Unidad de muestra Generación B Física 2 bachillerato

BACHILLERATO

2

Física Miguel Gisbert Briansó José Luis Hernández Neira

Estructura del libro Presentación, desarrollo y resumen Cada una de las 11 unidades comienza con el índice de los contenidos que se van a tratar. A continuación, se inicia el desarrollo de los apartados. La exposición de contenidos se complementa con ejemplos resueltos y explicados (más de 90) y se cierra con un Resumen.

Secciones específicas Estas secciones se encuentran al finalizar el desarrollo teórico para fomentar el aprendizaje por competencias: ◾◾ Experiencia de laboratorio. Procedimientos orientados a acercar al alumnado al trabajo en el laboratorio. ◾◾ Estrategias. Procedimientos orientados a formar al alumnado en la resolución de problemas. De forma sistemática, la sección contiene los siguientes apartados: ■ Comentarios al enunciado. ■ Resolución y cálculos. ■ Análisis de resultados.

Cierre Las páginas finales de la unidad contienen actividades (más de 410) clasificadas por contenidos y con dos niveles de dificultad, identificados según el color de su numeración: verde/rojo. La respuesta numérica de todas las actividades propuestas en el libro (incluyendo las de los anexos) se recoge en el anexo Solucionario, al final del libro.

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Anexos Además del anexo Solucionario, el libro tiene los siguientes anexos: ◾◾ Vectores. Recoge los conceptos y las operaciones con vectores que son de uso habitual en el ámbito de la Física.

◾◾ Tratamiento matemático de datos experimentales. Resume los aspectos esenciales de la toma de medidas y del cálculo de errores en Física.

◾◾ Mecánica. Contiene los conceptos básicos de cinemática, dinámica, trabajo, energía, movimiento armónico simple, oscilador armónico, cantidad de movimiento y momento angular necesarios en este curso. Se desarrollan ejercicios actividades propuestas.

resueltos

y

Prepara el acceso a la Universidad Recoge más de 90 ejercicios propuestos en las últimas pruebas de acceso a la Universidad

Estructura de la unidad

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Índice 1. Interacción gravitatoria

......

1. Introducción histórica .......................................................... 2. Campo gravitatorio. Peso de un cuerpo ........................ 3. El campo gravitatorio como campo conservativo. Energía potencial ................................................................. 4. Potencial gravitatorio. Superficies equipotenciales .... 5. Movimientos en el seno de un campo gravitatorio ... 6. El problema de tres cuerpos. Caos determinista ........ 7. La estructura del universo. La materia oscura y la energía oscura .............................................................

2. El campo eléctrico

..........................

6 7 9 16 18 20 25 27 38 39 42 50

1. Introducción histórica .......................................................... 2. Campo eléctrico ................................................................... 3. El campo eléctrico como campo conservativo ............. 4. Flujo del campo eléctrico a través de una superficie. Teorema de Gauss .............................................................. 58 5. Aplicaciones del teorema de Gauss ................................ 60 6. Analogías y diferencias entre los campos gravitatorio y eléctrico .............................................................................. 66

3. El campo magnético

.................

74 75 80

1. Introducción histórica .......................................................... 2. Acción del campo magnético sobre un imán ............... 3. Efectos del campo magnético sobre cargas en movimiento ..................................................................... 81 4. El campo magnético como campo no conservativo .......................................................................... 93 5. Campos magnéticos creados por distintas distribuciones de corriente. Ley de Ampère ................. 94 6. Acciones entre corrientes ................................................... 103 7. Diferencias y analogías entre los campos eléctrico y magnético .......................................................................... 105 8. El campo magnético terrestre .......................................... 106

4. Inducción electromagnética

114 1. Evidencias experimentales ................................................ 115 2. Leyes de Faraday-Henry y Lenz. Conservación de la energía ........................................................................ 116 3. Aplicaciones de la inducción electromagnética ........... 121 4. Distribución de la energía eléctrica. Impacto medioambiental ................................................................... 126 ...............................

5. Movimiento ondulatorio 132 .

1. Movimiento ondulatorio .................................................... 133 2. Clases de ondas ................................................................... 134

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3. Parámetros del movimiento ondulatorio. Ondas armónicas ................................................................. 136 4. Ecuación de las ondas armónicas ................................... 138 5. Energía e intensidad de las ondas .................................. 140 6. Reflexión. Refracción .......................................................... 142 7. Principio de Huygens .......................................................... 148 8. Difracción ............................................................................... 150 9. Principio de superposición. Interferencias ..................... 151 10. Ondas estacionarias ............................................................ 154

6. El sonido

164 1. Naturaleza del sonido ........................................................ 165 2. Velocidad de propagación del sonido ............................ 167 3. Reflexión del sonido: eco y reverberación ................... 169 4. Ultrasonidos. Aplicaciones ................................................. 170 5. Intensidad del sonido. Sonoridad ................................... 172 6. Contaminación acústica ..................................................... 175 7. Cualidades del sonido ........................................................ 176 8. Interferencias y otros fenómenos sonoros ................................................................................... 178 9. Efecto Doppler ...................................................................... 180 .................................................................

7. Ondas electromagnéticas

..........................

8. Óptica geométrica

..........................

186 1. Ondas electromagnéticas .................................................. 187 2. Expresión de las intensidades de los campos eléctrico y magnético asociados a una onda electromagnética ................................................................. 190 3. Intensidad de las ondas electromagnéticas ................. 193 4. Características y espectro de las ondas electromagnéticas ............................................................... 196 5. Unificación de la electricidad, el magnetismo y la óptica ............................................................................. 200 6. Dispersión de la luz blanca. El color de los objetos ....................................................................... 202 7. Polarización. Aplicaciones ................................................. 204 8. Los sistemas de transmisión y almacenamiento de la información ................................................................ 208

216 1. Propagación rectilínea de la luz ...................................... 217 2. Espejos planos ...................................................................... 218 3. Espejos esféricos .................................................................. 220 4. Lentes ..................................................................................... 227 5. El ojo humano ...................................................................... 234 6. Defectos de la visión .......................................................... 237 7. Instrumentos ópticos .......................................................... 240

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9. Introducción a la teoría de la relatividad especial

Vectores

10. Introducción a la Física cuántica

Tratamiento matemático de datos experimentales

250 1. Introducción histórica .......................................................... 251 2. El concepto de relatividad. Postulados de la teoría de la relatividad especial ................................................... 253 3. La transformación de Lorentz-Einstein, contracción de longitudes y dilatación de tiempos .......................... 256 4. Masa, energía y momento lineal de una partícula en el marco de la teoría de la relatividad especial .... 259 5. Aparentes paradojas de la física relativista. Sucesos dentro y fuera del cono de luz ....................... 260 ......................................................................

266 1. Introducción histórica .......................................................... 267 2. Insuficiencia de la Física clásica. Orígenes de la Física cuántica. Problemas precursores .............. 269 3. Interpretación probabilística de la mecánica cuántica .................................................................................. 279 4. Aplicaciones de la mecánica cuántica. El láser ........... 285 .....................................................................

11. Física nuclear. Las fronteras de la Física

292 1. Estructura y propiedades del núcleo atómico .............. 293 2. Radiactividad natural .......................................................... 295 3. Emisiones radiactivas ......................................................... 296 4. Velocidad de desintegración radiactiva ......................... 301 5. Detectores de radiación ..................................................... 305 6. Unidades de radiación ........................................................ 306 7. Núclidos radiactivos ............................................................ 307 8. Masa y energía .................................................................... 309 9. Defecto de masa. Energía de enlace nuclear .............. 311 10. Radiactividad artificial. Reacciones nucleares .............. 313 11. Aplicaciones de los isótopos radiactivos ........................ 315 12. Fisión nuclear ....................................................................... 316 13. Reactores nucleares. Centrales nucleares ..................... 318 14. Fusión nuclear ...................................................................... 320 15. Las fuerzas de la naturaleza. Teorías sobre la unificación de fuerzas ................................................... 321 16. Partículas elementales. Modelo estándar ..................... 323 17. Origen y evolución del universo. Teoría del big bang .......................................................................... 325 18. Problemas actuales de la Física ...................................... 326

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................

332 1. Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales ......... 333 2. Vector unitario de un vector ............................................. 334 3. Vectores unitarios i, j, k. Componentes de un vector .......................................................................... 335 4. Suma de vectores ............................................................... 336 5. Producto escalar de dos vectores .................................... 337 6. Producto vectorial de dos vectores ................................. 339 7. Derivada de una función vectorial respecto de un escalar ........................................................................ 341 8. Integral de una función vectorial respecto a un escalar .......................................................................... 343 ..................................................................................

346 1. Cálculos con cifras significativas ...................................... 347 2. Errores de medida. Medidas directas ............................. 349 3. Estimación de errores en medidas indirectas .............. 350

Mecánica

.............

352

..............................................................................

1. Cinemática del movimiento circular de una partícula ................................................................... 353 2. Dinámica del movimiento circular uniforme de una partícula ................................................................... 355 3. Trabajo mecánico. Energía mecánica ............................. 356 4. Oscilador armónico ............................................................. 359 5. Cantidad de movimiento. Teorema de conservación ................................................................... 363 6. Momento angular ................................................................ 365

Prepara el acceso a la Universidad

370 1. Campo gravitatorio ............................................................. 371 2. Campo eléctrico ................................................................... 372 3. Campo magnético ............................................................... 374 4. Inducción electromagnética .............................................. 375 5. Oscilador armónico ............................................................. 376 6. Movimiento ondulatorio .................................................... 377 7. El sonido ................................................................................ 378 8. Óptica geométrica ............................................................... 379 9. Física cuántica. Relatividad ............................................... 380 10. Física nuclear ........................................................................ 380 .................................................

Solucionario

382

.................................................................

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Óptica geométrica 1 Propagación rectilínea de la luz

5 El ojo humano

2 Espejos planos

6 Defectos de la visión

3 Espejos esféricos

7 Instrumentos ópticos

4 Lentes

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1 Propagación rectilínea de la luz Diversas experiencias (la formación de sombras y penumbras, los eclipses, la formación de imágenes en la cámara oscura...) ponen de manifiesto que: En un medio transparente y homogéneo, la luz se propaga en línea recta. La figura 8.1 permite explicar la formación de sombras y de penumbras: un objeto opaco se encuentra, en los tres casos, a la misma distancia de una pantalla. De una situación a la otra varía el tamaño de la fuente de luz. Las líneas a trazos representan rayos de luz tangentes al cuerpo opaco y determinan en la pantalla la sombra (zona privada de luz) y la penumbra (zona parcialmente iluminada). Según se observa en la figura, un foco puntual solo produce sombra, mientras que para focos extensos, al aumentar el tamaño del foco, la sombra disminuye, y la penumbra aumenta.

La formación de sombra y penumbra se comprueba si ponemos la mano entre una lámpara y la mesa. Según sean las distancias entre el foco de luz y la mano, y entre la mano y la mesa, cambia la extensión de la sombra y de la penumbra.

Figura 8.1. Formación de sombras y penumbras. Los eclipses son consecuencia de la propagación rectilínea de la luz. El eclipse de Sol se produce cuando la Luna se interpone entre el Sol y la Tierra (queda eclipsado el Sol). Hay eclipse de Luna (la Luna queda eclipsada para los observadores terrestres) cuando la Tierra se interpone entre la Luna y el Sol.

Recuerda En astronomía se utiliza el año luz como unidad de longitud: es la distancia que recorre durante un año la luz en el vacío (c ≈ 300 000 km s−1); equivale a 9,46 · 1012 km.

