Unidad de muestra Generación B Matemáticas Aplicadas 4 ESO Andalucía para centros bilingües by Grupo Anaya, S.A.

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Matemáticas Aplicadas

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Matemáticas Aplicadas José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez

ESTRUCTURA DEL LIBRO EVALUACIÓN INICIAL Es una prueba resuelta que sirve de modelo al alumno para la evaluación inicial y como repaso de contenidos esenciales de 3.o ESO.

Este icono indica que dispones de recursos en el libro digital.

DESARROLLO DE LA UNIDAD Presentación

❙ Í ndice de la unidad. Enumeración de los contenidos que se desarrollan en la unidad. ❙ Imagen. Fotografía que muestra una aplicación a la vida cotidiana de los contenidos que se desarrollan en la unidad. ❙ Texto introductorio. Explicación de la fotografía en relación a los contenidos y contestación a la pregunta: ¿Para qué sirve lo que vamos a estudiar?

Desarrollo de los contenidos Doble página contenidos = Una sesión de clase ❙ Piensa y calcula. Repaso de los contenidos previos con un ejercicio de cálculo mental corto. ❙ Se desarrollan los contenidos en dobles páginas y se resaltan los más importantes. ❙ Ejemplos y ejercicios resueltos. Ejercicios y problemas resueltos de cada concepto o procedimiento. ❙ Aplica la teoría. Ejercicios propuestos de aplicación.

❙E jercicios y problemas resueltos. Doble página con ejercicios y problemas tipo resueltos de forma pormenorizada.

2 ESTRUCTURA DEL LIBRO

❙E jercicios y problemas propuestos clasificados en 4 secciones de los mismos contenidos de las sesiones de clase. Por niveles de dificultad: • Para ampliar. • Problemas. • Para profundizar.

Mates dinámicas virtuales con GeoGebra, CalcMe y Hoja de cálculo en Moodle. ❙ Ejercicios y problemas para comprender los conceptos y procedimientos con el uso de: • Applets de GeoGebra. • Asistente matemático CalcMe. • Hoja de cálculo Microsoft Excel y/o Calc de OpenOffice.

❙M atematización en contextos reales. Ejercicios con una aplicación real a la vida cotidiana, a la Ciencia, Tecnología, Ingeniería, Arte y Matemáticas (STEAM). ❙A utoevaluación. Modelo de examen para que el alumno se autoevalúe.

SECCIONES FINALES ❙A ctividades de ampliación. Actividades en las que se proponen investigar, exponer, elaborar documentos digitales o trabajar técnicas matemáticas a través de diversos textos. ❙ Actividades de recuperación. Ejercicios para preparar la recuperación final del curso. ❙ Evaluación final. Modelo de examen que sirve de autoevaluación final.

ESTRUCTURA DEL LIBRO 3

ÍNDICE 5

BLOQUE III GEOMETRÍA 109

BLOQUE I ARITMÉTICA 7

Grandes en Matemáticas .................................................................................... 110

EVALUACIÓN INICIAL ................................................................................................................................................................................. Grandes en Matemáticas ....................................................................................

1 Números enteros y racionales

1. Operaciones con números enteros............................................................... 10 2. Operaciones con fracciones.............................................................................. 12 3. Fracciones y números decimales................................................................. 14 4. Resolución de problemas................................................................................... 16

2 Los números reales

1. Números racionales e irracionales.............................................................. 28 2. La recta real................................................................................................................. 30 3. Aproximaciones y errores................................................................................... 32

3 Potencias y radicales

1. Potencias de exponente natural y entero................................................ 44 2. Radicales........................................................................................................................ 46 3. Operaciones con radicales................................................................................. 48

BLOQUE II ÁLGEBRA 59 Grandes en Matemáticas .......................................................................................................................................................... 60

4 Operaciones con polinomios

1. Operaciones con polinomios............................................................................ 62 2. Teoremas del resto y del factor..................................................................... 64 3. Factorización de polinomios............................................................................. 66

5 Ecuaciones

77 er

1. Resolución de ecuaciones de 1. grado con una incógnita....... 78 2. Ecuaciones de 2.o grado...................................................................................... 80 3. Resolución de problemas................................................................................... 82

6 Sistemas de ecuaciones

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica....................................................... 94 2. Resolución algebraica de sistemas lineales......................................... 96 3. Problemas de sistemas........................................................................................ 98

7 Semejanza

111

8 Áreas y volúmenes

129

1. Teorema de Pitágoras............................................................................................ 112 2. Teorema de Thales.................................................................................................. 114 3. Planos, mapas y maquetas............................................................................... 116 4. Área de figuras planas......................................................................................... 118 1. Área y volumen de cuerpos en el espacio............................................ 130 2. Área y volumen de pirámides y conos..................................................... 132 3. Área y volumen de troncos y esfera........................................................... 134

BLOQUE IV FUNCIONES 145 Grandes en Matemáticas .................................................................................... 146

9 Funciones. Rectas y parábolas

147

1. Funciones....................................................................................................................... 2. Función lineal y función afín........................................................................... 3. Función cuadrática.................................................................................................. 4. La parábola...................................................................................................................

10 Funciones algebraicas y trascendentes

148 150 152 154

165

1. Funciones racionales............................................................................................. 166 2. Operaciones con funciones. Funciones irracionales....................... 168 3. Funciones exponenciales................................................................................... 170

BLOQUE V E STADÍSTICA Y PROBABILIDAD 181 Grandes en Matemáticas .................................................................................... 182

11 Estadística

233

12 Combinatoria y probabilidad

227

1. Caracteres estadísticos ....................................................................................... 210 2. Caracteres continuos. Datos agrupados................................................... 212 3. Parámetros de centralización.......................................................................... 214 4. Parámetros de dispersión................................................................................... 216

1. Variaciones y permutaciones.......................................................................... 228 2. Combinaciones y resolución de problemas........................................... 230 3. Experimentos aleatorios simples.................................................................. 232 4. Experimentos aleatorios compuestos........................................................ 234

ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN ..................................................................... 245 ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN ............................................................. 258 EVALUACIÓN FINAL ....................................................................................................... 263

Combinatoria y probabilidad

1 Variaciones y permutaciones 2 Combinaciones y resolución 3 4

de problemas Experimentos aleatorios simples Experimentos aleatorios compuestos

La combinatoria y la probabilidad se aplican en numerosas situaciones. Así, por ejemplo, puede utilizarse para hallar cuántos menús diferentes se pueden formar si disponemos de 8 primeros, 5 segundos y 6 postres.

Variaciones y permutaciones PIENSA Y CALCULA Un restaurante oferta, en el menú del día, 5 platos de primero, 4 de segun do y 3 de postre. ¿Cuántos menús diferentes se pueden pedir? EJERCICIO RESUELTO

D ibuja el árbol corres pondiente a los posibles menús que se pueden formar en un restauran te que tiene 3 platos de primero y 2 de segundo. B1 B2 B1 B2 B1 B2

A1 A2 A3

A1B1 A1B2 A2B1 A2B2 A3B1 A3B2

EJERCICIO RESUELTO

Con las letras a, b y c forma todos los grupos que puedas de dos le tras sin repetir ninguna. b ab ac c ba a b bc c ca a c cb b 3 ∙ 2 = 6 a

V3, 2 = 3 ∙ 2 = 6 3 nPr 2 = 6 a aa ab b a ac c ba a b bb b bc c ca a c cb b cc c 3 ∙ 3 = 9 2

3 x 72 UNIDAD 5

= 9

1.1 Diagrama de árbol • Un diagrama de árbol es un gráfico que nace de un tronco y sus brazos se van ramificando como un árbol. Se llama así porque está formado de ramas. • Una rama es cada una de las flechas del diagrama. • Un camino es un conjunto de ramas que van desde el principio al final.

