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A. Zanin

G. Baldisseri

M. Bignardi

A. Pietrafitta

GRAFICA rappresentazione tecniche di Tecnologie e

EDUCAZIONE CIVICA

ORIENTAMENTO Il ruolo del geometra

VIDEOTUTORIAL E VIDEO 3D

VELIA

A. Zanin

G. Baldisseri

M. Bignardi

A. Pietrafitta

tecnico rappresentazione tecniche di Tecnologie e GRAFICA

Dal progetto al disegno

Gruppo

Costruire il futuro insieme

Il Gruppo Editoriale ELi

offre proposte editoriali che coprono tutti i gradi e i rami scolastici, all’insegna della qualità, del rigore e dell’innovazione.

INTELLIGENZA

ARTIFICIALE

Percorsi didattici con attività pratiche che mirano ad approfondire i principali strumenti di IA generativa per favorirne un utilizzo critico e il tool VELIA a disposizione dei docenti per personalizzare l’attività didattica.

EQUILIBRI

Progetto di ricerca costante che mira a eliminare gli stereotipi di genere nei testi scolastici ponendo particolare attenzione alla scelta dei contenuti, a una valutazione iconografica ragionata e all’utilizzo di un linguaggio testuale inclusivo.

INCLUSIONE

Sviluppo di una cultura dell’inclusione attraverso contenuti accessibili e adeguati ai diversi stili di apprendimento.

ORIENTAMENTO

Approccio educativo e formativo volto a favorire la conoscenza di sé, delle proprie attitudini e delle proprie capacità, oltre a sviluppare le competenze non cognitive e trasversali necessarie per le scelte del futuro.

EDUCAZIONE

CIVICA secondo le NUOVE Linee guida

Aggiornamento e ampliamento dei nuclei tematici attorno ai quali si articolano le competenze e gli obiettivi di apprendimento: Costituzione, Sviluppo economico e sostenibilità, Cittadinanza digitale

STEM/STEAM, CLIL

Attivazione del pensiero scientifico e computazionale, approccio interdisciplinare e laboratoriale, sviluppo della competenza multilinguistica, attraverso attività STEM, STEAM e CLIL.

DIGITALE

Acquisizione delle competenze digitali e dell’alfabetizzazione informatica come aiuto all’inclusione sociale e alla cittadinanza attiva.

EDUCAZIONE ALLE RELAZIONI

Percorsi incentrati sullo sviluppo di competenze relazionali che arricchiscono la consapevolezza del vissuto personale in relazione con la realtà circostante.

Gruppo Editoriale

ELi

Gruppo Editoriale

ELi

TECNOLOGIE E TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONE GRAFICA (TTRG)

è il corso pensato come uno strumento di lavoro completo e progressivo per gli Istituti Tecnici a indirizzo Costruzioni, Ambiente e Territorio.

Affronta i fondamenti del disegno tecnico, dalle costruzioni geometriche alle proiezioni, fornendo le basi della rappresentazione grafica.

LE COSTRUZIONI GEOMETRICHE

rappresentazione tecniche di Tecnologie e

SEZIONE

A

Le aperture di unità

LE COSTRUZIONI GEOMETRICHE

Renzo Piano

è uno degli architetti italiani più famosi al mondo, conosciuto per unire tecnologia moderna e rispetto dell’ambiente. Nei suoi edifici, spesso con le murature rifinite con intonaco bianco, la costruzione “dialoga” con grandi superfici di vetro trasparente. Particolare rilievo ha la sostenibilità suoi progetti compaiono tetti verdi che assorbono CO pannelli solari, sistemi di ventilazione naturale e materiali isolanti per ridurre i consumi. In questo modo, gli edifici solo rispettano l’ambiente, ma aiutano le persone a meglio. Spesso utilizza sistemi prefabbricati e ripetibili per risparmiare tempo e risorse. Renzo Piano, l’architettura è come una macchina precisa e delicata: deve funzionare essere bella da vedere e avere cura del pianeta e delle generazioni future.

CAPITOLO 1 COSTRUZIONI PIANE FONDAMENTALI

Le aperture di ogni unità sono dedicate a un architetto e a una sua opera significativa. Attraverso la rubrica Educazione civica si analizzano i principi ispiratori che hanno guidato la realizzazione del progetto. Particolare attenzione è rivolta al rapporto tra l’opera e il contesto in cui si inserisce. L’opera diventa occasione per riflettere sul ruolo del geometra all’interno del processo edilizio, dal rilievo alla rappresentazione, fino alla collaborazione con le altre figure professionali.

Renzo Piano

è uno degli architetti italiani più famosi al mondo, conosciuto per unire tecnologia moderna e rispetto dell’ambiente. Nei suoi edifici, spesso con le murature rifinite con intonaco bianco, la costruzione “dialoga” con grandi superfici di vetro trasparente. Particolare rilievo ha la sostenibilità nei suoi progetti compaiono tetti verdi che assorbono CO pannelli solari, sistemi di ventilazione naturale e materiali isolanti per ridurre i consumi. In questo modo, gli edifici non solo rispettano l’ambiente, ma aiutano le persone a vivere meglio. Spesso utilizza sistemi prefabbricati e moduli ripetibili per risparmiare tempo e risorse. Per Renzo Piano, l’architettura è come una macchina precisa e delicata: deve funzionare bene, essere bella da vedere e avere cura del pianeta e delle generazioni future.

Centre Pompidou, Parigi

Centro culturale rivoluzionario con impianti tecnologici a vista e struttura metallica esterna. I tubi, blu per l’aria, rosso per le scale e verde per l’acqua sono parte del linguaggio architettonico. Questa costruzione in acciaio, vetro e cemento prefabbricato, ha ridefinito l’idea di museo come spazio aperto e flessibile.

RENZO PIANO

condensando in una, più immagini e giungere a raffigurarsi l’oggetto rappresentato. È importante pertanto sviluppare le proprie capacità spaziali esercitandosi nella risoluzione di problemi specifici. 5.1 POSIZIONE DELL’OSSERVATORE Nelle esercitazioni delle pagine successive sono proposte assonometrie di solidi su cui indicare, come primo passo e mediante una freccia, la posizione dell’osservatore. Conseguenza di questa scelta sono le direzioni dei raggi proiettanti e quindi le proiezioni sui tre piani. Normalmente la freccia viene posizionata come indicato nel caso A ➜ Fig. 17 in modo da avere in vista tre lati del solido interessati dalle successive proiezioni. Così facendo si definisce la posizione del triedro di riferimento cioè dei tre piani P.V., P.O. e P.L. (➜ Fig. 18a) con le direzioni, indicate dalle tre frecce, da cui si guarda per ottenere le relative proiezioni ortogonali (➜ Fig. 18b). La posizione dei piani tra loro, e quindi delle viste, è rigida; pertanto se si decide di posizionare l’osservatore come nel caso B ➜ Fig. 19), l’orientamento del triedro di riferimento cambia (➜ Fig. 20a). Il risultato è che le proiezioni si ottengono sul P.V e sul P.O. da lati del solido in vista, mentre sul P.L., vista da sinistra, guardando il solido da un lato non in vista, come indicato dalla freccia ➜ Fig. 20a). Le proiezioni che otteniamo sono diverse dalle precedenti (➜ Fig. 20b). Questa seconda impostazione, pur non essendo errata, è sconsigliata perché risulta disagevole e spesso può indurre a commettere facili errori. Pertanto, nell’esporre gli argomenti con l’uso dell’assonometria, si dà per scontato che la posizione dell’osservatore sia quella A, cioè come in ➜ Fig. 17

Centre Pompidou, Parigi

5.2 INDICAZIONI SULLA SEQUENZA DELLA COSTRUZIONE Collocato l’oggetto nel triedro e fissata la posizione dell’osservatore, di volta in volta si dovrà scegliere il piano da cui iniziare a tracciare le proiezioni. Negli esempi seguenti, un prisma a base pentagonale è posto in tre posizioni diverse rispetto ai piani del triedro ➜ Figg. 21, 23 e 25). Poiché il suo elemento geometrico caratterizzante è la base pentagonale, risulta comodo iniziare rappresentando questa su uno dei tre piani (➜ Figg. 22, 24 e 26).

Per il geometra studiare i progetti di Renzo si uniscono innovazione tecnologica e Le sue competenze includono: → saper utilizzare tecnologie avanzate le idee in disegni esecutivi chiari e precisi; → saper verificare la corretta realizzazione quelle nelle quali si utilizza il vetro; → garantire che i progetti si trasformino con l’ambiente perché un edificio ha paesaggio urbano e serve al benessere orientamento

Per Renzo Piano costruire significa anche materiali che durano a lungo e sistemi ecologici e ventilazione naturale. Oltre a questo c’è sociale: ogni edificio deve essere uno spazio possano entrare, muoversi e sentirsi a proprio modo, l’architettura diventa non solo un insieme strumento per costruire città più giuste, sostenibili

EDUCAZIONE CIVICA

Proposta didattica a “doppio registro” La spiegazione scritta è affiancata dalla corrispondente risoluzione grafica, indispensabile strumento per imparare a leggere gli elaborati. L’utilizzo di tre colori guida nei segni, nero, rosso e azzurro, permette di evidenziare al meglio le tre diverse fasi nella costruzione del disegno

Per Renzo Piano costruire significa anche pensare alla sostenibilità, materiali che durano a lungo e sistemi ecologici come pannelli solari, e ventilazione naturale. Oltre a questo c’è anche un aspetto di responsabilità sociale: ogni edificio deve essere uno spazio aperto e inclusivo, dove possano entrare, muoversi e sentirsi a proprio agio, senza barriere. modo, l’architettura diventa non solo un insieme di muri e tetti, ma strumento per costruire città più giuste, sostenibili e vivibili.

