DEMO
2
INCLUYE
PROYECTO DIGITAL BANCO DE RECURSOS Y LIBRO DIGITAL
O T A R E L L I H C
BA
A C I S Í F
, deano l a G s bo illalo res Gil, V . G , z nzále lo, A. J. Tor o G z e stil ílch as J. M. V asas del Ca dez Oliver nán R. C A. Fer
SUMA
piezaS
ASÍ ES
tu libro Apertura de unidad
Organizador visual. Con los recursos digitales relacionados con cada apartado.
2
campo electrostático
Cada unidad comienza con un breve texto que pretende acercar al alumnado las relaciones entre ciencia, tecnología y sociedad a través de alguna aplicación relevante relacionada con los contenidos que se van a desarrollar.
Coulomb,
LOS Recursos en la web DE ESTA UNIDAD
VÍDEO
campo electrostático
Objetivos de Desarrollo Sostenible.
ACIÓN PRESENT
admiración desde París con
Coulomb, desde París con admiración
Qué necesitas saber.
francés que 06) fue un físico no!, sus de Coulomb (1736-18 También, ¡cómo Charles-Augustin del honor y firmeza. otro de los destacó por su sentido consagraron como en electroestática le aparece escrito investigaciones sobre que su nombre en la franceses. Tanto Eiffel, concretamente muchos genios fachadas de la torre el friso de las cuatro . «face école militaire» en noviembre de Génie de Mézières . En 1774, École Royale du de primer teniente Se graduó en la o militar con el grado ia de Ciencias Academ la de 1761 como ingenier en un corresponsal por su artículo Coulomb se convirtió de la Academia premio por tió el primer premio de París. Compar también el primer magnéticas y recibió sobre las brújulas acerca de la fricción. , pues su trabajo clásico o de la ley de Coulomb insel inicio del desarroll la balanza de torsión, El año 1777 significó francés ideó y construyó de la fuerza elecdes propieda fue cuando este físico las pudo determinar eléctrica en el trumento con el que una esfera con carga posicionó Coulomb colocó y, a continuación, trostática. Para ello, de la balanza de torsión distancias, de tal extremo del alambre ente a diferentes eléctricam además cargada otra esfera también distancia y carga eléctrica, deduando las variables capaz de manera que, consider de la balanza, él fue que giraba la barra de medir el ángulo en 1786. o ley de Coulomb cir la ley de cargas
DOCUMENTO
1
Cómo aplicar la técnica: «¿Qué te hace decir eso?».
Naturaleza eléctrica de la materia
ENTO DOCUM
NTO D O C UM E
2
Cómo aplicar la técnica: «Comprobamos».
Cómo aplicar la técnica: «Piensa y comparte en pareja».
Campo electrostático
ENTO DOCUM
3
Cómo aplicar la técnica: «Lápices al centro».
ENTO DOCUM
Potencial eléctrico
Textos argumentativos.
4 EN DOCUM
Consideraciones energéticas
TO
DOCUMENTO
5
Cómo aplicar la técnica: «Interpretación compartida»..
Cómo aplicar la técnica: «Interpretación compartida».
Flujo del campo eléctrico
Compromiso ODS. Actividades para reflexionar en grupo y proponer acciones para alcanzar las metas de desarrollo sostenible propuestas en cada una de las unidades.
6 Teorema de Gauss
DOCUMENTO
8
Campo y potencial en conductores eléctricos
Cómo aplicar la técnica: «RPPCS». MENTOS DOCU
es en grupos: Haced estas actividad «descontaminapatentó el primer onándose k Cottrell (EE.UU.) En 1907 Frederic este ha ido perfecci ientos e al cabo de los años diferentes procedim dor electrostático», que hoy día existen hasta el punto de ática. depuración electrost instrumentos de en internet sobre más información Busca . cual Mesa redonda iento a partir del 1 ico y el procedim este elemento tecnológ el aire. consigue purificar en las que este inveno metas de los ODS tu Identifica la meta un proyecto para 2 iones positivas. Idea implicac tener podría to nto. uses este instrume localidad en el que
Cómo aplicar la técnica: «Círculo de puntos de vista».
Aplicaciones del teorema de Gauss
ENTO DOCUM
COMPROMISO ODS
DOCUMENTO
7
Cómo aplicar la técnica: «1-2-4».
Cómo aplicar las técnicas: «Comprobamos», «Interpretación compartida», «Cabezas pensantes», «¿Qué te hace decir eso?», «Considerar todos los factores» y «Rueda lógica».
9
Comparación entre el campo electrostático y el gravitatorio
DOCUMENTO
Consejos para elaborar tu porfolio.
Estrategias de resolución de problemas Trabaja con lo aprendido
Para estudiar.
Y ADEMÁS… Soluciones de todas las actividades numéricas
consulta la presentación estudiar esta unidad, Antes de empezar a . en anayaeducacion.es «Qué necesitas saber»
Desarrollo de los contenidos y actividades 3
Unidad
fuerza magnética sobre distintos elementos de corriente
Supongamos un trozo de hilo del circuito tan pequeño que podamos considerarlo rectilíneo y que el campo magnético exterior tenga un valor constante en toda su longitud elemental. Una longitud de este tipo se denomina infinitesimal, y la representaremos por dl. En esta longitud infinitesimal de conductor habrá una carga eléctrica también infinitesimal, dq, que tardará un tiempo infinitesimal, dt, en recorrerla. La intensidad de corriente se define como la carga infinitesimal que pasa por una sección transversal de un hilo conductor por unidad de tiempo infinitesimal: I=
dq dt
El sentido de la intensidad de corriente se establece, por convenio, el contrario al que realmente siguen los electrones (véase la figura inferior izquierda).
v=
dq dt
8
podemos escribir la fuerza magnética infinitesimal, dFm , que actúa sobre este hilo de corriente infinitesimal, repre8 sentado por d l , en función de la intensidad de corriente, I, y no en función de las velocidades de los electrones: 8
8
8
8
dt
8 dFm
8
= I · ( d l Ò B) 8
La dirección del vector d l es la del hilo infinitesimal y su sentido se define en el mismo sentido de la intensidad de corriente, I. Por último, su módulo es igual a la longitud infinitesimal del hilo. Para pasar de la ley de Lorentz a la primera ley de Laplace, en definitiva, se ha utilizado la relación: 8
dq · v = I · d l
que volveremos a utilizar más adelante.
dl
dFm
dFm
dl
I dl
Reflexión, refracción y difracción 8
Fm = I · c # d l m # B
dFm
8
X
l
8
8
I
Unidad l = –5 · i m
Debemos aplicar la expresión:
8
0 l Ò B = –5 0 0 = –3,5 · j ■ EcoEn y reverberación consecuencia, la fuerza magnética que actúa sobre elAlgunas especies animales, como y cier0, 5 0los–0murciélagos ,7 Cuando onda sonora hilouna rectilíneo es: que se propaga por un medio tos cetáceos, utilizan la reflexión del sonido para lograr la Por tanto, la fuerza magnética elemental sería la siguiente: encuentra en su camino la superficie de ecolocalización: 8el animal8 analiza los ecos de los sonidos 8 8 medio de dis8 otro 8 8 8 Fm = I · ( l Ò La B ) onda reflejada l Ò B ) = 0,8 ·sobre Fm = I · (información (–3,5 · su j )entorno. = –2,8 · j N tinta densidad, se refleja parcialmente. que emite para obtener tiene prácticamente la misma energía que la incidente, y Este es también el fundamento del aparato denominado su intensidad solo disminuye con la distancia. sónar ^del inglés SONAR, Sound Navigation And Ran-
Ejercicios ging, navegación y localización por sonidoh, usado en navegación para detectar el fondo marino y objetos su19 En el polo sur terrestre, las líneas del campo magnémergidos ^figura de la izquierdah. tico salen perpendiculares al suelo y con un valor de Una de las aplicaciones de la la reflexión del experimenta sonido a la meunos 0,5 G. Halla fuerza que un cable dicina es la ecografía, un procedimiento diagnóstico de 2 m, paralelo al suelo, por elde que circulan 10 A. que usa ultrasonidos ^sonidos inaudibles entre 2 MHz y B 5 MHzh. Un instrumento llamado transductor emite ultrasonidos a través del cuerpo humano y recibe su eco, que I es convertido en una imagen por una computadora.
■ Difracción de ondas sonoras
Hasta ahora hemos aplicado el principio de Huygens para explicar la reflexión o cambio de dirección que experimenta una onda cuando incide en la superficie de separación de dos medios. Pero, en muchas ocasiones, sobre la superficie solo incide una porción del frente de onda, como sucede cuando la onda encuentra un obstáculo o una abertura ^véanse los ejemplos del recuadro inferiorh.
En una onda sonora la longitud de onda abarca desde los pocos centímetros hasta varios metros, por lo que es bastante común poder escuchar la música de una orquesta aunque nos situemos detrás de una columna o a la vuelta de una esquina ^el sonido se curva alrededor y llega hasta nosotrosh, o incluso a través de una puerta entreabierta o una ventana ^el sonido que atraviesa la abertura se propaga como si el foco estuviese localizado en ellah.
En estos casos, los puntos del obstáculo o la abertura en la que incide el frente de onda que se comportan como focos de nuevas ondas. Pero para que esto ocurra es necesario que el obstáculo o abertura sea del orden de magnitud de la longitud de onda incidente. Es entonces cuando se produce el fenómeno de la difracción. Llamamos difracción al conjunto de fenómenos que se observan cuando una onda encuentra en su camino obstáculos o aberturas cuyo tamaño es del orden de la longitud de onda.
El hecho de que las ondas no se vean afectadas en su camino por los obstáculos y que no se produzcan reflexiones apreciables a causa de la difracción hace que no se puedan localizar detalles u objetos a una escala menor que la longitud de onda utilizada. La menor longitud de onda sonora audible es de 1,7 cm, por lo que no puede localizarse ningún objeto menor de este tamaño con sonidos audibles. Sin embargo, haciendo uso de ultrasonidos, de una frecuencia mayor y una longitud de onda menor, se pueden llegar a localizar obstáculos del orden de los milímetros, tal como hace el murciélago o como se aplica en el sónar. Ejercicios
Ejemplos de reflexión y refracción del sonido
20
Difracción
Petición del oyente. En el interior de un campo
1 Una piedra cae en el centro de un estanque. Explica de modo gráfico, a partir del principio de Huygens, la propagación de los frentes de onda circulares en la superficie del estanque.
horizontal, colocamos un hilo de corriente Reflexión delmagnético sonido
perpendicular al campo magnético y horizontal por el que van a circular 8 A. La densidad lineal del hilo es de
El sónar ^izquierdah emite pulsos sonoros de alta frecuencia por ¿Qué el agua y que, al reflejarse el fondo En este caso, tanto el campo magnético como el vector d l que se propagan 10 g/m. valor deberá tomar elencampo magnétio en algún objeto, son captados de nuevo y analizados para son iguales para todos los elementos de corriente de lonco para que el cable levite? Realiza un esquema de los Superficie sobre la profundidad o la distancia. Dado que gitud infinitesimal. Por esto, las fuerzas magnéticas elementa-obtener datosdistintos elementos y representa en él la dirección y el la intensidad de la onda reflejada depende del tipo de superles son iguales en todos ellos. sentido de todas las fuerzas que actúan sobre el hilo. ficie, el sónar también proporciona información del tipo de Emisor/receptor material en el que se refleja la onda. 8
L
Refracción del sonido
100
Onda incidente
Los iconos incluidos en algunas actividades sugieren la clave del proyecto que puede aplicarse en cada caso.
2.4. Difracción
I dl
B dFm
De acuerdo con la primera ley de Laplace, la fuerza sobre cualquier corriente eléctrica sometida a8un campo mag8 8 nético viene dada por: Fm = # I · d l # B
6
8
8
0
8
dl dFm
B
El vector que representa al hilo es:
l se obtiene l , que es unEste fenómeno se conoce como Al sumar todos los vectores reverberación, y se suele 2.3. Reflexión y refracción dedondas sonoras 8 8 8 ) F m = I · ( l Ò B vacías módulo igual a la mecánica, longitud del y cuyo sin mueDado vector que el de sonido es una onda lashilo leyes de sen-percibir en grandes locales o habitaciones Calculamos el producto escalar con un determinante: tido es la corriente, I. Es decir: bles u objetos que absorban las ondas sonoras. la reflexión y el la de refracción se cumplirán también para las 8 8 8 8 8 ondas sonoras. i j k # l dl = l 8 8 8 ■ Aplicaciones
dl dl
B
8
Y
Z
8
dFm
El vector longitud infinitesimal, d l , es tangente al hilo conductor y su sentido es el de la corriente (contrario al movimiento de los electrones). El vector fuerza magnética elemen8 8 8 tal, d Fm , es perpendicular a d l y a B .
Realicemos un esquema de la situación planteada en el enunciado:
Se puede sacar factor común I y B de la integral puesto que permanecen 2 constantes a lo largo de toda la «suma»:
En caso de que la distancia sea menor, no distinguiremos los sonidos incidente y reflejado dFm por separado, pero sí nos parecerá que el sonido se prolonga una fracción de tiempo.
dl dFm
Solución
8
#B
de corriente rectilíneo Si la onda reflejada esHilo captada por el oído en un intervalo temporal mayor de 0,1 s respecto a la incidente, este percibirá los dos sonidos por separado, fenómeno conocido con el nombre de eco. Para que se produzca eco, el obsB táculo que refleja las ondas sonoras debe encontrarse a 17 m de distancia como mínimo.
Fuerza magnética sobre un circuito cualquiera
dl I
8
8
Sumando de manera continua esta fuerza magnética infinitesimal para todas las longitudes infinitesimales que constituyen un circuito completo, se puede determinar la fuerza total que actúa sobre dicho circuito, como muestra la figura inferior derecha.
dFm
8
8
#0 l d F m = #0 l I · d l
que representa la suma de todas las fuerzas magnéticas infinitesimales sobre todas las longitudes infinitesimales 8 que hay desde cero hasta la longitud del conductor, l .
Esta expresión se conoce como primera ley de Laplace.
8
8
Fm =
8
8
3
Ejercicio resuelto
7 Por un hilo conductor rectilíneo de 5 m de longitud, colocado paralelo al eje X, circula una corriente de 0,8 A en el sentido negativo de dicho eje. ¿Qué fuerza magnética se ejercerá sobre el hilo si en todo el espacio8hay un campo magnético des8 8 crito por el vector B = (0,5 · i – 0,7 · k ) T?
Esta suma continua se expresa mediante la integral:
8 dF m = dq · (v Ò B ) = I · dt · e d l # B o
Fuerza magnética sobre un elemento de corriente Fuerza magnética elemental
3.2. Fuerza magnética sobre un hilo de corriente rectilíneo Determinemos la expresión de la fuerza magnética que actúa sobre un hilo conductor recto de longitud l, por el que circula una intensidad de corriente I. Para ello, tendremos que sumar la fuerza magnética elemental que se ejerce sobre cada elemento de corriente infinitesimal que forma todo el hilo rectilíneo.
