ANDALUCร A
Matemรกticas
ESO / BACHILLERATO
Editorial Bruño en su apuesta por un mundo sostenible.
es el nuevo proyecto de Bruño para las etapas educativas ESO y Bachillerato. Editorial Bruño, en constante compromiso con la educación, se une a las acciones de la GENERACIÓN ESCOLAR para el cuidado y preservación de nuestro planeta.
ESO
ESO Las claves del proyecto Las claves de la propuesta pedagógica y editorial del proyecto de Matemáticas Generación B están fundamentadas en la estructura del desarrollo de los contenidos.
DESARROLLO DE CONTENIDOS ❙ Piensa y calcula. Ejercicio rápido de cálculo mental que trabaja los contenidos previos. ❙ Carné calculista. Se propone una cuenta para cada día. ❙ Se desarrollan los contenidos en dobles páginas y se resaltan los más importantes. ❙ Ejemplos y ejercicios resueltos. Ejercicios y problemas resueltos de cada concepto o procedimiento. ❙ Aplica la teoría. Ejercicios propuestos de aplicación.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS ❙ Ejercicios y problemas resueltos. Doble página con ejercicios y problemas tipo resueltos de forma pormenorizada. ❙ Ejercicios y problemas propuestos clasificados en distintas secciones y niveles de dificultad.
Mates dinámicas virtuales con Geogebra, CalcMe y Hoja de cálculo en Moodle. ❙ Ejercicios y problemas para comprender los conceptos con el uso de applets de GeoGebra. ❙ Planteamiento y resolución de ejercicios y problemas con CalcMe y Hoja de cálculo.
❙ Matematización en contextos reales. Ejercicios con una aplicación real a la vida cotidiana, a la Ciencia, Tecnología, Ingeniería, Arte y Matemáticas (STEAM). ❙ Autoevaluación. Modelo de examen para que el alumno se autoevalúe.
SECCIONES FINALES
❙ Actividades de ampliación. Actividades en las que se proponen investigar, exponer, elaborar documentos digitales o trabajar técnicas matemáticas a través de diversos textos. ❙ Actividades de recuperación. Ejercicios para preparar la recuperación final del curso. ❙ Evaluación final. Modelo de examen que sirve de autoevaluación final.
Las claves del proyecto
In English,
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Versiones en lengua inglesa de los libros del alumno en espaĂąol. Con las mismas unidades, con los contenidos sintetizados, vocabulario, actividades variadas y novedosas... Y secciones para fomentar la comunicaciĂłn oral.
Mathematics
1 In English,
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Academic Mathematics
Mathematics
2 In English,
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Applied Mathematics
3 In English,
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Academic Mathematics
3 In English,
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Herramienta digital de evaluaciĂłn competencial.
Las claves del proyecto
Applied Mathematics
4 In English,
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4 In English,
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Los solucionarios
ESO Resoluciรณn paso a paso de todos los ejercicios, actividades y problemas propuestos en los Libros del alumno.
Programaciรณn de aula disponible en formato Word en la Sala de profesores de www.editorialbruno.es
Los solucionarios
BACHILLERATO
BACHILLERATO Las claves del proyecto La explicación de conceptos, principios y teorías se complementa con ilustraciones, esquemas y fotografías explicativas que acompañan y complementan los textos de la unidad.
DOBLES PÁGINAS DE CONTENIDOS Y EJERCICIOS En estas páginas podemos destacar : ❙ Piensa y calcula. Repaso de los contenidos previos con un ejercicio de cálculo mental corto. ❙ Desarrollo de los contenidos con información destacada en cada apartado. ❙ Ejemplos para facilitar la comprensión de la teoría. ❙ Actividades resueltas. Ejemplos, ejercicios y problemas resueltos para cada concepto o procedimiento. ❙ Aplica la teoría. Ejercicios propuestos de aplicación al finalizar el apartado.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Colección de ejercicios y problemas clasificados en distintas secciones: ❙ Para ampliar. Ejercicios de ampliación y de refuerzo de los contenidos. ❙ Problemas de aplicación. ❙ Para profundizar. Ejercicios con mayor nivel de dificultad.
