Marek Klimko, Pavel Žitek, Kamil Sedlák
Sbírka příkladů z mechaniky tekutin I.
Marek Klimko, Pavel Žitek, Kamil Sedlák
Sbírka příkladů z mechaniky tekutin I.
https://doi.org/10. 24132/ZCU.2017.07460
Sbírka příkladů z mechaniky tekutin I. (elektronické vydání) Ing. Marek Klimko Ing. Pavel Žitek Ing. Kamil Sedlák, Ph.D. Grafický návrh obálky: Tereza Saitzová Vydala: Západočeská univerzita v Plzni P.O.Box 314, Univerzitní 8, 306 14 Plzeň 1. vydání, 168 stran Pořadové číslo: 2277, ediční číslo: 55-068-17 Plzeň 2017 ISBN 978-80-261-0746-0 ISBN 978-80-261-0745-3 (tištěné vydání) © Ing. Marek Klimko; Ing. Pavel Žitek; Ing. Kamil Sedlák, Ph.D. © Západočeská univerzita v Plzni https://doi.org/10. 24132/ZCU.2017.07460 2
Předmluva Tato sbírka příkladů je určena studentům vysokých škol s technickým zaměřením a má sloužit jako podpůrný materiál pro cvičení z předmětu Mechanika tekutin I. Na úvod byl zařazen velmi stručný teoretický přehled základních pojmů a výchozích matematických vztahů, po kterých následují řešené příklady podle jednotlivých kapitol. Věříme, že tato publikace bude přínosná a najde své uplatnění mezi studenty.
3
Obsah ÚVOD ................................................................................................................................................ 5 1.
MATEMATICKÝ A FYZIKÁLNÍ APARÁT........................................................................................ 7
1.1
Parciální a totální derivace .................................................................................................... 7
1.2
Gradient, divergence, rotace................................................................................................. 7
1.3
Integrální věty ....................................................................................................................... 8
1.4
Základní vlastnosti tekutin .................................................................................................... 9
1.5
Základní rovnice využívané v MT I....................................................................................... 11
2.
ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI ........................................................................................................... 16
3.
TLAK V TEKUTINĚ .................................................................................................................... 29
4.
MANOMETRY .......................................................................................................................... 38
5.
RELATIVNÍ ROVNOVÁHA ......................................................................................................... 46
6.
SÍLY NA STĚNY ......................................................................................................................... 70
7.
STABILITA ................................................................................................................................ 84
8.
DOKONALÉ TEKUTINY ............................................................................................................. 92
9.
ZTRÁTY ..................................................................................................................................104
10. VÝTOKY ..................................................................................................................................121 11. VĚTA O ZMĚNĚ TOKU HYBNOSTI ..........................................................................................135 12. PROFILY .................................................................................................................................149
4
Seznam hlavních symbolů Symbol a c D F f g J m ṁ MK n P p Q R Re S u V̇ w α β ε ζ η κ ν ρ ω
Název zrychlení absolutní rychlost průměr síla součinitel tření tíhové zrychlení kvadratický moment plochy hmotnost hmotnostní průtok krouticí moment otáčky výkon tlak teplo poloměr Reynoldsovo číslo plocha obvodová rychlost objemový průtok relativní rychlost izobarický součinitel objemové roztažnosti izochorický součinitel tlakové rozpínavosti izotermický součinitel objemové stlačitelnosti ztrátový koeficient dynamická viskozita adiabatický exponent kinematická viskozita hustota úhlová rychlost
5
Jednotky [m∙s-2] [m∙s-1] [m] [N] [-] [m∙s-2] [m4] [kg] [kg∙s-1] [N∙m] [s-1] [W] [Pa] [J] [m] [-] [m2] [m∙s-1] [m3∙s-1] [m∙s-1] [-] [-] [-] [-] [Pa∙s] [-] [m2∙s-1] [kg∙m-3] [rad∙s-1]
Úvod Mechanika tekutin (dále jen MT) je část mechaniky, zabývající se rovnováhou sil za klidu a pohybu kapalin, resp. plynů. MT můžeme rozdělit: -
podle druhu tekutiny: a) Mechaniku kapalin (hydromechaniku) b) Mechaniku plynů (aeromechaniku)
-
podle stavu tekutiny: a) Statiku (všechny částice tekutiny mají nulovou rychlost, každá částice je v rovnováze) b) Dynamiku (částice tekutiny se pohybují)
Při řešení úloh v rámci MT se častokrát setkáme s pojmem ‚‚elementární objem‛‛, který v podstatě plní obdobnou funkci jako ‚‚hmotní bod‛‛ v klasické mechanice tuhých těles. Pro elementární objem se odvozují podmínky rovnováhy sil za klidu a pohybu tekutin a definují základní zákony (např. zákon zachování hmoty, resp. energie). Pro jejich odvození se předpokládá, že tekutina je spojité a izotropní (stejnorodé) prostředí. Výsledkem jsou diferenciální rovnice, které se integrují na základě znalostí okrajových, případně počátečních podmínek. Právě předpoklad izotropního a spojitého prostředí umožňuje výhodně řešit úlohy MT na zvoleném, velmi malém (elementárním) objemu a odvozené zákonitosti pak aplikovat na celý objem. [5]
6
1. MatematickĂ˝ a fyzikĂĄlnĂ aparĂĄt Studium mechaniky tekutin se neobejde bez zĂĄkladnĂch matematickĂ˝ch znalostĂ, jakĂ˝mi jsou napĹ™. integrĂĄlnĂ vÄ›ty, vlastnosti funkcĂ s vĂce promÄ›nnĂ˝mi a pod. ProudÄ›nĂ je vĹždy prostorovĂŠ, obecnÄ› nestacionĂĄrnĂ a je popisovanĂŠ parciĂĄlnĂmi diferenciĂĄlnĂmi rovnicemi. Z tohoto dĹŻvodu budou v tĂŠto Ä?ĂĄsti uvedenĂŠ zĂĄkladnĂ matematickĂŠ operace pouĹžĂvanĂŠ v teorii mechaniky tekutin, samozĹ™ejmÄ› bez hlubĹĄĂho vĂ˝kladu.