Si se tiene en cuenta que el módulo de la velocidad de los electrones que atraviesan la longitud elemental es:
Onda reflejada
Este fenómeno se produce habitualmente en la atmósfera terrestre debido a que la velocidad de propagación de las ondas sonoras en el aire aumenta con la temperatura. Al anochecer, el aire cercano a la superficie se enfría más rápidamente que el de capas superiores; esto provoca que el sonido emitido a cierta distancia pueda refractarse y curvarse a medida que asciende ^figura inferiorh, sumándose al sonido que nos llega de forma directa y actuando como un amplificador natural.
2 Representa gráficamente la onda resultante de la superposición de dos ondas armónicas unidimensionales de igual amplitud que se encuentran en fase. ¿Cuánto vale su amplitud? 3
101
A la izquierda, un tren de ondas atraviesa una abertura del orden de m, que se comporta como un nuevo foco emisor de ondas circulares. Cuando el tamaño de la abertura es mucho mayor que m ^derechah, los frentes de onda experimentan cierta deformación cerca de los bordes, pero en su mayor parte no se ven afectados y la onda se propaga en línea recta.
Sonido refractado
Lecho marino
Aumento de la T Disminución de c
idos se esLos conten n epígrafes tructuran e tan el conque presen rico acom tenido teó y s e n e g á Im pañado de ue facilitan q s a m e u esq ón de los si la compren y activicontenidos , aplicación dades de o m co estas tanto propu s. a resuelt
3.1. Fuerza magnética sobre un elemento infinitesimal de corriente Puesto que una corriente eléctrica está constituida por electrones que se desplazan en el interior de un circuito eléctrico, de acuerdo con lo que hemos estudiado se entiende que si sometemos un circuito eléctrico a un campo magnético externo, el campo interacciona con estos electrones. Y al estar estos electrones ligados al hilo conductor, el campo magnético ejerce una fuerza sobre dicho hilo. Esta fuerza depende de la geometría del circuito, ya que los electrones, al recorrerlo, van tomando distintas direcciones, y la fuerza magnética depende de estas direcciones.
Los ejercicios resue ltos permiten el aprendizaje de proce sos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas.
(a) S (b)
Sonido directo
El sonido emitido por una fuente, S, se difracta al llegar a la columna ^ah y a la ventana ^bh.
Comprobamos. Repite la actividad con dos ondas, una de ellas con el doble de amplitud que la otra, que se superponen en oposición de fase.
4 Demuestra que la distancia mínima a la que debe encontrarse una pared para que percibamos eco es de 17 metros. Dato: Velocidad del sonido, 340 m/s.
5 Una onda de longitud de onda 30 cm incide en la superficie de separación de dos medios con un ángulo de incidencia de 30º. Si su velocidad en el primer medio es de 30 m/s y en el segundo se reduce a la mitad, calcula el ángulo de refracción, la longitud de onda y la frecuencia en el segundo medio. 6 Teóricamente, ¿cuál es el tamaño más pequeño observable a través de una ecografía que emite ondas de 10 MHz? Dato: Velocidad del sonido en el agua, 1 500 m/s.
186
187
Las claves
del proyecto
ODS Compromiso ODS
Plan Lingüístico
Desarrollo del pensamiento
Aprendizaje cooperativo
Descubre los Objetivos de Desarrollo Sostenible y forma parte activa de nuestro compromiso para lograr un mundo más igualitario y habitable.
Pon en práctica tus destrezas comunicativas en los diferentes tipos de texto que te proponemos. El lenguaje siempre está presente, ¡comunícate!
Trabaja estrategias de pensamiento: reflexiona sobre los contenidos que estás aprendiendo, genera ideas, organízalas, priorízalas, arguméntalas, exponlas…
Implícate en tu aprendizaje y participa en el de todo el grupo; comprobarás que cooperar mejora el rendimiento y la convivencia en clase.
tic
EstrategIas de resolución de problemas Unidad
TIC
5
Unidad
ción de problemas
6
Estrategias de resolu Ondas en una cuerda
Simuladores de ondas En Internet existen simuladores de ondas de todo tipo. Resulta interesante realizar una visita a alguno de ello porque nos permiten visualizar una onda, estudiar su movimiento, sus magnitudes fundamentales y cómo dependen unas de otras.
3. Jugando con la frecuencia y el período
Esta simulación podemos encontrarla en la página web de simulaciones de Física y Química de la Universidad de Colorado, y conocida como PhET Interactive Simulations y traducida al español en https://phet.colorado.edu/es/.
a) Tenemos una onda estacionaria del tipo:
y ^xh = 2 · A · sen ^k · xh · cos ^~ · th
Figura 4. Para valores fijos de c, disminuir f implica un aumento de la longitud de onda.
Las ondas que componen son:
Figura 1. Ventana inicial de la simulación.
y1 = 0,25 · sen ^5 · r · x – 3 · r · th
y2 = 0,25 · sen ^5 · r · x + 3 · r · th
f =
x0 = 0 m
Figura 2. Pulso en una onda con regla y cronómetro activos.
x2 = 2 · 0,2 = 0,4 m Para los vientres hacemos uso de la condición: 0,5 · sen ^4 · r · xh = ! 1
5 · r · x = 0,
Podemos comprobar también cómo este coeficiente varía repitiendo la medida con distintos valores de frecuencia (recordemos que el coeficiente de absorción depende, entre otros factores, de la frecuencia de la onda).
Variando la tensión, podremos controlar la velocidad de propagación de la onda. Hay un control para modificar la amplitud de la onda entre 0 y 1,25 cm y otro que modificará la frecuencia entre 0 y 3 Hz.
1 con n = 0, 1, 2, 3… 10
x2 = 5 · 0,1 = 0,5 m
0
0,1 m
0,2 m
m
0,3 m
0,4 m
m 8 L = n · c con n = 1, 2, 3... ·L =n·r 8 L =n· 2 2·f
m2 =
y = sen `~ · t ! k · xj
2·1 m = 1m 2 c c =n· con n = 1, 2… mn 2·L
Las frecuencias serán: fn =
Y las del segundo armónico: 340 m · s–1 f2 = 2 · = 340 Hz 2m b) Si cambia la velocidad de propagación, la longitud de onda no sufrirá cambios: m2 =
2·1 m = 1m 2
Sin embargo la frecuencia se duplicará:
DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS
x1 = 3 · 0,1 = 0,3 m
Por último, y como introducción a los fenómenos ondulatorios que veremos en el siguiente tema, podemos fijar el extremo derecho de la onda y comprobar cómo se refleja un pulso, como se refleja un tren de ondas y en este último caso, observar cómo se superponen la onda incidente y la onda reflejada y qué configuraciones se producen dependiendo de la frecuencia escogida.
Figura 3. Generación de un tren de ondas.
r
x0 = 1 · 0,1 = 0,1 m
6. Fenómenos ondulatorios
En este apartado podemos realizar medidas de la longitud de onda con la regla pausando el movimiento y medidas de la velocidad combinando la regla y cronómetro.
, , , ... = ^2 · n + 1h · 2 2 2 2 con n = 0, 1, 2, 3…
r 3·r 5·r
xn = ^2 · n + 1h ·
cos ^ k · L h = ! 1 8 k · L = n · r con n = 1, 2,…
2·r
Las longitudes de onda de los armónicos serán: 2·L con n = 1, 2… mn = n Siendo la del segundo armónico:
bh Siempre que queramos saber la posición de vientres y nodos bastará con igualar la amplitud variable de la onda estacionaria, dada por las expresiones 2 · A · sen ^k · xh o 2 · A · cos ^k · xh, a 0 en el caso de los nodos y a 1 en el caso de los vientres. Para representarlos bastará con recordar que entre dos nodos o dos vientres consecutivos hay media longitud de onda, y que entre cada dos nodos hay un vientre.
x1 = 1 · 0,2 = 0,2 m
En un problema de armónicos hay que tener claro en primer lugar las características de la onda estacionaria ^abierta en un extremo, fija en un extremo, etc…h La realización de un dibujo puede aclarar bastante la resolución del problema. Para representar los armónicos tendremos en cuenta que la frecuencia fundamental será la que tenga el menor número de nodos y a partir de ahí con cada nodo de más encontraremos el resto de los armónicos. Para este caso concreto de vientres en los extremos: n=1
n=2
y ^x, th= 2 · A · cos ^k · xh · sen ^~ · th
• Si A = 2 · A · cos ^k · xh · sen ^~ · th, las ondas componentes serán de la forma:
5 · r · x = 0, r, 2 · r, 3 · r,… = n · r con n = 0, 1, 2, 3… n xn = = 0,2 · n con n = 0, 1, 2, 3… 5
Figura 5. Para valores fijos de c, aumentar f implica una disminución de la longitud de onda.
ANÁLISIS DEL PROBLEMA
Esta onda ya cumple la condición de máxima amplitud en x = 0 por que en ese punto el coseno vale 1. Para que cumpla la condición en x = L impondremos la condición:
y = sen `k · x ! ~ · tj
0,5 · sen ^5 · r · xh = 0
5. Ondas amortiguadas
A continuación intentaremos simular un tren de ondas sinusoidales. Bastará con hacer que la llave que sujeta la cuerda oscile con movimiento armónico simple, seleccionando la opción oscilar (figura 3).
r
b) Aplicando la condición de nodo:
Si seleccionamos una amortiguación de la onda no nula podremos comprobar cómo la amplitud se reduce con la distancia recorrida. Cuanto más alto elegimos el valor de la amortiguación en nuestro simulador, mayor es la disminución de amplitud con la distancia. Midiendo la distancia recorrida cuando se reduce la amplitud a la mitad, podemos encontrar fácilmente el coeficiente de absorción del medio a partir de la ley de Lambert.
En la parte inferior derecha existe la posibilidad de activar una regla y un cronómetro que nos permitirán medir la velocidad del pulso. Incluso tenemos la opción de observarlo a cámara lenta si queremos.
2·r
a) Tenemos una onda estacionaria en un tubo abierto por ambos extremos. Habrá un vientre en x = 0 y x = L. La onda estacionaria que se produce en el interior del tubo será de la forma:
y = cos `k · x ! ~ · tj o y = cos `~ · t ! k · xj
Si la onda estacionaria contiene la función seno, vendrá de la superposición de dos senos. Y el primer término de ambas ondas será el argumento del seno en la onda estacionaria: • Si A = 2 · A · sen ^k · xh · cos ^~ · th , las ondas componentes serán de la forma:
2·r 2·r = = 0, 4 m k 5 · r m–1 3 · r s –1 ~ = = 1, 5 s–1 2·
m=
Finalmente, combinando distintos valores de frecuencia y velocidad (determinada por la tensión) podemos realizar mediciones de la velocidad de la onda y de la longitud de onda y comprobar la relación entre la velocidad de propagación c medida en m/s, la longitud de onda m medida en m y la frecuencia medida en Hz. Recordemos que esta relación es c = m · f.
2 Un tubo de órgano abierto por ambos extremos tiene una longitud de 1 m. Si la velocidad del sonido es de 340 m/s: a) Escribe la frecuencia y la longitud de onda del segundo armónico. b) ¿Cómo cambian los resultados del apartado ah si cambiamos el aire del tubo por otro gas en el que el sonido se propaga al doble de velocidad? ¿Cómo habría que modificar la longitud del tubo para que no cambie la frecuencia? Planteamiento y resolución
ah A la hora de averiguar de qué ondas procede una onda estacionaria es importante tener en cuenta: – La onda estacionaria tiene el doble de amplitud que las ondas que la componen. – La onda estacionaria tiene los mismos valores de frecuencia y longitud de onda ^y, por tanto, de ~ y kh que las ondas que la componen. – Las ondas que se superponen para dar la onda estacionaria viajan en sentidos contrarios. – Para saber las funciones de las ondas componentes podemos recordar lo siguiente: Si la onda estacionaria no contiene la función seno, vendrá de la superposición de dos cosenos:
Sabemos además que k = 5 · r m–1 y ~ = 3 · r s–1, por lo que podemos deducir los valores de la longitud de onda y la frecuencia:
Del mismo modo podemos visualizar para un valor fijo de velocidad, cómo influyen los cambios de frecuencia en la longitud de onda.
Lo primero que vamos a intentar simular es un pulso. Bastará con seleccionar la opción manual y hacer oscilar verticalmente de forma rápida la llave seleccionándola con el ratón o seleccionar pulso en el menú (figura 2). Si probamos a variar la tensión de la cuerda para generar pulsos a distintas velocidades, observaremos cómo depende la velocidad de propagación de la tensión de la cuerda.
Dispones de esta simulación en tu banco de recursos, en anayaeducación.es.
b) Calcula la posición de los 3 primeros nodos y vientres. Planteamiento y resolución
Otra comprobación que podemos realizar consiste en visualizar para un valor fijo de frecuencia, cómo influyen los cambios de velocidad (determinada por la tensión) en la longitud de onda.
Ondas estacionarias: armónicos
ANÁLISIS DEL PROBLEMA
y ^xh = 0,5 · sen ^5 · r · xh · cos ^3 · r · th m
a) Indica de qué tipo de onda se trata, calcula su frecuencia y su longitud de onda y escribe la ecuación de las ondas que superpuestas generan esta onda.
4. Jugando con la velocidad y la longitud de onda
Siguiendo los enlaces «Juega con simulaciones», «Física» y «Sonido y Ondas», llegamos a una simulación denominada «Ondas en una cuerda», que podemos visualizar fácilmente y nos mostrará una cuerda inicialmente en reposo junto con un menú interactivo de fácil manejo (figura 1). Para las actividades que proponemos a continuación necesitaremos dejar libre el extremo derecho de la cuerda (onda viajera) en la opción «sin extremo» y poner la amortiguación al mínimo.
2. Tren de ondas
1 Una onda en una cuerda tiene por ecuación:
Una sencilla comprobación que podemos realizar con nuestro simulador es la relación entre el período y la frecuencia. Sin variar el valor de la tensión y por tanto de la velocidad de propagación, podemos ir probando distintos valores de frecuencia y midiendo con el cronómetro la duración de la oscilación que imprime el oscilador sujeto al punto inicial. Con un sencillo cálculo, podemos comprobar cómo el período T medido en segundos y la frecuencia f medida en Hz son el inverso el uno de la otra.
Ondas en una cuerda
1. Pulso en una cuerda
Ondas estacionarias y cálculo de nodos y vientres
Tal y como podemos observar, la existencia de un nodo en x = 0 y x = 0,4 m es compatible con que el término de amplitudes sea tipo seno dado que sen 0 = 0 y sen ^2 · rh = 0. Además, al aplicar la condición de nodo n = 3 en el extremo derecho de la onda, aparecen dos vientres en las posiciones intermedias entre el primer y segundo nodo y entre el segundo y el tercero.
f2 = n ·
c 680 m · s–1 =2· = 680 Hz 2·L 2m
Para que la frecuencia no varíe bastará con duplicar la longitud del tubo:
Sabiendo que la distancia entre dos vientres o nodos consecutivos es siempre m/2, se puede comprobar que el primer armónico contiene media longitud de onda y el segundo una longitud de onda. Para un tubo abierto en ambos extremos la longitud de onda del segundo armónico coincidirá con la longitud L del tubo. Es importante saber que m siempre va a ser función de la longitud del tubo o cavidad y que f dependerá también de la velocidad de propagación de la onda. DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS
Podemos observar del resultado que al ser f y c directamente proporcionales, una duplicación en la velocidad del sonido conlleva una duplicación en la frecuencia de todos sus armónicos, solo compensable con la modificación de la única magnitud inversamente proporcional a la frecuencia: la longitud del tubo. Tal y como indicamos, se produce una duplicación en la longitud de onda puesto que al ser m = c/f y variar c sin que f cambie, esta también se duplica.
