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DEMO

2 ESO

MATEMÁTICAS J. C ol er a Ji m én ez, I . Gazt elu Al ber o , R . C o l er a Cañ as

propuesta didáctica

SUMA

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índice Suma Piezas y las claves del proyecto ...........................

Nuestra oferta para la etapa ..................................................

Unidad

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9. teorema de pitágoras .................................................... 10

SUMA

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. e j a z i d n e r p a u y construye t Un proyecto sustentado en el aprendizaje competencial y en el desarrollo de compromisos del alumnado con la realidad de su tiempo

Suma Piezas propone un nuevo enfoque competencial, con el máximo rigor curricular y una secuenciación de contenidos coherente y coordinada entre todas las áreas a lo largo de la etapa. Favorece la competencia en comunicación lingüística, primordial para acceder al conocimiento que permite comprender el mundo que nos rodea y desarrollar habilidades de convivencia. De manera flexible, Suma Piezas brinda la posibilidad de incorporar metodologías activas, utilizar estrategias cooperativas y de pensamiento, fomentar las habilidades personales y sociales para la gestión de las emociones y el desarrollo del emprendimiento y atender la orientación académica y profesional, apostando por la igualdad y la inclusión. Y todo ello, dentro del marco de los Objetivos de Desarrollo Sostenible, que han de ser nuestro horizonte en los próximos años.

LAS CLAVES DEL PROYECTO ODS

Compromiso ods Los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) establecen el marco a partir del cual articular aprendizajes competenciales que refuercen en el alumnado su preparación hacia una ciudadanía comprometida.

Plan Lingüístico Contribuye al desarrollo de habilidades orales y escritas y al aprendizaje de los diferentes aspectos relacionados con el uso del lenguaje.

Desarrollo del pensamiento Las estrategias de pensamiento fomentan la competencia de aprender a aprender; contribuyen a que el alumnado tome conciencia de sus procesos mentales y a que actúe de forma reflexiva y crítica.

Aprendizaje cooperativo La aplicación de técnicas cooperativas favorece el aprendizaje e incrementa la participación y el sentido de responsabilidad del alumnado para generar capacidades de comunicación y cooperación.

Educación emocional Proporciona al alumnado pautas para la gestión emocional de sus situaciones de aprendizaje diarias, ayudándoles a que, a nivel intrapersonal, identifiquen y reconozcan las emociones, las regulen y las gestionen; y a nivel interpersonal, adquieran habilidades de relación con las personas.

Cultura emprendedora Promueve las distintas habilidades de emprendimiento en sus tres dimensiones, personal, social y productiva, de manera transversal en todas las áreas a través de una secuencia progresiva de actividades a lo largo de toda la etapa.

TIC Integra el uso de las TIC como recurso para obtener información, seleccionarla y utilizarla con una finalidad concreta, desarrollar la ciudadanía digital y las competencias de planificación, gestión y elaboración de trabajos, pasando a tener un uso para el aprendizaje y el conocimiento (TAC).

Orientación académica y profesional Facilita el desarrollo de habilidades que le ayudarán a conocerse a sí mismo, a entender el entorno y a tomar decisiones académicas y profesionales que le permitan entrar en el mercado laboral y prosperar en él.

Evaluación Incorpora estrategias que permiten al alumnado participar en la evaluación de su aprendizaje analizando «qué ha aprendido» y «cómo ha aprendido», acompañando su análisis con el uso del portfolio y de otros instrumentos que faciliten una valoración objetiva.

+ TRIMESTRE 1 MATEMÁTICAS

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ESO

La web www.anayaeducacion.es La web del profesorado es una herramienta que facilita y enriquece la labor docente. Con ella, podrá adaptar los contenidos a las necesidades de los estudiantes a través de recursos adicionales o reforzar aspectos didácticos que considere relevantes: • Programación, propuesta didáctica y documentación del proyecto. • Diversidad e inclusión, para atender a la diversidad de motivaciones, intereses, ritmos y estilos de aprendizaje del alumnado. Ofrece: - Recursos teóricos para la adaptación curricular. - Fichas de ejercitación. - Fichas de profundización y para el desarrollo de competencias. - Tareas, talleres y otros recursos. • Evaluación, pilar fundamental del proyecto, presenta: - Herramienta digital para evaluar: aplicación que permite conocer el grado de adquisición de las competencias clave respecto a los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje evaluables del currículo de Andalucía. - Generador digital de pruebas de evaluación por contenidos y estándares de aprendizaje. - Pruebas y registros de evaluación prediseñados. - Documentación específica. - Fondo de herramientas de evaluación. - Herramienta digital de entrenamiento de pruebas externas. • Banco de recursos, con una gran variedad de recursos digitales tales como: Actividades GeoGebra · Videotutoriales · Autoevaluaciones · Glosarios · Recursos teóricos· Aprende jugando· Refuerza la resolución de problemas.

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TRIMESTRE 1

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

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TRIMESTRE 1 MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

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BANCO DE RECURSO Y LIBRO DIGITAL

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EL PROYECTO DIGITAL para el profesorado

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TRIMESTRE 1

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Los libros se acompañan de la obra Dualfocus, especialmente diseñada para que el alumnado pueda acercarse a los contenidos del área en inglés.