1.1 ParciĂĄlnĂ a totĂĄlnĂ derivace Jednou z velmi Ä?asto pouĹžĂvanĂ˝ch veliÄ?in je rychlost w. Rychlost je funkcĂ prostorovĂ˝ch souĹ™adnic x, y, z a Ä?asu t. ParciĂĄlnĂ derivaci (napĹ™. ∂w/∂x) dostaneme tak, Ĺže w derivujeme podle souĹ™adnice x, pĹ™iÄ?emĹž y, z a t povaĹžujeme za konstanty. ObdobnÄ› se dokĂĄĹžeme dopracovat k parciĂĄlnĂm derivacĂm rychlosti podle zbylĂ˝ch promÄ›nnĂ˝ch. [2] đ?‘¤ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ą) đ?‘¤ = đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘Ą − đ?‘§ 2 đ?œ•đ?‘¤ = 3đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Śđ?‘Ą, đ?œ•đ?‘Ľ
đ?œ•đ?‘¤ = 2đ?‘Ľđ?‘Ą, đ?œ•đ?‘Ś
đ?œ•đ?‘¤ = −2đ?‘§, đ?œ•đ?‘§
đ?œ•đ?‘¤ = 2đ?‘Ľđ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ą
TotĂĄlnĂ (resp. ĂşplnĂ˝) diferenciĂĄl zĂskĂĄme souÄ?tem vĹĄech parciĂĄlnĂch derivacĂ. PodÄ›lenĂm levĂŠ a pravĂŠ strany Ä?asem dt dostaneme totĂĄlnĂ derivaci (v tomto pĹ™ĂpadÄ› zrychlenĂ). đ?‘‘đ?‘¤ =
đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘‘đ?‘Ś + đ?‘‘đ?‘§ + đ?‘‘đ?‘Ą |: đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ą
đ?‘‘đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ = ∙ đ?‘¤đ?‘Ľ + ∙ đ?‘¤đ?‘Ś + ∙ đ?‘¤đ?‘§ + đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ą TenzorovĂ˝ zĂĄpis zrychlenĂ: đ?‘‘đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ = ∙ đ?‘¤đ?‘˜ + đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ą
, kde đ??¤ je sÄ?ĂtacĂ index
1.2 Gradient, divergence, rotace Gradient obecnĂŠho skalĂĄru φ mĹŻĹžeme zapsat buÄ? jako souÄ?et jednotlivĂ˝ch parciĂĄlnĂch derivacĂ nebo pomocĂ operĂĄtoru nabla ∇ (Hamiltonov operĂĄtor). [2] đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ?œ‘ = đ?‘–⃗ ∙
đ?œ•đ?œ‘ đ?œ•đ?œ‘ đ?œ•đ?œ‘ đ?œ• đ?œ• đ?œ• ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ ) ∙ đ?œ‘ = đ?›ťâƒ—⃗đ?œ‘ + đ?‘—⃗ ∙ +đ?‘˜ = (đ?‘–⃗ + đ?‘—⃗ + đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§
7
SkalĂĄrnĂ souÄ?in dvou operĂĄtorĹŻ ⃗∇⃗ je Laplaceov operĂĄtor Δ (vĂ˝sledkem je samozĹ™ejmÄ› skalĂĄr). ∆= đ?›ťâƒ—⃗ ∙ đ?›ťâƒ—⃗ = (đ?‘–⃗
đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?œ•2 đ?œ•2 đ?œ•2 đ?œ•2 ⃗⃗ ) ∙ (đ?‘–⃗ + đ?‘—⃗ + đ?‘˜ ⃗⃗ ) = + đ?‘—⃗ + đ?‘˜ + + = đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?‘Ś 2 đ?œ•đ?‘§ 2 đ?œ•đ?‘˜ 2
V dalĹĄĂ Ä?ĂĄsti si ukĂĄĹžeme zĂĄpis divergence souÄ?inu skalĂĄru a vektoru. Rotor obecnĂŠho vektoru đ?‘Žâƒ— je opÄ›t vektor, kterĂ˝ udĂĄvĂĄ dvounĂĄsobek ĂşhlovĂŠ rychlosti otĂĄÄ?enĂ vektorovĂŠho pole. [2] đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł(đ?œ‘đ?‘Žâƒ—) =
đ?œ•(đ?œ‘ ∙ đ?‘Žđ?‘Ľ ) đ?œ•(đ?œ‘ ∙ đ?‘Žđ?‘Ś ) đ?œ•(đ?œ‘ ∙ đ?‘Žđ?‘§ ) đ?œ•đ?œ‘ đ?œ•đ?œ‘ đ?œ•đ?œ‘ + + = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘Ś + đ?‘Ž + đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘§
