Uddrag fra "Vidensbaseret matematikundervisning 1"

Vidensbaseret Matematikundervisning · 1

6.til 10. klasse

Vidensbaseret Matematikundervisning · 1

6. til 10. klasse

Vidensbaseret

Matematikundervisning · 1 6. til 10. klasse

Af Adrian Rau Bull og Torben Blankholm Redaktion: Klaus Fink

© 2025 Forlaget Matematik 2. udgave, 2. oplag 2025

Illustrationer: Annette Carlsen

Grafisk tilrettelæggelse: Bjørn Rasmussen

Denne bog er beskyttet i medfør af gældende dansk lov om ophavsret. Kopiering må kun ske i overensstemmelse med loven. Det betyder f.eks. at kopiering til undervisningsbrug kun må ske efter aftale med Tekst & Node.

Forlaget har forsøgt at kontakte eventuelle rettighedshavere, som kan have krav på honorar i henhold til loven om ophavsret. Eventuelle rettighedshavere, som måtte have krav på vederlag, vil af forlaget få udbetalt et honorar, som var der indgået en aftale.

Trykt hos Holm Print Management

Printed in Denmark 2025

ISBN: 978-87-93975-23-1

forlagetmatematik.dk

Find svarark og arbejdskort her: forlagetmatematik.dk/VMU

Indhold

Forord af Morten Blomhøj · Side 7

Indledning · Side 11

Kapitel 1 | Tall & Vinner Side 15

Elevers udvikling af matematisk begrebsforståelse

Introduktion · Side 15

Undervisningsforløb · Side 20

Analyse af undervisningsforløbet · Side 24

Kapitel 4 | Duval Side 61

Kategorier af matematiske repræsentationer

Introduktion · Side 61

Undervisningsforløb · Side 69

Analyse af undervisningsforløbet · Side 73

Kapitel 2 | Gibbons Side 29

Læring gennem sprogbrugssituationer

Introduktion · Side 29

Undervisningsforløb · Side 38

Analyse af undervisningsforløbet · Side 40

Kapitel 5 | Harel & Sowder Side 77

Et udvidet perspektiv på læring og undervisning gennem udvikling af elevers matematiske overbevisninger

Introduktion · Side 77

Undervisningsforløb · Side 81

Analyse af undervisningsforløbet · Side 85

Kapitel 3 | Brousseau Side 45

Fundamentale situationer

Introduktion · Side 45

Undervisningsforløb · Side 53

Analyse af undervisningsforløbet · Side 56

Kapitel 6 | Teknologiforståelse Side 91

Teknologier i matematikundervisningen

Introduktion · Side 91

Undervisningsforløb · Side 99

Analyse af undervisningsforløbet · Side 102

Ord og begreber + Appendiks · Side 107

Arbejdskort og svarark tilknyttet bogens undervisningsforløb kan hentes på: forlagetmatematik.dk/VMU

Forord

Af Morten Blomhøj, leder af NCUM og professor i matematikdidaktik ved DPU, Aarhus Universitet

I mit perspektiv er berettigelsen af matematikdidaktisk forskning at bidrage til udvikling af matematikundervisningens praksis. Det sker ved, at forskningen tager udgangspunkt i problemer, der viser sig i praksis, og udvikler teorier om læring og undervisning i matematik, der kan bidrage til at forklare og imødegå disse problemer. Der er gennem de seneste fire årtier udviklet mange teorier, der har potentiale til at bidrage til udvikling af matematikundervisning. Det gælder både teorier, der beskriver principielle vanskeligheder ved læring af matematiske begreber, og teorier, der handler om, hvordan man kan forstå og designe undervisningssituationer i matematik. Samtidig har forskning både i matematikdidaktik og generelt i fagdidaktik vist, at det kræver særlige omstændigheder at omsætte teorier om læring og undervisning til udvikling af undervisningspraksis ikke mindst i matematik.

Således har Guskey (2002) påvist, at udvikling af læreres praksis som hovedregel kræver et forløb med følgende faser: (1) Støtte til at gøre noget nyt i egen undervisning gennem projekter eller efteruddannelse. Det kan føre til (2) forandring af egen praksis i enkelte forløb, som igen kan føre til (3) oplevet forbedret respons og læringsudbytte hos eleverne. Det kan skabe grundlag for (4) lærerens ændrede opfattelser af og holdning til fag, læring og undervisning, og som endelig kan udmønte sig i en stabil forbedring af undervisningspraksis.