B Il linguaggio del DISEGNO TECNICO

CAPITOLO 2

PROIEZIONI ORTOGONALI

CAPITOLO 3

PROIEZIONI ASSONOMETRICHE

4 SEZIONI DI SOLIDI

6 SVILUPPO DI SOLIDI

LE COSTRUZIONI GEOMETRICHE SEZIONE A

CAPITOLO 1 COSTRUZIONI PIANE FONDAMENTALI

Renzo Piano è uno degli architetti italiani più famosi al mondo, conosciuto per unire tecnologia moderna e rispetto dell’ambiente.

Nei suoi edifici, spesso con le murature rifinite con intonaco bianco, la costruzione “dialoga” con grandi superfici di vetro trasparente. Particolare rilievo ha la sostenibilità nei suoi progetti compaiono tetti verdi che assorbono CO pannelli solari, sistemi di ventilazione naturale e materiali isolanti per ridurre i consumi. In questo modo, gli edifici non solo rispettano l’ambiente, ma aiutano le persone a vivere meglio. Spesso utilizza sistemi prefabbricati e moduli ripetibili per risparmiare tempo e risorse. Per Renzo Piano, l’architettura è come una macchina precisa e delicata: deve funzionare bene, essere bella da vedere e avere cura del pianeta e delle generazioni future.

Centre Pompidou, Parigi

RENZO PIANO

Renzo Piano

Vincitore del Pritzker Prize nel 1998

orientamento

IL RUOLO DEL GEOMETRA

Per il geometra studiare i progetti di Renzo Piano è utile per capire come si uniscono innovazione tecnologica e precisione costruttiva.

Le sue competenze includono:

→ saper utilizzare tecnologie avanzate e soluzioni innovative per tradurre le idee in disegni esecutivi chiari e precisi;

→ saper verificare la corretta realizzazione delle parti più delicate come quelle nelle quali si utilizza il vetro;

→ garantire che i progetti si trasformino in edifici solidi, efficienti e armoniosi con l’ambiente perché un edificio ha risvolti anche sulla bellezza del paesaggio urbano e serve al benessere delle persone.

Per Renzo Piano costruire significa anche pensare alla sostenibilità, usando materiali che durano a lungo e sistemi ecologici come pannelli solari, tetti verdi e ventilazione naturale. Oltre a questo c’è anche un aspetto di responsabilità sociale: ogni edificio deve essere uno spazio aperto e inclusivo, dove tutti possano entrare, muoversi e sentirsi a proprio agio, senza barriere. In questo modo, l’architettura diventa non solo un insieme di muri e tetti, ma uno strumento per costruire città più giuste, sostenibili e vivibili.

Elementi di geometria: punto, retta, semiretta, segmento

Punto, retta,

piano, angolo

Elementi di geometria: punto, retta, semiretta, segmento

Punto, retta, piano, angolo

Le forme, nel meccanismo della visione, sono definite principalmente dal loro contorno. Nelle figure piane esso è dato dal perimetro; nei solidi invece è necessario riprodurre anche l’insieme di linee, dette spigoli, che rappresentano le intersezioni dei piani che racchiudono il solido.

Rappresentare graficamente un oggetto significa riprodurne la forma su un foglio, rispettandone le proporzioni e riportandone eventualmente anche le misure.

1. Punto, retta, piano, angolo

2. Costruzioni di rette e angoli

La linea è una figura geometrica costituita da punti successivi, ha come unica dimensione la lunghezza.

3. I poligoni

La linea è una figura geometrica costituita da punti successivi, ha come unica dimensione la lunghezza.

4. Costruzioni di poligoni

La linea è una figura geometrica costituita da punti successivi, ha come unica dimensione la lunghezza.

La retta è un elemento geometrico fondamentale che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. Tutte le rette si indicano con una lettera minuscola.

5. La circonferenza e i raccordi circolari

La retta è un elemento geometrico fondamentale che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. Tutte le rette si indicano con una lettera minuscola.

COSTRUZIONI PIANE FONDAMENTALI

La retta è un elemento geometrico fondamentale che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. Tutte le rette si indicano con una lettera minuscola.

6. Costruzioni di circonferenze, tangenti e raccordi

7. Le curve policentriche e le curve cicliche

Nel fare questo ci si imbatte in difficoltà direttamente proporzionali alla complessità dell’oggetto stesso.

Rappresentare graficamente un oggetto significa riprodurne la forma su un foglio, rispettandone le proporzioni e riportandone eventualmente anche le misure.

Nel fare questo ci si imbatte in difficoltà direttamente proporzionali alla complessità dell’oggetto stesso. Queste difficoltà possono essere superate riconducendo la rappresentazione grafica alla somma di rappresentazioni di forme semplici, delle quali si conoscano le caratteristiche.

Queste difficoltà possono essere superate riconducendo la rappresentazione grafica alla somma di rappresentazioni di forme semplici, delle quali si conoscano le caratteristiche.

Nella fig.1 si vede come sia possibile, attraverso una serie di approssimazioni, ridurre la rappresentazione di un fiocco di neve alla sovrapposizione di più triangoli equilateri.

1 Punto, retta, piano, angolo

fig. 1

Questo modo di procedere ha permesso di sfruttare le forme geometriche per rappresentare l’esistente e progettare ciò che si vuole costruire.

fig. 1

Questo modo di procedere ha permesso di sfruttare le forme geometriche per rappresentare l’esistente e progettare ciò che si vuole costruire.

La geometria permette di disegnare figure anche complesse utilizzando gli elementi fondamentali, gli enti primitivi, ovvero punti, rette e piani. Con questi mattoni è possibile costruire tutto l’edificio della costruzione grafica. Una figura geometrica è un qualunque insieme di punti.

Questo modo di procedere ha permesso di sfruttare le forme geometriche per rappresentare l’esistente e progettare ciò che si vuole costruire.

j PUNTO

punto, retta, semiretta, segmento

Abbiamo visto come sia necessario far riferimento alla geometria come scienza che regola il rapporto tra i vari elementi di un piano o di un solido. Tutte le figure possono essere rappresentate utilizzando gli elementi geometrici fondamentali; risulta perciò utile ricordare qui quelli che sono i principi costitutivi di questa disciplina.

Il punto è un ente geometrico privo di dimensioni che indica una posizione univoca nello spazio o nel piano. Ad esempio, l’intersezione tra due rette su un piano determina un punto. Il punto si indica con una lettera maiuscola.

r sono definite figure piane è necessaspigoli, che racchisignifica rispettandone le anche le direttamente stesso. riconducendi rappreconoscano

averso una appresentazione di triangoli

Le fondamenta della geometria si basano sugli enti primitivi o elementi fondamentali, quali il punto la retta e il piano. Utilizzando questi mattoni riusciamo a costruire tutto l’edificio della costruzione grafica.

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

La retta è un elemento geometrico fondamentale che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. Tutte le rette si indicano con una lettera minuscola.

8. Costruzioni di curve policentriche e cicliche

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

9. Le coniche

10. Costruzioni di coniche

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

11. Metodi per la riproduzione dei disegni

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

12. Scale di riduzione e di ingrandimento

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

Due rette incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro misura la quarta parte dell’angolo giro, risultano essere di 90°.

Due rette incidenti sono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro misura la quarta parte dell’angolo giro, risultano essere di 90°.

Due rette, nello stesso piano, si dicono parallele quando non hanno alcun punto in comune, coincidenti quando hanno tutti i punti in comune. fig. 1

Due rette, nello stesso piano, sono parallele quando non hanno alcun punto in comune, sono coincidenti quando hanno tutti i punti in comune.

Due rette, nello stesso piano, si dicono parallele quando non hanno alcun punto in comune, coincidenti quando hanno tutti i punti in comune.

La linea è una figura geometrica costituita da punti successivi, ha come unica dimensione la lunghezza.

j RETTA

DEF: Qualunque insieme di punti si dice figura geometrica.

La linea è una figura geometrica costituita da punti successivi, ha come unica dimensione la lunghezza.

La retta è un ente geometrico che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. La retta si indica con una lettera minuscola.

Il punto è un elemento geometrico fondamentale, privo di dimensioni e indica una posizione univoca nello spazio o nel piano. Per esempio l’intersezione di due rette determinano un punto su un piano. Tutti i punti si indicano con una lettera maiuscola dell’alfabeto latino.

Due rette, nello stesso piano, si dicono parallele quando non hanno alcun punto in comune, coincidenti quando hanno tutti i punti in comune.

La retta è un elemento geometrico fondamentale che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. Tutte le rette si indicano con una lettera minuscola.

