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Matemáticas José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez

BACHILLERATO

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Matemáticas

BACHILLERATO

José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez

Estructura del libro

Evaluación inicial. Prueba resuelta para repasar los contenidos esenciales de 1.º de Bachillerato.

Este icono indica que dispones de recursos en el libro digital. Los recursos del Libro Digital son: Vídeos explicativos de problemas resueltos. Applets de GeoGebra. Hojas de cálculo Excel y Calc.

Las unidades se agrupan en 4 bloques de contenido: I. Análisis, II. Álgebra, III. Geometría y IV. Probabilidad. La presentación de cada bloque incluye: ■ Las unidades didácticas que se van a tratar. ■ Un texto explicativo de las unidades y referencias a los matemáticos destacados en el estudio de los contenidos. ■ Una relación cronológica de matemáticos destacados.

La unidad

Presentación

■ Imagen de portada. Fotografía que muestra una aplicación real de los contenidos que se desarrollan en la Unidad para que los alumnos puedan responder a la pregunta: ¿Las Matemáticas para qué sirven? ■ Texto introductorio. Explicación de la relación que hay entre la fotografía y los contenidos. ■ Índice. Enumeración de las secciones.

Estructura del libro

Dobles páginas de contenidos y ejercicios

Cada doble página es una sesión de clase con todos los elementos necesarios: ■ Piensa y calcula. Un ejercicio de cálculo mental para que los alumnos relacionen lo que ya saben con los contenidos que van a estudiar. ■ Desarrollo de los contenidos: conceptos y procedimientos explicados de forma pormenorizada y siempre con un ejemplo, ejercicio o problema tipo resuelto de forma detallada, en el que se observe claramente el contenido nuevo y con operaciones sencillas. ■ Aplica la teoría: Ejercicios propuestos de los contenidos.

Ejercicios y problemas resueltos de cada unidad Ejercicios y problemas resueltos de los contenidos más importantes de la Unidad totalmente desarrollados.

Estructura del libro

Estructura del libro Ejercicios y problemas propuestos Colección de ejercicios y problemas clasificados en distintas secciones: ■ Ejercicios propuestos de los mismos bloques de contenidos. ■ Para ampliar: Ejercicios de refuerzo de los contenidos para los alumnos con menor nivel. ■ Problemas propuestos: Problemas con enunciado de nivel avanzado. ■ Para profundizar: Problemas para los alumnos más avanzados.

Mates dinámicas virtuales con Geogebra, CalcMe y Hoja de cálculo en Moodle Competencia digital: Ejercicios y problemas para comprender los conceptos y procedimientos con el uso de: ■ Applets de GeoGebra. ■ Asistente matemático CalcMe. ■ Hojas de cálculo Microsoft Excel o Calc de OpenOffice. Los alumnos aprenden a utilizar los medios tecnológicos con el software adecuado para resolver problemas.

Ponte a prueba

Al final de cada bloque se recoge una colección de Problemas resueltos incidiendo en la tipología de los problemas de la prueba de acceso a la universidad. 6

Estructura del libro

Evaluación final, Ampliación y Anexos

Dos modelos de examen final con problemas similares a los de la prueba de acceso a la universidad.

Contenidos para que los alumnos de mayor nivel puedan mejorar su formación para sus estudios universitarios.

■ Resolución de problemas. ■ Métodos matemáticos. ■ Modelización matemática ■ Curvas y tabla de la N (0, 1)

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ÍNDICE Evaluación inicial

........................................................................................................................................................................

Bloque I. ANÁLISIS

1. Límites, continuidad y asíntotas

..........................................................

1. Límite de una función en un punto .................................................................................................................................................. 2. Límite de una función en el infinito ................................................................................................................................................ 3. Límites de funciones polinómicas y racionales ............................................................................................ 4. Límites de funciones irracionales y potenciales-exponenciales ................. 5. Continuidad en un punto. Discontinuidades................................................................................................................. 6. Continuidad en un intervalo. Propiedades ..................................................................................................................... 7. Asíntotas .............................................................................................................................................................................................................................................................................

2. Cálculo de derivadas

..................................................................................................................................................

1. La derivada .................................................................................................................................................................................................................................................................. 2. Continuidad y derivabilidad.......................................................................................................................................................................................... 3. Reglas de derivación. Tabla de derivadas ..................................................................................................................... 4. Problemas de derivadas .....................................................................................................................................................................................................

3. Aplicaciones de las derivadas

.............................................................................

1. Extremos relativos y monotonía ..................................................................................................................................................................... 2. Puntos de inflexión y curvatura ................................................................................................................................................................... 3. T eorema de Rolle y el teorema del Valor Medio ....................................................................................... 4. Regla de L’Hôpital .................................................................................................................................................................................................................................. 5. Problemas de optimización ....................................................................................................................................................................................... 6. Problemas de aplicaciones de las derivadas ......................................................................................................

4. Análisis de funciones y representación de curvas

1. Análisis gráfico de una función .................................................................................................................................................................... 2. Análisis de funciones polinómicas ...................................................................................................................................................... 3. Análisis de funciones racionales ............................................................................................................................................................... 4. Análisis de funciones irracionales ........................................................................................................................................................ 5. Análisis de funciones exponenciales ............................................................................................................................................ 6. Análisis de funciones logarítmicas ..................................................................................................................................................... 7. Análisis de funciones trigonométricas ......................................................................................................................................

11 12 14 16 18 20 22 24 37 38 40 42 44 59 60 62 64 66 68 70 85 86 88 90 92 94 96 98

5. Integrales. Métodos de integración .................................... 109 1. Reglas de integración ................................................................................................................................................................................................................. 110 2. Integración por partes ................................................................................................................................................................................................................ 112 3. Integración de funciones racionales con raíces simples en el denominador .............................................................................................................................................................................................................................. 114 4. Integración de funciones racionales con raíces dobles o complejas en el denominador ................................................................................................................................................................. 116 5. Integración por cambio de variable y trigonométricas ............................................................. 118 6. Integral definida .................................................................................................................................................................................... 129 1. Integral definida .......................................................................................................................................................................................................................................... 130 2. Cálculo de áreas ........................................................................................................................................................................................................................................ 132 3. Aplicaciones de la integral definida ............................................................................................................................................... 134 Ponte a prueba

..................................................................................................................................................................................................

149

BLOQUE II. Álgebra

7. Sistemas lineales

...........................................................................................................................................................................

1. Sistemas de ecuaciones lineales ............................................................................................................................................................. 2. Estudio de los sistemas ........................................................................................................................................................................................................ 3. Interpretación gráfica ................................................................................................................................................................................................................... 4. Resolución de problemas ................................................................................................................................................................................................

8. Matrices

1. Tipos de matrices .................................................................................................................................................................................................................................... 2. Operaciones con matrices ............................................................................................................................................................................................. 3. Potencias de matrices y resolución de sistemas de matrices .......................... 4. Aplicaciones de las matrices a la resolución de problemas....................................

159 160 162 164 166 177 178 180 182 184

9. Determinantes ................................................................................................................................................................................................ 197 1. Determinantes de orden 2 y 3 por Sarrus ...................................................................................................................... 198 2. Propiedades de los determinantes ....................................................................................................................................................... 200 3. Matriz inversa ...................................................................................................................................................................................................................................................... 202 4. Ecuaciones con matrices y determinantes .................................................................................................................. 204 5 Rango de una matriz ...................................................................................................................................................................................................................... 206 10. Sistemas lineales con parámetros .................................... 217 1. Teorema de Rouché .......................................................................................................................................................................................................................... 218 2. Regla de Cramer y forma matricial ................................................................................................................................................... 220 3. Discusión de sistemas con parámetros ................................................................................................................................. 222 Ponte a prueba

..................................................................................................................................................................................................

237

BLOQUE III. GEOMETRÍA

11. Vectores en el espacio ................................................................................................................................... 245 1. Operaciones con vectores .............................................................................................................................................................................................. 246 2. Problemas de vectores ............................................................................................................................................................................................................ 248 3. Producto escalar ......................................................................................................................................................................................................................................... 250 4. Producto vectorial .................................................................................................................................................................................................................................. 252 5. Producto mixto ................................................................................................................................................................................................................................................. 254 12. Espacio afín

267 268 270 272 274

1. Rectas en el espacio ..................................................................................................................................................................................................................... 2. Planos en el espacio ..................................................................................................................................................................................................................... 3. Posiciones relativas de rectas y de rectas y planos ....................................................................... 4. Posiciones relativas de planos .........................................................................................................................................................................