Rammer, der kan støtte en sådan udvikling, kan etableres i forsknings- og udviklingsprojekter, hvor mindre grupper af lærere samarbejder med nogle få matematikdidaktikere om forskningsbaseret udvikling af praksis. Det er der mange gode erfaringer med i Danmark. I sådanne projekter kan teorier fra den matematikdidaktiske forskning danne grundlag for udvikling af praksis gennem tæt samarbejde mellem lærere og forskere over længere tid. Teorierne kan blive fortolket og tilpasset i forhold til den aktuelle undervisningssammenhæng. I teoriernes møde med praksis kan der opstå behov for videreudvikling af teorierne, og der kan skabes grundlag for formulering af forskningsspørgsmål, der er forankret i praksis, og som det kræver ny teori at belyse. Der kan med andre ord opstå synergi mellem udvikling og forskning som to processer i matematikdidaktik, der forbinder teori og praksis i hver sin retning. Det har jeg i flere sammenhænge illustreret med denne figur:

Udvikling

Teori Praksis

Samspil mellem udvikling og forskning (Blomhøj, 2016).

Forskning

Problemet er imidlertid, at det kræver mange resurser at tilvejebringe omstændigheder, der muliggør denne form for samspil. Ydermere er samspillet mellem teori og praksis i sådanne projekter stærkt afhængig af, at der opbygges gode og længerevarende personlige relationer mellem lærerne og de involverede matematikdidaktikere.

I erkendelse heraf er ambitionen med denne bog netop at støtte samspillet mellem matematikdidaktisk forskning og udvikling af undervisningens praksis i sammenhænge, der er mindre ideale end i forsknings- og udviklingsprojekter med mulighed for tæt samspil mellem lærere og forskere. Bogens idé med at formidle fem centrale matematikdidaktiske teorier, der hver især kan belyses med reference til enkelte forskeres arbejde, og i de fleste tilfælde endda til en eller få forskningsartikler, er enestående i en dansk sammenhæng.

Bogen giver populariserede fremstillinger af de udvalgte teorier efterfulgt af anvendelse og udfoldelse af teorierne i relation til konkrete undervisningsforløb, der har været afprøvet i praksis. Det er et nyt og spændende format for formidling af matematikdidaktisk forskning til såvel kommende som praktiserende matematiklærere.

I realiseringen af formatet trækker forfatterne på deres store erfaring med at arbejde med forskningsbaseret udvikling af undervisningspraksis i samarbejde med lærere og med at inddrage matematikdidaktisk forskning i læreruddannelsen. Læreren (læseren) tages ved hånden og føres gennem mange af de samme overvejelser, som ville have indgået i et udviklingsprojekt med udgangspunkt i problemstillinger fra praksis. Forskellen er, at det her er teorierne, der er udgangspunktet.

Herved kan de behandlede teorier få eksemplarisk kvalitet til belysning af, hvordan matematikdidaktisk forskning og didaktisk forskning generelt kan bidrage til udvikling af praksis på forskellige måder. Fire af de udvalgte teorier er eksempler på markante og centrale resultater af matematikdidaktisk forskning, og de repræsenterer såvel teorier, der afdækker og forklarer vanskeligheder ved læring af matematiske begreber og metoder, som teorier, der belyser muligheder og udfordring ved institutionaliseret matematikundervisning. Mens

en af de fem teorier – teorien om sprogbrugssituationer – er et eksempel på, hvordan didaktisk forskning med udgangspunkt i andre fag også kan anvendes som grundlag for udvikling af matematikundervisning.

I undervisningsforløbene illustreres det ligeledes, hvordan teorier, der primært er udviklet til at beskrive og forklare principielle læringsvanskeligheder i matematik, også kan udnyttes konstruktivt til design af aktiviteter og forløb, samt som grundlag for samspillet med eleverne i undervisningen.

