jordi achón
josep maria utgés
6 mónmés matemàtic
quadern de treball competencial
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
Unitat 1 Múltiples i divisors
Múltiples d’un nombre
recorda-ho La paraula múltiple ve de multiplicar. Per obtenir els múltiples d’un nombre, només cal multiplicar-lo per 1, 2, 3, etc., fins al nombre natural més gran que puguis escriure. És com fer el quadre de multiplicar de cada nombre, però la llista de múltiples no s’acaba mai. Fixa’t com es calculen i s’escriuen els 5 primers múltiples del nombre 3:
1 × 3 = 3
2 × 3 = 6
3 × 3 = 9
4 × 3 = 12
5 × 3 = 15
1. Escriu els dotze primers múltiples de 2:
M(3) = {3, 6, 9, 12, 15…}
M(2) = { , , , , , , , , , , , }
2. Escriu els onze primers múltiples de 5:
M(5) = { , , , , , , , , , , }
3. Escriu els deu primers múltiples de 4:
M(4) = { , , , , , , , , , }
4. Vet aquí un quadre amb els cent primers nombres. Encercla de color vermell els múltiples de 2, de color verd els múltiples de 3 i de color blau, els múltiples de 5.
Fixa’t que hi ha nombres que són múltiples de més d’un nombre a la vegada.
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
5. Observa el quadre de la pàgina anterior i escriu els deu primers nombres que són a la vegada múltiples de 2 i de 3:
M(2, 3) = { , , , , , , , , , }
6. Escriu els deu primers nombres que són a la vegada múltiples de 2 i de 5.
M(2, 5) = { , , , , , , , , , }
7. Escriu els tres primers nombres que són a la vegada múltiples de 3 i de 5.
M(3, 5) = { , , }
8. Escriu els cinc primers nombres que són a la vegada múltiples de 2, de 3 i de 5.
M(2, 3, 5) = { , , , , }
9. Com pots saber si el nombre 828 és múltiple de 23? Esbrina-ho utilitzant la calculadora i explica-ho amb una frase curta.
10. Fes servir la calculadora per calcular un nombre que sigui múltiple de 15, de 24 i de 36 a la vegada. Explica amb una frase curta com ho fas.
M(15, 24, 36) =
11. Esbrina quin és el nombre més petit de tres xifres que és a la vegada múltiple de 2 i de 5.
1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
Món
12. Esbrina quin és el nombre més petit que és a la vegada múltiple de 6 i de 16. Fes servir la calculadora per calcular la llista ordenada d’uns quants múltiples.
M(6) = { }
M(16) = { }
El mínim comú múltiple de 6 i 16 és
recorda-ho
Comú vol dir ‘ que està repetit’.
Fixa’t com escrivim el mínim comú múltiple de 12 i 15:
m. c. m. (12, 15) = 60
13. Troba el m. c. m. de 12 i 10:
M(12) = { }
M(10) = { }
m. c. m. (12, 10) =
14. Troba el m. c. m. de 9 i 15:
M(9) = { }
M(15) = { }
m. c. m. (9, 15) =
15. Troba el m. c. m. de 15, 30 i 40:
M(15) = { }
M(30) = { }
M(40) = { }
m. c. m. (15, 30, 40) =
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
16. Observa la llista següent. Tots els nombres que hi surten són múltiples de 2.
• Com pots saber si un nombre és múltiple de 2?
Explica-ho amb una frase curta.
17. Observa la llista següent. Tots els nombres que hi surten són múltiples de 5.
Explica-ho amb una frase curta. 2 4 6 8 10
• Com pots saber si un nombre és múltiple de 5?
18. Com pots saber si un nombre qualsevol és a la vegada múltiple de 2 i de 5? Explica-ho amb una frase curta.
1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
19. Observa el quadre de sota: tots els nombres que hi surten són múltiples de 3. Com pots saber si un nombre és múltiple de 3?
Et donaré una pista: suma les xifres.
Observa els resultats de les sumes. De quin nombre són múltiples?
• Explica com se sap si un nombre és múltiple de 3.
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
Unitat 1 Múltiples i divisors
Divisors d’un nombre
recorda-ho
Les paraules divisor i divisible vénen de dividir. Diem que un nombre és divisor d’un altre si en dividir aquest entre el primer, la divisió és exacta; és a dir, el residu és 0.
El 3 és un divisor de 18. El 4 no és un divisor de 18. El 18 és divisible per 3. El 18 no és divisible per 4.