Eclipse parcial Noche Eclipse total

Sol Luna Día

Figura 8.2. Eclipse de Sol. El eclipse es total en la zona de sombra y parcial en la de penumbra. En pleno día, algunas zonas de la Tierra se ven privadas (total o parcialmente) de la luz solar.

La cámara oscura demuestra la propagación rectilínea de la luz: está formada por una caja en una de cuyas paredes hay un pequeño orificio; en la cara opuesta hay un vidrio deslustrado (o papel vegetal) en el que se forma la imagen invertida de los objetos que están delante. La explicación de este hecho es sencilla: de los infinitos rayos de luz emitidos en todas direcciones por el punto A, solo penetra en la cámara un pequeño haz que produce en la pantalla translúcida la correspondiente mancha luminosa, A’; como ocurre lo mismo para el punto B, en la pantalla apreciamos la imagen invertida del objeto.

A

B’ A’

B

Figura 8.3. Cámara oscura. 8. Óptica geométrica

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2 Espejos planos 2.1 Reflexión especular y reflexión difusa Si la superficie en la que se refleja la luz es irregular, a un haz de rayos incidentes paralelos le corresponden rayos reflejados en diversas direcciones: en este caso, la reflexión es difusa (fig. 8.4). Si la superficie es lisa (fig. 8.5), los rayos reflejados que corresponden a rayos incidentes paralelos también son paralelos entre sí. En este caso se dice que la reflexión es especular, como sucede en los espejos, por lo general superficies opacas pulidas.

Figura 8.4. Reflexión difusa.

La reflexión especular también se manifiesta en otras superficies regulares, como la superficie tranquila del agua, y cuando se produce la reflexión total.

2.2 Espejos planos Las imágenes que se observan en un espejo plano parecen estar dentro de él. Si percibimos una imagen es porque llega luz a nuestros ojos; pero, ¿puede venir luz de la zona posterior del espejo? La explicación está en la reflexión de la luz.

Figura 8.5. Reflexión especular.

En la figura 8.6, de los infinitos rayos de luz que salen del punto O (punto objeto) se estudian dos que, al llegar al espejo, se reflejan; en ambos casos, el ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales (segunda ley de la reflexión). La imagen observada del punto O es I (fig. 8.7), es decir, es el punto que se obtiene por la intersección de las prolongaciones de los rayos reflejados. Este punto imagen es virtual; no es real.

Recuerda Segunda ley de la reflexión El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión:

O O

î = rˆ

I

M

α

β

N α

P

β

N

A

Figura 8.6.

Figura 8.8. El ojo percibe la imagen del punto A por los rayos de luz divergentes que proceden de dicho punto. A

Figura 8.7.

Una imagen virtual no puede recogerse sobre una pantalla, como sucede con las imágenes reales (por ejemplo, la de una diapositiva proyectada sobre una pantalla), pero nuestra vista nos permite percibirlas. Las imágenes virtuales las explicamos por la prolongación de rayos divergentes.

A'

En la figura 8.7, los triángulos rectángulos OMP e IMP son iguales: tienen un cateto común (MP) y los ángulos α y β también son iguales (2.ª ley de la reflexión); por tanto, las distancias (OM) y (MI) son iguales. B

B'

Figura 8.9. Imagen de un objeto en un espejo plano.

La imagen de un objeto en un espejo plano es simétrica, de igual tamaño y virtual.

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EJEMPLO

❚ Una persona de 1,70 m de estatura se coloca ante un espejo plano. Sabiendo que sus ojos distan del suelo 1,60 m, establece la longitud (mínima) del espejo para que se vea de pies a cabeza, así como la altura del suelo a la que debe colocarse.

❚

En la figura 8.10, la imagen de la persona se ha construido teniendo en cuenta que es simétrica respecto del objeto. El punto imagen P’ es percibido por los ojos por el rayo DO, que es el reflejado del PD. Como el ángulo de incidencia es igual que el de reflexión, la altura a la que debe ponerse el espejo (distancia DB) es 1/2 OP, es decir, 0,80 m. Siguiendo el mismo procedimiento, para observar el otro extremo de la persona (punto C), se trazan los rayos CE y EO, de donde se deduce que la persona ve íntegramente su imagen si la longitud (mínima) del espejo es: 1/2 CO + 1/2 OP, es decir, la mitad de su altura: 0,85 m. C

C’

E

O

O’

r^ D

O

l1

^ i

P

P’

B

l3

Figura 8.10. Los puntos C, O y P corresponden a la cabeza, los ojos y los pies del joven, respectivamente.

l2

Figura 8.11. Dos espejos planos

perpendiculares permiten apreciar tres imágenes de un objeto.

2.3 Espejos planos que forman ángulo entre sí La experiencia pone de manifiesto que, si se pone un objeto entre dos espejos planos perpendiculares, se pueden observar tres imágenes (fig. 8.11). En la figura 8.12 se expone la formación de la imagen I3: la luz que permite observarla se ha reflejado dos veces antes de llegar al ojo del observador, mientras que las otras dos imágenes corresponden a rayos que han experimentado una única reflexión. En este ejemplo, las imágenes y el objeto se encuentran en una circunferencia cuyo centro está en la línea de intersección de los espejos. Esto puede generalizarse para cualquier ángulo, φ, entre dos espejos. Además, si este ángulo (expresado en grados) es divisor de 360°, el número de imágenes (n.º) que se forman viene dado por: n.º =

360º φ

–1

Si los dos espejos son paralelos, el número de imágenes es infinito.

O

l3

Figura 8.12. Obtención de la imagen I3. 8. Óptica geométrica

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3 Espejos esféricos Los espejos curvos (esféricos, parabólicos...) se utilizan en diversas aplicaciones; por ejemplo, los que se instalan en algunas esquinas y en establecimientos comerciales para ampliar el campo de visión, los retrovisores de los vehículos, los que proporcionan imágenes deformadas (en ciertos parques de atracciones), los que se utilizan en los hornos solares (que concentran en un punto o en una línea un haz de luz paralelo)... También son curvos los espejos de tocador que amplían la imagen del rostro, aunque al tacto parezcan superficies planas. Un espejo esférico es una porción de superficie esférica pulimentada. Son cóncavos cuando la superficie reflectante es la interior, y convexos cuando lo es la exterior. Figura 8.13. En el horno solar

de Odeillo (Francia), el conjunto de espejos adopta una forma parabólica.

R

O

C

Figura 8.14. Espejo esférico de radio R.

O

C

Figura 8.15. Representación de un espejo

La recta que muestra la dirección de propagación de la luz se llama rayo.

C es el centro de curvatura. O es el centro de figura.

En el estudio que sigue se considera que los rayos de luz son paraxiales, es decir, marchan muy poco separados del eje principal.

3.1 Elementos ópticos de los espejos esféricos

esférico cóncavo.

El centro de curvatura (C ) es el centro de la esfera a la que pertenece el espejo. El centro de figura (O ) es el centro o polo del espejo. El eje principal es la recta que pasa por el centro de curvatura y por el centro de figura. El foco (F ) de un espejo cóncavo es el punto del eje principal en el que se cortan los rayos reflejados que corresponden a rayos de luz incidentes paralelos al eje principal.

^ N i^ r F C

O

C

F

O

Figura 8.16. En esta fotografía, los

rayos incidentes son rayos paralelos al eje principal del espejo cóncavo (se propagan de izquierda a derecha). Los rayos reflejados en el espejo se cortan en un punto del eje principal: el foco.

Figura 8.17. Esquema de la figura 8.16. Los rayos paralelos al eje principal de un espejo cóncavo, al reflejarse, se cortan en un punto de dicho eje: el foco (F ).

Figura 8.18. Foco de un espejo cóncavo. La posición del foco (F) se explica por las leyes de la reflexión. El radio de la circunferencia es normal a la misma.

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 El foco de un espejo convexo es el punto de su eje principal en el que convergen las prolongaciones de los rayos reflejados que provienen de rayos incidentes paralelos a dicho eje. El foco de los espejos convexos es virtual (lo explicamos por la intersección de prolongaciones de rayos), mientras que el de los cóncavos es real. N

^ i

Recuerda La normal en un punto de una circunferencia es la recta que pasa por dicho punto y el centro de la circunferencia.

r^

N O

F

O

C

Figura 8.19. Foco de un espejo convexo. Es virtual: en él se cortan las prolongaciones de rayos.

F

C

Figura 8.20. Explicación, por la segunda ley de la reflexión, del foco de un espejo convexo.

La distancia focal (f ) de un espejo esférico, es decir, la distancia entre el foco y el centro de figura, es la mitad del radio del espejo: f=

R 2

EJEMPLO

❚ Traza la marcha de los rayos reflejados de la figura 8.21.

❚

Aplicando la segunda ley de la reflexión, y teniendo en cuenta que la normal en un punto de una circunferencia es el diámetro que pasa por dicho punto: N

r^

O

^ i

^ i ´  r^´

O

C

C

Figura 8.21.

Figura 8.22. Nótese que:  La normal en el punto O es el eje principal.  El ángulo de incidencia del rayo de color verde es de 0 º, con lo que el ángulo de reflexión también es nulo y, por tanto, el rayo reflejado se superpone al incidente.

Para el estudio que sigue es recomendable disponer de papel milimetrado, escuadra y semicírculo graduado. 8. Óptica geométrica

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Puedes estudiar la formación de imágenes con una cuchara (espejo cóncavo o convexo, según la parte que utilices). Por ejemplo, acerca un dedo y observa cómo varía la imagen.

3.2 Imágenes en un espejo esférico Las imágenes en los espejos esféricos se obtienen siguiendo el mismo procedimiento que en los espejos planos; es decir, de cada punto del objeto se sigue la marcha de dos (o más) de los infinitos rayos que parten de él y llegan al espejo; si los rayos reflejados se cortan, ese punto de corte es el punto imagen y esa imagen es real, mientras que, si son divergentes, el punto imagen es el punto donde se cortan sus prolongaciones y es una imagen virtual. Se puede usar cualquier rayo que, partiendo del objeto, alcance el espejo, pero facilita la representación gráfica usar aquellos cuyo rayo reflejado es más fácil trazar. Rayo incidente

Rayo reflejado

a

Es paralelo al eje principal.

Pasa por el foco.

b

Pasa por el foco.

Es paralelo al eje principal.

c

Pasa por el centro de curvatura.

Regresa en la misma dirección.

P a P

b

a b

c

C

F

c

P´ O

O

C

F

P´

N

P

r^ ^ i O

P´ F

C

Figura 8.25. La imagen, P’, de un punto objeto, P, del eje principal, también se encuentra en dicho eje.

Figura 8.23. P’ es la imagen del punto objeto P. Es real, porque se forma por la intersección de rayos.

Figura 8.24. P’ es la imagen del punto P. La imagen de un punto en un espejo convexo siempre es virtual.

Al estudiar la construcción de imágenes en los espejos esféricos suele considerarse como objeto una flecha perpendicular al eje principal. En las figuras 8.26 a 8.28 se muestra la formación de la imagen en un espejo cóncavo según la posición del objeto respecto del espejo. En ellas se ha construido la imagen de la punta de la flecha; la imagen de la base está en el eje principal, porque esta base es un punto (objeto) de dicho eje (fig 8.25). A´

A A

A B´ F B

C

A´

O

B´

B C

F

O

C

F

B

O

B´

A´

Figura 8.26. Posición del objeto: entre –∞ y C. Imagen: menor, invertida, real. La imagen de la flecha AB es A’B’.