Elementi generati dalla retta

j SEMIRETTA

Elementi generati dalla retta

semiretta

Elementi generati dalla retta

semiretta

POSIZIONI RECIPROCHE TRA

RETTE

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

Due rette possono assumere diverse posizioni reciproche nel piano. Due rette distinte sono incidenti quando hanno un punto in comune.

Data una retta e fissato su di essa un punto O, formano una semiretta il punto stesso e tutti i punti che lo precedono, o lo seguono. Il punto O è detto origine della semiretta. Una semiretta è il prolungamento dell’altra.

Data una retta e fissato su di essa un punto O, formano una semiretta il punto stesso e tutti i punti che lo precedono, o lo seguono. Il punto O è detto origine della semiretta.

Una semiretta è il prolungamento dell’altra

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

Data una retta e fissato su di essa un punto O, formano una semiretta il punto stesso e tutti i punti che lo precedono, o lo seguono. Il punto O è detto origine della semiretta.

segmento

Due rette incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro

j SEGMENTO

Due rette incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro

segmento

Una semiretta è il prolungamento dell’altra

Data una retta e fissati su di essa due punti A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento.

segmento

Data una retta e fissati due punti su di essa A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento.

Data una retta e fissati due punti su di essa A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento

Data una retta e fissati due punti su di essa A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento.

Video Focus

CONTENUTI DIGITALI DEL CAPITOLO

2 Costruzioni di rette e angoli

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

PASSO PASSO 2.1 ASSE DI UN SEGMENTO

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

1 Consideriamo il segmento AB.

Sia dato il segmento AB

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

3 La retta passante per 1 e 2 è l’asse cercato.

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

2 Aperto il compasso con misura R a piacere, superiore alla metà di AB, puntiamo in A e B e tracciamo quattro archetti che si incrociano in 1 e in 2.

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Sia dato il segmento AB.

Sia dato il segmento AB

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

Sia dato il segmento AB

con le SQUADRE

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Tracciando una linea passante per H e ottiene l’asse cercato

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°; 3) Ripeti l’operazione in B determinando H; 4) Traccia la perpendicolare per H.

a Allinea la squadra 30/60 con AB e falla scorrere verso il basso. b Appoggia la squadra 45 sulla squadra 30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°. c Ripeti l’operazione in B determinando 1. d Traccia la perpendicolare per 1.

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Data la retta e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

1 Dati la retta s e il punto P puntiamo in P con apertura a piacere e tracciamo una semicirconferenza che interseca la retta s nei punti 1 e 2.

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

PASSO PASSO 2.2 PERPENDICOLARE A UNA RETTA PER UN SUO PUNTO

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

2 Con apertura a piacere, ma con R maggiore di 1P, puntiamo in 1 e in 2 e tracciamo due archetti la cui intersezione è il punto 3.

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Video tutorial 1

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

3 La retta passante per 3 e P è la perpendicolare cercata. Video tutorial

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60

per P.

con le SQUADRE

a Allinea la squadra 45 con s. b Appoggia la squadra 30/60 sulla squadra 45. c Fai scorrere la squadra 45 fino ad allinearla a P. d Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

Costruzioni piane fondamentali: perpendicolari

1 Consideriamo la retta s e il punto P.

Problema 3: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un punto P esterno ad essa

Sia data la retta s e il punto P Si punti in P con apertura a piacere e si tracci un arco che determina i punti A e B quindi si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

2 Puntiamo in P con apertura a piacere e tracciamo un arco che interseca la retta nei punti 1 e 2. Poi puntiamo in 1 e in 2 e tracciamo due archetti la cui intersezione è il punto 3.

3 La retta passante per 3 e P è la perpendicolare cercata.

Sia data la retta s e il punto P Si punti in P con apertura a piacere e si tracci un arco che determina i punti e B quindi si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Problema 3: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un punto P esterno ad essa

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

1) Allinea Sq.45 a s; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

a Allinea la squadra 45 a s. b Appoggia la squadra 30/60. c Fai scorrere la squadra 45 fino ad allinearla a P. d Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 a s; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Costruzioni piane fondamentali: perpendicolari a b c d

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Allinea Sq.45 a s;

1) Allinea Sq.45 a s; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

PASSO PASSO 2.4 PERPENDICOLARE

A UN SEGMENTO IN UN ESTREMO

1 Consideriamo il segmento AB e apriamo il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione.

s s s

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

s s

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

2 Puntiamo in A e tracciamo un arco che interseca il segmento nel punto 1. Puntiamo in 1 e tracciamo un arco che interseca il primo arco nel punto 2.

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

3 Puntiamo in 2 e tracciamo un arco che interseca in 3 il secondo arco; quindi puntiamo in 3 e tracciamo un arco che interseca in 4 il terzo arco. La retta passante per A e 4 è la perpendicolare cercata.

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Sq.45 ad AB; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla ad A; 4) Traccia la perpendicolare per A.

Allinea Sq.45 ad AB; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla ad A; 4) Traccia la perpendicolare per A.

con le SQUADRE

la perpendicolare per A.

1) Allinea Sq.45 ad AB; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla ad A; 4) Traccia la perpendicolare per A.

a Allinea la squadra 45 ad AB. b Appoggia la squadra 30/60. c Fai scorrere la squadra 45 fino ad allinearla ad A. d Traccia la perpendicolare per A.

1) Allinea Sq.45 ad AB; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla ad A; 4) Traccia la perpendicolare per A.

Costruzioni piane fondamentali: parallele

PASSO PASSO 2.5 PARALLELA A UNA RETTA A DISTANZA D

Video tutorial

Problema 5: Tracciare una parallela alla retta s alla distanza d

1 Consideriamo la retta s e la distanza d.

Siano date la retta s e la distanza dPer due punti A e B di s presi a piacere si traccino le perpendicolari alla retta

2 Per due punti 1 e 2 di s presi a piacere tracciamo le perpendicolari alla retta.

Siano date la retta s e la distanza dPer due punti A e B di s presi a piacere si traccino le perpendicolari alla retta

Si riportino sulle perpendicolari la distanza d determinando i punti

H e K. Tracciando la linea passante per H e K si ottiene la parallela cercata

Si riportino sulle perpendicolari la distanza d determinando i punti H e K. Tracciando la linea passante per H e K si ottiene la parallela cercata

H e K. Tracciando la linea passante per H e K si ottiene la parallela cercata

3 Riportiamo sulle perpendicolari la distanza d e determiniamo i punti 3 e 4. Tracciando la retta passante per 3 e 4 otteniamo la parallela cercata.

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.30/60, traccia una verticale e riporta la distanza d; 3) Allinea Sq.45 a s; 4) fai scorrere la Sq.45 fino all’estremità di d e traccia la parallela.

1) Allinea Sq.45 ad AB; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla ad A; 4) Traccia

Allinea

Costruzioni piane fondamentali: parallele

Problema 5: Tracciare una parallela alla retta s alla distanza d

Siano date la retta s e la distanza

Problema 5: Tracciare una parallela alla retta s alla distanza d

due punti A e B di s presi a piacere si traccino le perpendicolari alla retta

Siano date la retta s e la distanza dPer due punti A e B di s presi a piacere si traccino le perpendicolari alla retta

Si riportino sulle perpendicolari la distanza d determinando i punti H e K. Tracciando la linea passante per H e K si ottiene la parallela cercata

d d d

con le SQUADRE

Si riportino sulle perpendicolari la distanza d determinando i punti H e K. Tracciando la linea passante per H e K si ottiene la parallela cercata

a Allinea la squadra 45 con s e falla scorrere verso il basso. b Appoggia la squadra 30/60, traccia una verticale e riporta la distanza d. c Allinea la squadra 45 a s. d Fai scorrere la squadra 45 fino all’estremità di d e traccia la parallela.

b c d

Problema 6: Tracciare la parallela alla retta s per un punto P esterno ad essa

Siano dati la retta s e il punto P.

Si tracci da P la perpendicolare a s e determinando il punto H.

PASSO PASSO

Si tracci da P la perpendicolare a s e determinando il punto H.

Siano dati la retta s e il punto P. Si tracci da P la perpendicolare a s e determinando il punto H.

2.6

Si scelga a piacere su s un punto Q e si tracci per esso la perpedicolare alla retta.

PARALLELA A UNA RETTA PER UN PUNTO ESTERNO A ESSA

Problema 6: Tracciare la parallela alla retta s per un punto P esterno ad essa

1 Consideriamo la retta s e il punto P. Tracciamo da P la perpendicolare a s e determiniamo il punto 1.

Siano dati la retta s e il punto P. Si tracci da P la perpendicolare a s e determinando il punto H.

2 Scegliamo a piacere su s un punto 2 e tracciamo per esso la perpendicolare alla retta.

Si scelga a piacere su s un punto Q e si tracci per esso la perpedicolare alla retta.

Siano dati la retta s e il punto P. Si tracci da P la perpendicolare a s e determinando il punto H.

Si scelga a piacere su s un punto Q e si tracci per esso la perpedicolare alla retta.

