Fondamenti di progettazione edilizia e ambiente

A. Zanin

G. Baldisseri

M. Bignardi

A. Pietrafitta

Fondamenti di e

ambiente edilizia progettazione

Dallo spazio al progetto

Gruppo

EDUCAZIONE CIVICA

ORIENTAMENTO Il ruolo del geometra

VIDEOTUTORIAL E VIDEO 3D Dal CAD al cantiere sostenibile

genera ispira

A. Zanin

G. Baldisseri

M. Bignardi

A. Pietrafitta

ambiente edilizia progettazione Fondamenti di e

Dallo spazio al progetto

Costruire il futuro insieme

Il Gruppo Editoriale ELi

offre proposte editoriali che coprono tutti i gradi e i rami scolastici, all’insegna della qualità, del rigore e dell’innovazione.

INTELLIGENZA

ARTIFICIALE

Percorsi didattici con attività pratiche che mirano ad approfondire i principali strumenti di IA generativa per favorirne un utilizzo critico e il tool VELIA a disposizione dei docenti per personalizzare l’attività didattica.

EQUILIBRI

Progetto di ricerca costante che mira a eliminare gli stereotipi di genere nei testi scolastici ponendo particolare attenzione alla scelta dei contenuti, a una valutazione iconografica ragionata e all’utilizzo di un linguaggio testuale inclusivo.

INCLUSIONE

Sviluppo di una cultura dell’inclusione attraverso contenuti accessibili e adeguati ai diversi stili di apprendimento.

ORIENTAMENTO

Approccio educativo e formativo volto a favorire la conoscenza di sé, delle proprie attitudini e delle proprie capacità, oltre a sviluppare le competenze non cognitive e trasversali necessarie per le scelte del futuro.

EDUCAZIONE

CIVICA secondo le NUOVE Linee guida

Aggiornamento e ampliamento dei nuclei tematici attorno ai quali si articolano le competenze e gli obiettivi di apprendimento: Costituzione, Sviluppo economico e sostenibilità, Cittadinanza digitale

STEM/STEAM, CLIL

Attivazione del pensiero scientifico e computazionale, approccio interdisciplinare e laboratoriale, sviluppo della competenza multilinguistica, attraverso attività STEM, STEAM e CLIL.

DIGITALE

Acquisizione delle competenze digitali e dell’alfabetizzazione informatica come aiuto all’inclusione sociale e alla cittadinanza attiva.

EDUCAZIONE ALLE RELAZIONI

Percorsi incentrati sullo sviluppo di competenze relazionali che arricchiscono la consapevolezza del vissuto personale in relazione con la realtà circostante.

Gruppo Editoriale

ELi

Gruppo Editoriale

ELi

FONDAMENTI DI PROGETTAZIONE EDILIZIA E AMBIENTE

è il corso pensato per trasformare la passione per il costruire in una vera competenza professionale. Non è solo un testo in linea con la riforma degli Istituti Tecnici, ma uno strumento completo, progettato per rispondere alle esigenze dell’indirizzo Costruzioni, Ambiente e Territorio.

Nella prima parte si affrontano i fondamenti del disegno tecnico, partendo dalle costruzioni geometriche elementari per costruire un vero e proprio alfabeto della rappresentazione grafica.

Le aperture di unità

LE COSTRUZIONI GEOMETRICHE

Le aperture di ogni unità sono dedicate a un architetto e a una sua opera significativa. Attraverso l’analisi del progetto vengono introdotti i materiali da costruzione, mettendone in evidenza vantaggi e limiti, con particolare attenzione

COSTRUZIONI PIANE FONDAMENTALI

IL DISEGNO CIVILE

La seconda parte porta al centro la figura del geometra, mostrando come tradurre il disegno in applicazioni concrete. Si impara così a rappresentare edifici, a studiare la funzionalità degli spazi interni e a confrontarsi con le sfide legate all’arredo urbano e alla gestione del territorio. Dall’integrazione tra teoria e pratica, si sviluppano solide competenze operative che consentono di realizzare elaborati grafici tecnici di alto livello, utili sia nel percorso scolastico sia nella futura attività professionale. IL DISEGNO TECNICO EDILIZIO

ambiente edilizia progettazione

LE COSTRUZIONI GEOMETRICHE

MATERIALE:

I METALLI

I metalli hanno avuto un ruolo fondamentale nella storia dell’architettura. Agli inizi si utilizzava lo zinco per le coperture, il rame per le decorazioni e dettagli artistici. Con la Rivoluzione Industriale, però, la funzione del metallo cambia radicalmente grazie all’introduzione della ghisa e, in seguito, dell’acciaio, che resero i metalli i protagonisti delle strutture portanti. Un’opera simbolo di questa trasformazione è la Torre Eiffel, costruita nel 1889 con una struttura metallica ideata da Gustave Eiffel, destinata a diventare un’icona mondiale. Da quel momento il metallo si diffuse in ponti, stazioni, grattacieli, ma anche in elementi di design e architettura leggera. Le sue caratteristiche di consentono di realizzare grandi luci e forme innovative. Può essere lucido, ossidato, liscio o lavorato, adattandosi a diversi linguaggi fino al mondo contemporaneo. Oggi i metalli sono utilizzati in un’ottica di sostenibilità, anche grazie a tecnologie avanzate e processi di riciclo che riducono l’impatto ambientale. Nell’edilizia moderna trovano applicazione sia nelle strutture portanti che negli elementi di finitura come coperture, facciate e infissi. La possibilità di prefabbricare componenti metallici assicura montaggi rapidi e precisi, migliorando tempi e qualità costruttiva. Tra le soluzioni recenti , apprezzato per la sua resistenza naturale alla corrosione e per la durabilità senza trattamenti aggiuntivi. Grazie a queste qualità, il metallo rimane un materiale centrale, capace di unire innovazione tecnica, estetica e sostenibilità.

MATERIALE:

IL LEGNO

Le competenze fondamentali includono: realizzazione

dei materiali e controllo della corretta posa in opera; di rilievi tecnici e la capacità di saper leggere disegni e computi metrici; con ingegneri strutturisti e aziende specializzate;

orientamento

Il legno è stato il primo materiale utilizzato dagli esseri umani per costruire le proprie abitazioni. Nel corso dei secoli è stato lavorato con tecniche sempre diverse e ha assunto forme che vanno dai templi greci alle raffinate strutture giapponesi, fino al “balloon frame” statunitense dell’Ottocento. Oggi il suo impiego è tornato centrale, in risposta alla necessità di un’edilizia più sostenibile e rispettosa dell’ambiente. La versatilità, la rinnovabilità prestazioni energetiche del legno lo rendono adatto a edifici residenziali, scuole, spazi pubblici persino strutture multipiano. Da un punto di vista ecologico, offre numerosi vantaggi, come una ridotta impronta di carbonio e ottime capacità isolanti. Tuttavia presenta anche delle criticità, legate ai rischi di deforestazione e all’uso di trattamenti chimici, che richiedono un impiego consapevole. Il legno è un materiale naturale, composto da cellulosa, emicellulosa e lignina, disponibile in molte varietà con proprietà fisiche meccaniche diverse. Le piante più diffuse in edilizia da cui ottenere il legno sono l’abete, il larice, il castagno, il rovere, il faggio e il pino. Le tipologie di legno ricavato da queste piante, presentano caratteristiche diverse che permettono un ampio ventaglio di applicazioni, adattabili a esigenze strutturali ed estetiche differenti. In prospettiva, il legno rappresenta una soluzioni più promettenti per l’architettura sostenibile del futuro

Conoscerne limiti e potenzialità è fondamentale per progettare edifici durevoli, efficienti e rispettosi dell’ambiente.

Le competenze fondamentali includono:

→ la conoscenza delle normative (NTC, Eurocodici, CAM –Criteri Ambientali Minimi);

→ il saper valutare i materiali certificati; → saper leggere disegni tecnici e particolari costruttivi del legno;

→ collaborazione con ingegneri strutturisti e aziende specializzate;

→ saper controllare la corretta posa in opera e la durabilità dei materiali.

Materiale rinnovabile: se proveniente da foreste certificate, è una risorsa sostenibile, capace di rigenerarsi in tempi relativamente brevi. Bilancio emissivo positivo: gli alberi assorbono anidride carbonica (CO2) durante la crescita. Quando il legno viene utilizzato in edilizia, la CO2 resta “sequestrata” nel materiale.

Deforestazione: l’uso di legno da foreste in modo sostenibile può portare a una

incontrollata con conseguente

erosione del suolo e cambiamenti

Trattamenti chimici: alcuni elementi in legno richiedono trattamenti protettivi (ignifughi, antiparassitari) che possono essere inquinanti.

SEZIONE

A

PERCEZIONE VISIVA E COMUNICAZIONE GRAFICA

CAPITOLO 1 LA PERCEZIONE VISIVA

CAPITOLO 2 IL LINGUAGGIO MULTIMEDIALE

Architetti noAarchitecten

Riqualificazione ampliamento complesso storico di Het Steen, 2021, Anversa Belgio Il mattone a vista crea continuità cromatica e materica tra il corpo storico e l’estensione contemporanea.

L’essere umano ha da sempre sfruttato materiali naturali come pietra e terra per costruire rifugi e abitazioni. In seguito, la terra è diventata uno dei materiali più importanti nell’edilizia grazie alla sua facilità di lavorazione e alla disponibilità diffusa sul territorio

LA TERRA MATERIALE:

Veniva utilizzata allo stato crudo per realizzare abitazioni (adobe, pisé), ma presentava limiti di resistenza e durabilità. Oggi la terra viene combinata anche con materiali naturali come la paglia, offrendo in edilizia soluzioni sostenibili, con elevato isolamento termico e acustico. I laterizi, ossia mattoni realizzati con argilla o miscele simili, rappresentano un’evoluzione della semplice terra battuta. La cottura conferisce al materiale maggiore durezza e durabilità, rendendolo adatto a strutture portanti e divisorie. Esistono varie tipologie di laterizi, come:

– mattoni pieni, compatti e ad alta resistenza, utilizzati per murature portanti e interventi di restauro;

– mattoni forati, più leggeri e isolanti, consentono una migliore collocazione degli impianti e riducono il peso complessivo della struttura;

– blocchi grandi impiegati per murature rapide da posare;

– laterizi speciali: termici e acustici per efficienza energetica e acustica o faccia a vista per una scelta estetica. Le proprietà dei laterizi, come la resistenza meccanica, la traspirabilità, l’inerzia termica e la versatilità applicativa, li rendono ideali per edifici solidi, efficienti e duraturi. Pur richiedendo energia per la cottura, i laterizi derivano da una materia prima naturale come l’argilla, combinando tradizione costruttiva e innovazione tecnologica.

orientamento

IL RUOLO DEL GEOMETRA

Le competenze fondamentali includono:

→ la conoscenza delle normative: (NTC 2018 per le murature, requisiti acustici passivi, certificazione energetica);

→ saper scegliere il tipo di laterizio più adatto in base alla funzione (strutturale, isolamento, copertura);

→ conoscere le caratteristiche tecniche dei diversi elementi (resistenza, peso, prestazioni termiche);

→ saper effettuare rilievi e redigere disegni tecnici;

→ controllare la corretta posa in opera in cantiere, verificando allineamenti, giunti e qualità delle lavorazioni;

SVANTAGGI AMBIENTALI E CRITICITÀ

Elevata resistenza e durabilità: i laterizi sono estremamente resistenti ai carichi meccanici e agli agenti atmosferici.

Buona inerzia termica e isolamento: i laterizi hanno un’elevata massa termica, accumulano e rilasciano lentamente calore.

Resistenza al fuoco: materiale incombustibile classe A1, non si deformano alle alte temperature e non sviluppano fumi o gas tossici.

Facilità di manutenzione: elementi modulari facilmente lavorabili e posabili che richiedono manutenzione minima nel tempo.

Consumo energetico elevato per la cottura: il processo di cottura al forno ad alte temperature comporta un elevato consumo energetico.

Emissioni di CO₂ durante la produzione: il processo di cottura genera significative emissioni di anidride carbonica, rendendo i laterizi un materiale dall’alta impronta di carbonio.

Impatto ambientale dell’estrazione dell’argilla: la trasformazione dell’argilla comporta la trasformazione permanente del paesaggio e del suolo, mettendone in pericolo la stabilità.

Peso maggiore rispetto ad altri materiali: la muratura in laterizio ha una massa considerevole che si traduce in carichi strutturali elevati e un aumento dei costi di trasporto.

Necessità di protezione dall’acqua: i laterizi possono assorbire acqua piovana se non adeguatamente protetti rendendo necessario l’impiego di intonaci, rivestimenti o trattamenti idrorepellenti.

1

LA PERCEZIONE VISIVA

1 Il funzionamento dell’occhio

Gli occhi ricevono le onde luminose riflesse dagli oggetti e le convogliano sulle terminazioni del nervo ottico. È possibile comprendere il funzionamento dell’occhio paragonandolo alla macchina fotografica digitale. Gli elementi fondamentali di una macchina fotografica digitale sono la lente e il sensore CCD, che è l’elemento elettronico composto da minuscoli sensori che generano una differenza elettrica analogica proporzionale all’intensità di luce che li colpiscono. Le loro funzioni corrispondono a quelle svolte nell’occhio dal cristallino e dalla rètina.

Per eseguire una fotografia si orienta l’obiettivo verso l’oggetto da fotografare, si inquadra e si scatta, cioè si preme il pulsante che permette ai raggi luminosi di entrare nell’apparecchio e colpire il sensore CCD il quale trasmette gli impulsi elettrici (➜ Fig. 1a).

Un processo simile avviene nel nostro occhio: l’oggetto che osserviamo riflette i raggi luminosi che entrano nell’occhio attraverso il foro della pupilla e vengono captati dal cristallino che li invia alla retina. I recettori posti sulla retina trasformano i segnali luminosi in segnali chimici, che vengono raccolti dal nervo ottico, che a sua volta li invia al cervello. Quest’ultimo decodifica gli impulsi e li trasforma nelle immagini che vediamo (➜ Fig. 1b).

Il cristallino si comporta come una lente per la “messa a fuoco”. Se gli oggetti sono posti a una distanza superiore a 7 metri, i raggi inviati agli occhi giungono paralleli al cristallino, che è costretto, con l’aiuto della cornea, a deformarli per inviarli alla retina. Se invece gli oggetti sono posti a una distanza

CI OCCUPEREMO DI...

1. Il funzionamento dell’occhio

2. La percezione visiva: osservazioni generali

3. La teoria cognitivista

4. La teoria della Gestalt

5. Articolazione figura-sfondo

6. La percezione della profondità

7. La costanza percettiva

8. Le illusioni ottiche

9. La percezione del colore

minore, i raggi luminosi divergono e il cristallino si ispessisce per metterli a fuoco sulla retina.

A questo punto il paragone con la macchina fotografica si esaurisce in quanto entra in azione il cervello, che compie un’elaborazione dei dati ricevuti per la formazione dell’immagine.

lente

➜ Fig. 1a

umore acqueo retina

sensore CCD cristallino

➜ Fig. 1b

➜ Fig. 1 • L’occhio e la macchina fotografica presentano un’analoga struttura. Il corpo diottrico, formato nell’occhio da cornea, umore acqueo e cristallino, e nella macchina fotografica dalle lenti dell’obiettivo, ha la funzione di far convergere i raggi luminosi in una zona interna ove sono catturate le immagini: nell’occhio dalla retina, nella macchina fotografica dal sensore CCD.

MESSA A FUOCO

Fotografare mantenendo i contorni nitidi di ciò che si intende evidenziare.

La percezione visiva

2 La percezione visiva: osservazioni generali

La percezione visiva

l’attività del cervello sia nel riconoscere cose note che nel registrare cose nuove.

La percezione visiva

La percezione visiva

1.2 La percezione visiva: osservazioni generali

1.2 La percezione visiva: osservazioni generali

La percezione visiva

L’essere umano percepisce l’ambiente attraverso i propri sensi che eseguono, per mezzo dei recettori sensoriali, una lettura-descrizione di una grande quantità di informazioni captate dall’ambiente stesso. Queste informazioni giungono al cervello che le seleziona ed elabora, in tempi molto brevi, compiendo un confronto con le tracce di altri stimoli uguali o simili depositate nella memoria. Si ha così una doppia attività di lettura-descrizione e di confronto in cui ha una preponderante importanza

1.2 La percezione visiva: osservazioni generali

1.2 La percezione visiva: osservazioni generali

L’uomo percepisce l’ambiente attraverso i propri sensi, che eseguono, per mezzo dei ricettori sensoriali, una lettura-descrizione di una grande quantità di informazioni captate dall’ambiente stesso. Queste informazioni giungono al cervello che le seleziona ed elabora, in tempi molto brevi, compiendo un confronto con le tracce di altri stimoli uguali o simili depositate nella memoria. Si ha così una doppia attività di lettura-descrizione e di confronto in cui ha una preponderante importanza l’attività del cervello sia nel riconoscere cose note che nel registrare cose nuove.

1.2 La percezione visiva: osservazioni generali L’uomo percepisce l’ambiente attraverso i propri sensi, che eseguono, per mezzo dei ricettori sensoriali, una lettura-descrizione di una grande quantità di informazioni captate dall’ambiente stesso. Queste informazioni giungono al cervello che le seleziona ed elabora, in tempi molto brevi, compiendo un confronto con le tracce di altri stimoli uguali o simili depositate nella memoria. Si ha così una doppia attività di lettura-descrizione e di confronto in cui ha una preponderante importanza l’attività del cervello sia nel riconoscere cose note che nel registrare cose nuove.

L’uomo percepisce l’ambiente attraverso i propri sensi, che eseguono, per mezzo dei ricettori sensoriali, una lettura-descrizione di una grande quantità di informazioni captate dall’ambiente stesso. Queste informazioni giungono al cervello che le seleziona ed elabora, in tempi molto brevi, compiendo un confronto con le tracce di altri stimoli uguali o simili depositate nella memoria. Si ha così una doppia attività di lettura-descrizione e di confronto in cui ha una preponderante importanza l’attività del cervello sia nel riconoscere cose note che nel registrare cose nuove.

Questo succede anche nella percezione visiva, in cui, oltre a ciò che percepiamo con la parte biologica della percezione e fisica dello stimolo (intensità, lunghezza d’onda, frequenza spaziale ecc.), c’è la interpretazione della realtà fatta dal nostro cervello. Esso, infatti, con la memoria visiva che deriva dalla cultura visiva e dalle esperienze percettive vissute, dà significato a ciò che si osserva.

Questo succede anche nella percezione visiva, in cui, oltre a ciò che percepiamo con la parte biologica della percezione e fisica dello stimolo (intensità, lunghezza d’onda, frequenza spaziale ecc.), c’è la interpretazione della realtà fatta dal nostro cervello. Esso, infatti, con la memoria visiva che deriva dalla cultura visiva e dalle esperienze percettive vissute, dà significato a ciò che si osserva.

Questo succede anche nella percezione visiva in cui, oltre a ciò che percepiamo con la parte biologica della percezione e fisica dello stimolo (intensità, lunghezza d’onda, frequenza spaziale ecc.), c’è la interpretazione della realtà fatta dal nostro cervello. Esso, infatti, con la memoria visiva che deriva dalla cultura visiva e dalle esperienze percettive vissute, dà significato a ciò che si osserva.

L’uomo percepisce l’ambiente attraverso i propri sensi, che eseguono, per mezzo dei ricettori lettura-descrizione di una grande quantità di informazioni captate dall’ambiente stesso. Queste giungono al cervello che le seleziona ed elabora, in tempi molto brevi, compiendo un confronto altri stimoli uguali o simili depositate nella memoria. Si ha così una doppia attività di lettura-descrizione confronto in cui ha una preponderante importanza l’attività del cervello sia nel riconoscere registrare cose nuove.

L’uomo percepisce l’ambiente attraverso i propri sensi, che eseguono, per mezzo dei ricettori lettura-descrizione di una grande quantità di informazioni captate dall’ambiente stesso. giungono al cervello che le seleziona ed elabora, in tempi molto brevi, compiendo un confronto altri stimoli uguali o simili depositate nella memoria. Si ha così una doppia attività di lettura-descrizione confronto in cui ha una preponderante importanza l’attività del cervello sia nel riconoscere registrare cose nuove.

La prova che il nostro cervello elabora le informazioni integrandole con ipotesi a volte anche errate si può ottenere osservando ad esempio questa serie di figure.

La prova che il nostro cervello elabora le informazioni integrandole con ipotesi a volte anche errate si può ottenere osservando ad esempio questa serie di figure.

Questo succede anche nella percezione visiva, in cui, oltre a ciò che percepiamo con la parte biologica della percezione e fisica dello stimolo (intensità, lunghezza d’onda, frequenza spaziale ecc.), c’è la interpretazione della realtà fatta dal nostro cervello. Esso, infatti, con la memoria visiva che deriva dalla cultura visiva e dalle esperienze percettive vissute, dà significato a ciò che si osserva.

Nella ➜ Fig. 2 si tende a percepire un triangolo bianco non trasparente che copre parzialmente tre dischi neri e un altro triangolo bianco col perimetro nero. In realtà si tratta di tre settori circolari neri e tre angoli disposti secondo un certo ordine gli uni rispetto agli altri.

Questo succede anche nella percezione visiva, in cui, oltre a ciò che percepiamo con la parte percezione e fisica dello stimolo (intensità, lunghezza d’onda, frequenza spaziale ecc.), c’è della realtà fatta dal nostro cervello. Esso, infatti, con la memoria visiva che deriva dalla cultura esperienze percettive vissute, dà significato a ciò che si osserva.

La prova che il nostro cervello elabora le informazioni integrandole con ipotesi a volte anche errate si può ottenere osservando ad esempio questa serie di figure.

Questo succede anche nella percezione visiva, in cui, oltre a ciò che percepiamo con la parte percezione e fisica dello stimolo (intensità, lunghezza d’onda, frequenza spaziale ecc.), c’è della realtà fatta dal nostro cervello. Esso, infatti, con la memoria visiva che deriva dalla esperienze percettive vissute, dà significato a ciò che si osserva.

La prova che il nostro cervello elabora le informazioni integrandole con ipotesi a volte anche ottenere osservando ad esempio questa serie di figure.

La prova che il nostro cervello elabora le informazioni integrandole con ipotesi a volte anche ottenere osservando ad esempio questa serie di figure.

Nella ➜ Fig. 3 si hanno 8 linee parallele inclinate di 45° intersecate da una serie di segmenti che le fanno apparire leggermente divergenti.

La prova che il nostro cervello elabora le informazioni integrandole con ipotesi a volte anche errate si può ottenere osservando ad esempio questa serie di figure.

Nella ➜ Fig. 4 i triangoli variamente disposti non fanno percepire l’appartenenza alla stessa retta dei puntini.

➜ Fig. 2 • Triangolo di Kanizsa.

Il fenomeno della percezione visiva e stato ed è oggetto di molti studi che hanno prodotto alcune teorie, come la cognitivista e la teoria della Gestalt (“forma” in tedesco), e hanno analizzato i fenomeni dell’articolazione figura-sfondo , della percezione della profondità e della costanza percettiva.

➜ Fig. 3 • Illusioni di Zoellner.

Nella ➜ Fig. 5 la distanza AB sembra maggiore della CD quando invece sono congruenti.

Nella ➜ Fig. 6 il segmento EF sembra maggiore di EG mentre invece sono congruenti.

➜ Fig. 5 • Illusione di Muller-Lyer.

I

dall’organizzazione dei singoli elementi in relazioni tra loro secondo il principio del “tutto è più della somma delle parti” e rifiutavano la teoria secondo la quale essa è data dalla somma di sensazioni elementari integrate da associazioni legate alla memoria, al giudizio, al ragionamento ecc. Nell’esempio a fianco (fig.7) è sintetizzata la differenza tra la visione del tutto nella prima figura rispetto alla visione delle parti (a destra).

Nel 1923 Wertheimer, esponente di tale scuola, ha classificato e descritto come “leggi della forma” le modalità secondo le quali si costituiscono le forme.

3 La teoria cognitivista

Questa teoria sostiene che l’uomo dà significato a quello che osserva utilizzando la memoria visiva che proviene dalla sua cultura e dalle sue esperienze percettive acquisite. La sua mente cioè confronta l’immagine con una serie di propri modelli mentali e analizza il contesto in cui essa è collocata ricavando ulteriori informazioni utili per verificare le ipotesi fatte.

Legge del destino comune

Secondo questa legge, detta anche della somiglianza di comportamento, gli elementi che hanno un movimento solidale tra di loro, e differente da quello degli altri elementi, sono uniti in forme.

In figura 8 abbiamo un gruppo di puntini che si leggono spontaneamente su due colonne distinte. Se due puntini rossi e quattro puntini bianchi si muovono contemporaneamente nel senso delle frecce, si tenderà a leggere ancora due gruppi di puntini, ma secondo la logica del gruppo che si è spostato e del gruppo che è rimasto fermo (fig.9).

4 La teoria della Gestalt

percezione visiva è stato ed è oggetto di molti studi che hanno prodotto alcune teorie, come della Gestalt (“forma” in tedesco), e hanno analizzato i fenomeni dell’ArticolaziPercezione della profondità e della Costanza percettiva.

Cognitivista

LEGGE DELLA PREGNANZA

Secondo la legge della pregnanza della buona Gestalt, in pratica ciò che si coglie delle forme sono le caratteristiche “pregnanti” da esse possedute: cioè quanto più regolari, simmetriche, semplici, omogenee, equilibrate, ordinate, coerenti strutturalmente, di carattere unitario esse sono, tanto maggiore è la probabilità che hanno d’imporsi alla nostra percezione. Se accostiamo tra loro le tre figure di sinistra ➜ Fig. 10 otteniamo la figura di destra in cui non leggiamo le figure originarie bensì una circonferenza che interseca un esagono regolare.

Legge della pregnanza

Secondo la legge della pregnanza della buona

Gestalt, in pratica ciò che si coglie delle forme sono le caratteristiche “pregnanti” da esse possedute: cioè, quanto più regolari, simmetriche, semplici, omogenee, equilibrate, ordinate, coerenti strutturalmente, di carattere unitario esse sono, tanto maggiore è la probabilità che hanno d’imporsi alla nostra percezione.

Se accostiamo tra loro le tre figure di sinistra in figura10 otteniamo la figura di destra, in cui non leggiamo le figure originarie bensì una circonferenza che interseca un esagono regolare.

l’uomo dà significato a quello che osserva utilizzando la memoria visiva che proviene esperienze percettive vissute in precedenza. La sua mente cioè confronta l’immagmodelli mentali e, inoltre, analizza il contesto in cui essa è collocata ricavando ulteriverificare le ipotesi fatte.

Gestalt sostenevano che la percezione è un unico insieme dato singoli elementi in relazioni tra loro secondo il principio del delle parti” e rifiutavano la teoria secondo la quale essa è sensazioni elementari integrate da associazioni legate alla ragionamento ecc. Nell’esempio a fianco (fig.7) è sintetizvisione del tutto nella prima figura rispetto alla visione

esponente di tale scuola, ha classificato e descritto come modalità secondo le quali si costituiscono le forme.

I teorici della Gestalt sostenevano che la percezione è un unico insieme dato dall’organizzazione dei singoli elementi in relazione tra loro secondo il principio del “tutto è più della somma delle parti” e rifiutavano la teoria secondo la quale essa è data dalla somma di sensazioni elementari integrate da associazioni legate alla memoria, al giudizio, al ragionamento ecc.. Nell’esempio qui sotto ( ➜ Fig. 7) è sintetizzata la differenza tra la visione del tutto nella prima figura rispetto alla visione delle parti (a destra). Nel 1923 Wertheimer, esponente di tale scuola, ha classificato e descritto come “leggi della forma” le modalità secondo le quali si costituiscono le forme.

➜ Fig. 7

LEGGE DEL DESTINO COMUNE

comune detta anche della somiglianza elementi che hanno un movidifferente da quello uniti in forme. gruppo di puntini che si su due colonne distinte. quattro puntini bianchi si contemporaneamente nel senso delle ancora due gruppi di logica del gruppo che si è è rimasto fermo (fig.9).

Legge della pregnanza

Secondo questa legge, detta anche della somiglianza di comportamento, gli elementi che hanno un movimento solidale tra di loro, e differente da quello degli altri elementi, sono uniti in forme.

Secondo la legge della pregnanza della buona Gestalt, in pratica ciò che si coglie delle forme sono le caratteristiche “pregnanti” da esse possedute: cioè, quanto più regolari, simmetriche, semplici, omogenee, equilibrate, ordinate, coerenti strutturalmente, di carattere unitario esse sono, tanto maggiore è la probabilità che hanno d’imporsi alla nostra percezione.

In ➜ Fig. 8 abbiamo un gruppo di puntini che si leggono spontaneamente su due colonne distinte. Se due puntini rossi e quattro puntini bianchi si muovono contemporaneamente nel senso delle frecce si tenderà a leggere ancora due gruppi di puntini ma secondo la logica del gruppo che si è spostato e del gruppo che è rimasto fermo (➜ Fig. 9).

Se accostiamo tra loro le tre figure di sinistra in figura10 otteniamo la figura di destra, in cui non leggiamo le figure originarie bensì una circonferenza che interseca un esagono regolare.

LEGGE DELLA VICINANZA

A parità delle altre condizioni, tendono a essere vissuti come costituenti una unità, elementi vicini piuttosto che elementi lontani. Nelle ➜ Fig. 11 e 12 si tende a leggere quattro coppie di segmenti verticali vicini e cinque linee orizzontali anziché otto linee verticali di puntini.

➜ Fig. 11

LEGGE DELLA SOMIGLIANZA

➜ Fig. 13

GELSTAT

A parità delle altre condizioni, si tende a unire tra loro gli elementi che hanno una qualche somiglianza. Nelle ➜ Fig. 13 e 14 si tende ad accoppiare i segmenti dello stesso colore e i cerchi e i quadrati si leggono per linee verticali cioè per elementi congruenti. fig.8 fig.9

➜ Fig. 8 ➜ Fig. 9

➜ Fig. 14

Corrente psicologica nata e sviluppatasi agli inizi del XX secolo in Germania tra gli anni Dieci e gli anni Trenta.

LEGGE DELLA CHIUSURA

Le linee che formano delle figure chiuse tendono a essere viste come unità formali.

Si tende a preferire le forme chiuse rispetto a quelle aperte, pertanto in presenza di una forma che appare incompleta si tende a leggerla completa e continua.

Nelle ➜ Fig. 15 e 16 si tendono a leggere tre rettangoli e nove circonferenze anziché quattro coppie di c specchiate o nove coppie di x.

visiva

La percezione visiva

1.5 Articolazione figura-sfondo

5 Articolazione figura-sfondo

Lo studioso E. Rubin ha dimostrato che, in un campo visuale, tra probabilità il ruolo di figura, rispetto alle altre zone, quella che

più importanti sono: la grandezza relativa, i rapporti topologici, semplicità e la simmetria.

Lo studioso E. Rubin ha dimostrato che in un campo visuale, tra le zone che lo compongono, assumerà con più probabilità il ruolo di figura, rispetto alle altre zone, quella che obbedisce a determinate condizioni delle quali le più importanti sono: la grandezza relativa, i tipi dei loro margini, l’orientamento spaziale, i rapporti topologici, la semplicità e la simmetria.

La grandezza relativa: si tende a far emergere come figura la zona più piccola oppure quella circondata da altre aree.

La percezione visiva

La percezione visiva

La grandezza relativa: si tende a far emergere come figura la zona più piccola oppure quella circondata da altre aree.

1.5 Articolazione figura-sfondo

1.5 Articolazione figura-sfondo

La percezione visiva

La percezione visiva

➜

figura-sfondo

Nel primo quadrato figura 19 si potrebbe leggere indifferentemente una croce bianca oppure una nera, nel secondo e nel terzo quadrato si percepiscono rispettivamente una croce bianca e una croce nera.

Nel primo quadrato ➜ Fig. 19 si potrebbe leggere indifferentemente una croce bianca oppure una nera, nel secondo e nel terzo quadrato si percepiscono rispettivamente una croce bianca e una croce nera.

La convessità leggere piuttosto quadrati quelle 21 percepiamo “colonnette

Lo studioso E. Rubin ha dimostrato che, in un campo visuale, tra le zone che lo compongono, probabilità il ruolo di figura, rispetto alle altre zone, quella che obbedisce a determinate condizioni più importanti sono: la grandezza relativa, i rapporti topologici, i tipi dei loro margini, l’orientamento semplicità e la simmetria.

Lo studioso E. Rubin ha dimostrato che, in un campo visuale, tra le zone che lo compongono, probabilità il ruolo di figura, rispetto alle altre zone, quella che obbedisce a determinate condizioni più importanti sono: la grandezza relativa, i rapporti topologici, i tipi dei loro margini, l’orientamento semplicità e la simmetria.

LEGGE DELL’ESPERIENZA PASSATA

1.5 Articolazione figura-sfondo

1.5 Articolazione figura-sfondo

Elementi che per la nostra esperienza passata sono abitualmente associati tra di loro tendono ad essere uniti in forme.

dimostrato che, in un campo visuale, tra le zone che lo compongono, assumerà con più figura, rispetto alle altre zone, quella che obbedisce a determinate condizioni delle quali le grandezza relativa, i rapporti topologici, i tipi dei loro margini, l’orientamento spaziale, la simmetria.

Lo studioso E. Rubin ha dimostrato che, in un campo visuale, tra le zone che lo compongono, assumerà con più probabilità il ruolo di figura, rispetto alle altre zone, quella che obbedisce a determinate condizioni delle quali le più importanti sono: la grandezza relativa, i rapporti topologici, i tipi dei loro margini, l’orientamento spaziale, la semplicità e la simmetria.

Lo studioso E. Rubin ha dimostrato che, in un campo visuale, tra le zone che lo compongono, assumerà con più probabilità il ruolo di figura, rispetto alle altre zone, quella che obbedisce a determinate condizioni delle quali le più importanti sono: la grandezza relativa, i rapporti topologici, i tipi dei loro margini, l’orientamento spaziale, la semplicità e la simmetria.

In ➜ Fig. 17 sono rappresentate le lettere E ed H che sono facilmente riconoscibili per coloro che conoscono l’alfabeto, mentre risultano incomprensibili per chi utilizza altre forme di scrittura.

La grandezza relativa: si tende a far emergere come figura la zona più piccola oppure quella circondata da altre aree.

: si tende a far emergere piccola oppure quella aree.

figura 19 si potrebbe leggere croce bianca oppure una terzo quadrato si percepisuna croce bianca e una croce

La grandezza relativa: si tende a far emergere come figura la zona più piccola oppure quella circondata da altre aree. Nel primo quadrato figura 19 si potrebbe leggere indifferentemente una croce bianca oppure una nera, nel secondo e nel terzo quadrato si percepiscono rispettivamente una croce bianca e una croce nera.

➜ Fig. 19

La grandezza relativa: si tende a far emergere come figura la zona più piccola oppure quella circondata da altre aree. Nel primo quadrato figura 19 si potrebbe leggere indifferentemente una croce bianca oppure una nera, nel secondo e nel terzo quadrato si percepiscono rispettivamente una croce bianca e una croce nera.

Nel primo quadrato figura 19 si potrebbe leggere indifferentemente una croce bianca oppure una nera, nel secondo e nel terzo quadrato si percepiscono rispettivamente una croce bianca e una croce nera.

La grandezza relativa: si tende a far emergere come figura la zona più piccola oppure quella circondata da altre aree. Nel primo quadrato figura 19 si potrebbe leggere indifferentemente una croce bianca oppure una nera, nel secondo e nel terzo quadrato si percepiscono rispettivamente una croce bianca e una croce nera.

La convessità o la concavità dei margini tendono a far leggere come figura l’area con margini convessi piuttosto che quella con margini concavi; nei quattro quadrati ➜ Fig. 20, prevalgono le forme bombate e quelle a freccia pur invertendo i colori e nella ➜ Fig. 21 percepiamo delle “colonnette panciute” anziché “colonnette a spigoli vivi”.

La convessità o la concavità dei margini tendono a far leggere come figura l’area con margini convessi piuttosto che quella con margini concavi; nei quattro quadrati figura 20, prevalgono le forme bombate e quelle a freccia, pur invertendo i colori, e nella figura 21 percepiamo delle “colonnette panciute” anziché “colonnette a spigoli vivi”.

La convessità o la concavità dei margini tendono a far leggere come figura l’area con margini convessi piuttosto che quella con margini concavi; nei quattro quadrati figura 20, prevalgono le forme bombate e quelle a freccia, pur invertendo i colori, e nella figura 21 percepiamo delle “colonnette panciute” anziché “colonnette a spigoli vivi”.

La convessità o la concavità dei margini leggere come figura l’area con margini piuttosto che quella con margini concavi; quadrati figura 20, prevalgono le quelle a freccia, pur invertendo i colori, 21 percepiamo delle “colonnette panciute” “colonnette a spigoli vivi”.

La convessità o la concavità dei margini leggere come figura l’area con margini piuttosto che quella con margini quadrati figura 20, prevalgono le quelle a freccia, pur invertendo i 21 percepiamo delle “colonnette “colonnette a spigoli vivi”.

La convessità o la concavità dei margini tendono a far leggere come figura l’area con margini convessi piuttosto che quella con margini concavi; nei quattro quadrati figura 20, prevalgono le forme bombate e quelle a freccia, pur invertendo i colori, e nella figura 21 percepiamo delle “colonnette panciute” anziché “colonnette a spigoli vivi”.

LEGGE DELLA CONTINUITÀ DI DIREZIONE

Gli elementi sono uniti in forme in base alla loro continuità di direzione.

Ad esempio si tende a leggere le due linee in ➜ Fig. 18 come la somma della spezzata AC e della curva BD e non delle spezzate AD e BC.

L’orientamento spaziale: tendono ad essere percepite come figura le aree i cui assi coincidono con le direzioni principali, verticale e orizzontale, dello spazio. Nell’esempio di figura 22 si legge più facilmente la croce verticale che non quella inclinata.

➜ Fig. 20

I rapporti geometriche): 23, la queste

➜ Fig. 18

L’orientamento spaziale: tendono ad essere percepite come figura le aree i cui assi coincidono con le direzioni principali, verticale e orizzontale, dello spazio. Nell’esempio di figura 22 si legge più facilmente la croce verticale che non quella inclinata.

L’orientamento spaziale: tendono ad essere percepite come figura le aree i cui assi coincidono con le direzioni principali, verticale e orizzontale, dello spazio. Nell’esempio di figura 22 si legge più facilmente la croce verticale che non quella inclinata.

L’orientamento spaziale: tendono ad essere percepite come figura le aree i cui assi coincidono con le direzioni principali, verticale e orizzontale, dello spazio. Nell’esempio di figura 22 si legge più facilmente la croce verticale che non quella inclinata.

fig.20

L’orientamento spaziale: tendono ad essere percepite come figura le aree i cui assi coincidono con le direzioni principali, verticale e orizzontale, dello spazio. Nell’esempio di figura 22 si legge più facilmente la croce verticale che non quella inclinata.

➜ Fig. 21

I rapporti topologici (rapporti tra geometriche): tenderà ad emergere, 23, la zona più piccola o circondata queste ultime assumeranno il carattere

I rapporti topologici (rapporti tra geometriche): tenderà ad emergere, 23, la zona più piccola o circondata queste ultime assumeranno il carattere

I rapporti topologici (rapporti tra le caratteristiche geometriche): tenderà ad emergere, come in figura 23, la zona più piccola o circondata da altre aree, e queste ultime assumeranno il carattere di sfondo.

I rapporti topologici (rapporti tra le caratteristiche geometriche): tenderà ad emergere, come in figura 23, la zona più piccola o circondata da altre aree, e queste ultime assumeranno il carattere di sfondo.

L’orientamentospaziale:tendonoadessereperce-pitecomefiguraleareeicuiassi coincidonoconledirezioniprincipali,verticaleeorizzontale,dello spazio.Nell’esempiodifigura22sileggepiùfacilmentelacroceverticalechenonquellainclinata.

L’orientamento spaziale: tendono ad essere percepite come figura le aree i cui assi coincidono con le direzioni principali, verticale e orizzontale, dello spazio. Nell’esempio di ➜ Fig. 22 si legge più facilmente la croce verticale che non quella inclinata.

La simmetria: le forme simmetriche (più pregnanti) sono percepite come figura. Nell’esempio in ➜ Fig. 26 le figure simmetriche, rispetto all’asse verticale, prevalgono sulle sagome più irregolari che sono percepite come sfondo anche quando si invertono i colori.

I rapporti topologici (rapporti tra le caratteristiche geometriche): tenderà ad emergere, come in figura 23, la zona più piccola o circondata da altre aree, e queste ultime assumeranno il carattere di sfondo.

I rapporti topologici (rapporti tra le caratteristiche geometriche): tenderà ad emergere, come in ➜ Fig. 23, la zona più piccola o circondata da altre aree, e queste ultime assumeranno il carattere di sfondo.

6

La percezione della profondità

La percezione visiva

La semplicità: le forme più semplici o pregnanti tendono a prevalere come figura.

PUNTO DI FISSAZIONE

PUNTO DI FISSAZIONE

Si memorizzano più facilmente forme semplici e regolari ➜ Fig. 24 mentre difficilmente riusciamo a memorizzare una forma irregolare come ad esempio una macchia ➜ Fig. 25.

Gran parte degli studiosi sono arrivati alla conclusione che noi non vediamo le distanze nella terza dimensione bensì le pensiamo o ce le rappresentiamo. Vediamo cioè degli indizi che, confrontati con i nostri ricordi di esperienze passate, ci permettono di giudicare la collocazione nello spazio degli oggetti e le loro relative distanze. L’esempio classico è quello del bambino che nell’afferrare il biberon le prime volte annaspa incerto mentre successivamente, dopo varie esperienze, riesce ad associare il movimento della mano all’immagine retinica e a compiere l’atto al primo tentativo e con gesto sicuro. Si hanno due gruppi di indizi che permettono la percezione della profondità: i binoculari, che richiedono l’uso contemporaneo dei due occhi, e i monoculari cioè con un solo occhio.

Gli indizi binoculari sono: j la tensione dei muscoli che regolano la convergenza dei globi oculari quando si osservano gli oggetti vicini. Essi mediante i recettori sensoriali situati nei muscoli stessi e nei tendini trasmettono al cervello il grado di contrazione ➜ Fig. 27;

PUNTO DI FISSAZIONE

PUNTO DI FISSAZIONE

fig.29

fig.30

Gli indizi monoculari sono: Il movimento dei muscoli interni all’occhio, quando accomodano il cristallino per mettere a fuoco l’immagine, la cui contrazione è trasmessa al cervello mediante i ricettori sensoriali situati nei muscoli stessi e nei tendini (fig.29).

La prospettiva dimensionale per cui due oggetti della stessa forma ma di diverse dimensioni appaiono collocati a distanze differenti (fig.32).

quando accomodano il cristallino per mettere a fuoco l’immagine, la cui contrazione è trasmessa al cervello mediante i ricettori sensoriali situati nei muscoli stessi e nei tendini (fig.29).

j la differenza tra le due immagini dello stesso oggetto date dai due occhi nella visione binoculare che ci permette di avere una visione tridimensionale fino alla distanza di circa 100 metri ➜ Fig. 28.

La percezione visiva

Gli indizi monoculari sono:

fig.32

Il movimento dei muscoli interni all’occhio, quando accomodano il cristallino per mettere a fuoco l’immagine, la cui contrazione è trasmessa al cervello mediante i ricettori sensoriali situati nei muscoli stessi e nei tendini (fig.29).

Gli indizi monoculari sono: j il movimento dei muscoli interni all’occhio , quando accomodano il cristallino per mettere a fuoco l’immagine, la cui contrazione è trasmessa al cervello mediante i recettori sensoriali situati nei muscoli stessi e nei tendini (➜ Fig. 29);

MUSCOLI RILASSATI

La prospettiva cromatica, che ci fa apparire più vicini gli oggetti maggiormente contrastati o che abbiano colori “caldi” (rosso, giallo,arancio) anziché “freddi” (azzurro, verde, grigio), come in figura 31.

j la prospettiva cromatica, che ci fa apparire più vicini gli oggetti maggiormente contrastati o che abbiano colori “caldi” (rosso, giallo, arancio) anziché “freddi” (azzurro, verde, grigio) come in ➜ Fig. 31;

fig.31

L’effetto prospettico, cioè quel particolare fenomeno che ci fa percepire lo spazio così come viene rappresentato col metodo della prospettiva (fig.30).

La prospettiva dimensionale per cui due oggetti della stessa forma ma di diverse dimensioni appaiono collocati a distanze differenti (fig.32).

➜ Fig. 31

La prospettiva dimensionale per cui due oggetti della stessa forma ma di diverse dimensioni appaiono collocati a distanze differenti (fig.32).

L’altezza nel campo visivo che tende a far percepire più lontane le immagini collocate nelle zone superiori del campo visivo (fig.35).

CONTRATTI

VISIONE DA LONTANO

fig.35

DA VICNO

La prospettiva dimensionale per cui due oggetti della stessa forma ma di diverse dimensioni appaiono collocati a distanze differenti (fig.32).

j l’effetto prospettico, cioè quel particolare fenomeno che ci fa percepire lo spazio così come viene rappresentato col metodo della prospettiva (➜ Fig. 30). L’esempio classico lo si ha osservando il tratto rettilineo di una linea ferroviaria dove le rotaie, che sono parallele, sembrano convergere in un punto;

L’effetto che ci sentato L’esempio neo di parallele, La

j la prospettiva dimensionale per cui due oggetti della stessa forma ma di diverse dimensioni appaiono collocati a distanze differenti (➜ Fig. 32);

L’esempio classico lo si ha osservando il tratto rettilineo di una linea ferroviaria dove le rotaie, che sono parallele, sembrano convergere in un punto.

vicini abbiano “freddi”

L’effetto prospettico, cioè quel particolare fenomeno che ci fa percepire lo spazio così come viene rappresentato col metodo della prospettiva (fig.30).

fig.32

La prospettiva cromatica, che ci fa apparire più vicini gli oggetti maggiormente contrastati o che abbiano colori “caldi” (rosso, giallo,arancio) anziché “freddi” (azzurro, verde, grigio), come in figura 31.

L’esempio classico lo si ha osservando il tratto rettilineo di una linea ferroviaria dove le rotaie, che sono parallele, sembrano convergere in un punto.

j l’altezza nel campo visivo che tende a far percepire più lontane le immagini collocate nelle zone superiori del campo visivo (➜ Fig. 33);

L’altezza nel campo visivo che tende a far percepire più lontane le immagini collocate nelle zone superiori del campo visivo (fig.35).

L’altezza nel campo visivo che tende a far percepire più lontane le immagini collocate nelle zone superiori del campo visivo (fig.35).

L’altezza nel campo visivo che tende a far percepire più lontane le immagini collocate nelle zone superiori

➜ Fig. 32 ➜ Fig. 33

fig.35

La percezione visiva

La percezione visiva

La percezione visiva

La percezione visiva

Le ombre portate che fanno percepire in posizione avanzata un oggetto rispetto ad un altro quando il primo proietta la sua ombra sul secondo (fig.34).

Le ombre portate che fanno percepire in posizione avanzata un oggetto rispetto ad un altro quando il primo proietta la sua ombra sul secondo (fig.34).

Le ombre portate che fanno percepire in posizione avanzata un oggetto rispetto ad un altro quando il primo proietta la sua ombra sul secondo (fig.34).

Le ombre portate che fanno percepire in posizione avanzata un oggetto rispetto ad un altro quando il primo proietta la sua ombra sul secondo (fig.34).

j le ombre portate che fanno percepire in posizione avanzata un oggetto rispetto a un altro quando il primo proietta la sua ombra sul secondo (➜ Fig. 34);

j l’interposizione in cui un soggetto che ci appare incompleto, perché nascosto da un altro, ci fa desumere che il primo sia dietro e quindi più lontano del secondo ➜ Fig. 35.

L’interposizione in cui un soggetto che ci incompleto, perché nascosto da un altro, ci mere che il primo sia dietro e quindi più lontano secondo (fig.35).

L’interposizione in cui un soggetto che ci appare incompleto, perché nascosto da un altro, ci fa desumere che il primo sia dietro e quindi più lontano del secondo (fig.35).

L’interposizione in cui un soggetto che ci appare incompleto, perché nascosto da un altro, ci fa desumere che il primo sia dietro e quindi più lontano del secondo (fig.35).

L’interposizione in cui un soggetto che ci appare incompleto, perché nascosto da un altro, ci fa desumere che il primo sia dietro e quindi più lontano del secondo (fig.35).

fig.34

fig.34

fig.35

fig.35

7

1.7 La costanza percettiva

1.7 La costanza percettiva

La costanza percettiva

1.7 La costanza percettiva

1.7 La costanza percettiva

Quando ci muoviamo o muoviamo gli occhi le immagini degli oggetti che ci circondano, e che si determinano sulla retina, cambiano di forma, grandezza, colore e luminosità. Nonostante ciò la capacità di riconoscere gli oggetti rimane invariata. Questo fenomeno è detto costanza percettiva ed è dato dalle costanze di dimensioni, di forma, di chiarezza e colore e dall’invariabilità della posizione.

Quando ci muoviamo o muoviamo gli occhi le immagini degli oggetti che ci circondano, e che si determinano sulla retina, cambiano di forma, grandezza, colore e luminosità. Nonostante ciò la capacità di riconoscere gli oggetti rimane invariata. Questo fenomeno è detto costanza percettiva ed è dato dalle costanze di dimensioni, di forma, di chiarezza e colore e dall’invariabilità della posizione.

Quando ci muoviamo o muoviamo gli occhi le immagini degli oggetti che ci circondano, e che si determinano sulla retina, cambiano di forma, grandezza, colore e luminosità. Nonostante ciò la capacità di riconoscere gli oggetti rimane invariata. Questo fenomeno è detto costanza percettiva ed è dato dalle costanze di dimensioni, di forma, di chiarezza e colore e dall’invariabilità della posizione.

Quando ci muoviamo o muoviamo gli occhi le immagini degli oggetti che ci circondano, e che si determinano sulla retina, cambiano di forma, grandezza, colore e luminosità. Nonostante ciò la capacità di riconoscere oggetti rimane invariata. Questo fenomeno è detto costanza percettiva ed è dato dalle costanze di dimensioni, di forma, di chiarezza e colore e dall’invariabilità della posizione.

Quando ci muoviamo o muoviamo gli occhi le immagini degli oggetti che ci circondano, e che si determinano sulla retina, cambiano di forma, grandezza, colore e luminosità. Nonostante ciò la capacità di riconoscere gli oggetti rimane invariata. Questo fenomeno è detto costanza percettiva ed è dato dalle costanze di dimensioni, di forma, di chiarezza e colore e dall’invariabilità della posizione.

La costanza di dimensioni ci permette di percepire come costanti le dimensioni di un oggetto che, allontanandosi o avvicinandosi, proietta sulla retina rispettivamente un’immagine più piccola o più grande (fig. 36).

La costanza di dimensioni ci permette di percepire come costanti le dimensioni di un oggetto che, allontanandosi o avvicinandosi, proietta sulla retina rispettivamente un’immagine più piccola o più grande (fig. 36).

La costanza di dimensioni ci permette di percepire come costanti le dimensioni di un oggetto che, allontanandosi o avvicinandosi, proietta sulla retina rispettivamente un’immagine più piccola o più grande (fig. 36).

j La costanza di dimensioni ci permette di percepire come costanti le dimensioni di un oggetto che allontanandosi o avvicinandosi proietta sulla retina rispettivamente un’immagine più piccola o più grande (➜ Fig. 36);

La costanza di dimensioni ci permette di percepire come costanti le dimensioni di un oggetto che, allontanandosi o avvicinandosi, proietta sulla retina rispettivamente un’immagine più piccola o più grande (fig. 36).

fig.36

La costanza di chiarezza e colore ci fa percepire il colore di un oggetto anche se si varia la luminosità dell’ambiente.

La costanza di chiarezza e colore ci fa percepire il colore di un oggetto anche se si varia la luminosità dell’ambiente.

La costanza di forma ci fa percepire la forma di un oggetto anche se collocato in diverse posizioni e che quindi proietta sulla retina immagini diverse: ad esempio la scacchiera in figura 37 che, inclinata, da quadrata ci appare trapezoidale.

La costanza di forma ci fa percepire la forma di un oggetto anche se collocato in diverse posizioni e che quindi proietta sulla retina immagini diverse: ad esempio la scacchiera in figura 37 che, inclinata, da quadrata ci appare trapezoidale.

La costanza di forma ci fa percepire la forma di un oggetto anche se collocato in diverse posizioni e che quindi proietta sulla retina immagini diverse: ad esempio la scacchiera in figura 37 che, inclinata, da quadrata ci appare trapezoidale.

La costanza di forma ci fa percepire la forma oggetto anche se collocato in diverse posizioni quindi proietta sulla retina immagini diverse: ad esempio la scacchiera in figura 37 che, inclinata, quadrata ci appare trapezoidale.

j La costanza di forma ci fa percepire la forma di un oggetto anche se collocato in diverse posizioni e che quindi proietta sulla retina immagini diverse: ad esempio la scacchiera in ➜ Fig. 37, che inclinata da quadrata ci appare trapezoidale;

fig.37

fig.37 fig.36

j La costanza di chiarezza e colore ci fa percepire il colore di un oggetto anche se si varia la luminosità dell’ambiente;

La costanza di chiarezza e colore ci fa percepire il colore di un oggetto anche se si varia la luminosità dell’ambiente.

L’invariabilità della posizione fa sì che i cambiamenti delle immagini sulla retina, quando ci muoviamo o muoviamo gli occhi, non ci facciano percepire in movimento l’ambiente in cui siamo.

L’invariabilità della posizione fa sì che i cambiamenti delle immagini sulla retina, quando ci muoviamo o muoviamo gli occhi, non ci facciano percepire in movimento l’ambiente in cui siamo.

j L’invariabilità della posizione fa sì che i cambiamenti delle immagini sulla retina, quando ci muoviamo o muoviamo gli occhi, non ci facciano percepire in movimento l’ambiente in cui siamo.

La costanza di chiarezza e colore ci fa percepire il colore di un oggetto anche se si varia la luminosità dell’ambiente.

L’invariabilità della posizione fa sì che i cambiamenti delle immagini sulla retina, quando ci muoviamo o muoviamo gli occhi, non ci facciano percepire in movimento l’ambiente in cui siamo.

L’invariabilità della posizione fa sì che i cambia menti delle immagini sulla retina, quando ci muoviamo o muoviamo gli occhi, non ci facciano percepire movimento l’ambiente in cui siamo.

Nella figura la metà del cerchio superiore appare per contrasto più scura

inferiore.

Fig. 38

1.8 Illusioni ottiche

8 Le illusioni ottiche

1.8 Illusioni ottiche

In figura all’incrocio delle fascie bianche compaiono delle macchie scure che svaniscono appena si porta losguardo su di esse.

Fig. 39

In questa trama di linee producono l’effetto di cerchi. effetto è chiamato illusione stein.

Sono illusioni cognitive che fanno percepire l’immagine o parte di essa in modo errato. Ad esempio linee che sono parallele sono percepite come divergenti, convergenti o curve. Oppure due elementi della stessa dimensione sono percepiti con dimensione differente.

Illusione diHering. Le linee parallele orizzontali subiscono l’influsso delle linee inclinate e sembrano restringersi o dilatarsi al centro.

Sono illusioni cognitive che fanno percepire l’immagine o parte di essa in modo errato. Ad esempio linee che sono parallele sono percepite come divergenti, convergenti o curve. Oppure due elementi della stessa dimensione sono percepiti con dimensione differente.

C’è la tendenza del cervello a valutare le dimensioni di figure basandosi su effetti prospettici o confrontandoli con oggetti vicini.

Sono illusioni cognitive che fanno percepire l’immagine o parte di essa in modo errato. Ad esempio linee che sono parallele sono percepite come divergenti, convergenti o curve. Oppure due elementi della stessa dimensione sono percepiti con dimensione differente. C’è la tendenza del cervello a valutare le dimensioni di figure basandosi su effetti prospettici o confrontandoli con oggetti vicini.

I lati del quadrato appaiono incurvati e ciò è prodotto dalla lettura inconscia dell’immagine in chiave prospettica.

Fig. 41

Nell’illusione gialle diversa

Fig.

Nella figura la metà del cerchio superiore appare per contrasto più scura della metà inferiore.

C’è la tendenza del cervello a valutare le dimensioni di figure basandosi su effetti prospettici o confrontandoli con oggetti vicini.

Nella figura la metà del cerchio superiore appare per contrasto più scura della metà inferiore.

Nella figura la metà del cerchio superiore appare per contrasto più scura della metà inferiore.

Fig. 39

In figura all’incrocio delle fascie bianche compaiono delle macchie scure che svaniscono appena si porta losguardo su di esse.

In figura all’incrocio delle fascie bianche compaiono delle macchie scure che svaniscono appena si porta losguardo su di esse.

Illusione diHering. Le linee parallele orizzontali subiscono l’influsso delle linee inclinate e sembrano restringersi o dilatarsi al centro.

Illusione diHering. Le linee parallele orizzontali subiscono l’influsso delle linee inclinate e sembrano restringersi o dilatarsi al centro.

In questa trama di linee gli estremi producono l’effetto di cerchi. Questo effetto è chiamato illusione di Ehrenstein.

In questa trama di linee gli estremi producono l’effetto di cerchi. Questo effetto è chiamato illusione di Ehrenstein.

Fig. 40

I lati del quadrato appaiono incurvati e ciò è prodotto dalla lettura inconscia dell’immagine in chiave prospettica.

diHering. Le linee parallele subiscono l’influsso delle e sembrano restringal centro.

I lati del quadrato appaiono incurvati e ciò è prodotto dalla lettura inconscia dell’immagine in chiave prospettica.

fanno percepire l’immagine o parte di essa in modo errato. Ad esempio linee che percepite come divergenti, convergenti o curve. Oppure due elementi della stessa dimendimensione differente. a valutare le dimensioni di figure basandosi su effetti prospettici o confrontandoli

Fig. 41

che fanno percepire l’immagine o parte di essa in modo errato. Ad esempio linee che percepite come divergenti, convergenti o curve. Oppure due elementi della stessa dimendimensione differente. cervello a valutare le dimensioni di figure basandosi su effetti prospettici o confrontandoli

cerchio contrasto più

cerchio contrasto più inferiore.

In figura all’incrocio delle fascie bianche compaiono delle macchie scure che svaniscono appena si porta losguardo su di esse.

In figura all’incrocio delle fascie bianche compaiono delle macchie scure che svaniscono appena si porta lo sguardo su di esse.

Illusione diHering. Le linee parallele orizzontali subiscono l’influsso delle linee inclinate e sembrano restringersi o dilatarsi al centro.

In figura all’incrocio delle fascie bianche compaiono delle macchie scure che svaniscono appena si porta losguardo su di esse.

Illusione diHering. Le linee parallele orizzontali subiscono l’influsso delle linee inclinate e sembrano restringersi o dilatarsi al centro.

Fig. 39

di essa in modo errato. Ad esempio linee che curve. Oppure due elementi della stessa dimenbasandosi su effetti prospettici o confrontandoli

ambiente che abbia le orizzontali decorate figura, la superficie di dilatarsi al centro nell’illusione di Hering.

linee parallele l’influsso delle sembrano restring-

fascie macchie appena si

In un ambiente che abbia le superfici orizzontali decorate come in figura, la superficie di fondo sembra dilatarsi al centro come nell’illusione di Hering.

I lati del quadrato appaiono incurvati e ciò è prodotto dalla lettura inconscia dell’immagine in chiave prospettica.

In questa trama di linee gli estremi producono l’effetto di cerchi. Questo effetto è chiamato illusione di Ehrenstein.

42

In questa trama di linee gli estremi producono l’effetto di cerchi. Questo effetto è chiamato illusione di Ehrenstein.

In un ambiente che abbia le superfici orizzontali decorate come in figura, la superficie di fondo sembra dilatarsi al centro come nell’illusione di Hering.

Nell’illusione di Ponzo gialle sembrano di lunghezza diversa quando invece

In un ambiente che abbia le superfici orizzontali decorate come in figura, la superficie di fondo sembra dilatarsi al centro come nell’illusione di Hering. Illusione rossi appaiono quando

Nell’illusione di Ponzo le due fascie gialle sembrano di lunghezza diversa quando invece sono uguali.

Fig. 42

Fig. 44

Fig.

I lati del quadrato appaiono incurvati e ciò è prodotto dalla lettura inconscia dell’immagine in chiave prospettica.

I lati del quadrato appaiono incurvati e ciò è prodotto dalla lettura inconscia dell’immagine in chiave prospettica.

In un ambiente che abbia le superfici orizzontali decorate come in figura, la superficie di fondo sembra dilatarsi al centro come nell’illusione di Hering.

Nell’illusione di Ponzo le due fascie gialle sembrano di lunghezza diversa quando invece sono uguali.

40

Illusione di Ebbinghaus. I due cerchi rossi appaiono di diametro diverso quando invece sono tra loro uguali.

Illusione di Ebbinghaus. I due cerchi rossi appaiono di diametro diverso quando invece sono tra loro uguali.

Nell’illusione di Ponzo le due fascie gialle sembrano di lunghezza diversa quando invece sono uguali.

Illusione di Ebbinghaus. I due cerchi rossi appaiono di diametro diverso quando invece sono tra loro uguali.

Illusione di Ebbinghaus. I due cerci rossi appaiono di diametro diverso quando invece sono tra loro uguali.

Le parallele

Le linee grigie orizzontali parallele appaiono storte.

43

45

Le linee grigie orizzontali tra loro parallele appaiono storte.

le

In questa trama di linee gli estremi producono l’effetto di cerchi. Questo effetto è chiamato illusione di Ehrenstein.

I lati del quadrato appaiono incurvati e ciò è prodotto dalla lettura inconscia dell’immagine in chiave prospettica.

In questa trama di linee gli estremi producono l’effetto di cerchi. Questo effetto è chiamato illusione di Ehrenstein.

Illusione di Ebbinghaus. I due cerchi rossi appaiono di diametro diverso quando invece sono tra loro uguali.

In un ambiente che abbia le superfici orizzontali decorate come in figura, la superficie di fondo sembra dilatarsi al centro come nell’illusione di Hering.

In un ambiente che abbia le superfici orizzontali decorate come in figura, la superficie di fondo sembra dilatarsi al centro come nell’illusione di Hering.

Nell’illusione di Ponzo le due fascie gialle sembrano di lunghezza diversa quando invece sono uguali.

I lati del quadrato appaiono incurvati e ciò è prodotto dalla lettura inconscia dell’immagine in chiave prospettica.

Le linee grigie orizzontali tra loro parallele appaiono storte.

Fig. 45

Illusione di Ebbinghaus. I due cerchi rossi appaiono di diametro diverso quando invece sono tra loro uguali.

Illusione di Ebbinghaus. I due cerchi rossi appaiono di diametro diverso quando invece sono tra loro uguali.

Nell’illusione di Ponzo le due fascie gialle sembrano di lunghezza diversa quando invece sono uguali. parallele l’influsso delle restring-

Nell’illusione di Ponzo le due fascie gialle sembrano di lunghezza diversa quando invece sono uguali.

Le linee grigie orizzontali tra loro parallele appaiono storte.

Le linee grigie orizzontali tra loro parallele appaiono storte.

Fig. 46

Le linee grigie orizzontali tra loro parallele appaiono storte.

8.1 LE ILLUSIONI OTTICHE NELL’ARCHITETTURA GRECA

Nella costruzione dei templi, gli architetti greci adottarono alcuni accorgimenti per correggere l’errata percezione di ”deformazioni” che il rigido rispetto dell’esatta geometria (ortogonalità e orizzontalità) degli elementi costruttivi avrebbe generato. Ad esempio davano, ai frontoni dei Templi, una leggera inclinazione verso l’interno per ridurre la sensazione di incombenza su chi si trovava a ridosso dell’edificio (➜ Fig. 38), oppure inclinavano le colonne più esterne verso l’interno così da compensare la percezione di

➜ Fig. 38 • Leggera inclinazione verso l’interno per ridurre la sensazione di incombenza.

➜ Fig. 40 • Curvatura verso l’alto delle linee orizzontali, come lo stilobate e la trabeazione.

una loro divaricazione verso l’esterno (➜ Fig. 39); curvavano verso l’alto le linee orizzontali, come lo stilobate e la trabeazione (➜ Fig. 40), per correggere così l’impressione di una loro leggera curvatura verso il basso (➜ Fig. 41) e ottenere pertanto la sensazione di una perfetta rettilineità; inoltre, più accentuata nei templi dorici, creavano l’èntasi cioè un rigonfiamento del fusto della colonna a circa 1/3 della sua altezza (➜ Fig. 42) per correggere la percezione di restringimento della colonna stessa al centro (➜ Fig. 43; Fig. 44).

➜ Fig. 39 • Inclinazione delle colonne più esterne verso l’interno così da compensare la percezione di una loro divaricazione verso l’esterno.

Colonna come si voleva percepita

Colonna come si voleva percepita

Colonna con rigonfiamento entasi

Percezione di restringimento

Percezione di restringimento

Colonna come si voleva percepita

Colonna come si voleva percepita

entasi

Colonna con rigonfiamento entasi

Colonna come si voleva percepita

Percezione di restringimento

Percezione di restringimento

Percezione di restringimento

Colonna con rigonfiamento

Colonna come si voleva percepita

Percezione di restringimento

➜ Fig. 41 • impressione di una loro leggera curvatura verso il basso.

Colonna con rigonfiamento

Colonna come si voleva percepita

Percezione di restringimento

Colonna con rigonfiamento

Colonna come si voleva percepita entasi

➜ Fig. 42 ➜ Fig. 43 ➜ Fig. 44

Colonna con rigonfiamento

Colonna rigonfiamento entasi

Percezione restringimento

Come si vede la psiche tende a “vedere” la situazione più consueta. Applicazioni di questa fenomeno sono frequenti in campo scenografico teatrale, vedi il Teatro Olimpico del Palladio (➜ Fig. 48 e ➜ Fig. 49), ma sono state utilizzate anche in campo architettonico

Come si vede la psiche tende a “vedere” la situazione più consueta. Applicazioni di questa fenomeno sono frequenti in campo scenografico teatrale, vedi il Teatro Olimpico del Palladio, ma sono state utilizzate anche in campo architettonico per ottenere particolari effetti spaziali come nella Piazza del Campidoglio da Michelangelo, oppure nella piazza adiacente alla Basilica di S. Pietro dal Bernini oppure per il finto coro a Santa Maria presso S. Satiro dal Bramante ecc.

➜ Fig. 48 • Pianta del teatro Olimpico di A. Palladio. Dagli ingressi di un monumentale proscenio rettangolare si dipartono a raggiera sette scene che raffigurano le vie di Tebe e furono progettate da V. Scamozzi per lo spettacolo inaugurale.

Pianta del teatro Olimpico di A. Palladio. Dagli ingressi di un monumentale proscenio rettangolare si dipartono a raggiera sette scene che raffigurano le vie di Tebe e furono progettate da V. Scamozzi per lo spettacolo inaugurale.

➜ Fig. 50 • Piazza del campidoglio di Michelangelo. Esempio di prospettiva accorciata.

Piazza del campidoglio di Michelangelo. Esempio di prospettiva accorciata.

➜ Fig. 52 • Finto coro a Santa Maria presso S. Satiro del Bramante visto lateralmente da destra e di fronte. Esempio di prospettiva accelerata.

per ottenere particolari effetti spaziali come nella Piazza del Campidoglio da Michelangelo (➜ Fig. 50), oppure nella piazza adiacente alla Basilica di S. Pietro dal Bernini (➜ Fig. 51) oppure per il finto coro a Santa Maria presso S. Satiro dal Bramante (➜ Fig. 52) ecc.

➜ Fig. 49 • Il grandioso proscenio del teatro Olimpico che si apre nell’arco trionfale centrale e in due aperture laterali da cui si scorgono le scene dello Scamozzi esempio di prospettiva accelerata.

Il grandioso proscenio del teatro Olimpico che si apre nell’arco trionfale centrale e in due aperture laterali da cui si scorgono le scene dello Scamozzi esempio di prospettiva accelerata.

➜ Fig. 51 • Piazza S. Pietro con il Sagrato di forma trapezoidale del Bernini. Esempio di prospettiva accorciata.

Piazza S. Pietro con il Sagrato di forma trapezoidale del Bernini. Esempio di prospettiva accorciata.

Finto coro a Santa Maria presso S. Satiro del Bramante visto lateralmente da destra e di fronte. Esempio di prospettiva accelerata.

violetto.

11. 2 La retina del nostro occhio ha due tipi di fotoricettori i coni bastoncelli (Fig.2).

9 La percezione del colore

9.1 SINTESI ADDITIVA

coni, che consentono una visione nitida e tricromatrica, si attivano presenza di fonti luminose come la luce del giorno o le luci artificiali. Sono di tre tipi, sensibili ciascuno a differenti lunghezze d'onda nello spettro del visibile. Per i coni sensibili al blu la massima percezione è di 440 nm, per quelli che sensibili al verde è di 540 nm per i quelli sensibili al rosso è di 570 nm. bastoncelli, che sono molto sensibili alla luce, permettono di vedere con una bassa intensità luminosa come avviene nella penombra o di notte. Non danno una visione nitida e non distinguono i colori ma consentono solamente la percezione in bianco in nero e nella scala di grigi.

1. 11 La percezione del colore

1. 11 La percezione del colore

Il colore esiste perché c’è la luce che è una forma di energia assorbita o riflessa da tutto ciò che ci circonda. Isac Newton dimostrò sperimentalmente, mediante un prisma triangolare ( ➜ Fig. 53), come si possa scomporre la luce bianca nello spettro dell’iride che va dalle lunghezze d’onda λ = 700nm (nanometri) per il rosso e λ = 400nm per il violetto. Successivamente Thomas Yung elaborò la teoria, ripresa e approfondita da Helmholtz, che riconduce la percezione dei colori alla presenza sulla retina di tre strutture nervose, sensibili rispettivamente al rosso, al verde e al blu-violetto.

11. 3 Il colore che si percepisce è dato dalla sintesi, cioè dalla unione, di tre colori primari da cui si ottengono tutti gli altri colori. Esistono due tipi di sintesi: la sintesi additiva e la sintesi sottrattiva.

La retina del nostro occhio ha due tipi di fotoricettori i coni e i bastoncelli (➜ Fig. 54).

1. 11. 1 Il colore esiste perché c’è la luce che è una forma di energia assorbita o riflessa da tutto ciò che ci circonda. Isac Newton dimostrò sperimentalmente, mediante un prisma triangolare (Fig.1), come si possa scomporre la luce bianca nello spettro dell’iride che va dalle lunghezze d’onda λ = 700nm (nanometri) per il rosso e λ = 400nm per il violetto. Successivamente Thomas Yung elaborò la teoria, ripresa e approfondita da Helmholtz, che riconduce la percezione dei colori alla presenza sulla retina di tre strutture nervose, sensibili rispettivamente al rosso, al verde e al bluvioletto.

Fig.1 Con un prisma triangolare Newton scompose la luce bianca nei colori dello spettro

Consiste nella mescolanza di tre luci monocromatiche, corrispondenti alle radiazioni assorbite dai tre tipi di coni della retina, cioè il rosso il verde e il blu che mescolati nelle giuste proporzioni danno tutti i colori percepibili (➜ Fig. 55). Dalla sintesi di due colori primari si ottengono i secondari (il giallo= rosso+verde, il magenta= rosso+blu e il ciano= blu+verde) (➜ Fig. 56) e dei tre colori primari, nelle stesse quantità, si ha luce bianca. Il nero è assenza di luce. La sintesi additiva è identificata con la sigla RGB (R= red, G= green, B= blu). Suoi esempi sono le immagini colorate sul video del computer o sul televisore che sono date dalla composizione di tanti puntini (pixel) di color rosso, verde o blu.