Figura 8.27. Posición del objeto: entre C y F. Imagen: mayor, invertida, real. La imagen de la flecha AB es A’B’.

Figura 8.28. Posición del objeto: entre F y O. Imagen: mayor, derecha y virtual. La imagen de la flecha AB es A’B’.

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Las características que se indican de la imagen son:

A1

A2

A3

B1

B2

B3 B3´B2´B1´F

 Naturaleza (real o virtual).  Tamaño relativo (mayor, menor o igual que el objeto).  Orientación respecto del objeto (derecha o invertida). Se pueden comprobar fácilmente los otros dos casos posibles para espejos cóncavos: si el objeto está en C, la imagen es igual, invertida y real; si está en F , no se forma imagen (se forma en el infinito). La figura 8.29 muestra que: En un espejo convexo, la imagen siempre es menor, derecha y virtual.

A3´ A2´ A1´ C

Figura 8.29. En un espejo convexo, la imagen siempre es derecha, menor y virtual, con independencia de cual sea la posición del objeto respecto del espejo.

En los espejos retrovisores, y en los que hay en algunos cruces y establecimientos, la imagen siempre es derecha y menor: son espejos convexos.

Convenio de signos y notación En la figura 8.30, la distancia s se denomina distancia objeto y s’ es la distancia imagen, mientras que y e y’ corresponden a la altura del objeto y de la imagen, respectivamente. +

+

s

B

f

y A

y´

C

A´

O

F B´ s´

Figura 8.30. La flecha AB es el objeto. Su imagen se ha obtenido considerando dos rayos que parten de B: uno que pasa por el foco y otro que incide en el centro de la figura, O. El convenio de signos y notación adoptado es:  Sentido de la luz. El sentido de la luz incidente es de izquierda a derecha.  Sistema de coordenadas. El centro de figura (O) se toma como origen de coordenadas. El eje de abscisas es el eje principal y el de ordenadas es la tangente al espejo en dicho centro de figura. Las distancias en los ejes se consideran positivas o negativas según es habitual (positivas a la derecha de O y por encima de él). Así, en la figura 8.30: y’, s y s’ son negativas, mientras que y es positiva.  Notación. Las magnitudes que se refieren a la imagen tienen la misma notación que sus correspondientes al objeto, pero afectadas por el carácter «’» (prima).

En general, si hay varios elementos ópticos (por ejemplo, una lente y un espejo o dos espejos), para cada elemento óptico se considera como sentido positivo, para las magnitudes que se miden sobre el eje óptico, el de propagación de la luz que incide sobre él.

Según el convenio de signos adoptado, el radio (y la distancia focal) de los espejos cóncavos es negativo, mientras que el de los convexos es positivo. 8. Óptica geométrica

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3.3 Ecuaciones de los espejos esféricos Si se construyen imágenes a escala, se puede establecer su posición y altura. Sin embargo, cuando se requiere un estudio cuantitativo más preciso,  Usa papel milimetrado y transportadebe recurrirse a un método analítico. En la construcción de imágenes: dor de ángulos.

 Traza el eje principal.  Elige la escala adecuada.

Según la figura 8.31, en la que, para facilitar la deducción, se ha omitido el rayo que pasa por el foco y su reflejado:

A’B’ AB ; triángulo OA’B: tan β = A’O AO  Haz los trazos con la máxima pre- El ángulo de incidencia, α, es igual al de reflexión, β; por tanto:  Señala O, C y F.

triángulo OAB: tan α =

cisión (utiliza lápiz con punta fina).

AB A’O A’B’ A’B’ = → = AO AB AO A’O

 Los rayos deben ser paraxiales: conviene que estén próximos al eje principal y/o que el radio de curvatura sea grande.

s B y A’ A

y’

α

O

β

C B’

s’

Figura 8.31. Deducción de la ecuación del aumento lateral.

Aumento lateral La relación A’B’ / AB (con el signo que le corresponde por los ejes de coordenadas) se conoce como aumento lateral, A, puesto que relaciona el tamaño de la imagen con el del objeto. En la última ecuación, si se expresa con las magnitudes s, s’, y e y’: y’ s’ A= [8.1] =– y s

Óptica La Óptica estudia las propiedades y la naturaleza de la luz y sus interacciones con la materia. Muchos fenómenos luminosos se pueden analizar prescindiendo de la naturaleza de la luz, por simples métodos geométricos: así procede la Óptica geométrica. Aquellos fenómenos que exigen para su estudio tener en cuenta el carácter ondulatorio de la luz (como, por ejemplo, las interferencias y la difracción) son estudiados por la Óptica física.

El signo «–» se comprende fácilmente por la simple observación de las figuras. Esta ecuación, deducida para un caso particular, es general para los espejos esféricos (cóncavos y convexos). En los esquemas el objeto está a la izquierda del espejo, y s será siempre negativa. Si la imagen es real, se forma a la izquierda y, por tanto, s’ también es negativa; si s’ es positiva, la imagen es virtual (se forma detrás de la superficie reflectante). Si y e y’ tienen el mismo signo, el objeto y la imagen presentan la misma orientación; cuando esto no sucede, su signo es opuesto. Si la imagen y el objeto tienen la misma orientación, el cociente y’ / y es positivo; por tanto, según la ecuación [8.1], s y s’ deben tener signo opuesto y la imagen obtenida es virtual.

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Ecuación fundamental de los espejos esféricos

Recuerda

Como se observa en la figura 8.32, si solo se consideran rayos paraxiales, los puntos F, G1 y O forman un triángulo rectángulo.

Los rayos de luz paraxiales son aquellos cuya separación respecto del eje principal es muy pequeña.

f T3 T2

O

F

G1 G2 G3

Figura 8.32. Cuanto más próximo al eje principal es el rayo incidente, más próxima está la distancia FT a la distancia focal. Para el ángulo φ de la figura 8.33, se tiene que: AB AB =  Triángulo ABF. tan φ = AO – FO AF  Triángulo FOG. tan φ =

OG FO

=

A’B’ FO s

B y φ y’

A

f A’

φ

F

C

O G

B’ s’

Figura 8.33. Deducción de la ecuación fundamental de los espejos esféricos. Utilizando el convenio de signos y notación: AB AO – FO

=

A’B’ FO

→

s – f y y’ y = – → = – s–f f f y ’

Teniendo en cuenta la ecuación [8.1], conduce a: –

s s s s s s–f s–f → –1= → = +1 = =– f f s’ f s’ f s’ 1 1 1 + = s s’ f

[8.2]

Se trata de la ecuación fundamental de los espejos esféricos, en la cual debe tenerse muy en cuenta que los valores numéricos s, s’ y f se sustituyen con el signo que les corresponda según el convenio adoptado. 8. Óptica geométrica

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Recuerda Según el convenio de signos adoptado:  s’ > 0: imagen virtual.  s’ < 0: imagen real.  y’ > 0: imagen derecha.  y’ < 0: imagen invertida.  Espejo cóncavo: R < 0.  Espejo convexo: R > 0.

EJEMPLO

❚ Una cerilla de 4,0 cm de altura se coloca a 40,0 cm de un espejo cóncavo de 60,0 cm de radio. Halla la posición, tamaño y naturaleza de la imagen.

❚ Según el convenio de signos, los datos del enunciado son:  Distancia objeto: s = –0,400 m. 1 R = –0,300 m 2  Altura del objeto (supuesto derecho): y = 0,040 m.  Distancia focal:

f=

Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos: 1 1 1 1 1 1 sf + = → = – → s’ = s s’ f s’ f s s–f s’ =

(–0,400 m) · (–0,300 m) = –1,20 m (–0,400 m) – (–0,300 m)

Como s’ es negativa, la imagen obtenida es real. El tamaño se deduce de la fórmula del aumento lateral: y’ s’ s’ –1,20 m = – → y’ = – y = –0,040 m = –0,12 m y s s –0,040 m La imagen tiene 12 cm de altura (el triple que el objeto) y, como el signo de y’ es negativo, es invertida respecto del objeto. Según se deduce de la ecuación fundamental de los espejos esféricos, la distancia imagen de un objeto no depende de la altura del mismo; solo depende de su posición y de las características del espejo.

EJEMPLO Recuerda

❚ Realiza

Si R es el radio de un espejo esférico, su distancia focal, f, es: R f= 2

vexo.

el ejemplo anterior, pero suponiendo que el espejo es con-

❚ Los datos son:  Distancia objeto: s = –0,400 m. 1  Distancia focal: f = R = 0,300 m 2  Altura del objeto (supuesto derecho): y = 0,040 m. Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos: s’ =

(–0,400 m) · 0,300 m sf = = 0,171 m s – f (–0,400 m) – 0,300 m

Como s’ es positiva, la imagen de la cerilla es virtual. El tamaño de la imagen es: s’ 0,171 m = –0,040 m = 0,017 m y ´= – y s – 0,400 m La altura de la imagen es de 1,7 cm y, como el signo de y’ es positivo, es derecha respecto del objeto. En este ejemplo, que se refiere a la imagen dada por un espejo convexo, antes de realizar los cálculos se puede prever que dicha imagen debe ser virtual (s’ > 0), derecha (y’ > 0) y menor (y > y’ ). 226

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4 Lentes A

La superficie de separación de dos medios transparentes de diferente índice de refracción se llama dioptrio. Por ejemplo, la superficie de separación del aire y el agua es un dioptrio plano.

n

n´

La superficie esférica AOB de la figura 8.34, que separa dos medios transparentes de distinto índice de refracción, es un ejemplo de dioptrio esférico; si el material de índice de refracción n’ fuese vidrio y el medio de índice de refracción n fuese aire, y se cortase por los puntos ACB, se tendría una lupa (con una superficie plana y otra convexa).

O

El centro (C ) de la superficie esférica se denomina centro de curvatura.

Figura 8.34. Dioptrio esférico.

C

B

El centro (O ) del casquete esférico es el centro de figura o vértice. La recta que pasa por el centro de curvatura y el de figura se llama eje principal o eje óptico. Un sistema óptico centrado es el formado por una sucesión de dioptrios esféricos cuyos centros se encuentran sobre una misma recta, que es el eje óptico del sistema. Una lente esférica es un sistema óptico centrado constituido por una sucesión de dos dioptrios, de los cuales al menos uno es esférico, en el que los medios refringentes extremos tienen el mismo índice de refracción (generalmente es aire). Las lentes se clasifican en dos grupos: Lentes convergentes: son más gruesas en el centro que en los bordes. Como indica su nombre, y como se verá a continuación, tienden a concentrar los rayos. La figura 8.35 muestra las diversas secciones de lentes convergentes y el símbolo que se utiliza en los esquemas. Un ejemplo bien conocido de lente convergente es la lupa.

a

c

b

Figura 8.35. Secciones de lentes convergentes y su símbolo. a) Biconvexa, b) plano-convexa y c) cóncavo-convexa (también llamada menisco convergente).

Lentes divergentes: son más gruesas en los bordes que en el centro; tienden a abrir el haz de rayos de luz. La figura 8.36 muestra las diversas secciones de lentes divergentes y el símbolo que se utiliza en los esquemas. Las lentes de las mirillas de las puertas y las que se utilizan para corregir la miopía son divergentes.

a

b

c

Figura 8.36. Secciones de lentes divergentes y su símbolo. a) Bicóncava; b) plano-cóncava y c) convexo-cóncava (también llamada menisco divergente).

