Muestra. Generación B Matemáticas ESO y Bachillerato Propuesta Didáctica by Grupo Anaya, S.A.

Matemáticas Académicas aría

éM

Jos

zas

abe

Aria

❚I

lde fon

Sáe z

MU SOL EST UCI RA ONA DE RIO

Creditos_MKT_Digital_2021.indd 4

8/1/21 13:25

SOLUCIONARIO

Matemáticas Académicas José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez

Índice Solucionario bloque I. Aritmética ........................................................ 5 1. Números racionales e irracionales ........................................................................ 6 2. Potencias y raíces .............................................................................................................. 17 3. Problemas aritméticos .................................................................................................... 24 4. Sucesiones y progresiones .......................................................................................... 32

Solucionario bloque II. Álgebra .............................................................. 43 5. Polinomios ............................................................................................................................... 6. Ecuaciones .............................................................................................................................. 7. Sistemas de ecuaciones lineales ............................................................................

44 51 63

Solucionario bloque III. Geometría .................................................... 75 8. Teoremas de Pitágoras y Thales............................................................................. 9. Áreas y volúmenes ......................................................................................................... 10. Movimientos, frisos y mosaicos..............................................................................

76 87 100

Solucionario bloque IV. Funciones ..................................................... 111 11. Características de las funciones. Rectas ........................................................ 12. Parábola e hipérbola .....................................................................................................

112 128

Solucionario bloque V. Estadística y probabilidad ... 147 13. Estadística ................................................................................................ 148 14. Probabilidad ......................................................................................................................... 160

Solucionario Actividades de ampliación ................................. 169 Solucionario Actividades de recuperación .......................... 181 Solucionario Evaluación final ................................................................... 191

Solucionario BLOQUE I Aritmética

7. Halla la fracción irreducible y represéntala en la r ecta:

1. Números racionales e irracionales

1. Fracciones

PIENSA Y CALCULA Escribe la fracción que corresponde a cada una de las partes coloreadas de azul en las siguientes figuras. ¿Re presentan la misma cantidad?

12 3 = 16 4

3 – 4 – 2

– 3

b) 3 5

12 8 32 8 b) c) d) 16 12 24 40

– 1

32 4 = 24 3 4 – 3

Calcula con dos decimales: 47,92 : 5,6

– 2

– 3

C = 8,55; R = 0,04

APLICA LA TEORÍA

– 1

b) 3

c) 5

c) 90

c) 24

d) 60

b) 180

d) 450

5. De las siguientes fracciones di cuáles son equiva lentes: 8 28

1 3

4 7

10 30

M.C.D. (105,135) = 15 La longitud será de 15 cm

2. Operaciones

con fracciones

1 1 1 1 + b) – 2 4 2 4 a) 3/4 b) 1/4

3 · (– 10) 5 c) – 6 c)

CARNÉ CALCULISTA Calcula:

3 1 5 4 11 · + : = 4 2 6 7 6

9. Calcula mentalmente: 1 1 b) 3 – a) + 2 4 2

8 4 = 28 7 6. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:

6 Solucionario

APLICA LA TEORÍA

2 1 10 = = 6 3 30

5 2

2 3

3 4

6 5

5 150 2 40 3 45 6 72 = , = , = , = 2 60 3 60 4 60 5 60 2 3 6 5 < < < 3 4 5 2

PIENSA Y CALCULA d) 150 y 225

c) 700

2 6

– 1

Calcula mentalmente las siguientes operaciones:

4. Halla el m.c.m. de: a) 12 y 30 b) 60 y 90 c) 140 y 350 a) 60

8. Dos barras de acero que miden, respectivamente, 105 cm y 135 cm de longitud deben ser cortadas en trozos iguales. ¿Cuál será la mayor longitud que pue den tener dichos trozos?

d) 45

b) 10

– 2

– 3

3. Calcula mentalmente el m.c.m. de: a) 4 y 6 b) 5 y 10 c) 8 y 12 d) 15 y 20 a) 12

1 – 5

d) 8

2. Halla el M.C.D. de: a) 54 y 90 b) 80 y 120 c) 270 y 630 d) 225 y 360 b) 40

8 1 = 40 5

1. Calcula mentalmente el M.C.D. de: a) 8 y 12 b) 6 y 9 c) 10 y 15 d) 8 y 24

a) 18

CARNÉ CALCULISTA

a) 4

2 – 3 – 2

8 2 = 12 3

6 10

Sí, representan la misma cantidad.

a) 9/4

b) 5/2

c) 4 ·

5 6

c) 10/3

10. Realiza las siguientes operaciones: 2 7 4 7 2 5 b) + – a) – + 3 4 9 15 5 6 c)

5 7 1 – + 8 12 4

3 6 4 + – 70 35 7

a) 19/12 b) 23/45 c) 7/24 d) – 5/14

7 12 · 9 5

a) 28/15

b) 25 ·

7 15

c) 12 ·

b) 35/3

1 3 · 6 4

c) 3/2

12. Haz las siguientes divisiones: a)

8 5 24 : b) : 48 3 4 5

a) 32/15

b) 1/10

7 1 : 18 6

c) 7/3

13. Realiza las siguientes operaciones combinadas: a)

4 4 2 5 2 1 5 1 : · + : b) · + 5 4 3 12 12 10 15 5

( )

2 1 5 5 2 2 11 c) – + d) – 1 : + 3 3 6 4 5 15 4 a) 17/2 b) 3/8 c) 11/12 d) – 7/4 14. Un camión puede cargar 12 000 kg y lleva 3/5 de la carga. ¿Cuántos kilos lleva? 3 · 12 000 = 7 200 kg 5 15. De un depósito de 1 500 L se sacan 1/6 del depósito y 750 L más. ¿Qué fracción queda? 1 Se sacan: · 1 500 + 750 = 1 000 L 6 Quedan: 1 500 – 1 000 = 500 L Fracción que queda: 500/1 500 = 1/3

3. Paso

entre fracciones y decimales

PIENSA Y CALCULA Pasa mentalmente las fracciones a decimales y los de cimales a fracciones: ) 3 7 c) 1,5 d) 0, 3 a) b) 2 4 a) 1,5

b) 1,75

c) 3/2

d) 1/3

18. Halla la expresión decimal de las siguientes fraccio nes y clasifica el cociente obtenido: 67 39 28 8 a) b) c) d) 15 20 4 3 ) a) 2, 6)decimal periódico puro. b) 4,4 6 decimal periódico mixto. c) 7 entero. d) 1,95 decimal exacto. 19. Halla el lado de un triángulo equilátero cuyo períme tro mide 26 cm. ¿Cómo es el decimal obtenido? ) 26 = 8, 6 3 El decimal que se obtiene es periódico puro. Lado:

20. Clasifica en fracción ordinaria o decimal las si guientes fracciones: 13 7 4 5 a) b) c) d) 20 5 9 6 a) Decimal.

b) Decimal.

c) Ordinaria. d) Ordinaria.

21. Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales: ) ) a) 3,75 b) 2,8 3 c) 2, 36 a)

15 17 b) 4 6

26 11

22. Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales: ) c) 2,6 81 a) 4, 285714 b) 2,125

)

30 17 59 b) c) 7 8 22 23. Expresa en forma de fracción y calcula: ) ) a) 2,4 + 1,5 · 0,2 b) 1, 3 + 3,16 a)

12 3 1 27 + · = = 2,7 5 2 5 10

4. Números

4 19 9 + = = 4,5 3 6 2

reales

PIENSA Y CALCULA

Calcula con dos decimales: 6 783,5 : 8,34

Dados los catetos de los siguientes triángulos rectángu los, calcula la hipotenusa. Si el resultado es un número entero, calcula mentalmente la raíz; si no lo es, déjalo en forma de raíz cuadrada. a) b = 3 m, c = 4 m b) b = 1 m, c = 1 m

C = 813,36; R = 0,0776

•2 m a) 5 m b) √

APLICA LA TEORÍA

CARNÉ CALCULISTA 5 7 5 55 – Calcula: = 6 4 6 72

CARNÉ CALCULISTA

16. Calcula mentalmente la expresión decimal de las si guientes fracciones: 2 1 3 2 b) c) d) 5 4 2 3 ) a) 0,25 b) 1,5 c) 0, 6 d) 0,4

17. Calcula mentalmente la fracción de los siguientes números decimales: ) ) a) 0,75 b) 1, 6 c) 0, 3 d) 2,5 a) 3/4 b) 5/3

c) 1/3 d) 5/2

( )

APLICA LA TEORÍA 24. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales: 5 2 π – 7 √ •3 1 √ •7 3 2 2/3 Racional. π Irracional. – 7

Racional.

1/2

Racional.

√ •3 Irracional. 5 √ •7 Irracional.

7 Unidad 1. Números racionales e irracionales

11. Multiplica las siguientes fracciones:

25. Representa gráficamente los siguientes números irracionales: a) √ • 5 b) √ •6

— √5 0

Error relativo =

2 = 0,04 50 Sonia comete menos error. Error relativo =

Ejercicios — √6

— — 2 √5 √6

a) 3,46 + 0,34 – 2,11 = 1,69 b) 15,36 · 3,24 = 49,7664 c) 45,88 : 3,24 = 14,16 d) 2,46 + 42,25 : 8,42 = 7,48 27. Calcula el error absoluto si se redondean los si guientes números a dos cifras decimales: a) 3,1415 b) 0,0278 c) 1,2068 d) 5,3975 a) |3,1415 – 3,14| = 0,0015 b) |0,0278 – 0,03| = 0,0022 c) |1,2068 – 1,21| = 0,0032 d) |5,3975 – 5,40| = 0,0025 28. Aproxima en cada caso al orden de la unidad indicada: a) 4,3248 a las centésimas. b) 58,15 a las unidades. c) 0,00482 a las milésimas. d) 37,4932 a las décimas. a) Redondeo: 4,32 Truncamiento: 4,32 b) Redondeo: 58 Truncamiento: 58 c) Redondeo: 0,005 Truncamiento: 0,004 d) Redondeo: 37,5 Truncamiento: 37,4 29. Calcula el error absoluto y el error relativo que se cometen al aproximar la anchura de una estantería en 3,5 m si la anchura es de 345 cm Error absoluto = |345 – 350| = 5

8 Solucionario

y problemas propuestos

1. FRACCIONES

26. Redondea a dos cifras decimales y calcula: a) 3,456 + 0,342 – 2,108 b) 15,362 · 3,236 c) 45,875 : 3,236 d) 2,458 + 42,253 : 8,417

Error relativo =

1 = 0,05 20

Sonia: Error absoluto = |50 – 48| = 2 — 2 √5

José: Error absoluto = |20 – 19| = 1

5 = 0,014 345

30. José y Sonia han realizado en el transcurso de una actividad las siguientes aproximaciones: José aproximó por 19 m una distancia real de 20 m y Sonia, 48 m en una distancia real de 50 m. ¿Cuál de los dos ha cometido más error?

31. Calcula mentalmente el M.C.D. de: a) 12 y 16 b) 6 y 15 c) 9 y 45 a) 4 b) 3 c) 9

d) 16 y 24 d) 8

32. Halla el M.C.D. de: a) 120 y 150 b) 140 y 350 c) 378 y 528 d) 720 y 1 470 a) 30

b) 70

c) 6

d) 30

33. Calcula mentalmente el m.c.m. de: a) 5 y 6 b) 4 y 6 c) 4 y 12 a) 30 b) 12 c) 12

d) 6 y 8 d) 24

34. Halla el m.c.m. de: a) 70 y 84 b) 168 y 252 c) 240 y 300 d) 80 y 120 a) 420

b) 504

c) 1 200

d) 240

35. Indica cuáles de las siguientes fracciones son equi valentes: 8 20

35 49

10 14

10 25

2 5

8 10 2 = = 20 25 5 35 10 = 49 14 36. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones: 3 5 3 7 5 6 2 4 3 36 5 50 3 90 7 105 = , = , = , = 5 60 6 60 2 60 4 60 7 3 5 3 > > > 4 2 6 5 37. Halla la fracción irreducible y representa en la recta: a)

18 30

18 3 = 30 5

–3

42 60

12 36

d) –

15 9

3 – 5 –2

–1

43. Calcula: 13 9 a) – 6 + 15 5

42 7 = 60 10 7 – 10 –3

–2

–1

12 1 c) = 36 3 –3

a) – 10/3 1

1 – 3 –2

–1

–3

–1

38. Una bombilla roja se enciende cada 120 segundos, y otra bombilla azul, cada 45 segundos. Si se en cienden a la vez y comenzamos a contar, ¿cuántas veces coincidirán encendidas en una hora? m.c.m. (45,120) = 360 360 segundos = 360 : 60 = 6 minutos. En una hora coincidirán: 60 : 6 = 10 veces. 39. De una determinada cantidad de dinero, Manuel ha recibido 2/5 y Sofía 5/8. ¿Cuál de ellos ha recibido más cantidad de dinero? 2 16 5 25 = , = 5 40 8 40 5 2 > ⇒ Sofía ha recibido más dinero que Manuel. 8 5 2. OPERACIONES CON FRACCIONES 40. Calcula mentalmente: 1 1 a) 3 – b) + 2 4 2

a) 11/5

8 2 5 b) + – 9 9 9 b) 5/9

42. Realiza las siguientes operaciones: 5 2 3 5 7 4 a) – + b) + – 4 3 2 6 12 5 c)

45. Haz las siguientes divisiones: 4 8 14 12 3 a) : b) : c) : 28 9 15 15 25 10

5 4 7 + – 9 45 15

a) 25/12 c) 14/15

b) 8/5

c) 1/30

d) 5/3

d) 24 :

56 5

d) 15/7

46. Realiza las siguientes operaciones combinadas: 2 3 2 10 1 5 7 5 a) · – + : b) + : 5 10 12 4 5 3 4 8 c)

( )

2 5 7 5 3 1 5 + – –1 : d) – 27 9 3 3 4 2 6

a) 26/15

b) 7/30

c) 17/12

d) 20/21

47. Una finca de 405 ha tiene sembrados 1/3 de trigo y 2/5 de cebada. ¿Cuántas hectáreas se han dedicado a cada cereal? 1/3 · 405 = 135 ha de trigo. 2/5 · 405 = 162 ha de cebada. 48. Un dependiente ha vendido 2/7 partes de una pieza de lona para toldos, y otro dependiente ha vendido 1/5 del resto. ¿Qué fracción de la pieza se ha vendido y qué fracción queda sin vender? Se ha vendido:

2 1 5 3 + · = 7 5 7 7

Queda sin vender:

4 7

49. Calcula mentalmente la expresión decimal de las si guientes fracciones: 3 5 1 4 a) b) c) d) 4 2 3 5 ) a) 0,75 b) 2,5 c) 0, 3 d) 0,8

b) 9/4 d) 5/9

41. Calcula mentalmente: 3 7 1 a) + + 5 5 5

c) 28/3

3. PASO ENTRE FRACCIONES Y DECIMALES

2 3 2 1 c) + d) – 5 10 3 9 a) 5/2 c) 7/10

b) 9/8

b) 25/49

a) 5/6

5 –– 3

4 3 5 – + 3 8 6

44. Multiplica las siguientes fracciones: 4 3 16 4 25 5 c) 35 · d) a) · b) · ·4 15 8 5 7 28 12 a) 6/5

15 5 d) – = – 9 3

–2

b) 2 –

8 3 7 + – 60 15 8

b) 37/60 d) 11/40

50. Calcula mentalmente la fracción de los siguientes números decimales: ) a) 0,25 b) 1,5 c) 0, 6 d) 0,4 a) 1/4

b) 3/2

c) 2/3

d) 2/5

51. Halla la expresión decimal de las siguientes fraccio nes y clasifica el cociente obtenido: 12 17 24 32 a) b) c) d) 3 4 13 15 ) a) 2,13 decimal periódico mixto. b) 4 entero. c) 4,25 decimal exacto. d) 1, 846153 decimal periódico puro.

)

9 Unidad 1. Números racionales e irracionales

52. Clasifica en fracción ordinaria o decimal las si guientes fracciones: 29 25 22 3 a) b) c) d) 12 6 7 2 a) Ordinaria. c) Decimal.

b) Ordinaria. d) Ordinaria.

53. Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales: ) ) b) 0,681 c) 1,2 a) 2,15 a) 71/33

b) 15/22

c) 6/5

54. Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales: ) c) 5,36 a) 1,3571428 b) 2,8

)

a) 19/14

b) 14/5

c) 59/11

55. Expresa en forma de fracción y calcula: ) ) a) 3,5 + 1,25 · 0,4 b) 1,6 + 1,8 a)

7 5 2 + · =4 2 4 5

59. Redondea a dos cifras decimales y calcula: a) 23,567 + 0,413 – 12,085 b) 0,624 · 1,368 c) 5,575 : 8,361 d) 28,508 + 12,534 : 4,197 a) 23,57 + 0,41 – 12,09 = 11,89 b) 0,62 · 1,37 = 0,8494 c) 5,58 : 8,36 = 0,67 d) 28,51 + 12,53 : 4,20 = 31,49 60. Calcula el área de un círculo de radio 2 m y redondea el resultado a metros cuadrados. ¿Qué error absolu to se comete?

Error relativo =

4. NÚMEROS REALES 56. Clasifica como racionales o irracionales los siguien tes números: 3 4 π 6 √ • 9 1 √ •2 5 7

4/5 Racional. π Irracional. 6 Racional.

0,43363 = 0,034507 12,56637

PARA AMPLIAR 61. Halla el M.C.D. de: a) 28 y 360 b) 105 y 168 c) 40, 105 y 160 d) 75, 120 y 210 a) 4

b) 21

c) 5

d) 15

62. Calcula el m.c.m. de: a) 50 y 140 b) 180 y 264 c) 54, 126 y 180 d) 48, 160 y 300

Racional.

1/7 Racional. 3

√ • 2 Irracional.

a) 700

57. Representa gráficamente los siguientes números irracionales:

• 2 b) √ •3 a) √

b) 3 960

c) 3 780

d) 2 400

63. En un teatro han vendido 11/12 partes del total del aforo. Al día siguiente, se vendieron 4/5 partes del aforo. ¿Qué día se llenó más el teatro? 11 55 4 48 = , = 12 60 5 60

a) — √2

11 4 > ⇒ Se llenó más el primer día. 12 5

— √2

64. Escribe las fracciones representadas en la recta 2

10 Solucionario

a) |6,4135 – 6,41| = 0,0035 b) |0,0785 – 0,08| = 0,0015 c) |4,9084 – 4,91| = 0,0016 d) |7,0985 – 7,1| = 0,0015

A = π · 22 = 12,56637 m2 = 13 m2 Error absoluto = |12,56637… – 13| = 0,43363

) 5 17 32 = = 3,5 b) + 3 9 9

√ • 9 = ± 3

58. Calcula el error absoluto si se redondean a dos ci fras decimales los siguientes números: a) 6,4135 b) 0,0785 c) 4,9084 d) 7,0985

–3

–2

–1

De izquierda a derecha:

1 0

15 3 =– 10 2 75 3 0,75 = = 100 4 23 2,3 = 10 – 1,5 = –

— √3

— — √2 √3 2

65. Realiza las siguientes operaciones: 5 2 5 7 + 1 b) – 1 + a) – 6 15 8 16

)

( )

a) 19/16

b) – 1/30

c) – 4/3

d) 2

73. Calcula redondeando previamente a dos cifras deci males:

66. Realiza las siguientes operaciones: a)

12 7 5 5 4 15 · · b) · · 5 4 9 6 7 2

4 5 4 2 5 25 · : d) : · 15 3 5 3 12 18

a) 7/3

b) 25/7

c) 5/9

9 2 7 5 1 5 · + b) – · 4 3 8 24 4 3

2 7 3 7 1 5 – + d) : 15 12 12 8 12 4

(

)

a) 19/8

(

b) – 5/24

d) 20/9

d) 43/25

68. Calcula:

( )( ) ( )( )

4 11 – a) 3 12

5 1 – 6 3

11 2 –2 b) 1 – : 10 5 a) 5/24

b) – 2/3

69. Haz las operaciones siguientes:

( ) ( )

1 2 5 a) : – 2 1 + 2 3 4 1 3 3 b) · 5 1 – + 2 4 2 a) – 37/15

b) 27/8

70. Tenemos 30 sacos de harina de 85 kg cada uno y gas tamos 2/5. ¿Cuántos kilos quedan? Quedan:

3 · 30 · 85 = 1530 kg 5

71. Se vendieron las 3/5 partes de un solar y, pos teriormente, 4/5 partes de lo que quedaba. ¿Qué frac ción queda sin vender? Se vende:

3 4 2 23 + · = 5 5 5 25

Queda: 2/25 72. Expresa como decimal las siguientes fracciones y clasifica los decimales en exactos, periódicos puros o periódicos mixtos: a)

3 8 45 b) c) 20 25 15

16 13 24 e) f) 25 30 7

(

2 1 + 1,57 : 3,75 – 3 2

)

c) 3,567 + 2,5(3, 349 – 2,005) d) 85,247 : 5,658 a) 0,33 + 2,45(2,75 – 3,26) + 0,25 = – 0,67 b) 0,66 – 0,5 + 1,57 : (3,75 – 0,67) = 0,67 c) 3,57 + 2,5(3,35 – 2,01) = 6,92 d) 85,25 : 5,66 = 15,06

)

c) 1/8

1 1 + 2,45 · (2,753 – 3,257) + 3 4

b) 0,659 –

67. Opera y simplifica: a)

)

74. Calcula el error absoluto si se redondean a dos ci fras decimales los siguientes números: a) 18,134 b) 0,348 c) 3,908 d) 9,095 a) |18,134 – 18,13| = 0,004 c) |3,908 – 3,91| = 0,002

b) |0,348 – 0,35| = 0,002 d) |9,095 – 9,1| = 0,005

75. Calcula el área de una sala que tiene 6,5 m de ancha por 9,2 m de larga. Redondea a metros cuadrados y explica si el error cometido es muy grande. A = 6,5 · 9,2 = 59,8 m2 Error absoluto = |59,8 – 60| = 0,2 Error relativo =

0,2 = 0,00334 59,8

76. Efectúa las siguientes sumas y restas: a)

5 4 7 5 3 + 2 – b) + – 2 3 6 6 4

4 5 3 11 5 – – d) – 1 + 4 9 6 2 6

a) 23/12

b) 8/3

c) – 19/12

d) 5/18

77. Efectúa las siguientes operaciones:

( ) ( )

a) 2 – c)

( )( ) ( )( )

5 14 2 3 +3 2– b) 7 3 3 5

7 3 3 1 – – 2 : d) 6 4 5 2

a) 6

b) 24/5

2 4 – 3 5

c) – 10/9

d) – 3/4

78. Calcula: 7 3 · – 5 4 3 3 c) : – 5 10 a)

a) – 19/20

3 5 3 2

3 b) 10 4 · d) 5 :

b) 2/5

3 5 2 1 : + · 4 2 5 4 2 3 3 7 · + : 7 4 5 10 c) 4/5

d) 15/14

11 Unidad 1. Números racionales e irracionales

(

3 1 4 7 5 1 + – c) – d) + 2 3 15 5 9 18

a) 0,15 Decimal exacto. b) 0,32 Decimal exacto. c) 3 Número entero. d) 3, 428571 Decimal periódico puro. ) e) 0,4 3 Decimal periódico mixto. f) 0,64 Decimal exacto.

79. Efectúa: a) c)

( ) ( )

( )( ) ( )( )

3 4 3 5 2 1 10 b) – – : – : 3 4 3 2 6 3 9

a) 5 –

1 3 3 5 3 2 – d) 2 – + : : 5 4 10 6 4 3

a) 1/6 c) – 11/6

b) – 7/8 d) 14/17

80. Efectúa las siguientes operaciones:

( )

( ) ( )

3 4 7 5 2 2 – – b) – 5 5 9 6 4 3

4 3 5 3 5 2 – : d) – : 3 4 6 4 6 9

a) 1/3 c) – 3

b) – 1/27 d) 7/10

81. Calcula:

( ) ( )( )

5 7 7 3 5 4 a) – : b) – 2 + 6 4 11 2 22 3 2 5 c) – 3 6

4 5 5 9 + 2 d) – 2 + 5 3 6 4

a) 1/2 c) – 7/15

b) 7/24 d) – 37/36

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

a) b)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

5 2 7 1 – – : 6 3 2 6

3 4 5 2 5 – – : – 2 3 4 3 6

2 5 3 – – 3 6 4

3 2 – 2 3

c) – 8/21

d) 14/3

c) 7/16

d) 5

7 5 2 – : 4 3 9

b) 5/16

86. Calcula:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 3 5 : + 3 2 6

1 7 –2+ 3 6

7 3 3 1 5 – : – +1– 6 7 4 3 6 5 3 – 6 4

3 1 +5– 4 2

4 2 1 2 +2– : 9 3 6 9

b) 9/7

87. Halla la expresión decimal de las siguientes frac ciones: 59 14 31 b) c) 11 5 6 ) ) a) 5, 36 b) 2,8 c) 5,1 6 a)

88. Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales: ) ) a) 4,8 3 b) 2,75 c) 4,6 a) 29/6 b) 11/4 c) 14/3

4 –3 3

89. Halla la expresión decimal de las siguientes frac ciones:

11 2 2 5 – d) – : 6 9 3 6 a) 19/30 c) 29/36

d) 9/5

7 10 9 14 7 + – : 6 3 5 3 12

a) – 1/7

83. Efectúa las siguientes operaciones:

c) – 2

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

a) 41/10

b) 8/11 d) – 25/14

b) – 11/6

3 10 3 1 3 +1– + : d) · 5 9 2 8 4

5 5 7 – : 3 4 12

3 5 5 2 5 : + : +1– 4 2 4 3 6

1 3 5 3 c) : 3 – – : 4 8 4 2

3 4 7 – : 5 15 30

3 5 5 1 5 + – : – 4 2 4 2 6

85. Calcula:

5 3 3 5 – – : 6 2 4 3

3 –2 4

( )( ) ( )( ) ( )

a) – 10/7

a) 20/11 c) 11/5

12 Solucionario

1 5 4 1 –2+ – : 12 12 3 4

c) 2 –

14 9 3 7 · – : 3 7 2 2

1 3 5 5 7 c) : – – – 9 4 6 4 12

82. Efectúa: a)

84. Efectúa las siguientes operaciones:

45 55 13 b) c) 7 12 2 ) a) 6,5 b) 4,58 3 c) 6, 428571 a)

b) 9/4 d) 19/6

)

a) 126/13

b) 83/12

c) 7/4

91. Halla la expresión decimal de las siguientes frac ciones: 36 13 51 c) b) a) 11 6 16 ) ) a) 3,1875 b) 3, 27 c) 2,1 6 92. Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales: ) a) 2, 384615 b) 2,16 c) 1,2954

c) d)

( ) ( ) 2 7 5– 15 10

3 11 –3 : 10 5

a) 5/24

b) 35/18

b) 54/25

c) 57/44

93. Calcula pasando a fracción ) ) a) 2,6 + 0,3 ) ) b) 4,17 + 5,82 ) ) 24 1 27 + = =3 a) 2,6 + 0,3 = 9 3 9 ) ) 413 577 990 b) 4, 17 + 5, 82 = + = = 10 99 99 99 94. Redondea las siguientes medidas y calcula el error que se comete: a) A kilómetros, la distancia entre dos ciudades, que es de 48,25 km b) A gramos, la masa de una manzana, que es de 172,6 g c) A miles de euros, el premio de una lotería, que es 25 642 € d) A litros, el contenido de agua de una garrafa, que es 10,5 L a) 48 km Error absoluto = |48,25 – 48| = 0,25 Error relativo =

0,25 = 0,0051813 48,25

b) 172 g Error absoluto = |172,6 – 172| = 0,6 Error relativo =

0,6 = 0,003476 172,6

c) 25 642 € Error absoluto = |25 642 – 25 000| = 642 642 = 0,025 25 642

Error relativo =

d) 10,5 L Error absoluto = |10,5 – 10| = 0,5 Error relativo =

0,5 = 0,0476 10,5

CON CALCULADORA 95. Calcula: 3 1 7 a) + · 20 8 15 b)

5 16 5 · – 4 9 18

d) – 8/3

96. Calcula las siguientes raíces con la calculadora y re preséntalas por aproximación en la recta real: 3

a) √ • 7

b) √ •5

a) 2,65

b) 1,71 —

—

√5 3

)

a) 31/13

c) 43/75

√7 2

PROBLEMAS 97. Se desea cubrir con baldosas cuadradas una superfi cie rectangular de 90 cm de ancho y 300 cm de largo. ¿Cuál será la mayor longitud que debe tener el lado de las baldosas para cubrir toda la superficie? ¿Cuántas baldosas se necesitan? M.C.D. (90, 300) = 30 cm 300 : 30 = 10 90 : 30 = 3 10 · 3 = 30 baldosas. 98. Un comerciante quiere hacer lotes de igual tamaño de tres tipos de aceite, para agotar las existencias de tres depósitos que tienen 680 L, 600 L y 728 L. ¿Cuál es el mayor número de litros que puede enva sar en cada lote? ¿Cuántos lotes hará? M.C.D. (680, 600, 728) = 8 L N.º de lotes: (680 + 600 + 728) : 8 = 251 99. En una carrera de obstáculos se quiere colocar una valla cada 40 m y una rampa cada 70 m. ¿Qué longi tud mínima debe tener la pista de la carrera para que en la meta coincidan los dos obstáculos? m.c.m. (40, 70) = 280 m 100. Dos cometas se pueden observar cada 50 años y cada 90 años, respectivamente. Si se han observado juntos en el año 2010, ¿cuándo se volverán a ver juntos? m.c.m. (50, 90) = 450 años. Se observarán en el año 2460 101. En el cumpleaños de Alba se comieron 2/3 de una caja de bombones; al día siguiente, 2/3 de lo que quedaba, y aún quedan seis bombones. ¿Cuántos bombones tenía la caja? Se han comido:

2 2 1 8 + · = 3 3 3 9

Quedan: 6 bombones que son La caja tenía 6 :

1 9

1 = 6 · 9 = 54 bombones. 9

13 Unidad 1. Números racionales e irracionales

90. Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales: ) a) 9, 692307 b) 6,916 c) 1,75

102. Rubén dispone de 1 000 € y decide hacer un donati vo de 3/10 para una organización de ayuda al Tercer Mundo y de 2/5 de lo que le queda a otra organiza ción. ¿Cuánto dinero le queda? Fracción que le queda: 1 – Dinero que le queda:

(

)

3 2 7 21 + · = 10 5 10 50

21 · 1 000 = 420 € 50

103. En una ciudad hay 12 500 trabajadores de los que 5/20 trabajan en el sector primario, 7/50 en sector secundario y el resto en el sector terciario. ¿Cuán tos trabajadores hay en cada sector? Sector primario:

7 · 12 500 = 1750 50

Sector terciario: 12 500 – (3 125 + 1 750) = 7 625 104. Un depósito lleno contiene 5 400 L. Se extrae 1/4 de su capacidad y, posteriormente, se gastan 675 L. ¿Qué fracción de la capacidad del depósito queda en él? 1 Se extrae: · 5 400 = 1 350 L 4

Fracción que queda:

2 025 3 = 5 400 8

2 1 1 3 + · = 3 4 3 4

Utensilios: 600 m2 que corresponden a

1 4

1 = 600 · 4 = 2 400 m2 4

14 Solucionario

106. En una caseta de la fiesta del centro escolar, los 5/6 del dinero que se ha cobrado en un día correspon den a la venta de refrescos. De este dinero, los 4/7 corresponden a la venta de refrescos de cola. Si la venta de refrescos de cola ha sido de 90 €, ¿cuál habrá sido la recaudación de la caseta por la venta de refrescos? Fracción de la venta de cola: Recaudación de refrescos: 10 21 = 90 · = 189 € 90 : 21 10

)

2 1 1 4 + · = 3 5 3 15

Superficie total: 4 :

4 15 = 4 · = 15 ha 15 4

108. Halla de forma exacta la longitud de una circun ferencia de 5 cm de radio. Clasifica el resultado como número racional o irracional y exprésalo re dondeando a dos decimales.

PARA PROFUNDIZAR 109. Una pelota rebota cada vez a una altura igual a los 2/5 de la altura de la que cae. Si después de 3 botes se eleva a 0,32 m, ¿cuál es la altura desde la que cae? 0,32 :

(

)

2 2 2 125 · · =5m = 0,32 · 5 5 5 8

15 · 0,8 = 0,75 m 16 La longitud después de lavada es 84 : 0,75 = 112 m

105. Un almacén de pinturas utiliza 2/3 de la superficie para almacenar pinturas, 1/4 del resto para disol ventes y los 600 m2 restantes para utensilios de pintura. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el alma cén?

Total: 600 :

(

La anchura después de lavada es

5 8

Pinturas más disolventes:

1–

110. Una tela, después de lavada, se reduce en 1/5 de su longitud y en 1/16 de su anchura. ¿Qué longitud debe comprarse de una pieza de tela de 0,8 m de ancho para que, después de lavada, se tengan 84 m2?

1 350 + 675 = 2 025 L Fracción que gasta:

Fracción que queda sin vender:

L = 2πR L = 2 · π · 5 = 10π cm Es un número irracional. L = 31,42 cm

5 · 12 500 = 3 125 20

Sector secundario:

107. De un terreno se han vendido 2/3 de su superficie, y después 1/5 del resto, quedando 4 ha sin vender. ¿Cuál era la superficie del terreno?

5 4 10 · = 6 7 21

La longitud que ha de comprarse es 112 :

4 = 140 m 5

111. Se sabe que una determinada carne contiene 1/5 de hueso y que, una vez deshuesada, pierde 1/5 de su peso al ser guisada. Calcula la cantidad de carne con hueso que es necesario comprar para que, al preparar una comida para 6 personas, le correspon da a cada una 160 g de carne. Fracción de la carne que queda:

(

)

1 1 4 16 + · = 5 5 5 25 Hay que comprar:

1–

160 · 6 :

16 = 1 500 g = 1,5 kg 25

112. Un ordenador y una impresora cuestan conjunta mente 1 200 €. Si la impresora es 1/5 del precio del ordenador, ¿cuáles son los precios de cada uno de los dos artículos? Fracción del precio conjunto: 1 +

1 6 = 5 5

6 = 1 000 € 5 Precio de la impresora: 1 200 – 1 000 = 200 € Precio del ordenador: 1 200 :

113. Halla de forma exacta la altura de un triángulo equi látero de 1 cm de lado. Indica si el resultado es un número irracional o racional y exprésalo redon deando a dos decimales.

Matematización

en contextos reales

118. Nos han remitido el siguiente recibo de energía eléctrica: EUROS ENERGÍA 4,6 kW × 33 días × 0,117146 €/kWdía Potencia facturada Energía facturada 194 kWh × 0,153788 €/kWh Impuesto sobre electricidad 5,11269632 % s/47,61 €

TOTAL ENERGÍA

1/2

√ () √ 1 1– — 2

√

1 1–— = 4

3 √3 cm —= 2 4

Es un número irracional. h = 0,87 cm

21 %

TOTAL IMPORTE FACTURA

a b

2a a 3a 3a 9 a 9 3 + = ⇒ = ⇒ = = b b b b 10 b 30 10 6 3 3 Las fracciones son = y 10 5 10 115. En la cuenta corriente de Coral se ha realizado un pago de 2/9 de la cantidad que había. Hemos ingresa do posteriormente 1/6 de lo que queda y resulta que todavía faltan 150 € para tener la cantidad inicial. ¿Cuánto dinero había inicialmente en la cuenta co rriente? 2 1 7 7 Se saca y se ingresan · = 9 6 9 54 Los 150 € corresponden a la diferencia de lo que se saca y se ingresa: 2 7 5 – = 9 54 54 150 :

IMPORTE TOTAL IVA

114. La suma de dos fracciones es 9/10 y la primera es el doble de la segunda. Calcula las fracciones: Sea la fracción buscada

Alquiler equipos medida 33 días × 0,02663 €/día TOTAL OTROS CONCEPTOS

5 54 = 150 · = 1 620 € 54 5

Calcula los importes de cada concepto y el total de la factura. EUROS ENERGÍA 4,6 kW × 33 días × 0,117146 €/kWdía Potencia facturada Energía facturada 194 kWh × 0,153788 €/kWh Impuesto sobre electricidad 5,11269632 % s/47,61 €

17,78

TOTAL ENERGÍA

50,04

El número 6 117. Demuestra que la suma de tres números enteros consecutivos es múltiplo de tres. Sean los tres números enteros consecutivos: x x+1 x+2 Se tiene: x + x + 1 + x + 2 = 3x + 3 = 3(x + 1) Por tanto, la suma es múltiplo de 3

2,43

OTROS CONCEPTOS Alquiler equipos medida 33 días × 0,02663 €/día TOTAL OTROS CONCEPTOS

0,88

IMPORTE TOTAL

50,92

IVA

21 %

0,88

10,69

TOTAL IMPORTE FACTURA

61,61

Autoevaluación 1. Escribe la clasificación de los números reales y pon tres ejemplos de cada uno de ellos.

{ {

{

Racionales 116. Calcula el menor número x que cumpla: M.C.D. (x, 18) = 6

29,83

ℝ

ℕ

Enteros: ℤ

ℚ

Reales

Naturales: 0, 1, 2 Negativos: – 1, – 2, – 3

Fraccionarios: 3

• 2, √ •5 Irracionales: π, √

2 3 7 ,– , 3 2 6

2. Calcula: a) M.C.D. (140, 350)

b) m.c.m. (80, 120)

a) 70

b) 240

3. Realiza las siguientes operaciones: a)

( )

3 1 7 3 5 5 7 – + b) –1 : – 5 4 8 4 3 4 12

a) 7/8

b) – 20/9

15 Unidad 1. Números racionales e irracionales

OTROS CONCEPTOS

4. Expresa como decimales las siguientes fracciones y clasifica los decimales en exactos, periódicos puros o mixtos: a)

7 12 8 14 b) c) d) 12 5 9 27

a) 2,4 Exacto. ) b) 0, 8 ) Periódico puro. c) 0,58 3 Periódico mixto. ) d) 0,518 Periódico puro.

12 3 1 + · = 5 2 5

6. Calcula el error absoluto y relativo al aproximar el número π a 22/7. Redondea el resultado a cuatro de cimales.

16 Solucionario

3 2 2 13 + · = 5 3 5 15 2 15

La longitud de la ruta es de 6 :

27 4 19 9 = 2,7 b) + = = 4,5 10 3 6 2

Error absoluto: 0,0013

Ha recorrido:

Quedan 6 km que son

5. Expresa en forma de fracción y )calcula: ) a) 2,4 + 1,5 · 0,2 b) 1,3 + 3,16 a)

7. Aitana ha recorrido 3/5 de la distancia de una ruta. Posteriormente recorre 2/3 de lo que quedaba y aún le faltan 6 km. ¿Cuál es la longitud total de la ruta?

Error relativo: 0,0004

2 15 =6· = 45 km 15 2

8. Tres sacos de café de diferente clase pesan 24 kg, 30 kg y 38 kg. Se quiere envasar todo el café en paque tes iguales del mayor peso posible. Calcula cuánto pesará cada paquete y cuántos paquetes se harán. M.C.D. (24, 30, 38) = 2 kg 24 : 2 = 12 paquetes. 30 : 2 = 15 paquetes. 38 : 2 = 19 paquetes. Se harán, en total, 46 paquetes de 2 kg cada paquete.

a) x 5 b) x 3 c) x 12 d) x 9

2. Potencias y raíces de exponente natural

PIENSA Y CALCULA Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla de cuadrados y cubos perfectos sustituyendo los  por los números correspondientes: 5m

9. Saca factor común todos los factores que puedas: a) 6a 3b 2 – 8a 4b 5 b) 18x 2y 5z 2 + 12x 2y 3z 3 – 6x 3y 3z 4 a) 2a 3b 2(3 – 4ab 3) b) 6x 2y 3z 2(3y 2 + 2z – xz 2)

V = 64 m3

A = 25 m2

a) 6a 3b 3 – 15a 4b 4 b) 6x 4y 4z 3 + 8x 5y 3z 4 – 12x 6y 2z 5

Número

Cuadrado perfecto

4   25  

Cubo perfecto

8    216 

Número

Cuadrado perfecto

16 25 36 100

Cubo perfecto

27 64 125 216 1 000

10. Se tiene un depósito de gasoil para la calefacción con forma de cubo cuya arista mide 2,25 m. Si el litro de gasoil de calefacción cuesta a 1,15 €, calcula lo que cuesta llenar el depósito. Coste: 2,253 · 1000 · 1,15 = 13 099,22 €

2. Potencias

PIENSA Y CALCULA Expresa el resultado en forma de una sola potencia uti lizando las propiedades de las potencias y calcula el re sultado: 7

a) 2 : 2

CARNÉ CALCULISTA

APLICA LA TEORÍA

Calcula:

1. Escribe en forma de potencia: a) 5 · 5 · 5 · 5 b) – 5 · (– 5) · (– 5)

APLICA LA TEORÍA

b) – 8 e) – 7

3. Calcula: a) 34 b) (– 3)4 a) 81

c) 35 d) (– 3)5 c) 243

d) – 243

4. Calcula: a) 132

b) 0,252

c) 173

d) 2,53

a) 169

b) 0,0625

c) 4 913 d) 15,625

5. Usando la calculadora, halla las siguientes potencias: b) 3,7518 c) 264 d) π10 a) 210 b) 2,15 · 1010 d) 93 648,05

6. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) 25 · 24 b) 59 : 53 c) (24)3 d) 32 · 33 · 34 a) 29

b) 56

c) 212

d) 2

– 3

= 1/8

3 7 4 8 7 · – : = – 5 6 3 7 15

()

c) 16 e) 1

b) 81

a) 1024 c) 1,84 · 1019

c) 2 = 1

d) 2 : 2

11. Calcula mentalmente en forma de fracción el re sultado de las siguientes potencias: b) (– 2) – 2 c) 2 – 3 d) (– 2) – 3 a) 2 – 1 3 – 1 1 – 1 e) 1– 9 f) (– 5)– 1 g) h) 4 6

2. Calcula mentalmente: a) 23 b) (– 2)3 c) (– 2)4 d) 07 e) (– 7)1 f ) (– 9)0 a) 8 d) 0

b) 2 = 2

CARNÉ CALCULISTA

b) (– 5)3

c) 2 : 2

a) 2 = 8

C = 132,84; R = 0,03

a) 54

b) 2 : 2

Calcula con dos decimales: 597,81 : 4,5

de exponente entero

d) 39

7. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) x 2 · x 3 b) x 5 : x 2 c) (x 3)4 d) x 2 · x 3 · x 4

a) 1/2 e) 1

b) 1/4 f) – 1/5

c) 1/8 g) 4/3

()

d) – 1/8 h) 6

12. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) 2 – 5 · 24 a) 2 – 1 c) 2 – 12

b) 54 : 57

c) (2 – 4)3

d) 32 · 3 – 3 · 34

b) 5 – 3 d) 33

13. Aplicando la potencia de un producto o de un co ciente, escribe como una sola potencia: a) 35 · 55 · 75 c) 6 – 3 · 7 – 3

b) 76 : 96 d) 3 – 4 : 5 – 4

a) (3 · 5 · 7)5 c) (6 · 7) – 3

b) (7 : 9)6 d) (3 : 5) – 4

14. Sustituye los recuadros por uno de los signos = o ≠ : a) 43 c)

2 73

a) ≠

12 76

b) (– 7)5 d) (8 – b) =

5)2

– 75 9 c) ≠

d) =

17 Unidad 2. Potencias y raíces

1. Potencias

8. Multiplica para eliminar el paréntesis: a) 3a 2b(2ab 2 – 5a 2b 3) b) 2x 3y 2z(3xy 2z 2 + 4x 2yz 3 – 6x 3z 4)

15. Simplificando reduce a una sola potencia: a)

125 34 · 210

a) 3

23. Calcula las siguientes raíces factorizando el radi cando:

34 154

5– 4

16. Escribe en notación científica: a) 54 689 000 000 000 000 b) La diezmillonésima parte de 4 unidades. a) 5,4689 · 1016

25. Suma y resta los siguientes radicales:

18. Nuestro sistema solar se encuentra situado a 27 700 años luz del centro de la galaxia. Expresa en kilóme tros y en notación científica esta distancia sabiendo que un año luz es la distancia que recorre la luz en un año a 300 000 km/s 27 700 · 300 000 · 365 · 24 · 60 · 60 = 2,6206416 · 1017 km 19. En la nube tenemos un espacio de 15 Gb de capaci dad para almacenar fotos. Si las fotos tienen un ta maño medio de 300 kb, ¿cuántas fotos podemos guardar? Sabemos que 1 Gb = 210 Mb, 1 Mb = 210 kb Fotos: 15 ·

c) 4

b) 15

b) 9,4 · 10– 6

210

a) 180

a) √ 81a 5bc 6 b) √ 128a 8b 2c 15 — 3 — a) 9a 2c 3 √ab b) 4a 2c 5 √ 2a 2b 2

17. Calcula: a) 3,45 · 1012 + 6,3 · 1011 b) 2,35 · 10– 23 : (2,5 · 10– 18)

210

c) √ 1024

24. Extrae todos los factores posibles de:

b) 4 · 10– 7

a) 4,08 · 1012

: 300 = 52 429 fotos

3. Radicales

a) √ 50 – √ 32 + √ 18 — a) 4√ 2

b) 5 √ 98 – 3 √ 200 + 4 √ 8 — b) 13√ 2

26. Sustituye los recuadros por uno de los signos = o ≠ : a) √ 36 + 64

√ 36 + √ 64

b) √ 100 – 36 3

c) √ 8 + 27 a) ≠

±8 3

√ 8 + √ 27 c) ≠

b) =

27. Un contenedor tiene forma de cubo. Si tiene una ca pacidad de 8 m3, ¿cuánto mide la arista? 3 — Arista: √ 8 = 2 m

PIENSA Y CALCULA

4. Propiedades de potencias y radicales

Completa la siguiente tabla:

PIENSA Y CALCULA

Número  2   Cuadrado 4 8 9 16 25 27 81 100 125 1 000 o cubo perfecto

Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

9 10 5

9 16 25 27 81 100 125 1 000

—

a) √ 25 · √ 49 b) √ 36 : √ 9 c) (√ 4 ) d) √ √64 3

a) ± 35 Número Cuadrado o cubo perecto

b) ± 2

c) ± 8

d) ± 2

CARNÉ CALCULISTA 1 2 7 3 – = Calcula: 5 6 4 6

( )

CARNÉ CALCULISTA

APLICA LA TEORÍA

Calcula con dos decimales: 784,5 : 5,76 C = 136,19; R = 0,0456

28. Aplicando las propiedades de los radicales, expresa como una sola raíz:

APLICA LA TEORÍA 20. ¿Cuántas raíces reales tienen los siguientes radicales? a) √ 36 b) √ 0 c) √ – 25 3

d) √ – 8

e) √ 1 f) √ 1

a) Dos d) Una

b) Una e) Dos

3 — a) √ 52 b)

—

√52

c) No tiene. d) – 3

c) √ 58 d) √ 518 c)

—

√52

—

a)• √15 b) √ • 2 c) √ •52 d) √ •5

22. Simplifica los radicales: a) √ 54 b) √ 56

3 —

c) √ 25 · √ 5 d) √ √ 64

b) – 5

c) (√ 5 ) d) √ √ 5

a) √ 6 · √ 6 b) √ 20 : √ 5

c) Ninguna f) Una

a) √ 25 b) √ – 125 c) √ – 49 d) √ – 27 a) ± 5

a) √ 5 · √ 3 b) √ 6 : √ 3

29. Aplica las propiedades de los radicales y calcula:

21. Calcula mentalmente si es posible:

18 Solucionario

a) √ 32 400 b) √ 3 375

—

√53

a) ± 6

b) ± 2

c) 5

d) ± 2

30. Escribe los siguientes radicales en forma de poten cia: 5 7 1 1 a) √ 3 b) 6 c) √ 35 d) 3 √5 √ 72 a) 31/5

b) 5 – 1/6

c) 35/7

d) 7 – 2/3

31. Escribe las siguientes potencias en forma de radical y calcula el resultado: b) 49 – 1/2 a) 271/3 c) 1283/7 3 — a) √ 27 = 3

d) 243 – 2/5

a) x 7 b) x 3

1 b) =± √ 49 7 7

1 5

√

2432

( √ 243) 5

(√ ) 5

1 32

a) 6a 5b 2 – 12a 6b 4 b) 12x 3y 5z 4 + 15x 4y 3z 3 – 21x 6y 2z 4 =

1 9

32. Realiza las siguientes operaciones con la calculado ra y redondea los resultados a dos decimales: a) √ 583 7

c) √ 35 5

d) √ 85 – √ 805 + √ 2 345 a) 24,15

b) 9,56

c) 2,19

d) 4,64

33. Realiza las siguientes operaciones con la calculado ra y redondea los resultados a dos decimales: a)

2,35

b) (

· √ 80 – √ 675 :

9,23

4,83

– √ 34 703 ) · 1,517

a) 575,45

b) 583 669,35

34. Las cuatro paredes de un cuarto de baño son cuadra das y tienen en total 324 azulejos cuadrados. Si cada azulejo mide 25 cm de lado, ¿cuánto mide de longi tud cada pared?

43. Calcula mentalmente en forma de fracción el re sultado de las siguientes potencias: – 2 – 3 a) 3 – 1 b) (– 3) c) 3 – 3 d) (– 3) 5 – 1 1 – 1 – 1 e) 7 – 1 f) (– 7) g) h) 3 2 a) 1/3 e) 1/7

b) 1/9 f) – 1/7

b) (– 2)3

36. Calcula mentalmente: b) (– 3)3 a) 33 d) 70 e) (– 1)7

c) 35

d) (– 3)2

c) 1/27 g) 3/5

d) – 1/27 h) 2

25 · 37 · 42 2– 3 · 54 · 62 b) – 5 3 3 – 1 4 2 2 ·3 ·6 2 ·5 ·4 b)

32 · 5 22

a) 43 2

c) 73

b) (– 7)5

d) (8 – 5)2

a) ≠

b) ≠

32 c) =

d) =

46. Escribe en notación científica: a) 0,000000000253 b) La centésima parte de una milésima.

c) (– 3)4 f) (– 1)8

a) 2,53 · 10– 11

b) – 27 e) – 1

c) 81 f) 1

37. Calcula: a) 192

b) 0,752

c) 233

d) 1,53

a) 361

b) 0,5625

c) 12 167

d) 3,375

38. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: 5 a) 32 · 36 b) 57 : 56 c) (32) d) 52 · 5 · 53 c) 310

()

45. Sustituye los recuadros por uno de los signos = o ≠ :

a) 27 d) 1

b) 5

()

44. Simplifica:

y problemas propuestos

35. Escribe en forma de potencia: a) 2 · 2 · 2 · 2 b) – 2 · (– 2) · (– 2) c) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 d) – 3 · (– 3)

a) 38

2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

a) 28 · 3

1. POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL

a) 24

50 Gb = 50 · 210 · 210 · 210 = = 50 · 230 = 5,37 · 1010 bytes

Cada pared tiene: 324 : 4 = 81 azulejos. — Cada lado tiene: √ 81 = 9 azulejos. Cada lado mide: 9 · 25 = 225 cm = 2,25 m

Ejercicios

a) 6a 3b 5(2a – 3b) b) 3x 2y 2z 3(2x 3 + 5y 3 – 6yz 2) 42. Calcula el número de bytes que caben en un disco duro de 50 Gb, sabiendo que: 1 kb = 210 bytes; 1 Mb = 210 kb; 1 Gb = 210 Mb

b) √ 875 3

41. Saca factor común todos los factores que puedas: a) 12a 4b 5 – 18a 3b 6 b) 6x 5 y 2 z 3 + 15x 2 y 5 z 3 – 18x 2 y 3z5

d) 56

b) 10– 5

47. Calcula: a) 4,56 · 10– 11 – 1,6 · 10– 10 b) 4,5 · 1020 · 3,5 · 10– 12 a) – 1,144 · 10– 10

b) 1,575 · 109

48. Escribe en notación científica: a) Tres billones de euros. b) 128 458 millones de toneladas. a) 3 · 1012 euros.

b) 1,28458 · 1011 toneladas.

19 Unidad 2. Potencias y raíces

3 3 √ 1283 = (√ 128 ) = (√ 27 ) = 23 = 8 7

c) x 15 d) x 6

40. Multiplica para eliminar el paréntesis: a) 2a 3b(3a 2b – 6a 3b 3) b) 3xy 2z 3 (4x 2 y 3z + 5x 3y – 7x 5z)

39. Expresa el resultado en forma de una sola potencia uti lizando las propiedades de las potencias: 5 a) x 3 · x 4 b) x 7 : x 4 c) (x 3) d) x · x 2 · x 3

3. RADICALES 49. Calcula mentalmente si se puede: 3

a) √ 49 b) √ – 8 c) √ – 16 d) √ 125 a) ± 7

b) – 2

c) No tiene. d) 5

50. Simplifica los radicales: 15

a) √ 72 b) √ 712 3 — 5 — a) √ 7 b) √ 74

√ 712

5 — c) √ 73

√ 718

5 — d) √ 73

51. Extrae todos los factores posibles de: 3

a) √ 108 c) √

243a 8b 3c 7

b) √ 1 080 3

d) √

— a) 6√3

125a 9b 17c 25

— b) 6 √5 3

— c) 9a 4bc 3 √3bc

3— d) 5a 3b 5 c 8 √b 2c

52. Suma y resta los radicales: a) 3√ 32 – 2√ 50 + √ 72 b) 2√ 200 – 3√ 18 – 4√ 98 — — a) 8√ 2 b) – 17√ 2 53. Sustituye los recuadros por uno de los signos = o ≠ : a) √ 36 + 64 b) √ 100 – 36 4

√ 100 √ 100 – √ 36 4

c) √ 16 + 81

√ 16 + √ 81

a) =

b) ≠ c) ≠

54. Un cartón de leche es de forma cúbica y contiene dos litros. Otro cartón de 2 litros tiene forma de pris ma cuadrangular y la arista de su base mide 10 cm. Calcula la superficie de ambos. ¿Cuál es menor? 3 — Arista del cubo: √ 2 = 1,26 dm = 12,6 cm Superficie del cubo: 6 · 12,62 = 952,56 cm2 Altura del prisma: 2 000 : 102 = 20 cm Superficie del prisma: 2 · 102 + 4 · 10 · 20 = 1000 cm3 Es menor el área del cubo. 4. PROPIEDADES DE POTENCIAS Y RADICALES 55. Aplicando las propiedades de los radicales, expresa como una sola raíz: a) √ 3 · √ 7 b) √ 14 : √ 2 —

c) (√ 7 ) d) √ √ 3 — — 5 — 10 — a) √ 21 b) √ 7 c) √ 73 d) √ 3 5

20 Solucionario

56. Aplica las propiedades de los radicales y calcula: a) √ 27 · √ 3 b) √ 45 : √ 5 —

c) √ 4 · √ 16 d) √√ 1 024 3

a) ± 9 c) 4

b) ± 3 d) ± 2

57. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales: 5 3 1 1 a) √ 2 b) c) √ 32 d) 5 √7 √ 23 a) 21/3 c) 32/5

b) 7 – 1/2 d) 2 – 3/5

58. Escribe en forma de radical las siguientes potencias: a) 31/5 b) 5 – 1/3 4/5 c) 6 d) 7 – 3/5 5 — 5 — 1 1 a) √ 3 b) 3 — c) √ 64 d) 5 √ 73 √5 59. Realiza las siguientes operaciones con la calculado ra y redondea los resultados a dos decimales: 3

a) √ 722 b) √ 87,95 3

c) 5,37 : √ 896,7 a) 26,87 c) 3 922,90

d) √ 23 + √ 23 + √ 23

b) 4,45 d) 9,51

60. Realiza las siguientes operaciones con la calculado ra y redondea los resultados a dos decimales: a) (7,82 – √ 87 ) : 2,5 3

b) √ 2 · √ 3 · √ 4 3

c) √ 1 000 · √ 1 000 · √ 1 000 a) 20,61 b) 2,88 c) 1 778,28 PARA AMPLIAR 61. Calcula el valor de x en cada uno de los siguientes casos: b) 34 = x a) 2x = 32 3 c) x = 125 d) x 3 = – 8 a) x = 5 c) x = 5

b) x = 81 d) x = – 2

62. Calcula: a) 25 + 33 + 52 c) (– 2)6 + 34 – (– 5)3

b) (– 2)5 + 32 – 53 d) 106 – (– 10)3 + 102

a) 84 b) – 148 c) 270 d) 1001100 63. Calcula: a)

()

( )

()

( )

2 3 2 3 2 4 2 b) – c) d) – 3 3 3 3

a) 8/27

b) – 8/27

c) 16/81

b) (– 5) – 1

c) 22 d) –

64. Calcula: a) 5 – 1 a) 1/5 b) – 1/5 c) 256 d) – 3

d) 16/81

( ) 1 3

– 1

65. Expresa el resultado en forma de una sola potencia uti lizando las propiedades de las potencias: a) 5 – 3 · 5 – 4 b) 3 – 4 : 3 – 7 – 5 c) (7 – 3) – 2 d) 13 · 13 – 3 · 13 – 4 a) 5 – 7 c) 715

b) 33 d) 13 – 9

66. Sustituye los recuadros por uno de los signos = o ≠ : a) 53 5

c) 23

b) (– 2)5

215

d) (7 – 3)5

a) ≠ c) ≠

– 32

a) 59 049 b) 1,53 · 1011 c) 437,89 d) 9,87 e) 4,12 · 10 – 3 f) 6 561

67. Calcula mentalmente: 3

a) 5 c) 0,1

b) – 5 d) – 0,2

a) √ 125 b) √ – 125 c) √ 0,001 d) √ – 0,008

74. Realiza las siguientes operaciones con la calculado ra y redondea los resultados a dos decimales: a) 5,23 (√ 209 – √ 3 217 ) : 7,25

68. ¿Entre qué dos números enteros están las siguientes raíces? 3

a) √ 55 b) √ 84 4

b) Entre 4 y 5 d) Entre 2 y 3

69. Introduce dentro del radical los factores que están fuera: 3

a) 32 ab 3 c √ 5ab

b) 23 a 2b 5 c 2 √ 5a2 bc 2

c) 32ab 3c 4 √ 10ab 3c 2

b) (7,255 – √ 874 658 ) · 1,757 3

c) √ 7 (√ 2 + √ 42,7 ) 3

a) – 0,31 b) 1002 023,47 c) 6,76

c) √ 93 d) √ 100 a) Entre 7 y 8 c) Entre 3 y 4

CON CALCULADORA 73. Utilizando la calculadora, halla: b) 7,2513 a) 310 15 d) π2 c) (3/2) – 5 f) (– 3)8 e) 3

b) = d) =

72. Calcula el valor de las siguientes potencias: b) 82/3 a) 43/2 d) 324/5 c) 163/4 — a) √(23)2 = ± 8 3 — b) √(22)3 = 4 4 — c) √(23)4 = ± 8 5 — d) √(24)5 = 16

d) 23 a 2 bc 4 √ 15a 4 bc 2

a) √405a 3b 7c 2

75. Calcula: a) 5,74 · 1011 + 6,5 · 1012 b) 2,62 · 10– 24 – 7,53 · 10– 23 c) 2,3 · 1028 · 4,5 · 10– 19 d) 3,85 · 10– 15 : (3,5 · 10– 29) a) 7,074 · 1012 b) – 7,268 · 10– 23 c) 1,035 · 1010 d) 1,1 · 1014 PROBLEMAS

b) √2 560a 8b 16c 8

76. Tenemos una finca en forma de cuadrado cuyo lado mide 14,75 m. Calcula el precio de venta sabiendo que el metro cuadrado vale 23 €

c) √65 610a 5b 15c 18 5

d) √491 520a 14b 6c 22

Precio: 14,752 · 23 = 5 003,94 €

a) √ x = ± 5 3

b) √ 49 = x x

c) √ x = 5

d) √ 32 = 2

a) x = 25

b) x = ± 7

c) x = 125

d) x = 5

71. Calcula descomponiendo en factores primos: 3

a) √ 216 b) √ 729 c)

8 d) 125

a) √ 23 · 33 = 6 c)

23 2 = 53 5

77. Calcula el número de bytes que caben en un dis co duro de 200 Gb, sabiendo que 1 kb = 210 bytes; 1 Mb = 210 kb; 1 Gb = 210 Mb. Capacidad: 200 · 210 · 210 · 210 = 200 · 230 = 2,15 · 1011 bytes. 78. La masa de la Tierra es 5,98 · 1024 kg y la masa de Neptuno es 17 veces la de la Tierra. Calcula la masa de Neptuno. 17 · 5,98 · 1024 = 1,0166 · 1026 kg

243 32 3

b) √ 36 = 9 d)

35 3 = 25 2

79. Alba tiene una caja en forma de cubo llena de cani cas. Tiene 5 canicas de largo, otras 5 de ancho y otras 5 de alto. Escribe en forma de potencia el nú mero total de canicas y calcula el precio sabiendo que cada canica cuesta 0,15 € N.o de canicas: 53 Coste: 53 · 0,15 = 18,75 €

21 Unidad 2. Potencias y raíces

70. Calcula el valor de x en cada uno de los siguientes casos:

80. Tenemos 12 cajas de cocos y cada caja tiene 12 co cos. Escribe en forma de potencia el número total de cocos y halla el precio sabiendo que cada uno cues ta 1,5 € N.º de cocos: 122 Coste: 122 · 1,5 = 216 € 81. Escribe en forma de potencia el número de abuelos que tiene cada persona, y calcula el resultado. N.º de abuelos: 22 = 4 abuelos. 82. Tenemos un bloque de hielo de 1 m de largo, 20 cm de ancho y 20 cm de alto. Lo cortamos en cubitos para enfriar refrescos. Cada cubito mide 2 cm de lar go, 2 cm de ancho y 2 cm de alto, y en cada refresco ponemos dos cubitos. ¿Para cuántos refrescos ten dremos? Volumen del bloque: 100 · 20 · 20 = 40 000 cm3 Volumen de cada cubito: 23 = 8 cm3 N.º de cubitos: 40 000 : 8 = 5 000 cubitos. N.º de refrescos: 5 000 : 2 = 2 500 refrescos. 83. Una finca cuadrada de 100 m de lado está plantada de nogales. Si cada nogal ocupa 25 m2, ¿cuántos no gales hay plantados? Superficie: 1002 = 10 000 m2 N.º de nogales: 10 000 : 25 = 400 nogales. 84. El patio de butacas de un teatro tiene igual número de filas que de columnas, y se venden todas las entradas para una sesión, obteniéndose 3 375 €. Si cada entra da cuesta 15 €, ¿cuántas filas tiene el teatro? N.º de entradas: 3 375 : 15 = 225 entradas. — N.º de filas: √225 = 15 filas. 85. Queremos poner baldosas en el suelo de una habita ción cuadrada, y en cada lado caben 13 baldosas. Si cada baldosa cuesta 1,5 €, ¿cuánto cuestan todas las baldosas que necesitamos? 132

= 169 baldosas. N.º de baldosas: Coste: 169 · 1,5 = 253,5 € 86. Una finca es cuadrada y tiene una superficie de 1 369 m2. ¿Cuánto mide el lado? — Lado: √ 1 369 = 37 m 87. Un bloque de casas tiene x plantas, y en cada planta hay x viviendas. Si viven x personas de media en cada vivienda, calcula el valor de x sabiendo que en la casa viven 64 personas. 3 — x 3 = 64 ⇒ x = √ 64 = 4

22 Solucionario

PARA PROFUNDIZAR 88. Expresa en forma de potencia de 2 el número total de cuadrados que tiene un tablero de ajedrez, sabiendo que posee 8 filas y 8 columnas. N.º de cuadrados: 8 · 8 = 23 · 23 = 26 cuadrados. 89. Escribe en forma de potencia el número de bisabue los que tiene cada persona y calcula el resultado. N.º de bisabuelos:

= 8 bisabuelos.