1. 11. 1 Il colore esiste perché c’è la luce che è una forma di energia assorbita o riflessa da tutto ciò che ci circonda. Isac Newton dimostrò sperimentalmente, mediante un prisma triangolare (Fig.1), come si possa scomporre la luce bianca nello spettro dell’iride che va dalle lunghezze d’onda λ = 700nm (nanometri) per il rosso e λ = 400nm per il violetto. Successivamente Thomas Yung elaborò la teoria, ripresa e approfondita da Helmholtz, che riconduce la percezione dei colori alla presenza sulla retina di tre strutture nervose, sensibili rispettivamente al rosso, al verde e al bluvioletto.

Fig.2 Particolare della retina con evidenziati i coni e i bastoncelli.

11. 3. 1 Sintesi additiva

I coni, che consentono una visione nitida e tricromatrica, si attivano in presenza di fonti luminose come la luce del giorno o le luci artificiali. Sono di tre tipi, sensibili ciascuno a differenti lunghezze d’onda nello spettro del visibile. Per i coni sensibili al blu la massima percezione è di 440 nm, per quelli che sensibili al verde è di 540 nm e per i quelli sensibili al rosso è di 570 nm.

Consiste nella mescolanza di tre luci monocromatiche, corrispondenti alle radiazioni assorbite dai tre tipi di coni della retina, cioè il rosso il verde e il blu che mescolati nelle giuste proporzioni danno tutti i colori percepibili (Fig.3). Dalla sintesi di due colori primari si ottengono i secondari (il giallo= rosso+verde, il magenta= rosso+blu e il ciano= blu+verde) (Fig.4) e dei tre colori primari, nelle stesse quantità, si ha luce bianca. Il nero è assenza di luce. sintesi additiva è identificata con la sigla RGB (R= red, G= green, B= blu). Suoi esempi sono le immagini colorate sul video del computer o sul televisore che sono date dalla composizione di tanti puntini (pixel) di color rosso, verde o blu.

1. 11. 2 La retina del nostro occhio ha due tipi di fotoricettori i coni e i bastoncelli (Fig.2).

1. 11. 2 La retina del nostro occhio ha due tipi di fotoricettori i coni e i bastoncelli (Fig.2).

I coni, che consentono una visione nitida e tricromatrica, si attivano in presenza di fonti luminose come la luce del giorno o le luci artificiali. Sono di tre tipi, sensibili ciascuno a differenti lunghezze d'onda nello spettro del visibile. Per i coni sensibili al blu la massima percezione è di 440 nm, per quelli che sensibili al verde è di 540 nm e per i quelli sensibili al rosso è di 570 nm.

➜ Fig. 55 • Esempio della sintesi additiva data da tre proiettori con i tre colori primari.

I coni, che consentono una visione nitida e tricromatrica, si attivano in presenza di fonti luminose come la luce del giorno o le luci artificiali. Sono di tre tipi, sensibili ciascuno a differenti lunghezze d'onda nello spettro del visibile. Per i coni sensibili al blu la massima percezione è di 440 nm, per quelli che sensibili al verde è di 540 nm e per i quelli sensibili al rosso è di 570 nm.

I bastoncelli, che sono molto sensibili alla luce, permettono di vedere con una bassa intensità luminosa come avviene nella penombra o di notte. Non danno una visione nitida e non distinguono i colori ma consentono solamente la percezione in bianco in nero e nella scala di grigi.

I bastoncelli, che sono molto sensibili alla luce, permettono di vedere con una bassa intensità luminosa come avviene nella penombra o di notte. Non danno una visione nitida e non distinguono i colori ma consentono solamente la percezione in bianco in nero e nella scala di grigi.

Fig.1 Con un prisma triangolare Newton scompose la luce bianca nei colori dello spettro

Fig.1 Con un prisma triangolare Newton scompose la luce bianca nei colori dello spettro

1. 11. 3 Il colore che si percepisce è dato dalla sintesi, cioè dalla unione, di tre colori primari da cui si ottengono tutti gli altri colori. Esistono due tipi di sintesi: la sintesi additiva e la sintesi sottrattiva.

11. 3. 2 Sintesi sottrattiva

I bastoncelli, che sono molto sensibili alla luce, permettono di vedere con una bassa intensità luminosa come avviene nella penombra o di notte. Non danno una visione nitida e non distinguono i colori ma consentono solamente la percezione in bianco in nero e nella scala di grigi. Il colore che si percepisce è dato dalla sintesi, cioè dalla unione, di tre colori primari da cui si ottengono tutti gli altri colori. Esistono due tipi di sintesi: la sintesi additiva e la sintesi sottrattiva

➜ Fig. 53 • Con un prisma triangolare Newton scompose la luce bianca nei colori dello spettro.

1. 11. 3 Il colore che si percepisce è dato dalla sintesi, cioè dalla unione, di tre colori primari da cui si ottengono tutti gli altri colori. Esistono due tipi di sintesi: la sintesi additiva e la sintesi sottrattiva

Fig.2 Particolare della retina con evidenziati i coni e i bastoncelli.

1. 11. 3. 1 Sintesi additiva

1. 11. 3. 1 Sintesi additiva

Consiste nell’assorbimento o nella riflessione, tutto o in parte, dei tre colori-luce primari, rosso, verde e blu, da parte del colore della superficie del corpo illuminato. quella cui normalmente ci si riferisce quando parliamo di dipinti, di stampa, del colore degli oggetti, ecc. A differenza della sintesi additiva, che riguarda l’emissione di luce, la sintesi sottrattiva riguarda la riflessione o la sottrazione di luce. I tre colori fondamentali in sottrattivo sono i secondari in additiva (Fig.5)

Consiste nella mescolanza di tre luci monocromatiche, corrispondenti alle radiazioni assorbite dai tre tipi di coni della retina, cioè il rosso il verde e il blu che mescolati nelle giuste proporzioni danno tutti i colori percepibili (Fig.3). Dalla sintesi di due colori primari si ottengono i secondari (il giallo= rosso+verde, il magenta= rosso+blu e il ciano= blu+verde) e dei tre colori primari, nelle stesse quantità, si ha luce bianca. Il nero è assenza di luce. La sintesi additiva è identificata con la sigla (R= red, G= green, B= blu). Suoi esempi sono le immagini colorate sul video del computer o sul televisore che sono date dalla composizione di tanti puntini (pixel) di color rosso, verde o blu.

Consiste nella mescolanza di tre luci monocromatiche, corrispondenti alle radiazioni assorbite dai tre tipi di coni della retina, cioè il rosso il verde e il blu che mescolati nelle giuste proporzioni danno tutti i colori percepibili (Fig.3). Dalla sintesi di due colori primari si ottengono i secondari (il giallo= rosso+verde, il magenta= e dei tre colori primari, nelle stesse quantità, si ha luce bianca. Il nero è assenza di luce. La sintesi additiva è identificata con la sigla RGB (R= red, G= green, B= blu). Suoi esempi sono le immagini colorate sul video del computer o sul televisore che sono date dalla composizione di tanti

1. 11. 3. 2 Sintesi sottrattiva

Consiste nel in tutto o in parte, dei tre colori-luce primari, rosso, verde e blu, da parte del colore della superficie del corpo illuminato

➜ Fig. 54 • Particolare della retina con evidenziati i coni e i bastoncelli.

l’assorbimento o nella riflessione, in tutto o in parte, dei tre colori-luce primari, rosso, verde e blu, da parte del colore della superficie del corpo illuminato

E’ quella cui normalmente ci si riferisce quando parliamo di dipinti, di stampa, del colore degli oggetti, ecc. A differenza della sintesi additiva, che riguarda l’emissione di luce, la sintesi sottrattiva riguarda la rifles sione o la sottrazione di luce. fondamentali in sottrattivo sono i secondari in additiva

9.2 SINTESI SOTTRATTIVA

Fig.3 Esempio della sintesi additiva data da tre proiettori con i tre colori primari.

blu ciano rosso bianco magenta verde giallo

Consiste nell’assorbimento o nella riflessione, in tutto o in parte, dei tre colori-luce primari, rosso, verde e blu, da parte del colore della superficie del corpo illuminato. È quella cui normalmente ci si riferisce quando parliamo di dipinti, di stampa, del colore degli oggetti, ecc. A differenza della sintesi additiva, che riguarda l’emissione di luce, la sintesi sottrattiva riguarda la riflessione o la sottrazione di luce. I tre colori fondamentali in sottrattivo sono i secondari in additiva (➜ Fig. 57).

Fig.3 Esempio della sintesi additiva data da tre proiettori con i tre colori primari.

Fig.3 Esempio della sintesi additiva data da tre proiettori con i tre colori primari. blu ciano rosso nero magenta verde giallo

colore degli oggetti, ecc. A differenza della sintesi additiva, che riguarda l’emissione di -

fondamentali in sottrattivo sono i secondari in

VERIFICA LE CONOSCENZE

1. La retina ha la funzione di:

a mettere a fuoco l’immagine.

b trasmettere l’immagine.

c trasformare i segnali ottici.

2. L’immagine dal cristallino viene:

a ingrandita.

b messa a fuoco.

c deformata.

3. Le onde luminose:

a assorbono gli oggetti.

b riflettono gli oggetti.

c emettono gli oggetti.

4. Nell’occhio la funzione della lente nella macchina fotografica è svolta da:

a la retina.

b l’umore acqueo.

c il cristallino.

5. La teoria cognitivista sostiene che l’uomo dà significato a quello che osserva utilizzando:

a l’istinto.

b la sensibilità.

c la memoria visiva.

6. La teoria della Gestalt dice che il tutto:

a è la somma delle parti.

b è più della somma delle parti.

c è la somma di sensazioni.

7. Quale legge dice che gli elementi che hanno un movimento solidale tra loro, e differente da quello di altri, sono uniti in forme:

a legge della somiglianza.

b legge del destino comune.

c legge della vicinanza.

8. Quale legge dice che gli elementi si tende a unirli quando possiedono una qualche somiglianza a parità delle altre condizioni:

a legge della vicinanza.

b legge della continuità di direzione.

c legge della chiusura.

Test interattivi

9. Quale legge dice che gli elementi si tende a unirli in forme quando nella nostra esperienza passata sono abitualmente associati tra loro:

a legge della vicinanza.

b legge della esperienza passata.

c legge della somiglianza.

10. Ciò che tende a farci percepire come figura le aree i cui assi coincidono con le direzioni verticale e orizzontale è:

a la semplicità.

b la simmetria.

c l’orientamento spaziale.

11. È un indizio binoculare nella percezione della profondità:

a la differenza tra le due immagini.

b l’effetto prospettico.

c la prospettiva cromatica.

12. È un indizio monoculare:

a l’interposizione.

b la tensione dei muscoli.

c la differenza tra le due immagini.

13. Ciò che ci fa percepire il colore di un oggetto anche al variare della luminosità è:

a la costanza di chiarezza e colore.

b la memoria.

c l’onda luminosa.

14. Ciò che ci consente una visione nitida e tricomatrica sono:

a i bastoncelli.

b la luminosità.

c i coni.

15. Nella sintesi sottrattiva i colori primari sono:

a il rosso, il giallo e il verde.

b il verde, il blu e il magenta.

c il giallo, il ciano e il magenta.

2

IL LINGUAGGIO MULTIMEDIALE

CI OCCUPEREMO DI...

1. Il linguaggio grafico: la segnaletica

2. Il linguaggio grafico: il disegno cartografico

3. Il linguaggio grafico: i disegni scientifici e tecnici

4. Il linguaggio infografico: il diagramma, l’istogramma, l’areogramma

5. Il linguaggio infografico: il diagramma di flusso

1 Il linguaggio grafico: la segnaletica

IL LINGUAGGIO MULTIMEDIALE

Il linguaggio grafico: la segnaletica

Gli esseri umani, per comunicare tra di loro, usano vari linguaggi, tra i quali il linguaggio grafico, quello infografico e quello multimediale, che sono molto efficaci poiché si avvalgono di figure, segni e immagini che facilitano la descrizione e la comprensione di ciò che si vuole comunicare. Il termine “multimediale” (dove media deriva dal latino medium, qui inteso come mezzo di comunicazione) ha il significato di “con molti mezzi di comunicazione”: quindi, il linguaggio multimediale è il linguaggio che utilizza contemporaneamente più mezzi – le immagini, i filmati, i video, la musica e il testo scritto – per comunicare informazioni. Il prodotto che così si ottiene è un qualche cosa che è più della somma dei singoli elementi che lo compongono.

IL LINGUAGGIO GRAFICO

Il linguaggio grafico: la segnaletica

Il linguaggio grafico: la segnaletica

Il linguaggio multimediale

Il linguaggio multimediale

Il linguaggio multimediale

Gli esseri umani per comunicare tra di loro usano vari linguaggi, tra i quali il grafico, quello infografico e quello multimediale,che sono molto efficaci poiché si avvalgono di figure, segni e immagini che facilitano la descrizione e la comprensione di ciò che si vuole comunicare.

Gli esseri umani per comunicare tra di loro usano vari linguaggi, tra i quali il linguaggio grafico, quello infografico e quello multimediale,che sono molto efficaci poiché si avvalgono di figure, segni e immagini che facilitano la descrizione e la comprensione di ciò che si vuole comunicare.

Gli esseri umani per comunicare tra di loro usano vari linguaggi, tra i quali il linguaggio grafico, quello infografico e quello multimediale,che sono molto efficaci poiché si avvalgono di figure, segni e immagini che facilitano la descrizione e la comprensione di ciò che si vuole comunicare.

Il termine “multimediale” ( dove media deriva dal latino medium, qui inteso come mezzo di comunicazione) ha il significato di “con molti mezzi di comunicazione”: quindi, il linguaggio multimediale è il linguaggio che utilizza contemporaneamente più mezzi – le immagini, i filmati, i video, la musica e il testo scritto... - per comunicare informazioni. Il prodotto che così si ottiene è un qualche cosa che è più della somma dei singoli elementi (immagini, video, testi, musica ...) che lo compongono.

Il termine “multimediale” ( dove media deriva dal latino medium, qui inteso come mezzo di comunicazione) ha il significato di “con molti mezzi di comunicazione”: quindi, il linguaggio multimediale è il linguaggio che utilizza contemporaneamente più mezzi – le immagini, i filmati, i video, la musica e il testo scritto... - per comunicare informazioni. Il prodotto che così si ottiene è un qualche cosa che è più della somma dei singoli elementi (immagini, video, testi, musica ...) che lo compongono.

Il termine “multimediale” ( dove media deriva dal latino medium, qui inteso come mezzo di comunicazione) ha il significato di “con molti mezzi di comunicazione”: quindi, il linguaggio multimediale è il linguaggio che utilizza contemporaneamente più mezzi – le immagini, i filmati, i video, la musica e il testo scritto... - per comunicare informazioni. Il prodotto che così si ottiene è un qualche cosa che è più della somma dei singoli elementi (immagini, video, testi, musica ...) che lo compongono.

Il linguaggio grafico

Il linguaggio grafico

Il linguaggio grafico

Il linguaggio grafico permette la trascrizione di un pensiero, di una informazione, sotto la forma di segni e di colori codificati secondo un preciso criterio. Esso comprende molti linguaggi riguardanti la segnaletica stradale, la segnaletica di sicurezza, il disegno cartografico, il disegno scientifico, il disegno tecnico, ecc. Questi, perché siano efficaci, devono rispettare determinate norme che ne uniformano il significato sia che si tratti di linguaggi specialistici, come il disegno tecnico, sia che siano rivolti all’intera popolazione come ad esempio la segnaletica di un aeroporto o di una stazione ferroviaria. Vediamo alcuni esempi.

Normalmente le comunicazioni umane si basano sull’espressione verbale che è la più naturale e diretta. In determinate situazioni essa però si può rivelare insufficiente o troppo complicata come quando si vuole descrivere un disegno, un oggetto, un ambiente, ecc.. Si provi ad esempio a far eseguire un semplice disegno, formato da poche linee, che vede solo colui che lo esegue. Successivamente fatevelo descrivere a parole e cercate di riprodurlo su un foglio seguendo le descrizioni. Confrontate quindi quanto da voi prodotto con l’originale. Vedrete che difficilmente riuscirete a riprodurre lo stesso disegno se non dopo lunghe e dettagliate indicazioni. Il linguaggio grafico permette la trascrizione di un pensiero, di una informazione, sotto la forma di segni e di colori codificati secondo un preciso criterio, il cui senso generale è fornito dal titolo e la chiave di lettura da una legenda. Esso comprende molti linguaggi riguardanti la segnaletica stradale, la segnaletica di sicurezza , il disegno cartografico, il disegno scientifico, il disegno tecnico, ecc. Questi, perché siano efficaci, devono rispettare determinate norme che ne uniformano il significato sia che si tratti di linguaggi specialistici, come il disegno tecnico, sia che siano rivolti all’intera popolazione come ad esempio la segnaletica di un aeroporto o di una stazione ferroviaria. Vediamo alcuni esempi.

Normalmente le comunicazioni umane si basano sull’espressione verbale che è la più naturale e diretta. In determinate situazioni essa però si può rivelare insufficiente o troppo complicata come quando si vuole descrivere un disegno, un oggetto, un ambiente, ecc.. Si provi ad esempio a far eseguire un semplice disegno, formato da poche linee, che vede solo colui che lo esegue. Successivamente fatevelo descrivere a parole e cercate di riprodurlo su un foglio seguendo le descrizioni. Confrontate quindi quanto da voi prodotto con l’originale. Vedrete che difficilmente riuscirete a riprodurre lo stesso disegno se non dopo lunghe e dettagliate indicazioni.

LA SEGNALETICA STRADALE

Normalmente le comunicazioni umane si basano sull’espressione verbale che è la più naturale e diretta. In determinate situazioni essa però si può rivelare insufficiente o troppo complicata come quando si vuole descrivere un disegno, un oggetto, un ambiente, ecc.. Si provi ad esempio a far eseguire un semplice disegno, formato da poche linee, che vede solo colui che lo esegue. Successivamente fatevelo descrivere a parole e cercate di riprodurlo su un foglio seguendo le descrizioni. Confrontate quindi quanto da voi prodotto con l’originale. Vedrete che difficilmente riuscirete a riprodurre lo stesso disegno se non dopo lunghe e dettagliate indicazioni.

Il linguaggio grafico permette la trascrizione di un pensiero, di una informazione, sotto la forma di segni e di colori codificati secondo un preciso criterio, il cui senso generale è fornito dal titolo e la chiave di lettura da una legenda. Esso comprende molti linguaggi riguardanti la segnaletica stradale, la segnaletica di sicurezza , il disegno cartografico, il disegno scientifico, il disegno tecnico, ecc. Questi, perché siano efficaci, devono rispettare determinate norme che ne uniformano il significato sia che si tratti di linguaggi specialistici, come il disegno tecnico, sia che siano rivolti all’intera popolazione come ad esempio la segnaletica di un aeroporto o di una stazione ferroviaria. Vediamo alcuni esempi.

La segnaletica stradale

La segnaletica stradale

La segnaletica stradale

La segnaletica stradale è pressoché uguale in tutta Europa. Prevede che i segnali di pericolo siano di forma triangolare con una fascia rossa lungo il perimetro, i segnali di divieto rotondi con bordo e banda trasversale rossi e segnali di obbligo rotondi con fondo azzurro ecc. Questo tipo di schema è rispettato anche dalla segnaletica di sicurezza fig.1.

Normalmente le comunicazioni umane si basano sull’espressione verbale che è la più naturale e di retta. In determinate situazioni essa però si può ri velare insufficiente o troppo complicata. Si provi ad esempio a far eseguire un semplice disegno, formato da poche linee, che vede solo colui che lo esegue. Successivamente fatevelo descrivere a parole e cer cate di riprodurlo su un foglio seguendo le descri zioni. Confrontate quindi quanto da voi prodotto con l’originale. Vedrete che difficilmente riuscirete a riprodurre lo stesso disegno se non dopo lunghe e dettagliate indicazioni.

La segnaletica stradale è pressoché uguale in tutta Europa. Prevede che i segnali di pericolo siano di forma triangolare con una fascia rossa lungo il perimetro, i segnali di divieto rotondi con bordo e banda trasversale rossi e i segnali di obbligo rotondi con fondo azzurro ecc. (➜ Fig. 1) Questo tipo di schema è rispettato anche dalla segnaletica di sicurezza.

Il linguaggio grafico permette la trascrizione di un pensiero, di una informazione, sotto la forma di segni e di colori codificati secondo un preciso criterio, il cui senso generale è fornito dal titolo e la chiave di lettura da una legenda. Esso comprende molti linguaggi riguardanti la segnaletica stradale, la segnaletica di sicurezza , il disegno cartografico, il disegno scientifico, il disegno tecnico, ecc. Questi, perché siano efficaci, devono rispettare determinate norme che ne uniformano il significato sia che si tratti di linguaggi specialistici, come il disegno tecnico, sia che siano rivolti all’intera popolazione come ad esempio la segnaletica di un aeroporto o di una stazione ferroviaria. Vediamo alcuni esempi.

La segnaletica stradale è pressoché uguale in tutta Europa. Prevede che i segnali di pericolo siano di forma triangolare con una fascia rossa lungo il perimetro, i segnali di divieto rotondi con bordo e banda trasversale rossi e segnali di obbligo rotondi con fondo azzurro ecc. Questo tipo di schema è rispettato anche dalla segnaletica di sicurezza fig.1.

La segnaletica stradale è pressoché uguale in tutta Europa. Prevede che i segnali di pericolo siano di forma triangolare con una fascia rossa lungo il perimetro, i segnali di divieto rotondi con bordo e banda trasversale rossi e segnali di obbligo rotondi con fondo azzurro ecc. Questo tipo di schema è rispettato anche dalla segnaletica di sicurezza fig.1.

2 Il linguaggio grafico: il disegno cartografico

Comprende carte di varie scale:

j piante (➜ Fig. 2), che rappresentano i centri urbani, e mappe (➜ Fig. 3), che rappresentano le aree rurali. Sono a grandissima scala, quindi con denominatore molto piccolo e cioè di 1:5.000 o 1:10.000. Sono molto dettagliate nel riportare il terreno con costruzioni, tracciati stradali, piantumazioni ecc. e hanno un utilizzo prettamente tecnico come la stesura di piani regolatori, e quanto altro riguarda l’organizzazione del territorio;

j carte topografiche hanno una scala da 1:10.000 a 1:200.000 e riportano le costruzioni edili, l’andamento del terreno, i corsi fluviali ecc. e hanno anch’esse un uso prettamente tecnico (➜ Fig. 4);

j carte corografiche (a media scala) da 1:200.000 a 1:1.000.000 rappresentano regioni o territori abbastanza estesi, sono meno particolareggiate delle precedenti e danno una conoscenza generale del territorio (➜ Fig. 5):

j carte geografiche che sono a piccola e piccolissima scala, quindi col denominatore molto grande, cioè oltre 1:1.000.000 sono una rappre

A volte le carte topografiche sono eseguite in modo schematico e fuori scala come le carte che rappresentano le linee della metropolitana di Londra ( ➜ Fig. 7 ). Ciò nasce dalla necessità di rappresentare una vasta estensione in una carta di piccole dimensioni. Essa infatti diventa sempre più densa di indicazioni mano a mano che ci si avvicina al centro città con il risultato che le indicazioni e le scritte, relative alle stazioni centrali, risulterebbero troppo vicine le une alle altre da sovrapporsi. Il problema è stato risolto non adottando una scala precisa ma seguendo la logica della più facile lettura e quindi la zona del centro, che è più congestionata da stazioni, è rappresentata a una scala maggiore rispetto alla periferia e anche l’andamento dei tracciati, a volte tortuoso, è rappresentato rettilineo.

3

ll linguaggio grafico: i disegni scientifici e tecnici

I DISEGNI SCIENTIFICI

I disegni scientifici sono molto accurati e permettono di mettere in risalto, e quindi descrivere spesso meglio di una fotografia, l’oggetto in esame. Infatti mentre la fotografia riporta indiscriminatamente tutto ciò che è inquadrato (➜ Fig. 8), anche cose che possono non interessare o addirittura ostacolare la perfetta lettura, il disegno consente di sottolineare od omettere i vari elementi (➜ Fig. 9).

I DISEGNI TECNICI

Sono disegni che rappresentano in modo dettagliato oggetti, organi, costruzioni con indicazioni precise per la loro descrizione o per la loro realizzazione. Essi sono eseguiti rispettando norme precise e spesso sono accompagnati da una Legenda che specifica il significato di eventuali simboli utilizzati nella rappresentazione. In questa e nelle pagine seguenti sono riportati alcuni esempi: in ➜ Fig. 10 è riportato lo schema di una caldaia, in ➜ Fig. 11 lo schema di un impianto oleodinamico, in ➜ Fig. 12 una planimetria catastale, in ➜ Fig. 13 una mappa catastale, in ➜ Fig. 14 la pianta di una abitazione e in ➜ Fig. 15 lo schema dell’impianto elettrico di un appartamento.

Il linguaggio grafico: i disegni scientifici

➜ Fig. 7

I disegni scientifici sono molto accurati e permetto no di mettere in risalto, e quindi descrivere spesso meglio di una fotografia, l’oggetto in esame. Infatti mentre la fotografia riporta indiscriminatamente tutto ciò che è inquadrato fig.2, anche cose che possono non interessare o addirittura ostacolare la perfetta lettura, il disegno consente di sottolineare od omettere i vari elementi fig.3.

Sono disegni che con opportuni simboli danno indicazioni estremamente precise sugli impianti, sugli organi, sulle loro dimensioni, sui materiali, sui trattamenti superficiali, sulle finiture, sulle lavorazi

➜ Fig. 8

In fig.4 è riportato lo schema di una caldaia e in fig.5 è riportato lo schema di un impianto oleodinamico.

➜ Fig. 10 ➜ Fig. 9

Fig. 15

LEGENDA: muratura portante in c.a.

muratura portante in laterizio

0m 1 2 3 4

Pianta piano primo

Punto luce a soffitto

Punto luce a parete

Lampada a fluorezenza

Lampada di segnalazione

Pulsante di chiamata

Pulsante di chiamata a tirante

Suoneria

Ronzatore

Collegamento di messa a terra

Citofono

4 Il

linguaggio infografico: il diagramma, l’istogramma, l’areogramma

Il linguaggio infografico permette di comunicare informazioni e dati in forma grafica e cioè mediante diagrammi, istogrammi, areogrammi, schemi, tabelle, diagrammi di flusso.

DIAGRAMMA CARTESIANO

È dato da un sistema di assi cartesiani in cui su un asse si riporta la variabile indipendente e sull’altro asse la variabile dipendente. Descrive sinteticamente l’andamento di un fenomeno, di un processo, di una funzione matematica ecc. Un esempio è il diagramma carichi–allungamenti di materiali metallici (➜ Fig. 16).

ISTOGRAMMA

Usa come riferimento un sistema di assi cartesiani e può essere a colonne o a barre a seconda che i rettangoli che lo costituiscono siano verticali o orizzontali. Nell’istogramma a colonne si riportano sull’asse delle ascisse le basi delle colonne le cui altezze fanno riferimento all’asse delle ordinate.

Gli istogrammi sono particolarmente indicati per la rappresentazione di dati di cui è più importante il confronto diretto. Nel caso in cui invece sia necessario collegare i dati, per ottenere una linea che ne sottolinei l’andamento caratteristico, si ricorre al diagramma. L’istogramma in figura mette a confronto il numero di navigatori internet su rete mobile in Italia negli ultimi anni (➜ Fig. 17).

AREOGRAMMA

È detto anche diagramma a settori. È particolarmente efficace per rappresentare la ripartizione di un tutto. Per creare un areogramma si parte normalmente da un cerchio che rappresenta il 100% di ciò che si vuole analizzare e lo si suddivide in tanti settori circolari il cui numero dipende dai soggetti che partecipano a formare il tutto e la cui ampiezza dipenderà dalla rispettiva importanza. Ad esempio per rappresentare la distribuzione delle valutazioni in disegno (➜ Fig. 18) in una classe formata da 26 allievi di cui 2 gravemente insufficienti,

➜ Fig. 18

➜ Fig. 16 ➜ Fig. 17

4 insufficienti, 6 sufficienti, 6 buoni, 5 distinti e 3 ottimi, si calcolano le percentuali dei vari gruppi e si moltiplica l’angolo di 360° per ciascuna percentuale ricavando l’apertura angolare di ciascun settore.

Inizio sequenza istruzioni

Inserimento ed emissione dati

Diagramma di flusso E’ il metodo più usato per rappresentare un algoritmo (cioè una sequenza ordinata di istruzioni che porta alla soluzione di un problema). Nella tabella sono descritti i vari elementi che possono costituire un diagramma di flusso col relativo significato. A fianco, con un diagramma di flusso, sono indicati i passi da seguire prima di iniziare un disegno.

5 Il linguaggio infografico: il diagramma di flusso

Diagramma di flusso E’ il metodo più usato per rappresentare un algoritmo (cioè una sequenza ordinata di istruzioni che porta alla soluzione di un problema). Nella tabella sono descritti i vari elementi che possono costituire un diagramma di flusso col relativo significato.

CONTROLLA SE IL TAVOLO È PULITO È PULITO?

Il linguaggio infografico: il diagramma di flusso INIZIO

Inizio sequenza istruzioni

È il metodo più usato per rappresentare un algoritmo (cioè una sequenza ordinata di istruzioni che porta alla soluzione di un problema). Nella tabella sono descritti i vari elementi che possono costituire un diagramma di flusso col relativo significato. A fianco, con un diagramma di flusso, sono indicati i passi da seguire prima di iniziare un disegno. INIZIO

A fianco, con un diagramma di flusso, sono indicati i passi da seguire prima di iniziare un disegno.

PRENDI UN FOGLIO DA DISEGNO

CONTROLLA SE IL TAVOLO È PULITO È PULITO?

SÌ

PROCURATI UNO STRACCIO E PULISCILO

Inizio sequenza istruzioni

Inserimento ed emissione dati

Istruzione da eseguire

Inserimento ed emissione dati

Istruzione con scelta tra due possibili percorsi a seconda della valutazione di una certa condizione

Istruzione da eseguire

Fine sequenza istruzioni

Istruzione con scelta tra due possibili percorsi a seconda della valutazione di una certa condizione

Fine sequenza istruzioni

PROCURATI UNO STRACCIO E PULISCILO

DIMENSIONE GIUSTA? SAI COME ORIENTARLO? SÌ

PRENDI UN FOGLIO DA DISEGNO

FISSALO SUL TAVOLO COL NASTRO ADESIVO

PREPARA SUL TAVOLO L’ATTREZZATURA PER IL DISEGNO È IN ORDINE SUL TAVOLO C’È

FISSALO SUL TAVOLO COL NASTRO ADESIVO

AFFILA LE MINE DELLA MATITA E DEL COMPASSO E PULISCI LE SQUADRE NO SÌ

SÌ NO SÌ NO È DELLA

SOLO LO STRETTO NECESSARIO PER DISEGNARE?

CHIEDI ALL’INSEGNANTE

SÌ NO SÌ NO È DELLA DIMENSIONE GIUSTA? SAI COME ORIENTARLO?

COMPILA IL FOGLIO CON COGNOME, NOME, DATA, CLASSE E N° TAVOLA

PREPARA SUL TAVOLO L’ATTREZZATURA PER IL DISEGNO È IN ORDINE SUL TAVOLO C’È SOLO LO STRETTO NECESSARIO PER DISEGNARE?

ORA SEI PRONTO PER INIZIARE L’ESERCITAZIONE

CHIEDI ALL’INSEGNANTE

RIPONI CIÒ CHE NON SERVE: ASTUCCIO, CUSTODIE, NASTRO ADESIVO ECC. NO

AFFILA LE MINE DELLA MATITA E DEL COMPASSO E PULISCI LE SQUADRE NO

RIPONI CIÒ CHE NON SERVE: ASTUCCIO, CUSTODIE, NASTRO ADESIVO ECC. NO

COMPILA IL FOGLIO CON COGNOME, NOME, DATA, CLASSE E N° TAVOLA

ORA SEI PRONTO PER INIZIARE L’ESERCITAZIONE

VERIFICA LE CONOSCENZE

La comunicazione grafica: Esercizi

1. I segnali rotondi con bordo e banda trasversale rossi sono segnali di: a obbligo. b pericolo. c divieto.

comunicazione grafica: Esercizi

La comunicazione grafica: Esercizi

Test interattivi

1893-1903 24,1°; 1903-1913 24,8°; 1913-1923 23,9°; 1923-1933 26,2°; 1933-1943 23,8°; 1943-1953 26,2°; 1953-1963 24,7°; 1963-1973 25,1°; 1973-1983 24,2°; 1983-1993 26,7°; 1993-2003 25,9°

2. Le carte geografiche sono in scala: a tra 1:10.000 e 1:200.000. b oltre 1:1.000.000. c tra 1:200.000 e 1:1.000.000.

3. Volendo un carta che rappresenti solo la tua regione sceglieresti: a una carta corografica. b una carta topografica. c una carta geografica.

4. Traccia un diagramma cartesiano con i seguenti dati relativi alla temperatura massima a Torino nel mese di luglio tra il 1893 e il 2003 con cadenza decennale:

1893-1903 24,1°; 1903-1913 24,8°; 1913-1923 23,9°; 1923-1933 26,2°; 1933-1943 23,8°; 1943-1953 26,2°; 1953-1963 24,7°; 1963-1973 25,1°; 1973-1983 24,2°; 1983-1993 26,7°; 1993-2003 25,9°

1893-1903 24,1°; 1903-1913 24,8°; 1913-1923 23,9°; 1923-1933 26,2°; 1933-1943 23,8°; 1943-1953 26,2°; 1953-1963 24,7°; 1963-1973 25,1°; 1973-1983 24,2°; 1983-1993 26,7°; 1993-2003 25,9°

5. Costruisci un istogramma che metta a confronto le ore settimanali di lezione nella tua classe nelle varie materie:

6. Costruisci un areogramma che descriva la suddivisione degli studenti di una scuola basata sui tempi di percorrenza da casa a scuola sapendo che ce ne sono: 45 da 1’ a 10’; 82 da 11’ a 15’; 145 da 16’ a 20’; 231 da 21’ a 30’; 319 più di 30’.

SEZIONE

GLI STRUMENTI PER IL DISEGNO TECNICO

CAPITOLO 3 STRUMENTI TRADIZIONALI E LORO USO

CAPITOLO 4 STRUMENTI ATTUALI: IL COMPUTER

CAPITOLO 5 CENNI SULLE NORME UNI

Fondazione

Edificio trasparente che fonde architettura e paesaggio urbano che ospita il museo di arte contemporanea.

MATERIALE:

IL VETRO

Il vetro è un materiale affascinante e versatile, utilizzato in architettura da secoli. La sua composizione si basa principalmente su sabbia silicea fusa, una risorsa naturale abbondante e riciclabile. In passato veniva usato soprattutto con funzione decorativa o simbolica, mentre oggi ha assunto anche un ruolo strutturale e funzionale. Sorprendentemente, il vetro può raggiungere resistenze alla compressione superiori a quelle dell’acciaio, pur mantenendo leggerezza e trasparenza. La sua caratteristica più importante è la capacità di trasmettere la luce, rendendo gli ambienti luminosi, salubri e aperti. Nelle chiese gotiche del Medioevo era legato al simbolismo della luce divina. Oggi, invece, è protagonista di facciate continue, serramenti moderni ed edifici a basso consumo energetico. Le nuove tecnologie hanno ampliato le sue potenzialità: vetri basso emissivi, vetri stratificati di sicurezza e fotovoltaici consentono di migliorare isolamento, sicurezza e sostenibilità. In edilizia il vetro trova impiego in facciate, coperture, finestre e pareti divisorie. Non è solo un elemento estetico, ma anche funzionale per ridurre i consumi energetici sfruttando la luce naturale.

Riciclabilità totale: il vetro può essere fuso e riutilizzato infinite volte.

Isolamento energetico: i vetri performanti riducono il fabbisogno di riscaldamento e raffrescamento.

Illuminazione naturale: favorisce il risparmio energetico e il comfort visivo.

EDUCAZIONE CIVICA

È diventato quindi un materiale centrale nell’architettura contemporanea, capace di unire trasparenza, tecnica e sostenibilità.

orientamento

IL RUOLO DEL GEOMETRA

Le competenze fondamentali includono il saper:

→ progettare e verificare la realizzazione delle parti vetrate come infissi e facciate assicurandosi che rispettino le norme di sicurezza, efficienza energetica e isolamento acustico;

→ conoscere la normativa aggiornata in materia ambientale;

→ supervisionare la posa in opera e gli avanzamenti dei lavori in cantiere;

→ scegliere altri materiali da unire alle parti di vetro sia in termine di resa estetica sia in termini di efficienza energetica.

CRITICITÀ

Consumo: elevato consumo energetico nella fase di produzione iniziale.

Fragilità: il vetro non trattato è molto fragile. Smaltimento rifiuti: diventa complesso se mescolato a pellicole o materiali non riciclabili.

3

STRUMENTI TRADIZIONALI E LORO USO

1 Descrizione degli strumenti

principali

L’uomo è l’unico essere vivente che sa progettare e costruire oggetti, utensili, macchine ecc. Egli ha iniziato con il vasellame, le armi, gli attrezzi, giungendo successivamente alla costruzione di manufatti più complessi, la cui realizzazione implicava la stesura preventiva di un progetto in cui fossero studiate tutte le fasi costruttive. Il disegno tecnico è stato ed è un mezzo indispensabile per la progettazione di un’opera, perché permette di rappresentare sia l’idea globale sia le caratteristiche costruttive di ogni singolo componente. Di seguito presentiamo le principali caratteristiche degli strumenti impiegati per l’esecuzione di disegni tecnici.

1.1 LA CARTA

La carta è costituita principalmente da cellulosa, trattata chimicamente, ottenuta dagli alberi di legno tenero come la betulla, il pioppo, il pino. Una carta meno comune, in quanto costosa e più pregiata, è ottenuta dal cotone, il lino e la canapa. Esistono vari tipi di carta, tra cui quella per il disegno, con caratteristiche diverse a seconda dell’uso a cui è adibita.

1.2 LA CARTA PER IL DISEGNO

La carta per il disegno normalmente è fornita in fogli oppure in rotoli come la carta da lucido (trasparente e usata principalmente per i disegni a china) e la carta da spolvero detta anche da scena (per usi particolari in pittura e disegno).

CI OCCUPEREMO DI...

1. Descrizione degli strumenti principali

2. Uso corretto degli strumenti tradizionali

3. Squadratura del foglio e uso delle squadre

4. Il disegno a mano libera

permette l’esecuzione di disegni di precisione. Può essere di varia grammatura e spessore, e la scelta dell’uno o dell’altro tipo dipenderà dall’uso che se ne intende fare. Per il disegno tecnico si consiglia l’uso di una carta con grammatura di 220 gr/m2 in quanto fornisce una buona resistenza all’eventuale azione della gomma e allo strofinio delle squadrette. Per il disegno a mano libera, soprattutto nei primi tempi, conviene utilizzare carta quadrettata o anche millimetrata.

I fogli bianchi o già utilizzati conviene conservarli in cartelline rigide così da evitare piegature e arrotolamenti che ne comprometterebbero l’aspetto.

1.3 MATITE

Per il disegno si usano i portamine, più adatti al disegno tecnico delle matite tradizionali di legno (➜ Fig. 1). In ogni caso l’importante è che la punta sia lunga e non tozza e, nel caso del portamine (➜ Fig. 2), sporgente almeno 10 mm in modo da poter vedere bene dove si appoggia (➜ Fig. 3).

Per il disegno tecnico la carta più indicata è la carta liscia bianca, in fogli di varie dimensioni, perché ➜

Sia nella matita in legno sia nel portamine ciò che lascia il segno è la mina che è costituita principalmente da grafite con l’aggiunta di argilla. La proporzione di grafite e di argilla rende più o meno dura la mina. Ci sono mine morbide (da 9B a 2B), medie (B-HB-F), dure (da H a 9H) (➜ Fig. 4). Più le mine sono morbide più carico ne risulta il segno, ma è anche più facile sporcare il foglio. Viceversa più sono dure meno il segno risulta visibile ma è più facile incidere il foglio. Le più adatte per il disegno tecnico sono le HB, F e H e per eseguire i disegni a mano libera la B e la 2B.

9B 8B 7B 6B 5B 4B 3B 2B B HB

9B 8B 7B 6B 5B 4B 3B 2B B HB

F H 2H 3H 4H 5H 6H 7H 8H 9H

F H 2H 3H 4H 5H 6H 7H 8H 9H

➜ Fig. 4

Per eseguire un disegno è importante impugnare in modo corretto la matita. Pertanto nel caso in cui si avesse qualche difficoltà nel farlo, si consiglia l’uso di matite in legno a sezione triangolare oppure l’uso di opportuni correttori (➜ Fig. 5) da applicare alla matita o al portamine.

1.5 GOMME

Per il disegno a matita si usano gomme bianche morbide (➜ Fig. 9); eventualmente per pulire un disegno particolarmente sporco, si usa la gommapane (➜ Fig. 10). Per il disegno a china su carta da lucido si usa una gomma specifica traslucida di colore bianco o giallo (➜ Fig. 11).

1.6 SQUADRE, RIGHE E RIGHELLI

Per tracciare le linee rette si usano squadre, righe e righelli.

➜ Fig. 5

1.4 AFFILAMINE

Per affilare le mine sono usati la carta smeriglio (➜ Fig. 6), le campane (➜ Fig. 7) e i girelli (➜ Fig. 8). Questi ultimi permettono di ottenere velocemente una corretta affilatura grazie anche a due regolatori di lunghezza, uno per ottenere una punta affilata, l’altro per ottenere una punta un po’ più grossa.

Le squadre sono a forma di triangolo rettangolo isoscele (con angoli di 45° e 90°) (➜ Fig. 12) e di triangolo rettangolo scaleno (con angoli di 30°, 60° e 90°) (➜ Fig. 13), di varie dimensioni. Si sconsiglia l’uso di squadrette troppo piccole, perché insufficienti, o troppo grandi, perché ingombranti. Nell’uso si deve fare attenzione a non spostarle trascinandole, bensì sollevandole per non sporcare il foglio.

CARTA SMERIGLIO

Foglio di tela o carta ricoperta da materiale abrasivo.

CARTA DA LUCIDO

Carta a bassa opacità che consente di vedere in trasparenza. Usata, con matita o china, per riprodurre una figura posta al di sotto di essa.

Le righe servono per tracciare linee di dimensioni tali da non poter essere eseguite con le squadrette, come ad esempio le linee della squadratura, mentre i righelli servono per rilevare misure e sono meno ingombranti delle squadrette. Ne esistono di varie lunghezze (➜ Fig. 14). Quando si acquistano squadre, righe e righelli è bene controllare che non siano arcuate e che i bordi siano perfettamente lisci. Nel caso poi delle squadrette in plastica, è opportuno verificare che non presentino residui dovuti a uno stampaggio mal realizzato.

1.8 GONIOMETRI

Il goniometro è uno strumento che serve per misurare l’ampiezza degli angoli. È formato da un disco graduato su cui sono riportate 360 tacche (ogni tacca corrisponde a 1°) (➜ Fig. 16), oppure da un semidisco con 180 tacche (➜ Fig. 17).

1.7 PARALLELOGRAFI

Il parallelografo (➜ Fig. 15) è una riga, guidata da due cavetti, che si sposta sempre parallelamente a se stessa. In commercio se ne trovano di già montati su tavolette.

1.9 COMPASSI

Il compasso è uno strumento, formato da due aste incernierate tra loro e con una apertura regolabile, che viene usato per tracciare circonferenze o per riportare misure. In commercio ne esistono di diversi tipi, ma quelli che ci interessano sono il balaustrone (➜ Fig. 18) e il normale compasso ad aste (➜ Fig. 19).

Nell’uso del compasso è importante controllare che la punta di grafite sia sempre bene affilata e alla stessa altezza della punta metallica o un po’ più sporgente. Nel compasso tradizionale è bene controllare che l’apertura o la chiusura delle aste non sia né troppo difficoltosa nè troppo facile. Nel caso lo fossero, si deve regolare il serraggio delle viti che collegano le aste con la cerniera e che sono accessibili svitando il perno zigrinato e togliendo la copertura.

1.10 MASCHERINE, CURVILINEI, NORMOGRAFI

Le mascherine servono per tracciare rapidamente le principali figure geometriche (➜ Fig. 20) (cerchi, ellissi, poligoni ecc.) e i simboli ricorrenti nei disegni meccanici, come dadi esagonali (➜ Fig. 21), negli schemi elettrici, come lampade, spine ecc., o nell’arredamento, come mobili o apparecchi sanitari (➜ Fig. 22).

I curvilinei (➜ Fig. 23) sono mascherine atte al tracciamento delle curve. Col disegno a matita è consigliato l’uso di curvilinei con bordi dritti per poterli capovolgere qualora si dovessero eseguire curve simmetriche.

I normografi (➜ Fig. 24) sono mascherine usate per scrivere caratteri in stampatello. Sono dotati di supporti laterali, che li tengono sollevati dal foglio per la scrittura con penne a china, che sono rimossi quando si usano con la matita.

PERNO ZIGRINATO

Perno posto sulla sommità del compasso, per poterlo ruotare agevolmente, reso rugoso mediante zigrinatura cioè per mezzo di solchi (vedi p. 382).

2 Uso corretto degli strumenti tradizionali

2.1 INDICAZIONI PER UN USO CORRETTO: MATITA E COMPASSO

Indicazioni per un uso corretto: matita e compasso

Indicazioni per un uso corretto:

matita e compasso

1.

MATITA

Matita

Indicazioni per un uso corretto: matita e compasso

Matita

Matita

- punta affilata, lunga e non tozza, se matite in legno, o, nel caso del portamine, sporgente almeno 10mm in modo da poter vedere bene dove si appoggia fig.1;

- impugnata in modo corretto cioè tra le punte delle dita pollice, indice e medio;

- punta affilata, lunga e non tozza, se matite in legno, o, nel caso del portamine, sporgente almeno 10mm in modo da poter vedere bene dove si appoggia fig.1;

- perpendicolare al foglio fig.2 e non inclinata nè verso la squadretta fig.3 nè contro essa fig.4;

- impugnata in modo corretto cioè tra le punte delle dita pollice, indice e medio;

- punta affilata, lunga e non tozza, se matite in legno, o, nel caso del portamine, sporgente almeno 10mm in modo da poter vedere bene dove si appoggia fig.1; - impugnata in modo corretto cioè tra le punte delle dita pollice, indice e medio; - perpendicolare al foglio fig.2 e non inclinata nè verso la squadretta fig.3 nè contro essa fig.4; - inclinata, se vista di fronte fig.5, e trascinata nel senso dell’inclinazione roteandola, possibilmente, rispetto al suo asse fig.4.

- perpendicolare al foglio fig.2 e non inclinata nè verso la squadretta fig.3 nè contro essa fig.4;

- inclinata, se vista di fronte fig.5, e trascinata nel senso dell’inclinazione roteandola, possibilmente, rispetto al suo asse fig.4.

- inclinata, se vista di fronte fig.5, e trascinata nel senso dell’inclinazione roteandola, possibilmente, rispetto al suo asse fig.4.

punta affilata, lunga e non tozza, se matite in legno, o, nel caso del portamine, sporgente almeno 10mm in modo da poter vedere bene dove si appoggia (➜ Fig. 25); impugnata in modo corretto cioè tra le punte delle dita pollice, indice e medio; perpendicolare al foglio (➜ Fig. 26) e non inclinata né verso la squadretta (➜ Fig. 27) né contro essa (➜ Fig. 28); inclinata, se vista di fronte (➜ Fig. 29), e trascinata nel senso dell’inclinazione roteandola, possibilmente, rispetto al suo asse (➜ Fig. 29).

Compasso

Compasso

2. COMPASSO

Compasso

- usare la punta in acciaio a spillo anziché quella conica fig.6; - punta di grafite sempre bene affilata e alla stessa altezza della punta metallica o leggermente più sporgente fig.7; - le due punte di grafite e di acciaio devono sporgere dai porta punte in modo sufficiente da permettere una facile visione del loro posizionamento sul disegno (come nel caso della punta di grafite dal portamine);

- usare la punta in acciaio a spillo anziché quella conica fig.6;

- punta di grafite sempre bene affilata e alla stessa altezza della punta metallica o leggermente più sporgente fig.7;

- usare la punta in acciaio a spillo anziché quella conica fig.6; - punta di grafite sempre bene affilata e alla stessa altezza della punta metallica o leggermente più sporgente fig.7; - le due punte di grafite e di acciaio devono sporgere dai porta punte in modo sufficiente da permettere una facile visione del loro posizionamento sul disegno (come nel caso della punta di grafite dal portamine);

- nel caso in cui la punta sia a scalpello la parte più lunga deve essere verso l’interno del compasso vicino alla punta metallica fig.8;

- le due punte di grafite e di acciaio devono sporgere dai porta punte in modo sufficiente da permettere una facile visione del loro posizionamento sul disegno (come nel caso della punta di grafite dal portamine);

- nel caso in cui la punta sia a scalpello la parte più lunga deve essere verso l’interno del compasso vicino alla punta metallica fig.8; - se l’apertura del compasso è ampia può essere utile piegare le mezze astine verso l’interno così da avere le punte quasi perpendicolari al foglio fig.9.

- se l’apertura del compasso è ampia può essere utile piegare le mezze astine verso l’interno così da avere le punte quasi perpendicolari al foglio fig.9.

- nel caso in cui la punta sia a scalpello la parte più lunga deve essere verso l’interno del compasso vicino alla punta metallica fig.8;

usare la punta in acciaio a spillo anziché quella conica (➜ Fig. 30); punta di grafite sempre bene affilata e alla stessa altezza della punta metallica o leggermente più sporgente (➜ Fig. 31); le due punte di grafite e di acciaio devono sporgere dai porta punte in modo sufficiente da permettere una facile visione del loro posizionamento sul disegno (come nel caso della punta di grafite dal portamine); nel caso in cui la punta sia a scalpello la parte più lunga deve essere verso l’interno del compasso vicino alla punta metallica (➜ Fig. 32); se l’apertura del compasso è ampia può essere utile piegare le mezze astine verso l’interno così da avere le punte quasi perpendicolari al foglio (➜ Fig. 33).

- se l’apertura del compasso è ampia può essere utile piegare le mezze astine verso l’interno così da avere le punte quasi perpendicolari al foglio fig.9.

Strumenti per il disegno: uso delle squadrette

Strumenti per il disegno: uso delle squadrette

2.2 STRUMENTI PER IL DISEGNO: USO DELLE SQUADRETTE

Uso delle squadrette per tracciare linee parallele e perpendicolari

1. USO DELLE SQUADRETTE PER TRACCIARE LINEE PARALLELE E PERPENDICOLARI

Uso delle squadrette per tracciare linee parallele e perpendicolari

Accostando due squadrette e facendole scorrere l’una sull’altra si possono tracciare linee tra loro parallele o perpendicolari.

Accostando due squadrette e facendole scorrere l’una sull’altra si possono tracciare linee tra loro parallele o perpendicolari.

Accostando due squadrette e facendole scorrere l’una sull’altra si possono tracciare linee tra loro parallele o perpendicolari.

2. USO DELLE SQUADRETTE PER COSTRUIRE ANGOLI MULTIPLI DI 15°

Uso delle squadrette per costruire angoli multipli di 15°

Appoggiando le squadrette a una riga, accostandole e ruotandole opportunamente si può ottenere una serie di angoli multipli di 15°.

Uso delle squadrette per costruire angoli multipli di 15°

Appoggiando le ssquadretta a una riga, accostandole e ruotandole opportunamente si può ottenere una serie di angoli multipli di 15°.

Appoggiando le ssquadretta a una riga, accostandole e ruotandole opportunamente si può ottenere una serie di angoli multipli di 15°.

2.3 INDICAZIONI PER UN USO CORRETTO: CERCHIOGRAFO E CURVILINEO

Indicazioni per

Indicazioni per un uso corretto: cerchiografo e curvilineo

1. CERCHIOGRAFO

Cerchiografo

un uso corretto: cerchiografo

e curvilineo

Indicazioni per un uso corretto: cerchiografo e curvilineo

Cerchiografo

Cerchiografo

Indicazioni per un uso corretto: cerchiografo e curvilineo

Indicazioni per un uso corretto: cerchiografo e curvilineo

Indicazioni per un uso corretto: cerchiografo e curvilineo

Indicazioni per un uso corretto: cerchiografo e curvilineo

Indicazioni per un uso corretto: cerchiografo e curvilineo

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1;

Cerchiografo

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1;

Cerchiografo

tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare (➜ Fig. 34); posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi (➜ Fig. 35); tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio (➜ Fig. 36).

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1;

Indicazioni per un uso corretto: cerchiografo e curvilineo

- posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2;

- posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2; - tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

Cerchiografo

Cerchiografo

- posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2;

Cerchiografo

- tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

Cerchiografo

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1;

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1;

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1;

- tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1;

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1; - posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2; - tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1; - posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2; - tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

- posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2;

- tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

- posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2; - tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

- posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2; - tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

- posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2; - tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

2. CURVILINEO

Curvilineo determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1;

Fig. 36

Curvilineo determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1; - abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2; - appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC); - traccia solo una parte di curva fig.3; - il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) fig.4 così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte; - se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9.

Curvilineo determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1; - abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2; - appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC);

- abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2;

Curvilineo determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1; - abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2;

Curvilineo determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1; - abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2; - appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC); - traccia solo una parte di curva fig.3; - il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) fig.4 così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte; - se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9.

Curvilineo determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1; - abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2; - appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC);

- traccia solo una parte di curva fig.3; - il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) fig.4 così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte;

Curvilineo determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1; - abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2; - appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC); - traccia solo una parte di curva fig.3; - il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) fig.4 così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte; - se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9. - cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie; - tenere la matita perpendicolare al foglio.

- appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC); - traccia solo una parte di curva fig.3; - il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) fig.4 così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte;

- traccia solo una parte di curva fig.3;

- traccia solo una parte di curva fig.3;

- traccia solo una parte di curva fig.3;

- se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9.

- cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie;

Curvilineo determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1; - abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2; - appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC);

- appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC); - traccia solo una parte di curva fig.3; - il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) fig.4 così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte; - se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9.

Curvilineo determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1; - abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2; - appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC);

- cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie; - tenere la matita perpendicolare al foglio.

- cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie;

- il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) fig.4 così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte; se la curva da tracciare simmetrica rispetto un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9.

- tenere la matita perpendicolare al foglio.

- tenere la matita perpendicolare al foglio.

- se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9.

- se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9.

- cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie; - tenere la matita perpendicolare al foglio.

determinare i punti per cui deve passare la curva (➜ Fig. 37); abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento (➜ Fig. 38); appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC); tracciare solo una parte di curva (➜ Fig. 39); il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) (➜ Fig. 40) così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte; se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare (➜ Figg. 41-42); cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie; tenere la matita perpendicolare al foglio.

- il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) fig.4 così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte;

- cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie;

- cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie;

- tenere la matita perpendicolare al foglio.

- cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie; - tenere la matita perpendicolare al foglio.

- tenere la matita perpendicolare al foglio.

- il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) fig.4 così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte; - se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9. - cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie; - tenere la matita perpendicolare al foglio.

3 Squadratura del foglio e uso delle squadre

3.1 STRUMENTI PER IL DISEGNO: SQUADRATURA DEL FOGLIO

Si punta quindi con il compasso in A, B, C, D con una stessa apertura a piacere, si tracciano otto archetti che intersecandosi determinano i punti E, F, G, H. Si traccino quindi le linee GE e HF che passano per O, sono tra loro perpendicolari e si dicono assi del foglio.

Da O si riportano su tali assi le dimensioni del rettangolo (squadratura) determinando i punti I, L, M, N .

Da O si riportano su tali assi le dimensioni del rettangolo (squadratura) determinando i punti I, L, M, N .

Strumenti per il disegno: squadratura del foglio

1. ESEGUIRE LA SQUADRATURA DI UN FOGLIO

Eseguire la squadratura di un foglio

Strumenti per il disegno: squadratura del foglio

Per squadrare un foglio, cioè per disegnare su di esso un rettangolo che delimiti l’area per il disegno, si procede come segue:

Eseguire la squadratura di un foglio

Per squadrare un foglio, cioè per disegnare su di esso un rettangolo che delimiti l’area per il disegno, si procede come segue:

Per squadrare un foglio, cioè per disegnare su di esso un rettangolo che delimiti l’area per il disegno, si procede come segue:

Si punta quindi con il compasso in A, B, C, D con una stessa apertura a piacere, si tracciano otto archetti che intersecandosi determinano i punti E, F, G, H. Si traccino quindi le linee GE e HF che passano per O, sono tra loro perpendicolari e si dicono assi del foglio.

Tracciate le diagonali, si punta con il compasso nella loro intersezione O e, con la stessa apertura, si tracciano quattro archi, che le intersecano in A, B, C, D.

Tracciate le diagonali, si punta con il compasso nella loro intersezione O e, con la stessa apertura, si tracciano quattro archi, che le intersecano in A, B, C, D.

Da O si riportano golo (squadratura)

Posizionando una squadra parallela all’asse orizzontale, appoggiando l’altra ad essa e facendola scorrere si tracciano le due linee orizzontali passanti per I e M.

squadratura del foglio

disegnare su di esso disegno, si

Ripetendo la stessa operazione anche per l’asse verticale si tracciano le parallele ad esso passanti per N e L completando la costruzione.

Posizionando una squadra parallela all’asse orizzontale, appoggiando l’altra ad essa e facendola scorrere si tracciano le due linee orizzontali passanti per I e M.

Strumenti per il disegno: squadratura del foglio

Tracciate le diagonali, si punta con il compasso nella loro intersezione O e, con la stessa apertura, si tracciano quattro archi, che le intersecano in A, B, C, D. foglio

Eseguire la squadratura di un foglio

Tracciate le diagonali, si punta con il compasso nella loro intersezione O e, con la stessa apertura, si tracciano quattro archi, che le intersecano in A, B, C, D.

Si punta quindi con il compasso in A, B, C, D con una stessa apertura a piacere, si tracciano otto archetti che intersecandosi determinano i punti E, F, G, H. Si traccino quindi le linee GE e HF che passano per O, sono tra loro perpendicolari e si dicono assi del foglio.

Per squadrare un foglio, cioè per disegnare su di esso un rettangolo che delimiti l’area per il disegno, si procede come segue:

Posizionando una squadra parallela all’asse orizzontale, appoggiando l’altra ad essa e facendola scorrere si tracciano le due linee orizzontali passanti per I e M.

Da O si riportano su tali assi le dimensioni del rettangolo (squadratura) determinando i punti I, L, M, N .

Si punta quindi con il compasso in A, B, C, D con una stessa apertura a piacere, si tracciano otto archetti che intersecandosi determinano i punti E, F, G, H. Si traccino quindi le linee GE e HF che passano per O, sono tra loro perpendicolari e si dicono assi del foglio.

Tracciate le diagonali, si punta con il compasso nella loro intersezione O e, con la stessa apertura, si tracciano quattro archi, che le intersecano in A, B, C, D.

Da O si riportano su tali assi le dimensioni del rettangolo (squadratura) determinando i punti I, L, M, N .

Ripetendo la stessa cale si tracciano le completando la costruzione.

C, D con una otto archetti E, F, G, H. Si passano per O, assi del foglio.

Posizionando una squadra parallela all’asse orizzontale, appoggiando l’altra ad essa e facendola scorrere si tracciano le due linee orizzontali passanti per I e M.

Da O si riportano su tali assi le dimensioni del rettangolo (squadratura) determinando i punti I, L, M, N .

Si punta quindi con il compasso in A, B, C, D con una stessa apertura a piacere, si tracciano otto archetti che intersecandosi determinano i punti E, F, G, H. Si traccino quindi le linee GE e HF che passano per O, sono tra loro perpendicolari e si dicono assi del foglio.

Si punta quindi con il compasso in A, B, C, D con una stessa apertura a piacere, si tracciano otto archetti che intersecandosi determinano i punti E, F, G, H. Si traccino quindi le linee GE e HF che passano per O, sono tra loro perpendicolari e si dicono assi del foglio.

Posizionando una squadra parallela all’asse orizzontale, appoggiando l’altra ad essa e facendola scorrere si tracciano le due linee orizzontali passanti per I e M.

all’asse orizzonfacendola scorrere passanti per I e M.

Posizionando una squadra parallela all’asse orizzontale, appoggiando l’altra ad essa e facendola scorrere si tracciano le due linee orizzontali passanti per I e M.

Ripetendo la stessa operazione anche per l’asse verticale si tracciano le parallele ad esso passanti per N e L completando la costruzione.

Da O si riportano su tali assi le dimensioni del rettangolo (squadratura) determinando i punti I, L, M, N .

Ripetendo la stessa operazione anche per l’asse verticale si tracciano le parallele ad esso passanti per N e L completando la costruzione.

Ripetendo la stessa operazione anche per l’asse verticale si tracciano le parallele ad esso passanti per N e L completando la costruzione.

Ripetendo la stessa operazione anche per l’asse verticale si tracciano le parallele ad esso passanti per N e L completando la costruzione.

Ripetendo la stessa operazione anche per l’asse verticale si tracciano le parallele ad esso passanti per N e L completando la costruzione.

Il disegno a mano libera

4.1 DISEGNO A MANO LIBERA DI QUADRATI E CIRCONFERENZE

Il disegno a mano libera è certamente la più importante tra le tecniche utilizzate per eseguire un elaborato grafico. Richiede, infatti, una strumentazione molto scarna (matita, foglio di carta e gomma) e pertanto può essere utilizzato ovunque, anche nelle situazioni più disagevoli. Questa sua facoltà di utilizzo permette quindi in ogni momento di integrare spiegazioni verbali, non sempre facilmente comprensibili, con schizzi, o di apportare correzioni a un elaborato grafico, lasciando in tal modo traccia di quanto discusso. È comunque importante tenere presente che si tratta di un disegno tecnico: pertanto, nell’eseguirlo, si devono sempre rispettare le norme relative. Di seguito sono proposte alcune costruzioni geometriche, utili per acquisire dimestichezza con questa tecnica. Per eseguire un disegno a mano libera si consiglia di utilizzare una matita morbida (B o 2B) e fogli quadrettati, sia perché si possono usare le quadrettature come guide nella tracciatura di linee, sia perché i quadretti sono d’aiuto per rispettare le proporzioni.

Disegno a mano libera di quadrati e circonferenze

Disegno a mano libera di quadrati e circonferenze

Disegno a mano libera di quadrati e circonferenze

Il disegno a mano libera è certamente la più importante tra le tecniche utilizzate per eseguire un elaborato grafico. Richiede, infatti, una strumentazione molto scarna (matita, foglio di carta e gomma) e pertanto può essere utilizzato ovunque, anche nelle situazioni più disagevoli. Questa sua facoltà di utilizzo permette quindi in ogni momento di integrare spiegazioni verbali, non sempre facilmente comprensibili, con schizzi, o di apportare correzioni ad un elaborato grafico, lasciando in tal modo traccia di quanto discusso. E’ comunque importante tenere presente che si tratta di un disegno tecnico: pertanto, nell’eseguirlo, si devono sempre rispettare le norme relative. Di seguito sono proposte alcune costruzioni geometriche, utili per acquisire dimestichezza con questa tecnica. Per esegire un disegno a mano libera si consiglia di utilizzare una matita morbida (B o 2B) e fogli quadrettati, sia perché si possono usare le quadrettature come guide nella tracciatura di linee, sia perché i quadretti sono d’aiuto per rispettare le proporzioni.

Il disegno a mano libera è certamente la più importante tra le tecniche utilizzate per eseguire un elaborato grafico. Richiede, infatti, una strumentazione molto scarna (matita, foglio di carta e gomma) e pertanto può essere utilizzato ovunque, anche nelle situazioni più disagevoli. Questa sua facoltà di utilizzo permette quindi in ogni momento di integrare spiegazioni verbali, non sempre facilmente comprensibili, con schizzi, o di apportare correzioni ad un elaborato grafico, lasciando in tal modo traccia di quanto discusso. E’ comunque importante tenere presente che si tratta di un disegno tecnico: pertanto, nell’eseguirlo, si devono sempre rispettare le norme relative. Di seguito sono proposte alcune costruzioni geometriche, utili per acquisire dimestichezza con questa tecnica. Per esegire un disegno a mano libera si consiglia di utilizzare una matita morbida (B o 2B) e fogli quadrettati, sia perché si possono usare le quadrettature come guide nella tracciatura di linee, sia perché i quadretti sono d’aiuto per rispettare le proporzioni.

Il disegno a mano libera è certamente la più importante tra le tecniche utilizzate per eseguire un elaborato grafico. Richiede, infatti, una strumentazione molto scarna (matita, foglio di carta e gomma) e pertanto può essere utilizzato ovunque, anche nelle situazioni più disagevoli. Questa sua facoltà di utilizzo permette quindi in ogni momento di integrare spiegazioni verbali, non sempre facilmente comprensibili, con schizzi, o di apportare correzioni ad un elaborato grafico, lasciando in tal modo traccia di quanto discusso. E’ comunque importante tenere presente che si tratta di un disegno tecnico: pertanto, nell’eseguirlo, si devono sempre rispettare le norme relative. Di seguito sono proposte alcune costruzioni geometriche, utili per acquisire dimestichezza con questa tecnica. Per esegire un disegno a mano libera si consiglia di utilizzare una matita morbida (B o 2B) e fogli quadrettati, sia perché si possono usare le quadrettature come guide nella tracciatura di linee, sia perché i quadretti sono d’aiuto per rispettare le proporzioni.

Le costruzioni proposte, in tutto il testo, sono scandite da disegni che ne illustrano le fasi. Ciò che le differenzia tra loro sono i colori dei segni: il nero è utilizzato per ciò che fa parte del disegno finale, come lati, assi ecc., il rosso per ciò che si deve eseguire in quella fase e l’azzurro per ciò che è stato eseguito nella fase precedente.

Le costruzioni proposte, in tutto il testo, sono scandite da disegni che ne illustrano le fasi. Ciò che le differenzia tra loro sono i colori dei segni: il nero è utilizzato per ciò che fa parte del disegno finale, come lati assi ecc., il rosso per ciò che si deve eseguire in quella fase e l’azzurro per ciò che è stato eseguito nella fase precedente.

Le costruzioni proposte, in tutto il testo, sono scandite da disegni che ne illustrano le fasi. Ciò che le differenzia tra loro sono i colori dei segni: il nero è utilizzato per ciò che fa parte del disegno finale, come lati assi ecc., il rosso per ciò che si deve eseguire in quella fase e l’azzurro per ciò che è stato eseguito nella fase precedente.

Le costruzioni proposte, in tutto il testo, sono scandite da disegni che ne illustrano le fasi. Ciò che le differenzia tra loro sono i colori dei segni: il nero è utilizzato per ciò che fa parte del disegno finale, come lati assi ecc., il rosso per ciò che si deve eseguire in quella fase e l’azzurro per ciò che è stato eseguito nella fase precedente.

1. DISEGNARE A MANO LIBERA UN QUADRATO

Disegnare a mano libera un quadrato

Disegnare a mano libera un quadrato

Disegnare a mano libera un quadrato

1a. Si tracciano due assi tra loro perpendicolari che si intersecano nel punto O e si fissano i punti A, B, C, D equidistanti da O. Si tracciano per essi le parallele agli assi che, intersecandosi, determinano i quattro vertici del quadrato (➜ Fig. 43).

1a Si tracciano due assi tra loro perpendicolari che si intersecano nel punto O e si fissano i punti A, B, C, D equidistanti da O.

1a Si tracciano due assi tra loro perpendicolari che si intersecano nel punto O e si fissano i punti A, B, C, D equidistanti da O.

1a Si tracciano due assi tra loro perpendicolari che si intersecano nel punto O e si fissano i punti A, B, C, D equidistanti da O.

1b Si traccino per essi le parallele agli assi che, intersecandosi, determinano i quattro vertici del quadrato. Si completa la costruzione evidenziando il perimetro del quadrato.

1b. Si completa la costruzione evidenziando il perimetro del quadrato (➜ Fig. 44).

1b Si traccino per essi le parallele agli assi che, intersecandosi, determinano i quattro vertici del quadrato. Si completa la costruzione evidenziando il perimetro del quadrato.

1b Si traccino per essi le parallele agli assi che, intersecandosi, determinano i quattro vertici del quadrato. Si completa la costruzione evidenziando il perimetro del quadrato.

2. DISEGNARE A MANO LIBERA UNA CIRCONFERENZA

Primo metodo

➜ Fig. 43

➜ Fig. 44

Disegnare a mano libera una circonferenza

2a. Si costruisce un quadrato che abbia il lato congruente al diametro della circonferenza e siano A, B, C, D i punti di tangenza tra la circonferenza e i lati del quadrato. Con la maggior precisione possibile si traccia un quarto di circonferenza e si individuano su di esso due punti di intersezione tra la curva e la quadrettatura (➜ Fig. 45).

Disegnare a mano libera una circonferenza

Primo metodo

Disegnare a mano libera una circonferenza

Primo metodo

Primo metodo

2a Si costruisce un quadrato che abbia il lato congruente al diametro della circonferenza e siano A, B, C, D i punti di tangenza tra la circonferenza e i lati del quadrato. Con la maggior precisione possibile si tracci un quarto di circonferenza e si individuino su di esso due punti di intersezione tra la curva e la quadrettatura.

2b. Si tracciano gli altri tre quarti di circonferenza riportando simmetricamente rispetto agli assi i punti individuati precedentemente (➜ Fig. 46).

Secondo metodo

2a Si costruisce un quadrato che abbia il lato congruente al diametro della circonferenza e siano A, B, C, D i punti di tangenza tra la circonferenza e i lati del quadrato. Con la maggior precisione possibile si tracci un quarto di circonferenza e si individuino su di esso due punti di intersezione tra la curva e la quadrettatura.

2a Si costruisce un quadrato che abbia il lato congruente al diametro della circonferenza e siano A, B, C, D i punti di tangenza tra la circonferenza e i lati del quadrato. Con la maggior precisione possibile si tracci un quarto di circonferenza e si individuino su di esso due punti di intersezione tra la curva e la quadrettatura.

2b Si traccino gli altri tre quarti di circonferenza prendendo come riferimento i punti individuati precedentemente.

2b Si traccino gli altri tre quarti di circonferenza prendendo come riferimento i punti individuati precedentemente.

2b Si traccino gli altri tre quarti di circonferenza prendendo come riferimento i punti individuati precedentemente.

Secondo metodo

Secondo metodo

Secondo metodo

3a. Si costruisce un quadrato che abbia il lato congruente al diametro della circonferenza e si tracciano le sue diagonali (➜ Fig. 47).

Partendo da O, si riporta su queste ultime il raggio, valutandone la misura ad occhio con la miglior approssimazione possibile. Si determinano così i punti E, F, G, H, che appartengono alla circonferenza.

3a Si costruisce un quadrato che abbia il lato congruente al diametro della circonferenza e si tracciano le sue diagonali. Partendo da O, si riporta su queste ultime il raggio, valutandone la misura ad occhio con la miglior approssimazione possibile. Si determinano così i punti E, F, G, H, che appartengono alla circonferenza.

3a Si costruisce un quadrato che abbia il lato congruente al diametro della circonferenza e si tracciano le sue diagonali. Partendo da O, si riporta su queste ultime il raggio, valutandone la misura ad occhio con la miglior approssimazione possibile. Si determinano così i punti E, F, G, H, che appartengono alla circonferenza.

3a Si costruisce un quadrato che abbia il lato congruente al diametro della circonferenza e si tracciano le sue diagonali. Partendo da O, si riporta su queste ultime il raggio, valutandone la misura ad occhio con la miglior approssimazione possibile. Si determinano così i punti E, F, G, H, che appartengono alla circonferenza.

