Prefix matematik 2a, Gy25, smakprov

Prefix matematik 2a

Prefix 2a

Författare till detta läromedel är Per-Olof Bergmark och Daniel Nilsson

För värdefulla synpunkter och idéer i samband med utvecklingen av detta läromedel tackar vi: Dalia Wadee

Innehåll

1 Funktioner och linjära

samband

1.1 Funktioner

Exempel

Uppgifter

1.1 Test – Funktioner

1.2 Räta linjens ekvation

Bestäm k- och m-värdet för räta linjer

Exempel

Uppgifter

1.3 Ta reda på räta linjens ekvation

Exempel

Uppgifter

1.2–1.3 Test – Räta linjens ekvation

1.4 Räta linjens ekvation med digitala verktyg

Exempel

Uppgifter

1.5 Problemlösning med linjära funktioner

Exempel

Uppgifter

1.4–1.5 Test – Räta linjens ekvation med digitala verktyg och problemlösning med linjära funktioner

Diagnos

Gruppuppgift

Blandade övningar

Sammanfattning

2 Algebra och ekvationssystem

2.1 Uttryck och ekvationer

Exempel

Uppgifter

2.1 Test – Uttryck och ekvationer

2.2 Grafisk lösning av ekvationssystem

Exempel

Uppgifter

2.3 Algebraisk lösning av linjära ekvationssystem

Substitutionsmetoden

Additionsmetoden

Exempel

Uppgifter

2.4 Några speciella linjära ekvationssystem

Exempel

Uppgifter

2.2–2.4 Test – Grafisk lösning av ekvationssystem, algebraisk lösning av linjära ekvationssystem och några speciella linjära ekvationssystem

2.5 Problemlösning med ekvationssystem

Exempel

Uppgifter

Diagnos

Gruppuppgift

Blandade övningar

Sammanfattning

3 Potenser

och andragrads­

ekvationer

3.1 Potenser och potenslagar

Exempel

Uppgifter

3.2 Mer om potenser

Negativa potenser

Samband mellan rötter och potenser

Grundpotensform

Exempel

Uppgifter

3.1–3.2 Test – Potenser, potenslagar och grundpotensform

3.3 Potensekvationer

Exempel

Uppgifter

3.3 Test – Potensekvationer

3.4 Multiplikation av parentesuttryck

Kvadreringsregel

Konjugatregel

Exempel

Uppgifter

3.5 Faktorisera uttryck

Exempel

Uppgifter

3.4–3.5 Test – Parentesuttryck

3.6 Andragradsekvationer

Nollproduktmetoden

Exempel

Uppgifter

3.7 Lösningsformeln

Faktorisering

Kvadreringsregeln omvänt

Kvadratkomplettering

pg-formeln

Exempel

Uppgifter

3.6–3.7 Test – Andragradsekvationer

3.8 Problemlösning

Diagnos

Gruppuppgift

Blandade övningar

Sammanfattning

4 Icke linjära modeller

4.1 Potensfunktioner

Andragradsfunktioner

Några andra potensfunktioner

Exempel

Uppgifter

4.1 Test – Potensfunktioner

4.2 Exponentialfunktioner

Exempel

Uppgifter

4.2 Test – Exponentialfunktioner

4.3 Funktioner med digitala verktyg

Exempel

Uppgifter

Diagnos

Gruppuppgift

Blandade övningar

Sammanfattning

5 Statistik

5.1 Lägesmått och lådagram

Exempel

Uppgifter

5.1 Test – Lägesmått och lådagram

5.2 Normalfördelning

Spridningsmått

Exempel

Uppgifter

5.2 Test – Normalfördelning

5.3 Statistik med digitala verktyg

Exempel

Uppgifter

Diagnos

Gruppuppgift

Blandade övningar

Sammanfattning

6 Geometri

6.1 Pythagoras sats

Exempel

Uppgifter

6.1 Test – Pythagoras sats

6.2 Koordinatgeometri

Avståndsformel

Mittpunktsformel

Exempel

Uppgifter

6.2 Test – Koordinatgeometri

6.3 Geometri och digitala verktyg

Exempel

Uppgifter

6.3 Test – Geometri och digitala verktyg

6.4 Problemlösning med geometri

Exempel

Uppgifter

Diagnos

Gruppuppgift

Blandade övningar

Sammanfattning

7 Förberedelse inför NP

Blandade övningar

Yrkesspecifikt innehåll

Facit

Centralt innehåll

● Räta linjens ekvation. Metoder för att bestämma linjära funktioner.

● Användning av digitala verktyg för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder.

● Problemlösning med särskild utgångspunkt i arbets- och samhällsliv.

1 Funktioner och linjära samband

Funktioner har du stött på i många olika sammanhang. I matematik har du säkert arbetat med funktioner, både i grundskolan och nivå 1 i gymnasiets matematik. I vår vardag används funktioner för att till exempel ta fram avbetalningsplaner om du köper något eller för att beräkna kostnaderna för att tillverka något.

I detta kapitel börjar första avsnittet med repetition av sådant du redan bör kunna sedan tidigare. Dessa kunskaper får du sedan visa i ett Test. Därefter fokuserar vi på räta linjens ekvation och se hur den kan användas i olika praktiska sammanhang.

Sant eller falskt?

Diskutera följande tre påståenden med klasskompisar. Motivera varför du tycker som du gör.

Påstående

1. Om du köper potatis i lösvikt är kostnaden proportionell mot vikten.

2. Du hyr en bil med en kostnad per km och en fast kostnad. Den totala kostnaden utgör ett linjärt samband.

3. Funktionen f(x) = 8 – 3x. Då blir f(−2) = 2.

Sant Falskt

1.1 Funktioner

Funktioner beskriver samband mellan variabler. För att skriva en funktion

använder man ofta bokstaven x som kallas den oberoende variabeln och bokstaven y som kallas den beroende variabeln. Värdet på y är beroende av vilket värde x har och därför kallas y den beroende variabeln.

En funktion kan beskrivas på flera olika sätt. Här visas ett exempel med en bilhyra på 89 kronor per timme.

Kostnaden kan beskrivas med ord, formel, tabell och graf.

Ord

Kostnaden för att hyra en bil är 89 kr/h.

Formel

y = 89x eller f(x) = 89x y är kostnaden i kronor för att hyra bilen. x är antalet timmar man har hyrt bilen.

Detta är ett exempel på en linjär funktion och grafen blir här en rät linje.

Sambandet mellan �� och �� kallas i detta fall för en proportionalitet, eftersom grafen passerar origo (0, 0). Man säger att �� är proportionell mot ��. Det betyder att om man till exempel dubblerar ��-värdet, så dubbleras även ��-värdet.

Teori

Värdemängden innehåller alla de y-värden som är möjliga för funktionen. 1.1

Ett proportionellt samband skrivs y = kx, där k allmänt kallas för riktningskoefficient. När det handlar om proportionalitet kallas riktningskoefficienten även för proportionalitetskonstant. I vårt exempel har vi en proportionalitetskonstant, k = 89 kr/h, vilket innebär att y ökar med 89 när x ökar med 1.

Proportionalitet

y = kx, där k är proportionalitetskonstanten

En linjär funktion är inte alltid en proportionalitet. En linjär funktion skrivs allmänt som y = kx + m. Konstanttermen m anger var funktionens graf skär y-axeln. I ett proportionellt samband är m = 0. Det finns många praktiska tillämpningar på linjära funktioner. Har man till exempel en funktion som beskriver en totalkostnad med en fast och en rörlig del, skrivs sambandet som y = kx + m. Här står kx för den rörliga kostnaden och m för den fasta kostnaden.

Linjär funktion

y = kx + m kallas för en linjär funktion.

f(x) = kx + m är ett annat sätt att skriva samma funktion. Konstanten k kallas här riktningskoefficient och m kallas konstantterm.

Grafen till en linjär funktion är en rät linje.

En funktion kan ibland vara begränsad till ett visst intervall av x-värden. Man säger då att det finns en definitionsmängd för x-värdena. När man beräknar y-värdena för dessa x-värden får man en värdemängd för funktionen. Funktionsvärdena, y-värdena, är då också begränsade till värdemängdens intervall.

Definitionsmängden innehåller alla de x-värden som är möjliga för funktionen.

1.1 Exempel

Rita funktion

En funktion ges av f(x) = 2x – 3.

a) Bestäm f(2).

b) Bestäm f(0).

c) Gör en värdetabell med fyra x-värden och rita upp funktionen i ett koordinatsystem.

Lösning

a) f(2) = 2 ⋅ 2 – 3 = 4 – 3 = 1

Svar: f(2) = 1

b) f(0) = 2 ⋅ 0 – 3 = 0 – 3 = −3

Svar: f(0) = −3

Svar:

c) x f(x)

Exempel

Tömma akvarium

Du har ett akvarium som är fyllt med vatten. Du ska byta vatten genom att suga ut vattnet med en slang. Akvariet innehåller 400 liter vatten. Du kan suga ut två liter vatten i minuten.

a) Skriv upp en funktion som beskriver mängden vatten i akvariet under tömningen.

b) Rita upp funktionen i ett koordinatsystem.

c) Hur lång tid tar det innan akvariet är tomt på vatten?

d) Bestäm definitionsmängden och värdemängden för tömningen av akvariet.

Lösning

a) Vattenmängden minskar linjärt med 2 liter/min. Detta kan beskrivas med en linjär funktion av typen y = kx + m.

Vattenmängden från början är 400 liter. Det innebär att m = 400. Eftersom vattenmängden minskar med 2 liter/min blir k = −2 liter/min och x = antalet minuter efter att tömningen startar.

Om y = mängden vatten i akvariet efter att tömningen startat får vi: y = −2x + 400 eller y = 400 − 2x.

Svar: y = −2x + 400

b) Svar:

c) När akvariet är tomt är mängden vatten i akvariet y = 0. Vi ser både i värdetabellen och i grafen att detta inträffar efter 200 minuter.

Svar: Akvariet är tomt efter 200 minuter.

d) Definitionsmängden innehåller alla möjliga värden på tiden x. Akvariet börjar tömmas vid tiden x = 0, då det är helt fyllt med 400 liter vatten. Efter 200 minuter, när y = 0, är akvariet tömt.

I vårt koordinatsystem kan vi markera definitionsmängd och värdemängd.

Svar: Definitionsmängden blir: 0 ≤ x ≤ 200

Motsvarande värdemängd blir: 0 ≤ y ≤ 400

1.1 Uppgifter

Stödfrågor

• Ska jag använda någon formel, till exempel y = kx + m?

• Kan jag beräkna något med de värden jag har?

• Kan jag ta reda på m-värdet?

• Kan jag ta reda på k-värdet?

Nivå 1

1101 En funktion ges av f(x) = 5x − 1.

a) Bestäm f(3).

b) Bestäm f(0).

1102 En funktion ges av y = 4 + 1,5x.

a) Bestäm y då x = 2.

b) Bestäm y då x = −2.

c) Bestäm x då y = 10.

d) Bestäm x då y = −0,5.

1103 Fyll i värdetabellen med hjälp av grafen.

1104 Gör en värdetabell för funktionen y = 2x – 4 och rita upp funktionen i ett koordinatsystem.

1105 Peter köper potatis som kostar 25 kr/kg.

a) Vad kostar det att köpa 3 kg potatis?

b) Skriv en funktion som beskriver sambandet mellan priset y och antalet kilogram x.

c) Rita upp funktionen i ett koordinatsystem.

d) Är priset proportionellt mot antalet kg man köper? Motivera ditt svar.

1106 Lisa betalar 100 kr för att hyra en film från en filmklubb. Emma är medlem i filmklubben och betalar en medlemsavgift på 150 kr. Som medlem kan hon hyra filmer för 50 kr/film.

a) Skriv en funktion för Lisas kostnad y, då hon hyr x filmer.

b) Skriv en funktion för Emmas kostnad y, då hon hyr x filmer.

c) Rita upp båda funktionerna i ett koordinatsystem.

d) Hur många filmer behöver Emma hyra för att det ska bli billigare att hyra film jämfört med om hon inte varit medlem?

1107 Ett stearinljus är från början 21 cm. När ljuset brinner blir det 3 cm kortare per timme.

a) Skriv en funktion som visar sambandet mellan ljusets längd y och antalet timmar det har varit tänt x

b) Rita upp funktionen i ett koordinatsystem.

c) Hur lång tid tar det innan ljuset har brunnit ned helt?

d) Ange funktionens definitionsmängd och värdemängd.

Nivå 2

1108 Det finns en omvandling mellan temperaturmätning i grader Fahrenheit (F) och grader Celsius (C) enligt följande funktion:

F = 1,8C + 32

a) Vad är temperaturen i Fahrenheit när det är noll grader Celsius?

b) Vad är temperaturen i Fahrenheit när det är −10 grader Celsius?

c) Vad är temperaturen i Celsius när det är noll grader Fahrenheit?

d) Vad är temperaturen i Celsius när det är 100 grader Fahrenheit?

1109 Adam är bilförsäljare och har en fast lön på 13 000 kr. Utöver det får han en provision för varje bil han säljer. En månad tjänar han 35 000 kr då han hade sålt 10 bilar. Hur mycket provision får han i snitt per bil den månaden?

1110 Funktionen y = 100 – 20x är bara definierad för 0 ≤ x ≤ 5. Vilka värden kan y ha?

1111 Funktionen f(x) är uppritad i koordinatsystemet.

a) Bestäm f(0).

b) Bestäm f(4).

c) För vilket x är f(x) = 5?

d) För vilka x ärf(x) > 5?

3 y x

Nivå 3

1112 Funktionerna f(x) och g(x) är uppritade i koordinatsystemet.

a) Bestäm f(0) + g(0).

b) Bestäm f(3) − g(3).

c) När är f(x) = g(x)?

(x)

1113 En funktion ges av f(x) = ax + b. Bestäm a och b om f(2) = 8 och f(0) = −2.

1.1 Test – Funktioner

Syftet med testet är att du ska se om du har förstått det du precis har jobbat med. Uppgifterna är på grundläggande nivå.

1 En funktion ges av f(x) = −3x + 1.

a) Bestäm f(2).

b)Bestäm f(−1).

2 Grafen till en funktion är given.

a) Bestäm y då x = 2.

b) Bestäm y då x = 0.

c) Bestäm x då y = 0.

d) Bestäm x då y = −1.

3 I en butik kostar bananer 28,95 kr/kg.

a) Skriv en funktion som visar hur kostnaden för bananer y beror på antalet kilogram man köper x.

b) Är detta ett proportionellt samband? Motivera ditt svar.

4 Gör en värdetabell för funktionen y = −2x + 5 och rita upp funktionen i ett koordinatsystem.

5 I en by bor 1 250 invånare år 2025. Man räknar med att antalet bybor ökar med 10 personer/år de närmsta fem åren.

a) Skriv en funktion som visar hur antalet bybor beror på antalet år som gått efter 2025.

b) Beräkna hur många bybor man förväntar sig år 2028.

c) Är funktionen en proportionalitet? Motivera ditt svar.

Behöver du träna mera? Fråga din lärare eller använd QR-koden för att gå till mängdträning.

1.2 Räta linjens ekvation

Bestäm k­ och m­värdet för räta linjer

I föregående avsnitt studerade vi linjära funktioner på formen y = kx +m.

