Fondamenti di Meccanica ed elementi di Disegno A - Sample by ELI Publishing

Albino Zanin - Cristiano Crosera - Giorgio Baldisseri

Fondamenti di

Meccanica Disegno ed

elementi di

METROLOGIA

DALLA STATICA ALLA DINAMICA

ELEMENTI DI IDRAULICA E TERMODINAMICA

STRUMENTI PER IL DISEGNO E COSTRUZIONI GEOMETRICHE

immagina genera ispira

Indice FONDAMENTI DI MECCANICA

Sistemi di MISURA E METROLOGIA A LA STATICA B B

Sistemi di unità di misura

1.1 Normative internazionali

1.2 Sistema Internazionale

1.3 Sistema assoluto (cgs)

1.4 Sistema tecnico (ST)

1.5 Sistema anglosassone

1.6 Unità non SI ancora accettate dal sistema SI

1.7 Tabelle di conversione

CAPITOLO 2

Misurazioni e strumenti

2.1 Le grandezze fondamentali

2.2 Gli errori

2.3 Classificazione degli strumenti di misura

2.4 Piani di riscontro, truschini, righe e squadre

2.5 Blocchetti pianparalleli

2.6 Il calibro a corsoio

2.7 Il micrometro centesimale

2.8 Il comparatore centesimale a quadrante

2.9 Il goniometro

2.10 Termini e definizioni

2.11 Misurazioni in 3D

CAPITOLO 3

LE FORZE

3.1 Grandezze scalari e vettoriali

3.2 Composizione di due forze concorrenti

3.3 Scomposizione di una forza

3.4 Composizione di due forze parallele

3.5 Scomposizione di una forza in due forze parallele

3.6 Forze complanari e poligono funicolare

VERIFICA LE CONOSCENZE Test interattivi

COSTRUISCI LE COMPETENZE

RECUPERO

CAPITOLO 4

MOMENTI E COPPIE

4.1 Momento di una forza

4.2 Momento di una coppia di forze

4.3 Baricentri di figure piane

VERIFICA LE CONOSCENZE Test interattivi

COSTRUISCI LE COMPETENZE

VERIFICA LE CONOSCENZE Test interattivi

RECUPERO

CAPITOLO

CAPITOLO 5

I CORPI VINCOLATI

5.1 Gradi di libertà nel piano

5.2 Equilibrio dei corpi vincolati

5.3 Calcolo delle reazioni in una struttura isostatica

CAPITOLO 8

Moto dei gravi nel vuoto

8.1 Caduta nel vuoto

8.2 Moto ascendente

8.3 Caduta parabolica

8.4 Moto dei proiettili

VERIFICA LE CONOSCENZE Test interattivi

COSTRUISCI LE COMPETENZE

RECUPERO

CAPITOLO 6

L’equilibrio delle macchine semplici

6.1 Macchine semplici

6.2 Leve

6.3 Puleggia o carrucola

6.4 Piano inclinato

VERIFICA LE CONOSCENZE Test interattivi

COSTRUISCI LE COMPETENZE

RECUPERO

LA CINEMATICA

CAPITOLO 7

Cinematica del punto

7.1 Moto rettilineo uniforme

7.2 Moto rettilineo uniformemente accelerato

7.3 Moto circolare uniforme

7.4 Moto circolare uniformemente accelerato

7.5 Accelerazione centripeta

VERIFICA LE CONOSCENZE

COSTRUISCI LE COMPETENZE

RECUPERO

VERIFICA LE CONOSCENZE Test interattivi

COSTRUISCI LE COMPETENZE

RECUPERO

CAPITOLO 9 LA DINAMICA

Dinamica dei moti di traslazione

9.1 Leggi fondamentali

9.2 Altre leggi della dinamica

9.3 Principio di d’Alembert

9.4 Lavoro

9.5 Potenza sviluppata da una forza

9.6 Energia e principio della conservazione dell’energia

VERIFICA LE CONOSCENZE Test interattivi

COSTRUISCI LE COMPETENZE

RECUPERO

Elementi di MECCANICA DEI FLUIDI

CAPITOLO 10

Idrostatica

10.1 Massa volumica

10.2 Pressione atmosferica

10.3 Pressione idrostatica

10.4 Spinta idrostatica

ELEMENTI DI DISEGNO TECNICO

SEZIONE Gli strumenti per il DISEGNO TECNICO

VERIFICA LE CONOSCENZE Test interattivi

COSTRUISCI LE COMPETENZE

RECUPERO

Elementi di TERMODINAMICA

CAPITOLO 11

Termologia

11.1 Calore e temperatura

11.2 Calore specifico

11.3 Cambiamenti di stato fisico

11.4 Il vapore d’acqua

11.5 Trasmissione del calore

CAPITOLO 12

Strumenti tradizionali e loro uso

12.1 Descrizione degli strumenti principali

12.2 Uso corretto degli strumenti tradizionali

12.3 Squadratura del foglio e uso delle squadre

12.4 Il disegno a mano libera

SVILUPPA LE ABILITÀ

CAPITOLO 13

Strumenti attuali: il computer

13.1 Premessa

13.2 La scrivania di AutoCAD

13.3 L’uso del mouse in AutoCAD

13.4 L’uso della tastiera in AutoCAD

13.5 I comandi di assistenza in AutoCAD

VERIFICA LE CONOSCENZE Test interattivi

COSTRUISCI LE COMPETENZE

RECUPERO

13.6 I layer in AutoCAD

13.7 Inserimento dati

13.8 I comandi per disegnare

CAPITOLO 14

Cenni sulle norme UNI

14.1 Tipi di linee

14.2 Norme per il disegno tecnico: le quote

14.3 Formati e piegature dei fogli

14.4 Riquadro delle iscrizioni e archiviazione

Le costruzioni GEOMETRICHE

CAPITOLO 15

Costruzioni piane fondamentali

15.1 Punto, retta, piano, angolo

15.2 Costruzioni di rette e angoli

15.3 I poligoni

15.4 Costruzioni di poligoni

15.5 La circonferenza e i raccordi circolari

15.6 Costruzioni di circonferenze, tangenti e raccordi

15.7 Le curve policentriche e le curve cicliche

15.8 Costruzioni di curve policentriche e cicliche

15.9 Le coniche

15.10 Costruzioni di coniche

15.11 Metodi per la riproduzione dei disegni

15.12 Scale di riduzione e di ingrandimento

16.2 Metodi di rappresentazione grafica: le proiezioni

16.3 Proiezioni ortogonali: introduzione

16.4 Triedro di riferimento e sua rappresentazione

16.5 Convenzioni per la rappresentazione grafica

16.6 Proiezioni ortogonali di elementi geometrici

16.7 Proiezioni ortogonali di solidi geometrici

16.8 Approfondimenti sulle proiezioni ortogonali

VERIFICA LE CONOSCENZE Test interattivi

SVILUPPA LE ABILITÀ Video tutorial

COSTRUISCI LE COMPETENZE

RECUPERO Video tutorial

CAPITOLO 17

Proiezioni assonometriche

17.1 Introduzione

17.2 Assonometria cavaliera

17.3 Assonometria isometrica

17.4 Assonometria dimetrica

VERIFICA LE CONOSCENZE Test interattivi

17.5 Assonometrie planometriche

SVILUPPA LE ABILITÀ Video tutorial

COSTRUISCI LE COMPETENZE

17.6 Proiezioni assonometriche di poligoni

17.7 Proiezioni assonometriche di solidi

RECUPERO Video tutorial

COMPITO DI REALTÀ

• Costruzione di un segnale stradale

Il linguaggio del DISEGNO TECNICO

CAPITOLO 16

Proiezioni ortogonali

16.1 I principali solidi geometrici

17.8 Proiezioni assonometriche a mano libera

VERIFICA LE CONOSCENZE Test interattivi

SVILUPPA LE ABILITÀ Video tutorial

COSTRUISCI LE COMPETENZE

RECUPERO Video tutorial

COMPITO DI REALTÀ

• Rappresentazione assonometrica di una libreria

• Rappresentazione assonometrica di una scala

MATERIALI DIGITALI

SISTEMI DI MISURA E METROLOGIA SEZIONE A

CAPITOLO 2 misurazioni e strumenti

VERIFICA LE CONOSCENZE

● Sistemi di unità di misura

● Strumenti di misura

● Lettura di calibro e micrometro

● Lettura di comparatore e goniometro

SVILUPPA LE ABILITÀ

● Porre attenzione agli errori

● Conoscere le scale graduate permettono di misurare

COSTRUISCI LE COMPETENZE

● Saper utilizzare gli strumenti per la tracciatura

● Saper risolvere casi di superfici non perpendicolari

● Saper utilizzare i blocchetti Johansson

● Saper leggere la misura utilizzando le scale graduate

misurazioni e strumenti

CI OCCUPEREMO DI...

1. Le grandezze fondamentali

2. Gli errori

3. Classificazione degli strumenti di misura

4. Piani di riscontro, truschini, righe e squadre

5. Blocchetti pianparalleli

6. Il calibro a corsoio

2.1 Le grandezze fondamentali

2.1.1 LE GRANDEZZE

Nei campi della fisica e dell’ingegneria ci si propone di studiare i fenomeni da un punto di vista quantitativo. Si prendono perciò in considerazione molte grandezze che hanno caratteristiche di misurabilità. In ogni applicazione si opera non tanto sulle grandezze, quanto sui numeri che ne rappresentano la misura in un determinato sistema di unità. Nella ➜ Tab. 1 ci sono alcune definizioni, tratte dalla norma UNI 4546/84, utili per la comprensione dei concetti contenuti nelle pagine che seguono.

Che cos’è una grandezza

Che cos’è una unità di misura

Che cos’è una misura

Che cos’è un sistema di unità di misura

➜ Tab. 1 • Le grandezze UNI.

7. Il micrometro centesimale

8. Il comparatore centesimale a quadrante

9. Il goniometro

10. Termini e definizioni

11. Misurazioni in 3D

Quantities

In the fields of physics and engineering we aim to study the phenomena from a quantitative point of view. Therefore, many sizes that have measurable characteristics are taken into account. In each application it works not so much on the magnitudes as on the numbers that represent the measure in a given system of units. In Table 1 there are some definitions, drawn from UNI 4546-84, which are useful for understanding the concepts contained in the pages that follow.

DEFINIZIONI SECONDO UNI 4546/84

Per grandezza si intende ogni quantità, proprietà o condizione usata per descrivere fenomeni, valutabile in termini di unità di misura.

L’unità di misura è un termine di riferimento adottato, per convenzione, per confrontare una grandezza con altre della stessa specie.

La misura è l’informazione costituita da un numero, un’incertezza e un’unità di misura, assegnata a rappresentare un parametro in un determinato stato del sistema. Misurare una grandezza significa confrontarla con un’altra omogenea scelta come campione, denominata unità di misura.

Un sistema di unità di misura è un insieme organico di definizioni, tra loro collegate, di unità di misura pertinenti a grandezze di specie diverse. Un sistema di unità di misura si dice assoluto quando definisce, in modo indipendente tra loro, alcune unità di misura, dette di base, scegliendole in maniera opportuna, mentre tutte le altre unità di misura del sistema si ottengono combinando tra loro in prodotti e rapporti le unità di base. Le nuove unità così ottenute si dicono derivate. L’insieme delle unità di un sistema di unità di misura assoluto costituisce un gruppo algebrico per l’operazione prodotto.

VERSO IL CLIL

2.1.2 IL SISTEMA INTERNAZIONALE (SI)

Nel 1984 l’Italia adottò la norma CNR UNI 10003, che impose l’adozione del Sistema Internazionale (SI) di unità di misura. Questo sistema cerca di ridurre al minimo l’uso di campioni artificiali prediligendo la scelta di campioni naturali. Ciò permette di realizzare e riprodurre facilmente i fenomeni fisici negli esperimenti metrologici.

Alle quattro unità fondamentali, ossia al metro, al kilogrammo (➜ Fig. 1-2), al secondo e all’ampere, il

SI aggiunse anche l’ intervallo di temperatura , la quantità di sostanza e l’intensità luminosa. L’angolo piano e l’ angolo solido sono state aggiunte come unità supplementari (➜ Tab. 2).

Nel SI la forza peso è una grandezza derivata ed è misurata in newton. Utilizzare solo le unità SI non è però pratico perché a volte si ha a che fare con numeri troppo piccoli o troppo grandi. Per questo motivo è necessario introdurre anche i loro multipli e sottomultipli decimali, formati per mezzo dei prefissi indicati nella ➜ Tab. 3 a pagina seguente.

UNITÀ FONDAMENTALI

metro m unità di lunghezza

kilogrammo massa kg unità di massa

È la lunghezza del tragitto compiuto dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo di 1/299 792 458 di secondo. Fino al 1965 esso era la distanza tra due tratti paralleli incisi sulla faccia di una barra prismatica in platino (90%) e iridio (10%) alla temperatura del ghiaccio fondente.

È la massa del blocco di platino al 90% e iridio al 10% che per tutti gli scopi pratici è uguale alla massa di 0,001 m3 di acqua distillata alla temperatura di 4 °C, detta litro. Sia il metro sia il kilogrammo di riferimento sono conservati presso l’Ufficio Internazionale dei Pesi e delle Misure di Sèvres, nei pressi di Parigi.

secondo s unità di tempo

ampere A

unità di intensità di corrente elettrica

grado kelvin K intervallo di temperatura termodinamica

mole mol

unità di quantità di sostanza

candela cd unità di intensità luminosa

radiante rad unità di angolo piano

steradiante sr unità di angolo solido

È l’intervallo di tempo che contiene 9 192 631 770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione fra i due livelli iperfini dello stato fondamentale dell’atomo di cesio 133. Tale definizione accoglie la precedente del 1964 e viene confermata nella XVII Conferenza Generale sui Pesi e Misure nel 1983: è quella attuale.

È l’intensità di corrente elettrica che, mantenuta costante in due conduttori paralleli rettilinei, di lunghezza infinita, di sezione circolare trascurabile, e posti nel vuoto alla distanza di 1 m l’uno dall’altro, produrrebbe tra i due conduttori la forza di 2 · 10–7 N su ogni metro di lunghezza.

È la frazione 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell’acqua. (Per punto triplo dell’acqua si intende la temperatura presente nei tre stati coesistenti solido, liquido, vapore.)

È la quantità di sostanza di un sistema che contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi in 0,012 kg di carbonio 12. Le entità elementari sono specificate in atomi, molecole, ioni, elettroni ecc. o gruppi specificati di tali particelle.

È l’intensità luminosa in una data direzione di una sorgente che emette una radiazione monocromatica di frequenza 540 · 1012 hertz e la cui intensità energetica in quella direzione è 1/683 W/sr (watt/steradiante).

UNITÀ SUPPLEMENTARI

È l’angolo piano al centro che su una circonferenza intercetta un arco di lunghezza uguale a quella del raggio.

È l’angolo solido al centro che su una sfera intercetta una calotta di area uguale a quella del quadrato il cui lato ha la lunghezza del raggio.

➜ Tab. 2 • Le unità del Sistema Internazionale.

Prefisso Simbolo Fattore di moltiplicazione Denominazione

exa E 1018 trilione

peta P 1015 biliardo

tera T 1012 bilione

giga G 109 miliardo

mega M 106 milione

kilo k 103 mille

etto h 102 cento

deca da 101 dieci

deci d 10–1 decimo

centi c 10–2 centesimo

milli m 10–3 millesimo

micro µ 10–6 milionesimo

nano n 10–9 miliardesimo

pico p 10–12 bilionesimo

femto f 10–15 biliardesimo

atto a 10–18 trilionesimo

➜ Tab. 3 • Prefissi SI.

ESEMPIO

Supponiamo di voler valutare la forza-peso di una persona di massa 80 kg sulla Terra e sulla Luna.

L’accelerazione di gravità sulla Terra vale mediamente:

erra = 9, 8 0 6 6 5 m s2 = 9, 8 1 m s2

Pertanto la forza-peso della persona sulla Terra vale:

L’accelerazione di gravità sulla Luna è circa un sesto di quella terrestre:

Quindi la forza-peso della persona sulla Luna vale:

cioè 6 volte meno.

2.1.3 TABELLE PER LA CONVERSIONE DELLE UNITÀ DI MISURA

A tutt’oggi negli uffici, nelle aziende e nei laboratori sono impiegate anche unità di misura diverse da quelle previste nel SI, pertanto è necessario poter convertire l’una nell’altra le grandezze fisiche dei differenti sistemi. Per fare questo sono necessari i fattori riportati nelle tabelle che seguono (i valori reciproci dei fattori di conversione sono posti simmetricamente alla prima diagonale).

➜ Fig. 1 • La barra di platino-iridio utilizzata come campione del metro dal 1889 al 1960 nel sistema MKSA.

➜ Tab. 4 • Conversione delle unità di lunghezza.

➜ Tab. 5 • Conversione delle unità di massa.

➜ Fig. 2 • Il kilogrammo campione.

2.2 Gli errori

Il valore esatto di una misura è praticamente impossibile da conoscere: esso infatti dipende dall’approssimazione dello strumento impiegato e dagli eventuali errori commessi nell’esecuzione della misurazione.

Qualunque misurazione effettuata, anche con gli strumenti più sofisticati, è in realtà affetta da errori. Errori che possono essere ridotti ma mai eliminati del tutto. È noto che misurando più volte la stessa grandezza si possono ottenere valori diversi, quindi non è possibile conoscere la dimensione vera della grandezza alla quale riferirsi per valutare gli errori di misura.

È possibile assumere come valore di riferimento, detto impropriamente valore reale, quel valore misurato con uno strumento di precisione assai superiore a quella dello strumento usato per controllarlo. Possiamo pertanto definire errore di misura la differenza (lo scostamento) tra l’indicazione fornita dallo strumento e la dimensione vera della grandezza. Gli errori possono essere suddivisi in due grandi famiglie: SCHEMA 1

■ errori sistematici;

■ errori accidentali (casuali o fortuiti).

ERRORI SISTEMATICI

2.2.1

ERRORI ACCIDENTALI

Gli errori che si manifestano in modo fortuito e le cui cause non sono legate alle leggi fisiche hanno valore e segno diversi. Questo tipo di errori si manifestano di volta in volta ed è generato da fattori occasionali che influiscono sulla misura in modo tale che la loro entità non può essere prevista.

2.2.2 ERRORI SISTEMATICI

Gli errori che si manifestano sistematicamente e le cui cause dipendono da leggi fisiche note e percettibili hanno valore e segno costanti. Questo tipo di errore è caratterizzato dal fatto di essere generato, di volta in volta, sempre dagli stessi fattori che influiscono sulla misura. La misura fornita dallo strumento può in questi casi essere facilmente corretta, una volta che siano state individuate le cause degli errori.

Non sempre è possibile fare una netta distinzione tra errori sistematici ed errori accidentali. Basti pensare a un fenomeno di vibrazione. Se la vibrazione è sempre presente perché prodotta da una macchina sempre in funzione, allora tutte le misure ne risultano disturbate e tale vibrazione va considerata causa di un errore di tipo sistematico. Se invece la vibrazione è prodotta dall’accensione momentanea della macchina, mentre si effettuano una o alcune misure, allora tale vibrazione va considerata causa di un errore di tipo accidentale.

Errori dello strumento

stabilità dello strumento

mancata taratura o azzeramento dello strumento

ERRORI ACCIDENTALI

divisione della scala graduata usura ripetibilità

Errori dell’operatore

scelta dello strumento di misura parallasse impiego dello strumento

Errori delle grandezze campione

Errori ambientali

ERRORI

SCHEMA 1

2.3 Classificazione degli strumenti di misura

Gli strumenti di misura sono quegli apparecchi di lavoro destinati al controllo di:

■ dimensioni;

■ forma;

■ posizione.

Ci sono strumenti di misura che servono per effettuare una misurazione direttamente sul pezzo, come il calibro e il micrometro, o una misurazione per confronto, come il comparatore e l’alesametro, tarati prima del controllo con i blocchetti pianparalleli, come vedremo più avanti.

Questi tipi di apparecchi si dividono in:

■ strumenti a lettura diretta, indicatori;

■ strumenti a lettura diretta, di paragone.

Ci sono anche strumenti di misura che servono a stabilire se una misura o un attributo sono conformi a una tolleranza prescritta.

