MEJORA PROGRAMA DE
NIVEL
I
ÁMBITO
CIENTÍFICO Y MATEMÁTICO
NIVEL
I
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ÁMBITO
CIENTÍFICO Y MATEMÁTICO
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MEJORA PROGRAMA DE
ÁMBITO
CIENTÍFICO Y MATEMÁTICO
NIVEL
I
Todas las actividades de este material deben realizarse en un cuaderno aparte, nunca en el mismo material. © de esta edición: Grupo Editorial Bruño, S. L., 2020 Juan Ignacio Luca de Tena, 15 28027 Madrid
ÍNDICE
Matemáticas Números enteros. Divisibilidad ....................................................................................................................................................... 4 Fracciones y números decimales .................................................................................................................................................. 7 Potencias y raíces ........................................................................................................................................................................................................ 12 Proporcionalidad y porcentajes ...................................................................................................................................................... 15 Polinomios ................................................................................................................................................................................................................................. 19 Ecuaciones de primer y segundo grado ............................................................................................................................ 23 Triángulos. Semejanza ........................................................................................................................................................................................ 28 Cuerpos en el espacio .......................................................................................................................................................................................... 35 Rectas e hipérbolas ................................................................................................................................................................................................. 43 Estadística y probabilidad ......................................................................................................................................................................... 46
Física y Química Las magnitudes y su medida. El trabajo científico .................................................................................... 52 La materia y sus propiedades .............................................................................................................................................................. 54 Los cambios. Reacciones químicas ........................................................................................................................................... 56 Las fuerzas y sus efectos ............................................................................................................................................................................. 58 Energía y preservación del medioambiente ............................................................................................................ 62
MATEMÁTICAS
Matemáticas Números enteros. Divisibilidad
1 Representa sobre la recta numérica los siguientes números enteros: 6, –3, 0, 4 y –4.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
2 Ordena de menor a mayor la siguiente lista de números enteros:
6, 0, –4, 7, –5, 10, 9, –15
3 Calcula el valor absoluto de los siguientes números: a) 7
c) –10
e) –12
b) 0
d) –15
f) 12
4 Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) |9| < 13
b) |–2| > –5
c) |0| < –8
5 Determina si son verdaderas o falsas las siguientes expresiones: a) –4 < –3
b) 5 > –5
c) –10 > 1
6 Realiza las siguientes sumas de números enteros: a) −9 + (−3)
c) −5 + (−6)
e) 7 + (−7)
b) −7 + (−7)
d) 4 + (−6)
f) −15 + 0
7 Suma los siguientes números enteros: a) –10 + 5
c) – 8 + (–8)
e) –16 + (–8)
b) 13 + (–4)
d) 12 + (–3)
f) 9 + (–1)
8 Efectúa las siguientes restas de números enteros: a) 8 − 7
c) 9 – (–6)
e) 0 – 4
b) −12 − 12
d) −1 − (−4)
f) −5 − (−4)
9 Realiza las siguientes multiplicaciones de números enteros: a) −5 · (−4)
c) 7 · (−1)
e) −7 · 0
b) −5 · 3
d) −3 · (−2)
f) 0 · (−1 234)
10 Haz las siguientes divisiones de números enteros: a) −25 : (−5)
c) 4 : (−1)
e) 1 : (−1)
b) −9 : 3
d) 0 : (−2)
f) 100 : (−10)
11 Realiza las siguientes operaciones suprimiendo previamente los paréntesis y agrupando primero sumas y luego restas:
4
a) –3 + 8 – (–2) + 7 –12
c) –4 + 5 – (–7) + 2
b) 15 – 4 – 9 – 6 + 5
d) –3 – 8 + (–5) – (–2) + 10
12 Realiza las siguientes operaciones combinadas de números enteros: a) –6 : 2 – 3 · (–1) b) 13 – (8 + 6 – 7) c) 2 · 5 – 11 + 6 : 3 + 3 d) 3 – 5 · [–2 + (4 – 1)] 13 Efectúa las siguientes operaciones combinadas: a) [(3 − 2) − (7 − 5)] + 6 b) 6 + 3 − 4 − [7 − (2 − 5)] c) 2 · (5 + 3) − [4 − (12 − 8)] 14 Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) (3 + 5 – 2) – (1 – 4 + 7) b) (7 – 4 – 3) + (7 – 4 – 9) c) 3 + (8 – 3) – 2 d) 6 – 3 + 2 – (6 – 3) + 2 15 Efectúa las siguientes operaciones combinadas: a) –1 · 7 + 12 : 4 – 6 b) –1 · (4 – 3) + 8 : 4 – 4 · 3 c) 25 – 5 · (3 + 2) + 8 : 2 – 12 : 3 d) 10 : (3 + 2) + 4 : 2 16 Efectúa las siguientes operaciones combinadas: a) 6 + [7 – 5 – (–2) + 4] b) 6 : (2 + 1) – [1 + (2 · 3 : 6)] + 7 c) 5 + 3 – 4 – [7 – (2 – 5)] 17 Indica los cinco primeros múltiplos de 2, 3, 5 y 7. 18 De los números 1 al 20, indica: a) Un divisor de 6. b) Un múltiplo de 7. c) Un número que sea divisible por 9. d) Un número que sea divisor de 16. e) Un múltiplo de 5 mayor que 10 y menor que 20. 19 Halla los divisores del número 18. 20 Razona si los siguientes números son múltiplos de 2: a) 37
b) 2 875
c) 20
d) 199 MATEMÁTICAS
5
MATEMÁTICAS
21 ¿Cuáles de los siguientes números son divisibles por 3? a) 1 212
b) 2 112
c) 5 010
d) 63 060
22 ¿Cuáles de los siguientes números son divisibles por 9? a) 1 809
b) 1 515
c) 72
d) 6 070
23 Dado el número 6: a) Encuentra sus divisores. b) ¿Cuáles de los divisores son números primos? c) Multiplica estos divisores primos, ¿qué obtienes? 24 Descompón en factores primos los números: a) 42
c) 180
e) 564
b) 100
d) 81
f) 1 024
25 De la siguiente lista de números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 a) Anota los números divisores de 30. b) Escribe los números divisores de 32. c) Anota los divisores comunes de 30 y 32. d) ¿Cuál es máximo común divisor de 30 y 32? 26 Halla el m.c.d. de los números A y B, de los que se conocen sus descomposiciones en factores primos. A = 2 · 32 · 5 · 7 B = 22 · 3 · 72 · 114 27 Calcula el m.c.d. de: a) 32, 49 b) 42, 56 28 Encuentra el m.c.d. de 105 y 128. 29 Con ayuda de una tabla, calcula el m.c.m. de 18 y 30. 30 Utilizando la descomposición en factores primos, halla el m.c.m. de: a) 20 y 200 b) 48 y 72 31 Usando la descomposición en factores primos, calcula el m.c.d. de los números 33 y 39. 32 Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas: a) m.c.m. (8, 25) = 200 b) m.c.m. (12, 13) = 1 c) m.c.m. (5, 12, 40) = 120 33 Determina con ayuda de una tabla los dos primeros múltiplos comunes de los siguientes números: a) 3 y 4 6
b) 6 y 12
Fracciones y números decimales 34 Comprueba si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades: a) 7 = 14 15 30
c) 1 = 2 10 20
b) 6 = 3 10 10
d) 1 = 50 2 100
35 Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de las dadas: a) 7 10
b) 10 20
d) 25 15
e) 15 3
c) 1 5
36 Halla una fracción equivalente a 1 que tenga por denominador 10. 5 2 37 Halla la fracción equivalente a que tenga por numerador 6. 5 38 Simplifica las siguientes fracciones entre un divisor común del numerador y del denominador: a) 35 25
b) 22 14
c) 63 35
39 Reduce a fracción irreducible: a) 42 30
c) 24 66
e) 45 60
b) 21 15
d) 75 15
f) 14 30
40 Simplifica las siguientes fracciones convirtiéndolas en irreducibles: a) 9 27
b) 25 50
c) 33 39 41 Comprueba si las siguientes fracciones son irreducibles o no: a) 6 9
c) 22 33
e) 21 28
b) 11 26
d) 125 200
f) 26 39
42 Realiza las siguientes sumas y, si es posible, simplifica los resultados: a) 2 + 1 6 6
b) 5 + 9 20 20
c) 8 + 6 5 5
43 Realiza las siguientes restas y simplifica el resultado cuando sea posible: a) 18 – 4 21 21
b) 6 – 3 9 9
c) 8 – 1 7 7
44 Calcula las siguientes sumas y restas reduciendo primero a común denominador y simplifica el resultado: a) 1 + 3 2 4
b) 5 – 1 3 6
c) 1 + 2 5 3 MATEMÁTICAS
7
MATEMÁTICAS
45 Resuelve las siguientes sumas aplicando la propiedad asociativa: a) 2 + 1 + 3 3 4 6
b) 5 + 1 + 3 6 2 4
c) 3 + 6 + 9 2 3
46 Efectúa las siguientes sumas y restas: a) 5 – 3 + 7 2 4 6
b) 7 – 1 – 2 3 4 5
47 Calcula la inversa de las siguientes fracciones y comprueba que el producto de ambas es 1: a) 1 5
b) 7
48 Transforma cada ejercicio en una suma de multiplicaciones: a) 1 · 3
( 25
)
+ 1 + 2 b) 2 3
( 35
– 11 13
) · 2 c) (3 + 12 ) · 5
49 Transforma cada ejercicio en el producto de una suma de fracciones por otra fracción: a) 7 · 3 + 7 · 4 7 9
b) 1 · 9 + 1 · 11 3 3 5
50 Escribe los siguientes números fraccionarios como fracciones decimales: a) 0,023
b) 0,371
c) 6,007
51 Escribe en forma decimal: a) 6 10 c) 3 100
b) 12 100 d) 32 1 000
52 Escribe como fracción decimal: a) 0,07
b) 3,98
c) 0,293
d) 5,7
53 Calcula la expresión decimal de las siguientes fracciones: a) 74 3
b) 143 6
c) 246 12
54 Transforma cada ejercicio en el producto de una suma de fracciones por otra fracción. a) 7 · 3 + 7 · 4 b) 5 ∶ 2 7 9 7
55 Escribe en qué orden se realizaría cada operación: a) 1 : 2
( 13
)
+ 1 b) 3 · 12 – 1 4 2 3 4
56 Escribe como fracción decimal:
8
a) 1,04
b) 0,19
c) 0,722
d) 9,1
57 Redondea los siguientes números decimales a las cifras que se indican: a) 1,375 a una cifra decimal
d) 1,2 a ninguna cifra decimal
b) 3,987 a dos cifras decimales
e) 7,619 a una cifra decimal
c) 0,9 a ninguna cifra decimal 58 Redondea en tu cuaderno los números siguientes a una, dos, tres, cuatro o cinco cifras decimales: a) 2,983729
c) 7,947256
e) 6,222983
b) 0,123333
d) 3,362851
f) 5,311334
59 Realiza las siguientes sumas y restas. Si es posible, simplifica los resultados: a) 1 + 7 6 6
c) 2 + 3 5 7
b) 7 – 1 11 11
d) 2 – 1 9 15
60 Realiza las siguientes restas de fracciones y, si es posible, simplifica los resultados: a) 18 – 4 21 21
b) 6 – 3 9 9
c) 8 – 1 7 7
61 Calcula las siguientes sumas y restas reduciendo primero a común denominador. Simplifica el resultado: a) 1 + 3 2 4
b) 5 – 1 3 6
c) 1 + 2 5 3
62 Resuelve las siguientes sumas aplicando la propiedad asociativa: a) 2 + 1 + 3 3 4 6
b) 5 + 1 + 3 6 2 4
c) 3 + 6 + 9 2 3
63 Efectúa las siguientes sumas y restas de fracciones: a) 5 – 3 + 7 2 4 6
b) 7 – 1 – 2 3 4 5
64 Efectúa los siguientes productos de fracciones y simplifica el resultado: a) 6 · 2 7 5
b) 4 · 5 7
c) 3 · 2 8 9
65 Transforma cada ejercicio en el producto de una suma de fracciones por otra fracción: a) 7 · 3 + 7 · 4 b) 1 · 9 + 1 · 11 7 9 3 3 5 66 Clasifica las siguientes fracciones en propias o impropias: a) 3 5
b) 7 4
67 Halla los números que faltan en la siguientes igualdades:
(
a) 3 + 1 4 8
)·
2 = 2 · 7 7
+
· 1 b) 2 · 8 5
( 16
+
)=
· 1 + 6
· 1 3 MATEMÁTICAS
9
MATEMÁTICAS
68 Efectúa las siguientes divisiones de fracciones y simplifica el resultado: a) 3 ∶ 6 b) 5 ∶ 2 c) 1 ∶ 3 d) 1 ∶ 1 e) 3 ∶ 2 4 4 7 11 4 5 69 Descompón en tu cuaderno los siguientes números decimales en sus distintas unidades decimales: a) 6,927
b) 0,006
c) 5,402
70 Calcula los siguientes productos de números decimales: a) 4 · 3,22
d) 5,27 · 0,027
b) 6 · 9,61
e) 318,3 · 5,025
c) 17,12 · 5
f) 0,019 · 1,35
71 Escribe los siguientes números fraccionarios en forma de números decimales: a)
13 1 000
b)
237 10
c) 8 100 d) 3 003 1 000
72 Ordena de menor a mayor los siguientes números decimales y añade ceros a la derecha si es necesario: a) 0,32; 0,321 y 0,3
b) 0,124; 0,1 y 0,12
73 Resuelve las siguientes sumas y restas de números decimales: a) 0,21 + 0,021
b) 0,21 – 0,021
74 Calcula los siguientes productos: a) 5,27 · 0,027 b) 318,3 · 5,025 c) 0,019 · 1,35 75 Calcula los siguientes productos de números decimales: a) 3,26 · 0,072 b) 168,3 · 3,025 c) 0,027 · 1,35 76 Efectúa las siguientes divisiones con decimales hasta que el resto sea 0: a) 7 ∶ 5 b) 1 ∶ 8 c) 5 ∶ 4 d) 15 ∶ 6 e) 2 ∶ 5 77 Realiza directamente las siguientes divisiones en tu cuaderno: a) 0,1 ∶ 100 b) 142 ∶ 1 000 c) 13,74 ∶ 10 d) 0,2 ∶ 10 e) 1,2 ∶ 100 78 Realiza las siguientes operaciones con números decimales aproximando las divisiones a décimas: a) 7,28 + 6,9 b) 13,89 – 7,14 c) 6,25 · 2,8 d) 5 ∶ 3 10
79 Resuelve estas operaciones con números decimales aproximando las divisiones a décimas: a) 3,45 + 5,2
d) 7 ∶ 4
b) 11,27 – 3,38
e) 8,28 ∶ 7
c) 3,55 · 1,9
f) 2,2 ∶ 1,52
80 Escribe en forma decimal: a) 15 b) 7 10 100
c) 372 1 000
d) 9 10
81 Realiza las siguientes operaciones con números decimales aproximando las divisiones a décimas: a) 5,32 + 4,1
c) 6,55 · 7,1
e) 6,17 ∶ 3
b) 9,29 – 2,38
d) 9 ∶ 5
f) 3,1 ∶ 1,17
82 Descompón los siguientes números decimales en sus distintas unidades decimales: a) 0,03
b) 1,207
c) 2,4
83 Calcula el % de las siguientes cantidades: a) 15 % de 123 b) 2,3 % de 1 600 c) 0,7 % de 47,76 d) 0,12 % de 6 000 84 Calcula el porcentaje que representa cada una de estas proporciones: a) 2 b) 27 c) 12 3 31 83 85 Un artículo tiene un precio de 27,5 €. Calcula cuánto costaría si… a) Su precio aumenta un 6 % b) Lo rebajan un 13 % 86 En una granja, 2 de cada 18 huevos salen defectuosos, ¿a qué porcentaje corresponde del total? 87 La bicicleta que quiero comprarme vale 150 € y en las rebajas se le aplica un 12 % de descuento, ¿cuánto dinero me ahorro?
