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Matemáticas Académicas
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Matemáticas Académicas José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez
4
ESTRUCTURA DEL LIBRO EVALUACIÓN INICIAL Es una prueba resuelta que sirve de modelo al alumno para la evaluación inicial y como repaso de contenidos esenciales de 3.o ESO.
Este icono indica que dispones de recursos en el libro digital.
DESARROLLO DE LA UNIDAD Presentación
❙ Í ndice de la unidad. Enumeración de los contenidos que se desarrollan en la unidad. ❙ Imagen. Fotografía que muestra una aplicación a la vida cotidiana de los contenidos que se desarrollan en la unidad. ❙ Texto introductorio. Explicación de la fotografía en relación a los contenidos y contestación a la pregunta: ¿Para qué sirve lo que vamos a estudiar?
Desarrollo de los contenidos Doble página contenidos = Una sesión de clase ❙ Piensa y calcula. Repaso de los contenidos previos con un ejercicio de cálculo mental corto. ❙ Se desarrollan los contenidos en dobles páginas y se resaltan los más importantes. ❙ Ejemplos y ejercicios resueltos. Ejercicios y problemas resueltos de cada concepto o procedimiento. ❙ Aplica la teoría. Ejercicios propuestos de aplicación.
❙E jercicios y problemas resueltos. Doble página con ejercicios y problemas tipo resueltos de forma pormenorizada.
2 ESTRUCTURA DEL LIBRO
❙E jercicios y problemas propuestos clasificados en 4 secciones de los mismos contenidos de las sesiones de clase. Por niveles de dificultad: • Para ampliar. • Problemas. • Para profundizar.
Mates dinámicas virtuales con GeoGebra, CalcMe y Hoja de cálculo en Moodle. ❙ Ejercicios y problemas para comprender los conceptos y procedimientos con el uso de: • Applets de GeoGebra. • Asistente matemático CalcMe. • Hoja de cálculo Microsoft Excel y/o Calc de OpenOffice.
❙M atematización en contextos reales. Ejercicios con una aplicación real a la vida cotidiana, a la Ciencia, Tecnología, Ingeniería, Arte y Matemáticas (STEAM). ❙A utoevaluación. Modelo de examen para que el alumno se autoevalúe.
SECCIONES FINALES ❙A ctividades de ampliación. Actividades en las que se proponen investigar, exponer, elaborar documentos digitales o trabajar técnicas matemáticas a través de diversos textos. ❙ Actividades de recuperación. Ejercicios para preparar la recuperación final del curso. ❙ Evaluación final. Modelo de examen que sirve de autoevaluación final.
ESTRUCTURA DEL LIBRO 3
ÍNDICE EVALUACIÓN INICIAL .................................................................................................................................................................................
5
BLOQUE I ARITMÉTICA 7 Grandes en Matemáticas ..........................................................................................................................................................
1 Números reales
8
9
1. Números irracionales ........................................................................................... 10 2. Representación de los números reales..................................................... 12 3. Aproximaciones y errores................................................................................... 14 4. Interés simple y compuesto............................................................................. 16
2 Potencias, radicales y logaritmos
25
1. Potencias........................................................................................................................ 26 2. Radicales........................................................................................................................ 28 3. Operaciones con radicales................................................................................. 30 4. Logaritmos ................................................................................................................... 32
BLOQUE II ÁLGEBRA 43 Grandes en Matemáticas .......................................................................................................................................................... 44
8 Resolución de triángulos rectángulos 139 1. Circunferencia goniométrica............................................................................ 140 2. Reducción de razones. Identidades y ecuaciones............................ 142 3. Resolución de triángulos rectángulos 144 4. Aplicaciones al cálculo de distancias, áreas y volúmenes 146
9 Geometría analítica
157
1. Vectores.......................................................................................................................... 158 2. Ecuaciones de la recta......................................................................................... 160 3. Otras ecuaciones de la recta........................................................................... 162 4. Posiciones, distancia y circunferencia...................................................... 164
BLOQUE IV FUNCIONES 175 Grandes en Matemáticas .......................................................................................................................................................... 176
10 Funciones. Rectas y parábolas
177
1. Funciones....................................................................................................................... 178 2. Función lineal y función afín........................................................................... 180 3. Función cuadrática.................................................................................................. 182 4. La parábola: y = ax2 + bx + c............................................................................ 184
3 Polinomios y fracciones algebraicas 45
11 Funciones algebraicas y trascendentes 195
4 Resolución de ecuaciones
63
12 Funciones trigonométricas 213
5 Sistemas de ecuaciones
81
1. Binomio de Newton................................................................................................ 46 2. Teoremas del resto y del factor..................................................................... 48 3. Factorización de polinomios............................................................................. 50 4. Fracciones algebraicas........................................................................................ 52 1. Ecuaciones de 1.er y 2.° grado........................................................................... 64 2. Ecuaciones bicuadradas, racionales e irracionales......................... 66 3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.............................................. 68 4. Resolución de problemas................................................................................... 70
1. Sistemas lineales. Resolución gráfica....................................................... 82 2. Resolución algebraica de sistemas lineales......................................... 84 3. Sistemas de ecuaciones no lineales.......................................................... 86 4. Sistemas exponenciales y logarítmicos................................................... 88
6 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones
97
er
1. Inecuaciones de 1. grado.................................................................................. 98 2. Inecuaciones polinómicas y racionales................................................... 100 3. Inecuaciones lineales con dos variables................................................ 102 4. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables..................................................................................................... 104
BLOQUE III GEOMETRÍA 113 Grandes en Matemáticas .......................................................................................................................................................... 114
7 Semejanza y trigonometría
115
1. Teorema de Thales.................................................................................................. 116 2. Teorema de Pitágoras............................................................................................ 118 3. Razones trigonométricas o circulares....................................................... 120 4. Relaciones entre las razones trigonométricas..................................... 122
1. Funciones racionales............................................................................................. 196 2. Operaciones con funciones. Funciones irracionales....................... 198 3. Funciones exponenciales................................................................................... 200 4. Funciones logarítmicas........................................................................................ 202
1. Función seno............................................................................................................... 214 2. Función coseno y tangente............................................................................... 216 3. Traslaciones y dilataciones............................................................................... 218 4. Funciones especiales............................................................................................ 220
BLOQUE V E STADÍSTICA Y PROBABILIDAD 231 Grandes en Matemáticas .......................................................................................................................................................... 232
13 Estadística
233
14 Combinatoria y probabilidad
249
1. Caracteres estadísticos......................................................................................... 234 2. Caracteres continuos. Datos agrupados................................................... 236 3. Parámetros de centralización.......................................................................... 238 4. Parámetros de dispersión................................................................................... 240
1. Variaciones y permutaciones.......................................................................... 250 2. Combinaciones y resolución de problemas........................................... 252 3. Experimentos aleatorios simples.................................................................. 254 4. Experimentos aleatorios compuestos........................................................ 256
AMPLIACIÓN. Límites, derivadas e intregrales 267 1. Límites.............................................................................................................................. 267 2. La derivada................................................................................................................... 270 3. Aplicaciones de la derivada............................................................................. 272 4. Integración. Proceso inverso a la derivación........................................ 274 ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN ............................................................................................................................. 285 ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN ............................................................................................................... 298 EVALUACIÓN FINAL ............................................................................................................................................................................................ 303
9
Geometría analítica
1 Vectores 2 Ecuaciones de la recta 3 Otras ecuaciones de la recta 4 Posiciones, distancia y circunferencia
La Geometría Analítica es una herramienta necesaria en Arquitectura e Ingeniería. La descripción de vectores, rectas, paralelismo, simetría y ángulos en el diseño se hace basándose en ella.
1
Vectores PIENSA Y CALCULA Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(4, 3), B(– 4, 3), C (– 4, – 3) y D (4, – 3)
Vectores 1.1 ⎯→
Un vector fijo es un segmento orientado. Se representa por OA. El punto O es el origen y el punto A es el extremo. Características de un vector: ⎯→ a) El módulo: es su longitud. Se representa por |OA |
Vector de posición El vector de posición⎯→de un punto A es el vector OA y ge neralmente se representa por → v (a, b), o bien v → = (a, b)
c) El sentido: es el que va del origen al extremo. →
→
v (4, 3)
A(4, 3) 3
X
Dado un vector cuyo origen, O, es el origen de coordenadas, sus componentes coinciden con las coordenadas del extremo del punto, A, y viceversa.
