Indledning
Hvad er matematik?
Det kommer an på… hvem man spørger .
Ligesom skolens andre fag, så er matematik et fag, som alle har en holdning til . Vi har alle erfaringer med faget, qua vores skolegang i børne- og ungdomsårene . Det betyder også, at der findes mange subjektive holdninger til, hvad matematik er, og hvad matematik skal . Jeg har hørt matematik omtalt som et statisk fag . Et fag, der ikke udvikler sig . Eleverne skal stadig lære brøker og arealer, lige som de har skullet de seneste mange år
Det, at matematik er et statisk fag, er langt fra sandheden . Dels fordi der til stadighed udvikles nye didaktikker, der på nytænkende måder forklarer den ”traditionelle” matematik . Dels fordi matematik i dag ikke kun er emnetræning, men nu i endnu højere grad end tidligere også er kompetenceudvikling Det ser vi blandt andet i de matematiske kompetencer i Fælles Mål .
Som lærere har vi igennem mange år været vant til at undervise i tal og figurer . Vores elever er blevet målt på, om de kan omskrive en brøk til decimaltal, og om de kan finde arealet af en trekant Statistik og faglige tekster har også indgået i diverse tests . Om vi underviser ”to the test” bevidst eller ubevidst skal være usagt, men erfaringen er, at de emner, som eleverne bliver prøvet i, også fylder en meget stor del af undervisningen .
De matematiske kompetencer, som indgår i Fælles Mål, lader sig kun vanskeligt teste i standardiserede tests . Blandt andet af denne årsag vil det være min påstand, at disse kompetencer, sådan helt generelt, ikke har fået tilstrækkeligt fokus i matematikundervisningen . En anden årsag til, at de matematiske kompetencer måske ikke tilstrækkeligt er blevet prioriteret, skal findes i, at det har været svært at vide, hvordan man skal gribe arbejdet med kompetencerne an .
Hvordan sikrer man eksempelvis, at eleverne arbejder problemløsende, ræsonnerende, undersøgende og med masser af matematisk kommunikation? Hvad skal man helt konkret gøre?
Et godt bud på, hvordan man kan arbejde med ovenstående, findes i åbne og undersøgende opgaver – altså opgaver hvor der ikke kun findes et rigtigt svar, men hvor elevens undersøgende arbejde med opgaven er med til at definere, hvad svaret kan være Et eksempel på dette kan være opgaven ”Hvad koster det at have en hund?” En opgave hvor man skal igennem mange overvejelser, beslutninger, undersøgelser og beregninger, før man kan nå frem til et svar .
Min erfaring med elever på mellemtrinnet er, at det kun er en ganske lille procentdel, der umiddelbart vil kunne løse sådan en opgave uden nogen former for stilladsering, og hvor svaret er både reflekteret og fyldestgørende . Jeg oplever, at der er behov for hjælp til at se dybden i opgaven, ligesom der også er behov for, at læreren aktivt guider undervejs i processen . Hele denne stilladsering foregår i en balancegang, hvor læreren hjælper uden at hjælpe for meget Eleverne skal stadig arbejde undersøgende
Det bliver derfor nødvendigt med en didaktik, der tydeligt strukturerer arbejdet med de åbne og undersøgende opgaver . Hertil foreslår jeg, at man bruger ”F-modellen”.
F-modellen
Modellen består af fem faser, som man kommer igennem, når man arbejder med en given åben opgave . Alle faserne starter med F, deraf navnet . For nogle elever vil det være en udfordring at skulle sætte tempoet ned og dvæle ved de forskellige faser, når de nu bare gerne vil give et svar så hurtigt som muligt . Det er netop disse elever, der har mest ud af lære modellen at kende . Ved at bruge F-modellen øver de sig nemlig på fordybelse, refleksion og kommunikation .
Fælles brainstorm i klassen
Åbne og undersøgende opgaver kan være meget bredt formuleret, og de lægger derfor op til, at man kan nå frem til mange forskellige svar . Nogle undersøgende opgaver kan man også kalde ”det-kommer-anpå-opgaver”, fordi svaret på opgaven netop er afhængigt af så mange forskellige faktorer eller valg, som man er nødt til at træffe . Hvis man for eksempel skal svare på, hvad en biograftur koster, så er man indledningsvist nødt til at vælge nogle forudsætninger for svaret . Det kan være, at forudsætningerne er, at det er en familie på fem mennesker, der skal i biografen, og at de alle skal have popcorn og cola . Dermed bliver svaret markant anderledes, end hvis det var en familie på tre, der ikke køber snacks og drikkevarer
Når din klasse skal arbejde med opgaverne i denne bog, er det smart, at I starter sammen i fælles plenum . Diskuter, hvilke faktorer der spiller ind på svaret . Noter undervejs faktorerne på tavlen, så eleverne kan se dem efterfølgende Ikke alle elever kan gennemskue disse faktorer selv, så det er en stor hjælp for nogle elever, at I har denne fælles snak .
