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DEMO

INCLUYE

LI C

PROYECTO DIGITAL CIA 12 MES

3 ESO

MATEMÁTICAS José Colera J., M.a José Oliveira G., Ignacio Gaztelu A., Ramón Colera C., Ana Aicardo B.

ic ón

r pe

O u

o d n

Índice Los saberes básicos del curso Entrénate resolviendo problemas 1. Haz un esquema en el que se apoyen los datos 2. En los problemas geométricos, ¡haz un dibujo! 3. Procede sistemáticamente 4. Tantea, ensaya, pon ejemplos… 5. Organiza la información Problemas

4 Progresiones 1. Sucesiones 2. Progresiones aritméticas 3. Progresiones geométricas 4. Progresiones geométricas sorprendentes Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

¿Cuánto gasta una familia?: gasto en proporción o gasto total

Porfolio

1N úmeros para contar,

Álgebra para el recibo del agua

números para medir 1. Números naturales 2. Otras formas de contar 3. Números enteros 4. Fracciones 5. Operaciones con fracciones 6. Números decimales 7. Fracciones y decimales con la calculadora Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

2 Potencias y raíces 1. Potenciación 2. Notación científica 3. Operaciones con potencias 4. Radicales Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

3 Problemas aritméticos 1. 2. 3. 4. 5.

Aproximaciones y errores Cálculos con porcentajes Interés compuesto Raíces exactas Proporcionalidad compuesta en problemas aritméticos Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

5 El lenguaje algebraico 1. Expresiones algebraicas 2. Monomios 3. Polinomios 4. Identidades 5. División de polinomios Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

6 Ecuaciones 1. Ecuaciones. Solución de una ecuación 2. Ecuaciones de primer grado 3. Ecuaciones de segundo grado 4. Resolución de problemas con ecuaciones Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

7 Sistemas de ecuaciones 1. Ecuaciones lineales con dos incógnitas 2. Sistemas de ecuaciones lineales 3. Sistemas equivalentes 4. Tipos de sistemas según el número de soluciones 5. Métodos de resolución de sistemas 6. Resolución de problemas mediante sistemas Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

Porfolio

Dime cuál es tu gráfica y te diré qué forma tienes

8 Funciones. Características 1. Las funciones y sus gráficas 2. Aspectos relevantes de una función 3. Expresión analítica de una función Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

9 Funciones lineales y cuadráticas 1. Función de proporcionalidad y = mx 2. Función lineal y = mx + n 3. Aplicaciones de la función lineal. Problemas de movimientos 4. Estudio conjunto de dos funciones lineales 5. Parábolas y funciones cuadráticas Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

Porfolio Constructores por un día: un proyecto de reforma

10 Problemas métricos en el plano 1. Relaciones angulares 2. Triángulos semejantes. Teorema de Tales 3. Figuras semejantes. Escalas 4. Teorema de Pitágoras 5. Aplicación algebraica del teorema de Pitágoras 6. Áreas de los polígonos 7. Áreas de las figuras curvas Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

12 Transformaciones geométricas 1. Transformaciones geométricas 2. Movimientos en el plano 3. Traslaciones 4. Giros. Figuras con centro de giro 5. Simetrías axiales. Figuras con ejes de simetría 6. Composición de movimientos 7. Mosaicos, cenefas y rosetones Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

Porfolio Un intento de medir la felicidad

13 Tablas y gráficos estadísticos 1. El proceso que se sigue en estadística 2. Variables estadísticas 3. Población y muestra 4. Confección de una tabla de frecuencias 5. Gráfico adecuado al tipo de información Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

14 Parámetros estadísticos 1. Dos tipos de parámetros estadísticos 2. Cálculo de x y σ en tablas de frecuencias 3. Interpretación conjunta de x y σ 4. Parámetros de posición: mediana y cuartiles 5. Obtención de x y σ con la calculadora 6. Estadística en los medios Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

15 Azar y probabilidad 11 Cuerpos geométricos 1. Poliedros regulares y semirregulares 2. Truncando poliedros regulares 3. Planos de simetría de una figura 4. Ejes de giro de una figura 5. Superficie de los cuerpos geométricos 6. Volumen de los cuerpos geométricos 7. Coordenadas geográficas Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

1. Sucesos aleatorios 2. Probabilidad de un suceso 3. Probabilidad en experiencias regulares. Ley de Laplace 4. Probabilidad en experiencias irregulares. Ley de los grandes números 5. Probabilidades en experiencias compuestas Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

Porfolio

13 Tablas y gráficos estadísticos Los censos y recuentos estadísticos se hallan presen tes en todas las civilizaciones desde tiempos antiquí simos, pero se limitaban a la recogida de datos y, a lo sumo, a su exposición clara y ordenada. Generalmente, los datos que se recogían eran rela tivos al Estado, de ahí el origen de la palabra «esta dística». Existen papiros egipcios de hace más de 5 000 años donde hay constancia de censos de población y de bienes. Tenían tanta dedicación a estos asuntos que concibieron una divinidad llamada Safnkit, diosa de los libros y las cuentas, que se ocupaba de proteger los datos recopilados. También en Babilonia guardaban en tablillas de ar cilla los recuentos estadísticos que realizaban, es pecialmente sobre datos de ganadería y agricultura. Recopilaron tanta información que en el siglo viii a. C. construyeron una biblioteca donde se guardaron es tos documentos.

262

La estadística cobró especial importancia con el na cimiento del Imperio romano, que destacó por su extraordinaria organización del Estado. Recogieron y ordenaron una ingente cantidad de datos en todo su territorio: nacimientos, defunciones, matrimonios, habitantes por kilómetro cuadrado, superficie, ri quezas… De entonces acá, la estadística ha progresado de for ma asombrosa. Y, actualmente, con las grandísimas cantidades de información que se recopilan por to dos los medios, muy especialmente por Internet, y con la inconmensurable ayuda de los ordenadores, los grandes poderes poseen una inagotable infor mación sobre todos nosotros: aficiones, tendencias, relaciones sociales, posesiones…, con la que mejora notablemente su capacidad para gobernar eficaz mente. Aunque, también, les confiere unas enormes posibilidades de manipulación.

Con lo que ya sabes, resuelve Las alumnas y los alumnos de un grupo de 3.° de ESO con 34 estudiantes respon den a la siguiente encuesta diseñada por ellos mismos: Color de tu pelo (negro, castaño, trigueño, rubio, rojo). Cuántas personas viven en tu casa. Tu estatura (en cm).

Recogen las 34 hojas de resultados y realizan el recuento: COLOR DE PELO

NÚMERO

Negro

Castaño

Trigueño

Rubio

Rojo

TOTAL

PERSONAS EN CASA

2 3 4 5 6 7 8 TOTAL

NÚMERO

ESTATURA

NÚMERO

3 12 10 6 2 0 1 34

150 - 155 155 - 160 160 - 165 165 - 170 170 - 175 175 - 180 180 - 185 TOTAL

3 5 6 8 5 4 3 34

Y estos resultados los representan gráficamente así: 8 Negro Castaño Trigueño Rubio Rojo

6 4

2 2

150 155 160 165 170 175 180 185

❚ Reflexiona Para el diseño y la exposición de resultados, estos estudiantes (con la ayuda de su profesora) han tenido que tomar algunas decisiones. Medita sobre ellas: a) ¿Por qué, en la encuesta para el color de pelo, han impuesto unas respuestas muy concretas? ¿Podrían haber puesto otras? ¿Podrían haber dejado abiertas las opciones? b) ¿Por qué el resultado de las estaturas lo han recogido en intervalos? c) ¿Te parece adecuado el tipo de gráficas con que han representado cada una de las tres respuestas?

¿TE ANIMAS A HACERLO TÚ? Solo o ¡mucho mejor en grupo!, podrías hacer algo parecido (diseñar una en cuesta, recoger los resultados, organizarlos en tablas y representarlos gráfi camente) en tu clase o en otro sitio si tu profesora o profesor lo considera adecuado. Con estas mismas preguntas u otras que os parezcan mejor.

263

El proceso que se sigue en estadística La información estadística que recibimos llega mediante gráficas o tablas muy bien construidas, con las que resulta muy sencillo entender la información que se nos da. Sin embargo, esas tablas y gráficas son el resultado de un largo proceso. Veamos sus principales pasos. 1.° ¿Qué queremos estudiar? En el ejemplo de la página anterior, se pretende sacar conclusiones sobre el color de pelo, el número de personas que viven en su casa y la estatura de los estudiantes de una clase. 2.° Selección de las variables que se van a analizar Si a cada estudiante se le pregunta por su color de pelo, sin más, es muy probable que se obtenga una enorme cantidad de respuestas distintas, difíciles de organizar (rubio, negro azabache, mechas, castaño claro, anaranjado, rojo…). Para evitar esta disparidad de respuestas, la encuesta debe ser muy clara, con las posibles alternativas señaladas. Es decir, debe ser evidente cuál es la variable y cuáles son sus posibles valores. En nuestro caso, para el color de pelo original (sin tintes), tenemos las opciones siguientes: a) Negro b) Castaño c) Trigueño d) Rubio e) Rojo 3.° Recolección de datos Se efectúan las medidas y se realizan las encuestas. En nuestro ejemplo, se le pasa una tarjeta a cada estudiante, como la que ves a la derecha, para que anote sus respuestas.

• ¿Cuál es tu color de pelo original (sin tintes)? Negro

Castaño

Trigueño

Rubio

Rojo

• ¿Cuántas personas viven en tu casa? _________ • ¿Cuál es tu estatura en centímetros? _________

4.° Organización y exposición de datos Se realizan los recuentos, se ordenan los datos en tablas (se tabulan), se elaboran las gráficas adecuadas y, en algunos casos, se calculan los parámetros que convengan. A estas tareas nos dedicaremos a lo largo de la presente unidad y de la siguiente. PIENSA Y PRACTICA

1 Se quiere realizar una encuesta para estudiar las aficio-

nes musicales. Di justificadamente si te parecen o no razonables cada una de las preguntas siguientes: a) ¿Cuáles son tus grupos musicales preferidos? b) De los siguientes estilos musicales, señala aquellos que has escuchado más este mes:

264

• Rock

• Pop

• Rap

• Elect.

• Hip-Hop

• Reggae

• Salsa

• Punk

• Metal

• Grunge

• Jazz

• Clásico

c) ¿Oyes la radio? Si es así, ¿qué cadena? d) ¿Cuáles de estas cadenas de radio escuchas más de 2 horas a la semana? • Cadena 100 • Los 40 principales • Rock FM • Kiss FM • Radio Clásica • Europa FM • EDM • M80 Radio • Radio 3 • Cadena Dial e) ¿Cuál es el último concierto al que has ido?