INCLUYE

PROYECTO DIGITAL BANCO DE RECURSOS Y LIBRO DIGITAL

Los libros del alumnado Los libros presentan los contenidos y las actividades ajustados al desarrollo curricular de nuestra comunidad. Bajo una metodología competencial, permiten responder de una manera creativa e innovadora a nuestro compromiso con los Objetivos de Desarrollo Sostenible y posibilitan el crecimiento de las habilidades y las aptitudes que exige nuestra sociedad, cada vez más diversa.

dual FOCUS

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nuestro proyecto para el área

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SUMA

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PROPUESTA DIDÁCTICA

MATEMÁTICAS

J . C o l er a J im én ez , I. G a z telu Al b er o , R . C o l er a C a ñ as

PROPUESTA DIDÁCTICA

ESO

PROPUESTA DIDÁCTICA

SUMA

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS

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J. Colera Jiménez, M.ª J. Oliveira González, I. Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

SUMA

J. Colera Jiménez, M.ª J. Oliveira González, I. Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

propuesta didáctica

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

ESO

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS J. Colera Jiménez, M.ª J. Oliveira González, I. Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

propuesta didáctica

SUMA

ESO

J. Colera Jiménez, M.ª J. Oliveira González, I. Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

propuesta didáctica

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el libro digital Los libros de todos los cursos disponen de una versión digital. Podrá descargar el libro completo o por unidades, con todos sus recursos o en su versión ligera (sin los recursos digitales más pesados), lo que posibilita su uso en condiciones offline y online. Los recursos de cada unidad se agrupan por tipologías y permiten un acceso directo al banco de recursos de la web y a la propuesta didáctica.

¿y para el alu mnado? Banco de recurs

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

ESO

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS

PROPUESTA DIDÁCTICA

propuesta didáctica

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS

ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

PROPUESTA DIDÁCTICA

MATEMÁTICAS APLICADAS

ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

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Las soluciones de las actividades y las orientaciones de los Dualfocus se encuentran recogidas en la web de Anaya Educación.

MATEMÁTICAS

propuesta didáctica

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

Para cada epígrafe, los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje.

J . C o l er a J im én ez , I. G a z telu Al b er o , R . C o l er a C a ñ as

ESO

Una propuesta didáctica para cada libro del alumnado en castellano con las soluciones de las actividades, orientaciones metodológicas, sugerencias para aplicar las claves del proyecto, etc.

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MATEMÁTICAS

propuesta didáctica

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las Propuestas didácticas para el profesorado

MATEMÁTICAS

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SUMA

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9 TEOREMA DE PITÁGORAS Presentación de la unidad Es probable que todos los estudiantes conozcan ya el teorema de Pitágoras y lo hayan aplicado para la obtención de uno de los lados de un triángulo rectángulo conociendo los otros dos. Aunque así sea, es muy deseable que en este curso vuelvan a hacer el recorrido completo que lleva a asentar los conceptos y a reforzar las destrezas procedimentales. En primer lugar, el teorema de Pitágoras es una relación entre áreas. Esto le debe quedar muy claro a los estudiantes. Una mala preparación en este sentido puede llevar al siguiente disparate, fácilmente repetible en muchas aulas (incluso de cursos superiores): se les da un triángulo rectángulo con cuadrados construidos en los tres lados. En el de la hipotenusa pone 40 cm2; el de un cateto 32 cm2 y en el del otro cateto una interrogación. ¿Cuál es la superficie del tercer cuadrado?, se les pregunta. Y muchos estudiantes proceden así: c 2 = 40 → c = 40 = 6,3; a2 = 32 → a 32 = 5,6 c 2 = a2 + b2 → b = c 2 – a 2 = 6, 3 2 – 5, 6 2 = 8, 33 = 2,9 → → b2 = 2,92 = 8,41 cm2 El reconocimiento de si un triángulo cuyos lados son conocidos es o no rectángulo es otra aplicación del teorema de Pitágoras con clara connotación conceptual. Se puede afinar más en esta idea enseñándoles a apreciar si un triángulo no rectángulo es acutángulo u obtusángulo a partir de sus lados. La obtención de un lado de un triángulo rectángulo conociendo los otros dos debe practicarse en contextos variados, sin olvidar figuras espaciales, tanto con resultados exactos (enteros o decimales) como aproximados. Es deseable que el estudiante conozca, al menos, las ternas pitagóricas 3, 4, 5 y 5, 12, 13, y algunas relacionadas con ellas, por ejemplo, 6, 8, 10; 10, 24, 26; 30, 40, 50... Y, muy importante, el alumnado debe reconocer la oportunidad de aplicar el teorema de Pitágoras en problemas geométricos.