1.2 Variaciones ordinarias o sin repetición Las variaciones ordinarias o sin repetición de m elementos tomados de p en p, siendo p ≤ m, son los diferentes grupos de p elementos distintos entre sí que se pueden formar con los m elementos, de forma que, en cada dos grupos: • el orden de los elementos es distinto o • alguno de los elementos es distinto. p

Se representan por Vm, p, o bien V m, y se tiene que: Vm, p = m(m – 1)(m – 2)(m – 3) ∙∙∙ [m – ( p – 1)] 1444444444442444444444443 p factores decrecientes en una unidad y consecutivos

1.3 Variaciones con repetición Las variaciones con repetición de m elementos tomados de p en p son los diferentes grupos de p elementos que se pueden formar con los m elementos, de forma que en cada dos grupos: • el orden de los elementos es distinto o • alguno de los elementos es distinto. p

Se representan por VRm, p, o bien VR m, y se tiene que: VRm, p = m p EJERCICIO RESUELTO

Con las letras a, b y c forma todos los grupos que puedas de dos letras. VR 3, 2 = 32 = 9

1.4 Permutaciones ordinarias o sin repetición Las permutaciones ordinarias o sin repetición de m elementos son los diferentes grupos de m elementos distintos entre sí que se pueden formar de manera que en cada dos grupos el orden de los elementos es distinto. Se representan por Pm, y se tiene que: Pm = m ! = m (m – 1)(m – 2) … 3 ∙ 2 ∙ 1 b c b c c a b a c b a c a b 3 ∙ 2 ∙ 1 = a

EJERCICIO RESUELTO

Con las letras a, b y c forma todas las palabras que puedas de tres le tras sin repetir ninguna. P3 = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6

Las permutaciones son un caso particular de las variaciones cuando m = p. En realidad una permutación es simplemente un cambio de orden.

abc acb bac bca cab cba 6

3 x! = 6

1.5 Permutaciones circulares En las permutaciones circulares se fija un elemento y se hace permutar al resto. PCm = (m – 1)! EJERCICIO RESUELTO

¿De cuántas formas se pueden sentar cinco personas alrededor de una mesa circular? Se deja siempre una de las personas fija y se cambia de todas las formas posibles al resto. PC5 = 4! = 24

Factorial El factorial de un número es el producto de dicho número por todos los números natura les menores que él. Se repre senta por m ! EJEMPLO

5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 Casos particulares 0! = 1 1! = 1

APLICA LA TEORÍA 1

Calcula mentalmente: a) V10, 3 b) VR10, 3

Dibuja el árbol correspondiente a las distintas formas en que puede vestirse una persona que tie ne dos camisas y tres pantalones. ¿Cuántas son?

Con los dígitos 2, 4, 6 y 8 forma todos los nú meros de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna cifra. ¿Cuántos son?

Con los dígitos 8 y 9, forma todos los números de tres cifras que puedas. ¿Cuántos son?

Con los dígitos 1, 2 y 3 forma todos los números de tres cifras que puedas sin que se repita ningu na. ¿Cuántos son?

6 ¿De cuántas formas se pueden sentar 10 personas alrededor de una mesa circular, de forma que en cada caso haya al menos dos personas sentadas en diferente orden? 7 El sistema actual de matrículas dice: «En las pla cas de matrícula se inscribirán dos grupos de ca racteres constituidos por un número de cuatro cifras, que irá desde el 0000 al 9999, y de tres letras, empezando por las letras BBB y terminan do por las letras ZZZ, suprimiéndose las cinco vocales y las letras Ñ y Q». ¿Cuántas matrículas hay con las letras BBB? 8 Calcula, usando la calculadora: a) V8, 5

b) VR7, 3

a) P6

b) PC8

Combinatoria y probabilidad 73

Combinaciones y resolución de problemas PIENSA Y CALCULA Calcula mentalmente el valor de los siguientes números combinatorios: 7 b) 8 c) 5 d) 6 a) 0 1 5 5

()

2.1 Combinaciones ordinarias o sin repetición

Observa Cm, p =

Vm, p

EJEMPLO

()

8∙7∙6 8 = 56 = 3∙2∙1 3

( )

Casos particulares

( ) ( ) ( )

m m m = 1, = 1, =m 0 m 1 EJEMPLO

() () ()

5 6 8 = 1, = 1, =8 0 6 1

a b c d

b c d c d d

Las combinaciones ordinarias o sin repetición de m elementos tomados de p en p, siendo p ≤ m, son los diferentes grupos de p elementos distintos entre sí que se pueden formar con los m elementos de forma que en cada dos grupos alguno de los elementos es distinto. p Se representan por Cm, p , o bien C m, y se tiene que: Cm, p = m p Para formar las combinaciones ordinarias, se diseña un árbol; en la 1.a columna se colocan todos los elementos, en la 2.a columna por cada elemento de la 1.a columna se colocan todos los elementos que le siguen en orden, etcétera.

ab ac ad bc bd cd

4 nCr 2 = 6

Cuando el número de la parte inferior es mayor que la mitad del número de la parte superior, se aplica la siguiente propiedad de los números combinatorios.

( mp ) = ( mm– p ) EJERCICIO RESUELTO

Con las letras a, b, c y d forma todos los grupos que puedas de dos le tras sin repetir ninguna y de modo que ninguna de las palabras tenga las mismas letras. 4 = 4∙3 =6 C4, 2 = 2∙1 2

()

2.2 Cuadro resumen de fórmulas combinatorias Fórmula

Ejemplo

Calculadora

Vm, p = m (m – 1)(m – 2) … [m – ( p – 1)]

V7, 3 = 7 ∙ 6 ∙ 5 = 210

nPr

Variaciones con repetición

VR m, p = m p

VR5, 3 = 53 = 125

∧ o xy

Permutaciones

Pm = m !

P4 = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

Variaciones ordinarias

Combinaciones

74 UNIDAD 5

Cm, p =

( ) m p

C7, 3 =

()

7 7∙6∙5 = 35 = 3 3∙2∙1

nCr

Combinatoria: estrategias de resolución 2.3 de problemas La resolución de problemas de combinatoria se puede definir como el arte inteligente de contar. Para ello, se sigue este procedimiento: a) Se escriben el conjunto E del que se toman los elementos y dos grupos de dicho conjunto que verifiquen las condiciones del problema y sean lo más significativos posibles, prestando atención especial a si: • El orden de los elementos es importante. • En cada grupo entran todos los elementos. • Se pueden repetir los elementos. b) Se clasifica mediante el método de interrogación: No ⇒ Combinaciones ¿Influye el orden? * Sí ⇒ Permutaciones Sí ⇒ ¿En cada grupo entran todos los elementos? * Sí ⇒ Con repetición No ⇒ Variaciones ⇒ ¿Hay repetición? ) No ⇒ Sin repetición

c) Se escribe la fórmula y se calcula su valor.

EJERCICIOS RESUELTOS

Con los dígitos impares, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar? a) E = {1, 3, 5, 7, 9}, m = 5, p = 3. Dos ejemplos significativos son: 353, 335 b) Influye el orden, no entran todos los elementos y puede haber repeti ción. ⇒ Variaciones con repetición. c) VR 5, 3 = 53 = 125 5 x 3 = 125

Un examen consta de 8 preguntas de las que hay que elegir 5. ¿De cuántas formas se pueden elegir? a) E = {a, b, c, d, e, f, g, h}, m = 8, p = 5. Dos ejemplos son: abcde, bcegh. b) No influye el orden y no hay repeticiones. ⇒ Combinaciones. 8∙7∙6 8 8 c) C8, 5 = = = = 56 8 nCr 5 = 56 3∙2∙1 5 3 una carrera de velocidad de 100 m participan 5 atletas. ¿De cuán 9 En tas formas pueden entrar en meta? a) E = {a, b, c, d, e}, m = 5, p = 5. Dos ejemplos son: abcde, dbeac. b) Influye el orden, entran todos los elementos. ⇒ Permutaciones ordinarias. c) P5 = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 5 x! = 120 8

()()

¿De cuántas formas pueden entrar en meta estos 5 atletas?

