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Nicoletta Perini
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I problemi
ATTIVA LA CURIOSITà
Archimede , uno dei più grandi matematici e inventori dell’antichità, visse a Siracusa , in Sicilia, oltre 2200 anni fa. Secondo la leggenda, un giorno il re della città gli sottopose un problema: aveva dato a un orefice l’oro per farsi fare una corona; ora, la corona aveva il peso giusto, ma come assicurarsi che l’orefice non avesse tenuto una parte di oro per sé e messo nella corona altri metalli?
Archimede non sapeva come fare, finché... non si immerse nella vasca per fare un bagno. Allora all’improvviso gli venne un’illuminazione ed esclamò “Eureka!” , che significa in greco antico “Ho trovato!” . Aveva scoperto le leggi del galleggiamento e così trovato la soluzione.
Come affronti i problemi?
Ti è mai capitato di avere un’illuminazione, un’idea improvvisa per risolverne uno?
La corona e il lingotto hanno lo stesso peso. Se la corona è d’oro massiccio, il livello dell’acqua salirà allo stesso modo nelle due vasche.
Riconoscere i dati e le domande
Marco ha un’azienda agricola che produce mele e pere. Ha calcolato che la produzione gli costa:
• 0,20 € per 1 kg di mele;
• 0,30 € per 1 kg di pere.
Marco vende le mele a un grossista al prezzo di 0,40 € al chilogrammo.
Il grossista vende le mele alla fruttivendola a 0,80 € al chilogrammo.
La fruttivendola rivende le mele a 1,50 € al chilogrammo.
La mamma di Giulia compra mezzo chilogrammo di mele. Quanto spende?
Chi ha guadagnato di più dalla vendita delle mele?
Questo problema ha molte informazioni, alcune utili per rispondere alle domande ( dati utili ), altre che non servono ( dati inutili ).
1 Cancella nel testo i dati inutili, in modo da non farti confondere.
2 Ora elenca i dati utili in forma numerica. Attenzione: alcune parole possono avere significato numerico , come per esempio “mezzo” chilogrammo (cioè 1 2 oppure 0,5).
• 0,20 € costo di produzione di 1 kg di mele da parte di Marco
La domanda del problema (o le domande , se ce n’è più di una) ti indica che cosa devi trovare.
3 Riporta qui le domande del problema. ?
? Chi ha guadagnato di più dalla vendita delle mele?
4 Ora prova a risolvere il problema sul tuo quaderno.
Per rispondere alla seconda domanda devi prima calcolare quanto hanno guadagnato tutte le persone presenti nel problema: questa è una domanda implicita.
MI ALLENO
1 Leggi i problemi: cancella, se ce ne sono, i dati inutili; poi indica con una X se le frasi sono vere o false. Infine, completa l’elenco di dati e domande.
a Un pullman parte con 32 passeggeri alle 9 del mattino. Alla prima fermata salgono 9 persone e ne scendono 5. Alla seconda fermata, alle 9:30, salgono 4 persone e ne scendono 7. Quanti passeggeri ci sono sul pullman dopo la seconda fermata?
• Sul pullman all’inizio ci sono 32 passeggeri. V F
• Dopo la prima fermata le persone presenti sul pullman sono più di 32. V F
• Il problema chiede di calcolare le persone scese dopo la seconda fermata. V F
32 9 5 4 7 ?
b Yuri va al supermercato con una banconota da 20 €. Compra una bottiglia d’olio che costa 4,50 €, una confezione di biscotti che costa 3,20 €, una scatola di cereali che costa 5,30 €. Quanto spende in tutto? Quanti euro gli restano?
• La confezione di biscotti costa 5,30 €. V F
• La scatola di cereali costa 5,30 €. V F
• La spesa fatta da Yuri costa in tutto 20 €. V F
• Yuri torna a casa con 20 €. V F
20 € 4,50 € 3,20 € 5,30 € ? ?
Rappresentare la situazione
Luca va al mercato a comprare della frutta per una festa. Compra 3 kg di mele a 2 € al kg e 2 kg di banane a 1,50 € al kg.
Poi compra anche 5 confezioni di fragole a 3 € l’una.
Quanto spende in tutto?
Se paga con una banconota da 50 €, quanto resto riceverà?
