Estabilidad en los Sistemas de Control Gianpiero Zecchetti Chienuy C.I.: 27.122.998
I Parte. Desarrollo. 1. ¿Qué es estabilidad en los sistemas de control en tiempo discreto? La estabilidad es una característica de los sistemas de control en tiempo discreto (y en tiempo continuo también), que nos permite conocer cómo se comportarán dichos sistemas en respuestas a una entrada (o perturbación) determinada. Se dice que un sistema dinámico es estable si a una entrada acotada responde con una salida acotada. La estabilidad de un sistema de control en tiempo discreto dependerá de las características de su función de transferencia. La estabilidad de estos sistemas, puede determinarse por la localización de los polos de lazo cerrado en el plano z, o por las raíces de la ecuación característica 𝑃(𝑧) = 1 + 𝐺𝐻(𝑧) = 0 como sigue: 1) Para que el sistema sea estable, los polos en lazo cerrado o las raíces características deben localizarse en el plano z, dentro de un círculo unitario. Cualquier polo en lazo cerrado exterior al círculo unitario hace inestable al sistema. 2) Si un poloo simple se ubica en 𝑧 = 1 (sobre el círculo unitario), entonces el sistema es críticamente estable. También el sistema se convierte en críticamente estable si un solo par de polos complejos conjugados se presenta sobre el círculo unitario en el plano z. Cualquier polo múltiple de lazo cerrado sobre el círculo unitario hace al sistema inestable. 3) Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y por lo tanto pueden quedar localizados en cualquier parte del plano z.
2. ¿Cuáles son los pasos para analizar el error en estado permanente para los sistemas de Control en Tiempo Discreto?
1) Se determina la función de transferencia del sistema 𝐺𝐻(𝑧).
1
2) Se calcula la constante de error estático correspondiente del sistema, según sea la entrada del sistema Si la entrada es un escalón unitario 𝑟(𝑡) = 1(𝑡), la constante de error será la constante de posición, 𝐾𝑝 , la cual viene dada por 𝐾𝑝 = lim 𝐺𝐻(𝑧) 𝑧→1
Si la entrada es una rampa unitaria 𝑟(𝑡) = 𝑡, la constante de error será la constante de velocidad, 𝐾𝑣 , la cual viene dada por (1 − 𝑍 −1 ) 𝐺𝐻(𝑧) 𝐾𝑉 = lim 𝑧→1 𝑇 1
Si la entrada es una aceleración unitaria 𝑟 (𝑡) = 𝑡 2, la 2