Ejercicios y problemas resueltos de cada unidad Ejercicios y problemas resueltos de los contenidos más importantes de la unidad totalmente desarrollados.
BACHILLERATO MATES DINÁMICAS VIRTUALES CON GEOGEBRA, CALCME Y HOJA DE CÁLCULO EN MOODLE Competencia digital: Ejercicios y problemas para comprender los conceptos y procedimientos con el uso de: ❙ Applets de GeoGebra. ❙ Asistente matemático CalcMe. ❙ Hojas de cálculo Microsoft Excel o Calc de OpenOffice. Los alumnos aprenden a utilizar los medios tecnológicos con el software adecuado para resolver problemas.
AMPLIACIÓN
EVALUACIÓN FINAL
Contenidos para que los alumnos de mayor nivel puedan mejorar su formación para sus estudios universitarios.
Modelos de exámenes finales para practicar las pruebas de acceso a la universidad.
ANEXOS ❙ Resolución de problemas. ❙ Métodos matemáticos. ❙ Modelización matemática ❙ Curvas y tabla de la N (0, 1)
Las claves del proyecto
BACHILLERATO Los solucionarios Accesibles en www.editorial-bruno.es Contienen la resolución paso a paso de todos los ejercicios, actividades y problemas propuestos en los Libros del alumno.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez
BACHILLERATO
SOLUCIONARIO
1
Las claves del proyecto
PROYECTO DIGITAL Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales
1
Matemáticas ANDALUCÍA
BACHILLERATO
Jos
éM
aría
Ari
as
Cab
eza
s❚
Ilde
fon
so
Ma
za
Sáe
z
José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez
1
ESO BACHILLERATO
PROYECTO DIGITAL
Libros digitales tanto para el alumno como para el profesor, visibles y descargables en cualquier dispositivo:
Matemáticas BACHILLERATO
José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez
1
Matemáticas 1 Bachillerato ÍNDICE
6 Los números reales
9 Polinomios y fracciones algebraicas
CRÉDITOS
7 Matemática financiera
8 Ecuaciones e inecuaciones
10
11
Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
Clasificación de funciones
12
13
Funciones algebraicas y trascendentes
Continuidad, límites y asíntotas
Moodle
En cada libro del alumno se ofrece un curso Moodle diseñado y con todos los contenidos desarrollados: cuestionarios y exámenes. Moodle corrige todos los cuestionarios automáticamente y guarda la calificación, que se exporta en cada evaluación a una hoja de cálculo Excel o Calc.
PROYECTO DIGITAL Los libros digitales para el alumno reproducen el esquema curricular del libro impreso con una presentación adaptada a los dispositivos portátiles y una variedad de recursos asociados a su explotación didáctica. Cada unidad contiene, además, numerosos recursos que facilitan la adquisición de procedimientos y contenidos de la asignatura: ❙ Applets de GeoGebra. ❙ Vídeos explicativos de conceptos y procedimientos. ❙ Hojas de cálculo de Excel y Calc.
Matemáticas 1 Bachillerato La derivada
Matemáticas 1 Bachillerato La derivada
Matemáticas 1 Bachillerato La derivada
1 La derivada y la recta tangente
1 La derivada y la recta tangente 1.3 Interpretación geométrica de la derivada
PIENSA Y CALCULA
Espacio (m)
Q(6, 8) t
r
c) La pendiente de la recta tangente t en el punto P.