đ?œ•đ?‘Žđ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Žđ?‘Ś đ?œ•đ?‘Žđ?‘§ đ?œ•(đ?œ‘đ?‘Žđ?‘˜ ) +đ?œ‘ ∙ ( + + ) = đ?›ťâƒ—⃗đ?œ‘đ?‘Žâƒ— + đ?œ‘đ?›ťâƒ—⃗ đ?‘Žâƒ— = đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?œ‘ ∙ đ?‘Žâƒ— + đ?œ‘ ∙ đ?‘‘đ?‘–đ?‘Łđ?‘Žâƒ— = đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ž đ?œ•đ?‘Žđ?‘§ đ?œ•đ?‘Žđ?‘Ś đ?œ•đ?‘Žđ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Žđ?‘§ đ?œ•đ?‘Ž ⃗⃗ ( đ?‘Ś − đ?‘Ľ ) = đ?›ťâƒ—⃗ Ă— đ?‘Žâƒ— = đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žâƒ— = đ?‘–⃗ ( − ) + đ?‘—⃗ ( − )+đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?‘–⃗ đ?œ• = || đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘Ľ
đ?‘—⃗ đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś đ?‘Žđ?‘Ś
⃗⃗ đ?‘˜ đ?œ•| | đ?œ•đ?‘§ đ?‘Žđ?‘§
1.3 IntegrĂĄlnĂ vÄ›ty ⃗⃗⃗⃗, kde ⃗⃗⃗⃗ Stokesova vÄ›ta pĹ™evĂĄdĂ kĹ™ivkovĂ˝ integrĂĄl ze skalĂĄrnĂho souÄ?inu đ?‘Žâƒ—đ?‘‘đ?‘™ đ?‘‘đ?‘™ je diferenciĂĄlnĂ Ăşsek kĹ™ivky, na ploĹĄnĂ˝ integrĂĄl, v kterĂŠm se rotđ?‘Žâƒ— skalĂĄrnÄ› nĂĄsobĂ diferenciĂĄlem plochy đ?‘‘đ?‘†âƒ— a tyto souÄ?iny se integrujĂ po ploĹĄe uzavĹ™enou kĹ™ivkou. [2] ⃗⃗⃗⃗ = âˆŤ đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žâƒ—đ?‘‘đ?‘†âƒ— ∎ đ?‘Žâƒ—đ?‘‘đ?‘™ đ?‘†
Greenova vÄ›ta pĹ™evĂĄdĂ ploĹĄnĂ˝ integrĂĄl z đ?œ‘đ?‘‘đ?‘†âƒ—, kde đ?‘‘đ?‘†âƒ— je elementĂĄrnĂ plocha povrchu uzavĹ™enĂŠho objemu V, na objemovĂ˝ integrĂĄl z gradđ?œ‘đ?‘‘đ?‘‰. PĹ™iÄ?emĹž dV je element objemu. [2] âˆŤ đ?œ‘đ?‘‘đ?‘†âƒ— = âˆŤ đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?œ‘đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘†
�
Gaussova – OstrogradskĂŠho vÄ›ta pĹ™evĂĄdĂ rovněŞ ploĹĄnĂ˝ integrĂĄl na objemovĂ˝, kde integrand na jednĂŠ stranÄ› je skalĂĄrnĂ souÄ?in đ?‘Žâƒ—đ?‘‘đ?‘†âƒ— a na druhĂŠ stranÄ› đ?‘‘đ?‘–đ?‘Łđ?‘Žâƒ— đ?‘‘đ?‘‰. [2] âˆŤ đ?‘Žâƒ—đ?‘‘đ?‘†âƒ— = âˆŤ đ?‘‘đ?‘–đ?‘Łđ?‘Žâƒ— đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘†
�
8
1.4 ZĂĄkladnĂ vlastnosti tekutin StavovĂŠ parametry v neproudĂcĂ tekutinÄ› jsou hustota Ď , tlak p a teplota T. V proudĂcĂ tekutinÄ› k tÄ›mto tĹ™em parametrĹŻm patřà navĂc rychlost w. K urÄ?enĂ stavovĂ˝ch parametrĹŻ musĂme mĂt k dispozici samozĹ™ejmÄ› stejnĂ˝ poÄ?et rovnic. V prvnĂm pĹ™ĂpadÄ› 3 a v druhĂŠm 4 rovnice, kterĂŠ se Ĺ™eĹĄĂ jako soustava. [2] StavovĂĄ rovnice udĂĄvĂĄ vazbu mezi p, Ď , T a mĂĄ nĂĄsledujĂcĂ tvary: đ?‘?
-
IdeĂĄlnĂ plyn: đ?œŒ = đ?‘&#x; ∙ đ?‘‡, kde r je plynovĂĄ konstanta, napĹ™. rvzduch = 287,04 J.kg-1.K-1,
-
ReĂĄlnĂ˝ plyn: = đ?‘&#x; ∙ đ?‘‡ ∙ [1 + đ?œŒ ∙ đ?‘Ž1 (đ?‘‡) + đ?œŒ2 ∙ đ?‘Ž2 (đ?‘‡) + â‹Ż ], kde a1 a a2 sĂş konstanty
đ?‘?