constante de error será la constante de aceleración, 𝐾𝑎 , la cual viene dada por (1 − 𝑍−1 )2 𝐺𝐻(𝑧) 𝐾𝑎 = lim 𝑧→1 𝑇2 3) Una vez obtenida la constante de error deseada, se calcula el error en estado estacionario según las siguientes expresiones: 1 𝑒𝑝 = ( ) 𝑒𝑉 = 𝑒𝑎 =
1+𝐾𝑝 1
𝐾𝑟 1 𝐾𝑎
Como se puede observar, mientras mayores sean las constantes de error, menores serán los errores. Si las constantes tienden a ∞, los errores tenderán a cero. 3. ¿Qué es tiempo de levantamiento? El tiempo de levantamiento es el tiempo que requiere la respuesta para pasar de 10% a 90%, de 5% a 95% o de 0% a 100% de su valor final, según la situación. Para sistemas de segundo orden sub amortiguados, por lo general se utiliza el tiempo de lanzamiento de 0% a 100%. Para sistemas sobre amortiguados y sistemas con atraso de 2
transporte, generalmente se utiliza el tiempo de levantamiento de 10% a 90%. 4. ¿Qué es sobrepaso máximo? Es el valor máximo de la curva de respuesta medido a partir de la referencia unidad. Si el valor final en estado permanente de la respuesta difiere de la unidad, es común utilizar el sobrepaso porcentual máximo, el cual se define por la siguiente relación Sobrepaso maximo en porcentaje =
𝑐(𝑡𝑝) − 𝑐(∞) × 100 % 𝑐 (∞)
Donde 𝑐(𝑡𝑝) es el valor de la respuesta para el tiempo pico, es decir, el valor de la respuesta al llegar ésta a la primera cresta de sobrepaso. La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica en forma directa la estabilidad del sistema. 5. Diferencia que existe entre el cálculo y dibujo de las trazas del diagrama de Bode en tiempo continuo y en tiempo discreto Los Diagramas de Bode (DB), tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto, se basan en el trazado de líneas rectas asintóticas, para cuando la frecuencia tiende a valores muy bajos o muy altos. Se trazan DB tanto para la magnitud como para la fase de la función de transferencia. Sin embargo, es importante destacar que puede existir una diferencia en las magnitudes en alta frecuencia para 𝐺 (𝑗𝜔)(tiempo continuo) y para 𝐺 (𝑗𝑣 )(tiempo discreto). De hecho, la asíntota de alta frecuencia de la curva de magnitud logarítmica para 𝐺 (𝑗𝜔) puede ser una línea constante a ciertos decibeles, es decir, una línea horizontal. Por otra parte, si lim 𝐺(𝑠) = 0, entonces la magnitud 𝑍→∞