13. Espacio métrico .................................................................................................................................................................................. 287 1. Distancia entre puntos y rectas en el espacio ................................................................................................. 288 2. Distancia a un plano en el espacio .................................................................................................................................................. 290 3. Ángulos en el espacio .............................................................................................................................................................................................................. 292 4. Perpendicularidad en el espacio ............................................................................................................................................................... 294 5. Simetrías en el espacio ........................................................................................................................................................................................................ 296 Ponte a prueba

Bloque IV. Probabilidad

14. Probabilidad ............................................................................................................................................................................................................... 317 1. Operaciones con sucesos.................................................................................................................................................................................................... 318 2. Regla de Laplace.......................................................................................................................................................................................................................................... 320 3. Probabilidad condicionada............................................................................................................................................................................................... 322 4. Teoremas de la probabilidad..................................................................................................................................................................................... 324 15. Distribución binomial y normal ................................................................ 339 1. Distribución binomial ................................................................................................................................................................................................................... 340 2. Distribución normal ........................................................................................................................................................................................................................... 342 3. La binomial se aproxima a la normal ........................................................................................................................................ 344 Ponte a prueba

......................................................................................................................................................................................................

309

..................................................................................................................................................................................................

Evaluación final AMPLIACIÓN

..........................................................................................................................................................................................

355

Análisis

........................................................................................................................................................................................................................................................................ 357 Integración de funciones racionales.................................................................................................................................................. 357 Integración por cambio de variable..................................................................................................................................................... 359 Cálculo de volúmenes.................................................................................................................................................................................................................. 361

Álgebra

............................................................................................................................................................................................................................................................................ 363 Rango de una matriz orlando................................................................................................................................................................................. 363 Cálculo de la matriz inversa por Gauss................................................................................................................................... 365 Resolución de sistemas de cuatro ecuaciones................................................................................................... 366

Geometría

..................................................................................................................................................................................................................................................... 368 Ecuación de la esfera..................................................................................................................................................................................................................... 368 Posiciones relativas.............................................................................................................................................................................................................................. 369

Anexos

Anexo 1. Resolución de problemas. Métodos matemáticos.

Modelización matemática........................................................................................................................................ 371

Anexo 2. Curvas Tabla de la normal N (0, 1)

377

.....................................................................................................................

383

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Sistemas lineales 10 con parámetros 1 Teorema de Rouché 2 R egla de Cramer y forma matricial 3 Discusión de sistemas con parámetros

El modelo de análisis input-output de una compañía se centra en observar los datos de los diferentes sectores productivos. Cada sector produce unos bienes (outputs) y consume los producidos por otros (inputs). El modelo trabaja con una matriz A representando las transacciones entre sectores productivos y una matriz Y, que es la demanda final. La ecuación matricial A · X + Y = X permite calcular la matriz X de producción que se debe hacer para satisfacer la demanda.

Los números reales

217

Teoremade deRouché Rouché 1 Teorema PIENSA Y CALCULA

Dado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones: x 1 2 – 3 0 y = 2 – 1 0 2 z

EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA a11 a12 … a21 a22 … … … … an1 an2 …

a1p a2p … anp

x1 b1 x2 b2 = … … xp bn

1.1 Matrices de un sistema lineal En un sistema de n ecuaciones lineales con p incógnitas a11x1 + a12x2 + … + a1pxp = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2pxp = b2 .................................... an1x1 + an2x2 + … + anpxp = bn se distinguen las siguientes matrices: De los coeficientes a11 a12 … a21 a22 … C= … … … an1 an2 …

a1p a2p … anp

De las De los términos De los coeficientes ampliada incógnitas independientes con los términos independientes x1 x2 X= … xp

b1 b2 B= … bn

a11 a12 … a21 a22 … A= … … … an1 an2 …

a1p a2p … anp

b1 b2 … bn

En la matriz ampliada se separa con una barra vertical la columna de los términos independientes. EJEMPLO

x 2x + y – 3z = 2 2 1 – 3 2 y = ⇔ x – 4y + 5z = – 3 1 – 4 5 – 3 z cuyas matrices son las siguientes: De los coeficientes C=

2 1 – 3 1 – 4 5

De las De los términos De los coeficientes ampliada incógnitas independientes con los términos independientes x X= y z

2 – 3

2 1 – 3 1 – 4 5

2 – 3

1.2 Teorema de Rouché Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes, C, es igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes, A. Sistema compatible ⇔ R(C ) = R(A) ◾ Demostración en detalle en la página 224

218

Bloque II. Álgebra

1.3 Discutir o estudiar un sistema Discutir o estudiar un sistema consiste en clasificarlo sin resolverlo aplicando el teorema de Rouché. Para ello, se calcula el rango de la matriz de los coeficientes, C, y el rango de la matriz ampliada con los términos independientes, A, y se sigue el esquema siguiente. La letra n es el número de incógnitas: Determinado: R(C ) = R(A) = n Compatible: R(C ) = R(A) ) Indeterminado: R(C ) = R(A) < n Sistema * Incompatible: R(C ) < R(A)

RELACIÓN ENTRE RANGOS La matriz ampliada, A, se forma añadiendo una columna a la matriz de los coeficientes, C. Por tanto, siempre se verifica lo siguiente: R(C ) ≤ R(A)

Si un sistema lineal es homogéneo, es decir, si todos los términos independientes son cero, entonces R(C ) = R(A), siempre son compatibles y tienen la solución que se denomina trivial por ser x = y = z = 0; en el caso de que R(C ) = R(A) < n, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.

Estrategia para discutir o estudiar un sistema Si el número de ecuaciones coincide con el de incógnitas, se halla el determinante de la matriz de los coeficientes, y si es: a) Distinto de cero, el sistema es compatible determinado. b) Igual a cero, se calcula el rango de la matriz ampliada por Gauss.

SOLUCIÓN

EJERCICIO RESUELTO

Para hallar la solución se pasa de la última matriz de Gauss al sistema: x + 2y + z = 1 3 5y – z = – 2

x + 2y + z = 1 1 Discute el siguiente sistema: 3x + y + 4z = 5 2x – y + 3z = 4 Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 1 2 1 |C| = 3 1 4 = 0 2 – 1 3 Como el determinante de C es cero, se halla el rango de A y C por Gauss: 1 1 2 1 a a 5 3 · 1. – 2. = R 0 5 – 1 4 2 · 1.a – 3. 0 5 – 1

1 2 1 R 3 1 4 2 – 1 3

1 1 2 1 – 2 = R 0 5 – 1 – 2

Todas las incógnitas sobrantes se pasan al 2.o miembro. De la 2.a ecuación es más fácil despejar z : x + z = – 2y + 1 3 z = 5y + 2 x + 5 y + 2 = – 2y + 1 3 z = 5y + 2

1 – 2

x = – 7y – 1 3 z = 5y + 2 x = –7 m – 1 y = m 4 md R z = 5m + 2

Se elimina la 3.a fila porque es igual que la 2.a

Se tiene que R(C ) = R(A) = 2 < número de incógnitas = 3 ⇒ Sistema compatible indeterminado.

APLICA LA TEORÍA 1 Escribe los siguientes sistemas en forma matricial: a) x – y = 2 b) 2x + y – z = 2 2x + y + 2z = 0 x + y + 2z = 5 x – y + 2z = 1 – x + 5z = 3

3 Discute los siguientes sistemas: a) 3x – y + 2z = 1 b) 3x + 2y + 2z = 15 x + 4y + z = 0 3x – 2y – 2z = – 1 2x – 5y = – 2 – x + 3y + 3z = 3

2 Escribe en forma ordinaria el siguiente sistema:

4 Discute los siguientes sistemas: a) 2x + y – z = 0 b) x + 2y + z = 1 x + y = 1 2x + 3y + 2z = 0 – x + z = 1 x + y + 2z = 3

1 0 – 2 3 1 1 2 – 1 2

x 1 y = 3 z 0

Sistemas lineales con parámetros

219

Reglade deCramer Crameryyforma formamatricial matricial 2 Regla

PIENSA Y CALCULA Dado el siguiente sistema, resuélvelo matricialmente: 1 1 x 3 = 1 2 y 4

2.1 Regla de Cramer Un sistema es de Cramer si tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, es decir, el sistema es compatible determinado. En un sistema de Cramer, cada incógnita es el cociente de dos determinantes: a) El determinante del denominador es el de la matriz de los coeficientes. b) El determinante del numerador es el que resulta de sustituir, en el determinante de la matriz de los coeficientes, la columna correspondiente a los coeficientes de la incógnita que se despeja, por los términos independientes. ◾ Demostración en detalle en la página 225

EJERCICIO RESUELTO 2 Resuelve por Cramer el siguiente sistema:

2x – y + z = – 8 x + 3y – 2z = 5 2x + y + 3z = 4 Determinante de los coeficientes: 2 – 1 1 |C| = 1 3 – 2 = 24 2 1 3 La solución es: – 8 – 1 1 5 3 – 2 4 1 3 72 x= = – 3 =– 24 24 2 – 8 1 1 5 – 2 2 4 3 96 y= =4 = 24 24 2 – 1 – 8 1 3 5 2 1 4 48 z= =2 = 24 24 220