đ?œŒ
zĂĄvislĂŠ na teplotÄ› a upravujĂ rovnici ideĂĄlnĂho plynu v souladu se skuteÄ?nostĂ, -
IdeĂĄlnĂ kapalina: Ď = konst.,
-
ReĂĄlnĂĄ kapalina:
đ?œ€âˆ™đ?›˝âˆ™đ?‘? đ?›ź
= 1.
kde: Îľ – izotermickĂ˝ souÄ?initel objemovĂŠ stlaÄ?itelnosti, β – izochorickĂ˝ souÄ?initel tlakovĂŠ rozpĂnavosti, Îą – izobarickĂ˝ souÄ?initel objemovĂŠ roztaĹžnosti, p – referenÄ?nĂ tlak (pĹ™ibliĹžnÄ› 101 325 Pa). 1.4.1 IzotermickĂ˝ souÄ?initel objemovĂŠ stlaÄ?itelnosti StlaÄ?itelnost tekutin je schopnost tekutin mÄ›nit svĹŻj objem pĹ™i zmÄ›nÄ› tlaku, pĹ™iÄ?emĹž se teplota nemÄ›nĂ. Proces diferenciĂĄlnĂho stlaÄ?ovĂĄnĂ reĂĄlnĂŠ tekutiny pĹ™i konstantnĂ teplotÄ› popĂĹĄeme na zĂĄkladÄ› ĂşplnĂŠho diferenciĂĄlu stavovĂŠ veliÄ?iny mÄ›rnĂŠho objemu, jako funkci tlaku a teploty. đ?‘Ł = đ?‘“(đ?‘?, đ?‘Ą)
→ �� = (
đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ł ) đ?‘‘đ?‘? + ( ) đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘? đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘?
đ?‘‘đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ł đ?‘Ł − đ?‘Ł0 =( ) = = −đ?œ€ ∙ đ?‘Ł0 đ?‘‘đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?‘Ą ∆đ?‘?
→
đ?œ•đ?‘Ł 1 đ?œş = −( ) ∙ đ?œ•đ?‘? đ?‘Ą đ?‘Ł0
Îľ je izotermickĂ˝ souÄ?initel objemovĂŠ stlaÄ?itelnosti. ReciprokĂĄ hodnota tohoto souÄ?initele je modul objemovĂŠ pruĹžnosti k. 1.4.2 IzochorickĂ˝ souÄ?initel tlakovĂŠ rozpĂnavosti KdyĹž pĹ™ivedeme teplo dQ do reĂĄlnĂŠ tekutiny s objemem V, kterĂĄ je v pevnĂŠ nĂĄdobÄ›, zvýťà se jednak teplota mĂŠdia o dT a rovněŞ tlak o dp. JelikoĹž se v tomto pĹ™ĂpadÄ› jednĂĄ o tlakovou rozpĂnavost, budeme vychĂĄzet z ĂşplnĂŠho diferenciĂĄlu tlaku, kterĂ˝ je funkcĂ teploty a objemu. 9
đ?‘? = đ?‘“(đ?‘Ł, đ?‘Ą)
đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? → đ?‘‘đ?‘? = ( ) đ?‘‘đ?‘Ł + ( ) đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ł đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘Ł
đ?‘‘đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?‘? − đ?‘?0 đ?‘? − đ?‘?0 1 =( ) = = đ?›˝ ∙ đ?‘?0 (đ?‘Ą0 = 0°đ??ś) → đ?œˇ = ∙ đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘Ł đ?‘Ą − đ?‘Ą0 đ?‘Ą đ?‘?0 β je izochorickĂ˝ souÄ?initel tlakovĂŠ rozpĂnavosti. 1.4.3 IzobarickĂ˝ souÄ?initel objemovĂŠ roztaĹžnosti VytknutĂŠmu objemu reĂĄlnĂŠ kapaliny V dodĂĄme teplo dQ, kterĂŠ zpĹŻsobĂ nĂĄrĹŻst teploty o dT a objemu o dV pĹ™i konstantnĂm tlaku. đ?‘Ł = đ?‘“(đ?‘?, đ?‘Ą)
→ �� = (
đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ł ) đ?‘‘đ?‘? + ( ) đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘? đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘?