APLICA LA TEORÍA 9 Calcula mentalmente: C5, 2 y C6, 4 10 Con las letras A, B, C, D y E forma todas las combi naciones que puedas de dos letras sin que se repita ningún par de palabras de modo que ningún par de palabras tenga las mismas letras. 11 ¿Cuántas columnas de quinielas hay que cubrir como mínimo para acertar en una los 14 primeros?

12 En una clase hay 25 alumnos. ¿De cuántas formas se puede elegir un delegado y un subdelegado? 13 ¿Cuántas diagonales tiene un decágono? 14 Con 8 jugadores, ¿cuántos equipos de balonces to se pueden formar, si cada jugador puede jugar en cualquier puesto? 15 Halla, usando la calculadora: C10,5 y C15, 7 Combinatoria y probabilidad 75

Experimentos aleatorios simples PIENSA Y CALCULA 1

2 X

X 2

¿Cuántas caras tiene un dado de quinielas? ¿Qué cara es más probable obtener: 1, X o 2?

3.1 Espacio muestral El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio simple está formado por el conjunto de todos los resultados que se pueden presentar. Se representa por la letra E • Suceso elemental: es cada uno de los resultados del espacio muestral. • Suceso: es un conjunto de sucesos elementales. Se representan por letras mayúsculas, poniendo sus elementos entre llaves y separados por comas. • Suceso seguro: es el que siempre se presenta; es el espacio muestral E • Suceso imposible: es el que nunca se presenta. Se representa por ∅

E A

EJEMPLO

B 3

6 EJEMPLO

Contrario de A – A = {2, 4, 6}

3.2 Operaciones con sucesos

– A

E A

Suceso contrario: el suceso contrario de un suceso A está formado por – todos los sucesos elementales que no están en A. Se representa por A

6 A∪B

E A

Sea A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5} ⇒ A ∪ B = {1, 2, 3, 5} 6

A∩B 3

B 2

E A

Unión de sucesos: la unión de dos sucesos A y B es el suceso formado por todos los sucesos elementales de A y de B. Se representa por A ∪ B EJEMPLO

4 E A

En el experimento de lanzar un dado de seis caras: • Espacio muestral o suceso seguro: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6} • Sucesos: A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5} • Suceso imposible: ∅ = {obtener 8 o 9}

•  Intersección de sucesos: la intersección de dos sucesos A y B es el suceso formado por todos los sucesos elementales comunes a A y a B, es decir, que están en los dos sucesos a la vez. Se representa por A ∩ B •  Sucesos compatibles e incompatibles: dos sucesos son compatibles si se pueden presentar al mismo tiempo, es decir, si A ∩ B ≠ ∅, y son incompatibles si no se pueden presentar a la vez, es decir, si A ∩ B = ∅

C 1

4 6

76 UNIDAD 5

EJEMPLO

• Si A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5} ⇒ A ∩ B = {3, 5} ⇒ A y B son compatibles. • Si A = {1, 3, 5}, C = {2, 4} ⇒ A ∩ C = ∅ ⇒ A y C son incompatibles.

La ley de los grandes números dice que la probabilidad de un suceso es la constante a la que se aproxima la frecuencia relativa cuando el experi mento se repite muchísimas veces. EJERCICIO RESUELTO

repite muchas veces el experimento de lanzar al aire una chincheta, 10 Se

Frecuencia relativa

3.3 Ley de los grandes números Lanzamiento de chinchetas Y 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60

X 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Número de tiradas

y se anota el número de veces que queda con la punta hacia arriba. Ha lla la probabilidad de este suceso. N.º de lanzamientos Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

N n f

10 8 0,8

20 12 0,6

30 20 0,67

40 30 0,75

50 33 0,66

60 38 0,63

70 46 0,66

80 55 0,69

90 59 0,66

100 67 0,67

… … …

Se puede inferir que: P( ) = 2/3

3.4 Regla de Laplace

Sucesos equiprobables

La regla de Laplace dice: la probabilidad de un suceso A, de un espacio muestral E, formado por sucesos elementales equiprobables, es igual al número de casos favorables dividido por el número de casos posibles. N.º de casos favorables al suceso A P (A ) = N.º de casos posibles EJERCICIO RESUELTO

11 Halla la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado

de seis caras.

Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⎫ ⇒ P (A) = 3 = 1 ⎬ 6 2 Suceso A = {2, 3, 5} ⎭

3.5 Propiedades de la probabilidad

Los sucesos elementales de un espacio muestral son equi probables si tienen la misma posibilidad de ocurrir; solo en estos casos se puede aplicar la regla de Laplace.

Resolución de problemas En los problemas de proba bilidad se debe escribir siem pre el espacio muestral y el suceso del que se tiene que calcular la probabilidad. EJERCICIO RESUELTO

a) La probabilidad del suceso seguro es uno, P (E ) = 1 b) La probabilidad del suceso imposible es cero, P (∅) = 0 c) La probabilidad de cualquier suceso está comprendida entre cero y

uno, 0 ≤ P (A) ≤ 1 – d) La probabilidad del suceso contrario es P (A ) = 1 – P (A ) e) Si los sucesos A y B son incompatibles, P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) f ) Si los sucesos A y B son compatibles, P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) – P (A ∩ B )

P (A ) = 1/3, P (B ) = 2/3 12 Si

y P (A ∩ B ) = 1/4. Cal cula P (A ∪ B) P (A ∪ B ) = 1 + 2 – 1 = 3 3 4 4+8–3= 9 =3 = 12 12 4

APLICA LA TEORÍA 16 Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6, 8} – – y B = {3, 6}. Calcula: A ∪ B, A ∩ B, A y B 17 Halla la probabilidad de obtener múltiplo de 3 al lanzar un dado de 6 caras. – 18 Se sabe que P (A ) = 2/5. Halla P ( A )

19 Se lanzan 100 chinchetas al aire y 65 quedan con la punta hacia arriba. Halla la frecuencia relativa de que la chincheta quede con la punta hacia arriba. 20 Se sabe que: P (A ) = 3/4, P (B ) = 2/5 y P (A ∪ B ) = 8/9 Calcula: P (A ∩ B ) Combinatoria y probabilidad 77

Experimentos aleatorios compuestos PIENSA Y CALCULA Diseña un árbol de probabilidades para el experimento de lanzar dos monedas al aire. EJEMPLO

• Lanzar dos monedas. • Lanzar tres monedas. • Lanzar dos dados. • Lanzar una moneda y un dado.

10 11

10 11 12

Cuando se extraen dos bolas de una urna «con devolu ción», los sucesos son inde pendientes, y cuando se ex traen «sin devolución», son dependientes.

R 4/9

4R 5V

4R 4/9 5 V V 5/9 R

V 5/9

La mejor estrategia La mejor estrategia para re solver un problema de proba bilidad cuando el experimento es compuesto consiste en dise ñar un árbol de probabilidades, de modo que en cada rama se pone arriba el suceso y abajo la probabilidad. 78 UNIDAD 5

Un experimento compuesto es el que está formado por varios experi mentos simples.