I detta avsnitt ska vi titta på hur man kan bestämma riktningskoefficient k och konstanten m med hjälp av en given linjär graf.

Vi ritar upp funktionen y = 1 2 x + 3

m-värdet

Vi ser att grafen skär y-axeln i punkten (0, 3). Det ger oss m-värdet, m = 3.

Vi kan jämföra detta med en praktisk situation där vi betalar en fast kostnad plus en rörlig kostnad. Den fasta kostnaden motsvaras då av m-värdet.

k-värdet

För att ta reda på k-värdet tittar vi på grafens lutning. En graf som stiger uppåt från vänster till höger får vi ett positivt värde på k-värdet. Om grafen sjunker från vänster till höger får vi ett negativt värde på k-värdet.

m­värdet

• ger grafens skärningspunkt med y-axeln (0, m).

• visar vad y är när x = 0.

I praktiken är det ofta den fasta kostnaden eller startvärdet. k­värdet

• anger grafens lutning.

• beskriver hur mycket y förändras när x ökar med 1.

I praktiken motsvarar det den rörliga kostnaden eller förändringstakten.

k-värdets betydelse för linjens lutning

Funktion med positivt k­värde

Funktion med negativt k­värde

Parallella linjer har samma k­värde

Vinkelräta linjer

Om vi har två vinkelräta linjer, y1 = k1 + m1 och y2 = k2 + m2, gäller att k1 ⋅ k2 = −1.

Blanda inte ihop parallella och vinkelräta linjer!

Parallella linjer: k1 = k2

Vinkelräta linjer: k1 · k2 = −1

Bestäm k­värdet för en rät linje

Man kan ta reda på k-värdet genom att gå från en punkt på grafen till en annan punkt på grafen. För att bestämma k-värdet kan man använda olika metoder.

Metod 1

Man kan till exempel gå från punkten P1 = (x1, y1) = (2, 4) till punkten P2 = (x2, y2) = (4, 5), där (x1, y1) och (x2, y2) anger respektive punkts koordinater. Av grafen framgår att det finns en skillnad mellan punkternas x- och y-koordinater. Dessa skillnader brukar betecknas ∆x och ∆y (uttalas delta x och delta y). För att gå från P1 till P2 rör vi oss åt höger längs x-axeln och sedan uppåt längs y-axeln.

Vi får då att ∆x = 4 – 2 = 2 och ∆y = 5 – 4 = 1 k =

2 = (4, 5) P1 = (2, 4)

Metod 2

Man kan även börja i P2 och gå till P1. Man ska då tänka på följande regler:

Går man åt höger i koordinatsystemet blir ∆x positivt.

Går man uppåt i koordinatsystemet blir ∆y positivt.

Går man åt vänster i koordinatsystemet blir ∆x negativt.

Går man nedåt i koordinatsystemet blir ∆y negativt.

Vid Metod 1 gick vi åt höger och uppåt och då fick vi positiva värden på ∆x och ∆y. Nu går vi åt vänster och nedåt då vi går från P2 till P1 och då får vi negativa värden på ∆x och ∆y.

får då

Oavsett vilken metod vi använder får vi samma värde, k = 1 2.

Vilken metod man använder spelar alltså ingen roll så länge man håller reda på vilken punkt man börjar med i beräkningen av ∆x och ∆y.

Lutningen för en rät linje genom punkterna (x1, y1) och (x2, y2) beskrivs av k-värdet och beräknas med formeln:

k = Δy Δx = y 2 y 1 x 2 x 1

Linjens k-värde kallas för riktningskoefficient och visar hur brant linjen lutar.

Linjens skärning med y-axeln ger m-värdet, som visar att linjen korsar y-axeln i punkten (0, m).

Två linjer är parallella om de har samma k-värde.

Två linjer är vinkelräta om deras k-värden uppfyller sambandet k1 k2 = −1.

1.2 Exempel

Riktningskoefficient

En rät linje går genom punkterna (2, 1) och (4, 5). Bestäm linjens riktningskoefficient.

Lösning

Punkt 1: P1 = (x1, y1) = (2, 1)

Punkt 2: P2 = (x2, y2) = (4, 5)

Formeln för k ger k = Δy Δx = y 2 y 1 x 2 x 1 = (5 1) (4 2) = 4 2 = 2

Svar: Linjens riktningskoefficient är 2.

Bestäm k och m

En rät linje går genom punkterna (0, 4) och (3, −2). Bestäm k och m för linjen.

Lösning

Vi ser att grafen skär y-axeln i punkten (0, 4). Det ger oss att m = 4.

Formeln för k ger k = Δy Δx = y 2 y 1 x 2 x 1 = ( 2 4) (3 0) = 6 3 = 2

Svar: k = −2 och m = 4.

Vinkelräta linjer

Är linjen y = −4x + 1 vinkelrät mot linjen y = 0,25x + 5?

Lösning

För vinkelräta linjer gäller att k1 ⋅ k2 = −1.

Här har de båda linjerna riktningskoefficienterna k1 = −4 och k2 = 0,25.

Vi beräknar: k1 ⋅ k2 = (−4) ⋅ 0,25 = −1

Eftersom produkten blir −1, är linjerna vinkelräta.

Svar: Ja, linjerna y = −4x + 1 och y = 0,25x + 5 är vinkelräta.

1.2

Uppgifter

Stödfrågor

• Kan jag ta reda på k-värdet från två punkter genom att ta skillnaden mellan punkternas koordinater?

• Kan jag ta reda på m-värdet från en graf eller en punkt?

• Kan jag skriva ekvationen y = kx + m utifrån det jag vet?

• Kan jag rita grafen när jag vet m och k? Utgå från m och stega sedan fram i x- och y-led.

Nivå 1

1201 Bestäm k- och m-värdet för ekvationerna.

a) y = 2x + 4

b) y = 6 – 2x

c) y = x – 2

d) y = 5x

1202 Bestäm k-värdet för en rät linje som går genom punkterna

a) (2, 1) och (3, 3)

b) (2, 2) och (6, 4)

c) (0, 1) och (3, 2)

d) (2, 1) och (5, 1)

1203 Bestäm k- och m-värdet för funktionerna nedan.

a)

1204 Bestäm k- och m-värdet för en rät linje som går genom punkterna

a) (0, 1) och (4, 3)

b) (4, 0) och (0, 4)

1205 Bestäm k- och m-värdet för ekvationerna.

a) y = 4 – x 2 b) y = 2x + 6

1.2 Uppgifter

1206 Bestäm k- och m-värdet för en rät linje som går genom punkterna

a) (0, 1) och (4, 5)

b) (6, 3) och (0, 0)

1207 Bestäm k- och m-värdet för den räta linjen.

1210 Bestäm k- och m-värdet för en rät linje som går genom punkterna

a) (0, 1) och (4, 5)

b) (6, 4) och (0, 1)

1211 Bestäm k- och m-värdet för den räta linjen.

1208 Är linjerna y = 3x + 1 och y = 3x − 1 parallella? Motivera ditt svar.

Nivå 2

1209 Bestäm k- och m-värdet för en rät linje som går genom punkterna

a) (0, 4) och (3, −2)

b) (−4, −1) och (0, 3)

c) (−3, 0) och (0, −4)

d) (2, 5) och (4, 5)

1212 Är linjen y = −5x + 7 vinkelrät mot linjen y = 0,5x?

Nivå 3

1213 Vad är värdet på m för en linje som går genom punkten (8, 7) och har k-värdet 0,75?

1214 Bestäm k- och m-värdet för en rät linje som går genom punkterna (2, 0) och (2, 8).

1215 En funktion går genom punkterna (a, 5) och (2a – 2, 1). Funktionen har k-värdet 4. Bestäm värdet på a.

1.3 Ta reda på räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation skrivs oftast på formen y = kx + m. Att skriva ekvationen på detta sätt kallas att skriva den i k-form. Man kan också skriva räta linjens ekvation på allmän form. Då flyttar man över alla variabler och tal till vänsterledet så att högerledet blir noll.

Räta linjens ekvation k-form y = kx + m, där k är riktningskoefficienten och m visar var linjen skär y-axeln allmän form ax + by + c = 0, där a, b och c är konstanter, och inte både a och b är noll

För att få en komplett ekvation skriven på k-form behövs värden på k och m.

Generellt kan man säga att man behöver känna till två saker för att bestämma ekvationen för en rät linje.

Det kan ske på flera sätt:

● Vi har värdena på k och m.

● Vi har värdet på m och en punkt på grafen.

● Vi har värdet på k och en punkt på grafen.

● Vi har två punkter på grafen.

I följande exempel visas hur man tar reda på räta linjens ekvation i alla dessa fall.

1.3 Exempel

Linjens ekvation med hjälp av linjens graf

Ta reda på räta linjens ekvation med hjälp av grafen.

Lösning

Grafen skär y-axeln i punkten (0, 1). Det ger oss att m = 1.

För att få k-värdet kan vi utgå från punkten (0, 1) och gå till en annan punkt på grafen, till exempel (2, 5).

Vi har nu fått fram att m = 1 och k = 2.

Svar: Linjens ekvation är y = 2x + 1.

Bestäm linjens ekvation med hjälp av m och en punkt på grafen

Punkten (2, 1) ligger på en rät linje och m-värdet för linjen är −5. Ta reda på linjens ekvation.

Lösning

Vi vet att m = −5 och vi behöver ta reda på k-värdet. Vi använder oss av räta linjens ekvation för att ta reda på k-värdet.

y = kx + m

Vi sätter in m = −5 och punkten (2, 1) i ekvationen.

1 = k 2 – 5

1 + 5 = 2k

2k = 6

k = 3

Svar: Linjens ekvation är y = 3x − 5.

Om du vill kan du rita upp funktionen för att kontrollera att det stämmer.

Bestäm linjens ekvation med hjälp av k och en punkt på grafen

Punkten (2, 1) ligger på en rät linje och k-värdet för linjen är 0,5. Ta reda på linjens ekvation.

Lösning

Vi vet att k = 0,5 och vi behöver ta reda på m-värdet. Liksom i föregående exempel kan vi använda oss av ekvationen för en rät linje.

y = kx + m

Vi sätter in k = 0,5 och punkten (2, 1) i ekvationen.

1 = 0,5 ⋅ 2 + m

1 = 1 + m

m = 0

Svar: Linjens ekvation är y = 0,5x.

Om du vill kan du rita upp funktionen för att kontrollera att det stämmer.

Exempel

1.3

Exempel

Bestäm linjens ekvation med hjälp av två punkter

Punkterna (1, 2) och (3, 0) ligger på en rät linje. Ta reda på den räta linjens ekvation.

Lösning

Med hjälp av punkterna kan vi ta reda på k.

k = Δy Δx = y 2 y 1 x 2 x 1 = (0 2) (3 1) = 2 2 = 1

För att få reda på m-värdet använder vi oss av räta linjens ekvation.

y = kx + m

Vi sätter in k = −1 och en av punkterna, till exempel (1, 2) i ekvationen.

Vi får då en ekvation där vi kan lösa ut m.

2 = (−1) ⋅ 1 + m

2 + 1 = m

m = 3

Om du vill kan du prova att sätta in punkten (3, 0) i ekvationen i stället för (1, 2). Du ska då få samma värde på m då du löser ekvationen.

Svar: Linjens ekvation är y = −x + 3.

Om du vill kan du rita upp funktionen för att kontrollera att det stämmer.

Skriv om linjens ekvation från allmän form till k­form

Ekvationen 6x + 3y − 15 = 0 är skriven på allmän form. Skriv ekvationen på k-form.

Lösning

Ska vi skriva om ekvationen på k-form måste y stå ensamt i vänsterledet och resten av ekvationen i högerledet.

6x + 3y − 15 = 0 Subtrahera VL med 6x och addera med 15.

6x – 6x + 3y − 15 + 15 = 0 – 6x + 15

3y = −6x + 15 Dividera båda led med 3.

y = −2x + 5

Svar: Linjens ekvation i k-form är y = −2x + 5.

1.3 Uppgifter

Stödfrågor

• Vet jag värdet på k och m?

• Vet jag värdet på m och en punkt på grafen?

• Vet jag värdet på k och en punkt på grafen?

• Vet jag två punkter på grafen?

Nivå 1

1301 Ta reda på linjens ekvation.

1302 Ta reda på linjens ekvation.

1303 Punkten (2, 1) ligger på en rät linje och m-värdet för linjen är −5. Ta reda på linjens ekvation.

1304 Punkten (2, 1) ligger på en rät linje. Linjen skär y-axeln i en punkt där y-värdet är 3. Ta reda på linjens ekvation.

1305 Punkterna (1, 2) och (3, 0) ligger på en rät linje. Ta reda på linjens ekvation.

1306 Punkten (2, 1) ligger på en rät linje och k-värdet för linjen är 0,5. Ta reda på linjens ekvation.

1307 Punkterna (−2, −3) och (6, 1) ligger på en rät linje. Ta reda på linjens ekvation.

1308 Ekvationen 4x + y – 5 = 0 är skriven på allmän form. Skriv om denna ekvation på k-form.

1309 Skriv ekvationen y = −3x – 8 på allmän form.

Nivå 2

1310 Punkterna (100, 200) och (200, 0) ligger på en rät linje. Ta reda på linjens ekvation.

1311 Ta reda på linjens ekvation.

1.3 Uppgifter

1312 Punkterna (11, 2) och (2, 20) ligger på en rät linje. Ta reda på linjens ekvation.

1313 Punkterna (2, 2) och (7, 17) ligger på en rät linje. Ligger punkten (5, 15) på samma linje?

1314 Ekvationen 4x − 2y + 5 = 0 är skriven på allmän form. Är den linjen parallell med y = 2x + 7? Motivera ditt svar med beräkningar.

Nivå 3

1315 Ekvationen för en linjär funktion är y = 3x + m. En annan funktion har ekvationen y = kx + 7. Funktionernas grafer skär varandra i punkten (2, 5). Bestäm värdena för m och k.

1316 En rät linje går genom punkterna (−4, 0) och (2, 3). En funktion f(x) som är vinkelrät mot linjen går genom punkten (2, −2). Vad är ekvationen för f(x)?

1.2–1.3 Test – Räta linjens ekvation och ta reda på räta linjens ekvation

Syftet med testet är att du ska se om du har förstått det du precis har jobbat med. Uppgifterna är på grundläggande nivå.

1 Tag reda på linjens ekvation.

2 Bestäm k-värdet för en rät linje som går genom punkterna a) (2, 5) och (0, 1) b) (1, 6) och (6, 1)

3 Punkten (2, −1) ligger på en rät linje och m-värdet för linjen är −5. Tag reda på linjens ekvation.

4 Punkten (4, 4) ligger på en rät linje och k-värdet för linjen är 0,5. Tag reda på linjens ekvation.

5 Punkterna (2, 5) och (7, 0) ligger på en rät linje. Tag reda på linjens ekvation.

Behöver du träna mera? Fråga din lärare eller använd QR-koden för att gå till mängdträning.

1.4 Räta linjens ekvation med digitala verktyg

I Prefix 1a fick du en introduktion till hur du kan använda digitala verktyg för att rita upp olika funktioner. Det finns olika digitala verktyg för att rita funktioner. I detta avsnitt fokuserar vi på hur programmet GeoGebra kan användas.

Hur man aktiverar glidare

1) I Prefix 1a visade vi hur du ritar upp en linjär funktion, till exempel y = 2x + 1.