Conocimientos mínimos • Dominar la relación entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo. • Dilucidar si un triángulo es rectángulo o no a partir de las longitudes de sus lados. • Saber aplicar el teorema de Pitágoras al cálculo de longitudes desconocidas en figuras planas y espaciales: —con — resultado exacto, entero o decimal exacto. —con — resultado aproximado, dilucidando el número de decimales requeridos. • Poseer soltura aplicando el teorema de Pitágoras para obtener un lado (cateto o hipotenusa) en un triángulo rectángulo del que se conocen los otros dos.

Anticipación de tareas • Clasificar los triángulos según sus lados y según sus ángulos. • Calcular las áreas de las figuras planas más conocidas. • Reconocer algunos cuerpos geométricos y sus elementos. 10

CC: competencias clave, CCL: comunicación lingüística, CMCT: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología, CD: competencia digital, CAA: aprender a aprender, CSYC: competencias sociales y cívicas, SIEP: sentido de iniciativa y espíritu emprendedor y CEC: conciencia y expresiones culturales.

Contenidos y competencias Contenidos de la unidad

Competencias clave

Página inicial • ¿Otros triángulos rectángulos? • El teorema de Pitágoras • La demostración de Euclides

CCL CMCT

1. El teorema de Pitágoras • Ternas pitagóricas • Los lados determinan el tipo de triángulo

CCL CMCT CD CAA

2. Cálculo de un lado conociendo los otros dos • Cálculo de la hipotenusa conociendo los dos catetos • Cálculo de un cateto conociendo el otro y la hipotenusa • Ejercicios prácticos de resolución guiada

CCL CMCT CD CAA SIEP

3. Aplicaciones del teorema de Pitágoras

CCL CMCT CD CAA CEC

Páginas finales • Ejercicios y problemas • Taller de Matemáticas • Autoevaluación

CCL CMCT CD CAA CSYC SIEP CEC

piezas clave

Sin embargo, no fue Pitágoras quien dio la demostración, sino Euclides dos siglos después.

Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras es un importantísimo resultado geométrico. Como sabes, relaciona los cuadrados de los lados de cualquier triángulo rectángulo. Hace más de 3 000 años, tanto los egipcios como los babilonios sabían que ciertos triángulos eran rectángulos y se valían de ellos para construir ángulos rectos. Los egipcios, por ejemplo, utilizaron eficazmente el triángulo de lados 3, 4 y 5 (al que consideraban sagrado) para la división de campos o la construcción de pirámides.

Compromiso ODS • Meta 7.2.

1 ¿Crees que otro triángulo, de lados doble

que los de la derecha, 6 cm, 8 cm, 10 cm, será también rectángulo? Dibújalo y compruébalo.

El teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras Cuando el triángulo azul es rectángulo: A=B+C

A1 B

Pitágoras (siglo vi a. C.) viajó en su juventud a Egipto y Babilonia, y conoció, indudablemente, estos resultados. Su gran mérito fue que enunció el teorema de forma general, relacionando las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de cualquier triángulo rectángulo. Por eso este teorema lleva su nombre.

La demostración de Euclides Para demostrarlo, trazó la perpendicular al lado grande del triángulo (recta verde), que parte al cuadrado grande en dos rectángulos. Y probó que: B = A1 y C = A2. La ilustración muestra una justificación gráfica de la propiedad anterior.

¿Otros triángulos rectángulos?

Plan Lingüístico • Destreza: Comprensión escrita (texto discontinuo)

Euclides de Alejandría escribió sus Elementos en torno al año 300 a. C. Se trata de un conjunto de 13 libros en los que se recopila, amplía y organiza todo el saber matemático de su época, aportándole una sólida estructura lógica. En el libro I demuestra el que ahora conocemos como teorema de Pitágoras.

El área del cuadrado grande equivale a la suma de las áreas de los dos pequeños.

A2 C

3 Observa la figura y responde.

Tomando como unidad el cuadro de la cuadrícula: a) ¿Cuántas unidades cuadradas contiene el cuadrado pequeño, B ? ¿Y el rectángulo A1? ¿Qué observas?

A1 A2

9 B

b) Comprueba que el número de unidades del cuadrado C coincide con el de A2. c) Enuncia la propiedad.

16 20 C

d) ¿Qué teorema se confirma? Enúncialo. 4 Dibuja un triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm.

2 Atendiendo al teorema de Pitágoras, si B ocupa 9 cm2 y C ocupa

16 cm2, ¿cuánto ocupa A ?

178

Comprueba, con la escuadra, que es rectángulo. Expresa en una igualdad la relación que existe entre las medidas de los lados.