4
EJERCICIO RESUELTO
1
⎯→
Dado el punto A(4, 3), halla el vector OA, represéntalo y halla sus componentes. → El vector es v (4, 3), la componente horizontal es 4, y la vertical, 3
1.2 Cálculo del módulo y argumento de un vector
Teorema de Pitágoras El cálculo del módulo de un vector es, en realidad, la aplicación del teorema de Pitágoras, que consiste en hallar la hipotenusa cuan do se conocen los catetos.
• El módulo de un vector es su longitud. Para calcularlo se aplica el teorema de Pitágoras: → → v (x, y ) ⇒ | v | = √x 2 + y 2 • El argumento de un vector es el ángulo que forma el semieje positivo X con el vector. Para calcularlo se aplica la definición de tangente: y tg α = x
Y
–3 –4
α
EJERCICIO RESUELTO
2 X
→
Calcula el módulo y el argumento del vector v (– 3, – 4) → | v | = √(– 3)2 + (– 4)2 = √9 + 16 = √25 = 5 tg α =
→
v (– 3, – 4)
⎯→
Un vector libre es un vector fijo v = OA, que representa a todos los vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido.
Relación entre puntos y vectores
Y
O
b) La dirección: es la dirección de la recta que lo contiene.
– 4 4 = ⇒ α = 233° 7′ 48″ – 3 3
tan–1 ( 4 ÷ 3 ) = + 180 = ˚ ′ ″ 233° 7′ 48″ 158 UNIDAD 9
1.3 Vector opuesto
EJEMPLO →
El opuesto del vector v (– 5, 2) es → – v (5, – 2) Comprobación: → (– 5, 2) + (5, – 2) = (0, 0) = 0
Analíticamente, el vector opuesto es el que se obtiene al cambiar de signo sus componentes; geométricamente, es el que tiene el mismo módulo y dirección y sentido contrario.
1.4 Suma y resta de vectores
Y
→
v (– 5, 2)
Para sumar y restar vectores analíticamente, se suman o restan sus com ponentes. Para sumar vectores geométricamente, se traslada uno sobre el extremo del otro; la suma es el vector que tiene como origen el origen del primero, y extremo, el del segundo. Para restar dos vectores geométrica mente, se le suma al primero el opuesto del segundo.
X →
– v (5, – 2)
→
Vector cero, 0
Regla del paralelogramo
→
El vector cero, 0, es el caso par ticular de cuando el origen del vector coincide con el extremo.
Para sumar y restar vectores geométricamente, se forma un paralelogramo unien → → → do por el origen los vectores u y v . La diagonal que parte del origen de u es el → → → → → vector suma u + v ; y la diagonal que parte del extremo de v es el vector resta u – v
→
EJERCICIO RESUELTO
3
→
→
→
→
→
Y
→
Dados los vectores u (6, 2) y v (3, 4), calcula u + v y u – v →
→
u + v = (6, 2) + (3, 4) = (9, 6)
→
→
→
u + v = (9, 6)
→
u – v = (6, 2) – (3, 4) = (3, – 2) v→ (3 ,4 )
1.5 Producto de un número por un vector Para multiplicar un número por un vector analíticamente, se multiplica el número por las componentes del vector. Para multiplicar un número por un vector geométricamente, se lleva tantas veces el vector sobre sí mismo como indique el número.
X
→
u (6, 2) →
→
u – v = (3, – 2) Y →
3v (3, 6)
EJERCICIO RESUELTO
4
⎯→
0 = OO
→
v (1, 2)
X
→
Multiplica por 3 el vector v (1, 2) →
3v = 3 (1, 2) = (3, 6)
APLICA LA TEORÍA 1
⎯→
Dado el punto A(2, – 5), halla el vector OA, re preséntalo y halla sus componentes. →
2 Dado el vector v (3, – 5), halla el punto A tal que ⎯→ → el vector OA = v , y represéntalo. 3 Calcula el módulo y el argumento de los siguien tes vectores: → → a) v (4, – 2) b) v (– 3, – 4) →
4 Halla el vector opuesto del vector v (5, 4) y repre séntalos en unos mismos ejes coordenados.
5 Dados los siguientes vectores: → → u (3, 2) y v (1, 4) calcula analítica y geométricamente: → → a) u + v → → b) u – v →
6 Dado el vector v (3, 1), calcula analítica y geomé tricamente: → a) 2v → b) – 2v Geometría analítica 159
2
Ecuaciones de la recta Y
PIENSA Y CALCULA
B(2, 5)
⎯→
⎯→
AB A(– 4, 1)
⎯→
AB(6, 4) X
Halla la pendiente del vector AB del dibujo del margen y simplifica el resultado.
O
2.1 Componentes de un vector definido por dos puntos El vector definido por dos puntos A(x1, y1) y B (x2, y2) es el que se ob tiene al restar el vector de posición del extremo menos el del origen. ⎯→
Observación
⎯→
Un vector director siempre se debe simplificar, porque lo único que interesa es su di rección, no su longitud. EJEMPLO
v (6, 4) || (3, 2)
Interpretación de la pendiente La pendiente de una recta es la tangente: v tg α = 2 v 1
EJERCICIO RESUELTO
5
⎯→
Dados los puntos A(– 4, 1) y B(2, 5), calcula el vector AB ⎯→ AB = (2 – (– 4), 5 – 1) = (6, 4)
Y
• Un vector director de una recta es un vector paralelo a la recta, es decir, tiene la misma dirección que la recta. Para hallar el vector director de una recta se toman dos puntos de la ⎯→ → recta A(x1, y1) y B(x2, y2) y se calcula el vector v = AB = (x2 – x1, y2 – y1) • La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma el semi eje positivo de las X con la recta, es decir, la tangente del ángulo del vector director de la recta. Se representa con la letra m v → v (v1, v2) ⇒ m = 2 v1 Para obtener la pendiente de una recta a partir de dos puntos A(x 1, y1) y ⎯→ → B (x 2, y2), se calcula v = AB = (x 2 – x1, y2 – y1) y se tiene: y –y m = 2 1 x 2 – x 1
B(– 2, 4) A(– 5, 2)
⎯→
2.2 Vector director y pendiente de una recta
→
⎯→
AB = OB – OA ⇒ AB = (x2 – x1, y2 – y1)
EJERCICIO RESUELTO 2
→
v (3, 2)
3
α 2 3
6 X
Halla un vector director y la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(– 5, 2) y B(– 2, 4) ⎯→ → Vector director: v = AB = (– 2 – (– 5), 4 – 2) = (3, 2); pendiente: m = 2 3
2.3 Vector normal Y →
→
ñ2 (– 4, 3)
v (3, 4) 90°
X
Un vector normal a un vector es un vector perpendicular a dicho vector. → Dado un vector v (v1, v2), para hallar un vector perpendicular se cambian las coordenadas de orden y a una de ellas se le cambia el signo. Se obtie nen los vectores: → → n1(v2, – v1 ), n2(– v2, v1 ) EJEMPLO
→
ñ1 (4, – 3)
→
→
→
Un vector normal al vector v (3, 4) es n1(4, – 3), o bien n2(– 4, 3) 160 UNIDAD 9
2.4 Ecuaciones de la recta
Y
→
→
P(p1, p2)
v
→
→
→
→
v (v1, v2)
p + v
v2
→
O
→
x = p + tv
p
EJERCICIO RESUELTO
7
X(x, y)
p→ + → 2v
Una recta queda determinada por un punto P ( p1, p2) y un vector director → v (v1, v2). Los puntos X (x, y) de la recta se determinan con un vector de → → → posición x = p + tv , donde t es un número real. Los elementos característicos de una recta son: → • Un vector director: v (v1, v2) • Un punto: P ( p1, p2) v → • La pendiente: m = 2 • Un vector normal: n (v2, – v 1) v1
X
v1
Halla la ecuación de la recta determinada por el punto P (– 5, 2) → y el vector director v (4, 3)
a) Ecuación vectorial de la recta: →
→
→ x = p + t v ;t∈ℝ (x, y) = ( p1, p2) + t (v1, v2); t ∈ ℝ
(x, y ) = (– 5, 2) + t (4, 3); t ∈ ℝ
b) Ecuaciones paramétricas: Se obtienen de la ecuación vectorial al igualar las componentes. x = p1 + tv1 ⎫ ;t∈ℝ y = p2 + tv2 ⎬⎭ c) Ecuación continua: Se obtiene de las ecuaciones paramétricas, despejando el pará metro, t, e igualando los valores. x – p1 y – p2 = v1 v2 d) Ecuación general o implícita: Se obtiene de la ecuación continua, al realizar las operaciones y pasar todos los términos al primer miembro. Ax + By + C = 0 → Un vector normal es: n (A, B ) → A Un vector director es: v (B, – A). La pendiente es: m = – B e) Ecuación explícita: Se obtiene despejando y en la ecuación general. y = mx + b m es la pendiente y b es la ordenada en el origen.