U 13

Variables estadísticas Las variables estadísticas son, como debes recordar, las características que se estudian de una población. Veamos algunos ejemplos de variables estadísticas:

1,77

1,48

número de peces capturados

0,83

3,09

cola

peso de la mochila

limón

naranja

gaseosa

bebida elegida

Las dos primeras variables, número de peces y peso de las mochilas, son cuantitativas, ya que sus valores se expresan con números (cantidades). La tercera variable, tipo de bebida, es cualitativa, porque el tipo de bebida no se puede describir con un número, sino mediante una cualidad. Una variable cuantitativa es discreta cuando solo admite valores aislados (el número de peces cogidos puede ser 1 o 2, pero no un número intermedio). Una variable cuantitativa es continua cuando entre cada dos valores pueden darse todos los intermedios (una mochila puede pesar 1,245 kg, aunque habitualmente se redondea y se expresa mediante un número con una sola cifra decimal). Tipos de variables estadísticas • Cuantitativa: Numérica.

Discreta: Solo puede tomar valores aislados. Continua: Podría tomar todos los valores de un intervalo. • Cualitativa: No numérica.

|Ejemplo Un inspector de sanidad anota características de restaurantes: — Número de personas que trabajan en él (1, 2, 3…): cuantitativa discreta. — Superficie (187,5 m2): cuantitativa continua. — Tipo de comida (china, pasta, hamburguesa, marisco…): cualitativa. PIENSA Y PRACTICA

1 Indica si cada una de estas variables es cuantitativa dis-

creta, cuantitativa continua o cualitativa:

a) En los cines de un pueblo se anota el tipo de película que proyectan (comedia, acción…), cuánto dura la película y el número de espectadores. b) En los mercados de una ciudad se observan la superficie, el número de puertas de acceso y el tipo de mercado (alimentación, ropa, complementos…).

c) Nos hemos fijado en algunas características de los teléfonos móviles que tiene el alumnado de un centro escolar: la marca, el número de compañías que lo ofertan y el precio. 2 En el ejemplo de la página 263, indica de qué tipo es

cada una de las variables (color de pelo, personas que viven en casa y estatura) y escribe algunos de los posibles valores que pueden tomar. 265

Población y muestra Observa la representación gráfica de las tres distribuciones que vimos en la página anterior:

N.º de capturas de 120 pescadores

Peso de las mochilas de 30 estudiantes

30 3030

1212 12

25 2525

1010 10

20 2020

88 8

15 1515

66 6

10 1010

44 4

55 5

22 2

00 0

00 0 00 0 11 1 22 2 33 3 44 4 55 5

00 0 11 1 22 2 33 3 44 4 55 5 66 6

Bebida escogida por 40 asistentes a una fiesta de cumpleaños 5% 5% 5%

Cola

20% 20% 20% 45% 45% 45% 30% 30% 30%

Limón Naranja Gaseosa

Cada una de ellas se refiere a un colectivo: • 120 pescadores de un pantano. • 30 estudiantes de una clase. • 40 asistentes a un cumpleaños. El colectivo objeto de un estudio estadístico se llama población. A veces, el conjunto que interesa es demasiado numeroso para poder analizar cada uno de sus elementos; entonces se extrae una muestra. Por ejemplo, es posible que los 120 pescadores sean una muestra de la población formada por todas las personas que están pescando en el pantano. POBLACIÓN O MUESTRA

Un colectivo puede ser población o muestra según nos interese por sí mismo o sea un medio para inferir información sobre un colectivo más extenso.

Población es el conjunto de todos los elementos que son objeto de nuestro estudio. Muestra es un subconjunto, extraído de la población, cuyo estudio sirve para inferir características de toda la población. Individuo es cada uno de los elementos que forman la población o la muestra. |Ejemplo En la página anterior vimos a un inspector de sanidad que investiga restaurantes. Para hacer su informe relativo a una ciudad, selecciona algunos al azar. El conjunto de todos los restaurantes que hay en la ciudad es la población; los restaurantes seleccionados son la muestra y cada restaurante es un individuo.

PIENSA Y PRACTICA

1 Indica la población, la muestra y los individuos en cada

uno de los siguientes ejemplos:

a) Se seleccionan 50 edificios de una ciudad para hacer un estudio sobre el número de plantas, la altura y la utilización de los locales bajos (para viviendas, oficinas, tiendas, bares…). 266

b) Se analizan 100 libros de una biblioteca: número de páginas, ubicación en la estantería y contenido (como novela, ensayo, manual…). c) Se ha encuestado a 23 de los alumnos y las alumnas que van al centro en bici sobre el número de desarrollos de la bicicleta, el peso y la marca.

U 13

El papel de las muestras Como ya hemos visto, a veces es necesario recurrir a una muestra para recolectar los datos. Veamos cuándo y cómo se hace, y qué cabe esperar de los resultados de esta elección. ❚ cuándo hay que recurrir a una muestra

Hay muchas ocasiones en que es aconsejable, o incluso imprescindible, recurrir a una muestra y no a toda la población. Veamos algunos casos: • Cuando la población es muy numerosa. Por ejemplo, si deseamos conocer cuál es el tipo de lectura de toda la juventud de una comunidad autónoma. • Cuando la población es difícil de controlar. Por ejemplo, si se desea estudiar el número de veces al mes que cada cliente acude a unos grandes almacenes. • Cuando el estudio de las variables requiere un proceso muy caro o destructivo. Por ejemplo, deseamos saber la duración real de un nuevo tipo de pilas. La forma de medirlas es ponerlas en uso hasta que se agotan. ❚ información a tener en cuenta en la selección de una muestra

La selección de una buena muestra no es tarea fácil. Es muy importante tener en cuenta lo siguiente: • Para que la muestra sea válida, es necesario que se seleccione aleatoriamente (al azar) y que todos los individuos de la población tengan la misma probabilidad de ser elegidos. Por ejemplo, para estimar los resultados en las elecciones en una localidad de unos 5 000 habitantes se realiza una encuesta a 200 personas. Hacerlo vía telefónica, por Internet o en el mercado no es fiable, ya que quedarían excluidas las que no tienen teléfono, las que no usan Internet o las que no van al mercado, respectivamente. La única forma fiable de seleccionar la muestra es elegir al azar 200 personas de entre las inscritas en el censo. • El tamaño de la muestra sí importa. Pero, sorprendentemente, con muestras pequeñas bien seleccionadas, pueden extraerse conclusiones muy válidas. Por ejemplo, para pronosticar el resultado de unas elecciones en un país con millones de votantes, puede bastar una buena muestra de 3 000 individuos. Sin embargo, una muestra mucho mayor (de 50 000) tomada por un diario no es representativa, ya que se excluyen a todos los que no lo leen. ❚ qué conclusiones se pueden extraer del estudio de una muestra

La respuesta a esta pregunta es sumamente complicada. Nos aproximaremos a ella en cursos posteriores. En este nos conformaremos con decir que las conclusiones que se extraen para la población a partir de una muestra siempre serán aproximadas y, además, con un cierto margen de error. Por ejemplo: «En las próximas elecciones ganará la candidata X con, aproximadamente, un 56 % de los votos». Y esta afirmación la realizamos con un margen de error del 5 %. 267

Confección de una tabla de frecuencias Una vez recogidos los datos, los organizamos en una tabla de frecuencias.

NOTACIÓN

En las tablas de frecuencias se suele designar: xi 8 valores de la variable fi 8 frecuencia de cada valor

Tabla con datos aislados Si la variable toma pocos valores, se procede como en el siguiente ejemplo sobre el número de problemas que ha resuelto correctamente cada uno de los 20 estudiantes en un examen. La variable, xi, toma los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5. tabla de frecuencias recuento

RECUENTO

Para hacer el recuento, se leen los resultados uno a uno y se traza una marca donde corresponda (se suele ir tachando con un lápiz los datos contabilizados para no volver a contarlos). Si las marcas se agrupan de cinco en cinco, se cuentan mejor. (La quinta sirve para cerrar el manojo).

Tabla con datos agrupados en intervalos Si la variable es continua o bien, siendo discreta, toma muchos valores distintos, conviene agruparlos en intervalos. En nuestro ejemplo, las 30 mejores marcas de salto de altura de este año en cierta región, agrupamos los datos en intervalos con decimales para que no haya dudas del intervalo al que pertenece cada uno. tabla de frecuencias recuento

anayaeducacion.es

➜

Confecciona tablas de frecuencias.

intervalo

195 198 201 187 192

Entre 180,5 y 184,5

180,5-184,5

181 197 198 203 195

Entre 184,5 y 188,5

184,5-188,5

185 187 192 196 188

Entre 188,5 y 192,5

188,5-192,5

199 193 189 185 204

Entre 192,5 y 196,5

192,5-196,5

198 201 184 189 202

Entre 196,5 y 200,5

196,5-200,5

187 194 200 198 193

Entre 200,5 y 204,5

200,5-204,5

PIENSA Y PRACTICA

El profesor ha apuntado las faltas de asistencia que ha tenido cada uno de sus alumnos y alumnas a lo largo del trimestre: 2, 3, 0, 1, 1 2, 2, 4, 3, 1 3, 0, 2, 0, 1 2, 2, 1, 2, 1 0, 3, 4, 2, 1 3, 5, 1, 1, 2 a) Confecciona una tabla de frecuencias. b) Si se quisiera hacer una estadística con el número de ejercicios bien resueltos por cada alumno y alumna a lo largo del año, ¿la tabla de frecuencias debería ser con datos aislados o agrupados en intervalos?

268

2 Imagina que las respuestas a la encuesta sobre las al-

turas que se realizó en el ejemplo que se describe en la página 263 fueran las siguientes: 174 169 158 162 179 181 176 172 167 165 164 179 152 182 175 173 166 164 160 171 158 167 174 177 165 166 173 167 159 164 153 165 172 164 Haz una tabla de frecuencias con estos intervalos: 149,5-154,5-159,5-164,5-169,5-174,5-179,5-184,5

U 13

Frecuencias relativas y porcentajes No es lo mismo decir que 5 estudiantes resuelven un problema que uno de cada cuatro estudiantes lo resuelve. También hay diferencia entre afirmar que en el intervalo 192,5-196,5 hay 6 saltadoras de altura y decir que en dicho intervalo se concentra un 20 % de las atletas. xi

2/20 = 0,10

5/20 = 0,25

3/20 = 0,15

6/20 = 0,30

3/20 = 0,15

1/20 = 0,05

total

1,00

100

La proporción o el porcentaje correspondiente a un determinado valor es, en muchas ocaciones, una información más completa que la frecuencia absoluta. La frecuencia relativa, fr , de un valor es la proporción de veces que se presenta. Se obtiene dividiendo su frecuencia por el número total de individuos. Si multiplicamos por 100 la frecuencia relativa, obtenemos el porcentaje o la frecuencia porcentual. La tabla del margen es la del primer ejemplo de la página anterior con dos columnas más: una para las frecuencias relativas y otra para los porcentajes.

Frecuencias acumuladas Cuando los valores de la variable están ordenados de menor a mayor, la frecuencia acumulada en cada valor es la suma de su frecuencia con las de todos los valores anteriores. Por ejemplo:

TEN EN CUENTA

Para que tengan sentido las frecuencias acumuladas, los valores de la variable han de estar ordenados. Esto ocurre con las variables cuantitativas y con algunas variables cualitativas. Por ejemplo, los meses del año: E, F, M, Ab…

2+5=7

2 + 5 + 3 = 10

2 + 5 + 3 + 6 = 16

2 + 5 + 3 + 6 + 3 = 19

2 + 5 + 3 + 6 + 3 + 1 = 20

frecuencia acumulada

facumulada (4) = 19 8 19 estudiantes han resuelto 4 problemas o menos.