P(3, 2) P(3,
X
Tiempo (s)
1.1
Y y = f (x) x f ( b)
Q f (b) – f (a)
f (a) P
En la gráfica del dibujo, la tasa de variación media de la función f (xx) en el intervalo [a, a + h] es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos P (a, f (a)) y Q (aa + h, f (a + h))
●
Tasa de variación media
La tasa de variación media de la función y = f (xx) en el intervalo [a, b] es el cociente entre la variación de la función f (xx) y la variación de la variable independiente, x, en el intervalo. Se representa por TVM [a, b] y es: f (b) – f (a) b–a Si la función es estrictamente creciente en [a, b], la tasa de variaciones media es positiva. Si la función es estrictamente decreciente, la tasa es negativa. TVM [a, b] = TVM
b–a
X
a
b
Interpretación geométrica La TVM de la función f (xx) en el intervalo [a, b] es la pendiente del segmento que une los puntos P (a, f (a)) y Q (b, f (b)) Y 8
EJERCICIO RESUELTO 2
y = x –1 4 Q(6, 8)
1
5 3
2 Calcula la tasa de variación media de f (x) = x – 1 en el intervalo [4, 6] 4 (6) – f (4) 8 – 3 5 f (6) TV [4, 6] = TVM = = 6–4 6–4 2
P(4, (4, 3) 2 X 4
6
1.2 Derivada de una función en un punto La tasa de variación instantánea da la medida de crecimiento e un punto y es la derivada. La derivada de una función y = f (xx) en x = a es el límite de las tasas de variación media en el intervalo [a, a + h] cuando h tiende a cero. Se representa: f (a) = lím h"0
Y
6x + 11 y = x 2 – 6x
f (4 + h)
EJERCICIO RESUELTO 2 f (4 + h) – f (4)
X
h 4
Calcula la derivada de la función f (x ((x) xx)) = x 2 – 6xx + 11 en x = 4 f (4)) = lím h"0
h
f (4)
4+h
f (4 + h) – f (4) h
2 11 – (4 2 – 6 4 + 11) = = lím (4 + h) – 6(4 + h) + 11 h"0 h
= lím h"0
236
f (a + h) – f (a) h
(16 6–2 24 4 +1 11) 4 – 6h + 11 – (1 16 + 8h + h 2 – 224 = h
2 h (h + 2) = lím h + 2h = ; 0 E = lím = lím ((hh + 2) = 2 h"0 h"0 h"0 h 0 h
1.3 Interpretación geométrica de la derivada
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
La gráfica y = f (x ( ) representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) La pendiente de la recta secante, r, que pasa por P y Q. b) La distancia media recorrida entre 3 s y 6 s.
f (a + h) – f (a) TVM TV M [a, a + h] = h Cuando h tiende a cero, se tiene: a) El punto Q se desliza sobre la curva acercándose al punto P, y las rectas secantes que se van dibujando tienden a la recta tangente a la curva en el punto P, cuya abscisa es x = a b) Las TVM tienden, por definición, a la derivada de la función en el punto, es decir, hacia f (a) Por tanto, la pendiente de la recta tangente de la función f (xx) en el punto de abscisa x = a es la derivada de la función en ese punto, es decir, f (a) La aplicación inmediata de la interpretación geométrica es que las rectas tangente y normal a una curva y = f (xx) en el punto P (a, f (a)) en su forma punto-pendiente son: y = f (a) (x – a) + f (a)
y=–
3
Halla las rectas tangente y normal a la curva f (x ((x) xx)) = x 2 – 6xx + 11 para x = 4 a) Se calcula el punto P (a, f ((a)): a)): Si x = 4 & f (4) = 42 – 6 4 + 11 = 16 – 24 + 11 = 27 – 24 = 3 & P (4, 3) b) En el ejemplo anterior se ha visto que la derivada para x = 4 es: f (4) = 2 La pendiente de la recta tangente es: m = f (4) = 2
Q
f (a + h)
1 La derivada y la recta tangente
Q f (a + h) – f (a)
Q
h
[ a
PIENSA Y CALCULA
c) f (x) = 2x – 4 en [1, 2] x +3 x + 2 en [–1, 2]
➧ Q(6, 8)
Y
y = x 2 – 66xx + 11
y = 2x – 5
P(4, 3)
t
r
X
Tiempo (s)
4 Aplica la definición de derivada y calcula: a) La derivada de la función f (xx) = x 2 – 2xx + 1 en x = 3 b) Las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto de abscisa x = 3 c) Representa la función f (xx) y las rectas. 5 El número de bacterias que hay en un cultivo se expresa me me-diante la fórmula f (x) x = 2 x, donde x representa el número de horas. Calcula el crecimiento medio por hora de las bacterias entre las 3 y las 5 horas.
