Issuu

DEMO

INCLOU

ÈN

C IA 1 2 ME

Ill

Ba lear

PROJECTE DIGITAL

ESO

MATEMÀTIQUES José Colera J., M.a José Oliveira G., Ignacio Gaztelu A., Ramón Colera C., Ana Aicardo B.

ió

c ra

n ó O m pe

Índex Els sabers bàsics del curs Entrena’t resolent problemes 1. Fes un esquema en el qual es recolzin les dades 2. En els problemes geomètrics, fes un dibuix! 3. Procedeix sistemàticament 4. Tempteja, assaja, posa’n exemples… 5. Organitza la informació Problemes

DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

Quant gasta una família?: despesa en proporció o despesa total

1N ombres per comptar, nombres per mesurar 1. Nombres naturals 2. Altres maneres de comptar 3. Nombres enters 4. Fraccions 5. Operacions amb fraccions 6. Nombres decimals 7. Fraccions i decimals amb la calculadora Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

2 Potències i arrels 1. Potenciació 2. Notació científica 3. Arrels exactes 4. Radicals Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

3 Problemes aritmètics 1. Aproximacions i errors 2. Càlculs amb percentatges 3. Interés compost 4. Problemes clàssics 5. Proporcionalitat composta en problemes aritmètics Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

4 Progressions 1. Successions 2. Progressions aritmètiques 3. Progressions geomètriques 4. Progressions geomètriques sorprenents Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació Dossier d’aprenentatge DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

Àlgebra per al rebut de l’aigua

5 El llenguatge algebraic 1. Expressions algebraiques 2. Monomis 3. Polinomis 4. Identitats 5. Divisió de polinomis Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

6 Equacions 1. Equacions. Solució d’una equació 2. Equacions de primer grau 3. Equacions de segon grau 4. Resolució de problemes amb equacions Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

7 Sistemes d’equacions 1. Equacions lineals amb dues incògnites 2. Sistemes d’equacions lineals 3. Sistemes equivalents 4. Tipus de sistemes segons el nombre de solucions 5. Mètodes de resolució de sistemes 6. Resolució de problemes mitjançant sistemes Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació Dossier d’aprenentatge

DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

Diga’m quin és el teu gràfic i et diré quina forma tens

8 Funcions. Característiques 7. Les funcions i els seus gràfics 8. Aspectes rellevants d’una funció 9. Expressió analítica d’una funció Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

9 Funcions lineals i quadràtiques. 1. Funció de proporcionalitat y = mx 2. Funció lineal y = mx + n 3. Aplicacions de la funció lineal. Problemes de moviments 4. Estudi conjunt de dues funcions lineals 5. Paràboles i funcions quadràtiques Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

Dossier d’aprenentatge DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

12 Transformacions geomètriques 1. Transformacions geomètriques 2. Moviments en el pla 3. Translacions 4. Girs. Figures amb centre de gir 5. Simetries axials. Figures amb eixos de simetria 6. Composició de moviments 7. Mosaics, sanefes i rosetons Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

Dossier d’aprenentatge DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

Un intent de mesurar la felicitat

13 Taules i gràfics estadístics 1. El procés que se segueix en estadística 2. Variables estadístiques 3. Població i mostra 4. Confecció d’una taula de freqüències 5. Gràfic adequat al tipus d’informació Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

Constructors per un dia: un projecte de reforma

10 Problemes mètrics en el pla 1. Relacions angulars 2. Triangles semblants. Teorema de Tales 3. Figures semblants. Escales 4. Teorema de Pitàgores 5. Aplicació algebraica del teorema de Pitàgores 6. Àrees dels polígons 7. Àrees de les figures corbes Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

14 Paràmetres estadístics 1. Dos tipus de paràmetres estadístics 2. Càlcul de x i σ en taules de freqüències 3. Interpretació conjunta de x i σ 4. Paràmetres de posició: mediana i quartils 5. Obtenció de x i σ amb la calculadora 6. Estadística en els mitjans Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

15 Atzar i probabilitat 11 Cossos geomètrics 1. Poliedres regulars i semiregulars 2. Truncant poliedres regulars 3. Plans de simetria d’una figura 4. Eixos de gir d’una figura 5. Superfície dels cossos geomètrics 6. Volum dels cossos geomètrics 7. Coordenades geogràfiques Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

1. Esdeveniments aleatoris 2. Probabilitat d’un esdeveniment 3. Probabilitat en experiències regulars. Llei de Laplace 4. Probabilitat en experiències irregulars. Llei dels grans nombres 5. Probabilitats en experiències compostes Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

Dossier d’aprenentatge

13 Taules i gràfics estadístics Els censos i recomptes estadístics estan presents en totes les civilitzacions des de temps antiquíssims, però es limitaven a la recollida de dades i, com a màxim, a la seva exposició clara i ordenada. Generalment, les dades que es recollien eren relatives a l’estat; d’aquí l’origen de la paraula «estadística». Hi ha papirs egipcis de fa més de 5000 anys on hi ha constància de censos de població i de béns. Dedicaven tanta atenció a aquests assumptes que varen concebre una divinitat anomenada Seshat, deessa dels llibres i els comptes, que s’ocupava de protegir les dades recopilades. També a Babilònia guardaven en tauletes d’argila els recomptes estadístics que realitzaven, especialment sobre dades de ramaderia i agricultura. Varen recopilar tanta informació que en el segle VIII aC varen construir una biblioteca per guardar aquests documents.

262

L’estadística va cobrar una importància especial amb el naixement de l’Imperi romà, que va destacar per l’extraordinària organització de l’estat. Varen recollir i ordenar una quantitat de dades ingent en tot el territori: naixements, defuncions, matrimonis, habitants per quilòmetre quadrat, superfície, riqueses… Des d’aleshores, l’estadística ha progressat de manera sorprenent. I, actualment, amb les grandíssimes quantitats d’informació que es recopilen per tots els mitjans, molt especialment per Internet, i amb la incommensurable ajuda dels ordinadors, els grans poders posseeixen una informació inesgotable sobre tots nosaltres (aficions, tendències, relacions socials, possessions…) amb la qual cosa millora de forma notable la seva capacitat per governar eficaçment, encara que també els confereix unes enormes possibilitats de manipulació.

Amb el que ja saps, resol el problema L’alumnat d’un grup de 3r d’ESO amb 34 estudiants responen l’enquesta següent dissenyada per ells mateixos: Color del teu cabell (negre, castany, daurat, ros, pèl-roig). Quantes persones viuen a ca teva. La teva alçada (en cm).

Recullen els 34 fulls de resultats i realitzen el recompte: COLOR DEL CABELL

NOMBRE

Negre

Castany

Daurat

Ros

Pèl-roig

TOTAL

PERSONES A CASA

2 3 4 5 6 7 8 TOTAL

NOMBRE

ALÇADA

NOMBRE

3 12 10 6 2 0 1 34

150 - 155 155 - 160 160 - 165 165 - 170 170 - 175 175 - 180 180 - 185 TOTAL

3 5 6 8 5 4 3 34

I representen gràficament els resultats així: 8 Negre Castany Daurat Ros Pèl-roig

6 4

2 2

150 155 160 165 170 175 180 185

❚ Reflexiona Per al disseny i l’exposició de resultats, aquests estudiants (amb l’ajuda de la professora) han hagut de prendre alguna decisió. Medita-hi: a) Per què en l’enquesta, per al color del cabell, han imposat unes respostes molt concretes? Podrien haver-ne posat unes altres? Podrien haver deixat obertes les opcions? b) Per què han recollit el resultat de les alçades en intervals? c) Et sembla adequat el tipus de gràfics amb què han representat cada una de les tres respostes?

T’ANIMES A FER-HO TU? Sol o molt millor en grup!, podries fer una cosa semblant (dissenyar una enquesta, recollir-ne els resultats, organitzar-los en taules i representar-los gràficament) a la classe o en un altre lloc si la professora o professor ho considera adequat. Amb aquestes mateixes preguntes o amb altres que vos semblin millor.

263

El procés que se segueix en estadística La informació estadística que rebem arriba mitjançant gràfiques o taules molt ben construïdes, amb les quals resulta molt senzill entendre la informació que se’ns dona. No obstant això, aquestes taules i gràfiques són el resultat d’un procés llarg. Vegem-ne els passos principals. 1r Què volem estudiar? En l’exemple de la pàgina anterior, es pretén traure conclusions sobre el color del cabell, el nombre de persones que viuen a cada casa i l’alçada dels estudiants d’una classe. 2n Selecció de les variables que s’hi analitzaran Si a cada estudiant es pregunta pel seu color de cabell, sense més, és molt probable que s’obtengui una enorme quantitat de respostes diferents, difícils d’organitzar (ros, negre atzabeja, metxes, castany clar, ataronjat, pèl-roig…). En el nostre cas, per al color de cabell original (sense tints), tenim aquestes opcions: a) Negre

b) Castany

c) Daurat

d) Ros

e) Pèl-roig

3r Recol·lecció de dades S’efectuen les mesures i es realitzen les enquestes. En el nostre exemple, es passa una targeta a cada estudiant, com la que veus a la dreta, perquè hi anoti les seves respostes.

• Quin és el teu color de cabell original (sense tints)? Negre

Castany

Daurat

Ros

Pèl-roig

• Quantes persones viuen a ca teva? _________ • Quina és la teva alçada en centímetres? _________

4t Organització i exposició de dades Es realitzen els recomptes, s’ordenen les dades en taules (es tabulen), s’elaboren les gràfiques adequades i, en alguns casos, es calculen els paràmetres que convenguin. A aquestes tasques ens dedicarem al llarg d’aquesta unitat i de la següent.

PENSA I PRACTICA

1 Es vol fer una enquesta per estudiar les aficions musi-

cals. Digues justificadament si et semblen o no raonables cada una de les preguntes següents: a) Quins són els teus grups musicals preferits? b) Dels estils musicals següents, senyala’n els que hagis escoltat més aquest mes:

264

• Rock

• Pop

• Rap

• Elèct.

• Hip-Hop

• Reggae

• Salsa

• Punk

• Metal

• Grunge

• Jazz

• Clàssica

c) Escoltes la ràdio? Si és així, quina cadena? d) Quines d’aquestes cadenes de ràdio escoltes més de 2 hores a la setmana? • Cadena 100 • Els 40 Principals • Rock FM • Kiss FM • Ràdio Clàssica • Europa FM • EDM • M80 Radio • Ràdio 3 • Cadena Dial e) Quin és el darrer concent que has anat?

U 13

Variables estadístiques Les variables estadístiques són, com pots recordar, les característiques que s’estudien d’una població. Vegem alguns exemples de variables estadístiques:

1,77

1,48

nombre de peixos capturats

0,83

3,09

cola

pes de la motxilla

llimona

taronja

gasosa

beguda elegida

Les dues primeres variables, nombre de peixos i pes de les motxilles, són quantitatives, ja que els seus valors s’expressen amb nombres (quantitats). La tercera variable, tipus de beguda, és qualitativa, perquè el tipus de beguda no es pot descriure amb un nombre, sinó mitjançant una qualitat. Una variable quantitativa és discreta quan només admet valors aïllats (el nombre de peixos capturats pot ser 1 o 2, però no un nombre intermedi). Una variable quantitativa és contínua quan entre cada dos valors poden donar-se tots els intermedis (una motxilla pot pesar 1,245 kg, encara que habitualment s’arrodoneix i s’expressa mitjançant un nombre amb una sola xifra decimal). Tipus de variables estadístiques • Quantitativa: Numèrica.