1 Sottolinea con un colore tutti i dati numerici e con un altro le domande.
2 Ora ciò che ti può aiutare è rappresentare queste informazioni. Completa la rappresentazione già iniziata.
3 kg di mele 2 kg di confezioni di fragole
€ al kg 1,50 € al kg
50 € resto?
spesa ?
3 €
3 Dopo aver completato la rappresentazione, controlla.
• Ci sono tutti i dati che hai sottolineato? SÌ NO
• Ti sono sufficienti per rispondere alle domande? SÌ NO
4 Questo è uno dei modi in cui puoi rappresentare il problema . In che modo tu lo avresti rappresentato? Confrontati con un compagno o una compagna.
5 Ora prova a risolvere il problema sul tuo quaderno.
Non c’è una rappresentazione “più giusta”: tutte quelle che portano a un risultato corretto vanno bene!
MI ALLENO
1 Conosci già i problemi seguenti: sono quelli di pagina 103. Rileggili e segna con una X lo schema che li rappresenta in maniera corretta.
a Un pullman parte con 32 passeggeri alle 9 del mattino. Alla prima fermata salgono 9 persone e ne scendono 5. Alla seconda fermata, alle 9:30, salgono 4 persone e ne scendono 7. Quanti passeggeri ci sono sul pullman dopo la seconda fermata?
32 passeggeri
32 passeggeri
5 giù 9 su passeggeri 7 giù 4 su ? passeggeri
Prima fermata Seconda fermata
9 giù 5 su passeggeri 7 giù 4 su ? passeggeri
Prima fermata
32 passeggeri
5 giù 9 su passeggeri
Prima fermata
7 giù 4 su Seconda fermata ? passeggeri ? passeggeri passeggeri
Seconda fermata
b Yuri va al supermercato con una banconota da 20 €. Compra una bottiglia d’olio che costa 4,50 €, una confezione di biscotti che costa 3,20 €, una scatola di cereali che costa 5,30 €. Quanto spende in tutto? Quanti euro gli restano?
Ho 20 € per la spesa. Mi basteranno?
4,50
5,30
4,50
20
spesa totale
euro di resto
5,30
Prima fermata Seconda fermata
Capire la struttura matematica
1
Chiara va al supermercato per procurarsi l’occorrente per una merenda con amiche e amici.
Compra: 2 litri di succo di frutta a 2,50 € al litro e 4 pacchetti di biscotti a 1,80 € ciascuno. Quanto spende in tutto?
Se paga con una banconota da 20 €, quanto resto riceve?
2
Giovanni ha 20 € da spendere per una merenda con amiche e amici.
Compra: una bottiglietta di succo che costa 2,50 €, un pacchetto di patatine che costa 1,80 € e una scatola di biscotti che costa 2,40 €.
Quanto spende in tutto?
Se paga con una banconota da 20 €, quanto riceve di resto?
3
Aldo va in libreria a comprare dei regali. Compra 4 libri di avventura a 8 € ciascuno e 2 libri di cucina a 12 € ciascuno.
Quanto spende in tutto?
Se paga con una banconota da 100 €, quanto riceve di resto?
Questi problemi hanno una “storia” simile, ma la struttura matematica , cioè le relazioni tra i dati e le operazioni per risolverli, è uguale solo in due dei tre problemi.
1 I diagrammi a blocchi qui sotto rappresentano la struttura matematica dei tre problemi.
Abbina ogni diagramma al suo problema, scrivendo il numero nel pentagono, poi colora i diagrammi con la stessa struttura.
Non lasciarti fuorviare dalla storia del problema, concentrati sulla sua struttura!
2 Ora scegli uno dei tre problemi e risolvilo.
MI ALLENO
1 Collega ogni problema al diagramma che rappresenta la sua struttura matematica. Poi colora con lo stesso colore le situazioni-problema che hanno la stessa struttura matematica.
Una confezione di coni gelato contiene 6 coni. Se si acquistano 3 confezioni, quanti sono complessivamente i coni?
Anna costruisce un’asta con tre bastoncini lunghi rispettivamente 12 cm, 11 cm e 10 cm. Poi taglia via 6 cm perché l’asta è troppo lunga. Quanto misura l’asta dopo il taglio?