–1
c 680 m · s =2· = 340 Hz 4m 2·L Sin embargo, la longitud de onda se verá afectada, al tener que encontrarse el vientre del extremo al doble de distancia, se duplicará. f2 = n ·
Figura 6. Amortiguación. 206
170
207
171
química, el empleo de En el estudio de la física y la específico. o las TIC merece un tratamient
En cada unidad, se incluye la resolución de diferentes problemas, se analizan los enunciados y se discuten los resultados obtenidos.
TrAbaja con lo aprendido Recuerda que dispones, en tu banco de recursos:
l nar el materia o. Recuerda seleccio unidad para tu portfoli de esta de trabajo
trabaja con lo
• •
23 Dos hilos de corriente paralelos están recorridos por una intensidad de 200 mA y 50 mA en el mismo sentido, separados 10 cm. Encuentra un punto donde se anule el campo total. I1
I2
B1
Actividades relacionadas con todos los contenidos estudiados en la unidad, para reforzar dichos contenidos y autoevaluar lo aprendido.
26 Determina el campo magnético total de los dos hilos de corriente de la imagen en el punto A. 2
y (cm)
I2 = 2 A A
1
x (cm) 1
2
–1
3
4
I1 = 1 A
Preparar la tarea. Dos conductores rectilíneos paralelos de longitud ilimitada y separados 10 cm, transportan las corrientes I1 = 4 A e I2 en el mismo sentido. Si el módulo del campo magnético en un punto situado entre ambos conductores a una distancia R1 = 2,5 cm del conductor I1 es igual a cero: a) Calcula el valor de la corriente I2.
Fuerzas entre elementos de corriente
28 Por una espira de circular de 5 cm de diámetro circula una intensidad de corriente de 250 mA. Realiza un dibujo donde se muestren su cara norte y sur, y el valor del campo magnético en su centro.
33 Determina el campo magnético en el interior de un solenoide de 10 cm de largo y 100 espiras cuando es atravesado por 280 mA. ¿Y si tuviera un núcleo de hierro con n = 2 000 · n0?
36
29 En el centro de una espira circular de 7 cm de radio hay un campo magnético de 1,5 nT. ¿Qué intensidad recorre la espira?
34 Un solenoide de 60 espiras por centímetro crea en su interior un campo magnético de 0,9 T cuando es recorrido por una corriente de 500 mA. Determina la permeabilidad magnética relativa del material que tiene en su núcleo.
37 Dos cables rectos e indefinidos, paralelos entre sí y contenidos en el plano XY, transportan corrientes eléctricas I1 = 2 A e I2 = 3 A con los sentidos representados en la figura. Determina:
30 La figura representa dos espiras de 3 mm y 5 mm de radio, respectivamente, contenidas en un plano, por las que circulan corrientes eléctricas de 3 A en el sentido de las flechas.
c) Si las dos corrientes fuesen de sentidos contrarios, ¿tendría el campo magnético el valor cero en algún punto situado entre ambos conductores? Explícalo (no hacen falta cálculos).
Preparar la tarea. ¿A qué distancia habrá que colocar dos hilos de corriente paralelos por los que circulan 10 A para que se repelan con una fuerza de 0,1 N/cm?
a) El campo magnético total (módulo, dirección y sentido) en el punto P.
35 Determina la intensidad de corriente que recorre una bobina de 12 cm de longitud y 1 000 espiras si crea en su interior un campo B = 0,02 T.
b) La fuerza (módulo, dirección y sentido) sobre un electrón que pasa 8 por dicho punto P con una ve8 locidad v = –106 · i m/s.
C I2
I1
P Y
d
X
a) Determina el valor del campo magnético en el centro de las espiras (punto C ). b) Haz un esquema en el que se muestre cómo habría que colocar un hilo conductor recto de longitud indefinida que pase por el punto P a 9 mm de C y el sentido de la corriente que debe circular por él para que anule el campo magnético total en el punto C. c) ¿Qué intensidad de corriente debería atravesar el hilo del apartado anterior para que el campo magnético total en el punto C sea cero?
Ley de Ampère 31 Al calcular la circulación del campo magnético a lo largo de un determinado recorrido cerrado, se obtiene 10–7 T · m. ¿Qué conclusión extraemos? 32 Determina la circulación del campo magnético por el camino indicado en la figura.
b) Calcula la fuerza ejercida sobre 1 m de longitud del conductor I2 por la corriente que circula por el conductor I1. ¿Es atractiva o repulsiva?
–7
Unidad 3 Unidad
de fichas para mejorar tu ciudadanía digital.
Campo creado por un solenoide
Folio giratorio. Si los dos hilos del ejercicio anterior tuvieran sus intensidades en sentidos opuestos, ¿dónde se anularía el campo?
25 Disponemos de dos hilos de corriente rectos paralelos separados 4 cm cuyas intensidades son 0,8 A y 1,4 A en el mismo sentido. Encuentra el campo total en el punto de la recta que los une, situado a 5 cm del segundo hilo y 9 del primero.
27
ones Dispones de las soluci es ad ivid act las as de tod numéricas en anayaeducacion.es
B2
Campo creado por una espira circular
a
24
de diversos talleres para gestionar tus emociones y de una diana para evaluarlas.
aprendido
I2 = 2 A
I1 = 1 A
20 cm
20 cm
P
Ciencia, tecnología y sociedad Trenes de levitación magnética El tren de levitación magnética, o maglev, será el transporte del futuro para distancias cortas y medianas. Aunque desde 1970 estamos hablando del maglev como la próxima renovación en el transporte, hoy día ya empieza a ser una realidad. En China, hay operativo un maglev desde 2004, uniendo los 30 kilómetros que separan el aeropuerto de Pudong con Shanghái en poco más de 7 minutos, alcanzando velocidades de hasta 431 km/h. En Japón ya se ha probado, en abril de 2015, un maglev que ha alcanzado 603 km/h, batiendo todos los récords anteriores. Este tren unirá Tokio con Nagoya en menos de 40 minutos. Son más rápidos, silenciosos y suaves que los trenes actuales, ya que
Como complemento al apartado sobre ciencia, tecnología, sociedad y medio ambiente incluido al inicio de la unidad, se ofrece aquí otro ejemplo de estas relaciones.
el maglev va literalmente flotando sobre las vías gracias a potentes imanes. Esta es su gran ventaja, se eliminan todas las fricciones con las vías, que es donde se produce el mayor gasto energético en un tren convencional. Para ello, se utilizan materiales superconductores, que son aquellos que no ofrecen resistencia al paso de la corriente eléctrica. Se estima que estos trenes puedan alcanzar los 650 km/h, e incluso, si en un futuro se pudiera eliminar el rozamiento del aire mediante tubos de vacío, se ha calculado que podrían superar los 6 000 km/h. Busca en Internet información sobre la propulsión de los trenes de levitación magnética y explícalo en referencia a lo estudiado en esta unidad.
I4 = 4 A
I3 = 3 A
2
Dato: n0 = 4 · r · 10 N/A . 122
Recuerda que dispones de las soluciones de todas las actividades numéricas en anayaeducacion.es.
123
Educación emocional
Cultura emprendedora
TIC
académica y profesional
Evaluación
Aprende a conocerte; identifica las situaciones que te generan emociones bloqueantes y gestiónalas con experiencias de autoafirmación constructiva.
Confía en tus aptitudes y conocimientos, desarrolla la creatividad, adáptate a las situaciones cambiantes y ten una actitud proactiva y responsable.
Aprende a obtener información, seleccionarla y aplicarla; a planificar, gestionar y elaborar trabajos; a colaborar en Red de forma ética y segura.
Valora tus capacidades personales, descubre y despierta tu vocación, entrénate en la toma de decisiones y aprende a orientarte entre distintas opciones.
Descubre diversas estrategias para analizar qué has aprendido y cómo lo has aprendido; entrénate para asumir compromisos o superar dificultades.
Orientación
ASÍ ES
el proyecto
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Un espacio con recursos, técnicas y actividades, diseñado para afianzar tus conocimientos. Más sobre las claves
Recursos relacionados con LAS CLAVES del proyecto ODS
Compromiso ODS, con microvídeos que te ayudarán a conocer cuáles son las metas para alcanzar los Objetivos de Desarrollo Sostenible trabajadas en el proyecto.
Plan Lingüístico, con infografías que te darán las pautas para abordar el trabajo por medio de distintos tipos de textos (descriptivo, narrativo, expositivo, etc.).
Desarrollo del pensamiento, donde se incorporan explicaciones sobre cómo aplicar las distintas estrategias de pensamiento planteadas en el proyecto.
Aprendizaje cooperativo, que incluye la descripción de las técnicas de aprendizaje cooperativo propuestas en el proyecto. Educación emocional, con orientaciones para superar la inquietud generada en diferentes situaciones de tu proceso de aprendizaje (inicio del curso, enfrentarte a un examen, etc.). TIC, mediante fichas que reforzarán tu uso saludable, correcto y seguro de las tecnologías de la información y la comunicación.
Orientación académica y profesional, con información sobre diferentes profesiones vinculadas a los contenidos tratados en la asignatura.
0:40/1:33
Evaluación, se presentan orientaciones para hacer tu portfolio, así como rúbricas y dianas que facilitan tu autoevaluación.
DESTACADOS
Recursos de la materia
Qué necesitas saber Para estudiar Laboratorios virtuales y simulaciones Vídeos Presentaciones Autoevaluaciones Soluciones
Recursos clasificados
por unidades
Todos los recursos clasificados para que puedas localizar fácilmente los relacionados con cada apartado de tu unidad.
ASÍ SON
LOS contenidos del curso métodos y lenguajes de la ciencia
3 Pág. 8
Más allá de las fórmulas matemáticas ........................... 8 1. Naturaleza de la ciencia ................................................. 10 2. El método científico ......................................................... 14 3. Los lenguajes de la ciencia ........................................... 17 Estrategias de resolución de problemas ...................... 22
interacción magnética
Pág. 92
De la casualidad a la revolución industrial .................. 92 1. Fuerza magnética sobre una partícula cargada ......................................... 94 2. Magnetismo en la tecnología ....................................... 100 3. Fuerza magnética sobre distintos elementos de corriente ......................................................................... 102 4. Creación del campo magnético .................................. 107 5. Ley de Ampére .................................................................. 110 6. Fuerzas entre elementos de corriente ...................... 114 TIC. Geogebra ........................................................................... 116 Estrategias de resolución de problemas ...................... 118 Trabaja con lo aprendido ..................................................... 122
Trabaja con lo aprendido ..................................................... 26
1
4 Campo gravitatorio
Pág. 30
Física, tecnología y sociedad ............................................. 30 1. Campo gravitatorio .......................................................... 32 2. Trabajo .................................................................................. 36 3. El campo gravitatorio es conservativo ..................... 38 4. Potencial y energía potencial de una masa puntual ....................................................... 42 5. Campo gravitatorio de la Tierra .................................. 44 6. Consideraciones energéticas ....................................... 46 7. Órbitas .................................................................................. 50 8. Limitaciones de la teoría de la gravedad de Newton ........................................................................... 54 9. La teoría general de la relatividad ............................. 55 Estrategias de resolución de problemas ...................... 56 Trabaja con lo aprendido ..................................................... 58
inducción magnética
Pág. 126
Tesla, el genio que iluminó el mundo ............................. 126 1. Flujo del campo magnético ........................................... 128 2. Inducción de una fuerza electromotriz .................... 130 3. Dispositivos de corriente alterna ................................. 136 4. Autoinducción e inducción mutua ............................. 140 Estrategias de resolución de problemas ...................... 142 Trabaja con lo aprendido ..................................................... 146
5
movimiento ondulatorio
Pág. 150
Contaminación acústica ....................................................... 150 1. Repaso del movimiento oscilatorio ........................... 152 2. Onda, pulso y tren de ondas ........................................ 158 3. Ondas armónicas .............................................................. 160 4. Energía del movimiento ondulatorio ......................... 164 5. Ondas sonoras ................................................................... 166 TIC. Simuladores de ondas .................................................. 170
2
Estrategias de resolución de problemas ...................... 172
campo electrostático
Trabaja con lo aprendido ..................................................... 174 Pág. 62
Coulomb, desde París con admiración .......................... 1. Naturaleza eléctrica de la materia ............................. 2. Campo electrostático ...................................................... 3. Potencial eléctrico ............................................................ 4. Consideraciones energéticas ....................................... 5. Flujo del campo eléctrico .............................................. 6. Teorema de Gauss ............................................................ 7. Aplicaciones del teorema de Gauss .......................... 8. Campo y potencial en conductores eléctricos ...... 9. Comparación entre el campo electrostático y gravitatorio ......................................................................
