Potenser
Derivasjon = f ( x)
⇒= f ′ ( x ) abxb−1 ⇒= f ′( x)
x
1
= y f (u ) , = u g ( x)
2 x ⇒ y=′ f ′ ( u ) ⋅ u ′
y= f ( x ) ⋅ g ( x )
⇒ y=′ f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x )
y
f ( x) g ( x)
= ⇒ y′
= f ( x) ln g ( x ) = f ( x) ex f ( x ) =e ( ) g x
( g ( x ))
2
1 ⇒= f ′( x) x g′ ( x) ⇒ = f ′( x) g ( x) ⇒= f ′ ( x) ex ⇒ f ′ ( x ) =e ( ) ⋅ g ′ ( x ) g x
Integrasjon
1 a +1 = ∫∫ x dx a 1+ 1 xx a+1 ++ CC a +1 11 dx== ln + aa + +C ln xx + C ∫∫ xx ++ aa dx 1 ax ax = dx 1 ee ax + dx +C C ∫∫ eeax= aa fg ′′dx dx = fg fg − − ∫ ff ′′ gdx gdx = ∫ fg = x aa dx
aa ≠ ≠− −11
Læreboken og arbeidsboken er laget for å gi økonomistudenter faglig forståelse på en strukturert og lettfattelig måte.
For å mestre matematikkfaget må du jobbe. Arbeidsboken består av hundrevis av oppgaver og løsninger. Ved å lese læreboken og arbeide deg gjennom oppgavene i arbeidsboken vil du etter hvert opparbeide kunnskap, ferdigheter og forståelse. Kristina Rognlien Dahl er professor i matematikk ved Handelshøyskolen BI. Robert G. Hansen er førstelektor i matematikk og samfunnsøkonomi ved Handelshøyskolen BI.
∫ ∫ ′ = dx ∫= ff (( uu )) du du der der uu gg (( xx )) gg (( xx )) ))gg ′ (( xx )) dx ∫∫ ff ((= ∫=
Klassifisering av stasjonærpunkt for funksjoner av to variable La ( x0 , y0 ) være et stasjonærpunkt for f ( x, y ). Hvis A = f xx′′ ( x0 , y0 ) , B = f xy′′ ( x0 , y0 ) og ′′ ( x0 , y0 ) , har vi: C = f yy
(( )) ( ) 00 og og AA>>00 ⇒ ⇒ −((B xx020, ,> yy000)) er eretetAlokalt lokalt minimumspunkt minimumspunkt AC og >0 ⇒ ( x0 , y0 ) er et lokalt minimumspunkt 00 ⇒ ⇒ −((B xx020, ,< yy000)) ereretetsadelpunkt sadelpunkt AC ⇒ ( x0 , y0 ) er et sadelpunkt
00 og og AA<<00 ⇒ ⇒ −B xx020, ,> yy000 er eretetAlokalt lokalt maksimumspunkt maksimumspunkt AC og <0 ⇒ x0 , y0 er et lokalt maksimumspunkt
Hvis HvisAC AC−−BB22= = 00,gir girikke ikke testen testen noe svar. Hvis AC −noe B 2 svar. = 0 gir ikke testen noe svar.
ISBN 978-82-450-5337-1
ARBEIDSBOK I MATEMATIKK FOR ØKONOMISTUDENTER
= f ( x ) ln ( x )
f ′ ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g′( x)
Arbeidsbok i matematikk for økonomistudenter er laget til læreboken Innføring i matematikk for økonomistudenter.
Kristina Rognlien Dahl Robert G. Hansen
= f ( x ) axb
ARBEIDSBOK I MATEMATIKK FOR ØKONOMISTUDENTER Kristina Rognlien Dahl Robert G. Hansen
an a n ⋅ a m a n+ m= a n−m = m a 1
1 a−n = n a n
a ⋅b =
m
( a ⋅ b )n =a n ⋅ bn
a2 = a
an a = n b b
( )
an a n⋅m =
a⋅ b
a = b
a b
Kvadratsetningene
( a + b )2 =a 2 + 2ab + b2 ( a − b )2 =a 2 − 2ab + b2 ( a + b )( a − b ) = a 2 − b2 Annengradslikninger og faktorisering ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x = som gir x1 og x2 :
−b ± b 2 − 4ac 2a
ax 2 + bx + c= a ( x − x1 )( x − x2 )
Lineære funksjoner y = ax + b = y − y1
y − y1 = a ( x − x1 )
y2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1
Logaritmer og eksponensialuttrykk ( ) e= x ln x
ln = ( xy ) ln ( x ) + ln ( y )
x ln = ln x − ln y y
ln x p = p ln ( x )
y = e x ⇔ x = ln y