Fixa’t que:
Per tant, el 3 i el 6 són divisors de 18 i el 18 és múltiple de 3 i de 6. 3 18 és divisor de és múltiple de
3 × 6 = 18
1. Troba els divisors de 12.
=
1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
2. Troba els divisors de 36.
D(36) = { , , , , , , , , }
3. Troba els divisors de 15.
D(15) = { , , , }
4. Troba els divisors de 7.
D(7) = { , }
5. Troba els divisors de 13.
D(13) = { , }
Pensa en la resposta d’aquestes preguntes:
• Per esbrinar els divisors d’un nombre, cal fer tantes divisions?
• Un nombre tindrà més divisors com més gran sigui?
• Es poden calcular els divisors d’un nombre d’una manera ràpida? Fes les activitats i trobaràs algunes respostes…
Hi ha nombres que només són divisibles per si mateixos i per 1
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
6. Com pots saber si un nombre és divisible per 2?
• Com pots saber si un nombre és divisible per 3?
• Com pots saber si un nombre és divisible per 5?
Et donaré una pista: si un nombre és divisible per 2, també serà múltiple de 2.
7. Troba tots els divisors de 100. Caldrà fer 100 divisions?
= {1, 25, 50, 100}
Et donaré dues pistes:
1) 50 és la meitat de 100. Llavors, entre els divisors de 100 no n’hi pot haver cap de més gran que 50, excepte el 100.
2) 25 és la meitat de 50. Llavors…
D(100)
1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
8. Troba els divisors de 1.000.
Et donaré dues pistes:
1) Els divisors de 100, també ho seran de 1.000.
2) Fixa’t que 1.000 = 100 x 10.
D(1.000) = { }
9. Troba els divisors de 128.
Ves dividint el 128 entre 2.
= { }
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
10. Troba els divisors comuns de 12 i 36. Copia’ls de les activitats anteriors.
D(12) = { }
D(36) = { }
D(12, 36) = { }
11. Quin és el màxim divisor que és comú a 12 i a 36?
Fixa’t com ho escrivim: m. c. d. (12, 36) =
12. Troba el m. c. d. de 18 i 24:
D(18) = { }
D(24) = { }
m. c. d. (18, 24) =
13. Troba el m. c. d. dels nombres indicats. Fixa’t en les activitats anteriors.
m. c. d. (18, 12) =
m. c. d. (24, 128) =
m. c. d. (36, 128) =
1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
Unitat 1 Múltiples i divisors
Problemes de mútiples i divisors
1. La suma de la quantitat d’alumnes de les dues classes de sisè d’una escola és un nombre entre 40 i 50. Si es fan grups de 3 alumnes, no en sobra cap; si es fan grups de 5, tampoc no en sobra cap. Quants alumnes hi ha?
Pensa que la solució ha de ser un d’aquests nombres: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50.
I un d’aquests nombres és múltiple de 3 i de 5.
2. En un poble hi ha dues escoles i una piscina. Els alumnes de l’escola A van a la piscina cada 4 dies i els de l’escola B, cada 3 dies. El dia 1 d’octubre totes dues escoles coincideixen a la piscina. Cada quants dies es trobaran? Fes un calendari.
Et donaré una pista: quin és el múltiple més petit de 3 i de 4 alhora?
Es trobaran cada dies.
Calendari del mes d’octubre
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
3. Tres germans van a esplais diferents el cap de setmana. Cada 2 setmanes l’Anna va d’excursió; en Pau hi va cada 5 setmanes, i l’Adrià, cada 4 setmanes. Si aquest cap de setmana tots tres germans han sortit d’excursió, d’aquí a quantes setmanes tornaran a coincidir?
4. El transportista d’un magatzem ha de portar 216 pilotes en la seva furgoneta. Per empaquetar les pilotes, al magatzem hi ha caixes de diverses grandàries: per a 6, 7, 8, 9 o 10 pilotes. Quines caixes li aniran més bé? Quines creus que triarà per carregar la furgoneta més de pressa?
5. Troba el nombre de tres xifres més petit que sigui a la vegada múltiple de 66, de 33 i d’11.
1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
6. Tens 36 rajoles quadrades. Quants rectangles diferents podràs muntar?
Has d’esbrinar totes les parelles de nombres (iguals o diferents) que en multiplicar-los donin 36.
Dibuixa aquests rectangles en aquesta quadrícula.