62 64 66 70 74 76 78 80 82
6
fenómenos ondulatorios
Pág. 178
La energía undimotriz ........................................................... 178 1. Principios fundamentales .............................................. 180 2. Reflexión, refracción y difracción ............................... 182 3. Interferencias ...................................................................... 188 4. Ondas estacionarias ........................................................ 192 5. Efecto doppler ................................................................... 200
84
TIC. Fenómenos ondulatorios en una cuerda................ 204
Estrategias de resolución de problemas ...................... 86
Estrategias de resolución de problemas ...................... 206
Trabaja con lo aprendido ..................................................... 88
Trabaja con lo aprendido ..................................................... 208
7
ondas electromagnéticas
Pág. 212
El acceso a la información .................................................. 212 1. Síntesis electromagnética de Maxwell ..................... 214 2. Origen de las ondas electromagnéticas (OEM). Espectro electromagnético .......................................... 216 3. Emisión, transmisión y detección de OEM .............. 222 4. Naturaleza de la luz ......................................................... 224 5. Reflexión y refracción de la luz ................................... 226 6. Interferencia y difracción ............................................... 232 7. Polarización, dispersión y esparcimiento ................ 236 8. El láser y sus aplicaciones ................................................. 240
10
física cuántica
Pág. 312
Semiconductores y nuevas tecnología .......................... 312 1. Radiación del cuerpo negro ......................................... 314 2. Efecto fotoeléctrico ......................................................... 318 3. Naturaleza corpuscular de la luz ................................ 322 4. Modelo atómico de Bohr ............................................... 324 5. Extensión del modelo de Bohr ................................... 328 6. Hipótesis de De Broglie .................................................. 330 7. Física cuántica ................................................................... 332 8. Láseres .................................................................................. 336
TIC. Óptica en la página de Walter-Fendt ..................... 242
TIC. L aboratorios virtuales para física moderna (II) ................................................ 338
Estrategias de resolución de problemas ...................... 244
Estrategias de resolución de problemas ........................ 340
Trabaja con lo aprendido ..................................................... 246
Trabaja con lo aprendido ..................................................... 342
8
11 óptica geométrica
Pág. 250
Óptica: Una cuestión de perspectiva en la antigua Grecia ............................................................... 250 1. Leyes de la óptica geométrica .................................... 252 2. Formación de imágenes mediante sistemas ópticos ................................................................ 256 3. El mecanismo óptico de la visión humana ...................... 262 4. Instrumentos ópticos ...................................................... 268 TIC. Recursos TIC sobre óptica geométrica ................. 272 Estrategias de resolución de problemas ...................... 274 Trabaja con lo aprendido ..................................................... 278
física nuclear y física moderna
Pág. 346
Energía nuclear ........................................................................ 346 1. Radiactividad ..................................................................... 348 2. Núcleo atómico ................................................................. 349 3. Energía del enlace nuclear ............................................ 352 4. Reacciones nucleares y desintegraciones radiactivas naturales ................ 354 5. Radiactividad artificial .................................................... 358 6. Fisión y fusión .................................................................... 360 7. Ley de las desintegraciones radiactivas .................. 364 8. Efectos biológicos y aplicaciones de las radiaciones ionizantes ....................................... 367 9. Física de partículas .......................................................... 370 10. Gravitación y cosmología .............................................. 374 TIC. Cálculo científico con gnuplot .................................. 380 Estrategias de resolución de problemas ...................... 382 Trabaja con lo aprendido ..................................................... 384
9
teoría especial de la relatividad
Pág. 282
Ciencia de pura raza .............................................................. 282 1. Sistemas inerciales. Principio de la relatividad de Galileo ........................................... 284 2. La búsqueda del éter. Experimento de Michelson y Morley .................................................... 288 3. Postulados de la relatividad especial ........................ 292 4. Dinámica de algunos movimientos ............................ 295 5. Transformaciones de Lorentz ...................................... 296 6. Dinámica relativista .......................................................... 300 TIC. Laboratorios virtuales para física moderna ......... 304 Estrategias de resolución de problemas ...................... 306 Trabaja con lo aprendido ..................................................... 308
apéndice
Pág. 388
El Sistema Internacional de Unidades ........................... 388
4
inducción magnética Tesla, el genio que iluminó el mundo A Nikola Tesla (1856-1943) se le atribuyen más de 700 inventos, algunos ni siquiera se han puesto en práctica. De todos ellos, quizás su descubrimiento más relevante fue el del campo magnético rotatorio (base de la corriente alterna). Por supuesto, Tesla no partía de cero sino que se apoyó en los hallazgos previos de Michael Faraday (17911867), quien descubrió y modeló la inducción electromagnética. A finales del siglo xix, Tesla inventó el alternador y desarrolló el primer sistema capaz de producir energía eléctrica y transportarla largas distancias, algo impensable hasta ese momento. Tesla iluminó el mundo con este y el resto de descubrimientos e inventos que le sucedieron. Sin embargo, lo más llamativo de este personaje científico fueron sus valores. Cuentan voces populares que la unión Tesla-Westinghouse podría haber significado una nueva revolución científico-tecnológica. El primero ponía las ideas; el segundo, las financiaba. Sin embargo, una mala racha económica llevó a la quiebra al empresario estadounidense. Tesla, lejos de retirar sus patentes y frenar el desarrollo científico-tecnológico, renunció a sus derechos por usar sus patentes de la corriente alterna. Este fue un gesto generoso. Quizás estas acciones pudieran explicarse a partir de esta frase que nos dejó para el recuerdo «la ciencia no es más que perversión en sí misma, a menos que tenga como objetivo último mejorar la humanidad».
COMPROMISO ODS 1
Rueda lógica. ¿Qué relaciones se pueden establecer entre la renuncia de Tesla a explotar sus patentes con los ODS? Reflexiona sobre las implicaciones de esta en, al menos, dos ODS y sus metas.
2
Mesa redonda. Desde inicios de 2020 comenzamos a sufrir la pandemia provocada por el COVID-19. Esta ha generado una carrera científico-tecnológica por desarrollar vacunas, mascarillas, purificadores de aire… ¿Todos los países del mundo tienen acceso a estos avances? ¿Pueden combatir la COVID-19 con las mismas herramientas? ¿Habría que actualizar la meta 3.3 de los ODS?
Antes de empezar a estudiar esta unidad, consulta la presentación «Qué necesitas saber» en anayaeducacion.es.
LOS Recursos en la web DE ESTA UNIDAD INDUCCIÓN MAGNÉTICA
VÍDEO
Objetivos de Desarrollo Sostenible.
Tesla, el genio que iluminó el mundo
1
PRESENTACIÓN
Qué necesitas saber.
DOCUMENTO
Cómo aplicar la técnica: «Lápices al centro».
Flujo del campo magnético ENTO DOCUM
Cómo aplicar la técnica: «Comprobamos».
DOCUMENTO
2
Inducción de una fuerza electromotriz
Cómo aplicar la técnica: «¿Qué te hace decir eso?». SIMULACIÓN
SIMULACIÓN
El motor eléctrico.
3
La ley de Faraday.
Dispositivos de corriente alterna
DOCUMENTO
Cómo aplicar la técnica: «Considerar todos los factores».
4
Autoinducción e inducción mutua
DOCUMENTO
Cómo aplicar la técnica: «Piensa y comparte en pareja».
DOCUMENTOS
Cómo aplicar las técnicas: «Interpretación compartida», «Las 6 W» y «RPPCS».
Estrategias de resolución de problemas
PRESENTACIÓN
Para estudiar. DOCUMENTO
Consejos para elaborar tu porfolio.
Trabaja con lo aprendido
DOCUMENTO
Cómo aplicar la técnica: «Asamblea de ideas».
Y ADEMÁS… Soluciones de todas
las actividades numéricas
1
flujo del campo magnético 1.1. Fujo magnético Aplicaremos en esta unidad el concepto de flujo de un campo vectorial (que ya estudiamos en la unidad 2), en particular, lo usaremos ahora con el campo magnético. Definimos el flujo magnético elemental como: 8
8
d UB = B · d S 8
donde d S es el vector superficie de una superficie infinitesimal, es decir, tan pequeña que podamos considerarla 8 plana y con B constante en todo punto de ella, como se muestra en la figura inferior izquierda.
■■ Definición de tesla
La unidad del flujo magnético en el SI es el weber (Wb). Más adelante definiremos esta unidad, pero se utiliza ahora para definir el tesla: Un tesla, T, es el valor que debe tener un campo magnético uniforme y estacionario para que su flujo a través de una espira plana de un metro cuadrado perpendicular al campo sea igual un weber, Wb. Aunque no podamos aún definir el weber, sí podemos ver la relación que tiene con el tesla y el metro cuadrado:
El flujo magnético total de una superficie general curva es la suma continua de los flujos elementales:
Ejercicio resuelto
8
8
UB = y d UB = y B · d S
Nunca se han observado monopolos magnéticos, es decir, fuentes o sumideros del campo magnético. Los cuerpos imantados siempre tienen un polo norte y un polo sur, por lo que se denominan dipolos magnéticos. Y si partimos un imán por la mitad, en cada trozo vuelve a aparecer un polo de cada tipo. Esto hace que las líneas de fuerza del campo magnético sean siempre cerradas; no nacen ni mueren en ningún lugar. Por tanto, el flujo magnético en una superficie cerrada es siempre cero (figura derecha). Este resultado es el equivalente al teorema de Gauss para el campo magnético: 8
1 Wb = 1 T · 1 m2
8
UB = y B · d S = 0
1 Analiza las dimensiones del flujo magnético y relaciona el weber con las unidades básicas del SI. Solución La dimensión del flujo magnético es: [UB] = [B ] · [S ] =
6 Fm@
6q@ · 6v @
· 6S @
–
· · 2· 2 [U] = M L T –L = M · L2 · T –2 · I –1 I· T ·L · T 1
Por tanto, el weber es una unidad derivada del SI, y está relacionado con las unidades básicas del SI de la siguiente manera: kg · m2 1 Wb = 1 T · m2 = 1 2 s ·A
Flujo magnético Flujo magnético elemental
Flujo en una superficie cerrada
S dS
S
i
N
B
Para calcular el flujo magnético que atraviesa una superficie irregular, S, la dividimos en pequeñas superficies infinitesima8 les que podemos considerar planas, d S .
128
En cualquier superficie cerrada colocada en un campo magnético, el número de líneas de campo que entran es igual al número de líneas que salen, siendo el flujo del campo magnético cero.
Unidad
4
Ejercicio resuelto
2 En una región del espacio donde existe un campo 8 8 8 8 magnético B = (0,25 · i + 0,15 · j – 0,35 · k ) T, determina el flujo magnético a través de una espira cuadrada de un centímetro de lado colocada en las orientaciones que se indican en la imagen: Y
Por tanto, el flujo magnético es: 8 8
8
8
8
8
UB = B · S = (0, 25 · i + 0, 15 · j – 0, 35 · k ) · 10–4 · k = 3, 5 · 10–5 Wb Si hubiéramos tomado el vector superficie en sentido contrario, el flujo tendría el signo cambiado y, en este caso, sería positivo.
(a)
El vector superficie de la espira (b) lo tomamos según se indica en la imagen inferior: 8
(b)
8
8
S = ( i · cos 20° – j · sen 20 °) · 10– 4 m2 El flujo magnético es: 8
8
UB = B · S =
20º X
8
8
8
8
8
= (0, 25 · i + 0, 15 · j – 0, 35 · k ) · ( i · cos 20 ° – j · sen 20 °) · 10–4 = = 0,25 · cos 20 ° – 0,15 · sen 20 ° = 0,183 6 · 10– 4 Wb Y
Z
(a)
(b)
Solución La superficie de la espira cuadrada es: 2
– 4
S = 1 cm = 10
20º
m
20º
El caso más simple es el de la espira en la posición (a). El vector superficie tiene la dirección del eje Z, y el sentido lo podemos escoger arbitrariamente; lo tomaremos en el sentido positivo del eje Z. Así, el vector superficie de la espira (a) es: 8
S
2
X
S
8
Z
S = 10– 4 · k m2
Ejercicios
1 Disponemos de una superficie cuadrada de 6 cm de lado colocada perpendicularmente al eje X. En esta región8del espacio hay un campo magnético 8 8 B = (0,25 · i – 0,58 · j ) T. Determina el flujo magnético de este campo a través de esta superficie. 2 Tenemos una superficie circular de 8 cm de radio en el interior de un campo magnético uniforme de 650 G. ¿Con qué ángulo debemos colocar la superficie para que el flujo magnético sea de 1 mWb?
cartesianas. Comprueba que el flujo total es cero en la superficie cerrada del cubo.
4
Lápices al centro. En grupos de cuatro, determinad el campo magnético uniforme y estacionario que existe en una región del espacio si su flujo en una superficie cuadrada de 2 cm de lado es cero cuando se coloca paralela al plano XY y también al plano XZ. Sin embargo, es 5 · 10– 4 Wb cuando se coloca paralela al plano YZ.
3 En una región del espacio hay el siguiente campo 8 8 8 8 magnético: B = (0,8 i + 0,1 · j + 0,5 · k ) T.
5 Una superficie circular de radio r está colocada perpendicularmente en un campo magnético uniforme de valor B. Determina cómo variará el flujo magnético que la atraviesa si:
Determina el flujo magnético en cada cara de un cubo de 5 cm de arista colocado con sus caras paralelas a los planos del sistema de ejes de coordenadas
a) La superficie duplica su radio. b) La superficie disminuye su radio a la mitad y el campo magnético aumenta al doble.
129
2
inducción de una fuerza electromotriz 2.1. Movimiento de una barra conductora en un campo magnético
En la expresión anterior, E es el campo eléctrico entre los extremos de la barra en equilibrio. Está relacionado con el campo magnético aplicado, B, y la velocidad, v, a la que se mueve la barra.
Consideremos una barra metálica, de longitud l, que se encuentra en una región en la que existe un campo magnético uniforme y que se mueve hacia la derecha, hacién8 dolo con una velocidad constante, v , tal y como aparece en la figura de la izquierda del recuadro inferior.
De esta manera, aparece una diferencia de potencial entre los extremos de la barra que es igual al producto de la velocidad por el campo magnético y por la longitud de la barra:
Todo metal tiene en su interior una nube de electrones libres, es decir, partículas con carga eléctrica negativa con libertad de movimiento. Por tanto, al mover la barra metálica, se están moviendo estos electrones, y una fuerza magnética actúa sobre ellos hacia abajo (figura central). En consecuencia, estos electrones se desplazan hacia la zona inferior de la barra.
V=E·l=v·B·l
2.2. Experimento de la horquilla Imaginemos que la barra conductora del apartado anterior se desliza sobre una horquilla conductora formando un circuito cerrado, tal y como se muestra en la figura inferior derecha.
Rápidamente se produce una acumulación de carga negativa en la parte inferior de la barra y un defecto de carga eléctrica negativa (carga positiva), en la parte superior de la barra. Así, en el interior de la barra se produce una separación de cargas y se crea un campo eléctrico hacia abajo. Debido a este campo eléctrico, sobre los electrones que aún quedan sin desplazar aparece una fuerza eléctrica hacia arriba junto con la fuerza magnética que ya existía hacia abajo. La fuerza eléctrica va creciendo a medida que se acumulan más cargas en los extremos de la barra hasta que se iguala a la magnética, y la cancela. En este momento, se alcanza el equilibrio y, aunque la barra se siga moviendo, no se acumula más carga en los extremos de la barra (figura central).
La barra se comporta como un generador de corriente, cuya fuerza electromotriz (f. e. m.) es, precisamente, el voltaje entre los extremos de la barra: f=V 8 f=v·B·l Esta f. e. m. genera una corriente eléctrica en el circuito formado por la horquilla y la barra. En el ejemplo mostrado en la imagen inferior, la corriente tendría un sentido de giro antihorario, y su valor se podría determinar si conociéramos la resistencia eléctrica, R, del circuito mediante la ley de Ohm: V V=I·R 8 I= R Recordemos que la unidad en el SI de la resistencia eléctrica es el ohmio (Ω):
En este equilibrio se cumple sobre cada electrón libre: Fe = Fm 8 q · E = q · v · B
1X=1
E=v·B
kg · m J V =1 =1 3 2 A C·A s ·A
Desplazamiento de una barra metálica Barra metálica en movimiento
B
Fm
v
Circuito con una horquilla
+ + + + + +
B
–
130
Desplazamiento de los electrones
Fe
E
–
Fm
B
v
+ V
v
I
–
– – – – – –
Consulta las soluciones de todas las actividades numéricas en anayaeducacion.es.
Unidad
2.3. Balance energético Se podría pensar que si después de lanzar la barra se consiguiese, de alguna manera, que esta deslizase sin rozamiento sobre la horquilla, la barra mantendría su movimiento por su propia inercia sin que hubiera ninguna fuerza que la frenara. Así, mientras se moviese, se obtendría energía eléctrica indefinidamente sin tener que aportar otra energía a cambio, y solo habría sido necesario proporcionar energía para lanzar la barra inicialmente.