4.2 Diagrama cartesiano Un diagrama cartesiano es una tabla de doble entrada, que tiene utilidad en algunos experimentos compuestos formados por dos simples. En la fila superior se colocan los sucesos elementales de un experimento simple, y en la columna de la izquierda, los sucesos elementales del otro experimento simple. EJERCICIO RESUELTO

13 Calcula

la probabilidad de que, al lanzar dos dados de seis caras, la suma de los números obtenidos sea 5 4 =1 P (5) = 36 9

4.3 Sucesos dependientes e independientes

Observa

4R 5V

4.1 Experimento compuesto

Los sucesos A y B son independientes si la probabilidad de uno de ellos no depende de que se haya verificado el otro. En otro caso, se llaman dependientes. EJERCICIO RESUELTO

urna tiene 4 bolas rojas y 5 verdes. Se extrae una bola, se observa el 14 Una

color y se vuelve a introducir; luego se extrae otra bola. ¿Cuál es la proba bilidad de que las dos sean rojas? ¿Son dependientes o independientes? 4 4 16 P (RR) = P (R) ∙ P (R) = ∙ = 9 9 81 Son independientes porque la probabilidad de que la 2.a bola sea roja no depende del color de la 1.a bola.

4.4 Probabilidad condicionada La probabilidad del suceso B condicionado por el suceso A es la pro babilidad de que se realice B sabiendo que se ha realizado A. Se representa por P (B/A ) Las probabilidades condicionadas son las segundas ramas y sucesivas de los árboles.

EJERCICIO RESUELTO

15 En una urna hay 4 bolas rojas y 5 verdes. Se extraen dos bolas sin de

volución. Halla la probabilidad de que la 2.ª bola sea roja con la con dición de que la 1.a haya sido roja también. B = «Extraer bola roja la 2.a vez» A = «Extraer bola roja la 1.a vez» Hay que hallar P (B/A ). En el árbol se observa que P (B/A ) = 3/8

4R 5V

3R 5V 4/9

2R 3/8 5 V V 5/8 R

V 5/9

4.5 Regla del producto o de la probabilidad compuesta La regla del producto o de la probabilidad compuesta dice que la pro babilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de las ramas que lo forman. EJERCICIO RESUELTO

la probabilidad de obtener dos copas al extraer sin devolución dos cartas de una baraja española de 40 cartas. P (CC) = P (C) ∙ P (C/C) = 10 ∙ 9 = 1 ∙ 3 = 3 40 39 4 13 52

8C 30 no C C 9C 9/39 30 no C no C

16 Halla

4.6 Regla de la suma o de la probabilidad total

10 C 30 no C

C 10/40 no C

La regla de la suma o de la probabilidad total dice que la probabilidad de varios caminos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los caminos. Intuitivamente se observa que si hay varios caminos que se pueden verificar, la probabilidad aumenta; luego parece lógico que se sumen las probabilidades.

UE = Unión Europea Am = América As = Asia

EJERCICIO RESUELTO

empresa realiza el 50 % de sus operaciones en la Unión Europea, 17 Una

el 30 % en América y el 20 % en Asia. Las operaciones sufren un retra so del 10 % en la Unión Europea, del 15 % en América y del 25 % en Asia. Halla la probabilidad de que una operación sufra retraso. P (Retraso) = P (UE) ∙ P (R /UE) + P (Am) ∙ P (R /Am) + P (As) ∙ P (R /As) P (Retraso) = 0,5 ∙ 0,1 + 0,3 ∙ 0,15 + 0,2 ∙ 0,25 = 0,145 = 14,5 %

R = Retraso

UE UE

UE Am As

0,5 Am 0,3 As 0,2

R R 0,1 R R R 0,15 R R R 0,25 R

APLICA LA TEORÍA 21 Se lanzan dos dados de 6 caras numeradas del 1 al 6. Calcula la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea 9 22 Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas, se observa si ha sido de copas y se vuel ve a introducir; luego se extrae otra carta. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean de copas 23 Se extraen de una vez dos bolas de una urna que contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. ¿Cuál es la pro babilidad de que las dos sean rojas?

24 Una máquina produce 100 tornillos de los que 3 son defectuosos. Si se cogen dos tornillos, ha lla la probabilidad de que al coger el segundo sea defectuoso, con la condición de que el primero también haya sido defectuoso. ¿Cómo son am bos sucesos, dependientes o independientes? 25 Una familia tiene tres hijos. Halla la probabili dad de que uno sea varón. 26 Se lanzan tres monedas al aire. Halla la probabi lidad de que las tres sean cruz. Combinatoria y probabilidad 79

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMAS DE COMBINATORIA 18 ¿Cuántos grupos de letras se pue a) E = {S, O, N, I, A} ⇒ m = 5, p = 5 den formar con las letras de la Dos ejemplos significativos: SONIA, OSNIA palabra SONIA, tengan o no sen b) Influye el orden, entran todos los elementos y no hay repetición. ⇒ Per tido? mutaciones ordinarias. c) P5 = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 19 Con

las cifras impares, ¿cuántos números de cuatro cifras se pue den formar?

a) E = {1, 3, 5, 7, 9} ⇒ m = 5, p = 4. Dos ejemplos significativos: 1 157,

20 ¿Cuántas diagonales tiene un hep

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ⇒ m = 7, p = 2. Dos ejemplos significativos:

tágono?

5 711 b) Influye el orden, no entran todos los elementos, sí hay repetición. ⇒ Variaciones con repetición. c) VR5, 4 = 54 = 625

13, 14. Hay que eliminar los consecutivos: 12, 23... b) No influye el orden, no entran todos los elementos, no hay repeti ción. ⇒ Combinaciones. 7 –7= 7∙6 c) C7, 2 – 7 = – 7 = 21 – 7 = 14 2! 2

( )

21 ¿De

cuántas formas se pueden sentar seis personas en una mesa hexagonal?

22 ¿Cuántos partidos de fútbol se jue

gan en la liga profesional de fútbol de primera división de España?

23 Resuelve

la ecuación: Pm = 56 ∙ Pm – 2

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ m = 6, p = 6. Dos ejemplos significativos:

dejamos siempre el 1 fijo: 123456, 132456 b) Influye el orden, entran todos los elementos y no hay repetición. ⇒ Permutaciones circulares. c) PC6 = P5 = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 a) E = {1, 2, 3, …, 20} ⇒ m = 20, p = 2. Dos ejemplos significativos:

12, 21 b) Influye el orden, no entran todos los elementos y no hay repetición. ⇒ Variaciones ordinarias. c) V20, 2 = 20 ∙ 19 = 380 Datos y pregunta Pm = 56 ∙ Pm – 2 Pregunta: Calcula m Planteamiento y operaciones m! = 56 ∙ (m – 2)! ⇒ m ∙ (m – 1) ∙ (m – 2)! = 56 ∙ (m – 2)! m ∙ (m – 1) = 56 ⇒ m2 – m = 56 ⇒ m2 – m – 56 = 0 m = 1 ± √1 + 224 = 1 ± 15 = 2 2 La solución – 7 no sirve. Solución m=8

80 UNIDAD 5

8 – 7

PROBLEMAS DE PROBABILIDAD 24 Calcula la probabilidad de obte Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} ner un número primo al lanzar Suceso A = {2, 3, 5, 7, 11} un dado de forma de dodecaedro. 5 P (A) = 12 25 Sabiendo

que: 2 P(A) = 3

5 6 7 P(A ∩ B) = 12 calcula P(B) P(A ∪ B) =

Datos y pregunta P(A) = 2/3, P(A ∪ B) = 5/6, P(A ∩ B) = 7/12 Pregunta: Calcula P(B) Planteamiento y operaciones P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 5 = 2 + P(B) – 7 ⇒ P(B) = 3 6 3 12 4 Solución P(B) =

26 Se

lanzan dos dados al aire. Halla la probabilidad de que los dos números obtenidos no sean pri mos entre sí.