90. Una célula se reproduce cada hora por bipartición. ¿Cuántos días tardará en sobrepasar un millón? 2x > 1 000 000 El menor x que lo verifica es x = 20 horas. Lo alcanza en el primer día. 91. Un velero cuesta 0,5 millones de euros y se devalúa cada año un 18 %. ¿Cuántos años tardará en valer menos de 150 000 €? Observa que si se devalúa un 18 %, su valor será un 82 % del precio inicial. 500 000 · 0,82x < 150 000 El menor x que lo verifica es x = 7 años. 92. Una caja tiene forma de cubo cuyo volumen es de 3,375 m3. Calcula su superficie. 3 — Arista: √ 3,375 = 1,5 m Superficie: 6 · 1,52 = 13,5 m2 93. Un año luz es el espacio que recorre la luz en un año. Sabiendo que la velocidad de la luz es de 300 000 km/s, espresa en kilómetros y en notación científica un año luz. 300 000 · 365 · 24 · 60 · 60 = 9,4608 · 1012 km

Matematización

en contextos reales

94. Un teléfono móvil tiene una capacidad de 8,67 Gb, Halla su capacidad en bytes. 9 309 341 614 bytes. 95. Una tableta tiene una capacidad de 21,47 GB. Halla su capacidad en bytes. 21,47 · 210 · 210 = 22 512 927 bytes 96. El disco duro de un ordenador tiene 400 Gb. Halla su capacidad en bytes. Capacidad: 400 · 210 · 210 · 210 = 400 · 230 = 4,29 · 1011 bytes

Autoevaluación 1. ¿Qué son radicales equivalentes? Pon un ejemplo. Dos radicales son equivalentes si tienen las mismas raíces. Si en un radical multiplicamos el índice y el exponente por el mismo número, obtenemos otro radical equivalente. 3 — 6 — 9 — 12 — Ejemplo: √ 52 = √ 54 = √ 56 = √ 58 = … = 2,92… 2. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) 35 · 34 b) a 9 : a 3 c) (xn)p d) x 3 : x 7 a) 39

b) a 6 c) xn · p d) x – 4

3. Sustituye los recuadros por uno de los signos = o ≠ : a) 53 2

c) 35 a) ≠

b) (– 6)5

310

d) (7 – 5)4 b) =

– 65 16 c) ≠

d) =

c) √ 3

d) √

81a 5bc 6 32a 8b 2c 12

— a) 36√ 2 3— b) 12 √ 5

— c) 9a 2c 3 √ab 3 — d) 2a 2c 4 √ 22a 2b 2

5. Suma y resta los radicales: a) 3 √ 32 – 2 √ 50 + √ 72 b) 2 √ 75 – 4 √ 27 + 5 √ 12 — — — — a) 12√ 2 – 10√ 2 + 6√ 2 = 8√ 2 — — — — b) 10√ 3 – 12√ 3 + 10√ 3 = 8√ 3

6. Escribe en forma de radical las siguientes potencias y calcula el resultado: a) 251/2

b) 125 – 1/3

c) 163/4

d) 32 – 2/5

a) √ 25 = ± 5 4

c) √ 163 = ± 8

√ 125 3

√ 5

322

1 5

1 4

7. Si el diámetro del Universo visible es de 93 000 m illones de años luz y la velocidad de la luz es de 300 000 km/s. Calcula el radio del Universo visible en kilómetros y en notación científica. 93 000 000 000 · 365 · 24 · 60 · 60 · 300 000 : 2 = 4,4 · 1023 8. Una finca tiene forma de cuadrado. Si se vende a razón de 3,6 €/m2 y se han obtenido por la venta 3 802,5 €, ¿cuánto mide de lado la finca? — — √ 3 802,5 : 3,6 = 32,5 m

23 Unidad 2. Potencias y raíces

4. Extrae todos los factores posibles de: — a) √ 2 592 3 — b) √ 8 640

4. Calcula el cuarto proporcional:

3. Problemas aritméticos 1. Razones

x 5 0,5 6,4 = b) = 8 2 2,5 x

4,5 x 2,5 1,4 = d) = 7,8 5,2 x 2,8

y proporciones

PIENSA Y CALCULA Se han comprado 5 kg de melocotones por 10,5 €. Cal cula mentalmente cuánto cuesta cada kilo.

a) x =

8·5 = 20 2

b) x =

2,5 · 6,4 = 32 0,5

c) x =

4,5 · 5,2 = 3 7,8

d) x =

2,5 · 2,8 =5 1,4

10,5 : 5 = 2,1 €/kg CARNÉ CALCULISTA Calcula con dos decimales: 72,85 : 26,4

5. Calcula el medio proporcional:

C = 2,75; R = 0,25

APLICA LA TEORÍA 1. Calcula las razones entre las cantidades siguientes e interpreta el resultado: a) 3,5 kg de naranjas cuestan 6,3 € b) Un coche en 5 horas recorre 400 km c) 12 m de tela cuestan 90 € d) En 7 días se consumen 3,5 kg de fruta. a) 6,3/3,5 = 1,8 €/kg El kilo de naranjas cuesta 1,8 € b) 400/5 = 80 km/h El coche lleva una velocidad media de 80 km/h c) 90/12 = 7,5 €/m El metro de tela cuesta 7,5 € d) 3,5/7 = 0,5 kg/día Se hace un consumo medio de 0,5 kg/día 2. Calcula las razones entre las siguientes cantidades e interpreta el resultado: a) Una finca mide 120 ha, y otra, 180 ha b) Juan mide 160 cm, y María, 168 cm c) Un tren va a 120 km/h, y otro, a 180 km/h d) Una botella contiene 2 L, y otra, 1,5 L a) 180/120 = 1,5 El área de la segunda finca es 1,5 veces el área de la primera. b) 168/160 = 1,05 La estatura de María es 1,05 la de Juan. c) 180/120 = 1,5 La velocidad del segundo tren es 1,5 la velocidad del primero. d) 1,5/2 = 0,75 La capacidad de la segunda botella es 0,75 veces la capacidad de la primera. 3. Calcula mentalmente para que formen proporción: a)

24 Solucionario

c) a)

■ 12 5 ■ = b) = 9 54 9 36 2

■

3 2 10 d) = 4,5 0,9 ■

5 20 = 9 36

2 3 c) = 3 4,5

2 12 = 9 54

2 10 d) = 0,9 4,5

10 x 2,5 x = b) = x 3,6 x 6,4

a) x 2 = 36 ⇒ x = ± 6

2. Proporcionalidad

b) x 2 = 16 ⇒ x = ± 4 simple

PIENSA Y CALCULA Cuatro amigos han pagado 18 € por las entradas del cine. Calcula mentalmente cuánto cuesta cada entrada. 18 : 4 = 4,5 € CARNÉ CALCULISTA Calcula:

4 2 5 3 11 – · + = 3 3 4 5 10

APLICA LA TEORÍA 6. Si 8 juegos de videoconsola cuestan 212 €, ¿cuántos juegos se pueden comprar con 371 €? Dinero (€) (D) N.o juegos –––––––– –––––––––––––– 212 ⎯⎯⎯→ 8 371 ⎯⎯⎯→ x 212 8 = ⇒ x = 14 juegos 371 x

}

7. Una tubería de 15 m de longitud pesa 210 kg. ¿Cuál será la longitud de una tubería que pesa 308 kg si es del mismo material y de la misma sección? Peso (kg) (D) Longitud (m) –––––––– ––––––––– 210 ⎯⎯⎯→ 15 308 ⎯⎯⎯→ x 210 15 ⇒ x = 22 m = 308 x

}

8. Nueve bombillas iguales han consumido un total de 54 kWh. Si en las mismas condiciones encendemos 15 bombillas iguales, ¿cuántos kWh se consumirán? (D) Consumo (kWh) N.o bombillas –––––––––– –––––––––––– 9 ⎯⎯⎯→ 54 15 ⎯⎯⎯→ x 9 54 ⇒ x = 90 kWh = 15 x

}

9. Cuatro amigos se reparten el alquiler de un aparta mento de verano. Cada uno paga 375 €. Si se uniesen dos amigos más, ¿cuánto pagaría cada uno?

(D) (I)

(I) Dinero (€) N.o amigos –––––––– ––––––––– 4 ⎯⎯⎯→ 375 6 ⎯⎯⎯→ x

}

10. Un coche recorre un trayecto en 1 hora y media a 65 km/h. Si desea tardar 75 minutos, ¿a qué veloci dad deberá recorrer el mismo trayecto? Tiempo (min) (I) Velocidad (km/h) ––––––––– –––––––––––– 90 ⎯⎯⎯→ 65 75 ⎯⎯⎯→ x

}

14. Una persona lee 2 horas diarias a razón de 5 páginas por hora, y tarda 15 días en leer un libro. Si leyese 3 horas diarias a razón de 8 páginas por hora, ¿cuán tos días tardaría en leer el mismo libro? (I) (I)

75 65 ⇒ x = 78 km/h = 90 x 11. Con tres grifos se llena un depósito en 20 horas. ¿Cuánto tiempo se tardará en llenar el mismo depó sito con cinco grifos iguales a los anteriores? (I) Tiempo (h) N.o grifos ––––––– ––––––––– 3 ⎯⎯⎯→ 20 5 ⎯⎯⎯→ x

}

Tiempo (h) Páginas/hora Tiempo (días) –––––––– –––––––––– –––––––––– 2 ⎯⎯→ 5 ⎯⎯→ 15 3 ⎯⎯→ 8 ⎯⎯→ x 3 8 15 ⇒ x = 6,25 días · = 2 5 x

}

15. Calcula el interés producido por un capital de 9 000 € al 1,5 % en 3 años.

5 20 = ⇒ x = 12 horas 3 x

I = c · r · t ; I = 9 000 · 0,015 · 3 = 405 € 16. ¿Qué capital se debe depositar al 2,5 % para que des pués de 2 años produzca 400 €?

compuesta

PIENSA Y CALCULA Analiza en la siguiente situación si la cantidad de di nero es directa o inversamente proporcional al número de obreros y al número de días: Si ocho obreros trabajan durante 12 días y ganan un total de 3 400 €, ¿cuánto ganarán seis obreros trabajando 10 días?

I=c·r·t⇒c=

I 400 ;c= = 8 000 € r·t 0,025 · 2

17. ¿A qué rédito se debe depositar un capital de 6 500 € para que produzca un interés de 526,5 € en 18 me ses? c·r·t I·n 526,5 · 12 ⇒r= ;r= = 0,054 n c·t 6 500 · 18 R = 5,4 %

N.º de obreros y cantidad de dinero es directa. N.º de días y cantidad de dinero es directa. CARNÉ CALCULISTA

18. ¿Cuántos meses se deben tener depositados 25 000 € al 1,5 % para que produzcan unos intereses de 562,5 €?

C = 356,77; R = 0,0008

APLICA LA TEORÍA 12. Durante 30 días seis obreros han canalizado 150 m de tubería para suministro de agua. Calcula cuántos metros canalizarán catorce obreros en 24 días. (D) (D) T iempo (días) N.º obreros Longitud (m) –––––––––– ––––––––– –––––––––– 30 ⎯⎯→ 6 ⎯⎯→ 150 24 ⎯⎯→ 14 ⎯⎯→ x

}

c·r·t I·n 562,5 · 12 ⇒t= ;t= = 18 meses n c·r 25 000 · 0,015

4. Repartos

y porcentajes

PIENSA Y CALCULA Reparte mentalmente 600 € de forma proporcional a 1, 2 y 3 1+2+3=6 600 : 6 = 100 € ; 100 · 1 = 100 € 100 · 2 = 200 € ; 100 · 3 = 300 € CARNÉ CALCULISTA Calcula:

( )( )

3 2 3 =4 –2 : – 5 5 4

25 Unidad 3. Problemas aritméticos

Calcula con dos decimales: 342,5 : 0,96

30 6 150 ⇒ x = 280 m · = 24 14 x

Dinero (€) Tiempo (días) N.º personas –––––––– –––––––––– –––––––––– 2 250 ⎯⎯→ 1 ⎯⎯→ 135 12 000 ⎯⎯→ 90 ⎯⎯→ x 2 250 90 135 ⇒ x = 8 personas · = 12 000 1 x

}

6 375 ⇒ x = 250 € = 4 x

3. Proporcionalidad

13. Los gastos de alimentación de 135 personas suponen 2 250 € diarios. Calcula cuántas personas podrán alimentarse durante 90 días con 12 000 €

APLICA LA TEORÍA 19. Reparte 15 000 € en partes directamente proporcio nales a 2, 3 y 5 15 000 : (2 + 3 + 5) = 1 500 x = 1 500 · 2 = 3 000 € y = 1 500 · 3 = 4 500 € z = 1 500 · 5 = 7 500 € 20. Reparte 11 050 € en partes inversamente proporcio nales a 2, 3 y 4 m.c.m. (2, 3, 4) = 12 1/2 = 6/12, 1/3 = 4/12, 1/4 = 3/12 Se reparte directamente proporcional a 6, 4 y 3 respectivamente. 11 050 : (6 + 4 + 3) = 850 x = 850 · 6 = 5 100 € y = 850 · 4 = 3 400 € z = 850 · 3 = 2 550 € 21. A un trabajador que cobra 1 440 € le descuentan mensualmente de su nómina el 5 % para un seguro. ¿Qué cantidad le descuentan? Descuentan: 1 440 · 0,05 = 72 € 22. En la factura de un taller aplican un 21 % de IVA so bre un importe de 168 €. ¿Cuánto se paga en total? Total: 168 · 1,21 = 203,28 € 23. En una mezcla de 500 g de café, 100 g son de torre facto y el resto es de café natural. ¿Qué porcentaje de café torrefacto lleva la mezcla? 100/500 = 0,2 = 20 % de torrefacto. 24. En una factura de 350 € nos aplican un 20 % de des cuento y un 21 % de IVA. Calcula el importe total de la factura. Total: 350 · 0,8 · 1,21 = 338,8 € 25. En una tienda compramos un televisor con una reba ja del 20 % y nos cobran el 21 % de IVA. Si pagamos 232 € por él, ¿cuál era el precio inicial del televisor? Precio inicial: 232 : (0,8 · 1,21) = 239,67 €

Ejercicios

y problemas propuestos

1. RAZONES Y PROPORCIONES

26 Solucionario

26. Determina el valor de las razones formadas por los siguientes pares de cantidades, e interpreta el resul tado: a) 7 m de cinta cuestan 14 € b) En 3 horas se recorren 120 km c) Una varilla mide 10 dm, y otra, 14 dm d) Un recipiente tiene 5 L, y otro, 150 L a) 14/7 = 2 €/m El metro de tela vale 2 € b) 120/3 = 40 km/h La velocidad media es de 40 km/h c) 14/10 = 1,4 La varilla más larga es 1,4 veces la pequeña. d) 150/5 = 30 El recipiente de mayor capacidad es 30 veces la capacidad del pequeño.

27. Determina si los siguientes pares de razones forman proporción y calcula la constante de proporcionali dad: a)

15 m 3m

10 días 2 días 1,5 4

b) 51 121

a) 15/3 = 10/2 = 5 b) 51 · 4 ≠ 121 · 1,5 ⇒ No forman proporción. 28. Escribe las proporciones que puedas obtener con las razones siguientes y calcula su constante de propor cionalidad: a)

8 2,5 24 1,5 b) c) d) 0,5 6 1,5 4

8 24 = = 16 0,5 1,5 29. Calcula el cuarto proporcional: a)

x 3 3 2 0,3 x = b) = c) = 14 7 2,4 x 0,5 3,5

a) x =

3 · 14 =6 7

b) x =

2,4 · 2 = 1,6 3

c) x =

0,3 · 3,5 = 2,1 0,5

30. Calcula el medio proporcional: a)

8 x = x 18

0,3 x = x 2,7

a) x 2 = 144 ⇒ x = ± 12 b) x 2 = 0,81 ⇒ x = ± 0,9 2. PROPORCIONALIDAD SIMPLE 31. Las ruedas delanteras de un tractor tienen un diáme tro de 0,9 m y las traseras tienen un diámetro de 1,2 m. Si en un trayecto las ruedas delanteras han dado 250 vueltas, ¿cuántas vueltas habrán dado las traseras? Longitud (m) (I) N.º de vueltas ––––––––– ––––––––– 0,9 ⎯⎯⎯→ 250 1,2 ⎯⎯⎯→ x 1,2 250 ⇒ x = 187,5 vueltas. = 0,9 x

}

32. Con 100 kg de harina se hacen 120 kg de pan. Calcu la la harina necesaria para elaborar un pan de 120 g Peso de pan (kg) (D) Peso de harina (kg) –––––––––––– –––––––––––––– 120 ⎯⎯⎯→ 100 0,12 ⎯⎯⎯→ x 120 100 ⇒ x = 0,1 kg = 100 g = 0,12 x

}

33. Un grifo vierte 25 L/min y tarda 2 h en llenar un depó sito. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar el mismo de pósito otro grifo que vierte 40 L/min? Caudal (L/min) (I) Tiempo (h) –––––––––– –––––––––––– 25 ⎯⎯⎯→ 2 40 ⎯⎯⎯→ x 40 2 = ⇒ x = 1 h 15 min 25 x

}

3. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA 34. ¿Qué interés produce un capital de 27 000 € al 3,5 % durante 2 años? I = c · r · t ; I = 27 000 · 0,035 · 2 = 1 890 € 35. El precio por transportar 1 500 kg de mercancía a una distancia de 100 km es de 80 €. ¿Qué precio se pagará por transportar 4 500 kg a 250 km? (D) (D) Peso (kg) Longitud (km) Dinero (€) –––––––– –––––––––– ––––––––– 1 500 ⎯⎯→ 100 ⎯⎯→ 80 4 500 ⎯⎯→ 250 ⎯⎯→ x 1 500 100 80 ⇒ x = 600 € · = 4 500 250 x

}

36. Ocho grifos abiertos 12 horas diarias han vertido agua por valor de 24 €. ¿Qué coste de agua se tendrá con 12 grifos abiertos 15 horas diarias durante el mismo periodo de tiempo?

de grifos Tiempo (h) Dinero (€) ––––––––– –––––––– ––––––––– 8 ⎯⎯→ 12 ⎯⎯→ 24 12 ⎯⎯→ 15 ⎯⎯→ x 8 12 24 · = ⇒ x = 45 € 12 15 x

}

37. Una familia de 5 miembros puede mantenerse duran te 8 meses con 5 000 €. ¿Cuántas personas podrían mantenerse durante 15 meses con 30 000 €? (D)

(I) Dinero (€) Tiempo (meses) N.o de personas –––––––– –––––––––––– ––––––––––– 5 000 ⎯⎯→ 8 ⎯⎯→ 5 30 000 ⎯⎯→ 15 ⎯⎯→ x

}

5 000 15 5 · = ⇒ x = 16 personas 30 000 8 x 38. Calcula el capital que hay que depositar al 3 % du rante 20 meses para que genere un interés de 350 €

350 · 12 = 7 000 € 0,03 · 20

c·r·t I·n ⇒t= n r·t

500 · 360 = 250 días 18 000 · 0,04

4. REPARTOS Y PORCENTAJES 40. Reparte 13 500 € en partes directamente proporcio nales a 4, 6 y 8 13 500 : (4 + 6 + 8) = 750 x = 750 · 4 = 3 000 € y = 750 · 6 = 4 500 € z = 750 · 8 = 6 000 € 41. Reparte 11 750 € en partes inversamente proporcio nales a 3, 4 y 5 m.c.m.(3, 4, 5) = 60 1/3 = 20/60, 1/4 = 15/60, 1/5 = 12/60 Se reparte directamente proporcional a 20, 15 y 12, respectivamente. 11 750 : (20 + 15 + 12) = 250 x = 250 · 20 = 5 000 € y = 250 · 15 = 3 750 € z = 250 · 12 = 3 000 € 42. A un conductor le han puesto una multa de tráfico de 150 €. Si la paga antes de un mes, se le aplica un 20 % de descuento. ¿Cuánto pagará por la multa?

43. En una tienda venden un determinado artículo ga nando el 30 % sobre el precio de coste. Si dicho pre cio era de 145 €, ¿cuál es el precio de venta? Precio de venta: 145 · 1,3 = 188,5 € 44. Un librero vende 144 libros de los 480 que tenía. ¿Qué porcentaje suponen del total de libros los que ha vendido? 144/480 = 3/10 = 0,3 = 30 % 45. A un trabajador que cobra 1 100 € mensualmente le suben su salario un 2 %. Al año siguiente, le suben nuevamente un 2,5 %. Calcula el salario mensual des pués de las dos subidas. Salario: 1100 · 1,02 · 1, 025 = 1150,05 € 46. En una tienda tienen una oferta de un 15 % de descuen to si se compran los jamones enteros. Si el precio del jamón está en 12 €/kg y aumentan la factura en un 10 % de IVA, calcula el precio de un jamón de 10 kg Precio: 10 · 12 · 0,85 · 1,1 = 112,2 € PARA AMPLIAR 47. Forma una proporción en la que figuren los siguien tes datos: 5 g, 15 g y 3 h 5 3 = 15 9

27 Unidad 3. Problemas aritméticos

.o N

c·r·t I·n ⇒c= n r·t

Pagaría: 150 · 0,8 = 120 €

(D) (D)

39. ¿Cuántos días debe estar un capital de 18 000 € al 4 % de interés para obtener 500 €?

48. Pintar una casa de 60 m2 cuesta 720 € y pintar una casa de 120 m2 cuesta 1 440 €. Expresa esta situa ción en forma de proporción. 60 720 = 120 1 440

(I) (I)

49. Calcula el cuarto proporcional: a)

N.o de obreros Tiempo diario (h) Tiempo (días) ––––––––––– –––––––––––– –––––––––– 30 ⎯⎯→ 8 ⎯⎯→ 360 40 ⎯⎯→ 6 ⎯⎯→ x

x 21 1,5 6 3,6 7,2 = b) = c) = 9 7 1,2 x x 6

a) x =

}

9 · 21 = 27 7

40 6 360 ⇒ x = 360 días · = 30 8 x

6 · 1,2 = 4,8 b) x = 1,5 c) x =

56. Transportar 200 cajas a 450 km tiene un coste de 300 €. ¿Cuántas cajas pueden transportarse a 280 km por 350 €?

3,6 · 6 =3 7,2

50. Calcula el medio proporcional:

(I) (D)

36 x 7 x a) = b) = x 81 x 28 a) = 2 916 ⇒ x = ± 54 b) x 2 = 196 ⇒ x = ±14 x2

51. Un granjero tiene alimento para 1 200 conejos duran te 180 días. Si vende 300 conejos, ¿durante cuántos días tendrá alimento para los conejos que quedan si no varía la ración? N.º de conejos (I) Tiempo (días) ––––––––––– ––––––––––– 1 200 ⎯⎯⎯→ 180 900 ⎯⎯⎯→ x 900 180 ⇒ x = 240 días = 1 200 x

}

52. Para hacer 120 kg de masa de bollería se necesitan 600 g de levadura. ¿Qué cantidad de levadura se ne cesitará para hacer 250 kg de masa? P eso de bollo (kg) (D) Peso de levadura (kg) ––––––––––––– ––––––––––––––– 120 ⎯⎯⎯→ 0,6 250 ⎯⎯⎯→ x 120 0,6 ⇒ x = 1,25 kg = 250 x

}

53. Una rueda de 15 dientes está engranada a otra rueda de 52 dientes. Si la primera da 156 revoluciones por minuto, ¿cuántas revoluciones por minuto dará la se gunda rueda? (I) Velocidad (rpm) N.o de dientes ––––––––––– ––––––––––––– 15 ⎯⎯⎯→ 156 52 ⎯⎯⎯→ x 52 156 ⇒ x = 45 rpm = 15 x

}

28 Solucionario

55. Para hacer una obra en 360 días hacen falta 30 obre ros trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días duraría la misma obra si hubiese 40 obreros trabajando 6 h diarias?

54. Veinte obreros asfaltan un tramo de carretera en 60 días. ¿Cuántos obreros harán falta para asfaltar el mismo tramo de carretera en 40 días? Tiempo (días) (I) N.o de obreros –––––––––– ––––––––––– 60 ⎯⎯⎯→ 20 40 ⎯⎯⎯→ x 40 20 ⇒ x = 30 obreros = 60 x

}

Longitud (km) Dinero (€) N.o de cajas –––––––––– ––––––––– –––––––––– 450 ⎯⎯→ 300 ⎯⎯→ 200 280 ⎯⎯→ 350 ⎯⎯→ x

}

280 300 200 ⇒ x = 375 cajas · = 450 350 x 57. Cinco grifos llenan un depósito de 20 000 L en 16 h. ¿Cuánto tiempo tardarán ocho grifos iguales a los an teriores en llenar un depósito de 30 000 L? (I) (D) Capacidad (L) Tiempo (h) N.o de grifos –––––––––– –––––––––– –––––––––– 5 ⎯⎯→ 20 000 ⎯⎯→ 16 8 ⎯⎯→ 30 000 ⎯⎯→ x

}

8 20 000 16 ⇒ x = 15 horas · = 5 30 000 x 58. ¿Qué interés generará un capital de 2 500 € durante 9 meses al 3 % anual? I=

c·r·t n

2 500 · 0,03 · 9 = 56,25 € 12

59. ¿Durante cuántos meses se deben depositar 2 000 € al 1,5 % de rédito para obtener 35 € de interés? I=

c·r·t I·n ⇒t= n c·r

35 · 12 = 14 meses 2 000 · 0,015

60. ¿A qué rédito se deben depositar 5 400 € durante 180 días para obtener 81 €? I=

c·r·t I·n ⇒r= n c·t

81 · 360 = 0,03 ⇒ R = 3 % 5 400 · 180

m.c.m. (5, 12, 15) = 60 1/5 = 12/60, 1/12 = 5/60, 1/15 = 4/60 Se reparte de forma directamente proporcional a 12, 5 y 4 respectivamente. 13 440 : (12 + 5 + 4) = 640 x = 640 · 12 = 7 680 € y = 640 · 5 = 3 200 € z = 640 · 4 = 2 560 € 62. Tres amigos organizan una peña para jugar a las qui nielas y aportan 23, 34 y 41 €. Si aciertan una quinie la por la que cobran 120 540 €, ¿qué cantidad le corresponde a cada uno si el reparto se hace de for ma directamente proporcional al dinero aportado? 120 540 : (23 + 34 + 41) = 1 230 x = 1 230 · 23 = 28 290 € y = 1 230 · 34 = 41 820 € z = 1 230 · 41 = 50 430 € 63. Si el 80 % de una masa de bollería es harina, calcula cuánta harina contiene un bollo de 300 gramos. Cantidad de harina: 300 · 0,8 = 240 g 64. En la mezcla de un desinfectante hay un 90 % de al cohol. Calcula cuánto alcohol hay en 200 mL de di cha mezcla. Cantidad de alcohol: 200 · 0,9 = 180 mL 65. En la factura de 105 € de la librería nos cargan un 4 % de IVA. ¿A cuánto asciende el total de la fac tura? Total de la factura: 105 · 1,04 = 109,20 € 66. En unos pantalones de 72 € nos aplican un descuen to del 20 %. Calcula cuánto se paga por el pantalón. Precio final: 72 · 0,8 = 57,60 € 67. A un trabajador que gana 1 502,5 € le aplican un 18 % de retención para pagar impuestos. ¿A cuánto as ciende dicha retención? Retención: 1 502,5 · 0,18 = 270,45 € PROBLEMAS 68. La razón de dos números es 3/2. Si el mayor de ellos es 36, calcula el otro. 3 36 = ⇒ x = 24 2 x 69. La razón de alturas de dos postes es igual a la de sus sombras. La altura del primer poste es de 12 m, y su sombra, de 20 m. Si la sombra del segundo poste es de 24 m, ¿cuál será su altura? 20 12 = ⇒ x = 14,4 m 24 x

70. La suma de dos números es 21. Si uno de ellos es proporcional a 3 y el otro a 4, calcula dichos nú meros. 21 : (3 + 4) = 3 1.er número = 3 · 3 = 9 2.° número = 4 · 3 = 12 71. Un granjero tiene pienso para 1 200 gallinas durante 120 días. Si vende 500 gallinas, ¿durante cuántos días tendrá alimento para las gallinas que quedan si no varía la ración? N.o de gallinas (I) Tiempo (días) ––––––––––– ––––––––––– 1 200 ⎯⎯⎯→ 120 700 ⎯⎯⎯→ x

}

700 70 ⇒ x = 120 días = 1 200 x 72. Una persona que escribe en el ordenador 140 pala bras por minuto tarda 12 h en hacer un trabajo. ¿A qué velocidad debe escribir si quiere tardar 10 h? Tiempo (h) (I) Velocidad (ppm) –––––––– ––––––––––– 12 ⎯⎯⎯→ 140 10 ⎯⎯⎯→ x

}

10 140 ⇒ x = 168 palabras/min = 12 x 73. Seis personas han consumido 16 m3 de agua. ¿Cuántos metros cúbicos de agua consumirán 15 personas man teniendo el mismo gasto por persona? N.o de personas (D) Volumen (m3) ––––––––––– ––––––––––– 6 ⎯⎯⎯→ 16 15 ⎯⎯⎯→ x

}

6 16 ⇒ x = 40 m3 = 15 x 74. Un transportista cobra 900 € por trasladar una carga a 35 km de distancia. ¿Cuánto cobrará por trasladar la misma carga a 105 km? Longitud (km) (D) –––––––––– 35 ⎯⎯⎯→ 105 ⎯⎯⎯→

Dinero (€) ––––––––––– 900 x

}

35 900 ⇒ x = 2 700 € = 105 x 75. Una persona ha realizado 1/3 de una obra en 6 días trabajando 8 horas diarias. Si hubiera trabajado 2 horas más cada día, ¿en cuántos días habría termi nado la obra? Haría toda la obra en 18 días trabajando 8 horas diarias. Tiempo (h/día) (I) ––––––––––– 8 ⎯⎯⎯→ 10 ⎯⎯⎯→ 10 18 ⇒ x = 14,4 días = 8 x

Tiempo (días) ––––––––––– 18 x

}

29 Unidad 3. Problemas aritméticos

61. Un padre reparte 13 440 € entre sus tres hijos en par tes inversamente proporcionales a sus edades, que son 5, 12 y 15 años. Calcula la parte que le corres ponde a cada uno.

76. Para hacer 100 kg de masa de pan se necesitan 1/2 kg de levadura, 59,5 kg de harina y 40 kg de agua. ¿Cuántos kilos de harina se necesitarán para hacer 350 kg de pan? Peso de pan (kg) (D) Peso de harina (kg) ––––––––––– ––––––––––––––– 100 ⎯⎯⎯→ 59,5 350 ⎯⎯⎯→ x 100 59,5 ⇒ x = 208,25 kg = 350 x

}

77. En un barco, una tripulación de 400 personas tiene pro visiones para 63 días tomando una ración de 1 960 g. Si la tripulación descendiese a 140 personas, ¿qué ración correspondería a cada persona para que las provisio nes durasen 80 días? (I) (I) Tiempo (días) Ración (g) N.o personas ––––––––– –––––––––– –––––––– 400 ⎯⎯→ 63 ⎯⎯→ 1 960 140 ⎯⎯→ 80 ⎯⎯→ x 140 80 1 960 ⇒ x = 4 410 g · = 400 63 x

}

78. Ocho obreros trabajan 12 días para hacer una obra y cobran 3 600 €. ¿Cuánto ganarán seis obreros si ha cen en 10 días el mismo trabajo? (D) (D) Tiempo (días) Dinero (€) .o de obreros N ––––––––––– –––––––––– ––––––––– 8 ⎯⎯→ 12 ⎯⎯→ 3 600 6 ⎯⎯→ 10 ⎯⎯→ x 8 12 3 600 ⇒ x = 2 250 € · = 6 10 x

}

79. Calcula el interés que producen 7 000 € en 4 años al 1,5 % de rédito anual. I=c·r·t I = 7 000 · 0,015 · 4 = 420 € 80. Calcula el rédito al que hay que depositar 35 500 € durante 3 años para conseguir un interés de 1 597,5 € I=c·r·t⇒r=

I c·t

1 597,5 = 0,015 ⇒ R = 1,5 % r= 35 500 · 3

30 Solucionario

81. Calcula cuántos meses hay que depositar 25 000 € al 4 % para conseguir 2 000 € de interés. I=

c·r·t I·n ⇒t= n c·r

2 000 · 12 = 24 meses 25 000 · 0,04

PARA PROFUNDIZAR 82. Se reparte una cantidad entre tres personas en par tes directamente proporcionales a 3, 5 y 7. Si a la

segunda persona le corresponden 2 200 €, calcula cuánto le corresponde a cada una y la cantidad total repartida. A cada unidad le corresponde: 2 200 : 5 = 440 € A la 1.ª le corresponde: 440 · 3 = 1320 € A la 3.ª le corresponde: 440 · 7 = 3 080 € Total: 1 320 + 2 200 + 3 080 = 6 600 € 83. Un vendedor de motos gana un 30 % sobre el precio de coste de una moto. Si la moto tiene un precio de coste de 15 600 € y el vendedor hace un 10 % de des cuento y aumenta un 21 % de IVA, ¿cuál es el precio final de la moto? Precio: 15 600 · 1,3 · 0,9 · 1,21 = 22 084,92 € 84. ¿Qué porcentaje de descuento se ha aplicado a un producto que costaba 500 € y por el que se han pa gado 325 €? Se ha pagado: 325/500 = 0,65 Se ha descontado el 35 % 85. Dos ruedas están engranadas en una máquina y tienen 12 y 45 dientes. Si la primera da 15 vueltas en 1/5 de minuto, ¿cuántas vueltas dará la segunda en una hora? (I) (D) Tiempo (min) N.o de vueltas N.o de dientes ––––––––––– –––––––––– ––––––––––– 12 ⎯⎯→ 1/5 ⎯⎯→ 15 45 ⎯⎯→ 60 ⎯⎯→ x 45 1/5 15 ⇒ x = 1 200 vueltas · = 12 60 x

}

86. Calcula la amplitud de los ángulos de un triángulo sabiendo que dichos ángulos son directamente pro porcionales a 2, 3 y 5 180° : (2 + 3 + 5) = 18° x = 18° · 2 = 36° y = 18° · 3 = 54° z = 18° · 5 = 90° 87. Al ir a pagar una factura en la que hacen un 15 % de descuento y aplican un 21 % de IVA, ¿es mejor que hagan primero el descuento y luego apliquen el IVA, al revés, o da lo mismo? Total: Precio · 0,85 · 1,21 = Precio · 1,21 · 0,85 Da lo mismo. 88. Un determinado producto aumenta su precio un 15 % en un año. Al año siguiente aumenta un 16 %. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento en total? 1,15 · 1,16 = 1,334. Ha aumentado un 33,4 %

Matematización

en contextos reales

89. Si el IPC del último año ha sido de un 1,4 % y las pen siones de jubilación deben subir de acuerdo con di cho índice, calcula cuánto cobrará con la subida una persona cuya pensión es de 950 € 950 · 1,014 = 963,3 €

1. Define qué son magnitudes inversamente proporcio nales y pon un ejemplo. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de las cantidades correspondientes es constante. Ejemplo: A una velocidad de 10 km/h se tardan 6 horas en recorrer una distancia. Velocidad (km/h) 10 20 30 40 Tiempo (h)

1,5

Las magnitudes velocidad y tiempo son inversamente proporcionales. 2. Calcula el cuarto o medio proporcional en las si guientes proporciones: a)

x 30 4,2 4,5 4 x x 3,2 = b) = c) = d) = 21 35 2,8 x x 36 0,8 x

a) x = 18

b) x = 3

c) x = ±12

Dinero (€) –––––––––– 3,2 x

}

4. Cuatro amigos tienen alimentos para 15 días de va caciones. Si llegan dos amigos más, ¿para cuántos días tendrán alimentos comiendo todos la misma cantidad? (I) N.o de amigos ––––––––––– 4 ⎯⎯⎯→ 6 ⎯⎯⎯→ 6 15 ⇒ x = 10 días = 4 x

Precio inicial: 232 : (0,8 · 1,21) = 239,67 € 6. Diez obreros asfaltan 80 km en 24 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para asfaltar 220 km en 30 días? (D) (I) Longitud (km) Tiempo (días) N.o de obreros –––––––––– –––––––––– ––––––––––– 80 ⎯⎯→ 24 ⎯⎯→ 10 220 ⎯⎯→ 30 ⎯⎯→ x 80 30 10 ⇒ x = 22 obreros · = 220 24 x

}

7. ¿A qué rédito se han depositado 4 200 € durante 14 meses si se ha obtenido un interés de 196 €? I=

c·r·t I·n ⇒r= n c·t

196 · 12 = 0,04 4 200 · 14

d) x = ±1,6

3. Se han comprado 250 g de queso por 3,2 €. ¿Cuánto pagaremos por 450 g? Peso (g) (D) ––––––––– 250 ⎯⎯⎯→ 450 ⎯⎯⎯→ 250 3,2 ⇒ x = 5,76 € = 450 x

5. En una tienda compramos un televisor con una rebaja del 20 % y nos cobran el 21 % de IVA. Si pagamos 232 € por él, ¿cuál era su precio inicial?

Tiempo (días) –––––––––– 15 x

}

R = 4 % 8. Los tres primeros clasificados de una competición deben repartirse 17 930 € en partes inversamente proporcionales al puesto en el que han quedado. ¿Cuánto percibe cada uno? m.c.m. (1, 2, 3) = 6 6 1 3 1 2 1= ; = ; = 6 2 6 3 6 Se reparte de forma directamente proporcional a 6, 3 y 2, respectivamente. 17 930 : (6 + 3 + 2) = 1 630 x = 1 630 · 6 = 9 780 € y = 1 630 · 3 = 4 890 € z = 1 630 · 2 = 3 260 €

31 Unidad 3. Problemas aritméticos

Autoevaluación

a) 2, 4, 6, 8 ⇒ an = 2n b) 1, 3, 5, 7 ⇒ an = 2n – 1 c) 5, 10, 15, 20 ⇒ an = 5n 3 d) 1, 8, 27, 64 ⇒ an = n

4. Sucesiones y progresiones 1. Sucesiones

2. Progresiones

PIENSA Y CALCULA Dibuja el siguiente elemento de estas series: a)

6 3

Calcula mentalmente la suma de los 100 primeros nú meros naturales. Observa que la suma de los términos equidistantes de los extremos son iguales. 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101…

⇒

101 · 50 = 5 050

⇒

CARNÉ CALCULISTA Calcula:

7 5 3 9 17 · – : = 3 2 8 4 3

APLICA LA TEORÍA 12

CARNÉ CALCULISTA Calcula con dos decimales: 423,7 : 0,72 C = 588,47; R = 0,0016 APLICA LA TEORÍA 1. Halla los diez primeros términos de las siguientes sucesiones: a) 3, 8, 13, 18… b) 8, 4, 0, – 4… c) 2, – 2, 2, – 2… d) 1/2, 1/4, 1/6, 1/8… a) 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48 b) 8, 4, 0, – 4, – 8, – 12, – 16, – 20, – 24, – 28 c) 2, – 2, 2, – 2, 2, – 2, 2, – 2, 2, – 2 d) 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, 1/12, 1/14, 1/16, 1/18, 1/20 2. Halla los diez primeros términos de las siguientes sucesiones: a) 2, 1, 2, 4, 2, 7… b) 1, 1, 2, 3, 5, 8… c) 2, 1, 4, 3, 6, 5… d) 1, – 2, 4, – 8… a) 2, 1, 2, 4, 2, 7, 2, 10, 2, 13 b) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 c) 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, 10, 9 d) 1, – 2, 4, – 8, 16, – 32, 64, – 128, 256, – 512 3. Calcula los cuatro primeros términos de las siguien tes sucesiones: b) an = (n + 1)2 a) an = 3n + 2 n c) an = 3 · 2 d) an = (– 2)n

32 Solucionario

aritméticas

PIENSA Y CALCULA

a) 5, 8, 11, 14 b) 4, 9, 16, 25 c) 6, 12, 24, 48 d) – 2, 4, – 8, 16 4. Halla los cuatro primeros términos positivos de las sucesiones siguientes y trata de hallar mentalmente la fórmula del término general. a) Números pares. b) Números impares. c) Múltiplos de 5 d) Cubos perfectos.

5. Encuentra el término general de las siguientes pro gresiones aritméticas: a) 5, 9, 13, 17… b) 6, 3, 0, – 3… c) 2/3, 1/3, 0, – 1/3… d) 1/2, 1, 3/2, 2… a) a1 = 5, d = 4 an = 5 + 4(n – 1) = 4n + 1 b) a1 = 6, d = – 3 an = 6 – 3(n – 1) = – 3n + 9 c) a1 = 2/3, d = – 1/3 an =

2 1 n – (n – 1) = 1 – 3 3 3

d) a1 = 1/2, d = 1/2 an =

1 1 n + (n – 1) = 2 2 2

6. Escribe el término general y los tres primeros térmi nos de la progresión aritmética cuyo primer término es a1 = 6 y d = 2,5 an = a1 + (n – 1)d an = 6 + 2,5(n – 1) = 2,5n + 3,5 6; 8,5; 11 7. En la progresión 5, 9, 13, 17…, ¿qué término vale 49? a1 = 5, d = 4 an = 4n + 1 4n + 1 = 49 ⇒ n = 12 8. En una progresión aritmética conocemos los térmi nos a5 = 19 y a8 = 28. Calcula la diferencia y el primer término. a1 + 4d = 19 a1 + 7d = 28 Restando a la 2.ª ecuación la 1.ª: 3d = 9 ⇒ d = 3 a1 + 4 · 3 = 19 ⇒ a1 = 7 9. Calcula la suma de los 25 primeros términos de la progresión aritmética cuyo término general es: an = 2n + 6

a1 + an

Sn =

15. Encuentra la razón de la progresión geométrica que tiene a4 = 135 y a6 = 1 215

·n

2 a1 = 2 + 6 = 8 a25 = 50 + 6 = 56 S=

}

a1 · r 3 = 135 a1 · r 5 = 1 215

8 + 56 · 25 = 800 2

Dividiendo la 2.ª ecuación entre la 1.ª: r2 = 9 ⇒ r = ± 3

10. Calcula la suma de los 12 primeros términos de la progresión aritmética cuyo término general es: 3n an = +2 2 a1 + an ·n Sn = 2 a1 = 3/2 + 2 = 7/2 a12 = 18 + 2 = 20 S=

7/2 + 20 · 12 = 141 2

3. Progresiones

b) 3, – 6, 12, – 24… a) a1 = 2, r = 7, a10 = 2 · 79 2 · 79 · 7 – 2 = 94 158 416 7–1 b) a1 = 3, r = – 2, a10 = 3 · (– 2)9 S10 =

S10 =

geométricas

PIENSA Y CALCULA Calcula mentalmente los dos términos siguientes de cada una de estas sucesiones: a) 3, 6, 12, 24… b) 20, 10, 5, 5/2… c) 3, 3, 3, 3… d) 5, – 5, 5, – 5… a) 48, 96

16. Calcula la suma de los 10 primeros términos de las siguientes progresiones geométricas: a) 2, 14, 98, 686…

b) 5/4, 5/8

c) 3, 3

d) 5, – 5

CARNÉ CALCULISTA Calcula con dos decimales: 34,25 : 9,6 C = 3,56; R = 0,074

3 · (– 2)9 · (– 2) – 3 = – 1 023 (– 2) – 1

17. La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es 6 y su primer término es 4. Halla la ra zón. 4 = 6 ⇒ r = 1/3 1–r 18. Si en un cuadrado de área 8 m2 se unen los puntos medios, se obtiene otro cuadrado, y así sucesiva mente. Calcula la sucesión de las áreas de dichos cuadrados. ¿Qué tipo de progresión es?

APLICA LA TEORÍA 11. Encuentra el término general de las siguientes pro gresiones geométricas: a) 5, 15, 45, 135… b) 6, 3, 3/2, 3/4… n–1

b) a1 = 6, r = 1/2 ⇒ an = 6 ·

() 1 2

n–1

4. Aplicaciones:

b) a10 = 4 · 59

c) an = 4 · 5n – 1

13. Calcula la suma de los infinitos términos de las si guientes progresiones geométricas: a) 1/5, 1/25, 1/125, 1/625… b) 3, 2, 4/3, 8/9, 16/27… a) a1 = 1/5, r = 1/5 ⇒ |1/5| < 1 ⇒ S =

1/5 = 1/4 1 – 1/5

3 =9 b) a1 = 3, r = 2/3 ⇒ |2/3| < 1 ⇒ S = 1 – 2/3 14. En la progresión geométrica 2, 4, 8, 16, 32…, ¿qué término vale 1 024? a1 = 2, r = 2 y an = 2 · 2n – 1 2 · 2n – 1 = 1024 2n = 210 n = 10

interés simple

y compuesto

12. Dada una progresión geométrica cuyo primer térmi no es a1 = 4 y la razón r = 5, calcula: a) a6 b) a10 c) an a) a6 = 4 · 55

8, 4, 2, 1… Es una progresión geométrica decreciente de razón: r = 1/2

PIENSA Y CALCULA Si se depositan en una libreta de ahorro 1 000 € y se paga un 1,5 % de interés anual, ¿cuánto dinero producen al cabo de un año? 15 € CARNÉ CALCULISTA 2 7 5 16 : – = Calcula: 15 8 6 5

( )

APLICA LA TEORÍA 19. En un depósito de una entidad financiera ofrecen un 1,5 % de interés simple anual. Si se depositan 7 500 € durante 2 años y Hacienda retiene el 21 %, calcula el capital acumulado al finalizar el periodo. Tanto por uno final: 0,015 · 0,79 = 0,01185 I = c · r · t I = 7 500 · 0,01185 · 2 = 177,75 € C = 7 500 + 177,75 = 7 677,75 €

33 Unidad 4. Sucesiones y progresiones

a) a1 = 5, r = 3 ⇒ an = 5 · 3

20. Calcula los años que ha estado depositado un ca pital de 5 000 € al 2 % de interés simple si se han generado 400 € de intereses, sin el descuento de Ha cienda. I c·r

I=c·r·t⇒t= t=

400 = 4 años 5 000 · 0,02

21. Calcula el rédito al que se han depositado 18 000 € a interés simple durante 5 años si, una vez retenido el 21 % de Hacienda, los intereses generados son de 1 777,5 € I I=c·r·t⇒r= c·t 1 777,5 = 0,01975 18 000 · 5 El rédito bruto: r = 0,01975 : 0,79 = 0,025 ⇒ R = 2,5 %

22. Se depositan 6 500 € al 1,5 % de interés compuesto durante 4 años. Hacienda retiene el 21 % de los inte reses cuando se recupera el capital. Calcula el ca pital final si los intereses se abonan anualmente. C = c (1 + r )t ⇒ C = 6 500 · 1,0154 = 6 898,86 € Los intereses son: 6 898,86 – 6 500 = 398,86 € Hacienda retiene: 398,86 · 0,21 = 83,76 € El capital final neto será: 6 898,86 – 83,76 = 6 815,1 € 23. Se depositan 35 500 € al 3 % de interés compuesto con abono de intereses diarios durante 2 años. Calcula el capital final si Hacienda retiene el 21 % al finalizar el plazo.

( ) ( )

r C=c 1+ n

n·t

C = 35 500 1 +

0,03 360

360 · 2

= 37 695,10 €

Los intereses son: 37 695,10 – 35 500 = 2 195,10 € Hacienda retiene: 2 195,10 · 0,21 = 460,97 € El capital final neto será: 37 695,10 – 460,97 = 37 234,13 € 24. ¿Qué capital inicial es necesario para que, a interés compuesto durante 4 años al 2 % anual y con perio dos de capitalización anuales, se acumule un capital final de 13 530,40 €? 13 530,40 C ⇒c= ⇒c= C = c (1 1,024 (1 + r)t c = 12 500 € + r)t

Ejercicios

y problemas propuestos

34 Solucionario

1. SUCESIONES 25. Escribe los seis primeros términos de las siguientes sucesiones: a) 1, 9, 17, 25… b) 2, – 4, 8, – 16… c) Los múltiplos de 5 d) Los inversos de los cuadrados de los números na turales.

a) 1, 9, 17, 25, 33, 41 b) 2, – 4, 8, – 16, 32, – 64 c) 0, 5, 10, 15, 20, 25 d) 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, 1/36 26. Halla los diez primeros términos de las siguientes sucesiones: a) x, 2x, 4x, 8x… b) 1, 3, 4, 3, 9… c) 3, 3, 6, 9, 15… d) El triple de los números naturales. a) x, 2x, 4x, 8x, 16x, 32x, 64x, 128x, 256x, 512x b) 1, 3, 4, 3, 9, 3, 16, 3, 25, 3 c) 3, 3, 6, 9, 15, 24, 39, 63, 102, 165 d) 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 27. Calcula los cinco primeros términos de las siguien tes sucesiones: a) an = – 4n + 2 b) an = n 2 + 1 –n c) an = 2 d) an = (n – 2)n a) – 2, – 6, – 10, – 14, – 18 b) 2, 5, 10, 17, 26 c) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 d) – 1, 0, 1, 16, 243 2. PROGRESIONES ARITMÉTICAS 28. Encuentra el término general de las siguientes pro gresiones aritméticas: a) 7, 11, 15… b) 3, – 2, – 7… c) – 7, – 3, 1… d) 1/2, 3/4, 1… a) a1 = 7, d = 4 ⇒ an = 7 + 4(n – 1) = 4n + 3 b) a1 = 3, d = – 5 ⇒ an = 3 – 5(n – 1) = – 5n + 8 c) a1 = – 7, d = 4 ⇒ an = – 7 + 4(n – 1) = 4n – 11 1 1 1 1 n+1 d) a1 = , d = ⇒ an = + (n – 1) = 2 4 2 4 4 29. Escribe el término general y los tres primeros térmi nos de la progresión aritmética cuyo primer término es a1 = 3 y cuya diferencia es d = – 15/4 15 – 15n + 27 (n – 1) = 4 4 3, – 3/4, – 9/2

an = 3 –

30. En una progresión aritmética, a11 = 3 y la diferencia es d = 2/7. Calcula el primer término. a11 = 3, d = 2/7 a1 +

2 (11 – 1) = 3 ⇒ a1 = 1/7 7

31. En una progresión aritmética el primer término vale 3 y el sexto término vale 8. Calcula la diferencia. a1 = 3, a6 = 8 a6 = a1 + d(6 – 1) 8 = 3 + 5d d=1 32. En las siguientes progresiones aritméticas, calcula el término que ocupa el último valor: a) 4, 6, 8…, 30 b) 7/2, 5/2, 3/2… , – 21/2

38. En una progresión geométrica, a7 = 64/81 y la razón r = 2/3. Calcula el primer término.

a) a1 = 4, d = 2, an = 30 an = a1 + d(n – 1) 30 = 4 + 2(n – 1) n = 14 b) a1 = 7/2, d = – 1, an = – 21/2 an = a1 + d(n – 1) – 21/2 = 7/2 – (n – 1) n = 15

a7 = a1 · r 7 – 1

()

64 2 =a · 81 1 3 a1 = 32 = 9

33. En una progresión aritmética conocemos los térmi nos a5 = 7 y a7 = 25/3. Calcula la diferencia y el primer término. an = a1 + (n – 1)d 7 = a1 + (5 – 1)d ⇒ a1 + 4d = 7 25 25 = a1 + (7 – 1)d ⇒ a1 + 6d = 3 3 Restando a la 2.ª ecuación la 1.ª:

34. Calcula la suma de los 15 primeros términos de la progresión aritmética cuyo término general es an = 3n + 12 a1 = 3 + 12 = 15 a15 = 3 · 15 + 12 = 57

3. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 36. Encuentra el término general de las siguientes pro gresiones geométricas: a) 6, 12, 24… b) 1/3, 1, 3… c) – 3, 6, – 12… d) 3/4, – 1/2, 1/3… a) a1 = 6, r = 2, an = 6 · 2n – 1 1 1 b) a1 = , r = 3, an = · 3n – 1 = 3n – 2 3 3 c) a1 = – 3, r = – 2, an = – 3 · (– 2)n – 1

( )

37. Dada una progresión geométrica cuyo primer término es a1 = 8 y cuya razón es r = 3/4, calcula: b) a10 a) a6 c) a20 d) an

c) a20 = 8 ·

3 4

39. En la progresión geométrica – 5, 10, – 20…, ¿qué tér mino vale 640? an = a1 · r n – 1 a1 = – 5, r = – 2 640 = – 5 · (– 2)n – 1 – 128 = (– 2)n – 1 (– 2)7 = (– 2)n – 1 n–1=7⇒n=8

an = a1 · r n – 1 243 = 1/3 · r 7 – 1 r 6 = 729 r 6 = 36 r = ±3 41. Encuentra la razón de la progresión geométrica que tiene a1 = 27/64 y a8 = 2/81

() ()

b) a10 = 8 · d) an = 8 ·

3 4

2 27 8 – 1 = ·r 81 64 r7 = r=

() 2 3

n–1

2 3

42. Calcula la suma de los 12 primeros términos de las siguientes progresiones: a) 4, – 8, 16… b) 1/10, 1/5, 2/5… a) a1 = 4, r = – 2 a12 = 4 · (– 2)11 S12 = b) a1 =

4 · (– 2)11 · (– 2) – 4 = – 5 460 – 2 – 1

1 ,r=2 10

a12 =

n–1

3 3 2 d) a1 = , r = – 2/3, an = · – 4 4 3

3 4

S12 =

1 11 ·2 10 1/10 · 211 · 2 – 1/10 819 = 2–1 2

43. Calcula la suma de los infinitos términos de las si guientes progresiones: a) 9, 3, 1… b) 9/4, 3/2, 1… a) a1 = 9, r = S=

1 3

9 27 = 1 – (1/3) 2

35 Unidad 4. Sucesiones y progresiones

35. Calcula la suma de los 12 primeros términos de la progresión aritmética cuyo término general es: n 4 an = + 3 3 1 4 5 a1 = + = 3 3 3 12 4 16 a12 = + = 3 3 3 5/3 + 16/3 S12 = · 12 = 42 2

() ()

()

26 2 =a 34 1 3

an = a1 · r n – 1

15 + 57 · 15 = 540 2

a) a6 = 8 ·

⇒

40. En una progresión geométrica el primer término es 1/3 y el séptimo término es 243. Calcula la razón.

4 2 ⇒d= 3 3 2 13 a1 + 4 · = 7 ⇒ a1 = 3 3

2d =

S15 =

unos intereses netos, es decir, descontado el 21 % de la retención de Hacienda, de 592,5 €

9 2 b) a1 = , r = 4 3 S=

9/4 27 = 1 – (2/3) 4

44. ¿Cuántos términos hay que tomar de la siguiente pro gresión: 5, 10, 20… para que la suma sea 2 555? a · r – a1 Sn = n r–1 a1 = 5, r = 2 an = 5 · 2n – 1

5 · 2n – 1 · 2 – 5 = 2 555 2–1 5(2n – 1) = 2 555 2n = 512 2n = 29 n=9 45. La suma de los infinitos términos de una progresión es 12, y su razón r = 1/2. Halla el primer término. Sn =

4. APLICACIONES: INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO 46. En un depósito ofrecen un 2,5 % de interés simple por 4 años. Si se depositan 12 000 € y Hacienda retiene el 21 % de los intereses, calcula el capital acumula do al finalizar el periodo. El tanto por uno final: 0,025 · 0,79 = 0,01975 I=c·r·t I = 12 000 · 0,01975 · 4 = 948 € C = 12 000 + 948 = 12 948 € 47. Calcula los años que ha estado depositado un capi tal de 25 500 € al 2 % de interés simple si, realizada la retención de Hacienda del 21 %, se han generado 1 611,6 € de intereses. Interés bruto: 1 611,6 : 0,79 = 2 040 € I c·r

2 040 = 4 años 25 500 · 0,02

48. Calcula el rédito o tanto por ciento al que se han de positado 20 000 € a interés simple durante 2 años si, una vez retenido el 21 % de Hacienda, los intereses generados son de 632 €

36 Solucionario

Interés bruto: 632 : 0,79 = 800 € I=c·r·t⇒r= r=

50. Una entidad financiera ofrece un 2,5 % anual por un depósito renovable todos los meses. Si los intereses no se acumulan en el depósito y este se renueva 5 meses, ¿qué interés se obtendrá por 18 000 € una vez descontado el 21 % de retención de Hacienda? Tanto por uno final: 0,025 · 0,79 = 0,01975 t n 5 I = 18 000 · 0,01975 · = 148,13 € 12

I=c·r·

51. ¿Qué capital se acumula en caso de colocarse 31 000 € al 2 % de interés compuesto durante 3 años si los intereses se abonan trimestralmente y Hacien da retiene el 21 % al finalizar el plazo? r n

n·t

0,02 4 · 3 = 32 912,01 € 4 Los intereses son: 32 912,01 – 31 000 = 1 912,01 € Hacienda retiene: 1 912,01 · 0,21 = 401,52 € El capital final neto será: 32 912,01 – 401,52 = 32 510,49 €

C = 31 000 1 +

a1 = 6

750 = 25 000 € 0,015 · 2

C=c 1+

a1 1 – 1/2

I=c·r·t⇒t=

c =

( ) ( )

a1 1–r

12 =

592,5 : 0,79 = 750 €

I c·t

800 = 0,02 ⇒ R = 2 % 20 000 · 2

49. Calcula el capital que hay que depositar durante 2 años al 1,5 % de interés simple para que generen

52. ¿Qué capital inicial es necesario tener depositado para que, a interés compuesto durante 5 años al 3 % anual y con periodos de capitalización mensuales, se acumule un capital final de 23 232,34 €?

( ) ( )

C=c 1+

r n

n·t

0,03 12 · 5 = 23 232,34 12 1,002560 · c = 23 232,34 c = 20 000 € c 1+

PARA AMPLIAR 53. Estudia si las siguientes sucesiones son progresio nes aritméticas o geométricas y encuentra el térmi no general: a) – 3/5, 3/10, 6/5… b) 11/3, 35/12, 13/6… c) 5/6, 1/2, 3/10… d) 3/4, – 1/2, 1/3… a) a1 = – 3/5, d = 9/10 Progresión aritmética de término general: an = –

3 9 9n – 15 + (n – 1) = 5 10 10

b) a1 = 11/3, d = – 3/4 Progresión aritmética de término general: an =

11 3 53 – 9n – (n – 1) = 3 4 12

c) a1 = 5/6, r = 3/5 Progresión geométrica de término general: an = 5/6 · (3/5)n – 1 d) a1 = 3/4, r = – 2/3 Progresión geométrica de término general: an = 3/4 · (– 2/3)n – 1 54. Escribe el término general y los tres primeros términos de la progresión aritmética cuyo primer término es a1 = 3/4 y cuya diferencia es d = 0,5 an = a1 + (n – 1)d an = 3/4 + 0,5(n – 1) = 2n + 1 4

55. Calcula el término que ocupa el lugar 100 en la pro gresión: – 5, – 13/3, – 11/3… an = – 5, d = 2/3 a100 = – 5 + (100 – 1)2/3 = – 5 + 66 = 61 a100 = 61 56. Calcula el primer término y la diferencia en las pro gresiones aritméticas en las que: a) a3 = 70 y a6 = 115 b) a5 = 6 y a9 = 7

}

a) a1 + 2d = 70 a1 + 5d = 115

Restando a la 2.ª ecuación la 1.ª: 3d = 45 ⇒ d = 15 a1 + 2 · 15 = 70 ⇒ a1 = 70 – 30 = 40

}

b) a1 + 4d = 6 a1 + 8d = 7

4d = 1 ⇒ d = 1/4 1 = 6 ⇒ a1 = 5 4

57. Calcula la suma de los 12 primeros términos de la progresión aritmética cuyo término general es: 5n 1 + an = 2 2 a1 = 3 a12 = 30 + 1/2 = 61/2 3 + 61/2 · 12 = 201 2

n–1

1 4 · 2 3

n–2

59. Calcula la suma de los cinco primeros términos de las siguientes progresiones: a) 12, 4, 4/3… b) 9/4, 3/2, 1… a) a1 = 12, r = 1/3 a5 = 12 · (1/3)4 S5 =

() () () ()

3 4 a) a5 = · 8 3

3 4 · 8 3

S5 =

12(1/3)4 · 1/3 – 12 484 = 1/3 – 1 27

4/9 · 2/3 – 9/4 211 = 2/3 – 1 36

60. Calcula la suma de los infinitos términos de las si guientes progresiones: a) 5, 5/4, 5/16… b) √ 2, 1, 1/√ 2… a) a1 = 5, r = 1/4 5 20 = 1 – 1/4 3 — — b) a1 = √ 2, r = 1/√ 2 — √2 2 S= —= — 1 – 1/√ 2 √ 2 – 1 S=

61. En una progresión geométrica a4 = 125 y a6 = 3 125. Calcula el primer término y la razón. an = ak · r n – k

1 4 = · 2 3

3 125 = 125 · r 2 r 2 = 25 ⇒ r = ± 5 Si r = 5 ⇒ a1 = 1 Si r = – 5 ⇒ a1 = – 1 62. Calcula los años que ha estado depositado un ca pital de 28 500 € al 3 % de interés simple si se han generado 3 377,25 € una vez retenido el 21 % de Ha cienda. Interés bruto: 3 377,25 : 0,79 = 4 275 € I=c·r·t⇒t= t=

58. Dada una progresión geométrica cuyo primer térmi no es a1 = 3/8 y cuya razón es r = 4/3, calcula: a) a5 b) a15 c) a30 d) an

b) a15 =

3 4 · 8 3

a6 = a4 · r 6 – 4

Restando a la 2.ª ecuación la 1.ª:

d) an =

b) a1 = 9/4, r = 2/3 a5 = 9/4 · (2/3)4 = 4/9

3/4, 5/4, 7/4

a1 + 4 ·

3 4 · 8 3

1 4 · 2 3

I c·r

4 275 = 5 años 28 500 · 0,03

63. Calcula el rédito al que se han depositado 15 000 € a interés simple durante 3 años si, una vez retenido el 21 % de Hacienda, los intereses generados son de 888,75 € Interés bruto: 888,75 : 0,79 = 1 125 € I=c·r·t⇒r= r=

I c·t

1 125 = 0,025 ⇒ R = 2,5 % 15 000 · 3

37 Unidad 4. Sucesiones y progresiones

an =

3 1 + (n – 1) 4 2

() () () ()

c) a30 =

64. Una entidad financiera ofrece un 1,4 % anual por un depósito renovable todos los meses. Si los intereses no se acumulan en el depósito y este se renueva 3 meses, ¿qué interés se obtiene por 24 000 € con la retención del 21 % de Hacienda? Tanto por uno final: 0,014 · 0,79 = 0,01106

3 = 66,36 € 12 65. El primer término de una progresión geométrica es 225, y el cuarto término es 72/5. Calcula la suma de sus infinitos términos. 72 225 · r 3 = 5 8 2 3 r3 = = 125 5 r = 2/5 225 S= = 375 1 – 2/5 I = 24 000 · 0,01106 ·

()

66. Calcula el capital bruto que se acumula si se colo can 40 500 € al 3 % de interés compuesto durante 4 años si los intereses se abonan según las modali dades siguientes: a) Anualmente. b) Mensualmente. a) C = c (1 + r )t C = 40 500 · 1,034 = 45 583,11 €

( ) ( ) r n

12 · 4

= 45 656,78 €

67. Calcula los cinco siguientes términos de las progre siones: a) 3,27; 3,45; 3,63… b) 1 000, 1 200, 1 440… a) a1 = 3,27; d = 0,18 3,27; 3,45; 3,63; 3,81; 3,99; 4,17; 4,35; 4,53… b) a1 = 1 000; r = 1,2 1 000; 1 200; 1 440; 1 728; 2 073,6; 2 488,32; 2 985,984; 3 583,1808 68. Calcula los tres siguientes términos de la progresión 3,5; 4,2; 5,04… 6,048; 7,2576; 8,70912 PROBLEMAS 69. Continúa las siguientes series de números figurados, hasta obtener tres términos más: b)

38 Solucionario

1, 3, 5, 7… a1 = 1, d = 2 a100 = 1 + (100 – 1) · 2 = 199 S100 =

1 + 199 · 100 = 10 000 2

71. Un móvil avanza 5 metros en un segundo y sigue avanzando de forma que cada segundo avanza 2 me tros más que en el segundo anterior. ¿Cuánto reco rrerá en un minuto? 5, 7, 9… a1 = 5, d = 2 a60 = 5 + (60 – 1) · 2 = 123 m S60 =

5 + 123 · 60 = 3 840 m 2

72. Un dependiente recibe el primer día de trabajo una gratificación de 10 €. En los días sucesivos, esta gra tificación va aumentando en 1,5 €, de manera que, en su última jornada, cobra 143,5 €. ¿Cuántos días tra bajó y cuánto cobró en total por las gratificaciones?