Figura 8.37. Lente convergente (izquierda) y lente divergente (derecha). Una lente se considera delgada si su grosor es pequeño comparado con los radios de curvatura de sus dioptrios. 8. Óptica geométrica

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4.1 Elementos ópticos de las lentes Tanto si la lente es convergente como si es divergente, los elementos que interesa considerar son: Centros de curvatura, C y C’: son los centros de los dioptrios que la forman, es decir, de sus superficies esféricas. Si una de las caras es plana, su centro está en el infinito. Eje principal o eje óptico: es la recta que une los centros de curvatura de los dos dioptrios. Si uno de ellos es plano, el eje principal es la perpendicular al mismo que pasa por el centro de curvatura del otro. Centro óptico (O ) de una lente delgada: es un punto interior de la misma, que está en su eje óptico, y que tiene la propiedad de que todo rayo que pasa por él no cambia de dirección. Foco imagen (F’ ). Si sobre una lente convergente inciden rayos paralelos a su eje óptico, los rayos refractados correspondientes convergen en un punto de dicho eje: es el foco imagen (F’ ). Si sobre una lente divergente inciden rayos paralelos a su eje principal, los rayos refractados correspondientes emergen de forma que sus prolongaciones convergen en un punto del eje principal de la lente: este punto (F’ ) es el foco imagen de la lente. El foco objeto (F ) es el punto del eje principal con respecto al cual todo rayo (o prolongación) que lo atraviesa emerge de la lente paralelo al eje principal.

C

F

O

F´

C´

F

C´

Figura 8.38. Foco de una lente

convergente. Los rayos se propagan de izquierda a derecha.

f´

C

F´

O

f´

Figura 8.40. Elementos ópticos de una lente convergente y una divergente. Figura 8.39. Sección de lente

divergente. Los rayos paralelos al eje óptico, al refractarse, divergen. Los rayos se propagan de izquierda a derecha.

La distancia focal imagen (f’ ), es la distancia que hay entre el foco imagen (F’ ) y el centro óptico (O). Según el convenio de signos: En las lentes convergentes, la distancia focal imagen es positiva (f’ > 0). En las lentes divergentes, la distancia focal imagen es negativa (f’ < 0).

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Potencia de una lente. Dioptría El inverso de la distancia focal imagen (f’ ) se conoce como potencia o convergencia de una lente: P=

1 f’

[8.3]

La unidad de potencia es la dioptría: si la distancia focal se expresa en metros, la potencia se obtiene en dioptrías. Una lente tiene una potencia de una dioptría si su distancia focal es de un metro. En las lentes delgadas se cumple que:

Según el convenio de signos, la distancia focal (imagen) de las lentes convergentes es positiva; por tanto, su potencia también es positiva. La potencia de las lentes divergentes es negativa (f’ < 0). La potencia de una lente convergente está relacionada con su capacidad de hacer converger los rayos que la atraviesan. A más capacidad de convergencia, menor distancia focal imagen y, en definitiva, más potencia.

Ecuación del fabricante de lentes. Si n es el índice de refracción de la lente, la relación entre f’ y los radios de curvatura (R1 y R2) de los dioptrios por los que, respectivamente, entra y sale la luz es: 1 = (n – 1) f’

1 1 – R2 R1

Cuando se tienen varias lentes en contacto unas con otras, la potencia del conjunto es la suma de las potencias de las lentes que lo forman.

4.2 Formación de imágenes en las lentes Las imágenes en las lentes delgadas se pueden construir siguiendo el mismo procedimiento que en los espejos, es decir: De cada punto del objeto se sigue la marcha de dos (o más) de los infinitos rayos que parten de él y llegan a la lente; si los rayos que emergen de la lente se cortan, ese punto de corte es el punto imagen y esa imagen es real, mientras que, si son divergentes, el punto imagen es aquel en el que se cortan las prolongaciones de estos rayos refractados y, entonces, esa imagen es virtual.

O

F

P

F’

P’

P

F’

P’

O

F

Al construir imágenes, conviene tener en cuenta las normas indicadas para los espejos esféricos:  Usar papel milimetrado.  Trazar el eje óptico.

Figura 8.41. Imagen de un punto del eje óptico. Comportamiento de las lentes. La imagen, P’, de

un punto objeto, P, del eje óptico también está en dicho eje. Para explicar el comportamiento de las lentes, se han descompuesto en prismas (que desvían la luz hacia su base).

Se puede utilizar cualquier rayo que, partiendo del objeto, alcance la lente, pero es más fácil dibujar aquellos cuyo refractado es más sencillo de trazar: Rayo incidente

 Elegir la escala adecuada.  Señalar los focos. R ealizar los trazos con la máxima precisión.

Rayo emergente

a

Es paralelo al eje óptico.

Pasa por el foco imagen.

b

Pasa por el centro óptico.

No cambia su dirección.

c

Pasa por el foco objeto.

Es paralelo al eje óptico. 8. Óptica geométrica

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Estos rayos se han utilizado en las figuras 8.42 y 8.43. Con dos de ellos basta y, además, si el dibujo se realiza a escala, se puede hacer un estudio cuantitativo. En la figura 8.42, la imagen es real puesto que se forma por la intersección de rayos de luz, mientras que, en la figura 8.43, la imagen es virtual y no podrá recogerse sobre una pantalla.

a c

a

b

b F

c

F’

O

O

F’

Figura 8.42. Formación de la imagen en una lente convergente. En este caso, la imagen es invertida, real y mayor (es el caso de un proyector de diapositivas: el objeto es la diapositiva).

F

Figura 8.43. Formación de la imagen en una lente divergente. La imagen es menor, derecha y virtual. Nótese que el rayo c emerge paralelo al eje óptico.

En estos ejemplos, como el objeto tiene un extremo en el eje principal, la imagen de dicho punto también está sobre el eje; por tanto, para construir la imagen del objeto, solo es preciso establecer la del otro extremo. En la figura 8.44, la imagen es invertida y real, pero es menor. Si el objeto se encuentra muy próximo a la lente convergente (entre O y F, figura 8.45), la imagen es mayor, derecha y virtual: actúa como lupa.

y F

F’

O

y’ f’ s

s’

Figura 8.44. Si el objeto está alejado de la lente convergente, la imagen es invertida, menor y real. De acuerdo con el convenio de signos, en este ejemplo s < 0; y > 0; f ’ > 0; s’ > 0; y’ < 0. F

F’

O s f’ s’

Figura 8.45. Si el objeto está entre F  y O de una lente convergente, la imagen es mayor, derecha y virtual. De acuerdo con el convenio de signos, en este ejemplo s < 0; y > 0; f’ > 0; s’ < 0; y’ > 0.

En las lentes divergentes, la imagen siempre es derecha, menor y virtual. En las lentes convergentes, la naturaleza, posición y tamaño de la imagen dependen de la posición del objeto respecto de la lente. La tabla siguiente recoge las distintas posibilidades. Posición del objeto (s)

Imagen

–∞ ≤ s < 2f

Menor, invertida, real

2f < s < f

Mayor, invertida, real

s=f

No se forma

f<s<0

Mayor, derecha, virtual

230

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Imagen en un sistema óptico Cuando el sistema consta de dos lentes separadas, como sucede, por ejemplo, en un microscopio, se empieza por establecer la imagen que forma la primera lente, prescindiendo de la segunda. Después, la imagen dada por la primera lente se toma como objeto de la segunda lente y, siguiendo el procedimiento habitual, se establece la imagen que proporciona de ella esta segunda lente.

4.3 Fórmulas de las lentes delgadas Observa la figura 8.46. Teniendo en cuenta el mismo convenio de signos que en los espejos esféricos, se puede deducir: triángulo ABO: tan α =

A’B’ AB ; triángulo OB’A’: tan α = A’O AO

AB A’B’ A’B’ A’O = → = AO A’O AB AO B

G

y

α

A

O

F

β

α

F’

β

A’ B’

y’

f’ s

s’

Figura 8.46. El término A’B’ / AB, relación entre el tamaño de la imagen y el del objeto, es el aumento lateral (A); con la notación convenida: y’ s’ A = = [8.4] y s En los triángulos OF’G y F’B’A’, se tiene que: A’B’ OG triángulo OF´G: tan β = ; triángulo F´B’A’: tan β = F’A´ OF´ Como OG = AB = y, teniendo en cuenta el convenio de signos y la ecuación del aumento lateral: y´ f´ – s´ s´ y y´ A’B’ AB ; f´s – ss´= f´s´ ; ; = = – = = s f´ s´ – f´ y f´ F’A´ OF´

1 1 1 – = s f’ s’

[8.5]

La anterior es la ecuación fundamental de las lentes delgadas, también conocida como ecuación de Gauss (de las lentes delgadas). Como el inverso de la distancia focal imagen es la potencia de la lente:

1 1 – =P s’ s

[8.6]

8. Óptica geométrica

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EJEMPLOS

❚ Al mirar un dedo a través de las gafas que lleva una persona miope, empezando con el dedo en contacto con la lente y alejándolo progresivamente, se observa que, a medida que se separa, su imagen es cada vez menor, pero siempre es derecha. Justifica estas observaciones y deduce qué tipo de lente llevan las personas miopes.

❚

Si con el objeto muy próximo a la lente su imagen es menor, dicha lente no es convergente, puesto que, si lo fuese, a distancias pequeñas actuaría como lupa. Por tanto, los miopes utilizan lentes divergentes, lo cual se comprueba al comparar el grosor del centro de las lentes con el de los bordes: son más gruesas en estos. La figura 8.47 permite deducir que, a medida que el objeto se aleja, la imagen obtenida, que es virtual, es menor.

F’

Figura 8.47.

❚ Un objeto de 4,0 cm de altura está situado a 20,0 cm de una lente delgada cuya potencia es de –5,0 dioptrías. ¿De qué tipo de lente se trata (convergente o divergente)? Determina analíticamente las características de la imagen.

Recuerda  Lentes convergentes: potencia positiva.

 Lentes divergentes: potencia negativa.

❚

Dado que la potencia es negativa, la lente es divergente. Los datos del enunciado son:  Altura del objeto: y = + 0,040 m.  Distancia objeto: s = –0,200 m.  Potencia, P = –5,0 dioptrías. A partir de la ecuación fundamental de las lentes delgadas se determina la distancia imagen, s': 1 1 1 1 1 1 = – = →= + s s´ f´ s´ f´ s Sustituyendo los valores numéricos: 1 1 1 = +P→ + (–5,0 m–1) → = s’ = –0,10 m = –10 cm s´ s –0,200 m Que la distancia imagen sea negativa significa que la imagen es virtual. La altura de la imagen se obtiene a partir de la ecuación del aumento lateral: A=

y’ s’ s’ –0,10 m = → y’ = y = 0,040 m = 0,020 m y s s –0,200 m

El signo positivo de la altura de la imagen, y', significa que la imagen tiene la misma orientación que el objeto. Por tanto, la imagen obtenida es menor, derecha y virtual. 232

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EJEMPLOS

❚ La figura 8.48 muestra un objeto, de 10 cm de altura, que se encuentra delante de una lente. ¿De qué tipo de lente se trata (convergente o divergente)? Determina analíticamente las características de la imagen que se obtiene del objeto.

30 cm

❚

F

La lente es convergente.

F’ 20 cm

Los datos del enunciado son:

 Altura del objeto: y = +0,10 m.  Distancia objeto: s = –0,30 m.

Figura 8.48.