3b Si traccia ora la curva passante per i vari punti completando la costruzione.

3b Si traccia ora la curva passante per i vari punti completando la costruzione.

3b Si traccia ora la curva passante per i vari punti completando la costruzione.

3b. Si traccia ora la curva passante per i vari punti completando la costruzione (➜ Fig. 48).

➜ Fig. 45

➜ Fig. 46

➜ Fig. 47

➜ Fig. 48

Disegno a mano libera di circonferenze e triangoli equilateri

Disegno a mano libera di circonferenze e triangoli equilateri

Terzo metodo

Terzo metodo

Terzo metodo

4a. Si costruisce il quadrato T, U, V, Z col lato pari al diametro della circonferenza.

4a Si costruisce il quadrato T, U, V, Z col lato pari al diametro della circonferenza. Si tracciano gli assi dei lati che si intersecano in O (centro della circonferenza) e determinano i punti A, B, C, D.

Si tracciano gli assi dei lati che si intersecano in O (centro della circonferenza) e determinano i punti A, B, C, D (➜ Fig. 49).

a mano libera di circonferenze e triangoli equilateri

4a Si costruisce il quadrato T, U, V, Z col lato pari al diametro della circonferenza. Si tracciano gli assi dei lati che si intersecano in O (centro della circonferenza) e determinano i punti A, B, C, D.

4b Si congiunge B con V e Z e D con T e U.

4b. Si congiunge B con V e Z allo stesso modo D con T e U (➜ Fig. 50).

4b Si congiunge B con V e Z e D con T e U.

costruisce il quadrato T, U, V, Z col diametro della circonferentracciano gli assi dei lati che si O (centro della circondeterminano i punti A, B, C,

4c Si tracciano le congiungenti di D con R e con S, punti medi di VC e AZ, che intersecano BZ in H e BV in G. Si ripete la costruzione con BP e BQ che intercettando DT e DU determinano E e F.

4c Si tracciano le congiungenti di D con R e con S, punti medi di VC e AZ, che intersecano BZ in H e BV in G. Si ripete la costruzione con BP e BQ che intercettando DT e DU determinano E e F.

4c. Si tracciano le congiungenti di D con R e con S, punti medi di VC e AZ, che intersecano BZ in H e BV in G. Si ripete la costruzione con BP e BQ che intercettando DT e DU determinano E e F (➜ Fig. 51).

congiunge B con V e Z e D con T e

4d I punti così determinati assieme a A, B, C, D permettono di tracciare la circonferenza.

4d. I punti così determinati assieme a A, B, C, D permettono di tracciare la circonferenza (➜ Fig. 52).

4d I punti così determinati assieme a A, B, C, D permettono di tracciare la circonferenza.

le congiungenti di D con punti medi di VC e AZ, che

BZ in H e BV in G. Si ripete con BP e BQ che interDU determinano E e F.

così determinati assieme a permettono di tracciare la

➜ Fig. 49

➜ Fig. 50

➜ Fig. 51

Disegnare a mano libera un triangolo equilatero

Disegnare a mano libera un triangolo equilatero

4.2 DISEGNO

5a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e un segmento orizzontale passante per M, punto medio di OB, che determina sulla circonferenza i punti E e F.

A MANO LIBERA DI UN TRIANGOLO EQUILATERO

➜ Fig. 52

5a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e un segmento orizzontale passante per M, punto medio di OB, che determina sulla circonferenza i punti E e F.

1. DISEGNARE A MANO LIBERA UN TRIANGOLO EQUILATERO

5a. Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e un segmento orizzontale passante per M, punto medio di OB, che determina sulla circonferenza i punti E e F (➜ Fig. 53).

5b. Si completa la costruzione congiungendo tra loro E, F e D vertici del triangolo (➜ Fig. 54).

mano libera un triangolo equilatero

5b Si completa la costruzione congiungendo tra loro E, F e D vertici del triangolo.

una circonferenza (ad tracciandone una quarto con il e completandola con il metodo) e un segmento orizzonper M, punto medio di determina sulla circonferenza i

5b Si completa la costruzione congiungendo tra loro E, F e D vertici del triangolo.

completa la costruzione congiunE, F e D vertici del trian-

Fig. 53

Disegno a mano libera di poligoni regolari

4.3 DISEGNO A MANO LIBERA DI POLIGONI REGOLARI

Disegno a mano libera di poligoni regolari

Disegno a mano libera di poligoni regolari

1. DISEGNARE A MANO LIBERA UN ESAGONO REGOLARE

6a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e due segmenti orizzontale passanti per M e N, punti medi di DO e OB, che determinano sulla circonferenza i punti E, F, G, H.

6b Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici.

6a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e due segmenti orizzontale passanti per M e N, punti medi di DO e OB, che determinano sulla circonferenza i punti E, F, G, H.

6a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e due segmenti orizzontale passanti per M e N, punti medi di DO e OB, che determinano sulla circonferenza i punti E, F, G, H.

6b Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici.

6a. Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone un quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e due segmenti orizzontale passanti per M e N, punti medi di DO e OB, che determinano sulla circonferenza i punti E, F, G, H. (➜ Fig. 55). 6b. Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici. (➜ Fig. 56).

6b Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici.

7a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e le diagonali del quadrato in cu è inscritta determinando su di essa E, F, G, H che con A, B, C, D sono i vertici dell’ottagono.

2. DISEGNARE A MANO LIBERA UN OTTAGONO REGOLARE

55

7a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e le diagonali del quadrato in cu è inscritta determinando su di essa E, F, G, H che con A, B, C, D sono i vertici dell’ottagono.

7b Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici.

7a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e le diagonali del quadrato in cu è inscritta determinando su di essa E, F, G, H che con A, B, C, D sono i vertici dell’ottagono.

7b Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici.

7a. Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone un quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e le diagonali del quadrato in cui è inscritta determinando su di essa E, F, G, H che con A, B, C, D sono i vertici dell’ottagono (➜ Fig. 57).

7b Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici.

7b. Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici (➜ Fig. 58).

8a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e due segmenti orizzontale passanti per R e S, punti medi di DO e OB, e due verticali passanti per P e Q che determinano sulla circonferenza i otto punti che con A, B, C, D sono i vertici del dodecagono.

3. DISEGNARE A MANO LIBERA UN DODECAGONO REGOLARE

8a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e due segmenti orizzontale passanti per R e S, punti medi di DO e OB, e due verticali passanti per P e Q che determinano sulla circonferenza i otto punti che con A, B, C, D sono i vertici del dodecagono.

8a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e due segmenti orizzontale passanti per R e S, punti medi di DO e OB, e due verticali passanti per P e Q che determinano sulla circonferenza i otto punti che con A, B, C, D sono i vertici del dodecagono.

8b Si completa la costruzione congiungendo i tra loro i vertici.

8b Si completa la costruzione congiungendo i tra loro i vertici.

8b Si completa la costruzione congiungendo i tra loro i vertici.

8a. Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone un quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e due segmenti orizzontali passanti per R e S, punti medi di DO e OB, e due verticali passanti per P e Q che determinano sulla circonferenza gli otto punti che con A, B, C, D sono i vertici del dodecagono (➜ Fig. 59).

8b. Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici (➜ Fig. 60).

➜ Fig. 57 ➜ Fig. 59

➜ Fig. 58 ➜ Fig. 60

Esercitazione

SVILUPPA LE ABILITÀ

Esercitazione sull’uso di strumenti tradizionali per

Esercitazione sull’uso di strumenti tradizionali per il disegno

Si traccino quattro serie di linee parallele come indicato nella figura a fianco.

Si traccino quattro serie di linee parallele come indicato nella figura a fianco.

1. Traccia quattro serie di linee parallele come indicato nella figura a fianco.

Dopo aver suddiviso il foglio in quattro quadranti, si riportano nei quadranti 1, 2, 4 le tacche segnate in rosso alla distanza di 5mm. Quindi posizionando le squadrette come nelle figure e facendole scorrere nel senso indicato dalle dalle frecce si traccino le linee. Si faccia attenzione a far scorrere le squadrette non sulle linee appena tracciate in quanto raccoglirebbero la polvare di grafite che rimane sul foglio sporcandolo e sporcandosi.

Dopo aver suddiviso il foglio in quattro quadranti, si riportano nei quadranti 1, 2, 4 le tacche segnate in rosso alla distanza di 5mm. Quindi posizionando le squadrette come nelle figure e facendole scorrere nel senso indicato dalle dalle frecce si traccino le linee. Si faccia attenzione a far scorrere le squadrette non sulle linee appena tracciate in quanto raccoglirebbero la polvare di grafite che rimane sul foglio sporcandolo e sporcandosi.

Dopo aver suddiviso il foglio in quattro quadranti, si riportano nei quadranti 1, 2, 4 le tacche segnate in rosso alla distanza di 5 mm. Quindi posizionando le squadrette come nelle figure e facendole scorrere nel senso indicato dalle frecce si tracciano le linee. Si deve fare attenzione a far scorrere le squadrette non sulle linee appena tracciate in quanto raccoglierebbero la polvere di grafite che rimane sul foglio sporcandolo e sporcandosi.

di riferimento/partenza con piccoli segni fatti con la punta della matita seguendo le misure indicate. Si proceda quindi secondo le indicazioni in fig.1.

Tracciare alcune serie di linee parallele e alcuni archi di circonferenza come indicato in fig. 2.

Nell’esecuzione si presti attenzione a non commettere gli errori evidenziati in fig.3, 4, 5, 6.

Esercitazione sull’uso di strumenti tradizionali per il disegno

2. Traccia alcune serie di linee parallele e alcuni archi di circonferenza come indicato in ➜ Fig. 2

Esercitazione sull’uso di strumenti tradizionali per il disegno

linee parcirconferenza

linee parcirconferenza

quattro traccino le sole interdeterminarne il assi. Nel 4° orizzontaposizioni dei punti piccoli segni seguendo le quindi secondo

quattro traccino le sole interdeterminarne il assi. Nel 4° orizzontaposizioni dei punti piccoli segni seguendo le quindi secondo

attenzione a non evidenziati in fig.3,

attenzione a non evidenziati in fig.3,

Dopo aver squadrato e diviso in quattro quadranti un foglio UNI A3 si traccino le diagonali nel 1° quadrante e le sole intersezioni nel 2° e 3° per determinarne il centro per cui passeranno gli assi. Nel 4° quadrante si traccino le tre linee orizzontali. Quindi si riportino le posizioni dei punti di riferimento/partenza con piccoli segni fatti con la punta della matita seguendo le misure indicate. Si proceda quindi secondo le indicazioni in fig.1.

sull’uso di strumenti tradizionali per il disegno

Dopo aver squadrato e diviso in quattro quadranti un foglio UNI A4 si tracciano le diagonali nel 1° quadrante e le sole intersezioni nel 2° e 3° per determinarne il centro per cui passeranno gli assi. Nel 4° quadrante si tracciano le tre linee orizzontali. Quindi si riportano le posizioni dei punti di riferimento/partenza con piccoli segni fatti con la punta della matita seguendo le misure indicate. Si procede quindi secondo le indicazioni in ➜ Fig. 1

Tracciare alcune serie di linee parallele e alcuni archi di circonferenza come indicato in fig. 2. Dopo aver squadrato e diviso in quattro quadranti un foglio UNI A3 si traccino le diagonali nel 1° quadrante e le sole intersezioni nel 2° e 3° per determinarne il centro per cui passeranno gli assi. Nel 4° quadrante si traccino le tre linee orizzontali. Quindi si riportino le posizioni dei punti di riferimento/partenza con piccoli segni fatti con la punta della matita seguendo le misure indicate. Si proceda quindi secondo le indicazioni in fig.1.

Nell’esecuzione si presti attenzione a non commettere gli errori evidenziati in fig.3, 4, 5, 6.

➜ Fig. 1

➜ Fig. 2

Nell’esecuzione si presti attenzione a non commettere gli errori evidenziati in fig.3, 4, 5, 6.

Nell’esecuzione si deve prestare attenzione a non commettere gli errori evidenziati in ➜ Figg. 3-4-5-6.

Disegno a mano libera su carta quadrettata

Disegno a mano libera: esercizi

3. Riproduci a mano libera su carta quadrettata i disegni proposti.

Riprodurre a mano libera su carta quadrettata i disegni proposti

Fase preliminare di preparazione

Disegno a mano libera: esercizi

Disegno a mano libera: esercizi

Disegno a mano libera: esercizi

Disegno a mano libera su carta non quadrettata

Disegno a mano libera su carta non quadrettata

Disegno a mano libera: esercizi

Disegno a mano libera su carta non quadrettata

4. Disegna a mano libera il supporto in Fig. 1.

Disegno a mano libera: esercizi

Disegno a mano libera: esercizi

Disegno a mano libera su carta non quadrettata

Disegnare a mano libera il supporto in fig.1

Disegnare a mano libera il supporto in fig.1

Disegnare a mano libera il supporto in fig.1

Disegno a mano libera su carta non quadrettata

Disegno a mano libera su carta non quadrettata

Disegno a mano libera su carta non quadrettata

Disegnare a mano libera il supporto in fig.1

La figura da riprodurre ha come contorno una serie di circonferenze raccordate tra loro con archi e tangenti. Si tracciano per primi gli assi di simmetria fissando così i centri delle circonferenze e creando inoltre un sistema di riferimento fondamentale in quanto si opera su un foglio senza la quadrettatura di supporto fig.2. Quindi per ciascun centro si costruisca il quadrato con la trama per tracciare la circonferenza corrispondente fig.3. Nel caso delle circonferenze concentriche si esegue la costruzione di quella più piccola in quanto più facile da eseguire.

Disegnare a mano libera il supporto in fig.1

La figura da riprodurre ha come contorno una serie di circonferenze raccordate tra loro con archi e tangenti. Si tracciano per primi gli assi di simmetria fissando così i centri delle circonferenze e creando inoltre un sistema di riferimento fondamentale in quanto si opera su un foglio senza la quadrettatura di supporto fig.2. Quindi per ciascun centro si costruisca il quadrato con la trama per tracciare la circonferenza corrispondente fig.3. Nel caso delle circonferenze concentriche si esegue la costruzione di quella più piccola in quanto più facile da eseguire.

Disegnare a mano libera il supporto in fig.1

La figura da riprodurre ha come contorno una serie di circonferenze raccordate tra loro con archi e tangenti. Si tracciano per primi gli assi di simmetria fissando così i centri delle circonferenze e creando inoltre un sistema di riferimento fondamentale in quanto si opera su un foglio senza la quadrettatura di supporto (➜ Fig. 2). Quindi per ciascun centro si costruisce il quadrato con la trama per tracciare la circonferenza corrispondente (➜ Fig. 3). Nel caso delle circonferenze concentriche si esegue la costruzione di quella più piccola in quanto più facile da eseguire.

La figura da riprodurre ha come contorno una serie di circonferenze raccordate tra loro con archi e tangenti. Si tracciano per primi gli assi di simmetria fissando così i centri delle circonferenze e creando inoltre un sistema di riferimento fondamentale in quanto si opera su un foglio senza la quadrettatura di supporto fig.2. Quindi per ciascun centro si costruisca il quadrato con la trama per tracciare la circonferenza corrispondente fig.3. Nel caso delle circonferenze concentriche si esegue la costruzione di quella più piccola in quanto più facile da eseguire.

La figura da riprodurre ha come contorno una serie di circonferenze raccordate tra loro con archi e tangenti. Si tracciano per primi gli assi di simmetria fissando così i centri delle circonferenze e creando inoltre un sistema di riferimento fondamentale in quanto si opera su un foglio senza la quadrettatura di supporto fig.2. Quindi per ciascun centro si costruisca il quadrato con la trama per tracciare la circonferenza corrispondente fig.3. Nel caso delle circonferenze concentriche si esegue la costruzione di quella più piccola in quanto più facile da eseguire.

La figura da riprodurre ha come contorno una serie di circonferenze raccordate tra loro con archi e tangenti. Si tracciano per primi gli assi di simmetria fissando così i centri delle circonferenze e creando inoltre un sistema di riferimento fondamentale in quanto si opera su un foglio senza la quadrettatura di supporto fig.2. Quindi per ciascun centro si costruisca il quadrato con la trama per tracciare la circonferenza corrispondente fig.3. Nel caso delle circonferenze concentriche si esegue la costruzione di quella più piccola in quanto più facile da eseguire.

La figura da riprodurre ha come contorno una serie di circonferenze raccordate tra loro con archi e tangenti. Si tracciano per primi gli assi di simmetria fissando così i centri delle circonferenze e creando inoltre un sistema di riferimento fondamentale in quanto si opera su un foglio senza la quadrettatura di supporto fig.2. Quindi per ciascun centro si costruisca il quadrato con la trama per tracciare la circonferenza corrispondente fig.3. Nel caso delle circonferenze concentriche si esegue la costruzione di quella più piccola in quanto più facile da eseguire.

➜ Fig. 1

➜ Fig. 2

➜ Fig. 3

Per le circonferenze più grandi e i raccordi è sufficiente fare riferimento a quelle già tracciate facendo cura di manternersi da esse a un distanza costante fig4. Si traccino quindi anche le tangenti e si ripassano gli archi fig.5. Si completa la figura tracciando i raccordi senza ricorrere a particolari costruzioni ma facendo attenzione a che siano archi di circonferenza e che ci sono due brevi tratti rettilinei fig.6

Per le circonferenze più grandi e i raccordi è sufficiente fare riferimento a quelle già tracciate facendo cura di manternersi da esse a un distanza costante fig4. Si traccino quindi anche le tangenti e si ripassano gli archi fig.5. Si completa la figura tracciando i raccordi senza ricorrere a particolari costruzioni ma facendo attenzione a che siano archi di circonferenza e che ci sono due brevi tratti rettilinei fig.6

Per le circonferenze più grandi e i raccordi è sufficiente fare riferimento a quelle già tracciate facendo cura di manternersi da esse a un distanza costante fig4. Si traccino quindi anche le tangenti e si ripassano gli archi fig.5. Si completa la figura tracciando i raccordi senza ricorrere a particolari costruzioni ma facendo attenzione a che siano archi di circonferenza e che ci sono due brevi tratti rettilinei fig.6

Per le circonferenze più grandi e i raccordi è sufficiente fare riferimento a quelle già tracciate avendo cura di mantenersi da esse a un distanza costante (➜ Fig. 4). Si tracciano quindi anche le tangenti e si ripassano gli archi (➜ Fig. 5). Si completa la figura tracciando i raccordi senza ricorrere a particolari costruzioni ma facendo attenzione a che siano archi di circonferenza e che ci sono due brevi tratti rettilinei (➜ Fig. 6).

Per le circonferenze più grandi e i raccordi è sufficiente fare riferimento a quelle già tracciate facendo cura di manternersi da esse a un distanza costante fig4. Si traccino quindi anche le tangenti e si ripassano gli archi fig.5. Si completa la figura tracciando i raccordi senza ricorrere a particolari costruzioni ma facendo attenzione a che siano archi di circonferenza e che ci sono due brevi tratti rettilinei fig.6

Per le circonferenze più grandi e i raccordi è sufficiente fare riferimento a quelle già tracciate facendo cura di manternersi da esse a un distanza costante fig4. Si traccino quindi anche le tangenti e si ripassano gli archi fig.5. Si completa la figura tracciando i raccordi senza ricorrere a particolari costruzioni ma facendo attenzione a che siano archi di circonferenza e che ci sono due brevi tratti rettilinei fig.6

Per le circonferenze più grandi e i raccordi è sufficiente fare riferimento a quelle già tracciate facendo cura di manternersi da esse a un distanza costante fig4. Si traccino quindi anche le tangenti e si ripassano gli archi fig.5. Si completa la figura tracciando i raccordi senza ricorrere a particolari costruzioni ma facendo attenzione a che siano archi di circonferenza e che ci sono due brevi tratti rettilinei fig.6

➜ Fig. 4

➜ Fig. 5

➜ Fig. 6

Disegno a mano libera: esercizi

5. Riproduci a mano libera su carta quadrettata i disegni proposti.

Riprodurre a mano libera su carta quadrettata i disegni proposti

4

STRUMENTI ATTUALI: IL COMPUTER

CI OCCUPEREMO DI...

1. Premessa

2. La scrivania di AutoCAD

3. L’uso del mouse in AutoCAD

4. L’uso della tastiera in AutoCAD

5. I comandi di assistenza in AutoCAD

6. I layer in AutoCAD

7. Inserimenti dati

8. I comandi per disegnare

1 Premessa

Il computer fa parte della nostra vita svolgendo funzioni che fino a poco tempo fa non avremmo mai pensato di demandare a una macchina. Anche nel disegno tecnico, con numerosi software specifici, esso ha praticamente sostituito il disegno eseguito con gli strumenti tradizionale. Per il disegno tecnico il software più diffuso è AutoCAD.

2 La scrivania di AutoCAD

Avviato il programma, AutoCAD propone la videata Inizio (➜ Fig. 1) con le scritte Apri (per aprire un qualsiasi file dwg), Nuovo (per creare un nuovo disegno), Recenti (per aprire la lista degli disegni già realizzati), Apprendimento (visualizza i tutorial di apprendimento) (➜ Fig. 2).

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➜ Fig. 1 ➜ Fig. 2

Cominciamo direttamente ad operare cliccando sul segno + a fianco della scritta Inizia aprendo così la videata di Disegno1 ( ➜ Fig. 3) e impariamo a conoscere le caratteristiche e i comandi principali di AutoCAD.

2.1 BARRA DEL TITOLO

Qui sono riportate (➜ Fig. 4):

– al centro la sigla dell’applicazione e il nome del documento su cui si sta operando (Autodesk AutoCAD 2023 Disegno 1dwg)

– a destra ci sono i tre pulsanti Riduci, Ingrandisci e Chiudi e l’area dell’Infocenter, che contiene alcuni strumenti di supporto, tra cui la Guida in linea.

– a sinistra le icone degli Strumenti ad Accesso rapido: Nuovo, Apri, Salva, Salva con nome, Stampa, Annulla e Ripeti.

– l’icona di Personalizza strumenti ad accesso rapido cliccando sulla quale si ha la possibilità, spuntando o no le varie voci, di aggiungere o togliere icone alla barra degli Strumenti ad Accesso rapido.

– all’estrema sinistra il pulsante con l’icona di AutoCAD, cliccando sulla quale si attiva il Menu dell’applicazione che permette di accedere alle funzioni di gestione del disegno, alla possibilità di aprire, salvare, esportare o stampare i file che compongono i vari elaborati grafici.

Dopo aver cliccato su si apre la tendina (➜ Fig. 5) contenente le icone di Strumenti ad accesso rapido con la possibilità, cliccando sui corrispondenti triangolini, di specificare meglio il comando. Sono poi riportati i nomi degli ultimi documenti su cui si è operato e in basso il pulsante Opzioni cliccando sul quale si apre la finestra corrispondente (➜ Fig. 6). Nella parte in alto di essa ci sono alcuni pulsanti, File, Visualizza, ecc. che, una volta premuti, danno accesso a schede che permettono di impostare il funzionamento del programma se-

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condo i propri desideri. Può essere utile, nella prima fase di apprendimento, cliccare su Visualizza e spuntare la voce Mostra descrizione comandi. In questo modo, avvicinando il puntatore all’icona di un comando, dopo mezzo secondo di attesa (come impostato nel rettangolino sotto) si apre una finestra con le spiegazioni relative al comando stesso (➜ Fig. 7).

➜ Fig. 5 ➜ Fig. 6

Fig. 5

Fig. 5

Fig. 5

2.2

AREA DI DISEGNO

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Fig. 6

Fig. 6

Fig. 6

Fig. 7

Fig. 7

Fig. 7

È lo spazio video in cui il disegno è visualizzato e modificato. A destra si trova la Barra di navigazione (➜  Fig. 8) con alcune icone delle quali ci interessano Pan e Zoom Estensioni . Il primo comando, una volta selezionato e tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, ci permette di spostare il disegno a video; il secondo, che riporta il triangolino indicante l’apertura a tendina, è la raccolta dei vari Zoom di ingrandimento o riduzione disponibili.

Fig. 10

Fig. 10

Fig. 10

2.3

RIGA DI COMANDO

È in fondo al video (➜  Fig. 9). Permette di “dialogare” col computer. È composta da una o più righe (a seconda delle impostazioni) e riporta sulla destra un triangolino cliccando sul quale si apre una finestra con la cronologia degli ultimi comandi utilizzati e operazioni eseguite. La prima scritta che appare è Digitare un comando, cioè il programma chiede quale comando si vuole utilizzare, per procedere poi con una serie di altre richieste o indicazioni che una volta immesse sono attivate premendo il tasto Invio

Fig. 11

Fig. 11

Fig. 11

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➜ Fig. 9

2.4 BARRA DI STATO

➜ Fig. 7 ➜ Fig. 8

È la barra che si trova più in basso nel video ( Fig. 10). È divisa in due parti. A sinistra si trovano le schede di Layout che permettono di organizzare gli spazi carta di un disegno realizzato nello spazio Modello. A destra si trova una gruppo di icone che permettono di attivare o disattivare una serie di aiuti al disegno. Se sono at-

Fig. 5

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Fig. 10

BARRA MULTIFUNZIONE

Fig. 7

tivate il disegno dell’icona che le contraddistingue apparirà blu, se disattivate apparirà grigio. L’ultima icona a destra, che riporta come disegno tre lineette parallele ,se attivata, svolge una tendina in cui sono elencati tutti gli aiuti. Spuntandoli o meno li si fanno apparire o scomparire dalla barra. si apre la tendina di che permette di scegliere tra tre differenti configurazioni di AutoCAD e cioè: , dedicata al disegno 2D, per il con funzionalità avanzate sempre nell’ambiente 3D.

Contiene dieci gruppi di comandi:Disegna, Edita, Annotazione, Layer, Blocco, Proprietà, Gruppi, Utilità, Appunti e Vista (➜ Fig. 11).

Fig. 5

Fig. 6

Fig. 7

– Disegna contiene i comandi per disegnare come: Linea, Polilinea, Cerchio ecc.

– Edita contiene i comandi per modificare disegni già realizzati con un comando Disegna.

– Annotazione contiene i comandi per scrivere testi e per apporre le quote

– Layer permette di scomporre un disegno e distribuirlo su fogli sovrapposti.

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Fig. 11

– Proprietà permette di conoscere e assegnare alcune caratteristiche ai disegni come il colore, lo spessore delle linee ecc.

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– Utilità permette, tra le altre cose, di misurare lunghezze, angoli, superfici e volumi dei disegni.

Fig. 10

➜ Fig. 11

Fig. 11

3 L’uso del mouse in AutoCAD

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Alcune icone riportano sotto o a fianco un triangolino che una volta cliccato svolge una tendina contenete ulteriori comandi.

Nel mouse i tasti hanno funzioni distinte. Il tasto sinistro è il tasto operativo: permette di attivare i vari comandi spostare gli oggetti ecc. L’indice sul video che visualizza il suo operare è il che può assumere principalmente cinque forme:

su cornice e icone

su cornice e icone

su cornice e icone

su cornice e icone

su cornice e icone

su cornice e icone

nell’attesa di comando

nell’attesa di comando

nell’attesa di comando

nell’attesa di comando

nell’attesa di comando

nell’attesa di comando

su nestra di testo

su nestra di testo

su finestra di testo

su nestra di testo

su nestra di testo

su nestra di testo

con comando inserito

con comando inserito

con comando inserito

con comando inserito

con comando inserito

con comando inserito

sul singolo oggetto. Quando un oggetto è selezionato, a video appare evidenziato in blu e con alcuni quadretti, detti grip, dello stesso colore (➜  Fig. 12), in corrispondenza dei suoi punti caratteristici (gli estremi e il punto medio per un segmento, il centro e i quattro punti quadrante in una circonferenza, ecc.).

➜ Fig. 12

con comando inserito per selezionare gli oggetti

con comando inserito per selezionare gli oggetti

a comando inserito per selezionare gli oggetti

con comando inserito per selezionare gli oggetti

con comando inserito per selezionare gli oggetti

con comando inserito per selezionare gli oggetti

Oltre alle funzioni già citate, il tasto di sinistra serve anche a selezionare gli oggetti per poterli modificare. Per eseguire questa operazione è sufficiente cliccare

Agganciando con il puntatore uno dei quadretti, cliccandolo e trascinandolo con il tasto sinistro, è possibile modificare l’oggetto o la sua posizione. Volendo selezionare un gruppo di oggetti, si clicca sul tasto sinistro e si rilascia il tasto, si trascina da sinistra verso destra creando un rettangolo che com-

prenda tutti gli oggetti desiderati e si riclicca sul tasto. In questo caso gli oggetti, perché siano selezionati, devono essere compresi per la loro interezza nel rettangolo (➜ Fig. 13).

➜ Fig. 13

Se invece il rettangolo si ottiene trascinando da destra verso sinistra è sufficiente che gli oggetti siano toccati anche in un sol punto perché rimangano selezionati (➜ Fig. 14).

– alla richiesta di Comando, premendo INVIO si richiama l’ultimo comando utilizzato;

– premendo INVIO, con un comando di modifica, si indica che si sono finiti gli elementi da selezionare;

– quando è proposta un’opzione racchiusa tra < e > basta dare INVIO per accettarla.

La BARRA SPAZIATRICE assume la funzione di INVIO quando però non si sia all’interno di un comando di testo.

In alto ci sono i cosiddetti tasti funzione che permettono di richiamare alcuni aiuti o attivare alcuni supporti per i disegno. (F1= guida in linea; F2= lista comandi eseguiti; F3=puntamento snap ad oggetto; F7= griglia; F9= snap griglia; F10= puntamento polare).

➜ Fig. 14

C’è un ulteriore modo per selezionare ed è col “lazo”.

In questo caso si clicca col tasto e lo si mantiene premuto. Quindi lo si trascina inglobando o toccando gli oggetti a seconda che si operi da sinistra a destra o da destra a sinistra.

Il tasto destro può essere opportunamente impostato in Personalizza pulsante destro del mouse nella scheda Preferenze utente, in Opzioni.

La rotellina centrale del mouse, se ruotata in avanti o indietro, ingrandisce o rimpicciolisce l’immagine a video come in Zoom tempo reale e, se tenuta premuta, permette di spostare l’immagine a schermo come si trattasse di un foglio come in Pan.

4 L’uso della tastiera in AutoCAD

La tastiera ha in generale la stessa funzione che ha negli altri programmi, serve cioè a immettere dati, a scrivere testi e ad attivare alcuni comandi. In particolare: il tasto INVIO permette di eseguire le seguenti operazioni:

– premuto alla fine di ogni digitazione comunica che si è terminato di scrivere e che vanno attuate le indicazioni;

5 I comandi di assistenza in AutoCAD

Cliccando con il tasto destro del mouse su una delle icone nella barra di stato, in basso a destra del video (ad esempio ), si apre una tendina in fondo alla quale c’è una scritta come impostazione griglia , impostazione Snap ad oggetto, a seconda che si sia sull’icona di griglia e quella di Snap ad oggetto (Si ricorda che il termine snap è usato nel senso di afferrare). Cliccando su tale scritta si apre la finestra di Impostazioni disegno (➜  Fig. 15) che contiene le schede Snap e griglia, Puntamento polare, Snap ad oggetto, Snap ad oggetto 3D, Input dinamico, Proprietà rapide e Selezione ciclica. Le prime tre schede si riferiscono a comandi proposti per facilitare la realizzazione di un disegno; la scheda Input dinamico invece permette di impostare e attivare alcune indicazioni a fianco del puntatore.

5.1 COMANDI SNAP AD OGGETTO (DETTI ANCHE OSNAP)

Le modalità Snap ad oggetto, dette anche Osnap, consentono di “agganciare” un punto geometricamente significativo di un oggetto, come ad esempio gli estremi di un segmento, il suo punto medio, il centro di una circonferenza, l’intersezione tra due linee ecc. Nella scheda Snap ad oggetto (➜  Fig. 15) è possibile attivare o disattivare i singoli snap selezionandoli spuntando l’apposita casella a fianco del nome. Per attivare o disattivare il comando si può cliccare sull’icona nella Barra di stato (azzurra attivata, grigia disattivata) oppure premere il tasto funzione F3

6

Fig. 11

Fig. 6

Fig. 7

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Fig. 7

7

Fig. 6 Fig. 7

Fig. 7

Fig. 7

Fig. 6 Fig. 7

Quelli che seguono sono i comandi snap più comunemente usati.

Per attivare o disattivare Puntamento Polare basta cliccare sull’icona corrispondente nella Barra di stato oppure premere il tasto funzione F10

5.3 INPUT DINAMICO

Una volta attivato cliccando sull’icona nella barra di stato, riporta a fianco del puntatore le indicazioni della barra di comando e le coordinate cartesiane o polari, assolute o relative, a seconda dell’impostazione data (➜  Fig. 17). Alla richiesta di un secondo punto, sono visualizzati i valori relativi alla distanza e agli angoli che cambiano in base agli spostamenti del cursore.

Intersezione

Quadrante Fig. 7

PUNTAMENTO POLARE

Mediante questo comando si può impostare un incremento angolare che orienta le linee durante il loro tracciamento. I valori possibili dell’Angolo invanno da 5° a 90° (➜  Fig. 16). Pertanto, nel tracciare le linee, si possono immettere direttamente le lunghezze, orientare il mouse nella direzione voluta e dare Invio.

6 I layer in AutoCAD

Il foglio di lavoro di AutoCAD si può immaginare formato da tanti fogli trasparenti sovrapposti (➜ Fig. 18)

Fig. 20

con la possibilità di disegnare, ad esempio, le linee in vista su un layer, quelle di costruzione su un altro, e così via. Questo modo di operare permette di escludere dalla vista e dalla stampa le parti che non interessano (ad esempio a disegno concluso si può escludere il layer delle linee di costruzione)

Pag. 54

6.1 CREAZIONE DEI LAYER

Si clicca sull’icona Proprietà Layer ( ➜  Fig. 19) nel settore corrispondente ai layer nella Barra multifun­

Fig. 20

6.2

Fig. 21

Pag. 55

Piastrina

Fig. 22

zione richiamando in tal modo la finestra Gestore proprietà layer (➜ Fig. 20).

Nella finestra è evidenziato il layer 0 che è quello di default. È creato all’avvio di ogni nuovo disegno, non si può cancellare né rinominare ed è buona norma non disegnare su di esso. La barra delle proprietà del layer è divisa in alcune colonne che contengono alcuni simboli e scritte come On, Congela, Bloccato Stampa che si riferiscono al layer stesso, e Colore, Tipo di linea, Spessore di linea che si riferiscono al disegno che sarà eseguito sul layer.

Fig. 22

Fig. 21

COLONNE RIFERITE AL LAYER

Pag. 55

– On : serve per attivare e disattivare il layer.

– Congela : ha una funzione simile al comando precedente. La differenza rispetto a On consiste nella rigenerazione, che in un layer congelato non viene effettuata.

Piastrina

– Bloccato : mantiene visibili gli oggetti ma ne impedisce le modifiche.

– Stampa/Non stampare : controlla se stampare i layer selezionati.

Piastrina di base

Pag. 54

– Colore : serve ad attribuire un colore agli oggetti di un layer.

Tampone

– Tipo linea: serve ad assegnare al layer un tipo di linea. Cliccando prima su Continous e poi sulla scritta Carica appare la finestra Carica o ricarica tipi di linea con i tipi di linea disponibili.

Piastrina di base

Tampone

Fig. 20

– Spessore linea: modifica lo spessore di linea associato ai layer selezionati. Cliccando sul nome Default viene visualizzata la finestra Spessore linea con l’elenco di tutti gli spessori disponibili.

6.3 PREPARAZIONE DI UN PACCHETTO DI LAYER

Fig. 21 Pag. 55 Pag. 54

Nell’iniziare un disegno è utile procedere creando un pacchetto di layer che si presume possano servire. Ad esempio clicchiamo in Gestione layer sull’icona Nuovo e comparirà un nuovo layer di nome Layer1

Sostituiamo il nome Layer1 con Spigoli visti, quindi, cliccando sul quadratino della colonna Colore, attribuiamo ad esempio il colore Bianco, lasciamo invariato il tipolinea che è Continous e attribuiamo come spessore di linea 0,40. Ripetiamo l’operazione per ulteriori layer dando loro il nome di Assi, Nascosti, Tratteggi , Quote, Testo , Foglio , attribuendo a ciascuno di essi un colore, un tipolinea e uno spessore di linea (ad esempio 0,20 o 0,40). Per passare da un layer all’altro, mentre si disegna, si utilizza il menù a tendina (➜ Fig. 21). Dopo averlo aperto, si seleziona il layer desiderato cliccando sul suo nome.

Fig. 22

7 Inserimento dati

Nell’esecuzione di un disegno si procede inserendo i dati utilizzando le coordinate cartesiane oppure le coordinate polari. Esse possono essere assolute, e cioè riferite all’origine UCS (0,0) intersezione degli assi X e Y, oppure relative e cioè riferite all’ultimo punto che si è specificato. Pertanto se si desidera procedere per:

– coordinate assolute: con l’Input dinamico disattivato si immettono direttamente i dati nella barra

di comando, con Input dinamico attivato si deve prima digitare #.

– coordinate relative con Input dinamico disattivato i dati si immettono nella barra di comando preceduti da @, con Input dinamico attivato si immettono direttamente i dati.

Come misure AutoCAD opera per unità ed è il disegnatore a decidere a cosa esse corrispondano. Cliccato sul Menù dell’Applicazione si seleziona Utilità di sistema e si clicca su Unità. Si aprirà la finestra Unità disegno dove impostare le unità di misura e la scala che si consiglia di utilizzare la 1:1 e rimandare al momento della stampa la scelta definitiva. Si ricorda che è con il punto che si separano i decimali dalle unità mentre con la virgola si separano i due dati (X,Y).

8 I comandi per disegnare

Attiviamo un comando cliccando sulla icona corrispondente oppure digitando la o le lettere che lo identificano come ad esempio L (maiuscolo o minuscolo) per Linea, PG per Poligono ecc.

Nella finestra di testo compare il suo nome assieme ad una richiesta e una o più opzioni racchiuse tra parentesi [ ]. O si inserisconi direttamente i dati e si dà Invio oppure, per scegliere un’opzione, si digita o le lettere in maiuscolo o si clicca direttamente sul nome dell’opzione. Poi si procede seguendo le indicazioni.

di base

8.1

COMANDO LINEA (L)

dal lato digitando s per spigolo) chiede la posizione del primo estremo e poi del secondo estremo del lato di base.

8.3 COMANDO CERCHIO (C)

Attivato il comando mediante l’icona

20

20

Attivando il comando cliccando sull’icona, Catena o digitando L e Invio, nella barra di dialogo si ha: LINEA specificare primo punto: Ora si può cliccare direttamente nell’area disegno o inserire i dati per coordinate e dare Invio Specificare punto successivo o [Annulla]: si procede cliccando nell’area di disegno o inserendo le coordinate.

21

55

8.2 COMANDO POLIGONO (PG)

Attivato il comando mediante l’icona Pag. 54

22

di base

nella barra di dialogo è chiesto: il numero di lati ... (Invio); (se si sceglie la costruzione partendo dalla circonferenza) le coordinate del centro ... (Invio) quindi se inscritto o circoscritto e poi il raggio; (se si sceglie di partire

Catena nella barra di dialogo è chiesto: Specificare centro del cerchio poi il raggio o il diametro; oppure 3P cioè tre suoi punti; oppure 2P cioè gli estremi di un suo diametro; oppure Ttr cioè due oggetti cui è tangente e il raggio.

8.4 ESERCIZI

21

Disegnare le figure proposte in Sez. C - cap. 6, Sviluppa le abilità

55

PIASTRINA • ESERCIZIO 20

Costruiamo metà figura con Linea

: clicchiamo in un punto, poi @20,0 (Invio); @15,15 (I); @0,45 (I); @-9,0 (I); @-16,-30 (I); @-10,0 (I); quindi Specchia Pag. 54

Fig. 20 Fig. 22

Fig. 20 Fig. 22 Fig. 21

Fig. 20 Fig. 22

Fig. 21 Pag. 55

Fig. 21 Pag. 55

Piastrina di base

selezioniamo la spezzata e clicchiamo sui suoi due estremi e alla richiesta Cancellare gli oggetti sorgente? [Si No] <No>: No (I)

PIASTRINA DI BASE • ESERCIZIO 21

Col comando Pag. 54

Poligono costruiamo il triangolo equilatero di lato 57 e lo esplodiamo con esplodi Pag. 54

20 Fig. 22 Fig. 21 Pag. 55

Piastrina di base

Tampone ; con Cerchio costruiamo le circonferenze nei vertici; con Offset

Piastrina di base

di base Tampone impostato sulla distanza 3 costruiamo le parallele ai lati del triangolo; col comando Taglia

togliamo le parti eccedenti; col comando

Linea e Snap

Tangente tracciamo le tangenti alle circonferenze.

di base

TAMPONE • ESERCIZIO 22

tracciamo l’asse verticale; con Offset

Col comando Linea Catena costruiamo il trapezio isoscele di base; poi con Snap Punto medio

Catena impostato sulla distanza 35 costruiamo la parallela alla base del trapezio e asse della circonferenza; col comando Cerchio

Catena e Snap intersezione

Catena tracciamo la circonferenza; col comando Raccorda Catena impostato su 10 e 12 tracciamo i raccordi.

CATENA DI BICICLETTA • ESERCIZIO 23

Col comando Linea Catena si costruiscono due assi ortogonali; con Offset Catena impostato sulla distanza 34 costruiamo altri due assi orizzontali; con Cerchio Catena e Snap intersezione Catena costruiamo le circonferenze; con Raccorda

Catena impostato su 25 si tracciano i raccordi.

realizzato nello spazio modello. Esso è inserito in un foglio di carta virtuale dove tutto ciò che è all'interno del rettangolo tratteggiato, le cui dimensioni dipendono dalla configurazione della stampante utilizzata, sarà stampato nella fase di output.

9 Il comando per stampare (STAMPA)

Si potrà osservare inoltre che a sinistra in basso l’icona UCS è quella relativa allo spazio carta. Inoltre nella barra di stato la scritta MODELLO sarà sostituita dalla scritta

Questo comando serve per stampare su carta il disegno che è stato realizzato. Il comando si attiva cliccando: sull’icona Stampa nel gruppo Stampa nella scheda Output (➜ Fig. 22) sull’icona Stampa nel menù di Accesso rapido; sul pulsante Stampa nel Menù Applicazione.

tri utili a stampare (

Fig.27

➜ Fig. 23

Essi sono:

– Stampante/plotter , che permette di scegliere il plotter o la stampante e attraverso il tasto Proprietà di intervenire su alcune caratteristiche di stampa.

– Dimensioni foglio, dove si impostano l’unità di misura, le dimensioni del foglio.

– Area di stampa

Aprendo la tendina corrispondente si può scegliere tra quattro possibilità:

Estensioni: stampa tutto ciò che si è disegnato; Finestre: stampa tutto ciò che rientra in una finestra definita dall’utente con il mouse o inserendo le coordinate per definire l’area; Limiti : (disponibile solo dalla scheda modello) stampa ciò che rientra nei limiti del disegno se si sono impostati;

: stampa ciò che rientra nello schermo delnate, di posizionare il disegno nel foglio oppure di centrarlo.

– Scala di stampa

Qui si decide la scala in cui il disegno deve essere stampato. C’è anche l’opzione di Adatta al foglio che fa rientrare il disegno nei limiti del foglio. Tale opzione non deve essere mai utilizzata in quanto il disegno viene stampato con una scala sconosciuta, cosa che non può essere accettata per un disegno tecnico.

– Tabella Stili di Stampa

Aprendo la tendina corrispondente si trova l’elenco dei vari stili di stampa tra i quali i più utilizzati sono: acad.ctb, che rispetta tutte le proprietà già impostate nel disegno;

monochrome.ctb, che fa in modo che la stampa sia monocromatica in nero senza variare gli altri parametri assegnati (tipi di linea ecc.);

grayscale.ctb, che fa in modo che la stampa sia in scala di grigio rispettando gli altri parametri assegnati.

Inoltre c’è la possibilità, con Nuova, di creare uno o più nuovi stili di linea.

– Opzioni di stampa

Tra le varie opzioni le più utili sono:

– Stampa in background per stampare e contemporaneamente operare sul disegno;

– Stampa spessori linea oggetto per non stampare, deselezionandolo, gli spessori delle linee che sono stati utilizzati.

– Orientamento del disegno

Si può scegliere, selezionando Verticale o Orizzontale, l’orientamento del foglio rispetto al disegno. C’è poi l’opzione Stampa capovolta per la stampa su supporti trasparenti come fogli di acetato.

Spazio modello e spazio carta

stampa partendo dallo spazio modello, con la dello spazio carta, che mostra la posizione del la stampa, si ha in Anteprima di stampa, Output, oppure cliccando su Anteprima nella

9.1 SPAZIO MODELLO E SPAZIO CARTA

disegno, si opera nel così detto spazio modello che non impostato il disegno su un modello prestabilito o su un

nel momento in cui si vorrà stampare il disegno e tali verrà utilizzato per la stampa. Lo spazio che il foglio definito spazio carta, detto anche layout. Esso sarà con la stampa partendo dallo spazio modello, con la visualizzazione dello spazio carta, che mostra la posizione del impostato per la stampa, si ha in Anteprima di stampa, scheda Output, oppure cliccando su Anteprima nella

stampare fogli di carta cioè di layout, la Layout1 e sinistra possono

Normalmente, quando si realizza un disegno, si opera nel così detto spazio modello che non ha limiti precisi anche se si è impostato il disegno su un modello prestabilito o su un determinato formato del foglio. Ci troveremo di fronte a limiti precisi nel momento in cui si vorrà stampare il disegno e tali limiti sono dati dal formato del foglio che verrà utilizzato per la stampa.

Lo spazio che il foglio mette a disposizione per la

volessero stampare diversa o su fogli di spazi carta cioè di già due layout, la schede Layout1 e in basso a sinistra Layout se ne possono

Fig.25

Normalmente, quando si realizza un disegno, si opera nel così detto spazio modello che non ha limiti precisi anche se si è impostato il disegno su un modello prestabilito o su un determinato formato del foglio. Ci troveremo di fronte a limiti precisi nel momento in cui si vorrà stampare il disegno e tali limiti sono dati dal formato del foglio che verrà utilizzato per la stampa. Lo spazio che il foglio mette a disposizione per la stampa è definito spazio carta, detto anche layout. Esso sarà quindi stabilito, ogniqualvolta si proceda con la stampa partendo dallo spazio modello, con la scelta del formato del foglio. La visualizzazione dello spazio carta, che mostra la posizione del disegno sul foglio (A4, A3, A2, ecc.) impostato per la stampa, si ha in Anteprima di stampa, che si trova in gruppo Stampa della scheda Output, oppure cliccando su Anteprima nella finestra Stampa. Qualora però, di uno stesso disegno, si volessero stampare diverse versioni, magari a una scala diversa o su fogli di formato diverso, è utile avvalersi di più spazi carta cioè di più layout. AutoCAD di default prevede già due layout, la cui presenza è segnalata dalle due schede Layout1 e Layout2 a fianco di Modello nel margine in basso a sinistra dell’area di disegno (Fig.25). Di Layout se ne possono creare altri fino a un massimo di 256.

tasto sinistro su una schede layout ad sulla scritta, così si visualizza la finestra di cliccare

cliccare col tasto sinistro su una schede sempre sulla scritta, così si (Fig.26)

stampa è definito spazio carta, detto anche layout. Esso sarà quindi stabilito, ogniqualvolta si proceda con la stampa partendo dallo spazio modello, con la scelta del formato del foglio. La visualizzazione dello spazio carta, che mostra la posizione del disegno sul foglio (A4, A3, A2, ecc.) impostato per la stampa, si ha in Anteprima di stampa, che si trova in gruppo Stampa della scheda Output, oppure cliccando su Anteprima nella finestra Stampa. Qualora però, di uno stesso disegno, si volessero stampare diverse versioni, magari a una scala diversa o su fogli di formato diverso, è utile avvalersi di più spazi carta cioè di più layout. AutoCAD di default prevede già due layout, la cui presenza è segnalata dalle due schede Layout1 e Layout2 a fianco di Modello nel margine in basso a sinistra dell’area di disegno ( ➜ Fig. 24).

Di Layout se ne possono creare altri fino a un massimo di 256.

Per entrare in uno spazio carta basta cliccare col tasto sinistro su una schede layout ad esempio Layout1, poi con il tasto destro, sempre sulla scritta, così si visualizza la finestra di dialogo Gestione impostazioni pagina (Fig.26).

automaticamente, basta cliccare pagina

Fig.28) un all'interno del dalla stampato

mobile il (Fig.28 che è stato inserito in un è all'interno del dipendono dalla sarà stampato

Per entrare in uno spazio carta basta cliccare col tasto sinistro su una schede layout ad esempio Layout1, poi con il tasto destro, sempre sulla scritta, così si visualizza la finestra di dialogo Gestione impostazioni pagina ( ➜ Fig. 25).

Nel caso non si visualizzi automaticamente, basta cliccare su Output e poi su Gestione impostazione pagina (Fig.27).

Dando Chiudi comparirà una finestra mobile il (Fig.28) nella quale è possibile vedere il disegno che è stato realizzato nello spazio modello. Esso è inserito in un foglio di carta virtuale dove tutto ciò che è all'interno del rettangolo tratteggiato, le cui dimensioni dipendono dalla configurazione della stampante utilizzata, sarà stampato nella fase di output.

basso l’icona

Inoltre nella barra sostituita dalla scritta

l’icona barra scritta

Nel caso non si visualizzi automaticamente, basta cliccare su Output e poi su Gestione impostazione pagina ( ➜ Fig. 26).

Dando Chiudi comparirà una finestra mobile il ( ➜ Fig. 27) nella quale è possibile vedere il disegno che è stato realizzato nello spazio modello. Esso è inserito in un foglio di carta virtuale dove tutto ciò che è all’interno del rettangolo tratteggiato, le cui dimensioni dipendono dalla configurazione della stampante utilizzata, sarà stampato nella fase di output.

Si potrà osservare inoltre che a sinistra in basso l’icona UCS è quella relativa allo spazio carta. Inoltre nella barra di stato la scritta MODELLO sarà sostituita dalla scritta CARTA

Fig.26

Fig.26

Si potrà osservare inoltre che a sinistra in basso l’icona UCS è quella relativa allo spazio carta. Inoltre nella barra di stato la scritta MODELLO sarà sostituita dalla scritta CARTA.

➜

Fig. 28

Fig. 28

Fig. 28

Il disegno appare all’interno di una cornice di colore azzurro con quattro grip ai vertici e uno al centro con a fianco un triangolino (➜ Fig. 27). Agganciando il grip centrale si ha la possibilità di spostare il disegno sul foglio. Agganciando quelli ai quattro vertici si potrà ampliare o ridurre il rettangolo di cornice. Se invece clicchiamo sul triangolino centrale si aprirà una tendina che propone un elenco di possibili rapporti di scala. Per chiuderla premere esc. Per attivare un disegno sarà sufficiente cliccare sul rettangolo di cornice e per disattivarlo cliccare all’esterno di esso. Per l’utilizzo corretto dei layout è bene sapere che possono essere creati o eliminati mentre Modello non si può eliminare.

Il disegno appare all'interno di una cornice di colore azzurro centro con a fianco un triangolino (Fig. 28). Agganciando spostare il disegno sul foglio. Agganciando quelli ai quattro rettangolo di cornice. Se invece clicchiamo sul triangolino propone un elenco di possibili rapporti di scala. Per chiuderla disegno sarà sufficiente cliccare sul rettangolo di cornice esso.

Il disegno appare all'interno di una cornice di colore azzurro con quattro grip ai vertici centro con a fianco un triangolino (Fig. 28). Agganciando il grip centrale si ha la spostare il disegno sul foglio. Agganciando quelli ai quattro vertici si potrà ampliare rettangolo di cornice. Se invece clicchiamo sul triangolino centrale si aprirà una tendina propone un elenco di possibili rapporti di scala. Per chiuderla premere esc. Per attivare disegno sarà sufficiente cliccare sul rettangolo di cornice e per disattivarlo cliccare esso.

Per l’utilizzo corretto dei layout è bene sapere che: Possono essere creati o eliminati mentre Modello non Se si volessero apportare modifiche al Modello, mentre due volte all’interno della finestra mobile. L’ingrossamento riquadro della finestra segnala che si può operare.

Per l’utilizzo corretto dei layout è bene sapere che: Possono essere creati o eliminati mentre Modello non si può eliminare; Se si volessero apportare modifiche al Modello, mentre si è in una scheda layout due volte all’interno della finestra mobile. L’ingrossamento dello spessore della riquadro della finestra segnala che si può operare. Contemporaneamente nella Barra la scritta CARTA (Fig. 29) si trasformerà in MODELLO (Fig. 30). Cliccando scritte si può quindi passare da spazio modello a spazio carta mentre per passare all'altro si deve cliccare sulle rispettive schede.

Fig.29

la scritta CARTA (Fig. 29) si trasformerà in MODELLO scritte si può quindi passare da spazio modello a spazio all'altro si deve cliccare sulle rispettive schede.

Fig.29

Autocomposizione dei layout

Fig.30

Il disegno appare all'interno di una cornice di colore azzurro con quattro grip ai vertici e uno al centro con a fianco un triangolino (Fig. 28). Agganciando il grip centrale si ha la possibilità di spostare il disegno sul foglio. Agganciando quelli ai quattro vertici si potrà ampliare o ridurre il rettangolo di cornice. Se invece clicchiamo sul triangolino centrale si aprirà una tendina che propone un elenco di possibili rapporti di scala. Per chiuderla premere esc. Per attivare un disegno sarà sufficiente cliccare sul rettangolo di cornice e per disattivarlo cliccare all'esterno di esso.

Fig.30

Per creare un ulteriore layout oltre ai due già proposti fianco delle scritte layout in basso a sinistra dello schermo; del mouse su una scritta layout, si apre il menù a scelta

Autocomposizione dei layout

9.2 AUTOCOMPOSIZIONE DEI LAYOUT

Per l’utilizzo corretto dei layout è bene sapere che:

Possono essere creati o eliminati mentre Modello non si può eliminare; Se si volessero apportare modifiche al Modello, mentre si è in una scheda layout, si clicca due volte all’interno della finestra mobile. L’ingrossamento dello spessore della linea del riquadro della finestra segnala che si può operare. Contemporaneamente nella Barra di stato la scritta CARTA (Fig. 29) si trasformerà in MODELLO (Fig. 30). Cliccando su queste due scritte si può quindi passare da spazio modello a spazio carta mentre per passare da un layout all'altro si deve cliccare sulle rispettive schede.

Se si volessero apportare modifiche al Modello , mentre si è in una scheda layout, si clicca due volte all’interno della finestra mobile. L’ingrossamento dello spessore della linea del riquadro della finestra segnala che si può operare. Contemporaneamente nella Barra di stato la scritta CARTA ( ➜ Fig. 28) si trasformerà in MODELLO (➜ Fig. 29). Cliccando su queste due scritte si può quindi passare da spazio modello a spazio carta mentre per passare da un layout all’altro si deve cliccare sulle rispettive schede.

Fig.29

Con la nuova scheda si apre la finestra Gestione impostazione nome. Cliccando su Modifica si apre la finestra Impostazione quella che abbiamo gia visto in Stampa (Fig. 24).

Per creare un ulteriore layout oltre ai due già proposti dal programma, basta cliccare fianco delle scritte layout in basso a sinistra dello schermo; oppure, cliccando col del mouse su una scritta layout, si apre il menù a scelta rapida e si clicca su Nuovo Con la nuova scheda si apre la finestra Gestione impostazione pagina, dove nome. Cliccando su Modifica si apre la finestra Impostazione pagina-Layout quella che abbiamo gia visto in Stampa (Fig. 24).

Per creare un ulteriore layout oltre ai due già proposti dal programma, basta cliccare sul + a fianco delle scritte layout in basso a sinistra dello schermo; oppure, cliccando col tasto destro del mouse su una scritta layout, si apre il menù a scelta rapida e si clicca su Nuovo layout.

Qui, come in stampa, si stabiliscono: il plotter o la l’unità di misura, in Elementi da stampare è l’orientamento del disegno e lo stile di stampa.

Qui, come in stampa, si stabiliscono: il plotter o la stampante, la dimensione l’unità di misura, in Elementi da stampare è già selezionato Layout l’orientamento del disegno e lo stile di stampa.

Fig.30

Autocomposizione dei layout

Con la nuova scheda si apre la finestra Gestione impostazione pagina, dove si assegna il nome. Cliccando su Modifica si apre la finestra Impostazione pagina­Layout che ricalca quella che abbiamo gia visto in Stampa (➜ Fig. 23).

Qui, come in stampa, si stabiliscono: il plotter o la stampante, la dimensione del foglio, l’unità di misura, in Elementi da stampare è già selezionato Layout, scala 1:1, l’orientamento del disegno e lo stile di stampa

Per creare un ulteriore layout oltre ai due già proposti dal programma, basta cliccare sul + a fianco delle scritte layout in basso a sinistra dello schermo; oppure, cliccando col tasto destro del mouse su una scritta layout, si apre il menù a scelta rapida e si clicca su Nuovo layout. Con la nuova scheda si apre la finestra Gestione impostazione pagina, dove si assegna il nome. Cliccando su Modifica si apre la finestra Impostazione pagina-Layout che ricalca quella che abbiamo gia visto in Stampa (Fig. 24).

Qui, come in stampa, si stabiliscono: il plotter o la stampante, la dimensione del foglio,

Fig.31

Fig.31

Inoltre nella Barra multifunzione compare il pulsante Layout (Fig.31) su cui cliccare per trasformarla nella barra con Finestre di layout i cui comandi permettono di creare, nell'ambito del foglio, finestre rettangolari, poligonali o col contorno di un qualsiasi oggetto chiuso.

Inoltre nella Barra multifunzione compare il pulsante Layout (Fig.31) su cui cliccare per trasformarla nella barra con Finestre di layout i cui comandi permettono di creare, nell'ambito del foglio, finestre rettangolari, poligonali o col contorno di un qualsiasi oggetto chiuso.

Inoltre nella Barra multifunzione compare il pulsante Layout (Fig.31) su cui cliccare per trasformarla nella barra con Finestre di layout i cui comandi permettono di creare, nell'ambito del foglio, finestre rettangolari, poligonali o col contorno di un qualsiasi oggetto chiuso.

Fig.32

Inoltre nella Barra multifunzione compare il pulsante Layout ( ➜ Fig. 30) su cui cliccare per trasformarla nella barra con Finestre di layout i cui comandi permettono di creare, nell’ambito del foglio, finestre rettangolari, poligonali o col contorno di un qualsiasi oggetto chiuso.

Inoltre nella Barra multifunzione compare il pulsante Layout (Fig.31) su cui cliccare per trasformarla nella barra con Finestre di layout i cui comandi permettono di creare, nell'ambito del foglio, finestre rettangolari, poligonali o col contorno di un qualsiasi oggetto chiuso.

➜ Fig. 30

Per creare una o più finestre in un layout, alla sua creazione (il contorno diventa azzurro con i grip) si ridimensiona la finestra con riprodotto il modello oppure la si cancella, poi si clicca su Layout nella Barra multifunzione (Fig.31), quindi, in Finestre di layout, ad esempio su Rettangolare (Fig.32). Poi si specificano i due angoli della finestra come richiesto nella riga di comando. Ripetendo il comando si possono allo stesso modo creare altre finestre.

Fig.32

Inoltre nella Barra multifunzione compare il pulsante Layout (Fig.31) su cui cliccare per trasformarla nella barra con Finestre di layout i cui comandi permettono di creare, nell'ambito del foglio, finestre rettangolari, poligonali o col contorno di un qualsiasi oggetto chiuso

Fig.31

Per creare una o più finestre in un layout, alla sua creazione (il contorno diventa azzurro con i grip) si ridimensiona la finestra con riprodotto il modello oppure la si cancella, poi si clicca su Layout nella Barra multifunzione (Fig.31), quindi, in Finestre di layout, ad esempio su Rettangolare (Fig.32). Poi si specificano i due angoli della finestra come richiesto nella riga di comando. Ripetendo il comando si possono allo stesso modo creare altre finestre.

Oltre alla forma rettangolare, cliccando su Poligonale oppure su Oggetto, le finestre possono assumere una forma irregolare come un poligono (Fig.33) oppure una qualsiasi forma data da un oggetto esistente, come un cerchio (Fig. 34), un triangolo o altro purché la forma sia chiusa.

Per creare una o più finestre in un layout, alla sua creazione (il contorno diventa azzurro con i grip) si ridimensiona la finestra con riprodotto il modello oppure la si cancella, poi si clicca su Layout nella Barra multifunzione (➜ Fig. 30), quindi, in Finestre di layout, ad esempio su Rettangolare (➜ Fig. 31). Poi si specificano i due angoli della finestra come richiesto nella riga di comando. Ripetendo il comando si possono allo stesso modo creare altre finestre.

Oltre alla forma rettangolare, cliccando su Poligonale oppure su Oggetto, le finestre possono assumere una forma irregolare come un poligono (Fig.33)

Fig.31

Per creare una o più finestre in un layout, alla sua creazione (il contorno diventa azzurro con i grip) si ridimensiona la finestra con riprodotto il modello oppure la si cancella, poi si clicca su Layout nella Barra multifunzione (Fig.31), quindi, in Finestre di layout, ad esempio su Rettangolare (Fig.32). Poi si specificano i due angoli della finestra come richiesto nella riga di comando. Ripetendo il comando si possono allo stesso modo creare altre finestre.

Per creare una o più finestre in un layout, alla sua creazione (il contorno diventa azzurro con i grip) si ridimensiona la finestra con riprodotto il modello oppure la si cancella, poi si clicca su Layout nella Barra multifunzione (Fig.31), quindi, in Finestre di layout, ad esempio su Rettangolare (Fig.32). Poi si specificano i due angoli della finestra come richiesto nella riga di comando. Ripetendo il comando si possono allo stesso modo creare altre finestre.

Per creare una o più finestre in un layout, alla sua creazione (il contorno diventa azzurro con i grip) si ridimensiona la finestra con riprodotto il modello oppure la si cancella, poi si clicca su Layout nella Barra multifunzione (Fig.31), quindi, in Finestre di layout, ad esempio su Rettangolare (Fig.32). Poi si specificano i due angoli della finestra come richiesto nella riga di comando. Ripetendo il comando si possono allo stesso modo creare altre finestre.

oppure una qualsiasi forma data da un oggetto esistente, come un cerchio (Fig. 34), un triangolo o altro purché la forma sia chiusa.

Per creare una o più finestre in un layout, alla sua creazione (il contorno diventa azzurro con i grip) si ridimensiona la finestra con riprodotto il modello oppure la si cancella, poi si clicca su Layout nella Barra multifunzione (Fig.31), quindi, in Finestre di layout, ad esempio su Rettangolare (Fig.32). Poi si specificano i due angoli della finestra come richiesto nella riga di comando. Ripetendo il comando si possono allo stesso modo creare altre finestre.

Per creare una o più finestre in un layout, alla sua creazione (il contorno diventa azzurro con i grip) si ridimensiona la finestra con riprodotto il modello oppure la si cancella, poi si clicca su Layout nella Barra multifunzione (Fig.31), quindi, in Finestre di layout, ad esempio su Rettangolare (Fig.32). Poi si specificano i due angoli della finestra come richiesto nella riga di comando. Ripetendo il comando si possono allo stesso modo creare altre finestre.

Oltre alla forma rettangolare, cliccando su Poligonale oppure su Oggetto, le finestre possono assumere una forma irregolare come un poligono (➜ Fig. 32) oppure una qualsiasi forma data da un oggetto esistente, come un cerchio (➜ Fig. 33), un triangolo o altro purché la forma sia chiusa.

Oltre alla forma rettangolare, cliccando su Poligonale oppure su Oggetto, le finestre possono assumere una forma irregolare come un poligono (Fig.33) oppure una qualsiasi forma data da un oggetto esistente, come un cerchio (Fig. 34), un triangolo o altro purché la forma sia chiusa.

Oltre alla forma rettangolare, cliccando su Poligonale oppure su Oggetto, le finestre possono assumere una forma irregolare come un poligono (Fig.33) oppure una qualsiasi forma data da un oggetto esistente, come un cerchio (Fig. 34), un triangolo o altro purché la forma sia chiusa

Oltre alla forma rettangolare, cliccando su Poligonale oppure su Oggetto, le finestre possono assumere una forma irregolare come un poligono (Fig.33) oppure una qualsiasi forma data da un oggetto esistente, come un cerchio (Fig. 34), un triangolo o altro purché la forma sia chiusa

Oltre alla forma rettangolare, cliccando su Poligonale oppure su Oggetto, le finestre possono assumere una forma irregolare come un poligono (Fig.33) oppure una qualsiasi forma data da un oggetto esistente, come un cerchio (Fig. 34), un triangolo o altro purché la forma sia chiusa.

Oltre alla forma rettangolare, cliccando su Poligonale oppure su Oggetto, le finestre possono assumere una forma irregolare come un poligono (Fig.33) oppure una qualsiasi forma data da un oggetto esistente, come un cerchio (Fig. 34), un triangolo o altro purché la forma sia chiusa.

➜ Fig. 32

Fig.33

Fig.33

Fig.34

Fig.34

Le finestre possono essere ampliate o ridimensionate o spostate attivandole cliccando sulla loro cornice e agendo sui grip. Possono essere spostate anche con il comando Sposta .

Fig.33

➜ Fig. 33

Inoltre, una volta attivata una finestra nella barra di stato compare la scala del disegno con la possibilità di impostarlo al valore desiderato (Fig.35)

Le finestre possono essere ampliate o ridimensionate o spostate attivandole cliccando sulla loro cornice e agendo sui grip. Possono essere spostate anche con il comando Sposta . Inoltre, una volta attivata una finestra nella barra di stato compare la scala del disegno con la possibilità di impostarlo al valore desiderato (Fig.35)

Le finestre possono essere ampliate o ridimensionate o spostate attivandole cliccando sulla loro cornice e agendo sui grip. Possono essere spostate anche con il comando Sposta .

Fig.34

Fig.33

Fig.33

Le finestre possono essere ampliate o ridimensionate o spostate attivandole cliccando sulla loro cornice e agendo sui grip. Possono essere spostate anche con il comando Sposta .

Fig.33

Fig.34

Fig.34

Le finestre possono essere ampliate o ridimensionate o spostate attivandole cliccando sulla loro cornice e agendo sui grip. Possono essere spostate anche con il comando Sposta .

Fig.34

Inoltre, una volta attivata una finestra nella barra di stato compare la scala del disegno con la possibilità di impostarlo al valore desiderato (Fig.35)

appare sulla barra di stato ( ➜ Fig. 34) oppure sulle icone in Finestre di Layout (➜ Fig. 35) o anche cliccare col tasto destro del mouse e poi in Visualizzazione bloccata e cliccare sul Si (➜ Fig. 36).

Le finestre possono essere ampliate o ridimensionate o spostate attivandole cliccando sulla loro cornice e agendo sui grip. Possono essere spostate anche con il comando Sposta .

Quando si assegna una scala a una finestra, è consigliato bloccarla per evitare che eseguendo uno zoom la scala subisca una variazione. Per bloccare la visualizzazione di una finestra di layout, selezionare il bordo della finestra e cliccare sul lucchetto che appare sulla barra di stato (Fig.35 ) oppure sulle icone in Finestre di Layout (Fig.36 ) o anche cliccare col tasto destro del mouse e poi in Visualizzazione bloccata e cliccare sul Si (Fig.37).

Quando si assegna una scala a una finestra, è consigliato bloccarla per evitare che eseguendo uno zoom la scala subisca una variazione. Per bloccare la visualizzazione di una finestra di layout, selezionare il bordo della finestra e cliccare sul lucchetto che appare sulla barra di stato (Fig.35 ) oppure sulle icone in Finestre di Layout (Fig.36 ) o anche cliccare col tasto destro del mouse e poi in Visualizzazione bloccata e cliccare sul Si (Fig.37).

Le finestre possono essere ampliate o ridimensionate o spostate attivandole cliccando sulla loro cornice e agendo sui grip. Possono essere spostate anche con il comando Sposta .

Le finestre possono essere ampliate o ridimensionate o spostate attivandole cliccando sulla loro cornice e agendo sui grip. Possono essere spostate anche con il comando Sposta

Inoltre, una volta attivata una finestra nella barra di stato compare la scala del disegno con la possibilità di impostarlo al valore desiderato (Fig.35)

Inoltre, una volta attivata una finestra nella barra di stato compare la scala del disegno con la possibilità di impostarlo al valore desiderato. Quando si assegna una scala a una finestra, è consigliato bloccarla per evitare che eseguendo uno zoom la scala subisca una variazione. Per bloccare la visualizzazione di una finestra di layout, selezionare il bordo della finestra e cliccare sul lucchetto che

Inoltre, una volta attivata una finestra nella barra di stato compare la possibilità di impostarlo al valore desiderato (Fig.35

Inoltre, una volta attivata una finestra nella barra di stato compare la possibilità di impostarlo al valore desiderato (Fig.35

Quando si assegna una scala a una finestra, è consigliato bloccarla per evitare che eseguendo uno zoom la scala subisca una variazione. Per bloccare la visualizzazione di una finestra di layout, selezionare il bordo della finestra e cliccare sul lucchetto che appare sulla barra di stato (Fig.35 ) oppure sulle icone in Finestre di Layout ( o anche del mouse e poi in Visualizzazione bloccata e cliccare sul 37

Fig. 35

Quando si assegna una scala a una finestra, è consigliato bloccarla per evitare che eseguendo uno zoom la scala subisca una variazione. Per bloccare la visualizzazione di una finestra di layout, selezionare il bordo della finestra e cliccare sul lucchetto che appare sulla barra di stato (Fig 35 ) oppure sulle icone in Finestre di Layout 36 del mouse e poi in Visualizzazione bloccata e cliccare sul (

➜ Fig. 34

Quando si assegna una scala a una finestra, è consigliato bloccarla per evitare che eseguendo uno zoom la scala subisca una variazione. Per bloccare la visualizzazione di una finestra di layout, selezionare il bordo della finestra e cliccare sul lucchetto che appare sulla barra di stato (Fig.35 ) oppure sulle icone in Finestre di Layout ) del mouse e poi in Visualizzazione bloccata e cliccare sul Fig

Fig. 35 Fig. 36 Fig. 37

Fig. 36 Fig. 37

Quando si assegna una scala a una finestra, è consigliato bloccarla per evitare che eseguendo uno zoom la scala subisca una variazione. Per bloccare la visualizzazione di una finestra di layout, selezionare il bordo della finestra e cliccare sul lucchetto che appare sulla barra di stato (Fig oppure sulle icone in Finestre di Layout del mouse e poi in Visualizzazione bloccata e cliccare sul

Fig. 35 Fig. 36 Fig.

Inoltre, una volta attivata una finestra nella barra di stato compare la del disegno con possibilità di impostarlo al valore desiderato (Fig.35

Quando si assegna una scala a una finestra, è consigliato bloccarla per evitare che eseguendo uno zoom la scala subisca una variazione. Per bloccare la visualizzazione di una finestra layout, selezionare il bordo della finestra e cliccare sul lucchetto che appare sulla barra di stato (Fig.35 ) oppure sulle icone in Finestre di Layout cliccare col tasto destro Visualizzazione bloccata e cliccare sul (Fig ).

CENNI SULLE NORME UNI

1 Tipi di linee

CI OCCUPEREMO DI...

1. Tipi di linee

2. Norme per il disegno tecnico: le quote

3. Formati e piegature dei fogli

4. Riquadro delle iscrizioni e archiviazione

Per il segno esiste una norma specifica che stabilisce gli spessori e i tipi di linea da usare nel disegno tecnico. La scelta dello spessore delle linee dipenderà dalla scala del disegno e dalla sua resa grafica in fase di stampa. Sotto sono riportati due estratti delle tabelle contenute nella UNI ISO 128-24:2006. Una riporta gli spessori consigliati per i vari tipi di linee (➜ Tab. 1), l’altra ne descrive le caratteristiche e la loro applicazione (➜ Tab. 2).