10
La derivada
1.1
Y y = f (x) x f (b)
Q f (b) – f (a)
f (a) P
b–a
X
a
237
b
En la gráfica del dibujo, la tasa de variación media de la función f (xx) en el intervalo [a, a + h] es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos P (a, f (a)) y Q (aa + h, f (a + h))
●
Tasa de variación media
La tasa de variación media de la función y = f (xx) en el intervalo [a, b] es el cociente entre la variación de la función f (xx) y la variación de la variable independiente, x, en el intervalo. Se representa por TVM [a, b] y es: f (b) – f (a) TVM TV M [a, b] = b–a Si la función es estrictamente creciente en [a, b], la tasa de variaciones media es positiva. Si la función es estrictamente decreciente, la tasa es negativa.
Interpretación geométrica La TVM de la función f (xx) en el intervalo [a, b] es la pendiente del segmento que une los puntos P (a, f (a)) y Q (b, f (b)) Y 8
EJERCICIO RESUELTO 2
y = x –1 4 Q(6, 8)
1
5 3
2 Calcula la tasa de variación media de f (x) = x – 1 en el intervalo [4, 6] 4 f (6) – f (4) 8 – 3 5 TVM [4, 6] = = = 6–4 6–4 2
P(4, (4, 3) 2 X 4
6
1.2 Derivada de una función en un punto La tasa de variación instantánea da la medida de crecimiento e un punto y es la derivada.
APPLET DE GEOGEBRA
La derivada de una función y = f (xx) en x = a es el límite de las tasas de variación media en el intervalo [a, a + h] cuando h tiende a cero. Se representa: f (a) = lím h"0
Y
y = x 2 – 6xx + 11
f (4 + h)
EJERCICIO RESUELTO 2 f (4 + h) – f (4)
X
h 4
Calcula la derivada de la función f (x) = x 2 – 6x + 11 en x = 4 f (4) = lím h"0
h
f (4)
4+h
f (4 + h) – f (4) h
2 2 = lím (4 + h) – 6(4 + h) + 11 – (4 – 6 4 + 11) = h"0 h
= lím h"0
236
f (a + h) – f (a) h
16 + 8h + h 2 – 24 – 6h + 11 – (16 – 24 + 11) = h
2 h (h + 2) = lím h + 2h = ; 0 E = lím = lím (h + 2) = 2 h"0 h"0 h"0 h 0 h
TVM [a, a + h] = TVM
b
Tasa de variación media
La tasa de variación media de la función y = f (xx) en el intervalo [a, b] es el cociente entre la variación de la función f (xx) y la variación de la variable independiente, x, en el intervalo. Se representa por TVM [a, b] y es: f (b) – f (a) b–a Si la función es estrictamente creciente en [a, b], la tasa de variaciones media es positiva. Si la función es estrictamente decreciente, la tasa es negativa.