Si riporti sulla perpendicolare in Q la distanza PH determinando il punto K. Tracciando la linea passante per P e K si ottiene la parallela cercata

Problema 6: Tracciare la parallela alla retta s per un punto P esterno ad essa

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45; 3) fai scorrere la Sq.45 fino a P e traccia la parallela. d d d

Si riporti sulla perpendicolare in Q la distanza PH determinando il punto K. Tracciando la linea passante per P e K si ottiene la parallela cercata

3 Riportiamo sulla perpendicolare in 2 la distanza P1 e determiniamo il punto 3. Tracciando la retta passante per P e 3 si ottiene la parallela cercata.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45; 3) fai scorrere la Sq.45 fino a P e traccia la parallela.

con le SQUADRE

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45; 3) fai scorrere la Sq.45 fino a P e traccia la parallela.

a Allinea la squadra 45 con s. b Appoggia la squadra 30/60 alla squadra 45. c Fai scorrere la squadra 45 fino a P e traccia la parallela.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45; 3) fai scorrere la Sq.45 fino a P e traccia la parallela.

Costruzioni piane

Costruzioni

Costruzioni piane

Costruzioni piane fondamentali

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Costruzioni piane

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Costruzioni piane fondamentali

Sia dato l’angolo α.

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Sia dato l’angolo α.

PASSO PASSO 2.7 COSTRUZIONE DI UN ANGOLO CONGRUENTE A UN ANGOLO DATO

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Sia dato l’angolo α.

1 Consideriamo un angolo a

Sia dato l’angolo α.

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’

Sia dato l’angolo α.

Puntando il compasso in V R’, scelta a

Puntando il compasso in V con apertura R’, scelta a piacere, si tracci un arco che determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Puntando il compasso in V con apertura R’, scelta a piacere, si tracci un arco che determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

2 Puntando il compasso in V con apertura R', scelta a piacere, tracciamo un arco che determina sui lati dell’angolo i punti 1 e 2.

determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

Puntando il compasso in V con apertura R’, scelta a piacere, si tracci un arco che determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’.

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’.

Si fissi poi a piacere il punto

3 Fissiamo poi a piacere il punto V' fuori dall’angolo a e da esso tracciamo la semiretta s'.

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’.

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß a

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’

Si rilevi col compasso la distanza R” tra A e B e puntando in A’ la si riporti sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto B’. Tracciando da V’ una linea passante per B’ si ottiene l’angolo cercato

Si rilevi col compasso la distanza R” passante per B’ si ottiene l’angolo

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’.

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß a

Si rilevi col compasso la distanza R” tra A e B e puntando in A’ la si riporti sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto B’ Tracciando da V’ una linea passante per B’ si ottiene l’angolo cercato

riporti sull’arco tracciato precedentemente determinando il Tracciando da V’ una linea passante per B’ si ottiene l’angolo

5 Rileviamo col compasso la distanza R" tra 1 e 2 e puntando in 1' la riportiamo sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto 2'. Tracciando da V' una semiretta passante per 2' otteniamo l’angolo cercato di ampiezza a.

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’.

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’.

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’

4 Puntando il compasso in V' con apertura R', tracciamo un arco che determina su s' il punto 1'.

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’.

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß

1 Consideriamo gli angoli a e b

Siano dati gli angoli α e ß.

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß a

Siano dati gli angoli α e ß.

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß a

Siano dati gli angoli α e ß.

PASSO PASSO 2.8 SOMMA DI DUE ANGOLI a E b

Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß a

Siano dati gli angoli α e ß.

Siano dati gli angoli α e ß. Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

Siano dati gli angoli α e ß.

Siano dati gli angoli α e ß. Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

da esso si tracci la linea s.

Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

Siano dati gli angoli α e ß. Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

3 Fissiamo poi a piacere il punto V e da esso tracciamo la semiretta s. s

Si rilevino ora col compasso le distanze R’ tra A e B ed R” tra C e D e le si riportino in successione sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto D’. Tracciando da V una linea passante per D’ si ottiene l’angolo cercato

2 Puntando il compasso in V' e V", con apertura R, scelta a piacere, tracciamo due archi che determinano sui lati degli angoli i punti 1, 2, 3 e 4.

Puntando il compasso in V’ e V”, con apertura R, scelta a piacere, si traccino due archi che determinano sui lati degli angoli i punti A, B, C e D.

5 Rileviamo ora col compasso le distanze R' tra 1 e 2 e R" tra 3 e 4 e le riportiamo in successione sull’arco tracciato precedentemente, determinando il punto 4'. Tracciando da V una semiretta passante per 4' otteniamo l’angolo cercato a  b s

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’

Si rilevino ora col compasso le D’ da V una linea passante per D’ si cercato

Si rilevino ora col compasso le distanze R’ tra A e B ed R” tra C e D e le si riportino in successione sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto D’ Tracciando da V una linea passante per D’ si ottiene l’angolo cercato

e le si riportino in successione sull’arco determinando il punto D’ Tracciando

Puntando il compasso in V’ e V”, con apertura R, scelta a piacere, si traccino due archi che determinano sui lati degli angoli i punti A, B, C e D.

Puntando il compasso in V’ e V”, con Puntando quindi il compasso in V

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’

Puntando il compasso in V’ e V”, con apertura R, scelta a piacere, si traccino due archi che determinano sui lati degli angoli i punti A, B, C e D.

4 Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R, tracciamo un arco che interseca s nel punto 1'.

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’.

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’.

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’

Video tutorial

Costruzioni piane fondamentali: suddivisioni

PASSO PASSO 2.9 DIVISIONE DI UN SEGMENTO IN NOVE PARTI CONGRUENTI

Problema 9: Dividere il segmento AB in nove parti congruenti

1 Dato il segmento AB, tracciamo da A o da B una semiretta inclinata con un angolo a piacere e, scelta una misura a piacere, la riportiamo su tale linea, partendo da A, per nove volte consecutive.

2 Congiungiamo l’estremo B con 9.

Costruzioni piane fondamentali: suddivisioni

Si congiunga l’estremo B con 9 Con le squadrette si traccino per i punti 8, 7 , 6 e così via le parallele a B9 fino a intersecare AB che risulta così suddiviso in nove parti congruenti.

Problema 9: Dividere il segmento AB in nove parti congruenti

Dato il segmento AB, si tracci da A o da B una linea inclinata con un angolo a piacere e scelta una misura a piacere la si riporti su tale linea, partendo da A, per nove volte consecutive

3 Con le squadrette tracciamo per i punti 8, 7, 6 e così via le parallele a B9 fino a intersecare AB, che risulta così suddiviso in nove parti congruenti.

Si congiunga l’estremo B con 9 Con le squadrette si traccino per i punti 8, 7 , 6 e così via le parallele a B9 fino a intersecare AB che risulta così suddiviso in nove parti congruenti.

Problema 9: Trisezione dell’angolo retto

Sia tVs l’angolo retto da dividere in tre parti congruenti.

PASSO PASSO 2.10 TRISEZIONE DELL’ANGOLO RETTO

1 Sia tVs l’angolo retto da dividere in tre parti congruenti.

Si punti col compasso in V con apertura a piacere e si tracci un arco che intersechi s e t determinando i punti A e B.

Problema 9: Trisezione dell’angolo retto

Sia tVs l’angolo retto da dividere in tre parti congruenti.

2 Puntiamo col compasso in V con apertura a piacere e tracciamo un arco che intersechi s e t, determinando i punti 1 e 2.

Si punti col compasso in V con apertura a piacere e si tracci un arco che intersechi s e t determinando i punti A e B.

vedi esercizio a pag. 120

Si punti col compasso in A e in B con la stessa apertura e si traccino due archi intersecanti s e t determinando i punti H e K. Congiungendo V con H e K si ottengono gli angolo cercati.

3 Puntiamo col compasso in 1 e in 2 con la stessa apertura e tracciamo due archi che intersecano l’arco 1-2 in 3 e 4. Congiungendo V con 3 e 4 si ottengono gli angoli cercati.

Si punti col compasso in A e in B con la stessa apertura e si traccino due archi intersecanti s e t determinando i punti H e K. Congiungendo V con H e K si ottengono gli angolo cercati.

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere varso il basso; 2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45 con l’angolo di 30° allineato ad A e traccia un segmento; 3)Allinea ad A l’angolo di 60° e traccia l’altro segmento.

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere varso il

2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45 con l’angolo di 30° allineato ad A e traccia un segmento; 3)Allinea ad A l’angolo di 60° e traccia l’altro segmento.

vedi esercizio a pag. 120

Video tutorial

basso;

a Allinea la squadra 45 con s e falla scorrere verso il basso. b Appoggia la squadra 30/60 alla squadra 45 con l’angolo di 30° allineato ad A e traccia un segmento. c Allinea ad A l’angolo di 60° e traccia l’altro segmento. con le SQUADRE VV

Costruzioni piane fondamentali: bisettrici

Problema 11: Tracciare la bisettrice di un angolo

Sia dato l’angolo tVs.

Sia dato l’angolo tVs. Si punti in V col compasso aperto a piacere e si tracci un arco che intersechi s in A e t in B

Costruzioni piane fondamentali: bisettrici

Sia dato l’angolo tVs. Si punti in V col compasso aperto a piacere e si tracci un arco che intersechi s in A e t in B

Costruzioni piane fondamentali: bisettrici

Si punti in V col compasso aperto a piacere e si tracci un arco che intersechi s in A e t in B.

Problema 11: Tracciare la bisettrice di un angolo

Sia dato l’angolo tVs.