Gruppo di linee

Grossezza delle linee per linea n. (in mm)

01.2 01.1 – 02.1 – 04.1

0,5a 0,5 0,25

0,7a 0,7 0,35

a) Gruppi di linee preferibili

➜ Tab. 1 • Grossezza delle linee e gruppi di linee (UNI ISO 128-24:2006).

Tipo di linea Applicazioni N. descrizione

01.1

01.2

02.1

linea continua fine

Linea continua grossa

Linea a tratti fine 04.1

Linea mista fine a punto e tratto lungo

Linee di costruzione, linee di proiezione, linee di riferimento, linee di misura, linee di griglia e tratteggi.

Spigoli in vista, contorni in vista e rappresentazioni principali in diagrammi e schemi.

Spigoli nascosti e contorni nascosti.

Assi di simmetria e tracce di simmetria.

➜ Tab. 2 • Denominazioni e applicazioni dei tipi di linee (UNI ISO 128-24:2006).

linee di costruzione 01.1

tratteggi 01.1

assi di simmetria 04.1

contorni in vista 01.2

contorni nascosti 02.1

spigoli nascosti 02.1

spigoli in vista 01.2

linee di riferimento 01.1

linee di quota 01.1

Per eseguire gli esercizi proposti nelle pagine seguenti, è necessario saper leggere le quote che li completano.

disegno tecnico, che indicano le dimensioni di ciò che è rappresentato.

Le quote sono gli elementi, di un disegno tecnico, che indicano le dimensioni di ciò che è rappresentato. Le loro caratteristiche saranno analizzate nel modulo 7.3, per il momento è sufficiente capirne le indicazioni. Esse si concretizzano nella linea di quota che è una linea avente agli estremi due frecce e un numero al centro.

2

estremi due frecce e un numero al centro. Tale linea è sempre parallela al segmento di cui indica le dimensioni ed il numero al centro esprime la lunghezza in millimetri o, nel caso degli angoli, l’apertura angolare.

Per eseguire gli esercizi proposti nelle pagine seguenti, è necessario saper leggere le quote che li completano. Le quote sono gli elementi, di un disegno tecnico, che indicano le dimensioni di ciò che è rappresentato. Le loro caratteristiche saranno analizzate nel modulo 7.3, per il momento è sufficiente capirne le indicazioni. Esse si concretizzano nella linea di quota che è una linea avente agli estremi due frecce e un numero al centro.

Le loro caratteristiche saranno analizzate nel modulo 7.3, per il momento è sufficiente capirne le indicazioni. Esse si concretizzano nella linea di quota che è una linea avente agli estremi due frecce e un numero al centro.

Quotatura di segmenti Quotatura di angoli

Norme per il disegno tecnico: le quote

Tale linea è sempre parallela al segmento di cui indica le dimensioni ed il numero al centro esprime la lunghezza in millimetri o, nel caso degli angoli, l’apertura angolare.

fig.1

Quotatura di segmenti e di distanze (fig.1).

Quotatura di angoli (fig.2).

Tale linea è sempre parallela al segmento di cui indica le dimensioni ed il numero al centro esprime la lunghezza millimetri o, nel caso degli angoli, l’apertura angolare.

Quotatura di segmenti e di distanze (fig.1).

Quotatura di diametri

Quotatura di diametri

Quotatura di diametri (fig.3), con il simbolo Ø se dal disegno non risulta chiaro essere diametri (fig.4).

Quotatura di segmenti e di distanze (➜ Fig. 1).

Quotatura di angoli (fig.2).

Quotatura di diametri

Tale linea è sempre parallela al segmento di cui indica le dimensioni ed il numero al centro esprime la lunghezza in millimetri o, nel caso degli angoli, l’apertura angolare.

Quotatura di angoli (fig.2).

Quotatura di segmenti Quotatura di angoli

Quotatura di segmenti e di distanze (fig.1).

Quotatura di raccordi (fig.5) dove la lettera R indica raggio.

Quotatura di diametri (fig.3), con il simbolo Ø se dal disegno non risulta chiaro essere diametri (fig.4).

Quotatura di diametri (fig.3), con il simbolo Ø se dal disegno non risulta chiaro essere diametri (fig.4).

➜ Fig. 1

Quotatura di raccordi (➜ Fig. 5) dove la lettera R indica raggio.

Quotatura di un totale che è suddiviso in parti uguali tra loro (fig.6).

Quotatura di oggetti rappresentati in assonometria (fig.7).

Quotatura di segmenti e di distanze (fig.1).

Quotatura di raccordi (fig.5) dove la lettera R indica raggio.

tecnico: le quote

Quotatura di angoli (fig.2).

Quotatura di raccordi (fig.5) dove la lettera R indica raggio.

Quotatura di un totale che è suddiviso in parti uguali tra loro (fig.6).

fig.1

Quotatura di totali fig.4 fig.3

Quotatura di raccordi

Quotatura di raccordi

Quotatura di segmenti Quotatura di angoli

Quotatura di raccordi

Quotatura di totali e parti uguali

Quotatura di un totale che è suddiviso parti uguali tra loro (fig.6).

Quotatura di angoli (➜ Fig. 2).

Quotatura di diametri (fig.3), con il simbolo Ø se dal disegno non risulta chiaro essere diametri (fig.4).

fig.2

Quotatura di segmenti Quotatura di angoli

Quotatura di oggetti rappresentati in assonometria (fig.7).

Quotatura di oggetti rappresentati in assonometria (fig.7).

Quotatura di diametri

Quotatura di raccordi (fig.5) dove la lettera R indica raggio.

Per eseguire gli esercizi proposti nelle pagine seguenti, è necessario saper leggere le quote che li completano. Le quote sono gli elementi, di un disegno tecnico, che indicano le dimensioni di ciò che è rappresentato. Le loro caratteristiche saranno analizzate nel capitolo 16, per il momento è sufficiente capirne le indicazioni. Esse si concretizzano nella linea di quota che è una linea avente agli estremi due frecce e un numero al centro. Tale linea è sempre parallela al segmento di cui indica le dimensioni e il numero al centro esprime la lunghezza in millimetri o, nel caso degli angoli, l’apertura angolare. Ø

proposti nelle necessario saper completano. un le rappresentato. saranno analizmomento è indicazioni. linea di agli numero al al segdimensioni ed il lunghezza angoli, distanze con il risulta (fig.4). dove la suddiviso rappresentati in disegno tecnico: le quote

Quotatura di un totale che è suddiviso in parti uguali tra loro (fig.6).

Quotatura di segmenti Quotatura di angoli

Quotatura di oggetti rappresentati in assonometria (fig.7).

➜ Fig. 2 Ø 20 Ø 24 16

19 60° 23 19 31 Ø 11

proposti nelle necessario saper completano. elementi, di un indicano le rappresentato. saranno analizil momento è indicazioni. nella linea di avente agli numero al parallela al segdimensioni ed il la lunghezza degli angoli, di distanze (fig.2). (fig.3), con il non risulta (fig.4). (fig.5) dove la che è suddiviso (fig.6).

Quotatura di diametri

fig.3

Quotatura di un totale che è suddiviso in parti uguali tra loro (➜ Fig. 6).

Quotatura di assonometrie

Quotatura di raccordi

Quotatura di diametri (➜ Fig. 3), con il simbolo Ø se dal disegno non risulta chiaro essere diametri (➜ Fig. 4).

Quotatura di diametri

Quotatura di raccordi

Ø

Quotatura di totali e parti uguali

Quotatura di assonometrie

Quotatura di oggetti rappresentati in assonometria (➜ Fig. 7).

Quotatura di assonometrie

fig.4

Quotatura di assonometrie

Quotatura di totali e parti uguali

fig.5 fig.6

Quotatura di raccordi Quotatura di totali e parti uguali

raccordi Quotatura di totali e parti uguali

Quotatura di assonometrie

rappresentati in

Quotatura di diametri fig.2 fig.4 quote ➜ Fig. 3 ➜ Fig. 5

Formati e piegature dei fogli

Formati e piegature dei fogli

3 Formati e piegature dei fogli

Formati e piegature dei fogli

Le dimensioni dei fogli per il disegno sono fissate dalle tabelle EN ISO 5457/2002. La sigla A0 designa il formato base cui corrisponde una superficie di 1m2 da cui si ricavano gli altri formati mediante successivi dimezzamenti fino a giungere al formato A4 che è il formato a cui normalmente ciascun foglio di formato superiore è ridotto mediante successive piegature come indicato negli esempi sottostanti.

Le dimensioni dei fogli per il disegno sono fissate dalle tabelle EN ISO 5457/2002. La sigla A0 designa il formato base cui corrisponde una superficie di 1m2 da cui si ricavano gli altri formati mediante successivi dimezzamenti fino a giungere al formato A4 che è il formato a cui normalmente ciascun foglio di formato superiore è ridotto mediante successive piegature come indicato negli esempi sottostanti.

Le dimensioni dei fogli per il disegno sono fissate dalle tabelle UNI EN ISO 5457:2002. La sigla A0 designa il formato base cui corrisponde una superficie di 1m2 da cui si ricavano gli altri formati mediante successivi dimezzamenti fino a giungere al formato A4 che è il formato a cui normalmente ciascun foglio di formato superiore è ridotto mediante successive piegature come indicato negli esempi sottostanti.

Le dimensioni dei fogli per il disegno sono fissate dalle tabelle EN ISO 5457/2002. La sigla A0 designa il formato base cui corrisponde una superficie di 1m2 da cui si ricavano gli altri formati mediante successivi dimezzamenti fino a giungere al formato A4 che è il formato a cui normalmente ciascun foglio di formato superiore è ridotto mediante successive piegature come indicato negli esempi sottostanti.

dimensioni (mm) zona del disegno (mm)

dimensioni (mm) zona del disegno (mm)

dimensioni (mm) zona del disegno (mm)

Riquadro delle iscrizioni e archiviazione

4 Riquadro delle iscrizioni e archiviazione

Riquadro delle iscrizioni e archiviazione

IL CARTIGLIO

IL CARTIGLIO

4.1 IL CARTIGLIO

delle iscrizioni o cartiglio è l’elemento identificativo del disegno poichè contiene le informazioni alla sua identificazione, interpretazione e gestione. Le sue caratteristiche sono stabilite dalla UNI EN ISO 7200:2007. La sua dimensione in larghezza è di 180 mm, occupa la parte inferiore foglio UNI A4, distante dai bordi del foglio 10 mm da destra e 20 mm da sinistra. Il suo contecomprende: i dati di identificazione (proprietario legale, numero di identificazione, indice di data di edizione, numero della parte/foglio, numero di parti/fogli, codice della lingua), i descrittivi (titolo, sottotitolo) e i dati amministrativi (reparto responsabile, riferimento tecnico,auverificatore, tipo di documento, classificazione/parole chiave, stadio del documento, numero pagine, numero di pagine, formato dei fogli). I dati indicati in grassetto sono obbligatori. riportati i due esempi proposti nelle norme.

delle iscrizioni o cartiglio è l’elemento identificativo del disegno poichè contiene le informazioni alla sua identificazione, interpretazione e gestione. Le sue caratteristiche sono stabilite dalla UNI EN ISO 7200:2007. La sua dimensione in larghezza è di 180 mm, occupa la parte inferiore foglio UNI A4, distante dai bordi del foglio 10 mm da destra e 20 mm da sinistra. Il suo contecomprende: i dati di identificazione (proprietario legale, numero di identificazione, indice di data di edizione, numero della parte/foglio, numero di parti/fogli, codice della lingua), i descrittivi (titolo, sottotitolo) e i dati amministrativi (reparto responsabile, riferimento tecnico,auverificatore, tipo di documento, classificazione/parole chiave, stadio del documento, numero pagine, numero di pagine, formato dei fogli). I dati indicati in grassetto sono obbligatori. riportati i due esempi proposti nelle norme.

Reparto responsabile Riferimento tecnico

Il riquadro delle iscrizioni o cartiglio è l’elemento identificativo del disegno poichè contiene le informazioni relative alla sua identificazione, interpretazione e gestione. Le sue caratteristiche sono stabilite dalla norma UNI EN ISO 7200:2007. La sua dimensione in larghezza è di 180 mm, occupa la parte inferiore destra del foglio UNI A4, distante dai bordi del foglio 10 mm da destra e 20 mm da sinistra. Il suo contenuto comprende: i dati di identificazione (proprietario legale, numero di identificazione, indice di revisione, data di edizione, numero della parte/foglio, numero di parti/fogli, codice della lingua), i dati descrittivi (titolo, sottotitolo) e i dati amministrativi (reparto responsabile, riferimento tecnico, autore, verificatore, tipo di documento, classificazione/parole chiave, stadio del documento, numero delle pagine, numero di pagine, formato dei fogli). I dati indicati in grassetto sono obbligatori. Sotto sono riportati i due esempi (➜ Fig. 8 e Fig. 9) proposti nelle norme.

Proprietario legale

Autore

Reparto responsabile Riferimento tecnico

Proprietario legale

Titolo, sottotitolo

Verificato da Tipo di documento

Autore

Verificato da

Tipo di documento

Stadio del documento

AB 123 456-7

Stadio del documento

Titolo, sottotitolo AB 123 456-7

Rev. Lingua Parte Data di edizione

Rev. Lingua Parte Data di edizione

— Blocco del titolo in forma compatta — Fornisce il massimo spazio per il contenuto fattuale

➜ Fig. 8 • Blocco del titolo in forma compatta — Fornisce il massimo spazio per il contenuto fattuale.

Reparto responsabile

Riferimento tecnico

Autore Verificato da Tipo di documento

— Blocco del titolo in forma compatta — Fornisce il massimo spazio per il contenuto fattuale

Stadio del documento

Proprietario legale

Reparto responsabile

Proprietario legale

Riferimento tecnico

Autore Verificato da

Titolo, sottotitolo

Tipo di documento

AB 123 456-7

Stadio del documento

Rev. Lingua Parte Data di edizione

Titolo, sottotitolo AB 123 456-7

Rev. Lingua Parte Data di edizione

➜ Fig. 9 • Blocco del titolo con i campi del nome delle persone sulla riga aggiuntiva — Fornisce uno spazio maggiore per gli aspetti legali.

Blocco del titolo con i campi dei nome delle persone sulla riga aggiuntiva — Fornisce uno maggiore per gli aspetti legali.

4.2 L’ARCHIVIAZIONE DEI DISEGNI

Blocco del titolo con i campi dei nome delle persone sulla riga aggiuntiva — Fornisce uno maggiore per gli aspetti legali.

L’archiviazione dei disegni

L’archiviazione dei disegni

un documento significa conservarlo in ordinato in appositi contenitori come cartelraccoglitori, armadi, cassettiere ecc. esempio semplice è la raccolta che un allievo cartellina e in ordine di data, delle tavole eseguite. Un esempio più complesso lo nell’archivio della segreteria ......del proprio

un documento significa conservarlo in ordinato in appositi contenitori come cartelraccoglitori, armadi, cassettiere ecc. esempio semplice è la raccolta che un allievo cartellina e in ordine di data, delle tavole eseguite. Un esempio più complesso lo nell’archivio della segreteria ......del proprio

Archiviare un documento significa conservarlo in modo ordinato in appositi contenitori come cartelline, raccoglitori, armadi, cassettiere ecc. Un esempio semplice di archiviazione è la raccolta che un allievo fa, in un’apposita cartellina e in ordine di realizzazione, delle tavole di disegno eseguite. Un esempio ben più complesso lo si può trovare nell’archivio della segreteria del proprio Istituto. Nell’archiviazione di un documento ci si imbatte in due problemi: la catalogazione e il formato.

Nell’archiviazione di un documento ci si imbatte in problemi: la catalogazione e il formato.

4.3 LA CATALOGAZIONE

Nell’archiviazione di un documento ci si imbatte in problemi: la catalogazione e il formato.

La catalogazione

La catalogazione nell’assegnare una sigla, composta da e/o lettere, al documento. ...Essa, come di targa, permette di rintracciare il documento nell’archivio.

nell’assegnare una sigla, composta da e/o lettere, al documento. ...Essa, come di targa, permette di rintracciare il documento nell’archivio.

elementare siglatura è data dalla numeraziprogressiva seguita, dopo una barra sepadalle ultime due cifre dell’anno in cui viene

elementare siglatura è data dalla numeraziprogressiva seguita, dopo una barra sepadalle ultime due cifre dell’anno in cui viene

Ad esempio 25/23 significa: venticinquesimo documento del 2023 .....

Ad esempio 25/23 significa: venticinquesimo documento del 2023. .....

Un metodo di siglatura efficace può essere il seguente: immaginiamo che sia necessario archiviare dell’allievo Rossi (ROS) Alessandro (A) della classe prima A (1A) per l’anno scolastico 2023 (23) il secondo (02) compito di disegno (D). La sigla risulterà: ROS A 1A 23 D02.

Un metodo di siglatura efficace può essere il seguente: immaginiamo che sia necessario archiviare dell’allievo Rossi (ROS) Alessandro (A) della classe prima A (1A) per l’anno scolastico 2023 (23) il secondo (02) compito di disegno (D) ; la sgla risulterà: ROS A 1A 23 D02. Riassumendo, la regola è: le prime tre lettere del cognome e la prima del nome, la classe e sezione, le ultimedue cifre dell’anno, il simbolo relativo al tipo di documento (D= disegno, M= matematica ecc.) con il numero d’ordine.

Consiste nell’assegnazione di una sigla, composta da numeri e/o lettere, che identifica il documento. Essa, come una specie di targa, permette di rintracciare il documento nell’ambito dell’archivio. La più elementare siglatura è data dalla numerazione progressiva seguita, dopo una barra separatrice, dalle ultime due cifre dell’anno in cui viene eseguita. Ad esempio 25/23 significa: venticinquesimo documento del 2023.

Un metodo di siglatura efficace può essere il seguente: immaginiamo che sia necessario archiviare dell’allievo Rossi (ROS) Alessandro (A) della classe prima A (1A) per l’anno scolastico 2023 (23) il secondo (02) compito di disegno (D) ; la sgla risulterà: ROS A 1A 23 D02. Riassumendo, la regola è: le prime tre lettere del cognome e la prima del nome, la classe e sezione, le ultimedue cifre dell’anno, il simbolo relativo al tipo di documento (D= disegno, M= matematica ecc.) con il numero d’ordine.

Riassumendo, la regola è: le prime tre lettere del cognome e la prima del nome, la classe e sezione, le ultime due cifre dell’anno, il simbolo relativo al tipo di documento (D = disegno, M = matematica ecc.) con il numero d’ordine.

4.4 IL FORMATO

5.4.4

5.4.4

Il formato

Normalmente la granparte dei documenti ha le dimensioni del foglio UNI A4 (210x297mm) e pertanto i contenitori sono realizzati in base a queste misure. A volte, però, soprattutto i disegni possono avere dimensioni maggiori, per cui si deve procedere o a riporli in cassettiere, di dimensioni opportune, oppure alla loro piegatura fino a ridurli alle dimensioni UNI A4 come esemplificato nel paragrafo precedente.

Normalmente la gran parte dei documenti ha le dimensioni del foglio UNI A4 (210x297mm) e pertanto i contenitori sono realizzati in base a queste misure.

Il formato

Normalmente la granparte dei documenti ha le dimensioni del foglio UNI A4 (210x297mm) e pertanto i contenitori sono realizzati in base a queste misure. A volte, però, soprattutto i disegni possono avere dimensioni maggiori, per cui si deve procedere o a riporli in cassettiere, di dimensioni opportune, oppure alla loro piegatura fino a ridurli alle dimensioni UNI A4 come esemplificato nel

A volte, però, soprattutto i disegni possono avere dimensioni maggiori, per cui si deve procedere o a riporli in cassettiere, di dimensioni opportune, oppure alla loro piegatura fino a ridurli alle dimensioni UNI A4, come esemplificato nel paragrafo precedente.

SEZIONE

LE COSTRUZIONI GEOMETRICHE

CAPITOLO 6 COSTRUZIONI PIANE FONDAMENTALI

MATERIALE:

I metalli hanno avuto un ruolo fondamentale nella storia dell’architettura. Agli inizi si utilizzava lo zinco per le coperture, il rame per le decorazioni e dettagli artistici. Con la Rivoluzione Industriale, però, la funzione del metallo cambia radicalmente grazie all’introduzione della ghisa e, in seguito, dell’acciaio, che resero i metalli i protagonisti delle strutture portanti. Un’opera simbolo di questa trasformazione è la Torre Eiffel, costruita nel 1889 con una struttura metallica ideata da Gustave Eiffel, destinata a diventare un’icona mondiale. Da quel momento il metallo si diffuse in ponti, stazioni, grattacieli, ma anche in elementi di design e architettura leggera. consentono di realizzare grandi luci e forme innovative. Può essere lucido, ossidato, liscio o lavorato, adattandosi a diversi linguaggi fino al mondo contemporaneo. Oggi i metalli sono utilizzati in un’ottica di sostenibilità, anche grazie a tecnologie avanzate e processi di riciclo che riducono l’impatto ambientale. Nell’edilizia moderna trovano applicazione sia nelle strutture portanti che negli elementi di finitura come coperture, facciate e infissi. La possibilità di prefabbricare componenti metallici assicura montaggi rapidi e precisi, migliorando tempi e qualità costruttiva. Tra le soluzioni recenti , apprezzato per la sua resistenza naturale alla

I METALLI

orientamento

IL RUOLO DEL GEOMETRA

Grazie a queste qualità, il metallo rimane un materiale centrale, capace di unire innovazione tecnica, estetica e sostenibilità.

Le competenze fondamentali includono:

→ la progettazione e realizzazione di strutture metalliche;

→ la scelta dei materiali e controllo della corretta posa in opera;

→ la gestione di rilievi tecnici e la capacità di saper leggere disegni e computi metrici;

→ la collaborazione con ingegneri strutturisti e aziende specializzate;

→ la gestione del cantiere;

→ l’analisi della sostenibilità dell’opera.

SVANTAGGI AMBIENTALI E CRITICITÀ

: elevato consumo energetico per l’estrazione e la lavorazione dei metalli. : significative emissioni di CO₂

: sensibili alla corrosione, possono essere richiesti trattamenti protettivi o l’uso

Elementi di geometria: punto, retta, semiretta, segmento

Elementi di geometria: punto, retta, semiretta, segmento

Elementi di geometria: punto, retta, semiretta, segmento

Punto, retta,

piano, angolo

Elementi di geometria: punto, retta, semiretta, segmento

Punto, retta, piano, angolo

Punto, retta, piano, angolo

Punto, retta, piano, angolo

Le forme, nel meccanismo della visione, sono definite principalmente dal loro contorno. Nelle figure piane esso è dato dal perimetro; nei solidi invece è necessario riprodurre anche l’insieme di linee, dette spigoli, che rappresentano le intersezioni dei piani che racchiudono il solido.

Le forme, nel meccanismo della visione, sono definite principalmente dal loro contorno. Nelle figure piane esso è dato dal perimetro; nei solidi invece è necessario riprodurre anche l’insieme di linee, dette spigoli, che rappresentano le intersezioni dei piani che racchiudono il solido.

Le forme, nel meccanismo della visione, sono definite principalmente dal loro contorno. Nelle figure piane esso è dato dal perimetro; nei solidi invece è necessario riprodurre anche l’insieme di linee, dette spigoli, che rappresentano le intersezioni dei piani che racchiudono il solido.

Le forme, nel meccanismo della visione, sono definite principalmente dal loro contorno. Nelle figure piane esso è dato dal perimetro; nei solidi invece è necessario riprodurre anche l’insieme di linee, dette spigoli, che rappresentano le intersezioni dei piani che racchiudono il solido.

Rappresentare graficamente un oggetto significa riprodurne la forma su un foglio, rispettandone le proporzioni e riportandone eventualmente anche le misure.

Rappresentare graficamente un oggetto significa riprodurne la forma su un foglio, rispettandone le proporzioni e riportandone eventualmente anche le misure.

Rappresentare graficamente un oggetto significa riprodurne la forma su un foglio, rispettandone le proporzioni e riportandone eventualmente anche le misure.

1. Punto, retta, piano, angolo

2. Costruzioni di rette e angoli

La linea è una figura geometrica costituita da punti successivi, ha come unica dimensione la lunghezza.

3. I poligoni

La linea è una figura geometrica costituita da punti successivi, ha come unica dimensione la lunghezza.

La linea è una figura geometrica costituita da punti successivi, ha come unica dimensione la lunghezza.

4. Costruzioni di poligoni

La linea è una figura geometrica costituita da punti successivi, ha come unica dimensione la lunghezza.

La retta è un elemento geometrico fondamentale che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. Tutte le rette si indicano con una lettera minuscola.

5. La circonferenza e i raccordi circolari

La retta è un elemento geometrico fondamentale che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. Tutte le rette si indicano con una lettera minuscola.

COSTRUZIONI PIANE FONDAMENTALI

La retta è un elemento geometrico fondamentale che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. Tutte le rette si indicano con una lettera minuscola.

6. Costruzioni di circonferenze, tangenti e raccordi

7. Le curve policentriche e le curve cicliche

Nel fare questo ci si imbatte in difficoltà direttamente proporzionali alla complessità dell’oggetto stesso.

Rappresentare graficamente un oggetto significa riprodurne la forma su un foglio, rispettandone le proporzioni e riportandone eventualmente anche le misure.

Nel fare questo ci si imbatte in difficoltà direttamente proporzionali alla complessità dell’oggetto stesso. Queste difficoltà possono essere superate riconducendo la rappresentazione grafica alla somma di rappresentazioni di forme semplici, delle quali si conoscano le caratteristiche.

Queste difficoltà possono essere superate riconducendo la rappresentazione grafica alla somma di rappresentazioni di forme semplici, delle quali si conoscano le caratteristiche.

Nel fare questo ci si imbatte in difficoltà direttamente proporzionali alla complessità dell’oggetto stesso. Queste difficoltà possono essere superate riconducendo la rappresentazione grafica alla somma di rappresentazioni di forme semplici, delle quali si conoscano le caratteristiche.

Nel fare questo ci si imbatte in difficoltà direttamente proporzionali alla complessità dell’oggetto stesso. Queste difficoltà possono essere superate riconducendo la rappresentazione grafica alla somma di rappresentazioni di forme semplici, delle quali si conoscano le caratteristiche.

Nella fig.1 si vede come sia possibile, attraverso una serie di approssimazioni, ridurre la rappresentazione di un fiocco di neve alla sovrapposizione di più triangoli equilateri.

Nella fig.1 si vede come sia possibile, attraverso una serie di approssimazioni, ridurre la rappresentazione di un fiocco di neve alla sovrapposizione di più triangoli equilateri.

Nella fig.1 si vede come sia possibile, attraverso una serie di approssimazioni, ridurre la rappresentazione di un fiocco di neve alla sovrapposizione di più triangoli equilateri.

Nella fig.1 si vede come sia possibile, attraverso una serie di approssimazioni, ridurre la rappresentazione di un fiocco di neve alla sovrapposizione di più triangoli equilateri.

1 Punto, retta, piano, angolo

fig. 1

fig. 1

Questo modo di procedere ha permesso di sfruttare le forme geometriche per rappresentare l’esistente e progettare ciò che si vuole costruire.

fig. 1

Questo modo di procedere ha permesso di sfruttare le forme geometriche per rappresentare l’esistente e progettare ciò che si vuole costruire.

La geometria permette di disegnare figure anche complesse utilizzando gli elementi fondamentali, gli enti primitivi, ovvero punti, rette e piani. Con questi mattoni è possibile costruire tutto l’edificio della costruzione grafica. Una figura geometrica è un qualunque insieme di punti.

Questo modo di procedere ha permesso di sfruttare le forme geometriche per rappresentare l’esistente e progettare ciò che si vuole costruire.

Questo modo di procedere ha permesso di sfruttare le forme geometriche per rappresentare l’esistente e progettare ciò che si vuole costruire.

j PUNTO

punto, retta, semiretta, segmento

punto, retta, semiretta, segmento

Abbiamo visto come sia necessario far riferimento alla geometria come scienza che regola il rapporto tra i vari elementi di un piano o di un solido. Tutte le figure possono essere rappresentate utilizzando gli elementi geometrici fondamentali; risulta perciò utile ricordare qui quelli che sono i principi costitutivi di questa disciplina.

Abbiamo visto come sia necessario far riferimento alla geometria come scienza che regola il rapporto tra i vari elementi di un piano o di un solido. Tutte le figure possono essere rappresentate utilizzando gli elementi geometrici fondamentali; risulta perciò utile ricordare qui quelli che sono i principi costitutivi di questa disciplina.

Abbiamo visto come sia necessario far riferimento alla geometria come scienza che regola il rapporto tra i vari elementi di un piano o di un solido. Tutte le figure possono essere rappresentate utilizzando gli elementi geometrici fondamentali; risulta perciò utile ricordare qui quelli che sono i principi costitutivi di questa disciplina.

Il punto è un ente geometrico privo di dimensioni che indica una posizione univoca nello spazio o nel piano. Ad esempio, l’intersezione tra due rette su un piano determina un punto. Il punto si indica con una lettera maiuscola.

r sono definite figure piane è necessaspigoli, che racchisignifica rispettandone le anche le direttamente stesso. riconducendi rappreconoscano

r sono definite figure piane è necessaspigoli, che racchisignifica rispettandone le anche le direttamente stesso. riconducendi rappreconoscano

averso una appresentazione di triangoli

averso una appresentazione di triangoli

Abbiamo visto come sia necessario far riferimento alla geometria come scienza che regola il rapporto tra i vari elementi di un piano o di un solido. Tutte le figure possono essere rappresentate utilizzando gli elementi geometrici fondamentali; risulta perciò utile ricordare qui quelli che sono i principi costitutivi di questa disciplina.

Le fondamenta della geometria si basano sugli enti primitivi o elementi fondamentali, quali il punto la retta e il piano. Utilizzando questi mattoni riusciamo a costruire tutto l’edificio della costruzione grafica.

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

La retta è un elemento geometrico fondamentale che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. Tutte le rette si indicano con una lettera minuscola.

8. Costruzioni di curve policentriche e cicliche

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

9. Le coniche

10. Costruzioni di coniche

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

11. Metodi per la riproduzione dei disegni

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

12. Scale di riduzione e di ingrandimento

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

Due rette incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro misura la quarta parte dell’angolo giro, risultano essere di 90°.

Due rette incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro misura la quarta parte dell’angolo giro, risultano essere di 90°.

Due rette incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro misura la quarta parte dell’angolo giro, risultano essere di 90°.

Due rette incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro misura la quarta parte dell’angolo giro, risultano essere di 90°.

Due rette incidenti sono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro misura la quarta parte dell’angolo giro, risultano essere di 90°.

Due rette, nello stesso piano, si dicono parallele quando non hanno alcun punto in comune, coincidenti quando hanno tutti i punti in comune. fig. 1

Due rette, nello stesso piano, sono parallele quando non hanno alcun punto in comune, sono coincidenti quando hanno tutti i punti in comune.

Due rette, nello stesso piano, si dicono parallele quando non hanno alcun punto in comune, coincidenti quando hanno tutti i punti in comune.

Due rette, nello stesso piano, si dicono parallele quando non hanno alcun punto in comune, coincidenti quando hanno tutti i punti in comune.

La linea è una figura geometrica costituita da punti successivi, ha come unica dimensione la lunghezza.

j RETTA

DEF: Qualunque insieme di punti si dice figura geometrica.

Le fondamenta della geometria si basano sugli enti primitivi o elementi fondamentali, quali il punto la retta e il piano. Utilizzando questi mattoni riusciamo a costruire tutto l’edificio della costruzione grafica. DEF: Qualunque insieme di punti si dice figura geometrica.

La linea è una figura geometrica costituita da punti successivi, ha come unica dimensione la lunghezza.

Le fondamenta della geometria si basano sugli enti primitivi o elementi fondamentali, quali il punto la retta e il piano. Utilizzando questi mattoni riusciamo a costruire tutto l’edificio della costruzione grafica. DEF: Qualunque insieme di punti si dice figura geometrica.

La retta è un ente geometrico che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. La retta si indica con una lettera minuscola.

Le fondamenta della geometria si basano sugli enti primitivi o elementi fondamentali, quali il punto la retta e il piano. Utilizzando questi mattoni riusciamo a costruire tutto l’edificio della costruzione grafica. DEF: Qualunque insieme di punti si dice figura geometrica.

Il punto è un elemento geometrico fondamentale, privo di dimensioni e indica una posizione univoca nello spazio o nel piano. Per esempio l’intersezione di due rette determinano un punto su un piano. Tutti i punti si indicano con una lettera maiuscola dell’alfabeto latino.

Due rette, nello stesso piano, si dicono parallele quando non hanno alcun punto in comune, coincidenti quando hanno tutti i punti in comune.

La retta è un elemento geometrico fondamentale che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. Tutte le rette si indicano con una lettera minuscola.

La retta è un elemento geometrico fondamentale che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. Tutte le rette si indicano con una lettera minuscola.

Il punto è un elemento geometrico fondamentale, privo di dimensioni e indica una posizione univoca nello spazio o nel piano. Per esempio l’intersezione di due rette determinano un punto su un piano. Tutti i punti si indicano con una lettera maiuscola dell’alfabeto latino.

Elementi generati dalla retta

Elementi generati dalla retta

j SEMIRETTA

Elementi generati dalla retta

semiretta

semiretta

semiretta

Elementi generati dalla retta

semiretta

POSIZIONI RECIPROCHE TRA

RETTE

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

Due rette possono assumere diverse posizioni reciproche nel piano. Due rette distinte sono incidenti quando hanno un punto in comune.

Il punto è un elemento geometrico fondamentale, privo di dimensioni e indica una posizione univoca nello spazio o nel piano. Per esempio l’intersezione di due rette determinano un punto su un piano. Tutti i punti si indicano con una lettera maiuscola dell’alfabeto latino.

Il punto è un elemento geometrico fondamentale, privo di dimensioni e indica una posizione univoca nello spazio o nel piano. Per esempio l’intersezione di due rette determinano un punto su un piano. Tutti i punti si indicano con una lettera maiuscola dell’alfabeto latino.

Data una retta e fissato su di essa un punto O, formano una semiretta il punto stesso e tutti i punti che lo precedono, o lo seguono. Il punto O è detto origine della semiretta. Una semiretta è il prolungamento dell’altra.

Data una retta e fissato su di essa un punto O, formano una semiretta il punto stesso e tutti i punti che lo precedono, o lo seguono. Il punto O è detto origine della semiretta.

Data una retta e fissato su di essa un punto O, formano una semiretta il punto stesso e tutti i punti che lo precedono, o lo seguono. Il punto O è detto origine della semiretta. Una semiretta è il prolungamento dell’altra

Data una retta e fissato su di essa un punto O, formano una semiretta il punto stesso e tutti i punti che lo precedono, o lo seguono. Il punto O è detto origine della semiretta.

Una semiretta è il prolungamento dell’altra

Una semiretta è il prolungamento dell’altra

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

Data una retta e fissato su di essa un punto O, formano una semiretta il punto stesso e tutti i punti che lo precedono, o lo seguono. Il punto O è detto origine della semiretta.

segmento

Due rette incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro

j SEGMENTO

Due rette incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro

segmento

segmento

Una semiretta è il prolungamento dell’altra

Data una retta e fissati su di essa due punti A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento.

segmento

Data una retta e fissati due punti su di essa A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento.

Data una retta e fissati due punti su di essa A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento

Data una retta e fissati due punti su di essa A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento.

Data una retta e fissati due punti su di essa A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento.

2 Costruzioni di rette e angoli

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

PASSO PASSO 2.1 ASSE DI UN SEGMENTO

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

1 Consideriamo il segmento AB.

Sia dato il segmento AB

Sia dato il segmento AB

Sia dato il segmento AB

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

3 La retta passante per 1 e 2 è l’asse cercato.

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

2 Aperto il compasso con misura R a piacere, superiore alla metà di AB, puntiamo in A e B e tracciamo quattro archetti che si incrociano in 1 e in 2.

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Sia dato il segmento AB.

Sia dato il segmento AB.

Sia dato il segmento AB

Sia dato il segmento AB

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

Sia dato il segmento AB

Sia dato il segmento AB

Sia dato il segmento AB

con le SQUADRE

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Tracciando una linea passante per H e ottiene l’asse cercato

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°; 3) Ripeti l’operazione in B determinando H; 4) Traccia la perpendicolare per H.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°; 3) Ripeti l’operazione in B determinando H; 4) Traccia la perpendicolare per H.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°; 3) Ripeti l’operazione in B determinando H; 4) Traccia la perpendicolare per H.

a Allinea la squadra 30/60 con AB e falla scorrere verso il basso. b Appoggia la squadra 45 sulla squadra 30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°. c Ripeti l’operazione in B determinando 1. d Traccia la perpendicolare per 1.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°; 3) Ripeti l’operazione in B determinando H; 4) Traccia la perpendicolare per H.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°; 3) Ripeti l’operazione in B determinando H; 4) Traccia la perpendicolare per H.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°; 3) Ripeti l’operazione in B determinando H; 4) Traccia la perpendicolare per H.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°; 3) Ripeti l’operazione in B determinando H; 4) Traccia la perpendicolare per H.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°; 3) Ripeti l’operazione in B determinando H; 4) Traccia la perpendicolare per H.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°; 3) Ripeti l’operazione in B determinando H; 4) Traccia la perpendicolare per H.

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Data la retta e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

1 Dati la retta s e il punto P puntiamo in P con apertura a piacere e tracciamo una semicirconferenza che interseca la retta s nei punti 1 e 2.

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

PASSO PASSO 2.2 PERPENDICOLARE A UNA RETTA PER UN SUO PUNTO

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

2 Con apertura a piacere, ma con R maggiore di 1P, puntiamo in 1 e in 2 e tracciamo due archetti la cui intersezione è il punto 3.

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Video tutorial 1

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

3 La retta passante per 3 e P è la perpendicolare cercata. Video tutorial

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°; 3) Ripeti l’operazione in B determinando H; 4) Traccia la perpendicolare per H. 1) Allinea Sq.45

per P.

con le SQUADRE

a Allinea la squadra 45 con s. b Appoggia la squadra 30/60 sulla squadra 45. c Fai scorrere la squadra 45 fino ad allinearla a P. d Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

Costruzioni piane fondamentali: perpendicolari

Costruzioni piane fondamentali: perpendicolari

Costruzioni piane fondamentali: perpendicolari

1 Consideriamo la retta s e il punto P.

Problema 3: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un punto P esterno ad essa

Problema 3: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un punto P esterno ad essa

Problema 3: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un punto P esterno ad essa

Sia data la retta s e il punto P Si punti in P con apertura a piacere e si tracci un arco che determina i punti A e B quindi si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Sia data la retta s e il punto P Si punti in P con apertura a piacere e si tracci un arco che determina i punti A e B quindi si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

2 Puntiamo in P con apertura a piacere e tracciamo un arco che interseca la retta nei punti 1 e 2. Poi puntiamo in 1 e in 2 e tracciamo due archetti la cui intersezione è il punto 3.

3 La retta passante per 3 e P è la perpendicolare cercata.

Sia data la retta s e il punto P Si punti in P con apertura a piacere e si tracci un arco che determina i punti e B quindi si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Problema 3: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un punto P esterno ad essa

Sia data la retta s e il punto P Si punti in P con apertura a piacere e si tracci un arco che determina i punti A e B quindi si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

1) Allinea Sq.45 a s; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 a s; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 a s; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

a Allinea la squadra 45 a s. b Appoggia la squadra 30/60. c Fai scorrere la squadra 45 fino ad allinearla a P. d Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 a s; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Costruzioni piane fondamentali: perpendicolari a b c d

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Allinea Sq.45 a s;

1) Allinea Sq.45 a s; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 a s; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 a s; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 a s; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

s

PASSO PASSO 2.4

PERPENDICOLARE A UN SEGMENTO IN UN ESTREMO

1 Consideriamo il segmento AB e apriamo il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione.

s s s

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

s s

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

2 Puntiamo in A e tracciamo un arco che interseca il segmento nel punto 1. Puntiamo in 1 e tracciamo un arco che interseca il primo arco nel punto 2.

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

3 Puntiamo in 2 e tracciamo un arco che interseca in 3 il secondo arco; quindi puntiamo in 3 e tracciamo un arco che interseca in 4 il terzo arco. La retta passante per A e 4 è la perpendicolare cercata.

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Sq.45 ad AB; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla ad A; 4) Traccia la perpendicolare per A.

Allinea Sq.45 ad AB; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla ad A; 4) Traccia la perpendicolare per A.

con le SQUADRE

la perpendicolare per A.

1) Allinea Sq.45 ad AB; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla ad A; 4) Traccia la perpendicolare per A.

1) Allinea Sq.45 ad AB; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla ad A; 4) Traccia la perpendicolare per A.

1) Allinea Sq.45 ad AB; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla ad A; 4) Traccia la perpendicolare per A.

a Allinea la squadra 45 ad AB. b Appoggia la squadra 30/60. c Fai scorrere la squadra 45 fino ad allinearla ad A. d Traccia la perpendicolare per A.

1) Allinea Sq.45 ad AB; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla ad A; 4) Traccia la perpendicolare per A.

Costruzioni piane fondamentali: parallele

Costruzioni piane fondamentali: parallele

Costruzioni piane fondamentali: parallele

PASSO PASSO 2.5 PARALLELA A UNA RETTA A DISTANZA D

Video tutorial

Problema 5: Tracciare una parallela alla retta s alla distanza d

Problema 5: Tracciare una parallela alla retta s alla distanza d

Problema 5: Tracciare una parallela alla retta s alla distanza d

1 Consideriamo la retta s e la distanza d.

Siano date la retta s e la distanza dPer due punti A e B di s presi a piacere si traccino le perpendicolari alla retta

2 Per due punti 1 e 2 di s presi a piacere tracciamo le perpendicolari alla retta.

Siano date la retta s e la distanza dPer due punti A e B di s presi a piacere si traccino le perpendicolari alla retta

Siano date la retta s e la distanza dPer due punti A e B di s presi a piacere si traccino le perpendicolari alla retta

Si riportino sulle perpendicolari la distanza d determinando i punti

Si riportino sulle perpendicolari la distanza d determinando i punti

H e K. Tracciando la linea passante per H e K si ottiene la parallela cercata

Si riportino sulle perpendicolari la distanza d determinando i punti H e K. Tracciando la linea passante per H e K si ottiene la parallela cercata

H e K. Tracciando la linea passante per H e K si ottiene la parallela cercata

3 Riportiamo sulle perpendicolari la distanza d e determiniamo i punti 3 e 4. Tracciando la retta passante per 3 e 4 otteniamo la parallela cercata.

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.30/60, traccia una verticale e riporta la distanza d; 3) Allinea Sq.45 a s; 4) fai scorrere la Sq.45 fino all’estremità di d e traccia la parallela.

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.30/60, traccia una verticale e riporta la distanza d; 3) Allinea Sq.45 a s; 4) fai scorrere la Sq.45 fino all’estremità di d e traccia la parallela.

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.30/60, traccia una verticale e riporta la distanza d; 3) Allinea Sq.45 a s; 4) fai scorrere la Sq.45 fino all’estremità di d e traccia la parallela.

Costruzioni piane fondamentali: parallele

Problema 5: Tracciare una parallela alla retta s alla distanza d

Siano date la retta s e la distanza

Problema 5: Tracciare una parallela alla retta s alla distanza d

due punti A e B di s presi a piacere si traccino le perpendicolari alla retta

Siano date la retta s e la distanza dPer due punti A e B di s presi a piacere si traccino le perpendicolari alla retta

Si riportino sulle perpendicolari la distanza d determinando i punti H e K. Tracciando la linea passante per H e K si ottiene la parallela cercata

d d d

con le SQUADRE

Si riportino sulle perpendicolari la distanza d determinando i punti H e K. Tracciando la linea passante per H e K si ottiene la parallela cercata

a Allinea la squadra 45 con s e falla scorrere verso il basso. b Appoggia la squadra 30/60, traccia una verticale e riporta la distanza d. c Allinea la squadra 45 a s. d Fai scorrere la squadra 45 fino all’estremità di d e traccia la parallela.

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.30/60, traccia una verticale e riporta la distanza d; 3) Allinea Sq.45 a s; 4) fai scorrere la Sq.45 fino all’estremità di d e traccia la parallela.

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.30/60, traccia una verticale e riporta la distanza d; 3) Allinea Sq.45 a s; 4) fai scorrere la Sq.45 fino all’estremità di d e traccia la parallela.

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.30/60, traccia una verticale e riporta la distanza d; 3) Allinea Sq.45 a s; 4) fai scorrere la Sq.45 fino all’estremità di d e traccia la parallela.

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.30/60, traccia una verticale e riporta la distanza d; 3) Allinea Sq.45 a s; 4) fai scorrere la Sq.45 fino all’estremità di d e traccia la parallela.

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.30/60, traccia una verticale e riporta la distanza d; 3) Allinea Sq.45 a s; 4) fai scorrere la Sq.45 fino all’estremità di d e traccia la parallela.

b c d

Problema 6: Tracciare la parallela alla retta s per un punto P esterno ad essa

Problema 6: Tracciare la parallela alla retta s per un punto P esterno ad essa

Problema 6: Tracciare la parallela alla retta s per un punto P esterno ad essa

Siano dati la retta s e il punto P.

Siano dati la retta s e il punto P.

Si tracci da P la perpendicolare a s e determinando il punto H.

PASSO PASSO

Si tracci da P la perpendicolare a s e determinando il punto H.

Siano dati la retta s e il punto P. Si tracci da P la perpendicolare a s e determinando il punto H.

2.6

Si scelga a piacere su s un punto Q e si tracci per esso la perpedicolare alla retta.

Si scelga a piacere su s un punto Q e si tracci per esso la perpedicolare alla retta.

Si scelga a piacere su s un punto Q e si tracci per esso la perpedicolare alla retta.

PARALLELA A UNA RETTA PER UN PUNTO ESTERNO A ESSA

Problema 6: Tracciare la parallela alla retta s per un punto P esterno ad essa

1 Consideriamo la retta s e il punto P. Tracciamo da P la perpendicolare a s e determiniamo il punto 1.

Siano dati la retta s e il punto P. Si tracci da P la perpendicolare a s e determinando il punto H.

2 Scegliamo a piacere su s un punto 2 e tracciamo per esso la perpendicolare alla retta.

Si scelga a piacere su s un punto Q e si tracci per esso la perpedicolare alla retta.

Siano dati la retta s e il punto P. Si tracci da P la perpendicolare a s e determinando il punto H.

Si scelga a piacere su s un punto Q e si tracci per esso la perpedicolare alla retta.

Si riporti sulla perpendicolare in Q la distanza PH determinando il punto K. Tracciando la linea passante per P e K si ottiene la parallela cercata

Problema 6: Tracciare la parallela alla retta s per un punto P esterno ad essa

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45; 3) fai scorrere la Sq.45 fino a P e traccia la parallela. d d d

Si riporti sulla perpendicolare in Q la distanza PH determinando il punto K. Tracciando la linea passante per P e K si ottiene la parallela cercata

Si riporti sulla perpendicolare in Q la distanza PH determinando il punto K. Tracciando la linea passante per P e K si ottiene la parallela cercata

Si riporti sulla perpendicolare in Q la distanza PH determinando il punto K. Tracciando la linea passante per P e K si ottiene la parallela cercata

Si riporti sulla perpendicolare in Q la distanza PH determinando il punto K. Tracciando la linea passante per P e K si ottiene la parallela cercata

3 Riportiamo sulla perpendicolare in 2 la distanza P1 e determiniamo il punto 3. Tracciando la retta passante per P e 3 si ottiene la parallela cercata.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45; 3) fai scorrere la Sq.45 fino a P e traccia la parallela.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45; 3) fai scorrere la Sq.45 fino a P e traccia la parallela.

con le SQUADRE

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45; 3) fai scorrere la Sq.45 fino a P e traccia la parallela.

a Allinea la squadra 45 con s. b Appoggia la squadra 30/60 alla squadra 45. c Fai scorrere la squadra 45 fino a P e traccia la parallela.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45; 3) fai scorrere la Sq.45 fino a P e traccia la parallela.

Costruzioni piane

Costruzioni

Costruzioni piane

Costruzioni piane fondamentali

Costruzioni piane fondamentali

Costruzioni piane fondamentali

Costruzioni piane fondamentali

Costruzioni piane fondamentali

Costruzioni piane fondamentali

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Costruzioni piane

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Costruzioni piane fondamentali

Sia dato l’angolo α.

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Sia dato l’angolo α.

PASSO PASSO 2.7 COSTRUZIONE DI UN ANGOLO CONGRUENTE A UN ANGOLO DATO

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Sia dato l’angolo α.

Sia dato l’angolo α.

Sia dato l’angolo α.

1 Consideriamo un angolo a

Sia dato l’angolo α.

Sia dato l’angolo α.

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’

Sia dato l’angolo α.

Sia dato l’angolo α.

Puntando il compasso in V R’, scelta a

Puntando il compasso in V con apertura R’, scelta a piacere, si tracci un arco che determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

Puntando il compasso in V con apertura R’, scelta a piacere, si tracci un arco che determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Puntando il compasso in V con apertura R’, scelta a piacere, si tracci un arco che determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

Puntando il compasso in V con apertura R’, scelta a piacere, si tracci un arco che determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

Puntando il compasso in V con apertura R’, scelta a piacere, si tracci un arco che determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

Puntando il compasso in V con apertura R’, scelta a piacere, si tracci un arco che determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

2 Puntando il compasso in V con apertura R', scelta a piacere, tracciamo un arco che determina sui lati dell’angolo i punti 1 e 2.

determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

Puntando il compasso in V con apertura R’, scelta a piacere, si tracci un arco che determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

Puntando il compasso in V con apertura R’, scelta a piacere, si tracci un arco che determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

Puntando il compasso in V con apertura R’, scelta a piacere, si tracci un arco che determina sui lati dell’angolo i punti A e B.

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’.

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’.

Si fissi poi a piacere il punto

3 Fissiamo poi a piacere il punto V' fuori dall’angolo a e da esso tracciamo la semiretta s'.

Problema 7: Dato l’angolo α se ne costruisca uno di congruente

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’.

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’.

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß a

Si fissi poi a piacere il punto V’ e da esso si tracci la linea s’

Si rilevi col compasso la distanza R” tra A e B e puntando in A’ la si riporti sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto B’. Tracciando da V’ una linea passante per B’ si ottiene l’angolo cercato

Si rilevi col compasso la distanza R” tra A e B e puntando in A’ la si riporti sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto B’. Tracciando da V’ una linea passante per B’ si ottiene l’angolo cercato

Si rilevi col compasso la distanza R” passante per B’ si ottiene l’angolo

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’.

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’.

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß a

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß a

Si rilevi col compasso la distanza R” tra A e B e puntando in A’ la si riporti sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto B’. Tracciando da V’ una linea passante per B’ si ottiene l’angolo cercato

Si rilevi col compasso la distanza R” tra A e B e puntando in A’ la si riporti sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto B’ Tracciando da V’ una linea passante per B’ si ottiene l’angolo cercato

Si rilevi col compasso la distanza R” tra A e B e puntando in A’ la si riporti sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto B’. Tracciando da V’ una linea passante per B’ si ottiene l’angolo cercato

riporti sull’arco tracciato precedentemente determinando il Tracciando da V’ una linea passante per B’ si ottiene l’angolo

Si rilevi col compasso la distanza R” tra A e B e puntando in A’ la si riporti sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto B’ Tracciando da V’ una linea passante per B’ si ottiene l’angolo cercato

Si rilevi col compasso la distanza R” tra A e B e puntando in A’ la si riporti sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto B’ Tracciando da V’ una linea passante per B’ si ottiene l’angolo cercato

Si rilevi col compasso la distanza R” tra A e B e puntando in A’ la si riporti sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto B’. Tracciando da V’ una linea passante per B’ si ottiene l’angolo cercato

5 Rileviamo col compasso la distanza R" tra 1 e 2 e puntando in 1' la riportiamo sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto 2'. Tracciando da V' una semiretta passante per 2' otteniamo l’angolo cercato di ampiezza a.

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’.

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’.

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’.

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’

4 Puntando il compasso in V' con apertura R', tracciamo un arco che determina su s' il punto 1'.

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’

Puntando il compasso in V’ con apertura R‘ si tracci un arco che determina su s’ il punto A’.

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß

1 Consideriamo gli angoli a e b

Siano dati gli angoli α e ß.

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß a

Siano dati gli angoli α e ß.

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß a

Siano dati gli angoli α e ß.

Si rilevi col compasso la distanza R” tra A e B e puntando in A’ la si riporti sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto B’. Tracciando da V’ una linea passante per B’ si ottiene l’angolo cercato

PASSO PASSO 2.8 SOMMA DI DUE ANGOLI a E b

Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

Problema 8: Sommare due angoli dati α e ß a

Siano dati gli angoli α e ß.

Siano dati gli angoli α e ß. Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

Siano dati gli angoli α e ß. Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

Siano dati gli angoli α e ß.

Siano dati gli angoli α e ß. Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

da esso si tracci la linea s.

Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

Siano dati gli angoli α e ß. Si fissi poi a piacere il punto V e da esso si tracci la linea s.

3 Fissiamo poi a piacere il punto V e da esso tracciamo la semiretta s. s

Si rilevino ora col compasso le distanze R’ tra A e B ed R” tra C e D e le si riportino in successione sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto D’. Tracciando da V una linea passante per D’ si ottiene l’angolo cercato

2 Puntando il compasso in V' e V", con apertura R, scelta a piacere, tracciamo due archi che determinano sui lati degli angoli i punti 1, 2, 3 e 4.

Puntando il compasso in V’ e V”, con apertura R, scelta a piacere, si traccino due archi che determinano sui lati degli angoli i punti A, B, C e D.

Puntando il compasso in V’ e V”, con apertura R, scelta a piacere, si traccino due archi che determinano sui lati degli angoli i punti A, B, C e D.

Si rilevino ora col compasso le distanze R’ tra A e B ed R” tra C e D e le si riportino in successione sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto D’. Tracciando da V una linea passante per D’ si ottiene l’angolo cercato.

5 Rileviamo ora col compasso le distanze R' tra 1 e 2 e R" tra 3 e 4 e le riportiamo in successione sull’arco tracciato precedentemente, determinando il punto 4'. Tracciando da V una semiretta passante per 4' otteniamo l’angolo cercato a  b s

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’

Si rilevino ora col compasso le distanze R’ tra A e B ed R” tra C e D e le si riportino in successione sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto D’. Tracciando da V una linea passante per D’ si ottiene l’angolo cercato

Si rilevino ora col compasso le distanze R’ tra A e B ed R” tra C e D e le si riportino in successione sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto D’. Tracciando da V una linea passante per D’ si ottiene l’angolo cercato.

Si rilevino ora col compasso le distanze R’ tra A e B ed R” tra C e D e le si riportino in successione sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto D’. Tracciando da V una linea passante per D’ si ottiene l’angolo cercato.

Si rilevino ora col compasso le D’ da V una linea passante per D’ si cercato

Si rilevino ora col compasso le distanze R’ tra A e B ed R” tra C e D e le si riportino in successione sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto D’ Tracciando da V una linea passante per D’ si ottiene l’angolo cercato

Si rilevino ora col compasso le distanze R’ tra A e B ed R” tra C e D e le si riportino in successione sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto D’. Tracciando da V una linea passante per D’ si ottiene l’angolo cercato.

e le si riportino in successione sull’arco determinando il punto D’ Tracciando

Si rilevino ora col compasso le distanze R’ tra A e B ed R” tra C e D e le si riportino in successione sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto D’. Tracciando da V una linea passante per D’ si ottiene l’angolo cercato.

Si rilevino ora col compasso le distanze R’ tra A e B ed R” tra C e D e le si riportino in successione sull’arco tracciato precedentemente determinando il punto D’. Tracciando da V una linea passante per D’ si ottiene l’angolo cercato.

Puntando il compasso in V’ e V”, con apertura R, scelta a piacere, si traccino due archi che determinano sui lati degli angoli i punti A, B, C e D.

Puntando il compasso in V’ e V”, con apertura R, scelta a piacere, si traccino due archi che determinano sui lati degli angoli i punti A, B, C e D.

Puntando il compasso in V’ e V”, con apertura R, scelta a piacere, si traccino due archi che determinano sui lati degli angoli i punti A, B, C e D.

Puntando il compasso in V’ e V”, con apertura R, scelta a piacere, si traccino due archi che determinano sui lati degli angoli i punti A, B, C e D.

Puntando il compasso in V’ e V”, con apertura R, scelta a piacere, si traccino due archi che determinano sui lati degli angoli i punti A, B, C e D.

Puntando il compasso in V’ e V”, con apertura R, scelta a piacere, si traccino due archi che determinano sui lati degli angoli i punti A, B, C e D.

Puntando il compasso in V’ e V”, con Puntando quindi il compasso in V

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’

Puntando il compasso in V’ e V”, con apertura R, scelta a piacere, si traccino due archi che determinano sui lati degli angoli i punti A, B, C e D.

Puntando il compasso in V’ e V”, con apertura R, scelta a piacere, si traccino due archi che determinano sui lati degli angoli i punti A, B, C e D.

4 Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R, tracciamo un arco che interseca s nel punto 1'.

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’.

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’.

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’.

Puntando quindi il compasso in V sempre con apertura R si tracci un arco che determina su s il punto A’

Costruzioni piane fondamentali: suddivisioni

PASSO PASSO 2.9 DIVISIONE DI UN SEGMENTO IN NOVE PARTI CONGRUENTI

Problema 9: Dividere il segmento AB in nove parti congruenti

1 Dato il segmento AB, tracciamo da A o da B una semiretta inclinata con un angolo a piacere e, scelta una misura a piacere, la riportiamo su tale linea, partendo da A, per nove volte consecutive.

2 Congiungiamo l’estremo B con 9.

Costruzioni piane fondamentali: suddivisioni

Si congiunga l’estremo B con 9 Con le squadrette si traccino per i punti 8, 7 , 6 e così via le parallele a B9 fino a intersecare AB che risulta così suddiviso in nove parti congruenti.

Problema 9: Dividere il segmento AB in nove parti congruenti

Dato il segmento AB, si tracci da A o da B una linea inclinata con un angolo a piacere e scelta una misura a piacere la si riporti su tale linea, partendo da A, per nove volte consecutive

Dato il segmento AB, si tracci da A o da B una linea inclinata con un angolo a piacere e scelta una misura a piacere la si riporti su tale linea, partendo da A, per nove volte consecutive

3 Con le squadrette tracciamo per i punti 8, 7, 6 e così via le parallele a B9 fino a intersecare AB, che risulta così suddiviso in nove parti congruenti.

Si congiunga l’estremo B con 9 Con le squadrette si traccino per i punti 8, 7 , 6 e così via le parallele a B9 fino a intersecare AB che risulta così suddiviso in nove parti congruenti.

Problema 9: Trisezione dell’angolo retto

Sia tVs l’angolo retto da dividere in tre parti congruenti.

PASSO PASSO 2.10 TRISEZIONE DELL’ANGOLO RETTO

1 Sia tVs l’angolo retto da dividere in tre parti congruenti.

Si punti col compasso in V con apertura a piacere e si tracci un arco che intersechi s e t determinando i punti A e B.

Problema 9: Trisezione dell’angolo retto

Sia tVs l’angolo retto da dividere in tre parti congruenti.

2 Puntiamo col compasso in V con apertura a piacere e tracciamo un arco che intersechi s e t, determinando i punti 1 e 2.

Si punti col compasso in V con apertura a piacere e si tracci un arco che intersechi s e t determinando i punti A e B.

vedi esercizio a pag. 124

Si punti col compasso in A e in B con la stessa apertura e si traccino due archi intersecanti s e t determinando i punti H e K. Congiungendo V con H e K si ottengono gli angolo cercati.

3 Puntiamo col compasso in 1 e in 2 con la stessa apertura e tracciamo due archi che intersecano l’arco 1-2 in 3 e 4. Congiungendo V con 3 e 4 si ottengono gli angoli cercati.

Si punti col compasso in A e in B con la stessa apertura e si traccino due archi intersecanti s e t determinando i punti H e K. Congiungendo V con H e K si ottengono gli angolo cercati.

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere varso il basso; 2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45 con l’angolo di 30° allineato ad A e traccia un segmento; 3)Allinea ad A l’angolo di 60° e traccia l’altro segmento.

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere varso il

2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45 con l’angolo di 30° allineato ad A e traccia un segmento; 3)Allinea ad A l’angolo di 60° e traccia l’altro segmento.

vedi esercizio a pag. 120

a Allinea la squadra 45 con s e falla scorrere verso il basso. b Appoggia la squadra 30/60 alla squadra 45 con l’angolo di 30° allineato ad A e traccia un segmento. c Allinea ad A l’angolo di 60° e traccia l’altro segmento. con le SQUADRE VV

1) Allinea Sq.45 con s e falla scorrere varso il basso; 2) Appoggia Sq.30/60 a Sq.45 con l’angolo di 30° allineato ad A e traccia un segmento; 3)Allinea ad A l’angolo di 60° e traccia l’altro segmento.

Costruzioni piane fondamentali: bisettrici

Costruzioni piane fondamentali: bisettrici

Costruzioni piane fondamentali: bisettrici

Problema 11: Tracciare la bisettrice di un angolo

Problema 11: Tracciare la bisettrice di un angolo

Problema 11: Tracciare la bisettrice di un angolo

Sia dato l’angolo tVs.

Sia dato l’angolo tVs. Si punti in V col compasso aperto a piacere e si tracci un arco che intersechi s in A e t in B

Costruzioni piane fondamentali: bisettrici

Sia dato l’angolo tVs. Si punti in V col compasso aperto a piacere e si tracci un arco che intersechi s in A e t in B

Costruzioni piane fondamentali: bisettrici

Costruzioni piane fondamentali: bisettrici

Si punti in V col compasso aperto a piacere e si tracci un arco che intersechi s in A e t in B.

Problema 11: Tracciare la bisettrice di un angolo

Problema 11: Tracciare la bisettrice di un angolo

Problema 11: Tracciare la bisettrice di un angolo

Sia dato l’angolo tVs.

Sia dato l’angolo tVs.

PASSO PASSO 2.11 BISETTRICE DI UN ANGOLO

Si punti in A e in B con apertura superiore alla metà di AB e si traccino due archetti che, intersecandosi, determinano il punto T. Congiungendo V con T si ottiene la bisettrice cercata.

Si punti in A e in B con apertura superiore alla metà di AB e si traccino due archetti che, intersecandosi, determinano il punto T. Congiungendo V con T si ottiene la bisettrice cercata.

PASSO PASSO 2.12 BISETTRICE DI UN ANGOLO COL VERTICE INACCESSIBILE a b c

Sia dato l’angolo tVs. Si punti in V col compasso aperto a piacere e si tracci un arco che intersechi s in A e t in B

1 Consideriamo l’angolo tVs.

Si punti in V col compasso aperto a piacere e si tracci un arco che intersechi s in A e t in B

Si punti in V col compasso aperto a piacere e si tracci un arco che intersechi s in A e t in B

Si punti in A e in B con apertura superiore alla metà di AB e si traccino due archetti che, intersecandosi, determinano il punto T. Congiungendo V con T si ottiene la bisettrice cercata.

2 Puntiamo in V con apertura a piacere e tracciamo un arco che interseca s in 1 e t in 2.

Si punti in A e in B con apertura superiore alla metà di AB e si traccino due archetti che, intersecandosi, determinano il punto T. Congiungendo V con T si ottiene la bisettrice cercata.

Si punti in A e in B con apertur superiore alla metà di AB e si traccino due archetti che, intersecandosi, determinano il punto T. Congiungendo V con T si ottiene la bisettrice cercata.

Si punti in A e in B con apertura superiore alla metà di AB e si traccino due archetti che, intersecandosi, determinano il punto T. Congiungendo V con T si ottiene la bisettrice cercata.

3 Puntiamo in 1 e in 2 con apertura superiore alla metà di 1-2 e tracciamo due archetti che, intersecandosi, determinano il punto 3. Congiungendo V con 3 otteniamo la bisettrice cercata.

Problema 12: Tracciare la bisettrice di un angolo col vertice inaccessibile

Problema 12: Tracciare la bisettrice di un angolo col vertice inaccessibile

Problema 12: Tracciare la bisettrice di un angolo col vertice inaccessibile

Siano date le rette s e t che si intersecano fuori dal disegno

Siano date le rette s e t che si intersecano fuori dal disegno.

Siano date le rette s e t che si intersecano fuori dal disegno

1 Consideriamo le due rette s e t che si intersecano fuori dal foglio.

Scelti su di esse due punti P e Q, si traccia il segmento PQ determinando quattro angoli α, ß, δ, ε.

Scelti su di esse due punti P e Q, si traccia il segmento PQ determinando quattro angoli α, ß, δ, ε.

Si traccino le bisettrici dei quattro angoli che intersecandosi a due a due determinano i punti A e B. Tracciando la linea passante per A e B si ottiene la bisettrice cercata.

Si traccino le bisettrici dei quattro angoli che intersecandosi a due a due determinano i punti A e B. Tracciando la linea passante per A e B si ottiene la bisettrice cercata.

Problema 12: Tracciare la bisettrice di un angolo col vertice inaccessibile

Problema 12: Tracciare la bisettrice di un angolo col vertice inaccessibile

Siano date le rette s e t che si intersecano fuori dal disegno

Siano date le rette s e t che si intersecano fuori dal disegno.

Scelti su di esse due punti P e Q, si traccia il segmento PQ determinando quattro angoli α, ß, δ, ε.

2 Scelti su di esse due punti 1 e 2, tracciamo il segmento 1-2 che individua quattro angoli: α, β, δ,

Problema 12: Tracciare la bisettrice di un angolo col vertice inaccessibile

Siano date le rette s e t che si intersecano fuori dal disegno

Scelti su di esse due punti P e Q, si traccia il segmento PQ determinando quattro angoli α, ß, δ, ε.

Si traccino le bisettrici dei quattro angoli che intersecandosi a due a due determinano i punti A e B Tracciando la linea passante per A e B si ottiene la bisettrice cercata.

Scelti su di esse due punti P e Q, si traccia il segmento PQ determinando quattro angoli α, ß, δ, ε.

Scelti su di esse due punti P e Q, si traccia il segmento PQ determinando quattro angoli α, ß, δ, ε.

Si traccino le bisettrici dei quattro angoli che intersecandosi a due a due determinano i punti A e B Tracciando la linea passante per A e B si ottiene la bisettrice cercata.

3 Tracciamo le bisettrici dei quattro angoli che, intersecandosi a due a due, determinano i punti 3 e 4. La retta passante per 3 e 4 è la bisettrice cercata.

Si traccino le bisettrici dei quattro angoli che intersecandosi a due a due determinano i punti A e B

Tracciando la linea passante per A e B si ottiene la bisettrice cercata.

Si traccino le bisettrici dei quattro angoli che intersecandosi a due a due determinano i punti A e B Tracciando la linea passante per A e B si ottiene la bisettrice cercata.

Elementi di geometria: poligoni

3 I poligoni

Elementi di geometria: poligoni

Elementi di geometria: poligoni

I Poligoni

I Poligoni

I Poligoni

Un poligono è la parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.

Si definisce poligono una parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.

Si definisce poligono una parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.

Gli elementi che lo caratterizzano sono i lati, gli angoli e i vertici presenti sempre in ugual numero.

Gli elementi che lo caratterizzano sono i lati, gli angoli e i vertici presenti sempre in pari quantità.

Gli elementi che lo caratterizzano sono i lati, gli angoli e i vertici presenti sempre in pari quantità.

Si definisce poligono una parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.

E' convesso se il segmento che ha per estremi due qualsiasi dei suoi punti appartiene interamente al poligono

Gli elementi che lo caratterizzano sono i lati, gli angoli e i vertici presenti sempre in pari quantità.

Un poligono è convesso se il segmento che ha per estremi due qualsiasi dei suoi punti appartiene interamente al poligono.

E' convesso se il segmento che ha per estremi due qualsiasi dei suoi punti appartiene interamente al poligono

E’ punti tali che il segmento che li unisce non appartiene inter al poligono

se esistono almeno due

E’ concavo punti tali che unisce non al poligono

geometria: poligoni

geometria: poligoni

Altri elementi del poligono

Altri elementi del poligono

Altri elementi del poligono

spezzata chiusa.

segmento che ha qualsiasi dei suoi amente al

atterizzano vertici quantità.

atterizzano i vertici quantità.

Un poligono è concavo se esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene interamente al poligono.

ciascun angolo interno; possono associare sono opposti al vertice.

angolo in un lati le poligono

ciascun angolo vertice in un per lati le poligono

Angolo interno ciascun angolo (convesso) che ha vertice in un vertice del poligono e per lati le semirette dei lati del poligono uscenti da quel vertice.

parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.

Angolo interno ciascun angolo (convesso) che ha vertice in un vertice del poligono e per lati le semirette dei lati del poligono uscenti da quel vertice.

E’ concavo se esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene interamente al poligono.

una parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.

E' convesso se il segmento che ha per estremi due qualsiasi dei suoi punti appartiene interamente al poligono

E' convesso se il segmento che ha per estremi due qualsiasi dei suoi punti appartiene interamente al poligono

I Poligoni regolari

I Poligoni regolari

L’angolo esterno di un poligono è ciascun angolo adiacente a un angolo interno; a ogni vertice si possono associare due angoli esterni che sono congruenti perché opposti al vertice.

Angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno; ad ogni vertice si possono associare due angoli esterni che sono congruenti perché opposti al vertice.

Un poligono convesso si dice regolare quando è equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti) ed equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti).

Diagonale ogni segmento che unisce due vertici non consecutivi. Corda ogni segmento che unisce due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo stesso lato.

Angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno; ad ogni vertice si possono associare due angoli esterni che sono congruenti perché opposti al vertice.

si dice equilatero (cioè ed equian-

regolare si possono circonferenza circoscritertici) e (tangente ai suoi dal centro

In ogni poligono regolare si possono tracciare la circonferenza circoscritta (passante per i suoi vertici) e

I poligoni regolari si possono suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti sono i lati che sono la loro base e il loro vertice è il centro del poligono.

Angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno; ad ogni vertice si possono associare due angoli esterni che sono congruenti perché opposti al vertice.

L’angolo interno di un poligono è ciascun angolo (convesso) che ha vertice in un vertice del poligono e per lati le semirette dei lati del poligono uscenti da quel vertice.

Angolo interno ciascun angolo (convesso) che ha vertice in un vertice del poligono e per lati le semirette dei lati del poligono uscenti da quel vertice.

Angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno; ad ogni vertice si possono associare due angoli esterni che sono congruenti perché opposti al vertice.

E’ concavo se esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene interamente al poligono.

E’ concavo se esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene interamente al poligono

I Poligoni regolari

Un poligono convesso si dice regolare quando è equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti) ed equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti).

Diagonale ogni segmento che unisce due vertici non consecutivi. Corda ogni segmento che unisce due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo stesso lato.

In ogni poligono regolare si possono tracciare la circonferenza circoscritta (passante per i suoi vertici) e quella inscritta (tangente ai suoi lati). Il segmento a che dal centro del poligono cade perpendicolarmente al lato si dice apotema

Diagonale unisce due vertici non consecutivi. Corda due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo stesso lato

due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo

Diagonale unisce due Corda ogni due punti qualsiasi poligono che stesso lato.

In ogni poligono regolare si possono tracciare la circonferenza circoscritta (passante per i suoi vertici) e

La diagonale di un poligono è un segmento che unisce due vertici non consecutivi. La corda è un segmento che unisce due punti qualsiasi del contorno del poligono che non appartengono allo stesso lato.

