emitir luz. Si se corta la corriente, no iluminará.

Un termo mantiene constantes las condiciones de la comida que se haya introducido en él.

torno) se transfiere energía en forma de trabajo cuando hay desplazamientos relativos de unas partes respecto a otras. Por ejemplo, al mover el émbolo de una jeringuilla se realiza trabajo sobre el fluido encerrado en ella. Supongamos que tenemos dos sistemas en equilibrio termodinámico y que los ponemos en contacto, evitando, por un lado, todas las interacciones gravitatorias, eléctricas y magnéticas entre ellos y, por otro, cualquier transferencia de energía en forma de trabajo. Experimentalmente, se comprueba que, aún así, puede ocurrir que los dos sistemas cambien de estado, llegando a una nueva situación de equilibrio. Por tanto, ha debido producirse un intercambio de energía entre ambos, aunque no haya sido en forma de trabajo mecánico. Por ejemplo, considera un gas y una cierta cantidad de hielo, ambos aislados del exterior y separados por una pared metálica, rígida. Puede que observemos que la presión del gas varíe al cabo de un tiempo, y que parte del hielo se derrita. Diremos, entonces, que ha habido una transferencia de energía en forma de calor. Observa que, como el trabajo, el calor no es una forma de energía, sino un mecanismo de transferencia de esta. Su unidad en el SI es la misma que la del trabajo, el julio (J). Terminemos diciendo que un proceso es adiabático si tiene lugar sin intercambio de calor con el entorno. Cuando se permite que dos sistemas intercambien calor se dice que están en contacto térmico. Los límites de un sistema termodinámico se denominan paredes (pueden ser reales o imaginarias, ya que lo relevante es que sirven para diferenciar al sistema del entorno), y se clasifican según el tipo de contacto que permiten, como se muestra en la tabla inferior.

1.4. Equilibrio térmico y temperatura Si después de permitir el contacto térmico entre dos sistemas, llegan a una nueva situación de equilibrio en el que sus variables termodinámicas ya no varían, se dice que ambos están en equilibrio térmico. Experimentalmente, se verifica la ley cero de la termodinámica: Dos cuerpos en equilibrio térmico con un tercero están en equilibrio térmico entre sí. De esta ley puede deducirse que hay una magnitud que caracteriza el equilibrio térmico: la temperatura. Por tanto, podemos describir este tipo de equilibrio de dos formas equivalentes: • Al poner en contacto térmico dos sistemas, no hay trans-

ferencia de energía en forma de calor entre ambos. • Los dos sistemas están a la misma temperatura.

La escala de temperatura más empleada es la escala Celsius (°C), que utiliza dos puntos fijos del agua pura: asigna el valor de 0 °C a su temperatura de congelación, y el de 100 °C a la de ebullición, ambos a 1 atm. Sin embargo, la unidad en el SI es el kelvin, K, relacionada con la anterior mediante: T/K = 273,15 + T/ °C Esta escala de temperatura tiene un profundo significado físico: a 0 K, es decir, –273,15 °C, el valor medio de la energía cinética de todas las partículas sería cero; esto es, se detendrían completamente. Sin embargo, esto no puede ocurrir, por lo que esa temperatura es inalcanzable y esa es la razón de que a esta escala se la denomine escala absoluta de temperaturas. Ejercicios

Clasificación de las paredes de un sistema termodinámico Adiabáticas: no permiten el intercambio de energía en forma de calor (son aislantes térmicos).

Diatérmanas: permiten el intercambio de energía en forma de calor (establecen el contacto térmico).

Rígidas: no permiten el intercambio de energía en forma de trabajo (mantienen constante el volumen del sistema).

Móviles: permiten el intercambio de energía en forma de trabajo (esto es, permiten variar el volumen del sistema).

Impermeables: no permiten el intercambio de materia, aunque sí el de energía.

Permeables: permiten el intercambio de materia y energía entre dos sistemas distintos.

1 Señala qué tipos de sistemas son un huevo, el ser humano y un termo con café a 50 °C. ¿Cómo son sus paredes? 2

¿Crees que es correcto decir: «hoy hace mucho calor»? Explica por qué, analizando la frase según las definiciones de este epígrafe. Haz lo mismo con la expresión: «me cuesta mucho trabajo mantener levantada esta pesa» (supón que la mantenemos levantada, pero en reposo). ¿Crees que es fácil utilizar en la vida cotidiana un lenguaje que sea científicamente correcto? Argumenta tu respuesta con ejemplos concretos que conozcas relacionados con esta asignatura y otras.

Por grupos, utilizando la técnica de folio giratorio, proponed ejemplos de procesos adiabáticos y no adiabáticos en nuestra vida cotidiana.

151

Transferencia de energía Vamos a profundizar en los intercambios de calor y trabajo entre los sistemas termodinámicos. Posteriormente, los relacionaremos a través del concepto de energía interna, empleando, para ello, la primera ley de la termodinámica.

2.1. Intercambio de energía en forma de trabajo Como ya hemos comentado, en general, se transfiere energía en forma de trabajo cuando hay desplazamiento de unas partes del sistema respecto a otras. Consideremos, por ejemplo, un gas encerrado en un recipiente que tiene una pared móvil o pistón (figura derecha arriba). Si se mueve, de manera que el volumen del sistema varía en una cierta cantidad ∆V, manteniendo constante su presión, entonces el trabajo realizado por el sistema vendrá dado por la expresión:

Intercambio de energía en forma de trabajo

DV > 0

Movimiento del pistón DV < 0

W < 0. Entonces, el sistema realiza un trabajo negativo sobre el entorno. Esto es lo mismo que decir que el entorno realiza un trabajo sobre el sistema. • Si no hay cambio de volumen, esto es, ∆V = 0, enton-

ces el trabajo realizado por el sistema es nulo. Si la presión del sistema no permanece constante, entonces se puede representar p frente a V (figura derecha abajo). En ese caso, el trabajo es igual al área que hay entre la curva y el eje de abscisas. Observa que esto también es aplicable al caso en el que p es constante, ya que entonces el área será la de un rectángulo, y por tanto: W = p · (V2 – V1) = p · DV Durante esta unidad y las siguientes, utilizaremos el criterio de signos tradicional para el trabajo. Es decir, consideramos positivo el trabajo realizado sobre el entorno y negativo cuando es el entorno el que realiza el trabajo sobre el sistema. Pero existe otro criterio de signos, el de la IUPAC (International Union of Pure and Applied Chemistry), donde es positivo aquello que haga aumentar la energía interna del sistema, es decir, tanto el trabajo como el calor. Para comprender mejor el criterio de signos para el trabajo y repasar cómo utilizarlo, puedes completar la teoría de este epígrafe consultando la infografía interactiva que te ofrecemos en anayaeducacion.es. 152

El sistema se expande

El sistema se comprime

DV > 0; W > 0

• Si el volumen aumenta, entonces ∆V > 0, y, por tanto,

• Si el volumen disminuye, entonces ∆V < 0, y, por tanto,

W = p · DV < 0

Cuando se modifica el volumen de un sistema, este realiza un trabajo sobre el entorno: positivo si V aumenta, y negativo (esto es, el ambiente realiza un trabajo sobre él) si V disminuye.

W = p · DV W > 0. De esta forma, el sistema realiza un trabajo positivo sobre el entorno.

W = p · DV > 0

DV < 0; W < 0 V2

Cuando la presión no permanece constante, el trabajo realizado por el sistema es igual al área comprendida entre la curva p (V ) y el eje de abscisas. El signo viene dado por el sentido en el que se recorre dicha curva.

Ejercicios

4 Calcula el trabajo realizado por un sistema que disminuye su volumen desde 1 m3 hasta 500 L a una presión constante de 2 atm. Interpreta el significado del signo que has obtenido. Recuerda que en anayaeducacion.es puedes comprobar los resultados de todas las actividades numéricas.

5 Comprueba que el producto p · V tiene dimensiones de energía. 6 En la gráfica se muestra un proceso en el que la presión aumenta linealmente con el volumen. ¿Qué trabajo realiza el sistema? p/Pa 1,75 · 105 1,5 · 105 1,25 · 105 1,0 · 105 7,5 · 104 0

1,5

2,5

V/m3

2.2. Trabajo realizado por un gas ideal En ciertos casos es muy sencillo calcular el trabajo realizado por un sistema. El ejemplo más importante es aquel en el que un gas ideal sufre un proceso isotermo, durante el cual su volumen cambia desde uno inicial, V1, hasta otro final, V2. Entonces, realizará un trabajo dado por: V2 W = n · R · T · ln V1 donde n es la cantidad de sustancia; R, la constante de los gases, y T, la temperatura (constante) a la que tiene lugar el proceso. Podemos reescribir esta expresión en términos de la presión. Recordando que cuando la temperatura es constante se verifica la ley de Boyle: V2 p1 = p p1 · V1 = p2 · V2 8 V1 2 y sustituyendo en la fórmula anterior, tendremos: p1 W = n · R · T · ln p 2

2.3. Intercambio de energía en forma de calor Hemos definido el calor partiendo de un hecho experimental: los sistemas termodinámicos pueden modificar su estado de equilibrio al ponerlos en contacto, aunque no haya transferencia de energía en forma de trabajo entre ellos. Ahora, podemos definir el calor de forma más precisa: La transferencia de energía que se produce entre dos cuerpos debida a su diferencia de temperatura se denomina transferencia o flujo de calor, y se representa por la letra Q. Igual que hicimos con el trabajo, establecemos un criterio de signos: • Q > 0, si el sistema absorbe energía en forma de calor. • Q < 0, si el sistema cede energía en forma de calor.

Para abreviar, emplearemos la palabra «calor» para referirnos a la energía transferida en forma de calor. Recuerda que el calor no es una forma de energía, pues los cuerpos no «acumulan calor», sino que lo absorben y lo transfieren.

Si utilizamos la ecuación de los gases ideales: p·V=n·R·T obtenemos las siguientes formas equivalentes para el trabajo: V2 p1 = p1 · V1 · ln p W = p1 · V1 · ln V1 2

La unidad del calor en el SI es el julio, pero es muy común emplear otras unidades, como la caloría (cal): Una caloría es la cantidad de energía necesaria para incrementar la temperatura de 1 g de agua en 1 ºC.

Ejercicios

7 Comprueba que el producto n · R · T tiene dimensiones de energía. 8 Un gas ideal experimenta un proceso en el que aumenta su volumen desde 1 m3 a 200 ºC hasta los 673 ºC, con una presión constante de 3 atm. Calcula el trabajo realizado por el gas. 9 Un gas ideal realiza el ciclo mostrado en la figura. Si en el punto A tiene una presión de 8 atm y un volumen de 7 L, calcula el trabajo realizado por el gas en cada tramo y en el ciclo completo. p

T = cte. C 0

V2 = 2 · V1

10 Tenemos 0,5 mol de un gas ideal que experimentan una compresión isotérmica a 25 °C mientras su entorno efectúa un trabajo de 1 200 J sobre él. Si la presión final es de 2 atm, ¿cuál era el valor de la presión inicial? 11 Se hierven 90 g de agua a 100 ºC y 1 atm de presión. Posteriormente, el vapor se expande, a temperatura constante, hasta ocupar un volumen de 300 L. Calcula el trabajo realizado por el vapor sobre el entorno durante dicha expansión. 12

Los gases se estudian como ideales por facilidad de cálculos suponiendo que sus partículas no ocupan volumen y despreciando las fuerzas intermoleculares. Pero, como viste en la unidad 2, hay una ecuación que se utiliza en el caso de los gases reales, la ley de Van der Waals. Busca el significado de los coeficientes a y b, y explica cómo afectan al factor de compresibilidad de un gas. ¿Se cumplen las leyes de la termodinámica también en los gases reales? Utiliza la técnica el espejo.

153

Transferencia de energía

2.4. Equivalente mecánico del calor En 1845, el físico inglés James Joule llevó a cabo un experimento en el que una cierta cantidad de agua encerrada en un recipiente con paredes aislantes era agitada mediante unas paletas movidas por un sistema de pesas y poleas (ver figura adjunta).

Experimento de Joule Manivela Termómetro

Comprobó que, cuando las pesas descendían, la temperatura del agua aumentaba, ya que era capaz de transferir, posteriormente, energía en forma de calor. De esta manera, puso de manifiesto que existe una cierta equivalencia entre trabajo y calor. Más adelante veremos que esta, sin embargo, no es completa. Además, determinó que el aumento de temperatura de 1 g de agua era de 0,24 ºC por cada julio transferido. Teniendo en cuenta que 1 cal es el calor necesario para aumentar 1 ºC la temperatura de 1 g de agua, la equivalencia entre la caloría y el julio es: 1 cal = 4, 186 J

;

1 kcal = 1000 cal = 4186 J

2.5. Calor específico de un cuerpo Experimentalmente se comprueba que la cantidad de calor necesaria para aumentar la temperatura de una cierta masa de un material es aproximadamente proporcional al cambio de temperatura. La constante de proporcionalidad se denomina calor específico. El calor específico, c, de un material es la cantidad de calor necesaria para aumentar 1 °C la temperatura de 1 kg de dicho material. Por tanto: Q = m · c · DT Sus unidades en el Sistema Internacional son J/(kg · K). En el agua, el valor del calor específico para aumentar 1 °C la temperatura de 1 g de masa es: cagua = 1 cal/ (g · °C) = 4186 J/ (kg · K) En el caso particular de los gases, hay que tener en cuenta que los procesos de intercambio de calor pueden tener lugar a presión o a volumen constante. Entonces, se habla de calor específico molar a presión constante, cp, o de calor específico molar a volumen constante, cV, y tendremos:

154

;

Pesa Aislante térmico

Agua

1 J = 0, 24 cal

Esta unidad se emplea mucho todavía hoy día, aunque no sea la del SI. Por ejemplo, en los alimentos, el contenido energético se contabiliza en kilocalorías:

Qp = n · c p · D T

Pesa

QV = n · c V · D T

Aspas móviles

Mediante un sistema de pesas y poleas se transfiere de forma controlada una cierta cantidad de energía en forma de trabajo. Como consecuencia, aumenta la temperatura del agua contenida en el recipiente.

Ejercicios

13 Calcula el calor, en calorías, necesario para calentar 270 g de hierro desde 50 ºC hasta 1 100 ºC. Dato: cFe = 440 J/(kg · K).

14 Una masa de 40 g de oxígeno se calienta a presión constante desde 100 ºC hasta 250 ºC. Calcula el calor necesario. ¿Y si fuera a volumen constante? Datos: cp = 29,4 J/(mol · K); cV = 21,1 J/(mol · K).

15 Calcula el calor absorbido por 3 mol de un gas ideal que realiza el siguiente ciclo: p/ atm 12

4 10 0

A 2

B 5

V/L

Datos: cp = 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K).

2.6. Calor latente

Ejercicios resueltos

1 Se mezclan 200 g de agua a 10 ºC con otros 450 g de agua a 85 ºC. Calcula la temperatura de equilibrio de la mezcla. Solución

El calor latente de una sustancia es la energía en forma de calor necesaria para que una determinada masa de dicha sustancia cambie de estado.

La energía se conserva, por lo que el calor cedido por el agua caliente ha de absorberlo el agua fría. Denotaremos TF a la temperatura final de equilibrio (igual para ambos), T0,c a la temperatura inicial del agua caliente, y T0,f a la del agua fría: T0,f = 10 ºC y T0,c = 85 ºC.

• Calor latente de fusión, Lf: es el calor necesario para

El calor cedido por el agua caliente será: Qc = mc · cagua · (TF – T0,c) y el calor absorbido por la fría: Qf =mf · cf · (TF – T0,f) Por conservación de la energía, podemos decir:

En ambos casos, su unidad en el SI es J/kg. Recuerda que en los procesos de fusión y ebullición, la temperatura del sistema permenece constante. Por tanto, el calor necesario para fundir, Qf, o vaporizar, Qv, una masa m de una sustancia se calculan como:

fundir la unidad de masa de una sustancia.

• Calor latente de vaporización, Lv: es el calor necesario

para vaporizar la unidad de masa de una sustancia.

Qc + Qf = 0

Qf = m · Lf

mc · cagua · (TF – T0,c) + mf · cagua · (TF – T0,f) = 0 0,45 · (TF – 85) = –0,20 · (TF – 10) 0,65 · TF = 40,25 8 TF = 61,9 °C

2 Se vierten 300 g de café, inicialmente a 70 ºC, en un termo de aluminio, de 120 g, que inicialmente está a 20 ºC. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio? Datos: cagua = 4 186 J/(kg · K); cAl = 910 J/(kg · K). Solución Tomaremos el calor específico del café igual al del agua. Denotaremos TF a la temperatura final de equilibrio (igual para ambos), T0,café a la temperatura inicial del café y T0,Al a la del termo de aluminio. Por tanto: T0,café = 70 ºC y T0,Al = 20 ºC. Igual que antes, utilizamos el principio de la conservación de la energía. El calor cedido por el café será: Qcafé = mcafé · cagua · (TF – T0,café) y el calor absorbido por el termo: QAl = mAl · cAl · (TF – T0,Al) Por tanto: Qcafé + QAl = 0 mcafé · cagua · (TF – T0,café) + mAl · cAl · (TF – T0,Al)=0 0,3 · 4 186 · (TF – 70) = –0,120 · 910 · (TF – 20) 1 365 · TF = 90 090 8 TF = 66,0 °C Efecto y alcance. Los termos son recipientes que conservan la temperatura en su interior. Se utilizan para transportar alimentos o bebidas, pues, así, sabremos que podremos disfrutar de nuestra comida y bebida calientes donde estemos. Esta aplicación se ha de sarrollado de forma rápida y efectiva en la industria textil, dando lugar a la ropa térmica, que mantiene la temperatura corporal y realizar actividades al aire libre sin pasar frío. ¿Crees que esto es importante en la industria química? ¿Y en la alimentaria? Piensa en qué efectos puede tener y comenta sus ventajas y desventajas.

Qv = m · Lv

Ejercicios

Compara los valores de los calores específicos del agua en sus tres estados de agregación y razona por qué varían de esa forma. ¿Crees que ocurrirá con cualquier sustancia? Pon ejemplos para justificar tu opinión utilizando la técnica de organizo y defiendo la postura. Datos: c agua= 4 186 J/(kg · K); cgas = 1 840 J/(kg · K); chielo = 2 100 J/(kg · K).

17 Se calientan 400 g de agua desde 10 ºC hasta que se evapora completamente y se obtiene vapor de agua a 150 ºC. Calcula el calor necesario para completar todo el proceso. Dato: Lv = 2,256 · 106 J/kg.

18 Se mezclan 450 g de agua a 25 ºC con 750 g de etanol a 56 ºC. Calcula la temperatura de equilibrio de la mezcla. Dato: cetanol = 2 428 J/(kg · K).