đ?‘‘đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ł đ?‘Ł − đ?‘Ł0 đ?‘Ł − đ?‘Ł0 1 =( ) = = đ?›ź ∙ đ?‘Ł0 (đ?‘Ą0 = 0°đ??ś) → đ?œś = ∙ đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘? đ?‘Ą − đ?‘Ą0 đ?‘Ą đ?‘Ł0 Îą je izobarickĂ˝ souÄ?initel objemovĂŠ roztaĹžnosti. 1.4.4 Viskozita tekutin, smykovĂŠ napÄ›tĂ Tato vlastnost se projevuje za pohybu skuteÄ?nĂ˝ch kapalin. Pokud se pohybujĂ sousednĂ vrstvy kapaliny rĹŻznĂ˝mi rychlostmi, vznikĂĄ na jejich rozhranĂ smykovĂŠ napÄ›tĂ, kterĂŠ brĂĄni pohybu. PomalejĹĄĂ vrstva je urychlovĂĄna a naopak zase rychlejĹĄĂ zpomalovĂĄna. SmykovĂŠ napÄ›tĂ je vyvolanĂŠ vnitĹ™nĂm tĹ™enĂm, resp. viskozitou tekutin, kterĂĄ je ĂşmÄ›rnĂĄ zmÄ›nÄ› rychlosti ve smÄ›ru kolmĂŠm na smÄ›r pohybu podle Newtonova vztahu: đ?œ?=đ?œ‚∙
đ?‘‘đ?‘¤ [đ?‘ƒđ?‘Ž] đ?‘‘đ?‘Ś
Ĺ˜eckĂ˝ symbol đ?œ‚ je dynamickĂĄ viskozita a dw/dy je gradient rychlosti ve smÄ›ru kolmĂŠm na smÄ›r pohybu. Uvedenou formulaci uvedl v r. 1687 anglickĂ˝ fyzik Isaac Newton pro laminĂĄrnĂ proudÄ›nĂ. UvedenĂ˝ vztah platĂ pouze pro tzv. NewtonskĂŠ tekutiny. ExistujĂ taky tekutiny NenewtonskĂŠ, kterĂ˝m se v rĂĄmci problematiky MT I. nebudeme vÄ›novat. [5]
10
1.5 ZĂĄkladnĂ rovnice vyuĹžĂvanĂŠ v MT I. TĂĄto kapitola slouŞà jako pĹ™ehled nejdĹŻleĹžitÄ›jĹĄĂch rovnic, kterĂŠ se pozdÄ›ji budou objevovat v Ĺ™eĹĄenĂ˝ch ĂşlohĂĄch. CĂlem tedy nebude detailnÄ› objasnit matematickou, resp. fyzikĂĄlnĂ podstatu jednotlivĂ˝ch vztahĹŻ. MatematickĂĄ odvozenĂ naleznete napĹ™. v [1], [2]. 1.5.1 Navier – Stokesova pohybovĂĄ rovnice JednĂĄ se o jednu z nejdĹŻleĹžitÄ›jĹĄĂch parciĂĄlnĂch diferenciĂĄlnĂch rovnic proudÄ›nĂ. Rovnici odvodil francouzskĂ˝ matematik Claude Louis Marie Henri Navier (1827) a takĂŠ nezĂĄvisle na nÄ›m jinĂ˝m zpĹŻsobem anglickĂ˝ matematik a fyzik George Gabriel Stokes (1845). N-S rovnice ve svĂŠ podstatÄ› vyjadĹ™uje rovnovĂĄhu sil pĹŻsobĂcĂch na element proudĂcĂ viskĂłznĂ tekutiny (uvaĹžujeme tedy i vliv tĹ™ecĂch sil). JejĂ odvozenĂ vychĂĄzĂ z II. Newtonovho pohybovĂŠho zĂĄkona. [2] đ?‘
đ?‘‘đ?‘¤ ⃗⃗⃗ đ?‘š = ∑ đ??šâƒ—đ?‘– đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘–
KompletnĂ odvozenĂ N-S rovnice, kterĂŠ je pomÄ›rnÄ› rozsĂĄhlĂŠ, je moĹžnĂŠ v pĹ™ĂpadÄ› zĂĄjmu dohledat v [6]. UkĂĄĹžeme si pouze vĂ˝slednĂ˝ tvar rovnice a popĂĹĄeme jednotlivĂŠ Ä?leny. đ?œ•đ?‘¤đ?‘– đ?œ•đ?‘¤đ?‘– 1 đ?œ•đ?‘? đ?œ• 2 đ?‘¤đ?‘– 1 đ?œ• đ?œ•đ?‘¤đ?‘˜ + đ?‘¤đ?‘˜ = đ?‘…đ?‘– − +đ?œˆ + đ?œˆ ( ) đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘˜ đ?œŒ đ?œ•đ?‘– đ?œ•đ?‘˜ 2 3 đ?œ•đ?‘– đ?œ•đ?‘˜ 1. ÄŒlen
đ?œ•đ?‘¤đ?‘–
je mĂstnĂ (lokĂĄlnĂ) zrychlenĂ, kterĂŠ zaznamenĂĄme pĹ™i sledovĂĄnĂ urÄ?itĂŠho bodu
đ?œ•đ?‘Ą
proudovĂŠho pole v prĹŻbÄ›hu Ä?asu. 2. ÄŒlen đ?‘¤đ?‘˜
đ?œ•đ?‘¤đ?‘– đ?œ•đ?‘˜
je vnitĹ™nĂ setrvaÄ?nĂŠ zrychlenĂ, kterĂŠ zaznamenĂĄme, kdyĹž se posuneme do
sousednĂho bodu prostoru, kde je jinĂĄ rychlost. 3. ÄŒlen đ?‘…đ?‘– je vnÄ›jĹĄĂ setrvaÄ?nĂŠ zrychlenĂ, danĂŠ vnÄ›jĹĄĂmi ĂşÄ?inky na proudovĂŠ pole (gravitaÄ?nĂ zrychlenĂ, odstĹ™edivĂŠ zrychlenĂ, danĂŠ rotacĂ kanĂĄlu, v kterĂŠm probĂhĂĄ proudÄ›nĂ apod.). 1 đ?œ•đ?‘?