Interpretación geométrica La TVM de la función f (xx) en el intervalo [a, b] es la pendiente del segmento que une los puntos P (a, f (a)) y Q (b, f (b))
Y y = f (x) x)
Y 8
Q
f (a + h)
EJERCICIO RESUELTO 2
y = x –1 4 Q(6, 8)
1
5 3
2 4
6
1.2 Derivada de una función en un punto
La derivada de una función y = f (xx) en x = a es el límite de las tasas de variación media en el intervalo [a, a + h] cuando h tiende a cero. Se representa: f (a) = lím h"0
α
P
f (a)
Y
y = x 2 – 6xx + 11
f (4 + h)
h
[ a
EJERCICIO RESUELTO 2
X
] a+h
f (4 + h) – f (4)
X
h 4
Calcula la derivada de la función f (x ((x) xx)) = x 2 – 6xx + 11 en x = 4 f (4)) = lím h"0
h
f (4)
4+h
f (4 + h) – f (4) h
2 11 – (4 2 – 6 4 + 11) = = lím (4 + h) – 6(4 + h) + 11 h"0 h
= lím h"0
236
f (a + h) – f (a) h
(166 – 2244 + 111) 4 – 6h + 11 – (1 16 + 8h + h 2 – 224 = h
f (a + h) – f (a) TVM TV M [a, a + h] = h Cuando h tiende a cero, se tiene: a) El punto Q se desliza sobre la curva acercándose al punto P, y las rectas secantes que se van dibujando tienden a la recta tangente a la curva en el punto P, cuya abscisa es x = a b) Las TVM tienden, por definición, a la derivada de la función en el punto, es decir, hacia f (a) Por tanto, la pendiente de la recta tangente de la función f (xx) en el punto de abscisa x = a es la derivada de la función en ese punto, es decir, f (a) La aplicación inmediata de la interpretación geométrica es que las rectas tangente y normal a una curva y = f (xx) en el punto P (a, f (a)) en su forma punto-pendiente son: y = f (a) (x – a) + f (a)
3
Y
Halla las rectas tangente y normal a la curva f (x ((x) xx)) = x 2 – 6xx + 11 para x = 4 a) Se calcula el punto P (a, f ((a)): a)): Si x = 4 & f (4) = 42 – 6 4 + 11 = 16 – 24 + 11 = 27 – 24 = 3 & P (4, 3) b) En el ejemplo anterior se ha visto que la derivada para x = 4 es: f (4) = 2 La pendiente de la recta tangente es: m = f (4) = 2
d) Recta normal: y = – 1 (x – 4) + 3 & y = – 1 x + 2 + 3 & y = – 1 x + 5 2 2 2
1 Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: a) f (xx) = 2x – 3 en [1, 4] b) f (xx) = x 2 – 4xx + 2 en [2, 4] c) f (x) = 2x – 4 en [1, 2] x +3 d)) f (x) =
2 h (h + 2) = lím h + 2h = ; 0 E = lím = lím ((hh + 2) = 2 h"0 h"0 h"0 h 0 h
c) f (x) = 2x – 4 en [1, 2] x +3 d)) f (x) =
x + 2 en [–1, 2]
2 Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f (xx) = 3x – 2 en x = 1 b) f (xx) = – 2xx + 1 en x = – 3 c) f (xx) = x 2 – 4 en x = – 2 d) f (xx) = – x 2 + 5xx – 3 en x = 1
4 Aplica la definición de derivada y calcula: a) La derivada de la función f (xx) = x 2 – 2xx + 1 en x = 3 b) Las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto de abscisa x = 3 c) Representa la función f (xx) y las rectas. 5 El número de bacterias que hay en un cultivo se expresa mediante la fórmula f (x) x = 2 x, donde x representa el número de horas. Calcula el crecimiento medio por hora de las bacterias entre las 3 y las 5 horas.
10
La derivada
237
Y
X
] a+h
y = x 2 – 6xx + 11
y = 2x – 5
P(4, 3)
1 x+5 y=–— 2 X
3 Aplica la definición de derivada y calcula: a) La derivada de la función f (xx) = x 2 en x = 1 b) Las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto de abscisa x = 1 c) Representa la función f (xx) y las rectas. 4 Aplica la definición de derivada y calcula: a) La derivada de la función f (xx) = x 2 – 2xx + 1 en x = 3 b) Las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto de abscisa x = 3 c) Representa la función f (xx) y las rectas. 5 El número de bacterias que hay en un cultivo se expresa mediante la fórmula f (x) x = 2 x, donde x representa el número de horas. Calcula el crecimiento medio por hora de las bacterias entre las 3 y las 5 horas.