19 Tenemos inicialmente 250 g de agua a 25 ºC, y 100 g de hielo a –20 ºC. Pasado un tiempo, la mezcla se compone de agua y una cierta cantidad de hielo, ambos a 0 ºC. Si no se escapa calor al entorno, calcula cuánto hielo quedará sin derretir. Dato: L f = 3,34 · 105 J/kg.

20 En una olla de cobre de 2 kg de masa a una temperatura de 150 ºC, se vierten 100 g de agua a 25 ºC. Calcula la temperatura de equilibrio. Dato: c Cu = 390 J/(kg · K). 155

Energía interna. Primera ley de la termodinámica 3.1. Energía interna La energía interna de un sistema, U, es la suma de las energías de todas las partículas que lo componen. En esta definición se incluyen la energía cinética de todas sus partículas, la debida a las interacciones entre ellas, la de los electrones en cada uno de los átomos, etc. Como puedes observar, para determinarla completamente haría falta conocer con exactitud el estado de todas y cada una de sus partículas, algo que, realmente, es imposible. Por esta razón, nunca medimos valores absolutos de la energía interna, sino su variación entre distintos estados. Además, dado que lo relevante son las diferencias de energía, no hará falta tener en cuenta la energía (cinética, potencial, etc.) macroscópica global del sistema, como un todo.

3.2. Funciones de estado Una función de estado es aquella magnitud cuya variación depende únicamente de los estados inicial y final de un sistema, y no del proceso seguido. A partir de la definición que hemos dado de energía interna, es fácil deducir que esta magnitud ha de ser una función de estado. Sin embargo, ni el calor ni el trabajo lo son, puesto que dependen del proceso que se haya seguido. Por ejemplo, se puede conseguir el mismo aumento de temperatura de un fluido ejerciendo un trabajo sobre él, como en el experimento de Joule (en cuyo caso W ≠ 0 y Q = 0), o bien, transfiriéndole una cierta cantidad de calor (y entonces W = 0 y Q ≠ 0).

3.3. Primera ley de la termodinámica Según acabamos de ver, si seguimos dos procesos diferentes para pasar de un estado inicial a otro final, tanto W como Q pueden variar. Sin embargo, la primera ley de la termodinámica establece que: La variación de energía interna de un sistema a lo largo de un proceso, ∆U, es igual a la diferencia entre el calor absorbido y el trabajo realizado. DU = Q – W Es decir, a pesar de que se sigan procesos diferentes para pasar de un estado a otro, la diferencia Q – W es una función de estado, y, por tanto, independiente del proceso (figura inferior). Este hecho se puede enunciar de varias formas equivalentes: La suma del calor absorbido y del trabajo realizado sobre un sistema se invierte exclusivamente en modificar su energía interna. O bien: El calor recibido por un sistema se invierte en modificar su energía interna y en ejercer trabajo sobre el entorno: Q = DU + W Observa que la primera ley no es más que un caso par ticular del principio de conservación de la energía, aplicado a sistemas termodinámicos.

Funciones de estado y procesos termodinámicos

Q1 Q2

W2 Ui

Las variables de estado, como la energía interna, dependen únicamente de los estados inicial y final del sistema termodinámico, no del proceso seguido para pasar de uno a otro.

156

DU1 = DU2 = DU3 = Uf – Ui W1 ≠ W2 ≠ W3 Q1 ≠ Q2 ≠ Q3 Ui

Ui = Uf ; DU = 0 W≠0 Q≠0 W = –Q

Uf Q

En un proceso cíclico, donde coinciden los estados inicial y final, ∆U valdrá cero, aunque no suceda lo mismo con Q, el calor, y W, el trabajo.

3.4. Tipos de procesos

• Proceso isotermo: tiene lugar a temperatura constante.

• Proceso adiabático: es aquel en el que el sistema no

• Proceso cíclico: es aquel en el que los estados inicial

intercambia calor con el entorno, luego: Q = 0;

DU = –W

• Proceso isobárico: es aquel que tiene lugar a presión

constante. Recuerda que, en este caso, W = p · ∆V, y, por tanto: DU = Q – p · DV

• Proceso isocórico: es el que tiene lugar a volumen

constante. Si tampoco se ejerce trabajo sobre el sistema mediante algún otro mecanismo que no comporte cambio de volumen, como las paletas del experimento de Joule, entonces p · ∆V = 0, y: W = 0;

En este caso, tanto Q como W pueden ser distintos de cero. y final del sistema son iguales. En la figura de la página anterior, se muestra un esquema de cómo sería un proceso de este tipo. En este caso, tanto Q como W pueden ser distintos de cero, ya que dependen del camino seguido. Sin embargo, como U es una función de estado, se verifica que U1 = U2, y, así: U1 = U2 8 DU = 0 8 Q = W • Sistema aislado: es el que no intercambia ni materia ni

energía con el entorno. Por tanto, la energía interna de un sistema aislado debe ser constante: DU = Q = W = 0

DU = Q

Ejercicio resuelto

3 Un sistema termodinámico experimenta dos procesos distintos: A 8 B 8 D y A 8 C 8 D. Calcula el trabajo realizado, el calor absorbido y la variación de energía interna a lo largo de cada proceso, sabiendo que: QAB = 200 J y QBD = 400 J. p/ Pa 5·

104

Utilizamos el primer principio de la termodinámica para calcular la variación de energía interna:

∆U = Q – W = 600 – 100 = 500 J

II) Como Q y W no son funciones de estado, para el proceso ACD sus valores serán distintos a los anteriores: WAC: La presión es constante, por lo que:

WAC = p · ∆V = 25 000 · 2 · 10–3 = 50 J CD: Aquí, el volumen es constante, ∆V = 0, y, por tanW to: WCD = 0 J. El trabajo total será: W = 50 + 0 = 50 J

2,5 · 104 0

Que difiere del valor obtenido en el proceso anterior. A 2

C 4

V/L

Solución: Observa que, en este caso, no se dice cuál es el valor del calor específico de la sustancia, por lo que nos tienen que proporcionar el dato del calor absorbido. Analicemos cada proceso: I) El calor absorbido por el sistema a lo largo del proceso ABD es: Q = 200 + 400 = 600 J. El trabajo en cada uno de estos tramos es: WAB: Como aquí el volumen es constante, ∆V = 0, y, por tanto: WAB = 0 J. WBD: En este caso, la presión es constante, por lo que:

WBD = p · ∆V = 50 000 · 2 · 10–3 = 100 J

Así, el trabajo total será:

W = 0 + 100 = 100 J

En principio, no tenemos información para calcular el calor absorbido por el sistema. Sin embargo, como la energía interna es una función de estado, su variación sí será igual a la del proceso anterior: ∆U = 500 J. Ahora, ya podemos obtener el valor de Q:

∆U = Q – W 8 Q = ∆U + W

Q = 500 + 50 = 550 J

Comprobamos que, tanto W como Q dependen del proceso seguido por el sistema. Sin embargo, su diferencia, Q – W, es igual a la variación de la energía interna, y, por consiguiente, independiente del camino seguido para llegar desde el estado inicial hasta el final. Como ves, el proceso completo que se muestra en la gráfica es cíclico; es decir, tanto si sigue el proceso ABDCA como el ACDBA, los valores de las funciones de estado deben ser cero. Comprueba que esto se cumple y nombra todos los procesos que ocurren en cada momento. ¿Podrías decir, cualitativamente, cuál es la variación de la temperatura en cada tramo del sistema?

157

Energía interna. Primera ley de la termodinámica

3.5. Energía interna de un gas ideal. Ley de Joule La energía interna de un gas ideal depende solamente de su temperatura, no de su volumen ni de su presión. A este hecho se lo conoce como ley de Joule. Concretamente, si dicho gas experimenta una variación de temperatura, ∆T, la variación de su energía interna vendrá dada por: DU = n · cV · DT donde cV es el calor específico molar a volumen constante. De aquí se deduce entonces, que: La energía interna de un gas ideal a lo largo de un proceso isotermo (DT = 0) es constante (DU = 0).

3.6. Procesos cíclicos de interés Existen algunos procesos cíclicos que tienen especial importancia, no solo teórica, sino por haber sido ampliamente empleados en distintos tipos de máquinas. El más importante, históricamente, es el ciclo de Carnot, que consta de los siguientes pasos (figura inferior izquierda):

2. Expansión adiabática desde la temperatura Tc hasta otra inferior, Tf. En este tramo, el sistema ni absorbe ni emite calor (tramo BC ). 3. Compresión isotérmica a temperatura constante Tf (tramo CD). A lo largo de este proceso disminuye el volumen y aumenta la presión, por lo que, para que la temperatura permanezca constante, el sistema debe ceder una cantidad de calor: Qf < 0. 4. Compresión adiabática hasta alcanzar, de nuevo, la temperatura inicial Tc (tramo DA). A lo largo de este último tramo no hay intercambio de calor con el medio. Este ciclo es totalmente ideal, ya que los cuatro procesos son totalmente reversibles. Fue introducido por razones históricas, ya que se puede demostrar que cualquier máquina ha de tener un rendimiento que es, como máximo, el de otra máquina que opera mediante un ciclo de Carnot a las mismas temperaturas Tf y Tc. Otros procesos cíclicos de interés son los de Diesel (en la figura inferior derecha se muestra un motor diésel), Otto (empleado en los motores híbridos), Brayton, Ericsson, etc.

1. Expansión isoterma a temperatura constante Tc (tramo AB). Durante esta, aumenta el volumen y disminuye la presión. Para que la temperatura permanezca constante, el sistema debe absorber una cantidad de calor: Qc > 0.

Igual que el ciclo de Carnot, el ciclo de Diesel consta siempre de las mismas etapas. Para ampliar la información sobre esto, puedes acceder a anayaeducacion.es y consultar el esquema del motor que lleva su nombre, y compararlo con el de Carnot y otros que busques en Internet.

Ciclo de Carnot

Motor diésel

Válvula de admisión

Inyector

Válvula de escape

Qc Tc B

D Qf

En la gráfica se pueden ver los cuatro tramos de los que consta el ciclo de Carnot. Durante todo el proceso, se supone que el sistema se encuentra siempre en equilibrio, y, por eso, su rendimiento es máximo respecto al del resto de máquinas. Este ciclo se aplica a máquinas térmicas y refrigeradoras.

158

Admisión

Compresión

Combustión

Escape

Un motor diésel de cuatro tiempos se compone de los siguientes pasos: admisión, compresión, explosión o combustión y escape. La diferencia de estos motores respecto a los de gasolina es que los diésel no necesitan una chispa para encenderse, sino que lo hacen durante la etapa de combustión, por lo que su rendimiento es mayor.

Ejercicio resuelto

4 El volumen ocupado por 2 mol de un gas ideal a 12 atm de presión es de 4 L. Calcula el calor absorbido, el trabajo realizado y la variación de energía interna si el sistema duplica su volumen: a) A temperatura constante. b) A presión constante. Datos: cp = 29,1 J/mol·K; cV = 20,8 J/mol·K Solución: La temperatura en el estado inicial es: pA · VA 12 · 4 = = 292, 7 K TA = n·R 2 · 0, 082 a) Como el proceso se realiza a temperatura constante: TB = TA = 292,7 K Y por la ley de Joule: ∆U = 0. Por tanto: VB Q = W = n · R · T · ln VA Q = W = 2 · 8, 31 · 292, 7 · ln 2 Q = W = 3 371, 9 J

b) En este caso, el proceso es isobárico, por lo que: TB = TA ·

VB = 2 · TA 8 TB = 585, 4 K VA DT = 292, 7 K

Por tanto: W = p · ΔV = 1 215 600 · (8 – 4) · 10–3 = 4 862 J Q = n · cP · ΔT = 2 · 29,1 · 292,7 = 17 035 J ΔU = Q – W = 12 173 J A partir de los resultados obtenidos en el ejercicio, ¿por qué crees que el valor del calor y el trabajo es tan diferente en cada caso? Haz una representación gráfica de la variación del volumen y la presión a temperatura constante, para el primer apartado, y de la variación del volumen y la temperatura a presión constante, para el segundo. ¿Qué leyes se cumplen en cada ocasión?

Ejercicios

21 Calcula la variación de energía interna de un bloque de hielo de 10 kg de masa que se funde completamente. Desprecia el cambio de volumen experimentado durante el cambio de fase. Dato: Lf = 333 kJ/kg. 22 Supongamos que en el sistema del ejercicio anterior se absorbe durante el proceso solamente una cantidad de calor de 105 J. Calcula ahora su variación de energía interna. 23 Un gramo de agua ocupa 1 670 cm3 como vapor cuando hierve a una presión constante de 1 atm. Calcula el trabajo efectuado por el agua al hervir y su variación de energía interna. Dato: Lv = 2,256 · 106 J/kg. 24 Un sistema termodinámico experimenta el proceso de la figura. Si el trabajo total es W = –250 J, calcula la energía interna y el calor absorbido por el sistema. Interpreta el signo de cada una de estas tres magnitudes. p pA

25 En la figura se muestra el diagrama p-V de un proceso seguido por 0,25 mol de un gas ideal. El calor absorbido por el gas a lo largo del proceso BC es de 368 J. Calcula, para cada tramo, y para el proceso completo: el trabajo ejercido por el sistema, el calor absorbido y la variación de energía interna. Dato: cV = 21,1 J/(mol · K). p/ atm 0,60

0,40 0,20 0

A 2,0

4,0

6,0

V/L

26 Sabemos que 0,5 mol de gas ideal experimentan un ciclo de Carnot siendo las temperaturas de los focos caliente y frío: 227 °C y 27 °C, respectivamente. La presión en el punto A es de 100 000 Pa. A lo largo del proceso: – El volumen se duplica durante la expansión isoterma AB. – La presión en el punto C es: pC = 8 260 Pa. – En el proceso CD, el volumen se reduce a la mitad. Calcula el trabajo realizado por el sistema y el calor absorbido en cada tramo y en el ciclo completo. Dato: cV = 20,8 J · mol–1 · K–1. 159

Máquinas térmicas y refrigeradores Durante el siglo xix, los científicos se estuvieron esforzando por comprender los procesos termodinámicos. Desde el inicio de la Revolución Industrial, se utilizaba la máquina de vapor, que permitía mover un pistón impulsado por el vapor de agua que se había calentado mediante la quema de carbón. Se sabía que estas máquinas tenían un rendimiento bajísimo: apenas llegaba al 3 %. Sucesivos ajustes y mejoras permitieron aumentar poco a poco la eficiencia, pero no había ninguna disciplina que diera un fundamento teórico a todas esas tentativas. Además, no se conocía qué era el calor. Distintas teorías, como la del flogisto o el calórico, competían entre sí. En un intento de responder a algunas de estas cuestiones, surgió la máquina de Carnot, ideada por un ingeniero militar de la Francia napoleónica, Nicolas Carnot (1796-1832), de ahí su nombre.

4.1. Máquina térmica Una máquina térmica es un dispositivo que toma calor de una fuente, foco caliente, emite calor a otra fuente, foco frío, y realiza un trabajo sobre el entorno. Las más fáciles de analizar son aquellas en las que se lleva a cabo un proceso cíclico. En ese caso, según la primera ley de la termodinámica: DU = 0 8 Q = W

Es decir, el calor absorbido es igual al trabajo realizado por la máquina. Con objeto de estudiar su comportamiento, se emplea una representación esquemática, como se muestra en la figura inferior izquierda. El foco caliente siempre se sitúa arriba, y el frío, abajo. El calor absorbido se denota Qc; el calor cedido, Qf, y el trabajo realizado, W. Según el convenio de signos que estamos utilizando: Qc > 0, Qf < 0 y W > 0 Empleando la primera ley de la termodinámica: W = Q = Qc + Qf = Qc – Qf Idealmente, lo que querríamos es una máquina perfecta, que convirtiera todo el calor absorbido en trabajo (figura inferior derecha). Sin embargo, esto no es posible. Así que, para ver cuánto nos acercamos a esta situación ideal se define el rendimiento o la eficiencia de la máquina de la siguiente manera: h=

W Qc

donde W es el trabajo útil producido por la máquina, y Qc, la cantidad de calor que ha sido necesario aportarle. En una situación ideal tendríamos h = 1. Pero, como hemos dicho, siempre sucede que h < 1.

Máquinas térmicas Foco caliente a temperatura Tc

Foco caliente a temperatura Tc

Máquina térmica

W = ∣ Qc ∣ – ∣ Qf ∣

Máquina térmica

W = Qc

Foco frío a temperatura Tf

Esquema simplificado de una máquina térmica. El sistema, representado por un círculo, absorbe calor de un foco caliente y lo cede a un foco frío, realizando trabajo sobre el entorno.

160

Foco frío a temperatura Tf

Máquina térmica con rendimiento h = 1. Durante mucho tiempo se estuvo buscando una máquina que convirtiera todo el calor absorbido desde el foco caliente en trabajo. Sin embargo, tal dispositivo es imposible.

4.2. Motores Sustituyendo la expresión del trabajo dada por la primera ley en la fórmula del rendimiento, tenemos (figura inferior izquierda): h=

Qc – Qf Qf W = =1– <1 Qc Qc Qc

Carnot demostró que el rendimiento máximo teórico de una máquina térmica era el alcanzado por la que él ideó, que funcionaba mediante un ciclo de Carnot. Este venía dado por: Tf hmáx = 1 – Tc

Qc < 0, Qf > 0 y W < 0 Utilizando la primera ley: W = Q = Qc + Qf = Qf – Qc < 0 W = Q c – Qf Como en este caso el interés estriba en extraer calor del foco frío, se define su eficiencia mediante: h=

donde las temperaturas están en kelvin. El rendimiento de cualquier otra máquina térmica real ha de estar por debajo de este valor. Observa que, cuanto mayor sea la diferencia entre las temperaturas de los focos frío y caliente, mayor será el rendimiento. Este descubrimiento fue uno de los caminos que llevó al establecimiento de la segunda ley de la termodinámica que estudiaremos más adelante.

Máquina térmica

Qf W

8 hmáx =

Tf Tc – Tf

Si se emplea esta máquina con la intención de calentar el foco caliente en vez de enfriar el foco frío, entonces se denomina bomba de calor. Su funcionamiento es el mismo, pero ahora la eficiencia viene dada por: h=

Qc W

8 hmáx =

Tc Tc – Tf

Bomba de calor y refrigerador

Foco caliente a temperatura Tc

Qc Máquina térmica

4.3. Refrigeradores y bombas de calor Un refrigerador es una máquina que opera a la inversa de una máquina térmica: extrae calor de un foco frío, emite calor a un foco caliente, y absorbe energía en forma de trabajo (figura inferior derecha). En este caso:

Qc W

hmotor = 1 –

∣ Qf ∣ ∣ Qc ∣

Qf Foco frío a temperatura Tf

Se utiliza para realizar trabajo sobre el entorno. Por ejemplo, los motores de los automóviles.

Refrigerador

hrefrigerador =

∣ Qf ∣

∣ Qc ∣ – ∣ Qf ∣

W hbomba de calor =

∣ Qc ∣

∣ Qc∣ – ∣ Qf ∣

Foco frío a temperatura Tf

Se extrae calor del foco frío y se cede al caliente, para lo que se consume trabajo. Por ejemplo, un frigorífico.