Por tanto, para mantener el movimiento de la barra, tenemos que aplicar una fuerza hacia la derecha que anule a la magnética. Es decir, tenemos que aplicar un trabajo para mantener constante la velocidad. Esta energía, que se transfiere mediante trabajo, es la que se transforma en energía eléctrica.
v
B
De ser así, se violaría el principio de conservación de la energía, ya que se estaría obteniendo energía de la nada. Esto nos indica que no se han tenido en cuenta todos los fenómenos implicados. Para entender completamente el experimento, se debe tener en cuenta que la barra es atravesada por una corriente eléctrica hacia arriba (véase la figura) y que está inmersa en un campo magnético. En consecuencia, sobre la barra actúa una fuerza magnética que la frena, como muestra la figura.
4
+ V
I
Fm
F
–
Siguiendo el ejemplo de la página anterior, la corriente circula hacia arriba por la barra, por lo que la fuerza magnética apunta hacia la izquierda en sentido contrario a la velocidad de la barra.
Ejercicio resuelto
3 Supongamos que la barra del ejemplo mide 20 cm y se mueve a 1 m/s, y que el campo magnético es de 0,5 T.
La diferencia de potencial entre los extremos de la barra es: V = v · B · l = 1 · 0,5 · 0,2 = 0,1 V La fuerza externa que habrá que realizar para mantener el movimiento de la barra a velocidad constante debe ser opuesta a la fuerza magnética que actúa sobre la barra. Así:
Determina el voltaje que se crea entre los extremos de la barra y la fuerza que se ha de aplicar sobre esta para que mantenga su velocidad constante si por la horquilla circulan 50 mA.
F = Fm = I · l · B = 0,05 · 0,2 · 0,5 = 0,005 N
Solución
Si se quisiera determinar la resistencia eléctrica del circuito, únicamente habría que aplicar la ley de Ohm:
Con los datos del enunciado: l = 20 cm = 0,2 m ; v = 1 m/s
V=I·R 8 R=
B = 0,5 T ; I = 0,05 A
0, 1 V = =2X I 0, 05
Ejercicios
6 Una barra metálica de 20 cm, orientada paralela8 8 mente al eje X, se 8mueve a v8 = 0,5 · k m/s en un campo magnético B = – 0,8 · j T. ¿Qué voltaje aparece? ¿Con qué orientación? 7 Una barra metálica de 10 cm de longitud se desplaza perpendicularmente a las líneas de fuerza de un campo B = 500 G. Si sobre la barra se induce una f. e. m. de 20 mV, ¿con qué celeridad se está moviendo?
8
Comprobamos. Un coche se desplaza a 120 km/h muy cerca del polo sur, donde el campo magnético de la Tierra es de 5 · 10–5 T y está dirigido perpendicularmente al suelo y hacia arriba. a) Calcula la diferencia de potencial que se producirá entre los extremos del parachoques metálico de 1,8 m de largo. b) Si el coche se mueve hacia el norte, ¿qué orientación tendrá la diferencia de potencial?
131
2
inducción de una fuerza electromotriz
2.4. Ley de inducción de Faraday-Henry. Ley de Lenz Mediante la utilización de fuerzas magnéticas y eléctricas sobre electrones, se puede justificar la aparición de una f. e. m. en una barra metálica. Faraday se dio cuenta de que no siempre se puede utilizar este razonamiento para explicar la aparición de una f. e. m. en un circuito. Por ejemplo, imaginemos un solenoide toroidal como el de la figura izquierda del recuadro inferior, del que sabemos que el campo magnético queda completamente confinado en su interior. Es decir, en el exterior no hay campo magnético. Experimentalmente se comprueba que si la corriente eléctrica que recorre la bobina es variable, se induce una corriente eléctrica, también variable, en la espira conductora, L, que rodea al solenoide. Este fenómeno es inexplicable utilizando fuerzas magnéticas, ya que no existe ningún campo magnético en el exterior. Faraday, por un lado, y Henry, por otro, observaron que en todo fenómeno de inducción siempre se produce una variación del flujo magnético a través de la superficie que delimita la espira conductora. Encontraron que:
El signo menos de esta ley se debe a la ley de Lenz y nos indica el sentido en el que se genera la f. e. m. inducida. De acuerdo con él: La f. e. m. inducida se opone a la causa que la produce; es decir, la variación del flujo magnético. Supongamos que el flujo magnético, UB, crece. Entonces, aparece una f. e. m. en la espira que produce una corriente eléctrica cuyo campo magnético (generado por ella misma) tiene el sentido adecuado para que su propio flujo sobre la espira se oponga a ese aumento de flujo magnético. Análogamente ocurre si el flujo magnético, UB, disminuye. Por ejemplo, si en la figura inferior derecha se está acercando el imán por su polo norte a la espira, se está produciendo un aumento del flujo magnético hacia arriba. Luego, en la espira, aparece una corriente eléctrica en sentido horario (visto desde arriba), cuyo campo magnético es hacia abajo para oponerse a dicha variación. Análogamente ocurriría si se aleja el imán de la espira, pero en este caso se generaría la corriente en sentido contrario.
La f. e. m. inducida es igual y de sentido contrario a la variación del flujo magnético por unidad de tiempo en la superficie definida por la espira.
Este experimento no se puede explicar mediante fuerzas magnéticas sobre los electrones de la espira puesto que no está moviéndose la espira, pero sí, mediante la variación de flujo magnético.
Esta es la ley de la inducción de Faraday-Henry, y matemáticamente se expresa como:
Por otro lado, si dejamos el imán quieto, y lo que se mueve es la espira, igualmente aparece en ella una corriente eléctrica que ahora sí puede ser explicada por la aparición de una fuerza magnética sobre los electrones (además de la explicación siempre válida, de la variación del flujo magnético).
f=–
d UB dt
Ley de inducción de Faraday Solenoide toroidal
Ley de Lenz Bimán
B I
I L
I
I
Bespira
N B
S Se comprueba que una variación de la corriente que circula por el solenoide induce una corriente eléctrica en la espira.
132
Al acercar el imán a la espira, aparece una corriente en ella que compensa el aumento del flujo del campo magnético del imán.
Unidad
4
Ejercicio resuelto
4 Imaginemos una espira conductora cuadrada de longitud 10 cm colocada en el plano YZ tal y como se muestra en la figura. Además, existe un campo magnético uniforme8que varía con el tiempo según: 8 B = (–2 + 0,02 · t ) · i T. Determina la f. e. m. inducida y el sentido de la corriente eléctrica.
La superficie de la espira es: 8
8
8
S = 0,01 · i m2 = 10–2 · i m2 El flujo magnético es: 8 8
8
8
UB = B · S = (–2 + 0, 02 · t) · i · 10–2 · i = (–2 · 10–2 + 2 · 10–4 · t) Wb Aplicamos la ley de inducción:
Y
f=–
Luego en la espira se produce una f. e. m. de 0,2 mV repartida continuamente a lo largo de la espira. No se encuentra localizada en ningún punto de ella.
j i
d UB = –2 · 10– 4 V = – 0,2 mV dt
X
El signo menos de la f. e. m. nos indica que la corriente eléctrica inducida tiene sentido contrario al establecido por la regla de la mano derecha, y según hemos definido 8 el vector S , la corriente tiene sentido horario si miramos la espira desde la parte positiva del eje X (figura inferior derecha).
k Z
Solución Conforme transcurre el tiempo, el campo magnético va cambiando, luego el flujo magnético también lo hará, y en consecuencia, en virtud de la ley de la inducción de Faraday-Henry, se generará una f. e. m. inducida.
Y Y j
Debemos definir el vector superficie de la espira, que, como sabemos, es perpendicular a la superficie delimitada por ella. Puesto que a priori no es recorrida por ninguna corriente eléctrica, tenemos la libertad para elegir el sentido. Tenemos dos posibilidades; una vez que elijamos una de ellas, por ejemplo, el sentido del 8 vector i , dejamos establecido el signo de la f. e. m. según la regla de la mano derecha.
Y Y
j
j
S S i
i
X X
k k Z Z
j
I I
S S i
i
X X
k k Z Z
Si hubiéramos tomado el vector superficie en el otro sentido, la f. e. m. hubiera salido positiva para indicar el mismo sentido de la corriente que hemos obtenido.
Ejercicios
9 Disponemos de una espira cuadrada de 6 × 6 cm2 colocada en el plano XZ. Determina la f. e. m. inducida y el sentido de la corriente eléctrica cuando se somete a cada uno de los siguientes campos magnéticos (medidos en teslas): 8
8
a) B1 = (1 – 0,3 · t ) · j 8
8
8
b) B2 = (–0,5 + 0,3 · t ) · j + 0,1 · t · k 8
8
c) B3 = 3,5 · j 8
8
d) B4 = 0,2 · t · i
10 Una espira circular de radio 3 cm se coloca en un campo magnético cuyo módulo va incrementándose 0,1 T cada segundo y formando 60 ° con el vector superficie. Determina la f. e. m. que se induce en la espira y el sentido de la corriente.
11 Una espira rectangular de 5 × 12 cm está colocada en el plano XY, en una región del espacio en la que 8 existe un campo magnético en la dirección 8 i + k cuyo módulo va cambiando según: B = (2,5 – 0,4 · t ) T Determina la f. e. m. inducida en la espira y el sentido de la corriente.
12 Una espira circular de radio 2,5 cm está colocada en el plano XY. Un campo magnético uniforme pero no estacionario atraviesa dicha espira. El campo magnético varía con el tiempo según la ecuación: 8
8
8
B = (0,4 · i + 0,2 · t · j ) T Determina la f. e. m. inducida y el sentido de la corriente eléctrica.
133
2
inducción de una fuerza electromotriz
2.5. El experimento de la horquilla bajo la ley de inducción de Faraday Como hemos visto, cualquier fenómeno de inducción de una f. e. m. se puede explicar mediante una variación de un flujo magnético. Sin embargo, no siempre se puede justificar mediante la existencia de fuerzas magnéticas; o bien porque no exista un campo magnético en los puntos por los que pasa la espira, como ya vimos en el caso de una espira que rodea un solenoide toroidal, o bien porque los electrones no estén en movimiento, como en el caso de la espira a la que se acerca el imán. Vamos a utilizar la ley de inducción de Faraday para encontrar la expresión matemática de la fuerza electromotriz inducida en la experiencia de la horquilla que ya obtuvimos anteriormente. El ancho de la horquilla es l, y el largo va cambiando conforme la barra se desliza sobre ella a una velocidad v. Por tanto, la superficie de la espira va cambiando según: S = l · (a + v · t ) donde a es la longitud inicial del lado de la horquilla.
S B
v
B'
I
Puesto que el flujo del campo externo está aumentando, la 8 corriente inducida crea su propio campo magnético, B l , en sentido opuesto al externo, oponiéndose a dicho aumento (ley de Lenz).
2.6. Unidad de f. e. m. Sabemos que el voltio es energía por unidad de carga, es decir: 1V=1
Luego, el flujo magnético es: UB = B · S = B · l · (a + v · t ) 8
Comprobemos que, efectivamente, la unidad de f. e. m. es el voltio.
8
donde hemos supuesto S y B con el mismo sentido.
Utilizando la ley de inducción de Faraday, podemos deducir la unidad de la f. e. m.:
Apliquemos la ley de inducción de Faraday: f = –
d UB dt
J C
= –B · v · l
1
El signo menos nos indica que el sentido de la intensidad de corriente es el contrario al definido por la regla de la mano derecha, tal y como se ve en la figura.
J N · s · m2 Wb T · m2 N·m =1 =1 =1 = 1 = 1V s s C·m·s C C
Hemos utilizado que: 1 T = 1 N/(A · m) y que 1 A = 1 C/s
Ejercicios
13 Si en una horquilla de anchura 15 cm se genera una f. e. m. de 50 mV, existiendo un campo magnético perpendicular de B = 20 G, ¿a qué velocidad se está moviendo la barra? 14 En una horquilla como la que hemos estudiado, la barra, de longitud 20 cm, se mueve a 40 cm/s haciendo la superficie más pequeña. El campo magnético tiene de módulo 1,6 T formando un ángulo de 45 ° con el vector superficie de la espira.
134
Determina la f. e. m. inducida e indica el sentido de la corriente.
15
¿Qué te hace decir eso? Sea una horquilla colocada perpendicularmente al campo, en el que la barra empieza a moverse con aceleración a aumentando la superficie de la espira. El ancho de la horquilla es l. ¿Será la f. e. m. inducida constante? Justifica tu respuesta y encuentra una expresión para la f. e. m. indicuda.
Trabaja en la simulación sobre la ley de Faraday que te ofrecemos en anayaeducacion.es.
Unidad
4
Ejercicios resueltos
5 Dos espiras circulares, a y b, se hallan enfrentadas con sus planos paralelos. Por la espira a comienza a circular una corriente en sentido horario. Explica, con ayuda de un esquema, el sentido de la corriente inducida en b. Cuando la corriente en la espira a alcance un valor constante, ¿qué ocurrirá en b?
En un determinado instante, el imán se aleja lo suficiente como para poder considerar que el campo magnético es bastante uniforme en la posición de la espira y prácticamente perpendicular a ella, y su valor va cambiando, mientras se retira, según la siguiente ecuación:
Solución Mientras que la intensidad de corriente de la espira a va aumentando, su campo magnético también lo hace, produciendo un aumento del flujo magnético hacia la izquierda en b. a
b
B (t) = (0,15 – 0,02 · t ) T Si la espira tiene una resistencia de 2 X, determina la intensidad de corriente que la recorre. Solución El flujo magnético que hay inicialmente en la espira es hacia la izquierda. Si el imán se retira, el flujo magnético disminuye, y sobre la espira aparece una corriente eléctrica en sentido horario (mirando desde el imán) para oponerse a esa disminución del flujo magnético que atraviesa la superficie que delimita.
I
Ahora, determinaremos la f. e. m. inducida mediante la ley de inducción de Faraday.
B
En consecuencia, con la ley de inducción de Faraday, aparece una f. e. m. inducida en la espira b, que crea una corriente en dicha espira. Esta corriente tiene sentido antihorario en la espira b, ya que, de esta manera, su propio campo magnético se opone al aumento de flujo que está experimentando. a
b
El flujo magnético es: UB = B · S = (0,15 – 0,02 · t ) · 10– 4 Wb Y la f. e. m. inducida: f=–
d UB = 0,02 · 10– 4 = 2 · 10– 6 V dt
La pequeña corriente eléctrica que recorre la espira es de una intensidad igual a:
I'
· –6 V = I · R 8 I = V = 2 10 = 10– 6 A R 2
I B
B'
Cuando la corriente eléctrica alcance un valor constante en la espira a, su campo magnético permanecerá constante, y por tanto, no existirá una variación de flujo magnético en la espira b. Así que no habrá f. e. m. inducida en b y, consecuentemente, tampoco habrá ninguna corriente eléctrica en ella.