x = – 5 + 4t ⎫ ;t∈ℝ y = 2 + 3t ⎬⎭ 5 t=x+ 4 y–2 t= 3
⎫ ⎪ x+5 y–2 = ⎬⇒ 3 4 ⎪ ⎭
3(x + 5) = 4( y – 2) 3x + 15 = 4y – 8 3x – 4y + 23 = 0 → Un vector normal es: n (3, – 4) → 3 Un vector director es: v (4, 3). La pendiente es: m = 4 3 23 x + 4 4 3 23 Pendiente: m = ; ordenada en el origen: b = 4 4 – 4y = –3x – 23 ⇒ 4y = 3x + 23 ⇒ y =
APLICA LA TEORÍA 7 Dados los siguientes puntos A(1, 2) y B (– 5, 4), ⎯→ calcula el vector AB. Haz la representación grá fica.
9 Representa la recta que pasa por el punto → P (– 4, – 1) y tiene como vector director v (3, 2). Halla las distintas ecuaciones de dicha recta.
8 Representa la recta que pasa por los puntos A(– 2, 3) y B (1, 2). Halla un vector director y la pendiente de dicha recta.
10 Dada la recta 2x + 3y = 6, ¿qué tipo de ecuación es? Halla un punto, un vector normal, un vector director y la pendiente. Haz la representación gráfica. Geometría analítica 161
3
Otras ecuaciones de la recta PIENSA Y CALCULA Dibuja la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B (5, 5) y halla su pen diente.
Observación Cuando se pide la ecuación de una recta y no se indica cuál, se suele hallar la general o la explícita.
3.1 Ecuación punto-pendiente La ecuación punto-pendiente es la ecuación de una recta en la que se conoce un punto A(x1, y1) y la pendiente m. Es: y = m (x – x1) + y1 EJERCICIO RESUELTO
Y A(4, 3)
8
2 1 X
r
Halla la ecuación de la recta que pasa por A(4, 3) y tiene de pendiente 2 y = 2(x – 4) + 3 ⇒ y = 2x – 8 + 3 ⇒ y = 2x – 5
3.2 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos A(x1, y1) y B ( x2, y2), se halla el vector director para hallar la pendiente, y luego se aplica la ecuación punto-pendiente. ⎯→ y –y → v = AB = (x2 – x1, y2 – y1) ⇒ m = 2 1 x2 – x1
Y B(4, 5) A(3, 2) α 1
EJERCICIO RESUELTO
9
3 X
r
Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3, 2) y B (4, 5) ⎯→ → v = AB = (4 – 3, 5 – 2) = (1, 3) ⇒ m = 3 y = 3(x – 3) + 2 ⇒ y = 3x – 9 + 2 ⇒ y = 3x – 7
3.3 Ejes de coordenadas Eje X
Eje Y
Y
Y x=0
y=0 X u2(0, 1) O(0, 0) →u1(1, 0) →
→
u2(0, 1) O(0, 0) →u1(1, 0)
X
Base ortonormal →
→
B = {u1, u2} es la base orto normal del plano porque sus vectores son perpendiculares y tienen de longitud uno. También se llama canónica y a veces se representa por: B = {i, j } i (1, 0) j (0, 1) 162 UNIDAD 9
Punto
O (0, 0)
O (0, 0)
Vector director
→
u1(1, 0)
→
Vectorial
Ecuaciones de los ejes de coordenadas
Paramétricas General
u2(0, 1)
(x, y) = t (1, 0); t ∈ ℝ
(x, y) = t (0, 1); t ∈ ℝ
x=t⎫ ;t∈ℝ y = 0 ⎬⎭
x = 0⎫ ;t∈ℝ y = t ⎬⎭
y=0
x=0
3.4 Rectas paralelas a los ejes de coordenadas Paralela al eje X
Paralela al eje Y
Y
Y
Tres puntos, A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3), están alineados si se verifica: ⎯→ = m ⎯→ ⇔ mAB BC
x=4 A(4, 3)
y=3 A(2, 3)
X
→
u2(0, 1)
Tres puntos alineados
X
→
u2(0, 1)
→
u1(1, 0)
y 2 – y 1 y –y = 3 2 x 2 – x 1 x 3 – x 2 EJEMPLO
→
u1(1, 0)
Los puntos A(–2, –3), B(1, 3) y C(2, 5) están alineados. Punto Vector director Vectorial Paramétricas
A(a1, a2)
A(a1, a2)
u1(1, 0)
u2(0, 1)
→
Y B(1, 3)
Ecuaciones de rectas paralelas a los ejes de coordenadas (x, y) = (a1, a2) + t (1, 0); t ∈ ℝ
(x, y) = (a1, a2) + t (0, 1); t ∈ ℝ
x = a 1 + t ⎫ ⎬; t ∈ ℝ y = a 2 ⎭
x = a 1 ⎫ ⎬; t ∈ ℝ y = a 2 + t ⎭
y = a2
x = a1
General
C(2, 5) 2
→
1 X 6
A(–2, –3)
3
3 – (– 3) 6 = =2 1 – (– 2) 3 5–3 2 = = =2 2–1 1
⎯→ = mAB
Las ecuaciones de los ejes de coordenadas y las rectas paralelas a dichos ejes nunca se dan en forma continua, porque habría que dividir entre cero. Lo más habitual es dar su ecuación general.
⎯→ mBC
3.5 Punto medio de un segmento Y
El punto medio de un segmento de extremos A(x1, y1) y B (x2, y2) es: x + x y + y M 1 2, 1 2 2 2
(
)
B(5, 3) A(–3, 1)
M(1, 2)
EJEMPLO
X
El punto medio del segmento de extremos A(– 3, 1) y B(5, 3) es: – 3 + 5 1 + 3 M , = M(1, 2) 2 2
(
)
APLICA LA TEORÍA 11 Dibuja la recta que pasa por el punto A(1, 4) y tiene de pendiente 2/3. Halla la ecuación de di cha recta. 12 Dibuja la recta que pasa por los puntos A(– 3, 1) y B(2, 5). Halla la ecuación de dicha recta. 13 Dibuja la recta que es paralela al eje X y que pasa por el punto A(2, – 3). Escribe su ecuación general. 14 Dibuja la recta que es paralela al eje Y y que pasa por el punto A(– 2, 5). Escribe su ecuación para métrica.
15 Halla la ecuación general de las rectas represen tadas en los siguientes ejes de coordenadas: a)
Y
Y
d)
b) X
c)
X
16 Halla el punto medio del segmento de extremos A(3, 4) y B(– 5, 2). Haz la representación gráfica. Geometría analítica 163
4
Posiciones, distancia y circunferencia PIENSA Y CALCULA Halla los puntos de coordenadas enteras en la recta del 1.er dibujo del margen.
4.1 Posición relativa de punto y recta Entre un punto y una recta se pueden dar dos posiciones relativas: a) El punto está en la recta si verifica su ecuación. b) El punto no está en la recta si no verifica su ecuación.