Ejercicios

27 Un motor térmico funciona entre un foco caliente a 350 °C y otro frío a 25 °C. Calcula el rendimiento máximo que puede alcanzar. 28 Un motor térmico tiene un rendimiento del 35 %. En cada ciclo extrae 20 000 J del foco caliente. Calcula cuánto calor cede al foco frío, y cuánto trabajo realiza en cada ciclo.

29 Un motor ideal absorbe 1 500 J de calor de un foco caliente a 450 K, y cede calor a un foco frío a 125 K. Calcula el trabajo que realiza, el calor que cede al foco frío y su rendimiento. 30 Se utiliza el gas ideal del ejercicio 26 como máquina ideal para realizar cierto trabajo sobre el entorno. Calcula su rendimiento. ¿Es el máximo posible?

161

Segunda ley de la termodinámica. Entropía Hemos visto que la primera ley de la termodinámica es un caso particular del principio de conservación de la energía en el que no se prohíbe que el calor y el trabajo se intercambien uno por otro totalmente. Sin embargo, veremos que la segunda ley sí que impone una restricción a este tipo de conversiones. Una vez establecida, introduciremos una nueva magnitud: la entropía.

5.1. Segunda ley de la termodinámica Como ya sabemos, el experimento de Joule permitió comprender la naturaleza del calor. Mediante un mecanismo que transformaba el movimiento de un cuerpo en agitación de un fluido, se comprobó que cierta cantidad de trabajo mecánico puede convertirse totalmente en calor. Pero ¿será posible el proceso inverso? Es decir, ¿se puede transformar totalmente una cierta cantidad de calor en trabajo? Si fuera así, podríamos construir una máquina térmica con rendimiento h = 1. Pues bien, tal máquina es imposible que exista en la naturaleza, y en esto se fundamenta el enunciado de Kelvin-Planck para la segunda ley de la termodinámica: Es imposible que un sistema efectúe un proceso en el que absorba calor de un foco con temperatura constante y lo convierta por completo en trabajo, terminando en el mismo estado en el que comenzó.

Como ya hemos dicho, la primera ley no prohíbe este hecho: mientras que la cantidad de trabajo generado sea igual al calor absorbido, parece que nada impide esa conversión. La novedad está en que parte del calor absorbido tiene que transferirse a un foco frío, por lo que el rendimiento ha de ser obligatoriamente menor que la unidad. Así, llegamos al enunciado de Clausius para la segunda ley, equivalente al anterior: Es imposible que un proceso tenga como único resultado la transferencia de calor desde un cuerpo hasta otro cuya temperatura es mayor. Si esto no fuera cierto, podríamos poner en contacto una bebida fría con otra más caliente y, sin que ocurriese ningún otro efecto, la primera se enfriaría más a costa de que la segunda se calentara más aún. ¡No necesitaríamos frigoríficos! Fíjate que, si bien las máquinas refrigeradoras estudiadas anteriormente transfieren calor de un foco frío a otro más caliente, esto se realiza a costa de consumir cierta cantidad de trabajo. En la figura inferior se muestra la equivalencia entre los dos enunciados: podríamos utilizar una máquina térmica con rendimiento h = 1 para conseguir un refrigerador sin suministro externo de trabajo, y viceversa; con una máquina frigorífica de este tipo podríamos crear un móvil perpetuo de segunda especie.

Equivalencia de los enunciados de Kelvin-Planck y de Clausius

Foco caliente a temperatura Tc Qc > 0

Imposible

Foco caliente a temperatura Tc

Q – |Qc| = W – |Qc| = –Qf

Qc < 0

Refrigerador

Máquina térmica con eficiencia h = 1 Q=W>0

Es equivalente a

Refrigerador que funciona sin suministro de trabajo

Qf > 0

Foco frío a temperatura Tf

Si fuera posible que una máquina tuviera un rendimiento del 100 %, podríamos convertir todo el calor absorbido del foco caliente, Qc, en trabajo, W. Si este se suministrase a un re-

162

Imposible

Foco frío a temperatura Tf

frigerador doméstico, el resultado de unir ambas máquinas sería otro refrigerador que, sin producir ningún otro efecto, conseguiría transferir calor desde el foco frío al caliente.

5.2. Procesos reversibles e irreversibles Vamos a introducir dos conceptos que serán necesarios en lo que sigue. Observa que todos los procesos termodinámicos que se dan en la naturaleza son irreversibles, esto es, tienen lugar en un sentido, pero no en el opuesto. Por ejemplo, un cubito de hielo al aire en verano se derrite. Lo que nunca veremos es que el agua libere energía espontáneamente aumentando la temperatura del aire y convirtiéndose en hielo. Sin embargo, se puede imaginar un tipo de proceso que sea reversible, es decir, que haría evolucionar a un sistema desde un estado inicial hasta otro, mediante una sucesión de estados de equilibrio. Podemos aproximarnos a este tipo de procesos mediante cambios muy pequeños. Por ejemplo, supongamos que tenemos un gas encerrado en un pistón tal que el émbolo puede desplazarse sin rozamiento (figura inferior izquierda). Aumentando o disminuyendo ligeramente la temperatura del gas, el émbolo se desplazará, de modo que el volumen también aumentará o disminuirá, manteniendo siempre su presión igual a la exterior. Este tipo de procesos son ideales, ya que se considera que, entre los estados inicial y final, el sistema pasa por infinitos estados de equilibrio intermedios. Por tanto, los cambios en las condiciones deben ser extremadamente pequeños y el proceso ha de tener lugar muy lentamente.

Ejemplo de proceso reversible

5.3. Entropía y segunda ley La segunda ley de la termodinámica plantea la imposibilidad de que tengan lugar ciertos procesos. Sin embargo, también se puede expresar de forma cuantitativa, para lo cual es necesario definir una nueva magnitud física denominada entropía, que se representa mediante la letra S. Fue introducida por Rudolf Clausius (1822-1888) al darse cuenta de que en todo proceso «real» había una cierta cantidad de energía que no podía utilizarse para producir trabajo útil (esto es equivalente al hecho de que en todas las máquinas el rendimiento es distinto a 1). Acuñó el término entropía y descubrió que esta magnitud siempre aumenta en los procesos irreversibles. Así pues, otra forma equivalente de formular la segunda ley de la termodinámica es: La entropía de cualquier sistema aislado ha de permanecer constante o aumentar, pero nunca disminuir. Además, se verifican las siguientes propiedades: • En un proceso reversible, el cambio de entropía del sis-

tema y de sus alrededores es nulo. • En todo proceso irreversible, la entropía total (del siste-

ma más la de su entorno) siempre aumenta. • Si un sistema aislado evoluciona por sí mismo, llegará

a un estado de equilibrio en el que la entropía sea la máxima posible (figura inferior derecha).

Evolución de un sistema aislado

pint = pext Estado inicial

T pint

pext

Estado final (S máxima)

Estado final 3 Estado final 5 Estado final 4

pint = pext

Estado final 2 Estado final 1 Estados finales posibles

T pint

pext

Si un sistema aislado evoluciona libremente, el estado final será aquel que tenga el máximo valor de la entropía compatible con las condiciones en las que se encuentre.

163

Segunda ley de la termodinámica. Entropía

5.4. Propiedades de la entropía

• En un proceso isotermo reversible a una temperatura, T,

En general, el cálculo de la entropía para un sistema cualquiera, o de su variación a lo largo de un proceso arbitrario es muy complicado. Sin embargo, podemos enumerar algunas de sus principales propiedades: • Es una función de estado, por lo que únicamente de-

pende de los estados inicial y final del sistema.

en el que se absorbe un calor, Q, se verifica: ΔS = Q/T.

• En un proceso reversible adiabático no hay intercam-

bio de calor, Q = 0; entonces: ΔS = 0.

•

La variación de entropía de un gas ideal que experimenta un proceso isotermo viene dada por la expresión:

• Su unidad en el SI, es J/K.

DS =

• En un proceso irreversible en el que un sistema absor-

be una cierta cantidad de calor, Q, a una temperatura constante, T, se verifica: ΔS ≥ Q/T.

V2 Q = n · R · ln V1 T

donde V1 es el volumen inicial; V2, el final, y n es la cantidad de sustancia.

Ejercicios resueltos

5 Una caja aislada está dividida en dos compartimentos, ambos de igual volumen, V, mediante un tabique. Uno de ellos está vacío, mientras que el otro tiene 3 mol de un gas ideal. El tabique se rompe y el gas se expande libremente por todo el recipiente. Calcula la variación de entropía en este proceso.

el gas vaya al compartimento en el que estaba anteriormente y que el otro quede vacío. Recuerda que, en un proceso adiabático reversible, ΔS = 0. Pero este no lo es. Por tanto, utilizamos la expresión de la variación de la entropía de un gas ideal en un proceso isotermo, que no depende de si el proceso es reversible o no, ya que S es una función de estado:

2·V

D S = n · R · ln

V2 V1

Como V2 = 2 · V1, tenemos: ∆S = 3 mol · 8,314 J/(mol · K) · ln 2 = 17,3 J/K Este valor es mayor que cero, de acuerdo con lo que habíamos mencionado. T

Solución El sistema está aislado, por tanto, según la primera ley de la termodinámica: Q=0 ; W=0

Dato: Lf = 3,34 · 105 J/kg.

∆U = Q – W = 0

Solución

Dado que se trata de un gas ideal, se verifica: ∆U = n · cV · ∆T por lo que tendremos también que ΔT = 0. Podríamos pensar, entonces, que el aumento de entropía tiene que ser cero. Sin embargo, hemos de tener en cuenta que se trata de un proceso irreversible, y que la entropía del gas tendrá que aumentar, según lo que hemos visto anteriormente. Que es un proceso irreversible es fácil de ver: si invertimos las condiciones (por, ejemplo, reconstruyendo el tabique interno que hemos roto), no lograremos que todo

164

6 Un kilogramo de hielo que está a 0 ºC se funde completamente, dando lugar a agua líquida a 0 ºC. Suponiendo que el cambio de fase ha tenido lugar de forma reversible, calcula la variación de entropía del agua durante este proceso.

Durante un cambio de fase, la temperatura del agua permanece constante. Como el proceso es reversible, se verifica: DS =

Q T

El calor absorbido viene dado por: Q = m · Lf = 3,34 · 105 J Por tanto: DS =

3, 34 · 105 J = 1223, 4 J/K 273 K

5.5. Desorden de un sistema termodinámico La entropía es una de las magnitudes más extrañas que existen en la física. Fue Ludwig Boltzmann (1844-1906) quien consiguió aclarar su significado al relacionarla con el número de estados microscópicos de un sistema.

cópico) estará más desordenado? Para responder a esta pregunta, contamos el número de microestados compatibles con cada macroestado. Vemos que los macroestados «4 caras» o «4 cruces» determinan totalmente el estado de todas las monedas, pues solo hay un microestado posible. Sin embargo, en el macroestado «2 caras, 2 cruces» tenemos 6 posibilidades, por lo que en este caso nuestro grado de ignorancia sobre cómo estarán las monedas será mayor, y el estado estará más desordenado. Podemos concluir, entonces, los siguientes hechos:

Como ya hemos visto, las variables termodinámicas, como energía interna, temperatura, presión, etc., determinan el estado macroscópico o macroestado de un sistema. Además, este puede determinarse completamente si fuéramos capaces de conocer su estado microscópico o microestado, caracterizado por las posiciones y velocidades de todas y cada una de las partículas que lo componen.

• Al poder moverse libremente las moléculas de un gas,

el número de microestados (posibles combinaciones de posiciones y velocidades) compatibles con el estado macroscópico será mucho mayor que en el caso de un líquido. Por tanto, los gases están más desordenados que los líquidos.

Distintos microestados pueden determinar un mismo macroestado. Por ejemplo, si intercambiáramos las posiciones de dos partículas cualesquiera, pero no las velocidades, el estado macroscópico quedaría inalterado; es decir, los valores de presión, volumen o temperatura, del sistema, se mantendrían sin cambios.

• El desorden de los líquidos será mayor que el de los

sólidos debido a que estos están formados por partículas que se encuentran ocupando posiciones fijas en el espacio, por lo que hay un menor número de microestados compatibles con su estado macroscópico.

Se dice que un estado está más desordenado que otro si tiene un número mayor de estados microscópicos compatibles con él.

• Cuando un gas se expande, hay un mayor volumen dis-

Para entenderlo mejor, considera, por ejemplo, las cuatro monedas de la figura inferior. ¿Qué estado (macros-

ponible para todas sus partículas, aumentando el número de microestados y, también, su desorden.

Ejemplo sencillo de estados microscópicos compatibles con un estado macroscópico

Macroestados 4 caras

3 caras, 1 cruz

2 caras, 2 cruces

1 cara, 3 cruces

4 cruces

Número de microestados 1

165

Segunda ley de la termodinámica. Entropía

5.6. Entropía y desorden Como dijimos anteriormente, fue Boltzmann quien logró relacionar la entropía con el desorden. Consideremos un sistema termodinámico que se encuentra en un cierto estado macroscópico tal que existen N estados microscópicos compatibles con él. Entonces, la entropía del sistema viene dada por:

Por otra parte, dado que un sistema está más desordenado cuando tiene asociado un número mayor de microestados, vemos que estos macroestados son precisamente los que tendrán mayor entropía. Por tanto: • Para una misma sustancia, el gas tiene mayor entropía

que el líquido, y este, mayor que el sólido: Sgas > Slíquido > Ssólido

S = k · ln N

• Al aumentar el volumen de un gas, aumenta su entropía.

donde: k=

8, 314 J/ (mol · K) R = = 1, 381 · 10–23 J/K NA 6, 022 · 1023 mol–1

siendo k la constante de Boltzmann, y NA, el número de Avogadro. Por ejemplo, en el sistema de las cuatro monedas vemos que el estado «2 caras, 2 cruces» tiene una entropía: S = k · ln 6 = 2, 47 · 10–23 J/K Esta expresión es muy útil para calcular diferencias de entropía entre los estados inicial y final de un sistema. Por ejemplo, si en el estado 1 existen N1 posibles estados microscópicos, y en el estado 2 hay N2, la variación de entropía será: N2 D S = S2 – S1 = k · ln N2 – k · ln N1 = k · ln N1

• Si aumentamos la temperatura de un sistema, aumen-

ta la vibración de las partículas que lo componen. Por tanto, hay más formas de repartir la energía disponible entre todas ellas, con lo que aumentará el número de microestados posibles. Esto conlleva un aumento de su desorden, y, en consecuencia, de su entropía. Así pues, la entropía debe aumentar con la temperatura. En particular, supongamos que disponemos de una sustancia que tiene un calor específico constante, c. Si su temperatura aumenta desde T1 hasta T2 a lo largo de un proceso reversible, el aumento de entropía vendrá dado por: D S = m · c · ln

T2 T1

Ejercicios

31 Calcula la variación de entropía en cada uno de los tramos reversibles del ciclo de Carnot del ejercicio 26. 32 Considera que el gas del ejercicio resuelto 5 se hubiera expandido de forma reversible. Por ejemplo, la pared podría consistir en un pistón que esté sujeto de modo que se desplace muy lentamente hasta que el gas ocupe todo el volumen del recipiente. ¿Cuál sería la variación de entropía en este caso? Explica si existe contradicción con el resultado que se encontró anteriormente.

determina la variación de cada uno de los subsistemas por separado. Considera, en primer lugar, que el proceso tiene lugar de forma reversible, y, después, razona qué ocurriría si fuera irreversible. Discute los resultados que has obtenido. Dato: cagua = 4 186 J/(kg·K).

36 Calcula la variación de entropía cuando se calienta 1 kg de agua a presión constante desde –18 ºC hasta 150 ºC. ¿En qué momento es mayor la variación de la entropía?

33 Deduce la expresión para la variación de la entropía de un gas ideal que experimenta un proceso isotermo. 34 Se mezclan 200 g de agua a 60 ºC con otra masa de agua de 400 g a 20 ºC. Calcula la variación de entropía del sistema. Dato: c = 4 186 J/(kg · K).

35 Supongamos que 500 g de agua a 80 ºC se ponen en contacto térmico con 500 g de agua a 10 ºC. Calcula el cambio de entropía total del sistema. Para ello,

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Datos: c hielo = 2 100 J/(kg · K); cagua = 4 186 J/(kg · K); cgas = 1 840 J/(kg · K); Lf = 3,34 · 105 J/kg; Lv = 2,256 · 106 J/kg.

A partir de todo lo estudiado sobre la entropía, escribe un texto sobre el aumento de la entropía del universo como sistema aislado y qué consecuencias puede tener en un futuro. Para ello, infórmate sobre las distintas teorías que hay acerca de la evolución del universo y la relación que hay entre la vida y la entropía. Utiliza la técnica piensa y comparte en pareja.

5.7. Procesos espontáneos

5.8. Espontaneidad de los procesos irreversibles Analicemos qué tienen en común algunos de los procesos irreversibles que hemos visto hasta ahora:

Un sistema realiza un proceso espontáneo cuando este tiene lugar sin ninguna influencia externa.

• En el caso de un gas que se expande, aumenta el vo-

Por ejemplo, considera un gas encerrado en un recipiente dividido por un tabique en dos compartimentos iguales. En principio, el gas se encuentra encerrado en uno de ellos. Cuando se rompe el tabique que los separa, el gas se expande por todo el volumen disponible, sin que haya ninguna influencia externa. Se trata, por tanto, de un proceso espontáneo. Consideremos, ahora, la secuencia de imágenes de la figura inferior. Parecen distintas instantáneas tomadas de un gas cuyas partículas, inicialmente, se encuentran en la esquina inferior izquierda del recipiente. Conforme avanza el tiempo, estas se distribuyen por todo el volumen uniformemente. No es necesario que haya ninguna influencia externa para que este proceso tenga lugar. Por eso, decimos que es un proceso espontáneo. A nadie se le ocurriría pensar que la secuencia temporal es la inversa, es decir, que al principio el gas estaba distribuido homogéneamente por todo el volumen, y que después, de forma espontánea, las partículas se «ponen de acuerdo» para agolparse en una esquina. Por tanto, existe un orden temporal para los procesos espontáneos: tienen lugar en un sentido, pero no en el contrario.

lumen y, por tanto, el desorden del sistema; esto es, el número de microestados. • Si un cuerpo absorbe cierta cantidad de calor, la agi-

tación de sus partículas aumenta, y, en consecuencia, también el número de microestados. Es decir, de todos los posibles macroestados que puede alcanzar un sistema, este siempre tiende espontáneamente hacia el que tiene un número mayor de microestados, o lo que es lo mismo, el que está más desordenado. Por tanto, cuando un gas encerrado en una esquina de una habitación evoluciona de manera que termina ocupando todo el volumen, lo hace porque ese estado final es mucho más probable debido, simplemente, a que el número de microestados en ese caso es enormemente mayor que para cualquier otro macroestado. Por otro lado, ¿puede ocurrir que el gas, espontáneamente, se vaya hacia una esquina, dejando vacío el resto? Sí, pero la probabilidad de que eso ocurra es tan pequeña que se necesitaría un tiempo muchísimo mayor que la vida del universo para ver un suceso así. Resumiendo, vemos que la explicación de la segunda ley de la termodinámica es muy simple: para cualquier sistema, el estado macroscópico más probable es el más desordenado, que tiene mayor entropía.