Bloque II. Álgebra

2.2 Resolución de un sistema matricialmente Para resolver un sistema matricialmente se escribe la matriz de los coeficientes, C, la matriz columna de las incógnitas, X, y la de los términos independientes, B, y se escribe el sistema en forma matricial: CX = B ⇒ X = C – 1B EJERCICIO RESUELTO 3 Resuelve matricialmente el siguiente sistema:

x + 2y – z = 0 2x + 5y = 4 x + 3y + 2z = 5 Se escribe el sistema en forma matricial: 1 2 – 1 x 0 2 5 0 y = 4 1 3 2 z 5 Se calcula la inversa de la matriz de los coeficientes: 1 2 – 1 – 1 C = 2 5 0 1 3 2

– 1

10 – 7 5 = – 4 3 – 2 1 – 1 1

OBSERVA El sistema escrito matricialmente es: C·X=B Como la matriz C está multiplicando por la izquierda pasa al segundo miembro su inversa multiplicando por la izquierda: X = C – 1 · B

Multiplicando, se tiene: x 10 – 7 5 0 – 3 y = – 4 3 – 2 4 = 2 z 1 – 1 1 5 1 La solución es: x = – 3, y = 2, z = 1

APLICA LA TEORÍA 5 Resuelve por Cramer: a) 2x + y = 5 b) x + y – 2z = 6 x + 3z = 16 2x + 3y – 7z = 16 5y – z = 10 5x + 2y + z = 16

6 Resuelve por Cramer en función del parámetro a: x+ y =a x +z=0 x + 2y + z = 2 7 Resuelve por Cramer: 4x + 4y + 5z = 0 2x + 3z = 10 x + y – 5z = – 10

8 Resuelve matricialmente el sistema: 3x + 2y + z = 5 2x – y + z = 6 x + 5y = – 3

9 Resuelve matricialmente el siguiente sistema: 5 8 1 3 – 2 6 2 1 – 1

x 2 y = – 7 z – 5

10 Resuelve matricialmente el sistema: 2x – 3y + z = – 7 x + 4y + 2z = – 1 x – 4y = – 5

Sistemas lineales con parámetros

221

Discusiónde desistemas sistemascon conparámetros parámetros 3 Discusión

PIENSA Y CALCULA Discute, según los valores de k, el siguiente sistema: x+ y=3 2x + 2y = k

3.1 Sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas con un parámetro Discutir o estudiar un sistema en función de un parámetro consiste en clasificar el sistema en función de los valores del parámetro.

La mejor estrategia para discutir estos sistemas es: a) Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes y se hallan sus raíces. Para aquellos valores para los que no se anule el determinante de los coeficientes, se tendrá que R(C ) = R(A) = 3, y el sistema será compatible determinado. b) Para los valores que son raíces del determinante de la matriz de los coeficientes, se estudia el sistema por Gauss. EJERCICIO RESUELTO 4 Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema:

(1 – k)x + y+ z=0 x + (1 – k)y + z=k x+ y + (1 – k)z = k2 1–k 1 1 a) Se calcula: |C | = 1 1 – k 1 = 3k 2 – k 3 1 1 1–k 3k 2 – k 3 = 0 ⇒ k 2(3 – k) = 0 ⇒ k = 0, k = 3

SOLUCIÓN Para hallar la solución se pasa de la última matriz de Gauss al sistema: x+y+z=0⇒ x = – y – z ⇒ x = –m – n y=m 4 m, nd R z=n

• Para todo valor de k ≠ 0 y k ≠ 3, se verifica que: R(C ) = R(A) = 3 = número de incógnitas y, por tanto, el sistema es compatible determinado. b) Se estudian los valores que son raíces de |C | = 0 por Gauss:

x+y+z = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 • Para k = 0 & x + y + z = 04 & R f 1 1 1 0 p2.ª – 1.ª = R f 0 0 0 0 p x+y+z = 0 1 1 1 0 3.ª – 1.ª 0 0 0 0 Se tiene que R(C ) = R(A) = 1 < número de incógnitas = 3 y, por tanto, el sistema es compatible indeterminado. – 2x + y + z = 0 x – 2y + z = 3 • Para k = 3 se tiene el sistema: x + y – 2z = 9 – 2 1 1 R 1 – 2 1 1 1 – 2 – 2 1 1 = R 0 1 – 1 0 0 0

– 2 1 1 0 a a 3 1. + 2 · 2. = R 0 – 3 3 0 3 – 3 9 3.a – 2.a

0 6 2.a : (– 3) = 6 2.a + 3.a

0 – 2 12

Se tiene que R(C ) = 2 ≠ R(A) = 3 y, por tanto, el sistema es incompatible. 222

Bloque II. Álgebra

3.2 Sistemas de 3 ecuaciones con 2 incógnitas con un parámetro La mejor estrategia para discutir estos sistemas es: a) Se calcula el determinante de la matriz ampliada y se hallan sus raíces. Para aquellos valores para los que no se anule el determinante, se tendrá que: R(C) ≤ 2 y R(A) = 3, y el sistema será incompatible.

b) Para los valores que son raíces del determinante de la matriz ampliada, se estudia el sistema por Gauss. EJERCICIO RESUELTO 5 Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema:

kx + y=1 x + (k + 1)y = 1 x+ ky = 1 k 1 1 a) Se calcula: |A| = 1 k + 1 1 = k – 1 1 k 1 k–1=0⇒k=1

• Para todo valor de k ≠ 1, se verifica que: R(C ) < R(A) = 3 y, por tanto, el sistema es incompatible. b) Se estudian los valores que son raíces de |A| = 0 • Para k = 1 se tiene:

x+ y = 1 1 1 1 1 1 1 x + 2y = 14 & R f 1 2 1 p = R c1 1 1m = Rd n 0 1 0 1 2 1 2.ª – 1.ª x+ y = 1 1 1 1 Se tiene que R(C ) = R(A) = 2 = número de incógnitas y, por tanto, el sistema es compatible determinado.

SOLUCIÓN Para hallar la solución se pasa de la última matriz de Gauss al sistema: x + y =1 x=1 3 y =0 & y = 0

APLICA LA TEORÍA 11 Discute, según los valores del parámetro a, los siguientes sistemas: a) ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a2 b) (a + 1)x + y+ z=0 x + (a + 1)y + z=0 x+ y + (a + 1)z = 0

12 Discute, según los valores del parámetro k, los siguientes sistemas: a) kx + y + z = 4 b) x + y + z = 0 x + y + z = k kx + 2z = 0 x – y + kz = 2 2x – y + kz = 0

13 Discute, según los valores del parámetro a, el siguiente sis tema: 3x + 10y = – 4 ax + y = 1 x + 3y = – 1 14 Discute, según los valores del parámetro m, los siguientes sistemas: a) x + y =1 mx + z=0 x + (1 + m)y + mz = m + 1 b) (2m + 2)x + my + 2z = 2m – 2 2x + (2 – m)y = 0 (m + 1)x + (m + 1)z = m – 1

Sistemas lineales con parámetros

223

PROFUNDIZACIÓN: DEMOSTRACIONES 1 Teorema de Rouché Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes, C, es igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes, A. Sistema compatible ⇔ R(C ) = R(A)

Demostración La demostración se hará representando el sistema en forma vectorial, que consiste en poner el sistema como una combinación lineal de los vectores columna de la matriz de los coeficientes, es decir: a11 a11x1 + a12x2 + … + a1pxp = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2pxp = b2 ⇔ a21 x + 1 .................................... … an1x1 + an2x2 + … + anpxp = bn an1

a12 a22 x + … + 2 … an2

a1p a2p x = p … anp

b1 b2 … bn

Si se llama C1, C2, …, Cp a las columnas de la matriz de los coeficientes, el sistema se expresa de forma reducida: C1x1 + C2x2 + … + Cp xp = B El teorema es una equivalencia o doble implicación; por tanto, la demostración tiene dos partes: a) Si el sistema es compatible ⇒ R(C ) = R(A) Si el sistema es compatible, tiene solución; es decir, existen s1, s2, …, sp tales que: C1s1 + C2s2 + … + Cp sp = B Luego el vector columna B es combinación lineal de los vectores columna: C1, C2…, Cp, es decir, si a la matriz de los coeficientes C se le añade un vector columna que es combinación lineal de los vectores columna de C, el rango no varía. Por tanto: R(C1, C2, …, Cp) = R(C1, C2, …, Cp, B) R(C) = R(A) b) Si R(C ) = R(A) ⇒ el sistema es compatible Si se tiene que: R(C ) = R(A) se verifica: R(C1, C2, …, Cp) = R(C1, C2, …, Cp, B) Por tanto, el vector B es combinación lineal de los vectores: C1, C2, …, Cp y entonces existen unos números: s1, s2…, sp tales que: C1s1 + C2s2 + … + Cpsp = B De lo que se deduce que s1, s2, …, sp es una solución del sistema; luego el sistema es compatible. 224

Bloque II. Álgebra

2 Regla de Cramer En un sistema de Cramer, cada incógnita es el cociente de dos determinantes: a) El determinante del denominador es el de la matriz de los coeficientes. b) El determinante del numerador es el que resulta de sustituir, en el determinante de los coeficientes, la columna correspondiente a los coeficientes de la incógnita que se despeja, por los términos independientes.