MATEMÁTICAS
11
MATEMÁTICAS
88 He leído en el periódico que una determinada pregunta la han respondido afirmativamente 7 de cada 9 entrevistados, ¿qué porcentaje de entrevistados ha contestado afirmativamente? 89 Unas zapatillas tienen un precio de 35 euros. Calcula cuánto costarían si: a) Su precio aumenta un 3 %. b) Las rebajan un 15 %. 90 De los 30 alumnos de mi clase ayer no hicieron los deberes el 30 %, ¿cuántos alumnos no hicieron las tareas que encargó el profesor? 91 Calcula las dos terceras partes de 60. 92 A partir de las siguientes parejas de números, calcula qué tanto por ciento representa la primera cantidad respecto de la segunda: a) 22 y 55
b) 62 y 248
c) 124 y 400
d) 30 y 12
93 He gastado la mitad del dinero que tenía en comer y la quinta parte de lo que me quedaba en tomar un autobús. Ahora tengo 8 €. ¿Cuánto dinero tenía al principio? ¿Cuánto costó la comida? ¿Qué fracción del dinero inicial me queda?
Potencias y raíces 94 Indica cuál es la base, cuál el exponente y halla el valor numérico de las siguientes potencias: a) 83
b) 62
c) 25
d) 74
95 Expresa como producto y calcula las siguientes potencias: a) 52
b) 103
c) 25
96 Escribe los siguientes productos en forma de potencia: a) 5 · 5 · 5
c) 25 · 25 · 25
b) 3 · 3 · 3 · 3
d) 9 · 9
97 Calcula las siguientes potencias: a) (–5)3
b) (–1)7
c) –42
98 Expresa en forma de potencia los siguientes productos: a) (–5) · (–5) · (–5) · (–5)
b) (–25) · (–25) · (–25)
c) (–1 000) · (–1 000)
99 Calcula: a) 21
d) 29 1420
b) 70
e) (–12)1
c) –1 0001
f) –(–139)0
100 Escribe de forma reducida los siguientes números como producto por una potencia de base 10:
12
a) 5 000 000
c) 300
b) 8 900 000
d) 72 000
101 Expresa los siguientes números utilizando las potencias de base 10: a) 527 348 b) 8 602 c) 6 300 230 102 Desarrolla, usando las potencias de 10, los números siguientes: a) 589
c) 7 070 070
b) 1 2 2 0 0
d) 250 250
103 Escribe los siguientes productos como una sola potencia: a) 73 · 75 · 72 b) 27 · 20 · 29 · 24 c) 195 · 19 · 193 · 196 104 Resuelve: a) 10 · 103
b) 34 · 33
105 Realiza las operaciones siguientes y calcula el resultado: a) 23 · 2
c) (–3)5 · (–3)2
e) (–6) · (–6)2
b) 102 · 104
d) 70 · 74
106 Realiza las siguientes operaciones y calcula el resultado: a) 510 ∶ 57
b) (–3)7 ∶ (–3)5
c) (–5)9 ∶ (–5)8
107 Calcula las siguientes potencias: a) (102)2
b) [(–3)3]2
c) [(–7)0]18 d) (129)0 e) –[(–2)3]3
108 Escribe los siguientes productos de potencias como una sola potencia: a) 24 · 54
d) 23 · (–4)3
b) (–7)2 · 32
e) 56 · 36
c) 123 · 33 109 Escribe los siguientes cocientes de potencias como una sola potencia. Si la división no es exacta, déjalo en forma de fracción: a) 64 ∶ 34
b) (–8)2 ∶ 22
c) 163 ∶ 43
d) 33 ∶ 43
c) 4 52
d) 2 5
e) 156 ∶ 36
110 Desarrolla las siguientes potencias: 2
( )
2 a) 3 5
b) 4 5
3
( )
e) 5 22
111 Escribe como una sola potencia: a) (32 · 3) · (35 · 34) b) 11 · (117 · 112) · (116 · 115) c) (54 · 50) · (55 · 55) · (5 · 53) 112 Escribe los siguientes cocientes como una sola potencia: a) (75 : 73) : 72 b) (216 : 28) : (24 : 23) c) (57 : 52) : (57 : 53) d) (327 : 33) : 36 113 Escribe como una sola potencia: a) (53)4
b) [(33)2]3
c) [(75)2]3
d) (192)3
e) [(56)2]6
f) [(83)3]3
114 Expresa como una sola potencia: a) (73 · 75) : (72 · 73)
b) (27 : 2) · (24 : 22)
c) [118 · (112)3] : (114)2 MATEMÁTICAS
13
MATEMÁTICAS
115 Calcula las siguientes potencias: a) 34
d) 70
g) –42
b) (–4)3
e) 25
h) (–4)2
c) (–1)30
f) 55
i) –(–4)2
116 Realiza las siguientes operaciones con potencias: a) 25 · 23
c) 105 ∶ 104
e) (–5)2 · (–5)6
b) 33 ∶ 33
d) (32)2
f) (–7)200 ∶ (–7)198
117 Calcula las siguientes potencias: a) 25
d) 120
g) –53
b) (–3)3
e) –26
h) (–5)3
c) (–1)16
f) 73
i) –(–5)3
118 Realiza las siguientes operaciones escribiendo todos los pasos en tu cuaderno: a) 33 ∶ 32
d) (43)2
b) 34 ∶ 33
e) (–3)3 · (–3)4
c) 105 ∶ 105
f) (–5)86 ∶ (–5)84
119 Expresa como una sola potencia: a) 102 · 104
d) 23 · 2
b) 75 ∶ 72
e) 35 · 32
c) (23)2
f) 510 – 57
120 Realiza las siguientes operaciones: 2
(
)
a) 1 : 2 8 7
(
b) 4 · 1 5
2
)
c) 22 ·
2
( ) 2 4
121 Realiza las siguientes operaciones combinadas:
(
) b) (2 – 32 )
3
+ 1 3
(
)
3
3
+ 1 : 3
a) 2 – 3 2 c) 2 – 3 2
3
(
+ 1 : 2 d) 2 – 3 3 7 2
)
( 27
– 1 8
)
122 Calcula las raíces cuadradas exactas de los siguientes números: a) √9
b) √49
123 Expresa como potencia y halla la raíz cuadrada de: a) 49
b) 81
c) 100
d) 64
c) √225
d) √900
124 Halla las siguientes raíces cuadradas: a) √36 14
b) √196
125 Calcula las raíces enteras y sus restos: a) √7
b) √90
126 Calcula el valor aproximado de las raíces de los siguientes números: a) √921
b) √1 929
c) √2 017
d) √2 145
127 Calcula mentalmente las siguientes raíces cuadradas exactas sabiendo que están comprendidas entre 10 y 20: a) √121
b) √169
c) √361
128 Calcula de forma aproximada las siguientes raíces cuadradas indicando el resto de cada una de ellas: a) √9 923
b) √41 123
129 Calcula mentalmente las siguientes raíces cuadradas exactas sabiendo que están comprendidas entre 15 y 25: a) √256
b) √400
c) √484
130 Calcula de forma aproximada las siguientes raíces cuadradas indicando el resto de cada una de ellas: a) √6 597
b) √12 519
131 Halla las siguientes expresiones: a) (√25 – √16 ) · (√81 + √36 )
b) √144 ∶ (√64 + 22)
132 Halla las siguientes expresiones: a) √64 · (√100 – √49 ) : 23 b) (√121 – √36 ) : (√4 + √9 ) c) (√81 + 1)2 – 102 d) (√64 + √36 )2 – (92 + 19) : √4
Proporcionalidad y porcentajes 133 Calcula los siguientes porcentajes: a) 15 % de 340
b) 50 % de 124
134 Halla los porcentajes siguientes: a) 15 % de 1 000
b) 75 % de 800
c) 25 % de 840
135 Comprueba si las siguientes razones forman una proporción: a) 3 y 4 b) 3 y 6 7 3 2 5 136 Halla dos cantidades cuya razón sea 0,25. 137 Halla una razón que forme proporción con 2 / 7. 138 Halla el cuarto proporcional en las siguientes proporciones: a) 1 = 4 b) 7 = x c) 4 = 5 5 x 3 2 x 2 MATEMÁTICAS
15
MATEMÁTICAS
139 Indica si hay proporción entre: a) La gasolina que consume un coche A y otro B si el primero con 3 litros recorre 50 km y el segundo con 4,5 litros recorre 75 km.
3L 50 km
4,5 L
75 km
b) La velocidad con la que corren dos atletas A y B si el primero corre 100 m en 12 s y el segundo 75 m en 9 s.
140 En las siguientes tablas aparecen las magnitudes relacionadas en dos casos diferentes: a) la velocidad de un tren y el tiempo que tarda en llegar a su destino; b) el número de amigos que vienen a mi fiesta de cumpleaños y la cantidad de tarta a que tocamos cada uno si la repartimos toda. Determina si son o no directamente proporcionales. a)
b)
Velocidad (km/h)
100
120
150
Tiempo (h)
3
2,5
2
N.º de amigos
5
8
10
Cantidad de tarta (g)
100
62,5
50
141 Sabes que 2 m de tela cuestan 48,10 €. ¿Cuánto pagarás por 12 m de esta tela? 142 De entre las siguientes parejas de magnitudes, di cuáles son directamente proporcionales y cuáles son inversamente proporcionales: a) El número de golosinas que compro y el precio que debo pagar. b) El número de actividades parecidas que tengo que hacer y el tiempo que he de emplear en ello. c) El número de libros (del mismo peso cada uno) que llevo en la mochila y el peso de la mochila. d) El número de amigos que vienen a mi fiesta de cumpleaños y el tamaño del trozo de tarta a que tocamos cada uno. 16
143 Un pediatra ha anotado el peso de un bebé cada 6 meses durante sus dos primeros años de vida: Edad del bebé (meses)
6
12
18
24
Peso del bebé (kg)
7
14
21
x
a) Comprueba que existe una relación de proporcionalidad directa entre la edad del bebé y su peso. b) Calcula el peso del bebé a los 24 meses. 144 Calcula: a) 6 % sobre 89 b) 0,75 % sobre 1 198 c) 25 % sobre 200 145 Un pantalón que vale 20 € tiene un 15 % de rebaja. ¿Cuánto dinero me ahorro si lo compro?
20 €
146 En un libro que costaba 45 € me han hecho una rebaja de 6,75 €. ¿Qué tanto por ciento de rebaja me han aplicado? 147 Calcula los siguientes aumentos porcentuales: a) 2 % sobre 1 600
b) 0,35 % sobre 2 943
c) 50 % sobre 137
148 Un trabajador tiene un sueldo de 1 500 € y este año se lo han subido un 1,5 %. ¿Cuánto ganará después de la subida? 149 Un artículo tiene un precio de 35 €. Calcula cuánto costaría si… a) Su precio aumenta un 3 %. b) Lo rebajan un 15 %. 150 En unos determinados grandes almacenes anuncian una rebaja del 15 % en libros de texto. Si mis libros cuestan 150 € antes del descuento. ¿Cuál será su precio final? 151 De los 430 huéspedes de un hotel, 120 son británicos, 75 franceses, 50 portugueses y el resto españoles. Calcula el porcentaje que representa cada uno.
120
75
50
x ?