Discreta: Només pot prendre valors aïllats. Contínua: Podria prendre tots els valors d’un interval. • Qualitativa: No numèrica.

|Exemple Un inspector de sanitat anota característiques de restaurants: — Nombre de persones que hi fan feina (1, 2, 3…): quantitativa discreta. — Superfície (187,5 m2): quantitativa contínua. — Tipus de menjar (xinesa, pasta, hamburguesa, marisc…): qualitativa.

PENSA I PRACTICA

1 Indica si cadascuna d’aquestes variables és quantitativa

discreta, quantitativa contínua o qualitativa:

a) En els cines d’un poble s’anota el tipus de pel·lícula que projecten (comèdia, acció…), quant dura la pel· lícula i el nombre d’espectadors. b) En els mercats d’una ciutat s’observa la superfície, el nombre de portes d’accés i el tipus de mercat (alimentació, roba, complements…).

c) Ens hem fixat en algunes característiques dels telèfons mòbils que té l’alumnat d’un centre escolar: la marca, el nombre de companyies que l’ofereixen i el preu. 2 En l’exemple de la pàgina 263, indica de quin tipus és

cada una de les variables (color de cabell, persones que viuen a casa i alçada) i escriu alguns dels possibles valors que poden prendre. 265

Població i mostra Observa la representació gràfica de les tres distribucions que hem vist a la pàgina anterior:

Nre. de captures de 120 pescadors

Pes de les motxilles de 30 estudiants

30 3030

1212 12

25 2525

1010 10

20 2020

88 8

15 1515

66 6

10 1010

44 4

55 5

22 2

00 0

00 0 00 0 11 1 22 2 33 3 44 4 55 5

00 0 11 1 22 2 33 3 44 4 55 5 66 6

Beguda escollida per 40 assistents a una festa d'aniversari 5% 5% 5%

Cola

20% 20% 20% 45% 45% 45% 30% 30% 30%

Llimona Taronja Gasosa

Cada una es referix a un col·lectiu: • 120 pescadors d’un pantà. • 30 estudiants d’una classe. • 40 assistents a un aniversari. El col·lectiu objecte d’un estudi estadístic s’anomena població. De vegades, el conjunt que interessa és massa nombrós per poder analitzar cada un dels elements; llavors s’extreu una mostra. Per exemple, és possible que els 120 pescadors siguin una mostra de la població formada per totes les persones que estan pescant al pantà. POBLACIÓ O MOSTRA

Un col·lectiu pot ser població o mostra segons ens interessi per si mateix o sigui un medi per inferir informació sobre un col·lectiu més extens.

Població és el conjunt de tots els elements que són objecte del nostre estudi. Mostra és un subconjunt, extret de la població, que s’estudia per inferir característiques de tota la població. Individu és cada un dels elements que formen la població o la mostra. |Exemple A la pàgina anterior hem vist un inspector de sanitat que investiga restaurants. Per fer un informe relatiu a una ciutat, en seleccions alguns a l’atzar. El conjunt de tots els restaurants que hi ha a la ciutat és la població; els restaurants seleccionats són la mostra i cada restaurant és un individu.

PENSA I PRACTICA

1 Indica la població, la mostra i els individus de cada un

dels exemples següents:

a) Se seleccionen 50 edificis d’una ciutat per fer un estudi sobre el nombre de plantes, l’altura i la utilització de locals baixos (per a pisos, oficines, botigues, bars...). 266

b) S’analitzen 100 llibres d’una biblioteca: nombre de pàgines, ubicació a l’estanteria i contingut (com a novel·la, assaig, manual…). c) S’han enquestat 23 dels alumnes i de les alumnes que van al centre amb bici sobre el nombre d’engranatges de la bicicleta, el pes i la marca.

U 13

El paper de les mostres Com ja hem vist, de vegades és necessari recórrer a una mostra per recol·lectar les dades. Vegem quan i com es fa, i s’ha d’esperar dels resultats d’aquesta elecció. ❚ quan s’ha de recórrer a una mostra

Moltes vegades és aconsellable, o fins i tot imprescindible, recórrer a una mostra i no a tota la població. Vegem-ne alguns casos: • Quan la població és molt nombrosa. Per exemple, si volem conèixer quin és el tipus de lectura de tota la joventut d’una comunitat autònoma. • Quan la població és difícil de controlar. Per exemple, si es desitja estudiar el nombre de vegades al mes que cada client va a uns grans magatzems. • Quan l’estudi de les variables requereix un procés molt car o destructiu. Per exemple, desitjam saber la durada real d’un nou tipus de piles. La forma de mesurar-les és posar-les en ús fins que s’esgotin. ❚ informació a tenir en compte en la selecció d’una mostra

La selecció d’una bona mostra no és feina fàcil. És molt important tenir en compte el següent: • Perquè la mostra sigui vàlida és necessari que se seleccioni aleatòriament (a l’atzar) i que tots els individus de la població tenguin la mateixa probabilitat de ser elegits. Per exemple, per estimar els resultats a les eleccions en una localitat d’uns 5 000 habitants es realitza una enquesta a 200 persones. Fer-ho via telefònica, per Internet o al mercat no és fiable, ja que en quedarien excloses les persones que no tenen telèfon, les que no usen Internet o les que no van al mercat, respectivament. L’única forma fiable de seleccionar la mostra és triar a l’atzar 200 persones entre les inscrites en el cens. • La mida de la mostra sí importa. Però, sorprenentment, amb mostres petites ben seleccionades es poden extreure conclusions molt vàlides. Per exemple, per pronosticar el resultat d’unes eleccions en un país amb milions de votants, pot ser suficient una bona mostra de 3 000 individus. No obstant això, una mostra molt major (de 50 000) presa per un diari no és representativa, ja que s’exclouen els que no el llegeixen. ❚ quines conclusions es poden extreure de l’estudi d’una mostra

La resposta a aquesta pregunta és summament complicada. Ens hi aproximarem en cursos posteriors. En aquest ens conformarem amb dir que les conclusions que s’extreuen per la població a partir d’una mostra sempre seran aproximades i, a més a més, amb un cert marge d’error. Per exemple: «A les pròximes eleccions guanyarà la candidata X amb, aproximadament, un 56 % dels vots». I aquesta afirmació la realitzam amb un marge d’error del 5 %. 267

4 NOTACIÓ

A les taules de freqüències se sol designar: xi → valors de la variable fi → freqüència de cada valor

Confecció d’una taula de freqüències Una vegada recollides les dades, les organitzam en una taula de freqüències.

Taula amb dades aïllades Si la variable pren pocs valors es procedeix com en l’exemple següent sobre el nombre de problemes que ha resolt correctament cadascun dels 20 estudiants en un examen. La variable, xi, pren els valors 0, 1, 2, 3, 4 i 5. taula de freqüències

RECOMPTE

Per fer el recompte, es llegeixen els resultats un a un i es traça una marca on correspongui (se sol anar tatxant amb un llapis les dades comptabilitzades per no tornar a comptar-les). Si les marques s’agrupen de cinc en cinc, es compten millor (la cinquena serveix per tancar el manat).

recompte

Taula amb dades agrupades en intervals Si la variable és contínua o bé, essent discreta, pren molts valors distints, convé agrupar-los en intervals. En el nostre exemple, les 30 millors marques de salt d’alçada d’enguany en una certa regió, agrupam les dades en intervals amb decimals perquè no hi hagi dubtes de l’interval al qual pertany cada una. taula de freqüències recompte

anayaeducacion.es

➜

Fes taules de freqüències.

interval

195 198 201 187 192

Entre 180,5 i 184,5

180,5-184,5

181 197 198 203 195

Entre 184,5 i 188,5

184,5-188,5

185 187 192 196 188

Entre 188,5 i 192,5

188,5-192,5

199 193 189 185 204

Entre 192,5 i 196,5

192,5-196,5

198 201 184 189 202

Entre 196,5 i 200,5

196,5-200,5

187 194 200 198 193

Entre 200,5 i 204,5

200,5-204,5

PENSA I PRACTICA

El professor ha apuntat les faltes d’assistència que ha tengut cada un dels alumnes i de les alumnes al llarg del trimestre: 2, 3, 0, 1, 1 2, 2, 4, 3, 1 3, 0, 2, 0, 1 2, 2, 1, 2, 1 0, 3, 4, 2, 1 3, 5, 1, 1, 2 a) Confecciona una taula de freqüències. b) Si es volgués fer una estadística amb el nombre d’exercicis ben resolts per cada alumne al llarg de l’any, la taula de freqüències hauria de ser amb dades aïllades o agrupades en intervals?

268

2 En l’exemple de la pàgina 263, indica de quin tipus

és cada una de les variables (color de cabell, persones que viuen a casa i alçada) i escriu alguns dels possibles valors que poden prendre. 174 169 158 162 179 181 176 172 167 165 164 179 152 182 175 173 166 164 160 171 158 167 174 177 165 166 173 167 159 164 153 165 172 164 Fes una taula de freqüències amb aquests intervals: 149,5-154,5-159,5-164,5-169,5-174,5-179,5-184,5

U 13

Freqüències relatives i percentatges No és el mateix dir que 5 estudiants resolen un problema que un de cada quatre estudiants el resol. També hi ha diferència entre afirmar que a l’interval 192,5196,5 hi ha 6 saltadores d’alçada i dir que en aquest interval es concentra un 20 % de les atletes. xi

2/20 = 0,10

5/20 = 0,25

3/20 = 0,15

6/20 = 0,30

3/20 = 0,15

1/20 = 0,05

total

1,00

100

La proporció o el percentatge corresponent a un determinat valor és, moltes vegades, una informació més completa que la freqüència absoluta. La freqüència relativa, fr , d’un valor és la proporció de vegades que es presenta. S’obté dividint la seva freqüència pel nombre total d’individus. Si multiplicam per 100 la freqüència relativa, obtenim el percentatge o la freqüència percentual. La taula del marge és la del primer exemple de la pàgina anterior amb dues columnes més: una per a les freqüències relatives i una altra pels percentatges.

Freqüències acumulades Quan els valors de la variable estan ordenats de menor a major, la freqüència acumulada a cada valor és la suma de la seva freqüència amb les de tots els valors anteriors. Per exemple:

TEN-HO EN COMPTE

Perquè tenguin sentit les freqüències acumulades, els valors de la variable han d’estar ordenats. Això ocorre amb les variables quantitatives i amb algunes variables qualitatives. Per exemple, els mesos de l’any: GN, FB, MÇ, AB...

2+5=7

2 + 5 + 3 = 10

2 + 5 + 3 + 6 = 16

2 + 5 + 3 + 6 + 3 = 19

2 + 5 + 3 + 6 + 3 + 1 = 20

freqüència acumulada

facumulada (4) = 19 8 19 estudiants han resolt 4 problemes o menys.