 Distancia focal, f' = +0,20 m. A partir de la ecuación fundamental de las lentes delgadas se determina la distancia imagen, s': s f´ f´ + s 1 1 1 1 1 1 1 = →= → → s´ = – = + = f´ +s s f´ s´ s f´ s´ f´ s´ s Sustituyendo los valores numéricos: s f´ (–0,30 m) · (0,20 m) s’ = = 0,60 m = f´ + s (0,20 m) + (–0,30 m) Que la distancia imagen sea positiva significa que es una imagen real. La altura de la imagen se obtiene a partir de la ecuación del aumento lateral: y’ s’ s’ 0,60 m A= = = 0,10 m = –0,20 m → y’ = y y s –0,30 m s El signo negativo de la altura de la imagen, y', significa que la imagen es invertida respecto del objeto. Por tanto, la imagen obtenida es mayor, invertida y real.

❚ Resuelve gráficamente el ejemplo anterior.

❚

La figura 8.49 muestra la resolución gráfica, utilizando papel milimetrado y a escala 1:10. En la construcción de la imagen se han utilizado dos rayos de luz que pasan por el extremo superior del objeto:  Uno paralelo al eje principal; su refractado pasa por el foco imagen, F'.

 Otro que pasa por el centro óptico y, por ello, no experimenta desviación al atrave sar la lente. 2 cm

F

Escala 1:10

F’

2 cm 3 cm

6 cm

Figura 8.49. Como la escala es 1:10, la distancia imagen es s' = 6,0 cm · 10 = 60 cm.

La altura de la imagen, en el papel milimetrado, es de −2,0 cm. Por tanto, la altura real es −2,0 cm · 10 = −20 cm. 8. Óptica geométrica

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5 El ojo humano El órgano humano de la visión es un sistema óptico que produce imágenes de los objetos sobre una «pantalla» denominada retina. El ojo tiene una forma aproximadamente esférica, de unos 25 mm de diámetro. Está limitado exteriormente por la esclerótica, una membrana blanca, opaca y resistente que, en su parte anterior, se abomba, tiene mayor curvatura y se hace transparente: es la córnea. Una segunda membrana, la coroides, recubre la parte interior del ojo, excepto la córnea. Detrás de la córnea se encuentra un líquido transparente, el humor acuoso, que es una disolución acuosa de cloruro de sodio (n = 1,34); el humor acuoso es retenido por el cristalino, un cuerpo elástico, transparente y de aspecto gelatinoso, que se comporta como una lente convergente (biconvexa). El cristalino está sujeto por sus extremos al globo ocular mediante los músculos ciliares, que, según la presión que ejerzan, hacen que el cristalino se abombe más o menos, variando su radio de curvatura y, en definitiva, su potencia. El cristalino es una lente convergente de distancia focal variable. Detrás del cristalino, y rellenando todo el espacio restante en el globo ocular, se encuentra el humor vítreo, líquido de aspecto gelatinoso con un índice de refracción prácticamente igual al del humor acuoso. La luz entra en el ojo por la pupila, una abertura de diámetro variable que hay en el centro del iris cuya pigmentación proporciona el color de los ojos. La pupila regula la entrada de luz: es un diafragma que deja pasar más o menos luz según su intensidad. El diámetro de la pupila varía entre 2 mm y 8 mm. Esta gran diferencia se puede comprobar con un experimento sencillo: al colocarse delante de un espejo, en una habitación con poca iluminación, y mirar la pupila de los ojos, cuando se acerca un foco de luz de cierta intensidad (por ejemplo, una linterna) se observará la espectacular variación del diámetro de la pupila según la intensidad de luz. Esclerótica

Para llegar a la retina e impresionarla, los rayos de luz tienen que atravesar un conjunto de elementos oculares, sólidos y líquidos, perfectamente transparentes. Son, por este orden: la córnea, el humor acuoso, el cristalino y el humor vítreo.

Coroides Humor acuoso

Córnea

Retina

Fóvea

Pupila Iris Cristalino Músculos ciliares Humor vítreo

Nervio óptico

Figura 8.50. Ojo humano. Las glándulas lagrimales, que se encuentran en la parte superior de la cavidad ocular, secretan las lágrimas. Con la ayuda del parpadeo, las lágrimas contribuyen a que la córnea se mantenga limpia y húmeda. Además, las lágrimas bañan la superficie exterior del ojo y, a través del conducto lagrimal, desembocan en la nariz. 234

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En el fondo del globo ocular, la coroides está recubierta por un tapizado de células nerviosas, sensibles a la luz, que forman la retina, destinada a recoger la imagen. Las prolongaciones de algunas de estas células se unen y dan origen al nervio óptico, que establece la conexión entre la retina y el cerebro. En la retina hay una ligera depresión, llamada mancha amarilla o mácula, en cuyo centro existe una minúscula región, de unos 0,25 mm de diámetro, denominada fóvea, que es la zona de máxima sensibilidad. Al mirar un punto, el ojo se orienta de modo que en ella se forme la imagen. Por el contrario, la zona por la que el nervio óptico se integra en el ojo no es sensible a la luz (es el punto ciego). Una sencilla experiencia pone de manifiesto algunas de las características del punto ciego y de la fóvea: cerrando el ojo izquierdo, con el ojo derecho se debe fijar la visión en la cruz de la figura 8.51. Variando lentamente la distancia del papel al ojo, cuando esta sea de unos 25 cm, el cuadrado desaparece de la visión; si se sigue acercando el papel, vuelve a verse el cuadrado, pero no se ve el círculo; y, a una distancia aún menor, reaparece este último. Al observar la figura a distintas distancias del ojo, su imagen se forma siempre con la cruz en la fóvea, mientras que el resto de la imagen se extiende hacia la derecha de la misma, pero como el punto ciego del ojo derecho está situado a la izquierda de la fóvea, y como el tamaño de la imagen es distinto según la distancia de la figura al ojo, unas veces la imagen del punto coincide con el punto ciego, otras coincide con la del cuadrado y en otras con ninguna de las dos.

Visión de los colores Como se indicó en la unidad anterior, en la retina se encuentran dos tipos de células: los conos y los bastones; las primeras son las responsables de la visión cromática.

Figura 8.51. Punto ciego. Experiencia para poner de manifiesto el punto ciego y su posición respecto de la fóvea.

5.1 Acomodación Cuando un objeto se encuentra muy alejado de una lente convergente, es decir, si |s | >> f’, la imagen se forma prácticamente en el foco imagen. Si se aplica la ecuación de las lentes delgadas: 1 1 1 – = s f´ s´

→ s´=

s f´ ; si |s | >> f´ → s´ ≈ s + f´

s f´ s

= f´

Por tanto: Cuando se mira un objeto lejano, el cristalino forma la imagen en la retina y su foco está prácticamente en ella. En esta situación, el cristalino está en reposo, es decir, no se ve sometido a compresión por parte de los músculos ciliares. 8. Óptica geométrica

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Si un objeto lejano se acerca a la lente, y esta no modifica su potencia, la imagen se forma cada vez más lejos del foco. Por tanto, si la distancia entre la lente (el cristalino) y la pantalla (retina) es fija, para poder ver nítidamente un objeto que se aproxima es preciso que se modifique (disminuya) la distancia focal; como 1/s’ es constante, en la ecuación de las lentes se tiene: 1/f’ = constante +1/(–s); si el objeto se acerca, el término (–s), que será positivo, disminuye, 1/(–s) aumenta y, por consiguiente, f’ debe ser cada vez menor. a

b

C

C F´1

R1

F´1

R2

Figura 8.52. La compresión de los músculos ciliares aumenta la curvatura del cristalino: reduce su distancia focal. En b) la acomodación abomba más el cristalino que en a). (La línea de puntos es la circunferencia del dioptrio que forma el cristalino; no confundirla con el globo ocular). En la acomodación, la potencia del cristalino varía: a medida que el objeto se acerca, su distancia focal disminuye y, por tanto, su potencia aumenta.

La acomodación es un proceso involuntario en el que los músculos ciliares hacen variar la distancia focal del cristalino según la distancia del objeto que se mira. Cuando se acerca el objeto que se mira, estos músculos comprimen al cristalino, que aumenta su curvatura (se abomba), es decir, se reduce el radio de sus dioptrios y, en definitiva, su distancia focal se hace menor.

Los límites de la acomodación La acomodación tiene un límite: si se observa un objeto próximo y se acerca lentamente hacia el ojo, a partir de una determinada distancia ya no se aprecia nítidamente: el punto más cercano al ojo que puede verse con nitidez se llama punto próximo y su distancia al ojo es la distancia mínima de la visión distinta. Esta distancia varía de unas personas a otras y con la edad, pero es de unos 25 cm. Más adelante se explica que, con la edad, el poder de acomodación disminuye y algunas personas deben alejar los objetos (por ejemplo, un texto escrito) para verlos mejor. a

b F´

c F´

y

F´

y´

Figura 8.53. Acomodación. a) Visión de un objeto lejano: la imagen se forma en la retina; el foco

está en ella; b) si el objeto se acerca y no se modifica la distancia focal, la visión se torna borrosa; c) gracias a la acomodación, f’ disminuye y la imagen del objeto cercano se forma en la retina.

El punto remoto es el punto más alejado donde puede estar un objeto para que lo vea nítidamente el ojo en reposo; su distancia al ojo es la distancia máxima de visión distinta. Además del cristalino, la córnea (que es curvada) y el humor acuoso también refractan notablemente la luz. En los adultos, la potencia del cristalino en reposo, es decir, cuando su potencia es mínima, es de unas 20 dioptrías; la potencia del ojo, en su conjunto, es de unas 40 dioptrías. 236

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6 Defectos de la visión 6.1 Presbicia o vista cansada Cuando una persona fija la vista en un objeto cercano, por ejemplo, cuando lee, escribe, cose o mira al monitor de un ordenador, los músculos ciliares ejercen presión sobre el cristalino, que aumenta su curvatura y, por tanto, su potencia. A lo largo de la vida, estos músculos pierden potencia, y el cristalino, elasticidad, por lo que la visión próxima se hace cada vez más difícil. La presbicia o vista cansada es la reducción de la capacidad de acomodación debida a la fatiga de los músculos ciliares o a la pérdida de flexibilidad del cristalino. Para el ojo présbita, el punto remoto no varía, pero el punto próximo se aleja: las personas con vista cansada ven bien excepto cuando miran de cerca. La vista cansada se suele presentar a los 40-45 años. Es más probable en personas que desarrollen actividades en las que predomine la visión de objetos cercanos.

Figura 8.54. Optometrista examinando a un paciente. Los optometristas prescriben las lentes correctoras, que son fabricadas por el óptico. Los médicos especialistas en las enfermedades del ojo son los oftalmólogos.

Esta falta de convergencia del ojo se corrige con lentes convergentes. En el mercado se encuentran varias alternativas para esta corrección: las lentes de «vista próxima», de reducido tamaño, que permiten mirar a lo lejos por encima de ellas (y por ellas cuando se deben observar objetos próximos, por ejemplo para leer) y las gafas «bifocales» y, más recientemente, los cristales progresivos, que pueden considerarse como un conjunto de diversas lentes de diferente potencia, la cual varía gradualmente según la corrección que se precise y en función de la visión que se efectúa (próxima o lejana).

Las nuevas técnicas de cirugía ocular permiten corregir la presbicia de forma permanente: el cristalino del paciente se sustituye por otro artificial (lente intraocular) a través de una intervención de tipo ambulatorio (ver apartado 6.7).