Questi tipi di strumenti si dividono in:

■ dispositivi classificatori;

■ dispositivi da attributi

Per attributo si intende, per esempio, la planarità, che si controlla con un piano di riscontro, o la circolarità, che si controlla con appositi compassi.

Gli strumenti di misura più comuni sono elencati nello SCHEMA 2 seguente.

2.4 Piani di riscontro, truschini, righe e squadre

2.4.1 PIANO DI RISCONTRO

Il piano di riscontro (o piano campione) è un dispositivo da attributi ed è indispensabile nelle officine e nei laboratori per la verifica e il controllo di planarità, parallelismo e perpendicolarità di pezzi meccanici, per la tracciatura, per l’appoggio di attrezzi e strumenti come squadre, blocchi prismatici, altimetri, truschini, supporti per comparatori ecc.

È costituito da un piano in ghisa G260 piallato e rettificato, con tolleranza che può raggiungere 1/100 o 1/200 di millimetro.

La ➜ Fig. 3 rappresenta un piano di riscontro a tre piedi con due fori laterali per il montaggio delle maniglie che evitano il contatto diretto delle mani con il piano quando lo si deve spostare da un posto all’altro.

Di lunghezza

Righelli

Calibri a corsoio

Micrometri

Catetometri

Microscopi con oculare micrometrico

Cristalli piani

Di angoli

Goniometri

Livelle tarate

Rapportatori

Squadre false ad apertura variabile

Comparatori

Minimetri

Altimetri

Alesametri

Tarati a un valore

Blocchetti

Sonde ad angolo

Tamponi cilindrici

Tamponi conici

Tarati a due o più valori

Calibri passanon passa a tampone

Calibri passanon passa a forcella

Righe

Piani di riscontro

Guardapiani

Compassi

Livelle non tarate

SCHEMA 2

➜ Fig. 3 • Piano di riscontro in ghisa G260.

2.4.2 TRUSCHINO

Il truschino è costituito dall’insieme dell’altimetro e del graffietto, tanto che oggi non si fa alcuna differenza tra l’altimetro e il truschino.

Il truschino graduato illustrato in ➜ Fig. 4 è suddiviso con scala cinquantesimale. È provvisto di una vite micrometrica in acciaio inossidabile temprato con punta a tracciare in metallo duro (carburo di wolframio), con la possibilità di applicare il comparatore e con la scala di lettura cromata opaca. La sua particolarità sta nel fatto che la punta a tracciare si trova inclinata di 45° rispetto al normale asse di scorrimento del corsoio, è facilmente intercambiabile, è dotata di snodo porta comparatore, ed è montata sul becco misuratore inclinato di 45° in modo da permettere, anche dopo successive affilature, la coincidenza perfetta con il piano d’appoggio dello strumento. In questo modo si hanno misurazioni che partono sicuramente dallo zero.

La base di appoggio può essere in ghisa stagionata oppure in ac ciaio inossidabile temprato, ed è relativamente pesante per con sentire una maggiore stabilità e rendere il lavoro di tracciatura più spedito.

Le graduazioni sono eseguite con macchina a dividere di altissima precisione e danno la più alta garanzia, anche per lavori di precisione particolarmente elevata.

2.4.3

BARRA SENO

La barra seno è un’attrezzatura formata da una barra metallica di forma prismatica che si appoggia in modo stabile con gli estremi opportunamente sagomati su due rulli dello stesso diametro e che sono alti tanto quanto la barra (➜ Fig. 5).

Spesso nella barra sono praticati alcuni fori per fissarla ai supporti durante il lavoro di tracciatura. I fori impediscono alla barra di deformarsi con troppa facilità. Per ogni barra è nota e costante la distanza L tra i centri dei due rulli, come illustrato in figura 5. Il piano superiore, quello inferiore, i quattro piani di appoggio dei rulli e la loro superficie sono tutti temprati e rettificati.

La barra seno si utilizza quando è necessario:

■ misurare o controllare un angolo;

■ tracciare un determinato angolo sul pezzo da lavorare;

■ posizionare un pezzo inclinato di un certo angolo. Quando si vuole misurare o controllare un angolo, basta appoggiare la barra su due pile di blocchetti pianparalleli disposti in modo opportuno su di un piano di riscontro.

Con riferimento alla ➜ Fig. 6, l’angolo si ricava con la seguente relazione:

s i n α = c – d L

pianparallelo.

➜ Fig. 6 • Schema applicativo della barra seno: 1 barra, 2 rulli, 3 pile di blocchetti pianparalleli, 4 piano di riscontro.

➜ Fig. 4 • Truschino graduato.

➜ Fig. 5 • Barra seno con rulli e blocchetto

2.4.4 RIGA MILLIMETRATA

La riga millimetrata ( ➜ Fig. 7) è uno strumento di misura a lettura diretta, costituito da un regolo di acciaio a sezione rettangolare con le superfici accuratamente lavorate e con una graduazione in millimetri incisa su una faccia. Durante le operazioni di tracciatura col truschino, la riga millimetrata può essere disposta verticalmente su apposito supporto. Con la riga millimetrata è possibile apprezzare il valore

di 1/2 mm o al massimo di 1/4 di millimetro, a seconda della capacità visiva dell’operatore (risoluzione).

Le righe metriche sono costruite in acciaio Invar, presentando un lato provvisto di divisione in millimetri di alta precisione. Le righe normali hanno le dimensioni di 500, 1000, 1500, 4000 mm.

La riga è usata per il controllo di misure lineari e per l’esecuzione di tracciature. Di solito in laboratorio la riga si usa per la lettura diretta o differenziale.

2.4.5 SQUADRA

Le squadre sono strumenti di misura molto utilizzati in officina meccanica. Si dividono in due tipologie, squadre fisse e squadre false.

Le squadre fisse sono dispositivi da attributi e si usano per il controllo della perpendicolarità tra due superfici e per il controllo di angoli a 30°, 45°, 60°, 90° e 120°. Possono essere semplici (➜ Fig. 8 e 11) o a cappello (➜ Fig. 9). Sono costruite in acciaio inossidabile martensitico, rettificate e con facce lavorate con tolleranza di 1/1000 di millimetro. Quelle lavorate e rettificate a raschietto raggiungono tolleranze di 5/1000 di millimetro.

Le squadre false (➜ Fig. 10) sono strumenti indicatori di angoli; sono costruite ad angolo variabile e si usano per rilevare angoli di qualsiasi ampiezza, misurata poi con il goniometro. Sono costituite da due aste articolate a una estremità in modo da poter assumere qualunque apertura angolare.

➜ Fig. 11 • Controllo di un angolo retto con una squadra.

➜ Fig. 7 • Le righe millimetrate possono essere flessibili o rigide.

➜ Fig. 8 • Squadra fissa semplice a 120°.

➜ Fig. 10 • Squadra falsa.

2.5 Blocchetti pianparalleli

2.5.1 SCOPO E CAMPO DI APPLICAZIONE

I blocchetti di riscontro pianparalleli sono dei parallelepipedi di acciaio o altro materiale (➜ Fig. 12 due facce opposte piane, parallele, superfinite, a di stanza uguale alla dimensione marcata sul blocchetto entro tolleranze strettissime. Sono stati inventati dallo svedese Carl Edward Johansson verso la fine dell’Ottocento, e vengono usati sia per la taratura di strumenti di precisione sia per controlli diretti di di mensioni.

La norma ISO 3650-84 stabilisce le caratteristiche di mensionali e qualitative più importanti dei blocchetti di riscontro a sezione rettangolare e a facce piane e parallele, con lunghezza nominale compresa tra 0,5 e 1000 mm. Stabilisce anche gli scostamenti ammessi sul valore nominale di lunghezza e le tolleranze ge ometriche per quattro classi di precisione: 00, 0, 1 e 2. La classe 00 è quella realizzata con tolleranze geometriche più strette, mentre la classe 2 è quella realizzata con tolleranze geometriche più larghe. Nella ➜ Tab. 6 viene indicata la procedura per l’ac coppiamento e il disaccoppiamento dei blocchetti. I blocchetti per la misurazione si uniscono per adesione. L’adesione è una proprietà fondamentale per l’utilizzo dei blocchetti pianparalleli, perché li fa aderire l’uno all’altro grazie all’interazione molecolare tra le facce di misura poste a contatto. La mancanza di adesione indica che la superficie è rovinata o sporca. Quando si utilizzano i blocchetti, è oppor-

FASE

tuno manipolarli indossando dei guanti in lattice, sia per non lasciare tracce di grasso cutaneo sia per ridurne il riscaldamento, che li dilaterebbe falsandone la misura.

ESEMPI

1. Supponiamo che la quota da realizzare sia di 28,716 mm.

Tra gli 88 blocchetti si scelgono i seguenti:

PROCEDURA

1 Si sgrassano i blocchetti con etere di petrolio, alcool o benzina avio

2 Si puliscono accuratamente con un panno di lino o una pelle di daino

3 Si dispongono a croce

4 Si allineano con una rotazione di 90°

5 Si premono leggermente uno con l’altro

In questo modo i blocchetti aderiscono l’uno all’altro per effetto dell’interazione molecolare tra le facce di misura a contatto, proprietà detta adesione.

➜ Tab. 6 • Procedura per accoppiare i blocchetti.

1,006 + 1,21 + 6,5 + 20,0 = 28,716 mm

2. Supponiamo che la quota da realizzare sia di 37,932 mm.

Tra gli 88 blocchetti si scelgono i seguenti: 1,002 + 1,43 + 5,5 + 30,0 = 37,932 mm

➜ Fig. 12 • Blocchetti pianparalleli in materiale ceramico.

2.6 Il calibro a corsoio

2.6.1

NOTIZIE STORICHE

Il matematico e cosmografo portoghese Pedro Nuñez (1492-1578), latinizzato in Petrus Nonius, inventò il nonio nell’anno 1542 per misurare piccoli angoli come applicazione ai sestanti delle navi.

Da questa idea di Nuñez, nel 1631 nacque, per opera del matematico francese Pierre Vernier (1580-1637), il primo nonio a corsoio scorrevole per la misurazione di frazioni di millimetro e base per lo strumento di misurazione oggi chiamato calibro. In memoria del suo inventore, il nonio è anche detto verniero

2.6.2 NORMATIVA CORRENTE

I calibri sono costruiti in acciaio inossidabile martensitico, per esempio l’acciaio consigliato è l’X 30 Cr 13 UNI 10233/6-93.

Un tipo assai semplice è quello rappresentato nella ➜ Fig. 13, che consente di misurare lunghezze apprezzabili al decimo di millimetro.

becchi per misure interne

➜ Fig. 13 • Calibro a corsoio con nonio decimale.

2.6.3 DESCRIZIONE

Il calibro a corsoio consiste in un’ asta graduata divisa in millimetri, portante a un’estremità un’appendice fissa a squadra sulla quale trova posto il becco fisso

Un’altra appendice parallela alla prima, detta becco scorrevole, è montata sul corsoio che può scorrere lungo l’asta graduata. Per misurare, per esempio, lo spessore L di un oggetto, si preme dolcemente questo fra i becchi di misura e si legge quindi la misura sulla scala segnata sull’asta graduata.

Di solito le appendici suddette portano anche delle punte a coltello, dette becchi per le misure interne, per misurazioni di cavità, fori e scanalature.

Il calibro a corsoio può essere provvisto di un’ astina per misurazioni di profondità solidale al corsoio che, scorrendo liberamente in un’apposita sede ricavata sul dorso dell’asta graduata, consente di effettuare misurazioni di profondità facendo riferimento alla parte terminale dell’asta stessa. Sul corsoio è poi incisa una graduazione ausiliaria, detta nonio , che serve per apprezzare le frazioni di millimetro.

asta graduata scala in pollici astina per le misure di profondità

➜ Fig. 14 • Calibro a corsoio ventesimale.

becco sso per misure esterne

corsoio scala metrica parte terminale dell’asta graduata

nonio

becco scorrevole per misure esterne

2.6.4 IL NONIO E L’APPROSSIMAZIONE

In generale il nonio è costituito da una scala ausiliaria avente lunghezza L divisa in n parti uguali, e da una scala principale avente anch’essa lunghezza L divisa in n – 1 parti uguali, come illustrato nella ➜ Fig. 15. L’approssimazione è la frazione a della scala principale che è possibile valutare con il nonio. È data dalla differenza tra il segmento di lunghezza l della scala principale e il segmento di lunghezza l 1 della scala ausiliaria:

a = l l1

Se i tratti 0 delle due scale non sono allineati perché la scala ausiliaria è stata spostata a destra di una quantità multipla di a, allora uno dei trattini numerati del nonio sarà allineato con un tratto della scala principale, e il numero indica la frazione misurata. Essendo:

L = n l1 = n – 1 ( ) l

risulta:

l1 = n – 1 ( ) n ⋅ l

➜ Fig. 15 • Principio del nonio.

La misura rilevata sul nonio in ➜ Fig. 17 è di 6,35 mm; infatti:

J per la parte intera del valore della misura (6 mm) si legge il numero intero sull’asta graduata a sinistra dello 0 del nonio; J per la parte frazionaria (35 centesimi di mm) bisogna individuare le due linee coincidenti, una appartenente al nonio e l’altra all’asta graduata. Quella del nonio dichiara i ventesimi di millimetro. In questo caso tale linea è la 7.

La lettura è quindi:

E ancora: a = l – l1 = l

Quindi l’approssimazione a = l n

rappresenta la più piccola frazione di millimetro apprezzabile dallo strumento.

2.6.5

IL NONIO VENTESIMALE

Nel caso di un nonio ventesimale (➜ Figg. 14-16), si hanno 19 divisioni della scala principale (cioè 19 mm sull’asta graduata) divise in 20 parti nella scala ausiliaria, quindi: a = l n = 1 2 0 = 0, 0 5 m m

Osserviamo quale trattino del nonio coincide più esattamente con uno della scala principale: il numero del suddetto trattino rappresenta il numero di ventesimi di millimetro da aggiungere al numero intero di millimetri letto sulla scala principale.

graduata

➜ Fig. 16 • Nonio ventesimale.

➜ Fig. 17 • Nonio ventesimale. corsoio

ESEMPIO

2.7 Il micrometro centesimale

2.7.1 NOTIZIE

STORICHE

Il micrometro a vite o centesimale, (➜ Fig. 18 anche calibro Palmer dal nome del francese Jean Laurent Palmer che lo ideò nel 1848, fu poi ripreso e modificato nel 1858 da Sir Joseph Whitworth. Esso permette di eseguire misurazioni di lunghezze con una precisione superiore a quella del calibro a corsoio.

2.7.2 DESCRIZIONE

Il micrometro centesimale è costituito da un’inte laiatura arcuata in acciaio o ghisa malleabile, detta stativo, provvista di un’incudine che costituisce la faccia di misura fissa. Sullo stativo sono spesso ap plicate placche isolanti termiche che impediscono il riscaldamento dello strumento di misura, causato dal contatto con le mani dell’operatore. È infatti noto che una variazione di temperatura comporta un allungamento o un accorciamento dello strumento, falsando quindi la misura stessa.

oppure in acciaio da utensili con almeno 670 HV 30 (vedi durezza Vickers a p. 45).

Lo strumento è tarato a 20 °C perché la misurazione deve avvenire in tali condizioni termiche.

La ➜ Fig. 19 illustra le parti fondamentali di un micrometro centesimale.

campi di misura (B-A)

incudine

Il tamburo graduato termina con un limitatore di coppia tarato a 5÷10 newton. Sulla generatrice esterna della bussola graduata è incisa la linea di fede della scala fissa, al di sopra della quale i trattini rappresentano i mezzi millimetri, al di sotto invece i millimetri.

dispositivo di bloccaggio dell’asta mobile

linea di fede

vite micrometrica

asta mobile

facce di misura

1/100 mm

tamburo graduato

limitatore di coppia

valore di portata minima e massima

unità di formato

bussola graduata

stativo

placche isolanti termiche

➜ Fig. 19 • Micrometro centesimale per esterni.

2.7.3 RILIEVO DELLE QUOTE

La misura dello spessore di un particolare meccanico si esegue premendo questo tra le facce di misura. Ciò avviene azionando il limitatore di coppia fino a che gira a vuoto impedendo ogni ulteriore avanzamento dell’asta mobile. Infatti la vite micrometrica, che gira ruotando il tamburo graduato o il limitatore di coppia, serve proprio ad avvicinare e premere le facce di misura sulla superficie del pezzo. La forza non superiore a 10 newton è applicata solo agendo sul limitatore di coppia, pertanto non si deve premere il particolare meccanico ruotando il tamburo graduato.

2.7.4 LETTURA DELLO STRUMENTO

Se la vite micrometrica ha passo p e il tamburo graduato porta n trattini, la rotazione rispetto alla linea di fede di un solo trattino comporta lo spostamento dell’asta mobile in senso assiale di una quantità a pari a:

a = p n

Normalmente la vite micrometrica ha passo di 0,5 mm e il tamburo graduato porta 50 divisioni, per cui l’approssimazione risulta:

a = 0, 5 5 0 = 0, 0 1 m m

ESEMPI

Si legge il valore 2,50 mm.

Infatti il bordo del tamburo graduato coincide esattamente con il trattino superiore della bussola graduata dei 2,50 mm, mentre lo zero del tamburo graduato è allineato con la linea di fede, quindi: 2,50 mm + 0,00 mm = 2,50 mm

Per la lettura dello strumento basta quindi leggere sulla scala della bussola graduata il valore indicato dall’estremità sinistra del tamburo graduato, cioè il numero in corrispondenza della linea di fede. La lettura della misura è così eseguita (➜ Fig. 20):

a. per la parte intera del valore della misura si legge il numero sulla bussola graduata indicato dall’estremità sinistra del tamburo graduato;

b. per la parte centesimale basta leggere il numero sul tamburo graduato che collima con la linea di fede, tenendo presente che ogni trattino del tamburo graduato rappresenta un centesimo di millimetro.

➜ Fig. 20 • Esempio di lettura di un micrometro.

Si legge il valore 2,85 mm. Infatti il bordo del tamburo graduato scopre nettamente il trattino superiore della bussola graduata dei 2,50 mm, mentre la divisione del tamburo graduato di 35 centesimi è allineata con la linea di fede, quindi: 2,50 mm + 0,35 mm = 2,85 mm

2.8 Il comparatore centesimale a quadrante

2.8.1 CARATTERISTICHE E NOMENCLATURA

Il comparatore centesimale a quadrante ( ➜ Fig. 21) è uno strumento di misura di paragone in cui gli spostamenti di un’asta sono amplificati e trasmessi a un indice che ruota davanti a un quadrante circolare graduato.

I comparatori centesimali a quadrante devono avere, oltre all’indice, un dispositivo totalizzatore che indichi il numero di millimetri interi percorsi dal tastatore.

2.8.2 QUADRANTE

L’intervallo della graduazione non deve essere inferiore a 0,7 mm, al fine di garantire una buona lettura dello strumento. Sul quadrante deve inoltre essere chiaramente indicato il fabbricante.

La graduazione del quadrante è costituita da 100 divisioni, ossia l’angolo giro di 360° è diviso in 100 parti.

Ogni spostamento dell’asta del tastatore è amplificato da un sistema a ingranaggi e trasmesso all’indice che ne costituisce la parte finale.

Ogni millimetro di spostamento dell’asta del tastatore determina un giro completo dell’indice, quindi l’approssimazione a dello strumento è: a = 1 m m 1 0 0 d i v i s i o n i = 0, 0 1 m m

e l’ampiezza d’angolo tra due trattini successivi corrisponde a: α = 3 6 0 ° 1 0 0 d i v i s i o n i = 3, 6 °

Una seconda graduazione circolare o rettilinea, detta totalizzatore, indica lo spostamento in millimetri interi compiuto dall’asta del tastatore.

2.8.3 UTILIZZO DEL COMPARATORE

Il comparatore è uno strumento che valuta piccole variazioni di misura, cioè gli scostamenti (errori) rispetto a una misura sulla quale è stato azzerato. Serve per effettuare controlli di forma (come il parallelismo di due superfici piane, cilindricità e concentricità di solidi di rotazione ecc.) e misure indirette; non misura cioè una quota, ma misura l’errore o scostamento rispetto a una quota di riferimento.