179

Desarrollo del pensamiento Técnica: • Pienso, me interesa, investigo

Teorema de Pitágoras Aprendizaje cooperativo Técnica: • Cabezas pensantes Cultura emprendedora • Asunción de riesgos (dimensión productiva): Acciones en las cuales existe la posibilidad de fracaso Orientación académico-profesional • Ficha en la web TIC • Actividades interactivas • Actividades con GeoGebra • Soluciones de la autoevaluación • Autoevaluación interactiva Evaluación • Ejercicios y problemas • Elaboración del portfolio

Al iniciar la unidad La principal aportación de Pitágoras a la evolución de las matemáticas es la exigencia de rigor lógico para dar validez a los resultados. Además, en el estudio de las matemáticas buscó más el placer intelectual que la utilidad práctica. Los pitagóricos distinguían entre Aritmética (estudio de los números y sus propiedades) y Logística (técnicas de cálculo). Ellos cultivaron la primera y menospreciaron la segunda, que consideraban un arte inferior que «dejaban a los esclavos». La enorme aportación de Euclides se concretó en su obra los Elementos, de extraordinaria influencia científica y didáctica hasta casi el siglo xx. Cuestiones para detectar ideas previas • Realizar construcciones con regla y compás. • Clasificar los cuadriláteros y conocer sus propiedades. • Relacionar el radio, la apotema y la mitad del lado en los polígonos regulares. • Conocer las figuras espaciales más importantes. Soluciones 1 Se puede comprobar que es rectángulo utilizando una escuadra, o comprobando que se cumple la igualdad: 62 + 82 = 102 2

A ocupa 25 cm2.

a) Área de B = 15 ∙ 15 = 225 unidades cuadradas Área de A1 = 9 ∙ 25 = 225 unidades cuadradas Que A1 y B contienen las mismas unidades cuadradas. b) Área de C = 20 ∙ 20 = 400 unidades cuadradas Área de A2 = 16 ∙ 25 = 400 unidades cuadradas c) El área de los cuadrados B y C suman lo mismo que el área del cuadrado grande: Área de B + Área de C = Área de A1 + Área de A2 = Área de A d) Se confirma el teorema de Pitágoras: El área del cuadrado grande equivale a la suma de las áreas de los dos pequeños.

4 122

+ 52 = 132 11

Unidad 9

TEOREMA DE PITÁGORAS

ã Los lados determinan el tipo de triángulo

En un triángulo rectángulo, los lados menores son los que forman el ángulo recto. Se llaman catetos. El lado mayor se llama hipotenusa. En general, llamaremos a a la hipotenusa y b y c a los catetos. El teorema de Pitágoras afirma lo siguiente: a 2 = b 2 + c 2

Esta demostración la construyeron los chinos 400 años antes de que naciera Pitágoras.

Los dos cuadrados iguales tienen por lados b + c.

Comparando las dos figuras, es claro que a 2 = b 2 + c 2.

• Si a 2 < b 2 + c 2, el triángulo es acutángulo.

obtusángulo

acutángulo

• Ya conocemos la relación entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo: • Si abrimos el ángulo recto, convirtiéndolo en obtuso, el lado opuesto aumenta, y también lo hace el cuadrado correspondiente. Entonces:

Figura B → 62 es mayor que 32 + 42 → En general: a 2 > b 2 + c 2

Ejercicio resuelto

anayaeducacion.es GeoGebra. Demostración gráfica del teorema de Pitágoras.

rectángulo

• Si cerramos el ángulo recto, convirtiéndolo en agudo, el lado opuesto disminuye, y también lo hace el cuadrado correspondiente. Entonces:

¿Cuáles son las áreas desconocidas en los cuadrados de las siguientes figuras?

Figura C → 4,52 es menor que 32 + 42 → En general: a 2 < b 2 + c 2 Para fijar ideas

183 m2

47 dm2

1 Dibuja en tu cuaderno estas figuras. Complétalas construyendo el cuadrado que falta en cada una y di cuál es su área.

a) 102 m2

S1 386 dm

b) A1

57 cm2

c) 3 dm2

87 m2

14 dm2

57 cm2

Como ambos triángulos son rectángulos, en los dos casos el área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas de los cuadrados menores. Por tanto: S2 = 386 dm2 – 47 dm2 = 339 dm2 S1 = 183 m2 + 102 m2 = 285 m2

A1 = 57 + 57 = … cm2

31 m2

A2 = 87 + … = … m2

A3 = 14 – … = … dm2

2 Copia y completa para averiguar si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, obtusángulo o acutángulo.

a) 70 cm, 240 cm, 245 cm

ã Ternas pitagóricas Si tres números naturales, c, b, a, cumplen c 2 + b 2 = a 2, es decir, si pueden ser las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, entonces decimos que forman una terna pitagórica. Aquí tienes algunas: 3, 4, 5

8, 15, 17

12, 35, 37

5, 12, 13

9, 40, 41

13, 84, 85

7, 24, 25

11, 60, 61

16, 63, 65

70 2 + 240 2 = 4 900 + 57 600 = 62 500 4 → 2452 < 702 + 2402 → El triángulo es… 245 2 = 60 025 b) 15 dm, 36 dm, 39 dm 15 2 + 36 2 = 225 + 1296 = f 4 → 392 … 152 + 362 → El triángulo es… 39 2 = 1521 c) 18 m, 80 m, 83 m

Fíjate que si c, b, a es una terna pitagórica, también lo es kc, kb y ka. Por ejemplo, 6, 8, 10 (obtenida al multiplicar por 2 cada uno de los componentes de la terna 3, 4, 5) es una terna pitagórica.