152 Un trabajador tiene un sueldo de 1 500 euros y este año se lo han subido un 1,5 %, ¿cuánto ganará después de la subida? 153 Un grupo de 20 vacas tardan 10 días en comerse un remolque de heno. ¿Cuánto tiempo duraría el heno si en lugar de 20 fueran 25 vacas? MATEMÁTICAS
17
MATEMÁTICAS
154 Calcula el valor inicial si… a) El valor final es 1 623 después de un aumento del 2,5 %. b) El valor final es 428,25 después de un aumento del 21 %. 155 Calcula el aumento porcentual correspondiente a un valor final de 8 372 y un valor inicial de 8 000. 156 Calcula el valor inicial si… a) El valor final es 2 900 después de un descuento del 2,5 %. b) El valor final es 615,25 después de un descuento del 75 %. 157 Calcula la disminución porcentual correspondiente a un valor inicial de 22 300 y un valor final de 22 150. 158 Con 6 € puedo comprar 12 rotuladores, ¿cuántos puedo comprar si solo llevo 5 €? 159 En clase hay 25 alumnos y 6 han sacado más de un 8, ¿qué porcentaje representan del total de la clase? 160 Un artículo tiene un precio de 351,75 €. Calcula cuánto costaría si… a) Su precio aumenta un 7 %. b) Lo rebajan un 1 %. 161 Tres amigos cogen un taxi. El primero se baja a los 2 km, el segundo a los 5 km y el tercero a los 6 km. Si el viaje les cuesta 20 €, ¿cuánto tiene que pagar cada uno? 2 km 5 km
6 km
162 Por tres entradas de cine nos han cobrado 16,50 €. ¿Cuánto nos cobrarán si en vez de 3 fuéramos 5 amigos? 163 Dos agricultores han tardado 3 horas en sembrar un campo. ¿Cuánto habrían tardado seis agricultores en sembrar el mismo campo? 164 Dos grifos tardan 30 minutos en llenar un depósito. ¿Cuánto tardarán cinco grifos en llenar el mismo depósito? 165 En la clase de Rosa hay 12 chicas, lo que representa el 60 % del total de la clase. Halla ese total de alumnos y el número de chicos. 166 En un partido de baloncesto, Luis ha lanzado 16 tiros libres, de los cuales ha encestado el 75 %. ¿Cuántos ha encestado? ¿Cuántos ha fallado?
18
Polinomios 167 Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para x = 2: a)
x
(2)
2
b) (x + 1)2 c) (3x – 1)2 168 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para el valor de la incógnita que se indica en cada caso: a) x 2 – 1
Para x = 3
b) x (x + 1) Para x = 1 2 c) 3 – 2x Para x = –1 169 Expresa en forma algebraica: a) La suma de los cuadrados de dos números. b) El cuadrado de la suma de dos números. c) El producto de un número por el cuadrado de otro número. 170 Aplica la propiedad distributiva: a) 3(x – y)
c) z (x 2 + y)
b) x (1 + 2y)
d) xy (1 + x + y)
171 Extrae factor común: a) 2x 2 – xy
c) 3x – xy + x 2
b) 3x + 6y
d) 2xy 2 + 4x 2y
172 Extrae o contrae, según proceda, las siguientes expresiones algebraicas: a) 3x (y + 2xy)
c) xy (x + y + z )
b) xy + 2x 2y – 3xy 2
d) x 2yz + xy 2z + xyz 2
173 Deduce las expresiones notables desarrollando las operaciones con expresiones algebraicas: a) (x + y) · (x + y) b) (x – y) · (x – y) c) (x + y) · (x – y) 174 Utiliza una expresión algebraica que refleje matemáticamente las siguientes relaciones. Calcula el valor numérico de las mismas cuando la primera cantidad es 3 y la segunda 2. a) Añadir una cantidad a otra. b) Restar al doble de una cantidad otra cantidad. c) Calcular el resultado de añadir a un número la suma de tres números consecutivos. d) Multiplicar un número por el doble de otro disminuido en una unidad. MATEMÁTICAS
19
MATEMÁTICAS
175 Indica en cada una de las expresiones siguientes si se trata de una igualdad numérica, una identidad algebraica o una ecuación: a) 7x – 2 = 5
c) x – 2 = 2 2
b) 7x – 2x = 5x
d) x 2 – 9 = (x – 3) (x + 3)
e) 4 · 3 ∶ 2 = 6
176 Completa las siguientes ecuaciones para que tengan por solución x = 2: a) 2(3 – x)
c) (3 – x)2
e) 2(x + 1)
b) (2 + x)2
d) (1 - x) (1 + x)
177 Indica si los valores que se proponen son o no soluciones de las ecuaciones correspondientes: a) x (x + 2) = 3 ↔ x = –3 b) 6 – 2 = 0 ↔ x = 3 x c) 3(x + 7) = 10 ↔ x = 0 d) 2x (x + 1) = 3 ↔ x = –1 e) 2x – 1 + 7 = 10 ↔ x = 5 3 178 Comprueba que las expresiones algebraicas siguientes son identidades. Utiliza para ello los valores x = 1, x = 2 y x = 3. a) (4 – x)2 = 16 – 8x + x 2 c) 2x (x + 1) = 2x 2 – 2x e) (x + 1) (x + 2) = x 2 + 3x + 2 b) (x – 4) (x + 4) = x 2 – 16
d) 3x (4 – x) = 12x – 3x 2
179 Expresa en lenguaje algebraico los enunciados siguientes: a) Un número cualquiera menos cinco. b) La mitad del cuadrado de un número. c) La mitad de un número al cuadrado. d) El triple de un número más cuatro. 180 Expresa en lenguaje algebraico los enunciados siguientes. Usa la letra a para representar el dato desconocido: a) La suma de dos números consecutivos. b) Un número más la mitad de su consecutivo. c) Un número menos su cuadrado. d) Un número menos el doble del anterior. 181 Escribe en lenguaje algebraico estos enunciados: a) Siete veces un número. b) Ese mismo número al cuadrado menos cinco. c) Ese mismo número menos cinco, y todo elevado al cubo. 182 Enuncia en lenguaje ordinario las siguientes expresiones algebraicas: a) x – x b) x 2 + x c) x 2 – 1 2 20
183 Halla el valor numérico de las siguientes expresiones para el valor de la incógnita que se indica en cada caso: a) 5 x, para x = 3 3
c) −2x + 1, para x = 0
b) 3x − 1, para x = −2
d) 2x − (x − 1), para x = 5
184 Expresa en forma algebraica los siguientes enunciados. Usa la n para representar el dato desconocido: a) El cuadrado de un número menos la mitad de ese número. b) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos. c) Un número menos la mitad de su anterior. d) La suma de tres números consecutivos. 185 Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes para x = 5: 2 a) x 5
b) √(x – 1)2 + (x – 2)2 c) x 3 – 3x 2 + x d) 2x – 10 186 Para cada una de las siguientes expresiones di si se trata de una igualdad, una identidad o una ecuación: a) 3 · 4 – 2 = 10 b) 2x + 3 = 5 c) 5x – 3x = 2x 187 Di si cada una de las expresiones siguientes es una igualdad, una identidad o una ecuación: a) 4x − 3 = 5x − (x + 3) b) 4x − 3 = x c) 5 · 3 − 12 = 7 − 2 · 2 188 Completa en tu cuaderno las siguientes igualdades numéricas: a) 3(4 + b)
c) 2 + 6 ∶
) = 9
d) 5 ·
(3 – 2) = 4
= 4
e) 3 · 5 – 7 =
+6=1
189 Completa en tu cuaderno las siguientes identidades algebraicas: a) (3 –
)2 = 9 – 6x + x 2
b) (1 − x) (1 + x) =
– x 2
c) 2(x + 1) = 2x + d) 2(3 – x) = 6 −
190 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican: a) x + y para x = 3 e y = –1 2 6x – 2y para x = –2, y = 1 y z = 3 b) 3z c) (x + y 2) z para x = –3, y = 4 y z = 4 191 Calcula el valor numérico de los siguientes monomios: a) 1 y 2 para y = 2 3 b) −4t 4 para t = 3
c) − 3 z 5 para z = 1 5 3 d) 1 b para b = 10 10 MATEMÁTICAS
21
MATEMÁTICAS
192 Realiza las siguientes operaciones, si es posible: a) x 5 + x 4 c) 2 x – 1 x 5 3 1 2 b) x + x d) 6x 5 + 9x 5 3 3 193 Efectúa los siguientes productos. Ten en cuenta que x1 = x: a) 2x 3 · (–7x 4) c) 3 x 4 · 7 x 2 7 3 b) 5x 5 · x
d) 6x + x 7
194 Efectúa las siguientes operaciones combinadas: a) 4x · (5x 5 – x 5) b) (4t + 6t) · (2t 2 – 5t 2) 195 Efectúa las siguientes operaciones con monomios: a) 7 x 3 + 2 x 3 c) 3a 5 · 2a 4 2 3 b) y 2 – 1 y 2 d) 2 x 3 · 2x 3 5 7 196 Expresa de forma algebraica las siguientes situaciones: a) Restar el triple de un número x menos otro número y. b) La mitad del cuadrado de un número. c) Elevar al cuadrado la suma de dos números. 197 Efectúa las siguientes operaciones con monomios: a) 2x 2 + 1 x 2 c) 3a 3 – 3 a 3 2 4 1 3 4 b) 7x · 4x d) x · 3x 2 4 198 Expresa algebraicamente las siguientes situaciones: a) Sumar el cuádruple de un número x más otro número y. b) La tercera parte del cubo de un número. c) La suma de los cuadrados de dos números x e y. 199 Calcula: a) (a + b)2 b) (x + 1) · (x – 1) c) (x 2 + x) · (x 2 – x) 200 Comprueba que las siguientes expresiones algebraicas son identidades, ya que cualquier valor de la incógnita las convierte en igualdades numéricas. Utiliza para ello los valores x = 1, x = 2 y x = 3 a) (4 – x)2 = 16 – 8x + x 2 b) (x – 4) (x + 4) = x 2 – 16 c) 2x (x + 1) = 2x 2 + 2x 22
201 Calcula: a) (a + b)3
b) (x + 1)3
c) (2x 2 + 3x)3
202 Realiza las siguientes operaciones teniendo en cuenta que todas son identidades notables: a) (2x + 7)2
b) (7 − x)2
c) (2 − 3x) · (2 + 3x)
d) (a + 2b)3
203 Desarrolla las siguientes operaciones en tu cuaderno sabiendo que son identidades notables: a) (3x + 5)2
b) (4 − 3x)2
c) (1 − 5x) · (1 + 5x)
204 Calcula las siguientes restas de polinomios: a) (2x 2 + 3x – 1) – (−x + 4)
b) (2x 2 –x + 7) – (2x 3 + x −3)
205 Dados los polinomios P (x) = 6x 2 − 3x + 7 y Q (x) = 2x − 3, calcula: a) El valor numérico de cada uno de ellos para x = 1. b) P (x) + Q (x) y P (x) − Q (x) c) P (x) · Q (x) 206 Dados los polinomios P (x) = 2x 2 + 3x − 5 y Q (x) = 3x − 2, calcula: a) El valor numérico de cada uno de ellos para x = 2. b) P (x) + Q (x) y P (x) − Q (x) c) P (x) · Q (x)
Ecuaciones de primer y segundo grado 207 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3m = 12 – m
c) x + 37 = 5(x − 3)
b) 8 = 2x + 3x + 3
d) 2x − 3(x − 2) = x
208 Resuelve las ecuaciones que se indican: a) x + 2 = 2(2x + 4)
b) 15(y − 4) = 2y + 5
c) 5x − (3x − 20) = −(x − 5) + 2x
209 Indica si son o no de primer grado las siguientes ecuaciones: a) 7x − 2 = 5
b) 7x − 2x 2 = 5
210 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) x – 2 = 7 b) 5(2x − 7) = 3x 3
c) 2 + x = 2 x 2
c) 3(x − 7) + 2(x + 3) = 25
211 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x − 1 = 4x + 5
b) 2x − 7 = 5x + 2
c) x – 2 + 2x – 3 = 2 2 5
212 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado y comprueba las soluciones: a) 3(x – 1) = 2(x + 1) b) 3(x + 1) = 2(x – 3)
c) 3(x + 1) = 2(x + 3) d) x – 5 = x + 6 3 4 MATEMÁTICAS
23
MATEMÁTICAS
213 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones: a) 5 = 6 + 2 b) 3 = 4 x x–1 x+1 214 Resuelve estas ecuaciones: a) 2(x + 3) – 5(2x – 1) = 1 + 10x 5
b) 2 + 3(x – 1) – x = 12x 5 5
c) x + 5 + 2x = 2x – 1 4 3 215 Explica si las siguientes ecuaciones son lineales o no: a) 2t + 3 = t – 1
b) 4 – m = 2
c) y + 1 = y 2 + 3
216 Resuelve las siguientes ecuaciones lineales: a) 6(x – 2) + 3 = 6 – 3(2 – x)
c) x + 1 + x + 1 – x = 2 2 5
b) x – 1 = 2x – 12
d) x + 2(x – 1) + 3(x – 2) = – 8
217 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2(x + 7) = x b) x − 2(x − 3x) = 27 2
d) 2x 2 − 5x = 0
c) 2(x + 4) + 3x = −34 − 3(5x + 6)
f) x 2 + 2x − 3 = 0
e) 2x 2 − 18 = 0
218 Resuelve la ecuación siguiente: 3x – 2 – 2x – 1 = x – 1 2 3 219 Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) 5(x − 2) = 3x + 8 es una ecuación que tiene como solución x = 8. b) 3x + 18 = 6x
es una ecuación que tiene como solución x = 6.