logarítmica de 𝐺(𝑗𝜔) siempre se acercará a cero (−∞ 𝑑𝐵), en la medida que 𝜔 se acerque a infinito. Esta diferencia en los diagramas de Bode en el extremo de alta frecuencia se puede aplicar de la siguiente manera: El tiempo continuo se utiliza el plano S y en el tiempo discreto se utiliza el plano 𝜔 𝜔 w. El plano s va desde − 𝑠 hasta 𝑠 en el eje imaginario. El plano w, 2
2
3
sin embargo, va desde −∞ a ∞ en el eje imaginario. Entonces, al observar que 𝜈 = ∞ en el plano s, se puede decir que |𝐺(𝑠)| lim |𝐺(𝑗𝜈 )| corresponde a lim 𝜔 𝜔→ 𝑠⁄2
𝜈→∞
De hecho, el valor de la magnitud logarítmica de 𝐺(𝑗𝜈 ) a muy alta frecuencia no suele ser igual al valor de la magnitud logarítmica 𝜔 de 𝐺 (𝑠) a 𝜔 = 𝑠⁄2 II Parte. 1. Dado el sistema representado en la figura.
Determine el valor de K y examine su estabilidad a través del criterio de Jury. El diagrama de bloques equivalente del sistema es el siguiente 𝑅(𝑧)
+
-
𝐾𝑧 (𝑧 − 1)(𝑧 2 − 𝑧 + 0.5)
𝐶 (𝑧)
Que es un sistema de lazo cerrado con realimentación unitaria positiva, cuyo DB equivalente es: 𝑅(𝑧)
𝐾𝑧 (𝑧 − 1)(𝑧 2 − 𝑧 + 0.5) 1 + 𝐾𝑧 (𝑧 − 1)(𝑧 2 − 𝑧 + 0.5)
𝐶(𝑧)
4
Por lo tanto: 𝐾𝑧 (𝑧 − 1)(𝑧 2 − 𝑧 + 0.5) ( ) 𝐶 𝑧 = 𝑅(𝑧) 𝐾𝑧 (𝑧 − 1)(𝑧 2 − 𝑧 + 0.5) + 2 (𝑧 − 𝑧 + 0.5) Es decir, 𝐺 (𝑧) =
𝐶(𝑧) 𝐾𝑧 = 3 𝑅(𝑧) 𝑧 − 𝑧 2 + (1.5 + 𝐾 )𝑧 − 0.5
La ecuación característica 𝑃(𝑧) es 𝑃(𝑧) = 𝑧 3 − 2𝑧 2 + (1.5 + 𝐾 )𝑧 − 0.5 = 0 Donde 𝑎0 = 1,
𝑎1 = −2,
𝑎2 = (1.5 + 𝐾 ) y 𝑎3 = −0.5
El criterio de estabilidad mediante la prueba de Jury establece que un sistema con ecuación característica como la que sigue 𝑃(𝑧) = 𝑎0𝑧 3 + 𝑎1 𝑧 2 + 𝑎2 𝑧 1 + 𝑎3 𝑧 0 Donde 𝑎0 > 0, es estable, si todas las condiciones siguientes se cumplen 1) |𝑎3 | < 𝑎0 2) 𝑃(𝑧)| 𝑧=1 > 0 > 0 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 3) 𝑃(𝑧)| 𝑧=−1 { < 0 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 4) |𝑏2 | > |𝑏0 |
(𝑛 = 3 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟)
Tabla de Jury para un sistema de tercer orden Renglón 1 2 3
𝑧0 𝑎3 𝑎0 𝑏2
𝑧1 𝑎2 𝑎1 𝑏1
𝑎3 𝑎2 𝑎3 Por lo tanto 𝑏0 = |𝑎 𝑎 | y 𝑏2 = |𝑎 0 1 0 La condición 1: |−0.5| < 1 → 0.5 < 1
𝑧2 𝑎1 𝑎2 𝑏0
𝑧3 𝑎0 𝑎3
𝑎0 𝑎3 | Se cumple
La condición 2: 𝑃(1) = 13 − 2(−1)2 + (1.5 + 𝐾 )(1) − 0.5 = 𝐾 5
Se cumple sí y solo sí 𝐾 > 0 La condición 3: 𝑃(−1) = (−1)3 − 2(−1) 2 + (1.5 + 𝐾 )(−1) − 0.5 = −5 − 𝐾 Se cumple sí y solo sí −5 − 𝐾 < 0 → −𝐾 < 5 → 𝐾 > −5 La condición 4: |𝑏2 | > |𝑏0 | 𝑏0 = 𝑎3 𝑎1 − 𝑎2 𝑎0
Pero
𝑏2 = 𝑎3 2 − 𝑎0 2, por lo tanto