1. Teorema de Pitágoras

Figura A → 52 es igual a 32 + 42 → En general: a 2 = b 2 + c 2

a2 a

• Si a 2 > b 2 + c 2, el triángulo es obtusángulo.

Esta relación es cierta, solamente si el triángulo es rectángulo. Observa la siguiente demostración:

Si conocemos los lados de un triángulo, podemos averiguar si es o no rectángulo: • Si a 2 = b 2 + c 2, el triángulo es rectángulo.

Esto quiere decir que el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

a2 = b2 + c2 ¡Sorprendente!

Observa las figuras y analiza el razonamiento que sigue: Ten en cuenta

18 2 + 80 2 = 324 + 6 400 = 6 724 4 → 832 … 182 + 802 → El triángulo es… 83 2 = f

180

181

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

Sugerencias metodológicas Aunque este contenido es específico de 2.º curso, probablemente los estudiantes lo habrán trabajado ya en el curso anterior. No obstante, conviene insistir en él, pues el dominio del teorema de Pitágoras y de sus aplicaciones es básico tanto para las siguientes unidades (áreas y volúmenes de cuerpos geométricos) como para toda la geometría de cursos posteriores. El teorema se visualiza, fundamentalmente, como igualdad entre áreas de cuadrados y también como relación numérica entre las medidas de los lados. Se incluyen, además, las ternas más conocidas de números pitagóricos: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17. Y las que se derivan de ellas: 6, 8, 10; 0,5; 1,2; 1,3… De las relaciones geométricas y numéricas mencionadas se derivan, en la página siguiente, los procedimientos para clasificar triángulos según sus ángulos, en función de sus lados. Soluciones de «Para fijar ideas» 1

A1 = 57 + 57 = 114 cm2 2

Unidad 9

CÁLCULO DE UN LADO CONOCIENDO LOS OTROS DOS Si sabemos que un triángulo es rectángulo, y conocemos la longitud de dos de sus lados, el teorema de Pitágoras nos permite calcular la longitud del tercero.

ã Cálculo de la hipotenusa conociendo

2 Se va a tender una tirolina entre dos árboles separados 12 m. El cable estará atado

a = 88 2 + 105 2 = 7 744 + 11025 = 18 769 = 137 La hipotenusa mide 137 m.

ã Cálculo de un cateto conociendo el otro y la hipotenusa

b = 130 2 – 32 2 = 16 900 – 1024 = 15876 = 126 El otro cateto mide 126 cm.

manteniendo tensa la cuerda, de forma que la vertical del globo se aleja 8 m del punto de amarre. ¿A qué altura se encuentra el globo? Calculamos la longitud del cateto vertical. h2 = …2 – 82 = … → h = f = … m El globo se encuentra a … m de altura.

1 Copia y completa para hallar el lado desconocido en cada uno de estos triángulos.

El lado desconocido es la hipotenusa, a. a 2 = 112 + 142 → a = f 2 + f 2 = f + f = f = … La hipotenusa mide … dm, aproximadamente.

altura de 7,5 m. ¿A qué distancia de la pared debe colocarse el pie para que llegue a una altura de 8 m? Calculamos primero la longitud de la escalera. l 2 = 42 + 7,52 = 72,25 → l = 72, 25 = 8,5 m Ahora calculamos la distancia pedida, d. d 2 = …2 – 82 = … – 64 = … → d = f = … m El pie de la escalera debe situarse a … m de la pared.

El lado desconocido es el cateto, c.

56 km

48 km

562 = 482 + c 2 → c 2 = 562 – 482 → c = f – f = … El otro cateto mide … km, aproximadamente.

8,5 m

6 Álvaro ha tomado estas medidas para hallar la altura, h, de la pared de su

Para practicar 1 Halla la longitud del lado desconocido en estos triángulos rectángulos, donde

f) 12 cm 37 cm

anayaeducacion.es Cálculo de un lado conociendo los otros dos.

buhardilla. Calcular d y, luego, h. Calculamos primero la distancia d: d 2 = 52 – 42 = … → d = f = … m Ahora calculamos la altura, h, sabiendo que es el cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m y el otro … m: h 2 = 202 – … = … → h = f = … m La altura de la buhardilla es de … m.

a es la hipotenusa, aproximando cuando haga falta hasta dos cifras decimales. a) c = 70 mm; a = 74 mm e) b) b = 15 cm; a = 25 cm 15 cm c) b = 14 m; c = 48 m d) b = 13 pulgadas; c = 84 pulgadas 36 cm

182

5 Una escalera cuyo pie está a 4 m de la pared se apoya en esta, alcanzando una

14 dm

11 dm

7,5 m

2,6 d

4 Un globo está amarrado al suelo con una cuerda de 20 m. El viento lo empuja,

Para fijar ideas

d 2 = 2,62 – … = 6,76 – … = … → d = f = 2,4 m El pie del tablón estará situado a 2,4 m del escalón, o algo menos para que pueda apoyarse arriba.

nemos de un tablón de 2,6 m. ¿A qué distancia del escalón empieza la rampa? Conociendo la hipotenusa y el cateto vertical, calculamos el cateto horizontal.