220 Halla la solución de las ecuaciones siguientes: a) x − 3 = 5
d) 6x − 3 = 2x + 9
b) 7x = 35 c) x = 5 8
e) 5(x + 1) – 3(x – 1) = 3x + 4 f) 3x – 2 + x = 7x 2 6 3
221 Obtén la solución de las ecuaciones siguientes: a) x – 1 = 3 3 b) x – 1 = –2 5 c) 3(x − 5) + 2(x + 1) = 3x – 1 d) 3x + 18 – x = 5x – 3 e) 2(2x + 1) – 6(x – 1) = 3x – 2 f) 2(3x + 11) + 3(7 + x) = 2(18 + x) 24
222 Obtén la solución de las ecuaciones siguientes: a) x – 3 + x – 2 = 2 2 3
b) x + x = 2(x – 4) 5
223 Razona cuáles de las siguientes igualdades son identidades y cuáles son ecuaciones: a) 6x − 2x = x + 3x
c) 2(x + 1) = 2x + 2
b) 3x − 3 = 2x
d) x 2 + x = 1
224 Indica si las siguientes ecuaciones son o no de segundo grado: a) x + 1 = 4 5
b) xy + y = 2
225 Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: a) 2x 2 + 18x = 0
b) 4x 2 – 16 = 0
c) –2x 2 + 50 = 0
226 Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) x 2 – x – 12 = 0 c) x 2 – 4x + 4 = 0 e) 2x 2 – 2x + 4 = 0 b) x 2 + x – 12 = 0 d) x 2 – 5x + 6 = 0 227 Escribe en lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) El producto de dos números consecutivos. b) El producto de un número y otro número tres unidades menor que él. c) El cuadrado de un número. d) La superficie de un rectángulo cuya altura es 7 unidades menor que su base. 228 Utilizando las expresiones del ejercicio anterior, plantea y resuelve estos problemas: a) El producto de dos números consecutivos es 56, calcula dichos números. b) El producto de un número y otro tres unidades menor que él es 28, calcula dicho número. c) Si a un número se le suma su cuadrado se obtiene como resultado 6, calcula dicho número. d) Un rectángulo tiene una superficie de 30 m2. Si la altura del rectángulo es siete unidades menor que la base, ¿cuáles son sus dimensiones? 229 De las siguientes ecuaciones, explica cuáles son lineales y cuáles de segundo grado:
(
a) x + 1 = 3x – 1 b) x (x + 2) = 2 c) 6 x – 1 7 2
) = 2x
230 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) 2x 2 – 72 = 0
b) 3x 2 – 12x = 0
c) x 2 + x – 6 = 0
d) x 2 – x – 6 = 0
e) x (x – 2) = 0
231 Plantea las ecuaciones de primer grado que se corresponden con los siguientes enunciados: a) De diez caramelos de dos sabores hay dos más de naranja que de fresa. ¿Cuántos caramelos hay de cada sabor? b) En un garaje hay ocupadas 16 plazas entre coches y motos. Se cuentan 58 ruedas. ¿Cuántos coches y motos hay? MATEMÁTICAS
25
MATEMÁTICAS
232 Tengo 12 billetes entre billetes de 20, 10 y 5 euros. Si tengo triple número de billetes de 5 que de 20, ¿cuántos billetes son de cada tipo sabiendo que en total tengo 110 euros?
233 Mi amigo Javi me dice que en el bolsillo del pantalón lleva, entre monedas de 10 cts. y de 20 cts., un total de 16 monedas. Si todas ellas suman 2 €, ¿cuántas monedas de cada tipo lleva Javi en el bolsillo?
234 De un depósito lleno de combustible saco 15 litros y queda entonces a dos terceras partes de su capacidad total, ¿cuál es la capacidad del depósito? 235 Un padre y un hijo se llevan 20 años, ¿a qué edad el padre tendrá el triple de la edad del hijo?
236 Halla tres números naturales consecutivos sabiendo que su suma es igual al cuádruple del menor de ellos. 237 La suma de las edades de tres personas es 85 años. Calcula la edad de cada una de dichas personas sabiendo que la segunda tiene el doble de edad que la primera y que la tercera tiene 15 años menos que la segunda. 238 La suma de un número más su anterior, más su siguiente da 18. ¿Qué número es? 239 David ha dado a Irene y a Diego 27 caramelos. Si Irene ha recibido el doble de caramelos que Diego, ¿cuántos caramelos tiene cada uno? 240 He comprado cuadernos grandes y pequeños. Los cuadernos pequeños cuestan 2 € y los grandes 4 €. En total me he gastado 22 €. Si he comprado dos cuadernos más pequeños que grandes, ¿cuántos cuadernos pequeños y grandes he comprado? 241 En un frutero hay tres piezas más de fresas que de ciruelas y doble número de cerezas que de fresas. Si en total hay 21 piezas, ¿cuántas unidades hay de cada una de las frutas? 26
242 Se empaquetan botes de 10 kg de café mezclando café de 8 €/kg y de 10 €/kg y la mezcla obtenida tiene un coste de 8,8 €/kg. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo de café contiene un bote? 243 Un grifo A abierto tarda 6 horas en llenar un depósito. Otro grifo B tarda 3 horas en llenar el mismo depósito. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar el depósito los dos grifos a la vez? 244 Dan la misma cantidad de leche 3 vacas pasiegas que 4 vacas tudancas. Dos vacas pasiegas y dos vacas tudancas juntas dan 70 litros de leche cada día. ¿Cuántos litros de leche dan diariamente cada vaca pasiega y cada vaca tudanca? 245 De una finca agrícola se reservan nueve veinteavas partes para cultivar trigo; tres octavas partes, cebada y las 56 hectáreas restantes, centeno. Se desea saber cuál es la superficie de la finca y qué superficies se reservan para cultivar trigo y cebada. 246 Los precios por kilogramo de cobre y zinc son 5,5 y 2,5 euros, respectivamente. Un fabricante elabora planchas de latón de 50 kilogramos fundiendo ambos metales. Si el precio de coste por kilogramos de latón es de 4,3 euros, ¿cuántos kilogramos de cada metal hay en una plancha? 247 Una empresa textil empaqueta camisetas en cajas grandes y pequeñas. Hay la misma cantidad de camisetas en 5 cajas pequeñas que en 3 grandes. Un comercio recibe un envío de 3 cajas pequeñas y 2 grandes con un total de 190 camisetas. ¿Cuántas camisetas hay en cada caja?
248 Para cada una de las ecuaciones siguientes, comprueba si la pareja de valores (2, −1) es o no una solución: a) 2x + y = 3
b) –x – 5y = 3
c) x + y = 7
249 Dada la ecuación 3x + 2y = 12 indica cuáles de los siguientes pares de valores son solución: a) (3, 3)
b) (4, 0)
c) (8, –4)
250 Plantea, indicando cuáles son las incógnitas, el sistema de ecuaciones correspondiente a los siguientes enunciados: a) ¿Qué edades tienen dos hermanos que se llevan 3 años sabiendo que suman 17 años? b) ¿Cuántas motos y cuántos coches hay en un garaje sabiendo que hay 20 plazas ocupadas y que se pueden contabilizar un total de 66 ruedas? c) En la tienda oficial de un club de fútbol compré 3 camisetas y 6 gorras por las que pagué 51 €. Al día siguiente compré 2 camisetas y devolví una gorra teniendo que pagar 14 €, ¿qué precio tiene cada artículo? 251 La edad de un padre es tres veces la de su hijo, y si se suman las edades de los dos, se obtiene 60. Halla la edad de cada uno. 252 En un partido de fútbol, María ha marcado el doble de goles que Pedro y entre los dos han conseguido marcar 12. Halla los goles marcados por cada uno. 253 Plantea la ecuación que permita resolver el siguiente problema: «¿Existe algún número que da lo mismo multiplicarlo por 2 y añadirle después 4, que multiplicarlo primero por 4 y después añadir 2 unidades?». MATEMÁTICAS
27
MATEMÁTICAS
Triángulos. Semejanza 254 Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Dos triángulos son iguales si tienen los tres ángulos iguales. b) Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual. c) Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales. d) Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales junto con sus ángulos adyacentes. 255 Realiza la siguiente actividad en tu cuaderno: a) Dibuja un triángulo rectángulo isósceles. b) Si su hipotenusa mide 6 cm, ¿cuánto miden los catetos? 256 Dibuja en tu cuaderno un triángulo rectángulo y traza en él las alturas. ¿Dónde está situado el ortocentro? Copia el triángulo y traza ahora las mediatrices. ¿Dónde está situado el circuncentro? 257 El aro de una canasta de baloncesto se encuentra a 2,5 m sobre el suelo. Si la línea para lanzar triples se encuentra a 6 m de la canasta, calcula qué distancia en línea recta hay desde la línea de tiro al aro.
dd
2,5 m 2,5 cm
66 m m
258 Calcula la altura de un triángulo equilátero de 5 cm de lado. 259 Un campo de fútbol tiene 110 m de largo por 75 m de ancho. ¿Cuál es la máxima longitud que puede recorrerse en línea recta dentro del campo?
75 m
28
110 m
260 Con ayuda de una regla y un transportador dibuja: a) Un triángulo obtusángulo e isósceles de ángulo obtuso de 135° midiendo los lados iguales 2 cm. b) Un triángulo rectángulo e isósceles midiendo los lados iguales 2 cm. c) Un triángulo acutángulo e isósceles midiendo los lados iguales 2 cm y el ángulo comprendido 75°. 261 Con ayuda de una regla y un compás dibuja en tu cuaderno: a) Un triángulo escaleno de lados 4, 3 y 2 cm. b) Un triángulo equilátero de lado 3 cm. 262 Construye en tu cuaderno: — a) Un triángulo de lados AB = 6 cm, — b) Un triángulo de lados AB = 4 cm, — c) Un triángulo de lados AB = 3 cm,
— — AC = 5 cm y BC = 3 cm. — AC = 3 cm y A = 120° A = 105° y B = 40°
263 En un cuadrilátero ABCD se conocen los ángulos A = 120°, B = 60° y C = 120°. ¿Cuánto mide el ángulo D ? ¿Qué tipo de cuadrilátero es? 264 Dibuja con escuadra y cartabón un rectángulo de base 3 cm y altura 2 cm. 265 Dibuja con escuadra y cartabón un rombo de diagonales 5 cm y 3 cm. 266 Construye en tu cuaderno un trapecio de 6 y 2 cm de bases y de lados 3 y 2,5 cm. 267 Construye un triángulo isósceles (que tiene dos ángulos iguales) tal que el lado desigual mida 3 cm y el ángulo opuesto mida 50°. 268 Construye un rectángulo sabiendo que su diagonal mide 3 cm y uno de sus lados mide 2 cm. 269 El triángulo isósceles de la figura adjunta tiene un perímetro de 9 cm y su base (el lado desigual) mide 2,5 cm. Determina su altura.
h
2,5 cm
270 Halla en tu cuaderno las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 5√5 cm sabiendo que su base es el doble que su altura. D
C
5√5 cm
A
2x
x
B
MATEMÁTICAS
29
MATEMÁTICAS
271 Calcula en tu cuaderno la altura de un triángulo equilátero de 3 cm de lado. A
h
C
P
B
a = 3 cm
272 Calcula la altura de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 6 cm y 8 cm, y el lado oblicuo, 5 cm. 273 Calcula la altura de un trapecio isósceles cuyas bases miden 20 cm y 10 cm, y el lado oblicuo, 13 cm. 274 Calcula en tu cuaderno la diagonal mayor de un rombo de lado 25 cm y cuya diagonal menor mide 14 cm. 275 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden n = 12,6 y m = 22,4 cm, respectivamente. Halla las medidas de la hipotenusa y de los catetos.
b
c
n = 12,6 cm
m = 22,4 cm a
276 En un triángulo rectángulo, un cateto mide c = 24 cm y su proyección sobre la hipotenusa n = 14,4 cm. Halla las medidas de los catetos.
b
c = 24 cm
n = 14,4 cm
m a
— — 277 Calcula en tu cuaderno las medidas OB y AB de la siguiente figura: B' B
1,8 cm 4 cm
4,5 cm
30
O
2 cm A
A'
— — 278 Calcula en tu cuaderno cuánto miden los segmentos OB y AB de la siguiente figura: A' 1,68 cm A 7,44 cm 4,73 cm O B
8,65 cm
B'
279 En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide a = 20 cm y un cateto b = 16 cm. Halla las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y halla también la medida del otro cateto.
b = 16 cm
c
n
m a = 20 cm
280 En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide a = 15 cm y una de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa n = 5,4 cm. Halla las medidas de los catetos.
b
c
n = 5,4 cm a = 15 cm
m
281 Halla la longitud del lado de un rombo sabiendo que sus diagonales miden 16 y 30 cm, respectivamente. D O
A
C
B
282 Calcula el lado del rombo de la figura cuyas diagonales miden D = 24 cm y d = 10 cm, respectivamente.
D
d MATEMÁTICAS
31
MATEMÁTICAS
283 En un triángulo rectángulo se conoce la medida de un cateto: b = 5,3 cm y de la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa m = 4,5 cm. Se pide:
b = 5,3 cm
c h m = 4,5 cm a
n
a) Utilizando el teorema de Pitágoras calcula la altura, h, sobre la hipotenusa. b) Utilizando el teorema del cateto calcula la hipotenusa, a. c) Utilizando el teorema de la altura, calcula la medida n, proyección del cateto c sobre la hipotenusa. 284 Las medidas del triángulo de la figura son: a = 5,5 m; b = 3,5 m y c = 3 m. Traza en tu cuaderno la altura relativa al lado a y calcula el área del triángulo y la longitud de dicha altura.
b
a
c
285 Calcula cuánto mide el lado y el área de un cuadrado de 24 cm de perímetro. 286 Halla el área de un rectángulo de 24 cm de perímetro sabiendo que la base es doble que la altura. 287 Halla la superficie de un rectángulo de 8 cm de base, sabiendo que su diagonal mide 10 cm.