Demostración Dado el sistema de Cramer: a11 a12 … a1n a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 ⇔ a21 a22 … a2n .................................... … … … … an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn an1 an2 … ann

x1 b1 x2 = b2 … … xn bn

el sistema se puede escribir de forma abreviada: CX = B Como el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, la matriz C de los coeficientes es regular y tiene inversa; por tanto, se tiene: X = C – 1 · B Escribiendo las matrices, se tiene: x1 A11 A21 … An1 x2 = 1 A12 A22 … An2 … |C | … … … … xn A1n A2n … Ann

b1 b2 … bn

Se despeja cada incógnita y se utiliza el desarrollo de un determinante por los elementos de una columna escritos en forma inversa: b1 a12 … b2 a22 … … … … b A + b A + … + bn An1 bn an2 … = x1 = 1 11 2 22 |C | |C |

a1n a2n … ann

a11 b1 … a21 b2 … … … … b1A12 + b2 A22 + … + bn An2 an1 bn … = x2 = |C | |C |

a1n a2n … ann

…………………………………………………… a11 a12 … b1 a21 a22 … b2 … … … … b A + b A + … + bn Ann an1 an2 … bn = xn = 1 1n 2 2n |C | |C |

Sistemas lineales con parámetros

225

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

Discutir un sistema 3 × 3 con un parámetro y resolver por Cramer 6 Resuelve las cuestiones: a) Clasifica el sistema siguiente según los valores del parámetro k kx + y – 2z = 0 – x – y + kz = 1 x+y+ z=k b) Resuelve por Cramer para k = 2

a) Clasificación: k 1 – 2 – 1 – 1 k = – k 2 + 1 ⇒ – k 2 + 1 = 0 ⇒ k 2 = 1 ⇒ k = 1, k = – 1 1 1 1 Para k ≠ 1, k ≠ – 1, R(C ) = R(A) = 3 = número de incógnitas, sistema compatible determinado. Para k = 1 1 1 – 2 R – 1 – 1 1 1 1 1

1 1 – 2 0 1 1.a + 2.a = R 0 0 – 1 0 0 2 1 2.a + 3.a

1 1 – 2 = R 0 0 – 1 0 0 0

0 1 4

R(C ) = 2 ≠ R(A) = 3, sistema incompatible. Para k = – 1 – 1 1 – 2 R – 1 – 1 – 1 1 1 1

– 1 1 – 2 0 a a 1 1. – 2. = R 0 2 – 1 0 0 0 – 1 2.a + 3.a

Bloque II. Álgebra

0 – 1 0

R(C ) = R(A) = 2 < número de incógnitas, sistema compatible indeterminado. b) Resolución por Cramer para k = 2 2 1 – 2 2x + y – 2z = 0 –x – y + 2z = 1 ⇒ – 1 – 1 2 = – 3 x+y+ z=2 1 1 1 0 1 – 2 1 – 1 2 2 1 1 – 3 =1 x= = – 3 – 3 2 0 – 2 – 1 1 2 0 1 2 1 y= =0 = – 3 – 3 2 1 0 – 1 – 1 1 1 1 2 – 3 z= =1 = – 3 – 3 Solución: x = 1, y = 0, z = 1

226

0 1 2 2 · 2.a + 3.a

Resolver un sistema 3 × 3 aplicando la matriz inversa 7 Resuelve las cuestiones:

a) Matriz inversa: 1 – 1 1 2 2 2 1 1 – 1 A = – 1 2 2 2 1 1 1 – 2 2 2

a) Calcula la matriz inversa de: 1 1 0 A = 0 1 1 1 0 1 b) Escribe de forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz A– 1 hallada en el apartado anterior: x+y= 1 y + z = – 2 x+z= 3

b) En forma matricial: 1 1 0 0 1 1 1 0 1

x 1 y = – 2 z 3

AX = B ⇒ X = A– 1B 1 – 1 1 1 3 2 2 2 1 – 1 – 2 = – 2 y = 1 2 2 2 1 1 1 z 3 0 – 2 2 2

Solución: x = 3, y = – 2, z = 0

Discutir y resolver un sistema dado matricialmente 8 Dado el sistema de ecuaciones: 1 1 k x 4 f 2 1 0 p f y p = f 3 p

2 2 2 z 6 a) Estudia la existencia y unicidad de soluciones según los valores del parámetro k b) Resuelve el sistema anterior cuando k = 2

a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes:

| |

1 1 k |C | = 2 1 0 = 2k – 2 2 2 6 2k – 2 = 0 ⇒ k = 1 El sistema es compatible determinado, es decir, tiene solución y es única si k ≠ 1 porque R (C ) = R (A) = 3 = N.o de incógnitas Para k = 1, hallamos el rango de la matriz de los coeficientes C y de la ampliada A por Gauss: 1 1 1 4 1 1 1 4 R f 2 1 0 3 p 2 · 1.a – 2.a = R f 0 1 2 5 p

2 2 2 6

2 · 1.a – 3.a

0 0 0 2

R (C ) = 2 < R (A) = 3 ⇒ Para k = 1 el sistema es incompatible. b) Para k = 2 tenemos el sistema: x + y + 2z = 4 x + y + 2z = 4 x=1 2x + y = 3 4 2 · 1.a – 2.a ⇒ y + 4z = 5 4 ⇒ y = 1 4 x+y+ z=3

z=1

1.a – 3.a

z=1

Solución: x = 1, y = 1, z = 1

Sistemas lineales con parámetros

227

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

Discutir y resolver un sistema 3 × 3 con un parámetro 9 Considera el siguiente sistema de ecuaciones: ax + y + z = 4 x – ay + z = 1 x+ y+z=a+2 a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = 2

a 1 1 1 – a 1 = – a 2 + 1 ⇒ – a 2 + 1 = 0 ⇒ a 2 = 1 ⇒ a = 1, a = – 1 1 1 1 Para a ≠ 1, a ≠ – 1, R(C ) = R(A) = 3 = número de incógnitas, sistema compatible determinado. Para a = 1 1 1 1 R 1 – 1 1 1 1 1

1 1 1 4 a a 1 1. – 2. = R 0 2 0 0 0 0 3 1.a – 3.a

4 3 1

R(C ) = 2 ≠ R(A) = 3, sistema incompatible. Para a = – 1 – 1 1 1 R 1 1 1 1 1 1

– 1 1 1 4 a a 1 1. + 2. = R 0 2 2 0 0 0 1 2.a – 3.a

4 5 0

R(C ) = R(A) = 2 < número de incógnitas, sistema compatible indeterminado. a) Resolución cuando es compatible indeterminado: Pasamos de la última matriz en la que hemos calculado el rango a forma de sistema: x = – 3/2 – x + y + z = 4 – x + 5/2 – z + z = 4 ⇒ ⇒ y = 5/2 – z 2y + 2z = 5 y = 5/2 – z y = 5/2 – z Solución general: x = – 3/2, y = 5/2 – z Solución en paramétricas: x = – 3/2, y = 5/2 – λ, z = λ; λ ∈ ℝ b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = 2 2x + y + z = 4 x – 2y + z = 1 x+ y+z=4 Cambiamos la 1.a ecuación con la segunda: x – 2y + z = 1 x – 2y + z = 1 5y – z = 2 2x + y + z = 4 2.a – 2 · 1.a ⇒ a a 3y =3 y=1 x + y + z = 4 3. – 1. x–2+3=1 x=0 5 – z = 2 z = 3 y=1 y=1 Solución: x = 0, y = 1, z = 3

228

Bloque II. Álgebra

Discutir y resolver un sistemas 3 × 3 con un parámetro 10 Dado el sistema homogéneo: x + ky – z = 0 kx – y + z = 0 (k + 1)x + y =0 averigua para qué valores de k tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. Resuélvelo en tales casos.