De fem udvalgte matematikdidaktiske teorier er:

1. Teorien om elevers begrebsbilleder;

2. Teorien om forskellige situationer for sprogbrug og betydningen heraf i matematikundervisning

3. Teorierne om fundamentale situationer og den didaktiske kontrakt fra teorien om didaktiske situationer

4. Den semiotiske teori om samtidige repræsenta tioner i fire forskellige registre

5. Teorien om elevers udvikling af overbevisningsskemaer og skemaer for bevisførelse.

Endelig behandles i kapitel 6 problemstillingen om, hvordan der kan skabes samspil mellem matematikundervisning og teknologiforståelse.

Udvælgelsen af teorier afspejler forfatternes interesser og erfaringer, som det også er beskrevet i indledningen. Der er imidlertid på ingen måde tale om, at forfatterne har gjort det let for sig selv. Der er i flere tilfælde tale om komplekse og svært tilgængelige teorier. De er formidlet til matematiklærere på måder, der forbinder teorierne konkret til undervisningspraksis, og som giver grundlag for, at lærere kan bruge dem til refleksion over og udvikling af deres praksis.

Det bliver spændende at følge, i hvilken grad denne type formidling af forskning til matematiklærere kan få betydning for udvikling af matematikundervisningens praksis. Jeg håber, at udbredelsen og brugen af bogen kan blive styrket gennem udviklings- og forskningsprojekter og gennem understøttelse af samarbejde i lærerteams om vidensbaseret udvikling af undervisningspraksis. Foreløbig er der i hvert fald med den aktuelle

udgivelse åbnet nyt land for formidling af forskning til matematiklærere.

I NCUM (Nationalt Center for Udvikling af Matematikundervisning) deler vi i høj grad ambitionen om at støtte udvikling af matematikundervisning gennem forskningsbaseret formidling til matematiklærere. Det har vi udviklet et digital format for på Matematikdidaktik.dk. Vi ser mange spændende muligheder for samarbejde med de matematikdidaktiske miljøer og faglige netværk i Danmark om fortsat udvikling af forskningsbaseret formidling til pædagoger og matematiklærere i hele uddannelsessystemet. Samtidig ønsker vi også at iværksætte forsknings- og udviklingsprojekter, der kan støtte samspillet mellem forskning og udvikling af undervisningspraksis, og i sådanne projekter i

grundskolen vil denne bog være en naturlig resurse at trække på.

I NCUM ser vi frem til fortsat samarbejde med alle matematikdidaktiske miljøer og faglige netværk om realisering af visionen om en engagerende, ambitiøs og tidssvarende matematikundervisning i en kultur, der samarbejder om udvikling af praksis fra dagtilbud til ungdomsuddannelse.

Referencer

Guskey, T. R. (2002).

Professional development and teacher change

Teachers and Teaching: theory and practice, 8(3), 381-391.

Blomhøj, Morten (2016). Fagdidaktik i matematik s 22.

Analyse af Øvelse 7

Snyd med almindelige og digitale terninger

(Som teknologi og teknologiforståelse)

Arbejdet med teknologi skulle helst lede frem til at eleverne også gør sig nogle overvejelser over, hvordan teknologier virker i deres hverdag og indgår i deres dagligliv. På baggrund af deres arbejde med at simulere terninger digitalt, bliver eleverne sat til

Afsluttende bemærkninger

Under gennemførelse af undervisningsforløbet Sandsynligheder med digitale terninger i udskolingen, bliver eleverne sat i flere forskellige undervisningsfaser med teknologien i digitale regneark. Undervisningsforløbet har en tydelig teknologisk progression, der er illustreret i modellen Teknologifokus her i kapitlet, og gennem de øvelser, som eleverne arbejder med i øvelserne.

I det beskrevne undervisningsforløb er der primært fokus på teknologien gennem anvendelse af en almindelige computer og et regnearksprogram som Excel. Der er mange muligheder for at gøre det samme i undervisningen med andre programmer og teknologier. Det må være ud fra de lokale forhold vedrørende maskiner, programmer og elevernes forkundskaber, at læreren sammen med klassens elever træffer sine valg. Det handler om at opbygge et forløb, der viser, hvordan man som matematiklærer kan bruge teknologier i undervisningen, og hvordan inddragelse af teknologier kan styrke nogle af de mål, der er sat i læseplanen for faget matematik, men også hvordan teknologier ændrer den måde, som undervisningen i matematik kan foregå på.

at overveje, undersøge og diskutere muligheden for, at de kan blive snydt i spil med digitale terninger – fx i underholdende spil på internettet og i virtuelle kasinoer. Øvelse 7 danner en samfundsfaglig overbygning til de matematiske og teknologiske erfaringer, eleverne har opnået i de foregående øvelser.