𝑏0 = −0.5(−2) − (1.5 + 𝐾 )(1) = 1 − 1.5 − 𝐾 = −0.5 − 𝐾 𝑏2 = (−0.5)2 − 12 = 0.25 − 1 = −0.75 Entonces |−0.75| > |−0.5 − 𝐾 | = |−(0.5 + 𝐾 )| → 0.75 > 0.5 + 𝐾 → 0.75 − 0.5 > 𝐾 Se cumple sí y solo sí 𝐾 < 0.25 El valor de 𝐾 que hace estable el sistema es la intercepción de estos tres resultados. Es decir, 0 < 𝐾 < 0.25
o
𝐾 = (0 , 0.25)
2. a. Determine cuantos lugares hay en el lugar de las raíces para la función en el siguiente sistema de lazo cerrado. b. Determine su estabilidad a través del método de Transformación Bilineal y el Criterio de Estabilidad Routh. 1 1 𝐾 (𝑧 + ) (𝑧 + ) 3 2 𝐺𝐻(𝑧) = 1 𝑗 1 𝑗 𝑧 (𝑧 + + ) (𝑧 + − ) 2 2 2 2 Parte a. 1º. Obtención de la ecuación característica 1 + 𝐹(𝑧) = 0 y localización de polos y ceros de la función de transferencia en lazo abierto en el plano 𝑧. La ecuación característica es 1 + 𝐹(𝑧) = 0, es decir, 1 1 𝐾 (𝑧 + )(𝑧 + ) 3 2 1+ =0 1 1 1 1 𝑧 (𝑧 + + 𝑗 ) (𝑧 + − 𝑗 ) 2 2 2 2 6
Hay 𝑛 = 3 polos y 𝑚 = 2 ceros en 𝐹(𝑧), a saber: 𝑝1 = 0
1 1 𝑝2 = − − 𝑗 2 2
1 1 𝑝3 = − + 𝑗 2 2
𝑧1 = −
1 3
𝑧2 = −
1 2
2º. Determinación de los puntos de inicios y los puntos de inicios y los puntos de finalización del lugar geométrico de las raíces (LGR) y el número de ramas separadas del LGR, RS. 𝑅𝑆 = 𝑛
cuando 𝑛 ≥ 𝑚
Por lo tanto, 𝑅𝑆 = 3 ramas de LGR separadas, a saber: una que empieza en el polo 𝑝1 y finaliza en el cero 𝑧2, otra que empieza en el cero 𝑧1 y finaliza en −∞ y una que empieza en el polo 𝑝3 y termina en el polo 𝑝2 . 3º. Determinación de los segmentos del eje real en los cuales están los LGR. 7
Los segmentos del LGR sobre el eje real se encuentran a la izquierda de un número impar de polos y ceros. Cada parte del LGR sobre el eje real se extiende sobre un segmento desde un polo o cero hasta otro polo o cero. En este caso, debe haber segmentos del LGR sobre el eje real a la izquierda de 𝑝1 y de 𝑧1, tal como se observa en la figura, El segmento a la izquierda de 𝑧1 se extiende hasta el cero implícito ubicado en −∞. (Ver la figura). 