Il comparatore può essere usato quindi per: ■ controllo di forma; ■ confronto di misure.

In entrambi i casi il comparatore è fissato su un supporto orientabile che permette di disporre il tastatore in posizione perpendicolare alla superficie da controllare.

Il sopporto e il pezzo si trovano entrambi su una tavola di controllo. Esistono tuttavia supporti già provvisti di tavola di controllo.

CONTROLLO DI FORMA

Il tastatore è disposto a contatto della superficie del pezzo da controllare a circa la metà del campo di misura (metà corsa del tastatore), quindi si azzera lo strumento agendo sulla ghiera. Spostando il pezzo da controllare sulla tavola portapezzo l’indice del comparatore ruota, come illustrato in ➜ Fig. 22.

È quindi possibile rilevare una serie di quote che per differenza indicano gli scostamenti (gli errori) sulla forma della superficie controllata. Gli scostamenti dallo zero sono positivi se l’indice ruota in senso orario, negativi se l’indice ruota in senso antiorario. ➜ Fig. 21 • Comparatore centesimale a quadrante. totalizzatore (posizione a scelta del costruttore)

CONFRONTO

DI MISURE (PEZZI PRODOTTI IN SERIE)

Il tastatore è disposto a contatto di una superficie di riferimento, ad esempio quella prodotta con i blocchetti pianparalleli (➜ Fig. 23), o quella di un pezzo già prodotto e a circa la metà del campo di misura (metà corsa del tastatore), quindi si azzera lo stru-

mento agendo sulla ghiera. Sostituendo ora il pezzo usato per l’azzeramento (o i blocchetti pianparalleli) con un altro pezzo uguale, l’indice si sposta indicando lo scostamento (l’errore) dal pezzo campione precedente.

➜ Fig. 23 • Confronto di misure con blocchetti pianparalleli.

➜ Fig. 22 • Controllo di forma.

2.9 Il goniometro

2.9.1

IL GRADO SESSAGESIMALE

Per misurare un angolo si utilizza il grado sessagesimale, che rappresenta la novantesima parte dell’angolo retto. Questa unità di misura è ammessa dalle norme anche se non appartiene al sistema SI. Il grado sessagesimale, a sua volta, è diviso in 60' e ciascun primo in 60''. Ogni secondo si suddivide in decimi e centesimi.

Il controllo degli angoli più comuni, cioè quelli di 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, non si esegue con il goniometro, bensì con le squadre fisse viste in precedenza. Gli angoli si misurano con goniometri meccanici semplici, con un’approssimazione di un grado o di mezzo grado. Quando si vogliono approssimazioni maggiori, si impiegano i goniometri universali provvisti di nonio semplice o raddoppiato.

2.9.2 IL GONIOMETRO UNIVERSALE

II goniometro universale è uno strumento di misura degli angoli sia acuti sia ottusi, ed è costituito da otto parti fondamentali (➜ Fig. 24).

La squadra fissa (6) è solidale a una corona circolare graduata (1), che può girare attorno a un disco centrale (3) provvisto di nonio (8). Il disco (3) è portato da un braccio che può essere fissato al righello scorrevole (4) per mezzo della vite di fissaggio (5). La squadra fissa (6) con relativa corona si può bloccare al disco centrale con la vite di fissaggio del supporto (2). Sulla corona circolare graduata (1) è incisa una scala suddivisa in quattro settori di 90°. Ciascun settore è numerato ogni 10°, da zero a 90°. Due settori sono numerati in senso orario e due in senso antiorario.

2.9.3 IL NONIO

Come si osserva in ➜ Fig. 25 , il nonio semplice è ottenuto suddividendo 11° in 12 parti uguali (i trattini da 0 a 60 in basso) a sinistra e a destra dello zero. Per facilitare l’individuazione del trattino che risulta allineato con un tratto della scala fissa, il nonio inciso sul disco centrale 3 è spesso del tipo raddoppiato , ottenuto dividendo 23° della scala principale sempre in 12 parti uguali (sempre i trattini da 0 a 60), a sinistra e a destra dello zero, come si vede in ➜ Fig. 26

➜ Fig. 24 •

1. Corona circolare graduata

2. Vite di fissaggio del supporto

3. Disco centrale

4. Righello scorrevole

5. Vite di fissaggio del righello

6. Squadra fissa

7. Supporto righello scorrevole

8. Nonio raddoppiato

➜ Fig. 25 • Nonio semplice del goniometro universale.

➜ Fig. 26 • Nonio raddoppiato del goniometro universale.

2.9.4 L’APPROSSIMAZIONE

Poiché l’ampiezza l = 1° di una graduazione della scala fissa è inferiore all’ampiezza l1 = 23°/12 di una graduazione del nonio raddoppiato, l’approssimazione si calcola con la seguente formula:

Nella relazione appena scritta figura il termine 2l e non l perché il nonio ha 12 divisioni su 23° della scala fissa e non 24 divisioni. II valore dell’approssimazione si può anche ricavare come rapporto tra l’ampiezza di una graduazione della scala fissa e il numero delle parti in cui è diviso il nonio:

2.9.5

LA LETTURA DEL NONIO

La lettura del nonio del goniometro si esegue allo stesso modo di quello già visto per i noni di misure lineari, dove c’è:

■ una parte intera fornita dal numero delle divisioni della scala fissa che si trovano alla sinistra o alla destra dello zero del nonio;

■ più una parte frazionaria data dal numero d’ordine della divisione del nonio coincidente con una divisione della scala fissa, moltiplicata per l’approssimazione del nonio che è di 5'.

La parte frazionaria si legge sulla scala del nonio concorde alla scala fissa.

Con il goniometro (➜ Fig. 27) è possibile leggere l’ampiezza di angoli acuti α e ottenere l’ampiezza di angoli ottusi β semplicemente applicando la relazione:

➜ Fig. 27 • Angolo acuto e angolo ottuso misurabili con il goniometro.

Lettura di un angolo non intero.

La lettura del nonio semplice della figura è:

Parte intera Parte frazionaria

Il trattino 0 del nonio supera il tredicesimo trattino della scala fissa, per cui la lettura è di 13° più una parte frazionaria.

Il trattino del nonio che coincide con un trattino della scala fissa è il quinto. Ogni trattino del nonio ha una approssimazione di 5', quindi si esegue la moltiplicazione

5 5' = 25' angolo acuto α = 13° 25' angolo ottuso β = 166° 35'

2.9.6 GONIOMETRO SENZA NONIO

Il quadrante del goniometro della ➜ Fig. 28 elimina il nonio e quindi elimina i problemi di interpretazione. Le decine di gradi sono indicate dal disco rotante, le frazioni di gradi dalla divisione circolare del quadrante fisso, e i gradi interi dalle cifre da 0 a 9, come si vede nel riquadro di lettura (➜ Fig. 29). Il riferimento del riquadro di lettura e la posizione dell’ago determinano chiaramente il valore di lettura. Uno stacco di divisione del quadrante corrisponde a un angolo di 5'.

➜ Fig. 29 • Quadrante del goniometro senza nonio. ➜ Fig. 28 • Goniometro senza nonio.

ESEMPI

Lettura

2.10 Termini e definizioni

2.10.1

PORTATA

Per portata massima si intende la più grande grandezza che si può misurare con lo strumento utilizzato, mentre per portata minima si intende la grandezza più piccola. Nel micrometro di ➜ Fig. 30 la portata massima è di 25 mm quando lo strumento è tutto aperto, mentre la portata minima è di 0 mm quando lo strumento è tutto chiuso, quindi la portata è di 25 mm. Nel calibro ventesimale la portata massima è di 135 mm quando lo strumento è tutto aperto, mentre la portata minima è di 0 mm quando lo strumento è tutto chiuso, quindi la portata è di 135 mm.

campo di misura = portata massima

2.10.2 CAMPO DI MISURA

Nel micrometro di ➜ Fig. 31, quando lo strumento è tutto chiuso, la distanza fra le facce di misura è di 25 mm, cioè il valore della portata minima. Quando lo strumento è tutto aperto la distanza fra le facce di misura è di 50 mm, cioè il valore della portata massima. Il campo di misura è dato dalla differenza tra la portata massima e la portata minima, e cioè 50 mm – 25 mm = 25 mm.

Nel micrometro 0 ÷ 25 il campo di misura è di 25 mm – 0 mm = 25 mm. Nel calibro ventesimale, la portata minima è 0 mm, cioè con calibro tutto chiuso, mentre la portata massima è di 135 mm, cioè con calibro tutto aperto; quindi il campo di misura è 135 mm – 0 mm = 135 m.

2.10.3 SENSIBILITÀ

Uno strumento ha una sensibilità tanto maggiore quanto maggiore è il numero che la rappresenta, cioè quanto maggiore è lo spostamento dell’indice. In ➜ Fig. 32 ci sono due strumenti in grado di misurare la stessa grandezza. È quindi possibile affermare che lo strumento 1 è più sensibile dello strumento 2 perché una piccola variazione della grandezza misurata determina una maggiore amplificazione dello spostamento dell’indice dello strumento 1.

2.10.4 RISOLUZIONE

➜ Fig. 32 • Esempio di sensibilità: a parità di angolo percorso l’indice dello strumento 1 misura la metà dei trattini misurati dallo strumento 2.

La risoluzione è la più piccola frazione di una grandezza apprezzabile dallo strumento, e non coincide necessariamente con la più piccola suddivisione della scala graduata detta unità di formato. La risoluzione dipende dalla capacità di lettura dell’operatore. Un bravo operatore legge sullo strumento fino a 1/5 dell’unità di formato. L’unità di formato nella riga metrica 1 (➜ Fig. 33) è il centimetro, mentre l’unita di formato nella riga metrica 2 è il millimetro. Nella riga metrica 1 si legge una lunghezza del pezzo di poco più di 4 cm. Nella riga metrica 2 si legge una lunghezza del pezzo di 4,4 cm. A dimostrazione che quanto più piccola è l’unita di formato tanto più esatta è la lettura della misura.

➜ Fig. 33 • Risoluzione o approssimazione.

➜ Fig. 31 • Micrometro 25 ÷ 50.

2.11 Misurazioni in 3D

2.11.1 I CONTROLLI DIMENSIONALI

Una macchina di misura a coordinate CMM (Coordinate Measuring Machine), è una macchina che serve per rilevare le misure di un pezzo con elevata precisione. L’importanza della corretta misura dei pezzi è legata alla loro intercambiabilità perché spesso è necessario sostituire un pezzo usurato o rotto con uno identico: basti pensare alla sostituzione di un pedale della bicicletta o alla sostituzione della batteria del telefonino quando questa non carica più. La misurazione viene eseguita muovendo una sonda che rileva le coordinate spaziali dei punti appartenenti alle superfici del manufatto.

Ciascun punto del manufatto è individuato da tre valori di coordinate cartesiane. Queste sono comunicate al software della macchina “tastando” tali punti con un sensore opportuno. Nel caso del sensore a contatto come quello di ➜ Fig. 34, il software riceve le informazioni di posizione dei carri mobili quando il tastatore tocca la superficie del pezzo, e le elabora fornendo una misurazione che va confrontata con quella di progetto per capire se esista o meno una non conformità.

Nella ➜ Fig. 35 è indicato il metodo di misurazione della sede di una valvola della testa di un motore a combustione interna. Si noti come il tastatore in rubino sintetico scorra all’interno del foro per rilevare sia la sua rotondità sia la sua cilindricità. L’operazione si effettua con un movimento a spirale del tastatore all’interno del foro che alloggerà la valvola.

2.11.2 MISURE CON CONTATTO

Il sensore descritto è denominato “sistema tastatore”, ed è costituito da un corpo e da uno stilo, che termina con l’elemento tastatore dello stilo, generalmente costituito da una sfera in rubino sintetico che entra in contatto con la superficie da rilevare.

Prima di eseguire il rilievo dimensionale è però necessario tarare la macchina.

Questa operazione si esegue andando a toccare in più posizioni la sfera campione (➜ Fig. 36), in dotazione alla macchina di misura.

➜ Fig. 35 • Rilievo dimensionale della cilindricità della sede di una valvola di testa di un motore a combustione interna.

➜ Fig. 36 • Tastatore a contatto. Sfera campione di diametro inferiore o uguale a 30 mm tarata per dimensione e forma.

➜ Fig. 34 • Rilievo dimensionale della testa di un ciclomotore con tastatore a contatto.

G

MATERIALI DIGITALI

Gli strumenti per il

DISEGNO TECNICO

CAPITOLO 12 Strumenti tradizionali e loro uso

CAPITOLO 13 Strumenti attuali: il computer

CAPITOLO 14 cenni sulle norme uni

VERIFICA LE CONOSCENZE

● Gli strumenti operativi tradizionali del disegno tecnico

● Norme per la realizzazione di disegni a mano libera

● Il programma Autocad per il disegno assistito

● Le norme UNI relative a formato e piegatura dei fogli, tabella e segno

SVILUPPA LE ABILITÀ

● Utilizzare correttamente gli strumenti tradizionali per il disegno

● Eseguire correttamente la squadratura di un foglio

● Applicare le norme per l’esecuzione di disegni a mano libera

● Conoscere le funzioni del programma Autocad per eseguire disegni tecnici

● Conoscere le norme contenute nell’UNI ISO 2006

COSTRUISCI LE COMPETENZE

● Saper scegliere tra gli strumenti tradizionali quelli più adatti per realizzare un disegno tecnico

● Saper eseguire diversi tipi di disegni a mano libera seguendo le norme

● Essere consapevoli delle potenzialità del programma Autocad per realizzare disegni tecnici

Monoposto e intelligenza artificiale officina italia

As.car.i è il nome del pilota di intelligenza artificiale sviluppato dal gruppo PoliMOVE, un giovane team di ingegneri coordinato dal Professore S. Savaresi del Politecnico di Milano.

La vettura è una Dallara AV-21, celebre azienda italiana produttrice di auto da competizione. La monoposto monta tre sensori LiDAR, cioè dispositivi che sfruttano la tecnologia basata sul funzionamento dei radar e che, grazie a segnali laser, riescono a rilevare dati accurati sull’ambiente circostante, restituendo informazioni tridimensionali a lunga distanza e a 360°, all’intelligenza artificiale che guida la vettura.

Dopo la partecipazione al campionato tra università di tutto il mondo, la Indy Autonomous Challenge, che ha vinto, As.car.i ha fissato un nuovo record: con i suoi 309,3 km/h sul rettilineo della pista di atterraggio dello Space Shuttle a Cape Canaveral è l’auto guidata da un’intelligenza artificiale più veloce al mondo.

12 CAPITOLO Strumenti tradizionali e loro uso

CI OCCUPEREMO DI...

1. Descrizione degli strumenti principali

2. Uso corretto degli strumenti tradizionali

12.1 Descrizione degli strumenti principali

L’uomo è l’unico essere vivente che sa progettare e costruire oggetti, utensili, macchine ecc. Egli ha iniziato con il vasellame, le armi, gli attrezzi, giungendo successivamente alla costruzione di manufatti più complessi, la cui realizzazione implicava la stesura preventiva di un progetto in cui fossero studiate tutte le fasi costruttive. Il disegno tecnico è stato ed è un mezzo indispensabile per la progettazione di un’opera, perché permette di rappresentare sia l’idea globale sia le caratteristiche costruttive di ogni singolo componente. Di seguito presentiamo le principali caratteristiche degli strumenti impiegati per l’esecuzione di disegni tecnici.

12.1.1

LA CARTA

La carta è costituita principalmente da cellulosa, trattata chimicamente, ottenuta dagli alberi di legno tenero come la betulla, il pioppo, il pino. Una carta meno comune, in quanto costosa e più pregiata, è ottenuta dal cotone, il lino e la canapa. Esistono vari tipi di carta, tra cui quella per il disegno, con caratteristiche diverse a seconda dell’uso a cui è adibita.

12.1.2 LA CARTA PER IL DISEGNO

La carta per il disegno normalmente è fornita in fogli oppure in rotoli come la carta da lucido (trasparente e usata principalmente per i disegni a china) e la carta da spolvero detta anche da scena (per usi particolari in pittura e disegno).

3. Squadratura del foglio e uso delle squadre

4. Il disegno a mano libera

permette l’esecuzione di disegni di precisione. Può essere di varia grammatura e spessore, e la scelta dell’uno o dell’altro tipo dipenderà dall’uso che se ne intende fare. Per il disegno tecnico si consiglia l’uso di una carta con grammatura di 220 gr/m2 in quanto fornisce una buona resistenza all’eventuale azione della gomma e allo strofinio delle squadrette. Per il disegno a mano libera, soprattutto nei primi tempi, conviene utilizzare carta quadrettata o anche millimetrata.

I fogli bianchi o già utilizzati conviene conservarli in cartelline rigide così da evitare piegature e arrotolamenti che ne comprometterebbero l’aspetto.

12.1.3 MATITE

Per il disegno si usano i portamine, più adatti al disegno tecnico delle matite tradizionali di legno (➜ Fig. 1). In ogni caso l’importante è che la punta sia lunga e non tozza e, nel caso del portamine (➜ Fig. 2), sporgente almeno 10 mm in modo da poter vedere bene dove si appoggia (➜ Fig. 3).

Per il disegno tecnico la carta più indicata è la carta liscia bianca, in fogli di varie dimensioni, perché ➜

Fig. 2 ➜ Fig. 3

Sia nella matita in legno sia nel portamine ciò che lascia il segno è la mina che è costituita principalmente da grafite con l’aggiunta di argilla. La proporzione di grafite e di argilla rende più o meno dura la mina. Ci sono mine morbide (da 9B a 2B), medie (B-HB-F), dure (da H a 9H) (➜ Fig. 4). Più le mine sono morbide più carico ne risulta il segno, ma è anche più facile sporcare il foglio. Viceversa più sono dure meno il segno risulta visibile ma è più facile incidere il foglio. Le più adatte per il disegno tecnico sono le HB, F e H e per eseguire i disegni a mano libera la B e la 2B.

12.1.5

GOMME

Per il disegno a matita si usano gomme bianche morbide (➜ Fig. 9); eventualmente per pulire un disegno particolarmente sporco, si usa la gommapane (➜ Fig. 10). Per il disegno a china su carta da lucido si usa una gomma specifica traslucida di colore bianco o giallo (➜ Fig. 11).

9B 8B 7B 6B 5B 4B 3B 2B B HB F H 2H 3H 4H 5H 6H 7H 8H 9H

➜ Fig. 4

9B 8B 7B 6B 5B 4B 3B 2B B HB F H 2H 3H 4H 5H 6H 7H 8H 9H

Per eseguire un disegno è importante impugnare in modo corretto la matita. Pertanto nel caso in cui si avesse qualche difficoltà nel farlo, si consiglia l’uso di matite in legno a sezione triangolare oppure l’uso di opportuni correttori (➜ Fig. 5) da applicare alla matita o al portamine.

12.1.6 SQUADRE, RIGHE E RIGHELLI

Per tracciare le linee rette si usano squadre, righe e righelli.

➜ Fig. 5

12.1.4

AFFILAMINE

Per affilare le mine sono usati la carta smeriglio (➜ Fig. 6), le campane (➜ Fig. 7) e i girelli (➜ Fig. 8). Questi ultimi permettono di ottenere velocemente una corretta affilatura grazie anche a due regolatori di lunghezza, uno per ottenere una punta affilata, l’altro per ottenere una punta un po’ più grossa.

Le squadre sono a forma di triangolo rettangolo isoscele (con angoli di 45° e 90°) (➜ Fig. 12) e di triangolo rettangolo scaleno (con angoli di 30°, 60° e 90°) (➜ Fig. 13), di varie dimensioni. Si sconsiglia l’uso di squadrette troppo piccole, perché insufficienti, o troppo grandi, perché ingombranti. Nell’uso si deve fare attenzione a non spostarle trascinandole, bensì sollevandole per non sporcare il foglio.

CARTA SMERIGLIO

Foglio di tela o carta ricoperta da materiale abrasivo.

CARTA DA LUCIDO

Carta a bassa opacità che consente di vedere in trasparenza. Usata, con matita o china, per riprodurre una figura posta al di sotto di essa.