D = 10 cm
b = 8 cm
288 Calcula el área del trapecio rectángulo de la figura: b = 5 cm
c = 5 cm
B = 8 cm
289 Dibuja en tu cuaderno un cuadrado de 1 cm de lado y traza una de sus diagonales. ¿Cuál es el área? ¿Cuánto mide la diagonal? Después construye otro cuadrado cuyo lado sea la diagonal obtenida en el cuadrado anterior. ¿Cuál es el área del nuevo cuadrado? 290 Halla el perímetro y el área de un pentágono regular de 4,25 cm de radio y de 2,50 cm de apotema. 32
291 Calcula el área del pentágono regular de 2 cm de lado y de 1,38 cm de apotema representado en la figura. Halla también el área del triángulo ADC. (Nota: la altura del triángulo isósceles central es la suma del radio y la apotema del pentágono). A
r
E
B
a
D
C
292 Calcula el área y la longitud de las tres alturas del triángulo de lados a = 6 cm, b = 10 cm y c = 14 cm, respectivamente. 293 Calcula el área de los siguientes cuadriláteros: a) Cuadrado de 3 dm de lado. b) Rectángulo de 2 m de altura y base triple que su altura. c) Rombo de 1 y 2 km de diagonales, respectivamente. d) Romboide de 5 cm de bases paralelas y de 6 cm de altura. e) Trapecio rectángulo de 4 y 7 cm de bases y de 13 cm de altura. f) Trapecio isósceles de 6 y 12 cm de bases y de 5 cm de lado inclinado (véase figura). b
a
h
x B
294 De un triángulo isósceles de 12 cm2 de área, se conoce la longitud del lado desigual a = 6 cm. Calcula la altura ha relativa al lado a y las longitudes de los lados iguales b.
b
ha
b
a
295 Calcula las bases de un trapecio de 4 cm de altura y de 30 cm2 de superficie sabiendo que una base es doble que otra. 296 Calcula el lado y el área de un heptágono regular de 8,07 cm de radio y de 7,27 cm de apotema. MATEMÁTICAS
33
MATEMÁTICAS
297 Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden n = 14,79 cm y m = 38,21 cm. Utilizando el teorema de la altura calcula la altura relativa a la hipotenusa. Después, y utilizando el teorema de Pitágoras, calcula la longitud de los catetos.
c
b h
14,79 cm n
38,21 cm m
298 Dos rectángulos son semejantes con razón de semejanza r = 5. Si el perímetro del menor es 7 cm, ¿cuál es el perímetro del mayor? Y si dos de los lados del rectángulo mayor miden 10 cm cada uno, ¿cuánto mide cada uno de los otros dos? 299 Una miniatura (maqueta) de un coche mide a = 12 cm de largo, b = 5,40 cm de ancho y c = 5 cm de alto. ¿Cuáles son, en metros, las medidas reales del coche si la escala es 1 : 30? 300 La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a esta en dos segmentos de medidas n = 4 cm y m = 16 cm. ¿Cuánto mide la altura?
h n = 4 cm
m = 16 cm
301 Tomando como referencia el triángulo ABC, halla las razones de los triángulos A'B'C' y A''B''C''. A'' A A' O C' B'
C B C'' B''
302 En la figura está representado un cubo de arista a = 1 cm. Halla las medidas de la diagonal de una de las — — caras BD y de la diagonal del cubo AD.
A
A
A
D
34
B
a = 1 cm
C
D B
a = 1 cm
C
D B
a = 1 cm
C
Cuerpos en el espacio 303 Clasifica los siguientes poliedros indicando si se trata de un poliedro regular o irregular, y si es cóncavo o convexo. a)
b)
c)
d)
304 Observa estas figuras y determina qué poliedro representan. a)
b)
c)
d)
305 Deduce y dibuja en tu cuaderno el desarrollo plano de un tetraedro.
306 El tejado de una vivienda, que está representado en la figura, tiene forma poliédrica. Cuenta el número de caras y aristas que tiene.
307 En el cubo representado en la figura, la recta r contiene a la arista EF. a) ¿Qué aristas cortan a r?
e) ¿Qué caras son paralelas a r?
b) ¿Qué aristas son paralelas a r?
f) ¿Qué caras cortan a r?
c) ¿Qué aristas se cruzan con r?
g) ¿Qué vértices pertenecen a r?
d) ¿Qué caras contienen a r?
h) ¿Qué vértices no pertenecen a r? H E
G F
D
A
r C
B MATEMÁTICAS
35
MATEMÁTICAS
308 En la figura aparece representada una pirámide de base cuadrada. La diagonal AC de la base mide 10 cm; la arista AH mide 13 cm. a) Halla la longitud del lado AB. b) Halla la distancia del punto H al plano que contiene a la base ABCD. c) Halla la distancia del punto H a la recta que pasa por A y B. H
D
C B
A
309 Un plano corta a una esfera de radio R = 5 cm formando un círculo de radio r = 4 cm. ¿A qué distancia se encuentra el centro del círculo formado del centro de la esfera? r d
R
310 Halla la altura, h, y la generatriz, g, de un cono inscrito en una esfera de radio R = 5 cm, sabiendo que el radio de la base del cono es r = 4 cm.
R
g
h R
d r
311 Halla la altura, h, de un cilindro inscrito en una esfera de radio R = 5 cm, sabiendo que el radio de la base del cilindro es r = 4 cm.
h
R
d r
36
312 Un envase en forma de prisma recto de base cuadrada contiene tres pelotas de tenis de radio r = 5 cm. Halla el lado, l, de la base y la altura, H, del prisma. Calcula también las diagonales, d, de la base y D, del prisma.
H
D
r d
l
l
313 Calcula la longitud del lado oblicuo, l, de la cara lateral de una pirámide de base cuadrada inscrita en un hexaedro de arista a = 5 cm.
l
b
a
a
a
314 Calcula la apotema de la pirámide del ejercicio anterior. 315 Calcula la longitud de la generatriz de un cono de altura h = 3 cm y radio de la base r = 1 cm.
g
h r
316 Calcula la apotema de la base, a, de una pirámide hexagonal y la apotema de la pirámide, h, sabiendo que el lado de la base es l = 1,5 cm y la altura de la pirámide es H = 3 cm.
H
h a
317 Calcula, expresando el resultado con dos decimales, el área y el volumen de los siguientes cuerpos regulares de arista a = 10 cm. a) Hexaedro. b) Octaedro. c) Dodecaedro. MATEMÁTICAS
37
MATEMÁTICAS
318 Calcula el área y el volumen de un prisma regular de base triangular de altura H = 4 cm, sabiendo que el lado de la base es I = 2 cm.
319 Halla el área y el volumen de una pirámide recta de base cuadrada siendo el lado de la base l = 2 cm y la altura de la pirámide H = 3 cm.
H l=2
l
320 Halla el área y el volumen de un cilindro inscrito en un cubo de arista a = 2 cm.
h
r
321 Halla el área y el volumen de un cono de medidas: radio de la base R = 12 cm; altura H = 1,6 cm.
G
H
G
R
322 Halla el área y el volumen de un cono de medidas: radio de la base R = 1 cm; generatriz G = 2,6 cm. 323 Halla el área y el volumen de un cono de medidas: altura H = 1,5 cm; generatriz G = 1,7 cm. 324 Halla la superficie y el volumen de una esfera de radio R = 3 cm.
r
38
325 Halla la superficie y el volumen de una semiesfera de radio R = 3 cm.
r
326 Halla el volumen de helado que hay en un cucurucho cuyas medidas aparecen en la figura. Suponemos el cucurucho lleno de helado y la bola semiesférica. 2R = 3 cm
R
H
H = 3 cm
327 Un medicamento se dispensa en cápsulas en forma de cilindro rematado en sus extremos por dos semiesferas similares a la representada en la figura. Calcula el volumen y la superficie de una de esas cápsulas sabiendo que la longitud de la parte cilíndrica mide 1,5 cm y el radio 0,3 cm.
1,5 cm
2R = 0,3 cm
328 Halla el volumen de la cabaña de la figura, sabiendo que la base tiene 2 m de altura y 3 m de radio, y el techo, 3,5 m de radio y 2 m de altura.
329 Halla la superficie de una esfera inscrita en una caja en forma de cubo de 8 cm3 de volumen.
r
MATEMÁTICAS
39
MATEMÁTICAS
330 El área lateral de la pirámide P es 720 cm2 y su volumen 384 cm3. Se secciona mediante un plano paralelo a la base a la mitad de su altura. Halla el área lateral y el volumen de la pirámide P' y del tronco de pirámide T. (P y P' son semejantes). P'
P
T
331 Halla el área y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de lados de las bases a = 20 cm y a' = 10 cm y distancia entre las bases H = 12 cm. a' / 2 a' H
h
H
h x a / 2
a
332 Se secciona el cono de la izquierda, C, mediante un plano paralelo a la base y se obtiene el tronco de cono de la derecha, T. Si los volúmenes son VC = 216 cm3 y VT = 189 cm3 y la altura del cono es HC = 6 cm, halla las bases del tronco de cono y su altura.
T
C
333 Halla el área y el volumen de una tulipa en forma de tronco de cono de radios 11 y 20 cm y altura 12 cm. r'
H
G r
334 Calcula el área total de un prisma de base rectangular de aristas a = 1 cm; b = 3 cm y c = 5 cm.
c
40
b
a
335 Halla en cm3 el volumen de una lata de refresco en forma cilíndrica de 10 cm de altura y 6,5 cm de diámetro.
10 cm
6,5 cm
336 Halla en cm3 el volumen de un envase de yogurt de forma cilíndrica de 7 cm de altura y 5 cm de diámetro.
7 cm
5 cm
337 Un reloj de arena está formado por dos depósitos iguales en forma cónica. El radio de la base mide R = 1,13 cm y en cada depósito caben 8,02 cm3. Halla la altura del reloj de arena. A. r
A
338 Halla en m2 la superficie de una funda de tela para transportar un balón de baloncesto de 20 cm de radio. 339 Un desodorante en roll-on tiene forma de cilindro en el que mide lo mismo la altura que el diámetro de la base: 4 cm. Está rematado en la parte superior por una bolita esférica del mismo diámetro que la base del cilindro. ¿Qué volumen de líquido cabe en el interior del desodorante?
4 cm
4 cm MATEMÁTICAS
41
MATEMÁTICAS
340 Halla el perímetro y el área del recinto sombreado en la figura.
1 cm
1 cm
341 Halla la altura, h, de un prisma de base cuadrada inscrito en una esfera de radio R = 5 cm, sabiendo que el lado de la base es l = 2 cm.
2R
d
h
l
l
342 Calcula el área lateral y total de las pirámides siguientes: a)
b) l h b
Pirámide hexagonal regular, lado de la base b = 3 cm, altura de una de las caras laterales h = 6 cm.
Tetraedro (4 triángulos equiláteros) de arista l = 6 cm y altura de una de sus caras h = 5,2 cm.
343 Obtén el área lateral y total de los siguientes cuerpos redondos: a)
R
b)
c) g
h
R R
R = 2 cm, h = 7 cm
R = 2 cm, g = 7,3 cm
R = 2 cm
344 ¿Cuántas vueltas debe dar el rulo de una apisonadora, de radio R = 0,4 m y longitud l = 3 m, para pisar un trozo de suelo de 3 × 150 m? l R
345 Obtén el número de litros de agua necesarios para llenar hasta el borde una piscina de dimensiones 15 m de largo por 6 m de ancho por 2 m de profundidad. 42
Rectas e hipérbolas 346 Representa en un sistema de ejes cartesianos los siguientes puntos: A (6, 7)
F (−1, 1)
K (2, −5)
B (3, 6)
G (−7, −2)
L (6, −4)
C (5, 1)
H (−3, −2)
M (4, −2)
D (−7, 7)
I (−1, −7)
N (2, 0)
E (−5, 3)
J (0, −5)
347 Indica el cuadrante o el eje en el que se sitúan los siguientes puntos sin necesidad de representarlos. a) A (2, 3)
e) B (–1, 4)
b) C (3, –2)
f) D (0, 5)
c) E (–4, 1)
g) P (1, –4)
d) G (–4, 0)
h) H (–2, –3)
348 Indica en qué cuadrante o cuadrantes de un sistema de coordenadas se cumple que: a) Las dos coordenadas tienen el mismo signo. b) La ordenada es negativa. c) La abscisa es cero. d) La abscisa es positiva. e) Las dos coordenadas tienen distinto signo. f) La abscisa es mayor que la ordenada. 349 Halla los valores que alcanza la función f (x) = 1 − 2x para los valores de la variable independiente x: −2, −1, 0, 1 y 2. Expresa la función en forma de tabla y gráficamente sabiendo que la gráfica es una línea recta. Indica razonadamente si se trata de una función creciente o decreciente. 350 Se toma la temperatura a un paciente cada hora entre las 8 h y las 12 h de la mañana y se anotan los datos en la gráfica adjunta. Construye la tabla de valores. ¿Se trata de una gráfica de líneas o de puntos?
Temperatura (ºC)
39 38,5 38 37,5 37 8
9
10
11
12
Hora del día
351 En la tabla siguiente se recoge el peso en kilogramos (x) y la estatura en centímetros (y) de 15 individuos. Representa en tu cuaderno gráficamente los datos uniendo los puntos que obtengas mediante líneas rectas. ¿Entre qué estaturas decrece el peso? Señala los máximos y mínimos de la gráfica. X
170
171
172
173
175
176
178
179
180
181
182
185
187
188
189
y
60
63
65
69
70
67
69
71
75
77
78
80
81
80
79
MATEMÁTICAS
43
MATEMÁTICAS
352 En un mercado, el kilo de naranjas está a 1,75 €:
kg
a) Expresa la relación entre ambas magnitudes, kilos y euros, mediante una función en forma algebraica especificando cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.