4º. Determinación de las asíntotas del LGR (si las hay). Cuando 𝑚 < 𝑛, 𝑛 − 𝑚 ramas separadas del LGR terminan en ceros implícitos en −∞, a través de asíntotas. EL número de asíntotas diferentes es 𝑁𝐴 = 𝑛 − 𝑚. En este caso, 𝑁𝐴 = 3 − 2 = 1 asíntota, lo que implica que una sola rama separada del LGR finaliza en un cero en −∞. Pero ya tenemos una sección del LGR que empieza en el cero 𝑧1, y termina en −∞ sobre el eje real, lo que implica que ninguna otra sección del LGR finaliza en −∞. En consecuencia, no se requiere calcular ninguna otra asíntota, pues no la hay. 5º. Determinación de los puntos de ruptura de salida y de ruptura de entrada sobre el eje real (si los hay). Si un LGR se presenta entre dos ceros adyacentes (uno de ellos pudiera estar en −∞) sobre el eje real, entonces siempre existirá por lo menos un punto de ruptura de entrada entre los dos ceros. Si el LGR se presenta entre un polo y un cero (finito o infinito) sobre el eje real, entonces pudieran no existir puntos de ruptura de ningún tipo o pudieran existir puntos de ruptura de ambos tipos. En este caso, tenemos las dos situaciones planteadas, por lo tanto, debemos encontrar dichos puntos de ruptura, para lo cual procederemos de la siguiente manera:
8
Reescribimos la ecuación característica 1 + 𝐹(𝑧) = 0 de la siguiente forma: 1+
𝐾 𝐵(𝑧) 𝐴(𝑧)
= 0 donde
𝐾𝐵(𝑧) 𝐴(𝑧)
= 𝐹(𝑧), entonces 𝐾 = −
𝐴(𝑧) 𝐵(𝑧)
Los puntos de ruptura se pueden determinar a partir de las raíces de 𝑑𝐾 𝐴´(𝑧)𝐵(𝑧) − 𝐴(𝑧)𝐵´(𝑧) =− =0 𝑑𝑧 𝐵(𝑧)2 Pero 1 1 1 1 1 𝐴(𝑧) = 𝑧 (𝑧 − − 𝑗 ) (𝑧 − + 𝑗 ) = 𝑧 3 − 𝑧 2 + 𝑧 2 2 2 2 4 1 1 5 1 𝐵(𝑧) = (𝑧 + ) (𝑧 + ) = 𝑧 3 + 𝑧 2 + 3 2 6 6 Por lo tanto, 1 5 1 1 5 (3𝑧 2 + 2𝑧 + ) ( 𝑧 2 + 𝑧 + ) − (𝑧 3 − 𝑧 2 + 𝑧) (2𝑧 + ) 4 6 3 4 6 =0 = 2 𝑑𝑧 𝐵(𝑧)
𝑑𝐾
Realizando las operaciones indicadas, nos queda: 24𝑧 4 + 40𝑧3 − 14𝑧 2 − 8𝑧 + 1 = 0 Cuyas raíces aproximadas son: 𝑧1 = 0.5 𝑧2 = 0.110774 𝑧3 = −1.876557 𝑧4 = −0.400884 Sustituyendo, una a la vez, estas raíces de ecuación 𝐾 = − Para
𝐴(𝑧) 𝐵(𝑍)
𝑑𝐾 𝑑𝑧
= 0 en la
se obtiene que 𝑧1 = 0.5
𝐾=0 9
𝑧2 = 0.110774 𝐾 = −0.062 < 0 𝑧3 = −1.876557𝐾 = 4.99 > 0 𝑧4 = −0.400884𝐾 = −63.27 < 0 Las raíces de
𝑑𝐾 𝑑𝑧
= 0 son puntos de ruptura sí y solo sí
producen una 𝐾 > 0. Por lo tanto, el único punto de ruptura es 𝑧 = −1.876557, el cual está ubicado entre el cero 𝑧1 y −∞, tal como se esperaba y es un punto de ruptura de entrada. (ver figura) 6º. Determinación de los ángulos de salida del LGR a partir del polo complejo En este caso, es el ángulo de salida desde el polo 𝑝3 , 𝜑𝑝3 , el cual viene dado por 𝜑𝑝3 = 180° − 𝜃1 − 𝜃2 − 𝜃3 − 𝜃4 En el gráfico notamos que 𝜃2 = 𝜃3 = 90° 1 𝜃1 = tan−1 ( 2 ) + 180° = −45° + 180° = 135° 1 − 2 1 1 𝜃4 = tan−1 ( 2 ) = tan−1 ( 2 ) = 71.57° 1 1 1 − 2 3 6 Por lo tanto: 𝜑𝑝3 = 180° − 135° − 90° − 90° − 71.57° = 206.57° Y por razones de simetría: 𝜑𝑝2 = −206.57° 7º. Determinación del punto de corte del LGR sobre el eje imaginario (si lo hay).