7. En una parada d’autobusos hi paren 4 autobusos diferents. Un passa cada 20 minuts; un altre, cada 15 minuts; un altre, cada 10 minuts, i un altre, cada 12 minuts. A les 9 del matí coincideixen tots quatre. A quina hora tornaran a coincidir?
Has de trobar el m. c. m. de 20, 15, 10 i 12.
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
Unitat 2 Descomposició factorial Nombres primers
recorda-ho
Et deus haver adonat que hi ha nombres que només tenen dos divisors: l’1 i el nombre mateix. S’anomenen nombres primers. Ho són, per exemple, el 2 i el 13:
D(2) = {1, 2}
D(13) = {1, 13}
Aviat veuràs per què aquests nombres són tan especials. Se’n diuen primers perquè només es poden obtenir multiplicant el nombre mateix per 1. Amb els nombres primers es poden «construir» tots els altres nombres, que s’anomenen nombres compostos.
L’1 i el 0 són nombres encara més especials: no són ni primers ni compostos. 1 × 17 = 17 El 17 és primer 1 × 3 = 3 El 3 és primer 4 × 3 = 12 2 × 6 = 12 El 12 és compost
1. Troba els divisors dels nombres següents i digues si són primers o compostos:
D(8) = { }
El 8 és un nombre
D(23) = { }
El 23 és un nombre
D(63) = { }
El 63 és un nombre
D(77) = { }
El 77 és un nombre
2. Ratlla els nombres compostos del quadre i et quedaran els nombres primers més petits de 100.
Et donaré una pista: ratlla els múltiples de 2, de 3 i de 5, excepte el 2, el 3 i el 5, que són primers. Després, ratlla els múltiples de 7 i d’11, excepte el 7 i l’11.
• Et surten 26 nombres primers?
Vet aquí la llista dels nombres primers més petits que 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91 i 97.
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
3. Un nombre compost sempre et sortirà sumant dos o tres nombres primers i també multiplicant-ne uns quants. Juga-hi.
Els nombres primers són «nombres de primera»!
1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
La potència és una operació matemàtica en la qual un nombre es multiplica diverses vegades per si mateix. Per exemple:
Exponent
Base
1. Calcula les potències següents. Per fer-ho, utilitza la calculadora.
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
recorda-ho
Observa aquesta sèrie de potències:
6 5 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6
6 4 = 6 × 6 × 6 × 6
6 3 = 6 × 6 × 6
6 2 = 6 × 6
6 1 = 6
6 0 = ?
Les potències de base 10 són molt útils perquè serveixen per entendre millor els nombres i permeten estalviar feina. Fixa-t’hi: 1.000 = 10 × 10 × 10, per tant: 1.000 = 10 3 50.000 = 5 × 10.000 = 5 × 10 4 6 0 = ?
En el món matemàtic, qualsevol nombre elevat a zero és 1. 6 0 = 1 345 0 = 1
0 = 1
2. Expressa en forma de potència les quantitats següents:
100.000 =
1.000.000 =
100.000.000 =
500.000.000 =
5.000 =
250.000 =
125.000 =
Recorda com es desglossa una quantitat: 2.369 = 2 x 1.000 + 3 x 100 + 6 x 10 + 9 x 1
També es poden fer servir les potències de base 10: 2.369 = 2 x 10 3 + 3 x 10 2 + 6 x 10 1 + 9 x 10 0
MÉS Món matemàtic 1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
3. Desglossa aquestes quantitats usant les potències de base 10: 4.718 = 23.895 = 456.721 = 207 = 80.906 =
4. Calcula mentalment aquestes operacions:
7 × 10 3 = 50 × 10 4 = 150 × 10 6 = 4 × 10 8 =
recorda-ho
Fixa’t que la quantitat de quadradets d’un quadrat és una potència:
Per això, quan una potència té el 2 com a exponent s’anomena «al quadrat». Exemples: 5 2 es llegeix cinc al quadrat; 23 2 es llegeix vint-i-tres al quadrat… 8 quadradets 8 quadradets
8 files de 8 quadradets
8 × 8 = 64 quadradets
8 2 = 8 × 8 = 64
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
recorda-ho
Món
Vet aquí un cub format per cubets. La quantitat de cubets també es pot calcular amb una potència.