Y B(1, 4) A(4, 3)
EJERCICIO RESUELTO
X 3x – 2y = 6 r
r ≡ Ax + By + C = 0 s ≡ A′x + B ′y + C ′ = 0
la posición relativa de los puntos A(4, 3), B (1, 4) respecto de 10 Estudia la recta: r ≡ 3x – 2y = 6 A (4, 3) ⇒ 3 ⋅ 4 – 2 ⋅ 3 = 12 – 6 = 6 ⇒ A(4, 3) ∈ r B(1, 4) ⇒ 3 ⋅ 1 – 2 ⋅ 4 = 3 – 8 = – 5 ≠ 6 ⇒ B (1, 4) ∉ r
4.2 Posiciones relativas de dos rectas en el plano Estudiar la posición relativa de dos rectas consiste en ver si son secantes, paralelas o coincidentes. Se puede observar mentalmente comparando los coeficientes.
Rectas secantes
Rectas paralelas
Rectas coincidentes
Dos rectas son secantes si tienen un único punto en común. Criterio: los coeficientes de las varia bles no son proporcionales:
Dos rectas son paralelas si no tienen nin gún punto en común. Se representa por | | Criterio: los coeficientes de las varia bles son proporcionales y no lo son los términos independientes:
Dos rectas son coincidentes si son la misma recta. Criterio: los coeficientes de las varia bles y los términos independientes son proporcionales:
A = B ≠ C A′ B′ C′
A = B = C A′ B′ C′
A ≠ B A′ B′
EJERCICIO RESUELTO
11 Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas:
b) 3x – 4y – 5 = 0 ⎫ 3x – 4y + 2 = 0 ⎬⎭
a) 2x – 3y + 5 = 0 ⎫ x + 2y – 8 = 0 ⎬⎭
2 1
a) ≠
– 3 2
3 3
El estudio de la posición rela tiva de dos rectas en el plano es la interpretación gráfica de la clasificación de los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. 164 UNIDAD 9
s
– 4 – 5 ≠ – 4 2 Paralelas
2 –2
b) =
Secantes
Interpretación gráfica
c) 2x – 3y – 1 = 0 ⎫ –2x + 3y + 1 = 0 ⎬⎭
Y
c) =
Coincidentes
Y r
Y s
P(2, 3) X
r
r s X
– 3 – 1 = 3 1
X
4.3 Rectas paralelas y perpendiculares
Y t 90°
a) Dos rectas r y s son paralelas si tienen la misma pendiente: mr = ms
de la inversa de la otra: mr =
v 2 v , m = – 1 v 1 t v 2
P(4, 1)
r
b) Dos rectas r y t son perpendiculares si la pendiente de una es la opuesta
X
s
EJERCICIO RESUELTO
r ≡ 2x – 3y + 5 = 0 a) Halla la recta s paralela a r que pase por el punto P (4, 1) b) Halla la recta t perpendicular a r que pase por el punto P (4, 1)
12 Dada la recta
A 2 2 a) La recta s tendrá la misma pendiente que r: m = – = – = B –3 3 y = 2 (x – 4) + 1 ⇒ y = 2 x – 8 + 1 ⇒ y = 2 x – 5 ⇒ 2x – 3y – 5 = 0 3 3 3 3 3 2 3 b) Si la pendiente de r es mr = , la pendiente de t será mt = – 3 2 y = – 3 (x – 4) + 1 ⇒ y = – 3 x + 12 + 1 ⇒ 3x + 2y – 14 = 0 2 2 2
4.4 Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) es el módulo del vector ⎯→ AB (x 2 – x1, y2 – y1) d (A, B) = √(x 2 – x 1)2 + ( y 2 – y 1)2
EJERCICIO RESUELTO
la distancia que hay 13 Halla
entre los puntos A(1, 2) y B (5, 5) ⎯→ AB (4, 3) ⇒ d(A, B ) = = √42 + 32 = √16 + 9 = = √25 = 5 unidades EJEMPLO
La ecuación de la circunferen cia de centro C (2, 1) y de radio R = 3 es: (x – 2)2 + ( y – 1)2 = 32 x 2 – 4x + 4 + y 2 – 2y + 1 = 9 x 2 + y 2 – 4x – 2y = 4 Y
4.5 Circunferencia de centro C (a, b) y radio R La circunferencia de centro C (a, b) y radio R es el lugar geométrico de los puntos del plano P (x, y) cuya distancia al centro C es R. Su ecuación es: (x – a)2 + ( y – b)2 = R 2
R=3
P(x, y)
C(2, 1)
X
APLICA LA TEORÍA 17 Estudia analítica y gráficamente la posición rela tiva de los puntos A(5, 1) y B (– 2, 3) respecto de la siguiente recta: r ≡ x – 2y = 3 18 Estudia analíticamente la posición relativa de los siguientes pares de rectas. Si se cortan, halla el punto de corte: a)
x – 2y = 3 ⎫ – x + 2y = – 3 ⎬⎭
b) 3x + 4y = 5 ⎫ 2x – y = – 4 ⎬⎭
Representa ambas rectas para comprobarlo.
19 Dada la recta r ≡ 3x + y = 2, halla una recta s, pa ralela a r, y otra perpendicular t, que pasen por el punto P (2, – 1). Haz la representación gráfica. 20 Halla la distancia que hay entre los puntos A(– 3, 2) y B (4, 5). Haz la representación gráfica. 21 Halla el coeficiente a para que la recta 4x + ay = 7 pase por el punto P (– 2, 3). Haz la representa ción gráfica. 22 Halla la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C (– 1, 1), y de radio, 4. Haz el dibujo. Geometría analítica 165
EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EJERCICIOS DE VECTORES
14 Calcula el módulo y el argumento
Y
→
del vector v (3, – 4)
→
X
3 –4 v(3, – 4)
15 Dados
los vectores: → → → u(3, – 5), v (– 2, – 1), w (– 4, 3)
Calcula 2u – 4v + 3w
→
→
→
→
| v | = √32 + (– 4)2 = √9 + 16 = √25 = 5
tg α = – 4 ⇒ α = 306° 52′ 12″ 3
→
2u – 4v + 3w = 2(3, – 5) – 4(– 2, – 1) + 3(– 4, 3) = = (6, – 10) + (8, 4) + (– 12, 9) = (2, 3)
→
EJERCICIOS DE ECUACIONES DE RECTAS Y PUNTOS → → a) Vector director: v (B, –A) ⇒ v (– 5, – 3) || (5, 3) 16 Halla un punto y el vector director de las siguientes rectas: Punto: x = 1 ⇒ 3 · 1 – 5y + 2 = 0 ⇒ –5y = – 5 ⇒ y = 1 ⇒ A(1, 1) → a) 3x – 5y + 2 = 0 b) Vector director: v (3, 1) Punto: A(– 6, 2) x+6 y–2 = b) → 1 3 c) Vector director: v (2, 5) c) x = –3 + 2t ⎫ Punto: A(– 3, 2) ;t∈ℝ → y = 2 + 5t ⎬⎭ d) Vector director: v (1, – 2) d) (x, y) = (4, 5) + t (1, – 2); t ∈ ℝ Punto: A(4, 5)
17 Halla
El vector director de la recta es: ⎯→ AB = (1 – (– 3), 6 – (– 2)) = (4, 8) || (1, 2) 2 La pendiente es: m = = 2 1 Se toma el punto A(– 3, – 2) y la ecuación de la recta es: y = m(x – x1) + y1 ⇒ y = 2(x – (– 3)) – 2 ⇒ y = 2x + 6 – 2 y = 2x + 4
18 Halla el valor de k para que los tres
Se ha de verificar: y2 – y1 y3 – y2 1–k 4–1 = ⇒ = 2 – (–2) 4 – 2 x2 – x1 x3 – x2 1–k 3 = ⇒ 2(1 – k) = 12 ⇒ 2 – 2k = 12 ⇒ –2k = 10 ⇒ k = –5 4 2
19 Halla
Se pasa la recta s a forma general: 3(x + 2) = 5(y + 1) ⇒ 3x + 6 = 5y + 5 ⇒ 3x – 5y + 1 = 0 Se comparan los coeficientes de las rectas r y s: 3 – 5 3 ≠ = 3 – 5 1 Las rectas r y s son paralelas.
la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–3, –2) y B(1, 6)
puntos siguientes estén alineados: A(– 2, k), B(2, 1) y C(4, 4)
la posición relativa de las rectas siguientes: r ≡ 3x – 5y + 3 = 0
166 UNIDAD 9
s≡
x+2 y+1 = 5 3
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Datos y pregunta 20 Un paralelogramo tiene tres vérti ces en los puntos A(– 2, 3), B(1, 5) Se tienen tres vértices de un paralelogramo. y C(5, 4). Halla el cuarto vértice. Pregunta: ¿Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice del paralelogramo?