10
No hay corte del LGR en el eje imaginario, tal y como se observa en la figura.
Parte b. Antes que nada, escribimos la ecuación característica 1 + 𝐺𝐻(𝑧) = 0 en forma polinómica. Entonces: 1 1 𝐾 (𝑧 + )(𝑧 + ) 3 2 1+ =0 1 𝑗 1 𝑗 𝑧 (𝑧 + + )(𝑧 + − ) 2 2 2 2 1 𝑗 1 𝑗 1 1 𝑧 (𝑧 + + ) (𝑧 + + ) + 𝐾 (𝑧 + ) (𝑧 + ) 2 2 2 2 3 2 =0 1 𝑗 1 𝑗 𝑧 (𝑧 + + ) (𝑧 + + ) 2 2 2 2 Por lo tanto 1 𝑗 1 𝑗 1 1 𝑃(𝑧) = 𝑧 (𝑧 + + )(𝑧 + − ) + 𝐾 (𝑧 + ) (𝑧 + ) = 0 2 2 2 2 3 2 1 𝑗 1 1 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗2 1 1 1 𝑃(𝑧) = 𝑧 (𝑧 2 + 𝑧 − 𝑧 + 𝑧 + − + 𝑧 + − ) + 𝐾 (𝑧 2 + 𝑧 + 𝑧 + ) = 0 2 2 2 4 4 2 4 4 2 3 6
1 5 1 𝑃(𝑧) = 𝑧 (𝑧 2 + 𝑧 + ) + 𝐾 (𝑧 2 + 𝑧 + ) = 0 8 6 6 1 5 𝐾 𝑃(𝑧) = 𝑧 3 + 𝑧 2 + 𝑧 + 𝐾𝑧 2 + 𝐾 𝑧 + = 0 8 6 6 5𝐾 1 𝐾 𝑃(𝑧) = 𝑧 3 + (1 + 𝐾 )𝑧 2 + ( + ) 𝑧 + = 0 6 8 6 Definimos la transformación bilineal como 𝑧=
𝑤+1 𝑤−1
Y la sustituimos en 𝑃(𝑧) para obtener 𝑄(𝑤), por lo tanto, 𝑤 +1 𝑤+1 2 5𝐾 1 𝑤 + 1 𝐾 𝑄 (𝑤 ) = ( ) + (1 + 𝐾 ) ( ) + ( + )( )+ = 0 𝑤 −1 𝑤−1 6 8 𝑤−1 6 11
Simplificamos las fracciones multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por (𝑤 − 1)3, y nos queda: 5𝐾 1 𝐾 𝑄 (𝑤) = (𝑤 + 1) 3 + (1 + 𝐾 )(𝑤 − 1)(𝑤 + 1) 2 + ( + ) (𝑤 − 1) 2(𝑤 − 1) + (𝑤 − 1) 3 = 0 6 8 6
Resolviendo las operaciones, nos queda que 𝑄(𝑤 ) = (51 + 48𝐾)𝑤 3 + (93 − 8𝐾 )𝑤 2 + (45 + 16𝐾 )𝑤 + (3 + 40𝐾 ) = 0 A esta ecuación le aplicamos el criterio de estabilidad de Routh de la misma forma que en los sistemas en tiempo continuo. Entonces, tenemos que 𝑎3 = 51 + 48𝐾,
𝑎2 = 93 − 8𝐾,
𝑎1 = 45 + 16𝐾,
𝑎0 = 3 + 40𝐾
El arreglo de Routh para un sistema de tercer orden, establece que 𝑧3 𝑧2 𝑧1 𝑧0 Con 𝑏1 =
𝑎3 𝑎2 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑎1 −𝑎3 𝑎0 𝑎2
y
=
𝑎1 𝑎0 0 0
(93 −8𝐾) (45+16 )− (51+48𝐾)(3+40𝐾) 93−8𝐾
=
−2048𝐾2 −1056𝐾+4032 93−8𝐾
𝐶1 = 𝑏1 𝑎0 ⁄𝑏1 = 𝑎0 = 3 + 40𝐾
por lo tanto, el arreglo de Routh para este caso, queda así: 𝑧3 𝑧2 𝑧1 𝑧0
51 + 48𝐾 93 − 8𝐾 2 −2048𝐾 − 1056𝐾 + 4032 93 − 8𝐾 3 + 40𝐾
45 + 16𝐾 3 + 40𝐾 0 0