Alice fa un esercizio che dura
15 minuti. Lo ripete 4 volte durante il pomeriggio. Quanto tempo impiega in tutto?
In cucina, la mamma pesa
200 grammi di farina di riso, 100 grammi di fecola e 250 grammi di zucchero per preparare una torta. Alla fine, decide di togliere 100 grammi perché l’impasto è troppo. Quanti grammi di ingredienti restano nell’impasto?
2 SCELGO IO! Scegli uno dei diagrammi e inventa il testo di un problema che abbia la stessa struttura matematica.
Pianificare la soluzione
In una scuola, ogni classe partecipa alla raccolta differenziata. La scuola ha 5 classi e ogni settimana ciascuna raccoglie 3 kg di carta. Quanti chilogrammi di carta raccoglie tutta la scuola in un mese (4 settimane)? Se il bidone della carta contiene 30 kg, basta per la raccolta di carta di tutta la scuola di un mese?
Quando hai problemi con più domande e per risolverli devi fare più passaggi, è utile avere un piano ! Scrivi che cosa devi fare per rispondere a ogni domanda: così sarai sicuro/a di non dimenticarne neanche uno!
1 Trovo quanti kg di carta raccoglie tutta la scuola in una settimana. 2 Calcolo la quantità di carta raccolta in 4 settimane.
In quali altre situazioni è utile “avere un piano”?
3 Confronto quanta carta contiene il bidone della scuola con la quantità di carta raccolta in un mese.
4 Verifico se il bidone è in grado o meno di contenere la carta raccolta da tutta la scuola in un mese.
A volte, per risolvere un problema, c’è un solo piano di soluzione, altre volte invece può esserci più di un piano possibile
1 In questo problema c’è un altro piano possibile: lavora con un compagno o una compagna e provate a trovarlo insieme.
2 Scegliete un piano di soluzione ciascuno, risolvete il problema e confrontate i risultati: verificate che il risultato sia lo stesso.
MI ALLENO
1 SCELGO IO! Quanti passaggi servono per risolvere il problema? Scrivi accanto a ogni testo il numero dei passaggi. Ricorda di tener conto anche di eventuali equivalenze. Poi scegli 3 problemi da risolvere sul tuo quaderno.
In un magazzino ci sono 3 contenitori di aceto: nel primo ci sono 50 da l , nel secondo 75 l , nel terzo 25 l . Quanti decalitri di aceto ci sono in tutto?
Alberto ha comprato 2 bottiglie di olio di oliva. Complessivamente ha speso 26 euro. Quanto costa una bottiglia di olio di oliva?
Un aereo decolla alle ore 9:30 e atterra alle ore 10:30. Quanto tempo ha impiegato per compiere il percorso?
Nour ha finalmente concluso l’album di figurine degli animali del mondo. L’album è composto da 24 pagine e in ogni pagina ci sono 6 figurine. Quante figurine ci sono in tutto?
UN PASSO IN PI Ù
Leggi e rispondi.
Nel frigo ci sono: 3 bottiglie da 2 litri, 2 bottiglie da 1 litro, 1 bottiglia da 0,5 litri.
Una bottiglia viene tolta, ma non si sa quale. Quale delle affermazioni qui accanto è sempre vera, qualunque bottiglia sia stata tolta?
Spiega a voce come hai fatto a procedere.
TUTTO CHIARO?
Rimangono più di 6 litri. Rimangono meno di 6 litri.
Rimangono esattamente 6 litri. Non si può sapere.
Ti è chiaro che cos’è il piano di soluzione di un problema? Sì Abbastanza No
Indica con una X il piano di soluzione corretto. Confrontati con la classe.
Gaia ha piantato 12 piante di ceci e le ha divise in 3 vasi grandi. In ogni vaso ha anche messo 2 piante di basilico. Quante piante ci sono in totale in ogni vaso?
Piano di soluzione A
1 Trovo il numero di piante di ceci per ogni vaso
2 Calcolo quante piante ci sono in ogni vaso
Piano di soluzione B
Calcolo quante piante ci stanno in ogni vaso
Per risolvere i problemi mi è utile ripassare
A COLPO D’OCCHIO
RICONOSCERE
DATI E DOMANDE
Per capire un problema, considera:
• la domanda o le domande
• i dati utili
Elimina eventuali dati inutili.