PENSA I PRACTICA

3 La taula següent mostra l’esport que preferixen practicar

40 estudiants.

a) Calcula les freqüències relatives i percentuals d’aquesta distribució i explica per què no té sentit trobar les freqüències acumulades.

esport

Bàsquet Voleibol Futbol Tenis Escacs

freqüència

10 1 20 5 4

b) Que la freqüència relativa de Bàsquet sigui 10/40 vol dir que un de cada quatre estudiants juga a bàsquet. Explica amb les mateixes paraules les freqüències relatives de Futbol i Tenis i les freqüències percentuals d’Escacs i Bàsquet.

4 Troba les freqüències acumulades d’aquesta distribució i

digues què signifiquen facumulada (3) i facumulada (5). nre. de suspensos freqüència

0 6

1 12

2 8

3 5

4 3

5 1

6 1

7 0

5 Aquesta taula recull els mesos en què fan anys les 100

persones que formen un grup de muntanyisme.

Gn Fb Mç Ab Mg Jn Jl Ag St Oc Nv Ds freq. 7 9 10 6 8 8 7 9 8 9 9 10 mes

a) Troba les freqüències acumulades. b) Quantes persones nasqueren abans de juny? I després d’agost? 269

Gràfic adequat al tipus d’informació

En moltes disciplines trobam esplèndides representacions de gràfics estadístics que ens permeten, amb només una ullada, entendre el que ens volen transmetre. Vegem com utilitzar-los de manera correcta.

Diagrama de barres

ALTRES TIPUS DE GRÀFICS

En els diagramas de barres les longituds de les barres són proporcionals a les freqüències corresponents. S’utilitzen per a distribucions de variables quantitatives discretes. Per això, les barres són estretes i se situen a damunt dels valors puntuals de la variable. També s’usen per representar variables qualitatives.

Hi ha infinitat de tipus de gràfics estadístics. Observa aquest, anomenat pictograma, sobre els països que més CO2 emeten a l’atmosfera.

nre. de mòbils que han tengut els 400 estudiants d’un centre

marca dels mòbils que tenen els 300 estudiants d’un centre

chonix-pera berri-back guguelne-xus

ifon-5 sanson-universe

a Jap ó Ale ma nya Iran

L’histograma s’utilitza per a distribucions de varible contínua. Per això s’usen rectangles amb bases de la longitud dels intervals. Si aquests intervals són tots iguals, les altures, de la mateixa manera que en els diagrames de barres, són proporcionals a les freqüències corresponents.

Rús si

Índ i

EU A

Xin

Histograma de freqüències

Els pictogrames estan destinats al gran públic perquè són molt vistosos i intuïtius, encara que poc precisos.

temperatures màximes al llarg d’un any

voltes a un circuit que fan en 12 min els estudiants de 3r d’eso

5 10 15 20 25 30 35

7 8 9 10 11 12 13

nre. d’assistents a una sala de cine al llarg d’un mes

0 50 100 150 200 250 300 350

Encara que les dades no venguin donades per intervals (com en el cas de les voltes a la pista d’atletisme), quan es tracta d’una variable contínua (8 voltes significa que encara no n’han fet 9) és raonable usar l’histograma i no el diagrama de barres. El nombre d’assistents és una variable quantitativa discreta, però en prendre molts de valors distints, s’utilitzen intervals i, per tant, histogrames. PENSA I PRACTICA

Representa, mitjançant el gràfic adequat, les dades obtengudes en les enquestes realitzades en una classe de 2n de Batxillerat: a) Alçada dels estudiants. alçada

(cm)

160-164,5 164,5-169,5 169,5-174,5 174,5-179,5 179,5-185 270

freqüència

1 4 10 8 9

b) Persones a casa. nre. de persones

freqüència

U 13

Polígon de freqüències temperatures màximes

5 10 15 20 25 30 35

El polígon de freqüències s’utilitza en els mateixos casos que l’histograma. Es construeix unint els punts mitjans dels costats superiors dels rectangles i prolongant la línia, al principi i al final, fins a arribar a l’eix. El propòsit és suavitzar els escalons que es produeixen a l’histograma.

Diagrama de sectors

RESULTATS DE LES ELECCIONS

Al final de la jornada electoral es molt comú veure els resultats exposats de la forma següent:

En un diagrama de sectors, l’angle de cada sector és proporcional a la freqüència corresponent. Es pot utilitzar per a tot tipus de variables, però s’usa molt habitualment per a les variables qualitatives. Per exemple, en el diagrama següent veim les preferències cinematogràfiques d’una certa població d’Espanya per percentatges: Acció

Comèdia

33 %

40 %

Romàntica

A C Eleccions anteriors B C

10 % 10 %

Altres

Previsions

Terror

Altres

Aquest tipus de diagrama és especialment adequat per representar, en diversos passos, una evolució al llarg del temps. Per exemple, podem observar l’evolució, des del 1950 fins al 2010, del nivell d’estudis de la població d’una certa regió: observam com al llarg del temps ha anat disminuint el nombre de persones analfabetes i amb estudis bàsics, i com ha augmentat considerablement la població amb estudis mitjans i superiors. Analfabetisme

➜

anayaeducacion.es

Estudis bàsics

GeoGebra. Diagrama de sectors.

Estudis mitjans 1950

1980

2010

Estudis superiors

PENSA I PRACTICA

2 Els diagrames de sectors s’utilitzen sovint per comparar

la mateixa distribució en diferents països o regions.

Observa els sectors que mostren com es divideix la població treballadora de dos països: Àustria i Mauritània. A quin pertany cada un? Explica per què.

3 Observa els diagrames de sectors corresponents al color

de cabell dels estudiants de tres classes d’institut de països diferents: Negre Castany Daurat Ros

Agricultura i ramaderia Indústria Serveis A

Clase A

Clase B

Clase C

Pèl-roig

a) Explica raonadament quin creus que correspon a cada un d’aquests països: Espanya, Tunísia i Dinamarca. b) Si a cada classe hi ha 30 estudiants, estima quants tenen cabells negres, castany, daurat, ros i pèl-roig a cada una. 271

Exercicis i problemes resolts 1 En què basa la felicitat cada generació

Els diagrames de sectors que veus a la dreta mostren quin és l’aspecte que creuen més rellevant per ser feliç tres generacions diferents:

COMPRÈN I APLICA-HO EN EL DESAFIAMENT

• La dels vint anys (20-29 anys) • La dels quaranta (40-49 anys) • La dels vuitanta (80-89 anys) Esbrina, raonadament, a quina generació pertany cada una.

La salut Els doblers

Els amics La parella

La família L'actitud personal

En primer lloc, associam el gràfic B amb la dels vuitanta, ja que el 50% considera la salut l’aspecte més rellevant, una cosa molt normal en les persones grans. Ens crida l’atenció també que un bon percentatge ha triat la família i l’actitud personal com aspectes més importants; no obstant això, sembla que ni la parella ni els amics els importen tant a aquestes edats. Entre les altres dues, associam el gràfic C a la dels vint anys, ja que consideren els amics i la família aspectes molt importants per a la felicitat. A més, no són pocs els que trien la salut com l’aspecte més important. Finalment, ens quedaria el gràfic A per a la dels quaranta. Sembla raonable que un quart dels enquestats prengui la salut com l’aspecte més rellevant per a la felicitat i, a més, donen molta importància a la parella (ja és hora d’assentar el cap), a l’actitud personal i als amics.

2 Elaboració d’un diagrama de sectors

El color elegit en comprar un cotxe ve donat en aquesta taula: color elegit

272

percentatge

Per elaborar un diagrama de sectors a partir d’una taula, necessitam la columna de les freqüències relatives.

Plata/gris

36 %

Negrs

22 %

Blau

18 %

Després, es calcula l’angle (en graus) que té cada sector multiplicant la freqüència relativa corresponent per 360°. En el nostre cas:

Vermell

10 %

Plata/gris 8 0,36 · 360° = 129,6°

Blanc

Verd

Resta

Negre 8 0,22 · 360° = 79,2° Blau 8 0,18 · 360° = 64,8° Vermell 8 0,10 · 360° = 36°

Elaborar un diagrama de sectors que reflecteixi la situació.

Blanc 8 0,08 · 360° = 28,8°

Fes-ho tu Un ferri transporta diferents tipus de vehicles. Elabora el diagrama de sectors segons aquestes dades: Cotxes: 53 %; Motos: 24 %; Camions: 13 %; Autobusos: 10 %.

Resta 8 0,02 · 360° = 7,2°

Verd 8 0,04 · 360° = 14,4° Traçam el diagrama de sectors amb els percentatges i col·locam la llegenda corresponent a la dreta.

color elegit

percentatge

Plata/gris

36 %

0,36

Negrs

22 %

0,22

Blau

18 %

0,18

Vermell

10 %

0,10

Blanc

0,08

Verd

0,04

Resta

0,02

8% 36%

10% 18% 22% Plata Negre Blau

Vermell Blanc Verd

Resta

U 13

Exercicis i problemes 4

Població i mostra. Variables

Indica, per a cada cas proposat: — Quina és la població, i quins, els individus. — Quina és la variable i quin tipus de variable és. a) El pes dels nounats a les Illes Balears al llarg de l’any passat. b) Quantitat de pluja recollida en un cert observatori meteorològic cada any d’aquest segle. c) Nombre de mascotes a les cases espanyoles. d) Tipus de cotxes (marca i model) que té cada veïnat de la urbanització on visc. e) Nombre de targetes grogues mostrades a cada partit de futbol de 1a divisió aquesta temporada.

100 75 50 25 0

Amèrica Amèrica del Nord Llatina i Carib

Europa i Rússia occidental

Àsia

Àfrica

a) Et sembla raonable que la segona barra sempre sigui major o igual que la primera? Raona-ho. b) Quina regió creus que té en l’actualitat menys proporció de persones amb accés a l’electricitat? c) On hi ha hagut un creixement major? I proporcionalment major?

Interpretació de gràfics

Observa en aquest diagrama de barres la proporció de la població amb accés a l’energia elèctrica el 1990 i el 2020: Accés a l’electricitat (% de població)

1990 2020

DOMINES EL QUE ÉS BÀSIC?

Observa el mapa següent en el qual es mostren, per colors, els grups de països amb esperança de vida similar:

Elaboració de taulas i gràfics

> 80 anys 70-80 anys 70-75 anys

2 1 3

60-70 anys < 60 anys Sin datos

b) Indica 8 països amb l’esperança de vida major que 80 anys. Fes el mateix amb l’interval 75 - 80 anys.

Si en el món hi hagués 100 persones: 61 serien asiàtiques

12 serien europees

13 serien americanes

13 serien africanes

1 seria oceànica

continents

superfície (km2)

Àsia

44 936 000

Amèrica

41 843 000

Àfrica

30 330 000

Europa

10 359 000

Oceania

8 505 000

Ordena els continents (de major a menor) segons: a)La grandària. b) La població. c) La densitat de població.

1 0 2

3 2 2

1 4 1

1 1 2

5 0 3

1 2 1

2 1 2

4 2 0

3 1 2

a) Fes la taula de freqüències absolutes. b) Fes el diagrama de barres que correspon a aquestes dades.

a) Quin continent té una població amb l’esperança de vida més baixa?