10 + 143,5 · 90 = 6 907,5 € 2

73. El precio de la primera entrega de una colección de minerales es de 2 €. En las siguientes entregas el precio sube 0,03 € más que en la anterior. Si la co lección consta de 100 ejemplares, ¿cuánto se pagará por el total de la colección? a1 = 2 €, d = 0,03 € a100 = 2 + 99 · 0,03 = 4,97 € S100 =

2 + 4,97 · 100 = 348,5 € 2

74. Calcula la suma de los 15 primeros múltiplos positi vos de 6 6, 12, 18… a1 = 6, d = 6 a15 = 6 + 6(15 – 1) = 90 S15 =

6 + 90 · 15 = 720 2

75. Jorge cobra 18 € semanales de paga y decide aho rrar 1,8 € el primer mes y aumentar cada mes 0,75 € más que el anterior. ¿Cuánto ahorrará en un año? a1 = 1,8 €, d = 0,75 € a12 = 1,8 + 11 · 0,75 = 10,05 €

a) 1

S90 =

CON CALCULADORA

a1 = 10 €, d = 1,5 € 10 + 1,5(n – 1) = 143,5 1,5n + 8,5 = 143,5 n = 90 días

n·t

0,03 C = 40 500 1 + 12

70. Calcula la suma de los primeros 100 números impares.

t I=c·r· n

b) C = c 1 +

S12 =

1,8 + 10,05 · 12 = 71,1 € 2

a1 = 7,5 €, d = 2,3 € a40 = 7,5 + 39 · 2,3 = 97,2 € S40 = 7,5 + 97,2 · 40 = 2 094 € 2 77. Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabien do que están en progresión aritmética y que el menor de ellos mide 6 cm 6 cm

6+d

a1 = 6 a2 = 6 + d a3 = 6 + 2d

(6 + 2d )2 = (6 + d )2 + 62 3d 2 + 12d – 36 = 0 ⇒ d 2 + 4d – 12 = 0 d=2 d = – 6 (Solución no válida) Los lados son: 6 cm, 8 cm, 10 cm 78. Se quiere saldar semanalmente una deuda. La pri mera semana se pagan 5 € y en cada una de las se manas siguientes se van pagando 4 € más que en la anterior. Si se paga en 30 semanas, ¿a cuánto as ciende el importe de la deuda? a1 = 5 €, d = 4 € a30 = 5 + 29 · 4 = 121 € S30 =

5 + 121 · 30 = 1 890 € 2

79. Los ángulos de un hexágono están en progresión arit mética, y el menor de ellos mide 40°. Calcula los demás. a1 = 40° a6 = 40 + 5d 40 + 40 + 5d ·6 2 80 + 5d · 6 = 720 2 240 + 15d = 720 d = 32° Los ángulos son: 40°, 72°, 104°, 136°, 168°, 200° S6 =

80. En un cuadrado se unen los puntos medios de sus lados y se obtiene otro cuadrado inscrito. En este último cua drado se repite la operación, obteniéndose otro cuadra do inscrito. Si el lado del primer cuadrado mide 2 cm, calcula la suma de las áreas de todos los cuadrados.

La sucesión de áreas es: 4, 2, 1, 1/2… a1 = 4, r = 1/2 4 = 8 cm2 1 – 1/2

81. Una persona gana en su establecimiento un 7 % más de lo que ganó el año anterior. Si el primer año ganó 28 000 €, ¿cuánto habrá obtenido en media docena de años? a1 = 28 000 € r = 1,07 a6 = 28 000 · 1,075 = 39 271,45 € S6 =

39 271,45 · 1,07 – 28 000 = 200 292,16 € 1,07 – 1

82. Se deja caer una pelota desde una altura de 52 cm. Después de cada bote en el suelo, sube 3/4 cm de la altura de la que cae. ¿Qué longitud recorrerá la pe lota antes de llegar al reposo? Recorre en la bajada: a1 = 52 cm, r = 3/4 52 S= = 208 m 1 – 3/4 Recorre en la subida: a1 = 39 cm, r = 3/4 39 S= = 156 m 1 – 3/4 Recorre en total: 208 + 156 = 364 cm = 3,64 m 83. Se forma una sucesión de círculos concéntricos en los que cada radio es la mitad del radio del círculo anterior. Si el primer círculo tiene un diámetro de 4 cm, halla la suma de las áreas de todos lo círculos. a1 = 4π cm2 a2 = π cm2 a3 = π/4 cm2 Se obtiene una progresión geométrica de razón: r = 1/4 S=

4π = 16π/3 cm2 = 16,76 cm2 1 – 1/4

84. ¿Qué capital inicial es necesario tener depositado para que, a interés compuesto durante 3 años al 2 % anual y con periodos de capitalización trimestrales, se acumule un capital final bruto de 25 480,27 €?

( )

r C=c 1+ n c=

n·t

⇒c=

( ) 1+

25 480,27

( ) 0,02 1+ 4

4·3

r n

n ∙ t

= 24 000 €

85. Calcula los años que ha estado depositado un capi tal de 45 000 € al 2 % de interés simple si, una vez hecha la retención del 21 % de Hacienda, se han ge nerado 2 133 € Interés bruto: 2 133 : 0,79 = 2 700 € I I=c·r·t⇒t= c·r 2 700 t= = 3 años 45 000 · 0,02

39 Unidad 4. Sucesiones y progresiones

76. Se ha hecho un pozo de 40 m de profundidad. Por el primer metro se han pagado 7,5 € y por cada metro sucesivo se han pagado 2,3 € más que por el ante rior. ¿Cuál es el coste del pozo?

86. Una entidad financiera paga el 2,5 % del dinero de positado si este se mantiene 3 años. Calcula, en los siguientes casos, cuánto se ganará al finalizar los tres años por una imposición de 10 000 € si Hacienda retiene el 21 %: a) Los intereses se ingresan en una cuenta distinta. b) Los intereses se ingresan en la misma cuenta. a) El interés es simple. El tanto por uno final: 0,025 · 0,79 = 0,01975 I = c · r · t I = 10 000 · 0,01975 · 3 = 592,5 € b) El interés es compuesto. C = c (1 + r)t C = 10 000 · 1,0253 = 10 768,91 Los intereses son: 10 768,91 – 10 000 = 768,91 € Con la retención de Hacienda: 768,91 · 0,79 = 607,44 € 87. Calcula el rédito al que se han depositado 12 000 € a interés simple durante 18 meses si los intereses ge nerados, con la retención de Hacienda descontada, han sido de 213,3 € Interés bruto: 213,3 : 0,79 = 270 € I=c·r· r=

t I·n ⇒r= n c·t

88. Comprueba que las siguientes expresiones están en progresión aritmética y calcula el séptimo término: x 2 – 2x + 1, x 2 + 1 y x 2 + 2x + 1 d = a2 – a1 = x 2 + 1 – (x 2 – 2x + 1) = 2x d = a3 – a2 = x 2 + 2x + 1– (x 2 + 1) = 2x Están en progresión aritmética de diferencia: d = 2x a7 = a1 + 6d = x 2 – 2x + 1 + 12x = x 2 + 10x + 1 89. En una progresión aritmética, el primer término y el décimocuarto suman 342. ¿Cuánto suman el quinto y el décimo término? Los términos equidistantes de una progresión aritmética suman lo mismo. Luego sumarán 342 90. Continúa las siguientes series de números figurados hasta obtener tres términos más:

40 Solucionario

12 12

92. La suma de los infinitos términos de una progresión decreciente es 6 y la suma de sus dos primeros tér minos es 16/3. Calcula el primer término. 6=

a1 ⇒ a1 = 6(1 – r) 1–r

a1 + a1 · r = 16/3 ⇒ a1(1 + r) = 16/3 Sustituyendo a1 en la 2.ª ecuación: 6(1 – r)(1 + r) = 16/3 6(1 – r 2) = 16/3 r 2 = 1/9 ⇒ r = ± 1/3 Si r = 1/3 ⇒ a1 = 4 Si r = – 1/3 ⇒ a1 = 8

22 22

Cantidad de leche en el vaso Cantidad de agua en el vaso

35 35

51 51

6 6

15 15

28 28

45 45

66 66

1/2

1/4

1/8

…

1/2

3/4

7/8

…

94. Un depósito ofrece un 2 % de interés simple anual, re novable mensualmente y sin acumular los intereses en el depósito. ¿Cuánto tiempo se deben depositar 12 000 € para generar unos intereses netos, es decir, descontando el 21 % de Hacienda, de 474 €? Interés bruto: 474 : 0,79 = 600 € t I·n ⇒t= n c·r

600 · 12 = 30 meses 12 000 · 0,02

95. Calcula el capital inicial que se debe depositar al 3 % de interés compuesto con periodos de capitali zación mensual para que, al cabo de 10 años, se con viertan en 26 987,07 € brutos.

( ) ( )

C=c 1+ c 1+

1 1

La cantidad de leche sigue una progresión geométrica de razón 1/2 a6 = 1 · (1/2)5 = 1/32 La cantidad de agua es: 31/32

5 5

2 + 52 = 27 2

I=c·r·

1 1

a6 =

La cantidad de leche y de agua que hay en el vaso es:

PARA PROFUNDIZAR

1 + 11 = 12; 12 : 2 = 6 El sexto término es el término central del primero y el undécimo. Luego:

93. De un vaso lleno de leche se vacía la mitad y se rellena de agua. Se retira la mitad del nuevo contenido y se vuelve a rellenar con agua. Si este proceso se repite seis veces, ¿qué parte de agua contiene el vaso?

270 · 12 = 0,015 ⇒ R = 1,5 % 12 000 · 18

91. En una progresión aritmética el primer término es 2 y el undécimo es 52. Razona lo que vale el sexto tér mino.

r n

0,03 12

n·t

12 · 10

= 26 987,07

1,0025120 ∙ c = 26 987,07 c = 20 000 €

96. Calcula el tiempo que hay que tener un capital depo sitado en un banco al 2,5 % con interés simple para que el capital se duplique. I=c 1 c · r · t = c; r · t = 1; t = r 1 = 40 años t= 0,025

S25 =

en contextos reales

97. Una ciudad tiene 200 000 habitantes. La tasa de cre cimiento de esa población es el 3 % anual. ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de 4 años? N(t) = 200 000 · 1,03t Después de 4 años habrá: N (4) = 200 000 · 1,034 = 225 101,762 = 225 102 habitantes

1. Define progresión aritmética y pon un ejemplo. Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se halla sumando al término anterior un número constante que se llama diferencia y que se representa con la letra d La diferencia d de una progresión aritmética se calcula restando dos términos consecutivos. Ejemplo: La sucesión 3, 7, 11, 15… es una progresión aritmética. 2. Encuentra el término general de las progresiones si guientes: b) 3, – 12, 48…

3. Calcula los años que ha estado depositado un capi tal de 20 000 € al 2 % de interés simple si, realizada la retención de Hacienda del 21 %, se han generado 948 € de intereses. Interés bruto: 948 : 0,79 = 1 200 € I=c·r·t⇒t= t=

I c·r

1 200 = 3 años 20 000 · 0,02

1 + 97 · 25 = 1 225 2

5. Halla la razón y el primer término de una progresión geométrica en la que el segundo término vale 6 y el quinto 162 a5 = a2 r 5 – 2 ⇒ 162 = 6r 3 r 3 = 27 ⇒ r = 3 an = a1 r n · 1 para n = 2 a2 = a1 · 32 – 1 ⇒ 6 = a1 · 3 ⇒ a1 = 2 6. Calcula la suma de los infinitos términos de la si guiente progresión: 1/10, 1/100…

Autoevaluación

a) 7, 11, 15… a) a1 = 7, d = 4 an = 7 + 4(n – 1) = 4n + 3 b) a1 = 3, r = – 4 an = 3 · (– 4)n – 1

Es una progresión aritmética: a1 = 1, d = 4 a25 = 4 · 25 – 3 = 97

a1 = 1/10, r = 1/10 S=

1/10 = 1/9 1 – 1/10

7. Se depositan 6 500 € al 3 % de interés compuesto con abono de interés anual durante 4 años. Hacienda re tiene el 21 % de los intereses al finalizar el plazo. Calcula el capital final. C = c (1 + r)t C = 6 500 · 1,034 = 7 315,81 € Los intereses son: 7 315,81 – 6 500 = 815,81 € Hacienda retiene: 815,81 · 0,21 = 171,32 € El capital final neto será: 7 315,81 – 171,32 = 7 144,49 € 8. Los lados de un triángulo rectángulo están en pro gresión aritmética. Calcula su longitud sabiendo que el menor mide 12 cm 12 +

12 + d

(12 + 2d)2 = (12 + d)2 + 122 3d 2 + 24d – 144 = 0 d 2 + 8d – 48 = 0 d = 4 (d = – 12 no es válida) Los lados son: 12 cm, 16 cm y 20 cm

41 Unidad 4. Sucesiones y progresiones

Matematización

4. Calcula la suma de los 25 primeros términos de la progresión cuyo término general es: an = 4n – 3

Solucionario BLOQUE II Ă lgebra

5. Suma los siguientes polinomios: P (x ) = 7x 4 – 6x 3 + 5x – 3 Q (x ) = x 4 + 8x 3 – x 2 + 4x + 6

5. Polinomios 1. Polinomios. Suma

y resta

PIENSA Y CALCULA Dado el cubo de la figura, calcula en función de x:

a) El área.

a) A (x ) =

b) El volumen.

6x 2 b)

6. Halla el opuesto de los siguientes polinomios: P (x ) = 5x 5 – 7x 3 + 4x – 1 Q (x ) = – x 4 + 6x 3 – x 2 + 5x + 1 – P (x ) = – 5x 5 + 7x 3 – 4x + 1 – Q (x ) = x 4 – 6x 3 + x 2 – 5x – 1

x x

P (x ) + Q (x ) = 8x 4 + 2x 3 – x 2 + 9x + 3

V (x ) = x 3

7. Calcula P (x ) – Q (x ): P (x ) = 5x 4 + x 3 – 2x 2 – 5 Q (x ) = 7x 4 – 5x 2 + 3x + 2 P (x ) – Q (x ) = – 2x 4 + x 3 + 3x 2 – 3x – 7

CARNÉ CALCULISTA Calcula con dos decimales: 758,49 : 2,4 C = 316,03; R = 0,018

8. Los ingresos y los gastos de una empresa en millo nes de euros, en función del número de años que lle va funcionando, vienen dados por: I (t ) = t 2 – 3t + 5 G (t ) = t 2 – 4t + 9

APLICA LA TEORÍA 1. Dado el prisma cuadrangular del dibujo, calcula en función de x :

Halla la expresión B (t ) de los beneficios. B (t ) = I (t ) – G (t ) = t – 4

2. Multiplicación PIENSA Y CALCULA

Calcula, en función de x, el área del rectángulo de la figura: x

a) El área.

b) El volumen.

a) A (x ) = 2x 2 + 4 · 3x · x = 14x 2

b) V (x ) = 3x 3

2. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son mono mios? Calcula el grado de estos. a) 5x 3y b) 3x –2y 3 c) 7x 2y 5 + 3xy 2 d) 4a Son monomios: a) y d). El grado de a) es 4 El grado de d) es 1 3. Ordena de forma decreciente, según los grados, los siguientes polinomios y calcula el grado, el coefi ciente principal y el término independiente: a) 7x 2 – 5x 3 + 4 b) – 9x 2 – 6x 5 – 7 + 4x 6 c) 8x 2 – 5x + 4x 5 d) – 7x 2 – x 8 – 7x + 9 – 4x 6

44 Solucionario

de polinomios

a) – 5x 3 + 7x 2 + 4 Grado: 3; coeficiente principal: – 5 Término independiente: 4 b) 4x 6 – 6x 5 – 9x 2 – 7 Grado: 6; coeficiente principal: 4 Término independiente: – 7 c) 4x 5 + 8x 2 – 5x Grado: 5; coeficiente principal: 4 Término independiente: 0 d) – x 8 – 4x 6 – 7x 2 – 7x + 9 Grado: 8; coeficiente principal: –1 Término independiente: 9 4. Halla el valor de a, b y c para que los siguientes po linomios sean iguales: P (x ) = ax 4 – 8x 3 + 4x – b y Q (x ) = 5x 4 – 8x 3 – cx 2 + 4x + 6 a = 5, b = – 6, c = 0

x+5

A (x ) = (x + 5)x =

x 2

+ 5x

CARNÉ CALCULISTA 7 5 4 7 5 Calcula: – – =– 6 2 3 10 12

( )

APLICA LA TEORÍA 9. Multiplica los polinomios: P (x ) = 2x 3 – 3x + 5 Q (x ) = 3x 2 + x – 4 6x 5 + 2x 4 – 17x 3 + 12x 2 + 17x – 20 10. Multiplica los polinomios: P (x ) = x 4 – 3x 2 + x – 5 Q (x ) = 2x 3 + x 2 – 4 2x 7 + x 6 – 6x 5 – 5x 4 – 9x 3 + 7x 2 – 4x + 20 11. Multiplica los polinomios: P (x ) = 3x 5 – x 3 – 5x + 1 Q (x ) = 2x 4 + 4x 2 – 3 9

6x + 10x – 23x + 2x – 17x + 4x + 15x – 3 12. Calcula mentalmente: a) (x + 2)0 b) (x – 3)1 d) (2x + 6)0 e) (x + 5)2 g) (x + 9)2 h) (x – 4)2 a) 1 d) 1 g) x 2 + 18x + 81

b) x – 3 e) x 2 + 10x + 25 h) x 2 – 8x + 16

c) (x – 7)1 f) (x – 6)2 i) (x + 3) (x – 3) c) x – 7 f) x 2 – 12x + 36 i) x 2 – 9

a) 4x 2 + 2x + 1/4 c) 36x 2 – 8x + 4/9

b) x 2 – 5 d) 25x 2 – 9/16

14. Halla el polinomio que da el área del cuadrado de la figura: x+3 A (x ) = (x + 3)2 = x 2 + 6x + 9 15. Desarrolla los siguientes productos: b) – 2x 3 (7x 4 – 4x 2) a) 5x 2 (2x 3 – 3x ) 5 2 c) – 3x (– 8x – 5x ) d) 6x 4 (–x 5 + 2x ) 10x 5

15x 3

a) – c) 24x 6 + 15x 3

16. Opera y simplifica a) (x + 3)2 – (x – 3)2 a) 12x

– 14x 7

8x 5

b) + d) –6x 9 + 12x 5

b) (x + 4)2 – (x + 4)(x – 4) b) 8x + 32

17. Factoriza mentalmente: a) 2x 2 + 6x b) x 2 – 6x + 9 d) x 2 + 8x + 16 c) x 2 – 25 a) 2x (x + 3) c) (x + 5)(x – 5) 18. Factoriza: a) 12x 4 + 8x 3 c) x 2 – 3 + 2) — a) 4x 3(3x — c) (x + √ 3 )(x – √ 3 )

3. División

b) (x – 3)2 d) (x + 4)2 b) 5x 3 + 20x 2 + 20x d) 9x 2 – 30x + 25 b) 5x (x + 2)2 d) (3x – 5)2

de polinomios

PIENSA Y CALCULA Realiza mentalmente las siguientes divisiones: a) (x 3 + 6x 2 – 7x ) : x b) (x 2 + 6x + 9) : (x + 3) d) (x 2 – 25) : (x + 5) c) (x 2 – 8x + 16) : (x – 4) a) x 2 + 6x – 7 c) x – 4

b) x + 3 d) x – 5

CARNÉ CALCULISTA

21. Divide: P (x ) = 6x 5 + 2x 4 – 17x 3 + 20x – 25 entre Q (x ) = 2x 3 – 3x + 5 C (x ) = 3x 2 + x – 4 R (x ) = –12x 2 + 3x – 5 22. Divide por Ruffini: P (x ) = x 4 – 6x 3 + 9x + 10 entre Q (x ) = x – 3 C (x ) = x 3 – 3x 2 – 9x – 18 R = – 44 23. Divide: P (x ) = 2x 7 + x 6 – 9x 5 – 5x 4 + 9x 2 + 8 entre Q (x ) = x 4 – 3x 2 + x – 5 C (x ) = 2x 3 + x 2 – 3x – 4 R (x ) = 5x 2 – 11x – 12 24. Divide por Ruffini: P (x ) = x 5 – 4x 3 + 7x + 12 entre Q (x ) = x + 1 C (x ) = x 4 – x 3 – 3x 2 + 3x + 4 R=8 25. Divide por Ruffini: (3x 4 – 7x 2 – 8x – 1) : (x – 2) C (x ) = 3x 3 + 6x 2 + 5x + 2 R=3 26. Halla un polinomio tal que al dividirlo entre 2x 3 – 5x + 1 se obtenga de cociente x 2 + 3x – 4 y de resto – 7x 2 + x + 8 (2x 3 – 5x + 1)(x 2 + 3x – 4) – 7x 2 + x + 8 = = 2x 5 + 6x 4 – 13x 3 – 21x 2 + 24x + 4

Calcula con dos decimales: 8,57 : 40

4. Teoremas

C = 0,21; R = 0,17

PIENSA Y CALCULA

APLICA LA TEORÍA

Tenemos un rectángulo de 12 m de perímetro, luego la base más la altura medirán 6 m. Si la altura mide x me tros, la base medirá 6 – x m. La fórmula del área será:

19. Divide y haz la comprobación: P (x ) = 2x 5 – 8x 4 + 12x 2 + 18 entre Q (x ) = x 2 – 3x – 1

del resto y del factor

C (x ) = 2x 3 – 2x 2 – 4x – 2 R (x ) = –10x + 16 Se comprueba que C (x ) · Q (x ) + R (x ) = P (x ) 20. Divide por Ruffini: P (x ) = 2x 3 – 13x + 8 entre Q (x ) = x + 3 C (x ) = 2x 2 – 6x + 5 R = –7

6–x

A (x ) = (6 – x )x ⇒ A (x ) = 6x – x 2 Completa la tabla y halla cuándo el área es máxima. x A (x ) = 6x – x 2



45 Unidad 5. Polinomios

13. Desarrolla y simplifica: — — a) (2x + 1/2)2 b) (x + √ 5 ) (x – √ 5 ) 2 c) (6x – 2/3) d) (5x + 3/4) (5x – 3/4)

A (x ) = 6x – x 2

35. Halla el valor de k para que el polinomio: P (x ) = x 3 – 4x 2 + kx + 10 sea divisible entre x – 1

CARNÉ CALCULISTA 5 1 7 5 1 · – : =– 3 2 6 4 10

Se aplica el teorema del factor: R = P (1) = 0 ⇒ 7 + k = 0 ⇒ k = – 7

APLICA LA TEORÍA 27. Calcula mentalmente el valor numérico del siguiente polinomio P (x ) = x 5 – 3x 4 + 6x 2 – 8 para los valores que se indican: a) Para x = 0 b) Para x = 1 a) P (0) = – 8

b) P (1) = – 4

28. Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P (x ) = x 4 – 3x 3 + 5x – 2 a) Para x = 3 b) Para x = – 3 a) P (3) = 13

Se aplica el teorema del factor: R = P (–1) = 0 ⇒ sí es divisible.

El área es máxima cuando x = 3 m

Calcula:

34. Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P (x ) = x 3 + 2x 2 – 5x – 6 es divisible entre x + 1

b) P (– 3) = 145

29. Halla, sin hacer la división, el resto de dividir el po linomio P (x ) = x 3 – 6x 2 + 5 entre x – 2 Se aplica el teorema del resto: R = P (2) = –11 30. Halla, sin hacer la división, el resto de dividir el po linomio P (x ) = x 4 + 3x 3 – 5x – 7 entre x + 3 Se aplica el teorema del resto: R = P (– 3) = 8 31. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5: (x 3 + kx 2 – 4) : (x + 3) Se aplica el teorema del resto: P (– 3) = 5 ⇒ 9k – 31 = 5 ⇒ k = 4 32. ¿Cuál de los números, 3 o – 3, es raíz del polinomio P (x ) = x 3 + x 2 – 9x – 9? Se aplica el teorema del factor: R = P (3) = 0 ⇒ x = 3 es raíz. R = P (– 3) = 0 ⇒ x = – 3 es raíz. 33. Observa la gráfica y calcula las raíces del polinomio P (x ) = 2x 2 – 8x + 6 Y

36. ¿El polinomio x 2 + 9 tiene alguna raíz real? Razona la respuesta. No, porque x 2 siempre es mayor o igual que cero y al sumarle 9, siempre es positivo; por tanto, nunca puede ser cero.

Ejercicios

y problemas propuestos

1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 37. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son mono mios? Calcula el grado de estos. a) 5x 4 + x 3y b) 5x 2y 3 c) x 2y 5 – 4x y 2 d) 7 Son monomios: b) y d). El grado de b) es 5 El grado de d) es 0 38. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas en monomios, binomios o trinomios. a) x + y + z b) – 7x 5y 3 c) x – y d) 3x 2 – 3 a) Trinomio. c) Binomio.

b) Monomio. d) Binomio.

39. Calcula el grado, el coeficiente principal y el término independiente de los siguientes polinomios: b) – 4x 7 – 5x 4 – 7x 3 – 1 a) 5x 4 – 2x 3 + 1 2 d) – 6x 10 – x 8 – 3x 6 + 8x – 7 c) 5x – 4x + 3 a) Grado: 4; coeficiente principal: 5 Término independiente: 1 b) Grado: 7; coeficiente principal: – 4 Término independiente: –1 c) Grado: 2; coeficiente principal: 5 Término independiente: 3 d) Grado: 10; coeficiente principal: – 6 Término independiente: – 7 40. Suma los siguientes polinomios: P (x ) = 7x 5 – 5x 3 + 3x 2 – 1 Q (x ) = –3x 4 + 5x 3 – 4x 2 + 3x + 1 7x 5 – 3x 4 – x 2 + 3x 41. Calcula P (x ) – Q (x ): P (x ) = 4x 5 + 7x 3 – x – 2 Q (x ) = 5x 4 – 3x 3 + 7x + 2

46 Solucionario

X P(x) = 2x 2 – 8x + 6

x 1 = 1, x 2 = 3

4x 5 – 5x 4 + 10x 3 – 8x – 4 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 42. Multiplica los polinomios: P (x ) = x 3 – 2x 2 + 3 Q (x ) = 2x 3 – 5x + 1 2x 6 – 4x 5 – 5x 4 + 17x 3 – 2x 2 – 15x + 3

2x 7 – 4x 6 – 4x 5 + 17x 4 – 27x 3 + 10x 2 – 37x + 7 44. Multiplica los polinomios: P (x ) = x 5 – 2x 3 + 3x 2 – 1 Q (x ) = x 4 – 5x 2 + 2 x 9 – 7x 7 + 3x 6 + 12x 5 – 16x 4 – 4x 3 + 11x 2 – 2 45. Desarrolla mentalmente: b) (x + 1)(x – 1) a) (x + 3)2 — — c) (x /2 – 2/3)2 d) (x + √ 2 )(x – √ 2 ) a) x 2 + 6x + 9 c) x 2/4 – 2x /3 + 4/9

b) x 2 – 1 d) x 2 – 2

46. Desarrolla los siguientes productos: b) –7x 2(5x 3 – 3x 2) a) 4x (5x 4 – 6x ) d) 5x 4(– x 2 + 5x ) c) – 3x 3(– 6x 2 – 1) a) 20x 5 – 24x 2 c) 18x 5 + 3x 3

b) – 35x 5 + 21x 4 d) – 5x 6 + 25x 5

47. Opera y simplifica: a) (2x + 5)2 – (2x + 5)(2x – 5) b) (x – 1/3)2 + (x + 1/3)2 a) 20x + 50

b) 2x 2 + 2/9

48. Factoriza mentalmente: b) x 2 + 10x + 25 a) 8x 3 + 12x 2 2 d) x 2 – 14x + 49 c) x – 5 a) 4x 2(2x + 3) — — c) (x + √ 5 )(x – √ 5 )

b) (x + 5)2 d) (x – 7)2

3. DIVISIÓN DE POLINOMIOS 49. Divide y haz la comprobación: P (x ) = 2x 5 – 6x 4 + 20x 2 – 38x + 12 entre Q (x ) = x 3 – 5x + 3 C (x ) = 2x 2 – 6x + 10 R (x ) = –16x 2 + 30x – 18 Hay que hacer la comprobación: Q (x ) · C (x ) + R (x ) tiene que dar P (x ) 50. Divide y haz la comprobación: P (x ) = 4x 6 – 12x 4 + 8x 3 + 9 entre Q (x ) = 2x 3 – 5x + 1 C (x ) = 2x 3 – x + 3 R (x ) = – 5x 2 + 16x + 6 Hay que hacer la comprobación: Q (x ) · C (x ) + R (x ) tiene que dar P (x ) 51. Divide P (x ) = 6x 6 – 13x 5 – 20x 3 + 50x 2 – 4 entre Q (x ) = 2x 3 – 3x 2 + 1 C (x ) = 3x 3 – 2x 2 – 3x – 16 R (x ) = 4x 2 + 3x + 12 52. Divide por Ruffini: P (x ) = x 4 – 6x 2 + 4x + 5 entre Q (x ) = x + 2 C (x ) = x 3 – 2x 2 – 2x + 8 R = – 11

53. Divide por Ruffini: P (x ) = x 5 – 4x 3 + 5x 2 + 3 entre Q (x ) = x – 1 C (x ) = x 4 + x 3 – 3x 2 + 2x + 2 R=5 54. Divide por Ruffini: P (x ) = x 6 – 4x 4 + 6x 3 + 1 entre Q (x ) = x – 2 C (x ) = x 5 + 2x 4 + 6x 2 + 12x + 24 R = 49 4. TEOREMAS DEL RESTO Y DEL FACTOR 55. Calcula mentalmente el valor numérico del polino mio P (x ) = 4x 7 – 5x 3 + 9x 2 – 6 para los valores que se indican: a) Para x = 0 b) Para x = 1 a) P (0) = – 6

b) P (1) = 2

56. Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P (x ) = x 5 – 2x 3 + 4x – 1 a) Para x = 2 b) Para x = –1 a) P (2) = 23

b) P (–1) = – 4

57. ¿Cuál de los números, 2 o – 2, es raíz del polinomio P (x ) = x 3 + 2x 2 – x – 2? R = P (2) = 12 ⇒ No es raíz. R = P (– 2) = 0 ⇒ Sí es raíz. 58. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea –11: (x 3 + kx 2 + 7) : (x – 3) Se aplica el teorema del resto: P (3) = –11 ⇒ k = –5 59. Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P (x ) = x 4 – 2x 3 + 7x – 3 entre x + 2 Se aplica el teorema del resto: R = P (– 2) = 15 60. Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P (x ) = x 4 – 6x 3 + 8x 2 + 6x – 9 es divisible entre x – 3 Se aplica el teorema del factor: R = P (3) = 0 ⇒ Sí es divisible. 61. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 7: (x 4 + kx 2 – 5x + 6) : (x + 1) Se aplica el teorema del resto: P (–1) = 7 ⇒ k + 12 = 7 ⇒ k = – 5 PARA AMPLIAR 62. Halla el valor de a, b y c para que los siguientes po linomios sean iguales: P (x ) = 6x 5 – bx 3 + 3x – 4 Q (x ) = ax 5 + 3x – c a = 6, b = 0, c = 4

47 Unidad 5. Polinomios

43. Multiplica los polinomios: P (x ) = 2x 4 – 4x 3 – 5x + 1 Q (x ) = x 3 – 2x + 7

PROBLEMAS

63. Calcula mentalmente: 5)0

25)1

a) (2x /3 + c) (7x – 3/5)1

b) (3x – d) (5x + 13)0

a) 1 c) 7x – 3/5

b) 3x – 25 d) 1

70. Escribe en forma de polinomio, en una variable, cada uno de los enunciados siguientes:

64. Factoriza: a) 24x 3 – 18x 2 c) 9x 2 – 4

b) 2x 3 + 12x 2 + 18x d) 5x 4 – 10x 3 + 5x 2

a) 6x 2(4x – 3) c) (3x + 2)(3x – 2)

b) 2x (x + 3)2 d) 5x 2(x – 1)2

65. Opera y simplifica:

P (x ) = 5x 3 – 9x + 8 para obtener el polinomio

b) – 4x /3

Q (x ) = 2x 3 – 4x 2 + 5x + 1?

66. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 13: (x 5

kx 3

–

7x 2

b) P (x ) = x 3 + 2x 2 – 3x + 4 a) P (x ) = x 2 – x + 5 c) A (x ) = x 2 d) A (x ) = x · 2x /2 = x 2 71. ¿Qué polinomio tenemos que sumar a

a) (2x + 3/2)(2x – 3/2)2 – (2x – 3/2)2 b) (x /2 – 2/3)2 – (x /2 + 2/3)2 a) 3x – 9/2

a) El cuadrado de un número, menos dicho número, más 5 b) El cubo de un número, más el doble del cuadrado del número, menos el triple del número, más 4 c) El área de un cuadrado de lado x d) El área de un rombo en el que una diagonal es el doble de la otra.

+ 4) : (x – 1)

Q (x ) – P (x ) = – 3x 3 – 4x 2 + 14x – 7 72. Dada una caja sin tapa y su desarrollo, calcula en función de x : a) El área. b) El volumen.

Se aplica el teorema del resto: P (1) = 13 ⇒ k – 2 = 13 ⇒ k = 15

x x

6 m6 m

67. Halla el valor de k para que el polinomio:

x xx x

P (x ) = x 3 + 5x 2 + kx – 8 sea divisible entre x + 2

Se aplica el teorema del factor: P (– 2) = 0 ⇒ 4 – 2k = 0 ⇒ k = 2 68. Halla el polinomio que da el área del siguiente trián gulo:

x x x x

10 m 10 m

a) A (x ) = (10 – 2x )(6 – 2x ) + 2x (10 – 2x ) + 2x (6 – 2x ) = = 60 – 4x 2 b) V (x ) = (10 – 2x )(6 – 2x )x = 4x 3 – 32x 2 + 60x 73. Halla el polinomio que da el área del siguiente rec tángulo: 2x – 3

x+5

A (x ) = x (2x – 3) = 2x 2 – 3x 74. Halla el polinomio que da el área del siguiente trián gulo rectángulo:

A (x ) =

x (x + 5) x 2 5x = + 2 2 2 x

69. Observa la gráfica y calcula las raíces del polinomio P (x ) = x 2 – 4 2x + 1

A (x ) = (2x + 1)x /2 = x 2 + x /2

48 Solucionario

x+1

75. Halla el polinomio que da el área del siguiente r ombo:

x–1 P(x) = x 2 – 4

x 1 = 2, x 2 = – 2

A(x ) = (x + 1)(x – 1)/2 = x 2/2 – 1/2

76. Halla un polinomio tal que al dividirlo entre x 3 – 3x + 1 se obtenga de cociente 2x 2 + 5x – 3 y de resto 5x 2 – 3x + 9

(x 3 – 3x + 1)(2x 2 + 5x – 3) + 5x 2 – 3x + 9 = x/2

= 2x 5 + 5x 4 – 9x 3 – 8x 2 + 11x + 6 77. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5:

()

h = x 2 –

(x 3 + kx 2 – 4) : (x – 2)

78. Halla el valor de k para que el polinomio P (x ) =

–

—

= x 2 –

x 2 3x 2 √ 3 = = x 4 4 2 —

√3 √3 2 1 A (x ) = x · x = x 2 4 2

P (2) = 5 ⇒ 4k + 4 = 5 ⇒ k = 1/4

x 3

—

Se aplica el teorema del resto:

x 4

x 2

19x 2

82. Halla el polinomio que da el área del trapecio:

+ kx + 30

x–1

sea divisible entre x + 3 x

Se aplica el teorema del factor: P (– 3) = 0 ⇒ – 3k – 33 = 0 ⇒ k = –11

x+1

79. Observa la gráfica y calcula las raíces del polinomio P (x ) = x 3 – 3x 2 – x + 3 Y

A (x ) =

x + 1 + x – 1 · x = x 2 2

83. Halla el polinomio que da el área del círculo:

P(x) = x 3 – 3x 2 – x + 3

x–5

A (x ) = π(x – 5)2 = πx 2 – 10πx + 25π x 1 = – 1, x 2 = 1, x 3 = 3

84. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 9:

PARA PROFUNDIZAR

(x 4 – x 3 – 13x 2 – x + k) : (x – 4)

80. Dado el siguiente paralelepípedo:

Se aplica el teorema del factor: P (4) = 9 ⇒ k – 20 = 9 ⇒ k = 29

3x 2x 4x

calcula en función de x el área y el volumen. A (x ) = 2 · 4x · 3x + 2 · 4x · 2x + 2 · 3x · 2x = 52x 2

85. Halla el valor de k para que el polinomio P (x ) = x 4 + 8x 3 + kx 2 – 8x – 15 sea divisible entre x + 5

81. Halla el monomio que da el área de un triángulo equilátero en el que el lado mide x

P (– 5) = 0 ⇒ 25k – 350 = 0 ⇒ k = 14 86. ¿El polinomio x 2 + 25 tiene alguna raíz real? Razona la respuesta. x 2 es siempre positivo o cero y al sumarle 25 es positivo. Por tanto, nunca se puede hacer cero. No tiene raíces reales.

49 Unidad 5. Polinomios

Se aplica el teorema del resto:

V (x ) = 4x · 3x · 2x = 24x 3

87. Observa la gráfica y calcula las raíces del polinomio P (x ) = x 2 – 4x Y

P(x) = x 2 – 4x X

Grado: 7 Coeficiente principal: – 6 Término independiente: 9 3. Desarrolla mentalmente los apartados a) y b) y fac toriza los apartados c) y d): 2 a) (2x – 5) — — b) (x + √ 3 )(x – √ 3 ) c) 3x 3 + 12x 2 + 12x d) x 2 – 5 a) 4x 2 – 20x + 25 b) x 2 – 3— — c) 3x (x + 2)2 d) (x + √ 5 )(x – √ 5 ) 4. Multiplica los polinomios: P (x ) = 5x 3 – x 2 + 3 Q (x ) = 3x 2 – 2x + 4 5 15x – 13x 4 + 22x 3 + 5x 2 – 6x + 12

x 1 = 0, x 1 = 4

Matematización

en contextos reales

88. Calcula el polinomio que define un movimiento uni formemente acelerado en el que: a = 6 m/s2, v0 = 8 m/s y e0 = 3 m e (t ) = 3t 2 + 8t + 3 89. Calcula el espacio que lleva recorrido cuando hayan pasado 5 s e (5) = 118 m 90. Calcula el espacio que recorre entre el segundo 10 y el segundo 20

5. Divide P (x ) = 8x 5 – 16x 4 + 21x 2 – 19x + 10 entre Q (x ) = 2x 2 – 5x + 4. Haz la comprobación. C (x ) = 4x 3 + 2x 2 – 3x – 1 R (x ) = –12x + 14 Se comprueba que Q (x ) · C (x ) + R (x ) = P (x ) 6. Divide por Ruffini P (x ) = x 4 – 10x 2 + 12 entre Q (x ) = x + 3 C (x ) = x 3 – 3x 2 – x + 3 R = 3 7. Dado el siguiente paralelepípedo:

e (20) – e (10) = 1 363 – 383 = 980 m

Autoevaluación 1. Enuncia el teorema del resto y pon un ejemplo. El resto que se obtiene al dividir el polinomio P (x ) entre el binomio x – a es el valor numérico del polinomio para x = a ⇒ R = P (a) Ejemplo: Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P (x ) = x 3 – 7x + 15 entre x + 3 R = P (– 3) = (– 3)3 – 7 · (– 3) + 15 = – 27 + 21 + 15 = 9 2. Ordena el siguiente polinomio de forma decreciente según los grados y calcula el grado, el coeficiente principal y el término independiente: 5x 3 – 6x 7 – 5x + 9

50 Solucionario

– 6x 7 + 5x 3 – 5x + 9

3x 5x

Calcula en función de x : a) El área. b) El volumen. a) A (x ) = 2 · 5x · 4x + 2 · 5x · 3x + 2 · 4x · 3x = 94x 2 b) V (x ) = 3x · 4x · 5x = 60x 3 8. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5: (x 3 + kx – 6) : (x – 2) Se aplica el teorema del resto y se tiene que verificar que: P (2) = 5 23 + 2k – 6 = 5 8 + 2k – 6 = 5 2k = 3 k = 3/2

14.

6. Ecuaciones

x – 1 x – 2 10 – 3x – =0 + 3 2 5 x = 5

grado

2. Ecuaciones

2.o

grado

PIENSA Y CALCULA

Resuelve mentalmente: a) x + 2 = 5 b) x – 3 = 4 c) 4x = 12 d) (x – 3)(x + 5) = 0

Resuelve mentalmente si es posible: a) x 2 = 0 c) x 2 = 16

b) x (x – 3) = 0 d) x 2 = –25

a) x = 3 c) x = 3

a) x = 0 c) x = – 4, x = 4

b) x = 0, x = 3 d) No tiene solución.

b) x = 7 d) x = 3, x = – 5

CARNÉ CALCULISTA Calcula con dos decimales: 875,2 : 6,91 C = 126,65; R = 0,0485 APLICA LA TEORÍA Resuelve las siguientes ecuaciones: 1. 4x + 12 = 6x – 8 x = 10 2. 6 + 3x = 4 + 7x – 2x x = 1 3. 8x – 2x + 4 = 2x x = – 1 4. 4x + 3x – 4 = 3x + 8 x = 3 5. 3(x + 2) + 2x = 5x – 2(x – 4) x = 1 6. 4 – 3(2x + 5) = 5 – (x – 3) x = –19/5 7. 2(x – 3) + 5(x + 2) = 4(x – 1) + 3 x = –5/3 8. 5 – (2x + 4) = 3 – (3x + 2) x = 0 Resuelve mentalmente: 9. x (x – 2)(x + 3) = 0

CARNÉ CALCULISTA Desarrolla: (2x + 7)2 = 4x 2 + 28x + 49 Factoriza: x 2 – 6x + 9 = (x – 3)2 APLICA LA TEORÍA Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 15. x 2 = 25 x 1 = 5, x 2 = – 5 16. x 2 = 0 x 1 = x 2 = 0 17. x 2 = 49 x 1 = 7, x 2 = – 7 18. 5x 2 = 0 x 1 = x 2 = 0 19. x 2 – 1 = 0 x 1 = 1, x 2 = – 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: 20. x 2 – 6x = 0 x 1 = 0, x 2 = 6 21. x 2 – 16 = 0 x 1 = – 4, x 2 = 4 22. 7x 2 = 0 x 1 = x 2 = 0

x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = – 3

23. x 2 – 5x + 6 = 0

10. (2x + 1)(x – 4)(3x + 5) = 0

x 1 = 3, x 2 = 2

x 1 = – 1/2, x 2 = 4, x 3 = – 5/3 Resuelve las siguientes ecuaciones: x – 3 x – 5 x – 1 = + 11. 4 6 9 x = 7 7 – x 9 7x – 5 = + 12. 2 2 10

13.

24. x 2 + 5x = 0 x 1 = 0, x 2 = – 5 25. x 2 – 25 = 0 x 1 = – 5, x 2 = 5 26. x 2 – 9x = 0 x 1 = 0, x 2 = 9

x = – 5/12

27. x 2 = 81

x x – 2 1 + 3x – = + x 3 4 4

28. x 2 – 9 = 0

x = – 3/25

x 1 = – 9, x 2 = 9 x 1 = – 3, x 2 = 3

51 Unidad 6. Ecuaciones

1. Ecuaciones

29. x 2 – 4x + 4 = 0

43. x 2 + 25 = 0

x 1 = x 2 = 2

No tiene solución real. 44. 2x 2 = 0

30. x 2 + 8x = 0

Tiene una solución doble.

x 1 = 0, x 2 = – 8

45. x 2 – 81 = 0

31. 4x 2 – 81 = 0

Tiene dos soluciones.

x 1 = – 9/2, x 2 = 9/2

Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuán tas soluciones tienen:

32. 2x 2 – 3x – 20 = 0 x 1 = – 5/2, x 2 = 4 33.

4x 2

46. x 2 – 6x + 7 = 0

– 3x = 0

Δ = 36 – 28 = 8 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones.

x 1 = 0, x 2 = 3/4 34.

x 2

47. x 2 – 8x + 16 = 0

Δ = 64 – 64 = 0 ⇒ Tiene una solución doble.

x 1 = – 2, x 2 = 2 35.

8x 2

48. 2x 2 – 3x + 5 = 0

– 2x – 3 = 0

Δ = 9 – 40 = – 31 < 0 ⇒ No tiene solución real.

x 1 = – 1/2, x 2 = 3/4

49. 3x 2 – 9x – 3 = 0

36. x (x – 3) = 10

Δ = 81 + 36 = 117 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones.

x 1 = – 2, x 2 = 5

Halla mentalmente la descomposición factorial de los siguientes polinomios:

37. (x + 2)(x + 3) = 6

50. x 2 + 4x + 4

x 1 = – 5, x 2 = 0

(x + 2)2

38. (2x – 3)2 = 8x

51. x 2 – 6x + 9

x 1 = 1/2, x 2 = 9/2

(x – 3)2

39. 2x (x – 3) = 3x (x – 1)

52. x 2 – 25

x 1 = – 3, x 2 = 0 40.

41.

(x + 5)(x – 5)

3x x 2 + x 3 – = 2 2 8

53. 4x 2 + 4x + 1

x 1 = 1/2, x 2 = 3/2

(2x + 1)2

9x – 4 x 2 + 2 – x + =1 10 30

Halla la descomposición factorial de los siguientes po linomios:

x 1 = – 5, x 2 = 8

54. x 2 + 4x – 5

3. Número de soluciones. Factorización PIENSA Y CALCULA Calcula mentalmente las siguientes raíces cuadradas y halla todas las soluciones reales: a) √ 52 – 4 · 6 b) √ 62 – 4 · 9 c) √ 22 – 4 · 2 a) ± 1

b) 0

c) No tiene solución real.

CARNÉ CALCULISTA

52 Solucionario

Calcula:

7 2 3 5 25 : – · = 6 5 2 4 24

APLICA LA TEORÍA Sin resolverlas y sin hallar el discriminante, calcula mentalmente cuántas soluciones tienen las ecuaciones: 42. 5x 2 – 12x = 0 Tiene dos soluciones.

(x – 1)(x + 5) 55. x 2 – x – 2 (x – 2)(x + 1) 56. 2x 2 + 9x – 5 2(x + 5)(x – 1/2) 57. 8x 2 + 14x – 15 8(x + 5/2)(x – 3/4) alla, en cada caso, una ecuación de 2.º grado cuyas H soluciones son: 58. x 1 = 5, x 2 = – 7 (x – 5)(x + 7) = 0 ⇒ x 2 + 2x – 35 = 0 59. x 1 = 2/5, x 2 = – 3 (x – 2/5)(x + 3) = 0 x 2 + 13x /5 – 6/5 = 0 5x 2 + 13x – 6 = 0

60. x 1 = – 4, x 2 = – 2/3

68. Se mezcla café de 4,8 €/kg con café de 7,2 €/kg. Si se desea obtener 60 kg de mezcla a 6,5 €/kg, ¿cuán tos kilos de cada clase se deben mezclar?

(x + 4)(x + 2/3) = 0 x 2 + 14x /3 + 8/3 = 0 3x 2 + 14x + 8 = 0 61. x 1 = 3/5, x 2 = – 1/2

62. 5x 2 – 15x + 9 = 0 15 9 = 3, P = 5 5

S = 6, P = 12

5 S = 0, P = – 2

6,5

60 – x

4,8x + 7,2(60 – x) = 6,50 · 60

4,8x + 7,2(60 – x ) = 6,5 · 60 ⇒ x = 17,5 Café A: 17,5 kg Café B: 42,5 kg

Hijo Madre

65. 3x 2 – 14x = 0 14 = 3, P = 0 3 de ecuaciones

Calcula mentalmente: a) El lado de un cuadrado cuya área es 16 m2 b) Tres números enteros consecutivos cuya suma sea 12 b) 3, 4, 5

x + 10

x + 26

x + 36

70. Una moto sale de una ciudad A hacia otra B con una velocidad de 70 km/h. Tres horas más tarde, un co che sale de la misma ciudad y en el mismo sentido con una velocidad de 100 km/h. ¿Cuánto tiempo tar dará el coche en alcanzar a la moto?

CARNÉ CALCULISTA

( )( ) 2x –

Dentro de 10 años

70 km/h

1 1 = 4x 2 – 9 3

A 100 km/h

Factoriza: 9x 2 + 30x + 25 = (3x + 5)2 APLICA LA TEORÍA 66. La suma de dos números es 36, y uno es el doble del otro. Calcula dichos números. x + 2x = 36 ⇒ x = 12 Los números son: 12 y 24 67. La base de un rectángulo mide 8 cm más que la altu ra. Si su perímetro mide 64 cm, calcula las dimensio nes del rectángulo.

x+8 2(x + 8) + 2x = 64 ⇒ x = 12 Las dimensiones son: altura = 12 cm; base = 20 cm

El espacio que recorre la moto es igual que el que recorre el coche y la fórmula es e = v · t

÷ v × t 70t = 100 (t – 3) ⇒ t = 10 El coche tarda 7 horas en alcanzar a la moto. 71. Halla dos números cuya diferencia sea 5 y la suma de sus cuadrados sea 73 Un número x y el otro x – 5 x 2 + (x – 5)2 = 73 ⇒ x = 8, x = – 3 Hay dos soluciones: N.º mayor = 8 ⇒ N.º menor = 3 N.º mayor = – 3 ⇒ N.º menor = – 8

53 Unidad 6. Ecuaciones

a) 4 m

Actualmente

x + 36 = 2(x + 10) ⇒ x = 16 Edad del hijo = 16 años. Edad de la madre = 42 años.

PIENSA Y CALCULA

1 3

7,2

Dinero (€)

64. 2x 2 – 5 = 0

Desarrolla: 2x +

4,8

69. Una madre tiene 26 años más que su hijo, y dentro de 10 años la edad de la madre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tienen en la actualidad?

63. x 2 – 6x + 12 = 0

4. Problemas

Mezcla

Peso (kg)

Sin resolverlas, calcula la suma y el producto de las so luciones de las siguientes ecuaciones:

Café B

Precio (€/kg)

(x – 3/5)(x + 1/2) = 0 x 2 – x /10 – 3/10 = 0 10x 2 – x – 3 = 0

Café A

72. La suma de los cuadrados de dos números consecu tivos es 181. Halla dichos números. Los números son x y x + 1 x 2 + (x + 1)2 = 181 ⇒ x = 9, x = –10 Hay dos soluciones: N.º menor = 9 ⇒ N.º mayor = 10 N.º menor = –10 ⇒ N.º mayor = – 9 73. Calcula las dimensiones de una finca rectangular sabiendo que tiene 3 dam de larga más que de ancha y su superficie es de 40 dam2 x+3

86. 6 – 4x + 2x – 6 = 2x + 5 x = – 5/4 87. 4(x + 5) + 3x = 4x – 3(x – 4) x = – 4/3 88. 9 – 2(3x + 4) = 5 – 3(x – 4) x = –16/3 89. 12 – (7x + 5) = 4 – (5x + 2) x = 5/2 90. 5(x – 2) + 3(x + 2) = 6(x – 1) x = –1

Área = 40 dam2

x (x + 3) = 40 ⇒ x = 5, x = – 8 La solución negativa no tiene sentido. Ancho = 5 dam Largo = 8 dam

Ejercicios

91.

x = 5/2 92.

93.

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

75. x – 2 = 3 x = 5 76. 3x = 15 x = 5 x 77. = 7 3 x = 21 78. 4x = 3 x = 3/4 79. x – 5 = 0 x = 5 80. 5x + 7 = 0 x = – 7/5 81. x (x – 4)(x + 5) = 0 x1 = 0, x 2 = 4, x 3 = – 5 82. (3x + 2)(5x – 6)(x + 5) = 0 x 1 = – 2/3, x 2 = 6/5, x 3 = – 5 Resuelve las siguientes ecuaciones:

54 Solucionario

83. 7x + 2 = 4x – 10 x = – 4 84. 5 + 3x – 2x = 7 + 4x – x x = – 1 85. 6x – 3x + 5 = 2x + 1 x = – 4

3x x – 2 – 2(x – 3) – = 5 + x 2 4 x = 6/7

74. x + 2 = 9 x = 7

4 – x 3x – 2 =2– 5 10 x = 14

y problemas propuestos

1. ECUACIONES DE 1.ER GRADO

6x – 1 x – 1 4x + 3 = + 2 3 2

94.

x – 5 2x – 3 10 – x – + =0 2 3 12 x = – 8/3

2. ECUACIONES DE 2.o GRADO Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 95. x 2 = 81 x 1 = 9, x 2 = – 9 96. 2x 2 = 0 x 1 = x 2 = 0 97. x 2 = 36 x 1 = 6, x 2 = – 6 98. 7x 2 = 0 x 1 = x 2 = 0 99. x 2 – 64 = 0 x 1 = 8, x 2 = – 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: 100. x 2 – 12x = 0 x 1 = 0, x 2 = 12 101. (x – 2)2 – 16 = 0 x 1 = – 2, x 2 = 6 102. x 2 – 6x – 7 = 0 x 1 = –1, x 2 = 7 103. (x + 1)2 = 4x x 1 = x 2 = 1 104. x 2 + x – 6 = 0 x 1 = 2, x 2 = – 3

105. x 2 – 25 = 0

Halla, en cada caso, una ecuación de 2.º grado cuyas soluciones son:

x 1 = – 5, x 2 = 5 106. x (x – 4) = 2x (x –3) x 1 = 0, x 2 = 2 107. 3(x – 2)2 – 27 = 0 x 1 = – 1, x 2 = 5

x 1 = – 3/2, x 2 = 3/2

123. x 1 = 3/4, x 2 = – 2 (x – 3/4)(x + 2) = 0 x 2 + 5x /4 – 3/2 = 0 ⇒ 4x 2 + 5x – 6 = 0

(x + 3)(x + 1/3) = 0 x 2 + 10x /3 + 1 = 0 ⇒ 3x 2 + 10x + 3 = 0 125. x 1 = 2/5, x 2 = – 3/2

x 1 = – 1/3, x 2 = 3/2

)

5x 2 x 2 x =3 – 4 3 2 x 1 = – 9/2, x 2 = 0

111. 5x 2 – 4x = 2x 2

(x – 2/5)(x + 3/2) = 0 x 2 + 11x /10 – 3/5 = 0 ⇒ 10x 2 + 11x – 6 = 0 Sin resolverlas, calcula la suma y el producto de las so luciones de las siguientes ecuaciones: 126. x 2 – 8x + 3 = 0 S = 8, P = 3

x 1 = 0, x 2 = 4/3

127. x 2 – 7x + 2 = 0

112. 4x 2 – 51x + 36 = 0

S = 7, P = 2

113.

x 1 = 3/4, x 2 = 12

128. 6x 2 + x – 2 = 0

x 2 – 4x 1 5x – 3x 2 1 – = + 6 3 6 12

129. 5x 2 – 16x + 3 = 0

x 1 = – 2/5, x 2 = 3

S = – 1/6, P = – 1/3 S = 16/5, P = 3/5

3. NÚMERO DE SOLUCIONES. FACTORIZACIÓN

4. PROBLEMAS DE ECUACIONES

Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuán tas soluciones tienen:

130. Calcula tres números enteros consecutivos tales que la suma de los tres sea igual al doble del segundo.

114. x 2 + x – 12 = 0 Δ = 1 + 48= 49 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones. 115. x 2 – 4x + 13 = 0 Δ = 16 – 52 = – 36 < 0 ⇒ No tiene soluciones reales. 116. 9x 2 – 12x + 4 = 0 Δ = 144 – 144 = 0 ⇒ Tiene una solución doble.

Primer número: x – 1 Segundo número: x Tercer número: x + 1 x – 1 + x + x + 1 = 2x ⇒ x = 0 Primer número = –1 Segundo número = 0 Tercer número = 1 131. Si se disminuye la altura de un rectángulo en 3,5 cm, el área disminuye en 21 cm2. Calcula la base del rectángulo.

117. 4x 2 – 12x + 13 = 0

3,5

Δ = 144 – 208 = – 64 < 0 ⇒ No tiene soluciones reales. Halla la descomposición factorial de los siguientes po linomios: 118. 4x 2 – 3x 4x (x – 3/4) 119. x 2

– 144

(x + 12)(x – 12) 120. 9x 2

+ 12x + 4

9(x + 2/3)2 121. 20x 2 – 7x – 6 20(x + 2/5)(x – 3/4)

3,5x = 21 ⇒ x = 6 La base mide 6 cm 132. Hace siete años, la edad de un padre era cinco ve ces la del hijo. Si actualmente es solo el triple, ¿qué edad tiene cada uno? Hijo Padre

Hace 7 años Actualmente x x+7 5x 5x + 7

5x + 7 = 3(x + 7) ⇒ x = 7 Edad del hijo = 14 años. Edad del padre = 42 años.

55 Unidad 6. Ecuaciones

109. 6x 2 – 7x – 3 = 0

(

(x – 4)(x + 5) = 0 ⇒ x 2 + x – 20 = 0

124. x 1 = – 3, x 2 = – 1/3

108. 4x 2 – 9 = 0

110.

122. x 1 = 4, x 2 = –5

Precio (€/kg) Peso (kg)

Azúcar A

Azúcar B

Mezcla

1,125

1,4

1,29

200 – x

200

Resuelve las siguientes ecuaciones: 138. 4x + 2 = 3x + 8 – x

1,125x + 1,4(200 – x ) = 1,29 · 200 ⇒ x = 80 Azúcar A: 80 kg Azúcar B: 120 kg

x = 3

134. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las tres y media? 11

3 7 5

x = 7 141. 5x + 9 + 3x = 2x + 5 + 7x

90 – x

x = 4

12x = 180 ⇒ x = 15° El ángulo que forman es de 90° – 15° = 75°

142. 3(x – 7) + 1 = 2x – 25

135. Un vehículo sale de A con dirección a B y lleva una velocidad constante de 80 km/h. En el mismo instan te, otro vehículo sale de B hacia A con una velocidad de 60 km/h. Si la distancia entre A y B es de 280 km, ¿a qué distancia de A se cruzan los dos vehículos? 280 km

x = 2

4 6

139. 2x + x – 12 + 7x = 9x – 10 140. 2x – 15 + x = 2x – 8

x (x + 3) = 44 ⇒ x = –11 y x = 8 2 La solución negativa no tiene sentido. Los catetos miden: 8 m y 11 m

PARA AMPLIAR

1,125x + 1,4(200 – x) = 1,29 · 200

Dinero (€)

x+3

133. Se mezcla azúcar de 1,125 €/kg con azúcar de 1,4 €/kg y se obtienen 200 kg de mezcla a 1,29 €/kg. ¿Cuántos kilos de cada clase se han mezclado?

x = – 5 143. 3(x – 2) = 4(x – 1) – 5 x = 3 144. 2(x – 2) – 3x = 2(x + 4) – 5x x = 6

80 km/h

145. 2 – (x + 2) = 2 – (3 – x ) x = 1/2 60 km/h

146. 8(2x + 1) = 7 + 3(5x + 1) x = 2

80 km/h A

280 km

60 km/h 280 – x

El tiempo que tardan ambos es el mismo y la fórmula es: e e=v·t⇒t= v

x = – 1/5 148. 3x – (1 – 2x ) – 2x = 4 – x – (5x – 6) x = 11/9

÷ v × t x 280 – x = ⇒ x = 160 80 60 Se encuentran a 160 km de A. 136. Calcula dos números enteros consecutivos tales que su producto sea 132

56 Solucionario

147. x – 3 – 2(2x – 6) = 2(x + 5)

x (x + 1) = 132 ⇒ x = –12 y x = 11 Hay dos soluciones: Número menor = –12, número mayor = –11 Número menor = 11, número mayor = 12 137. Un triángulo rectángulo tiene un área de 44 m2. Cal cula la longitud de los catetos si uno de ellos mide 3 m más que el otro.

149. 4(3x – 1) – 3(x – 2) = 2(4x – 2) x = – 6 150.

151.

152.

153.

154.

5x + 4 = 13 3 x = 7 5x + 9 7x + 6 = 3 6 x = – 4 x + 3 2x – 1 –1= 2 5 x = – 7 x 5x – 2 2 – 5x – = x – 3 2 6 x = 1/3 5x – 1 4x + 1 x – 1 – = +4 2 3 2 x = 13/2

2 – x x – 1 =2– 5 2 x = 7

3x – 2 x + 2 x + 3 7 156. – 2(5x – 4) – – = 6 2 5 4 x = 2/3 157.

158.

3x 2x – 3 7x + 4 x – + = – 5x 4 3 2 3 x = – 4/11 x + 2 1 – 2x 11 – x – = – 3x + 2 2 7 14 x = 1/2

x – 3 x – 2 1 – x 8 159. – = x + – 4 5 3 9 x = 1/3 160.

4x – 1 x + 2 5x 12x + 1 – = – 12 8 8 36 x = – 11/3

161. 3(x – 1) –

2x – 3 11 7x – 1 1 + = + 4 6 3 12

x = 1 x + 1 1 – 2x 20 – x 3x – 5 162. – = + 3 4 12 4 x = 2 163.

164.

5x – 7 2x – 3 x – x = + 6 4 2 x = – 5/14 x + 1 3x + 1 1 x + 1 – = – 3 6 6 9 x = 2

1 2x – 1 2x – 1 165. x – – = 3 5 3 x = 3 166.

167.

170.

x 1 = x 2 = 0 173. x 2 – 81 = 0 x 1 = – 9, x 2 = 9 174. x 2 + 2x – 15 = 0 x 1 = – 5, x 2 = 3 175. x 2 – 144 = 0 x 1 = – 12, x 2 = 12 176. 2x 2 – 5x – 3 = 0 x 1 = – 1/2, x 2 = 3 177. x 2 – 4x = 0 x 1 = 0, x 2 = 4 178. x 2 – 4x – 12 = 0 x 1 = – 2, x 2 = 6 179. 4x 2 – 25 = 0 x 1 = – 5/2, x 2 = 5/2 180. 2x 2 + x – 6 = 0 x 1 = – 2, x 2 = 3/2 181. 5x 2 – 7x + 2 = 0 x 1 = 2/5, x 2 = 1 182. x 2 – 169 = 0 x 1 = – 13, x 2 = 13 183. 3x 2 – 11x + 6 = 0 x 1 = 2/3, x 2 = 3 184. 5x 2 – 9x = 0 x 1 = 0, x 2 = 9/5

4x + 1 x + 2 2x – 1 5 – = + 3 6 5 2 x = 3

185. x 2 = 4x

x – 2 11 x + 1 x + = + 4 6 6 2 x = 14/5

186. 25x 2 – 25x + 4 = 0

5 – x x + 1 168. – 18 = 4(1 – x ) – 2 3 x = 5 169.