PIENSA Y PRACTICA

3 La siguiente tabla muestra el deporte que prefieren prac-

ticar 40 estudiantes: deporte

frecuencia

Baloncesto Voleibol Fútbol Tenis Ajedrez

10 1 20 5 4

a) Calcula las frecuencias relativas y porcentuales de esta distribución y explica por qué carece de sentido hallar las frecuencias acumuladas.

b) Que la frecuencia relativa de Baloncesto sea 10/40 quiere decir que uno de cada cuatro estudiantes juega al baloncesto. Explica con las mismas palabras las frecuencias relativas de Fútbol y Tenis y las frecuencias porcentuales de Ajedrez y Baloncesto.

4 Halla las frecuencias acumuladas de esta distribución y

di qué significan facumulada (3) y facumulada (5). n.° de suspensos frecuencia

0 6

1 12

2 8

3 5

4 3

5 1

6 1

7 0

5 Esta tabla recoge los meses que cumplen años las 100

personas que componen un grupo de montaña: E frec. 7 mes

F M Ab My Jn Jl Ag S 9 10 6 8 8 7 9 8

O N D 9 9 10

a) Halla las frecuencias acumuladas. b) ¿Cuántas personas nacieron antes de junio? ¿Y después de agosto? 269

Gráfico adecuado al tipo de información En muchas disciplinas encontramos espléndidas representaciones de gráficos estadísticos que nos permiten, con un solo golpe de vista, entender lo que nos quieren transmitir. Veamos cómo utilizarlos de manera correcta.

Diagrama de barras

OTRO TIPO DE GRÁFICO

En los diagramas de barras las longitudes de estas son proporcionales a las frecuencias correspondientes. Se utilizan para distribuciones de variables cuantitativas discretas. Por eso, las barras son estrechas y se sitúan sobre los valores puntuales de la variable. También se usan para representar variables cualitativas.

Hay infinidad de tipos de gráficos estadísticos. Observa este, al que llamamos pictograma, sobre los países que más CO2 emiten a la atmósfera:

n.º de móviles que han tenido los 400 estudiantes de un centro

marca de los móviles que tienen los 300 estudiantes de un centro

chonix-pera berri-back guguelne-xus

ifon-5 sanson-universe

El histograma se utiliza para distribuciones de varible continua. Por eso se usan rectángulos cuyas bases son de la longitud de los intervalos. Si estos intervalos son todos iguales, las alturas, al igual que en los diagramas de barras, son proporcionales a sus correspondientes frecuencias.

Ale

Irán

Jap ón ma nia

a Rus ia

Ind i

. UU EE.

ina

Histograma de frecuencias

Los pictogramas están destinados al gran público porque son muy llamativos e intuitivos, aunque poco precisos.

temperaturas máximas a lo largo de un año

vueltas a un circuito que dan en 12 min los estudiantes de 3.º eso

5 10 15 20 25 30 35

7 8 9 10 11 12 13

n.º de asistentes a una sala de cine a lo largo de un mes

0 50 100 150 200 250 300 350

Aunque los datos no vengan dados por intervalos (como en el caso de las vueltas a la pista de atletismo), cuando se trata de una variable continua (8 vueltas significa que aún no ha dado 9) es razonable usar el histograma y no el diagrama de barras. El número de asistentes es una variable cuantitativa discreta, pero al tomar muchos valores distintos, se utilizan intervalos y, por tanto, histogramas. PIENSA Y PRACTICA

Representa mediante el gráfico adecuado los datos obtenidos en las encuestas realizadas en una clase de 2.° de Bachillerato: a) Estatura de los estudiantes. altura

(cm)

160-164,5 164,5-169,5 169,5-174,5 174,5-179,5 179,5-185 270

frecuencia

1 4 10 8 9

b) Personas en casa. n.° de personas

frecuencia

U 13

Polígono de frecuencias temperaturas máximas

5 10 15 20 25 30 35

El polígono de frecuencias se utiliza en los mismos casos que el histograma. Se construye uniendo los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos y prolongando, al principio y al final, hasta llegar al eje. Su sentido es suavizar los escalones que se producen en el histograma.

Diagrama de sectores

RESULTADOS DE LAS ELECCIONES

Al final de la jornada electoral es muy común ver los resultados expuestos de la siguiente forma:

En un diagrama de sectores, el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia correspondiente. Se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa muy frecuentemente para las variables cualitativas. Por ejemplo, en el siguiente diagrama vemos las preferencias cinematográficas de cierta población en España por porcentajes: Acción

B A

Romántica

C Elecciones anteriores B C

10 % 10 %

Otros

Previsiones

Comedia

33 %

40 %

Terror

Otros

Este tipo de diagrama es especialmente adecuado para representar, en varios pasos, una evolución a lo largo del tiempo. Por ejemplo, podemos observar la evolución, desde 1950 hasta 2010, del nivel de estudios de la población de una cierta región: observamos cómo a lo largo del tiempo ha ido disminuyendo el número de personas analfabetas y con estudios básicos, y cómo ha aumentado considerablemente la población con estudios medios y superiores. Analfabetismo

➜

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Estudios básicos

GeoGebra. Diadrama de sectores.

Estudios medios 1950

1980

2010

Estudios superiores

PIENSA Y PRACTICA

2 Los diagramas de sectores se utilizan a menudo para

comparar la misma distribución en distintos países o regiones.

3 Estos diagramas de sectores corresponden al color de pelo

en tres clases de instituto de países distintos:

Negro

Observa los sectores que muestran cómo se divide la población trabajadora de dos países: Austria y Mauritania. ¿A cuál pertenece cada uno? Explica por qué. Agricultura y ganadería Industria Servicios A

Castaño Trigueño Rubio

Clase A

Clase B

Clase C

Rojo

a) Explica razonadamente cuál crees que corresponde a cada uno de estos países: España, Túnez y Dinamarca. b) Si son clases de 30 estudiantes, estima cuántos tienen pelo negro, castaño, trigueño, rubio y rojo en cada una. 271

Ejercicios y problemas resueltos 1 En qué basa la felicidad cada generación

Los diagramas de sectores que ves a la derecha muestran cuál es el aspecto que creen más relevante para ser feliz de tres generaciones distintas:

COMPRENDE Y APLICA EN EL DESAFÍO

• Los veinteañeros (20-29 años) • Los cuarentones (40-49 años) • Los octogenarios (80-89 años) Averiguar, razonadamente, a qué generación pertenece cada una.

La salud El dinero

Los amigos La pareja

La familia La actitud personal

En primer lugar, asociamos la gráfica B con los octogenarios, ya que el 50 % considera la salud como el aspecto más relevante, algo muy normal en los ancianos con achaques. Nos llama la atención también que un buen porcentaje ha elegido la familia y la actitud personal como aspectos más importantes; sin embargo, ni la pareja ni los amigos parece que les importen tanto a estas edades. Entre las otras dos, asociamos la gráfica C a los veinteañeros, ya que consideran los amigos y la familia aspectos muy importantes para la felicidad. Además, no son pocos los que eligen la salud como el aspecto más importante. Por último, nos quedaría la gráfica A para los cuarentones. Parece razonable que un cuarto de los encuestados tome la salud como aspecto más relevante para la felicidad y, además, den mucha importancia a la pareja (ya es hora de sentar la cabeza), a la actitud personal y a los amigos.

2 Elaboración de un diagrama de sectores

El color elegido al comprar un coche viene dado en esta tabla: color elegido

272

porcentaje

Para elaborar un diagrama de sectores a partir de una tabla, necesitamos la columna de las frecuencias relativas.

Plata/gris

36 %

Negro

22 %

Azul

18 %

Después, se calcula el ángulo (en grados) que tiene cada sector multiplicando su correspondiente frecuencia relativa por 360°. En nuestro caso:

Rojo

10 %

Plata/gris 8 0,36 · 360° = 129,6°

Blanco

Verde

Resto

Negro 8 0,22 · 360° = 79,2° Azul 8 0,18 · 360° = 64,8° Rojo 8 0,10 · 360° = 36°

Elaborar un diagrama de sectores que refleje la situación.

Blanco 8 0,08 · 360° = 28,8°

Hazlo tú Un ferri transporta distintos tipos de vehículos. Elabora el diagrama de sectores según estos datos: Coches: 53 %; Motos: 24 %; Camiones: 13 %; Autobuses: 10 %.

Resto 8 0,02 · 360° = 7,2°

Verde 8 0,04 · 360° = 14,4° Trazamos el diagrama de sectores con los porcentajes y colocamos su correspondiente leyenda a la derecha.

color elegido

porcentaje

Plata/gris

36 %

0,36

Negro

22 %

0,22

Azul

18 %

0,18

Rojo

10 %

0,10

Blanco

0,08

Verde

0,04

Resto

0,02

8% 36%

10% 18% 22% Plata Negro Azul

Rojo Blanco Verde

Resto

U 13

Ejercicios y problemas 4

Población y muestra. Variables

Indica, para cada caso propuesto: — Cuál es la población, y cuáles, los individuos. — Cuál es la variable y qué tipo de variable es. a) El peso de los recién nacidos en la Comunidad Valenciana a lo largo del año pasado. b) Cantidad de lluvia recogida en un cierto observatorio meteorológico en cada año del presente siglo. c) Número de mascotas en los hogares españoles. d) Tipos de coches (marca y modelo) que tiene cada vecino de mi urbanización. e) Número de tarjetas amarillas mostradas en cada partido de fútbol de 1.ª división esta temporada.

100 75 50 25 0

América Latinoamérica del Norte y Caribe

Europa y Rusia occidental

Asia

África

a) ¿Te parece razonable que la segunda barra siempre sea mayor o igual que la primera? Razónalo. b) ¿Qué región crees que tiene en la actualidad menos proporción de personas con acceso a la electricidad? c) ¿Dónde ha habido un crecimiento mayor? ¿Y proporcionalmente mayor?

Interpretación de gráficos

Observa en este diagrama de barras la proporción de la población con acceso a energía eléctrica en 1990 y en 2020: Acceso a la electricidad (% de población)

1990 2020

¿DOMINAS LO BÁSICO?

En el siguiente mapa se muestran, por colores, los grupos de países con esperanza de vida similar:

Elaboración de tablas y gráficos

> 80 años 70-80 años 70-75 años

2 1 3

60-70 años < 60 años Sin datos

b) Indica 8 países con la esperanza de vida mayor que 80 años. Haz lo mismo con el intervalo 75-80 años.

Si en el mundo hubiera 100 personas: Serían 12 europeos

Serían 61 asiáticos

Serían

13 africanos Serían Sería 13 americanos 1 oceánico

continentes

44 936 000

América

41 843 000

África

30 330 000

Europa

10 359 000

Oceanía

8 505 000

Ordena los continentes (de mayor a menor) según: a) El tamaño. c) La densidad de población.

b) La población.