Forudsætninger vælges
Når I er færdige i fælles plenum, skal grupperne vælge, hvilke forudsætninger de vil lægge ned over deres løsninger . Brainstormen i forrige fase er tænkt som inspiration til ting, de kan overveje . I føromtalte eksempel vil nogle elever måske vælge at udregne prisen på en biograftur for en familie på fem, mens andre vil udregne prisen for en familie på tre eller fire mennesker Hertil kommer, at nogle elever vil regne snacks med i den samlede pris, mens andre ikke tager dette med . Nogle vil indtænke rabatter, mens andre ikke gør det .
Det er vigtigt, at eleverne viser deres plan for læreren, inden de går videre med deres opgave . Derved kan læreren fornemme, om eleverne har brug for lidt guidning, eller om de er på rette vej I denne del af processen vil det typisk være lærerens opgave at stille undrende spørgsmål til planen, sådan at eleverne tvinges til at argumentere for deres valg .
Find og undersøg
Her indsamler man de data, der er nødvendige for at kunne svare på spørgsmålet . Det kan for eksempel gøres ved at søge på nettet efter informationer . I ovenstående eksempel vil det være oplagt at besøge en lokal biografs hjemmeside for at se billetpriser mm
Det kan også være, at der skal indsamles data på en anden måde . Måske skal en afstand måles, eller måske er der noget, der skal vejes .
I andre tilfælde kan det være nødvendigt at prøve sig frem - eksempelvis ved geometriopgaver . Her kan man tegne flere forskellige løsningsforslag . Løsningsforslagenes brugbarhed kan så efterfølgende sammenlignes . Måske er det ikke alle, der lever op til kravene til den konkrete opgave .
I tilfælde, hvor man eksperimenterer/måler sig frem til et svar, kan det være en god ide, at eleverne lærer at gentage deres eksperiment flere gange . På den måde oplever de, at der kan være forskel på deres målinger, og de kommer dermed til at skulle tage stilling til deres resultater og måske beregne et gennemsnit .
Færdigt svar
Her når man frem til et endeligt svar ved at anvende data fra forrige stadie til at udregne et samlet resultat . Eleverne har måske brug for støtte til beregningerne, men tanken er, at de selv skal reflektere over dem først . Det er derfor godt at arbejde med undersøgelserne i små grupper . Her kan man nemlig tænke og reflektere sammen . De faglige pointer skal de nok få gennemgået i næste stadie .
Det endelige resultat skal indeholde de forudsætninger, gruppen har valgt . Derudover skal der være relevante beregninger og/eller konstruktioner samt en besvarelse i hele sætninger .
Eksempel:
Spørgsmål: Hvad koster en familietur i biografen?
Billetter til 4 personer koster: 4 ·110 kr. = 440 kr.
Sodavand og
Svar: Hvis man er fire personer, der skal i biografen, og alle fire skal have sodavand og snacks af varierende pris, så vil det koste 640 kr. i alt.
Fortæl i klassen
Her fremlægger grupperne deres resultater for de andre elever i klassen
Ved undersøgende opgaver er det vigtigt at kunne argumentere for de valg, man har truffet undervejs . Altså, at man forklarer, hvad der ligger til grund for det resultat, man er kommet frem til .
Klassen kan stille spørgsmål til undersøgelsen . I starten kan det være svært for klassen at stille passende spørgsmål, men øvelse gør mester .
Hvis man ikke naturligt i fremlæggelserne kommer til at snakke om de faglige pointer, læreren ønsker, der kommer ud af forløbet, er det på dette tidspunkt, læreren selv bringer dem på banen .
Bogens opbygning
I denne bog findes 25 åbne og undersøgende matematikopgaver til brug på mellemtrinnet . Mange af opgaverne kan også bruges enten i indskolingen eller i overbygningen . Det matematikfaglige niveau ligger nemlig ikke alene i opgaven, men i høj grad også i hvad eleverne ”gør ved opgaven”. Af denne årsag er åbne og undersøgende opgaver rigtig gode til undervisningsdifferentiering
Hver af de 25 opgaver er opbygget på samme måde . Den første del er selve spørgsmålet, altså opgaven der skal løses . Det er meningen, at dette skal vises til eleverne, da de derved ser den helt præcise formulering af spørgsmålet
I denne bog foreslås det at anvende F-modellen som struktur for arbejdet med opgaverne . Følger I denne struktur, kan I bruge de efterfølgende punkter som inspiration til den fælles brainstorm .
Til hver opgave findes der også en side med lærervejledning . I denne findes vigtige pointer til spørgsmålet . Her findes også et regneeksempel på en mulig løsning på opgaven, ligesom man helt kort kan se, hvilke emner spørgsmålet med stor sandsynlighed berører .
Til arbejdet med de åbne og undersøgende opgaver skal eleverne som udgangspunkt have adgang til notatpapir, lineal samt computer, herunder også lommeregner . Til de opgaver, hvor det er oplagt, at der også skal bruges andre hjælpemidler, fremgår det i lærervejledningen .
Sammen med bogen modtager I en PDF-fil med alle sider i bogen . Derudover er selve opgaven og “Det kommer an på”-spørgsmålene vist på hver sin side, så det er muligt at printe dem hver for sig til eleverne eller printe dem i større format og hænge dem op i klassen .