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 130 cm, y uno de los catetos, 32 cm. Halla la longitud del otro cateto.

10 m

3 Queremos salvar un escalón de 1 m de altura para pasar con la carretilla. Dispo-

a2 = b2 + c2 → b2 = a2 – c2 → b = a 2 – c 2

¿b? c

l 12 m

Ejemplo

a 10 m de altura en un árbol y a 1 m de altura en el otro. ¿Cuál será la longitud del cable si además de colocarlo en tensión se necesita un 10 % más para atarlo a los árboles? Conociendo los catetos, hallamos la hipotenusa. l 2 = 92 + 122 = … + … = … → l = f = … m La longitud del cable tenso es de … m. Añadiendo un 10 % → … · 1,10 = 16,5 m

a2 = b2 + c2 → a = b2 + c 2

En un triángulo rectángulo, sus catetos miden 88 m y 105 m. Calcula la longitud de la hipotenusa.

a) 2452 < 702 + 2402 → El triángulo es acutángulo. b) 392 = 152 + 362 → El triángulo es rectángulo. c) 832 > 182 + 802 → El triángulo es obtusángulo.

2. Cálculo de un lado conociendo los otros dos

Para fijar ideas

Ejemplo

A continuación, tienes varios problemas en los que apreciarás la utilidad del teorema de Pitágoras en situaciones cotidianas.

18 m 12 m

anayaeducacion.es GeoGebra. Calcula el lado desconocido aplicando el teorema de Pitágoras. 183

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

Sugerencias metodológicas La aplicación más utilizada del teorema de Pitágoras es la obtención del lado de un triángulo rectángulo conociendo los otros dos. En esta página se trata de la manera más directa y elemental. Es importante que el alumnado se familiarice con ella y automatice su utilización. Que calcule el lado desconocido de forma exacta, si las medidas de los lados son números pitagóricos, o aproximadamente con un redondeo razonable. Soluciones de «Para fijar ideas» 1 a) La hipotenusa mide 18 dm, aproximadamente. b) El otro cateto mide 29 km, aproximadamente. 2

La longitud del cable tenso es de 15 m.

El pie del tablón estará situado a 2,4 m del escalón, o algo menos para que pueda apoyarse arriba.

4 El 5

globo se encuentra a 18 m de altura.

El pie de la escalera debe situarse a 2,9 m de la pared.

6 La

altura de la buhardilla es de 16 m.

Soluciones de «Para practicar» 1 a) b = 24 mm b) c = 20 cm d) a = 85 pulgadas e) a = 39 cm 12

A3 = 14 – 3 = 11 dm2

Copia, completa y comprueba, en cada caso, que llegas a la solución que se ofrece.

los dos catetos

¿a?

ã Ejercicios prácticos de resolución guiada

A2 = 87 + 31 = 118 m2

c) a = 50 m f ) c = 35 cm

Unidad 9

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

6 Calcula el área de un triángulo equilátero de lado 8 cm.

Empezamos calculando la altura: h = 82 – 42 = … ≈ … La altura mide … cm, aproximadamente. El área es: A = … · … = 27,6 cm2 2

Hay multitud de polígonos en los que algunos de sus elementos son lados de un triángulo rectángulo. Eso permite relacionarlos mediante el teorema de Pitágoras y calcular la longitud de uno de ellos conociendo los otros dos. Para fijar ideas

1 La diagonal de un rectángulo mide 89 cm, y uno de los lados, 80 cm. Calcula su

área. El área de un rectángulo de lados a y b es: A = a · b Empezamos por calcular el otro lado:

89 cm

y el radio, 20 cm. Primero calculamos el lado: l = … 2 – … 2 = 137, 56 ≈ … 2 El lado del pentágono mide: l = … · 2 = … cm Por tanto, su perímetro es: P = … · 5 = 117 cm Finalmente, calculamos el área. Perímetro · apotema … · … A= = 947,7 cm2 = 2 2

5 cm

Comenzamos por calcular la longitud de un lado:

4 cm

7 Calcula el área y el perímetro de un pentágono regular cuya apotema mide 16,2 cm,

80 cm

b = 89 2 – 80 2 = … = … El lado corto mide … cm. El área es: A = 80 · … = 3 120 cm2 2 Las diagonales de un rombo miden 10 cm y 24 cm. Halla su perímetro.

12 cm

l = 12 2 + … 2 = … = … Cada lado mide … cm. El perímetro es: P = 4 · … = 52 cm

l/2 16,2 cm

20 cm

8 Halla la longitud de una circunferencia en la que se ha trazado una cuerda de 6,5

3 El lado de un rombo mide 6,5 m y una de sus diagonales, 5 m. Halla su área.

6,6 cm a una distancia de 5,6 cm del centro. Calcula el área del círculo correspondiente. Comenzamos calculando el radio. En el triángulo rectángulo coloreado, el lado pequeño mide: k = 6,6 : 2 = 3,3 cm

2,5 m

El área de un rombo cuyas diagonales son d y d' es: A = d · d' 2 Conocemos una diagonal. El teorema de Pitágoras nos permite calcular la otra:

d'/2

d' = 6, 5 2 – 2, 5 2 = … m 2 La segunda diagonal mide, pues, … · 2 = … m. Por tanto, A = 5 ·… = 30 m2. 2 4 Las bases de un trapecio rectángulo miden 25 cm y 38 cm, y la altura, 19 cm.