3 2 2

1 4 1

1 1 2

5 0 3

1 2 1

2 1 2

4 2 0

3 1 2

En un control de velocidad en carretera se obtuvieron los siguientes datos: velocidad (km/h)

superficie (km2)

Asia

1 0 2

a) Haz la tabla de frecuencias absolutas. b) Realiza el diagrama de barras que corresponde a estos datos.

a) ¿En qué continente la esperanza de vida es menor?

Al preguntar al alumnado de un grupo de tercero de ESO por el número de libros que han leído en el último mes, hemos obtenido los datos siguientes:

n.° de coches

60-69 70-79 80-89 90-99 100-109 110-120 5 15 25 37 22 16

a) Elabora el histograma correspondiente. b) ¿Cuántos coches se registraron en el control? c) ¿Qué proporción de coches iba a 100 km/h o más? 7

Elabora, con los siguientes datos, un diagrama de sectores con el porcentaje de los navegadores web más utilizados en el mundo: Chrome: 60 % Internet Explorer: 20 % Firefox: 12 % Otros: 8 % 273

Ejercicios y problemas ENTRÉNATE Y PRACTICA 8

Se quieren realizar los siguientes estudios: I. El sexo (niño o niña) de cada bebé nacido en un hospital a lo largo de un año. II. Qué periódico lee cada habitante de una ciudad. III. Las alturas y los pesos de todos los alumnos y las alumnas de la clase. IV. Edad de las personas que han visto una obra de teatro en una ciudad. V. Estudios que piensan seguir los alumnos y las alumnas de un centro escolar al terminar la ESO. a) Di en cada uno de estos casos cuál es la población, y cuáles, los individuos. b) Indica en cada uno cuál es la variable que se estudia y de qué tipo es. c) ¿En cuáles de ellos es necesario recurrir a una muestra? ¿Por qué? Se ha realizado un estudio sobre la utilidad que le dan al Smartphone los menores de 26 años y los de 26 a 50 años. Estos son los resultados: utilidad

menores de

Millones de personas

En este gráfico se muestran datos sobre la climatología de Badajoz, durante un año: 40

26 a 50

temperaturas medias (ºC)

precipitaciones mensuales (mm)

26 %

37 %

27 %

25 %

Juegos y entretenimiento

35 %

12 %

Redes sociales

33 %

Noticias Llamadas y mensajes

a) ¿Qué representan las barras azules? b) ¿Qué representa la línea roja? c) ¿Qué temperatura media hubo en septiembre? ¿Cuál fue la precipitación en ese mes? d) ¿En qué meses la temperatura media superó los 20 °C? ¿En cuáles pasaron de 40 mm sus precipitaciones?

Estos son los mejores tiempos tomados en carreras de 10 km a los deportistas de un club de atletismo: 42:20 40:08 47:32 49:50 43:24 48:31 51:42 45:53 47:17 50:37 49:07 51:37 43:28 45:18 44:36 46:15 50:48 47:59 51:21 43:37 42:14 a) Haz una tabla de frecuencias absolutas y relativas con los siguientes intervalos: 40 - 42 - 44 - 46 - 48 - 50 - 52 b) Traza el histograma correspondiente. c) Mirando la tabla de frecuencias relativas, indica qué porcentaje de corredores bajaron de 44 min. d) ¿Qué porcentaje hizo más de 50 min?

274

a) ¿Te parece razonable decir que en A hay algo más de 3 millones de chicas de entre 10 y 20 años? b) ¿Cuántos niños varones de 0 a 10 años hay en el país A? ¿Y en el B? ¿Y en el C? c) ¿En cuál de los tres países hay más personas entre 80 y 100 años? ¿Y en cuál menos? d) Indica, justificadamente, cuál de las tres gráficas corresponde a un país del tercer mundo.

a) Elabora los correspondientes diagramas de sectores. b) Compara ambos grupos. c) Inventa un diagrama para los mayores de 50 años. 10

Estas pirámides de población muestran la distribución por edades (de 10 en 10 años) y sexo de tres países. Cada marca del eje horizontal corresponde a 1 millón de personas:

Asocia cada gráfica a una de estas ciudades: Valencia, Córdoba, Lugo, Las Palmas de Gran Canaria. 35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

U 13

Observa el gráfico de la derecha relativo a las ventas de algunos artículos en un pequeño comercio. a) ¿Qué color le corresponde a los bañadores? ¿Y a las toallas? ¿Y a los guantes?

PARA PENSAR UN POCO MÁS

Ene

Feb

Dic

Mar

Nov

Abr

Oct

Ago

Jun Jul

b) ¿En qué estación del año se venden más bañadores? c) ¿Cuándo se han vendido más cantidad de guantes? d) Explica cómo se comporta la gráfica de las toallas. 15

Estos diagramas muestran la composición del cuerpo humano a dos edades distintas: a los 25 años a los 75 años

n.° de mujeres (millones)

0-9 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

2 489 2 271 2 742 4 029 3 850 3 029 2 307 1 549 823 106

2 352 2 146 2 687 3 843 3 739 3 096 2 504 1 923 1 355 279

90-99 80-89 70-79 60-69 50-59 40-49 30-39 20-29 10-19 0-9

Tejido graso

15%

53%

30%

62%

Masa ósea

Músculos, órganos…

¿Cómo varía el porcentaje de agua corporal, de masa ósea, de tejido graso y de músculos, órganos… en esos 50 años? Da el resultado en tanto por ciento de aumento o disminución. Este gráfico muestra los 10 países más felices y los 10 menos felices del mundo en 2018. Para cuantificar la felicidad, se tienen en cuenta, entre otros aspectos, PIB per cápita, apoyo social, esperanza de vida sana, libertad social, generosidad y ausencia de corrupción. finlandia

noruega

dinamarca

10% 8% 6% 4% 2%

2% 4% 6% 8% 10%

Indica a qué intervalo corresponden las dos barras mal dibujadas y explica en qué se nota el error. TAMBIÉN PUEDES HACER ESTO

COMPRENDE Y APLICA EN EL DESAFÍO

n.° de hombres (millones)

¡Atención! Hay una barra incorrecta en la parte de los hombres y otra en la de las mujeres.

Agua corporal

12%

17%

grupo de edad

A continuación se muestra su pirámide de población. En ella, en lugar de frecuencias, se han puesto porcentajes.

May

Sep

Esta tabla describe la población de un país.

islandia

suiza

holanda

canadá

nueva zelanda

suecia

Reparto de la población española, según el tamaño del municipio en que vivía: municipios

1900 1930

Hasta 5 000 hab. 51 % 40 % De 5 001 a 20 000 28 % 29 % De 20 001 a 100 000 12 % 16 % Más de 100 000 9 % 15 %

1960 1990 2020

29 % 25 % 18 % 28 %

16 % 20 % 22 % 42 %

10 % 16 % 27 % 47 %

australia

Número de habitantes de España, en millones: república

malawi

haití

liberia

siria

ruanda

yemen

tanzania

sudán

centro

del sur

africana

burundi

a) ¿Cuáles son los continentes mejor y peor parados en este ránking? b) Busca en Internet en qué puesto está España. c) De los seis aspectos mencionados anteriormente, ¿te atreverías a aventurar en qué porcentaje influye cada uno en la felicidad global de un país? Representa tu estimación en un diagrama de sectores.

1900

1930

1960

1990

2020

18,6

23,6

30,4

38,8

45,6

a) Halla el número de personas que vivían en los municipos más pequeños desde 1900 hasta 2020. En estos municipios, la población ha ido decreciendo, pero ¿lo hace de forma constante o cada vez decrece menos? ¿Cómo evoluciona cada tipo de municipio? b) Haz un diagrama de sectores que muestre la distribución de la población en cada uno de los años que figuran en la tabla. 275

Taller de matemáticas PICOTEAR

LA VALIDEZ DE UNA MUESTRA

Cuando en el mercado probamos unas uvas o unas cerezas, lo que hacemos es sacar una muestra para ver la calidad de esa fruta. Eso mismo se hace al poner un examen: se eligen unas cuantas preguntas (una muestra) para comprobar lo que sabes hacer.

En las elecciones presidenciales de EE. UU. en 1936, una revista hizo una encuesta de intención de voto a más de cuatro millones de sus lectores y se equivocó en su pronóstico. Otra encuesta, hecha solo a 4 500 personas, anunció el éxito de Roosevelt con mucha exactitud. La razón es que en el primer caso la muestra no era representativa de la sociedad americana.

Frankling D. Roosevelt (1882-1945). 32.º presidente de los Estados Unidos.

¿QUÉ OCURRE SI ALGUNOS NO RESPONDEN A LA ENCUESTA? Una encuesta puede conducir a resultados falsos si ciertos grupos de población apenas responden mientras que otros lo hacen con pasión. Por ejemplo, supongamos que en una población europea deseamos pasar una encuesta sobre «qué estás dispuesto a hacer para luchar contra el cambio climático». En esa población, la proporción de personas jóvenes, de mediana edad y mayores es de 3, 4 y 5, respectivamente. Es decir, que de cada 12 personas, 3 son jóvenes; 4, de mediana edad, y 5, mayores. La muestra está bien elegida y guarda la proporción, pero las respuestas no: los jóvenes responden prácticamente todos, pero solo lo hacen la mitad de los medianos y apenas un 20 % de mayores.

→

Encuestados 3

Respuestas 3

Inferencia a partir → de las respuestas 6

Esta gráfica pone de manifiesto que los resultados de la encuesta desfiguran la inferencia que hagamos de la realidad. 276

U 13

AUTOEVALUACIÓN

➜

1 Indica, para cada caso, cuáles son los individuos;

5 En una determinada re-

cuál, la población; cuál, la variable, y de qué tipo es: a) Número de veces al año que ha usado su tarjeta sanitaria cada paciente de una sociedad médica. b) Tiempo de espera de cada paciente en una consulta de un centro de salud a lo largo de un día. c) Tipo de especialista al que acude cada paciente de un centro de salud durante un mes.

2 Indica en cada caso cuándo hay que recurrir a una

muestra. Razona tu respuesta. a) Gustos musicales de los estudiantes de un centro de secundaria y bachillerato. b) Número de personas que visitan un museo cada día de la semana (lunes, martes, miércoles…). c) Fecha elegida para una quedada de los miembros de un grupo de whatsapp.

3 Número de días que han ido a la biblioteca del cole-

gio los estudiantes de un curso: 3 1 2 4 0 0 2 4 1 2

2 1 3 1 0 1 2 0 5 3

2 0 3 5 2 3 1 2 1 0

a) Haz una tabla de frecuencias y representa los resultados mediante un gráfico adecuado. b) Añade a la tabla anterior una columna con las frecuencias relativas. Representa los resultados con un diagrama de sectores. 4 Tiempo, en minutos, que pasaron en la sala de es-

pera los pacientes de un médico cierto día: 28 4 12 35 2 26 45 22 6 23 27 16 18 32 8 47 8 12 34 15 28 37 7 39 15 25 18 17 27 15 a) Haz una tabla, repartiéndolos en intervalos de extremos 1,5 - 9,5 - 17,5 - 25,5 - 33,5 - 41,5 - 49,5. b) Representa los resultados mediante un gráfico adecuado (diagrama de barras o histograma). c) Elabora una tabla de los porcentajes que corresponden a esta clasificación: • Espera poco: 1-17,5 min. • Espera un rato: 17,5-33,5 min. • Espera mucho: 33,5-49,5 min. Representa los datos en un diagrama de sectores.

anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios. 9%

Agrario 21 % gión se ha realizado un 24 % Industria estudio sobre los acciConstrucción dentes mortales en el traServicios bajo según la actividad. a) ¿Cuál es el porcentaje de accidentes mortales producidos en el sector de la construcción? b) Si hubo 135 accidentes mortales en el sector agrario, ¿cuál fue el número total de accidentes mortales en la región? c) ¿Cuántos accidentes mortales hubo en cada uno de los sectores?