1 k – 1 k – 1 1 = k 2 – k – 2 ⇒ k 2 – k – 2 = 0 ⇒ k = 2, k = – 1 k + 1 1 0 Para k ≠ 2, k ≠ – 1, R(C ) = 3 = número de incógnitas, solo tiene la solución x = y = z = 0. Para k = 2 x + 2y – z = 0 x + 2y – z = 0 a a 2x – y + z = 0 2 · 1. – 2. ⇒ 5y – 3z = 0 y = 3z/5 3x + y = 0 3 · 1.a – 3.a 5y – 3z = 0 x + 6z/5 – z = 0 x = –z/5 y = 3z/5 La solución general es: x = –z/5, y = 3z/5 La solución en paramétricas: x = – λ/5, y = 3λ/5, z = λ; λ ∈ ℝ Para k = – 1 x–y–z=0 x–z=0 x=z – x – y + z = 0 ⇒ – x + z = 0 y=0 y=0 La solución general es: x = z, y = 0 La solución en paramétricas: x=λ y = 0 ; λ ∈ ℝ z=λ

Discutir y resolver un sistema 4 × 3 con un parámetro 11 Dado el sistema de ecuaciones: mx + y – z = 0 2x + my = m 4, m ∈ ℝ x + mz = m a) Halla para qué valores de m el sistema es compatible determinado. b) Resuélvelo si es posible para m = 1

a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes:

m 1 – 1 |C | = 2 m 0 = m 3 – m 1 0 m m 3 – m = 0 ⇒ m (m 2 – 1) = 0 ⇒ m1 = 0, m2 = – 1, m3 = 1 El sistema es compatible determinado, es decir, tiene solución y es única si m ≠ 0, m ≠ – 1, m ≠ 1 Porque R (C ) = R (A) = 3 = N.o de incógnitas. b) Para m = 1 x+y–z=0 x + y – z = 0 x=1–z a a 4 2x + y = 1 4 2 · 1. – 2. ⇒ y – 2z = – 1 4 ⇒ y = 2z – 1 x + z = 1 1.a – 3.a y – 2z = – 1 Solución: x = 1 – z, y = 2z – 1

Sistemas lineales con parámetros

229

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

Discutir y resolver un sistema 2 × 2 con un parámetro 12 Dado el sistema de ecuaciones lineales x – ay = 2 ax – y = a + 1 se pide: a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la solución sea única. b) Determinar para qué valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y = 2

a) Discusión: 1 – a = a 2 – 1 ⇒ a 2 – 1 = 0 ⇒ a = 1, a = – 1 a – 1 Para a ≠ 1, a ≠ – 1, R(C ) = R(A) = 2 = número de incógnitas, sistema compatible determinado. Para a = 1 R

1 – 1 1 – 1

2 1 – 1 =R 2 1.a – 2.a 0 0

2 0

R(C ) = R(A) = 1 < número de incógnitas, sistema compatible indeterminado. Para a = – 1 R

1 1 – 1 – 1

2 1 – 1 =R 0 1.a + 2.a 0 0

2 2

R(C ) = 1 ≠ R(A) = 2, sistema incompatible. La solución es única cuando a ≠ 1, a ≠ – 1; hay que resolverlo en función de a 1 – a x – ay = 2 ⇒ = a 2 – 1 ax – y = a + 1 a – 1 – a 2 a + 1 – 1 a 2 + a – 2 (a + 2)(a – 1) a + 2 x= = = = a 2 – 1 a 2 – 1 (a + 1)(a – 1) a + 1 2 1 a a + 1 – a + 1 a–1 1 = 2 y= = – = – 2 a –1 a –1 (a + 1)(a – 1) a+1 Solución: x =

a+2 1 ,y=– ; a ≠ ±1 a+1 a+1

b) Si y = 2, sustituimos y = 2 y resolvemos el sistema: x – 2a = 2 ⇒ x = 2a + 2 ax – 2 = a + 1 Sustituimos x = 2a + 2 en ax – 2 = a + 1 a(2a + 2) – 2 = a + 1 2a 2 + 2a – 2 = a + 1 2a 2 + a – 3 = 0 a=

– 1 ± √1 + 24 – 1 ± 5 = = 4 4

1 – 3/2

Tiene la solución y = 2 cuando a = 1, a = – 3/2

230

Bloque II. Álgebra

EJERCICIOS Y PROBLEMAS CONTESTA EN TU CUADERNO

1 Un sistema lineal es compatible determinado si (C, matriz de los coeficientes, y A, matriz ampliada con los términos independientes): a) R(C ) < R(A) b) R(C ) = R(A) = N.o de incógnitas c) R(C ) > R(A) d) R(C ) ≠ R(A)

2 Si tenemos el sistema lineal matricial CX = B tal que existe C – 1, la solución es: c) X = BC – 1

a) X = BC

– 1

d) X = C B

b) X = CB

3 Un sistema lineal homogéneo: a) Siempre es compatible. b) Siempre es incompatible. c) Unas veces es compatible y otras incompatible. d) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta.

4 En un sistema lineal de tres ecuaciones con dos incógnitas, se cumple que: a) Si R(C ) = R(A) = 2, es compatible. b) Si R(A) = 3, es compatible. c) Si R(C ) = 3, es compatible. d) Si R(C ) = R(A) = 3, es compatible.

5 En un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas, se cumple que: a) Si R(C ) = R(A) = 2, es compatible determinado. b) Si R(C ) ≠ R(A), es compatible determinado. c) Si R(C ) = R(A) = 3, es compatible determinado. d) Si R(C ) < R(A), es compatible determinado.

6 Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro k kx + ky – z = 2 3x – ky =0 5x + ky =0 a) Es siempre incompatible. b) Para k ≠ 0, compatible determinado.

x – y + z = – 1 y + z = 2a x + 2z = a 2 donde a es un parámetro real. Discute el sistema en función del valor de a a) Para a = 0, no tiene solución, y para a = 1, compatible indeterminado.

7 Se considera el sistema:

b) Si a ≠ 0, incompatible, y si a = 0, compatible indeterminado. c) Si a = 0, incompatible, y si a ≠ 0, compatible indeterminado. d) Si a ≠ 1, incompatible, y si a = 1 ± √2, compatible indeterminado. x – y + z = – 1 8 Se considera el sistema: y + z = 2a x + 2z = a 2 donde a es un parámetro real. Resuelve el sistema para a = 0. Resuelve el sistema para a = 1 a) Para a = 0, no tiene solución; para a = 1, x = – 2z + 1, y = – z + 2 b) Para a = 0, x = y = z = 0; para a = 1, no tiene solución. c) Para a = 0, x = 2, y = – 3, z = 5; para a = 1, x = 1, y = 2, z=3 d) Para a = 0, x = – 1, y = – 2, z = – 3; para a = 1, x = 3, y = 2, z = 0 ax + y + z = 1 9 Dado el sistema: x + ay + z = 1 x+ y =1 estudia su compatibilidad según los valores de a a) Si a ≠ 0, a ≠ 2, compatible determinado; si a = 1, incompatible; si a = 2 incompatible. b) Si a ≠ 1, compatible determinado; si a = 1, compatible indeterminado. c) Si a ≠ 0, compatible determinado; si a = 0, compatible indeterminado. d) Si a ≠ – 1, a ≠ 3, compatible determinado; si a = – 1, incompatible; si a = 3, incompatible. ax + y + z = 1 10 Dado: x + ay + z = 1 resuélvelo cuando sea posible. x+ y =1 a) Si a ≠ 1, x = 1, y = 1, z = 1 – a b) Si a = 1, x = 1/2, y = 1/2, z = (1 – a)/2

c) Para k = 0, compatible determinado.

c) x = 1/2, y = 1/2, z = (1 – a)/2 para a ≠ 1 y x = λ, y = 1 – λ, z = 0; λ ∈ ℝ para a = 1

d) Para k = 0, incompatible.

d) No se puede resolver porque R(C ) ≠ R(A)

Sistemas lineales con parámetros

231

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 232

Ejercicios propuestos 1 Teorema de Rouché 15 Discute los siguientes sistemas: a) 3x – y + 2z = 1 x + 4y + z = 3 2x – 5y + z = – 2 b) 5x + 4y + 5z = 9 x – 2y – 7z = 1 5x + 3y + 5z = 5

20 Resuelve por Cramer: a) x + y + z = 1 3x – 4y

7x – y – 3z = 8 b) x + 2y + 3z = 0 x + 2y + z = 0 2x + 3y + 4z = 2

21 Resuelve matricialmente: 1 2 1 2 – 1 2 1 1 2

16 Discute los siguientes sistemas: a) 2x + y + 4z = 0 4x – y + 2z = – 4 3x – y + z = – 2

22 Resuelve matricialmente: 1 0 1 1 1 0 0 1 1

b) 8x + y + 4z = 9 5x – 2y + 4z = 6 x+ y

17 Discute los siguientes sistemas: a) 2x – y + z = – 2 x + 2y + 3z = – 1 x – 3y – 2z = 3 b) x + 2y – 4z = 1 2x + y – 5z = – 1 x – y – z = – 2