2) Om man vill variera k-värdet i denna funktion kan man lägga in en så kallad glidare. Börja med att skriva in y = ax + 1.

Trycker du på enter-tangenten, får du upp två rutor. I den första har du glidaren som automatiskt ställs in på a = 1. I den andra rutan har du funktionen där a har ersatts av värdet på glidaren.

3) Vill du ändra värdet på a kan du markera punkten på glidaren och dra den åt vänster eller höger. Du ser då att även värdet på a i funktionen följer med hela tiden. Observera även vad som då händer med grafen till funktionen.

Hur man ritar vinkelräta linjer

1) Du kan behålla din funktion y = 2x + 1. Vill du rita en funktion som är vinkelrät mot denna kan du använda en färdig funktionsknapp i GeoGebra. Välj vinkelrät linje i menyn under knappen.

1.4

Teori

2) Du kan nu markera var som helst på din graf och därefter välja en punkt. Väljer du punkten (2, 5) ser ritytan ut enligt bilden nedan.

3) GeoGebra har nu ritat in en funktion som är vinkelrät mot funktionen y = 2x + 1. Den nya funktionen betecknas h och blir −x – 2y = −12. Vi är inte vana att skriva funktioner på det sättet, men med lite färdigheter i algebra kan vi skriva om uttrycket till så kallad k-form, som vi är vana vid.

x – 2y = −12 (Addera med 2y och 12 på båda sidor om likhetstecknet.)

x + 12 = 2y

2y = −x + 12 (Dividera med 2 på båda sidor om likhetstecknet.)

y = 1 2 x + 6

Vi har fått fram en funktion som är vinkelrät mot y = 2x + 1. Den funktionen är y = 1 2 x + 6.

1.4 Uppgifter

Stödfrågor

• Kan jag använda glidare för att förstå och sedan svara på frågan?

• Kan jag rita flera funktioner för att förstå och sedan svara på frågan?

• Kan jag läsa av en skärningspunkt för att svara på frågan?

Nivå 1

1401 Använd ett grafritande verktyg för att rita upp funktionen y = ax + 4, där a ska kunna varieras med hjälp av en glidare.

a) Vad händer med funktionens graf när a får ett negativt värde?

b) Vad händer med funktionens graf när a får ett positivt värde?

c) Vad händer med funktionens graf när a = 0?

1402 Använd ett grafritande verktyg för att rita upp funktionen y = 3x – 4.

a) Rita upp två funktioner till, y = 3x + 1 och y = 3x + 4. Vad kan du säga om de tre graferna?

b) Vilket funktionsvärde är lika i de tre graferna? Kan du dra någon generell slutsats?

c) Var skär de tre linjerna y-axeln?

d) Skriv ekvationen för en funktion som är en proportionalitet och som är parallell med de tre funktionerna du har ritat.

1403 Rita upp funktionen f(x) = −2x + 3. Rita sedan upp en ny funktion som är parallell med f(x) och som går genom punkten (0, 1). Vad blir ekvationen för den nya funktionen?

1404 I koordinatsystemet ser du tre grafer, A, B och C. Ange funktionerna för dessa tre grafer. Rita upp dina funktioner för att se om det stämmer.

Nivå 2

1405 I vilken punkt skär graferna y = −0,5x och y = −2x + 3 varandra?

1406 En linjär funktion har ekvationen −4x + 2y = −2. Skriv in denna ekvation direkt i ditt grafritande verktyg. Genom grafen kan du ta reda på ekvationen för linjen i k-form. Vad blir ekvationen i k-form?

1407 En funktion beskrivs av punkterna (–2, –1) och (2, 7).

a) Bestäm riktningskoefficienten, k.

b) Rita upp grafen med hjälp av ett digitalt verktyg. Använd glidare för m-värdet och prova dig fram tills du hittar rätt.

c) Skriv ekvationen i k-form.

1.4

Uppgifter

1408 Bestäm skärningspunkten mellan graferna y = 3x – 4 och y = –x + 2.

1409 En linje är parallell med y = 0,5x − 2 och går genom punkten (4, 3). Vad är linjens ekvation?

1410 Rita upp en linje som är vinkelrät mot y = x + 3 och som går genom punkten (1, 4). Vad blir ekvationen för denna linje om du skriver den i k-form?

Nivå 3

1411 Rita upp funktionerna −2x + 4y + 12 = 0 och

y = 0,5x − 3. Är funktionerna parallella?

Motivera varför/varför inte.

1412 a) Rita upp grafen till y = ax + 4 som är vinkelrät mot g(x) = −2x + 4 och som skär igenom punkten (0, 4). Vad blir ekvationen för denna linje om du skriver den i k-form?

b) Rita upp grafen till f(x) = ax − 1 som är vinkelrät mot g(x) = 5x − 1 och som skär igenom punkten (0, −1). Vad blir ekvationen för denna linje om du skriver den i k-form?

c) Skriv k-värdena som bråk i funktionerna i a- och b-uppgiften. Kan du se ett samband mellan k-värdena för vinkelräta linjer?

d) Vad blir k-värdet för en linje som är vinkelrät mot linjen f(x) = 3x + 5?

1413 En rät linje har ekvationeny = ax 3 + 1. Bestäm a så att linjen går genom punkten (3, 5).

1.5 Problemlösning med linjära funktioner

Praktiska problem

Du har lärt dig grunderna för linjära funktioner. Nu kommer några praktiska problem som du ska lösa med hjälp av dina kunskaper.

1.5 Exempel

Trädgårdsmästaren

En trädgårdsmästare har en timlön för att klippa gräs samt beskära träd och buskar. När arbetspasset är slut får trädgårdsmästaren en fast ersättning för att rengöra alla verktyg som använts. Vid ett tillfälle fick trädgårdsmästaren 1 400 kr för två timmars arbete. Vid ett annat tillfälle blev ersättningen 2 900 kr för fem timmars arbete.

a) Hur stor var trädgårdsmästarens timlön?

b) Hur stor var ersättningen för att rengöra alla verktyg?

Lösning

a) Vi kan inte ta reda på timlönen genom att dividera den totala ersättningen (kr) med tiden (timmar) för ett arbetspass, eftersom ersättningen för att rengöra verktygen också ingår. För att ta reda på trädgårdsmästarens timlön använder vi istället de två ersättningar som hör till två olika arbetstider. Om vi kallar antalet arbetstimmar för x och lönen för y får vi två punkter vi kan använda:

● Två timmars arbete ger lönen 1 400 kr. Det ger punkten med koordinaterna (2, 1 400).

● Fem timmars arbete ger lönen 2 900 kr. Det ger punkten med koordinaterna (5, 2 900).

Detta är ett linjärt samband där k-värdet motsvarar timlönen.

k = Δy Δx = y 2 y 1 x 2 x 1 = (2 900 1 400) (5 2) kr/h = 1 500 3 kr/h = 500 kr/h

Svar: Trädgårdsmästarens timlön är 500 kr.

1.5

Exempel

b) I a-uppgiften räknade vi ut k-värdet, som motsvarar timlönen, alltså den rörliga kostnaden. För att ta reda på den fasta kostnaden för att rengöra verktygen använder vi oss av räta linjens ekvation, y = kx + m och bestämmer m-värdet.

Eftersom vi redan känner till k-värdet kan vi sätta in det tillsammans med en av punkterna i räta linjens ekvation, till exempel punkten (2, 1 400). Vi får då:

1 400 = 500 ⋅ 2 + m

m = 1 400 – 1 000

m = 400

Svar: Ersättningen för att rengöra verktygen är 400 kr.

1.5 Uppgifter

Stödfrågor

• Vet jag värdet på k och m?

• Vet jag två punkter på grafen?

• Kan jag använda ett digitalt verktyg för att svara på frågan?

Nivå 1

1501 En taxi tar 70 kr i startavgift och därefter 20 kr per kilometer.

a) Sätt upp en funktion som beskriver kostnaden y, kronor beroende på körsträckan x, kilometer.

b) Hur mycket kostar en resa på 12 km?

c) Hur långt kan man åka för 500 kr?

1502 Grafen visar vad det kostar att hyra en cykel under en dag.

a) Hur stor är den fasta avgiften?

b) Hur stor är kostnaden per timme?

c) Skriv en formel som visar sambandet mellan kostnaden och tiden.

1503 Tove jobbar i en godisbutik som säljer chokladkulor förpackade i burkar. En burk med 10 kulor väger 570 g. En likadan burk med 15 kulor väger 630 g.

a) Hur mycket väger en chokladkula?

b) Hur mycket väger burken?

c) Ange en formel för sambandet mellan vikten av burken med chokladkulor och antalet kulor.

1504 Sommaren 2025 anordnades ”Sveriges största korvätartävling” på Orust. Vinnaren i herrklassen blev Alexander Lundborg som stoppade i sig 40 korvar på en timme. Hur många korvar hade Alexander ätit efter 9 minuter om vi antar att han tuggade i sig korvarna med konstant hastighet?

1.5 Uppgifter

Nivå 2

1505 Tre månader efter födseln väger Oscar 4 800 g. Fem månader efter födseln väger Oscar 5 400 g.

a) Hur mycket ökar Oscar i vikt per månad om vi antar att viktökningen är linjär?

b) Vad vägde Oscar vid födseln?

1506 Vattentemperaturen i en kastrull är från början 20 °C. Vattnet värms upp och efter 6 minuter är temperaturen 74 °C. Ange en formel som beskriver sambandet mellan vattnets temperatur och uppvärmningstiden om vi antar att uppvärmningen sker linjärt.

1507 På ett bygge målar man husfasader. Efter två timmars målning är det 58 liter färg kvar. Fem timmar efter att man började måla finns det 22 liter färg kvar.

b) Hur många liter fanns det från början om vi antar att arbetstakten är konstant?

c) Efter hur lång tid har färgen tagit slut om vi räknar från när man började måla? Svara i timmar och minuter.

Nivå 3

1508 En pool ska tömmas på vatten. Volymen vatten i poolen beskrivs av funktionen V(t) = V0 – xt, där V(t) är antalet liter vatten som finns kvar t minuter efter att tömningen påbörjades.

a) Beskriv funktionen med en formel om det fanns 22 500 liter i poolen från början och att poolen töms med hastigheten 50 liter/min.

b) Ange definitionsmängd och värdemängd för tömningen av poolen.

1.4–1.5 Test – Räta linjens ekvation med digitala verktyg och problem­

lösning med linjära funktioner

Syftet med testet är att du ska se om du har förstått det du precis har jobbat med. Uppgifterna är på grundläggande nivå.

1 Rita upp funktionen f(x) = 2x + 1. Rita sedan upp en ny funktion som är parallell med f(x) och som går genom punkten (0, −2). Vad blir ekvationen för den nya funktionen?

2 I vilken punkt skär graferna y = −0,5x + 2 och y = x − 1 varandra?

3 Använd ett digitalt verktyg för att rita upp funktionen nedan. Ange funktionen till den uppritade grafen.

4 En elektriker tar 500 kr i startavgift och därefter 700 kr per arbetstimme.

b) Ställ upp en funktion som beskriver kostnaden y i kronor beroende på antalet arbetstimmar x.

a) Hur mycket kostar det om elektrikern arbetar i 3 timmar?

5 En presentask med 200 g godis kostar 49 kr. Om man köper en likadan ask med 300 g godis kostar den 61 kr.

a) Vad kostar godiset i kr/kg?

b) Vad kostar presentasken?

Behöver du träna mera? Fråga din lärare eller använd QR-koden för att gå till mängdträning.

1 Diagnos

Syftet med diagnosen är att du ska se vad du kan och vad du kan behöva jobba mera med i detta kapitel.

1 En funktion ges av f(x) = 4x – 1

a) Bestäm f(3).

b) Bestäm f(−2).

Repetera mera i avsnitt 1.1

2 Gör en värdetabell för funktionen y = 5x – 3 och rita upp funktionen i ett koordinatsystem.

Repetera mera i avsnitt 1.1

3 Bestäm k-värdet för en rät linje som går genom punkterna

a) (0, 1) och (3, 4).

b) (2, 4) och (6, 2).

Repetera mera i avsnitt 1.2

4 Skriv ekvationen för den räta linjen.

Repetera mera i avsnitt 1.2

5 Punkten (0, 1) ligger på en rät linje och k-värdet för linjen är 2,5. Ta reda på linjens ekvation.

Repetera mera i avsnitt 1.3

6 Punkten (2, 4) ligger på en rät linje och m-värdet för linjen är 2. Ta reda på linjens ekvation.

Repetera mera i avsnitt 1.3

7 Punkterna (−2, −3) och (1, 6) ligger på en rät linje. Ta reda på linjens ekvation.

Repetera mera i avsnitt 1.3

8 Använd ett digitalt verktyg för att rita upp funktionen f(x) = x – 1. Rita sedan upp en ny funktion som är parallell med f(x) och som går genom punkten (0, 4). Vad blir ekvationen för den nya funktionen?

Repetera mera i avsnitt 1.4

9 En tändsticksask med 150 tändstickor väger 18,5 g. En likadan ask med 250 tändstickor väger 23,5 g.

a) Hur mycket väger en tändsticka?

b) Hur mycket väger asken?

Repetera mera i avsnitt 1.5

Hur gick det? Välj Blandade övningar utifrån hur det gick på Diagnosen.

Gruppuppgift

Brobygge

En av de längsta broarna i världen är Danyang–Kunshan Grand Bridge i Kina, som sträcker sig över 164,8 km och är en del av järnvägen mellan Peking och Shanghai. För att bygga en liknande bro i Sverige uppskattar ingenjörer att det skulle kosta 2,5 miljoner kronor per kilometer. Dessutom finns en fast administrationskostnad på 100 miljoner kronor för planering och tillstånd.

a) Skriv en linjär funktion K(x) som anger den totala byggkostnaden (i miljoner kronor) för en bro som är x kilometer lång.

b) Använd funktionen från föregående uppgift för att beräkna kostnaden för att bygga Danyang–Kunshan Grand Bridge.

c) Fundera på om det finns någon plats i Sverige där man skulle behöva bygga en liknande bro. Vad skulle den i så fall kosta med denna förenklade beräkningsmodell?

1 Blandade övningar

Nivå 1

1 En funktion ges av f(x) = 6x − 2

a) Bestäm f(3).

b) Bestäm f(0).

2 En funktion ges av y = 2 + 0,5x

a) Bestäm y då x = 2.

b) Bestäm y då x = −4.

c) Bestäm x då y = 8.

d) Bestäm x då y = −0,5.

3 Gör en värdetabell för funktionen y = 2x – 2 och rita upp funktionen i ett koordinatsystem.

4 Skriv ekvationen för en rät linje där

a) k = 2 och m = 1.

b) k = −3 och m = 4.

c) k = 1 och m = −12.

d) k = 1,7 och m = 0.

5 Bestäm k-värdet för en rät linje som går genom punkterna

a) (2, 5) och (1, 3).

b) (3, 4) och (2, 1).

c) (2, 1) och (0, −1).

d) (−2, −3) och (0, 1).

6 Bestäm k- och m-värdet för funktionerna nedan.

7

8

9

Punkten (1, 5) ligger på en rät linje och m-värdet för linjen är 3. Ta reda på linjens ekvation.

Punkten (6, 2) ligger på en rät linje. Linjen skär y-axeln i punkten (0, −1). Ta reda på linjens ekvation.