6 Observa estas pirámides de población: Hombres

marruecos 2018 Edad

Mujeres

Hombres

francia 2018 Edad

Mujeres

> 60 > 60 45-59 45-59 30-44 30-44 15-29 15-29 0-14 0-14 2,5 2,0 1,5 2,0 0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 2,5 2,0 1,5 2,0 0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Población total en millones

Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando las respuestas: a) La proporción de ancianas y ancianos en Francia es mucho mayor que en Marruecos. b) Hay más ancianas que ancianos en ambos países. c) La proporción de menores de 15 años es mayor en Marruecos que en Francia.

REFLEXIONA

Hasta ahora has delimitado tu investigación, planteado los instrumentos de recogida de información y registrado los datos. Ya seguramente podrás anticipar algunos aspectos o conclusiones principales que se pueden extraer del proceso, pero aún nos quedan aspectos relevantes que tratar y que veremos en la unidad didáctica siguiente. Ahora revisa los aspectos trabajados y plantea soluciones a los problemas que se detecten. Descarga de anayaeducacion.es la rúbrica, reflexiona de manera individual y comparte en grupo. PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Realiza la autoevaluación competencial incluida en anayaeducacion.es.

277

14 Parámetros estadísticos Una gran profesional Florence Nightingale (1820-1910) fue una matemática y en fermera londinense que aplicó técnicas estadísticas para me jorar las condiciones en los hospitales y la atención médica en general. Trabajó como enfermera en la guerra de Crimea (1853-1856). Allí comprobó que la mayoría de las muertes eran causadas por las pésimas condiciones de los hospitales. Recopiló y organizó datos estadísticos teniendo en cuenta el tiempo transcurrido, el número de muertes y sus causas, y los expresó en gráficos que por primera vez relacionaban tres variables (hasta entonces solo representaban una o dos). Mejoró notablemente la organización, interpretación y pre sentación gráfica de datos estadísticos. Además, fue una de las primeras personas que utilizó la estadística con una fi nalidad eminentemente práctica y, con ello, consiguió que se redujeran paulatinamente las muertes en los hospitales mejorando los métodos sanitarios. Hasta entonces, los estu dios estadísticos solo se habían usado para presentar infor mación.

278

Con lo que ya sabes, resuelve Las notas conseguidas en los últimos exámenes que se pusieron a los estudiantes de una clase en cuatro de sus asignaturas se exponen en los siguientes diagramas de barras:

historia

lengua

10 5

5 0

mates

9 10

ciencias

5 0

9 10

❚ Reflexiona A la vista de estos gráficos, opina: a) En una asignatura, la nota media es bastante alta, más de 6. En otra, sin embar go, es muy baja, menos de 4. ¿Cuál crees que es cada una de ellas? b) ¿Te parece razonable suponer que en las otras dos asignaturas la nota media es próxima al 5? Sin embargo, las dos gráficas correspondientes son muy distin tas. Fíjate bien en las notas de Lengua: ¿te parecería adecuado decir que son claramente «más dispersas» que las demás? En esta unidad aprenderás a valorar, no solo la media, sino la dispersión de estas distribuciones.

¿TE ANIMAS A HACERLO TÚ? Solo, en pequeño grupo o con toda la clase, según el docente estime conve niente, podrías hacer como en el ejemplo descrito arriba: recoger las notas de todos tus compañeros en varias asignaturas, tabularlas y representarlas en diagramas de barras. Mirando las gráficas correspondientes, ¿podrías estimar de forma aproximada la media de cada una de ellas? ¿Alguna de estas distribuciones sería claramen te más dispersa que las demás? Al finalizar la unidad podrás responder a estas preguntas calculando numéri camente los resultados. También podrías afrontar otras investigaciones similares. Por ejemplo, con las estaturas de los alumnos y las alumnas de algunas clases de diversos cursos.

279

Dos tipos de parámetros estadísticos Empezaremos considerando solo dos tipos de parámetros estadísticos: • Los parámetros de centralización nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos. • Los parámetros de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.

Parámetros de centralización ❚ media NOTACIÓN

El signo ∑ se utiliza para indicar sumas de varios sumandos. ∑ xi se lee: «suma de los xi».

Si llamamos x1, x2, …, xn a los valores que toma una distribución estadística, la media, o promedio, se designa por x– y se calcula así: x– =

x1 + x2 + … + xn n

Abreviadamente: x– =

/ xi n

Por ejemplo, estos son los resultados del número de pruebas físicas superadas por los 10 integrantes de un equipo deportivo: 1, 0, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 4, 4. Calculamos la media: x– = 1 + 0 + 3 + 4 + 5 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 = 30 = 3 10 10 ❚ mediana

Si ordenamos los datos de menor a mayor, la mediana, Me, es el valor que está en medio: es decir, tiene tantos individuos por debajo como por encima. Si el número de datos es par, a la mediana se le asigna el valor medio de los dos términos centrales. En el ejemplo anterior, para hallar la mediana ordenamos los datos: 0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5 Los datos centrales son 3 y 4, por tanto, la mediana es 3,5. DISTRIBUCIONES CON MÁS DE UNA MODA

Una distribución puede tener más de una moda. Una con dos modas se denomina bimodal; una con tres, trimodal…

❚ moda

La moda, Mo, es el valor que tiene mayor frecuencia. La moda del ejemplo anterior es 4, ya que es el valor con mayor frecuencia.

PIENSA Y PRACTICA

1 Calcula la media, la mediana y la moda de cada una de

estas distribuciones estadísticas: a) 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 11, 12, 17

b) 10, 12, 6, 9, 10, 8, 9, 10, 14, 2 c) 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 3, 7 d) 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1 280

2 Halla los parámetros de centralización de las notas de

Matemáticas del ejemplo de la página anterior. 10 5 0

U 14

Parámetros de dispersión Estas gráficas muestran las edades de las jugadoras de dos equipos de fútbol: Atlético Rojo

Deportivo Azul

En ambas, la edad media es 21 años. Observa que, aun teniendo la misma media, estas distribuciones son muy distintas, pues en la segunda los valores se encuentran claramente más separados que en la primera. Los parámetros de dispersión que a continuación describimos sirven para valorar esas diferencias. ❚ recorrido o rango TEN EN CUENTA

A partir de este nivel, abandonamos la desviación media, que conoces de cursos anteriores, ya que la desviación típica es la que se utilizará desde ahora como medida de dispersión. ¿Por qué la desviación típica y no la varianza? La varianza tiene un grave inconveniente. Imagina que estamos tratando con una distribución de estaturas dadas en cm. La media vendría dada en cm, pero la varianza vendría en cm2 (es decir, una superficie en lugar de una longitud). Por eso, extraemos su raíz cuadrada, obteniendo la desviacion típica que, en nuestro ejemplo, sí sería una longitud dada en cm.

Es la diferencia entre el dato mayor y el menor. Es decir, es la longitud del tramo dentro del cual están los datos. En el equipo rojo el recorrido es 23 – 20 = 3, y en el azul, 25 – 18 = 7. ❚ varianza

Es el promedio de los cuadrados de las distancias de los datos a la media: (x – x ) 2 + (x 2 – x ) 2 + … + (x n – x ) 2 / (x i – x ) 2 Varianza: V = 1 = n n Esta fórmula es equivalente a la siguiente: x 2 + x 2 + … + x 2n – 2 / x 2i Varianza: V = 1 2 –x = – x– 2 n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Vrojo = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 2 = 0,91 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Vazul = 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 4 = 7,45 11

❚ desviación típica, q ➜

anayaeducacion.es GeoGebra. La desviación típica.

Es la raíz cuadrada de la varianza: q = varianza =

/ x 2i n

– x2

qrojo = 0, 91 = 0,95; qazul = 7, 45 = 2,73 Observa cómo la dispersión de las edades del Deportivo Azul es mucho mayor que la del Atlético Rojo, como habíamos visto en sus representaciones gráficas. A partir de ahora prestaremos especial atención a la media (x–) y a la desviación típica (q). La información que da cada una complementa de la otra. PIENSA Y PRACTICA

3 Halla los parámetros de dispersión de las distribuciones

del ejercicio 1 de la página anterior.

4 Halla de dos formas distintas la varianza de esta distri-

bución: 8, 7, 11, 15, 9, 7, 13, 15.

281

– y q en tablas de frecuencias Cálculo de x

Cuando los datos estadísticos vienen dados mediante tablas de frecuencias, los cálculos pueden disponerse para que los parámetros se obtengan con gran comodidad. –

❚ cálculo de x

Veámoslo con un ejemplo: la tabla de frecuencias de la derecha corresponde a las notas obtenidas por los 33 estudiantes de una clase en el último examen.

Para calcular la media de las notas, tendríamos que sumar: 4 + (5 + 5 + … + 5) + (6 + 6 + … + 6) + (7 + 7 + … + 7) + 8 + 8 + 9 10 veces

14 veces

5 veces

y dividir el resultado por 1 + 10 + 14 + 5 + 2 + 1 = 33. Sin embargo, la suma de arriba se obtiene más eficazmente así: 4 · 1 + 5 · 10 + 6 · 14 + 7 · 5 + 8 · 2 + 9 · 1 Es decir, cada valor de la variable se multiplica por la frecuencia asociada y se suman todos los resultados.

fi · xi

La suma de todas las notas se halla sumando los valores de la columna fi · xi .

198

f1x1 + f2x2 + … + fn xn = 198 8 ∑ fi xi = 198

∑ fi

∑ fi xi

La media es: x– =

fi · xi

f1 x1

f2 x2

En una distribución dada por su tabla de frecuencias, para hallar la media se añade a la tabla la columna fi · xi y se procede así:

… xn

… fn

… fn xn

∑ fi

∑ fi xi

Para facilitar estos cálculos, añadimos una nueva columna a la tabla, fi · xi . El total de individuos se obtiene sumando los valores de la columna fi . f1 + f2 + … + fn = 33 8 ∑ fi = 33

/ fi x i 198 = =6 / fi 33

/ fi x i / fi

donde ∑ fi xi = f1x1 + f2x2 + … + fn xn es la suma de todos los valores; y ∑ fi = f1 + f2 + … + fn es el número de individuos.

PIENSA Y PRACTICA

1 Calcula la media de las siguientes distribuciones:

a) número de hijos e hijas

282

b) número de suspensos en esta evaluación

14 15

fi 1 17 11

U 14

❚ cálculo de q

La desviación típica admite dos expresiones equivalentes: v=

– – – Rfi (x i – x )2 donde ∑fi(xi – x )2 = f1(x1 – x )2 + … + fn(xn – x )2 es la Rf i suma de los cuadrados de las desviaciones a la media.