18 Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema: 2x + 4y – z = 7 x + y + z = 6 5x – 2y – 4z = – 11

x 1 y = 2 z 3

x 2 y = – 2 z 0

3 Discusión de sistemas con parámetros 23 Discute, según los valores del parámetro m, los siguientes sistemas: a) mx + my = 6 x + (m – 1)y = 3 b) (m + 1)x + y + z = 3

x + 2y + mz = 4

x + my + 2z = 2

24 Discute, según los valores del parámetro a, los siguientes sistemas: a) x + y + 2z = 3 2x – y + az = 9 x – y – 6z = 5 b) x + y + 2z = 2

2 R egla de Cramer y forma matricial 19 Resuelve por Cramer: a) 7x + 2y + 3z = 15 5x – 3y + 2z = 15 10x – 11y + 5z = 36

2x – y + 3z = 2 5x – y + az = 6

25 Discute, según los valores del parámetro k, los siguientes sistemas: a) 3x – 5y = 6 x+ y=k x + 2y = 2

b) 3x + 2y + 4z = 1

b) x + y

2x + y + z = 0

2x + 2y – z = 3

x + 2y + 3z = 1

kx + 3y – 2z = 0

Bloque II. Álgebra

Para ampliar 26 Resuelve y clasifica los siguientes sistemas: a) 3x + 2y – z = 4

ax + y – z = 0

x + y + z = 3

2x + ay

– 3z = – 1

– x

b) x – y + 3z = 0

=2 +z=1

a) Discute el sistema según los valores del parámetro a

2x – 2y + 3z = 0

b) Resuelve el sistema cuando tenga más de una solución.

3x – 3y + 5z = 0

27 Para cada valor del parámetro real k se considera el sistema lineal de ecuaciones:

31 Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

32 Sea el siguiente sistema: – x + ky + 2z = k

x– y=3

2x + ky – z = 2

2x – 3y = 2k

kx – y + 2z = k

3x – 5y = k2

b) Discute la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro k

Se pide:

a) discutir el sistema según los valores de k

b) R esuelve el sistema para k = – 1

b) resolverlo en los casos en que sea compatible.

c) R esuelve el sistema para k = 2

28 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro m:

33 Siendo a un número real cualquiera, se define el sistema:

2x + y –

z=2

x+y+

2z = 5

– x

+ (m + 2)z = 3

a) Discute el sistema para los distintos valores de m b) Resuelve el sistema para m = 3

29 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a: x–y

ax + y + 2z = 0 x – y + az = 1 a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro a b) Resuelve el sistema para a = – 1 c) Resuelve el sistema para a = 2

x + 2y – az = 1 – y + z = 0 ax

+ z=a

a) D iscute el sistema en función del valor de a b) E ncuentra todas sus soluciones para a = 1

34 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real λ: y+z=1 (1 – λ)x +

y+z=λ

x + (λ – 1)y – z = 0 donde λ es un número real. a) D iscute el sistema según los valores del parámetro λ b) R esuelve el sistema para λ = 0 c) R esuelve el sistema para λ = 3

30 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real λ: x + y + λz = λ

y– z=λ x + λy + z = λ a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro λ b) Resuelve cuando sea indeterminado.

35 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real λ: x + y + 5z = 0 2x – λy

x– y+ z=0 Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro λ y resuélvelo.

Sistemas lineales con parámetros

233

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

36 Considera el sistema de ecuaciones: x+ y+ z = – 2 – λx + 3y + z = – 7 x + 2y + (λ + 2)z = – 5 a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indetermi nado.

37 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones: ax + 2y + 6z = 0 2x + ay + 4z = 2 2x + ay + 6z = a – 2 a) Discute el sistema en función del parámetro a b) Resuélvelo para a = 2

38 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones: x–y+ z= 6 – x – y + (a – 4)z = 7 x+y+ 2z = 11 a) Discute el sistema en función del parámetro real a b) Resuélvelo para a = 4

(a + 1)x + 2y + z = a + 3 ax + y =a ax + 3y + z = a + 2 a) Discute el sistema en función del parámetro real a b) Resuelve el sistema en los casos en que resulte compatible determinado.

40 Se considera el sistema: 2x + my =0 x + mz = m x + y + 3z = 1 a) Discute el sistema según los valores de m b) Resuelve el sistema para m = 6

41 Sea el sistema homogéneo: x + z=0 x + my + 2mz = 0 2x + my + (2m + 3)z = 0 a) Calcula el valor de m para el que el sistema tenga soluciones distintas de la trivial. b) Halla las soluciones.

Problemas propuestos 42 Dado el sistema de ecuaciones: 2x + y + z = 1 x – y + z = 2 a) Estudia su compatibilidad. b) Añade al sistema una ecuación de tal forma que el sistema resultante tenga solución única. Justifica la respuesta y encuentra dicha solución. c) Añade al sistema dado una ecuación de tal forma que el sistema resultante sea incompatible. Justifica la respuesta.

43 Se considera el siguiente sistema: x–y = a x + a 2z = 2a + 1 x – y + a(a – 1)z = 2a a) Discute el sistema según los valores del parámetro real a b) Resuelve el sistema para a = 3

44 Discute el sistema, según el valor del parámetro m, y resuelve en los casos de compatibilidad. 2x + 3y + z = 4 3x + y + mz = 6 – 2x – 10y – 2z = m – 4

234

39 Sea el sistema de ecuaciones:

Bloque II. Álgebra

45 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones en las incógnitas x, y, z, t: x + 2y + z =0 y + 2z + t = 0 2x + 2ky – t = 0 a) Encuentra los valores de k para los que el rango de la matriz de los coeficientes del sistema es 2 b) Resuelve el sistema anterior para k = 0

46 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones: λx + 2y = 3 – x + 2λz = – 1 3x – y – 7z = λ + 1 a) Halla todos los valores del parámetro λ para los que el sistema correspondiente tiene infinitas soluciones. b) Resuelve el sistema para los valores de λ obtenidos en el apartado anterior. c) Discute el sistema para los restantes valores de λ

47 Dado el siguiente sistema: x+

z=1 y + (a – 1)z = 0 x + (a – 1)y + az = a

a) Discute el sistema según el valor del parámetro a b) Resuelve el sistema en todos los casos de compatibilidad.

48 Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema: 3x

2y – z = k – 2z = 11 y + z = 6

49 Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema: x + y – z = 2 kx + y + z = 1 x – y + 3z = – 3

50 Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema: x + y + 5z = 0 2x – 3y =0 x + 2y + 2kz = k

51 Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro m y resuélvelo cuando sea posible: x + 2z – 3 = 0 3x + y + z + 1 = 0 x – y + mz + 5 = 0

52 Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro a: ax

+ z=1 ay + z = 1 az = 1

Para profundizar 53 Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores de los parámetros a y b:

57 Estudia, según los diferentes valores de a y b, la compatibilidad del sistema:

3x – y + 2z = 1 x + 4y + z = b 2x – 5y + az = – 2

2x – y – 2z = b x+ y+ z= 5 4x – 5y + az = – 10

54 Discute, según los valores de los parámetros λ y µ, el sistema de ecuaciones lineales: λx + y + z = µ x + y + λz = 2 2x + y + λz = µ

55 Discute, según los valores de los parámetros a y b, el sistema de ecuaciones lineales: 2x – 5y + az = – 2 3x – y + 2z = 1 x + 4y + z = b

56 Calcula el valor de a y b para que el sistema siguiente sea compatible indeterminado: 2x – y + z = 3 x–y+ z=2 3x – y – az = b

58 Dado el sistema de ecuaciones lineales: ax + y + z = 1 x + ay + z = b x + y + az = 1 a) Discute el sistema en función de a y b b) Resuelve el sistema para a = b = – 2

59 Dado el sistema de ecuaciones lineales: 2x – y + z = 3 x–y+ z=2 3x – y – az = b a) Halla los valores de a y b para los que el sistema sea compatible indeterminado y su solución sea una recta. b) Halla la solución para los valores obtenidos en el apartado anterior.