En preguntar a l’alumnat d’un grup de tercer d’ESO pel nombre de llibres que han llegit en el darrer mes, hem obtengut les dades següents:

En un control de velocitat en carretera es varen obtenir les dades següents: velocitat (km/h) nre. de cotxes

60-69 70-79 80-89 90-99 100-109 110-120 5 15 25 37 22 16

a) Elabora l’histograma corresponent. b) Quants cotxes es varen registrar en el control? c) Quina proporció de cotxes anava a 100 km/h o més? 7

Elabora, amb les dades següents, un diagrama de sectors amb el percentatge dels navegadors web més utilitzats al món: Chrome: 60 % Internet Explorer: 20 % Firefox: 12 % Uns altres: 8 % 273

Exercicis i problemes ENTRENA’T I PRACTICA 8

Es volen realitzar els estudis següents: I. El sexe (nin o nina) de cada infant nascut en un hospital al llarg d’un any. II. Quin diari llegeix cada habitant d’una ciutat. III. Les altures i els pesos de tots els alumnes i les alumnes de la classe. IV. Edat de les persones que han vist una obra de teatre en una ciutat. V. Estudis que pensen seguir els alumnes i les alumnes d’un centre escolar en acabar l’ESO. a) Digues de cada un d’aquests casos quina és la població, i quins, els individus. b) Indica en cada un quina és la variable que s’estudia i de quin tipus és. c) En quins és necessari recórrer a una mostra? Per què? S’ha realitza un estudi sobre la utilitat que donen al telèfon intel·ligent els menors de 26 anys i els de 26 a 50 anys. Els resultats es presenten en aquesta taula: utilitat

Jocs i entreteniment Xarxes socials Notícies Telefonades i missatges

menors de

12 %

33 % 5%

26 % 37 %

27 %

25 %

274

Aquests són els millors temps que s’han pres en carreres de 10 km als esportistes d’un club d’atletisme:: 42:20 40:08 47:32 49:50 43:24 48:31 51:42 45:53 47:17 50:37 49:07 51:37 43:28 45:18 44:36 46:15 50:48 47:59 51:21 43:37 42:14 a) Fes una taula de freqüències absolutes i relatives amb els intervals següents: 40 - 42 - 44 - 46 - 48 - 50 - 52 b) Traça l’histograma corresponent. c) Mirant la taula de freqüències relatives, indica quin percentatge de corredors varen baixar de 44 min. d) Quin percentatge va fer més de 50 min?

Milions de persones

a) Et sembla raonable dir que en A hi ha un poc més de 3 milions d’al·lotes d’una edat compresa entre 10 i 20 anys? b) Quants d’al·lots de 0 a 10 anys hi ha al país A? I al B? I al C? c) En quin dels tres països hi ha més persones entre 80 i 100 anys? I en quin menys? d) Indica, justificadament, quin dels tres gràfics correspon a un país del Tercer Món. 12

En aquest gràfic es mostren les dades sobre la climatologia de Badajoz durant un any: 40

temperatures medias (ºC)

precipitacions mensuals (mm)

a) Elabora els diagrames de sectors corresponents. b) Descriu els pareguts i les diferències d’ambdós grups. c) Inventa un diagrama de sectors per als majors de 50 anys. 10

Milions de persones

26 a 50

35 %

Aquestes piràmides de població mostren la distribució per edats (de 10 en 10 anys) i sexe (homes a l’esquerra i dones a la dreta) de tres països. Cada marca de l’eix horitzontal correspon a 1 milió de persones:

Mc Ab Mg Jn

a) Què representen les barres blaves? b) Què representa la línia vermella? c) Quina temperatura mitjana hi va haver al setembre? Quina va ser la precipitació en aquest mes? d) En quins mesos la temperatura mitjana va superar els 20 °C? En quins varen passar de 40 mm les precipitacions? 13

Associa cada gràfic a una d’aquestes ciutats: València, Còrdova, Lugo, Las Palmas de Gran Canaria. 35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

U 13

Gn Observa el gràFb Ds fic de la dreta relatiu Mç a les vendes d’alguns Nv articles en una botiga Abç petita. Oc a) Quin color corresMg St pon als banyadors? I a les tovalloles? I als Jn Ag guants? Jl b) En quina estació de l’any s’han venut més banyadors? I menys? Per què? c) Quan s’han venut més quantitat de guants? d) Explica com es comporta la gràfica de les tovalloles.

PER PENSAR UN POC MÉS 17

Aquests diagrames mostren la composició del cos humà a dues edats diferents: als 25 anys

Aquesta taula descriu la població d’un país. A continuació se’n mostra la piràmide de població. En lloc de freqüències, s’hi han posat percentatges. Atenció! hi ha una barra incorrecta a la part dels homes i una altra a la de les dones.

grup d’edat

nombre d’homes (milions)

nombre de dones (milions)

0-9 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

2 489 2 271 2 742 4 029 3 850 3 029 2 307 1 549 823 106

2 352 2 146 2 687 3 843 3 739 3 096 2 504 1 923 1 355 279

90-99 80-89 70-79 60-69 50-59 40-49 30-39 20-29 10-19 0-9

als 75 anys Aigua corporal 12%

17% 15%

62%

Teixit gras 53%

30%

Massa òssia

10% 8% 6% 4% 2%

Músculs, òrgans…

Com varia el percentatge d’aigua corporal, de massa òssia, de teixit gras i de músculs, òrgans... en aquests 50 anys? Dona el resultat en tant per cent d’augment o disminució. COMPRÈN I APLICA-HO EN EL DESAFIAMENT

Aquest gràfic mostra els 10 països més feliços i els 10 menys feliços del món el 2018. Per quantificar la felicitat, es tenen en compte, entre altres aspectes, PIB per càpita, assistència social, esperança de vida sana, llibertat social, generositat i absència de corrupció. finlàndia

malawi

haití

noruega

libèria

síria

dinamarca

rwanda

islàndia

iemen

tanzània

suïssa

holanda

sudán del sud

canadà

nova zelanda

república

suècia

austràlia

burundi

centreafricana

a) Quins són els continents millor i pitjor parats en aquest rànquing? b) Cerca a Internet en quin lloc està Espanya. c) Dels sis aspectes esmentats anteriorment, t’atreviries a aventurar en quin percentatge influeix cada un en la felicitat global d’un país? Representa la teva estimació en un diagrama de sectors.

2% 4% 6% 8% 10%

Indica a quin interval corresponen les dues barres mal dibuixades i explica en què es nota l’error. TAMBÉ POTS FER AÇÒ 18

Repartiment de la població espanyola, segons la grandària del municipi en què vivia, des del 1900 fins al 2020: municipis

1900 1930

Fins a 5 000 hab. 51 % 40 % De 5 001 a 20 000 28 % 29 % De 20 001 a 100 000 12 % 16 % Més de 100 000 9 % 15 %

1960 1990 2020

29 % 25 % 18 % 28 %

16 % 20 % 22 % 42 %

10 % 16 % 27 % 47 %

Nombre d’habitants d’Espanya, en milions: 1900

1930

1960

1990

2020

18,6

23,6

30,4

38,8

45,6

a) Troba el nombre de persones que vivien en els municipis més petits des del 1900 fins al 2020. En aquests municipis, la població ha anat decreixent però ho fa de manera constant o cada vegada decreix menys? Determina com evoluciona cada tipus de municipi. b) Fes un diagrama de sectors que mostri la distribució de la població en cada un dels anys que figuren a la taula. 275

Taller de matemàtiques PICOTEJAR

LA VALIDESA D’UNA MOSTRA

Quan al mercat provam raïm o unes cireres, el que feim és treure una mostra per veure la qualitat d’aquesta fruita. Això mateix es fa en posar un examen: es trien unes quantes preguntes (una mostra) per comprovar el que saps fer.

En les eleccions presidencials dels EUA el 1936, una revista va fer una enquesta d’intenció de vot a més de quatre milions dels seus lectors i es va equivocar en el pronòstic. Una altra enquesta feta només a 4 500 persones va anunciar l’èxit de Roosevelt amb molta exactitud. La raó és que en el primer cas la mostra no era representativa de la societat americana.

Frankling D. Roosevelt (1882-1945). 32è president dels Estats Units.

QUÈ OCORRE SI ALGUNS NO RESPONEN L’ENQUESTA? Una enquesta pot conduir a resultats falsos si uns certs grups de població a penes responen mentre que uns altres ho fan amb passió. Per exemple, suposem que en una població europea desitjam passar una enquesta sobre «què estàs disposat a fer per lluitar contra el canvi climàtic». En aquesta població, la proporció de persones joves, de mitjana edat i majors és de 3, 4 i 5, respectivament. És a dir que de cada 12 persones, 3 són joves, 4, de mitjana edat, i 5, majors. La mostra està ben triada i guarda la proporció, però les respostes no: els joves responen pràcticament tots, però només ho fan la meitat dels de mitjana edat i a penes un 20% de majors.

→

Enquestats 3

3 → Respostes

Inferència a partir → de les respostes 6

Aquest gràfic posa de manifest que els resultats de l’enquesta desfiguren la inferència que feim de la realitat. 276

U 13

AUTOAVALUACIÓ

➜

1 Indica, per a cada cas, quins són els individus, quina

5 En una comunitat deter-

la població, quina la variable i de quin tipus és: a) Nombre de vegades a l’any que ha usat la targeta sanitària cada pacient d’una societat mèdica. b) Temps d’espera de cada pacient en una consulta d’un centre de salut al llarg d’un dia. c) Tipus d’especialista que visita cada pacient d’un centre de salut durant un mes.

2 Indica en cada cas quan cal recórrer a una mostra.

Raona la resposta. a) Gusts musicals dels estudiants d’un centre de secundària i batxillerat. b) Nombre de persones que visiten un museu cada dia de la setmana (dilluns, dimarts, dimecres…). c) Data triada per a una trobada dels membres d’un grup de Whatsapp.

3 Nombre de dies que han anat a la biblioteca de l’es-

cola els estudiants d’un curs: 3 1 2 4 0 0 2 4 1 2

2 1 3 1 0 1 2 0 5 3

2 0 3 5 2 3 1 2 1 0

a) Fes una taula de freqüències i representa els resultats mitjançant un gràfic adequat. b) Afegeix a la taula anterior una columna amb les freqüències relatives. Representa’n els resultats amb un diagrama de sectors.

anayaeducacion.es Resolucions d'aquests exercicis.

minada s’ha realitzat un estudi sobre els accidents mortals en el treball segons l’activitat.

21 %

9% 24 %

Agrari Indústria Construcció Serveis

a) Quin és el percentatge d’accidents mortals ocorreguts en el sector de la construcció? b) Si hi va haver 135 accidents mortals en el sector agrari, quin va ser el nombre total d’accidents mortals a la regió? c) Quants d’accidents mortals hi va haver a cadascun dels sectors? 6 Observa aquestes piràmides de població: Homes

marroc 2018 Edat

Dones

Hombres

frança 2018 Edat

Dones

> 60 > 60 45-59 45-59 30-44 30-44 15-29 15-29 0-14 0-14 2,5 2,0 1,5 2,0 0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 2,5 2,0 1,5 2,0 0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Població total en milions

Digues si les afirmacions següents són vertaderes o falses i justifica les respostes: a) La proporció de dones i homes vells a França és molt més alta que al Marroc. b) Hi ha més dones velles que homes vells en ambdós països. c) La proporció de menors de 15 anys és major al Marroc que a França.