El criterio de estabilidad de Routh que establece que para que un sistema sea estable todos los elementos de la 1era columna del Arreglo de Routh deben ser mayores de cero, por lo tanto, debe verificarse que: 1º. 51 + 48𝐾 > 0 → 48𝐾 > −51 → 𝐾 >
−51 48
= −1.0625
12
2º. 93 − 8𝐾 > 0 → −8 > −93 → 𝐾 < 3º. −2048𝐾 2 − 1056𝐾 + 4032 > 0
93 8
= 11.625 93 − 8𝐾 > 0
y
−(−1056) ± √(−1056)2 − 4(−2048)(4032) 1056 ± 5843.4 𝐾= = 2(−2048) −4096
𝐾1 = −1.684 𝐾2 = 1.169 4º. 3 + 40𝐾 > 0
40𝐾 > −3 → 𝐾 >
−3 40
= −0.075
Las cuatro condiciones se cumplen sí y solo sí 1.169 < 𝐾 < 11.625 El sistema es estable si K está entre los valores indicados 𝐾 = (1.169 , 11.625) 3. Determinar el valor de 𝛼 en el diagrama de bloques de la figura, de forma que tenga un error de velocidad 𝑒𝑣 = 𝑇⁄2 𝑅(𝑧)
𝐸(𝑧)
+
-
10(𝑧 − 0.8) 𝑧 3 − 2𝑧 2 + 2𝑧 − 1
𝐶(𝑧)
∝ Sabemos que: 𝐸(𝑧) = 𝑅 (𝑧) − 𝛼𝐶(𝑧) Pero 𝐶 (𝑧) =
10(𝑧 − 0.8) 𝐸(𝑧) 𝑧 3 − 2𝑧 2 + 2𝑧 − 1 13
Por lo tanto: 𝐸(𝑧) = 𝑅 (𝑧) − 𝐸(𝑧) +
𝛼10(𝑧 − 0.8) 𝐸(𝑧) 𝑧 3 − 2𝑧 2 + 2𝑧 − 1
𝛼10(𝑧 − 0.8) 𝐸 (𝑧) = 𝑅(𝑧) 𝑧 3 − 2𝑧 2 + 2𝑧 − 1
𝐸 (𝑧) [1 +
𝛼 10(𝑍 − 0.8) ] = 𝑅(𝑧) 𝑧 3 − 2𝑧 2 + 2𝑧 − 1
Por lo tanto
𝐸 (𝑧) =
1 𝛼 10 (𝑧−0.8) 1+ 3 𝑧 −2𝑧2+2𝑧−1
𝑅(𝑧)
1
Por el teorema del valor final, tenemos que lim 𝑒(𝐾𝑇) = lim[(1 − 𝑧 −1 )𝐸(𝑧)]
𝐾→∞
𝑧→1
2
El error de velocidad, 𝑒𝑣 , es el error de estado estacionario (régimen permanente) correspondiente a la entrada rampa unitaria, 𝑟(𝑡) = 𝑡, cuya transformada 𝑧 es: 𝑇 𝑧 −1 𝑅(𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )2
3
Entonces, sustituyendo 1 𝑦 3 𝑒𝑛 2 𝑒𝑣 = lim 𝑒(𝐾𝑇) = lim [(1 − 𝑧 𝐾→∞
𝑧→1
𝑒𝑣 = lim [ 𝑧→1
1+
−1 )
1+
1 𝛼 10 (𝑧 − 0.8)
𝑇𝑧 −1 ]4 (1 − 𝑧 −1 )2
𝑧3 − 2𝑧2 + 2𝑧 − 1
1 𝛼 10 (𝑧 − 0.8)
𝑇𝑧 −1 ] (1 − 𝑧 −1 )
𝑧3 − 2𝑧2 + 2𝑧 − 1
Este límite es de la forma 0⁄0 (indeterminado), por lo tanto, para
romper la indeterminación, factorizamos 𝑧 3 − 2𝑧 2 + 2𝑧 − 1 por Ruffini.
14
1
1
1
-2
2
-1
1
-1
1
-1
1
0
𝑧1 = 1
Por lo tanto, 𝑧 3 − 2𝑧 2 + 2𝑧 − 1 = (𝑧 − 1)(𝑧 2 − 𝑧 + 1) Entonces, sustituyendo en 4 , tenemos 1 𝑇𝑧 −1 𝑒𝑣 = lim [ ] 𝛼 10 (𝑧 − 0.8) (1 − 𝑧 −1 ) 𝑧→1 1+( 𝑧 − 1)(𝑧 2 − 𝑧 + 1) Reescribiendo, queda 1 𝑇𝑧 −1 𝑒𝑣 = lim [ ] 𝛼 10(𝑧 − 0.8) 𝑧→1 (1 − 𝑧 −1 ) 1+ ( 1 − 𝑧 −1 )(𝑧3 − 𝑧 2 + 𝑧) 1 𝑇𝑧 −1 𝑒𝑣 = lim [ ] −1 )(𝑧 3 − 𝑧 2 + 𝑧) + 𝛼 10(𝑧 − 0.8) 𝑧→1 (1 − 𝑧 (1 − 𝑧 −1 ) (1 − 𝑧 −1 )(𝑧 3 − 𝑧 2 + 𝑧) 𝑇𝑧 −1 𝑒𝑣 = lim [ −1 )(𝑧 3 − 𝑧 2 + 𝑧) + 𝛼 10 (𝑧 − 0.8 ) ] 𝑧→1 (1 − 𝑧 𝑧3 − 𝑧2 + 𝑧 𝑒𝑣 =
𝑇 ×1 𝑇 𝑇 = = 0 × (1) + 𝛼 (10)(0.2) 0 + 2𝛼 2𝛼 1 Si 𝑒𝑣 =
𝑇 2
entonces
𝑇 2
=
𝑇 2𝛼
Por lo tanto 2𝛼 = 2 15
𝛼=1
16