PASSO PASSO 2.11 BISETTRICE DI UN ANGOLO

Si punti in A e in B con apertura superiore alla metà di AB e si traccino due archetti che, intersecandosi, determinano il punto T. Congiungendo V con T si ottiene la bisettrice cercata.

PASSO PASSO 2.12 BISETTRICE DI UN ANGOLO COL VERTICE INACCESSIBILE a b c

Sia dato l’angolo tVs. Si punti in V col compasso aperto a piacere e si tracci un arco che intersechi s in A e t in B

1 Consideriamo l’angolo tVs.

Si punti in V col compasso aperto a piacere e si tracci un arco che intersechi s in A e t in B

Si punti in A e in B con apertura superiore alla metà di AB e si traccino due archetti che, intersecandosi, determinano il punto T. Congiungendo V con T si ottiene la bisettrice cercata.

2 Puntiamo in V con apertura a piacere e tracciamo un arco che interseca s in 1 e t in 2.

Si punti in A e in B con apertura superiore alla metà di AB e si traccino due archetti che, intersecandosi, determinano il punto T. Congiungendo V con T si ottiene la bisettrice cercata.

Si punti in A e in B con apertur superiore alla metà di AB e si traccino due archetti che, intersecandosi, determinano il punto T. Congiungendo V con T si ottiene la bisettrice cercata.

Si punti in A e in B con apertura superiore alla metà di AB e si traccino due archetti che, intersecandosi, determinano il punto T. Congiungendo V con T si ottiene la bisettrice cercata.

3 Puntiamo in 1 e in 2 con apertura superiore alla metà di 1-2 e tracciamo due archetti che, intersecandosi, determinano il punto 3. Congiungendo V con 3 otteniamo la bisettrice cercata.

Problema 12: Tracciare la bisettrice di un angolo col vertice inaccessibile

Siano date le rette s e t che si intersecano fuori dal disegno

Siano date le rette s e t che si intersecano fuori dal disegno.

Siano date le rette s e t che si intersecano fuori dal disegno

1 Consideriamo le due rette s e t che si intersecano fuori dal foglio.

Scelti su di esse due punti P e Q, si traccia il segmento PQ determinando quattro angoli α, ß, δ, ε.

Si traccino le bisettrici dei quattro angoli che intersecandosi a due a due determinano i punti A e B. Tracciando la linea passante per A e B si ottiene la bisettrice cercata.

Problema 12: Tracciare la bisettrice di un angolo col vertice inaccessibile

Siano date le rette s e t che si intersecano fuori dal disegno

Siano date le rette s e t che si intersecano fuori dal disegno.

Scelti su di esse due punti P e Q, si traccia il segmento PQ determinando quattro angoli α, ß, δ, ε.

2 Scelti su di esse due punti 1 e 2, tracciamo il segmento 1-2 che individua quattro angoli: α, β, δ,

Problema 12: Tracciare la bisettrice di un angolo col vertice inaccessibile

Siano date le rette s e t che si intersecano fuori dal disegno

Scelti su di esse due punti P e Q, si traccia il segmento PQ determinando quattro angoli α, ß, δ, ε.

Si traccino le bisettrici dei quattro angoli che intersecandosi a due a due determinano i punti A e B Tracciando la linea passante per A e B si ottiene la bisettrice cercata.

Scelti su di esse due punti P e Q, si traccia il segmento PQ determinando quattro angoli α, ß, δ, ε.

Si traccino le bisettrici dei quattro angoli che intersecandosi a due a due determinano i punti A e B Tracciando la linea passante per A e B si ottiene la bisettrice cercata.

3 Tracciamo le bisettrici dei quattro angoli che, intersecandosi a due a due, determinano i punti 3 e 4. La retta passante per 3 e 4 è la bisettrice cercata.

Si traccino le bisettrici dei quattro angoli che intersecandosi a due a due determinano i punti A e B

Tracciando la linea passante per A e B si ottiene la bisettrice cercata.

Si traccino le bisettrici dei quattro angoli che intersecandosi a due a due determinano i punti A e B Tracciando la linea passante per A e B si ottiene la bisettrice cercata.

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Elementi di geometria: poligoni

3 I poligoni

Elementi di geometria: poligoni

I Poligoni

Un poligono è la parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.

Si definisce poligono una parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.

Gli elementi che lo caratterizzano sono i lati, gli angoli e i vertici presenti sempre in ugual numero.

Gli elementi che lo caratterizzano sono i lati, gli angoli e i vertici presenti sempre in pari quantità.

Si definisce poligono una parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.

E' convesso se il segmento che ha per estremi due qualsiasi dei suoi punti appartiene interamente al poligono

Gli elementi che lo caratterizzano sono i lati, gli angoli e i vertici presenti sempre in pari quantità.

Un poligono è convesso se il segmento che ha per estremi due qualsiasi dei suoi punti appartiene interamente al poligono.

E' convesso se il segmento che ha per estremi due qualsiasi dei suoi punti appartiene interamente al poligono

E’ punti tali che il segmento che li unisce non appartiene inter al poligono

se esistono almeno due

E’ concavo punti tali che unisce non al poligono

geometria: poligoni

Altri elementi del poligono

spezzata chiusa.

segmento che ha qualsiasi dei suoi amente al

atterizzano vertici quantità.

atterizzano i vertici quantità.

Un poligono è concavo se esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene interamente al poligono.

ciascun angolo interno; possono associare sono opposti al vertice.

angolo in un lati le poligono

ciascun angolo vertice in un per lati le poligono

Angolo interno ciascun angolo (convesso) che ha vertice in un vertice del poligono e per lati le semirette dei lati del poligono uscenti da quel vertice.

parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.

Angolo interno ciascun angolo (convesso) che ha vertice in un vertice del poligono e per lati le semirette dei lati del poligono uscenti da quel vertice.

E’ concavo se esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene interamente al poligono.

una parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.

E' convesso se il segmento che ha per estremi due qualsiasi dei suoi punti appartiene interamente al poligono

I Poligoni regolari

L’angolo esterno di un poligono è ciascun angolo adiacente a un angolo interno; a ogni vertice si possono associare due angoli esterni che sono congruenti perché opposti al vertice.

Angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno; ad ogni vertice si possono associare due angoli esterni che sono congruenti perché opposti al vertice.

Un poligono convesso si dice regolare quando è equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti) ed equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti).

Diagonale ogni segmento che unisce due vertici non consecutivi. Corda ogni segmento che unisce due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo stesso lato.

Angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno; ad ogni vertice si possono associare due angoli esterni che sono congruenti perché opposti al vertice.

si dice equilatero (cioè ed equian-

regolare si possono circonferenza circoscritertici) e (tangente ai suoi dal centro

In ogni poligono regolare si possono tracciare la circonferenza circoscritta (passante per i suoi vertici) e

I poligoni regolari si possono suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti sono i lati che sono la loro base e il loro vertice è il centro del poligono.

Angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno; ad ogni vertice si possono associare due angoli esterni che sono congruenti perché opposti al vertice.

L’angolo interno di un poligono è ciascun angolo (convesso) che ha vertice in un vertice del poligono e per lati le semirette dei lati del poligono uscenti da quel vertice.

Angolo interno ciascun angolo (convesso) che ha vertice in un vertice del poligono e per lati le semirette dei lati del poligono uscenti da quel vertice.

Angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno; ad ogni vertice si possono associare due angoli esterni che sono congruenti perché opposti al vertice.

E’ concavo se esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene interamente al poligono.

E’ concavo se esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene interamente al poligono

I Poligoni regolari

Un poligono convesso si dice regolare quando è equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti) ed equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti).

Diagonale ogni segmento che unisce due vertici non consecutivi. Corda ogni segmento che unisce due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo stesso lato.

In ogni poligono regolare si possono tracciare la circonferenza circoscritta (passante per i suoi vertici) e quella inscritta (tangente ai suoi lati). Il segmento a che dal centro del poligono cade perpendicolarmente al lato si dice apotema

Diagonale unisce due vertici non consecutivi. Corda due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo stesso lato

due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo

Diagonale unisce due Corda ogni due punti qualsiasi poligono che stesso lato.

In ogni poligono regolare si possono tracciare la circonferenza circoscritta (passante per i suoi vertici) e

La diagonale di un poligono è un segmento che unisce due vertici non consecutivi. La corda è un segmento che unisce due punti qualsiasi del contorno del poligono che non appartengono allo stesso lato.

Diagonale ogni segmento che unisce due vertici non consecutivi. Corda ogni segmento che unisce due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo stesso lato

I poligoni regolari si possono suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti sono i lati che sono la loro base e il loro vertice è il centro del poligono

Un poligono convesso si dice regolare quando è equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti) ed equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti). lati). Il segmento a che dal centro del poligono cade perpendicolarmente al lato si dice apotema.

In ogni poligono regolare si possono tracciare la circonferenza circoscrit ta (passante per i suoi vertici) e quella inscritta (tangente ai suoi lati). Il segmento a che dal centro del poligono cade perpendicolarmente al lato si dice apotema

suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti loro vertice è il centro del poligono

I poligoni regolari suddividere (nell’esagono sono i lati che loro vertice

I poligoni regolari si possono suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti

Video tutorial

Cupola geodetica, Montreal.