4 Temps, en minuts, que passaren a la sala d’espera els

pacients d’un metge un cert dia: 28 4 12 35 2 26 45 22 6 23 27 16 18 32 8 47 8 12 34 15 28 37 7 39 15 25 18 17 27 15 a) Fes una taula, repartint-los en intervals d’extrems 1,5 - 9,5 - 17,5 - 25,5 - 33,5 - 41,5 - 49,5. b) Representa els resultats mitjançant un gràfic adequat (diagrama de barres o histograma). c) Elabora una taula amb el diagrama de sectors corresponent a partir d’aquesta classificació: • Espera poc: 1-17,5 min. • Espera una estona: 17,5-33,5 min. • Espera molt: 33,5-49,5 min. Representa’n les dades en un diagrama de sectors.

REFLEXIONA

Fins ara has delimitat la teva investigació, plantejat els instruments de recollida d’informació i registrat les dades. Ja podràs segurament anticipar alguns aspectes o conclusions principals que es poden extreure del procés, però encara ens queden aspectes rellevants que tractar i que veurem en la unitat didàctica següent. Ara revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que s’hi detecten. Descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica, reflexiona de manera individual i comparteix-ho en grup. POSA A PROVA LES TEVES COMPETÈNCIES

Realitza l’autoavaluació competencial inclosa en anayaeducacion.es. 277

14 Paràmetres estadístics Una gran professional Florence Nightingale (1820-1910) va ser una matemàtica i infermera londinenca que va aplicar tècniques estadístiques per millorar les condicions als hospitals i l’atenció mèdica en general. Va fer feina com a infermera a la guerra de Crimea (1853-1856). Allà va comprovar que la majoria de les morts les causaven les pèssimes condicions dels hospitals. Va organitzar dades estadístiques tenint en compte el temps transcorregut, el nombre de morts i les causes de la mort, i les expressà amb gràfics que per primera vegada relacionaven tres variables (fins aleshores només se’n representaven una o dues). Va millorar notablement l’organització, interpretació i presentació gràfica de dades estadístiques. A més a més, va ser la primera persona que va utilitzar l’estadística amb una finalitat més pràctica: aconseguí que es reduïssin paulatinament les morts en els hospitals millorant els mètodes sanitaris. Fins llavors, els estudis estadístics només s’havien utilitzat per presentar informació. 278

Amb el que ja saps, resol el problema Les notes aconseguides en els darrers exàmens que es varen posar als estudiants d’una classe en quatre de les seves assignatures s’exposen en els diagrames de barres següents:

història

llengua

10 5

5 0

matemàtiques

9 10

ciències

5 0

9 10

❚ Reflexiona A la vista d’aquests gràfics, opina: a) En una assignatura la nota mitjana és bastant alta, més de 6. En una altra, no obstant això, és molt baixa, menys de 4. Quin creus que és cada una? b) Et sembla raonable suposar que en les altres dues assignatures la nota mitjana és pròxima al 5? No obstant això, els dos gràfics corresponents són molt diferents. Fixa’t bé en les notes de llengua: et semblaria adequat dir que són clarament «més disperses» que les altres? En aquesta unitat aprendràs a valorar, no només la mitjana, sinó la dispersió d’aquestes distribucions.

T’ANIMES A FER-HO TU? Sol, en grup reduït o amb tota la classe, segons el que el professorat estimi convenient, podries fer com en l’exemple descrit més amunt: recollir les notes de tots els companys en diverses assignatures, tabular-les i representar-les en diagrames de barres. Mirant els gràfics corresponents, podries estimar de forma aproximada la mitjana de cada una? Alguna d’aquestes distribucions seria clarament més dispersa que les altres? En finalitzar la unitat podràs respondre aquestes preguntes calculant-ne numèricament els resultats. També podries afrontar altres investigacions similars. Per exemple, amb les alçades dels alumnes i de les alumnes d’algunes classes de diversos cursos.

279

Dos tipus de paràmetres estadístics Començarem considerant només dos tipus de paràmetres estadístics: • Els paràmetres de centralització ens indiquen en torn a quin valor (centre) es distribueixen les dades. • Els paràmetres de dispersió ens informen de quant s’allunyen del centre els valors de la distribució.

Paràmetres de centralització ❚ Mitjana NOTACIÓ

El signe ∑ s’utilitza per indicar sumes de diversos sumands. ∑ xi es llegeix: «suma dels xi».

Si anomenam x1, x2, …, xn els valors que pren una distribució estadística, la mitjana, es designa per x– i es calcula així: x– =

x1 + x2 + … + xn n

Abreviadamente: x– =

/ xi n

Per exemple, aquests són els resultats del nombre de proves físiques superades pels 10 integrants d’un equip esportiu: 1, 0, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 4, 4. En calculam la mitjana: x– = 1 + 0 + 3 + 4 + 5 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 = 30 = 3 10 10

❚ mediana

Si ordenam les dades de menor a major, la mediana, Me, és el valor que està enmig: és a dir, té tants d’individus per davall com per damunt. Si el nombre de dades és parell, a la mediana s’assigna el valor mitjà dels dos termes centrals. En l’exemple anterior, per trobar la mediana ordenam les dades: 0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5 Les dades centrals són 3 i 4, per tant, la mediana és 3,5. DISTRIBUCIONS AMB MÉS D'UNA MODA

Una distribució pot tenir més d’una moda. Una amb dues modes s’anomena bimodal; una amb tres, trimodal…

❚ moda

La moda, Mo, és el valor que té una freqüència major. La moda de l’exemple anterior és 4, ja que és el valor amb una freqüència major.

PENSA I PRACTICA

1 Calcula la mitjana, la mediana i la moda de cadascuna

d’aquestes distribucions estadístiques: a) 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 11, 12, 17 b) 10, 12, 6, 9, 10, 8, 9, 10, 14, 2 c) 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 3, 7 d) 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1

280

2 Troba els paràmetres de centralització de la distribució

de les notes de matemàtiques de l’exemple de la pàgina anterior. 10 5 0

U 14

Paràmetres de dispersió Aquests gràfics mostren les edats de les jugadores de dos equips de futbol: Atlètic Vermell

Club Esportiu Blau

En ambdues, l’edat mitjana és de 21 anys. Observa que, encara que tenen la mateixa mitjana, aquestes distribucions són molt diferents, perquè a la segona els valors es troben clarament més separats que a la primera. Els paràmetres de dispersió que a continuació descrivim serveixen per valorar aquestes diferències. ❚ recorregut o rang TEN-HO EN COMPTE

A partir d’aquest nivell, abandonam la desviació mitjana, que coneixes de cursos anteriors, ja que la desviació típica és la que s’utilitzarà des d’ara com a mesura de dispersió. Per què la desviació típica i no la variància? La variància té un inconvenient greu. Imagina que estam treballant amb una distribució d’estatures donades en cm. La mitjana vendria donada en cm, però la variància vendria en cm2 (és a dir, una superfície en lloc d’una longitud). Per això, n’extreim l’arrel quadrada i obtenim la desviació típica que, en el nostre exemple, sí seria una longitud donada en cm.

És la diferència entre la dada major i menor. És a dir, és la longitud del tram en què es troben les dades. A l’equip vermell el recorregut és 23 – 20 = 3, i al blau, 25 – 18 = 7. ❚ variància

És la mitjana dels quadrats de les distàncies de les dades a la mitjana: (x – x ) 2 + (x 2 – x ) 2 + … + (x n – x ) 2 / (x i – x ) 2 Variància: V = 1 = n n Aquesta fórmula és equivalent a la següent: x 2 + x 2 + … + x 2n – 2 / x 2i Variància: V = 1 2 –x = – x– 2 n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Vvermell = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 2 = 0,91 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Vblau = 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 4 = 7,45 11

❚ desviació típica, q ➜

anayaeducacion.es GeoGebra. La desviació típica.

És l’arrel quadrada de la variància: σ = variància =

/ x 2i n

– x2

qvermell = 0, 91 = 0,95; qblau = 7, 45 = 2,73 Observa com la dispersió de les edats del Club Esportiu Blau és molt més gran que la de l’Atlètic Vermell, tal com havíem vist en les representacions gràfiques. A partir d’ara prestarem una atenció especial a la mitjana (x– ) i a la desviació típica (σ). La informació que dona cada una complementa la de l’altre. PENSA I PRACTICA

3 Troba els paràmetres de dispersió de les distribucions de

l’exercici 1 de la pàgina anterior.

4 Troba de dues formes distintes la variància d’aquesta

distribució: 8, 7, 11, 15, 9, 7, 13, 15.

281

– i q en taules de freqüències Càlcul de x

Quan les dades estadístiques venen donades mitjançant taules de freqüències, els càlculs poden disposar-se perquè els paràmetres s’obtenguin amb una gran comoditat. –

❚ càlcul de x

Vegem-ho amb un exemple: la taula de freqüències de la dreta correspon a les notes obtengudes pels 33 estudiants d’una classe en el darrer examen.

Per calcular la mitjana de les notes, hauríem de sumar: 4 + (5 + 5 + … + 5) + (6 + 6 + … + 6) + (7 + 7 + … + 7) + 8 + 8 + 9 10 vegades

14 vegades

5 vegades

i dividir el resultat per 1 + 10 + 14 + 5 + 2 + 1 = 33. No obstant això, la suma de més amunt s’obté més eficaçment així: 4 · 1 + 5 · 10 + 6 · 14 + 7 · 5 + 8 · 2 + 9 · 1 És a dir, cada valor de la variable es multiplica per la freqüència associada i se sumen tots els resultats.

fi · xi

198

∑ fi

∑ fi xi

fi · xi

f1 x1

f2 x2

… xn

… fn

… fn xn

∑ fi

∑ fi xi

Per facilitar aquests càlculs, afegim una columna nova a la taula, fi · xi . El total d’individus s’obté sumant els valors de la columna fi . f1 + f2 + … + fn = 33 8 ∑ fi = 33 La suma de totes les notes es troba sumant els valors de la columna fi · xi . f1x1 + f2x2 + … + fn xn = 198 8 ∑ fi xi = 198 La mitjana és: x– =

/ fi x i 198 = =6 / fi 33

En una distribució donada per una taula de freqüències, per trobar la mitjana s’afegeix a la taula la columna fi · xi i es procedeix així: x=

/ fi x i / fi

on ∑ fi xi = f1x1 + f2x2 + … + fn xn és la suma de tots els valors; i ∑ fi = f1 + f2 + … + fn és el nombre d’individus.

PENSA I PRACTICA

1 Calcula la mitjana d’aquestes distribucions:

a) núombre de fills i filles

282

b) nombre de suspensos en aquesta avaluació

14 15

fi 1 17 11

U 14

❚ càlcul de q

La desviació típica admet dues expressions equivalents: v=

– – – Rfi (x i – x )2 on ∑fi(xi – x )2 = f1(x1 – x )2 + … + fn(xn – x )2 és la suma dels quadrats de les desviacions a la mitjana. Rf i

2 2 2 Rfi x i2 – x 2 on ∑fi xi = f1x1 + … + fn xn és la suma dels quadrats Rf i de tots els valors.