➜ Fig. 7 ➜ Fig. 9

➜ Fig. 10

Fig. 11

➜ Fig. 8

➜ Fig. 6

Le righe servono per tracciare linee di dimensioni tali da non poter essere eseguite con le squadrette, come ad esempio le linee della squadratura, mentre i righelli servono per rilevare misure e sono meno ingombranti delle squadrette.

Ne esistono di varie lunghezze (➜ Fig. 14). Quando si acquistano squadre, righe e righelli è bene controllare che non siano arcuate e che i bordi siano perfettamente lisci. Nel caso poi delle squadrette in plastica, è opportuno verificare che non presentino residui dovuti a uno stampaggio mal realizzato.

12.1.8 GONIOMETRI

Il goniometro è uno strumento che serve per misurare l’ampiezza degli angoli. È formato da un disco graduato su cui sono riportate 360 tacche (ogni tacca corrisponde a 1°) (➜ Fig. 16), oppure da un semidisco con 180 tacche (➜ Fig. 17).

12.1.7 PARALLELOGRAFI

Il parallelografo (➜ Fig. 15) è una riga, guidata da due cavetti, che si sposta sempre parallelamente a se stessa. In commercio se ne trovano di già montati su tavolette.

12.1.9 COMPASSI

Il compasso è uno strumento, formato da due aste incernierate tra loro e con una apertura regolabile, che viene usato per tracciare circonferenze o per riportare misure. In commercio ne esistono di diversi tipi, ma quelli che ci interessano sono il balaustrone (➜ Fig. 18) e il normale compasso ad aste (➜ Fig. 19).

➜ Fig. 16

➜ Fig. 17

➜ Fig. 14

➜ Fig. 18

➜ Fig. 15

➜ Fig. 19

Nell’uso del compasso è importante controllare che la punta di grafite sia sempre bene affilata e alla stessa altezza della punta metallica o un po’ più sporgente. Nel compasso tradizionale è bene controllare che l’apertura o la chiusura delle aste non sia né troppo difficoltosa nè troppo facile. Nel caso lo fossero, si deve regolare il serraggio delle viti che collegano le aste con la cerniera e che sono accessibili svitando il perno zigrinato e togliendo la copertura.

12.1.10 MASCHERINE, CURVILINEI, NORMOGRAFI

Le mascherine servono per tracciare rapidamente le principali figure geometriche (➜ Fig. 20) (cerchi, ellissi, poligoni ecc.) e i simboli ricorrenti nei disegni meccanici, come dadi esagonali (➜ Fig. 21), negli schemi elettrici, come lampade, spine ecc., o nell’arredamento, come mobili o apparecchi sanitari (➜ Fig. 22).

I curvilinei (➜ Fig. 23) sono mascherine atte al tracciamento delle curve. Col disegno a matita è consigliato l’uso di curvilinei con bordi dritti per poterli capovolgere qualora si dovessero eseguire curve simmetriche.

I normografi (➜ Fig. 24) sono mascherine usate per scrivere caratteri in stampatello. Sono dotati di supporti laterali, che li tengono sollevati dal foglio per la scrittura con penne a china, che sono rimossi quando si usano con la matita.

Perno posto sulla sommità del compasso, per poterlo ruotare agevolmente, reso rugoso mediante zigrinatura cioè per mezzo di solchi (vedi p. 382).

➜ Fig. 20

➜ Fig. 21

➜ Fig. 22

➜ Fig. 23

➜ Fig. 24

PERNO ZIGRINATO

12.2.1 INDICAZIONI PER UN USO CORRETTO: MATITA E COMPASSO

Indicazioni per un uso corretto: matita e compasso

Indicazioni per un uso

corretto: matita e compasso

1. MATITA

Matita

Indicazioni per un uso corretto: matita e compasso

Matita

- punta affilata, lunga e non tozza, se matite in legno, o, nel caso del portamine, sporgente almeno 10mm in modo da poter vedere bene dove si appoggia fig.1;

- impugnata in modo corretto cioè tra le punte delle dita pollice, indice e medio; - perpendicolare al foglio fig.2 e non inclinata nè verso la squadretta fig.3 nè contro essa fig.4;

- impugnata in modo corretto cioè tra le punte delle dita pollice, indice e medio;

- punta affilata, lunga e non tozza, se matite in legno, o, nel caso del portamine, sporgente almeno 10mm in modo da poter vedere bene dove si appoggia fig.1; - impugnata in modo corretto cioè tra le punte delle dita pollice, indice e medio;

- perpendicolare al foglio fig.2 e non inclinata nè verso la squadretta fig.3 nè contro essa fig.4;

- inclinata, se vista di fronte fig.5, e trascinata nel senso dell’inclinazione roteandola, possibilmente, rispetto al suo asse fig.4.

- perpendicolare al foglio fig.2 e non inclinata nè verso la squadretta fig.3 nè contro essa fig.4; - inclinata, se vista di fronte fig.5, e trascinata nel senso dell’inclinazione roteandola, possibilmente, rispetto al suo asse fig.4.

punta affilata, lunga e non tozza, se matite in legno, o, nel caso del portamine, sporgente almeno 10mm in modo da poter vedere bene dove si appoggia (➜ Fig. 25); impugnata in modo corretto cioè tra le punte delle dita pollice, indice e medio; perpendicolare al foglio (➜ Fig. 26) e non inclinata né verso la squadretta (➜ Fig. 27) né contro essa (➜ Fig. 28); inclinata, se vista di fronte (➜ Fig. 29), e trascinata nel senso dell’inclinazione roteandola, possibilmente, rispetto al suo asse (➜ Fig. 29).

- punta affilata, lunga e non tozza, se matite in legno, o, nel caso del portamine, sporgente almeno 10mm in modo da poter vedere bene dove si appoggia fig.1;

SI NO SI SI NO NO NO

Fig. 25 ➜ Fig. 26 ➜ Fig. 27 ➜ Fig. 28 ➜ Fig. 29

Compasso

2. COMPASSO

Compasso

Compasso - usare la punta in acciaio a spillo anziché quella conica fig.6; - punta di grafite sempre bene affilata e alla stessa altezza della punta metallica o leggermente più sporgente fig.7; - le due punte di grafite e di acciaio devono sporgere dai porta punte in modo sufficiente da permettere una facile visione del loro posizionamento sul disegno (come nel caso della punta di grafite dal portamine); - nel caso in cui la punta sia a scalpello la parte più lunga deve essere verso l’interno del compasso vicino alla punta metallica fig.8; - se l’apertura del compasso è ampia può essere utile piegare le mezze astine verso l’interno così da avere le punte quasi perpendicolari al foglio fig.9.

- usare la punta in acciaio a spillo anziché quella conica fig.6; - punta di grafite sempre bene affilata e alla stessa altezza della punta metallica o leggermente più sporgente fig.7; - le due punte di grafite e di acciaio devono sporgere dai porta punte in modo sufficiente da permettere una facile visione del loro posizionamento sul disegno (come nel caso della punta di grafite dal portamine);

usare la punta in acciaio a spillo anziché quella conica (➜ Fig. 30); punta di grafite sempre bene affilata e alla stessa altezza della punta metallica o leggermente più sporgente (➜ Fig. 31); le due punte di grafite e di acciaio devono sporgere dai porta punte in modo sufficiente da permettere una facile visione del loro posizionamento sul disegno (come nel caso della punta di grafite dal portamine); nel caso in cui la punta sia a scalpello la parte più lunga deve essere verso l’interno del compasso vicino alla punta metallica (➜ Fig. 32); se l’apertura del compasso è ampia può essere utile piegare le mezze astine verso l’interno così da avere le punte quasi perpendicolari al foglio (➜ Fig. 33).

- usare la punta in acciaio a spillo anziché quella conica fig.6; - punta di grafite sempre bene affilata e alla stessa altezza della punta metallica o leggermente più sporgente fig.7;

- nel caso in cui la punta sia a scalpello la parte più lunga deve essere verso l’interno del compasso vicino alla punta metallica fig.8; - se l’apertura del compasso è ampia può essere utile piegare le mezze astine verso l’interno così da avere le punte quasi perpendicolari al foglio fig.9.

- le due punte di grafite e di acciaio devono sporgere dai porta punte in modo sufficiente da permettere una facile visione del loro posizionamento sul disegno (come nel caso della punta di grafite dal portamine);

- nel caso in cui la punta sia a scalpello la parte più lunga deve essere verso l’interno del compasso vicino alla punta metallica fig.8;

- se l’apertura del compasso è ampia può essere utile piegare le mezze astine verso l’interno così da avere le punte quasi perpendicolari al foglio fig.9.

fig.3

fig.6

fig.4

fig.2

fig.1

fig.5

fig.3

fig.6 fig.7 fig.8

fig.9

fig.4

fig.2 fig.1

fig.5

Strumenti

12.2.2 STRUMENTI PER IL DISEGNO: USO DELLE SQUADRETTE

Uso delle squadrette per tracciare linee parallele e perpendicolari

1. USO DELLE SQUADRETTE PER TRACCIARE LINEE PARALLELE E PERPENDICOLARI

Uso delle squadrette per tracciare linee parallele e perpendicolari

Accostando due squadrette e facendole scorrere l’una sull’altra si possono tracciare linee tra loro parallele o perpendicolari.

2. USO DELLE SQUADRETTE PER COSTRUIRE ANGOLI MULTIPLI DI 15°

Uso delle squadrette per costruire angoli multipli di 15°

Appoggiando le squadrette a una riga, accostandole e ruotandole opportunamente si può ottenere una serie di angoli multipli di 15°.

Uso delle squadrette per costruire angoli multipli di 15°

Appoggiando le ssquadretta a una riga, accostandole e ruotandole opportunamente si può ottenere una serie di angoli multipli di 15°.

12.2.3 INDICAZIONI PER UN USO CORRETTO: CERCHIOGRAFO E CURVILINEO

Indicazioni per un uso corretto: cerchiografo e curvilineo

1. CERCHIOGRAFO

Indicazioni per un uso corretto: cerchiografo e curvilineo

Cerchiografo

Indicazioni

Cerchiografo

Indicazioni per un uso corretto: cerchiografo e curvilineo

Cerchiografo

tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare (➜ Fig. 34); posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi (➜ Fig. 35); tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio (➜ Fig. 36).

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1;

per un uso corretto: cerchiografo e curvilineo

Indicazioni per un uso corretto: cerchiografo e curvilineo

Cerchiografo

- posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2;

Cerchiografo

- posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2; - tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1;

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1; - posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2; - tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1;

- tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

- posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2;

- tracciare gli assi del cerchio che si vuole disegnare fig.1; - posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2;

- posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2;

- tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

Fig. 34

- posizionare il cerchiografo sul foglio in modo che le quattro tacche del cerchio scelto si sovrappongano agli assi fig.2; - tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

- tracciare la circonferenza con la matita perpendicolare al foglio fig.3.

2. CURVILINEO

Curvilineo

➜ Fig. 36 ➜ Fig. 35

determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1;

- abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2;

Curvilineo determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1;

- appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC);

Curvilineo determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1;

- traccia solo una parte di curva fig.3;

- abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2;

Curvilineo determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1; - abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2; - appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC); - traccia solo una parte di curva fig.3; - il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) fig.4 così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte;

- traccia solo una parte di curva fig.3; - il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) fig.4 così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte; - se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9.

- abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2;

Curvilineo determinare i punti per cui deve passare la curva fig.1; - abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento fig.2;

- appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC);

- il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) fig.4 così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte;

- traccia solo una parte di curva fig.3;

- appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC);

- traccia solo una parte di curva fig.3;

- se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9.

- cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie;

- se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9.

- cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie; - tenere la matita perpendicolare al foglio.

- tenere la matita perpendicolare al foglio.

- se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9.

- cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie;

- se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9. - cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie; - tenere la matita perpendicolare al foglio.

- se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare figg.8 e 9.

- cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie;

- tenere la matita perpendicolare al foglio.

determinare i punti per cui deve passare la curva (➜ Fig. 37); abbozzare a mano libera e con segno appena accennato la curva per capirne l’andamento (➜ Fig. 38); appoggiare il curvilineo sul foglio e orientarlo in modo da far collimare il suo bordo, possibilmente, con almeno tre punti (es. ABC); tracciare solo una parte di curva (➜ Fig. 39); il tratto successivo si dovrà sovrapporre in parte a quello precedente (BCDE) (➜ Fig. 40) così da ottenere una linea continua e non una serie di tratti discontinui che tra l’uno e l’altro formano delle punte; se la curva da tracciare è simmetrica rispetto a un asse orizzontale, una volta tracciato un arco, conviene ribaltare il curvilineo e tracciare il suo speculare (➜ Figg. 41-42); cominciare dalle curve più strette, più difficili, e successivamente passare a quelle più ampie; tenere la matita perpendicolare al foglio.

- tenere la matita perpendicolare al foglio.

➜ Fig. 37

- tenere la matita perpendicolare al foglio.

Fig. 38

Fig. 39

fig.2 fig.1

fig.3 fig.6

fig.2

fig.1 fig.9

fig.3

fig.6

fig.2

fig.3 fig.6

fig.1

fig.3 fig.6

fig.2

12.3 Squadratura del foglio e uso delle squadre

12.3.1 STRUMENTI PER IL DISEGNO: SQUADRATURA DEL FOGLIO

Si punta quindi con il compasso in A, B, C, D con una stessa apertura a piacere, si tracciano otto archetti che intersecandosi determinano i punti E, F, G, H. Si traccino quindi le linee GE e HF che passano per O, sono tra loro perpendicolari e si dicono assi del foglio.

Da O si riportano su tali assi le dimensioni del rettangolo (squadratura) determinando i punti I, L, M, N .

Strumenti per il disegno: squadratura del foglio

1. ESEGUIRE LA SQUADRATURA DI UN FOGLIO

Eseguire la squadratura di un foglio

Strumenti per il disegno: squadratura del foglio

Per squadrare un foglio, cioè per disegnare su di esso un rettangolo che delimiti l’area per il disegno, si procede come segue:

Eseguire la squadratura di un foglio

Per squadrare un foglio, cioè per disegnare su di esso un rettangolo che delimiti l’area per il disegno, si procede come segue:

Tracciate le diagonali, si punta con il compasso nella loro intersezione O e, con la stessa apertura, si tracciano quattro archi, che le intersecano in A, B, C, D.

O si riportano golo (squadratura)

Posizionando una squadra parallela all’asse orizzontale, appoggiando l’altra ad essa e facendola scorrere si tracciano le due linee orizzontali passanti per I e M.

squadratura del foglio

disegnare su di esso disegno, si

Ripetendo la stessa operazione anche per l’asse verticale si tracciano le parallele ad esso passanti per N e L completando la costruzione.

Strumenti per il disegno: squadratura del foglio

Tracciate le diagonali, si punta con il compasso nella loro intersezione O e, con la stessa apertura, si tracciano quattro archi, che le intersecano in A, B, C, D. foglio

Eseguire la squadratura di un foglio

Tracciate le diagonali, si punta con il compasso nella loro intersezione O e, con la stessa apertura, si tracciano quattro archi, che le intersecano in A, B, C, D.

Per squadrare un foglio, cioè per disegnare su di esso un rettangolo che delimiti l’area per il disegno, si procede come segue:

Posizionando una squadra parallela all’asse orizzontale, appoggiando l’altra ad essa e facendola scorrere si tracciano le due linee orizzontali passanti per I e M.

Da O si riportano su tali assi le dimensioni del rettangolo (squadratura) determinando i punti I, L, M, N .

Tracciate le diagonali, si punta con il compasso nella loro intersezione O e, con la stessa apertura, si tracciano quattro archi, che le intersecano in A, B, C, D.

Da O si riportano su tali assi le dimensioni del rettangolo (squadratura) determinando i punti I, L, M, N .

Ripetendo la stessa cale si tracciano le completando la costruzione.

C, D con una otto archetti E, F, G, H. Si passano per O, assi del foglio.

Posizionando una squadra parallela all’asse orizzontale, appoggiando l’altra ad essa e facendola scorrere si tracciano le due linee orizzontali passanti per I e M.

Da O si riportano su tali assi le dimensioni del rettangolo (squadratura) determinando i punti I, L, M, N .

Posizionando una squadra parallela all’asse orizzontale, appoggiando l’altra ad essa e facendola scorrere si tracciano le due linee orizzontali passanti per I e M.

all’asse orizzonfacendola scorrere passanti per I e M.

Posizionando una squadra parallela all’asse orizzontale, appoggiando l’altra ad essa e facendola scorrere si tracciano le due linee orizzontali passanti per I e M.

Da O si riportano su tali assi le dimensioni del rettangolo (squadratura) determinando i punti I, L, M, N .

Ripetendo la stessa operazione anche per l’asse verticale si tracciano le parallele ad esso passanti per N e L completando la costruzione.

12.4.1 DISEGNO A MANO LIBERA DI QUADRATI E CIRCONFERENZE

Il disegno a mano libera è certamente la più importante tra le tecniche utilizzate per eseguire un elaborato grafico. Richiede, infatti, una strumentazione molto scarna (matita, foglio di carta e gomma) e pertanto può essere utilizzato ovunque, anche nelle situazioni più disagevoli. Questa sua facoltà di utilizzo permette quindi in ogni momento di integrare spiegazioni verbali, non sempre facilmente comprensibili, con schizzi, o di apportare correzioni a un elaborato grafico, lasciando in tal modo traccia di quanto discusso. È comunque importante tenere presente che si tratta di un disegno tecnico: pertanto, nell’eseguirlo, si devono sempre rispettare le norme relative. Di seguito sono proposte alcune costruzioni geometriche, utili per acquisire dimestichezza con questa tecnica. Per eseguire un disegno a mano libera si consiglia di utilizzare una matita morbida (B o 2B) e fogli quadrettati, sia perché si possono usare le quadrettature come guide nella tracciatura di linee, sia perché i quadretti sono d’aiuto per rispettare le proporzioni.

Disegno a mano libera di quadrati e circonferenze

Il disegno a mano libera è certamente la più importante tra le tecniche utilizzate per eseguire un elaborato grafico. Richiede, infatti, una strumentazione molto scarna (matita, foglio di carta e gomma) e pertanto può essere utilizzato ovunque, anche nelle situazioni più disagevoli. Questa sua facoltà di utilizzo permette quindi in ogni momento di integrare spiegazioni verbali, non sempre facilmente comprensibili, con schizzi, o di apportare correzioni ad un elaborato grafico, lasciando in tal modo traccia di quanto discusso. E’ comunque importante tenere presente che si tratta di un disegno tecnico: pertanto, nell’eseguirlo, si devono sempre rispettare le norme relative. Di seguito sono proposte alcune costruzioni geometriche, utili per acquisire dimestichezza con questa tecnica. Per esegire un disegno a mano libera si consiglia di utilizzare una matita morbida (B o 2B) e fogli quadrettati, sia perché si possono usare le quadrettature come guide nella tracciatura di linee, sia perché i quadretti sono d’aiuto per rispettare le proporzioni.

Le costruzioni proposte, in tutto il testo, sono scandite da disegni che ne illustrano le fasi. Ciò che le differenzia tra loro sono i colori dei segni: il nero è utilizzato per ciò che fa parte del disegno finale, come lati, assi ecc., il rosso per ciò che si deve eseguire in quella fase e l’azzurro per ciò che è stato eseguito nella fase precedente.

Il disegno a mano libera è certamente la più importante tra le tecniche utilizzate per eseguire un elaborato grafico. Richiede, infatti, una strumentazione molto scarna (matita, foglio di carta e gomma) e pertanto può essere utilizzato ovunque, anche nelle situazioni più disagevoli. Questa sua facoltà di utilizzo permette quindi in ogni momento di integrare spiegazioni verbali, non sempre facilmente comprensibili, con schizzi, o di apportare correzioni ad un elaborato grafico, lasciando in tal modo traccia di quanto discusso. E’ comunque importante tenere presente che si tratta di un disegno tecnico: pertanto, nell’eseguirlo, si devono sempre rispettare le norme relative. Di seguito sono proposte alcune costruzioni geometriche, utili per acquisire dimestichezza con questa tecnica. Per esegire un disegno a mano libera si consiglia di utilizzare una matita morbida (B o 2B) e fogli quadrettati, sia perché si possono usare le quadrettature come guide nella tracciatura di linee, sia perché i quadretti sono d’aiuto per rispettare le proporzioni.