2 2 2 Rfi x i2 – x 2 donde ∑fi xi = f1x1 + … + fn xn es la suma de los Rf i cuadrados de todos los valores.

Con las dos fórmulas se llega al mismo resultado. Sin embargo, es mucho más práctica la segunda de ellas. Veamos por qué: Puesto que fi · xi2 es igual a (fi · xi) · xi, añadiremos en la tabla de frecuencias la columna que se obtiene multiplicando los correspondientes elementos de las (xi ) · (fi · xi ) columnas xi y fi · xi. Con la tabla original, las dos nuevas columnas y las sumas xi fi fi · xi fi · xi 2 totales, se calculan fácilmente la media y la 4 1 4 16 desviación típica: 5

250

504

245

128

198

1 224

∑ fi

∑ fi xi

∑ fi xi2

• media: x– =

R fi x i 198 =6 = 33 R fi

• desviación típica: R fi x i2 – x2 = R fi

1224 – 6 2 = 1,04 33

Tablas con datos agrupados en intervalos Cuando tenemos los datos agrupados en intervalos (en lugar de valores puntuales), para confeccionar una tabla de frecuencias que sea operativa, a cada intervalo se le asigna su valor central, lo que se llama su marca de clase. Por ejemplo, la marca de clase del intervalo 50-58 es: 50 + 58 = 108 = 54 2 2 De esta forma se obtiene, a partir de una tabla con datos agrupados, una tabla de frecuencias como las anteriores y se procede de igual forma.

PIENSA Y PRACTICA

2 Halla la media y la desviación típica de esta distribución: xi

1 2 3 4 5 total

12 15 24 19 10

fi · xi

12 30 72 76 50

fi · xi 2

12 60 216 304 250

3 Completa en tu cuaderno la tabla con las marcas de cla-

se, y calcula la media y la desviación típica. pesos

personas

50 a 58 58 a 66 66 a 74 74 a 82 82 a 90

6 12 21 16 5

283

– y q Interpretación conjunta de x Veamos de nuevo las dos gráficas de la página 281 sobre las edades de las jugadoras de dos equipos de fútbol: Atlético Rojo

Deportivo Azul

Recordemos que la media de ambas distribuciones es 21 y que sus desviaciones son 0,95 y 2,73, respectivamente. Lo cual es coherente con las gráficas, ya que los datos del Deportivo Azul están mucho más alejados de la media (21) que los del Atlético Rojo. anayaeducacion.es

➜

Refuerza: interpretación conjunta de x y σ.

Con los valores de x– y q, tenemos una idea relativamente buena de cómo es una distribución. La media nos dice dónde está su centro. La desviación típica orienta sobre cómo de alejados de la media, cómo de dispersos, están los datos. EJERCICIO RESUELTO

III

clase

– x

1.° A

8,2

0,8

1.° B

2,5

3.° A 12,5 2,3 3.° B

13,4 1,2

Las cuatro gráficas del margen informan del número de horas semanales que estudian las alumnas y los alumnos de cuatro clases. A partir de los datos de la tabla de abajo, indicar a qué clase corresponde cada gráfico. Si nos fijamos en las gráficas, es fácil ver que las medias de las clases I y III se encuentran alrededor del 8; mientras que las medias de las clases II y IV son mayores y están alrededor del 13. Por tanto, podemos asociar de este modo: 1.° A y 1.° B 5 I y III 3.° A y 3.° B 5 II y IV Para distinguir entre aquellas cuyas medias son muy parecidas, nos fijamos en lo dispersos que están los datos. Es claro que los datos de la I están mucho más dispersos que los de la III, por lo que 1.° A 5 III y 1.° B 5 I. También se aprecia claramente que los datos de la II están mucho más dispersos que los de la IV. Concluimos entonces que: 3.° A 5 II y 3.° B 5 IV

PIENSA Y PRACTICA

➜

anayaeducacion.es GeoGebra. Estudio conjunto de x y σ.

Las siguientes gráficas muestran los porcentajes de encestes de los jugadores de cuatro equipos. A partir de los datos de la tabla de la derecha, indica la media y la desviación típica correspondiente a cada equipo: A 45 50 55 60 65 70 C 45 50 55 60 65 70

284

B 45 50 55 60 65 70 D 45 50 55 60 65 70

equipo

– x

52,5

7,1

6,9

III

63,5

2,7

U 14

Coeficiente de variación Los pesos de los toros de lidia de una ganadería se distribuyen con una media x– = 500 kg y una desviación típica q = 40 kg. Los pesos de los perros de una exposición canina tienen una media x– = 20 kg y una desviación típica q = 10 kg.

La desviación típica de los pesos de la manada de toros bravos (40 kg) es superior a la de los perros (10 kg). Sin embargo, los 40 kg son poca cosa para el enorme tamaño de los toros (es decir, los toros de esa manada son muy parecidos en peso), mientras que 10 kg es mucho en relación con el peso de un perro. En casos como este, la desviación típica no es una medida adecuada para comparar dispersiones. Por ello, definimos un nuevo parámetro estadístico. – x

toros

500

perros

40 con relación a 500 es menor que 10 con relación a 20.

Para comparar la dispersión de dos poblaciones heterogéneas, se define el coeficiente de variación así: CV = v x – Al dividir q entre x estamos relativizando la dispersión. El resultado se da, a veces, en tantos por ciento. En el ejemplo de los toros y los perros, obtenemos: CV = 40 = 0,08 Es decir, el 8 %. 500 • Para los perros: CV = 10 = 0,50 Es decir, el 50 %. 20 De este modo, sí se aprecia claramente que la variación de los pesos de los perros (50 %) es mucho mayor que la de los pesos de los toros (8 %). • Para los toros:

– x

toros

500

perros

50 %

PIENSA Y PRACTICA

➜

anayaeducacion.es GeoGebra. Coeficiente de variación.

2 En distintas tiendas de instrumentos musicales preguntamos el precio de ciertos modelos concre-

tos de piano, flauta travesera y armónica. Los resultados obtenidos tienen las siguientes medias y desviaciones típicas: pianos

flautas

armónicas

media

943

132

desv. típica

148

Compara la dispersión relativa de los precios de estos tres productos.

285

Parámetros de posición: mediana y cuartiles Se ha preguntado a un grupo de 16 personas por el número de veces que han salido a correr este mes. Estos son los resultados ordenados y su representación: 0, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10 0

2 3 4 50 % de la población

7 8 9 10 Me 50 % de la población

Observa que a la derecha de la mediana, Me, está la mitad de la población. A su izquierda, la otra mitad. Es decir, la mediana parte en dos a la población. ¿Y si quisiéramos partir la población en cuatro partes con el mismo número de individuos? Habría que señalar otros dos puntos, los cuartiles, Q1 y Q3.

MEDIANA: POSICIÓN Y CENTRALIZACIÓN

La mediana y los cuartiles son parámetros de posición porque cada uno de ellos indica un lugar (una posición) respecto a los demás valores de la distribución. Entre los parámetros de posición, la mediana es el que ocupa el lugar central. Por eso es, también, un parámetro de centralización.

4 Q1

7 Me

Primer cuartil, Q1, es el valor de la variable que deja por debajo de él a un cuarto de la población, y por encima, tres cuartos. Tercer cuartil, Q 3, es el valor de la variable que deja por encima de él a un cuarto de la población y por debajo, tres cuartos. Se llaman Q1 y Q 3 porque la mediana es el segundo cuartil, Q 2. La diferencia Q 3 – Q 1 se llama recorrido intercuartílico.

EJERCICIO RESUELTO

En un cumpleaños se ha roto Como la distribución tiene 10 individuos, la cuarta parte es 10 : 4 = 2,5. la piñata y cada una de las • Q tiene que dejar a su izquierda «dos elementos y medio». Por tanto, el primer cuar1 diez personas que esperaban til tiene que estar situado en el tercer elemento, ya que «medio individuo» queda a su han cogido tantos regalos coizquierda y el «otro medio» a su derecha. mo han podido. Esta es la lista Es decir, Q1 = 4. ordenada del número de rega• Me debe dejar 5 individuos a su izquierda y otros 5 a su derecha. Por tanto, está entre los que tiene cada una: el quinto (7) y el sexto (8); es decir, Me = 7,5. 2, 2, 4, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11 • Q 3 debe dejar a su izquierda «siete elementos y medio» (2,5 · 3 = 7,5). Mediante un razonamiento similar al que se ha seguido para Q1, el tercer cuartil está en el octavo Calcular la mediana y los elemento; es decir, Q 3 = 9. cuartiles. PIENSA Y PRACTICA

➜

1 Calcula Q1, Me y Q 3 y sitúalos en cada una de las

2 En cada una de las distribuciones siguientes:

siguientes distribuciones representadas:

a) b)

286

anayaeducacion.es GeoGebra. Mediana y cuartiles.

a) Calcula Q1, Me y Q 3. b) Representa los datos y sitúa en ellos Q1, Me y Q 3. A: 0, 0, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10 B: 0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 14, 17, 29, 35 C: 12, 13, 19, 25, 63, 85, 123, 132, 147

U 14

Diagramas de caja y bigotes Esta representación gráfica está estrechamente ligada a los parámetros de posición que hemos aprendido. Veamos con un ejemplo cómo se construye. |Ejemplo 1 El número de personas que componen cada una de las familias de un grupo de amigos y amigas viene dado en el margen.

22233333444666667788 Q1

Observamos que:

• El menor valor es 2 y el mayor es 8. • Q1 = 3; Me = 4 y Q 3 = 6. Con estos resultados, dibujamos el diagrama:

OBSERVA

La longitud de la caja es Q3 – Q1, el recorrido intercuartílico.

Es decir, la caja describe el tramo que hay entre los dos cuartiles, señalando expresamente la mediana, y los bigotes se extienden a la totalidad de los datos. |Ejemplo 2 160 165 170 175 180 185 190 Q1 Me Q3

Representamos en el margen la distribución de las alturas de los socios de un club mediante un diagrama de caja y bigotes. A la vista del diagrama podemos decir: • El más bajo mide 160 cm, y el más alto, 187 cm. • Los cuartiles y la mediana son Q1 = 167,5; Me = 171 y Q 3 = 175,5. • Por tanto, un 25 % de los socios miden entre 160 cm y 167,5 cm; otro 25 %, entre 167,5 cm y 171 cm; otro 25 %, entre 171 cm y 175,5 cm, y el último 25 % (los más altos), entre 175,5 cm y 187 cm.

EJERCICIO RESUELTO

Representar en un diagrama a) En la página anterior hemos obtenido: Q1 = 4; Me = 7,5: Q 3 = 9. de caja y bigotes cada una de Ponemos la escala y representamos el diagrama: las siguientes distribuciones: a) 2, 2, 4, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11 b) 1, 1, 2, 3, 5, 5, 15, 27, 41, 43

b) Obtenemos, primero, sus parámetros de posición: Q1 = 2; Me = 5; Q 3 = 27. Fijamos la escala (hay que tener en cuenta que los últimos datos tienen valores «muy grandes») y dibujamos el diagrama: 0

PIENSA Y PRACTICA

3 Representa con un diagrama de caja y bigotes cada dis-

tribución de la actividad 2 de la página anterior.