Diagonale ogni segmento che unisce due vertici non consecutivi. Corda ogni segmento che unisce due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo stesso lato

I poligoni regolari si possono suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti sono i lati che sono la loro base e il loro vertice è il centro del poligono

Un poligono convesso si dice regolare quando è equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti) ed equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti). lati). Il segmento a che dal centro del poligono cade perpendicolarmente al lato si dice apotema.

In ogni poligono regolare si possono tracciare la circonferenza circoscrit ta (passante per i suoi vertici) e quella inscritta (tangente ai suoi lati). Il segmento a che dal centro del poligono cade perpendicolarmente al lato si dice apotema

suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti loro vertice è il centro del poligono

I poligoni regolari suddividere (nell’esagono sono i lati che loro vertice

I poligoni regolari si possono suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti

I poligoni regolari si possono suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti

angolo vertice in un per lati le poligono

segmento che ha dei suoi amente al

I Poligoni regolari

j POLIGONI REGOLARI

Un poligono convesso si dice regolare quando è equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti) ed equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti).

si dice equilatero (cioè ed equianangoli congru-

angolo interno; associare sono al vertice.

si possono circoscritertici) e ai suoi dal centro perpendicolarapotema

Angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno; ad ogni vertice si possono associare due angoli esterni che sono congruenti perché opposti al vertice.

E’ concavo se esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene interamente al poligono.

Un poligono convesso è regolare quando è equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti) ed equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti).

Diagonale unisce due vertici non consecutivi. Corda due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo stesso lato

In ogni poligono regolare si possono tr ta (passante per i suoi v quella inscritta (tangente ai suoi lati). Il segmento del poligono cade perpendicolar mente al lato si dice

Di ogni poligono regolare si possono tracciare la circonferenza circoscritta (passante per i suoi vertici) e quella inscritta (tangente ai suoi lati). Il segmento a che dal centro del poligono cade perpendicolarmente al lato è l’apotema

Diagonale ogni segmento che unisce due vertici non consecutivi. Corda ogni segmento che unisce due punti qualsiasi del perimetro del poligono che non appartengono allo stesso lato.

In ogni poligono regolare si possono tracciare la circonferenza circoscritta (passante per i suoi vertici) e quella inscritta (tangente ai suoi lati). Il segmento a che dal centro del poligono cade perpendicolarmente al lato si dice apotema

I poligoni regolari si possono suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti sono i lati che sono la loro base e il loro vertice è il centro del poligono

I poligoni regolari si possono suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti sono i lati che sono la loro base e il loro vertice è il centro del poligono

I poligoni regolari si possono suddividere in tanti triangoli isosceli (nell’esagono sono equilateri) quanti sono i lati che sono la loro base e il loro vertice è il centro del poligono.

Elementi di geometria: triangoli

Elementi di geometria: triangoli

Elementi di geometria: triangoli

I Triangoli

I Triangoli

I Triangoli

I Triangoli

I Triangoli

I Triangoli

I Triangoli

j TRIANGOLI

I Triangoli

I Triangoli

I Triangoli

Elementi di geometria: triangoli

Elementi di geometria: triangoli

Elementi di geometria: triangoli

Elementi di geometria: triangoli

Elementi di geometria: triangoli

Si definisce triangolo un poligono convesso di tre lati. Esso è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la somma degli angoli interni è un angolo piatto; ogni lato è minore della somma degli altri due.

Video tutorial

Si definisce triangolo un poligono convesso di tre lati. Esso è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la somma degli angoli interni è un angolo piatto; ogni lato è minore della somma degli altri due.

Si definisce triangolo un poligono convesso di tre lati. Esso è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la somma degli angoli interni è un angolo piatto; ogni lato è minore della somma degli altri due.

Si definisce triangolo un poligono convesso di tre lati. Esso è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la somma degli angoli interni è un angolo piatto; ogni lato è minore della somma degli altri due.

Si definisce triangolo un poligono convesso di tre lati. Esso è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la somma degli angoli interni è un angolo piatto; ogni lato è minore della somma degli altri due.

Un triangolo è un poligono convesso di tre lati. Esso è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la somma degli angoli interni è un angolo piatto e ogni lato è minore della somma degli altri due.

Si definisce triangolo un poligono convesso di tre lati. Esso è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la somma degli angoli interni è un angolo piatto; ogni lato è minore della somma degli altri due.

Si definisce triangolo un poligono convesso di tre lati. Esso è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la somma degli angoli interni è un angolo piatto; ogni lato è minore della somma degli altri due.

Si definisce triangolo un poligono convesso di tre lati. Esso è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la somma degli angoli interni è un angolo piatto; ogni lato è minore della somma degli altri due.

Si definisce triangolo un poligono convesso di tre lati. Esso è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la somma degli angoli interni è un angolo piatto; ogni lato è minore della somma degli altri due.

Si definisce triangolo un poligono convesso di tre lati. Esso è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la somma degli angoli interni è un angolo piatto; ogni lato è minore della somma degli altri due.

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

j CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI RISPETTO AI LATI

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo è scaleno se ha tutti i lati non congruenti.

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Un triangolo si dice scaleno se ha i lati non congruenti.

Un triangolo è isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti.

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti.

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti.

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti.

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti.

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti.

Un triangolo è equilatero se ha i tre lati congruenti.

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti.

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti.

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti.

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti.

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti.

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

j CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI RISPETTO AGLI ANGOLI

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Un triangolo è acutangolo se ha tre angoli acuti.

Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti.

Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti.

Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti.

Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti.

Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti.

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto

Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti.

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto.

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Un triangolo è rettangolo se ha un angolo retto.

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto.

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto.

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti.

Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti.

Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti.

Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti.

Elementi del triangolo

Elementi del triangolo

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso.

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso.

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto

Elementi del triangolo

Elementi del triangolo

Elementi del triangolo

Elementi del triangolo

j ELEMENTI DEL TRIANGOLO

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto.

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto

Elementi del triangolo

Elementi del triangolo

Elementi del triangolo

Elementi del triangolo

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto.

La mediana relativa a un lato è il segmento che unisce il punto medio M del lato con il vertice opposto.

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto.

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo.

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto.

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto.

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo.

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo.

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha come estremi il vertice e il punto medio M del lato opposto.

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Punti notevoli del triangolo

La bisettrice relativa a un angolo è il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo.

Un triangolo è ottusangolo se ha un angolo ottuso.

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso.

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo.

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo.

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto.

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto.

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto.

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto.

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto.

H

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo.

Si dice bisettrice relativa ad un angolo il segmento che divide in due parti congruenti l’angolo.

Punti notevoli del triangolo

Punti notevoli del triangolo

Punti notevoli del triangolo

Punti notevoli del triangolo

Punti notevoli del triangolo

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

Punti notevoli del triangolo

Punti notevoli del triangolo

Punti notevoli del triangolo

Punti notevoli del triangolo

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

j PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Il baricentro G è il punto di incontro delle mediane.

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Baricentro G è il punto di incontro delle mediane

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto

L’ altezza relativa a un lato è il segmento perpendicolare abbassato dal vertice opposto sulla retta del lato. L’asse di un lato è la perpendicolare condotta per il suo punto medio.

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

Incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta

L’incentro O è il punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta.

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze asse

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto.

Si dice altezza il segmento che ha come estremo un vertice e cade perpendicolare sul lato opposto.

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze asse

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze asse

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze asse

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze asse

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Il circocentro O è il punto di incontro degli assi dei lati e centro della circonferenza circoscritta.

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze asse

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze asse

Ortocentro O è il punto di incontro delle altezze

L’ortocentro O è il punto di incontro delle altezze.

Elementi di geometria: quadrilateri

Elementi di geometria: quadrilateri

Elementi di geometria: quadrilateri

Elementi

I Quadrilateri

I Quadrilateri

I Quadrilateri

I Quadrilateri

Si definisce quadrilatero un poligono convesso di quattro lati.

Si definisce quadrilatero un poligono convesso di quattro lati.

Si definisce quadrilatero un poligono convesso di quattro lati.

Si definisce quadrilatero un poligono convesso di quattro lati.

j QUADRILATERI

Trapezi

Trapezi

Trapezi

Un quadrilatero è un poligono di quattro lati.

Trapezi

Si dice trapezio un quadrilatero che ha due lati paralleli.

Si dice trapezio un quadrilatero che ha due lati paralleli.

Si dice trapezio un quadrilatero che ha due lati paralleli.

Si dice trapezio un quadrilatero che ha due lati paralleli.

j TRAPEZI

Un trapezio è un quadrilatero che ha due lati paralleli.

Un trapezio si dice scaleno se i due lati obliqui non sono congruenti

Un trapezio si dice scaleno se i due lati obliqui non sono congruenti

Un trapezio si dice scaleno se i due lati obliqui non sono congruenti

Un trapezio si dice scaleno se i due lati obliqui non sono congruenti

Un trapezio è scaleno se i due lati obliqui non sono congruenti.

Un trapezio si dice isoscele se ha i due lati obliqui congruenti

Un trapezio si dice isoscele se ha i due lati obliqui congruenti

Un trapezio si dice isoscele se ha i due lati obliqui congruenti

Un trapezio è isoscele se ha i due lati obliqui congruenti.

Un trapezio si dice isoscele se ha i due lati obliqui congruenti

Un trapezio si dice rettangolo quando uno dei due lati è perpendicolare alle basi.

Un trapezio si dice rettangolo quando uno dei due lati è perpendicolare alle basi.

Un trapezio si dice rettangolo quando uno dei due lati è perpendicolare alle basi.

Un trapezio si dice rettangolo quando uno dei due lati è perpendicolare alle basi.

Un trapezio è rettangolo se uno dei due lati è perpendicolare alle basi.

Parallelogrammi

Parallelogrammi

Parallelogrammi

Parallelogrammi

j PARALLELOGRAMMI

Si dice parallelogramma un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli

Si dice parallelogramma un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli

Si dice parallelogramma un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli

Si dice parallelogramma un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli

Un parallelogramma è un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli.

In un parallelogramma gli angoli opposti sono a due a due congruenti.

In un parallelogramma gli angoli opposti sono a due a due congruenti.

In un parallelogramma gli angoli opposti sono a due a due congruenti.

In un parallelogramma gli angoli opposti sono a due a due congruenti.

In un parallelogramma gli angoli opposti sono a due a due congruenti.

Un parallelogramma con tutti gli angoli congruenti si dice rettangolo

Un parallelogramma con tutti gli angoli congruenti si dice rettangolo

Nel rettangolo le diagonali sono congruenti.

Un parallelogramma con tutti gli angoli congruenti si dice rettangolo. Nel rettangolo le diagonali sono congruenti.

Il rettangolo è un parallelogramma con tutti gli angoli congruenti. Nel rettangolo le diagonali sono congruenti.

Nel rettangolo le diagonali sono congruenti.

Un parallelogramma con tutti gli angoli congruenti si dice rettangolo. Nel rettangolo le diagonali sono congruenti.

In un parallelogramma le diagonali si bisecano vicendevolmente.

In un parallelogramma le diagonali si bisecano vicendevolmente.

In un parallelogramma le diagonali si bisecano vicendevolmente.

In un parallelogramma le diagonali si tagliano vicendevolmente a metà.

In un parallelogramma le diagonali si bisecano vicendevolmente.

Il quadrato è un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti e gli angoli congruenti.

Un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti e gli angoli congruenti si dice quadrato

Un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti e gli angoli congruenti si dice quadrato.

Un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti e gli angoli congruenti si dice quadrato

Un parallelogramma con tutti i lati congruenti si chiama rombo Nel rombo le diagonali sono fra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti.

Un parallelogramma con tutti i lati congruenti si chiama rombo. Nel rombo le diagonali sono fra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti.

Un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti e gli angoli congruenti si dice quadrato.

Un parallelogramma con tutti i lati congruenti si chiama rombo Nel rombo le diagonali sono fra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti.

Il rombo è un parallelogramma con tutti i lati congruenti. Nel rombo le diagonali sono fra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti.

Un parallelogramma con tutti i lati congruenti si chiama rombo. Nel rombo le diagonali sono fra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti.

Nel quadrato le diagonali sono congruenti, sono tra loro perpendicolari e sono bisettrici degli angoli.

Nel quadrato le diagonali sono congruenti, sono tra loro perpendicolari e sono bisettrici degli angoli.

Nel quadrato le diagonali sono congruenti, sono tra loro perpendicolari e sono bisettrici degli angoli.

Nel quadrato le diagonali sono congruenti, sono tra loro perpendicolari e sono bisettrici degli angoli.

Nel quadrato le diagonali sono congruenti, sono tra loro perpendicolari e sono bisettrici degli angoli.

Costruzioni piane fondamentali: triangoli

Costruzioni piane fondamentali: triangoli

Costruzioni piane fondamentali: triangoli

Costruzioni piane fondamentali: triangoli

Problema 13: Costruire un triangolo dati i lati

Problema 13: Costruire un triangolo dati i lati

Costruzioni piane fondamentali: triangoli

Problema 13: Costruire un triangolo dati i lati

Siano dati i lati.

Siano dati i lati.

Siano dati i lati.

4 Costruzioni di poligoni

Problema 13: Costruire un triangolo dati i lati

Siano dati i lati.

Si tracci ad esempio AB.

Si tracci ad esempio AB.

Si tracci ad esempio AB.

Problema 13: Costruire un triangolo dati i lati

PASSO PASSO 4.1

Siano dati i lati.

Si tracci ad esempio AB.

TRIANGOLO DATI I LATI

1 Consideriamo tre segmenti che rappresentano i lati.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Si tracci ad esempio AB.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

2 Riportiamo ad esempio AB. Puntiamo il compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e tracciamo due archetti la cui intersezione è C.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato.

3 Tracciando i segmenti AC e BC otteniamo il triangolo cercato.

Problema 14: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Problema 14: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Problema 14: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Siano dati AB e gli angoli α e b a lui adiacenti.

Siano dati AB e gli angoli α e b a lui adiacenti.

Siano dati AB e gli angoli α e b a lui adiacenti.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Problema 14: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Siano dati AB e gli angoli α e b a lui adiacenti.

Siano dati AB e gli angoli α e b a lui adiacenti.

1 Consideriamo AB e gli angoli a e b a esso adiacenti.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Problema 14: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

PASSO PASSO 4.2 TRIANGOLO DATI UN LATO E GLI ANGOLI ADIACENTI A ESSO

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

2 Tracciato AB, costruiamo nel suo estremo A l’angolo a

Si costruisca nell’estremo B l’angolo β. Le semirette che delimitano α e β si intersecano in C terzo vertice dell’angolo

Si costruisca nell’estremo B l’angolo β. Le semirette che delimitano α e β si intersecano in C terzo vertice dell’angolo

Si costruisca nell’estremo B l’angolo β. Le semirette che delimitano α e β si intersecano in C terzo vertice dell’angolo

Si costruisca nell’estremo B l’angolo β. Le semirette che delimitano α e β si intersecano in C terzo vertice dell’angolo.

Si costruisca nell’estremo B l’angolo β. Le semirette che delimitano α e β si intersecano in C terzo vertice dell’angolo.

3 Costruiamo nell’estremo B l’angolo b. Le semirette che delimitano a e b si intersecano in C, terzo vertice del triangolo.

Problema 15: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Problema 15: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Problema 15: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

PASSO PASSO 4.3 TRIANGOLO DATI DUE

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Problema 15: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

1 Consideriamo AB e AC e l’angolo a tra essi compreso.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Problema 15: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

2 Tracciato AB, costruiamo nel suo estremo A l’angolo a.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α

Si riporti col compasso la misura di AC sulla semiretta che delimita l’angolo a determinando così il punto C terzo vertice del triangolo.

Si riporti col compasso la misura di AC sulla semiretta che delimita l’angolo a determinando così il punto C terzo vertice del triangolo.

Si riporti col compasso la misura di AC sulla semiretta che delimita l’angolo a determinando così il punto C terzo vertice del triangolo.

Si riporti col compasso la misura di AC sulla semiretta che delimita l’angolo a determinando così il punto C terzo vertice del triangolo

3 Riportiamo col compasso la misura di AC sulla semiretta che delimita l’angolo α, determinando così il punto C, terzo vertice del triangolo.

Si riporti col compasso la misura di AC sulla semiretta che delimita l’angolo a determinando così il punto C terzo vertice del triangolo.

PASSO PASSO 4.4 TRIANGOLO ISOSCELE DATE LA BASE E L’ALTEZZA

Problema 16: Costruire un triangolo isoscele date la base e l’altezza

Problema 16: Costruire un triangolo isoscele date la base e l’altezza

Problema 16: Costruire un triangolo isoscele date la base e l’altezza

1 Consideriamo la base AB e l’altezza h del triangolo isoscele.

date

Problema 16: Costruire un triangolo isoscele date la base e l’altezza

Problema 16: Costruire un triangolo isoscele date la base e l’altezza

Siano date la base AB e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB determinando H. Si riporti su di esso, partendo da H, l’altezza HC determinando C terzo vertice del triangolo.

Siano date la base AB e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB determinando H. Si riporti su di esso, partendo da H, l’altezza HC determinando C terzo vertice del triangolo.

Siano date la base AB e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB determinando H. Si riporti su di esso, partendo da H, l’altezza HC determinando C terzo vertice del triangolo.

Siano date la base AB e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB determinando H. Si riporti su di esso, partendo da H, l’altezza HC determinando C terzo vertice del triangolo

Siano date la base AB e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB determinando H. Si riporti su di esso, partendo da H, l’altezza HC determinando C terzo vertice del triangolo

2 Tracciamo l’asse di AB determinando il punto medio H. Riportiamo sull’asse, puntando in H, l’altezza CH determinando C, terzo vertice del triangolo.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato

3 Tracciamo i segmenti AC e BC e otteniamo il triangolo cercato.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato.

Problema 17: Costruire un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio R.

Problema 17: Costruire un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio R.

Problema 17: Costruire un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio R.

Problema 17: Costruire un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio R.

Problema 17: Costruire un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio R.

Sia data la circonferenza di raggio R e centro O.

PASSO PASSO 4.5 TRIANGOLO EQUILATERO INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA DI RAGGIO R

Sia data la circonferenza di raggio R e centro O.

Sia data la circonferenza di raggio R e centro O.

Sia data la circonferenza di raggio R e centro O.

Sia data la circonferenza di raggio R e centro O.

Si tracci il diametro verticale CZ.

Si tracci il diametro verticale CZ.

Si tracci il diametro verticale CZ.

Si tracci il diametro verticale CZ.

Si tracci il diametro verticale CZ.

1 Consideriamo la circonferenza di raggio R e centro O. Tracciamo il diametro verticale CZ.

Si punti col compasso in Z avente apertura pari al raggio R e si tracci un arco che intersechi la circonferenza in A e B.

Si punti col compasso in Z avente apertura pari al raggio R e si tracci un arco che intersechi la circonferenza in A e B.

Si punti col compasso in Z avente apertura pari al raggio R e si tracci un arco che intersechi la circonferenza in A e B.

Si punti col compasso in Z avente apertura pari al raggio R e si tracci un arco che intersechi la circonferenza in A e B.

Si punti col compasso in Z avente apertura pari al raggio R e si tracci un arco che intersechi la circonferenza in A e B.

Congiungendo A, B, C si otteniene il triangolo equilatero cercato.

Congiungendo A, B, C si otteniene il triangolo equilatero cercato.

Congiungendo A, B, C si otteniene il triangolo equilatero cercato.

2 Puntiamo col compasso in Z con apertura pari al raggio R e tracciamo un arco che intersechi la circonferenza in A e B.

Congiungendo A, B, C si otteniene il triangolo equilatero cercato.

base Si Tracciando si il raggio O. tracci CZ. in che B. A, otteniene

Congiungendo A, B, C si otteniene il triangolo equilatero cercato.

3 Congiungendo A, B e C otteniamo il triangolo equilatero cercato.

Costruzioni piane fondamentali: quadrati

Costruzioni piane fondamentali: quadrati

Costruzioni piane fondamentali: quadrati

Costruzioni piane fondamentali:

Costruzioni piane fondamentali: quadrati

Costruzioni piane fondamentali: quadrati

Costruzioni piane fondamentali: quadrati

Problema 18: Costruire un quadrato dato il lato.

Problema 18: Costruire un quadrato dato il lato.

Problema 18: Costruire un quadrato dato il lato.

PASSO PASSO 4.6 QUADRATO DATO IL LATO

Problema 18: Costruire un quadrato dato il lato.

Sia dato il lato.

Sia dato il lato.

1 Consideriamo il lato del quadrato.

Problema 18: Costruire un quadrato dato il lato.

Problema 18: Costruire un quadrato dato il lato.

Problema 18: Costruire un quadrato dato il lato.

Sia dato il lato.

Sia dato il lato. Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato.

Sia dato il lato Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato.

Sia dato il lato.

Sia dato il lato.

con le SQUADRE

Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato

Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato

2 Tracciamo le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e riportiamo su di esse le misure del lato, determinando i vertici C e D.

Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato.

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato.

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato.

Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato.

Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato.

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato.

3 Tracciando DC completiamo la costruzione del quadrato.

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato.

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato.

a Allinea la squadra 30/60 con AB e falla scorrere verso il basso. b Appoggia la squadra 45 sulla squadra 30/60 allineata all’estremo A e traccia una verticale di lunghezza pari ad AB determinando D c Ripeti l’operazione in B. d Allinea la squadra 45 ad AB, falla scorrere fino ad allinearla a D e traccia il segmento DC.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una verticale pari ad AB determinando D; 3) Ripeti l’operazione in B ; 4) Allinea Sq.45 ad AB, falla scorrere fino ad allinearla a D e traccia il segmento DC.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una verticale pari ad AB determinando D; 3) Ripeti l’operazione in B ; 4) Allinea Sq.45 ad AB, falla scorrere fino ad allinearla a D e traccia il segmento DC.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una verticale pari ad AB determinando D; 3) Ripeti l’operazione in B ; 4) Allinea Sq.45 ad AB, falla scorrere fino ad allinearla a D e traccia il segmento DC.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una verticale pari ad AB determinando D; 3) Ripeti l’operazione in B ; 4) Allinea Sq.45 ad AB, falla scorrere fino ad allinearla a D e traccia il segmento DC.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una verticale pari ad AB determinando D; 3) Ripeti l’operazione in B ; 4) Allinea Sq.45 ad AB, falla scorrere fino ad allinearla a D e traccia il segmento DC.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una verticale pari ad AB determinando D; 3) Ripeti l’operazione in B ; 4) Allinea Sq.45 ad AB, falla scorrere fino ad allinearla a D e traccia il segmento DC.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una verticale pari ad AB determinando D; 3) Ripeti l’operazione in B ; 4) Allinea Sq.45 ad AB, falla scorrere fino ad allinearla a D e traccia il segmento DC.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

Data la diagonale d si tracci una retta e per un suo punto A preso a piacere si tracci una perpendicolare.

Data la diagonale d si tracci una retta e per un suo punto A preso a piacere si tracci una perpendicolare.

Data la diagonale d si tracci una retta e per un suo punto A preso a piacere si tracci una perpendicolare.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

PASSO PASSO 4.7 QUADRATO DATA LA DIAGONALE

Data la diagonale d si tracci una retta e per un suo punto A preso a piacere si tracci una perpendicolare.

Data la diagonale d si tracci una retta e per un suo punto A preso a piacere si tracci una perpendicolare.

1 Data la diagonale d, tracciamo una retta e per un suo punto A preso a piacere costruiamo la perpendicolare.

Data la diagonale d si tracci una retta e per un suo punto A preso a piacere si tracci una perpendicolare.

Data la diagonale d si tracci una retta e per un suo punto A preso a piacere si tracci una perpendicolare.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

2 Tracciamo la bisettrice dell’angolo in A e riportiamo su di essa, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Con l’aiuto delle squadrette si traccino da C le parallele alla orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

Con l’aiuto delle squadrette si traccino da C le parallele alla orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

Con l’aiuto delle squadrette si traccino da C le parallele alla orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

Con l’aiuto delle squadrette si traccino da C le parallele alla orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

Con l’aiuto delle squadrette si traccino da C le parallele alla orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

3 Con l’aiuto delle squadrette tracciamo da C le parallele all’orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

Con l’aiuto delle squadrette si traccino da C le parallele alla orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

Con l’aiuto delle squadrette si traccino da C le parallele alla orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

Costruzioni piane fondamentali:

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi,

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi, parallelogrammi

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi,

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli,

rombi, parallelogrammi

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Costruzioni piane fondamentali:

PASSO PASSO 4.8 RETTANGOLO DATE LA BASE E LA DIAGONALE

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato.

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi, parallelogrammi

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi, parallelogrammi

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

1 Consideriamo AB e costruiamo le perpendicolari nei suoi estremi A e B.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

rettangoli, rombi, parallelogrammi

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi, parallelogrammi

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi, parallelogrammi

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

2 Puntiamo col compasso in A e in B con apertura d e tracciamo due archetti che si intersecano nei punti C e D.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

3 Tracciando i segmenti BC, CD e DA otteniamo il rettangolo cercato.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

PASSO PASSO 4.9 ROMBO DATE LE DIAGONALI

1 Consideriamo le due diagonali AB (maggiore) e DC (minore).

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

2 Costruiamo l’asse di AB e determiniamo il punto medio O di AB. Riportiamo sull’asse, simmetricamente rispetto a O la metà di DC e individuiamo C e D.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

3 Congiungendo i quattro vertici A, B, C e D otteniamo il rombo.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

PASSO PASSO 4.10 PARALLELOGRAMMA DATI I LATI E L’ANGOLO COMPRESO TRA ESSI

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

1 Consideriamo AB e AC e l’angolo a tra essi compreso.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

2 Tracciato AB, costruiamo nel suo estremo A l’angolo a avente come altro lato la semiretta s.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

3 Riportiamo sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC tracciamo due archetti determinando D.

4 Tracciamo CD e BD completando così la costruzione.

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Costruzioni piane fondamentali: parallelogramma, trapezio

Costruzioni piane fondamentali: parallelogramma, trapezio

Costruzioni piane fondamentali:

parallelogramma, trapezio

PASSO PASSO 4.11 PARALLELOGRAMMA DATI I LATI E UNA DIAGONALE

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

1 Consideriamo i lati l' e l" e la diagonale d.

Costruzioni piane fondamentali: parallelogramma,

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d.

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Costruzioni piane fondamentali: parallelogramma, trapezio

Costruzioni piane fondamentali: parallelogramma, trapezio

trapezio

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

Costruzioni piane fondamentali: parallelogramma, trapezio

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

2 Tracciato il segmento AB pari a l' puntiamo col compasso in A con apertura d e in B con apertura l" e tracciamo due archetti che si intersecano in C.

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

Costruzioni piane fondamentali: parallelogramma, trapezio

Costruzioni piane fondamentali: parallelogramma, trapezio

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

3 Puntiamo in C con apertura l' e in A con apertura l" e tracciamo due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD otteniamo il parallelogramma.

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

Problema 23: Costruire un parallelogramma dati i lati e una diagonale.

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato

Dati i lati l’ e l”e la diagonale d. Tracciato AB pari a l’ si punti col compasso in A con apertura d e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato.

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato.

Si punti in C con apertura l’ e in A con apertura l” e si tracciano due archetti che determinano D. Tracciando i segmenti AD e CD si ottiene il parallelogramma cercato.

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

Siano date le basi AB e CD l’altezza h e la diagonale d.

Siano date le basi AB e CD l’altezza h e la diagonale d.

Siano date le basi AB e CD l’altezza h e la diagonale d.

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

1 Consideriamo le basi AB e CD, l’altezza h e la diagonale d.

Siano date le basi AB e CD l’altezza h e la diagonale d.

Siano date le basi AB e CD l’altezza h e la diagonale d.

Siano date le basi AB e CD l’altezza h e la diagonale d.

Tracciato AB se ne costruisca la parallela alla distanza h, quindi si punti in A con apertura d e si tracci un arco che incontra la parallela in C.

Tracciato AB se ne costruisca la parallela alla distanza h, quindi si punti in A con apertura d e si tracci un arco che incontra la parallela in C.

Tracciato AB se ne costruisca la parallela alla distanza h, quindi si punti in A con apertura d e si tracci un arco che incontra la parallela in C.

PASSO PASSO 4.12 TRAPEZIO SCALENO DATE LE BASI, L’ALTEZZA E UNA DIAGONALE

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

Puntando in C si riporti CD sulla parallela. Conngiugendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

Puntando in C si riporti CD sulla parallela. Conngiugendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

Puntando in C si riporti CD sulla parallela. Conngiugendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

Siano date le basi AB e CD l’altezza h e la diagonale d.

Siano date le basi AB e CD l’altezza h e la diagonale d.

Siano date le basi AB e CD l’altezza h e la diagonale d.

Tracciato AB se ne costruisca la parallela alla distanza h, quindi si punti in A con apertura d e si tracci un arco che incontra la parallela in C.

Tracciato AB se ne costruisca la parallela alla distanza h, quindi si punti in A con apertura d e si tracci un arco che incontra la parallela in C.

Tracciato AB se ne costruisca la parallela alla distanza h, quindi si punti in A con apertura d e si tracci un arco che incontra la parallela in C.

Puntando in C si riporti CD sulla parallela. Conngiugendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio

Puntando in C si riporti CD sulla parallela. Conngiugendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

2 Tracciato AB, costruiamo la parallela ad AB alla distanza h, quindi puntiamo in A con apertura d e tracciamo un arco che incontra la parallela in C.

Tracciato AB se ne costruisca la parallela alla distanza h, quindi si punti in A con apertura d e si tracci un arco che incontra la parallela in C.

Tracciato AB se ne costruisca la parallela alla distanza h, quindi si punti in A con apertura d e si tracci un arco che incontra la parallela in C.

Problema 24: Costruire un trapezio scaleno date le basi, l’altezza e una diagonale.

3 Puntando in C riportiamo CD sulla parallela. Congiungendo tra loro i vertici otteniamo il trapezio.

Tracciato AB se ne costruisca la parallela alla distanza h, quindi si punti in A con apertura d e si tracci un arco che incontra la parallela in C.

Puntando in C si riporti CD sulla parallela. Conngiugendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio

Puntando in C si riporti CD sulla parallela. Conngiugendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio

Puntando in C si riporti CD sulla parallela. Conngiugendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio

Puntando in C si riporti CD sulla parallela. Conngiugendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB.

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB.

PASSO

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB.

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD. Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD. Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD. Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

1 Consideriamo le basi AB e CD e l’altezza h.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB

Problema 25: Costruire un trapezio isoscele date le basi e l’altezza.

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

Siano date le basi AB e CD e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB, si riporti su esso l’altezza h determinando K e si tracci per K la parallela ad AB

2 Tracciamo l’asse di AB e riportiamo su di esso l’altezza h, determinando 1. Tracciamo per 1 la parallela ad AB.

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio.

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio

Puntando in K si riporti da entrambe le parti sulla parallela la metà di CD Congiungendo tra loro i vertici si ottiene il trapezio

3 Puntando in 1 riportiamo sulla parallela, da entrambe le parti, la metà di CD. Congiungendo tra loro i vertici otteniamo il trapezio.

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

PASSO PASSO 4.14 POLIGONO REGOLARE DATO IL LATO

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

Problema 26: Costruire un poligono regolare dato il lato.

La costruzione approssimata è valida per qualsiasi poligono regolare di n lati; vediamo la costruzione per poligoni regolari da 5 a 8 lati.

Problema 26: Costruire un poligono regolare dato il lato.

Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Problema 26: Costruire un poligono regolare dato il lato.

Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Costruzione da 5 a 8 lati.

1 Consideriamo il lato AB e costruiamone l’asse.

Problema 26: Costruire un poligono regolare dato il lato.

Costruzione da 5 a 8 lati.

Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Dato il lato AB, tracciatone l’asse si punta in B con raggio BA si tracci un arco a intersecare l’asse in O6. Si tracci AC e lo si suddivida in sei parti uguali dette u.

Costruzione da 5 a 8 lati.

Costruzione da 5 a 8 lati.

Dato il lato AB, tracciatone l’asse si punta in B con raggio BA si tracci un arco a intersecare l’asse in O6. Si tracci AC e lo si suddivida in sei parti uguali dette u.

Puntato poi in O6 con apertura u si tracci un arco a incontrare l’asse in O5 e O7 centri rispettivamente del pentagono e dell’ettagono. Aprendo poi il compasso con apertura 2a si traccino un arco a determinare O8 centro dell’ottagono

Puntando il compasso con aperture O5A, O6A, O7A, O8A si tracciano le circonferenze su cui riportare, partendo da A o da B, la misura del lato determinando così i vertici dei poligoni.

Puntiamo in B con raggio BA e tracciamo un arco fino a intersecare l’asse in O6. Tracciamo AO6 (lato dell’esagono) e suddividiamolo in sei parti uguali di misura u. Puntato poi in O6 con apertura u tracciamo un arco che interseca l’asse in O5 e O7, centri rispettivamente del pentagono e dell’ettagono. Aprendo poi il compasso con apertura 2u tracciamo un arco che determina O8 centro dell’ottagono.

Dato il lato AB, tracciatone l’asse si punta in B con raggio BA si tracci un arco a intersecare l’asse in O6. Si tracci AC e lo si suddivida in sei parti uguali dette u.

Puntato poi in O6 con apertura u si tracci un arco a incontrare l’asse in O5 e O7 centri rispettivamente del pentagono e dell’ettagono. Aprendo poi il compasso con apertura 2a si traccino un arco a determinare O8 centro dell’ottagono.

Puntato poi in O6 con apertura u si tracci un arco a incontrare l’asse in O5 e O7 centri rispettivamente del pentagono e dell’ettagono. Aprendo poi il compasso con apertura 2a si traccino un arco a determinare O8 centro dell’ottagono

Dato il lato AB, tracciatone l’asse si punta in B con raggio BA si tracci un arco a intersecare l’asse in O6. Si tracci AC e lo si suddivida in sei parti uguali dette u.

Puntando il compasso con aperture O5A, O6A, O7A, O8A si tracciano le circonferenze su cui riportare, partendo da A o da B, la misura del lato determinando così i vertici dei poligoni.

Puntato poi in O6 con apertura u si tracci un arco a incontrare l’asse in O5 e O7 centri rispettivamente del pentagono e dell’ettagono. Aprendo poi il compasso con apertura 2a si traccino un arco a determinare O8 centro dell’ottagono

Puntando il compasso con aperture O5A, O6A, O7A, O8A si tracciano le circonferenze su cui riportare, partendo da A o da B, la misura del lato determinando così i vertici dei poligoni.

2 Puntando il compasso in O5, O6, O7, O8 con aperture AO5, AO6, AO7, AO8 tracciamo le circonferenze su cui riportare, partendo da A o da B, le misure dei lati, determinando così i vertici dei poligoni.

Puntando il compasso con aperture O5A, O6A, O7A, O8A si tracciano le circonferenze su cui riportare, partendo da A o da B, la misura del lato determinando così i vertici dei poligoni.

Problema 27:

Costruire un poligono regolare inscritto in una circonferenza data.

PASSO PASSO 4.15 POLIGONO REGOLARE INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA DATA

Problema 27: Costruire un poligono regolare inscritto in una circonferenza data.

Problema 27: Costruire un poligono regolare inscritto in una circonferenza data. Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Costruzione di un ettagono regolare.

Problema 27: Costruire un poligono regolare inscritto in una circonferenza data.

Costruzione di un ettagono regolare.

Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Dato il diametro lo si tracci in verticale e lo si divida in un numero di parti uguali pari al numero dei lati (in questo caso sette) e puntando in A e H con aprtura pari al diametro si traccino due archi che si intersecano in S e T.

Costruzione approssimata valida per qualsiasi poligono di n lati

Costruzione di un ettagono regolare.

Costruzione di un ettagono regolare.

Dato il diametro lo si tracci in verticale e lo si divida in un numero di parti uguali pari al numero dei lati (in questo caso sette) e puntando in A e H con aprtura pari al diametro si traccino due archi che si intersecano in S e T.

Si congiungano S e T con i numeri pari della suddivisione di AH e si prolunghino i segmenti a incontrare la circonferenza determinando così i vertici dell’ettagono

La costruzione approssimata è valida per qualsiasi poligono di n lati; vediamo la costruzione di un ettagono regolare.

Dato il diametro lo si tracci in verticale e lo si divida in un numero di parti uguali pari al numero dei lati (in questo caso sette) e puntando in A e H con aprtura pari al diametro si traccino due archi che si intersecano in S e T.

1 Tracciamo in verticale il diametro AH della circonferenza e dividiamolo in un numero di parti uguale al numero dei lati (in questo caso sette). Puntiamo in A e H con apertura pari al diametro e tracciamo due archi che si intersecano in S e T.

Dato il diametro lo si tracci in verticale e lo si divida in un numero di parti uguali pari al numero dei lati (in questo caso sette) e puntando in A e H con aprtura pari al diametro si traccino due archi che si intersecano in S e T.

Si congiungano S e T con i numeri pari della suddivisione di AH e si prolunghino i segmenti a incontrare la circonferenza determinando così i vertici dell’ettagono

Si congiungano S e T con i numeri pari della suddivisione di AH e si prolunghino i segmenti a incontrare la circonferenza determinando così i vertici dell’ettagono

Questa costruzione è valida per ogni poligono e volendo ottenerlo con il lato inferiore orizzontale si congiungano i punti S e T con i numeri pari se il numero di lati è dispari e con i dispari se il numero di lati è pari.

Questa costruzione è valida per ogni poligono e volendo ottenerlo con il lato inferiore orizzontale si congiungano i punti S e T con i numeri pari se il numero di lati è dispari e con i dispari se il numero di lati è pari.

Si congiungano S e T con i numeri pari della suddivisione di AH e si prolunghino i segmenti a incontrare la circonferenza determinando così i vertici dell’ettagono.

Questa costruzione è valida per ogni poligono e volendo ottenerlo con il lato inferiore orizzontale si congiungano i punti S e T con i numeri pari se il numero di lati è dispari e con i dispari se il numero di lati è pari.

Questa costruzione è valida per ogni poligono e volendo ottenerlo con il lato inferiore orizzontale si congiungano i punti S e T con i numeri pari se il numero di lati è dispari e con i dispari se il numero di lati è pari.

2 Congiungiamo S e T con i numeri pari della suddivisione di AH e prolunghiamo i segmenti fino a incontrare la circonferenza: si individuano così i vertici dell’ettagono. Questa costruzione è valida per ogni poligono e, se vogliamo ottenerlo con il lato inferiore orizzontale, congiungiamo i punti S e T con i numeri pari se il numero di lati è dispari e con i dispari se il numero di lati è pari.

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

1 Tracciamo AB e, con archi di raggio pari alla sua lunghezza, il suo asse determinando 1. Innalziamo da A la perpendicolare ad

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

Video tutorial

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

AB a determinare 2.

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

2 Tracciamo due archi: uno, puntando in 1, da 2 in 3 sul prolungamento di AB; l’altro, puntando in B, da 3 a determinare C, sul prolungamento dell’arco B2, e D sull’asse. Congiungiamo C con A e D.

3 Tracciamo quindi un arco di centro D e apertura AB a intersecare in E, quinto vertice del pentagono, il prolungamento dell’arco da A. Tracciando DE e BE si completa la costruzione.

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

Costruzioni piane fondamentali: poligoni regolari

PASSO

PASSO

4.17 ETTAGONO REGOLARE DATO IL LATO

1 Tracciamo AB e sul suo prolungamento B1 pari alla sua misura tracciamo poi un arco di centro A e apertura A1 a intersecare in 2 la perpendicolare in B.

2 Costruiamo la bisettrice dell’angolo 2A1, che interseca la perpendicolare in B nel punto 3.

3 Tracciamo due archetti con centro in A e B e apertura A3 a determinare O e centrando in esso tracciamo la circonferenza circoscritta su cui riportare la lunghezza del lato.

PASSO PASSO 4.18 PENTAGONO REGOLARE DATA LA CIRCONFERENZA

1 Tracciamo il diametro MN, quello AF perpendicolare a MN quindi, con centro in N e raggio

NO un arco a intersecare la circonferenza in 1 e 2.

2 Tracciamo 1-2 che determina 3 su MN. Con raggio A3 e centro in 3 tracciamo un arco a determinare 4.

3 Con apertura A4 e centro prima in A, tracciamo due archetti a determinare B ed E, quindi in B ed E a determinare C e D. Trovati i vertici tracciamo il pentagono.

PASSO PASSO 4.19 SUDDIVISIONE DI UNA CIRCONFERENZA IN SEI PARTI

UGUALI E DISEGNO DI UN ESAGONO REGOLARE

1 Consideriamo un segmento AD di lunghezza pari al diametro. Individuiamo il suo punto medio O e tracciamo la circonferenza.

2 Centrando in A e D col compasso, con apertura AO, tracciamo due archi che incontrano la circonferenza in B, F, E, C.

3 Essi, con A e D, rappresentano la suddivisione della circonferenza in sei parti uguali e i vertici dell’esagono. Completiamo la costruzione tracciando i lati.

1 Consideriamo un segmento AE di lunghezza pari al diametro. Ne tracciamo l’asse determinando il centro O e disegniamo la circonferenza che intercetta l’asse in C e G.

2 Tracciamo le bisettrici degli angoli GOE e GOA che in tersecano la circonferenza nei punti

B, D, F, H.

3 Essi, con A, C, E, G, rappresentano la suddivisione della circonferenza in otto parti uguali e i vertici dell’ottagono. Completiamo la costruzione tracciando i lati.

PASSO PASSO 4.21 SUDDIVISIONE DI UNA CIRCONFERENZA IN DODICI

1 Consideriamo un segmento AG di lunghezza pari al diametro. Tracciamo l’asse di AG determinando il centro O e disegniamo la circonferenza. Essa intercetta l’asse in L e D.

2 Centrando in A, D, G, L con apertura OA tracciamo quattro archi che intercettano la circonferenza in B, C, E, F, H, I, M, N.

3 Essi, con A, D, G, L, rappresentano la suddivisione della circonferenza in dodici parti uguali e i vertici del dodecagono. Completiamo la costruzione tracciando i lati.

PASSO PASSO 4.22 ESAGONO REGOLARE DATO IL LATO

1 Tracciamo il lato AB; puntiamo in A e B con apertura AB e tracciamo due archi che si intersecano in O, centro della circonferenza circoscritta all’esagono.

2 Tracciamo la circonferenza che interseca gli archi in F e C. Quindi puntiamo in F e C con apertura AB e tracciamo due archi a determinare E e D.

3 Essi con A e B rappresentano la suddivisione della circonferenza in sei parti uguali e i vertici dell’esagono. Completiamo la costruzione tracciando i lati.

4.23 OTTAGONO REGOLARE DATO IL LATO

1 Tracciamo il lato AB e il suo asse determinando 1. Puntando in 1 e apertura 1A tracciamo un arco a determinare 2 poi in 2 e apertura 2A a determinare O, centro della circonferenza circoscritta all’ottagono.

2 Tracciamo la circonferenza e col compasso, partendo da A e B, riportiamo su di essa in successione la misura del lato, determinando gli altri vertici dell’ottagno.

3 Completiamo la costruzione tracciando i lati.

PASSO

4.24 DODECAGONO REGOLARE DATO IL LATO

1 Tracciamo il lato AB e il suo asse. Puntando in A e apertura AB tracciamo un arco a determinare 1, poi in 1 con apertura 1A tracciamo un arco a determinare O, centro della circonferenza circoscritta al dodecagono.

2 Tracciamo la circonferenza e col compasso, partendo da A e B, riportiamo su di essa in successione la misura del lato, determinando gli altri vertici del dodecagono. 3 Completiamo

6 Costruzioni di circonferenze, tangenti e raccordi

PASSO PASSO 6.1 CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI DATI

1 Consideriamo i tre punti A, B, C non allineati.

2 Tracciamo AB e BC e costruiamo i loro assi che si intersecano in O.

3 Puntiamo in O e tracciamo la circonferenza cercata.

PASSO PASSO 6.2 RETTA TANGENTE A UNA CIRCONFERENZA DATA IN UN SUO PUNTO

1 Consideriamo la circonferenza di centro O e un punto P su di essa.

2 Tracciamo la semiretta s di origine O passante per P.

3 La tangente è la perpendicolare al segmento OP nell’estremo P.

PASSO PASSO 6.3 CIRCONFERENZA DI RAGGIO R TANGENTE A UNA RETTA DATA IN UN SUO PUNTO

1 Consideriamo la retta s, un suo punto P e il raggio R.

2 Tracciamo per P la perpendicolare a s e riportiamo da P il raggio R determinando O.

3 Puntiamo in O con raggio R e tracciamo la circonferenza cercata.

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

Problema 34: Tracciare le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa

Problema 34: Tracciare le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa

Problema 34: Tracciare le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa

PASSO PASSO 6.4 TANGENTI A UNA CIRCONFERENZA DA UN PUNTO ESTERNO A ESSA

Siano dati la circonferenza di centro O e il punto P esterno ad essa.

1 Consideriamo la circonferenza di centro O e il punto P esterno a essa.

Siano dati la circonferenza di centro O e il punto P esterno ad essa.

Siano dati la circonferenza di centro O e il punto P esterno ad essa.

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

2 Tracciamo il segmento OP, costruiamo l’asse di OP e determiniamo il punto 1.

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Si punti in C con raggio CO e si tracci una circonferenza che interseca quella data in H e K punti di tangenza. Si completi la costruzione tracciando le due tangenti

Si punti in C con raggio CO e si tracci una circonferenza che interseca quella data in H e K punti di tangenza. Si completi la costruzione tracciando le due tangenti.

3 Tracciamo una circonferenza con centro in 1 e raggio 1O che interseca in A e B quella data e quindi da P per A e B le due tangenti.

Si punti in C con raggio CO e si tracci una circonferenza che interseca quella data in H e K punti di tangenza. Si completi la costruzione tracciando le due tangenti.

Problema 34: Tracciare le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa

Problema 34: Tracciare le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa

Problema 34: Tracciare le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa

Siano dati la circonferenza di centro O e il punto P esterno ad essa.

Siano dati la circonferenza di centro O e il punto P esterno ad essa.

Siano dati la circonferenza di centro O e il punto P esterno ad essa.

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

Problema 34: Tracciare le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa

Problema 34: Tracciare le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa

Problema 34: Tracciare le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa

Siano dati la circonferenza di centro O e il punto P esterno ad essa.

Siano dati la circonferenza di centro O e il punto P esterno ad essa.

Siano dati la circonferenza di centro O e il punto P esterno ad essa.

Si punti in C con raggio CO e si tracci una circonferenza che interseca quella data in H e K punti di tangenza. Si completi la costruzione tracciando le due tangenti

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Si punti in C con raggio CO e si tracci una circonferenza che interseca quella data in H e K punti di tangenza. Si completi la costruzione tracciando le due tangenti

Si punti in C con raggio CO e si tracci una circonferenza che interseca quella data in H e K punti di tangenza. Si completi la costruzione tracciando le due tangenti

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Si punti in C con r tracci una circonferenza che interseca quella data in H e K punti di tangenza. Si completi la costruzione tracciando le due tangenti

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date.

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date

Date le circonferenze si tracci OO’ e due raggi tra loro paralleli O’H e O”K. Da H si riporti su O’H il raggio O”K determinando P, quindi si tracci la circonferenza di raggio O’P

Date le circonferenze si tracci OO’ e due raggi tra loro paralleli O’H e O”K. Da H si riporti su O’H il raggio O”K determinando P, quindi si tracci la circonferenza di raggio O’P

Date le circonferenze si tracci OO’ e due raggi tra loro paralleli O’H e O”K. Da H si riporti su O’H il raggio O”K determinando P, quindi si tracci la circonferenza di raggio O’P.

Si tracci l’asse di O’O” determinando C e puntando in esso si tracci la circonferenza di raggio CO’ che interseca la circonferenza di raggio O’P in M ed N.

Si tracci l’asse di O’O” determinando C e puntando in esso si tracci la circonferenza di raggio CO’ che interseca la circonferenza di raggio O’P in M ed N.

PASSO PASSO 6.5 TANGENTI ESTERNE A DUE CIRCONFERENZE DATE

1 Date le circonferenze di centro O' e O'', tracciamo O'O'' e i raggi O'1 e O''2 tra loro paralleli. Da 1 riportiamo O''2 su O'1 determinando 3 e tracciamo la circonferenza di raggio O'3.

Si tracci l’asse di O’O” determinando C e puntando in esso si tracci la circonferenza di raggio CO’ che interseca la circonferenza di raggio O’P in M ed N.

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date

Date le circonferenze si tracci OO’ e due raggi tra loro paralleli O’H e O”K. Da H si riporti su O’H il raggio O”K determinando P, quindi si tracci la circonferenza di raggio O’P

Date le circonferenze si tracci OO’ e due raggi tra loro paralleli O’H e O”K. Da H si riporti su O’H il raggio O”K determinando P, quindi si tracci la circonferenza di raggio O’P

Date le circonferenze si tracci OO’ e due raggi tra loro paralleli O’H e O”K. Da H si riporti su O’H il raggio O”K determinando P, quindi si tracci la circonferenza di raggio O’P

Si congiunga O’ con M ed N e si prolunghino le linee determinando R e Q quindi da O” si tr parallele a tali linee determinando E ed F che con R e Q sono i punti di tangenza. Si traccino le tangenti.

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date

Si tracci l’asse di O’O” determinando C e puntando in esso si tracci la circonferenza di raggio CO’ che interseca la circonferenza di raggio O’P in M ed N.

Si congiunga O’ con M ed N e si prolunghino le linee determinando R e Q quindi da O” si tr parallele a tali linee determinando E ed F che con R e Q sono i punti di tangenza. Si tr

Si tracci l’asse di O’O” determinando C e puntando in esso si tracci la circonferenza di raggio CO’ che interseca la circonferenza di raggio O’P in M ed N.

Si tracci l’asse di O’O” determinando C e puntando in esso si tracci la circonferenza di raggio CO’ che interseca la circonferenza di raggio O’P in M ed N.

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date

Si congiunga O’ con M ed N e si prolunghino le linee determinando R e Q quindi da O” si tr parallele a tali linee determinando E ed F che con R e Q sono i punti di tangenza. Si tr

3 Tracciamo O'5 e O'6 che prolungati deter minano A e B; da O'' tracciamo le parallele a O'A e O'B determinando C ed D. Le rette passanti per A e C e per B e D sono le tangenti.

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date

2 Tracciamo l’asse di O'O'' e determiniamo il punto medio 4; puntiamo in 4 e tracciamo la circonferenza di raggio 4O' che interseca la circonferenza di raggio O'3 in 5 e 6.

Date le circonferenze si tracci OO’ e due raggi tra loro paralleli O’H e O”K. Da H si riporti su O’H il raggio O”K determinando P, quindi si tracci la circonferenza di raggio O’P.

Date le circonferenze si tracci OO’ e due raggi tra loro paralleli O’H e O”K. Da H si riporti su O’H il raggio O”K determinando P, quindi si tracci la circonferenza di raggio O’P.

Date le circonferenze si tracci OO’ e due raggi tra loro paralleli O’H e O”K. Da H si riporti su O’H il raggio O”K determinando P, quindi si tracci la circonferenza di raggio O’P.

Si congiunga O’ con M ed N e si prolunghino le linee determinando R e Q quindi da O” si traccino le parallele a tali linee determinando E ed F che con R e Q sono i punti di tangenza. Si traccino le tangenti.

Si congiunga O’ con M ed N e si prolunghino le linee determinando R e Q quindi da O” si traccino le parallele a tali linee determinando E ed F che con R e Q sono i punti di tangenza. Si traccino le tangenti.

Si tracci l’asse di O’O” determinando C e puntando in esso si tracci la circonferenza di raggio CO’ che interseca la circonferenza di raggio O’P in M ed N.

Si congiunga O’ con M ed N e si prolunghino le linee determinando R e Q quindi da O” si traccino le parallele a tali linee determinando E ed F che con R e Q sono i punti di tangenza. Si traccino le tangenti.

Si tracci l’asse di O’O” determinando C e puntando in esso si tracci la circonferenza di raggio CO’ che interseca la circonferenza di raggio O’P in M ed N.

Si tracci l’asse di O’O” determinando C e puntando in esso si tracci la circonferenza di raggio CO’ che interseca la circonferenza di raggio O’P in M ed N.

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date.

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date.

Date le circonferenze si tracci: O’O”, due raggi O’P e O”Q tra loro paralleli e la congiungente PQ determinando H.

Date le circonferenze si tracci: O’O”, due raggi O’P e O”Q tra loro paralleli e la congiungente PQ determinando H.

Date le circonferenze si tracci: O’O”, due raggi O’P e O”Q tra loro paralleli e la congiungente PQ determinando H.

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

Si congiunga O’ con M ed N e si prolunghino le linee determinando R e Q quindi da O” si traccino le parallele a tali linee determinando E ed F che con R e Q sono i punti di tangenza. Si traccino le tangenti.

Si congiunga O’ con M ed N e si prolunghino le linee determinando R e Q quindi da O” si traccino le parallele a tali linee determinando E ed F che con R e Q sono i punti di tangenza. Si traccino le tangenti.

Si congiunga O’ con M ed N e si prolunghino le linee determinando R e Q quindi da O” si traccino le parallele a tali linee determinando E ed F che con R e Q sono i punti di tangenza. Si traccino le tangenti.

Congiungendo M con F e N con E si tracciano le due tangenti.

Congiungendo M con F e N con E si tracciano le due tangenti.

Congiungendo M con F e N con E si tracciano le due tangenti.

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date.

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date.

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date.

Date le circonferenze si tracci: O’O”, due raggi O’P e O”Q tra loro paralleli e la congiungente PQ determinando H.

Date le circonferenze si tracci: O’O”, due raggi O’P e O”Q tra loro paralleli e la congiungente PQ determinando H.

Date le circonferenze si tracci: O’O”, due raggi O’P e O”Q tra loro paralleli e la congiungente PQ determinando H.

1 Date le circonferenze di centro O' e O'', tracciamo il segmento O'O'', due raggi O'1 e O''2 tra loro paralleli e la congiungente 1-2 determinando 3.

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date

Congiungendo M con F e N con E si tracciano le due tangenti.

Congiungendo M con F e N con E si tracciano le due tangenti.

Congiungendo M con F e N con E si tracciano le due tangenti.

PASSO PASSO 6.6 TANGENTI INTERNE A DUE CIRCONFERENZE DATE

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

Date le circonferenze si tracci: O’O”, due raggi O’P e O”Q tra loro paralleli e la congiungente PQ determinando H.

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date

Date le circonferenze si tracci: O’O”, due raggi O’P e O”Q tra loro paralleli e la congiungente PQ determinando H.

Date le circonferenze si tracci: O’O”, due raggi O’P e O”Q tra loro paralleli e la congiungente PQ determinando H.

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

2 Tracciamo gli assi di O'3 e O''3, determinando i punti medi 4 e 5 e le circonferenze di raggio 4O' e 5O'' che intersecano le circonferenze date in A, B, C, D.

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

3 Le rette passanti per A e D e per B e C sono le due tangenti.

Congiungendo M con F e N con E si tracciano le due tangenti.

Congiungendo M con F e N con E si tracciano le due tangenti.

Congiungendo M con F e N con E si tracciano le due tangenti.

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

PASSO PASSO 6.7 RACCORDO DI DUE RETTE CON UN ARCO DI RAGGIO R

Problema 37: Raccordare due rette con un arco di raggio R.

Problema 37: Raccordare due rette con un arco di raggio R.

Problema 37: Raccordare due rette con un arco di raggio R.

Siano dati le rette e il raggio di raccordo.

1 Consideriamo le rette s e t e il raggio di raccordo R.

Siano dati le rette e il raggio di raccordo.

Siano dati le rette e il raggio di raccordo.

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

Si traccino due rette parallele a s e t distanti R che si intersecheranno in O centro del raccordo

Si traccino due rette parallele a s e t distanti R che si intersecheranno in O centro del raccordo.

2 Tracciamo due rette parallele a s e t distanti R che si intersechino in C centro del raccordo.

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

Si traccino due rette parallele a s e t distanti R che si intersecheranno in O centro del raccordo.

Problema 37: Raccordare due rette con un arco di raggio R.

Da O si traccino due perpendicolari alle rette determinando H e K punti di tangenza. Si completi tracciando l’arco.

Da O si traccino due perpendicolari alle rette determinando H e K punti di tangenza. Si completi tracciando l’arco

Da O si traccino due perpendicolari alle rette determinando H e K punti di tangenza. Si completi tracciando l’arco

3 Da C tracciamo le perpendicolari a s e t determinando A e B punti di tangenza ed estremi del raccordo.

Problema 37: Raccordare due rette con un arco di raggio R.

Problema 37: Raccordare due rette con un arco di raggio R.

Siano dati le rette e il raggio di raccordo.

Siano dati le rette e il raggio di raccordo.

Siano dati le rette e il raggio di raccordo. Si traccino due rette parallele a s e t distanti R che si intersecheranno in O centro del raccordo.

Si traccino due rette parallele a s e t distanti R che si intersecheranno in O centro del raccordo.

Si traccino due rette parallele a s e t distanti R che si intersecheranno in O centro del raccordo.

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

Da O si traccino due perpendicolari alle rette determinando H e K punti di tangenza. completi tracciando l’arco

Da O si traccino due perpendicolari alle rette determinando H e K punti di tangenza. Si completi tracciando l’arco

Da O si traccino due perpendicolari alle rette determinando H e K punti di tangenza. Si completi tr l’arco

Problema 37: Raccordare due rette con un arco di raggio R.

Problema 37: Raccordare due rette con un arco di raggio R.

Problema 37: Raccordare due rette con un arco di raggio R.

Siano dati le rette e il raggio di raccordo.

Siano dati le rette e il raggio di raccordo.

Siano dati le rette e il raggio di raccordo. Si traccino due rette parallele a s e t distanti R che si intersecheranno in O centro del raccordo

Si traccino due rette parallele a s e t distanti R che si intersecheranno in O centro del raccordo

Si traccino due rette parallele a s e t distanti R che si intersecheranno in O centro del raccordo

Da O si traccino due perpendicolari alle rette determinando H e K punti di tangenza. Si completi tracciando l’arco.

Da O si traccino due perpendicolari alle rette determinando H e K punti di tangenza. Si completi tracciando l’arco.

Da O si traccino due perpendicolari alle rette determinando H e K punti di tangenza. Si completi tracciando l’arco.

vedi esercizio a pag. 125

Problema 38: Raccordare due circonferenze tra loro esterne con un arco di raggio R

Problema 38: Raccordare due circonferenze tra loro esterne con un arco di raggio R

Problema 38: Raccordare due circonferenze tra loro esterne con un arco di raggio R

Date le circonferenze e il raggio di raccordo R> R’+R”+O’O”/2

Date le circonferenze e il raggio di raccordo R> R’+R”+O’O”/2

Date le circonferenze e il raggio di raccordo R> R’+R”+O’O”/2

Poiché il centro di raccordo C disterà R-R’ da O’ e R-R” da O” si punti in O’ con raggio R-R’ e in O” con R-R” e si traccino due archi che determino C.

1 Consideriamo le circonferenze e il raggio di raccordo di lunghezza tale che R > R'  R"  O'O"/2.

Si congiunga C con O’ e con O”e si prolunghino le linee a determinare H e K punti di tangenza e estremi dell’arco di raccordo

PASSO PASSO 6.8 RACCORDO DI DUE CIRCONFERENZE

TRA LORO ESTERNE CON UN ARCO DI RAGGIO R

Si congiunga C con O’ e con O”e si prolunghino le linee a determinare H e K punti di tangenza e estremi dell’arco di raccordo.

Si congiunga C con O’ e con O”e si prolunghino le linee a determinare H e K punti di tangenza e estremi dell’arco di raccordo.

Problema 38: Raccordare due circonferenze tra loro esterne con un arco di raggio R

Poiché il centro di raccordo C disterà R-R’ da O’ e R-R” da O” si punti in O’ con raggio R-R’ e in O” con R-R” e si traccino due archi che determino C.

Poiché il centro di raccordo C disterà R-R’ da O’ e R-R” da O” si punti in O’ con raggio R-R’ e in O” con R-R” e si traccino due archi che determino C.

Problema 38: Raccordare due circonferenze tra loro esterne con un arco di raggio R

Problema 38: Raccordare due circonferenze tra loro esterne con un arco di raggio R

Date le circonferenze e il raggio di raccordo R> R’+R”+O’O”/2

Date le circonferenze e il raggio di raccordo R> R’+R”+O’O”/2

Date le circonferenze e il raggio di raccordo R> R’+R”+O’O”/2 Poiché il centro di raccordo C disterà R-R’ da O’ e R-R” da O” si punti in O’ con raggio R-R’ e in O” con R-R” e si traccino due archi che determino C.

Poiché il centro di raccordo C disterà R-R’ da O’ e R-R” da O” si punti in O’ con raggio R-R’ e in O” con R-R” e si traccino due archi che determino C.

2 Il centro di raccordo C dista R–R' da O' e R–R'' da O''. Puntiamo in O' con raggio R–R' e in O'' con R–R'' tracciamo due archi che determinano C.

Poiché il centro di raccordo C disterà R-R’ da O’ e R-R” da O” si punti in O’ con raggio R-R’ e in O” con R-R” e si traccino due archi che determino C.

Si congiunga C con O’ e con O”e si prolunghino le linee a determinare H e K punti di tangenza e estremi dell’arco di raccordo.

Si congiunga C con O’ e con O”e si prolunghino le linee a determinare H e K punti di tangenza e estremi dell’arco di raccordo.

3 Congiungiamo C con O' e O'' e prolunghiamo le linee a determinare A e B punti di tangenza e estremi dell’arco di raccordo.

Si congiunga C con O’ e con O”e si prolunghino le linee a determinare H e K punti di tangenza e estremi dell’arco di raccordo.

Problema 38: Raccordare due circonferenze tra loro esterne con un arco di raggio R

Problema 38: Raccordare due circonferenze tra loro esterne con un arco di raggio R

Problema 38: Raccordare due circonferenze tra loro esterne con un arco di raggio R

Date le circonferenze e il raggio di raccordo R> R’+R”+O’O”/2

Date le circonferenze e il raggio di raccordo R> R’+R”+O’O”/2

Date le circonferenze e il raggio di raccordo R> R’+R”+O’O”/2

Poiché il centro di raccordo C disterà R-R’ da O’ e R-R” da O” si punti in O’ con raggio R-R’ e in O” con R-R” e si traccino due archi che determino C.

Si congiunga C con O’ e con O”e si prolunghino le linee a determinare H e K punti di tangenza e estremi dell’arco di raccordo

Si congiunga C con O’ e con O”e si prolunghino le linee a determinare H e K punti di tangenza e estremi dell’arco di raccordo

Si congiunga C con O’ e con O”e si prolunghino le linee a determinare H e K punti di tangenza e estremi dell’arco di raccordo

Problema 39:Raccordare una circonferenza a una retta a essa esterna con un arco di raggio R

Problema 39:Raccordare una circonferenza a una retta a essa esterna con un arco di raggio R

Siano date la retta, la circonferenza e il raggio R.

Siano date la retta, la circonferenza e il raggio R.

Siano date la retta, la circonferenza e il raggio R.

Poiché il centro di raccordo C disterà R-R’ da O’ e R-R” da O” si punti in O’ con raggio R-R’ e in O” con R-R” e si traccino due archi che determino C.

Poiché il centro di raccordo C disterà R-R’ da O’ e R-R” da O” si punti in O’ con raggio R-R’ e in O” con R-R” e si traccino due archi che determino C.

Problema 39:Raccordare una circonferenza a una retta a essa esterna con un arco di raggio R

Si tracci la parallela a s alla distanza R. Si tracci un raggio OH e si aggiunga al suo prolungamento R determinando K.

Si tracci la parallela a s alla distanza R. Si tracci un raggio OH e si aggiunga al suo prolungamento R determinando K.

Si tracci la parallela a s alla distanza R. Si tracci un raggio OH e si aggiunga al suo prolungamento R determinando K.

Puntando in O con raggio OK si tracci un arco che interseca S’ in C centro del raccordo. Da C si tracci CO e la perpendicolare a s determinando P e Q punti di tangenza

Problema 39:Raccordare una circonferenza a una retta a essa esterna con un arco di raggio R

Problema 39:Raccordare una circonferenza a una retta a essa esterna con un arco di raggio R

Siano date la retta, la circonferenza e il raggio R.

Siano date la retta, la circonferenza e il raggio R.

Siano date retta, la circonferenza e il raggio R.

Puntando in O con raggio OK si tracci un arco che interseca S’ in C centro del raccordo. Da C si tracci CO e la perpendicolare a s determinando P e Q punti di tangenza

Puntando in O con raggio OK si tracci un arco che interseca S’ in C centro del raccordo. Da C si tracci CO e la perpendicolare a s determinando P e Q punti di tangenza

Problema 39:Raccordare una circonferenza a una retta a essa esterna con un arco di raggio R

Si tracci la parallela a s alla distanza R. Si tracci un raggio OH e si aggiunga al suo prolungamento R determinando K.

1 Consideriamo la retta s, la circonferenza e il raggio di raccordo R.

Si tracci la parallela a s alla distanza R. Si tracci un raggio OH e si aggiunga al suo prolungamento R determinando K.

Si tracci la parallela a s alla distanza R. Si tracci un raggio OH e si aggiunga al suo prolungamento R determinando K.

PASSO PASSO 6.9 RACCORDO DI UNA CIRCONFERENZA A UNA RETTA A ESSA ESTERNA CON UN ARCO DI RAGGIO R

Puntando in O con raggio OK si tracci un arco che interseca S’ in C centro del raccordo. Da C si tracci CO e la perpendicolare a s determinando P e Q punti di tangenza

Puntando in O con raggio OK si tracci un arco che interseca S’ in C centro del raccordo. Da C si tracci CO e la perpendicolare a s determinando P e Q punti di tangenza

Puntando in O con raggio OK si tracci un arco che interseca S’ in C centro del raccordo. Da C si tracci CO e la perpendicolare a s determinando P e Q punti di tangenza

Problema 39:Raccordare una circonferenza a una retta a essa esterna con un arco di raggio R

Problema 39:Raccordare una circonferenza a una retta a essa esterna con un arco di raggio R

Problema 39:Raccordare una circonferenza a una retta a essa esterna con un arco di raggio R

Siano date la retta, la circonferenza e il raggio R.

Siano date la retta, la circonferenza e il raggio R.

Siano date la retta, la circonferenza e il raggio R.

Si tracci la parallela a s alla distanza R. Si tracci un raggio OH e si aggiunga al suo prolungamento R determinando K.

2 Tracciamo la parallela a s alla distanza R e il raggio O1 cui aggiungiamo, sul suo prolungamento, R determinando 2.

Si tracci la parallela a s alla distanza R. Si tracci un raggio OH e si aggiunga al suo prolungamento R determinando K.

Si tracci la parallela a s alla distanza R. Si tracci un raggio OH e si aggiunga al suo prolungamento R determinando K.

Puntando in O con raggio OK si tracci un arco che interseca S’ in C centro del raccordo. Da C si tracci CO e la perpendicolare a s determinando P e Q punti di tangenza

3 Puntando in O e con raggio O2 tracciamo un arco che interseca s' in C, centro del raccordo. Tracciamo CO e la perpendicolare a s determinando A e B estremi dell’arco di raccordo.

Puntando in O con raggio OK si tracci un arco che interseca S’ in C centro del raccordo. Da C si tracci CO e la perpendicolare a s determinando P e Q punti di tangenza

Puntando in O con raggio OK si tracci un arco che interseca S’ in C centro del raccordo. Da C si tracci CO e la perpendicolare a s determinando P e Q punti di tangenza

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

Costruzioni piane fondamentali:

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

raccordi

PASSO PASSO 6.10 RACCORDO, CON UN ARCO DI RAGGIO R, DI UNA CIRCONFERENZA

A UNA RETTA A ESSA INTERNA

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

Problema 40: Raccordare una circonferenza a una retta ad essa interna con un arco di raggio R.

Problema 40: Raccordare una circonferenza a una retta ad essa interna con un arco di raggio R.

Problema 40: Raccordare una circonferenza a una retta ad essa interna con un arco di raggio R.

1 Dati la circonferenza di centro O, la retta s e il raggiodi raccordo R tracciamo la parallela s' alla retta s alla distanza R e un raggio O1.

Date la circonferenza, la retta e il raggio R si tracci la parallela a s alla distanza R.

Date la circonferenza, la retta e il raggio R si tracci la parallela a s alla distanza R.

Date la circonferenza, la retta e il raggio R si tracci la parallela a s alla distanza R.

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

Date la circonferenza, la retta e il raggio R si tracci la parallela a s alla distanza R.

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

Date la circonferenza, la retta e il raggio R si tracci la parallela a s alla distanza R.

Date la circonferenza, la retta e il raggio

Si tracci un raggio OH e si riporti da H verso O il raggio R determinando K. Puntando in O con raggio OK si tracci un arco determinando C centro del raccordo.

Problema 40: Raccordare una circonferenza a una retta ad essa interna con un arco di raggio R.

Costruzioni piane fondamentali: raccordi

R si tracci la parallela a s alla distanza

R.

2 Riportiamo da 1 verso O il raggio R, determinando 2. Puntando in O con raggio O2 tracciamo un arco che interseca s' determinando C centro del raccordo.

Si tracci un raggio OH e si riporti da H verso O il raggio R determinando K. Puntando in O con raggio OK si tracci un arco determinando C centro del raccordo

Si tracci un raggio OH e si riporti da H verso O il raggio R determinando K. Puntando in O con raggio OK si tracci un arco determinando C centro del raccordo.

Si tracci un raggio OH e si riporti da H verso O il raggio R determinando K. Puntando in O con raggio OK si tracci un arco determinando C centro del raccordo.

Si congiunga O con C e si prolunghi a incontrare la circonferenza in Q e da C si tracci la perpendicolare a s determinando P. Puntando in C si tracci il raccordo PQ.

Problema 40: Raccordare una circonferenza a una retta ad essa interna con un arco di raggio R.

Si tracci un raggio OH e si riporti da H verso O il raggio R determinando K. Puntando in O con raggio OK si tracci un arco determinando C centro del raccordo

Si tracci un raggio OH e si riporti da H verso O il raggio R determinando K. Puntando in O con raggio OK si tracci un arco determinando C centro del raccordo

Si congiunga O con C e si prolunghi a incontrare la circonferenza in Q e da C si tracci la perpendicolare a s determinando P. Puntando in C si tracci il raccordo PQ.

Si congiunga O con C e si prolunghi a incontrare la circonferenza in Q e da C si tracci la perpendicolare a s determinando P. Puntando in C si tracci il raccordo PQ

3 Congiungiamo O con C e prolunghiamo fino ad A. Tracciamo da C la perpendicolare a s determinando B. Puntando in C e apertura CA tracciamo il raccordo.

Si congiunga O con C e si prolunghi a incontrare la circonferenza in Q e da C si tracci la perpendicolare a s determinando P. Puntando in C si tracci il raccordo PQ

Si congiunga O con C e si prolunghi a incontrare la circonferenza in Q e da C si tracci la perpendicolare a s determinando P. Puntando in C si tracci il raccordo PQ.

Problema 40: Raccordare una circonferenza a una retta ad essa interna con un arco di raggio R.

Si congiunga O con C e si prolunghi a incontrare la circonferenza in Q e da C si tracci la perpendicolare a s determinando P. Puntando in C si tracci il raccordo PQ

Problema 40: Raccordare una circonferenza a una retta ad essa interna con un arco di raggio R.

Problema 40: Raccordare una circonferenza a una retta ad essa interna con un arco di raggio R.

Problema 40: Raccordare una circonferenza a una retta ad essa interna con un arco di raggio R.

Date la circonferenza, la retta e il raggio R si tracci la parallela a s alla distanza R.