Y
B(1, 5)
C(5, 4)
BC
A(–2, 3)
D OD
OA
X
Planteamiento y operaciones El punto D está determinado por el vector ⎯→ OD ⎯→ ⎯→ ⎯→ Se tiene que OD = OA + BC ⎯→ BC = (5 – 1, 4 – 5) = (4, – 1) ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ OD = OA + BC ⇒ OD = (– 2, 3) + (4, – 1) = (2, 2) Solución El vértice es D(2, 2) 21 Los
vértices de un triángulo son: A(3, 4), B(– 2, 3) y C(2, – 1) a) Halla la ecuación de la recta que contiene a la altura rela tiva al vértice A b) Calcula el área.
Datos y pregunta Se dan los vértices del triángulo. Preguntas: ¿Cuál es la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al vértice A? ¿Cuál es el área?
Y
A(3, 4) B(–2, 3)
h b
D
X
r
Planteamiento y operaciones C(2, –1) La recta r es perpendicular al lado BC y pasa por A(3, 4) Se halla primero la recta BC Pendiente de BC: – 1 – 3 4 mBC = = – = –1 2+2 4 Se toma B(– 2, 3) y = – (x + 2) + 3 ⇒ y = – x – 2 + 3 ⇒ x + y = 1 Si la pendiente de BC es mBC = – 1 ⇒ La pendiente de r es m = 1 r ≡ y = x – 3 + 4 ⇒ x – y = – 1 La longitud de la altura es la distancia de A a D, siendo D la intersección de las rectas BC y r x + y = 1 ⎫ Se resuelve por reducción: x = 0, y = 1 ⇒ D(0, 1) x – y = – 1 ⎬⎭ h = d (A, D) = √(0 – 3)2 + (1 – 4)2 = √9 + 9 = √18 = 3 √2 unidades
b = d (B, C ) = √(2 + 2)2 + (– 1 – 3)2 = √16 + 16 = √32 = 4 √2 unidades A = b ⋅ h = 4 √2 ⋅ 3 √2 = 12 unidades cuadradas 2 2 Solución La recta es x – y = – 1 y el área es de 12 unidades cuadradas. Geometría analítica 167
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1. V ectores
32 Dada la recta y = 2x + 5, ¿qué tipo de ecuación ⎯→
el punto A (– 5, 4), halla el vector OA, represéntalo y halla sus componentes.
23 Dado
→
24 Dado
el vector⎯→ v (– 4, 5), halla el punto A, tal → que el vector OA = v , y represéntalo.
25 Calcula
el módulo y el argumento de los si guientes vectores: →
a) v (5, 2) →
b) v (– 4, 3) →
el vector opuesto del vector v (– 3, 2) y represéntalos en unos mismos ejes coorde nados.
26 Halla
27 Dados
es? Halla un punto, la pendiente, un vector director y un vector normal. Haz la represen tación gráfica.
los siguientes vectores: →
3. O tras ecuaciones de la recta 33 Dibuja la recta que pasa por el siguiente pun
to A(– 2, 3) y que tiene de pendiente – 4/5. Halla la ecuación de dicha recta.
34 Dibuja la recta que pasa por los puntos A(– 1, 3)
y B(3, 0). Halla la ecuación de dicha recta.
35 Halla
la ecuación general de las rectas repre sentadas en los siguientes ejes de coordenadas: Y
→
u (– 3, 2) y v (4, 3) calcula analítica y geométricamente: →
→
→
→
a) v + v
c)
b) a)
X
→
el vector v (1, – 2), calcula analítica y geométricamente:
28 Dado →
a) 3v
→
b) –3v
36 Dibuja
la recta que es paralela al eje X y que pasa por el punto A(3, 4). Escribe su ecuación vectorial.
37 Dibuja
2. Ecuaciones de la recta
los puntos A(– 2, 1) y B(3, 4), calcula
la recta que es paralela al eje Y y que pasa por el punto A(1, 4). Escribe su ecuación general.
⎯→
el vector AB. Haz la representación gráfica. 30 Halla
un vector director y la pendiente de la siguiente recta:
38 Halla
la ecuación explícita de las rectas repre sentadas en los siguientes ejes de coordenadas: Y
Y
b)
r
31 Representa
la recta que pasa por el punto → P (1, 4) y tiene como vector director v (2, – 3). Halla las distintas ecuaciones de dicha recta.
Y
d)
a) X
X
168 UNIDAD 9
X
d)
b) u – v
29 Dados
Y
39 Halla
c) X
mentalmente el punto medio del seg mento de extremos A(4, – 3) y B (– 1, 5). Haz la representación gráfica.
4. Posiciones, distancia y circunferencia 40 Estudia
analítica y gráficamente la posición relativa de los puntos A(1, 2) y B (– 3, 4) res pecto de la siguiente recta: r ≡ 2x + 3y = 6
41 Estudia
analíticamente la posición relativa de las siguientes pares de rectas. Si se cortan, ha lla el punto de corte:
a) 2x + 3y = 5 ⎫ 2x – 3y = 11 ⎬⎭
la recta r ≡ 2x + y = 1, halla una rec ta t, perpendicular a r, que pase por el punto P (3, 2). Haz la representación gráfica.
43 Dada
b) 2x – y = 3 ⎫ – 2x + y = 1 ⎬⎭
Representa ambas rectas para comprobarlo. la recta r ≡ x – 3y = 1, halla una recta s, paralela a r, que pase por el punto P (2, 5). Haz la representación gráfica.
42 Dada
44 Halla
la distancia que hay entre los siguientes puntos: A(–1, 5) y B (2, 1) Haz la representación gráfica.
45 Halla el coeficiente a para que la recta
ax + 4y = 11 pase por el punto P (1, 2). Haz la representa ción gráfica. 46 Halla la ecuación de la circunferencia que tiene
el centro en el punto C (2, – 1), y de radio, 3. Haz el dibujo.
Para ampliar 47 Dado
el siguiente cuadrado de centro el ori gen de coordenadas y lado de longitud 10:
50 Calcula
mentalmente el módulo y el argu mento de los siguientes vectores: Y
Y
→
b X
→
→
c
a
X
→
d
a) Representa todos los vectores que nacen en
el origen de coordenadas y tienen como ex tremo uno de los vértices del cuadrado. b) Escribe la expresión analítica de cada uno de los vectores representados. 48 Calcula
mentalmente las componentes de los ⎯→ vectores AB en los siguientes casos: a) A(3, 4), B (5, 7) b) A(– 4, 1), B (2, – 5) c) A(0, 5), B (– 7, 2) d) A(0, 0), B (3, 5)
49 Halla
mentalmente dos vectores perpendicu → lares al vector v (5, 2) y represéntalos gráfica mente.
51 Dada
la siguiente recta: (x, y) = (– 4, 1) + t (2, 3); t ∈ ℝ
halla: a) El tipo de ecuación. b) Un punto. c) El vector director. d) Un vector normal. e) La pendiente. f ) Represéntala. 52 Halla
mentalmente un vector normal y un vector director de cada una de las siguientes rectas: a) 2x + 3y = 5 b) – x – 2y = 4 c) – 3x + y = 1 d) 5x – 4y = 2
Geometría analítica 169
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 53 Halla mentalmente las ecuaciones generales de
las siguientes rectas: a) Eje X b) Eje Y
57 Halla
mentalmente la posición relativa de los siguientes pares de rectas: 2x – y = 2 ⎫ – 4x + 2y = – 1 ⎬⎭
54 Halla la ecuación explícita de las siguientes rec
tas representadas en los ejes de coordenadas. Y
b)
a)
58 Halla
mentalmente la posición relativa de los siguientes pares de rectas: 3x – 6y = 3 ⎫ – x + 2y = – 1 ⎬⎭
X
59 Halla
55 Representa
y halla mentalmente las ecuacio nes generales de las rectas paralelas a los ejes coordenados, que pasan por el punto A(2, – 3)
56 Representa
y halla mentalmente las ecuacio nes generales de las rectas paralelas a los ejes coordenados, que pasan por el punto A(– 4, 1)
mentalmente la posición relativa de los siguientes pares de rectas: x = 2⎫ y = – 3 ⎬⎭
Represéntalas y halla el punto de corte. 60 Halla mentalmente la ecuación de la circunfe
rencia de centro el origen de coordenadas y de radio R = 3 unidades. Represéntala.