Procesos espontáneos

Tiempo

Si al principio tenemos un conjunto de moléculas en una habitación, ocupando una esquina, al transcurrir el tiempo, el gas se expandirá distribuyéndose uniformemente por todo

el volumen disponible. Esto nos ofrece una secuencia temporal de procesos que ocurren en un cierto orden, y nos indica en qué sentido transcurre el tiempo.

167

TIC Representación del ciclo de Carnot con Geogebra Geogebra es un software matemático que combina la representación de figuras geométricas y el álgebra, lo que la convierte en una herramienta muy potente a la hora de estudiar funciones y áreas de figuras complejas. Te puedes descargar el programa gratuitamente desde su web www.geogebra.org. Una vez que lo tengas en tu ordenador se instala fácilmente. Nosotros vamos a utilizarlo para representar el ciclo de Carnot del ejercicio 26 de la unidad. Para ello, previamente hemos de conocer la ecuación en el diagrama p-V

de la curva correspondiente a un proceso adiabático de un gas ideal: p · V c = cte donde c es el coeficiente adiabático del gas y se define como el cociente entre los calores específicos a presión y a volumen constantes: cp c= c V Con esta información, ya podemos representar nuestro ciclo de Carnot.

Ciclo de Carnot El programa tiene varias vistas; nosotros utilizaremos la que se muestra por defecto: la vista gráfica (figura 1). Fíjate en que arriba a la izquierda, aparece el cuadro de texto Entrada, donde se puede escribir (figura 2). Representación de las isotermas

Figura 1. Vista gráfica de Geogebra.

Vamos a introducir nuestra primera función. Su ecuación será de la forma: p · V = cte donde cte. = n · R · T = 0,5 · 0,082 · 500 = 20,5 atm · L. Escribe entonces: iso1(x) = 20,5/x Para poder ver bien la ecuación, pincha con el botón derecho de la vista gráfica, y en el menú desplegable, elige: Eje X: Eje Y 8 100:1. Para que puedan distinguirse bien las diferentes curvas, trabajamos no con el SI, sino en atm y L. Obtendrás algo parecido a la figura 3 de la derecha. Como son hipérbolas, tienen dos ramas, pero nos interesa solamente la que corresponde al rango de X e Y positivos. Quizá tengas que hacer zoom con la rueda del ratón y mover la vista pinchando y arrastrando; prueba un poco hasta que vayas adquiriendo soltura.

Figura 2. Cuadro de texto entrada.

Para la segunda isoterma escribiremos: iso2(x)=12,3/x donde hemos tenido en cuenta que el producto es (fig. 4): n · R · T = 0,5 · 0,082 · 300 = 12,3 atm · L

Representación de las adiabáticas Dijimos anteriormente que la ecuación de la curva es de la forma: p · V c = cte. En la mayoría de los gases, el coeficiente adiabático toma un valor muy cercano a 1,4, y este es el que consideraremos. Para la función que une los estados B y C, tendremos: p · V c = pB · V cB = 0,4936 · 41,541,4 = 91,04 atm · L1,4

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Figura 3. Representación de la primera isoterma.

Representación del ciclo de Carnot con Geogebra

Figura 4. Representación de las dos isotermas.

Figura 5. Ciclo de Carnot completo.

A partir de los valores que proporcionaba el enunciado, realiza los cambios de unidades para llevar a cabo los cálculos tú mismo y comprobar el resultado. Introduciremos, por tanto, en el recuadro de la Entrada: ad1(x) = 91,04/x^1,4 Teniendo en cuenta que la segunda adiabática verifica: p · V c = pA · V Ac comprueba que su ecuación ha de ser: ad2(x) = 69/x^1,4 Finalmente, tendrás algo similar a la figura 5.

Obtención de los estados de equilibrio Para obtener los estados A, B, C y D que caracterizaban a este ciclo, vamos a hacer uso de una herramienta muy útil del programa. Si pinchas en la flecha que hay en la herramienta Punto, puedes elegir Intersección, que te permite obtener un punto como intersección de dos curvas (figura 6). Seleccionando las funciones ad2 e iso1, obtendrás el punto A. Comprueba que sus coordenadas corresponden a los valores (pA, VA) del ejercicio, en atm y L. Para los demás estados, tendrás que repetir la operación seleccionando las distintas funciones: Estado

Funciones

iso1 – ad1

iso2 – ad1

iso2 – ad2

Conseguirás una representación como la de la figura 7. Observa que el programa, automáticamente, te proporciona los valores de la presión y el volumen de los cuatro estados.

Figura 6. Herramientas de intersección.

Figura 7. Ciclo de Carnot con los estados A, B, C y D.

169

Estrategias de resolución de problemas Procesos cíclicos 1 Un gas ideal realiza el ciclo mostrado en la figura. Para 2 mol de este gas, calcula el trabajo que realiza, el calor absorbido y la variación de energía interna en cada tramo y en el ciclo completo. Datos: cp = 29,1 J/mol · K; cV = 20,8 J/mol · K. p/atm 10

T = cte

En estos problemas será necesario, generalmente, calcular los valores de algunas variables de estado. Si se trata de un gas ideal, podemos utilizar su ecuación de estado. En otros casos, habrá que ver cómo se pueden obtener los valores de dichas variables a partir de la información proporcionada sobre el proceso que se esté considerando. Ten cuidado con las unidades que utilices en cada momento. Al emplear la ecuación de los gases ideales, en general, tendremos la presión en atmósferas y el volumen en litros. Pero a la hora de calcular el trabajo, tendremos que pasarlo todo a unidades SI: pascales y metros cúbicos, respectivamente.

ANÁLISIS DEL PROBLEMA

V/ L

Planteamiento y resolución En este tipo de problemas, es conveniente analizar cada tramo por separado, atendiendo cuidadosamente al tipo de proceso de que se trate. Además, es muy posible que haya que calcular los valores de algunas de las variables de estado en varios estados del sistema. Tramo AB Este proceso se realiza a volumen constante, por lo que el trabajo es nulo. El calor absorbido viene dado por:

El trabajo total realizado por el sistema tiene signo negativo, es decir, el entorno realiza un cierto trabajo sobre él. Comprueba que, efectivamente, ha de ser así, pues con el sentido indicado, encontramos que el área bajo la línea curva (proceso CA, W < 0) es mayor que la correspondiente a la línea horizontal (proceso BC, W > 0). ¿Podrías calcular la variación de entropía en cada uno de los procesos y en el ciclo total?

QAB = n · cV · ∆T Calculemos las temperaturas en A y en B: TA = TB =

pA · VA 10 · 4 = = 243, 9 K n·R 2 · 0, 082 pB · VB n·R

6·4 = 146, 3 K 2 · 0, 082

Por tanto:

Y ADEMÁS…

QAB = n · cV · ∆T = 2 · 20,8 · (146,3 – 243,9) = –4 060,2 J La variación de energía interna será, por tanto: ∆UAB = QAB – WAB = –4 060,2 J Tramo BC Este proceso se realiza a presión constante, por lo que el trabajo viene dado por: WBC = pB · (VC – VB)

170

Observa que en este caso, al ser WAB = 0, se cumple trivialmente que: DUAB = n · cV · DT = QAB ¿Qué ocurriría si al gas se le administrase un trabajo externo? ¿Crees que podría aplicarse esta igualdad? Juntaos por grupos de trabajo y proponed vuestras ideas. Después, compartidlas con los demás compañeros y compañeras.

En este caso, no conocemos VC, pero como sabemos que el proceso CA es isotermo, esto es, que TA = TC = 243,9 K, podemos calcular el volumen mediante: pA 10 = 6, 67 L pA · VA = pC · VC 8 VC = VA · p = 4 · 6 C Entonces: WBC = 607 800 · (6,67 – 4) · 10–3 = 1 622,8 J donde hemos utilizado el valor de pB en pascales y los volúmenes en m3. Por otra parte, dado que se trata de un proceso a presión constante, el calor absorbido vendrá dado por: QBC = n · cp · ∆T = 2 · 29,1 · (243,9 – 146,3) = 5 680,3 J Observa que hemos utilizado que TC = TA = 243,9 K. Así, la variación de energía interna será:

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Observa que, a lo largo de la resolución, hemos hecho algunos cálculos de varias formas diferentes, obteniendo en todos los casos el mismo resultado. Por ejemplo, cuando ha sido posible, hemos calculado la variación de energía interna mediante la primera ley o usando la expresión que hemos estudiado durante la unidad para los gases ideales. De esta manera, podemos comprobar que estamos resolviendo el problema de forma correcta. Ten en cuenta que siempre es una buena estrategia emplear distintos caminos para llegar a un mismo resultado.

∆UBC = QBC – WBC = 5 680,3 – 1 622,8 = 4 057,5 J También podríamos haber tenido en cuenta que el proceso CA es isotermo, por lo que ΔUCA = 0. Como en un ciclo completo la variación de energía interna ha de ser nula, tendremos: DU = DUAB + DUBC + DUCA = 0 8 DUBC = –DUAB = –4 060, 2 J Tramo CA Como hemos dicho anteriormente, la variación de energía interna ΔUCA es nula, por lo que: QCA = WCA

VA = pC · VC · ln = VC

QCA = 607 800 · 6, 67 · 10–3 · ln

4 = –2 072, 9 J 6, 67

Donde hemos empleado la expresión del trabajo para un proceso iso termo. El trabajo total será: W = WAB + WBC + WCA = 0 + 1 622,8 – 2 072,9 = –450,1 J Y el calor total: Q = QAB + QBC + QCA = –4 060,2 + 5 680,3 – 2 072,9 = –452,8 J Hay que tener en cuenta que no se obtienen exactamente los mismos valores debido a los errores de redondeo que se han ido acumulando. Sin embargo, dentro de estos márgenes de error, obtenemos que: ∆U = Q – W = 0 8 Q = W Como corresponde a un proceso cíclico.

Y ADEMÁS…

Observa que ahora ya somos capaces de relacionar lo estudiado en todos los epígrafes, e incluso en temas anteriores. Por un lado, tenemos que hacer un uso intensivo de las propiedades de los gases ideales. Por otro, utilizamos las herramientas estudiadas a lo largo de todo este tema: cálculo del trabajo realizado por un sistema y el calor absorbido atendiendo al tipo de proceso (epígrafe 2), uso de la primera ley para relacionar energía interna, calor y trabajo (epígrafe 3), cálculo del rendimiento de una máquina (epígrafe 4), y obtención de la variación de entropía de un sistema (epígrafe 5). Para comprobar si has logrado integrar todos estos conocimientos, calcula el rendimiento de la máquina estudiada en este ejercicio, y la variación de la entropía del gas a lo largo de cada uno de los tramos.

171

Trabaja con lo aprendido Transferencia de energía 1 Calcula el trabajo realizado por un sistema que reduce su volumen en 25 cm3 a una presión constante de 1 atm. Interpreta el valor del signo. 2 ¿Qué trabajo realiza un sistema cuyo volumen aumenta de 0,5 L hasta 1,2 L? La presión varía mediante la expresión: p/Pa = 5 · 103 + 3 · (V/cm3). 3 El volumen que ocupan 3 mol de un gas ideal a una presión de 10 atm es de 2 L. En un momento dado, se expande a temperatura constante hasta ocupar un volumen de 10 L. Calcula el trabajo realizado por el gas. 4 Un volumen de 120 cm3 de agua a 100 ºC hierve completamente a 1 atm de presión. Sabiendo que la densidad del vapor de agua a 100 ºC es 1 671 veces menor que la del agua líquida a esa misma temperatura, calcula el trabajo realizado por el vapor sobre el entorno. 5 Utilizando un aparato como el que usó Joule, se hace descender una masa de 25 kg, a velocidad constante, una altura de 10 m. El trabajo producido se utiliza para calentar 200 g de agua. ¿Cuánto ascenderá su temperatura? Nota: Recuerda la expresión de la energía potencial: Ep = m · g · h.

6 Se tiene una cierta cantidad de hielo a –25 ºC. Se funde mediante una resistencia eléctrica, obteniéndose agua líquida a 40 ºC. La cantidad de energía consumida es de 600 000 J. Calcula la masa de hielo que teníamos inicialmente. Datos: c agua = 4 186 J/(kg · K); chielo = 2 100 J/kg; Lf = 3,34 · 105 J/kg.

7 En una estufa de gasolina se calientan 0,5 L de agua de 20 ºC a 100 ºC, y, además, hierven 250 g de ella. Sabiendo que la combustión de 1 g de gasolina libera 42 500 J, ¿qué masa de gasolina se debe quemar para que el proceso del agua tenga lugar? Datos: cagua = 4 186 J/(kg · K); Lv = 2,256 · 106 J/kg.

8 Una masa de 55 g de nitrógeno se calienta desde 120 ºC hasta 300 ºC. Calcula el calor absorbido si el proceso tiene lugar a presión constante. ¿Y si es a volumen constante? Datos: cp = 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K).

9 El gas del ejercicio anterior, que se encuentra a 120 ºC, sufre una compresión isoterma hasta que su volumen se reduce a la tercera parte. Calcula el trabajo realizado sobre el sistema. 172

Recuerda seleccionar el material de trabajo de esta unidad para tu porfolio.

10 Calcula el trabajo realizado y el calor absorbido por 2 mol de un gas ideal a partir del siguiente ciclo. ¿En qué sentido tendría que recorrerse el ciclo si quisiéramos que este sistema funcionara como un motor? Datos: cp = 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K). p/atm

V/L

11 Se mezclan 250 g de agua a 25 ºC con 540 g de aceite a 100 ºC. Calcula la temperatura de equilibrio. Datos: cagua = 4 186 J/(kg · K); caceite = 1 675 J/(kg · K).

12 Se mezcla una cierta cantidad de agua líquida a 60 ºC con 240 g con vapor de agua a 150 ºC sin que escape calor al entorno. Si al final queda únicamente agua líquida a 90 ºC, determina la masa inicial de agua líquida que teníamos. Datos: c agua = 4 186 J/(kg · K); cvapor = 1 840 J/(kg · K); Lv = 2,256 · 106 J/kg.

13 Tenemos 100 g de agua a 20 ºC, 25 g de hielo a –5 ºC, y 120 g de alcohol a 50 ºC. Si se mezclan y no se escapa calor al entorno, determina la fase en la que se encontrará el agua, y su temperatura de equilibrio. Datos: c agua = 4 186 J/(kg · K); chielo = 2 100 J/(kg · K); calcohol = 2 513 J/(kg · K); Lf = 3,34 · 105 J/kg.

14 Te estás tomando 0,3 L de limonada en un caluroso día de verano, y su temperatura es de 30 ºC. Para enfriarla, le echas dos cubitos de hielo, de 25 g cada uno, que están a –5 ºC. Suponiendo que no hay intercambio de calor con el entorno, calcula la temperatura final. Si hubieras echado 5 cubitos, ¿cuál sería su temperatura? Datos: c agua = 4 186 J/(kg · K); chielo = 2 100 J/(kg · K); Lf = 3,34 · 105 J/kg.

Energía interna. Primera ley de la termodinámica 15 El diagrama p-V muestra un proceso cíclico. Calcula el trabajo realizado, el calor absorbido y la variación de energía interna a lo largo de cada uno de los tramos y en el ciclo total. ¿Estaría funcionando este sistema como un motor térmico?

17 El siguiente diagrama muestra el proceso cíclico seguido por 0,0025 mol de un gas ideal. Calcula el trabajo, el calor y la variación de la energía interna a lo largo de cada una de estas etapas y en el ciclo completo. Datos: cp = 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K). p/ atm

2,5

Datos: QAB = 500 J; QBC = 400 J; QCD = –950 J. T = cte

p/atm D

C 0,4

B V/L

0,2

18 Un gas ideal sigue el proceso ABC representado en la figura. Si disponemos de 0,4 mol, calcula el trabajo ejercido por el sistema, el calor absorbido y la variación de energía interna para el proceso completo. ¿Y si hubiera seguido el camino AC directamente mediante la línea horizontal que une ambos estados?

Datos: cV = 12,5 J/(mol · K); cp = 20,8 J/(mol · K). 0

V/L

p/ Pa 4 · 105

16 El diagrama muestra el proceso cíclico seguido por 2 mol de un gas ideal. Se sabe que el proceso BC es adiabático, y se conocen los siguientes valores de la temperatura: TA = 300 K, TB = 500 K y TC = 600 K. Calcula el trabajo, el calor y la variación de la energía interna a lo largo de cada uno de estos procesos y en el ciclo completo.

3 · 105

2 · 105

1 · 105

Datos: cp = 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K). 0

p/ atm

V/L

19 Se encuentran encerrados 0,2 mol de aire a una temperatura de 30 ºC en un cilindro que dispone de un pistón móvil. Este permite mantener una presión constante en el gas de 1 atm. Si este se calienta hasta una temperatura de 230 ºC, calcula:

a) El volumen final del gas. b) El trabajo realizado en este proceso. pA= pB

c) El cambio de energía interna del gas. d) El calor suministrado al aire.

20 L

V/ L

e) El trabajo que habría suministrado si la presión fuera de 0,75 atm. Explica el resultado obtenido. Datos: cV = 20,8 J/(mol · K). 173

Trabaja con lo aprendido Máquinas térmicas 20 Un gas ideal experimenta un ciclo de Carnot, entre un foco caliente a 400 ºC y un foco frío a 75 ºC. Para 0,4 mol, la presión en el punto A es de 3 atm, y el volumen del gas se triplica durante la expansión isotérmica. Además, se sabe que VC = 114,8 L, y que en la compresión isotérmica este se reduce a la tercera parte. a) Calcula la presión y el volumen en los puntos A, B, C y D del ciclo. b) Calcula el calor absorbido y el trabajo realizado por el gas ideal, así como su variación de energía interna, en cada tramo y en el ciclo completo. c) Calcula el rendimiento de esta máquina térmica, y compara su valor con el máximo teórico. Dato: cV = 20,8 J/(mol · K).