Date la circonferenza, la retta e il raggio

R si tracci la parallela a s alla distanza R.

Date la circonferenza, la retta e il raggio R si tracci la parallela a s alla distanza R.

Si tracci un raggio OH e si riporti da H verso O il raggio R determinando K. Puntando in O con raggio OK si tracci un arco determinando C centro del raccordo

Si tracci un raggio OH e si riporti da H verso O il raggio R determinando K. Puntando in O con raggio OK si tracci un arco determinando C centro del raccordo

Si tracci un raggio OH e si riporti da H verso O il raggio R determinando K. Puntando in O con raggio OK si tracci un arco determinando C centro del raccordo

Si congiunga O con C e si prolunghi a incontrare la circonferenza in Q e da C si tracci la perpendicolare a s determinando P. Puntando in C si tracci il raccordo PQ

Si congiunga O con C e si prolunghi a incontrare la circonferenza in Q e da C si tracci la perpendicolare a s determinando P. Puntando in C si tracci il raccordo PQ

Si congiunga O con C e si prolunghi a incontrare la circonferenza in Q e da C si tracci la perpendicolare a s determinando P. Puntando in C si tracci il raccordo PQ

Problema 41:Raccordare una circonferenza con il segmento AB nell’estremo B.

Problema 41:Raccordare una circonferenza con il segmento AB nell’estremo B.

Problema 41:Raccordare una circonferenza con il segmento AB nell’estremo B.

Siano dati la circonferenza e il segmento AB

Siano dati la circonferenza e il segmento AB

Siano dati la circonferenza e il segmento AB

1 Consideriamo la circonferenza di raggio R e il segmento AB e tracciamo per B la perpendicolare ad AB.

Siano dati la circonferenza e il segmento AB

Siano dati la circonferenza e il segmento AB

Siano dati la circonferenza e il segmento AB

Si tracci per B la perpendicolare ad AB e si riporti su di essa da B il raggio R determinando H, si tracci HO e se ne costruisca l’asse che interseca la perpendicolare in C

Si congiunga C con O detrminando P. Si punti in C e si tracci il raccordo PB

Si congiunga C con O detrminando P. Si punti in C e si tracci il raccordo PB

Si congiunga C con O detrminando P. Si punti in C e si tracci il raccordo PB

PASSO PASSO 6.11 RACCORDO DI UNA CIRCONFERENZA CON IL SEGMENTO AB NELL’ESTREMO B

Problema 41:Raccordare una circonferenza con il segmento AB nell’estremo B.

Si tracci per B la perpendicolare ad AB e si riporti su di essa da B il raggio R determinando H, si tracci HO e se ne costruisca l’asse che interseca la perpendicolare in C

Si tracci per B la perpendicolare ad AB e si riporti su di essa da B il raggio R determinando H, si tracci HO e se ne costruisca l’asse che interseca la perpendicolare in C

2 Da B riportiamo il raggio R e determiniamo 1. Tracciamo 1O e poi il suo asse che interseca la perpendicolare in C.

Problema 41:Raccordare una circonferenza con il segmento AB nell’estremo B.

Si tracci per B la perpendicolare ad AB e si riporti su di essa da B il raggio R determinando H, si tracci HO e se ne costruisca l’asse che interseca la perpendicolare in C

Si tracci per B la perpendicolare ad AB e si riporti su di essa da B il raggio R determinando H, si tracci HO e se ne costruisca l’asse che interseca la perpendicolare in C

Problema 41:Raccordare una circonferenza con il segmento AB nell’estremo B.

Si tracci per B la perpendicolare ad AB e si riporti su di essa da B il raggio R determinando H, si tracci HO e se ne costruisca l’asse che interseca la perpendicolare in C

Si congiunga C con O detrminando P. Si punti in C e si tracci il raccordo PB

Si congiunga C con O detrminando P. Si punti in C e si tracci il raccordo PB

Si congiunga C con O detrminando P. Si punti in C e si tracci il raccordo PB

3 Tracciamo CO determinando D. Puntiamo in C e tracciamo il raccordo DB.

Problema 41:Raccordare una circonferenza con il segmento AB nell’estremo B.

Problema 41:Raccordare una circonferenza con il segmento AB nell’estremo B.

Problema 41:Raccordare una circonferenza con il segmento AB nell’estremo B.

Siano dati la circonferenza e il segmento AB

Siano dati la circonferenza e il segmento AB

Siano dati la circonferenza e il segmento AB

Si tracci per B la perpendicolare ad AB e si riporti su di essa da B il raggio R determinando H, si tracci HO e se ne costruisca l’asse che interseca la perpendicolare in C

Si tracci per B la perpendicolare ad AB e si riporti su di essa da B il raggio R determinando H, si tracci HO e se ne costruisca l’asse che interseca la perpendicolare in C

Si tracci per B la perpendicolare ad AB e si riporti su di essa da B il raggio R determinando H, si tracci HO e se ne costruisca l’asse che interseca la perpendicolare in C

Si congiunga C con O detrminando P. Si punti in C e si tracci il raccordo PB

Si congiunga C con O detrminando P. Si punti in C e si tracci il raccordo PB

Si congiunga C con O detrminando P. Si punti in C e si tracci il raccordo PB

Problema 42:Raccordare in un suo punto P una circonferenza a una retta

Problema 42:Raccordare in un suo punto P una circonferenza a una retta

Problema 42:Raccordare in un suo punto P una circonferenza a una retta

Siano dati la circonferenza il punto P e la retta s. Si tracci il raggio OP lo si prolunghi.

Siano dati la circonferenza il punto P e la retta s.

Siano dati la circonferenza il punto P e la retta s.

Stracci la tangente in P che interseca la retta in H.

Stracci la tangente in P che interseca la retta in H.

Problema 42:Raccordare in un suo punto P una circonferenza a una retta

Problema 42:Raccordare in un suo punto P una circonferenza a una retta

Problema 42:Raccordare in un suo punto P una circonferenza a una retta

Si tracci il raggio OP lo si prolunghi.

Si tracci il raggio OP lo si prolunghi.

Siano dati la circonferenza il punto P e la retta s.

Siano dati la circonferenza il punto P e la retta s.

Si tracci il raggio OP lo si prolunghi.

Siano dati la circonferenza il punto P e la retta s. Si tracci il raggio OP lo si prolunghi.

Stracci la tangente in P che interseca la retta in H.

Si tracci il raggio OP lo si prolunghi.

1 Consideriamo la circonferenza di centro O, il punto P su di essa e la retta s. Tracciamo e prolunghiamo il raggio OP.

Stracci la tangente in P che interseca la retta in H.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in H che incontra il prolungamento di OP in C. Da C si tracci la perpendicolare a s determinando T. Si punti in C e si tracci il raccordo PT

Si tracci la bisettrice dell’angolo in H che incontra il prolungamento di OP in C. Da C si tracci la perpendicolare a s determinando T. Si punti in C e si tracci il raccordo PT

Stracci la tangente in P che interseca la retta in H. Si tracci la bisettrice dell’angolo in H che incontra il prolungamento di OP in C. Da C si tracci la perpendicolare a s determinando T. Si punti in C e si tracci il raccordo PT

Si tracci la bisettrice dell’angolo in H che incontra il prolungamento di OP in C. Da C si tracci la perpendicolare a s determinando T. Si punti in C e si tracci il raccordo PT

Si tracci la bisettrice dell’angolo in H che incontra il prolungamento di OP in C. Da C si tracci la perpendicolare a s determinando T. Si punti in C e si tracci il raccordo PT

Stracci la tangente in P che interseca la retta in H. Si tracci la bisettrice dell’angolo in H che incontra il prolungamento di OP in C. Da C si tracci la perpendicolare a s determinando T. Si punti in C e si tracci il raccordo PT

PASSO PASSO 6.12 RACCORDO, A UNA RETTA, DI UNA CIRCONFERENZA IN UN SUO PUNTO P

Problema 42:Raccordare in un suo punto P una circonferenza a una retta

Problema 42:Raccordare in un suo punto P una circonferenza a una retta

Siano dati la circonferenza il punto P e la retta s. Si tracci il raggio OP lo si prolunghi.

Siano dati la circonferenza il punto P e la retta s.

Siano dati la circonferenza il punto P e la retta s.

Stracci la tangente in P che interseca la retta in H.

Si tracci il raggio OP lo si prolunghi.

Si tracci il raggio OP lo si prolunghi.

2 Tracciamo la tangente in P, che interseca la retta in 1, e poi la bisettrice dell’angolo in 1. L’intersezione tra essa e il prolungamento di OP determina C.

Problema 42:Raccordare in un suo punto P una circonferenza a una retta

Stracci la tangente in P che interseca la retta in H.

3 Da C tracciamo la perpendicolare a s determinando A. Puntiamo in C e tracciamo il raccordo PA.

Stracci la tangente in P che interseca la retta in H. Si tracci la bisettrice dell’angolo in H che incontra il prolungamento di OP in C. Da C si tracci la perpendicolare a s determinando T. Si punti in C e si tracci il raccordo PT

Si tracci la bisettrice dell’angolo in H che incontra il prolungamento di OP in C. Da C si tracci la perpendicolare a s determinando T. Si punti in C e si tracci il raccordo PT

Si tracci la bisettrice dell’angolo in H che incontra il prolungamento di OP in C. Da C si tracci la perpendicolare a s determinando T. Si punti in C e si tracci il raccordo PT

Elementi di geometria: curve policentriche, cicliche o meccaniche

7 Le curve policentriche e le curve cicliche

Elementi di geometria: curve policentriche,

Elementi di geometria: curve policentriche, cicliche o meccaniche

Elementi di geometria: curve policentriche, cicliche o meccaniche

La curve policentriche: ovali, ovoli, spirali

La curve policentriche: ovali, ovoli, spirali

Le curve policentriche sono le curve formate da archi di circonferenza, di centro e raggio diversi, raccordati tra loro.

La curve policentriche: ovali, ovoli, spirali

Elementi di geometria: curve policentriche, cicliche o meccaniche

La curve policentriche: ovali, ovoli, spirali

Si definiscono curve policentriche le curve formate da archi di circonferenza, di centro e raggio diversi, raccordati tra loro.

Si definiscono curve policentriche le curve formate da archi di circonferenza, di centro e raggio diversi, raccordati tra loro.

Si definiscono curve policentriche le curve formate da archi di circonferenza, di centro e raggio diversi, raccordati tra loro.

Si definiscono curve policentriche le curve formate da archi di circonferenza, di centro e raggio diversi, raccordati tra loro.

La curve policentriche: ovali, ovoli, spirali

Si definisce ovale la figura piana chiusa formata da quattro archi di circonferenza a due a due congruenti. Ha due assi di simmetria tra loro ortogonali che si intersecano in O centro di simmetria.

L’ ovale è la figura piana chiusa formata da quattro archi di circonferenza a due a due congruenti. Ha due assi di simmetria tra loro ortogonali, che si intersecano in O centro di simmetria.

Si definisce ovale la figura piana chiusa formata da quattro archi di circonferenza a due a due congruenti. Ha due assi di simmetria tra loro ortogonali che si intersecano in O centro di simmetria.

Si definisce ovale la figura piana chiusa formata da quattro archi di circonferenza a due a due congruenti. Ha due assi di simmetria tra loro ortogonali che si intersecano in O centro di simmetria.

Si definisce ovale la figura piana chiusa formata da quattro archi di circonferenza a due a due congruenti. Ha due assi di simmetria tra loro ortogonali che si intersecano in O centro di simmetria.

Si definisce ovale la figura piana chiusa formata da quattro archi di circonferenza a due a due congruenti. Ha due assi di simmetria tra loro ortogonali che si intersecano in O centro di simmetria.

Si definisce ovolo la figura piana chiusa formata da una semicirconferenza e da metà ovale. Ha un solo asse di simmetria che è l’asse maggiore.

Si definisce ovolo la figura piana chiusa formata da una semicirconferenza e da metà ovale. Ha un solo asse di simmetria che è l’asse maggiore.

L’ ovolo è la figura piana chiusa formata da una semicirconferenza e da metà ovale. Ha un solo asse di simmetria, che è l’asse maggiore.

Si definisce ovolo la figura piana chiusa formata da una semicirconferenza e da metà ovale. Ha un solo asse di simmetria che è l’asse maggiore.

Si definisce ovolo la figura piana chiusa formata da una semicirconferenza e da metà ovale. Ha un solo asse di simmetria che è l’asse maggiore.

Si definisce ovolo la figura piana chiusa formata da una semicirconferenza e da metà ovale. Ha un solo asse di simmetria che è l’asse maggiore.

Si definisce spirale una curva policentrica aperta ad andamento circolare ma con raggio progressivamente crescente. Non ha assi di simmetria e le rette pacssnti per l’origine sono tagliate in tanti segmenti tra loro congruenti detti passo.

Si definisce spirale una curva policentrica aperta ad andamento circolare ma con raggio progressivamente crescente. Non ha assi di simmetria e le rette pacssnti per l’origine sono tagliate in tanti segmenti tra loro congruenti detti passo.

Si definisce spirale una curva policentrica aperta ad andamento circolare ma con raggio progressivamente crescente. Non ha assi di simmetria e le rette pacssnti per l’origine sono tagliate in tanti segmenti tra loro congruenti detti passo.

La spirale è una curva policentrica aperta ad andamento circolare ma con raggio progressivamente crescente. Non ha assi di simmetria e le rette passanti per l’origine sono tagliate in tanti segmenti tra loro congruenti detti passo

Si definiscono curve policentriche le curve formate da archi di circonferenza, di centro e raggio diversi, raccordati tra loro.

Si definisce spirale una curva policentrica aperta ad andamento circolare ma con raggio progressivamente crescente. Non ha assi di simmetria e le rette pacssnti per l’origine sono tagliate in tanti segmenti tra loro congruenti detti passo

Si definisce spirale una curva policentrica aperta ad andamento circolare ma con raggio progressivamente crescente. Non ha assi di simmetria e le rette pacssnti per l’origine sono tagliate in tanti segmenti tra loro congruenti detti passo

O O asse maggiore asse maggiore

Curve cicliche o meccaniche: evolvente del cerchio, cicloide, epicicloide

Curve cicliche o meccaniche: evolvente del cerchio, cicloide, epicicloide

Curve cicliche o meccaniche: evolvente del cerchio, cicloide, epicicloide

Curve cicliche o meccaniche: evolvente del cerchio, cicloide, epicicloide

Le curve cicliche o meccaniche sono le curve piane generate da un punto in movimento appartenente a una retta o a una circonferenza.

Si definiscono curve cicliche o meccaniche le curve piane generate da un punto in movimento appartenente a una retta o a una circonferenza.

Si definiscono curve cicliche o meccaniche le curve piane generate da un punto in movimento appartenente a una retta o a una circonferenza.

Si definiscono curve cicliche o meccaniche le curve piane generate da un punto in movimento appartenente a una retta o a una circonferenza.

Si definiscono curve cicliche o meccaniche le curve piane generate da un punto in movimento appartenente a una retta o a una circonferenza.

L’evolvente del cerchio è una curva piana data dalla traccia di un punto appartenente a una retta che ruota su una circonferenza senza strisciare.

L’ evolvente del cerchio è una curva piana data dalla traccia di un punto appartenente a una retta che ruota su una circonferenza senza strisciare.

L’evolvente del cerchio è una curva piana data dalla traccia di un punto appartenente a una retta che ruota su una circonferenza senza strisciare.

Curve cicliche o meccaniche: evolvente del cerchio, cicloide, epicicloide

L’evolvente del cerchio è una curva piana data dalla traccia di un punto appartenente a una retta che ruota su una circonferenza senza strisciare.

L’evolvente del cerchio è una curva piana data dalla traccia di un punto appartenente a una retta che ruota su una circonferenza senza strisciare.

La cicloide è una curva piana generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola su una retta senza strisciare.

La cicloide è una curva piana generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola su una retta senza strisciare.

La cicloide è una curva piana generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola su una retta senza strisciare.

La cicloide è una curva piana generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola su una retta senza strisciare.

La cicloide è una curva piana generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola su una retta senza strisciare.

Si definiscono curve cicliche o meccaniche le curve piane generate da un punto in movimento appartenente a una retta o a una circonferenza.

L’evolvente del cerchio è una curva piana data dalla traccia di un punto appartenente a una retta che ruota su una circonferenza senza strisciare.

La cicloide è una curva piana generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola su una retta senza strisciare.

L’epicicloide è una curva piana generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola sull’esterno di un’altra circonferenza senza strisciare. L’ipocicloide è una curva generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola all’interno di un’altra circonferenza senza strisciare.

L’epicicloide è una curva piana generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola sull’esterno di un’altra circonferenza senza strisciare. L’ipocicloide è una curva generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola all’interno di un’altra circonferenza senza strisciare.

L’epicicloide è una curva piana generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola sull’esterno di un’altra circonferenza senza strisciare. L’ipocicloide è una curva generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola all’interno di un’altra circonferenza senza strisciare.

L’epicicloide è una curva piana generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola sull’esterno di un’altra circonferenza senza strisciare. L’ipocicloide è una curva generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola all’interno di un’altra circonferenza senza strisciare.

L’epicicloide è una curva piana generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola sull’esterno di un’altra circonferenza senza strisciare. L’ipocicloide è una curva generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola all’interno di un’altra circonferenza senza strisciare.

L’epicicloide è una curva piana generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola sull’esterno di un’altra circonferenza senza strisciare. L’ipocicloide è una curva generata da un punto appartenente a una circonferenza che rotola all’interno di un’altra circonferenza senza strisciare.

Costruzioni piane fondamentali: ovale e ovolo

Costruzioni piane fondamentali: ovale e ovolo

Problema 43: Costruire un ovale dati gli assi AB e CD

Problema 43: Costruire un ovale dati gli assi AB e CD

Tracciati gli assi, si congiunga C con B e da C si riporti HB, differenza tra i due semiassi, determinando K. Si tracci l’asse di KB che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 ed O2.

8 Costruzioni di curve policentriche e cicliche

PASSO PASSO 8.1 OVALE DATI GLI ASSI AB E CD

Problema 43: Costruire un ovale dati gli assi AB e CD

Tracciati gli assi, si congiunga C con B e da C si riporti HB, differenza tra i due semiassi, determinando K. Si tracci l’asse di KB che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 ed O2.

Problema 43: Costruire un ovale dati gli assi AB e CD

Costruzioni piane fondamentali: ovale e ovolo

Costruzioni piane fondamentali: ovale e ovolo

1 Tracciati gli assi AB e CD congiungiamo C con B e da C riportiamo 1B, differenza tra i due semiassi, determinando su CB il punto 2. Tracciamo l’asse di 2B che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 e O2.

Tracciati gli assi, si congiunga C con B e da C si riporti HB, differenza tra i due semiassi, determinando K. Si tracci l’asse di KB che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 ed O2

Tracciati gli assi, si congiunga C con B e da C si riporti HB, differenza tra i due semiassi, determinando K. Si tracci l’asse di KB che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 ed O2

Si punti col compasso in O2 con apertura O2C e si tracci un arco che interseca l’asse di KB in G. Si punti quindi in O1 con apertura O1G e si tracci l’arco GB completando il primo quarto di ovale. Si punti quindi in O e si riporti O1 in O4 e O2 in O3.

Si punti col compasso in O2 con apertura O2C e si tracci un arco che interseca l’asse di KB in G. Si punti quindi in O1 con apertura O1G e si tracci l’arco GB completando il primo quarto di ovale. Si punti quindi in O e si riporti O1 in O4 e O2 in O3.

Si congiunga O3 con O1 e O4 con O3 e si prolunghino le linee, quindi puntando in O1, O2, O3 ed O4 si traccino gli archi come fatto per il primo quarto.

Si congiunga O3 con O1 e O4 con O3 e si prolunghino le linee, quindi puntando in O1, O2, O3 ed O4 si traccino gli archi come fatto per il primo quarto.

Si punti col compasso in O2 con apertura O2C e si tracci un arco che interseca l’asse di KB in G. Si punti quindi in O1 con apertura O1G e si tracci l’arco GB completando il primo quarto di ovale. Si punti quindi in O e si riporti O1 in O4 e O2 in O3.

Si punti col compasso in O2 con apertura O2C e si tracci un arco che interseca l’asse di KB in G. Si punti quindi in O1 con apertura O1G e si tracci l’arco GB completando il primo quarto di ovale. Si punti quindi in O e si riporti O1 in O4 e O2 in O3.

2 Puntiamo il compasso in O 2 con apertura O2C e tracciamo un arco che interseca l’asse di 2B in E. Puntiamo quindi in O1 con apertura O 1E e tracciamo l’arco EB completando il primo quarto di ovale. Puntiamo quindi in O e riportiamo O1 in O4 e O2 in O3.

Problema 44: Costruire un ovolo dati gli assi

Problema 44: Costruire un ovolo dati gli assi

PASSO PASSO 8.2 OVOLO DATI GLI ASSI AB E CD

Tracciato CD se ne costruisce l’asse determinando il centro O. Si punta in O con apertura OC e si traccia la semicirconferenza CD che determina sull’asse il punto A e da A si riporta la misura di AB.

3 Congiungiamo O3 con O1 e O4, O2 con O4 e prolunghiamo le linee, quindi puntando in O1, O2, O3 e O4 tracciamo gli archi come fatto per il primo quarto.

Si congiunga O3 con O1 e O4 con O3 e si prolunghino le linee, quindi puntando in O1, O2, O3 ed O4 si traccino gli archi come fatto per il primo quarto.

Si congiunga O3 con O1 e O4 con O3 e si prolunghino le linee, quindi puntando in O1, O2, O3 ed O4 si traccino gli archi come fatto per il primo quarto.

Tracciato CD se ne costruisce l’asse determinando il centro O. Si punta in O con apertura OC e si traccia la semicirconferenza CD che determina sull’asse il punto A e da A si riporta la misura di AB.

1 Tracciamo CD e costruiamo il suo asse, determinando il centro O. Puntiamo in O con apertura OC e tracciamo la semicirconferenza CD che interseca l’asse nel punto A e da A riportiamo la misura di AB.

Problema 44: Costruire un ovolo dati gli assi

Problema 44: Costruire un ovolo dati gli assi

Tracciato CD se ne costruisce l’asse determinando il centro O. Si punta in O con apertura OC e si traccia la semicirconferenza CD che determina sull’asse il punto A e da A si riporta la misura di AB.

Tracciato CD se ne costruisce l’asse determinando il centro O. Si punta in O con apertura OC e si traccia la semicirconferenza CD che determina sull’asse il punto A e da A si riporta la misura di AB.

Si tracci CB e da C si riporti HB, differenza tra OB e OC, determinando K. Si tracci l’asse di KB che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 ed O2 e puntando in O si riporti O2 in O3.

Si tracci CB e da C si riporti HB, differenza tra OB e OC, determinando K. Si tracci l’asse di KB che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 ed O2 e puntando in O si riporti O2 in O3.

2 Tracciamo CB e da C riportiamo 1B, differenza tra OB e OC, determinando 2. Tracciamo l’asse di 2B che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 e O2 e puntando in O riportiamo O2 in O3.

Si tracci CB e da C si riporti HB, differenza tra OB e OC, determinando K. Si tracci l’asse di KB che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 ed O2 e puntando in O si riporti O2 in O3.

Si tracci CB e da C si riporti HB, differenza tra OB e OC, determinando K. Si tracci l’asse di KB che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 ed O2 e puntando in O si riporti O2 in O3.

Si congiunga O3 con O1 e si prolunghi la linea, quindi puntando in O2 ed O3 si traccino rispettivamente gli archi CG e DI, e puntando in O1 l’arco GI.

Si congiunga O3 con O1 e si prolunghi la linea, quindi puntando in O2 ed O3 si traccino rispettivamente gli archi CG e DI, e puntando in O1 l’arco GI.

3 Congiungiamo O3 con O 1 e prolunghiamo la linea, quindi puntando in O2 e O3 tracciamo rispettivamente gli archi CE e DF, e puntando in O1 l’arco EF.

Si congiunga O3 con O1 e si prolunghi la linea, quindi puntando in O2 ed O3 si traccino rispettivamente gli archi CG e DI, e puntando in O1 l’arco GI.

Si congiunga O3 con O1 e si prolunghi la linea, quindi puntando in O2 ed O3 si traccino rispettivamente gli archi CG e DI, e puntando in O1 l’arco GI.

PASSO PASSO 8.3 OVALE DATO L’ASSE MAGGIORE AB

1 Tracciamo AB e il suo asse, determinando il centro O; costruiamo gli assi di OA e OB trovando O1 e O2.

2 Puntiamo in O, O 1 e O 2 e tracciamo tre circonferenze di raggio OO1 che intersecandosi danno origine ai punti 1, 2, 3, 4.

3 Tracciamo e prolunghiamo i segmenti O11, O12, O23, O24 a determinare O3 e O4 e, sulle circonferenze D, E, F, G. Puntiamo in O3 e O4 e tracciamo gli archi DG e EF.

PASSO PASSO 8.4 OVALE DATO L’ASSE MINORE CD

1 Tracciamo CD e il suo asse, determinando O; tracciamo la circonferenza di raggio OC trovando O1 e O2. Congiungiamo C e D con O1 e O2 e prolunghiamo.

2 Puntiamo in C e in D con raggio CD e tracciamo due archi che intersecano i segmenti precedentemente tracciati in E, F, G, L.

PASSO PASSO 8.5 OVOLO DATO L’ASSE MINORE

1 Consideriamo CD e il suo asse, determinando O; tracciamo la circonferenza di raggio OC trovando O1. Congiungiamo C e D con O1 e prolunghiamo i segmenti.

2 Puntiamo in C e in D con raggio CD e tracciamo due archi che intersecano i segmenti precedentemente tracciati in E, F.

3 Puntiamo in O1 e O2 con apertura O1E e tracciamo i due archi EF e GL completando la costruzione.

3 Puntiamo in O1 con apertura O1E e tracciamo l’arco EF completando la costruzione.

PASSO PASSO 8.6 SPIRALE DI ARCHIMEDE DATO IL PASSO p

1 Sia p = AB. Lo dividiamo in un numero di parti congruenti (es. otto) e dividiamo nello stesso numero di parti la circonferenza di raggio AB. Procediamo nella numerazione delle suddivisioni come indicato in figura e tracciamo i raggi B1, B2 ecc.

2 Puntiamo in B col compasso avente apertura B1', tracciamo un arco che interseca il raggio B1, con apertura B2' un arco che interseca il raggio B2 ecc.

3 Determinate tutte le intersezioni, procediamo a tracciare la curva col curvilineo.

PASSO PASSO 8.7 SPIRALE (CON DUE CENTRI)

1 Consideriamo gli estremi A e B del passo. Tracciamo l’asse di AB determinando il centro O.

2 Puntiamo col compasso in O, con apertura OA, e tracciamo una semi circonferenza. Puntiamo poi in A con apertura AB e tracciamo un’altra semicirconferenza determinando C.

PASSO PASSO 8.8 SPIRALE (CON

1 Costruiamo un triagolo equilatero col lato pari a 1/3 del passo e prolunghiamo i lati nello stesso verso.

TRE CENTRI)

2 Puntiamo col compasso in A con apertura AB e tracciamo un arco che interseca il prolungamento di CA in D. Poi in C con apertura CD a determinare E ecc.

3 Puntiamo poi in O con apertura OC e tracciamo una semicirconferenza da C a D. Poi in A con apertura AD ecc.

3 Procediamo nello stesso modo fino a ottenere le spire volute. Con lo stesso metodo, partendo da poligoni regolari, si possono costruire spirali a quattro o più centri.

Costruzioni piane fondamentali: evolvente e cicloide

Costruzioni piane fondamentali: evolvente e cicloide

Costruzioni piane fondamentali: evolvente e cicloide

Problema 49: Costruire l’evolvente del cerchio dato il raggio R (vedi p.40)

PASSO PASSO 8.9 EVOLVENTE DEL CERCHIO DATO IL RAGGIO R

Problema 49: Costruire l’evolvente del cerchio dato il raggio R (vedi p.40)

Problema 49: Costruire l’evolvente del cerchio dato il raggio R (vedi p.40)

Problema 49: Costruire l’evolvente del cerchio dato il raggio R (vedi p.40)

Sia dato il raggio R. Tracciata la circonferenza, la si divide in un numero di parti uguali (ad esempio 12) e si congiunge ogni punto della suddivisione con il centro O. Si procede nella numerazione della suddivisione come in figura. Per ogni punto si tracciano poi, nello stesso verso, le tangenti alla circonferenza (ovvero le perpendicolari ai raggi).

Sia dato il raggio R. Tracciata la circonferenza, la si divide in un numero di parti uguali (ad esempio 12) e si congiunge ogni punto della suddivisione con il centro O. Si procede nella numerazione della suddivisione come in figura.

Sia dato il raggio R. Tracciata la circonferenza, la si divide in un numero di parti uguali (ad esempio 12) e si congiunge ogni punto della suddivisione con il centro O. Si procede nella numerazione della suddivisione come in figura. Per ogni punto si tracciano poi, nello stesso verso, le tangenti alla circonferenza (ovvero le perpendicolari ai raggi).

1 Tracciamo il cerchio e lo dividiamo in un numero di parti uguali (ad esempio 12). Numeriamo ciascun punto della suddivisione in senso orario come in figura, lo congiungiamo con il centro O e tracciamo, nello stesso verso, le tangenti alla circonferenza (cioè le perpendicolari ai raggi).

Sia dato il raggio R. Tracciata la circonferenza, la si divide in un numero di parti uguali (ad esempio 12) e si congiunge ogni punto della suddivisione con il centro O. Si procede nella numerazione della suddivisione come in figura.

Per ogni punto si tracciano poi, nello stesso verso, le tangenti alla circonferenza (ovvero le perpendicolari ai raggi).

Per ogni punto si tracciano poi, nello stesso verso, le tangenti alla circonferenza (ovvero le perpendicolari ai raggi).

Si punta quindi in 2, con raggio 2-1, e si traccia un arco da 1 fino a incontrare la tangente in 2 nel punto a; si punta quindi in 3 con raggio 3a e si traccia un arco da a ad incontrare la tangente in 3 nel punto b; si punta in 4 con raggio 4b, e così via per tutti i punti della suddivisione. La somma dei vari archi dà l’evolvente.

Si punta quindi in 2, con raggio 2-1, e si traccia un arco da 1 fino a incontrare la tangente in 2 nel punto a; si punta quindi in 3 con raggio 3a e si traccia un arco da a ad incontrare la tangente in 3 nel punto b; si punta in 4 con raggio 4b, e così via per tutti i punti della suddivisione. La somma dei vari archi dà l’evolvente.

Si punta quindi in 2, con raggio 2-1, e si traccia un arco da 1 fino a incontrare la tangente in 2 nel punto a; si punta quindi in 3 con raggio 3a e si traccia un arco da a ad incontrare la tangente in 3 nel punto b; si punta in 4 con raggio 4b, e così via per tutti i punti della suddivisione. La somma dei vari archi dà l’evolvente.

Si punta quindi in 2, con raggio 2-1, e si traccia un arco da 1 fino a incontrare la tangente in 2 nel punto a; si punta quindi in 3 con raggio 3a e si traccia un arco da a ad incontrare la tangente in 3 nel punto b; si punta in 4 con raggio 4b, e così via per tutti i punti della suddivisione. La somma dei vari archi dà l’evolvente.

2 Puntiamo in 2, con raggio 2-1, e tracciamo un arco da 1 a incontrare la tangente in 2 nel punto A; puntiamo quindi in 3 con raggio 3A e tracciamo da A un arco a incontrare la tangente in 3 nel punto B; puntiamo in 4, ... e così via per tutti i punti della suddivisione. La somma dei vari archi dà l’evolvente.

Problema 50: Costruire una cicloide data la circonferenza (vedi p. 40)

Problema 50: Costruire una cicloide data la circonferenza (vedi p. 40)

Problema 50: Costruire una cicloide data la circonferenza (vedi p. 40)

PASSO PASSO 8.10 CICLOIDE DATA LA CIRCONFERENZA

Problema 50: Costruire una cicloide data la circonferenza (vedi p. 40)

Sia data la circonferenza di raggio R. Si traccia un segmento AB di lunghezza pari a2 R pari a un giro completo e lo si suddivide in 12 parti uguali numerando con O1, O2, con apertura pari al raggio R e si tracciano 12 circonferenze.

Sia data la circonferenza di raggio R. Si traccia un segmento AB di lunghezza pari a2 R pari a un giro completo e lo si suddivide in 12 parti uguali numerando con O1, O2, con apertura pari al raggio R e si tracciano 12 circonferenze.

Sia data la circonferenza di raggio R. Si traccia un segmento AB di lunghezza pari a2 R pari a un giro completo e lo si suddivide in 12 parti uguali numerando con O1, O2, ... con apertura pari al raggio R e si tracciano 12 circonferenze.

Sia data la circonferenza di raggio R. Si traccia un segmento AB di lunghezza pari a2 R pari a un giro completo e lo si suddivide in 12 parti uguali numerando con O1, O2, con apertura pari al raggio R e si tracciano 12 circonferenze.

1 Consideriamo la circonferenza di raggio R. Tracciamo un segmento AB lungo 2πR pari a un giro completo e lo dividiamo in 12 parti uguali numerando con O1, O2, ... e tracciamo 12 circonferenze di raggio R.

Si divide la prima circonferenza in 12 parti uguali, così da ottenere la posizione del punto rispetto al piano di rotolamento a ogni dodicesimo di rotazione, e si tracciano per ogni punto le parallele ad AB. Le parallele incontrano le circonferenze nei punti P1, P2, P3, ..., che rappresentano l’esatta posizione del punto a ogni dodicesimo di percorso. Congiungendo col curvilineo i punti P1, P2, P3, ...,si ottiene la curva cercata.

Si divide la prima circonferenza in 12 parti uguali, così da ottenere la posizione del punto rispetto al piano di rotolamento a ogni dodicesimo di rotazione, e si tracciano per ogni punto le parallele ad AB. Le parallele incontrano le circonferenze nei punti P1, P2, P3, , che rappresentano l’esatta posizione del punto a ogni dodicesimo di percorso. Congiungendo col curvilineo i punti P1, P2, P3, ...,si ottiene la curva cercata.

Si divide la prima circonferenza in 12 parti uguali, così da ottenere la posizione del punto rispetto al piano di rotolamento a ogni dodicesimo di rotazione, e si tracciano per ogni punto le parallele ad AB. Le parallele incontrano le circonferenze nei punti P1, P2, P3, ..., che rappresentano l’esatta posizione del punto a ogni dodicesimo di percorso. Congiungendo col curvilineo i punti P1, P2, P3, ...,si ottiene la curva cercata.

Si divide la prima circonferenza in 12 parti uguali, così da ottenere la posizione del punto rispetto al piano di rotolamento a ogni dodicesimo di rotazione, e si tracciano per ogni punto le parallele ad AB. Le parallele incontrano le circonferenze nei punti P1, P2, P3, , che rappresentano l’esatta posizione del punto a ogni dodicesimo di percorso. Congiungendo col curvilineo i punti P1, P2, P3, ...,si ottiene la curva cercata.

2 Dividiamo la prima circonferenza in 12 parti uguali, così da ottenere la posizione del punto rispetto al piano di rotolamento a ogni dodicesimo di rotazione, e tracciamo per ciascun punto le parallele ad AB. Le intersezioni tra le parallele e le circonferenze nei punti P0, P1, P2, P3, ..., rappresentano l’esatta posizione del punto a ogni dodicesimo di percorso. Congiungendo col curvilineo i punti P0, P1, P2, P3, ..., si ottiene la curva cercata.

PASSO PASSO 8.11 CICLOIDE ALLUNGATA DATA LA CIRCONFERENZA

1 Consideriamo il punto P in rotazione all’esterno della circonferenza. Il percorso di un giro è pari a 2πR e lo dividiamo in 12 parti uguali determinando O1, ... O12. Centrando in questi punti, tracciamo 12 circonferenze di raggio OP.

2 Dividiamo la circonferenza di raggio OP in 12 parti uguali e tracciamo per ciascuna suddivisione la parallela ad AB. Le intersezioni di queste linee con le corrispondenti circonferenze ci danno i punti per cui passa la curva.

PASSO PASSO 8.12 CICLOIDE ACCORCIATA DATA LA CIRCONFERENZA

1 Consideriamo il punto P in rotazione all’interno della circonferenza. Il percorso di un giro è pari a 2πR che dividiamo in 12 parti uguali determinando O 1, ... O12. Centrando in questi punti, tracciamo 12 circonferenze di raggio OP.

2 Dividiamo la circonferenza di raggio OP in 12 parti uguali e tracciamo per ciascuna suddivisione la parallela ad AB. Le intersezioni di queste linee con le corrispondenti circonferenze ci danno i punti per cui passa la curva.

8.13 COSTRUIRE UN’EPICICLOIDE E UN’IPOCICLOIDE

Consideriamo r ed R, rispettivamente raggi della circonferenza su cui giace il punto e della circonferenza su cui avviene il rotolamento.

La costruzione di entrambe le curve è simile a quella della cicloide con la differenza che in questo caso il rotolamento avviene lungo un arco di circonferenza. Questo comporta che per determinare le posizioni del punto, invece di tracciare linee parallele al tratto percorso, si devono tracciare archi di circonferenza concentrici con la circonferenza su cui avviene il rotolamento. L’arco percorso sarà pari a 2pr e l’angolo b ad esso sotteso è dato dalla relazione b  360°·r/R.

Epicicloide

Ipocicloide

Le coniche

Le coniche

Le coniche

Elementi di geometria: coniche

Elementi di geometria:

Elementi di geometria: coniche

coniche

Elementi di geometria:

Elementi di geometria: coniche

coniche

Elementi di geometria: coniche

Si definisce conica la curva che si ottiene intersecando una superficie conica con un piano non passante per il vertice del cono.

Una conica è una curva che si ottiene intersecando un cono rotondo indefinito con un piano non passante per il vertice del cono. Consideriamo un cono di rotazione di vertice V, asse a e angolo al vertice 2a . Sia p un piano generico non passante per il vertice del cono, che forma con l’asse del cono l’angolo acuto b

Si definisce conica la curva che si ottiene intersecando una superficie conica con un piano non passante per il vertice del cono.

Si definisce conica la curva che si ottiene intersecando una superficie conica con un piano non passante per il vertice del cono.

Le coniche

Le coniche

Le coniche

Si verificano i seguenti casi:

Consideriamo un cono di rotazione di vertice V, asse a e angolo al vertice 2a. Sia un piano generico non passante per il vertice del cono, che forma con l’asse del cono l’angolo acuto b. Si possono considerare i seguenti casi: se b=90° avremo un circonferenza (che è stato analizzato nelle pagine precedenti).

• se b  90° si ottiene una circonferenza, di cui abbiamo trattato nelle pagine precedenti;

Si definisce conica la curva che si ottiene intersecando una superficie conica con un piano non passante per il vertice del cono.

Consideriamo un cono di rotazione di vertice V, asse a e angolo al vertice 2a. Sia un piano generico non passante per il vertice del cono, che forma con l’asse del cono l’angolo acuto b. Si possono considerare i seguenti casi: se b=90° avremo un circonferenza (che è stato analizzato nelle pagine precedenti).

Si definisce conica la curva che si ottiene intersecando una superficie conica con un piano non passante per il vertice del cono.

Si definisce conica la curva che si ottiene intersecando una superficie conica con un piano non passante per il vertice del cono.

Consideriamo un cono di rotazione di vertice V, asse a e angolo al vertice 2a. Sia un piano generico non passante per il vertice del cono, che forma con l’asse del cono l’angolo acuto b. Si possono considerare i seguenti casi: se b=90° avremo un circonferenza (che è stato analizzato nelle pagine precedenti).

se ß>α il piano taglia il cono una linea chiusa detta ellisse.

• se b  a si ottiene una linea chiusa detta ellisse;

se ß>α il piano taglia il cono lungo una linea chiusa detta ellisse.

se ß>α il piano taglia il cono lungo una linea chiusa detta ellisse.

Consideriamo un cono di rotazione di vertice V, asse a e angolo al vertice 2a. Sia un piano generico non passante per il vertice del cono, che forma con l’asse del cono l’angolo acuto b. Si possono considerare i seguenti casi:

se ß=α il piano taglia il cono una linea aperta detta parabola.

• se b  a si ottiene una linea aperta detta parabola;

se b=90° avremo un circonferenza (che è stato analizzato nelle pagine precedenti).

Consideriamo un cono di rotazione di vertice V, asse a e angolo al vertice 2a. Sia un piano generico non passante per il vertice del cono, che forma con l’asse del cono l’angolo acuto b. Si possono considerare i seguenti casi: se b=90° avremo un circonferenza (che è stato analizzato nelle pagine precedenti).

se ß=α il piano taglia il cono lungo una linea aperta detta parabola.

se ß=α il piano taglia il cono lungo una linea aperta detta parabola.

Consideriamo un cono di rotazione di vertice V, asse a e angolo al vertice 2a. Sia un piano generico non passante per il vertice del cono, che forma con l’asse del cono l’angolo acuto b. Si possono considerare i seguenti casi: se b=90° avremo un circonferenza (che è stato analizzato nelle pagine precedenti).

se ß>α il piano taglia il cono lungo una linea chiusa detta ellisse

se ß>α il piano taglia il cono lungo una linea chiusa detta ellisse

se ß>α il piano taglia il cono lungo una linea chiusa detta ellisse.

se ß=α il piano taglia il cono lungo una linea aperta detta parabola

se ß<α il piano taglia il cono una linea aperta, costituita da due rami, iperbole

se ß=α il piano taglia il cono lungo una linea aperta detta parabola

se ß<α il piano taglia il cono lungo una linea aperta, costituita da due rami, detta iperbole

se ß=α il piano taglia il cono lungo una linea aperta detta parabola.

• se b  a si ottiene una linea aperta, costituita da due rami, detta iperbole.

se ß<α il piano taglia il cono lungo una linea aperta, costituita da due rami, detta iperbole

se ß<α il piano taglia il cono lungo una linea aperta, costituita da due rami, detta iperbole.

se ß<α il piano taglia il cono lungo una linea aperta, costituita da due rami, detta iperbole.

se ß<α il piano taglia il cono lungo una linea aperta, costituita da due rami, detta iperbole

Le coniche possono essere ottenute anche mediante proprietà geometriche.

Si definisce ellisse il luogo geometrico dei punti di un piano la cui somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante.

Si definisce ellisse il luogo geometrico dei punti di un piano la cui somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante.

Si definisce ellisse il luogo geometrico dei punti di un piano la cui somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante.

Essa si ottiene sezionando una superficie conica con un piano che incontri su una sola falda tutte le generatrici della superficie.

Si definisce ellisse il luogo geometrico dei punti di un piano la cui somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante.

Essa si ottiene sezionando una superficie conica con un piano che incontri su una sola falda tutte le generatrici della superficie.

Si definisce ellisse il luogo geometrico dei punti di un piano la cui somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante.

Si definisce ellisse il luogo geometrico dei punti di un piano la cui somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante.

Essa si ottiene sezionando una superficie conica con un piano che incontri su una sola falda tutte le generatrici della superficie.

Gli elementi dell’ellisse sono: gli assi di simmetria e i fuochi.

L’ellisse è il luogo geometrico dei punti di un piano la cui somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante. Gli elementi caratteristici dell’ellisse sono: gli assi di simmetria (asse maggiore e asse minore) e i fuochi.

Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice.

Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice.

Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice.

Essa si ottiene sezionando una superficie conica con un piano che incontri su una sola falda tutte le generatrici della superficie.

Gli elementi dell’ellisse sono: gli assi di simmetria e i fuochi.

Essa si ottiene sezionando una superficie conica con un piano che incontri su una sola falda tutte le generatrici della superficie.

Gli elementi della parabola sono: l’asse di simmetria, la direttrice, il fuoco e il vertice.

Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice.

Essa si ottiene sezionando una superficie conica con un piano che incontri su una sola falda tutte le generatrici della superficie.

Gli elementi dell’ellisse sono: gli assi di simmetria e i fuochi.

Gli elementi dell’ellisse sono: gli assi di simmetria e i fuochi.

Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice.

Gli elementi dell’ellisse sono: gli assi di simmetria e i fuochi.

La parabola è il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice. Gli elementi caratteristici della parabola sono l’asse di simmetria, la direttrice, il fuoco e il vertice.

Gli elementi della parabola sono: l’asse di simmetria, la direttrice, il fuoco e il vertice.

Gli elementi della parabola sono: l’asse di simmetria, la direttrice, il fuoco e il vertice.

Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice.

Gli elementi della parabola sono: l’asse di simmetria, la direttrice, il fuoco e il vertice.

Gli elementi dell’ellisse sono: gli assi di simmetria e i fuochi.

Gli elementi della parabola sono: l’asse di simmetria, la direttrice, il fuoco e il vertice.

Si definisce iperbole il luogo geometrico dei punti di un piano la cui differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante ed è uguale alla distanza tra i due vertici dell’iperbole. Gli elementi dell’iperbole sono:l’asse trasverso, l’asse non trasverso, gli asintoti, i fuochi e i vertici.

Si definisce iperbole il luogo geometrico dei punti di un piano la cui differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante ed è uguale alla distanza tra i due vertici dell’iperbole. Gli elementi dell’iperbole sono:l’asse trasverso, l’asse non trasverso, gli asintoti, i fuochi e i vertici.

Gli elementi della parabola sono: l’asse di simmetria, la direttrice, il fuoco e il vertice.

Si definisce iperbole il luogo geometrico dei punti di un piano la cui differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante ed è uguale alla distanza tra i due vertici dell’iperbole. Gli elementi dell’iperbole sono:l’asse trasverso, l’asse non trasverso, gli asintoti, i fuochi e i vertici.

Si definisce iperbole il luogo geometrico dei punti di un piano la cui differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante ed è uguale alla distanza tra i due vertici dell’iperbole. Gli elementi dell’iperbole sono:l’asse trasverso, l’asse non trasverso, gli asintoti, i fuochi e i vertici.

L’iperbole è il luogo geometrico dei punti di un piano la cui differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante ed è uguale alla distanza tra i due vertici dell’iperbole. Gli elementi caratteristici dell’iperbole sono l’asse trasverso, l’asse non trasverso, gli asintoti, i fuochi e i vertici.

Si definisce iperbole il luogo geometrico dei punti di un piano la cui differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante ed è uguale alla distanza tra i due vertici dell’iperbole. Gli elementi dell’iperbole sono:l’asse trasverso, l’asse non trasverso, gli asintoti, i fuochi e i vertici.

Si definisce iperbole il luogo geometrico dei punti di un piano la cui differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante ed è uguale alla distanza tra i due vertici dell’iperbole. Gli elementi dell’iperbole sono:l’asse trasverso, l’asse non trasverso, gli asintoti, i fuochi e i vertici.

maggiore

10 Costruzioni di coniche

Costruzioni

di coniche: ellissi e parabole

Costruzioni di coniche: ellissi e parabole

Costruzioni di coniche: ellissi e parabole

PASSO PASSO 10.1 ELLISSE DATI GLI ASSI AB E CD

Problema 46: Costruire un’ellisse dati gli assi AB e CD

Problema 46: Costruire un’ellisse dati gli assi AB e CD

Problema 46: Costruire un’ellisse dati gli assi AB e CD

Problema 46: Costruire un’ellisse dati gli assi AB e CD

1 Tracciamo i due assi AB e CD e determiniamo il centro O. Puntiamo in C con un’apertura OA e tracciamo un arco che interseca AB in F' ed F''. Fissiamo un numero di punti tra F' e O (ad esempio 5).

Date le lunghezze degli assi AB e CD li si traccino determinando il centro O. Si punti in C col compasso avente un'apertura pari a OA e si tracci un arco che interseca AB in F' ed F”. Si scelga un numero a piacere di punti tra F' e O, per esempio cinque.

Date le lunghezze degli assi AB e CD li si traccino determinando il centro O. Si punti in C col compasso avente un'apertura pari a OA e si tracci un arco che interseca AB in F' ed F”. Si scelga un numero a piacere di punti tra F' e O, per esempio cinque.

Costruzioni di coniche: ellissi e parabole R=AO

2 Puntiamo in F' con apertura

Date le lunghezze degli assi AB e CD li si traccino determinando il centro O. Si punti in C col compasso avente un'apertura pari OA e si tracci un arco che interseca AB in F' ed F”. Si scelga un numero a piacere di punti tra F' e O, per esempio cinque.

Date le lunghezze degli assi AB e CD li si traccino determinando il centro O. Si punti in C col compasso avente un'apertura pari a OA e si tracci un arco che interseca AB in F' ed F”. Si scelga un numero a piacere di punti tra F' e O, per esempio cinque.

Si punti in F' col compasso avente apertura A1 e si traccino due archet -ti, uno sopra e l'altro sotto l'asse AB. Si punti in F” con apertura B1 e si traccino due archetti che intersecano i precedenti, determinando due punti P e Q appartenenti all'ellisse.

Si punti in F' col compasso avente apertura A1 e si traccino due archet -ti, uno sopra e l'altro sotto l'asse AB. Si punti in F” con apertura B1 e si traccino due archetti che intersecano i precedenti, determinando due punti P e Q appartenenti all'ellisse.

A1 e in F'' con apertura B1 e tracciamo quattro archetti, sopra e sotto l’asse AB che intersecandosi determinano i punti P e Q e, invertendo i centri, i punti S e T tutti appartenenti all’ellisse.

Si punti in F' col compasso avente apertura A1 e si traccino due archet -ti, uno sopra e l'altro sotto l'asse AB. Si punti in F” con apertura B1 e si traccino due archetti che intersecano i precedenti, determinando due punti P e Q appartenenti all'ellisse.

Si punti in F' col compasso avente apertura A1 e si traccino due archet -ti, uno sopra e l'altro sotto l'asse AB. Si punti in F” con apertura B1 e si traccino due archetti che intersecano i precedenti, determinando due punti P e Q appartenenti all'ellisse.

3 Procediamo allo stesso modo anche per i punti 2, 3, 4, 5 determinando una serie di punti che permettono, mediante il curvilineo, di tracciare l’ellisse.

Si proceda allo stesso modo anche per i punti 2, 3, 4, 5 ricavando una serie di punti che permettono, mediante il curvilineo, di tracciare mezza ellisse. Per tracciare l'altra metà si ripeta la stessa costruzione.

Si proceda allo stesso modo anche per i punti 2, 3, 4, 5 ricavando una serie di punti che permettono, mediante il curvilineo, di tracciare mezza ellisse. Per tracciare l'altra metà si ripeta la stessa costruzione.

Si proceda allo stesso modo anche per i punti 2, 3, 4, 5 ricavando una serie di punti che permettono, mediante il curvilineo, di tracciare mezza ellisse. Per tracciare l'altra metà si ripeta la stessa costruzione.

Si proceda allo stesso modo anche per i punti 2, 3, 4, 5 ricavando una serie di punti che permettono, mediante il curvilineo, di tracciare mezza ellisse. Per tracciare l'altra metà si ripeta la stessa costruzione.

Costruire un’ellisse dati gli assi AB e CD

Costruire un’ellisse dati gli assi AB e CD

Costruire un’ellisse dati gli assi AB e CD

Costruire un’ellisse dati gli assi AB e CD

10.2 ELLISSE DATI GLI ASSI AB E CD

Si disegnino gli assi AB e CD determinando il centro O.

Si disegnino gli assi AB e CD determinando il centro O.

Si disegnino gli assi AB e CD determinando il centro O.

Si punti poi in O con apertura OA e poi OC, si traccino due ciconferenze e le si dividano in dodici parti uguali determinando i punti E’, F’, ....M’, N’ e E”, F”, ....M”, N”. Si traccino ora, per ciascun punto E’, F’, ....M’, N’ una linea verticale e per ciascun punto E”, F”, ....M”, N” una linea orizzontale che si incrociano determinando i punti E, F, ...M, N appartenenti all’ellisse che si può tracciare col curvilineo.

Si punti poi in O con apertura OA e poi OC, si traccino due ciconferenze e le si dividano in dodici parti uguali determinando i punti E’, F’, ....M’, N’ e E”, F”, ....M”, N”. Si traccino ora, per ciascun punto E’, F’, ....M’, N’ una linea verticale e per ciascun punto E”, F”, ....M”, N” una linea orizzontale che si incrociano determinando i punti E, F, ...M, N appartenenti all’ellisse che si può tracciare col curvilineo.

Si disegnino gli assi AB e CD determinando il centro O. Si punti poi in O con apertura OA e poi OC, si traccino due ciconferenze e le si dividano in dodici parti uguali determinando i punti E’, F’, ....M’, N’ e E”, F”, ....M”, N”. Si traccino ora, per ciascun punto E’, F’, ....M’, N’ una linea verticale e per ciascun punto E”, F”, ....M”, N” una linea orizzontale che si incrociano determinando i punti E, F, ...M, N appartenenti all’ellisse che si può tracciare col curvilineo.

Si punti poi in O con apertura OA e poi OC, si traccino due ciconferenze e le si dividano in dodici parti uguali determinando i punti E’, F’, ....M’, N’ e E”, F”, ....M”, N” Si traccino ora, per ciascun punto E’, F’, ....M’, N’ una linea verticale e per ciascun punto E”, F”, ....M”, N” una linea orizzontale che si incrociano determinando i punti E, F, ...M, N appartenenti all’ellisse che si può tracciare col curvilineo

1 Disegniamo gli assi AB e CD e determiniamo il centro O. Puntiamo poi in O con apertura OA e poi OC e tracciamo due ciconferenze. Dividiamo in dodici parti uguali le due circonferenze determinando i punti E', F', ..., M', N' e E'', F'', ..., M'', N''.

2 Tracciamo ora, per ciascun punto E', F', ..., M', N' una linea verticale e per ciascun punto E'', F'', ..., M'', N'' una linea orizzontale che si incrociano determinando i punti E, F, ..., M, N appartenenti all’ellisse.

3 Completiamo la costruzione unendo i punti ottenuti col curvilineo.

Costruire

Costruire una parabola dati il

Costruire una parabola dati il vertice V, l’asse s e il punto A.

Costruire una parabola dati il vertice V, l’asse s e il punto A.

li si traccino determinando il

centro O. Si punti in C col compasso avente un'apertura pari a OA e si tracci un arco che interseca AB in F' ed F”. Si scelga un numero a piacere di punti tra F' e O, per esempio cinque.

Costruzioni piane fondamentali: parabola e iperbole

Costruzioni piane fondamentali: parabola e iperbole

per i punti 2, 3, 4, 5 ricavando una serie di punti che permettono, mediante il curvilineo, di tracciare mezza ellisse. Per tracciare l'altra metà si ripeta la stessa costruzione.

apertura A1 e si traccino due archet -ti, uno sopra e l'altro sotto l'asse AB. Si punti in F” con apertura B1 e si traccino due archetti che intersecano i precedenti, determinando due punti P e Q appartenenti all'ellisse.

Problema 47: Costruire una parabola dati la direttrice d, il fuoco F e l’asse di simmetria x.

PASSO

Siano dati la direttrice d, il fuoco F e l’asse di simmetria x. Si tracci l’asse di OF determinando il punto V, vertice della parabola. Si indichino sull’asse alcuni punti a piacere, per esempio A, B, C, D, E.

Siano dati la direttrice d, il fuoco F e l’asse di simmetria x. Si tracci l’asse di OF determinando il punto V, vertice della parabola. Si indichino sull’asse alcuni punti a piacere, per esempio A, B, C, D, E.

1 Consideriamo la direttrice d, il fuoco F e l’asse di simmetria x. Tracciamo l’asse di OF determinando V, vertice della parabola. Fissiamo sull’asse alcuni punti a piacere, per esempio 1, 2, 3, 4, 5, poi per essi e per F tracciamo la perpendicolare all’asse.

Siano dati la direttrice d, il fuoco F e l’asse di simmetria x. Si tracci l’asse di OF determinando il punto V, vertice della parabola. Si indichino sull’asse alcuni punti a piacere, per esempio A, B, C, D, E.

Problema 47: Costruire una parabola dati la direttrice d, il fuoco F e l’asse di simmetria x.

PASSO 10.3 PARABOLA DATI LA DIRETTRICE d, IL FUOCO F E L’ASSE DI SIMMETRIA x

Per ciascuno dei punti indicati sull’asse, e per il fuoco F, si tracci la perpendicolare all’asse. Si punti il compasso in F, con apertura OF, e si traccino due archetti che intersecano la perpendicolare in F nei punti T ed S. Sempre puntando in F con apertura OA, si traccino altri due che intersecano la perpendicolare in A nei punti R e Q.

Per ciascuno dei punti indicati sull’asse, e per il fuoco F, si tracci la perpendicolare all’asse. Si punti il compasso in F, con apertura OF, e si traccino due archetti che intersecano la perpendicolare in F nei punti T ed S. Sempre puntando in F con apertura OA, si traccino altri due che intersecano la perpendicolare in A nei punti R e Q.

2 Puntiamo il compasso in F, con apertura OF, e tracciamo due archetti che intersecano la perpendicolare in F nei punti A e B, poi con apertura O1, tracciamo altri due archi che intersecano la perpendicolare in 1 nei punti C e D.

Per ciascuno dei punti indicati sull’asse, e per il fuoco F, si tracci la perpendicolare all’asse. Si punti il compasso in F, con apertura OF, e si traccino due archetti che intersecano la perpendicolare in F nei punti T ed S. Sempre puntando in F con apertura OA, si traccino altri due che intersecano la perpendicolare in A nei punti R e Q.

Si ripeta il procedimento anche per gli altri punti indicati sull’asse e si completi la costruzione tracciando la cur va col cur vilineo.

Si ripeta il procedimento anche per gli altri punti indicati sull’asse e si completi la costruzione tracciando la cur va col cur vilineo.

Si ripeta il procedimento anche per gli altri punti indicati sull’asse e si completi la costruzione tracciando la cur va col cur vilineo.

3 Ripetiamo il procedimento anche per gli altri punti indicati sull’asse e completiamo la costruzione tracciando la curva col curvilineo.

Costruire un’ellisse dati gli assi AB e CD

Si disegnino gli assi AB e CD determinando il centro O. Si punti poi in O con apertura OA e poi OC, si traccino due ciconferenze e le si dividano in dodici parti uguali determinando i punti E’, F’, ....M’, N’ e E”, F”, ....M”, N”. Si traccino ora, per ciascun punto E’, F’, ....M’, N’ una linea verticale e per ciascun punto E”, F”, ....M”, N” una linea orizzontale che si incrociano determinando i punti E, F, ...M, N appartenenti all’ellisse che si può tracciare col curvilineo

Problema 48: Costruire un’iperbole dati i fuchi F’ ed F” e i vertici V’ e V”.

Problema 48: Costruire un’iperbole dati i fuchi F’ ed F” e i vertici V’ e V”

Problema 48: Costruire un’iperbole dati i fuchi F’ ed F” e i vertici V’ e V”

Siano dati l’asse trasverso s, i fuochi F’ ed F”, i vertici V’ e V”. Nel punto medio O del segmento F’F”, si tracci l’asse non trasverso t. Si punti in O, con raggio OF, e si tracci una circonferenza.Per V’ e V” si traccino le perpendicolari all’asse trasverso che incontrano la circonferenza nei punti A, B, C, D. Si traccino due rette, una passante per A e C e l’altra passante per B e D, che rappresentano gli asintoti.

Si ripeta il procedimento anche per gli altri punti indicati sull completi la costruzione tracciando la

10.4 PARABOLA DATI IL VERTICE V, L’ASSE s E IL PUNTO A

Siano dati l’asse trasverso s, i fuochi F’ ed F”, i vertici V’ e V”. Nel punto medio O del segmento F’F”, si tracci l’asse non trasverso t. Si punti in O, con raggio OF, e si tracci una circonferenza.Per V’ e V” si traccino le perpendicolari all’asse trasverso che incontrano la circonferenza nei punti A, B, C, D. Si traccino due rette, una passante per A e C e l’altra passante per B e D, che rappresentano gli asintoti.

Siano dati l’asse trasverso s, i fuochi F’ ed F”, i vertici V’ e V”. Nel punto medio O del segmento F’F”, si tracci l’asse non trasverso t. Si punti in O, con raggio OF, e si tracci una circonferenza.Per V’ e V” si traccino le perpendicolari all’asse trasverso che incontrano la circonferenza nei punti A, B, C, D. Si traccino due rette, una passante per A e C e l’altra passante per B e D, che rappresentano gli asintoti.

Costruire una parabola dati il vertice V, l’asse s e il punto A.

Si indichino sull’asse trasverso alcuni punti a piacere, ad esempio 1, 2, 3, 4. Facendo centro in F con raggio V”1, si traccino due archi, e facendo centro in F” con raggio V”1 se ne traccino altri due che interse cano i precedenti nei punti P e Q. Invertendo la costruzione si determinino anche i punti M ed N.

1 Disegniamo la retta s, fissiamo il punto V su di essa e il punto A esterno ad essa. Tracciamo per A la perpendicolare a s, determinando B, e da B riportiamo su di essa la misura di AB determinando il punto C. Tracciamo per V la perpendicolare e per A e C le parallele all’asse s determinando D e E.

Si indichino sull’asse trasverso alcuni punti a piacere, ad esempio 1, 2, 3, 4. Facendo centro in F con raggio V”1, si traccino due archi, e facendo centro in F” con raggio V”1 se ne traccino altri due che intersecano i precedenti nei punti P e Q. Invertendo la costruzione si determinino anche i punti M ed N.

Si disegni la retta s, si fissino, su di essa, il punto V ed esterna ad essa il punto A. Si tracci per A la perpendicolare ad s , determinando B e da B si riporti, sulla per-pendicolare, la misura di AB determinando il punto C.

Si indichino sull’asse trasverso alcuni punti a piacere, ad esempio 1, 2, 3, 4. Facendo centro in F con raggio V”1, si traccino due archi, e facendo centro in F” con raggio V”1 se ne traccino altri due che intersecano i precedenti nei punti P e Q. Invertendo la costruzione si determinino anche i punti M ed N.

2 Dividiamo VD e DA in un numero di parti uguali (ad esempio 6) e le sigliamo con lettere come in figura.

3 Quindi da V tracciamo le congiungenti con F2, ...L2 e da F1, ..., L1 le parallele all’asse s che intersecandosi determinano i punti F, ..., L appartenenti alla parabola.

4 Ripetiamo il procedimento anche per la parte sotto la retta s e tracciamo la parabola col curvilineo.

Per V e per A e C si traccino rispettivamente la perpendicolare e le parallele all’asse s determinando D e E. Si dividano VD e DA in un numero di parti uguali (ad esempio 6), le si siglino con lettere come in figura. Quindi da V si traccino le congiungenti con F2, ...L2 e da F1, ...L1 le parallele all’asse s che intersecandosi determinano i punti F,...L appartenenti alla parabola. Si ripeta lo stesso procedimento anche per la parte inferiore e, una volta determinati tutti i punti, si tracci la

1 Dati i due segmenti AB e CD, li prolunghiamo fino a intersecarsi in O.

Si ripeta il procedimento anche per gli altri punti indicati sull sse e si completi la costruzione tracciando la cur

2 Dividiamo BO e DO nello stesso numero di parti uguali, sigliamo i punti delle suddivisioni con le stesse lettere ma in senso opposto e li congiungiamo con B e D.

Si ripeta il procedimento anche per gli altri punti indicati sull completi la costruzione tracciando la

PASSO PASSO 10.5 RACCORDO PARABOLICO TRA I SEGMENTI AB E CD

3 I punti, determinati dalle intersezioni tra le congiungenti con un estremo siglato con la stessa lettera appartengono al raccordo che va tracciato col curvilineo.

PASSO

PASSO

Costruzioni piane fondamentali: parabola e iperbole

Costruzioni piane fondamentali: parabola e iperbole

10.6 INVILUPPO DI UNA PARABOLA DATO L’ASSE OX, UNA TANGENTE T E IL PUNTO DI CONTATTO P SU DI ESSA

Costruzioni piane fondamentali: parabola e iperbole

1 Fissato il punto P e tracciati l’asse Ox e la tangente t, costruiamo la tangente s simmetrica a t rispetto all’asse Ox e indichiamo su di essa il punto Q simmetrico di P.

Problema 47: Costruire una parabola dati la direttrice d, il fuoco F e l’asse di simmetria x.

Problema 47: Costruire una parabola dati la direttrice d, il fuoco F e l’asse di simmetria x.

Problema 47: Costruire una parabola dati la direttrice d, il fuoco F e l’asse di simmetria x.

Siano dati la direttrice d, il fuoco F e l’asse di simmetria x. Si tracci l’asse di OF determinando il punto V, vertice della parabola. Si indichino sull’asse alcuni punti a piacere, per esempio A, B, C, D, E.

Siano dati la direttrice d, il fuoco F e l’asse di simmetria x. Si tracci l’asse di OF determinando il punto V, vertice della parabola. Si indichino sull’asse alcuni punti a piacere, per esempio A, B, C, D, E.

Siano dati la direttrice d, il fuoco F e l’asse di simmetria x. Si tracci l’asse di OF determinando il punto V, vertice della parabola. Si indichino sull’asse alcuni punti a piacere, per esempio A, B, C, D, E.

2 Dividiamo OP e OQ nello stesso numero di parti uguali e sigliamo la suddivisione con le stesse lettere ma in senso opposto.

Per ciascuno dei punti indicati sull’asse, e per il fuoco F, si tracci la perpendicolare all’asse. Si punti il compasso in F, con apertura OF, e si traccino due archetti che intersecano la perpendicolare in F nei punti T ed S. Sempre puntando in F con apertura OA, si traccino altri due che intersecano la perpendicolare in A nei punti R e Q.

Per ciascuno dei punti indicati sull’asse, e per il fuoco F, si tracci la perpendicolare all’asse. Si punti il compasso in F, con apertura OF, e si traccino due archetti che intersecano la perpendicolare in F nei punti T ed S. Sempre puntando in F con apertura OA, si traccino altri due che intersecano la perpendicolare in A nei punti R e Q.

Per ciascuno dei punti indicati sull’asse, e per il fuoco F, si tracci la perpendicolare all’asse. Si punti il compasso in F, con apertura OF, e si traccino due archetti che intersecano la perpendicolare in F nei punti T ed S. Sempre puntando in F con apertura OA, si traccino altri due che intersecano la perpendicolare in A nei punti R e Q.

Si ripeta il procedimento anche per gli altri punti indicati sull’asse e si completi la costruzione tracciando la cur va col cur vilineo.

Si ripeta il procedimento anche per gli altri punti indicati sull’asse e si completi la costruzione tracciando la cur va col cur vilineo.

3 Tracciando le congiungenti AA', BB', ..., otteniamo l’inviluppo cercato.

Si ripeta il procedimento anche per gli altri punti indicati sull’asse e si completi la costruzione tracciando la cur va col cur vilineo.

In linguaggio matematico una famiglia di rette inviluppa una curva se ogni retta della famiglia è tangente alla curva stessa.

PASSO PASSO 10.7 IPERBOLE DATI I FUOCHI F' E F" E I VERTICI V' E V"

1 Consideriamo l’asse trasverso s, i fuochi F' ed F'', i vertici V' e V''. Nel punto medio O di F'F'' tracciamo l’asse non trasverso t. Con centro in O e raggio OF' tracciamo una circonferenza. Per V' e V'' tracciamo le perpendicolari all’asse trasverso che incontrano la circonferenza nei punti A, B, C, D. Per A e C e per B e D tracciamo gli asintoti.

Problema 48: Costruire un’iperbole dati i fuchi F’ ed F” e i vertici V’ e V”.

Problema 48: Costruire un’iperbole dati i fuchi F’ ed F” e i vertici V’ e V”.

Problema 48: Costruire un’iperbole dati i fuchi F’ ed F” e i vertici V’ e V”.

Siano dati l’asse trasverso s, i fuochi F’ ed F”, i vertici V’ e V”. Nel punto medio O del segmento F’F”, si tracci l’asse non trasverso t. Si punti in O, con raggio OF, e si tracci una circonferenza.Per V’ e V” si traccino le perpendicolari all’asse trasverso che incontrano la circonferenza nei punti A, B, C, D. Si traccino due rette, una passante per A e C e l’altra passante per B e D, che rappresentano gli asintoti.

Siano dati l’asse trasverso s, i fuochi F’ ed F”, i vertici V’ e V”. Nel punto medio O del segmento F’F”, si tracci l’asse non trasverso t. Si punti in O, con raggio OF, e si tracci una circonferenza.Per V’ e V” si traccino le perpendicolari all’asse trasverso che incontrano la circonferenza nei punti A, B, C, D. Si traccino due rette, una passante per A e C e l’altra passante per B e D, che rappresentano gli asintoti.

Siano dati l’asse trasverso s, i fuochi F’ ed F”, i vertici V’ e V”. Nel punto medio O del segmento F’F”, si tracci l’asse non trasverso t. Si punti in O, con raggio OF, e si tracci una circonferenza.Per V’ e V” si traccino le perpendicolari all’asse trasverso che incontrano la circonferenza nei punti A, B, C, D. Si traccino due rette, una passante per A e C e l’altra passante per B e D, che rappresentano gli asintoti.

Si indichino sull’asse trasverso alcuni punti a piacere, ad esempio 1, 2, 3, 4. Facendo centro in F con raggio V”1, si traccino due archi, e facendo centro in F” con raggio V”1 se ne traccino altri due che intersecano i precedenti nei punti P e Q. Invertendo la costruzione si determinino anche i punti M ed N.

Si indichino sull’asse trasverso alcuni punti a piacere, ad esempio 1, 2, 3, 4. Facendo centro in F con raggio V”1, si traccino due archi, e facendo centro in F” con raggio V”1 se ne traccino altri due che intersecano i precedenti nei punti P e Q. Invertendo la costruzione si determinino anche i punti M ed N.

2 Indichiamo sull’asse trasverso s alcuni punti a piacere, ad esempio 1, 2, 3, 4. Puntando in F' con raggio V'1, e in F'' con raggio V''1 tracciamo due coppie di archi che intersecandosi determinano i punti P e Q. Invertendo la costruzione determiniamo anche i punti M ed N.

Si indichino sull’asse trasverso alcuni punti a piacere, ad esempio 1, 2, 3, 4. Facendo centro in F con raggio V”1, si traccino due archi, e facendo centro in F” con raggio V”1 se ne traccino altri due che intersecano i precedenti nei punti P e Q. Invertendo la costruzione si determinino anche i punti M ed N.

Si ripeta il procedimento anche per gli altri punti indicati sull sse e si completi la costruzione tracciando la cur va col cur vilineo.

Si ripeta il procedimento anche per gli altri punti indicati sull’asse e si completi la costruzione tracciando la cur va col cur vilineo.

Video tutorial

Si ripeta il procedimento anche per gli altri punti indicati sull’asse e si completi la costruzione tracciando la cur va col cur vilineo.

3 Ripetiamo il procedimento anche per gli altri punti indicati sull’asse e completiamo la costruzione tracciando le curve col curvilineo.

Metodi per la riproduzione

Metodi per la riproduzione dei disegni

dei disegni

Metodi per la riproduzione dei disegni

Metodi per la riproduzione dei disegni

Per eseguire la copia di un disegno, si usano tre diversi modi di riproduzione

Per eseguire la copia di un disegno, si usano tre diversi modi di riproduzione

Per eseguire la copia di un disegno, si usano tre diversi modi di riproduzione.

Per eseguire la copia di un disegno, si usano tre diversi modi di riproduzione.