1, 7
5€
b) Forma una tabla de valores dando a la variable independiente los valores 1, 2, 3 y 4 kilos. Calcula previamente los valores correspondientes de la función. c) Representa la función en un sistema de ejes, sabiendo que se trata de una función lineal.
Posición
353 Se han anotado en una gráfica los dorsales de los ocho participantes en una carrera de 100 metros lisos y la posición en la que han terminado la carrera. Construye la tabla de valores. ¿Se trata de una gráfica de líneas o de puntos?
8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Dorsales
354 Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son funciones y cuáles no lo son: b) y = √x
a) y = x
c) y = l x |
355 Una compañía de telefonía móvil cobra a sus abonados por cada llamada telefónica: 15 céntimos por establecimiento de llamada más 5 céntimos por minuto de conversación. a) Construye una tabla de valores que recoja los importes de llamadas de 2, 3 y 5 minutos de duración. b) Sabiendo que se trata de una función afín, representa su gráfica. 356 De las gráficas representadas, indica cuáles son funciones y cuáles no, y explica por qué: y
A
y
B
y
C
x
x
x
357 Clasifica las siguientes funciones en crecientes o decrecientes diciendo por qué lo son. A
y
B
x
44
y
C
x
y
x
358 Clasifica las siguientes funciones en continuas o discontinuas. En el caso de que sea discontinua indica dónde lo es: 5
A
−5
5
B
0
5
−5
0
−5
5
C
5
−5
0
−5
5
−5
359 Clasifica las siguientes funciones en afín o lineal y en creciente o decreciente: y y y y A C D B x
x
x
x
360 A partir de la gráfica de la función representada en la figura realiza un estudio que incluya: a) Dominio.
d) Puntos de corte con el eje y.
b) Recorrido.
e) Crecimiento.
c) Puntos de corte con el eje x.
f) Decrecimiento. 2 1
y x
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 −2
361 Halla la expresión de la función lineal que pasa por el punto de coordenadas A(3, 2). Representa la gráfica. 362 Una recta pasa por el punto de coordenadas P (3, −2) y su pendiente es m = 2. Halla su ecuación en forma explícita. 363 Expresa en forma de ecuación de la recta que pasa por dos puntos la recta de ecuación y = −3x + 4. 364 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos de coordenadas P1(3, 5) y P2(5, −1). 365 Estudia el dominio, recorrido y crecimiento de la función: 5 4
y
3 2 1 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 −1
2
3
4
x
5
−2 −3 −4
−5
MATEMÁTICAS
45
MATEMÁTICAS
366 Estudia la continuidad, el punto de corte con el eje y, y los máximos y mínimos de la función. 5 4
y
3 2 1 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 −1
2
3
4
x
5
−2 −3 −4
−5
367 Representa en tu cuaderno la recta que pasa por los puntos de coordenadas (−8, −1) y (4, 3) y halla la ecuación general.
Estadística y probabilidad 368 En una panadería se ha anotado el número de barras de pan que han comprado los 25 primeros clientes:
1, 1, 1, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 6, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 1 a) Construye una tabla de distribución de frecuencias. b) Indica cuál es el quinto valor que toma la variable estadística. c) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del segundo valor de la variable estadística?
369 Clasifica como cualitativo o cuantitativo los siguientes caracteres estadísticos del colectivo de los alumnos de una clase, especificando si la variable estadística correspondiente adopta valores o modalidades: a) Peso en kilogramos. b) Color del pelo. c) Lugar de nacimiento. d) Nota de un examen. 370 Se ha ofrecido a los alumnos de clase la posibilidad de participar en alguna actividad deportiva y la elección se ha anotado en la siguiente tabla: Actividad (x)
Fútbol
Baloncesto
Natación
Tenis
Total
Participantes (n)
18
16
6
10
50
Construye el diagrama de barras correspondiente. 371 De los siguientes experimentos determina si se trata de un experimento aleatorio o no: a) Lanzar una moneda. b) Conocer el importe de la compra de varios artículos de precio conocido. c) Tiempo que tardará en caer un objeto que se deja caer desde cierta altura. d) Extraer una bola de una urna que contiene varias de distinto color. e) Saber el resultado de la suma de dos números conocidos. 372 En el experimento aleatorio de lanzar un dado y anotar el resultado se pide calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:
46
a) Obtener un 5.
c) Obtener un 7.
b) Obtener un número mayor que 4.
d) Obtener un número mayor o igual que 2.
373 En el experimento aleatorio de lanzar una moneda bien equilibrada se pide obtener el espacio muestral y se considera el suceso «obtener cara». ¿Cuál es la probabilidad de este suceso? 374 En una bolsa de tela hay nueve bolas numeradas con los números del 1 al 9. Se extrae una bola y se anota el número. Se pide: a) Escribe el espacio muestral. b) Escribe el suceso A = obtener un número impar y calcula su probabilidad. c) Escribe el suceso B = obtener un múltiplo de tres y halla su probabilidad. d) Escribe el suceso C = obtener un número comprendido entre tres y seis, ambos incluidos, y halla su probabilidad. 375 En el experimento aleatorio de lanzar dos monedas el espacio muestral que cumple los requisitos de la ley de Laplace es: E = {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)}. Construye los sucesos siguientes y calcula sus probabilidades: a) Suceso A: obtener dos caras. b) Suceso B: obtener una cara. c) Suceso C: obtener al menos una cara. 376 Construye el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar tres monedas y anotar el número de caras. b) Lanzar dos dados y anotar la diferencia en valor absoluto de sus puntuaciones. c) Saber el signo que tendrá en la quiniela un partido de fútbol. d) Puntuación que obtendrá un equipo de fútbol en un partido de liga. 377 En el experimento aleatorio de lanzar un dado y anotar la puntuación obtenida, escribe los siguientes sucesos y todos sus elementos: a) El espacio muestral.
d) Obtener un número compuesto (que no sea número primo).
b) Los sucesos elementales.
e) Obtener un número menor que tres.
c) El suceso obtener un número par.
f) Obtener un número mayor que seis.
378 En una urna hay cuatro bolas, una blanca (B), una negra (N), una roja (R) y una verde (V). Se extrae una bola al azar y se anota su color. Se pide expresar el espacio muestral (E) y los sucesos S1: «la bola es negra»; S2: «la bola es roja»; S3: «la bola es verde»; S4: «la bola no es blanca». Hallar también las probabilidades de E, S1, S2, S3 y S4. 379 Durante el mes de febrero en un aeropuerto se ha anotado el número de vuelos diarios que han llegado con un retraso de más de media hora: 9
7
11
8
9
10
8
9
7
7
9
9
11
9
8
9
8
11
10
10
11
7
9
7
10
8
9
7
Construye la tabla de distribución de frecuencias y represéntala mediante un diagrama de barras. MATEMÁTICAS
47
MATEMÁTICAS
380 Se ha anotado el peso en kilogramos de un grupo de 16 alumnos: 49 - 53 - 56 - 57 - 60 - 61 - 62 - 64 - 66 - 68 - 71 - 73 - 74 - 76 - 79 - 81 Agrupa los datos en cuatro intervalos entre 45 y 85 kilogramos y realiza la tabla de frecuencias y el histograma correspondiente. 381 En el siguiente diagrama de barras aparece representada la distribución de los alumnos con respecto a las actividades extraescolares que realizan. Determina la tabla de frecuencias estadística correspondiente.
Frecuencia absoluta
80
60
40
20
0
Deporte
Dibujo
Música
Teatro
382 Determina el valor de n4 sabiendo que la media representada en la siguiente tabla de frecuencias es x = 5: xi
ni
2
5
4
4
6
7
8
383 Se ha hecho un recuento del número de sobresalientes que han obtenido los alumnos de un grupo de clase en una evaluación. xi
0
1
2
3
4
ni
8
5
4
2
1
Haz una tabla de frecuencias. Representa la distribución mediante un diagrama de barras y halla la media, la mediana y la moda. 384 Determina el valor de n3 sabiendo que la media representada en la siguiente tabla de frecuencia es x = 3,1: xi
ni
1
7
2
4
3 7
5
385 Se ha hecho un recuento del número de suspensos que han obtenido los alumnos de un grupo de clase en la tercera evaluación. xi
0
1
2
3
ni
12
5
2
1
Haz una tabla de frecuencias. Halla la media, la mediana, la moda, el recorrido y la desviación media. 48
386 Queremos hacer un estudio sobre las preferencias musicales de los jóvenes de nuestro país con edades entre los 13 y 17 años, para lo cual se estudian 600 alumnos de estas edades que entran y salen de su centro escolar: a) ¿Cuál es la población objeto de estudio? b) ¿Cuál es la muestra? ¿Qué tamaño tiene? c) ¿De qué tipo es la variable estadística que estudiamos? d) ¿Obtendremos con este experimento una información objetiva sobre las preferencias musicales de los jóvenes? 387 En un determinado diario leemos que en una encuesta realizada a 100 personas sobre el tipo de programas de televisión que prefieren, los resultados han sido los que se muestran en el gráfico de barras inferior:
N.o de personas
50 40 30 20 10 0
Culturales
Informativos
Variedades
Películas
a) Elabora la tabla de frecuencias correspondiente a esta encuesta. b) Representa esta misma información en un diagrama de sectores. 388 Considera el siguiente diagrama de sectores y construye el diagrama de barras correspondiente, teniendo en cuenta que se habían recogido 200 datos.
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
389 Indica si los resultados obtenidos en los siguientes experimentos serán fiables o no y explica por qué: a) Preguntamos a un grupo de adolescentes su opinión sobre el último videojuego que ha salido. b) Hacemos la misma pregunta en la puerta de un supermercado a las diez de la mañana. c) Para saber las horas que los estudiantes dedican al estudio pregunto a mis compañeros de clase. d) Para conocer la opinión de los consumidores sobre una determinada marca de ropa de montaña pregunto en las calles del centro de varias grandes ciudades. 390 Se ha preguntado a un grupo de 20 niños sobre su sabor preferido de helados. Los resultados han sido los siguientes: Sabor
Fresa
Chocolate
Vainilla
Nata
Total
Frecuencia absoluta
5
10
4
1
20
Representa las frecuencias absolutas en un diagrama de barras. MATEMÁTICAS
49
MATEMÁTICAS
24 jugadores
36 jugadores
44 jugadores
32 jugadores
391 En la configuración de un club de baloncesto aparece la distribución de sus jugadores por categorías en forma de histograma. Construye la tabla de frecuencias correspondiente.
Benjamín
Alevín
Infantil
Cadete
edades 9
11
13 categorías
15
17
392 En las elecciones a delegado de clase, los nombres escritos en las papeletas han sido:
Luis, Carmen, María, Luis, Jacinto, Luis, Carmen, Luis, Luis, Jacinto, María, Luis, Jacinto, Luis, Jacinto, Carmen, María, Luis, Carmen y Jacinto
Construye con estos resultados una tabla de frecuencias. 393 En la quiniela de la semana pasada los resultados han sido: 1, X, 1, 1, 2, X, 2, 1, X, X, 1, 2, X, X a) Haz un recuento de los datos (los tres tipos de resultado) y construye con ellos la tabla de frecuencias. b) Construye el diagrama de barras y de sectores correspondientes a estos datos. 394 El profesor de Educación Física nos ha preguntado cuál es nuestro deporte favorito. Estas han sido las respuestas:
B, F, F, V, A, V, F, V, V, A, B, F, V, V, A, F, B, V, B, F, B, A B = baloncesto
F = fútbol
A = atletismo
V = voleibol
Haz un recuento de los datos y construye la tabla de frecuencias correspondiente. Dibuja los diagramas de barras y de sectores. 395 En un ejercicio práctico de estadística la profesora nos ha propuesto estudiar la distribución de estaturas de los estudiantes que cursan el mismo nivel académico en nuestro centro. Dado que la variable puede tener una gran cantidad de valores distintos, hemos decidido agrupar a los alumnos en intervalos (o clases) de 5 cm de estatura, obteniendo los siguientes resultados sobre un total de 75 alumnos: Altura (x)
(155-160)
(160-165)
(165-170)
(170-175)
(175-180)
(180-185)
(185-190)
7
12
17
22
13
3
1
Marca de clase Alumnos (n) n
a
Observa que, si un dato se encuentra entre dos intervalos, consideramos que pertenece a la clase inferior. Completa en tu cuaderno la tabla con la frecuencia relativa h de cada uno de los intervalos de alturas. 50
396 Se extrae una bolita de una bolsa que contiene 10 bolitas numeradas de 1 al 10. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) A = «Se extrae el 1».
d) D = «Se extrae un número mayor que 6».
b) B = «Se extrae un número menor que 6».
e) E = «Se extrae un múltiplo de 3».
c) C = «Se extrae un número impar».
f) F = «Se extrae un múltiplo de 5».
397 En el experimento aleatorio de lanzar dos veces una moneda, halla el espacio muestral e indica si está formado o no por elementos equiprobables en los siguientes casos: a) Después de haber lanzado las monedas se anota la secuencia de resultados. b) Después de haber lanzado las monedas se anota el número total de caras. 398 Se extrae una carta de una baraja española formada por 40 cartas. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) B = «La carta extraída es un as». b) C = «La carta extraída es una copa». c) D = «La carta extraída es una figura». d) F = «La carta extraída es el dos de picas».