Le costruzioni proposte, in tutto il testo, sono scandite da disegni che ne illustrano le fasi. Ciò che le differenzia tra loro sono i colori dei segni: il nero è utilizzato per ciò che fa parte del disegno finale, come lati assi ecc., il rosso per ciò che si deve eseguire in quella fase e l’azzurro per ciò che è stato eseguito nella fase precedente.

1. DISEGNARE A MANO LIBERA UN QUADRATO

Disegnare a mano libera un quadrato

1a. Si tracciano due assi tra loro perpendicolari che si intersecano nel punto O e si fissano i punti A, B, C, D equidistanti da O. Si tracciano per essi le parallele agli assi che, intersecandosi, determinano i quattro vertici del quadrato (➜ Fig. 43).

1a Si tracciano due assi tra loro perpendicolari che si intersecano nel punto O e si fissano i punti A, B, C, D equidistanti da O.

1b Si traccino per essi le parallele agli assi che, intersecandosi, determinano i quattro vertici del quadrato. Si completa la costruzione evidenziando il perimetro del quadrato.

1b. Si completa la costruzione evidenziando il perimetro del quadrato (➜ Fig. 44).

1b Si traccino per essi le parallele agli assi che, intersecandosi, determinano i quattro vertici del quadrato. Si completa la costruzione evidenziando il perimetro del quadrato.

2. DISEGNARE A MANO LIBERA UNA CIRCONFERENZA

Primo metodo

➜ Fig. 43

Disegnare a mano libera una circonferenza

2a. Si costruisce un quadrato che abbia il lato congruente al diametro della circonferenza e siano A, B, C, D i punti di tangenza tra la circonferenza e i lati del quadrato. Con la maggior precisione possibile si traccia un quarto di circonferenza e si individuano su di esso due punti di intersezione tra la curva e la quadrettatura (➜ Fig. 45).

Disegnare a mano libera una circonferenza

Primo metodo

Disegnare a mano libera una circonferenza

Primo metodo

2a Si costruisce un quadrato che abbia il lato congruente al diametro della circonferenza e siano A, B, C, D i punti di tangenza tra la circonferenza e i lati del quadrato. Con la maggior precisione possibile si tracci un quarto di circonferenza e si individuino su di esso due punti di intersezione tra la curva e la quadrettatura.

2b. Si tracciano gli altri tre quarti di circonferenza riportando simmetricamente rispetto agli assi i punti individuati precedentemente (➜ Fig. 46).

Secondo metodo

2b Si traccino gli altri tre quarti di circonferenza prendendo come riferimento i punti individuati precedentemente.

Secondo metodo

3a. Si costruisce un quadrato che abbia il lato congruente al diametro della circonferenza e si tracciano le sue diagonali (➜ Fig. 47).

Partendo da O, si riporta su queste ultime il raggio, valutandone la misura ad occhio con la miglior approssimazione possibile. Si determinano così i punti E, F, G, H, che appartengono alla circonferenza.

3a Si costruisce un quadrato che abbia il lato congruente al diametro della circonferenza e si tracciano le sue diagonali. Partendo da O, si riporta su queste ultime il raggio, valutandone la misura ad occhio con la miglior approssimazione possibile. Si determinano così i punti E, F, G, H, che appartengono alla circonferenza.

3b Si traccia ora la curva passante per i vari punti completando la costruzione.

3b. Si traccia ora la curva passante per i vari punti completando la costruzione (➜ Fig. 48).

Fig. 46

Fig. 48

➜ Fig. 45 ➜ Fig. 47 ➜ Fig. 44

aDisegno a mano libera di circonferenze e triangoli equilateri

Disegno a mano libera di circonferenze e triangoli equilateri

Terzo metodo

4a. Si costruisce il quadrato T, U, V, Z col lato pari al diametro della circonferenza.

4a Si costruisce il quadrato T, U, V, Z col lato pari al diametro della circonferenza. Si tracciano gli assi dei lati che si intersecano in O (centro della circonferenza) e determinano i punti A, B, C, D.

Si tracciano gli assi dei lati che si intersecano in O (centro della circonferenza) e determinano i punti A, B, C, D (➜ Fig. 49).

mano libera di circonferenze e triangoli equilateri

4b Si congiunge B con V e Z e D con T e U.

4b. Si congiunge B con V e Z allo stesso modo D con T e U (➜ Fig. 50).

4b Si congiunge B con V e Z e D con T e U.

costruisce il quadrato T, U, V, Z col diametro della circonferentracciano gli assi dei lati che si O (centro della circondeterminano i punti A, B, C,

4c Si tracciano le congiungenti di D con R e con S, punti medi di VC e AZ, che intersecano BZ in H e BV in G. Si ripete la costruzione con BP e BQ che intercettando DT e DU determinano E e F.

4c. Si tracciano le congiungenti di D con R e con S, punti medi di VC e AZ, che intersecano BZ in H e BV in G. Si ripete la costruzione con BP e BQ che intercettando DT e DU determinano E e F (➜ Fig. 51).

congiunge B con V e Z e D con T e

4d I punti così determinati assieme a A, B, C, D permettono di tracciare la circonferenza.

4d. I punti così determinati assieme a A, B, C, D permettono di tracciare la circonferenza (➜ Fig. 52).

4d I punti così determinati assieme a A, B, C, D permettono di tracciare la circonferenza.

le congiungenti di D con punti medi di VC e AZ, che BZ in H e BV in G. Si ripete con BP e BQ che interDU determinano E e F.

così determinati assieme a permettono di tracciare la

➜ Fig. 49

➜ Fig. 50

➜ Fig. 51

Disegnare a mano libera un triangolo equilatero

5a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e un segmento orizzontale passante per M, punto medio di OB, che determina sulla circonferenza i punti E e F.

➜ Fig. 52

12.4.2 DISEGNO A MANO LIBERA DI UN TRIANGOLO EQUILATERO

1. DISEGNARE A MANO LIBERA UN TRIANGOLO EQUILATERO

5a. Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e un segmento orizzontale passante per M, punto medio di OB, che determina sulla circonferenza i punti E e F (➜ Fig. 53).

5b. Si completa la costruzione congiungendo tra loro E, F e D vertici del triangolo (➜ Fig. 54).

mano libera un triangolo equilatero

5b Si completa la costruzione congiungendo tra loro E, F e D vertici del triangolo.

una circonferenza (ad tracciandone una quarto con il e completandola con il metodo) e un segmento orizzonper M, punto medio di determina sulla circonferenza i

5b Si completa la costruzione congiungendo tra loro E, F e D vertici del triangolo.

completa la costruzione congiunE, F e D vertici del trian-

Fig. 53

Disegno a mano libera di poligoni regolari

12.4.3 DISEGNO A MANO LIBERA DI POLIGONI REGOLARI

Disegno a mano libera di poligoni regolari

1. DISEGNARE A MANO LIBERA UN ESAGONO REGOLARE

6a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e due segmenti orizzontale passanti per M e N, punti medi di DO e OB, che determinano sulla circonferenza i punti E, F, G, H.

6b Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici.

6a. Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone un quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e due segmenti orizzontale passanti per M e N, punti medi di DO e OB, che determinano sulla circonferenza i punti E, F, G, H. (➜ Fig. 55).

6b. Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici. (➜ Fig. 56).

6b Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici.

7a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e le diagonali del quadrato in cu è inscritta determinando su di essa E, F, G, H che con A, B, C, D sono i vertici dell’ottagono.

2. DISEGNARE A MANO LIBERA UN OTTAGONO REGOLARE

7b Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici.

7a. Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone un quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e le diagonali del quadrato in cui è inscritta determinando su di essa E, F, G, H che con A, B, C, D sono i vertici dell’ottagono (➜ Fig. 57).

7b Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici.

7b. Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici (➜ Fig. 58).

8a Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone una quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e due segmenti orizzontale passanti per R e S, punti medi di DO e OB, e due verticali passanti per P e Q che determinano sulla circonferenza i otto punti che con A, B, C, D sono i vertici del dodecagono.

3. DISEGNARE A MANO LIBERA UN DODECAGONO REGOLARE

8b Si completa la costruzione congiungendo i tra loro i vertici.

8a. Si traccia una circonferenza (ad esempio tracciandone un quarto con il terzo metodo e completandola con il primo metodo) e due segmenti orizzontali passanti per R e S, punti medi di DO e OB, e due verticali passanti per P e Q che determinano sulla circonferenza gli otto punti che con A, B, C, D sono i vertici del dodecagono (➜ Fig. 59).

8b. Si completa la costruzione congiungendo tra loro i vertici (➜ Fig. 60).

55 ➜ Fig. 57 ➜ Fig. 59

➜ Fig.

➜ Fig. 56

➜ Fig. 58 ➜ Fig. 60

Esercitazione

SVILUPPA LE ABILITÀ

Esercitazione

Si traccino quattro serie di linee parallele come indicato nella figura a fianco.

1. Traccia quattro serie di linee parallele come indicato nella figura a fianco.

Dopo aver suddiviso il foglio in quattro quadranti, si riportano nei quadranti 1, 2, 4 le tacche segnate in rosso alla distanza di 5mm. Quindi posizionando le squadrette come nelle figure e facendole scorrere nel senso indicato dalle dalle frecce si traccino le linee. Si faccia attenzione a far scorrere le squadrette non sulle linee appena tracciate in quanto raccoglirebbero la polvare di grafite che rimane sul foglio sporcandolo e sporcandosi.

Dopo aver suddiviso il foglio in quattro quadranti, si riportano nei quadranti 1, 2, 4 le tacche alla distanza di 5 mm. Quindi posizionando le squadrette come nelle figure e facendole scorrere nel senso indicato dalle frecce si tracciano le linee. Si deve fare attenzione a far scorrere le squadrette non sulle linee appena tracciate in quanto raccoglierebbero la polvere di grafite che rimane sul foglio sporcandolo e sporcandosi.

HMATERIALI DIGITALI

GEOMETRICHE Le costruzioni

CAPITOLO 15 costruzioni piane fondamentali

VERIFICA LE CONOSCENZE

● Enti geometrici primitivi: punto, retta, piano

● Figure geometriche

● Gli elementi di un poligono

● Triangoli: classificazione, elementi, punti notevoli

● Quadrilateri

SVILUPPA LE ABILITÀ

● Poligoni regolari

● Circonferenza, cerchio, raccordi circolari

● Curve policentriche, cicliche e meccaniche

● Coniche

● Metodi per la riproduzione dei disegni

● Scale di riduzione e di ingrandimento

● Conoscere i termini e le definizioni geometriche fondamentali per il disegno

● Eseguire costruzioni di rette e angoli

● Eseguire costruzioni di poligoni

● Eseguire costruzioni di circonferenze, tangenti e raccordi

● Eseguire costruzioni di curve policentriche e cicliche

● Eseguire costruzioni di coniche

COSTRUISCI LE COMPETENZE

● Saper cogliere la struttura geometrica di una figura

● Saper distinguere tra enti e figure geometriche

● Descrivere le caratteristiche dei diversi poligoni

● Essere in grado di seguire le indicazioni per realizzare disegni tecnici corretti

● Utilizzare le procedure apprese per riprodurre disegni complessi di oggetti reali

officina italia

Acqua pulita e sicura

Grazie alla collaborazione tra il CNR -Isof di Bologna e l’azienda italiana Medica S.P.A. è nata una nuova tecnologia per migliorare la qualità dell’acqua potabile, che si basa su filtri a base di ossido di grafene e polisulfone, un materiale termoplastico a elevata robustezza. Progettati completamente in Italia più di dieci anni fa, questi filtri riescono a catturare anche inquinanti molto resistenti come i PFAS, alcuni antibiotici e il piombo. I contaminanti dell’ambiente che rischiano di arrivare fino ai nostri rubinetti sono principalmente farmaci, pesticidi, cosmetici e perfino i filtri solari.

La novità non è solo l’efficacia: questi filtri possono essere prodotti con costi contenuti, possono essere integrati facilmente nelle linee di produzione già esistenti e utilizzano pochissimo grafene, il che rende questa tecnologia sostenibile Questo è quindi un esempio concreto di come la scienza e le aziende, lavorando insieme, possano migliorare la vita di tutti.

EDUCAZIONE CIVICA

15

Costruzioni piane fondamentali

proporzioni e riportandone eventualmente anche le

Nel fare questo ci si imbatte in difficoltà direttamente proporzionali alla complessità dell’oggetto stesso.

CI OCCUPEREMO DI...

aficamente un oggetto significa riprodurne la forma su un foglio, rispettandone le proporzioni e riportandone eventualmente anche le

Nel fare questo ci si imbatte in difficoltà direttamente proporzionali alla complessità dell’oggetto stesso.

1. Punto, retta, piano, angolo

Queste difficoltà possono essere superate riconducenappresentazione grafica alla somma di rappresentazioni di forme semplici, delle quali si conoscano

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

nel piano. T minuscola.

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

7. Le curve policentriche e le curve cicliche

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

2. Costruzioni di rette e angoli

3. I poligoni

Nel fare questo ci si imbatte in difficoltà direttamente proporzionali alla complessità dell’oggetto stesso. Queste difficoltà possono essere superate riconducenappresentazione grafica alla somma di rappresentazioni di forme semplici, delle quali si conoscano

Queste difficoltà possono essere superate riconducenappresentazione grafica alla somma di rappresentazioni di forme semplici, delle quali si conoscano

4. Costruzioni di poligoni

Nella fig.1 si vede come sia possibile, attraverso una serie di approssimazioni, ridurre la rappresentazione di un fiocco di neve alla sovrapposizione di più triangoli

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

8. Costruzioni di curve policentriche e cicliche

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

5. La circonferenza e i raccordi circolari

6. Costruzioni di circonferenze, tangenti e raccordi

Nella fig.1 si vede come sia possibile, attraverso una serie di approssimazioni, ridurre la rappresentazione di un fiocco di neve alla sovrapposizione di più triangoli equilateri.

9. Le coniche

10. Costruzioni di coniche

11. Metodi per la riproduzione dei disegni

12. Scale di riduzione e di ingrandimento

15.1 Punto, retta, piano, angolo

Due rette incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro misura la quarta parte dell’angolo giro, risultano essere di 90°.

Video Focus

Questo modo di procedere ha permesso di sfruttare le forme geometriche per rappresentare l’esistente e progettare ciò che si vuole costruire.

La geometria permette di disegnare figure anche complesse utilizzando gli elementi fondamentali, gli enti primitivi, ovvero punti, rette e piani. Con questi mattoni è possibile costruire tutto l’edificio della costruzione grafica. Una figura geometrica è un qualunque insieme di punti.

Questo modo di procedere ha permesso di sfruttare le forme geometriche per rappresentare l’esistente e progettare ciò che si vuole costruire.

Due rette incidenti sono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro misura la quarta parte dell’angolo giro, risultano essere di 90°.

Due rette incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro misura la quarta parte dell’angolo giro, risultano essere di 90°.

■ PUNTO

sono definite figure piane è necessadette spigoli, che racchisignifica rispettandone le anche le direttamente stesso. riconducendi rappreconoscano

Questo modo di procedere ha permesso di sfruttare le forme geometriche per rappresentare l’esistente e progettare ciò che si vuole costruire.

punto, retta, semiretta, segmento

fig. 1 P r sono definite figure piane è necessaspigoli, che racchisignifica rispettandone le anche le direttamente stesso. riconducendi rappreconoscano

Abbiamo visto come sia necessario far riferimento alla geometria come scienza che regola il rapporto tra i vari elementi di un piano o di un solido. Tutte le figure possono essere rappresentate utilizzando gli elementi geometrici fondamentali; risulta perciò utile ricordare qui quelli che sono i principi costitutivi di questa disciplina.

Il punto è un ente geometrico privo di dimensioni che indica una posizione univoca nello spazio o nel piano. Ad esempio, l’intersezione tra due rette su un piano determina un punto. Il punto si indica con una lettera maiuscola.

Due rette, nello stesso piano, si dicono parallele quando non hanno alcun punto in comune, coincidenti quando hanno tutti i punti in comune.

Due rette, nello stesso piano, sono parallele quando non hanno alcun punto in comune, sono coincidenti quando hanno tutti i punti in comune.

La linea è una figura geometrica costituita da punti successivi, ha come unica dimensione la lunghezza.

Le fondamenta della geometria si basano sugli enti primitivi o elementi fondamentali, quali il punto la retta e il piano. Utilizzando questi mattoni riusciamo a costruire tutto l’edificio della costruzione grafica.

■ RETTA

DEF: Qualunque insieme di punti si dice figura geometrica.

La linea è una figura geometrica costituita da punti successivi, ha come unica dimensione la lunghezza.

DEF: Qualunque insieme di punti si dice figura geometrica.

La retta è un ente geometrico che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. La retta si indica con una lettera minuscola.

Il punto è un elemento geometrico fondamentale, privo di dimensioni e indica una posizione univoca nello spazio o nel piano. Per esempio l’intersezione di due rette determinano un punto su un piano. Tutti i punti si indicano con una lettera maiuscola dell’alfabeto latino.

Due rette, nello stesso piano, si dicono parallele quando non hanno alcun punto in comune, coincidenti quando hanno tutti i punti in comune.

La retta è un elemento geometrico fondamentale che indica in modo univoco una direzione nello spazio o nel piano. Tutte le rette si indicano con una lettera minuscola.

Elementi generati dalla retta

■ SEMIRETTA

Elementi generati dalla retta

semiretta

Elementi generati dalla retta

semiretta

Data una retta e fissato su di essa un punto O, formano una semiretta il punto stesso e tutti i punti che lo precedono, o lo seguono. Il punto O è detto origine della semiretta.

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

Due rette possono assumere diverse posizioni reciproche nel piano. Due rette distinte sono incidenti quando hanno un punto in comune.

Data una retta e fissato su di essa un punto O, formano una semiretta il punto stesso e tutti i punti che lo precedono, o lo seguono. Il punto O è detto origine della semiretta. Una semiretta è il prolungamento dell’altra.

Una semiretta è il prolungamento dell’altra

Data una retta e fissato su di essa un punto O, formano una semiretta il punto stesso e tutti i punti che lo precedono, o lo seguono. Il punto O è detto origine della semiretta.

Una semiretta è il prolungamento dell’altra

Due rette distinte si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.

Data una retta e fissato su di essa un punto O, formano una semiretta il punto stesso e tutti i punti che lo precedono, o lo seguono. Il punto O è detto origine della semiretta.

segmento

averso una appresentazione di triangoli

averso una appresentazione di più triangoli

Due rette incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro misura la quarta parte dell’angolo giro, risultano essere di 90°.

segmento

■ SEGMENTO

Una semiretta è il prolungamento dell’altra

segmento

Data una retta e fissati su di essa due punti A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento.

segmento

Data una retta e fissati due punti su di essa A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento.

Data una retta e fissati due punti su di essa A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento

Data una retta e fissati due punti su di essa A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento.

Due rette incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti che, essendo la loro misura la quarta parte dell’angolo giro, risultano essere di 90°.

Data una retta e fissati due punti su di essa A e B, formano un segmento i punti A e B e tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi del segmento.

15.2 Costruzioni di rette e angoli

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

PASSO PASSO 15.2.1 ASSE DI UN SEGMENTO

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

1 Consideriamo il segmento AB.

Sia dato il segmento AB

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

3 La retta passante per 1 e 2 è l’asse cercato.

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

2 Aperto il compasso con misura R a piacere, superiore alla metà di AB, puntiamo in A e B e tracciamo quattro archetti che si incrociano in 1 e in 2.

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Sia dato il segmento AB Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Costruzioni piane fondamentali: assi e perpendicolari

Sia dato il segmento AB.

Sia dato il segmento AB

Problema 1: Tracciare l’asse del segmento AB

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato.

Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Sia dato il segmento AB. Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

con le SQUADRE

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

Sia dato il segmento AB. Tracciando una linea passante per H e K si ottiene l’asse cercato

Aperto il compasso a piacere con misura R superiore alla metà di AB, si punti in A e B e si traccino quattro archetti che si incrociano in H e in K.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°; 3) Ripeti l’operazione in B determinando H; 4) Traccia la perpendicolare per H.

a Allinea la squadra 30/60 con AB e falla scorrere verso il basso. b Appoggia la squadra 45 sulla squadra 30/60 allineata all’estremo A e traccia una linea a 45°. c Ripeti l’operazione in B determinando 1. d Traccia la perpendicolare per 1.