Utiliza los valores de Q1, Me y Q 3 que hallaste en esa actividad.

➜

anayaeducacion.es GeoGebra. Diagrama de caja y bigotes.

4 Representa mediante un diagrama de caja y bigotes los

siguientes puntos conseguidos en la diana: 7 6 6 8 5 5 7 9 6 8 4 7 5 8 6 7 5 6 6 7 5 6 6 5 8 6 7 5 9 3

287

5 xi

151

156

161

166

171

176

– y q con la calculadora Obtención de x Estudiemos con un ejemplo (observa la tabla del margen) los pasos que hay que ir dando para introducir eficazmente unos datos en la calculadora y conseguir los correspondientes resultados. 1

Preparación para trabajar en estadística En primer lugar, accedemos a � y vamos pulsando la flecha ” hasta llegar a la opción 6:Estadística. A continuación, elegimos 1:1–Variable. Nos aparece una tabla vacía para introducir los datos y sus frecuencias.

Borrado de los datos acumulados del trabajo anterior Si al encender la calculadora la tabla contiene datos que no deseamos conservar, asegúrate de que se borran todos antes de introducir los nuevos. Posiblemente, necesites utilizar la tecla del.

Introducción de datos El cursor se pone en negro en la primera casilla de la columna de los xi. Después de escribir cada dato, hay que pulsar =, con lo cual el cursor baja para introducir el siguiente dato. Para escribir las frecuencias o corregir algún dato, movemos el cursor con las flechas ”’‘“. Empezamos introduciendo en la tabla todos los valores de la variable. 151 = 156 = 161 = … 166 = Observa que asigna, automáticamente, valores 1 en las correspondientes frecuencias. A continuación, introducimos las frecuencias: 1 = 4 = 9 = 10 = 4 = 2 =

Corrección de los datos erróneos Si hay algún error, con el cursor nos posicionamos en él, tecleamos el valor correcto y pulsamos =.

5 RECUERDA

Después de trabajar con los datos estadísticos, para volver a realizar cálculos artiméticos debes pulsar � y, a continuación, elegir 1:Calcular.

Resultados Para obtener el resumen de los datos y el valor de los parámetros estadísticos, accede a la opción calc 1-variable y obtendrás algo como esto: Para visualizar todos los resultados, muévete con el cursor arriba y abajo.

PIENSA Y PRACTICA –

1 Halla x y q con la calculadora en la distribución a) de

la actividad 1 de la página 282. –

2 Halla con la calculadora x y q en la distribución b) de la

actividad 1 de la página 282.

288

3 Halla, con ayuda de la calculadora, los parámetros de

centralización y dispersión de las distribuciones de las notas en las cuatro asignaturas del ejemplo de la página 279. Para ello, construye la tabla de frecuencias correspondiente a cada distribución.

U 14

Estadística en los medios La estadística está presente en todos los ámbitos de nuestra vida. La mayor parte de los datos que recibimos están elaborados con ayuda de estudios estadísticos. A veces, los medios privados hacen sus propias estadísticas. Sin embargo, el estamento público que se dedica a la realización de estadísticas sobre todos los aspectos de la sociedad es el INE (Instituto Nacional de Estadística). El INE junto con el CIS (Centro de Investigaciones Sociológicas) son las referencias que hay que tener en cuenta a la hora de recurrir a datos fiables. La medicina, la ecología, la política, la psicología, los deportes, la publicidad… todos recurren a la estadística para realizar investigaciones, mejorar resultados, diagnosticar problemas, pronosticar acontecimientos… Veamos algunos ejemplos de noticias relacionadas con estadísticas: Lunes 9 de noviembre de 2020

El salario medio en España retrocede por primera vez desde 2006

Sedentarismo: un problema de salud pública 53,5

total sexo

Hombres

El salario mediano también retrocede por segundo año consecutivo, hasta los 1.594 euros, y el salario medio baja por primera vez en diez años, llegando a los 1.878,1 euros. Además, tres de cada diez españoles ganan menos de 1.229 euros brutos al mes.

Mujeres edad

De 15 a 19 años De 20 a 24 años De 25 a 34 años De 35 a 44 años De 45 a 54 años

15 meses, vida media de un móvil

De 55 a 64 años De 65 a 74 años

Los españoles cambian de móvil hasta 4 años antes de su obsolescencia. La mayoría de los aparatos son desechados cuando todavía tienen valor de mercado.

De 75 años y más

Gráfico 2.1. Personas que practicaron deporte en el último año según sexo y edad. (En porcentaje de la población total investigada de cada colectivo).

Uno de cada cinco jóvenes ve «normal» la violencia de género en la pareja Más del 20 % de españoles de 15 a 29 años considera que la violencia machista es un tema «politizado que se exagera mucho», según un informe de la FAD.

conferencia internacional del sida

Uno de cada tres tratamientos fracasa a causa de las resistencias Un 32 % de los tratamientos del sida fracasa porque el virus se hace resistente a los antirretrovirales.

PIENSA Y PRACTICA

Interpreta los gráficos y las noticias que hemos visto en esta página.

2 Busca en Internet noticias en las que se haya recurrido a

la estadística.

289

Ejercicios y problemas resueltos 1 Obtención de parámetros estadísticos

En una clase con 25 estudiantes se ha realizado una encuesta sobre la percepción de la felicidad. Deben valorar seis cuestiones del 1 al 10 y, luego, hacer una media de sus puntuaciones. Estas son las medias finales obtenidas: 1 1 1 1 3,2 3,8 4,2 4,7 5,2 5,3 5,3 5,7 5,8 6,2 6,7 6,7 7 7 7,3 8 8,3 8,7 9 9,3 10 a) Hacer una tabla de frecuencias clasificando las medias finales en cinco intervalos que comiencen en 0,5 y terminen en 10,5. Hallar, a partir de ella, los parámetros x–, q y CV. b) Calcular x–, q y CV introduciendo los 25 datos en la calculadora: es decir, sin agruparlos en intervalos. c) Hay cuatro individuos que han escrito un 1 en todas sus respuestas y uno que ha contestado siempre 10. Son cinco amigos que se sientan juntos, por lo que la profesora ha indagado y ellos han reconocido que lo han hecho de broma. Hallar de nuevo los parámetros obtenidos en el apartado anterior prescindiendo de los datos de estos cinco individuos. d) Hallar los parámetros de posición de la distribución de las medias finales redondeadas a las unidades de los veinte estudiantes que respondieron en serio. Construir su correspondiente diagrama de caja y bigotes.

290

COMPRENDE Y APLICA EN EL DESAFÍO

a) Hacemos la contabilidad en los cinco intervalos. Después construimos una tabla tomando como valores de la variable las marcas de clase: fi · xi 2

intervalo

frecuencia

fi · xi

0,5-2,5 2,5-4,5 4,5-6,5 6,5-8,5 8,5-10,5

4 3 7 7 4

1,5 3,5 5,5 7,5 9,5

4 3 7 7 4

6 10,5 38,5 52,5 38

9 36,75 211,75 393,75 361

totales

145,5

1 012,25

• media: x– =

R fi x i 145, 5 = = 5,82 25 R fi

• desviación típica: q =

R fi x i2 – x2 = R fi

1012, 25 – 5, 82 2 = 2,57 25

• coeficiente de variación: CV = q = 2, 57 = 0,442 8 44,2 % x 5, 82 b) Ponemos la calculadora en el modo stat, vaciamos la memoria e introducimos los 25 datos. Accedemos a calc 1-var y obtenemos lo siguiente: x– = 5,66; q = 2,64 Hallamos, con estos datos, el coeficiente de variación: CV = 2, 64 = 0,466 8 46,6 % 5, 66 c) Lo hacemos con calculadora. Podemos suprimir los 5 datos que sobran de los que hemos introducido en el apartado anterior. Obtenemos x– = 6,37; q = 1,70; CV = 0,267 8 26,7 % Al suprimir a los cinco individuos, aumenta la media de las puntuaciones y disminuye la desviación típica. La dispersión es, lógicamente, mucho menor. Se aprecia en que el CV es notablemente inferior que el de la clase completa. d) Redondeamos: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9 • mediana: 20 = 10. La mediana es la media del 10.° y 11.° 8 2 8 Me = 6 + 7 = 6,5. 2 • cuartiles: El número de individuos se divide entre 4 8 20 = 5. 4 – primer cuartil: Q1 es la media de los individuos que ocupan las posiciones 5.ª y 6.ª, como ambos son 5, Q1 = 5. – tercer cuartil: como 5 · 3 = 15, los que ocupan las posiciones 15.° y 16.° son las puntuaciones 7 y 8. Es decir, Q3 = 7 + 8 = 7,5. 2 Como el menor valor es 3 y el mayor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 es 9, construimos el diagrama de caja: Q1

Me Q3

U 14

Ejercicios y problemas ¿DOMINAS LO BÁSICO?

ENTRÉNATE Y PRACTICA

Parámetros de centralización y dispersión

Calcula los parámetros media, mediana, moda, recorrido, varianza, desviación típica y coeficiente de variación en cada caso: a) 6, 3, 4, 2, 5, 5, 6, 4, 5, 6, 8, 9, 6, 7, 7, 6, 4, 6, 10, 6 b) 11, 12, 12, 11, 10, 13, 14, 15, 14, 12 c) 165, 167, 172, 168, 164, 158, 160, 167, 159, 162

Contando el número de erratas por página en un libro concreto, David ha obtenido los datos recogidos en la tabla siguiente:

En la familia Fernández el salario mensual de la madre es 1 400 €, y el del padre, 1 150 €. En la familia Torres, la madre gana 1 850 €, y el padre, 700 €. a) ¿Cuál es el sueldo medio de cada familia? b) ¿En cuál de ellas es mayor la dispersión?

Hemos consultado, en diferentes comercios, el precio (en euros) de un determinado modelo de impresora, obteniendo los datos siguientes: 146 - 150 - 141 - 143 - 139 - 144 - 133 - 153 Calcula el precio medio y la desviación típica.

Lidia y Marcos juegan varias veces a acertar, en un minuto, el máximo número de palabras dada su definición. Estos son los resultados: lidia

marcos

n.° de erratas n.° de páginas

Asocia cada gráfico de barras con su correspondiente diagrama de caja y bigotes: 1

2 0 1 2 3 4 5 6

n.° de cajones

4 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 B

0 1 2 3 4 5 6 C

0 1 2 3 4 5 6 D

0 1 2 3 4 5 6

50 40 16

51 23 11

a) Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación. b) ¿Cuál es la moda? c) Comprueba los resultados del primer apartado con la calculadora. 9

La siguiente tabla muestra los lanzamientos de jabalina que se han realizado en la clasificación para los juegos olímpicos: distancias

0 1 2 3 4 5 6

Una fábrica ha contado el número de vasos que se le rompen en cada cajón de camino a la tienda. Estos son los resultados: n.° de vasos rotos

Parámetros de posición. Diagramas de caja

Halla la mediana y los cuartiles de cada distribución y representa su correspondiente diagrama de caja: a) 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6, 6, 6, 7, 8 10, 11 b) 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 12, 14, 19, 22 c) 123, 125, 134, 140, 151, 173, 178, 186, 192, 198

a) Halla la media y la desviación típica. b) ¿Cuál es la moda?

a) Halla la media y la desviación típica de cada uno. b) Calcula sus CV y di quién es más regular.