Punkterna (3, 3) och (−3, −1) ligger på en rät linje. Ta reda på linjens ekvation.

10 Punkten (3, 1) ligger på en rät linje och k-värdet för linjen är −1. Ta reda på linjens ekvation.

11 Punkterna (−1, 5) och (3, −3) ligger på en rät linje. Ta reda på linjens ekvation.

12 Skriv ekvationen y = −8x + 20 på allmän form.

13 Rita upp funktionen f(x) = 2x + 3 med hjälp av ett digitalt verktyg. Rita sedan upp en ny funktion som är parallell med f(x) och som går genom punkten (2, 2). Vad blir ekvationen för den nya funktionen?

14 En målare tar 200 kr i startavgift och därefter 600 kr per arbetstimme.

a) Sätt upp en funktion som beskriver hur kostnaden, y kronor, beror på antalet arbetstimmar, x.

b) Vad blir kostnaden för 5 arbetstimmar?

c) När arbetet var klart blev fakturan 4 400 kr. Hur många timmar hade då målaren arbetat?

Blandade övningar

15 Grafen visar vad det kostar att hyra en kanot under en dag.

a) Hur stor är den fasta avgiften?

b) Hur stor är kostnaden per timme?

c) Skriv en formel som visar sambandet mellan kostnaden och tiden.

16 Bengt och Alva hyr varsin bil under en dag. Hyran består av en fast kostnad och en kilometerkostnad. När de lämnar tillbaka bilarna till uthyrningsfirman får Bengt betala 950 kr efter att ha kört 150 km. Alva får betala 800 kr då hon kört 120 km.

a) Hur stor är den fasta kostnaden?

b) Hur stor är kostnaden per kilometer?

c) Ange en formel för sambandet mellan totala kostnaden och antal körda kilometer.

Nivå 2

17 Funktionen y = 15x – 30 har definitionsmängden 0 ≤ x ≤ 10. Vad är funktionens värdemängd?

18 Funktionen f(x) är uppritad i koordinatsystemet.

a) Bestäm f(1).

b) Bestäm f(6) − f(2).

c) För vilket x är f(x) = 3?

d) För vilka x är f(x) > 6?

Blandade övningar y

22 Höjden på en växt ökar linjärt. Tre veckor efter planteringen är växten 21 cm hög. Sju veckor efter planteringen är växten 31 cm hög.

a) Hur mycket ökar växtens höjd varje vecka?

b) Hur hög var växten när man planterade den?

Nivå 3

23 Mustafa springer med konstant hastighet. När han sprungit 5,6 min har han 4,0 km kvar till mål. När han sprungit 11,2 min har han 3,0 km kvar till mål. Hur långt har han sprungit när han kommer i mål?

24 En elektriker tar en fast avgift på 300 kr för att göra en installation. Frida får vid ett tillfälle betala 2 100 kr för tre timmars arbete. Nästa gång elektrikern gör ett jobb hos Frida kostar det tre gånger så mycket. Hur många timmar har elektrikerna arbetat då?

25 En linjär funktion f(x) går igenom punkten (2, −2) och är vinkelrät mot funktionen y = 2x + 1. Vilken är funktionen f(x)?

19 Skriv ekvationen 4y – 8 = 12x på k-form.

20 Är ekvationen 2,5x − 2y + 25 = 0 parallell med y = 2,5x + 18? Motivera ditt svar med beräkningar.

21 Använd ett digitalt verktyg för att ta reda på den punkt där graferna y = 11 5x 3 och y = 3x − 3 skär varandra?

26 Två linjer, y = 0,5x och y = 12 – 2x, skär varandra i punkten B. Använd ett digitalt verktyg för att rita funktionerna. Beräkna sedan arean av triangeln ABC, som begränsas av de två linjerna och positiva x-axeln i koordinatsystemet.

Nu är du klar med Blandade övningar och kan göra ett Övningsprov som din lärare har att dela ut till dig.

Sammanfattning

Funktioner

En funktion är ett samband där varje x-värde hör ihop med exakt ett y-värde.

Definitionsmängden innehåller alla de x-värden som är möjliga för funktionen.

Värdemängden innehåller alla de y-värden som är möjliga för funktionen.

Proportionalitet

y = kx, där k är proportionalitetskonstanten

Grafen går genom origo, och man säger att y är proportionell mot x.

Räta linjens ekvation

k-form y = kx + m eller f(x) = kx + m, där k kallas riktningskoefficient och m kallas konstantterm allmän form ax + by + c = 0, där inte både a och b är noll

Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje.

Lutningen för en rät linje genom punkterna

(x1, y1) och (x2, y2) beskrivs av k-värdet och beräknas med formeln:

k = Δy Δx = y 2 y 1 x 2 x 1

Två linjer är parallella om de har samma k-värde.

Två linjer är vinkelräta om deras k-värden uppfyller sambandet k1 ⋅ k2 = −1.

Avläsning i graf

k anger grafens lutning och visar hur mycket y förändras när x ökar med 1.

m ger grafens skärningspunkt med y-axeln (0, m).

För att rita grafen med hjälp av k och m, kan man börja vid m och stega sedan enligt lutningen k.

Centralt innehåll

● Hjälpmedel och verktyg som är relevanta för att hantera matematik inom arbetslivet och utbildningens karaktär.

● Begreppet linjärt ekvationssystem. Metoder för att lösa linjära ekvationssystem.

● Användning av digitala verktyg för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning och problemlösning.

2 Algebra och ekvationssystem

Algebra är en del av matematiken där vi använder bokstäver, till exempel x och y, i stället för tal. Det hjälper oss att beskriva regler och lösa problem utan att använda exakta tal. I algebra arbetar du bland annat med variabler, uttryck, ekvationer och lösningar.

Ett viktigt område är linjära ekvationssystem, som består av två ekvationer som ska stämma samtidigt. Målet är att hitta de tal, till exempel x och y, som gör att båda ekvationerna blir sanna.

I detta kapitel får du lära dig tre sätt att lösa sådana system.

Sant eller falskt?

Diskutera följande tre påståenden med klasskompisar. Motivera varför du tycker som du gör.

Påstående Sant Falskt

Ekvationen 3x + 4 = 5x – 6 har oändligt antal lösningar.

Ett linjärt ekvationssystem med två ekvationer och två variabler har alltid exakt en lösning.

Substitutionsmetoden innebär att man ersätter en variabel med ett uttryck från en annan ekvation.

2.1 Uttryck och ekvationer

Algebraiska uttryck

Ett algebraiskt uttryck är ett uttryck som innehåller variabler (bokstäver) och tal (konstanter), samt tecken som visar vilken räkneoperation som ska utföras. Tecknet framför varje variabel eller term gäller. Till exempel 3x – 4 har ett + (osynligt plustecken) framför 3x och – (minustecken) framför 4.

Ett uttryck har INTE ett likhetstecken. Har vi en likhet får vi en ekvation som vi ofta ska lösa.

Om ett uttryck inom en parentes inte enbart består av tal utan också av variabler, måste vi använda särskilda räkneregler för att förenkla dem. Räknereglerna är olika beroende på om vi ska addera, subtrahera eller multiplicera med parenteserna.

Om det står ett plustecken framför en parentes kan parentesen tas bort utan att uttrycket förändras.

a + (b + c) = a + b + c

a + (

Om det står ett minustecken framför en parentes måste alla tecken inuti parentesen ändras när parentesen tas bort.

a – (b + c) = a – b – c

a – (b – c) = a – b + c

När vi ska multiplicera in ett tal i en parentes gäller distributiva lagen. Mellan talet (faktorn) och parentesen är det alltid ett osynligt multiplikationstecken om inget annat anges.

Har vi 2(x + 4) så menas det 2 ⋅ (x + 4) men vi skriver aldrig ut detta multiplikationstecken. En multiplikation kan alltid skrivas om som en upprepad addition.

Till exempel kan 2(x + 4) skrivas som (x + 4) + (x + 4). Vi tar bort alla parenteser eftersom det är plus framför. Då får vi x + 4 + x + 4 = 2x + 8.

För ekvationer gäller:

VL = HL

Detta sätt är lite omständligt. Om du lär dig distributiva lagen kommer det minska risken att räkna fel, eftersom den kräver mindre arbete. När vi använder lagen multiplicerar vi in faktorn 2 i parentesen, dvs. vi multiplicerar alla termer i parentesen med 2.

Vi får då 2(x + 4) = 2 ⋅ x + 2 ⋅ 4 = 2x + 8. Med hjälp av distributiva lagen har vi behövt göra färre räkneoperationer.

Distributiva lagen

a(b + c) = ab + ac a(b – c) = ab – ac

Ekvationer

Det är viktigt att du redan nu lär dig lösa grundläggande ekvationer, eftersom du kommer att arbeta mycket med dem i Prefix 2a. Om du tidigt vänjer dig vid att använda balansmetoden när du löser ekvationer, kommer du att ha stor nytta av det längre fram.

En ekvation är en likhet mellan två algebraiska uttryck och består av två led, vänster led (VL) och höger led (HL). I ekvationer är ett tal obekant (okänd variabel) och betecknas med en bokstav. Ofta är det bokstaven x men kan vara vilken bokstav som helst. Vi kan ha variabler på båda sidor om likhetstecknet.

När vi ska lösa en ekvation ska vi ta reda på vilket tal som ska stå i stället för variabeln för att det ska bli lika mycket på varje sida om likhetstecknet, det ska alltså bli balans mellan VL och HL. De tal du får fram när du löser en ekvation kallas rötter. Det finns många olika metoder att lösa ekvationer men här kommer vi att fokusera på balansmetoden och hur du använder denna metod för att lösa alla möjliga typer av ekvationer.

Balansmetoden går ut på att vi ska göra likadana förändringar i VL som i HL tills vi har variabeln (bokstaven) själv på någon sida om likhetstecknet. Det är detta som gett metoden sitt namn, vi håller balans genom att göra samma sak på båda sidorna om likhetstecknet. När vi arbetar med ekvationer använder vi motsatta räknesätt för att till slut få variabeln ensam på ena sidan om likhetstecknet.

Addition och subtraktion är motsatta räknesätt.

Multiplikation och division är motsatta räknesätt.

När vi löser ekvationer med parenteser följer vi samma regler som vi gick igenom under algebraiska uttryck. Vi utvecklar parenteser på samma sätt som när vi förenklar uttryck. Du kan alltid kontrollera om du har löst en ekvation rätt genom att sätta in ditt svar i ekvationen. Om vänsterledet och högerledet blir lika (VL = HL) har du löst ekvationen korrekt.

Balansmetoden

1. Gör samma sak i VL och HL.

Båda sidor om likhetstecknet måste förändras likadant för att balansen ska hålla.

2. Få variabeln ensam.

Målet är att frigöra variabeln på ena sidan av likhetstecknet.

3. Använd motsatta räknesätt.

+ tas bort med –

x tas bort med /

4. Utveckla parenteser som vanligt.

Använd samma regler som för algebraiska uttryck.

5. Kontrollera ditt svar.

Sätt in lösningen i ekvationen.

Om VL = HL är ekvationen löst korrekt.

2.1

Exempel

Förenkla med parentes

Förenkla uttrycket 15 – (3x – 4) + 5x – 6

Lösning

15 – 3x + 4 + 5x – 6

5x – 3x + 15 + 4 – 6

2x + 13

Svar: 2x + 13

Ta bort parentesen och kontrollera tecken framför. Byt tecken framför 4 eftersom det finns ett minustecken framför parentesen.

Gruppera variabler och konstantterm.

Förenkla.

Multiplikation med parentes 1

Förenkla uttrycket 5x + 3(2x – 1) – 2(x + 2)

Lösning

5x + 6x – 3 – 2x – 4

5x + 6x – 2x – 3 – 4

9x – 7

Svar: 9x – 7

Multiplicera in talet i parenteserna och kontrollera tecken framför parenteserna.

Gruppera variabler och konstantterm.

Förenkla.

Multiplikation med parentes 2

Förenkla uttrycket 3x(x + 4)

Lösning

3x(x + 4)

Multiplicera in talet i parentesen och kontrollera tecken framför parentesen.

3x2 + 12x Förenkla.

Svar: 3x2 + 12x

Ekvationer med parenteser

Lös ekvationen 4x – 2(4 – x) = 10

Lösning

4x – 8 + 2x = 10

Multiplicera in talet i parentesen och kontrollera tecken framför parentesen.

6x – 8 = 10 Förenkla.

6x – 8 + 8 = 10 + 8

6x = 18

6x 6 = 18 6

Ordna så att variabeln blir ensam i VL.

Använd det motsatta räknesättet för att ta bort – 8.

Skriv rent.

Ordna så att variabeln blir ensam i VL.

Använd det motsatta räknesättet för att ta bort 6.

x = 3 Förenkla och du har löst ekvationen.

Kontroll

4 · 3 – 2(4 – 3) = 10

12 – 2 · 1 = 10

12 – 2 = 10

10 = 10

Svar: x = 3 eller roten till ekvationen är 3.

Ekvationer med bråk

Lös ekvationen x 3 4 + 2 = 5

Lösning

x 3 4 + 2 = 5

Motsatt räknesätt för addition är subtraktion.

Därför subtraherar vi båda led med 2.

x 3 4 + 2 2 = 5 2 Förenkla.

x 3 4 = 3

Motsatt räknesätt för division är multiplikation.

Därför multiplicerar vi båda led med 4.

x 3 4 · 4 = 3 · 4 Förenkla.

x – 3 = 12

Motsatt räknesätt för subtraktion är addition.

Därför adderar vi båda led med 3.

x – 3 + 3 = 12 + 3 Förenkla.

x = 15

2.1

Exempel

Kontroll

Sätt in din lösning i den ursprungliga ekvationen och kontrollera att VL = HL.

15 3 4 + 2 = 5

3 + 2 = 5

5 = 5

Svar: x = 5

Variabler i VL och HL

Lös ekvationen x + 4(2 + x) = 22 – 2x

Lösning

x + (8 + 4x) = 22 – 2x

5x + 8 = 22 – 2x

5x + 2x + 8 = 22 – 2x + 2x

Multiplicera in talet i parentesen.

Kolla tecken framför parentesen innan du tar bort den. Förenkla uttrycket.

Ordna variabler på samma sida om likhetstecknet. Använd motsatta räknesätt, och behåll variablerna på den sida där du har flest positiva variabler.

7x + 8 = 22 Förenkla.

7x + 8 – 8 = 22 – 8

Ordna så att variabeln blir ensam i VL.

Använd det motsatta räknesättet för att ta bort 8.

7x = 14 Förenkla

7x 7 = 14 7

Ordna så att variabeln blir ensam i VL.

Använd det motsatta räknesättet för att ta bort 7. x = 2 Förenkla och du har löst ekvationen.

Kontroll

Sätt in x = 2 i ekvationen x + 4(2 + x) = 22 – 2x

2 + 4(2 + 2) = 22 – 2 ⋅ 2

2 + 16 = 22 – 4

18 = 18

Svar: x = 2 eller roten till ekvationen är 2.

2.1 Uppgifter

Stödfrågor:

• Kan uttrycket förenklas?

• Ska du multiplicera in i parentesen? Tänk på tecknet framför parentesen.

• Finns variabler på båda sidor om likhetstecknet?

• Har du använt motsatta räknesätt?