Da eleverne her arbejder på et mere generelt plan, der orienterer sig mod deres hverdag, foregår det indenfor kategorien Som teknologi.

Litteratur

Undervisningsministeriet. Matematik Læseplan. Hentet fra emu – Danmarks læringsportal: https://emu.dk/sites/default/files/2020-09/GSK_L%C3%A 6seplan_Matematik.pdf

Besøgt d. 6/12 2020

Undervisningsministeriets forsøg med teknologiforståelse i folkeskolen på hjemmesiden: www.tek-forsøget.dk

Besøgt d. 6/12 2020

Faghæfte – Fælles Mål, læseplan og Vejledning for Teknologiforståelse: https://emu.dk/grundskole/teknologiforstaaelse/faghaeftefaelles-maal-laeseplan-og-vejledning?b=t5-t34

Besøgt d. 6/12 2020

De tre tværgående temaer

• Innovation og entreprenørskab https://emu.dk/grundskole/teknologiforstaaelse/innovati on-og-entreprenoerskab?b=t5-t34

• Sproglig udvikling https://emu.dk/grundskole/teknologiforstaaelse/sprog lig-udvikling?b=t5-t34

• It og medier https://emu.dk/grundskole/it-og-teknologi/vejledning ?b=t5-t284

Alle tre besøgt d. 6/12 2020

Bull, A. R. (2020). Teknologifokus i matematik

– Hvordan kan teknologier bidrage til matematik. Tidsskriftet Matematik nr. 3, 2020. S. 32-35

Ord og begreber

Behaviorismen er en læringsteori, der bygger videre på den psykologiske retning med samme navn. Behaviorismens område er direkte observerbar adfærd – uden abstrakte mellemled som fx “bevidsthed” og andre mentale processer. Aktion fører direkte til en reaktion, som ofte kan observeres.

Konstruktivisme eller den konstruktivistiske ide er en læringsteori, hvor viden ikke overføres uforandret fra lærer til elev, men hvor læring er en aktiv proces, i hvilken viden genskabes i en ny sammenhæng. Det vil sige, at eleverne skal være aktive og gøre noget for at indlære ny viden. De modtager ikke viden i den sammen form, som den bliver formidlet af læreren.

Kognitivt er dét, som angår viden eller det erkendelsesmæssige. Kognitiv er et andet ord for bevidsthed eller noget, der foregår mentalt. Et eksempel er, at mennesker prøver at strukturere deres viden i kognitive skemaer. Det foregår ved en mental proces, hvor de systematiserer deres viden efter en bestemt struktur.

Metakognitiv tænkning er metatænkning. Det er en proces, hvor man tænker over sin tænkning. I matematik taler man om metakognitive skift, når der foregår processer, hvor man flytter sine mentale tankegange til en ny mental situation. Et metakognitivt skift kan forekomme i matematikundervisningen, når læreren for at lette tilegnelsen af nogle matematiske begreber inddrager tegninger, historier eller konkrete materialer m.m.

Semiotikken er læren om tegn og symboler. De centrale teoretiske spørgsmål i semiotik er, hvordan tegn og symboler virker, hvordan de kan lagre og viderebringe information, og hvordan betydning skabes og forstås.

Appendiks

Svarark og Arbejdskort

Der er to slags “kopisider” til Vidensbaseret matematikundervisning 1 – henholdsvis Svarark og Arbejdskort.

Svarark

Der er svarark, som eleverne skal udfylde og aflevere til læreren.

Der er plads til at skrive, tegne og/ eller skrible på og et felt til at skrive navn og klasse. Nogle svarark består af flere sider.

Nummer på kapitel og svarark står øverst på siden sammen med nummer på den øvelse, svararket hører til.