3 4

una determinada ciudad se sabe que si hoy llueve, la probabi lidad de que mañana llueva es de 5/6, y si hoy hace sol, la probabi lidad de que mañana llueva es de 1/8. Si hoy es viernes y hace sol, ¿cuál es la probabilidad de que llueva el próximo domingo?

(1, 1) (2, 1)

(3, 1)

(4, 1)

(5, 1) (6, 1)

(1, 2) (2, 2)

(3, 2)

(4, 2)

(5, 2) (6, 2)

(1, 3) (2, 3)

(3, 3)

(4, 3)

(5, 3) (6, 3)

(1, 4) (2, 4)

(3, 4)

(4, 4)

(5, 4) (6, 4)

(1, 5) (2, 5)

(3, 5)

(4, 5)

(5, 5) (6, 5)

(1, 6) (2, 6)

(3, 6)

(4, 6)

(5, 6) (6, 6)

P(No primos entre sí) = 27 En

13 36

Datos y pregunta Árbol de probabilidades:

S Sábado S S

1/8

7/8

Domingo S

Ll Domingo Ll

7/8

Viernes S 1/8

S Sábado Ll 5/6

1/6

Domingo S

Ll Domingo Ll

Planteamiento y operaciones Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total: P (domingo llueva) = P(S) · P(Ll/S) + P(Ll) · P(Ll/Ll) P (domingo llueva) = Solución P (domingo llueva) =

7 ∙ 1 + 1 ∙ 5 = 41 8 8 8 6 192 41 192 Combinatoria y probabilidad 81

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1. V ariaciones y permutaciones b) VR 6, 2

usando la calculadora:

a) V10, 4

27 Calcula mentalmente:

a) V5, 3

35 Halla,

c) P4

d) PC6

28 Calcula mentalmente:

a) P5 b) PC4 29 Organizamos una fiesta y llevamos tres clases

de bocadillos y dos clases de refrescos. Di buja el árbol correspondiente a las distintas formas de elegir un bocadillo y un refresco. ¿Cuántas son?

30 Con

los dígitos 1, 2, 3 y 4 forma todos los números de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna. ¿Cuántos son?

31 Con

las letras A y B forma todas las combi naciones posibles de tres letras. ¿Cuántas son?

b) VR6, 4 c) P10 d) PC12

2. C ombinaciones y resolución de problemas 36 Calcula mentalmente:

a) C10, 2 b) C11, 9 37 Con

los dígitos 1, 2, 3 y 4 forma todos los números de dos cifras que puedas sin que se repita ninguna y de modo que ningún par de números tenga las mismas cifras.

38 Disponemos

de 5 frutas diferentes para pre parar zumos de dos sabores. ¿Cuántos zumos podemos hacer?

32 Con

los dígitos 1, 3, 5 y 7 forma todos los números de cuatro cifras que puedas sin que se repita ninguna cifra. ¿Cuántos son?

33 ¿De

cuántas formas se pueden sentar 5 perso nas alrededor de una mesa circular para que en cada caso haya al menos dos personas sen tadas en diferente orden?

34 En el sistema actual de matrículas, ¿de cuántas

formas se pueden colocar las letras sabiendo que cada matrícula contiene tres letras, empe zando por las letras BBB y terminando por las letras ZZZ, suprimiéndose las cinco vocales, y las letras Ñ y Q?

39 En

una comunidad que está formada por 20 vecinos se quiere elegir una junta formada por un presidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas formas se puede elegir la junta?

40 De

una baraja española de 40 cartas se cogen 4 cartas sin devolución. ¿De cuántas formas se pueden coger?

41 ¿De

cuántas formas se pueden colocar 6 per sonas alrededor de una mesa circular?

42 Halla,

a) C7, 3 b) C8, 4

82 UNIDAD 5

usando la calculadora:

3. Experimentos aleatorios simples

4. E xperimentos aleatorios compuestos

43 Sean los sucesos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},

48 Calcula

A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {3, 6, 9}. Calcula: a) A ∪ B b) A ∩ B c) ¿A y B son compatibles o incompatibles? – d) A – e) B

44 Halla

la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado de seis caras. – 45 Se sabe que P (A ) = 5/6. Halla P (A ) 46 Se

lanzan 100 chinchetas al aire y 66 quedan con la punta hacia arriba. Halla la frecuencia relativa de que la chincheta no quede con la punta hacia arriba.

la probabilidad de que al lanzar dos dados de 4 caras numeradas del 1 al 4 la suma de los números obtenidos sea 6. ¿Qué suma es la más probable?

1 2

49 Se

extrae una bola de una urna que contiene 6 bolas rojas y 4 verdes, se observa si ha sido roja y se vuelve a introducir; luego se extrae otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas?

50 Se extraen de una vez dos cartas de una baraja

española de 40 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean de copas?

51 Una

máquina produce 100 tornillos de los que 3 son defectuosos. Se coge un tornillo, se mira si es defectuoso y se devuelve. Halla la probabi lidad de que al coger aleatoriamente el segundo sea defectuoso, con la condición de que el pri mero también haya sido defectuoso. ¿Cómo son ambos sucesos, dependientes o independientes?

52 Una

familia tiene tres hijos. Halla la probabi lidad de que los tres sean varones.

P (A ) = 2/3, P (B ) = 1/2 y P (A ∩ B ) = 1/5, calcula P (A ∪ B )

47 Si

53 Se lanzan tres monedas al aire. Halla la proba

bilidad de obtener dos caras y una cruz.

Para ampliar 54 Calcula

mentalmente los siguientes números combinatorios: 50 50 a) b) 0 50

( )

55 Calcula

mentalmente los siguientes números combinatorios: 100 100 a) b) 1 98

( )

56 ¿Cuántos

( )

números diferentes de cuatro cifras se pueden formar?

57 ¿Cuántos

números diferentes de cinco cifras se pueden formar con las cifras impares de forma que no se repita ninguna cifra? ¿Cuán tos de ellos son impares?

58 Un alumno de 4.o B tiene 5 camisetas, 4 pan

talones y 3 pares de zapatillas de deporte. ¿De cuántas formas diferentes puede vestirse para ir a entrenar?

59 Si

lanzamos al aire un dado y una moneda, ¿cuántos resultados diferentes podemos ob tener?

Combinatoria y probabilidad 83

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 60 Cinco

amigos van al cine y sacan las entradas seguidas. ¿De cuántas formas se pueden sentar?

61 Con las letras de la palabra MESA, ¿cuántas pa

labras se pueden formar, tengan o no sentido?

62 Calcula

63 Calcula

el valor de x en la siguiente igualdad:

( 52 ) = ( 5x )

el valor de x en la siguiente igualdad: Vx, 3 = 30x

64 Calcula

el valor de x en la siguiente igualdad: el valor de x en la siguiente igualdad: Px = 20Px – 2

66 Calcula

lidad que tiene de que sean: a) los dos varones; b) uno varón y el otro mujer.

71 Una urna contiene 3 bolas rojas y 3 verdes. Se

extrae una bola y se observa el color; se vuelve a introducir y se extrae otra bola. Calcula la probabilidad de que sean las dos rojas.

72 Se extraen de una vez dos cartas de una baraja

Vx, 4 = 6 Vx, 2 65 Calcula

70 En una familia con dos hijos, halla la probabi

el valor de x en la siguiente igualdad: 2Cx, 2 = Vx, 2

española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que las dos sean de espadas.