• Har du kontrollerat att din lösning stämmer?

Nivå 1

2101 Förenkla uttrycken.

a) 3x + 4 – x – 5

b) 7 – 6x + 2 + x

c) 8x – 3x + 4 – x – 5

2102 Förenkla uttrycken.

a) 3x + 4(x + 2)

b) 8 + 5(3 – 2x)

c) 7x + 3 + 2(3x – 4)

2103 Förenkla uttrycken.

a) 6x + 3 – 2(x + 3)

b) 14 – 2x + 2 – 3(1 – 4x)

c) 3(2x + 4) – (x + 3)

2104 Klara tjänar x kr i timmen. Skriv ett uttryck för Eltons timlön i kronor om han tjänar 30 kr mer än Klara.

2105 Beräkna uttrycket 4 + (3x – y) + 2y om x = 4 och y = 2.

2106 Lös ekvationerna.

a) 4x – 2 + 2(x +1) = 12

b) 8 + 3(3x – 2) = 29

c) 5x – 4(x + 4) = 1

2107 Lös ekvationerna.

a) 3x + 4 = 2x – 7

b) 5 – 2(x + 2) = 2x – 7

c) 4(2x + 4) = 34 – 2(2x – 3)

2108 En liksidig triangel har samma omkrets som en kvadrat. Varje sida i triangeln är 2 cm längre än kvadratens sida. Hur stor omkrets har triangeln och kvadraten?

Nivå 2

2109 Förenkla uttrycken.

a) 6x – 3(2 + x) +9

b) 13 + 5(2x – 2) – 3(4 – 6x)

c) 4x – x(1 – 2x)

2110 Summan av tre heltal är 104. Det andra talet är dubbelt så stort som det första talet och det tredje talet är 5 gånger så stort som det andra. Vilka är talen?

2111 Lös ekvationerna.

a) 4 – 3(1 – 2x) = 2(3 + 2x)

b) 2x 6 4 = 3

c) 2x 3 + 5 = 14 x 3

2112 Summan av tre på varandra följande heltal är 48. Vilka är talen?

2113 Lös ekvationerna.

a) 7(2x – 4) = 2 – (30 – x)

b) 3(2y + 6) 2 = 21

2.1 Uppgifter

2114 En matchbiljett till en fotbollsmatch i England kostar 1 500 kr mer än vad en matchbiljett i Sverige kostar. Fem matchbiljetter i England kostar lika mycket som 20 matchbiljetter i Sverige. Hur mycket kostar en matchbiljett i Sverige?

Nivå 3

2115 Lös ekvationen 69 a + 4 = 162 2a

2116 I en triangel ABC med omkretsen 36 cm är AB 4 cm kortare än BC. AC är dubbelt så lång som AB. Bestäm längden av triangelns sidor.

2117 En bilmekaniker undersöker bränsleförbrukningen hos två olika bilar.

● Bil A har en bränsleförbrukning som beror linjärt på körsträckan och förbrukar 0,65 liter per mil.

● Bil B har en extra bränsleförbrukning på 0,8 liter vid start och uppvärmning av motorn, och förbrukar därefter 0,45 liter per mil.

Vid en viss körsträcka är bränsleförbrukningen för båda bilarna lika stor.

a) Ställ upp en ekvation som visar vid vilken körsträcka, i mil, bränsleförbrukningen är lika stor.

b) Lös ekvationen.

c) Tolka ditt svar på ekvationen.

2.1 Test – Uttryck och ekvationer

Syftet med testet är att du ska se om du har förstått det du precis har jobbat med. Uppgifterna är på grundläggande nivå.

1 Förenkla uttrycket.

83 – (5x + 23) + 7x – 6

2 Förenkla uttrycket.

9x + 5(3x – 1) – 5(x + 2)

3 Lös ekvationerna.

a) 8x – (3x + 10) = 25

b) 7(y – 1 ) – 2(3y + 4) = 3

c) 2x 7 5 = 1

4 En fordonstekniker väger tre olika verktyg. Det andra verktyget väger dubbelt så mycket som det första, och det tredje verktyget väger tre gånger så mycket som det andra. Den totala vikten av de tre verktygen är 405 gram. Beräkna vikten av varje verktyg.

5 Tuva är 4 år yngre än Sara. Deras mamma är tre gånger så gammal som Sara. Tillsammans är de 56 år. Hur gamla är de?

Behöver du träna mera? Fråga din lärare eller använd QR-koden för att gå till mängdträning.

2.2 Grafisk lösning av ekvationssystem

I detta avsnitt ska du lära dig vad ett ekvationssystem är och hur vi löser ett ekvationssystem. För att förstå detta behöver du ha arbetat med räta linjens ekvation i kapitel 1. Alla räta linjer kan skrivas på formen y = kx + m

När vi löser ett ekvationssystem vill vi hitta skärningspunkten mellan linjerna. Denna skärningspunkt kan vi bestämma på olika sätt och vi kommer att gå igenom tre olika metoder:

● Grafisk lösning – rita upp linjerna i ett koordinatsystem och läs av skärningspunkten.

● Substitutionsmetoden (även kallad ersättningsmetoden) – ersätt en variabel med ett uttryck från den andra ekvationen.

● Additionsmetoden – addera eller subtrahera ekvationerna så att en variabel försvinner.

När vi löser ett ekvationssystem kan vi få något av följande tre resultat:

● Linjerna skär varandra i en punkt, då finns en lösning, se bild 1.

● Linjerna är parallella med varandra, då finns det inte någon lösning Parallella linjer har samma lutning, det vill säga samma k-värde, se bild 2.

● Linjerna sammanfaller (ligger ovanpå varandra), då finns det oändligt med lösningar. Linjerna har då samma k-värde och samma m-värde, se bild 3.

Ett ekvationssystem skrivs med en klammer runt ekvationerna, se exempel nedan:

y = 2x + 1

y = x + 4

För att lösa ekvationssystemet grafiskt ritar du de två linjerna som står i klammern. Du ska kunna göra detta både för hand och med hjälp av digitala verktyg, exempelvis GeoGebra. I kapitel 1 har du lärt dig att rita upp en rät linje och nu ska du rita in båda linjerna i samma koordinatsystem för att läsa av skärningspunkten. Detta är din lösning till ekvationssystemet.

Om du tar hjälp av exempelvis GeoGebra så börjar du med att skriva in de båda ekvationerna du har i inmatningsfältet:

Därefter markerar du skärningspunkten mellan linjerna i koordinatsystemet. Du ser nu koordinaterna för denna skärningspunkt och detta är din lösning till ekvationssystemet.

Svar: Lösningen till ekvationssystemet är x = 3 och y = 7, det vill säga punkten med koordinaterna (3, 7).

2.2 Exempel

Grafisk lösning av ekvationssystem

Lös ekvationssystemet

y = –x + 3

y = 3x –1

genom att avläsa skärningspunkten i koordinatsystemet nedan.

Lösning

Läs av skärningspunkten mellan den röda och blåa linjen, x = 1 och y = 2.

Svar: Skärningspunkten har koordinaterna (1, 2), vilket betyder att lösningen är

x = 1 y = 2

Rita upp linjer i koordinatsystem

Lös ekvationssystemet genom att rita upp graferna i ett koordinatsystem.

y = 2x +1

y = 9 – 2x

Lösning

När du ska rita upp linjerna finns det tre alternativ.

1. Gör en värdetabell för varje linje och hitta koordinater som du sedan sätter in i koordinatsystemet för att slutligen rita din linje. Du behöver göra två värdetabeller i detta exempel då vi har två linjer att rita upp.

2. Du hittar k- och m-värdet i båda linjerna och använder dig av ”trappstegsmodellen”. I första linjen har vi k = 2 och m = 1. I den andra linjen har vi k = –2 och m = 9.

3. Du använder dig av ett digitalt verktyg, exempelvis GeoGebra.

När du har valt en av de tre metoderna ska du rita upp två grafer i ett koordinatsystem, som på bilden nedan.

När vi läser av skärningspunkten får vi att x = 2 och y = 5.

Svar: Lösningen till ekvationssystemet är (2, 5) som även kan skrivas som x = 2

= 5

Exempel

2.2

Exempel

Prövning av lösning till ett ekvationssystem

Är x = 2 och y = 7 en lösning till ekvationssystemet?

y = 3x + 1

x + y = 9

Pröva värdena i första ekvationen

Första ekvationen:

y = 3x + 1

Sätt in x = 2 och y = 7

7 = 3 · 2 + 1 = 6 + 1 = 7

Stämmer!

Lösningen (2,7) uppfyller den första ekvationen.

Pröva värdena i andra ekvationen

Andra ekvationen:

x + y = 9

Sätt in x = 2 och y = 7

2 + 7 = 9

Stämmer också!

Lösningen (2,7) uppfyller den andra ekvationen.

Svar: Eftersom både ekvation 1 och 2 stämmer när vi sätter in x = 2 och y = 7, så är (x, y) = (2, 7) en lösning till ekvationssystemet.

2.2 Uppgifter

Stödfrågor

• Vad ska jag komma fram till när jag löser ett ekvationssystem?

• Har jag en bild framför mig eller måste jag rita upp graferna?

• Är min lösning rimlig?

Nivå 1

2201 Lös ekvationssystemet nedan.

2202 Lös ekvationssystemet nedan.

2203 Lös ekvationssystemet genom att rita upp graferna för hand i samma koordinatsystem.

y = 0,5 x y = 5 – 2x

2204 Lös ekvationssystemet genom att rita upp graferna för hand i samma koordinatsystem.

y = –2x – 3

y = x

2205 Lös ekvationssystemet med hjälp av digitala verktyg. Avrunda ditt svar till en decimal.

y = 2x + 1

2y – x = 4

2206 Är x = 3 och y = 8 en lösning till ekvationssystemet?

x + 5 = y

y = 14 – 2x

Nivå 2

2207 Lös ekvationssystemet genom att rita upp graferna för hand i samma koordinatsystem.

y = –0,5x

y = 5 + 2x

2208 Lös ekvationssystemet genom att rita upp graferna för hand i samma koordinatsystem.

y = –3x – 2

y – 10 = 3x

2209 Ge ett exempel på ett ekvationssystem som har lösningen nedan.

x = 5

y = 5

2210 Ekvationssystemet

har lösningen lösningen

x = –2

y = –1

Bestäm talen a och b. 3x = a + 2y by = 10 – ax

2.2 Uppgifter

Nivå 3

2211 Ekvationssystemet saknar lösning.

2x = 1 + y

4x + 7 = 2y

Rita graferna och motivera varför detta ekvationssystem saknar lösning.

2212 På en fritidsgård planeras två olika aktiviteter: pyssel och bollspel. Varje aktivitet kräver olika antal ledare beroende på hur många barn som deltar. För pyssel krävs en personal per fem barn och för bollspel krävs en personal per tio barn. Totalt finns 30 barn som ska delas upp mellan aktiviteterna, och fritidsgården har fem personal tillgängliga.

Hur många barn kan delta i varje aktivitet om all personal används och alla barn får plats i någon aktivitet? Lös uppgiften med hjälp av grafisk lösning av ett ekvationssystem.

2213 Ett hotell erbjuder två typer av städtjänster:

● Snabbstädning tar 1 timme per rum och kräver 1 person.

● Noggrann städning tar 2 timmar per rum och kräver 2 personer.

Hotellet har 10 rum som ska städas och 12 personaltimmar tillgängliga. Hur många rum kan städas med snabbstädning och hur många med noggrann städning, om alla rum ska städas och alla personaltimmar används?

2.3 Algebraisk lösning av linjära ekvationssystem

I avsnitt 2.2 gick vi igenom hur vi löser ett ekvationssystem grafiskt. Nu ska du få lära dig de andra två metoderna som finns för att lösa ett ekvationssystem. Om vi inte löser ett ekvationssystem grafiskt kan vi istället lösa det algebraiskt, det vill säga genom att beräkna skärningspunkten mellan linjerna (förutsatt att systemet har en lösning).

Substitutionsmetoden (ersättningsmetoden)

Substituera betyder ersätta eller byta ut och det är precis vad denna metod går ut på. I den här metoden byter vi ut en variabel mot ett uttryck med den andra variabeln. Då får vi en ekvation med bara en variabel som vi kan lösa med hjälp av balansmetoden.

1. Välj en av ekvationerna och lös ut en variabel.

2. Ersätt den variabeln i den andra ekvationen med uttrycket och lös ekvationen.

3. Sätt in värdet du fått i någon av ekvationerna för att räkna ut den andra variabeln.

Additionsmetoden

Ibland är det inte så enkelt att lösa ut en variabel och därmed också svårt att lösa ett ekvationssystem.

2x + y = 25

7x – y = 11

Har vi exempelvis så ser vi att koefficient framför y har samma värde men olika tecken framför. När det ser ut så här är additionsmetoden att föredra, den kräver färre räknesteg. Eftersom koefficienterna framför y är motsatta (1 och –1) kommer y-termerna att försvinna när vi adderar. Målet är att ta bort en variabel.

2.3

Teori

Addera ledvis x-termerna, y-termerna och konstanterna:

x-termerna: 2x + 7x = 9x

y-termerna: y – y = 0

Konstanterna: 25 + 11 = 36

Det ger ekvationen 9x + 0 = 36, vilket förenklas till 9x = 36.

Den löser vi och får x = 4.

Det är oftast enklare att sätta in i en ekvation där y-termen är positiv, men båda fungerar och ger samma svar:

2 · 4 + y = 25 → 8 + y = 25, vilket ger y = 17.

Lösningen till ekvationssystemet är alltså:

x = 4 och y = 17.

Punktens koordinater (4,17) är där linjerna skär varandra.

1. Titta om någon variabel har olika tecken ovanför varandra.

2. När du adderar ekvationerna rakt ned försvinner variabeln (den blir 0). Om det inte går direkt kan du förlänga eller förkorta en av ekvationerna så att det fungerar.

3. Räkna ut värdet på den kvarlevande variabeln.

4. Sätt in värdet i en av ekvationerna för att hitta den andra variabeln.

TIPS – Så lyckas du med additionsmetoden

● Leta först efter motsatta tecken. Har du t.ex. +y och –y ovanför varandra? Perfekt! Då är det bara att addera rakt ned.

● Förläng eller förkorta ekvationerna vid behov. Om koefficienterna inte matchar kan du multiplicera en ekvation med ett tal för att skapa motsatta termer.

● Färgmarkera termerna. Markera x-termer i en färg och y-termer i en annan för att se tydligare vad som händer vid additionen.

● Arbeta långsamt och stegvis. Skriv ut alla led med tydliga mellansteg. Då minskar risken för slarvfel.

2.3 Exempel

Lös ekvationssystemet algebraiskt

Lös ekvationssystemet algebraiskt med hjälp av substitutionsmetoden.

y = 4x 6

y = 2x

Lösning

2x = 4x – 6

6 = 4x – 2x

6 = 2x

6

Byt ut y i exempelvis den första ekvationen till värdet på y i den andra ekvationen till 2x.

2 = x Lös ekvationen med hjälp av balansmetoden.

x = 3 Nu har vi fått fram den ena variabeln.

y = 2 · 3 Vi sätter in x = 3 i någon av de båda ekvationerna. Denna gång väljer vi ekvation y = 2x

x = 3 och y = 6 Vi har nu fått fram lösningen.