Riproduzione per mezzo di diagonali da un angolo

Riproduzione per mezzo di diagonali da un angolo

Riproduzione per mezzo di diagonali da un angolo

j RIPRODUZIONE PER MEZZO DI DIAGONALI DA UN ANGOLO

Da un vertice del disegno da riprodurre (ad esempio B), si traccia un arco con raggio a piacere e, congiungendo B con gli altri vertici della figura, si determinano i punti A’, F’, E’, D’, C’. Fissato a piacere il punto B’, si punti esso e si tracci un arco avente lo stesso raggio del precedente. Si fissi poi un punto C” a piacere e si riportino da esso gli archi C’D’, C’E’, C’F’, C’A’, determinando così i punti D”, E”, F” e A”. Da B’ si traccino delle semirette passanti per questi punti e, su di esse, si riportino da B’ le dimensioni dei segmenti BA, BF, BE, BD, BC determinando i vertici della copia (figg. 1a e 1b)

Da un vertice (ad esempio B) (➜ Fig. 1a) del disegno da riprodurre, tracciamo un arco con raggio a piacere e, congiungendo B con gli altri vertici della figura, determiniamo i punti A', F', E', D', C'. Fissato a piacere il punto B', puntiamo in esso e tracciamo un arco avente lo stesso raggio del precedente. Fissiamo poi un punto C" a piacere e riportiamo da esso gli archi C'D', C'E', C'F', C'A', determinando così i punti D", E", F" e A". Da B' tracciamo delle semirette passanti per questi punti e, su di esse, riportiamo da B' le dimensioni dei segmenti BA, BF, BE, BD, BC determinando i vertici della copia (➜ Fig. 1b).

Da un vertice del disegno da riprodurre (ad esempio B), si traccia un arco con raggio a piacere e, congiungendo B con gli altri vertici della figura, si determinano i punti A’, F’, E’, D’, C’. Fissato a piacere il punto B’, si punti esso e si tracci un arco avente lo stesso raggio del precedente. Si fissi poi un punto C” a piacere e si riportino da esso gli archi C’D’, C’E’, C’F’, C’A’, determinando così i punti D”, E”, F” e A”. Da B’ si traccino delle semirette passanti per questi punti e, su di esse, si riportino da B’ le dimensioni dei segmenti BA, BF, BE, BD, BC determinando i vertici della copia (figg. 1a e 1b)

Da un vertice del disegno da riprodurre (ad esempio B), si traccia un arco con raggio a piacere e, congiungendo B con gli altri vertici della figura, si determinano i punti A’, F’, E’, D’, C’. Fissato a piacere il punto B’, si punti esso e si tracci un arco avente lo stesso raggio del precedente. Si fissi poi un punto C” a piacere e si riportino da esso gli archi C’D’, C’E’, C’F’, C’A’, determinando così i punti D”, E”, F” e A”. Da B’ si traccino delle semirette passanti per questi punti e, su di esse, si riportino da B’ le dimensioni dei segmenti BA, BF, BE, BD, BC determinando i vertici della copia (figg. 1a e 1b)

Fig. 1

j RIPRODUZIONE PER MEZZO DI INTERSEZIONI

Consideriamo la figura da riprodurre (➜ Fig. 2a), tracciamo due segmenti HK e H'K' congruenti tra loro e lunghi a piacere, uno vicino alla figura e uno dove si intende riprodurla. Rilevate col compasso le distanze tra gli estremi del segmento e un vertice della figura (ad esempio D), puntando con tali misure sugli estremi dell’altro segmento tracciamo due archetti che, incrociandosi, determinano il punto D'. Ripetendo tale operazione per tutti i vertici della figura si determinano i vertici della copia (➜ Fig. 2b).

Fig. 2

Riproduzione per coordinate

Riproduzione per coordinate

j RIPRODUZIONE PER

Riproduzione per coordinate

Data la figura da riprodurre, dai suoi vertici si portano delle perpendicolari a una retta s tracciata a piacere, determinando su di essa i punti A’, F’, B’, E’, D’ e C’. Tracciata una nuova retta s’ e fissato su di essa il punto si riportino da A” le distanze A’F’, A’B’, A’E’, A’D’, A’C’ ecc., determinando F”, B”, E”, D”, C”; per tali punti si no quindi delle perpendicolari alla retta stessa. Su tali perpendicolari si riportino le misure AA’, BB’ ecc., minando i vertici della copia (figg. 3a e 3b).

COORDINATE

Data la figura da riprodurre, dai suoi vertici si portano delle perpendicolari a una retta s tracciata a piacere, determinando su di essa i punti A’, F’, B’, E’, D’ e C’. Tracciata una nuova retta s’ e fissato su di essa il punto si riportino da A” le distanze A’F’, A’B’, A’E’, A’D’, A’C’ ecc., determinando F”, B”, E”, D”, C”; per tali punti si tracci no quindi delle perpendicolari alla retta stessa. Su tali perpendicolari si riportino le misure AA’, BB’ ecc., determinando i vertici della copia (figg. 3a e 3b).

Data la figura da riprodurre, dai suoi vertici si portano delle perpendicolari a una retta s tracciata a piacere, determinando su di essa i punti A’, F’, B’, E’, D’ e C’. Tracciata una nuova retta s’ e fissato su di essa il punto si riportino da A” le distanze A’F’, A’B’, A’E’, A’D’, A’C’ ecc., determinando F”, B”, E”, D”, C”; per tali punti si no quindi delle perpendicolari alla retta stessa. Su tali perpendicolari si riportino le misure AA’, BB’ ecc., determinando i vertici della copia (figg. 3a e 3b).

Data la figura da riprodurre (➜ Fig. 3a), dai suoi vertici conduciamo alcune perpendicolari a una retta s tracciata a piacere, determinando su di essa i punti A', F', B', E', D' e C'. Tracciata una nuova retta s' e fissato su di essa il punto A", riportiamo da A" le distanze A'F', A'B', A'E', A'D', A'C', ..., determinando F", B", E", D", C", ...; per tali punti tracciamo quindi delle perpendicolari alla retta stessa. Su tali perpendicolari riportiamo le misure AA', BB' ecc., determinando i vertici della copia (➜ Fig. 3b).

Scale di riduzione e di ingrandimento

Scale di riduzione e di ingrandimento

Scale di riduzione e di ingrandimento

Nell’eseguire il disegno di un oggetto ci si può trovare di fronte a tre possibilità:

Nell’eseguire il disegno di un oggetto ci si può trovare di fronte a tre possibilità:

Nell’eseguire il disegno di un oggetto ci si può trovare di fronte a tre possibilità:

12 Scale di riduzione e di ingrandimento

al naturale;

1) le sue dimensioni sono tali da poter essere riportate, così come sono, sul foglio e pertant lo si può disegnare al naturale;

1) le sue dimensioni sono tali da poter essere riportate, così come sono, sul foglio e pertant lo si può disegnare al naturale;

Nell’eseguire il disegno di un oggetto ci si può trovare di fronte a tre possibilità:

2) le sue dimensioni sono più grandi del foglio e pertanto è necessario ridurle tutte proporzionalmente;

2) le sue dimensioni sono più grandi del foglio e pertanto è necessario ridurle tutte proporzionalmente; 3) le sue dimensioni sono troppo piccole per poterlo disegnare e pertanto è necessario ingrandirle tutte proporzionalmente.

più grandi del foglio e pertanto è necessario ridurle tutte proporzionalmente; 3) le sue dimensioni sono troppo piccole per poterlo disegnare e pertanto è necessario ingrandirle tutte proporzionalmente.

3) le sue dimensioni sono troppo piccole per poterlo disegnare e pertanto è necessario ingrandirle tutte proporzionalmente.

1) le sue dimensioni sono tali da poter essere riportate, così come sono, sul foglio e pertanto lo si può disegnare al naturale;

cioè in scala 1:1.

Sia dato un foglio, ad esempio in formato UNI A4 (210x297 mm), su cui si debba rappresentare un oggetto la cui figura abbia come dimensioni massime 150x250 mm. In questo caso si può eseguire la rappresentazione riportando le misure al naturale cioè in scala 1:1.

Sia dato un foglio, ad esempio in formato UNI A4 (210x297 mm), su cui si debba rappresentare un oggetto la cui figura abbia come dimensioni massime 150x250 mm. In questo caso si può eseguire la rappresentazione riportando le misure al naturale cioè in scala 1:1.

2) le sue dimensioni sono più grandi del foglio e pertanto è necessario ridurle tutte proporzionalmente;

Se invece l’oggetto ha come dimensioni massime 1500x2500 mm, non si può eseguire la rappresentazione al naturale, bensì è necessario ridurre proporzionalmente le dimensioni in modo che possano essere contenute nel foglio. Dividendoad esempio per 10 si ottengono le dimensioni 150x250 mm che possono essere rappresentate sul foglio. In questo caso abbiamo eseguito una riduzione in scala 1:10, cioè 1 mm sul disegno corrisponde a 10 mm in realtà.

3) le sue dimensioni sono troppo piccole per poterlo disegnare e pertanto è necessario ingrandirle tutte proporzionalmente.

Se invece l’oggetto ha come dimensioni massime 1500x2500 mm, non si può eseguire la rappresentazione al naturale, bensì è necessario ridurre proporzionalmente le dimensioni in modo che possano essere contenute nel foglio. Dividendoad esempio per 10 si ottengono le dimensioni 150x250 mm che possono essere rappresentate sul foglio. In questo caso abbiamo eseguito una riduzione in scala 1:10, cioè 1 mm sul disegno corrisponde a 10 mm in realtà.

naturale, bensì è necessario ridurre proporzionalmente le dimensioni in modo che possano essere contenute nel foglio. Dividendoad esempio per 10 si ottengono le dimensioni 150x250 mm che possono essere rappresentate sul foglio. In questo caso abbiamo eseguito una riduzione in scala 1:10, cioè 1 mm sul disegno corrisponde a 10 mm in realtà.

Consideriamo un foglio, ad esempio in formato UNI A4 (210  297 mm), su cui dobbiamo rappresentare un oggetto la cui figura abbia come dimensioni massime 150  250 mm. In questo caso si può eseguire la rappresentazione riportando le misure al naturale, cioè in scala 1:1.

Nel caso in cui si abbia un oggetto con dimensioni massime di 15x25 mm, che possono essere contenute nel foglio ma la cui rappresentazione al naturale risulta difficoltosain quanto troppo piccole, si possono ingrandire tali dimensioni moltiplicandolie ad esempio per 5: si esegue cioè un ingrandimento in scala 5:1, ove a 5 mm sul disegno corrisponde 1 mm nella realtà.

Nel caso in cui si abbia un oggetto con dimensioni massime di 15x25 mm, che possono essere contenute nel foglio ma la cui rappresentazione al naturale risulta difficoltosain quanto troppo piccole, si possono ingrandire tali dimensioni moltiplicandolie ad esempio per 5: si esegue cioè un ingrandimento in scala 5:1, ove a 5 mm sul disegno corrisponde 1 mm nella realtà.

tali dimensioni moltiplicandolie ad esempio per 5: si esegue cioè un ingrandimento in scala 5:1, ove a 5 mm sul disegno corrisponde 1 mm nella realtà.

Se invece l’oggetto ha come dimensioni massime 1500  2500 mm, non si può eseguire la rappresentazione al naturale, bensì è necessario ridurre proporzionalmente le dimensioni in modo che possano essere contenute nel foglio. Dividendo ad esempio per 10 si ottengono le dimensioni 150  250 mm, che possono essere rappresentate sul foglio. In questo caso abbiamo eseguito una riduzione in scala 1:10, cioè 1 mm sul disegno corrisponde a 10 mm nella realtà. Nel caso in cui si abbia un oggetto con dimensioni massime di 15  25 mm, che possono essere contenute nel foglio ma la cui rappresentazione al naturale risulta difficoltosa in quanto troppo piccole, si possono ingrandire tali dimensioni moltiplicandole ad esempio per 5: si esegue cioè un ingrandimento in scala 5:1, ove a 5 mm sul disegno corrisponde 1 mm nella realtà.

Scale di ingrandimento:

Scale di ingrandimento:

Scale di ingrandimento:

50: 1; 20 : 1; 10 :1; 5:1; 2:1

1; 20 1; 10 :1; 5:1;

50: 1; 20 : 1; 10 :1; 5:1; 2:1

scala 2: 1

scala 2: 1

Scala al naturale

Scala al naturale

1:1

1:1

1:1

scala 1: 1

scala 1: 1

Scale di riduzione:

Scale di riduzione:

Scale di riduzione: 1:

1: 2; 1: 5; 1: 10; 1: 20; 1: 50; 1: 100; 1: 200; 1: 500; 1:1 000; 1:2 000; 1:5 000; 1: 10 000

500; 000; 000; 000; 10

1: 2; 1: 5; 1: 10; 1: 20; 1: 50; 1: 100; 1: 200; 1: 500; 1:1 000; 1:2 000; 1:5 000; 1: 10 000

scala 1: 2

scala 1: 2

ELICHE ED ELICOIDI

ESEMPIO DI COME,

DA UNA CURVA GEOMETRICA

DATA DA UN PUNTO CHE

SI MUOVE NELLO SPAZIO, NASCANO APPLICAZIONI

PRATICHE DI ESTREMA UTILITÀ .

ELICA

L’elica è una curva nello spazio data dalla traiettoria descritta da un punto che si muove, contemporaneamente, con moto circolare uniforme e con un moto rettilineo uniforme perpendicolare al piano di rotazione 1 . In questo caso l’elica risultante è detta cilindrica ed è una linea che avvolgendosi attorno a un cilindro forma delle spire. La distanza dei punti delle spire, posti sulla stessa generatrice del cilindro, è costante ed è chiamata passo p 2 . Un’elica può essere anche intesa come un piano inclinato avvolto attorno a un cilindro 3

Se invece di spostarsi lungo un cilindro il punto si sposta lungo un cono si ottiene un’elica conica. Per costruire un’elica, sia essa cilindrica sia essa conica, è necessario conoscere il diametro D della traiettoria circolare e il passo p. Il procedimento è analogo per entrambe le curve.

ELICA CILINDRICA 4 : tracciamo le proiezioni ortogonali del cilindro di diametro D e alto quanto il passo p. Dividiamo la circonferenza di base e l’altezza p in un numero di parti uguali, ad esempio 12. Proiettiamo progressivamente ciascun punto della suddivisione della circonferenza sui segmenti tracciati per la suddivisione di p e colleghiamo i punti così determinati con il curvilineo.

ELICA CONICA 5 : tracciamo le proiezioni ortogonali del cono di diametro D e alto quanto il passo p. Dividiamo in parti uguali la circonferenza di base, ad esempio 12, e proiettiamo i punti così ottenuti sulla base della vista sul P.V. e li congiungiamo con il vertice V'. Dividiamo il passo-altezza del cono nello stesso numero di parti uguali. Le intersezioni tra le linee ci danno i punti per cui tracciare la curva con il curvilineo.

ELICOIDE

L’elicoide è una superficie generata da un segmento AB, parte del raggio di un cerchio, che si muove contemporaneamente con moto circolare uniforme e con un moto rettilineo uniforme perpendicolare al piano di rotazione. La sua costruzione è simile a quella dell’elica cilindrica. Basta infatti eseguire la costruzione considerando entrambi gli estremi del segmento 6 .

Le applicazioni

Il concetto alla base dell’elica è noto da molto tempo e con esso l’elicoide da cui deriva la vite di Archimede, chiamata anche coclea o pompa a vite, che è una macchina storicamente usata per il trasferimento di acqua da un livello inferiore a uno superiore 7 . Già gli egizi usano un dispositivo a vite per l’irrigazione e recenti studi ipotizzano che essa potrebbe essere stata utilizzata per irrigare i giardini pensili di Babilonia. Oltre allo spostamento dell’acqua, veniva e viene usata per lo spostamento di materiali sabbiosi, ghiaiosi ecc. Ancora oggi la vite di Archimede è utilizzata, oltre che per l’irrigazione, anche in alcune centrali idroelettriche dove l’acqua passa da un livello superiore a uno inferiore, producendo l’energia necessaria ad azionare un generatore di energia elettrica 8

Un altro efficiente utilizzo dell’elica è nelle viti di trasmissione o collegamento. Un esempio è la vite trapezia 9 , la cui costruzione grafica si realizza utilizzando le costruzioni già viste, ma in questo caso si tracciano le eliche relative ai quattro vertici del trapezio profilo del filetto 10 .

Leonardo da Vinci, con la vite aerea 11 , ispirandosi alle forme della natura e considerando le caratteristiche dell’aria, ipotizza che l’elica da lui progettata si sarebbe sollevata avvitandosi nell’aria come una vite nel legno. Dall’analisi del disegno 12 e da un’attenta lettura del testo si è dedotto che alla base della macchina era prevista una molla che avrebbe dovuto essere caricata dalla spinta di quattro uomini fino al punto di blocco. Una volta caricata si liberava il blocco e l’elica si sarebbe avvitata nell’aria sfruttandone la densità.

Con questo progetto Leonardo ipotizza e formula, in anticipo di alcuni secoli, il concetto dell’elica come mezzo di propulsione. Tale idea è stata ripresa alcuni secoli dopo nell’ambito navale. Nel1775 David Bushnell, nel suo progetto di sottomarino Turtle 13 , utilizza per la prima volta un’elica a propulsione manuale. Attorno al 1827 l’ingegnere ceco Josef Ressel sperimenta la prima applicazione di propulsione con elica navale a vapore nel porto di Trieste. Successivamente vengono fatti altri esperimenti e nel 1839 il progetto di John Ericsson permette a una nave di attraversare l’Atlantico in quaranta giorni.

L’evoluzione delle forme e dei materiali

Negli anni le eliche si sono evolute nella forma e nei materiali con cui sono realizzate. Le eliche operano principalmente immerse nell’acqua o nell’aria. Vista la diversa densità dei due elementi esse avranno diversa velocità operativa, diversa forma e diversa collocazione nel mezzo in cui devono operare. Le eli-

che marine sono collocate normalmente nella zona posteriore del mezzo navale e pertanto sono dette spingenti. Sono caratterizzate da velocità di rotazione basse e da pale larghe 14 a differenza delle eliche che agiscono nell’aria.

Le eliche aeronautiche sono eliche progettate per agire nell’aria. Data la scarsa densità dell’aria, queste eliche sono cità di rotazione e dalla sottigliezza delle pale. Sono dette traenti mezzo, la cui funzione è risucchiare il fluido che si trova davanti al mezzo pologia la maggior parte delle eliche ae ronautiche utilizzate

Infine ci sono le niscono una spinta sostentatrice, cioè op posta alla forza di gravità, e che sono per ciò utilizzate sugli

Alla famiglia delle eliche appartengono anche i mulini a vento millennio nell’area mediterranea, e si diffusero in Europa durante il XIV secolo come strumen to per macinare il grano

Le loro pale si comportano come eliche che, anziché produrre propulsione, pro ducono energia meccanica. Sopra una struttura verticale di pietra e legno, è montato un tetto da cui fuoriesce un albero orizzontale, sul quale è fis sata una grande elica composta da quattro o otto pale. L’ener gia prodotta dalla rotazione delle pale è trasmessa, da un sistema di ingranaggi, alla macina che si trovava alla base del mulino.

Sullo stesso principio del mulino a vento si basa il funzionamento delle zione dell’energia elettrica. Esistono due tipi di aerogeneratori, che si distinguono per la direzione dell’asse del rotore: orizzontale o verticale. Quelli ad asse orizzontale somigliano di più ai tradizio nali mulini a vento, sono sistemati alla sommità di un’alta torre e da lì azionano l’albero del generato re di corrente collocato nell’interno

VERIFICA LE CONOSCENZE

Scegli la risposta corretta

1. Un segmento è:

a una linea con due estremi

b la parte di retta delimitata da due punti

c la parte di retta delimitata da due punti compresi i punti stessi

2. Due rette parallele:

a non si incontrano mai

b appartengono allo stesso piano e non hanno punti in comune

c non hanno punti in comune

3. Due linee secanti:

a hanno un punto in comune

b hanno almeno due punti in comune

c non hanno alcun punto in comune

4. Due rette sono perpendicolari:

a se giacciono sullo stesso piano e hanno un punto in comune

b se sono sovrapposte

c se incontrandosi formano quattro angoli retti

5. L’asse di un segmento è:

a la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio

b la linea che passa per il punto medio del segmento

c è la retta perpendicolare al segmento

6. La distanza tra due rette è:

a il segmento che unisce due punti appartenenti alle rette

b una semiretta perpendicolare alle due rette

c il segmento perpendicolare alle due rette e che unisce due punti appartenenti ad esse

7. Un angolo è:

a la parte di piano limitato da due rette

b la parte di piano compreso tra due linee rette

c la parte di piano limitato da due semirette con in comune l’origine

8. La bisettrice di un angolo è:

Test interattivi

a la retta con origine nel vertice dell’angolo che lo divide in due parti congruenti

b la semiretta con origine nel vertice dell’angolo che lo divide in due parti congruenti

c la retta che divide in due parti un angolo

9. I triangoli sono:

a poligoni di tre lati

b figure piane delimitate da una spezzata chiusa

c linee spezzate formate da tre segmenti

10. Nel triangolo ABC individua:

a una bisettrice

b una mediana

c un’altezza

11. I cateti sono:

a i lati del triangolo rettangolo

b i lati di un triangolo rettangolo che non formano l’angolo retto

c i due lati di un triangolo rettangolo che formano l’angolo retto

12. Un poligono è:

a la parte di piano delimitato da una spezzata

b una figura piana formata da più linee

c la parte di piano delimitato da una spezzata chiusa

13. Un quadrilatero è:

a la parte di piano delimitata da due coppie di segmenti paralleli

b la parte di piano delimitata da coppie di segmenti paralleli

c un poligono di quattro lati

14. Indica i nomi dei seguenti quadrilateri.

19. La tangente a una circonferenza è:

a una linea che sfiora la circonferenza senza toccarla

b una retta che passa per due punti della circonferenza

c una retta che tocca in un punto la circonferenza

20. Realizzare un raccordo circolare significa:

b

15. Indica i nomi dei seguenti quadrilateri.

b

16. Completa la seguente frase sui poligoni regolari.

I poligoni regolari hanno tutti i uguali e gli uguali.

Possono essere suddivisi in tanti quanti sono i lati.

17. Il cerchio:

a e la circonferenza indicano la stessa figura geometrica

b è la parte di piano equidistante da un punto fisso detto centro

c è la parte di piano delimitata da una circonferenza compresi i punti della circonferenza stessa

18. Nel cerchio individua:

a un arco

b una corda

c un settore circolare

a collegare due linee con un cerchio

b collegare due linee con un arco di circonferenza senza soluzione di continuità

c collegare due linee con un arco di circonferenza con soluzione di continuità

21. Gli ovali sono:

a curve che hanno gli assi in comune

b curve formate da una serie di archi di circonferenza raccordati tra loro

c figure piane chiuse formate da quattro archi di circonferenza a due a due congruenti

22. L’ellisse è il luogo geometrico dei punti:

a a distanza variabile dal centro

b la cui somma delle distanze dai fuochi è costante

c la cui distanza dai fuochi è costante

23. Nella spirale l’elemento costante è:

a il senso

b il centro

c il passo

24. L’evolvente del cerchio è generata da:

a un punto che si muove liberamente su una retta ruotante

b un punto che appartiene a una retta che ruota su una circonferenza senza strisciare

c un estremo di una retta che ruota su una circonferenza senza strisciare

25. La cicloide è generata da:

a un punto che si muove nello spazio senza strisciare e ha più centri

b un punto che rotola su una circonferenza senza strisciare

c un punto appartenente a una circonferenza che rotola su una retta senza strisciare

cateti

Abilità (livello 1)

SVILUPPA LE ABILITÀ

Riproduci su un foglio bianco le costruzioni.

Abilità (livello 1)

Riproduci su un foglio bianco le costruzioni

Riproduci su un foglio bianco le costruzioni.

1. Disegnare un triangolo rettangolo dato un cateto e l’ipotenusa

3. Disegnare un triangolo rettangolo dati i cateti 4. Disegnare

3. Disegnare un triangolo rettangolo dati i cateti 4. Disegnare un rombo dati il lato e un angolo

1. Disegna un triangolo rettangolo dati un cateto e l’ipotenusa.

2. Disegnare un triangolo equilatero dato il lato

4. Disegna un rombo dati il lato e un angolo.

1. Disegnare un triangolo rettangolo dato un cateto e l’ipotenusa

Abilità (livello 1)

Riproduci su un foglio bianco le costruzioni.

2. Disegna un triangolo equilatero dato il lato.

3. Disegnare un triangolo rettangolo dati i cateti

2. Disegnare un triangolo equilatero dato il lato

1. Disegnare un triangolo rettangolo dato un cateto e l’ipotenusa

2. Disegnare un triangolo equilatero dato il lato

4. Disegnare un rombo dati il lato e un angolo

5. Disegnare un trapezio isoscele data la base maggiore, l’altezza e l’angolo alla base.

base 6. Disegnare un triangolo isoscele data la base e l’altezza. A

4. Disegnare un rombo dati il lato e un angolo

3. Disegna un triangolo rettangolo dati i cateti.

5. Disegnare un trapezio isoscele data la base maggiore, l’altezza e l’angolo alla base.

5. Disegnare un trapezio isoscele data la base maggiore, l’altezza e l’angolo alla base.

2. Disegnare un triangolo equilatero dato il lato

3. Disegnare un triangolo rettangolo dati i cateti 4. Disegnare un rombo dati il lato e un angolo

5. Disegnare un trapezio isoscele data la base maggiore, l’altezza e l’angolo alla base.

5. Disegnare un trapezio isoscele data la base maggiore, l’altezza e l’angolo alla base.

6. Disegnare un triangolo isoscele data la base e l’altezza.

3. Disegnare un triangolo rettangolo dati i cateti 4. Disegnare un rombo dati il lato e un angolo

6. Disegnare un triangolo isoscele data la base e l’altezza.

6. Disegna un triangolo isoscele date la base e l’altezza. 3-4 vedi i paragrafi

5. Disegna un trapezio isoscele dati la base maggiore, l’altezza e l’angolo alla base.

6. Disegnare l’altezza.

6. Disegnare un triangolo isoscele data la base e l’altezza.

6. Disegnare un triangolo isoscele data la base e l’altezza.

7. Disegnare una circonferenza di raggio R” tangente ad una circonferenza di raggi R’ in un suo punto P Riproduci su un foglio bianco le costruzioni.

Abilità (livello 1)

vedi i paragrafi

5-6-7-8

Riproduci su un foglio bianco le costruzioni.

9. Disegnare una arco tangente a tre rette

7. Disegnare una circonferenza di raggio R” tangente ad una circonferenza di raggi R’ in un suo punto P

7. Disegna una circonferenza di raggio R'' tangente a una circonferenza di raggio R' in un suo punto P.

9. Disegnare una arco tangente a tre rette

8. Raccordare due circonferenze con un arco di raggio R

10. Raccordare due segmenti, paralleli tra loro, con gli estremi A e C allineati e B e D sfalsati

8. Raccordare due circonferenze con un arco di raggio R

10. Raccorda due segmenti, paralleli tra loro, con gli estremi A e C allineati e B e D sfalsati.

10. Raccordare estremi

Abilità (livello 1)

Riproduci su un foglio bianco le costruzioni.

9. Disegnare una arco tangente a tre rette

R tangente punto P

8. Raccorda due circonferenze con un arco di raggio R.

10. Raccordare due segmenti, paralleli tra loro, con gli estremi A e C allineati e B e D sfalsati

8. Raccordare due circonferenze con un arco di raggio R

7. Disegnare una circonferenza di raggio R” tangente ad una circonferenza di raggi R’ in un suo punto P

9. Disegnare una arco tangente a tre rette

8. Raccordare due circonferenze con un arco di raggio R

11. Disegna una spirale con quattro centri dato il passo p.

11. Disegnare una spirale con quattro centri dato il passo P 12. Disegnare

11. Disegnare una spirale con quattro centri dato il passo P 12. Disegnare un ovale inscritto in rombo

10. Raccordare due segmenti, paralleli tra loro, con gli estremi A e C allineati e B e D sfalsati

9. Disegna un arco tangente a tre rette.

9. Disegnare una arco tangente a tre rette

11. Disegnare una spirale con quattro centri dato il passo P

10. Raccordare due segmenti, paralleli tra loro, con gli estremi A e C allineati e B e D sfalsati

12. Disegnare un ovale inscritto in rombo

10. Raccordare due segmenti, paralleli tra loro, con gli estremi A e C allineati e B e D sfalsati

12. Disegna un ovale inscritto in rombo.

11. Disegnare una spirale con quattro centri dato il passo P 12. Disegnare un ovale inscritto in rombo

dato il 12. Disegnare un ovale inscritto in rombo

11. Disegnare una spirale con quattro centri dato il passo P

12. Disegnare un ovale inscritto in rombo

Rilevando le misure dal testo ridisegna i profili delle modanature

Tracciamento del profilo di una scala conoscendo il dislivello h, la lunghezza l e il numero di pedate.

Dato il dislivello h e la lunghezza l, dividiamo l nel numero di pedate volute (nell’esempio 5) ottenendo la loro profondità.

Aggiungiamo una pedata determinando O che congiungiamo col punto di arrivo. Alziamo da ogni pedata una verticale che intercetti la congiungente nei punti 1, 2...5

Da ciascun punto tracciamo un’orizzontale determinando il profilo della scala.

Riproduci su un foglio bianco le figure seguendo le indicazioni.

Arco a sesto acuto con centri all’imposta (equilatero)

Arco a sesto acuto con centri interni all’imposta (depresso)

Arco a sesto acuto con centri esterni all’imposta (lanceolato)

Arco a sesto acuto.

Arco rampante

Fase 1 Fase 2

Arco a sesto ribassato Tudor. Cattedrale di Chester

Arco rampante. Cattedrale di Palma di Maiorca

Arco in esso o a carena di nave

Arco a tutto sesto. Retorillo de Soria (Spagna)

Arco a sesto ribassato policentrico a quattro centri (Tudor)

Arco a sesto ribassato policentrico. Colorno

Arco a sesto ribassato policentrico

Abilità (livello 2)

destra della pagina seguendo le indicazioni.

destra della pagina seguendo le indicazioni.

(livello 2)

destra della pagina seguendo le indicazioni. Abilità (livello 2)

ESERCIZIO 13. Flangia

ESERCIZIO 13. Flangia

Riproduci su un foglio bianco le figure seguendo le indicazioni.

ESERCIZIO 13. Flangia

ggio pari al quadrante

ggio pari al quadrante

Riproduci su foglio bianco le figure a destra della pagina

22.

FLANGIA

ESERCIZIO 14. Piatrina

ESERCIZIO 14. Piatrina

utilizzare

utilizzare

INDICAZIONI

ESERCIZIO 14. Piatrina

23. PIASTRINA

INDICAZIONI

ESERCIZIO 13. Flangia

Tracciare quattro archi di circonferenza con raggio pari al raggio maggiore e centri nei quattro punti quadrante

Riproduci su foglio bianco le figure a destra della pagina

Applica la costruzione del dodecagono sulla circonferenza maggiore e prolunga gli archi di costruzione. 24

Applica la costruzione del pentagono e utilizza le squadrette per le parallele ai cinque assi.

ESERCIZIO 13. Flangia

Tracciare quattro archi di circonferenza con raggio pari al raggio maggiore e centri nei quattro punti quadrante

Riproduci su foglio bianco le figure a destra della pagina

ESERCIZIO 13. Flangia

Tracciare quattro archi di circonferenza con raggio pari al raggio maggiore e centri nei quattro punti quadrante

Applicare la costruzione del pentagono e utilizzare le squadrette per le parallele ai cinque assi

Applicare la costruzione del pentagono e utilizzare le squadrette per le parallele ai cinque assi

Applicare la costruzione del pentagono e utilizzare le squadrette per le parallele ai cinque assi

Applicare la costruzione dell’esagono e utilizzare le squadrette per le parallele ai sei assi

14.

ESERCIZIO 15. Dado

ESERCIZIO 15. Dado

utilizzare

raggio pari al quadrante utilizzare utilizzare

15.

24

ESERCIZIO 15. Dado

utilizzare

INDICAZIONI

Applica la costruzione dell’esagono e utilizza le squadrette per le parallele ai sei assi.

Applicare la costruzione dell’esagono e utilizzare le squadrette per le parallele ai sei assi

ESERCIZIO 15.

Applicare la costruzione dell’esagono e utilizzare le squadrette per le parallele ai sei assi

25. CALIBRO FISSO A FORCELLA

Seconda fase

Centrando in O1 e O2 con le varie aperture tracciamo le tre circonferenze di cui è dato il diametro. Puntiamo in O1 e O2 con raggio= 50/2+24 e tracciamo quattro archetti a determinare O3 e O4 centri di raccordo.

INDICAZIONI

Tracciamo l’asse orizzontale, riportiamo su di esso le distanze tra i centri e tracciamo per questi i tre assi verticali o con le squadrette oppure con la costruzione della perpendicolare per un punto.

Prima fase

Terza fase

Tracciamo le congiungenti da O3 e O4 a O1 e O2 che intersecano le circonferenze in A, B, C, D punti di contatto dei raccordi. Puntando in O3 e O4 tracciamo gli archi di raccordo.

Quarta fase

Prolunghiamo i segmenti O3O1, O3O2, O4O1, O4O2 a determinare E, F, G, H. Da questi punti riportiamo verso O1 e O2 il raggio R=9 ottenendo O5, O6, O7, O8 Puntiamo in questi ultimi con R=9 e tracciamo le quattro circonferenze e i loro diametri orizzontali.

Quinta fase

Completiamo l’esercitazione ricalcando le linee.

Riproduci su un foglio bianco le figure proposte.

26. MANIGLIA

Utilizza le costruzioni di tangente da un punto a una circonferenza e di raccordo tra rette e rette.

INDICAZIONI

COSTRUISCI LE COMPETENZE

Riproduci su un foglio bianco i loghi proposti.

Riproduci su un foglio bianco i logo proposti

Riproduci su un foglio bianco i segnali proposti.

su un foglio bianco i segnali proposti.

7. MATERIALI RADIOATTIVI

su un

Riproduci

9. IDRANTE 11.

8. CAMPO MAGNETICO

bianco i segnali proposti.

Oggetti dalla vita quotidiana (schede 3, 4) Competenze A

Oggetti dalla vita quotidiana (schede 3, 4)

Riproduci su un foglio bianco gli oggetti qui proposti

Riproduci su un foglio bianco gli oggetti qui proposti

ESERCIZIO 36. Chitarra classica ESERCIZIO 37. Par ticolare di lampada da tavolo

ESERCIZIO 38. Racchetta da ping pong

ESERCIZIO 38. Racchetta da ping pong

1. PIASTRINA

Si tracciano i segmenti ad unire i punti trvati.

2. PIASTRINA

26 = 16

=

Recupero

INDICAZIONI

Recupero

INDICAZIONI

Recupero

Prima Fase

Prima Fase

Riproduci la figure a fondo pagina seguendo le fasi indicate. Esercizio 40. Piastrina Esercizio 41.

Esercizio 39. Riproduci le piastrine a fondo pagina seguendo le fasi indicate.

Recupero

Costruzione col compasso

Riporta la larghezza 70; alza dai suoi estremi due perpendicolari e su entrambe riporta simmetricamente le varie altezze.

Riproduci la figure a fondo pagina seguendo le fasi indicate. Esercizio 40. Piastrina Esercizio 41.

PRIMA FASE

Costruzione con le squadrette

Esercizio 39. Riproduci le piastrine a fondo pagina seguendo le fasi indicate.

Costruzione col compasso

Riportata la larghezza 70 si alzano dai suoi estremi due perpendicolari e su entrambe si riportano simmetricamente le varie altezze col compasso in modo che siano le stesse anche in caso di errore.

Riportata la larghezza 70 si alzano dai suoi estremi due perpendicolari e su entrambe si riportano simmetricamente le varie altezze col compasso in modo che siano le stesse anche in caso di errore.

Seconda Fase

Si tracciano le orizzontali su cui si riportano le larghezze.

Traccia le orizzontali e riporta su di esse le larghezze.

Si tracciano le orizzontali su cui si riportano le larghezze.

Costruzione con le squadrette

PRIMA FASE

Riportata la larghezza della piastrina si alzano dai suoi estremi con le squadrette due perpendicolari su cui si riportano le varie altezze.

Riportata la lunghezza della piastrina si tracciano ai suoi estremi le perpendicolari e la si suddivide in cinque parti uguali. Si riportano poi le altezze simmetricamente all’asse.

Riportata la larghezza della piastrina si alzano dai suoi estremi con le squadrette due perpendicolari su cui si riportano le varie altezze.

Riporta la lunghezza della piastrina, traccia ai suoi estremi le perpendicolari e suddividila in cinque parti uguali. Riporta poi le altezze simmetricamente all’asse.

Riportata la lunghezza della piastrina si tracciano ai suoi estremi le perpendicolari e la si suddivide in cinque parti uguali. Si riportano poi le altezze simmetricamente all’asse.

Tracciato l’arco di ra colare al centro, le bisettrici degli angoli

Terza Fase

Si tracciano i segmenti ad unire i punti trvati.

Seconda fase

SECONDA FASE

SECONDA FASE

Si tracciano le orizzontali su cui si riportano le larghezze.

Si tracciano le linee orizzontali e, utilizzando le squdrette, le linee verticali.

Traccia le linee orizzontali e, utilizzando le squadrette, le linee verticali.

Si tracciano le linee orizzontali e, utilizzando le squdrette, le linee verticali.

Si tracciano le orizzontali su cui si riportano le larghezze.

Si traccia la spezzata, corni e con le squadrette perpendicolari agli

Terza fase

Si tracciano i segmenti ad unire i punti trvati.

Traccia i segmenti per unire i punti trovati.

Ricalca i contorni.

28 14 14 14

Riproduci le figure seguendo le indicazioni.

3. SCHEMA DI PORTAUTENSILI

4. SUPPORTO

INDICAZIONI

pagina seguendo le fasi indicate.

Riproduci la figure a fondo pagina seguendo le fasi indicate.

INDICAZIONI

Prima Fase

pagina seguendo le fasi indicate.

Piastrina Esercizio 41. Schema di portautensili

Piastrina Esercizio 41. Schema di portautensili

PRIMA FASE

SE PRIMA FASE

piastrina si tracciano ai si suddivide in poi le altezze sim-

piastrina si tracciano ai la si suddivide in poi le altezze sim-

Traccia una semicirconferenza di raggio 35 e costruisci la perpendicolare nel centro, le bisettrici degli angoli di 90° e le bisettrici degli angoli di 45°.

Tracciato l’arco di raggio 35 si costruisce la perpendicolare al centro, le bisettrici degli angoli di 90° e le bisettrici degli angoli di 45°

Tracciato l’arco di raggio 35 si costruisce la perpendicolare al centro, le bisettrici degli angoli di 90° e le bisettrici degli angoli di 45°

Seconda fase

SECONDA FASE

SECONDA FASE

utilizzando le Si traccia la spezzata, si riportano le larghezze dei corni e con le squadrette si tracciano le parallele e le perpendicolari agli assi a 45°

utilizzando le Si traccia la spezzata, si riportano le larghezze dei corni e con le squadrette si tracciano le parallele e le perpendicolari agli assi a 45°

Traccia la spezzata, riporta le larghezze dei corni e con le squadrette traccia le parallele e le perpendicolari agli assi a 45°.

Terza fase

Ricalca i contorni.

16 20

16 20

Riproduci la figure a fondo pagina seguendo le fasi indicate. Esercizio 40. Supporto Esercizio

Prima Fase

Esercizio 40. Supporto Esercizio

FASE

Seconda fase

SECONDA FASE

Terza fase

Riproduci le figure seguendo le indicazioni.

5. POMELLO

PASSO PASSO

1 Disegniamo la vista laterale di un pomello date le dimensioni.

2 Tracciamo la linea di base e, perpendicolare ad essa, l’asse della figura finale.

Riportiamo le misure di elementi simmetrici con il compasso parte per parte rispetto all’asse per mantenere la simmetria.

3 Con le squadrette costruiamo il rettangolo che rappresenta il disco di base, tracciamo l’asse ortogonale passante per il centro della circonferenza e tracciamo la circonferenza che rappresenta la sfera del pomello.

4 Riportiamo le dimensioni col compasso e tracciamo le parallele all’asse che rappresentano il cilindro di collegamento tra la piastra di base e la sfera.

5 Riportiamo le misure dei raggi di raccordo, tracciamo le parallele ai segmenti da raccordare, l’arco con raggio del cerchio più raggio di raccordo determinando i centri di raccordo e i punti di contatto.

6 Ricalchiamo le linee che descrivono il pomello. La linea fina è un espediente del disegno tecnico per indicare l’intersezione tra due elementi curvi, in questo caso il cilindro con la sfera.

COMPITO DI REALTÀ

Costruzione di un segnale stradale

Ricava la “mascherina” della sagoma di uno skateborder, da utilizzare per creare il “pittogramma” al centro di un cartello segnaletico.

Compiti di realtà: costruzione di un segnale

Riproduci perciò la figura su un foglio e poi ritagliarla lasciando il vuoto da riempire col colore pitturato ad esempio con l’aerografo. La sagoma potrà essere utilizzata per creare un segnale di divieto (➜ Fig. 1), di pista riservata a questa attività (➜ Fig. 2) oppure un segnale di pericolo (riducendo la sagoma per adattarla alla forma del segnale) (➜ Fig. 3).

I segnali in figura sono di formato piccolo in scala 1 : 10. Alla destra (➜ Fig. 4) c’è il disegno da realizzare in scala 1 : 1 per il formato piccolo, e da adattare se si volessero realizzare cartelli di formato normale o grande. Con O è indicato il centro del cartello se rotondo.

Ricavare la “mascherina”, della sagoma di uno skateborder, da utilizzare per creare il “pittogramma” al centro di un cartello segnaletico. Riprodurre perciò la figura su un foglio e poi ritagliarla lasciando il vuoto da riempire col colore pitturato ad esempio con l’aerografo. La sagoma potrà essere utilizzata per creare un segnale: di divieto Fig.1, di pista riservata a questa attività Fig.2 oppure segnale di pericolo (riducendo la sagoma per adattarla alla forma del segnale) Fig.3. I segnali in figura sono di formato piccolo in scala 1:10. Alla destra c’è il disegno da realizzare in scala 1:1 per il formato piccolo, e da adattare se si volesse realizzare cartelli di formato normale o grande. Con O è indicato il centro del cartello se rotondo.

tabella 2 - CERCHIO (divieto)

tabella 3 - CERCHIO (obbligo)

Dal CAD al cantiere sostenibile

IL LEGNO

Il legno è stato il primo materiale utilizzato dagli esseri umani per costruire le proprie abitazioni. Nel corso dei secoli è stato lavorato con tecniche sempre diverse e ha assunto forme che vanno dai templi greci alle raffinate strutture giapponesi, fino al “balloon frame” statunitense dell’Ottocento. Oggi il suo impiego è tornato centrale, in risposta alla necessità di un’edilizia più sostenibile e rispettosa dell’ambiente. La versatilità, la rinnovabilità e le prestazioni energetiche del legno lo rendono adatto a edifici residenziali, scuole, spazi pubblici e persino strutture multipiano. Da un punto di vista ecologico, offre numerosi vantaggi, come una ridotta impronta di carbonio e ottime capacità isolanti. Tuttavia presenta anche delle criticità, legate ai rischi di deforestazione e all’uso di trattamenti chimici, che richiedono un impiego consapevole. Il legno è un materiale naturale, composto da cellulosa, emicellulosa e lignina, disponibile in molte varietà con proprietà fisiche e meccaniche diverse. Le piante più diffuse in edilizia da cui ottenere il legno sono l’abete, il larice, il castagno, il rovere, il faggio e il pino. Le tipologie di legno ricavato da queste piante, presentano caratteristiche diverse che permettono un ampio ventaglio di applicazioni, adattabili a esigenze strutturali ed estetiche differenti. In prospettiva, il legno rappresenta una delle soluzioni più promettenti per l’architettura sostenibile del futuro Conoscerne limiti e potenzialità è fondamentale per progettare edifici durevoli, efficienti e rispettosi dell’ambiente.

SVANTAGGI AMBIENTALI E CRITICITÀ

Materiale rinnovabile: se proveniente da foreste certificate, è una risorsa sostenibile, capace di rigenerarsi in tempi relativamente brevi.

Bilancio emissivo positivo: gli alberi assorbono anidride carbonica (CO₂) durante la crescita. Quando il legno viene utilizzato in edilizia, la CO₂ resta “sequestrata” nel materiale.

Consumo energetico: la sua lavorazione richiede meno energia rispetto ad altri materiali come acciaio o cemento. Isolamento termico: ha una bassa conducibilità termica, migliorando l’efficienza energetica dell’edificio.

Smontabilità e riuso: le strutture in legno possono essere facilmente smontate e riutilizzate, facilitando la progettazione reversibile e l’economia circolare.

Deforestazione: l’uso di legno da foreste non gestite in modo sostenibile può portare a una deforestazione incontrollata con conseguente perdita di biodiversità, erosione del suolo e cambiamenti climatici.

Trattamenti chimici: alcuni elementi in legno richiedono trattamenti protettivi (ignifughi, antiparassitari) che possono essere inquinanti. Durabilità: il legno è vulnerabile a umidità, fuoco e agenti biologici se non correttamente trattato o progettato.

Importazione e trasporto: se il materiale proviene da Paesi lontani, il trasporto può spostare il bilancio emissivo verso valori fortemente negativi.

IL DISEGNO TECNICO EDILIZIO

CI OCCUPEREMO DI...

1. Il disegno tecnico: un linguaggio fondamentale

2. La scala di rappresentazione nel disegno tecnico delle costruzioni

3. Tipi di linee

4. Il disegno edile

5. La rappresentazione tecnica delle sezioni

6. La quotatura del disegno civile

1 Il disegno tecnico: un linguaggio fondamentale

Il disegno tecnico è il principale strumento di comunicazione nel mondo delle costruzioni. In particolare nel settore civile ed edile, esso gioca un ruolo centrale in tutte le fasi del processo: dall’ideazione alla realizzazione, dalla rappresentazione grafica alla gestione dell’opera finita.

A differenza del disegno artistico, che nasce da un’espressione soggettiva e personale, il disegno tecnico è oggettivo e normato. Ogni elemento grafico deve poter essere interpretato in modo univoco, preciso e senza ambiguità. Proprio perché si basa su simboli, convenzioni e regole condivise, rappresenta un linguaggio universale: comprensibile da professionisti di diversi Paesi e culture, indipendentemente dalla lingua parlata e dalla competenza tecnica posseduta. Questa caratteristica è particolarmente importante oggi, in un settore edilizio sempre più globalizzato, dove è frequente che gli elaborati vengano letti da una pluralità di soggetti.

1.1 IL DISEGNO COME STRUMENTO DI LAVORO CONDIVISO

Durante lo sviluppo di un’opera edilizia, intervengono numerose figure professionali: ingegneri, architetti, geometri che devono dialogare con le imprese affidatarie ed esecutrici, con i tecnici comunali e così via. Anche un cittadino che non ha particolari competenze tecniche deve essere in grado di decifrare e interpretare un elaborato tecnico. Per poter

collaborare in modo efficace, è necessario che tutti parlino lo stesso “linguaggio grafico”. Il disegno tecnico consente infatti di rappresentare in modo fedele e condiviso forme e proporzioni, materiali e dettagli costruttivi. Attraverso il disegno tecnico è possibile:

j tradurre le idee progettuali in rappresentazioni grafiche confrontabili;

j verificare la correttezza tecnica delle soluzioni architettoniche e strutturali;

j comunicare informazioni esecutive ai soggetti che operano in cantiere;

j documentare l’opera in fase di richiesta di permessi, esecuzione e archiviazione.

1.2 TIPOLOGIE DI DISEGNO

E STRUMENTI UTILIZZATI

Non esiste un solo tipo di disegno tecnico. Nel corso di un progetto, si passa da schizzi preliminari (utili per sviluppare le prime idee) a rappresentazioni dettagliate (esecutive), fino ad arrivare alla modellazione digitale 3D, oggi sempre più diffusa.

Gli strumenti di rappresentazione possono variare:

j a mano libera, ad esempio durante il rilievo (eidotipo) o per sviluppare bozze rapide;

j con strumenti tradizionali , come riga, squadra, compasso;

j con software CAD (Computer-Aided Design che significa Progettazione Assistita dal Computer), ampiamente utilizzati nella professione e ormai insostituibili nella didattica scolastica.

Negli ultimi anni, si è affermato anche il BIM (Building Information Modeling): un approccio digitale

tridimensionale che integra grafica e dati (su materiali, prestazioni, costi, tempi e manutenzione). Il BIM non sostituisce il CAD, ma lo amplia, offrendo una visione più completa e integrata dell’opera.

1.3 DISEGNO DI RILIEVO E DISEGNO DI PROGETTO: DUE FINALITÀ DIVERSE

Nel nostro corso di studi, e in generale in ambito tecnico, è fondamentale conoscere e attuare la distinzione tra disegno di rilievo e disegno di progetto, perché rispondono a esigenze diverse e rappresentano due momenti distinti del processo edilizio. Il disegno di rilievo serve a documentare lo stato di fatto, cioè ciò che esiste realmente. Viene elaborato a partire da un rilievo diretto dell’edificio o del terreno, effettuato sul posto con strumenti tradizionali (distanziometro, cordella metrica, ecc.) o con strumenti topografici più avanzati (laser scanner, stazione totale, droni). Questo tipo di disegno restituisce con precisione dimensioni, forme, posizioni e caratteristiche di edifici, ambienti, elementi costruttivi o spazi esterni esistenti.

Il disegno di progetto, invece, rappresenta ciò che si intende realizzare. È il risultato di un’attività di progettazione, e mostra come sarà l’opera una volta completata. Include elaborati architettonici, strutturali, impiantistici, particolari costruttivi, ed è spesso accompagnato da relazioni descrittive, tabelle e specifiche tecniche.

In sintesi: il disegno di rilievo rappresenta il presente, quello di progetto il futuro. Nella pratica, i due tipi di disegno sono spesso messi a confronto: conoscere lo stato esistente è infatti il punto di partenza per ogni progetto di trasformazione, restauro, ampliamento. Durante il percorso scolastico, sarà importante imparare a riconoscere e redigere correttamente entrambe le tipologie, comprendendone la funzione all’interno del disegno edile. Un particolare elaborato che lo studente avrà modo di conoscere e imparare a produrre è la cosiddetta tavola sinottica o tavola dei gialli e dei rossi: si tratta della sovrapposizione tra il cosiddetto stato di fatto e lo stato di progetto. Le modifiche vengono indicate con il colore giallo, qualora si tratti di parti da demolire, ovvero elementi edilizi presenti nello stato di fatto ma destinati a essere rimossi nello stato di progetto. Quelle indicate invece con il colore rosso sono le cosiddette ricostruzioni, ovvero elementi edilizi che, comparati con lo stato di fatto, sono da realizzare

1.4 IL DISEGNO NEL CONTESTO NORMATIVO

Nel sistema normativo italiano, il disegno tecnico ha anche un valore formale e giuridico. Gli elaborati grafici sono parte integrante delle pratiche edilizie e devono essere allegati ai progetti, alle richieste di permesso di costruire e alle procedure catastali. Per essere validi, devono rispettare:

j le norme nazionali e regionali in materia di urbanistica, edilizia e sicurezza;

j i regolamenti comunali specifici del territorio; j le norme tecniche (come UNI, ISO, EN), che definiscono formati, tipi di linea, criteri di quotatura, simbologie, rappresentazioni in sezione, ecc.

Un disegno non conforme può compromettere l’approvazione del progetto o rallentare l’iter amministrativo.

2 La scala di rappresentazione nel disegno tecnico delle costruzioni

La scala di rappresentazione costituisce uno dei pilastri fondamentali del disegno tecnico applicato alle costruzioni, permettendo di tradurre efficacemente la complessità tridimensionale dell’ambiente costruito in documenti grafici leggibili e utilizzabili. Attraverso l’applicazione di rapporti numerici standardizzati, la scala consente di superare le limitazioni fisiche dei supporti cartacei e digitali, rendendo possibile la comunicazione tecnica precisa tra progettisti, costruttori e tutti i soggetti coinvolti nel processo edilizio.

2.1 FONDAMENTI TEORICI DELLA SCALA METRICA - DEFINIZIONE NORMATIVA E PRINCIPI BASE

Secondo la norma UNI EN ISO 5455, la scala è definita come “il rapporto tra la dimensione lineare di un elemento di un oggetto, come rappresentato in un disegno originale, e la dimensione lineare dello stesso elemento del medesimo oggetto”.

Questa definizione, apparentemente semplice, racchiude il principio fondamentale che governa tutta la rappresentazione tecnica: la proporzionalità.

La formula matematica che esprime la scala è:

Scala = Misura sul disegno : Misura reale

Dove entrambe le grandezze devono essere espresse nella stessa unità di misura per garantire l’adimensionalità del rapporto. Questo aspetto è cruciale perché permette al disegno di mantenere proporzioni corrette indipendentemente dalle dimensioni dell’oggetto rappresentato o dal formato del supporto utilizzato.

2.2 TIPOLOGIE DI SCALE

DI RAPPRESENTAZIONE

La normativa tecnica identifica tre categorie principali di scale:

j scale di Riduzione (1:X): Utilizzate quando l’oggetto reale è troppo grande per essere rappresentato in dimensioni naturali sul foglio. Il rapporto è minore di 1:1, dove X rappresenta il fattore di riduzione. Esempi comuni includono la scala 1:100 per piante architettoniche o 1:500 per planimetrie generali;

j scala Naturale (1:1): Rappresenta l’oggetto nelle sue dimensioni reali. Viene utilizzata principalmente per particolari costruttivi di piccole dimensioni, modanature, dettagli di falegnameria e elementi dove è fondamentale la precisione dimensionale assoluta;

j scale di Ingrandimento (X:1): Impiegate per oggetti molto piccoli che necessitano di essere ingranditi per essere chiaramente rappresentati e compresi. Nel settore delle costruzioni, si utilizzano per dettagli di giunzioni, connessioni meccaniche o elementi di precisione.

2.3 CRITERI DI SCELTA DELLA SCALA APPROPRIATA

La selezione della scala di rappresentazione non è arbitraria ma risponde a criteri tecnici precisi. La scelta dipende da diversi fattori interconnessi:

j natura dell’oggetto rappresentato: Gli elementi architettonici di grandi dimensioni richiedono scale di riduzione elevate, mentre i dettagli costruttivi necessitano di scale maggiori per garantire la leggibilità;

j complessità dell’informazione da trasmettere : Maggiore è il livello di dettaglio richiesto, maggiore deve essere la scala utilizzata. Un particolare costruttivo in scala 1:20 fornisce informazioni completamente diverse rispetto allo stesso elemento rappresentato in scala 1:200;

j destinazione d’uso del disegno: I disegni esecutivi richiedono scale diverse rispetto a quelli preliminari o di inquadramento territoriale.

La norma stabilisce il principio che nessun elemento significativo dovrebbe risultare inferiore a 2-3 millimetri nella rappresentazione grafica, garantendo così la leggibilità del disegno.

2.4 APPLICAZIONI PRATICHE NELL’EDILIZIA

■ SCALE PER LA PROGETTAZIONE ARCHITETTONICA

Nel campo dell’edilizia, l’uso delle scale segue una gerarchia consolidata che riflette i diversi livelli di approfondimento progettuale:

1:1

1:2

1:5

1:10

1:20

1:50

Part. costrutt.

Dett. giunzioni

Part. costrutt. 10 cm

Part. e sezioni 5 cm

Piante esec.

1:100 Piante archit.

1:200

1:500

Prog. prelim.

Planimetrie gen.

1:1000 lnquad. urbano

1:2000

Piano Reg. Gen.

➜ Tab. 1 • Tipologie di Scale di Rappresentazione.

cm

Dett. connessioni

Giunzioni elem.

Sezioni muri

Dett. coperture

Elabor. esec.

Piante appart.

Planimetrie compl.

Lotti terreno

Quartieri urb.

Strument. urb.

j scala 1:100: Costituisce la scala più comunemente utilizzata per il progetto architettonico definitivo. Permette di rappresentare chiaramente la distribuzione degli spazi, le aperture, gli spessori murari e tutti gli elementi necessari alla comprensione del progetto. A questa scala, un metro reale corrisponde a un centimetro sul disegno, facilitando la lettura delle dimensioni;

j scala 1:50 : Utilizzata per elaborati esecutivi di edifici di dimensioni limitate. Fornisce un maggiore livello di dettaglio rispetto alla scala 1:100, permettendo di rappresentare con precisione elementi come infissi, arredi fissi, dettagli delle scale e componenti tecnologici;

j scala 1:20: Impiegata per particolari costruttivi e sezioni di dettaglio. A questa scala è possibile rappresentare con precisione spessori, materiali, ordine di posa degli elementi costruttivi e soluzioni tecnologiche specifiche.

■ SCALE PER L’INQUADRAMENTO TERRITORIALE

Per la rappresentazione di contesti più ampi, si utilizzano scale di riduzione maggiori:

j scala 1:200: Adatta per progetti preliminari e planimetrie catastali di immobili. Consente di rappresentare l’inserimento dell’edificio nel lotto e le relazioni con il contesto circostante;

j scala 1:500 e 1:1000: Utilizzate per planimetrie generali, piani particolareggiati e inquadramenti urbani. Permettono di visualizzare la relazione tra più edifici e l’organizzazione del tessuto urbano; j scale 1:2000 e oltre: Impiegate per strumenti urbanistici comunali come i Piani Regolatori Generali, dove è necessario rappresentare porzioni significative di territorio (➜ Fig. 1)

■ STRUMENTI PER L’APPLICAZIONE DELLE SCALE

Lo scalimetro: uno strumento fondamentale Lo scalimetro rappresenta lo strumento principale per l’applicazione pratica delle scale di rappresentazione. Si tratta di un righello a sezione triangolare che riporta sui suoi spigoli diverse scale graduate, eliminando la necessità di calcoli matematici durante la lettura dei disegni (➜ Fig. 2).

Gli scalimetri professionali per l’edilizia includono tipicamente le scale: 1:100, 1:200, 1:250, 1:300, 1:400 e 1:500. Questa selezione copre la maggior parte delle esigenze progettuali nel settore delle costruzioni, dalle planimetrie generali ai progetti esecutivi.

■ METODOLOGIA DI UTILIZZO

L’uso corretto dello scalimetro richiede competenze specifiche. Per effettuare una misurazione, è necessario:

j identificare la scala del disegno riportata nel cartiglio; j selezionare la scala corrispondente sullo scalimetro;

j posizionare lo strumento in modo che lo zero coincida con un estremo dell’elemento da misurare; j leggere direttamente il valore in corrispondenza dell’altro estremo.

Questa metodologia elimina errori di calcolo e accelera notevolmente le operazioni di lettura e verifica dimensionale

2.5 NORMATIVA TECNICA DI RIFERIMENTO

STANDARD UNI EN ISO 5455

La norma UNI EN ISO 5455 stabilisce le scale dimensionali raccomandate e la loro designazione per tutti i campi della tecnica. Questa normativa internazionale garantisce l’uniformità nella comunicazione tecnica, eliminando ambiguità interpretative che potrebbero compromettere la realizzazione delle opere. La norma prescrive regole precise per: j la designazione completa delle scale (es. SCALA 1:50);

j l’iscrizione nel riquadro delle indicazioni del disegno; j l’indicazione di scale multiple nello stesso elaborato; j l’estensione della gamma delle scale per applicazioni particolari.

■ CONVENZIONI GRAFICHE ASSOCIATE

L’applicazione delle scale deve rispettare specifiche convenzioni grafiche. I disegni devono sempre riportare le misure reali, indipendentemente dalla scala di rappresentazione utilizzata. Questo principio fondamentale evita errori di interpretazione e garantisce la corretta esecuzione delle opere.

2.6 EVOLUZIONE STORICA E SVILUPPI

TECNOLOGICI - DALLE ORIGINI

ALLA CODIFICAZIONE MODERNA

Il concetto di scala di rappresentazione ha radici antiche, ma la sua codificazione scientifica risale al lavoro di Gaspard Monge (1746-1818) con lo sviluppo della geometria descrittiva. L’introduzione delle proiezioni ortogonali e la sistematizzazione delle tecniche di rappresentazione hanno posto le basi per l’uso standardizzato delle scale.

Nel XIX secolo, con lo sviluppo dell’industria e dell’ingegneria moderna, si è resa necessaria una normalizzazione che garantisse l’uniformità comunicativa tra diversi operatori. La nascita degli enti di normazione nel XX secolo ha completato questo processo, culminando nelle attuali norme internazionali.

■ IMPATTO DELLE TECNOLOGIE DIGITALI

L’avvento del CAD (Computer-Aided Design) ha rivoluzionato l’approccio alla scala di rappresentazione. I software di progettazione permettono di disegnare in scala 1:1 e di ottenere automaticamente rappresentazioni in qualsiasi scala desiderata, mantenendo la precisione dimensionale. Tuttavia, la comprensione dei principi fondamentali della scala rimane essenziale anche nell’era digitale. La scelta della scala appropriata per la stampa e la visualizzazione richiede sempre la competenza tecnica del progettista.

2.7 ESEMPI APPLICATIVI E CASI STUDIO PROGETTO DI UNA SCALA INTERNA

Un esempio pratico di applicazione delle diverse scale è rappresentato dal progetto di una scala interna ( ➜ Fig. 3 ) . Questo elemento architettonico richiede rappresentazioni a scale diverse per comunicare informazioni specifiche:

j scala 1:100 : Per l’inserimento della scala nella pianta dell’edificio;

j scala 1:50: Per la rappresentazione dettagliata in pianta e sezione;

j scala 1:20: Per i particolari costruttivi dei gradini e dei parapetti;

j scala 1:10 o 1:5: Per dettagli di connessione e finitura.

■ PROGETTO ESECUTIVO DI UN EDIFICIO RESIDENZIALE

Un progetto esecutivo completo utilizza una ge rarchia di scale che riflette i diversi livelli di dettaglio necessari:

j inquadramento generale (1:200-1:500): Inserimento nel lotto e relazioni urbane;

j piante architettoniche (1:100-1:50): Distribuzione degli spazi e elementi principali;

j sezioni costruttive (1:50-1:20): Soluzioni tecnologiche e dettagli strutturali;

j particolari esecutivi (1:20-1:5): Dettagli di connessione e finitura.

■ ERRORI COMUNI E STRATEGIE DI PREVENZIONE

Errori nella Scelta della Scala

Gli errori più frequenti nell’applicazione delle scale di rappresentazione includono:

j scala inadeguata al livello di dettaglio: Utilizzare scale troppo piccole per rappresentare dettagli complessi;

j incongruenza tra scale diverse nello stesso progetto: Mancanza di coordinamento tra elaborati;

j omissione dell’indicazione della scala: Rendere impossibile la lettura corretta del disegno.

■ METODOLOGIE DI CONTROLLO

Per prevenire questi errori è essenziale:

j verificare sempre la coerenza tra scala dichiarata e contenuti rappresentati;

j controllare che tutti gli elementi significativi siano leggibili alla scala scelta;

j assicurarsi che le quotature riportino sempre i valori reali, indipendentemente dalla scala.

■ PROSPETTIVE FUTURE E INNOVAZIONI

Integrazione con le Tecnologie BIM

Il Building Information Modeling (BIM) sta ridefinendo l’approccio alla rappresentazione in scala. I modelli tridimensionali parametrici permettono di generare automaticamente elaborati 2D in diverse scale, mantenendo la coerenza informativa tra tutti i documenti di progetto (➜ Fig. 4)

■ REALTÀ VIRTUALE E AUMENTATA

Le nuove tecnologie di visualizzazione stanno introducendo concetti innovativi nella rappresentazione architettonica. La realtà virtuale permette di “camminare” all’interno di spazi progettati, superando i limiti della rappresentazione bidimensionale tradizionale. Tuttavia, anche in questo contesto tecnologico avanzato, la comprensione delle scale di rappresentazione rimane fondamentale per la comunicazione tecnica e la produzione di elaborati cartacei necessari per l’autorizzazione e la costruzione delle opere.

■ CONCLUSIONI

La scala di rappresentazione si conferma come elemento fondamentale e insostituibile del disegno tecnico applicato alle costruzioni. La sua comprensione richiede una solida base teorica, supportata da un’adeguata pratica applicativa e dall’uso corretto degli strumenti professionali.

L’evoluzione tecnologica ha ampliato le possibilità di rappresentazione, ma non ha diminuito l’importanza della competenza tradizionale nella gestione delle scale. Al contrario, la complessità crescente dei progetti contemporanei richiede una padronanza sempre maggiore di questi strumenti concettuali e operativi.

➜ Fig. 4 • Rendering con tecnologia BIM.

3 Tipi di linee

Nel disegno tecnico, le linee rappresentano elementi grafici con significato convenzionale, secondo la norma UNI EN ISO 128-2:2023.

Ogni tipo di linea ha una funzione precisa e si differenzia per spessore, continuità e forma (➜ Tab. 2).

Tipi di linee principali secondo UNI EN ISO 128­2:2023 “Documentazione tecnica ­ Principi generali di rappresentazione – Parte 2: Convenzioni di base per i tipi di linea”

Codice Segno

1.1

Denominazione

Continua fine

.1 Intersezioni fittizie

.2 Linee di misura

.3 Linee di riferimento

.4 Linee di richiamo

.5 Tratteggi

Continua fine irregolare

Continua fine a zig zag

1.2

2.1

2.2

4.1

4.2

5.1

Applicazione

.6 Contorni di sezioni ribaltate

.7 Assi di simmetria

.8 Fondi di filettatura

.18 Limiti, tracciato a mano libera, di viste e sezioni parziali se non sono assi di simmetria

.19 Limiti, tracciato al computer, di viste e sezioni parziali se non sono assi di simmetria

Continua grossa .1 Spigoli in vista

.2 Contorni in vista

.3 Creste di filettature

.4 Termine della filettatura a filetto completo

Tratteggiata fine .1 Spigoli nascosti

.2 Contorni nascosti

Tratteggiata grossa .1 Indicazione di superfici oggetto di particolare trattamento

Mista fine a punto e tratto lungo .1 Assi di simmetria

.2 Tracce di piani di simmetria

.3 Circonferenze primitive di ingranaggi

.4 Circonferenze su cui si trovano assi di fori

Mista grossa a punto e tratto lungo .1 Indicazione di porzioni di superfici soggette a trattamento .2 Posizione di piani di sezione

Mista fine a due punti e tratto lungo .1 Contorni di pezzi adiacenti

.2 Posizioni estreme di parti mobili

.3 Assi o luoghi baricentrici

.4 Contorni prima delle lavorazioni

.5 Parti situate anteriormente al piano di sezione

➜ Tab. 2 • Tipi di linee utilizzati nel disegno tecnico (UNI EN ISO 128-2:2023).

3.1 SPESSORI DELLE LINEE NEI DISEGNI

TECNICI (UNI EN ISO 128-2:2023)

Nel disegno tecnico, lo spessore della linea è un elemento fondamentale per distinguere i diversi tipi di informazioni grafiche. La norma ISO specifica una serie di spessori normalizzati e definisce anche le proporzioni tra linee di tipo diverso (➜ Fig. 5).

■ SERIE DI SPESSORI NORMALIZZATI (IN MM)

Serie consigliata Valori standard

Serie base 0,13 – 0,18 – 0,25 – 0,35 – 0,5 – 0,7 –1,0 – 1,4 – 2,0

■ RAPPORTO TRA LINEE SPESSE E SOTTILI

Per garantire leggibilità e chiarezza, la norma raccomanda che lo spessore di una linea spessa sia circa il doppio di una linea sottile. Ad esempio: se la linea sottile è 0,25 mm, la spessa sarà 0,5 mm.

■ DISTANZA MINIMA TRA LINEE PARALLELE

mm

mm

mm

mm

Per evitare confusione visiva, è consigliata una distanza ≥ 0,7 mm tra due linee adiacenti.

mm

3.3 TIPI DI CAMPITURA

Le campiture vengono utilizzate nei disegni tecnici per indicare i materiali attraversati da un piano di taglio. Esse consentono di distinguere graficamente le parti solide da quelle vuote nelle rappresentazioni in sezione.

Sebbene non esista una norma univoca per tutti i materiali, la rappresentazione si rifà alle convenzioni diffuse.

■ CAMPITURE CONVENZIONALI E MATERIALI

Ogni materiale può essere rappresentato con una campitura convenzionale, secondo la norma UNI EN

ISO 128-3:2022 (➜ Tab. 3).

Alcuni esempi:

j muratura: tratteggio regolare a 45° con linee ravvicinate;

j calcestruzzo: puntinato con inserimento di elementi che simboleggiano gli inerti lapidei;

j acciaio: tratteggio incrociato (45° e - 45°) con linee ravvicinate;

j legno in sezione: linee ondulate o tratteggio con indicazione delle fibre;

0,18 mm 0,25 mm

mm

mm

mm

➜ Fig. 5 • Spessori delle linee nei disegni tecnici (UNI EN ISO 128-2:2023)

mm

mm

mm

mm

mm

j materiali generici: tratteggio uniforme semplice, utilizzato in mancanza di specifiche indicazioni.

■ FUNZIONE DELLA CAMPITURA

j Distingue le parti solide sezionate da quelle non toccate dal piano di taglio.

j Evidenzia materiali differenti nello stesso disegno.

j Può essere accompagnata da sigle, simboli o note che indicano il materiale.

3.2 ESEMPI DI USO DEGLI SPESSORI NEL DISEGNO TECNICO EDILIZIO

mm 1,40 mm 2,00 mm

Tipo di linea

Linea continua visibile

Linea continua nascosta

Linea di quota o misura

Linea di asse o simmetria

Linea di taglio/sezione

Linee di costruzione o riferimento

Spessore tipico

Spessa (es. 0,5 mm)

Sottile (es. 0,25 mm)

Sottile

Sottile tratteggiata

Spessa

Molto sottile (es. 0,13 mm)

Utilizzo

Contorni visibili dell’edificio o di elementi costruttivi

Contorni nascosti o non in vista

Indicazioni di dimensione

Assi di oggetti o elementi architettonici

Piani di sezione nei disegni

Usate in fase preliminare o di tracciamento

Nota per lo studente ­ Nella pratica scolastica (e professionale), è importante mantenere la coerenza tra i tipi di linea e i relativi spessori per garantire un disegno chiaro, leggibile e normato. L’uso corretto dello spessore è parte integrante della comunicazione tecnica.

Campitura

Muratura

Materiale

Calcestruzzo

Acciaio

Legno in sezione

Materiali generici

4

Il disegno edile

In questo capitolo cercheremo di evidenziare l’importanza del disegno edile nell’ambito delle attività del futuro diplomato in Costruzioni, Ambiente e Territorio. Esso è il principale strumento di rappresentazione, comunicazione e documentazione delle opere architettoniche e ingegneristiche e costituisce un linguaggio tecnico universale e normato, come già ricordato precedentemente, che consente la comprensione del progetto da parte di tutte le figure coinvolte nel processo edilizio: progettisti, committenti, imprese, tecnici della pubblica amministrazione, direttori dei lavori e collaudatori. Il disegno edile ha una triplice funzione: j descrittiva, per rappresentare le caratteristiche fisiche, dimensionali e distributive dell’opera; j comunicativa , per trasmettere informazioni in modo univoco e condiviso; j normativa, poiché ha valore legale all’interno delle pratiche edilizie e deve rispettare le normative vigenti (regolamenti edilizi, norme UNI, NTC, ecc.).