24 Un motor diésel, en cada ciclo, realiza un trabajo de 2 500 J y cede a la atmósfera 4 800 J en forma de calor. Calcula el calor que debe suministrársele en cada ciclo y su rendimiento. Si la temperatura ambiente es de 25 ºC y el rendimiento de la máquina es la mitad que el máximo teórico, calcula la temperatura del foco caliente. 25 Un gas ideal realiza el ciclo diésel mostrado en la figura. Para 2,5 mol de sustancia, este viene determinado por los siguientes datos: T1 = 500 K, V1 = 10 L, V2 = 5 L, p2 = 27,05 atm, V3 = 6 L y p4 = 13,2 atm. Calcula el trabajo realizado y el calor absorbido en cada uno de los tramos y en el ciclo completo. Halla su rendimiento y compáralo con el máximo teórico. Datos: cp = 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K). p

21 Calcula el rendimiento de un refrigerador que funcionara siguiendo el ciclo inverso al descrito en el ejercicio anterior. 22 Un gas ideal realiza el ciclo mostrado en la figura siguiente:

Qc 2

p/ atm 3

1 V

26 Un amigo te dice que ha inventado un nuevo tipo de motor de gasolina enfriado por aire, construido exclusivamente de aluminio, por lo que es muy ligero, y además alcanza un rendimiento del 83 %. Justifica si es posible que tu amigo haya encontrado lo que dice.

T = cte

C 0

Dato: temperatura de fusión del aluminio: 660 ºC V/L

a) Calcula el trabajo realizado y el calor absorbido por 0,5 mol del gas en cada tramo y en el ciclo completo. b) Calcula el rendimiento de esta máquina y compáralo con el máximo teórico. Datos: cp = 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K).

23 Un motor de Carnot tiene un foco caliente a 650 K. En cada ciclo, absorbe 600 J y cede 375 J al foco frío. Calcula el trabajo mecánico que realiza la máquina en cada ciclo, su rendimiento y la temperatura del foco frío. 174

Segunda ley de la termodinámica. Entropía 27 Se mezclan 10 kg de agua a 80 ºC y 20 kg de agua a 20 ºC. Calcula la variación de entropía del sistema. Justifica si se trata de un proceso reversible o irreversible. Dato: cagua = 4 186 J/(kg · K).

28 En un recipiente que contiene 700 mL de agua a 25 ºC se vierten 450 mL a 70 ºC. Si consideramos que la densidad del agua, a cualquier temperatura, es de 1 g/cm3, calcula la variación de entropía del sistema. Justifica si se trata de un proceso reversible o irreversible. Dato: cagua = 4 186 J/(kg · K).

29 Un recipiente con vapor de agua a 100 ºC se introduce en una olla que tiene 1 kg de hielo triturado a 0 ºC. La cantidad de vapor es la necesaria para que se funda todo el hielo. Calcula la masa inicial de vapor de agua a 100 ºC y la variación de entropía del sistema. Datos: c agua = 4 186 J/(kg · K); Lf = 3,34 · 105 J/kg; Lv = 2,256 · 106 J/kg.

30 Tres moles de un gas ideal experimentan una compresión isotérmica reversible a 20 ºC. Para ello, se realiza un trabajo sobre el gas de 2 000 J. Calcula su variación de entropía. 31 Calcula la variación de entropía cuando hierven 250 g de alcohol si su temperatura de ebullición es de 78 ºC. Interpreta el signo de esta variación. Dato: Lv (etanol) = 8,54 · 105 J/kg.

32 Nos preparamos un té, calentando 200 g de agua a 80 ºC. Después, dejamos que se enfríe a temperatura ambiente, 25 ºC, para poder beberlo. a) Calcula la variación de entropía del té al enfriarse. b) Considerando que el aire de la cocina no cambia de temperatura mientras el té se enfría, calcula su variación de entropía. c) Calcula la variación de entropía del sistema formado por el té y el aire. A partir del valor obtenido, justifica si el proceso es reversible o irreversible (considera que se trata de un sistema cerrado). Dato: cagua = 4 186 J/(kg · K).

Uno de los grandes retos de los científicos, a lo largo de la historia y en la actualidad, ha sido fabricar un móvil perpetuo (del latín, perpetuum mobile) de primera o segunda especie. En esta unidad, nos hemos referido a ellos al hablar de la segunda ley de la termodinámica, pero ¿sabes qué son exactamente? Grandes pensadores como Boyle, Tesla o Leonardo da Vinci intentaron fabricarlos; ¿lo consiguieron? Haz una breve investigación sobre todo lo anterior y extrae tus propias conclusiones. A partir de ellas, ¿serías capaz de diseñar un móvil perpetuo? Comparte lo aprendido con el resto de la clase.

Buscad información sobre qué tipo de motor tienen, y cómo se recargan las baterías de los coches híbridos. Pensad si suponen un ahorro en las emisiones de CO2, y proponed diversas líneas de actuación a fin de alcanzar la meta 11.6.

Ciencia, tecnología y sociedad Motores Desde finales del siglo xviii hasta nuestros días, los motores han evolucionado enormemente. Los primeros, de vapor, tenían un rendimiento muy bajo y generaban poca potencia. Sin embargo, rápidamente se utilizaron en numerosos campos, como la minería (inicialmente, para la extracción de agua de las galerías, y, posteriormente, para la elevación de cargas pesadas) y el transporte, tanto por tierra como por mar. Esto permitió que los viajes se realizaran en un tiempo mucho menor y que pudieran movilizarse enormes cantidades de material entre puntos lejanos del planeta, lo que propició un auge del comercio y el desarrollo económico de los países industrializados. A principios del siglo xx, los hermanos Wright hicieron volar el primer avión con motor de la historia. A partir de ahí, se produjo una segunda revolución en el transporte, tanto de mercancías como de pasajeros. Los motores fueron evolucionando y mejorando, pero no siempre para bien. El ingeniero alemán Wernher von Braun desarrolló, durante la II Guerra Mundial, los cohetes V1 y V2, con los que Alemania bombardeó el sur de Inglaterra durante los últimos meses del conflicto. Una vez acabado, EE. UU. se lo llevó y lo integró en la NASA, donde fue el jefe de desarrollo del cohete Saturno V, que llevó al hombre por primera vez a la Luna. La evolución de los motores ha sido espectacular. ¿Qué avances podremos ver durante el siglo xxi? Por grupos, elegid algunas ideas para crear un prototipo de motor novedoso que cumpla las leyes de la termodinámica. Infórmate sobre los estudios que necesitarías si quisieras investigar sobre el desarrollo tecnológico de los motores. ¿Qué otras profesiones requieren de este tipo de estudios?

anayaeducacion.es Consulta el apartado «Para estudiar» en el banco de recursos. 175

7 Cinemática. Movimientos rectilíneos y su composición DESPLAZAMIENTOS SEGUROS Es posible que alguna vez hayas estado a punto de cruzar la calzada sin percatarte de que el semáforo estaba en rojo porque ibas mirando la pantalla de tu móvil. O quizá hayas tenido que evitar a algún viandante distraído mientras circulabas correctamente con tu bicicleta. Para evitar estas situaciones, algunas ciudades están tomando medidas como la instalación de carriles bici cuyo pavimento se ilumina gracias a la incorporación al asfalto de partículas capaces de almacenar la energía que reciben de la luz solar y emitirla por la noche. De esta forma, visibilizan nuestra presencia y evitan accidentes de forma autosuficiente y ecológica. Así, podríamos recorrer distancias medias en las ciudades o entre poblaciones cercanas de forma segura en un tiempo aceptable. En algunas ciudades se han instalado luces en el suelo de los cruces de peatones que están sincronizadas con los semáforos; así, cualquier persona que camine sin levantar la cabeza estará advertida de la prioridad en el cruce. 206

COMPROMISO ODS

1 El aumento de la contaminación del aire se debe, entre otros motivos, al uso abusivo de los vehículos a motor de combustión en las grandes ciudades. ¿Cómo creéis que puede beneficiar el uso de carriles bici como los descritos en el texto? Haced una lista con otras ideas que se os ocurran para contribuir a la consecución de la meta 11.3. ¿Qué otras medidas se han tomado que favorecen la seguridad vial de forma sostenible? Explicad su importancia y si podrían llevarse a cabo en vuestra localidad. 2

La investigación científica y tecnológica es básica a la hora de hablar de nuevas formas de transporte sostenible. Además, es un sector pionero en el desarrollo de nuevas profesiones. Buscad información sobre ellas y los estudios que se pueden cursar para llegar a ejercerlas.

¿Qué vas a descubrir? En esta unidad • Desplazamientos seguros

1. Relatividad del movimiento 2. Posición y desplazamiento 3. Trayectoria y espacio recorrido 4. Cambios de posición: velocidad 5. Cambios de velocidad: aceleración 6. Movimientos rectilíneos 7. Composición de movimientos rectilíneos 8. Contribuciones de Galileo al estudio del movimiento • TIC. Plantillas de ecuaciones • Estrategias de resolución de problemas

En anayaeducación.es Para motivarte: • Vídeo:

«Antes de empezar». Para detección previa de ideas: • Presentación:

«Qué necesitas saber». Para estudiar: • Presentaciones:

«Magnitudes vectoriales», «Para estudiar». • Simulaciones:

«Movimiento rectilíneo uniforme», «Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado», «Movimiento de un proyectil». • Vídeo:

«Sistemas de referencia». • Documentos:

UTILIZO LA FÍSICA CUANDO HAGO DEPORTE Los contenidos y las actividades de esta unidad pueden resultar de utilidad para la realización del proyecto «Utilizo la física cuando hago deporte» que se plantea en el anexo situado en las páginas iniciales del libro.

«Derivada de una función», «Informe de investigación». Para autoevaluarte: • Autoevaluación final. • Soluciones de las actividades numéricas.

Y, además, toda la documentación necesaria para aplicar las claves del proyecto. 207

Relatividad del movimiento 1.1. ¿Reposo o movimiento? Para empezar a estudiar cinemática, es necesario, en primer lugar, definir su objeto de estudio: el movimiento. Para ello, observa a tu alrededor y localiza un objeto que no se mueva. ¿Por qué dices que no se mueve? Posiblemente, habrás pensado en algo que se encuentra junto a ti, encima de la mesa, o en el aula, y habrás argumentado que no se mueve porque, respecto de ti, no cambia de posición. Pero ¿diría lo mismo alguien que pasara en un autobús y lo estuviera viendo a través de la ventana?

Estudio del movimiento Punto material

Los cuerpos pueden trasladarse y girar. Este curso estudiaremos solo los movimientos de traslación, para los que se puede considerar que toda la masa del cuerpo se encuentra concentrada en un punto de este, llamado centro de masas. De este modo, dado un sistema de referencia, para posicionar el cuerpo basta con localizar este punto, que recibe el nombre de punto material, o partícula.

Esta persona diría que está en reposo, por ejemplo, un maletín apoyado en el asiento contiguo (que para ti se estaría moviendo, junto con todo el autobús), pero el objeto en el que tú has pensado, junto con el aula y todo el edificio en el que te encuentras, estarían en movimiento para ella.

Punto material

Entonces, ¿qué se mueve y qué no se mueve?

1.2. Sistemas de referencia Para poder concretar si un cuerpo se está moviendo o está en reposo, siempre hay que decidir respecto de qué. Surge así el concepto de sistema de referencia. Un sistema de referencia es un punto del espacio, llamado origen, junto con el modo de localizar cualquier otro punto respecto de él.

Sistemas de referencia cartesianos

Antes de estudiar un movimiento hay que establecer un sistema de referencia. Este curso estudiaremos movimientos de traslación en el plano, por lo que nos bastará con un sistema de dos ejes cartesianos. La localización de una partícula, en estos sistemas, vendrá dada por sus coordenadas x e y. En el caso que se representa, la partícula se encontraría en el punto de coordenadas (5, 3). Y

Así, cuando dices que algo no se mueve respecto de ti, has centrado el sistema de referencia en tu persona, al igual que el viajero del autobús lo ha hecho en la suya. Al describir el estado de movimiento desde sistemas de referencia distintos, lo que para uno está en reposo para el otro puede estar en movimiento, y viceversa. Esta es la base de la relatividad del movimiento. Los sistemas de referencia cartesianos son los más utilizados. Consisten en dos o tres ejes, perpendiculares dos a dos, que se cruzan en el origen, O, del sistema.

y=3

P (5, 3)

x=5

Ejercicios

208

Después de leer el texto del recuadro referido al punto material, explica el significado de este párrafo: «La posibilidad de utilizar puntos materiales depende de lo que estudiemos. Así, podemos considerar la Luna como tal para estudiar su traslación alrededor de la Tierra, pero no cuando estemos interesados en su movimiento de rotación».

2 Representa, en un sistema de ejes coordenados, los siguientes puntos: a) (0, 3). b) (4, 0). c) (5, –7). d) (–7, 4).

Posición y desplazamiento 2.1. Vector posición A partir de este momento estudiaremos conceptos que requieren el uso de magnitudes vectoriales. En anaya educacion.es puedes consultar un documento para repasarlas.

Vector posición y desplazamiento Y

La posición de una partícula, respecto de un sistema de 8 referencia, queda determinada por su vector posición, r , cuyo punto de aplicación se encuentra en el origen, O, del sistema, y su extremo en la posición, A, que ocupa la partícula.

yB j

Tiene dimensión de longitud y, como cualquier vector, se puede expresar en función de sus componentes: 8

rB xA

r = OA = x $ i + y $ j

El módulo del vector posición nos indica la distancia en línea recta entre la partícula y el origen del sistema de referencia elegido. r= x +y

1 Una partícula se desplaza desde el punto A (2, 2) m hasta B (–3, 1) m. Representa los vectores posición en A y B, y el vector desplazamiento. Exprésalos en componentes cartesianas.

Si la partícula se mueve, la expresión del vector posición queda en función del tiempo: 8

Solución

r (t ) = x (t ) $ i + y (t ) $ j

expresión que representa la ecuación vectorial del movimiento.

D r = AB

8 = rB

–

8 rA

A (2, 2)

2 Dr

B (–3, 1)

2.2. Vector desplazamiento Cuando una partícula se desplaza desde una posición A 8 a otra B, el vector desplazamiento ^ Dr h se define como aquel cuyo punto de aplicación se encuentra en A, y su extremo en B: 8

Ejercicio resuelto

[r ] = L

De la figura se deduce fácilmente que rB = rA + D r .

[ r ]=L

rB –3

–2

j i

–1

Expresados en componentes:

8 rA

= (xB – xA) $ i + (yB – yA ) $ j

La dimensión de este vector también es de longitud:

= OA = (2 $ i + 2 $ j ) m ; rB = OB = (–3 $ i + j ) m 8

D r = AB = rB – rA = (–5 $ i – j ) m

6D8 r @=L

Ejercicios

3 Un móvil se encuentra en las coordenadas x = 2 m, y = 3 m. Se desplaza 1 m en sentido positivo del eje X y 2 m en sentido negativo del eje Y. ¿Cuál será ahora su vector posición? ¿A qué distancia se encuentra del origen? ¿Y del punto de partida? 4 El vector posición de una partícula, en un momen8 8 8 to determinado, es r = (–2 $ i + 2 $ j ) m. Si respecto

de una posición anterior, el vector desplazamiento 8 8 8 es D r = (– 4 $ i + 3 $ j ) m, ¿en qué punto se encontraba? Consulta las soluciones de las actividades en anayaeducacion.es.

Visualiza la animación «Sistemas de referencia», en anayaeducacion.es y explica con tus propias palabras los elementos que lo componen.

209

Trayectoria y espacio recorrido 3.1. Trayectoria Cuando una partícula se mueve, el extremo del vector posición describe una curva en el espacio que recibe el nombre de trayectoria. La trayectoria es la línea que une las sucesivas posiciones que va ocupando la partícula en su movimiento a medida que transcurre el tiempo. Una forma de obtenerla es expresando la componente y del vector posición en función de la componente x, lo que se conoce como ecuación explícita de la trayectoria: y = y (x). Según la forma de la trayectoria, los movimientos se clasifican en rectilíneos, cuando es una línea recta, y curvilíneos, cuando no lo es (ver figuras inferiores). En el caso particular de que la trayectoria sea una circunferencia, se habla de movimientos circulares.

3.2. Espacio recorrido En ocasiones, si se conoce la trayectoria, puede interesar estudiar el movimiento sobre ella. Para hacerlo, se toma un punto arbitrario como origen del movimiento (OT ) y se define un sentido positivo sobre ella, de modo que la posición del móvil en cualquier instante quedará determinada por la distancia al origen medida sobre la trayectoria: el espacio recorrido, ∆s.

Movimientos complejos Rectilíneo C3 Rectilíneo

Si la trayectoria es rectilínea y el móvil no cambia de sen8 tido, el módulo del vector desplazamiento, Dr , coincide con el espacio recorrido, Ds, pero si la trayectoria es curvilínea, el espacio recorrido será mayor que dicho módulo, como se aprecia en las figuras inferiores.

Circular

C1 Rectilíneo

Circular

Un movimiento complejo puede ser considerado, por tramos, como combinación de movimientos rectilíneos y circulares; de ahí la importancia de su estudio.

Ejercicio resuelto

2 Determina la ecuación de la trayectoria descrita por un móvil cuyo vector posición viene dado por: 8

r = [2 $ t $ i + (4 $ t + 1) $ j ] m

Solución Partimos de las ecuaciones de las componentes del vector posición, llamadas ecuaciones paramétricas de la trayectoria: x = x (t )

Se obtiene de este modo la ecuación intrínseca del movimiento: s = s (t )

Circular

y = y (t )

4 8 )

x =2$t y = 4 $t +1

A continuación, se despeja el tiempo de la componente x y se sustituye en la y: x x 8 y =4 · +1 8 y = 2 · x +1 2 2 La trayectoria de este móvil sería, pues, rectilínea, ya que la ecuación obtenida se corresponde con la de una recta. t=

Trayectoria y espacio recorrido Trayectoria rectilínea Y

Trayectoria curvilínea Y

OT Ds = Dr

A rA

Ds Dr

210

B rB X

Ds ≠ Dr

Ds rA

rB O

B X

Cambios de posición: velocidad 4.1. Velocidad media Consideremos una partícula que pasa de la posición A a la B en un intervalo de tiempo ∆t, como se muestra en la figura de la derecha. Se define la velocidad media como la relación entre el vector desplazamiento y el tiempo invertido en el movimiento: 8

vm =

Dr Dt

; vm =

Velocidad media e instantánea Y

DrAB'' v

tA x

B'' vm

B' rB''

rB'

El vector vm tiene la misma dirección y sentido que Dr , esto es, secante a la trayectoria.

4.2. Velocidad instantánea Para determinar la velocidad en un instante determinado, se procede al cálculo de la velocidad media, pero considerando un intervalo de tiempo infinitesimal (Dt 8 0) . Se obtiene así la velocidad instantánea: 8

v = lím

Dt " 0

8 8 8 8 dr dx 8 dy 8 Dr = = $ i + $ j = vx $ i + v y $ j Dt dt dt dt

En la figura de la derecha puedes comprobar que, en el 8 paso al límite, Dr es tangente a la trayectoria, por lo que el vector velocidad instantánea también lo es: 8

3 Estudia el movimiento del cuerpo del ejercicio resuelto 2 entre t1 = 2 s y t2 = 5 s. Solución El vector desplazamiento entre los instantes señalados es: 8

La celeridad instantánea se puede obtener a partir de la ecuación intrínseca del movimiento, o de las componentes del vector: Ds ds c = lím = = v = vx2 + vy2 D t8 0 D t dt [c ] = L $ T–1 El módulo de la velocidad instantánea coincide con la celeridad instantánea.