Villa Farnese, Caprarola.

Palazzo, Vienna.

S. Maria del Fiore, Firenze.

angolo vertice in un per lati le poligono

segmento che ha dei suoi amente al

I Poligoni regolari

j POLIGONI REGOLARI

Un poligono convesso si dice regolare quando è equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti) ed equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti).

si dice equilatero (cioè ed equianangoli congru-

angolo interno; associare sono al vertice.

si possono circoscritertici) e ai suoi dal centro perpendicolarapotema

Angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno; ad ogni vertice si possono associare due angoli esterni che sono congruenti perché opposti al vertice.

E’ concavo se esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene interamente al poligono.

Un poligono convesso è regolare quando è equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti) ed equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti).

Diagonale unisce due vertici non consecutivi. Corda due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo stesso lato

In ogni poligono regolare si possono tr ta (passante per i suoi v quella inscritta (tangente ai suoi lati). Il segmento del poligono cade perpendicolar mente al lato si dice

Di ogni poligono regolare si possono tracciare la circonferenza circoscritta (passante per i suoi vertici) e quella inscritta (tangente ai suoi lati). Il segmento a che dal centro del poligono cade perpendicolarmente al lato è l’apotema

Diagonale ogni segmento che unisce due vertici non consecutivi. Corda ogni segmento che unisce due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo stesso lato.

I poligoni regolari si possono suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti sono i lati che sono la loro base e il loro vertice è il centro del poligono

I poligoni regolari si possono suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti sono i lati che sono la loro base e il loro vertice è il centro del poligono.

Palmanova del Friuli

Galleria d’Arte Università di Yale

Elementi di geometria: triangoli

I Triangoli

j TRIANGOLI

I Triangoli

Elementi di geometria: triangoli

Si definisce triangolo un poligono convesso di tre lati. Esso è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la somma degli angoli interni è un angolo piatto; ogni lato è minore della somma degli altri due.

Video tutorial

Un triangolo è un poligono convesso di tre lati. Esso è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la somma degli angoli interni è un angolo piatto e ogni lato è minore della somma degli altri due.

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

j CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI RISPETTO AI LATI

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo è scaleno se ha tutti i lati non congruenti.

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Un triangolo è isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti.

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti.

Un triangolo è equilatero se ha i tre lati congruenti.

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti.

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

j CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI RISPETTO AGLI ANGOLI

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Un triangolo è acutangolo se ha tre angoli acuti.

Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti.

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto

Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti.

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto.

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Un triangolo è rettangolo se ha un angolo retto.

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto.

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti.

Elementi del triangolo

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso.

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso.

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto

Elementi del triangolo

j ELEMENTI DEL TRIANGOLO

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto.

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto

Elementi del triangolo

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto.

La mediana relativa a un lato è il segmento che unisce il punto medio M del lato con il vertice opposto.

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto.

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo.

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto.

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto.

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo.

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto.

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Punti notevoli del triangolo

La bisettrice relativa a un angolo è il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo.

Un triangolo è ottusangolo se ha un angolo ottuso.

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso.

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo.

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto.

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo.

Punti notevoli del triangolo

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

Punti notevoli del triangolo

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

j PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Il baricentro G è il punto di incontro delle mediane.

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto

L’ altezza relativa a un lato è il segmento perpendicolare abbassato dal vertice opposto sulla retta del lato. L’asse di un lato è la perpendicolare condotta per il suo punto medio.

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

L’incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta.

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze asse

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto.

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze asse

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Il circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze asse

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze

L’ortocentro O è il punto di incontro delle altezze.

Elementi di geometria: quadrilateri

Elementi

I Quadrilateri

Si definisce quadrilatero un poligono convesso di quattro lati.

j QUADRILATERI

Trapezi

Un quadrilatero è un poligono di quattro lati.

Trapezi

Si dice trapezio un quadrilatero che ha due lati paralleli.

j TRAPEZI

Un trapezio è un quadrilatero che ha due lati paralleli.

Un trapezio si dice scaleno se i due lati obliqui non sono congruenti

Un trapezio è scaleno se i due lati obliqui non sono congruenti.

Un trapezio si dice isoscele se ha i due lati obliqui congruenti

Un trapezio è isoscele se ha i due lati obliqui congruenti.

Un trapezio si dice isoscele se ha i due lati obliqui congruenti

Un trapezio si dice rettangolo quando uno dei due lati è perpendicolare alle basi.

Un trapezio è rettangolo se uno dei due lati è perpendicolare alle basi.

Parallelogrammi

j PARALLELOGRAMMI

Si dice parallelogramma un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli

Un parallelogramma è un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli.

In un parallelogramma gli angoli opposti sono a due a due congruenti.

Un parallelogramma con tutti gli angoli congruenti si dice rettangolo

Nel rettangolo le diagonali sono congruenti.

Un parallelogramma con tutti gli angoli congruenti si dice rettangolo. Nel rettangolo le diagonali sono congruenti.

Il rettangolo è un parallelogramma con tutti gli angoli congruenti. Nel rettangolo le diagonali sono congruenti.

Nel rettangolo le diagonali sono congruenti.

Un parallelogramma con tutti gli angoli congruenti si dice rettangolo. Nel rettangolo le diagonali sono congruenti.

In un parallelogramma le diagonali si bisecano vicendevolmente.

In un parallelogramma le diagonali si tagliano vicendevolmente a metà.

In un parallelogramma le diagonali si bisecano vicendevolmente.

Il quadrato è un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti e gli angoli congruenti.

Un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti e gli angoli congruenti si dice quadrato

Un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti e gli angoli congruenti si dice quadrato.

Un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti e gli angoli congruenti si dice quadrato

Un parallelogramma con tutti i lati congruenti si chiama rombo Nel rombo le diagonali sono fra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti.

Un parallelogramma con tutti i lati congruenti si chiama rombo. Nel rombo le diagonali sono fra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti.

Un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti e gli angoli congruenti si dice quadrato.

Un parallelogramma con tutti i lati congruenti si chiama rombo Nel rombo le diagonali sono fra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti.

Il rombo è un parallelogramma con tutti i lati congruenti. Nel rombo le diagonali sono fra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti.

Un parallelogramma con tutti i lati congruenti si chiama rombo. Nel rombo le diagonali sono fra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti.

Nel quadrato le diagonali sono congruenti, sono tra loro perpendicolari e sono bisettrici degli angoli.

Costruzioni piane fondamentali: triangoli

Problema 13: Costruire un triangolo dati i lati

Costruzioni piane fondamentali: triangoli

Problema 13: Costruire un triangolo dati i lati

Siano dati i lati.

4 Costruzioni di poligoni

Problema 13: Costruire un triangolo dati i lati

Siano dati i lati.

Si tracci ad esempio AB.

Problema 13: Costruire un triangolo dati i lati

PASSO PASSO 4.1

Siano dati i lati.

Si tracci ad esempio AB.

TRIANGOLO DATI I LATI

1 Consideriamo tre segmenti che rappresentano i lati.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Si tracci ad esempio AB.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

2 Riportiamo ad esempio AB. Puntiamo il compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e tracciamo due archetti la cui intersezione è C.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato.

3 Tracciando i segmenti AC e BC otteniamo il triangolo cercato.

Problema 14: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Siano dati AB e gli angoli α e b a lui adiacenti.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Problema 14: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Siano dati AB e gli angoli α e b a lui adiacenti.

1 Consideriamo AB e gli angoli a e b a esso adiacenti.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Problema 14: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

PASSO PASSO 4.2 TRIANGOLO DATI UN LATO E GLI ANGOLI ADIACENTI A ESSO

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

2 Tracciato AB, costruiamo nel suo estremo A l’angolo a

Si costruisca nell’estremo B l’angolo β. Le semirette che delimitano α e β si intersecano in C terzo vertice dell’angolo

Si costruisca nell’estremo B l’angolo β. Le semirette che delimitano α e β si intersecano in C terzo vertice dell’angolo.

3 Costruiamo nell’estremo B l’angolo b. Le semirette che delimitano a e b si intersecano in C, terzo vertice del triangolo.

Problema 15: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

PASSO PASSO 4.3 TRIANGOLO DATI DUE

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Problema 15: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

1 Consideriamo AB e AC e l’angolo a tra essi compreso.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Problema 15: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

2 Tracciato AB, costruiamo nel suo estremo A l’angolo a.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α

Si riporti col compasso la misura di AC sulla semiretta che delimita l’angolo a determinando così il punto C terzo vertice del triangolo.

Si riporti col compasso la misura di AC sulla semiretta che delimita l’angolo a determinando così il punto C terzo vertice del triangolo

3 Riportiamo col compasso la misura di AC sulla semiretta che delimita l’angolo α, determinando così il punto C, terzo vertice del triangolo.

Si riporti col compasso la misura di AC sulla semiretta che delimita l’angolo a determinando così il punto C terzo vertice del triangolo.