Amb les dues fórmules s’arriba al mateix resultat. No obstant això, és molt més pràctica la segona. Vegem per què: Ja que fi · xi2 és igual a (fi · xi) · xi, afegirem a la taula de freqüències la columna que s’obté multiplicant els elements corresponents de les columnes xi i (xi ) · (fi · xi ) fi · xi. Amb la taula original, les dues columnes noves i les sumes totals, es calxi fi fi · xi fi · xi 2 culen fàcilment la mitjana i la desviació 4 1 4 16 típica: 5

250

504

245

128

198

1 224

∑ fi

∑ fi xi

∑ fi xi2

• mitjana: x– =

R fi x i 198 =6 = 33 R fi

• desviació típica: v=

R fi x i2 – x2 = R fi

1224 – 6 2 = 1,04 33

Taules amb dades agrupades en intervals Quan tenim les dades agrupades en intervals (en lloc de valors puntuals) per confeccionar una taula de freqüències que sigui operativa, a cada interval s’assigna el seu valor central, el que s’anomena marca de classe. Per exemple, la marca de classe de l’interval 50-58 és: 50 + 58 = 108 = 54 2 2 D’aquesta forma s’obté, a partir d’una taula amb dades agrupades, una taula de freqüències com les anteriors i es procedeix de la mateixa manera.

PENSA I PRACTICA

2 Troba la mitjana i la desviació típica d’aquesta distribució: xi

1 2 3 4 5 total

12 15 24 19 10

fi · xi

12 30 72 76 50

12 60 216 304 250

3 Completa al teu quadern la taula amb les marques de

classe, i calcula la mitjana i la desviació típica. pesos

persones

50 a 58 58 a 66 66 a 74 74 a 82 82 a 90

6 12 21 16 5

283

– i q Interpretació conjunta de x Vegem una altra vegada les dues gràfiques de la pàgina 281 sobre les edats de les jugadores de dos equips de futbol: Atlètic Vermell

Club Esportiu Blau

Recordem que la mitjana d’ambdues distribucions és 21 i que les desviacions són 0,95 i 2,73, respectivament. Això és coherent amb les gràfiques, ja que les dades de l’Esportiu Blau estan molt més enfora de la mitjana (21) que els de l’Atlètic Vermell. Amb els valors de x– i σ, tenim una idea relativament bona de com és una distribució. La mitjana ens diu on està el centre. La desviació típica orienta sobre com d’enfora de la mitjana, com de disperses, estan les dades.

anayaeducacion.es

➜

Reforça: interpretació conjunta de x i σ.

EXERCICI RESOLT

Les quatre gràfiques del marge informen del nombre d’hores setmanals que estudien les alumnes i els alumnes de quatre classes. A partir de les dades de la taula de baix, indica a quina classe correspon cada gràfic.

III

classe

– x

1r A

8,2

0,8

1r B

2,5

3r A

12,5 2,3

3r B

13,4 1,2

Si ens fixam en les gràfiques, és fàcil veure que les mitjanes de les classes I i III es troben al voltant del 8; mentre que les mitjanes de les classes II i IV són majors i estan al voltant del 13. Per tant, podem associar d’aquesta manera: 1r A i 1r B ↔ I i III

3r A i 3r B ↔ II i IV

Per distingir entre les que tenen les mitjanes molt paregudes, ens fixam en com de disperses estan les dades. És evident que les dades de la I estan molt més disperses que les de la III, i per això 1r A ↔ III i 1r B ↔ I. També s’aprecia clarament que les dades de la II estan molt més disperses que les de la IV. Concloem llavors que: 3r A 5 II i 3r B 5 IV

PENSA I PRACTICA

Les gràfiques següents mostren els percentatges d’encert dels jugadors de quatre equips. A partir de les dades de la taula de la dreta, indica la mitjana i la desviació típica corresponents a cada equip: A 45 50 55 60 65 70 C 45 50 55 60 65 70

284

B 45 50 55 60 65 70 D 45 50 55 60 65 70

equip

– x

52,5

7,1

6,9

III

63,5

2,7

U 14

Coeficient de variació Els pesos dels bous d’una explotació ramadera es distribueixen amb una mitjana x– = 500 kg i una desviació típica σ = 40 kg. Els pesos dels cans d’una exposició tenen una mitjana x– = 20 kg i una desviació típica σ = 10 kg.

La desviació típica dels pesos de la guarda de bous (40 kg) és superior a la dels cans (10 kg). No obstant això, els 40 kg són poca cosa per a la mida enorme dels bous (és a dir, els bous d’aquella guarda són molt pareguts en pes), mentre que 10 kg és molt en relació amb el pes d’un ca. En casos com aquest, la desviació típica no és una mesura adequada per comparar dispersions. Per això, definim un paràmetre estadístic nou. – x

bous

500

cans

40 en relació amb 500 és menor que 10 en relació amb 20.

Per comparar la dispersió de dues poblacions heterogènies, es defineix el coeficient de variació així: CV = v x – En dividir σ entre x estam relativitzant la dispersió. El resultat es dona, de vegades, en tants per cent. En l’exemple els bous i els cans, obtenim: CV = 40 = 0,08 És a dir, el 8 %. 500 • Per als cans: CV = 10 = 0,50 És a dir, el 50 %. 20 D’aquesta manera, sí s’aprecia clarament que la variació dels pesos dels cans (50 %) és molt més gran que la dels pesos dels bous (8 %). • Per als bous:

– x

bous

500

cans

50 %

PENSA I PRACTICA

➜

anayaeducacion.es GeoGebra. Coeficient de variació.

2 Preguntam el preu de certs models concrets de pianos, flautes travesseres i harmòniques a di-

ferents botigues de música. Els resultats obtenguts tenen les mitjanes i desviacions típiques següents: pianos

flautes

harmóniques

mitjana

943

132

desv. típica

148

Compara la dispersió relativa dels preus d’aquests tres productes.

285

Paràmetres de posició: mitjana i quartils

S’ha preguntat a un grup de 16 persones pel nombre de vegades que han sortit a córrer aquest mes. Aquests són els resultats i la representació corresponent: 0, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10 0

2 3 4 50 % de la població

7 8 9 10 Me 50 % de la població

Observa que a la dreta de la mediana, Me, hi ha la meitat de la població. A l’esquerra, l’altra meitat. És a dir, la mediana divideix en dos la població. I si volguéssim dividir la població en quatre parts amb el mateix nombre d’individus? Hauríem de senyalar altres dos punts, els quartils, Q1 i Q3. MEDIANA: POSICIÓ I CENTRALITZACIÓ

La mediana i els quartils són paràmetres de posició perquè cada un indica un lloc (una posició) respecte als altres valors de la distribució. Entre els paràmetres de posició, la mediana és el que ocupa el lloc central. Per això és, també, un paràmetre de centralització.

4 Q1

7 Me

Primer quartil, Q1, és el valor de la variable que deixa per davall seu un quart de la població, i per damunt, tres quarts. Tercer quartil, Q 3, és el valor de la variable que deixa per damunt seu un quart de la població i per davall, tres quarts. S’anomenen Q1 i Q 3 perquè la mediana és el segon quartil, Q 2. La diferència Q 3 – Q 1 s’anomena recorregut interquartílic.

EXERCICI RESOLT

En un aniversari s’ha romput Com que la distribució té 10 individus, la quarta part és 10 : 4 = 2,5. la pinyata i cada una de les • Q ha de deixar a l’esquerra «dos elements i mig». Per tant, el primer quartil ha d’es1 deu persones que esperaven tar situat en el tercer element, ja que «mig individu» queda a l’esquerra i l’«altre mig» han agafat tants de regals com a la dreta. han pogut. Aquesta és la llista És a dir, Q1 = 4. ordenada del nombre de regals • Me ha de deixar 5 individus a l’esquerra i altres 5 a la dreta. Per tant, està entre el que té cada una: cinquè (7) i el sisè (8); és a dir, Me = 7,5. 2, 2, 4, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11 Calcula’n la mediana i els • Q 3 ha de deixar a l’esquerra «set elements i mig» (2,5 · 3 = 7,5). Mitjançant un raonament similar al que s’ha seguit per Q1, el tercer quartil està en el vuitè element; quartils. és a dir, Q 3 = 9. PENSA I PRACTICA

➜

1 Calcula Q1, Me i Q 3 i situa’ls a cada una d’aquestes

2 De cada una de les distribucions següents:

distribucions representades: a) b)

286

anayaeducacion.es GeoGebra. Mediana i quartils.

a) Calcula Q1, Me i Q 3.

b) Representa les dades i situa-hi Q1, Me i Q 3. A: 0, 0, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10 B: 0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 14, 17, 29, 35 C: 12, 13, 19, 25, 63, 85, 123, 132, 147

U 14

Diagramas de caixa i bigots Aquesta representació gràfica està estretament relacionada amb els paràmetres de posició que hem après. Vegem amb un exemple com es construeix. |Exemple 1 El nombre de persones que componen cadascuna de les famílies d’un grup d’amics i amigues s’expressa al marge.

22233333444666667788 Q1

Observam que:

• El menor valor és 2 i el major és 8. • Q1 = 3; Me = 4 i Q 3 = 6. Amb aquests resultats, dibuixam el diagrama:

OBSERVA

La longitud de la caixa és Q3 – Q1, el recorregut interquartílic.

És a dir, la caixa descriu el tram que hi ha entre dos quartils, senyalant expressament la mediana, i els bigots s’estenen a la totalitat de les dades. |Exemple 2 160 165 170 175 180 185 190 Q1 Me Q3

Representam al marge la distribució de les altures dels socis d’un club mitjançant un diagrama de caixa i bigots. A la vista del diagrama podem dir: • El més baix fa 160 cm, i el més alt, 187 cm. • Els quartils i la mediana són Q1 = 167,5; Me = 171 i Q 3 = 175,5. • Per tant, un 25 % dels socis fan entre 160 cm i 167,5 cm; altre 25 %, entre 167,5 cm i 171 cm; altre 25 %, entre 171 cm i 175,5 cm, i el darrer 25 % (els més alts), entre 175,5 cm i 187 cm.

EXERCICI RESOLT

Representa en un diagrama de a) A la pàgina anterior hem obtengut: Q1 = 4; Me = 7,5: Q 3 = 9. caixa i bigots una de les distriHi posam l’escala i representam el diagrama: bucions següents: 1

a) 2, 2, 4, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11 b) 1, 1, 2, 3, 5, 5, 15, 27, 41, 43

b) Obtenim, primer, els paràmetres de posició: Q1 = 2; Me = 5; Q 3 = 27. Fixam l’escala (s’ha de tenir en compte que les darreres dades tenen valors «molt grans») i dibuixam el diagrama: 0

PENSA I PRACTICA

3 Representa amb un diagrama de caixa i bigots cada dis-

tribució de l’activitat 2 de la pàgina anterior.

Utilitza els valors de Q1, Me i Q 3 que vares trobar en aquella activitat.