Svar: Ekvationssystemets lösning är x = 3 och y = 6.

Lös ekvationssystemet med additionsmetoden 1

Lös ekvationssystemet algebraiskt med hjälp av additionsmetoden.

x + 2y = 14

x – 2y = 2

Lösning

x + 2y = 14 Vi adderar båda ekvationer med varandra.

x – 2y = 2

2x = 16

x = 8

Förenkla. Division är motsatta räknesätt till multiplikation. Därför dividerar vi båda led med 2.

Sätt in värdet för x i den första ekvationen. (Du kan också kontrollera att sambandet gäller genom att sätta in värdet på x i den andra ekvationen).

8 + 2y = 14

2y = 14 – 8

Subtraktion är motsatta räknesätt till addition. Därför subtraherar vi båda led med 8.

Förenkla.

2y = 6

y = 3

Kontroll

Ekvation 1

8 + 2 · 3 = 14

10x + 5y = 85 2.3 Exempel

Division är det motsatta räknesätt till multiplikation därför dividerar vi båda led med 2.

Ekvation 2

8 – 2 · 3 = 2

14 = 14 2 = 2

Svar: Ekvationssystemets lösning är x = 8 och y = 3.

Lös ekvationssystemet med additionsmetoden 2

Lös ekvationssystemet algebraiskt med hjälp av additionsmetoden.

12x + y = 29

3x + 4y = 14

Lösning

12x + y = 29

3x + 4y = 14 Vi ser olika tecken framför x-termen men inte samma talvärde. Vi förlänger den andra ekvationen med 4.

–12x + 16y = 56 Vi utför parentesmultiplikation.

12x + y = 29

12x + 16y = 56 Vi har nu ett ekvationssystem där vi kan använda additionsmetoden.

0 + y + 16y = 29 + 56 Vi adderar varje led.

17y = 85 Vi förenklar ekvationen.

y = 5

Vi löser ekvationen. Vi sätter in y = 5 i den första ekvationen.

12x + 5 = 29 Vi löser ekvationen.

x = 2

Svar: Lösningen till ekvationssystemet är x = 2 och y = 5.

Lös ekvationssystemet med substitutionsmetoden

Lös ekvationssystemet algebraiskt med hjälp av substitutionsmetoden.

x + y = 12

Lösning

x – x + y = 12 – x Vi löser ut y i övre ekvationen men vi hade även kunnat välja x

y = 12 – x Vi förenklar.

10x + 5(12 – x) = 85 Byt ut y i den andra ekvationen mot 12 – x.

10x + 60 – 5x = 85 Multiplicera in i parentesen och ta sedan bort parentesen.

5x + 60 = 85 Vi förenklar.

5x + 60 – 60 = 85 – 60

5x = 25 Vi löser ekvationen.

x = 25 5

x = 5

Vi sätter in x = 5 i den första ekvationen för att räkna ut y-värdet.

5 + y = 12

5 – 5 + y = 12 – 5

y = 7

x = 5 och y = 7 Vi har nu fått fram vår lösning till ekvationssystemet.

Svar: Ekvationssystemets lösning är x = 5 och y = 7.

2.3 Uppgifter

Stödfrågor:

• Vad ska jag komma fram till när jag löser ett ekvationssystem?

• Vilken metod är bäst att använda?

• Är ekvationssystemet uppritat i ett koordinatsystem (grafisk lösning)?

• Har jag olika tecken på motsvarande variabler? (Då kan additionsmetoden passa.)

• Kan jag enkelt lösa ut en variabel? (Då kan substitutionsmetoden passa.)

• Vad ska jag göra när jag hittat den ena variabeln?

Nivå 1

2301 Lös ekvationssystemet.

a) y = 3x y = 2x + 3

b) y + x = 3

y x = 1

2302 Lös ekvationssystemet.

a) y = 2x 3 b) 7x y = 11 y = 9 x 2x + y = 25

2303 Den räta linjen y = x + 2 är uppritad i koordinatsystemet. Skriv ett ekvationssystem vars lösning är x = 1 och y = 3.

2.3 Uppgifter

2304 Lös ekvationssystemet med den metod du anser är lämpligast.

y = 4 x

y = 2x + 1

2305 Lös ekvationssystemet.

a) 2x + y = 9

y = x + 3

b) 4a + 2b = 12

3a 2b = 2

2306 Summan av två tal är 29. Differensen mellan samma tal är 5. Vilka är talen?

2307 Lös ekvationssystemet med valfri metod.

y = 3x 1

3x + y = 5

Nivå 2

2308 Lös ekvationssystemen.

a) y x = 3

y = 2x + 1

b) y x = 1

y 2x = 2

2309 Lös ekvationssystemen.

a) 2y 8x = 0

5x 2y = 3

b) 5x + 2y = 25

7x 3y = 6

2310 På en hästgård finns det hästar och hönor. Sammanlagt finns det 13 djur och de har 32 ben tillsammans. Hur många hästar och hur många hönor finns det på hästgården?

2311 Lös ekvationssystemet med valfri metod.

4x 3y = 8

2x + 2y = 4

2312 Lösningen till ett ekvationssystem är x = 2 y = –1

Skriv ett ekvationssystem som har denna lösning.

Nivå 3

2313 Hitta den punkt där linjerna 6x – 4y = 2 och 2x – y = 2 skär varandra.

2314 Bestäm talet m i ekvationen 10x + 8y = 2m, så att uttrycket 10x + 8y – 6 får värdet 18.

2315 Bestäm talen a och b så att ekvationssystemet får lösningen x = 1 och y = 7.

2316 En elektriker installerar ett batterisystem för reservkraft. Två olika batterier används: ett litiumbatteri och ett blybatteri. Tillsammans ska de ge totalt 120 Ah (ampere-timmar) i kapacitet.

Litiumbatteriet laddas med en ström som är 2 A mer än blybatteriet. Efter 5 timmar har litiumbatteriet laddats med 10 Ah mer än blybatteriet.

a) Sätt upp ett ekvationssystem som beskriver situationen.

b) Lös ekvationssystemet med substitutionsmetoden.

c) Hur många ampere laddas varje batteri med? ay 4x = 17 y bx = a 1

2.4 Några

speciella linjära

ekvationssystem

I avsnittet 2.2 gick vi igenom tre olika fall som kan uppstå när du löser ett ekvationssystem.

● Det finns en lösning – linjerna skär varandra i en punkt, se bild 1.

● Det finns ingen lösning – linjerna är parallella och har samma k-värde, se bild 2.

● Det finns oändligt många lösningar – linjerna sammanfaller och har både samma k-värde och samma m-värde, se bild 3.

2.4 Exempel

Ekvationssystemet saknar lösning

Lös ekvationssystemet algebraiskt.

2x – y = 3

2x – y = 5

Lösning

Vi väljer att lösa ekvationssystemet med additionsmetoden. Vi vill då få olika tecken över i samma nedanstående led.

Multiplicera den första ekvationen med –1, så får vi -2x + y = –3. Vi har nu ekvationssystemet:

2x + y = 3

2x y = 5

Nu adderar vi leden nedåt och får då 0 – 0 = 2 eftersom båda varieblerna x och y tar ut varandra.

0 är inte lika med 2 och därmed saknas lösning till ekvationssystemet ovan.

Svar: Ekvationssystemet saknar lösning eftersom likheten inte stämmer.

2.4

Teori

Ekvationssystemet har oändligt med lösningar

Lös ekvationssystemet.

4x = 2y 6

3y + 3 = 6x

Grafisk lösning

I detta exempel väljer vi att visa en grafisk lösning, men det går lika bra med en algebraisk lösning. Vi ritar upp linjerna antingen för hand eller med ett digitalt verktyg. Ekvationssystemet ser då ut så här:

När vi tolkar linjerna i koordinatsystemet ser vi att det inte finns någon skärningspunkt och att linjerna inte sammanfaller. Linjerna är alltså parallella, och då finns ingen lösning till ekvationssystemet.

Svar: Ekvationssystemet saknar lösning då linjerna är parallella.

Algebraisk lösning

4x = 2y – 6

3y + 3 = 6x

4x = 2y – 6

6x = 3y + 3

2x = y – 3

2x = y + 1

y – 3 = y + 1

–3 ≠ 1

Vi förenklar ekvationerna.

Eftersom VL är lika stora kan vi sätta HL lika med varandra.

Vi subtraherar y från båda led.

Ekvation saknar lösning.

Svar: Ekvationssystemet saknar lösning då linjerna är parallella.

2.4 Uppgifter

Stödfrågor:

• Vilken metod är bäst att använda?

• Är ekvationssystemet uppritat i ett koordinatsystem (grafisk lösning)?

• Är det olika tecken på motsvarande variabel i de båda linjernas ekvationer? (i så fall är additionsmetod att föredra, du kan behöva förlänga någon/båda ekvationerna).

• Kan jag lösa ut någon av variablerna på ett enkelt sätt? (i så fall är substitutionsmetoden att föredra).

• Vad ska jag göra när jag räknat ut den ena variabeln?

• Tolka din lösning.

Nivå 1

2401 Hur kan du se om ett ekvationssystem saknar lösning?

2402 Lös ekvationssystemet med valfri metod.

y = x + 2

5y 10 = 5x

2403 Lös ekvationssystemet med den metod du anser lämpligast.

2x + 3y = 12

x y = 1

2404 Vilken lösning har ekvationssystemet nedan om a = –9 och b = 2?

y = 3x + a

y = bx 7

y = 3x – 4 y = kx

2405 Ekvationssystemet har endast en lösning, nämligen x = 1 och y = –1. Bestäm talet k.

2406 Vilken lösning har ekvationssystemet om b = 3 och a = –7?

y = 3x + a y = bx 7

2407 Graferna till ekvationerna är inritade i koordinatsystemet nedan.

y 3x = 1 y = kx + 1

a) Bestäm talet k.

b) Vad har ekvationssystemet för lösning?

Nivå 2

2408 Skriv en ekvation som tillsammans med ekvationen 2y = 6 – 4x bildar ett ekvationssystem som a) ger en lösning.

b) saknar lösning.

c) har oändligt många lösningar.

2409 Lös ekvationssystemet med den metod du anser lämpligast:

3y 12x + 3 = 0

1 4x = y

2.4 Uppgifter

2410 Vad ska a och b vara i ekvationssystemet för att vi ska få lösningen x = –1 och y = –4?

y = ax 2

b y = 15 3x

2411 Bestäm värdet på a så att ekvationssystemet har exakt en lösning.

y = ax + 2

y = 3x + 5

Nivå 3

2412 Lös ekvationssystemet beroende på värdet av parametern a och tolka dina svar.

ax + y = 2 x + ay = 2

2413 En linje går genom punkterna (–1, –3) och (2, 3). En annan linje går genom punkterna (–1, 2) och (3, 0). I vilken punkt skär linjerna varandra? Lös uppgiften algebraiskt.

2414 Skriv en ekvation som tillsammans med 2y – 6x – 18 = 0 har lösningen x = –2 och y = 3.

2.2–2.4 Test – Grafisk lösning av ekvationssystem, algebraisk lösning av linjära

ekvationssystem och några speciella linjära ekvationssystem

Syftet med testet är att du ska se om du har förstått det du precis har jobbat med. Uppgifterna är på grundläggande nivå.

1 Vad har ekvationssystemet för lösning?

4 Skriv ett ekvationssystem med lösningen

x = 1 och y = 3 utifrån grafen nedan.

2 Lös ekvationssystemet med valfri algebraisk metod.

y = 4x + 2

y = 5 3x

3 Bestäm lösningen till ekvationssystemet nedan.

6y + 6 = 18x

y = 3x 1

5 Lös ekvationssystemet nedan med additionsmetoden.

x + 2y = 18

2x y = 11

Behöver du träna mera?

Fråga din lärare eller använd QR-koden för att gå till mängdträning.

2.5 Problemlösning med ekvationssystem

I många vardagliga och matematiska situationer behöver vi lösa problem där två eller flera samband gäller samtidigt. Ett bra verktyg för detta är ekvationssystem.

När vi har två linjära ekvationer med två variabler kan vi tolka dem som två linjer i ett koordinatsystem. Som vi gått igenom tidigare är lösningen den punkt där linjerna skär varandra, alltså där båda ekvationerna är uppfyllda samtidigt.

Med ett ekvationssystem kan vi

● ta reda på när två händelser inträffar samtidigt

● undersöka hur olika faktorer påverkar varandra

● undersöka hur grafer skär varandra i ett koordinatsystem

I detta avsnitt ska du arbeta med att ställa upp ekvationssystem utifrån olika problem och lösa dem med substitutionsmetoden, additionsmetoden eller grafisk metod. Slutligen ska du tolka lösningarna och förstå vad de betyder i det aktuella problemet.

2.5 Exempel

Snickare bygger hylla

En snickare ska bygga två olika typer av hyllor: modell A och modell B.

● Modell A kräver 2 meter brädor och 3 skruvar.

● Modell B kräver 4 meter brädor och 2 skruvar.

Snickaren har totalt 28 meter brädor och 18 skruvar.

Hur många hyllor av varje modell kan snickaren bygga om han vill använda allt material?

Lösning

x = antal hyllor av A

y = antal hyllor av B

Brädornas totala längd (m):

2x + 4y = 28

Totala antalet skruvar:

3x + 2y = 18

Vi får nu ekvationssystemet:

2x + 4y = 28

3x + 2y = 18

Vi löser ekvationssystemet med substitutionsmetoden men det går även att välja additionsmetoden eller grafisk lösning.

2x + 4y = 28 Lös ut x från första ekvationen. Glöm inte att dela båda leden med 2.

x = 14 – 2y

3(14 – 2y) + 2y = 18 Sätt in det du fått fram i stället för x i den andra ekvationen.

42 – 6y + 2y = 18 Förenkla ekvationen.

42 – 4y = 18 Lös ekvationen.

42 – 18 = 4y

24 = 4y

6 = y Skriv variabeln först.

y = 6

Kontroll:

Sätt in din lösning i den ursprungliga ekvationen och kontrollera att VL = HL.

y = 6 ger oss 2x + 4 · 6 = 28

2x + 24 = 28 Vi vill få bort 24 och motsatta räknesättet till additionen är subtraktion. Därför subtraherar vi båda led med 24.

2x + 24 – 24 = 28 – 24 Förenkla.

2x = 4

x = 2

Svar: Snickaren kan bygga 2 hyllor av modell A och 6 hyllor av modell B.

2.5 Exempel

Två lastbilar på väg

Två lastbilar kör från Kalmar mot Karlstad, men startar vid olika tidpunkter och har olika hastigheter.

● Lastbil A startar kl. 08:00 och kör i 70 km/h.

● Lastbil B startar kl. 10:00 och kör i 90 km/h.

Vid vilken tidpunkt kommer lastbil B att köra om lastbil A?

Lösning

x = antal timmar efter klockan 08:00

y = sträcka i kilometer

Lastbil A: y = 70x

Lastbil B: y = 90(x – 2). Vi får x – 2 ifrån att denna lastbil startar 2 timmar efter lastbil A.

Vi får nu ekvationssystemet:

y = 70x

y = 90x 180

Vi kan lösa detta ekvationssystem med olika metoder men vi visar algebraisk lösning. Eftersom vi är intresserade av tidpunkten så räcker det att räkna ut x–värdet. Vi sätter ekvationerna lika med varandra:

70x = 90x – 180 och löser denna ekvation.