10
1 x+5 y=–— 2 X
3 Aplica la definición de derivada y calcula: a) La derivada de la función f (xx) = x 2 en x = 1 b) Las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto de abscisa x = 1 c) Representa la función f (xx) y las rectas.
x + 2 en [–1, 2]
2 Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f (xx) = 3x – 2 en x = 1 b) f (xx) = – 2xx + 1 en x = – 3 c) f (xx) = x 2 – 4 en x = – 2 d) f (xx) = – x 2 + 5xx – 3 en x = 1
APLICA LA TEORÍA 1 Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: a) f (xx) = 2x – 3 en [1, 4] b) f (xx) = x 2 – 4xx + 2 en [2, 4]
f (a + h) – f (aa)
h
[ a
d) Recta normal: y = – 1 (x – 44)) + 3 & y = – 1 x + 2 + 3 & y = – 1 x + 5 2 2 2
y = 2x – 5
P(4, 3)
Q
Q
APLICA LA TEORÍA
y = x 2 – 6xx + 11
c) Recta tangente: y = 2(x – 4) + 3 & y = 2x – 8 + 3 & y = 2x – 5
y = f (x) x)
Q α
P
f (a )
1 (x – a) + f (a) f (a)
EJERCICIO RESUELTO
1 (x – a) + f (a) f (a)
Halla las rectas tangente y normal a la curva f (x) = x 2 – 6x + 11 para x = 4 a) Se calcula el punto P (a, f (a)): Si x = 4 & f (4) = 42 – 6 4 + 11 = 16 – 24 + 11 = 27 – 24 = 3 & P (4, 3) b) En el ejemplo anterior se ha visto que la derivada para x = 4 es: f (4) = 2 La pendiente de la recta tangente es: m = f (4) = 2
y=–
Y f (a + h)
c) Recta tangente: y = 2( 2x – 5 2(xx – 4) + 3 & y = 22xx – 8 + 3 & y = 2x
La tasa de variación instantánea da la medida de crecimiento e un punto y es la derivada.
f (a + h) – f (a)
Q
2 Calcula la tasa de variación media de f (x) = x – 1 en el intervalo [4, 6] 4 (6) – f (4) 8 – 3 5 f (6) TV [4, 6] = TVM = = 6–4 6–4 2
P(4, (4, 3)
Q
EJERCICIO RESUELTO 3
X
a
f (a + h) – f (a) h
y=–
En la gráfica del dibujo, la tasa de variación media de la función f (xx) en el intervalo [a, a + h] es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos P (a, f (a)) y Q (aa + h, f (a + h))
●
TVM [a, b] = TVM
b–a
X
Cuando h tiende a cero, se tiene: a) El punto Q se desliza sobre la curva acercándose al punto P, y las rectas secantes que se van dibujando tienden a la recta tangente a la curva en el punto P, cuya abscisa es x = a b) Las TVM tienden, por definición, a la derivada de la función en el punto, es decir, hacia f (a) Por tanto, la pendiente de la recta tangente de la función f (xx) en el punto de abscisa x = a es la derivada de la función en ese punto, es decir, f (a) La aplicación inmediata de la interpretación geométrica es que las rectas tangente y normal a una curva y = f (xx) en el punto P (a, f (a)) en su forma punto-pendiente son: y = f (a) (x – a) + f (a)
Q f (b) – f (a)
f (a) P
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
La gráfica y = f (x ( ) representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) La pendiente de la recta secante, r, que pasa por P y Q. b) La distancia media recorrida entre 3 s y 6 s. c) La pendiente de la recta tangente t en el punto P.