4. ÄŒlen đ?œŒ đ?œ•đ?‘– je zrychlenĂ od tlakovĂ˝ch sil od rozloĹženĂ tlaku v proudovĂŠm poli. 5. ÄŒlen đ?œˆ 1
đ?œ•2 đ?‘¤đ?‘– đ?œ•đ?‘˜ 2 đ?œ•
je zrychlenĂ od tĹ™ecĂch sil bez ohledu na stlaÄ?itelnost proudÄ›nĂ. đ?œ•đ?‘¤
6. ÄŒlen 3 đ?œˆ đ?œ•đ?‘– ( đ?œ•đ?‘˜đ?‘˜) je zrychlenĂ od tĹ™ecĂch sil s ohledem na stlaÄ?itelnost proudÄ›nĂ. [2]
11
Z matematickĂŠho hlediska je N-S rovnice parciĂĄlnĂ diferenciĂĄlnĂ rovnicĂ druhĂŠho řådu, obecnÄ› eliptickĂŠho typu a obecnÄ› nelineĂĄrnĂ. Nelinearitu zpĹŻsobuje 2. Ä?len, kterĂ˝ mĂĄ za nĂĄsledek nĂĄroÄ?nĂŠ Ĺ™eĹĄenĂ a hysterezi vĂ˝sledkĹŻ, pĹ™edevĹĄĂm rychlosti w. AnalytickĂŠ Ĺ™eĹĄenĂ je moĹžnĂŠ pouze u zjednoduĹĄenĂ˝ch pĹ™ĂpadĹŻ, napĹ™. kdyĹž mĂĄme moĹžnost nÄ›kterĂŠ Ä?leny (nelineĂĄrnĂ) vynechat, a pokud je geometrie Ĺ™eĹĄenĂŠho Ăştvaru prostĂĄ. NumerickĂŠ Ĺ™eĹĄenĂ je reĂĄlnĂŠ a běŞnÄ› se realizuje pomocĂ komerÄ?nĂch programĹŻ. [2] Je dĹŻleĹžitĂŠ poznamenat, Ĺže tato rovnice platĂ jak pro laminĂĄrnĂ, tak pro turbulentnĂ proudÄ›nĂ. NumerickĂŠ Ĺ™eĹĄenĂ u turbulentnĂch Ăşloh, kdy se vĹĄechny parametry (w, p, Ď ) stochasticky mÄ›nĂ, si vyĹžaduje urÄ?itou Ăşpravu N-S rovnice (ustĹ™edÄ›nĂ v Ä?ase). 1.5.2 Eulerova rovnice Eulerova rovnice vnikne prostĂ˝m zjednoduĹĄenĂm N-S rovnice, a to konkrĂŠtnÄ› zanedbĂĄnĂm vlivu kinematickĂŠ viskozity (đ?œˆ = 0). Je to tedy pohybovĂĄ rovnice proudÄ›nĂ nevazkĂŠ tekutiny. đ?œ•đ?‘¤đ?‘– đ?œ•đ?‘¤đ?‘– 1 đ?œ•đ?‘? + đ?‘¤đ?‘˜ = đ?‘…đ?‘– − đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘˜ đ?œŒ đ?œ•đ?‘– Ve statice tekutin se pouĹžĂvĂĄ obdoba obecnĂŠ Eulerovy rovnice, tzv. Eulerova rovnice hydrostatiky, kterĂĄ vznikne odstranÄ›nĂm rozvedenĂŠ substanciĂĄlnĂ derivace na levĂŠ stranÄ›. Dostaneme tedy: −
đ?œ•đ?‘? + đ?œŒđ?‘…đ?‘– = 0 đ?œ•đ?‘–
Pro praktickĂŠ pouĹžitĂ se pĹ™evĂĄdĂ uvedenĂĄ rovnice na tzv. tlakovou rovnici, ke kterĂŠ se dostaneme nĂĄsledujĂcĂmi Ăşpravami. − (đ?‘–⃗
đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? ⃗⃗ ) = −đ?œŒ(đ?‘–⃗đ?‘…đ?‘Ľ + đ?‘—⃗đ?‘…đ?‘Ś + đ?‘˜ ⃗⃗ đ?‘…đ?‘§ ) + đ?‘—⃗ + đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§
đ?œ•đ?‘? = đ?œŒđ?‘…đ?‘Ľ |∙ đ?‘‘đ?‘Ľ , đ?œ•đ?‘Ľ
đ?œ•đ?‘? = đ?œŒđ?‘…đ?‘Ś |∙ đ?‘‘đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś
đ?œ•đ?‘? = đ?œŒđ?‘…đ?‘§ |∙ đ?‘‘đ?‘§ đ?œ•đ?‘§
,
đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘‘đ?‘Ś + đ?‘‘đ?‘§ = đ?œŒ(đ?‘…đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘…đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś + đ?‘…đ?‘§ đ?‘‘đ?‘§) đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?‘‘đ?‘? = đ?œŒ(đ?‘…đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘…đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś + đ?‘…đ?‘§ đ?‘‘đ?‘§)
12
→
→
đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘˜ = đ?œŒđ?‘…đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ đ?œ•đ?‘˜
đ?‘‘đ?‘? = đ?œŒđ?‘…đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜
Tlakovou rovnici pouĹžĂvĂĄme k vĂ˝poÄ?tu tlaku v libovolnĂŠm mĂstÄ› tekutiny, kterĂĄ je v relativnĂm klidu. V takovĂŠ tekutinÄ› existujĂ plochy s rĹŻznĂ˝m konstantnĂm tlakem, tzv. tlakovĂŠ hladiny. ProtoĹže v kaĹždĂŠm bodu prostoru vyplnÄ›nĂŠho tekutinou je jedinĂ˝ tlak, pĹ™echĂĄzĂ nĂm jedinĂĄ tlakovĂĄ hladina. HladinovĂŠ plochy majĂ v ĂşlohĂĄch hydrostatiky velkĂ˝ vĂ˝znam, pĹ™edevĹĄĂm vytvĂĄĹ™ejĂ rozhranĂ mezi okolitĂ˝m vzduchem a kapalinou. Rovnici tlakovĂŠ hladiny dostaneme, kdyĹž poloĹžĂme p = konst. tedy dp = 0. [2] đ?‘…đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘…đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś + đ?‘…đ?‘§ đ?‘‘đ?‘§ = 0 →