(m)

n.° de lanzadores

54 a 58

58 a 62

62 a 66

66 a 70

70 a 74

a) Haz una tabla con las marcas de clase y las frecuencias. b) Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación. c) Comprueba los resultados del apartado anterior con la calculadora. 291

Ejercicios y problemas 10

El número de calzado que llevan los alumnos y las alumnas de una clase son los siguientes: 42, 40, 43, 45, 43 44, 38, 39, 40, 43 41, 42, 38, 36, 38 45, 38, 39, 42, 40 40, 39, 37, 36, 41 46, 44, 37, 42, 39 a) Haz una tabla de frecuencias con los siguientes intervalos: 35,5 - 38,5 - 40,5 - 42,5 - 44,5 - 46,5. b) Halla la media, la desviación típica y el CV.

RESUELVE PROBLEMAS SENCILLOS 14

Las edades de los miembros del grupo de teatro de un centro de estudios vienen dadas en esta tabla: 14

n.° de miembros

Halla la mediana y los cuartiles. Hay 4 miembros de 14 años en fila, luego les siguen 5 de 15 años, y así sucesivamente. En total son 23 personas: 11 a un lado, 11 al otro y uno más en el medio. Si vamos contando uno a uno, el número 12 de la fila tiene 16 años. Esa es la mediana. Para los cuartiles, hacemos lo mismo: Q1 = 15 años y Q3 = 17 años. 12

n.° de estudiantes

Observa las gráficas de las notas de una clase en cuatro materias distintas que vimos en la segunda página de la unidad: historia

lengua

9 10

mates

9 10

a) Halla la mediana y los cuartiles de cada una. b) Representa cada una en un diagrama de caja. 292

Estas cuatro gráficas corresponden a las estaturas de los jugadores de cuatro equipos de baloncesto, A, B, C y D, cuyos parámetros aparecen en la tabla. ¿Cuál es la gráfica de cada equipo? I

equipo

180

195

210 180

III

180

195

210

195

210 180

198,5 9,7

198,1 3,9

210

A C

195

– x

193

4,6

193,4 8,1

a) Compara estas distribuciones de notas obtenidas por tres grupos de alumnas y alumnos indicando cuáles son la mediana y los cuartiles en cada una: 0

9 10

ciencias

III

Halla el CV de cada equipo y ordénalos de menos a más regulares.

Representa esta distribución mediante un diagrama de caja y bigotes. 13

Esta tabla muestra la distribución del número de asignaturas suspendidas en una evaluación por los estudiantes de una clase: n.° de asig. susp.

b) En una de las clases hay 11 suspensos y 4 sobresalientes, mientras que en la otra hay 5 suspensos y 1 sobresaliente. ¿Cuál es A y cuál es B? c) Si Laura necesita sacar sobresaliente y Miguel se conforma con aprobar, ¿qué clase te parece más adecuada para cada uno de ellos?

EJERCICIO RESUELTO

edad

Se ha hecho un mismo examen en dos grupos, A y B, de 30 alumnos y alumnas cada uno. Estos son sus parámetros: x–A = 6, qA = 1, x–B = 6, qB = 3. a) Asigna una de estas gráficas a A y otra a B.

9 10

b) En la evaluación se hicieron estos comentarios: i. Aprobó el 50 % de la clase. ii. Las notas son muy parecidas. iii. Un cuarto de la clase tiene notas superiores a 7. iv. Es la mejor clase, pero con la mayor dispersión. Indica a qué grupo corresponde cada comentario.

U 14

PARA PENSAR UN POCO MÁS 17

Rafa es vendedor ambulante seis días a la semana. Ayer, viernes, calculó que durante esta semana había conseguido una ganancia media de 48 € diarios. Al hacer la misma cuenta hoy, sábado, resulta una media de 60 € diarios. ¿Cuánto ha ganado hoy?

TAMBIÉN PUEDES HACER ESTO 23

peso

Para hallar la nota de una evaluación, se hace la media de cuatro exámenes. Si en los tres primeros tengo una media de 4,2, ¿qué nota tengo que sacar en el último para aprobar? Para hallar la nota de una asignatura, el segundo examen vale el doble que el primero, y el tercero, el triple que el primero. a) ¿Cuál es la nota final de una alumna que sacó un 5, un 6 y un 4? b) ¿Y si esas notas son el 10 %, el 40 % y el 50 %?

Conocemos el número de días al mes que ha llovido este año en una cierta región. Los valores de los cuartiles son 6, 9 y 14. El mes que más llovió fue marzo con 21 días y sabemos que el rango de la distribución es 18. a) Construye el diagrama de caja y bigotes. b) ¿Crees que es una región lluviosa? Justifica la respuesta.

n.° de animales

3,5 - 4,5

4,5 - 5,5

5,5 - 6,5

6,5 - 7,5

7,5 - 8,5

8,5 - 9,5

Estas son las estaturas de 4 350 soldados: estatura (m) (marcas de clase)

En una empresa de mensajería trabajan 34 empleados y 6 directivos. El sueldo medio de todos ellos es de 900 €. ¿Cuál será el sueldo medio de los directivos si sabemos que el del resto de los empleados es de 780 €? En una encuesta sobre la percepción de la felicidad se debe contestar con un número del 1 al 10 para cada una de estas facetas: salud (s), amigos (a), familia (f ) y estudios (e). Según el estudio A, el nivel de felicidad es la media de las cuatro puntuaciones; sin embargo, el estudio B afirma que la familia y los amigos influyen un 40 % cada uno; la salud, un 15 %, y los estudios, un 5 %. Si las puntuaciones de Olivia son s = 8, a = 4, f = 9 y e = 7, ¿qué nivel de felicidad tiene según cada uno de los dos estudios?

(kg)

a) Calcula la media y la desviación típica. b) ¿Qué porcentaje de animales pesó entre x– – q y x– + q? ¿Y más que x– + q? ¿Y menos que x– – q? Haz una estimación razonada.

n.° soldados

1,52 1,56 1,60 1,64 1,68 1,72 1,76 1,80 1,84 1,88 62 186 530 812 953 860 507 285 126 29

Decimos que los soldados que tienen su estatura entre x– + q y x– + 2q son altos, si la tienen entre x– – q y x– – 2q, son bajos y entre x– – q y x– + q, son normales. Estima qué tanto por ciento de altos, de bajos y de normales hay. ¿Qué porcentaje hay de altísimos y de bajísimos ?

COMPRENDE Y APLICA EN EL DESAFÍO

Al medir el peso al nacer en una determinada especie de animales, hemos obtenido los datos siguientes:

¿LO HAS ENTENDIDO? REFLEXIONA 25

¿Qué les ocurre a la x– y a la q de una distribución si a todos sus datos les sumamos un mismo número? ¿Y si los multiplicamos por el mismo número? Comprueba tus conjeturas con estos datos: 4, 3, 6, 7, 5, 4, 5, 3, 2, 6, 5

Si dos distribuciones tienen la misma media, y la desviación típica de la primera es mayor que la de la segunda, ¿en cuál de los dos casos es mayor el coeficiente de variación?

Si dos distribuciones tienen la misma desviación típica, y la media de la primera es mayor que la de la segunda, ¿en cuál de los dos casos es mayor el coeficiente de variación? 293

Taller de matemáticas LAS DIANAS En un concurso de tiro al blanco, seleccionamos cuatro tandas de diez disparos correspondientes a cuatro tiradores. I

III

Los cuatro tiradores tienen las siguientes características: — Ana es una buena tiradora y tiene una buena escopeta. — Bruno es buen tirador y tiene una escopeta con la mira desviada. — Carla es una mala tiradora y tiene una buena escopeta. — Daniel es un mal tirador y tiene una escopeta con la mira desviada. Imaginamos que los tiradores apuntan siempre al centro de la diana. • ¿Cuál es la diana de cada uno de los cuatro tiradores? • Los buenos tiradores, ¿tienen resultados más o menos dispersos que los malos? • ¿Dónde habrían dado, aproximadamente, los disparos de Bruno y Carla si hubieran intercambiado sus escopetas?

DOS CHISTES ESTADÍSTICOS

Un estadístico es un científico capaz de ahogarse en un lago de 30 cm de profundidad media. 294

Si te comes dos pollos y yo ninguno, habremos comido una media de un pollo por persona.

U 14

AUTOEVALUACIÓN

➜

1 Halla la media, la mediana, la desviación típica y el

5 En una clase, estas son las notas de un examen:

coeficiente de variación de cada una de estas distribuciones y determina cuál es más dispersa: a) 6, 9, 1, 4, 8, 2, 3, 4, 4, 9 b) 120, 95, 87, 111, 116, 82, 121, 92, 76 c) 987, 1 010, 1 004, 995, 998, 1 001, 999, 982 –

2 Calcula x , q y CV de las siguientes distribuciones:

a) Número de días que han ido a la biblioteca los estudiantes de un curso: n.° de días

frecuencia

b) Tiempo, en minutos, que pasaron en la sala de espera los pacientes de un médico cierto día: tiempo

(min)

frecuencia

De 1 a 9

De 9 a 17

De 17 a 25

De 25 a 33

De 33 a 41

De 41 a 49

3 Estas son las horas de estudio semanal de un grupo

de alumnas y alumnos: 14 9 9 20 18 15 10 18 20 2 20 16 18 15 24 10 4 8 20 10

anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.

notas

n.° alumnos

Haz el correspondiente diagrama de caja y bigotes. 6 Las estaturas de los componentes de tres equipos esco-

lares de baloncesto, A, B y C, se distribuyen según las siguientes gráficas: I

III

170 175 180 185 165 170 175 180 185 165 170 175 180 185 190

Los parámetros correspondientes a cada uno son: A

– x

177,8

176,8

174,6

6,4

3,2

4,5

Indica a qué equipo corresponde cada gráfica. 7 Estos son los diagramas de caja de las notas en mates de

cuatro clases. Di, en cada una, las mejores y peores notas, así como Q1, Me y Q3. 0

I II

12 7 10 12

14 6 14 8 18 8 12 10 12 25 24 17 16 5 4 13

a) Construye una tabla de frecuencias con los siguientes intervalos: 1,5 - 6,5 - 11,5 - 16,5 - 21,5 - 26,5. b) Calcula la media y la desviación típica. 4 Las notas obtenidas por los estudiantes de una clase

en un examen con 5 preguntas han sido: 3 3 2 4 5 4 1 3 3 2 3 2 4 4 3 1 2 0 5 3 2 0 3 5 3 3 5 2 1 4 a) Calcula la mediana y los cuartiles. b) Dibuja el correspondiente diagrama de caja.

III IV

REFLEXIONA

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