Sistemas lineales con parámetros

235

Mates dinámicas virtuales con GeoGebra en Moodle 1. Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos)

2x – 3y + 3z = 5 Discute o estudia el sistema: 5x + 4y – 2z = 7 4 3x + 7y – 5z = 9

SOLUCIÓN:

En GeoGebra elige el applet: Discutir o estudiar un sistema. El sistema es incompatible porque R (C ) = 2 y R (A) = 3

2. Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos)

1 1 – 3 x 4 Resuelve matricialmente el sistema: f 2 1 0 p f y p = f 3 p 2 2 2 z 6 SOLUCIÓN:

En GeoGebra elige el applet: Resolución de un sistema matricialmente. x = – 1/4 y = 7/2 z = – 1/4

3. Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos)

– x + 4y = 6 Discute según los valores de k el sistema y resuélvelo cuando sea compatible indeterminado: 2x + 3y = 5k/2 4 5x + 2y = k 2

SOLUCIÓN:

En GeoGebra elige el applet: Sistemas de 3 ecuaciones con 2 incógnitas con un parámetro k Es incompatible para k ≠ 2, k ≠ 3 Solución para k = 2 es x = 2/11, y = 17/11 Solución para k = 3 es x = 12/11, y = 39/22

4. Problema (Calificación: 2,5 puntos) Discute según los valores de k el sistema y resuélvelo cuando sea compatible indeterminado. (2 – k)x + y + (2k – 1)z = 2k2 – 1 4 x + ky + z=k kx + y + z=1

SOLUCIÓN:

En GeoGebra elige el applet: Sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas con un parámetro k Es compatible determinado para k ≠ – 2, k ≠ 1 para k = – 2 es incompatible Para k = 1 es compatible indeterminado Solución x = – y – z + 1

236

Bloque II. Álgebra

Ponte a prueba

ÁLGEBRA

PROBLEMAS RESUELTOS 1 Una empresa que fabrica grapadoras debe satisfacer un pedido de 325 unidades que empaqueta en cajas de diferentes tamaños. Hay 3 modelos de cajas, A, B y C, en los que caben, respectivamente, 5, 10 y 15 unidades. Se dispone de un total de 35 cajas. Además, el total de cajas de los modelos A y B es 6 veces el número de cajas del modelo C. Halla el número de cajas de cada tipo.

Incógnitas, datos y preguntas A = cajas modelo A B = cajas modelo B C = cajas modelo C

Planteamiento y operaciones 5A + 10B + 15C = 325 1.a/5 A + 2B + 3C = 65 ⇒ A + B + C = 35 41.a – 2.a A + B + C = 35 4 A + B = 6C

A + 2B + 3C = 65 B + 2C = 30 4 7C = 35

3.a/7

A + B – 6C = 0

⇒

2.a – 3.a

A + 2B + 3C = 65 A = 10 B + 2C = 30 4 ⇒ B = 20 4 C=5

C=5

Solución N.o de cajas del modelo A = 10, B = 20, C = 5

2 Una estudiante pidió en la cafetería 3 bocadillos, Incógnitas, datos y preguntas 2 refrescos y 2 bolsas de patatas y pagó un total de b = precio bocadillo r = precio refresco p = precio patatas 19 €. Al mirar la cuenta comprobó que le habían cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de más. Planteamiento y operaciones Reclamó y le devolvieron 4 € En realidad le cobró 4 bocadillos, 2 refrescos y 3 bolsas de patatas y pagó Para compensar el error, el vendedor le ofreció que un total de 19 € se llevara un bocadillo y un refresco por solo 3 €, 4b + 2r + 3p = 19 4b + 2r + 3p = 19 lo que suponía un descuento del 40 % respecto a 4b + 2r + 3p = 19 b + p = 44 p = 4 – b4 & p = 4 – b4 sus precios originales. ¿Cuáles eran los respectivos & r =5–b 0,6 (b + r) = 3 3.a /0,6 b +r =5 precios sin descuento de un bocadillo, de un refresco y de la bolsa de patatas? 4b + 2(5 – b) + 3(4 – b) = 19 ⇒ 4b + 10 – 2b + 12 – 3b = 19 – b = – 3 ⇒ b = 3, p = 1, r = 2

Solución Precio de un bocadillo = 3 €, refresco = 2 € y patatas = 1 €

3 Un cliente hace un pedido a una fábrica de harinas que ofrece tres tamaños distintos de sacos: pequeño, mediano y grande. Ha pedido 20 sacos pequeños, 14 medianos y 6 grandes, y el peso total de su pedido que es 1800 kg. Si el peso de 2 sacos pequeños y de 3 medianos en el mismo que el de 2 sacos grandes y el peso de un saco grande es 4 veces el peso de un saco pequeño. Halla el peso de cada uno de los sacos.

Incógnitas, datos y preguntas p = peso saco pequeño m = peso saco mediano g = peso saco grande

Planteamiento y operaciones 10p + 7m + 3g = 900 20p + 14m + 6g = 1 800 2p + 3m = 2g 4 ⇒ 2p + 3m = 8p 4 g = 4p g = 4p 10p + 7m + 3g = 900 10p + 7m + 3g = 900 m = 2p 4 3m = 6p 4 ⇒ g = 4p g = 4p 10p + 14p + 12p = 900 ⇒ 36p = 900 ⇒ p = 25, m = 50, g = 100

Solución Peso saco pequeño = 25 kg, mediano = 50 kg y grande = 100 kg

BLOQUE II Ponte a prueba 237

Ponte a prueba 4 Se considera la matriz:

1 – 2 0 A = f – 2 2 – 1 p 0 1 1 a) Razona si la matriz A es simétrica. b) Calcula A – 1 c) Resuelve la ecuación matricial: 2X · A – A 2 – 3I = 0

a) Una matriz es simétrica si coincide con su traspuesta: 1 – 2 0 A t = f – 2 2 1 p 0 – 1 1

Vemos que A ≠ A, porque a23 ≠ a32 t

b) | A | = – 1 ≠ 0 ⇒ Existe la matriz inversa A – 1 2 – 1 – 2 0 – 2 0 A11 = = 3, A21 = – = 2, A31 = = 2 1 1 1 1 2 – 1 – 2 – 1 1 0 1 0 A12 = – = 2, A22 = – = 1, A32 = – = 1 0 1 0 1 – 2 – 1 – 2 2 1 – 2 1 – 2 A13 = = – 2, A23 = – = – 1, A33 = = – 2 0 1 – 2 2 0 1 3 2 2 – 3 – 2 – 2 A – 1 = – f 2 1 1 p = f – 2 – 1 – 1 p

| |

| | | |

– 2 – 1 – 2

| |

c) 2X · A – A – 3I = 0 ⇒ 2X · A = A + 3I 2

X = 1 (A 2 + 3I )A – 1 ⇒ X = 1 (A + 3A – 1) 2 2 1 – 2 0 – 9 – 6 – 6 – 8 – 8 – 6 – 1 A + 3A = f – 2 2 – 1 p + f – 6 – 3 – 3 p = f – 8 – 1 – 4 p ⇒ 6 4 1 6 3 6 – 4 – 3 – 8 – 8 – 6 – 4 ⇒ X = 1 f – 8 – 1 – 4 p = f – 4 – 1/2 – 2 p 2 6 4 7 3 2 7/2 0

5 Se considera la matriz: 1 a+1 2 A = f a 1 1 p

1 – 1 a a) Calcula el determinante de A b) ¿Para qué valores de a tiene inversa la matriz A?

a) Determinante de A:

1 a+1 2 | A| = a 1 1 = – a3 – a2

1 – 1 a b) La matriz A tiene inversa siempre que su determinante sea distinto de cero. | A| = = – a3 – a2 ⇒ = – a3 – a2 = 0 ⇒ = a3 + a2 = 0 a2(a + 1) = 0 ⇒ a = 0, a = – 1

La matriz A tiene inversa siempre que a ≠ 0 y a ≠ – 1

6 Resuelve la ecuación: x x 0 0 x + 2 0 = 0 1 1 x+2

x x 0 0 x + 2 0 = x 3 + 3x 2 + 2x 1 1 x+2 x 3 + 3x 2 + 2x = 0

x=0 x (x 2 + 3x + 2) = 0 ⇒ ) x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x + 2 = 0 ⇒ x =

– 3 ± √9 – 8 – 3 ± 1 = = 2 2

Soluciones o raíces: x1 = 0, x2 = – 1, x3 = – 2

238

BLOQUE II Ponte a prueba

– 1 – 2

ÁLGEBRA 7 Sea la matriz

a) – 1 – 2 – 2 A = 1 2 1 0 – 1 – 1

a) Comprueba que verifica A3 – I = O; con I, matriz identidad, y O, matriz nula. b) Calcula A12 c) Basándote en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas, halla la matriz X que verifica la siguiente igualdad: A2X + I = A

– 1 – 2 – 2 – 1 – 2 – 2 – 1 0 2 A = 1 2 1 1 2 1 = 1 1 – 1 0 – 1 – 1 0 – 1 – 1 – 1 – 1 0 2

– 1 0 2 – 1 – 2 – 2 1 0 0 A = A · A = 1 1 – 1 1 2 1 = 0 1 0 – 1 – 1 0 0 – 1 – 1 0 0 1 3

Luego A3 – I = O b) La matriz A es cíclica de orden 3

12 3

0 4 A12 = A3 = I c) Se multiplica por la izquierda en los dos miembros por A A · (A2 X + I ) = A · A ⇒ A3 · X + A = A2 ⇒ X + A = A2 ⇒ X = A2 – A – 1 0 2 – 1 – 2 – 2 0 2 4 X = 1 1 – 1 – 1 2 1 = 0 – 1 – 2 – 1 – 1 0 0 – 1 – 1 – 1 0 1

8 Resuelve las siguientes cuestiones: a) Define rango de una matriz. b) Calcula el rango de A según los valores del parámetro k 1 3 3 1 A = k k 3 – 1 – 1 3 3 0 c) Estudia si se puede formar una base de R 3 con las columnas de A según los valores del parámetro k. Indica con qué columnas.

a) El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes.