172. 5x 2 = 0

x + 3 x – 2 7 x – 3 – = – 3 4 8 2 x = 3/2 2x – 1 x – 4 17 x + 2 – = – 8 6 8 2 x = 1

x – 2 x + 3 x + 1 1 171. = – – 6 4 2 3 x = 3/5

x 1 = 0, x 2 = 4 x 1 = 4/5, x 2 = 1/5 187. 4x 2 – 81 = 0 x 1 = – 9/2, x 2 = 9/2 188. 6x 2 + 11x – 2 = 0 x 1 = – 2, x 2 = 1/6 189. 4x 2 + 9x = 0 x 1 = 0, x 2 = – 9/4 190. 4x 2 – 7x + 3 = 0 x 1 = 3/4, x 2 = 1 191. 9x 2 – 1 = 0 x 1 = – 1/3, x 2 = 1/3

57 Unidad 6. Ecuaciones

155.

192. 4x 2 – 8x + 3 = 0 x 1 = 3/2, x 2 = 1/2

211. x 2 – 2x –

x 1 = – 1/2, x 2 = 3

193. 5x 2 + x = 0 x 1 = – 1/5, x 2 = 0

212. 6x 2 + 5 = 5x 2 + 8x – 10 x 1 = 5, x 2 = 3

194. x 2 – 9x + 20 = 0 x 1 = 5, x 2 = 4

213. 10x 2 – 23x = 4x 2 – 7

195. 4x 2 + 3x – 10 = 0

x 1 = 1/3, x 2 = 7/2

x 1 = – 2, x 2 = 5/4

214. (x – 7)2 – 81 = 0 x 1 = – 2, x 2 = 16

196. 25x 2 – 1 = 0 x 1 = – 1/5, x 2 = 1/5

215. 11x 2 – 6x – 3 = 2x 2 – 4 x 1 = x 2 = 1/3

197. 9x 2 – 18x – 7 = 0 x 1 = – 1/3, x 2 = 7/3

216.

198. 5x 2 + 8x – 4 = 0 199. x + 4x 2 = 0

217.

x 1 = – 1/4, x 2 = 0 218.

201. 7x 2 – 5x – 2 = 0 219.

x 1 = x 2 = 1/3

204. (x – 1)(2x – 3) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3/2 205. (x + 2)(x – 2) = 2(x + 3) + 5 x 1 = – 3, x 2 = 5 206. 2x (x + 1) – (6 + x ) = (x + 3)(x – 2) x 1 = x 2 = 0 207. x 2

3x 26 – =0 + 5 5

x 1 = – 13/5, x 2 = 2 208. x 2

3x 5 – =0 – 4 8

x 1 = – 1/2, x 2 = 5/4 209. x 2 –

220.

x 2 – 4x + 1 2x 2 – 4x – 3 = 2 5 x 1 = 11, x 2 = 1

PROBLEMAS 221. Se ha plantado 1/5 de la superficie de una huerta con cebollas; 1/15 con patatas; 2/3 con judías, y el resto, que son 240 m2, con tomates. ¿Qué superficie tiene la huerta? Superficie de la huerta: x x x 2x + + + 240 = x ⇒ x = 3 600 5 15 3 La huerta mide 3 600 m2 222. Natalia y Roberto tienen, respectivamente, 8 y 2 años. ¿Al cabo de cuántos años la edad de Natalia será el doble de la de Roberto?

2x 8 = 3 3

x 1 = 2, x 2 = – 4/3 210. x 2 –

14x – 3 x 2 – x 10x + 1 = + 6 3 6 x 1 = 1, x 2 = 4/3

203. x (x – 3) = 0 x 1 = 0, x 2 = 3

x 2 + 2 x 2 + x 3x + 1 – = 5 2 10 x 1 = – 3, x 2 = 1/3

x 1 = – 2/7, x 2 = 1 202. (3x – 1)2 = 0

x 2 x x 2 1 + = + 3 3 6 4 x 1 = x 2 = 2

200. 4x 2 – 17x + 15 = 0 x 1 = 3, x 2 = 5/4

2x 2 x + 3 =3 – 2 3 x 1 = – 9/4, x 2 = 3

x 1 = – 2, x 2 = 2/5

58 Solucionario

3 x = 2 2

10x 8 – =0 3 3

x 1 = – 2/3, x 2 = 4

Natalia Roberto

Actualmente Dentro de x años 8 8+x 2 2+x

8 + x = 2(2 + x ) ⇒ x = 4 Dentro de 4 años, Natalia tendrá 12 y Roberto 6 años.

223. ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las tres y cuarto?

Número: x x – x /5 = 60 x = 75

1 2

3 7

4 6

228. El cristal rectangular de una puerta mide 120 cm más de alto que de ancho y su superficie mide 10 800 cm2. Calcula cuánto miden los lados del cristal.

Ángulo que forman las agujas: x 12x = 90 ⇒ x = 7,5 Formarán un ángulo de 7,5° 224. Los lados de un rectángulo miden 5 m y 3 m. Al au mentar los lados en una misma cantidad, el área au menta en 48 m2. ¿Cuánto se ha ampliado cada lado?

15 + 48 = 63 m2 15

3+x

(5 + x )(3 + x ) = 63 x 2 + 8x + 15 = 63 x 2 + 8x – 48 = 0 x 1 = – 12, x 2 = 4 La solución negativa no tiene sentido. Se aumenta 4 m 225. Dos ciudades A y B están a 300 km de distancia. A las diez de la mañana un coche sale desde A hacia B con una velocidad de 80 km/h. Dos horas más tar de, otro coche sale desde B hacia A con una veloci dad de 120 km/h. ¿A qué hora se encuentran y a qué distancia de A? A

120 km/h 300 km 300 – x

80t + 120(t – 2) = 300 ⇒ t = 2,7 Se encuentran a 2,7 h = 2 h 42 minutos, es decir, a las 12 horas y 42 minutos, y a una distancia x = 216 km de A. 226. La edad de Rubén es la quinta parte de la edad de su padre. Dentro de 3 años, la edad de Rubén será la cuarta parte de la edad de su padre. ¿Qué edad tie ne cada uno actualmente?

Padre

Actualmente Dentro de 3 años x x + 3 5x

4(x + 3) = 5x + 3 ⇒ x = 9 Edad de Rubén = 9 años. Edad del padre = 45 años.

Número menor: x Número mayor: x + 1 x (x + 1) = 4x – 2 ⇒ x = 1, x = 2 Hay dos soluciones: El número menor: 1; el número mayor: 2 El número menor: 2; el número mayor: 3 230. Ana tiene 12 años, su hermano Pablo tiene 14, y su padre, 42. ¿Cuántos años deben pasar para que la suma de las edades de Ana y Pablo sea igual a la de su padre? Ana Pablo Padre

Actualmente Dentro de x años 12 12 + x 14 14 + x 42 42 + x

12 + x + 14 + x = 42 + x ⇒ x = 16 Tienen que pasar 16 años.

÷ v × t

Rubén

229. El producto de dos números enteros consecutivos es igual al cuádruple del menor menos 2 unidades. Encuentra dichos números.

5+x

80 km/h

x (120 + x ) = 10 800 ⇒ x = 60, x = –180 La solución negativa no tiene sentido. Ancho: 60 cm Alto: 180 cm

5x + 3

231. Calcula el área de un círculo sabiendo que si au mentamos el radio en 6 cm, el área se hace nueve veces más grande. 9πR 2 = π(R + 6)2 ⇒ R = 3, R = – 3/2 El radio negativo no tiene sentido. El radio vale R = 3 cm y su área es 9π cm2 232. Se mezclan 1 800 kg de harina de 0,42 €/kg con 3 500 kg de harina de 0,54 €/kg. ¿Qué precio tiene el kilo de la mezcla? Precio (€/kg) Masa (kg) Dinero (€)

Harina A

Harina B

Mezcla

0,42

0,54

1 800

3 500

5 300

0,42 · 1 800 + 0,54 · 3 500 = 5 300 · x

0,42 · 1 800 + 0,54 · 3 500 = 5 300x x = 0,499 = 0,5

59 Unidad 6. Ecuaciones

120 + x

11 10

227. Calcula un número tal que si se le quita su quinta parte, el resultado sea 60

233. Sonia se ha comprado un libro y un disco que tenían el mismo precio, pero que han rebajado un 15 % y un 10 %, respectivamente, cuando ha ido a pagar. Si se ha ahorrado 9 €, ¿cuánto costaba cada producto? Precio del libro = Precio del disco: x 0,15x + 0,1x = 9 ⇒ x = 36 Los dos productos valían 36 €

x 2 + (x + 5)2 + 1 283 = 2 400 ⇒ x = – 26, x = 21 La solución negativa no tiene sentido. Las piezas son de 21 cm de lado y de 21 + 5 = 26 cm de lado, respectivamente. 239. Halla un ángulo que sea igual a un tercio de su án gulo suplementario.

234. Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumentarlo en 5 unidades, el área aumente en 395 unidades cuadradas.

180º – x

3x = 180 – x ⇒ x = 45 El ángulo es de 45° x+5

x+5

(x + = + 395 ⇒ x = 37 El lado del cuadrado mide 37 unidades. 5)2

x 2

235. Calcula dos números enteros tales que su diferen cia sea 2 y la suma de sus cuadrados sea 884 x 2 + (x – 2)2 = 884 ⇒ x = – 20, x = 22 Hay dos soluciones: Número menor: – 22 ⇒ Número mayor: – 20 Número menor: 20 ⇒ Número mayor: 22 236. ¿A qué hora coinciden, por primera vez, las maneci llas del reloj después de las 12 horas? 11

3 7

4 6

240. Se desea obtener 8 000 kg de pienso mezclando maíz a un precio de 0,5 €/kg con cebada a un precio de 0,3 €/kg. Si se desea que el precio de la mezcla sea de 0,45 €/kg, ¿cuántos kilos de maíz y de ceba da necesitamos? Precio (€/kg) Masa (kg) Dinero (€)

0,5x + 0,3(8 000 – x ) = 0,45 · 8 000 x = 6 000 Maíz: 6 000 kg Cebada: 2 000 kg 241. Andrés sale a caminar desde su casa a una veloci dad de 6 km/h. Una hora más tarde, su hermana Vir ginia sale a buscarle en bicicleta a una velocidad de 26 km/h. ¿Cuánto tardará en alcanzarlo? V

26 km/h

Sea x el ángulo que recorre la aguja minutera. 12(x – 30) = x ⇒ x = 32,73° Se encontrarán cuando la aguja minutera haya recorrido un ángulo de 32,73°, es decir, 32,73° : 30 = 1,09 h = 1 hora 5 minutos 24 segundos. 237. Ruth tiene 17 años y su madre tiene 47. ¿Cuánto ha de transcurrir para que la edad de la hija sea la mi tad de la de la madre? Actualmente Dentro de x años 17 17 + x

Ruth Madre

47 + x

238. De un tablero de 2 400 cm2 se cortan dos piezas cuadra das, una de ellas con 5 cm más de lado que la otra. Si las tiras de madera que sobran miden 1 283 cm2, ¿cuán to miden los lados de las piezas cuadradas cortadas? x+5

60 Solucionario

47 + x = 2(17 + x ) ⇒ x = 13 A los 13 años.

x x

x+5

Maíz Cebada Mezcla 0,5 0,3 0,45 x 8 000 – x 8 000 0,5x + 0,3(8 000 – x ) = 0,45 · 8 000

6 km/h

÷ v × t Tiempo que tarda Virginia en alcanzar a Andrés desde la salida de Andrés: 6t = 26(t – 1) ⇒ t = 13/10 h = 1,3 h Tarda en alcanzarlo 3/10 h = 0,3 h = 18 min 242. Se desea mezclar 50 kg de azúcar blanca de 1,24 €/kg con azúcar morena de 1,48 €/kg. ¿Cuántos kilos de azúcar morena se necesitan para que la mezcla sal ga a 1,32 €/kg? Azúcar blanca

Azúcar morena

Mezcla

Precio (€/kg) Masa (kg)

1,24

1,48

1,32

50 + x

Dinero (€)

1,24 · 50 + 1,48 · x = 1,32(50 + x )

1,24 · 50 + 1,48 · x = 1,32(50 + x ) ⇒ x = 25 Se necesitan 25 kg de azúcar morena.

PARA PROFUNDIZAR 243. Elvira compra unos zapatos, una camisa y una cha queta. Si la camisa cuesta la mitad que la chaqueta y esta la mitad que los zapatos, y ha pagado 126 €, ¿cuánto cuesta cada cosa?

249. Las diagonales de un rombo miden 18 cm y 12 cm. ¿Qué longitud se debe añadir a las diagonales para que el área del rombo se duplique? x cm — 2 x cm — 2

18 cm

Precio de la camisa: x x + 2x + 4x = 126 ⇒ x = 18 La camisa vale 18 €, la chaqueta, 36 € y los zapatos, 72 €

12 cm

7 cm

244. Los lados de un rectángulo miden 7 y 9 cm. Si se am plían los lados en una misma cantidad, la nueva área es de 143 cm2. ¿Cuánto se ha ampliado cada lado?

9 cm

9+x 7+x

(7 + x )(9 + x ) = 143 x = – 20, x = 4 La solución negativa no tiene sentido. 9+x Se ha ampliado 4 cm 245. ¿A qué hora forman las manecillas del reloj un án gulo de 120° por primera vez después de las 12 ho ras? x 11

120°

1 2

10 9

3 7

4 6

Sea x el ángulo de la aguja horaria. 120 + x = 12x ⇒ x = 10,91 La aguja horaria recorre un ángulo de 10,91° La aguja minutera recorre un ángulo de 130,91° que corresponde a 21,818 minutos, es decir, serán las: 12 horas 21 minutos y 49 segundos. 246. Calcula un número tal que multiplicado por su mitad sea igual a su cuarta parte más 9 Número: x x x x = + 9 ⇒ x = – 4, x = 9/2 2 4 247. Halla un número cuya mitad más su cuarta parte sea igual a 39 Número: x x x + = 39 ⇒ x = 52 2 4 248. Halla un número cuya mitad, más su tercera parte, más una unidad, sea igual que el número. Número: x x x + + 1 = x ⇒ x = 6 2 3

(18 + x )(12 + x ) 18 · 12 =2 4 4 x 1 = – 36, x 2 = 6 La solución negativa no tiene sentido. Hay que aumentar 6 cm 250. Halla el valor de k en la siguiente ecuación de for ma que su solución sea 2: kx – 3 = 3x – 1 2k – 3 = 6 – 1 k=4 251. Una solución de la ecuación 10x 2 – 11x – 6 = 0 es 3/2. Calcula la otra solución sin resolver la ecuación. 3/2 + x 2 = – b/a 3/2 + x 2 = 11/10 x 2 = 11/10 – 3/2 = – 2/5 252. En la ecuación 8x 2 – 18x + k = 0, halla el valor de k de forma que una solución sea el doble de la otra. Sean las soluciones x 1, x 2 = 2x 1 x 1 + x 2 = – b/a ⇒ 3x 1 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/4 x 1 · x 2 = c/a ⇒ 2x 12 = k/8 9/8 = k/8 k=9 Para k = 9 las soluciones son x 1 = 3/4, x 2 = 3/2 253. Un grifo llena un depósito en 3 horas y otro lo hace en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar el de pósito los dos grifos a la vez? Tiempo que tardan: x (1/3 + 1/6)x = 1 ⇒ x = 2 Tardan 2 horas. 254. En un rectángulo, el segmento que une los puntos me dios de dos lados consecutivos mide 50 m. Si la razón de los lados es 4/3, calcula el área del rectángulo. 50 m

61 Unidad 6. Ecuaciones

7+x

7 cm

9 cm

Sea x la mitad del lado menor. x 2 +

( )

4 x = 502 ⇒ x = – 30, x = 30 3

La solución negativa no tiene sentido. Para x = 30 m, el área es: A = 80 · 60 = 4 800 m2 255. Julio invierte 14 000 € en acciones de dos empre sas. En una gana el 15 % y en otra pierde un 3,5 %. Si al venderlas obtiene 14 620 €, ¿cuánto invirtió en cada empresa? Dinero invertido en una empresa: x 0,15x – 0,035(14 000 – x ) = 620 ⇒ x = 6 000 En una empresa invierte 6 000 € y en la otra 8 000 €

Matematización

en contextos reales

256. ¿En cuánto tiempo recorrerá un móvil 4 200 m si par te con una velocidad de 15 m/s y con una acelera ción de 4,5 m/s2? 1 · 4,5 · t 2 + 15t = 4 200 2 t = 40 s

4. Justifica el número de soluciones que tienen las si guientes ecuaciones, sin resolverlas: a) x 2 – 5x + 7 = 0 b) 3x 2 – 12x + 8 = 0 c) x 2 – 4x = 0 d) 9x 2 + 24x + 16 = 0 a) Δ = 25 – 28 = – 3 < 0 ⇒ No tiene solución real. b) Δ = 144 – 96 = 48 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones. c) Δ = 16 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones. d) Δ = 576 – 576 = 0 ⇒ Tiene una solución doble. 5. Halla una ecuación de segundo grado que tenga como soluciones: x 1 = 3/2, x 2 = – 5 (x – 3/2)(x + 5) = 0 x 2 + 7x /2 – 15/2 = 0 2x 2 + 7x – 15 = 0 6. Encuentra un número tal que multiplicado por su cuarta parte sea igual al doble del número menos 3 unidades. Número: x

257. Se deja caer una pelota desde 30 m. Si la aceleración es de 9,8 m/s2, ¿cuánto tiempo tardará la pelota en llegar al suelo? La fórmula que tienes que aplicar es: 1 e = gt 2 2 1 2 · 9,8 · t = 30 2 t = 2,47 s

x = 2x – 3 ⇒ x 2 – 8x + 12 = 0 4 x 1 = 2, x 2 = 6 Hay dos soluciones: el número 2 y el número 6

x ·

7. Si se aumenta 4 cm el lado de un cuadrado el área aumenta en 80 cm2. Calcula el lado del cuadrado.

Autoevaluación 1. Ex plica cómo se factoriza un trinomio de segundo grado y pon un ejemplo. Un trinomio de segundo grado ax 2 + bx + c con las soluciones x 1 y x 2 se descompone factorialmente de la siguiente forma: ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2) Ejemplo: Halla la descomposición factorial de 4x 2 + 8x – 5: 4x 2 + 8x – 5 = 0 tiene las soluciones x 1 = – 5/2, x 2 = 1/2

( )( )

Luego: 4x 2 + 8x – 5 = 4 x +

5 2

x –

1 2

2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2(3x – 5) – 4(x – 2) = 2 – (x – 1) 7 – x 7 7x – 5 = – (x + 2) – b) 5 2 10 a) 5/3

b) 2/5

3. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)

62 Solucionario

x 2

+ 4x – 12 = 0 + 5x 4 + 10x 7x + = 5 10 15

x 2

a) x 1 = – 6, x 2 = 2

b) x 1 = – 2/3, x 2 = 3

x cm

4)2

x + 4 cm

x 2

(x + = + 80 x 2 + 8x + 16 = x2 + 80 8x = 64 x = 8 cm El lado del cuadrado inicial es de 8 cm y el nuevo de 12 cm Comprobación: Área del cuadrado pequeño: 82 = 64 cm2 si le sumamos 80 obtenemos 144 cm2 Área del cuadrado grande: 122 = 144 cm2 8. Teresa tiene 12 años, su hermano Diego tiene 7, y su padre, 44. ¿Cuántos años deben pasar para que la suma de las edades de Teresa y de Diego sea igual a la del padre?

Teresa Diego Padre

Edad actual 12 7 44

Dentro de x años 12 + x 7+x 44 + x

12 + x + 7 + x = 44 + x ⇒ x = 25 años.

7. Sistemas de ecuaciones lineales

3. Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo y re suélvelo gráficamente: –2x + y = – 1 4x – 2y = 2

}

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

–2 1 –1 = = 4 –2 2 Tiene infinitas soluciones. Son rectas coincidentes. Sistema compatible indeterminado. Criterio:

PIENSA Y CALCULA a) ¿En qué punto se cortan la gráfica roja (r ) y la azul (s )? s s

Y Y

r r

Y X X X

b) ¿Tienen algún punto en común las rectas del dibujo? ¿Cómo son estas rectas? Y Y

X X s s

4. Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo y re suélvelo gráficamente: x – 3y = – 7 3x + 2y = 1

}

r r

a) P (3, 2)

x1 = 1, y1 = 1; x2 = 2, y2 = 3; x3 = 3, y3 = 5…

b) No. Son paralelas.

1 –3 ≠ 3 2 Tiene una solución. Son rectas secantes. Sistema compatible determinado. Criterio:

CARNÉ CALCULISTA Calcula con dos decimales: 73,58 : 0,24 C = 306,58; R = 0,0008

APLICA LA TEORÍA 1. Comprueba que x = 2, y = –3 es solución del siguien te sistema: 3x – y = 9 5x + 2y = 4

}

P(–1, 2) X

2. Resuelve gráficamente el siguiente sistema: 2x + y = 4 x – 3y = – 5

}

x = –1, y = 2

P (1, 2)

5. Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo y re suélvelo gráficamente: 2x + y = 5 6x + 3y = 3

}

2 1 5 = ≠ 6 3 3 No tiene una solución. Son rectas paralelas. Sistema incompatible. Criterio:

x = 1, y = 2

63 Unidad 7. Sistemas de ecuaciones lineales

3 · 2 – (– 3) = 6 + 3 = 9 5 · 2 + 2 · (– 3) = 10 – 6 = 4

9. Resuelve por el método más sencillo:

}

2x + 3y = 12 2x = 5y – 7 Se sustituye el valor de x de la segunda ecuación en la primera ecuación. x = 3, y = 2 10. Resuelve el siguiente sistema: x = 2y + 1 x = –1 – 6y

}

Se igualan los valores de la x x = 1/2, y = –1/4 6. Escribe un sistema que tenga como solución x = 2, y = 3

}

x + y = 5 x – y = – 1

2. Métodos

de sustitución

e igualación

PIENSA Y CALCULA Resuelve mentalmente el siguiente sistema sustituyendo el valor de y de la primera ecuación en la segunda: x + y = 2x x + y = 15

}

11. Resuelve el siguiente sistema: x = 11 – 3y 2 y 2x – = 7 3

Se eliminan los denominadores: x = 22 – 6y 6x – y = 21

}

Se sustituye el valor de x de la primera ecuación en la segunda. x = 4, y = 3 12. Resuelve el siguiente sistema: y = 1 – 0,5x y = 0,25x + 0,25 Se igualan los valores de la y x = 1, y = 0,5

3. Reducción +

= 15

y qué método utilizar

PIENSA Y CALCULA Suma mentalmente las dos ecuaciones del sistema y halla el valor de x Sustituye mentalmente este valor en la primera ecua ción y halla el valor de y

x + 2x = 15 3x = 15 x = 5 y = 2x y = 2 · 5 = 10 y = 10

5x + 2y = 12 3x – 2y = 4

}

8x = 16 ⇒ x = 2 5 · 2 + 2y = 12 ⇒ y = 1

CARNÉ CALCULISTA Desarrolla: (2a – 5)2 = 4a 2 – 20a + 25 Factoriza: x 2 – 10x + 25 = (x – 5)2

CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación:

APLICA LA TEORÍA

x = 1/8

7. Resuelve por el método más sencillo:

APLICA LA TEORÍA

}

y = 3 – 2x 3x – 4y = 10

Se sustituye el valor de y de la primera ecuación en la segunda. x = 2, y = –1

64 Solucionario

}

8. Resuelve por el método más sencillo:

}

y = 3x – 7 y = 13 – 2x Se igualan los valores de la y x = 4, y = 5

2x – 1 3x + 1 5x – 2 – = 4 5 6

13. Resuelve por el método más sencillo:

}

3x + 2y = 7 5x – 2y = 1 Se suman las dos ecuaciones. x = 1, y = 2

14. Resuelve por el método más sencillo: 3x – 2y = 8 3x + 7y = –1

}

Se cambia de signo la primera ecuación y se suman. x = 2, y = –1

15. Resuelve por el método más sencillo: 2x + 3y = 5 6x + 5y = 3

}

Se multiplica la primera ecuación por 3 y se le resta la segunda. x = – 2, y = 3 16. Resuelve por el método más sencillo: 3x – 2y = 13 4x + 5y = 2

}

Se multiplica la primera ecuación por 5 y la segunda por 2 y se suman. x = 3, y = – 2 17. Resuelve el siguiente sistema por el método más sencillo: y = 4x – 1 2x + 3y = 25

}

Por sustitución. x = 2, y = 7 18. Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema: 2x + 3y = 7 4x – 3y = – 4

}

CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación: 3x 2 – 6x = 0 x = 0, x = 2 APLICA LA TEORÍA 20. Halla dos números sabiendo que uno es el doble del otro y que entre los dos suman 51 Primer número: x Segundo número: y y = 2x x + y = 51 x = 17, y = 34

}

21. En un garaje hay 18 vehículos entre coches y motos. Sin contar las ruedas de repuesto hay 58 ruedas. ¿Cuántas motos y coches hay? Número de coches: c Número de motos: m c + m = 18 4c + 2m = 58 Coches: c = 11, motos: m = 7

}

22. El perímetro de un triángulo isósceles mide 65 m, y cada uno de los lados iguales mide el doble del lado desigual. ¿Cuánto mide cada lado? Medida del lado desigual: x Medida de cada uno de los lados iguales: y

Por reducción, se suman las dos ecuaciones. x = 1/2, y = 2 19. Resuelve el siguiente sistema por el método más sencillo: x = 2y – 1 x = 3y – 6

}

4. Problemas

de sistemas

PIENSA Y CALCULA Averigua por qué debemos comer fruta en vez de bollería. En el dibujo está planteado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. +

= 500 kcal

–

= 400 kcal

a) Suma las dos ecuaciones y halla las kcal de un dónut de chocolate. b) Observando la primera ecuación y sabiendo las kcal de un dónut de chocolate, calcula las kcal de una manzana. a)

= 500 kcal

–

= 400 kcal

= 900 kcal

= 450 kcal b)

= 50 kcal

}

x + 2y = 65 x + 2y = 2x Lado desigual: x = 13 m Cada lado igual: y = 26 m 23. El doble de un número más el triple de otro número es igual a 80, y el quíntuplo del primero menos la mi tad del segundo es igual a 56. ¿De qué números se trata? Primer número: x Segundo número: y 2x + /3y = 80 5x – y /2 = 56 x = 13, y = 18

}

24. Los alumnos de un centro van a ir al teatro. El precio de una entrada sin descuento es de 4,5 € y con des cuento especial para colegios es de 1,5 €. Se sacan 250 entradas, unas con descuento y otras sin des cuento, y en total se pagan 675 €. ¿Cuántas entradas se han comprado con descuento? ¿Y sin descuento? Número de entradas sin descuento: s Número de entradas con descuento: c 2,50s + 1,5c = 250 4,5s + 1,5c = 675 Entradas sin descuento: s = 100 entradas. Entradas con descuento: c = 150 entradas.

}

65 Unidad 7. Sistemas de ecuaciones lineales

Por igualación. x = 9, y = 5

25. Tres aguacates y 2 mangos cuestan 12 €; 4 aguaca tes y 4 mangos cuestan 18 €. Calcula cuánto cuestan cada aguacate y cada mango.

}

30. 3x – 2y = – 4 2x + y = 7

Precio del aguacate: a Precio del mango: m 3a + 2m = 12 4a + 4m = 18 Cada aguacate: a = 3 € Cada mango: m = 1,5 €

}

P (2, 3) X

26. Halla la ecuación de la recta ax + by = 2 sabiendo que pasa por los puntos A (1, 2) y B (3, 7)

}

3a + 2b = 2 3a + 7b = 2 a = 10, b = – 4 La recta es: 10x – 4y = 2 ⇒ 5x – 2y = 1

Ejercicios

x = 2, y = 3

}

31. 2x + y = – 6 3x – y = 1

y problemas propuestos

1. SISTEMAS LINEALES. RESOLUCIÓN GRÁFICA 27. Comprueba que x = – 1, y = 5 es solución del siguien te sistema: –3x + 2y = 13 –4x + 5y = 1

}

– 3 · (– 1) + 2 · 5 = 3 + 10 = 13 4 · (– 1) + 5 = – 4 + 5 = 1

P (– 1, – 4)

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas:

}

x = –1, y = –4 32. x – 4y = 12

28. 3x – y = 5 2x + 3y = – 4

}

x + 3y = – 2 Y

X P(1, –2) P (4, – 2)

x = 4, y = –2

x = 1, y = –2

}

33. 3x + 4y = 10

29. x + y = 1 x – 2y = – 8

2x + 3y = 9 Y

P (– 2, 3) P (3, 1)

66 Solucionario

x = –2, y = 3

x = 3, y = 1

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes de cada sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la inter pretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente:

}

34. 2x + y = 1 2x + y = – 1 2 1 1 Criterio: = ≠ 2 1 – 1 No tiene solución. Son rectas paralelas. Sistema incompatible.

}

37. 3x + 3y = 7 3x + 9y = – 5

1 3 7 = ≠ 3 9 – 5 No tiene solución. Son rectas paralelas. Sistema incompatible.

Criterio:

Y Y X X

}

38. –2x + 3y = – 1 4x – 2y = 2

}

35. 2x + 2y = 3 2x + 4y = 6 1 2 3 Criterio: = = 2 4 6 Tiene infinitas soluciones. Son rectas coincidentes. Sistema compatible indeterminado.

–2 1 – 1 = = 4 –2 2 Tiene infinitas soluciones Son rectas coincidentes. Sistema compatible indeterminado. Criterio:

X X

x1 = 0, y1 = –1; x2 = 1, y2 = 1; x3 = 2, y3 = 3… x1 = – 1, y1 = 2; x2 = 3, y2 = 0; x3 = 5, y3 = – 1…

}

36. 3x – 4y = – 5 2x + 2y = – 4 3 – 1 Criterio: ≠ 1 2 Tiene una solución. Son rectas secantes. Sistema compatible determinado.

}

39. 2x – 4y = 9 3x – 5y = 10

2 – 1 ≠ 3 – 5 Tiene una solución. Son rectas secantes. Sistema compatible determinado. Y

P (5, 1)

X P (– 2, – 1)

x = –2, y = – 1

x = 5, y = 1

67 Unidad 7. Sistemas de ecuaciones lineales

Criterio:

40. Escribe un sistema que tenga como solución: x = – 1, y = 2

}

49. 4x – 5y = 22 3x – 5y = 19

}

Se aplica el método de reducción. Se cambia de signo la segunda ecuación y se suman. x = 3, y = –2

–x + y = 1 –x + y = 3

2. MÉTODOS DE SUSTITUCIÓN E IGUALACIÓN Resuelve por el método más sencillo:

}

50. 2x = 2y + 3 3x + 4y = 5

Se aplica el método de sustitución. Se sustituye el valor de x de la primera ecuación en la segunda ecuación. x = 11/5, y = –2/5

}

41. 2x = –2y 3x + 7y = 1

Se sustituye el valor de x de la primera ecuación en la segunda ecuación. x = –2, y = 1

}

51. 3x – 4y = 3 5x + 6y = 5

42. 7x + 2y = 4 y = 1 – 5x

Se aplica el método de reducción. m.c.m. (4, 6) = 12 Se multiplica la primera por 3 y la segunda por 2 y se suman. x = 1, y = 0

Se sustituye el valor de y de la segunda ecuación en la primera ecuación. x = –2/3, y = 13/3

}

52. y = 3x + 1 y = 4x – 2

43. y = 3x – 5 y = 1 – 2x

Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de y de las dos ecuaciones. x = 3, y = 10

Se igualan los valores de la y x = 6/5, y = –7/5

}

44. y = –2x + 3 y = –5x – 4

53. 2x – 3y = 19 5x + 4y = 11

Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de y x = 1, y = 1

}

45. 2x – 3y = 1 y = 7 – 3x

Se sustituye el valor de y de la segunda ecuación en la primera ecuación. x = 2, y = 1 46. x = 3 – 0,75y x = 0,5y + 5

}

Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de x x = 4,2, y = –1,6

Se aplica el método de reducción. Se multiplica la primera ecuación por 4 y la segunda por 3 y se suman. x = 3, y = –1

}

54. y = 2x + 8 y = –x – 1

Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de y x = –3, y = 2 x y + =5 3 2 x y – =1 2 4 Se eliminan denominadores.

}

2x + 3y = 30 2x – 2y = 54

3. REDUCCIÓN Y QUÉ MÉTODO UTILIZAR

Se aplica el método de sustitución. Se despeja y de la segunda ecuación y se sustituye en la primera. x = 21/4, y = 13/2

Resuelve por el método más sencillo:

}

47. –3x + 2y = 17 –3x + 5y = 11

68 Solucionario

Se aplica el método de reducción. Se suman las dos ecuaciones. x = 3, y = 4

}

48. y = 3 – 2x 3x – 4y = 10

Se aplica el método de sustitución. Se sustituye el valor de y de la primera ecuación en la segunda ecuación. x = 2, y = –1

55.

x – 2 y 1 – = 4 5 2 3 (x – 1) + 2 (y + 3) = 4

56.

Se eliminan denominadores:

}

5x – 4y = 20 3x + 2y = 51

Se resuelve por reducción multiplicando la segunda ecuación por 2 y sumando. x = 2, y = – 5/2

4. PROBLEMAS DE SISTEMAS 57. Halla dos números sabiendo que uno es el cuádruplo del otro y que entre los dos suman 55 Primer número: x Segundo número: y y = 4x x + y = 55 x = 11, y = 44

PARA AMPLIAR 62. Resuelve gráficamente los sistemas: a) x + y = 0 b) 2x – y = 0 x – y = 0 b) x – 2y = 0

}

O (0, 0)

58. Dos hogazas de pan y 8 barras pesan 6 kg, y 12 barras y una hogaza pesan 4 kg. ¿Cuánto pesa cada barra de pan y cada hogaza? Peso de la hogaza: h Peso de la barra: b 2h + 18b = 6 3h + 12b = 4 Peso hogaza: h = 2,5 kg Peso de la barra: b = 0,125 kg = 125 g

}

x = 0, y = 0 Y

59. El triple de un número menos el doble de otro núme ro es igual a 45 y el doble del primero menos la cuar ta parte del segundo es igual a 43. ¿De qué números se trata? Primer número: x Segundo número: y 3x – 2y = 45 2x – y /4 = 43 x = 23, y = 12

}

Resuelve por el método más sencillo los siguientes sis temas:

}

63. 3x + 2y = 12 5x – 4y = 40 Se aplica el método de reducción. Se multiplica la primera ecuación por 2 y se suman. x = 4, y = – 5

}

Lado menor: x Lado mayor: y 2x + 2y = 42 y = x + 7 x = 7 m, y = 14 m

}

x y

65. 2x + 3y = 12 3x – 2y = 45 Se aplica el método de reducción. Se multiplica la primera ecuación por 2, la segunda por 3 y se suman. x = 3, y = 2

}

66. 3x – 5y = 4 y = 7 – 2x Se aplica el método de sustitución. Se despeja y de la segunda ecuación y se sustituye en la primera. x = 3, y = 1

}

67. x = y – 7 x = 5 – 2y Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de x x = –3, y = 4

69 Unidad 7. Sistemas de ecuaciones lineales

}

61. Un ángulo de un rombo mide el doble que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo?

x = 60°, y = 120°

O (0, 0)

64. x = 16 – y x = y – 2 Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de x x = 7, y = 9

}

x = 0, y = 0

60. El perímetro de un romboide mide 42 m y un lado mide 7 m más que el otro. ¿Cuánto mide cada lado?

Ángulo menor: x Ángulo mayor: y y = 2x x + y = 180

}

68. 5x + 3y = 11 3x + 5y = 13

Se aplica el método de reducción. Se multiplica la primera ecuación por 5, la segunda por –3 y se suman. x = 1, y = 2

}

x y 69. = 3 4 2x + 3y = 9

76. Para una fiesta se compran refrescos a 0,85 € y bol sas de frutos secos a 1,25 €. Por cada refresco se compran tres bolsas de frutos secos y en total se pa gan 230 €. ¿Cuántos refrescos y bolsas se han com prado? N.º de refrescos: r N.º de bolsas de frutos secos: b 0,85r + 1,25b = 230 b = 3r N.º de refrescos: r = 50 N.º de bolsas de frutos secos: b = 150

}

Se eliminan denominadores.

– 3y = 0 ⇒ } 4x 2x + 3y = 9}

4x = 3y 2x + 3y = 9

Se aplica el método de reducción. Se suman las ecuaciones. x = 3/2, y = 2

}

Primer número: x Segundo número: y x + 2y = 12 x + 2y = 19 x = 5, y = 7

}

x y + =3 2 3 5x + 2y = 4x + 10

70.

77. Halla dos números cuya suma sea 12 y el primero más el doble del segundo sea igual a 19

Se eliminan denominadores y se simplifica.

}

3x + 2y = 18 3x + 2y = 10

78. Un ángulo de un rombo mide el triple que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo?

Se aplica el método de reducción. Se le resta a la primera ecuación la segunda. x = 4, y = 3

}

x + 2y =3 5 2x + 5y – 8 = 4(y + 1) 71.

Se eliminan los denominadores, paréntesis y se simplifica.

}

3x + 2y = 15 2x + 2y = 12

Se aplica el método de reducción. Se multiplica por –2 la segunda ecuación y se suman. x = 3, y = 6

}

72. 0,25x + 0,5y = 2 0,75x – 0,5y = 5

Se aplica el método de reducción. Se suman las ecuaciones. x = 7, y = 0,5 73. Escribe un sistema que tenga la solución: x = 3, y = –1 x + y = 2 x – y = 4

}

74. Calcula el valor de k para que x = 2, y = 1 sea solu ción del sistema:

}

kx + 2y = 4 kx – 3y = 9

Ángulo menor: x Ángulo mayor: y y = 3x x + y = 28 x = 45°, y = 135°

}

79. Halla la edad de un padre y la de su hijo sabiendo que la edad del padre es el triple de la del hijo y la diferencia de las edades es de 28 años. Edad del hijo: h Edad del padre: p

}

p = 3h p – h = 28

Edad del hijo: h = 14 años. Edad del padre: p = 42 años. 80. Halla los lados de un rectángulo sabiendo que el pe rímetro mide 130 m y que la base es 3/2 de la altura.

70 Solucionario

2+2·1=2+2=4 2k – 1 = 9 ⇒ k = 5 75. Calcula dos números sabiendo que suman 92 y que su diferencia es 22 Primer número: x Segundo número: y

}

x + y = 92 x – y = 22

x = 57, y = 35

Base: b Altura: a 2b + 2a = 130 b = 3a /2 Base: b = 39 m Altura: a = 26 m

}

81. Un pantalón y una camisa cuestan 60 € y he pagado por ellos 52,8 €. Si en el pantalón me han hecho el 10 % de descuento y en la camisa, el 15 %, ¿cuánto costaba cada prenda? Precio del pantalón: p Precio de la camisa: c p + c = 60 0,9p + 0,85c = 52,8 Coste del pantalón: p = 36 € Coste de la camisa: c = 24 €

}

y x

82. Halla dos números cuya suma es 72 y son proporcio nales a 5 y 3 Primer número: x Segundo número: y

Medida del lado desigual: x Medida de cada uno de los lados iguales: y x + 2y = 27,5 y = x + 2,5 Medida del lado desigual: x = 7,5 m Medida de cada uno de los lados iguales: y = 10 m

}

87. Por una camisa y un pantalón se han pagado 120 €, y por dos camisas y tres pantalones se han pagado 312 €. ¿Cuánto cuestan cada camisa y cada pantalón?

}

x + y = 72 x y = 5 3 Primer número: x = 45 Segundo número: y = 27

Coste de una camisa: c Coste de un pantalón: p 3c + 2p = 120 2c + 3p = 312 Coste de una camisa: c = 48 € Coste de un pantalón: p = 72 €

}

83. Se mezcla café de calidad extra de 12 €/kg con café normal de 7 €/kg para obtener una mezcla de 40 kg a 9 €/kg. ¿Cuántos kilos hemos mezclado de cada clase? Café extra

Café normal

Mezcla

Precio (€/kg)

Peso (kg)

}

12e + 1n = 40 12e + 7n = 40 · 9 Café extra de 12 €/kg: e = 16 kg Café normal de 7 €/kg: n = 24 kg 84. Halla la ecuación de la recta y = ax + b sabiendo que pasa por los puntos A (1, 5) y B (–1, 1)

}

–a + b = 5 –a + b = 1

a = 2, b = 3 La recta es: y = 2x + 3 85. José ha comprado en el mercado 3 kg de manzanas y 2 kg de higos y ha pagado 14 € por toda la fruta. Sabiendo que el precio del kilo de higos es el doble que el de manzanas, halla el precio del kilo de man zanas y del kilo de higos. Precio del kilo de manzanas: m Precio del kilo de higos: h 3m + 2h = 14 h = 2m Precio del kilo de manzanas: m = 2 € Precio del kilo de higos: h = 4 €

88. El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide la mitad de cada uno de los iguales. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos? y

Ángulo igual: x Cada ángulo desigual: y y = x /2 2x + y = 180 Cada uno de los ángulos iguales: x = 72° El ángulo desigual: y = 36°

}

89. Pedro y María van a comprar cuadernos y bolígrafos. Pedro paga 30 € por 5 cuadernos y 6 bolígrafos, y María paga 34 € por 7 cuadernos y 2 bolígrafos. ¿Cuánto cuestan cada cuaderno y cada bolígrafo? Precio de un cuaderno: c Precio de un bolígrafo: b 5c + 6b = 30 7c + 2b = 34 Precio de un cuaderno: c = 4,5 € Precio de un bolígrafo: b = 1,25 €

}

90. Una fábrica hace bicicletas del tipo A, que llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y otras del tipo B, que llevan 2 kg de acero y 2 kg de aluminio. Si la em presa tiene 240 kg de acero y 360 kg de aluminio, ¿cuántas bicicletas puede construir de cada modelo? Bicicletas del tipo A: A Bicicletas del tipo B: B 5A + 2B = 240 3A + 2B = 360 Bicicletas del tipo A: A = 60 Bicicletas del tipo B: B = 90

}

71 Unidad 7. Sistemas de ecuaciones lineales

PROBLEMAS

}

86. El perímetro de un triángulo isósceles mide 27,5 m y cada uno de los lados iguales mide 2,5 m más que el desigual. ¿Cuánto mide cada lado?

91. Se mezcla aceite puro de oliva de 3,5 €/L con aceite de orujo de 2,5 €/L, para obtener 400 litros de mezcla a 2,75 €/L. ¿Cuántos litros hemos mezclado de cada aceite? Aceite puro Aceite orujo Mezcla 3,5 2,5 2,75 Precio (€/L) Capacidad (L)

}

400

1,2 p + o = 400 3,5p + 2,5o = 400 · 2,75 Aceite de oliva: p = 100 L Aceite de orujo: o = 300 L 92. Halla dos números sabiendo que al dividir el mayor entre el menor se obtiene de cociente 2 y de resto 3, y que la suma de los dos números es 39 Número menor: x Número mayor: y x + y = 39 y = 2x + 3 Número menor: x = 12 Número mayor: y = 27

}

93. Entre conejos y gallinas hay 48 animales en un co rral. Sabiendo que en total hay 86 patas, ¿cuántos conejos y gallinas hay? Interpreta el resultado. Cantidad de conejos: c Cantidad de gallinas: g 5c + 2g = 48 4c + 2g = 86 Cantidad de conejos: c = – 5 Cantidad de gallinas: g = 53 Interpretación: el número de conejos no puede ser negativo, por lo que el problema no tiene solución.

}

94. El triple de un número más otro número es igual a 29 y el doble del primero menos la mitad del segundo es igual a 10. ¿De qué números se trata? Primer número: x Segundo número: y 3x + y /2 = 29 2x – y /2 = 10 x = 7, y = 8

a b

Base: b Altura: a 2b + 2a = 21 b = 2a Base: b = 7 m Altura: a = 3,5 m

}

98. Dos revistas deportivas y una de automóviles cues tan 6 €. Cuatro revistas deportivas y dos de automó viles cuestan 12 €. Calcula cuánto cuesta cada revista deportiva y cada revista de automóviles. In terpreta el resultado que se obtiene. Cantidad de revistas deportivas: d Cantidad de revistas de automóviles: a 2d + 3a = 6 4d + 2a = 12 Los coeficientes de la segunda ecuación son el doble de los de la primera. El sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones.

}

PARA PROFUNDIZAR 99. Halla dos números tales que su suma sea 25 y la sex ta parte del primero más cinco veces el segundo sea igual a 38 Primer número: x Segundo número: y x /6 + 5y = 25 x /6 + 5y = 38 x = 18, y = 7

}

100. Entre Juan y Antonio hacen un trabajo por el que cobran 654 €. Si Juan ha hecho los 2/3 del trabajo que ha hecho Antonio, ¿cuánto tiene que cobrar cada uno?

}

95. Reparte 55 € proporcionalmente a 2 y 3 Primera cantidad: x Segunda cantidad: y

}

x + y = 55 x y = 2 3 x = 22, y = 33 96. En una tienda, 2 pares de zapatos y 3 pares de depor tivos cuestan 170 €, y se han pagado por ellos 132 €. Si en los zapatos han hecho el 25 % de descuento y en los deportivos el 20 %, ¿cuánto costaba cada par?

72 Solucionario

97. El perímetro de un rectángulo mide 21 m y uno de los lados mide el doble del otro. ¿Cuánto mide cada lado?

Pares de zapatos: z Pares de deportivos: d 2z + 3d = 170 2z · 0,75 + 3d · 0,8 = 132 Pares de zapatos: z = 40 Pares de deportivos: d = 30

}

Cantidad que cobra Juan: J Cantidad que cobra Antonio: A J + A = 654 J = 2A /3 Juan cobra: J = 261,6 € Antonio cobra: A = 392,4 €

}

101. En un puesto se venden melones y sandías por uni dades. Por la compra de 3 melones y 2 sandías se pagan 8 €, y por la compra de 6 melones y 4 sandías se pagan 15 €. Calcula el precio de cada melón y de cada sandía e interpreta el resultado que obtengas. Precio de un melón: m Precio de una sandía: s 3m + 2s = 8 6m + 4s = 15 Los coeficientes de las incógnitas de la segunda ecuación son el doble que los de la primera y, sin embargo, el segundo miembro no es el doble. El sistema es incompatible, no tiene solución.

}

102. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo pe rímetro es 306 m y cuya altura mide los 3/4 de la base.

Cifra de las unidades: u Cifra de las decenas: d 3u + 2d = 6 10u + d = u + 10d + 18 u = 4, d = 2 El número es 24

}

Base: b Altura: a 2b + 2a = 306 a = 3b /4 Base: b = 612/7 = 87,43 m Altura: a = 459/7 = 65,57 m

Matematización

}

103. Se mezcla cebada de 0,15 €/kg con trigo de 0,2 €/kg para obtener 500 kg de pienso para animales a 0,17 €/kg. ¿Cuántos kilos de cebada y de trigo he mos mezclado? Cebada

Trigo

Mezcla

0,15

0,2

0,17

500

108. Dos ciudades, A y B, distan entre sí 600 km. De la ciudad A sale hacia la ciudad B un coche a 80 km/h. Al mismo tiempo sale de la ciudad B hacia la ciudad A una moto a 120 km/h. Calcula el tiempo que tarda rán en encontrarse y la distancia que ha recorrido cada vehículo. El tiempo t es el mismo para los dos y hay que apli car la fórmula e = v · t 600 km A 80 km/h

120 km/h B

600 – e

}

1,12 c + t = 500 0,15c + 0,2t = 500 · 0,17 Cebada: c = 300 kg Trigo: t = 200 kg

104. El perímetro de un rectángulo mide 24 m y la suma de dos lados contiguos mide 12 m. Calcula la longi tud de los lados del rectángulo e interpreta el resul tado que obtengas. Base: b a Altura: a 2b + 2a = 24 b 6b + 4a = 12 El sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones, porque los coeficientes de la segunda ecuación son la mitad que los de la primera.

}

105. Halla dos números directamente proporcionales a 5 y 7 cuya suma sea 36 Primer número: x Segundo número: y x y = 5 7 x + y = 36 x = 15, y = 21

÷ v × t

}

e = 80t 600 – e = 120t t = 3 h, e = 240 km El tiempo es el mismo para los dos: 3 h El espacio que recorre el coche que sale de A es de 240 km El espacio que recorre la moto que sale de B es de 600 – 240 = 360 km 109. Dos ciudades, A y B, distan entre sí 800 km. De la ciudad A sale hacia la ciudad B un tren de mercan cías a 80 km/h. Tres horas más tarde sale de la mis ma estación A otro tren de pasajeros a 120 km/h. Calcula el tiempo que tardará el segundo tren en alcanzar al primero y la distancia que han recorrido los dos trenes. 80 km/h

}

Tiempo del tren de mercancías: t + 3 C B

e 120 km/h

106. La suma de las edades de un padre y su hijo es de 75 años y la diferencia es de 45 años. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo? Edad del padre: p Edad del hijo: h p + h = 75 p – h = 45 Edad del padre: p = 60 años. Edad del hijo: h = 15 años.

en contextos reales

Tiempo del tren de pasajeros: t

÷ v × t

}

e = 80(t + 3) e = 120t t = 6 h, e = 720 km

73 Unidad 7. Sistemas de ecuaciones lineales

Precio (€/kg) Masa (kg)

107. Un número está compuesto de dos cifras que suman 6 unidades. Si cambiamos las dos cifras de orden, el número aumenta en 18 unidades. ¿De qué número se trata?

Autoevaluación 1. Clasifica un sistema a partir del número de solucio nes y pon un ejemplo de un sistema incompatible. Un sistema lineal se puede clasificar, según el número de soluciones en: a) Compatible determinado: el sistema tiene una solu ción y las dos rectas se cortan en un punto. b) Incompatible: el sistema no tiene solución y las dos rectas son paralelas. c) Compatible indeterminado: el sistema tiene infini tas soluciones y las dos rectas son la misma. Ejemplo: 2x + 3y = –6 4x + 6y = –3

} Y

4. Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:

}

y = 2 – 2x 3x – y = –7 Se resuelve por sustitución. Se sustituye el valor de y en la segunda ecuación. x = –1, y = 4 5. Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:

}

2x + 3y = 7 5x – 6y = 4 Se resuelve por reducción. Se multiplica la primera por 2 y se suman. x = 2, y = 1 6. Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:

}

x = 2y – 1 x = 3y – 6 Se resuelve por igualación. x = 9, y = 5

7. Halla dos números sabiendo que entre los dos suman 66 y que uno es la mitad del otro. Resuélvelo utilizan do un sistema de ecuaciones. Primer número: x Segundo número: y x + y = 66 x + y = 66 y ⇒ x= y = 2x 2 Se resuelve por sustitución. x = 22, y = 44 Los números son 22 y 44

2. Resuelve gráficamente el sistema:

}

2x + 3y = –5 3x – 3y = –1 Y

P (2, 1)

}

8. Un prado tiene forma rectangular. La altura del rec tángulo mide 5 m menos que la base, y el perímetro mide 82 m. Halla el área del prado. Resuélvelo utili zando un sistema de ecuaciones.

x = 2, y = 1 3. Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:

}

74 Solucionario

y = – 3x 2x – 3y = 11 Se resuelve por sustitución. Se sustituye el valor de y en la segunda ecuación. x = 1, y = – 3

Base: b Altura: a a = b – 5 2b + 2a = 82 Base: b = 23 m, altura: a = 18 m 2 Área = 23 · 18 = 414 m

}

Solucionario BLOQUE III Geometría

8. Teoremas de Pitágoras y Thales 1. Lugares

5. Dibuja un hexágono y todos sus ángulos. ¿Cuánto su man entre todos ellos?

geométricos y ángulos

PIENSA Y CALCULA ¿Cuánto mide cada uno de los cinco ángulos centrales de un pentágono regular? 360° : 5 = 72°

S = (n – 2) · 180° S = (6 – 2) · 180° = 4 · 180° = 720°

72°

72° 72°

6. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos de un heptá gono regular?

72° 72°

CARNÉ CALCULISTA x x x 2 Desarrolla: +4 – 4 = – 16 2 2 4

( )( )

Factoriza: 9x 2 + 6x + 1 = (3x + 1)2 APLICA LA TEORÍA 1. Define circunferencia como un lugar geométrico. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan o están a igual distancia de un punto fijo llamado centro. 2. Dibuja un ángulo de 20° y su complementario. ¿Cuán to vale?

S = (n – 2) · 180° S = (7 – 2) · 180° = 5 · 180° = 900° Cada uno de los siete ángulos mide 900° : 7 = 128° 34′ 17″

2. Teorema

Pitágoras

PIENSA Y CALCULA Calcula tres números enteros positivos menores que 6 de forma que el cuadrado del mayor sea igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. 3, 4 y 5 ⇒ 52 = 32 + 42 CARNÉ CALCULISTA

70°

Resuelve la ecuación:

20°

x1 = – 7, x2 = 7

Vale 90° – 20° = 70° 3. Dibuja dos rectas secantes y los ángulos que forman, di cuáles son iguales y cuáles suplementarios. t 2 1 3 4

1 = 3 y 2 = 4 Cada uno de los impares es suplementario de cada uno de los pares.

76 Solucionario

x+2 x–2 · =5 3 3

APLICA LA TEORÍA 7. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el que los catetos miden 12,5 cm y 14,7 cm

a c = 14,7 cm

4. Dibuja dos ángulos de lados paralelos y que sean suplementarios. B

180° – α

α O

A′

O′

B′

b = 12,5 cm

a 2 = b 2 + c 2 ⇒ a 2 = 12,5 2 + 14,7 2 = 372,34 a = √ 372,35 = 19,30 cm

8. En un triángulo rectángulo se conoce un cateto, que mide 6,45 cm, y la hipotenusa, que mide 9,55 cm. Halla cuánto mide el otro cateto.

13. ¿A qué altura se llega con una escalera de 3 m colo cando la base a 2 m de la pared?

a = 9,55 cm

b=2m

b = 6,45 cm

b 2 + c 2 = a 2 ⇒ 6,452 + c 2 = 9,552 ⇒ c 2 = 49,6 c = √ 49,6 = 7,04 cm 9. Halla una terna pitagórica en la que el número mayor es 13 5, 12 y 13, pues 52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169 10. Los lados de un triángulo miden 4 m, 5 m y 6 m. ¿Qué clase de triángulo es? 62 = 36 42 + 52 = 16 + 25 = 41 Como 62 < 42 + 52 ⇒ El triángulo es acutángulo. 11. Halla la altura de un cono en el que el radio de la base mide 2,7 m, y la generatriz, 3,5 m G=

3,5

b 2 + c 2 = a 2 ⇒ 22 + c 2 = 32 ⇒ c 2 = 5 c = √ 5 = 2,23 m

3. Teorema

Dicen que Pitágoras para medir la altura de la pirámide Keops colocó un palo de un metro en el centro de una circunferencia de radio 1 m y esperó hasta que la som bra midiese exactamente 1 m, instante en el que la som bra de la pirámide medía 147 m. ¿Cuánto mide de alto la pirámide? La pirámide de Keops mide 147 m porque en ese momento la altura es igual a la longitud de la sombra. CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación: x = 5/6

Thales

PIENSA Y CALCULA

x 3x – 5 2x – 1 – =1– 2 6 4

APLICA LA TEORÍA 14. Calcula la altura de un molino eólico, sabiendo que su sombra mide 25 m y que en ese mismo instante un objeto de 1,5 m proyecta una sombra de 1,2 m

R = 2,7 m

R 2 + H 2 = G 2 ⇒ 2,72 + H 2 = 3,52 ⇒ H 2 = 4,96

Se aplica el teorema de Thales.

12. Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales mi den 8 m y 6 m

b=4m

1,5 · 25 1,2 25 = ⇒x= = 31,25 m 1,2 1,5 x 15. Dibuja en tu cuaderno tres segmentos de medidas 5 cm, 4 cm y 3 cm. Divide el primer segmento en par tes proporcionales a los otros dos. a b c

c=3m

r c

a2 = b 2 + c 2 ⇒ a 2 = 42 + 32 = 25 a = √ 25 = 5 m Perímetro del rombo: 4 · 5 = 20 m

b c′

b′ a

77 Unidad 8. Teoremas de Pitágoras y Thales

Sombra del objeto Sombra del molino = Altura del objeto Altura del molino

H = √ 4,96 = 2,23 cm

16. ¿Por qué los triángulos equiláteros son siempre se mejantes?

21. Calcula mentalmente el área de un rombo cuyas dia gonales miden 8 cm y 10 cm D = 10 cm

Porque tienen los ángulos siempre iguales y cada uno de ellos mide 180° : 3 = 60° 17. Dibuja un segmento de 4 cm y divídelo en 5 partes iguales. r

Área: D·d A= 2 d = 8 cm

22. Calcula mentalmente el área de un romboide en el que la base mide 12 m y la altura tiene 5 m

18. Dibuja un triángulo equilátero de 1,5 cm de lado. Di buja otro semejante de razón de semejanza dos.

a=5m

A′

b = 12 m

Área: A=b·a A = 12 · 5 = 60 m2

A B′

C′

23. Calcula el área de un trapecio en el que las bases miden 5,4 cm y 3,5 cm y la altura tiene 4,6 cm b = 3,5 cm

19. Sara está en una foto con su padre Ismael; en la foto Sara mide 3 cm e Ismael 3,5 cm. Si en la realidad Is mael mide 1,75 m, ¿cuánto mide Sara?

3 · 175 3,5 3 = ⇒x= = 150 cm = 1,50 m 3,5 175 x de figuras planas

PIENSA Y CALCULA

Área: B +b A= ·a 2

a = 4,6 cm

Las personas y la foto son figuras semejantes.

4. Área

8 · 10 = 40 cm2 2

B = 5,4 cm

24. Calcula el área de un hexágono regular de lado 6 m 6m

Halla mentalmente las áreas de un cuadrado de 7 m de lado y de un rectángulo de 9 m de largo y 5 m de alto. a

}

Aplicando el teorema de Pitágoras se halla la apotema. a = √ 62 – 32 = √ 27 = 5,2 m Área: P·a A= 2

5x – 2y = 17 3x + 4y = 5 x = 3, y = –1 APLICA LA TEORÍA

20. Calcula el área de un triángulo cuyos lados miden 7 m, 8 m y 13 m 8

Área del cuadrado: 49 m2 Área del rectángulo: 45 m2 CARNÉ CALCULISTA Resuelve el sistema por el método más sencillo:

5,4 + 3,5 · 4, 6 = 20,47 cm2 2

6 ⋅ 6 ⋅ 5,2 = 93,6 m2 2 25. Calcula la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 5 cm A=

78 Solucionario

Se aplica la fórmula de Herón: Perímetro = 28 m ⇒ p = 14 Área: A = √ p (p – a)(p – b)(p – c) A = √ 14 · 7 · 6 · 1 = 24,25 m2

Longitud: L = 2πR L = 2 · π · 5 = 31,40 cm

26. Calcula el área de un círculo cuyo radio mide 3,7 m

31. Dibuja un ángulo de 50° y halla su bisectriz. s

3,7

Área: A = πR 2 A = π · 3,72 = 43,01 m2

B P O

27. Calcula la longitud de un arco de 4,6 cm de radio y cuya amplitud es de 120°

32. Dibuja un ángulo de 50° y su suplementario. ¿Cuánto vale?

120° R = 4,6 cm 130°

50°

Longitud: n° 360°

L = 2 · π · 4,6 ·

Vale: 180° – 50° = 130° 120° 360°

33. Dibuja tres rectas paralelas cortadas por una secan te e indica cuáles de los ángulos que se forman son iguales.

28. Calcula el área de un sector circular de 23,5 m de radio y cuya amplitud es de 76,5°

u r

Área: n° 360° R = 23,5 m 76,5° A = π · 23,52 · = 368,68 m2 360° 76,5°

A = πR 2 ·

U 11 12

$ $ = 12 $ 1 = 3 = 5 = 7 = 9 = 11 y 2 = 4 = 6 = 8 = 10 34. Dibuja dos ángulos de lados perpendiculares y que sean suplementarios.

6,7

29. Calcula el área de una corona circular cuyos radios miden: R = 6,7 m y r = 5,5 m

2 1 3 4 6 5 7 8 10 9

5,5

B′

Área: A = π (R 2 – r 2) A = π (6,72 – 5,52) = 45,99 m2

B O

Ejercicios

y problemas propuestos

1. LUGARES GEOMÉTRICOS Y ÁNGULOS

α β

α A

O′ A′

35. Dibuja un rectángulo y todos sus ángulos. ¿Cuánto suman entre todos ellos?

30. Dibuja un segmento de 3 cm y halla su mediatriz. P A

B Q

La diagonal divide al rectángulo en dos triángulos. Suma de ángulos: 2 · 180° = 360°

79 Unidad 8. Teoremas de Pitágoras y Thales

L = 2πR ·

36. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos de un octógo no regular?

41. Calcula la altura de un trapecio isósceles en el que las bases miden 9 cm, 7 cm, y los lados oblicuos, 6 cm 7 cm

6 cm

h 7 cm 9 cm

1 cm

Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de la derecha: h 2 + 12 = 62 ⇒ h 2 + 1 = 36 ⇒ h 2 = 35

S = (n – 2) · 180° S = (8 – 2) · 180° = 6 · 180° = 1 080° Cada uno de los ocho ángulos mide 1 080° : 8 = 135°

h = √ 35 = 5,92 cm 42. Halla la apotema de la siguiente pirámide cuadran gular:

2. TEOREMA DE PITÁGORAS

c = 14,4 m

8 cm

37. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el que los catetos miden 10,8 m y 14,4 m h

3 cm

6 cm

h 2 = 32 + 82 ⇒ h 2 = 9 + 64 = 73 h = √ 73 = 8,54 cm b = 10,8 m

a 2

b 2

c 2

⇒

a 2

10,82

14,42

3. TEOREMA DE THALES

= 324

a = √ 324 = 18 m 38. En un triángulo rectángulo se conoce un cateto, que mide 5,25 cm, y la hipotenusa, que mide 7,85 cm. Halla cuánto mide el otro cateto.

a = 7,85 cm

43. Calcula la altura de las torres de Hércules en Los Barrios (Cádiz), sabiendo que su sombra mide 42 m y que en ese mismo instante una persona de 1,74 m proyecta una sombra de 58 cm 0,58 42 1,74 · 42 ⇒x = = = 126 m 1,74 x 0,58 44. Dibuja un segmento de 5 cm y divídelo en 3 partes iguales. r

d c

b = 5,25 cm

b 2 + c 2 = a 2 ⇒ 5,252 + c 2 = 7,852 ⇒ c 2 = 34,06 c = √ 34,06 = 5,84 cm

b′

39. Halla todas las ternas pitagóricas en las que los tres números sean menores o iguales que 10 3, 4 y 5 ⇒ + = ⇒ 9 + 16 = 25 6, 8 y 10 ⇒ 62 + 82 = 102 ⇒ 36 + 64 = 100 32

c′ a

d′

45. En un triángulo equilátero de lado 5 cm, trazamos una recta paralela a la base y a 1 cm de la base. Halla la altura de ambos triángulos. B

40. Halla la apotema de un hexágono regular en el que el lado mide 12 m 12

80 Solucionario

m m 12

a 2 + 62 = 122 ⇒ a 2 + 36 = 144 ⇒ a 2 = 108 a = √ 108 = 10,39 m

a = 5 cm

A′ 1 cm A a = 5 cm

C′ b = 2,5 cm

En el triángulo ABC podemos hallar el cateto H : b 2 + H 2 = a 2 ⇒ 2,52 + H 2 = 52 ⇒ H 2 = 18,75 H = √ 18,75 = 4,33 m h = H – 1 = 4,33 – 1 = 3,33 cm

51. Calcula el área de un trapecio rectángulo cuyas ba ses miden 7,5 cm y 6,4 cm, y el lado perpendicular a las bases mide 5,3 cm b = 6,4 cm

46. Dibuja un hexágono regular de 1,5 cm de lado. Dibu ja otro semejante de razón de semejanza 0,5 y centro el centro del hexágono.