1r pis: 3 × 3 = 9 cubets
2n pis: 3 × 3 = 9 cubets
3r pis: 3 × 3 = 9 cubets
3 pisos de 3 × 3 cubets
Per això, quan una potència té el 3 com a exponent s’anomena «al cub».
Exemples: 43 es llegeix quatre al cub; 123 es llegeix dotze al cub…
6. A sota de cada cub, escriu-hi la potència corresponent i calcula el nombre de cubets que conté:
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
8. Vet aquí un arbre molt curiós. Durant el primer any de vida li creixen 2 branques; el segon any, de cada branca li surten 2 noves branques. I així va creixent cada nou any. Dibuixa les branques que li creixeran durant el tercer i el quart any.
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
9. Completa el quadre i comprova que aquest arbre se sap les potències de dos.
Branques noves que li creixen cada any
Primer any
Segon any
Tercer any
Quart any
Cinquè any
Sisè any
Setè any
Vuitè any
Novè any
Desè any
2 1 = 2 2 2 = 2 × 2 = 4
1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
Unitat 2
Descomposició factorial
Descomposició factorial
recorda-ho
Món
La paraula factor significa ‘ que fa’. Els factors són els nombres que multipliquem per obtenir el «producte». Un producte és ‘ una cosa acabada’, i en una multiplicació és el resultat.
Exemple:
2 × 3 × 7 = 42
El 2, el 3 i el 7 són els factors i 42 és el producte.
Un nombre qualsevol es pot desglossar en factors.
1. Desglossa les quantitats següents en dos factors:
12 = 2 × 6
2. Desglossa aquestes quantitats en tres factors:
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
recorda-ho
Fixa’t que sovint hi ha més d’una manera de desglossar una quantitat en factors.
Recorda la sèrie dels nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… Ara esbrinaràs per què són «nombres de primera». Resulta que qualsevol nombre que no sigui primer es pot descompondre en «factors primers».
Para atenció i llegeix com es fa:
Observa el nombre 60 .
És divisible per 2 ?
Sí. Divideix-lo, anota el 2 i pren el quocient.
El quocient és divisible per 2 ?
Sí. Divideix-lo, anota el 2 i pren el quocient.
El quocient és divisible per 2 ?
No. És divisible per 3 ?
Sí. Divideix-lo, anota el 3 i pren el quocient.
El quocient és divisible per 3 ?
No. És divisible per 5 ?
Sí. Divideix-lo, anota el 5 i pren el quocient.
3. Fes la descomposició factorial de les quantitats següents:
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
Món matemàtic 1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
4. Vet aquí unes descomposicions factorials. Fes servir la calculadora per saber quins nombres representen:
2 2 × 5 3 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5 =
2 6 × 3 = =
3 2 × 5 2 × 11 = =
7 4 × 11 2 = =
2 4 × 5 3 × 7 = =
3 4 × 11 × 13 = =
2 5 × 3 4 × 5 2 = = 11 2 × 13 3 × 17 = = 2 10 = =
7 = =
4 × 23 2 = =
6 = = 3 4 × 2 2 = = 5 3 × 4 3 = = 5 6 = =
3 2 × 11 3 = =
4 5 × 7 2 = =
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
Unitat 2 Descomposició factorial Mínim comú múltiple (m. c. m.)
recorda-ho
Ja saps què és el m. c. m. de dos o més nombres. Ara que ja saps descompondre un nombre en factors primers, pots aprendre a calcular el m. c. m. d’una manera més ràpida.
Exemple:
Recorda com calculaves el m. c. m. de 12 i 40:
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120 , 132…}
M(40) = { 40, 80, 120 , 160…}
m. c. m. (12, 40) = 120
Ara, observa les descomposicions factorials de 12, de 40 i de 120:
1. Si tens les descomposicions factorials de dos o més nombres, com en calcularàs el m. c. m.? Redacta una frase que ho expliqui fent servir aquest vocabulari: multiplicar, factors comuns, exponent més gran, factors no comuns.
Per calcular el m. c. m.
2. Calcula el m. c. m. dels nombres indicats: Divisions
Món matemàtic 1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
Unitat 2
Descomposició factorial
Máxim comú divisor (m. c. d.)
recorda-ho
Ja saps què és el m. c. d. de dos o més nombres. També saps descompondre un nombre en factors primers. Ara, aprendràs a calcular el m. c. d. d’una manera més ràpida.