đ?‘…đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ = 0
1.5.3 Bernoulliho rovnice Bernoulliho rovnice je zvlĂĄĹĄtnĂm pĹ™Ăpadem N-S rovnice, resp. jejĂ nevazkĂŠ formy (tedy Eulerovy rovnice). đ?‘‘đ?‘¤đ?‘– 1 đ?œ•đ?‘? = đ?‘…đ?‘– − đ?‘‘đ?‘Ą đ?œŒ đ?œ•đ?‘–
/∙ đ?‘‘đ?‘–
đ?‘¤đ?‘– đ?‘‘đ?‘¤đ?‘– = đ?‘…đ?‘– đ?‘‘đ?‘– −
1 đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘– đ?œŒ đ?œ•đ?‘–
∑: đ?‘¤ 2 = đ?‘¤đ?‘˜2
→
đ?‘¤đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ = đ?‘…đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ −
đ?‘¤đ?‘‘đ?‘¤ = đ?‘¤đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ , đ?‘‘đ?‘? =
1 đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘˜ đ?œŒ đ?œ•đ?‘˜
đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘Ą + đ?‘‘đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘˜
⇒
đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? = đ?‘‘đ?‘? − đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ą
1 đ?œ•đ?‘? đ?‘¤đ?‘‘đ?‘¤ = đ?‘…đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ − (đ?‘‘đ?‘? − đ?‘‘đ?‘Ą) đ?œŒ đ?œ•đ?‘Ą PoslednĂ rovnice vyjadĹ™uje obecnou Bernoulliho rovnici, kterou je jeĹĄtÄ› moĹžnĂŠ upravovat na zĂĄkladÄ› nĂĄsledujĂcĂch zjednoduĹĄenĂ. KdyĹž budeme pĹ™i Ĺ™eĹĄenĂ Ăşloh uvaĹžovat stacionĂĄrnĂ proudÄ›nĂ, tedy
đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘Ą
= 0, potom
Bernoulliho rovnice nabyde tvar: đ?‘¤đ?‘‘đ?‘¤ = đ?‘…đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ −
đ?‘‘đ?‘? đ?œŒ
Pokud bude na tekutinu pĹŻsobit jenom gravitaÄ?nĂ zrychlenĂ (Rx = Rz = 0, Ry = -g) a uvaĹžujeme, Ĺže se jednĂĄ o nestlaÄ?itelnĂŠ proudÄ›nĂ, pak: đ?‘¤đ?‘‘đ?‘¤ = −đ?‘”đ?‘‘đ?‘Ś − 13
đ?‘‘đ?‘? đ?œŒ
|âˆŤ
đ?‘¤2 đ?‘? 1 + đ?‘”đ?‘Ś + = đ??ś /∙ 2 đ?œŒ đ?‘”
→ đ??ľ. đ?‘… đ?‘Łđ?‘’ đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šÄ› đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘”đ?‘–Ă
đ?‘¤2 đ?‘? +đ?‘Ś+ = đ?‘Śđ?‘? / ∙ đ?œŒđ?‘” 2đ?‘” đ?œŒđ?‘” đ?œŒ
đ?‘¤2 + đ?œŒđ?‘”đ?‘Ś + đ?‘? = đ?‘?đ??ś 2
→ đ??ľ. đ?‘… đ?‘Łđ?‘’ đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šÄ› đ?‘ŁĂ˝ĹĄđ?‘’đ?‘˜
→
đ??ľ. đ?‘…. đ?‘Łđ?‘’ đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šÄ› đ?‘Ąđ?‘™đ?‘Žđ?‘˜ĹŻ
1.5.4 Rovnice spojitosti Rovnice spojitosti (kontinuity) je zĂĄkonem zachovĂĄnĂ hmotnosti. JinĂ˝mi slovy, hmotnost tekutiny, kterĂĄ protĂŠkĂĄ kontrolnĂm objemem, musĂ bĂ˝t konstantnĂ. U kontrolnĂho objemu mĹŻĹžu vzniknout dvÄ› zmÄ›ny hmotnosti, a to lokĂĄlnĂ zmÄ›na v samotnĂŠm kontrolnĂm objemu (tekutina se stlĂĄÄ?Ă a rozpĂnĂĄ) a konvektivnĂ zmÄ›na hmotnosti, zpĹŻsobenĂĄ rozdĂlem vstupujĂcĂ a vystupujĂcĂ hmotnosti z kontrolnĂho objemu. ObÄ› zmÄ›ny musĂ dĂĄvat v koneÄ?nĂŠm dĹŻsledku nulovou zmÄ›nu hmotnosti, co je moĹžnĂŠ pouze v pĹ™ĂpadÄ›, kdy jsou obÄ› zmÄ›ny stejnÄ› velkĂŠ, ale s opaÄ?nĂ˝m znamĂnkem. Tedy jedna znamenĂĄ zvÄ›tĹĄenĂ a druhĂĄ zmenĹĄenĂ hmotnosti. [2], [5] Rovnice kontinuity v obecnĂŠm tvaru vypadĂĄ nĂĄsledovnÄ›: đ?œ•(đ?œŒ ∙ đ?‘†âƒ—) đ?œ•(đ?œŒđ?‘†âƒ—đ?‘¤ ⃗⃗⃗) + =0 đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘ ⃗ V pĹ™Ăpade, Ĺže se prĹŻĹ™ez nebude v Ä?ase mÄ›nit (uvaĹžujeme pouze zmÄ›nu polohy) a parametr hustoty budeme taky popisovat jenom z hlediska zmÄ›ny polohy, dostaneme: 0+
đ?œ•(đ?œŒđ?‘†âƒ—đ?‘¤ ⃗⃗⃗) =0 đ?œ•đ?‘ ⃗
→
đ?œŒđ?‘†âƒ—đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = đ?‘˜đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ą.