73 Se lanzan al aire dos dados de 4 caras numera

das del 1 al 4. Calcula la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea mayor que 5

74 Se lanzan al aire dos monedas. Calcula la pro

67 Una

urna contiene 7 bolas rojas, 5 verdes y 3 azules. Si se extrae una bola, calcula la pro babilidad que hay de que:

babilidad de obtener a lo sumo una cara.

a) sea verde; b) no sea roja; c) sea roja o verde. 68 Se

lanza un dado con forma de dodecaedro y las caras numeradas del 1 al 12. Halla la pro babilidad de que el número obtenido sea múl tiplo de 3 11

76 Halla,

b) VR 3, 15 9

2 1 4

69 Se

6 5

10 8

extrae una carta de una baraja española de 48 cartas. Calcula la probabilidad de que sea un nueve.

84 UNIDAD 5

utilizando la calculadora:

a) V9, 4

de no obtener el 2

Con calculadora

4 12

75 En un dado de quinielas, halla la probabilidad

77 Halla,

utilizando la calculadora:

a) P12 b) PC9 78 Halla,

utilizando la calculadora:

a) C12, 5 b) C12, 7

Problemas 79 En la carta de un restaurante se puede elegir un

91 En

80 Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos núme

92 Una urna contiene 5 bolas rojas y 5 verdes. Se

menú compuesto de un primer plato, un segun do plato y un postre. Hay para elegir 8 primeros platos, 5 segundos y 6 postres. ¿Cuántos menús diferentes se pueden elegir?

ros de cinco cifras se pueden formar sin re petir los dígitos? ¿Cuántos de ellos son pares?

81 En

un trofeo de verano juegan cuatro equi pos. ¿De cuántas formas se pueden emparejar?

82 Existen 5 pueblos colocados en los vértices de

un pentágono regular, y se quiere construir una carretera para unir cada dos pueblos. ¿Cuántas carreteras hay que hacer?

83 El AVE que va de Madrid a Sevilla tiene cinco

estaciones. ¿Cuántos billetes diferentes se pue den sacar?

84 Un

byte está formado por ceros y unos, y en total son 8. ¿Cuántos bytes diferentes se pue den presentar?

85 Tenemos

siete clases de fruta para preparar batidos de tres sabores. ¿Cuántos sabores se pueden obtener?

un grupo de 80 personas, 50 escuchan la radio, 60 ven la televisión y 30 oyen la radio y ven la televisión. Halla la probabilidad de que, elegida una persona al azar, no escuche la radio, ni vea la televisión. extrae una bola y se observa el color, se vuelve a introducir y se extrae otra bola. Calcula la probabilidad de que una sea roja y otra sea verde.

93 Se extraen de una vez tres cartas de una baraja

española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que las tres sean de bastos.

94 Se

compran 50 ordenadores de una marca A y 70 de una marca B. De la marca A hay 2 que no funcionan; y de la marca B hay 3 que no funcionan. Si se elige al azar uno de los ordenadores, ¿cuál es la probabilidad de que no funcione?

95 En

una clase hay 15 chicos y 10 chicas. Si se eligen dos alumnos al azar, calcula la probabi lidad de que los dos sean chicas.

86 En un certamen literario hay tres premios: ga

nador, finalista y accésit. Si participan 10 per sonas, ¿de cuántas formas se pueden dar los tres premios?

87 ¿Cuántas banderas de tres colores diferentes se

pueden formar con ocho colores?

88 Una

familia tiene 5 hijos. ¿Cuántas posibili dades hay con respecto al sexo de los hijos?

89 Con las letras de la palabra RATÓN, ¿cuántas

combinaciones de cinco letras se pueden for mar, tengan o no sentido? ¿Cuántas empiezan por consonante?

90 Calcula la probabilidad de acertar una quinie

la de pleno al 15 si se cubre una apuesta.

96 Una

persona cruza dos semáforos para ir al trabajo. La probabilidad de que cada uno de ellos esté rojo es de 0,4; de que esté ámbar, 0,2, y de que esté verde, 0,4. Calcula la pro babilidad de que uno esté verde y el otro rojo.

Combinatoria y probabilidad 85

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 97 Un

jugador de baloncesto tiene una probabi lidad de 0,6 de hacer un triple. Si hace dos lanzamientos de triple, ¿qué probabilidad tie ne de no encestar ninguno?

102 Una

bolsa tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Sacamos tres bolas de una vez. ¿Cuántos resultados distintos se pueden presentar?

103 Con

las cifras impares, ¿cuántos números de 3 cifras se pueden formar sin repetir ninguna? ¿Cuántos son mayores de 500?

104 Se

extraen, de una baraja española de 40 car tas, tres cartas al azar. Calcula la probabilidad de que sean caballos las tres.

105 Se

lanzan al aire dos dados, uno de 6 caras numeradas del 1 al 6 y el otro de 4 caras nu meradas del 1 al 4. ¿Qué probabilidad hay de que sumen 7?

106 En

un cajón tenemos 8 calcetines blancos y 6 negros. Si sacamos dos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que los dos sean de dis tinto color?

Para profundizar 98 Un

equipo de fútbol está formado por 11 ju gadores. Seis se ponen de pie, y delante los otros cinco agachados. ¿De cuántas formas se pueden colocar para hacer una foto si el por tero siempre está de pie el primero por la iz quierda?

107 Se

tienen dos máquinas produciendo torni llos. Una produce 100 tornillos, de los que 3 son defectuosos, y la otra produce 200 tor nillos, de los que 5 son defectuosos. Si se esco ge al azar uno de los 300 tornillos, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

108 Se elige aleatoriamente una ficha de un domi

nó. ¿Qué probabilidad hay de que sea doble?

¿De 99

cuántas formas un entrenador puede elegir un equipo de fútbol (formado por un portero, 3 defensas, 2 medios, 2 extremos y 3 delanteros) que tiene 25 jugadores, de los que 3 son porteros; 6, defensas; 4, medios; 4, extremos, y el resto, delanteros?

100 ¿Cuántas

matrículas totales se pueden hacer con el sistema actual, que se compone de cua tro números y tres letras? Las letras disponi bles son 20

101 Una

bolsa tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Sacamos una bola, anotamos el número y la volvemos a introducir; volvemos a repetir el proceso otras dos veces. ¿Cuántos resultados distintos se pueden dar?

86 UNIDAD 5

109 Se

ha trucado un dado de forma que: P (1) = P (3) = P (5), P (2) = P (4) = P (6) = 2P (1) a) Halla la probabilidad de obtener un 3 b) Halla la probabilidad de obtener un 6

Matematización en contextos reales La combinatoria y el sistema binario de los ordenadores Se define un byte como una secuencia de 8 cifras formadas por 0 y 1. Se suelen llamar palabras de 8 caracteres. EJERCICIO RESUELTO

28 ¿Cuántas palabras hay de 8 caracteres?

a) E = {0, 1}, m = 2, p = 8. Dos ejemplos significativos son:

10010111, 11111111 b) Influye el orden, no entran todos los elementos y puede haber repetición. ⇒ Variaciones con repetición. c) VR2, 8 = 28 = 256 110 ¿Cuántas

palabras hay de 10 caracteres?

111

¿Cuántas palabras hay de 20 caracteres?

112 ¿Cuántas

palabras hay de 30 caracteres?

113

¿Cuántas palabras hay de 40 caracteres?

Autoevaluación 1

Escribe el enunciado de la regla de Laplace y pon un ejemplo.

Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar sin repetir ninguna? ¿Cuántos son mayores de 300?

Con las letras de la palabra LIBRO, ¿cuántas combinaciones de letras, tengan o no sen tido, se pueden formar?

En una clase hay 25 alumnos y se quiere hacer una comisión formada por tres alumnos. ¿De cuántas formas se puede elegir?