B = 7,5 cm

A B′

A′ F

a = 5,3 cm

C′

F′

F E′

D′

Área: B +b A= ·a 2 7,5 + 6,4 · 5,3 = 36,84 cm2 2

52. Calcula el área de un círculo cuyo radio mide 7,23 m

47. ¿Por qué los cuadrados son siempre semejantes? Porque tienen sus lados y ángulos iguales; cada uno de los ángulos es recto y mide 90°

7,2

Área: A = πR 2 A = π · 7,232 = 164,22 m2

4. ÁREA DE FIGURAS PLANAS 48. Calcula mentalmente el área de un triángulo cuya base mide 7 cm y cuya altura es de 5 cm

PARA AMPLIAR 53. Dibuja un segmento de 5 cm y halla su mediatriz.

a = 5 cm

b = 7 cm

Área:

b·a A= 2

54. Dibuja un ángulo de 60° y halla su bisectriz. s

7·5 A= = 17,5 cm2 2 B P

Área: A = l 2 A = 0,62 = 0,36 m2

55. ¿Cuánto mide cada uno de los otros tres ángulos de un rombo en el que uno de sus ángulos mide 60º?

l = 0,6 m

50. Calcula mentalmente el área de un rectángulo que mide la mitad de alto que de largo y cuya altura es de 5m

60°

a=5m b = 10 m

Área: A=b·a A = 10 · 5 = 50 m2

El ángulo opuesto mide lo mismo, 60° Los otros dos ángulos son suplementarios al de 60° y también son iguales. Mide cada uno: 180° – 60° = 120°

81 Unidad 8. Teoremas de Pitágoras y Thales

49. Calcula mentalmente el área de un cuadrado cuyo lado mide 0,6 m

61. En la siguiente rampa, el lado horizontal mide 13 m, y la altura, 3 m. ¿Cuánto mide la rampa?

56. Dibuja una recta r y un punto P que no esté en dicha recta. Traza la recta paralela a r que pasa por el pun to P

13 m

Se aplica el teorema de Pitágoras: d 2 = 132 + 32 ⇒ d 2 = 169 + 9 = 178

57. Dibuja un segmento de 3 cm y divídelo en 5 partes iguales. r

d = √ 178 = 13,34 m 62. Calcula el área de un trapecio isósceles en el que las bases miden 10 cm y 4 cm, y los otros dos lados tienen 5 cm cada uno. 4 cm 5 cm

58. Calcula la longitud de un aspa del molino eólico, sabiendo que su sombra mide 5 m y que en ese mis mo instante una persona de 1,80 m proyecta una sombra de 2,5 m

3 cm

3 cm 10 cm

Hay que aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la altura: a = √ 52 – 32 = √ 16 = 4 cm

2,5 5 1,80 · 5 = ⇒x = = 3,60 m 1,80 x 2,5 59. De los siguientes triángulos di cuál es acutángulo, rectángulo y oblicuángulo:

B +b ·a 2

10 + 4 · 4 = 28 m2 2

a) a = 6 m, b = 8 m, c = 10 m b) a = 2 m, b = 3 m, c = 4 m

63. Calcula el área del siguiente pentágono:

c) a = 5 m, b = 6 m, c = 7 m

l = 2,33 cm a = 1,60 cm

a) 62 + 82 = 36 + 68 = 100, 102 = 100, como son iguales es rectángulo. b) 22 + 32 = 4 + 9 = 13, 42 = 16, como es mayor es obtusángulo. c) 52 + 62 = 25 + 36 = 61, 72 = 49, como es menor es acutángulo. 60. Calcula el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden 8 cm, y el desigual 5 cm

P·a 2

5 · 2,33 · 1,6 = 9,32 cm2 2

8 cm

64. Calcula la longitud de un arco cuyo radio mide 5,4 cm y cuya amplitud es de 95°

95° 2,5 cm

R = 5,4 cm

82 Solucionario

b = 5 cm

2,52 + h 2 = 82 ⇒ h 2 = 57,75 h = √ 57,75 = 7,60 cm A=

5 cm

b · h 5 · 7,6 = = 19 cm2 2 2

A = 2πR ·

n° 360°

A = 2 · π · 5,4 ·

95° = 8,95 cm 360°

65. Calcula el área del segmento circular coloreado en la siguiente figura:

R = 5 cm

69. Dibuja tres puntos no alineados y, utilizando las pro piedades de los lugares geométricos, traza la cir cunferencia que pasa por ellos. El centro es un punto que equidista de los extremos y es el circuncentro del triángulo formado por los tres p untos.

Área: Asegmento = Asector – Atriángulo Circuncentro

n° b·a – 360° 2 90° 5·5 A = π · 52 · – = 7,13 cm2 360° 2 Asegmento = πR 2 ·

66. Calcula el área de un trapecio circular de radios R = 8,4 m y r = 6,5 m, y de amplitud, 43°

m 6,5 = r 43° R = 8,4 m

70. Dibuja una circunferencia y traza la recta tan gente a dicha circunferencia por uno de sus pun tos. Utiliza la propiedad de que la recta tangente es perpendicular al radio que une el punto con el centro. t

Área:

n° – · A= 360° 43° A = π (8,42 – 6,52) · = 10,62 cm2 360° π (R 2

r 2)

PROBLEMAS 67. Dibuja una recta r y un punto P exterior a dicha recta. Traza la recta perpendicular a r que pasa por el punto P P

71. Calcula la altura de la Giralda de Sevilla, sabien do que su sombra mide 49,25 m y que en ese mis mo instante un objeto de 4 m proyecta una sombra de 2 m 2 49,25 49,25 · 4 = ⇒x = = 98,5 m 4 2 x

68. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos de un decá gono regular?

72. Halla la altura de una pirámide hexagonal en la que la arista de la base mide 3,6 m, y la arista late ral, 5,6 m

5,6 m H 4m 3,6 m

S = (n – 2) · 180° S = (10 – 2) · 180° = 8 · 180° = 1 440° Cada uno de los 10 ángulos mide 1 440° : 10 = 144°

H 2 + 3,62 = 5,62 ⇒ H 2 + 12,96 = 31,36 ⇒ H 2 = 18,4 H = √ 18,4 = 4,29 m

83 Unidad 8. Teoremas de Pitágoras y Thales

73. Se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósce les en el que un lado del rectángulo está en el lado desigual del triángulo. El lado desigual del triángulo mide 10 m, y la altura correspondiente, 12 m. Si la base del rectángulo mide 4 m, ¿cuánto mide de altura?

77. Calcula el número de vueltas que da una rueda de bicicleta para recorrer 1 km si el radio de la bicicle ta mide 40 cm

12 m

4 R= B′ h

Longitud de la rueda: L = 2πR

2m 3m C A A′

L = 2 · π · 0,4 = 2,51 m

Los triángulos ABC y A′B ′C están en posición de Thales, por tanto son semejantes. 5 12 12 · 3 = ⇒h = = 7,2 cm 3 h 5 74. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 7 m

N.º de vueltas: 1 000 : 2,51 = 398,4 vueltas. 78. Calcula el radio de una circunferencia que mide 37,5 m de longitud.

R 7m

L = 2πR

3,5 m

h 2 + 3,52 = 72 ⇒ h 2 + 12,25 = 49 ⇒ h 2 = 36,75

2πR = 37,5

h = √ 36,75 = 6,06 m b·h A= 2

37,5 = 5,97 m 2π

79. Calcula el radio de la Tierra sabiendo que un cua drante mide 10 000 km

7 · 6,06 = 21,21 m2 2

75. Un globo está sujeto a una cuerda de 5 m y observa mos que se ha desplazado 1,2 m por el viento. ¿A qué altura está el globo?

40 000 = 6 366,19 km 2π

80. Calcula el área de un hexágono regular de lado 6 cm

a=5m

2πR = 4 · 10 000 ⇒ R =

b = 1,2 m a

c = √ 23,56 = 4,85 m 76. Calcula la diagonal del ortoedro de la figura:

84 Solucionario

D d

4 cm 6 cm

14 cm

Se aplica el teorema de Pitágoras en el espacio: D 2 = 142 + 62 + 42 = 196 + 36 + 16 = 248 D = √ 248 = 15,75 cm

c 2 + 1,22 = 52 ⇒ c 2 + 1,44 = 25 ⇒ c 2 = 23,56

3 cm

a 2 + 32 = 62 ⇒ a 2 + 9 = 36 ⇒ a 2 = 27 a = √ 27 = 5,20 cm A=

P·a 2

6 · 6 · 5,20 = 93,6 cm2 2

81. En una circunferencia de radio 1,64 cm se traza la cuerda de 2,55 cm. Haz el dibujo y calcula la distan cia del centro de la circunferencia a la cuerda.

84. La sombra de una torre de alta tensión mide 15 m. En ese mismo momento la sombra de un objeto de 1,5 m mide 2 m. Calcula la altura de la torre de alta tensión. Se aplica el teorema de Thales. 2 15 15 · 1,5 = ⇒x = = 11,25 m 1,5 x 2

1 ,6 4

1,28

85. Calcula el área del siguiente rectángulo inscrito en una semicircunferencia. d 2 + 1,282 = 1,642 ⇒ d 2 = 1,0512

5m 3m x

d = √ 1,0512 = 1,03 cm 82. Calcula el área del siguiente trapezoide: m

2,4 c

3,8

3,4 cm

2,6 cm

Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar x : x 2 + 32 = 52 ⇒ x 2 = 16 x = √ 16 = 4 m La base mide 2 · 4 = 8 m Área = b · a Área = 8 · 3 = 24 m2 86. Halla la generatriz de un tronco de cono en el que los radios de las bases miden 5,2 m y 3,8 m, y la altura, 6,2 m

H = 6,2 m

r = 3,8 m 4 cm

Tenemos que descomponerlo en dos triángulos y aplicar en cada uno de ellos la fórmula de Herón: • Triángulo de lados: 4 cm, 2,6 cm y 3,8 cm Perímetro: 10,4 ⇒ Semiperímetro: 5,2 Área: √ 5,2 · 1,2 · 2,6 · 1,4 = 4,77 = 4,77 cm2 • Triángulo de lados: 3,8 cm, 2,4 cm y 3,4 cm

R = 5,2 m

G 2 = (R – r )2 + H 2 G 2 = (5,2 – 3,8)2 + 6,22 = 1,42 + 6,22 = 40,4 G = √ 40,4 = 6,36 m 87. Calcula el valor de x en el siguiente dibujo x

Perímetro: 9,6 ⇒ Semiperímetro: 4,8 Área: √ 4,8 · 1 · 2,4 · 1,4 = 4,02 cm2

90° 1,75 cm

2,81 cm

Se aplica el teorema de Pitágoras: x 2 + 1,752 = (2,81 + 1,75)2 ⇒ x 2 = 17,73 x = √ 17,73 = 4,21 cm

PARA PROFUNDIZAR 83. Dibuja un triángulo rectángulo y la circunferencia que pasa por los tres vértices. ¿Dónde está el circun centro del triángulo?

88. Calcula el valor de la altura h del siguiente triángulo equilátero: 60°

1 cm

Circuncentro

30° 30°

0,5 cm

60°

Se aplica el teorema de Pitágoras. h 2 + 0,52 = 12 ⇒ h 2 + 0,25 = 1 ⇒ h 2 = 0,75 El circuncentro está en el centro de la hipotenusa.

x = √ 0,75 = 0,87 m

85 Unidad 8. Teoremas de Pitágoras y Thales

Área total: 4,77 + 4,02 = 8,79 cm2

89. Calcula el área del segmento circular coloreado de amarillo en la siguiente figura:

60° R = 3 cm

3. Dos triángulos están en posición de Thales y sabe mos que AB = 5 cm, AC = 3 cm y AB′ = 4 cm. Calcula cuánto mide AC ′ AB AC 4·3 4 AC = 2, 4 cm x= = ⇒ = ⇒ AC = AB AC 5 5 3 4. Calcula la altura de un cono en el que el radio de la base mide 3,5 cm, y la generatriz, 7 cm

Asegmento = Asector – Atriángulo

R = 3,5 cm

= ⇒ + H = √ 36,75 = 6,06 m

R 2

H 2

G 2

3,52

H 2

= 72 ⇒ H 2 = 36,75

5. Calcula el área de un sector circular de radio 5 cm, y amplitud, 150°

Área del sector: n° A = πR 2 · 360° 60° A = π · 32 · = 4,71 m2 360° Hay que aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la altura.

1,5 m

150°

a=√ – = √ 6,75 2,60 Área del triángulo: 3 · 2,6 : 2 = 3,9 m2 32

1,52

R = 5 cm

Área del segmento: 4,71 – 3,9 = 0,81 m2

Matematización

en contextos reales

90. Se dibuja un terreno de forma que 300 m en la reali dad son 2 cm en el croquis. Halla la escala y averi gua si es un plano o un mapa. 2 cm : 300 m = 2 cm : 30 000 cm = 2 : 30 000 = 1 : 15 000 Es un mapa.

n° 360° 150° 2 A=π·5 · = 32,72 m2 360° A = πR 2 ·

6. Calcula los tres ángulos del siguiente triángulo que tiene un vértice en el centro del pentágono regular y los otros dos en dos vértices consecutivos.

91. Se dibuja un terreno de forma que 100 m en la reali dad son 2 cm en el croquis. Halla la escala y averi gua si es un plano o un mapa. 2 cm : 100 m = 2 cm : 10 000 cm = 2 : 10 000 = 1 : 5 000 Es un plano. 92. Una fotocopia está reducida al 25 %. Si el original era un papel DIN A4 cuyo tamaño es 21 cm ⋅ 29,7 cm. Ha lla el área del original y de la fotocopia. Área del original = 21 · 29,7 = 623,7 cm2 Medidas de la fotocopia: 21 · 0,25 = 5,25 cm 29,7 · 0,25 = 7,425 cm Área de la fotocopia = 5,25 · 7,425 = 38,98125 cm2

Autoevaluación 1. ¿Qué es una terna pitagórica? Pon un ejemplo. Una terna pitagórica son tres números enteros que verifican el teorema de Pitágoras. Ejemplo: 3, 4 y 5

Ángulo central 360° : 5 = 72° Cada uno de los otros ángulos (180° – 72) : 2 = 54° 7. Calcula la altura de la torre Eiffel de París sabiendo que cuando su sombra es de 233,58 m, la sombra de una persona de 1,75 m es 1,25 m. Redondea el resul tado a metros. 1,25 232 ⇒ x = 232 · 1,75 = 325 m = 1,25 1,75 x 8. Calcula el área de un cuadrado en el que la diagonal mide 6 m d=6m

86 Solucionario

2. Dibuja un segmento de 2,5 cm y halla su mediatriz. P

+ = ⇒ = 36 ⇒ x 2 = 18 2 2 Área = x = 18 m x 2

x 2

2x 2

4. Calcula el área y el volumen de un prisma cuadran gular en el que la arista de la base mide 6 m y su al tura es de 11 m

9. Áreas y volúmenes 1. Área

y volumen de cuerpos

en el espacio

H = 11 m

PIENSA Y CALCULA Construye todos los poliedros y cuerpos redondos usan do recortables. Supervisar la realización de la actividad. CARNÉ CALCULISTA

l=6m

Desarrolla: (3x + √ 5)(3x + √ 5) = 9x 2 – 5 Factoriza: 4x 2 + 2x +

(

1 1 = 2x + 4 2

)

APLICA LA TEORÍA 1. Calcula mentalmente el área y el volumen de un cubo de 5 m de arista.

l 2

AB = AB = 62 = 36 m2 AL = 4l · H AL = 4 · 6 · 11 = 264 m2 AT = 2AB + AL AT = 2 · 36 + 264 = 336 m2 V = AB · H V = 36 · 11 = 396 m3

Área: A = 6a 2 A = 6 · 52 = 150 m2 Volumen:

5. Calcula el área y el volumen de un prisma hexagonal en el que la arista de la base mide 12 m y su altura es de 25 m

V = a3 H = 25 m

a = √ 122 – 62 = √ 108 = 10,39 m P·a AB = ⇒ A B = 6 · 12 · 10,39 : 2 = 374,04 m2 2 AL = 6l · H ⇒ AL = 6 · 12 · 25 = 1 800 m2 AT = 2AB + AL AT = 2 · 374,04 + 1 800 = 2 548,08 m2 V = AB · H ⇒ V = 374,04 · 25 = 9 351 m3 6. El depósito de gasoil de un sistema de calefacción tiene forma de ortoedro, cuyas dimensiones en me tros son 1,5 m × 0,75 m × 1,8 m. Calcula cuánto cuesta llenarlo si el precio de cada litro de gasoil es 1,15 €. Si la calefacción consume uniformemente todo el gasoil en 120 días, ¿cuánto se gasta diariamente en calefacción?

b = 7,4 cm c = 1,8 m

a = 8,5 cm

Área: A = 2(ab + ac + bc) A = 2(8,5 · 7,4 + 8,5 · 5,2 + 7,4 · 5,2) = 291,16 cm2 Volumen: V = abc V = 8,5 · 7,4 · 5,2 = 327,08 cm3

a = 1,5 m

b = 0,75 m

Cuesta: 1,5 · 0,75 · 1,8 · 1 000 · 1,15 = 2 328,75 € Gasta diariamente: 2 328,75 : 120 = 19,41 €

87 Unidad 9. Áreas y volúmenes

H = 15 m

c = 5,2 cm

3. Calcula el área y el volumen de un ortoedro cuyas aristas miden 8,5 cm, 7,4 cm y 5,2 cm

l = 12 m

R = 7,5 m

AB = πR 2 AB = 3,14 · 7,52 = 176,63 m2 AL = 2πRH AL = 2 · 3,14 · 7,5 · 15 = 706,50 m2 AT = 2AB + AL AT = 2 · 176,63 + 706,50 = = 1 059,76 m2 V = AB · H V = 176,63 · 15 = 2 649,45 m3

2. Calcula el área y el volumen de un cilindro recto cuya base mide 7,5 m de radio y cuya altura es el do ble del radio de la base. Toma π = 3,14

V = 53 = 125 m3

a=5m

2. Área

y volumen de pirámides

y conos

PIENSA Y CALCULA a) Tienes un recipiente vacío en forma de prisma y otro en forma de pirámide, con la misma base y la misma altura. Compara la fórmula del volumen del prisma con la de la pirámide, y calcula cuántas veces tienes que llenar de sal la pirámide y echarla en el prisma para llenarlo.

AT = AB + AL AT = 49 + 215,60 = 264,60 m2 1 V = AB · H 3 V = 49 · 15 : 3 = 245 m3 8. Calcula el área y el volumen de un cono recto en el que el radio de la base mide 3,5 m y la altura es el triple de dicho radio. Toma π = 3,14

h r

h = 10,5 m

b) Tienes un recipiente vacío en forma de cilindro y otro en forma de cono, con la misma base y la misma altu ra. Compara la fórmula del volumen del cilindro con la del cono, y calcula cuántas veces tienes que llenar de sal el cono y echarla en el cilindro para llenarlo. a) Tres veces. b) Tres veces.

r = 3,5 m

CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación: x2 – 5 =x –3 2 x1 = x 2 = 1 APLICA LA TEORÍA 7. Calcula el área y el volumen de una pirámide cua drangular cuya base tiene 7 m de arista y cuya altura mide 15 m

3,5 m

G = √ 10,52 – 3,52 = √ 122,5 = 11,07 m AL = πrG AL = 3,14 · 3,5 · 11,07 = 121,66 m2 AT = AB + AL AT = 38,47 + 121,66 = 160,13 m2 1 V = AB · h 3 V = 38,47 · 10,5 : 3 = 134,65 m3 9. Calcula el área y el volumen de una pirámide hexa gonal cuya base tiene una arista de 8 m y cuya altura es de 23 m Tenemos que hallar la apotema de la base aplicando el teorema de Pitágoras:

H = 23 m

H = 15 m

AB = l 2 AB = 72 = 49 m2 Tenemos que hallar la apotema de la pirámide aplicando el teorema de Pitágoras:

H = 15 m

h = 10,5 m

AB = πr 2 AB = 3,14 · 3,52 = 38,47 m2 Tenemos que hallar la generatriz aplicando el teorema de Pitágoras:

88 Solucionario

3,5 m l=7m

l=8m

h = √ 152 + 3,52 = √ 237,25 = 15,40 m l·h AL = 4 · 2

a = √ 82 – 42 = √ 48 = 6,93 m P·a AB = 2

AL = 4 · 7 · 15,40 : 2 = 215,64 m2

AB = 6 · 8 · 6,93 : 2 = 166,32 m2

Tenemos que hallar la apotema de la pirámide aplicando el teorema de Pitágoras:

b) El volumen de uno de los cuerpos es igual a la suma de los volúmenes de los otros dos. ¿Cuál es la rela ción?

H = 23 m

a) Volumen del cilindro: πR 3 h

1 3 πR 3

Volumen de la semiesfera: 6,93 m

l=8m

2 3 πR 3

b) Volumen del cilindro = Volumen del cono + Volumen de la semiesfera. CARNÉ CALCULISTA

h = √ 232 + 6,932 = √ 577,02 = 24,02 m l·h AL = 6 · 2

Resuelve el sistema: x y = 3 4 x –2 y –3 = 4 5

AL = 6 · 8 · 24,02 : 2 = 576,48 m2 AT = AB + AL AT = 166,32 + 576,48 = 742,80 m2 V =

Volumen del cono:

1 AB · H 3

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

x = 6, y = 8

V = 166,32 · 23 : 3 = 1 275,12 m3

APLICA LA TEORÍA

10. Una tienda de campaña tiene forma de cono recto; el radio de la base mide 1,5 m y la altura es de 3 m. El metro cuadrado de suelo cuesta 15 €, y el de la par te restante, 7 €. ¿Cuánto cuesta el material para construirla? Toma π = 3,14 AB = πR 2 AB = π · 1,52 = 7,07 m2

11. Calcula el área y el volumen de un tronco de pirámi de cuadrangular sabiendo que: • La arista de la base mayor mide 16 m • La arista de la base menor, 12 m • La altura mide 20 m AB = l12 1

Tenemos que hallar la generatriz aplicando el teorema de Pitágoras:

AB = 162 = 256 m2 1

AB = l22 2

AB = 122 = 144 m2 2

l 2 = 12 m

R = 1,5 m

+ = √ 11,25 = 3,35 m G=√ AL = πRG AL = 3,14 · 1,5 · 3,35 = 15,78 m2 Coste: 7,07 · 15 + 15,78 · 7 = 216,51 € 1,52

3. Área

6m 8m l 1 = 16 m

y esfera

PIENSA Y CALCULA

AL = 4 ·

a) Calcula el volumen de los siguientes cuerpos en fun ción de R : cilindro, cono y semiesfera.

AT = AB + AB + AL

R R R

16 + 12 · 20,10 = 1125,60 m2 2

Aplicando las fórmulas del volumen:

h = √ 202 + 22 = √ 404 = 20,10 m l +l AL = 4 · 1 2 · h 2

y volumen de troncos

AT = 256 + 144 + 1 125,60 = 1 525,60 m2 1 V = (AB1 + AB2 + √ AB1 · AB2) · H 3 V = (256 + 144 + √ 256 · 144) · 20 : 3 = 3 946,67 m3

89 Unidad 9. Áreas y volúmenes

R = 1,5 m

H = 20 m

H=3m

Tenemos que hallar la apotema del tronco de pirámide aplicando el teorema de Pitágoras:

12. Calcula el área y el volumen de un tronco de cono sabiendo que el radio de la base mayor mide 7 m; el de la base menor, 4 m; y la altura, 11 m. Toma π = 3,14 AB = π · R 2 1 AB = π · 72 = 153,86 m2 1 AB = π · r 2 2 AB = π · 42 = 50,24 m2

CARNÉ CALCULISTA Calcula la altura de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden 7,4 m y el desigual 4,5 m h = 7,05 m APLICA LA TEORÍA

Tenemos que hallar la generatriz del tronco de cono aplicando el teorema de Pitágoras: r=4m

14. Expresa de forma aproximada en grados y minutos la longitud y la latitud de: Sevilla, Ourense, Castellón y Albacete. 6˚ O

8˚ O

10˚ O

Vizcaya Guipúzcoa Asturias

H = 11 m

42˚ N

R=7m

Cantabria

Ourense

Zamora Valladolid

G = √ 112 + 32 = √ 130 = 11,40 m AL = π (R + r ) · G AL = 3,14 · (7 + 4) · 11,40 = 393,86 m2 AT = AB + AB + AL 1 2 AT = 153,86 + 50,27 + 393,86 = 597,86 m2 1 V = (AB1 + AB2 + √ AB1 · AB2) · H 3

38˚ N

13. Calcula el área y el volumen de una esfera cuyo ra dio mide 7,5 m. Toma π = 3,14

Cáceres

Huesca

Girona

Lleida

Soria

Zaragoza

Tarragona

Guadalajara

Teruel

Madrid

Castellón

40˚ N

Cuenca

Toledo

Ciudad Real

Badajoz

Córdoba Sevilla Cádiz

42˚ N

Barcelona

Valencia

Huelva

Baleares

Albacete

Jaén

Alicante

38˚ N

Murcia

Granada Almería

Málaga

36˚ N

29˚ N

V = (153,86 + 50,24 + √ 153,86 ·50,24) · 11 : 3 = 1 070,74 m3

Salamanca Ávila

4˚ E

2˚ E

F R A N C I A

Navarra

Álava Burgos La Rioja Palencia

León

Segovia

40˚ N

Lugo

P O R T U G A L

H = 11 m

Pontevedra

0˚

2˚ O

4˚ O

A Coruña

Canarias

100

200

300

400 km

28˚ N

18˚ O

16˚O

14˚O

Sevilla: 6° O, 37° 30′ N Castellón: 0° O, 40° N

2˚ O

0˚

2˚ E

Ourense: 8° O, 42° 30′ N Albacete: 2° O, 39° N

15. Si la longitud del Ecuador es de unos 40 000 km, cal cula la distancia que se recorre sobre el Ecuador al avanzar 1° en longitud.

R = 7,5 cm

40 000 : 360 = 111,11 km 16. Busca en el mapa las ciudades cuyas coordenadas geográficas son las siguientes:

A = 4πR 2 A = 4 · 3,14 · 7,52 = 706,50 m2 4 V = πR 3 3 V = 4 : 3 · 3,14 · 7,53 = 1 766,25 m3

4. La

a) 2° 28′ O 36° 50′ N b) 3° 41′ O 40° 24′ N c) 4° 25′ O 36° 43′ N d) 5° 34′ O 42° 36′ N

esfera y el globo terráqueo

PIENSA Y CALCULA

90 Solucionario

Sabiendo que un metro es la diezmillonésima parte del cuadrante de un meridiano terrestre, y suponiendo que el globo terráqueo es una esfera perfecta, calcula la lon gitud de un meridiano y la longitud del Ecuador. Expré salo en kilómetros.

a) Almería. c) Málaga.

b) Madrid. d) León.

17. Si la longitud de un meridiano es de unos 40 000 km, calcula la distancia que se recorre sobre un meridia no al avanzar 15° en latitud. 40 000 : 360 · 15 = 1 666,667 km 18. Calcula de forma aproximada la distancia que hay entre las localidades de Dos Hermanas (Sevilla) y Avilés (Asturias) si las coordenadas geográficas de ambas localidades son más o menos las siguientes:

Ecuador

Meridiano

Longitud de cada uno: 4 · 10 000 000 = 40 000 000 m = 40 000 km

• Dos Hermanas: 5° 55′ O, 37° 17′ N • Avilés: 5° 55′ O, 43° 33′ N 43° 33′ – 37° 17′ = 6° 16′ = 6,27° 40 000 : 360° · 6,27° = 696,67 km

Ejercicios

y problemas propuestos

1. ÁREA Y VOLUMEN DE CUERPOS EN EL ESPACIO

H = 27,6 m

19. Calcula mentalmente el área y el volumen de un cubo de 4 m de arista.

22. Calcula el área y el volumen de un cilindro recto en el que el radio de la base mide 12,5 m y cuya altura es de 27,6 m. Toma π = 3,14

R = 12,5 m

AB = πR 2 AB = 3,14 · 12,52 = 490,63 m2 AL = 2πRH AL = 2 · 3,14 · 12,5 · 27,6 = 2 166,60 m2 AT = 2AB + AL

a=4m

Área: A = 6a 2 A = 6 · 42 = 96 m2 Volumen: V = a 3 V = 43 = 64 m3

AT = 2 · 490,63 + 2 166,60 = 3 147,86 m2 V = AB · H V = 490,63 · 27,6 = 13 541,39 m3

20. Calcula mentalmente el área y el volumen de un or toedro cuyas aristas miden 10 m, 8 m y 2 m c=2m

2. ÁREA Y VOLUMEN DE PIRÁMIDES Y CONOS 23. Calcula el área y el volumen de la pirámide pentago nal del siguiente dibujo:

H = 9,5 cm

b=8m a = 10 m

a = 2,61 cm

Área: A = 2(ab + ac + bc) A = 2(10 · 8 + 10 · 2 + 8 · 2) = 232 m2 Volumen: V = abc V = 10 · 8 · 2 = 160 m3

H = 9,5 cm

l = 3,8 cm

21. Calcula el área y el volumen del prisma pentagonal del siguiente dibujo:

2,61 cm

AB =

Tenemos que hallar la apotema de la pirámide aplicando el teorema de Pitágoras: l = 4 cm

P·a 2

AB = 5 · 4 · 2,75 : 2 = 27,5 cm2 AL = 5l · H ⇒ AL = 5 · 4 · 9 = 180 cm2 AT = 2AB + AL ⇒ AT = 2 · 27,5 + 180 = 235 cm2 V = AB · H ⇒ V = 27,5 · 9 = 247,5 cm3

h = √ 2,612 + 9,52 = √ 97,06 = 9,85 m l·h AL = 5 · 2 AL = 5 · 3,8 · 9,85 : 2 = 93,58 cm2 AT = AB + AL AT = 24,8 + 93,58 = 118,38 cm2 V =

1 AB · H 3

V = 24,8 · 9,5 : 3 = 78,53 cm3

91 Unidad 9. Áreas y volúmenes

AB = 5 · 3,8 · 2,61 : 2 = 24,80 cm2

H = 9 cm

a = 2,75 cm

P·a 2

24. Calcula el área y el volumen de un cono recto en el que el radio de la base mide 43,5 m y cuya altura es de 125,6 m. Toma π = 3,14

Tenemos que hallar la apotema del tronco de pirámide aplicando el teorema de Pitágoras: l 2 = 9 cm

πR 2

H = 10 cm

AB = AB = 3,14 · 43,52 = 5 941,67 m2 Tenemos que hallar la generatriz aplicando el teorema de Pitágoras:

H = 125,6 m

l 1 = 15 cm G

43,5 m R = 43,5 m

G = √ 43,52 + 125,62 = √ 17667,61 = 132,92 m AL = πRG AL = 3,14 · 43,5 · 132,92 = 18 155,54 m2 AT = AB + AL AT = 5 944,67 + 18 155,54 = 24 097,21 1 V = AB · H 3

V = 5 941,67 · 125,6 : 3 = 248 757,92 m3 25. Calcula el valor de una pieza de acero con forma de pirámide cuadrangular en la que la arista de la base mide 3 cm y la altura 7 cm. El precio de las piezas es de 40 €/kg. La densidad del acero es 7,85 kg/L

3 cm

h = √ 102 + 32 = √ 109 = 10,44 m l +l AL = 4 · 1 2 · h 2 15 + 9 AL = 4 · · 10,44 = 501,12 cm2 2 AT = AB1 + AB2 + AL AT = 225 + 81 + 501,12 = 807,12 cm2 1 V = (AB1 + AB2 + √ AB1 · AB2) · H 3 V = (225 + 81 + √ 225 · 81) · 10 : 3 = 1 470 m3 27. Calcula el área y el volumen de un tronco de cono sabiendo que el radio de la base mayor mide 4 m, el de la base menor es la mitad y la altura es 7 m. Toma π = 3,14 AB = πR 2 1 AB = 3,14 · 42 = 50,24 m2 1 AB = πr 2 2 AB = 3,14 · 22 = 12,56 m2 2 Tenemos que hallar la generatriz del tronco de cono aplicando el teorema de Pitágoras:

3 cm

Tenemos que hallar el volumen: V =

1 AB · H 3

AB = l 2 ⇒ AB = 32 = 9 cm2 V =

1 · 9 · 7 = 21 cm3 = 0,021 dm3 = 0,021 L 3

Masa = 0,021 · 7,85 = 0,16 kg Valor = 0,16 · 40 = 6,4 €

92 Solucionario

3. ÁREA Y VOLUMEN DE TRONCOS Y ESFERA 26. Calcula el área y el volumen de un tronco de pirámi de cuadrangular sabiendo que la arista de la base mayor mide 15 cm; la arista de la base menor, 9 cm; y la altura, 10 cm AB = l12 1 AB = 152 = 225 cm2 1 AB = l22 2 AB = 92 = 81 cm2 2

H=7m

H = 7 cm

r=2m

2m R=4m

G = √ 72 + 22 = √ 53 = 7,28 m AL = π(R + r ) · G AL = 3,14 · (4 + 2) · 7,28 = 137,16 m2 AT = AB + AB + AL 1 2 AT = 50,24 + 12,56 + 137,16 = 199,96 m2 1 V = (AB1 + AB2 + √ AB1 · AB2) · H 3 V = (50,24 + 12,56 + √ 50,24 · 12,56) · 7 : 3 = 205,14 m3 28. Calcula el área y el volumen de una esfera cuyo ra dio mide 5,25 cm. Toma π = 3,14

R = 5,25 cm

A = 4πR 2; A = 4 · 3,14 · 5,252 = 346,19 cm2 V = 4/3πR 3; V = 4 : 3 · 3,14 · 5,253 = 605,82 cm3

29. Las dimensiones en centímetros de un cartón de leche de un litro son 9,5 × 6,4 × 16,5. Si lo construyé semos de forma esférica, ¿cuántos centímetros cua drados de cartón ahorraríamos? Área del cartón de leche:

PARA AMPLIAR 33. Calcula el área y el volumen de un cubo de arista 7,2 cm

2 (9,5 · 6,4 + 9,5 · 16,5 + 6,4 · 16,5) = 646,30 cm2 Radio de una esfera de volumen un litro. 4 πR 3 3 = 1⇒ R 3 = 3 4π R=

a = 7,2 cm

3 = 0,62 dm = 6,2 cm 4 ⋅ 3,14

Área: A = 6 · a 2 ⇒ A = 6 · 7,22 = 311,04 cm2 Volumen: V = a 3 V = 7,23 = 373,25 cm3

Área de la esfera de un litro: A = 4 · 3,14 · 6,22 = 482,81 cm2 Ahorraríamos: 646,30 – 482,81 = 163,49 cm2 4. LA ESFERA Y EL GLOBO TERRÁQUEO 30. Expresa de forma aproximada la longitud y la latitud de Valencia y Zaragoza. 6˚ O

8˚ O

10˚ O

Vizcaya Asturias

Pontevedra 42˚ N

Lugo

Guipúzcoa

Burgos

Ourense

Palencia Zamora

Álava

Soria

Salamanca

P O R T U G A L

38˚ N

Guadalajara Ávila

Huesca

Girona

Zaragoza

Tarragona Castellón

40˚ N

Cuenca Valencia

Ciudad Real

Badajoz

Córdoba Huelva

Sevilla Cádiz

Alicante

Jaén

Granada

Baleares

Albacete 38˚ N

Murcia Almería

Área: A = 2 (ab + ac + bc) A = 2 (8,4 · 7,5 + 8,4 · 4,2 + 7,5 · 4,2) = 259,56 cm2 Volumen: V=a·b·c V = 8,4 · 7,5 · 4,2 = 264,60 cm3

Málaga

36˚ N

29˚ N

b = 7,5 cm

a = 8,4 cm

42˚ N

Barcelona

Teruel

Madrid

Toledo

Cáceres

Navarra

La Rioja

Lleida

Valladolid

c = 4,2 cm

4˚ E

2˚ E

F R A N C I A

Cantabria

León

Segovia

40˚ N

0˚

2˚ O

4˚ O

A Coruña

34. Calcula el área y el volumen de un ortoedro de a = 8,4 cm, b = 7,5 cm y c = 4,2 cm

Canarias

100

200

300

35. Halla el área de la siguiente figura:

400 km

28˚ N

16˚O

14˚O

2˚ O

0˚

2˚ E

Valencia: 30′ O, 39° 30′ N Zaragoza: 1° O, 41° 30′ N 31. Busca en el mapa anterior las ciudades cuyas coor denadas geográficas son las siguientes: a) 1° 52′ O 39° N b) 2° 11′ E 41° 23′ N c) 8° 39′ O 42° 26′ N d) 3° 47′ O 37° 46′ N a) Albacete. b) Barcelona. c) Pontevedra. d) Jaén.

6m 3m

Parte de abajo: 6 · 6 = 36 m2 Parte de atrás: 6 · 6 = 36 m2 Parte izquierda = Parte derecha = 6 · 6 – 3 · 3 = 36 – 9 = 27 m2 Frontal: 4 · 6 · 3 = 72 m2 Total: 2 · 36 + 2 · 27 + 72 = 198 m2 36. Calcula la arista de un cubo de 85 m2 de área redon deando el resultado a dos decimales.

32. Calcula la distancia que hay entre las localidades de Carmona (Sevilla) y Aller (Asturias) si las coordena das geográficas de ambas localidades son: • Carmona: 5° 38′ O, 43° 10′ N • Aller: 5° 38′ O, 37° 28′ N 43° 10′ – 37° 28′ = 5° 42′ = 5,7° 40 000 : 360° · 5,7° = 633,33 km

Área: a

a a

AB = 6a 2 = 85 m2 Arista: a = √ 85 : 6 = 3,76 m

93 Unidad 9. Áreas y volúmenes

18˚ O

Tenemos que hallar la apotema de la pirámide aplicando el teorema de Pitágoras:

c = 2,56 m

37. Calcula el área y el volumen del siguiente ortoedro:

a = 4,5 m

2,7

H = 11 cm

Área: A = 2 (ab + ac + bc) A = 2 (4,5 · 2,7 + 4,5 · 2,56 + 2,7 · 2,56) = 61,16 m2

l = 2 cm

2,08 cm

Volumen: h = √ 2,082 + 112 = √ 125,33 = 11,19 cm

V=a·b·c V = 4,5 · 2,7 · 2,56 = 31,10 m3

AL = 7 ·

a=5m

Área: A = 2 (ab + ac + bc ) A = 2 (5 · 2,5 + 5 · 1,25 + 2,5 · 1,25) = 43,75 m2 Volumen: V=a·b·c V = 5 · 2,5 · 1,25 = 15,63 m3 39. A un tarro de miel que tiene forma cilíndrica quere mos ponerle una etiqueta que lo rodee completa mente. El diámetro del tarro mide 9 cm y la altura de la etiqueta es de 5 cm. Calcula el área de la etiqueta. Toma π = 3,14

AL = 7 · 2 · 11,19 : 2 = 78,33 cm2 AT = AB + AL AT = 14,56 + 78,33 = 92,89 cm2 V =

1 AB · H 3

V = 14,56 · 11 : 3 = 53,39 cm3 41. Calcula el área y el volumen de un cono recto en el que el diámetro de la base es igual a la altura, que mide 10 m. Toma π = 3,14

H = 10 m

2,5

c = 1,25 m

38. Calcula el área y el volumen de un ortoedro sabiendo que sus aristas forman una progresión geométrica decreciente de razón 1/2 y que la arista mayor mide 5m

l·h 2

AB = πR 2 AB = π · 52 = 78,50 m2

R = 4,5 cm

94 Solucionario

AL = 2πR · H AL = 2 · 3,14 · 4,5 · 5 = 141,30 cm2 40. Calcula el área y el volumen de una pirámide hepta gonal en la que la arista de la base mide 2 cm; la apotema, 2,08 cm; y la altura, 11 cm P·a AB = 2 AB =

7 · 2 · 2,08 = 14,56 cm2 2

R=5m

H = 10 m

H = 5 cm

Tenemos que hallar la generatriz aplicando el teorema de Pitágoras:

G = √ 52 + 102 = √ 125 = 11,18 cm AL = πRG AL = 3,14 · 5 · 11,18 = 175,53 m2 AT = AB + AL; AT = 78,50 + 175,53 = 254,03 m2 V =

1 AB · H 3

; V = 78,50 · 10 : 3 = 261,67 m3

42. Calcula el radio de una esfera un litro de volumen. Toma π = 3,14

46. Calcula el área y el volumen de una pirámide hexa gonal en la que la arista de la base mide 7,4 m y la altura tiene 17,9 m Tenemos que hallar la apotema de la base aplicando el teorema de Pitágoras:

R = 6,2 cm

m 7,4

4 πR 3 3

m 7,4

4πR 3 3 = 1 ⇒ R3 = 3 4π 3 R=3 = 0,62 dm = 6,2 cm 4 ⋅ 3,14

3,7 m

43. Una esfera de 4 cm de diámetro está inscrita en un cilindro. ¿Cuál es la altura del cilindro? Toma π = 3,14

a = √ 7,42 + 3,72 = √ 41,07 = 6,41 m P·a AB = 2 AB =

6 · 7,4 · 6,41 = 142,30 m2 2

Tenemos que hallar la apotema de la pirámide aplicando el teorema de Pitágoras:

H = 17,9 m

Altura del cilindro = Diámetro de la esfera = 4 cm 44. Halla el área y el volumen de una esfera de radio 6 400 km. Da el resultado en notación científica. Toma π = 3,14

l = 7,4 m

a = 6,41 m

h = √ 6,412 + 17,92 = √ 361,5 = 19,01 m l·h AL = 6 · 2

AL = 6 ·

7,4 · 19,01 = 422,02 m2 2

AT = AB + AL AT = 142,3 + 422,02 = 564,32 m2

Área = 4πR 2 A = 4 · 3,14 · 6 4002 = 5,14 · 108 km2 4 Volumen = πR 3 3 4 V = · 3,14 · 64003 = 1,10 · 1012 km3 3

V =

1 AB · H 3

V = 142,3 · 17,9 : 3 = 849,06 m3

CON CALCULADORA

PROBLEMAS

45. Calcula la arista de un cubo cuyo volumen mide 2 m3, redondeando el resultado a dos decimales.

47. Calcula el volumen de la siguiente pieza: 2 cm 2 cm 6 cm

6 cm

Volumen: V = a 3 Arista: 3 a = √ 2 = 1,26 m

6 cm

Volumen: 63 + 22 · 6 = 240 cm3

95 Unidad 9. Áreas y volúmenes

V =

52. En un helado con forma de cono, 1/5 del contenido sobresale del cucurucho. Si el radio de la base del cucurucho mide 2,5 cm y la altura es de 12 cm, ¿cuán tos helados se podrán hacer con 10 L? Toma π = 3,14 R = 2,5 cm

H = 12 cm

H = 25 m

48. Un silo, que es un edificio para almacenar cereales, tiene forma de prisma cuadrangular. Si la arista de la base mide 10 m y la altura es de 25 m, ¿qué volu men contiene? Volumen: V = AB · H V = 10 · 10 · 25 = 2 500 m3

l = 10 m

49. Calcula la altura que ha de tener un bote de conser vas de un litro, sabiendo que el diámetro de la base mide 8 cm. Toma π = 3,14

Volumen del cucurucho: 1 V = AB · H 3 V = 3,14 · 2,52 · 12 : 3 = 78,52 cm3 Volumen del helado: 78,52 · (1 + 1/5) = 94,22 cm3 N.º de helados: 10 000 : 94,22 = 106 helados.

53. Calcula el volumen de un trozo de tronco de árbol, en el que el radio de la base mayor mide 15,9 cm; el ra dio de la base menor, 12,5 cm; y su altura, 4 m. Toma π = 3,14 r = 12,5 H=4m

H R = 4 cm

R = 15,9

Área de la base: AB = πR 2 AB = 3,14 · 42 = 50,24 cm2

AB1 = πR 2 AB1 = 3,14 · 15,92 = 793,82 cm2

V V = AB · H ⇒ H = AB

AB2 = πr 2

H = 1 000 : 50,24 = 19,90 cm = 20 cm 50. Las dimensiones en centímetros de un cartón de leche de un litro son: 9,5 × 6,4 × 16,5. Si lo construyé semos de forma cúbica, ¿cuántos centímetros cua drados de cartón ahorraríamos?

54. Un cubo de basura en forma de tronco de cono tie ne las siguientes medidas: radio de la base menor, 10 cm; radio de la base mayor, 12 cm; y altura, 50 cm. Si no tiene tapa, calcula su superficie y su volumen. Toma π = 3,14

96 Solucionario

Tenemos que hallar la apotema de la pirámide aplicando el teorema de Pitágoras.

a = √ 7,52 + 52 = √ 81,25 = 9,01 m AL = 4 · 15 · 9,01 : 2 = 270,3 m2 Coste: 270,3 · 18 = 4 865,4 €

2 cm R = 12 cm

H = 50 cm

51. Un tejado tiene forma de pirámide cuadrangular. La arista de su base mide 15 m y la altura es de 5 m. Si reparar un metro cuadrado cuesta 18 €, ¿cuánto cos tará reparar todo el tejado?

AB1 = πr 2 AB1 = 3,14 · 102 = 314 cm2 AB2 = πR 2 AB2 = 3,14 · 122 = 452,16 cm2 Tenemos que hallar la generatriz del tronco de cono aplicando el teorema de Pitágoras:

H = 50 cm

Superficie del cartón: 2 (9,5 · 6,4 + 9,5 · 16,5 + 6,4 · 16,5) = 646,3 cm2 Arista del cubo: a3 = 1 dm3 a = 1 dm = 10 cm Superficie del cubo: 6 · 102 = 600 cm2 Si fuese cúbico nos ahorraríamos: 646,3 – 600 = 46,3 cm2

15 m

AB2 = 3,14 · 12,52 = 490,63 cm2 1 V = (AB1 + AB2 + √ AB1 · AB2) · H 3 V = (793,82 + 490,63 + √ 793,82 · 490,63) · 400 : 3 = = 254 470,25 cm3 = 0,25 m3

G r = 10 cm

7,5 m

G = √ 502 + 22 = √ 2 504 = 50,04 cm AL = π(R + r ) · G AL = 3,14 · (12 + 10) · 50,04 = 3 456,76 cm2

55. Calcula el volumen de la siguiente pieza. Toma π = 3,14

58. Calcula el volumen de la siguiente mesa: 80 cm 40 cm 40 cm

10 cm

AT = AB1 + AL AT = 314 + 3 456,76 = 3 770,76 cm2 1 V = (AB1 + AB2 + √ AB1 · AB2) · H 3 V = (314 + 452,16 + √ 314 · 452,16) · 50 : 3 = = 19 049,33 cm3 = 19,05 L

10 cm

V = 10 · 40 · 80 + 10 · 40 · 80 = 64 000 cm3 = 0,064 m3 59. Una piscina tiene forma de prisma hexagonal. La arista de su base mide 12 m y la altura tiene 3,5 m. ¿Cuánto costará llenarla si el litro de agua tiene un precio de 0,02 €?

23 cm

6 cm

5 cm

Hay que aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la apotema de la base:

56. Calcula el radio de una circunferencia que mide 37,5 m de longitud. Toma π = 3,14 L = 2πR 2 · 3,14 · R = 37,5 37,5 R R= = 5,97 m 6,28

57. Calcula el área del segmento circular coloreado de amarillo en la siguiente figura. Toma π = 3,14

60° R=3m

H = 3,5 m

12 6m

l = 12 m

PARA PROFUNDIZAR

a = √ 122 – 62 = √ 108 = 10,39 m P ·a AB = 2 AB = 6 · 12 · 10,39 : 2 = 374,04 m2 V = AB · H V = 374,04 · 3,5 = 1 309,14 m3 = 1 309 140 L Coste: 1 309 140 · 0,02 = 26 182,8 € 60. Supongamos que un bote de refresco es totalmente cilíndrico y que el diámetro de la base mide 6,5 cm. Si tiene una capacidad de 33 cL, ¿cuánto medirá la altura? Toma π = 3,14

Asegmento = Asector – Atriángulo

AB = πR 2 AB = 3,14 · 3,252 = 33,17 cm2 = 0,33 dm2 33 cL = 0,33 L = 0,33 dm3 V V = AB · H ⇒ H = AB H = 0,33 : 0,33 = 1 dm = 10 cm

R = 3,25 cm

Área del sector: n° 360°

61. Calcula el volumen de la siguiente pieza. Toma π = 3,14

60° = 4,71 m2 360° Hay que aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la altura:

A = 3,14 · 32 ·

4 cm 4 cm 2 cm

1,5 m

a=√ – = √ 6,75 = 2,60 m Área del triángulo: 3 · 2,6 : 2 = 3,9 m2 Área del segmento: 4,71 – 3,9 = 0,81 m2 32

1,52

V = 3,14 · 22 · 4 · 1,5 = 75,36 cm3 62. Calcula el volumen de la Tierra sabiendo que el ra dio mide 6 400 km. Da el resultado en notación cien tífica. Toma π = 3,14 4 V = πR 3 3 V = 4 · 3,14 · 6 4003 : 3 = 1,0975 · 1012 km3

97 Unidad 9. Áreas y volúmenes

A = πR 2 ·

Volumen: V = AB · H V = 3,14 (62 – 52) · 23 = 794,42 cm3

Matematización

en contextos reales

63. Calcula el coste de los terrenos que hay que expro piar para hacer una autopista de 50 km con una an chura de 80 m, si se paga a 5 € el metro cuadrado.

4. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular en la que la arista de la base mide 5 m y cuya altura es de 9 m

Coste: 50 000 · 80 · 5 = 20 000 000 = 20 millones de € H=9m

64. Hay que rebajar un montículo con forma de semies fera cuyo radio mide 25 m. Calcula el número de via jes que tiene que hacer un camión que lleva cada vez 5 metros cúbicos. Toma π = 3,14

l =5m

V =

Volumen: 50 000 · 20 · 0,05 · 2 = 100 000 m3

Autoevaluación 1. Define qué es un paralelo y un meridiano. Pon un ejem plo haciendo un dibujo y marcando varios de ellos. Paralelos: son las circunferencias paralelas al Ecuador. Meridianos: son las circunferencias máximas que pasan por los polos. Paralelo

Meridiano

Meridiano de Greenwich

V = 52 · 9 : 3 = 75 m3 5. Calcula el área de un tronco de pirámide cuadrangu lar en el que la arista de la base mayor mide 8 m; la de la base menor, 5 m; y la altura, 12 m AB1 = l 12 AB1 = 82 = 64 cm2 AB2 = l 22 AB2 = 52 = 25 cm2 Tenemos que hallar la apotema del tronco de pirámide aplicando el teorema de Pitágoras: l2 = 5 m H = 12 m

65. Calcula los metros cúbicos totales de asfalto que hay que echar en una autopista si tiene 50 km de lon gitud y dos direcciones, cada una con una anchura de 20 m. El grosor del asfalto es de 5 cm

1 AB · H 3

H = 12 m

V = 4 · 3,14 · 253 : 3 : 2 = 32 708,33 m3 N.º de viajes: 32 708,33 : 5 = 6 542 viajes.

1,5 m

l1 = 8 m

2. Calcula el área y el volumen de un cubo de arista a=5m A = 6a 2 A = 6 · 52 = 6 · 25 = 150 m2 V = a 3 V = 53 = 125 m3 3. Calcula el área de un prisma hexagonal en el que la arista de la base mide 6 m y cuya altura es de 15 m Hay que aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la apotema de la base:

h = √ 122 + 1,52 = √ 146,25 = 12,09 m l +l AL = 4 · 1 2 · h 2 AL = 4 · (8 + 5) : 2 · 12,09 = 314,34 m2 AT = AB1 + AB2 + AL AT = 64 + 25 + 314,34 = 404,34 m2 6. Calcula el volumen de un tronco de cono en el que el radio de la base mayor mide 7 m; el de la base menor, 5 m; y la altura, 11 m. Toma π = 3,14 r=5m

H = 11 m

6m 6m

98 Solucionario

a = √ 62 – 32 = √ 27 = 5,20 m P·a AB = 2 AB = 6 · 6 · 5,2 : 2 = 93,60 m2 AL = 6 · l · H AL = 6 · 6 · 15 = 540 m2 AT = 2AB + AL AT = 2 · 93,60 + 540 = 727,20 m2

R=7m

AB1 = πR 2 AB1 = 3,14 · 72 = 153,86 m2 AB2 = πr 2 AB2 = 3,14 · 52 = 78,50 m2 1 V = (AB1 + AB2 + √ AB1 · AB2) · H 3 V = (153,86 + 78,50 + √ 153,86 · 78,50 ) · 11 : 3 = 1 254,95 m3

7. Calcula la altura que ha de tener un bote de refresco de 330 mL, sabiendo que el diámetro de la base mide 6 cm. Toma π = 3,14

8. Calcula el volumen de un helado con forma de cono, que llena el interior del cono y del que sobresale una semiesfera en la parte superior. El radio del cono mide 2,5 cm y la altura es de 15 cm. Toma π = 3,14 Volumen del cono:

H R = 3 cm

V =

1 AB · H 3

V = 3,14 · 2,52 · 15 : 3 = 98,13 cm3

H = 330 : 28,26 = 11,68 cm

Volumen de la semiesfera: 4 Volumen = πR 3 : 2 3 V = 4 · 3,14 · 2,53 : 3 : 2 = 32,71 cm3 Volumen del helado: 98,17 + 32,72 = 130,84 cm3

99 Unidad 9. Áreas y volúmenes

Área de la base: AB = πR 2 AB = 3,14 · 32 = 28,26 cm2 V V = AB · H ⇒ H = AB

10. Movimientos, frisos y mosaicos 1. Vectores

4. Dada la pajarita del dibujo, cópiala y trasládala se → gún el vector v (11, – 3) Y

y traslaciones

PIENSA Y CALCULA Copia y dibuja la pajarita 10 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. Toma como unidad el cuadradito del cuaderno.

X 0

v (11, – 3) A′

F F′

X 0 F′

5. Calcula las coordenadas del vector que transforma el trapecio ABCD en el trapecio A′B ′C ′D ′

Y D

A′ u(10, 2)

C D′

CARNÉ CALCULISTA

Desarrolla: (3x 2 – 5)2 = 9x 4 – 30x 2 + 25

Factoriza: x 3 + 12x 2 + 36x = x (x + 6)2 0

APLICA LA TEORÍA 1. Dibuja unos ejes coordenados y representa en ellos los siguientes vectores de forma que el origen de cada vector sea el origen de coordenadas: →

→

Y D

C′

B v

v (–3, 6)

x (–2, –3) w (0, –5)

B′ X

A′

0 u (5, 4) X

→

v (11, – 4) 6. Halla la composición de las traslaciones de vectores → → u (7, 4) y v (6, –2) y escribe el vector correspondiente. Después aplica la traslación resultante al triángulo del dibujo y calcula las coordenadas de los vértices transformados.

2. Suma de forma analítica y geométrica los vectores → → u (7, 6) y v (– 3, 2)

Y C

→

u + v = (4, 8)

Y v (– 3, 2)

(4, 8

)

→

u + v = (13, 2)

v= u+

100 Solucionario

B′ X

A′

D′

→

a) u (5, 4) b) v (– 3, 6) c) w (0, – 5) d) x (– 2, – 3)

→

C′

Y u (7, 6)

C′

C″ C u (7, 4)

3. Pon tres ejemplos de la vida real en los que se utilice una traslación. • Una ventanilla de un coche cuando se sube y se baja. • Una puerta corredera cuando se abre y se cierra. • Un ascensor cuando sube y baja.

A′ v (6, – 2)

B′

u + v (13, 2)

A″ (14, 3), B ″ (18, 3), C ″ (14, 8)

A″

B″ X

2. Giros

El centro de giro es el punto de corte de las mediatrices de los segmentos AA′ y BB ′

y simetría central

PIENSA Y CALCULA

Dibuja la casa simétrica del dibujo respecto del origen de coordenadas. Marca el homólogo de un punto cual quiera y halla el ángulo que ha girado respecto del ori gen de coordenadas.

B′ F′

Y A′

O (5, 3)

0 Y

9. Aplica al cuadrado de la figura una simetría central de centro el punto O Y

180°

A′

CARNÉ CALCULISTA

Resuelve la ecuación: x x –1 3x + 1 –5+ =x– ⇒ x = 61 3 4 6

B′

C′

A′ D

D′

APLICA LA TEORÍA 7. Aplica al rombo de la figura un giro de 90° respecto del centro O

10. Dibuja un triángulo equilátero y halla su centro de giro. ¿Cuánto tiene que girar para que coincida con sigo mismo?

120°, o bien 240°

C B O

D A

Y D′

11. Dibuja un romboide y su centro de simetría. A′ C

B′ O

90°

D A

12. Dibuja un rectángulo. Halla un centro y un argumen to de giro para que sea doble o invariante.

8. Calcula las coordenadas del centro de giro que transforma la pajarita F en la pajarita F ′ O

El argumento deber ser 180°

F′

13. Pon tres ejemplos de la vida real en los que se utilice un giro.

F X

• Al abrir una puerta de bisagras. • Al pasar las hojas de un libro. • Las aspas de un molino de energía eólica.

101 Unidad 10. Movimientos, frisos y mosaicos

C′

3. Simetría

axial.

Frisos

y mosaicos

PIENSA Y CALCULA Dibuja la simétrica de la pajarita respecto de la recta r, y luego de la obtenida respecto de la recta s. Define el movimiento que transforma la pajarita de la izquierda en la de la derecha. Y

R′

R X

16. Dibuja un trapecio isósceles y su eje de simetría. X

0 Y

F 0

F″

F′ A

A″ X

A′

La composición corresponde a una traslación cuyo vector tiene por módulo el doble de la distancia que hay entre los dos ejes, la dirección es perpendicular a los ejes y el sentido va desde el primer eje al segundo.

17. Dibuja el simétrico del barco respecto de la recta r, y después el simétrico del obtenido respecto de la recta s. ¿A qué movimiento corresponde la composi ción de las dos simetrías? Y

CARNÉ CALCULISTA

Resuelve el sistema:

x y  + = 1 2 4  2x – 3y = 4 

x = 2; y = 0 d (r, s) = 10

v (20, 0)

APLICA LA TEORÍA

14. Dibuja la cometa simétrica de la del dibujo respecto del eje r

18. Dibuja un friso. Solución abierta, por ejemplo: X 0 Y

F′

19. Haz un friso recortando una tira de papel doblada varias veces.

Solución abierta, por ejemplo:

15. Dibuja el simétrico del rectángulo siguiente respec to de la recta r

102 Solucionario

X 0

20. Dibuja un mosaico regular. Solución abierta, por ejemplo:

4. Planos

y ejes de simetría

Ejercicios

y problemas propuestos

PIENSA Y CALCULA

1. VECTORES Y TRASLACIONES

Observa la flor de la fotografía y explica cómo sería un pla no que divida a la flor en dos partes iguales o simétricas.

23. Suma de forma analítica y geométrica los vectores → → u (– 5, 3) y v (3, – 7) →

→

u + v = (– 2, – 4) u (– 5, 3) v (3, – 7)

u +v = (– 2, – 4)

24. Dado el rombo de la figura, trasládalo según el vec → tor v (–14, 3) Y

CARNÉ CALCULISTA Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 24 m y 10 m

x = √ 122 + 52 = 13

APLICA LA TEORÍA 21. Dibuja el siguiente tetraedro. ¿Cuántos planos de si metría tiene?

C′ D′

B′ D

u (–14, 3)

A′

Tiene seis planos de simetría que pasan por una arista y el punto medio de otra arista, como el dibujo siguiente:

B X

25. Calcula las coordenadas del vector que transfor ma el romboide ABCD en el romboide A′B ′C ′D ′ Y

A′ D A

B′

C X

→

Tiene tantos planos como ejes de simetría tiene la base. Como la base tiene 6 ejes de simetría, la pirámide tiene 6 planos que contiene a un eje de simetría que va de la base al vértice de la pirámide.

v (10, 6) Y

A′ C

C′

D′

B′ v X

103 Unidad 10. Movimientos, frisos y mosaicos

22. Dibuja una pirámide hexagonal regular. ¿Cuántos planos de simetría tiene?

C′

D′

26. Dibuja unos ejes coordenados y representa en ellos los siguientes vectores de forma que su origen sea el origen de coordenadas: →

→

a) u (5, – 6)

29. Calcula las coordenadas del centro de giro que transforma el triángulo rectángulo ABC en el A′B ′C ′ Y

→

A′

b) v (– 3, – 4) c) w (5, 0)

C′

w (5, 0) v (– 3, – 4)

B′

El centro de giro es el punto de corte de las mediatrices AA′ y BB ′

u (5, – 6)

A′ C′

27. Halla la composición de las traslaciones de vectores → → u (– 7, 5) y v (14, – 2) y escribe el vector correspon diente. Aplica la traslación resultante al cuadrado del dibujo.

B′ O

O (7, 3) D

30. Aplica al rectángulo de la figura siguiente una sime tría central de centro el punto O

Y A

0 →

→

u + v = (7, 3) Y

D′

O C′ D″

A′

C″

B′ v (14, – 2) C D u (– 7, 5)

A″ B″ u + v = (7, 3) X B

2. GIROS Y SIMETRÍA CENTRAL

C′

28. Aplica un giro de 60° al romboide de la figura respec to del centro O

B′

D′ A′

31. Dibuja un romboide y halla su centro de giro. ¿Cuán to tiene que girar para que coincida consigo mismo? B

C O D X

104 Solucionario

C′

B O 60° A

32. Dibuja un rombo y su centro de simetría.

D′ A′

B′

180°

O D

33. Dibuja un cuadrado. Halla un centro y un argumento de giro para que sea doble o invariante.

38. Dibuja un mosaico que no sea regular ni s emirregular. Solución abierta, por ejemplo:

39. Dibuja la pajarita simétrica del dibujo respecto de la recta r y después la simétrica de la obtenida respec to de la recta s. ¿A qué movimiento corresponde la composición de ambas simetrías?

Los argumentos pueden ser: 90°, 180° y 270° 3. SIMETRÍA AXIAL. FRISOS Y MOSAICOS

34. Copia y dibuja el simétrico del romboide del dibujo siguiente respecto de la recta r Y

r X

F″

F′

r A

R′

35. Copia y dibuja el simétrico del trapecio rectángulo del dibujo respecto de la recta r Y

d(r, s) = 10

A″ X

v (20, 0)

A′

40. Dibuja el eje de simetría de las siguientes parábolas y halla su fórmula o ecuación. a)

Y y = – x 2 – 2x + 2 X

y = x 2 – 4x + 1

T′

36. Dibuja un rectángulo y sus ejes de simetría. r

y = x 2 – 4x + 1

El eje de simetría es x=2

x=2

37. Dibuja un friso. Solución abierta, por ejemplo:

y = x 2 – 4x + 1

105 Unidad 10. Movimientos, frisos y mosaicos

y = – x 2 – 2x + 2

El eje de simetría es x = –1

x = –1

y = – x 2 – 2x + 2 X

PARA AMPLIAR 4. PLANOS Y EJES DE SIMETRÍA 41. Copia la siguiente figura y encuentra los planos y los ejes de simetría.