38 cm

41 cm

% Como el triángulo es equilátero, AOB = 60°. Por tanto, el área del sector es la sexta parte del área de todo el círculo: Asector = (π · …2) : 6 = … cm2 Por tanto: Asegmento circular = … – … = 5,9 cm2

el triángulo OAB. El triángulo OAB, equilátero, es el mismo cuya área hemos obtenido en el ejercicio 6 de esta página (Atriángulo = 27,6 cm2). b = 30 cm

h = 41 2 – 9 2 = … = … La altura del trapecio mide … cm. A = (30 + 48) · … = 1 560 cm2 2

6,6 cm

9 cm b' = 48 cm

8 cm

13 cm

que distan 8 cm entre sí. Calcula el área del segmento circular determinado por la % cuerda AB . % El segmento circular, en rosa, es la diferencia entre el sector circular de arco AB y

5 Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 30 cm y 48 cm, y el lado oblicuo,

41 cm. Recordemos que el área de un trapecio es: A = (b + b' )· h 2 Hemos de empezar calculando su altura, h. En el triángulo verde, el lado pequeño mide (48 – 30) : 2 = 9 cm.

9 Una circunferencia de 8 cm de radio es cortada por una recta en dos puntos A y B

19 cm

x = 13 2 + 19 2 = … ≈ … El lado oblicuo mide, aproximadamente: x = … cm El perímetro es: P = 38 + 19 + 25 + … = 105 cm

5,6 cm

Por tanto: r = … 2 + … 2 = 42, 25 = … El radio mide … cm. P = 2πr = 2 · 3,14 · … ≈ 40,8 cm A = πr 2 = … · …2 ≈ 132,7 cm2

25 cm

Halla su perímetro. Empezamos calculando la longitud del lado oblicuo:

3. Aplicaciones del teorema de Pitágoras (I)

8 cm

anayaeducacion.es GeoGebra. Calcula el lado desconocido aplicando el teorema de Pitágoras. 185

184

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Sugerencias metodológicas Reconocer un triángulo rectángulo en una figura geométrica, identificar sus lados conocidos y el lado desconocido es una destreza que el alumnado irá adquiriendo mediante la resolución de muchos ejercicios de los que el triángulo rectángulo forme parte. En esta doble página se analizan figuras planas. Algunas espaciales se verán en la siguiente página. Es recomendable que el alumnado resuelva minuciosamente en su cuaderno, desde el principio, los ejercicios que ya se presentan parcialmente resueltos o guiados, y aplique la técnica que en todos ellos se sugiere (representación de la figura, señalar el triángulo rectángulo correspondiente, marcar el valor de los lados conocidos y nombrar el lado desconocido, y proceder sistemáticamente a los cálculos oportunos). Soluciones de «Para fijar ideas» 1 A = 80 · 39 = 3 120 cm2 2

P = 4 · 13 = 52 cm

A = 5 $ 12 = 30 m2 2 4 P = 38 + 19 + 25 + 23 = 105 cm 3

A = (30 + 48) $ 40 = 1 560 cm2 2 8 $ 6, 9 = 27,6 cm2 6 A = 2 117 $ 16, 2 = 947,7 cm2 7 P = 23,4 · 5 = 117 cm; A = 2 2 2 8 A = 3,14 · 6,5 ≈ 132,7 cm 5

9 ASEGMENTO CIRCULAR

r el material

3 APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

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de trabajo

de esta unidad

Unidad 9

emas

Ejercicios y probl

Para fijar ideas

10 En una circunferencia, la distancia de un punto P al centro O es OP = 23 cm.

Trazamos una tangente desde P a la circunferencia. El segmento tangente PT mide 18 cm. Halla el área del círculo. La recta tangente es perpendicular al radio. Por tanto, el triángulo PTO es rectángulo en T :

Teorema de Pitágoras

18 cm

r O

23 cm

Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos: a)

45 m2

60 m2

14 cm2 10 cm

Las diagonales del cuadrado son perpendiculares. Por tanto, el triángulo coloreado es rectángulo y tiene los catetos iguales. r 2 + r 2 = …2 → 2r 2 = … → r 2 = …

30 cm2

r = f = 7,07 cm D

17 cm

4 cm

1,6 m

21 dm

4,8 m

d = 1, 2 2 + 1, 6 2 + 4, 8 2 = f = 5,2 m

4,8 m

C B

e) 17 millas, 10 millas, 5 millas

30 m

Calcula el lado desconocido en cada triángulo rectángulo: a)

b) 65 mm

16 mm

15 m

lado. (Recuerda que, en un hexágono regular, el lado mide igual que el radio.)

4 En una circunferencia de radio 9,7 m, se traza una

cuerda de 13 m. ¿A qué distancia de la cuerda se encuentra el centro de la circunferencia?