Problemas 61 Dado el triángulo equilátero siguiente, de cen
tro el origen de coordenadas y vértice A(4, 0):
63 Halla la ecuación general de las siguientes rec
tas representadas en los ejes de coordenadas:
Y
Y
b)
B
a)
X
X
A(4, 0) C
a) Representa todos los vectores que nacen
en el origen de coordenadas y tienen como extremo uno de los vértices del triángulo equilátero.
64 De
un paralelogramo se conocen tres vértices consecutivos: A(– 4, 2), B (– 1, 5) y C (4, 5) B(–1, 5)
b) Aplicando las razones trigonométricas, ha
lla la expresión analítica de cada uno de los vectores representados.
y calcula el área del triángulo com prendido entre las rectas siguientes:
A(– 4, 2)
Y C(4, 5) X
62 Dibuja
x = 2, y = 1, x + y = 5 170 UNIDAD 9
Halla las coordenadas del cuarto vértice D uti lizando la suma de vectores.
65 Halla
analíticamente un vector director y la pendiente de las rectas que están definidas por los dos puntos siguientes: a) A(0, 0), B(3, 4) b) A(2, – 1), B(4, 6) c) A(– 2, 5), B(3, – 4) d) A(3, – 2), B(4, – 1)
66 Dada
la siguiente recta: x–2 y+1 = 4 3
halla: a) El tipo de ecuación. b) Un punto. c) El vector director. d) Un vector normal. e) La pendiente. f) Represéntala. 67 Dada
71 Halla
el coeficiente k para que la recta: kx + 3y = 8
pase por el punto A(1, 2) 72 Halla
mentalmente la posición relativa de los siguientes pares de rectas: 3x + 4y = 12 ⎫ 2x + y = 3 ⎬⎭
Represéntalas y halla el punto de corte. 73 Dibuja
un rectángulo sabiendo que tiene los lados paralelos a los ejes coordenados, y que las coordenadas de dos vértices opuestos son A(– 3, 5) y B(3, 1). Dibuja y halla la longitud de la diagonal.
74 Halla
el valor de k para que las siguientes rec tas sean paralelas: 2x + 3y = 5 ⎫ kx – 6y = 1 ⎬⎭
la siguiente recta: y = 2x – 3
halla: a) El tipo de ecuación. b) Un punto. c) La pendiente. d) Un vector director. e) Un vector normal. f) Represéntala.
75 Halla la ecuación de la circunferencia que tie
ne el centro en el punto C (–1, – 2), y de radio, 4 unidades. Haz el dibujo.
76 Halla la ecuación de la siguiente circunferencia: Y
68 Dado el triángulo que tiene los vértices en los
puntos A(3, 4), B(– 1, – 2) y C (5, – 4): a) Representa dicho triángulo y dibuja la rec ta que contiene la mediana definida por el vértice A b) Halla la ecuación de dicha recta.
X
77 Dado
el triángulo de la siguiente figura:
69 Dado el triángulo que tiene los vértices en los
puntos A(1, 4), B(– 3, 2) y C (5, – 4): a) Representa dicho triángulo y dibuja la recta paralela al lado BC, que pasa por el vértice A b) Halla la ecuación de dicha recta.
70 Dibuja
el segmento de extremos los puntos A(5, 4) y B(– 1, – 2) y su mediatriz. Halla la ecuación de la mediatriz.
Y
C X
A B
halla la ecuación de la mediatriz del lado AB Geometría analítica 171
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 78 Halla la ecuación de la siguiente circunferencia: Y
82 Dado el triángulo que tiene los vértices en los
puntos A(– 2, 3), B (– 5, – 1) y C (5, 4)
a) Representa dicho triángulo y dibuja la recta
que contiene al lado BC
X
b) Halla la ecuación de dicha recta. 83 Halla
el coeficiente k para que la recta: 5x + ky = 1
pase por el punto A(– 3, 4)
Para profundizar 79 Dada
la circunferencia de centro el origen de coordenadas, y radio, 5 Y
84 Un romboide tiene tres vértices en los puntos
A(– 5, 1), B (– 2, 5) y C (2, 5)
Halla: a) El cuarto vértice. X
b) La longitud de sus diagonales. 85 Halla
la longitud del segmento determinado por los puntos de corte con los ejes coordena dos de la recta siguiente:
a) Representa todos los vectores que nacen
en el origen de coordenadas y tienen como extremo un punto de la circunferencia de coordenadas enteras.
3x + 4y = 12 86 Dado
el triángulo de la siguiente figura: Y
C
b) Escribe la expresión analítica de cada uno
de los vectores representados.
80 Dados
los vectores: →
→
u (2, – 3) y v (– 1, 4)
X B
A
calcula analíticamente: →
→
→
→
Halla la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al vértice C
a) 3u + 5v
b) 5u – 3v 81 Dada
la siguiente recta: 5x – 2y + 9 = 0
halla: a) El tipo de ecuación. b) Un punto. c) Un vector normal. d) Un vector director. e) La pendiente. f ) Represéntala.
172 UNIDAD 9
87 Halla la ecuación de la circunferencia que tie
ne el centro en el punto C (– 3, 4), y de radio, 2 unidades. Haz el dibujo.
88 Halla la ecuación de la siguiente circunferencia: Y
X
Matematización en contextos reales Aplicaciones con circunferencias EJERCICIO RESUELTO
22 Desde una localidad A se detecta un terremoto cuyo epicentro está a 6 km oeste y 5 km norte con un radio de 7 km. Halla la ecuación de la circunferencia de la zona afectada por el terremoto entendiendo que la localidad A está en el origen de coordenadas. ¿Se ha visto afectada la localidad A por el terremoto? Ecuación: (x – a)² + ( y – b)² = R ²; centro: C (– 6, 5) y R = 7 ⇒ (x + 6)² + ( y – 5)² = 7² Para saber si la localidad se ha visto afectada, se sustituyen las coordenadas de la localidad en la ecuación: (0 + 6)² + (0 – 5)² ⇒ 36 + 25 = 61 > 49 ⇒ La localidad está fuera de la zona afectada. 89 Desde una torre de control se sitúa un punto a 4 km este y 3 km sur desde el que un avión debe volar a
una distancia de 10 km de forma constante hasta que se le permita aterrizar. ¿Cuál es el lugar geométrico de la trayectoria del avión si consideramos que el origen de coordenadas es la torre de control?
Autoevaluación 1
Explica cómo se hallan las componentes de un vector definido por dos puntos. Pon un ejemplo.
2
Calcula el módulo y el argumento del vector v (4, 3)
3
Dada la recta 4x – 3y = 12, ¿qué tipo de ecuación es? Halla dos puntos, un vector normal, un vector director y la pendiente. Haz la representación gráfica.
4
Dibuja la recta que pasa por A(3, 1) y tiene de pendiente 2. Halla la ecuación de la recta.
5
Halla la ecuación general de las rectas representadas en los siguientes ejes de coordenadas:
→
Y
a)
Y
b)
d) X
X
c) 6
Estudia analíticamente la posición relativa del siguiente par de rectas: 2x + y = 5 ⎫ x – 3y = 6 ⎬⎭
Y A
Si se cortan, halla el punto de corte y representa ambas rectas para comprobarlo. 7
Dada la recta 2x – 3y = 6, halla su ecuación vectorial.