180 = 20x

9 = x Vi skriver variabel först och får då x = 9

Nu tittar vi vad x står för och tidigare skrev vi att x är timmar efter kl 08:00.

Vi adderar 9 timmar till kl 08:00 och får då att klockan är 17:00.

Svar: Lastbil B kommer att köra om lastbil A klockan 17:00.

2.5 Uppgifter

Stödfrågor:

• Vad kan dina variabler stå för?

• Vilken metod är bäst att använda?

• Är ekvationssystemet uppritat i ett koordinatsystem (grafisk lösning)?

• Är det olika tecken ”över” varandra i de båda linjernas ekvationer? (i så fall är additionsmetod att föredra, du kan behöva förlänga någon/ båda ekvationerna).

• Kan jag lösa ut någon av variablerna på ett enkelt sätt? (i så fall är substitutionsmetoden att föredra).

• Vad ska jag göra när jag räknat ut den ena variabeln?

• Tolka din lösning.

Nivå

2501 Två budfirmor levererar paket.

● Firma A tar 50 kr i startavgift och 10 kr per mil.

● Firma B tar 20 kr i startavgift och 15 kr per mil.

a) Vid hur många mil kostar båda alternativen lika mycket?

b) Hur stor blir kostnaden då?

2502 Två bussar kör till Helsingborg. Buss A kör

i 60 km/h och startar kl. 06:00. Buss B kör i 90 km/h och startar kl. 07:00. När kommer buss B att köra om buss A? Lös uppgiften med ekvationssystemet nedan och förklara vad ekvationssystemet beskriver.

y = 60x

y = 90(x 1)

2503 Ett företag köper två olika sorter av metallrör, typ A och B. Två rör av A och tre rör av B kostar 240 kr. Fyra rör av A och ett rör av B kostar 220 kr. Vad kostar ett rör av varje sort?

2504 På en camping finns det enbäddsstugor och tvåbäddsstugor. Totalt på campingen finns det 17 stugor att hyra. Det finns totalt 28 sängplatser på hela campingen. Hur många stugor med två sängplatser finns det på campingen?

2505 På en teater är alla 240 platser bokade. Det finns 30 fler killar än dubbelt så många tjejer. Låt x vara killar och y vara tjejer.

a) Ställ upp ett ekvationssystem.

b) Hur många killar är det på teatern?

2506 Tuva har ett antal 10-kronor och 5-kronor i sin spargris. Sammanlagt har hon 15 mynt som är värda 125 kr. Hur många mynt av varje sort har Tuva?

Nivå 2

2507 Elis och hans morfar är sammanlagt 106 år. Morfar är 66 år äldre än Elis. Hur gamla är de?

2508 En skål med godis väger 8 hg. I en annan skål av exakt samma form och vikt finns det tre gånger så mycket godis, och det godiset väger 2 kg. Hur mycket väger skålen när den är tom?

2.5 Uppgifter

2509 Daniel ska åka från Malmö till Göteborg. Han kan antingen åka buss eller tåg.

Bussen kostar 100 kr i grundavgift och 2 kr per mil. Tåget kostar 40 kr i grundavgift och 5 kr per mil.

a) Sätt upp ett ekvationssystem som visar när kostnaden för buss och tåg är lika stor.

b) Lös ekvationssystemet.

c) Hur långt är resan när båda alternativen kostar lika mycket?

Nivå 3

2510 Två restauranger säljer lunchmenyer med olika priser beroende på antal tillval.

● Restaurang "Köttbulle" har ett grundpris på 85 kr och tar 12 kr per tillval.

● Restaurang "Blomkål" har ett grundpris på 110 kr och tar 6 kr per tillval.

a) Ställ upp ett ekvationssystem som visar priset beroende på antal tillval.

b) Lös ekvationssystemet.

c) Hur många tillval krävs för att luncherna ska kosta lika mycket?

d) Förklara vilken restaurang som är billigast beroende på antal tillval.

2511 En restaurang köper kaffe från två olika grossister. Priset per kilo kaffe har varierat över tid.

Grossist A:

● År 2022 kostade 1 kg kaffe 90 kr.

● År 2024 kostade 1 kg kaffe 102 kr.

Grossist B:

● År 2022 kostade 1 kg kaffe 110 kr.

● År 2024 kostade 1 kg kaffe 98 kr.

a) Bestäm räta linjens ekvation för prisutvecklingen hos varje grossist (pris som funktion av år).

b) Sätt upp ett ekvationssystem för att ta reda på när priset är lika hos båda grossisterna.

c) Lös ekvationssystemet.

d) Under vilket år är priset lika, och vad är priset då?

2 Diagnos

Syftet med diagnosen är att du ska se vad du kan och vad du kan behöva jobba mera med i detta kapitel.

1 Förenkla uttrycken.

a) 3x – 2(x + 6) + (9 + 2x)

b) (8x – 6) + 4(3 – 2x) – x

Repetera mera i avsnitt 2.1

2 Lös följande ekvationer med balansmetoden.

a) 7x – (3 + 3x) + 5 = 2x + 12

b) 5x 2 + 3 = 12 + 3x 2

Repetera mera i avsnitt 2.1

3 Lös ekvationssystemet algebraiskt.

y = x + 2

y = 2x 1

Repetera mera i avsnitt 2.3

4 Sara tillverkar en komponent på 12 minuter. Hon arbetar i 4 timmar. Hur många komponenter hinner hon göra? Ställ upp och lös en ekvation.

Repetera mera i avsnitt 2.3

5 Vad har ekvationssystemet för lösning?

Skriv även ekvationssystemet i algebraisk form utifrån de linjer som är uppritade i koordinatsystemet bredvid.

Repetera mera i avsnitt 2.3

6 Lös ekvationssystemet.

y + 2x = 8

y 4x = 26

Repetera mera i avsnitt 2.3

7 För vilket värde på b saknar ekvationssystemet nedan lösning?

by = 5x 1 2y = x + 4

Repetera mera i avsnitt 2.4

8 Elis adderar tre av sidorna i en rektangel och får 44 cm. Oskar adderar också tre av sidorna i samma rektangel och får 40 cm. Hur stor är rektangelns omkrets?

Repetera mera i avsnitt 2.5

9 En butik säljer olika kryddor. Krydda A kostar 69 kr/hg och krydda B kostar 85 kr/hg. Kunden kan inte bestämma sig utan vill ha en blandning av dessa två kryddor som väger 1 kg och kostar 74,60 kr/hg. Hur mycket av varje krydda ska ingå i blandningen?

Repetera mera i avsnitt 2.5

Hur gick det? Välj Blandade övningar utifrån hur det gick på Diagnosen.

Gruppuppgift

Prissättning av konferenspaket

Ett hotell erbjuder två olika konferenspaket för företag:

● Paket A: fast avgift på 2 000 kr plus 350 kr per deltagare.

● Paket B: fast avgift på 3 500 kr plus 250 kr per deltagare.

Ett företag vill boka konferens för ett visst antal deltagare och vill veta vilket paket som är mest prisvärt.

Uppgifter

1. Ställ upp ett ekvationssystem som visar totalkostnaden för båda paketen beroende på antal deltagare.

2. Beräkna för hur många deltagare kostnaden blir densamma för båda paketen.

3. Vilket paket är billigast om man är färre än detta antal? Vilket är billigast om man är fler?

4. Diskutera i gruppen:

• Hur kan man tolka skärningspunkten mellan linjerna i verkligheten?

• Ge exempel på andra tillämpningar inom hotell- och restaurangbranschen där liknande resonemang kan användas.

2 Blandade övningar

Nivå 1

1 Förenkla uttrycket.

x(x + 4) – x2

2 Förenkla uttrycket.

4x(x – 3) – 3x(x + 2)

3 Lös ekvationen.

7x – (3x + 6) = 18

4 En rektangulär kohage ska inhägnas av ett staket. Långsidan är 80 m längre än kortsidan. Skriv ett uttryck för hur du kan räkna ut omkretsen på kohagen.

5 Lös ekvationen.

3x 7 + 2 = 5

6 Lös ekvationssystemet med grafisk metod.

8

7 Lös ekvationssystemet med additionsmetoden.

x + 2y = 18 4x 2y = 22

Lös ekvationssystemet med substitutionsmetoden.

y = x + 3

y = 2x + 6

9 Varför har ekvationssystemet nedan ingen lösning?

10

Ett tal multipliceras med 7. Därefter adderas 9 och resultatet blir 93. Vilket är talet?

11 Stella samlar på mynt. Hon har både femkronor och tiokronor. Hon har samlat ihop lika många av varje sort. Sammanlagt är hennes mynt värda 1 500 kr. Hur många mynt har Stella samlat ihop?

12 Lös ekvationen. 4(x – 7) – (x + 10) = 2(1 – x)

Nivå 2

13 Lös ekvationen.

27 – (12 – 2x) = 96 – x

14 Lös ekvationssystemet med additionsmetoden.

y + 3x = 12

y 5x = –4

Blandade övningar

15 Lös ekvationssystemet med grafisk metod, utan digitala verktyg.

y = x 1

y = 11 2x

16 Matilda, Maja och Liam har vunnit på tips. Vinsten skall fördelas så att Matilda får dubbelt så mycket som Maja. Liam ska få 50 kr mindre än Matilda. Hur mycket ska var och en få om den totala vinsten är 7 450 kr?

Lös uppgiften med hjälp av en ekvation.

17 Bestäm värdet på a och b så vi får lösningen x = 1 och y = 3 till ekvationssystemet nedan.

b y = 7 ax 5ax + 3b y = 23

18 En sjuksköterska ska ge en patient 500 ml vätska. Dropphastigheten är 20 droppar per minut, och det går 25 droppar på 1 ml. Hur lång tid tar det innan hela mängden vätska har getts? Svara i hela timmar och minuter.

19 På södra Öland finns det två butiker som hyr ut båtar. Låt y vara kostnaden i kronor och x antalet dagar man hyr. Butik A har ett fast dagspris på 95 kr per dag. Butik B tar 60 kr per dag men har dessutom en grundavgift på 245 kr som du betalar oavsett hur många dagar du hyr båten. Hur många dagar ska man hyra en båt för att kostnaden ska bli lika stor i båda butikerna?

Nivå 3

20 Lös ekvationen. 2x 3 + 1 4 3 x 6 = (1 3) 2

21 På en verkstad tjänar Leona 20 % mer än

Stella och Ester tjänar 20 % mer än Leona. Deras totala månadslön är 75 000 kr i månaden. Räkna ut var och ens månadslön.

22 För vilket värde på a saknar ekvationssystemet nedan lösning?

5x + ay + 1 = 0 x + 2y 4 = 0

23 Du jobbar i en bokhandel och sätter reapriser på böcker inför julen. Pocketböcker får ett fast pris och inbundna böcker ett annat. En kund köper fyra pocketböcker och två inbundna böcker för 189 kr. Nästa kund köper två pocketböcker och fem inbundna böcker för 364,50 kr. Den tredje kunden köper en pocketbok och en inbunden bok. Hur mycket ska kunden betala?

2ax + b y = 9 bx 3ay = 4

24 Ekvationssystemet har lösningen x = 3 och y = –2. Bestäm a och b.

Nu är du klar med Blandade övningar och kan göra ett Övningsprov som din lärare har att dela ut till dig.

Sammanfattning

Algebraiskt uttryck

Ett uttryck har INTE ett likhetstecken. Om vi får att uttrycket är lika med något, får vi en ekvation, som vi ofta ska lösa.

När det står ett plustecken framför en parentes kan parentesen tas bort utan vidare.

a + (b + c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

När det står ett minustecken framför en parentes måste tecken inne i parentesen ändras när du tar bort parentesen.

a –

Distributiva lagen

a(b + c) = ab + ac

a(b – c) = ab – ac

Ekvationer

En ekvation är en likhet mellan två algebraiska uttryck. Den består av två led:

● Vänster led (VL)

● Höger led (HL)

I en ekvation finns ett tal som är obekant, kallat en variabel.

Variabeln betecknas oftast med x, men kan vara vilken bokstav som helst. Det kan finnas variabler på båda sidor om likhetstecknet.

Att lösa en ekvation innebär att ta reda på vilket tal som gör att VL och HL blir lika stora. Det ska råda balans mellan vänster och höger led.

De värden man får när man löser en ekvation kallas rötter.

Det finns flera olika metoder för att lösa ekvationer.

Addition och subtraktion är motsatta räknesätt.

Multiplikation och division är motsatta räknesätt.

Ekvationssystem

När vi löser ett ekvationssystem är vi intresserade av att hitta skärningspunkten mellan linjerna. Denna skärningspunkt kan vi bestämma på olika sätt och vi kommer att gå igenom tre olika metoder:

● Grafisk lösning – rita linjerna i ett koordinatsystem och läs av skärningspunkten.

● Substitutionsmetoden (ersättningsmetoden) – ersätt en variabel med ett uttryck från den andra ekvationen.

● Additionsmetoden – addera eller subtrahera ekvationerna så att en variabel försvinner.

När vi löser ett ekvationssystem kan tre olika situationer uppstå:

● Linjerna skär varandra i en punkt – då finns en lösning.

● Linjerna är parallella med varandra– då finns ingen lösning. Parallella linjer har samma lutning (samma k-värde).

● Linjerna sammanfaller – då finns det oändligt med lösningar. Linjerna har då samma k-värde och samma m-värde.

Ett ekvationssystem skrivs med en klammer runt ekvationerna, se exempel nedan:

y = 2x + 1

y = x + 4

Facit

Funktioner och linjära samband

1.1 Funktioner

1101 a) f(3) = 14

b) f(0) = −1

1102 a) y = 7

b) y = 1

c) x = 4

d) x = –3

d) Ja, priset är proportionellt mot antalet kg man köper eftersom funktionens graf är en rät linje genom origo.

1106 a) y = 100x

b) y = 150 + 50x c)

1105 a) Det kostar 75 kr.

b) y = 25x c)

d) Emma behöver hyra fyra filmer eller fler för att det ska bli billigare att hyra film jämfört med om hon inte varit medlem.

1107 a) y = 21 – 3x

b)

Kostnad (kr) Tid (Timmar)

c) Sju timmar.

d) Definitionsmängd: 0 ≤ x ≤ 7

Värdemängd: 0 ≤ y ≤ 21

1108 a) 32 grader Fahrenheit. b) 14 grader Fahrenheit. c) −18 grader Celsius. d) 38 grader Celsius.

1109 2 200 kr i snitt per bil.

1110 a) 0 ≤ y ≤ 100

1111 a) f(0) = 15

b) f(4) = −5

c) x = 2

d) För x < 2

1112 a)f(0) + g(0) = 8

b) f(3) − g(3) = 4

c)f(x) = g(x) då x = 2

1113 a = 5 b = −2

1.1 Test – Funktioner

1 a) f(2) = −5

b) f(−1) = 4

2 a) y =1då x = 2.

b) y = 5 då x = 0.

c) x = 2,5 då y = 0.

d) x = 3 då y = −1.

3 a) y = 28,95x

b) Ja, detta ett proportionellt samband eftersom funktionen skrivs som y = kx. Ritar man grafen till funktionen blir det en rät linje genom origo.

5

a) y = 10x + 1250

b) 1280

c) Nej, eftersom funktionen inte skrivs som y = kx. Ritar man grafen till funktionen blir det inte en rät linje genom origo.