4 Representa mitjançant un diagrama de caixa i bigots els

punts aconseguits a la diana: 7 6 6 8 5 7 5 6 6 7

5 7 9 6 8 5 6 6 5 8

4 7 5 8 6 6 7 5 9 3 287

– i q amb la calculadora Obtenció de x

151

Estudiarem amb un exemple (observa la taula del marge) els passos que s’han de donar per introduir eficaçment unes dades a la calculadora i aconseguir els resultats corresponents.

156

161

166

171

176

Preparació per treballar en estadística En primer lloc, accedim a � i anam pitjant la fletxa ” fins a arribar a l’opció 6:Estadística. A continuació, elegim 1:1–Variable. Ens apareix una taula buida per introduir-hi les dades i les freqüències.

Esborrat de dades acumulades de la tasca anterior Si en encendre la calculadora la taula conté dades que no desitjam conservar, assegura’t d’esborrar-les totes abans d’introduir-hi les noves. Possiblement, necessitis utilitzat la tecla del.

Introducció de dades El cursor es posa en negre a la primera casella de la columna dels xi. Després d’escriure cada dada, s’ha de pitjar =, i amb això el cursor baixa per introduir la dada següent. Per escriure les freqüències o corregir alguna dada, movem el cursos amb les fletxes ”’’“. Començam introduint a la taula tots els valors de la variable. 151 = 156 = 161 = … 166 = Observa que assigna, automàticament, valors 1 a les freqüències corresponents. Llavors, introduïm les freqüències: 1 = 4 = 9 = 10 = 4 = 2 =

Correcció de les dades errònies Si hi ha algun error, amb el cursor ens hi posicionem, teclegjam el valor correcte i pitjam =a

5 RECORDA-HO

Després de treballar amb les dades estadístiques, per tornar a realitzar càlculs aritmètics has de pitjar � i, a continuació, elegir 1:Calcular.

Resultats Per obtenir el resum de les dades i el valor dels paràmetres estadístics, accedeix a l’opció calc 1-variable i obtendràs una cosa com això: Per visualitzar tots els resultats, mou-te amb el cursor amunt i avall.

PENSA I PRACTICA –

1 Troba x i σ amb la calculadora de la distribució a) de

l’activitat 1 de la pàgina 282. –

2 Troba amb la calculadora x i σ de la distribució b) de

l’activitat 1 de la pàgina 282.

288

3 3 Troba, amb ajuda de la calculadora, els paràmetres de

centralització i dispersió de les distribucions de les notes en les quatre assignatures de l’exemple de la pàgina 279. Per a això, construeix la taula de freqüències corresponent a cada distribució.

U 14

Estadística en els mitjans L’estadística està present en tots els àmbits de la vida. La major part de les dades que rebem estan elaborades amb l’ajuda d’estudis estadístics. De vegades, els mitjans privats fan les seves pròpies estadístiques. No obstant això, l’estament públic que es dedica a la confecció d’estadístiques sobre tots els aspectes de la societat és l’INE (Institut Nacional d’Estadística). L’INE, juntament amb el CIS (Centre d’Investigacions Sociològiques) són les referències que s’han de tenir en compte a l’hora de recórrer a dades fiables. La medicina, l’ecologia, la política, la psicologia, els esports, la publicitat… tots recorren a l’estadística per realitzar investigacions, millorar resultats, diagnosticar problemes, pronosticar esdeveniments... Vegem alguns exemples de notícies relacionades amb estadístiques: Dilluns 9 de novembre de 2020

El salari mitjà a Espanya retrocedeix per primera vegada des del 2006

Sedentarisme: un problema de salut pública 53,5

total sexe

Homes

La mediana del salari també retrocedeix per segon any consecutiu, fins als 1.594 euros, i el salari mitjà baixa per primera vegada en deu anys, i se situa en els 1.878,1 euros. A més a més, tres de cada deu espanyols guanyen menys de 1.229 euros bruts al mes.

Dones edat

De 15 a 19 anys De 20 a 24 anys De 25 a 34 anys De 35 a 44 anys De 45 a 54 anys

15 mesos, vida mitjana d’un telèfon mòbil

De 55 a 64 anys De 65 a 74 anys

Els espanyols canvien de mòbil fins a 4 anys abans de l’obsolescència. La majoria dels aparells es llencen quan encara tenen valor de mercat.

De 75 anys y más

Gràfic 2.1. Persones que han practicat esport durant el darrer any segon sexe i edat. (En percentatge de la població total investigada de cada col·lectiu).

Un de cada cinc joves veu «normal» la violència de gènere a la parella Més del 20 % d’espanyols de 15 a 29 anys considera que la violència masclista és un tema «polititzat que s’exagera molt», segons un informe de la FAD.

conferència internacional de la sida

Un de cada tres tractaments fracassa a causa de les resistències Un 32 % dels tractaments de la sida fracassa perquè el virus es fa resistent als antiretrovirals.

PENSA I PRACTICA

Interpreta els gràfics i les notícies que hem vist en aquesta pàgina.

2 Cerca a Internet notícies en què s’hagi recorregut a l’es-

tadística.

289

Exercicis i problemes resolts 1 Obtenció de paràmetres estadístics

En una classe amb 25 estudiants s’ha realitzat una enquesta sobre la percepció de la felicitat. Han de valorar sis qüestions de l’1 al 10 i, després, fer una mitjana de les puntuacions. Aquestes són les mitjanes finals obtengudes: 1 1 1 1 3,2 3,8 4,2 4,7 5,2 5,3 5,3 5,7 5,8 6,2 6,7 6,7 7 7 7,3 8 8,3 8,7 9 9,3 10 a) Fes una taula de freqüències en què classifiquis les mitjanes finals en cinc intervals que comencin en 0,5 i acabin en 10,5. Troba, a partir d’aquesta, els paràmetres x–, q i CV. b) Calcula x–, q i CV introduint les 25 dades a la calculadora: és a dir, sense agrupar-les en intervals. c) Hi ha quatre individus que han escrit un 1 en totes les respostes i un que hi ha contestat sempre 10. Són cinc amics que seuen junts, per la qual cosa la professora ha indagat i han reconegut que ho han fet de broma. Troba de nou els paràmetres obtinguts a l’apartat anterior prescindint de les dades d’aquests cinc individus. d) Troba els paràmetres de posició de la distribució de les mitjanes finals arrodonides a les unitats dels vint estudiants que varen respondre seriosament. Construeix-ne el diagrama de caixa i bigots corresponent.

COMPRÈN I APLICA-HO EN EL DESAFIAMENT

a) Feim la comptabilitat en els cinc intervals. Després construïm una taula prenent com a valors de la variable les marques de classe: freqüència

0,5-2,5 2,5-4,5 4,5-6,5 6,5-8,5 8,5-10,5

4 3 7 7 4

1,5 3,5 5,5 7,5 9,5

4 3 7 7 4

6 10,5 38,5 52,5 38

9 36,75 211,75 393,75 361

totals

145,5

1 012,25

• mitjana: x– =

fi · xi

R fi x i 145, 5 = = 5,82 25 R fi

• desviació típica: q =

R fi x i2 – x2 = R fi

1012, 25 – 5, 82 2 = 2,57 25

• coeficient de variació: CV = q = 2, 57 = 0,442 8 44,2 % x 5, 82 b) Posam la calculadora en la manera stat, buidam la memòria i introduïm les 25 dades. Accedim a calc 1-var i obtenim el següent: x– = 5,66; q = 2,64 Trobam, amb aquestes dades, el coeficient de variació: CV = 2, 64 = 0,466 8 46,6 % 5, 66 c) Ho feim amb calculadora. Podem suprimir les 5 dades que sobren de les que hem introduït a l’apartat anterior. Obtenim x– = 6,37; q = 1,70; CV = 0,267 8 26,7 % En suprimir els cinc individus, augmenta la mitjana de les puntuacions i en disminueix la desviació típica. La dispersió és, lògicament, molt menor. S’aprecia en el fet que el CV és notablement inferior que al de la classe completa. d) Arrodonim: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9 • mediana: 20 = 10. La mediana és la mitjana del 10é i 11é 8 2 8 Me = 6 + 7 = 6,5. 2 • quartils: El nombre d’individus es divideix entre 4 8 20 = 5. 4 – primer quartil: Q1 és la mitjana dels individus que ocupen les posicions 5a i 6a. Com que els dos són 5, Q1 = 5. – tercer quartil: com que 5 · 3 = 15, els que ocupen les posicions 15é i 16é són les puntuacions 7 i 8. És a dir, Q3 = 7 + 8 = 7,5. 2 Com que el menor valor és 3 i el major 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 és 9, construïm el diagrama de caixa: Q1

290

fi · xi 2

interval

Me Q3

U 14

Exercicis i problemes DOMINES EL BÀSIC?

ENTRENA’T I PRACTICA

Paràmetres de centralització i dispersió

A la família Ferran el salari mensual de la mare és 1 400 €, i el del pare, 1 150 €. A la família Torres, la mare guanya 1850 €, i el pare, 700 €. a) Quin és el sou mitjà de cada família? b) En quina és major la dispersió? Hem consultat, en diferents comerços, el preu (en euros) d’un determinat model d’impressora, i n’hem obtengut les dades següents:

a) 6, 3, 4, 2, 5, 5, 6, 4, 5, 6, 8, 9, 6, 7, 7, 6, 4, 6, 10, 6 b) 11, 12, 12, 11, 10, 13, 14, 15, 14, 12 c) 165, 167, 172, 168, 164, 158, 160, 167, 159, 162 7

marc

2 0 1 2 3 4 5 6

4 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 B

0 1 2 3 4 5 6 C

0 1 2 3 4 5 6 D

0 1 2 3 4 5 6

50 40 16

Una fàbrica ha comptat el nombre de tassons que es rompen a cada caixa de camí a la botiga.

nre. de tassons romputs nre. de caixes

51 23 11

a) Calcula’n la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació. b) Quina és la moda? c) Comprova els resultats amb la calculadora. 9

La taula següent mostra els llançaments de javelina que s’han fet per a la classificació per als jocs olímpics: distàncies

0 1 2 3 4 5 6

Aquests són els resultats:

Troba la mediana i els quartils de cada distribució i representa’n el diagrama de caixa i bigots corresponent: a) 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6, 6, 6, 7, 8 10, 11 b) 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 12, 14, 19, 22 c) 123, 125, 134, 140, 151, 173, 178, 186, 192, 198 Associa cada gràfic de barres amb el diagrama de caixa i bigots corresponent:

b) Quina és la moda?