P(3, (3, 2)
1 x+5 y=–— 2 X
3 Aplica la definición de derivada y calcula: a) La derivada de la función f (xx) = x 2 en x = 1 b) Las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto de abscisa x = 1 c) Representa la función f (xx) y las rectas.
f (b)
1.3 Interpretación geométrica de la derivada y = ff((x (x) x)
1.1 y = f (x) x
X
] a+h
Y
d) Recta normal: y = – 1 (x – 4) 4) + 3 & y = – 1 x + 2 + 3 & y = – 1 x + 5 2 2 2
d)) f (x) =
c) La pendiente de la recta tangente t en el punto P.
Y
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
La gráfica y = f (x ( ) representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) La pendiente de la recta secante, r, que pasa por P y Q. b) La distancia media recorrida entre 3 s y 6 s.
X
Tiempo (s)
α
P
f (a)
APLICA LA TEORÍA
2 Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f (xx) = 3x – 2 en x = 1 b) f (xx) = – 2xx + 1 en x = – 3 c) f (xx) = x 2 – 4 en x = – 2 d) f (xx) = – x 2 + 5xx – 3 en x = 1
t
r P(3, (3, 2)
c) Recta tangente: y = 2( 2x – 5 2(xx – 4) + 3 & y = 22xx – 8 + 3 & y = 2x
1 Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: a) f (xx) = 2x – 3 en [1, 4] b) f (xx) = x 2 – 4xx + 2 en [2, 4]
➧
y = ff((x (x) x) Q(6, 8)
y = f (x) x)
1 (x – a) + f (a) f (a)
EJERCICIO RESUELTO
PIENSA Y CALCULA
Y
Y
Espacio (m)
➧
y = ff((x (x) x)
Espacio (m)
Y
VÍDEO
La derivada
237
Los libros digitales para uso del profesor son iguales que los del alumno, pero enriquecidos con recursos exclusivos del profesor: ❙ Programación de aula. ❙ Generadores de exámenes. ❙ Solucionarios de todas las actividades del material del alumno. ❙ Exámenes. Lengua y Literatura 1 ESO La comunicación
GENERADOR DE EXÁMENES
EXAMEN
MATERIALES PARA REFUERZO Y/O AMPLIACIÓN
REFUERZOCURRICULAR REFUERZOCURRICULAR ERZO LAR REFRU RICU CU
Matemáticas
Ma
ESO
n a la
REFUERZOCURRICULAR
ió Atenc
ad
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ESO
CU
3
ESO
3 LAR RRICU ZOCU R E U REF
1
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ers ers la div la div de aprendizaje en cada uno de los cursos. Adquirir los estándares mínimos ión a ión a Atenc Atenc
Cuadernos fungibles a 4 colores. Los contenidos se presentan de forma resumida, sintetizada y/o esquemática. Las actividades propuestas tienen un nivel de dificultad básico. Solucionario para el profesor.
JOSÉ ÁNGEL FERNÁNDEZ-CANO LÓPEZ FERNANDO ARCE LLACH
C. COMERCIAL Atención a la diversidad
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AN DEZ-C NÁNACH L L FER NGE ARCE L Á É JOS ANDO FERN
ión a Atenc Alumnos que no pueden seguir el ritmo de aprendizaje de su grupo.
7130819 7130821 7130823 7180495 7180497 7180499
ISBN
A tu ritmo Refuerzo Curricular Matemáticas 1 ESO A tu ritmo Refuerzo Curricular Matemáticas 2 ESO A tu ritmo Refuerzo Curricular Matemáticas 3 ESO A tu ritmo Refuerzo Curricular Matemáticas 1 ESO Propuesta didáctica A tu ritmo Refuerzo Curricular Matemáticas 2 ESO Propuesta didáctica A tu ritmo Refuerzo Curricular Matemáticas 3 ESO Propuesta didáctica
978-84-696-1705-2 978-84-696-1709-0 978-84-696-1713-7 978-84-696-1706-9 978-84-696-1710-6 978-84-696-1714-4
MATERIALES PARA REFUERZO Y/O AMPLIACIÓN Se estructuran en bloques de contenidos curriculares.