6.2 Miopía El ojo miope ve mal de lejos, pero bien de cerca, debido a un exceso de convergencia (generalmente, por ser más alargado de lo normal). Cuando el ojo miope está en reposo (vista lejana), el foco imagen no está en la retina, sino entre ella y el cristalino, por lo que no se forma una imagen nítida del objeto; por otro lado, el exceso de convergencia hace que el punto próximo esté muy cercano, por lo que los miopes ven muy bien de cerca y a distancias más próximas que el ojo normal. Para corregir este exceso de convergencia se utilizan lentes divergentes. Como las lentes divergentes proporcionan imágenes más pequeñas y derechas, si se mira a los ojos a una persona miope que lleve lentes correctoras, se observará que estos son más pequeños vistos a través de las lentes que en la visión directa, siendo más acusada la diferencia cuanto mayor sea la corrección que lleva dicha persona. a

b F´

F´

Figura 8.55. Miopía. a) Sin corrección y b) con corrección por lente divergente. 8. Óptica geométrica

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6.3 Hipermetropía El ojo hipermétrope adolece de falta de convergencia, generalmente porque es más corto de lo normal, por lo que tiene dificultades en la visión próxima, pues, en este caso, la imagen se forma detrás de la retina. Se corrige con lentes convergentes. a

b F´

F´

Figura 8.56. Hipermetropía. a) Sin corrección y b) con corrección por lente convergente. Cuando el ojo hipermétrope está en reposo, su foco imagen está detrás de la retina: la imagen de un objeto lejano se forma detrás de la retina y, por consiguiente, el ojo hipermétrope debe acomodarse para ver bien de lejos. El punto próximo también se encuentra más lejos de lo normal.

6.4 Astigmatismo En el ojo normal, la córnea presenta una superficie anterior prácticamente esférica.

Figura 8.57. Test de astigmatismo.

Se aplica a cada ojo por separado. Se deben ver todos los radios con igual nitidez, grosor y separación. Si no es así, la persona tiene astigmatismo.

En la persona que padece astigmatismo, la curvatura de la córnea tiene alguna irregularidad, de tal manera que de un objeto pueden obtener imágenes parciales situadas en planos diferentes, con lo que la visión no es buena (ni de lejos ni de cerca). El astigmatismo se puede poner de manifiesto porque dificulta la visión clara y simultánea de dos rectas perpendiculares, de los radios de la rueda de una bicicleta... Se corrige con lentes cilíndricas (que se obtienen cortando un cilindro por un plano paralelo al eje).

6.5 Cataratas Para una visión nítida, es necesario que el cristalino sea transparente.

El glaucoma: mejor prevenir que curar El glaucoma es una de las causas principales de ceguera. Consiste en una alteración progresiva del nervio óptico a causa del aumento de la presión intraocular. De no tratarse a tiempo, conduce a la ceguera irreversible. Puesto que el paciente que lo padece no suele tener síntomas externos ni molestias subjetivas, es muy importante someterse a controles periódicos de la presión intraocular, lo cual se realiza con una prueba sencilla (tonometría).

Las cataratas consisten en la pérdida de transparencia del cristalino, lo que produce una visión borrosa. Quien las padece pierde agudeza visual de forma paulatina. Aunque hay varios tipos de cataratas, el más frecuente es el relacionado con la edad: las padecen, en mayor o menor extensión, el 50 % de las personas de entre los 65 y 75 años, y más del 70 % de los mayores de 75 años. Suele afectar a los dos ojos. Dada su naturaleza, se entiende que no hay posibilidad de corrección de las cataratas, salvo la cirugía (generalmente, se sustituye el cristalino por otro sintético), la cual ha avanzado notablemente en los últimos tiempos de forma que la intervención se realiza sin ingreso hospitalario (o bien, muy reducido). También se aprovecha la sustitución del cristalino para, al tiempo que se eliminan las cataratas, abordar la solución definitiva de otros defectos debidos al cristalino (miopía...).

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6.6 Daltonismo

Lentes de contacto

El daltonismo es un defecto de la vista que consiste en la imposibilidad de distinguir determinados colores; quienes lo padecen confunden el rojo y el verde. Está asociado a deficiencias (o ausencia) de los conos de la retina. La visión anormal de los colores la presentan un 8 % de los hombres y el 0,4 % de las mujeres. Puede deberse a complicaciones de alguna enfermedad ocular, pero casi siempre es hereditaria y va ligada al sexo. El gen portador de este carácter se encuentra en la zona diferencial del cromosoma X y es recesivo; en el hombre (XY), el daltonismo se manifestará si el cromosoma X contiene el gen anormal; en la mujer (XX), solo si los dos cromosomas tienen el gen anormal. No obstante, las mujeres que son hijas de un hombre daltónico transmitirán el defecto a la mitad de sus hijos; es decir, el defecto salta generaciones y se puede presentar en los hombres de la segunda generación.

Fue Leonardo da Vinci, en 1508, quien propuso el uso de lentes de contacto para corregir algunos defectos de la visión, pero no fue hasta 1940 cuando se fabricaron lentes de contacto (rígidas) cómodas y eficaces. Ofrecían ciertas dificultades de adaptación que se redujeron en gran medida con la aparición, a principios de los años setenta, de las lentes blandas (hoy en día incluso se comercializan desechables). Estudios posteriores pusieron de manifiesto que la córnea requiere oxígeno, por lo que se investigaron materiales con los que fabricar lentes de contacto permeables a este gas (las blandas no lo son). Así se mejora aún más su eficacia y comodidad de uso.

6.7 La nueva cirugía ocular La cirugía refractiva permite corregir de forma permanente defectos refractivos como la miopía, el astigmatismo y la hipermetropía, de forma que quien los padece puede prescindir de gafas y lentes de contacto. Utiliza el láser para modelar la córnea del paciente, bien sea las capas externas o bien las más internas, previo estudio topográfico de la misma. Es una intervención ambulatoria que se desarrolla en pocos minutos, tras la cual el paciente ve correctamente en menos de 24 horas. La técnica más utilizada actualmente en la cirugía de las cataratas es la facoemulsificación con lente intraocular plegable que, en la mayor parte de los casos, permite realizar la intervención de forma ambulatoria, sin anestesia general. Consiste en la sustitución del cristalino opacificado por otro sintético. En la córnea se practica una pequeña incisión (3 mm), a través de la cual se desarrollarán todas las acciones que requerirá la operación. Por dicha incisión se introduce una pequeña sonda de ultrasonidos con la que se consigue triturar el núcleo del cristalino defectuoso y se aspiran los fragmentos originados. Seguidamente, se introduce el nuevo cristalino, una lente intraocular plegada, la cual, una vez colocada en su lugar, se despliega como si de un paraguas se tratase. Dicha lente se construye a medida del paciente, para así corregir los defectos que padecía (por ejemplo, miopía).

Figura 8.58. Lente de contacto.

Dado el pequeño tamaño de la incisión practicada, esta se cierra espontáneamente sin necesidad de suturas, o bien con la aplicación de uno o dos puntos.

1. Con el microquerátomo automático se levanta una lámina corneal.

2. Imagen de la lámina corneal en la que se aprecian las capas más profundas de la córnea (estroma).

3. Se aplica el láser excimer sobre el estroma corneal.

4. Se recoloca la lámina en su posición inicial, sin necesidad de sutura.

Figura 8.59. Técnica Lasik para corregir defectos refractivos del ojo. 8. Óptica geométrica

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7 Instrumentos ópticos 7.1 Lupa de aumento Como se dijo anteriormente, si un objeto se coloca entre el foco objeto y la lente convergente, la imagen es mayor, derecha y virtual.

Tamaño aparente de un objeto El tamaño aparente de un objeto viene determinado por el tamaño de la imagen en la retina de la persona que lo observa.

La lupa, o microscopio simple, es el más sencillo de los instrumentos ópticos: es una lente convergente de pequeña distancia focal (y, por tanto, de gran potencia) que se interpone entre el ojo y el objeto para aumentar el tamaño de la imagen formada en la retina.

En la figura se muestra que el tamaño aparente de un mismo objeto depende de la distancia de este al ojo: cuanto más próximo está, mayor es el tamaño aparente:

y

Si queremos ver un objeto con detalle, debemos acercarlo a los ojos para aumentar el ángulo de visión, pero este proceso tiene el límite del punto próximo (≈ 25 cm). Con la lupa, cuando se enfoca, la imagen obtenida se forma en el punto próximo.

ϕ1

Aumento visual

y´1

y

El aumento visual de una lupa (A ) es el cociente entre el diámetro aparente de la imagen (ángulo bajo el cual se ve la imagen con la lupa) y el diámetro aparente del objeto observado a ojo desnudo, es decir, el ángulo con el cual se observa el objeto directamente con el ojo y situado a la mínima distancia de visión distinta (fig. 8.61): β A = α

ϕ2 y´2

Figura 8.60.

Al estar el objeto en la zona paraxial, los ángulos (en radianes) y su tangente son prácticamente iguales: tan β β A = ≈ tan α α Si, como muestra la figura 8.61, se coloca la lupa muy cerca del ojo y se dispone el objeto de forma que su imagen se forme en el punto próximo: y´ A =

a

β α

≈

y´ d tan β = p = y y tan α dp b

Q

y

Q´

y´

Q

α

P

P´

F

dp

y

P β s f

dp

Figura 8.61. a) Observación del objeto sin lupa; el objeto está en el punto próximo.

b) Observación del mismo objeto con lupa: la imagen formada por la lupa está en el punto próximo (en la figura b, para facilitar la comprensión del dibujo, se han omitido otros rayos que expliquen la formación de la imagen).

Según se observa en la figura 8.61b: tan β =

y´ –dp

=

y –s

→

y´ d = p =A y s

240

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Teniendo en cuenta la ecuación de las lentes delgadas, si la imagen se forma en el punto próximo: A = dp

d 1 1 =1– p – f´ f´ s´

Recuerda Relación entre los aumentos visual y comercial de una lupa: Ac = A – 1

Aumento comercial No debe confundirse el aumento visual con el llamado aumento comercial, Ac , que corresponde al caso en que el objeto se pone en el foco de la lupa: en esta situación, la imagen que forma la lente está en el infinito. Sin embargo, como muestra la figura 8.62, en la retina se genera una imagen real: la lupa y el ojo forman un sistema óptico en el cual a un punto del objeto (como Q) en la retina le corresponde un punto imagen (Q’ ). Por tanto, el aumento comercial es: y f 0,25 d tan β d β = = = p =– p = y f´ f tan α f´ α dp

Ac =

(si f’ se expresa en metros). En este caso, el ángulo β con el cual se ve la imagen a través de la lupa no depende de la posición del ojo (además, corresponde a la visión sin acomodación).

Q y

β

F

Q´

f

Figura 8.62. Aumento comercial de una lupa: el objeto está en el foco.

EJEMPLO

❚ ¿Cuál es la potencia y el aumento de una lupa de f’ = +5,0 cm? ¿A qué distancia debe estar un objeto para conseguir este aumento?

❚ La potencia y el aumento son: P= A=1–

1 1 = = 20 dioptrías f´ 0,050 m

–0,25 m dp =1– = 6,0 ; 0,050 m f´

Ac = A – 1 = 5,0

Por la ecuación de las lentes delgadas: 1 1 1 (–0,25 m) . (0,050 m) s´ f´ = = –0,042 m → s= = – s s´ f´ f´ – s´ (0,050 m) – (–0,25 m) 8. Óptica geométrica

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7.2 Microscopio compuesto El microscopio compuesto, o simplemente microscopio, está formado por dos lentes (o sistemas de lentes) convergentes: el objetivo, la más próxima al objeto, de distancia focal pequeña, y el ocular, la más cercana al ojo, de distancia focal algo mayor. En la figura 8.64 se observa cómo el objetivo produce del objeto AB una imagen A’B’ real, invertida y mayor; esta imagen se forma cerca del foco objeto del ocular, por lo que es el objeto para esta lente y, en definitiva, la imagen final es mayor, invertida y virtual.