PASSO PASSO 4.4 TRIANGOLO ISOSCELE DATE LA BASE E L’ALTEZZA

Problema 16: Costruire un triangolo isoscele date la base e l’altezza

1 Consideriamo la base AB e l’altezza h del triangolo isoscele.

date

Problema 16: Costruire un triangolo isoscele date la base e l’altezza

Siano date la base AB e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB determinando H. Si riporti su di esso, partendo da H, l’altezza HC determinando C terzo vertice del triangolo.

Siano date la base AB e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB determinando H. Si riporti su di esso, partendo da H, l’altezza HC determinando C terzo vertice del triangolo

2 Tracciamo l’asse di AB determinando il punto medio H. Riportiamo sull’asse, puntando in H, l’altezza CH determinando C, terzo vertice del triangolo.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato

3 Tracciamo i segmenti AC e BC e otteniamo il triangolo cercato.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato.

Problema 17: Costruire un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio R.

Sia data la circonferenza di raggio R e centro O.

PASSO PASSO 4.5 TRIANGOLO EQUILATERO INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA DI RAGGIO R

Sia data la circonferenza di raggio R e centro O.

Si tracci il diametro verticale CZ.

1 Consideriamo la circonferenza di raggio R e centro O. Tracciamo il diametro verticale CZ.

Si punti col compasso in Z avente apertura pari al raggio R e si tracci un arco che intersechi la circonferenza in A e B.

Congiungendo A, B, C si otteniene il triangolo equilatero cercato.

2 Puntiamo col compasso in Z con apertura pari al raggio R e tracciamo un arco che intersechi la circonferenza in A e B.

Congiungendo A, B, C si otteniene il triangolo equilatero cercato.

base Si Tracciando si il raggio O. tracci CZ. in che B. A, otteniene

Congiungendo A, B, C si otteniene il triangolo equilatero cercato.

3 Congiungendo A, B e C otteniamo il triangolo equilatero cercato.

Costruzioni piane fondamentali: quadrati

Costruzioni piane fondamentali:

Costruzioni piane fondamentali: quadrati

Problema 18: Costruire un quadrato dato il lato.

PASSO PASSO 4.6 QUADRATO DATO IL LATO

Problema 18: Costruire un quadrato dato il lato.

Sia dato il lato.

1 Consideriamo il lato del quadrato.

Problema 18: Costruire un quadrato dato il lato.

Sia dato il lato.

Sia dato il lato. Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato.

Sia dato il lato Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato.

Sia dato il lato.

con le SQUADRE

Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato

2 Tracciamo le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e riportiamo su di esse le misure del lato, determinando i vertici C e D.

Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato.

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato.

Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato.

Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato.

3 Tracciando DC completiamo la costruzione del quadrato.

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato.

a Allinea la squadra 30/60 con AB e falla scorrere verso il basso. b Appoggia la squadra 45 sulla squadra 30/60 allineata all’estremo A e traccia una verticale di lunghezza pari ad AB determinando D c Ripeti l’operazione in B. d Allinea la squadra 45 ad AB, falla scorrere fino ad allinearla a D e traccia il segmento DC.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una verticale pari ad AB determinando D; 3) Ripeti l’operazione in B ; 4) Allinea Sq.45 ad AB, falla scorrere fino ad allinearla a D e traccia il segmento DC.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

Data la diagonale d si tracci una retta e per un suo punto A preso a piacere si tracci una perpendicolare.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

PASSO PASSO 4.7 QUADRATO DATA LA DIAGONALE

Data la diagonale d si tracci una retta e per un suo punto A preso a piacere si tracci una perpendicolare.

1 Data la diagonale d, tracciamo una retta e per un suo punto A preso a piacere costruiamo la perpendicolare.

Data la diagonale d si tracci una retta e per un suo punto A preso a piacere si tracci una perpendicolare.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

2 Tracciamo la bisettrice dell’angolo in A e riportiamo su di essa, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Con l’aiuto delle squadrette si traccino da C le parallele alla orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

3 Con l’aiuto delle squadrette tracciamo da C le parallele all’orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

Con l’aiuto delle squadrette si traccino da C le parallele alla orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

Costruzioni piane fondamentali:

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi,

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi, parallelogrammi

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi,

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli,

rombi, parallelogrammi

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Costruzioni piane fondamentali:

PASSO PASSO 4.8 RETTANGOLO DATE LA BASE E LA DIAGONALE

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato.

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi, parallelogrammi

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

1 Consideriamo AB e costruiamo le perpendicolari nei suoi estremi A e B.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

rettangoli, rombi, parallelogrammi

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi, parallelogrammi

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

2 Puntiamo col compasso in A e in B con apertura d e tracciamo due archetti che si intersecano nei punti C e D.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

3 Tracciando i segmenti BC, CD e DA otteniamo il rettangolo cercato.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

PASSO PASSO 4.9 ROMBO DATE LE DIAGONALI

1 Consideriamo le due diagonali AB (maggiore) e DC (minore).

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

2 Costruiamo l’asse di AB e determiniamo il punto medio O di AB. Riportiamo sull’asse, simmetricamente rispetto a O la metà di DC e individuiamo C e D.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

3 Congiungendo i quattro vertici A, B, C e D otteniamo il rombo.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

PASSO PASSO 4.10 PARALLELOGRAMMA DATI I LATI E L’ANGOLO COMPRESO TRA ESSI

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

1 Consideriamo AB e AC e l’angolo a tra essi compreso.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

2 Tracciato AB, costruiamo nel suo estremo A l’angolo a avente come altro lato la semiretta s.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

3 Riportiamo sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC tracciamo due archetti determinando D.

4 Tracciamo CD e BD completando così la costruzione.

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Costruzioni piane fondamentali: parallelogramma, trapezio

Costruzioni piane fondamentali:

parallelogramma, trapezio

PASSO PASSO 4.11 PARALLELOGRAMMA DATI I LATI E UNA DIAGONALE

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

1 Consideriamo i lati l' e l" e la diagonale d.

Costruzioni piane fondamentali: parallelogramma,

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d.

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Costruzioni piane fondamentali: parallelogramma, trapezio

trapezio

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

Costruzioni piane fondamentali: parallelogramma, trapezio

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

2 Tracciato il segmento AB pari a l' puntiamo col compasso in A con apertura d e in B con apertura l" e tracciamo due archetti che si intersecano in C.

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

Costruzioni piane fondamentali: parallelogramma, trapezio

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

3 Puntiamo in C con apertura l' e in A con apertura l" e tracciamo due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD otteniamo il parallelogramma.

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato.

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato.

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

Siano date le basi AB e CD l’altezza h e la diagonale d.

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

1 Consideriamo le basi AB e CD, l’altezza h e la diagonale d.

Siano date le basi AB e CD l’altezza h e la diagonale d.

Tracciato AB se ne costruisca la parallela alla distanza h, quindi si punti in A con apertura d e si tracci un arco che incontra la parallela in C.

PASSO PASSO 4.12 TRAPEZIO SCALENO DATE LE BASI, L’ALTEZZA E UNA DIAGONALE

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

Puntando in C si riporti CD sulla parallela. Conngiugendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

Puntando in C si riporti CD sulla parallela. Conngiugendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

Siano date le basi AB e CD l’altezza h e la diagonale d.

Tracciato AB se ne costruisca la parallela alla distanza h, quindi si punti in A con apertura d e si tracci un arco che incontra la parallela in C.

Puntando in C si riporti CD sulla parallela. Conngiugendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

2 Tracciato AB, costruiamo la parallela ad AB alla distanza h, quindi puntiamo in A con apertura d e tracciamo un arco che incontra la parallela in C.

Tracciato AB se ne costruisca la parallela alla distanza h, quindi si punti in A con apertura d e si tracci un arco che incontra la parallela in C.

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

3 Puntando in C riportiamo CD sulla parallela. Congiungendo tra loro i vertici otteniamo il trapezio.

Tracciato AB se ne costruisca la parallela alla distanza h, quindi si punti in A con apertura d e si tracci un arco che incontra la parallela in C.

Puntando in C si riporti CD sulla parallela. Conngiugendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB.

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB.

PASSO

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB.

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD. Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

1 Consideriamo le basi AB e CD e l’altezza h.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB

2 Tracciamo l’asse di AB e riportiamo su di esso l’altezza h, determinando 1. Tracciamo per 1 la parallela ad AB.

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio

3 Puntando in 1 riportiamo sulla parallela, da entrambe le parti, la metà di CD. Congiungendo tra loro i vertici otteniamo il trapezio.

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

PASSO PASSO 4.14 POLIGONO REGOLARE DATO IL LATO

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

Problema 26: Costruire un poligono regolare dato il lato.

La costruzione approssimata è valida per qualsiasi poligono regolare di n lati; vediamo la costruzione per poligoni regolari da 5 a 8 lati.

Problema 26: Costruire un poligono regolare dato il lato.

Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Problema 26: Costruire un poligono regolare dato il lato.

Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Costruzione da 5 a 8 lati.

1 Consideriamo il lato AB e costruiamone l’asse.

Problema 26: Costruire un poligono regolare dato il lato.

Costruzione da 5 a 8 lati.

Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Dato il lato AB, tracciatone l’asse si punta in B con raggio BA si tracci un arco a intersecare l’asse in O6. Si tracci AC e lo si suddivida in sei parti uguali dette u.

Costruzione da 5 a 8 lati.