399 Se considera el experimento de extraer dos bolas de una urna que contiene dos bolas blancas y una negra y anotar el número de bolas blancas extraídas. Escribe el espacio muestral: a) Si las bolas se extraen una a una sin devolución. b) Si las bolas se extraen una a una con devolución. 400 En el experimento aleatorio de lanzar un dado y anotar la puntuación se consideran los sucesos A = «obtener un número par»; B = «obtener un número primo»; C = «obtener un número impar»; D = «obtener un uno». Contesta a las siguientes preguntas razonando la respuesta: a) ¿Cuáles son elementales? b) ¿B y C son compatibles o incompatibles? c) ¿C y D son compatibles o incompatibles? d) ¿Son contrarios A y C ? ¿Y compatibles o incompatibles? e) ¿Qué elementos tiene el suceso contrario de B ? 401 Se lanza una moneda bien equilibrada y se anota el resultado «cara», C, o «cruz», X. Se pide: a) Construye el espacio muestral, E. b) Indica razonadamente si el espacio muestral está formado o no por sucesos elementales equiprobables. c) Calcula P (C ). d) Calcula P (X ). e) Calcula P (E ). f) Calcula la probabilidad de que no salga ni cara ni cruz. MATEMÁTICAS
51
Física y Química Las magnitudes y su medida. El trabajo científico 1 En el laboratorio se ha medido la temperatura (T) de un sistema material en diferentes tiempos (t). Los resultados anotados son los siguientes: T (ºC)
10
12
14
16
18
20
26
t (min)
0
1
2
3
4
5
8
a) ¿Cuál será la temperatura del sistema para un tiempo de 10 minutos? b) ¿Cuándo se alcanzará una temperatura de 50 °C? 2 Indica las magnitudes que se podrían usar para describir estas ceras de colores. ¿Qué unidad del Sistema Internacional utilizarías para medir cada magnitud?
3 Detalla en tu cuaderno qué unidades de longitud emplearías para expresar estas medidas. a) Distancia entre Madrid y Sevilla.
c) Tamaño de una bacteria.
b) Altura de un edificio.
d) Longitud de un cuaderno.
4 ¿A qué magnitud se refieren estas cantidades? a) 50 m2
c) 20 g/cm3
e) 10 kg
b) 8 L
d) 30 s
f) 4 cm3
5 Clasifica las siguientes magnitudes en básicas o fundamentales y derivadas. a) Tiempo.
b) Volumen.
c) Masa.
d) Temperatura. e) Aceleración.
f) Densidad.
g) Intensidad de luz.
h) Longitud.
i) Superficie.
j) Cantidad de sustancia.
6 Nombra los múltiplos y submúltiplos de las siguientes unidades del SI: a) 15 MW
b) 24 kJ
c) 57 ms
d) 3μA
7 La unidad de tiempo en el SI es el segundo (s) y dos de sus múltiplos son el minuto (min) y la hora (h). ¿Cuál es la equivalencia entre el segundo y estos dos múltiplos? 8 Ordena de mayor a menor: 3 m, 8 mm, 100 mm y 0,5 km. 9 Calcula el volumen en cm3 de la caja que aparece a la derecha. Sabiendo que un litro equivale a un dm3, ¿cuál será la capacidad en litros de la caja?
52
10 ¿Cuál es el volumen de aire que se puede alojar en una habitación cuyas dimensiones son de 4 × 2 × 3 m? 11 Calcula la superficie de una puerta que tiene 2 m de altura por 70 cm de ancho y la de un tablero de ajedrez de 50 cm de lado. Expresa ambas medidas en la unidad básica de superficie del SI. 12 Un embalse tiene una capacidad de 850 dam3. Si se encuentra al 60 % de su capacidad, ¿cuántos litros contiene? 13 Sabiendo que el vaso de la ilustración mide en cL, calcula en m3 el volumen de la piedra.
14 Observa estos tres instrumentos de medida. ¿Qué magnitud mide cada uno? ¿Qué unidades de medida utilizan? A
B
C
15 Escribe en tu cuaderno la magnitud que mide cada uno de estos aparatos: a) Cronómetro b) Pipeta graduada c) Balanza d) Cinta métrica 16 Describe qué harías para medir: a) La masa de un trozo de madera b) El volumen de un líquido c) La longitud de un salto 17 Escribe la utilidad de estos instrumentos de laboratorio: a) Tubos de ensayo b) Matraz c) Embudo d) Gradilla 18 Nombra tres aparatos que se utilizan en el laboratorio para medir el volumen de un líquido. 19 ¿Qué medidas indican estos dos aparatos? 5 mL
4 mL Pipeta
90 mL
80 mL Probeta
20 Indica el tipo de riesgo para la salud o el medioambiente que representan las siguientes etiquetas de advertencia:
FÍSICA Y QUÍMICA
53
FÍSICA Y QUÍMICA
21 Para calcular la masa de una moneda se agrupan varias de ellas en montones y se pesan. Los resultados obtenidos se recogen en la tabla siguiente: N.º de monedas
5
10
15
20
25
Masa (gramos)
47
96
145
193
240
a) Representa gráficamente la masa frente al número de monedas y traza la recta que mejor represente los datos. b) ¿Cuál es la masa de una moneda? 22 Sabiendo que entre las unidades de capacidad y de volumen existe la relación: 1 L = 1 dm3 a) ¿Cuántos mL son 50 cm3? b) ¿Cuántos m3 son 100 L? c) ¿Cuántos L son 150 cm3? 23 Escribe utilizando la notación científica las siguientes medidas: a) 65 300 kg
b) 4 650 000 m
c) 0,000274 s
d) 0,0000000623 m2
24 ¿Cuántas cifras significativas tienen las siguientes cantidades? a) 7,5 b) 5,60 c) 45,080 d) 0,75 e) 0,00560 f) 0,011 25 Redondea correctamente el resultado de las siguientes operaciones: a) 453,37 + 36,563 b) 48,743 – 4,9 c) 75,36 · 15,20 26 Escribe el resultado, con el número de decimales correcto, de las operaciones siguientes: a) 35,803 + 17,9 b) 420,184 − 762,07
c) 37,25 · 9,70 d) 97,24 59,638
27 Redondea correctamente el resultado de las siguientes operaciones: a) 11,60 · 3,05 b) 2,7183 · 3,14 8,27 8,639 28 Expresa en unidades básicas del SI y en notación científica los siguientes múltiplos y submúltiplos: a) 5,3 μA
b) 3,9 ms
c) 5 km
d) 6,5 Mg
La materia y sus propiedades 29 Indica en tu cuaderno qué términos son materia: a) Aire.
b) Amor.
c) Angustia.
d) Agua.
30 Indica qué propiedades diferencian a los siguientes materiales: hierro, alcohol y dióxido de carbono. 31 ¿Cómo se llama el proceso por el que un líquido se convierte en gas? ¿Y en sólido? 32 Contesta en qué estado de agregación se halla la materia en cada caso: a) En un recipiente abierto, se difunde rápidamente al exterior. b) Al pasar de un recipiente a otro, cambia de forma. c) Aunque se le aplique presión, su volumen no disminuye. 33 Indica el estado de agregación a temperatura ambiente de los siguientes materiales: acero, agua y oxígeno. 54
34 Observa la ilustración y contesta a las cuestiones: a) ¿Qué estado de la materia distingues en cada paso? b) ¿Cómo se llama el cambio de estado que tiene lugar entre 1 y 2? ¿Y entre 2 y 3? c) ¿Por qué se producen estos cambios de estado? 1
2
3
35 La sublimación es el cambio de: a) Estado sólido a estado gaseoso. b) Estado gaseoso a estado sólido. c) Ambas son correctas. 36 Observa la gráfica y contesta a las preguntas: a) ¿En qué tramo de la gráfica se produce la fusión? b) ¿En cuál se produce la vaporización? c) ¿Varía la temperatura mientras se están produciendo los cambios de estado? 37 La temperatura de fusión de cierta sustancia es −25 °C a la presión de 1 atm. Al colocar una muestra de dicha sustancia en condiciones estándar, T = 25 °C, y la misma presión esta se encuentra en: a) Fase líquida. b) Fase líquida o gaseosa. c) Fase gaseosa. 38 La glicerina tiene una temperatura de fusión de 20,9 °C y una temperatura de ebullición de 290 °C a la presión de 1 atm. Indica, a esta presión, cuál será su estado a 25 °C y a 500 °C. 39 ¿Cuál es la afirmación correcta?: a) La temperatura de fusión de una sustancia es igual a la de condensación. b) La temperatura de ebullición de una sustancia es igual a la de solidificación. c) La masa de una sustancia no se modifica en un cambio de estado. 40 ¿Cómo se denomina el cambio de estado líquido a sólido? Si la temperatura de fusión del hierro es 1 540 °C, ¿cuál es su temperatura de solidificación? 41 ¿Qué diferencia existe entre una sustancia pura y una mezcla? Indica razonadamente cuáles de las siguientes sustancias son puras y cuáles mezclas: a) Agua destilada.
c) Agua potable.
e) Oro.
b) Detergente en polvo.
d) Un vaso de leche.
f) Sal. FÍSICA Y QUÍMICA
55
FÍSICA Y QUÍMICA
42 Señala en tu cuaderno si las siguientes mezclas son homogéneas o heterogéneas: a) Ensalada mixta. b) Leche. c) Café solo. d) Conglomerado. 43 Clasifica las siguientes sustancias según sean puras o mezclas: a) Gasolina.
c) Agua de mar.
e) Metano.
g) Aire.
b) Arena.
d) Madera.
f) Hierro.
h) Oxígeno.
44 Observa la ilustración y responde a las preguntas: a) ¿De qué técnica de separación se trata?
c) ¿Dónde se produce la evaporación?
b) ¿Qué sustancias permite separar y en qué se basa?
d) ¿En qué parte tiene lugar la condensación?
Termómetro
Condensador
2
1 Matraz Erlenmeyer
Solución
3
Mechero Bunsen
45 Responde a las siguientes cuestiones: a) ¿Qué nombre recibe el componente más abundante de una disolución? b) ¿Cuántos disolventes puede haber en una disolución? c) ¿Puede una disolución contener más de un soluto? d) ¿Cómo se denominan los componentes minoritarios de una disolución? 46 Indica en tu cuaderno la técnica que se debe utilizar para separar: a) Arena y piedras. c) Sal y agua. e) Azufre y limaduras de hierro. b) Alcohol y agua.
d) Aceite y agua.
Los cambios. Reacciones químicas 47 ¿Cuáles de las siguientes transformaciones son cambios químicos? a) Una manzana cambia de color al cortarla y dejarla al aire. b) Se disuelve sal en agua. c) Al añadir un poco de bicarbonato de sodio a un vaso con agua, se produce una efervescencia. d) Al abrir una botella de agua con gas, se forman burbujas y el gas escapa. e) Se asa un filete sobre una plancha. 56
48 Clasifica los siguientes fenómenos en físicos (F) o químicos (Q): a) Disolución de sal en agua.
d) Respiración de una persona.
b) Putrefacción de la carne.
e) Lanzamiento de una piedra por una persona.
c) Bombilla encendida. 49 Indica cuáles de los siguientes procesos son cambios químicos, justificando la respuesta: a) Deshielo de las zonas polares.
c) Filtrar el café.
b) Incendios forestales.
d) Corrosión de un clavo de hierro.
50 Clasifica los siguientes procesos en cambios físicos (F) o químicos (Q): a) Café en polvo disuelto en leche. b) Ruptura de una botella de cristal con agua cuando está en un congelador. c) Mezcla de jugo de limón y bicarbonato. d) La fotosíntesis. e) Oxidación de una pieza de hierro. f) Mezcla de hierro y azufre. g) Maduración de un plátano. h) Combustión de una hoja de papel. 51 Una ecuación química y una reacción química, ¿son lo mismo? 52 En una reacción química, ¿cómo se llaman las sustancias iniciales y las que resultan de la transformación? Pon un ejemplo de cada una de ellas. 53 En una reacción química, ¿pueden aparecer en los productos de la reacción nuevos átomos distintos de los que forman los reactivos? ¿Por qué? 54 Completa el siguiente cuadro en tu cuaderno: REACTIVOS Metano (CH4)
PRODUCTOS Oxígeno (O2)
16 g
64 g
8g
32 g
4g 128 g
Dióxido de carbono (CO2)
Agua (H2O)
44 g 18 g 11 g
9g
88 g
72 g
55 Indica cuáles son los reactivos y los productos de la siguiente ecuación química. Después, ajústala y léela indicando la proporción en moléculas que hay en ella. Carbono + Oxígeno → Dióxido de carbono 56 Ajusta la ecuación que describe la obtención de agua a partir de hidrógeno y oxígeno: H2 + O2 ⎯⎯→ H2O FÍSICA Y QUÍMICA
57
FÍSICA Y QUÍMICA
57 Ajusta en tu cuaderno las siguientes ecuaciones químicas: a) H2 + O2 → H2O
e) N2 + O2 → NO
b) H2 + Cl2 → HCl
f) C2H6 + O2 → CO2 + H2O
c) N2 + H2 → NH3
g) H2SO4 + NaOH → Na2SO4 + H2O
d) SO2 + O2 → SO3
h) Fe + O2 → Fe2O3
58 La sal común es cloruro de sodio (NaCl). Se consigue, entre otras maneras, gracias a la evaporación de agua de mar. A partir de ella, se pueden obtener los elementos que la forman, sodio y cloro, según la ecuación química: NaCl → Cl2 + Na. Ajusta la ecuación. 59 El monóxido de nitrógeno es un contaminante atmosférico que se puede eliminar haciéndolo reaccionar con el amoniaco, según la ecuación química: NH3 + NO → N2 + H2O
Ajusta la ecuación.