D r = r (5) – r (2) = (6 $ i + 12 $ j ) m Como Dt = t2 – t1 = 5 s – 2 s = 3 s , la velocidad media es: 8

vm =

8 8 Dr = (2 $ i + 4 $ j ) m/s 8 vm = 20 m/s Dt

La velocidad instantánea es:

Se puede consultar su definición, así como las derivadas de las funciones más habituales y algunos ejemplos, en la separata que acompaña a este libro y en el banco de recursos de esta unidad en la web anayaeducacion.es.

8 cm $ vm.

Ejercicio resuelto

Aunque no se ha estudiado todavía el concepto de derivada de una función, lo utilizaremos en este libro para el estudio de magnitudes cinemáticas.

En el paso al límite, ds = d r , y d r /ds es un vector unita8 rio ( x ) en la dirección tangente a la curva.

[v] = L $ T–1

Como, Ds $ D r

4.3. Celeridades media e instantánea Si se conoce el espacio recorrido sobre la trayectoria (∆s) se puede calcular la celeridad media (cm ) entre las posiciones A y B como: Ds cm = Dt

tB = tA + Dt

8 dr d r ds v= = $ =v $ x dt ds dt

r B – rA t B – tA

DrAB = rB – rA

; 6vm@ = L $ T–1

vm =

DrAB'

8 8 dr = (2 $ i + 4 $ j ) m/s dt

v = vx2 + vy2 = 20 m/s La velocidad instantánea no depende del tiempo y coincide, en cada instante, con el vector velocidad media.

Ejercicios

La inversa. En el texto se dice que la celeridad media (cm) es mayor o igual que el módulo de la velocidad media (vm ). ¿En qué casos coinciden? 8 Describe un movimiento en el que cm ≠ 0 y vm = 0. La ecuación del movimiento8 de una partícula 8 8 viene dada por r (t ) = (t – 2) $ i + (3 $ t 2 + 1) $ j , en el SI. Realiza un estudio del movimiento entre t1 = 3 s y t2 = 10 s. (Si no sabes representar la ecuación de la trayectoria, puedes unir las posiciones en varios instantes de tiempo).

211

Cambios de velocidad: aceleración 5.1. Aceleración media Así como el vector velocidad nos informa sobre las variaciones del vector posición con el tiempo, el vector aceleración lo hace sobre los cambios de la velocidad.

La aceleración Aceleración media tA

En la figura derecha se representan los vectores velocidad en los instantes tA y tB = tA + ∆t, correspondientes a las posiciones A y B, respectivamente, y el cambio de la velocidad entre dichos instantes. 8 am

Dv Dv = ; am = Dt Dt

; 6am@ = L $ T

5.3. Componentes intrínsecas de la aceleración Para el estudio de movimientos curvilíneos interesa utilizar, en cada punto de la trayectoria, un sistema de refe8 rencia anclado al móvil, en el que uno de los ejes ( x ) es 8 tangente a la trayectoria, y el otro ( n ), perpendicular a este. En este sistema de referencia, la aceleración viene dada por sus componentes intrínsecas: 8

a = at + an que reciben el nombre, respectivamente, de componente tangencial y componente normal de la aceleración. Con ellas, el módulo de la aceleración es:

donde t es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto considerado. Si la trayectoria es circular, t será constante, y coincidirá con el radio de la circunferencia. 212

El vector aceleración media, am , tiene la misma dirección y 8 sentido que Dv . La variación de la velocidad de un móvil que se desplaza entre las posiciones A y B se corresponde con la 8 8 8 8 diferencia entre vA y vB ; esto es, vB – vA . Aceleración instantánea Y

v j ax

i a

Como la velocidad cambia hacia la dirección en la que la trayectoria se curva, la aceleración estará apuntando siempre hacia la concavidad de la curva. En general, no es ni tangente ni normal a la trayectoria. Componentes intrínsecas Y at

a = at2 + an2 La componente tangencial nos da información sobre cómo varía el módulo de la velocidad: 8 8 dv 8 at = at $ x = $x dt La componente normal nos informa sobre las variaciones de dirección de la velocidad: 8 8 v2 8 an = an $ n = t $ n

Dv = vB – vA

La velocidad puede variar en módulo y dirección. Por eso, por ejemplo, cuando un coche describe una curva hay aceleración aunque lo haga con celeridad constante.

–2

a = ax2 + ay2 ; [a] = L $ T–2

5.2. Aceleración instantánea Para calcular la aceleración en un instante determinado, se procede, como en el caso de la velocidad, considerando un intervalo de tiempo infinitesimal. Se obtiene así la aceleración instantánea: 8 8 dvx 8 dvy 8 8 8 8 dv Dv a = lím $ i + $ j = ax $ i + ay $ j = = Dt " 0 D t dt dt dt

tB = tA + Dt B

Se define la aceleración media como: 8

a n an X 8

Componentes tangencial, at , y normal, an , de la aceleración 8 de un móvil, a . En este sistema de referencia, la velocidad solo tiene componente tangencial.

5.4. Tipos de movimientos Los valores de las componentes intrínsecas de la aceleración nos dan información sobre el tipo de movimiento. Así, si la componente tangencial es nula, significa que el módulo de la velocidad es constante, y el movimiento se denomina uniforme. Si lo es la componente normal, lo que no varía es la dirección del vector velocidad, y el movimiento es rectilíneo. En la tabla tienes todas las posibilidades. Con lo que hemos estudiado hasta ahora en esta unidad estamos en disposición de abordar la cinemática de algunos movimientos muy frecuentes en la vida cotidiana. Es conveniente que, conforme avancemos en su estudio, intentes identificarlos en tu entorno.

Movimiento

at = 0

at = cte ≠ 0

at ≠ cte

an = 0

Rectilíneo uniforme

Rectilíneo uniformemente acelerado

Rectilíneo acelerado

an > 0 t = cte

Circular uniforme

Circular uniformemente acelerado

Circular acelerado

an > 0 t ≠ cte

Curvilíneo uniforme

Curvilíneo uniformemente acelerado

Curvilíneo acelerado

Ejercicio resuelto

4 El vector posición de una partícula, en 8unidades del 8 8 SI, viene dado por: r = 4 $ t $ i + 2 $ t 2 $ j . Calcula: a) El vector velocidad instantánea, su módulo, y la velocidad media en los tres primeros segundos.

c) Comenzamos por el cálculo de la componente tangencial. Para la componente normal utilizamos la expresión que las relaciona: a2 = at2 + an2 : at =

b) El vector aceleración, su módulo, y la aceleración media en el intervalo anterior.

an = a2 – at2 =

c) Las componentes intrínsecas de la aceleración. d) La ecuación de la trayectoria. e) El radio de curvatura de la trayectoria. Solución a) El vector velocidad se calcula al derivar el vector posición: 8 8 8 8 dr v= = (4 $ i + 4 $ t $ j ) m/s 8 v = 4 $ 1 + t 2 m/s dt Para la velocidad media necesitamos el vector desplazamiento. Como Δt =t2 – t1 = 3 – 0 = 3 s: 8

D r = r (3) – r (0) = (12 $ i + 18 $ j ) m 8

8 8 Dr = = (4 $ i + 6 $ j ) m/s 8 vm = 52 m/s Dt b) Para obtener la aceleración se deriva el vector velocidad: 8 8 8 dv a= = 4 $ j m/s2 8 a = 4 m/s2 dt 8 8 8 8 8 8 8 Dv D v = v (3) – v (0) = 12 $ j m/s 8 am = = 4 $ j m/s Dt 8 vm

2 dv d(4 $ 1 + t ) = = dt dt

16 –

d) La ecuación de la trayectoria se calcula por el método habitual, a partir de las ecuaciones paramétricas. Se obtiene la ecuación de una parábola: x =4$t x 3 8 t= 4 y = 2 $ t2 x2 y= 8

4$t 1+ t

16 $ t 2 = 1+ t 2

m/s2

4 1+ t

m/s2

y/m 2

0,5 4 x/m

e) El radio de curvatura se calcula a partir de la expresión que lo relaciona con an: 2 v2 v 2 16 $ (1 + t ) an = t 8 t = a = = 4 $ (1 + t 2) 3/2 m 4 n

1+ t 2 El radio de curvatura, como es normal en las parábolas, aumenta conforme transcurre el tiempo.

Ejercicios

7 Desde un punto de vista cinemático, ¿cuántos aceleradores tiene un vehículo? Razona tu respuesta. 8

Identifica en tu entorno dos movimientos de cada uno de los tipos presentados en la tabla del apartado 5.4. Indica, en cada caso, el sistema de referencia que has utilizado.

9 El vector posición de un móvil viene dado por: 8

r (t ) = [3 $ cos (5 $ t ) $ i + 3 $ sen (5 $ t ) $ j ] m

Calcula las componentes de la aceleración, cartesianas e intrínsecas. Represéntalas, junto al vector posición y el vector velocidad, en dos puntos que tú elijas de la trayectoria.

213

Movimientos rectilíneos Los movimientos rectilíneos, que ya vimos el curso pasado, son los más simples, pues los vectores desplazamiento, velocidad y aceleración se encuentran en la misma dirección, lo que nos permite trabajar con sus módulos. Tenemos que asignar, eso sí, sentidos positivos y negativos a estos vectores, por lo que seguimos el convenio de signos que se muestra en la figura inferior.

Si, además, tenemos en cuenta el espacio recorrido: Ds = Dx = x – x0 8 Ds = v ∙ t Se recorren, pues, espacios iguales en tiempos iguales.

6.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) Es aquel en el que an = 0 (rectilíneo) y at = cte ≠ 0 (uniformemente acelerado). Al ser la aceleración constante, esta coincidirá en cada instante con la aceleración media. Si hacemos t0 = 0: D v v – v0 = a = am = 8 v = v0 + a $ t Dt t–0

6.1. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) En él, an = 0 (rectilíneo) y at = 0 (uniforme). Al ser nula la aceleración, el movimiento transcurre con velocidad constante, igual en cada instante a la velocidad media. Elegiremos nuestro sistema de referencia tomando el eje X como dirección del movimiento, el punto x 0 como origen sobre la trayectoria y el instante t 0 como origen de tiempos. La posición x en cualquier instante, t, será: Dx x – x 0 = t –t v = vm = 8 x = x 0 + v $ (t – t 0) Dt 0 Normalmente, se toma t0 = 0, con lo que queda:

La ecuación de la posición en función del tiempo se obtiene utilizando herramientas matemáticas que no veremos este curso. Se puede proceder, no obstante, de modo gráfico, como se muestra en la página de la derecha, con lo que resulta: 1 x = x 0 + v0 $ t + $ a $ t2 2

x = x0 + v · t

Estudio y representación de los movimientos rectilíneos Convenio de signos

Gráficas del MRU x/m

Y +y

x0 x0

–y

–a

a /(m · s–2 )

tan aA = vA > 0

xA +a

–v

v/ (m · s–1)

tan aB = vB < 0

Dx = xA – x0 = = vA · (t – t0 ) > 0 Dx = xB– x0 = = vB · (t – t0 ) < 0

t/ s

aA = 0 t /s

aB = 0

t/ s Gráficas del MRUA

–x

v/ (m · s

x/m

–v

X a=0

x0 O

–a

x0 O

214

a/(m · s–2 )

a>0 a>0

–1)

a<0 t/ s

v0 v0 vB

tan aA = aA > 0

aA DvA = vA – v0 > 0

aA O aB

tan aB = aB < 0 t

t/s

DvB = vB < 0

t /s

La caída libre y el lanzamiento vertical son MRUA frecuentes en nuestro entorno. Se producen en la dirección vertical, eje Y, bajo el efecto de la gravedad terrestre, g. Sus ecuaciones son:

Método gráfico para la obtención de x = x (t) Dx = x – x0 = s1 + s2 = (v – v0) · (t – t0) = v0 · 2

v/ (m · s–1) v

• Caída libre (v0 = 0, a = –g):

y = h0 – 1 · g · t 2 ; v = –g · t 2 • Lanzamiento vertical (v0 ≠ 0, a = –g):

y = h0 + v0 · t – 1 · g · t 2 ; v = v0 – g · t 2

v – v0

v0 s2 t0

t/s

Para un intervalo de tiempo, el área limitada por la línea v-t y el eje de abscisas coincide con el espacio recorrido.

Ejercicios resueltos

5 Un automóvil parte del reposo, y al cabo de 16 segundos su velocidad es de 144 km/h. En ese momento, el conductor frena y el vehículo se detiene en 8 segundos. ¿Qué espacio total habrá recorrido? Solución Calculamos la aceleración con la que arranca (a1) y la de frenado (a2), utilizando las ecuaciones del MRUA. Durante el arranque, la velocidad inicial es cero, y la final, v, y al revés durante el frenado (en ambos casos, t0 = 0): –1

a1 =

v – 0 40 m $ s = t1 16 s

a2 =

0 – v – 40 m $ s–1 = = –5 m/s2 t2 8s

Solución Si situamos el origen en la posición en la que se encuentra el coche A en el instante en que empezamos a estudiar el movimiento (t0 = 0), y hacemos coincidir el eje X con la dirección del movimiento: xA = vA $ t ; xB = xB0 – vB $ t Los coches se cruzarán cuando sus posiciones coincidan (xA = xB ): xA = xB 8 vA $ t = xB0 – vB $ t 8 (vA + vB ) $ t = xB0 xB0 900 m = 20 s 8 t = v +v = 45 m/s A B

= 2, 5 m/s2

Con estas aceleraciones, calculamos el espacio recorrido en cada tramo. El total será la suma de ambos: _ b 1 Dx1 = $ a1 $ t12 = 320 m b 2 b 8 Dx = Dx + Dx = 480 m 1 2 b` 1 2 Dx2 = v $ t + $ a2 $ t2 = 160 m b 2 a

6 Dos coches, A y B, circulan por una recta, uno hacia el otro, con velocidad constante. El A viaja a 25 m/s, y el B, a 20 m/s. La distancia que los separa, en un instante determinado, es de 900 m. A partir de este instante, ¿en qué punto de la recta se cruzarán?

Se cruzarán, pues, transcurridos 20 s, en la posición, medida desde el origen: xA = vA $ t = 25 m/s $ 20 s = 500 m El ejercicio también se puede resolver representando xA y xB en una gráfica x-t: x/m 900

600

300 0

xA 5

t /s

Ejercicios

10 ¿Desde qué altura se ha de soltar un cuerpo para que llegue al suelo con una velocidad de 100 km/h? Representa sus gráficas y-t y v-t.

12 Desde una altura de 3 m se lanza un cuerpo, verticalmente hacia arriba, de modo que impacta con el suelo a 20 m/s. Calcula v0.

11 Consulta las simulaciones sobre el MRU y el MRUA que tienes en anayaeducacion.es y comprueba que las ecuaciones del MRUA son dimensionalmente homogéneas.

13 Desde un globo que está a 15 m del suelo y asciende verticalmente a 2 m/s se suelta un saco de lastre. ¿Cuánto tardará en llegar al suelo?

215

Composición de movimientos rectilíneos Algunos movimientos pueden ser estudiados como suma vectorial de movimientos rectilíneos simultáneos. Es lo que se conoce como principio de superposición del movimiento, descrito por Galileo, y nos permite descomponer un movimiento en varios movimientos más sencillos. Veamos algunos casos aplicados al movimiento rectilíneo.

7.1. Composición de MRU El movimiento resultante es otro MRU, cuya velocidad es la suma vectorial de las velocidades de los movimientos que se componen. Este caso lo podemos observar cuando un móvil se desplaza con una velocidad determinada en el seno de un fluido en movimiento. Sería el caso de un nadador que cruzara un río, o que nadara a favor, o en contra, de la corriente.

Composición de dos MRU

Un observador situado en una barca arrastrada por el río diría que el nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente. 8

v nadador

Si se componen dos movimientos que tienen la misma dirección, el módulo de la velocidad resultante será la suma de los módulos de los MRU, si estos tienen el mismo sentido, y la diferencia si tienen sentidos contrarios.

v v corriente

En cualquier otro caso: 8

v = v1 + v2 + ... + vn

donde n es el número de movimientos rectilíneos que se componen.

Pero un observador en la orilla defendería que avanza oblicuamente a la corriente: otro ejemplo de la relatividad del movimiento.

Ejercicio resuelto

7 El nadador de las figuras de esta página sale de la orilla izquierda y quiere llegar a la de la derecha, a la misma altura del río. El río tiene una anchura de 30 m, y la velocidad de la corriente es de 1 m/s. Si el nadador mantiene una velocidad de 2 m/s, ¿en qué dirección tiene que nadar? ¿Cuánto tardará en cruzarlo? Solución Tomamos como sistema de referencia unos ejes cartesianos, con el origen situado en la posición inicial del nadador, y hacemos coincidir el eje X con la dirección del 8 vector velocidad resultante, v (es decir, la dirección 8 8 v = v $ i y la velocidad de la del movimiento). Por tanto, 8 8 corriente será vc = –vc $ j (ver diagrama vectorial). El movimiento resultante es composición de dos MRU, por 8 8 8 8 lo que v = vn + vc , siendo vn la velocidad del nadador.

Por tanto: 8 vn

= v – v c = v $ i – ` –v c $ j j = v $ i + v c $ j 8

vn2 = v 2 + vc2 8 v = vn2 – vc2 = 22 – 12 = 3 m/s

216

Y vn

de donde se obtiene que:

Además, tendrá que nadar en una dirección que forme un ángulo a con el eje X tal que: 1 tan a = 8 a = 30º 3 El tiempo que tarda en cruzar el río, con la velocidad resultante antes calculada resulta: 30 m Dx v = 3 m/s 8 t = v = = 17, 3 s 3 m/s La figura muestra la composición vectorial de velocidades que se produce:

La velocidad del nadador será, pues: 8 vn

= ` 3 $ i + j j m/s

a = 30° v

7.2. Movimientos parabólicos Resultan de la composición de un MRU y un MRUA en direcciones perpendiculares.

• Ecuación de la trayectoria. Si se despeja el tiempo de

la componente x y se sustituye en la componente y : x t = v $ cos a 0 2 x 1 x y = y0 + v0 $ sen a $ v $ cos a – $ g $ b v $ cos a l 2 0 0 g y = y0 + tan a $ x – $ x2 2 2 2 $ v0 $ cos a Que es la ecuación de una parábola (y = a ∙ x2 + b ∙ x + c).