Se sabe que: P (A ) = 3/5, P (B ) = 2/5 y P (A ∩ B ) = 1/3 Halla: P (A ∪ B )

Se lanzan al aire dos dados de seis caras numeradas del 1 al 6 y se suman los puntos ob tenidos. ¿Qué suma de puntuaciones tiene mayor probabilidad? Halla su probabilidad.

Se prueba en 30 personas una vacuna A contra la gripe y enferman 5. Se prueba en 20 personas otra vacuna B y enferman 4. Si se elige una de las personas al azar, ¿qué pro babilidad hay de que no haya enfermado?

Un jugador de fútbol mete 4 goles de cada 10 tiros a puerta. Si tira 3 tiros a puerta, halla la probabilidad de que, al menos, meta un gol.

Combinatoria y probabilidad 87

Mates dinámicas virtuales con GeoGebra y CalcMe en Moodle 1. Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos)

Escribe todos los números que se pueden formar con los números primos de un dado con las caras nume radas del 1 al 6 SOLUCIÓN Se hace con CalcMe eligiendo en Combinatoria la opción Permutaciones y escribiendo P{2, 3, 5} Solución = {235, 253, 325, 352, 523, 532}

2. Problema (Calificación: 2,5 puntos)

En una urna hay 4 bolas rojas, 5 verdes y 6 negras. Halla la probabilidad de sacar una bola verde. SOLUCIÓN En GeoGebra elige el applet: Regla de Laplace. P (V ) = 5/15 = 1/3 = 0,33

3. Problema (Calificación: 2,5 puntos)

Con las cifras impares, ¿cuántos números de 4 cifras se pueden formar? SOLUCIÓN En GeoGebra elige el applet: Combinatoria: Estrategias de resolución de problemas. ¿Influye el orden? Sí ¿En cada grupo entran todos los elementos? No ¿Hay repetición? Sí son VR5,4 = 625

4. Problema (Calificación: 2,5 puntos)

Una fábrica A produce el 30 % de los tractores que se demandan en una comunidad autónoma, una fábrica B produce el 20 % y la fábrica C el resto. Por el control de calidad se sabe que son defectuosos el 4 % de los tractores fabricados por A, el 10 % de los fabricados por B y el 2 % de los fabricados por C. Elegido un tractor al azar, calcula razonadamente la probabilidad de que no sea defectuoso. SOLUCIÓN En GeoGebra elige el applet: Regla de la suma o de la probabilidad total 3×2 Probabilidad dé resultado negativo = 0,958

88 UNIDAD 5

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Applied Mathematics

4 In English,

please.

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Applied Mathematics

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Combinatorics and probability

Variations, permutations and combinations SOLVED EXERCISE

Make a, b and c into as many different groups as you can without repeating any letter. b ab ac c ba a b bc c ca a c cb b 3 ∙ 2 = 6 a

V3, 2 = 3 ∙ 2 = 6 3 nPr 2 = 6 a aa ab b ac c ba a b bb b bc c ca a c cb b cc c 3 ∙ 3 = 9 a

3 x 2 = 9

b c b c c a b a c b a c a b 3 ∙ 2 ∙ 1 = a

3 x! = 6 14 UNIT 5

abc acb bac bca cab cba 6

1.1 Normal variations or variations without repetition The normal or variations without repetition of m elements, taken from p to p, where p ≤ m, are the different groups of p elements that have no duplicate elements that can be made from the m elements such that in every two groups: • the order of the elements is different or, • one or some of the elements are different. p They are expressed as Vm, p or V m , where: Vm, p = m(m – 1)(m – 2)(m – 3) ∙∙∙ [m – ( p – 1)] 1444444444442444444444443 consecutive p factors decreasing by one unit

1.2 Variations with repetition Variations with repetition of m elements, taken from p to p, are the different groups of p elements that can be made from the m elements such that in every two groups: • the order of the elements is different or, • one or some of the elements are different. p They are expressed as VRm, p or VR m , where: VRm, p = m p SOLVED EXERCISE

Make a, b and c into as many different groups of two letters as you can. VR 3, 2 = 32 = 9

1.3 Normal permutations or permutations without repetition Normal permutations or permutations without repetition of m elements are the different groups of m elements that have no duplicate elements that can be made from the m elements such that the order of every two groups is different. They are expressed as Pm , where: Pm = m ! = m (m – 1)(m – 2) … 3 ∙ 2 ∙ 1 SOLVED EXERCISE

Make a, b and c into as many different 3-letter groups as you can without repeating any letter. P3 = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 3

1.4 Circular permutations

Factorials

In circular permutations one element is fixed and permutations are made with the other elements. CPm = (m – 1)!

The factorial of a number is the product of that number and all natural numbers less than the number. It is expres sed as m!

SOLVED EXERCISE

EXAMPLE

How many different ways can five people sit around a circular table? Always leave one person in a fixed position and find all the possibilities for the other people. CP5 = 4! = 24

1.5 Normal combinations or combinations without repetition The normal combinations or combinations without repetition of m elements, taken from p to p, where p ≤ m, are the different groups of p elements that have no duplicate elements that can be made from the m elements such that in every two groups some element is different. p They are expressed as Cm, p , or C m, where: Cm, p = m p To find ordinary combinations, make a tree. Put all the elements in the first column. For each element in the first column, put all elements that follow in order in the second column.

( )

When the number in the lower part is greater than half the number in the upper part, apply this property of numbers:

( ) (

m = m p m–p

)

Note Cm, p =

()

8∙7∙6 8 = 56 = 3∙2∙1 3

Special cases

( ) ( ) ( )

m m m = 1, = 1, =m 0 m 1 EXAMPLE

() () ()

5 6 8 = 1, = 1, =8 0 6 1

Make a, b, c and d into as many different 2-letter groups as you can without repeating any letter. No group should have the same letters. 4∙3 4 =6 = C4, 2 = 2∙1 2

Vm, p

EXAMPLE

SOLVED EXERCISE

5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 Special cases 0! = 1 1! = 1

c d

b c d c d d

ab ac ad bc bd cd

4 nCr 2 = 6

APPLYING THE THEORY 1

Make as many 3-digit numbers as you can with the digits 2, 4, 6 and 8. Do not repeat any digits. How many can you make?

Make as many 3-digit numbers as you can with the digits 8 and 9. How many can you make?

Make as many 3-digit numbers as you can with the digits 1, 2 and 3. Do not repeat any digits. How many can you make?

How many ways can 10 people sit around a circular table? At least two people must be sitting in a different order in every variation.

What is the lowest number of columns in the Spanish Quinielas lottery you would have to cover to get all 14?

There are 25 students in a class. How many ways can a class president and vice-president be elected? Combinatorics and probability 15

Simple probability experiments 2.1 Sample space The sample space of a simple probability experiment is made up the set of all outcomes that can occur. It is represented by the letter E • Elementary event: an individual outcome in the sample space. •E vent: the set of outcomes. These are represented by uppercase letters. The elements are written between curly brackets and separated by commas. • Certain event: something that is sure to happen. It is the sample space E • Impossible event: something that cannot happen. It is represented by ∅ EXAMPLE E A

B 3 5

EXAMPLE

2.2 Operations with events

Opposite of A – A = {2, 4, 6} – A

E A

3 5

E A

A∪B 3 5

B 2

E A

A∩B 3 5

In an experiment rolling a 6-sided die: • Sample space or certain event: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Elementary events: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} and {6} • Events: A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5} • Impossible event: ∅ = {an 8 or 9}

E A

Opposite event: the opposite event of event A is made of all elementary – events not in A. It is written as A Union of events: the union of two events, A and B, is the event made of all elementary events of A and B. It is written as A ∪ B EXAMPLE

Where A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5} ⇒ A ∪ B = {1, 2, 3, 5} •  Intersection of events: the intersection of two events, A and B, is the event made of all elementary events common to A and B. In other words, they are in both events at the same time. It is written as A ∩ B •  Compatible and incompatible events: two events are compatible if they can occur at the same time. In other words, when A ∩ B ≠ ∅. Two events are incompatible if they cannot occur at the same time. In other words, when A ∩ B = ∅

C 1

3 5

2 6

16 UNIT 5

EXAMPLE

• If A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5} ⇒ A ∩ B = {3, 5} ⇒ A and B are compatible. • If A = {1, 3, 5}, C = {2, 4} ⇒ A ∩ C = ∅ ⇒ A and C are compatible.