6 Un imán está cerca de una espira de 1 cm2 tal y como se muestra en la imagen.
7 Determina la superficie de una espira colocada perpendicularmente a un campo magnético cuyo valor va aumentando a un ritmo de 2 · 10–2 Wb/s si sobre la espira se ha inducido una f. e. m. de –0,13 mV. Solución La expresión del módulo del campo magnético será: B = (2 ·10–2 · t + B0) T El flujo magnético es: UB = B · S = (2 · 10–2 · t + B0) · S Aplicamos la ley de inducción:
N
S
f=–
S=
d UB = –2 · 10–2 · S = – 0,13 · 10–3 V dt –0, 13 · 10–3 –2 · 10–2
= 0,006 5 m2 = 65 cm2
135
3
dispositivos de corriente alterna 3.1. Espira girando en un campo magnético Consideremos una espira circular que gira en un campo magnético uniforme a velocidad angular constante, ~, en torno a un eje diametral (figura inferior). Puesto que el flujo magnético que atraviesa la superficie delimitada por la espira es variable, se va a inducir una f. e. m. que creará una corriente eléctrica en la espira. 8
8
El ángulo i que forma S con B va cambiando según:
Esto produce una corriente eléctrica en la espira que va cambiando de sentido. El valor máximo, o de pico, que alcanza la f. e. m. es: f0 = B · S · ~ Que como vemos, depende de ~, es decir, de la rapidez con la que gire la espira. Podemos escribir la f. e. m. como:
i = ~ · t + i0
f = f0 · sen (~ · t + i0)
siendo i0 el ángulo inicial.
A este tipo de corriente, se la denomina corriente alterna.
En consecuencia, el flujo magnético es: 8
Si la resistencia de la espira es R, aplicando la ley de Ohm, podemos escribir la expresión de la corriente eléctrica que pasa por la espira:
8
UB = B · S = B · S · cos (~ · t + i0) Y la f. e. m. inducida: f = –
d UB dt
I=
= B · S · ~ · sen (~ · t + i0)
Así, sobre la espira aparece una f. e. m. que varía con la función seno (véase la figura inferior derecha), haciéndose positiva y negativa alternativamente.
f
R
=
f0
R
· sen (~ · t + i0) ~ I0 · sen (~ · t + i0)
siendo I0 la intensidad de corriente máxima, igual a: f0 I0 = R
Producción de corriente alterna Espira giratoria
Representación de la f. e. m. alterna inducida (i0 = 0)
Y
f
S
T
B f0
i
t – f0
X Z
~
Ejercicio resuelto
8 Una espira circular de 10 cm de radio gira en un campo magnético de 600 G perpendicular a su eje de giro. El tiempo que tarda la espira en dar una vuelta es de 0,1 s. Determina la expresión de la f. e. m. inducida.
S = r · r 2 = r · 0,12 = 10–2 · r m2 El campo magnético, en unidades del SI, es: B = 6 · 10–2 T
Solución
Por tanto, la f. e. m. máxima es:
El período del movimiento giratorio es T = 0,1 s.
f0 = B · S · ~ = 6 · 10–2 · 10–2 · r · 20 · r = 0,118 V = 118 mV
Así, la frecuencia angular de la espira es, en unidades SI: ·π 2·π ~= 2 = = 20 · π rad/s T 0, 1
136
La superficie de la espira es:
La expresión completa de la f. e. m. que varía con el tiempo es: f = 118 · sen (20 · r · t + i0) mV
4
Unidad
Ejercicio resuelto
9 Una espira circular de 2 cm de radio se encuentra en el seno de un campo magnético uniforme de módulo B = 3,6 T paralelo al eje Z. Inicialmente, la espira se encuentra contenida en el plano XY. En el instante t = 0, la espira empieza a rotar en torno a un eje diametral con una velocidad angular constante de valor ~ = 6 rad · s–1:
Entonces:
Esto quiere decir que la fase inicial es cero, i0 = 0. Así, de acuerdo con la situación del problema, representada en la figura de abajo, cuando la espira comience a girar, el vector superficie irá cambiando según la ecuación:
a) Obtén el valor de la fuerza electromotriz inducida en la espira en el instante t = 3 s.
8
8
8
S (t ) = S · [sen (~ · t ) · j + cos (~ · t ) · k ] m2 8
8
8
S (t ) = 4 · 10– 4 · r · [sen (6 · t ) · j + cos (6 · t ) · k ] m2
b) Si la resistencia total de la espira es de 3 X, determina la máxima corriente eléctrica inducida en la espira e indica para qué orientación de la espira se alcanza.
a) Vamos a determinar la expresión de la f. e. m. inducida en función del tiempo. Para ello escribimos la expresión del flujo magnético: 8
Solución
8
UB = B · S 8
La frecuencia angular de la espira es:
]
Aplicamos la ley de la inducción de Faraday: d UB dt f (t ) = 0,027 · sen (6 · t ) V f (t ) = –
8
B = 3,6 · k T La superficie de la espira es:
En el instante 3 s, la f. e. m. es:
S = r · r 2 = r · 0,022 = 4 · 10– 4 · r m2
f (3) = 0,027 · sen (6 · 3) = – 0,020 V = –20 mV
Puesto que inicialmente la espira se encuentra contenida en el plano XY, el vector superficie es paralelo al eje Z. Lo supondremos en el sentido positivo del eje Z.
b) La expresión de la intensidad de la corriente eléctrica es: 0, 027 · sen (6 · t ) f = 0,009 · sen (6 · t ) A = I= R 3 El valor máximo se alcanza cuando: π 6·t=n· , con n impar 2 El primer máximo de la intensidad de corriente se alcanzará, por tanto, en el instante: π = 0,262 s t= 12 que corresponde a un cuarto del período. Es decir, la espira ha girado un cuarto de vuelta y, en este instante, es paralela al plano XZ. El valor máximo de la intensidad es: I0 = 9 mA
Orientamos el sistema de referencia de modo que el eje de giro de la espira coincide con la dirección del eje X. En la siguiente imagen se muestra la espira girando: Y S ~
i
8
UB = 4,5 · 10–3 · cos (6 · t ) Wb
No se especifica el sentido del campo magnético, por lo que supondremos que tiene el sentido positivo del eje Z. Por tanto: 8
8
UB = 3,6 · k · 4 · 10– 4 · r · [sen (6 · t ) · j + cos (6 · t ) · k
~ = 6 rad/s
X Z
8
8
S 0 (t = 0) = 4 · 10– 4 · r · k m2
B
en sentido antihorario, visto desde arriba.
Ejercicios
16 La espira de la figura del ejercicio resuelto 9 tiene un radio de 5 cm, y gira con una velocidad angular de 1 200 r. p. m. Encuentra la expresión de la f. e. m. inducida en la espira si B = 1 T. ¿Cuánto vale el período de la f. e. m. inducida?
17 Una espira circular de 8 cm de diámetro gira en un campo magnético de 1 000 G como en el ejercicio anterior, tardando 20 s en dar 500 vueltas. Si la resistencia de la espira es de 5 X, encuentra una expresión para la corriente eléctrica inducida.
137
3
dispositivos de corriente alterna
3.2. El alternador
En este caso, la f. e. m. es la que ya estudiamos:
La principal forma de energía que utilizamos en nuestros hogares es la energía eléctrica. Esta energía la obtenemos mediante el giro de un alternador en las centrales eléctricas, en las que se transforman distintos tipos de energías, como la energía potencial del agua (centrales hidroeléctricas), la energía cinética del viento (centrales eólicas), etc., en energía eléctrica. El alternador es un dispositivo bastante fácil de construir. Básicamente consiste en una espira que gira entre el polo norte y el polo sur de un imán. Por tanto, la corriente eléctrica producida es corriente alterna. Esta es una de las grandes ventajas de la corriente alterna; mediante un alternador se transforma fácilmente energía mecánica (la del giro de la espira) en energía eléctrica. Como puedes imaginar, hoy día la eficiencia de los alternadores se ha optimizado por medio de diseños más complicados, pero la esencia de su funcionamiento es la que se muestra en la figura inferior izquierda. Un primer paso en la optimización de su diseño fue colocar un número grande de espiras en lugar de solamente una. Así, lo que se hace girar en el campo magnético es una bobina. De esta manera, el flujo magnético queda multiplicado por N, siendo N el número de espiras de la bobina.
f = f0 · sen (~ · t ) pero ahora f0 viene aumentado en un factor N : f0 = N · B · S · ~ En un segundo paso, se mejoraron los alternadores colocando en su interior una barra de hierro. Así se consiguió que el campo magnético, B, que atraviesa la bobina aumentase en varios miles de veces. Actualmente, se diseñan dispositivos que contienen varias bobinas fijas y es el campo magnético el que se hace girar en un rotor, que es la parte del alternador que recibe la fuerza mecánica (figura inferior derecha). La corriente alterna que utilizamos en nuestro país, al igual que los países de nuestro entorno, es de una frecuencia de 50 Hz y una f. e. m. de pico de 311 V. En otros países, como EE.UU., utilizan 60 Hz y 170 V de pico. ■■ Voltaje efectivo de la corriente alterna
Quizás te resulte extraño que digamos que el voltaje que utilizamos es de unos 311 V de pico, y que 220 V te suene más; este es el voltaje efectivo, que se define como el voltaje que debe tener una corriente continua para que realice el mismo trabajo que la alterna. Matemáticamente, Vef = f0 / 2 ; así que, 311/ 2 ≈ 220 V.
Alternador Alternador básico
Espira
Rotor (inducido)
Alternador mejorado Estátor (inductor)
Rotor (inductor)
Anillos Corriente alterna
Estátor (inducido) Eje motriz Corriente alterna
Escobillas
Un alternador consta de dos partes: una fija, llamada estátor, y otra móvil o rotor. Una de estas partes es el elemento inductor, que es el que crea el campo magnético, y la otra el inducido, donde se origina la corriente eléctrica.
Un diseño mejorado del alternador es el que sitúa el inductor en el rotor, y el inducido en el estátor. Además de aumentar el número de espiras, se añade un núcleo de hierro y se multiplica el número de bobinas para que la f. e. m. sea mayor.
Ejercicios
18 Un alternador constituido por una bobina de 500 espiras circulares de 3 cm de diámetro, da vueltas a
138
una frecuencia f = 20 Hz en un campo magnético de 100 mT. Determina la expresión de la f. e. m. inducida.
En anayaeducacion.es encontrarás una simulación del funcionamiento de un motor eléctrico.
Unidad
4
3.3. El motor eléctrico Como hemos estudiado, un alternador transforma energía mecánica en energía eléctrica. Podemos preguntarnos, si existe el aparato inverso, es decir, que transforme energía eléctrica en mecánica. La respuesta es afirmativa; tal dispositivo es el motor eléctrico, que aprovecha una cualidad muy importante de la energía eléctrica: se transforma en energía mecánica con suma facilidad.
En el motor eléctrico de corriente continua, se utilizan unas escobillas para poder ir invirtiendo la polaridad de 8 la corriente eléctrica de la espira una vez que m se ha 8 orientado con B . Esto hay que hacerlo cada media vuelta, como se muestra en las figuras.
Una espira por la que circula una corriente eléctrica, inmersa en un campo magnético uniforme, no experimenta una fuerza neta. Sin embargo, sí que se ejerce sobre ella un momento que la hace girar, hasta que su 8 vector momento magnético, m , se oriente en la misma
El diseño de motores de corriente continua se ha ido optimizando para el mejor aprovechamiento de la energía (véanse las imágenes de la parte inferior de la página). Además, también existen motores de corriente alterna, cuyo diseño es algo más complicado.
8
dirección y sentido que B . Se puede aprovechar este giro de la espira para construir un motor.
Motor eléctrico Fundamento del motor de corriente continua La espira gira para orientar su momento magnético en la dirección y sentido del campo magnético.
Bobina
B Delga
Cuando se produce el cambio de polaridad, debido a las escobillas, la espira vuelve a girar para reorientar su momento magnético. Delga
Bobina
B
Escobilla
Escobilla
m
m
Motor de corriente continua Armadura
Partes del motor de corriente continua
Bobina
Estátor
Rotor
Imán
Escobillas
Colector de delgas
Bobinas
139
4
autoinducción e inducción mutua 4.1. Autoinducción Todo circuito eléctrico es cerrado y, por tanto, siempre forma una espira (puede tener incluso más de una, dependiendo del diseño). La corriente eléctrica que circula por el circuito crea un campo magnético, cuyas líneas de fuerza atraviesan la superficie delimitada por las espiras del circuito. Así que hay un flujo magnético creado por la corriente eléctrica del propio circuito. Si la corriente eléctrica no es constante, entonces el flujo magnético será variable y, en consecuencia, según la ley de la inducción, se inducirá una f. e. m. en el circuito. Este es el fenómeno que se conoce con el nombre de autoinducción: un circuito se induce a sí mismo una f. e. m., que normalmente es muy pequeña. Una bobina o solenoide es un elemento de un circuito eléctrico que está diseñado para que el fenómeno de la autoinducción sea bastante grande, y, por lo tanto, se genere una f. e. m. grande en dicho elemento. En la unidad anterior vimos que el campo magnético que crea en su interior una bobina con n espiras por unidad de longitud, con un núcleo de permeabilidad magnética n, y recorrido por una intensidad de corriente I, es:
Así, el flujo magnético en una espira de la bobina es: UlB = B · S = n · n · I · S Entre las N espiras que forman la bobina, el flujo total es: UB = N · UlB = n · n · I · S · N =
n · N2 · S
l
·I
siendo l la longitud de la bobina. Así, el flujo magnético total en una bobina es directamente proporcional a la intensidad de corriente que la recorre. La constante de proporcionalidad recibe el nombre de coeficiente de autoinducción, L: L=
n · N2 · S
l
El valor de L depende de la geometría de la bobina y del material del núcleo. La unidad en el SI de la autoinducción es el henrio, H. El flujo magnético en una bobina lo podemos escribir como: UB = L · I
B=n·n·I La f. e. m. inducida será: f = –
d UB dt
= –L ·
dl dt
Con pequeñas variaciones de la intensidad de corriente se pueden conseguir grandes voltajes si L es lo suficientemente grande. ■■ Permeabilidad magnética relativa
Un solenoide está constituido por un arrollamiento de espiras muy juntas unas con otras, y normalmente rellenas de un núcleo de hierro cuya permeabilidad magnética es muy grande.
Se denomina permeabilidad magnética relativa, nr , de un material de permeabilidad magnética n, al cociente n/n0. Es decir, la permeabilidad magnética relativa de un material nos informa de cuántas veces es mayor la permeabilidad magnética de ese material comparado con la permeabilidad magnética del vacío.
Ejercicios
19
Piensa y comparte en pareja. ¿Cómo está relacionado el henrio (H) con las unidades básicas del SI de unidades?
20 Determina el valor del coeficiente de autoinducción de una bobina de 8 cm de largo, 2 cm de diámetro y con 50 espiras por centímetro. Además, tiene un núcleo de nr = 4 000. 140
21 El coeficiente de autoinducción de una bobina es de 50 mH. ¿Qué flujo magnético la atraviesa cuando es recorrida por una corriente de 1 mA? ¿Y cuando es de 1 A? Si el cambio anterior ocurre linealmente en una décima de segundo, ¿qué f. e. m. media se induce durante este cambio de flujo magnético?