El caso general es el tiro oblicuo, que podemos observar cuando se lanza un objeto con una velocidad inicial que forma un ángulo determinado con la horizontal. Si situamos el origen en la vertical del punto de lanzamiento y orientamos el eje Y vertical hacia arriba y el eje X horizontal en la dirección del movimiento, entonces: 8 v0

8 = v0x

8 + v0y

• Altura máxima (hmáx). Es el valor de la posición vertical,

y, cuando vy = 0. vy = 0 8 v0 $ sen a – g $ t = 0 8 v 2 $ sen2 a v0 $ sen a t c = v m 8 hmáx = y0 + 0 t= g 2 2$g • Tiempo de vuelo (tv). Es el tiempo que tarda el móvil en llegar al suelo. Ocurre cuando la posición vertical es cero, y = 0. Suponiendo y0 = 0: 1 y = 0 8 t $ (v0 $ sen a – $ g $ t ) = 0 8 2 2 $ v0 $ sen a 1 v0 $ sen a – $ g $ tv = 0 8 tv = g 2 Observa, aquí debajo, que cuando calculamos el alcance, utilizamos la expresión del tiempo de vuelo.

= v0 $ cos a $ i + v0 $ sen a $ j

Eje X (MRU)

x (t ) = vx $ t = v0 $ cos a $ t vx = v0x = v0 $ cos a Eje Y (MRUA, lanzamiento vertical)

y (t ) = y0 + v0y $ t – 1 $ g $ t 2 = y0 + v0 $ sen a $ t – 1 $ g $ t 2 2 2 vy (t ) = v0y – g $ t = v0 $ sen a – g $ t Las ecuaciones vectoriales del movimiento son, por tanto: 8 8 1 r (t ) = v0 $ cos a $ t $ i + b y0 + v0 $ sen a $ t – $ g $ t 2 l $ j 2

• Alcance (A). Es la distancia horizontal que recorre el

móvil. Se obtiene calculando x cuando t = tv. 2 $ v0 $ sen a A = v0 $ cos a $ tv = v0 $ cos a $ = g v02 $ 2 $ sen a $ cos a v02 $ sen (2 $ a) = 8 A = g g

v (t ) = v0 $ cos a $ i + (v0 $ sen a – g $ t) $ j

A continuación, veremos cómo calcular los principales parámetros (magnitudes físicas) de este movimiento.

Tiro oblicuo Y 4

v4y

hmáx

vmín = v0x

v0x v2y

v7y

a = –g · j

v0x v7

v0x v0x v0y

v9y

v tan a = v y x

v9 A

v0x

O 0

En general, el movimiento podría empezar en cualquier punto de la trayectoria. Un caso de interés es aquel en el que comienza en su punto más alto, en el que la velocidad solo tiene compo-

X 10

nente horizontal. Se habla entonces de un tiro horizontal. Para comprender mejor los movimientos estudiados en este epígrafe, puedes consultar dos simulaciones en anayaeduacion.es.

217

Composición de movimientos rectilíneos

Ejercicios resueltos

8 Desde el borde de un acantilado de 30 m de altura se lanza un proyectil con una velocidad de 100 km/h que forma un ángulo de 40° con la horizontal. ¿A qué distancia del acantilado caerá? Solución Observa que en este caso la altura inicial no es cero, como lo era en la figura de la página anterior. Es como si trasladásemos el eje Y hacia la derecha:

9 Un tenista se encuentra a 8 m de distancia de una red de 1 m de altura. Golpea la pelota a una altura de 2,45 m, de forma que sale despedida horizontalmente con una velocidad de 20 m/s. Calcula: a) El tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo. b) El ángulo que forma el vector velocidad con el eje X en ese instante. c) La altura a la que pasa la pelota sobre la red. Solución

Y hmáx v0y h0

Se trata de un tiro horizontal; sus ecuaciones son:

a = –g · j

x (t ) = v0 $ t ; vx = v0 1 y (t ) = h0 – $ g $ t 2 ; vy (t ) = –g $ t 2

v0 a

v0x

Y h0

xmáx

v0x

a = –g · j

v0y

Las ecuaciones de este movimiento son, por tanto:

a) El tiempo que tarda la pelota en llegar a la red es:

x (t ) = v0 $ cos a $ t

x = v0 $ t = 8 m

1 $ g $ t2 2 En primer lugar, calculamos el tiempo de vuelo (utilizar unidades del SI). Se impone la condición y (t = tv ) = 0. Así: y (t ) = h0 + v0 $ sen a $ t –

30 + 17, 86 $ tv – 4, 91 $ tv2 = 0 8 )

v0x

xmáx

20 $ t = 8 8

t = 0, 4 s

Tiempo de vuelo (y = 0): 2, 45 – 4, 91 $ tv2 = 0 8 tv = 0, 71 s b) El vector velocidad cuando t = tv es:

tv1 = –1, 25 s tv2 = 4, 89 s

v = v0 $ i – g $ tv $ j = (20 $ i – 7, 0 $ j ) m/s

Por tanto: vy –7, 0 tan b = v 8 tan b = = – 0, 35 8 b = –19, 3º 20 x c) Su altura en ese momento, medida desde el suelo, es:

El tiempo de vuelo es, pues, tv = 4,89 s (en el momento del lanzamiento t = 0). El proyectil habrá recorrido en este tiempo una distancia horizontal igual a: m A = x (t = tv ) = v0 $ cos a $ tv = 21, 28 s $ 4, 89 s = 104, 06 m

y (t = 0, 4 s) = 2, 45 – 4, 91 $ 0, 42 = 1, 67 m La pelota pasa, por tanto, 67 cm por encima de la red.

Nota: Desde un punto de vista físico el tiempo negativo no tiene sentido, pero sí desde un punto de vista matemático: las dos soluciones son los puntos de corte con el eje X.

Nota: No hemos detallado las operaciones a realizar en estos ejercicios; comprueba los resultados en tu cuaderno tomando g = 9,81 m/s2.

Ejercicios

14 ¿Qué movimiento se obtiene al superponer dos MRUA perpendiculares, ambos con v0 = 0? 15 El nadador del ejercicio resuelto 7 comienza a nadar en la dirección perpendicular al río. ¿A qué distancia del embarcadero de la derecha, situado enfrente del otro, tocaría tierra? ¿Cuánto tardaría?

218

16 Un jugador de baloncesto lanza el balón desde 2,50 m de altura con una elevación de 37° y encesta en la canasta, situada a 6,25 m de distancia y 3,05 m de altura. ¿Con qué velocidad lanzó? 17

¿Qué pasaría si varíamos la velocidad de lanzamiento y el ángulo? ¿Con qué valores encestaría?

Contribuciones de Galileo al estudio del movimiento Galileo Galilei (1564 -1642), considerado el padre de la ciencia moderna, utilizó la experimentación en el estudio de la naturaleza. Sus contribuciones a la ciencia fueron numerosas, principalmente en los campos de la mecánica y la astronomía. En este apartado se muestran dos de ellas.

Galileo y el estudio del movimiento

8.1. Principio de relatividad Como el reposo y el movimiento son conceptos relativos a un sistema de referencia, nunca podremos hablar de la velocidad de un móvil en términos absolutos, sino en tal, o cual, sistema de referencia. Esta imposibilidad de determinar la velocidad absoluta fue estudiada por Galileo, y se conoce como principio de relatividad. Profundizaremos en él más adelante.

8.2. Ley de caída de graves En el siglo xvii se pensaba que la velocidad de caída de los cuerpos era proporcional a su peso; para comprobarlo, Galileo dejó caer desde la misma altura dos esferas de distinto peso, que tocaron el suelo al mismo tiempo. Demostró de este modo que todos los cuerpos, independientemente de su peso, caían a la misma velocidad. Pero ¿cuál era esta velocidad? En aquella época no era fácil medirla, ya que no se disponía de aparatos para medir tiempos con precisión. Para retardar la caída, Galileo utilizó planos inclinados, por los que dejaba rodar las esferas, y midió, ayudándose con relojes de agua (clepsidras), las distancias que recorrían en intervalos iguales de tiempo. Llegó a la conclusión de que transcurrido el primer intervalo de tiempo, la esfera había recorrido una unidad de distancia; pasados dos intervalos temporales, la distancia recorrida era de cuatro unidades; después de tres intervalos de tiempo, la distancia era nueve unidades, etc. Concluyó, pues, que el espacio recorrido está relacionado con los cuadrados de los intervalos de tiempo (1, 4, 9, 16, etc.), formulando así la ley de caída de graves. En la actualidad, esta ley se enuncia de modo distinto: el espacio recorrido es proporcional al tiempo al cuadrado. Matemáticamente: s (t ) = k · t 2.

La descripción de un movimiento depende del sistema de referencia. Un observador situado en la Luna la consideraría en reposo. Si se encontrara en la Tierra diría que la Luna describe un movimiento casi circular. Para uno situado en el Sol, describiría una línea helicoidal. Todas las descripciones son válidas.

Ley de caída de graves

1s 1 2

3 4

5 6 7

3s 8

Ejercicio

Piensa en la época de las contribuciones de Galileo. Explica si habrían sido igualmente consideradas de haber sido realizadas por una mujer. Para alcanzar las metas 4.5 y 5.5 indaga en hitos relevantes de mujeres relacionadas con la educación y con el estudio de la física o la química. Escribe las conclusiones obtenidas.

Galileo medía los intervalos de tiempo pesando el agua que caía de la clepsidra, que es, básicamente, un recipiente lleno de agua con un orificio por el que sale esta. Según se vacía, la presión del líquido es menor, y disminuye el flujo de salida. Argumenta la validez de este instrumento de medida, en relación con lo estudiado en la unidad inicial.

219

TIC Plantillas de ecuaciones Resolver problemas es una actividad divertida, aunque en ocasiones algo tediosa y repetitiva. Muchos de los que se te plantean en esta unidad, por ejemplo, requieren la resolución de ecuaciones de segundo grado, o el cálculo de las componentes de la velocidad inicial en un tiro parabólico o del módulo de un vector y el ángulo que forma con la horizontal. Ya hemos tratado en otras ocasiones el potencial de las hojas de cálculo para determinadas tareas. Planteamos ahora la posibilidad de crear plantillas de ecuaciones para aligerar los cálculos matemáticos en la resolución de problemas. Puedes crear plantillas con las operaciones más frecuentes. De este modo, atenderás los cálculos matemáticos con mayor facilidad y podrás centrarte en el significado físico de los resultados.

Ecuaciones de segundo grado Las ecuaciones de segundo grado son de la forma: a $ x2 + b $ x + c = 0

Veamos cómo resolverlas utilizando para ello una hoja de cálculo. Tienen dos soluciones que se calculan con la expresión: –b ± b2 – 4 $ a $ c 2$a Evitarás tener que hacer estos cálculos cada vez que tengas que resolver una ecuación de este tipo (por ejemplo, y = 0 en un tiro parabólico) sin más que crear una plantilla en una hoja de cálculo, como la siguiente (le puedes dar el formato que quieras): x=

Trabajamos con vectores Son muchas las ocasiones en las que tendrás que calcular las componentes cartesianas de un vector a partir de su módulo y del ángulo que forma con el eje X. Para ello, has de seguir el siguiente procedimiento: Paso 1. Creamos una plantilla

Paso 2. Introducimos las expresiones de las componentes vectoriales Para que la plantilla realice los cálculos correctamente, tendrás que introducir, en primer lugar, las expresiones que corresponden a las componentes del vector; así: La celda E3 tendrá que contener la función: =B3*COS(B5*PI()/180) La celda E4, la misma expresión, pero con el seno: =B3*SENO(B5*PI()/180) Observa que el ángulo lo introducimos en grados (celda B5), y para calcular las razones trigonométricas lo multiplicamos por π y lo dividimos entre 180. Esto se hace para pasarlo a radianes, pues la hoja de cálculo, por defecto, trabaja en radianes.

Paso 3. Preparación de la operación inversa También es frecuente la operación inversa: dado el vector en componentes, calcular el módulo y el ángulo. La plantilla sería:

En la celda E3 tendrás que escribir: =(–B4+RAIZ(B4^2– 4*B3*B5))/(2*B3) En la celda E4, la raíz se resta: =(–B4-RAIZ(B4^2– 4*B3*B5))/(2*B3) Cada vez que cambies los valores de las celdas B3, B4 y B5 (los coeficientes a, b y c, respectivamente), obtendrás las soluciones de la ecuación de segundo grado que tiene esos coeficientes. Con lo aprendido en la unidad 1 sobre el uso de condicionales, cambia el código de las celdas E3 y E4 para que no dé error cuando el radicando sea negativo, sino que aparezca el mensaje «Radicando negativo».

220

La celda D3 debe contener: =RAIZ(B3^2+B4^2) En F3 se calcula el ángulo en radianes: =ATAN(B4/B3) Y en F5 se pasa a grados: =D3*180/PI() Debes prestar atención al cuadrante en el que se encuentra el ángulo. Como tan a = tan (a + π), en ocasiones deberás sumar 180° al ángulo que obtengas.

Tiro parabólico Las hojas de cálculo también sirven para resolver problemas concretos. Nos centramos en esta ocasión en el movimiento parabólico, composición de un MRU en el eje horizontal y un MRUA en el vertical, en particular en el caso en que el lanzamiento se haga desde el suelo con celeridad inicial v0 y ángulo de lan zamiento a. Paso 1. Preparamos la plantilla de cálculo Se eligen las celdas en las que introducir los datos, señalando en las superiores a estas a cuál corresponde cada una (por ejemplo, las celdas A2 y B2 para introducirlos, poniendo en las correspondientes de la fila 1 a qué dato corresponde cada una).

Comprobamos en laboratorio virtual Para comprobar si nuestra hoja de cálculo realiza bien las operaciones, vamos a utilizar un laboratorio virtual. Para ello, entra en la página web de simulaciones de la Universidad de Colorado (PhET: https:// phet.colorado.edu/es/), en las simulaciones de «Física 8 Movimiento» y pulsa sobre la que se llama «Movimiento de un proyectil». Laboratorio proyectiles Dentro del simulador, entra en el apartado «Laboratorio»:

Después, se eligen otras tres celdas para realizar los cálculos (por ejemplo, B4, B5 y B6), indicando qué contendrá cada una (en las correspondientes de la columna A). Quedará algo similar a lo que se muestra en la imagen siguiente:

Introduce en tu hoja de cálculo valores para la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento, por ejemplo, v0 = 15 m/s y a = 65°, y observa el alcance obtenido (A = 17,57 m, redondeado a dos cifras decimales utilizando formato de celdas 8 número 8 Posiciones decimales: 2).

Observa que hemos dejado que se introduzca el valor de la aceleración de la gravedad, por si quieres estudiar el movimiento en otro planeta distinto a la Tierra.

Paso 2. Introducimos las expresiones de cálculo de variables Ahora tendremos que introducir las expresiones con las que calcular las variables deseadas a partir de los datos introducidos. Recuerda que no se escribe el dato, sino la celda en la que se encuentra, y que los ángulos hay que introducirlos en radianes:

En el simulador, fija los valores de la velocidad inicial y el ángulo a los mismos valores anteriores, y mueve la diana del suelo hasta los 17,6 m. Hecho esto, pulsa el botón de lanzamiento (el de color rojo, con un cañón). Si todo ha funcionado, el proyectil debe impactar en la diana. ¡Ha funcionado! Por algo decimos que el conocimiento científico tiene poder de predicción. Comprueba, moviendo el cuadro de variables sobre la trayectoria, que también se han calculado bien la altura máxima y el tiempo de vuelo.

B4: =((A2^2)*(SENO(B2*PI()/180))^2)/(2*C2) B5: =2*A2*SENO(B2*PI()/180)/C2 B6: =A2^2*SENO(2*B2*PI()/180)/C2 Una vez hecho esto, cambiando los valores de la velocidad inicial y la altura de lanzamiento se obtienen los nuevos valores para las variables calculadas.

221

Estrategias de resolución de problemas Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 1 Se lanza desde el suelo una moneda verticalmente hacia arriba con v = 15 m/s y, en el mismo instante, desde una altura de 40 m, se lanza una piedra verticalmente hacia abajo a 5 m/s. ¿A qué altura se cruzan? Planteamiento y resolución Ambos cuerpos realizan lanzamientos verticales; el primero ascendente, y el segundo, descendente: Z] ]] y = v $ t – 1 $ g $ t 2 m 0m 2 Moneda [] ]] vm = v0m – g $ t \ ]Z] 1 ]] yp = y0p – v0p $ t – $ g $ t 2 2 Piedra ][ ]] ] vp = –v0p – g $ t \ En el momento de cruzarse, los dos estarán a la misma altura (ym = yp ): 1 1 v0m $ t – $ g $ t2 = y0p – v0p $ t – $ g $ t 2 8 2 2 y0p 8 t = v + v = 2 s 8 ym = yp = 10, 38 m 0m 0p DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Los dos cuerpos comienzan el movimiento al mismo tiempo. A los 1,53 s la moneda alcanza su altura máxima (11,47 m), se detiene, y comienza el descenso. En este instante, la piedra está a 20,87 m del suelo.

ANÁLISIS DEL PROBLEMA

Para relacionar dos movimientos simultáneos, hay que determinar sus ecuaciones en el mismo sistema de referencia. En este caso, situamos el origen en el punto de lanzamiento de la moneda, con el eje Y vertical hacia arriba. Hecho esto, se imponen las condiciones matemáticas necesarias. Por ejemplo, en un lanzamiento vertical hacia arriba, la velocidad se anula en la altura máxima, lo que se ha utilizado para obtener algunos datos de la discusión final. Has de acostumbrarte a relacionar el lenguaje matemático con los hechos; así, no leas «v0» como «uve sub cero» sino como «velocidad inicial»; «g» es la «aceleración de la gravedad», etc. Comprueba que este problema también se puede resolver representando las posiciones y-t de los dos cuerpos en la misma gráfica. Tras otros 0,47 s (t = 2 s) ambos cuerpos están a 10,38 m de altura, y sus velocidades son vm = – 4,62 m/s y vp = –24,62 m/s. Finalmente, la piedra llega al suelo 0,66 s antes que la moneda. Comprueba todos los datos de esta discusión.

Composición de dos movimientos rectilíneos uniformes 2 Un río tiene una anchura de 200 m, y el agua discurre a 10 m/s. Una lancha sale de una orilla, en dirección perpendicular a la corriente, con una celeridad respecto a tierra de 2 m/s. Otra lancha, que navega a contracorriente en línea recta, a igual distancia de ambas orillas, se encuentra en ese momento 750 m aguas abajo. Si ambas lanchas colisionan, ¿a qué velocidad respecto del agua viaja esta segunda embarcación? Planteamiento y resolución

= vc $ t $ i + v 1 $ t $ j

En el momento de la colisión, nentes queda:

8 = r2 ;

igualando sus compo-

x02 • x1 = x2 8 vc · t = x02 + vc · t – v2 · t 8 t = v 2 x02 x02 • y1 = y2 8 v1 $ t = y02 8 v1 $ v = y02 8 v2 = v1 · y = 15 m/s 2 02

222

¡ vR1 = (10 $ i + 2 $ j ) m/s ; vR1 = 10, 20 m/s 8

vR2 = (vc – v2) $ i ; vR2 = vc – v2 = –5 m/s

; r2 = [x02 + (vc – v2) $ t] $ i + y02 $ j 8 r1

Observa que los movimientos de ambas lanchas son el resultado de la composición de dos MRU, perpendiculares en el caso de la lancha 1, y en la misma dirección y sentidos contrarios en el de la 2. En ambos casos, la velocidad resultante es la suma vectorial de las velocidades que se componen:

Si situamos el origen del sistema de referencia en el punto del que parte la lancha 1, las posiciones vendrán dadas por: 8 r1

ANÁLISIS DEL PROBLEMA

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

La lancha 2 ha de viajar a 15 m/s respecto del agua (5 m/s respecto de tierra). Si va más despacio, la lancha 1 se cruzará por delante; si va más rápido, por detrás. ¿Sabrías calcular la posición de la colisión y el espacio recorrido por cada lancha?