2.3 Law of large numbers

SOLVED EXERCISE

Tossing drawing pins Y 0.85 Frequency

The law of large numbers states that as you increase the number of times an experiment is repeated, the relative frequency of an event tends to approach an expected constant value.

You repeat an experiment several times in which to determine if a drawing pin lands facing downwards or upwards. Find the probability of the event. No. of tosses Absolute frequency Relative frequency

N n f

10 8 0.8

20 12 0.6

30 20 0.67

40 30 0.75

50 33 0.66

60 38 0.63

0.80 0.75 0.70 0.65 0.60

X 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Number of tosses

70 46 0.66

80 55 0.69

90 59 0.66

100 67 0.67

… … …

You can infer that: P ( ) = 2/3

2.4 Laplace’s rule of succession

Equiprobable events

The rule of succession states that the probability of event A in sample space E (where sample space E is comprised of equiprobable events) is equal to the number of favourable outcomes divided by the total number of possible outcomes. No. of favourable outcomes A P (A ) = Total no. of outcomes possible SOLVED EXERCISE

Find the probability of getting a prime number by rolling a six-sided die. Sample space E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Event A = {2, 3, 5}

⎫ 3 1 ⎬ ⇒ P (A) = 6 = 2 ⎭

2.5 Properties of probability

Elemental events of a sample space are equiprobable if they have the same probability of occurring. Laplace’s rule of succession can only be used for this type of probability problem.

Problem solving For probability problems, write the sample space and the event you want to calculate. SOLVED EXERCISE

a) The probability of a certain event is one, P (E ) = 1 b) The probability of an impossible event is zero, P (∅) = 0 c) The probability of any event is between zero and one, 0 ≤ P (A) ≤ 1

–

d) The probability of an opposite event is P (A ) = 1 – P (A ) e) If events A and B are incompatible, P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) f ) If events A and B are compatible, P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) – P (A ∩ B )

8 If P (A ) = 1/3, P (B ) = 2/3 and P (A ∩ B ) = 1/4; calculate P (A ∪ B) P (A ∪ B ) = 1 + 2 – 1 = 3 3 4 4+8–3= 9 =3 = 12 12 4

APPLYING THE THEORY 7 If E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6, 8} – – and B = {3, 6}; calculate A ∪ B, A ∩ B, A and B 8 Find the probability of getting a multiple of 3 by rolling a 6-sided die. – 9 Where P (A ) = 2/5; find P ( A )

10 You toss 100 drawing pins in the air. 65 land with the point facing up. Find the relative frequency of the drawing pin landing with the point facing up. 11 P (A ) = 3/4, P (B ) = 2/5 and P (A ∪ B ) = 8/9 Calculate: P (A ∩ B ) Combinatorics and probability 17

Compound probability experiments 3.1 Compound experiment

EXAMPLE

• Tossing two coins. • Tossing three coins. • Rolling two die. • Tossing a coin and rolling a dice. 1

10 11

10 11 12

Note In a lottery, when balls are drawn from a container and returned, each event is an independent event. When balls are drawn from the container and not returned, each event is a dependent event.

A compound experiment is an experiment consisting of two or more simple experiments.

3.2 Cartesian square A Cartesian square is a table with two variables that is used for compound experiments made of two simple experiments. The top row shows the elemental events of simple experiment 1 and the column on the side shows the elemental events of simple experiment 2. SOLVED EXERCISE

You roll two six-sided dice. What is the probability that the sum of the numbers will be 5? 4 =1 P (5) = 36 9

3.3 Dependent and independent events Events A and B are independent if the probability of event A does not depend on event B or vice versa. If the probability of event A depends on event B or vice versa, they are dependent events. SOLVED EXERCISE

10 A container has 4 red balls and 5 green balls. One ball is taken out. The

4R 5V

R 4/9

4R R 4/9 5 V 4R V 5V 5/9

V 5/9

The best strategy The best strategy for solving a compound probability pro blem is to make a probability tree. In each branch, put the event on top and the pro bability below. 18 UNIT 5

colour of the ball is recorded. The ball is returned to the container. Then another ball is taken out. What is the probability that both balls are red? Are the events dependent or independent? 4 ∙ 4 = 16 9 9 81 They are independent events because the probability of the second ball being red does not depend on the colour of the first ball.

P (RR) = P (R) ∙ P (R) =

3.4 Conditional probability The probability of conditional event B conditioned by event A is the probability that B occurs when A also occurs. This is written as P (B/A ) Conditional probabilities are the second, third, fourth, etc. branches of the probability tree.

SOLVED EXERCISE

11 A

container has 4 red balls and 5 green balls. Two balls are removed and not returned to the container. If the first ball is red, what is the probability that the second ball will also be red? A = ‘Drawing a red ball the first time’ B = ‘Drawing a red ball the second time’. Find P (B/A). The tree shows that P (B/A) = 3/8

4R 5V

3R 5V 4/9

2R 3/8 5 V V 5/8 R

V 5/9

3.5 Rule of product or compound probability rule The compound probability rule states that the probability of one path is equal to the product of the probabilities of the other paths that the first path is made of. SOLVED EXERCISE 8C 30 no C C 9C 9/39 30 no C no C

12 You draw two cards from a Spanish deck of 40 cards. You do not return

the cards to the deck. What is the probability of getting two cups? P (CC) = P (C) ∙ P (C/C) = 10 ∙ 9 = 1 ∙ 3 = 3 40 39 4 13 52

10 C 30 no C

C 10/40 no C

3.6 Rule of sum or total probability rule The total probability rule states that the probability of several paths is equal to the sum of the probabilities of each of the paths. You can see that, if there are several paths that can be verified, the probability increases. Therefore, logically, you can add the probabilities. EU = European Union

SOLVED EXERCISE

Am = America

13 A company has 50% of its operations in the European Union, 30% in

America, and 20% in Asia. Operations are 10% behind schedule in the European Union, 15% behind schedule in America, and 25% behind schedule in Asia. What is the probability an operation will be behind schedule? P (behind schedule) = P (EU) ∙ P (R /EU) + P (Am) ∙ P (R /Am) + P (As) ∙ P (R /As) P (behind schedule) = 0.5 ∙ 0.1 + 0.3 ∙ 0.15 + 0.2 ∙ 0.25 = 0.145 = 14.5 %

As = Asia R = Below objective

EU EU Am As

0.5 Am 0.3 As 0.2

R R 0.1 R R R 0.15 R R R 0.25 R

APPLYING THE THEORY 12 You roll two 6-sided dice numbered from 1 to 6. What is the probability that the sum of the numbers will be 9? 13 You remove one card from a Spanish deck of 40 cards. You look to see if it is cups. You return it to the deck. You remove another card. What is the probability that both will be cups? 14 You take two balls simultaneously from a container with 6 red balls and 4 green balls. What is the probability that both balls are red?

15 A machine produces 100 screws. Three of the screws are defective. You select two screws at random. What is the probability that the second screw will be defective if the first screw is also defective? Are the two events dependent or independent? 16 A family has three children. What is the probability that one is a boy? 17 Three coins are tossed. What is the probability that all three will be tails? Combinatorics and probability 19

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