Figura 8.63. Microscopio.

A

B´

B´´

B F

F´oc

Foc

F´

Objetivo A´ Ocular

A´´

Figura 8.64. Microscopio. Formación de la imagen. Son valores típicos en un microscopio óptico: D = 160 mm, f = + 2 mm y f’oc = + 8 mm: (su aumento es de 2 500×). En los de tipo revólver hay diversos objetivos, con lo que se dispone de diferentes aumentos con el mismo microscopio. Con el microscopio electrónico se consiguen aumentos superiores a 106×; en vez de luz utiliza un haz de electrones a gran velocidad y, en lugar de lentes, potentes campos magnéticos.

Para que la observación sea cómoda es conveniente que la imagen final se forme en el infinito, lo que implica que la imagen dada por el objetivo se encuentre exactamente en el foco objeto del ocular. En estas condiciones, el aumento visual comercial del microscopio viene dado por: D dp . A= f´ f´oc donde D es el intervalo óptico (la distancia entre F’ y Foc, es decir, entre el foco imagen del objetivo y el foco objeto del ocular).

7.3 Telescopio Se utiliza para observar objetos muy alejados (prácticamente en el infinito). Su sistema óptico es semejante al del microscopio. Como el objeto está muy alejado, la imagen que genera el objetivo (que es de distancia focal grande) de él es real y, además, se forma dentro de la distancia focal del ocular y es el objeto de esta lente (fig. 8.66). Su aumento visual es: f´ A = – ob f´oc Cuanto mayor es el aumento, menor es la luminosidad de la imagen (la iluminación del objeto debe repartirse en una superficie mayor en la imagen), por esto el objeto en un microscopio debe estar muy iluminado.

242

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Cuando con el telescopio (u otro instrumento óptico) se desea observar objetos lejanos, que no es posible iluminar, hay que recurrir a otra solución: aumentar el diámetro del objetivo para incrementar la cantidad de luz que recoge el instrumento. Sin embargo, esto tiene un límite, ya que al aumentar el diámetro, se incrementa el peso del instrumento óptico (y, además, surgen otros problemas, las aberraciones, que se comentarán más adelante).

Ocular

Objetivo

Objetivo Ocular α Rayos procedentes de un objeto distante

Espejo plano

Foc F´ob F´oc

β

Imagen final

Figura 8.65. Trayectoria de la luz en

un telescopio reflector o catadióptrico.

Figura 8.66. Esquema óptico del telescopio refractor. El objetivo es de distancia focal grande en comparación con el ocular. (El esquema no está trazado a escala). En los instrumentos dedicados a la observación astronómica se han sustituido las lentes por espejos, más ligeros y fáciles de montar. Así, en la figura 8.65 se muestra cómo el objetivo es un espejo cóncavo de gran tamaño. Este es el caso de los telescopios reflectores o catadióptricos (a diferencia de los que solo usan lentes, que se denominan telescopios refractores o dióptricos).

7.4 Anteojo terrestre El telescopio proporciona imágenes invertidas. Para observaciones de objetos situados sobre la Tierra, es más conveniente que las imágenes sean derechas. Para ello, el anteojo de Galileo consta de una lente convergente (el objetivo) de gran distancia focal y otra divergente (el ocular) de distancia focal pequeña, separadas de forma que su intervalo óptico es nulo, es decir, la distancia entre ellas es igual a la suma de sus distancias focales. La imagen del objetivo no se llega a formar (fig. 8.67). La imagen del ocular es virtual, derecha y se ve bajo un ángulo mayor: por tanto, aumentada. |f2|

|f1|

φ

F1

φ

F´2

Objetivo (lente 1)

Figura 8.67. Anteojo de Galileo.

β

Ocular (lente 2)

F´1 F2

Entre los mayores telescopios reflectores del mundo está el del observatorio del Roque de los Muchachos, en la isla de La Palma, cuyo diámetro es de 410 cm. Los telescopios reflectores que utilizan los observadores aficionados tienen un espejo de entre 10 cm y 20 cm de diámetro. Por otro lado, el telescopio refractor del observatorio de Calar Alto (Almería) es de 150 cm. 8. Óptica geométrica

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Ocular Prisma

Prisma

Figura 8.68. Prismáticos Porro.

7.5 Prismáticos Con un esquema óptico semejante al del telescopio refractor, la figura 8.68 muestra el esquema de los prismáticos clásicos, en los que los prismas (prismas de reflexión total, denominados prismas de Porro, en honor de su inventor) invierten completamente la imagen. Los más modernos resultan más compactos: son prismáticos en «tejado» o in-line, por la forma de disponer sus prismas. Las características de los prismáticos se indican con dos números: el aumento y el diámetro del objetivo. Así, 7×50, significa que se trata de unos prismáticos de 7 aumentos cuyo objetivo es de 50 mm de diámetro.

7.6 Cámara fotográfica Se puede considerar que una cámara fotográfica es una cámara oscura (véase figura 8.3) en la que se deja pasar la luz el tiempo necesario para que la imagen enfocada a través del objetivo (una lente convergente) sea registrada por un sensor digital (cámara digital) o una película (cámara analógica). Con el objetivo se consigue que la imagen formada en el sensor o en la película sea real, menor e invertida.

7.7 Aberraciones

a

Las imágenes que producen los sistemas ópticos (especialmente las lentes, pero también los espejos) presentan ciertas modificaciones que se denominan aberraciones. No obedecen a defectos en su construcción ni a deficiencias de sus materiales, sino que son resultado de la refracción de la luz en ellas. En general, para minimizarlas, en lugar de utilizar una sola lente se emplean lentes compuestas (sistemas de varias lentes). Las aberraciones se clasifican en cromáticas y geométricas. Las primeras son debidas a la dispersión de la luz al atravesar la lente: las diferentes longitudes de onda (colores) de la luz blanca tienen un índice de refracción distinto en el material de la lente; por ello, al atravesarla se separan, con lo que la imagen de un punto, en vez de ser también un punto, es un pequeño círculo que puede aparecer de un color diferente al real.

b

Figura 8.69. Distorsión producida cuando se observa la cuadrícula de un papel con una lente. a) Distorsión en corsé y b) distorsión en barrilete.

Las aberraciones geométricas son debidas a la propia forma esférica de las lentes. Así, en una lente convergente, los rayos incidentes no paraxiales paralelos al eje principal, una vez refractados, no se cortan en un punto sino en un pequeño círculo. Extendiendo el fenómeno a todo el objeto, da lugar a que las imágenes no sean tan nítidas. Por otro lado, si el objeto se encuentra en un plano perpendicular al eje principal, dada la forma esférica de la lente, su imagen puede no formarse en otro plano perpendicular a dicho eje, sino en una superficie curvada. Sobre una pantalla o una película perpendicular al eje óptico, la imagen recogida no es la que cabría esperar si esta se formase en el plano imagen ideal. La distorsión es un ejemplo de aberración geométrica: si con una lente de cierta potencia se observa la cuadrícula de un papel, puede producirse una de las distorsiones que muestra la figura 8.69. Son debidas a que, si bien el objeto (el papel cuadriculado) se encuentra en un plano, la distancia de sus puntos a la lente no es la misma para todos, y ello repercute en la imagen obtenida.

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Resumen

Imágenes

Refracción

Reales

n: índice de refracción (relativo al aire):

Virtuales

¿Se recogen en una pantalla? Sí

No

Son intersección de...

Prolongaciones

Rayos

n= sin î

c vm

vi vR

Segunda ley de la reflexión Ángulo de incidencia = Ángulo de reflexión

2.a ley:

Imágenes de los espejos planos Virtuales. Simétricas.

Si en el medio de refracción la luz se propaga a mayor/menor velocidad: se aleja/acerca de la normal. Ángulo límite: si î = L̂ , R̂ = 90° → reflexión total.

Espejos esféricos

sin R̂

=

ni sin î = nR sin R̂

Lentes F O

O

C

F

C

F

F’

O f’

f’ Cóncavos

Convexos

F

F’

O

Convergentes

Divergentes

Figura 8.70.

Figura 8.71.

Elementos ópticos. • Centro de curvatura (C ). • Centro de figura (O ). • Eje principal. • Foco (F ).

Elementos ópticos. • Centro óptico (O ). • Centro de curvatura (C y C’ ). • Eje óptico. • Foco imagen (F’ ), foco objeto (F ).

Marcha de algunos rayos.

Marcha de algunos rayos.

Rayo incidente

Rayo reflejado

Rayo incidente

Rayo emergente

Es paralelo al eje principal.

Pasa por el foco.

Pasa por O.

No cambia de dirección.

Pasa por el foco.

Es paralelo al eje principal.

Es paralelo al eje óptico.

Pasa por el foco imagen.

Pasa por C.

Regresa en la misma dirección.

Pasa por el foco objeto.

Es paralelo al eje óptico.

Imágenes. • Convexos. Siempre menor, virtual, derecha. • Cóncavos. Depende de la distancia objeto. -- Lejos (|s |) > |R |): menor, invertida, real. -- Entre F y O: mayor, derecha, virtual. -- Entre C y F: mayor, invertida, real. Convenio de signos y notación La luz viene de la izquierda. O es el origen de coordenadas. s: distancia objeto, s < 0; y: altura del objeto. s’: distancia imagen; y’: altura de la imagen. Rayos paraxiales: próximos al eje principal. Ecuaciones (espejos esféricos) A=

y´ s´ =– y s

f=

R 2

1 1 1 + = f s s´

Imágenes. • Divergentes. Siempre menor, derecha, virtual. • Convergentes. Depende de la distancia objeto. -- Lejos (|s | > 2 |f’ |): menor, invertida, real. -- Entre F y O: mayor, derecha, virtual. -- Entre C y F: mayor, invertida, real. Ecuaciones (lentes delgadas) 1 1 1 = – f´ s s´ Potencia de las lentes

A=

P=

y´ s´ = y s

1 f´

Si f’ se expresa en metros, P son dioptrías. Convergentes: P > 0. Divergentes: P < 0. 8. Óptica geométrica

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Estrategias Resolución gráfica y analítica de ejercicios con lentes 40 cm

60 cm

La lente delgada convergente de la figura tiene una distancia focal imagen f’ = 40 cm. Calcula la posición y el tamaño de la imagen de cada uno de los dos objetos indicados en la figura, A y B, ambos de altura y = 10 cm. Comprueba gráficamente tus resultados mediante el trazado de rayos.

30 cm A

B

F

F´

Figura 8.72.

Comentarios al enunciado Para aplicar las ecuaciones de las lentes delgadas, es conveniente expresar los datos en la unidad del SI correspondiente y ser muy cuidadoso con el signo de cada magnitud, según el convenio de signos adoptado. Magnitud

Valor para el objeto A

Valor para el objeto B

Altura del objeto, y

10 cm (0,10 m)

10 cm (0,10 m)

Distancia objeto, s

−60 cm (−0,60 m)

−30 cm (−0,30 m)

Distancia focal, f’

40 cm (0,40 m)

40 cm (0,40 m)

Resolución y cálculos Sustituyendo en la ecuación de las lentes delgadas: 1 1 1 1 1 1 1 f’ + s s f’ – = ; = + ; = ; s’ = s’ s f’ s’ s f’ s’ s f’ f’ + s Aplicando las ecuaciones de las lentes delgadas, los resultados se pueden presentar en forma de tabla: Objeto A s f’ = f’ + s

s’=

–0,60 m · 0,40 m 0,40 m – 0,60 m

Objeto B = 1,2 m

s’ =

s f’ = f’ + s

–0,30 m · 0,40 m 0,40 m – 0,30 m

= –1,2 m

Como s’ es positiva, la imagen es real.