8
Dado el triángulo de la figura de la derecha, halla la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al vértice A
X C B
Geometría analítica 173
Mates dinámicas virtuales con GeoGebra en Moodle 1. Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos)
→
Halla el módulo y el argumento del vector v (– 3, 3) SOLUCIÓN En GeoGebra elige el applet: Cálculo del módulo y argumento de un vector. → |v | = 4,24 α= 135°
2. Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos)
Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(– 3, 2) y B(2, 5) y el ángulo que forma con el semieje positivo de las X SOLUCIÓN En GeoGebra elige el applet: Vector director y pendiente de una recta. m = 3/5 α = 30° 579 490
3. Problema (Calificación: 2,5 puntos)
Halla la posición relativa de las rectas r ≡ x – 3y – 6 = 0; s ≡ 2x – 6y + 2 = 0. Observando el dibujo, calcula la pendiente de ambas rectas. SOLUCIÓN En GeoGebra elige el applet: Posiciones relativas de dos rectas en el plano. mr = 1/2 ms = 1/2 Las rectas son paralelas
4. Problema (Calificación: 2,5 puntos)
Dada la recta r ≡ 3x – 5y = 6 a) Halla la recta s paralela a r que pase por el punto P (3, – 2) b) Halla la recta t perpendicular a r que pase por el punto P (3, – 2) SOLUCIÓN En GeoGebra elige el applet: Rectas paralelas y perpendiculares. s = 3x – 5y = 19 t = 5x + 3y = 9
174 UNIDAD 9
© de esta edición: Grupo Editorial Bruño, S. L., 2021 Juan Ignacio Luca de Tena, 15 28027 Madrid
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8/1/21 13:25
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Academic Mathematics
4 In English,
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In English,
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Academic Mathematics
4 portadillasESO2021.indd 39
7/1/21 14:42
1
9
Analytical geometry
Vectors Vectors 1.1 ⎯→
Position vector The position⎯→vector of point A is vector OA. It is generally → represented as v (a, b), or → v = (a, b) Y
⎯→
→ = OA that represents all vectors with the same A free vector is a fixed vector v modulus, direction and sense.
Relationship between points and vectors
→ v (4, 3)
O
A fixed vector is an oriented segment. It is represented as OA. Point O is the origin and point A is the end. Characteristics of a vector: ⎯→ a) The modulus is the length of the vector. It is represented as |OA | b) The direction is the orientation of the line formed by the vector. c) The sense goes from the origin to one end.
A(4, 3) 3
X
The components of a vector with origin O (which is the coordinate origin) coincide with the coordinates of end point A, and vice versa.
4
SOLVED EXERCISE
1
⎯→
Given point A (4, 3), find vector OA, graph it and find its components. → (4, 3). The horizontal component is 4, and the vertical The vector v component is 3
1.2 Calculating the modulus and argument of a vector
Pythagorean theorem Calculating the modulus of a vector actually means applying the Pythagorean theorem, in other words finding the hypotenuse when the legs are known.
• The modulus of a vector is its length. To calculate it, apply the Pythagorean theorem: → → v (x, y ) ⇒ | v | = √x 2 + y 2 • The argument of a vector is the angle formed by the positive semiaxis X and the vector. To calculate it, apply the definition of tangent: y tg α = x
Y
–3 –4
54 UNIT 9
α
SOLVED EXERCISE
2 X
→ Calculate the modulus and argument of vector v (– 3, – 4) → | = √(– 3)2 + (– 4)2 = √9 + 16 = √25 = 5 | v
tg α = → v (– 3, – 4)
– 4 4 = ⇒ α = 233° 7′ 48″ – 3 3
tan–1 ( 4 ÷ 3 ) = + 180 = ˚ ′ ″ 233° 7′ 48″
1.3 Opposite vector
EXAMPLE
In analytic terms, an opposite vector is the vector obtained by changing the sign of its components. In geometric terms, it is the vector with the same modulus and direction, but the opposite sense.
→ The opposite of vector v (– 5, 2) → is – v (5, – 2) Verification: → (– 5, 2) + (5, – 2) = (0, 0) = 0
Y
1.4 Adding and subtracting vectors To add and subtract vectors analytically, add or subtract the vectors’ components. To add vectors geometrically, move one vector over the end of the other vector. The sum is the vector with the origin of the first vector and the end of the second vector. To subtract two vectors geometrically, add the opposite vector of the second vector to the first vector.
→ –v (5, – 2)
→
To add and subtract vectors geometrically, make a parallelogram joining vectors → → u→ and v at the origin. The diagonal from origin u is vector u→ + v →. The diagonal → → → from end v is vector u – v . SOLVED EXERCISE → → → → → → Given vector u (6, 2) and vector v (3, 4), calculate u + v and u – v → → u→ + v = (6, 2) + (3, 4) = (9, 6) u→ – v = (6, 2) – (3, 4) = (3, – 2)
→
A zero vector, 0, is a special case in which the origin of the vector is also its end. →
To multiply a vector by a number analytically, multiply the components of the vector by the number. To multiply a vector by a number geometrically, plot the vector end-to-end as many times as the number indicates. SOLVED EXERCISE
⎯→
0 = OO
Y → u + v → = (9, 6)
v→ (3 ,4 )
1.5 Product of a number and a vector
4
X
Zero vector, 0
Parallelogram rule
3
→ v (– 5, 2)
X
→ u (6, 2) → u – v → = (3, – 2)
Y → 3v (3, 6)
→ v (1, 2)
X
→
Multiply vector v (1, 2) by 3 → 3v = 3 (1, 2) = (3, 6)
APPLYING THE THEORY 1
⎯→
Given point A (2, −5), find vector OA. Graph it and find its components.
→ 2 Given vector v (3, – 5), find point A so that vector ⎯→ → OA = v . Plot the vector.
3 Calculate the modulus and the argument of the following vectors: a) v→(4, – 2) b) v→(– 3, – 4) → 4 Find the opposite vector of vector v (5, 4). Plot the vectors on the same coordinate axes.
5 Given vector u→(3, 2) and vector v→(1, 4), calculate the following analytically and geometrically: → → a) u + v → → b) u – v → 6 Given vector v (3, 1), calculate the following analytically and geometrically: → a) 2v → b) – 2v
Analytical geometry 55
2
Line equations Y
2.1 Components of a vector defined by two points
B(2, 5)
⎯→
AB A(– 4, 1)
⎯→
AB(6, 4) X
To find the vector defined by point A (x1, y1) and point B (x2, y2), subtract the position vector of the end from the position vector of the origin. ⎯→
O
⎯→
⎯→
⎯→
AB = OB – OA ⇒ AB = (x2 – x1, y2 – y1) SOLVED EXERCISE
5
Note A directional vector should always be simplified, since the only thing that matters is its direction, not its length. EXAMPLE → v (6, 4) || (3, 2)
Interpreting a slope The slope of a line is a tangent: v tg α = v 2 1
⎯→
Given points A(– 4, 1) and B(2, 5), calculate vector AB ⎯→ AB = (2 – (– 4), 5 – 1) = (6, 4)
2.2 Direction vector and slope of a line • The direction vector of a line is a vector parallel to the line. The direction vector and the line have the same direction. To find the direction vector of a line, take two points on the line, ⎯→ → = AB = (x2 – x1, y2 – y1). A(x1, y1) and B(x2, y2), and calculate the vector v • The slope of a line is the tangent of the angle formed by the positive X semiaxis with the line, in other words, the tangent of the angle of the direction vector of the line. It is represented with the letter m. v → v (v1, v2) ⇒ m = v2 1 To find the slope of a line from two points A(x 1, y1) and B (x 2, y2), ⎯→ → calculate v = AB = (x 2 – x1, y2 – y1) resulting in: y –y m = 2 1 x 2 – x 1 SOLVED EXERCISE
Y
6
B(– 2, 4)
A(– 5, 2)
2
→ v (3, 2)
3
α 2 3
X
2.3 Normal vector
Y ñ→2 (– 4, 3)
→ v (3, 4)
90°
Given points A (–5, 2) and B (–2, 4) calculate the direction vector and the slope of the line. ⎯→ → = AB = (– 2 – (– 5), 4 – 2) = (3, 2); slope: m = 2 Direction vector: v 3
X
→ → A normal vector n (n , n2), in relation to another vector v (v1, v2), is 1 → a vector that is perpendicular to v. To find a vector perpendicular to → (v1, v2), change the order of the coordinates and change the sign vector v of one of them. This will result in two vectors: n→1(v2, – v1 ), n→2(– v2, v1 )
EXAMPLE ñ→1 (4, – 3)
56 UNIT 9
→ A normal vector to vector v (3, 4) is n→1(4, – 3) or n→2(– 4, 3)
2.4 Line equations
Y
P(p1, p2)
→ → x = p + tv→
→ v (v1, v2)
→ p + v→
v2
→ p
O
SOLVED EXERCISE
7
v →
X(x, y)
p→ + → 2v
→ A line is determined by point P ( p1, p2) and direction vector v (v1, v2). → , Points X (x, y) of the line are determined by position vector x→ = p→ + tv where t is a real number. The elements that define a line are: → • A direction vector: v (v1, v2) • A point: P ( p1, p2) v2 • The slope: m = v • A normal vector: n→(v2, – v 1) 1
X
v1
Find the equation of the line determined by point P (– 5, 2) → (4, 3) and direction vector v
a) Vector equation of the line: → x→ = p→ + t v ;t∈ℝ (x, y) = ( p1, p2) + t (v1, v2); t ∈ ℝ
(x, y ) = (– 5, 2) + t (4, 3); t ∈ ℝ
b) Parametric equations: These are obtained from the vector equation by equalising the components. x = p1 + tv1 ⎫ ;t∈ℝ y = p2 + tv2 ⎬⎭ c) Continuous equation: This is obtained from the parametric equations by revealing parameter t and equalising the values. x – p1 y – p2 = v1 v2
5 t=x+ 4 y–2 t= 3
d) Standard equation: This is obtained from the continuous equation, by performing the operations and moving all the terms to the first member. Ax + By + C = 0 A normal vector is: n→(A, B ) A A direction vector is: v→ (B, – A). A slope is: m = – B e) Slope-intercept equation: This is obtained by solving the standard equation. y = mx + b m is the slope and b is ordinate of the origin.