Unidad
4.2. Inducción mutua Además de experimentar una autoinducción, también es posible que un circuito induzca una f. e. m. a otro circuito eléctrico cercano (figura inferior). Si la corriente del circuito 1 es variable, entonces su campo magnético también lo es. En el circuito 2 aparecerá un flujo magnético variable que inducirá una f. e. m. y, por consiguiente, una corriente eléctrica. A este fenómeno se le denomina inducción mutua. El transformador es un dispositivo diseñado con el fin de que el fenómeno de la inducción mutua se magnifique. Consiste en dos bobinas de distintos circuitos eléctricos enrolladas sobre un mismo núcleo de hierro, normalmente toroidal o similar (figura inferior derecha). Se llama primario al arrollamiento donde se conectará un circuito con corriente eléctrica alterna, y secundario, al arrollamiento donde se quiere inducir la f. e. m. Se consigue que la corriente eléctrica alterna en el primario cree un campo magnético variable confinado en el núcleo de hierro. Así, en el secundario existirá un flujo magnético variable que inducirá una f. e. m. Si aplicamos un voltaje alterno, V1, en el primario, en cada espira se produce un flujo magnético variable: UB espira = B · S donde S es la superficie de una sección transversal de una espira. Por tanto, en cada espira, tanto del primario como del secundario, se induce una f. e. m., fespira.
4
La f. e. m. total inducida en el primario será la de una espira multiplicada por el número de espiras: f1 = N1 · fespira En el secundario, con N2 espiras, la f. e. m. total es: f2 = N2 · fespira Si suponemos que no hay pérdidas de energía en los circuitos, entonces los voltajes coinciden con las f. e. m.: f1 = V1 ; f2 = V2 siendo V2 el voltaje que aparece en el secundario, que es también alterno. Dividiendo las dos ecuaciones, encontramos una relación entre los voltajes en los arrollamientos y el número de espiras de cada uno: V1 = N1 · fespira ; V2 = N2 · fespira 8
V1 V2
=
N1 N2
Dependiendo de la relación que guarden entre sí el número de espiras en los dos arrollamientos, así será la relación entre los voltajes en cada uno de ellos. Este dispositivo confiere una gran ventaja a la corriente alterna frente a la continua, ya que para transportar la electricidad a grandes distancias minimizando pérdidas de energía por calor, interesa que los voltajes sean muy altos, mientras que para consumirla en nuestros hogares es recomendable, por seguridad, que el voltaje sea bajo. Esto solo se puede conseguir con corriente alterna, ya que con corriente continua el transformador no funcionaría.
Inducción mutua Inducción mutua entre dos circuitos eléctricos
Transformador Devanado primario, (N1 vueltas)
I B
Voltaje secundario, V2
Voltaje primario, V1
Iinducida
G Circuito 1
Flujo magnético
Corriente primario, I1
Circuito 2
Devanado secundario, (N2 vueltas)
Núcleo del transformador
Corriente secundario, I2
Ejercicios
22
Considerar todos los factores. El número de espiras en el primario de un transformador es de 500. Si queremos transformar 220 V a 125 V, ¿qué número de espiras debe haber en el secundario?
23 Disponemos de un transformador con 1 200 espiras en el primario y 2 000 en el secundario. ¿Qué voltaje efectivo deberemos aplicar a la entrada para que el voltaje de salida tenga de pico 35 V?
141
lución Estrategias de reso
de problemas
Barra metálica que se mueve en un campo magnético 1 Una barra metálica de 1,5 m se desplaza a 50 cm/s perpendicularmente a un campo magnético de 2 T uniforme y estacionario. Explica cómo se forma un voltaje entre los extremos de la barra y determina: a) El valor del campo eléctrico. b) El voltaje que se forma entre los extremos de la barra. c) ¿Qué ocurriría si la barra fuese el doble de larga? Planteamiento y resolución La información numérica es la siguiente: B = 2 T ; l = 1,5 m ; v = 50 cm/s = 0,5 m/s La situación planteada en el problema es la que se muestra en la primera figura inferior. Los electrones con libertad de movimiento de la barra se están desplazando hacia la derecha con un campo magnético perpendicular hacia adentro del papel. En consecuencia, están8siendo empujados por una fuerza 8 8 magnética, que según la ley de Lorentz, F m = q · ( v Ò B ), es hacia abajo, como se muestra en la segunda imagen. Por este motivo, los electrones empezarán a acumularse en la parte baja de la barra. Aparece, así, un exceso de carga negativa en la parte inferior de la barra, y en consecuencia, un defecto de carga negativa en la parte superior. Esta separación de cargas en la barra crea un campo eléctrico hacia abajo (tercera imagen). Por tanto, sobre los electrones libres que quedan en la barra aparece una fuerza eléctrica, además de la magnética, que irá creciendo conforme se vayan acumulando electrones en la parte inferior de la barra y vayan faltando electrones en la parte superior. En el momento en el que la fuerza eléctrica se haga igual de intensa que la magnética, dejará de producirse la separación de cargas, y se alcanzará un equilibrio. La fuerza neta que actúa ahora sobre cualquier electrón libre es cero (cuarta imagen). Al final de todo el proceso, existe una diferencia de potencial entre la parte superior y la inferior de la barra. Para calcular el campo eléctrico, acudimos a la situación de equilibrio, en la que se cumple: 8 q · E = q · v · B 8 E = v · B = 0,5 · 2 = 1 V/m F =F Fm Fee = m 8 q · E = q · v · B 8 E = v · B = 0,5 · 2 = 1 V/m El voltaje se calcula utilizando la relación que existe con el campo eléctrico: El voltaje se calcula utilizando la relación que existe con el campo eléctrico: V = E · l = 1 · 1,5 = 1,5 V V = E · l = 1 · 1,5 = 1,5 V Si la longitud de la barra fuese el doble no afectaría al valor del campo eléctrico, perode sí allavoltaje aparecido, puesto es directamente Si la longitud barra fuese el doble no que afectaría al valor del proporcampo cional a lapero longitud. Por eso, el voltajepuesto sería: Vque = 3esV.directamente proporeléctrico, sí al voltaje aparecido, cional a la longitud. Por eso, el voltaje sería: V = 3 V.
ANÁLISIS DEL PROBLEMA
Lo primero que debemos hacer es leer con atención el enunciado para tener muy claro de qué se trata. •• Anotamos los datos y los escribimos en
el SI. En este caso, tenemos ya la longitud de la barra en metros y el campo en teslas. El único dato al que debemos cambiar las unidades es la velocidad a la que se mueve la barra. •• A cada valor del enunciado le asigna-
mos una letra. El módulo del campo magnético es B, la longitud de la barra, l, y la velocidad a la que se mueve, v. •• Hacemos un dibujo aclaratorio.
En este caso, es mejor ir haciendo distintos dibujos que vayan mostrando los distintos fenómenos físicos que van ocurriendo mientras se explica. Es muy importante explicar lo que se hace en un ejercicio. •• Analizamos sobre qué fenómeno trata
el ejercicio. Es un ejercicio en el que se produce una diferencia de potencial en el interior de un material conductor cuando se mueve en un campo magnético. Es muy aconsejable que demuestres las expresiones que debemos utilizar. No malgastes tu memoria en aprenderte fórmulas que son fáciles de demostrar si has entendido el fenómeno.
++ ++ ++ ++ ++ ++
++ ++ ++ ++ ++ ++
FFee vv B B
––
B B
B B FFmm
142
vv
EE
–– –– –– –– –– ––
vv
––
B B FFee
–– –– –– –– –– ––
vv
Unidad
4
Espira en un campo uniforme que varía con el tiempo 2 En una región del espacio hay un campo magnético uniforme pero que varía con el tiempo: 8 8 8 8 B = [0,3 · i + 0,8 · j + (0,1 · t 2 – 0,4 · t ) · k ] mT. Determina la f. e. m. que se induce en una espira con forma de triángulo equilátero de 10 cm de lado colocada en el plano XY. Planteamiento y resolución Los datos que nos proporcionan son: 8
8
B = [0,3 · i + 0,8 · j + (0,1 · t 2 – 0,4 · t ) · k ] · 10–3 T a = 10 cm = 10–1 m Si el campo es uniforme, tiene el mismo valor en todo punto del espacio, por lo que la forma de la espira no influye. Lo que importa es la superficie delimitada por ella. El vector superficie de la espira triangular colocada en el plano XY es: 1 2 1 S= 2 1 = 2 1 S= 2 S=
·a·h
–3
h S 60°
h = a · sen 60°
8
8
S = 4,33 · 10–3 · k m2
a
X
Z
Ya podemos calcular la expresión del flujo magnético: 8
8 8
22 UB = B · SS = = (0,1 (0,1 ··t t 22––0,4 0,4· ·t )t )· ·10 10–3–3· ·4,33 4,33· ·10 10–3–3==4,33 4,33· (t · (t – –0,4 4 ·· t ) · 10–7 Wb
Apliquemos la ley de inducción de Faraday: FBB dU –7 = – 4,33 · (2 · t – 4) · 10–7 V f = – dt Obtenemos una f. e. m. que no es constante en el tiempo, y que es positiva desde t = 0 hasta t = 2 s, y negativa a partir de t = 2 s en adelante. Comienza con un valor de 17,32 · 10–7 V y va disminuyendo linealmente hasta el instante 2 s, en el que toma el valor cero. Seguidamente, la f. e. m. es negativa y va aumentando linealmente en valor absoluto. La siguiente gráfica resume lo descrito: f (10 -7 V)
Si miramos la espira triangular desde el eje Z positivo, veremos que la 17,32 corriente eléctrica circula en sentido antihorario durante los dos primeros segundos, y, a partir de ese momento, en sentido horario. 2
•• Asignamos a cada dato la letra que le
corresponde. El campo magnético ya viene denomi8 nado como B , y a la arista del triángulo la llamamos a.
Tenemos la8libertad de elegir el sentido 8 del vector S . Lo dibujamos hacia k . •• Debemos relacionar el problema con
60°
2
= 4,33 · 10 m
cionan y la unidad en la que aparecen.
nos permita visualizar de manera fácil el planteamiento del problema.
· a · a · sen 60 ° =
· 10–2 · sen 60 ° =
•• Revisamos los datos que nos propor-
•• Realizamos un dibujo aclaratorio que
Y
· a2 · sen 60 °
Leemos detenidamente el enunciado del ejercicio.
Escribimos el campo en teslas y la arista del triángulo en metros.
8
8
ANÁLISIS DEL PROBLEMA
t (s)
Si miramos la espira triangular desde el eje Z positivo, veremos que la corriente eléctrica circula en sentido antihorario durante los dos primeros segundos, y, a partir de ese momento, en sentido horario.
los fenómenos que se han estudiado. Claramente es un ejercicio sobre la ley de la inducción de Faraday. Deberemos preparar todos los datos para poder calcular el flujo magnético, es decir, expresar el campo magnético con la unidad del SI y encontrar la expresión del vector superficie. El siguiente paso es aplicar la ley. Tenemos que derivar el flujo magnético y cambiarle el signo. •• Por último, se debe hacer una interpre-
tación del resultado obtenido. En este caso, es importante razonar el sentido en el que va a circular la corriente eléctrica. Recordemos que si la f. e. m. es positiva, el sentido de la corriente eléctrica es el indicado por la regla de la mano derecha, donde el dedo pulgar tiene que señalar la dirección y sentidodel vector superficie. •• En otras ocasiones, no se dispondrá
de una expresión matemática para la f. e. m., y habrá que razonar el sentido de la corriente eléctrica mediante la ley de Lenz.
143
lución Estrategias de reso
de problemas
Espira móvil en un campo estacionario pero no uniforme 3 En una región del espacio hay un campo magnético estacionario (es decir, que no cambia con el tiempo), pero no uniforme, puesto que varía con la coordenada x del punto en el que se mida según: 8
8
8
B = [0,2 · x · i + 0,4 · j ] mT Determina la f. e. m. que se induce en una espira cuadrada de 12 cm de lado colocada inicialmente en el plano YZ y que se mueve a 5 m/s en la dirección del eje X en sentido positivo. Planteamiento y resolución
a = 12 cm = 1,2 · 10–1 m v = 5 m/s
escribimos en el SI de unidades. Escribimos el campo en teslas, la arista del cuadrado en metros y la velocidad ya está en m/s.
•• Esquema gráfico del planteamiento del
Encontremos el vector superficie de la espira:
problema.
S = a 2 = (1,2 · 10–1)2 = 1,44 · 10–2 m2 8
8
–2
8
Podemos elegir el sentido del vector S . 8 Lo dibujamos hacia i .
2
S =1,44 · 10 · i m La figura muestra la situación del problema:
•• Se trata de un ejercicio sobre la ley de
inducción de Faraday.
Y
S
En este ejercicio hay una variación del flujo magnético porque la espira se va desplazando a puntos donde el campo magnético toma distintos valores.
v X
Z
El flujo magnético es: 8
8
U= B · S 8
8
U = [0,2 · x · i + 0,4 · j ] · 10–3 · 1,44 · 10–2 · i = 2,88 · x · 10–6 Wb Puesto que la espira se mueve sobre el eje X, el valor del flujo magnético va cambiando conforme se desplaza. Como lo hace a 5 m/s, la coordenada x cambia según la ecuación: x=5·t Que deberemos sustituir en la expresión del flujo: UB = 2,88 · x · 10–6 = 2,88 · 5 · t · 10–6 = 1,44 · 10–5 · t Wb Ya podemos aplicar la ley de inducción de Faraday: f = –
d UB = –1,44 · 10–5 V dt
Se obtiene una f. e. m. constante de 0,014 4 mV = 14,4 · 10–3 mV y negativa. Luego, el sentido de la corriente es horario si miramos desde el eje X positivo.
144
•• Anotamos los datos del ejercicio y los
El campo magnético ya viene denomi8 nado como B , a la arista del cuadrado la llamamos a y al módulo de la velocidad v.
8
8
B = [0,2 · x · i + 0,4 · j ] · 10–3 T
8
Primero, realizamos una lectura detenida del ejercicio.
•• Asignamos las distintas variables.
Los datos del ejercicio son: 8
ANÁLISIS DEL PROBLEMA
Debemos ser capaces de expresar la variación de la coordenada x por donde va pasando la espira en función del tiempo. Una vez que el flujo magnético aparezca únicamente en función del tiempo, podremos aplicar la ley de la inducción de Faraday derivando. DISCUSIÓN DE RESULTADOS
El valor negativo de la f. e. m. indica que el sentido de la corriente eléctrica no cumple la regla de la mano derecha, por lo que debe girar en el sentido horario, mirando desde la derecha. Podríamos haber razonado el sentido de la corriente eléctrica utilizando la ley de Lenz. Puesto que el flujo es hacia la derecha y va aumentando, en la espira debe circular una corriente eléctrica en sentido horario (visto desde la derecha) para producir un campo magnético con su flujo hacia la izquierda.