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

1 Dati la retta s e il punto P puntiamo in P con apertura a piacere e tracciamo una semicirconferenza che interseca la retta s nei punti 1 e 2.

Data la retta s e il punto P si punti in P con apertura a piacere e si tracci una semicirconferenza che determina i punti A e B

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

PASSO PASSO 15.2.2 PERPENDICOLARE A UNA RETTA PER UN SUO PUNTO

Problema 2: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un suo punto P

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

2 Con apertura a piacere, ma con R maggiore di 1P, puntiamo in 1 e in 2 e tracciamo due archetti la cui intersezione è il punto 3.

Con il compasso aperto a piacere, ma con R maggiore di AP, si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

tutorial Video tutorial 1

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

3 La retta passante per 3 e P è la perpendicolare cercata.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

con le SQUADRE

a Allinea la squadra 45 con s. b Appoggia la squadra 30/60 sulla squadra 45. c Fai scorrere la squadra 45 fino ad allinearla a P. d Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

1) Allinea Sq.45 con s ; 2) Appoggia Sq.30/60 su Sq.45; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P. 1

Costruzioni piane fondamentali: perpendicolari

1 Consideriamo la retta s e il punto P.

Problema 3: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un punto P esterno ad essa

Sia data la retta s e il punto P Si punti in P con apertura a piacere e si tracci un arco che determina i punti A e B quindi si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

3 La retta passante per 3 e P è la perpendicolare cercata.

Costruzioni piane fondamentali: perpendicolari

2 Puntiamo in P con apertura a piacere e tracciamo un arco che interseca la retta nei punti 1 e 2. Poi puntiamo in 1 e in 2 e tracciamo due archetti la cui intersezione è il punto 3.

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

Problema 3: Tracciare la perpendicolare alla retta s per un punto P esterno ad essa

Sia data la retta s e il punto P

Si punti in P con apertura a piacere e si tracci un arco che determina i punti A e B quindi si punti in A e in B e si traccino due archetti che intersecandosi determinano il punto H

Tracciando una linea passante per H e per P si ottiene la perpendicolare cercata

1) Allinea Sq.45 a s; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

a Allinea la squadra 45 a s. b Appoggia la squadra 30/60. c Fai scorrere la squadra 45 fino ad allinearla a P. d Traccia la perpendicolare per P. con le SQUADRE

1) Allinea Sq.45 a s; 2) Appoggia Sq.30/60; 3) Fai scorrere Sq.45 fino ad allinearla a P; 4) Traccia la perpendicolare per P.

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

s s s s

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

a b c d

Problema 4: Tracciare la perpendicolare al segmento AB nell’estremo A

Sia dato il segmento AB e si apra il compasso con apertura a piacere R che rimarrà fissa per tutta la costruzione

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Si punti in A e si tracci un arco che determina il punto C quindi si punti in C e si tracci un arco che determina il punto D

Poi si punti in D e si tracci un arco che determina E quindi in E e si determini F. Tracciando la linea passante per A e F si ottiene la perpendicolare

Costruzioni piane fondamentali: triangoli

Problema 13: Costruire un triangolo dati i lati

Costruzioni

Siano dati i lati.

15.4 Costruzioni di poligoni

Problema 13: Costruire un triangolo dati i lati

Siano dati i lati.

Si tracci ad esempio AB.

Problema 13: Costruire un triangolo dati i lati

PASSO PASSO 15.4.1

Siano dati i lati.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura

Si tracci ad esempio AB.

TRIANGOLO DATI I LATI

1 Consideriamo tre segmenti che rappresentano i lati.

BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato.

Si tracci ad esempio AB.

Si tracci ad esempio AB. Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

2 Riportiamo ad esempio AB. Puntiamo il compasso in A con apertura AC e in B con apertura

BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C.

BC e tracciamo due archetti la cui intersezione è C.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato.

3 Tracciando i segmenti AC e BC otteniamo il triangolo cercato.

Problema 14: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Siano dati AB e gli angoli α e b a lui adiacenti.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Problema 14: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Siano dati AB e gli angoli α e b a lui adiacenti.

1 Consideriamo AB e gli angoli α e β a esso adiacenti.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Problema 14: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

2 Tracciato AB, costruiamo nel suo estremo A l’angolo α.

Si costruisca nell’estremo B l’angolo β. Le semirette che delimitano α e β si intersecano in C terzo vertice dell’angolo

Si costruisca nell’estremo B l’angolo β. Le semirette che delimitano α e β si intersecano in C terzo vertice dell’angolo.

A ESSO

Si costruisca nell’estremo B l’angolo β. Le semirette che delimitano α e β si intersecano in C terzo vertice dell’angolo.

3 Costruiamo nell’estremo B l’angolo β. Le semirette che delimitano α e β si intersecano in C, terzo vertice del triangolo.

Problema 15: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

PASSO PASSO 15.4.3 TRIANGOLO

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Problema 15: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

1 Consideriamo AB e AC e l’angolo α tra essi compreso.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α

Problema 15: Costruire un triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti ad esso.

Tracciato AB si costruisca nel suo estremo A l’angolo α

Si riporti col compasso la misura di AC sulla semiretta che delimita l’angolo a determinando così il punto C terzo vertice del triangolo.

2 Tracciato AB, costruiamo nel suo estremo A l’angolo α. 3 Riportiamo col compasso la misura di AC sulla semiretta che delimita l’angolo α, determinando così il punto C, terzo vertice del triangolo.

Si riporti col compasso la misura di AC sulla semiretta che delimita l’angolo a determinando così il punto C terzo vertice del triangolo.

PASSO PASSO 15.4.4 TRIANGOLO ISOSCELE DATE LA BASE E L’ALTEZZA

Problema 16: Costruire un triangolo isoscele date la base e l’altezza

1 Consideriamo la base AB e l’altezza h del triangolo isoscele.

Problema 16: Costruire un triangolo isoscele date la base e l’altezza

Siano date la base AB e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB determinando H. Si riporti su di esso, partendo da H, l’altezza HC determinando C terzo vertice del triangolo.

l’altezza h. l’asse determinando partendo

Siano date la base AB e l’altezza h. Si tracci l’asse di AB determinando H. Si riporti su di esso, partendo da H, l’altezza HC determinando C terzo vertice del triangolo

2 Tracciamo l’asse di AB determinando il punto medio H. Riportiamo sull’asse, puntando in H, l’altezza h determinando C, terzo vertice del triangolo.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato

3 Tracciamo i segmenti AC e BC e otteniamo il triangolo cercato.

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato

Tracciando i segmenti AC e BC si ottiene il triangolo cercato.

Problema 17: Costruire un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio R.

PASSO

Sia data la circonferenza di raggio R e centro O.

PASSO 15.4.5 TRIANGOLO EQUILATERO INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA DI RAGGIO R

Sia data la circonferenza di raggio R e centro O.

Si tracci il diametro verticale CZ.

inscritto una di date

Problema 17: Costruire un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio R.

1 Consideriamo la circonferenza di raggio R e centro O. Tracciamo il diametro verticale CZ.

Si punti col compasso in Z avente apertura pari al raggio R e si tracci un arco che intersechi la circonferenza in A e B.

Si tracci il diametro verticale CZ.

si ottiene data centro CZ. avente al e tracci intersechi circonin triangolo cercato.

Si punti col compasso in Z avente apertura pari al raggio R e si tracci un arco che intersechi la circonferenza in A e B.

2 Puntiamo col compasso in Z con apertura pari al raggio R e tracciamo un arco che intersechi la circonferenza in A e B.

Congiungendo A, B, C si otteniene il triangolo equilatero cercato.

3 Congiungendo A, B e C otteniamo il triangolo equilatero cercato.

Costruzioni piane fondamentali: quadrati

PASSO PASSO 15.4.6

Problema 18: Costruire un quadrato dato il lato.

QUADRATO DATO IL LATO

Sia dato il lato

Sia dato il lato.

1 Consideriamo il lato del quadrato.

Problema 18: Costruire un quadrato dato il lato.

Sia dato il lato.

Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato.

Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato

2 Tracciamo le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e riportiamo su di esse le misure del lato, determinando i vertici C e D.

Si traccino le perpendicolari al lato per gli estremi A e B e si riportino su di esse le misure del lato determinando C e D vertici del quadrato.

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato.

3 Tracciando DC completiamo la costruzione del quadrato.

Tracciando DC si completa la costruzione del quadrato.

a Allinea la squadra 30/60 con AB e falla scorrere verso il basso. b Appoggia la squadra 45 sulla squadra 30/60 allineata all’estremo A e traccia una verticale di lunghezza pari ad AB determinando D. c Ripeti l’operazione in B. d Allinea la squadra 45 ad AB, falla scorrere fino ad allinearla a D e traccia il segmento DC.

1) Allinea Sq.30/60 con AB e falla scorrere verso il basso; 2) Appoggia Sq.45 su Sq.30/60 allineata all’estremo A e traccia una verticale pari ad AB determinando D; 3) Ripeti l’operazione in B ; 4) Allinea Sq.45 ad AB, falla scorrere fino ad allinearla a D e traccia il segmento DC.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

Data la diagonale d si tracci una retta e per un suo punto A preso a piacere si tracci una perpendicolare.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

PASSO PASSO 15.4.7 QUADRATO DATA LA DIAGONALE

Data la diagonale d si tracci una retta e per un suo punto A preso a piacere si tracci una perpendicolare.

1 Data la diagonale d, tracciamo una retta e per un suo punto A preso a piacere costruiamo la perpendicolare.

Data la diagonale d si tracci una retta e per un suo punto A preso a piacere si tracci una perpendicolare.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Problema 19: Costruire un quadrato data la diagonale.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

2 Tracciamo la bisettrice dell’angolo in A e riportiamo su di essa, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Si tracci la bisettrice dell’angolo in A e si riporti su di esso, partendo da A, la diagonale d determinando il vertice C.

Con l’aiuto delle squadrette si traccino da C le parallele alla orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

3 Con l’aiuto delle squadrette tracciamo da C le parallele all’orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

Con l’aiuto delle squadrette si traccino da C le parallele alla orizzontale e alla verticale determinando i vertici B e D.

con le SQUADRE

Costruzioni

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi,

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi,

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli,

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi,

PASSO PASSO 15.4.8 RETTANGOLO DATE LA BASE E LA DIAGONALE

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato.

Costruzioni

piane fondamentali:

1 Consideriamo AB e costruiamo le perpendicolari nei suoi estremi A e B.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato.

rombi, parallelogrammi

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi, parallelogrammi

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

rettangoli, rombi, parallelogrammi

Costruzioni piane fondamentali: rettangoli, rombi, parallelogrammi

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

Tracciato AB si costruiscano sui suoi estremi le perpendicolari.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

2 Puntiamo col compasso in A e in B con apertura d e tracciamo due archetti che si intersecano nei punti C e D.

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Problema 20: Costruire un rettangolo date la base e la diagonale.

3 Tracciando i segmenti BC, CD e DA otteniamo il rettangolo cercato.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Si punti col compasso in A con apertura AC e in B con apertura BC e si traccino due archetti che intersecandosi determinano C e D.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

PASSO PASSO 15.4.9 ROMBO DATE LE DIAGONALI

1 Consideriamo le due diagonali AB (maggiore) e DC (minore).

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Problema 21: Costruire un rombo dati gli assi.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Tracciando i segmenti BC, CD e DA si ottiene il rettangolo cercato

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

2 Costruiamo l’asse di AB e determiniamo il punto medio O di AB. Riportiamo sull’asse, simmetricamente rispetto a O la metà di DC e individuiamo C e D.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

3 Congiungendo i quattro vertici A, B, C e D otteniamo il rombo.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo.

Siano dati gli assi AB e AC. Tracciato AB se ne costruisca l’asse determinando O e si riporti su di esso simmetricamente a O la metà di DC.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

Congiungendo i vertici così determinati si ottiene il rombo

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

PASSO PASSO 15.4.10 PARALLELOGRAMMA DATI I LATI E L’ANGOLO COMPRESO TRA ESSI

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso.

1 Consideriamo AB e AC e l’angolo α tra essi compreso.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Siano dati AB e AC e l’angolo α tra loro compreso

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

2 Tracciato AB, costruiamo nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

Problema 22: Costruire un parallelogramma dati i lati e un angolo.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

3 Riportiamo sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC tracciamo due archetti determinando D.

4 Tracciamo CD e BD completando così la costruzione.

Si riporti sulla semiretta s la misura di AC. Puntando poi in C con misura AB e in B con misura AC si traccino due archetti determinando D.

Si traccino CD e BD completando così la costruzione.

Tracciato AB, si costruisca nel suo estremo A l’angolo α avente come altro lato la semiretta s.

15.6 Costruzioni di circonferenze, tangenti e raccordi

PASSO PASSO 15.6.1 CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI DATI

1 Consideriamo i tre punti A, B, C non allineati.

2 Tracciamo AB e BC e costruiamo i loro assi che si intersecano in O.

3 Puntiamo in O e tracciamo la circonferenza cercata.

PASSO PASSO 15.6.2 RETTA TANGENTE A UNA CIRCONFERENZA DATA IN UN SUO PUNTO

1 Consideriamo la circonferenza di centro O e un punto P su di essa.

2 Tracciamo la semiretta s di origine O passante per P.

3 La tangente è la perpendicolare al segmento OP nell’estremo P.

PASSO PASSO 15.6.3 CIRCONFERENZA DI RAGGIO R TANGENTE A UNA RETTA DATA IN UN SUO PUNTO

1 Consideriamo la retta s, un suo punto P e il raggio R.

2 Tracciamo per P la perpendicolare a s e riportiamo da P il raggio R determinando O.

3 Puntiamo in O con raggio R e tracciamo la circonferenza cercata.

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

Problema 34: Tracciare le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa

PASSO PASSO 15.6.4

Problema 34: Tracciare le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa

TANGENTI A UNA CIRCONFERENZA DA UN PUNTO ESTERNO A ESSA

Siano dati la circonferenza di centro O e il punto P esterno ad essa.

1 Consideriamo la circonferenza di centro O e il punto P esterno a essa.

Siano dati la circonferenza di centro O e il punto P esterno ad essa.

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

2 Tracciamo il segmento OP, costruiamo l’asse di OP e determiniamo il punto 1.

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Si punti in C con raggio CO e si tracci una circonferenza che interseca quella data in H e K punti di tangenza. Si completi la costruzione tracciando le due tangenti

Si punti in C con raggio CO e si tracci una circonferenza che interseca quella data in H e K punti di tangenza. Si completi la costruzione tracciando le due tangenti.

3 Tracciamo una circonferenza con centro in 1 e raggio 1O che interseca in A e B quella data e quindi da P per A e B le due tangenti.

Si punti in C con raggio CO e si tracci una circonferenza che interseca quella data in H e K punti di tangenza. Si completi la costruzione tracciando le due tangenti.

Problema 34: Tracciare le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa

Siano dati la circonferenza di centro O e il punto P esterno ad essa.

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Costruzioni piane fondamentali: tangenti

Problema 34: Tracciare le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa

Siano dati la circonferenza di centro O e il punto P esterno ad essa.

Si punti in C con raggio CO e si tracci una circonferenza che interseca quella data in H e K punti di tangenza. Si completi la costruzione tracciando le due tangenti

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Si punti in C con raggio CO e si tracci una circonferenza che interseca quella data in H e K punti di tangenza. Si completi la costruzione tracciando le due tangenti

Si tracci il segmento OP e se ne costruisca l’asse determinando il punto C.

Si punti in C con r tracci una circonferenza che interseca quella data in H e K punti di tangenza. Si completi la costruzione tracciando le due tangenti

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date.

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date

Date le circonferenze si tracci OO’ e due raggi tra loro paralleli O’H e O”K. Da H si riporti su O’H il raggio O”K determinando P, quindi si tracci la circonferenza di raggio O’P

Date le circonferenze si tracci OO’ e due raggi tra loro paralleli O’H e O”K. Da H si riporti su O’H il raggio O”K determinando P, quindi si tracci la circonferenza di raggio O’P.

1 Date le circonferenze di centro O' e O'', tracciamo O'O'' e i raggi O'1 e O''2 tra loro paralleli. Da 1 riportiamo O''2 su O'1 determinando 3 e tracciamo la circonferenza di raggio O'3.

Si tracci l’asse di O’O” determinando C e puntando in esso si tracci la circonferenza di raggio CO’ che interseca la circonferenza di raggio O’P in M ed N.

PASSO PASSO 15.6.5 TANGENTI ESTERNE A DUE CIRCONFERENZE DATE

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date

Si congiunga O’ con M ed N e si prolunghino le linee determinando R e Q quindi da O” si tr parallele a tali linee determinando E ed F che con R e Q sono i punti di tangenza. Si traccino le tangenti.

Si congiunga O’ con M ed N e si prolunghino le linee determinando R e Q quindi da O” si tr parallele a tali linee determinando E ed F che con R e Q sono i punti di tangenza. Si tr

Date le circonferenze si tracci OO’ e due raggi tra loro paralleli O’H e O”K. Da H si riporti su O’H il raggio O”K determinando P, quindi si tracci la circonferenza di raggio O’P

Si tracci l’asse di O’O” determinando C e puntando in esso si tracci la circonferenza di raggio CO’ che interseca la circonferenza di raggio O’P in M ed N.

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date

3 Tracciamo O'5 e O'6 che prolungati deter minano A e B; da O'' tracciamo le parallele a O'A e O'B determinando C ed D.

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date

2 Tracciamo l’asse di O'O'' e determiniamo il punto medio 4; puntiamo in 4 e tracciamo la circonferenza di raggio 4O' che interseca la circonferenza di raggio O'3 in 5 e 6.

Date le circonferenze si tracci OO’ e due raggi tra loro paralleli O’H e O”K. Da H si riporti su O’H il raggio O”K determinando P, quindi si tracci la circonferenza di raggio O’P.

Problema 35: Tracciare le tangenti esterne a due circonferenze date

Si congiunga O’ con M ed N e si prolunghino le linee determinando R e Q quindi da O” si traccino le parallele a tali linee determinando E ed F che con R e Q sono i punti di tangenza. Si traccino le tangenti.

Si tracci l’asse di O’O” determinando C e puntando in esso si tracci la circonferenza di raggio CO’ che interseca la circonferenza di raggio O’P in M ed N.

Le rette passanti per A e C e per B e D sono le tangenti.

Si tracci l’asse di O’O” determinando C e puntando in esso si tracci la circonferenza di raggio CO’ che interseca la circonferenza di raggio O’P in M ed N.

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date.

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date

Date le circonferenze si tracci: O’O”, due raggi O’P e O”Q tra loro paralleli e la congiungente PQ determinando H.

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

Congiungendo M con F e N con E si tracciano le due tangenti.

vedi esercizio a pag. 90

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date.

Date le circonferenze si tracci: O’O”, due raggi O’P e O”Q tra loro paralleli e la congiungente PQ determinando H.

1 Date le circonferenze di centro O' e O'', tracciamo il segmento O'O'', due raggi O'1 e O''2 tra loro paralleli e la congiungente 1-2 determinando 3.

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date

Congiungendo M con F e N con E si tracciano le due tangenti.

PASSO PASSO 15.6.6 TANGENTI INTERNE A DUE CIRCONFERENZE DATE

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

Date le circonferenze si tracci: O’O”, due raggi O’P e O”Q tra loro paralleli e la congiungente PQ determinando H.

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

Problema 36:Tracciare le tangenti interne a due circonferenze date

Date le circonferenze si tracci: O’O”, due raggi O’P e O”Q tra loro paralleli e la congiungente PQ determinando H.

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

2 Tracciamo gli assi di O'3 e O''3, determinando i punti medi 4 e 5 e le circonferenze di raggio 4O' e 5O'' che intersecano le circonferenze date in A, B, C, D.

Si traccino gli assi di O’H e O”H determinando C’ e C” e si traccino le circonferenze di raggio O’C’ e O”C” che intersecano le circonferenze date in M, N, E, F punti di tangenza.

Le rette passanti per A e D e per B e C sono le due tangenti.

Congiungendo M con F e N con E si tracciano le due tangenti.