60 Deduce toda la información que sea posible de la siguiente ecuación química: 2 H2S (g) + 3 O2 (g) ⎯→ 2 SO2 (g) + 2 H2O (g) 61 Ajusta en tu cuaderno las siguientes ecuaciones: a) HCl + CaCO3 ⎯→ CaCl2 + CO2 + H2O –
b) KClO3 ⎯→ KCl + O2
Las fuerzas y sus efectos 62 Sobre un cuerpo se aplican dos fuerzas distintas, una de 15 N y otra de 20 N, ambas en la misma dirección, pero en sentido contrario: la primera hacia la derecha y la segunda hacia la izquierda. Responde a las siguientes cuestiones: a) ¿Qué valor tiene la fuerza resultante y en qué sentido desplazará el cuerpo? b) Haz un esquema que muestre cómo se aplican las fuerzas. c) ¿Qué sucedería si el sentido de las fuerzas fuera el mismo? 63 Si, al aplicar una fuerza de 60 N, un muelle se alarga 4 cm, ¿cuál será su constante elástica? 64 Se tienen muelles de igual longitud, pero de constantes 5 N/m y 1 500 N/m: a) ¿Qué fuerza hay que hacer para alargar cada uno 1 cm? b) ¿Cuál escogerías para construir un dinamómetro que mida fuerzas muy pequeñas? 65 ¿Qué alargamiento se produce al colgar un peso de 20 N en un muelle vertical cuya constante elástica es k = 150 N/m? 66 ¿Cuál es la constante de un muelle que se alarga 3 cm al colgar de él un peso de 50 N? 67 Colgado del techo por uno de sus extremos hay un muelle de 30 cm de longitud. Del otro extremo se cuelga un cuerpo cuyo peso es de 30 N, alargando el muelle 5 cm: a) ¿Cuál es la constante elástica del muelle expresada en unidades del SI? b) ¿Qué longitud tendrá el muelle cuando se cuelgue un peso de 100 N? 58
68 Dado el sistema de la figura: a) Calcula la resultante, R, del sistema. b) Dibuja una fuerza, F, que anule la fuerza resultante e indica cuál será su módulo, dirección y sentido. y F1 = 40 N F2 = 30 N F3 = 60 N
x
69 Representa dos fuerzas concurrentes, de módulos, F1 = 15 N y F2 = 8 N, en la misma dirección y el mismo sentido, e indica el módulo, dirección y sentido de la resultante. 70 Representa dos fuerzas concurrentes, de módulos, F1 = 12 N y F2 = 7 N, en la misma dirección y sentidos contrarios, e indica el módulo, dirección y sentido de la resultante. 71 Dibuja y calcula el módulo de la suma y de la resta, F2 – F1, de dos fuerzas perpendiculares concurrentes de módulos F1 = 12 N y F2 = 16 N. 72 Dibuja y calcula en tu cuaderno el módulo de la resultante de las fuerzas representadas en la figura: y F2 = 40 N
F1 = 20 N x F3 = 50 N
73 Representa y calcula el módulo del vector suma de las siguientes fuerzas: a) F1: dirección la del eje X, en el sentido positivo del eje y módulo, F1 = 4 N. b) F2: dirección la del eje Y, en el sentido negativo del eje y módulo, F2 = 6 N. c) F3: dirección la del eje X, en el sentido negativo del eje y módulo, F3 = 8 N. d) F4: dirección la del eje Y, en el sentido positivo del eje y módulo, F4 = 10 N. 74 La tabla siguiente recoge las fuerzas y los alargamientos experimentados por un muelle de longitud inicial l0 = 10 cm: a) Representa las fuerzas en función de los alargamientos producidos. b) ¿Cuál es el valor de la constante elástica del muelle? c) ¿Qué alargamiento produce si colgamos una pesa de 8 N? d) ¿Qué longitud tiene el muelle en este caso? Fuerza F (N)
Alargamiento Δ / (cm)
1,0
0,50
2,0
1,00
3,0
1,50
4,0
2,00
FÍSICA Y QUÍMICA
59
FÍSICA Y QUÍMICA
75 Se aplican a un muelle fuerzas de 1 N, 2 N, 3 N y 4 N y se obtienen alargamientos de 6 mm, 12 mm, 18 mm y 24 mm, respectivamente: a) Construye una tabla de valores. b) Representa gráficamente los valores medidos. c) Calcula el valor de la constante elástica del muelle expresada en el SI. 76 Un coche circula a una velocidad de 15 m/s y otro recorre 40 km en 30 minutos. ¿Cuál de los dos circula a mayor velocidad?
v = 15 m/s
x = 40 km t = 30 min
77 En 8 s un coche alcanza una velocidad de 120 km/h partiendo del reposo. Calcula la aceleración y el espacio que recorre en este tiempo. 78 Un vehículo arranca en el kilómetro 20 de una carretera y llega hasta un punto que se encuentra en el kilómetro 80. ¿Qué distancia ha recorrido? km 20
km 80
79 Observa la ilustración y responde en tu cuaderno a las cuestiones: a) Indica la trayectoria que ha seguido el coche para llegar del punto A al B. b) ¿Qué distancia ha recorrido? c) Si el coche recorre 16 km cada 12 minutos, ¿cuál será su velocidad en km/h? ¿Y en unidades del SI?
B 120 km
0 km
d) ¿Qué distancia habrá recorrido 30 minutos después de salir del punto A?
A
5 km
e) ¿Cuánto tiempo habrá tardado en llegar al punto B? 80 Un coche parte del punto A con una velocidad de 120 km/h y otro coche arranca del punto B, situado a 20 km del A, a una velocidad de 70 km/h. Si ambos salen a la vez, ¿cuál de los dos vehículos llegará antes al punto C, situado a 100 km del punto A? 81 Un cuerpo móvil aumenta su velocidad de 28,8 km/h a 54 km/h en 4 segundos. ¿Cuál ha sido su aceleración? 82 Un chico y una chica se montan en una moto que está aparcada delante de su casa, arrancan y avanzan durante tres minutos en línea recta 800 m. Contesta en tu cuaderno: a) ¿Cuál es el sistema de referencia que utilizan para detectar que la moto se mueve? b) ¿Cuál es su punto de origen? c) ¿Cuál es la distancia recorrida por la moto? d) ¿Cuánto tiempo han tardado en recorrer esa distancia? 60
83 Si se lanza una pelota de 400 g con una fuerza de 20 N, ¿cuál será su aceleración? 84 ¿Qué fuerza hay que aplicar a un cuerpo de 10 kg para que experimente una aceleración de 3 m/s2? 85 Una masa de 800 kg y otra de 500 kg se encuentran separadas por 3 m. ¿Cuál es la fuerza de atracción que experimentan entre sí? 86 Calcula el peso de los siguientes cuerpos, suponiendo que nos encontramos al nivel del mar, donde g = 9,8 m/s2: a) m1 = 10 kg
b) m2 = 40 kg
c) m3 = 75 kg
d) m4 = 100 kg
87 Dos moléculas de agua, cuya masa es 3 · 10–26 kg, están separadas entre sí por 2,4 · 10–9 m. ¿Cuál es el valor de la fuerza gravitatoria entre ellas? 88 La fuerza gravitatoria entre la Tierra y la Luna es de 1,9 · 1020 N. Si la masa de la Tierra es 5,98 · 1024 kg y la de la Luna, 7,2 · 1022 kg, calcula la distancia entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna. 89 La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio terrestre. ¿Cuánto pesará en la superficie lunar una persona que tiene una masa de 70 kg?
90 ¿Cuál será la aceleración de una moto que, desde el reposo, emplea 5 segundos en alcanzar una velocidad de 15 m/s? 91 Un avión vuela a 830 km/h. ¿Qué distancia recorrerá en 20 minutos? Calcula los kilómetros que recorrerá en dos horas y media. 92 Una moto lleva una velocidad constante de 60 km/h. ¿Cuál es su aceleración? 93 Observa las gráficas e indica cuál de ellas corresponde a un movimiento con aceleración y cuál no: A
Distancia
Distancia
B
Tiempo
Tiempo
94 Una masa de 800 kg y otra de 500 kg se encuentran separadas por 3 m. ¿Cuál es la fuerza de atracción que experimentan entre sí? 95 Dos cuerpos de masas m1 y m2 que se encuentran separados por una distancia d, se atraen con una fuerza F. Si la distancia se duplica, ¿qué sucederá con la magnitud de la fuerza de atracción? FÍSICA Y QUÍMICA
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FÍSICA Y QUÍMICA
Energía y medioambiente 96 Observa las imágenes y responde a las preguntas:
A
B
C
a) ¿En cuál de las situaciones no se realiza un trabajo? Razona tu respuesta. b) ¿De dónde crees que obtienen las jugadoras la energía para lanzar la pelota? 97 ¿Qué cambios de energía se experimentan en el proceso siguiente?: «Un chico pedalea en su bicicleta, pone en funcionamiento una dinamo y enciende la luz del faro». 98 Observa las fotografías e indica qué tipo de energía posee cada cuerpo:
A
B
C
D
99 Responde a las siguientes cuestiones: a) El balón y la moto de la actividad anterior son dos cuerpos en movimiento y, por tanto, poseen energía cinética. ¿Cuál de los dos crees que tiene mayor cantidad de energía? ¿Por qué? b) Si tenemos una maceta en un balcón de un segundo piso y otra en un balcón de un décimo piso, ¿cuál tiene mayor energía potencial? ¿Por qué? c) Una persona asciende hasta la cumbre de una montaña. ¿Cómo será mayor su energía potencial, si sube andando o si lo hace corriendo? 100 Nombra la fuente de energía que se corresponde con cada definición: a) Emplea la energía electromagnética proveniente del Sol. b) Aprovecha la energía cinética de los saltos de agua. c) Se sirve de la energía cinética del viento. 62
d) Utiliza el calor interno de la Tierra. e) Aprovecha la fuerza de las mareas. f) Se obtiene a partir de restos orgánicos.
101 ¿Cuál de estas afirmaciones es correcta según el principio de conservación de la energía? a) La energía cinética se conserva. b) Las energías cinética y potencial se mantienen invariantes. c) La energía ni se crea ni se destruye, se transforma. d) La energía se crea y se destruye, pero nunca se transforma. 102 Indica en tu cuaderno qué tipo de energía poseen los siguientes cuerpos:
a) Una batería de teléfono móvil.
b) El agua hirviendo.
c) Una bombilla.
d) Un tren en marcha.
e) Un plato de comida.
f) Una pelota en una ventana.
103 Se tienen dos recipientes de diferente tamaño llenos de agua: uno marca en el termómetro 80 °C y el otro, 10 °C. Razona y contesta: a) ¿Cuál de los dos líquidos tiene mayor cantidad de calor? b) ¿Cuál presenta mayor temperatura? ¿Cuál posee más energía interna? c) ¿En cuál de los dos líquidos es mayor la energía cinética de sus partículas? d) ¿Qué pasa si se introduce un recipiente dentro del otro? e) ¿Hasta cuándo habrá transferencia de energía entre los dos líquidos? 104 Observa la ilustración y responde a las preguntas en tu cuaderno:
2 1
3 4
a) ¿En qué punto es mayor la energía potencial del esquiador? b) ¿Qué tipo de energía posee el esquiador en el punto 1? c) ¿En qué punto es mayor su energía cinética? d) ¿Qué transformación de energía se produce en el punto 3? FÍSICA Y QUÍMICA
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FÍSICA Y QUÍMICA
105 Si una chica pega una patada a una pelota, esta se pone en movimiento hasta que se para. ¿Qué tipo de energía tiene la pelota en movimiento? 106 Observa las ilustraciones y responde: a) En estos termómetros, la altura del mercurio varía con la temperatura del lugar donde están sumergidos. ¿En cuál de los dos llega más alto el mercurio? b) ¿En qué propiedad se basan los termómetros para medir la temperatura? B A
90° 0°
107 Escribe en tu cuaderno las equivalencias en °F, K o °C. a) 100 °C
b) 32 °F
c) 50 °C
d) 573 K
108 Queremos calentar 2 L de agua a 15 °C hasta que alcance la temperatura de 90 °C. ¿Qué cantidad de energía tenemos que comunicarle? Expresa el resultado en kilojulios (kJ) y en kilocalorías (kcal). (Dato: calor específico del agua, ce = 4 180 J / kg °C). 109 Un día de invierno, un termómetro marca –2 °C, ¿a cuántos kelvin y grados Fahrenheit equivalen? 110 Expresa en grados Celsius y grados Fahrenheit la temperatura T = 77 K. 111 Pasa 322 K a grados Celsius. 112 ¿Qué tipo de energía tiene un trozo de hielo, en reposo y sobre el suelo, a 0 °C? ¿Y a –10 °C tiene más o menos energía? 113 Un trozo de hielo a –25 °C se calienta hasta que su temperatura alcanza los 5 °C: a) Calcula el incremento de temperatura. b) Expresa el resultado en kelvin. c) Calcula el incremento de temperaturas en kelvin. d) Analiza e interpreta los resultados. 114 Construimos un termómetro de alcohol, lo introducimos en una mezcla de agua con hielo y marcamos el cero en el termómetro. A continuación, lo introducimos en agua a ebullición y marcamos el 100. Si dividimos el intervalo entre ambas marcas en cien partes iguales: a) ¿La escala que resulta es Celsius? b) ¿Los grados de esta escala son centígrados? c) ¿La longitud de cada uno de los cien intervalos marcados sería igual que si construimos el termómetro con mercurio? 115 Describe las ventajas y desventajas que tienen las centrales eólicas y las solares como fuentes de energía alternativas. 64