5 Un pentágono regular está inscrito en una circunferencia

de radio 1 m. Su perímetro es 5,85 m. Calcula su área.

6 Halla la longitud de la diagonal de un ortoedro cuyas

dimensiones son 8 dm, 6 dm y 14 dm.

20 m

Calcula el lado desconocido en cada triángulo aproximando hasta las décimas: a)

b) 12 cm

cuyas bases miden 3,2 m y 6,4 m, y su altura, 6,3 m.

Calcula la medida del lado de un rombo cuyas diagonales miden 1 dm y 2,4 dm.

Halla la altura de un triángulo equilátero de 40 cm de lado. Aproxima hasta los milímetros.

Halla la apotema de un hexágono regular de 20 cm de lado. (Recuerda que, en el hexágono regular, el lado mide lo mismo que el radio.)

Un pentágono regular de 11,7 cm de lado está inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio. Calcula su apotema.

f ) 21 mm, 42 mm, 21 mm g) 18 cm, 80 cm 82 cm

15 m

Para practicar

perímetro.

Calcula los lados iguales de un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide 5 m y la altura correspondiente, 6 m.

c) 23 dm, 30 dm, 21 dm d) 15 km, 20 km, 25 km

do de 30 m de lado y cuya cara lateral tiene un área de 255 m2. Primero hallamos la altura, a, de la cara lateral. 255 = 30 · a → 510 = 30a → a = … m 2 La altura de la cara lateral es la hipotenusa del triángulo que aparece a la derecha:

3 Calcula el área de un hexágono regular de 18 cm de

12 dm

Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. b) 35 m, 12 m, 37 m

13 Calcula la altura, h, de una pirámide cuadrangular regular cuya base es un cuadra-

2 Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles

Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 13 dm y 19 dm, y el lado oblicuo mide 10 dm. Calcula la altura.

a) 15 cm, 10 cm, 11 cm

1,2 m 1,6 m

c) 16 m

12 cm

17 m

32 mm

28 mm

Atendiendo al triángulo rojo: d = … 2 + 4, 8 2 = … m La diagonal del ortoedro mide 5,2 m. Observa que se puede hallar directamente:

1 Halla el área de un triángulo equilátero de 54 cm de

Halla la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro mide 28 dam.

1,2 m

En general, en un ortoedro de dimensiones a × b × c la diagonal es:

h = …2 – …2 = f = 8 m La pirámide tiene 8 m de altura.

Calcula el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5,8 cm, y uno de los lados, 4 cm.

Atendiendo al triángulo azul: AC = 1, 2 2 + … 2 = … m

d = a 2 + b 2 + c 2

Calcula el área de los siguientes cuadrados: a)

12 Halla la diagonal de un ortoedro de dimensiones 1,2 m; 1,6 m y 4,8 m.

Una recta pasa a 10 cm del centro de una circunferencia de 15 cm de radio. Halla, aproximando hasta las décimas, la longitud de la cuerda que se genera.

¿A qué distancia del centro de una circunferencia de 8 cm de radio debe pasar una recta para que la cuerda mida 8 cm?

Calcula la diagonal de un cubo de 20 cm de arista. Aproxima hasta los milímetros.

Halla la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son 3 cm, 4 cm y 12 cm.

Desde un punto P exterior a una circunferencia de radio 10 m se traza un segmento tangente de 24 m. ¿A qué distancia está P del centro de la circunferencia?

anayaeducacion.es GeoGebra. Calcula áreas aplicando el teorema de Pitágoras. 186

3. Aplicaciones del teorema de Pitágoras (II)

1 cm

r 2 = OP 2 – PT 2 = …2 – …2 = … Acírculo = πr 2 = … · … ≈ 643,7 cm2 11 Calcula el radio de la circunferencia circunscrita a un cuadrado de 10 cm de lado.

Halla el perímetro de la siguiente figura:

= 33,5 – 27,6 = 5,9 cm2

187

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Sugerencias metodológicas En esta página hay ejemplos de la aplicación del teorema de Pitágoras en dos figuras espaciales muy comunes. ——En el ortoedro hay que aplicar dos veces el teorema para calcular la diagonal principal. Una vez resuelto se recurre a la fórmula general de la diagonal de un ortoedro. ——En la pirámide, el cálculo de la altura se consigue mediante la aplicación del teorema de Pitágoras en el triángulo que indica la figura. Pero el estudiante ha de tener en cuenta que, antes, debe calcular el valor de la hipotenusa de dicho triángulo. Soluciones de «Para fijar ideas» 10 ACÍRCULO = 3,14 · 205 ≈ 643,7 cm2 11

r = 50 = 7,07 cm

d = 27, 04 = 5,2 m

h = 64 = 8 m

Soluciones de «Para practicar» 1 A = 140,31 cm2 2

A = 30,24 m2; P = 22,6 m

A = 842,4 cm2

4 Se 5

encuentra a una distancia de 7,2 m.

A = 2,37 m2

6 d

= 17,2 dm 13