Problema 43: Costruire un

Problema 43: Costruire un ovale dati gli assi AB e CD

Tracciati gli assi, si congiunga C con B e da C si riporti HB, differenza tra i due semiassi, determinando K. Si tracci l’asse di KB che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 ed O2.

PASSO PASSO 15.8.1 OVALE DATI GLI ASSI AB E CD

15.8 Costruzioni di curve policentriche e cicliche

Tracciati gli assi, si congiunga C con B e da C si riporti HB, differenza tra i due semiassi, determinando K. Si tracci l’asse di KB che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 ed O2.

Costruzioni piane fondamentali: ovale e ovolo

Problema 43: Costruire un ovale dati gli assi AB e CD

Costruzioni piane fondamentali: ovale e ovolo

1 Tracciati gli assi AB e CD congiungiamo C con B e da C riportiamo 1B, differenza tra i due semiassi, determinando su CB il punto 2. Tracciamo l’asse di 2B che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 e O2

Tracciati gli assi, si congiunga C con B e da C si riporti HB, differenza tra i due semiassi, determinando K. Si tracci l’asse di KB che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 ed O2

Si punti col compasso in O2 con apertura O2C e si tracci un arco che interseca l’asse di KB in G. Si punti quindi in O1 con apertura O1G e si tracci l’arco GB completando il primo quarto di ovale. Si punti quindi in O e si riporti O1 in O4 e O2 in O3.

tutorial

Si congiunga O3 con O1 e O4 con O3 e si prolunghino le linee, quindi puntando in O1, O2, O3 ed O4 si traccino gli archi come fatto per il primo quarto.

2 Puntiamo il compasso in O 2 con apertura O2C e tracciamo un arco che interseca l’asse di 2B in E. Puntiamo quindi in O1 con apertura O 1E e tracciamo l’arco EB completando il primo quarto di ovale. Puntiamo quindi in O e riportiamo O1 in O4 e O2 in O3.

Problema 44: Costruire un ovolo dati gli assi

PASSO PASSO 15.8.2 OVOLO DATI GLI ASSI AB E CD

Tracciato CD se ne costruisce l’asse determinando il centro O. Si punta in O con apertura OC e si traccia la semicirconferenza CD che determina sull’asse il punto A e da A si riporta la misura di AB.

3 Congiungiamo O3 con O1 e O4, O2 con O4 e prolunghiamo le linee, quindi puntando in O1, O2, O3 e O4 tracciamo gli archi come fatto per il primo quarto.

Si congiunga O3 con O1 e O4 con O3 e si prolunghino le linee, quindi puntando in O1, O2, O3 ed O4 si traccino gli archi come fatto per il primo quarto.

Video tutorial

1 Tracciamo CD e costruiamo il suo asse, determinando il centro O. Puntiamo in O con apertura OC e tracciamo la semicirconferenza CD che interseca l’asse nel punto A e da A riportiamo la misura di AB.

Problema 44: Costruire un ovolo dati gli assi

Si tracci CB e da C si riporti HB, differenza tra OB e OC, determinando K. Si tracci l’asse di KB che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 ed O2 e puntando in O si riporti O2 in O3.

2 Tracciamo CB e da C riportiamo 1B, differenza tra OB e OC, determinando 2. Tracciamo l’asse di 2B che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 e O2 e puntando in O riportiamo O2 in O3.

Si tracci CB e da C si riporti HB, differenza tra OB e OC, determinando K. Si tracci l’asse di KB che incontra gli assi, o i loro prolungamenti, in O1 ed O2 e puntando in O si riporti O2 in O3.

Si congiunga O3 con O1 e si prolunghi la linea, quindi puntando in O2 ed O3 si traccino rispettivamente gli archi CG e DI, e puntando in O1 l’arco GI.

3 Congiungiamo O 3 con O 1 e prolunghiamo la linea, quindi puntando in O2 e O3 tracciamo rispettivamente gli archi CE e DF, e puntando in O1 l’arco EF.

Si congiunga O3 con O1 e si prolunghi la linea, quindi puntando in O2 ed O3 si traccino rispettivamente gli archi CG e DI, e puntando in O1 l’arco GI.

Video

PASSO PASSO 15.8.3 OVALE DATO L’ASSE MAGGIORE AB

1 Tracciamo AB e il suo asse, determinando il centro O; costruiamo gli assi di OA e OB trovando O1 e O2.

2 Puntiamo in O, O 1 e O 2 e tracciamo tre circonferenze di raggio OO1 che intersecandosi danno origine ai punti 1, 2, 3, 4.

3 Tracciamo e prolunghiamo i segmenti O11, O12, O23, O24 a determinare O3 e O4 e, sulle circonferenze D, E, F, G. Puntiamo in O3 e O4 e tracciamo gli archi DG e EF.

PASSO PASSO 15.8.4 OVALE DATO L’ASSE MINORE CD

1 Tracciamo CD e il suo asse, determinando O; tracciamo la circonferenza di raggio OC trovando O1 e O2. Congiungiamo C e D con O1 e O2 e prolunghiamo.

2 Puntiamo in C e in D con raggio CD e tracciamo due archi che intersecano i segmenti precedentemente tracciati in E, F, G, L.

PASSO PASSO 15.8.5 OVOLO DATO L’ASSE MINORE

1 Consideriamo CD e il suo asse, determinando O; tracciamo la circonferenza di raggio OC trovando O1. Congiungiamo C e D con O1 e prolunghiamo i segmenti.

2 Puntiamo in C e in D con raggio CD e tracciamo due archi che intersecano i segmenti precedentemente tracciati in E, F.

3 Puntiamo in O1 e O2 con apertura O1E e tracciamo i due archi EF e GL completando la costruzione.

3 Puntiamo in O1 con apertura O1E e tracciamo l’arco EF completando la costruzione.

PASSO PASSO 15.8.6 SPIRALE DI ARCHIMEDE DATO IL PASSO p

1 Sia p = AB. Lo dividiamo in un numero di parti congruenti (es. otto) e dividiamo nello stesso numero di parti la circonferenza di raggio AB. Procediamo nella numerazione delle suddivisioni come indicato in figura e tracciamo i raggi B1, B2 ecc.

2 Puntiamo in B col compasso avente apertura B1', tracciamo un arco che interseca il raggio B1, con apertura B2' un arco che interseca il raggio B2 ecc.

3 Determinate tutte le intersezioni, procediamo a tracciare la curva col curvilineo.

PASSO PASSO 15.8.7 SPIRALE (CON

1 Consideriamo gli estremi A e B del passo. Tracciamo l’asse di AB determinando il centro O.

DUE CENTRI)

2 Puntiamo col compasso in O, con apertura OA, e tracciamo una semi circonferenza. Puntiamo poi in A con apertura AB e tracciamo un’altra semicirconferenza determinando C.

PASSO PASSO 15.8.8 SPIRALE (CON TRE CENTRI)

1 Costruiamo un triagolo equilatero col lato pari a 1/3 del passo e prolunghiamo i lati nello stesso verso.

2 Puntiamo col compasso in A con apertura AB e tracciamo un arco che interseca il prolungamento di CA in D. Poi in C con apertura CD a determinare E ecc.

3 Puntiamo poi in O con apertura OC e tracciamo una semicirconferenza da C a D. Poi in A con apertura AD ecc.

esercizio a pag. 90

3 Procediamo nello stesso modo fino a ottenere le spire volute. Con lo stesso metodo, partendo da poligoni regolari, si possono costruire spirali a quattro o più centri.

Video tutorial

vedi

Costruzioni piane fondamentali: evolvente e

Costruzioni piane fondamentali: evolvente e cicloide

Costruzioni

Problema 49: Costruire l’evolvente del cerchio dato il raggio R (vedi p.40)

PASSO PASSO 15.8.9 EVOLVENTE DEL CERCHIO DATO IL RAGGIO R

Problema 49: Costruire l’evolvente del cerchio dato il raggio R (vedi p.40)

Sia dato il raggio R. Tracciata la circonferenza, la si divide in un numero di parti uguali (ad esempio 12) e si congiunge ogni punto della suddivisione con il centro O. Si procede nella numerazione della suddivisione come in figura. Per ogni punto si tracciano poi, nello stesso verso, le tangenti alla circonferenza (ovvero le perpendicolari ai raggi).

1 Tracciamo il cerchio e lo dividiamo in un numero di parti uguali (ad esempio 12). Numeriamo ciascun punto della suddivisione in senso orario come in figura, lo congiungiamo con il centro O e tracciamo, nello stesso verso, le tangenti alla circonferenza (cioè le perpendicolari ai raggi).

Si punta quindi in 2, con raggio 2-1, e si traccia un arco da 1 fino a incontrare la tangente in 2 nel punto a; si punta quindi in 3 con raggio 3a e si traccia un arco da a ad incontrare la tangente in 3 nel punto b; si punta in 4 con raggio 4b, e così via per tutti i punti della suddivisione. La somma dei vari archi dà l’evolvente.

2 Puntiamo in 2, con raggio 2-1, e tracciamo un arco da 1 a incontrare la tangente in 2 nel punto A; puntiamo quindi in 3 con raggio 3A e tracciamo da A un arco a incontrare la tangente in 3 nel punto B; puntiamo in 4, ... e così via per tutti i punti della suddivisione. La somma dei vari archi dà l’evolvente.

Problema 50: Costruire una cicloide data la circonferenza (vedi p. 40)

PASSO PASSO 15.8.10 CICLOIDE DATA LA CIRCONFERENZA

Problema 50: Costruire una cicloide data la circonferenza (vedi p. 40)

Sia data la circonferenza di raggio R. Si traccia un segmento AB di lunghezza pari a2 R pari a un giro completo e lo si suddivide in 12 parti uguali numerando con O1, O2, con apertura pari al raggio R e si tracciano 12 circonferenze.

Sia data la circonferenza di raggio R. Si traccia un segmento AB di lunghezza pari a2 R pari a un giro completo e lo si suddivide in 12 parti uguali numerando con O1, O2, ... con apertura pari al raggio R e si tracciano 12 circonferenze.

1 Consideriamo la circonferenza di raggio R. Tracciamo un segmento AB lungo 2πR pari a un giro completo e lo dividiamo in 12 parti uguali numerando con O1, O2, ... e tracciamo 12 circonferenze di raggio R.

Si divide la prima circonferenza in 12 parti uguali, così da ottenere la posizione del punto rispetto al piano di rotolamento a ogni dodicesimo di rotazione, e si tracciano per ogni punto le parallele ad AB. Le parallele incontrano le circonferenze nei punti P1, P2, P3, ..., che rappresentano l’esatta posizione del punto a ogni dodicesimo di percorso. Congiungendo col curvilineo i punti P1, P2, P3, ...,si ottiene la curva cercata.

Si divide la prima circonferenza in 12 parti uguali, così da ottenere la posizione del punto rispetto al piano di rotolamento a ogni dodicesimo di rotazione, e si tracciano per ogni punto le parallele ad AB. Le parallele incontrano le circonferenze nei punti P1, P2, P3, , che rappresentano l’esatta posizione del punto a ogni dodicesimo di percorso. Congiungendo col curvilineo i punti P1, P2, P3, ...,si ottiene la curva cercata.

2 Dividiamo la prima circonferenza in 12 parti uguali, così da ottenere la posizione del punto rispetto al piano di rotolamento a ogni dodicesimo di rotazione, e tracciamo per ciascun punto le parallele ad AB. Le intersezioni tra le parallele e le circonferenze nei punti P0, P1, P2, P3, ..., rappresentano l’esatta posizione del punto a ogni dodicesimo di percorso. Congiungendo col curvilineo i punti P0, P1, P2, P3, ..., si ottiene la curva cercata.

Video tutorial

I

MATERIALI DIGITALI

DISEGNO TECNICO Il linguaggio del SEZIONE

CAPITOLO 16 Proiezioni ortogonali

CAPITOLO 17 Proiezioni assonometriche

VERIFICA LE CONOSCENZE

● Regole relative alle proiezioni ortogonali

● Concetto di assonometria

● Caratteristiche delle assonometrie cavaliera, isometrica e dimetrica

SVILUPPA LE ABILITÀ

● Riprodurre una proiezione ortogonale usando correttamente gli strumenti del disegno

● Rappresentare semplici solidi mediante l’uso delle assonometrie cavaliera e isometrica

COSTRUISCI LE COMPETENZE

● Essere in grado di analizzare e rappresentare in proiezione ortogonale un qualsiasi oggetto in modo esauriente

● Saper analizzare e riprodurre, da oggetti rilevati o da disegni in proiezione ortogonale, le assonometrie, scegliendo le viste più efficaci alla comprensione del disegno

officina italia

La Blu Economy

L’Italia è leader mondiale dell’industria nautica che si conferma come uno dei settori strategici del Made in Italy, continuando a crescere a ritmi sostenuti e rafforzando la propria leadership a livello mondiale. Si tratta di un comparto strategico, che genera un valore aggiunto significativo e contribuisce alla crescita della “Blu Economy”, l’economia del mare. Nel 2023 l’Italia ha segnato un anno da record nella produzione nautica consolidando la posizione di leadership mondiale che detiene dal 2000. Per assecondare questo progresso, servono sempre più professionisti, come gli ingegneri navali, ed è proprio per dare una risposta a questo settore produttivo che a Olbia è nato il corso di laurea in Ingegneria navale. Il settore che include un’ampia gamma di attività che spaziano dalla costruzione di battelli, barche a vela, yacht e superyacht, alla produzione di motori e accessori, è sempre più orientato verso la sostenibilità, con un’attenzione crescente alle propulsioni green e all’innovazione tecnologica.

EDUCAZIONE CIVICA

Proiezioni ortogonali

Unità 7 Proiezioni ortogonali

I principali solidi geometrici: poliedro, prisma, parallelepipedo, piramide

Unità 7 Proiezioni ortogonali

I principali solidi geometrici: poliedro, prisma, parallelepipedo, piramide

1 I principali solidi geometrici

2 Metodi di rappresentazione grafica: le proiezioni

7 Proiezioni ortogonali di solidi geometrici

2 Metodi di rappresentazione grafica: le proiezioni

3 Proiezioni assonometriche: introduzione

CI OCCUPEREMO DI...

3 Proiezioni assonometriche: introduzione

Unità 7 Proiezioni ortogonali

8 Approfondimenti sulle proiezioni ortogonali

a) Ribaltamento di piani

Unità 7 Proiezioni ortogonali

4 Triedro di riferimento e sua rappresentazione sul piano

a) Ribaltamento di piani

1 I principali solidi geometrici

Unità 7 Proiezioni ortogonali

4 Triedro di riferimento e sua rappresentazione sul piano

b) Metodo della rotazione

1 I principali solidi geometrici

1. I principali solidi geometrici

5 Convenzioni per la rappresentazione grafica

2 Metodi di rappresentazione grafica: le proiezioni

1 I principali solidi geometrici

6 Proiezioni ortogonali di figure piane

7 Proiezioni ortogonali di solidi geometrici

b) Metodo della rotazione

I principali solidi geometrici: poliedro, prisma, parallelepipedo, piramide

6 Proiezioni ortogonali di figure piane

3 Proiezioni assonometriche: introduzione

2 Metodi di rappresentazione grafica: le proiezioni

3 Proiezioni assonometriche: introduzione

7 Proiezioni ortogonali di solidi geometrici

c) Metodo delle generatrici

2 Metodi di rappresentazione grafica: le proiezioni

8 Approfondimenti sulle proiezioni ortogonali

c) Metodo delle generatrici

7 Proiezioni ortogonali di solidi geometrici

2. Metodi di rappresentazione grafica: le proiezioni

La rappresentazione grafica dei volumi

5 Convenzioni per la rappresentazione grafica

8 Approfondimenti sulle proiezioni ortogonali

4 Triedro di riferimento e sua rappresentazione sul piano

d) Metodo dei piani sezionatori paralleli

8 Approfondimenti sulle proiezioni ortogonali

5. Convenzioni per la rappresentazione grafica

d) Metodo dei piani sezionatori paralleli

a) Ribaltamento di piani

b) Metodo della rotazione

6. Proiezioni ortogonali di figure piane

a) Ribaltamento di piani

Unità 7 Proiezioni ortogonali

4 Triedro di riferimento e sua rappresentazione sul piano

b) Metodo della rotazione

c) Metodo delle generatrici

b) Metodo della rotazione

6 Proiezioni ortogonali di figure piane

5 Convenzioni per la rappresentazione grafica

1 I principali solidi geometrici

3. Proiezioni ortogonali: introduzione

6 Proiezioni ortogonali di figure piane

2 Metodi di rappresentazione grafica: le proiezioni

La rappresentazione grafica dei volumi

c) Metodo delle generatrici

3 Proiezioni assonometriche: introduzione

La rappresentazione grafica dei volumi

4. Triedro di riferimento e sua rappresentazione sul piano

5 Convenzioni per la rappresentazione grafica

6 Proiezioni ortogonali di figure piane

16.1 I principali solidi geometrici

4 Triedro di riferimento e sua rappresentazione sul piano

Nelle pagine precedenti abbiamo tracciato disegni riguardanti costruzioni di figure piane cioè di elementi a due dimensioni: altezza e larghezza. La loro rappresentazione sul foglio è risultata, pertanto, agevole.Tali figure, però, esistono soltanto teoricamente. Tutto ciò che ci circonda, infatti, è misurato con tre dimensioni e cioè oltre alla larghezza e all'altezza, anche la profondità Per fare un esempio basti pensare al foglio da disegno. Istintivamente lo si identifica con un piano ma, in realtà, avendo uno spessore anche se sottile, è un parallelepipedo. Nel corso dei secoli, per superare il problema di disegnare sul piano, bidimensionale, un qualsiasi volume, si sono elaborate alcune tecniche, organizzate secondo precise regole geometriche, che si basano sul concetto di proiezione. Nelle pagine seguenti si illustreranno i metodi per rappresentare, sul piano, i solidi. Di questi il più importante, nel disegno tecnico, è il metodo delle proiezioni ortogonali perchè consente di illustrare in modo chiaro anche i minimi particolari di un oggetto accompagnandoli con tutte le indicazioni dimensionali e tecnologiche che lo caratterizzano.

I principali solidi geometrici

16.1.1 POLIEDRI

c) Metodo delle generatrici

d) Metodo dei piani sezionatori paralleli

7 Proiezioni ortogonali di solidi geometrici

d) Metodo dei piani sezionatori paralleli

7. Proiezioni ortogonali di solidi geometrici

8 Approfondimenti sulle proiezioni ortogonali

a) Ribaltamento di piani

b) Metodo della rotazione

d) Metodo dei piani sezionatori paralleli

8. Approfondimenti sulle proiezioni ortogonali

c) Metodo delle generatrici

d) Metodo dei piani sezionatori paralleli

Si definisce solido una figura geometrica a tre dimensioni nello spazio. Esso può essere un poliedro oppure un solido di rotazione

Poliedri

Si definisce solido una figura geometrica a tre dimensioni nello spazio. Esso può essere un poliedro oppure un solido di rotazione

Il poliedro è un solido geometrico limitato da un numero finito di poligoni disposti in modo tale che ciascun lato sia comune a due soli poligoni.

I principali solidi geometrici

Poliedri

La rappresentazione grafica dei volumi Nelle pagine precedenti abbiamo tracciato disegni riguardanti costruzioni di figure piane cioè di elementi a due dimensioni: altezza e larghezza. La loro rappresentazione sul foglio è risultata, pertanto, agevole.Tali figure, però, esistono soltanto teoricamente. Tutto ciò che ci circonda, infatti, è misurato con tre dimensioni e cioè oltre alla larghezza e all'altezza, anche la profondità Per fare un esempio basti pensare al foglio da disegno. Istintivamente lo si identifica con un piano ma, in realtà, avendo uno spessore anche se sottile, è un parallelepipedo. Nel corso dei secoli, per superare il problema di disegnare sul piano, bidimensionale, un qualsiasi volume, si sono elaborate alcune tecniche, organizzate secondo precise regole geometriche, che si basano sul concetto di proiezione. Nelle pagine seguenti si illustreranno i metodi per rappresentare, sul piano, i solidi. Di questi il più importante, nel disegno tecnico, è il metodo delle proiezioni ortogonali perchè consente di illustrare in modo chiaro anche i minimi particolari di un oggetto accompagnandoli con tutte le indicazioni dimensionali e tecnologiche che lo caratterizzano

I principali solidi geometrici

Un solido è una figura geometrica a tre dimensioni. Esso può essere un poliedro oppure un solido di rotazione.