4.1 CLASSIFICAZIONE DEGLI ELABORATI GRAFICI

Nel contesto del progetto edilizio, gli elaborati grafici si suddividono in diverse tipologie, ciascuna con una specifica funzione. Le principali categorie sono:

Segno

Tratteggio regolare a 45° con linee ravvicinate

Puntinato con inserimento di elementi che simboleggiano gli inerti lapidei

Tratteggio incrociato (45° e - 45°) con linee ravvicinate

Linee ondulate o tratteggio con indicazione delle fibre

Tratteggio uniforme semplice, utilizzato in mancanza di specifiche indicazioni

■ ELABORATI ARCHITETTONICI

Gli elaborati architettonici rappresentano la configurazione planivolumetrica dell’edificio, l’organizzazione degli spazi interni, la distribuzione funzionale e l’aspetto estetico-formale. Comprendono:

j piante : rappresentazioni in sezione orizzontale (generalmente a quota 1,00 m dal piano di calpestio) che illustrano la distribuzione degli ambienti, le aperture, gli arredi fissi e le destinazioni d’uso. Devono indicare le quote principali, le superfici e gli orientamenti;

j prospetti: viste ortogonali esterne dell’edificio che mostrano la composizione architettonica delle facciate, i materiali di rivestimento, i serramenti, gli aggetti, le linee di gronda e di colmo;

j sezioni: tagli verticali dell’edificio che permettono di visualizzare i rapporti spaziali tra i vari livelli, le altezze interne, le stratigrafie del pacchetto solaio e copertura, gli elementi verticali (scale, muri, vani tecnici) (➜ Fig. 6);

j prospetto­sezione parziale: rappresentazioni dettagliate di porzioni dell’edificio per approfondire specifiche soluzioni architettoniche o costruttive;

j planimetria generale : vista zenitale dell’intero lotto con indicazione della posizione dell’edificio, delle sistemazioni esterne, delle aree a verde, dei percorsi carrabili e pedonali, delle reti tecnologiche e dei confini catastali;

j tavole sinottiche: riepilogo grafico e tabellare dei parametri urbanistici ed edilizi (SUL, volume, altezza, superficie coperta, rapporti aeroilluminanti, ecc.), utile per la verifica di conformità con le normative locali.

■ ELABORATI STRUTTURALI

Gli elaborati strutturali descrivono la concezione e la distribuzione degli elementi portanti dell’edificio, essenziali per la verifica statica, sismica e per la sicurezza dell’opera. Includono:

j piante strutturali: rappresentano la disposizione di travi, pilastri, setti, fondazioni e solai, con quote, sezioni e materiali. Contengono tutti gli elementi considerati “esecutivi”, ovvero funzionali alla corretta esecuzione dell’opera in cantiere; j pettagli costruttivi strutturali : disegni in scala maggiore (1:20, 1:10, 1:5) che illustrano connes-

sioni, giunti, ancoraggi, armature, piastre, tiranti e dispositivi antisismici.

■ ELABORATI IMPIANTISTICI

Gli elaborati impiantistici rappresentano la progettazione tecnica dei sistemi tecnologici di un edificio.

Le principali tipologie sono:

j impianto elettrico: schema dei quadri, delle linee elettriche, delle prese, dei punti luce, della domotica e della messa a terra;

j impianto idrico­sanitario : rete di distribuzione dell’acqua potabile e calda, scarichi, colonne di ventilazione, autoclave, serbatoi;

j impianto di climatizzazione: distribuzione dell’aria calda/fredda, posizionamento delle unità interne/esterne, canalizzazioni, terminali;

j impianti speciali: antincendio, impianto fotovoltaico, videosorveglianza, rete dati, impianto gas.

4.2 PARTICOLARI COSTRUTTIVI

I particolari costruttivi rappresentano dettagli in scala maggiore di nodi costruttivi significativi, come, ad esempio:

j solaio-muro;

j muro-fondazione; j nodo serramento;

j isolamento termico e ponti termici; j strati funzionali della copertura.

Essi permettono di visualizzare i materiali impiegati, le modalità di posa, le soluzioni tecniche adottate in conformità alle normative (es. UNI 11300, UNI EN ISO 6946).

4.3 GLI ELABORATI NELLE PRATICHE

EDILIZIE E SISMICHE

■ CONCLUSIONI: IL DISEGNO COME STRUMENTO DI LEGALITÀ E PRECISIONE

Il disegno edile non è solo uno strumento grafico, ma una forma di scrittura tecnica che assume valore legale e operativo. Ogni elaborato deve rispettare:

j le norme grafiche;

j i requisiti urbanistici e igienico­sanitari; j le norme antisismiche (NTC 2018); j le prescrizioni comunali e regionali

Una corretta redazione degli elaborati garantisce:

■ CHIAREZZA PROGETTUALE

Un disegno tecnico ben fatto consente di comprendere in modo immediato e inequivocabile come deve essere realizzato un edificio. Ogni linea, quota, simbolo o annotazione trasmette informazioni precise che permettono a chi legge il disegno – ad esempio un muratore o un direttore dei lavori – di sapere esattamente cosa costruire, dove e come EsEmpio: se in una pianta è chiaramente indicata la dimensione di una finestra e la sua posizione rispetto agli spigoli della parete, l’operaio in cantiere potrà installarla correttamente senza bisogno di ulteriori spiegazioni

■ SICUREZZA ESECUTIVA

Il disegno tecnico contiene informazioni fondamentali per garantire che l’edificio sia realizzato in modo sicuro, sia per chi lo costruisce sia per chi lo utilizzerà. Attraverso le sezioni, i dettagli strutturali e i particolari costruttivi, vengono descritte soluzioni tecniche pensate per resistere ai carichi, ai movimenti sismici, agli agenti atmosferici o all’usura nel tempo.

EsEmpio: un dettaglio costruttivo che mostra come ancorare una ringhiera al solaio contribuisce a prevenire incidenti dovuti a fissaggi inadeguati. La sicurezza nasce già dal progetto, e si trasmette attraverso disegni comprensibili e precisi.

■ CONFORMITÀ NORMATIVA

Ogni intervento edilizio deve rispettare una serie di norme: urbanistiche, igienico-sanitarie, antisismiche, energetiche, di accessibilità, ecc. Il disegno tecnico deve quindi essere redatto in modo conforme a queste regole, per evitare sanzioni o il blocco della pratica edilizia.

EsEmpio: la tavola sinottica permette di verificare che la superficie utile e la distanza dai confini siano compatibili con le previsioni del piano regolatore comunale. Un elaborato non conforme può comportare la bocciatura del progetto da parte dell’ente , o peggio, l’obbligo di demolizione di opere non autorizzate

■ FACILITÀ DI CONTROLLO E VERIFICA DA PARTE

DEGLI ENTI

Gli uffici tecnici comunali, i professionisti incaricati dei controlli, il Genio Civile e altri enti devono essere in grado di leggere e valutare rapidamente il progetto. Elaborati redatti in modo ordinato, secondo le convenzioni grafiche riconosciute (come le norme UNI), permettono verifiche più rapide ed efficienti.

EsEmpio: un disegno che riporta chiaramente i rapporti aeroilluminanti per ciascun ambiente consente al funzionario comunale di controllare subito se le condizioni igienico­sanitarie sono rispettate

Più il disegno è chiaro, ordinato e conforme agli standard, più è facile ottenere l’approvazione della pratica. In caso contrario gli enti competenti potranno richiedere integrazioni.

■ TUTELA LEGALE PER TUTTE LE PARTI COINVOLTE Il disegno tecnico è un documento ufficiale e legalmente vincolante. Serve come riferimento in caso di contenziosi, contestazioni o perizie. Se l’opera è stata realizzata in modo conforme ai disegni approvati, il progettista e l’impresa sono legalmente tutelati.

EsEmpio: se un committente contesta la posizione di un tramezzo, il disegno architettonico approvato e firmato può dimostrare che è stato costruito esattamente come previsto.

In questo senso, il disegno è anche uno strumento di garanzia e responsabilità, valido sia per il progettista che per il cliente e l’impresa.

Approfondimento LA SISMICITÀ IN ITALIA E LA NORMATIVA TECNICA

L’Italia è un Paese ad elevata sismicità, poiché si trova in una zona di contatto tra la placca africana e la placca euroasiatica. Questa condizione geologica rende frequenti i terremoti, in particolare lungo l’Appennino (➜ Fig. 7), nelle Alpi orientali, in Calabria e in Sicilia.

Per ridurre il rischio sismico e garantire la sicurezza delle persone, la progettazione e la realizzazione degli edifici devono rispettare le Norme Tecniche per le Costruzioni (NTC 2018)

Le NTC 2018 definiscono la classificazione sismica del territorio nazionale e stabiliscono i criteri di progettazione strutturale in funzione dell’azione sismica, regolando anche le verifiche di sicurezza per edifici nuovi ed esistenti e le indicazioni per il disegno tecnico strutturale.

Nelle pratiche edilizie e sismiche, gli elaborati grafici, piante, sezioni, prospetti e dettagli costruttivi, sono fondamentali perché permettono agli enti di controllo di verificare la

conformità del progetto alle norme, in particolare per quanto riguarda la regolarità strutturale, i collegamenti tra gli elementi portanti e i dispositivi antisismici.

Un disegno tecnico non conforme alle NTC 2018 può comportare il blocco dell’autorizzazione, la richiesta di integrazioni o il rigetto del progetto

➜ Fig. 7 • Il sisma del 2016 ad Amatrice (RI).

5 La rappresentazione tecnica delle sezioni

La sezione è la “radiografia” del disegno tecnico: come una lastra radiografica rivela la struttura ossea nascosta sotto i tessuti, così una sezione svela l’organizzazione interna di un edificio o di un oggetto attraverso un taglio ideale. Questa analogia medica, intuitiva e immediata, aiuta a comprendere l’essenza comunicativa della sezione: rendere visibile ciò che altrimenti rimarrebbe celato, permettendo di analizzare spessori, materiali, cavità e relazioni spaziali invisibili dall’esterno.

Nel disegno tecnico per l’edilizia, la corretta realizzazione delle sezioni è fondamentale: un errore nella rappresentazione può compromettere l’interpretazione dell’intero elaborato e tradursi in errori esecutivi costosi.

La padronanza delle convenzioni di sezione è quindi essenziale per qualunque professionista del settore Costruzioni, Ambiente e Territorio.

5.1 IL CONCETTO DI SEZIONE

NEL DISEGNO TECNICO

■ DEFINIZIONI NORMATIVE

Una sezione è la rappresentazione, mediante proiezioni ortogonali, di una delle parti in cui l’oggetto è diviso da uno o più piani di taglio. Il piano di sezione è un piano immaginario che attraversa l’oggetto per mostrarne la struttura interna. Nella pratica edilizia il piano è generalmente verticale; quando è orizzontale la sezione prende il nome di pianta, mentre un piano inclinato produce sezioni oblique.

■ FUNZIONE COMUNICATIVA DELLA SEZIONE

Come una radiografia medica fornisce informazioni diagnostiche essenziali sul corpo umano,

la sezione architettonica rappresenta uno strumento fondamentale per comprendere l’organizzazione interna di un edificio. A differenza della semplice vista esterna, la sezione consente di analizzare in modo chiaro e immediato la disposizione degli spazi interni, mettendo in evidenza elementi come vani scala, cavedi e cavità tecniche, che non sarebbero altrimenti visibili. Attraverso l’uso corretto degli spessori di linea e dei tratteggi convenzionali, la sezione permette inoltre di distinguere con precisione le parti in pieno da quelle in vuoto, facilitando la lettura dell’elaborato e riducendo il rischio di interpretazioni errate. Dal punto di vista esecutivo, la sezione fornisce all’impresa costruttrice informazioni indispensabili, come le quote altimetriche , gli spessori delle murature e le tipologie dei materiali impiegati, risultando uno strumento operativo essenziale nella fase di realizzazione dell’opera.

La sezione svolge anche un ruolo centrale nella verifica della conformità normativa, poiché consente di controllare il rispetto dei requisiti previsti dalle norme edilizie e igienico-sanitarie, quali le altezze minime dei locali, le condizioni di aerazione e l’adeguata illuminazione naturale degli ambienti.

5.2 PIANO DI SEZIONE: CRITERI DI SCELTA E RAPPRESENTAZIONE

■ CRITERI FONDAMENTALI PER LA SCELTA DEL PIANO DI SEZIONE

La scelta del piano di sezione non è mai casuale, ma risponde a precisi criteri di chiarezza rappresentativa e di efficacia comunicativa. Il piano deve essere individuato in modo tale da attraversare le parti più significative dell’edificio (➜ Fig. 9), come i vani scala, le principali aperture e i nodi strutturali, consentendo una lettura completa e coerente dell’organismo edilizio. È inoltre opportuno che la sezione intercetti gli spazi più rappresentativi e gli elementi di collegamento verticale, come scale, ascensori e rampe, al fine di rendere comprensibili i rapporti spaziali tra i diversi livelli.

La scelta del piano di sezione è influenzata anche dalla forma dell’edificio. Quando possibile, è preferibile sfruttare eventuali assi di simmetria, così da ottenere sezioni equilibrate e facilmente leggibili. Al contrario, occorre evitare piani di taglio che attraversino obliquamente pareti o elementi strutturali, poiché tali soluzioni possono generare confusione

grafica e compromettere la chiarezza dell’elaborato. La direzione del piano di sezione dovrebbe inoltre mettere in evidenza la tipologia costruttiva dell’edificio, distinguendo chiaramente, ad esempio, una struttura in muratura portante da una struttura a telaio.

Infine, la scelta del piano di sezione deve sempre essere guidata dal principio della massima leggibilità. L’obiettivo è fornire il maggior numero possibile di informazioni utili con il minor numero di sezioni, evitando sovrapposizioni eccessive di elementi che potrebbero generare ambiguità interpretative. Una sezione ben scelta e correttamente rappresentata contribuisce in modo determinante alla qualità complessiva del progetto e alla sua corretta comprensione da parte di tutti i soggetti coinvolti.

5.3 RAPPRESENTAZIONE DELLE

SUPERFICI SEZIONATE:

TRATTEGGI E CONVENZIONI

■ TRATTEGGIO DI BASE PER SUPERFICI TAGLIATE

Le superfici sezionate - ovvero quelle effettivamente attraversate dal piano di taglio - devono essere chiaramente evidenziate per distinguerle dalle parti semplicemente “in vista”.

La convenzione base prevede:

j tratteggio inclinato a 45° rispetto al contorno principale o agli assi della figura;

j linee sottili ed equidistanti (tipo B secondo UNI 3968);

j spaziatura uniforme, scelta in funzione della grandezza della superficie da evidenziare;

j copertura completa dell’area sezionata, tranne nel caso di superfici molto estese dove si può omettere il tratteggio centrale.

■ TRATTEGGI SPECIFICI PER MATERIALI EDILIZI

Nei particolari costruttivi e negli elaborati esecutivi, è spesso necessario distinguere la natura specifica dei materiali. La norma UNI 3972 stabilisce tratteggi differenziati per:

j materiali edilizi tradizionali:

j muratura in laterizio: tratteggio diagonale con spaziatura media;

j calcestruzzo: puntinatura irregolare o tratteggio fitto;

j legno: linee parallele alla fibratura quando rappresentato in sezione longitudinale;

j materiali isolanti: tratteggio a zig-zag o puntinatura leggera.

Indicazioni grafiche complementari: Quando si utilizzano tratteggi specifici, occorre sempre indicarne chiaramente il significato mediante legenda, note esplicative o abaco dei materiali nel cartiglio della tavola.

5.4 CLASSIFICAZIONE DELLE SEZIONI

■ SEZIONI SECONDO L’ELEMENTO SECANTE

Sezione con un solo piano

L’oggetto è tagliato interamente da un unico piano rettilineo. È la soluzione più semplice e preferita per edifici di forma regolare.

Sezioni con piani paralleli

Si utilizzano due o più piani paralleli distanziati opportunamente per evidenziare dettagli in zone diverse dell’oggetto.

Il cambio del piano di sezione è evidenziato dall’ingrossamento della traccia e dalla corrispondente variazione nella sezione.

➜ Fig. 9 • Sezione di un edificio multipiano.

Sezioni con piani consecutivi o concorrenti

Per og get ti complessi o con geometrie articolate si può ricorrere a piani consecutivi (che si intersecano ad angolo) per ottenere una rappresentazione più completa.

La parte dell’oggetto che risulterebbe di scorcio deve essere ruotata e allineata alla precedente.

■ SEMISEZIONI: TECNICA E MOTIVAZIONI D’USO

La semisezione rappresenta un caso particolare in cui metà della vista è mostrata in sezione e l’altra metà in vista esterna. Questa tecnica si utilizza specificatamente quando:

j l’oggetto presenta simmetria assiale rispetto al piano di taglio;

j si vuole mostrare contemporaneamente la configurazione interna ed esterna;

j lo spazio di disegno è limitato e si desidera ottimizzare le informazioni.

Modalità di rappresentazione:

j la linea di separazione tra parte sezionata e parte in vista è costituita dall’asse di simmetria, rappresentato con linea sottile mista tratto-punto;

j per oggetti non completamente simmetrici occorre indicare comunque la traccia del piano di sezione;

j la semisezione è denominata anche “sezione a un quarto” quando si ottiene proiettando un oggetto sezionato per un quarto della sua estensione.

■ PROIEZIONE E POSIZIONAMENTO DELLE SEZIONI

Regole di proiezione ortogonale

Una volta definito il piano di sezione, la proiezione ortogonale trasferisce sul foglio la forma risultante dall’intersezione.

La vista sezionata deve essere disposta rispettando la posizione del piano di sezione e il verso delle frecce, seguendo rigorosamente le regole delle proiezioni ortogonali.

Le sezioni possono essere posizionate:

j in corrispondenza: direttamente allineate con la traccia del piano di sezione;

j in vicinanza: sul prolungamento della traccia o in posizione laterale;

j secondo il metodo delle frecce: in posizioni indipendenti dalla vista principale, purché chiaramente identificate.

■ RAPPRESENTAZIONE DI ELEMENTI OLTRE IL PIANO DI SEZIONE

Gli elementi situati oltre il piano di sezione (in vista ma non tagliati) vengono rappresentati con:

j linee più sottili rispetto ai contorni sezionati;

j linee tratteggiate per contorni nascosti dietro il piano di taglio;

j tonalità più chiare o linee meno marcate per evidenziare la profondità.

5.5 ESEMPI PRATICI IN AMBITO EDILIZIO

■ RAPPRESENTAZIONE DI UNA SCALA INTERNA

Per una rampa di scale:

j tracciare il piano di sezione longitudinalmente rispetto alla rampa, in modo da attraversare il maggior numero di gradini;

j rappresentare i gradini sezionati con linea grossa, quelli retrostanti con linea fine;

j indicare il verso di salita con freccia sottile continua posizionata al centro della rampa;

j quotare le altezze di alzata, pedata, quota di arrivo e pianerottoli intermedi.

Convenzioni specifiche per le scale:

j in pianta, la rampa viene sempre rappresentata in sezione per facilitare la lettura progettuale;

j due linee simboliche a tratto-punto in diagonale indicano l’interruzione del piano di sezione;

j la freccia direzionale parte dal pianerottolo e arriva al pianerottolo superiore o si ferma all’interruzione.

■ SEZIONE COSTRUTTIVA DETTAGLIATA

Per una muratura esterna con isolamento a cappotto (scala 1:20):

j utilizzare tratteggi specifici per ogni materiale: laterizio, isolante termico, intonaco;

j quotare ogni singolo strato della stratigrafia in centimetri;

j aggiungere note materiali secondo la legenda di tavola per specificare caratteristiche prestazionali;

j evidenziare i nodi critici come attacchi a terra, soglie, aggetti.

5.6 LE SEZIONI NELL’ERA DIGITALE: DAL BIM ALL’AUTOMAZIONE

■ GENERAZIONE AUTOMATICA NEL BIM

Con l’avvento del Building Information Modeling, le sezioni non vengono più tracciate manualmente ma sono generate automaticamente dal modello tridimensionale (➜ Fig. 10). La linea di sezione diventa un oggetto parametrico: spostandola nel modello si ottiene immediatamente la nuova vista, con retini e spessori coerenti con le proprietà dei materiali inseriti.

■ VANTAGGI DELLA GESTIONE DINAMICA

Il modello BIM garantisce:

j coerenza automatica tra tutte le rappresentazioni (piante, sezioni, prospetti);

j aggiornamento in tempo reale: ogni modifica al 3D si riflette istantaneamente su tutte le sezioni; j riduzione degli errori di incongruenza fra tavole diverse;

j integrazione di informazioni: ogni elemento sezionato porta con sé dati su materiali, prestazioni, costi.

Approfondimento DALLE ORIGINI ALL’ERA DIGITALE

LE SEZIONI NEL RINASCIMENTO

L’uso sistematico delle sezioni nel disegno tecnico affonda le sue radici nel Rinascimento italiano. Leonardo da Vinci, nei suoi codici, impiegava già sezioni prospettiche per chiarire la struttura interna di cupole, macchine e organismi anatomici. I suoi disegni, caratterizzati da precisione tecnica e chiarezza espositiva, anticiparono di secoli il linguaggio grafico moderno.

LA CODIFICAZIONE OTTOCENTESCA

La codificazione moderna delle convenzioni di sezione nasce nell’Ottocento con lo sviluppo dell’industria e la necessità di standardizzare il

linguaggio tecnico. La scuola francese di Gaspard Monge (1746‑1818), con la teoria delle proiezioni ortogonali, fornì le basi teoriche per le convenzioni grafiche ancora oggi adottate.

L’UNIFICAZIONE NORMATIVA DEL XX SECOLO Nel Novecento si assiste alla nascita degli enti di unificazione nazionale e internazionale.

In Italia, l’UNI (Ente Nazionale Italiano di Unificazione) sviluppa a partire dagli anni ’50 le norme tecniche per il disegno, confluendo successivamente nelle serie ISO (International Organization for Standardization) adottate a livello mondiale.

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La quotatura nel disegno civile: principi e applicazioni per gli istituti tecnici costruzioni, ambiente e territorio (C.A.T.)

La quotatura rappresenta il cuore operativo del disegno tecnico, trasformando una semplice rappresentazione grafica in uno strumento completo e funzionale.

Nel campo dell’edilizia e delle costruzioni, la quotatura assume un’importanza ancora maggiore, poiché ogni dimensione riportata sui disegni diventerà una misura reale nel cantiere, influenzando la corretta realizzazione dell’opera.

Senza una quotatura precisa, un disegno rimarrebbe una semplice rappresentazione grafica priva di significato operativo.

6.1 DEFINIZIONE E PRINCIPI

FONDAMENTALI DELLA QUOTATURA

La quotatura è un insieme di operazioni grafiche che rendono il disegno tecnico uno strumento operativo completo e funzionale. Attraverso la quotatura si associano al disegno tutte le informazioni dimensionali indispensabili affinché esso possa essere interpretato correttamente e utilizzato per la realizzazione pratica dell’oggetto rappresentato (➜ Fig. 11).

Per svolgere il proprio compito, una corretta quotatura deve soddisfare tre principi fondamentali.

Il primo è la chiarezza, che richiede di eliminare ogni possibile ambiguità nella lettura dei dati dimensionali, assicurando che chi legge il disegno comprenda subito quali sono le misure e a quali parti si riferiscono.

Il secondo principio è la completezza, ovvero la necessità di riportare tutte le dimensioni essenziali, senza lasciare lacune che potrebbero compromettere la realizzazione.

Il terzo, infine, è l’essenzialità , che consiglia di evitare la sovrabbondanza di quote, lasciando solo quelle realmente indispensabili per evitare confusioni o informazioni ridondanti.

La normativa di riferimento per la quotatura è la UNI EN ISO 129-1:2021, che stabilisce i principi generali per la rappresentazione di quote e tolleranze da applicare ai disegni tecnici 2D in tutte le discipline. Questa norma può essere utilizzata anche per le applicazioni 3D e rappresenta l’evoluzione più recente del processo di standardizzazione internazionale.

6.2 GLI ELEMENTI COSTITUTIVI DI UNA QUOTA

■ COMPONENTI BASE E LORO FUNZIONE

Una quota, per essere efficace e leggibile, si compone di diversi elementi standardizzati secondo la normativa UNI.

La linea di quota consiste in una linea sottile, disegnata parallelamente all’elemento misurato, lungo la quale viene posta la misura numerica. Rappresenta la

➜ Fig. 11 • Esempio piante quotate.

distanza da quotare e può indicare dimensioni lineari, angolari o di arco.

Per definire il punto esatto a cui la quota si riferisce, si utilizzano le linee di riferimento o di estensione, che sono linee sottili ortogonali alla linea di quota e collegano quest’ultima agli estremi dell’elemento da misurare. Queste linee hanno la funzione di collegare ciò che si vuole quotare con gli estremi della linea di misura.

Alle estremità della linea di quota si collocano le frecce di quota , la cui funzione è indicare esattamente il limite fino a cui la misura si estende. La normativa prevede che in uno stesso disegno devono essere usate frecce dello stesso tipo per mantenere coerenza grafica.

Il valore numerico, generalmente espresso in millimetri senza indicazione esplicita dell’unità secondo le norme UNI, viene disposto sopra la linea di quota in modo che sia sempre leggibile da destra o dal basso, a seconda dell’orientamento del disegno. È fondamentale che i valori numerici indichino le misure reali indipendentemente dalla scala di rappresentazione utilizzata.

■ SIMBOLI E INDICAZIONI SPECIALI

Quando è necessario fornire ulteriori informazioni specifiche, come diametri di fori, raggi di curvatura o pendenze, si impiegano simboli convenzionali posti accanto o prima del valore numerico, per arricchire la quota senza appesantire il disegno. Nel disegno civile, alcuni elementi richiedono segni grafici e simboli particolari che garantiscano una immediata comprensione.

La quota di un foro circolare viene accompagnata dal simbolo Ø posto prima del valore numerico, mentre per indicare il raggio di una curva si utilizza la lettera R. Gli spessori, invece, vengono spesso indicati con l’abbreviazione sp. seguita dal valore corrispondente, utile soprattutto quando si tratta di materiali o pareti. Per le pendenze e le inclinazioni, invece, si preferisce esprimere il valore in percentuale oppure in forma di rapporto (come 1:10), mentre gli angoli vengono sempre indicati in gradi, minuti e secondi, tramite i simboli convenzionali °, ‘ e ‘’. In ambito topografico è prevalente l’utilizzo del sistema di misura centesimale. Nel caso di quote che non possono essere rappresentate direttamente nel disegno, come accade per alcune dimensioni quando si utilizza una scala ridotta, si ricorre a linee di richiamo e cerchiature per riportarle in modo chiaro ma separato dal disegno principale.

6.3 CLASSIFICAZIONE DELLE QUOTE NEL DISEGNO CIVILE

■ QUOTE FUNZIONALI E NON FUNZIONALI

Le quote possono essere distinte in tre categorie principali, in base alla loro funzione all’interno del processo progettuale ed esecutivo.

Le quote funzionali rappresentano le dimensioni imprescindibili: esse definiscono le caratteristiche determinanti per la costruzione e il corretto funzionamento dell’opera, come ad esempio la distanza tra gli elementi strutturali, gli spessori portanti o gli interassi utili. Senza di esse, la realizzazione risulterebbe impossibile o errata.

Secondo la normativa UNI EN ISO 129-1:2021, una quota si dice funzionale quando è essenziale alla funzione di un oggetto. Nel contesto edilizio, questo principio si traduce nella necessità di quotare con precisione tutte quelle dimensioni che influiscono sulla stabilità strutturale, sulla funzionalità degli spazi e sul rispetto delle normative urbanistiche e edilizie.

Le quote non funzionali invece, pur essendo presenti nel disegno, non sono direttamente necessarie alla fase costruttiva.

Esse possono servire a fini di verifica o controllo, come ad esempio le diagonali di figura che, pur facilitando i controlli dimensionali, non hanno un ruolo operativo nella produzione. Al contrario, una quota è non funzionale quando non è essenziale alla funzione di un oggetto.

■ QUOTE AUSILIARIE

Infine, le quote ausiliarie vengono indicate a scopo meramente informativo, spesso racchiuse tra parentesi, e non devono essere utilizzate nelle fasi esecutive. Queste quote possono fornire dati integrativi utili in fase di progettazione o per ulteriori approfondimenti. Le quote ausiliarie sono riportate a solo titolo informativo, sono deducibili dalla combinazione delle altre quote e devono essere sempre indicate tra parentesi.

Questa classificazione è particolarmente importante nel disegno civile perché permette di distinguere chiaramente quali dimensioni sono vincolanti per l’esecuzione dei lavori e quali hanno invece carattere meramente informativo.

La distinzione assume rilevanza anche dal punto di vista legale, poiché negli elaborati edilizi la misura quotata prevale su quella ricavabile in scala.

6.4 SISTEMI DI QUOTATURA PER IL DISEGNO CIVILE

■ SISTEMA DI QUOTATURA IN SERIE

Il modo in cui le quote vengono disposte sul disegno può variare in base alla complessità e alla tipologia del progetto. Il sistema di quotatura in serie (➜ Fig. 12) prevede che le misure si susseguano una dopo l’altra, sommando le distanze parziali per ottenere la dimensione totale.

Questo metodo è semplice da capire ma può comportare un accumulo di errori se le tolleranze non sono correttamente gestite.

Nel sistema in serie, ogni elemento è quotato rispetto a quello contiguo, pertanto la quotatura in serie è da adottare quando hanno maggior importanza le singole misure tra gli elementi contigui. Tuttavia, presenta un importante svantaggio: l’errore commesso su una misura si ripercuote sulle successive sommandosi agli eventuali ulteriori errori.

Tipi di quote

Tipi di quote

■ SISTEMA DI QUOTATURA IN PARALLELO

Per ovviare a questa criticità, il sistema di quotatura in parallelo (➜ Fig. 13) fa partire tutte le misure da

una linea di riferimento comune, mantenendo quindi una precisione elevata anche in presenza di lievi variazioni o errori locali.

Questo sistema è particolarmente utilizzato in edilizia, perché permette una migliore gestione delle tolleranze e una chiara percezione delle misure reali. Il sistema in parallelo, chiamato anche “Linea base” nei software CAD, si usa quando le quote hanno un’unica origine di riferimento.

Come origini possono essere assunti il centro di un elemento, un asse di simmetria, uno spigolo o altri elementi di riferimento significativi.

Questo sistema evita di accumulare errori progressivi e permette di stabilire tolleranze indipendenti per ogni elemento del pezzo.

■ SISTEMA DI QUOTATURA COMBINATA E A COORDINATE

In molti casi si opta per un sistema di tipo combinato, che associa alcune quote in serie e altre in parallelo, cercando un equilibrio fra semplicità grafica e precisione operativa. Il sistema combinato utilizza contemporaneamente quotatura in serie e quotatura con origine comune, e può soddisfare tutte le esigenze

➜ Fig. 12 • Quote in serie.

in parallelo Quote progressive

Tipi di quote

del disegno costruttivo. Nei casi più complessi, soprattutto per elementi prefabbricati o disegni molto articolati, si adottano sistemi di quotatura a coordinate, basati su un sistema cartesiano di assi che consente di indicare con precisione la posizione di punti, fori o dettagli in due direzioni perpendicolari. Questo sistema è particolarmente efficace quando si devono impiegare macchine a coordinate o comunque strumenti a spostamento progressivo per la tracciatura, l’esecuzione e il controllo dei componenti.

■ QUOTATURA PROGRESSIVA

La quotatura progressiva (➜ Fig. 14) rappresenta un sistema simile a quello in parallelo, ma con la caratteristica distintiva di avere un’unica linea di misura. L’elemento di origine assume la quota 0 e viene marcato con una circonferenza, mentre all’estremo opposto della linea di misura si ha una freccia con il valore numerico. Questo sistema può essere utilizzato efficacemente quando manca lo spazio per la quotatura in parallelo.

6.5 QUOTATURA SPECIFICA PER L’EDILIZIA

■ SISTEMI DI QUOTE PER EDIFICI

Nella generalità dei disegni esecutivi per l’edilizia si indicano diversi sistemi di quote principali. Il sistema delle quote architettoniche esterne e finite definisce il perimetro dell’edificio e le sue dimensioni complessive.

Il sistema delle quote architettoniche interne può essere dato al rustico o finite, definendo la disposizione degli spazi interni. Il sistema delle quote strutturali è essenziale per la definizione degli elementi portanti dell’edificio. Infine, il sistema delle quote di coordinamento modulare viene utilizzato per edifici o parti costituite da componenti modulari. Ogni sistema ha una funzione specifica e contribuisce alla completezza informativa del progetto edilizio.

■ QUOTATURA DI APERTURE E VANI

Nel disegno civile, la quotatura delle aperture richiede convenzioni specifiche.

Per i vani di aperture in muri, in pianta rispetto all’asse del vano si riportano la larghezza L posta in alto, l’altezza H posta in basso, e l’eventuale altezza del davanzale h posta in basso. La quotatura di infissi (porte, finestre) in pianta si esegue mediante il valore della larghezza del vano sopra l’asse e il valore dell’altezza del vano sotto l’asse.

Questa convenzione permette di identificare immediatamente le caratteristiche dimensionali delle aperture, facilitando sia la fase progettuale che quella esecutiva.

È importante notare che nel caso delle finestre, oltre alle dimensioni dell’apertura, spesso viene indicata anche l’altezza del davanzale dal pavimento finito.

■ QUOTE ALTIMETRICHE

Un aspetto fondamentale della quotatura edilizia riguarda le quote altimetriche. Le quote altimetriche andrebbero riferite al livello del mare (quote assolute), ma per semplicità di lettura viene assunto un livello di riferimento (livello 0) a partire dal quale si quotano tutte le altre parti del progetto (quote relative).

I livelli altimetrici si indicano con frecce specifiche accompagnate dai valori numerici.

Nel contesto degli elaborati architettonici, è fondamentale riportare correttamente le quote altimetriche per ogni ambiente, specificando se sono riferite al rustico o al finito.

Le quote altimetriche indicano le altezze di pavimenti, soffitti, eventuali dislivelli o gradini, e vengono riportate mediante simboli e valori posizionati vicino alla piantina, con riferimento a un livello di base condiviso, comunemente indicato come quota zero.

6.6 LA QUOTATURA DI PIANTE CIVILI

NEGLI ISTITUTI TECNICI C.A.T.

■ APPROCCIO DIDATTICO ALLA QUOTATURA

Nel contesto degli Istituti Tecnici per Costruzioni, Ambiente e Territorio, l’insegnamento della quotatura assume un’importanza centrale. In particolare, la quotatura di piante di appartamenti rappresenta un esercizio chiave per consentire agli studenti di applicare concretamente i principi della quotatura normativa al disegno civile. La pianta di un appartamento è una rappresentazione in scala che mostra la disposizione degli ambienti, dei muri di separazione, delle porte, delle finestre e delle altre aperture fisse. Per renderla funzionale alla progettazione e alla realizzazione, è necessario indicare tutte le dimensioni fondamentali, a partire dal perimetro esterno dell’unità abitativa, fondamentale per definire le dimensioni complessive.

■ METODOLOGIA DI QUOTATURA DELLE PIANTE –

OBIETTIVI DIDATTICI

Nel percorso didattico degli istituti C.A.T., gli studenti imparano a realizzare questo tipo di quotatura seguendo un processo strutturato. Innanzitutto, disegnano la pianta di base rispettando la scala scelta, come 1:100, che permette di rappresentare grandezze reali in dimensioni ridotte. Successivamente, inseriscono le quote esterne che descrivono il perimetro, proseguendo con quelle interne di pareti e stanze. Le dimensioni delle aperture vengono quindi annotate con attenzione, soprattutto per quanto riguarda la loro posizione precisa. La fase successiva riguarda la quotatura delle altezze, con particolari simbologie adottate per rappresentare i dislivelli verticali. Infine, si effettua una verifica completa per assicurarsi che tutte le quote funzionali siano presenti, evitando ridondanze e ambiguità.

■ ELEMENTI ESSENZIALI

DELLA QUOTATURA ARCHITETTONICA

Successivamente devono essere quotate le suddivisioni interne, cioè le pareti divisorie che separano i vari vani. Ogni stanza deve avere dimensioni di lunghezza e larghezza precise e comprensibili (➜ da Fig. 15 a Fig. 21). A questo si aggiunge la quotatura dettagliata delle aperture, con l’indicazione puntuale delle larghezze e altezze di porte e finestre, e della loro posizione rispetto ai muri adiacenti. La corretta disposizione delle quote, posizionandole all’esterno degli elementi grafici e mantenendo uno spazio sufficiente per la leggibilità, è un’abilità che si apprende

con esercitazioni pratiche. Si insegna a distinguere tra quote funzionali, essenziali per la realizzazione e il controllo, e quote ausiliarie che forniscono informazioni aggiuntive senza interferire con l’operatività. Questa metodologia di lavoro consente di sviluppare una visione integrata tra le conoscenze teoriche della normativa UNI, l’applicazione pratica nel disegno tecnico, e le esigenze reali del cantiere. Con questo approccio, gli studenti e le studentesse si formano nell’arte di trasformare un semplice disegno in un documento tecnico completo e utilizzabile, fondamentale per la progettazione, la realizzazione e il controllo di un’opera edilizia.

6.7 ASPETTI NORMATIVI E LEGALI DELLA QUOTATURA EDILIZIA

■ PREVALENZA DELLA MISURA QUOTATA

Un aspetto di fondamentale importanza nel disegno civile riguarda il principio secondo cui la misura quotata prevale su quella ricavabile in scala. Questa regola è necessaria affinché la Pubblica Amministrazione competente sia messa in condizione di valutare la corretta consistenza dell’immobile e la piena conformità dell’intervento alla disciplina urbanistico­edilizia. Negli elaborati edilizi, le carenze di quotature e rappresentazione grafica possono essere interpretabili come abuso edilizio. La discordanza risultante tra misura quotata e quella oggettivamente misurabile in scala col righello può generare problematiche interpretative. Per questo motivo, nei regolamenti edilizi comunali è spesso riportata la regola di prevalenza delle quotature rispetto alle misure ricavabili non quotate.

■ COMPLETEZZA E VALIDITÀ DEGLI ELABORATI

L’assenza delle quotature nei progetti edilizi potrebbe evidenziare irregolarità dell’immobile. La carenza di rappresentazione e quotature potrebbe configurare incompletezza sostanziale del titolo abilitativo edilizio, con possibili scenari di annullamento futuro. In tutte le scuole tecniche e corsi di laurea viene insegnato che le rappresentazioni grafiche progettuali e dei rilievi tecnici devono contenere le quotature, secondo le convenzioni internazionali.

Questa attenzione alla precisione della quotatura non è solo una questione tecnica, ma assume rilevanza legale nelle pratiche edilizie. La completezza e l’accuratezza delle quotature garantiscono la validità degli elaborati progettuali e prevengono possibili contenziosi futuri.

Progetto di una casa monofamiliare

Progetto di una casa monofamiliare

Pianta scala 1:100

Pianta scala 1:100

Soggiorno Pranzo Salotto

Salotto

Soggiorno Pranzo

➜ Fig. 15 • Progetto di una casa monofamiliare. Pianta - scala 1:100 ➜ Fig. 16 • Progetto di una casa monofamiliare. Sezione A-A - scala 1:100

Sezione A-A scala 1:100

Sezione A-A scala 1:100

Bagno Bagno

Bagno Bagno

Ingresso

Ingresso

Cabina Armadio

Cabina Armadio

Progetto di una casa monofamiliare

Approfondimento

L’EVOLUZIONE DELLE NORME DI QUOTATURA

DALLA UNI ISO 129-1:2011 ALLA UNI EN ISO 129-1:2021

La normativa sulla quotatura ha subito importanti aggiornamenti negli ultimi anni. La norma UNI EN ISO 129 1:2021, entrata in vigore il 18 marzo 2021, rappresenta l’evoluzione della precedente UNI ISO 129 1:2011. Questo aggiornamento ha introdotto precisazioni importanti per l’utilizzo con i moderni sistemi CAD e ha armonizzato ulteriormente le convenzioni internazionali.

La nuova norma mantiene la struttura generale dei principi di quotatura, ma introduce specificazioni più precise per l’uso in ambiente digitale. Stabilisce i principi generali per la rappresentazione di quote e tolleranze da applicare ai disegni tecnici 2D in tutte le discipline, con possibilità di utilizzo anche per applicazioni 3D. Questo aggiornamento è

particolarmente significativo per gli istituti tecnici, dove l’insegnamento del disegno tecnico deve essere sempre allineato con le normative più recenti.

RIFERIMENTI NORMATIVI AGGIORNATI

Oltre alla norma principale UNI EN ISO 129 1:2021, rimangono valide le norme UNI 3973, 3974, 3975, 3976 per definizioni di base, sistemi di quotatura e rappresentazione di tolleranze.

Nel disegno meccanico o industriale, le quote devono sempre essere espresse in millimetri senza unità esplicita, con disposizione secondo criteri di leggibilità ed evitando sovrapposizioni. Nel disegno civile prevale l’utilizzo del metro o del centimetro. La distinzione tra quote funzionali, non funzionali e ausiliarie rimane conforme alla UNI ISO 129 1.

VERIFICA LE CONOSCENZE

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere (V) o false (F).

1. Il disegno artistico e il disegno tecnico hanno gli stessi principi e convenzioni.

2. Il disegno tecnico è un linguaggio universale comprensibile da professionisti di diversi Paesi.

3. Una scala di rappresentazione 1:100 significa che 1 cm sul disegno corrisponde a 1 metro reale.

4. La scala 1:1 viene utilizzata principalmente per rappresentare edifici completi.

5. Lo scalimetro è uno strumento triangolare che riporta diverse scale graduate.

6. Secondo la norma UNI EN ISO 5455, la scala è il rapporto tra la dimensione rappresentata e quella reale.

7. La norma UNI EN ISO 128-2:2023 riguarda i tipi di linee nel disegno tecnico.

8. Una linea continua grossa viene utilizzata per i contorni nascosti.

9. La linea mista a punto e tratto lungo viene utilizzata per indicare gli assi di simmetria.

10. Lo spessore di una linea spessa deve essere circa il doppio di una linea sottile.

11. La campitura del legno in sezione viene rappresentata con tratteggio incrociato.

12. La campitura del calcestruzzo viene rappresentata con puntinato con inserimento di elementi che simboleggiano gli inerti lapidei.

13. Il disegno edile ha una sola funzione: la rappresentazione grafica.

14. Le piante architettoniche rappresentano sempre una sezione orizzontale a quota 1,50 m dal piano di calpestio.

15. Una sezione edilizia è un taglio verticale dell’edificio che visualizza i rapporti spaziali tra i vari livelli.

16. La norma UNI 3971 definisce la sezione come la rappresentazione mediante proiezioni ortogonali.

17. La traccia del piano di sezione in pianta viene indicata con una linea continua sottile.

18. Una semisezione viene utilizzata quando l’oggetto presenta simmetria assiale rispetto al piano di taglio. V F

19. La quotatura è l’insieme di operazioni grafiche che rendono il disegno tecnico uno strumento operativo completo.

20. La norma di riferimento per la quotatura è la UNI EN ISO 129-1:2021.

F

21. Una quota funzionale è essenziale alla funzione di un oggetto e indispensabile per la costruzione. V F

22. Nel sistema di quotatura in serie, ogni elemento è quotato rispetto a quello contiguo. V F

23. Il sistema di quotatura in parallelo fa partire tutte le misure da una linea di riferimento comune. V F

24. Le quote ausiliarie vengono sempre utilizzate nelle fasi esecutive del cantiere. V F

25. Nel disegno civile, la misura quotata prevale su quella ricavabile in scala. V F

26. BIM (Building Information Modeling) è un approccio digitale tridimensionale che integra grafica e dati. V F

27. Il disegno di rilievo rappresenta lo stato di fatto, cioè ciò che esiste realmente. V F

28. La tavola sinottica rappresenta la sovrapposizione tra lo stato di fatto e lo stato di progetto. V F

Sviluppa le abilità

Sviluppa le abilità

SVILUPPA LE ABILITÀ

Sulla base della pianta del piano tipo di seguito riportata, con riferimento all’unica quota inserita, rileva le tre unità immobiliari, ridisegnale in scala 1:100 e 1:50 e quotare ciascuna di esse.

Sulla base della pianta del piano tipo di seguito riportata, con riferimento all’unica quota inserita, rileva le tre unità immobiliari, ridisegnale in scala 1:100 e 1:50 e quotare ciascuna di esse.

Pianta piano tipo scala 1:100

SEZIONE

L’ORGANISMO EDILIZIO

MATERIALE:

IL CALCESTRUZZO

Il calcestruzzo è un materiale da costruzione resistente e versatile, facile da impiegare in cantiere e capace di adattarsi a forme complesse, usato per costruire edifici, ponti, strade e infrastrutture di ogni tipo. Si ottiene mescolando il cemento con sabbia, ghiaia e acqua: il cemento è il “legante” mente la sabbia e la ghiaia danno volume e resistenza. È un materiale che ha accompagnato gli esseri umani lungo la storia, dalle antiche civiltà fino all’era moderna. I Romani furono tra i primi a innovarlo, realizzando un cemento idraulico a base di cenere vulcanica. Dopo un periodo di abbandono nel Medioevo, il cemento tornò in uso nel Settecento e fu perfezionato nel XIX secolo con l’invenzione del cemento Portland, che ne sancì la diffusione globale. Nel Novecento, grazie a figure di spicco come Pier Luigi Nervi, il calcestruzzo dimostrò anche le sue potenzialità estetiche, diventando protagonista di edifici iconici che univano funzionalità e bellezza. Oggi, con l’avvento delle tecnologie digitali, strumenti come la stampa 3D e la modellazione parametrica permettono di creare forme più fluide e complesse, aprendo nuove prospettive nell’edilizia. Tuttavia, la produzione di cemento rimane una delle principali cause di emissioni di CO2 , e la sfida contemporanea è conciliare le prestazioni tecniche con la sostenibilità ambientale. In questa direzione si collocano le innovazioni dei cementi ecologici permeabili, capaci di favorire il drenaggio dell’acqua, ridurre i ristagni e contribuire al raffrescamento urbano. Il calcestruzzo resta dunque un materiale solido e versatile, simbolo di continuità tra tradizione e innovazione, ma il suo futuro dipenderà dalla capacità di ripensarne l’uso in chiave ecologica.

Durabilità: una struttura in cemento ben progettata può durare decenni, riducendo sprechi e manutenzioni.

Riciclabilità: può essere demolito, frantumato e riutilizzato.

Inerzia termica: contribuisce a mantenere stabile la temperatura interna degli edifici, migliorando l’efficienza energetica.

orientamento

IL RUOLO DEL GEOMETRA

Le competenze fondamentali includono il:

→ valutare il tipo di cemento più adatto all’opera; → controllare la qualità del materiale in cantiere; → supervisionare la posa in opera e la corretta maturazione;

→ promuovere soluzioni sostenibili e innovative.

SVANTAGGI AMBIENTALI E CRITICITÀ

Emissioni: elevate emissioni di CO₂ durante il processo produttivo.

Sostenibilità: alto consumo di risorse naturali (calcare, argilla, sabbia, acqua).

Rifiuti lavorazione: smaltimento complesso dei rifiuti da demolizione, che richiede impianti e normative specifiche.

IL PROGETTO

CI OCCUPEREMO DI...

1. L’attività di progettazione

2. Le fondazioni

3. La sovrastruttura

4. Coperture

5. Infissi e serramenti

6. Disegno degli impianti

7. Disegno delle strutture

1

L’attività di progettazione

Il progetto è un insieme di azioni precise, mirate a creare qualcosa di nuovo o a perfezionare qualcosa di esistente, in grado di fornire un risultato specifico entro un termine definito, individuando i bisogni da soddisfare e le modalità per attuarle. È evidente che si tratta di una iniziativa mentale, unica e complessa, finalizzata al raggiungimento di uno specifico obiettivo, attraverso un delicato processo di pianificazione, esecuzione e controllo di risorse ed attività che presenta vincoli interdipendenti di costi, tempi e qualità del lavoro. In particolare, in edilizia, il progetto è un insieme di tavole grafiche, calcoli e relazioni (sia descrittive che fotografiche) che costituiscono lo studio preparatorio di un’opera di ingegneria o di architettura. Indipendentemente dal tipo di progetto che si sta af-

➜ Fig. 1

frontando occorre porsi una domanda: quali sono le caratteristiche e le funzioni che offrono il massimo beneficio al progetto e quali, al contrario, possono causare il maggior rischio di insuccesso?

Per dare una risposta a questa domanda occorre inevitabilmente avviare un’attività di ricerca volta a raccogliere tutte le informazioni necessarie rispetto al problema da affrontare e a documentare, nel modo più esaustivo possibile, le informazioni ricavate. Questa attività di ricerca e documentazione rappresenta un fatto culturale; quanto maggiore è la cultura del progettista tanti più elementi vengono presi in considerazione e correlati tra loro per consentire di giungere ad un progetto organico e funzionale.

Volendo rappresentare con un diagramma di flusso l’attività di progettazione sopra descritta la si potrebbe sintetizzare nel grafico seguente ( ➜ Fig. 2):

Individuazione dei problemi e dei bisogni da soddisfare

Attività di ricerca e di documentazione

Sintesi progettuale

Produzione degli elaborati

➜ Fig. 2

2 Le fondazioni

Le fondazioni sono elementi strutturali dell’edificio che ricevono i carichi provenienti dalla sovrastruttura e li diffondono sul suolo. È evidente che il tipo di fondazione dipende necessariamente sia dal tipo di edificio da costruire (a telaio, in muratura, …) che dalla natura del terreno sul quale viene realizzato. Le fondazioni si dividono in due grandi gruppi: superficiali o dirette e profonde o indirette.

Le fondazioni superficiali sono quelle più comuni, utilizzate nel caso di edifici costruiti su terreni senza particolari problemi di resistenza. Il tipo di fondazione diretta viene individuato in base alla struttura portante dell’edificio. In particolare si possono avere:

j fondazioni a plinto: sono le strutture più semplici tra le fondazioni superficiali, isolate, tipicamente costituite da un blocco in conglomerato cementizio armato a forma di parallelepipedo a base quadrata o rettangolare. Vengono utilizzate per strutture a telaio e, nel caso ricevano carichi elevati, viene allargata la base del plinto ottenendo una sezione verticale dalla classica forma tronco-piramidale o a T rovesciata. Per assicurare una maggiore collaborazione tra i plinti si ricorre spesso a collegamenti reciproci realizzati con cordoli in conglomerato cementizio armato (collegamenti obbligatori per gli edifici realizzati in zona sismica);

j fondazioni a trave rovescia: si tratta di elementi strutturali a sviluppo lineare dalla classica forma di T capovolta rispetto ad una trave tradizionale, realizzati in conglomerato cementizio armato, che scaricano i pesi strutturali provenienti dai telai su un’ampia superficie di terreno. Queste fondazioni sono particolarmente utile in presenza di suoli con caratteristiche di resistenza variabili o di cedimenti differenziali (➜ Fig. 3);

j fondazioni a cordolo continuo: sono fondazioni dirette che si sviluppano lungo il perimetro di un edificio, o di una parte di esso, realizzate in conglomerato cementizio armato o non armato. Vengono realizzate con un allargamento continuo della base del muro portante, progettato per distribuire uniformemente i carichi sul terreno; j fondazioni a platea: vengono utilizzate per scaricare i peri trasmessi da strutture particolari o in presenza di terreni particolarmente deboli. Le fondazioni a platea possono essere considerate come lo sviluppo delle fondazioni a trave rovescia, con l’aggiunta di un solettone inferiore e di nervature secondarie, ortogonali rispetto alla direzione delle travi rovesce, per garantire un ulteriore irrigidimento della struttura.

Le fondazioni profonde vengono realizzate quando il terreno ha una scarsissima capacità portante superficiale o nel caso in cui la capacità portante sia rinvenibile a notevole profondità.

Le fondazioni profonde consistono nella realizzazione, al di sotto dei plinti superficiali che in questo caso fungono esclusivamente da elementi di collegamento, di pali in conglomerato cementizio armato infissi nel terreno o trivellati.

Il carico proveniente dalla struttura viene trasmesso dai pali al terreno attraverso la resistenza all’attrito che si sviluppa sulla superficie laterale di ciascun palo o direttamente dalla punta del palo ovvero parte per attrito e parte dalla punta.

Indipendentemente dal tipo di fondazione, l’area sulla quale devono essere realizzate le opere di fondazione viene sbancata per eliminare lo strato di terreno superficiale di portanza scarsa o nulla e per realizzare una superficie di lavoro piana e regolare.

Approfondimento LO SCAVO DI SBANCAMENTO

Lo scavo di sbancamento è un’operazione di movimento terra che prevede la rimozione di una quantità significativa di terreno o roccia per creare una superficie piana o per la realizzazione di opere come fondazioni, strade, o altre costruzioni. Si caratterizza per una superficie orizzontale ampia rispetto alla profondità dello scavo, permettendo l’accesso diretto di macchinari per il carico del materiale.

3 La sovrastruttura

In edilizia, la sovrastruttura è la parte di edificio che si erge dalle fondazioni. La sovrastruttura è composta da tutti gli elementi strutturali che sostengono il peso dell’edificio e lo trasmettono alle fondazioni e dalle parti che, pur non avendo funzione portante, contribuiscono alla protezione, finitura o funzionalità dell’edificio stesso garantendo la protezione dall’ambiente esterno, l’isolamento termico e acustico, la gestione dell’umidità e la sicurezza strutturale.

La sovrastruttura è composta essenzialmente da: elementi verticali (strutture verticali portanti e di tamponamento) sia opachi che trasparenti ( ➜ Fig. 4), elementi orizzontali e suborizzontali (solai e coperture piane e inclinate) ed elementi obliqui di collegamento (rampe e scale).

3.1 INVOLUCRI VERTICALI

Il più semplice degli involucri verticali opachi è costituito dalla parete realizzata in laterizio portante che può essere sia perimetrale che interna all’edificio. Lo spessore della parete deriva da una serie di calcoli statici che garantiscono la stabilità strutturale dell’edificio ( ➜ Fig. 5).

Negli edifici con struttura portante intelaiata (sia realizzata in conglomerato cementizio armato che,

Involucri verticali - scale varie

meno frequentemente, con telaio metallico) composta da un sistema di travi (elementi disposti orizzontalmente) e pilastri (elementi disposti verticalmente) accade spesso che gli elementi strutturali siano inglobati nello spessore della parete di tamponamento (disposti sul perimetro dell’edificio) o nelle pareti divisorie interne (➜ Fig. 6).

Le pareti prive di funzione portante che separano gli ambienti adiacenti, dette anche tramezze, costituiscono i cosiddetti involucri verticali opachi non portanti (➜ Fig. 7).

In funzione della scala del disegno si possono avere diversi tipi di rappresentazione grafica: j in scala 1:100 si rappresentano solo le linee che individuano le superfici dell’involucro utilizzando una linea continua di spessore 0,4 o 0,5 millimetri, risvoltata in corrispondenza delle aperture (porte e finestre). Non si rappresentano né la stratigrafia dell’involucro né le parti strutturali portanti;

j in scala 1:50 si rappresentano, come nel caso visto in precedenza, le linee che individuano le superfici dell’involucro utilizzando una linea continua di spessore 0,4 o 0,5 millimetri, risvoltata in corrispondenza delle aperture. Essendo la scala 1:50 doppia rispetto alla scala 1:100 è possibile rappresentare graficamente, con una linea di spessore 0,4 o 0,5 millimetri, i pilastri in conglomerato cementizio armato tracciandone il contorno ed eventualmente campendolo con una colorazione marcata o, con una linea di spessore 0,6 millimetri, i pilastri metallici realizzati con profilati siderurgici. È altresì possibile accennare graficamente all’eventuale stratigrafia che caratterizza l’involucro verticale (➜ Fig. 8);

➜ Fig. 6 • Muro di tamponamento. Scala 1:20.

➜ Fig. 7 • Tramezza interna. Scala 1:20.

➜ Fig. 8 • Parete interna. 1

j in scala 1:20, in scala 1:10 e in scala 1:5 si rappresentano i particolari costruttivi dove, con accuratezza di dettaglio, si indica la composizione di tutte le parti (materiali e spessori) che costituiscono l’involucro verticale (➜ Fig. 9).

Gli involucri verticali trasparenti costituiscono un elemento fondamentale degli edifici in quanto possono chiudere le bucature di porte e finestre presenti

Fig. 9 • Parete esterna. Scala 1:20.

nei prospetti realizzati con involucri verticali opachi fino a sostituirsi ad essi come nel caso di intere pareti vetrate (➜ Fig. 4).

Anche in questo caso la rappresentazione grafica dipende inevitabilmente dalla scala del disegno: j in scala 1:100 si rappresentano con linee continue di spessore 0,15 o 0,2 millimetri che individuano la superficie dell’involucro; j in scala 1:50 si rappresentano con due linee continue di spessore 0,15 millimetri che individuano le superfici interna ed esterna dell’involucro; j in scala 1:20, in scala 1:10 e in scala 1:5 si rappresentano i particolari costruttivi dove, con accuratezza di dettaglio, si possono indicare la composizione di tutte le parti (materiali e spessori) che costituiscono l’involucro verticale ed i sistemi di fissaggio alle pareti.

3.2 INVOLUCRI ORIZZONTALI E SUBORIZZONTALI

Involucri orizzontali e suborizzontali - NON in scala

Gli involucri orizzontali, comunemente detti solai, sono quegli elementi che costituiscono le partizioni orizzontali degli edifici. Esistono tre tipi di solai: j i solai controterra sono il primo tipo di orizzontamento di un edificio, situati direttamente sopra le fondazioni e a contatto con il terreno, costituiscono il pavimento del piano terra. La loro fun-

Involucri orizzontali e suborizzontali - NON in scala

Figura 2.7

Solaio controterra

Figura 2.7

zione principale è quella di separare il terreno dall’ambiente interno, evitando la risalita dell’umidità e garantendo un adeguato isolamento termico e acustico. Oggigiorno la soluzione più comune è quella che vede la realizzazione dei solai controterra mediante l’impiego di elementi in plastica che sostituiscono il vespaio areato, garantendo la separazione del pavimento dal terreno (➜ Fig. 10); j i solai intermedi sono strutture orizzontali che dividono i diversi piani di un edificio, fungendo da soffitto per il piano inferiore e da pavimento per quello superiore. I più comuni sono realizzati in laterocemento, in legno, in acciaio. I solai intermedi sono una componente essenziale della struttura di un edificio, in grado di trasmettere i carichi verticali e garantire l’isolamento termoacustico tra i piani (➜ Fig. 11); j i solai di copertura sono strutture piane o inclinate che chiudono superiormente un edificio e separano gli ambienti interni dall’esterno, proteggendoli dagli agenti atmosferici come pioggia, neve e vento. Anche in questo caso sono generalmente realizzati in laterocemento, in legno o in acciaio. Sono una componente fondamentale per l’isolamento termico e acustico, oltre che per la stabilità strutturale dell’edificio (➜ Fig. 12).

Per quanto riguarda le regole di rappresentazione grafica vale quanto detto per gli involucri verticali.

Fig. 10

2.8

Solaio intermedio

Figura 2.8

Solaio controterra Solaio intermedio

Materiale inerte compatto 1

Massetto in cls 2

Elementi plastici di alleggerimento 3

Soletta in C.A. 4

Materiale inerte compatto 1

Strato coibente 5

Massetto in cls 2

Elementi plastici di alleggerimento 3

Guaina impermeabile 6

Massetto in CA carrabile 7

Soletta in C.A. 4

Strato coibente 5

Guaina impermeabile 6

Massetto in CA carrabile 7

Intonaco 1

Laterizio di alleggerimento 2

Struttura portante in C.A. 3

Massetto in cls a basso dosaggio di legante 4

Strato coibente 5

Intonaco 1 Laterizio di alleggerimento 2

Guaina impermeabile 6 Sottofondo in cls 7 Pavimento 8

Struttura portante in C.A.

Figura 2.9

➜ Fig. 12

3.3 INVOLUCRI INCLINATI

Gli involucri inclinati sono percorsi pedonali che servono per collegare due o più piani che si trovano a livelli diversi.

Gli involucri inclinati si distinguono in: j rampe, caratterizzate dal presentare una superficie calpestabile inclinata, liscia e priva di gradini;

➜ Fig. 13

1

Laterizio di alleggerimento 2

Struttura portante in C.A. 3

Barriera al vapore 4

Strato coibente 5

Membrana impermeabile 6

7 Terra vegetale 11

Strato desolarizzante (sabbia) 7

Cappa in C.A. 8

Strato drenante (ghiaietto fine) 9

Strato filtrante (geotessile) 10

j scale, caratterizzate dalla presenza di gradini. Le scale, di fatto, possono essere considerate delle rampe sulle quali sono presenti i gradini posti in successione e, per tale motivo, si parla di rampa della scala. Le parti che costituiscono la scala sono (➜ Fig. 13): j i gradini: sono gli elementi principali che costituiscono la scala. Sono caratterizzati dalla pedata

(parte orizzontale sulla quale poggia il piede), dall’alzata (dislivello tra due pedate consecutive) e dalla larghezza che consente il passaggio dell’utilizzatore;

j la rampa: successione di gradini che, al fine di facilitarne l’uso senza provocare eccessivo affaticamento, è bene che sia limitata ad un massimo di 15 consecutivi. Le rampe che costituiscono una scala devono preferibilmente avere tutte lo stesso numero di gradini. La larghezza della rampa deve consentire il passaggio agevole di una persona nel caso di scala interna all’alloggio (almeno 80 cm) o di due persone nel caso di scala condominiale (almeno 120 cm);

j il pianerottolo di sosta: superficie orizzontale di defaticamento posta tra due rampe in successione qualora il numero di gradini superi le 15 unità. Il pianerottolo di sosta deve avere una profondità pari almeno alla larghezza della rampa;

j il pianerottolo di sbarco : superficie orizzontale posta in corrispondenza di ciascun piano su cui si aprono le porte di accesso agli ambienti e quella dell’ascensore, se presente. Il pianerottolo di sbarco deve avere una profondità di almeno 150 cm al fine di agevolare ogni tipo di manovra della sedia a rotelle nel caso di persone con ridotta capacità motoria;

j il pozzo : spazio vuoto che si crea attorno alle rampe di una scala nel quale può trovare alloggiamento il vano ascensore;

j il vano scala: spazio all’interno di un edificio, de-

limitato da pareti, che contiene le scale, i pianerottoli e le rampe che permettono il collegamento tra i diversi piani;

j il corrimano: elemento continuo e di facile impugnatura posto all’altezza di almeno 1 metro dalla base della rampa che offre solido appoggio all’utilizzatore;

j la ringhiera: elemento che chiude la scala, collocato al di sotto del corrimano, per impedire la caduta verso l’eventuale parte libera.

Esistono innumerevoli forme di scale che si adattano perfettamente ai vani che le contengono (➜ Fig. 14).

■ RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

Le scale vanno rappresentate in scala adeguata (1:100 o 1:50) con le stesse modalità grafiche viste per gli involucri verticali; nel caso di rappresentazione di un particolare costruttivo si deve fare ricorso a scale maggiori (1:20 o 1:10).

La rappresentazione tipica di una scala prevede almeno tre elaborati in pianta: uno che rappresenta la partenza, uno relativo ad un piano intermedio e uno che descrive l’arrivo, consentendo così di evidenziare gli elementi in vista, ipotizzando di sezionare il vano scala con un piano orizzontale posto ad un’altezza indicativa di almeno 50 cm. Al centro della rampa va indicato con un tratto continuo, provvisto di freccia all’estremità, il senso di salita della scala che può essere indifferentemente destrorso o sinistrorso (➜ Fig. 15, 16 e 17).

Il disegno della scala viene completato con una se➜ Fig. 14

zione verticale longitudinale, posta nella mezzeria della rampa, che segue le stesse modalità di rappresentazione grafica già utilizzate nelle piante e che taglia verticalmente una serie di rampe. La sezione deve contenere le indicazioni dell’intero sviluppo verticale delle rampe, dal piano posto alla quota inferiore (interrato, se presente, o terra) fino all’ultimo piano servito e deve fornire le quote altimetriche in corrispondenza dei pianerottoli sia di sbarco che intermedi (➜ Fig. 16 e 17).

■ PROGETTO

Le dimensioni indicative di un gradino sono solitamente 30 cm (pedata) e 15/17 cm (alzata). Per garantire un adeguato rapporto tra l’alzata (A) e la pedata (P) che costituiscono il gradino, affinché l’utilizzatore possa percorrere agevolmente la scala in salita, viene solitamente utilizzata la formula empirica di Nicolas-François Blondel

2A + P = 62/64 cm

Per progettare una rampa occorre conoscere il dislivello da superare e dividerlo per un numero compreso tra 15/17. Si ottiene così un numero, solitamente non intero, che va approssimato al numero intero corrispondente. Dividendo il dislivello da superare per il numero ottenuto si ricava l’altezza del gradino. Si applica ora la formula di Blondel per determinare la profondità della pedata che viene arrotondata al numero intero corrispondente. Poiché è bene non avere più di 15 gradini consecutivi, si divide il numero totale di gradini per 2 e si determina la posizione del pianerottolo di sosta. La larghezza della scala determina (80 cm scala interna all’alloggio, 120/160 scala ad uso pubblico) la profondità del pianerottolo di sosta.

➜

Involucri verticali - scale varie

Vano scale - Pianta piano terra scala 1:50

Vano scale - Sezione A-A scala 1:50

+466,76

+200,04 +0,00

+333,40

+133,36

+0,00

Esempio:

dislivello da superare: 280 cm (interpiano) + 45 cm (solaio + finiture)

scala condominiale: larghezza 120 cm si ipotizza un’alzata di 16 cm (compresa tra 15 e 17 cm) e si calcola il numero di gradini

(280 + 45) / 16 = 20,3125 approssimato a 20 gradini si calcola ora l’alzata

(280 + 45) / 20 = 16,25 cm applicando la formula di Blondel si determina la misura della pedata (assumendo 62 per limitare l’ingombro della scala)

2 x 16,25 + P = 62

P = 62 – 2 x 16,25 = 29,5 approssimato a 30 cm

La scala sarà così composta: una prima rampa larga 120 cm composta da 9 gradini, un pianerottolo di sosta (corrispondente al 10 gradino) profondo 120 cm e una seconda rampa larga 120 cm composta da 9 gradini. Il pianerottolo di sbarco avrà una profondità di 150 cm. Ipotizzando il pozzo di 20 cm di larghezza per consentire l’incrocio dei corrimani, il vano scala misurerà complessivamente (150 + 30 x 9 + 120) cm di lunghezza e (120 + 20 + 120) cm di larghezza ossia 5,40 x 260 m.

4 Coperture

Le coperture degli edifici, comunemente conosciute come tetti, rappresentano parti essenziali dell’involucro edilizio. La loro funzione principale consiste nel:

j sostenere i carichi strutturali come il peso proprio, il carico di neve e la spinta del vento;

j proteggere la struttura dai fenomeni atmosferici impedendo all’acqua piovana, alla neve e alla polvere di infiltrarsi e di mantenere gli spazi interni dell’edificio salubri e sicuri;

j migliorare il benessere termico consentendo di mantenere una temperatura interna adeguata, riducendo le dispersioni termiche invernali e il surriscaldamento in estivo;

j migliorare il benessere acustico attutendo i rumori esterni migliorando così il comfort sonoro.

I tetti si distinguono in due tipologie: i tetti piani, e i tetti a falde. I tetti piani sono costituiti da superfici orizzontali o leggermente inclinate per agevolare il deflusso dell’acqua, spesso utilizzati in contesti residenziali e commerciali.

Possono essere praticabili come nel caso di terrazze, giardini pensili e superfici carrabili o non praticabili come nel caso in cui è normalmente interdetto l’accesso alle persone se non per eseguire operazioni di manutenzione. I tetti piani hanno generalmente una pendenza compresa tra l’1% e il 5%. I tetti a falde sono un tipo di copertura costituita da una o più superfici inclinate, dette falde, che si intersecano tra di loro individuando specifiche linee che prendono nomi diversi a seconda della posizione assunta (➜ Fig. 18).

I più comuni tetti a falde sono il tetto a leggio (costituito da una sola falda), il tetto a capanna (composto da due falde) e il tetto a padiglione (costituito da quattro falde). Un particolare tipo di tetto a falde è il tetto a mansarda, caratterizzato da una forma a doppia falda inclinata, che permette di ricavare spazi abitabili nel sottotetto.

Gli elementi principali che costituiscono la copertura di un edificio sono (➜ Fig. 19):

j la falda o spiovente: superficie inclinata di un tetto che permette il deflusso delle acque meteoriche. La pendenza della falda è un fattore importante nella progettazione del tetto poiché determina l’efficacia del drenaggio dell’acqua;

j la linea di colmo: è l’elemento fondamentale che chiude la parte superiore del tetto, individuata dall’incontro tra le due falde divergenti adiacenti, che si estende lungo la parte più alta della struttura;

j la linea di compluvio: è la linea di intersezione di due falde inclinate di un tetto che formano un angolo concavo, dove le acque piovane convergono spontaneamente;

j la linea di displuvio: è la linea di intersezione di due falde inclinate di un tetto che formano un angolo convesso, dove le acque piovane si separano spontaneamente e defluiscono in direzioni opposte;

j la linea di bordo: è la linea inclinata che costituisce il limite laterale di una falda del tetto, separandola dalla facciata o da altre parti dell’edificio;

j la linea di gronda: è la linea che individua il bordo inferiore di un tetto inclinato lungo la quale si installano le grondaie che raccolgono e convogliano a terra le acque meteoriche;

j la monta: è la distanza tra il piano di imposta del tetto e la linea di colmo;

j lo sporto: parte di copertura a falda aggettante che sporge oltre le pareti perimetrali dell’edificio fino alla linea di gronda o fino alla linea di bordo;

j la cartella: zona a superficie verticale disposta tra due falde;

j il manto di copertura: è la parte di finitura esposta alle intemperie che appoggia sulla struttura del tetto; può essere discontinua se realizzata con elementi che garantiscono la tenuta all’acqua grazie al loro sormonto come nel caso di laterizi (tegole, marsigliesi, portoghesi, coppi, embrici, lastre di lamiera, di fibrocemento o di resina, ...) o continua se realizzata con elementi di grandi dimensioni sovrapposti e saldati insieme (rotoli di fibre bituminose) o con resine;

j i canali di gronda o grondaie: elementi metallici o di materiale plastico che, posizionati orizzontalmente lungo la linea di gronda, raccolgono le acque provenienti dalle falde;

j i tubi pluviali o pluviali: elementi metallici o di materiale plastico che, posizionati verticalmente in corrispondenza degli imbocchi presenti lungo le grondaie, raccolgono le acque provenienti da esse per convogliarle a terra.

4.1 TRACCIAMENTO GEOMETRICO

Il tracciamento di un tetto dipende da diversi fattori che definiscono l’aspetto dell’edificio e il risultato finale della progettazione architettonica. Un tetto può essere tracciato liberamente senza imporre vincoli di sorta dal punto di vista geometrico se non quello di consentire il naturale deflusso delle acque meteoriche. Tuttavia esiste un metodo classico, detto metodo delle bisettrici, per il tracciamento del tetto a falde di un edificio che vincola la copertura ad avere tutte le falde con la stessa inclinazione e la linea di gronda orizzontale posta alla stessa quota. Questo metodo sfrutta la regola della geometria euclidea secondo la quale la retta di intersezione di due piani aventi la medesima inclinazione altro non è che la bisettrice dell’angolo formato dalle tracce dei suddetti piani sul piano orizzontale di riferimento.Per quanto riguarda le geometrie semplici (quadrati e rettangoli) è intuitivo osservare che il tracciamento del tetto si risolve disegnando le diagonali degli angoli che si trovano lungo il perimetro dell’edificio quindi, congiungendo i punti di incrocio delle diagonali, si determina la linea di colmo che, nei tetti con lati paralleli di diversa lunghezza, risulta necessariamente essere parallela alla linea di gronda del lato lungo (➜ Fig. 20). Nel caso di perimetri composti da forme geometriche semplici come i tetti ad L e quelli a T le cose si articolano un po’ ma restano sempre di facile intuizione (➜ Fig. 21). Le cose si complicano leggermente nel caso di tetti a falde su edifici con perimetro irregolare (➜ Fig. 22). Tuttavia, sviluppando un semplice metodo grafico, è possibile determinare la forma geometrica della copertura.

Linea di colmo

Linea di compluvio

Linea di displuvio

Falda

Linea di gronda

Linea di compluvio orizzontale

Cartella

Linea di bordo