Tiro oblicuo 3 Una pelota rueda por un tejado que forma 30° con la horizontal, cuya base se encuentra a 60 m del suelo. Al llegar al extremo comienza a caer con una celeridad de 10 m/s. Calcula: a) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? b) ¿Con qué velocidad impacta? c) Si la calle tuviera una anchura de 30 m, ¿llegaría directamente al suelo o chocaría con la pared del edificio opuesto? Planteamiento y resolución Se trata de un tiro oblicuo en el que la componente y de la velocidad inicial es negativa: 8 v0

= v0x + v0y = 8

y0 = 60 m

30°

= (8, 66 $ i – 5 $ j ) m/s

El movimiento resulta de la composición de un MRU en el eje X, y lanzamiento vertical con velocidad inicial en el eje Y. Las ecuaciones en ambos ejes son: x = v0x $ t ; vx = v0x ; ax = 0 1 y = y0 – v0y $ t – $ g $ t 2 ; vy = –v0y – g $ t ; ay = –g 2 Conocidas las ecuaciones del movimiento, se procede al cálculo de lo que se pide. a) El tiempo de vuelo se calcula imponiendo la condición y = 0: 1 y0 – v0y $ tv – $ g $ t v2 = 0 8 2 8 60 – 5 $ tv – 4, 91 $ t v2 = 0 8 tv = 3, 02 s b) La velocidad del impacto se calcula cuando: Sustituyendo: 8

t = tv = 3,02 s 8

Observa que en todos los casos se ha procedido de igual modo. En primer lugar, se plantean las ecuaciones de los movimientos rectilíneos cuya composición dará lugar al tiro oblicuo, prestando especial atención a las condiciones iniciales. Se ha de tener en cuenta, además, el convenio de signos para posiciones, velocidades y aceleraciones. Aquí se ha adoptado el que se presentó en el apartado 7 de esta unidad, aunque cualquier otro sería igualmente válido.

El tiempo de vuelo, tv , es algo que siempre tendremos que calcular, pues nos permite hallar el alcance, A, del tiro. No olvides que cuando t = tv, y = 0 y x = A. En estos problemas, la ecuación y = 0 siempre tendrá dos soluciones, y desecharemos la negativa. En cualquier punto intermedio, las ecuaciones paramétricas del movimiento, x (t ) e y (t ), nos permiten determinar la posición del móvil, y la velocidad se obtiene a partir de sus componentes, vx (t ) y vy (t ). Si lo que hay que calcular es la velocidad a una altura determinada, de y (t ) se obtiene el valor del tiempo y se sustituye en las ecuaciones de la velocidad. Por último, siempre debes recordar que las ecuaciones vectoriales del movimiento se obtienen a partir de las componentes, y que la tangente trigonométrica del ángulo que forma un vector con el eje X es el cociente entre su componente y y su componente x: 8

r (t ) = x (t ) $ i + y (t ) $ j

v = v0x $ i – (v0y + g $ tv ) $ j = (8, 66 $ i – 34, 63 $ j ) m/s

Impactará, pues, con una celeridad de 35,70 m/s, formando un ángulo b: tan b =

Con la resolución de este ejercicio ya se han cubierto todas las posibilidades del tiro oblicuo; vemos aquí el lanzamiento desde cierta altura, pero hacia abajo.

Tras ello, se ha de traducir el lenguaje verbal a lenguaje matemático, e imponer las condiciones que nos permiten calcular los parámetros solicitados.

= v0 $ cos 30º $ i – v0 $ sen 30º $ j = 8

ANÁLISIS DEL PROBLEMA

–34, 63 = 4 8 b = –76º 8, 66

c) Calculamos el alcance del tiro, que será el valor de x cuando el tiempo coincida con el tiempo de vuelo. A = x (t = tv ) = v0x $ tv = 26, 15 m El alcance es menor que la anchura de la calle, por lo que la pelota llega al suelo sin chocar antes con la pared del edificio de enfrente.

v (t ) = vx (t ) $ i + vy (t ) $ j 8

a = –g $ j componente y tan b = componente x

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

La pelota describe una trayectoria parabólica hasta que, a los 3,02 s de quedar libre, impacta con el suelo a 26,15 m de la fachada del edificio con una velocidad de 35,70 m/s que forma un ángulo de –76° con la horizontal.

223

Trabaja con lo aprendido

Recuerda seleccionar el material de trabajo de esta unidad para tu portfolio. porfolio.

5 Las ecuaciones paramétricas de un movimiento vienen dadas por:

Relatividad del movimiento. Magnitudes cinemáticas 1 Describe el movimiento del extremo del aspa de un ventilador, desde tu perspectiva, si: a) Te sitúas justo enfrente. b) Te alejas perpendicularmente al plano de giro. c) Andas en dirección paralela a dicho plano. d) Te sitúas en un lateral del ventilador, viéndolo de perfil. ¿Cuál de estas descripciones es la correcta?

2 Un observador, A, está en el interior de un vehículo que circula por delante de una gasolinera, en cuya cafetería hay otro observador, B. Razona para cuál de ellos es cierta cada una de estas afirmaciones: a) El surtidor de la gasolinera está en reposo. b) Los árboles del arcén se mueven. c) Un maletín situado en uno de los asientos del coche está en reposo. d) Un avión que vuela en dirección perpendicular a la carretera se encuentra en movimiento.

3 En cada uno de los siguientes casos, ¿qué móvil va más rápido, el A o el B? ¿Por qué? A

t=8s t=8s

B A

t=6s

t=8s

A B

b) Calcula el vector desplazamiento entre los instantes: t1 = 2 s y t2 = 5 s c) ¿En algún intervalo de tiempo coincide el módulo del vector desplazamiento con el espacio recorrido?

6 Un vehículo describe una circunferencia de radio R = 20 m, en sentido horario con celeridad constante, de modo que tarda 4 s en cada vuelta. Si situamos el origen del sistema de referencia en el centro de la circunferencia, calcula: a) La celeridad del movimiento. b) El vector velocidad media entre las posiciones (0, R ) y (R, 0). ¿Coincide en este caso la celeridad con el módulo de la velocidad media? ¿A qué se debe?

7 Un móvil se encuentra inicialmente en la posición (x = 2 m,8y = 8 m). Si se desplaza con velocidad media 8 8 vm = (2 $ i – 6 $ j ) m/s , ¿en qué posición se encontrará en t = 4 s? ¿A qué distancia del origen?

a) La celeridad media en los 3 primeros segundos.

t=8s t=8s t=4s

4 Desde una posición determinada, un móvil se desplaza 10 m hacia el este, 20 m hacia el norte, 5 m hacia el oeste y 30 m hacia el sur: a) Calcula el espacio recorrido, y el módulo del vector desplazamiento. b) Desde la última posición, ¿qué espacio ha de recorrer, y en qué dirección, para llegar en línea recta al punto de partida? 224

a) Determina la ecuación de la trayectoria y represéntala gráficamente.

8 La ecuación intrínseca de un movimiento viene dada por s = (3 + 2 · t – 5 · t 2) m. Calcula:

t=6s

x = t2 ; y = 5 + 2 · t2

b) La celeridad instantánea. ¿Se podría determinar, con estos datos, el vector velocidad? ¿Por qué?

9 ¿Qué significado tiene que la aceleración de un móvil que se mueve en línea recta, supuesta constante, es de 2 m/s2? 10 Indica si estas afirmaciones son verdaderas o falsas: a) En un MCU, la aceleración es nula. 8

b) En un movimiento circular, an no varía. c) Si la velocidad y la aceleración forman un ángulo de 30°, la celeridad es constante. d) Si la velocidad y la aceleración forman un ángulo de 150°, la aceleración tangencial es negativa.

11 El vector posición de un móvil viene dado por 8 8 8 r = [(2 – t 2 ) $ i – 3 $ t 2 $ j ] m : a) Calcula y representa la ecuación de la trayectoria. b) Determina los vectores velocidad y aceleración instantánea y sus módulos.

14 La gráfica x-t del movimiento de un cuerpo es: x/ m 30 25 20

c) Calcula los valores medios de estas magnitudes entre t = 2 s y t = 7 s.

d) Halla las componentes intrínsecas de la aceleración.

5 5

e) ¿De qué tipo de movimiento se trata?

12 Para describir un movimiento es necesario fijar un sistema de referencia. Los más utilizados son los cartesianos, pero no son los únicos. Para localizar un punto en el plano también es frecuente usar coordenadas polares. En estos sistemas de referencia lo que se proporciona es la distancia al origen, r, y el ángulo que forma el vector posición con el semieje positivo del eje X, i. Se muestra en la siguiente figura. Y

t /s

Describe el movimiento en cada tramo, y calcula: a) Las ecuaciones de la posición y la velocidad en cada tramo. b) La distancia al origen en t = 10 s, t = 17 s y t = 25 s. c) El vector velocidad media entre t = 10 s y t = 25 s. d) El módulo del vector desplazamiento en cada tramo, y el total.

15 Desde el origen de coordenadas, con una diferencia de 10 s, parten dos móviles en la misma dirección y sentido. El primero se mueve a 15 m/s. ¿A qué velocidad constante ha de moverse el segundo para alcanzarlo en 20 s? Resuelve el problema gráficamente, y comprueba que se obtienen los mismos resultados que si se resolviera numéricamente.

P = ( x, y)

i x

a) Si un objeto se localiza en las coordenadas cartesianas (3, 8), ¿cuáles serán sus coordenadas polares? b) Si las coordenadas polares de un punto son (4, 120°), ¿cuáles son las coordenadas cartesianas? c) ¿Cuáles son las ecuaciones generales para transformar coordenadas cartesianas en polares, y viceversa?

Movimientos rectilíneos 13 Dibuja la gráfica posición-tiempo y velocidad-tiempo de los movimientos de ecuaciones: a) x = (–2 + 4 · t ) m.

16 Un móvil, inicialmente en reposo, adquiere una velocidad de 20 m/s en 15 s. Determina las ecuaciones de la posición, la velocidad y aceleración. Representa gráficamente estas magnitudes y determina sus módulos en el instante t = 10 s. 17 Un camión circula por una recta a 100 km/h. Detrás de él, a una distancia de 30 m, lo hace una moto a la misma velocidad. En un instante (t = 0), el motorista decide adelantar al vehículo, invirtiendo 10 s en situarse 20 m delante. ¿Qué espacio recorre cada vehículo durante el adelantamiento? 18 La aceleración de frenado de un vehículo es de 5 m/s2. Calcula: a) La distancia de frenado cuando circula a 60 km/h, y cuando lo hace a 120 km/h.

b) x = (3 – 9 · t ) m.

b) La distancia de frenado en ambos casos, si el tiempo de reacción del conductor es de 1 s.

Determina, en cada caso, los valores iniciales de posición y velocidad y los del instante t = 3 s.

c) Sin tener en cuenta el tiempo de reacción, ¿qué relación existe entre el tiempo y la velocidad inicial? 225

Trabaja con lo aprendido

Recuerda seleccionar el material de trabajo de esta unidad para tu porfolio.

19 Calcula la aceleración en cada tramo y el espacio total recorrido por el móvil representado por la gráfica: v/ (m · s–1)

6 4 2 A

D 10

t/s

20 Para medir la profundidad de un pozo, se puede dejar caer una piedra desde su boca y medir el tiempo que tardamos en oír el impacto con el agua. Determina la ecuación que nos permite obtener esta profundidad en función del tiempo medido; ten en cuenta el tiempo que tarda en llegar el sonido, con velocidad vs. 21 Un objeto en caída libre recorre la cuarta parte de la altura inicial en los últimos 0,75 s. ¿Desde qué altura se dejó caer? ¿Con qué velocidad impacta con el suelo? Elabora un listado con los pasos que has seguido para resolver el problema. 22 Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota a 25 m/s. ¿En qué instantes la celeridad es de 10 m/s? Desde un punto de vista físico, ¿por qué se obtienen dos valores? ¿A qué altura está la pelota en estos instantes? Representa, para esos dos puntos, los vectores posición, velocidad y aceleración. 23 La altura a la que se encuentra un cuerpo en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo que lleva moviéndose. Por ello, cuando se resuelve la ecuación y (t ) = 0 se obtienen dos soluciones, una de ellas negativa. ¿Qué significado podríamos darle a la solución negativa, que siempre desechamos? 24 Observa el siguiente gráfico y explica a qué situación cotidiana puede hacer referencia, indicando los valores de las magnitudes cinemáticas de los movimientos que se representan. x /m 500 400 300

25 En un lazamiento vertical ascendente, ¿de qué variables depende el tiempo que se tarda en alcanzar la altura máxima? ¿Qué relaciones de proporcionalidad guarda con cada una de ellas? 26 Dos vehículos, A y B, circulan por una carretera recta sobre la que situamos el eje X de nuestro sistema de coordenadas. Cuando el vehículo A que circula 8 8 con velocidad constante v = 90 · i km/h, pasa por el origen de coordenadas, el B comienza, desde el reposo, un movimiento uniformemente acelerado en sentido contrario desde la posición x = 500 m. ¿Con qué aceleración debe describir B su movimiento para cruzarse con A en x = 300 m? ¿Qué velocidad lleva en ese momento, en km/h? Composición de movimientos 27 Una lancha motora se mueve, según su panel de mandos, a 20 nudos con la proa orientada en dirección este. Si se encuentra inmersa en una corriente marina de 5 km/h dirección norte, ¿cuál es su velocidad respecto a la costa? Para moverse hacia el este respecto a la costa, ¿hacia qué dirección se debería enfocar la proa? Dato: 1 nudo = 1,852 km/h. 28 Con una piragua, una persona tarda tres minutos en recorrer 200 m cuando rema a favor de la corriente, y cinco minutos cuando lo hace en contra, en ambos casos a velocidad constante. A esta velocidad, si rema perpendicularmente a la corriente, invierte cuatro minutos en cruzar el río. Calcula la velocidad de la piragua, la velocidad de la corriente y la anchura del río. ¿En qué dirección debería remar para cruzar el río perpendicularmente a la orilla, y cuánto tiempo tardaría en hacerlo? 29 Un pasajero de un globo aerostático que viaja a 10 nudos con trayectoria paralela al suelo a 30 m de altura quiere soltar un paquete de modo que caiga en el patio de su casa, por encima del cual pasará el globo. Si despreciamos el rozamiento con el aire, ¿en qué punto de la trayectoria deberá soltarlo? ¿Qué tipo de movimiento describe el paquete para el pasajero del globo? ¿Y para alguien que está esperando en el patio? Dato: 1 nudo = 1,852 km/h.

200 100 0

226

t/s

30 La boca de una manguera, de 2 cm de diámetro, se sitúa de modo que, a 1 m de altura, el chorro de agua sale horizontal al suelo. Si el agua se aleja 10 m, ¿cuántos litros salen por minuto? Pista: m/s · m2 = m3/s.

31 En una competición de tiro con arco, la diana, de 80 cm de diámetro, se encuentra a 50 m de distancia, y su centro a 1,5 m del suelo. En uno de los tiros la flecha sale a 230 km/h, con un ángulo de 3,5°, desde una altura de 1,60 m. Despreciando el rozamiento con el aire, ¿impactará la flecha en la diana? En caso afirmativo, ¿con qué velocidad, y en qué dirección? 32

En la Edad Media se pensaba que el movimiento de proyectiles tenía lugar según se muestra en la siguiente imagen. ¿Estaban en lo cierto? Justifícalo.

Ciencia, tecnología y sociedad Sistemas de geolocalización Para localizar un objeto en el plano (dos dimensiones) se necesitan dos coordenadas; si es en el espacio (tres dimensiones), se necesitan tres. Pero no siempre se utilizan las coordenadas cartesianas, basadas en las distancias al origen en cada uno de los ejes. En los sistemas de coordenadas esféricas, la localización se proporciona mediante dos ángulos y la distancia al origen. Es el sistema utilizado por la localización GPS, que considera el origen en el centro de la Tierra y proporciona la latitud, la longitud y la altura respecto del nivel del mar. En los sistemas de coordenadas cilíndricas, la ubicación viene dada por dos distancias y un ángulo. Es el sistema utilizado para la localización de aeronaves cuando se encuentran cerca del lugar de aterrizaje. También se utiliza para el tráfico marítimo, aunque en este caso basta con un ángulo y una distancia.

33 Desde el extremo del mástil de un velero, de 30 m de altura, se deja caer un cuerpo de 2 kg. Si despreciamos el rozamiento, ¿en qué punto de la cubierta impacta? ¿En qué caso tardará más en caer, si el velero navega a 10 nudos (1 nudo = 1,852 km/h ) o si navega a 20 nudos? ¿Y si fuese un cuerpo de 4 kg? Si un observador describe el movimiento como rectilíneo, y otro como parabólico, ¿dónde está cada uno?

Según nuestras necesidades, se elige el sistema de localización más adecuado. Z

34 ¿Coinciden las ecuaciones de un tiro oblicuo a 90° con las de un lanzamiento vertical ascendente?

37 Determina la celeridad inicial y el ángulo de lanzamiento de un proyectil que, lanzado desde el suelo, alcanza una altura máxima de 3 m e impacta a los 10 m del punto de lanzamiento. 38 Un cañón puede disparar balas de diferente masa. En ausencia de rozamiento, ¿llegarán más lejos las más ligeras? Razona tu respuesta y compruébalo en el laboratorio virtual con el que has trabajado en la sección TIC de esta unidad.

O f

Coordenadas esféricas

35 Sabiendo que en el primer cuadrante el valor del seno oscila entre 0 y 1, ¿para qué valor de a será máximo el alcance de un tiro parabólico para unos determinados valores de velocidad inicial y ángulo de lanzamiento? 36 Demuestra que las ecuaciones de un tiro horizontal equivalen a las de un tiro oblicuo desde la misma altura con elevación nula. Comprueba que la ecuación del alcance es dimensionalmente homogénea.

Z r P

O f

Coordenadas cilíndricas

El GPS (Global Positioning System) funciona con 24 satélites de producción estadounidense que orbitan la Tierra. Elabora un informe sobre el modo en que opera, y sobre el proyecto Galileo de la Agencia Espacial Europea (ESA).

227

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