Si definisce solido una figura geometrica a tre dimensioni nello spazio. Esso può essere un poliedro oppure un solido di rotazione

Poliedri

Si definisce solido una figura geometrica a tre dimensioni nello spazio. Esso può essere un poliedro oppure un solido di rotazione

Poliedri

Il prisma è un poliedro limitato da due poligoni convessi, tra loro congruenti e posti su due piani paralleli, e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati del poligono.

Si definisce solido una figura geometrica a tre dimensioni nello spazio. Esso può essere un poliedro oppure un solido di rotazione

Un prisma retto ha gli spigoli laterali perpendicolari ai piani delle basi. Le facce laterali sono pertanto dei rettangoli (non necessariamente congruenti tra loro) e l’altezza ha la stessa lunghezza degli spigoli laterali.

La piramide è un poliedro avente per base un poligono e per facce laterali tanti triangoli quanti sono i lati del poligono di base e che hanno un vertice in comune detto vertice della piramide.

Un prisma è regolare se è retto e ha come basi due poligoni regolari. In questo caso le facce laterali sono dei rettangoli congruenti tra loro.

poligono regolare

parallelogramma di base poligono regolare

Il parallelepipedo è un prisma le cui basi sono due parallelogrammi, e pertanto è un solido limitato da sei parallelogrammi.

rettangoli laterali

parallelogramma di base

parallelogramma di base poligono regolare

rettangoli laterali

parallelogramma di base poligono regolare ammi laterali

parallelogramma di base poligono regolare

rettangoli laterali

parallelogr

parallelogrammi laterali

parallelogrammi laterali rettangoli laterali

parallelogrammi laterali

I principali solidi geometrici: piramide, cilindro, cono, sfera

Un parallelepipedo è retto quando le facce laterali sono quattro rettangoli e gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi.

parallelogramma di base

rettangolo di base

rettangolo di base parallelogramma di base

Un parallelepipedo è rettangolo se è retto e ha per basi due rettangoli. Pertanto un parallelepipedo rettangolo è limitato da sei rettangoli.

Il cubo è un parallelepipedo rettangolo avente le sei facce congruenti tra loro.

I principali solidi geometrici: piramide, cilindro, cono, sfera

rettangolo di base parallelogramma di base

parallelogramma di base

rettangolo di base parallelogramma di base

rettangoli laterali

Una piramide è retta se il poligono di base è inscrivibile in una circonferenza e se la proiezione del vertice V coincide con O centro della circonferenza stessa.

16.1.2

rettangoli laterali

SOLIDI DI ROTAZIONE

rettangolo di base

rettangolo di

rettangolo di base parallelogramma di base

In una piramide retta le altezze dei triangoli laterali sono tutte congruenti tra loro e sono dette apotema della piramide.

Una piramide è regolare se è retta e ha per base un poligono regolare.

Un solido di rotazione è un solido ottenuto dalla rotazione completa di una figura piana intorno a una retta, l’asse di rotazione.

Il cilindro è un solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo intorno alla retta cui appartiene uno dei suoi lati.

Il cono è un solido generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo intorno alla retta cui appartiene uno dei suoi cateti; l’ipotenusa del triangolo è detta generatrice o apotema del cono.

La sfera è un solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio intorno alla retta cui appartiene il suo diametro.

16.2 Metodi di rappresentazione grafica: le proiezioni

Consideriamo una figura piana e collochiamola davanti a un piano π detto piano di proiezione. Immaginiamo ora di investirla con un fascio di raggi che ne proiettino l’immagine sul piano π

sul piano . I raggi proiettanti partono da una sorgente luminosa posta nel punto S detto centro di proiezione che può essere ad una distanza più o meno grande da . Possiamo comunque, a seconda della posizione di S, individuare due situazioni che determinano la traiettoria dei raggi proiettanti: S vicino a i raggi avranno una traiettoria divergente (fig.1)

S collocato all'infinito, i raggi possono considerarsi tra loro paralleli (fig.2).

I raggi proiettanti partono da una sorgente luminosa posta nel punto S detto centro di proiezione, che può essere a una distanza più o meno grande da π. Possiamo comunque, a seconda della posizione di S, individuare due situazioni che determinano la traiettoria dei raggi proiettanti:

Nei due casi le immagini proiettate sul piano risulteranno differenti.

nti ad un piano investirla con un piano . luminosa posta nel essere ad una comunque, a situazioni che proiettanti: divergente considerarsi tra loro risulteranno determinano due conica) e proiezisua volta, può perpendicolari proiettanti non comportamento proiezione prospettiva ortogonale

obliqua assonometria rappresentazione gra ca

S vicino a π: i raggi hanno una traiettoria divergente (➜ Fig. 1)

I diversi metodi di proiezione

S collocato all’infinito, i raggi possono considerarsi tra loro paralleli (➜ Fig. 2).

Le due diverse posizioni della sorgente S determinano due tipi di proiezione: proiezione centrale (o conica) e proiezione parallela (o cilindrica). Quest'ultima, a sua volta, può essere ortogonale (se i raggi proiettanti sono perpendicolari al piano ) oppure obliqua (quando i raggi proiettanti non sono perpendicolari a )

Le diverse posizioni di S, e il conseguente comportamento dei raggi proiettanti, determinano vari tipi di proiezione riassunte dal seguente schema.

➜ Fig. 1

proiezione centrale (o conica) prospettiva

➜ Fig. 2

proiezioni ortogonali

PROIEZIONE

Nei due casi le immagini proiettate sul piano π risulteranno differenti.

assonometria

Le due diverse posizioni della sorgente S determinano due tipi di proiezione: proiezione centrale (o conica) e proiezione parallela (o cilindrica). Quest’ultima, a sua volta, può essere ortogonale (se i raggi proiettanti sono perpendicolari al piano π) oppure obliqua (quando i raggi proiettanti non sono perpendicolari a π).

proiezione parallela (o cilindrica) ortogonale

Le diverse posizioni di S, e il conseguente comportamento dei raggi proiettanti, determinano vari tipi di proiezione riassunte dal seguente schema.

obliqua assonometria

proiezione centrale (o conica)

PROIEZIONE

proiezioni ortogonali

assonometria

prospettiva ortogonale

proiezione parallela (o cilindrica)

obliqua

proiezioni ortogonali

assonometria

Proiezioni Ortogonali Il metodo delle proiezioni ortogonali su più piani applica il concetto di proiezione non su un’unica ma su più superfici dando modo di rappresentare un oggetto da più punti di vista.

16.4 Triedro di riferimento e sua rappresentazione sul piano

Triedro di riferimento e sua rappresentazione sul piano

Il metodo delle proiezioni ortogonali su più piani si basa sull’applicazione del concetto di proiezione non su un’unica superficie ma su più superfici: in questo modo è possibile rappresentare un oggetto da più punti di vista.

Proiezioni or togonali: triedro di riferimento

Proiezioni Ortogonali

Il metodo delle proiezioni ortogonali su più piani applica il concetto di proiezione non su un’unica ma su più superfici dando modo di rappresentare un oggetto da più punti di vista.

Consideriamo tre piani ortogonali tra loro (per avere un esempio concreto basta pensare al pavimento e alle pareti di un angolo dell’aula). Essi determinano un sistema detto triedro di riferimento i cui piani sono denominati: piano orizzontale (P.O.), piano ver-

Si considerino tre piani ortogonali tra loro (per avere un esempio concreto basta pensare al pavimento e alle pareti di un angolo dell'aula). Essi determinano un sistema detto triedro di riferimento i cui piani sono denominati: piano orizzontale (P.O.), piano verticale (P.V.) e piano laterale (P.L.). Essi intersecandosi a due a due danno origine a un sistema di assi x, y, z con origine nel punto O assi anche detti x= linea di terra frontale, y= linea di terra laterale e z= asse verticale (fig.1). Su questi tre piani si eseguiranno tre proiezioni dell’oggetto da rappresentare, una per ciascun piano, quindi, immaginando di staccare il piano orizzontale dal piano laterale, si ruoteranno i tre piani fino a porli su uno stesso unico piano (fig.2). Questo modo di procedere ci dà la possibilità di rappresentare sul foglio da disegno qualsiasi oggetto in modo esauriente.

Triedro di riferimento e sua rappresentazione sul piano

P.V.

PianoLaterale

ticale (P.V.) e piano laterale (P.L.). Essi intersecandosi a due a due danno origine a un sistema di assi x, y, z con origine nel punto O ( ➜ Fig. 9). Su questi tre piani si eseguiranno tre proiezioni dell’oggetto da rappresentare, una per ciascun piano. Quindi, immaginando di staccare il piano orizzontale dal piano laterale, si ruoteranno i tre piani fino a porli su uno stesso unico piano (➜ Fig. 10). Questo modo di procedere permette di rappresentare sul foglio da disegno qualsiasi oggetto in modo esauriente.

Piano Verticale Vertical Plane

più piani applica il concetto di proiezione non su un’unica ma su più un oggetto da più punti di vista.

ppresentazione sul piano loro (per avere un esempio concreto basta pensare al pavimento e alle determinano un sistema detto triedro di riferimento i cui piani sono denomiverticale (P.V.) e piano laterale (P.L.). Essi intersecandosi a due a due danno origine nel punto O assi anche detti x= linea di terra frontale, y= linea di (fig.1). Su questi tre piani si eseguiranno tre proiezioni dell’oggetto da rappreimmaginando di staccare il piano orizzontale dal piano laterale, si ruotestesso unico piano (fig.2). Questo modo di procedere ci dà la possibilità di qualsiasi oggetto in modo esauriente.

Proiezioni Ortogonali

delle

ESEMPIO GUIDATO

Le proiezioni sul P.V. sono dette: Viste di fronte Prospetto

Front View

Piano Laterale Additional Vertical Plane

Le proiezioni sul P.L. sono dette: Viste da sinistra Fianco

➜ Fig. 9

Procedimento seguito nelle Proiezioni Ortogonali su più piani.

Vediamo un esempio del procedimento da seguire per rappresentare un oggetto col metodo delle proiezioni ortogonali su più piani.

Consideriamo un solido (fig.3) e collochiamolo nel triedro di riferimento (fig.4). y

Le proiezioni sul P.V. sono dette: Viste di fronte Prospetto

Di seguito è esemplificato il procedimento che idealmente si segue nel rappresentare un oggetto col metodo delle proiezioni ortogonali su più piani.

Linea di terra frontale

Front View

Linea di terra frontale

Plan View Side View

Procedimento seguito nelle Proiezioni Ortogonali su più piani.

Le proiezioni sul P.V. sono dette: Viste di fronte Prospetto

Piano Laterale Additional Vertical Plane

Le proiezioni sul P.L. sono dette: Viste da sinistra Fianco

Side View

Horizontal Plane

Linea di terra laterale y x z y P.L.

P.O. O Piano Verticale Vertical Plane

P.O. O

Consideriamo un solido (➜ Fig. 11) e collochiamolo nel triedro di riferimento (➜ Fig. 12).

Le proiezioni sul P.O. sono dette: Viste dall’alto Pianta x P.

Piano Orizzontale

Le proiezioni sul P.O. sono dette: Viste dall’alto Pianta

Plan View

Di seguito è esemplificato il procedimento che idealmente si segue nel rappresentare un oggetto col metodo delle proiezioni ortogonali su più piani.

Linea di terra laterale y x z y P.L.

Horizontal Plane

Piano Orizzontale

Video Focus

➜ Fig. 11

Consideriamo un solido (fig.3) e collochiamolo nel triedro di riferimento (fig.4).

Piano Laterale Additional Vertical Plane

Le proiezioni sul P.L. sono dette: Viste da sinistra Fianco

Di seguito è esemplificato il procedimento che idealmente si segue nel rappresentare un oggetto col metodo delle proiezioni ortogonali su più piani. Consideriamo un solido (fig.3) e collochiamolo nel triedro di riferimento (fig.4).

Linea di terra frontale

Le proiezioni sul P.O. sono dette: Viste dall’alto Pianta

Linea di terra laterale y x z y P.L. P.V.

➜ Fig. 10

TRIEDRO

➜ Fig. 12

Spazio illimitato racchiuso tra tre piani individuati da tre semirette a due a due ortogonali tra loro.

P.V.

Le proiezioni sono Viste Pianta

Da proiezioni assonometriche a proiezioni or togonali

Si immagnii di investirlo con tre fasci di raggi proiettanti, ciascuno dei quali perpendicolare a uno di detti piani, che proiettino tre immagini uno sul P.V. una sul P.O. e una sul P.L...

Immaginiamo di investirlo con tre fasci di raggi proiettanti, ciascuno dei quali perpendicolare a uno dei tre piani del triedro, che proiettino tre immagini, una sul P.V., una sul P.O. e una sul P.L. (➜ Fig. 13).

Le tre immagini così ottenute sono le tre proiezioni del solido e sono legata tra loro da linee parallele agli assi che sono dette di linee riferimento

Le tre immagini così ottenute sono le tre proiezioni del solido e sono legata tra loro da linee parallele agli assi che sono dette di linee riferimento.

Le tre immagini così ottenute sono le tre proiezioni del solido e sono legate tra loro da linee parallele agli assi dette linee di riferimento (➜ Fig. 14).

➜ Fig. 13

Si immagini ora di staccare il P.L. dal P.O. e di ruotare i tre piani fino a porli complanari cioè su di un unico piano.

Si immagini ora di staccare il P.L. dal P.O. e di ruotare i tre piani fino a porli complanari cioè su di un unico piano

Si immagini ora di staccare il P.L. dal P.O. e di ruotare i tre piani fino a porli complanari cioè su di un unico piano.

Immaginiamo ora di staccare il P.L. dal P.O. e di ruotare i tre piani fino a renderli complanari, cioè disposti su un unico piano (➜ Fig. 15).

Come risultato si ottengono le tre immagini complanari, legate tra loro dalle linee di riferimento. Si vede quindi come si abbia la possibilità di rappresentare su un foglio da disegno qualsiasi oggetto.

➜ Fig. 15 ➜ Fig. 14 ➜ Fig. 16

Il risultato sono le tre immagini complanari, legate tra loro dalle linee di riferimento. (➜ Fig. 16).

Proiezioni or togonali di punti

16.6 Proiezioni ortogonali di elementi geometrici

Nell’eseguire le proiezioni ortogonali di un solido, di fatto, si proiettano i suoi vertici come ad esempio il punto P le cui proiezioni sono date da P’ sul P.V., P” sul P.O. e P’” sul P.L. (si noti che le proiezioni sui vari piani sono differenziate da uno a tre apostrofi detti apici in alto a destra e più esattamente un apostrofo per le proiezioni sul P.V., due sul P.O. e tre sul P.L.)

16.6.1 PROIEZIONI ORTOGONALI DI PUNTI

Nell’eseguire le proiezioni ortogonali di un solido si proiettano i suoi vertici, che sono punti nello spazio. Nell’esempio seguente consideriamo il punto P le cui proiezioni sono date da P' sul P.V., P" sul P.O. e P'" sul P.L.

E’ importante poi ricordare che ciascun punto ha una posizione ben precisa, nello spazio definito da un sistema di assi coordinati, che è data dalle coordinate rispetto all’origine degli assi O e cioè per il punto P: Px, Py, Pz.

È importante poi ricordare che ciascun punto ha una posizione ben precisa nello spazio definito da un sistema di assi coordinati. La posizione è individuata da tre numeri, cioè le coordinate rispetto all’origine degli assi O. Nel caso del punto P le indichiamo con Px, Py, Pz.

Proiezioni

16.6.2 PROIEZIONI ORTOGONALI DI RETTE

Retta perpendicolare al P.O.

Essa sarà parallela al P.V. e al P.L. e avrà una sola

Retta perpendicolare al P.O.

Retta perpendicolare al P.V.

Retta perpendicolare al P.O.

Essa sarà parallela al P.V. e al P.L. e avrà una sola traccia R” nel punto di intersezione col P.O.

traccia R” nel punto di intersezione col P.O.

1. RETTA PERPENDICOLARE AL P.O.

Retta perpendicolare al P.O.

Essa sarà parallela al P.V. e al P.L. e avrà una sola traccia R” nel punto di intersezione col P.O.

Essa sarà parallela al P.V. e P.L. e avrà una sola traccia R” nel punto di intersezione col P.O.

La retta risulta parallela al P.V. e al P.L. e ha una sola traccia R" nel punto di intersezione col P.O.

Retta parallela al P.O. e inclinata di 45° rispetto al P.V. e P.L.

3. RETTA PARALLELA AL P.O. E INCLINATA DI 45° RISPETTO A P.V. E P.L.

Retta perpendicolare al P.V.

Retta parallela al P.O. e inclinata di 45° rispetto al P.V. e P.L.

Essa due avrà tracce R’ ed R” nei punti di intersezione rispettivamente col P.L. e col P.O.

Retta parallela al P.O. e inclinata di 45° rispetto al P.V. e P.L.

Essa due avrà tracce R’ ed R” nei punti di intersezione rispettivamente col P.L. e col P.O.

La retta ha tracce R' e R"' nei punti di intersezione rispettivamente col P.O. e col P.L.

Essa due avrà tracce R’ ed R” nei punti di intersezione rispettivamente col P.L. e col P.O.

Retta parallela al P.O. inclinata di 45° rispetto P.V. e P.L. due avrà tracce R’ ed R” nei punti di intersezione rispettivamente col P.L. col P.O.

Coppia di rette parallele tra loro. Anche le loro proiezioni sui tre piani sono parallele.

Coppia di rette parallele tra loro.

5. COPPIA DI RETTE PARALLELE TRA LORO

Coppia di rette parallele tra loro.

Anche le loro proiezioni sui tre piani sono parallele.

Coppia di rette parallele tra loro. Anche loro proiezioni sui tre sono parallele.

Le proiezioni della coppia di rette parallele sono tre coppie di rette parallele, una in ciascun piano.

Essa sarà parallela al P.V. e al P.O. e avrà una sola traccia R”’ nel punto di intersezione col P.L.

2. RETTA PERPENDICOLARE AL P.L.

Retta perpendicolare al P.V.

Essa sarà parallela al P.V. e al P.O. e avrà una sola traccia R”’ nel punto di intersezione col P.L.

Retta perpendicolare al P.V. sarà parallela al P.V. e al P.O. e avrà una sola traccia R”’ nel punto di intersezione P.L.

La retta risulta parallela al P.V. e al P.O. e ha una sola traccia R"' nel punto di intersezione col P.L.

Retta inclinata rispetto ai tre piani del triedro.

4. RETTA INCLINATA RISPETTO AI TRE PIANI DEL TRIEDRO

Retta inclinata rispetto ai tre piani del triedro.

Essa avrà due sole tracce date dai punti di intersezione con i piani; in questo caso R’ sul P.V. ed R”’ sul P.L.

La retta ha due sole tracce, cioè i punti di intersezione con i piani; in questo caso R' sul P.V. e R"' sul P.L.

Essa avrà due sole tracce date dai punti di intersezione con i piani; in questo caso R’ sul P.V. ed R”’ sul P.L.

Retta inclinata rispetto ai tre piani del triedro. avrà due sole tracce date dai punti di intersezione con i piani; in questo caso R’ sul P.V. ed R”’ sul P.L.

Coppia di rette tra loro incidenti.

Coppia di rette tra loro incidenti. Esse hanno un punto P in comune e anche le loro proiezioni sui tre piani hanno un punto in comune.

6. COPPIA DI RETTE TRA LORO INCIDENTI

Coppia di rette tra loro incidenti. Esse hanno un punto P in comune e anche le loro proiezioni sui tre piani hanno un punto in comune.

Esse hanno un punto P in comune e anche le loro proiezioni sui tre piani hanno un punto in comune.

Le rette hanno un punto P in comune e anche le loro proiezioni sui tre piani hanno un punto in comune.

Coppia di rette tra loro incidenti. Esse hanno un punto P in comune e anche le loro proiezioni sui tre piani hanno un punto in comune.

Coppia di rette loro incidenti. hanno punto P in e anche le loro proiezioni sui tre piani hanno un punto in comune.