43. Escribe las coordenadas de los vectores del siguien te dibujo y calcula sus módulos: Y w u v X

0 →

→

u (6, 7) ⇒ |u | = √ 62 + 72 = √ 85 = 9,22 →

→

v (4, –7) ⇒ |v | = √ 42 + (–7)2 = √ 65 = 8,06 →

→

w (– 6, – 3) ⇒ |w | = √ (–6)2 (–3)2 = √ 45 = 6,71 44. Dado el triángulo rectángulo de la figura, trasládalo → según el vector v (12, 0) y calcula sus coordenadas. Y

La figura está compuesta por dos conos unidos por su base. Los planos de simetría serán todos los que pasan por un eje de simetría de la circunferencia y por los vértices de los conos. El eje de simetría es la recta que pasa por los vértices.

42. El cubo y el octoedro son dos poliedros duales. Te niendo esto en cuenta, ¿cuántos planos de simetría tiene el octoedro?

B X

0 Y C

106 Solucionario

Como el octoedro y el cubo son duales, ambos tienen el mismo número de planos. Hay tres planos que son paralelos a dos caras opuestas del cubo y que pasan por las aristas del octoedro.

Hay seis planos que pasan por las diagonales de dos caras opuestas del cubo y por el punto medio de una arista del octaedro y contiene a otra.

C′

A′

B′ X

A ′ (13, 3), B ′ (17, 3), C ′ (13, 8) 45. Dibuja el contorno de una mariposa y explica si po see simetría especular.

La mariposa tiene simetría especular con respecto a un plano que pase por el centro del cuerpo.

49. Dibuja una circunferencia y su centro de simetría. A

O A′

El centro de simetría es el centro de la circunferencia.

46. Dibuja unos ejes coordenados y aplica reiterada mente al punto A (0, 5) un giro de centro el origen de coordenadas O (0, 0) y argumento 120°. Une mediante segmentos los puntos que vas obteniendo. ¿Qué figu ra has generado? Y A (0, 5)

50. Dibuja un pentágono regular y halla su centro de giro. ¿Cuánto tiene que girar para que coincida con sigo mismo?

72° 72°

72°

Uno de los siguientes argumentos: 72°, 144°, 216° y 288° X

120° 120°

51. Dibuja un hexágono regular y sus ejes de simetría.

120° e2

e5 e3 e6

Se ha generado un triángulo equilátero. 47. Dibuja un rombo. Halla un centro y un argumento de giro para que sea doble o invariante.

Tiene 6 ejes de simetría. 52. Dibuja un mosaico semirregular. Solución abierta, por ejemplo:

48. Dibuja unos ejes coordenados y aplica reiterada mente al punto A (5, 0) un giro de centro el origen de coordenadas O (0, 0) y argumento 45°. Une mediante segmentos los puntos que vas obteniendo. ¿Qué figu ra has generado? Y

53. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que sea → doble o invariante por la traslación del vector v (3, 4). ¿Qué pendiente tiene?

Se ha generado un octógono regular.

A(5, 0)

y = –4 x + 3 3

45° 45° 45° 45° 45° 45° 45° 45°

PROBLEMAS

3 m = –4 3

La pendiente es m = 4 3

107 Unidad 10. Movimientos, frisos y mosaicos

El argumento es 180°

54. Halla la ecuación de la parábola que se obtiene al → trasladar y = x2 según el vector v (2, – 5).

57. Dibuja una circunferencia. Halla un centro y un ar gumento de giro para que sea doble o invariante.

Y y = x2 O X

El centro de giro es el centro de la circunferencia y como argumento sirve cualquiera. Y

58. Dibuja un pentágono regular y sus ejes de simetría. ¿Cuántos tiene?

y = x2 X

v (2, – 5)

y = (x – 2)2 – 5

e4 e5

La nueva ecuación es: y =

x 2

– 4x – 1

55. Demuestra el teorema de Pitágoras aplicando tras laciones a las superficies numeradas como 1, 2, 3, 4 y5

Tiene cinco ejes de simetría. 59. Halla el simétrico del barco respecto de la recta r Y

2 5 4 1 X

2 5

4 1

56. Dibuja unos ejes coordenados y aplica reiterada mente al punto A (5, 0) un giro de centro el origen de coordenadas O (0, 0) y argumento 60°. Une mediante segmentos los puntos que vas obteniendo. ¿Qué figu ra has generado? Y

PARA PROFUNDIZAR 60. Calcula el vector que transforma la parábola roja, y = x2, en la parábola azul del siguiente dibujo y halla la ecuación de la nueva parábola. Y

108 Solucionario

60° 60°

Un hexágono regular.

60° 60° 60°

60°

A(5, 0) X

y = x2 X

Autoevaluación

1. Define qué es un vector y di cuáles son sus caracte rísticas. Pon un ejemplo. X

Un vector es un segmento orientado. Las características de un vector son:

y = (x + 2)2 – 3

v (– 2, – 3)

→

a) Módulo: es la longitud del vector. Se representa por |v | b) Dirección: es la definida por la recta que lo contiene.

→

c) Sentido: es el indicado por la punta de la flecha.

v (–2, –3) y = x 2 + 4x + 1

Ejemplo:

61. Dibuja unos ejes coordenados y aplica reiterada mente al punto A (0, 5) un giro de centro el origen de coordenadas O (0, 0) y argumento 72°. Une mediante segmentos los puntos que vas obteniendo. ¿Qué figu ra has generado? A(0, 5)

v (3, 4) O

4 3

→

v (3, 4) es un vector que tiene una componente horizontal de 3 unidades y una componente vertical de 4 unidades. O es el origen y P el extremo.

72° 72° 72°

72°

a) Módulo: se calcula aplicando el teorema de Pitágoras.

→

|v | = √ 32 + 42 = √ 25 = 5 unidades b) Dirección: es la de la recta que pasa por O y P c) Sentido: es el que va de O hacia P

Un pentágono regular. 62. Dibuja un hexágono. Halla un centro y un argumento de giro para que sea doble o invariante.

60° 60°

60°

2. Dibuja un ortoedro y traza los ejes y los planos de simetría. Tiene 3 ejes de simetría que son las rectas perpendiculares que pasan por el centro.

60° 60°

60°

El centro de giro es el centro del hexágono y el argumento puede ser: 60°, 120°, 180°, 240° y 300° en contextos reales

63. ¿Qué movimientos hay que aplicar a la figura F para transformar un romboide en un rectángulo que tiene la misma base y la misma altura?

F →

Una traslación de vector: v (9, 0) 64. ¿Qué movimientos hay que aplicar a las figuras F y G para transformar un trapecio en un rectángulo que tiene por base la media de las dos bases del trapecio y por altura la misma del trapecio? F F

Tiene 3 planos de simetría que son los planos paralelos a las bases que pasan por el centro.

3. Dibuja en unos ejes coordenados el triángulo que tiene los vértices en los puntos A (0, 0), B (4, – 2) y → C (3, 4) y trasládalo según el vector v (– 13, 3) Y C′

A′

Una simetría central, de centro el vértice superior o un giro de 180°

v (–13, 3)

B′ A

109 Unidad 10. Movimientos, frisos y mosaicos

Matematización

4. Dibuja en unos ejes coordenados el cuadrado que tiene los vértices en los puntos A (1, 1), B (5, 1), C (5, 5) y D (1, 5) y aplícale un giro de centro el origen O (0, 0) y amplitud 80° C′

B′

7. Dibuja la parábola y = x2, trasládala según el vector → v (3, – 5) y escribe la nueva ecuación de la parábola. Y y = x2

C X

D′

A′ 80° A

v (3, – 5)

5. Dibuja en unos ejes coordenados el triángulo que tiene los vértices en los puntos A (1, 2), B (4, 5) y C (– 3, 4) y aplícale una simetría central de centro el origen O (0, 0) Y B(4, 5)

C (– 3, 4) A (1, 2)

y = (x – 3)2 – 5

y = x 2 – 6x + 4 8. Dibuja el simétrico del trapecio respecto de la rec ta r y después el simétrico del obtenido respecto de la recta s. ¿A qué movimiento corresponde la com posición de las dos simetrías? Y

A′(–1, – 2)

B′(– 4, – 5)

C′(3, – 4)

6. Dibuja un mosaico regular.

Solución abierta, por ejemplo:

v (20, 0)

d(r, s) = 10

110 Solucionario

La composición de las dos simetrías axiales corresponde a una traslación; el vector tiene de módulo el doble de la distancia que hay entre los dos ejes; la dirección es perpendicular a los ejes, y el sentido va del primer eje al segundo.

Solucionario BLOQUE IV Funciones

11. Características de las funciones. Rectas

b) Tabla: Base: x Área: y

0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 16 21 24 25 24 21 16 9 0

c) Dominio: 0 ≤ x ≤ 10 Imagen o recorrido: 0 ≤ x ≤ 25

1. Funciones PIENSA Y CALCULA Considera los rectángulos con un lado de doble longitud que el otro. Expresa el perímetro y el área en función del lado menor.

Cada una de las siguientes funciones está expresada de una de las cuatro formas. Halla, en cada una de ellas, la expresión de las otras tres formas: 3. El precio de unas almendras es de 5 €/kg

a) Tabla: Masa (kg): x

P = 2(x + 2x ) = 6x

Dinero (€): y

A = 2x · x = 2x 2

1 2 3 4 5 … 5 10 15 20 25 …

b) Gráfica:

CARNÉ CALCULISTA 2 x x 2 Desarrolla: + 3 = + 2x + 9 3 9

( )

Dinero (€)

Factoriza: 9x 2 – 49 = (3x + 7)(3x – 7) APLICA LA TEORÍA 1. Dibuja una gráfica que sea función y otra que no. Esta gráfica es una función. Y

55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Masa (kg)

c) Fórmula: y = 5x X

4. Lado (m): x Perímetro (m): y

1 4

2 3 … 8 12 …

Longitud del perímetro (m)

a) Enunciado: el perímetro de un cuadrado de lado x b) Gráfica:

Esta gráfica no es una función. Y

Y 18 16 14 12 10 8 6 4 2

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Longitud del lado (m)

c) Fórmula: y = 4x

10 – x

112 Solucionario

2. Un rectángulo tiene 20 m de perímetro. a) Escribe el área del rectángulo, y , en función de la longitud de la base, x b) Haz una tabla de valores. c) Halla el dominio y la imagen o recorrido.

a) y = x (10 – x ) = 10x –

x 2

Espacio (km)

50 40 30 20 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (h)

a) Enunciado: espacio que recorre una persona que va a una velocidad de 6 km/h b) Tabla: Tiempo (h): t Espacio (km): e c) Fórmula: e = 6t

1 2 3 4 5 … 6 12 18 24 30 …

6. y = 6x Es una solución abierta, por ejemplo: a) Enunciado: perímetro de un hexágono regular en función del lado. b) Tabla: Lado (m): x

Perímetro (m): y

6 12 18 …

Analiza si las siguientes gráficas son periódicas, y en caso afirmativo calcula el periodo: 9. Y

3 … Es periódica de periodo 2 10.

c) Gráfica:

Y X

18 16 14 12 10 8 6 4 2

Es periódica de periodo 4

2. Características PIENSA Y CALCULA

La gráfica adjunta recoge la evolución de la temperatura en una ciudad durante las 24 horas de un día.

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Longitud del lado (m)

Longitud (m)

600 500 400 300 200 100

Temperatura (C)

0 –5

X 16 20 24 Tiempo (h)

–10

a) ¿En qué momento del día se alcanzó la temperatura máxima? ¿Y la mínima? b) ¿En qué intervalos del día aumenta la temperatura? ¿En cuáles disminuye? c) ¿En que momentos se hace cero la temperatura?

X 60 90 120 150 Tiempo (min)

b) Es una función continua y periódica. 8. En un aparcamiento público se cobran 2 € por cada hora o fracción, con un máximo de 24 € por un día. Representa la función que expresa el coste por apar car un coche en función del tiempo durante un día y analiza si es continua.

Dinero (€)

–15

26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

7. Un funicular emplea 15 min en subir desde la base de una montaña a la cima, que se encuentra a 600 m. Es pera 30 min y vuelve a bajar en otros 15 min. En la base espera 20 min y comienza de nuevo el recorrido. a) Representa la función que expresa la altura a la que se encuentra el funicular en función del tiempo. b) Analiza si la función es continua y periódica. a)

de las funciones

a) A las 4 de la tarde se alcanza el máximo y a las 6 de la mañana el mínimo. b) Aumenta desde las 6 de la mañana hasta las 4 de la tarde. Disminuye desde las 0 horas hasta las 6 de la mañana y desde las 4 de la tarde hasta las 12 de la noche. c) A las 10 de la mañana y a las 10 de la noche. CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación: 7x + 2 3x – 5 5 – =x+ 4 3 2

x = – 4/3 APLICA LA TEORÍA 11. Analiza la gráfica siguiente y contesta: Y

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Tiempo (h)

No es continua. Cada hora se da un salto de 2 € hasta llegar a 11 h. A partir de 11 h se cobra el máximo, que es 24 €

113 Unidad 11. Características de las funciones. Rectas

Longitud del perímetro (m)

a) ¿Dónde es creciente y dónde decreciente? b) ¿En qué puntos alcanza el máximo y el mínimo? c) ¿Dónde es convexa (∪) y cóncava (∩)? a) Creciente: entre – 2 y 2 Decreciente: a la izquierda de – 2 y a la derecha de 2 b) Máximo: A (2, 4) Mínimo: B (– 2, 0) c) Convexa (∪): a la izquierda de cero. Cóncava (∩): a la derecha de cero. Halla los puntos de corte con los ejes X e Y : 12.

Y y=

–x 2

• Distancia: 50 km • No. El ciclista A sale dos horas después que el B. • El ciclista A. • A los 15 km de la salida y en la meta. 19. En una localidad hay dos compañías de reparacio nes. La compañía A cobra 15 € por desplazamiento y 30 € por cada hora trabajada. La compañía B cobra 25 € por desplazamiento y 20 € por cada hora traba jada. Representa las gráficas de las funciones del coste de una reparación en función de las horas tra bajadas para cada compañía, y deduce qué compa ñía es más económica para hacer la reparación. Y Coste (€)

13.

Eje X : A (– 2, 0), B (2, 0)

Eje Y : C (0, 4) Y

55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

Compañía B

Compañía A X 1

Eje X : O (0, 0), A (4, 0)

3. Funciones

Eje Y : O (0, 0)

PIENSA Y CALCULA

14. y = 2x – 1 Eje X : A (1/2, 0) 15. y =

x 2

Eje Y : B (0, – 1)

– 5x

Eje X : A (5, 0), O (0, 0)

Eje Y : O (0, 0)

Eje X : A (– 5, 0), B (5, 0)

Eje Y : C (0, – 25)

17. y = x 2 + 2x – 15 Eje Y : C (0, – 15)

18. Las gráficas siguientes recogen el recorrido de dos ciclistas. Analízalas y contesta: ¿Qué distancia re corren? ¿Salen a la vez? ¿Qué ciclista ha ido más rápido? ¿Se encuentran en algún momento? Y 50 45 40 Ciclista A 35 Ciclista B 30 25 20 15 10 5 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (h) Espacio (km)

114 Solucionario

Eje X : A (– 5, 0), B (3, 0)

constantes y lineales

Halla mentalmente el valor de la constante de propor cionalidad directa en la compra de peras sabiendo que 5 kg de peras cuestan 10 € Constante = 10 : 5 = 2 CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación: x 2 –

16. y = x 2 – 25

Para hacer una reparación menor de 1 h, la compañía A es más económica. Para hacer la reparación de más de 1 h, la compañía B es más barata.

y = x 2 – 4x

Calcula los puntos de corte con los ejes X e Y :

2 Tiempo (h)

x1 = 3; x2 = – 5/6

13x 5 – =0 6 2

APLICA LA TEORÍA Halla mentalmente la pendiente de las siguientes fun ciones lineales, y di si son crecientes o decrecientes: 20. y = 3x m = 3 > 0 ⇒ Función creciente. x 3 m = – 1/3 < 0 ⇒ Función decreciente.

21. y = –

3x 2 m = 3/2 > 0 ⇒ Función creciente.

22. y =

4x 23. y = – 3 m = – 4/3 < 0 ⇒ Función decreciente.

24. Halla la ecuación de la siguiente función definida por una tabla de valores y clasifícala: x y

1 1,2

2 2,4

5 6

30. y = x Y

10 12

y=x

y = 1,2x Es una función lineal o de proporcionalidad directa.

Halla las ecuaciones de las siguientes funciones defini das verbalmente y clasifícalas: 25. La temperatura baja 2 grados cada hora. Halla la temperatura en función del tiempo. y = – 2x ⇒ Es una función lineal. 26. La entrada al zoo cuesta 5 € . Halla el coste en fun ción del tiempo que dura la visita. y = 5 ⇒ Es una función constante. Representa gráficamente las siguientes ecuaciones. Di cuáles son funciones y clasifícalas:

Función lineal. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas, di cuáles son funciones y clasifica estas: Y

31.

b) a)

27. y = 2x

Y y = 2x

a) P (3, 2) ⇒ m = 2/3 ⇒ y = 2x /3 ⇒ Función lineal. b) P (2, 0) ⇒ x = 2 ⇒ No es función.

32.

Función lineal. 28. y = – 3

a) P (0, – 4) ⇒ m = 0 ⇒ y = – 4 ⇒ Función constante. b) P (1, – 2) ⇒ m = – 2 ⇒ y = – 2x ⇒ Función lineal. X

4. Función

afín

PIENSA Y CALCULA

Función constante.

A(0, 2)

29. x = 5

x=5 X

CARNÉ CALCULISTA

No es función.

Resuelve el sistema por el método más sencillo: 2x – 3y = 12 4x + 3y = 10 x = 3, y = – 2

}

115 Unidad 11. Características de las funciones. Rectas

Dibuja la recta que pasa por el punto A (0, 2) y tiene de pendiente m = 2/3

y = –3

APLICA LA TEORÍA

Representa las siguientes rectas:

Halla mentalmente la pendiente y la ordenada en el ori gen de las funciones afines siguientes:

39. 2x – y = 3

Y y = 2x – 3

33. y = 2x + 1 Pendiente: m = 2 Ordenada en el origen: b = 1

X B(1, –1)

x 34. y = – + 3 2

A(0, –3)

Pendiente: m = – 1/2 Ordenada en el origen: b = 3 35. y =

2x –4 3

40. 2x + 3y = 6 2x + 2 y = –— 3

Pendiente: m = 2/3 Ordenada en el origen: b = – 4

2 1

A(0, 2)

3x 36. y = – – 2 4

–2

Pendiente: m = – 3/4 Ordenada en el origen: b = – 2 Dibuja la gráfica de las funciones afines siguientes. Ha lla en cada una de ellas la pendiente y la ordenada en el origen. ¿Cuál es creciente? ¿Cuál es decreciente? 37. y =

41. Representa la recta que pasa por el punto P (– 2, 1) y cuya pendiente es m = 3. Halla su ecuación. Y

3x –1 2

y = 3x + 7

3x – 1 y=— 2

A(0, –1)

P(–2, 1)

B(2, 2)

Pendiente: m = 3/2 > 0 ⇒ Función creciente. Ordenada en el origen: b = – 1

Pendiente: m = 3 Punto: P (– 2, 1) y = 3(x + 2) + 1 ⇒ y = 3x + 7 42. Representa la recta que pasa por los puntos A (– 2, 3) y B (4, 5). Halla su ecuación.

x 38. y = – + 2 3

Y B(4, 5) Y

A(0, 2)

A(–2, 3)

x +2 y = –— 3

116 Solucionario

B(3, 0)

y = x + 11 3 3 3

B (3, 1)

–1

Pendiente: m = Pendiente: m = – 1/3 > 0 ⇒ Función decreciente. Ordenada en el origen: b = 2

5–3 2 1 = = 4+2 6 3

Punto: A (– 2, 3) 1 1 11 y = (x + 2) + 3 ⇒ y = x + 3 3 3

Halla las ecuaciones de las rectas siguientes: 43.

Ejercicios

y problemas propuestos

1. FUNCIONES Indica cuál de las siguientes gráficas es una función: 46. Y

No es función. 47.

B(3, 3) 2

A(0, 1)

Sí es función.

A (0, 1) ⇒ b = 1 A (0, 1) y B (3, 3) ⇒ m =

2 3

Cada una de las siguientes funciones está expresada de una de las cuatro formas. Halla, en cada una de ellas, la expresión de las otras tres formas:

2 y = x + 1 3

48. El perímetro de un rombo en función de la medida del lado. a) Tabla: Longitud del lado (m): x Longitud del perímetro (m): y

b) Gráfica:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Longitud del lado (m)

c) Fórmula: y = 4x 49. Tabla: Masa (kg): x

1 –2

B(1, – 5)

A (0, – 3) ⇒ b = – 3 A (0, – 3) y B (1, – 5) ⇒ m = – 2 y = – 2x – 3 45. Un fontanero cobra 18 € por ir a domicilio, más el tiempo que trabaja, de forma proporcional, a razón de 30 € por cada hora. Halla la ecuación que calcu la el coste en función del tiempo que tarda en hacer el trabajo. ¿Qué tipo de función es? y = 30x + 18 Es una función afín.

18 16 14 12 10 8 6 4 2

Dinero (€): y

1 3

2 6

3 … 9 …

a) Enunciado: el precio de un kilo de kiwis es de 3 € b) Gráfica: Y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Dinero (€)

A(0, – 3)

2 3 … 8 12 …

Longitud del perímetro (m)

1 4

c) Fórmula: y = 3x

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Masa (kg)

117 Unidad 11. Características de las funciones. Rectas

44.

50. Gráfica:

Superficie (cm2)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

54. En una ferretería cobran 3 € por un modelo de bom billa que venden. Escribe la fórmula que expresa el dinero cobrado en función de las bombillas vendi das. Represéntala y analiza si es continua.

y = 3x

Dinero (€)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Longitud (cm)

a) Enunciado: área de un cuadrado en función del lado. b) Tabla: Longitud del lado (cm): x Área (cm2): y

1 1

2 4

3 4 … 9 16 …

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 N.º de bombillas

c) Fórmula: y = x 2

Es discontinua porque la variable x es discreta.

51. Fórmula: y = 5x a) Enunciado: un trabajador cobra 5 € por cada hora trabajada. b) Tabla: Tiempo (h): x Dinero (€): y

1 2 3 … 5 10 15 …

Analiza si las siguientes gráficas son periódicas y, en caso afirmativo, calcula el periodo: 55.

Y X

Dinero (€)

c) Gráfica: 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

Sí es periódica. Su periodo es 6 56.

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (h)

Indica cuál de las siguientes gráficas es continua y cuál no lo es: Y 52.

Sí es periódica. Su periodo es 4 57. Un robot de una cadena de montaje completa una pieza en 5 minutos. Expresa el número de piezas que hace el robot en función del tiempo, esboza la gráfi ca de la función y analiza si es continua.

No es continua. Tiene un salto en x = 0 de 2 unidades. Y

X Y

Es continua.

Espacio (km)

118 Solucionario

53.

50 45 40 35 30 25 20 15

x 5

N.º de piezas

y =

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

X 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Ciclista A

Tiempo (min)

No es continua. Hay un salto cada 5 minutos que acaba unaB pieza. Ciclista

58. Analiza la gráfica siguiente y contesta: Y X

a) ¿Dónde es creciente? ¿Dónde es decreciente? b) ¿En qué punto alcanza el máximo? ¿En cuál el mí nimo? c) ¿Dónde es convexa (∪) y cóncava (∩)?

69. ¿Cuáles de las siguientes funciones son pares? a) y = x + 5 b) y = x 2 – 6 ¿Alguna de ellas es simétrica respecto del eje Y ? ¿Por qué? a) f (– x ) = – x + 5 ≠ f (x ) ⇒ No es par. b) f (– x ) = (– x )2 – 6 = x 2 – 6 = f (x ) ⇒ Sí es par. La función y = x 2 – 6 es simétrica respecto del eje Y por ser par. 70. Las gráficas siguientes recogen el recorrido de dos ciclistas. Analízalas y contesta:

Halla los puntos de corte con el eje X y con el eje Y : 59. y = – 2x + 6 Eje X : A (3, 0) Eje Y : B (0, 6) 60. y =

2x 2

– 8x

Eje X : O (0, 0), B (4, 0) Eje Y : O (0, 0) 61. y = x 2 – 81 Eje X : A (– 9, 0), B (9, 0) Eje Y : C (0, – 81) 62. y = x 2 – x – 12 Eje X : A (– 3, 0), B (4, 0) Eje Y : C (0, –12) 63. y = 5 Eje X : no corta. Eje Y : A (0, 5) 64. y = x – 4 Eje X : A (4, 0) Eje Y : B (0, – 4) 65. y = x 2 + 3x – 40 Eje X : A (– 8, 0), B (5, 0) Eje Y : C (0, – 40) 66. y = – x 2 + 36 Eje X : A (– 6, 0), B (6, 0) Eje Y : C (0, 36) 67. y = x 2 + 2x + 1 Eje X : A (– 1, 0) Eje Y : B (0, 1) 68. y = x 2 – 4x + 3 Eje X : A (1, 0), B (3, 0) Eje Y : C (0, 3)

Longitud (km)

a) Creciente: entre – 2 y 2 Decreciente: a la izquierda de – 2 y a la derecha de 2 b) Máximo: A (2, 1) Mínimo: B (– 2, – 1) c) Convexa (∪): a la izquierda de cero. Cóncava (∩): a la derecha de cero.

Y 90 80 70 60 Ciclista A 50 Ciclista B 40 30 20 10 0

2 3 4 Tiempo (h)

X 5

a) ¿Qué distancia recorre cada uno? ¿Salen a la vez? b) ¿Qué ciclista ha ido más rápido? ¿Dónde ha lle gado? ¿Se encuentran en algún momento? a) Ciclista A: 90 km Ciclista B: 90 km Sí salen a la vez. b) El ciclista B. Llega a 90 km. Se encuentran a los 40 km de la salida, a los 60 km y a los 80 km 3. FUNCIONES CONSTANTES Y LINEALES Halla mentalmente la pendiente de las siguientes fun ciones lineales o de proporcionalidad directa, y di si son crecientes o decrecientes: 71. y = 2x m = 2 > 0 ⇒ Función creciente. 72. y = – 3x m = – 3 < 0 ⇒ Función decreciente. 73. y = – x m = – 1 < 0 ⇒ Función decreciente. x 2 m = 1/2 > 0 ⇒ Función creciente.

74. y =

Halla las ecuaciones de las siguientes funciones defini das verbalmente y clasifica estas: 75. La entrada a un parque de atracciones cuesta 6 €. Obtén el coste en función del tiempo de estancia. y = 6 ⇒ Es una función constante. 76. Un kilo de plátanos cuesta 1,5 €. Obtén el coste en función del peso. y = 1,5x ⇒ Es una función lineal o de proporcionalidad directa.

119 Unidad 11. Características de las funciones. Rectas

2. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

77. Halla la ecuación de la siguiente función definida por una tabla de valores y clasifícala: x

– 2

– 10

– 0,5

– 2,5

81. x = – 3 Y x = –3 X

m = – 0,5 y = – x /2 ⇒ E s una función de proporcionalidad directa. Representa gráficamente las siguientes ecuaciones, di cuáles son funciones y clasifícalas: 78. y = 2

No es función. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas, di cuáles son funciones y clasifícalas:

82.

y=2 X

Función constante. 79. y =

x 3

–3

P(1, – 3)

P (1, – 3) ⇒ m = – 3 ⇒ y = – 3x ⇒ Función lineal o de proporcionalidad directa. 83.

x y=— 3

X X

Función de proporcionalidad directa.

80. y = – 2x

P(1, 1) Y

y = –2x

120 Solucionario

P (1, 1) ⇒ m = 1 ⇒ y = x ⇒ Función lineal o de proporcionalidad directa. Halla la pendiente de las siguientes funciones lineales o de proporcionalidad directa y di si son crecientes o decrecientes. 84. y = 1,5x

Función de proporcionalidad directa.

m = 1,5 > 0 ⇒ Función creciente.

Representa las siguientes rectas:

x 2 m = – 1/2 < 0 ⇒ Función decreciente.

85. y = –

94. 3x – y = 2 y = 3x – 2

86. y = – 3x

m = – 3 < 0 ⇒ Función decreciente. y = 3x – 2

87. y = x m = 1 > 0 ⇒ Función creciente.

B(1, 1)

4. FUNCIÓN AFÍN A(0, –2)

Halla mentalmente la pendiente y la ordenada en el ori gen de las siguientes funciones afines:

3 1

88. y = – 3x + 2 Pendiente: m = – 3 Ordenada en el origen: b = 2 x 89. y = – 2 3 Pendiente: m = 1/3 Ordenada en el origen: b = – 2 5x 90. y = –3 4 Pendiente: m = 5/4 Ordenada en el origen: b = – 3 2x 91. y = – + 1 3 Pendiente: m = – 2/3 Ordenada en el origen: b = 1

95. 3x + 2y = 4 3 y = – x + 2 2 Y 3x+2 y = –— 2

A(0, 2)

–3

B(2, –1)

Dibuja la gráfica de las funciones afines siguientes y ha lla en cada una de ellas la pendiente y la ordenada en el origen. ¿Cuál es creciente y cuál decreciente? 2x –4 92. y = 3 Y

96. Representa la recta que pasa por el punto P (4, – 5) y tiene de pendiente m = – 3/2. Halla su ecuación. Y

2x–4 y=— 3 X

3 x – 11 y=–— 2

A(0, –4)

Pendiente: m = 2/3 > 0 ⇒ Función creciente. Ordenada en el origen: b = – 4 x 93. y = – + 3 2 Y

A(0, 3)

1x+3 y=–— 2

Pendiente: m = 3/2 Punto: P (4, – 5) 3 3 y = (x – 4) – 5 ⇒ y = x – 11 2 2 97. Representa la recta que pasa por los puntos A (– 2, 5) y B (4, – 3). Halla su ecuación. Y

–1

B(2, 2)

P(4, – 5)

A(– 2, 5)

4 x+— 7 y = –— 3 3

Pendiente: m = – 1/2 < 0 ⇒ Función decreciente. Ordenada en el origen: b = 3

–8

B(4, – 3)

121 Unidad 11. Características de las funciones. Rectas

B(3, –2)

Pendiente: m =

PARA AMPLIAR

– 3 – 5 8 4 =– =– 4+2 6 3

100. Representa la siguiente función definida por una tabla de valores:

Punto: A (– 2, 5) 4 4 7 y = – (x + 2) + 5 ⇒ y = – x + 3 3 3

– 2

– 10

Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: 98.

Y y=2 X X

101. Halla la ecuación de la siguiente función definida por una tabla de valores y clasifícala:

A(0, 3)

B(1, 5) 2 1 X

– 2

– 10

y = 3 ⇒ Función constante. 102. Haz una tabla de valores para la siguiente gráfica: Y

A (0, 3) ⇒ b = 3 A (0, 3) y B (1, 5) ⇒ m = 2 y = 2x + 3 99.

– 6

– 3

– 4

– 2

Halla mentalmente la pendiente y la ordenada en el ori gen de las siguientes funciones afines: 103. y = x + 2

Pendiente: m = 1 Ordenada en el origen: b = 2

104. y = – x + 2 A(0, 1)

–2

122 Solucionario

B(3, – 1)

A (0, 1) ⇒ b = 1 A (0, 1) y B (3, – 1) ⇒ m = – 2/3 y = – 2x /3 + 1

Pendiente: m = – 1 Ordenada en el origen: b = 2 105. y = 5x + 1 Pendiente: m = 5 Ordenada en el origen: b = 1 x 106. y = – – 1 5 Pendiente: m = – 1/5 Ordenada en el origen: b = – 1

Halla mentalmente la pendiente y la ordenada en el ori gen de las siguientes funciones afines: 107. y = 2x + 1

PROBLEMAS 113. La siguiente gráfica representa la duración y el cos te de ciertas llamadas telefónicas:

Pendiente: m = 2 Ordenada en el origen: b = 1

2 Dinero (€)

x 108. y = – + 4 3 Pendiente: m = – 1/3 Ordenada en el origen: b = 4

E B

D X

109. y = 6x – 2

Pendiente: m = 6 Ordenada en el origen: b = – 2

12 18 24 30 Tiempo (min)

a) ¿Esta gráfica representa una función? b) ¿Es continua? c) ¿Qué llamada es la que más tiempo ha durado? d) ¿Qué llamada es la que menos tiempo ha durado? e) ¿Qué llamada telefónica ha sido la más cara? f) ¿Qué llamada ha sido la más barata?

2x 110. y = – –3 5 Pendiente: m = – 2/5 Ordenada en el origen: b = – 3 Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: 111.

a) Sí. d) La A

b) No. e) La C

c) La D f) La D

114. Un camión circula con velocidad constante de 80 km/h. Obtén la fórmula del espacio que recorre en función del tiempo que está circulando. ¿Qué tipo de función es? e = 80t Es una función lineal o de proporcionalidad directa. 115. Una función de proporcionalidad directa pasa por el punto P (2, 5). Halla la constante de proporciona lidad y la ecuación correspondiente.

A(0, 1)

B(1, 2)

P (2, 5) ⇒ m = 5/2 La función es: y = 5x /2 116. Escribe un enunciado verbal para una función lineal de ecuación y = 2,5x Solución abierta, por ejemplo: Un grifo vierte, de forma constante, 2,5 litros por minuto.

A (0, 1) ⇒ b = 1 A (0, 1) y B (1, 2) ⇒ m = 1 y = x + 1 Y

112.

y = 3x ⇒ es una función lineal o de proporcionalidad directa.

X A(0, – 1)

–1

B(1, – 2)

A (0, – 1) ⇒ b = – 1 A (0, – 1) y B (1, – 2) ⇒ m = – 1 y = – x – 1

118. En una tienda hacen un 15 % de descuento en to dos los artículos durante las rebajas. Escribe la ecuación que expresa el descuento en función del precio. Halla también la ecuación de la función que da el precio final que se paga en función del precio inicial. ¿Qué tipo de funciones son? La función que expresa el descuento es: y = 0,15x La función que expresa el precio final es: y = 0,85x Ambas son de proporcionalidad directa.

123 Unidad 11. Características de las funciones. Rectas

117. Halla la ecuación de la función que obtiene el pe rímetro de un triángulo equilátero en función de la medida del lado. ¿Qué tipo de función es?

Halla las ecuaciones de las siguientes rectas, di cuáles son funciones y clasifícalas: 119.

122.

X Y

O(0, 0) B(6, 3)

X –1

A(3, – 1)

5 X

A(– 6, – 2)

Función lineal o de proporcionalidad directa que pasa por el origen O (0, 0) y A (3, – 1)

1 x m = – ⇒ y = – 3 3 Función afín que pasa por A (– 6, – 2) y B (6, 3) m =

y =

3 – (–2) 5 = 6 – (–6) 12

5 5 1 (x + 6) – 2 ⇒ y = x + 12 12 2

120.

123. Un técnico cobra 18 € por ir a domicilio, más 35 € por cada hora de trabajo. Expresa el coste en fun ción del tiempo que tarda en hacer el trabajo. ¿Qué tipo de función es? Coste: y N.o de horas: x y = 35x + 18 Es una función afín.

Halla las ecuaciones de las siguientes rectas, di cuáles son funciones y clasifícalas: X

124.

No es una función. x = 1 121.

No es una función.

x = – 4

124 Solucionario

125.

Función constante. y = – 2

Y y = 2x

X A(0, – 2)

1 B(3, – 1)

y = 2x – 10

A(3, – 4)

Función afín que pasa por A (0, – 2) y B (3, – 1) –1 – (–2) 1 = m = 3–0 3 x y = – 2 3 Y

O(0, 0)

129. Los ingresos y los gastos de una empresa en millo nes de euros en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por las fórmulas: I (x) = 3x G (x) = 2x + 5 Halla la ecuación que obtiene los beneficios. Beneficios = Ingresos – Gastos B (x) = I (x) – G (x) B (x) = 3x – (2x + 5) B (x) = x – 5 130. La dosis de un medicamento es de 10 mg/kg por toma hasta un máximo de 5 tomas al día, sin sobre pasar los 2 500 mg al día. a) Haz una tabla de valores en la que se recoja la cantidad máxima de medicamento en función del peso del paciente. b) Representa la gráfica que expresa la máxima cantidad de medicamento en función del peso. c) ¿A partir de qué peso se toma la dosis máxima diaria? a) Peso (kg)

–3

A(2, – 3)

…

Peso (mg) 500 1 000 1 500 2 000 2 500 … b)

Y 2 500

Función lineal o de proporcionalidad directa que pasa por el origen O (0, 0) y A (2, – 3)

2 000 Peso (mg)

3 3 m = – ⇒ y = – x 2 2 127.

1 500 1 000 500

X 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Peso (kg)

c) A partir de 50 kg 131. La siguiente gráfica representa la relación que hay entre el coste inicial de un producto y el coste final que pagamos en temporada de rebajas:

128. Halla la ecuación de una recta que pasa por el punto A (3, – 4) y es paralela a la recta y = 2x. Representa ambas rectas. Si es paralela a y = 2x tiene su misma pendiente: m = 2 Si pasa por el punto A (3, – 4), su ecuación será: y = 2(x – 3) – 4 ⇒ y = 2x – 10

500 Dinero (€) Coste final

Función constante. y = 3

Las rebajas

400 300 200 100 0

X 100 200 300 400 500 Dinero (€) Coste inicial

125 Unidad 11. Características de las funciones. Rectas

126.

PARA PROFUNDIZAR

a) ¿Es creciente o decreciente? b) ¿Cuánto pagamos por un artículo que costaba ini cialmente 500 €? c) ¿Qué tanto por ciento descuentan? d) Si hemos pagado por un artículo 200 €, ¿cuánto costaba antes de la rebaja? b) 400 € d) 250 €

Casa A: y = 4x Casa B: y = 3x + 9

Dinero (€)

Grupo B

9 7

Grupo A

5 3 1

132. Una casa A de alquiler de coches cobra 4 € por cada hora. Otra casa B cobra una cantidad fija de 9 € más 3 € por cada hora. Representa las funcio nes del coste en función del número de horas y ra zona cuándo interesa alquilar un coche en la casa A y cuándo en la casa B.

40 36 32 28 24 20 16 12 8 4

Longitud (km)

a) Es creciente. c) El 20 %

Resistencia física 11

2 3 Tiempo (h)

La gráfica del grupo B es y = 3x La gráfica del grupo A se divide en tramos: • Entre 0 h y 1 h, y = 4x • Entre 1 h y 1,5 h, y = 4 • Entre 1,5 h y 2 h, y = 4x – 2 • Entre 2 h y 2,5 h, y = 6 • Entre 2,5 h y 4 h, y = 4x – 4

Autoevaluación 1. Escribe las distintas formas de expresar una función. Pon un ejemplo de una gráfica.

Las funciones se pueden expresar mediante un enunciado, una tabla, una gráfica y una fórmula. Ejemplo:

Casa B

Casa A X X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (h)

Resolviendo 4x = 3x + 9 ⇒ x = 9 ⇒ y = 36 La casa A es más barata hasta 9 horas de alquiler. A partir de 9 horas es más barata la casa B

Matematización

Sí es función. en contextos reales

133. El entrenador ha calculado los siguientes datos de cada una de las 12 jugadoras de la plantilla. Si se considera que una jugadora es rentable si anota 7 o más puntos por partido y se pierde por lesión menos de 6 partidos, indica cuáles son las jugadoras más rentables.

Número

N.º medio de puntos conseguido por partido 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2. Indica cuál de las siguientes funciones es continua y cuál no: a) Y

N.º de partidos perdidos por lesión

b) J1

J6 J7 Jugadoras

J 10

J 11

J 12

Las jugadoras más rentables son: J7, J8, J6, J9 y J5.

126 Solucionario

134. El entrenador divide a sus jugadoras en dos grupos para realizar un trabajo de resistencia física, que consiste en subir un puerto de 12 km. En la siguien te gráfica se representan los recorridos y tiempos de los dos grupos. Escribe las ecuaciones de la fun ciones que expresan los kilómetros recorridos en función de las horas empleadas para los dos grupos.

a) Es discontinua en x = 2 b) Es continua.

3. Calcula los puntos de corte con los ejes de las si guientes funciones: a) y = – 3x + 6 b) y = 3x 2 + 4x – 4

Y b)

a) Eje X : A (2, 0) Eje Y : B (0, 6) b) Eje X : A (2/3, 0), B (– 2, 0) Eje Y : C (0, – 4)

4. Representa gráficamente las siguientes ecuaciones, di cuáles son funciones y clasifícalas: a) y = 4 x b) y = – 2 c) x = 5 d) y = 2x – 3 a)

5. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas, di cuáles son funciones y clasifícalas:

Y y=4

a) x = – 2, no es función. b) y = x /3 + 2, es una función afín. c) y = – 2x /3, es una función lineal o de proporcionalidad directa. d) y = 2, es una función constante. 6. Representa la recta que pasa por los puntos A(– 2, 3) y B (4, – 5). Halla su ecuación. Y 4 x+— 1 y = –— 3 3 A(– 2, 3)

Función constante. b)

–8

B(4, – 5) 2

O(0, 0)

X –1

A(2, – 1)

Pendiente: A (– 2, 3), B (4, – 5) ⇒ –5 – 3 8 4 = – = – m = 4 – (–2) 6 3 Punto: A (– 2, 3)

7. Un técnico en calefacción cobra 18 € por ir a domici lio, más 40 € por cada hora de trabajo. Halla la ecua ción que calcula lo que cobra en función del tiempo que tarda en hacer el trabajo. ¿Qué tipo de función es? Escribe sus características fundamentales. y = 40x + 18 Es una función afín. Es una recta de pendiente 40, creciente y de ordenada en el origen 18

No es función. d)

X A(0, – 3)

Función afín.

B(1, – 1) 2 1

8. Un vendedor recibe dos ofertas de trabajo. La empre sa A le ofrece un sueldo mensual de 600 € y 60 € por cada ordenador que venda y la empresa B le ofrece 500 € y 80 € por cada ordenador que venda. a) Expresa, en cada caso, el salario en función del número de ordenadores que venda. b) ¿Cuándo le interesa trabajar en la empresa A? c) ¿Cuándo le interesa trabajar en la empresa B? a) Empresa A: y = 600 + 60x Empresa B: y = 500 + 80x b) Cuando venda menos de 5 ordenadores. c) Cuando venda más de 5 ordenadores.

127 Unidad 11. Características de las funciones. Rectas

4 4 1 y = – (x + 2) + 3 ⇒ y = – x + 3 3 3

Función de proporcionalidad directa. c) Y

b) Creciente: cuando x < 0 Decreciente: cuando x > 0 c) V (0, 4) es máximo. d) Es cóncava, (∩)

12. Parábola e hipérbola 1. Función

cuadrática

PIENSA Y CALCULA ¿Qué números son los que aparecen en la escalera de la primera imagen representada en el margen: 1, 3, 5, 7…? Los números impares.

3. Representa la parábola y = 3x 2. A partir de ella, di buja la parábola. y = 3(x – 2)2. De esta halla: a) El eje de simetría. b) El vértice y di si es máximo o mínimo. Y

CARNÉ CALCULISTA Desarrolla:

( ) x 1 + 2 4

1 1 1 = x 2 + x + 4 4 16

Factoriza: x 2 – 5 = (x + √5 ) (x – √5 )

APLICA LA TEORÍA 1. Representa la parábola y = – 2x 2 a) Escribe su eje de simetría. b) ¿Cuándo es creciente? c) ¿Cuándo es decreciente? d) Escribe el vértice y di si es máximo o mínimo. e) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)? Y

a) x = 0 b) V (2, 0) es un mínimo. 4. Representa la parábola y = – 3x 2 A partir de ella, dibuja la parábola: y = – 3(x – 2)2

A partir de esta, dibuja la parábola: y = – 3(x – 2)2 + 4 De esta última halla: a) El eje de simetría. b) El vértice y di si es máximo o mínimo. Y

a) x = 0 b) Cuando x < 0 c) Cuando x > 0 d) V (0, 0) es máximo. e) Es cóncava, (∩)

– x 2.

2. Representa la parábola y = A partir de ella di buja la parábola y = – x 2 + 4. De esta: a) Escribe el eje de simetría. b) ¿Cuándo es creciente? ¿Y decreciente? c) Escribe el vértice y di si es máximo o mínimo. d) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)? Y

a) x = 2 b) V (2, 4) es máximo.

2. Parábola

general

y = ax2 + bx + c

PIENSA Y CALCULA

128 Solucionario

a) x = 0

Copia y completa la siguiente tabla sustituyendo los símbolos  por el valor del área de un cuadrado: Longitud del 0 lado: x

6 ···

Área: y = x2



 ···

Diferencia de áreas

0 1



···

c) Gráfica: 1

6 ···

Área: y = x2

36 ···

Diferencia de áreas

Y x = –1

Longitud del 0 lado: x

··· X

CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación: 2 – x = 1/6

3x – 7 11 4x – 3 = – 6 7 4

APLICA LA TEORÍA

V (–1, –4)

8. y = – 2x 2 – 8x – 3

En las siguientes parábolas: a) Halla el eje de simetría. b) Halla el vértice y di si es máximo o mínimo. c) Representa la parábola.

a) x = – 2 b) V (– 2, 5) es máximo. c) Gráfica: Y V (– 2, 5)

5. y = x 2 – 4x + 1 a) x = 2 b) V (2, – 3) es mínimo. c) Gráfica:

x=2

x = –2

Halla la ecuación de las siguientes parábolas: 9. Y

V (2, –3)

6. y = – x 2 + 6x – 5 a) x = 3 b) V (3, 4) es máximo. c) Gráfica: Y

x=3

7. y = 3x 2 + 6x – 1 a) x = – 1 b) V (– 1, – 4) es mínimo.

V (– 2, – 4) 1

a = 3 x = – 2, b = –2ax ⇒ b = 12 c = 4 y = 3x 2 + 12x + 4

129 Unidad 12. Parábola e hipérbola

x = –2

V (3, 4)

Halla las ecuaciones de las siguientes funciones defini das verbalmente ¿Qué tipo de funciones son?

10. Y

15. Cinco personas tardan 8 días en hacer un trabajo. Calcula el tiempo que se tarda en hacerlo en función del número de personas. X

y = 40/x ⇒ Es una función de proporcionalidad inversa. 16. Un vehículo hace un trayecto de 600 km a velocidad constante. Obtén la velocidad que lleva en función del tiempo. v = 600/t ⇒ Es una función de proporcionalidad inversa. Representa gráficamente las siguientes hipérbolas y di cuáles son crecientes y cuáles decrecientes:

Y V (1, 4) 1 (0, 3)

–1

17. y =

4 x

X 4 y=– x x=1

a = – 1 x = 1, b = – 2ax ⇒ b = 2 c = 3 y = – x 2 + 2x + 3

3. Función

de proporcionalidad

k = 4 > 0 ⇒ Decreciente.

inversa

PIENSA Y CALCULA

18. y = –

Halla mentalmente el valor de la constante de propor cionalidad inversa k sabiendo que cuatro alumnos o alumnas tardan nueve tardes en editar la revista del centro en la sala de ordenadores.

6 x

Y 6 y = –— x

k = 9 · 4 = 36 X

CARNÉ CALCULISTA

Resuelve la ecuación: (x + 2) (x – 2) = 5 x = – 3; x = 3 APLICA LA TEORÍA Halla mentalmente la constante de proporcionalidad in versa de las siguientes funciones, y di si son crecientes o decrecientes: 3 11. y = x k = 3 > 0 ⇒ Decreciente.

k = – 6 < 0 ⇒ Creciente. 19. y = –

2 x Y 2 y = –— x

130 Solucionario

2 12. y = – x k = – 2 < 0 ⇒ Creciente.

6 13. y = – x k = – 6 < 0 ⇒ Creciente. 4 x k = 4 > 0 ⇒ Decreciente.

14. y =

k = – 2 < 0 ⇒ Creciente.

20. y =

3 x

Y Y 3 y=— x

X 2

k = – 2 ⇒ y = – 2/x

4. Traslaciones

de la hipérbola

PIENSA Y CALCULA

k = 3 > 0 ⇒ Decreciente. 21. Halla la ecuación de la siguiente función definida por una tabla de valores. ¿Qué tipo de función es? ¿Es creciente o decreciente? x

– 1

– 2

– 4

– 8

– 4

– 2

– 1

Halla el área del rectángulo coloreado y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola del dibujo. Y

y = 8/x ⇒ Es una función de proporcionalidad inversa. k = 8 > 0 ⇒ Decreciente. Halla las ecuaciones de las siguientes hipérbolas: 22.

Área = 6 unidades cuadradas. Asíntota vertical: x = – 2 Asíntota horizontal: y = 1 CARNÉ CALCULISTA Resuelve el sistema por el método más sencillo:

}

y = 3x – 3 x + 2y = 8

x = 2, y = 3 X

De las siguientes funciones, halla mentalmente cuáles son de proporcionalidad y calcula en estas la constante de proporcionalidad: 5 24. y = x

k = 2 ⇒ y = 2/x 23.

APLICA LA TEORÍA

Función de proporcionalidad inversa, k = 5 3 25. y = – x

Función de proporcionalidad inversa, k = – 3 X

26. y = – 5x + 3 Función afín, no es de proporcionalidad. 27. y = x 3 – 2 Función polinómica de grado 3, no es de proporcionalidad.

131 Unidad 12. Parábola e hipérbola

28. Dibuja la hipérbola y = 2/x , trasládala 3 unidades hacia abajo y halla su nueva ecuación.

2 y=— x

X 2

3 +1 y=— x+2

31. Dibuja la siguiente hipérbola:

y =

2 –3 y=— x

2 –1 x + 3 Y

2 –1 y=— x+3

29. Dibuja la hipérbola y = – 4/x , trasládala 2 unidades hacia la derecha y halla su nueva ecuación. Y 4 y = –— x

Halla la ecuación de las siguientes hipérbolas: X

32. Y

Y 4 y = –— x–2 X

Y x=2

P(3, 2) X

30. Dibuja la hipérbola y = 3/x , trasládala 1 unidad hacia arriba y 2 hacia la izquierda y halla su nueva ecuación.

y = –3

132 Solucionario

3 y=— x 3

El rectángulo que tiene como vértices opuestos el punto P (3, 2) y el punto de corte de las asíntotas tiene de área 5. Como la hipérbola es decreciente ⇒ k = 5 Las ecuaciones de las asíntotas son: y = – 3 ⇒ r = – 3 x = 2 ⇒ s = 2 5 La ecuación es y = –3 x – 2

33.

Y y=3 2

x = –2

P (– 1, 1)

El rectángulo que tiene como vértices opuestos el punto P (– 1, 1) y el punto de corte de las asíntotas tiene de área 2. Como la hipérbola es creciente ⇒ k = – 2 Las ecuaciones de las asíntotas son: y = 3 ⇒ r = 3 x = – 2 ⇒ s = – 2 – 2 +3 La ecuación es y = x + 2

Funciones

a) x = 0 b) Cuando x > 0 c) Cuando x < 0 d) V (0, 0) es mínimo. e) Es convexa (∪) 35. Representa la parábola y = – 3x2. A partir de ella di buja la parábola y = – 3x2 + 4. De esta: a) Escribe el eje de simetría. b) ¿Cuándo es creciente? ¿Y decreciente? c) Escribe el vértice y di si es máximo o es mínimo. d) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)? Y

elementales

que hay que conocer

9. y = – x 2 + 4x + 1 5 10. y = –2 x + 3

Ejercicios

11. y = x 2 +1 x + 3 1 13. y = – x 14. y = – 3x + 2 1 15. y = –3 x – 2 16. y = – x 2 17. y = – x + 2 3 6 18. y = x 19. y = 3x 2 – 6x + 4 4 20. y = +2 x – 3 12. y = –

a) x = 0 b) Es creciente cuando x < 0. Es decreciente cuando x > 0 c) V (0, 4) es máximo. d) Es cóncava (∩) 36. Representa la parábola: y = – 2x2 A partir de ella, dibuja y = – 2(x – 3)2 De esta halla: a) El eje de simetría. b) El vértice y di si es máximo o mínimo. Y

y problemas propuestos

1. FUNCIÓN CUADRÁTICA 34. Representa la parábola y = 3x2 a) Escribe su eje de simetría. b) ¿Cuándo es creciente? c) ¿Cuándo es decreciente? d) Escribe el vértice y di si es máximo o es mínimo. e) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)?

a) x = 3 b) V (3, 0) Máximo. 37. Representa la parábola y = 2x2 A partir de ella dibuja la parábola: y = 2(x + 2)2

133 Unidad 12. Parábola e hipérbola

1. y = x 2 2 2. y = x 3. y = – 2 4 4. y = – – 2 x 3 5. y = – x 3 6. y = x – 1 2 3 7. y = x + 2 8. y = x 2 + 2x – 3

A partir de esta dibuja la parábola: y = 2(x + 2)2 + 1 De esta halla: a) El eje de simetría. b) El vértice y di si es máximo o mínimo.

40. Halla los puntos de corte con el eje X de la parábola y = x2 – 8x + 15. Represéntala y comprueba los puntos de corte. A (3, 0) y B (5, 0)

X A(3, 0)

B (5, 0)

a) x = – 2 b) V (– 2, 0) Mínimo. 41. Halla los puntos de corte de la recta y la parábola siguientes:

2. PARÁBOLA GENERAL y = ax2 + bx + c 38. Dada la parábola siguiente: y = x2 – 6x + 5 a) Halla el eje de simetría. b) Halla el vértice y di si es máximo o es mínimo. c) Representa la parábola.

y = 3x + 2 y = x2 + 3x + 1 Represéntalas y comprueba los puntos de corte. A (1, 5) y B (– 1, – 1)

a) x = 3 b) V (3, – 4) es mínimo. c) Gráfica:

Y A(1, 5) x=3

X X

B(–1, –1)

V (3, –4)

39. Dada la parábola siguiente: y = – 3x2 – 6x + 2 a) Halla el eje de simetría. b) Halla el vértice y di si es máximo o es mínimo. c) Representa la parábola.

42. Halla los puntos de corte de las siguientes pará bolas: y = x2 – 6x + 4 y = – x2 + 4x – 4 Represéntalas y comprueba los puntos de corte.

a) x = – 1 b) V (– 1, 5) es máximo. c) Gráfica:

A (1, – 1) y B (4, – 4) Y

X A(1, –1) x = –1

134 Solucionario

V (–1, 5)

B(4, –4)

Halla la ecuación de las siguientes parábolas: 43.

3 46. y = – x k = – 3 < 0 ⇒ Creciente. 4 47. y = – x k = – 4 < 0 ⇒ Creciente. 6 x k = 6 > 0 ⇒ Decreciente.

48. y =

Halla las ecuaciones de las siguientes funciones defini das verbalmente. ¿De qué tipo son? Y x=2

49. Doce personas tardan un día en recoger las patatas de una finca. Obtén el tiempo que se tarda en función del número de personas.

(0, 3)

y = 12/x ⇒ Es una función de proporcionalidad inversa. X 1

20. Un vehículo hace un trayecto de 400 km a velocidad constante. Obtén el tiempo del trayecto en función de la velocidad. t = 400/v ⇒ Es una función de proporcionalidad inversa. 51. Halla la ecuación de la siguiente función definida por una tabla de valores. ¿Qué tipo de función es? ¿Es creciente o decreciente?

a = 1, x = 2 b = – 2ax ⇒ b = – 4 c=3 y = x 2 – 4x + 3 44.

x y

1 – 9

– 1 9

3 – 3

– 3 3

9 – 1

– 9 1

y = – 9/x ⇒ Es una función de proporcionalidad inversa. k = – 9 < 0 ⇒ Creciente.

Representa gráficamente las siguientes hipérbolas, di cuáles son crecientes y cuáles decrecientes. 52. y =

2 x

Y 2 y=— x

Y x=1

X (0, 0)

a = 2, x = 1 b = – 2ax ⇒ b = – 4 c=0 y = 2x 2 – 4x + 3

k = 2 > 0 ⇒ Decreciente. 3 53. y = – x

Y 3 y = –— x X

3. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Halla mentalmente la constante de proporcionalidad in versa de las siguientes funciones y di si son crecientes o decrecientes: 2 45. y = x k = 2 > 0 ⇒ Decreciente.

k = – 3 < 0 ⇒ Creciente.

135 Unidad 12. Parábola e hipérbola

4 54. y = – x

Y Y 4 y = –— x

X 1

P(1, – 1)

El rectángulo que tiene como vértices opuestos el punto P (1, – 1) y el punto de corte de las asíntotas tiene de área 1. Como la hipérbola es creciente: k = – 1 ⇒ y = – 1/x

k = – 4 < 0 ⇒ Creciente. 55. y =

6 x

4. TRASLACIONES DE LA HIPÉRBOLA Halla mentalmente cuáles de las siguientes funciones son de proporcionalidad y calcula en ellas la constante de proporcionalidad:

Y 6 y=— x 6

58. y = – 2x + 1 Función afín ⇒ No es de proporcionalidad. 3 59. y = – x Función de proporcionalidad inversa, k = – 3

k = 6 > 0 ⇒ Decreciente.

60. y =

Halla las ecuaciones de las siguientes hipérbolas: 56.

x 4

Función de proporcionalidad directa, m = 1/4 61. y = x 2 – 6x

Función polinómica de grado 2, no es de proporcionalidad. 62. Dibuja la hipérbola y = – 1/x , trasládala 2 unidades hacia arriba y halla la nueva ecuación. Y

1 y = –— x

P(1, 5) 5

El rectángulo que tiene como vértices opuestos el punto P (1, 5) y el punto de corte de las asíntotas tiene de área 5. Como la hipérbola es decreciente: k = 5 ⇒ y = 5/x 57.

Y 1 +2 y = –— x

136 Solucionario

y=2 X

63. Dibuja la hipérbola y = 2/x , trasládala 3 unidades hacia la izquierda y calcula la nueva ecuación.

Halla la ecuación de las siguientes hipérbolas: Y 66.

Y 2 y=— x

X 2

x = –3

y=3

P(5, 4)

2 y=— x+3 2

x=4

El rectángulo que tiene como vértices opuestos el punto P (5, 4) y el punto de corte de las asíntotas tiene de área 1. Como la hipérbola es decreciente: k = 1 Las ecuaciones de las asíntotas son: y = 3 ⇒ r = 3 x = 4 ⇒ s = 4 1 +3 La ecuación es y = x – 4

64. Dibuja la hipérbola y = – 4/x , trasládala 2 unidades hacia abajo y 3 unidades hacia la izquierda, y obtén la nueva ecuación. Y 4 y = –— x

67. X

4 –2 y = –— x+3

x = –2 X

y = –2 4

y = –3 5

65. Dibuja la siguiente hipérbola: y =

El rectángulo que tiene como vértices opuestos el punto P (3, – 4) y el punto de corte de las asíntotas tiene de área 5. Como la hipérbola es creciente: k = – 5 Las ecuaciones de las asíntotas son: y = – 3 ⇒ r = – 3 x = – 2 ⇒ s = – 2 – 5 –3 La ecuación es y = x + 2

1 +3 x–2 Y

y=3

1 X

1 +3 y=— x–2

PARA AMPLIAR x 2 2 a) Escribe el eje de simetría. b) ¿Cuándo es creciente?

68. Representa la parábola: y = x=2

P(3, – 4)

137 Unidad 12. Parábola e hipérbola

x = –3

c) ¿Cuándo es decreciente? d) Escribe el vértice y di si es máximo o mínimo. e) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)?

Y V(2, 5)

x=2

a = –2, x = 2 b = – 2ax ⇒ b = 8 c = – 3 y = – 2x 2 + 8x – 3 71. Representa la parábola: y = – 3x2 A partir de ella dibuja: y = – 3(x + 2)2 De esta halla: a) El eje de simetría. b) El vértice y di si es máximo o mínimo.

a) x = 0 b) Es creciente cuando x > 0 c) Es creciente cuando x < 0 d) V (0, 0) es mínimo. e) Es convexa (∪)

Halla la ecuación de las siguientes parábolas: 69.

Y X X

a) x = – 2 b) V (– 2, 0) es máximo.

x=0

P (2, 1)

(0, 0)

72. Representa la parábola: y = x 2 A partir de ella dibuja: y = (x + 3)2 Luego dibuja: y = (x + 3)2 – 2 De esta halla: a) El eje de simetría. b) El vértice y di si es máximo o mínimo. Y

y = ax 2 x = 2 ⇒ y = 4a 4a = 1 ⇒ a = 1/4 y = x 2/4 70.

a) x = – 3 b) V (– 3, – 2) es mínimo.

138 Solucionario

73. Halla el eje de simetría de la parábola: X

y = 2x2 – 12x + 3 b x=– 2a a = 2, b = – 12 –12 12 = =3 x=– 2·2 4

74. Halla el eje de simetría de la parábola:

78. Halla los puntos de corte de las parábolas: y = x 2 + 4x + 4

y = – 3x2 + 8x – 5 b x=– 2a a = – 3, b = 8 8 8 4 =– = x=– 2 (– 3) – 6 3 75. Dada la parábola:

y = – x 2 – 6x – 4 Represéntalas y comprueba los puntos de corte. A (– 1, 1) y B (– 4, 4) Y

y = – x 2 + 4x – 1 a) Halla el eje de simetría. b) Halla el vértice y di si es máximo o mínimo. c) Representa la parábola. a) x = 2 b) V (2, 3) es máximo. c) Gráfica:

B (– 4, 4) A(–1, 1)

Y V (2, 3)

79. Dibuja la siguiente hipérbola: y = – X

3 +2 x

x=2

y=2 X

76. Halla los puntos de corte con el eje X de la parábola: y = – x2 – 4x – 3 A (– 1, 0) y B (– 3, 0) Y

80. Dibuja la siguiente hipérbola: y =

4 x – 2

B (–3, 0)

x=2

Y X

A (–1, 0)

77. Halla los puntos de corte de la siguiente recta y pa rábola: Represéntalas y comprueba los puntos de corte. A (1, 2) y B (3, 4) Y

81. Dibuja la siguiente hipérbola: y =

2 –3 x – 1

x=1

Y B (3, 4) A (1, 2)

X 2 y = –3

139 Unidad 12. Parábola e hipérbola

y = x + 1 y = – x 2 + 5x – 2

PROBLEMAS 82. Los ingresos y los gastos de una empresa durante los 8 primeros años vienen definidos en miles de millones de euros por las siguientes funciones cuadráticas:

86. Halla el valor de a en la siguiente parábola sabiendo que su eje es x = – 3: y = ax 2 – 6x – 1 x = – 3, b = – 6 b b x = – ⇒ a = – ⇒ a = – 1 2a 2x

t 2 5t +2 Ingresos: I (t) = – + 2 4 Gastos: G(t) =

t 2 5t 31 + – 2 6 3

Halla la ecuación de las siguientes parábolas:

a) Halla los momentos en los que los ingresos y los gastos se igualan. b) ¿Cuándo son máximos los ingresos? c) ¿Cuándo son mínimos los gastos?

87.

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Y 1

G(t)

–2 X

l(t)

x = –2

Dinero (miles de millones de €)

a) Se igualan los segundos miembros y se resuelve la ecuación t = 2 años y t = 10 años. b) Los ingresos son máximos en el máximo de la función l (t), que corresponde al valor del eje de simetría t = 5 años. c) Los gastos son mínimos en el mínimo de la función G (t), que corresponde al valor del eje de simetría t = 7,5 años.