Paràmetres de posició i diagrames de caixa

a) Troba’n la mitjana i la desviació típica.

a) Troba la mitjana i la desviació típica de cada un. b) Calcula els CV i digues quin és més regular.

nre. pàgines

Na Lídia i en Marc juguen diverses vegades a encertar, en un minut, el màxim nombre de paraules amb la seva definició. Aquests són els resultats: lídia

Comptant el nombre d’errates per pàgina en un llibre concret, David ha obtingut les dades següents: nre. d’errates

146 - 150 - 141 - 143 - 139 - 144 - 133 - 153 Calcula’n el preu mitjà i troba’n la desviació típica. 3

Calcula els paràmetres mitjana, mediana, moda, recorregut, variància, desviació típica i coeficient de variació en cada cas:

(m)

nre. de llançadors

54 a 58

58 a 62

62 a 66

66 a 70

70 a 74

a) Fes una taula amb les marques de classe i les freqüències. b) Calcula’n la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació. c) Comprova els resultats amb la calculadora. 291

Exercicis i problemes El número de calçat que duen els alumnes i les alumnes d’una classe són els següents: 42, 40, 43, 45, 43 44, 38, 39, 40, 43 41, 42, 38, 36, 38 45, 38, 39, 42, 40 40, 39, 37, 36, 41 46, 44, 37, 42, 39 a) Fes una taula de freqüències amb aquests intervals: 35,5 - 38,5 - 40,5 - 42,5 - 44,5 - 46,5. b) Troba la mitjana, la desviació típica i el CV.

RESOL PROBLEMES SENZILLS 14

EXERCICI RESOLT

nre. de membres

Troba la mediana i els quartils. Hi ha 4 membres de 14 anys en fila, llavors els segueixen 5 membres de 15 anys, i així successivament. En total són 23 persones: 11 a un costat, 11 a l’altre i un més enmig. Si els comptam un a un, el número 12 de la fila té 16 anys. Aquesta és la mediana. Per als quartils, feim el mateix: Q1 = 15 anys i Q3 = 17 anys.

nre. d'estudiants

Observa els gràfics de les notes d’una classe en quatre matèries diferents que hem vist a la segona pàgina de la unitat: història

195

210 180

III

180

195

210

195

198,5 9,7

198,1 3,9

210

A C

210 180

– x

193

4,6

193,4 8,1

a) Compara aquestes distribucions de notes obtengudes per tres grups d’alumnes indicant quines són la mitjana i els quartils de cada una: 0

9 10

llengua

Troba el CV de cada equip i ordena’ls de menys a més regulars.

Representa aquesta distribució mitjançant un diagrama de caixa i bigots. 13

equip

Aquesta taula mostra la distribució del nombre d’assignatures suspeses en una avaluació pels estudiants d’una classe: nre. d'assig. susp.

Aquestes quatre gràfiques corresponen a les estatures dels jugadors de quatre equips de bàsquet, A, B, C i D, i els paràmetres apareixen a la taula. Quina és la gràfica de cada equip?

180

b) EEn una de les classes hi ha 11 suspensos i 4 excel·lents, mentre que a l’altra hi ha 5 suspensos i 1 excel·lent. Quina és A i quina B? c) Si na Laura necessita treure excel·lent i en Miquel es conforma amb aprovar. Quina classe et pareix més adequada per a un i l’altre?

Les edats dels membres del grup de teatre d’un centre d’estudis venen donades en aquesta taula: edat

S’ha fet un mateix examen a dos grups, A i B, de 30 alumnes cada un. Les mitjanes i desviacions típiques són, respectivament: x–A = 6, σA = 1, x–B = 6, σB = 3. a) Assigna una d’aquestes gràfiques a A i una altra a B.

III 0

9 10

matemàtiques

9 10

a) Troba la mitjana i els quartils de cada una. b) Representa cada una en un diagrama de caixa. 292

9 10

ciències

9 10

b) A l’avaluació es feren aquests comentaris i. Va aprovar el 50 % de la classe. ii. Les notes són molt paregudes. iii. Un quart de la classe té notes superiors a 7. iv. És la millor classe, però amb la dispersió més gran. Indica a quin grup correspon cada comentari.

U 14

PER PENSAR UN POC MÉS 17

En Rafel és venedor ambulant sis dies a la setmana. Ahir, divendres, va calcular que durant aquesta setmana havia aconseguit uns guanys mitjans de 48 € diaris. En fer el mateix compte avui, dissabte, resulta una mitjana de 60 € diaris. Quant ha guanyat avui?

pes

Coneixem el nombre de dies al mes que ha plogut enguany en una certa regió. Els valors dels quartils són 6, 9 i 14. El mes que més va ploure va ser març amb 21 dies i sabem que el rang de la distribució és 18. a) Construeix el diagrama de caixa i bigots. b) Creus que és una regió plujosa? Justifica la resposta.

3,5 - 4,5

4,5 - 5,5

5,5 - 6,5

6,5 - 7,5

7,5 - 8,5

8,5 - 9,5

Aquestes són les estatures de 4 350 soldats: estatura (m)

(marques de classe) 1,52 1,56 1,60 1,64 1,68 1,72 1,76 1,80 1,84 1,88 nre. de soldats

62 186 530 812 953 860 507 285 126 29

Deim que els soldats que tenen l’estatura entre x– + σ i x– + 2σ són alts, si la tenen entre x– – σ i x– – 2σ, són baixos i entre x– – σ i x– + σ, són normals. Estima quin tant per cent d’alts, de baixos i de normals hi ha.

COMPRÈN I APLICA-HO EN EL DESAFIAMENT

nre. d'animals

b) Quin percentatge d’animals va pesar entre x– – σ i x– + σ? I més que x– + σ? I menys que x– – σ? Fes-ne una estimació raonada.

En una empresa de missatgeria fan feina 34 empleats i 6 directius. El sou mitjà de tots ells és de 909 €. Quin serà el sou mitjà dels directius si sabem que el de la resta dels empleats és de 780 €? En una enquesta sobre la percepció de la felicitat s’ha de contestar amb un nombre de l’1 al 10 per a cada una d’aquestes facetes: salut (s), amics (a), família (f ) i estudis (e). Segons l’estudi A, el nivell de felicitat és la mitjana de les quatre puntuacions; no obstant això, l’estudi B afirma que la família i els amics hi influeixen un 40% cada un; la salut, un 15%, i els estudis, un 5%. Si les puntuacions de n’Olívia són s = 8, a = 4, f = 9 i e = 7, quin nivell de felicitat té segons cada un dels dos estudis?

(kg)

a) Calcula la mitjana i la desviació típica.

Per trobar la nota d’una assignatura, el segon examen val el doble que el primer, i el tercer, el triple que el primer.

b) I si aquestes notes són el 10 %, el 40 % i el 50 %?

En mesurar el pes en néixer d’una determinada espècie d’animals, hem obtengut aquests resultats:

Per trobar la nota d’una avaluació, es fa la mitjana de quatre exàmens. Si en els tres primers tenc una mitjana de 4,2, quina nota he de treure en el darrer per aprovar?

a) Quina és la nota final d’una alumna que va treure un 5, un 6 i un 4? 20

TAMBÉ POTS FER AIXÒ

Quin percentatge hi ha d’altíssims i de baixíssims ? HO HAS ENTÈS? REFLEXIONA 25

Què passa a la x– i a la σ d’una distribució si a totes les dades sumam un mateix nombre? I si les multiplicam pel mateix nombre? Comprova les teves conjectures amb aquestes dades: 4, 3, 6, 7, 5, 4, 5, 3, 2, 6, 5

Si dues distribucions tenen la mateixa mitjana, i la desviació típica de la primera és major que la de la segona, en quin dels dos casos és major el coeficient de variació?

Si dues distribucions tenen la mateixa desviació típica, i la mitjana de la primera és major que la de la segona, en quin dels dos casos és major el coeficient de variació? 293

Taller de matemàtiques LES DIANES En un concurs de tir al blanc, seleccionem quatre tandes de deu tirs corresponents a quatre tiradors. I

III

Els quatre tiradors tenen les característiques següents: — N’Anna és una bona tiradora i té una bona escopeta. — En Bruno és bon tirador i té una escopeta amb la mira desviada. — Na Carla és una mala tiradora i té una bona escopeta. — En Daniel és un mal tirador i té una escopeta amb la mira desviada. Imaginem que els tiradors apunten sempre al centre de la diana. • Quina és la diana de cada un dels quatre tiradors? • Els bons tiradors, tenen resultats més o menys dispersos que els dolents? • On haurien donat, aproximadament, els tirs d’en Bruno i na Carla si haguessin intercanviat les escopetes?

DOS ACUDITS ESTADÍSTICS

Un estadístic és un científic capaç d’ofegar-se en un llac de 30 cm de profunditat mitjana. 294

Si et menges dos pollastres i jo cap, haurem menjat una mitjana d’un pollastre per persona.

U 14

AUTOAVALUACIÓ

➜

1 Troba la mitjana, la mediana, la desviació típica i el

5 En una classe, aquestes són les notes d’un examen:

coeficient de variació de cada una d’aquestes distribucions i determina quina és més dispersa: a) 6, 9, 1, 4, 8, 2, 3, 4, 4, 9 b) 120, 95, 87, 111, 116, 82, 121, 92, 76 c) 987, 1 010, 1 004, 995, 998, 1 001, 999, 982 –

2 Calcula x , σ i CV d’aquestes distribucions:

a) Nombre de dies que han anat a la biblioteca els estudiants d’un curs: nre. de dies

freqüència

b) Temps, en minuts, que van passar a la sala d’espera els pacients d’un metge un cert dia: temps

(min)

anayaeducacion.es Resolucions d'aquests exercicis.

notes

nre. d'alumnes

Fes-ne el diagrama de caixa i bigots corresponent. 6 Les estatures dels components de tres equips escolars de

bàsquet, A, B i C, es distribueixen segons les gràfiques següents: I

170 175 180 185 165 170 175 180 185 165 170 175 180 185 190

Els paràmetres corresponents a cada un són:

freqüència

De 1 a 9

– x

De 9 a 17

De 17 a 25

De 25 a 33

De 33 a 41

De 41 a 49

20 18 20 2 15 24 20 10

12 7 10 12

14 6 14 8 18 8 12 10 12 25 24 17 16 5 4 13

a) Construeix una taula de freqüències amb els intervals següents: 1,5 - 6,5 - 11,5 - 16,5 - 21,5 26,5. b) Calcula’n la mitjana i la desviació típica. 4 Les notes obtengudes pels estudiants d’una classe en

un examen amb 5 preguntes han estat: 3 3 2 4 5 3 2 4 4 3 2 0 3 5 3

4 1 3 3 2 1 2 0 5 3 3 5 2 1 4

a) Calcula’n la mediana i els quartils. b) Dibuixa el diagrama de caixa corresponent.

177,8

176,8

174,6

6,4

3,2

4,5

Indica a quin equip correspon cada gràfica. 7 Aquests són els diagrames de caixa de les notes en mates

de quatre classes. Digues, en cada una, les millors i pitjors notes, així com Q1, Me i Q3. 0

3 Aquestes són les hores d’estudi setmanal d’un grup

d’alumnes: 14 9 9 15 10 18 20 16 18 10 4 8

III

I II III IV

REFLEXIONA

Fins ara has delimitat la teva investigació, plantejat els instruments de recollida d’informació i registre de dades. Ara revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que s’hi detecten. Descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica, reflexiona de manera individual i compartix-ho en grup. POSA A PROVA LES TEVES COMPETÈNCIES

Realitza l’autoavaluació competencial inclosa a anayaeducacion.es.

295

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid. Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó, multes o ambdues ensems, ultra les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells qui reproduïssin, plagiassin, distribuïssin o comunicassin públicament, en tot o en part, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà sense autorització prèvia.