Unidad
4
Espira que gira en un campo estacionario y uniforme 4 Una espira circular de 15 cm de diámetro gira a 2 400 r. p. m. alrededor de uno de sus diámetros en un lugar donde el campo magnético de la Tierra es de 0,5 G perpendicular a dicho diámetro. a) Halla la expresión de la f. e. m. inducida. b) ¿Qué pasaría si la velocidad de giro se redujese a la mitad? Planteamiento y resolución Los datos del problema son: D = 15 cm = 1,5 ·10–1 m f = 2 400 r.p.m. = 2 400 vueltas/min = 40 vueltas/s = 40 Hz B = 0,5 G = 5 · 10–5 T La superficie de la espira circular es: S = r · R 2 = r · c
1 D 2 1 m = · r · D 2 = · r · (1,5 · 10–1)2 = 1,8 · 10–2 m2 4 4 2
La velocidad angular con la que gira es: ~ = 2 · r · f = 2 · r · 40 = 251,3 rad/s a) La espira, en un instante dado, estará como se muestra en la imagen: B i
S
~
El flujo magnético en la espira es: 8
8
UB = B · S = B · S · cos (~ · t ) Aplicamos la ley de la inducción de Faraday: f = –
d UB = B · S · ~ · sen (~ · t ) = 5 · 10–5 · 1,8 · 10–2 · 251,3 · sen (251,3 · t ) dt f = 2,3 · 10– 4 · sen (251,3 · t ) V
El valor máximo que se alcanza es: f0 = B · S · ~ = 2,3 · 10– 4 V Si la velocidad de giro se redujese a la mitad, es decir, si ~ se redujese a la mitad, entonces la f. e. m. máxima se reduciría también a la mitad, puesto que f0 = B · S · ~: ~ f0 f l0 = B · S · ~l = B · S · = 2 2
ANÁLISIS DEL PROBLEMA
Después de leer el enunciado, prestando la máxima atención: •• Escribimos los datos del ejercicio con
sus unidades en el SI. El diámetro de la espira lo expresamos en metros, la frecuencia de giro, en hercios, y el campo magnético, en teslas. •• A cada dato le asignamos una letra que
lo representa. El diámetro lo representamos por D, la frecuencia, por f, y el campo, por B. •• Realizamos un esquema que muestre el
problema que tratamos de resolver. 8
Elegimos el sentido del vector S para la espira y la dibujamos con un cierto ángulo con respecto al campo magné8 tico. No es aconsejable dibujar S para8 lelo a B . No se conoce el ángulo inicial del vector superficie con el campo magnético, pero eso es un dato irrelevante mientras no sea necesario calcular alguna magnitud en un determinado instante. Por este motivo, suponemos que i0 = 0. •• Es un ejercicio de aplicación de la ley
de la inducción de Faraday para una espira que gira en el campo. En lugar de aprenderse la fórmula de la f. e. m. que se obtiene, es mejor demostrarla, tal y como estamos haciendo, ya que en algún ejercicio pueden pedir que demuestres tal expresión. Para responder a las cuestiones que te puedan hacer, piensa siempre en las fórmulas matemáticas que relacionan las magnitudes implicadas en la pregunta. En nuestro caso, hemos necesitado: f0 = B · S · ~ y ~ = 2 · r · f.
Además, la f. e. m. inducida oscilaría a la mitad de frecuencia, puesto que ~ = 2 · r · f. ~/2 ~l f ~l = 2 · r · f l → f l = = = 2·π 2·π 2
145
material leccionar el rtfolio. Recuerda se para tu po ad id un ta es de o aj ab de tr
prendido
oa trabaja con l Flujo magnético
b) Determina la fuerza que tendremos que realizar sobre la barra para mantener la velocidad suponiendo despreciable el rozamiento con la horquilla.
1 Se coloca una espira cuadrada de 10 cm de lado en una región del espacio donde el campo magnético es uniforme y estacionario de valor 0,1 T. ¿Qué ángulo forma el vector superficie con el campo si el flujo magnético es de 0,5 mWb? 2
B
Asamblea de ideas. ¿Qué valor tomará el flujo magnético a través de una superficie esférica colocada junto a una espira de corriente tal y como se indica en la imagen?
R
6 I
l
v
Las 6 W. La barra metálica de la imagen está en movimiento en un campo magnético uniforme y estacionario, y se forma una diferencia de potencial tal y como se muestra. Indica en qué dirección y sentido se está moviendo la barra.
3 Se dispone de una espira cuadrada de lado I dentro de un campo magnético uniforme, donde el vector superficie forma un ángulo de 60 °con la dirección del campo. Determina razonadamente,cómo cambiará el flujo magnético si: a) La longitud del lado de la espira cuadrada se duplica. b) La longitud del lado de la espira se hace la mitad y, además, la espira se gira hasta un valor de 30 º.
Barra en movimiento en un campo magnético 4 Una barra metálica de un metro se coloca de manera perpendicular a un campo magnético de 560 G mientras se desplaza perpendicularmente al campo, tal y como se muestra en la imagen, a una velocidad v. Determina dicha velocidad, si entre los extremos de la barra aparece una diferencia de potencial de 25 mV. Indica la polaridad del voltaje.
B
7 Una barra conductora se mueve en el interior de un campo magnético uniforme, tal y como se muestra en la imagen. Determina cómo cambiaría la f. e. m. inducida si se moviera una barra un 20 % más larga, a una velocidad un 20 % más lenta en sentido opuesto. B v
B v
Ley de Lenz
5 Una barra metálica, de longitud 25 cm, se mueve a 60 cm/s en contacto con una horquilla tal y como se muestra en la imagen. Todo ello, inmerso en un campo magnético de 1,4 T.
8 Una espira conductora está inmersa perpendicularmente en un campo magnético uniforme, pero no estacionario, tal y como se muestra en la imagen. B
a) Determina la intensidad de la corriente eléctrica que circula por la horquilla si tiene una resistencia de 10 X, y el sentido en el que lo hará. 146
Recuerda que dispones de las soluciones de todas las actividades numéricas en anayaeducacion.es.
Unidad
Determina el sentido en el que se inducirá la corriente eléctrica en la espira si: a) El campo magnético va aumentando su valor. b) El campo magnético va disminuyendo su valor.
9
4
13 La espira de la figura tiene un radio de 5 cm. Inicialmente está sometida a un campo magnético de 0,2 T debido al imán, cuyo eje es perpendicular al plano de la espira:
c) El campo magnético invierte su sentido.
a) Explica el sentido de la corriente inducida mientras se gira el imán hasta la posición final.
Las 6 W. Determina el sentido de giro de la corriente en la espira de la imagen cuando:
b) Calcula el valor de la f. e. m. media inducida si el giro anterior se realiza en 0,1 s.
a) Se le acerca un imán por su polo norte.
Inicial
b) Se le retira el imán por su polo sur.
S
N
v (a)
(b)
S
v
Final
N
N
10 Determina el sentido de la corriente eléctrica inducida en la espira de la imagen cuando: a) Se aleja radialmente del hilo.
Ley de Faraday-Henry 14 El eje de una bobina de N = 50 espiras circulares de radio R = 5 cm es paralelo a un campo magnético uniforme de módulo B = 0,2 T. Determina la fuerza electromotriz (f. e. m.) inducida entre los extremos de la bobina cuando, durante un intervalo Dt = 10 ms y de forma lineal, se duplica el campo magnético. ¿Cuánto valdrá dicha f. e. m. si en el mismo intervalo Dt invertimos el sentido del campo?
b) Se acerca radialmente al hilo.
I
11
S
B
RPPCS. Acercamos un imán por su polo norte a un aro metálico, lo pasamos por su centro atravesándolo y alejándolo por el otro lado. Explica qué sucede en el aro durante el movimiento del imán.
12 Indica razonadamente en qué sentido se inducirá una corriente eléctrica en la espira de la izquierda si el voltaje del circuito:
f
a) Va aumentando. b) Va disminuyendo.
15 Una espira conductora de 40 cm2 se sitúa perpendicularmente a un campo magnético de 0,3 T:
c) Se mantiene constante.
a) Calcula el flujo magnético a través de la espira. ¿Cuál sería su valor si la espira girara 60 ° en torno a un eje perpendicular al campo?
I
V I
b) Si el tiempo invertido en ese giro es de 3 · 10–2 s, ¿cuánto vale la fuerza electromotriz media inducida en la espira? ¿Qué hubiera ocurrido si la espira se hubiera girado en sentido contrario? 147
prendido
oa trabaja con l
16 Una espira cuadrada de 12 cm de lado, situada en el plano XY, está en el seno de un campo magnético dirigido en el sentido negativo del eje Z. Calcula la f. e. m. inducida si B aumenta linealmente desde 0,2 T hasta 2,0 T en 0,9 s. 17 Una espira conductora rectangular, de 12 cm por 22 cm y resistencia 15 X, se coloca perpendicular a un campo magnético B = 2,2 T. Uno de los lados de 12 cm se va a mover a v = 5 cm/s haciendo que la superficie de la espira sea cada vez más pequeña. Determina la f. e. m. inducida y la corriente que recorre la espira. 18 Una espira circular de 4 cm de radio está colocada en un campo magnético uniforme pero no estacionario que forma un ángulo de 30 ° con el vector superficie de la espira. El módulo del campo magnético cambia según la ecuación: B (t ) = (2 – 0,2 · t ) T. Determina la f. e. m. inducida e indica el sentido de la corriente en la espira. 19 Sobre un núcleo cilíndrico de hierro de 3 cm2 de sección y cuya permeabilidad magnética relativa es nr = 1 500, se colocan enrollados dos hilos de corriente. En uno de ellos, de 5 cm de longitud, hay 100 vueltas y lo va a recorrer una corriente eléctrica variable según la ecuación I = 0,4 · t A. Determina la intensidad de corriente que va a recorrer el segundo circuito, sabiendo que está formado por 120 vueltas y con una resistencia eléctrica de 10 X. 20 Una bobina de 500 espiras y de 5 cm de diámetro está colocada en la misma dirección que un campo magnético uniforme, cuyo módulo varía según la ecuación B (t ) = (0,4 – 0,02 · t 3) T. Determina: a) La f. e. m. inducida en la bobina. b) La intensidad de corriente inducida en la bobina en el instante t = 6 s si la resistencia eléctrica es de 5 X.
24 Una bobina circular de 20 cm de radio y 10 espiras se encuentra, en el instante inicial, en el interior de un campo magnético uniforme de 0,04 T, perpendicular al plano de su superficie. Si la bobina comienza a girar alrededor de uno de sus diámetros a 120 r. p. m., determina: a) El flujo magnético máximo que atraviesa la bobina. b) La f. e. m. inducida en la bobina en t = 0,1 s.
25 Inicialmente, una espira circular de 2 cm de radio se encuentra tal y como se muestra en la imagen, donde i inicial es de 30 °. La espira comienza a girar según el sentido indicado a 5 vueltas por segundo. Si el módulo del campo magnético es de 0,25 T, encuentra la expresión matemática de la f. e. m. en función del tiempo. B
i
S
~
26 Una espira circular de 5 cm de radio se encuentra fija en el XZ. Inicialmente, el campo magnético de 0,08 T, tiene la dirección y sentido del semieje positivo X, y empieza a girar sobre un eje paralelo al Z, a 160 r.p.m. Determina la f. e. m. inducida en función del tiempo y después de 2 s. Y
B
S
X
Espiras o campos giratorios 21 Si reducimos el periodo de giro de una espira, en un campo magnético uniforme, de 2,0 s a 1,5 s, ¿cuánto valdrá la f. e. m. si a los 2,0 s es 5,2 V?
Z
27 Una espira gira en un campo magnético uniforme y estacionario a una frecuencia de 4 Hz produciendo una f. e. m. inducida de pico de 0,5 mV. ¿Qué f. e. m. de pico se inducirá si hacemos que gire con un período de 0,1 s?
22 Una bobina formada por 25 espiras circulares de 6 cm de diámetro gira con un período de 0,3 s en un campo magnético uniforme de 200 G. Encuentra la f. e. m. máxima inducida en los extremos de la bobina.
Autoinducción
23 Una espira circular de 1 cm de radio gira a una frecuencia de 10 Hz en un campo magnético uniforme y estacionario. Si la f. e. m. inducida máxima es de 0,1 mV, ¿cuál es el módulo del campo magnético?
28 Una bobina, de coeficiente de autoinducción L = 200 mH, es recorrida por una corriente eléctrica de intensidad I (t ) = (–10 + 2 · t ) mA. Determina la fuerza electromotriz autoinducida.
148
Unidad
29 Una bobina es recorrida por una intensidad variable I (t ) = 0,02 · t A que induce una f. e. m. en la bobina f = –5 V. Calcula el coeficiente de autoinducción de la bobina.
4
Transformador 33 Un transformador tiene en el primario 400 espiras, y en el secundario, 250.
30 Una bobina, de longitud 12 cm y 10 espiras por centímetro, tiene un núcleo de hierro de nr = 1 500. Las espiras tienen un diámetro de 3 cm. Determina la f. e. m. inducida en la bobina, si por ella circula una intensidad de corriente I (t ) = (1 – 0,08 · t ) A.
a) ¿Qué voltaje se obtendrá en la salida si introducimos en el primario un voltaje alterno de 200 V de pico?
31 Una bobina de 5 cm de longitud, con 100 espiras y con diámetro 4 cm, con una intensidad que varía 0,02 A cada segundo, tiene una f. e. m. inducida de –0,4 V. Determina la permeabilidad magnética relativa del material que se encuentra formando el núcleo.
34 Si mediane un transformador queremos transformar una tensión alterna de 220 V efectiva a 125 V efectiva, ¿qué relación deberá haber entre el número de vueltas en el primario con respecto al secundario?
32 Una bobina tiene un coeficiente de autoinducción. Justifica cómo cambiará este coeficiente si se duplica el número de espiras y la longitud de la bobina. ¿Y si en otro caso se duplica la longitud de la bobina y el radio de las espiras?
b) ¿Y cuando introducimos 100 V de voltaje continuo?
35 Un transformador dado, tiene N1 vueltas en el primarioy N2 en el secundario. ¿Cómo cambiará el voltaje de salida si aumentamos al doble el número de vueltas del secundario y además reducimos a la mitad el voltaje de entrada en el primario?
Física, tecnología y sociedad James Clerk Maxwell Maxwell fue un físico escocés que vivió durante el siglo xix. Especialmente dotado para las matemáticas, realizó una enorme contribución al avance de la física al conseguir unificar todos los conocimientos y experimentos conocidos hasta la fecha acerca de la electricidad, el magnetismo y la luz; demostrando que son manifestaciones del mismo fenómeno físico. Consiguió resumir su hallazgo de manera elegante mediante la publicación de sus cuatro famosas ecuaciones, que para el caso de que el medio sea el vacío, tienen la siguiente apariencia: 8
ë · E =
t f0
8
ë · B = 0 8
∂B ë × E = – ∂t 8
8
∂E ë Ò B = n0 · J + n0 · f0 · ∂t 8
8
En estas ecuaciones se describen la ley de Gauss (tanto para el campo eléctrico como para el magnético), la ley de la inducción de Faraday y la ley de Ampère, que son las leyes básicas en las que se sustenta el electromagnetisanayaeducacion.es Consulta el apartado «Para estudiar» en el banco de recursos.
mo. Y no solamente se encuentran compilados todos estos conocimientos; además, estas ecuaciones permitieron hacer predicciones de fenómenos no conocidos en aquel momento, como la existencia de las ondas electromagnéticas, lo que pudo ser comprobado experimentalmente 20 años más tarde por el físico alemán Heinrich Hertz. También sirvió para inferir que la luz se propaga como una onda electromagnética que se desplaza a casi 300 000 km/s en el vacío. El hecho de que la luz viaje a esa velocidad, y que en las ecuaciones de Maxwell no se especifique con respecto a qué sistema de referencia, sirvió a Albert Einstein, físico alemán, para darse cuenta de que había algo incorrecto en la mecánica clásica y, en consecuencia, desarrollar su gran obra: la teoría de la relatividad.
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