C3 C1 C2

1 3 3 1 1 3 1 3 b) R = k k 3 – 1 = R – 1 3 k k 1.a + 2.a = – 1 3 3 0 0 3 – 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 = R 0 6 k + 1 k + 3 =R 0 6 k+1 k+3 =3 a a 2. – 2 · 3. 0 3 – 1 3 0 0 k + 3 k – 3 para cualquier valor de k, ya que k no puede ser 3 y – 3 a la vez. c) Para k = – 3, el determinante formado por los vectores de las columnas 4.a, 3.a y 1.a de A es cero. Luego los tres vectores son linealmente dependientes. Se puede formar una base con los vectores de las columnas 3.a, 2.a y 1.a 3 3 1 Las columnas 1.a, 2.a y 3.a son lineal 3 – 3 – 3 = 36 ≠ 0 ⇒ mente independientes para k = – 3 3 3 – 1 Para el valor k ≠ – 3 se puede formar una base con las columnas 1.a, 3.a y 4.a

BLOQUE II Ponte a prueba 239

Ponte a prueba 9 Se consideran las matrices x y x A= y 0 y 1 z z B = (a, 2, 3) C = (4, 0, 2) a) Halla los valores de x, y, z, para los que A no tiene inversa. b) Determina los valores de a para los que el sistema B · A = C tiene solución. c) Resuelve el sistema anterior cuando sea posible.

a) Para que A no tenga inversa, el determinante de A debe valer cero. x y x y 0 y = y 2 – y 2z ⇒ y 2 – y 2z = 0 ⇒ y 2(1 – z) = 0 ⇒ y = 0; z = 1 1 z z La matriz A no tiene inversa para los valores y = 0, o bien z = 1 b)

x B · A = C ⇒ (a 2 3) y 1

ax + 2y =1 y x ay + 3z = 0 0 y = (4 0 2) ⇒ ax + 2y + 3z = 2 z z

Sea la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada, respectivamente: a 2 0 a 2 0 1 M = 0 a 3 , N = 0 a 3 0 a 2 3 a 2 3 2 |M | = 3a 2 ⇒ 3a 2 = 0 ⇒ a = 0 Para todo valor a ≠ 0, R(M ) = R(N ) = 3 = número de incógnitas ⇒ Sistema compatible determinado. Para a = 0 se tiene: 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 = R 0 0 3 0 2.a/3 = R 0 0 1 0 R 0 0 3 0 0 2 3 2 3.a – 1.a 0 0 3 1 3.a – 2.a 0 0 0 1 Se tiene R(M ) = 2 ≠ R(N ) = 3 ⇒ Sistema incompatible. c) Para a ≠ 0, resolvemos por Cramer: |M | = 3a 2 1 2 0 0 a 3 2 2 3 a + 2 x = = 2 a 3a 2 a 1 0 0 0 3 1 a 2 3 y = = – a 3a 2 a 2 1 0 a 0 a 2 2 1 z = = 3 3a 2 La solución es: a+2 1 1 x = 2 y = – z = a a 3

240

BLOQUE II Ponte a prueba

ÁLGEBRA 10 Calcula una matriz cuadrada X sabiendo que verifica XA2 + BA = A2 siendo 0 0 – 1 A = 0 – 1 0 – 1 0 0 0 0 – 2 B = 0 – 2 0 – 2 0 0

XA2 + BA = A2 ⇒ XA2 = A2 – BA ⇒ XAAA – 1 = AAA – 1 – BAA – 1 ⇒ XAI = AI – BI ⇒ XA = A – B ⇒ XAA – 1 = AA – 1 – BA – 1 ⇒ X = I – BA – 1 Calculamos: 0 0 –1 A –1 = f 0 –1 0 p –1 0 0 0 0 –2 0 0 –1 2 0 0 BA – 1 = f 0 – 2 0 p f 0 –1 0 p = f 0 2 0 p 0 0 –1 0 0 –2 0 0 2 1 0 0 2 0 0 –1 0 0 X = I – BA – 1 = f 0 1 0 p – f 0 2 0 p = f 0 –1 0 p 0 0 1 0 0 2 0 0 –1

11 Dado el sistema de ecuaciones con las incógnitas x, y, z, x + 2y – 3z = α 2x + 6y – 11z = 2 x – 2y + 7z = 1 se pide: a) Determinar razonadamente el valor de α para el cual el sistema es compatible. b) Para ese valor obtenido en a) de α, calcular el conjunto de soluciones del sistema.

a) Sea C la matriz de los coeficientes y A la matriz ampliada. 1 2 – 3 1 2 – 3 C = 2 6 – 11 ; A = 2 6 – 11 1 – 2 7 1 – 2 7

α 2 1

Estudiamos el rango de la matriz ampliada. 1 2 – 3 R 2 6 – 11 1 – 2 7 1 2 – 3 = R 0 – 2 5 0 0 0

1 2 – 3 α α a a = 2 2 · 1. – 2. = R 0 – 2 5 2(α – 1) 0 4 – 10 1 1.a – 3.a α – 1 2 · 2.a + 3.a α 2(α – 1) 5(α – 1)

Para α ≠ 1 ⇒ R(C ) = 2 ≠ R(A) = 3 ⇒ Sistema incompatible. Para α = 1 ⇒ R(C ) = R(A) = 2 < n.o de incógnitas ⇒ Sistema compatible indeterminado. b) Para α = 1, pasando de la última matriz de Gauss al sistema se tiene: x + 2y – 3z = 1 5 ⇒ x = 1 – 2z, y = z 2 – 2y + 5z = 0 La solución es:

x = 1 – 2λ 5 y = λ ; λ ∈ ℝ 2 z=λ

BLOQUE II Ponte a prueba 241

Ponte a prueba PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Sea A una matriz 3 × 3 de columnas C1, C2 y C3 (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C1 + C2, 2C1 + 3C3 y C2 (en ese orden). Calcula el determinante de B en función del de A 2 Considera el siguiente sistema de ecuaciones: x+ y+ z=a–1 2x + y + az = a x + ay + z = 1 a) Discútelo según los valores del parámetro a b) Resuélvelo en el caso a = 2

3 Dado el sistema de ecuaciones lineales: x + (k + 1)y + 2z = – 1 kx + y+ z=k (k – 1)x – 2y – z = k + 1 a) Discútelo según los valores del parámetro k b) Resuélvelo cuando tenga infinitas soluciones.

4 Considera la matriz:

1 1 1 A = m m2 m2 m m m2 a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3 x 1 b) Estudia si el sistema A y = 1 tiene solución para

z 1 cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.

5 Se consideran las matrices 1 3 1 2 λ A= ; B = λ 0 1 – 1 – 1 0 2 donde λ es un número real. a) Encuentra los valores de λ para los que la matriz AB tiene inversa. b) Dados a y b números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema x a A y = b z compatible determinado con A, la matriz del enunciado?

242

BLOQUE II Ponte a prueba

6 Dadas las matrices: A=

0 2 1 – 1 yB= 2 4 2 1

a) Resuelve la ecuación matricial AX + X = B, donde X es una matriz 2 × 2 2X + 2Y = A , siendo X e Y dos 4X + 3Y = B matrices de orden 2 × 2

b) Resuelve el sistema:

7 Dada la matriz: 2 M = 2a 2

1 – a 1 – 1 a 1

a) Determina el rango de M según los valores del parámetro a b) Determina para qué valores de a existe la matriz inversa de M. Calcula dicha matriz inversa para a = 2

8 Dado el sistema de ecuaciones con un parámetro real λ e incógnitas x, y, z (λ + 2)x – y+ z=0 3x + (λ + 6)y – 3z = 0 5x + 5y + (λ – 2)z = 0 a) Calcula para qué valores de λ el sistema solo admite la solución (x, y, z) = (0, 0, 0) b) Para cada valor de λ que hace indeterminado el sistema, obtén todas sus soluciones. c) Explica la posición relativa de los tres planos definidos por cada una de las ecuaciones del sistema cuando λ = – 3

9 A es una matriz 3 × 3 tal que 2 1 0 1 0 2 A2 = – 1 0 – 1 y A3 = – 2 – 1 0 – 1 – 1 2 2 2 – 3 a) Calcula el determinante de la matriz A3 y la matriz inversa de A3 b) Calcula la matriz fila X = (x y z), que es solución de la ecuación matricial X A3 = B A2, donde B es la matriz fila B = (1 2 3) c) Calcula la matriz inversa de A

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