Exemple:
Recorda com calculaves el m. c. d. de 45 i de 30:
D(45) = {1, 3, 5, 9, 15 , 45}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 , 30}
m. c. d. (30, 45) = 15
Ara, observa les descomposicions factorials de 30, de 45 i de 15:
= 2 × 3 × 5
1. Si tens la descomposició factorial de dos o més nombres, com en calcularàs el m. c. d.? Redacta una frase que ho expliqui fent servir aquest vocabulari: multiplicar, factors co muns, exponent més petit.
Per calcular el m. c. d.,
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
2. Calcula el m. c. d. dels nombres indicats: Divisions
c. d. (56, 64) = = Divisions
c. d. (100, 80) = = Divisions
c. d. (105, 42) = =
Divisions
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
Unitat 2 Descomposició factorial
Problemes de m. c. m. i m. c. d.
En cada un d’aquests problemes hauràs d’esbrinar si has de calcular el m. c .m. o el m. c. d.
1. Un noi fa dues col·leccions de cromos, una d’ocells i una altra de peixos. En total té 330 cromos d’ocells i 210 de peixos. Els vol enganxar en pàgines de manera que hi hagi la mateixa quantitat de cromos en cada pàgina i vol gastar el mínim de pàgines possible. Quants cromos enganxarà en cada pàgina? Quantes pàgines necessitarà per a cada col·lecció?
2. Una persona rep una revista de viatges cada 21 dies i una revista d’informàtica cada 35 dies. Si el carter li ha portat avui les dues revistes juntes, quants dies passaran fins que les torni a rebre juntes?
3. Es volen plantar arbres en un jardí que té forma rectangular de manera que cada arbre ocupi una parcel·la de forma quadrada. Si el jardí mesura 350 m de llargada per 225 m d’amplada, quina serà la mida màxima de cada parcel·la? Quantes d’aquestes parcel·les hi haurà? 350 m
m ?
1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
4. Dos cotxes entrenen en un circuit de curses. El cotxe vermell fa una volta cada 70 segons i el cotxe verd fa una volta cada 20 segons. Si el cotxe verd avança el cotxe vermell en un lloc determinat de la pista, al cap de quants segons el tornarà a avançar en el mateix lloc?
5. El cap d’una estació d’autobusos vol confeccionar l’horari de sortida dels dos autocars que té. L’autocar que va al poble de Sant Pere tarda 35 minuts a anar i tornar i el que va al poble de Sant Joan tarda 21 minuts a anar i tornar. La primera sortida dels dos autocars és a les 9 del matí. Si el cap de l’estació vol que els dos autocars sempre surtin a la mateixa hora, quins horaris haurà d’establir des de les 9 del matí fins a les 4 de la tarda?
6. En una empresa fabriquen ratolins d’ordinador de dos colors. En total n’han fabricat 924 de color gris i 1.155 de color vermell. Els volen ficar en capses de manera que n’hi hagi el màxim nombre possible i que siguin del mateix color. Quants ratolins hi haurà en cada capsa? Quantes capses necessitaran?
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
Unitat 2 Descomposició factorial Càlcul aproximat de productes
recorda-ho
Calcular mentalment 485 × 319 no és una cosa de genis. És fàcil acostar-se al resultat, si saps el truc. Només cal recordar com s’arrodoneix una quantitat. Observa:
30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39
S’arrodoneixen a 30
S’arrodoneixen a 40 700, 701 ………….…….…. 749, 750, 751 …..……..………. 799
S’arrodoneixen a 700
1. Arrodoneix les quantitats següents:
S’arrodoneixen a 800
1 5 5 0 2 4 97 8 8 36
recorda-ho
Observa com funciona el truc per calcular mentalment 485 × 319:
2. Fes el càlcul aproximat dels productes següents:
17 × 78 ≃
89 × 78 ≃
45 × 99 ≃
299 × 127 ≃
345 × 854 ≃
1.345 × 67 ≃
3.129 × 5.645 ≃
3. Un alumne ha multiplicat amb paper i llapis 489 × 278. El seu resultat és 78.345. Creus que el seu càlcul és encertat? (No pots fer servir la calculadora.)
2 1 5 7 3 4 1 09 3 6 4 7 8
4. Un llibre té 12 capítols d’unes 48 pàgines cada un. A cop d’ull, quantes pàgines té el llibre?
5. Un pagès té un camp de pomes amb 387 pomers. Ha collit les pomes d’un arbre i pesen 37 kg. A cop d’ull, quants quilos en collirà en total?