Arbejdskort

Der er desuden tilknyttet en række arbejdskort, som indeholder forskellige instruktioner og spilbeskrivelser mv. Eleverne skal ikke udfylde nogen form for besvarelse på et arbejdskort, og derfor er der IKKE felter til navn og klasse. Nogle arbejdskort består af flere sider. Nummer på kapitel og arbejdskort står øverst på siden sammen med nummer på den øvelse, arbejdskortet hører til.

Kapitel 5 Svarark 1 | Øvelse 1, 6 og 7

Et udvidet perspektiv på læring og undervisning gennem udvikling af elevers matematiske overbevisninger

Mikkel siger, at det gælder for alle tal, at n2 ≥ n

Sæt ring om det tal, som viser, at Mikkels påstand er falsk?

1 4 0 1 5 1

Simon siger: “Hvis en firkant har lige lange sider, er den et kvadrat.”

Sæt kryds ved den figur, der viser, at Simon ikke har ret?

Tamim siger, at produktet af to tal altid giver et større tal.

Sæt ring om den udregning, som viser, at Tamims påstand er falsk.

3 · 5 -7 · -1 5 · -1 2²

Izabella siger: “Summen af to ulige tal giver altid et lige tal.”

Sæt ring om det udtryk, der kan vise, at Izabellas påstand er sand.

2n · 2n (2n - 1) + 2(2n - 1) + (2m - 1)2n + 2n

Når du er færdig med din besvarelse, skal du give den til din lærer.

Vidensbaseret Matematikundervisning · 1 | 6. til 10. klasse

Eksempel på svarark.

Appendiks

Oversigt over svarark og arbejdskort

Kapitel 1

Arbejdskort 1: Fire handlekort

Kapitel 2

Arbejdskort 1: Grundys spil

Arbejdskort 2: Kvadratspil

Arbejdskort 3: Nim

Arbejdskort 4: Spillet 21

Arbejdskort 5: Wythoffs spil

Kapitel 3

Svarark 1: Svarark til fingerstrik

Kapitel 4

Ingen svarark eller arbejdskort.

Til gengæld er der en GeoGebra-fil: repræsentationer.ggb

Kapitel 5

Svarark 1

Svarark 2

Svarark 3

Kapitel 6

Arbejdskort 1

Arbejdskort 2

Arbejdskort 3

Download af filer Alle svarark og arbejdskort kan sammen med GeoGebrafilen repræsentationer.ggb hentes på Forlaget Matematiks hjemmeside via dette link: forlagetmatematik.dk/VMU

Vidensbaseret Matematikundervisning · 1

6. til 10. klasse

Et vidensbaseret og konkret værktøj til matematikvejledere, matematiklærere, læreruddannere og lærerstuderende

Vidensbaseret matematikundervisning 1 giver inspiration til at organisere og gennemføre matematikundervisning på baggrund af matematikdidaktisk viden.

Udgivelsen er den første bog i en serie, hvor forfatterne i et praksisnært sprog præsenterer viden om, hvordan forskning i matematikundervisning og teorier om matematikundervisning kan bidrage til konkret undervisning i matematik.

Bogen indeholder seks undervisningsforløb, der henvender sig til udskolingen og er baseret på disse forskeres teorier:

1. David Tall og Shlomo Vinner: Elevers udvikling af matematisk begrebsforståelse

2. Pauline Gibbons: Læring gennem sprogbrugssituationer

3. Guy Brousseau: Fundamentale situationer

4. Raymond Duval: Kategorier af matematiske repræsentationer

5. Guershon Harel og Larry Sowder: Et udvidet perspektiv på læring og undervisning gennem udvikling af elevers matematiske overbevisninger

6. Teknologier i matematikundervisningen – om at bruge teknologier og udvikle teknologiforståelse i matematik

Hvert kapitel indeholder tre dele:

1. En gennemgang af nogle af de centrale elementer og anbefalinger fra forskerne med forklarende eksempler

2. Et afprøvet undervisningsforløb med tilhørende opgave- og svarark på baggrund af de centrale elementer og anbefalinger

3. Analyse af undervisningsforløbet.

Svarark og arbejdskort til de enkelte undervisningsforløb kan hentes på forlagets hjemmeside.