x = – 5 + 4t ⎫ ;t∈ℝ y = 2 + 3t ⎬⎭
⎫ ⎪ x+5 y–2 = ⎬⇒ 4 3 ⎪ ⎭
3(x + 5) = 4( y – 2) 3x + 15 = 4y – 8 3x – 4y + 23 = 0 A normal vector is: n→(3, – 4) 3 A direction vector is: v→ (4, 3). The slope is: m = 4 3 23 x + 4 4 3 23 Slope: m = ; Ordinate of the origin: b = 4 4
– 4y = –3x – 23 ⇒ 4y = 3x + 23 ⇒ y =
APPLYING THE THEORY 7 Given points A(1, 2) and B (– 5, 4), calculate ⎯→ vector AB. Plot the vector. 8 Plot the line that passes through points A(– 2, 3) and B (1, 2). Find the line’s direction vector and slope.
9 Plot the line that passes through point P (– 4, – 1) and has direction vector v→(3, 2). Find the line’s equations. 10 What kind of equation is the equation for line 2x + 3y = 6? Find a point, a normal vector, a direction vector and the slope. Plot the line. Analytical geometry 57
3
Other line equations Positions, distance and circumference 3.1 Point-slope equation
Note When you are asked to find the equation for a line and no equation is specified, find the standard or slope-intercept equation.
The point-slope equation is the equation of a line where point A (x1, y1) and slope m are known. It is: y = m (x – x1) + y1 SOLVED EXERCISE
8
Y A(4, 3)
2 1 X
r
A(3, 2) α 1
3.2 Equation for a line passing through two points To find the equation for a line that passes through two points A(x1, y1) and B ( x2, y2), find the direction vector to find the slope, then use the point-slope equation. y –y ⎯→ → v = AB = (x2 – x1, y2 – y1) ⇒ m = x2 – x1
Y B(4, 5)
2
3
r
Y
Find the equation for the line that passes through points A(3, 2) and B (4, 5) ⎯→ → v = AB = (4 – 3, 5 – 2) = (1, 3) ⇒ m = 3 y = 3(x – 3) + 2 ⇒ y = 3x – 9 + 2 ⇒ y = 3x – 7
3.3 Midpoint of a segment
B(5, 3) M(1, 2)
1
SOLVED EXERCISE
X
9
A(–3, 1)
Find the equation for the line that passes through point A(4, 3) and has slope 2 y = 2(x – 4) + 3 ⇒ y = 2x – 8 + 3 ⇒ y = 2x – 5
X
The midpoint of a segment with endpoints A(x1, y1) and B (x2, y2) is: x + x y + y M 1 2, 1 2 2 2
(
)
EXAMPLE
The midpoint of the segment with endpoints A(– 3, 1) and B(5, 3) is: – 3 + 5 1 + 3 , = M(1, 2) M 2 2
(
)
3.4 Relative position of a point and line You can determine two relative positions between a point and a line: a) If your equation is verified, the point is on the line. b) If your equation is not verified, the point is not on the line.
Y B(1, 4) A(4, 3) X 3x – 2y = 6 r
58 UNIT 9
SOLVED EXERCISE
10 Study
the relative position of points A(4, 3) and B (1, 4) to the line r ≡ 3x – 2y = 6 A (4, 3) ⇒ 3 ⋅ 4 – 2 ⋅ 3 = 12 – 6 = 6 ⇒ A(4, 3) ∈ r B(1, 4) ⇒ 3 ⋅ 1 – 2 ⋅ 4 = 3 – 8 = – 5 ≠ 6 ⇒ B (1, 4) ∉ r
3.5 Parallel and perpendicular lines
Y t 90°
a) Two lines r and s are parallel if they have the same slope: mr = ms
v v of the inverse of the other: mr = v 2 , mt = – v 1 1 2
P(4, 1)
r
b) Two lines r and t are perpendicular if the slope of one is the opposite
X
s
SOLVED EXERCISE
r ≡ 2x – 3y + 5 = 0 a) Find line s parallel to r wich passes through point P (4, 1) b) Find line t perpendicular to r wich passes through point P (4, 1)
line 11 Given
A =– 2 = 2 B – 3 3 y = 2 (x – 4) + 1 ⇒ y = 2 x – 8 + 1 ⇒ y = 2 x – 5 ⇒ 2x – 3y – 5 = 0 3 3 3 3 3 2 3 b) If the slope of r is mr = , the slope of t will be mt = – 3 2 3 3 12 + 1 ⇒ 3x + 2y – 14 = 0 y = – (x – 4) + 1 ⇒ y = – x + 2 2 2 a) Line s will have the same slope as r: m = –
3.6 Distance between two points
The distance between point A(x1, y1) and point B(x2, y2) is the modulus of the vector. ⎯→ AB (x 2 – x1, y2 – y1) d (A, B) = √(x 2 – x 1)2 + ( y 2 – y 1)2
3.7 Circumference with centre C (a, b) and radius R The circumference with centre C (a, b) and radius R is the geometric location of the points on plane P (x, y) whose distance to the centre C is R. The equation is: (x – a)2 + ( y – b)2 = R 2
SOLVED EXERCISE
the distance between 12 Find points A (1, 2) and B (5, 5) ⎯→ AB (4, 3) ⇒ d(A, B ) = = √42 + 32 = √16 + 9 = = √25 = 5 units EXAMPLE
The equation of the circumference with centre C (2, 1) and radius R = 3 is: (x – 2)2 + ( y – 1)2 = 32 x 2 – 4x + 4 + y 2 – 2y + 1 = 9 x 2 + y 2 – 4x – 2y = 4 Y
R=3
P(x, y)
C(2, 1)
X
APPLYING THE THEORY 11 Plot the line that passes through point A (1, 4) and has a slope of 2/3. Find the line’s equation. 12 Plot the line that passes through points A (–3, 1) and B (2, 5). Find the line’s equation. 13 Find the midpoint of segment with endpoints A (3, 4) and B (–5, 2). Plot the segment. 14 Study the relative position of points A (5, 1) and B (–2, 3) analytically and graphically for the following line: r ≡ x – 2y = 3
15 Given line r ≡ 3x + y = 2, find line s, which is parallel to r, and perpendicular line t. Lines s and t pass through point P (2, –1). Plot the line. 16 Find the distance between points A (–3, 2) and B (4, 5). Plot the points. 17 Find coefficient a, such that line 4x + ay = 7 passes through point P (–2, 3). Plot it. 18 Find the equation of the circumference with centre point C (–1, 1) and radius R = 4. Plot the circle. Analytical geometry 59
© for this edition: Grupo Editorial Bruño, S. L., 2021 Juan Ignacio Luca de Tena, 15 28027 Madrid
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