Refuerzo Curricular
MATERIALES PARA REFUERZO Y/O AMPLIACIÓN Se favorece el aprendizaje a partir de actividades resueltas o explicadas.
Los bloques se cierran con los apartados Recuerda y Repasa.
Refuerzo Curricular
MATERIALES PARA REFUERZO Y/O AMPLIACIÓN Los cuadernos de la colección Objetivo aprobar Matemáticas ESO y Bachillerato pretenden reforzar y afianzar los contenidos y estándares esenciales del área en cada curso. Sirven para: Repasar los contenidos aprendidos durante el curso escolar. Trabajar sobre los estándares de aprendizaje evaluables. Complementar el trabajo del curso.
MATERIALES PARA REFUERZO Y/O AMPLIACIÓN Los cuadernos se estructuran en unidades didácticas que comienzan con un resumen-esquema de contenidos, seguido de actividades resueltas y explicadas paso a paso y de una amplia batería de actividades propuestas.
Actividades resueltas.
Resumenesquema de contenidos
Actividades propuestas.
C. COMERCIAL
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ISBN
Objetivo aprobar Matemáticas 1 ESO Objetivo aprobar Matemáticas 2 ESO Objetivo aprobar Matemáticas Académicas 3 ESO Objetivo aprobar Matemáticas Aplicadas 3 ESO Objetivo aprobar Matemáticas Académicas 4 ESO Objetivo aprobar Matemáticas Aplicadas 4 ESO Objetivo aprobar Matemáticas 1 Bachillerato
978-84-696-1194-4 978-84-696-1198-2 978-84-696-1202-6 978-84-696-1203-3 978-84-696-1207-1 978-84-696-1208-8 978-84-696-1211-8
Objetivo Aprobar
MATERIALES PARA REFUERZO Y/O AMPLIACIÓN La sección Competencia matemática propone actividades para trabajar todas las dimensiones de esta competencia.
Los a lumn pract os podrá n icar c exám o intro enes inte n d ra impr uciendo e ctivos eso e l cód n en nu su cuad igo erno estra web
Todos los cuadernos se cierran con unas páginas de Autoevaluación para que el alumno compruebe el grado de aprendizaje.
Incluyen un Solucionario extraíble con las respuestas de todas las actividades propuestas.
Para to e itin dos los c ursos erario s y tam bién de ESO pa de B achil ra 1.º l moda erato, de C lidad ien Tecn cias y ologí a
Objetivo Aprobar
MATERIALES PARA REFUERZO Y/O AMPLIACIÓN
Cuadernos para trabajar contenidos y automatismos básicos de cálculo. • Permiten un tratamiento personalizado del aprendizaje de las Matemáticas. • Aseguran el dominio de conceptos y procedimientos básicos. • Fomentan en los alumnos actitudes positivas en relación con las Matemáticas y ayudan a descubrir el sentido práctico de los contenidos y a adquirir confianza y seguridad en el dominio de las destrezas fundamentales. • Solucionario para el profesor en papel y en formato PDF en la Sala de profesores de www.editorialbruno.es
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Colección de 20 cuadernos. Recomendados para 1.° y 2.° ESO: C. COMERCIAL
7130391 7130392 7130393 7130399 7130400 7130401 7150548
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10 Operaciones con decimales 11 Operaciones combinadas con números decimales 12 Cuatro operaciones con naturales y decimales Potencias y raíz 18 Problemas combinados sobre las 4 operaciones con decimales 19 Problemas combinados con números naturales y decimales I 20 Problemas combinados con números naturales y decimales II Solucionario Cuadernos de Matemáticas 1-20
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