Pokud budeme povaĹžovat vĹĄechny parametry obecnĂŠ rovnice kontinuity jako promÄ›nnĂŠ a jen prĹŻĹ™ez bude konstantnĂ, zĂskĂĄme: đ?œ•đ?œŒ đ?œ•(đ?œŒđ?‘¤ ⃗⃗⃗) + =0 đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘ ⃗ Uvedenou rovnici lze zapsat taky pro prostorovĂŠ proudÄ›nĂ a rozepsat do jednotlivĂ˝ch sloĹžek. đ?œ•đ?œŒ + ⃗∇⃗(đ?œŒđ?‘¤ ⃗⃗⃗) = 0 đ?œ•đ?‘Ą
→
đ?œ•đ?œŒ đ?œ•(đ?œŒ ∙ đ?‘¤đ?‘Ľ ) đ?œ•(đ?œŒ ∙ đ?‘¤đ?‘Ś ) đ?œ•(đ?œŒ ∙ đ?‘¤đ?‘§ ) + + + =0 đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§
14
1.5.5 VÄ›ta o zmÄ›nÄ› toku hybnosti (VZTH) VZTH pĹ™edstavuje vhodnĂ˝ nĂĄstroj slouĹžĂcĂ k Ĺ™eĹĄenĂ dynamickĂ˝ch ĂşÄ?inkĹŻ proudĂcĂ tekutiny na tÄ›leso. UplatĹˆuje se pĹ™evĂĄĹžnÄ› u lopatkovĂ˝ch strojĹŻ a celkovÄ› lze tuto metodu zaĹ™adit mezi metody typu black box. AerodynamickĂŠ ĂşÄ?inky tekutiny se totiĹž Ĺ™eĹĄĂ jenom na zĂĄkladÄ› znalosti stavu proudÄ›nĂ na tzv. kontrolnĂ ploĹĄe obklopujĂcĂ zkoumanĂŠ proudovĂŠ pole, kterĂŠho vlastnosti pĹ™itom nepotĹ™ebujeme znĂĄt. [2] OdvozenĂ VZTH vychĂĄzĂ z I. impulsovĂŠ vÄ›ty, kterou lze slovnÄ› interpretovat nĂĄsledujĂcĂ definicĂ. ÄŒasovĂĄ zmÄ›na celkovĂŠ hybnosti soustavy hmotnĂ˝ch bodĹŻ je rovnĂĄ vnÄ›jĹĄĂ sĂle. VnitĹ™nĂ sĂly nemajĂ vliv na celkovou hybnost soustavy. ⃗⃗ đ?‘‘đ??ť = đ??šâƒ— đ?‘‘đ?‘Ą ⃗⃗ = đ??šâƒ— ∙ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ??ť 2
đ?‘Ą
âˆŤ đ?‘š ∙ đ?‘‘đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = âˆŤ đ??šâƒ— ∙ đ?‘‘đ?‘Ą 1
→
đ??šâƒ— = đ?‘šĚ‡ ∙ (đ?‘¤ ⃗⃗⃗2 − đ?‘¤ ⃗⃗⃗1 )
0
Postup řeťenà touto metodou je moŞnÊ shrnout do třà bodů. 1) Volba souřadnicovÊho systÊmu 2) Volba vhodnÊ kontrolnà plochy 3) Zåpis VZTH ve směru souřadnicových os -
LevĂĄ strana rovnice obsahuje sĂly, kterĂ˝mi tekutina uzavĹ™enĂĄ v kontrolnĂ ploĹĄe pĹŻsobĂ na kontrolnĂ plochu a na obtĂŠkanĂŠ tÄ›leso (znamĂnka se urÄ?ujĂ podle smÄ›ru os).
-
PravĂĄ strana rovnice sestĂĄvĂĄ ze sumy tokĹŻ hybnosti, pĹ™iÄ?emĹž se vstupnĂ toky znaÄ?Ă kladnÄ›, vĂ˝stupnĂ zĂĄpornÄ› a smÄ›ry tokĹŻ opÄ›t korespondujĂ se smÄ›ry pĹ™ĂsluĹĄnĂ˝ch os. [2]
15