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tiempo (años)

83. Halla la fórmula que calcula el área de un círculo en función del radio, y, si es una función cuadrática, re preséntala gráficamente.

(0, –5)

a = – 2, x = – 2 b = – 2ax ⇒ b = – 8 c = – 5 y = – 2x 2 – 8x – 5 88.

y = πx 2 Y X

x = –1

84. Halla la fórmula que calcula el volumen de un cubo en función de la arista, y, si es una función cuadráti ca, represéntala gráficamente.

X (0, –1)

140 Solucionario

y = x 3 No es una función cuadrática. 85. Halla el valor de b en la siguiente parábola sabiendo que su eje es x = 2: y = x 2 + bx – 1

x = 2, a = 1 b x = – ⇒ b = – 2ax ⇒ b = – 4 2a

3 V(–1, –4) 1

a = 3, x = –1 b = –2ax ⇒ b = 6 c = –1 y = 3x 2 + 6x – 1

89. En un prado se quiere cercar un recinto rectangular para que paste una cabra. Sabiendo que se tienen 24 m de alambre y cuatro estacas para hacerlo: a) Halla la fórmula del área. b) Haz la representación gráfica. c) ¿Cuándo es máxima el área? ¿Cuánto vale?

Corta en un solo punto porque la parábola es tangente al eje X 92. La siguiente gráfica representa el número de enfer mos de legionela en un determinado hospital: Enfermos de legionela Y

Número de enfermos

Base: x ; altura: 12 – x a) y = x (12 – x ) ⇒ y = 12x – x 2 b) V (6, 36)

Tiempo (semanas)

c) El área es máxima cuando x = 6, vale 36 m2

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

V (50, 10)

x = 50

Altura (m)

a) Durante las tres primeras semanas. b) Durante las tres siguientes semanas. c) El día 14 y hubo 9 d) 6 · 7 = 42 días. e) Enfermos de legionela Y

Número de enfermos

90. Una pelota de golf sigue un movimiento uniformemen te acelerado y su altura viene dada por la f órmula: 2 1 2 h= t– t 5 250 Sabiendo que el tiempo está dado en segundos y la altura en metros: a) Dibuja la gráfica. b) ¿Qué altura máxima alcanza? c) ¿A qué longitud llega?

a) ¿Durante cuántas semanas aumentó la enfermedad? b) ¿Durante cuántas semanas disminuyó la enfer medad? c) ¿Qué día hubo más enfermos de legionela? ¿Cuán tos fueron? d) ¿Cuántos días duró la enfermedad? e) Halla la fórmula de la función.

10 20 30 40 50 60 70 80 90100 Tiempo (s)

b) Altura máxima: 10 m c) Longitud: 100 m 91. Halla los puntos de corte con el eje X de la siguiente parábola: y = x2 – 6x + 9 Represéntala e interpreta el resultado. A (3, 0)

V (2, 9) (0, 5)

Tiempo (semanas) a = –1 x = 2, b = –2ax ⇒ b = 4 c=5 y = –x 2 + 4x + 5

93. Halla los puntos de corte de la siguiente recta y = 2x + 1 con la parábola y = x 2 + 2x + 2 Representa la recta y la parábola e interpreta el re sultado. No tiene puntos de corte. Y

X X A (3, 0)

No se cortan.

141 Unidad 12. Parábola e hipérbola

2 4 6 8 10 12 14 16 Lado (m)

x=2

40 35 30 25 20 15 10 5

x=6

Área (m2)

94. Halla los puntos de corte de las parábolas: y = x 2 + 6x + 10 y = – x 2 – 2x + 2

98.

Represéntalas e interpreta el resultado.

Se resuelve el sistema por igualación. A (–2, 2) Y

Y A (–2, 2)

X X 4

P(2, – 2)

Solamente se cortan en un punto porque son tangentes. 95. Un vehículo hace un trayecto de 500 km a velocidad constante. Obtén la ecuación que expresa la veloci dad en función del tiempo. v =

500 t

96. Una función de proporcionalidad inversa pasa por el punto P (3, 5). Halla la constante de proporcionalidad y la ecuación correspondiente. k = 3 · 5 = 15 La ecuación es: 15 y = x Halla las ecuaciones de las siguientes funciones de pro porcionalidad inversa: 97.

El rectángulo que tiene como vértices opuestos el punto P (2, – 2) y el punto de corte de las asíntotas tiene de área 4. Como la hipérbola es creciente ⇒ k = – 4 Las ecuaciones de las asíntotas son: y = 0; x = 0 ⇒ Es de proporcionalidad inversa. La ecuación es: 4 y = – x 99. El tiempo que se tarda en recoger las naranjas de una finca en función del número de personas, sa biendo que 6 personas tardan 8 días. ¿Es una fun ción de proporcionalidad? En caso afirmativo halla la constante de proporcionalidad. Es de proporcionalidad inversa. La constante de proporcionalidad es k = 6 · 8 = 48 100. La altura de una persona está en función de su edad. Cuando nace mide 52 cm, a los 10 años mide 1,25 m, a los 20 años mide 1,75 m y a los 30 años mide 1,75 m. ¿Es una función de proporcionalidad? En caso afir mativo halla la constante de proporcionalidad. No es de proporcionalidad. 101. Dibuja la hipérbola que tiene como constante de proporcionalidad inversa k = 4 y cuyas asíntotas son x = – 2 e y = 3

X 6

k = 4 x = – 2 ⇒ s = – 2 y = 3 ⇒ r = 3 La fórmula es: 4 +3 y = x+2 Y

P(2, – 3)

El rectángulo que tiene como vértices opuestos el punto P (2, – 3) y el punto de corte de las asíntotas tiene de área 6. Como la hipérbola es creciente ⇒ k = – 6 Las ecuaciones de las asíntotas son: y = 0; x = 0 ⇒ Es de proporcionalidad inversa. 6 La ecuación es y = – x

y=3 X x = –2

142 Solucionario

Halla la ecuación de las siguientes hipérbolas: 102.

3 y = – es constante. 2 x La función es lineal o de proporcionalidad directa: 3 y = – x 2 La razón

PARA PROFUNDIZAR 105. Halla la fórmula que define el área de un cubo en función de la arista, y, si es una función cuadrática, represéntala gráficamente. y = 6x 2

Y x=2

X y = –1

P(4, – 3)

El rectángulo que tiene como vértices opuestos el punto P (4, – 3) y el punto de corte de las asíntotas tiene de área 4. Como la hipérbola es creciente ⇒ k = – 4 Las ecuaciones de las asíntotas son: y = – 1 ⇒ r = – 1 x = 2 ⇒ s = 2 4 –1 La ecuación es y = – x–2 103.

106. Halla la fórmula que define el volumen de una esfe ra en función del radio, y, si es una función cuadrá tica, represéntala gráficamente. 4 y = πx 3 3 No es una función cuadrática.

107. Halla la fórmula que define el área de un triángulo equilátero en función del lado, y, si es una función cuadrática, represéntala gráficamente. X

Aplicando el teorema de Pitágoras. x

h P(3, 5) x/2

x=2

El rectángulo que tiene como vértices opuestos el punto P (3, 5) y el punto de corte de las asíntotas tiene de área 2. Como la hipérbola es decreciente ⇒ k = 2 Las ecuaciones de las asíntotas son: y = 3 ⇒ r = 3 x = 2 ⇒ s = 2 2 +3 La ecuación es y = x–2 104. Obtén la ecuación de la función dada por la si guiente tabla y clasifícala. x y

2 – 3

– 2 3

6 – 9

– 6 9

Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Lado (m)

108. Halla el valor de b y c en la parábola de ecuación y = x 2 + bx + c sabiendo que pasa por los puntos A (4, 3) y B (– 1, 3)

}

16 + 4b + c = 3 1 – b + c = 3 b = – 3, c = – 1 y = x 2 – 3x – 1

143 Unidad 12. Parábola e hipérbola

y=3

—

x √3 2 — x 2 √3 A (x) = 4 h=

Área (m2)

h = √ x 2 – (x /2)2

109. Halla el valor de a y b en la parábola de ecuación y = ax 2 + bx + 3 sabiendo que pasa por los puntos A (1, 5) y B (2, 3)

}

Halla la ecuación de las siguientes parábolas: 113.

a+ b+3=5 4a + 2b + 3 = 3 a = – 2, b = 4 y = – 2x 2 + 4x + 3

110. La ecuación que relaciona la presión con el volumen de una cantidad determinada de gas a temperatura constante viene dada por la fórmula PV = k. Obtén la constante de proporcionalidad sabiendo que cuando la presión es de 8 atmósferas, el volumen es de 4 li tros, y completa la siguiente tabla de valores: P



V(0, 5)

1 –2 X

La constante k = 8 · 4 = 32 P (atm)

V (litros)

111. Dibuja la hipérbola en la que k = 3 y que tiene como asíntotas x = 1 e y = – 2 x = 1 ⇒ s = 1 y = – 2 ⇒ r = – 2 La fórmula es: y =

y = –2x 2 + 5

114.

3 –2 x–1 X

x=1

X 3

y = –2

X y = x2 – 4

112. Representa gráficamente las siguientes funciones y halla sus puntos comunes: 6 a) y = x b) y = – x + 1

V (0, – 4)

115. ¿Cuál de las siguientes funciones es cuadrática?

Y y= –x

6 y=— x

a) y = – 7x 4 + 5x 2 + 2 b) y = 4x – 1 c) y = 7x 2 + 6x – 3 d) y = 5 – x 2

144 Solucionario

c) y d).

No tienen ningún punto en común.

116. Un coche circula a una velocidad constante de 80 km/h. Calcula la ecuación del espacio en función del tiempo. ¿Qué tipo de proporcionalidad es? Cal cula la constante de proporcionalidad y haz la re presentación gráfica.

e = 80t Es de proporcionalidad directa. La constante es m = 80

V(2, 5)

500

400

e = 80t

300

x=2

Longitud (km)

200 100 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (h)

120. La gráfica de un m.r.u.a. es el siguiente dibujo. Cal cula la fórmula, la aceleración, la velocidad inicial y el espacio inicial. Y

117. Un vehículo tiene que recorrer 1 200 km. Calcula la ecuación del tiempo que tarda en función de la ve locidad. ¿Qué tipo de proporcionalidad es? Calcula la constante de proporcionalidad y haz la represen tación gráfica.

1 200 v Es de proporcionalidad inversa. La constante es k = 1 200

t =

(0, 5)

x=2

Tiempo (h)

40 X

30 20

V (2, – 3)

2 1

v 80 120 140 180 Velocidad (km/h)

Matematización

en contextos reales

118. Halla la fórmula del m.r.u.a. que tiene una acelera ción de 4 m/s2, una velocidad inicial de 6 m/s y un espacio inicial de 1 m. Haz la representación gráfica. e (t) = 2t 2 + 6t + 1 Y

Se calcula la fórmula: a=2 x = 2, b = – 2ax ⇒ b = – 8 c=5 e (t ) = 2t 2 – 8t + 5 Se tiene: aceleración: a = 4 m/s2 velocidad inicial: v 0 = – 8 m/s espacio inicial: e 0 = 5 m

x = –3/2

Autoevaluación 1. Define función cuadrática y pon un ejemplo. X

Una función cuadrática es la que esta definida por un polinomio de segundo grado y es de la forma: y = ax2 + bx + c, a ≠ 0

(

)

3 7 V – —, – — 2 2

119. La fórmula de un m.r.u.a. es e = – t 2 + 4t + 1. Calcula la aceleración, la velocidad inicial y el espacio ini cial. Haz la representación gráfica. a = – 2 m/s2 v0 = 4 m/s e0 = 1 m

Ejemplo: y = 3x 2 – 5x + 1 2. Representa la parábola y = – 2x 2. A partir de ella di buja y = – 2x 2 + 4. De esta: a) Halla el eje de simetría. b) ¿Cuándo es creciente? ¿Y decreciente? c) Halla el vértice y di si es máximo o mínimo. d) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)?

145 Unidad 12. Parábola e hipérbola

Y V (1, 5) 1 –3 (0, 2) X

x=1

a = – 3 x = 1, b = – 2ax ⇒ b = 6 c=2 y = – 3x 2 + 6x + 2

a) x = 0 b) Es creciente cuando x < 0 c) Es decreciente cuando x > 0 d) V (0, 4) es máximo. e) Es cóncava (∩)

Y 6.

3. Representa la parábola: y = x 2 – 6x + 5 X

X x=3

V (3, – 4)

4. Representa gráficamente la hipérbola: y=

3 +1 x–2

7. Un balón de baloncesto sigue un movimiento uni formemente acelerado y su altura viene dada por h = 4t – t 2 El tiempo está dado en segundos, y la altura en metros. Dibuja la gráfica. ¿Qué altura máxima alcanza?

y=1

El rectángulo que tiene como vértices opuestos el punto P (3, – 4) y el punto de corte de las asíntotas tiene de área 3 Como la hipérbola es creciente ⇒ k = – 3 Las ecuaciones de las asíntotas son: y = – 1 ⇒ r = – 1 x = 2 ⇒ s = 2 3 La ecuación es y = – –1 x–2

Y X

V (2, 4)

146 Solucionario

Halla la ecuación de la parábola y de la hipérbola, res pectivamente. 5. Y

x=2

La altura máxima que alcanza es 4 m 8. Seis personas tardan ocho días en hacer un trabajo. Obtén el tiempo que se tarda en hacer el mismo tra bajo en función del número de personas. ¿Qué tipo de función es? Escribe sus características funda mentales. k = 6 · 8 = 48 y = 48/x Es una función de proporcionalidad inversa, de constante k = 48 y decreciente.

Solucionario BLOQUE V EstadĂstica y probabilidad

b) Tabla:

13. Estadística 1. Tablas

x i

Muy mal Mal Normal Bien Muy bien Suma

de frecuencias

PIENSA Y CALCULA Se ha realizado un estudio en 30 personas. Observa la siguiente tabla y contesta: Fútbol Baloncesto Balonmano Voleibol

Deporte

N.º de personas

Peso (kg)

CARNÉ CALCULISTA

F i

8 10 20 8 4 50

0,16 0,20 0,40 0,16 0,08 1,00

8 18 38 46 50

0,16 0,36 0,76 0,92 1,00

51,5-56,5 56,5-61,5 61,5-66,5 6

Desarrolla: (7 + 5x )(7 – 5x ) = 49 – Factoriza: 4x 2 + 12x y + 9y 2 = (2x + 3y )2

1. Pon un ejemplo de cada tipo de carácter estadístico. a) Carácter cualitativo: el color del pelo. b) Carácter cuantitativo discreto: número de hijos de una familia. c) Carácter cuantitativo continuo: la estatura de unas personas. 2. El número de tornillos defectuosos que se han obte nido por término medio en 25 cajas envasadas en una fábrica ha sido: 3, 2, 5, 3, 3, 2, 1, 3, 2, 2, 4, 1, 1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 2, 4, 1, 1, 3, 2 a) Clasifica el carácter estudiado. b) Haz una tabla de frecuencias absolutas y relativas. a) Carácter discreto. b) Tabla:

f i

N i

F i

0,20

0,32

0,52

0,24

0,76

0,08

0,84

0,16

1,00

Suma

1,00

Peso

x i

n i

f i

N i

F i

51,5 a 56,5

0,12

56,5 a 61,5

0,16

0,28

61,5 a 66,5

0,20

0,48

66,5 a 71,5

0,24

0,72

71,5 a 76,5

0,18

0,90

76,5 a 81,5

0,10

1,00

Suma

estadísticos

En la siguiente representación se recoge a los tres máximos goleadores de una liga juvenil. ¿Cuántos goles ha metido cada jugador?

Ramón: José: Fabio:

Muy mal Mal Normal Bien Muy bien 10

= 5 goles = 1 gol Ramón: 23 goles José: 17 goles Fabio: 14 goles CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación:

a) Clasifica el carácter estudiado. b) Haz una tabla de frecuencias absolutas y relativas. a) Carácter cualitativo.

PIENSA Y CALCULA

3. Se ha preguntado a una muestra de personas sobre el funcionamiento de su ayuntamiento, obteniéndose los siguientes resultados:

a) Carácter cuantitativo continuo. b) Tabla:

2. Gráficos

n i

a) Clasifica el carácter estudiado. b) Escribe la marca de clase y completa una tabla de frecuencias absolutas y relativas.

APLICA LA TEORÍA

x i

66,5-71,5 71,5-76,5 76,5-81,5

N.º jóvenes

25x 2

148 Solucionario

N i

N.º jóvenes

Sobre el deporte que practican las 30 personas. No. Es una característica cualitativa.

N.o de personas

f i

4. Se ha realizado un estudio sobre el peso de un grupo de jóvenes, obteniéndose los siguientes resultados:

¿Sobre qué característica se investiga en el estudio? ¿Se puede contar o medir dicha característica?

Respuesta

n i

2x – 1 x – 3 x – 5 – = 3 4 2 x = 35

APLICA LA TEORÍA 5. En la tabla se recogen las cantidades, en miles de euros, recaudadas por una administración. Haz la re presentación gráfica más idónea e interpreta el re sultado: Loterías Primitiva Bonoloto Quiniela

N.º revistas (miles)

ONCE

Revista software

40 35 30 25 20 15 10 5 0

Loterías

Primitiva Bonoloto Quiniela Juegos de azar

ONCE

Casi la mitad del dinero se juega en loterías y casi la otra mitad entre la ONCE y la Primitiva. 6. En la tabla se recoge el número de programas que oferta una televisión semanalmente en distintas ca tegorías. Haz la representación gráfica más idónea e interpreta el resultado: Magacín

Deportes

Informativos

Ficción

Amplitud del sector

Magacines

27 · 4° = 108°

Deportes

15 · 4° = 60°

Informativos

30 · 4° = 120°

Ficción

18 · 4° = 72°

Total

360°

2018 Año

2019

2020

8. Haz la representación gráfica más idónea del tiempo que dedican a estudiar Matemáticas en su casa los alumnos de un grupo de 3.º de la ESO, e interpreta el resultado: 0-15

Tiempo (min)

14 12 10 8 6 4 2 0

15-30 30-45 45-60 60-75

N.º de alumnos

N.º de programas

2017

El número de revistas editadas ha ido creciendo progresivamente, lo que significa que cada vez más usuarios están interesados por el tema de la revista.

360° : 90 = 4° Tipo de programas

2016

3.º ESO: estudio de matemáticas

0 a 15

15 a 30

30 a 45 45 a 60 Tiempo (min)

60 a 75

La mayoría de los alumnos dedican al estudio entre 15 y 45 minutos. 9. Construye una tabla de datos para el siguiente histo grama e interpreta el resultado:

Programas de televisión

Ficción

Deportes Magacines

Número de cuentas

Informativos

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Cuentas corrientes

600 - 1 000

1 000 - 1 400

1 400 - 1 800

1 800 - 2 200

Dinero (€)

2 200 - 2 600

2 600 - 3 000

149 Unidad 13. Estadística

24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

2016 2017 2018 2019 2020

Año

N.º revistas (en miles)

Dinero (miles de euros)

7. Haz la representación gráfica más idónea del núme ro total de revistas de software editadas por una em presa en 5 años e interpreta el resultado:

Saldo

N.º de cuentas

600 a 1 000

1 000 a 1 400

1 400 a 1 800

1 800 a 2 200

2 200 a 2 600

2 600 a 3 000

b) El número de refrescos se distribuye alrededor de la media, 9 refrescos, que está en el tercer rango intercuartílico dejando la mediana en 8 refrescos. 11. En un servicio de control de calidad se ha contabili zado el número de veces que un ordenador se ha blo queado durante los últimos 60 días, obteniéndose los siguientes resultados:

La mayoría de las cuentas corrientes tiene un saldo entre 1 400 € y 2 600 €

3. Parámetros

de centralización

PIENSA Y CALCULA

N.º de bloqueos

N.º de días

a) Calcula los parámetros de centralización que sea posible y haz un diagrama de caja y bigotes. b) Interpreta el resultado.

Paloma ha obtenido las siguientes calificaciones: 5, 7, 7y9 ¿Qué calificación media ha obtenido? ¿Qué calificación ha sacado más veces?

La calificación media es un 7. La calificación que ha sacado más veces es un 7 CARNÉ CALCULISTA Resuelve el sistema: 2x – 1 =

3y – 10 4

}

n i 5 7 10 15 12 8 3 60

Mediana: 3

x = 3/4; y = 4

–x = 178 = 2,97 60

APLICA LA TEORÍA

Q1 = 2; Q2 = 3; Q3 = 4

5 6

N.º de refrescos N.º de días

7 9

8 12 15 12 8 5

a) Calcula los parámetros de centralización que sea posible y haz un diagrama de caja y bigotes. b) Interpreta el resultado. a)

x i 5 7 8 12 15 Total

n i 6 9 12 8 5 40

N i 6 15 27 35 40

x i · n i 0 7 20 45 48 40 18 178

Máx 5

b) El número de veces que se bloquea el ordenador se distribuye alrededor de la media, 2,97 veces, que está en el 2.º rango intercuartílico dejando la mediana en 3 veces. Los datos están muy simétricos. de dispersión

PIENSA Y CALCULA Alba ha obtenido en Matemáticas las notas 7, 6, 7, 8 y 7. Óscar ha obtenido: 10, 2, 9, 10 y 4. Calcula la media de ambas notas y di quién es más regular. Alba tiene de media un 7 Óscar tiene de media un 7 Tienen la misma nota media, pero Alba es más regular porque sus notas oscilan menos.

–x = 360 = 9 40 Q1 = 7; Q2 = 8; Q3 = 12

Mín

4. Parámetros

x i · n i 30 63 96 96 75 360

Moda: 8 Mediana: 8

Mín

N i 5 12 22 37 49 57 60

Moda: 3

8(x – 2) = 5(2 – y )

10. Se ha realizado un registro del número de refrescos comprados en una máquina expendedora durante los últimos 40 días, obteniéndose los siguientes re sultados:

150 Solucionario

x i 0 1 2 3 4 5 6 Total

CARNÉ CALCULISTA Q3 9

Máx 13

Calcula la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 8 m. Redondea el resultado a dos decimales. a = √ 82 – 42 = 6,93 m

—

APLICA LA TEORÍA 12. Durante los últimos 26 días, el número de alumnos que ha faltado a clase ha sido: 0

N.º de días

a) Calcula la desviación típica y el coeficiente de va riación.

14. Las edades de los componentes de una asociación deportiva son las siguientes: Edad (años)

Componentes

15-19 19-23 23-27 27-31 31-35

5 6 10 5 2

b) Interpreta los resultados. a)

x i

n i

x i · n i

x i2

x i2 · n i

Edad (años)

x i

n i

x i · n i

x i2

x i2 · n i

Total

154

15-19

289

1 445

19-23

126

441

2 646

23-27

250

625

6 250

27-31

145

841

4 205

31-35

1 089

2 178

672

Calcula la desviación típica y el coeficiente de varia ción e interpreta los resultados.

52 Σ x i · n i Media: –x = ⇒ –x = =2 26 N 154 2 Σ x i2 · n i – 2 –x ⇒ V= Varianza: V = – 2 = 1,92 26 N — σ = √ V ⇒ σ = 1,39 σ CV = – ⇒ CV = 0,69 = 69 % > 30 % x

13. Se ha medido la temperatura máxima en una ciudad durante los últimos días, obteniéndose los siguientes resultados: Temperatura (°C) 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18

a) Calcula la desviación típica y el coeficiente de va riación. b) Interpreta los resultados. a)

Σ x i · n i

—

σ = √ V ⇒ σ = 4,61 σ CV = – ⇒ CV = 0,19 = 19 % < 30 % x Las edades se distribuyen alrededor de los 24 años con una dispersión pequeña. 15. Durante los últimos 10 años, la cotización en bolsa de dos empresas, A y B, ha sido la siguiente:

Temperatura (°C)

x i

n i

x i · n i

x i2

x i2 · n i

Empresa A 4,0 4,2 4,0 4,1 4,0 3,9 4,2 4,0 4,0 4,1

8-10

243

Empresa B 7,0 7,2 7,0 6,5 7,5 7,0 7,5 6,5 7,2 7,0

10-12

121

484

12-14

117

169

1 521

14-16

225

675

16-18

289

a) Calcula la desviación típica y el coeficiente de va riación. b) Analiza en qué empresa puede ser más arriesgado invertir.

250

Total Media: –x =

Σ x i · n i

Varianza: V = V=

16 724

672 = 24 ⇒ –x = 28 N Σ x i2 · n i – 2 Varianza: V = –x N 16 724 V= – 242 = 21,29 28 Media: –x =

b) Las faltas de asistencia se distribuyen alrededor de dos faltas, pero con una dispersión muy grande.

N.º de días

Total

250 ⇒ –x = = 12,50 20

Σ x i2 · n i N

3 212 – 12,52 = 4,35 20

– – x2

3 212

a) Empresa A: x i 3,9 4,0 4,1 4,2 Total

n i 1 5 2 2 10

x i · n i 3,9 20,0 8,2 8,4 40,5

x i2 15,21 16,00 16,81 17,64

x i2 · n i 15,21 80,00 33,62 35,28 164,11

151 Unidad 13. Estadística

N.º de alumnos

σ = √ V ⇒ σ = 2,09 σ CV = – ⇒ CV = 0,17 = 17 % < 30 % x b) La temperatura se distribuye alrededor de 12,5 °C con una dispersión pequeña.

Media: –x =

Σ x i · n i N

Σ x i2 · n i

Varianza: V = V=

b) Tabla:

40,5 = 4,05 ⇒ –x = 10

Tiempo (h)

0-0,5 0,5-1 1-1,5 1,5-2 2-2,5 Total

– – x2

164,11 – 4,052 = 0,009 10 —

σ = √ V ⇒ σ = 0,09 σ CV = – ⇒ CV = 0,023 = 2,3 % < 30 % x

n i 4 8 12 10 6 40

f i 0,10 0,20 0,30 0,25 0,15 1,00

N i 4 12 24 34 40

F i 0,10 0,30 0,60 0,85 1,00

18. Se ha realizado un estudio sobre el número de veces que va al cine un grupo de jóvenes, obteniéndose los siguientes resultados:

b) Empresa B: x i

n i

x i · n i

x i2

x i2 · n i

6,5

13,0

42,25

84,50

7,0

28,0

49,00

196,00

7,2

14,4

51,84

103,68

7,5

15,0

56,25

112,50

Total

70,4

Media: –x =

Σ x i · n i

Varianza: V =

– – x 2⇒ V =

496,68 – 7,042 = 0,11 10

—

σ CV = – ⇒ CV = 0,046 = 4,6 % < 30 % x En la empresa B hay una dispersión que es aproximadamente el doble que en la empresa A, pero los dos valores tienen una dispersión pequeña.

Ejercicios

y problemas propuestos

1. TABLAS DE FRECUENCIAS 16. Clasifica los caracteres en cualitativos, cuantitativos discretos o cuantitativos continuos: a) El color de pelo. b) La estatura de un grupo de personas. c) El deporte preferido. d) El número de libros leídos. a) Cualitativo. b) Cuantitativo continuo. c) Cualitativo. d) Cuantitativo discreto.

N.º de alumnos

0-0,5 0,5-1 1-1,5 1,5-2 2-2,5 4

a) Clasifica el carácter estudiado. b) Haz una tabla con las frecuencias acumuladas y relativas. a) Cuantitativo continuo.

a) Cuantitativo discreto. b) Tabla: x i 1 2 3 4 5 6 Total

n i 10 12 15 6 5 2 50

f i 0,20 0,24 0,30 0,12 0,10 0,04 1,00

N i 10 22 37 43 48 50

F i 0,20 0,44 0,74 0,86 0,96 1,00

19. Se ha preguntado a una muestra de personas por su grado de satisfacción sobre los servicios públicos, obteniéndose los siguientes resultados: Respuesta

N.º de personas

Muy insatisfecho Insatisfecho Normal Satisfecho Muy satisfecho

15 25 28 20 12

a) Clasifica el carácter estudiado. b) Haz una tabla de frecuencias absolutas y relativas.

17. El número de horas al día, por término medio, que unos jóvenes dedican a la lectura es: Tiempo (h)

a) Clasifica el carácter estudiado. b) Haz una tabla de frecuencias absolutas y relativas.

70,4 ⇒ –x = = 7,04 10

Σ x i2 · n i N

496,68

σ = √ V ⇒ σ = 0,33

152 Solucionario

x i 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25

a) Carácter cualitativo. b) Tabla: x i Muy insatisfecho Insatisfecho Normal Satisfecho Muy satisfecho Total

n i 15 25 28 20 12 100

f i 0,15 0,25 0,28 0,20 0,12 1,00

N i 15 40 68 88 100

F i 0,15 0,40 0,68 0,88 1,00

2. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Contagio de la gripe

20. En la siguiente tabla se recogen las cantidades de dinero (en millones de euros) gastadas en diferentes combustibles en una comunidad autónoma en el úl timo año: Producto consumido

Centro de trabajo

Otros

Dinero

Carbón

Gasóleo

Fuel-oil

Otros

10 Familia

Haz la representación gráfica más idónea e inter preta el resultado.

El contagio proviene generalmente del entorno familiar y del trabajo, que es donde se está la mayoría del tiempo.

Gasto en consumo energético

22. Haz la representación gráfica más idónea para el nú mero de alumnos que ha terminado sus estudios de ESO durante los años siguientes, e interpreta el re sultado:

30 25 20 15

Año

2016 2017 2018 2019 2020

N.º de alumnos (en miles)

303

5 Carbón

Gasóleo Fuel-oil Producto consumido

Otros

Casi la mitad de todo el dinero se dedica al consumo de gasóleo. 21. Se ha realizado un estudio relativo a los lugares y a la frecuencia con que se contagia la gripe entre las personas. Se han obtenido los siguientes resultados:

Lugar de contagio

Centro de trabajo

Otros

Haz la representación gráfica más idónea e inter preta el resultado. 360° : 60 = 6° Lugar de contagio

325 320 315 310 305 300 295 290

2016

2017

N.º de personas

Familia

N.º de personas

Amplitud del sector

Familia

26 · 6° = 156°

Centro de trabajo

19 · 6° = 114°

Otros

15 · 6° = 90°

Total

360°

321

318

316

Personas que acaban los estudios

N.º de personas (× 1000)

312

2018 Años

2019

2020

El número de personas que acaba los estudios aumenta en los tres primeros años y luego disminuye muy poco en los dos años siguientes. No se puede concluir si la proporción de personas que acaba sus estudios aumenta o disminuye. 23. El tiempo semanal que emplean unos jóvenes en ayudar en las labores domésticas en su casa viene dado por la siguiente tabla: Tiempo (h) N.º de jóvenes

0-1

1-2

2-3

3-4

4-5

Haz la representación gráfica e interpreta el resultado.

153 Unidad 13. Estadística

Dinero (millones de €)

Labores domésticas

x i

n i

N i

x i2 · n i

Total

N.º de jóvenes

10 8 6 4 2 0

Media: –x = 0a1

1a2

2a3 Tiempo (h)

3a4

4a5

3. PARÁMETROS DE CENTRALIZACIÓN 24. En una muestra de familias se ha estudiado el núme ro de hijos que tienen, obteniéndose el siguiente re sultado: 2

N.º de hijos

Frecuencia

15 35 20 15 7

Calcula la moda, la media y la mediana para estos datos, e interpreta el resultado. x i

n i

N i

x i · n i

100

Total

100

Media: –x =

Σ x i · n i N

191

⇒ –x =

191 = 1,91 100

⇒ –x =

108 =4 27

Mediana: 4 Los datos se distribuyen alrededor de 4 libros. 26. Se ha estudiado el deporte preferido de los alumnos de una clase: Deporte

N.º de alumnos

Fútbol

Baloncesto

Balonmano

Voleibol

Atletismo

Natación

a) Calcula la moda. b) ¿Se pueden calcular la media y la mediana? c) Interpreta los resultados obtenidos. a) Moda: fútbol. b) La media no se puede calcular porque el carácter estudiado es cualitativo. La mediana tampoco se puede calcular porque el carácter es cualitativo, pero no es ordenable. c) El deporte más practicado es el fútbol.

Moda: un hijo. Mediana: 100/2 = 50

4. PARÁMETROS DE DISPERSIÓN

La mediana es (1 + 2)/2 = 1,5 El número de hijos se distribuye alrededor de 1,91 hijos.

154 Solucionario

Moda: 4

La tercera parte de los jóvenes ayuda en las labores domésticas entre 2 y 3 horas por semana, dejando aproximadamente un tercio entre 0 y 2 h y el otro tercio entre 3 y 5 h.

Σ x i · n i

108

25. El número de libros que una librería ha vendido de una novela premiada ha sido:

27. La talla de los nacidos en una clínica en un deter minado día se ha recogido en esta tabla: Logitud (cm)

N.º de libros

N.º de días

5 12 3

6 10 2

Calcula la moda, la media y la mediana.

N.º de recién nacidos

45-47 47-49 49-51 51-53 53-55 2

Calcula la desviación típica y el coeficiente de va riación e interpreta los resultados.

x i

n i

x i · n i

x i2

x i2 · n i

Masa (kg)

x i

n i

x i · n i

2 116

4 232

63-67

4 225 4 225

288

2 304

13 824

67-71

828

4 761 57 132

200

2 500

10 000

71-75

365

5 329 26 645

104

2 704

5 408

75-79

308

5 929 23 716

2 916

79-83

162

6 561 13 122

Total

738

36 380

Total

1 728

124 840

Media: –x =

Σ x i · n i

Σ x i2 · n i N

Media: –x =

– – x2

—

σ = √ V ⇒ σ = 2,17

28. Las semanas en cartel que han estado distintas pelí culas en un determinado cine han sido: 3, 1, 4, 3, 2, 5, 2, 11, 5, 2. Calcula la desviación típica y el coeficien te de variación. x i

n i

x i · n i

x i2

x i2 · n i

121

Total

– – x2

124 840 – 722 = 17,67 24

Σ x i2 · n i N

σ CV = – ⇒ CV = 0,06 = 6 % < 30 % x Los pesos se distribuyen alrededor de 72 kg con una dispersión muy pequeña. 30. Dos atletas que corren la prueba de 100 m han hecho los siguientes registros: Atleta A

10,1

10,2

Atleta B

10,4

10,3

9,79

10,3

a) Calcula la desviación típica y el coeficiente de variación. b) ¿Qué atleta elegirías si deseas arriesgarte para obtener la mejor marca? a)

Atleta A (xi)

n i

x i · n i

x i2

x i2 · n i

121

10,1

40,4

102,01

408,04

218

10,2

104,04

Total

50,6

Σ x i · n i 38 Media: –x = = 3,8 ⇒ –x = 10 N

512,08

Σ x i · n i

50,6 = 10,12 ⇒ –x = N 5 Σ x i2 · n i – 2 Varianza: V = –x N 512,08 – 10,122 = 0,0016 V= 5 Media: –x =

– – x2

218 – 3,82 = 7,36 10 —

σ = √ V ⇒ σ = 2,71

—

σ = √ V ⇒ σ = 0,04

σ CV = – ⇒ CV = 0,71 = 71 % > 30 % x

σ CV = – ⇒ CV = 0,004 = 0,4 % < 30 % x

Hay mucha dispersión de datos. 29. El peso de 25 deportistas se recoge en la tabla:

N.º de deportistas

Σ x i2 · n i

—

Los datos se distribuyen alrededor de 49,2 cm con una dispersión muy pequeña.

Masa (kg)

1 728 = 72 ⇒ –x = 24

σ = √ V ⇒ σ = 4,20

σ CV = – ⇒ CV = 0,04 = 4 % < 30 % x

Varianza: V =

36 380 – 49,22 = 4,69 15

Varianza: V =

Σ x i · n i

x i2 · n i

63-67 67-71 71-75 75-79 79-83 1

Calcula la desviación típica y el coeficiente de va riación e interpreta los resultados.

Atleta B (xi)

n i

x i · n i

x i2

x i2 · n i

9,79

19,58

95,84

191,69

10,30

20,60

106,09

212,18

10,40

108,16

Total

50,58

512,03

155 Unidad 13. Estadística

Varianza: V =

738 = 49,2 ⇒ –x = 15

x i2

Σ x i · n i

Media: –x =

Varianza: V =

50,58 = 10,116 ⇒ –x = 5

Σ x i2 · n i N

Velocidad de líneas de datos 100 90

– – x2

512,03 – 10,1162 = 0,072 V= 5

Velocidad (Mbps)

—

σ = √ V ⇒ σ = 0,268 σ CV = – ⇒ CV = 0,026 = 2,6 % < 30 % x b) El atleta A es más constante y el atleta B tiene mayor dispersión, pero es el que puede obtener mejor marca.

60 50 40 30 20 10

PARA AMPLIAR

Precipitaciones (mm)

Precipitaciones Temperatura

H+ Tipo de línea

PROBLEMAS 33. El siguiente gráfico recoge hasta el 2050 la pobla ción que tendrá escasez de agua. Haz una tabla de datos que recoja los resultados. Población (miles de millones)

En verano las precipitaciones disminuyen y las temperaturas son muy altas, al revés que en invierno.

4 3 2 1 0

2000

2025

2050

Años

Temperatura (°C)

Precipitaciones (mm)

Enero

Febrero

Años

Población (miles de millones)

Marzo

2000

0,50

Abril

Mayo

2025

3,00

Junio

2050

4,00

Julio

Agosto

Septiembre

Tiempo (h)

N.º de escolares

Octubre

0-2

Noviembre

2-4

Diciembre

4-6

6-8

Mes

32. En la siguiente tabla se recoge la velocidad, en Mbps, que permite el acceso a Internet según el tipo de línea. Haz la representación gráfica más idónea.

156 Solucionario

Población con escasez de agua

Dic

Oct Nov

Sep

Ago

Jul

80 70 60 50 40 30 20 10 0 Jun

Abr May

Mar

Ene

32 28 24 20 16 12 8 4 0 Feb

Temperatura (°C)

31. Un climograma es un gráfico en el que se registran las temperaturas y las lluvias durante un año. Anali za el siguiente y haz una tabla de datos donde se re cojan las temperaturas y las precipitaciones.

Población con escasez de agua

34. El tiempo, en horas, que unos escolares dedican a hacer deporte se recoge en la tabla siguiente:

Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación e interpreta los resultados. Tiempo (h)

x i

n i

x i · n i

x i2

x i2 · n i

Línea

Velocidad (Mbps)

0-2

2-4

4-6

100

H+

6-8

147

100

Total

324

Varianza: V = V=

70 = 3,5 ⇒ –x = 20

Σ x i2 · n i

Calcula la media y la desviación típica e interpreta el resultado.

– – x2

Velocidad (km/h)

70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 Total

324 – 3,52 = 3,95 20 —

σ = √ V ⇒ σ = 1,99 σ CV = – ⇒ CV = 0,57 = 57 % > 30 % x El tiempo se distribuye alrededor de 3,5 h, pero con una dispersión muy grande.

Media: –x =

n i

x i · n i

x i2

x i2 · n i

75 85 95 105 115

4 6 20 16 4 50

300 510 1 900 1 680 460 4 850

5 625 7 225 9 025 11 025 13 225

22 500 43 350 180 500 176 400 52 900 475 650

Σ x i · n i

35. La estatura, en centímetros, de un grupo de alumnos es: Varianza: V =

4 850 = 97 ⇒ –x = 50

Σ x i2 · n i

– – x2

Estatura (cm)

N.º de alumnos

140-150

150-160

160-170

σ = √ V ⇒ σ = 10,2

170-180

180-190

σ CV = – ⇒ CV = 0,11 = 11 % < 30 % x

475 650 – 972 = 104 50 —

Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación e interpreta los resultados.

La velocidad se distribuye alrededor de 97 km/h con una dispersión pequeña. 37. Se necesita hacer un pedido de termómetros clíni cos, por lo que antes se prueban nueve distintos mi diendo a la vez cierta temperatura. Los resultados son los siguientes:

Estatura (cm)

x i

n i

x i · n i

140-150

145

21 025 21 025

150-160

155

930

24 025 144 150

160-170

165

1 650

27 225 272 250

170-180

175

700

30 625 122 500

¿Con qué termómetro se deben quedar?

180-190

185

370

34 225

3 795

La temperatura media de los termómetros es: 36,9 Lo lógico sería quedarse con el termómetro que da 36,9 porque es el que menos oscilación da con respecto a la media.

Total Media: –x =

Σ x i · n i N

Varianza: V = V=

x i

x i2 · n i

68 450 628 375

3 795 = 165 ⇒ –x = 23

Σ x i2 · n i N

x i2

– – x2

36,4 37,4 37,6

36,2 37 37,1

36,9 36,7 36,8

PARA PROFUNDIZAR 38. Se han cortado unos trozos de cable cuyas longitu des se han recogido en la tabla:

628 375 – 1652 = 95,65 23

Longitud (cm)

N.º de cables

1-3 3-5 5-7 7-9 9-11

4 10 5 4 1

—

σ = √ V ⇒ σ = 9,78 σ CV = – ⇒ CV = 0,06 = 6 % < 30 % x La estatura se distribuye alrededor de 165 cm con una dispersión pequeña. 36. La distribución de vehículos detectados en un con trol de velocidad en carretera ha sido: Velocidad (km/h)

N.º de vehículos

70-80 80-90 90-100 100-110 110-120

4 6 20 16 4

Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación e interpreta los resultados obtenidos. Longitud (cm)

1-3 3-5 5-7 7-9 9-11 Total

x i

n i

x i · n i

x i2

x i2 · n i

2 4 6 8 10

4 10 5 4 1 24

8 40 30 32 10 120

4 16 36 64 100

16 160 180 256 100 712

157 Unidad 13. Estadística

Σ x i · n i

Media: –x =

Σ x i · n i N

Varianza: V = V=

120 =5 ⇒ –x = 24

Σ x i2 · n i N

3 000 2 500

– – x2

712 – 52 = 4,67 24

2 000

—

σ = √ V ⇒ σ = 2,16

1 500

σ CV = – ⇒ CV = 0,43 = 43 % > 30 % x Las longitudes se distribuyen alrededor de 5 cm con una dispersión grande. 39. ¿Cómo varía la media y la desviación típica si a to dos los datos se les suma un mismo número? Com pruébalo con los siguientes datos: x i

x i + 3

Los dos gráficos recogen los mismos datos. a) ¿Dan los dos gráficos la misma sensación de des censo del paro? b) ¿Elegirían el partido que gobierne en ese país y el de la oposición el mismo gráfico? a) El 2.º da más sensación de descenso. b) Dependiendo de lo que se quiera comunicar, se elegirá el 1.º o el 2.º. Si se quiere dar sensación de que el descenso es importante, se elegirá el 2.º. Parece lógico pensar que el gráfico 2.º es el que elegiría el partido que gobierne, para dar así la sensación de que el paro ha descendido con rapidez.

x i

x i + 3

Media

3,86

6,86

Autoevaluación

1,46

1. Define carácter estadístico cuantitativo y cualitati vo. Pon un ejemplo de cada tipo.

La media aumenta en el mismo número que se suma a los datos y la desviación típica no varía. 40. ¿Cómo varía la media y la desviación típica si todos los datos se multiplican por un mismo número? Com pruébalo con los siguientes datos: x i

2x i

6 10 12 10 8

x i

x i + 3

Media

1,3

2,6

La media y la desviación típica quedan multiplicadas por el mismo número. 41. Calcula la nota media de Ernesto si ha sacado las ca lificaciones 8, 5, 6 y 9, sabiendo que estas representan un 40 %, 35 %, 10 % y un 15 % de la nota, respectivamente. Nota media = 0,4 · 8 + 0,35 · 5 + 0,1 · 6 + 0,15 · 9 = 6,9

Matematización

en contextos reales

42. La estadística trata información y la resume en forma de gráfico en muchas ocasiones. Analiza la evolu ción del paro en un país durante la siguiente serie:

158 Solucionario

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020

Carácter estadístico cualitativo: es aquel que indica una cualidad. No se puede contar ni medir. Carácter estadístico cuantitativo: es aquel que indica una cantidad. Se puede contar o medir. Se clasifica en: a) Cuantitativo discreto: sus valores son el resultado de un recuento. Solo puede tomar ciertos valores aislados. b) Cuantitativo continuo: sus valores son el resultado de una medida. Puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Ejemplo: Caracteres

Valores

El deporte practicado

Fútbol, natación…

El n.o de libros que lee al año

0, 1, 2, 3…

Continuo La estatura

160 cm, 170 cm…

Cualitativo

Discreto Cuantitativo

2. Ante la propuesta de un ayuntamiento de pasar un día sin coches, la opinión de los vecinos fue la que se recoge en la tabla: Opinión

N.º de vecinos

3 000

Muy mala

2 500

Mala

2 000

Buena

Muy buena

1 500 1 000 500 0

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020

Haz la representación gráfica más idónea e inter preta el resultado. 360° : 120 = 3°

4. La estatura en centímetros de un grupo de alum nos es:

N.º de vecinos

Amplitud del sector

Muy mala

15 · 3° = 45°

Estatura (cm)

N.º de alumnos

Mala

30 · 3° = 50°

140-150

Buena

50 · 3° = 150°

150-160

Muy buena

25 · 3° = 75°

160-170

120

360°

170-180

180-190

Total

Opinión de los vecinos

Calcula la media, la desviación típica y el coefi ciente de variación e interpreta los resultados.

Buena Muy buena Mala

Intervalo

x i

n i

x i · n i

140-150

145

435

21 025 63 075

150-160

155

1 085

24 025 168 175

160-170

165

2 475

27 225 408 375

170-180

175

3 500

30 625 612 500

180-190

185

925

34 225 171 125

8 420

1 423 250

Muy mala

3. Se han pesado 30 paquetes de café, obteniéndose los resultados indicados en la tabla: Masa (g)

N.º de paquetes

190-194

194-198

198-202

202-206

206-210

– – x2⇒ V=

1 423 250 – 168,402 = 106,44 50

—

x i

n i

190-194

192

194-198

196

198-202

200

202-206

204

206-210

208

Distribución del peso de paquetes de café N.º de paquetes

Σ x i2 · n i

σ = √ V ⇒ σ = 10,32

Masa (g)

190-194 194-198

x i2 · n i

–x = Σ x i ⇒ –x = 8 420 = 168,40 50 N

Haz la representación gráfica más idónea.

14 12 10 8 6 4 2 0

Total

x i2

198-202 202-206 206-210 Masa

σ CV = – ⇒ CV = 0,06 = 6 % < 30 % x Los datos se distribuyen alrededor de 468,40 con un dispersión muy pequeña. 5. Se ha realizado un examen en dos clases, obtenién dose los siguientes resultados: clase A (x– = 5; σ = 3) y clase B (x– = 5; σ = 1,5). Di en qué clase se han obtenido 8 sobresalientes y 8 suspensos y en cuál 2 sobresalientes y 1 suspenso. En la clase A hay más dispersión, luego en esa clase se darán notas más altas y más bajas. En la clase B hay menos dispersión y las notas serán más homogéneas. Los 8 sobresalientes y los ocho suspensos se darán en la clase A y los dos sobresalientes y el suspenso en la clase B

159 Unidad 13. Estadística

Opinión

14. Probabilidad 1. Experimentos

aleatorios

PIENSA Y CALCULA Ordena las siguientes expresiones de menos probable a más probable: casi seguro, poco probable, seguro, casi imposible, probable, imposible, bastante probable. Imposible, casi imposible, poco probable, probable, bastante probable, casi seguro, seguro.

Laplace

PIENSA Y CALCULA a) Si lanzamos una moneda al aire, ¿qué resultado es más probable, cara o cruz? b) Si lanzamos una chincheta al aire, ¿qué resultado es más probable, que quede con la punta hacia arriba o con la punta hacia abajo? a) Son igualmente probables. b) Es más probable que la punta quede hacia arriba. CARNÉ CALCULISTA

CARNÉ CALCULISTA

Resuelve la ecuación:

Desarrolla: x (x + 2)(x – 2) = x 3 – 4x

(x + 2)(x – 2) x (x – 3) = 3 2 x 1 = 1; x 2 = 8

Factoriza: 9x 3 + 30x 2 + 25x = x (3x + 5)2 APLICA LA TEORÍA 1. Clasifica los siguientes experimentos como determi nistas o de azar: a) Lanzar una moneda al aire. b) Pinchar un globo. c) Frenar un coche. d) Sacar una carta de una baraja. Deterministas: b) y c). De azar: a) y d). 2. Escribe dos experimentos deterministas. • Pesar un melón. • Medir la longitud de una mesa. 3. Escribe dos experimentos de azar. • Sacar una carta de una baraja. • Jugar a la lotería. 4. En el experimento de lanzar una moneda al aire, halla: a) El suceso seguro. b) Un suceso imposible. a) E = {C, X} b) ∅ = {Que se obtengan copas} 5. En el experimento de lanzar al aire un dado en forma de dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12, halla: a) El espacio muestral. b) Los sucesos elementales. c) El suceso A formado por los múltiplos de 3 – d) El suceso contrario A e) El suceso B formado por los números pares. f ) El suceso A ∪ B g) El suceso A ∩ B . ¿Los sucesos A y B son compa tibles o incompatibles?

160 Solucionario

2. Regla

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} b) {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11} y {12} c) A = {3, 6, 9, 12} – d) A = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11} e) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12} f) A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12} g) A ∩ B = {6, 12} ≠ ∅ ⇒ A y B compatibles.

APLICA LA TEORÍA 6. Lanzamos al aire una chincheta 25 veces. De ellas, 10 veces queda con la punta hacia abajo y 15 veces hacia arriba. Halla: a) La frecuencia absoluta de que quede con la punta hacia arriba. b) La frecuencia relativa de que quede con la punta hacia arriba. a) n = 15 b) f = 15/25 = 3/5 = 0,6 7. Aplicando la regla de Laplace, calcula la probabi lidad de obtener un número impar al lanzar un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 3, 5} P (A ) = 3/6 = 1/2 = 0,5 – 8. Si en un experimento P (A ) = 1/3, calcula P ( A ) – 1 2 P ( A ) = 1 – = 3 3 9. Si los sucesos A y B son incompatibles con: P (A ) = 1/2 y P (B ) = 1/3 calcula P (A ∪ B ) P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) =

1 1 5 + = 2 3 6

10. Copia la tabla y calcula las frecuencias relativas de obtener un 1 en el lanzamiento de un dado de qui nielas (tiene tres 1, dos X y un 2), y dibuja el gráfico lineal correspondiente. N

100



¿Qué probabilidad de que salga un 1 deduces que tiene? N

100

0,7

0,63

0,5

0,44

0,52

Frecuencias relativas

13. Calcula la probabilidad de obtener una bola de color azul al extraer una bola de una urna que tiene 3 bo las rojas, 5 azules y 2 verdes.

Dado de quinielas

0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40

E = {3R, 5A, 2V} A = {5A} P (A) = 5/10 = 1/2 = 0,5 X 20

60 80 100 N.º de tiradas

P (1) = 1/2 11. Si los sucesos A y B son compatibles con: P (A ) = 1/2, P (B ) = 1/2 y P (A ∩ B ) = 1/3 calcula P (A ∪ B ) P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) – P (A ∩ B ) = 1 1 1 2 = + – = 2 2 3 3

3. Experimentos

simples

PIENSA Y CALCULA Calcula la probabilidad de obtener una bola roja de cada una de las siguientes urnas, y asocia cada una de estas probabilidades con las siguientes expresiones: casi se guro, poco probable, seguro, casi imposible, probable, imposible, bastante probable.

14. Calcula la probabilidad de obtener un número par al lanzar al aire un dado de forma cúbica y con las caras numeradas del 1 al 6 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} P (A ) = 3/6 = 1/2 = 0,5 15. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se forman todos los nú meros posibles de cinco cifras sin repetir ninguna. ¿Cuántos son pares? E = Permutaciones de 1, 2, 3, 4 y 5, en total 5! A = Terminados en 2 y 4, son 2 de 5, los 2/5 de 5! P (A ) = 2/5 · 5!/5! = 2/5 = 0,4 16. Calcula la probabilidad de obtener una copa al ex traer una carta de una baraja española de 40 cartas. E = {1O, 2O, 3O, …, 11B, 12B} A = {1C, 2C, 3C, …, 11C, 12C} P (A ) = 10/40 = 1/4 = 0,25 17. Calcula la probabilidad de obtener una K al extraer una carta de una baraja francesa. E = {1RC, 2RC, 3RC, …, QNT, KNT} A = {KRC, KRD, KNP, KNT} P (A ) = 4/52 = 1/13 = 0,077 18. En una caja hay 80 tornillos, de los que 5 son defec tuosos, y se extrae uno al azar. Calcula la probabili dad de que sea uno de los defectuosos. E = {80 tornillos} A = {5 defectuosos} P (A ) = 5/80 = 1/16 = 0,0625

}

CARNÉ CALCULISTA Resuelve el sistema: y = 2x + 1 x + 5 y 5 = – 3 2 6

x = 3; y = 7

APLICA LA TEORÍA 12. Calcula la probabilidad de obtener cruz, X, al lanzar al aire una moneda de un euro. E = {C, X} A = {X} P (A ) = 1/2 = 0,5

19. El delantero de un equipo de fútbol mete dos goles de cada 5 balones que tira a puerta. ¿Cuál es la pro babilidad de que la próxima vez que tire a puerta meta gol? E = {5 balones} A = {2 goles} P (A ) = 2/5 = 0,4

4. Experimentos

compuestos

PIENSA Y CALCULA Una familia tiene dos hijos. Calcula mentalmente: a) La probabilidad de que los dos sean varones. b) La probabilidad de que los dos sean mujeres. c) La probabilidad de que uno sea varón, y el otro, mujer. a) 1/4 b) 1/4 c) 1/2 CARNÉ CALCULISTA Calcula la generatriz de un cono recto en el que el radio de la base mide 3,5 m, y la altura, 7,5 m. Redondea el resultado a dos decimales. G = 8,28 m

161 Unidad 14. Probabilidad

P (R) = 0, imposible. P (R) = 1/6, casi imposible. P (R) = 1/3, poco probable. P (R) = 1/2, probable. P (R) = 2/3, bastante probable. P (R) = 5/6, casi seguro. P (R) = 1, seguro.

APLICA LA TEORÍA 20. Haz un diagrama cartesiano para el experimento de lanzar al aire dos monedas, y calcula la probabilidad de obtener: a) Dos caras. b) Dos cruces. c) Una cara y una cruz. C

23. Halla la probabilidad de obtener dos ases al extraer dos cartas con devolución de una baraja española de 40 cartas.

As 4 Ases 36 No ases

(C, C) (C, X)

(X, C) (X, X)

1/2

1/2 X

1/2

CCC

1/2 1/2

CCX

CXC

1/2

CXX

1/2

XCC

1/2

XCX

1/2

XXC

1/2

XXX

162 Solucionario

1/2

P (2A) = P (A) · P (A) =

5R 4A

R 4/9

5/9 A

3R 5A

4R 4A

5R 3A

1 4 4 2 · = = = 0,22 2 9 18 9

1 1/2 1/3 X X

X1 XX

1/6

1/2

1 1/3 X

21 2X

(C, 1) (C, 2) (C, 3) (C, 4) (C, 5) (C, 6)

(X, 1) (X, 2) (X, 3) (X, 4) (X, 5) (X, 6)

y problemas propuestos

1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS

22. Halla la probabilidad de obtener dos bolas azules al extraer dos bolas sin devolución de una urna que contiene 5 bolas rojas y 5 azules.

5R 5A

1/6

Ejercicios

1 1 1 3 + + = = 0,375 8 8 8 8 1 1 1 1 d) P (3X) = P (XXX) = · · = = 0,125 2 2 2 8

5/9

P [C y m(3)] = 2/12 = 1/6

1/2

1/3

1 1 1 3 + + = = 0,375 8 8 8 8 c) P (1C y 2X) = P (CXX) + P (XCX) + P (XXC) =

1/6

P (1X o X1) = P (1X) + P (X1) = P (1) · P (X) + P (X) · P (1) = 1 1 1 1 1 1 2 1 = · + · = + = = 2 3 3 2 6 6 6 3 25. Haz el diagrama cartesiano del experimento de lan zar al aire una moneda y un dado de 6 caras, y cal cula la probabilidad de obtener cara y múltiplo de 3

4/9 A

1/2

1 1/2 1/3 X

1/6

1 1 1 1 · · = = 0,125 2 2 2 8 b) P (2C y 1X) = P (CCX) + P (CXC) + P (XCC) =

4R 5A

No as

a) P (3C) = P (CCC) =

1/10 No as

1 1 1 · = = 0,01 10 10 100 24. Halla la probabilidad de obtener un 1 y una X, o una X y un 1, al lanzar dos veces un dado de quinielas.

21. Haz un diagrama en árbol para el experimento de lanzar al aire tres monedas, y calcula la probabilidad de obtener: a) Tres caras. b) Dos caras y una cruz. c) Una cara y dos cruces. d) Tres cruces.

1/2

As As

P (2 Ases) = P (As) · P (As) =

a) P (2C) = P (C, C) = 1/4 b) P (2X) = P (X, X) = 1/4 1 1 1 c) P (1C y 1X) = P (C, X) + P (X, C) = + = 4 4 2

1/10

1/2

4 Ases 36 No ases

26. Clasifica los siguientes experimentos en determinis tas o de azar: a) Dejar caer un libro desde una mesa. b) Lanzar un dado al aire. c) Extraer una bola de color de una bolsa sin ver el interior. d) Apagar el interruptor de la luz. Deterministas: a) y d). De azar: b) y c). 27. Escribe dos experimentos de azar. • Lanzar un dado de quinielas. • Jugar al bingo. 28. Escribe dos experimentos deterministas. • Abrir una puerta. • Hallar el área de un cuadrado de 5 m de lado.

29. En el experimento de lanzar al aire un dado cúbico, con las caras numeradas del 1 al 6, halla: a) El suceso seguro. b) Un suceso imposible. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) ∅ = {Que salga cruz} 30. En el experimento de lanzar al aire un dado con forma de octaedro y con las caras numeradas del 1 al 8, halla: a) El espacio muestral. b) Los sucesos elementales. c) El suceso A , formado por los múltiplos de 4 – d) El suceso contrario A e) El suceso B , formado por números impares. f ) El suceso A ∪ B g) El suceso A ∩ B . ¿Los sucesos A y B son compa tibles o incompatibles? a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} b) {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7} y {8} c) A = {4, 8} – d) A = {1, 2, 3, 5, 6, 7} e) B = {1, 3, 5, 7} f) A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 7, 8} g) A ∩ B = ∅ ⇒ A y B son incompatibles.

32. En el lanzamiento de un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6, calcula las frecuencias relati vas de obtener un número impar, y dibuja el gráfico lineal correspondiente. 40 25

60 28

80 35

100 48

– 1 4 P (A ) = 1 – P ( A ) = 1 – = 5 5 4 1 29 P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) = + = 5 6 30



100

0,65

0,63

0,47

0,44

0,48

3. EXPERIMENTOS SIMPLES 37. Calcula la probabilidad de obtener cara, C, al lanzar al aire una moneda de 2 € E = {C, X} A = {C} P (A ) = 1/2 38. Calcula la probabilidad de obtener una bola de color rojo al extraer una bola de una urna que tiene 4 bolas rojas, 7 azules y 5 verdes.

39. Calcula la probabilidad de obtener un número múl tiplo de 5 al lanzar al aire un dado con forma de ico saedro, con las caras numeradas del 1 al 20 E = {1, 2, 3, … , 20} A = {5, 10, 15, 20} P (A ) = 4/20 = 1/5 = 0,2 40. Calcula la probabilidad de obtener un as al extraer una carta de una baraja española de 40 cartas.

Dado

0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40

2 2 2 167 + – = 5 4 9 180

E = {4R, 7A, 5V} A = {4R} P (A ) = 4/16 = 1/4 = 0,25

¿Qué probabilidad de que salga un número impar deduces que tiene?

Frecuencias relativas

35. Si los sucesos A y B son incompatibles con: – P ( A ) = 1/5 y P (B ) = 1/6, calcula: P (A ∪ B )

E = {1O, 2O, 3O, …, 11B, 12B} A = {As O, AS C, As E, As B} P (A ) = 4/40 = 1/10 = 0,1

X 20

60 80 100 N.º de tiradas

41. Con las cifras 1, 3, 5, 7 y 9 se forman todos los nú meros posibles de cinco cifras sin repetir ninguna. ¿Cuántos son múltiplos de 5? E = Permutaciones de 1, 3, 5, 7 y 9, en total 5! A = Permutaciones de 1, 3, 7 y 9, en total 4! P (A ) = 4!/5! = 1/5

163 Unidad 14. Probabilidad

20 13

P (Impar) = 1/2

– 2 3 P ( A ) = 1 – P (A ) = 1 – = 5 5

b) f = 55/100 = 0,55

– 34. Si en un experimento P (A ) = 2/5, calcula P ( A )

P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) – P (A ∩ B ) =

31. Lanzamos 100 veces al aire una moneda y se obtiene cara 45 veces. Halla: a) La frecuencia absoluta de obtener cruz. b) La frecuencia relativa de obtener cruz.

N n f

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A = {3, 6, 9, 12} P (A ) = 4/12 = 1/3 = 0,33

36. Si los sucesos A y B son compatibles con: P (A ) = 2/5, P (B ) = 3/4 y P (A ∩ B ) = 2/9, calcula P (A ∪ B )

2. REGLA DE LAPLACE

a) n = 55

33. Aplicando la regla de Laplace, calcula la pro babilidad de obtener un número múltiplo de 3 al lan zar un dado con forma de dodecaedro, con las caras numeradas del 1 al 12

42. En el equipo de música de un coche hemos metido 10 CD: cuatro son de rock; tres, de música clásica; y tres, de música flamenca. Si elegimos uno al azar, calcula la probabilidad de que sea de rock. E = {4R, 3C, 3F} A = {4R} P (A ) = 4/10 = 2/5 = 0,4

R 3R 5A

R 3/8

3R 5A 5/8

10 11

10 11 12

10 B 30 no B

1/4 no B

no B

1 1 1 · = = 0,0625 4 4 16

45. Halla la probabilidad de obtener un 1 y un 2, o un 2 y un 1, al lanzar dos veces un dado de quinielas.

1/3

1/6 1/2 1/3

1/2 X

1/3

1/6 1/6 1/2 2 1/6

1/3

164 Solucionario

P (12) + P (21) = P (1) · P (2) + P (2) · P (1) = =

3R 5A

(C, 1) (C, 2) (C, 3) (C, 4) (C, 5) (C, 6)

(X, 1) (X, 2) (X, 3) (X, 4) (X, 5) (X, 6)

P (C y par) = 3/12 = 1/4 = 0,25

1/4

1/2

PARA AMPLIAR

P (BB) = P (B) · P (B) =

3R 5A

P (Distinto color) = P (RA) + P (AR) = 3 5 5 3 15 = 0,47 = · + · = 8 8 8 8 32

44. Halla la probabilidad de obtener dos bastos al ex traer con devolución dos cartas de una baraja espa ñola de 40 cartas.

5/8

3/8 A

47. Calcula la probabilidad de obtener cara y un número par al lanzar al aire una moneda y un dado.

P (Suma 5) = 4/36 = 1/9 = 0,11

10 B 30 no B

3R 5A

4. EXPERIMENTOS COMPUESTOS 43. Calcula la probabilidad de obtener dos números que sumen 5 al lanzar al aire dos dados.

5/8

3/8 A

3R 5A

1 1 1 1 1 · + · = 2 6 6 2 6

46. Halla la probabilidad de obtener dos bolas de dis tinto color al extraer dos bolas con devolución de una urna que contiene 3 bolas rojas y 5 azules.