RAPPRESENTARE
Per risolvere un problema è utile rappresentare:
• i dati e le loro relazioni
• la domanda
Denise fa la spesa al supermercato: impiega un’ora e mezza . Compra 2 pacchi di pasta da 1 € e 1 bottiglia di olio da 8,50 €. Paga con una banconota da 50 € Quanto riceve di resto?
dati inutili dati utili domanda/e
€ 50 posseduti ? spesa totale Dopo Infine ? euro restanti
€ 1 pasta € 1 pasta € 8,50 olio
CAPIRE LA STRUTTURA MATEMATICA
Le relazioni tra i dati e le operazioni per risolvere un problema costituiscono la sua struttura matematica. Essa può essere rappresentata con un diagramma a blocchi .
Gianluca compra 3 viti da 0,50 € ciascuna e un martello al costo di 12 €. Paga con una banconota da 20 €. Quanto riceve di resto?
COSTRUIRE UN PIANO DI SOLUZIONE
Quando i problemi richiedono più passaggi è utile costruire un piano di soluzione. A volte possono esserci più piani per risolvere lo stesso problema.
Denise fa la spesa al supermercato. Compra 2 pacchi di pasta da 1 € e 1 bottiglia di olio da 8,50 €. Paga con una banconota da 50 €. Quanto riceve di resto?
1 Trovo il costo della pasta
2 Calcolo il costo totale
3 Trovo il resto Strategie e regole
Prima
Scelgo io!
Didattica aperta e personalizzata
Quaderno operativo
Esercizi e prove di verifica
Informatica
Pensiero computazionale e coding
Ilaria Cervellin
Nicoletta Perini
Scopri altre curiosità su frazioni e percentuali
Frazioni e percentuali
ATTIVA
LA CURIOSITà
La frazione è un’operazione molto antica che tentava di risolvere un problema della matematica: trovare il risultato di una divisione con il resto. In passato il resto veniva chiamato “rotto”. La divisione 7 : 2, per esempio, dava come risultato 3 e un “rotto”.
A un certo punto, qualcuno propose di scrivere semplicemente 7 2 , inventando così, di fatto, la frazione: il segno – tra 7 e 2 indicava che il numero 7 veniva tagliato in 2 parti.
Per questo a volte ancora oggi, in alcuni libri di matematica per bambini, le frazioni vengono presentate proprio con un coltello al posto della linea di frazione.
7 2
Ora che sai proseguire le divisioni con resto, puoi scrivere 7 2 anche in un altro modo: 3,5.
Quest’anno incontreremo anche le percentuali, frazioni speciali con denominatore 100.
Frazioni proprie, improprie e apparenti
Karim, Yuri e Sofia vanno a mangiare insieme la pizza.
Karim non ha molta fame. Mangia solo 1 2 della sua pizza. Karim mangia meno dell’intero della sua pizza. 1
Yuri ha una gran fame e mangia 3 2 delle sue pizze. Yuri mangia più dell’intero di una pizza. 2
Sofia ha abbastanza fame e mangia 2 2 della sua pizza. Sofia mangia esattamente una pizza intera . 3
frazione di pizza mangiata da Karim
frazione di pizza mangiata da Yuri
frazione di pizza che resta nel piatto
frazione di pizza che resta nel piatto
frazione di pizza mangiata da Sofia
Una frazione rappresenta una parte di un intero che è stato diviso in parti uguali .
• Quando, come in 1 2 , il numeratore è minore del denominatore, la frazione si chiama propria e vale meno dell’intero.
• Quando, come in 3 2 , il numeratore è maggiore del denominatore, la frazione si chiama impropria e vale più dell’intero.
• Quando, come in 2 2 , il numeratore è multiplo del denominatore, la frazione si chiama apparente e vale uno o più interi.
Ricorda: ogni numero è multiplo di sé stesso.
1 Colora le immagini come indicato dalle frazioni e poi indica se si tratta di frazioni proprie (P), improprie (I) o apparenti (A).