Dato il lato AB, tracciatone l’asse si punta in B con raggio BA si tracci un arco a intersecare l’asse in O6. Si tracci AC e lo si suddivida in sei parti uguali dette u.

Puntato poi in O6 con apertura u si tracci un arco a incontrare l’asse in O5 e O7 centri rispettivamente del pentagono e dell’ettagono. Aprendo poi il compasso con apertura 2a si traccino un arco a determinare O8 centro dell’ottagono

Puntando il compasso con aperture O5A, O6A, O7A, O8A si tracciano le circonferenze su cui riportare, partendo da A o da B, la misura del lato determinando così i vertici dei poligoni.

Puntiamo in B con raggio BA e tracciamo un arco fino a intersecare l’asse in O6. Tracciamo AO6 (lato dell’esagono) e suddividiamolo in sei parti uguali di misura u. Puntato poi in O6 con apertura u tracciamo un arco che interseca l’asse in O5 e O7, centri rispettivamente del pentagono e dell’ettagono. Aprendo poi il compasso con apertura 2u tracciamo un arco che determina O8 centro dell’ottagono.

Dato il lato AB, tracciatone l’asse si punta in B con raggio BA si tracci un arco a intersecare l’asse in O6. Si tracci AC e lo si suddivida in sei parti uguali dette u.

Puntando il compasso con aperture O5A, O6A, O7A, O8A si tracciano le circonferenze su cui riportare, partendo da A o da B, la misura del lato determinando così i vertici dei poligoni.

2 Puntando il compasso in O5, O6, O7, O8 con aperture AO5, AO6, AO7, AO8 tracciamo le circonferenze su cui riportare, partendo da A o da B, le misure dei lati, determinando così i vertici dei poligoni.

Puntando il compasso con aperture O5A, O6A, O7A, O8A si tracciano le circonferenze su cui riportare, partendo da A o da B, la misura del lato determinando così i vertici dei poligoni.

Problema 27:

Costruire un poligono regolare inscritto in una circonferenza data.

PASSO PASSO 4.15 POLIGONO REGOLARE INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA DATA

Problema 27: Costruire un poligono regolare inscritto in una circonferenza data.

Problema 27: Costruire un poligono regolare inscritto in una circonferenza data. Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Costruzione di un ettagono regolare.

Problema 27: Costruire un poligono regolare inscritto in una circonferenza data.

Costruzione di un ettagono regolare.

Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Dato il diametro lo si tracci in verticale e lo si divida in un numero di parti uguali pari al numero dei lati (in questo caso sette) e puntando in A e H con aprtura pari al diametro si traccino due archi che si intersecano in S e T.

Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Costruzione di un ettagono regolare.

Si congiungano S e T con i numeri pari della suddivisione di AH e si prolunghino i segmenti a incontrare la circonferenza determinando così i vertici dell’ettagono

La costruzione approssimata è valida per qualsiasi poligono di n lati; vediamo la costruzione di un ettagono regolare.

1 Tracciamo in verticale il diametro AH della circonferenza e dividiamolo in un numero di parti uguale al numero dei lati (in questo caso sette). Puntiamo in A e H con apertura pari al diametro e tracciamo due archi che si intersecano in S e T.

Si congiungano S e T con i numeri pari della suddivisione di AH e si prolunghino i segmenti a incontrare la circonferenza determinando così i vertici dell’ettagono

Questa costruzione è valida per ogni poligono e volendo ottenerlo con il lato inferiore orizzontale si congiungano i punti S e T con i numeri pari se il numero di lati è dispari e con i dispari se il numero di lati è pari.

Si congiungano S e T con i numeri pari della suddivisione di AH e si prolunghino i segmenti a incontrare la circonferenza determinando così i vertici dell’ettagono.

2 Congiungiamo S e T con i numeri pari della suddivisione di AH e prolunghiamo i segmenti fino a incontrare la circonferenza: si individuano così i vertici dell’ettagono. Questa costruzione è valida per ogni poligono e, se vogliamo ottenerlo con il lato inferiore orizzontale, congiungiamo i punti S e T con i numeri pari se il numero di lati è dispari e con i dispari se il numero di lati è pari.

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

1 Tracciamo AB e, con archi di raggio pari alla sua lunghezza, il suo asse determinando 1. Innalziamo da A la perpendicolare ad

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

Video tutorial

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

AB a determinare 2.

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

2 Tracciamo due archi: uno, puntando in 1, da 2 in 3 sul prolungamento di AB; l’altro, puntando in B, da 3 a determinare C, sul prolungamento dell’arco B2, e D sull’asse. Congiungiamo C con A e D.

3 Tracciamo quindi un arco di centro D e apertura AB a intersecare in E, quinto vertice del pentagono, il prolungamento dell’arco da A. Tracciando DE e BE si completa la costruzione.

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

PASSO

4.17 ETTAGONO REGOLARE DATO IL LATO

1 Tracciamo AB e sul suo prolungamento B1 pari alla sua misura tracciamo poi un arco di centro A e apertura A1 a intersecare in 2 la perpendicolare in B.

2 Costruiamo la bisettrice dell’angolo 2A1, che interseca la perpendicolare in B nel punto 3.

3 Tracciamo due archetti con centro in A e B e apertura A3 a determinare O e centrando in esso tracciamo la circonferenza circoscritta su cui riportare la lunghezza del lato.

PASSO PASSO 4.18 PENTAGONO REGOLARE DATA LA CIRCONFERENZA

1 Tracciamo il diametro MN, quello AF perpendicolare a MN quindi, con centro in N e raggio

NO un arco a intersecare la circonferenza in 1 e 2.

2 Tracciamo 1-2 che determina 3 su MN. Con raggio A3 e centro in 3 tracciamo un arco a determinare 4.

3 Con apertura A4 e centro prima in A, tracciamo due archetti a determinare B ed E, quindi in B ed E a determinare C e D. Trovati i vertici tracciamo il pentagono.

PASSO PASSO 4.19 SUDDIVISIONE DI UNA CIRCONFERENZA IN SEI PARTI

UGUALI E DISEGNO DI UN ESAGONO REGOLARE

1 Consideriamo un segmento AD di lunghezza pari al diametro. Individuiamo il suo punto medio O e tracciamo la circonferenza.

2 Centrando in A e D col compasso, con apertura AO, tracciamo due archi che incontrano la circonferenza in B, F, E, C.

3 Essi, con A e D, rappresentano la suddivisione della circonferenza in sei parti uguali e i vertici dell’esagono. Completiamo la costruzione tracciando i lati.

1 Consideriamo un segmento AE di lunghezza pari al diametro. Ne tracciamo l’asse determinando il centro O e disegniamo la circonferenza che intercetta l’asse in C e G.

2 Tracciamo le bisettrici degli angoli GOE e GOA che in tersecano la circonferenza nei punti

B, D, F, H.

3 Essi, con A, C, E, G, rappresentano la suddivisione della circonferenza in otto parti uguali e i vertici dell’ottagono. Completiamo la costruzione tracciando i lati.

PASSO PASSO 4.21 SUDDIVISIONE DI UNA CIRCONFERENZA IN DODICI

1 Consideriamo un segmento AG di lunghezza pari al diametro. Tracciamo l’asse di AG determinando il centro O e disegniamo la circonferenza. Essa intercetta l’asse in L e D.

2 Centrando in A, D, G, L con apertura OA tracciamo quattro archi che intercettano la circonferenza in B, C, E, F, H, I, M, N.

3 Essi, con A, D, G, L, rappresentano la suddivisione della circonferenza in dodici parti uguali e i vertici del dodecagono. Completiamo la costruzione tracciando i lati.

Video tutorial

PASSO PASSO 4.22 ESAGONO REGOLARE DATO IL LATO

1 Tracciamo il lato AB; puntiamo in A e B con apertura AB e tracciamo due archi che si intersecano in O, centro della circonferenza circoscritta all’esagono.

2 Tracciamo la circonferenza che interseca gli archi in F e C. Quindi puntiamo in F e C con apertura AB e tracciamo due archi a determinare E e D.

3 Essi con A e B rappresentano la suddivisione della circonferenza in sei parti uguali e i vertici dell’esagono. Completiamo la costruzione tracciando i lati.

4.23 OTTAGONO REGOLARE DATO IL LATO

1 Tracciamo il lato AB e il suo asse determinando 1. Puntando in 1 e apertura 1A tracciamo un arco a determinare 2 poi in 2 e apertura 2A a determinare O, centro della circonferenza circoscritta all’ottagono.

2 Tracciamo la circonferenza e col compasso, partendo da A e B, riportiamo su di essa in successione la misura del lato, determinando gli altri vertici dell’ottagno.

3 Completiamo la costruzione tracciando i lati.

PASSO

4.24 DODECAGONO REGOLARE DATO IL LATO

1 Tracciamo il lato AB e il suo asse. Puntando in A e apertura AB tracciamo un arco a determinare 1, poi in 1 con apertura 1A tracciamo un arco a determinare O, centro della circonferenza circoscritta al dodecagono.

2 Tracciamo la circonferenza e col compasso, partendo da A e B, riportiamo su di essa in successione la misura del lato, determinando gli altri vertici del dodecagono. 3 Completiamo

Video tutorial

PASSO PASSO

PASSO