1.2 Räta linjens ekvation

1201 a) k = 2 och m = 4

b) k = −2 och m = 6

c) k = 1 och m = –2

d) k = 5 och m = 0

1202 a) k = 2

b) k = 0,5

c) k = 1 3

d) k = 0

1203 a) k = 2 och m = −3

b) k = 2 och m = 1

c) k = –2 och m = 5

1204 a) k = 0,5 och m = 1

b) k = −1 och m = 4

1205 a) k = –1 2 och m = 4

b) k = 1 och m = 3

1206 a) k = 1 och m = 1

b) k = 0,5 och m = 0

1207 k = –5 och m = 120

1208 Ja, de är parallella eftersom linjernas k–värde är lika.

1209 a) k = −2 och m = 4

b) k = 1 och m = 3

c) k = 4 3 och m = −4

d) k = 0 och m = 5 (Det blir en horisontell linje då k = 0).

1210 a) k = 1 och m = 1

b) k = 0,5 och m = 1

1211 k = 2 3 och m = 15

1212 Nej

1213 m = 1

1214 k–värde saknas (Δx = 0, vilket ger noll i nämnaren). m–värde saknas också eftersom den lodräta linjen aldrig skär y–axeln.

1215 a = 1

1.3 Ta reda på räta linjens ekvation

1301 y = 2x + 1

1302 y = −x + 5

1303 y = 3x − 5

1304 y = −x + 3

1305 y = −x + 3

1306 y = 0,5x

1307 y = 0,5x − 2

1308 y = −4x + 5

1309 3x + y + 8 = 0

1310 y = −2x + 400

1311 y = 2 3 x + 1

1312 y = −2x + 24

1313 Nej, punkten ligger inte på linjen.

1314 Ja, linjerna är parallella eftersom de har samma k–värde.

1315 k = −1 och m = −1

1316 y = −2x + 2

1.2–1.3 Test – Räta linjens ekvation och ta reda på räta linjens ekvation

1 y = 3x − 1

2 a) k = 2 b) k = −1

3 y = 2x − 5

4 y = 0,5x + 2

5 y = −x + 7

1.4 Räta linjens ekvation med digitala verktyg

1401 a) Grafen lutar nedåt från vänster till höger.

b) Grafen lutar uppåt från vänster till höger.

c) Grafen blir en horisontell linje.

1402 a) Alla tre grafer är parallella.

b) Funktionernas k–värde är lika, k = 3. Slutsatsen blir att alla räta linjer som har samma k–värde är parallella.

c) Graferna skär y–axeln i punkterna (0, −4), (0, 1) och (0, 4).

d) y = 3x

1403 f(x) = −2x + 1

1404 A: y = 3x − 3

B: y = −0,5x + 2

C: y = x + 2

1405 De skär varandra i punkten (2, −1).

1406 y = 2x – 1

1407 a) k = 2 b) 0 5 -5 -5 5 10 15 5 -10 -10 -3 10 15 20 5 y x

c) y = 2x +3

Grafen ska gå genom punkterna (-2, -1), (0, 3) och

1408 Skärningspunkten är (1,5; 0,5)

1409 y = 0,5x + 1

1410 y = −x + 5

1411 Ja, de är parallella eftersom de har samma k–värde.

1412 a) y = 1 2 x + 4

b) y = 1 5 x 1

c) k1 = k–värdet för den ena funktionen.

k2 = k–värdet för den andra funktionen.

För vinkelräta linjära funktioner gäller att

k 2 = 1 k 1

d) k = 1 3

1413 a = 4

1.5 Problemlösning med linjära funktioner

1501 a) y = 20x + 70 b) 310 kr

c) 21,5 km

1502 a) 100 kr

b) 10 kr/timme

c) y = 10x + 100, där y är kostnaden i kr och x är tiden i timmar.

1503 a) 12 g

b) 450 g

c) y = 12x + 450, där y är vikten i gram och x är antalet kulor i burken.

1504 6 korvar

1505 a) 300 g/månad

b) 3 900 g

1506 y = 9x + 20, där y är temperaturen efter x minuter.

1507 a) 82 liter

b) 6 h och 50 min

1508 a) V(t) = 22 500 – 50t

b) Definitionsmängd: 0 ≤ t ≤ 450

Värdemängd: 0 ≤ V ≤ 22500

1.4–1.5 Test – Räta linjens ekvation med digitala verktyg och problemlösning med linjära funktioner

1 y = 2x − 2

2 (2, 1)

3 y = 3x − 2

4 a) y = 700x + 500 b) 2 600 kr

5 a) 120 kr/kg b) 25 kr

1 Diagnos

1 a) f(3) = 11 b) f(−2) = −9

4 y = 2x − 1

5 y = 2,5x + 1

6 y = x + 2

7 y = 3x + 3

8 y = x + 4

9 a) 0,05 g b) 11 g

1 Blandade övningar

1 a) 16

b) −2

2 a) y = 3

b) y = 0

c) x = 12 d) x = −5 3 x y

3 4 5 y x

4 a) y = 2x + 1

b) y = −3x + 4

c) y = x − 12

d) y = 1,7x

5 a) k = 2

b) k = 3

c) k = 1

d) k = 2

6 a) k = 3 och m = −2

b) k = 0,5 och m = −1

c) k = −1 och m = 3

7 y = 2x + 3

8 y = 0,5x − 1

9 y = 2x 3 + 1

10 y = −x + 4

11 y = −2x + 3

12 8x + y – 20 = 0

13 y = 2x − 2

14 a) y = 600x + 200

b) 3 200 kr

c) 7 timmar

15 a) 150 kr

b) 50 kr per timme

c) y = 50x + 150, där y är totala kostnaden för att hyra kanoten i x timmar.

16 a) 200 kr

b) 5 kr/km

c) y = 5x + 200, där y är totala kostnaden för att köra bilen x kilometer.

17 Värdemängden är

30 ≤ y ≤ 120

18 a) f(1) = 10,5

b) f(4) − f(4) = −6

c) x = 6

d) För x < 4

19 y = 3x +2

20 Nej, de har inte samma k–värde.

21 (3, 6)

22 a) 2,5 cm/vecka

b) 13,5 cm

23 5,0 km

24 10 timmar

25 f(x) = −0,5x − 1

26 B = (4,8; 2,4) ⇒ Arean = 7,2 ae (areaenheter)

2 Algebra och linjära ekvationssystem

2.1 Uttryck och ekvationer

2101 a) 2x – 1 b) 9 – 5x c) 4x – 1

2102 a) 7x + 8 b) 23 – 10x c) 13x – 5

2103 a) 4x – 3 b) 10x + 13 c) 5x + 9

2104 x + 30

2105 18

2106 a) x = 2 b) x = 3

c) x = 17

2107 a) x = –11 b) x = 2

c) x = 2

2108 24 cm (x = 6)

2109 a) 3x + 3 b) 28x – 9 c) 3x – 2x2

2110 8, 16 och 80

2111 a) x = 1,25 b) x = 21 c) x = 9

2112 15, 16 och 17

2113 a) x = 1 b) y = 4

2114 500 kr (5x + 7 500 = 20x)

2115 a = 3

2116 8 cm, 12 cm och 16 cm (x + (x – 4) + 2(x – 4) = 36)

2117 a) 0,65x = 0,8 + 0,45x b) x = 4

c) Vid 4 mil är bränsleförbrukningen densamma för båda bilarna.

2.1 Test –Uttryck och ekvationer

1 2x + 54

2 19x – 15

3 a) x = 7 b) y = 18

c) x = 21

4 45 gram, 90 gram och

270 gram

5 8 år, 12 år och 36 år

2.2 Grafisk lösning av ekvationssystem

2201 x = 1 och y = 3

2202 x = –1 och y = 2

2203 x = 2 och y = 1

2204 x = –1 och y = –1

2205 x = 0,7 och y = 2,3

2206 Ja

2207 x = –2 och y = 1

2208 x = –2 och y = 4

2209 Exempelvis

y = x y = 10 x

2210 a = –4 och b = –2

2211 Graferna är parallella, det vill säga att de har samma k–värde.

2212 Ekvationssystemet blir

x + y = 30

x 5 + y 10 = 5

När du ritar upp linjerna får du skärningspunkten x = 20 och y = 10, det vill säga att 20 barn deltar i pyssel och 10 barn deltar i bollspel.

2213 Ekvationssystemet blir

x + y = 10

x + 2y = 12

När du ritar upp linjerna får du skärningspunkten x = 8 och y = 2, det vill säga att 8 rum städas med snabbstädning och 2 rum med noggrann städning.

2.3 Linjära ekvationssystem

2301 a) x = 3 och y = 9

b) x = 1 och y = 2

2302 a) x = 4 och y = 5

b) x = 4 och y = 17

2303 y = x + 2

y = –x + 4

2304 x = 1 och y = 3

2305 a) x = 2 och y = 5

b) a = 2 och b = 2

2306 x = 17 och y = 12

2307 x = 1 och y = 2

2308 a) x = 2 och y = 5

b) x = –1 och y = 0

2309 a) x = 1 och y = 4

b) x = 3 och y = 5

2310 3 hästar och 10 hönor

2311 x = 2 och y = 0

2312 y = 1 – x y = x – 3

2313 x = 3 och y = 4

2314 m = 12

2315 a = 3 och b = 5

2316 a) y = x + 2

5y + 5x = 120

b) x = 11 och y = 13

c) Blybatterier laddas med 11A och litiumbatterier laddas med 13 A.

2.4 Några speciella linjära ekvationssystem

2401 Har två linjer samma k–värde kommer det aldrig att finnas en skärningspunkt, det vill säga att ekvationssystemet saknar lösning.

2402 Ekvationssystemet har oändligt med lösningar.

2403 x = 3 och y = 2

2404 x = 2 och y = –3

2405 k = –1

2406 Ekvationssystemet har oändligt med lösningar.

2407 a) k = –2 b) x = 0 och y = 1

2408 a) Exempelvis y = x b) Exempelvis y = –2x c) 4y = 12 – 8x

2409 Ekvationssystemet har oändligt med lösningar.

2410 Exempelvis a = 2 och b = 3.

2411 När a är skilt från –3 får vi exakt en lösning, eftersom k – värdena för de båda linjerna måste vara olika.

2412 Om a = 1 får vi oändligt många lösningar, om a = –1 får vi inga lösningar, och för övriga värden på a, förutom 1 och –1, har ekvationssystemet en lösning.

2413 x = 1 och y = 1

2414 y = 1 – x

2.2–2.4 Test – Grafisk lösning av ekvationssystem, linjära ekvationssystem och några speciella linjära ekvationssystem

1 x = –1 och y = –4

2 x = –1 och y = –2

3 Ekvationssystemet har oändligt med lösningar.

4 y = 2x + 1

y = 4 x

5 x = 8 och y = 5

2.5 Problemlösning med ekvationssystem

2501 x = 6, vid 6 mil kostar båda alternativen 110 kr.

2502 x = 3, buss B kör om kl 06.00 + 3 timmar = = kl 09.00, och då har bussen kört 180 km. I ekvationssystemet står det 90(x – 1), vilket betyder att denna buss kör i 90 km/h och startar en timme efter buss A.

2503 Metallrör A kostar 42 kr och metallrör B kostar 52 kr.

2504 Det finns 11 stugor med 2 sängar.

2505 a) x + y = 240 x = 2y + 30 b) x = 170 killar.

2506 Tuva har 10 stycken 10 kronor och 5 stycken 5 kronor.

2507 Elis är 20 år och morfar är 86 år.

2508 Skålen väger 2 kg (gör om vikten till samma enhet).

2509 a) y = 2x + 100 y = 5x + 40

b) x = 30 och y = 160

c) Resan är 20 mil lång när kostnaden för tåg och buss är lika stor.

2510 a) y = 12x + 45

y = 6x + 110

b) x = 25 6 ≈ 4,17 och y = 135

c) Vid ca 4,17 tillval kostar luncherna lika mycket.

d) Vid färre än 4 tillval är

restaurang Köttbulle billigast, men vid fler än 4 tillval är restaurang Blomkål billigare.

2511 a) Grossist A: Punkterna (0, 90) och (2, 102) ger y = 6x + 90

Grossist B: Punkterna (0, 110) och (2, 98) ger y = 110 – 6x

b) y = 6x + 90

y = 110 6x

c) x = 5 3 ≈ 1,67 och y = 100

d) x är ungefär 1,67, vilket motsvarar 1 år och 8 månader efter år 2022. Priset är alltså lika i augusti 2023, och då kostar det 100 kr/kg.

2 Diagnos

1 a) 3x – 3 b) 6 – x

2 a) x = 5 b) x = 9

3 x = 3 och y = 5

4 x = 20 komponenter (12x = 240)

5 x = 1 och y = 2.

Ekvationssystemet är

y = 3x 1

y = 4 2x

6 x = –3 och y = 14

7 b = –10

8 2x + y = 44

x + 2y = 40

Lösning till ekvationssystemet är x = 16 cm och y = 12 cm.

Omkrets = 56 cm.

9 6,5 hg av krydda A och 3,5 hg av krydda B.

2 Blandade övningar

1 4x

2 x2 – 12x – 6 3

6 x = –2 och y = 2

7 x = 8 och y = 5

8 x = 1 och y = 4

9 Båda linjerna har samma k–värde och är därmed parallella. Då får vi ingen skärningspunkt.

10 x = 12

11 100 st mynt

12 x = 8

13 x = 27

14 x = –3 och y = 14

15 a)

b) x = 4 och y = 3

16 3 000 kr, 100 kr och 2 950 kr

17 a = 1 och b = 2

18 10 timmar och 25 minuter (Totalt antal droppar: 25 · 500 = 12 500, ekvation blir 20x = 12 500).

19 7 dagar

20 x = 0,5

21 Stella har 20 604 kr, Leona har 24 725 kr och Ester har 29 670 kr i månadslön.

22 När a = –10 då saknar ekvationssystemet lösning för att k–värden är samma.

23 13,50 kr + 67,50 kr = 81 kr

24 a = 7 6 och b = –1

matematik

2a

Prefix är en heltäckande läromedelsserie för matematik på gymnasiet. De tryckta och digitala läromedlen följer samma struktur vilket ger dig möjlighet att arbeta med antingen tryckta eller digitala läromedel, eller en kombination av båda. Lärarmaterialet till varje läromedel finns i den digitala versionen.

Prefix Matematik 2a är ett läromedel utvecklat för gymnasieskolans yrkesprogram och anpassat till Matematik 2a enligt Gy25. Boken har en tydlig struktur och erbjuder varierade övningar, kunskapskontroller samt uppgifter som täcker samtliga delar av Matematik 2a. Genom QR-koder får eleverna tillgång till lösningar för alla uppgifter i boken –ett värdefullt stöd i det dagliga arbetet och en god förberedelse inför nationella prov.

Det finns mer att upptäcka

Det här smakprovet består av en utvald del av den kompletta boken, för att du som lärare ska kunna utvärdera innehållet före köp. Vi har också ett stort sortiment av digitala läromedel som du kan prova gratis på gleerups.se. Har du några frågor eller synpunkter är du välkommen att kontakta Gleerups kundservice på 040-20 98 10 eller via gleerups.se

Beställ den riktiga boken

Vid beställning av boken ange ISBN 51120300