2 Scrivi un numero che renda le frazioni proprie (minori dell’intero).
3 Scrivi un numero che renda le frazioni improprie (maggiori dell’intero).
4 SCELGO IO! Cerchia le frazioni apparenti, poi scegline 3 e rappresentale sul quaderno.
5 Completa la tabella inserendo al numeratore le cifre appropriate. frazioni proprie frazioni improprie frazioni apparenti cifre tra cui scegliere
Frazioni complementari ed equivalenti
1
Giuseppe e Miriam mangiano un toast: Giuseppe ne mangia 3 4 , Miriam 1 4 .
Insieme hanno mangiato l’intero toast.
frazione di toast mangiata da Giuseppe
Le frazioni che insieme (cioè addizionate ) formano l’intero si chiamano frazioni complementari .
Per trovare una frazione complementare a un’altra, puoi aiutarti con un disegno, oppure fai così: trova il numero che addizionato al numeratore risulta uguale al denominatore: 3 + = 4
2
frazione di toast mangiata da Miriam
3 4 + 1 4 = 4 4 = 1
Valeria, Gianna e Sebastian vanno in panetteria a comprare la focaccia. Valeria chiede 1 4 della teglia, Gianna 2 8 e Sebastian 4 16
Spendono tutti la stessa cifra, perché hanno ordinato la stessa quantità di focaccia.
frazione di focaccia comprata da Valeria
frazione di focaccia comprata da Gianna
frazione di focaccia comprata da Sebastian
Le frazioni che rappresentano la stessa parte dell’intero si chiamano frazioni equivalenti .
Per capire se due frazioni sono equivalenti, puoi aiutarti con un disegno, oppure fai così: applica la proprietà invariantiva (cioè moltiplica o dividi numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero) e trasforma le frazioni l’una nell’altra.
MI ALLENO
1 Colora secondo le indicazioni, poi completa.
2 Osserva la tabella e completa. Segui gli esempi.
3 Leggi, osserva e rispondi.
Alla festa di compleanno di Erika c’erano tre torte di uguale grandezza. Gli invitati hanno mangiato 1 2 della torta al cacao, 2 4 della torta al limone e i 4 8 della torta margherita.
• È stata mangiata la stessa quantità di ogni torta?
• Quante torte sono state mangiate in tutto?
al cacao torta al limone torta margherita
Quanta torta è avanzata?
Confrontare frazioni
Martina e Luca stanno mangiando due torte grandi uguali: una ai frutti di bosco e una ai fichi. Martina mangia 2 5 di torta ai frutti di bosco, Luca 3 8 della torta ai fichi.
Chi ha mangiato più torta?
Per confrontare due frazioni, puoi aiutarti con un disegno, oppure procedi così.
Chiediti: hanno lo stesso numeratore ?
Se sì, è maggiore la frazione con il denominatore minore ( 2 5 > 2 8 ).
Se no, prosegui.
Chiediti: hanno lo stesso denominatore ?
Se sì, è maggiore la frazione con numeratore maggiore ( 3 8 > 1 8 ). Se no, prosegui.
Applica la proprietà invariantiva (cioè moltiplica o dividi numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da 0) e trasforma le frazioni in frazioni equivalenti che abbiano lo stesso denominatore . Per farlo, cerca multipli comuni ai due denominatori
Torniamo ora al nostro problema: 2 5 3 8
Né i numeratori né i denominatori sono gli stessi, quindi cerchiamo multipli comuni a 5 e 8.
• Multipli di 5 : 5 × 1 = 5 • 5 × 2 = 10 • 5 × 3 = 15 • 5 × 4 = 20 • 5 × 5 = 25 • 5 × 6 = 30 • 5 × 7 = 35 • 5 × 8 = 40 • ...
• Multipli di 8 : 8 × 1 = 8 • 8 × 2 = 16 • 8 × 3 = 24 • 8 × 4 = 32 • 8 × 5 = 40 • ...
Ora trasformiamo:
2 5 × 8 × 8 16 40 3 8 × 5 × 5 15 40
16 40 > 15 40 , quindi 2 5 > 3 8 Ora puoi rispondere: chi ha mangiato più torta?
MI ALLENO
1 Scrivi le frazioni corrispondenti alla parte colorata di ogni figura, poi confrontale.
2 Confronta le frazioni con stesso numeratore o denominatore inserendo il segno opportuno: > o <.
3 Confronta le frazioni trasformandole in frazioni equivalenti con lo stesso denominatore. Segui l’esempio.