48. En el experimento de lanzar una moneda al aire, halla: a) El espacio muestral. b) Los sucesos elementales. – c) Si A = {C}, el suceso contrario A d) Si B = {X}, el suceso A ∪ B e) El suceso A ∩ B . ¿Los sucesos A y B son compa tibles o incompatibles? a) E = {C, X} b) {C}, {X} – c) A = {X} d) A ∪ B = {C, X} = E e) A ∩ B = ∅ ⇒ A y B son incompatibles. 49. Si P (Z ) = 1, ¿cuál es el suceso Z ? Z = E , es el suceso seguro. 50. Si P (Y ) = 0, ¿cuál es el suceso Y ? Y = ∅, es el suceso imposible. – 51. Si P (A ) = 0,5, ¿cuál es más probable, A o A ? – P ( A ) = 0,5 Son igualmente probables, es decir, equiprobables. 52. Si P (A ) = 1/3, P (B ) = 1/2 y P (A ∪ B ) = 5/6, ¿cómo son los sucesos A y B , compatibles o incompatibles? 1 1 5 P (A ) + P (B ) = + = 3 2 6 Como P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ), A y B son incompatibles. 53. Aplicando la regla de Laplace, calcula la probabili dad de obtener una bola de color azul al extraer una bola de una urna que contiene 5 bolas azules. ¿Qué puedes decir del suceso «extraer bola azul»? E = {5A} A = {5A} P (A ) = 5/5 = 1 El suceso «extraer bola azul» es un suceso seguro.

Son igualmente probables, es decir, equiprobables. 55. En un dado de quinielas, ¿cuál de los signos 1, X, 2 es el más probable? E = {1, 1, 1, X, X, 2}. Es más probable el 1 56. Calcula la probabilidad de obtener una bola de color rojo o verde al extraer una bola de una urna que con tiene 5 bolas rojas, 6 azules y 7 verdes. E = {5R, 6A, 7V} ; A = {5R, 7V} P (A ) = 12/18 = 2/3 = 0,67 57. Calcula la probabilidad de obtener un número múlti plo de 2 y de 3 al lanzar al aire un dado con forma de icosaedro, con las caras numeradas del 1 al 20 E = {1, 2, 3, …, 20} ; A = {6, 12, 18} P (A ) = 3/20 = 0,15 58. Calcula la probabilidad de obtener un as o un rey al extraer una carta de una baraja española de 52 cartas. E = {1O, 2O, 3O, …, 11B, 12B} A = {As O, As C, As E, As B, 12O, 12C, 12E, 12B} P (A ) = 8/52 = 2/13 = 0,15 59. Calcula la probabilidad de obtener una carta de cora zones al extraer una carta de una baraja francesa. E = {1RC, 2RC, 3RC, …, QNT, KNT} A = {1RC, 2RC, 3RC, …, QRC, KRC} P (A ) = 13/52 = 1/4 = 0,25 60. Calcula la probabilidad de que, en una familia con tres hijos, sean los tres del mismo sexo.

1/2

1/2 H 1/2

1/2

H M H

M 1/2

1/2

HHH

1/2

HHM

1/2

HMH

1/2

HMM

1/2

MHH

1/2

MHM

1/2

MMH

1/2

MMM

P (Mismo sexo) = P (HHH) + P (MMM) = 1 1 1 = + = 8 8 4 CON CALCULADORA 61. Si A y B son sucesos incompatibles y P (A ) = 2/7, P (B ) = 7/15, calcula P (A ∪ B ) P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) = 2/7 + 7/15 = 79/105 = 0,75 62. Si P (A ) = 2/9, P (B ) = 3/5 y P (A ∩ B ) = 1/8, calcula P (A ∪ B ) P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) – P (A ∩ B ) = 2 3 1 251 = + – = = 0,70 9 5 8 360

PROBLEMAS 63. En el experimento de lanzar al aire un dado con forma de cubo, con las caras numeradas del 1 al 6, halla: a) El espacio muestral. b) Los sucesos elementales. c) El suceso A formado por los números pares. – d) El suceso contrario A e) El suceso B , formado por los números impares. f) El suceso A ∪ B g) El suceso A ∩ B . ¿Los sucesos A y B son compa tibles o incompatibles? a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6} c) A = {2, 4, 6} – d) A = {1, 3, 5} e) B = {1, 3, 5} f) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E g) A ∩ B = ∅ ⇒ A y B son incompatibles. 64. Aplicando la regla de Laplace, calcula la probabilidad de obtener una bola de color rojo al extraer una bola de una urna que contiene 5 bolas verdes y 6 rojas. E = {5V, 6R}; A = {6R} P (A ) = 6/11 = 0,55 65. Aplicando la regla de Laplace, calcula la probabili dad de obtener una carta de oros al extraer una carta de una baraja española de 40 cartas. E = {1O, 2O, 3O, …, 11B, 12B} A = {1O, 2O, 3O, … 11O, 12O} P (A ) = 10/40 = 1/4 = 0,25 66. Si P (A ) = 0,5, P (B ) = 0,7 y P (A ∩ B ) = 0,4, calcula P (A ∪ B ) P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) – P (A ∩ B ) = 0,5 + 0,7 – 0,4 = 0,8 67. Calcula la probabilidad de obtener un número primo al lanzar al aire un dado de forma cúbica con las caras numeradas del 1 al 6 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; A = {2, 3, 5} P (A ) = 3/6 = 1/2 = 0,5 68. Calcula la probabilidad de obtener un número múl tiplo de 3 y 4 al lanzar al aire un dado con forma de icosaedro con las caras numeradas del 1 al 20 E = {1, 2, 3, …, 20}; A = {12} P (A ) = 1/20 = 0,05 69. Calcula la probabilidad de obtener una figura al ex traer una carta de una baraja española de 40 cartas. E = {1O, 2O, 3O, …, 11B, 12B} A = {10O, 10C, 10E, … 11B, 12B} P (A ) = 12/40 = 3/10 = 0,3 70. Calcula la probabilidad de obtener un as o una K al extraer una carta de una baraja francesa. E = {1RC, 2RC, 3RC, …, QNT, KNT} A = {1RC, 1RD, 1NP, 1NT, KRC, KRD, KNP, KNT} P (A ) = 8/52 = 2/13 = 0,15

165 Unidad 14. Probabilidad

54. Al lanzar al aire una moneda de 1 €, ¿qué es más probable, que salga cara o que salga cruz?

71. Cuatro niños y cinco niñas forman un círculo. En el centro está Lola, con los ojos tapados. Calcula la probabilidad de que coja a un niño.

76. Halla la probabilidad de obtener dos cartas rojas al extraer de una vez dos cartas de una baraja francesa.

E = {4OS, 5AS}; A = {4OS} P (A ) = 4/9 = 0,44

72. Un dado trucado tiene las siguientes probabilidades P (1) = P (3) = P (5) = 0,1; P (6) = 0,3 y P (2) = P (4) = 0,2. Calcula la probabilidad de obtener número par.

R 26 R 26 no R

25 R 26 no R

73. Sonia tiene en un cajón totalmente desordenado un par de calcetines de color rojo, otro par de color verde y otro par de color azul. Un día se viste a oscuras. Cal cula la probabilidad de que se haya puesto los dos calcetines del mismo color. 1/5 1R, 2V, 2A

2/5

2V, 2A

1R, 1V, 2A

1R, 2V, 1A

1/3 2/5 2R, 1V, 2A 1/3 1/3 2R, 2V, 1A

2/5 2/5

no R

10 O 30 no O

1/4

10 O 30 no O

OOO

1/4 no O

2R, 1V, 1A

78. Si A y B son sucesos incompatibles, ¿puede ser P (A ) = 1/2 y P (B ) = 3/4?

2R, 2V

No, porque la suma, 1/2 + 3/4 = 5/4, es mayor que uno.

10 F 36 no F

no O

P (3O) = P (O) · P (O) · P (O) =

1 1 1 1 · · = = 0,016 4 4 4 64

PARA PROFUNDIZAR

79. Aplicando la regla de Laplace, calcula la probabili dad de obtener un cinco al extraer una carta de una baraja española de 40 cartas. E = {1O, 2O, 3O, …, 11B, 12B}; A = {5O, 5C, 5E, 5B} P (A ) = 4/40 = 1/10 = 0,1 80. Si A y B son sucesos compatibles, ¿puede ser P (A ) = 0,3, P (B ) = 0,5 y P (A ∩ B ) = 0,4? No, porque la probabilidad de A ∩ B no puede ser mayor que la de A.

11/47

81. Aplicando la regla de Laplace, calcula la probabili dad de obtener una bola de color negro al extraer una bola de una urna que contiene 2 bolas rojas y 3 azu les. (El enunciado de este problema es correcto).

1 11 11 · = = 0,06 4 47 188

75. Se lanzan dos dados al aire. Calcula la probabilidad de que el producto de los dos números obtenidos sea 12

166 Solucionario

10 O 30 no O

1R, 2V, 1A

no F

10 12

12 15 18

12 16 20 24

10 15 20 25 30

12 18 24 30 36

P (Producto 12) = 4/36 = 1/9 = 0,11

no F

P (2F) = P (F) · P (F) =

77. Halla la probabilidad de obtener tres oros al extraer con devolución tres cartas de una baraja española de 40 cartas.

2R, 1V, 1A

1/4

12 F 36 no F

1 25 25 · = = 0,25 2 51 102

74. Halla la probabilidad de obtener dos figuras al ex traer sin devolución dos cartas de una baraja espa ñola de 48 cartas. F

P (2R) = P (R) · P (R) =

2R, 2A

1 1 1 1 1 1 1 · + · + · = = 0,2 3 5 3 5 3 5 5

11 F 36 no F

no R

1/5

P (2R) + P (2V) + P (2A) =

25/51

1R, 1V, 2A 1/5

2/5

1/2

P (Par) = P (2) + P (4) + P (6) = 0,2 + 0,2 + 0,3 = 0,7

2R, 2V, 2A

24 R 26 no R

E = {2R, 3A} ; A = {N} = ∅ P (A ) = 0 82. Calcula la probabilidad de obtener una bola de color rojo o azul al extraer una bola de una urna que tiene 4 bolas rojas, 5 azules y 3 verdes. E = {4R, 5A, 3V} A = {4R, 5A} P (A ) = 9/12 = 3/4 = 0,75 83. Calcula la probabilidad de obtener un número par y múltiplo de 3 al lanzar al aire un dado con forma de dodecaedro y con las caras numeradas del 1 al 12 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A = {6, 12} P (A ) = 2/12 = 1/6 = 0,17

E = {1O, 2O, 3O, …, 11B, 12B} A = {10O, 10C, 10E, … 11B, 12B} – P (A ) = 12/48 = 1/4 ⇒ P ( A ) = 1 – 1/4 = 3/4 85. Un dado trucado tiene las siguientes probabilidades: P (1) = x , P (2) = 2x , P (3) = 3x , P (4) = 4x , P (5) = 5x , P (6) = 6x . Calcula la probabilidad de obtener número impar. x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x = 1 21x = 1 ⇒ x = 1/21 1 3 5 9 P (Impar) = P (1) + P (3) + P (5) = + + = = 0,43 21 21 21 21 86. Halla la probabilidad de obtener dos ases al extraer con devolución dos cartas de una baraja francesa. 4 As 48 no As

R 4 As 48 no As

As As

1/13 No as

1/13

4 As 48 no As

No as

P (2 Ases) = P (As) · P (As) =

1 1 1 · = 13 13 169

87. Halla la probabilidad de obtener tres ases al extraer de una vez tres cartas de una baraja española de 48 cartas. 1 Ases 44 no Ases

As As As

As 2 Ases 44 no Ases As 3 Ases 44 no Ases

1/23 No as

3/47 No as

As 4 Ases 44 no Ases

1/12 No as

1 3 1 1 · · = 12 47 23 4 324 88. En una urna tenemos 4 bolas marcadas con el signo + y 6 bolas marcadas con el signo −. Extraemos dos bolas con devolución. Calcula la probabilidad de que las dos bolas tengan el mismo signo. P (3 Ases) = P (As) · P (As) · P (As) =

+ 4+ 6–

4+ 6–

+ 3/5

2/5 –

2/5

3/5

– 4+ 6–

+ 3/5

2/5 –

4+ 6–

+–

4+ 6–

–+

4+ 6–

––

P (Mismo signo) = P (++) + P (– –) = 2 2 3 3 13 = 0,52 = · + · = 5 5 5 5 25

89. Una fábrica tiene tres máquinas, A, B y C. La máquina A hace 200 piezas cada hora, la B hace 300 y la C hace 500. Mediante los controles de calidad, se sabe que la máquina A hace un 5 % de piezas defectuosas, la B un 3 % y la C un 2 %. Calcula el tanto por ciento de piezas defectuosas que produce la fábrica. A

0,05

0,2 A 200

0,3

B 300

0,03

D S

C 500 0,5

0,02

D S

P (Defectuosa) = 0,2 · 0,05 + 0,3 · 0,03 + 0,5 · 0,02 = = 0,029 = 2,9 %

Matematización

en contextos reales

90. Un laboratorio farmacéutico crea dos medicamen tos, A y B . El medicamento A se ensaya en 50 pa cientes, y mejoran 35 de ellos; el medicamento B se ensaya en 75 pacientes, y de ellos mejoran 45. ¿Cuál de los dos medicamentos es más eficaz? Medicamento A : E = {50 personas}; A = {35 mejoran} P (A ) = 35/50 = 7/10 = 0,7 Medicamento B : E = {75 personas}; B = {45 mejoran} P (B ) = 45/75 = 3/5 = 0,6 Es más eficaz el medicamento A. 91. En un grupo de alto riesgo, compuesto por 60 perso nas, se prueba una vacuna A contra la gripe; con traen la enfermedad 15 de ellas. En otro grupo de alto riesgo, formado por 50 personas, se prueba otra vacuna B contra la gripe; contraen la enfermedad 12 de ellas. ¿Cuál de las dos vacunas es más eficaz? Vacuna A : E = {60 personas}; A = {45 no enferman} P (A ) = 45/60 = 3/4 = 0,75 Vacuna B : E = {50 personas}; B = {38 no enferman} P (B ) = 38/50 = 19/25 = 0,76 Es ligeramente más eficaz la vacuna B. 92. Un laboratorio farmacéutico crea dos medicamentos (A y B ) contra el sida. El medicamento A se ensaya en 80 pacientes, y mejoran 25 de ellos; el medica mento B se ensaya en 60 pacientes, y de ellos mejo ran 15. ¿Cuál de los dos medicamentos es más eficaz? Medicamento A : E = {80 personas}; A = {25 mejoran} P (A ) = 25/80 = 5/16 = 0,31 Medicamento B : E = {60 personas}; B = {15 mejoran} P (B ) = 15/60 = 1/4 = 0,25 Es más eficaz el medicamento A.

Autoevaluación 1. Define la regla de Laplace y pon un ejemplo. La regla de Laplace dice: la probabilidad de un suceso A, de un espacio muestral E, formado por sucesos elementales equiprobables, es igual al número de casos favorables dividido por el número de casos posibles.

167 Unidad 14. Probabilidad

84. Calcula la probabilidad de no obtener una figura al extraer una carta de una baraja española de 48 cartas.

P (A ) =

N.° de casos favorables al suceso A N.° de casos posibles

Ejemplo: Halla la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 al lanzar un dado de 6 caras. Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso A = {3, 6} P (A ) = 2/6 = 1/3 = 0,33 2. Clasifica los siguientes experimentos como determi nistas o de azar: a) Sacar una bola de una urna con bolas de distintos colores. b) Poner un helado al sol. c) Salir de paseo sin paraguas mientras está llo viendo. d) Lanzar al aire un dado de quinielas.

1 2 3 4

4. Si los sucesos A y B son compatibles y P (A ) = 2/3, P (B ) = 2/5, P (A ∩ B ) = 1/4, calcula P (A ∪ B ) 2 2 1 49 P (A ∪ B ) = + – = = 0,82 3 5 4 60 5. Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 al lanzar al aire un dado de ocho caras numeradas del 1 al 8 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = {3, 6} P (A ) = 2/8 = 1/4 = 0,25

168 Solucionario

6. Calcula la probabilidad de que al lanzar al aire dos dados con forma de tetraedro y con las caras nume radas del 1 al 4, los números obtenidos sumen 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

7. Halla la probabilidad de obtener dos bolas del mismo color al extraer sin devolución dos bolas de una urna que contiene 5 bolas rojas y 4 verdes.

R 5R 4V

4R 4V 5/9

R 1/2

4/9

5R 3V

3. Lanzamos 80 veces un dado defectuoso y sale 24 ve ces el número 5. Halla:

a) n = 24 b) f = 24/80 = 3/10 = 0,3

2 3 4 5 6

P (Suma 6) = 3/16 = 0,1875

Deterministas: b) y c). Azar: a) y d).

a) La frecuencia absoluta de obtener 5 b) La frecuencia relativa de obtener 5

1 2 3 4 5

P (RR) + P (VV) =

R 3/8

1/2 V

5/8 V

3R 4V

4R 3V

5R 2V

5 1 4 3 4 · + · = = 0,44 9 2 9 8 9

8. Calcula la probabilidad de obtener dos figuras al extraer dos cartas con devolución de una baraja es pañola de 40 cartas.

F 12 F 28 no F

P (FF) =

12 F 28 no F 3/10 no F

3 3 9 · = = 0,09 10 10 100

12 F 28 no F 3/10 no F

Solucionario Actividades de ampliaciรณn

Actividades de ampliación bloque I Practica

con textos

EL DESIERTO DE TRIGO

170 Solucionario

[…] Al cabo de un rato, la niña se dio cuenta de que el suelo del laberinto empezaba a cubrirse de una fina gravilla. Una gravilla muy suave y uniforme, que crujía de un modo extraño bajo sus pies. Al agacharse para examinarla de cerca, Alicia exclamó: —¡Es trigo! ¡El suelo está alfombrado de granos de trigo! […] —¿Qué es esto? —preguntó Alicia, con los ojos muy abiertos por el asombro. —Es la deuda del rey Shirham —contestó Charlie—. Mejor dicho, una pequeña parte de su deuda. —¿Y a quién le debe tanto trigo? —Será mejor que te lo cuente él mismo. Tras una larga y fatigosa marcha por el inmenso granero, llegaron a lo alto de la duna. Un anciano de larga barba blanca, con turbante y lujosamente ataviado al estilo oriental, estaba sentado con las piernas cruzadas sobre una alfombra multicolor. A su lado, sobre la alfombra, había un tablero de ajedrez. Alicia se acercó al anciano y, tras saludarlo educadamente, le preguntó: —¿Es verdad que con todo este trigo estás pagando una deuda? —Así es —contestó Shirham—. Hace unos dos mil años, cuando yo era rey de la India, el inventor del ajedrez me pidió como recompensa un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente, duplicando en cada casilla el número de granos de la anterior. —Pero eso no puede ser mucho —comentó Alicia. —Eso pensé yo —dijo el rey con un suspiro—. Pero cuando los matemáticos de la corte calcularon el número de granos que tenía que entregarle al astuto inventor, resultó

que no había en el mundo trigo suficiente ni lo había habido desde el origen de los tiempos. Mira, aquí tienes la cuenta. El rey le tendió a Alicia el tablero de ajedrez. En cada casilla había un número escrito: —¡Qué barbaridad! —exclamó la niña—. Y encima hay que sumar todas las casillas para saber cuál es el total. —Eso es muy fácil —intervino Charlie. —¿Fácil? Una suma con 64 sumandos, y muchos de ellos enormes... —Fíjate bien —dijo el escritor—. Los dos primeros números suman 3, y el tercero es 4; los tres primeros números suman 7, y el cuarto es 8, los cuatro primeros números suman 15, y el quinto es 16... —¡Ya lo veo! Cada número es la suma de todos los anteriores más uno. —Exacto. Entonces, la suma de todos los números de esta serie será el doble del último menos uno, o sea, 18 446 744 073 709 551 615. En números redondos, serían unos 18 trillones y medio. —¿Y eso es mucho? No puedo imaginarme cómo es un trillón. —Nadie puede imaginárselo, es un número que se sale por completo de la modesta escala humana. Para que te hagas una idea, en un metro cúbico hay unos 15 millones de granos. Malditas matemáticas. Alicia en el País de los Números. Carlo Frabetti: “El desierto de trigo”, en editorial Alfaguara Juvenil. Lee atentamente el texto y responde: ❙ En el texto se indica cómo se pueden sumar los gra nos de trigo. Haz la siguiente suma aplicando la re gla dada: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 2 · 32 – 1 = 63 ❙ Calcula la suma de los 64 sumandos aplicando la fórmula de la suma de las progresiones geométricas. a · r – a1 = 264 – 1 = 1,84 · 1019 S32 = 32 r–1

del bloque

1. La estación espacial Mir permaneció en órbita 15 años y durante este tiempo dio 86 500 vueltas a la Tierra. La permanencia más larga de un astronauta en la Mir fue de 680 días. Pregunta: La Mir daba vueltas alrededor de la Tierra a una al tura aproximada de 400 kilómetros. El diámetro de la Tierra mide aproximadamente 12 700 km Calcula de forma aproximada la distancia total re corrida por la Mir durante sus 86 500 vueltas mien tras estuvo en órbita. Expresa el resultado en notación científica. El diámetro de la órbita es: 12 700 + 800 = 13 500 km La longitud de la órbita es: L = 13 500 · π = 42 411,5 km Longitud total: 86 500 · 42 411,5 = 3 668 594 750 km = = 3 669 000 000 km = 3,669 · 109 km 2. Un agricultor planta manzanos en un terreno cuadra do. Con objeto de proteger los manzanos del viento planta coníferas alrededor de la totalidad del huerto. Aquí ves un esquema de esta situación donde se puede apreciar la colocación de los manzanos y de las coníferas para cualquier número (n) de filas de manzanos:

Pregunta 1. Completa la tabla: n

Número de manzanos

Número de coníferas



Pregunta 2. Escribe el término general que nos da el número de manzanos y el de coníferas en función de n Pregunta 3. El agricultor ha decidido plantar 20 filas de manzanos. ¿Cuántos manzanos plantará? ¿Cuántas coníferas nece sitará? 1.

Número de manzanos

Número de coníferas

2. N.º de manzanos = n2 3. N.º de manzanos = 400

N.º de coníferas = 8n N.º de coníferas = 160

171 Actividades de ampliación

Ejercicios

❙ La expresión algebraica que obtienes debes igua larla al resultado obtenido:

Actividades de ampliación bloque II Practica

5 (2x + 5) + y = 62 10x + 25 + y = 62 10x + y = 37 ⇒ 10 · 3 + 7

con textos

ALGO MÁS QUE UN JUEGO DE ADIVINAR Manuel es un profesor de matemáticas ciertamente peculiar. Algunas veces se empeña en dar unas clases un poco raras. Un día, al llegar a clase, sentó a sus alumnos de tres en tres en cada mesa asignándoles una letra a cada uno de la siguiente forma: B A

B C

Entregó en cada mesa un folio y a todos los alumnos que les asignó la letra A les pidió que pensasen un número de una cifra. Una vez que lo tuvieron pensado, les solicitó que, mentalmente, lo duplicasen y después que le añadiesen cinco unidades. Los alumnos debían anotar en el papel el resultado y entregárselo a aquellos que tenían asignada la letra B. Pidió a estos que multiplicasen el resultado entregado por cinco y que pasaran el resultado a los alumnos de la letra C. Por último, solicitó a estos alumnos que sumasen al resultado entregado otro número de una cifra libremente pensado por ellos y que le dijeran a él el resultado. El profesor, con este resultado, adivinó los números pensados en cada mesa. ¿Cómo lo hizo? Lee atentamente el texto y contesta: ■ Posiblemente tu primera intención es utilizar letras y resolver alguna ecuación. Pero comencemos por algo más sencillo: Elige un dígito y haz las operaciones que se van pi diendo a los alumnos A y B. Cuando llegues a lo que debe hacer el alumno C, elige otro dígito y acaba las operaciones. Con ese resultado debes adivinar los números pedidos. Hazlo dos o tres veces con dígitos distintos. ¿Cuál es el truco? Por ejemplo: El alumno A elige x = 3, tendría: 2 · 3 + 5 = 11 El alumno B: 5 · 11 = 55 El alumno C elige y = 7, tendría: 55 + 7 = 62 ■ Ahora realiza todo el proceso con letras:

172 Solucionario

❙ Llama con la letra x al primer número de una cifra pensado por los alumnos del grupo A y realiza las operaciones que se les pide con esa letra. ❙ A lo que tengas escrito aplícale lo que debe hacer cada alumno del grupo B. Recuerda la propiedad distributiva. ❙ Finalmente, los alumnos del C deben pensar otro dígito; llámalo con la letra y. Realiza con esa letra lo que tienen que hacer estos alumnos.

Se obtiene la descomposición polinómica del número donde x es el número de decenas e y es el número de unidades. a) Si no ves el truco, pensemos algo más sencillo: Vamos a realizar el proceso simplificando un paso. El alumno A va a pensar un dígito y lo va a dupli car, pero no le va a sumar otra cantidad. El alumno B multiplica el resultado por cinco, y el alumno C suma al último resultado otro dígito. Hazlo ahora dos o tres veces con números. Obser va el resultado final. ¿Ves alguna relación entre el resultado y los números pensados? Si se elimina la suma del primer paso, se obtiene directamente 10x + y = resultado total Por ejemplo si x = 3, y = 7 se obtendría 10x + y = 37 Se obtiene la descomposición polinómica del número donde x es el número de decenas e y es el número de unidades. b) Repite el proceso ahora cambiando el cinco que debe sumar el alumno A por un cuatro. Si se hace sumando 4 unidades, queda el mismo resultado pero más fácil de realizar porque solo se resta 20 c) Haz el planteamiento del problema y escribe una conclusión. 5 (2x + 4) + y = 10x + 20 + y = 10x + y + 20 Si igualamos esta expresión al resultado y pasamos 20 a restar nos quedan los números pensados como las unidades y las decenas. ■ Inventa un problema similar pero que haya que adivi nar tres dígitos. Por ejemplo: A: Piensa un dígito, duplica y añade 4. Entrega el resultado a B ⇒ 2x + 4 B: Multiplica por 5 y suma otro dígito. Entrega el resultado a C ⇒ 5 (2x + 4) + y C: Duplica. Entrega el resultado a D ⇒ 2 (5 (2x + 4) + y) D: Multiplica por 5 y suma otro dígito. ⇒ 5 (2 (5 (2x + 4) + y)) + z 5 (2 (5 (2x + 4) + y)) + z = 5 (2 (10x + 20 + y)) + z = = 5 (20x + 40 + 2y) + z = 100x + 10y + z + 200 Si al resultado final se resta 200, se obtiene la descomposición polinómica del número donde x es el número de centenas, y es el número de decenas y z el número de unidades.

Q R

Actividades de ampliación bloque III

Ejercicios

del bloque

1. Indica qué figura se ajusta a la siguiente d escripción: P

• El triángulo PQR es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en R • El lado RQ es menor que el lado PR • M es el punto medio del lado PQ y N es el punto me dio del lado QR

La respuesta correcta es la d). 2. La siguiente figura muestra el modelo matemático del tejado en forma de pirámide de una casa. T

• S es un punto del interior del triángulo. • El segmento MN es mayor que el segmento MS PP P P

RR R R

PP P P PP P P

N K A

M 12 m

L B

La planta del ático, ABCD en el modelo, es un cuadra do. Las vigas que sostienen el tejado son las aristas de un bloque (prisma rectangular) EFGHKLMN. E es el punto medio de AT, F es el punto medio de BT, G es el punto medio de CT y H es el punto medio de DT. Todas las aristas de la pirámide tienen 12 m de lon gitud.

Calcula el área de la planta del ático ABCD. RR R R

Pregunta 2. Calcula la longitud de EF, una de las aristas horizon tales del bloque. 1. A = AB · BC = 122 = 144 m2

N N N N

Pregunta 1.

N N N N

RR R R

e) e) e) e)

PP P P

QQ Q Q M M M MS SS RR S R R

SS S S

d) d) d) d)

QQ Q Q

N N N N

M M M M QQ Q Q

12 m

SS S S

b) b) b) b)

c) c) c) c)

M M M M

N N N N

2. Como EF es paralelo a AB por el punto medio de AT, se tiene que los triángulos ABT y EFT son semejantes:

SS S S

RR R R SS S S

PP P P

M M M M

M M M M QQ Q Q

12 EF = ⇒ EF =6 m 12 6

173 Actividades de ampliación

a) a) a) a)

Actividades de ampliación bloque IV Practica

con textos

Carrera

de atletismo

La carrera de 100 m lisos es la prueba reina de la velocidad en el atletismo. Las marcas conseguidas en esta distancia han ido evolucionando de forma considerable. El atleta

jamaicano Usain Bolt recorrió los 100 m en 9,58 s, en los Campeonatos del Mundo de Atletismo celebrados en Berlín el día 16 de agosto de 2009.

Evolución del récord del mundo de los 100 metros lisos. (*) Solo se contabilizan los récords conseguidos con cronometraje electrónico. s 9,55 9,58

9,60 9,60

9,69

9,65

9,72

9,75 9,79

9,83

9,80

9,86

9,85

9,95 10,00 1965

9,92

9,93

9,74

9,84

9,85

9,90

9,77

9,90

9,95 1970

1975

1980

1985

Lee atentamente el texto y responde: ❙ ¿Qué se representa en el gráfico? La evolución del récord del mundo en la carrera de 100 m lisos masculinos. ❙ ¿Qué se mide en el eje horizontal? ¿Y en el vertical? El tiempo en años y el tiempo en segundos. ❙ ¿Cómo se han medido los récords registrados en el gráfico? Con cronometraje electrónico.

1990

9 10

2005

2010

El de 9,90 s en el año 1991. El de 9,72 s en el año 2008. ❙ Hubo un récord de Ben Johnson que fue anulado por dopaje. ¿Cuál crees que fue ese récord? De 9,83 s

Tiempo (s)

Longitud (m) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tiempo (s)

2000

❙ ¿Cuáles fueron los récords que menos tiempo du raron?

Velocidad Para analizar los diferentes ritmos de carrera en una prueba de 100 m lisos, se mide el tiempo de paso cada 10 m de carrera con un dispositivo de cronometraje electrónico. Supongamos que la tabla y gráfica adjunta corresponden a la carrera de un atleta:

1995

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Carrera de 100 m lisos

174 Solucionario

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Longitud (m)

Con la información anterior responde a las siguientes preguntas: • ¿Cuánto tiempo ha empleado en recorrer los 100 metros? 10 s

• ¿Lleva una velocidad constante? En caso afirmativo, ¿a qué velocidad corre? (Expresa el resultado en metros por segundo y en kilómetros por hora). Sí, v = 10 m/s = 36 km/h

Tiempo (s)

Longitud (m) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tiempo (s) 0 1,88 2,96 3,88 4,77 5,61 6,46 7,30 8,13 9,00 9,86

• Dibuja una gráfica que describa la siguiente carrera: — Salió de manera lenta y mantuvo un ritmo constan te a lo largo de casi toda la carrera. — En los últimos 15 metros aumentó su ritmo de ma nera considerable, esprintando y consiguiendo una marca final de 9,6 s

Tiempo (s)

• Seguramente pensarás, con razón, que la carrera re presentada en el gráfico es muy poco realista. Haz la gráfica de los datos de la siguiente tabla y describe la carrera del atleta que fue Carl Lewis cuando estable ció el record del mundo en Tokio en 1991.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Longitud (m)

Usain Bolt Del análisis que realizó la Federación Internacional de Atletismo (IAAF) para la final de los 100 m se pueden obtener algunos datos como los tiempos de la siguiente tabla y su gráfica correspondiente:

Responde: • Haz una tabla que recoja el tiempo en segundos que empleó en recorrer cada intervalo de 10 m y la veloci dad media en cada uno de ellos. Longitud (m)

Tiempo (s)

0-10 10-20 20-30

1,89 1,00 0,90

Velocidad (m/s) 5,29 10,00 11,11

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Longitud (m)

Longitud (m)

Tiempo (s)

30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

0,85 0,84 0,83 0,81 0,80 0,83 0,83

Velocidad (m/s) 11,76 11,90 12,05 12,35 12,50 12,05 12,05

175 Actividades de ampliación

Tiempo (s) 0 1,89 2,89 3,79 4,64 5,48 6,31 7,12 7,92 8,75 9,58

Tiempo (s)

Longitud (m) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Carrera de 100 m lisos de Usain Bolt

• ¿Dónde alcanzó su máxima velocidad? Entre los 70 m y 80 m • Una carrera se califica como excelente cuando al me nos se mantiene la misma velocidad entre 20 y 30 me tros. ¿Le sucedió esto a Bolt? Sí. Mantiene una velocidad media muy homogénea en la segunda parte de la carrera • El campeón dio 41 zancadas. ¿Cuál es la longitud me dia de cada zancada? 2,44 m por zancada.

176 Solucionario

• Elabora una tabla con los datos de Carl Lewis como la que has elaborado para Usain Bolt y compara la carre ra de ambos atletas. Longitud (m)

Tiempo (s)

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70

1,88 1,08 0,92 0,89 0,84 0,85 0,84

Velocidad (m/s) 5,32 9,26 10,87 11,24 11,90 11,76 11,90

Longitud (m)

Tiempo (s)

70-80 80-90 90-100

0,83 0,87 0,86

Velocidad (m/s) 12,05 11,49 11,63

La diferencia de tiempos por tramos a favor de Bolt es: Longitud (m) 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

Tiempo (s) 0,01 – 0,08 – 0,02 – 0,04 0,00 – 0,02 – 0,03 – 0,03 – 0,04 – 0,03

Aunque las gráficas son parecidas, se puede ver que Usain Bolt sale más lento, su tiempo de reacción es menor. Sin embargo, en la parte de aceleración de la carrera ya le adelanta considerablemente llegando a aventajarle en 14 centésimas de segundo. En la segunda parte de la carrera le sobrepasa en 3 centésimas de media en cada tramo.

Ejercicios

Pregunta 3.

del bloque

Velocidad (km/h)

1. Este gráfico muestra cómo varía la velocidad de un coche de carreras a lo largo de una pista llana de 3 km durante su segunda vuelta. 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

Velocidad de un coche de carreras a lo largo de una pista de 3 km (segunda vuelta)

¿Qué se puede decir sobre la velocidad del coche entre el kilómetro 2,6 y el 2,8? a) La velocidad del coche permanece constante. b) La velocidad del coche es creciente. c) La velocidad del coche es decreciente. d) La velocidad del coche no se puede hallar basán dose en este gráfico. Pregunta 4. Aquí están dibujadas cinco pistas:

0,5

1,5

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 Salida Distancia recorrida en la pista (km)

S A

Copia y contesta en tu cuaderno: Pregunta 1.

Pregunta 2. ¿Dónde alcanzó el coche la velocidad más baja du rante la segunda vuelta? a) En la línea de salida. b) Aproximadamente en el kilómetro 0,8 c) Aproximadamente en el kilómetro 1,3 d) A mitad del recorrido.

S S

S E

¿En cuál de estas pistas se condujo el coche para producir el gráfico de velocidad mostrado anterior mente? 1. b). 2. c). 3. b). 4. La pista B.

177 Actividades de ampliación

¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea de salida hasta el comienzo del tramo recto más largo que hay en la pista? a) 0,5 km b) 1,5 km c) 2,3 km d) 2,6 km

Actividades de ampliación bloque V Aproximación

del valor de

con

cálculo aleatorio

Vamos a aproximar el número π mediante un experi mento contando granos de arroz. Para ello debes utili zar cartulina y granos de arroz. Se ve mejor si usas un par de cartulinas de colores distintos. 1. Construye una caja con base cuadrada y pega dentro un círculo inscrito.

Ahora responde: ■ Si llenaras todo el círculo con granos de arroz y se tomara cada grano de arroz como unidad de medida, ¿qué estaríamos midiendo? ¿Y con todo el cuadrado? ¿Qué mediría la proporción A/n ? Si juntásemos granos de arroz hasta cubrir el círculo se estaría midiendo el área del mismo en una unidad que sería granos de arroz. Lo mismo pasaría con el cuadrado. La proporción A/n nos daría la razón entre el área del círcu lo y la del cuadrado. ■ Supongamos un círculo de radio R inscrito en un cua drado. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado? Radio del círculo inscrito en el cuadrado = R Lado del cuadrado = 2R ■ Haz la proporción de sus áreas y justifica el resultado del experimento. Área del círculo = πR 2 Área del cuadrado= (2R)2 = 4R 2

Por lo tanto:

2. Coge 100 granos de arroz y lánzalos sobre la caja.

πR 2 πR 2 π = = (2R )2 4R 2 4

A π 4 = 4 = π N 4 Es decir, 4 veces la proporción se aproxima al valor de π

Simulación GeoGebra

del experimento con

En GeoGebra elige el applet Aproximación del valor de π con cálculo aleatorio. Mueve el deslizador n para ob tener una aproximación de π

3. Cuenta los granos que han caído dentro del círculo. 4. Repite el proceso varias veces completando en tu cuaderno una tabla con los siguientes datos: N.º de granos N.º dentro del Proporción 4 · Proporción de granos círculo

178 Solucionario

A/n

4 · A/n

Ahora responde: ■ ¿Qué ocurre si aumentas el número de granos de arroz, es decir, al aumentar n? Al aumentar el número de granos de arroz, aumentará A y n y, por consiguiente, 4 · A/n se aproximará a π

del bloque

1. En el colegio de Irene, su profesora de ciencias les hace exámenes que se puntúan de 0 a 100. Irene tie ne una media de 60 puntos de sus primeros cuatro exámenes de ciencias. En el quinto examen sacó 80 puntos. ¿Cuál es la media de las notas de Irene en ciencias tras los cinco exámenes? Sean x 1, x 2, x 3, x 4 las notas de los cuatro exámenes primeros. La media de ellos es: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 60 ⇒ x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 · 60 = 240 4 La media de los cinco exámenes será: –x = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 240 + 80 = 320 = 64 5 5 5 2. En un juego de una caseta de feria se utiliza en primer lugar una ruleta. Si la ruleta se para en un número par, entonces el jugador puede sacar una canica de una bolsa. La ruleta y las canicas de la bolsa se representan en los dibujos siguientes 1

Cuando se saca una canica negra se gana un premio. Daniela juega una vez. ¿Cómo es de probable que Daniela gane un premio?

Indica la respuesta correcta. a) Es imposible. b) No es muy probable. c) Tiene aproximadamente el 50 % de probabilidad. d) Es muy probable. e) Es seguro. b) No es muy probable. 3. Se emitió un documental sobre terremotos y la fre cuencia con que estos ocurren. El documental in cluía un debate sobre la posibilidad de predecir los terremotos. Un geólogo dijo: En los próximos veinte años, la posibilidad de que ocurra un terremoto en la ciudad de Zed es dos de tres. ¿Cuál de las siguientes opciones refleja mejor el sig nificado de la afirmación del geólogo? Indica en tu cuaderno la respuesta correcta. 2 a) · 20 = 13,3 por lo que entre 13 y 14 años a partir 3 de ahora habrá un terremoto en la Ciudad de Zed. 2 1 b) es más que , por lo que se puede estar segu3 2 ro de que habrá un terremoto en la Ciudad de Zed en algún momento en los próximos 20 años. c) La probabilidad de que haya un terremoto en la Ciudad de Zed en algún momento en los próximos 20 años es mayor que la probabilidad de que no haya ningún terremoto. d) No se puede decir lo qué sucederá, porque nadie puede estar seguro de cuándo tendrá lugar un te rremoto. La c).

179 Actividades de ampliación

Ejercicios

Solucionario Actividades de recuperaciรณn

Actividades de recuperación bloque I 1. Redondea a dos decimales y calcula: (12,447 – 4,253) : 2,499 a) 3,29 b) 3,28 c) 3,27 d) 3,20 b) 3,28 2. Calcula y expresa el resultado de la forma más sen cilla posible:

( )

b) 2

c) 1/4

d) 1/2

c) 1/4 3. Pedro tiene dos números. Uno de ellos es el 630 y del otro solo sabemos que es una potencia de 2. ¿Cuál es el máximo común divisor de esos dos números? a) 1 b) 10 c) 2 d) No se puede determinar. Depende de la potencia de 2 c) 2 4. Calcula y expresa el resultado de la forma más sen cilla posible: 1 8–3 1 1+ 2 a) 6 b) 7/2 c) 10

182 Solucionario

a) 6

d) 10/3

a) ±7

b) 19

√ 32 + 16 c) √ 22

d) ±5

d) ±5 6. Según una encuesta reciente, de cada 15 españoles 9 no han leído Don Quijote de la Mancha. ¿Qué por centaje de españoles sí lo ha leído? a) 0,4 % b) 4 % c) 40 % d) No se puede determinar. Depende del número de habitantes total. c) 40 %

√ •2 4 2

a) 1

5. Calcula y expresa de la forma más sencilla:

7. Con 48 L de gasolina el marcador de un coche seña la 3/4 de depósito. ¿Cuál es la capacidad total del depósito del coche? a) 36 L b) 64 L c) 100 L d) 112 L b) 64 L 8. Calcula el valor del término que ocupa el lugar 100 en una progresión aritmética cuyo primer término vale 2 y su diferencia, 5 a) 497 b) 500 c) 502 d) 505 a) 497 9. Para hacer una tarta de 750 g, Pedro ha utilizado 300 g de harina. Ahora quiere hacer otra tarta que pese un kilogramo. ¿Cuántos gramos de harina necesitará? a) 225 g b) 500 g c) 450 g d) 400 g d) 400 g 10. Sabiendo que el séptimo término de una progresión geométrica es 1 y la razón 1/2, calcula el primer tér mino. a) 1/64 b) 64 c) 128 d) 1/128 b) 64

Actividades de recuperación bloque II 1. Halla el valor numérico del polinomio: x 4 – 2x 3 – 4x 2 + 3 para x = – 1 P (–1) = 2 2. Copia y completa usando los signos = o ≠:

c) 4 + 8z

10x

Precio del vestido: x Precio de la sudadera: y x + y = 122 ⇒ x = 87, y = 35 x = 2y + 17 El precio del vestido es 87 € y el de la sudadera, 35 €

a 2 – b 2

}

4(1 + 2z )

d) √ a 2 + 9

a + 3

a) ≠ b) ≠ c) = d) ≠ 3. Dados los polinomios: P (x ) = 3x 4 – 2x 3 – x 2 + 2 Q (x ) = – x 4 + 5x 2 + 3x – 5 calcula P (x ) – Q (x ) P (x ) – Q (x ) = 4x 2 – 2x 3 – 6x 2 – 3x + 7 4. Dados los polinomios: P (x ) = 6x 4 – 11x 3 + 16x 2 – 3x – 4 Q (x ) = 3x 2 – x – 1 calcula P (x ) : Q (x ) C (x ) = 2x 2 – 3x + 5 R (x ) = –x + 1 5. Calcula el valor de m para que el resto de la división: (3x 4 – 6x 3 + mx 2 + 5) : (x – 2) sea 9 Se aplica el teorema del resto: P (2) = 3 · 24 – 6 · 23 + m · 22 + 5 = 9 4m + 5 = 9 m = 1 6. Resuelve la ecuación: x – 1 x + 1 x – 2 – x = – 4 6 2 x = –1 7. Señala el resultado de factorizar el polinomio si guiente:

( )

a) (x + 3) x –

2 3

5 6

x +

11. Una ONG va a repartir paquetes de leche a las fami lias necesitadas de un barrio. Si la ONG tuviese el doble de paquetes de leche, podría repartir 6 paque tes a cada familia. Si tuviese el triple de paquetes y el número de familias fuese uno menos, repartirían 10 paquetes a cada familia. Calcula el número de familias necesitadas del barrio y el número de paquetes de leche que tiene la ONG. N.o de familias = x N.o de paquetes de leche = y 2y = 6x ⇒ x = 10, y = 30 3y = 10(x – 1) Hay 10 familias y a cada una le tocan 30 paquetes de leche.

}

12. En un triángulo rectángulo el cateto menor mide 7 cm menos que el cateto mayor; y la hipotenusa mide 2 cm más que el cateto mayor. Calcula las di mensiones del triángulo.

( ) ( )( )

d) x –

N.o de horas de estudio = x x + 2x + 10 = 24 ⇒ x = 14/3 Estudia 14/3 h = 4 + 2/3 h = 4 h 40 min

3x 2 + 7x – 6

b) (x + 9) (x – 2) c) 3 (x + 3) x –

10. Los jueves, Andrés distribuye las 24 horas del día de la siguiente forma: estudia la mitad de lo que duerme y todavía le sobran 10 horas para el resto de sus ac tividades. Plantea una ecuación que exprese el enunciado, indicando claramente lo que significa la incógnita. ¿Cuánto tiempo estudia Andrés los jueves? Expré salo en horas y minutos.

x+2

2 3

x–7

2 3

8. Resuelve el sistema por el método más sencillo: 3x – y = 1 2x + y = 4 Se resuelve por reducción, sumando las dos ecuaciones. x = 1, y = 2

}

x 2 + (x – 7) = (x + 2)2 x 2 – 18x + 45 = 0 x 1 = 3 (no es válida) x 2 = 15 Las dimensiones son: Cateto mayor = 15 cm Cateto menor = 8 cm Hipotenusa = 17 cm

183 Actividades de recuperación

5 + 10x 5 b) (a – b )2

9. La madre de Laura y José ha pagado 122 € por un vestido y una sudadera, que ha regalado a sus hijos. José protesta porque con lo que cuesta el vestido se podrían haber comprado dos sudaderas y habrían sobrado 17 €. Traduce la situación al lenguaje alge braico mediante un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, indicando con claridad el significa do de las letras que empleas. Calcula el precio del vestido y el de la sudadera.

Actividades de recuperación bloque III

Espacio recorrido por B en un minuto: e = v · t ⇒ e = 6 · 60 = 360 m

1. Una rampa avanza 13 m horizontalmente y salva un desnivel de 5 m. ¿Qué longitud tiene la rampa?

b = 480 m

a c=5m

a = 360 m

d 2 = b 2 + a 2 ⇒ d 2 = 4802 + 3602 = 230 400 + 129 600 = 360 000 b = 13 m

a 2 = b 2 + c 2 a 2 = a 2

132

= 169 + 25

d = √ 360 000 = 600 m 4. Apoyamos una escalera de 13 m de longitud sobre la pared, de forma que su base queda separada 5 m de la pared al nivel del suelo. ¿A qué altura llega la escalera?

a 2 = 194

a = √ 194 = 13,93 m a = 13 m

2. Un termo eléctrico industrial está formado por un ci lindro de 1,2 m de altura y terminado con dos semies feras de 40 cm de radio. Calcula su capacidad en litros.

c=5m

b 2 + c 2 = a 2 b 2 + 52 = 132 b 2 + 25 = 169 b 2 = 144

b = √ 144 = 12 m 5. Halla el ángulo A C = 45°

Vc = AB ∙ H ⇒ Vc = 3,14 ∙ 0,42 ∙ 1,2 = 0,6029 m3 4 · 3,14 · 0,43 = 0,2680 m3 3 VT = Vc + VE = 0,6029 + 0,2680 = 0,8709 m3 = 870,9 L VE =

B = 75°

D = 180° – (75° + 45°) = 60°

a) Expresa en km/h la velocidad del ciclista B. b) Expresa en kilómetros la distancia recorrida por el ciclista A, a partir de la rotonda, al cabo de 5 min

184 Solucionario

Comprueba que la distancia que separa a los dos ci clistas en línea recta un minuto después de salir de la rotonda es de 600 m

m 1 km 3 600 s · · = 1h s 1000 m = 6 · 3,6 km/h = 21,6 km/h

a) 6 m/s = 6 ·

b) e = v · t ⇒ e = 8 · 5 · 60 = 2 400 m = 2,4 km Espacio recorrido por A en un minuto: e = v · t ⇒ e = 8 · 60 = 480 m

A = 180° – D ⇒ A = 180° – 60° = 120° 6. El depósito de gasoil de la casa de Irene es un cilin dro de 1 m de altura y 2 m de diámetro. Irene ha lla mado al suministrador de gasoil porque en el depósito solamente quedan 140 litros. a) ¿Cuál es, en decímetros cúbicos, el volumen del depósito? Toma π = 3,14 b) El precio del gasoil es de 1,15 €/L. ¿Cuánto tiene que pagar Irene al suministrador del gasoil para que llene el depósito? a) R=1m H=1m

3. Dos ciclistas, A y B, se cruzan en una rotonda de la que salen al mismo tiempo por dos carreteras per pendiculares entre sí. Ruedan los dos a velocidad constante: A va a 8 m/s y B va a 6 m/s

V = π · R 2 · H ⇒ V = 3,14 · 1 · 1 = 3,14 m3 = 3 140 dm3 b) Hay que llenar: 3 140 – 140 = 3 000 L Hay que pagar: 3 000 · 1,15 = 2 608,69 €

7. Averigua la altura de una casa que proyecta una sombra de 68 m, sabiendo que en el mismo instante, una persona de 165 cm de estatura, proyecta una sombra de 2 m

9. El maletero de un coche, de forma ortogonal, tiene unas dimensiones de 2 m de largo, 1 m de ancho y 80 cm de alto. ¿Podemos meter en el maletero una barra de madera de 260 cm de larga? x

0,8 m 1m

x = √ 22 + 12 + 0,82 = 2,37 m = 237 cm < 260 cm

1,65 m 2m

68 m

No se puede meter en el maletero. 10. Halla el área de un cono de 4 cm de radio y 6 cm de altura.

1,65 h = ⇒ h = 56,1 m 2 68

8. Calcula el área de una pirámide hexagonal regular en la que la arista de la base mide 6 cm y la altura, 8 cm Área total: AT = AB + AL Hay que calcular la apotema de la base aplicando el teorema de Pitágoras:

AB = π · R 2 ⇒ AB = 3,14 · 42 = 50,24 cm2 G = √ R 2 + H 2 ⇒ G = √ 52 = 7,21 cm AL = π · R · G ⇒ AL = 3,14 · 4 · 7,21 = 90,56 cm2 AL = π · R · G AT = AB + AL = 50,24 + 90,56 = 140,8 cm2

11. Dibuja la figura simétrica de F respecto de la recta r y después la simétrica de la obtenida respecto de la recta s. ¿A qué movimiento corresponde la composi ción de las dos simetrías?

a = √ 62 – 32 = √ 27 = 5,20 m

AB =

6 · 6 · 5,2 P·a ⇒ AB = = 93,6 m2 2 2

AL = 6 ·

b·h 2

Hay que calcular la apotema de la pirámide aplicando el teorema de Pitágoras:

r F F′

H=8m

F″

h = √ 82 + 5,22 = √ 91,04 = 9,54 m

6 · 9,54 AL = 6 · = 171,72 m2 2 AT = 93,6 + 171,72 = 265,32 m2

La composición de las dos simetrías corresponde a una traslación de vector que tiene por módulo el doble de la distancia que hay entre las dos rectas, dirección perpen dicular a las dos rectas y sentido que va de la primera recta a la segunda.

185 Actividades de recuperación

5,2 m

Actividades de recuperación bloque IV 1. La siguiente gráfica representa un viaje en autobús de un grupo de estudiantes:

Espacio (km)

Y 140 120 100 80 60 40 20 0

3. Clasifica las siguientes funciones y dibuja sus grá ficas: 1 a) y = x + 1 2

b) y = –

3 x 4

a) Función afín. Pendiente = 1/2, ordenada en el origen 1

Viaje

Y 1 x+1 y=— 2 A(0, 1)

B(2, 2) 1

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (h)

a) ¿Qué se representa en cada eje y en qué unidades? b) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que v isitaron?

b) Función lineal. Pendiente = – 3/4

c) ¿Cuánto tiempo duró la visita al lugar?

Y 3x y = –— 4

d) ¿Hubo alguna parada a la ida? ¿Y a la vuelta? e) ¿Cuánto duró el viaje completo? a) En el eje X se representa el tiempo en horas y en el eje Y la longitud en kilómetros.

O (0, 0)

b) A 140 km

–3

c) 5 h

A(4, –3)

d) A la ida hubo una parada de 1 h de duración. A la vuelta no hubo paradas. e) 10 h

4. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: 2. La velocidad constante a la que una persona recorre una distancia de 6 km viene expresada en función del tiempo por la siguiente gráfica:

Velocidad (km/h)

Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (h)

b) ¿Cuál es la velocidad cuando t = 1 hora? ¿Y cuan do t = 2 horas?

186 Solucionario

a) ¿Es una función creciente o decreciente?

c) Al aumentar el tiempo, ¿a qué valor tiende la ve locidad? a) Es una función decreciente. b) 6 km/h; 3 km/h c) A cero.

4 2 +1 a) y = – b) y= x x–3

2 y = ——— + 1 x–3

5. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: a) y =

y = – x 2 – 4x 2x 2 b)

+1 A (5, 2)

2 X

O (0, 0) 5

2 x 5

Función lineal.

7. Halla la ecuación de las siguientes hipérbolas: Y

a) X

6. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas y cla sifícalas.

Y a) X

b) X

Y y=0 3 B (3, 1)

1 y = – x + 2 3 Función afín.

–1

4 X

x=0

P (1, –4)

El rectángulo tiene como vértices opuestos el punto de corte de las asíntotas y el punto P (1, – 4), tiene de área 4 unidades cuadradas. La hipérbola es creciente ⇒ k = – 4 Asíntotas: y = 0 ⇒ r = 0; x = 0 ⇒ s = 0 La ecuación es: y=

4 k +r⇒y=– x x–s

187 Actividades de recuperación

A (0, 2)

P (–1, 6)

Y x =3

5 y=1

x = –2

4 2

El rectángulo tiene como vértices opuestos el punto de corte de las asíntotas y el punto P (–1, 6), tiene de área 5 unidades cuadradas. La hipérbola es decreciente ⇒ k = 5 Asíntotas: y = 1 ⇒ r = 1; x = –2 ⇒ s = –2 La ecuación es: y=

5 k +1 + r ⇒ y = – x+2 x–s

8. Halla la ecuación de las siguientes parábolas: a)

Y 1 V(0, 5)

188 Solucionario

9. Pedro tiene al lado de casa dos cibercafés, H y K, para conectarse a Internet. En el cibercafé H cobran 0,5 € por el enganche a Internet y 0,02 € por minuto de conexión. En el K no cobran por el enganche, pero cobran 0,03 € por minuto de conexión. a) Pedro piensa estar 100 min utilizando Internet. ¿Dónde irá para que le salga más barato? Justifi ca con cálculos tu respuesta. b) Pedro se da cuenta de que H sale, a la larga, más barato. ¿A partir de qué tiempo de utilización con viene entrar en H? a) Sea x el tiempo en minutos. Sea y el dinero que se paga. Cibercafé H: y = 0,02x + 0,5 Cibercafé K: y = 0,03x Y 5,5 5 4,5 4 Cibercafé K 3,5 3 2,5 Cibercafé H 2 1,5 1 0,5 10

50 70 Tiempo (min)

90 110

En 100 minutos se tiene: Cibercafé H: y = 0,02 · 100 + 0,5 = 2,5 € Cibercafé K: y = 0,03 · 100 = 3 € b) En la gráfica se observa que el cibercafé H sale más barato a partir de los 50 min

y = – 3x 2 + 5

y = x 2 – 6x + 5

Dinero (€)

V(3, 4)

Actividades de recuperación bloque V 1. El peso en gramos que aumentan 40 lactantes du rante la primera quincena de vida se ha recogido en la siguiente tabla: Intervalo

n i

160-220

220-280

280-340

340-400

400-460

Parámetros de dispersión: Varianza: V =

Σ x i2 · n i N

—

112 2 – 2 = 1,6 20

σ = √ V ⇒ σ = √ 1,6 = 1,26 σ CV = – ⇒ CV = 1,26 : 2 = 0,63 = 63 % > 30 % x Los datos se distribuyen alrededor de 2 horas con una dispersión muy grande. 3. Preguntadas 39 personas sobre sus espectáculos favoritos dieron el siguiente resultado:

Calcula la moda, la mediana y la media e interpreta el resultado. Intervalo

x i

n i

N i

x i · n i

160-220

190

380

220-280

250

1 500

280-340

310

6 200

340-400

370

2 590

400-460

430

2 150

Total

– – x2⇒V=

n i

Ángulo

Cine

20 · 9° = 180°

Conciertos

6 · 9° = 54°

Deportes

10 · 9° = 90°

Teatro

4 · 9° = 36°

Total

360°

Ocio Teatro

2. El número de horas que dedica un grupo de jóvenes a realizar deporte se ha recogido en la siguiente tabla: 2

n i

20 6 10 4

x i

El peso que aumentan los lactantes durante los primeros 15 días se distribuye alrededor de 320,5 g

Cine Conciertos Deportes Teatro

360° = 9° 40

Moda: 310 Mediana: 310 Σ x i · n i 12 820 Media: –x = = 320,5 ⇒ –x = N 40

n i

Haz un diagrama de sectores e interpreta el resul tado.

12 820

N.o de horas

Espectáculo

Deportes Cine

Calcula los parámetros de centralización y de disper sión que tengan sentido e interpreta los resultados. n i

N i

x i · n i

x i2 · n i

Total

112

Moda: 2 Mediana: 2 40 Σ x i · n i Media: –x = =2 ⇒ –x = 20 N

Conciertos

La mitad de las personas prefiere el cine y una cuarta parte el deporte. El teatro y los conciertos ocupan la otra cuarta parte. 4. Las notas de Rosa en las dos primeras evaluacio nes de matemáticas han sido 3,5 y 4,6. Quiere tener como media de las tres evaluaciones al menos un 5. ¿Cuánto tendrá que sacar, por lo menos, en la ter cera evaluación? Sea n la tercera nota, –x = 3,5 + 4,6 + n 3 8,1 + n 3 n = 15 – 8,1 = 6,9

189 Actividades de recuperación

x i

5. Se realiza el experimento aleatorio de lanzar dos veces un dado numerado de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números obteni dos sea divisible entre tres? 4

b) Impar = {1, 3, 5}

P (Impar) =

10 11

10 11 12

k=1–

12 1 = 36 3

4 2 = 10 5

3 3 ⇒ Verdes = 10 · = 6 5 5

1R, 4B U1 1/3 5B

1/3

a) Juan ha acertado: 22 = 0,55 = 55 % 40 b) Pedro ha encestado:

10. En una bolsa hay 4 bolas rojas, 5 azules y 3 verdes. Se extraen dos bolas. Calcula la probabilidad de que salgan dos bolas rojas: a) Al extraerlas sin devolución. b) Al extraerlas con devolución. a)

5/5

RR 3/11

RR 1/3

3R, 5A, 3V R

1/3

U3 2R, 3B

3/5

P (RR) =

1 4 1 1 3 4 · + ·1+ · = 3 5 3 3 5 5

1 3 3 1 · = = 3 11 33 11

b) 4R, 5A, 3V

8. Un dado está trucado de tal forma que las probabi lidades de obtener cada uno de los números de las caras son las que se recogen en la tabla siguiente: Número

9. Juan y Pedro se entrenan lanzando tiros a una ca nasta de baloncesto desde un mismo punto. De 40 tiros, Juan ha fallado 18, y Pedro, de 50 tiros, ha encestado 28. a) ¿Qué porcentaje de aciertos ha obtenido Juan? b) ¿Cuál de los dos es mejor encestador? Justifica la respuesta.

4R, 5A, 3V

1/3

4/5

1 1 1 12 3 + + = = 4 4 10 20 5

28 = 0,56 = 56 % 50 Los dos son muy similares. Pedro tiene una probabilidad de enceste de una centésima mayor que Juan.

7. Se tienen tres urnas de idéntico aspecto. En la pri mera hay 1 bola roja y 4 blancas. En la segunda hay 5 blancas y en la tercera hay 2 rojas y 3 blancas. Se extrae una bola de una urna elegida al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca?

190 Solucionario

1 2 1 + = 2 5 10

a) E = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} Primo = {11, 13, 17, 19}

P (B) =

1 2 + +k=1 2 5

6. En una bolsa hay 10 bolas numeradas del 11 al 20, idénticas, salvo en el color, pues unas son rojas y las otras verdes. Sacamos sin mirar, una bola. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo? b) Se sabe que la probabilidad de sacar bola verde es 3/5. ¿Cuántas bolas hay de cada color?

b) P (V ) =

P (Divisible entre 3) =

P (Primo) =

1 1 1 1 1 a) + + + + k + = 1 10 4 5 4 10

R 4R, 5A, 3V

1/3

A V

Probabilidad 1/4 1/5 1/4 1/10 k 1/10

a) ¿Qué probabilidad corresponde al suceso obte ner 5? b) ¿Qué probabilidad corresponde al suceso obtener puntuación impar?

P (RR) =

1 1 1 · = 3 3 9

Solucionario Evaluaciรณn final

5. Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema: 3x – 2y = 1

Evaluación final

x+1 y–5 1 = – 4 2 6

1. Realiza las siguientes operaciones: 3 7 5 4 a) – c – m : 2 6 2 3

9–2

5 2

6 5

3x – 2y = 1 x+1 y–5 1 ⇒ ⇒ = – 2(x + 1) – 3(y – 5) = 6 2 4 6 3x – 2y = 1 x = 5; y = 7 2x – 3y = –11

244

· · 8–2 · 46 · 105

3x – 2y = 1

6 3 1 8 b) : + · 5 2 4 5 — — — — c) √75 – √12 + 2 √27 – √48 253

6. Halla la fórmula o ecuación de la siguiente parábola: Y

— c) 5√3

d) 10 2. Un autónomo ha aumentado su facturación un 20 % y un 30 % respectivamente en los dos años anteriores. En el año actual la facturación ha disminuido un 25 % y le ha supuesto 58 500 €. Calcula el importe por el que facturó hace tres años. Índice de variación: P = 1,2 · 1,3 · 0,75 = 1,17 I = F : P ⇒ I = 58 500 : 1,17 = 50 000 € 3. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 10:

a=1 Eje de simetría: x = 1 – b x= ⇒ b = – 2ax 2a b = – 2; c = –4 y = x 2 – 2x – 4 7. Un cucurucho para helado tiene forma de cono de 17 cm de altura y 6 cm de diámetro. Si se llena la mi tad del cono de helado y se añade media esfera, ¿cuánto se pagará por el helado si el litro vale 16 €? Redondea el resultado a dos decimales.

(x 3 + kx 2 – x – 8) : (x + 2)

P (k) = x 3 + kx 2 – x – 8 P (–2) = 10 P (–2) = – 8 + 4k + 2 – 8 = 4k – 14 4k – 14 = 10 k=6

V (cono) = 320,28 cm³; V (semiesfera) = 452,16 cm³ V = 772,44 cm³ = 0,77244 dm³ Precio = 12,36 €

4. Las dimensiones de un rectángulo se diferencian en 2 m y la diagonal mide 10 m. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo.

8. Lanzamos dos dados con forma de octaedro con sus caras numeradas del 1 al 8. Calcula la probabilidad de que se obtengan los mismos números. 1

10 m

x–2

192 Solucionario

x x 2 + (x – 2)2 = 100 x 2 – 2x – 48 = 0 x1 = 8 m; x2 = 6 El rectángulo mide 8 m por 6 m

1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5

1, 6

1, 7 1, 8

2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5

2, 6

2, 7 2, 8

3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5

3, 6

3, 7 3, 8

4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5

4, 6

4, 7 4, 8

5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5

5, 6

5, 7 5, 8

6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5

6, 6

6, 7 6, 8

7, 1 7, 2 7, 3 7, 4 7, 5

7, 6

7, 7 7, 8

8, 1 8, 2 8, 3 8, 4 8, 5

8, 6

8, 7 8, 8

P (mismo número) =

8 1 = 64 8

Creditos_MKT_Digital_2021.indd 4

8/1/21 13:25