Como s’ es negativa, la imagen es virtual.

s’ 1,2 m = 0,10 m = –0,20 m s – 0,60 m Como y’ < 0, la imagen es invertida.

s’ –1,2 m = 0,10 m = 0,40 m s – 0,30 m Como y’ > 0, la imagen es derecha.

y’ = y

y’ = y

En las figuras 8.73 y 8.74, los valores numéricos que se indican corresponden al trazado a escala 1:20. s´ = 6 cm

y = 0,5 cm F´ A

y´ = 1 cm

F s = 3 cm

y = 0,5 cm

f´ = 2 cm

F´ F

s´ = 6 cm

Figura 8.73.

f´ = 2 cm

y´ = 4 cm

B

s = 1,5 cm

Figura 8.74.

Análisis de los resultados El objeto A se encuentra a una distancia, s, de la lente que cumple que 2f’ > |s| > f’: la imagen obtenida es mayor, invertida y real. Para el objeto B, |s| < f’: la lente actúa como lupa, y la imagen es mayor, derecha y virtual. 246

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Actividades

Propagación de la luz

1

Copia la figura 8.75 y traza los rayos de luz que permitan deducir el eclipse que experimenta parte de la Tierra. Especifica:

a) ¿De qué tipo de eclipse se trata, de Sol o de Luna?

b) Indica las zonas de la Tierra en las cuales hay eclipse total, hay eclipse parcial, es de día (sin eclipse), es de noche.

6

Dos espejos planos forman un ángulo θ1 de 50° entre sí, como se observa en la figura 8.79. Si un rayo de luz incide horizontalmente con el espejo B, establece el valor del ángulo θ2 que forma el rayo reflejado en el espejo A con la superficie de este espejo. Espejo B

Sol

θ1

θ2

Luna

Espejo A Tierra

Figura 8.75. 2

¿A qué distancia de la Tierra, expresada en kilómetros, se encuentra una estrella que está a 10 años luz?

Reflexión de la luz. Espejos planos

3

Con dos espejos planos se ha conseguido el rayo de luz b a partir del a. Dibújalos, especificando los ángulos de incidencia correspondientes.

Figura 8.79. 7

Si nos situamos delante de un espejo plano, la imagen que observamos ¿es real o virtual? Razona la respuesta.

Espejos esféricos

8

Copia esta figura y traza la marcha de los rayos de luz.

a

C

F

O

b 1

Figura 8.76. 4

Un rayo de luz incide sobre un espejo plano con un ángulo de 37°. Si el espejo gira 10° hacia la derecha respecto del eje, establece el ángulo que forman entre sí el rayo incidente y el reflejado. N 37º

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Figura 8.80. 9

O

C

Figura 8.81.

La caja de la figura 8.78 contiene un espejo plano que refleja el rayo de luz que entra por la abertura lateral. Establece cuál debe ser el ángulo α.

10

Indica las características de la imagen que se forma en la parte convexa de una cuchara.

11

¿Puede un espejo cóncavo producir una imagen virtual, derecha y menor que el objeto?

12

Un objeto está a 30 cm de un espejo esférico cóncavo de 24 cm de radio. Establece analíticamente las características de la imagen.

13

Realiza la actividad anterior, suponiendo que el objeto está a 10 cm del espejo.

α

60º

Figura 8.78.

Copia esta figura y traza la marcha del rayo de luz.

.

Figura 8.77. 5

2

14 Un objeto está a 10 cm de un espejo esférico convexo de 24 cm de radio. Establece, analíticamente, las características de la imagen. 8. Óptica geométrica

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Actividades 15

A 1,00 m de un espejo esférico cóncavo de 1,50 m de radio de curvatura se coloca un objeto de 10 cm de altura. Establece las características de la imagen.

16

Un objeto se encuentra a 25 cm de un espejo esférico cóncavo de 80 cm de radio de curvatura. Establece las características de la imagen.

17

Un objeto de 6,0 cm de altura se encuentra a 30 cm de un espejo esférico convexo de 40 cm de radio. Establece las características de la imagen.

18

¿A qué distancia de un espejo esférico cóncavo de 32 cm de radio hay que colocar un objeto para que el tamaño de la imagen obtenida sea dos veces el del objeto?

19

En un parque de atracciones se desea instalar un espejo esférico tal que, cuando una persona se coloque a 2 m de él, se vea con una altura que sea 4 veces su estatura. Establece el tipo de espejo y su radio.

20

Delante de un espejo cóncavo de 1,0 m de radio, y a una distancia de 0,75 m, se coloca un objeto luminoso de 10 cm de tamaño.

a) Determina la naturaleza, la posición y el tamaño de la imagen formada en el espejo.

b) Si desde la posición anterior el objeto luminoso se acerca 0,50 m hacia el espejo, calcula la posición, el tamaño y la naturaleza de la imagen formada en este caso.

21

A 30 cm de un espejo esférico cóncavo un objeto tiene una imagen real que se forma a 15 cm del espejo. Establece a qué distancia del espejo debe estar el objeto para que tanto él como su imagen se hallen en la misma posición.

22

Se circula con un coche que lleva un espejo retrovisor convexo de R = 2,00 m. Al pasar junto a un peatón, que permanece en reposo, el copiloto pone en marcha su cronómetro; cuando la imagen del peatón en el retrovisor es de 10 mm lo para y ve que han transcurrido 21,0 s. Si la velocidad del coche se ha mantenido constante e igual a 32,4 km h–1, determina:

a) La distancia del peatón al coche en ese momento.

b) La estatura del peatón.

Lentes 23

Explica el fenómeno observado en la figura, en la que una lente biconvexa de aire (formada en el interior de una masa de vidrio) se comporta como una lente divergente.

24

Copia la figura 8.83 que representa una lente convergente, y traza la marcha de los rayos de luz.

F

F´ O

Figura 8.83. 25

Copia la figura 8.84 que representa una lente divergente, y traza la marcha de los rayos de luz.

O F´

F

Figura 8.84. 26

Explica dónde debe estar situado un objeto respecto a una lente delgada para obtener una imagen virtual y derecha:

a) Si la lente es convergente.

b) Si la lente es divergente.

27

Determina el tipo de imagen y aumento lateral que se obtiene al situar un objeto delante de una lente divergente en los siguientes casos:

a) El objeto se sitúa al doble de la distancia focal de la lente.

b) El objeto se sitúa a la mitad de la distancia focal.

28

¿Puede una lente convergente producir una imagen real, invertida y mayor que el objeto?

29

¿Qué diferencia hay entre un aumento positivo y uno negativo en una lente?

30

Construye gráficamente la imagen que se obtendrá en el sistema óptico de la figura 8.85. Especifica las características de la imagen final.

Lente 1 2 cm

F1

5 cm

Figura 8.82.

Lente 2 F1´

F2´

F2

3 cm 2 cm

4 cm

Figura 8.85.

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31

Un objeto de 1,0 mm de altura se coloca a una distancia de 1,0 cm delante de una lente convergente de 20 dioptrías.

a) Calcula la posición y tamaño de la imagen formada, efectuando su construcción geométrica.

b) ¿Se podría recoger esta imagen en una pantalla? ¿Qué instrumento óptico constituye la lente utilizada de esta forma?

32

Se tiene una lente convergente de 1,00 dioptría y un objeto de 40 cm de altura que se encuentra a 1,80 m de la lente. Construye (resolución gráfica) la imagen obtenida y establece, haciendo uso de la escala utilizada: la distancia imagen, su altura, su aumento, su naturaleza y si es derecha o invertida respecto al objeto. Una vez hallados estos valores, resuelve la actividad analíticamente.

33

La lente convergente de un proyector de diapositivas, que tiene una distancia focal de +15,0 cm, proyecta la imagen nítida de una diapositiva (de 3,5 cm de ancho) sobre una pantalla que se encuentra a 4,00 m de la lente. ¿A qué distancia de la lente está colocada la diapositiva? ¿Cuál es el aumento de la imagen formada por el proyector en la pantalla?

34

Una lente divergente tiene una distancia focal de 10 cm. Un objeto de 10 cm se encuentra a 30 cm de la lente. Construye gráficamente (a escala) la imagen y, a partir del dibujo, establece: la distancia de la imagen a la lente, la altura que tiene, su naturaleza y si es derecha o invertida respecto del objeto. Después, confronta los resultados con la resolución analítica.

35

Una lente convergente tiene una distancia focal de 20 cm. Calcula la posición y el aumento de la imagen que produce para un objeto que se encuentra delante de la lente a una distancia de:

a) 50 cm.

36

¿A qué distancia debe fotografiarse la fachada de un edificio de 200 m de altura con una cámara provista de un objetivo de f’ = 50,0 mm para que la imagen sea de 34,0 mm en la película? ¿Cuál sería la distancia requerida si se dispusiese de un gran angular de f’ = 22,0 mm?

37

b) 15 cm.

39

En un microscopio, las distancias focales de objetivo y ocular son 1,60 cm y 6,00 cm, respectivamente, y están separados 19,2 cm. Establece el aumento lateral si se coloca un objeto a 1,80 cm del objetivo.

40

Un sistema óptico está formado por dos lentes delgadas convergentes cuyas distancias focales son de 10 cm la primera y 20 cm la segunda, separadas por una distancia de 60 cm. Un objeto luminoso de 2,0 mm de altura está situado 15 cm por delante de la primera lente.

a) Calcula la posición y el tamaño de la imagen final.

b) Efectúa la construcción geométrica mediante el trazado de rayos correspondiente.

41

Veamos la ecuación de Newton para las lentes delgadas. Si x es la posición del objeto relativa al foco objeto y x’ es la posición de la imagen relativa al foco imagen (fig. 8.86), dicha ecuación es x x’ = –f’ 2. Dedúcela a partir de la ecuación fundamental, teniendo en cuenta que f = –f’ y que el convenio de signos aplicado a x y x’ es el mismo que el utilizado en el texto, es decir, se toman como positivos los valores a la derecha de F y de F’.

y x

a) La distancia focal imagen y la potencia de la lente.

b) Las distancias del objeto a la lente en los dos casos citados.

c) Las respectivas distancias imagen.

38

El aumento de una lupa es 10×. Calcula su distancia focal y a qué distancia debe colocarse el objeto para obtener este aumento.

f

s

F´ f´

x´ s´

42

¿Cuál es la causa de la aberración cromática de las lentes?

Visión humana

43

Nombra las siete partes indicadas en el esquema del ojo humano (figura 8.87). 1

5

2

6 3

4 7

Figura 8.87. 44

Explica en qué consisten la presbicia y las cataratas. ¿Qué tipo de lentes (divergentes o convergentes) se usan para su corrección? 8. Óptica geométrica

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y´

Figura 8.86.

Una lente convergente forma, de un objeto real, una imagen también real, invertida y aumentada cuatro veces. Al desplazar el objeto 3,0 cm hacia la lente, la imagen que se obtiene es virtual, derecha y con el mismo aumento, en valor absoluto. Determina:

O

F

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